Sesión 9

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Teorema de Límite central Curso Probabilidad y Estadística I Marco Alvarado Peña

Sesión 9

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Objetivos de Aprendizaje 1. Conocer los principales conceptos de Distribuciones Continuas. 2. Seleccionar la distribución que mejor se adecúe el análisis que se requiera. 3. Entender la relación del Teorema del Límite central y la Distribución Normal

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Índice Teorema de Límite central…………………………………. 1 Objetivos de Aprendizaje……………………………….. 2 Algunas aproximaciones………………………………... 5 Aproximación de la Binomial por la Normal………… 7 Distribución binomial……………………………………. 7 Parámetros………………………………………………. 7 Aproximación de Binomial por medio de la Normal.. 9 Aproximación de Binomial por medio de la Normal(corrección)………………………………………. 10 Ejemplo 1………………………………………………… 11 Ejemplo 2………………………………………………… 13 Ejemplo 3………………………………………………… 14 Ejemplo 4………………………………………………… 15 Aproximación Poisson a la binomial…………………. 18 Ejemplo…………………………………………………… 19 Aproximación de la Binomial por Poisson…………... 20 Ejemplo 1 de aproximación de la Binomial por Poisson………………………………………………. 22 3

Aproximación de Poisson por Binomial………………23 Ejemplo 5.18……………………………………………... 24 Solución…………………………………………………... 24 Aproximación binomial a la Hipergeométrica………. 25 Ejemplo 1………………………………………………… 26 Ejemplo 2………………………………………………… 27 Referencias………………………………………………… 28

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Algunas aproximaciones A menudo es útil aproximar una distribución a otra, en particular cuando la aproximación se puede manejar con más facilidad. Las siguientes serán aproximaciones de las distribuciones más utilizadas.

Aproximación es una representación inexacta que, sin embargo, es suficientemente fiel como para ser útil.

Para calcular probabilidades de distribuciones discretas con números grandes, es preciso sumar muchos términos, lo cual puede resultar poco práctico. Sin embargo las características de algunas distribuciones, como la binomial y la Poisson, permiten muy buenas aproximaciones mediante la distribución normal. Y como la distribución normal se puede obtener de una tabla, el problema de sumar una gran cantidad de términos queda reducido a buscar uno o dos valores en una tabla.

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A continuaci贸n se presentan los m茅todos y justificaciones de c贸mo efectuar tales aproximaciones.

Fig 1. Aproximaci贸n de la Binomial

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AproximaciĂłn de la Binomial por la Normal DistribuciĂłn binomial n: nĂşmero de veces que se realiza el experimento B(n,p)

⇒

aleatorio. p: probabilidad de ĂŠxito. q: probabilidad de fracaso q=1-p

ParĂĄmetros Media Âľ = n ∙ p DesviaciĂłn tĂ­pica đ?œŽ = √đ?‘› ∙ đ?‘? ∙ đ?‘ž

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Cuando n es grande y p es constante el comportamiento de una distribuciĂłn binominal B(n,p) es aproximadamente igual a una distribuciĂłn normal de media Âľ = n ∙ p y deviaciĂłn tĂ­pica đ?œŽ = √đ?‘› ∙ đ?‘? ∙ đ?‘ž Suele considerarse que la aproximaciones buena cuando đ?‘› ∙ đ?‘? ≼ 5 y đ?‘› ∙ đ?‘ž ≼ 5 đ??ľ(đ?‘›, đ?‘?) ⇒ đ?‘ (đ?‘› ∙ đ?‘?, √đ?‘› ∙ đ?‘? ∙ đ?‘ž)

La distribuciĂłn normal es buena aproximaciĂłn si la distribuciĂłn discreta toma la forma de campana simĂŠtrica.

