ЂОРЂЕ ДУГОШИЈА МИЛОЉУБ АЛБИЈАНИЋ МАРКО ШЕГРТ
МАТЕМАТИКА
6
УЏБЕНИК СА ЗБИРКОМ ЗАДАТАКА ЗА ШЕСТИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОЛЕ
Рене Декарт (1596–1650)
Готфрид Вилхелм Лајбниц (1646–1716)
Анри Поенкаре (1854–1912)
Михаило Петровић Алас (1868–1943)
ЂОРЂЕ ДУГОШИЈА МИЛОЉУБ АЛБИЈАНИЋ МАРКО ШЕГРТ
МАТЕМАТИКА УЏБЕНИК СА ЗБИРКОМ ЗАДАТАКА ЗА ШЕСТИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОЛЕ
ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ • БЕОГРАД
naslovna_udzbenik_6r.indd 1
1.10.2019. 09:16:55
РЕЦЕНЗЕНТИ проф. др Милош Арсеновић Дејана Војиновић Горан Минић УРЕДНИК
ОДГОВОРНИ УРЕДНИК
ГЛАВНИ УРЕДНИК др Милорад Марјановић ЗА ИЗДАВАЧА др Милорад Марјановић, в.д директора
37.016:51(075.2) ДУГОШИЈА, Ђорђе, 1947Математика : уџбеник са збирком задатака : за шести разред основне школе / Ђорђе Дугошија, Милољуб Албијанић, Марко Шегрт. - 1. изд. - Београд : Завод за уџбенике, 2020 (Београд : Планета принт). - 208 стр. : илустр. ; 27 cm Тираж 3.000. ISBN 978-86-17-20287-1 1. Албијанић, Милољуб, 1967- аутор 2. Шегрт, Марко, 1948аутор COBISS.SR-ID 283841036
Министар просвете Републике Србије, решењем 650-02-00408/2019-07 од 30. 12. 2019. године, одобрио је овај уџбеник за издавање и употребу у 6. разреду основне школе.
издавача.
naslovna_udzbenik_6r.indd 2
12.12.2019. 13:03:02
стр. 3
Садржај Предговор 1. ЦЕЛИ БРОЈЕВИ 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8.
3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7.
106
Основне конструкције троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Подударност. Ставови подударности троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Описана и уписана кружница троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5. РAЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ – ДРУГИ ДЕО 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.
71
Скуп рационалних бројева Q. Супротан број. Приказивање рaционалних бро јева на бројевној правој. Апсолутна вредност . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Проширивање и упоређивање рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Сабирање и одузимање рaционалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Множење и дељење рaционалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Изрази с рационалним бројевима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Линеарне једначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Линеарне неједначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4. ТРОУГАО – ДРУГИ ДЕО 4.1. 4.2. 4.3.
49
Tроугаo. Врсте троуглова према страницама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Углови троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Однос између страница и углова троугла. Неједнакост троугла . . . . . . . . . . . . 58 Конструкције неких углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3. РAЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ – ПРВИ ДЕО 3.1.
7
Скуп целих бројева Z. Супротни бројеви. Приказивање на бројевној правој . . 8 Супротни бројеви. Апсолутна вредност . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Упоређивање целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Сабирање целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Одузимање целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Закони сабирања . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Множење целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Дељење целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2. ТРОУГАО – ПРВИ ДЕО 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.
5
133
Координатни систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Приказ података у координатном систему и зависност величина . . . . . . . . . . 139 Размере и пропорције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Проценти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Директно пропорционалне величине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Обрнуто пропорционалне величине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3
стр. 4
Садржај
6. ЧЕТВОРОУГАО 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8.
Четвороугао. Углови четвороугла. Збир углова четвороугла . . . . . . . . . . . . . . 166 Паралелограм и његове особине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Ромб. Правоугаоник. Квадрат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Конструкција паралелограма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Вектори. Сабирање и одузимање вектора. Множење вектора бројем . . . . . . 179 Трапез. Особине трапеза. Средња линија троугла и трапеза . . . . . . . . . . . . . 184 Конструкција трапеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Делтоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7. ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛА И ТРОУГЛА 7.1. 7.2. 7.3. 7.4.
4
165
197
Површина. Површина правоугаоника и паралелограма . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Површина троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Површина трапеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Површина четвороугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
стр. 7
1
Скуп целих бројева Z. Супротни бројеви. Приказивање на бројевној правој
Супротни бројеви. Апсолутна вредност
Упоређивање целих бројева
Сабирање целих бројева
Одузимање целих бројева
Закони сабирања
Множење целих бројева
Дељење целих бројева
ГЛАВА 1
ЦЕЛИ БРОЈЕВИ
стр. 8
1. ЦЕЛИ БРОЈЕВИ
1.1. Скуп целих бројева Z. Супротни бројеви. Приказивање на бројевној правој У претходном разреду упознали смо скуп N0 , ког чине природни бројеви и нула. Сада ћемо овај скуп проширити увођењем негативних целих бројева. Разлога за то има много. Погледајмо примере.
