Arkusze maturalne z matematyki – zakres podstawowy by Wydawnictwo Podkowa

Polecamy książki pomocne w przygotowaniach do matury (wybrane fragmenty książek do obejrzenia na stronie www.podkowa.gda.pl) W książce „Tablice matematyczne” zawarte są wiadomości z zakresu matematyki ze szkoły podstawowej, gimnazjum i szkoły ponadgimnazjalnej. Książka ta zapewnia szybki dostęp do potrzebnych wzorów, definicji i twierdzeń. Książki „Matura z matematyki w roku 2015, 2016, ... – zakres podstawowy” oraz „Matura z matematyki w roku 2015, 2016, ... – zakres rozszerzony” są zbiorami zadań ilustrujących wszystkie wymagania z matematyki na poziomie podstawowym albo rozszerzonym zawarte w najnowszej podstawie programowej z uwzględnieniem formy egzaminu końcowego. Konstrukcja oraz treść zadań i ćwiczeń są zgodne z zakresem podstawowym podstawy programowej, a dobór tekstów sprawdzających czytanie ze zrozumieniem i tekstów do wypracowań uwzględnia założenia CKE. Książka podzielona jest na trzy części, a każda z nich na rozdziały. Po każdej części znajdują się odpowiedzi. Książka „Matura z biologii w roku 2015, 2016, ... – zbiór zadań” zawiera zadania otwarte i różnego rodzaju zadania zamknięte ilustrujące wszystkie wymagania z biologii zawarte w podstawie programowej – zakres kształcenia rozszerzony.

Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-460 Gdańsk 6 tel. 602 211 526 dział zamówień i reklamacji tel./fax 585 208 745 pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl

ISBN 978-83-65120-93-9

M A T E M A T Y K A

Alicja Cewe

Alina Magryś-Walczak

Halina Nahorska

Przykładowe

ARKUSZE MATURALNE

z matematyki

MATURA MATURA 2016,2016 2017... zakres podstawowy

licea ogólnokształcące technika

Zgodne z najnowszą podstawą programową

Alicja Cewe

Alina Magryś-Walczak

Halina Nahorska

Przykładowe

ARKUSZE MATURALNE

z matematyki

MATURA 2017, 2018... zakres podstawowy

Gdańsk

Autorki: Alicja Cewe, Alina Magryś-Walczak, Halina Nahorska, Opracowanie redakcyjne: Alicja Cewe, Alina Magryś-Walczak, Halina Nahorska, Recenzja merytoryczna: Maria Kruk Skład komputerowy: Jarosław Mach

ISBN 978-83-65120-93-9

WSTĘP W książce „Przykładowe ARKUSZE MATURALNE z matematyki – MATURA 2017, 2018, … zakres podstawowy” znajdują się propozycje 12 arkuszy zadań z zakresu podstawowego, sprawdzających wszystkie umiejętności zawarte w nowej podstawie programowej z dnia 27 sierpnia 2012 roku. Rozwiązując zadania dowolnego arkusza można uzyskać 50 punktów. W każdym arkuszu zadania podzielone są na trzy grupy:  zadania zamknięte,  zadania otwarte krótkiej odpowiedzi,  zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi. Do każdego z zadań zamkniętych podane są cztery odpowiedzi, z których tylko jedna jest poprawna. Zadania te punktowane są w skali 0 – 1. Wszystkie zadania krótkiej odpowiedzi punktowane są w skali 0 – 2, 0 – 3. Zadania rozszerzonej odpowiedzi wymagają od zdającego wykazania się umiejętnością logicznego rozumowania i dobierania własnych strategii matematycznych w nietypowych sytuacjach. Zadania te punktowane są w skali 0 – 4, 0 – 5 lub 0 – 6. Rozwiązanie tych arkuszy zapewni każdemu abiturientowi solidne przygotowanie się do egzaminu dojrzałości z matematyki na poziomie podstawowym. W książce podane są odpowiedzi i wskazówki do wszystkich zadań. Pozwalają one na sprawdzenie i ocenę przygotowania się do tego egzaminu. Życzymy powodzenia Autorki

Kilka wskazówek, których warto się „trzymać” rozwiązując zadania arkuszy maturalnych.  Przeczytaj uważnie treść zadania – każde słowo może być ważne i zawierać wskazówkę. Po przeczytaniu stwierdź: rozumiem / nie rozumiem. (Jeśli nie rozumiesz treści zadania – czytaj zadanie następne, do tego zadania wrócisz na końcu pracy.)  Jeśli zadanie jest „zamknięte” i rozumiesz jego treść, to wybierając właściwą odpowiedź „nie strzelaj”. Wybrać właściwą odpowiedź możesz poprzez:  eliminację odpowiedzi niemożliwych,  sprawdzenie,  wykonanie obliczeń.  Jeśli zadanie jest otwarte, nie sugeruj się liczbą punktów. Pamiętaj, że to co dla kogoś wydaje się trudne, dla Ciebie może być łatwe.  Jeśli w zadaniu jest polecenie „wykaż”, „udowodnij” lub „uzasadnij”, przeprowadź swoje rozumowanie tak, jakbyś chciał przekonać o swoich racjach kolegę albo koleżankę.

