Zbiór zadań maturalnych – zakres podstawowy by Wydawnictwo Podkowa

M A T E M A T Y K A

Podręczniki i zbiory zadań dostosowane są do podstawy programowej z dnia 27.08.2012 r.

Matura z matematyki w roku 2015, 2016, ...

M A T E M A T Y K A

...] Staranny przekaz i rysunki, dbałość o to, aby uczeń miał wiele możliwości rozstrzygnięcia problemu matematycznego [...] ...] Uczeń ma okazję wykazać się interpretowaniem pojęć matematycznych i ich stosowaniem. Dokładna zgodność w tematach i treściach z punktami podstawy programowej [...] dr Alicja Molęda

...] W podręczniku prezentowane są treści programowe precyzyjnie, jasno i przekonywująco. Przykłady, zadania ćwiczenia zachęcają do uczenia się matematyki i pokaują jej wielką utylitarność. [...] prof. dr hab. Tadeusz Stanisz

Matematyka w otaczającym nas świecie. Część 1.

Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-422 Gdańsk 22 tel. 602 211 526 dział zamówień i reklamacji tel./fax 585 208 745 pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl

ISBN 978-83-88299-54-4

M A T MATEMATYKA E w otaczającym nas świecie M A Część . T Y K A

Przedruk treści rozszerzonych z podręcznika dla klasy 1. o numerze ewidencyjnym 596/1/2012

licea ogólnokształcące technika

DO NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Książka adresowana jest do uczniów szkół ponadgimnazjalnych, którzy zamierzają kontynuować naukę matematyki w zakresie rozszerzonym od klasy drugiej.

Praca zbiorowa pod redakcją Alicji Cewe i Haliny Nahorskiej

2019

2020 2021

2022 2023

Zbiór zadań maturalnych zakres podstawowy

Alicja Cewe Małgorzata Krawczyk Maria Kruk Alina Magryś-Walczak Halina Nahorska

zakres rozszerzony

M A T MATURA z matematyki w roku 2015 E 2016 2017 M 2018 A T Y K A

ISBN 978-83-65120-95-3

DO PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z DNIA 27.08.2012

Alicja Cewe Jadwiga Kobierowska Alina Magryś-Walczak Halina Nahorska Irena Stepuro Jadwiga Witkowska

MATURA

z matematyki w roku 2015 2016

2017

2018

2019

2020 2021 2022 2023

Zbiór zadań maturalnych zakres podstawowy

Gdańsk

Autorki:

Alicja Cewe, Jadwiga Kobierowska, Alina Magryś-Walczak, Halina Nahorska, Irena Stepuro, Jadwiga Witkowska

Projekt okładki: Zdjęcie na okładce: Skład i rysunki:

Alicja Cewe, Julka Gierej Julka Gierej Jarosław Mach

Zadania w zbiorze wyczerpują wszystkie umiejętności wymienione w podstawie programowej z dnia 27 sierpnia 2012 r, która jest identyczna jak podstawa programowa z dnia 23 grudnia 2008 r.

ISBN 978-83-65120-95-3

Spis treści Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Liczby rzeczyWiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Działania na liczbach rzeczywistych . Potęgi i pierwiastki . . . . . . . . . Logarytmy . . . . . . . . . . . . Błąd bezwzględny i błąd względny . Przedziały liczbowe . . . . . . . . Procenty . . . . . . . . . . . . . Odpowiedzi i wskazówki . . . . . .

. . . . . . .

Zadania otwarte

. . 7. . . . . . 10 . . . . . 11 . . . . . 12 . . . . . 12 . . . . . 13 . . . . . . . . . 27

2. Wyrażenia aLgebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadania otwarte

Zadania zamknięte

. . . . . .

15 18 20 22 23 25

Zadania zamknięte

33 . . . . . 36 Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3. róWnania i nieróWności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Zadania otwarte

Równania i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą Układy równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi . . Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą. . . . Równania wielomianowe typu x n = a i ax ( x + b ) ( x + c ) = 0 . . Równania wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

43 44 46 49 50 . .

. . . . . .

Zadania zamknięte

. . . . .

. . . . . . . . . . 61

. . . . .

51 53 55 58 59

4. Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Zadania otwarte

Sposoby określania funkcji . . . . . . . . Odczytywanie własności funkcji z wykresu Przekształcanie wykresów funkcji . . . . . Funkcja liniowa . . . . . . . . . . . . . Funkcja kwadratowa . . . . . . . . . . . Funkcja f ( x ) =

. . . . .

a i wielkości odwrotnie proporcjonalne . . . . . . . . . . . . . x

68 69 71 73 76

. . . . .

Zadania zamknięte

. . . . .

83 85 86 88 91

79 . . . . . 94

Funkcja wykładnicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 . . . . . 95 Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5. ciągi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Zadania otwarte

Ciągi liczbowe . . . . . . Ciąg arytmetyczny . . . . Ciąg geometryczny . . . Odpowiedzi i wskazówki .

. . . .

105 106 109 . . .

. . . .

Zadania zamknięte

. . . . 111 . . . . 113 . . . . 116 119

Spis treści

6. trygonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Funkcje trygonometryczne kątów o miarach od 0° do 180° . Wartości funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . Związki między funkcjami trygonometrycznymi. . . . . . . Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

Zadania otwarte

123 125 127 . . .

. . . .

Zadania zamknięte

. . . . 130 . . . . 132 . . . . 133 136

7. pLanimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Kąty w okręgu, styczna do okręgu i okręgi styczne . Podobieństwo trójkątów . . . . . . . . . . . . . Obliczenia geometryczne z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych. . . . . . . . . . . . Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . .

Zadania otwarte

Zadania zamknięte

. . . . . . . . . . . . . . . 140 . . . . . 150 . . . . . . . . . . . . . . . 144 . . . . . 153 . . . . . . . . . . . . . . . 148 . . . . . 156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8. geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej . . . . . . . . . . . . 168 Zadania otwarte

Zadania zamknięte

Proste i ich równania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 . . . . . 175 Wielokąty i ich własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 . . . . . 177 Symetrie na płaszczyźnie kartezjańskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 . . . . . 180 Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

9. stereometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Kąty między odcinkami w graniastosłupach i ostrosłupach Kąty między odcinkami i płaszczyznami oraz kąty między płaszczyznami w graniastosłupach i ostrosłupach . . . . Przekroje prostopadłościanu . . . . . . . . . . . . . . Walec i stożek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadania otwarte

Zadania zamknięte

. . . . . . . . . . . . 186 . . . . . 198 . . . .

. . . .

189 192 193 . . .

. . . .

. . . . 201 . . . . 203 . . . . 205 208

10. eLementy statystyki opisoWej. teoria praWdopodobieństWa i kombinatoryka . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Zadania otwarte

Średnia i odchylenie standardowe zestawu danych oraz ich interpretacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obliczenia kombinatoryczne . . . . . . . . . . . . . Prawdopodobieństwo . . . . . . . . . . . . . . . . Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

216 221 223 . . .

. . . .

Zadania zamknięte

. . . . 227 . . . . 232 . . . . 235 238

11. zestaWy poWtórkoWe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

tabLice Wartości Funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . 288

Wstęp Książka „Matura z matematyki w roku 2015, 2016, 2017, ... – zakres podstawowy” jest zbiorem zadań ilustrujących wszystkie wymagania z matematyki na poziomie podstawowym, zawarte w podstawie programowej z dnia 27 sierpnia 2012 roku, identycznej jak podstawa programowa z dnia 23 grudnia 2008 roku, z uwzględnieniem formy egzaminu końcowego, czyli obowiązkowej matury od 2015 roku. Zbiór zawiera 692 zadania otwarte oraz 714 zadań zamkniętych różnych rodzajów. Wśród zadań otwartych są zadania na dowód matematyczny wymagające przedstawienia przez maturzystę pisemnego toku rozumowania, a także zadania na zastosowanie matematyki w życiu codziennym. W zadaniach zamkniętych oprócz zadań, których rozwiązanie polega na zaznaczeniu jednej proponowanej odpowiedzi spośród czterech podanych, są zadania wymagające od maturzysty segregacji informacji, poddania ich własnej ocenie i argumentacji wyboru. Umiejętności te sprawdzają w zbiorze między innymi zadania rodzaju: I.

Oceń poprawność podanych zdań i wybierz właściwą odpowiedź spośród A)

gdzie, np. II.

– oznacza w kolejnych wierszach: prawda (P), fałsz (F),

– oznacza w kolejnych wierszach: prawda (P), prawda (P).

Wskaż odpowiednie uzasadnienie wyboru odpowiedzi spośród T–A

gdzie, np.

T–A

– oznacza „Tak, ponieważ A”,

N–B

– oznacza „Nie, ponieważ B”.

