Sesión6

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Esperanza Matemática y Distribuciones Discretas Curso PI-2610 Probabilidad y Estadística Marco Alvarado Peña

Sesión 6

Objetivos de Aprendizaje Al finalizar esta sesión el estudiante deberá ser capaz de:

1. Conocer el Teorema de Chevyshev como estimador de un intervalo de confianza. 2. Conocer el concepto de Esperanza Matemática para determinar cuándo lo puede aplicar 3. Calcular el valor esperado o Esperanza Matemática de un conjunto de datos para su respectivo análisis. 4. Comprender las propiedades de las Distribuciones de Probabilidad para poder caracterizarlas y aplicarlas correctamente. 5. Conocer las distribuciones discretas más utilizadas con el propósito de aplicarlas según su ámbito de utilización.

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Índice Esperanza Matemática y Distribuciones Discretas…………………1 Objetivos de Aprendizaje……………………………………………..2 Desigualdad de Chebyshev…………………………………………..5 Ejemplo…………………………………………………………………7 Solución…………………………………………………………. …….8 Conceptos……………………………………………………………….9 Propiedades de la función de probabilidad……………………...10 Esperanza Matemática ¿Qué es?..... ………………………………13 Media o valor esperado de una v.a...………………………………14 Media de la variable aleatoria X…………………………………….16 Definición……..............................................................................17 Algunas fórmulas a recordar……...………………………………..20 Distribuciones de Probabilidad…………………………………….26 ¿Cómo se clasifican?………………………………………………..26 Definición……………………………………………………………..28 Algunas consideraciones……………………………………………30 Distribución Uniforme Discreta…………………………………….32 Ejemplo……………………………………………………………….34 Distribución Bernuolli………………………………………………..35 3

Definición……………….……..……………………………………...35 Distribución binomial (n, p)…………………………………………38 Distribución Binomial………………………………………………..40 Distribución Multinomial…………………………………………….47 Distribución Hipergeométrica………………………………………49 Fórmula Hipergeométrica…………………………………………...49 Ejemplo del Walpole……………………………………...………...50 Distribución de Poisson………………………………………...53 Fórmula Distribución de Poisson………………………………….56 Distribución de Poisson…………………………………………….57 Resumen importante…………………………………………………61 Referencias…………….……………………………………………...62

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Desigualdad de Chebyshev En probabilidad, la desigualdad de Chebyshev es un resultado estadístico que ofrece una cota (límite) inferior a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su esperanza matemática o de su media; equivalentemente, el teorema proporciona una cota superior a la probabilidad de que los valores caigan fuera de esa distancia respecto de la media. En resumen lo que establece es un intervalo en el cual se van a mover los valores alrededor de su esperanza matemática.

Uno de los beneficios de ésta desigualdad, es que, el teorema es aplicable incluso en distribuciones que no tienen forma de “curva de campana” y acota la cantidad de datos que están o no “en medio”. En términos prácticos, si usted no conoce la distribución de los datos, puede utilizar este teorema para generar dicho intervalo.

La desigualdad de Chebyshev es muy importante, ya que permite determinar los límites de las probabilidad de variables aleatorias discretas o continuas sin tener que especificar sus respectivas funciones de probabilidad. 5

El teorema de Chevyshev proporciona un resultado teĂłrico que relaciona đ?‘ĽĚ… y S (Âżrecuerda quiĂŠn es x barra y S? ÂżestĂĄ seguro?), y establece el porcentaje mĂ­nimo de datos que caen en el intervalo (đ?‘ĽĚ… kS, đ?‘ĽĚ… +kS) con k > 1. Recuerde una vez mĂĄs que establece la probabilidad de que cualquier variable aleatoria X asuma un valor dentro k desviaciones estĂĄndar de la media es al menos 1-1/k2

Regla empĂ­rica: - Entre (xĚ… -1S, xĚ… +1S) estĂĄ el 68% de los datos muestrales. - Entre (xĚ… -2S, xĚ… +2S) estĂĄ el 95% de los datos muestrales. - Entre (xĚ… -3S, xĚ… +3S) estĂĄ el 99.7% de los datos muestrales.

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Ejemplo 1. Una variable aleatoria X tiene una media µ = 8 una varianza σ2 = 9, y distribución de probabilidad desconocida. Encuentre:

a) P (4 < X < 20). b) P (| X - 8 | ≥ 6).

Estos ejemplos los puede revisar en detalle en el libro de Montgomery de la bibliografía.

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Solución a) P (4 < X < 20) = P[ 8 - (4) (3) < X < 8 + (4) (3) ] ≥ 15/16

Como puede observar por despeje y conociendo los valores de miu y de sigma puede realizar el cálculo del intervalo. Si sustituye los valores en la ecuación podrá notar que se cumple que ≥ 15/16, incluso éste resultado viene de 1-1/k2

b) P (| X - 8 | ≥ 6) = 1 - P (| X - 8 | < 6) = 1 - P (- 6 < X - 8 < 6) = 1 - P [8 - (2) (3) < X < 8 + (2) (3)] ≤ ¼.

Al revisar este otro ejemplo, sigue la misma lógica de resolución. Hay que tener destrezas de despeje de ecuaciones para poder resolver, pero es mecánica la lógica de solución.

