Zbiór zadań maturalnych – zakres rozszerzony by Wydawnictwo Podkowa

M A T E M A T Y K A

Podręczniki i zbiory zadań dostosowane są do podstawy programowej z dnia 27.08.2012 r.

Matura z matematyki w roku 2015, 2016, ...

M A T E M A T Y K A

[...] Staranny przekaz i rysunki, dbałość o to, aby uczeń miał wiele możliwości rozstrzygnięcia problemu matematycznego [...] [...] Uczeń ma okazję wykazać się interpretowaniem pojęć matematycznych i ich stosowaniem. Dokładna zgodność w tematach i treściach z punktami podstawy programowej [...] dr Alicja Molęda

[...] W podręczniku prezentowane są treści programowe precyzyjnie, jasno i przekonywująco. Przykłady, zadania ćwiczenia zachęcają do uczenia się matematyki i pokazują jej wielką utylitarność. [...] prof. dr hab. Tadeusz Stanisz

Matematyka w otaczającym nas świecie. Część 1.

Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-422 Gdańsk 22 tel. 602 211 526 dział zamówień i reklamacji tel./fax 585 208 745 pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl

ISBN 978-83-88299-54-4

M A T MATEMATYKA E w otaczającym nas świecie M A Część . T Y K A Alicja Cewe Małgorzata Krawczyk Maria Kruk Alina Magryś-Walczak Halina Nahorska

zakres rozszerzony

Przedruk treści rozszerzonych z podręcznika dla klasy 1. o numerze ewidencyjnym 596/1/2012

licea ogólnokształcące technika

DO NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Książka adresowana jest do uczniów szkół ponadgimnazjalnych, którzy zamierzają kontynuować naukę matematyki w zakresie rozszerzonym od klasy drugiej.

M A T MATURA z matematyki w roku 2015 E 2016 2017 M 2018 A T Y K A Praca zbiorowa pod redakcją Alicji Cewe, Haliny Nahorskiej, Aliny Magryś-Walczak

Wydanie drugie

2019

2020 2021

2022 2023

Zbiór zadań maturalnych zakres rozszerzony

ISBN 978-83-65120-99-1

DO PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z DNIA 27.08.2012

Alicja Cewe Jadwiga Kobierowska Alina Magryś-Walczak Halina Nahorska Irena Stepuro Jadwiga Witkowska

MATURA

z matematyki w roku 2015 Wydanie drugie 2016

2017

2018

2019

2020 2021 2022 2023

Zbiór zadań maturalnych zakres rozszerzony

Gdańsk

Autorki:

Alicja Cewe, Jadwiga Kobierowska, Alina Magryś-Walczak, Halina Nahorska, Irena Stepuro, Jadwiga Witkowska

Projekt okładki: Zdjęcie na okładce: Skład i rysunki:

Alicja Cewe, Julia Gierej Julia Gierej Jarosław Mach

Zadania w zbiorze wyczerpują wszystkie umiejętności wymienione w podstawie programowej z dnia 27 sierpnia 2012 r.

Wydanie drugie (uzupełnione) ISBN 978-83-65120-99-1

Spis treści Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Liczby rzeczywiste . . . . . . . . . . 7 Zadania zamknięte . . . . . . . . . . . .

Zadania otwarte . . . . . . . . . . . . . 9 Liczby rzeczywiste i działania na nich. . . . 9 Logarytmy . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . 17

2. Wyrażenia algebraiczne . . . . . . . . 21 Zadania zamknięte . . . . . . . . . . . . 21 Zadania otwarte . . . . . . . . . . . . . 23 Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . 31

3. Równania, nierówności i ich układy . 36 Zadania zamknięte . . . . . . . . . . . . 36 Zadania otwarte . . . . . . . . . . . . . Równania i nierówności z jedną niewiadomą Układy równań z dwiema niewiadomymi i ilustracja graficzna ich rozwiązania . . . . Nierówności z dwiema niewiadomymi i ich układy . . . . . . . . . . . . . . . . Równania i nierówności z parametrem . . . Równania i nierówności kwadratowe z parametrem . . . . . . . . . . . . . . .

38 38 43 43 45 46

Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . 51

4. Funkcja, jej wykres i własności. . . . 71 Zadania zamknięte . . . . . . . . . . . . 71 Zadania otwarte . . . . . . . . . Funkcja liniowa . . . . . . . . . . Funkcja kwadratowa . . . . . . . Wielomiany . . . . . . . . . . . Funkcje wymierne. . . . . . . . . Funkcje wykładnicza i logarytmiczna

. . . . . .

75 75 80 84 86 89

Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . 93

5. Geometria analityczna . . . . . . . 109 Zadania zamknięte . . . . . . . . . . . 109 Zadania otwarte . . . . . . . . . . Wektory . . . . . . . . . . . . . . Proste na płaszczyźnie kartezjańskiej. Okrąg, koło i prosta . . . . . . . . . Zadania różne . . . . . . . . . . .

. . . . .

112 112 114 116 120

Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . 121

6. Ciągi liczbowe . . . . . . . . . . . . 130 Zadania zamknięte . . . . . . . . . . . 130 Zadania otwarte . . . . . . . . . . . Ciąg arytmetyczny i geometryczny . . . Ciągi określone wzorem rekurencyjnym . Granica ciągu . . . . . . . . . . . . . Szereg geometryczny . . . . . . . . .

. . . . .

133 133 135 137 139

Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . 141

7. Rachunek różniczkowy . . . . . . . 147 Zadania zamknięte . . . . . . . . . . . 147 Zadania otwarte . . . . . . . . . . . . Granica i ciągłość funkcji . . . . . . . . Pochodna funkcji . . . . . . . . . . . . Zagadnienia optymalizacyjne z elementami rachunku różniczkowego . . . . . . . .

150 150 153 159

Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . 161

8. Trygonometria . . . . . . . . . . . . 170 Zadania zamknięte . . . . . . . . . . . 170 Zadania otwarte . . . . . . . . . . Obliczenia trygonometryczne . . . . Tożsamości trygonometryczne . . . . Wykresy funkcji trygonometrycznych . Równania trygonometryczne . . . . . Nierówności trygonometryczne. . . .

. . . . . .

