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Fractal
“Las nubes no son esféricas, las montañas no son cónicas, las costas no son circulares, y las cortezas de los árboles no son lisas, sólo la luz viaja en línea recta” Benoit Mandelbrot
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Presentación
Presentación El mundo de la geometría abarca un sin fin de posibilidades, tan infinitas como lo es el Universo que nos rodea. Después de todo, ¿el mundo entero no está hecho de formas y figuras?, y son estas últimas objeto de estudio de esta rama de la matemática. La geometría, como cualquier otra ciencia existente, nació de la observación de la naturaleza; de esos luceritos que desde la bóveda celeste siempre han fascinado al hombre, de esos épicos y heroicos viajes marítimos que abarcaban grandes distancias, del deseo de honrar a míticos gobernantes a través de construcciones imponentes y casi imposibles. Sin embargo, a medida que la geometría iba avanzando, y se convertía en una ciencia más exacta y respetada, fue apartándose de sus tan esenciales inicios, pues si el hombre no hubiese visto la geometría que supone la naturaleza, esta disciplina no existiría. Con el objetivo de rescatar aquellos simples y a la vez complejos inicios, esta revista se enfocará en mostrar el lado ameno, sin que ello signifique la pérdida de la formalidad, de la geometría. Se quiere, a través de las cosas que nos rodea, ver cómo la geometría está presente en nuestras vidas, sin que nosotros nos percatemos siquiera de ello. Para este fin, se ha tomado una de las estructuras geométricas más hermosas que existen: los fractales. Árboles, nubes, corrientes marinas, vegetales, marismas, animales, arquitecturas, e incluso piezas musicales clásicas, ¡en todas estas cosas se puede percibir la naturaleza fractal! ¡Acompáñenos a descubrir el mundo fractal!
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Un Poco de Historia
un Poco de historia La palabra fractal es un término relativamente nuevo, pues fue acuñado en el siglo XX, específicamente en el año 1975 por el matemático Benoit Mandelbrot, y deriva del latín fractus que literalmente significa “quebrado o fracturado”. Si bien es cierto que el término es nuevo, no se puede decir lo mismo acerca de los fractales. La matemática fractal había llamado la atención de diversos matemáticos, pero como sucede con todos los grandes retos y preguntas difíciles de responder, los fractales se vieron relegados a meros pies de páginas o a los márgenes de algunos libros. ¿Por qué se dice que era un reto? Según la geometría clásica, es decir la geometría euclidiana, un objeto puede tener tres dimensiones: la primera son las líneas, las segunda son las superficies, y la tercera son los cuerpos. Desde este punto de vista, las dimensiones de un objeto pueden medirse de forma exacta, y casi siempre su resultado son números enteros. Pero, ¿qué decir de las formas irregulares? ¿Pueden medirse también de forma exacta? Desde tiempos inmemorables, se ha trabajado con modelos simplificados de la realidad: órbitas elípticas, trayectorias parabólicas, entre otras. Todo lo que no funcionaba utilizando estos mecanismos era el caos. De allí que los matemáticos evitaban trabajar con el tema fractal. Sin embargo, en 1919, el matemático Félix Hausdorff ideó un método para medir las dimensiones y medidas de los fractales, el llamado medida y dimensión Hausdorff; y al año siguiente, viéndose atraído por los trabajos de este último, el matemático Abram Besicovitch, ideó la teorías geométrica de la medida.
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Un Poco de Historia
En 1963, se formula el tan conocido Efecto Mariposa. Esta expresión proviene del hecho de que el aleteo de una mariposa en un lugar remoto de la tierra puede originar un tornado en otro lugar. Aunque esto último pueda sonar exagerado, sirvió de explicación para demostrar que si se variasen las condiciones iniciales de un determinado hecho, pueden arrojar resultados impredecibles. El responsable del Efecto Mariposa fue el meteorólogo Edward Lorenz, quien al redondear unos decimales en su programa de ordenador que simulaba situaciones meteorológicas, el programa devolvió unos resultados sorprendentemente diferentes a los anteriores. Fue de esta manera que el “caos matemático” había nacido, y como resultado, la matemática fractal tuvo un nuevo atractivo para la comunidad científica.
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Ciencia Fractal
ciencia Fractal Concepto, Características y Tipos En líneas generales, es un poco complicado dar una definición global de lo que son los fractales, ya que muchas de estas definiciones no pueden, en algunos casos, aplicarse a todas las familias de fractales que existen. Sin embargo, todas las fractales tiene una característica en común: son objetos que exhiben recursividad o autosimilitud a cualquier escala. ¿Qué significa esto? En otras palabras, significa que si tomas una porción cualquiera de un objeto fractal, observarás que tal sección es una réplica en escala más pequeña que la figura principal. ¿Puedes notarlo en la siguiente figura?
