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Ver 1.0
徠富數位學習科技有限公司
Live e-Learning Technology Inc.
9789868837102
前言 數學的學習方法 學好基礎數學的第一步，就是要有正確扎實的基本觀念，良好觀念的建立原則―先理解再 記憶。透過不同題目類型的演練有助於澄清了解基本觀念，為了靈活應用基本觀念與提昇 厚植數學實力，進行一定數量與質量的試題練習是必要的。所以"基本觀念、題型解析、試 題練習"就是學好數學的金字塔！
本書的編寫架構
一、基本觀念 以條列式歸納整理該節的觀念重點，簡潔清楚的文字敘述，輔以圖示、表格、例題說明， 讓讀者能輕易理解觀念內容，迅速掌握複習要點。 二、精選題型 題目類型呼應基本觀念，題型安排由簡易循序漸進至複雜，系統性的精華題型，鞏固所學 的數學概念，培植基本的數學能力。 三、實力評量 評量內容以延續精選題型與強化基本觀念為主軸，題目取材來自各校段考試題、生活情境 與綜合觀念應用，幫助同學了解學習成效，提升數學實力。
Live的數位教學 數學學習困難的本質因素在於―數學本身是抽象思維的產物。 葛倫老師借助數位工具的力量，將抽象的數學概念轉化為具體的多媒體，透過筆跡、圖片 、聲音等動畫影音呈現，將原本生硬艱澀難懂的數 學內容，詮釋化簡為生動有趣易理解的數學觀 念。 精選題型除了於解答篇中附有詳解說明 外，每一題葛倫老師都親自手寫板書教 學，教學過程充分發揮數位功能―多彩 畫筆、螢光註記、剪貼縮放、３Ｄ透視、 幾何圖形等。 實力評量另有iPad App版本，Live精選習題App 為全世界最先進的習題練習系統― 功能包含題目練習、測驗模式、我的精選以及測 驗結果報告。 Live卓越的數位教學，除了擁有高品質 的數位教學內容，透過直覺易用的操 作介面，搭配非線性隨選學習功能， 讓學生以最有效率、最具創意的未來 學習方式來學好數學！
編者 葛 倫
目次 第一章 整數的運算 1-1 負數與數線
4
1-2 整數的加減
17
1-3 整數的乘除與四則運算
30
1-4 指數律
42
1-5 科學記號
52
第二章 分數的運算 2-1 因數與倍數
72
2-2 最大公因數與最小公倍數
89
2-3 分數的加減
110
2-4 分數的乘除與四則運算
121
第三章 一元一次方程式 3-1 以符號代表數
142
3-2 一元一次式的化簡
154
3-3 解一元一次方程式
170
1 整數的運算 1-1 負數與數線 1-2 整數的加減 1-3 整數的乘除與四則運算 1-4 指數律 1-5 科學記號
4
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
1-1
負數與數線 基本觀念
1. 負數的概念 日常生活中，常用『＋』（讀作正）號與『－』（讀作負）號來表示彼此相反或相對 的量。 2. 『＋』、『－』符號的用法 當『＋』、『－』表示『加』、『減』運算時，稱為運算符號。 當『＋』、『－』表示『正』、『負』的特性時，稱為性質符號。
+ 5與 + −
1 兩數的性質符號相同，稱為同號數。 2
2 與 − 4 兩數的性質符號相異，稱為異號數。 3
3. 正數、負數與整數 大於 0 的數稱為正數，如：1、
1 、4.5。 2
小於 0 的數稱為負數。如： − 1 、 −
2 、 − 3.14 。 3
整數包含正整數、0 和負整數。正整數又稱自然數。 4. 數線
正向
O 單位長 原點
數線三要素：
0
1
(1) 正向：直線右方畫上箭頭，表示正向。 (2) 原點：數線上的基準點，其所代表的數為 0。 (3) 單位長：取適當長度當作 1 個單位，稱為單位長。 5. 坐標 坐標：數線上每一個點都代表一個數，這個數稱為這個點的坐標。 B −4
−3
−2
O −1
0
A 1
2
3
4
1-1 負數與數線