T–B

C) N – A

D) N – B

III. Dobierz odpowiednio w pary właściwe informacje z dwóch zbiorów oznaczonych literami i cyframi, np. a –3 oznacza, że do informacji oznaczonej literą a powinno dobrać się informację oznaczona cyfrą 3. Wiele badań przeprowadzonych w różnych krajach potwierdziło, że rozwiązywanie zadań zamkniętych różnego rodzaju służy nie tylko ocenie, lecz również sprzyja doskonaleniu umiejętności i prowokuje do myślenia. Proponujemy nie pomijać ich przy powtórkach matematyki przed maturą. Odpowiedzi i wskazówki do zadań w każdym rozdziale są na stronach oznaczonych szarym paskiem na marginesie. Życzymy powodzenia Autorki

1. Liczby rzeczywiste Wymagania egzaminacyjne Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2) oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych); 3) posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach; 4) oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych; 5) wykorzystuje podstawowe własności potęg (również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią, informatyką); 6) wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym; 7) oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia; 8) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej; 9) wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok).

Zadania otwarte Działania na liczbach rzeczywistych

1.1. Przedstaw liczbę 0 w postaci: a) ilorazu dwóch liczb wymiernych, b) różnicy dwóch pierwiastków różnych stopni, c) iloczynu dwóch potęg o różnych podstawach.

1.2. Przedstaw liczbę –1 w postaci: a) sumy dwóch liczb przeciwnych do liczb naturalnych, b) iloczynu dwóch pierwiastków różnych stopni, c) ilorazu dwóch logarytmów o różnych podstawach.

1.3. Przedstaw liczbę 2 w postaci: a) ułamka, w którym liczba 3 − 2 jest mianownikiem, b) ułamka, w liczniku którego jest liczba 2 + 1.

Zadania zamknięte strona 15.

1. Liczby rzeczywiste

1.4. Oblicz n, gdy: a) 4, 2 ⋅ 10n = 4 200 000,

b) 1, 35 ⋅ 10n = 135 000 000,

c) 5, 23 ⋅ 10n = 0, 000 005 23 ,

d) 7, 2 ⋅ 10n = 0, 000 072.

1.5. Podaj przykład dwóch liczb wymiernych zawartych między liczbami: a)

450 451 i , 803 803

31 32 i . 10 000 10 000

1.6. Podaj przykład trzech liczb wymiernych m, k, l, spełniających warunek

1 8 <m<k <l < . 4 25

1.7. Zamień na ułamek zwykły liczbę 1, 2 ( 7 ) . Aby zamienić liczbę 1, 2 ( 7 ) na ułamek zwykły postępujemy następująco. 1° 1° Rozwinięcie okresowe przedstawiamy jako sumę dwóch liczb 1, 2 ( 7 ) = 1, 2 + 0, 0 ( 7 ) . 2° Przedstawiamy liczbę 0, 0 ( 7 ) w postaci 0, 0 ( 7 ) = 0,1 ⋅ 0, ( 7 ) = 0,1 ⋅ 7 ⋅ 0, (1) . 1 1 1 7 Korzystając z tego, że 0, (1) = otrzymujemy 0, 0 ( 7 ) = ⋅ 7 ⋅ = . 10 9 90 9 2 7 25 5 3° Z warunków 1° i 2° otrzymujemy: 1, 2 ( 7 ) = 1 + =1 =1 . 10 90 90 18 5 4° Odpowiedź. 1, 2 ( 7 ) = 1 . 18 Postępując analogicznie, przedstaw w postaci ułamków zwykłych liczby:

a) 1, 2 ( 4 ) ,

b) 0, ( 03) ,

c) 0,1(12 ) . 2 3

1.8. Spośród liczb: a = 1, 3245, b = 0, 38 ( 42 ), c = 32 , d = , e = 2 + 1, f = π , g = te, które są niewymierne.

1.9. Oblicz: a)

(

3 + 2 ) ( 2 3 − 3),

7 5 1  140 − 138  : 18 30 12  6 , c)  0, 002

(

48 − 2 27 + 12 ) ( 2 − 75 ), −2

4 1 5 −   : 4, 5 9 3 d) , −1 1  1  8 − 3⋅ 2  ⋅ −  3  3 

25 25 + 36 81 . e) 5 5 5+ + 36 81 25 +

1.10. Oblicz: a) NWD ( 546, 306 ) + NWW (15, 21),

1.11.

b) NWW ( 21, 28 ) + NWD (84, 630 ) .

O liczbie x wiadomo, że NWD ( 6, x ) = 3 oraz NWW ( 6, x ) = 90. Oblicz x.

22 podaj 7

Zadania otwarte

1.12. Wiedząc, że a)

(2 − 5 )

a 2 = a , zapisz bez użycia symbolu wartości bezwzględnej wyrażenie: b)

(4 − 3 2 )

(1 + 3 2 )

−

1.13. Oblicz: a) −3 + 2 − ( −3 + 2 ) ,

1.14. Oblicz wartość wyrażenia 1.15. Podaj,

c) 1 − 2 ,

7 − 1 − −3 + 7 ,

ile co najmniej,

+ 2ab + b 2

( a + b )4

)

−1

(

d) 3 − 2 2 − −3 2 + 1 .

( 2a − b )−2 4a 2 − 4ab + b 2

)

, gdy a = 1 i b = 0, 5.

ile co najwyżej,

wśród pięciu kolejnych liczb naturalnych jest liczb: a) parzystych,

b) podzielnych przez 3,

d) podzielnych przez 5,

e) podzielnych przez 6.

c) podzielnych przez 4,

1.16. Wykaż, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6. 1.17. Wykaż, że liczba postaci n ( n + 1) ( n + 2 ) + 1, gdzie n ∈ N +, nie jest podzielna przez 3. 1.18. W grupie 44 uczniów jest 26 chłopców. Prawo jazdy ma 33 uczniów, a 5 dziewcząt nie ma prawa jazdy. Oblicz, ilu chłopców ma prawo jazdy.

1.19. Liczba piłeczek w pudle należy do przedziału ( 65; 105 ) . Jeśli z pudła wybieramy za każdym razem po 10 piłeczek, to w pudle pozostanie 5 piłeczek, a jeśli wybieramy po 7 piłeczek, to w pudle pozostaną 4 piłeczki. Oblicz, ile piłeczek było w pudle.

1.20. Wykaż, że jeżeli a =

55555 5 i b = , to a = b . 77777 7

1.21. Wykaż, że każda liczba postaci 10n + 2 , gdzie n ∈ N +, jest podzielna przez 3. 1.22. Wykaż, że liczba postaci 1110 − 1 jest podzielna przez 10. 1.23. Wykaż, że liczba postaci 3 ⋅ 57 + 2 ⋅ 58 + 59 jest podzielna przez 19. 1.24. Uzasadnij, że liczba postaci 3n + 3n +1 + 3n + 2 jest podzielna przez 13. 1.25. Wykaż, że liczba 20102010 jest podzielna przez 67201.

1. Liczby rzeczywiste

Potęgi i pierwiastki

Zadania zamknięte strona 18.

1.26. Liczbę x zapisz w postaci potęgi o podstawie p.

1  b) x =  ⋅ 81 : 27, gdy p = 3. 3  

a) x = 23 ⋅ 45 ⋅ 83, gdy p = 2,

1.27. Zapisz w postaci potęgi o wykładniku wymiernym liczbę: a)

3 ⋅ 3 3,

1 . 2

9 ⋅ 3,

1.28. Oblicz: 8

a) 33 ⋅ 3 92 ,

5 ⋅ ( 2 125 − 5 ),

900 + 6 ,

46 .

1.29. Uporządkuj rosnąco liczby: 3

 1  1 a) − 2 ,  −  ,  −  , − 3,  2  3 c)

6, 6 6 ,

b) 4 4 , 2 4 , ( 0, 2 ) 4 , ( 0, 4 ) 4 ,

6 1 , , 6 6

−

1 9 , 3 3 9 , , 3 3. 9 3

1.30. Porównaj liczby x i y, gdy: a) x =

4 9 2, y = 3, 3 8

b) x = 32000 , y = 23000 ,

 2  −3  c) x =  −  + 3 ⋅ 2−3   3  

−2

+ 3 ⋅ 83 ,

3 y =  2

−2

−3

−2

1 1  3 +  ⋅ +  .  3 9  5

1.31. Oblicz:

(

−1 −1 a) ( 2 ) + 2  ⋅  2 − ( 2 )  ,    

1 22

1 ⋅ 72 2

e) 6

1 − 33

1 ⋅ 72 3 ,

81 ⋅ 9 −

5 19, 2

⋅

)

−1

− 1−1  , 

(

)

d) 8, 25 − 0, 5−0,5 ⋅ 2−0,5 + 4−0,25  2 , 7

−243 − 9 −1

b)  1−1 + 1−1 

2 3

−256 ⋅ 3 14 3

−

8 11 .

6 7 ⋅ 2 11

1.32. Usuń niewymierność z mianownika ułamka: a)

4 6 , 3 216

0,1 ⋅ 0, 02 , 2

5− 3 , 3

1 , 3

3 . 27

Zadania otwarte

1.33. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie: a) 4 3 + 27 , 24 − 54 + 6 , 6

1.34. Uzasadnij, że jeżeli a = 3

2 + 3 8 − 18 , 2

c) 6 50 + 32 − 3 72 ,

5⋅ 8 ⋅ 10 , 2

f) 3 16 + 3 128 − 3 3 2 .

