Arkusze maturalne z matematyki – zakres rozszerzony by Wydawnictwo Podkowa

Polecamy książki pomocne w przygotowaniach do matury (wybrane fragmenty książek do obejrzenia na stronie www.podkowa.gda.pl) W książce „Tablice matematyczne” zawarte są wiadomości z zakresu matematyki ze szkoły podstawowej, gimnazjum i szkoły ponadgimnazjalnej. Książka ta zapewnia szybki dostęp do potrzebnych wzorów, definicji i twierdzeń. Książki „Matura z matematyki w roku 2015, 2016, ... – zakres podstawowy” oraz „Matura z matematyki w roku 2015, 2016, ... – zakres rozszerzony” są zbiorami zadań ilustrujących wszystkie wymagania z matematyki na poziomie podstawowym albo rozszerzonym zawarte w najnowszej podstawie programowej z uwzględnieniem formy egzaminu końcowego. Książka „Matura z biologii w roku 2015, 2016, ... – zbiór zadań” zawiera zadania otwarte i różnego rodzaju zadania zamknięte ilustrujące wszystkie wymagania z biologii zawarte w podstawie programowej – zakres kształcenia rozszerzony. Konstrukcja oraz treść zadań i ćwiczeń są zgodne z zakresem podstawowym podstawy programowej, a dobór tekstów sprawdzających czytanie ze zrozumieniem i tekstów do wypracowań uwzględnia założenia CKE. Książka podzielona jest na trzy części, a każda z nich na rozdziały. Po każdej części znajdują się odpowiedzi.

Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-460 Gdańsk 6 tel. 602 211 526 dział zamówień i reklamacji tel./fax 585 208 745 pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl

ISBN 978-83-65120-92-2

M A T E M A T Y K A

Alicja Cewe

Alina Magryś-Walczak

Halina Nahorska

Przykładowe

ARKUSZE MATURALNE

z matematyki

MATURA 2016, 2017... zakres rozszerzony

licea ogólnokształcące technika

Zgodne z najnowszą podstawą programową

Alicja Cewe

Alina Magryś-Walczak

Halina Nahorska

Przykładowe

ARKUSZE MATURALNE

z matematyki

MATURA 2017, 2018... zakres rozszerzony

Gdańsk

Autorki: Alicja Cewe, Alina Magryś-Walczak, Halina Nahorska, Opracowanie redakcyjne: Alicja Cewe, Maria Kruk Recenzja merytoryczna: Maria Kruk Skład komputerowy: Jarosław Mach

ISBN 978-83-65120-92-2

WSTĘP W książce „Przykładowe ARKUSZE MATURALNE z matematyki – MATURA 2017, 2018, … zakres rozszerzony” znajdują się propozycje 12 arkuszy zadań z zakresu rozszerzonego, sprawdzających wszystkie umiejętności zawarte w nowej podstawie programowej z dnia 27 sierpnia 2012 roku. Rozwiązując zadania dowolnego arkusza można uzyskać 50 punktów. W każdym arkuszu zadania podzielone są na trzy grupy:  zadania zamknięte,  zadania otwarte krótkiej odpowiedzi,  zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi. Do każdego z zadań zamkniętych podane są cztery odpowiedzi, z których tylko jedna jest poprawna. Zadania te punktowane są w skali 0 – 1. Wśród zadań zamkniętych znajduje się jedno zadanie z kodowaną odpowiedzią. Po rozwiązaniu tego zadania wpisuje się żądane trzy cyfry otrzymanego wyniku. Wszystkie zadania krótkiej odpowiedzi punktowane są w skali 0 – 2, 0 – 3 lub 0 – 4. Zadania rozszerzonej odpowiedzi wymagają od zdającego wykazania się umiejętnością logicznego rozumowania i dobierania własnych strategii matematycznych w nietypowych sytuacjach. Zadania te punktowane są w skali 0 – 5, 0 – 6 lub 0 – 7. Rozwiązanie tych arkuszy zapewni każdemu abiturientowi solidne przygotowanie się do egzaminu dojrzałości z matematyki na poziomie rozszerzonym. W książce podane są odpowiedzi i wskazówki do wszystkich zadań. Pozwalają one na sprawdzenie i ocenę przygotowania się do tego egzaminu. Życzymy powodzenia Autorki

