Centro de Gravedad Curso Planeaci贸n y Dise帽o de Instalaciones Ing. Rafael Guti茅rrez Brenes
Sesi贸n 4
Objetivos de Aprendizaje 1. Comprender los aspectos importantes para el diseĂąo fĂsico de la planta.
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Índice Centro de Gravedad................................................................... 1 Objetivos de Aprendizaje....................................................... 2 Método del Centro de Gravedad........................................... 4 Continuación: Método del Centro de Gravedad .................. 5 Distancias Rectangulares...................................................... 6 Modelo de la mediana simple (solución óptima)................... 6 Cantidades acumuladas por abscisas crecientes................. 8 Distancias euclideanas.......................................................... 9 Ejemplo................................................................................. 10 Referencias............................................................................. 14
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Método del Centro de Gravedad Se usa para la ubicación de plantas de fabricación o almacenes de distribución respecto a unos puntos de origen, desde donde se reciben sus salidas. El problema a resolver consiste en encontrar una localización central que minimice el CTT. CTT = ci vi di ci = costo unitario de transporte correspondiente al punto i. vi = es el volumen o peso de los materiales movidos desde o hacia i. di = es la distancia entre el punto i y el lugar donde se encuentra la instalación.
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Continuación: Método del Centro de Gravedad Para calcular el CTT se deberán estimar las cantidades movidas entre cada punto y la instalación para un determinado horizonte temporal (un mes, un año, etc). El producto ci vi constituye el peso wi, o importancia que cada punto i, tiene en el emplazamiento de la instalación, de forma que a mayor wi más cercana se habrá de encontrar la instalación del punto correspondiente. Para medir las distancias se puede trabajar sobre un mapa o plano a escala; así, al superponerle un sistema de ejes coordenados, cada punto geográfico vendrá identificado por un par de valores, el de su ordenada y el de su abscisa, lo cual permitirá calcular las distancias entre cada punto y la instalación. Para solucionar problemas de esta índole es con base en distancias rectangulares y distancias euclideanas o euclídea.
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Distancias Rectangulares Modelo de la mediana simple (solución óptima) Solución: - Se identifica el valor medio de las cantidades desplazadas ponderadas por sus costos ci vi /2 - Se ordenan los puntos según su ordenada y según su abscisa, en forma creciente, acumulándose las cargas ponderadas que envían o reciben. - La ordenada y la abscisa donde quede incluido el valor medio serán las que determinen el punto óptimo.
Ejemplo: Se busca una localización para una nueva planta de forma que se minimicen los costos de transporte, tanto de las materias primas como de los productos terminados. Las fuentes de abastecimiento de Fi y los puntos de destino de estos últimos Mj, aparecen en la siguiente figura:
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Puntos
ci
vi
ci
vi
C1
(40,30)
20
800
16000
C2
(15,100)
15
1500
22500
M1
(80,20)
30
600
18000
M2
(10,15)
25
900
22500
M3
(50,60)
10
300
3000
Total
82000
Coordenadas
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Cantidades acumuladas por abscisas crecientes Puntos
Xi
Ci Vi
Ci Vi acumulado
M2
10
22500
225000
F2
15
22500
45000
F1
40
16000
61000
M3
50
3000
64000
M1
80
18000
82000
Cantidades acumuladas por ordenadas crecientes Puntos
Xi
Ci Vi
Ci Vi acumulado
M2
15
22500
22500
F2
20
18000
40500
F1
30
16000
56000
M3
60
3000
59500
M1
100
22500
82000
SOLUCIĂ“N: (15,30)
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Distancias euclideanas Siguiendo el ejemplo anterior, para este método se aplica lo siguiente: Calcular una posición inicial :
Calcular una posición inicial
Calcular las distancias euclideanas hasta cada punto a través de
X* = ci vi xi / ci vi
di = K [(x-xi)2 + (y- yi)2]1/2
Y* = ci vi Yi / ci vi
K = factor de escala
Con las distancias euclideanas di y los datos de la tabla base del ejemplo anterior, se procede a determinar el nuevo centro de gravedad mediante la expresión: X* = (ci vi xi / di)/ (ci vi / di) Y* = (ci vi yi / di )/( ci vi / di)
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Ejemplo Se busca una localizaci贸n para una nueva planta de forma que se minimicen los costos de transporte, tanto de las materias primas como de los productos terminados. Las fuentes de abastecimiento de Fi y los puntos de destino de estos 煤ltimos Mj, aparecen en la siguiente figura:
Puntos
Coordenadas
Ci
Vi
CiVi
F1
(40,30)
22500
225000
16000
F2
(15,100)
22500
45000
22500
M1
(80,20)
16000
61000
18000
M2
(10,15)
3000
64000
22500
M3
(50,60)
18000
82000
3000
Total
82000
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Con base en el ejemplo anterior aplicamos lo siguiente: Calcular una posición inicial : X* = ci vi xi / ci vi
Y* = ci vi Yi / ci v
X* = 34,054878 Y* = 43,993902
A partir de la siguiente formula, calculamos las distancias y los CTT correspondientes di = K [(x-xi)2 + (y- yi)2]1/2, K = factor de escala.
Puntos
di
F1
Ci Vi
CTT
16000
F2
59,14
22500
1330650
M1
51,88
18000
933840
M2
37,64
22500
846900
M3
22,63
30000
67890
Costo Total
3442960
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Seguir iterando hasta encontrar el CTT menor, comenzar a aplicar la segunda fĂłrmula de x* y y* X* = ∑ (Ci * Vi * Xi / di)/∑ (Ci * Vi / di) Y* = ∑ (Ci * Vi * Yi / di)/∑ (Ci * Vi / di) X* = 35,18 Y* = 37,24
Ahora lo que sigue es calcular cada uno de los di, i=1 hasta 5, para un factor de escala de k=1. Calcular di, cuando i=1 đ?‘‘1 = [(35,18 − 40)2 + (37,24 − 30)2 ]
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Soluci贸n Lugar a escoger: Coordenadas (40,30), con un CTT = 3264133 um., soluci贸n se encontr贸 en iteraci贸n 54, por medio de un software.
Puntos
di
Ci Vi
CTT
F1
8,73
16000
1396680
F2
65,90
22500
1482750
M1
48,08
18000
933840
M2
33,65
22500
846900
M3
29,19
3000
67890
Costo Total
3442960
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Referencias 1. Alvarez, M.J., García, S., Dominguez, M. Y Ruíz, A.(1995). Dirección de Operaciones: Aspectos Estratégicos en la Producción y los Servicios. Madrid: Mc-Graw-Hill.
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