SPIS TREŚCI Zadania

Odpowiedzi

Arkusz I ..........................................................................................................................7 Zadania zamknięte .............................................. 7 .................... 162 Zadania otwarte ................................................ 13 .................... 163 Arkusz II ......................................................................................................................19 Zadania zamknięte............................................ 19 .................... 166 Zadania otwarte ................................................ 25 .................... 167 Arkusz III .....................................................................................................................31 Zadania zamknięte ............................................ 31 .................... 170 Zadania otwarte ................................................ 39 .................... 170 Arkusz IV .....................................................................................................................45 Zadania zamknięte ............................................ 45 .................... 173 Zadania otwarte ................................................ 51 .................... 173 Arkusz V .......................................................................................................................57 Zadania zamknięte ............................................ 57 .................... 176 Zadania otwarte ................................................ 64 .................... 177 Arkusz VI .....................................................................................................................69 Zadania zamknięte ............................................ 69 .................... 180 Zadania otwarte ................................................ 75 .................... 180 Arkusz VII....................................................................................................................81 Zadania zamknięte ............................................ 81 .................... 183 Zadania otwarte ................................................ 88 .................... 184 Arkusz VIII ..................................................................................................................93 Zadania zamknięte ............................................ 93 .................... 186 Zadania otwarte .............................................. 100 .................... 187 Arkusz IX ...................................................................................................................107 Zadania zamknięte .......................................... 107 .................... 190 Zadania otwarte .............................................. 114 .................... 191

Arkusz X .....................................................................................................................121 Zadania zamknięte .......................................... 121 .................... 193 Zadania otwarte .............................................. 129 .................... 194 Arkusz XI ...................................................................................................................135 Zadania zamknięte .......................................... 135 .................... 196 Zadania otwarte .............................................. 144 .................... 197 Arkusz XII..................................................................................................................149 Zadania zamknięte .......................................... 149 .................... 199 Zadania otwarte .............................................. 156 .................... 200 Podstawa programowa z dnia 27 sierpnia 2012 roku do nauczania matematyki w technikach i liceach ogólnokształcących .................................................................204

Arkusz I

ZADANIA Arkusz I (Wskazówki i odpowiedzi na str. 162)

Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 23. wskaż poprawną odpowiedź.

Zadanie 1. (0 – 1) Wyrażenie 836  835 można zapisać w postaci: B) 1635 ,

A) 871 ,

C) 32  835 ,

D) 8  835 .

Zadanie 2. (0 – 1) Iloraz różnych liczb pierwszych może być liczbą naturalną. Jeżeli x 

2 1 3 1 i y , to x  y . 2 1 3 1

A) P, P,

B) P, F,

C) F, P,

D) F, F.

Zadanie 3. (0 – 1) Szacując wynik iloczynu 4,1 9,8 obliczono iloczyn 4 10 . Błąd bezwzględny tego szacowania jest równy: A) 0,08,

B) 0,02,

C) 0,20,

D) 0,18.

Zadanie 4. (0 – 1) Jeżeli x  R i y  R oraz log x A) 3log  1 , y

x  2log x  1 , to prawdą jest, że: y

3log x  1, B) log y

C) log x  y ,

x3 D) log  1 . y

Zadanie 5. (0 – 1) 2

Jeżeli x2  y 2  59 oraz x y  24 , to wartość wyrażenia  x  y  jest równa: A) 11,

B) 35,

C) 83,

D) 107.

Arkusz I

Zadanie 6. (0 – 1) Funkcja f ma tylko dwa miejsca zerowe równe 0 oraz 3. Wykres funkcji f przesunięto wzdłuż osi x o 2 jednostki w lewo i otrzymano wykres funkcji g. Zatem funkcja g ma miejsca zerowe: A) x1  2 i x2  1 , B) x1  1 i x2  2 , C) x1  3 i x2  0 , D) nie ma miejsc zerowych. Zadanie 7. (0 – 1) Wykres funkcji liniowej f przechodzi przez punkty  2, 3 i  4,  9  . Zatem funkcja f określona jest wzorem: A) f  x   2 x  3 , C) f  x   2 x  7 , BRUDNOPIS

B) f  x   3x  3 , D) f  x   2 x  1 .

Arkusz I

Zadanie 8. (0 – 1) Proste o równaniach y  3x  9 i y  x  3 : A) przecinają się w punkcie  3, 0  ,

B) są równoległe, ale nie pokrywają się,

C) są prostopadłe,

D) pokrywają się.