Kilka wskazówek, których warto się „trzymać” rozwiązując zadania arkusza maturalnego.  Przeczytaj uważnie treść zadania – każde słowo może być ważne i zawierać wskazówkę. Po przeczytaniu stwierdź: rozumiem / nie rozumiem. (Jeśli nie rozumiesz treści zadania – czytaj zadanie następne, do tego zadania wrócisz na końcu pracy.)  Jeśli zadanie jest „zamknięte” i rozumiesz jego treść, to wybierając właściwą odpowiedź „nie strzelaj”. Wybrać właściwą odpowiedź możesz poprzez:  eliminację odpowiedzi niemożliwych,  sprawdzenie,  wykonanie obliczeń.  Jeśli zadanie jest otwarte, nie sugeruj się liczbą punktów. Pamiętaj, że to co dla kogoś wydaje się trudne, dla Ciebie może być łatwe.  Jeśli w zadaniu jest polecenie „wykaż”, „udowodnij” lub „uzasadnij”, przeprowadź swoje rozumowanie tak, jakbyś chciał przekonać o swoich racjach kolegę albo koleżankę.

SPIS TREŚCI Zadania Odpowiedzi Arkusz I ..........................................................................................................................7 Zadania zamknięte..................................................... 7 ....................... 123 Zadania otwarte ......................................................... 9 ....................... 123

Arkusz II ......................................................................................................................17 Zadania zamknięte................................................... 17 ....................... 128 Zadania otwarte ....................................................... 19 ....................... 128

Arkusz III .....................................................................................................................27 Zadania zamknięte................................................... 27 ....................... 132 Zadania otwarte ....................................................... 29 ....................... 133

Arkusz IV .....................................................................................................................37 Zadania zamknięte................................................... 37 ....................... 138 Zadania otwarte ....................................................... 39 ....................... 138

Arkusz V .......................................................................................................................47 Zadania zamknięte................................................... 47 ....................... 143 Zadania otwarte ....................................................... 49 ....................... 144

Arkusz VI .....................................................................................................................57 Zadania zamknięte................................................... 57 ....................... 149 Zadania otwarte ....................................................... 59 ....................... 149

Arkusz VII....................................................................................................................67 Zadania zamknięte................................................... 67 ....................... 154 Zadania otwarte ....................................................... 69 ....................... 154

Arkusz VIII ..................................................................................................................77 Zadania zamknięte................................................... 77 ....................... 159 Zadania otwarte ....................................................... 79 ....................... 160

Arkusz IX .....................................................................................................................87 Zadania zamknięte ................................................... 87 ....................... 164 Zadania otwarte ....................................................... 89 ....................... 165

Arkusz X .......................................................................................................................97 Zadania zamknięte ................................................... 97 ....................... 169 Zadania otwarte ....................................................... 99 ....................... 170

Arkusz XI ...................................................................................................................106 Zadania zamknięte ................................................. 106 ....................... 174 Zadania otwarte ..................................................... 108 ....................... 174

Arkusz XII..................................................................................................................114 Zadania zamknięte ................................................. 114 ....................... 178 Zadania otwarte ..................................................... 116 ....................... 178

Podstawa programowa z dnia 27 sierpnia 2012 roku do nauczania matematyki w technikach i liceach ogólnokształcących .................................................................183

Arkusz I

ZADANIA Arkusz I (Wskazówki i odpowiedzi na str. 123)

Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. wskaż poprawną odpowiedź.