Пример 1 За мерење температура користи се термометар (сл. 1.1). На слици 1.1 је термометар чије су деоне тачке обележене бројевима. Скала је издељена на једнаке размаке од којих сваки одговара промени температуре за један Целзијусов степен. Бројем 0 означена је тачка која одговара температури на којој вода почиње да мрзне, a бројем 100 она на којој вода почиње да кључа. Ако се температура спусти испод нуле, жива ће показивати неку тачку скале са стране супротне од тачака означених природним бројевима. За опис таквих температура погодно је употребити негативне бројеве бројећи колико се цртица (јединичних дужи) жива померила испод тачке означене нулом и придружујући том броју знак − („минус”). На пример, температура коју показује термометар приказан на слици 1.1 износи −3 („минус три”) Целзијусова степена.
Слика 1.1
Пример 2 Нека је потрошено електричне енергије за 1 000 динара. Ако смо уплатили унапред 1 500 динара, Електродистрибуција ће стање нашег рачуна за потрошену струју означити бројем +500 (преплаћено 500 динара). Шта би било да смо уплатили само 500 динара? Тада бисмо Електродистрибуцији дуговали 500 динара, па она не би могла овакво стање рачуна поново да означи бројем 500, већ мора и да нагласи да је у питању дуг. Зато ће том броју придружити знак − (минус) и стање рачуна записаће новим негативним бројем −500.
Као што се из ових примера види, бројеви које смо до сада упознали нису довољни да се опишу неке појаве, па излаз налазимо у увођењу негативних целих бројева −1, −2, −3, . . . Њихов скуп означавамо са Z− . С природним бројевима и нулом они граде скуп Z целих бројева. 8
стр. 9
1.1. Скуп целих бројева Z. Супротни бројеви. Приказивање на бројевној правој
Скуп целих бројева чине нула, природни бројеви и негативни цели бројеви: { } Z = . . . − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 . . . За природне бројеве кажемо и да су позитивни цели бројеви и по потреби им придружујемо знак + (плус). Пишемо N = Z+ . Позитивне целе бројеве и нулу зовемо и ненегативни цели бројеви. Ненегативне бројеве приказивали смо на бројевној полуправој следећим поступком. На полуправој чији је почетак тачка O изабрали смо неку другу тачку I. Тачки O придружили смо број 0, а тачки I број 1. Дуж OI назива се јединична дуж. Нека је n ма који природан број. Наносећи јединичну дуж од тачке O n-пута, долазимо до тачке A полуправе којој смо придружили број n. Тако смо сваком природном броју и нули придружили по једну тачку полуправе OI.
Слика 1.2
Термометарска скала даје нам идеју да сваком целом броју придружимо одговарајућу тачку која припада правој OI. Броју −1 придружимо тачку M, тако да је тачка O средиште дужи MI (за тачке I и M каже се да су симетричне у односу на тачку O), броју −2 придружимо тачку симетричну тачки која је придружена броју 2 итд. Негативном целом броју −n придружимо тачку симетричну тачки која одговара природном броју n у односу на тачку O. Приметимо да до исте тачке долазимо ако од тачке O нанесемо n пута јединичну дуж у смеру од I ка O.
Слика 1.3 – Цели бројеви на бројевној правој
Праву OI , на коју су на описани начин „нанесени” цели бројеви, називамо бројевна (координатна) права или оса. Полуправа OI је њена позитивна полуоса; њој симетрична полуправа у односу на тачку O је негативна полуоса. Смер од O ка I је позитиван, a смер од I ка O је негативан смер на бројевној правој OI. Позитиван смер на координатној правој означава се стрелицом на слици на којој је она приказана. Тачка O назива се координатни почетак. 9
стр. 10
1. ЦЕЛИ БРОЈЕВИ
Свака права може постати бројевна права тако што се изаберу координатни почетак O, дужина јединичне дужи и позитиван смер.
Сваком целом броју m одговара тачно једна тачка M бројевне праве. Број m називамо координата тачке M и пишемо: M(m) (читај: M има координату m). Координатни почетак O има координату 0. Тачке којима су придружени цели бројеви називамо целобројне тачке бројевне праве.
Пример 3 На бројевној правој (сл.1.4) одреди тачке A(−3) и B(+5).
Слика 1.4
Да бисмо одредили тачку A, јединичну дуж треба нанети три пута од тачке O(0) у негативном смеру, тј. у смеру од I(1) ка O(0). Тачка B добија се наношењем јединичне дужи пет пута од тачке O(0) у позитивном смеру, тј. у смеру од O ка I.
Пример 4 Коју координату има средиште C дужи AB у примеру 3? Од тачке A до тачке B има 8 јединичних дужи у позитивном смеру. До средишта C има зато 4 јединичне дужи у позитивном смеру. Отуда C има координату +1.
