Revista ABACOM

ABACOM Boletín Matemático SEPTIEMBRE 2011 AÑO 10 N°40

Editorial

10 AÑOS … 40 EDICIONES

En esta edición pág Reflexiones • De lo Tradicional a lo Inconmensurable. .................................... .2 El Péndulo de Foucault .................. .3 Cuerpos Sólidos ............................. .4 Las Matemáticas y el Deporte ....... .5 ABACOM: del Ábaco al Computador ............................................... .6 Dinámicas con GeoGebra .............. .8 Poesía Matemática ......................... .9 Anécdotas Matemáticas

Fue un día lluvioso de Agosto de 2001 en que ABACOM Boletín Matemático hizo su aparición en el mundo de la enseñanza media de esta región austral.

Nacía como una idea, sin mayores ambiciones, pero que gracias al apoyo de autoridades, colegas que se han ido sumando al equipo y la respuesta tanto de profesores(as) como alumnos(as), ha permitido que no sólo perdure sino que crezca en el tiempo.

Ya son diez años, que en cuarenta ediciones hemos tratado de mostrar lo hermoso de la matemática, su aplicación y utilidad, biografías de los constructores de esta ciencia, anécdotas, curiosidades y también una visión humorística.

La Dirección de Extensión y el Instituto de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UACh, nos dieron el apoyo inicial, pero ya va un año y medio que

Visítanos en: www.uach.cl/abacom

el auspicio nos lo brinda el Centro de Docencia de Ciencias Básicas para Ingeniería de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la UACh. En el boletín hemos expuesto una gran cantidad de temas que sirven como complemento al plan de estudios de matemáticas. Últimamente nos hemos extendido un poco a otras ciencias física y química - con lo que creemos podemos brindar un apoyo más completo al profesorado y alumnado en sus estudios.

Esperamos seguir contribuyendo, por muchos años más, a que tanto la matemática como la ciencia en general, sea algo más cercano a todo el mundo, que se aprecie la utilidad que ella tiene, cuánto ha servido para que, en este siglo XXI, contemos con los adelantos que tanto nos ayudan y maravillan.

• Nicolás Bourbaki: El Matemáti-

co Virtual.. .............................. .9 Ciencia Entrete • El 123: Un Agujero Negro Nu-

mérico……………..…………10 • Son-Risas Científicas………..10 • Humor…………………....….10 Concurso • Desafío a tu Ingenio………....11 • Alumnos Participantes…….....11 • Sopa Matemática………….....11

Noticias • ABACOM Boletín Matemático

10 años - 40 ediciones.............11 • Cartas a Marie Curie…...........12 • Marie Curie (1867 - 1934)…..12 • Programa Explora Conicyt en Los Ríos….......…………..…..12 Contáctanos en: abacom@uach.cl

SEPTIEMBRE 2011

REFLEXIONES De lo Tradicional a lo Inconmensurable

Daniel Sánchez Ibáñez1

bre ha logrado y sigue intentando superar.

En muchas ocasiones, al obtener cierto conocimiento y visualizar respuestas como ciertas por el resto de la sociedad, el hombre ende a conformarse e imitar lo realizado tantas veces sea necesario, ya que piensa, por defecto, que siempre le dará resultado. Esta sucesión co diana se entrelaza con lo tradicional de la comunidad en la que se encuentra el hombre inmerso y genera un gran acostumbramiento. Ahora bien, pensando en las matemá cas, como ciencias exactas, nos podemos preguntar: ¿son bases sólidas, siempre medibles y sin ningún error? Pues no, al igual que muchas otras ciencias aplicadas, las matemá cas, presentaron históricamente fragilidades, baches y caídas de las cuales el hom-

Por ejemplo2, remontándonos muchos siglos atrás, para los pitagóricos (de la escuela pitagórica), toda la naturaleza podía ser representada por números, pero cuando el triángulo rectángulo, cuyos catetos miden una unidad, generó una hipotenusa de 2 unidades de longitud, apareció un profundo descontento entre ellos, pues la representación geométrica de los números debería trasmi r armonía y felicidad, sin embargo esa extraña diagonal podía ser trazada pero no podía ser medida, era inconmensurable. Así, debido al mis cismo que predominaba entre los pitagóricos, el descubrimiento de un número como 2 fue guardado en secreto, y lo llamaron “indivisible”. Se cuenta que Hipasos, discípulo de Pitágoras, reveló el escándalo y fue asesinado. Además, otros, que se arriesgaron a contar tal revelación, murieron en un naufragio.

2

1

1 lo) en muchas sociedades y pasa a ser parte, ahora, de algo co diano y tradicional. Con todo lo anterior, podemos sacar muchas conclusiones acerca de cómo abordar los “nuevos” y los “an guos” conocimientos, sea cual sea el área de estudios, ya que estos abundan y nos invaden en esta época súper tecnológica de la historia de la humanidad; u lizarlos sabiamente (lo cual no implica tener un pensamiento limitado), nunca “acostumbrarnos” creyendo que serán por siempre válidos.... y medibles.

1

Ahora bien, ¿es para Ud. extraño el Profesor de Bachillerato de Ingeniería UACh, símbolo 2 y lo que representa? Lo Campus Patagonia, Coyhaique. más probable es que no, ya que se 2 Ejemplo sobre los pitagóricos extraído desde presenta como un conocimiento gene- “A matema ca na arte e na vida” de Paulo ral básico (verificable con el Teorema Mar ns Contador, 2da Edición. Editora Livrade Pitágoras en un triángulo rectángu- ria da Fisica, Sao Paulo, Brasil, 2011.

