P REFACE
前言 學好基礎數學的第⼀一步，就是要有正確扎實的基本觀念，良好觀念的建立 原則─先理解再記憶。在理解的過程中，因為數學的本質是抽象的，所以 會造成學習上的困難。為了讓同學容易理解抽象的數學觀念，葛倫老師借 助數位工具的力量，將原本抽象難懂的數學概念，轉化為具體有趣的多媒 體，透過筆跡、圖片、聲音等動畫影音呈現，搭配iPad直覺易用的操作介 面，讓同學以最有效率、最具創意的未來學習方式來學好基礎數學！
備註：本書包含大量的多媒體影音檔案與數位互動程式，若要獲得完整的 閱讀體驗，請於Apple所生產的平板電腦─iPad上的iBooks程式， 下載並開啓本書，想進⼀一步了解相關資料，請前往Live網站 (Liveism.com)。
Preface
第一章
整數的運算
1-1
負數與數線
1-1
觀念摘要 1. 負數的概念 2. 『＋』、『－』符號的用法 3. 正數、負數與整數 4. 數線 5. 坐標 6. 數的大小比較─利用數線與坐標 7. 數的大小比較─三一律與遞移律 8. 相反數的介紹 9. 絕對值的介紹 ★Live App─1-1精選習題
3
1-1 負數與數線
1. 負數的概念 日常生活中，常用『＋』（讀作正）號與『－』（讀作負）號來表示彼此相反或 相對的量。
4
1-1 負數與數線
2. 『＋』、『－』符號的用法 當『＋』、『－』表示『加』、『減』運算時，稱為運算符號。 當『＋』、『－』表示『正』、『負』的特性時，稱為性質符號。 與
與
兩數的性質符號相同，稱為同號數。
兩數的性質符號相異，稱為異號數。
5
1-1 負數與數線
3. 正數、負數與整數 大於0的數稱為正數，如：1、 、4.5。
小於0的數稱為負數，如：
、
、
。
整數包含正整數、0和負整數；正整數又稱自然數。
6
1-1 負數與數線
4. 數線
正向
單位長 O 0
1
原點
數線三要素： (1)正向：直線右方畫上箭頭，表示正向。 (2)原點：數線上的基準點，其所代表的數為0。 (3)單位長：取適當長度當作1個單位，稱為單位長。
7
1-1 負數與數線
5. 坐標 坐標：數線上每⼀一個點都代表⼀一個數，這個數稱為這個點的坐標。 A點在原點右方3個單位，即A點的坐標為3，記作A(3)。 B點在原點左方2個單位，即B點的坐標為
，記作B(
)。
8
1-1 負數與數線
6. 數的大小比較─利用數線與坐標 (1) 在⼀一往右為正向的數線上，愈右邊的點代表的數愈大，愈左邊的點代表的數愈 小。 (2) 負數＜0＜正數
例題
9
1-1 負數與數線
7. 數的大小比較─三一律與遞移律
三⼀一律：設a、b是兩個數，則a＞b、a＝b、a＜b三種關係中恰有⼀一種成立。 遞移律：設a、b、c為三個數， (1) 若a＞b且b＞c，則a＞c。 (2) 若a＝b且b＝c，則a＝c。 (3) 若a＜b且b＜c，則a＜c。
10
1-1 負數與數線
8. 相反數的介紹 在數線上與原點距離相同，但方向相反的兩點所表示的數互為相反數，如下圖中 的2和
。
(1) 的相反數為
。
(2) 0的相反數為0。 (3)
的相反數為
。
11
1-1 負數與數線
9. 絕對值的介紹 在數線上，⼀一個數所代表的點與原點的距離，稱為此數的絕對值， 如下圖，3的絕對值是3，記為│3│= 3，
的絕對值是2，記為│
│= 2。
(1)0的絕對值是0。 (2)任意數的絕對值必為正數或0。 (3)互為相反數的兩數，其絕對值必相等。 (4)比較兩數絕對值的大小就是比較兩數與原點距離的遠近。 12
1-1 負數與數線
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13
1-2
整數的加減
1-2
觀念摘要 1. 整數的加法 2. 加法交換律 3. 加法結合律 4. 整數的減法 5. 數線上兩點間的距離 ★Live App─1-2精選習題
14
1-2 整數的加減
1. 整數的加法 (1) 同號數相加 【★數字相加，符號相同】
例 例 (2) 異號數相加 【★數字大減小，符號同大數】 例 例 例 例
15
1-2 整數的加減
3. 加法交換律 對任意整數a、b，滿足
。
例
4. 加法結合律 對任意三個整數a、b、c， 滿足
。
例
✐減法不適用於交換律與結合律。
16
1-2 整數的加減
5. 整數的減法 對任意整數a、b，滿足 【★減⼀一個數等於加上這個數的相反數】
例 例 例 例
17
1-2 整數的加減
6. 數線上兩點間的距離 在數線上，從A點到B點(或B點到A點)的距離(或線段長)記為 數線上，兩點A(a)、B(b)的距離：
。
18
1-2 整數的加減
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19