Zadanie 9. (0 – 1) Parabola będąca wykresem funkcji f  x   x 2  bx  c ma wierzchołek w punkcie

1, 0  . Funkcja f:

A) jest rosnąca w 1;    ,

B) jest malejąca w 1,    ,

C) jest nierosnąca w 1;    ,

D) jest stała w 1;    .

Zadanie 10. (0 – 1) Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu 2 x  3 y  4  0 jest równy: 3 A)  , 2

2 B)  , 3

2 , 3

3 . 2

Zadanie 11. (0 – 1) Prosta prostopadła do prostej o równaniu y  2 x  4 i przechodząca przez punkt  0,  3 ma równanie: A) x  2 y  6  0 , B)  x  2 y  6  0 , C) x  2 y  6  0 , D) x  2 y  6  0 . Zadanie 12. (0 – 1) Trójkąt ABC jest prostokątny. Wartość wyrażenia sin   cos  jest równa:

5 13 , 13 13 C) , 6 A)

5 13 , 6

D) 1.

Arkusz I

Zadanie 13. (0 – 1) Kąt wpisany oparty na łuku długości A) 40°,

B) 60°,

1 okręgu ma miarę: 3

C) 120°,

D) 240°.

Zadanie 14. (0 – 1) Jeżeli na rysunku kąty mają miary , β, γ, δ, to prawdziwa jest równość: A)         180 , C)       0 ,

B)       0 , D)       180 .

Zadanie 15. (0 – 1) Mała drabinka nachylona jest do podłoża pod kątem 60°. Koniec drabinki opierającej się o podłoże jest odległy od ściany o 60 cm. Długość drabinki jest równa: A) 40 cm, BRUDNOPIS

B) 40 3 cm,

C) 1,2 m,

D) 1, 2 3 m.

Arkusz I

Zadanie 16. (0 – 1) Suma kolejnych liczb 20  21  22  ...  135  136 jest równa: A) 9 048,

B) 9 126,

C) 9 235,

D) 9 247.

Zadanie 17. (0 – 1) Ciąg  an  jest arytmetyczny, gdy jest określony wzorem: 2 A) an   n  2 , B) an  n2  1 , 3

C) an  2n ,

D) an   1 n  2 .

Zadanie 18. (0 – 1) Jeżeli kąt  jest ostry i cos   A)

8 , 15

2 , 3

3 , to wartość wyrażenia sin   tg  jest równa: 5 16 4 C) , D) . 15 3

Zadanie 19. (0 – 1) Punkty A  1,  3 i B   2, 1 są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Wysokość tego trójkąta ma długość: A)

3 , 2

3 3 , 2

4 3 , 2

5 3 . 2

Zadanie 20. (0 – 1) Średnia arytmetyczna zestawu danych 2, 1, 3, 6, x, 2, 4, 4 jest równa 3. Zatem liczba x jest równa: A) 1,

B) 2,

C) 3,

D) 4.

Zadanie 21. (0 – 1) Prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek za każdym razem przy dwukrotnym rzucie symetryczną kostką do gry jest równe: 1 1 1 1 A) , B) , C) , D) . 12 6 4 2

Arkusz I

Zadanie 22. (0 – 1) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat o boku mającym długość 10 i jedna z krawędzi bocznych jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Objętość tego ostrosłupa jest równa: A)

1000 2, 3

B) 330 2 ,

C) 500 3 ,

D) 1000 2 .

Zadanie 23. (0 – 1) Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem o wymiarach 5  20 i krótszy bok jest jego wysokością. Promień tego walca jest równy: 10 20 5 B) , C) , D) 10. A) ,



BRUDNOPIS



Arkusz I

Zadania otwarte Zadanie 24. (0 – 2) Wyznacz takie liczby całkowite x i y, aby spełniona była równość



5  3  x 5  y . 2

Zadanie 25. (0 – 2) 1 2

Rozwiąż nierówność x  x 2  0 .

Arkusz I

Zadanie 26. (0 – 2) W ciągu arytmetycznym  an  o różnicy 7, suma sześciu początkowych wyrazów jest równa 183. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zadanie 27. (0 – 2) Skuter jadący z Gdańska do Warszawy ze średnią prędkością 45

km przebywa tę h

trasę w ciągu 7 godzin i 20 minut. W jakim czasie przebędzie tę samą drogę samochód jadący ze średnią prędkością równą 90

km ? h

Arkusz I

Zadanie 28. (0 – 2) 2sin   6cos  jest równa 4 . cos   sin 

Wykaż, że jeśli tg   5 , to wartość wyrażenia

Zadanie 29. (0 – 3) W tabeli przedstawiono wyniki sondażu, przeprowadzonego na stu losowo wybranych uczniach pewnej szkoły, dotyczącego liczby godzin spędzanych dziennie przy komputerze. Liczba godzin

Liczba uczniów

Oblicz: a) średnią liczbę godzin spędzonych przy komputerze, b) odchylenie standardowe od średniej liczby godzin spędzonych przy komputerze. Wynik podaj z dokładnością do 0,001.