ABACOM Boletín Matemático Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad Austral de Chile.

Director: Juan Leiva V. / Director Alterno: Víctor Alvarado A. / Redacción Periodística: Carolina Leiva C./ Colaboradora: Andrea Cárcamo B. / Web Master: Edinson Contreras R. Centro de Docencia de CCBB / Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. / Casilla 567 Valdivia.

E.mail: abacom@uach.cl / Fono (63)221828 / Fax (63)293730 www.uach.cl/abacom

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ABACOM Boletín Matemático

EL PÉNDULO DE FOUCAULT En la Costanera de la Ciencia en la ciudad de Valdivia, frente al CECs, (Centro de Estudios Científicos), se ubicó una estructura de vidrio en cuya parte superior se instaló el primer faro de Valdivia, y en el interior una esfera de plomo cromada, con una masa de 100 [kg], la que está suspendida por medio de un cable trenzado de 4 [mm] de grosor y 13 [m] de largo.

Este artefacto se denomina péndulo matemático o simple, ya que la masa está concentrada en la esfera, es decir la masa del cable es despreciable con respecto a la masa de la esfera.

El período de oscilación de este péndulo es de 7 [s], debido a su ubicación que es la siguiente: latitud sur 39° 48’ 50.57’’; longitud oeste 73° 14’ 55.13’’.

En la parte superior de este péndulo existe un sistema de recuperación de energía y un estabilizador. El sistema de recuperación de energía permite que el movimiento sea continuo, ya que el péndulo pierde energía por el roce con el aire lo que lo detendría, y el estabilizador no permite que el péndulo describa una elipse, por lo que siempre oscila en un plano vertical.

En la base de la estructura se encuentran los puntos cardinales, se observa que el plano de oscilación se desplaza. Para medir este desplazamiento, la base se encuentra graduada.

Este péndulo se denomina Péndulo de Foucault en honor a su creador, León Foucault.

León Foucault nació el 19 de septiembre de 1818 en París y murió el 11 de febrero de 1868 en la misma ciudad. Uno de sus principales logros, junto a Armand Fizeau, fue la determinación de la velocidad de la luz, demostrando que la velocidad de la luz en el aire es superior a la del agua. En 1851, Foucault, realizó el experimento del péndulo en el Panteón de París, poniendo en manifiesto la rotación de la Tierra.

Se cuenta que Foucault, inventó el péndulo, en 1848, por una casualidad, él realizaba un trabajo en su taller intentando acoplar una pesada barra metálica a un torno, mientras era sostenida por un cable, formando un péndulo que oscilaba en un plano vertical que permanecía invariable (en tiempos pequeños), Foucault, observó que este plano se mantenía inalterable, incluso cuando el sistema de sustentación rotaba,

Joaquín Castellano de la Torre

marcando una diferencia entre el sistema tierra y el de sustentación, para el primero se conservaba el plano de oscilación, pero para el segundo no.

Foucault, puso en movimiento un péndulo formado por una esfera con un peso de 28 [kgf], suspendida por un cable de 67 [m] de largo, y observó que el nivel de oscilación del péndulo giraba lentamente, pero en forma continua en la dirección del movimiento de las manecillas del reloj. Se determinó que la causa de este movimiento es la llamada fuerza de Coriolis (Gaspard Coriolis, físico francés que vivió entre 1792 y 1843), que resulta del movimiento de rotación de la Tierra, provocando una desviación de las masas hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Este fenómeno influye en las corrientes de aire y del mar en forma global, también se puede determinar que el periodo de oscilación, es de 24 horas en los polos, mientras que en el ecuador no experimenta ningún sentido la rotación.

La pieza más destacable del péndulo de Foucault fue entregada a las Naciones Unidas por los Países Bajos y está formada por una esfera de cobre bañada en oro, suspendida por un cable de acero inoxidable de 23[m] de largo. En el transcurso del día, la dirección en que se mueve el péndulo cambia debido a la rotación de la Tierra y su ciclo demora 36 horas con 45 minutos.

Referencias: Péndulo de Foucault en Wikipedia la enciclopedia libre: http://es.wikipedia.org/wiki/Péndulo_de_Foucault Péndulo de Foucault en el CECs: www.cecs.cl/pendulo/ El Péndulo de Foucault y los eclipses de Sol: http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/ Curiosid/Rc-4/foucault.html

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SEPTIEMBRE

2011

Víctor Alvarado Alvarado tener prismas regulares rectos u oblicuos. Un Paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos. Podemos tener paralelepípedos rectos u oblicuos.

Pirámide: Poliedro limitado por un polígono, llamado base, y por caras laterales que son triángulos que tienen un vértice común que no está en el plano de la base, llamado vértice de la pirámide. Una Pirámide Regular es una pirámide que tiene por base un polígono regular. En caso contrario, la pirámide se dice Pirámide Irregular. La apotema (lateral) de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales. La altura de una pirámide es el segmento perpendicular a la base y que une el vértice con la base. Una Pirámide Recta es una pirámide en que todas las caras laterales son triángulos isósceles.

La pirámide se dice oblicua si al menos alguna de sus caPOLIEDROS IRREGULARES ras no es triángulo isósceles.

Los poliedros irregulares tienen caras que son polígonos Para una pirámide recta regular, la altura desde el vértique no son todos iguales. ce cae al centro de la base.