5
A 點在原點右方 3 個單位，即 A 點的坐標為 3，記作 A（3）。 B 點在原點左方 2 個單位，即 B 點的坐標為 − 2 ，記作 B（ − 2 ）。 6. 數的大小比較─利用數線與坐標 (1) 在一往右為正向的數線上，愈右邊的點代表的數愈大，愈左邊的點代表的數愈小。 (2) 負數＜0＜正數 3 2 例 在數線上畫出坐標為 − 2 、 2 、 − 1.4 、 − 、2 的點，再比較各數的大小。 4 3
解
O −2
−
− 1.4
各數大小為： 2
0
2 3
1
2
2
3 4
3 2 > 2 > − > − 1.4 > −2 4 3
7. 數的大小比較─三一律與遞移律 三一律：設 a、b 是兩個數，則 a > b、a = b、a < b 三種關係中恰有一種成立。 遞移律：設 a、b、c 為三個數， (1) 若 a > b 且 b > c，則 a > c。 (2) 若 a = b 且 b = c，則 a = c。 (3) 若 a < b 且 b < c，則 a < c。 8. 相反數的介紹 在數線上與原點距離相同，但方向相反的兩點所表示的數互為相反數，如下圖中的 2 和− 2。 2 −2
(1) a 的相反數為 − a 。 (2) 0 的相反數為 0。 (3) − a 的相反數為 − ( − a ) 。
O 0
2 1
2
6
﹝一﹞Live 數位國中數學講義 9. 絕對值的介紹 在數線上，一個數所代表的點與原點的距離，稱為此數的絕對值，如下圖，3 的絕對值 是 3，記為│3│= 3，－2 的絕對值是 2，記為│－2│= 2。 2
3
O
−2
0
1
3
(1) 0 的絕對值是 0。 (2) 任意數的絕對值必為正數或 0。 (3) 互為相反數的兩數，其絕對值必相等。 (4) 比較兩數絕對值的大小就是比較兩數與原點距離的遠近。
精選題型 題型 1 (1) 用「正負號」表示下列各題中的數量： 若台北 101 金融大樓高出海平面 508 公尺，可記為＋508 公尺。那麼世界第一高峰珠 穆朗瑪峰(又稱聖母峰)高出海平面 8848.13 公尺，可記為 馬里亞那海溝低於海平面 11022 公尺，可記為
公尺。最深的海溝
公尺。
(2) 攝氏「零上 23 度 」可記為攝氏＋23 度，攝氏「零下 6 度」可記為攝氏 (3) 「賺 850 元」可記為＋850 元，「賠 270 元」可記為
元。
度。
1-1
題型 2 下列哪些數是「正數」？哪些數是「負數」？
−
2 3 、1.7、0、 − 5.4 、19、 1 、 − 100 3 8
題型 3 寫出下列數線上 A、B、C、D 四點所表示的數。 D
B
C
A
O 0
1
負數與數線
7
8
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 4 觀察下面的數線，並回答下列問題： B
O
A
0
1
C
(1) 請以數線 0、1 的位置判斷，標出表示正向的箭頭。 (2) 承(1)，如果以 O 點為原點，O 點到 A 點的距離為單位長，則 B 點所表示的數應為 __________。 (3) 如果以 O 點為原點，並改以 O 點到 C 點的距離為單位長，則 B 點所表示的數應為 __________。
題型 5 畫出一數線，並分別標出 A (4)、B ( − 2
2 )、C (1.5) 的位置。 3
1-1 負數與數線
題型 6 在數線上將 2 與 3 兩點之間 4 等分，中間有 3 個等分點，請由左向右依次寫出這些點所 代表的數。
題型 7 數線上有 A、B、C 三點，它們代表的數分別是 2、5、 − 1 ，如果改用 A 為新原點，單位 長及正向保持不變，則 B 和 C 各代表什麼數？
9
10
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 8 有一數線，若一單位長是 7 公分，則： (1) 代表 − 7 的點和原點相距幾公分？ (2) 若有一點和原點相距 35 公分，則此點所表示的數為多少？