Занимљивости Негативни бројеви помињу се у Кини у другом веку пре нове ере. У Индији се срећу у 7. веку нове ере. У Египту, Вавилону и античкој Грчкој нису познавали негативне бројеве. У Европи су негативни бројеви почели да се користе тек у 17. веку. 10
стр. 7
1
Скуп целих бројева Z. Супротни бројеви. Приказивање на бројевној правој
Супротни бројеви. Апсолутна вредност
Упоређивање целих бројева
Сабирање целих бројева
Одузимање целих бројева
Закони сабирања
Множење целих бројева
Дељење целих бројева
ГЛАВА 1
ЦЕЛИ БРОЈЕВИ
стр. 20
1. ЦЕЛИ БРОЈЕВИ
1.4. Сабирање целих бројева Пример 1 Претпоставимо да дугујемо 3 јабуке. a) Ако купимо пет јабука и вратимо дуг, остаће нам две јабуке. Ово одговара сабирању: (−3) + 5 = 2. б) Да смо купили само две јабуке и вратили део дуга, дуговали бисмо једну јабуку. Дакле: (−3) + 2 = −1. в) Да смо позајмили још 4 јабуке, дуг би нам се увећао на 7 јабука. Дакле: (−3) + (−4) = −7. Следећи ове примере у скупу Z уводимо сабирање правилима. Нека су m, n природни бројеви и m ≥ n, тада је: m + (−n) = m − n, (−n) + m = m − n, (−m) + (−n) = −(m + n), (−m) + n = −(m − n), n + (−m) = −(m − n). Размотримо поново пример 1. Ако бисмо своје стање дуга приказали тачком на координатној правој, првом сабирању одговарао би помак од тачке с координатом −3 пет јединичних дужи у позитивном смеру до тачке с координатом 2 (сл. 1.15).
Слика 1.15
У другом сабирању од тачке −3 померили бисмо се две јединичне x дужи у позитивном смеру до тачке с координатом −1 (сл. 1.16). У трећем сабирању од тачке −3 померили бисмо се четири јединичне x дужи у негативном смеру до тачке с координатом −7 (сл. 1.17). Дакле, сабирање целих бројева можемо пратити на бројевној правој. 20
стр. 21
1.4. Сабирање целих бројева
Слика 1.16
Слика 1.17
Збир целог броја a и позитивног целог броја b је број једнак координати тачке добијене померањем од тачке A(a) за b јединичних дужи у позитивном смеру. Збир целог броја a и негативног целог броја b је број једнак координати тачке добијене померањем од тачке A(a) за |b| јединичних дужи у негативном смеру. Збир целог броја a и нуле је број a.
Пример 2 Израчунај користећи бројевну праву: а) (−2) + 3; б) 3 + (−2); в) (−2) + (−3);
г) (−5) + 0.
Слика 1.18
а) На бројевној правој OI одредимо A(−2). Од тачке A померимо се три јединичне дужи у позитивном смеру. Долазимо до тачке I(+1). Дакле, (−2) + 3 = 1. б) Од тачке B(3) нанесемо дуж дужине 2 у негативном смеру и добијамо тачку I(1). Дакле, 3 + (−2) = 1. в) Од тачке A(−2) нанесемо дуж дужине 3 у негативном смеру и долазимо до тачке с координатом −5. Стога је (−2) + (−3) = −5. г) Остајемо у тачки чија је координата −5. Пишемо (−5) + 0 = −5.
Како је сваки цео број одређен својим знаком и апсолутном вредношћу, збир бисмо могли да израчунамо одређујући му знак и апсолутну вредност. До сада урађени примери потврђују да за сабирање целих бројева a и b важе следећа правила. 21
стр. 22
1. ЦЕЛИ БРОЈЕВИ
Знак збира је исти као знак сабирка који има већу апсолутну вредност. Ако су сабирци истог знака, апсолутна вредност збира је збир апсолутних вредности сабирака. Ако су сабирци различитих знакова, апсолутна вредност збира је разлика веће и мање апсолутне вредности сабирака.
Пример 3 Израчунај користећи наведена правила: а) (−7) + (−15); б) (−7) + 15; в) 5 + (−7). а) Сабирци су истог знака. Сабирак с већом апсолутном вредношћу је (−15), те је знак збира минус. Апсолутна вредност збира је |−7|+|−15| = 22. Зато је (−7)+(−15) = −22. б) Сабирци су различитих знакова. Знак збира је плус јер је |15| > | − 7|. Апсолутна вредност збира је |15| − | − 7| = 15 − 7 = 8. Зато је (−7) + 15 = +8. в) Знак збира је минус јер је | − 7| > |5|. Апсолутна вредност збира је | − 7| − |5|. Збир је једнак −2. Зато је 5 + (−7) = −2.
