Математика за 5. разред основне школе - 15216

Садржај

1.1. Природни бројеви ...............................................................................................................................9

1.2. Дељење у скупу N0 ( једнакост а = bq + r, 0 G r 1 b) ...........................................13

1.3. Појам дељивости; чиниоци и садржаоци природног броја .........................................15

1.4. Основна својства дељивости...................................................................................................17

1.5. Даља својства дељивости .......................................................................................................19

1.6. Дељивост декадним јединицама и бројевима 2, 5, 4, 25.........................................23

1.7. Дељивост са 3 и 9 ......................................................................................................................27

1.8. Скуп – елементи скупа .............................................................................................................29

19. Операције са скуповима, пресек, унија и разлика .........................................................34

1.10. Изрази с променљивом ...............................................................................................................41

2.1. Тачке и праве; односи припадања и распореда; полуправа, дуж.............................44

2.2. Раван ....................................................................................................................................................49

2.3. Мерење дужи ..................................................................................................................................52

2.4. Кружница и круг ............................................................................................................................60

2.5. Централна симетрија ................................................................................................................67

2.6. Дефиниција и основна својства вектора ..........................................................................69

2.7. Транслација .......................................................................................................................................72

3.1. Појам угла .........................................................................................................................................73

3.2. Централни угао. Преношење углова. Упоређивање углова ........................................76

3.3. Врсте углова ....................................................................................................................................79

3.4. Сабирање и одузимање углова Комплементни и суплементни углови ............82

3.5. Мерење углова .................................................................................................................................84

3.6. Паралелне праве и њихова трансверзала и углови које оне одрeђују..................87

3.7. Транслација и углови. Углови са паралелним крацима ................................................90

1 2 3 4

4.1. Прости и сложени бројеви ........................................................................................................92

4.2. Делиоци природних бројева .......................................................................................................94

4.3. Заједнички делилац и највећи заједнички делилац ..........................................................98

4.4. Заједнички садржaлац и најмањи заједнички садржaлац .........................................103

5.1. Појам разломка облика b a (a ! N0, b ! N) ..................................................................107

5.2. Проширивање и скраћивање разломака ..........................................................................112

5.3. Упоређивање разломака ..........................................................................................................117

5.4. Сабирање разломака у запису b a (a ! N0, b ! N) ....................................................120

5.5. Својства сабирања разломака .............................................................................................124

5.6. Одузимање разломака .............................................................................................................126

5.7. Множење разломака у запису b a (a ! N0, b ! N) ....................................................128

5.8. Веза сабирања и множења разломака у запису b a (a ! N0, b ! N) ................133

5.9. Дељење разломака у запису b a (a ! N0, b ! N) .......................................................135

5.10. Децимални запис разломка ...................................................................................................137

5.11. Превођење децималног записа разломка у облик n m и

обрнуто

........................140

5.12. Процентни запис разломка ...................................................................................................146

5.13. Сабирање и одузимање разломака у децималном запису ......................................148

5.14. Множење и дељење разломака у децималном запису .............................................150

5.15. Својства операција сабирања, одузимања, множења и дељења ........................151

5.16. Упоређивање разломака у децималном запису ............................................................152

5.17. Бројевни изрази ............................................................................................................................154

5.18. Придруживање тачака бројевне

полуправе

разломцима ........................................158

5.19. Једначине и неједначине............................................................................................................162

5.20. Заокругљивање бројева ............................................................................................................

5.21. Аритметичка средина ............................................................................................................168

5.22. Размера и њене примене ........................................................................................................170

5.23. Мешовити бројеви

5.24. Обрада података (примена разломака

6.1. Осна симетрија у равни

6.2. Цртање осносиметричних фигура

6.3. Осна симетричност фигуре

6.4. Симетрала дужи

6.5. Примене симетрале дужи

6.6. Симетрала угла

1.1. Природни бројеви

У четвртом разреду смо упознали скуп природних бројева N = {1, 2, 3, ...} и скуп природних бројева који је допуњен бројем 0, тако да је N0 = {0, 1, 2, 3, ...}.

Бројевима скупа N0 придруживали смо тачке једне полуправе.

Почетној тачки O полуправе Op придружимо број 0. Ако тачки E која је различита

од O придружимо број 1, онда је тачки F таквој да је | OF | = 2 · | OE | = 2, придружен

број 2, тачки G таквој да је | OG | = 3 · | OE | придружен број 3 итд. (слика 1).