Los poliedros irregulares se pueden clasificar de varias Las pirámides podemos clasificarlas según el número de formas. lados de los polígonos de la base: pirámides triangulares, Una forma es considerando el número de caras. En este cuadradas, pentagonales, etcétera. caso, se nombran mediante un prefijo que indica el número de caras, seguido de la terminación edro. Es de esta CUERPOS REDONDOS manera que tenemos poliedros irregulares llamados por Los principales cuerpos redondos son los Sólidos de Reejemplo: tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, volución, que se obtienen rotando una región plana alreoctaedro (Así, el hexaedro irregular tiene seis caras, dedor de una recta que no está contenida en el plano de pero no todas iguales). la región.

Estos poliedros también se pueden clasificar respecto a El Cilindro (Circular), el Cono (Circular) y la Esfera son sus formas. En este contexto podemos decir que los po- superficies de revolución. El cilindro se obtiene al rotar liedros irregulares más comunes son los Prismas y las un rectángulo alrededor de uno de sus lados, el cono al Pirámides. rotar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus Prisma: Poliedro limitado por dos polícatetos y la esfera, rotando un semicírculo alrededor de gonos congruentes paralelos (llamados su diámetro. Un cilindro (circular) tiene tres caras: dos círculos congruentes paralelos –denominadas bases- y la bases), y por caras laterales que son paralelogramos. otra cara curva (superficie cilíndrica). Un cono (circular) La altura de un prisma es un segmento tiene dos caras: una plana que es un círculo –denominado perpendicular a las bases y de extrebase- y otra cara curva (superficie cónica). mos puntos de las dos bases. Un PrisUna esfera tiene sólo una cara que es curva (superficie ma Recto tiene rectángulos como caesférica, cuyos puntos equidistan de un punto, llamado ras laterales. Si no, se denomina prisma oblicuo. Un Pris- centro de la esfera, y la distancia común se denomina ma Regular tiene por bases polígonos regulares. Podemos radio de la esfera).

Los cuerpos sólidos se clasifican básicamente en poliedros y cuerpos redondos.

Poliedro: Cuerpo geométrico tridimensional cuyas caras son planas - en realidad son polígonos - que encierran un volumen finito. (Los poliedros están limitados por superficies planas).

Cuerpo Redondo: Cuerpo geométrico tridimensional cuyas caras son superficies curvas o superficies curvas y superficies planas.

Los poliedros se clasifican a su vez en poliedros regulares y poliedros irregulares.

Los poliedros regulares ya fueron estudiados en los números anteriores de ABACOM. Ahora nos dedicaremos a los otros sólidos.

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ABACOM Boletín Matemático Si las bases tienen radios a y b y la altura es h, entonces el área lateral (AL) y el volumen (V) son: a

VOLÚMENES DE PRISMA Y PIRÁMIDE Volumen Prisma

Bh

Pirámide

1 3

Bh

B = área basal h = altura

A L= π( a +b) h2 +(b- a)2

(

V = π3 h a 2 + ab + b 2

ÁREAS Y VOLÚMENES DE CILINDRO, CONO Y ESFERA Área Total Cilindro Cono Esfera

Volumen

2πr2 + 2πrh

πr2h

πr2 + πr r2 +h2

1 3

πr2h

4πr2

4 3

πr3

r = radio h = altura

CONO TRUNCADO Si un cono circular se corta por un plano paralelo a su base, se obtiene un sólido denominado Cono Truncado.

Las Matemáticas y el Deporte La mayoría ha escuchado del potencial de Usain Bolt, un atleta que sustenta dos records mundiales, en 100 y 200 metros planos. Pero ha habido casos en que un atleta es especialista en 200 metros y no lo es en 100 metros. Para personas que estamos lejanos al atletismo resulta un tanto incomprensible pensar que un atleta sea especialista en 200 metros y no en los 100 metros, puesto que al recorrer 200 metros se necesita una mayor capacidad muscular, aeróbica, mental, etc. debido a la mayor distancia a recorrer. ¿Por qué un corredor puede desenvolverse “mejor” en 200 metros que en 100 metros planos?

Consultando con un atleta juvenil especialista en 200 metros planos, entrega una respuesta sencilla pero no menos curiosa: “porque la salida es muy lenta”.

Para revertir tal efecto se requiere un trabajo en la postura de la salida “la más óptima”, pero ¿Cuál es la más óptima?

O equivalentemente ¿Cuál es el ángulo que optimiza esa salida? Es sabido que el músculo desarrolla su mayor potencial cuando el ángulo formado es de 90°, de ser así uno puede pensar que un ángulo de 90° en las piernas del atleta resultaría una posición óptima, sin embargo, debemos considerar que el atleta al momento de la salida ya pierde esos 90° por lo que el máximo potencial se pierde en el instante de la salida, en otras palabras, no se aprovecha el máximo potencial.

5

)

CASQUETE ESFÉRICO Si una esfera se corta por un plano que no pasa por su centro, se obtiene un Casquete Esférico. Si el radio de la esfera es r y la altura del casquete es h, entonces el área (A) y el volumen (V) son:

A = 2πrh

h

b

h

r

V = 31 πh2 (3r -h) ; 0 ≤ h ≤ 2r

Juan Francisco Herrera Tobar Profesor de Matemáticas del Centro de Docencia de Ciencias Básicas de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la UACh.

Otra opción sería que el atleta se situara en una posición de tal forma que el ángulo que se forma sea menor a 90° (ver atleta 8) para que al momento de la salida el tiempo en donde el ángulo esté en torno a los 90° sea mayor, pero lo desfavorable es la fuerza y energía que se necesitan (mayores). Cuál será entonces una posición que sea cómoda pero donde se aproveche el mayor potencial, la respuesta es sencilla: es aquella en donde la posición de 90° se mantenga por un tiempo prolongado. Esta posición se consigue acercando un poco los tacos a la línea de partida (ver atleta 7). Debemos aclarar que una mejor postura de salida no hará un atleta ganador, pero sí mejorará sus tiempos.