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AproximaciĂłn de Binomial por medio de la Normal Si X es una variable distribuida binominalmente, con đ?‘› ≼ 10 y p cercano a 0,5 entonces la variable aleatoria đ?‘Œ =

đ?‘‹âˆ’đ?‘›đ?‘? √đ?‘›âˆ™đ?‘?(1−đ?‘?)

tiene una

distribución aproximadamente normal eståndar. Esto es vålido porque si p es cercano a 0,5 y n es lo suficientemente grande (generalmente se pide n ≼ 10) entonces la forma de distribución binomial, a pesar de ser discreta, se parece mucho a la de una distribución normal. El cambio de variable Y no es otra cosa que la estandarización de una variable aproximadamente normal (ya que n.p es la medida de X y que el denominador es el desvío de X).

Fig 2. Variable Binomial

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Aproximación de Binomial por medio de la Normal(corrección) Esta propiedad nos permite utilizar una variable normal estándar, que se encuentra tabulada, para ahorrarnos la engorrosa tarea de sumar una cantidad elevada de términos de probabilidades binomiales, especialmente cuando n es muy grande y la cantidad de éxitos esta lejos de 0 y lejos de n, con lo cual la sumatoria tiene muchos términos aunque se intente restar del 1 en vez de sumar.

Queda por hacer una observación antes de poder utilizar esta propiedad. Al estar aproximando una distribución discreta por una continua, lo que se hace es tomar intervalos de una continua, que se representan los valores puntuales de la discreta.

Por ejemplo, consideraremos que la discreta vale 43, si la continua tiene cualquier valor entre 42,5 y 43,5. Entonces cuando la probabilidad de la discreta este entre 8 y 12, esta probabilidad es distinta de que la continua este entre 8 y 12 sino se encuentra entre 7,5 y 12,5. Considerar esto se conoce como “corrección por continuidad”. 10

Ejemplo 1 El 2% de los tornillos fabricados por una mĂĄquina presentan defectos. Si tenemos un lote de 2000 tornillos ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que haya menos de 50 defectuosos?

a. Es una distribuciĂłn binomial, los tornillos sĂłlo pueden ser defectuosos o no defectuosos.

b. Datos: p=0,02 q=1 -p=0,98 n=2000

⇒B(n,p) ⇒B(2000, 0,02)

c. La n es grande, podemos hacer la aproximaciĂłn de binomial a la normal. Comprobamos que đ?‘› ∙ đ?‘? ≼ 5 ⇒ 2000 ∙ 0,02 ≼ 40 y đ?‘› ∙ đ?‘ž ≼ 5 ⇒ 2000 ∙ 0,98 ≼ 1960

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d. Calculamos la media y la desviaciĂłn tĂ­pica de la distribuciĂłn normal đ?œ‡ = đ?‘› ∙ đ?‘? ⇒ đ?œ‡ = 2000 ∙ 0,02= 40 đ?œŽ = √đ?‘› ∙ đ?‘? ∙ đ?‘ž ⇒ đ?œŽ = √2000 ∙ 0,02 ∙ 9,98 = 6,26 e. CorrecciĂłn x es N(40; 6,26) ⇒ tipificamos z es N(0,1) đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ B(2000; 0,02) ⇒ CorrecciĂłn x es N(40; 6,26) ⇒ tipificamos z es N(0,1) đ?‘?(đ?‘Ľ ≤ 49,5) = đ?‘? (đ?‘§ ≤

49,5 − 40 ) = đ?‘?(đ?‘§ ≤ 1,52) = 0,9357 6,26

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Ejemplo 2 Se lanza una moneda al aire 400 veces. Calcular la probabilidad de obtener un nĂşmero de caras comprendido entre 180 y 210, ambos inclusive. a. Es una distribuciĂłn binomial, de parĂĄmetros n=400, p=0,5 y q=0,5. B(400, 0,5)