слика 1

Уопштено, тачки A таквој да је | OA | = a · | OE |

придружен је природан број a.

На слици се може уочити да ако је тачка M „лево“ од тачке N, онда је m < n, а ако је тачка N „десно“ од тачке M, онда је n > m.

Најмањи елеменат скупа N je 1, а најмањи елеменат скупа N0 je 0.

То значи да за сваки елеменат n скупа N важи n H 1.

Слично, за сваки елеменат n ск у

n H 0 (слика 2).

Број 0 има само једног суседа, то је број 1.

Сви остали елементи скупа N0 имају по два суседа.

Суседи броја 1 с у бројеви 0 и 2. Број 0 је претходник броја 1 (јер броју 1 претходи број 0), а број 2 је следбеник броја 1 (јер иза 1 следи 2) (слика 2). к

Уопштено ако је n ! 0, онда je n – 1 претходник природног броја n, a n + 1 следбеник броја n, тј. претходник броја n је број за један мањи од n, а следбеник броја n је за један већи од n.

У скупу N0 уведене су операције сабирања, одузимања, множења и дељења.

Подсетимо се да смо у млађим разредима видели да за сабирање у скупу N0 важе својства:

1. Ако су m и n из скупа N0, онда је и m + n из скупа N0.

2. Збир два броја се не мења ако сабирци замене своја места, тј. за свака два

броја m и n из скупа N0 je m + n = n + m. Ова особина операције сабирања

назива се комутативност. Кажемо да је операција сабирања у скупу N0 комутативна.

3. Збир бројева се не мења, ако се сабирци здруже, тј. за свака три броја m, n и p из скупа N0 важи једнакост (m + n) + p = m + (n + p). Ова особина операције сабирања се назива асоцијативност. Кажемо да је операција сабирања у скупу N0 асоцијативна.

4. Збир броја m са 0 je m, тј. за сваки број m из скупа N0 важи једнакост m + 0 = m.

Израчунај што лакше можеш вредност израза (76 + 59 ( ) + 24.

Применом комутативности добијамо (76 + 59) + 24 = (59 + 76) + 24, а применом асоцијативности се добија (59 + 76) + 24 = 59 + (76 + 24) = 59 + 100 = 159

У скупу N0 се преко операције сабирања уводи операција одузимања. Наиме разлика природних бројева m и n, тј. број m – n се дефинише као број који има особину да је његов збир са бројем n једнак броју m. Дакле m – n је број, такав да је (m – n) + n = m.

У изразу m – n, број m je умањеник, a n je умањилац.

Операција одузимања у скупу N0 је могућа само ако је умањеник већи од умањиоца или њему једнак.

17 – 8 = 9, јер је 9 + 8 = 17; 132 – 73 = 59, јер је 73 + 59 = 132.

2. Производ два броја се не мења ако чиниоци замене своја места, тј. за свака

два броја m и n из скупа N0 je m · n = n · m. Ова особина операције множења

се назива комутативност. Кажемо да је операција множења у скупу N0

кому тативна.

3. Производ три броја се не мења, ако се чиниоци здруже, тј. за свака три броја m, n и p из скупа N0 важи једнакост (m · n) · p = m · (n · p). Ова особина операције множења се назива асоцијативност. Кажемо да је операција множења у скупу N0 асоцијативна.

4. Производ броја m са 1 je m, тј. за сваки број m из скупа N0 важи једнакост m · 1 = m.

5. Производ броја m са 0 je 0, тј. за сваки број m из скупа N0 важи једнакост m · 0 = 0.

6. Операције сабирања и множења у N0 повезане су својством расподељива-

ња, што значи да се збир бројева (m + n) множи бројем p тако што се сваки

сабирак помножи бројем p и добијено сабере, тј. за свака три броја, m, n и p

из скупа N0 важи једнакост (m + n)· p = m · p + n · p. Ова особина операција

сабирања и множења се назива дистрибутивност. Кажемо да је операција

множења у скупу N0 дистрибутивна у односу на сабирање.

Израчунај што лакше вредност израза (25 · 18 ( ) · 4.

Применом ком у тативности множења добијамо (25 · 18) · 4 = (18 · 25) · 4, а применом

асоцијативности множења се добија (18 · 25) · 4 = 18 · (25 · 4) = 18 · 100 = 1800.

