Tablice matematyczne

Polecamy książki pomocne w przygotowaniach do matury (wybrane fragmenty książek do obejrzenia na stronie www.podkowa.gda.pl)

Nasze podręczniki

Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-460 Gdańsk 6 tel. 602 211 526 dział zamówień i reklamacji tel./fax 585 208 745 pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl

2015 tablice matematyczne.indd 1

2015-11-16 12:24:14

Alicja Cewe

Halina Nahorska

Irena Pancer

Wydanie drugie

GdaĂąsk

­ ­

Gdańsk 2015 Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-460 Gdańsk 6 tel. 602 211 526 dział zamówień i reklamacji tel./fax 585 208 745 pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl

­ ­

­ ­

­

­

­

­ ­

i mgr Dorocie Stankiewicz, ­

­

­

­ ­

­

¡

­

¢

£

¤

¥

­

­

­

­

­

­ ­

­

­

­

­

­

­

­ ­

­

∧

∧

∧

∧ ∧

∧

∧ ∧

∧ ∧ ∧

∨ ∧ ∨ ∧

∨ ∧

∨

∨ ∧

∨ ∧

∨

∨ ∨ ∨

∨

∨

∧ ∨

∧ ∨

∧

∨ ∧

∨ ∧

∧

∧

∨ ⇔

∨ ⇔

∨ ⇔

∨ ⇔

∨

⇔ ∨ ⇔ ⇔ ⇔ ∨ ⇔ ⇔ ⇔

⇔

⇔

⇔

⇔ ⇒

⇔ ⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇔ ⇒ ⇔ ⇒ ⇔ ⇒ ⊂ ⇔ ⇒ ⊂ ⇔ ⇒ ⊂ ⇔ ⇒ ⊂ ⊂ ⇒ ⇔ ⊂ ⇒ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ∈ ⊂ ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∈ {{ ⊂

} ∈ ⊂

∈

∈ ⊂

} ∈ {{ ⊂ }

∈ ⊂

⊂

}

{{ × } ⊂

∈

} ∈ ×

{{ × }

∈ ×

∈ ×

∈ × ∈

} ×

×

×

∈ ×

×

∅ {{ × ∅

} ×

∅

∅ ×

∅

∅ × } { × }

∅

∅ ∅ { ( ∅ )} ∅ ∅

∅ (( × ))

×

∅

∅

×

∅

×

(( × )

×

))

(( ×

∅ )

∅

∅ (( ∅

∅

)) ∅

∅

)

((

))

(

( )

≡

≡

≡

≡

≡ ≡

≡ ≡ ≡

≡

≡

≡

≡

≡ ≈

≈ ≡ ≈ ≡

≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≡ ≈ ≡ ≈ ∪ ≡ ≈ ∪ ≡ ≈ ∪ ≡ ≈ ∪ ≡ ∪ ≈ ∪ ≈ ≡ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∩ ∪ ∩ ≈ ∪ ∩ ≈ ∪ ∩ ≈ ∩ ∪ ≈ ∪ ≈ ∩ k∩ ≈ ∩ ∩ ∩ ≈ai ∩ ∩ ∑∪ ∩ ∩ ∪

∩ ∪ ∩ i =∪ 1 ∪ ∪

∪

k∩ ∩

∩ ∩ ∩ ∩ ∏∩ ai i = 1

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∨ ∨ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ­­ ∨ ­­ ­­ ∧ ­­ ­­ ­­ ­­ ­­ ­­ ∨ ­­ ­­

∨ ­­

­­

∨⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ ­­

­­

­­

⊥ ∨

⊥

⊥

⊥

<

⊥

<

­­ ⊥

<

­­ ⊥

<

­­

<

⊥

­­ ­­ <

⊥

­­ <

­­ <

<

<

<

<

<

<

⊥

<

<

⊥

<

⊥

< <

⊥

< <<

⊥

< ⊥

<

< ⊥

<

<

α

<

α

<

<

α

<

<

α <

α < <

< <

α α < α <

α α α

α

<

α

<

α

<

α

<

α

<

<

<

α α

α

α α α α

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

suma składników ai od a1 do ak

iloczyn czynników ai od a1 do ak

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→ →

→

→

→

→

→

→ → →

→ →

→

→

→ →

→ →

→

→

→

→

→

→

→ →

→

→

→

→ ⋅⋅→

⋅

→ ⋅

→

→

⋅

→ ⋅⋅⋅

→

⋅

→

⋅

→ →

→

⋅⋅⋅⋅

→

⋅

→

⋅

(( )) ⋅⋅

) ( ⋅⋅⋅

((

) ⋅⋅

))

