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Fractal

"Mis ideas estĂĄn basadas en mi asombro y admiraciĂłn por las leyes contenidas en el mundo que nos rodea. Quien se maravilla de algo, toma conciencia de algo maravilloso.“ Maurits Escher

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Presentación

PrESEntacIÓn El mundo de la geometría abarca un sin fin de posibilidades, tan infinitas como lo es el Universo que nos rodea. Después de todo, ¿el mundo entero no está hecho de formas y figuras?, y son estas últimas objeto de estudio de esta rama de la matemática.

La geometría, como cualquier otra ciencia existente, nació de la observación de la naturaleza; de esos luceritos que desde la bóveda celeste siempre han fascinado al hombre, de esos épicos y heroicos viajes marítimos que abarcaban grandes distancias, del deseo de honrar a míticos gobernantes a través de construcciones imponentes y casi imposibles. Sin embargo, a medida que la geometría iba avanzando, y se convertía en una ciencia más exacta y respetada, fue apartándose de sus tan esenciales inicios, pues si el hombre no hubiese visto la geometría que supone la naturaleza, esta disciplina no existiría.

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Presentación

Con el objetivo de rescatar aquellos simples y a la vez complejos inicios, esta revista se enfocará en mostrar el lado ameno, sin que ello signifique la pérdida de la formalidad, de la geometría. Se quiere, a través de las cosas que nos rodea, ver cómo la geometría está presente en nuestras vidas, sin que nosotros nos percatemos siquiera de ello. Para este fin, se ha tomado una de las estructuras geométricas más hermosas que existen: los fractales. Árboles, nubes, corrientes marinas, vegetales, marismas, animales, arquitecturas, e incluso piezas musicales clásicas, ¡en todas estas cosas se puede percibir la naturaleza fractal! ¡Acompáñenos a descubrir el mundo fractal!

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Contenido

contEnIdo MUNDO FRACTAL: Segunda Edici贸n UN POCO DE HISTORIA: Los aportes de Mandelbrot y Escher en el mundo fractal.

CIENCIA FRACTAL: Fractales de Mandelbrot y Escher.

FRACTALES A TU ALREDEDOR: Fractales en el cuerpo humano.

ROSTROS FRACTALES: Benoit Mandelbrot y Maurits Escher.

FRACTALES Y SUS CURIOCIDADES REFERENCIAS

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Un Poco de Historia

un Poco dE hIStorIa En la primera edición de Mundo Fractal, se abordó el tema de los fractales en forma general; aprendimos qué era un fractal y sus dimensiones, sus diferentes tipos y características y como la naturaleza constantemente nos revela que la geometría fractal está prácticamente en todo lo que nos rodea, así como también vimos un poco de la vida de las personas que se hicieron cargo de estudiar estas fantásticas figuras geométricas.

Ahora, en esta segunda edición, nos centraremos en dos personajes representativos del mundo fractal, y lo que aportaron con su trabajo e ingenio a esta rama de la matemática. ¿De quiénes hablamos? Pues del matemático polaco Benoit Mandelbrot y el artista holandés Maurits Escher.

Para empezar, hablemos de lo que estos dos personajes aportaron a la historia de los fractales.

Comencemos con Benoit Mandelbrot, quien fue el principal creador de la geometría fractal como hoy la conocemos, ya que para el esta disciplina tendría un fuerte impacto en el concepto e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza. Para dejar claras sus ideas, en 1982 publicó su libro “La Geometría Fractal de la Naturaleza”, en el que explicaba sus investigaciones en este campo. En este trabajo, Mandelbrot dejaba en manifiesto que la geometría fractal se distingue por una aproximación más abstracta a la

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Un Poco de Historia

dimensión de la que caracteriza a la geometría convencional. Así, el profesor Mandelbrot se interesó por cuestiones que nunca antes habían preocupado a los científicos, como los patrones por los que se rigen la rugosidad o las grietas y fracturas en la naturaleza.