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Continuando con la temática de esta sesión es importante recordar algunos conceptos muy utilizados para la parte de probabilidad. Dichos conceptos son:

Conceptos Definición

Ejemplos

Variable aleatoria

Aquella que tiene un

El número de tornillos

discreta

rango finito o infinito

defectuosos en una

numerable

muestra aleatoria

Variable aleatoria

Aquella que tiene un

Peso, volumen,

continua

rango finito o infinito de longitud, voltaje, números reales

resistencia, ángulo, entre otras

Otro concepto básico es el de evento, el cual se define como: El evento que está formado por todos los resultados para los que X = x, se denota por {X = x}

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La probabilidad de ocurrencia de un evento viene dada por: La probabilidad de ĂŠste por P( X = x)

La distribuciĂłn de probabilidad (d.p.) de X o distribuciĂłn de una v.a. (variable aleatorial) X es una descripciĂłn del conjunto de valores posibles de X (es decir, rango de X), junto con la probabilidad asociada a cada uno de estos valores en dicho rango. La distribuciĂłn se representa a travĂŠs de una tabla que relaciona resultados con probabilidades, o bien, por medio de una fĂłrmula.

Propiedades de la funciĂłn de probabilidad Propiedades de la funciĂłn de probabilidad discreta. 1.

đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘ƒ(đ?‘‹ = đ?‘Ľ)

2.

�(�) ≼ 0

3.

∑ đ?‘Ľđ?‘“(đ?‘Ľ) = 1

(la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) da la probabilidad)

đ?‘Ľ

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Fig 1. Propiedades de la función de probabilidad

Ejemplo: distribuciones discretas: binominal, geométrica, hipergeométrica y de Poisson. Al observar la figura 1, las probabilidades están ilustradas como secciones o partes no como un área, que es una característica propia de las distribuciones continuas. Son probabilidades puntuales, que no es que no se puedan acumular, pero su comportamiento es distinto.

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Para el caso de las distribuciones continuas, la visualizaciĂłn de ellas como un ĂĄrea bajo la curva serĂ­a la que se muestra en la siguiente figura. Revise antes las propiedades que se presentan seguidamente. Propiedades de la funciĂłn de densidad de probabilidades de la v.a. continua X; para cualquier intervalo de nĂşmeros reales [a, b], se cumple: 1. 2.

đ?‘“(đ?‘Ľ) ≼ 0 +∞

âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = 1 −∞

3.

đ?‘?

đ?‘ƒ(đ?‘Ž ≤ đ?‘‹ ≤ đ?‘?) = âˆŤ đ?‘“(đ?‘˘) đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘Ž

Fig 2. Propiedades de la funciĂłn de probabilidad

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Ejemplo: distribuciones continuas mĂĄs populares son: uniforme, gausiana, ji-cuadrado, t- student y Fisher.

Esperanza MatemĂĄtica ÂżQuĂŠ es? La esperanza matemĂĄtica o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso. đ?‘›

đ??¸ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ1 ∙ đ?‘?1 + đ?‘Ľ2 ∙ đ?‘?2 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘– ∙ đ?‘?đ?‘– = ∑ đ?‘Ľđ?‘– ∙ đ?‘?đ?‘– â‹Ż đ?‘–=1

Si queremos simplificar la asimilaciĂłn del concepto entonces es como que tomemos la probabilidad de ocurrencia de cada evento y la multipliquemos por dicho evento, al final el sumar todos esos productos deben dar como resultado la esperanza matemĂĄtica o valor esperado. Estos nombres (esperanza matemĂĄtica), tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran nĂşmero de apuestas.

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Media o valor esperado de una v.a. Si una distribuciĂłn es un buen modelo, entonces a travĂŠs de ella se encuentran las principales caracterĂ­sticas del sistema (poblaciĂłn o proceso), tales como su tendencia central y variabilidad tal y como se muestra a continuaciĂłn:

v.a discreta Valor esperado de X

đ??¸ (đ?‘‹) = ∑ đ?‘‹đ?‘– đ?‘“(đ?‘‹đ?‘– ) = ∑ đ?‘‹đ?‘– đ?‘ƒ(đ?‘‹ = đ?‘‹đ?‘– ) đ?‘–

Varianza de la v.a. X

đ?‘–

đ?œŽ 2 = đ?‘‰ (đ?‘‹) = đ??¸(đ?‘‹ − đ?œ‡)2 = ∑(đ?‘Ľ − đ?œ‡)2 đ?‘“(đ?‘Ľ ) = đ??¸ (đ?‘‹ 2 ) − đ?œ‡ 2 đ?‘Ľ

FunciĂłn de distribuciĂłn acumulada de una v.a discreta FunciĂłn de distribuciĂłn acumulada de una v.a continua

đ??š (đ?‘Ľ ) = đ?‘ƒ(đ?‘‹ ≤ đ?‘Ľ ) = ∑ đ?‘“(đ?‘‹đ?‘– ) đ?‘Ľđ?‘–≤đ?‘Ľ +∞

đ??¸ (đ?‘‹) = âˆŤ đ?‘Ľđ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ −∞

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Ejemplo de esperanza matemática Suponga que se lanzan 16 veces dos monedas. Los valores resultantes de X pueden ser: 0 veces cara, 1 vez cara, 2 veces cara (recordar son dos monedas), de un total de 4, 7 y 5 intentos o veces en que se lanza. Por lo tanto el número promedio (esperanza matemática), de caras es:

0*4 1*7 2*5 + + = 1.06 16 16 16 Nota: Este es un valor promedio y no necesariamente un posible resultado del experimento.

Si observamos los números ( 4⁄16 ), ( 7⁄16 ) y ( 5⁄16 ), son fracciones de los lanzamientos totales que tienen como resultado cero, una y dos caras respectivamente. ¿A qué se parecen estas fracciones?