Zadanie 1. (0 – 1) Jeżeli log3 4  a , to log 2 9 jest równe: A)

a , 4

4 , a

a , 2

3 . a

Zadanie 2. (0 – 1) Dziedziną funkcji f, gdzie f  x   ax 2  x  a , jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, gdy a należy do przedziału:  1 1 A)   ;  ,  2 2

1  B)  ;   , 2 

1  ;  , 2 

1  D)  ;    . 2 

Zadanie 3. (0 – 1) Wielomian W  x   x13  3x  a dzieli się bez reszty przez dwumian x  1 , gdy a jest równe: A) 4 ,

B) 0,

C) 2,

D) 4.

Zadanie 4. (0 – 1) lim

n  

 k 2  4  n2  5

 k  2  n 2  4n  2

A) 10,

 8 , gdy parametr k jest równy:

B) 8,

C) 6,

D) 2.

Zadanie 5. (0 – 1) Wycinek koła o kącie środkowym  jest powierzchnią boczną stożka, którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoboczny. Miara kąta  jest równa: A) 90°,

B) 120°,

C) 180°,

D) 240°.

Arkusz I

Zadanie 6. (0 – 2) log

125

 5  0,2 Oblicz wartość wyrażenia   . Wpisz w kratki cyfry występujące po 2 przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego z wyniku. BRUDNOPIS

Arkusz I

Zadania otwarte Zadanie 7. (0 – 2) Uzasadnij, że jeżeli f  x   x  x  1 x  2 x  3 x  4  x  5 , to f   0  1  2    3   4    5  120 .

Zadanie 8. (0 – 2) Oblicz wartość parametru m, aby funkcja f określona wzorem  x2  1 , gdy x  1  f  x   1 x była ciągła w punkcie x0  1 . m, gdy x  1 

Arkusz I

Zadanie 9. (0 – 2) Oblicz, ile trzycyfrowych liczb parzystych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3, 4.

Zadanie 10. (0 – 2) Suma pól dwóch figur podobnych jest równa 200 cm2 . Oblicz pole każdej z tych figur, jeżeli skala podobieństwa jest równa

1 . 2

Arkusz I

Zadanie 11. (0 – 3) Skróć ułamek

x2  4 x  4 . 2 x

Zadanie 12. (0 – 3) Uzasadnij, że stosunek sinusów kątów ostrych trójkąta rozwartokątnego ABC, 65 65 gdzie A   4, 2  , B   3, 0  i C   0,  2  , jest równy lub . 5 13

Arkusz I

Zadanie 13. (0 – 3) Oblicz, dla jakich wartości parametru  wielomian

W  x   x3   2cos 4   x2  3x  cos 4  5 jest podzielny przez dwumian x  2 .

Zadanie 14. (0 – 3) Oblicz długość przekątnej BD równoległoboku ABCD, w którym AB  3 , AC  5 i AD  2 2 .

Arkusz I

Zadanie 15. (0 – 3) Ze zbioru A  1, 2, 3, ..., n , gdzie n  3 , losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pierwsza z wylosowanych liczb jest większa od drugiej.

Zadanie 16. (0 – 4) Utworzono ciąg trójkątów równobocznych takich, że bok następnego trójkąta jest wysokością poprzedniego. Bok pierwszego trójkąta ma długość a  a  0  . Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów.

Arkusz I

Zadanie 17. (0 – 5) Napisz równanie okręgu o promieniu

2 przechodzącego przez punkt A   0, 3

i stycznego do prostej o równaniu x  y  1  0 .

Arkusz I

Zadanie 18. (0 – 5) Wyznacz te wartości parametru m, dla których funkcja f określona wzorem m2 3 f  x  x   2m  3 x 2   5m  6  x ma ekstrema. 3

Arkusz I

Zadanie 19. (0 – 7) Romb o kącie ostrym  zgięto wzdłuż przekątnej przeciwległej temu kątowi tak, że połówki tego rombu stały się prostopadłe. Wyznacz cosinus kąta  zawartego między bokami tak zagiętego rombu, wychodzącymi z wierzchołka należącego do osi zgięcia. Sporządź odpowiedni rysunek.