173 173 176 178 181 182

Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . 184

_Księga Matura Matma R.indb 3

2015-06-18 10:35:36

Spis treści

9. Planimetria . . . . . . . . . . . . . . 200 12. Przykłady zadań otwartych Zadania zamknięte . . . . . . . . . . . 200 z poleceniem „Zakoduj...” . . . . . . 287 Zadania otwarte . . . . . . . . . . . Twierdzenie Talesa i podobieństwo . . . Jednokładność . . . . . . . . . . . . Twierdzenia sinusów i cosinusów. . . . Czworokąt wpisany w okrąg i czworokąt opisany na okręgu. . . . . . . . . . . Zadania optymalizacyjne z elementami rachunku różniczkowego . . . . . . .

. . . .

203 13. Zestawy p owtórkowe 203 Zestaw I . . . . . . . . 206 Zestaw II . . . . . . . . 208 Zestaw III . . . . . . .

. 210 . 213

Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . 214

10. Stereometria . . . . . . . . . . . . . 230 Zadania zamknięte . . . . . . . . . . . 230 Zadania otwarte . . . . . . . . . . . Przekroje brył . . . . . . . . . . . . . Pola powierzchni i objętości brył . . . . Zadania optymalizacyjne z elementami rachunku różniczkowego . . . . . . .

. . . . . . . . 290 . . . . . . . . 290 . . . . . . . . 293 . . . . . . . . 296

Zestaw IV . . . . . . . . . . . . . . . 299 Odpowiedzi i wskazówki Zestaw I . . . . . . . . Zestaw II . . . . . . . . Zestaw III. . . . . . . . Zestaw IV. . . . . . . .

. . . . .

303 303 303 304 306

. 233 . 233 . 236

Podstawa programowa z dnia 23 grudnia 2008 roku do nauczania matematyki . . . . . . . . . . . . . . 307

. 240

Treści nauczania – wymagania szczegółowe . . . . . . . . . . . . . . 307 Cele kształcenia – wymagania ogólne . . 312

Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . 243

11. Prawdopodobieństwo i statystyka . 260 Zadania zamknięte . . . . . . . . . . . 260 Zadania otwarte . . . Statystyka . . . . . . Kombinatoryka . . . . Prawdopodobieństwo .

. . . .

264 264 264 267

Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . 275

_Księga Matura Matma R.indb 4

2015-06-18 10:35:36

Wstęp Wydanie drugie (uzupełnione) książki „Matura z matematyki w roku 2015, 2016, 2017, ... – zakres rozszerzony” jest zbiorem zadań ilustrujących wszystkie wymagania z matematyki na poziomie rozszerzonym, zawarte w podstawie programowej z dnia 27 sierpnia 2012 roku, z uwzględnieniem formy egzaminu końcowego, czyli matury od 2015 roku. Zbiór zawiera 963 zadania otwarte oraz 254 zadania zamknięte różnego rodzaju. Wśród zadań otwartych są zadania na dowód matematyczny wymagające przedstawienia przez maturzystę pisemnego toku rozumowania, a także zadania na zastosowanie matematyki w życiu codziennym. Zadania zamknięte wymagające od maturzysty segregacji informacji, poddania ich własnej ocenie i argumentacji wyboru, podzielone są na dwie grupy: I i II. I. Zadania, których rozwiązanie polega na zaznaczeniu jednej poprawnej odpowiedzi spośród proponowanych czterech: A, B, C lub D. Są to m.in.: 1° Wskaż jedną poprawną odpowiedź. Np.: Zbiorem wszystkich liczb spełniających nierówność

x3 − 1 > 0 jest zbiór: x −1

A) R,

B) ( −∞; 1) ∪ (1; + ∞ ),

C) (1; + ∞ ) ,

  1 − 3   −1 + 3 D)  −∞; ; + ∞ . ∪ 2   2  

2° Oceń poprawność podanych zdań i wybierz jedną poprawną odpowiedź spośród A)

gdzie, np.

– oznacza w kolejnych wierszach: prawda (P), fałsz (F),

– oznacza w kolejnych wierszach: prawda (P), prawda (P).

3° Wskaż odpowiednie uzasadnienie wyboru odpowiedzi spośród Tak (T) i Nie (N) A)

T–A

gdzie, np.

B) T – B

C) N – A

D) N – B

T–A

– oznacza „Tak, ponieważ A”,

N–B

– oznacza „Nie, ponieważ B”.

II. Zadania, których rozwiązanie polega na zaznaczeniu wszystkich poprawnych odpowiedzi spośród tych, które są proponowane.

_Księga Matura Matma R.indb 5

2015-06-18 10:35:38

Wstęp

W zbiorze oznaczono: 10.86. – zadanie o podwyższonym stopniu trudności, f MIN

– wartość najmniejsza funkcji f,

f MAX

– wartość największa funkcji f,

f min

– minimum lokalne funkcji f,

f max

– maksimum lokalne funkcji f.

Wiele badań przeprowadzonych w różnych krajach potwierdziło, że rozwiązywanie zadań zamkniętych różnego rodzaju służy nie tylko ocenie, lecz również sprzyja doskonaleniu umiejętności i prowokuje do myślenia. Proponujemy nie pomijać ich przy powtórkach matematyki przed maturą. Odpowiedzi i wskazówki do zadań w każdym rozdziale są na stronach oznaczonych szarym paskiem na marginesie. Życzymy powodzenia Autorki

_Księga Matura Matma R.indb 6

2015-06-18 10:35:39

1. Liczby rzeczywiste Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 14. wskaż poprawną odpowiedź

1. Liczba 0,2222... jest liczbą: A) mniejszą od

2. Jeśli a = A) a < b ,

3. Czy liczby

2 , 9

B) niewymierną,

1 1 2 i b= − + 1, to: 5 −1 5 3 −1 B) a = b ,

C) większą od

C) a > b ,

1 , 3

D) wymierną.

D) a = −b.

7 − 2 10 7 + 2 10 i są wzajemnie odwrotne? 3 3

Wybierz odpowiedź T (tak) lub N (nie) i jej uzasadnienie spośród oznaczonych literami A i B. T

7 − 2 10 7 + 2 10 ⋅ ≠ 1. 3 3

7 − 2 10 7 + 2 10 ⋅ = 1. 3 3

ponieważ N

T – A

T – B

C) N – A

D) N – B

3 3 4. Czy (1 + 5 ) + (1 − 5 )  = 210 ?