1-3
整數的乘除與四則運算
1-3
觀念摘要 1. 整數的乘法─符號法則 2. 整數的乘法─乘法性質 3. 乘法交換律 4. 乘法結合律 5. 乘法分配律 6. 整數的除法─符號法則 7. 整數的除法─除法性質 8. 除法分配律 9. 整數的四則運算與去括號法則 ★Live App─1-3精選習題
20
1-3 整數的乘除與四則運算
利用經過時間與水位升降的關係，說明整數的乘法 21
1-3 整數的乘除與四則運算
1. 整數的乘法─符號法則 (＋)×(＋)→(＋) (正正得正) 例 (＋3)×(＋2)=＋(3×2)=＋6 (＋)×(－)→(－) (正負得負) 例 (＋3)×(－2)=－(3×2)=－6
(－)×(＋)→(－) (負正得負) 例 (－3)×(＋2)=－(3×2)=－6 (－)×(－)→(＋) (負負得正) 例 (－3)×(－2)=＋(3×2)=＋6
22
1-3 整數的乘除與四則運算
2. 整數的乘法─乘法性質 (1) 任意整數a乘以0，其值為0。 例 a×0=0×a=0 (2) 任意整數a乘以1，其值不變。 例 a×1=1×a=a
(3) 任意整數a乘以(－1)，其值為a的相反數。 例 a×(－1)=(－1)×a=－a (4) 兩個以上的整數連乘的運算規則 【★正負先判斷，數字再相乘】 ▶算式中，有偶數個負數→乘積為正數。 例 (－1)×(－2)×(－3)×(－4) =＋(1×2×3×4)=＋24 ▶算式中，有奇數個負數→乘積為負數。 例 (－1)×2×(－3)×(－2)×1 =－(1×2×3×2×1)=－12
23
1-3 整數的乘除與四則運算
3. 乘法交換律 對任意整數a、b，滿足a×b=b×a。 例 (＋3)×(－2)=－(3×2)=－6 (－2)×(＋3)=－(2×3)=－6
∵－6 =－6 ∴(＋3)×(－2)=(－2)×(＋3) 4. 乘法結合律 對任意三個整數a、b、c， 滿足
。
例
∵－24 =－24 ∴ ✐除法不適用於交換律與結合律。 24
1-3 整數的乘除與四則運算
5. 乘法分配律 設a、b、c為任意三個整數，則：
(1) 例 (2)
例
(3) 例 (4) 例
例題—乘法分配律之應用
25
1-3 整數的乘除與四則運算
6. 整數的除法─符號法則 (＋)÷(＋)→(＋) (正正得正) 例 (＋6)÷(＋2)=＋(6÷2)=＋3 (＋)÷(－)→(－) (正負得負) 例 (＋6)÷(－2)=－(6÷2)=－3
(－)÷(＋)→(－) (負正得負) 例 (－6)÷(＋2)=－(6÷2)=－3 (－)÷(－)→(＋) (負負得正) 例 (－6)÷(－2)=＋(6÷2)=＋3
26
1-3 整數的乘除與四則運算
7. 整數的除法─除法性質 (1) 任意整數a除以0，其值無意義。 例 a÷0無意義【★0不可為除數】 (2) 任意整數a除以1，其值不變。 例 a÷1=a
(3) 任意整數a除以(－1)， 其值為a的相反數。 例 a÷(－1)=－a (4) a為任意整數，但a≠0。 ▶ 0÷a=0 ▶ a÷a=1 ▶ a÷(－a)=－1 ▶ (－a)÷a=－1
27
1-3 整數的乘除與四則運算
8. 除法分配律 設a、b、c為任意三個整數，則：
(1) 例
(2) 例 (3) 例
∵
∴
(4) 例
∵
∴ 28
1-3 整數的乘除與四則運算
9. 整數的四則運算與去括號法則 (1) 整數的四則運算規則 【★括號先算，先乘除後加減】 進行正、負整數的四則運算時，須遵循以下規則：
有括號時，先作括號內的計算；若同時有加、減、乘、除運算，應先作乘、 除，再做加、減，並且應由左而右依序計算。 例
29
1-3 整數的乘除與四則運算
(2) 整數的去括號法則 【★小中大，內而外】
進行正、負整數的四則運算時，若算式中包含括號，需遵循以下規則： 先計算小括號 ( 號{
) 內的算式，再計算中括號 [
} 內的算式。
] 內的算式，最後再計算大括
例
30
1-3 整數的乘除與四則運算
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31
1-4
指數律
1-4
觀念摘要 1. 乘方的表示法─底數與指數 2. 指數律 3. 指數為0或指數為負數 4. 指數律公式之整理介紹 ★Live App─1-4精選習題
32
1-4 指數律
1. 乘方的表示法─底數與指數 當⼀一個數a連乘n次時，可表示為乘方的形式─
，其中a稱為底數，n稱為指數。
33
1-4 指數律
例題—乘方計算的值
34
1-4 指數律
2. 指數律 若a、b是不為0的整數，m、n是任意正整數。 (1)
【★同底相乘指數相加】
例
35
1-4 指數律
(2) 例
【★同底相除指數相減】
36