(((

))

(

)

(( )))

(

)))

(((

))))

(((

))

((

))))))

(

(

( ))))

(

) )) ′

(

) === (

((

( )))) ′′′′

( ) (

=

)) ==== (( )) ′′′′ ((

( )′ ( ) =

=

=

(( )) −−=== (( )) ′′′′′

−

( ) −−==

) ′ (

( −−−−− )

′′′

( ))−−−===

′′′

= −

− ((

) =

−

=

−=

′ (

)

−−−

−

−

−

−

−

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

ααα

αα

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

Alfabet grecki

Â

Â?

Â?

Â?

Â?

Â

­

Â&#x20AC;

Â&#x201A;

Â&#x192;

Â&#x201E;

Â&#x2026;

Â&#x2020;

Â&#x2021;

Â&#x2C6;

Â&#x2030;

Rzymski system zapisu liczb naturalnych

Â

Â

 Â

PodwielokrotnoÂ&#x153;ci i wielokrotnoÂ&#x153;ci jednostek podstawowych

Â?

Â?

Â?

Â

Â? Â?

Â?

Â?

Â

­

Â&#x20AC;

π

=

π ∈

   

=  +  = +   →∞ 

∈

− ∈ +

∈

∈

⋅

∈ +

>

∈ + ∪{ } ∈ −

≥

∈ − ∪

≤

∈ ∈

∈

= ∈

∈

= + ∈

∈

( ( ) = )

∈

∈

+ ( − ) =

<

­

=

= = =

=

­

­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ∨

∧ ∨ ⇒ ⇔ ∨

∧

∨

⇒

⇔

∨

( ) ⇔

( ∧ ) ∧ ⇔ ∧ ( ∧ )

( ∨ ) ∨ ⇔ ∨ ( ∨ )

( ⇒ ) ⇔ [ ∧ ( )]

( ∧ ) ⇔ [ ∨ ( )] ( ∨ ) ⇔ [ ∧ ( )] [( ⇒ ) ∧ ( ⇒ )] ⇒ ( ⇒ )

Logika matematyczna

 � �

 �

Â

â&#x2C6;§ â&#x2C6;¨

Â? Â Â Â Â

Â? Â?

Â? Â Â Â Â

[ â&#x2C6;¨ ( )] â&#x2021;&#x201D; â&#x2C6;§[ ( )] [ â&#x2C6;§ ( )]â&#x2021;&#x201D; â&#x2C6;¨[ ( )]

( )

Â

­ Â&#x20AC; Â

â&#x2021;&#x2019; Â

Â?

Â? Â?

Â? Â? Â?Â

Â

â&#x2021;&#x2019;

Â

Â&#x201A;Â â&#x2021;&#x2019;Â&#x201A;Â?

Â

â&#x2021;&#x2019;

Â

Â&#x201A;Â? â&#x2021;&#x2019;Â&#x201A;Â

â&#x2021;&#x2019;

WÂłasnoÂ&#x153;ci twierdzeĂą Â&#x192; Â Â&#x192;

Â? Â&#x201E;Â

â&#x2021;&#x2019;

Kwadrat logiczny i zamkniĂŞty ukÂład twierdzeĂą

­ Â? Â&#x2026; Â&#x2020;

â&#x2021;&#x2019; Â? Â Â

Â? Â&#x2020; Â&#x2021;

Â&#x201A;Â â&#x2021;&#x2019;Â&#x201A;Â?

Â&#x201A;Â? â&#x2021;&#x2019;Â&#x201A;Â

â&#x2021;&#x201D; Â

Â? Â

Zasada indukcji matematycznej  Â&#x20AC;Â&#x201A;

Â&#x192;

Â&#x201E;Â&#x201A;

Â&#x2026; â&#x2030;Ľ Â&#x2020;

Â?