Wybierz odpowiedź T (tak) lub N (nie) i jej uzasadnienie spośród oznaczonych literami A i B. 2

 1+ 5 3 + 1− 5 3 = ) ( )  ( T

{

3 3 2 B (1 + 5 ) + (1 − 5 )  = (1 + 3 5 + 15 + 5 5 + 1 − 3 5 + 15 − 5 5 ) = 322 .  

A = 1+ 5 +1− 5 ⋅  1+ 5 2 − 1+ 5 1− 5 + 1− 5 2  ( ) ( ) ( )( ) ( )  ponieważ 2 = 2 ⋅ 1 + 2 5 + 5 − (1 − 5 ) + 1 − 2 5 + 5 = 2 ⋅162 .

T – A

T – B

C) N – A

D) N – B

5. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe lub F – jeśli jest fałszywe. Jeśli x ∈ ( −∞; − 2 lub x ∈ 2; + ∞ ), to x ≥ 2.

Jeśli x ∈ ( −∞; 2 ) i x ∈ ( −2; + ∞ ) , to x ∈ −2; 2 .

_Księga Matura Matma R.indb 7

2015-06-18 10:36:56

1. Liczby rzeczywiste

6. Jeżeli n = 12k , gdzie k jest liczbą pierwszą, to liczba n3 nie dzieli się przez: A) 27,

B) 60,

C) 64,

D) 216.

7. Zbiór liczb, które spełniają nierówność x − 2 ≤ 3, przedstawiono na osi: A)

–3

0 1

–1 0 1

–5

0 1

8. Zbiorem rozwiązań nierówności x + 2 ≥ 5 jest: A) ( −∞; − 7 ∪ 3; + ∞ ),

B) −7; 3 ,

C) ( −∞; − 3 ∪ 7; + ∞ ),

D) −3; 7 .

9. Interpretacja geometryczna nierówności x + 5 < 2 przedstawiona jest na rysunku: A) C)

–7

–3

B) D)

–7

–3

10. Na rysunku przedstawiona jest interpretacja geometryczna nierówności: 3 A) x + 1 ≤ , 2

B) x +

1 3 ≥ , 2 2

C) x −

–2

1 3 ≥ , 2 2

D) x −

1 3 ≤ . 2 2

11. Liczba log 2 3 ⋅ log3 4 ⋅ log 4 5 ⋅ log5 6 ⋅ log 6 7 ⋅ log 7 8 jest: A) niewymierna,

B) całkowita,

C) kwadratem liczby naturalnej,

D) większa od 7.

12. Jeżeli a ∈ R + \ {1}, b ∈ R + i log a b = 3, to: Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe lub F – jeśli jest fałszywe.

log a ab = 4.

1 logb ab = 1 . 3

(

)

13. Dziedziną funkcji f określonej wzorem f ( x ) = 3 − log 2 x 2 − 8 jest: A) −2; 2 ,

B) ( −∞; − 2 ) ∪ ( 2; + ∞ ),

C) ( −∞; − 4 ) ∪ ( 4; + ∞ ),

D) ( −∞; ∞ ).

_Księga Matura Matma R.indb 8

2015-06-18 10:37:02

Zadania otwarte. Liczby rzeczywiste i działania na nich

14. Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji logarytmicz-

nej f określonej wzorem: A) f ( x ) = log 1 ( x − 1) , 2

C) f ( x ) = log 1 ( x + 1) ,

D) f ( x ) = − log 1 x .

y = f ( x)

B) f ( x ) = − log 2 x ,

–1

W zadaniach od 15. do 20. wskaż odpowiedzi, które są poprawne.

15. Liczba 28! jest podzielna przez: A) 27,

B) 53,

C) 88.

B) 818 − 1,

C) 21 7063 + 1.

16. Przez 7 dzieli się liczba: 100  A)  ,  4 

17. Liczba postaci 2 ⋅ 6n +1 − 2 ⋅ 3n + 2 + 6n + 2 − 2 ⋅ 3n + 3, gdzie n ∈ N i n ≥ 4, jest podzielna przez: A) 24,

B) 2016,

C) 1944.

18. Jeśli a = 8 − 2 15 i b = 5 − 3 , to: A) a = b ,

19. Jeżeli x = A) x =

B) a > b ,

C) b ≥ a .

log 2 5 , to: log 2 9

log 4 5 , log 4 9

B) x = log5 9,

C) x = log9 5.

10 = 1000, gdzie a ∈ R + i b ∈ R + , to: b a B) log ( ab ) = 1000, C) log = 2. b

20. Jeżeli log (10a ) = 2000 i log A) log a = 1999,

Zadania otwarte Liczby rzeczywiste i działania na nich

1.1. Wykonaj działania i określ, czy wynik należy do zbioru liczb wymiernych (W) czy zbioru liczb niewymiernych (NW). 1 1 1 1− + − + ... 3 9 27 a) , 0 , (1) + sin 330°

_Księga Matura Matma R.indb 9

−1 −1 b) ( 2 ) + 2  ⋅  2 − ( 2 )  ,    

c) 16−log 2

2015-06-18 10:37:08

1. Liczby rzeczywiste

5 5 d)   : ,  3 3

1  e)  2 +  , 2 

(

5 − 2) . 3

1.2. Oblicz: a)

(

5 −2

)(

 1  b)  5 2 + 2  ,    

)

25 + 2 5 + 4 ,

1  1 1 1  1 c)  4 3 − 33  16 3 + 12 3 + 9 3 ,      

1  1 d)  33 − 2 2  .    

1.3. Wyznacz liczby x i y, aby spełnione było równanie: a)

(

3 − 2) = x + y 6, 2

b) ( 3 − 7 ) = x + y 7 , c) 3

1.4. Wykaż, że: 1  5 1 −2  −    a) 12 +   ⋅  2 ⋅ 3−1 − 9 2     8 3    

−

1 3

2 = , 5

(

5 − 2) − ( 5 + 2) = x + y 5 . 3

 1  3 − 1  b) 3 2 − 0, 25 ⋅  3 2 − 3 2   : 6− 0,5 = 2 .      

1.5. Sprawdź, czy prawdziwe są równości: 1

3− 2 2 =

9 + 2 14 = 2 + 7 ,

3+ 2 2

2+ 3 =

1 2− 3

d) 13 − 2 30 = 10 − 3 .