1-4 指數律
(3) 例
【★乘方再乘方指數相乘】
37
1-4 指數律
(4) 【★相乘後乘方＝乘方後相乘】
例 (5) 【★相除後乘方＝乘方後相除】 例
38
1-4 指數律
3. 指數為0或指數為負數 若a是不為0的整數，n是任意正整數。
(1) 例 ※ 無意義 (2)
例
39
1-4 指數律
4. 指數律公式之整理介紹
40
1-4 指數律
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41
1-5
科學記號
1-5
觀念摘要 1. 十進位值與10的次方 2. 10的次方與國際單位制詞頭 3. 科學記號的定義與應用 4. 數與科學記號之互換 5. 科學記號之乘法運算 6. 科學記號之除法運算 7. 科學記號之加減運算 ★Live App─1-5精選習題
42
10 1-5 科學記號
1. 十進位值與10的次方
43
10 1-5 科學記號
例 54321=50000＋4000＋300＋20＋1 =5×1000＋4×1000＋3×100＋2×10＋1 =5×104＋4×103＋3×102＋2×101＋1×100 例 0.12345 =0.1＋0.02＋0.003＋0.0004＋0.00005 =1×0.1＋2×0.01＋3×0.001＋4×0.0001＋5×0.00001
=1×10−1＋2×10−2＋3×10−3＋4×10−4＋5×10−5 1×102＋0×101＋2×100＋4×10−1＋3×10−2=
Check Answer
44
10 1-5 科學記號
2. 10的次方與國際單位制詞頭
45
10 1-5 科學記號
3. 科學記號的定義與應用
46
10 1-5 科學記號
科學記號表示法： (1≤a<10且n為整數) 例 地球的質量為5974200000000000000000000公斤 5974200000000000000000000＝5.9742×1024 例 A型流感病毒的直徑為0.00000008～0.00000012公尺 0.00000008＝8×10−8 0.00000012＝1.2×10−7 Question 1 of 2
1天文單位約為149600000公里，若以科學 記號表示應為下列何者？ A. 14.96×107 公里 B. 1.496×107 公里 C. 1.496×108 公里 D. 1.496×109 公里 Check Answer
47
10 1-5 科學記號
4. 數與科學記號之互換 大於10的數 小於1的數
48
10 1-5 科學記號
5. 科學記號之乘法運算 進行科學記號之乘法運算，可利用乘法交換律、結合律與指數律做運算。 例 以科學記號表示下列各式之結果 (1)
(2)
49
10 1-5 科學記號
6. 科學記號之除法運算 進行科學記號之除法運算，可利用指數律做運算。 例 以科學記號表示下列各式之結果 (1)
(2)
50
10 1-5 科學記號
7. 科學記號之加減運算 進行科學記號之加減運算，先將指數部份化成相同後，再利用乘法分配律做運算。 例 以科學記號表示下列各式之結果 (1)
(2)
51
10 1-5 科學記號
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52
第二章
分數的運算
2-1
因數與倍數
2-1
觀念摘要 1. 整除、因數、倍數 2. 2的倍數判別法 3. 3的倍數判別法 4. 4的倍數判別法 5. 5的倍數判別法 6. 8的倍數判別法 7. 9的倍數判別法 8. 11的倍數判別法 9. 質數與合數 10.質因數與質因數分解 11.標準分解式─樹狀分解法與短除法 ★Live App─2-1精選習題
54
2-1 因數與倍數
1. 整除、因數、倍數
55
2-1 因數與倍數
整除：當⼀一整數a除以⼀一整數b(b≠0)，其商為整數且餘數為0，此時就稱b可以整除 a或a能被b整除。
因數與倍數：當⼀一整數a能被⼀一整數b(b≠0)整除，此時就稱a是b的倍數，b是a的因 數。 例 6÷3＝2⋯⋯0 6被3整除或3整除6 6是3的倍數，3是6的因數 若a、b、c為整數， 如果a＝b×c(即a÷b＝c或a÷c＝b)， 則a是b、c的倍數，b、c是a的因數。 例 6＝1×6＝2×3＝(－1)×(－6)＝(－2)×(－3) 6是±1、±2、±3、±6的倍數；±1、±2、±3、±6都是6的因數 ✐國中階段如無特別說明，所指的因數與倍數都是正因數與正倍數。 ★1是任意正整數的因數 ★0是任意正整數的倍數
56
2-1 因數與倍數
2. 2的倍數判別法
若⼀一個正整數的個位數字為0、2、4、6、8，則這個正整數⼀一定是2的倍數，否則 就不是2的倍數。 ✐正整數中，2的倍數是偶數，不是2的倍數是奇數。