b. Calculamos la media y la desviaciĂłn tĂ­pica de la distribuciĂłn binomial: đ?œ‡ = đ?‘› ∙ đ?‘? ⇒ đ?œ‡ = 400 ∙ 0,5 = 200 đ?œŽ = √đ?‘› ∙ đ?‘? ∙ đ?‘ž ⇒ đ?œŽ = √400 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 10 đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ B(400; 0,5) ⇒ CorrecciĂłn x es N(200; 10) ⇒ Tipificamos z es N(0,1) đ?‘?(180 ≤ đ?‘Ľ ≤ 210) = đ?‘?(179,5 ≤ đ?‘Ľ ≤ 210,5) 179,5 − 200 210,5 − 200 ) = đ?‘?( ≤đ?‘§â‰¤ |10 10 = đ?‘?(−2,05 ≤ đ?‘§ ≤ 1,05) = đ?‘?(đ?‘§ ≤ 1,05) − đ?‘?(đ?‘§ ≤ −2,05) = 0,8531 − 0,0202 = 0,8329 đ?‘?(đ?‘§ ≤ 1,05) = 0,8531 đ?‘?(đ?‘§ ≤ −2,05) = đ?‘?(đ?‘§ ≼ 2,05) = 1 − đ?‘?(đ?‘§ ≤ 2,05) = 1 − 0,9798 = 0,0202

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Ejemplo 3 Un tirador acierta en el blanco el 70% de sus tiros. Si el tirador participa en una competiciĂłn y tira 25 veces. ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que acierte mĂĄs de 10 tiros?.

Es una distribuciĂłn binomial đ??ľ(25; 0,7), đ?‘› = 25 đ?‘Ś đ?‘ž = 1 − đ?‘? = 1 − 0,7 = 0,3 Comprobamos que đ?‘› ∙ đ?‘? ≼ 5 ⇒ 25 ∙ 0,7 ≼ 17,5 đ?‘Ś đ?‘› ∙ đ?‘ž ≼ 5 ⇒ 25 ∙ 0,3 ≼ 7,5 - Calculamos la media y la desviaciĂłn tĂ­pica de la distribuciĂłn normal. đ?œ‡ = đ?‘› ∙ đ?‘? ⇒ đ?œ‡ = 25 ∙ 0,7 ≼ 17,5 đ?œŽ = √đ?‘› ∙ đ?‘? ∙ đ?‘ž ⇒ đ?œŽ = √250,70,3 = 2,29

-

đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ B(25; 0,7) ⇒ CorrecciĂłn x es N(17,5; 2,29) ⇒ Tipificamos z es N(0,1)

đ?‘?(đ?‘Ľ > 10) = đ?‘?(đ?‘Ľ ≼ 11) = đ?‘?(đ?‘Ľ ≼ 10,5) = đ?‘? (đ?‘§ ≼

10,5 − 17,5 ) = đ?‘?(đ?‘§ ≼ −3,06) 2,29

= đ?‘?(đ?‘§ ≤ 3,06) = 0,9998

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Ejemplo 4 Se tiene una variable aleatoria X que responde a una distribuciĂłn binomial de n= 50 y p = 0.4. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que X sea menor a 20? 19

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đ?‘› PodrĂ­amos hacer đ?‘ƒ(đ?‘‹ < 20) = ∑ đ?‘ƒ(đ?‘‹ = đ?‘Ľ) = ∑ ( ) đ?‘?3 (1 − đ?‘?)đ?‘›âˆ’đ?‘Ľ . đ?‘Ľ X=0 X=0

Esto demandarĂ­a sumar 20 tĂŠrminos y arroja el resultado 0,44648 Sin embargo, y a menos que se necesite el resultado exacto, podemos usar la aproximaciĂłn normal para resolver el problema. Estamos buscando đ?‘ƒ(đ?‘‹ < 20), lo cual es igual a: đ?‘ƒ(0 ≤ đ?‘‹ ≤ 19)

Hacemos la correcciĂłn por continuidad: đ?‘ƒ(0 ≤ đ?‘‹ ≤ 19) ≅ đ?‘ƒ(−0,5 ≤ đ?‘‹ ≤ 19,5)

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Tomamos el cambio de variables: đ?‘Œ=

đ?‘‹ − đ?‘›đ?‘? √đ?‘›đ?‘?(1 − đ?‘?)

con lo cual Y tendrĂĄ una distribuciĂłn aproximadamente normal estĂĄndar. Dejamos X en funciĂłn de Y: đ?‘‹ = √đ?‘›đ?‘?(1 − đ?‘?)đ?‘Œ + đ?‘›đ?‘?