Â? +

Â&#x2021;

zbiór,

.

∈

∈ ,

∉ ,

{ ( )}

­ ( )

∅

­

­ ≤ ( ≥ )

[ ∈ ( ∪ )] ⇔ [( ∈ )

∨ ( ∈ )]

∪ =

∪ = { ∈ ∨ ∈ }

∪∅ =

∪ ∪

∩ ∩

∈ ∩ ⇔ ∈ ∧ ∈

∩ = ∩∅ = ∅

∩ = ∈ ∧ ∈

∩ ∩

∈ ⇔ ∈ ∧ ∉

=∅

= ∈ ∧ ∉

∅ =

Ω

∈ ′ ⇔ ∈ Ω ∧ ∉

′ = ∈ Ω ∧ ∉

∪ ′ = Ω

Ω Ω

∪ ′ = Ω ∩ ′ = ∅

Równo æ zbiorów

( = )

( ∈ ⇔ ∈ ) = ⇔

∧

Zawieranie siê zbiorów

A⊂ B)

(

⊂ ⇔

⊂ ⊂ =

∧ ( ∈ ⇒ ∈ )

⊂ ∧ ⊂

Zbiory roz³¹czne

∩ = ∅

Iloczyn kartezjañski zbiorów

× = {( ) ∈ ∧ ∈ } ×

× = .

∪ = ∪

∩ = ∩

∪ ∪ = ∪ ∪ ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ ′ = ′ ∪ ′ ∪ ′ = ′ ∩ ′ ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

∪ ∩ = ∪ ∩ ∪

∪ ∩ = ∩ ( ∪ ) =

N

(N)

Â?

Â?

Â?

+ + + Â? {}Â?Â? Â? }Â? } = = =

N + =N{Â? =Â?N {Â?Â? =

N

Â? zbiĂłr naturalnych dodatnich Â? zbiĂłr liczb liczb naturalnych naturalnych dodatnich dodatnich N + Â? zbiĂłr N +liczb

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;

=C{+ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; Â?Â?}Â? â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;Â?Â?} â&#x2C6;&#x2019; Â?} + = ++=

C =â&#x2C6;&#x2019;Â?{Â? +C+= =â&#x2C6;&#x2019;C{Â?

=

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;

=

= â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

C Â? zbiĂłr liczb caÂłkowitych ujemnych

C C Â? zbiĂłr Â? zbiĂłr liczb liczb caÂłkowitych caÂłkowitych ujemnych ujemnych (Z )

W

(Q)

â&#x2C6;§ â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2C6; = = = = =â&#x2C6;§ =â&#x2C6;§ â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;§ â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;§ â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;§

Â&#x192; Â&#x201E;

Â&#x201E;

Â&#x201A; Â

Â&#x192; Â&#x201E;

Â&#x201E;

Â&#x201A; Â

Â&#x192; Â&#x201E;

Â&#x201E;

Â&#x201A; Â

­ ­ ­ ­ ­ ­

IW

â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2C6;

â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2C6;

Â&#x201A;

Â&#x201A;

niewymier

(IQ)

Â&#x201A;

nych

 ­ Â&#x20AC;  ­ Â&#x20AC;  ­ Â&#x20AC;

Â&#x192; Â&#x201E;

Â&#x192; Â&#x201E;

R Â&#x192; Â&#x201E;

Â&#x192; Â&#x201E;

Â&#x192; Â&#x201E;

Â&#x192; Â&#x201E;

rzeczywi( ) + +â&#x2C6;&#x2019; { +â&#x2C6;&#x2019;} â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;Ş â&#x2C6;ŞRR â&#x2C6;Ş R = RR =â&#x2C6;ŞRRR =â&#x2C6;Ş { }â&#x2C6;Ş { } = = â&#x2C6;Ş

â&#x2C6;Ş

â&#x2C6;ŞR

stych

N, Z, Q, IQ,

IW W C W NC W NC

â&#x160;&#x201A; IWâ&#x160;&#x201A; â&#x160;&#x201A; â&#x160;&#x201A; â&#x160;&#x201A; â&#x160;&#x201A;