57
2-1 因數與倍數
3. 3的倍數判別法
若⼀一個正整數的各個數字和是3的倍數，則這個正整數就是3的倍數，否則就不是3 的倍數。
58
2-1 因數與倍數
4. 4的倍數判別法
若⼀一個正整數的末兩位數字是4的倍數，則這個正整數就是4的倍數，否則就不是4 的倍數。
59
2-1 因數與倍數
5. 5的倍數判別法
若⼀一個正整數的個位數字為0或5，則這個正整數就是5的倍數，否則就不是5的倍 數。
60
2-1 因數與倍數
6. 8的倍數判別法
若⼀一個正整數的末三位數字是8的倍數，則這個正整數就是8的倍數，否則就不是8 的倍數。
61
2-1 因數與倍數
7. 9的倍數判別法
若⼀一個正整數的各個數字和是9的倍數，則這個正整數就是9的倍數，否則就不是9 的倍數。
62
2-1 因數與倍數
8. 11的倍數判別法
若⼀一個正整數的奇數位數字和與偶數位數字和兩者差的絕對值是11的倍數，則這 個正整數就是11的倍數，否則就不是11的倍數。
63
2-1 因數與倍數
9. 質數與合數
64
2-1 因數與倍數
(1)質數：⼀一個大於1的正整數，除了1和本身以外，再也沒有其他的正因數，這樣 的整數就稱為質數。 例 2、3、5、7、11、13、17、19、⋯等都是質數。
(2)合數：⼀一個大於1且不是質數的正整數，這樣的整數就稱為合數。（除了1和本 身以外，還有其他的正因數。） 例 4、6、8、9、10、12、14、15、⋯等都是合數。 ★1不是質數也不是合數。 ★2是最小的質數，也是質數中唯⼀一的偶數。
下列四個數，哪⼀一個不是質數？
A. 41 B. 61 C. 71 D. 91
Check Answer
65
2-1 因數與倍數
10.質因數與質因數分解 (1)質因數：若⼀一個正整數的因數是質數，則這個因數就是這個整數的質因數。 例 6的因數有1、2、3、6，其中2、3是質數，所以2、3是6的質因數。
(2)質因數分解：將⼀一個大於1且不是質數的正整數，分解成它的質因數連乘積之 過程，就稱為質因數分解。 例 將210分解成質因數的乘積 210＝2×3×5×7
66
2-1 因數與倍數
11.標準分解式─樹狀分解法與短除法 標準分解式：將質因數分解的結果，按照質因數大小，由小到大排列，並將相同 質因數的連乘積，以指數形式表示，此種表示法稱為標準分解式。 例 將180分解成質因數的乘積並以標準分解式表示。 180＝2×2×3×3×5＝22×32×5
67
2-1 因數與倍數
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2-2
最大公因數與最小公倍數
2-2
觀念摘要 1. 公因數、最大公因數、互質 2. 利用標準分解式做因數的判斷 3. 最大公因數的求法 4. 公倍數、最小公倍數 5. 利用標準分解式做倍數的判斷 6. 最小公倍數的求法 7. (A, B) × [A, B] = A × B ★Live App─2-2精選習題
69
2-2 最大公因數與最小公倍數
1. 公因數、最大公因數、互質
70
2-2 最大公因數與最小公倍數
公因數：幾個整數共同的因數稱為這幾個整數的公因數。
最大公因數：幾個整數中，它們所有的公因數中最大的數，稱為這幾個整數的最 大公因數。 例 試求12與18的公因數與最大公因數。 12的因數：1、2、3、4、6、12 18的因數：1、2、3、6、9、18 ∴12與18的公因數為1、2、3、6 最大公因數為6 ✐若d為a、b兩正整數的最大公因數，可記為(a , b) = d。 ✐若d為a、b、c三個正整數的最大公因數，可記為(a , b , c) = d。 互質：兩個正整數的最大公因數是1，稱這兩個正整數互質。 例 4的因數：1、2、4 9的因數：1、3、9 ∴ ( 4 , 9 ) = 1
4和9互質
71
2-2 最大公因數與最小公倍數
2. 利用標準分解式做因數的判斷
72
2-2 最大公因數與最小公倍數
例 下列各數中，哪些數是23×32的因數？ (1)22×32 (2)23×32 (3)23×33 (4)23×5 解 (1)∵
（整除）
22×32是23×32的因數。 (2)∵
（整除） 23×32是23×32的因數。
(3)∵
（不能整除） 23×33不是23×32的因數。
(4)∵
（不能整除） 23×5不是23×32的因數。 73
2-2 最大公因數與最小公倍數
3. 最大公因數的求法 (1) 標準分解式法： 例 求540和840的最大公因數。 解 540 = 22 × 33 × 5 840 = 23 × 3 × 5 × 7
∴(540 , 840) = 22 × 3 × 5 = 60 ★取共同的質因數中指數較小者相乘 (2) 短除法： 例 求540和840的最大公因數。 解