Пример 4 Ако је температура била −1 степен, па је порасла за 3 степена, нова вредност температуре је −1 + (+3) = 2 степена. Да се температура снизила за 2 степена, нова температура била би −1 + (−2) = −3 степена. Уопштено, ако је нека величина била описана целим бројем a, па се променила за цео број b, њена нова вредност биће a + b. Број b назива се промена величине a.
"
Питања Како се сабирају цели бројеви? Какав знак има збир два цела броја? Колику апсолутну вредност има збир два цела броја?
22
стр. 49
2
Tроугаo. Врсте троуглова према страницама
Углови троугла
Однос између страница и углова троугла. Неједнакост троугла
Конструкције неких углова
ГЛАВА 2
ТРОУГАО – ПРВИ ДЕО
стр. 50
2. ТРОУГАО – ПРВИ ДЕО
Занимљивости Геометрија је део математике у којем се изучавају геометријске фигуре и њихови односи. Сама реч „геометрија” је грчког порекла и у преводу значи „мерење земље”. Геометрија је стара колико и људска цивилизација. O томе сведоче остаци културе Маја, Вавилонаца, египатске пирамиде и др. Прва сачувана књига о геометрији има назив „Елементи”. Написао ју је антички математичар Еуклид на преласку из IV у III век пре н. е. У њој су сабрана и систематизована сва знања из геометрије до тога доба. Геометрија заснована на његовим поставкама назива се еуклидска геометрија.
Еуклид, око 320. г. пре н. е.
Ми се том геометријом и бавимо. Још од Еуклида потиче идеја да се геометрија изучава по неким правилима. Прво се уводе основни геометријски појмови (објекти), a преко њих сложенији. Затим се разматрају особине тих објеката и везе међу њима. То су некад врло јасне особине или везе, па их само исказујемо. На пример, за две различите тачке постоји права која их садржи. Међутим, није све увек очигледно. Постоје особине или односи међу геометријским објектима које детаљније разматрамо ослањајући се на већ познате чињенице и логичко расуђивање и на тај начин се уверавамо у њихову тачност. Тако доказујемо те особине и односе.
2.1. Tроугаo. Врсте троуглова према страницама У претходним разредима упознали смо неке геометријске фигуре, њихова својства и међусобне односе (сл. 2.1).
Слика 2.1
У овој теми детаљније ћемо упознати једну од најважнијих и најједноставнијих геометријских фигура – троугао. Упознавање својстава троугла први је корак у истраживању својстава сложенијих фигура, јер многе сложеније фигуре имају троуглове као саставне делове. Уочимо три тачке A, B и C које нису на једној правој. Оне одређују троугаону линију коју чине дужи AB, BC и CA. 50
стр. 51
2.1. Tроугаo. Врсте троуглова према страницама
Троугао ABC чине троугаона линија и унутрашња област одређена том линијом. Тачке A, B и C су његова темена, дужи AB = c, BC = a и CA = b су његове странице, a конвексни углови < ) BAC = α, <) ABC = β и <) ACB = γ су његови углови. На слици 2.2 изабрано је уобичајено обележавање троугла. Свако теме (и њему припадајући угао) троугла налази се наспрам њему одговарајуће странице. Странице и углови троугла називају се основни елементи троугла. Осим њих, постоје и други. Слика 2.2
Висина троугла је дуж чији су крајеви теме и подножје нормале из њега на наспрамну страницу. Троугао има три висине.
Слика 2.3
Дуж чији су крајеви теме и средиште наспрамне странице назива се тежишна дуж (медијана).
Збир дужина страница троугла називамо обим. Троугао може имати све странице различите дужине (сл. 2.4а). Троугао чије су две странице једнаке назива се једнакокраки троугао. Једнаке странице називају се краци, а трећа страница је основица једнакокраког троугла (сл. 2.4б). 51
стр. 52
2. ТРОУГАО – ПРВИ ДЕО
Слика 2.4
Троугао чије су све три странице једнаке назива се једнакостранични троугао (сл. 2.4в).
"
Питања Шта је троугао? Који су његови основни елементи? Шта су висине троугла? Шта су тежишне дужи троугла? Какви могу да буду троуглови према страницама?
Задаци за вежбу 1.
Обележи на уобичајен начин странице и темена троуглова приказаних на следећој слици.
Слика 2.5
52
стр. 58
2. ТРОУГАО – ПРВИ ДЕО
2.3. Однос између страница и углова троугла. Неједнакост троугла Код једнакокраког троугла нису само једнаки краци него и њима наспрамни углови. Уверавамо се да важи следеће тврђење. Наспрам једнаких страница троугла налазе се једнаки углови.
Слика 2.13
Нека су странице AB и AC троугла ABC једнаке и нека је s симетрала угла α (сл. 2.13). Симетријом у односу на праву s права AB прелази (пресликава се) у праву AC, и обратно. Због AB = AC, теме B прелази у C, теме C у B, a теме A у само себе. Стога троугао ABC прелази у троугао ACB, a угао β у угао γ. Отуда су ти углови једнаки и тврђење је доказано. Пример 1 Колики су углови једнакостраничног троугла? Сви углови једнакостраничног троугла су једнаки. Како је њихов збир 180◦ , сваки од њих је 60◦ .