Arkusz I

Zadanie 30. (0 – 4) Podaż f na skup suszonych borowików określa wzór f  x    popyt g wzór g  x   

1 2 x  49 , zaś 400

1 2 x  0,1x  84 , gdzie x oznacza cenę w złotych skupu 200

jednego kilograma suszonych borowików. Oblicz cenę x, przy której popyt przewyższy podaż i cena za 1 kg suszonych borowików będzie większa niż 50 zł.

Arkusz I

Zadanie 31. (0 – 5) W równoległoboku stosunek jego wysokości jest równy 5 : 7, a stosunek miar kątów wewnętrznych 1 : 2. Oblicz długości boków i wysokości tego równoległoboku, wiedząc że jego obwód jest równy 96 3 .

Arkusz I

Zadanie 32. (0 – 5) Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku a. Przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z jednego wierzchołka, tego prostopadłościanu mają długość 10 i tworzą ramiona kąta o mierze 30°. Sporządź odpowiedni rysunek i oblicz: a) pole przekroju prostopadłościanu płaszczyzną poprowadzoną przez przekątną podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy, b) długości krawędzi tego prostopadłościanu. W obliczeniach przyjmij sin15  cos75 

6 2 6 2 , cos15  sin 75  . 4 4

Arkusz II

Arkusz II (Wskazówki i odpowiedzi na str. 166)

Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 23. wskaż poprawną odpowiedź.

Zadanie 1. (0 – 1) Wartość wyrażenia log9 27  log9 3 jest równa: A) log9 30 ,

B) 30,

C) 81,

D) 2.

Zadanie 2. (0 – 1) Jeżeli x  10,00001 , to wartość wyrażenia

x2  5x  6 zaokrąglona do jedności, x2

jest równa: A) 3,

B) 7,

C) 13,

D) 16.

Zadanie 3. (0 – 1) Jeżeli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to wyrażenie A)

2n ,

4n  n jest równe:

3n ,

D) 2.

Zadanie 4. (0 – 1) Liczba rzeczywista x stanowi 50% liczby y. Zatem liczba y stanowi: A) 50% liczby x,

B) 100% liczby x, C) 200% liczby x, D) 400% liczby x.

Zadanie 5. (0 – 1) W naczyniu jest 5 litrów wody o temperaturze 80°C. Aby otrzymać wodę o temperaturze 50°C, trzeba dodać wody o temperaturze 20°C w ilości: A) 20 litrów,

B) 15 litrów,

C) 10 litrów,

D) 5 litrów.

Zadanie 6. (0 – 1) Jeżeli x3  125 , to wartość wyrażenia 3x 1 jest równa: A) 9,

B) 15,

C) 45,

D) 81.

Arkusz II

Zadanie 7. (0 – 1) Trzy wierzchołki prostokąta mają współrzędne:  3, 0  ,  0, 0  ,  0, 8 . Przekątna tego prostokąta poprowadzona z wierzchołka  0, 0  jest równoległa do prostej: A) y  8x  3 ,

3 B) y  x  11 , 8

8 C) y  x  7 , 3

D) y  3x  8 .

Zadanie 8. (0 – 1) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f określonej wzorem: A) f  x    x2  4 x  1 ,

B) f  x    x 2  4 x  2 ,

C) f  x    x 2  4 x  2 ,

D) f  x   x2  4 x  2 .

Zadanie 9. (0 – 1) Równanie x2  4 x  1  m : A) ma dwa różne rozwiązania dla m  3 , C) nie ma rozwiązań dla m  3 , BRUDNOPIS

B) ma jedno rozwiązanie dla m  3 , D) nie ma rozwiązania.

Arkusz II

Zadanie 10. (0 – 1) Każda liczba rzeczywista z przedziału 3; 5 jest rozwiązaniem nierówności: A)  x2  2 x  15  0 , C) x2  2 x  15  0 ,

B) x2  2 x  15  0 , D) x2  2 x  15  0 .

Zadanie 11. (0 – 1) Funkcja f ma maksimum, gdy: A) f  x   x 2 ,

B) f  x   1  x 2 , 1 D) f  x   x 2  4 . 2

C) f  x   2 x2  3x ,

Zadanie 12. (0 – 1) Ciąg  an  , gdzie n  N  , kolejnych liczb nieparzystych dodatnich określony jest wzorem: A) an  2n  1 ,

B) an  2n  1 ,

C) an  2n  3 ,

D) an  n  1 .

Zadanie 13. (0 – 1) Jeżeli w ciągu geometrycznym  an  a2  8 , a3  16 , to: A) q  2 ,

B) a1  4 ,

C) a4  32 ,

D) a5  64 .

Zadanie 14. (0 – 1) W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 i 6. Sinus większego kąta ostrego jest równy: A)

5 , 5

2 5 , 5

C) 2,

1 . 2

Zadanie 15. (0 – 1) Jeżeli  jest kątem ostrym oraz tg   2 , to wartość wyrażenia

cos a  sin a jest cos 

równa: A) 1 ,

B) 0,

C) 1,

D) 3.