Arkusz II

Arkusz II (Wskazówki i odpowiedzi na str. 128)

Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. wskaż poprawną odpowiedź.

Zadanie 1. (0 – 1) Jeżeli 4  log 2 x  0 , to liczba x należy do przedziału: B) 16; 0 ,

A) 4; 0 ,

1 ;0 , 16

1 ;1 . 16

Zadanie 2. (0 – 1) Jeżeli funkcja f określona jest wzorem f  x   w punkcie x0 

1 : 2

A) nie istnieje,

8 x3  1 , to granica tej funkcji 2x 1

B) jest równa  , C) jest równa  , D) jest równa 3.

Zadanie 3. (0 – 1) Jeżeli A  1, 2  , B   2, 4  i AC 2  AB , to punkt C ma współrzędne: A)  3, 6  ,

B)  2, 5 ,

C)  4, 6  ,

D)  0, 0  .

Zadanie 4. (0 – 1) Okrąg o równaniu x2  y 2  8 nie ma punktów wspólnych z prostą x  y  c  0, gdy współczynnik c jest równy: A) 8 , B) 4 ,

C) 0,

D) 4.

Arkusz II

Zadanie 5. (0 – 1) Ciąg  an 

 2n 1  n 2 , gdy n  100 określa wzór an   , gdzie n  N  . Zatem: 1  n , gdy n  100 1  n

A) nie można obliczyć lim an ,

B) lim an  0 ,

C) lim an  1 ,

D) lim an  100 .

n 

Zadanie 6. (0 – 2) Oblicz, ile pięciocyfrowych liczb parzystych można zapisać używając wyłącznie . cyfr 1, 2 i 8. Otrzymany wynik wpisz w kratki: BRUDNOPIS

Arkusz II

Zadania otwarte Zadanie 7. (0 – 2) 4 8 Wykaż, że nierówność x   2  2 jest prawdziwa, gdy x  R  . x x

Zadanie 8. (0 – 2) Określ, dla jakich wartości parametru m  0 układ 2 2   x  1   y  1  1 równań  ma więcej niż jedno rozwiązanie. 2 2 2 x  5  y  2  m      

Arkusz II

Zadanie 9. (0 – 2) Wiedząc, że sin12  a , wyraź cos72 z zależności od a.

Zadanie 10. (0 – 2) Uzasadnij, że jeżeli do licznika i mianownika właściwego dodatniego ułamka dodamy 1, to otrzymamy ułamek większy od wyjściowego.

Arkusz II

Zadanie 11. (0 – 3) Rozwiąż nierówność f   x   2  f  x  , gdy f  x  

2x . x 1

Zadanie 12. (0 – 3) Ciąg  an  określony jest wzorem

a1  1  rekurencyjnym  , gdy n  2 . 1 an  an 1   n  1 n  a) Podaj wzór na n-ty wyraz ciągu z zależności od n. b) Które wyrazy ciągu  an  są mniejsze od 0,01?

Arkusz II

Zadanie 13. (0 – 3) Uzasadnij, że wielomian W  x   x3  3x  7 ma tylko jeden pierwiastek rzeczy-

wisty i jest nim liczba należąca do przedziału 1; 2  .

Zadanie 14. (0 – 3) Napisz równanie stycznej do paraboli o równaniu y  o mierze 135°.

1 2 x , tworzącej z osią x kąt 4

Arkusz II

Zadanie 15. (0 – 3) W prostokącie połączono środki sąsiednich boków otrzymując romb, którego obwód jest równy 20, a pole 24. Oblicz długości boków prostokąta.

Zadanie 16. (0 – 4) Trapez opisany na okręgu o promieniu 5 ma dwa kąty o miarach 90° i 45°. Sporządź odpowiedni rysunek i oblicz długości boków tego trapezu.