1.6. Sprawdź, czy liczby x i y są liczbami przeciwnymi (czyli x = − y ), gdy: a) x =

2 3 + , y = 2 2 − 15, 3− 2 2 3+ 2 2

b) x =

3 1 + , y = 5 + 2. 5− 2 5+ 2

1.7. Wyznacz odwrotność liczby x, gdy: a) x =

2 1 − , 5− 3 5+ 3

d) x = 3 3 − 3 4 ,

b) x =

1 2 + , 2 2 −1

e) x = 3log9 2 − log3 4 ,

c) x = 2 − 3 3 , f) x =

log 4 49 ⋅ log 7 81 . log 7 729 ⋅ log 4 7

1.8. Usuń niewymierność z mianownika: a)

13 + 12

13 − 12 10 d) , 3− 3 7

_Księga Matura Matma R.indb 10

b) e)

4 , 1− 2 + 3 3

12 , 4+2

12 , 15 − 6 + 35 − 14

c) f)

2 . 25 + 15 + 3 9 3

2015-06-18 10:37:14

Zadania otwarte. Liczby rzeczywiste i działania na nich

1.9. Porównaj liczby x i y, gdy: a) x =

4 2, 3

9 3, 8

 2  − 3  b) x =  −  + 3 ⋅ 2− 3   3   c) x = d) x =

1 , 5−34

e) x = 4 5 − 2 6 ⋅

(

1 + 3 ⋅ 83 ,

2 2 2  −   1  3 − 3  1  3  23 4  y = 3 81 ⋅   ⋅ 9 ⋅   :4 ,  3  27   55  

y = 3 25 − 3 20 + 2 3 2 ,

log 6 9 ⋅ log 6 16 , log 6 3 ⋅ log 6 32

−2

y = 2 − 0, 41,

3+ 2,

y = 9 − 4 5 + 14 − 6 5 ,

)

f) x = log 4 2 8 + log8 3 0, 25,

1 y =  6

log 6 ( 0,57 ) −1

1.10. Sprawdź, czy liczby x, y, z spełniają warunek y − x = z − y , gdy: a) x = 12 − 3, y

1 = 12 2

+ 3, z = 9 +

2 27 , 3

π π b) x = sin 2π , y = cos , z = tg 2 , 3 4 c) x = 2 log 5 + log 4 , y = log 8 + 3 log 5, z = log

3 9.

1.11. Zamień na ułamek zwykły liczbę: a) 0,(6),

b) 2,(27),

c) 0,0(3),

1.12. Sprawdź, czy liczby x, y, z spełniają warunek

d) 1,2(7).

y z = , gdy: x y

π π a) x = 0, ( 9 ) , y = cos , z = sin , 4 6 b) x = 810,25 − 13 , y = tg

π π ⋅ ctg , z = 5 5

1 3

1 − 13 2

 3 5  1 , z =  25 − 3  , c) x = 5 − 2, y =  5+ 2 7   125 log 3 5 d) x = log 2 8, y = . , z= 4 16 1 log 0,1 10

_Księga Matura Matma R.indb 11

2015-06-18 10:37:22

1. Liczby rzeczywiste

1.13. Oblicz: a)

(

2 + 3 ) − 10 ( 2 + 3 ) , 4

b) 2

1  12 1    c) ( 6 − 2 5 ) 2 −  6 + 20 2   ,        

(

2+ 5 − 3 5 −2

)

+ 3⋅

(

)

2+ 5 − 3 5 −2 ,

 1 −3 −1,5  −1 d)   − ( 0, 5 )  ⋅ ( 0,125 ) + 2 2  ,    2  

12  3 e)  9 2 − 3433  .    

1.14. Oblicz: 17

5 − 25 16

5 3

3 2 3  − −  4  4  2 55 2 5  ⋅ 4!, b)   ⋅   ⋅    25  2 5   

7 1 − ⋅ ,  3 5 2

 2 + 1 3 − 2 − 1 3  − 132 , ) ( )  (

183 − 212 − 23 .

1.15. Oblicz: a) b)

22 − 1 32 − 22 42 − 32 20152 − 20142 + + + ... + , 2 +1 3+ 2 4+3 2015 + 2014 23 − 1

33 − 23

22 + 2 + 1 32 + 6 + 22

43 − 33

42 + 12 + 32

+ ... +

20153 − 20143

20152 + 2015 ⋅ 2014 + 20142

1 1 1 1 + + + ... + , 2 +1 3+ 2 4+ 3 100 + 99

c) d)

22 − 1 32 − 1 42 − 1 52 − 1 62 − 1 7 2 − 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 . 22 3 4 5 6 7

1.16. Wykaż, że: 6 + 6 + 14 + 21 = 1 +

a) c)

5 + 2 − 3 5 − 2 = 1,

e) liczba

3 7 + , 2 2

38 − 12 10 = 2 5 − 3 2 ,

b) d)

5 2 + 7 − 3 5 2 − 7 = 2,

54 − 30 3 + 3 54 + 30 3 jest liczbą naturalną.

1.17. Wykaż, że x = 2, gdy: a) x 11 − 6 2 = 6 − 2 2 ,

_Księga Matura Matma R.indb 12

b) 4 − 2 2 = x 3 20 − 14 2 .

2015-06-18 10:37:26

Zadania otwarte. Liczby rzeczywiste i działania na nich

1.18. Przybliżeniem liczby x z dokładnością do 0,2 jest liczba 3,6, a przybliżeniem liczby y z dokładnością do 0,1 jest liczba 4,2. Oszacuj wartość wyrażenia 3y ( x + y ) .

Aby oszacować wartość wyrażenia 3yy ( x + y ) , postępujemy następująco. 1° Z warunków zadania otrzymujemy nierówności 3, 6 − 0, 2 ≤ x ≤ 3, 6 + 0, 2 i 4, 2 − 0,1 ≤ y ≤ 4, 2 + 0,1, 3, 4 ≤ x ≤ 3, 8 i 4,1 ≤ y ≤ 4, 3. 7, 5 ≤ x + y ≤ 8,1 2° Zatem mamy  , 12, 3 ≤ 3 y ≤ 12, 9 a po pomnożeniu odpowiednio stronami otrzymujemy nierówność 92, 25 ≤ 3 y ( x + y ) ≤ 104, 49. 3° Odpowiedź. Wartość wyrażenia 3yy ( x + y ) nie jest mniejsza niż 92,25 i nie jest większa .

niż 104,49. Postępując analogicznie, oszacuj wartość wyrażenia x ( x + 2 y ) , gdy przybliżeniem liczby x z dokładnością do 0,1 jest liczba 8,2, a przybliżeniem liczby y z dokładnością do 0,3 jest liczba 6,6.