R/ A las frecuencias relativas de los diferentes valores de X (eventos), para este experimento.

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En efecto, como bien puede apreciar, se puede calcular la media o promedio de un conjunto de datos mediante el conocimiento de los distintos valores que ocurren y sus frecuencias relativas, sin tener un conocimiento del nĂşmero total de observaciones en nuestro conjunto de datos. Por lo tanto si 4â „16 , Ăł 1â „4 de los lanzamientos tiene como resultado cero caras, 7â „16 tienen como resultado una cara y 5â „16 de ĂŠstos tienen dos caras, el nĂşmero promedio de caras por lanzamiento serĂĄ de 1.06 sin importar si el nĂşmero total de lanzamientos fue de 16, 1000 Ăł 10000 veces.

Media de la variable aleatoria X Ahora con este mĂŠtodo que hemos conocido, calculemos el nĂşmero promedio de caras por lanzamiento que podrĂ­amos esperar en el largo plazo, es decir la media de la variable aleatoria X o la media de la distribuciĂłn de probabilidad de X y la denotamos por đ?œ‡đ?‘Ľ o simplemente đ?œ‡ cuando estĂŠ claro a quĂŠ variable aleatoria nos referimos. TambiĂŠn es comĂşn entre los estadĂ­sticos referirse a esta media como la esperanza matemĂĄtica o el valor esperado de la variable aleatoria X y denotarla como E(X). 16

DefiniciĂłn Sea X una variable aleatoria con distribuciĂłn de probabilidad f(x). La media o valor esperado de X es

Le media o valor esperado de X

đ?œ‡ = đ??¸ (đ?‘‹) = ∑ đ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ ) đ?‘Ľ

Si X es discreta y continua ∞

đ?œ‡ = đ??¸ (đ?‘‹) = âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ −∞

Una definiciĂłn fĂĄcil de entender de lo que llamamos Esperanza MatemĂĄtica es la relaciĂłn entre el premio obtenido y la probabilidad de acertar. La definiciĂłn matemĂĄtica de Esperanza MatemĂĄtica o Valor Esperado es bastante mĂĄs compleja, pero de una manera mĂĄs simplificada se limita a Premio x Probabilidad.

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Ejemplo Un inspector de calidad muestrea un lote que contiene siete componentes; el lote contiene cuatro componentes buenos y tres defectuosos. El inspector toma una muestra de tres componentes. Encuentre el valor esperado de nĂşmero de componentes buenos en esta muestra.

SoluciĂłn Sea X el nĂşmero de componentes buenos en la muestra. La distribuciĂłn de probabilidad de X es

đ?‘“(đ?‘Ľ ) =

4 3 (đ?‘Ľ )(3−đ?‘Ľ )

(73)

đ?‘Ľ = 0,1,2,3.

Recuerde que x puede ser 0 defectuosas, 1, 2 o tres.

Al aplicar los posibles valores de x en la funciĂłn se obtienen unos simples cĂĄlculos que dan đ?‘“(0) = 1 â „ 35, đ?‘“(1) = 12 â „ 35, đ?‘“(2) = 18 â „ 35, đ?‘“(3) = 4 â „ 35, por tanto,

đ?œ‡ = đ??¸ (đ?‘‹) = (0) (

1 12 18 4 12 ) + (1) ( ) + (2) ( ) + (3) ( ) = = 1.7 35 35 35 35 7 18

De esta manera si se selecciona al azar una muestra de tamaño tres, una y otra vez de un lote de cuatro componentes buenos y tres defectuosos, contendría, en promedio, 1.7 componentes buenos en dicha muestra según el valor esperado.

Ejemplo Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta? E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €

Ejemplo Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.

E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)} p(+1) = 2/4 p(+2) = 1/4 19

p(−5) = 1/4 E(x)= 1 ¡ 2/4 + 2 ¡ 1/4 - 5 ¡ 1/4 = −1/4. Es desfavorable

Algunas fĂłrmulas a recordar đ?‘›

Esperanza matemĂĄtica o media

đ??¸ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ1 ∙ đ?‘?1 + đ?‘Ľ2 ∙ đ?‘?2 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘– ∙ đ?‘?đ?‘– = ∑ đ?‘Ľđ?‘– ∙ đ?‘?đ?‘– â‹Ż đ?‘–=1

Varianza

đ?‘›

đ?œŽ 2 = ∑ đ?‘Ľđ?‘–2 ∙ đ?‘?đ?‘– − đ?œ‡2 đ?‘–=1

DesviaciĂłn tĂ­pica

đ?‘›

đ?œŽ = √∑ đ?‘Ľđ?‘–2 ∙ đ?‘?đ?‘– − đ?œ‡2 đ?‘–=1

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Ejemplo Un medicamento que distribuye la CCSS se usa para mantener estable la frecuencia de latidos en pacientes que han sufrido un ataque cardiaco leve. Sea X el nĂşmero de latidos por minuto en cada paciente. ConsidĂŠrese la densidad hipotĂŠtica que aparece en la siguiente tabla ÂżCuĂĄl es la frecuencia cardiaca promedio obtenida en todos los datos de los pacientes que reciben el medicamento? En otras palabras ÂżcuĂĄl es el valor esperado E(x)?