SEPTIEMBRE

2011

Juan Leiva Vivar

En estos 10 años de publicación, ABACOM Boletín Matemático ha hecho un recorrido por épocas fascinantes de la historia de las Matemáticas, desde el Ábaco al Computador.

En este conciso recuento repasaremos algunos hitos que marcaron el desarrollo de esta ciencia y también de la humanidad, hasta llegar a esta civilización tecnológica, la que nuestros antepasados ni siquiera soñaron.

Época a.C. 530 a. C.: Pitágoras estudia las relaciones entre las medias aritmética, geométrica y armónica; su grupo también descubre la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos.

Época d.C. Siglo I a Siglo XV s. I d. C.: Herón de Alejandría, hace la más temprana referencia a las raíces cuadradas de números negativos (números complejos).

250: Diofanto de Alejandría escribe su obra Aritmética, el primer tratamiento siste-

300 a. C.: Euclides en su obra Los Ele-

mático sobre álgebra.

mentos desarrolla la geometría como un sistema axiomático, demuestra la infinitud de los números primos, el Lema de Euclides (sobre la divisibilidad por números primos), y el Teorema de la Altura (acerca de la altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo).

300: En India, matemáticos indios introducen el más temprano uso conocido del cero

300 a. C.: En Irak, los Babilonios in-

(Libro del ábaco o Libro de los cálculos) difundiendo en Europa la numeración arábiga.

como un dígito decimal.

820: Al-Juarismi es considerado el padre de la moderna álgebra, escribió Al-jabr, introdujo técnicas algebraicas para la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas aplicadas en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

1202: Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci) publica el Liber Abaci

ventan el ábaco.

1482: Erhard Ratdolt realiza en Venecia la primera impresión latina de los Elemen-

260 a. C.: Arquímedes desarrolla un

tos de Euclides.

método para demostrar que el valor de π permanece entre 3 + 1/7 (3.1429 aprox.) y 3 + 10/71 (3.1408 aprox.) utilizando polígonos inscritos y circunscritos en una circunferencia, calcula el área bajo un segmento parabólico.

Siglo XVI

225 a. C.: Apolonio escribe Sobre Secciones Cónicas y nombra la elipse, la parábola y la hipérbola.

140 a. C.: Hiparco desarrolla las bases de la Trigonometría.

1539: Gerolamo Cardano descubre un método para resolver ecuaciones cúbicas.

1540: Lodovico Ferrari resuelve la ecuación de cuarto grado. La solución se publica junto a la de tercer grado en 1545 en el libro Ars Magna de Gerolamo Cardano.

1596: Ludolf van Ceulen calcula π con 20 cifras decimales usando polígonos inscritos y circunscritos en una circunferencia.

Siglo XVII 1614: John Napier presenta los Logaritmos en su obra Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio.

1619: René Descartes crea la Geometría Analítica (Pierre de Fermat reclama que él también lo hizo independientemente).

1629: Pierre de Fermat desarrolla un rudimentario Cálculo Diferencial.

1637: Pierre de Fermat enuncia, sin demostrar, el Último Teorema de Fermat en su copia de la obra de Diofanto Arithmetica.

El ÁBACO inventado por los Babilonios en el año 300 a.C.

1654: Blaise Pascal y Pierre de Fermat crean la Teoría de Probabilidades.

1665: Isaac Newton desarrolla su versión del Cálculo Infinitesimal.

1673: Gottfried Leibniz también desarrolla su versión del Cálculo Infinitesimal.

1696: Jackob Bernoulli y Johann Bernoulli resuelven el problema de la Braquistócrona, el primer resultado en el Cálculo de Variaciones.

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ABACOM Boletín Matemático

Siglo XVIII 1712: Brook Taylor desarrolla las Series de Taylor.

1722: Abraham de Moivre presenta el Teorema de Moivre uniendo Funciones Trigonométricas y Números Complejos.

1736: Leonhard Euler resuelve el problema de los Siete Puentes de Königsberg, creando así de la Teoría de Grafos.

1742: Christian Goldbach conjetura que todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos (Conjetura de Goldbach).

1748: María Gaetana Agnesi presenta de manera innovadora el estudio de la Geometría Cartesiana en su obra Instituciones Analíticas para el uso de la Juventud Italiana.

1796: Carl Friedrich Gauss prueba que el polígono regular de 17 lados puede ser construido con regla y compás.

1799: Carl Friedrich Gauss demuestra el Teorema Fundamental del Álgebra.

Uno de los Siete Puentes de Königsberg que sobrevive en la actualidad.

1832: Évariste Galois presenta la condición general para la solubidad de ecuaciones algebraicas, creando así la Teoría de 1801: Carl Friedrich Gauss publica su tratado Disquisitiones Grupos y Teoría de Galois.

Arithméticae sobre la Teoría de los Números.

1838: Augustus De Morgan define e introduce el término In1807: Joseph Fourier anuncia su descubrimiento acerca de ducción Matemática. descomposición de funciones periódicas en series trigonométri1847: George Boole formaliza la Lógica Simbólica en El Análicas convergentes (Series de Fourier).. sis Matemático de la Lógica, definiendo lo que ahora se denomi1815: Siméon Denis Poisson, realizó unas serie de escritos so- na Álgebra de Boole. bre las Integrales Definidas.

1851: Bernhard Riemann define las Superficies de Riemann.