Arkusz II

Zadanie 17. (0 – 5) Funkcja f  x  

ax  b w punkcie x0  2 ma ekstremum równe 1 .  x  1 x  4 

Ustal, czy jest to minimum czy maksimum.

Arkusz II

Zadanie 18. (0 – 5) Spośród prostopadłościanów o podstawie kwadratowej i polu powierzchni całkowitej P podaj wymiary tego, który ma największą objętość.

Arkusz II

Zadanie 19. (0 – 6) Na trójkącie ABC, w którym BC  a , ABC   i ACB   , opisano okrąg. Dwusieczna kąta A przecina okrąg w punkcie K. Oblicz długość odcinka AK.

Arkusz III

Arkusz III (Wskazówki i odpowiedzi na str. 132)

Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. wskaż poprawną odpowiedź.

Zadanie 1. (0 – 1) Jeżeli a  1,1 27  , to: 7 A) a  1 , 110

B) a  1

7 , 55

C) a  1

27 , 990

D) a 

27 . 1000

Zadanie 2. (0 – 1) Jeżeli wielomian W  x   x13  3x  a dzieli się bez reszty przez dwumian x  1 , to: A) a  4 ,

B) a  2 ,

C) a  2 ,

D) a  4 .

Zadanie 3. (0 – 1) Rozwiązaniem nierówności A) 1 ,

2  5x  2 jest liczba: x 1

1 B)  , 2

C) 0,

D) 1.

Zadanie 4. (0 – 1) 1  sin 2 x można zapisać w postaci: Wyrażenie  sin x  cos x 2 A) 1  sin 2x ,

B) sin 2x ,

C) 1,

D) 0.

Zadanie 5. (0 – 1) Jeżeli promień kuli jest równy przekątnej sześcianu, to stosunek objętości tej kuli do objętości sześcianu jest równy: A) 4 3 ,

4 , 3

4 3 . 3

Arkusz III

Zadanie 6. (0 – 2) 2

W okrąg o równaniu  x  2    x  3  12 wpisano kwadrat. Oblicz bok tego kwadratu, a następnie cyfrę jedności i dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku wpisz w kratki. BRUDNOPIS

Arkusz I

123

ODPOWIEDZI Arkusz I (Treść zadań na str. 7)

Zadania zamknięte Nr zadania

Odpowiedź

064

Wskazówki: 1. log 2 9  4.

lim

log3 9 . log3 2

 k 2  4  n2  5

n    k

 2  n 2  4n  2



2. a  0 i   0 , gdzie   1  4a 2 .

k2  4 . k 2

3. Oblicz W  1 .

6. log 1 125  3 . 5

Zadania otwarte Nr zadania

Odpowiedź i etapy rozwiązania

Liczba pkt.

 Zapisanie pochodnej funkcji f w postaci

f   x   x   x  1 x  2 x  3 x  4 x  5 

 x   x  1 x  2  x  3 x  4  x  5 ,

(2 pkt.)

 obliczenie

f   0  1  1 2 3 4  5  0   x  1 x  2  x  3 x  4  x  5 .

Odp.: m  2 .

8 (2 pkt.)

 Obliczenie granicy funkcji f w punkcie x0  1 , lim f  x   2 , x1

 zapisanie f 1  m i lim f  x   f 1 . x1

9 (2 pkt.)

1 1

Odp.: 60.  Zastosowanie bezbłędnie reguły mnożenia 4  5  3 , bo na pierwszym miejscu cyfra różna od zera, na drugim każda z cyfr, a na trzecim parzysta.

124

Arkusz I

Nr zadania

Liczba pkt.

Odpowiedź i etapy rozwiązania

Odp.: 40 cm2, 160 cm2.

10 (2 pkt.)

 Obliczenie skali k podobieństwa pól figur podobnych ( k 

P1  obliczenie pól dwóch figur: 

1 ), 4

200  40 i P2  200  40  160 . 5

1 1

Odp.: –1 lub 1.

11 (2 pkt.)