â&#x160;&#x201A;

â&#x160;&#x201A; â&#x160;&#x201A; â&#x160;&#x201A; â&#x160;&#x201A;

IW

N

W â&#x2C6;Ş IW = R W â&#x2C6;Š IW = â&#x2C6;&#x2026; â&#x2C6;Š = â&#x2C6;&#x2026;â&#x2C6;Š=

â&#x2C6;Š â&#x2C6;&#x2026; =â&#x2C6;&#x2026;

â&#x2C6;Ş â&#x2C6;Ş= â&#x2C6;Ş=

= â&#x20AC;&#x201C; miÄ&#x2122;dzynarodowe oznaczenia zbiorĂłw liczbowych.

( ( â&#x2C6;&#x2C6; ( â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2C6;

< ) < )< )

<<

Â

)( = { )( = { â&#x2C6;&#x2C6;

( = { â&#x2C6;&#x2C6;

Â

Â

) < â&#x2C6;&#x2C6;

} << } < } a

a Â?

Â? b Â? b

b

a

a

a Â?

Â? b Â? b

b

Â

Â

Â

â&#x2030;¤ < }

(

= { â&#x2C6;&#x2C6; ( = { ( = { â&#x2C6;&#x2C6;

< â&#x2C6;&#x2C6;

â&#x2030;¤< } â&#x2030;¤ }

a

a

a Â?

Â? b Â? b

b

a

a

a Â?

Â? b Â? b

b

a

â&#x2030;¤ â&#x2030;¤ }

Â

= { â&#x2C6;&#x2C6;

Â

Â

= { = { â&#x2C6;&#x2C6;

â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2C6;

â&#x2030;¤â&#x2030;¤ } â&#x2030;¤ }

Â

Â

 <â&#x2030;¤

)

= { â&#x2C6;&#x2C6;

= { ) = { â&#x2C6;&#x2C6; ) â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2C6;

} <â&#x2030;¤ } < }

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ( â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; (

) (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ( â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ) = {( â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ) = { â&#x2C6;&#x2C6;

= { â&#x2C6;&#x2C6; ) ( â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ) ) < â&#x2C6;&#x2C6; } < } < }

+ (â&#x2C6;&#x17E; ) + (

( + (â&#x2C6;&#x17E; ) +=(â&#x2C6;&#x17E; { ) += â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x17E; ) = { â&#x2C6;&#x2C6; (â&#x2C6;&#x17E; ) + {â&#x2C6;&#x2C6; ) > â&#x2C6;&#x2C6; } > } > }

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ( â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;= { (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ( â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ( â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; = { â&#x2C6;&#x2C6;

= { â&#x2C6;&#x2C6; ( â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2C6; } â&#x2030;¤ } â&#x2030;¤ }

+â&#x2C6;&#x17E; ) +â&#x2C6;&#x17E;

) +â&#x2C6;&#x17E; { ) =+â&#x2C6;&#x17E; +â&#x2C6;&#x17E; {â&#x2C6;&#x2C6; ) ) =+â&#x2C6;&#x17E; = { â&#x2C6;&#x2C6;

) â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; } â&#x2030;Ľ } â&#x2030;Ľ }

a

a

Â? a

Â?

Â?

a

a

Â? a

Â?

Â?

a

a

Â? a

Â?

Â?

a

a

Â? a

Â?

Â?

DziaÂłanie

Zapis

Definicje i wÂłasnoÂ&#x153;ci

+ =

Dodawanie +

=

Â&#x2013; element neutralny dodawania

skÂładniki

suma

+ = + Â&#x2026; przemiennoÂ&#x153;ĂŚ dodawania

( + ) + = + ( + )

Odejmowanie

â&#x2C6;&#x2019;

=

Â&#x2026; ³šcznoÂ&#x153;ĂŚ dodawania

â&#x2C6;&#x2019; = + (â&#x2C6;&#x2019; )

odjemna odjemnik ró¿nica

â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2021;&#x201D; = + Odejmowanie jest dziaÂłaniem odwrotnym do dodawania