Пример 2 Колики су углови на основици једнакокраког троугла ако је угао наспрам основице 118◦ ? (180◦ − 118◦ ) : 2 = 31◦ . Дакле, углови на основици овог троугла су по 31◦ .
58
стр. 59
2.3. Однос између страница и углова троугла. Неједнакост троугла
Какви су углови наспрам неједнаких страница троугла? O томе можемо рећи следеће. Наспрам веће странице троугла налази се већи угао. Нека је AC > AB. Тада између тачака A и C постоји тачка D таква да је AD = AB. У ∆BDA је <) ABD = <) ADB. Угао <) ADB је спољашњи угао троугла BCD, па је <) ADB већи од угла γ. Како је β > <) ABD, биће β > γ. Уочили смо да из односа страница троугла следе односи углова истог троугла. Сагледајмо и обрнуто, како из односа Слика 2.14 углова троугла следе односи страница. Претпоставимо да за троугао ABC важи да је β = γ. Наслућујемо да наспрамне странице b и c морају да буду једнаке. Размотримо зашто. Ако странице b и c не би биле једнаке, могло би да буде b > c или b < c. Научили смо да би из b > c следило β > γ, a из b < c би следило β < γ. Обе могућности се не слажу с претпоставком да је β = γ. Дакле, ако не може да буде b > c нити b < c мора важити b = c. Значи, тачно је следеће тврђење. Наспрам једнаких углова троугла налазе се једнаке странице. Докажимо да важи и следеће тврђење. Наспрам већег угла троугла налази се већа страница. Претпоставимо да за троугао ABC важи да је β > γ. Из претходних тврђења је јасно да не може да буде b < c или b = c, па мора да буде тачно да је b > c. Пример 3 Поређај по величини углове троугла ABC чије су странице a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm. Како је b < a < c, на основу претходних тврђења следи β < α < γ.
Пример 4 Поређај по величини странице троугла ABC ако је α = 40◦ и γ = 70◦ . Како је β = 180◦ − α − γ = 70◦ , онда је α < β, β = γ. На основу претходних тврђења је a < b, b = c.
59
стр. 71
3
Скуп рационалних бројева Q. Супротан број. Приказивање рaционалних бројева на бројевној правој. Апсолутна вредност
Проширивање и упоређивање рационалних бројева
Сабирање и одузимање рaционалних бројева
Множење и дељење рaционалних бројева
Изрази с рационалним бројевима
Линеарне једначине
Линеарне неједначине
ГЛАВА 3
РAЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ – ПРВИ ДЕО
стр. 72
3. РAЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ – ПРВИ ДЕО
3.1. Скуп рационалних бројева Q. Супротан број. Приказивање рaционалних бројева на бројевној правој. Апсолутна вредност До сада смо упознали скуп целих бројева Z. Целе бројеве можемо сабирати, одузимати и множити и као резултат добити цео број. То не важи увек и за дељење. Наш циљ је стога да проширимо скуп Z у скуп у ком ће и дељење (осим с нулом) бити увек изводљиво, задржавајући при томe важење раније утврђених закона за рачунске операције. Сличан поступак проширивања упознали смо у претходном разреду, када смо скуп m ненегативних целих бројева проширили у скуп разломака, тј. бројева облика (m ∈ N0 , n n ∈ N). Сваком разломку одговарала је тачно једна тачка бројевне праве добијена наношењем m пута n-тог дела јединичне дужи OI бројевне праве од тачке O(0) у смеру тачке I(1). Уколико наношење обавимо у негативном смеру, долазимо до тачке којој придружујемо број m m m m m m − супротан броју (сл. 3.1). Како је − − = број је супротан број бројu − . n n n n n n
Слика 3.1
m m Сви бројеви облика или − кад m узима вредности из скупа N0 , a n из скупа N, чине n n скуп Q рационалних бројева. Позитивни разломци другачије се називају позитивни рационални бројеви, а њихов скуп означава se са Q+ . Њима супротни рационални бројеви чине скуп негативних рационалних бројева, у ознаци Q− , a скуп рационалних бројева Q је унија скупова Q+ , Q− и нуле. Уколико се дељење природних бројева прошири на дељење целих бројева, добијају се правила: −m m m −m m = =− и = (m ∈ N0 , n ∈ N). n −n n −n n p Рационални број r ∈ Q је количник , q , 0 два цела броја p и q. q p Број p је бројилац, a q именилац рационалног броја . q
Супротан број рационалног броја r је −r. 72
стр. 73
3.1. Скуп рационалних бројева Q
Према уведеном правилу дељења два цела броја, сваки рационалан број се може написати тако да му именилац буде природан број (уз евентуално проширивање разломка с −1). На пример, 5 · (−1) 5 −5 = = . −2 (−2) · (−1) 2 По дефиницији је такође:
m m − − = . n n
Пример 1 Напиши рационалне бројеве 1 −7 . Одговор: ; 2 3
−1 2 и тако да им именилац буде природан број. −2 −3
Пример 2 Представи на бројевној правој рационалне бројеве: 2 −5 −4 2 0 , , , − , 3 3 −3 −3 −3 −5 5 −4 4 2 2 0 =− , =− , =− , = 0. 3 3 3 3 −3 3 −3 Да би се ови бројеви представили на бројевној правој, јединичну дуж OI треба најпре поделити на три једнака дела, затим трећину јединичне дужи нанети у одговарајућем смеру потребан број пута (сл. 3.2).