2 −2

i b = 3 2 , to b = 9a .

1.35. Wykaż, że: a)

2575 = 10 125100 ,

2 ⋅ 6 3 ⋅ 12 3 = 4 6 .

1.36. Wykaż, że liczba 354 jest rozwiązaniem równania 24311 − 8114 + 7 x = 927 . cm oraz jedna mila (mi) to s 1, 6 ⋅ 105 cm, wyraź prędkość światła w milach na sekundę. Wynik zapisz w notacji wykładniczej.

1.37. Przyjmując, że prędkość światła jest równa 2, 997 ⋅ 1010

1.38. Liczba Avogadro określa liczbę drobin (cząsteczek, jonów, atomów) stanowiących 1 mol. 1 mol to zbiór zawierający 6, 02 ⋅ 1023 drobin. Oblicz: a) ile drobin znajduje się w 10 molach pewnego gazu, b) ile moli zawiera 72, 24 ⋅ 1023 cząsteczek wody.

Logarytmy

Zadania zamknięte strona 20.

1.39. Oblicz: a) log 3 27 − log 2 8,

b) log 4 1 + log 5 125,

d) log 4 4 − 6 log 2 2,

e) log log log1010  ,

1 f) 2 log 3 3 − log 3 3. 2

b) log 256 4 = x,

c) log125

(

c) log 3 3 + log 6 6 ,

)

1.40. Oblicz x, gdy: a) log 2 x = 3,

1 = x. 5

1.41. Wiedząc, że log 2 = 0, 30 i log 3 = 0, 48 , oblicz: a) log18,

2 b) log 6 , 3

c) log 5,

 1  d) log10  3 .  2

1.42. Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek log = log = log 2 a = 2. Oblicz 4c 3b 1.43. Przyjmując a = log 3 10 i b = log 3 5, wyraź za pomocą a i b wartość logarytmu: a) log 3 50,

b) log 3 500,

c) log 3 250,

d) log 3 2.

abc .

1. Liczby rzeczywiste

1.44. Wykaż, że x jest liczbą całkowitą, gdy: a) x = log 5 9 + 2 ( log 5 1 − log 5 3),

b) x = log 27 9 + log 27 243 + log 27 38,

1 1 c) x = log 2 + log + log 3 + log 3, 2 3

d) x = log 3 22 + log 3 ( 4, 5 ) − 2 log 5 5 . 2

1.45. Wykaż, że: a) log 8 + log 6 = log 3 + log 4 , 1 c) log 20 + log 2 = + log 2, 2

b) log 18 − log 12 = log 6 − log 2, d) log125 25 + log125 3125 + log125 58 = 5.

Błąd bezwzględny i błąd względny

1.46. Podaj przybliżenie dziesiętne liczby k z dokładnością do 0,01. Oblicz błąd bezwzględny i błąd względny tego przybliżenia, gdy: 7 1 3 b) k = 5 , c) k = , a) k = 1 , 2 8 11

Zadania zamknięte strona 22.

d) k =

45 . 13

1.47. W wypadku drogowym uczestniczyły dwa pojazdy. Droga hamowania samochodu była równa 62,8 m, a motoru 43,7 m. W protokole policjant zanotował: „Droga hamowania samochodu była równa 63 m, a motoru 43 m”. Oceń, dla którego pojazdu policjant podał większy błąd względny pomiaru.

1.48. Podaj przedział liczbowy, do którego należy wynik pomiaru masy: a) 1 kg ± 0,05 kg,

b) 1 tona ± 10 kg ,

c) 1 q ± 2 kg .

1.49. Za pomocą miary centymetrowej zmierzono wysokość a pokoju i szerokość b drzwi, uzyskując wynik a = 256 cm i b = 91 cm. Oblicz maksymalne błędy względne tych pomiarów.

1.50. Liczba d = 150 jest przybliżeniem liczb a i b do dziesiątek. Podaj: a) liczbę a, wiedząc, że d jest przybliżeniem z nadmiarem liczby a, którego błąd bezwzględny jest równy 3,6, b) liczbę b, wiedząc, że d jest przybliżeniem z niedomiarem liczby b, którego błąd bezwzględny jest równy 2,75.

1.51. Przyjęto, że 210 ≈ 1000. Uzasadnij, że błąd względny tego przybliżenia to mniej niż 3%. .

Przedziały liczbowe

1.52. Na osi liczbowej zaznacz zbiór punktów, których współrzędne spełniają warunki: a) x > 2 lub x < −3,

b) x > −3 lub x < 2,

c) x < 3 lub x < 0,

d) x ≥ −2 i x < 3.

Zadania zamknięte strona 23.

Zadania otwarte

1.53. Na osi liczbowej zaznacz zbiór liczb rzeczywistych x takich, że: a) x ∈ 4; + ∞ ),

b) x ∈ ( −∞ ; 0 i x ∈ ( −1; + ∞ ) ,

c) x ∈ R + ,

d) x ∈ ( 2; 3) lub x ∈ −5; 5 .

1.54. Zapisz warunki, jakie spełniają liczby rzeczywiste x należące do przedziału: a) −3; 0 ),

b) ( −∞; 2 ,

d) ( 0; + ∞ ).

c) 1; 15 ,

1.55. Wypisz wszystkie liczby całkowite należące do przedziału: a) −1; 0 ,

b) ( 0; 2 ) ,

1 2 c) − ; 1 , 3 3

d) −2 2 ; 2 ) .

1.56. Na osi liczbowej zaznacz punkty o współrzędnych x takich, że: a) x ∈ ( −1; 1) lub x = 1,

b) x ∈ −5; 3 i x = 3,

c) x ∈ ( −∞; 0 ) i x ≠ −1,

d) x ∈ 0; +∞ ) i x ≠ 0. .

1.57. Podaj najmniejszy przedział otwarty ( a; b ), gdzie a ∈C i b ∈C , do którego należy liczba: a) 2 + 2 ,

b) 1 − 2 ,

c) 2 − 2 ,

d) π − 3.

1 9 jest odcinek. Uzasadnij, że 2 10 punkty A = ( −0, 7 ) i B = ( 0, 1) dzielą ten odcinek na trzy odcinki o równych długościach.

1.58. Ilustracją graficzną na osi liczbowej przedziału −1 ;

1.59. Punkty A = ( 2 − 1), B = ( 3 2 + 1) i C = ( 2 2 ) leżą na osi liczbowej. Uzasadnij, że punkt C jest środkiem odcinka o końcach A i B.

1.60. Liczba x należy do przedziału −25; − 3 . Uzasadnij, że jej odległość na osi liczbowej od liczby ujemnej –14 jest nie większa niż 11. Procenty

Zadania zamknięte strona 25.

1.61. Cena pewnego towaru wraz z 8% podatkiem VAT była równa 64,80 zł. a) Oblicz cenę tego towaru, gdyby podatek VAT zamiast 8% był równy 23%. b) O ile procent wzrosła cena towaru po podwyższeniu podatku VAT z 8% do 23%?

1.62. Przy stawce VAT równej 5% cena brutto jest o 5% wyższa od ceny netto. Uzasadnij, że cena netto stanowi więcej niż 95% ceny brutto.

1.63. Reklama głosi, że od dziś w pewnym sklepie jest o 30% taniej. Uzasadnij, że wczoraj 6 w stosunku do dziś było o 42 % drożej. 7

1. Liczby rzeczywiste

1.64. Oblicz liczbę x, której: a) 60% dwukrotności liczby x jest równe 30% liczby x powiększonej o 5, b) 80% czwartej części liczby x jest równe 40% liczby x zmniejszonej o 15.

1.65. Po dwóch obniżkach za każdym razem o 20% cena płaszcza jest równa 320 zł. Oblicz, ile kosztował płaszcz przed obniżkami.

1.66. W stopie zawierającym 4,5% ołowiu (Pb) jest o 19 kg ołowiu więcej niż w drugim stopie, zawierającym 4% ołowiu. Łączna masa obu stopów jest równa 800 kg. a) Oblicz masę każdego ze stopów. b) Ile kilogramów ołowiu jest w każdym z tych stopów?

1.67. Wyniki sondażu przeprowadzonego na reprezentatywnej grupie 1000 osób, dotyczące poparcia pięciu partii politycznych w ostatnich miesiącach roku, umieszczono w tabeli poniżej. Uzupełnij cztery kolumny tabeli. Partia K... M... N... R...

Wyniki wrzesień listopad

40% 26% 6% 7%

W punktach procentowych wzrost spadek

W procentach wzrost spadek

44% 25% 9% 7%

1.68. Reklamy dwóch banków A i B informują, że za każde pożyczone 1000 zł kredytobiorca płaci miesięcznie 15 zł w banku A i 18 zł w banku B. Oblicz roczne oprocentowanie kredytów w każdym z banków.