Израчунај што лакше вредност израза 12 · 27 + 27 · 8.

Применом ком у тативности множења добијамо 12 · 27 + 27 · 8 = 12 · 27 + 8 · 27, а применом дистрибу тивности је 12 · 27 + 8 · 27 = (12 + 8) · 27 = 20 · 27 = 540.

У скупу N0 се преко операције множења уводи операција дељења. Наиме

количник бројева m и n, где je m из скупа N0, a n из скупа N, tj. број m : n се дефинише као број који има особину да је његов производ са n једнак броју m. Дакле m : n је број, такав да је (m : n) · n = m. 48 : 3 = 16, јер је 48 = 3 · 16; 0 : 7 = 0, јер је 0 · 7 = 0; 154 : 11 = 14, јер је 11 · 14 = 154.

Број m : n назива се количник, број m је дељеник, а n је делилац.

Задаци

1. Број 7 · 104 + 2 · 103 + 5 · 102 + 3 · 10 + 4 запиши у декадном запису.

2. Зашто је 26 2 19 и 52 1 94?

3. Одреди претходника и следбеника броја 2011.

4. Одреди све бројеве који су већи од следбеника броја 78 и који су мањи од претходника броја 87.

5. Дат је природан број m + 24. Одреди претходника и следбеника датог броја.

6. Збир претходника и следбеника природног броја n је 1234. Одреди n.

7. Да ли су тачна тврђења:

а) Претходник и следбеник природног броја n су бројеви исте парности.

б) Разлика следбеника и претходника природног броја n је једнака 2.

8. Дати су бројеви 72 и 36. Израчунај:

а) њихов збир, разлику, производ и количник;

б) производ њиховог збира и разлике;

в) количник њиховог збира и разлике;

г) збир и разлику њиховог производа и количника.

9. Применом особина комутативности, асоцијативности и дистрибутивности израчунај вредност израза:

а) (66 + 739) + 34; б) (20 · 37) · 5;

в) 135 · 9 – 9 · 35; г) 77 : 6 + 43 : 6.

Дељивост природних бројева представља значајну и занимљиву тему у оквиру изградње скупа природних бројева. Она представља полазни корак у изградњи

Теорије бројева, математичке дисциплине која је присутна кроз векове и чији се

проблеми и резултати срећу у математици древних цивилизација Кине, Египта, Вавилона, старе Грчке, али и у савременој математици. Нека од важних тврђења и поступака те теорије, које ћемо сретати током даљег бављења математиком, носе имена познатих математичара старог века (Ератостеново сито, Питагорини бројеви, Еуклидов алгоритам, Диофантове једначине...).

У другом разреду смо се срели с поступком дељења бројева у оквирима блока бројева до 100 и везом између операција множења и дељења. Формирали смо тада и таблицу множења и научили како да помоћу ње делимо у њој садржане бројеве бројевима од 1 до 10. У трећем разреду смо стечена знања мало проширили

„освојили“ блок бројева до 1 000. Научили смо да делимо бројеве из тог блока, у случајевима када је то било изводљиво, али смо се срели и са случајевима када то није било изводљиво. Подсетимо се тих поступака кроз следећи пример.

Подели: а) број 312 бројем 8; б) број 869 бројем 17.

а) Познатим пост упком (писменог) дељења уверићемо се да је

312 : 8 = 39,

што значи да је број 312 дељив са 8 и количник је 39. Користећи везу операција множења и дељења, можемо, равноправно, писати (без даљег рачунања) и следеће

тачне једнакости:

312 = 8 · 39; 312 = 39 · 8; 312 : 39 = 8.

Последња од написаних једнакости показује да је број 312 дељив са 39 и да је количник 8. к

б) Помену тим пост упком (писменог) дељења уверићемо се да дељењем броја 869 са

17 добијамо количник 51 и остатак је 2. Будући да остатак није једнак 0, то значи да број 869 није дељив са 17 и да можемо писати тачну једнакост: 869 = 17 · 51 + 2.

То је исправно записана једнакост којом се изражава дељење с остатком броја 869 са 17; уочавамо да за остатак (број 2) важи: 0

Дељење у скупу N 0 ( једнакост а = bq + r, 0 G r 1 b)

Подели: а) број 20 878 бројем 73; б) број 41 984 бројем 157.

