Tablice matematyczne

Page 1

Polecamy książki pomocne w przygotowaniach do matury (wybrane fragmenty książek do obejrzenia na stronie www.podkowa.gda.pl)

Nasze podręczniki

Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-460 Gdańsk 6 tel. 602 211 526 dział zamówień i reklamacji tel./fax 585 208 745 pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl

2015 tablice matematyczne.indd 1

2015-11-16 12:24:14

Alicja Cewe

Halina Nahorska

Irena Pancer

Wydanie drugie

GdaĂąsk

­ ­

Gdańsk 2015 Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-460 Gdańsk 6 tel. 602 211 526 dział zamówień i reklamacji tel./fax 585 208 745 pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl

­ ­ ­ ­ ­ ­ ­

­ ­ i mgr Dorocie Stankiewicz, ­

­

­ ­ ­

­

¡ ­ ¢ £ ¤ ¥

­

­

­ ­

­ ­ ­ ­

­

­ ­ ­ ­ ­ ­ ­

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧

∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∧ ∨ ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔ ∨

⇔ ∨ ⇔ ⇔ ⇔ ∨ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇔ ⇒ ⇔ ⇒ ⇔ ⇒ ⊂ ⇔ ⇒ ⊂ ⇔ ⇒ ⊂ ⇔ ⇒ ⊂ ⊂ ⇒ ⇔ ⊂ ⇒ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ∈ ⊂ ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∈ {{ ⊂ } ∈ ⊂ ∈ ∈ ⊂ } ∈ {{ ⊂ } ∈ ⊂ ⊂ } {{ × } ⊂ ∈ } ∈ × {{ × } ∈ × ∈ × ∈ × ∈ } × × × ∈ × × ∅ {{ × ∅ } × ∅ ∅ × ∅ ∅ × } { × } ∅ ∅ ∅ { ( ∅ )} ∅ ∅ ∅ (( × )) × ∅ ∅ × ∅ × (( × ) × )) (( × ∅ ) ∅ ∅ (( ∅ ∅ )) ∅ ∅ ) (( )) ( ( ) ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≈ ≈ ≡ ≈ ≡ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≡ ≈ ≡ ≈ ∪ ≡ ≈ ∪ ≡ ≈ ∪ ≡ ≈ ∪ ≡ ∪ ≈ ∪ ≈ ≡ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∩ ∪ ∩ ≈ ∪ ∩ ≈ ∪ ∩ ≈ ∩ ∪ ≈ ∪ ≈ ∩ k∩ ≈ ∩ ∩ ∩ ≈ai ∩ ∩ ∑∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ i =∪ 1 ∪ ∪ ∪ k∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∏∩ ai i = 1

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∨ ∨ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ­­ ∨ ­­ ­­ ∧ ­­ ­­ ­­ ­­ ­­ ­­ ∨ ­­ ­­ ∨ ­­ ­­ ∨⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ ­­ ­­ ­­ ⊥ ∨

⊥ ⊥ ⊥ < ⊥ < ­­ ⊥ < ­­ ⊥ < ­­ < ⊥ ­­ ­­ < ⊥ ­­ < ­­ < < < < < < < ⊥ < < ⊥ < ⊥ < < ⊥ < << ⊥ < ⊥ < < ⊥ < < α < α < < α < < α < α < < < < α α < α < α α α α < α < α < α < α < < < α α α α α α α

→ → → → → → → → → → → → → → → →

suma składników ai od a1 do ak

iloczyn czynników ai od a1 do ak

→ → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → ⋅⋅→ ⋅ → ⋅ → → ⋅ → ⋅⋅⋅ → ⋅ → ⋅ → → → ⋅⋅⋅⋅ → ⋅ → ⋅ (( )) ⋅⋅ ) ( ⋅⋅⋅ (( ) ⋅⋅ )) ((( )) ( ) (( ))) ( ))) ((( )))) ((( )) (( )))))) ( ( ( )))) ( ) )) ′ ( ) === ( (( ( )))) ′′′′ ( ) ( = )) ==== (( )) ′′′′ (( ( )′ ( ) = = = (( )) −−=== (( )) ′′′′′ − ( ) −−== ) ′ ( ( −−−−− ) ′′′ ( ))−−−=== ′′′ = − − (( ) = − = −= ′ ( ) −−− − − − − −

α

α

α

α

α α α α α α α

α

α

α

α

α

ααα

αα α α

α α α α α α α α α α α α α α α α

α

α

α

α

α

α

α

Alfabet grecki

Â

Â?