â&#x2039;&#x2026; =

MnoÂżenie

â&#x2039;&#x2026;

czynniki

=

Â&#x2026; element neutralny mnoÂżenia

iloczyn

â&#x2039;&#x2026; = â&#x2039;&#x2026;

Â&#x2026; przemiennoÂ&#x153;ĂŚ mnoÂżenia

( â&#x2039;&#x2026; ) â&#x2039;&#x2026; = â&#x2039;&#x2026; ( â&#x2039;&#x2026; ) Â&#x2026; ³šcznoÂ&#x153;ĂŚ mnoÂżenia â&#x2039;&#x2026; ( + ) = â&#x2039;&#x2026; + â&#x2039;&#x2026; Â&#x2026; rozdzielnoÂ&#x153;ĂŚ mnoÂżenia wzglĂŞdem dodawania

Dzielenie

= â&#x2039;&#x2026;

=

dzielna dzielnik

Cechy podzielnoÂ&#x153;ci liczb naturalnych

iloraz

â&#x2030; Â&#x201E;

Â&#x2020; â&#x2030; = â&#x2021;&#x201D; = â&#x2039;&#x2026; Â&#x201E; Dzielenie jest dziaÂłaniem odwrotnym do mnoÂżenia

Â

Â

Â?

Â? Â?

Â?

 ­ �

Â&#x20AC;

Â&#x20AC;

Â&#x201A;

Â&#x201A;Â&#x201A;

Â? Â&#x192; Â&#x192; Â&#x192; Â&#x192; Â&#x192; Â&#x192; Â&#x201A;Â&#x201A;Â&#x201E;

Równo æ dwóch stosunków (u³amków) nazywamy proporcj¹.

=

=

≠ ≠

⋅ = ⋅

± ± + + = = =

± ±

− − ≠

≠ ≠ ± ≠ ±

⋅ ⋅

=

= ⋅ = ⋅ = ⋅

­

%

=

⋅

=

=

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

­

­

 ­

= ⋅  +   

 ⋅  + 

 

 ⋅  +   

( + )

( + ) −

 ⋅  +   

( + )

( + ) −

=

= ⋅

−

=

≥ <

≥ = − − ≤ ≤

≤

> ≤ ⇔ − ≤ ≤

−

≤ ≥

≥ ≥ ⇔ ≥ ≤ −

−

+ ≤ + − ≤ + ⋅ = ⋅

≠ =

− ≤ + − ≤ −

=

≠ =

∈ = +

= ⋅ ∈

∧ ∈ +

∈ ∧ ∈ { } = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ∈ { } ∧ ∈

−

=

−

=

+

     

−

=  

 

⋅ ≠

∈ + ∪ { } ∈ + ∈ + { }

∈ + ∈ + ∈ + { }

∈ ∈ + ∈ ∈ ≠ ≠

⋅ =

+

= −

( ⋅ ) = ⋅

  =  

 

( )

= ⋅

Pierwiastkowanie

=

â&#x2030;Ľ â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; { }

= â&#x2021;&#x201D; =

< = + â&#x2C6;&#x2C6; + , = â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2030;Ľ â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; { } â&#x2C6;&#x2C6; { }

( )

=

  =   

NierĂłwnoÂ&#x153;ci rĂłwnowaÂżne

â&#x2039;&#x2026; = â&#x2039;&#x2026;

=

= >

â&#x2039;&#x2026; =

=

( ) =

=

Â

Â? Â?

Â? Â? Â? Â? Â? Â? Â?

â&#x2030;Ľ â&#x2030;Ľ > >

â&#x2021;&#x201D; >

â&#x2021;&#x201D; >

â&#x2030;Ľ â&#x2021;&#x201D; â&#x2030;Ľ

â&#x2030;¤

â&#x2021;&#x201D; â&#x2030;¤

â&#x2030;¤ â&#x2030;¤ â&#x2030;Ľ â&#x2021;&#x201D; â&#x2030;¤

WyraÂżenie algebraiczne

KolejnoÂ&#x153;ĂŚ wykonywania dziaÂłaĂą

Â

Â? Â Â?Â? Â Â

Â

Â?