а) Као у претходном примеру, поступком (писменог) дељења налазимо да је:

20 878 : 73 = 286.

Због тога је број 20 878 дељив са 73 и количник је 286. Онда, користећи везу између

операција множења и дељења, можемо (без даљег рачунања) писати тачне једнакос ти:

20 878 = 73 · 286; 20 878 = 286 · 73; 20 878 : 286 = 73

Последња једнакост показује да је број 20 878 дељив са 286 и количник је 73.

Како наћи све бројеве из N0 којима је дељив број 20 878? На такво питање наћи ћемо одговор у следећим лекцијама.

б) Пост упком (писменог) дељења уверићемо се да дељењем броја 41 984 са 157 добијамо количник 267 и остатак је 65. Будући да остатак није једнак нули, број 41 984

није дељив са 157 и можемо писати тачну једнакост: 41 984 = 157 · 267 + 65

којом се изражава дељење с остатком броја 41 984 са 157; уочавамо да за остатак (број 65) важи: 0 G 65 1157.

Наслућујемо да сваки број а ! N0 можемо поделити природним бројем b при чем у добијамо јединствени количник q ! N0 и ос татак r ! {0,1,2 ,..., b –1} тако да је

a = bq + r. Ако је остатак r деобе једнак нули, а је дељив са b

Задаци

1. Којим од бројева прве десетице је дељив број 153?

2. Увери се да је број 518 дељив са 14 и није дељив са 18.

3. Одреди количник и остатак при дељењу броја 328 са 3, 4, 5, 6. Којим од наведена четири броја је дељив број 328?

4. Одреди све природне бројеве којима је дељив број

5. Који од бројева 456, 567, 678, 789 су дељиви са 7?

6. Увери се да су сви парни природни бројеви дељиви са 2 и да ниједан непаран природан број није дељив са 2.

7. Може ли остатак при дељењу природног броја са 11 бити једнак 12?

1.3. Појам дељивости ; чиниоци и садржаоци природног броја

Видели смо да у вези с дељењем (и дељивошћу) можемо поставити и нека питања на која још нисмо одговорили. Покушаћемо да учинимо који корак даље.

У млађим разредима упознали смо операцију дељења у скупу природних бројева и везу између операција множења и дељења.

Природан број a дељив је природним бројем b ако постоји природан број k, такав да је a = b · k.

Сваки природан број b којим је дељив природан број a је делилац броја a. Ако је а дељив са b, кажемо да је a садржалац броја b.

Ако је a садржалац броја b, онда је a H b.

Број 48 можемо поделити бројем 3. Због 48 = 3 · 16 имамо да је 48 : 3 = 16.

Кажемо да је број 48 дељив бројем 3 а количник је 16.

Број 48 је дељив и бројем 16. Заиста 48 = 16 · 3, 48 : 16 = 3.

Бројеви 3 и 16 с у чиниоци или делиоци броја 48.

Јес у ли то једини делиоци броја 48? Због: 48 = 1 · 48 = 2 · 24 = 4 · 12 = 6 · 8

закљу чујемо да с у и бројеви 1, 2, 4, 6, 8, 12, 24, 48

делиоци броја 48.

Дакле, нашли смо чак 10 различитих делилаца броја 48. Јесу ли то сви његови делиоци? Како наћи делиоце неког природног броја? Колико таквих делилаца има и како их све наћи? Слажемо се да су то питања која нас занимају. На та и нека друга питања у вези са дељивошћу природних бројева потражићемо одговоре у неколико наредних лекција.

Видели смо да је 48 = 3 · 16, па, дакле, број 48 садржи као своје чиниоце (или делиоце) бројеве 3 и 16. Рећи ћемо да је 48 садржалац бројева 3 и 16 (својих чинилаца или делилаца). Утврдили смо да су и бројеви 1, 2, 4, 6, 8, 12, 24, 48 чиниоци (делиоци) броја 48. Због тога је 48 садржалац и тих бројева.

На исти начин, будући да је 143 = 11 · 13 (видели смо то у Примеру 2), бројеви 1, 11, 13, 143 су чиниоци (делиоци) броја 143, а број 143 је садржалац бројева 1, 11, 13, 143.