1.19. Wykaż, że liczba 12 32132 − 1 jest podzielna przez 10. 1.20. Wykaż, że liczba 18! + 19! + 20! dzieli się przez 400. 1.21. Przyporządkuj każdemu równaniu i każdej nierówności odpowiednią ilustrację graficzną rozwiązania. 1. x ≤ 3

2. x ≥ 3

3. x − 3 = 2

4. x + 1 > 1

5. x − 1 = 2

6. 3 − x < 2

–5

–3

–1 0 1

–5

–3

–1 0 1

–5

–3

–1 0 1

–5

–3

–1 0 1

–5

–3

–1 0 1

–5

–3

–1 0 1

1.22. Zbiór przedstawiony na rysunku przedstaw w postaci nierówności z wartością bezwzględną. a) b) c) d)

_Księga Matura Matma R.indb 13

–1

–4 0 –9

x –2

2015-06-18 10:37:31

1. Liczby rzeczywiste

1.23. Uwzględnij podane założenie i doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie: a) x + 2 − x − 4 , gdy x ∈ ( 4; + ∞ ) ,

b) x + 2 − x − 4 , gdy x ∈ ( −2; 4 ),

c) x + 2 − x − 4 , gdy x ∈ ( −∞; − 2 ) ,

d) x + 1 − 1 − x + x − 2 , gdy x ∈ (1; 2 ),

x − x − 1, gdy x < −2, x

e) x + 1 +

x+2 x − + x − 5 , gdy −2 < x < 0 . x+2 x

1.24. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie: a) x − 2 − 2 − x , d)

2 ⋅ 3 − x i x ≠ 3, x −3

5 x − 25 14 ⋅ i x ≠ 5, 7 5− x

e) x − 2 ⋅ x + 2 ⋅

f) x − 2 − 4 ⋅ x − 2 + 4 ⋅

c) 3 x − 1 − 3 x − 3 ,

x − 4 x − 12

x −4

, x ≠ −2 i x ≠ 2, .

, x ≠ −2 i x ≠ 6. .

1.25. Rozwiąż: a)

x2 − 3 = 0,

d) −2 − x > 4, g) −2 x + 5 − 6 ≤ 0,

b) 2 x + 5 = 0,

c) 4 − x ≤ 5 ,

e) 6 − 2 − x ≤ 4,

f) 2 ( 3 x − 1) ≥ 10,

h) −

1 x − 4 − 6 ≥ 2, 2

i) 2 x + 1 − 3 x + 3 + x 2 + 2 x + 1 ≤ 1.

1.26. Uporządkuj liczby od najmniejszej do największej: a) 10

log

9 4

log3

10 4,

log 7 2−

1 3

b) log 2 (16 8 ), log 1 8, log

c) cos 330 °, − sin 405°, sin1440 °, − cos 780° , 1 1 , tg1440 °, . d) − tg 225°, tg 420 ° tg 660 ° .

Logarytmy

1.27. Oblicz:    a) log  2 −  log 1 5  ⋅ log       5

1 , 5  c) log a b ⋅ logb c ⋅ log c d ⋅ log d e ⋅ log e a,

d) log

e) log

f) log 5 ⋅ log 20 + ( log 2 ) ,

b) log3 7 ⋅ log5 3 ⋅ log 7 5 − 1, 6

3 ⋅ log3 36 , 2

3 8 ⋅ log 4 81,

g) log9 5 ⋅ log 25 27,

h) log5 22 − log 25 121 − log

i) log 4 5 + log 2 5 + log 1 62, 5,

j) log 2 7 − log 2 63 + log

_Księga Matura Matma R.indb 14

10 ,

36.

2015-06-18 10:37:41

Zadania otwarte. Logarytmy

1.28. Oblicz:

(

)

1 a) log5 25 − log 2 3 + log 2 36 + log3 3 , 2

b) − log 2 log 2 4 2 ,

c) 49log7 5 + 101− log 5 ,

1 log3 5 + 2 log 27 4 3 92 ,

e) ( log a b + logb a + 2 ) ( log a b − log ab b ) ⋅ logb a − 1, gdzie a ∈ R + \ {1}, b ∈ R + \ {1}.

1.29. Podaj odpowiednie założenia i zapisz w najprostszej postaci: a) 1 + 2 c) a e)

log a 2 log 2

logb ( logb a ) logb a

− 0, 5 ⋅ a

log 4 a 2

− 1,

logb4 a + log a4 b + 2 + 2 − logb a − log a b ,

3 n +1 2 d) log + log + ... + log i n ∈ N +, 1 2 n

64log8 13 − 36log6 12 .

1.30. Wyraź za pomocą a i b wyrażenie: a) log 25 48, gdy log5 4 = a i log5 3 = b, b) log ab x, gdy log a x = 2 i logb x = 3, gdzie a ∈ R + \ {1}, b ∈ R + \ {1}, x ∈ R + , c) log abc x, gdy log a x = 2, logb x = 3, log c x = 6, gdzie a ∈ R + \ {1}, b ∈ R + \ {1}, c ∈ R + \ {1}, x ∈ R + , d) log c x, gdy log a x = p, logb x = q , log abc x = r , gdzie a ∈ R + \ {1}, b ∈ R + \ {1}, c ∈ R + \ {1}, x ∈ R + .

1.31. Wyraź za pomocą a i b wyrażenie: a) log 49 16, gdy log14 28 = a,

b) log 2 360, gdy log3 20 = a i log3 15 = b.

1.32. Wyraź za pomocą a i b wyrażenie: a) log

b 4 , gdy log a b =

3 i a ∈ R + \ {1}, b ∈ R + , 4

b) log12 8, gdy log3 2 = a, c) log 6 16, gdy log12 2 = a,  log100 3 log100 5  1.33. Oblicz a , jeśli a =  5 log 3 ⋅ 3 log 5      −b

_Księga Matura Matma R.indb 15

d) log8 9, gdy log12 18 = a. 2 log15 8

oraz b = 4 36 − 16 5 ⋅ ( 4 + 2 5 ) 2 .