Figura 1. Fractal de Julia
Como puedes observar, la sección número uno, tomada de la figura original, es idéntica a dicha figura, con la salvedad de que la escala es menor. Lo mismo sucede con la sección número dos.
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Como ejemplo de estos fractales tenemos los construidos a partir del Conjunto de Julia, que debe su nombre al matemático Gastón Julia, quien ideó dicho conjunto. Los conjuntos de Julia son familias de conjuntos fractales que se obtienen al estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados por una función holomorfa. Como ejemplos de estas fractales, tenemos las siguientes figuras. En las imágenes anteriores, los puntos negros pertenecen al conjunto y los de color no. Los colores dan una indicación de la velocidad con la que diverge la sucesión (su módulo tiende a infinito): en rojo oscuro, al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto; y en blanco, se ha tardado mucho más en comprobarlo.
Figura 2. Fractales de Julia
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Otras fractales autorecurrentes son el Copo de Nieve de Koch, el cual consiste en una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto. En el lenguaje actual, se diría que es una curva fractal. Este copo de nieve fue descrito por el matemático sueco Halge von Kock en 1904.
Figura 3. Concepción artística de un Copo de Koch
El Copo de Nieve de Koch se construye a partir de una línea fragmentada en tercios, y sobre el segmente central se construye un triángulo equilátero. Luego se borra la base del triángulo, y sobre los cuatro segmentos que resulten, se vuelve a repetir la misma operación.
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A parte de la autorecurrencia, los fractales poseen otras características. Una de ellas es que los fractales no se pueden representar por medio de la geometría clásica, puesto que sus formas son muy irregulares. Otra característica es que su dimensión es fraccionaria, es decir, que no es entera, por lo tanto la geometría euclidiana no funciona si se quiere calculas las dimensiones de una figura fractal. Ahora bien, de acuerdo a los mecanismos utilizados para construir fractales, podemos clasificarlas en diversos tipos: Algoritmo es Escape: También conocido como fractales de Mandelbrot. Para cada punto se calculan una serie de valores mediante la repetición de una formula hasta que se cumple una condición, momento en el cual se asigna al punto un color relacionado con el número de repeticiones. Los fractales de este tipo precisan de millones de operaciones, por lo cual sólo pueden dibujarse con la inestimable ayuda del ordenador.
Figura 4. Fractal de Mandelbrot
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Funciones Iteradas: Método creado por M. Barnsley. En esta clasificación entran las fractales de autosemejanza, como las de Julia y el Copo de Nieve de Koch. Por lo tanto, en estas figuras siempre se puede encontrar una parte de la figura que guarda una relación de semejanza con la figura completa. Figura 5. Helecho de Barnsley
Lindenmayer y Sierpinsky: Se trata de Un triángulo en el que se aloja otro, uniendo los puntos medios de cada uno de sus lados. Esto se repite con todos y cada uno de los triángulos formados que tengan la misma orientación que el original, y así sucesivamente.
Figura 6. Triángulo de Sierpinsky
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Atractores de Lorenz: Está formada por un hilo infinitamente largo que va describiendo una trayectoria tridimensional acercándose y alejándose de dos puntos de atracción. El atractor de Lorenz no es una estructura geométrica simple ni tampoco una curva complicada; nunca se intersecta a sí mismo y nunca repite la misma trayectoria.
Aleatorias: Algunas fractales no encajan en ninguna de las clasificaciones anteriores. Son estructuras que en cierta medida dependen del azar, por lo tantos son únicas e irrepetibles
Figura 7. Atractor de Lorenz
Celulares: Funcionan con sencillas reglas que colorean zonas a partir del color de las adyacentes.
Figura 8. Fractal por Difusión Figura 9. Fractal Celular
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Fractales a tu Alrededor
Fractales a tu alrededor Fractales en la Naturaleza Aunque los fractales puedan parecer figuras imposibles, que sólo pueden construirse mediante fórmulas o realizadas a través de un programas de computación, sí es posible encontrar figuras fractales en la naturaleza. ¡Sólo hay que prestar atención! ¿Empezamos? El Romanesco: Aunque pueda parecer un vegetal transgénico, no lo es. El Romanesco es una variedad de coliflor muy poco conocida. Este curioso vegetal nos recuerda a los fractales, ya que sus partes cónicas son un ejemplo perfecto de la autorecurrencia.
Pero este no es el único ejemplo que la naturaleza puede brindar. Veamos otros. Figura 10. Romanesco
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Fractales a tu Alrededor
En la imagen actual, vemos el extraño fenómeno que se produce en estas cataratas. El agua, por efecto de la gravedad, al caer sobre las irregulares laderas, genera patrones fractales.
Figura 11. Cataratas
Vórtex de Nubes: Vemos como la presión atmosférica, el viento, la densidad y la humedad, generan patrones fractales en los cielos. Figura 12. Vista satelital de unos “vórtex de nubes”
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Fractales a tu Alrededor
Los Helechos: Un ejemplo muy conocido de autorecurrencia se puede encontrar en los helechos, ya que claramente si tomas una de las partes de sus hojas, esta representarĂĄ a escala mĂĄs pequeĂąa la hora en total.