Уочавамо да је број 1 чинилац (делилац) сваког природног броја и да је сваки природан број садржалац броја 1. Исто тако, ако је n било који природан број, n је чинилац (делилац) себе самог и садржалац себе самог. Заиста, за сваки природан

број n важи:

n = 1 · n,

одакле се „читају“ наведене чињенице.

Број 42 је дељив бројем 7 (42 = 7 · 6; 42 : 7 = 6). Број 14 је исто дељив бројем 7 (14 = 7 · 2; 14 : 7 = 2).

Збир 42 + 14 = 56 дељив је са 7 (56 : 7 = 8).

И разлика 42 – 14 = 28 дељива је са 7 (28 : 7 = 4).

Важи ли у општем случају: Ако су природни бројеви a и b, a H b, дељиви природним бројем k, тада су и њихов збир a + b и разлика a – b дељиви бројем k?

Одговор је потврдан. Обрнуто у општем случају не важи.

Број 14 можемо представити у облик у збира бројева 9 и 5 (9 + 5 = 14). Ни број 9 ни

број 5 нису дељиви са 7 (у то се уверавамо непосредно, будући да знамо таблицу множења), а њихов збир јесте.

Нађи све делиоце броја 12.

Делиоци броја 12 с у:

Да с у то сви делиоци броја 12 уверавамо се непосредно, буд ући да бројеви 5, 7, 8, 9, 10 и 11 нис у делиоци броја 12, а бројеви већи од 12 не могу бити његови делиоци.

Да ли је број 111 111 дељив бројем 3? Да ли је број 7 654 дељив са 3?

Дељењем се уверавамо да је: 111 111 : 3 = 37 037, па први број јесте дељив са 3. С друге стране, покушај да други број поделимо са 3

увериће нас да то није тачно. У ствари је: 7 654 = 3 · 2 551 + 1

Наведени примери нам показују да може бити корисно познавање неких чињеница у вези са дељивошћу. Жеља нам је да научимо како, бар у неким случајевима, можемо без непосредног дељења или покушаја да извршимо дељење

закључити да ли је природан броj a дељив природним бројем b.

Задаци

1. Нађи бар три делиоца броја 132.

2. Нађи све делиоце броја 14.

3. Нађи све делиоце броја 30.

4. Који број има више делилаца 6 или 9?

5. Одреди све двоцифрене садржаоце броја 7.

6. Колико троцифрених садржалаца има број 120?

1.4. Основна

својства дељивости

Кроз већ урађене примере наслутили смо нека од основних својстава дељивости. Поткрепимо их са још неколико рјррпримера.

Увери се да је сваки природан број дељив самим собом.

Бројеви 42 и 27 с у природни бројеви

природни бројеви дељиви

Из чињенице да је збир два природна броја дељив са 3 не следи да су оба та броја

дељива са 3. Тако је, на пример, збир бројева 22 и 38, број 60, дељив са 3, а ниједан од

њих није дељив са 3. На исти начин, разлика бројева 143 и 59, број 84 дељив је са 7, а

ниједан од њих није дељив са 7. Најзад, збир и разлика бројева 45 и 21, бројеви 66 и 24 дељиви с у са 6, а ни број 45 ни број 21 нис у дељиви са 6.

Познатим

поступком

дељења уверавамо се да је број 192 дељив са 12, 192 : 12 = 16.

Због 12 = 3 · 4 можемо писати 192 = 12 · 16 = (3 · 4) · 16 = 3 · (4 · 16) = 4 · (3 · 16), што

показује да је број 192 дељив са 3 и дељив са 4. Исто тако уверавамо се да је број 903

дељив са 21, 903 : 21 = 43. Имајући у виду да је 21 = 3 · 7, можемо писати: 903 = 21 · 43 = (3 · 7) · 43 = 3 · (7 · 43) = 7 · (3 · 43),

што нам показује да је број 903 дељив са 3 и дељив са 7.

Из претходног не можемо закључити да је број који је дељив са p и дељив са q, насигу рно дељив са p · q. На пример, број 120 је дељив са 3 и дељив са 12, али није дељив

са 36 (36 = 3 · 12).

Фћ

Формулисаћемо до сада упозната, основна својства дељивости природних бројева.

I. Сваки природан број је дељив самим собом.

II. Ако су природни бројеви a и b (a > b) дељиви природним бројем c, онда су и бројеви a + b и a – b дељиви са c.

III. Ако је природан број a дељив са p · q, онда је a дељив са p и дељив са q.

Задаци

1. Увери се да су бројеви 348 и 252 дељиви са 3 јер се могу представити као збир и разлика два броја дељива са 3.

