Zamiast korepetycji z matematyki - zbiór zadań dla klas 7. i 8. by Wydawnictwo Podkowa

Książka „ZAMIAST KOREPETYCJI z matematyki” zawiera ponad 1000 zadań, wśród których jest: – ponad 150 zadań na dowodzenie, – ponad 240 zadań zamkniętych. Do wszystkich zadań podane są odpowiedzi lub odpowiedzi i wskazówki.

e-mail Temat: Uwierz w siebie! Od: www.podkowa.gda.pl (Wydawnictwo Podkowa) Do: Ciebie Jeśli masz problemy z rozwiązywaniem zadań, to ten zbiór pozwoli Ci uwierzyć, że matematyka jest prosta i piękna. Zadania w zbiorze są tak dobrane, że poprowadzą Ciebie „krok po kroku” do opanowania umiejętności matematycznych, łącznie z dowodzeniem, uzasadnianiem i wykazywaniem. Ponadto po rozwiązaniu zadań z tego zbioru będziesz świetnie przygotowany do egzaminu ósmoklasisty :-) Autorki

2017 zbior-zadan-klasy7 i 8.indd 1

M A T E M A T Y K A Z B I Ó R Z A D A Ń

2017-12-22 11:56:32

Gdańsk

Autorki: Opracowanie edytorskie i redakcyjne: Projekt okładki: Skład i ilustracje:

Alicja Cewe, Małgorzata Krawczyk, Alina Magryś-Walczak, Halina Nahorska Alicja Cewe, Halina Nahorska, Alina Magryś-Walczak Alicja Cewe Jarosław Mach

Umiejętności potrzebne do rozwiązywania zadań w książce „zAMIASt KorepetyCJI z matematyki” są zgodne z wymaganiami zawartymi w podstawie programowej z dnia 14 lutego 2017 r.

ISBN 978-83-65120-84-7

Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-422 Gdańsk 22 tel. 602 211 526 dział zamówień i reklamacji tel./fax 585 208 745 pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl

Spis treści Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Wyrażenia algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1. Liczby i działania na nich . . . . . . . . . . . . . . . 7

Wyrażenia algebraiczne – nazwa i zapis . . . 72 Wprowadzanie zmiennej pomocniczej . . . . 75 Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Liczby pierwsze i liczby złożone . . . . . . . . . . 7 podzielność liczb naturalnych . . . . . . . . . . . . . 8 Największy wspólny dzielnik NWD i najmniejsza wspólna wielokrotność NWW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Dziesiątkowy system zapisu liczb naturalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 rzymski system zapisu liczb naturalnych . 14 Liczby całkowite na osi liczbowej . . . . . . . . 16 Działania na liczbach całkowitych . . . . . . . . 19 prawa rozdzielności. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Liczby wymierne na osi liczbowej . . . . . . . . 23 zbiory liczb na osi liczbowej . . . . . . . . . . . . . 26 Skracanie i rozszerzanie ułamków . . . . . . . . 28 Działania na ułamkach zwykłych . . . . . . . . . 30 Działania na liczbach dziesiętnych . . . . . . . . 33 rozwinięcie dziesiętne ułamków . . . . . . . . . 36 zaokrąglanie i szacowanie . . . . . . . . . . . . . . . 38 odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2. Potęgowanie i pierwiastkowanie . . . . . . . . 47 potęga o wykładniku naturalnym . . . . . . . . . 47 Wykonywanie działań w których występuje potęgowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Działania na potęgach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Notacja wykładnicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 pierwiastek kwadratowy i pierwiastek sześcienny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Wykonywanie działań, w których występuje pierwiastkowanie . . . . . . . . . . . . . 59 Szacowanie wartości pierwiastków . . . . . . . 62 prawa działań na pierwiastkach . . . . . . . . . . 64 odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Jednomiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Suma jednomianów – wielomian . . . . . . . . . 82 Mnożenie wielomianu przez jednomian . . . 84 Wyłączanie czynnika poza nawias . . . . . . . . 86 Dodawanie i odejmowanie wielomianów . . 88 Mnożenie wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Symboliczny zapis liczb naturalnych . . . . . . 92 Dzielenie liczb naturalnych z resztą . . . . . . . 94 Dowodzenie twierdzeń o liczbach naturalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4. Równania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 pierwiastek równania . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 rozwiązywanie równań . . . . . . . . . . . . . . . . 110 rozwiązywanie zadań za pomocą równań 113 proporcjonalność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 proporcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Wielkości wprost proporcjonalne . . . . . . . . 121 odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . 124 5. Obliczenia procentowe . . . . . . . . . . . . . . . . 129 procent a ułamek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 obliczanie procentu z danej liczby . . . . . . . 131 Diagramy procentowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 obliczanie liczby z danego jej procentu . . 135 obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Stężenia i stopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . 141

Spis treści 6. Figury na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10. Graniastosłupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

proste, punkty, odcinki i nierówność trójkąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 rodzaje kątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 położenie prostych i odcinków na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Dwie proste przecięte trzecią . . . . . . . . . . . . 154 Łamana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

rodzaje graniastosłupów i ich siatki . . . . . 239 pola i objętości graniastosłupów . . . . . . . . . 243 odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . 251

Wielokąt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Wielokąt foremny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . 166 7. Trójkąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Klasyfikacja trójkątów . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 odcinki i linie w trójkącie . . . . . . . . . . . . . . 175 Cechy przystawania trójkątów. . . . . . . . . . . 177 twierdzenie pitagorasa . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 pole trójkąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . 189 8. Czworokąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 podział czworokątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 prostokąt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Kwadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 równoległobok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 romb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Deltoid i inne czworokąty . . . . . . . . . . . . . . 210 odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . 214 9. Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej . . 221 Układ współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Środek odcinka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 odległość na płaszczyźnie kartezjańskiej . 228 punkty kratowe leżące na prostej . . . . . . . . 233 odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . 235

11. Ostrosłupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 rodzaje ostrosłupów i ich siatki . . . . . . . . . 255 pola i objętości ostrosłupów . . . . . . . . . . . . 258 odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . 262 12. Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa . . . . . . 264 zliczanie obiektów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Doświadczenie losowe a zdarzenie losowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 prawdopodobieństwo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . 275 13. Statystyka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 prezentacja i interpretacja danych statystycznych za pomocą tabel i diagramów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Średnia arytmetyczna danych statystycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Interpretacja informacji przedstawionych za pomocą wykresów . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . 294

Wstęp Książka „ZAMIAST KOREPETYCJI z matematyki” to zbiór zadań otwartych i zamkniętych z matematyki dla klas 7. i 8., obejmujących zakres wiedzy matematycznej potrzebnej do egzaminu ósmoklasisty. treści zadań są ilustracją wszystkich umiejętności wymienionych w podstawie programowej z dnia 14 lutego 2017 r. zadania zamknięte, zawarte w zbiorze, mają polecenia zapisane czcionką niebieską. Sformułowania tych poleceń są zgodne z poleceniami zawartymi w „Informatorze o egzaminie ósmoklasisty z matematyki od roku szkolnego 2018/2019”. W zbiorze zastosowano oznaczenia: 8.89. D

Litera „D” umieszczona pod numerem zadania oznacza, że jest to zadanie na dowodzenie, w którym użyto polecenia „udowodnij”, „wykaż” albo „uzasadnij”,

2.68.

Numer zadania umieszczony na niebieskiej plamce oznacza zadanie o podwyższonym stopniu trudności.

Przypomnijmy

W ramce zamieszczone są ważne treści, które będą potrzebne przy rozwiązywaniu zadań z danego paragrafu. Do wszystkich zadań podane są odpowiedzi lub odpowiedzi i wskazówki. Powodzenia w rozwiązywaniu zadań życzą Autorki.

1. Liczby i działania na nich Liczby pierwsze i liczby złożone Przypomnijmy • Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie, +1 +1 +1 +1 na przykład: 2, 5, 7, ... . • Liczbą złożoną nazywamy liczbę naturalną 0 1 2 3 większą od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki 0, 1, 2, 3, ... naturalne, na przykład: 4, 10, 105 itp. • Liczb 0 i 1 nie zaliczamy ani do liczb pierwszych, ani do liczb złożonych. 1.1. Podaj najmniejszą i największą liczbę naturalną: a) jednocyfrową, b) dwucyfrową, c) trzycyfrową,

d) czterocyfrową.

1.2. Oblicz, ile jest liczb naturalnych mniejszych od 21. 1.3. Podaj wszystkie liczby pierwsze dwucyfrowe: a) mniejsze od 20, b) większe od 90 i mniejsze od 100. 1.4. Podaj wszystkie liczby pierwsze, które są większe od 70 i mniejsze od 80. 1.5. Określ, czy podana liczba jest pierwsza, czy złożona: a) 39, b) 49, c) 59, d) 69,

e) 79.

1.6. Wypisz wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 50. Ile ich jest? 1.7. Podaj kontrprzykład uzasadniający, że nieprawdziwe jest twierdzenie: D Jeżeli do liczby pierwszej dodajemy sumy kolejnych liczb parzystych, to otrzymujemy zawsze liczbę pierwszą. Np.: 5 + ( 2 + 4 ) = 11, 5 + ( 2 + 4 + 6 ) = 17 , ... , 7 + ( 2 + 4 ) = 13 , 7 + ( 2 + 4 + 6 ) = 19, ... . 1.8. Uzasadnij, że liczb złożonych mniejszych od 50 jest 33. D 1.9. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wśród czterech kolejnych liczb naturalnych: A. jest tylko jedna liczba parzysta, B. są dwie liczby parzyste, C. są trzy liczby parzyste, D. są cztery liczby parzyste.

1. Liczby i działania na nich

1.10. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczbą złożoną jest liczba: A. 29, B. 31, C. 33,

D. 37.

1.11. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

P P

Suma dziesięciu początkowych liczb pierwszych jest równa 130. Iloczyn trzech dowolnych liczb pierwszych jest liczbą złożoną.

F F

Podzielność liczb naturalnych Przypomnijmy Liczba naturalna jest podzielna przez:

2 3 4 5 6 9 10 100

gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 albo 8 gdy suma jej cyfr dzieli się bez reszty przez 3 gdy liczba, wyrażona kolejnymi dwiema ostatnimi jej cyframi, dzieli się bez reszty przez 4 gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5 gdy dzieli się bez reszty przez 2 i przez 3 gdy suma jej cyfr dzieli się bez reszty przez 9 gdy ostatnią jej cyfrą jest 0 gdy jej ostatnie dwie cyfry są zerami

1.12. Podaj wszystkie dzielniki liczby: a) 24, b) 57,

c) 80,

d) 91.

1.13. Oblicz, ile dzielników ma liczba: a) 12, b) 40,

c) 60,

d) 100.

1.14. W miejsce wpisz taką cyfrę, aby otrzymana czterocyfrowa liczba dzieliła się przez podany dzielnik. Czy istnieje tylko jedna taka cyfra?