X

40

60

68

70

72

80

100

f(x)

0.01

0.04

0.05

0.8

0.05

0.04

0.01

SegĂşn el teorema 4.1 đ??¸(đ?‘Ľ) = ∑ đ?‘Ľđ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ

40(0.01)+60(0.04)+68(0.05)+70(0.80)+72(0.05)+80(0.04)+100(0.01)=70

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Ejemplo En un lote de 12 televisores hay dos que estĂĄn defectuosos. Si se elige al azar 3 de los 12 televisores para enviarlos a un hotel. ÂżCuĂĄntos aparatos descompuestos en promedio pueden enviarse en el pedido? Se puede seleccionar X de los 2 televisores defectuosos y (3-X) de los 10 10 aparatos en buen estado (2x) (3-x ) formas y podemos seleccionar 3

de los 12 televisores de (12 ) maneras distintas. Suponiendo que las 3 (12 ) posibilidades son igualmente posibles, se tiene la siguiente 3 distribuciĂłn de probabilidad de X, para el nĂşmero de televisores descompuestos enviados al hotel, estĂĄ dada por

đ?‘“(đ?‘Ľ ) =

10 (đ?‘Ľ2)(3−đ?‘Ľ )

(12 ) 3

Ahora bien, E(x)=0*6 â „ 11+1*9 â „ 22+2*1 â „ 22= ½

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Y como no es posible recibir medio televisor defectuoso, debe ser claro que el término esperanza no se debe de utilizar; en realidad se debe interpretar como un promedio que pertenece a envíos repetidos hechos en las condiciones antes mencionadas. ¿Le quedó alguna dude del tema? Si fuera así debe entonces de repasar nuevamente la lección. En el proceso de aprendizaje es importante la investigación y estudio individual por aparte de cada estudiante.

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Ejemplo Un jugador lanza un dado corriente. Sí sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero sino no sale número primo pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego (µ = 16.667). R/ Se espera que el jugador siempre pierda.

Un piloto privado desea asegurar su aeroplano por $200 000. La compañía de seguros estima que puede ocurrir una pérdida total con una probabilidad de 0.02, una pérdida de 50% con probabilidad de 0.01 y una pérdida del 25% con probabilidad de 0.1. Sí se ignoran todas las demás pérdidas parciales. ¿Qué prima debe de colocar cada año la compañía de seguros para tener una utilidad promedio de $500? R/ El piloto debe de colocar una prima de $6900 por año.

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Ejemplo A un empleado de un lavado de autos se le paga de acuerdo con el número de autos que lava. Suponga que la probabilidad son: ½, 1/12, ¼, ¼, 1/6 y 1/6 respectivamente de que el empleado reciba $7, $9, $11, $13, $15 ó $17 entre 4.00 p.m. y 5:00 p.m. en cualquier viernes soleado. Encuentre las ganancias del empleado para este período en particular.

R/ Las ganancias del empleado para este período en particular son de $12.67

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Distribuciones de Probabilidad 驴C贸mo se clasifican?

Fig 3. Distribuciones de Probabilidad

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Ejemplo: Distribuciones empíricas Tiempo entre

P {ai <= X <= bj}

F(x)

llegadas (minutos)

f(x)

0-2

0.08

0.08

2-4

0.22

0.30

4-6

0.44

0.74

6-8

0.16

0.90

8-10

0.10

1-00

Antes de ver la solución, trate de responder la siguiente pregunta: ¿Qué conclusiones se pueden extraer de esta distribución? sea entre 4 y 6 minutos es de 0.44; o bien de que hay una probabilidad de 0.30 de que el tiempo de llegada no sea superior a 4 minutos.

R/ Se concluye que la probabilidad de que el tiempo de llegada

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Definición - Se define una variable aleatoria continua como aquella que puede tomar cualquier valor de entre dos valores dados tan cercanos como se quiera. Cualquier variable aleatoria que no cumpla con esta condición se define como variable aleatoria discreta. - Tip para diferenciarlas, ¿cuál puede ser? ¿Qué ejemplos se le ocurren a usted para diferenciar o identificar una variable aleatoria continua de una discreta?. Algunos ejemplos: El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado. Para variable continua ejemplos pueden ser: La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.

Para empezar a asimilar el conocimiento de las distribuciones de probabilidad, se empezará por las discretas. No quiere decir que son las más simples, pero por su comportamiento y forma ayudan a entender mejor el concepto de Distribución de probabilidad. Entramos directamente en materia. 28

Las más importantes Distribuciones Discretas de Probabilidad son: - Distribución Uniforme Discreta - Distribución Bernoulli - Distribución Binomial - Distribución Multinomial - Distribución Hipergeométrica - Distribución Poisson - Aproximaciones

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Algunas consideraciones

Fig 4. Probabilidad Discretas

Con respecto a las discretas (distribuciones), la línea de pensamiento empieza con Bernoulli, ya que el concepto de éxito-fracaso es el que da pie para pensar en que existe una probabilidad de éxito de ocurrencia de un evento y por ende su complemente (el fracaso) y son complemento en el espacio muestral S. Este concepto es el que aplica la Distribución de Probabilidad Binomial que lo amplía a la ocurrencia de más de un evento donde se cumple éxito o fracaso para dicho evento. Si se analiza en mayor profundidad el origen teórico de las distribuciones se llegará al punto de determinar que la binomial conceptualmente hablando lleva a la concepción de la Distribución de Poisson, en la que se esquematiza la probabilidad de ocurrencia de un 30

evento en un cierto tiempo o área en particular, aquí por ejemplo la variable tiempo retoma relevancia en el análisis de situaciones que implican a dicha variable.

La siguiente figura enmarca a tres de las principales distribuciones de probabilidad continuas que son muy utilizadas en el caso de la Exponencial para estudios y análisis de confiabilidad y la Norma que gracias a ella se cuenta hoy con conocimiento de aplicación por ejemplo del teorema del límite central, distribución t de student entre otras.

