Las matemáticas griegas eran más sofisticadas que las matemáticas que habían desarrollado las culturas anteriores. Todos los registros que quedan de las matemáticas pre-helenísticas muestran el uso del razonamiento inductivo, esto es, repetidas observaciones usadas para establecer reglas generales. Los matemáticos griegos, por el contrario, usaban el razonamiento deductivo. Los griegos usaron la lógica para deducir conclusiones, o teoremas, a partir de definiciones y axiomas.
(624 a.C., 548 a.C.). Tales nació en la ciudad de Mileto, una antigua ciudad en la costa occidental de Asia Menor (en lo que actualmente es la Provincia de Aydın en Turquía), cerca de la desembocadura del río Menderes. Fue hijo de Euxamias (conocido también como Examio) y de Cleobulina (o Cleóbula), y al parecer tuvo ascendencia Fenicia. Se le atribuye el haber realizado la medición de las pirámides, mediante las sombras que proyectan cuando éstas son de la misma medida que nosotros mismos. Fue el primero en haber hecho una explicación científica de un eclipse. También se dice que fue el primero en dividir al año en estaciones y en 365 días.
Pitágoras vino al mundo en la isla de Samos, en Grecia, hasta el año 580 a.C., de una rica familia de comerciantes. Recibió una educación liberal del mejor preceptor de la época, Hermondamas, quien había enseñado durante 30 años en una escuela filosófica muy reputada de Atenas. Hermondamas le inculcó el amor por Homero, que había sido su propio maestro, y a través de los maestros de su tiempo le impartió los fundamentos de la filosofía y de las matemáticas. La evidencia sobre el lugar y el año de la muerte de Pitágoras es incierta. En 508 a.C. la Sociedad Pitagórica de Crotona fue violentamente atacada y Pitágoras escapa a Metaponto, lugar donde terminaría sus días (algunos autores afirman que se deja morir de hambre). Una de sus atribuciones matemáticas mas famosas, es la demostración del teorema de la Hipotenusa, conocido también como el teorema de Pitágoras.
Ya los egipcios en tiempos anteriores a Pitágoras, quien vivió en el siglo VI a.C., conocían la relación que existe entre los tres lados de un triángulo rectángulo cualquiera:
Lo sabían por experiencia, es decir, habían observado que en todos los triángulos rectángulos que ellos habían tenido la ocasión de conocer (tomar sus medidas, en particular) se cumplía la relación. Sin embargo, nunca se ocuparon de hacer una demostración que explicara por qué, en cualquier triángulo rectángulo, del tamaño y la forma que fuese, esa relación tenía que cumplirse. Entonces, fue Pitágoras quien demostró este teorema, aunque no con símbolos como +,-,=, sino con : “En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
Euclides es, sin lugar a dudas, el Matemático más famoso de la antigüedad y quizás el más nombrado y conocido de la historia de las Matemáticas. Se conoce poco de la vida de Euclides, sin embargo, su obra sí es ampliamente conocida. Todo lo que sabemos de su vida nos ha llegado a través de los comentarios de un historiador griego llamado Proclo. Sabemos que vivió en Alejandría (Egipto), al parecer en torno al año 300 a.c. Allí fundó una escuela de estudios matemáticos. Por otra parte también se dice que estudió en la escuela fundada por Platón. Su obra más importante es un tratado de geometría que recibe el título de "Los Elementos", cuyo contenido se ha estado (y aún se sigue de alguna manera) enseñando hasta el siglo XVIII, cuando aparecen las geometrías no euclídeas.
"Los Elementos" LIBROS del I al VI : Geometría plana. El libro I trata de triángulos, paralelas, incluye postulados, etc. El libro II trata del álgebra geométrica. El libro III trata de la geometría del circulo. El libro IV de los polígonos regulares. El libro V incluye una nueva teoría de las proporciones, aplicable tanto a las cantidades conmensurables (racionales) como a las inconmensurables (irracionales). El libro VI es una aplicación de la teoría a la geometría plana. LIBROS del VII al X : Del VII al IX :Tratan de la teoría de los números (aritmética), se discuten relaciones como números primos, (Euclides prueba ya en un teorema que no hay una cantidad finita de números primos), mínimo común múltiplo, progresiones geométricas, etc. El libro X trata de los segmentos irracionales, es decir, de aquellos que pueden representarse por raíz cuadrada.
LIBROS del XI al XIII : Geometría espacial. En el libro XII aplica un método que abarca la medida de los círculos, esferas etc. "Los Elementos" es una verdadera reflexión teórica de y sobre matemáticas. En la práctica totalidad de su obra, que consta de 465 proposiciones, 93 problemas y 372 teoremas, ¡no aparecen números! Euclides, además, escribió sobre música y óptica, tiene una obra titulada "Sofismas" que, dice Proclo, sirve para ejercitar la inteligencia. Para acabar podemos citar un par de anécdotas que nos ilustrarán, aún más, sobre la vida y gestos de Euclides: En una ocasión, el rey Ptolomeo preguntó a Euclides si había un camino más breve que el que él utilizaba en "Los Elementos" para estudiar Geometría, él respondió que no existen caminos "reales" en la geometría. Con este juego de palabras, Euclides le vino a decir al rey que no existen privilegios en la geometría. En otra ocasión, uno de sus estudiantes preguntó a Euclides qué ganaba con lo que había aprendido de la geometría: El maestro ordenó a su esclavo que le entregase una moneda (óbolo) a aquel estudiante, para que "ganara" algo con lo que aprendía de geometría, dando a entender que aquel muchacho no había entendido nada de la grandeza de la geometría y de lo desinteresado de ésta.
1. Por dos puntos diferentes sólo se puede trazar una única línea recta. 2.
Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente.
3.
Con un centro y un radio dado sólo se puede trazar una única
4.
Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta corta a otras dos formando a un lado ángulos internos, y la suma de estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de ese lado.
Euclides casi cierra definitivamente la geometría griega –y por extensión la del mundo antiguo–, a excepción de las figuras de Arquímedesy Apolonio de Perge. Arquímedes analizó exhaustivamente las secciones cónicas, e introdujo en geometría otras curvas como la espiral que lleva su nombre, aparte de su famoso cálculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono. Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos: elipse , parábola e hipérbola, un cono circular recto de dos hojas con un plano que no pasa por su vértice
Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.
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