Arkusz II

Zadanie 16. (0 – 1) Odcinki AB i CD są równoległe i AB  5 , AC  2 , CD  7 . Długość odcinka AE jest równa: A)

10 , 7

C) 3,

14 , 5

D) 5.

Zadanie 17. (0 – 1) Punkt O jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Miara kąta  jest równa: A) 25°, C) 50°,

BRUDNOPIS

B) 40°, D) 75°.

Arkusz II

Zadanie 18. (0 – 1) Jeżeli  jest kątem ostrym trapezu prostokątnego ABCD, przedstawionego na rysunku, to: A) tg   2 , C) tg   6 ,

B) tg   3 , D) tg   12 .

Zadanie 19. (0 – 1) Prosta k o równaniu 4 x  7 y  2  0 jest prostopadła do prostej l, gdy ta prosta ma równanie: 4 A) y   x  1 , 7

B) y 

4 x 5, 7

7 C) y   x , 4

D) y 

7 x 3. 4

Zadanie 20. (0 – 1) Objętość walca jest równa 2  6 , a jego wysokość jest równa 2  . Promień tego walca ma długość: A)

,

B) ,

C)  2 ,

D)  3 .

Zadanie 21. (0 – 1) Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 10 2 , a wysokość jego podstawy 15. Miara kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równa: A) 30°, C) 60°,

B) 45°, D) 90°.

Zadanie 22. (0 – 1) W sklepie można kupić masło w trzech różnych opakowaniach, gdzie 50% kostek masła ma masę po 200 g każda, 15% po 300 g, a 35% po 180 g. Średnia arytmetyczna masy wszystkich kostek masła w tym sklepie jest równa: A) 200 g,

B) 208 g,

C) 226 g,

D) 226,(6) g.

Arkusz II

Zadanie 23. (0 – 1) Z cyfr 0, 2, 7 liczb pięciocyfrowych można otrzymać: A) 243, BRUDNOPIS

B) 162,

C) 81,

D) 32.

Arkusz II

Zadania otwarte Zadanie 24. (0 – 2) Oblicz wartość wyrażenia log0,75 1  log0,125 1  log9 3 .

Zadanie 25. (0 – 2) Napisz wzór funkcji liniowej. która nie ma miejsca zerowego, a odległość jej wykresu od punktu A   5,  3 jest równa 2.

Arkusz II

Zadanie 26. (0 – 2) Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f  x    x  3 x  5 . a) Naszkicuj wykres funkcji f. b) Podaj rozwiązanie nierówności f  x   16 .

Zadanie 27. (0 – 2) Koszt K w tysiącach złotych usuwania x procent zanieczyszczeń powietrza powstałych podczas pewnego procesu produkcyjnego określony jest wzorem 1000 x , gdzie x   0; 99  . Oblicz, jaki procent zanieczyszczeń może być K  x  99  x usunięty, gdy dysponujemy kwotą 980 000 zł.

Arkusz II

Zadanie 28. (0 – 2) W trójkącie prostokątnym sinus jednego z kątów ostrych jest równy i przeciwprostokątna ma długość 26. Oblicz pole tego trójkąta.

5 13

Zadanie 29. (0 – 2) Uzasadnij, że liczby 3  2 2 , 10  7 2 , 34  24 2 w podanej kolejności są wyrazami ciągu geometrycznego.

Arkusz II

Zadanie 30. (0 – 2) Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 12. Oblicz długości podstaw tego trapezu, jeżeli stosunek ich długości jest równy 1 : 2.

Zadanie 31. (0 – 3) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość ściany bocznej ma długość 2 3 5 i tworzy z wysokością ostrosłupa kąt  taki, że sin   . Oblicz pole 5 powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Arkusz II

Zadanie 32. (0 – 4) Hania ma w kieszeni pięć kluczy, z których tylko jeden otwiera drzwiczki jej biurka. Hania wybiera klucze na chybił trafił i gdy jest niewłaściwy, odkłada go na biurko. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że Hania właściwy klucz wyciągnie: a) za pierwszym razem, b) za trzecim razem, c) nie później niż za trzecim razem.

Arkusz II

Zadanie 33. (0 – 6) Przez punkt A  1,  6  poprowadzono prostą m prostopadłą do prostej l 3 1 o równaniu 4 x  3 y  14  0 . Prosta k ma równanie y  x  . 4 2 a) Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków czworokąta ABCD, którego boki zawierają się w prostych k, l, m oraz w osi x. b) Uzasadnij, że czworokąt ABCD jest trapezem prostokątnym.

Arkusz III

Arkusz III (Wskazówki i odpowiedzi na str. 170)

Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 24. wskaż poprawną odpowiedź.