Fig 5. Probabilidad Continuas

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A continuaciĂłn se tiene mĂĄs desglosado la explicaciĂłn de algunas de las distribuciones de probabilidad discretas.

DistribuciĂłn Uniforme Discreta Sea una variable aleatoria que puede tomar n valores distintos, x1,...,xn, cada uno de ellos con la misma probabilidad, es decir, con probabilidad uniforme. La distribuciĂłn de probabilidad o funciĂłn de masa de esta variable aleatoria es:

đ?‘ƒ(đ?‘‹ = đ?‘Ľđ?‘– ) =

1 đ?‘›

para i=1, ‌, n

La media y la varianza de esta distribuciĂłn son, respectivamente: đ?‘›

đ?‘›

đ?‘–=1

đ?‘–=1

1 1 đ?œ‡ = ∑ đ?‘Ľ đ?‘– ∗ = ∑ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘› đ?‘›

Y la desviaciĂłn estĂĄndar, por lo tanto, estĂĄ dada por la siguiente expresiĂłn: đ?‘›

đ?œŽ=√

∑đ?‘–=1(đ?‘Ľđ?‘– − đ?œ‡)2 đ?‘› 32

Para comprender mejor lo anteriormente citado se tiene el siguiente ejemplo, revĂ­selo cuidadosamente y si tiene dudas escrĂ­balas para que se las presente a su profesor en hora de consulta.

Ejemplo - Se lanza un dado ordinario. Para i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 definimos la variable aleatoria X = xi como la cara del dado que sale hacia arriba. Obtenga la distribuciĂłn de probabilidad de esta variable aleatoria, asĂ­ como su media y su desviaciĂłn estĂĄndar.

- Entonces cualesquiera de las seis caras tiene la misma probabilidad de salir, asĂ­ por la funciĂłn de distribuciĂłn de probabilidad de este ejemplo estĂĄ dado por:

f(xi) = , para i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. La media y la desviaciĂłn estĂĄndar son por lo tanto: 6

1 1+2+3+4+5+6 đ?œ‡ = ∑ đ?‘Ľđ?‘– = = 3.5 6 6 đ?‘–=1

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Es decir, 3.5 es la media del conjunto de datos analizado. Seguidamente se tiene el cĂĄlculo de la desviaciĂłn estĂĄndar de dichos datos.

đ?œŽ=√

∑6đ?‘–=1(đ?‘Ľđ?‘– − 3.5)2 = 1.707825│ 6

Ejemplo - Cuando un foco se selecciona al azar de una caja que contiene un foco de 40 watts, uno de 60, uno de 75 y uno de 100, cada elemento del espacio muestral es S={40, 60, 75, 100} ocurre con una probabilidad de Âź, por lo tanto, se tiene una distribuciĂłn uniforme con:

f(x;4) = Âź,

x = 40, 60, 75, 100

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DistribuciĂłn Bernuolli Consiste en realizar un experimento aleatorio con n pruebas repetidas, y lo que se busca observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea asĂ­ (ĂŠxito) y q=1-p el que no lo sea, por lo tanto lo que se considera el fracaso. DefiniciĂłn Una variable aleatoria X tiene una distribuciĂłn Bernuolli, y se conoce como variable aleatoria de Bernuolli, si y sĂłlo si su distribuciĂłn de probabilidad estĂĄ dada por la siguiente expresiĂłn:

đ??š (đ?‘Ľ; đ?‘?) = đ?‘? đ?‘Ľ (1 − đ?‘?)1−đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ľ = 0,1 SegĂşn Leonard J. Kazmier en un proceso de Bernoulli es un proceso de muestreo en el que: - En cada ensayo u observaciĂłn son posibles solo dos resultados mutuamente excluyentes. Por convecciĂłn, estos resultados se llaman ĂŠxito y fracaso. SabrĂ­a usted definir ÂżquĂŠ son eventos mutuamente excluyentes? Si no lo recuerda busque ayuda en 35

internet, por ejemplo, vea este video que se le presenta a continuación: https://www.youtube.com/watch?v=kYbUV__nU7Q - Los resultados de la serie de ensayos, u observaciones, constituyen ensayos independientes.

Ejemplo Supóngase que el 10% de rollos de tela que se fabrican en una compañía textil tienen varios tipos de defectos. Entonces, existe una probabilidad de 0.10 de que un rollo de tela que provenga de ese proceso fabril esté defectuoso. Si se tiene un lote de producción de 100 rollos de tela:

1. ¿Cuántos de esos rollos se espera estén defectuosos? 2. ¿Cuál es la variabilidad promedio (desviación estándar) del número de rollos de tela que se espera estén defectuosos?

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Ejemplo solución 1. E(Xj) = Esperanza matemática de que se encuentren rollos defectuosos. E(Xj) = ∑ Xj Pj E(Y) = P + P + …+ Pj E(Y) = P(1+1+1…+1); p es la probabilidad de éxito de encontrar rollos defectuosos. E(Y) = 100 P ;

E(Y) = 100 * 0,10 E (Y) = 10

Aquí se puede concluir con el cálculo de la Esperanza Matemática que es el resultado del producto de n*p. 2. V(Y) = V(X1) + V(X2) + V(X3) + … + V(X100) V(Y) = P*Q + P*Q + P*Q + … + P*Q V(Y) = 100 * 0,10 *0,9 V(Y) = σ2 = 9

Se puede concluir que el número estimado de rollos de tela con defectos que se espera encontrar en el lote tiene una variabilidad promedio de 3 rollos de tela, ya que es la raíz cuadrada de la varianza.

