Probabilidad y Estadística I PI-2610 Probabilidad y Estadística Marco Alvarado Peña
Sesión 4
Objetivos de Aprendizaje Al finalizar esta sesión el estudiante deberá ser capaz de:
1. Recordar los conceptos básicos de Teoría de Conjuntos. 2. Identificar conceptos básicos de Probabilidad y leyes de probabilidad, así como Conteo de Espacios Muestrales.
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Índice Probabilidad y Estadística I………-…………………………………...1 Objetivos de Aprendizaje……………………………………………..2 Probabilidad Condicional……………………………………………..4 Ejemplo…………………………………………………………………5 Ejemplo de probailidad condicional ………………………………..7 Regla de Multiplicación……………………………………………….8 Eventos dependientes…………………………………………. …..12 Diagrama árbol………………………………………………………13 Teorema de Bayes……………………………………………………15 Ejemplo de Teorema de Bayes……………………………………16 Referencias……………………………………………………………17
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Probabilidad Condicional En el mundo de la estadística hay un concepto muy importante cuando los eventos se dan una vez que otros han ocurrido y de ahí la dependencia de ellos. Cuando interesa calcular la probabilidad de que ocurra un evento E1, si se sabe que ya ocurrió un evento E2 a esto se le llama Probabilidad Condicional. Para representar dicha probabilidad la notación es la siguiente: P (E1 / E2), es decir probabilidades de ocurrencia condicional. La figura le podrá ayudar a visualizar este concepto tan útil en la vida diaria.
Fig 1. Representación de la Probabilidad Condicional.
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P (E1 / E2) = No casos en que ocurre E1 y E2 simultáneamente No total de casos de E2 P (E1 / E2) = P(E1 ∩ E2)
;
P(E2 > 0)
P(E2)
A continuación se le muestra un ejemplo de la aplicación del concepto de probabilidad condicional que puede encontrar en la bibliografía citada para éste curso.
Ejemplo En 1983 la población estudiantil del Sistema Universitario Estatal de Costa Rica estaba compuesto por 48 661 estudiantes distribuidos de la siguiente manera: Género
TEC
UCR
UNA
UNED
Total
Hombre
2044
15672
4789
3078
25583
Mujeres
500
12931
5571
4076
23078
Total
2544
28603
10360
7154
48661
Tabla 1. Distribución de estudiantes por Universidad año 1983. Fuente: Robles y Moya (2010, p.95)
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Si se toma un estudiante al azar, se pide calcular: a- La probabilidad de que el estudiante sea del sexo femenino. b- La probabilidad de que provenga de la Universidad Estatal a Distancia. c- Si se sabe que el estudiante es hombre. Se pide calcular la probabilidad de que provenga del TEC. d- Si se sabe que el estudiante proviene de la UNA, se pide calcular la probabilidad de que sea del sexo femenino. Para resolver este tipo de situaciones la regla de la Multiplicación es muy útil dado que el concepto de ella es la base para el cálculo de la probabilidad condicional. A continuación se le presenta dicha regla para su revisión.
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Ejemplo de probabilidad condicional Se ha nominado a 3 miembros de un club privado nacional, para ocupar la presidencia del mismo. La probabilidad de que se elija al señor Adams es de 0,3, la de que se haga la propia con el señor Brown de 0,5 y la de que gane la señora Cooper es de 0,2. En caso de que se elija al señor Adam, la probabilidad de que la cuota de ingreso se incremente es de 0,8, sí se elige al señor Brown o la señora Cooper, las correspondientes probabilidades de que se incremente la cuota son 0,1 y 0,4. ¿Cuál es la probabilidad que haya un incremento en la cuota de la membresía? Respuesta: I=Incremento A=Admas B= Brown C=Cooper P(I) = P(A)*P(I/A) + P(B)*P(I/B) + P(C)*P(/C) P(I) = (0,3)*(0,8) + (0,2)*(0,4) + (0,5)*(0,1) P(I) = 0,37
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Regla de Multiplicación Muchas veces un analista necesita calcular la probabilidad de la ocurrencia simultánea de los eventos arbitrarios E1 y E2, a partir de la definición de probabilidad condicional, por lo que se recurre al enunciado de la regla de multiplicación. La probabilidad condicional desde el punto de vista de teoría de conjuntos refiere a la operación de intersección entre conjuntos, de ahí que la expresión siguiente refleje dicho concepto. 1) P(E1 ∩ E2) = P(E1) * P(E2 / E1) 2) P(E2 ∩ E1) = P(E2) * P(E1 / E2) La expresión 1) se lee de la siguiente manera: La probabilidad de la intersección del evento 1 y del evento 2 es igual a, la probabilidad del evento 1 multiplicada por la probabilidad condicional de la ocurrencia del evento 2 dado que ocurrió previamente al evento 1. Para la expresión 2) se lee exactamente igual.