1817: Bernard Bolzano presenta el Teorema del Valor Interme1852: Francis Guthrie, discípulo de Augustus De Morgan, dio, que afirma: Una Función Continua que es negativa en un enuncia el Teorema de los Cuatro Colores. punto y positiva en otro punto, debe ser cero al menos en un pun1854: Bernhard Riemann define la Integral de Riemann y crea to entre ellos. la 1824: Niels Henrik Abel prueba parcialmente que las ecuacio- Teoría de Funciones de una Variable Real. Ese mismo año, en nes de grado mayor o igual a 5 no pueden ser resueltas por una una clase magistral sobre los fundamentos de la geometría introfórmula general que incluya únicamente operaciones aritméticas duce la Geometría Riemanniana.

Siglo XIX

1858: August Möbius inventa la Cinta de Möbius.

1829: Nikolái Lobachevski publica su trabajo sobre Geometría 1859: Bernhard Riemann formula la Hipótesis de Riemann, la y raíces.

cual tiene fuertes implicaciones acerca de la distribución de los números primos.

no Euclidiana.

1873: Charles Hermite prueba que el número e es transcendente.

1874: George Cantor muestra que el conjunto de todos los Números Reales son infinitos no numerables, pero el conjunto de todos los Números Algebraicos son numerables.

1878: Charles Hermite resuelve la Ecuación General de Quinto Grado, mediante Funciones Elípticas y Modulares.

1882: Ferdinand von Lindemann prueba que π es transcendente y que por lo tanto, el círculo no puede cuadrarse con regla y compás (Cuadratura del Círculo).

1888: Sonya Kovalevsky recibe el premio de la Academia de Ciencias de París, por su trabajo sobre Rotación de Sólidos.

El Teorema de los Cuatro Colores fue planteado en 1852, y sólo pudo ser demostrado en 1976, con el uso de computadores.

1895: George Cantor publica un libro acerca de Teoría de Conjuntos conteniendo la aritmética de números cardinales infinitos y la Hipótesis del Continuo.

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SEPTIEMBRE

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Siglo XX

1961: Daniel Shanks y John Wrench calculan π con 100.000 cifras decimales usando un Computador IBM-7090.

1900: David Hilbert presenta su famosa lista de 23 problemas.

1963: El meteorólogo y matemático Edgard Lorenz desarrolla la 1904: Henri Poincaré plantea que la esfera tridimensional es el Teoría del Caos (Efecto Mariposa). único espacio limitado sin orificios (Conjetura de Poincaré).

1975: Benoit Mandelbrot publica Los Objetos Fractales: Forma, 1914: Srinivasa Ramanuyán publica Modular Equations y Ap- Azar y Dimensión, dando origen a la Teoría de Fractales.

proximations to π

1976: Kenneth Appel y Wolfgang Haken demuestran el Teore1928: John von Neumann empieza a idear los principios de la ma de los Cuatro Colores, haciendo uso de un computador.

Teoría de Juegos y prueba el Teorema Minimax.

1987: Yasumasa Kanada, David Bailey, Jonathan Borwein, y 1931: Kurt Gödel prueba su Teorema de Incompletitud, el cual Peter Borwein calculan π con 134 millones de decimales, usando

muestra que cada sistema axiomático para matemáticas es incom- el Supercomputador NEC SX-2. pleto o inconsistente.

1994: Andrew Wiles demuestra el Último Teorema de Fermat.

1933: Andrei Kolmogorov publica su libro Nociones Básicas del Cálculo de Probabilidad que contiene una axiomatización de las Siglo XXI probabilidades basado en la Teoría de la Medida.

1947: Un equipo de ingenieros asesorados por John von Neu- 2000: El Instituto Clay de Matematicas establece los siete promann construyen, en la Universidad de Pennsylvania (U.S.A.), la blemas no resueltos de la matemática (Problemas del Milenio) y máquina ENIAC, primer Computador Digital Electrónico de la ofrece un millón de dólares por la resolución de cada uno. historia.

1947: George Dantzig publica el Método Simplex que resuelve 2002: Yasumasa Kanada, Y. Ushiro, H. Kuroda, M. Kudoh y un equipo de nueve matemáticos calculan π con 1,24 billones de problemas de Programación Lineal. dígitos, utilizando un Supercomputador Hitachi de 64 nodos.

1949: John von Neumann calcula π con 2.037 cifras decimales 2003: Grigori Perelman demuestra la Conjetura de Poincaré, usando el Computador ENIAC. uno de los Problemas del Milenio, pero rechaza el premio asigna1957: Aparece el lenguaje de Programación Fortran. do.

Dinámicas con GeoGebra

cualquier punto de la circunferencia se llama radio de la circunferencia.

Daniel Sánchez Ibáñez Pasos de la construcción: GeoGebra es un software matemático interactivo libre, para enseñar y aprender, disponible para la educación en colegios, universidades1. Este programa permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo, así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico, el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc.

Con GeoGebra se pueden realizar construcciones a partir de puntos, rectas, semirrectas, segmentos, vectores, cónicas, etc.

Su empleo directo puede ser a través de herramientas operadas con el mouse (dispuestas en cuadrados desplegables bajo la barra de menú) o con la anotación de comandos en la Barra de Entrada con el teclado o seleccionándolos desde un listado disponible. Todo lo trazado es modificable en forma dinámica: es decir, que si algún objeto B depende de otro A, al modificar A, B pasa a ajustarse y actualizarse para mantener las relaciones correspondientes con A. Justamente esta última cualidad del programa la haremos visualizar al construir (no dibujar) una circunferencia como lugar geométrico: Definición: Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo del plano llamado centro. La distancia del centro a

1) Abrir GeoGebra.

