Probabilidad Condicional y Teorema de Bayes Curso PI-2610 Probabilidad y Estadística Marco Alvarado Peña
Sesión 5
Objetivos de Aprendizaje Al finalizar esta sesi贸n el estudiante deber谩 ser capaz de:
1. Comprender el concepto de Probabilidad Condicional. 2. Observar la relaci贸n entre la probabilidad condicional y el Teorema de Bayes. 3. Aplicar la probabilidad condicional y el Teorema de Bayes en problemas cotidianos que impliquen dichos conceptos.
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Índice Probabilidad Condicional y Teorema de BayeS……………………..1 Objetivos de Aprendizaje…………………………………………..…2 Teorema de Bayes……………………………………………………...5 Problema práctica…….………………………………………………..7 Ejemplo 1.………………………………………………………………..8 Solución del Ejemplo 1.………………………………………………9 Ejemplo 2…………………………………………………………........10 Solución del Ejemplo 2……………………………………………...11 Ejemplo 3.………………………………………………………………13 Solución del Ejemplo 3.……………………………………………..14 Hoy………………………………………………………………………15 Referencias…………………………………………………………….16
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Usted recordará de la lección anterior el concepto de Probabilidad Condicional que en general aplica cuando, se da la ocurrencia de un evento dado que otro evento anterior se ha producido previamente. En la vida cotidiana esto suele ser común sobre todo en eventos que sean dependientes y ahí que el cálculo de la probabilidad de ocurrencia esté en función de la probabilidad del evento anterior y de cómo el espacio muestral se modifica cuando la toma de muestras es con reemplazo o sin reemplazo.
El teorema de Bayes es una generalización del concepto de probabilidad condicional, cuya identificación para aplicar estará en función de la identificación del evento común que comparten otros eventos del espacio muestral.
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Teorema de Bayes Para conocer el concepto y la aplicación del Teorema de Bayes se tiene que: Si E1, E2, E3, …, Ek son eventos mutuamente excluyentes, (¿Qué eran eventos muruamente excluyentes? Si no lo recuerda pueden consultar múltiples referencias en internet en donde puede evacuar las dudas al respecto), todos contenidos en un espacio muestral U, tales que U = E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ ….. ∪ Ek y E es un evento arbitrario, también conocido en el espacio muestral U, entonces para j = 1, 2, 3, …, K se cumple que:
PEj \ E = P (Ej) ∗ P (E\Ej) / P(E1) ∗ P (E\E1) + P (E2) ∗ P (E\E2) + … + P (Ek) ∗ P (E\Ek)
La probabilidad del evento Ej dado que se da la probabilidad del Evento arbitrario E es igual a la probabilidad del Evento Ej multiplicado por la probabilidad del evento arbitrario dado que se da la probabilidad del Evento Ej, dividido entre la probabilidad el Evento E1 por la probabilidad del evento arbitrario dado que se dio la probabilidad 5
del Evento E1 más la probabilidad del resto de eventos presentes en el espacio muestral multiplicado por la probabilidad del evento arbitrario dado que se dan dichos eventos.
Totalmente comprensible que usted es este momento tenga un “colocho” mental dada la descripción de ésta forma de cálculo de probabilidad, para ellos es que se le presentan los siguientes ejemplos para que viendo la forma de aplicarlo comprenda el concepto y cómo es su aplicación.
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Problema práctica Fuente: Robles y Moya (2010, p.99)
En 1983 el Instituto Tecnológico de Costa Rica (TEC) tenía un total de 2.544 estudiantes, la Universidad de Costa Rica (UCR) tenía 28.603, y la Universidad Estatal a Distancia (UNED) tenía 7.154. De esa población estudiantil, 616 del TEC, 1397 de la UCR y 648 de la UNED cursaban carreras relacionadas con la Administración de Empresas. Si de los 2.661 alumnos que estudiaban carreras relacionadas con Administración de Empresas se selecciona a un estudiante al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante seleccionado provenga del TEC?
Se le recomienda en este primer ejemplo que trata de resolverlo usted mismo. Si le resulta complejo revise en la bibliografía del curso.
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Ejemplo 1. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas tambiĂŠn, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
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Solución del Ejemplo 1.
Fig 1. Solución del ejemplo.
p(ingeniero ∕ directivo)=
0.2 ∙ 0.75 = 0.405 0.2 ∙ 0.75 + 0.2 ∙ 0.5 + 0.6 ∙ 0.2
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Ejemplo 2. Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5. 1. Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador? 2. Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?
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Solución del Ejemplo 2. 1. Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?
Fig 2. Solución del ejemplo.
p(oye ∕ hace examen)=
0.8 ∙ 0.9 36 = 0.8 ∙ 0.9 + 0.2 ∙ 0.5 41
R / La probabilidad de que haya hecho el examen porque haya oído el despertador es (36 / 41) 11
2. Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?
Fig 3. Solución del ejemplo.
p(no oye ∕ no hace examen)=
0.2 ∙ 0.5 5 = 0.8 ∙ 0.1 + 0.2 ∙ 0.5 9
R / La probabilidad de que no haya hecho el examen porque no haya oído el despertador es (5 / 9) 12
Ejemplo 3. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es de 0.1. La probabilidad de que esta suene sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de qe suene sino ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supesto de que haya funcionado la alarma. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?
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Solución del Ejemplo 3.
Fig 4. Solución del ejemplo.
p(no accidente ∕ suene alarma)=
0.2 ∙ 0.9 18 = 0.1 ∙ 0.97 + 0.9 ∙ 0.0.098 115
R / La probabilidad de que no haya sucedido un accidente y la alarma sonará es de (18/115). 14
Recuerde practicar por su cuenta todos estos conceptos,definiciones y sobre todo ejemplos de las diversas fuentes bibliográficas. Quedarse con solo lo expuesto en esta case virtual podría ser un grave error de su parte, lo invito a que vaya más allá y dedique el tiempo que los cursos de una carrera de ingeniería requiere. Ánimo y adelante.
Hoy ¿Qué aprendí? ¿Qué recordé? ¿Qué quiero cambiar para ser mejor?
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Referencias
Moya, M. y Robles,N. (2010). Probabilidad y Estad铆stica: Un Enfoque te贸rico y pr谩ctico. Cartago: Tecnol贸gico de Costa Rica.
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