Mandelbrot sostuvo que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por el hombre que los objetos basados en la geometría euclidiana, que para el habían sido suavizados artificialmente.

Por su parte, Maurits Escher también tuvo sus aportes al mundo fractal.

Hay que destacar que probablemente Escher no manejara el término de los fractales. Incluso, puede que ignorara de su existencia. Aún así, este artista se caracterizó por desarrollar con frecuencia estructuras matemáticas complejas y avanzadas mientras continuaba pregonando su desconocimiento total sobre esta materia. Sin embargo, parte de su obra incluye elementos relacionados con el infinito.

En los trabajos de Escher se encuentran características de autosimilaridad por su simetría dentro de una escala, por su pauta en el interior de una pauta y el escalamiento, lo cual como se vio en la entrega anterior, es muy propio de los fractales.

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Historia Fractal

Ahora, ¿por qué decimos que Escher forma parte de la historia del mundo fractal? Porque el fue el ejemplo perfecto de que los fractales no son invención de nadie, sino que simplemente están ahí esperando que alguien de con su fórmula; y Escher sacó a la luz en sus maravillosas obras un mundo fractal sin fórmulas. Sólo la imaginación y la creatividad bastaron para crear lo supuestamente imposible.

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Ciencia Fractal

cIEncIa Fractal Los Fractales de Mandelbrot y Escher Cuando Mandelbrot estudiaba en las computadoras IBM las fluctuaciones del precio del algodón, observó que los precios no guardaban una distribución normal, así que consiguió finalmente todos los datos de precios desde 1900, y analizándolos con una IBM, descubrió un hecho sorprendente: los números que causaban aberraciones desde el punto de vista de una distribución normal, producían simetrías desde el punto de vista de las escalas. Cada cambio de precio era aleatorio e impredecible, pero la sucesión de cambios era independiente de la escala: las curvas para precios diarios y mensuales encajaban perfectamente (incluso aunque en estos datos estaban los correspondientes a las dos Guerras Mundiales y a la Gran Depresión). Mandelbrot estaba así descubriendo un patrón fractal en estas mediciones.

Más tarde, Mandelbrot se preguntó acerca de la longitud de una costa marina. Fijémonos en que un mapa de una costa marina muestra muchas bahías. Pero hay muchas más pequeñas que no se toman en consideración. Y si caminamos a lo largo de la costa no tendremos en cuenta las bahías microscópicas entre los granos de arena. Y no importa que aumentáramos el mapa

Figura 1. Bahía

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de escala una y otra vez: siempre habría más bahías visibles con cada aumento. Este es el comportamiento de un objeto fractal.

Por lo anterior podríamos pensar que los objetos fractales son figuras muy difíciles de generar. Sin embargo, no es así.

Benoit Mandelbrot creó una fórmula basada en los número complejos que se conocería mas tarde como “El Conjunto de Mandelbrot”, dada a conocer en la década de los setenta. La fórmula es la siguiente:

En la fórmula, Z es la variable a calcular y C el valor de las coordenadas del punto analizado. Luego, al sustituir, si el módulo de Z se hace en algún momento mayor que 2, significará que el punto no pertenece al conjunto de Mandelbrot. Dicho de otra forma, Mandelbrot es el conjunto de puntos cuya órbita generada con la fórmula dada nunca escapa de un círculo de radio 2. También, se puede explicarse de la siguiente manera: si la sucesión de número resultantes difiere del origen, entonces estos no pertenecen al conjunto de Mandelbrot. Si por el contrario, la sucesión de número resultantes coincide con el origen, entonces estos pertenecen al conjunto.

Con esta fórmula se puede mostrar claramente una de las propiedades básicas de los fractales; la autosimilitud, de la cual se habló en la primera edición de Mundo Fractal. Sin embargo, recordemos de que se trata. La autosimilitud no es más que el acercamiento a ciertas partes de una figura fractal, teniendo como

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de dicho acercamiento que la porción vista es igual a la figura inicial. Si prestamos atención a la siguiente secuencia de imágenes podremos ver claramente la autosimilitud de los fractales de Mandelbrot.