Dzielnik liczby

Liczba

Dzielnik liczby

a) 1 28

935

b) 4 02

173

c) 3 27

421

j) 83

d) 5 6 e) 678

325

10 15

Podzielność liczb naturalnych

1.15. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dzielników różnych od 1 liczba a = 2 ⋅ 5 ⋅11 ma: A. 3, B. 6, C. 7,

D. 4.

1.16. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Niepodzielna przez 6 jest liczba: A. 642, B. 552, C. 332,

D. 882.

1.17. Sprawdź, czy podany rozkład jest rozkładem na czynniki pierwsze. Odpowiedź uzasadnij. D a) 777 = 3 ⋅ 7 ⋅ 37, b) 1995 = 5 ⋅ 7 ⋅ 57 , c) 138 = 2 ⋅ 3 ⋅ 23 . 1.18. Dokończ podany rozkład tak, by był rozkładem na czynniki pierwsze. a) 1372 = 4 ⋅ 7 ⋅ 49 ,

b) 5292 = 2 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ 49,

c) 1326 = 26 ⋅ 51.

1.19. Spośród liczb: 2, 8, 75, 600, 1800, 4308 wypisz te, które są podzielne przez: a) 3, e) 18,

b) 4, c) 9, f) 2 i niepodzielne przez 4,

d) 15, g) 3 i 10.

1.20. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczba 4 049 076 jest podzielna przez 18. Liczba 278 040 jest podzielna przez 15.

P P

F F

1.21. Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Przez 35 nie dzieli się liczba równa iloczynowi: A. 25 ⋅19 , B. 25 ⋅ 49. Przez 24 dzieli się liczba równa sumie iloczynów: C. 8 ⋅ 5 + 8 ⋅ 7 , D. 6 ⋅ 5 + 6 ⋅ 6 . 1.22. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Jeżeli 12 345 679 ⋅ 9 = 111111111, to: 12 345 679 ⋅ 27 = 3 ⋅111 111 111 12 345 679 ⋅ 3 = 111 111 111 : 3 1.23. Uzasadnij, że liczba 546 210 jest podzielna przez 45. D

P P

F F

1. Liczby i działania na nich

1.24. Nie wykonując dodawania uzasadnij, że suma: D a) 2 024 + 500 + 2 516 jest podzielna przez 4, b) 1 425 + 999 + 3 024 jest podzielna przez 3, c) 9 063 + 111 111 111 jest podzielna przez 9, d) 1 208 + 555 + 37 960 nie jest podzielna przez 5. 1.25. Uzasadnij, że suma wszystkich dzielników liczby 18 jest równa 39. D 1.26. Uzasadnij, że iloczyn wszystkich dzielników liczby 30 jest kwadratem liczby naturalnej. D 1.27. Wybierz odpowiedź T albo N i jej uzasadnienie spośród A, B albo C. D Czy liczba 4 260 008 spełnia warunek podzielności przez 4? A. Liczba jest parzysta. ponieważ B. Suma cyfr liczby dzieli się przez 4. N Nie C. Liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4. T Tak

Największy wspólny dzielnik NWD i najmniejsza wspólna wielokrotność NWW Przypomnijmy

•

60 30 15 5 1

2 2 3 5

96 48 24 12 6 3 1

60 30 15 5 1

2 2 2 2 2 3

2 2 3 5

18 2 9 3 3 3 1

• Jeżeli a i b są dowolnymi liczbami naturalnymi, to ich najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) możemy obliczyć z wzoru NWW NW W ( a, b ) =

a ⋅b . NWD NW D ( a, b )

Największy wspólny dzielnik NWD i najmniejsza wspólna wielokrotność NWW 11 1.28. Podaj liczbę, która w rozkładzie na czynniki pierwsze ma tylko: a) liczby 7 i 17, b) liczby 2 i 19, c) dwa razy czynnik 11. 1.29. Czy jest możliwe, by uczniowie klasy VII c ustawili się na boisku piątkami, później D siódemkami i do klasy wrócili ustawieni dwójkami? Odpowiedź uzasadnij. 1.30. Oblicz NWD ( a, b ) i NWW ( a, b ) , gdy: b) a = 64 i b = 144, a) a = 8 i b = 12, d) a = 40 i b = 100, e) a = 14 i b = 112,

c) a = 26 i b = 39, f) a = 1000 i b = 32.

1.31. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Podzielna przez 16 jest liczba: A. 23 ⋅ 33 , B. 23 ⋅ 52 , C. 22 ⋅ 62,

D. 22 ⋅ 7 2 .

1.32. Dla grupy dzieci w przedszkolu kupiono 26 pomarańczy, 39 mandarynek, 13 czekolad, 52 banany i 65 batoników. Każde dziecko dostało taką samą ilość każdego z zakupionych produktów. Ile najwięcej dzieci mogła liczyć ta grupa? 1.33. W magazynie było 108 piłeczek czerwonych i 180 piłeczek zielonych. Piłeczki należy popakować w pudełka w taki sposób, aby w każdym było ich tyle samo i wszystkie były w tym samym kolorze. Jaka jest najmniejsza liczba pudełek potrzebnych do wykonania tego polecenia? 1.34. Wiedząc, że 50 ⋅ 34 = 1700, wypisz wszystkie dzielniki liczby 1 700, które są: a) podzielne przez 5, b) podzielne przez 17, c) liczbami pierwszymi, d) liczbami jednocyfrowymi. 1.35. Wiedząc, że 57 ⋅ 507 = 28 899 , uzupełnij zdania, wstawiając w miejsce kropek jedną z liczb 87, 507, 28 899: a) ..... nie jest dzielnikiem liczby ......... , b) 57 nie jest dzielnikiem liczby ......... , c) ...... jest wielokrotnością liczby 57 , d) ...... jest wielokrotnością liczby ......... , e) ...... nie jest wielokrotnością liczby ......... . 1.36. Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 50 i 75 jest równa: A. 100, B. 150. Największy wspólny dzielnik liczb 24 i 60 jest równy: C. 6, D. 12.