∴(540 , 840) = 22 × 3 × 5 = 60 74
2-2 最大公因數與最小公倍數
4. 公倍數、最小公倍數
75
2-2 最大公因數與最小公倍數
公倍數：幾個整數共同的倍數稱為這幾個整數的公倍數。
最小公倍數：幾個整數中，它們所有的公倍數中最小的數，稱為這幾個整數的最 小公倍數。 例 試求4與6的三個公倍數與最小公倍數。 解 4的倍數：4、8、12、16、20、24、28、32、36、⋯ 6的倍數：6、12、18、24、30、36、42、48、54、⋯ ∴4與6的三個公倍數為12、24、36 最小公倍數為12 ✐若d為a、b兩正整數的最小公倍數，可記為[a , b] = d。 ✐若d為a、b、c三個正整數的最小公倍數，可記為[a , b , c] = d。
76
2-2 最大公因數與最小公倍數
5. 利用標準分解式做倍數的判斷
77
2-2 最大公因數與最小公倍數
例 下列各數中，哪些數是23×32的倍數？
(1)23×32 (2)23×33 (3)23×33×5 (4)22×32 (5)22×32×5 (6)23×52 解 (1)∵
（整除）
23×32是23×32的倍數。
(2)∵
（整除）
23×33是23×32的倍數。
(3)∵
(4)∵
(5)∵
(6)∵
（整除） 23×33×5是23×32的倍數。
（不能整除）
（不能整除）
（不能整除）
22×32不是23×32的倍數。
22×32×5不是23×32的倍數。
23×52不是23×32的倍數。 78
2-2 最大公因數與最小公倍數
6. 最小公倍數的求法 (1) 標準分解式法： 例 求120、180和105的最小公倍數。 解 120 = 23 × 3 × 5 180 = 22 × 32 × 5
105 = 3 × 5 × 7 ∴[120 , 180 , 105] = 23 × 32 × 5× 7 = 2520 ★取所有質因數且取共同質因數中指數較大者相乘 (2) 短除法： 例 求120、180和105的最小公倍數。 解
∴[120 , 180 , 105] = 23 × 32 × 5× 7 = 2520 79
2-2 最大公因數與最小公倍數
7. (A, B) × [A, B] = A × B 兩個正整數的最大公因數和最小公倍數的乘積等於兩數的乘積。 例 已知a和8的最大公因數是2，最小公倍數是24，求a =？ 解 (a , 8) = 2 [a , 8] = 24
(a , 8) × [a , 8] = a × 8 2 × 24 = a × 8
已知(a,b)=3，[a,b]=36，求a×b=?
a = 6 A. 3 B. 12 C. 36 D. 108
Check Answer
80
2-2 最大公因數與最小公倍數
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81
2-3
分數的加減
2-3
觀念摘要 1. 分數與負分數 2. 等值分數、擴分、約分與最簡分數 3. 通分與比較分數的大小 4. 正分數的加減運算 5. 負分數的加減運算 6. 帶分數的加減運算 7. 分數運算─加法交換律與加法結合 律 ★Live App─2-3精選習題
82
2-3 分數的加減
1. 分數與負分數
83
2-3 分數的加減
分數： ↳3為分子，橫線為分線，4為分母 分數的單位： 例 1（個）÷ 4（等份）＝ （個／等份） 分數的類別： (1)真分數：⼀一個分數其分子小於分母稱為真分數。例 (2)假分數：⼀一個分數其分子等於或大於分母稱為假分數。例 (3)帶分數：⼀一個分數為整數加⼀一個真分數，可表示為
稱為帶分數。例
負分數：負分數的負號，可放在分子、分母或分數前面，三種方式都表示相同的負 分數。 例 例
84
2-3 分數的加減
2. 等值分數、擴分、約分與最簡分數
85
2-3 分數的加減
等值分數：設a、b、c、d都是整數，若
例∵
，則稱 與 為等值分數。
∴ 、 、 為等值分數
擴分：將⼀一個分數的分子與分母同乘⼀一個不為0的整數，此過程稱為擴分。 例 約分：將⼀一個分數的分子與分母同除以它們的公因數，此過程稱為約分。 例 最簡分數：⼀一個分數的分子與分母互質，則此分數為最簡分數。 例
、 、
、
為最簡分數
86
2-3 分數的加減
3. 通分與比較分數的大小 通分：若兩個分數的分母不同，利用約分或擴分，將它們化為同分母的分數，這 樣的過程稱為通分。 例 將 和 通分
∵[2 , 3] = 6 ∴
，
87
2-3 分數的加減
比較分數的大小： (1)正分數的比較大小： ★先利用擴分，將分母或分子化為 ★先利用擴分，將分母或分子化為相同的正整數後，再做比較。