Este es el plano sobre el cual exploraremos la autosimilitud.

Note con mucho cuidado los cuadros de colores, ya que es de ellos de donde tomaremos las sucesivas ampliaciones de la figura.

Figura 2.

Figura 3.

Esta es la imagen obtenida al ampliar el cuadro verde, donde: • Es evidente que la bola a es una reducción exacta de A. La protuberancia de la izquierda de a también es una reducción exacta de a.

• También se puede observar que b es una reducción exacta y rotación de A. Si se mira mejor, podemos ver un sin fin de protuberancias semejantes a A

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Ahora, si agrandamos el cuadro azul oscuro situado al extremo izquierdo del plano vemos que su parecido con la imagen inicial es obvio, y el proceso puede repetirse un sin fin de veces.

Figura 4.

Ahora ampliemos el cuadro violeta. En esta imagen aparece una mancha arriba a la izquierda que tiene la misma forma que la imagen inicial. Si la miramos mĂĄs de cerca, Âżpueden adivinar lo que obtendremos?

Una vez mĂĄs el parecido salta a la vista.

Figura 5.

Figura 6.

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Figura 7.

Figura 8.

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Ahora, agrandemos el cuadro azul claro de la derecha del plano y acerquémonos al cuadro blanco de la imagen: Aquí se nota una ligera deformación de la figura inicial. Sin embargo, esta imagen sigue siendo isomorfa a la inicial. Y claro, alrededor de cada clon de la forma inicial existen otros clones minúsculos, en las mismas posiciones relativas que en la figura global. El proceso no tiene fin.

Como vemos, lo sorprendente de los fractales de Benoit Mandelbrot es su similitud con la naturaleza, ya que al igual que esta, de algo tan simple como una fórmula puede surgir algo tan complejo y de gran belleza.

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Sin embargo, no siempre es necesaria una fórmula para entrar al mundo de los fractales. Ni siquiera es necesario ser un estudioso matemático. Sólo se necesita ingenio y maravillarse de las cosas que nos rodean, llevándolas a su máxima expresión. Esto fue lo que precisamente hizo el pintor polaco Maurits Escher.

No hay que analizar con detenimiento su obra para percatarse de que tras sus grabados, técnicamente buenos, se esconden universos más complejos de lo habitual. Su obra está plagada de conceptos geométricos muy interesantes, como la partición regular de la superficie, los cuerpos geométricos complejos, la perspectiva. No es el único artista gráfico que ha explorado estos mundos, pero Escher tenía la virtud de impactar con cada imagen, utilizando para ello su mejor arma, la paciencia, que le llevaba a ensayar una y otra vez diversas posibilidades, hasta dar con la magia.

Se desconoce si alguna vez Escher estudió los fractales, incluso, es posible que ni siquiera escuchara de ellos.

Sin embargo, parte de su obra incluye elementos relacionados con el infinito. Según el mismo comentó, su aproximación al infinito surgió del modelo de Poincaré, en el cual se puede representar la totalidad de una superficie infinita encerrada en un círculo finito. Pero, ¿cómo puede ser esto cierto? ¿el infinito encerrado en algo finito? Aunque no lo crean, este razonamiento tiene su lógica.

Figura 9. Modelo de Poincaré

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Si partimos regularmente una superficie no se ha obtenido todavía la idea del infinito, sino sólo un fragmente de él. Si la superficie fuera infinitamente grande necesitaríamos infinitas partes para cubrirla en su totalidad. La idea es sencilla, se trata de ir dibujando figuras que encajen entre sí rellenando el plano y que poco a poco vayan aumentando o disminuyendo de tamaño según sea el caso., hasta dar la impresión de que hay un número infinito de figuras.

De esta manera, Escher logró dibujar obras de carácter fractal.