1. Liczby i działania na nich

1.37. Wypisz wszystkie liczby naturalne x takie, że: a) NWD ( x, 20 ) = 1, gdy x jest liczbą większą od 10 i mniejszą od 20, b) NWW ( x, 20 ) = 20 ,

c) NWW ( x, 12 ) = 36.

d) NWD ( x, 12 ) = 3, gdy x jest liczbą nie większą niż 15, 1.38. Na dwóch kolejnych skrzyżowaniach długiej ulicy są światła sygnalizacyjne. Na pierwszym skrzyżowaniu światła zmieniają się co 40 sekund, a na drugim co 1 minutę. W pewnym momencie światła czerwone włączyły się jednocześnie na obu skrzyżowaniach. Podaj najkrótszy czas w minutach, po którym sytuacja powtórzy się. 1.39. Uzasadnij, że suma dzielników każdej liczby pierwszej jest o 1 od niej większa. D 1.40. 84 kartoniki soków owocowych i 63 batony rozdzielono równo między uczniów pewD nej klasy. Uzasadnij, że 105 cukierków można również rozdzielić po równo między uczniów tej klasy. 1.41. Wzdłuż drogi, poczynając od punktu A, co 45 m rozstawione są słupki. Postanowiono, D że na trasie 1000 m słupki te należy rozstawić co 60 m, poczynając od punktu A. Po nowym rozstawieniu kilka słupków nie zmieniło swojego położenia. Uzasadnij, że było 6 takich słupków.

Dziesiątkowy system zapisu liczb naturalnych Przypomnijmy • Jeśli a jest cyfrą dziesiątek liczby naturalnej dwucyfrowej oraz b jest jej cyfrą jedności, to liczbę tę zapisujemy symbolicznie 10 10aa + b. b • Jeśli a jest cyfrą setek, b jest cyfrą dziesiątek oraz c jest cyfrą jedności liczby naturalnej trzycyfrowej, to liczbę tę zapisujemy symbolicznie: 100a + 10b + c . Np.: 24 = 2 ⋅10 + 4 , 357 = 3 ⋅100 + 5 ⋅10 + 7 , 73 = 7 ⋅10 + 3 , 12 = 1 ⋅10 + 2,

537 = 5 ⋅100 + 3 ⋅10 + 7 , 753 = 7 ⋅100 + 5 ⋅10 + 3.

1.42. Zapisz w systemie dziesiątkowym liczbę, której: a) cyfrą dziesiątek jest 0, cyfrą jedności 5, a cyfrą setek 3, b) cyfrą setek jest 4, cyfra dziesiątek jest dwa razy mniejsza od cyfry setek, a cyfra jedności jest dwa razy większa od cyfry setek. 1.43. Zapisz liczbę naturalną dwucyfrową, której: a) cyfrą dziesiątek jest a i cyfrą jedności jest 4, b) cyfrą dziesiątek jest 5 i cyfrą jedności jest a.

Dziesiątkowy system zapisu liczb naturalnych

1.44. Ala zapisała pewną liczbę dwucyfrową. a) O ile zwiększy się ta liczba, jeżeli przed jej cyfrą dziesiątek Ala dopisze cyfrę 5? b) Ile razy zwiększy się ta liczba, jeżeli Ala po cyfrze jedności dopisze cyfrę 0? 1.45. Cyfrą dziesiątek liczby naturalnej dwucyfrowej jest a, natomiast cyfrą jedności jest b. Zapisz symbolicznie: a) tę liczbę, b) liczbę o przestawionych cyfrach. 1.46. Wypisz wszystkie liczby dwucyfrowe, których: a) suma cyfr jest równa 5, b) cyfry różnią się o 6, c) cyfra dziesiątek jest 4 razy większa od cyfry jedności. 1.47. Podaj liczbę czterocyfrową, w której cyfra jedności jest najmniejszą z cyfr, a każda kolejna cyfra (zaczynając od cyfry jedności) jest o 2 większa od poprzedniej. 1.48. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Jeśli w liczbie dwucyfrowej podzielnej przez 3 zmienimy kolejność cyfr, to zawsze otrzymamy: A. liczbę nieparzystą, B. liczbę parzystą, C. liczbę dwucyfrową, D. podzielną przez 3. 1.49. Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Do liczby dwucyfrowej dopisano tę samą liczbę. Otrzymana liczba jest większa od danej liczby dwucyfrowej: A. 100 razy, B. 101 razy. Do liczby trzycyfrowej dopisano tę samą liczbę. Otrzymana liczba jest większa od danej trzycyfrowej liczby: C. 111 razy, D. 1001 razy. 1.50. Wybierz odpowiedź T albo N i jej uzasadnienie spośród A i B. D Każda z cyfr liczby naturalnej trzycyfrowej jest mniejsza od 7, przy czym cyfra setek jest dwa razy mniejsza od cyfry dziesiątek, a cyfra dziesiątek jest dwa razy mniejsza od cyfry jedności. Czy taka liczba jest tylko jedna? T N

Tak Nie

ponieważ

A. Cyfrą setek szukanych liczb mogą być cyfry 1 lub 2. B. Cyfrą setek szukanych liczb jest tylko 1.

1.51. Podaj, ile jest liczb trzycyfrowych w których: a) cyfrą dziesiątej jest 8 i cyfrą jedności jest 5,

b) suma cyfr jest równa 4.