Слика 3.2
Пример 3 1 2 3 Напиши бројеве супротне бројевима: , − , . 3 3 −2 1 2 3 То су бројеви: − , , . 3 3 2
73
стр. 85
3.4. Множење и дељење рaционалних бројева
3.4. Множење и дељење рaционалних бројева Множење и дељење рационалних бројева у количничком запису дефинишемо на следећи начин.
Ако су и
a c и рационални бројеви, тада је: b d a c ac · = b d bd a c ad : = (под условом c , 0). b d bc
c d У ствари, ако уведемо реципрочан број рационалног броја различит од нуле као , d c дељење се своди на множење дељеника реципрочном вредношћу делиоца.
Пример 1 Израчунај
−1 4 · . 2 −5
По дефиницији, производ је једнак (−1) · 4 −4 2 = = . 2 · (−5) −10 5
Пример 2 1 2 . Израчунај − : 2 3 По дефиницији је
−
2 1 3 3 1 : = − · =− . 2 3 2 2 4
Понекад количник рационалних бројева пишемо у облику двојног разломка (количника). 85
стр. 86
3. РAЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ – ПРВИ ДЕО
a a c ad b c = b : d = bc . d Двојни разломак се израчунава тако што се производ „спољашњих бројева” (бројиоца дељеника и имениоца делиоца) подели производом „унутрашњих бројева” (имениоца дељеника и бројиоца делиоца).
Пример 3 Запиши двојни разломак:
−2 3 4 9
у облику разломка. Решење
−2 3 = (−2) · 9 = −1 · 3 = − 3 4 3·4 1·2 2 9
У примеру 1 оба чиниоца су била негативна, a производ је био позитиван. У примеру 2 дељеник и делилац су били различитих знакова, a количник је био негативан. Да ли то важи и у општем случају? Одговор је потврдан. Ако су два рационална броја истог знака, њихов је производ (и количник) позитиван. Ако су ти бројеви различитог знака, њихов је производ (и количник) негативан. Важи и обратно. Довољно је уверити се да је Заиста:
a c a c − · =− · . b d b d
a c −a c (−a)c ac a c − · = · = =− =− · . b d b d bd bd b d
Према овоме, до резултата множења (дељења) могли бисмо доћи и на други начин, одређујући знак резултата и множећи (делећи) апсолутне вредности датих бројева по правилу множења (дељења) разломака. 86
стр. 106
4
Основне конструкције троуглова
Подударност. Ставови подударности троуглова
Описана и уписана кружница троугла
ГЛАВА 4
ТРОУГАО – ДРУГИ ДЕО
стр. 107
4.1. Основне конструкције троуглова
4.1. Основне конструкције троуглова Цртање геометријске фигуре, за коју су задати неки елементи, коришћењем шестара и лењира, назива се конструкција. При конструкцијама је дозвољено: а) помоћу лењира конструисати праву која је одређена двема тачкама; б) помоћу шестара конструисати кружницу познатог центра и полупречника. Раније смо научили да конструишемо симетрале дужи и углова и неке углове. Конструисање геометријске фигуре уобичајено се изводи у неколико корака. Анализа је тражење пута како доћи до решења за „стварање“ тражене фигуре на основу датих података. Ради тога се скицира фигура и на њој уоче дати елементи. Затим се одреди редослед одређивања непознатих делова фигуре. Конструкција је етапа у којој се, на основу изведених закључака изводи цртање тражене фигуре помоћу лењира и шестара. Доказ је утврђивање да је решење (конструисана фигура) „жељена“ фигура и да има све задате елементе. Дискусија обухвата утврђивање постојања решења и броја решења у зависности од задатих елемената. Ова кораке нећемо формално наводити у примерима и задацима. Постоје конструктивни задаци за које је доказано да се не могу извести лењиром и шестаром коришћењем само наведених правила. Тако је, на пример, немогуће урадити трисекцију датог угла (деобу на три једнака угла), као и квадратуру круга (конструкцију квадрата чија је површина једнака површина датог круга). Конструкција троугла је основни случај задатка конструисања.