Una de sus obras favoritas que cumplen con el principio antes expuesto es su famoso dibujo “Más y más pequeño”, donde se puede ver como un motivo con forma de lagarto es sometido a un proceso de reducción hasta hacerse infinitamente pequeño en el centro de la imagen. Escher logró grabar, con ayuda de una lupa, lagartos de hasta medio milímetro de longitud.

Figura 10. Más y más pequeño

Figura 11. Límite circular III

El giro hacia la captura total de infinito se produce con su serie de límites circulares, donde lo infinitamente pequeño se sitúa en el borde de un círculo, justamente como en el modelo de Poincaré.

Y pensar que Escher comenzó a crear estas figuras gracias a su imaginación e interés hacia las figuras geométricas.

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Fractales a tu Alrededor

FractalES a tu alrEdEdor Fractales en el Cuerpo Humano Como hemos visto hasta ahora, se pueden encontrar fractales en la naturaleza, siempre y cuando prestemos atención a las cosas que comúnmente vemos a nuestro alrededor. Pero, ¿alguna vez pensaste que en tu cuerpo también hay figuras fractales? Seguro que no, así que te invitamos a ver algunos ejemplos.

Comencemos con el motor del cualquier matemático, el cerebro.

El cerebro humano no tiene una forma lisa, sino llena de pliegues y arrugas. En un examen microscópico del cerebro se observa que, a medida que aumenta la Figura 12. El cerebro amplificación, se van encontrando más y más detalles, y las estructuras más pequeñas se parecen a las más grandes. Lo que significa que nuestro gran amigo el cerebro es una figura fractal.

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Fractales a tu Alrededor

No piensen que por ser el cerebro el manda más de nuestros órganos es el único privilegiado de su similitud con los fractales. Al fin y al cabo, el cerebro no podría funcionar sin las vías que le llevan sangre y oxígeno. Así es, ya sabrán de quién se trata, nada más y nada menos que nuestras autopistas personales: los vasos sanguíneos.

Figura 13. Vasos Sanguíneos

Los vasos sanguíneos que van desde la aorta hasta los capilares se ramifican y se dividen. Cada división se vuelve a ramificar y dividir. Esto continúa hasta que los conductos se vuelven tan angostos que las células de la sangre sólo pueden circular, por decirlo así, en fila, una después de otra. La estructura de este sistema tiene carácter fractal. La única manera en que la sangre puede circular de tal forma que ninguna célula esté separada de un vaso sanguíneo más allá de tres o cuatro células, es que el sistema tenga estructura

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Fractales a tu Alrededor

fractal. Esto significa que el cuerpo tuvo que desarrollarse de tal forma que una línea, una vena por ejemplo, pueda cubrir casi completamente una superficie.

Pero aún falta mencionar otro órgano muy importante, sin el cual no podríamos respirar. Sí, se trata de los pulmones.

Figura 14. Los Pulmones Los pulmones deben ocupar la máxima área posible dentro del mínimo volumen. Hay que mencionar que la capacidad de cualquier ser vivo de absorber oxígeno depende del área de la superficie de sus pulmones; mientras mayor sea esta área, mayor será la capacidad de absorción. Y para poder ocupar al mayor espacio posible es utilizando el sistema fractal.

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Fractales a tu Alrededor

Aparte de los ejemplos ya nombrados, hay muchos otros en nuestro cuerpo, tales como la red vascular, los conductos pancreรกticos, la placenta, los bronquios, entre oros.

Figura 15. Red vascular del cerebro

Figura 17. Placenta

Figura 16. Conductos pancreรกticos

Figura 18. Bronquios

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Rostros Fractales

roStroS FractalES Como se hizo notar al comienzo de esta edición, se enfocaron los artículos de esta entrega en el matemático Benoit Mandelbrot y el artista Maurits Escher. Veamos un poco más de sus vidas.