 Zapisanie wyrażenia w postaci  skrócenie ułamka

x2 2 x



x2 2 x

x2  1 , gdy x  2 , 2 x

x2 2 x   1 , gdy x  2 . 2 x 2 x  Ustalenie, że kąt ABC jest kątem rozwartym i obliczenie AB  5 ,

BC  13 ,

12 (3 pkt.)

 zastosowanie twierdzenia sinusów dla trójkąta ABC AB BC ,  sin  ACB  sin  BAC   obliczenie ilorazu sinusów sin  ACB  sin  BAC  5 65 lub    sin  BAC  13 sin  ACB  13 Odp.:  k 

 2

13  5

65 . 5

, gdzie k  C .

 Zapisanie warunku W  2   0 ,

(3 pkt.)

0 otrzymanego  rozwiązanie równania trygonometrycznego 9cos4  9  z warunku W  2   0 .

Arkusz I Nr zadania

125 Liczba pkt.

Odpowiedź i etapy rozwiązania

Odp.: BD  3 .  Zastosowanie twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC i obliczenie

cos 

14 (3 pkt.)

cos 

ABC  52  32   2 2   2  3  2 2  cos  ABC   

2 3 2

 zauważenie, że

ABC , więc

ABC  ,

 zastosowanie twierdzenia cosinusów dla trójkąta DAB i obliczenie długości 2



przekątnej BD, gdzie BD  32  2 2 Odp.:

15 (3 pkt.)

DAB 180 

cos  DAB    cos 

ABC  , skąd



 2  3  2 2  cos  DAB  .

1 . 2

 Obliczenie wszystkich wyników losowania   Vn2

 n  1  n ,

 obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu B, że pierwsza  1 B  n  n  1 , z wylosowanych liczb jest większa od drugiej  2 2

 obliczenie P  B  .

Odp.: a 2 3 .  Obliczenie długości boków kolejnych trójkątów a,

16 (4 pkt.)

3 3 3 3 a, a, a, ... 2 4 8

 obliczenie pól kolejnych trójkątów: 3 2 3 3 2 9 3 2 P1  a , P2  a , P3  a , … 4 16 64

 zauważenie, że pola P1, P2 , P3 , ... są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, gdzie

P2 P3 3 3   ... i   1; 1 , 4 P1 P2 4

3 2 a 4  obliczenie sumy S pól trójkątów: S  . 3 1 4

126

Arkusz I

Nr zadania

Odpowiedź i etapy rozwiązania 2

Liczba pkt.

Odp.:  x  1   y  4   2 lub  x  1   y  2   2 .  Zapisanie odległości d środka S   a, b  okręgu od stycznej w postaci

d

17 (4 pkt.)

a  b 1 12   1

SA 

 2 , oraz długości odcinka SA w postaci zależności

 a  0  2   b  3 2  2 ,

 zauważenie, że aby obliczyć a i b należy rozwiązać układ równań   a  b 1  2 , który jest równoważny dwóm układom równań  2 2 a  b  3  2       a  b  1  2 a  b  1  2 1°  2 lub 2°  2 , 2 2   a   b  3  2 a   b  3  2

 rozwiązanie układów równań 1° i 2°, gdzie układ 2° nie ma rozwiązania.

Odp.: m  1; 3 .  Zauważenie, że należy rozpatrzyć dwa przypadki: 1° m  2 i 2° m  2 i ustalenie ekstremum funkcji f dla m  2

f min  f  2  , bo f  x   x2  4 x ,

18 (5 pkt.)

 podanie wzoru funkcji f  , gdy m  2

f   x    m  2  x2  2  2m  3 x  5m  6 ,  zauważenie, że funkcja f ma ekstrema, gdy funkcja f  ma dwa miejsca zerowe, czyli gdy  f   0 ,  wyznaczenie wzoru na  f  i rozwiązanie nierówności 2

 f   4  2m  3  4  m  2  5m  6   4  m  3 m  1 .