2. Одреди три пара природних бројева a и b који нису дељиви са 5 а њихов је збир дељив са 5.

3. Увери се да је збир свака три узастопна природна броја дељив са 3.

5. Ако је збир два природна броја дељив

Операције са скуповима , пресек , унија и разлика

Помоћу

ПРЕСЕК ДВА СКУПА

На слици 7 су Веновим дијаграмима приказани скупови

A = {a, b, c, d, e} и B = {d, e, f, g}.

Уочавамо да елементи a, b и c припадају само скупу A, да елементи f и g припадају само скупу B и да елементи d и e припадају

ск упу A и ск упу B, заједнички с у елементи та два ск упа. Ск уп {d, e} називамо пресек скупова A и B. На слици фигура ограничена „масном “ линијом представља Венов дијаграм пресека ску-

пова A и B. Пресек ск упова A и B означавамо са A + B. У нашем

примеру је A + B = {d, e}.

слика 7

AB

a c e b d f g

Пресек скупова A и B, у ознаци A + B, је скуп свих елемената који припадају

скупу A и скупу B.

На Веновом дијаграму елементи пресека налазе се у осенченом делу (слика 8а).

Пресек скупова A и B може бити и празан скуп. Тада за скупове A и B кажемо да су дисјунктни (слика 8б).

AB a)b) слика 8

A ∩ B

Нађимо пресек скупова A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}.

Тражимо заједничке елементе скупова A и B. Уочавамо да су то бројеви 6, 12 и 18. Дакле, A + B = {6, 12, 18}. Приметимо да је А скуп бројева мањих од 20 или једнаких 20 и дељивих са 2, а B скуп бројева мањих од 20 или једнаких 20 и дељивих са 3. Скуп A + B је скуп бројева мањих или једнаких 20, дељивих са 2 и дељивих са 3. То су бројеви дељиви са 6.

два дата скупа можемо формирати неке нове скупове.

Да би се положио пријемни испит, морају се положити испити из српског језика и из

математике.

Другари из улице Аца, Бане, Влада, Груја, Драган и Ђорђе полагали су пријемни. Испит

из српског положили су Бане, Влада, Груја и Ђорђе, а испит из математике Аца, Бане, Груја, Драган и Ђорђе. Ко је од њих положио пријемни испит?

Означимо са S скуп другара из улице који су положили српски језик а са M скуп оних који су положили математику. Заменимо ли имена поче тним словима, имамо

S = {B, V, G, Ð}, M = {A, B, G, D, Ð}. Пресек је скуп оних другара који су положили и

српски језик и математику. То је скуп: S + M = {B, G, Ð}.

Пријемни испит положили су Бане, Груја и Ђорђе.

На слици 9 с у Веновим дијаграмима приказани ск упови A и B. Са слике „читамо“ да

је A = {1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11}, B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Уочавамо да елементи (бројеви)

1, 2, 3, 4 и 5 припадају само ск упу A, да елементи (бројеви) 6, 7, 8 и 12 припадају само

ск упу B, да елементи (бројеви) 9, 10 и 11 припадају ск упу A и ск упу B. Бар једном од

ова два ск упа припадају елементи (бројеви) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12. Ск уп формиран од елемената који припа-

дају бар једном од ск упова A или B је унија ск упова A и B. Означавамо га са A , B и „подебљали“ смо његову границ у на слици. Дакле, у примеру :

A , B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

A , B

Нађимо у нију ск упова A = {a, c, d, e, g}, B = {c, e, h, k}

Тражимо елементе који припадају бар једном од ова два скупа. Пишемо, редом, све

елементе који припадају скупу A, а затим елементе скупа B који не припадају скупу A.

На лазимо A , B = {a, c, d, e, g, h, k}

Унија скупова A и B, у ознаци A,B, је скуп свих елемената који припадају бар једном од тих скупова.

УНИЈА ДВА СКУПА

Припадати бар једном од скупова A и B значи припадати скупу A или скупу B.

Елементи који припадају скупу A и скупу B припадају бар једном од њих. Зато

је пресек скупова A и B, A + B, подскуп скупа A , B.