Â?

Â?

Â?

Â

­

€

‚

ƒ

„

Â…

†

‡

ˆ

‰

Rzymski system zapisu liczb naturalnych

Â

Â

 Â

PodwielokrotnoÂœci i wielokrotnoÂœci jednostek podstawowych

Â?

Â?

Â?

Â

Â? Â?

Â?

Â?

Â

­

€

π

=

π ∈

    =  +  = +   →∞ 

∈

− ∈ +

∈

∈

⋅

∈ +

>

∈ + ∪{ } ∈ −

≥

∈ − ∪

≤

∈ ∈

∈

= ∈

∈

= + ∈

∈

( ( ) = )

∈

∈

+ ( − ) =

<

­

=

= = =

=

­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ∨

∧ ∨ ⇒ ⇔ ∨

∧

∨

⇒

⇔

∨

( ) ⇔

( ∧ ) ∧ ⇔ ∧ ( ∧ )

( ∨ ) ∨ ⇔ ∨ ( ∨ )

( ⇒ ) ⇔ [ ∧ ( )]

( ∧ ) ⇔ [ ∨ ( )] ( ∨ ) ⇔ [ ∧ ( )] [( ⇒ ) ∧ ( ⇒ )] ⇒ ( ⇒ )

Logika matematyczna

 Â? Â?  Â? Â

∧ ∨

Â? Â Â Â Â

Â? Â?

Â? Â Â Â Â

[ ∨ ( )] ⇔ ∧[ ( )] [ ∧ ( )]⇔ ∨[ ( )]

( ) Â

­ €  â‡’ Â

Â? Â? Â? Â? Â? Â? Â

⇒

Â

‚ ⇒‚�

Â

⇒

Â

‚Â? ⇒‚Â

⇒

WÂłasnoÂœci twierdzeĂą ƒ  ƒ Â? „Â

⇒

Kwadrat logiczny i zamkniĂŞty ukÂład twierdzeĂą

­ Â? Â… † ⇒ Â?   Â? Â† ‡

‚ ⇒‚�

‚Â? ⇒‚Â

⇔  Â? Â

Zasada indukcji matematycznej  Â€Â‚

ƒ „‚ Â… ≼ †

� � + ‡

zbiór, .

∈ ∈ ,

∉ ,

{ ( )} ­ ( )

∅

­ ­ ≤ ( ≥ )

[ ∈ ( ∪ )] ⇔ [( ∈ )

∨ ( ∈ )]

∪ =

∪ = { ∈ ∨ ∈ }

∪∅ =

∪ ∪

∩ ∩

∈ ∩ ⇔ ∈ ∧ ∈

∩ = ∩∅ = ∅

∩ = ∈ ∧ ∈

∩ ∩

∈ ⇔ ∈ ∧ ∉

=∅

= ∈ ∧ ∉

∅ =

Ω

∈ ′ ⇔ ∈ Ω ∧ ∉

′ = ∈ Ω ∧ ∉

∪ ′ = Ω

Ω Ω

∪ ′ = Ω ∩ ′ = ∅

Równo æ zbiorów

( = ) ( ∈ ⇔ ∈ ) = ⇔

∧

Zawieranie siê zbiorów

A⊂ B) (

⊂ ⇔

⊂ ⊂ =

∧ ( ∈ ⇒ ∈ )

⊂ ∧ ⊂

Zbiory roz³¹czne

∩ = ∅

Iloczyn kartezjañski zbiorów

× = {( ) ∈ ∧ ∈ } ×

× = .

∪ = ∪

∩ = ∩

∪ ∪ = ∪ ∪ ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ ′ = ′ ∪ ′ ∪ ′ = ′ ∩ ′ ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

∪ ∩ = ∪ ∩ ∪

∪ ∩ = ∩ ( ∪ ) =

N (N)

Â?

Â?

Â?