2) Definir un punto en la Barra de Entrada (ubicada en la parte inferior de la pantalla).

Un punto se define entre paréntesis. Ejemplo: (1, - 2). Apretar Enter.

3) Por defecto, el programa nombrará al punto con la letra A. 4) En la Barra de Herramientas (arriba) desplegar el tercer cuadrado (contando de izquierda a derecha) y marcar “Segmento dados Punto Extremo y Longitud”.

5) Al final de la línea en las barra de herramientas (lado derecho) se marca la herramienta y nos indica que es lo que tenemos que hacer. En este caso nos dice: Punto Extremo. Luego, valor de su longitud.

6) Marquemos con el mouse sobre el punto A (nuestro punto extremo del segmento) y luego nos pedirá que insertemos una medida de longitud. Ejemplo: 3.

7) Se generará el otro punto extremo de segmento B. 8) Sobre el punto B apriete el botón izquierdo del mouse y marque la opción que aparecerá como “Activa Rastro”.

9) Vuelva a la barra de herramientas (arriba), y marque el primer cuadradito (la flecha).

10) Regrese al punto B y sobre él mantenga apretado el botón izquierdo del mouse y muévalo como usted quiera. ¿Qué es lo que sucede?

8

Una circunferencia puede ser representada por la ecuación (x - h)2 + (y - k)2 = r 2 , donde (h,k ) es el centro y r es el radio.

Como último paso coloque en el campo de entrada (x - 1) 2 + (y + 2 ) 2 = r 2 , y observe lo que sucede.

1

Descarga y referencia inicial en

http://www.geogebra.org/cms/

ABACOM Boletín Matemático

´

Poesía Matemática

Cir . . . ¿cuánto?

Danny Perich Campana

Algunos me llaman círculo, pero soy una circunferencia, pues sólo tengo contorno, he ahí la diferencia.

Si desde el centro tú trazas a mi contorno un segmento, conocerás lo que llaman radio y son infinitos, te cuento.

Y sólo el que muy bien se fija nunca se confundirá entre el que posee área y la que no la tendrá jamás.

Y si unes dos puntos de mí, una cuerda se dibujará , que si pasa por el centro en diámetro se transformará.

Por ser una circunferencia saber mi perímetro es sencillo, pero si no quieres confundirte compárame con un anillo.

Este diámetro mide, como te habrás dado cuenta, el valor de dos radios y mil ejercicios se inventan.

Cuando calculan mi área es porque un círculo soy algo parecido a una moneda, como ejemplo yo te doy.

Para finalizar te comento: mi área es pi por r al cuadrado y si necesitas mi perímetro 2 pi por r es lo adecuado.

ANÉCDOTAS MATEMÁTICAS NICOLÁS BOURBAKI, EL MATEMÁTICO VIRTUAL Ha sido uno de los matemáticos más famosos del siglo XX. A él se deben, entre otras cosas, una reestructuración formal de los fundamentos matemáticos y una polémica reforma de la enseñanza. Aunque en realidad nunca existió un matemático que se llamara Nicolás Bourbaki.

A finales de 1934 un grupo de jóvenes matemáticos franceses, entre los que se contaban Henri Cartan, André Weil, Claude Chevalley y Jean Dieudonné, todos ellos de gran renombre, estaban interesados en ofrecer una visión moderna de la matemática contemporánea que, al propio tiempo, enfatizara el componente axiomático de la misma y reformar la enseñanza de las Matemáticas en las universidades. Para ello elaborarían un tratado de Análisis Matemático que, además de servir como libro de texto, sirviera también para unificar criterios. Así fue como nació el grupo Bourbaki. Posteriormente se incorporaron otros matemáticos (principalmente franceses), como Laurent Schwartz, Jean- Pierre Serre, Alexandre Grothendieck, Roger Godement y Pierre Cartier.

Lo que comenzó como un modesto texto de Análisis acabaría por convertirse en una monumental obra con el ambicioso título de Elementos de Matemáticas, un trabajo en el que los miembros del grupo o de la “banda”, como les gustaba llamarse, se comprometieron a poner un cierto orden en las Matemáticas.

No era un grupo muy numeroso y se renovaba periódicamente: el criterio básico era que ninguno de sus miembros podía permanecer en él a partir de los cuarenta años. Con su excelente talante matemático, un irrenunciable sentido del humor y la complicidad de un editor (Freymann), llegaron a crear un auténtico mito.

El primer trabajo que realizaron fue presentado a la Academia de Ciencias en 1935, bajo la firma de Nicolás Bourbaki (*) .

Publicaron regularmente durante más de 50 años. A pesar de que se siguen reuniendo periódicamente, la última publicación del grupo fue en 1998 (la anterior había sido en 1983) un año que muchos consideran como la fecha de defunción de Nicolás Bourbaki. Las razones de esta posible defunción pueden ser muchas, pero quizá la más importante radique en la misma naturaleza de las Matemáticas, que en los últimos años ha sufrido una explosión en la que multitud de especialistas se han lanzado a campos de investigación en una enorme cantidad de direcciones diferentes.

En la época de esplendor de Bourbaki el número de artículos de Matemáticas publicados anualmente era alrededor de los 3.000, en la actualidad superan los 100.000. (*) Nicolás Bourbaki es el nombre real de un general francés que, durante la guerra franco-prusiana de 1870 - 1871, intentó una ofensiva contra el frente prusiano que terminó en un rotundo y humillante fracaso.