相同的正整數後，再做比較。 【將分母化為相同正整數】
【將分子化為相同正整數】
例 比較
例 比較
和
的大小
和
的大小
∵[2 , 3] = 6
∵[7 , 14] = 14
∴
∴
又∵
，
，
又∵
88
2-3 分數的加減
(2)負分數的比較大小： ★先比較負分數取絕對值後的大小，再改變其不等號的方向。 例 比較
∵
和
的大小
，
∵[2 , 3] = 6
又∵
，
∴
89
2-3 分數的加減
4. 正分數的加減運算 (1)同分母的加減運算： ★分母不變，分子相加減。
例
例 (2)異分母的加減運算： ★分母通分，分子相加減。 例
例
90
2-3 分數的加減
5. 負分數的加減運算 (1)同分母的加減運算： ★分母不變，分子相加減。
例
例 (2)異分母的加減運算： ★分母通分，分子相加減。 例
例
91
2-3 分數的加減
6. 帶分數的加減運算
92
2-3 分數的加減
【方法⼀一】
【方法二】
★將帶分數化為假分數再相加減
★整數部份與分數部份分別相加減 再合併
例 例
93
2-3 分數的加減
7. 分數運算─加法交換律與加法結合律 加法交換律： 對任意分數a、b，滿足
。
加法結合律： 對任意三個分數a、b、c，滿足
。
94
2-3 分數的加減
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95
2-4
分數的乘除與四則運算
2-4
觀念摘要 1. 正分數的乘法運算 2. 負分數的乘法運算 3. 分數的乘法─乘法性質 4. 分數之乘法交換律與乘法結合律 5. 分數之乘法分配律 6. 倒數 7. 分數的除法運算 8. 分數之乘方與指數律 9. 分數的四則運算與去括號法則 ★Live App─2-4精選習題
96
2-4 分數的乘除與四則運算
1. 正分數的乘法運算 分數×整數： ★分母不變，分子乘整數。 例
分數×分數： ★分母乘分母，分子乘分子。 例
例 ✐在乘法運算中，如遇到帶分數，先將帶分數化為假分數後再相乘。
97
2-4 分數的乘除與四則運算
2. 負分數的乘法運算 兩同號分數相乘：乘積為正。 例
例
兩異號分數相乘：乘積為負。 例
例
98
2-4 分數的乘除與四則運算
3. 分數的乘法─乘法性質 分數×0： 例
例 分數×1： 例
例 分數×(−1)： 例
例 99
2-4 分數的乘除與四則運算
分數連乘： ★正負先判斷，數字再相乘。 (1)偶數個負數：乘積為正。 例
(2)奇數個負數：乘積為負。 例 (3)有⼀一數為0：乘積為0。 例
100
2-4 分數的乘除與四則運算
4. 分數之乘法交換律與乘法結合律 乘法交換律： 對任意分數a、b，滿足a×b=b×a。 乘法結合律： 對任意三個分數a、b、c，滿足
。
✐除法不適用於交換律與結合律。
101
2-4 分數的乘除與四則運算
5. 分數之乘法分配律
102
2-4 分數的乘除與四則運算
設a、b、c為任意三個分數，則： (1) 例
例 (2) 例 (3) 例 例 (4) 例 103
2-4 分數的乘除與四則運算
6. 倒數
104
2-4 分數的乘除與四則運算
兩數相乘的積為1，則兩數互為倒數。 ∵1×1=1
∵(－1)×(－1)=1
∴1的倒數是1
∴－1的倒數是－1
∵
∵
∴3的倒數是
∴－3的倒數是
∵
∵
∴ 的倒數是
∴
★∵
0沒有倒數
★a是不為0的任意數
a與 互為倒數
★∵
的倒數是 0沒有倒數
★a是不為0的任意數
a與 互為倒數
105
2-4 分數的乘除與四則運算
7. 分數的除法運算 除以⼀一個不為0的數，就是乘以這個數 的倒數。 (1)正分數相除 例
例 (2)負分數相除 【★先判斷正負，數字再相乘】 例
例
106
2-4 分數的乘除與四則運算
8. 分數之乘方與指數律
107
2-4 分數的乘除與四則運算
分數之乘方： 若a、b為整數，且b≠0，則 例
分數之指數律： 若a、b是不為0的分數，m、n是任意正整數。 (1) 【★同底相乘指數相加】 例 (2) 【★同底相除指數相減】 例
108
2-4 分數的乘除與四則運算
(3) 【★乘方再乘方指數相乘】 例 (4)
【★相乘後乘方＝乘方後相乘】 例 (5) 例 (6) 例
109
2-4 分數的乘除與四則運算
9. 分數的四則運算與去括號法則 (1)分數的四則運算規則 【★括指乘除加減】 進行正、負分數的四則運算 時，須遵循以下規則：
有括號時，先作括號內的計 算，若有指數，要先做指數， 之後若同時有加、減、乘、除 運算，應先作乘、除，再做 加、減，並且應由左而右依序 計算。 (2)分數的去括號法則 【★小中大，內而外】 進行正、負分數的四則運算時，若算式中包含括號，需遵循以下規則： 先計算小括號 ( {