+ + + Â? {}Â?Â? Â? }Â? } = = = N + =N{Â? =Â?N {Â?Â? =

N

Â? zbiĂłr naturalnych dodatnich Â? zbiĂłr liczb liczb naturalnych naturalnych dodatnich dodatnich N + Â? zbiĂłr N +liczb

− − − =C{+ − −−− Â?Â?}Â? −−Â?Â?} − Â?} + = ++= C =−Â?{Â? +C+= =−C{Â? = − − − − − = = − − − − − C Â? zbiĂłr liczb caÂłkowitych ujemnych C C Â? zbiĂłr Â? zbiĂłr liczb liczb caÂłkowitych caÂłkowitych ujemnych ujemnych (Z )

W (Q)

∧ ∈ ∈ = = = = =∧ =∧ ∈ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ƒ „ „ ‚  Âƒ „ „ ‚  Âƒ „ „ ‚  ­ ­ ­ ­ ­ ­

IW ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ‚ ‚ niewymier (IQ) ‚

nych

 ­ €  ­ €  ­ €

ƒ „ ƒ „ R ƒ „ ƒ „ ƒ „ ƒ „ rzeczywi( ) + +− { +−} − = âˆŞ âˆŞRR âˆŞ R = RR =âˆŞRRR =âˆŞ { }âˆŞ { } = = âˆŞ âˆŞ âˆŞR

stych

N, Z, Q, IQ,

IW W C W NC W NC

⊂ IW⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂

IW

N

W âˆŞ IW = R W ∊ IW = ∅ ∊ = ∅∊= ∊ ∅ =∅ âˆŞ âˆŞ= âˆŞ= = – miÄ™dzynarodowe oznaczenia zbiorĂłw liczbowych.

( ( ∈ ( ∈ ∈ < ) < )< )

<<  )( = { )( = { ∈ ( = { ∈   ) < ∈ } << } < } a

a Â?

Â? b Â? b

b

a

a

a Â?

Â? b Â? b

b

   â‰¤ < } ( = { ∈ ( = { ( = { ∈ < ∈ ≤< } ≤ }

a

a

a Â?

Â? b Â? b

b

a

a

a Â?

Â? b Â? b

b

a

≤ ≤ }  = { ∈   = { = { ∈ ≤ ∈ ≤≤ } ≤ }    <≤ ) = { ∈ = { ) = { ∈ ) ≤ ∈ } <≤ } < }

−∞ ( −∞ ( ) (−∞ ( −∞ ) = {( −∞ ) = { ∈ = { ∈ ) ( −∞ ) ) < ∈ } < } < } + (∞ ) + ( ( + (∞ ) +=(∞ { ) += ∞ ∞ ) = { ∈ (∞ ) + {∈ ) > ∈ } > } > } −∞ ( −∞= { (−∞ ( −∞ ( −∞ = { ∈ = { ∈ ( −∞ ≤ ∈ } ≤ } ≤ } +∞ ) +∞ ) +∞ { ) =+∞ +∞ {∈ ) ) =+∞ = { ∈ ) ≼ ∈ } ≼ } ≼ }

a

a

Â? a

Â?

Â?

a

a

Â? a

Â?

Â?

a

a

Â? a

Â?

Â?

a

a

Â? a

Â?

Â?

DziaÂłanie

Zapis

Definicje i wÂłasnoÂœci

+ =

Dodawanie +

=

– element neutralny dodawania

skÂładniki

suma

+ = + Â… przemiennoÂœĂŚ dodawania

( + ) + = + ( + )

Odejmowanie

−

=

Â… ³šcznoÂœĂŚ dodawania

− = + (− )

odjemna odjemnik ró¿nica

− = ⇔ = + Odejmowanie jest dziaÂłaniem odwrotnym do dodawania

â‹… =

MnoÂżenie

â‹…

czynniki

=

Â… element neutralny mnoÂżenia

iloczyn

â‹… = â‹…

Â… przemiennoÂœĂŚ mnoÂżenia

( â‹… ) â‹… = â‹… ( â‹… ) Â… ³šcznoÂœĂŚ mnoÂżenia â‹… ( + ) = â‹… + â‹… Â… rozdzielnoÂœĂŚ mnoÂżenia wzglĂŞdem dodawania

Dzielenie

= â‹…

=

dzielna dzielnik

Cechy podzielnoÂœci liczb naturalnych

iloraz

≠„

† ≠= ⇔ = ⋅ „ Dzielenie jest dzia³aniem odwrotnym do mno¿enia

Â

Â

Â?

� � �  ­ �

€

€

‚

‚‚

� ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ‚‚„

Równo æ dwóch stosunków (u³amków) nazywamy proporcj¹.