Другари из дворишта баве се многим спортовима. Ипак, најомиљенији с у фудбал и

одбојка. Само фудбал играју четворица другара, само одбојку тројица, док петорица

играју и фудбал и одбојку. Колико њих се бави бар једним од ова два спорта?

Послужићемо се Веновим дијаграмом (слика 11). Ако је F скуп

оних дечака који играју фудбал, а O скуп дечака који играју

одбојку, F , O je скуп дечака који играју бар један од ова два

спорта. Број елемената тог скупа је 4 + 5 + 3 = 12.

слика 11

РАЗЛИКА ДВА СКУПА

слика 12

Означимо са A скуп свих ученика нашег одељења а са B скуп свих ученика петог разреда наше школе који су у четвртом разреду имали оцену 5 из математике. Посматрајмо сада скуп ученика нашег одељења који у четвртом разреду нису имали оцену 5 из математике. Тај је скуп формиран од елемената скупа A, који нису елементи скупа B. На слици 12 обојили смо нови скуп. Зовемо га разлика скупа A и скупа B (пазимо на редослед) и означавамо са A \ B.

слика 13

A\B

Разлика скупова А и B у ознаци A\B је скуп свих елемената који припадају скупу А и не припадају скупу B.

слика 14

Веновим дијаграмима дати су скупови A и B (сл. 14). Запиши

ск упове A \ B и B \ A навођењем свих њихових елемената.

Видимо да с у a, b и c елементи скупа A који не припадају ск упу B. Због тога је A \ B = {a, b, c}.

На исти начин је B \ A = {f, g, h, j}.

СЛОЖЕНИЈИ ИЗРАЗИ У КОЈИМА УЧЕСТВУЈУ СКУПОВИ И

СКУПОВНЕ ОПЕРАЦИЈЕ

Нека су A, B, C, ... скупови. Помоћу њих можемо формирати нове скупове користећи се операцијама са скуповима које смо научили. У сложенијим примерима, да би било јасно којим редом се врше операције са скуповима, служимо се обавезно заградама.

Дат је ск уп A = {1, 2, 3}. Нађимо A , A, A + A и A \ A.

A , A је ск уп свих елемената који припадају ск упу A или припадају ск упу A. Но, то с у

сви елементи скупа A. Због тога је

A , A = A = {1, 2, 3}.

Слично: A + A = A = {1, 2, 3}.

A \ A је скуп свих елемената који припадају скупу A и не припадају скупу A. Таквих елемената нема, па је A \ A скуп који нема елемената. То је празан скуп. Дакле, A \ A = Q.

Дати с у ск упови A = {a,b,c,d}, B = {a,c,e} и C = {b,c,e}.

Нађимо скупове: P = (A + B) \ C,Q = Q (A , B) + C, R =(A + C) + B и S = (A \ C) , (B \ A).

Тражене ск упове одређиваћемо редом.

За P налазимо A + B = {a, b, c, d} + {a, c, e} = {a, c}.

Даље, (A + B) \ C = {a, c} \ {b, c, e} = {a}.

Дакле: P = (A + B) \ C = {a}.

За Q налазимо A , B = {a, b, c, d} , {a, c, e} = {a, b, c, d, e}.

Даље је (A , B) + C = {a, b, c, d, e} + {b, c, e} = {b, c, e}.

Дакле, Q = (A , B) + C = {b, c, e}.

За R на лазимо A + C = {a, b, c, d} + {b, c, e} = {b, c}.

Даље је (A + C) + B = {b, c} + {a, c, e} = {c}.

Дакле: R = (A + B) + C = {c}.

слика 15

За S налазимо A \ C = {a, b, c, d} \ {b, c, e} = {a, d} и B \ A = {a, c, e} \ {a, b, c, d} = {e}.

Коначно на лазимо S = (A \ C) , (B \ A) = {a, d} , {e} = {a, d, e}.

1 0

Дати с у ск упови: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, F = {1, 3, 5, 7, 9}, G = {1, 4, 9}.

Нађимо скупове L = F + (E\G) и M=G , (E\F).

Налазимо, редом

E \ G = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 10}, L = F + (E \ G) = {3, 5, 7},

Скупови A и B приказани су Веновим дијаграмима (сл. 16). Нађимо Венове дијаграме скупова (A \ B) , (B \ A) и (A , B) \ (A + B).