1. Liczby i działania na nich

1.52. O liczbie trzycyfrowej wiadomo, że dzieli się przez 3 i przez 9 oraz, że jest to liczba D nieparzysta, a cyfra setek jest najmniejszą dodatnią liczbą parzystą. Uzasadnij, że jest 6 liczb spełniających te warunki.

Rzymski system zapisu liczb naturalnych Przypomnijmy

I→1

V→5 X → 10

L → 50

D → 500

C → 100

M → 1000

W rzymskim systemie zapisywania liczb obowiązują następujące zasady: • Liczbę określa się przez dodanie wartości jej znaków cyfrowych z wyjątkiem liczb: IV (4), IX (9), XL (40), XC (90), CD (400), CM (900).

• Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy jednakowe znaki spośród: I, X, C, M. • Cyfry V, L i D mogą być użyte w zapisie liczby tylko jeden raz. MM XL I   CD 2441 = (1000 + 1000 ) + ( 500 − 100 ) + ( 50 − 10 ) + 1 = MMCDXLI, CM LXXX M IX   1989 = 1000 + (1000 − 100 ) + ( 50 + 10 + 10 + 10 ) + (10 − 1) = MCMLXXXIX. 1.53. Zapisz w systemie rzymskim liczby: a) 41, 42, 44, 45, 46, 48, 49, c) 495, 496, 498, 499, 501, 503, e) 1440, 1540, 1740, 1840, 1940,

b) 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, d) 989, 990, 991, 993, 994, 995, 999, f) 2400, 2500, 2600, 2700, 2800, 2900.

1.54. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba 86 przedstawiona w systemie rzymskim, to: A. XXCVI, B. LXXXVI, C. LXXXIIIIII, 1.55. Zapisz za pomocą cyfr arabskich liczbę: a) CI, b) LV, c) MCV, f) CDI, g) CMX, h) MMX,

d) MCX, i) MCV,

D. LXXXIV. e) DCCV, j) DVI.

Rzymski system zapisu liczb naturalnych

1.56. Bartek, będąc na wycieczce, natraﬁł na budowlę, na której widniał rok jej budowy: a) ratusz MDCXXXV, b) kościół MCMLXXXVI, c) teatr MDCCLXXIII, d) pałac MMI. Zapisz te daty w systemie dziesiętnym. 1.57. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba MCMXLIV zapisana w systemie dziesiętnym, to: A. 1944, B. 2164, C. 2166,

D. 1964.

1.58. Używając wszystkich znaków rzymskich (I, V, X, L, C, D, M) tylko jeden raz, zapisano D możliwie: a) największą liczbę, b) najmniejszą liczbę. Uzasadnij, że każda z tych liczb zapisana cyframi arabskimi ma po trzy jednakowe cyfry. 1.59. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Największą liczbą trzycyfrową utworzoną tylko z cyfr 0, 4, 6 i zapisaną w systemie rzymskim jest: A. DCXL, B. DCIV, C. CDLX, D. CDVI. 1.60. Wykonaj działania. a) XXIV – XVIII, d) CD – XC, g) DCCC + CC,

b) XLIII + XC, e) D + CCXC, h) DCXL – L,

c) XXXVII + CIII, f) DCC – CCC, i) CM + MC.

1.61. Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wynikiem działania XL + CDLX jest liczba: A. 500, B. 600. Różnicą liczb CMLXXII i CCCXXVIII jest: C. DCXLIV, D. DCXLVI. 1.62. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczby: XL, XV, LX, XIV, XVI są uporządkowane rosnąco. Rok 2000 był ostatnim rokiem XX wieku.

P P

F F

1.63. Na pewnej starej budowli widnieje napis MDCCXIV, który jest informacją o roku jej powstania. Ile lat upłynęło od powstania budowli do roku 2018? 1.64. Starożytni Rzymianie wzdłuż budowanych dróg układali tak zwane kamienie milowe, odległe od siebie około jednej rzymskiej mili (około 1500 m). Na każdym kamieniu

1. Liczby i działania na nich

była informacja o odległości tego miejsca od kamienia numer I znajdującego się w centrum Rzymu. Oblicz, jaką drogę wyrażoną w kilometrach musiał pokonać rzymski legionista, by znaleźć się w centrum Rzymu, jeśli był przy kamieniu, na którym widniał napis: a) CDII, b) CCC, c) DCVI.

Liczby całkowite na osi liczbowej Przypomnijmy Liczbami całkowitymi są liczby: ... , –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... .

liczby całkowite ujemne

− ( −8 ) –1987

0 –3

liczby całkowite dodatnie

• Odległość liczby na osi liczbowej od liczby 0 nazywamy bezwzględną wartością tej liczby i oznaczamy liczba , na przykład −4 = 4, 3 = 3, 0 = 0. • Jeżeli a jest pewną liczbą, to − a oznacza liczbę do niej przeciwną. a + ( −a ) = 0 − ( −a ) = a • Liczby, które są współrzędnymi punktów jednakowo odległych od zera, nazywamy liczbami przeciwnymi. Ich bezwzględne wartości są równe, czyli a = −a . 1.65. Uzupełnij tabelę. a

−a

–4

–13 2

− ( −a )

1.66. Oblicz: a) −3 , d) −2 − 1 − 1 − 2 ,

0 –9

–8

b) 3 − 5 ,

c) 14 − −14 ,

e) −3 + 8 − 9 − 4 ,

f) −9 + 6 + ( −12 ) − 9.