1.69. Załóżmy, że zdecydowałeś się wpłacić 1000 zł na konto oprocentowane 12% w stosunku rocznym z kapitalizacją odsetek: a) po roku, b) co pół roku, c) co kwartał, Jaki będzie stan Twojego konta po upływie roku?

d) co miesiąc.

1.70. Oblicz, jaki dochód przyniesie po trzech latach lokata 10 000 zł, która jest oprocentowana w stosunku rocznym w wysokości 8%, a odsetki są kapitalizowane co kwartał.

1.71. W pierwszym roku produkcji pewnego towaru sprzedano go 10 000 sztuk. Przez kolejne 3 lata sprzedaż wzrastała o 8% rocznie. Ile sztuk towaru sprzedano w czwartym roku?

1.72. Pan Kowalski założył w pewnym banku dwuletnią lokatę terminową w kwocie 5000 zł. Oblicz oprocentowanie tej lokaty w skali rocznej, jeżeli kapitalizacja odsetek następowała co pół roku i po dwóch latach na koncie pana Kowalskiego była kwota 7320,50 zł.

Zadania zamknięte

Zadania zamknięte Działania na liczbach rzeczywistych

Zadania otwarte strona 7.

W zadaniach od 1. do 26. wybierz jedną poprawną odpowiedź spośród podanych.

1. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeżeli zdanie jest prawdziwe lub F – jeśli jest fałszywe. 7 11 3, 2 ( 38 ) > 3, ( 238 ) 0, 6 ( 3) =

P F P F PF

2. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeżeli zdanie jest prawdziwe lub F – jeśli jest fałszywe. 1 2 121 0 3 Liczbę a przedstawiono w postaci a = 2 − 4 ⋅ + 3 ⋅ 3 + ( 7 − 3) ( 7 + 3). 3 3 49 Liczbę a można zapisać w postaci a = 10n , gdy n = 2.

P F

Liczbą odwrotną do a jest liczba –20.

P F

3. Rozwinięcie dziesiętne skończone ma liczba A)

4 12

14 35

4. Rozwinięcie dziesiętne nieskończone ma liczba A)

3 5

3 8

80 110

6 7

13 39

17 34

5. Suma najmniejszej i największej spośród liczb ujemnych: –0,3456, –0,6, –0,78, –0,2345 jest równa A) –1,0145

B) –0,9456

6. Liczba wymierna w, spełniająca warunek A)

25 36

28 36

C) –1,1256

D) –0,8345

7 8 < w < , może być równa 9 9 31 C) D) 0,89 36

7. Zależność między kilometrem (km) i decymetrem (dm) opisuje równość A) 1 km = 103 dm

B) 1 dm = 10–4 km

C) 1 dm = 10–3 km

D) 1 km = 105 dm

1. Liczby rzeczywiste

8. Na osi liczbowej między punktami P =   i R =   leży punkt M, gdy 8 7  5 A) M =    14 

 25  B) M =    28 

3 C) M =   4

6 D) M =   5

9. Największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 576 i 480 jest równy A) 27 ⋅ 32

B) 26 ⋅ 3 ⋅ 5

C) 211 ⋅ 33 ⋅ 5

D) 25 ⋅ 3

10. Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) liczb 252 i 147 jest równa A) 22 ⋅ 32 ⋅ 7

B) 22 ⋅ 3 ⋅ 7 2

11. Wartość wyrażenia A)

5 − 10

C) 22 ⋅ 32 ⋅ 7 2

D) 22 ⋅ 3 ⋅ 7

C) − 5

5 − 5 − 5 jest równa B) − 5 − 10

12. Wartość wyrażenia 1 − 3 + 1 + 3 jest równa A) 2

B) 2 3

C) −2 3 1 3

D) –2

13. Jeżeli a = 0, ( 3) , b = 0, ( 31), c = , to wartość wyrażenia a + b − c jest równa A)

31 99

14. Jeżeli x = A) x + 2 y

15. Jeżeli A)

6 5

32 99

34 99

35 99

1 1 i y = , to liczba całkowita jest wartością wyrażenia 2 6 3x y B) C) x ⋅ y D) y x

x 1 y = , to wartość wyrażenia + 5 jest równa x y 5 26 B) 5 C) 5

D) 10

16. Jeżeli x = 3, to nie można obliczyć wartości wyrażenia A)

( x − 3)3 x+3

x+3 2 x − 6x + 9

17. Jeżeli x = 3 − 2 , to wartość wyrażenia A) 3 − 2

2 −3

x−3 x2 + 9

x2 − 9 x2 + 6 x + 9

3− x jest równa x−3 C) 1

D) –1

Zadania zamknięte

18. Wśród liczb naturalnych należących do przedziału 44; 50 A) jest jedna liczba pierwsza. C) są trzy liczby pierwsze.

B) są dwie liczby pierwsze. D) nie ma liczb pierwszych.

19. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe. P F P F

Suma trzech liczb nieparzystych jest liczbą parzystą. Suma liczby parzystej i liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą.

20. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe. P F P F

Jeżeli suma liczb a i b jest równa 0, to liczby a i b są liczbami przeciwnymi. Jeżeli różnica liczb a i b jest równa 0, to liczby a i b są liczbami przeciwnymi.

21. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe. P F P F

Iloczyn liczby a i liczby przeciwnej do a jest liczbą nieujemną. Iloczyn liczby a, gdy a ≠ 0, i odwrotności liczby a jest równy 1. .

22. Największą liczbą dwucyfrową, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1, jest liczba A) 93

B) 95

C) 97

D) 99

23. Każdą liczbę całkowitą, gdy n ∈ N +, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 5, można przedstawić w postaci A) 5n + 7

B) 7 n + 5

C) 7 ( n + 5 )

D) 7 n − 5

24. Liczba naturalna postaci 3n − 1 nie jest liczbą pierwszą, gdy A) n = 1

B) n = 2

C) n = 3

D) n = 4

25. Liczba postaci 1000a + 100b + 10c + d , gdzie a, b, c i d są liczbami naturalnymi i a ≠ 0, .

jest podzielna przez 11, gdy spełniony jest warunek a + c = b + d . Oceń prawdziwość poniższych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe. Liczba 9735 jest podzielna przez 11.

P F

Jeżeli w liczbie 476 w miejsce oznaczone  wpiszemy cyfrę 9, to liczba będzie podzielna przez 11.

P F

Jeżeli w liczbach 689 i 139 w miejsce oznaczone  wpiszemy cyfrę 7, to liczby będą podzielne przez 11.

P F

A) PPP

B) PFP

C) FPP

D) FFP

1. Liczby rzeczywiste

26. Oceń prawdziwość poniższych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe. Liczba 5 ⋅ 104 + 4 ⋅ 103 + 7 ⋅ 102 + 2 ⋅ 10 jest podzielna przez 6.

P F

Liczba 5 ⋅ 104 + 4 ⋅ 103 + 7 ⋅ 102 + 2 ⋅ 10 jest podzielna przez 45.

P F

Potęgi i pierwiastki W zadaniach od 27. do 44. wybierz jedną poprawną odpowiedź spośród podanych.

FF Zadania otwarte strona 10.

27. Wyrażenie ( − x3 ) ⋅ x 4 jest równe 2

A) −x10

B) x 24

28. Liczba 3 343 ⋅ 49 ⋅ A) 7 4

C) −x9

D) x10

1 ⋅ 7 zapisana w postaci potęgi liczby 7 to 7 B) 73

C) 72

D) 71

29. Jeżeli a = 81 − 289 , to A) a = 9 − 17

30. Jeżeli a = 3 −15 A) a = b

31. Równość A) m = −10

32. Liczba 1 A) 1

4 25

B) a = 81 − 17 5 17 i b = 3 −4 , to 8 27 B) a > b

C) a = 8

D) a jest liczbą niewymierną.

C) a < b

D) a + b = 0

27 − 147 = m 3 jest prawdziwa, gdy B) m = −4

C) m = −2

D) m = 3

2 przedstawiona w postaci pierwiastka kwadratowego to 5 4 24 25 B) 2 C) 1 D) 1 5 25 4

2 przedstawiona w postaci pierwiastka sześciennego to 3 17 8 7 2 B) 3 3 C) 3 2 D) 3 1 A) 3 4 27 27 9 25

33. Liczba 1

34. Większą od 1 jest liczba  5 A)  3   9

 2 B)  3   3

4 3 5

 3 16  D)    8 

Zadania zamknięte

35. Czy prawdziwa jest równość 3 375 + 3 192 = 3 2187 ? Wybierz odpowiedź T (tak) lub N (nie) i jej uzasadnienie wybrane spośród A i B.

ponieważ

T–A

375 + 3 192 = 3 375 + 192

B 5 3 3 + 3 192 = 3 125 ⋅ 3 + 3 64 ⋅ 3 B)

36. Która spośród liczb: − A) −

1 11

T–B

1 , –111, 11

C) N – A

D) N – B

( −1)11, ( −11)1 jest liczbą największą?