Zadanie 1. (0 – 1) Wartość wyrażenia



A) 2 5  4 ,

B) 2 5 ,

5 1 

5 1



jest równa:

C) 0,

D) 2 .

Zadanie 2. (0 – 1) Wartość wyrażenia A) 1,

x 5 1 jest liczbą wymierną, gdy x jest równe: x 5 1

B) 1  5 ,

5 5,

D) 10 .

Zadanie 3. (0 – 1) Wartością funkcji f  x   3 4  x  x  x 2  8x  16 , gdy x  4 jest liczba: A) 4 ,

B) 2 ,

C) 6,

D) 8.

Zadanie 4. (0 – 1) y x 1  5 jest równa: Jeżeli  , to wartość wyrażenia x y 5 A)

5 , 26

6 , 5

Zadanie 5. (0 – 1) Rozwiązaniem nierówności  1  A) x    ; 0  ,  2 

26 , 5

D) 10.

 2 x 1  x  3  0 jest każda liczba x taka, że:

1  B) x   ;  , 2 

1  C) x   3;  , 2 

D) x   ;  3 .

Arkusz III

Zadanie 6. (0 – 1) Do wykresu funkcji liniowej f należą punkty A i B o współrzędnych A   0, 1 i B  1, 2  . Funkcja f: A) B) C) D)

przyjmuje wartości dodatnie, gdy x  0 , przyjmuje tylko wartości ujemne, gdy x  0 , przyjmuje wartość 3, gdy x  2 , przyjmuje wartość 3 , gdy x  2 .

Zadanie 7. (0 – 1) Prosta k o równaniu 3 2 x  2 2 y  5 2 przecina oś x w punkcie o odciętej będącą liczbą: A) naturalną, C) wymierną, BRUDNOPIS

B) całkowitą ujemną, D) niewymierną.

Arkusz III

Zadanie 8. (0 – 1) Trójkąt ABC przedstawiony na rysunku przekształcono przez symetrię względem początku układu współrzędnych. Obraz trójkąta ABC przedstawiono na rysunku:

Zadanie 9. (0 – 1) Wykres funkcji f określonej wzorem f  x   2 x przedstawiono na rysunku: A)

Zadanie 10. (0 – 1) Prosta l o równaniu y  

3 x  3 jest nachylona do osi x pod kątem, którego 3

miara jest równa: A) 30°,

B) 60°,

C) 120°,

D) 150°.

162

Arkusz I

ODPOWIEDZI Arkusz I (Treść zadań na str. 7)

Zadania zamknięte Nr zadania 1 Odpowiedź C Nr zadania Odpowiedź

2 3



3. 4,1 9,8  4 10 .



5.  x  y   x2  y 2  2  xy  59  2  24 .

x2  3  2 .

9 10 11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23

Wskazówki: 1. 836  835  835 8  1 . 2

4. log

x x   2log x  log   x 2  . y y  

6. x1  0  2 ,

7. Skorzystaj z wzoru na równanie prostej przechodzą-

cej przez dwa dane punkty. 9. Wykresem funkcji f jest parabola przedstawiona na rysunku. 10. Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe. 11. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej jest równy

3 2 12. sin   i cos   . 13 13

1 . 2

1  360 13. 3 . 2

14. Przyjmij oznaczenia jak na rysunku. Zauważ, że jeśli

  180      , to      . Zatem w trójkącie AEC:

      180 , więc         180 . 15.

60  cos60 , gdzie x jest długością drabiny w cm. x

1  136 1  19 136  19 . 17. Zauważ, że w ciągu arytmetycznym jego wzór 2 2 ogólny ma postać an  a1  n  1 r  r  n   a1  r  . 16. S136  S19 

Arkusz I

163 2

3 1   sin  1  cos  5 18. Zauważ, że sin   tg       . 3 cos  cos  5 2

19. AB 

 2  12  1   3 2  5 . 2 1 3  6  x  2  4  4 3. 8

1 1  . Zauważ, że przy jedno2 2 3 1 krotnym rzucie kostką prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek jest równe  . 6 2

20. Rozwiąż równanie

1 22. V   a 2  h , gdzie a  10 i h  10 2 . 3

21.

23. 2 r  20 .

Zadania otwarte Nr zadania

Odpowiedź i etapy rozwiązania

Liczba pkt.

Odp.: x  6 i y  14 .

24 (2 pkt.)

 Skorzystanie z wzoru skróconego mnożenia i zapisanie podanego wyrażenia w postaci



5 3

   5

 2  5  3  32  5  6 3  9 ,

 obliczenie i podanie wartości x i y.

1 1

Odp.: x   0; 2  .

25 (2 pkt.)

1  Obliczenie miejsc zerowych funkcji f określonej wzorem f  x   x  x 2 2 x1  0 , x2  2 ,  rozwiązanie nierówności f  x   0 .

1 1

Odp.: a1  13 .

26 (2 pkt.)

 Utworzenie równania 183   obliczenie a1 .