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DistribuciĂłn binomial (n, p) Proporciona la probabilidad de observar x ĂŠxitos en una secuencia de n experimentos de Bernoulli independientes con una probabilidad constante p de ĂŠxito (muestreo con reemplazo). La expresiĂłn de la DistribuciĂłn binomial y su funciĂłn de cuantĂ­a son respectivamente:

đ?‘‹ âˆź đ??ľ(đ?‘›, đ?‘?) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = (đ?‘›đ?‘Ľ)đ?‘? đ?‘Ľ (1 − đ?‘?)đ?‘›âˆ’đ?‘Ľ

La esperanza matemĂĄtica y la varianza para ĂŠsta distribuciĂłn se calcula de la siguiente manera.

đ?”ź[đ?‘‹] = đ?‘›đ?‘? đ?•?ar[đ?‘‹] = đ?‘›đ?‘?(1 − đ?‘?)

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Fig 6. Distribuci贸n binomial

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- Un proceso produce 5% de piezas defectuosas. Sea X el nĂşmero de piezas defectuosas en las siguientes 20 piezas producidas.

- En la prueba final de artĂ­culos electrĂłnicos se tiene un historial de que 1% tiene alguna falla que es necesario reparar antes de liberarlo. Sea X la cantidad de artĂ­culos con fallas en los siguientes 50 inspeccionados.

DistribuciĂłn Binomial Una variable aleatoria X tiene una distribuciĂłn Binomial, y se conoce como variable aleatoria de binomial, si y sĂłlo si su distribuciĂłn de probabilidad estĂĄ dada por:

đ?‘?(đ?‘Ľ; đ?‘›, đ?‘?) = (đ?‘›đ?‘Ľ)đ?‘? đ?‘Ľ (1 − đ?‘?)đ?‘›âˆ’đ?‘Ľ

para x=0,1,2,‌,n (6)

La media y la varianza de la distribuciĂłn binomial b(x;n,p) son đ?œ‡ = đ?‘›đ?‘?

y

đ?œŽ 2 = đ?‘›đ?‘?đ?‘ž 40

Se le refuerza este conocimiento porque esta distribución es muy importante no solo como distribución discreta, sino que tiene mucha aplicabilidad para aproximar distribuciones dadas ciertas características en particular. Para ejemplificar lo que nos presenta la Distribución Binomial veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo Obtenga la probabilidad de que 7 de 10 personas se recuperen de una enfermedad tropical, suponiendo que la probabilidad de recuperación es de 0.80. Recuerde siempre hacer el planteamiento del problema, incluso como sugerencia haga un dibujo de la situación que le están planteando. Usted tiene claro qué es 10 en este problema, y qué representa 7.

41

ÂżEsa probabilidad de recuperaciĂłn la entendemos bien como la probabilidad de ĂŠxito? Si no lo tiene claro por favor repase un poco mĂĄs el concepto y la materia.

Al sustituĂ­r x=7, n=10 y p=0.80 en la fĂłrmula 6 de la distribuciĂłn binomial se obtiene đ?‘?(7; 10,0.80) = (

10 ) (0.8)7 (0.20)3 = 120 ∗ 0.2097152 ∗ 0.008 = 0.201326 7

Este resultado expresa la probabilidad de que estrictamente 7 individuos se recuperen. No expresa probabilidades acumuladas. Si se deseara saber la probabilidad de que como mĂĄximo 7 individuos se recuperen de la enfermedad se deben sumar las probabilidades desde x=0 hasta x=7 y asĂ­ obtendrĂ­a ese rango de 0 a 7. Por favor intĂŠntelo y verĂĄ que no es complicado.

Otro ejemplo que debe revisar es el siguiente.

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Ejemplo Una mĂĄquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sĂłlo haya una defectuosa.

Si usted analiza la informaciĂłn que le dan se tiene una probabilidad de ĂŠxito, se tiene un n minĂşscula y nos presentan una incĂłgnita en la variable x que para este caso es 1 Âżcorrecto?, entonces se trata de una distribuciĂłn binomial de parĂĄmetros b(50, 0.007) y debemos calcular la probabilidad p(x=1).

đ?‘ƒ(đ?‘Ľ = 1) = (

50 ) 0.0071 − 0.99349 = 0.248 1

R/ La probabilidad de que solo obtenga una pieza defectuosa es un 24.8%. Uno mĂĄs para que se refuerce la materia. Recuerde trate incluso de hacerlo en minitab y verĂĄ que fĂĄcil.

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Ejemplo La probabilidad de ĂŠxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcular la probabilidad de que una vez administrada la vacuna a 15 pacientes: 1. Ninguno sufra la enfermedad. 2. Todos sufran la enfermedad. 3. Dos de ellos contraigan la enfermedad.

15 ) 0.7215 ∗ 0.280 = 0.00724 15 15 b. đ?‘ƒ(đ?‘Ľ = 15) = ( ) 0.720 ∗ 0.2815 = 5.097 ∗ 10−9 0 15 c. đ?‘ƒ(đ?‘Ľ = 13) = ( ) 0.7213 ∗ 0.282 = 0.11503 13 a. đ?‘ƒ(đ?‘Ľ = 15) = (

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Ejemplo En un área de la ciudad se da como razón el 75% de los robos por la necesidad de comprar estupefacientes. Encuentre la probabilidad de que los 5 próximos asaltos. a) Exactamente 2 deberían a la necesidad de dinero para comprar drogas. R/ La probabilidad de que de los 5 próximos asaltos, 2 se deban a la necesidad de dinero para comprar drogas es de 8.76%

b) Cuando mucho 3 se deberían a la misma razón indicada. R/ La probabilidad de que de los 5 próximos asaltos, 3 se deban a la misma razón indicada es de 36.72%

c) Exactamente 2 deberían a la necesidad de dinero para comprar drogas. R/ La probabilidad de que de los 5 próximos asaltos, 2 se deban a la necesidad de dinero para comprar drogas es de 8.76%

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Como pudo observar la Distribución Binomial no es cosa del otro mundo, y es una distribución muy importante en la aplicación de la ingeniería.