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El 123: Un Agujero Negro Numérico Así como un agujero negro es un cuerpo con una gravedad tan fuerte que nada puede escapar de él, ni siquiera la luz, también existen 123 números que atraen a otros al efectuar ciertas operaciones.

Uno de ellos es el 123. Actúa del modo siguiente: Escribe un número cualquiera de la cantidad de cifras que sea, cuenta las cifras pares, las impares, el total de cifras y con estos 3 números forma otro. Por ejemplo si el número que se escribe originalmente es: 7841352906615976315; éste tiene 7 cifras pares, 12 impares y 19 cifras en total. Así el número que se forma es 71219; contamos nuevamente las cifras pares, impares y totales de este número, obteniendo: 145. Se repite lo anterior y obtenemos 123.

Siempre se llegará a 123, independiente del número con que se parte. O sea … 123 es un agujero negro numérico.

La explicación es muy simple: después de varias iteraciones, se llegará a un número de 3 cifras, que sólo puede ser 303 (si las 3 cifras son pares), 213 (si 2 son pares y una impar), 123 (si una cifra es par y 2 impares) o 033 (si las 3 cifras son impares). En estos 4 casos al volver a hacer el cálculo se obtendrá inevitablemente … el 123.

Son - Risas Científicas Un átomo caminaba por la calle con cara de preocupación. Otro átomo, conocido de él, lo ve y le pregunta: - ¡Qué tal amigo!, ¿Por qué tan estresado?

- Es que perdí mis electrones - respondió.

- ¿Estás seguro?

- Sí, estoy completamente positivo. ***** - Pedrito, dígame los símbolos químicos del plomo, el potasio y la plata.

- No los sé, señorita.

- Pero, … ¡no has estudiado nada!

- Si estudié, pero el libro no trata esos elementos.

- Eso es falso, muéstrame el libro.

- Aquí dice clarito: … nitrato de plomo, nitrato de potasio, nitrato de plata ... ***** - ¿Cuál es la fórmula química del vino?

- AI2 YVO4 ***** Si el cerebro humano fuese tan simple que pudiésemos entenderlo, entonces seríamos tan simples que no podríamos entenderlo. ***** Los biólogos moleculares se han preguntado durante años por que la mayor parte del ADN de un organismo no parece tener ninguna función. Pero la razón es bien simple; tan solo el 30% del ADN de un humano sirve para algo, porque el resto son comentarios escritos por Dios.

H U M O R

1,35 m.

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¿...?

ABACOM Boletín Matemático

rsoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcurso Viola García Paredes

SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 3 39

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 39 Problema 1: Problema 2: El Valor de la Expresión Los 3 Sombreros 1 1 1 + + = El último puede ver el color de los 1 + a + ab 1 + b + bc 1 + c + ac sombreros del 1° y del 2° de la 1 1 b = + + fila. Si no puede saber el color del 1+ a + ab 1+ b + bc b + bc + abc suyo es porque los dos no son 1 1 b blancos, en tal caso sabría que el = + + 1 + a + ab 1 + b + bc 1 + b + bc suyo es negro. Por tanto, son los 1 1+ b dos negros o uno de cada color. = + 1 + a + ab 1 + b + bc El 2°, que puede ver el color del 1 a + ab 1°, piensa en lo que respondió el = + 1 + a + ab a + ab + abc 3° y si tampoco puede responder 1 a + ab acertadamente es porque el color = + 1 + a + ab 1 + a + ab del primero es negro, ya que si fuese blanco, sabría que el suyo 1 + a + ab = =1 debe ser negro.

1 + a + ab

E O S B C A R E T A A T E

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S O E T Ñ M N E T

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K A I U U E L I D

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L V A Y B R O A

E O V A T A

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P L A N O I

C A R C

Las palabras relacionadas con Tipos de Funciones son: Biyectiva, Continua, Creciente, Cuadrática, Lineal, Par, Periódica, Polinómica, Racional y Senoidal.

ALUMNOS PARTICIPANTES Han enviado respuestas al concurso Desafío a tu Ingenio: Ximena Cerda Altamirano, Liceo San Felipe Benicio, Coyhaique.

Vicente Coopman Jaramillo, Instituto Alemán, Valdivia.

Joaquín de la Barra, Colegio San Mateo, Osorno.

Valentina Elmohrez, Escuela Particular N° 95 Alemana, Paillaco.

Javier Fierro Mora, Liceo Altamira, Panguipulli.

Sebastián Gatica Muñoz, Liceo San Felipe Benicio, Coyhaique.

Rodrigo Martínez, Instituto Alemán, Valdivia.

Constanza Morrison, Liceo San Felipe Benicio, Coyhaique.

Daniel Rodas Ibáñez, Liceo San Felipe Benicio, Coyhaique.

Camila Salazar Lopetegui, Colegio Santa Cruz, Río Bueno.

Felipe Torres Villarroel, Liceo San Felipe Benicio, Coyhaique.

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ABACOM Boletín Matemático 10 Años - 40 Ediciones La presente será la última edición de este año, pues en reemplazo de la edición de noviembre, editaremos un libro con la recopilación de las 40 ediciones que se han publicado en los 10 años de vida de este boletín.

representantes de los colegios que asistan, de un ejemplar por cada colegio de enseñanza media. A los que no estén presentes en esta ceremonia se les enviará un ejemplar a sus respectivos establecimientos.

El viernes 7 de octubre, junto a la ceremonia de premiación de la XVII Semana Nacional de la Ciencia y Tecnología, se celebrarán los 10 años de ABACOM, haciendo entrega a los

En nuestra página web www.uach.cl/abacom aparecerá un índice que permitirá buscar los diferentes temas y los(las) matemáticos(as) que han aparecido en estas páginas.