Arkusz I Nr zadania

127

Odpowiedź i etapy rozwiązania

Odp.: cos  

Liczba pkt.

1  cos  . 2

 Sporządzenie rysunku i przyjęcie oznaczeń, np.:

rys. 1°

AC  d i AS  SC  d ,

rys 2°  zastosowanie twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC z rysunku 1°

19 (7 pkt.)

d  a  a  2a  a  cos 180    ,  zastosowanie twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC z rysunku 2° 2

b  a  a  2a cos  ,  zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC z rysunku 2° 2

1  1  b2   d    d  , 2  2 

 d 2  2a 2 1  cos     b2  zapisanie układu warunków cos   1  , 2a 2   2 b 2  d  2

 wyznaczenie z układu cos  z zależności od kąta .

128

Arkusz II

Arkusz II (Treść zadań na str. 17)

Zadania zamknięte Nr zadania

Odpowiedź

16 2

Wskazówki: 1. 4  log2 x  0 , gdy 24  x  20 . 4.

00c 2

 8.

3. AC 2  1, 2 i AC  xC  1, yC  2 .

6. 34  2 .

Zadania otwarte Nr zadania

7 (2 pkt.)

Odpowiedź i etapy rozwiązania

 Przedstawienie nierówności w postaci x3  4 x  8  2 x2  0  rozłożenie lewej strony na czynniki i zauważenie, że

 x  2 2  0

 x  2 2   x  2 

i x  2  0 , bo x  0 .

Liczba punktów

1 1

Odp.: m   4; 6  .  Zauważenie, że równania

8 (2 pkt.)

układu są równaniami okręgu i obliczenie S1S2  5 oraz

S2 K1  4 i S2 K2  6 ,

 obliczenie m wiedząc, że S1S2  m  1 i S1S2  m  1 . Odp.: cos 72 

9 (2 pkt.)

1  a2  a 3 . 2

  cos  60  12 ,  Zauważenie, że cos72  obliczenie cos12 najprostszej postaci.

1  a2 i przekształcenie otrzymanego wyrażenia do

1 1

Arkusz II Nr zadania

Liczba punktów

Odpowiedź i etapy rozwiązania

 Przedstawienie różnicy ułamków

129

w postaci

(2 pkt.)

a 1 a  , gdy a  N  , b  N  i b  a , b 1 b

ba , b  b  1

 uzasadnienie, że

ba  0. b  b  1

Odp.: x   ;  1   0; 1   3;    .

11 (2 pkt.)

 Zapisanie nierówności f   x   2  f  x  w postaci

2 2  2x  , x 1 x 1

 rozwiązanie otrzymanej nierówności wymiernej. Odp.: a) an 

12 (3 pkt.)

a) Wypisanie kilku początkowych wyrazów ciągu  an  , np.

1 1 1 1 a1  1, a2  , a3  , a4  , … i zauważenie, że an  , 2 3 4 n 1  0, 01 , gdy n  N  . n

 Zauważenie, że wielomian W ma pierwiastek w przedziale 1; 2  , bo

(3 pkt.)

1 , b) n  101 i n  N  . n

b) rozwiązanie nierówności

W 1  0 i W  2   0 ,  uzasadnienie, że wielomian W ma tylko jeden pierwiastek, bo W   x   3x2  3 i 3x2  3  0 , gdy x  R , czyli wielomian W jest funkcją

1 1

rosnącą w zbiorze R. Odp.: y   x  1 .

14 (3 pkt.)

 Zauważenie, że współczynnik kierunkowy szukanej stycznej jest równy –1, bo tg135  1 ,

 obliczenie współrzędnych  2, 1 punktu styczności z warunków y  1 i

y

1 2 1 x , gdzie y   x , 4 2

 napisanie równania stycznej.