A continuación la Distribución Multinomial no solo se parece en el nombre con la binomial, sino que como podrá ver tiene una particularidad, continúe con el material y lo descubrirá

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DistribuciĂłn Multinomial - Si la binomial puede tener mĂĄs de dos resultados entonces se convierte en multinomial

- Puede presentarse en un proceso que se necesite hacer una clasificaciĂłn de un producto fabricado como ligero, pesado o aceptable y el registro de los accidentes en cierto crucero de acuerdo con el dĂ­a de las semana son experimentos multinomiales. Extraer una carta de una baraja con reemplazo tambiĂŠn es un experimento multinomial si los cuatro palos o las cuatro cartas semejantes son los resultados de interĂŠs.

đ?‘“(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘˜ ; đ?‘?1 , đ?‘?2 , ‌ , đ?‘?đ?‘˜ , đ?‘›) = (

đ?‘› đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ ) đ?‘?1 1 đ?‘?2 2 ‌ đ?‘?đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘˜

47

Ejemplo Multinomial Si se lanza 6 veces un par de dados ¿cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11, dos veces, un par igual una vez y cualquier otra combinación 3 veces? - E1: Ocurre un 7 u 11 - E2: Ocurre un par igual - E3: No ocurre ni un par ni un total de 7 u 11 - P1= 2/9, P2= 1/6,

P3= 11/18

Los valores de las probabilidades se conservan constantes para los seis intentos. Cuando se utiliza la distribución multinomial con x1 = 2, x2 = 1 y x3= 3, se encuentra por fórmula la probabilidad requerida que es: f (2, 1, 3; 2/9, 1/6, 11/18, 6) = (6¦(2, 1, 3)) (2¦9)2 (1¦6)1 (11¦18)3 = 6!/2!1!3! 22/92 1/6 113/183 = 0,1127

48

Otra distribución importante entre las discretas es la Hipergeométrica. El nombre asusta pero sigue una dinámica parecida a las anteriores. En este caso se considera un elemento más dentro del planteamiento.

Distribución Hipergeométrica Es similar a la binomial en el sentido que interesa las observaciones que caen en una categoría particular. En binomial se requiere la independencia entre las pruebas, aquí el muestreo debe efectuarse con reemplazo una vez que el artículo se observe, también en la hipergeométrica no se requiere independencia y el muestreo se realiza sin reemplazo.

Fórmula Hipergeométrica La distribución de probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica X, el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n que se selecciona de N artículos de los que k se denominan éxito y N–k fracaso, es

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â„Ž(đ?‘Ľ; đ?‘ , đ?‘›, đ?‘˜) =

đ?‘ −đ?‘˜ (đ?‘˜ đ?‘Ľ)( đ?‘›âˆ’đ?‘Ľ )

(đ?‘ đ?‘›)

,

x=0,1,2,‌,n.

La media y la varianza de la distribuciĂłn hipergeomĂŠtrica h(x;N,n,k) son:

đ?œ‡=

đ?‘›đ?‘˜ đ?‘

y

đ?œŽ2 =

đ?‘ −đ?‘›

đ?‘˜

đ?‘˜

∙ đ?‘› ∙ đ?‘ (1 − đ?‘ ) đ?‘ −1

Ejemplo del Walpole Lotes de 40 componentes se denominan aceptables si no contienen mĂĄs de tres defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la selecciĂłn de cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que se encuentre exactamente uno defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el lote?

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Solución Si se utiliza la distribución hipergeométrica con n=5, N=40, k=3 y x=1 encontramos que la probabilidad de obtener uno defectuso es: ℎ(1; 40,5,3) =

(31)(37 ) 4 (40 ) 5

= 0.3011

Ejemplo Un usuario de envases de vidrio recibe estos de su proveedor en lotes de cuarenta y ocho (48), con la garantía de que no más de tres (3) están defectuosos. El usuario de estos envases tiene la siguiente política de aceptación del lote: toma una muestra de diez (10) envases del lote, si más de uno está defectuoso, rechaza el lote. Pág. 130 NRMM. Encuentre:

a. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote inspeccionado? R/ Existe una probabilidad de 89,41% de aceptar el lote inspeccionado.

b. Si en cierto periodo se inspecciona un total de 300 lotes ¿Cuántos lotes se esperaría que sean rechazados? R/ 32 lotes 51

c. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de envases defectuosos en la muestra. R/ 0 – 0,4877, 1 – 0,4046, 2- 0,0988, 3 – 0,0069

Ejemplo Sí se repiten siete (7) cartas de un paquete común de cincuenta y dos (52) cartas. Encuentre:

a. ¿Cuál es probabilidad de que exactamente 2 de ellas sean mayores, es decir algunas figuras? R/La probabilidad de que exactamente 2 de ellas sea mayores es de 0.324615

b. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea reina? R/ La probabilidad de que al menos una sea reina es de o.4496

Y llegamos a Poisson, que maravilla! Esta distribución tiene a parte de un nombre exótico por su pronunciación, la particularidad de ser muy utilizada cuando se estudian por ejemplo llegadas en un determinado 52

intervalo de tiempo. La variable tiempo no se comporta normalmente pero su comportamiento es estudiando en el campo de la investigaciĂłn de las operaciones por ejemplo. Veamos el material.