2015-06-18 10:37:53

1. Liczby rzeczywiste

1.34. Wykaż, że dla a ∈ R + \ {1} prawdziwa jest równość: a) log a

1 = −1, a

1 + 2 = log a a , a 1 d) log a 2 + log a = 0. 2

b) log a

c) log a ( ab ) = 1 + log a b ,

1.35. Wykaż, że

( 0 , 25)−1 + log1 ,2 1 , 2  log  2 − log 1   3

3 ⋅ log

= −5.

1  −1 3 

1.36. Wykaż, że ( log3 5 )−1 + ( log 7 5 )−1 < 2 . 1.37. Wykaż, że dla dowolnej liczby a > 0 prawdziwa jest nierówność log 2 (π a ) + log 2 (π + a ) ≥

2 − logπ π . log(π + a ) 10

1 1−log y

1.38. Wykaż, że z = 10

1 1−log z

1 1−log x

, gdy x = 10

i y = 10

1.39. Oblicz: a) log 2 ( log100 ) ,

b) 5

log 5 log 25

log 3 16 , log 1 8

d) 1000 3

− log 3 3

e) log 3 tg 30 °, .

cos100 ° , sin 10 ° .

f) log 4 sin 135 °,

g) sin 210° + log 2 2 ,

3 4

3 −  2

1  1 a a ⋅  ⋅  a    a

−

⋅ a 4 , gdzie a ∈ R + .

1.40. Wykaż, że: a) log 3 2 5 ⋅ log125 8 = 3, d)

1 1 + < 1, log 2 7 log 3 7

1 1 1 − > , log12 3 log 6 3 2

1 1 1 1 + + + ... + = log x 10 !, gdzie x > 0 i x ≠ 1. log 2 x log 3 x log 4 x log10 x

_Księga Matura Matma R.indb 16

2015-06-18 10:37:59

Odpowiedzi i wskazówki

Odpowiedzi i wskazówki Zadania zamknięte Nr zadania Odpowiedź

1. D

Nr zadania Odpowiedź

15. A, C

2. C

3. B

4. B

16. A, B, C

5. B 17. A, C

6. C

7. B

18. A, C

8. A

9. D

19. A, C

10. 11. 12. 13. 14. B B D B A 20. A, B

Zadania otwarte 1.1. a) −

3 1 27 25   11 ∈W , b) ∈W , c) ∈W , d) 6∈W , e)  2 +  ∈ NW , f) (17 5 − 38 ) ∈ NW . 2 4 14 8  4

1.2. a) −3, b) 17 5 + 38 , c) 1, d) 3 − 3 2 ⋅ 3 9 + 6 3 3 − 2 2 . 1.3. a) x = 5, y = −2, b) x = 90, y = −34, c) x = −76, y = 0. 1.5. a) Tak, b) tak, c) tak, d) tak. 1.6. a) Tak, b) nie. 1 3 3− 5 1 1 4 + 23 3 + 3 9 1 1 , d) = − 3 9 + 3 12 − 3 16 , e) = 2 2 , = , b) = 3 2 − 4 , c) = x x 11 x x x 5 1 3 f) = . x 4 1 1.8. a) 13 + 2 3 , b) 6 − 2 + 2 , c) ( 5 + 2 ) ( 7 − 3 ) , d) ⋅ 9 + 33 7 + 3 49 , e) 3 16 − 2 3 4 + 4, 2

1.7. a)

(

35 −3 3.

)

Wskazówka: b) Pogrupuj wyrazy mianownika 1 − 2 + 3 = (1 − 2 ) + 3 i pomnóż licznik

i mianownik przez (1 − 2 ) − 3 , a następnie przez

2 , c) przedstaw mianownik w postaci

3 ⋅ 5 − 3 ⋅ 2 + 7 ⋅ 5 − 7 ⋅ 2 = ( 3 + 7 )( 5 − 2 ). 1.9. a) x < y , b) x > y , c) x > y , d) x > y , e) x = y , f) x > y .   3 3 1 Wskazówka: b) x =  −  + 3 ⋅  8   2 

−2

 27 3  + 3⋅ 2 =  − +   8 8

−2

 24  + 6 = −   8 

−2

1  1 + 6 = −  + 6 = 6 , 9  3

2 4   243  4 − 2 − 4  55 − − 55 1 y = 34 34 ⋅ 3 3 ⋅ 3 3 ⋅ 32  : = 3 3 3  ⋅ = 32 ⋅ =2 ,   55   243 243 27    

c) x = d) x =

3 2

5 + 3 4 ⋅ 5 + 42 3 = 25 + 3 20 + 2 3 2 , y = 3 25 − 3 20 + 2 3 2 , 5−4

log 6 32 ⋅ log 6 24 5

log 6 3 ⋅ log 6 2 2

e) x = 4 ( 3 − 2 ) ⋅ y=

(

5 − 2) +

_Księga Matura Matma R.indb 17

(

8 log 6 3 ⋅ log 6 2 8 = = 1, 6 , y = 2 − 0, 41 = 1, 4142... − 0, 41 = 1, 0042..., 5 log 6 3 ⋅ log 6 2 5

3+ 2 = 2

5 − 3) =

3− 2⋅ 5−2 +

3 + 2 = 3 − 2 = 1,

5 − 3 = 5 − 2 + 3 − 5 = 1.

2015-06-18 10:38:08

1. Liczby rzeczywiste

1.10. a) Tak, b) tak, c) tak. Wskazówka: Zauważamy, że dany warunek jest równoważny warunkowi x + z = 2 y . a) x + y = 12 − 3 + 9 +

2 2 27 = 2 3 + 6 + ⋅ 3 3 = 4 3 + 6 3 3

 1  i 2 y = 2 12 2 + 3  = 2 ( 2 3 + 3) = 4 3 + 6 , więc x + z = 2 y .     π π 1 b) x + z = sin 2π + tg 2 = 0 + 1 = 1 i 2 y = 2 cos = 2 ⋅ = 1 , więc x + z = 2 y . 4 3 2 log3 9 1 2 = 2+ 2: = 6 c) x + z = 2 log 5 + log 4 + log 3 9 = log 5 ⋅ 4 + 2 log3 3