Занимљивости Фридрих Гаус је немачки математичар који је доказао да није могуће извести трисекцију угла помоћу лењира и шестара. Своја драгоцена открића забележио је у дневнику на 19 страна. Користио је тајне знакове и симболе, које је било тешко одгонетнути. На пример, један запис изгледа овако: EYPHKA! num = ∆ + ∆ + ∆. Прва реч подсећа на Архимедов усклик Eureka! Запис означава да је сваки природан број збир највише три троугаона броја. Фридрих Гаус (1777–1855)
107
стр. 133
5
Координатни систем
Приказ података у координатном систему и зависност величина
Размере и пропорције
Проценти
Директно пропорционалне величине
Обрнуто пропорционалне величине
ГЛАВА 5
РAЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ – ДРУГИ ДЕО
стр. 134
5. РAЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ – ДРУГИ ДЕО
5.1. Координатни систем До сада смо видели да свака права може постати бројевна права. Сваком рационалном броју доделили смо тачку бројевне праве. Тај рационални број је њена координата. Координата тачке у потпуности одређује њен положај на бројевној правој. Природно се поставља питање да ли се на сличан начин може одредити положај неке тачке у равни.
Пример 1 Место у позоришту описано је с два броја. Први број означава ред у ком се оно налази, а други број је број седишта у том реду.
Слика 5.1
Поставимо у равни две нормалне бројевне осе тако да је пресечна тачка координатни почетак сваке од њих. Означимо је с O. Нека су јединичне дужи OI и OJ једнаке. Нека је M (читај M прим) тачка на x-оси чија је координата x, a M ′′ (читај M секундум) тачка на y-оси чија је координата y. Нормале у тим тачкама на x-осу, односно y-осу секу се у тачки M. Уређени пар (x, y) чини координате тачке M (x је апсциса, а y ордината). ′
Слика 5.2
Правоугли координатни систем чине две координатне осе које се секу под правим углом. Њихова пресечна тачка O je координатни почетак, a обе осе имају једнаке јединичне дужи. Једна координатна оса зове се x-оса (апсцисна оса), а друга y-оса (ординатна оса). Раван у којој се налази координатни систем зове се координатна раван xOy. 134
стр. 135
5.1. Координатни систем
Занимљивости Начин одређивања положаја тачака у равни потиче од француског математичара и филозофа Ренеа Декарта, па се добијени правоугли координатни систем често назива и Декартов координатни систем. ДЕКАРТ (1596–1650) је био француски филозоф и математичар. Познат је по изреци „Мислим, дакле постојим”. Његово главно дело је „Расправа о методи”, у ком се залаже за: 1. прихватање само оног што је јасно човековом уму и искључује сваку сумњу; 2. разбијање проблема на мање; 3. проверавање сазнаног кад год је то могуће; 4. закључивање од простијег ка сложенијем.
Декарт
Ако тачка M има координате x и y, писаћемо: M(x, y).
Пример 2 Представи тачке A(1, 2), B(1, −3) у координатној равни Oxy. Одредимо прво тачку C(1, 0) на x-оси с координатом једнаком 1. На нормали из C на апсцисној оси, као да је y-оса с почетком C, одредимо тачку чија је y-координата једнака 2. Биће то тачка A. На истој нормали налази се и тачка B, само с координатом −3 (сл. 5.3).
Слика 5.3
Координатним осама раван је разложена на четири права угла који се називају квадранти.
Слика 5.4
Координате се користе за оријентацију и у свакодневном животу. У плановима се често површ разложи на квадрате описане уређеним паром слова или бројева. 135
стр. 165
6
Четвороугао. Углови четвороугла. Збир углова четвороугла
Паралелограм и његове особине
Ромб. Правоугаоник. Квадрат
Конструкција паралелограма
Вектори. Сабирање и одузимање вектора. Множење вектора бројем
Трапез. Особине трапеза. Средња линија троугла и трапеза
Конструкција трапеза
Делтоид
ГЛАВА 6
ЧЕТВОРОУГАО
стр. 166
6. ЧЕТВОРОУГАО
6.1. Четвороугао. Углови четвороугла. Збир углова четвороугла Део равни ограничен простом затвореном многоугаоном линијом од четири дужи назива се четвороугао. На сликама 6.1 и 6.3 приказана су два четвороугла означена са ABCD. Тачке A, B, C и D су темена четвороугла ABCD. Дужи AB, BC, CD и DA су странице четвороугла. Странице четвороугла које имају заједничко теме су суседне, a које немају заједничких тачака су наспрамне. На пример, странице AD и AB су суседне, a AD и BC су наспрамне.