Â? Â? Â?

Â?

n silnia

     

( + ) = ( + ) ∈ +

= ∈ ∈ ≤ −

  = [ − ( − )]⋅ ⋅ ( − )   =   =  

     

   = 

−    

  +   =  +           +   + 



  =    

 +  n  −ab n− 1   n  n ( a + b ) n ==  n a n++ n a −n − 1b+ +  n  a− n − 2b+2 ++...  b   n− 1 +  + 0 1 2 − n  

 

+ = ∑

  



 

−

∈ ∈ ≠

=

±

  



=

( ± ) = ±

± ± ±

= ± +

= ± + ±

= ± + ± +

( ± ) = ± + ± + ±

± = ± + ± + ±

+ −

− = − +

+ −

+ = ( + ) ( − + )

− = ( − ) ( + + )

+ +

= + +

= − +

= + + +

= − + −

= + + + + +

a b c â&#x2C6;&#x2C6; R a = b ­

Â? Â?

Â?

+ = +

â&#x2039;&#x2026; = â&#x2039;&#x2026;

â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019;

= â&#x2030;

â&#x2C6;&#x2C6; < ­

Â? Â?

Â?

Âą < Âą â&#x2039;&#x2026; < â&#x2039;&#x2026; > â&#x2039;&#x2026; > â&#x2039;&#x2026; <

< >

> <

  �  � � � �  � ­  � �

Â? Â Â? Â

Â?

 �

 Â?  Â? Â? Â&#x20AC; Â? Â&#x201A; Â? Â? Â&#x20AC;

Â?

a a

a a b = a â&#x2C6;&#x2019; a

b <

a b >

a

â&#x2C6;&#x2020; = b = a â&#x2C6;&#x2019; a

δ=

= Âą â&#x2C6;&#x2020; = Âą â&#x2C6;&#x2020;

â&#x2C6;&#x2020; a â&#x2C6;&#x2019; a

= a a

sumy a + b

jest rĂłwny

â&#x2C6;&#x2020; = ( + ) â&#x2C6;&#x2019; ( + ) â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2020; + â&#x2C6;&#x2020;

ró¿nicy a â&#x2C6;&#x2019; b

jest rĂłwny

â&#x2C6;&#x2020; = ( â&#x2C6;&#x2019; ) â&#x2C6;&#x2019; ( â&#x2C6;&#x2019; ) â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2020; + â&#x2C6;&#x2020;

iloczynu a â&#x2039;&#x2026; b

jest rĂłwny

â&#x2C6;&#x2020; = â&#x2039;&#x2026; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2039;&#x2026; â&#x2030;¤ â&#x2039;&#x2026; â&#x2C6;&#x2020; + â&#x2039;&#x2026; â&#x2C6;&#x2020; + â&#x2C6;&#x2020; â&#x2039;&#x2026; â&#x2C6;&#x2020;

a jest rĂłwny b â&#x2030; â&#x2030; > â&#x2C6;&#x2020; ilorazu

â&#x2C6;&#x2020;=

â&#x2039;&#x2026; â&#x2C6;&#x2020; + â&#x2039;&#x2026; â&#x2C6;&#x2020; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2030;¤

â&#x2039;&#x2026; ( â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2020; )

DziaÂłania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych a i b zastĂŞpujemy czĂŞsto w rachunkach praktycznych dziaÂłaniami na ich przybliÂżeniach.

Przedstawiliśmy Państwu początkowy fragment publikacji.

Mamy nadzieję, że zainteresowała Państwa nasza oferta.

Po szczegóły zapraszamy na stronę internetową www.podkowa.gda.pl.

Wydawnictwo Podkowa sp.j.

Polecamy książki pomocne w przygotowaniach do matury (wybrane fragmenty książek do obejrzenia na stronie www.podkowa.gda.pl)

Nasze podręczniki

Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-460 Gdańsk 6 tel. 602 211 526 dział zamówień i reklamacji tel./fax 585 208 745 pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl

2015 tablice matematyczne.indd 1

2015-11-16 12:24:14