B) –111

C) ( −1)

D) ( −11)

C) 99

D) 77

C) 199

D) 2197

37. Kwadratem liczby naturalnej jest liczba A) 1313

B) 1111

38. Połowa liczby 2198 to A) 1198

39. Liczba

B) 299

108 + 109 zapisana w postaci potęgi liczby 10 to 11 000 ⋅105

A) 100

B) 103

C) 106

D) 10–3

C) 220 > 106

D) 230 > 1012

40. Wiadomo, że 210 = 1024 , więc A) 211 > 104

41. Liczba 2 A)

−

B) 215 > 105 11 4

11 − 16 8

przedstawiona w postaci potęgi liczby 16 to B) 16

−

1 8

C) 16

−

1 4

D) 16

−

11 16

42. Czy iloczyn liczb 0, 000 000 00012 ⋅1 200 000 000 000 jest równy 144? Wybierz odpowiedź T (tak) lub N (nie) i jej uzasadnienie wybrane spośród A i B.

T N A)

ponieważ T–A

A 1, 2 ⋅10−10 ⋅1, 2 ⋅1012 = 1, 44 ⋅102 B 1, 2 ⋅ 10−9 ⋅ 1, 2 ⋅ 1012 = 1, 44 ⋅ 103 B)

T–B

C) N – A

D) N – B

43. Liczba postaci 6 ⋅ 10−7 + 5 ⋅ 10−8 zapisana w notacji wykładniczej to A) 6, 5 ⋅ 10−8

B) 6, 5 ⋅ 10−7

C) 5, 6 ⋅10−7

D) 5, 6 ⋅ 10−8

1. Liczby rzeczywiste

44. Atom wodoru ma masę 1, 674 ⋅ 10−10 g. Ile to kilogramów? A) 1, 674 ⋅ 10−7 kg

B) 1, 674 ⋅ 10−8 kg

C) 1, 674 ⋅ 10−12 kg

D) 1, 674 ⋅ 10−13 kg

45. Dla każdego z wyrażeń oznaczonych cyframi 1, 2 i 3: 25 ⋅ 23

(2 )

3 2

2 3

 2 8 ⋅  23      ( 0, 25 )−1 : 32 −

8 5 ⋅ 2 4 ⋅1616 1

 12  64 3    dobierz jego wartość wybraną spośród oznaczonych literami od a do d: 22

46. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeżeli zdanie jest prawdziwe lub F – jeśli jest fałszywe. a 214 + 47 = 215 b

280 > 3 460

c 310 < 105

P F

e 279 ⋅ 927 = 27 27 P F

P F

f 545 ⋅   = 32 P F

2⋅6 2 = 4 4

P F

1 3

Logarytmy W zadaniach od 47. do 55. wybierz jedną poprawną odpowiedź spośród podanych.

Zadania otwarte strona 11.

47. Jeżeli log 4 5 = a, to log 4 80 = a + 4. Wybierz odpowiedź T (tak) lub N (nie) i jej uzasadnienie wybrane spośród A i B.

T N A)

ponieważ

2 A log 4 80 = log 4 ( 5 ⋅ 4 ) = log 4 5 + 2 log 4 4 = a + 2 2 B log 4 80 = log 4 ( 5 ⋅ 4 ) = ( log 4 5 ) ⋅ ( 2 log 4 4 ) = 2a

T–A

T–B

C) N – A

D) N – B

C) x = 10

D) x = 12

48. Jeżeli x = log 2 64, to B) x = 8

A) x = 4

49. Równość

( 3)

A) log8 3 = 81

= 81 zapisana z użyciem logarytmu ma postać B) log 3 81 = 8

C) log8 3 = 81

D) log81 8 = 3

Zadania zamknięte

50. Iloczyn log 2 A) –4

1 ⋅ log 2 16 jest równy 16 B) –8

C) –32

D) 0

51. Czy wartość wyrażenia log 2 144 − 3 log 2 6 + log 2 24 jest równa 4? Wybierz odpowiedź T (tak) lub N (nie) i jej uzasadnienie wybrane spośród A i B. 144 ⋅ 24

T ponieważ N T–A

A log 2 144 − 3 log 2 6 + log 2 24 = log 2 3 ⋅ 6 B log 2 144 − 3 log 2 6 + log 2 24 = log 2 B)

T–B

144 ⋅ 24 63

C) N – A

D) N – B

C) 2 + 0, 95

D) 0,95

52. Jeżeli log 9 = 0, 95 , to log 900 jest równy A) 95

B) 2 ⋅ 0, 95

53. Jeżeli a = log 7 40 i b = 4, to suma a + b jest liczbą należącą do przedziału A) ( 3; 4 )

B) ( 4; 5 )

C) ( 5; 6 )

54. Jeżeli log 2 a = 4 i log 4 b = 2 , to wartość wyrażenia A) 4

B) 8

C) 16

D) ( 6; 7 )

ab jest równa D) 32

55. Jeżeli log 2 = a i log 3 = b, to log 6 jest równy A) ab

B) a + b

C) a − b

a b

56. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeżeli zdanie jest prawdziwe lub F – jeśli jest fałszywe. a

2 log 3 ( 4 3 ) = log 3 48

2 + log 3 5 = log 3 45

log 6 43 + log 6 93 = 6

1 − log 2 5 = log 2 0, 4

log8 ( 6 + log 3 9 ) = 0

2 log 6 3 + 1 = log 6 9

57. Jeżeli a jest liczbą rzeczywistą dodatnią i różną od 1, to każde z wyrażeń oznaczonych cyframi 1, 2 i 3:

1 1 log a 4 + log a 2 2 2 można przedstawić w postaci jednego logarytmu, wybierając spośród oznaczonych literami od a do e: 4 1 log a 2 log a ( 2 2 ) log a 6 log a log a a 2 log a 3 + log a 4 − log a 2

2 log a 2 − 1

1. Liczby rzeczywiste

Błąd bezwzględny i błąd względny

Zadania otwarte strona 12.

W zadaniach od 58. do 65. wybierz jedną poprawną odpowiedź spośród podanych.

58. Spośród przybliżeń: 13, 027 ≈ 13, 03

145, 003 ≈ 145

0, 0007 ≈ 0, 001

taki sam błąd bezwzględny mają tylko przybliżenia A)

59. Liczbę 30

1 zaokrąglono do części dziesiątych, a liczbę 19,6 do całości. 3

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeżeli zdanie jest prawdziwe lub F – jeśli jest fałszywe.

Błąd bezwzględny przybliżenia liczby 30

1 1 jest równy 30 − 30, 3 . 3 3

Błąd względny przybliżenia liczby 19,6 jest równy A)

P F

0, 4 ⋅100%. 19, 6

P F D)

60. Szacując wynik iloczynu 4,1 ⋅ 9, 8, obliczono iloczyn 4 ⋅ 10 . Błąd bezwzględny tego szacowania jest równy A) 0,08

B) 0,02

C) 0,20

D) 0,18

61. Wisła ma długość równą około 1047 km (pomiar z dokładnością do 1 km). Prawdziwą długością Wisły nie może być długość równa A) 1046,7 km

B) 1047,1 km

C) 1047,2 km

D) 1048,1 km

62. Przybliżenie liczby 468 962 376 z dokładnością do 106 to A) 469 mln

B) 468,96 mln

C) 468,962 mln

D) 468,9624 mln

1 kg to w przybliżeniu 16,7 dag. Czy błąd względny tego przybliżenia 6 wyrażony w procentach jest równy 0,56%?

63. Bartek obliczył, że

Wybierz odpowiedź T (tak) lub N (nie) i jej uzasadnienie wybrane spośród A i B.

1 6 100 500 − 501 1 ⋅ ⋅ 100% = 0, 2% . − 16, 7 = = , więc 30 100 6 30 30

1 100 100 500 − 501 1 ⋅ = 0, 56% . − 16, 7 = = , więc 30 6 30 30 6

ponieważ N A)

T–A

T–B

C) N – A

D) N – B

Zadania zamknięte

64. W tabeli podane są przybliżenia liczby x.

Przybliżenie liczby x

Najbliższe wartości liczby x jest przybliżenie A) 100,5 B) 99,6 C) 100,2 D) 98,9

100,5 99,6 100,2

98,9

Błąd względny 0,005 0,004 0,002 przybliżenia

0,011

65. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeżeli zdanie jest prawdziwe lub F – jeśli jest fałszywe. Liczby 3,36 i 5,36 zaokrąglono do jednego miejsca po przecinku.

P F

Zatem błędy bezwzględne tych zaokrągleń są równe. Liczby 15,3 i 14,7 zaokrąglono do 15. Zatem błąd względny przybliżenia liczby 15,3 jest mniejszy od błędu względnego przybliżenia liczby 14,7. A)

Przedziały liczbowe

P F

FF Zadania otwarte strona 12.

W zadaniach od 66. do 73. wybierz jedną poprawną odpowiedź spośród podanych.

66. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeżeli zdanie jest prawdziwe lub F – jeśli jest fałszywe. Jeżeli x =

5 , to x ∈ ( 2 ; 5 ). 2

P F

3 1 5 Środkiem przedziału −3 ; 2 na osi liczbowej jest punkt o współrzędnej −1 . 8 4 8 A)

P F

67. Zbiór wyróżniony kolorem na osi liczbowej to zbiór liczb spełniających warunek A) x < −2 i x ≥ 3

B) x < −2 lub x ≥ 3

C) x ≤ −2 i x > 3

D) x ≤ −2 lub x > 3

68. Przyporządkuj każdemu z opisów słownych oznaczonych cyframi 1, 2, 3 odpowiedni przedział przedstawiony na osiach liczbowych oznaczonych literami od a do d. Liczby rzeczywiste co najmniej równe –2. Liczby rzeczywiste co najwyżej równe 2. Liczby rzeczywiste nie większe niż –2. A) 1– d, 2 – b, 3 – d. B) 1 – c, 2 – b, 3 – d. C) 1 – d, 2 – a, 3 – c. D) 1 – c, 2 – a, 3 – c.

1. Liczby rzeczywiste

69. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeżeli zdanie jest prawdziwe lub F – jeśli jest fałszywe. Od liczby

−4 na osi liczbowej w odległości 1 leżą liczby –1,8 i 0,2. 5

P F

Do przedziału ( −1; − 0, 3) nie należy liczba −0, ( 3). A)

P F

70. Liczba −52 należy do przedziału A) −5; 5

B) ( −25; 5 )

C) ( −5 ; 25

D) −25; − 5 )

71. Liczb naturalnych należących do przedziału −2 3; 0 jest A) zero.

B) jedna.

C) dwie.

D) trzy.

72. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeżeli zdanie jest prawdziwe lub F – jeśli jest fałszywe. Do przedziału − 6 ; 3) należy pięć liczb całkowitych.

Liczba log 99 należy do przedziału (1; 2 ).

73. Na osiach liczbowych, oznaczonych cyframi od 1 do 4, wyróżniono kolorem przedziały liczbowe. Przyporządkuj każdemu przedziałowi warunek, spośród oznaczonych literami od a do e, jaki spełniają liczby rzeczywiste x należące do tego przedziału. 0≤x≤4 .

x>3 −2 < x < 5 x≥3 −3 ≤ x < 0 A) 1– b, 2 – c, 3 – a, 4 – e.

B) 1 – b, 2 – d, 3 – a, 4 – e.

C) 1 – d, 2 – c, 3 – a, 4 – e.

D) 1 – d, 2 – c, 3 – a, 4 – b.

Zadania zamknięte

Procenty

Zadania otwarte strona 13.

W zadaniach od 74. do 88. wybierz jedną poprawną odpowiedź spośród podanych.

74. Na potrzeby gospodarki zużyto 20 ⋅ 109 m3 wody, w tym na cele przemysłowe 13, 6 ⋅ 109 m3, na gospodarkę leśną i rolnictwo 4, 4 ⋅ 109 m3 , a pozostałą część na gospodarkę komunalną. Zużycie tej wody przedstawiono na diagramie kołowym. A)

75. Jeżeli liczba 90 jest o 50% większa od liczby x, to liczbą x jest A) 60

B) 135

C) 45

D) 150

76. Jedna liczba stanowi 25% drugiej liczby. Wynika z tego, że druga liczba stanowi A) 50% pierwszej liczby.

B) 100% pierwszej liczby.

C) 200% pierwszej liczby.

D) 400% pierwszej liczby.

77. Liczba o 25% większa od sześcianu liczby dodatniej m jest równa A) m3 + 0, 25m

B) m3 +

1 4

C) 1,25 m3

D) 0,25 m3

78. Trzy czwarte liczby m jest równe 75% liczby p. Wynika stąd, że A) m > p

B) mp > 0

C) m + p = 0

D) m − p = 0

79. O ile procent wzrośnie pole koła, gdy jego promień wzrośnie o 20%? A) 20%

B) 40%

C) 44%

D) 80%

80. Poparcie dla partii X wzrosło w ciągu jednego miesiąca z 20% do 25%, czyli o 5 punktów procentowych. O ile procent wzrosło poparcie dla tej partii? A) 5%

B) 20%

C) 25%

D) 30%

81. Przed inflacją1) produkt kosztował 85 zł, a po roku 90,10 zł. Inflacja w skali roku była równa A) 5,1%

B) 6%

C) 6,1%

D) 17%

82. Cena produktu bez podatku VAT to 15 zł, a z podatkiem VAT to 16,20 zł. Jaką stawką VAT był objęty produkt? A) 5% 1)

B) 7%

C) 8%

Inflacja – proces wzrostu ogólnego poziomu cen w określonym czasie.

D) 23%

1. Liczby rzeczywiste

1 jego ceny, a pozostałą kwotę po6 większoną o 6% będziesz spłacał w równych dziesięciu ratach”. Czy kupując towar za 3000 zł każda z rat będzie w kwocie 400 zł?

83. Sklep reklamuje usługę: „Kupując towar wpłacasz

Wybierz odpowiedź T (tak) lub N (nie) i jej uzasadnienie wybrane spośród A i B.

T N A)

ponieważ

A B

T–A

2500 1 + 150 = 400 zł ⋅ 3000 zł = 500 zł; 6% z 2500 zł to 150 zł; rata: 10 6 2500 + 150 1 = 265 zł ⋅ 3000 zł = 500 zł; 6% z 2500 zł to 150 zł; rata: 10 6

T–B

C) N – A

D) N – B

84. Właściciel domu chcąc zmniejszyć koszty ogrzewania dokonał dwóch usprawnień, które obniżyły wydatki kolejno o 20% i 26%. Oceń prawdziwość poniższych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

P F P F

Łączny procent obniżki kosztów jest sumą procentów kolejnych obniżek. Obniżki kosztów można obliczać w dowolnej kolejności.

85. Bank oferuje roczną stopę procentową 2% z kapitalizacją odsetek co kwartał. Wpłacając do banku 5000 zł na 4 lata uzyskamy na rachunku kwotę opisaną wzorem A) 5000 ⋅ (1, 005 )

B) 5000 ⋅ (1, 02 )

C) 5000 ⋅ (1, 02 )

D) 5000 ⋅ (1, 005 )

86. Oprocentowanie rocznej lokaty w pewnym banku jest równe 15%. Chcąc mieć po roku wraz z odsetkami na koncie 6900 zł należy wpłacić na lokatę kwotę A) 5000 zł

B) 5500 zł

C) 5750 zł

D) 6000 zł

87. Marta założyła lokatę 1000 zł na okres 1 roku. Bank proponuje stałą roczną stopę procentową 3,6% oraz kapitalizowanie odsetek co pół roku lub po roku. Czy Marta powinna wybrać kapitalizację półroczną, chcąc uzyskać większe odsetki? Wybierz odpowiedź T (tak) lub N (nie) i jej uzasadnienie wybrane spośród A i B.

ponieważ

N A)

1, 8

T–A

3, 6

   A 1000 1 +   < 1000 1 + 100 100 





1, 8



3, 6

   B 1000 1 +   > 1000 1 + 100 100 



T–B





C) N – A

D) N – B

88. Oprocentowanie kredytu mieszkaniowego w banku było równe 6%. Zarząd banku podniósł oprocentowanie o 25%, więc oprocentowanie tego kredytu wzrosło A) o 1%

B) o 1,2%

C) o 1,5%

D) o 2%

Odpowiedzi i wskazówki

Odpowiedzi i wskazówki Zadania otwarte Działania na liczbach rzeczywistych 0 1.1. Np.: a) 0 = , b) 0 = 3 8 − 5 32 , c) 0 = 02 ⋅ 33 . 3 c) −1 =

log 2 2 . 1 log3 3

1.3. Np.: a)

1.2. Np.: a) −1 = 0 + ( −1) , b) −1 = 3 −8 ⋅ 4

2 3−4 2 +1 , b) . 3−2 0, 5 ( 2 + 1)

1 , 16

1.4. a) n = 6 , b) n = 8, c) n = −6 ,

d) n = −5 . Wskazówka: a) 4, 2 ⋅10n = 4 200 000 , więc 4, 2 ⋅10n = 4, 2 ⋅106 , zatem n = 6 . 1.5. Np.: a)

4501 4502 311 312 , , b) , . 803 ⋅10 803 ⋅10 10 000 ⋅10 10 000 ⋅10

 25 32  1.6. Wskazówka: Liczby m, k, l należą np. do przedziału  ; .  100 100  1.7. a) 1, 2 ( 4 ) = 1

11 1 37 1 , b) 0, ( 03) = , c) 0,1(12 ) = . Wskazówka: b), c) 0, ( 01) = . 45 33 330 99

1.8. Liczby c, e, f.

1.9. a)

ułamek.

1 3 , b) 0, c) 50, d) − , e) 5. Wskazówka: e) 9

1.11. Wskazówka: NWD ( a, b ) ⋅ NWW ( a, b ) = a ⋅ b .

1.10. a) 6 + 105 = 111, b) 84 + 42 = 126 . 1.12. a) 1.14.

5 − 2 , b) –5.