Luego reemplazamos X por su definiciĂłn en terminos de Y en la probabilidad que estamos buscando: đ?‘ƒ(−0,5 ≤ đ?‘‹ ≤ 19,5) = đ?‘ƒ (

−0,5 − đ?‘›đ?‘? √đ?‘›đ?‘?(1 − đ?‘?)

≤đ?‘Œâ‰¤

19,5 − đ?‘›đ?‘? √đ?‘›đ?‘?(1 − đ?‘?)

)

= đ?‘ƒ(−5,92 ≤ đ?‘Œ ≤ −0,14)

Lo cual, por propiedades de la funciĂłn de distribuciĂłn acumulada queda: đ?‘ƒ(−5,92 ≤ đ?‘Œ ≤ −0,14) = đ??šđ?‘Ł (−0,14) − đ??šđ?‘Ł (−5,92)

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Como estamos considerando a Y una normal estĂĄndar, entonces: đ??šđ?‘Ł (−0,14) − đ??šđ?‘Ł (−5,92) = ÎŚ(−0,14) − ÎŚ(−5,92) = (1 − ÎŚ(0,14)) − (1 − ÎŚ(5,92)) = ÎŚ(5,92) − ÎŚ(0,14) = 1 − 0,55567 = 0,44433

Observemos que el resultado aproximado 0,44433 es prĂĄcticamente igual al resultado exacto 0,44648

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Aproximación Poisson a la binomial Otra de las aproximaciones es el caso de la aproximación de Poisson a la binomial, la aproximación es satisfactoria cuando n es grande y pequeño. Se utiliza esta aproximación λ= np. En general, p debe ser menor que 0.1 para aplicar la aproximación. La realcion entre p y n es inversamente proporcional, por tanto, cuando menor sea la p y mayor sera la n, se mejorara la aproximación.

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Ejemplo La aproximaciĂłn de un remache particular en la superficie de un aviĂłn nuevo ĂŠste defectuoso es 0.001. Hay 4000 remaches en el ala. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que se instalen no mas de 6 remaches defectuosos? 6

đ?‘ƒ(đ?‘Ľ ≤ 6) = ∑ ( đ?‘Ľ=0

4000 ) (0.001)đ?‘Ľ (0.999)4000−đ?‘Ľ = 0.8894 đ?‘Ľ

Al emplear la aproximaciĂłn de Poisson, đ?œ† = 4000(0.001) = 4đ?‘Ś ∑6đ?‘Ľ=0 đ?œ€ −4 (4)đ?‘Ľ đ?‘ƒ(đ?‘Ľ ≤ 6) = = 0.889 đ?‘Ľ!

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Aproximación de la Binomial por Poisson Una variable aleatoria sigue una distribución binomial B(n = 1000; p = 0,003). Mediante la aproximación por una distribución de POISSON, calcular: a) P(X = 2) b) P(X ≤ 3) c) P(X ≥ 4)

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La probabilidad de acertar un blanco en movimiento por cierta arma de fuego es 0,001 en cada disparo. Expresar la probabilidad de que en 5000 disparos acierte al menos dos veces.

a) Mediante la aproximaciĂłn por una distribuciĂłn de POISSON b) Aproximando mediante una POISSON con đ?œ† = đ?‘›đ?‘? = 5, se tiene: đ?‘ƒ(đ?‘Ľ ≼ 2) = 1 − đ?‘ƒ(đ?‘‹ ≤ 1) = 1 − 0,04042768 = 0,95957232

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Ejemplo 1 de aproximaciĂłn de la Binomial por Poisson En un banco, la probabilidad de recibir un cheque sin fondos es del 4%. Si durante un dĂ­a se reciben 100 cheques, ÂżCuĂĄl es la probabilidad de encontrar mĂĄs de cinco cheques? đ?‘‹~đ??ľđ?‘–đ?‘›đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘Žđ?‘™(đ?‘› = 100đ?‘? = 0.04) đ?‘› > 20 đ?‘Ś đ?‘? < 0.05

entonces

đ?‘ƒ ≈ đ?‘ƒđ?‘œđ?‘–đ?‘ đ?‘œđ?‘›(đ?œ† = 4) đ?‘ƒ(đ?‘‹ > 5) = 1 − đ??š(5) = 1 − 0,785 = 0.215

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AproximaciĂłn de Poisson por Binomial

Teorema 5.6 Sea X una variable aleatoria binomial con distribuciĂłn de probabilidad đ?‘?(đ?‘Ľ, đ?‘›, đ?‘?). Cuando đ?‘› → đ?‘Ľ, đ?‘? → 0, đ?‘Ś đ?œ‡ = đ?‘›đ?‘? permanece constante.