Figura 13. Helechos
Cristales de Hielo: Otras de las famosas representaciones fractales en la naturaleza, los hermosos cristales de hielo.
Figura 14. Hielo
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Fractales a tu Alrededor
Marismas: A continuación tenemos las Marismas de Doñana, en España, donde la misma secuencia y estructura se repiten una y otra vez sucesiva y ordenadamente formando los canales del río.
Figura 15. Marismas de Doñana
Animales: Por último, tenemos al majestuoso Pavo Real, que al igual que el ejemplo anterior, los adornos de su plumaje se repiten de manera ordenada y sucesiva, creando así un hermoso fractal del reino animal. Figura 16. Pavo Real
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Rostros Fractales
rostros Fractales A lo largo de los artículos anteriores, se han venido mostrando los nombres de algunos científicos y matemáticos famosos que se han visto envueltos en el mundo de los fractales. Y ya que gracias a ellos el estudio de los fractales se ha dado a conocer, ¿por qué no saber un poco más de ellos? Gastón Julia: (Argelia 1893 – Francia 1978) Fue uno de los precursores de lo que hoy conocemos como fractales. Fue el primero en estudiar el tema, y explicar cómo a partir de cualquier función compleja se puede fabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya frontera es imposible dibujar a pulso. Alcanzó la notoriedad al publicarse su artículo Memoria sobre la iteración de las funciones racionales. Este artículo de 199 páginas, publicado cuando contaba tan sólo 25 años, le hizo acreedor del galardón de la Academia de Ciencias de Francia.
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Rostros Fractales
Helge Von Koch: (Suecia 1879 – 1924) Matemático, cuyo nombre se ha asignado a una famosa curva fractal llamada curva Copo de nieve de Koch, una de las primeras curvas fractales en ser descritas. Dio a conocer dicha curva en el año 1904, en un artículo titulado: “Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental.”
También Von Koch escribió muchos artículos sobre teoría de números. Uno de sus resultados, dado a conocer en la año 1901, fue el teorema que probaba que la hipótesis de Riemann es equivalente al Teorema de los números primos.
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Fractales y sus Curiosidades
Fractales y sus curiosidades ¿Creen que una computadora pueda quitarle la fama a una persona? Pues Gaston Julia podría decirles que si. Aunque este pionero de la ciencia fractal a fuerza de cálculos y deducciones, con papel y lápiz formuló todas las propiedades de los fractales, estas no fueron conocidas hasta que fueron observadas mediante el uso de ordenadores por Benoit Mandelbrot. Frustrante, ¿verdad?
¿Tienes poco espacio en casa? ¿Qué tal si pruebas hacer un gavetero fractal? Seguramente tendrás el espacio para guardar todo lo que te apetezca.
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Referencias
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reFerencias Arrakis. [Página Web en Línea] Disponible: http://www.arrakis.es/~sysifus/index.html [Consulta: 2012, Enero 13] Edrevo. [Página Web en Línea] Disponible: http://edrevo.wordpress.com [Consulta: 2012, Enero 13] El Mundo de los Fractales. [Página Web en Línea] Disponible: http://fractaless.blogspot.com/ [Consulta: 2012, Enero 13] Eternauta. [Página Web en Línea] Disponible: http://gaoalma.blogspot.com/ [Consulta: 2012, Enero 13] Fratovia. [Página Web en Línea] Disponible: http://www.fractovia.org/ [Consulta: 2012, Enero 13] La Bitácora de Humbolt. [Página Web en Línea] Disponible: http://labitacoradehumboldt.blogspot.com/ [Consulta: 2012, Enero 13] Olimpiadas Nacionales de Contenidos Educativos en Internet [Página Web en Línea]. Disponible: http://www.oni.escuelas.edu.ar/ [Consulta: 2012, Enero 13] Pontificia Universidad Católica del Perú. [Página Web en Línea] Disponible: http://blog.pucp.edu.pe/ [Consulta: 2012, Enero 13] Portal de las Matemáticas. [Página Web en Línea]. Disponible: http://www.aprender-mat.info/ [Consulta: 2012, Enero 13]
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Referencias
Schmidkte; M. Conjunto de Julia. Enciclopedia Libre Universal en Español. [Enciclopedia en Línea] Disponible: http://enciclopedia.us.es/index.php/Enciclopedia_Libre_ Universal_en_Español. [Consulta: 2012, Enero 13] Universidad Politécnica de Madrid. [Página Web en Línea] Disponible: http://www.dmae.upm.es/ [Consulta: 2012, Enero 13] Wikipedia. [Página Web en Línea] Disponible: http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada [Consulta: 2012, Enero 13]
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