Benoit Mandelbrot Nace en Polonia el 20 de Noviembre 1924, de familia judía con origen italiano. Fue introducido en el mundo de la matemática desde pequeño gracias a sus dos tíos. Ya en Francia, y después de realizar estudios en la Universidad de Lyon ingresó en la École polytechnique, una gran escuela de ingenieros francesa. Se doctoró en matemáticas por la Universidad de París en el año 1952. En 1927 publicó en la revista Science su trabajo “¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?”, donde se exponen sus ideas tempranas sobre los fractales. Fue profesor de economía en Harvard, ingeniería en Yale y matemáticas en París y Ginebra. Desde 1958 trabajó en la IBM. Muere en Estados Unidos el 14 de Octubre de 210 debido a un cáncer pancreático.

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Rostros Fractales

Maurits Escher Nace en Holanda el 17 de Junio de 1898. No fué precisamente un estudiante brillante, y sólo llegó a destacar en clases de dibujo. En 1919 y bajo presión paterna comienza a estudiar arquitectura en la Escuela de Arquitectura y Artes Decorativas de Haarlem, estudios que abandonó poco después.

Entre 1922 y 1935 se traslada a Italia donde realiza diversos bocetos y grabados principalmente de temas paisajistas. En 1941 se muda a Baarn, Países Bajos, después de una estancia difícil en Bélgica. Parece que debido al habitual mal tiempo de esa región, donde los días soleados se consideran una bendición, es por lo que abandona los motivos paisajísticos como modelos y se centra más en su propia mente, encontrando en ella una potentísima fuente de inspiración. A partir de 1952 vivió en un período muy fructífero y regular, donde comenzó a vender muchos de sus famosos grabados. Esta época sólo se verá interrumpida por la operación que sufrió en 1962, consecuencia de su debilitada salud. En 1969 con 71 años realiza su grabado "Serpientes" donde demuestra sus facultades a pesar de su avanzada edad. Muere en Holanda el 27 de Marzo de 1972

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Fractales y sus Curiosidades

FractalES y SuS curIoSIdadES ¡Waaa! ¡No sé dibujar!

¿Puedes creer que Maurits Escher creía que no sabía dibujar bien? Así es, después de realizar todas esas fantásticas obras en las cuales pudo expresar figuras fractales sin tener conocimiento de ello, pensaba que debía mejorar en su dibujo. Si no lo creen, lean estas palabras que el mismo llegó a decir: “¡Cómo me gustaría aprender a dibujar mejor! Hacerlo bien requiere tanto esfuerzo y perseverancia... A veces los nervios me llevan al borde del delirio... Cualquier escolar con unas pequeñas aptitudes podría dibujar mejor que yo.”

Quizá usted ahora esté pensando: “¡Pues yo quisiera dibujar aunque sea la mitad de lo que el dibujaba!”

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Referencias

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rEFErEncIaS Arrakis. [Página Web en Línea] Disponible: http://www.arrakis.es/~sysifus/index.html [Consulta: 2012, Enero 30] El Mundo de los Fractales. [Página Web en Línea]. Disponible: http://www.syti.net/ES/Fractals.html [Consulta: 2012, Enero 29] Més Mates 4t. [Página Web en Línea] Disponible: http://mesmates4.iesescultorbadia.es/ [Consulta: 2012, Enero 29] Miod. [Página Web en Línea] Disponible: http://www.madrimasd.org/ [Consulta: 2012, Enero 30] Neoteo. [Página Web en Línea] Disponible: http://www.neoteo.com/ [Consulta: 2012, Enero 30] Olimpiadas Nacionales de Contenidos Educativos en Internet [Página Web en Línea]. Disponible: http://www.oni.escuelas.edu.ar/ [Consulta: 2012, Enero 29] Taringa. [Página Web en Línea] Disponible: http://www.taringa.net [Consulta: 2012, Enero 30] Scribd. [Página Web en Línea]. Disponible: http://es.scribd.com/ [Consulta: 2012, Enero 29]

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