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Tener en cuenta que: - Existen dos variantes de la regla de la multiplicación, según si los dos eventos son: independientes o dependientes (Revise en la literatura o en internet información relacionada a la independencia o dependencia de eventos en probabilidad). La regla de la multiplicación para eventos independientes es: ¿Cómo se debe leer la siguiente expresión de acuerdo a lo visto hasta este punto?
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P(A ∩ B) = P(AB) = P(A) * P(B) Practique la expresión escribiéndola en el siguiente cuadro.
- De acuerdo con la fórmula anterior y utilizando una moneda podría demostrar el comportamiento del espacio muestral. El ejercicio consta en lanzar dos veces la moneda, y usted podrá verificar como la probabilidad de ambos lanzamientos dan por resultado una “cara” es decir ½ * ½ = ¼ .
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Para ilustrar lo anterior
Fig 2. Descripci贸n del campo muestral para Reglas de Multiplicaci贸n en el lanzamiento de una moneda.
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Eventos dependientes La dependencia de uno o más sucesos se origina cuando la ocurrencia de uno o más sucesos, están influenciados por la ocurrencia de otro u otros sucesos. Este tipo de eventos ocurren en muchas situaciones de la vida real. Para el caso de los eventos dependientes, supongamos que se sabe que un conjunto de 10 partes de repuestos contiene ocho partes aceptables (A) y dos partes defectuosas (D). Dada la selección aleatoria sin reemplazo de dos partes, la secuencia de resultados posibles y las probabilidades que aparecen en el árbol siguiente se tiene que con base la regla de multiplicación, que da como resultado (56/90) para el caso de que las dos piezas sean aceptables y (16/90), en caso de que sólo una sea aceptable. Observe el siguiente diagrama que ilustra la situación presentada.
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Diagrama รกrbol
Fig 3. Diagrama รกrbol para ejemplo de partes defectuosas.
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Usted debe realizar el cálculo del siguiente ejemplo que puede encontrar en la fuente citada para su propia revisión.
Ejemplo Suponga que en un supermercado hay una caja que contiene desodorantes para inodoros. En ella hay cinco (5) desodorantes de color rosado y diez (10) de otros colores diferentes. Un cliente que necesita comprar desodorantes para baño extrae dos de esa caja.
¿Cuál es la probabilidad de que los dos desodorantes extraídos sean de color rosado? La probabilidad debe dar como resultado un 33.33% Fuente: Robles y Moya (2010, p.98)
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Teorema de Bayes El teorema de Bayes es una generalización del concepto de probabilidad condicional, en el cual, el identificador para aplicar este teorema es el evento común, que ocurre dadas unas condiciones particulares mutuamente excluyentes entre sí. Sea δ un espacio muestral que está formado por los eventos A1, A2, A3.... An mutuamente excluyentes, luego, δ = A1 U A2 U A3 U..... U An donde el evento B es el evento común de los eventos An en el espacio muestral citado.
Fig 4. Teorema de Bayes
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Ejemplo de Teorema de Bayes Del problema mencionado en Teorema condicional. Si alguien considera entrar al club, pero retrasa su decisión por varias semanas solo para encontrarse con que las cuotas de entrada han aumentado, ¿Cuál es la probabilidad de que se haya elegido a la señora Cooper como presidenta del club? Respuesta: I= Incremento C= Cooper P(I/C) = P(I/C) =
0.08 0.08+0.24+0.05 8 37
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Referencias
Moya, M. y Robles,N. (2010). Probabilidad y Estad铆stica: Un Enfoque te贸rico y pr谩ctico. Cartago: Tecnol贸gico de Costa Rica.
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