Слика 6.1
Слика 6.2
Слика 6.3
Углови < ) BAD, < ) ABC, < ) BCD и <) CDA, који имају заједничке тачке с унутрашњом области четвороугла углови су четвороугла. Углови четвороугла су суседни или наспрамни према томе да ли су им темена суседна или несуседна темена четвороугла. Дужи AC и BD, чије су крајње тачке несуседна темена, јесу дијагонале четвороугла ABCD (сл. 6.3). Четвороугао је конвексан (испупчен) ако за било које две његове тачке дуж коју оне одређују припада четвороуглу. У супротном, четвороугао је неконвексан (удубљен). На пример, четвороугао ABCD приказан на слици 6.1 је конвексан, a на слици 6.2 неконвексан.
Збир углова четвороугла Приметимо да се четвороугао једном од својих дијагонала разлаже на два троугла, којима је та дијагонала заједничка страница (сл. 6.4). 166
стр. 167
6.1. Четвороугао. Углови четвороугла. Збир углова четвороугла
Слика 6.4
Како је збир углова сваког троугла 180◦ , збир углова четвороугла је 2 · 180◦ = 360◦ . Дакле, важи: Збир углова четвороугла је 360◦ .
Пример 1 Три угла четвороугла имају редом 80◦ , 65◦ , 85◦ . Колики је четврти угао? Да ли је тај четвороугао конвексан? Четврти угао износи: 360◦ − (80◦ + 65◦ + 85◦ ) = 130◦ . Како су сви углови четвороугла мањи од 180◦ , четвороугао је конвексан.
"
Питања Шта је четвороугао? Колики је збир углова четвороугла?
Задаци за вежбу 1.
Нацртај један четвороугао, обележи његова темена и наведи парове његових наспрамних страница.
2.
Да ли свака затворена полигонална линија састављена од четири дужи одређује четвороугао?
3.
Нека је ABCD четвороугао. Увери се цртањем да га полуправе с почетном тачком M ван тог четвороугла, које не садрже ниједно његово теме, секу у парном бро-
167
стр. 197
7
Површина. Површина правоугаоника и паралелограма
Површина троугла
Површина трапеза
Површина четвороугла
ГЛАВА 7
ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛА И ТРОУГЛА
стр. 198
7. ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛА И ТРОУГЛА
7.1. Површина. Површина правоугаоника и паралелограма Површина фигуре је ненегативан број придружен фигури, тако да: – две подударне фигуре имају једнаке површине; – ако се фигура растави на две (или више) фигуре, њена површина је једнака збиру површина делова; – површина квадрата чија страница има јединичну дужину јесте 1. Ако неку фигуру раставимо на делове и од њих саставимо другу фигуру, кажемо да је прва фигура прекројена у другу. Сагласно наведеним начелима, јасно је да су те две фигуре једнаке по површини, иако се по облику могу потпуно разликовати. Површина правоугаоника једнака је производу дужина његових суседних страница. Пример 1 Колика је површина правоугаоника чије суседне странице имају дужине 1,5 m и 20 cm? Како су дужине страница изражене различитим мерним јединицама, изразимо их најпре у истим мерним јединицама, на пример у cm. a = 1, 5 m = 150 cm; b = 20 cm. Површина је једнака P = a · b = (150 · 20) cm2 = 3 000 cm2 = 30 dm2 . Сваки паралелограм се може једноставно прекројити у правоугаоник. Резом по висини која цела припада паралелограму (образложите да таква увек постоји) он се разлаже на троугао и трапез од којих се лако саставља правоугаоник (сл. 7.1). Због тога важи следеће тврђење: Површина паралелограма једнака је производу дужина његове странице и одговарајуће висине, односно: P = a · ha = b · hb .
Слика 7.1
198
стр. 199
7.2. Површина троугла
Пример 2 Колика је површина паралелограма чије суседне странице a = 4 cm и b = 3 cm образују угао од 30◦ ? Најпре ћеш нацртати висину која садржи теме D паралелограма и одговара страници a. Добијаш правоугли троугао с оштрим углом од 30◦ и хипотенузом b. Тај троугао је половина једнакостраничног троугла ADE странице b. Стога је висина ha једнака половини странице b, па је површина паралелограма: P = a · ha = 6 cm.
Слика 7.2
Пример 3 Ако је за паралелограм познато a, b и ha , колико је hb ? Површина паралелограма је P = a · ha = b · hb . Из последње везе је hb =
a · ha . b
7.2. Површина троугла Троугао (сл. 7.3) се може допунити њему подударним троуглом до паралелограма.
Слика 7.3
Стога је површина троугла једнака половини површине добијеног паралелограма, па важи следеће тврђење. Површина троугла једнака је половини производа дужине једне његове странице и дужине висине која јој одговара. 199
ЂОРЂЕ ДУГОШИЈА МИЛОЉУБ АЛБИЈАНИЋ МАРКО ШЕГРТ
МАТЕМАТИКА
6
УЏБЕНИК СА ЗБИРКОМ ЗАДАТАКА ЗА ШЕСТИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОЛЕ
Рене Декарт (1596–1650)
Готфрид Вилхелм Лајбниц (1646–1716)
Анри Поенкаре (1854–1912)
Михаило Петровић Алас (1868–1943)