Liczby całkowite na osi liczbowej 1.67. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równą odległość od liczby 0 mają liczby: A. – 4 i 3, B. – 4 i 4, C. – 4 i 5,

D. – 4 i 6.

1.68. Uzasadnij, że: D a) istnieją dwie takie liczby x, że x = 7, b) nie istnieje liczba x taka, że x = −7, c) istnieje tylko jedna liczba x taka, że x = 0. 1.69. Narysuj oś liczbową i zaznacz na niej liczby –7 i 4 oraz podaj trzy liczby całkowite, które: a) są mniejsze od –7, b) są większe od 4, c) są większe od –7 i jednocześnie mniejsze od 4. 1.70. Podaj liczbę całkowitą, która: a) jest przeciwna do liczby przeciwnej do liczby –6, b) jest odległa od liczby 0 o 5 jednostek, c) jest odległa od liczby 0 o mniej niż 3, d) jest przeciwna do wartości bezwzględnej liczby –7. 1.71. W miejsce a) −4

wstaw znak „<”, „>” lub „=”.

− ( −4 ) ,

b) −9

−7, − ( −2 ) ,

d) 5

−3,

e) 0

g) 0

−3,

h) − ( −8 )

c) 2

− ( −2 ) ,

f) − ( −1) i) –5

− ( −3),

− [ − ( −5 )].

1.72. Podaj wszystkie liczby całkowite ujemne: a) parzyste większe od liczby −10, b) nieparzyste mniejsze od −14 i większe od −20, c) większe od −30 i podzielne przez 5, d) większe od −15, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1. 1.73. Zaznacz na osi liczbowej liczby całkowite, które są: a) dodatnie i mniejsze od 2, b) ujemne i większe od –4, c) dodatnie i nie większe niż 5, d) parzyste ujemne i większe od –12. 1.74. Uzupełnij brakujące współrzędne zaznaczonych punktów. a b)

1. Liczby i działania na nich

1.75. Na rysunku przedstawiono górę lodową. a) Na jakiej wysokości nad poziomem morza znajduje się wierzchołek góry lodowej? b) Do jakiej głębokości sięga zanurzona część góry lodowej? c) Oblicz wysokość góry lodowej. 1.76. Na najwyższym szczycie Himalajów Mount Everest odnotowano temperaturę –35°C, a o 100 metrów niżej o 5°C wyższą. Ile stopni Celsjusza wskazywał termometr na niższej wysokości? 1.77. W tabeli podano temperatury panujące na planetach Układu Słonecznego. Planeta

Merkury

Wenus

Ziemia

Temperatura od –180° w °C do +430°

+465°

od –75° od –120° –150° do +55° do +25°

Wypisz: a) planety o stałej temperaturze, c) planetę najcieplejszą.

Mars

Jowisz Saturn –180°

Uran Neptun –210°

–210°

b) planety, na których jest najzimniej,

1.78. W miejsce ...... wpisz słowo „mniejsza” lub „większa”. a) Z dwóch liczb dodatnich ta jest mniejsza, której odległość od liczby 0 jest ............ . b) Z dwóch liczb ujemnych ta jest mniejsza, której odległość od liczby 0 jest ............ . 1.79. Temperatura w zamrażarce jest równa –13°. Wiemy, że jeśli otworzymy drzwi, to przez pewien czas temperatura wzrasta o 3°C na minutę. Otwieramy drzwi zamrażarki. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Po trzech minutach temperatura w zamrażarce wzrośnie do –3°C. Temperatura w zamrażarce jest równa –9°C, zatem drzwi tej zamrażarki były otwarte przez 2 minuty. 1.80. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Spośród nierówności ponumerowanych od 1 do 8: 1. 5 ≥ 4 , 2. 15 ≤ 16 , 3. −12 < −15 , 5. −2 > −8 , 6. −1 < 0 < 2 , 7. 3 > −4 > −1 , nieprawdziwe są nierówności o numerach: A. 1, 2, 4, 6, B. 1, 2, 3, 4, C. 3, 5, 7, 8, .

4. −1 > −2 , 8. −10 > 0 > 9 D. 3, 4, 7, 8.

1. Liczby i działania na nich

Odpowiedzi i wskazówki Liczby pierwsze i liczby złożone 1.1. a) 0 i 9, b) 10 i 99, c) 100 i 999, d) 1000 i 9999. 1.3. a) 11, 13, 17, 19, b) 97.

1.2. 21 liczb naturalnych.

1.4. 71, 73, 79.

1.5. Liczba złożona: a), b), d), liczba pierwsza: c), e). 1.6. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Jest 15 liczb pierwszych mniejszych od 50. 1.8. Wskazówka. Na przykład 5 + ( 2 + 4 + 6 + 8 ) = 25.

1.9. B.

1.10. C.

1.11. F, P.

Podzielność liczb naturalnych 1.12. a) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, b) 1, 3, 19, 57, c) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80, 1.13. a) 6 dzielników, b) 8 dzielników, c) 12 dzielników, d) 9 dzielników.

d) 1, 7, 13, 91.

1.14. a) 1 lub 4, lub 7, b) 0 lub 4, lub 8, c) 0 lub 6, d) dowolna cyfra od 0 do 9, e) 0 lub 5, f) dowolna cyfra od 1 do 9, g) 7, h) 2 lub 5, lub 8, i) 0, j) kolejno: 1 i 0 lub 2 i 5, lub 4 i 0, lub 5 i 5, lub 7 i 0, lub 8 i 5. 2

1.15. C. 2

1.17. a) Tak, b) nie, bo 57 = 3 ⋅19, c) tak.