2a1   6  1  7 6 , 2

1 1

164

Arkusz I

Nr zadania

Odpowiedź i etapy rozwiązania

Liczba pkt.

Odp.: 3 godziny i 40 minut.

27 (2 pkt.)

28 (2 pkt.)

1  Obliczenie drogi z równania s  45  7  330 [km], 3

 obliczenie czasu t z równania 330  90  t .

 Zauważenie że sin   5cos (bo tg    obliczenie wartości wyrażenia Odp.: a) 2,5, b)

29 (3 pkt.)

sin  ), cos 

2sin   6cos  . cos   sin 

1 1

0,91  0,954 .

 Obliczenie średniej arytmetycznej zestawu danych,

 obliczenie odchylenia standardowego zestawu danych.

Odp.: x   50;100  .  Zapisanie nierówności g  x   f  x  ,

30 (4 pkt.)

 przekształcenie otrzymanej nierówności np. do postaci 1 2 x  0,1x  35  0 ,  x2  40 x  14 000  0 lub  400

 rozwiązanie nierówności x   140;100  ,

 podanie odpowiedzi.

Nr zadania

Arkusz I

165

Odpowiedź i etapy rozwiązania

Liczba pkt.

Odp.: a  28 3 i b  20 3 oraz h1  30 i h2  42 .  Sporządzenie rysunku, przyjęcie oznaczeń i obliczenie   60 ,

31 (5 pkt.)

 wyznaczenie h1  b  sin 60 i h2  a  sin 60 ,

h b 5  zauważenie, że 1   , h2 a 7

 obliczenie długości boków a  28 3 i b  20 3 z układu równań

2a  2b  96 3  , b 5   a 7  obliczenie wysokości h1 i h2 .

Odp.: a) 25, b) a  5 3  5 , h  5 2 3 .  Przyjęcie oznaczeń np. jak na rysunku, 1

32 (5 pkt.)

 obliczenie pola przekroju P ACD1  25 z zależności np. 1 P ACD1  10 10  sin 30 , 2

a 2  obliczenie długości krawędzi a  5 3  5 z zależności np. 2  sin15 10 6 2 i sin15  , 4

 obliczenie długości krawędzi h  50 3  5 2 3 .

166

Arkusz II

Arkusz II (Treść zadań na str. 19)

Zadania zamknięte Nr zadania 1 Odpowiedź D Nr zadania Odpowiedź

2 3 4

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 C

Wskazówki: 1. log9 27  log9 3 log9  27  3 . 2. x2  5x  6   x  2  x  3 . 1 4. x  y , skąd y  2 x . 5. 5  80  x  20   5  x   50 , gdzie x oznacza liczbę 3. 4n  2 n 2 litrów dolanej wody. 2

8. f  x     x  2   2 , gdzie W   2, 2  .

9. Naszkicuj wykres funkcji f  x   x2  4 x  1 uwzględniając współrzędne wierzchołka W  2,  3 i a  1 . 10. Zauważ, że miejscami zerowymi trójmianu kwadratowego z lewej strony nierówności powinny być liczby –3 i 5. 11. Funkcja kwadratowa określona wzorem f  x   ax2  bx  c ma maksimum, gdy a  0 . 14. Zauważ, że większy kąt ostry leży naprzeciw przyprostokątnej długości 6. 15. Zauważ, że 17.  

cos   sin  cos  sin    . cos  cos  cos 

150  25   360  150  360 . 2

wysokość z wierzchołka C. 6  r 2  2 . 20. 2

16.

5 7  , bo  EAB ~  ECD . AE AE  2

18. Na podstawę AD trapezu ABCD poprowadź

19. Współczynnik kierunkowy prostej k jest równy

21. cos

OCS 

22. 0,5  200  0,15  300  0,35 180 .

OC 2 15 . , gdzie OC 3 CS

23. 2  3  3  3  3 .

4 4 1 . i  al  7 7

Arkusz II

167

Zadania otwarte Nr zadania

Liczba pkt.

Odpowiedź i etapy rozwiązania

Odp.: –1.

24 (2 pkt.)

  Przekształcenie podanego wyrażenia do postaci log 3 1  log 1  4 8

1 , 2 

 1  dalsze przekształcenie i obliczenie wartości wyrażenia log 3 1   .  3 4

Odp.: y  1 lub y  5 .

25 (2 pkt.)

 Skorzystanie z własności, że funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych, gdy jest stała i nie pokrywa się z osią x,  napisanie równania prostych.

Odp.: a)

b) x0  1 .

26 (2 pkt.)

 zaznaczenie charakterystycznych punktów 1,  16  ,  3, 0  ,  5, 0  wykresu funkcji f i naszkicowanie paraboli,  podanie rozwiązania nierówności.

168

Arkusz II

Nr zadania

Odpowiedź i etapy rozwiązania

Liczba pkt.

Odp.: 49%.

27 (2 pkt.)