Сенчењем смо означили скуп A \ B на првој, скуп B \ A

на другој и ск уп (A \ B) , (B \ A) на трећој слици (слика 17):

E \ F = {2, 4, 6, 8, 10}, M = G , (E \ F) = {1, 2, 4, 6, 8, 9, 10}. 1 1

слика 17

Даље смо (сл. 18) сенчењем означили ск уп A , B на првој, ск уп A + B на другој и ск уп (A , B) \ (A + B) на трећој слици:

слика 16 A \ B B \ A (A \ B) , (B \ A) A , BA + B (A , B) \ (A + B)

Видимо на сликама 14 и 15 (кажемо и „читамо“ са слика) да с у скупови (A \ B) , (B \ A) и (A , B) \ (A + B) једнаки

слика 18 Задаци

1. Скупови су дати Веновим дијаграмима. Одреди пресек тих скупова и наведи елементе који им припадају.

2. Наведене скупове представи Веновим дијаграмима. Одреди њихов пресек и наведи елементе тих пресека.

а) A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {3, 5, 7}

б) A = {5, 10, 15, 20, 25}, B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}

в) A = {23, 32, 33}, B = {2, 3}.

3. Користећи се Веновим дијаграмом (сл. 20) одговори на следећа питања:

а) Који бројеви припадају само скупу A?

б) Који бројеви припадају само скупу B?

в) Који бројеви припадају и скупу A и скупу B?

г) Који бројеви припадају скупу A или скупу B?

4. Нађи пресек скупова:

a) A = {2, 7, 72, 227}, B = {14, 9, 7, 2};

б) A = {123, 234, 345}, B = {321, 432, 543};

в) A = {a, b, c, d, e, f}, B = {a, c, d}.

5. Скупови су дати Веновим дијаграмима (сл. 21). Осенчи уније скупова и наведи елементе који им припадају.

21

6. Навођењем елемената одреди скуп A , B ако је:

a) A = {5, 10, 15, 20}, B = {15, 20, 25};

б) A = {1, 2, 3}, B = {11, 12, 13, 21, 31};

в) A = {a, b, c, d, e}, B = {a, b, c}.

7. Означимо са A скуп слова помоћу којих се записује реч математика а са B скуп слова помоћу којих се записује реч тетка.

a) Увери се да је B 1 A. б) Нађи скуп A , B и скуп A + B.

Увери се да је у овом случају A , B = A и да је A + B = B

8. Дати су скупови:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {2, 4, 6, 8, 10}, C = {3, 6, 9}.

Одреди скупове A \ B, B \ A, A \ C, C \ A, B \ C, C \ B и међу наредним реченицама

издвој тачне:

3 ! A \ B; b) 8 " A \ B; v) 5 ! B \ C; g) 1 " B \ A; d) 9 ! C \ B.

9. Нека је:

– Д скуп бројева прве десетице;

– Ј скуп једноцифрених природних бројева; – К скуп једноцифрених бројева који су квадрати природних бројева.

Одреди скупове:

а) Д \ Ј; б) Ј \ Д; в) Д \ К; г) Ј \ К; д) К \ Д; ђ) К \ Ј.

10. Прикажи Веновим дијаграмом скуп самогласника S и скуп M слова помоћу којих се пише реч математика. Осенчи на слици на различите начине скупове S \ M и M \ S и наведи елементе тих скупова.

11. Нека је U скуп свих ученика наше школе, A скуп свих дечака, ученика наше школе, B скуп свих девојчица ученица наше школе, D скуп свих ученика наше школе који су учествовали на школском такмичењу из математике.

Следеће скупове задај навођењем својстава њихових елемената:

a) (A , B) + D, б) (B , D) \ D,

в) (A \ D) , (B \ D), г) (B + D) , (A + D).

12. Веновим дијаграмом задати су скупови A, B и C (сл. 22). Осенчи скупове:

a) (A + B) + C;

б) (A , B) \ C;

в) (A , B) + C;

г) A , (B \ C).

13. Дати су скупови A = {a, b, c, d, e, f}, B = {b, d, f}, C = {a, b, f, g}. Одреди:

a) (A , C) + (B , C);

б) (A \ B) , (A + C);

в) (A , B) \ (A + C).

14. Провери Веновим дијаграмом да је:

a) A = (A \ B) , (A + B);

б) B = (B \ A) , (A + B);

в) A , B = ((A \ B) , (A + B)) , (B \ A).