1.16. C.

1.18. a) 1372 = 2 ⋅ 7 , b) 5292 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 , c) 1326 = 2 ⋅ 3 ⋅13 ⋅17 . 1.19. a) 75, 600, 1800, 4308, 6000, b) 8, 600, 1800, 4308, 6000, c) 1800, d) 75, 600, 1800, 6000, e) 1800, f) 2, g) 600, 1800, 6000.

1.20. F, P.

1.21. A i C.

1.22. P, P.

1.23. Wskazówka. Uzasadnij, że liczba 546 210 dzieli się przez 5 i przez 9. 1.24. Wskazówka. Jeżeli każdy składnik sumy dzieli się przez pewną liczbę a, to suma tych składników też dzieli się przez a.

1.25. Wskazówka. Wypisz wszystkie dzielniki liczby 18 i dodaj.

1.26. Wskazówka. Dzielnikami liczby 30 są liczby: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 i 30. 1.27. Tak - C.

Największy wspólny dzielnik NWD i najmniejsza wspólna wielokrotność NWW 1.28. a) 119, b) 38, c) 121.

1.29. Nie, bo liczba uczniów klasy VII c byłaby równa co najmniej

iloczynowi liczb 5 ⋅ 7 ⋅ 2 , a klas liczących 70 uczniów nie ma.

1.30. a) NWD ( 8, 12 ) = 4 ,

NWW (8, 12 ) = 24 , b) NWD ( 64, 144 ) = 16 , NWW ( 64, 144 ) = 576 , c) NWD ( 26, 39 ) = 13 , NWW ( 26, 39 ) = 78 , d) NWD ( 40, 100 ) = 20 , NWW ( 40, 100 ) = 200 , e) NWD (14, 112 ) = 14 , NWW (14, 112 ) = 112 , f) NWD (1000, 32 ) = 8 , NWW (1000, 32 ) = 4000 .

1.31. C.

1.32. 13 dzieci. Wskazówka. Oblicz NWD liczb: 26, 39, 13, 52 i 65. 1.33. 8 pudełek. Wskazówka. Oblicz NWW (108, 180 ) , a następnie liczbę potrzebnych pudełek.

Odpowiedzi i wskazówki

1.34. a) 5, 52 , 5 ⋅ 2 , 5 ⋅ 22 , 5 ⋅17 , 52 ⋅ 2, 52 ⋅ 22 , 52 ⋅ 22 ⋅17 , 52 ⋅ 2 ⋅17 , b) 17, 5 ⋅17 , 52 ⋅17 , 2 ⋅17 , 22 ⋅17 , 5 ⋅ 2 ⋅17 , 5 ⋅ 22 ⋅17 , 52 ⋅ 2 ⋅17 , 52 ⋅ 22 ⋅17 , c) 2, 5, 17, d) 2, 4, 5. Wskazówka. 1700 = 22 ⋅ 52 ⋅17 . 1.35. a) 87 i 28 899, b) 87, c) 28 899, d) 28 899 i 507, e) 28 899 i 87.

1.36. B i D.

1.37. a) 11, 13, 17, 19, b) 1, 2, 4, 5, 10, 20, c) 9, 18, 36, d) 3, 9, 15. 1.38. Co 2 minuty. Wskazówka. Liczba sekund jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 40 1.39. Wskazówka. Każda liczba pierwsza n ma tylko dwa dzielniki: 1 i n.

i 60.

1.40. Wskazówka. Liczba uczniów tej klasy jest równa 21, bo NWD ( 84, 63) = 21. 1.41. Wskazówka. Słupki nie zmieniają swojego położenia co 180 metrów, bo NWW ( 45, 60 ) = 180.

135 120

180

225

180

240

Dziesiątkowy system zapisu liczb naturalnych 1.42. a) 305, b) 428.

1.43. a) 10a + 4 , b) 5 ⋅10 + a .

1.45. a) 10a + b , b) 10b + a . 1.47. 6420.

1.48. D.

1.44. a) O 500, b) 10 razy.

1.46. a) 14, 23, 32, 41, 50, b) 17, 28, 39, 93, 82, 71, 60, c) 41, 82. 1.49. B i D. Wskazówka. Liczbę dwucyfrową zapisujemy jako 10a + b ,

liczbę czterocyfrową jako 1000a + 100b + 10a + b , czyli 1010a + 101b = 101(10a + b ). 1.50. Tak – B. Wskazówka. Jest to liczba 124, bo w liczbie 248 cyfra jedności jest większa od 7. 1.51. a) 9, b) 10. Wskazówka. b) 400, 310, 301, 220, 202, 211, 112, 121, 130, 103. 1.52. Wskazówka. Wypisz te liczby.

Rzymski system zapisu liczb naturalnych 1.53. a) XLI, XLII, XLIV, XLV, XLVI, XLVIII, XLIX, b) XCI, XCII, XCIII, XCIV, XCV, XCVI, XCVII, XCVIII, c) CDXCV, CDXCVI, CDXCVIII, CDXCIX, DI, DIII, d) CMLXXXIX, CMXC, CMXCI, CMXCIII, CMXCIV, CMXCV, CMXCIX, e) MCDXL, MDXL, MDCCXL, MDCCCXL, MCMXL, f) MMCD, MMD, MMDC, MMDCC, MMDCCC, MMCM. 1.55. a) 101, b) 55, c) 1105, d) 1110, e) 705, f) 401, g) 910, h) 2010, i) 1105,

1.54. B. j) 506.

1.56. a) 1635, b) 1986, c) 1773, d) 2001.