 Zapisanie równania 980 

1000 x , 99  x

 rozwiązanie równania.

28 (2 pkt.)

29 (2 pkt.)

Odp.: 120.  Obliczenie długości dwóch przyprostokątnych 10 i 24,

 obliczenie pola trójkąta.

 Skorzystanie z własności ciągu geometrycznego i zapisanie równości, którą



należy udowodnić 10  7 2

  3  2 2 34  24 2  ,

 uzasadnienie, że równość jest prawdziwa.

1 1

Odp.: 16 i 8.

30 (2 pkt.)

 Zapisanie długości podstaw trapezu jako np. b i 2b, gdzie b jest długością krótszej podstawy, oraz skorzystanie z własności środkowej trapezu 2b  b  12 , 2  obliczenie długości podstaw trapezu.

Odp.: 72 5 .  Sporządzenie rysunku i przyjęcie oznaczeń, 1

31 (3 pkt.)

a 2  obliczenie długości krawędzi podstawy a  12 z zależności 2  , 3 5 5

 obliczenie pola powierzchni bocznej ostrosłupa Pb  4  P BCS .

Arkusz II Nr zadania

Odpowiedź i etapy rozwiązania

Odp.: a)

169 Liczba pkt.

1 1 3 , b) , c) . 5 5 5

 Sporządzenie drzewa

32 (5 pkt.)

w – wyciągnięcie właściwego klucza, n – wyciągnięcie niewłaściwego klucza,  podanie prawdopodobieństwa, że Hania wyjmie właściwy klucz za pierwszym razem,

 obliczenie prawdopodobieństwa, że Hania wyjmie właściwy klucz za trze4 3 1 cim razem:   , 5 4 3

 obliczenie prawdopodobieństwa, że Hania wyjmie właściwy klucz za pierw1 4 1 4 3 1 szym razem lub za drugim razem, lub za trzecim razem:      . 5 5 4 5 4 3

2  Odp.: a) B   9, 0  , C   , 0  , D   2,  2  . 3   Napisanie równania prostej m: y 

33 (5 pkt.)

3 3 x6 , 4 4

 obliczenie współrzędnych pozostałych wierzchołków czworokąta ABCD y  0 y  0   z układu warunków, np. B :  3 3 , C : 3 1,  y  4 x  6 4  y  4 x  2

4 x  3 y  14  0  2  D: , skąd B   9, 0  , C   , 0  , D   2,  2  , 3 1 3   y  4 x  2  zapisanie, że k || m i l  k oraz l  m .

170

Arkusz III

Arkusz III (Treść zadań na str. 31)

Zadania zamknięte Nr zadania 1 Odpowiedź A Nr zadania Odpowiedź

2 3

6 7

9 10 11 12 13 14 15 16 17

y x 1  , to  5 . x y 5

3. Oblicz f  4  .

6. Narysuj w układzie współrzędnych prostą AB i wybierz

3  tg150  tg 180  30    tg30 . 3

cos 

i podaj n. 19.

7. Punkt leżący na osi x ma rzędną y  0 .

właściwą odpowiedź.

11.

5. Nierówność  2 x  1  x  3  0 jest prawdziwa, gdy

1  x   ;  3 lub x   ;    . 2 

10. 

18 19 20 21 22 23 24

Wskazówki: 1. Zastosuj wzory skróconego mnożenia. 4. Jeżeli

 tg 2  

cos 

a 14. 3  q 2 . a1

a 24 36 24   i . 10 16 x 16

i cos  

AB . BD1

22.



sin 2  2

cos 



1  sin 2  2

cos 

15. an 1  Sn 1  Sn .

V P 20. 1  k 3 i 1  k 2 . V2 P2

13. Rozwiąż nierówność 12n  n2  0 16.

9  sin 60 . a

17. h2  3  6 .

21. BD1  32  32 

3  29  b  29  7 , gdzie b oznacza wiek babci. 4

24.





8

6 . 56

Zadania otwarte Nr zadania

Odpowiedź i etapy rozwiązania

Odp.: y  2 i x  

25 (2 pkt.)

Liczba pkt.

2 . 2

 Napisanie równania prostej AB,

 napisanie symetralnej odcinka AB.

Przedstawiliśmy Państwu początkowy fragment publikacji. Mamy nadzieję, że zainteresowała Państwa nasza oferta.

Po szczegóły zapraszamy na stronę internetową www.podkowa.gda.pl. Wydawnictwo Podkowa sp.j.

Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-460 Gdańsk 6 tel. 602 211 526 dział zamówień i reklamacji tel./fax 585 208 745 pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl

ISBN 978-83-65120-93-9

M A T E M A T Y K A

Alicja Cewe

Alina Magryś-Walczak

Halina Nahorska

Przykładowe

ARKUSZE MATURALNE

z matematyki

MATURA MATURA 2016,2016 2017... zakres podstawowy

licea ogólnokształcące technika

Zgodne z najnowszą podstawą programową