(

)

i 2 y = 2 ( log 8 + 3 log 5 ) = 2 ⋅ log 8 ⋅ 53 = 2 ⋅ 3 = 6 , więc x + z = 2 y . 2 25 1 23 , b) , c) , d) . Wskazówka: a) Liczbę 0, ( 6 ) przedstawiamy w postaci sumy: 3 11 30 18 0, ( 6 ) = 0, 6 + 0, 06 + 0, 006 + .... Zauważamy, że składniki sumy 0, 6 + 0, 06 + 0, 006 + ... tworzą ciąg geome-

1.11. a)

tryczny zbieżny, w którym a1 = 0, 6 i q = 0,1 . Zatem 0, 6 + 0, 06 + 0, 006 + ... =

0, 6 2 = , 1 − 0,1 3

c) 0, 0 ( 3) = 0, 03 + 0, 003 + 0, 0003 + ..., d) 1, 2 ( 7 ) = 1, 2 + 0, 0 ( 7 ) = 1, 2 + 0, 07 + 0, 007 + 0, 0007 + ... 1.12. a) Tak, b) tak, c) nie, d) tak. Wskazówka: Zauważamy, że dany warunek można zastąpić warun2

1 π  2 π 1 1 2 =  = i x ⋅ z = 0, ( 9 ) ⋅ sin = 1 ⋅ = , więc y = x ⋅ z . 6 4  2  2 2 2 2 810 ,25 − 13 3 − 13 π  π = = 1, więc y 2 = x ⋅ z . b) y 2 =  tg ⋅ ctg  = 12 = 1 i x ⋅ z = 1 5  5 3 − 13 3 27 − 13 2

kiem y 2 = x ⋅ z . a) y 2 = cos 2

2 1 1 5− 2  5− 2    c) y 2 =  ⋅  =   = 3  5+ 2  5+ 2 5− 2  

i x⋅z = (

 3 5  5 − 2 ) ⋅  2 5 − 3  = ( 5 − 2 ) ⋅1 = 5 − 2 , więc y 2 ≠ x ⋅ z .  7   2

  log   3 2 3 2  d) y =   =   = 9 i x⋅z = 1  log 0,1   1   10 

2 8 ⋅ log 5 125 4 16

1.13. a) −1, b) 4, c) 4, d) 56, e) 40 5 . 1.15. a) 2014, b) 2014, c) 9, d) 1.16. Wskazówka: a) Równość

6⋅3 = 9, więc y 2 = x ⋅ z . 2

1.14. a) −3, b) 60, c)

25 , d) 12.

4 . 7

6 + 6 + 14 + 21 = 1 + 2

3 7 + jest prawdziwa, gdy 2 2

 3 7 2 2 2 2 6 + 6 + 14 + 21 = 1 + +  . Zastosuj wzór ( a + b + c ) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac . 2 2   c) Przyjmijmy oznaczenie

_Księga Matura Matma R.indb 18

5 + 2 − 3 5 − 2 = x i obie strony równania podnosimy do trzeciej potęgi, czyli

2015-06-18 10:38:17

Odpowiedzi i wskazówki

5+2 −3 5−2

)

5 + 2 − 3 3 ( 5 + 2 ) ⋅ 3 5 − 2 + 3 ⋅ 3 5 + 2 ⋅ 3 ( 5 − 2 ) − 5 + 2 = x3 ,

= x3 , więc

(

)

5 + 2 ) ⋅ 3 5 − 2 = 3 ( 5 + 2 ) ( 5 + 2 ) ⋅ ( 5 − 2 ) = 3 5 + 2 . Zatem 4 − 3 3 5 + 2 − 3 5 − 2 = x3, 1 x czyli 4 − 3 x = x3 . gdzie

( x − 1) ( x 2 + x + 4 ) = 0 ⇔ x = 1. Zatem

Równanie x3 + 3 x − 4 = 0 ⇔

5 + 2 − 3 5 − 2 = 1. c.n.w.

e) 54 − 30 3 = 27 − 27 3 + 27 − 3 3 = 33 − 3 ⋅ 32 3 + 3 ⋅ 3 ( 3 ) − ( 3 ) , więc 54 − 30 3 = ( 3 − 3 ) . 3

Podobnie 54 + 30 3 = ( 3 + 3 ) . 1.17. Wskazówka: a) 6 − 2 2 =

(6 − 2 2 )

1.18. 167, 67 ≤ x ( x + 2 y ) ≤ 183, 43 . 12 32132 − 1 jest cyfra 0.

= 44 − 24 2 = 2 11 − 6 2 .

1.19. Wskazówka: Wystarczy zauważyć, że ostatnią cyfrą liczby

1.21. 1 – F, 2 – A, 3 – E, 4 – D, 5 – B, 6 – C.

1.22. a) x − 1 ≤ 2, b) x − 2 > 6, c) x −

3 3 ≥ , d) x + 5, 5 < 3, 5 . 2 2

1.23. a) 6, b) 2 x − 2 , c) −6, d) 4 − x, e) −3, f) 7 − x. 1.24. a) 0, b) 2, c) 0, d) 10, e) 1, f) 2. 1.25. a) x1 = −3, x2 = 3, b) x = −5 , c) x ∈ −1; 9 , d) x ∈ ( −∞; − 6 ) ∪ ( 2; + ∞ ), e) x ∈ ( −∞; 0 ∪ 4; + ∞ ) , f) x ∈ ( −∞; − 2 ∪ 2; + ∞ ) , g) x ∈ R , h) nie ma rozwiązania, i) x ∈ R . 1.26. a) 7

log 7 2−

1 3,

log

9 4,

log3

10 4,

b) log 1 8, log 2

sin1440 ° , cos330 °, d) − tg 225° , .

2, log 2 (16 8 ) , c) − sin 405° , − cos 780° ,

1 1 , tg1440 °, . tg 660 ° tg 420 ° .

1 Wskazówka: b) log 1 8 = log 1 23 = log 1   2 2

 log 2 (16 8 ) = log 2  24 ⋅ 23  

−3

= −3 , log

1

2 = log

( 2)

= 2,

( ) 2  = log2 2 2 = 112 . 