1.13. a) 4, b) 2 7 − 4, c) 4, d)

(

a + 2ab + b 9 . Wskazówka: 4 ( a + b )4

1.15. a)

3, b)

)

2 −1

2, c)

1 1  25 1 + +   36 81  i skróć 1 1  5 1 + +   36 81 

( 2a − b )−2

( 4a2 − 4ab + b2 )

2, d)

2 − 1.

( 2a − b )8 . ( a + b )6 1, e)

1.16. Wskazówka: Zauważ, że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jest jedna podzielna przez 3 i co najmniej jedna liczba parzysta.

1.17. Wskazówka: Liczba n ( n + 1) ( n + 2 ) jest iloczynem trzech

kolejnych liczb naturalnych, więc jest podzielna przez 3. Liczba o 1 większa od niej nie jest podzielna przez 3.

1.18. 20 chłopców. Wskazówka: Liczba dziewcząt: 44 − 26 = 18 , w tym mających prawo

jazdy 13 (bo 18 − 5 ).

1.19. 95 piłeczek. Wskazówka: Liczby naturalne należące do przedziału

( 65; 105) , które przy dzieleniu przez 10 dają resztę 5, to liczby: 75, 85, 95. Spośród tych liczb należy wybrać tę, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 4.

1.20. Wskazówka: a =

5 ⋅11 111 . 7 ⋅11 111

1.21. Wskazówka: Suma cyfr liczby 10n + 2 jest równa 3. 1.22. Wskazówka: Ostatnią cyfrą liczby 11n jest 1.

1.23. Wskazówka: Wyłącz przed nawias liczbę 57 .

1.24. Wskazówka: Wyłącz przed nawias liczbę 3n . 1.25. Wskazówka: 2010 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 67 , więc 20102010 = 302010 ⋅ 67 2010 .

1. Liczby rzeczywiste

Potęgi i pierwiastki 1.26. a) x = 222 , b) x = 30 .

3 24

1 1 1.29. a) − 3 , − 2 , − , − , b) 8 27 d)

1.27. a) 2 3 , b) 3 6 , c) 3 6 , d) 2 ,

3 − ( 0, 4 ) 4

3 44

3 − ( 0, 2 ) 4 ,

1 , 3 3 , 33 9 . 3

1.30. a) x < y , b) x > y , c) x < y . Wskazówka: a) x = y=

−

1 2.

1.28. a) 81, b) 6, c) 45, d) 8.

1 6 , , 6 6

, 6 6,

4 32 2 1024 ⋅ 2 = 2= , 3 24 24

29 9 27 3 729 ⋅ 3 −2 2000 3000 = = x 3= 91000= , y 2= 81000 , c) x = ( −3) + 6 , y = + 3. 3= , b) 9 8 24 24

1.31. a)

3 , b) –2, c) 6, d) 2,5, e) –2, f) 6. 2

1.32. a)

1.35. Wskazówka: a)

( )

 2575 =  52 

75 

 

1 3 100  10

( )

 125100 =  5 

( ) − (34 )

1.36. Wskazówka: 24311 − 8114 + 7 ⋅ 354 = 35 1.37. 1, 873125 ⋅105

mi . s

39 15 − 3 , d) , e) 3 3

1.34. Wskazówka: 9a = 32 ⋅ 3

1.33. a) 7 3, b) 4, c) 16 2 , d) 0, e) 10 2 , f) 33 2 . 1 5

2 , b) 0,01, c) 9

 

, b)

1 = 36

6 3 ⋅ 12 3

(

1 12 ⋅3

2 −2

4 3.

1 = 34 .

)

+ 7 ⋅ 354 = 354 3 − 32 + 7 = 354 = 927 .

1.38. a) 6, 02 ⋅1024 drobin, b) 12 moli.

Logarytmy 1 1 1.40. a) x = 8, b) x = , c) x = − . 4 3

1.39. a) 0, b) 3, c) 1, d) –5, e) 0, f) 0.

1.41. a) 1,26, b) 0,82, c) 0,7, d) –0,1. Wskazówka: a) 2 log 3 + log 2 , b) log 2 + log10 − log 3 , 1 c) log10 − log 2 , d) − log 2 . 3 1.42.

abc = 24 . Wskazówka: log 4 c = 2 , więc c = 42 , log3 b = 2 , więc b = 32 , log 2 a = 2 , więc a = 22 .

1.43. a) a + b , b) 2a + b , c) a + 2b , d) a − b . Wskazówka: Przedstaw liczbę: 10 a) 50 = 5 ⋅10 , b) 500 = 5 ⋅102 , c) 250 = 52 ⋅10, d) 2 = . 5 1 1 1.44. Wskazówka: a) x = log5 9 + 2 ( log5 1 − log5 3) = log5 9 + 2 log5 = log5 9 + log5 = log5 1 = 0 i 0∈C. 3 9

(

)

d) x = log3 22 + log3 4, 52 − 2 log5 5 = log3 22 ⋅ 4, 52 − log5 ( 5 ) = log3 ( 2 ⋅ 4, 5 ) − 1 = 2

= log3 92 − 1 = log3 34 − 1 = 3 i 3∈C . 1.45. Wskazówka: a) L = log 8 + log 6 = log 48 = log ( 4 3 ) , P = log 3 + log 4 = log ( 4 3 ) , 3 6 6 = log , P = log 6 − log 2 = log , 2 2 4 1 c) L = log 20 + log 2 = log 40 = log ( 2 10 ) , P = + log 2 = log ( 10 ⋅ 2 ) , 2 b) L = log 18 − log 12 = log

(

)

d) L = log125 25 + log125 3125 + log125 58 = log125 52 ⋅ 55 ⋅ 58 = log125 1255 = 5.

Odpowiedzi i wskazówki Błąd bezwzględny i błąd względny 1.46. a) k = 1, 50 , 0 – błąd bezwzględny, 0 – błąd względny, b) k = 5, 38 , 0,005 – błąd bezwzględny, 1 0,0009 – błąd względny, c) k = 0, 64 , 0,0036 – błąd bezwzględny, – błąd względny, 2750 3 – błąd względny. d) k = 3, 46 , 0,0015 – błąd bezwzględny, 6500 1.47. Większy błąd względny pomiaru podano dla drogi hamowania motoru. Wskazówka: 0,2 – błąd bezwzględny drogi hamowania samochodu, 0,7 – błąd bezwzględny drogi 0, 7 0, 2 hamowania motoru, > . 1.48. a) ( 0, 95; 1, 05 ) , b) ( 0, 990; 1, 010 ) , c) ( 0, 98; 1, 02 ). 43, 7 62, 8 1 1 1.49. dla a i dla b. 1.50. a) a = 146, 4 , b) b = 152, 75. 256 91 1024 − 1000 1.51. Wskazówka: ⋅100% = 0, 023 ⋅100% . 1024

Przedziały liczbowe 1.52. a)

b) –3

01 2

–3

01 2

c) –3

–2

1.53. a)

b) 01

–1 0 1

d) 01 –5 1.54. a) x ≥ −3 i x < 0 , b) x ≤ 2 , c) x ≥ 1 i x ≤ 15, d) x > 0 . c)

1.55. a) –1, 0, b) 1, c) 0, 1, d) –2, –1, 0, 1. b)

1.56. a) –1 0 1

c) –1 0 1

01 2

1.57. a) ( 3; 4 ) , b) ( −1; 0 ) , c) ( 0; 1) , d) ( 0; 1) .  2 −1 + 3 2 +1  1.59. Wskazówka: C =  1.60. Wskazówka: Środkiem odcinka −25; − 3 jest punkt . 2   P = ( −14 ) i odległość punktu P od końców odcinka jest równa 11.

Procenty 1.61. a) 73,80 zł, b) około 15%. 1.62. Wskazówka: Skorzystaj z własności proporcji brutto.

70% 100% = , gdzie x to procent o ile drożej było 100% x + 100% x 2 1.64. a) 1 , b) 30. Wskazówka: a) 0, 6 ⋅ 2 x = 0, 3 ( x + 5 ) , b) 0, 8 ⋅ = 0, 4 ⋅ ( x − 15 ). 4 3

1.63. Wskazówka: Skorzystaj z własności proporcji wczoraj.

105% 100% = , gdzie x to procent ceny netto w cenie x 100%

1. Liczby rzeczywiste

1.65. 500 zł. Wskazówka: 0, 8 ⋅ 0, 8 ⋅ x = 320 , gdzie x to pierwotna cena płaszcza. 1.66. a) 200 kg ( 4%Pb ) i 600 kg ( 4, 5%Pb ) , b) 8 kg ( 4%Pb ) i 27 kg ( 4, 5%Pb ) .  x + y = 800 Wskazówka:  , gdzie x – masa stopu zawierająca 4,5% ołowiu, 0, 045 x − 0, 04 y = 19 y – masa stopu zawierająca 4% ołowiu. 1.67.