DistribuciĂłn de Poisson Expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado nĂşmero de eventos durante cierto periodo de tiempo.

đ?‘“(đ?‘˜; đ?œ†) =

đ?‘’ −đ?œ† đ?œ†đ?‘˜ đ?‘˜!

,

đ??¸ (đ?‘‹) = đ?œ†

đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x;(đ?‘‹) = đ?œ†

k : nĂşmero de ocurrencias del evento (la funciĂłn nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) Îť: parĂĄmetro positivo que representa el nĂşmero de veces que se espera que ocurra el fenĂłmeno durante un intervalo dado

e: base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...) 53

Ejemplo: en una empresa se reciben en promedio 5 quejas diarias por mal servicio. Si el número de quejas por día se distribuye Poisson con λ = 5, ¿cuál es la probabilidad de no recibir quejas en un día?

Fig 7. Distribución de Poisson.

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Los experimentos Poisson son aquellos experimentos que dan resultados a la variable aleatoria X en un intervalo o en una región específica. El intervalo puede ser de cualquier longitud, desde un minuto hasta un año. Se semeja a Binomial pero se diferencia en que se usa cuando el número “n” de repeticiones del experimento tiende a ser muy grande y la probabilidad de obtener un éxito en cada prueba tiende a ser muy pequeño.

Como la distribución binomial, la distribución de Poisson se utiliza para control de calidad, aseguramiento de calidad y muestreo de aceptación es muy popular entre los estadísticos e ingenieros de proceso. Además, ciertas distribuciones continuas importantes que se usan en la teoría de confiabilidad y teoría de colas dependen del proceso de Poisson.

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FĂłrmula DistribuciĂłn de Poisson La distribuciĂłn de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, que representa el nĂşmero de resultados que ocurren en un intervalo dado o regiĂłn especĂ­fica que se denota con t, es

đ?‘?(đ?‘Ľ; đ?œ†đ?‘Ą) =

đ?‘’ −đ?œ†đ?‘Ą (đ?œ†đ?‘Ą)đ?‘Ľ đ?‘Ľ!

x=0,1,2,‌,

donde Îť es el nĂşmero promedio de resultados por unidad de tiempo o regiĂłn y e=2.71828.... La media y la varianza de la distribuciĂłn de Poisson đ?‘?(đ?‘Ľ; đ?œ†đ?‘Ą) tienen el valor đ?œ†đ?‘Ą.

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Distribución de Poisson La distribución de Poisson se define por un parámetro: lambda. Este parámetro es igual a la media y la varianza. A medida que lambda aumente, la distribución de Poisson se acercará a una distribución normal.

Una variable sigue una distribución de Poisson si cumple las siguientes condiciones: - Los datos son conteos de eventos (enteros no negativos, sin límite superior) - Todos los eventos son independientes - La tasa promedio no cambia durante el período de interés

Ejemplos de Poisson Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador en un milisegundo es cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de que seis partículas entren al contador en un milisegundo dado?

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SoluciĂłn Al usar la distribuciĂłn de Poisson con đ?‘Ľ = 6 y đ?œ†đ?‘Ą = 4, encontramos en la tabla A.2 que 6

5

đ?‘Ľ=0

đ?‘Ľ=0

đ?‘’ −4 46 đ?‘?(6; 4) = = ∑ đ?‘?(đ?‘Ľ; 4) − ∑ đ?‘?(đ?‘Ľ; 4) = 0.8893 − 0.7851 = 0.1042 6!

Ejemplo Supóngase el Instituto Nacional de Seguros (INS) ha determinado que el 0,04% de las personas de Costa Rica muere cada aùo por causa de accidentes de trånsito. Supóngase tambiÊn que el total de personas que el INS tiene actualmente aseguradas contra ese tipo de accidente son veinte mil (20000). Se necesita calcular la probabilidad de que el INS tenga que hacer efectivas a lo mås cinco (5) pólizas de seguro contra accidentes de trånsito en un aùo. Påg. 141 Natalia Robles – Marcos Moya.

58

Ejemplo Una investigación a nivel nacional, llevado a cabo por la Universidad de Michigan, de 1700 estudiantes de último año. Revela que casi el 70% desaprueba las medidas para el control del consumo de marihuana, de acuerdo con un reporte de la revista Parade, de setiembre 14 de 1980. Sí de 18 de estos estudiantes se seleccionan al azar y se les pregunta su opinión. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10, pero menos de 13, desaprueban esas medidas?

R/ La probabilidad de que sean más de 10, pero menos de 13 es de 60.77%.

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Ejemplo En promedio, en una cierta intersecci贸n ocurren 3 accidentes viales por mes. 驴Cu谩l es la probabilidad de que en un determinado mes en esta intersecci贸n?

a) Ocurra exactamente 5 accidentes R/ La probabilidad es de 0.1008

b) Ocurran menos de 3 accidentes R/ La probabilidad es de 0.4232

c) Ocurran al menos 2 accidentes R/ 0.8009

60

Resumen importante

Fig 8. Resumen

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Referencias Moya, M. y Robles,N. (2010). Probabilidad y Estad铆stica: Un Enfoque te贸rico y pr谩ctico. Cartago: Tecnol贸gico de Costa Rica.

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