1 1

130

Arkusz II

Nr zadania

Odpowiedź i etapy rozwiązania

Liczba punktów

Odp.: 6 i 8.  Obliczenie długości 5 boku rombu, 1

15 (3 pkt.)

 ułożenie układu, w którym niewiadomymi są długości a i b boków  a 2  b 2 2       5  2   2  prostokąta  , 1  2 ab  24

 rozwiązanie układu równań i podanie odpowiedzi.

Odp.: 10, 10 2 , 5 2 , 5 2  10 .  Wykonanie rysunku i przyjęcie oznaczeń, np.: 1

16 (4 pkt.)

 zauważenie, że CE  EB  10 i BC  10 2 , bo trójkąt CEB jest prostokątny i równoramienny,  otrzymanie równania 10  10 2  5  x  5  x  10 z warunku, że trapez jest opisany na okręgu i obliczenie x  5 2  5 ,  obliczenie długości boków trapezu.

1 1

Arkusz II Nr zadania

131

Odpowiedź i etapy rozwiązania

Liczba punktów

Odp.: f max  f  2   1 .  Z warunku f  2   1 otrzymanie równania 2a  b  2 ,

 wyznaczenie wzoru pochodnej f  , gdzie

f  x 



x

17 (5 pkt.)



a x 2  5 x  4   2 x  5  ax  b  2

 5x  4



 zauważenie, że f   2   0 , bo funkcja f w punkcie x0  2 ma ekstremum,

 2a  b  2  obliczenie a i b z układu  ,  f   2  0

 zapisanie wzoru funkcji f  x  

x 2

x  5x  4

i uzasadnienie, że gdy x0  2 ,

to funkcja f ma maksimum. Odp.: Sześcian o krawędzi

6P . 6

 Przyjęcie oznaczeń, np. a – krawędź podstawy prostopadłościanu, h – wysokość prostopadłościanu, i zapisanie wzorów na pole powierzchni 2

całkowitej i objętość: P  2a  4ah , V  a  h ,

18 (5 pkt.)

 zapisanie wzoru objętości V z zależności od zmiennej a 1 V  a   a  P  2a3 i ustalenie jej dziedziny, 4





 obliczenie V   a  





1 P  6a 2 , 4

 rozwiązanie równania V   a   0 , skąd a   uzasadnienie, że dla a  i obliczenie h 

P a. 6

P , 6

P objętość V ma największą wartość 6

132

Arkusz III

Nr zadania

Odp.: AK 

a  cos

(6 pkt.)

 

2 . sin    

 Zauważenie, że

Liczba punktów

Odpowiedź i etapy rozwiązania

 AKB

 ACB  ,

 zastosowanie dla trójkąta ABC twierdzenia sinusów AB a sin  a , skąd AB  ,  sin     sin  sin 180     

 wyrażenie miary kąta ABK z zależności od  i  180        ABK 90  BAK  , bo 2 2

BAK     

ABK  180 ,

 zastosowanie do trójkąta ABK twierdzenia sinusów

sin 

ABK 



AB sin 

i wyznaczenie AK z zależności od kątów  i .

Arkusz III (Treść zadań na str. 27)

Zadania zamknięte Nr zadania

Odpowiedź

489

Wskazówki: 1. 1,1 27  1,1  0,0272727...

0. 2. Rozwiąż równanie W  1  3.

2  5x  2  x   1; 0  . x 1

Przedstawiliśmy Państwu początkowy fragment publikacji. Mamy nadzieję, że zainteresowała Państwa nasza oferta.

Po szczegóły zapraszamy na stronę internetową www.podkowa.gda.pl. Wydawnictwo Podkowa sp.j.

Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-460 Gdańsk 6 tel. 602 211 526 dział zamówień i reklamacji tel./fax 585 208 745 pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl

ISBN 978-83-65120-92-2

M A T E M A T Y K A

Alicja Cewe

Alina Magryś-Walczak

Halina Nahorska

Przykładowe

ARKUSZE MATURALNE

z matematyki

MATURA 2016, 2017... zakres rozszerzony

licea ogólnokształcące technika

Zgodne z najnowszą podstawą programową