3 2 , − sin 405° = − sin ( 360° + 45° ) = − sin 45° = − , 2 2 1 sin 1440° = sin ( 4 ⋅ 360° ) = sin 0° = 0 , − cos 780° = − cos ( 2 ⋅ 360° + 60° ) = − cos 60° = − . 2 1 1 1 3 = = , = d) − tg 225° = − tg (180° + 45° ) = −1, tg 420° tg ( 360° + 60° ) tg 60° 3 c) cos 330° = cos ( 360° − 30° ) = cos 30° =

tg1440° = tg ( 4 ⋅ 360° ) = tg 0° = 0 ,

1 1 1 3 = =− . = tg 660° tg ( 2 ⋅ 360° − 60° ) − tg 60° 3

1.27. a) 0, b) 0, c) 1, d) 4, e) 12, f) 1, g)

_Księga Matura Matma R.indb 19

3 1 , h) −1, i) , j) 4 + log 2 9 . 4 2

2015-06-18 10:38:30

1. Liczby rzeczywiste

log 1 1.28. a) 3 , b) 3, c) 27, d) 5 ⋅ 33 , e) log a b . Wskazówka: Zauważ, że: c) 101− log 5 = 10 ⋅10 5 , 2 ( log a b + 1)2 1 +2= oraz ( log a b − log ab b ) ⋅ logb a = e) log a b + logb a + 2 = log a b + log a b log a b

= log a b ⋅ logb a −

log a ( ab )

log a b , więc 1 + log a b

( log a b + 1)2 log a b

⋅

log a b − 1 = log a b + 1 − 1. 1 + log a b

1.29. a) a ∈ R + ; 0, b) a ∈ R + \ {1} , b ∈ R + \ {1}; 0, c) a ∈ R + \ {1} , b ∈ R + \ {1}; logb a , d) n ∈ N + ; log ( n + 1) , e) 5. log a 2 log 2

log a log 2

Wskazówka: a) 2 = 2= 2

log 2 a

(

b) logb4 a + log a4 b + 2 = logb2 a + log a2 b c)

)

= a oraz a

1 log 4 a 2

= a⋅a

1 log 4 a 2

= a⋅a

(

log

)

= a ⋅ a log a 2 = a ⋅ 2 ,

− 2 ⋅ logb2 a ⋅ log a2 b + 2 = logb2 a + log 2a b ,

2 2 logb ( logb a ) = log a ( logb a ), e) 64log8 13 − 36log 6 12 = 8log8 13 − 6log 6 12 . logb a

1.30. a)

2a + b 6 pqr , b) , c) 1, d) , gdy x ∈ R + \ {1} ; 0, gdy x = 1. 2 5 pq − rq − pr

Wskazówka: b), c), d) Przedstaw log ab x i log abc x jako logarytmy o podstawie x, gdy x ∈ R + \ {1} . 2a − 2 3a − b + 5 3a 4a 2 − 4a , b) . 1.32. a) 2, b) , c) , d) . Wskazówka: Zauważ, 2−a a − b +1 2a + 1 1− a 3a − 6 log3 2 4 log3 2 log3 24 a że: c) log12 2 = oraz log 6 16 = = , = a, skąd log3 2 = 1 − 2a 2 log3 2 + 1 log3 ( 2 ⋅ 3) log3 2 + 1 1 a −1 log9 ( 2 ⋅ 9 ) 1 + log9 2 1 1 2 d) log 2 18 = = log8 9 = . = a, skąd log9 2 = oraz = 3 3 log 2 2 1 1 2 − a log9 2 9 log9 2 ⋅ 3 2 log 2 + 9 2 1 −b −2 1.33. a = 8 = . 64 1.31. a)

(

)

1.36. Wskazówka: Zauważ, że ( log3 5 ) 1.37. Wskazówka: Zauważ, że

−1

+ ( log 7 5 )

2 log(π + a ) 10

−1

= log5 3 + log5 7 = log5 21 i log5 5 < log5 21 < log5 25 .

= 2 log (π + a ). Nierówność zapisujemy w postaci:

[log (π a )] 2 + [log (π + a ) − 1] 2 ≥ 0. Suma kwadratów dwóch liczb jest nieujemna. 1.38. Wskazówka: Z definicji logarytmu otrzymujemy: log x =

c.n.w.

1 1 1 , log y = i log z = , 1 − log z 1 − log x 1 − log y

log y − 1 1 −1 log y 1 log y −1 log x −1 1− log y = , zatem z = 10 . c.n.w. skąd log x = i log z = , więc log z = log y − 1 1 − log y log y log x log y 10 4 1 1 1.39. a) 1, b) 5 , c) − , d) , e) − , f) − , g) 0, h) –1, i) 1. 3 3 2 4 1.40. Wskazówka: a) log 3 2 5 = 3 log 2 5 i log125 8 =

_Księga Matura Matma R.indb 20

1 1 3 , b) = log 7 2 i = log 7 3 . 3 log 2 5 log 2 7 log3 7

2015-06-18 10:38:43

Przedstawiliśmy Państwu początkowy fragment publikacji. Mamy nadzieję, że zainteresowała Państwa nasza oferta.

Po szczegóły zapraszamy na stronę internetową www.podkowa.gda.pl. Wydawnictwo Podkowa sp.j.

M A T E M A T Y K A

Podręczniki i zbiory zadań dostosowane są do podstawy programowej z dnia 27.08.2012 r.

Matura z matematyki w roku 2015, 2016, ...

M A T E M A T Y K A

Matematyka w otaczającym nas świecie. Część 1.

Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-422 Gdańsk 22 tel. 602 211 526 dział zamówień i reklamacji tel./fax 585 208 745 pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl

ISBN 978-83-88299-54-4

M A T MATEMATYKA E w otaczającym nas świecie M A Część . T Y K A Alicja Cewe Małgorzata Krawczyk Maria Kruk Alina Magryś-Walczak Halina Nahorska

zakres rozszerzony

Przedruk treści rozszerzonych z podręcznika dla klasy 1. o numerze ewidencyjnym 596/1/2012

licea ogólnokształcące technika

DO NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Książka adresowana jest do uczniów szkół ponadgimnazjalnych, którzy zamierzają kontynuować naukę matematyki w zakresie rozszerzonym od klasy drugiej.

M A T MATURA z matematyki w roku 2015 E 2016 2017 M 2018 A T Y K A Praca zbiorowa pod redakcją Alicji Cewe, Haliny Nahorskiej, Aliny Magryś-Walczak

Wydanie drugie

2019

2020 2021

2022 2023

Zbiór zadań maturalnych zakres rozszerzony

ISBN 978-83-65120-99-1

DO PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z DNIA 27.08.2012