=

=

≠ ≠

⋅ = ⋅

± ± + + = = = ± ± − − ≠

≠ ≠ ± ≠ ±

⋅ ⋅

= = ⋅ = ⋅ = ⋅

­ %

=

⋅

=

=

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

­

­

 ­ = ⋅  +   

 ⋅  +   

 ⋅  +   

( + )

( + ) −

 ⋅  +   

( + ) ( + ) −

=

= ⋅

−

=

≥ <

≥ = − − ≤ ≤ ≤

> ≤ ⇔ − ≤ ≤

− ≤ ≥

≥ ≥ ⇔ ≥ ≤ −

−

+ ≤ + − ≤ + ⋅ = ⋅

≠ =

− ≤ + − ≤ −

=

≠ = ∈ = + = ⋅ ∈

∧ ∈ +

∈ ∧ ∈ { } = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ∈ { } ∧ ∈ −

=

−

=

+

     

−

=    

⋅ ≠

∈ + ∪ { } ∈ + ∈ + { }

∈ + ∈ + ∈ + { }

∈ ∈ + ∈ ∈ ≠ ≠

⋅ =

+

= −

( ⋅ ) = ⋅

  =    

( )

= ⋅

Pierwiastkowanie

=

≼ ≼ ∈ { }

= ⇔ =

< = + ∈ + , = −

≼ ≼ ∈ { } ∈ { }

( )

=

  =   

NierĂłwnoÂœci rĂłwnowaÂżne

â‹… = â‹…

=

= >

â‹… =

=

( ) =

=

 � �

� � � � � � � ≼ ≼ > >

⇔ >

⇔ >

≼ ⇔ ≼

≤

⇔ ≤

≤ ≤ ≼ ⇔ ≤

WyraÂżenie algebraiczne

KolejnoÂœĂŚ wykonywania dziaÂłaĂą

 Â?  Â?Â?  Â

 �

Â? Â? Â? Â?

n silnia

     

( + ) = ( + ) ∈ +

= ∈ ∈ ≤ −   = [ − ( − )]⋅ ⋅ ( − )   =   =            =  −    

  +   =  +           +   + 

  =    

 +  n  −ab n− 1   n  n ( a + b ) n ==  n a n++ n a −n − 1b+ +  n  a− n − 2b+2 ++...  b   n− 1 +  + 0 1 2 − n  

 

+ = ∑

  

 

−

∈ ∈ ≠

=

±

  

=

( ± ) = ±

± ± ±

= ± +

= ± + ±

= ± + ± +

( ± ) = ± + ± + ±

± = ± + ± + ±

+ −

− = − +

+ −

+ = ( + ) ( − + )

− = ( − ) ( + + )

+ +

= + +

= − +

= + + +

= − + −

= + + + + +

a b c ∈ R a = b ­

Â? Â? Â?

+ = +

â‹… = â‹…

− = −

= â‰

∈ < ­

Â? Â? Â?

Âą < Âą â‹… < â‹… > â‹… > â‹… <

< > > <

  �  � � � �  � ­  � �

Â? Â Â? Â Â?

 �

 Â?  Â? Â? € Â? ‚ Â? Â? € Â?

a a a a b = a − a b < a b > a

∆ = b = a − a

δ=

= Âą ∆ = Âą ∆

∆ a − a

= a a

sumy a + b

jest rĂłwny

∆ = ( + ) − ( + ) ≤ ∆ + ∆

ró¿nicy a − b

jest rĂłwny

∆ = ( − ) − ( − ) ≤ ∆ + ∆

iloczynu a â‹… b

jest rĂłwny

∆ = ⋅ − ⋅ ≤ ⋅ ∆ + ⋅ ∆ + ∆ ⋅ ∆

a jest rĂłwny b ≠≠> ∆ ilorazu

∆=

⋅ ∆ + ⋅ ∆ − ≤ ⋅ ( − ∆ )

DziaÂłania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych a i b zastĂŞpujemy czĂŞsto w rachunkach praktycznych dziaÂłaniami na ich przybliÂżeniach.

Przedstawiliśmy Państwu początkowy fragment publikacji. Mamy nadzieję, że zainteresowała Państwa nasza oferta.

Po szczegóły zapraszamy na stronę internetową www.podkowa.gda.pl. Wydawnictwo Podkowa sp.j.

Polecamy książki pomocne w przygotowaniach do matury (wybrane fragmenty książek do obejrzenia na stronie www.podkowa.gda.pl)

Nasze podręczniki

Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-460 Gdańsk 6 tel. 602 211 526 dział zamówień i reklamacji tel./fax 585 208 745 pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl

2015 tablice matematyczne.indd 1

2015-11-16 12:24:14

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.