đ?‘?(đ?‘Ľ, đ?‘›, đ?‘?) → đ?‘?(đ?‘Ľ, đ?œ‡)

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Ejemplo 5.18 En un proceso de fabricaciĂłn donde se manufacturan productos de vidrio ocurren defectos o burbujas, lo que deja ocasionalmente a la pieza indeseable para su venta. Se sabe que en promedio uno de cada 1000 de estos artĂ­culos que se producen tiene una o mĂĄs burbujas. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 8000 tenga menos de siete artĂ­culos con burbujas?

SoluciĂłn Este es en esencia un experimento binomial con n=8000 y p=0.001. Como p es muy cercana a cero y n es bastante grande, haremos la aproximaciĂłn con la distribuciĂłn de Poisson utilizando đ?œ‡ = (8000)(0,001) = 8

De aquĂ­ si X representa el nĂşmero de burbujas tenemos. 6

6

đ?‘ƒ(đ?‘‹ < 7) = ∑ đ?‘?(đ?‘Ľ; 8000,0.001) = ∑ đ?‘?(đ?‘Ľ; 8) = 0.3134 đ?‘‹=0

đ?‘‹=0

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Aproximación binomial a la Hipergeométrica Si n es relativamente pequeño respecto a N, la probabilidad para cada intento cambia sólo ligeramente. De aquí que esencialmente se tiene un experimento binomial pero que puede aproximarse a la distribución hipergeométrica utilizando la distribución binomial con p = k/N, cuanto más pequeña sea la razón n/K, tanto mejor será la aproximación.

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Ejemplo 1 Un lote de producción de 200 unidades tiene 8 defectuosas. Se selecciona una muestra aleatoria de 10 unidades, y deseamos encontrar la probabilidad de que una muestra contenga exactamente 1 defectuosa. 192 8 )( ) 9 1 = 0,28783469 𝑝 (𝑥 = 1) = 200 ( ) 10 (

Puesto que

𝑛 𝑁

=

10 200

= 0.05 es pequeño, sea 𝑝 =

8 200

= 0.04 y al

emplear la aproximación binomial se obtendría.

𝑝(𝑥 = 1) = (

10 ) (0.04)1 (0.96)9 esto es aproximadamente 0.28 1

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Ejemplo 2 Un fabricante de neumĂĄticos para automĂłvil reporta de que en un embarque de 5000 neumĂĄticos enviados a un distribuidor local, 1000 estĂĄn ligeramente manchados. Si alguien compra al distribuidor 10 de estos neumĂĄticos aleatoriamente, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que exactamente 3 estĂŠn manchados?

SoluciĂłn Como N=5000 es grande en relaciĂłn con la muestra tamaĂąo n=10, aproximaremos la posibilidad que se desea con el uso de la distribuciĂłn binomial. La probabilidad de obtener un neumĂĄtico manchado es .2. Por tanto, la probabilidad de obte4ner exactamente tres manchados es â„Ž(3; 5000,10,1000) ≈ đ?‘?(3,10,02)

Algunas distribuciones de probabilidad discreta: 3

2

= ∑ đ?‘?(đ?‘Ľ; 10,0.2) − ∑ đ?‘?(đ?‘Ľ; 10,0.2) đ?‘Ľ=0

đ?‘Ľ=0

= 0.8791 − 0.6778 = 0.2013. 27

Referencias Moya, M. y Robles,N. (2010). Probabilidad y Estad铆stica: Un Enfoque te贸rico y pr谩ctico. Cartago: Tecnol贸gico de Costa Rica.

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