) 內的算式，再計算中括號 [
] 內的算式，最後再計算大括號
} 內的算式。
110
2-4 分數的乘除與四則運算
例
111
2-4 分數的乘除與四則運算
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112
第三章
一元一次方程式
3-1
以符號代表數
3-1
觀念摘要 1. 以符號代表數 2. 代數之四則運算 3. 代數之交換律 4. 代數之結合律 5. 代數之乘法分配律 6. 代數符號規則─乘法的簡記 7. 代數式的值 ★Live App─3-1精選習題
114
3-1 以符號代表數
1. 以符號代表數 以文字或符號來代表數。 例如：□、○、△、⋯或甲、⼄乙、丙、⋯或a、b、c、⋯
✐常用 x 來代表未知數。 代數式：以文字符號、數字與運算符號+、－、×、÷所組成的式子，稱為代數式。 例 奶茶比土司貴五元，若以 x 表示土司的價錢，則奶茶的價格為 x＋5
115
3-1 以符號代表數
2. 代數之四則運算 (1)代數的四則運算規則 【★括指乘除加減】 進行文字符號與數字的四則運
算時，須遵循以下規則： 有括號時，先作括號內的計 算，若有指數，要先做指數， 之後若同時有加、減、乘、除 運算，應先作乘、除，再做 加、減，並且應由左而右依序 計算。 (2)代數的去括號法則 【★小中大，內而外】 進行文字符號與數字的四則運算時，若算式中包含括號，需遵循以下規則： 先計算小括號 ( 號{
) 內的算式，再計算中括號 [
] 內的算式，最後再計算大括
} 內的算式。
116
3-1 以符號代表數
3. 代數之交換律 加法交換律： 對任意a、b，滿足
。
乘法交換律： 對任意a、b，滿足
。
4. 代數之結合律 加法結合律： 對任意a、b、c，滿足
。
乘法結合律： 對任意a、b、c，滿足
。
✐減法、除法不適用於交換律與結合律。
117
3-1 以符號代表數
5. 代數之乘法分配律 設a、b、c為三個任意數，則： (1)
(2) (3) (4) ✐除法改乘法後，再用分配律： (1)
(2)
(3)
(4)
118
3-1 以符號代表數
6. 代數符號規則─乘法的簡記
119
3-1 以符號代表數
算式中，因為乘號「×」和英文字
算式中，因為乘號「×」和英文字母「x」容易混淆，所以常將「×」改寫成「．」 母「x」容易混淆，所以常將「×」 或將「．」省略不寫，且數字要寫在文字之前。 改寫成「．」或將「．」省略不 寫，且數字要寫在文字之前。 整數與文字：
文字與文字：
例
例
例
例
例
例
例
例
例
混合類型：
分數與文字：
例
例
例
例
例 ✐除法改乘法後，再進行簡記運算。 120
3-1 以符號代表數
7. 代數式的值 ⼀一個代數式所代表的數，由代數式中文字符號所代表的數來決定。 例當
例當
例當
，算式
，算式
，算式
之值
之值
之值
121
3-1 以符號代表數
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122
3-2
一元一次式的化簡
3-2
觀念摘要 1. 代數之一元一次式 2. 代數式之乘法運算 3. 代數式之除法運算 4. 代數式之加減運算 5. 代數式之併項與化簡_同類項合併 ★Live App─3-2精選習題
123
3-2 一元一次式的化簡
1. 代數之一元一次式 若⼀一個式子中，只含有⼀一個代表數的文字符號（元），且該文字符號的次方是⼀一 次，這樣的式子就稱為⼀一元⼀一次式。 例 x＋5、2x－3、－4y＋6、7z＋8－9z－1
124
3-2 一元一次式的化簡
2. 代數式之乘法運算 乘法交換律： 例 乘法結合律：
例 例 乘法分配律： ， ， 例 例 例 例 125
3-2 一元一次式的化簡
3. 代數式之除法運算 除⼀一個數等於乘上該數的倒數。 例
例 ✐除法不適用於交換律與結合律。
126
3-2 一元一次式的化簡
4. 代數式之加減運算 (1)去括號法則 括號前為「＋」，去括號後， 括號內的「＋」、「－」不變。 例
例
括號前為「－」，去括號後， 括號內的「＋」、「－」變號。 【★ ＋ －、－ ＋】 例
例
127
3-2 一元一次式的化簡
(2)運用分配律 例 例 例 例 例 例
128
3-2 一元一次式的化簡
5. 代數式之併項與化簡_同類項合併 (1)同類項 ⼀一元⼀一次式
也可表示為
之間以「＋」區隔，我們稱 中
和
、3、
，式子中 、
為⼀一元⼀一次式
、3、
、
的項，其
含有相同的文字符號，且文字符號的次方相同，稱為同類項，又稱 x
的⼀一次項；而3和
都不含文字符號，我們也稱3和
為同類項，又稱常數項。
(2)同類項合併 例
例
129
3-2 一元一次式的化簡