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CARTAS A MARIE CURIE El 8 de agosto finalizó el concurso: “Las Niñas, Niños y Jóvenes de la Región de Los Ríos escriben cartas a Marie Curie”, iniciativa del Programa EXPLORA en conjunto con la Universidad Austral de Chile, patrocinado por la Corporación Cultural Alianza Francesa Valdivia y el Diario Austral Región de Los Ríos.

En este concurso participaron estudiantes de 5º Básico a 4º Medio de los establecimientos educacionales de la Región, enviando una carta dirigida a la científica Marie Curie, ganadora de dos Premios Nobel, pionera en el campo de la radioactividad y primera mujer en ser profesora de la Universidad de La Sorbone.

figura científica.

En la carta, los concursantes se dirigían a Marie Curie como si estuviese viva, expresándole reflexiones, dudas, preguntas, etc. El jurado está integrado por un crítico literario, un periodista, un científico, un representante de EXPLORA y un representante de la Corporación Cultural La Unesco declaró este año como el Año Alianza Francesa Valdivia.

Internacional de la Química, al cumplirse La premiación se realizará el viernes 7 de 100 años desde que obtuvo el premio Nobel en 1911, por esto la Coordinación octubre, en el marco de la XVII Semana del Programa EXPLORA CONICYT invitó Nacional de la Ciencia y la Tecnología, ocasión en que se celebrarán los 10 años a los estudiantes de la región a conocer de ABACOM Boletín Matemático. más sobre la vida de esta importante

Marie Curie (1867–1934) rígenos.

En 1903, ambos compartieron el Premio Nobel de Física con Henri Becquerel, por sus investigaciones en radioactividad. Marie Curie fue la primera mujer en recibir un premio Nobel.

Su esposo falleció trágicamente atropellado por un carruaje en 1906. Marie asumió la cátedra de Física de su marido en La Sorbonne, siendo la primera mujer en dar clases en esa universidad en los 650 años transcurridos desde su fundación.

En 1911, volvió a recibir el Premio Nobel, esta vez en Química, convirtiéndose así en la primera persona en recibir dos Premios Nobel. Trabajó arduamente para recibir fondos para sus investigaNació como María Sklodowska, en Var- ciones de radioactividad y ayudó a estasovia, Polonia. En la Universidad de blecer laboratorios de radioactividad Varsovia no se permitía que estudiaran tanto en París como en Varsovia. Duranmujeres, de manera que tuvo que hacer- te la Primera Guerra Mundial, promovió lo en forma clandestina. A los 24 años, el uso del radio para el tratamiento de se trasladó a París para estudiar Matelos soldados heridos. máticas, Física y Química en la Univer- Marie Curie, después de quedar ciega, sidad La Sorbonne. Allí conoció y se falleció de una enfermedad sanguínea a casó con Pierre Curie. Juntos estudiaron causa de su constante exposición a matemateriales radioactivos y descubrieron riales radioactivos, el 4 de julio de 1934. dos elementos, el polonio, al que dieron Al año siguiente, su hija Irène Jolioteste nombre en honor a Polonia, y el Curie, compartió el Premio Nobel con radio. También estudiaron los usos mé- su esposo Frédéric Joliot-Curie, por su dicos de la radioactividad en las radiodescubrimiento de la radioactividad artigrafías y tratamiento de tumores cance- ficial.

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PROGRAMA EXPLORA CONICYT EN LOS RÍOS Melisa Martin Salvadores, Periodista Coordinación Programa EXPLORA CONICYT Región de Los Ríos explora14@uach

8° Congreso Regional Escolar de Ciencia y Tecnología EXPLORA CONICYT Región de Los Ríos Los días 27, 28 y 29 de septiembre, estudiantes de la Región de Los Ríos se preparan para participar del 8º Congreso Regional Escolar.

Durante esta iniciativa, párvulos y estudiantes de enseñanza básica y media de los establecimientos educacionales de la Región de Los Ríos presentan sus trabajos de investigación, elaborados durante el año. Los ganadores de la categoría entre 6° básico a 3° medio representarán a la región en el Congreso Nacional en Puerto Montt, los días 30 de noviembre, 1 y 2 de diciembre.

Paralelo a este Congreso, científicos o científicas de universidades y centros de investigación de la Región de Los Ríos, participan de “Abriendo Caminos en la Ciencia: IV Encuentro de Ciencia y Tecnología”, instancia que permite mostrar sus trabajos de investigación en ciencia a estudiantes, por medio de un experimento y/o poster motivando a los jóvenes a conocer el mundo científico. Ambas actividades se desarrollarán en el Parque Saval.

XVII Semana Nacional de la Ciencia y la Tecnología Esta actividad se celebrará desde el 3 al 9 de octubre y el lema de este año es “Química: Nuestra Vida, Nuestro Futuro”. Durante esa fecha se realizan actividades como: “1000 Científicos 1000 Aulas”, “Laboratorios, Parques y Museos Abiertos”, “Día de la Ciencia en mi Colegio”, Concurso “Dobles de Marie y Pierre Curie”, II Festival de Teatro “La Ciencia en Escena” y la puesta en espacio “Llamada Curie”, en multimedia, escrita y dirigida por el Dr. Roberto Matamala de la UACh, con la participación de estudiantes de la universidad como actores, entre otras iniciativas.

(Ver obra completa en http:/vimeo.com/25966839 )

Puesta en espacio “Llamada Curie”