Wyniki

Partia

wrzesień 40% 26% 6% 10% 7%

K… M… N… P… R…

W punktach procentowych

listopad 44% 25% 9% 14% 7%

wzrost 4

W procentach

spadek

wzrost 10%

spadek

1 3 4 0

1.68. 18% w banku A, 21,6% w banku B.

3,85% 50% 40% 0%

1.69. a) 1120 zł, b) 1123,60 zł, c) około 1125,51 zł, 2

12  12  12     d) około 1126,82 zł. Wskazówka: a) 1000 ⋅ 1 + : 2  , c) 1000 ⋅ 1 + : 4 ,  , b) 1000 ⋅ 1 +  100   100   100  12

12   d) 1000 ⋅ 1 + :12  .   100

8   1.70. Około 2682,42 zł. Wskazówka: 10000 ⋅ 1 + : 4 .  100 

1.71. Około 12 597 sztuk. Wskazówka: Po trzech latach corocznego wzrostu sprzedaży mamy 3

P P   1.72. 20%. Wskazówka: 7320, 50 = 5000 1 + : 2  . Niech x = 1 + , 200  100 

8   K 3 =10 000 ⋅ 1 +  .  100 

wtedy 7320, 50 = 5000 x 4 , gdzie x > 1, czyli x 4 = 1, 4641, skąd x = 4 1, 4641 ≈ 1,1.

Zadania zamknięte Działania na liczbach rzeczywistych Nr zadania

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Odpowiedź

Nr zadania 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. Odpowiedź B D A C B C C B C B A Wskazówki do zadań zamkniętych 3.

14 2 = = 0, 4 . 35 5

13 1 = = 0, 33... 39 3

28 31 32 < < . 36 36 36

 49   64  8. P =   , R =   . 56    56 

9. 576 = 26 ⋅ 32 , 480 = 25 ⋅ 3 ⋅ 5 . 10. NWW = ( 252, 147 ) = 22 ⋅ 32 ⋅ 7 2 , bo 252 = 22 ⋅ 32 ⋅ 7 i 147 = 3 ⋅ 7 2 . 12. 1 − 3 + 1 + 3 = 3 − 1 + 1 + 3 = 2 3 . 1 31 13. 0, ( 3) = , 0, ( 31) = . 3 99

17.

3 − x − ( x − 3) = −1. = x−3 x−3

18. Liczba 47.

Odpowiedzi i wskazówki 22.

97 1 = 24 + , czyli 97 = 24 ⋅ 4 + 1 . 4 4

24. Gdy n = 3, to a = 3 ⋅ 3 − 1 = 8 .

Potęgi i pierwiastki Nr zadania 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. Odpowiedź D B C B B C A A B A C D A C D A B D 45. 1 – b, 2 – a, 3 – c.

46. a) P, b) F, c) P, d) P, e) P, f) P.

Wskazówki do zadań zamkniętych

( )

27. − x3 29.

⋅ x 4 = x 6 ⋅ x 4 = x10 .

3 343 ⋅ 49

28.

30. a = −

81 − 289 = 81 − 17 = 64 . 2

1 3 ⋅ 7 = 73 ⋅ 7 2 ⋅ 1 = 73 . 7

5 5 i b=− . 2 3

31.

27 − 147 = 3 3 − 7 3 = −4 3 .

2 7 49 24 7 32. 1 = =   = = 1 . 5 5 25 25 5

2 5 125 3 17 5 33. 1 = = 3   = 3 = 4 . 3 3 27 27 3

 1  52  6    5 53 125 > 1. 34.  3  =   6 = 4 = 81 1 3  9  2  3 3    

( ) = (39 ) .

37. 99 = 32

( )

39.

108 + 109

11 000 ⋅10

41. 2

−

11 4

 =  24  

108 (1 + 10 ) 3

11 ⋅10 ⋅10

1

( ) 4 

11 − 4

= 16

−

108 ⋅11 11 ⋅10

11 16 .

38.

1 198 ⋅ 2 = 2−1 ⋅ 2198 = 2198−1 = 2197 . 2

( ) > (103 ) .

40. 210 > 103 , więc 210

= 1 = 100 .

(

)

43. 6 ⋅10−7 + 5 ⋅10−8 = 10−7 6 + 5 ⋅10−1 = 10−7 ( 6 + 0, 5 ) = 6, 5 ⋅10−7 .



44. 1, 674 ⋅10−10 g = 1, 674 ⋅10−10 ⋅10−3 kg = 1, 674 ⋅10−13 kg. 46. a) 214 + 47 = 214 + 214 = 2 ⋅ 214 = 215 , b) c) 310 = 95 i 95 < 105 , d)

( ) ⋅ (32 )

e) 279 ⋅ 927 = 33 15

1 f) 545 ⋅   3

1 1 + 6

2 ⋅ 6 2 = 23 ⋅ 26 = 23

( )

= 381 ,

(

= 2 240 ,

( )4 = 22 ,

4 = 22 = 22

= 22 i

= 327 ⋅ 354 = 381 i 27 27 = 33

3 120

280 = 240 i = 460

)

= ( 27 ⋅ 2 ) ⋅ 3−15 = 33 ⋅ 2 ⋅ 3−15 = 315 ⋅ 25 ⋅ 3−15 = 25 = 32 .

Logarytmy Nr zadania 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. Odpowiedź C D B C B C C C B 56. a) P, b) P, c) F, d) P, e) P, f) F.

57. 1 – c, 2 – d, 3 – b.

Wskazówki do zadań zamkniętych 48. log

64 = log

26 = log

( 2)

= 12 log

50. log 2

1 = −4 i log 16

2 16 = 8 .

1. Liczby rzeczywiste

(

)

52. log 900 = log 9 ⋅102 = log 9 + 2 . 1 + 4 < log 7 40 + 4 < 2 + 4 .

53. Ponieważ 71 < 40 < 7 2 , więc 1 < log 7 40 < 2 , zatem

54. log 2 a = 4 , skąd a = 24 , log 4 b = 2 , skąd b = 42 , więc ab = 162 .

55. log 6 = log ( 2 ⋅ 3) = log 2 + log 3 . 2

56. a) 2 log3 ( 4 3 ) = log3 ( 4 3 ) , b) log 6 43 + log 6 93 = log 6 43 ⋅ 93 = log 6 363 = log 6 66 , c) log8 ( 6 + log3 9 ) = log8 ( 6 + 2 ) = log8 8, d) 2 + log3 5 = log3 32 + log3 5 , 2 2 e) 1 − log 2 5 = log 2 2 − log 2 5 = log 2 , f) 2 log 6 3 + 1 = log 6 ( 3 ) + log 6 6 . 5 3⋅ 4 4 57. log a 3 + log a 4 − log a 2 = log a 2 log a 2 − 1 = log a 4 − log a a = log a , = log a 6 , a 2 1 1 1 log a 4 + log a 2 = log a ( 4 ⋅ 2 ) = log a 8 = log a ( 2 2 ). 2 2 2

Błąd bezwzględny i błąd względny Nr zadania 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. Odpowiedź A A D D A C C A

Przedziały liczbowe Nr zadania 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. Odpowiedź B B B B D B A C Wskazówki do zadań zamkniętych 72. log10 < log 99 < log100 .

Procenty Nr zadania 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. Odpowiedź B A D C D C C B C D D D D B C Wskazówki do zadań zamkniętych

100% 20% = , gdzie x to procent wzrostu poparcia dla partii. x% 5% 86. 1,15 x = 6900 , gdzie x to kwota wpłaty.

80. Skorzystaj z właściwości proporcji

Przedstawiliśmy Państwu początkowy fragment publikacji. Mamy nadzieję, że zainteresowała Państwa nasza oferta.

Po szczegóły zapraszamy na stronę internetową www.podkowa.gda.pl. Wydawnictwo Podkowa sp.j.

M A T E M A T Y K A

Podręczniki i zbiory zadań dostosowane są do podstawy programowej z dnia 27.08.2012 r.

Matura z matematyki w roku 2015, 2016, ...

M A T E M A T Y K A

Matematyka w otaczającym nas świecie. Część 1.

Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-422 Gdańsk 22 tel. 602 211 526 dział zamówień i reklamacji tel./fax 585 208 745 pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl

ISBN 978-83-88299-54-4

M A T MATEMATYKA E w otaczającym nas świecie M A Część . T Y K A

Przedruk treści rozszerzonych z podręcznika dla klasy 1. o numerze ewidencyjnym 596/1/2012

licea ogólnokształcące technika

DO NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Książka adresowana jest do uczniów szkół ponadgimnazjalnych, którzy zamierzają kontynuować naukę matematyki w zakresie rozszerzonym od klasy drugiej.

Praca zbiorowa pod redakcją Alicji Cewe i Haliny Nahorskiej

2019

2020 2021

2022 2023

Zbiór zadań maturalnych zakres podstawowy

Alicja Cewe Małgorzata Krawczyk Maria Kruk Alina Magryś-Walczak Halina Nahorska

zakres rozszerzony

M A T MATURA z matematyki w roku 2015 E 2016 2017 M 2018 A T Y K A

ISBN 978-83-65120-95-3

DO PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z DNIA 27.08.2012