(3)四則運算法則 ✐括號先算，先乘除後加減 ✐去括號法則 小中大、內而外 例
130
3-2 一元一次式的化簡
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131
3-3
解一元一次方程式
3-3
觀念摘要 1. 一元一次方程式 2. 一元一次方程式之列式 3. 解一元一次方程式 4. 解一元一次方程式之應用問題 5. 一元一次方程式應用問題之合理性 ★Live App─3-3精選習題
132
3-3 解一元一次方程式
1. 一元一次方程式 若⼀一個等式中，只含有⼀一個未知數（元），且該未知數的最高次方是⼀一次，這樣的 等式就稱為⼀一元⼀一次方程式。 例 2x＋3＝4、5x＝6、－y＋7＝8y－9
133
3-3 解一元一次方程式
2. 一元一次方程式之列式
生活中的數量問題，許多都可用文字符號 x 來代表問題中的未知數，再依據題意中 的數量關係，可列出含有 x 的等式，此等式稱為 x 的方程式。
例 手機通話費每分鐘10元，打了 x 分共花68元。請根據上述題意，列出方程式。 解
134
3-3 解一元一次方程式
3. 解一元一次方程式
求出⼀一元⼀一次方程式中 x 所代表的數的過程就稱為解⼀一元⼀一次方程式。
135
3-3 解一元一次方程式
(1)等量公理 1 等量加法公理： 等號兩邊同加⼀一個數，等式依然成立。
2 等量減法公理： 等號兩邊同減⼀一個數，等式依然成立。 3 等量乘法公理： 等號兩邊同乘⼀一個數，等式依然成立。 4 等量除法公理： 等號兩邊同除⼀一個數，等式依然成立。
136
3-3 解一元一次方程式
(2)移項法則
在等式中，將⼀一個數從等號的⼀一邊移到等號的另⼀一邊，應遵循下列規則，此規則 稱為移項法則。 1 2 3 4
137
3-3 解一元一次方程式
4. 解一元一次方程式之應用問題 以⼀一元⼀一次方程式解應用問題的步驟： (1)設未知數：依題意選定⼀一個適當的未知數，習慣以 x 或 y 表示。 (2)列方程式：依題意列出方程式。
(3)解方程式：利用等量公理或移項法則求得未知數的值。 (4)驗算：檢驗所求的未知數之值是否符合題意。 (5)寫答：寫出問題所要求的答案，並注意單位。 例 賴小特拿了⼀一張500元鈔票， 買了4顆巧克力，找回408元。 試問巧克力每顆多少元？ 解 設巧克力每顆 x 元 依題意列式：500－4x＝408 ⇒ 500＝408＋4x ⇒ 500－408＝4x ⇒ 92＝4x ⇒ 92÷4＝x ⇒ 23＝x 答：巧克力每顆23元 138
3-3 解一元一次方程式
5. 一元一次方程式應用問題之合理性 解⼀一元⼀一次方程式的應用問題時，除了驗算計算過程外，也要檢驗所求得未知數 的值是否符合題意與是否合乎常理。 例 若三個連續整數和為25，則最大的數是多少？ 解 設最大的整數為 x 則其他二數分別為 x－1，x－2 依題意列式：(x－2)＋(x－1)＋x＝25 ⇒ x－2＋x－1＋x＝25 ⇒ 3x－3＝25 ⇒ 3x＝25＋3 ⇒ 3x＝28 ⇒ x＝ ∵x＝
與 x 為整數不符 ∴無解
答：無解 139
3-3 解一元一次方程式
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關於
葛倫 葛倫目前是徠富數位學習科技有限公司 的創辦人兼執行長。 葛倫同時創立Live數位國中數學網站 （Liveism.com）， 並經營Live在Youtube的教育頻道 (Youtube.com/Liveism) 以及Live數位國中數學_名師葛倫Facebook 粉絲專頁(Facebook.com/Liveism)。 葛倫老師致力於數位教學，希望透過資訊科技的 力量，培養孩子具備迎向未來的關鍵能力！
Galen
cxlii
著作權聲明
Live國中數學 i觀念 1 編著者
葛倫
出版者
徠富數位學習科技有限公司
首發版
2012年3月
Live Middle School Math iConcept 1 by Galen Published by Live e-Learning Techology Inc. March 2012
First Edition.
Copyright © 2012 Live e-Learning Techology Inc. All rights reserved.
ISBN: 9789860861624
Liveism.com Live.study@gmail.com
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教育宗旨
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