1.58. Wskazówka. Szukane liczby to 1666 i 1444.

1.57. A.

1.59. A.

1.60. a) 6, b) 133, c) 140, d) 310, e) 790, f) 400, g) 1000, h) 590, i) 2000. 1.61. A i C.

1.62. F, P.

1.63. 304 lata.

1.64. a) 603 km, b) 450 km, c) 909 km.

Liczby całkowite na osi liczbowej 1.65.

–4 17 –2 –8 –13 9 7 −a 4 –17 2 8 13 –9 –7 − ( − a ) –4 17 –2 –8 –13 9 7 a

0 0 0

1.66. a) 3, b) 2, c) 0, d) 2, e) 0, f) 6. 1.67. B.

1. Liczby i działania na nich

42 −7 = 7

7 =7

1.68. Wskazówka. a)

7 –7 0 1 ujemną, c) odległość na osi od zera jest równa zero.

c) –6, 0, 2.

b) zauważ, że odległość jest liczbą nie1.69. Np.: a) –15, –10, –8, b) 5, 12, 100,

1.70. a) –6, b) 5 lub –5, c) –2, –1, 0, 1, 2, d) –7.

1.71. a) „<”, b) „<”, c) „=”, d) „>”, e) „<”, f) „<”, g) „>”, h) „>”, i) „=”. 1.72. a) –8, –6, –4, –2, b) –19, –17, –15, c) –25, –20, –15, –10, –5, d) −11 − 7, –3. Wskazówka. d) −11 = −3 ⋅ 4 + 1. −7 = −2 ⋅ 4 + 1. −3 = −1 ⋅ 4 + 1. 1.73. a)

1.74. a)

1.75. a) 20 m, b) 70 m, c) 90 m.

1.76. –30°C.

Neptun, b) Uran, Neptun, c) Wenus.

1.77. a) Wenus, Jowisz, Saturn, Uran,

1.78. a) Mniejsza, b) większa.

1.79. F, F.

1.80. C. Wskazówka. Zaznacz na osi liczbowej pary liczb albo trójki liczb i je porównaj.

Działania na liczbach całkowitych 1.81. –2 pkt.

1.82. a) 0, b) −129 .

c) 36, d) 4, e) –51,

1.83. a) –5, b) 0, c) 100.

1.84. a) −3, b) −11,

1.85. a) 672 ⋅ 809 < 672 ⋅ 810 , b) 460 ⋅ ( −538 ) < 460 ⋅ 536 ,

f) 7.

c) ( −503) ⋅ ( −645 ) < ( −503) ⋅ ( −646 ) , d) 348 ⋅ ( −157 ) = ( −348 ) ⋅157 . 1.86. a) 0, b) 0, c) 0, d) liczba dodatnia. 1.88. B i C.

1.87. a) –50, b) –375, c) 15.

1.89. a) –8, b) –14, c) –59, d) 2.

1.90. Np. a) −4 ⋅ 5, b) −12 : 2, c) −54 + 24, d) −20 − ( −10 ) . 1.91. Wskazówka. a) Zauważ, że nawiasów jest 50, a wartość różnicy liczb w każdym nawiasie jest równa –1.

1.92. c) 37 + 0 = 0 + 37 , d) 1 ⋅ 23 = 23 ⋅1, e) 45 ⋅1 = 0 + 45 , f) 11 − 0 = 1 ⋅11, h) 0 ⋅1 = 0 : 1 .

1.93. Np. a) 4 i 5, 2 i 6, 1 i 7, b) –4 i –5, –2 i –6, –1 i –7, c) –5 i 4, –6 i 2, –7 i 1, d) 5 i – 4, 6 i –2, 7 i –1.

1.94. Wskazówka. a + ( − a ) = a − a = 0, gdzie a jest dowolną liczbą.

Prawa rozdzielności 1.95. a) − ( −37 − 11) , b) − ( −45 + 12 ), c) − (15 − 7 ), d) − (128 + 57 ) .

1.96. a) 97 ⋅100 ,

b) −114 ⋅ 200, c) 38 ⋅ 2 , d) −5 ⋅ 300, e) 1075 ⋅ ( −1) , f) 125 ⋅1, g) 365 ⋅ 0, h) 282 ⋅ 0 . 1.97. a) 21, b) 27, c) 94, d) 171, e) 437, f) 1.

1.98. a) 760, b) 780, c) 2793, d) 2058,

e) 7623, f) 665 334. Wskazówka. Jeden z czynników przedstaw w postaci sumy albo różnicy dwóch

Przedstawiliśmy Państwu początkowy fragment publikacji. Mamy nadzieję, że zainteresowała Państwa nasza oferta.

Po szczegóły zapraszamy na stronę internetową www.podkowa.gda.pl. Wydawnictwo Podkowa sp.j.

e-mail

ZAMIAST KOREPETYCJI z matematyki

Temat: Uwierz w siebie! Od: www.podkowa.gda.pl (Wydawnictwo Podkowa) Do: Ciebie Jeśli masz problemy z rozwiązywaniem zadań, to ten zbiór pozwoli Ci uwierzyć, że matematyka jest prosta i piękna. Zadania w zbiorze są tak dobrane, że poprowadzą Ciebie „krok po kroku” do opanowania umiejętności matematycznych, łącznie z dowodzeniem, uzasadnianiem i wykazywaniem. Ponadto po rozwiązaniu zadań z tego zbioru będziesz świetnie przygotowany do egzaminu ósmoklasisty :-) Autorki

M A T E M A T Y K A

ISBN 978-83-65120-84-7

klasy

7. i 8.