題型 9 1 1 在數線上畫出 − 3 ，2， −1.6 ， −3 ， 2 各數的點，再比較各數的大小。 2 3
1-1 負數與數線
題型 10 (1) 在數線上與原點距離相等，但方向相反的兩點所表示的數，我們稱這樣的兩數互為 什麼數？ (2) 寫出 3， − 5 的相反數。 (3) 寫出
1 2 ， − 1 的相反數。 2 3
題型 11 2 畫出一數線，並分別標出 4 和 − 2 的相反數所表示的點。 3
11
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﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 12 (1) 數線上距離原點 5 單位長的數有__________和__________。 (2) 若│甲│＝5，則甲＝__________或__________。
題型 13 寫出下列各數的值。 (1) │3│ (2) │－5│ 1 (3) │ − 3 │ 2
(4) │－3│的相反數 (5) │－3 的相反數│
1-1 負數與數線
題型 14 (1) 若│甲數│＝3，則甲數＝？ 1 絕對值小於 5 的整數有哪些？ (2) ○ 2 設 a 為整數，且絕對值小於 a 的整數有 5 個，則 a =？ ○
題型 15 若甲數是整數，且 4 <｜甲數｜< 7，求甲數＝？
13
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
14
學力評量 (
)1. 如果北緯 35°以＋35 表示，則南緯 25°該如何表示？ (A) 25
(
(B)－25
(C) 60 (D)－60
)2. 3 + ( −2) =1 ，此式中： (A) “＋”和“－”都是運算符號 (B) “＋”和“－”都是性質符號 (C) “＋”是運算符號，“－”是性質符號 (D) “＋”是性質符號，“－”是運算符號
(
)3. 請判斷下列各選項中的兩數，何者是同號數？ (A)＋3、＋2.1
(
(B)－2、＋4.5
2 、＋5 3
(D) 2
)5. 關於絕對值的計算，下列哪一個選項是正確的？ (A)│－6│＋｜－5｜＝1 (B)｜－6｜－｜＋5｜＝1 (C)｜－6｜＋｜－5｜＝－11 (D)｜－5｜－｜7｜＝2
(
)6. 若 A＝│－2｜，則下列何者為 A 的相反數？ (A) 2
(
(D)
4 、－2.8 5
)4. 如果將最小的正整數減去最大的負整數可得結果為何？ (A)－2 (B) 0 (C) 1
(
(C) −
(B)
1 2
(C) −
1 2
(D) －2
)7. 若 A、B 為相異整數，則下列何者必為正確？ (A) A＋B＞A (B) A－B＜A (C) A－B＝－( B－A ) (D) (－A )＋(－B )＝A＋B
1-1 負數與數線
(
)8. 下列哪一選項的圖形是完整的數線？ (A) (B)
1
0 0
(C)
1
(D)
(
0 1 )9. 如圖，數線上 A、B、C 三點的大小關係為何？ A
B
C
－3 －2 －1 0 1 2 3 (A) A＞B＞C (B) B＞C＞A (C) A＞C＞B (D) C＞B＞A (
)10. 數線上A、B、C、D四點所表示的數分別為－
2 3 4 5 、－ 、－ 、－ ，則這四 3 4 5 6
點中，離原點最遠的是哪一點？ (A) A (B) B (
(C) C
(D) D
)11. 以中午 12 時整為基準，下午 3 時記作＋3，那麼上午 10 時可以記作多少？ (A)＋10 (B)－10 (C)＋2
(
(D)－2
)12. 在數線上要表示 5.8 的點位置，至少要將 5 與 6 兩點間的部分，分成幾等分？ (A) 4 等分ˉ(B) 5 等分ˉ(C) 8 等分ˉ(D) 10 等分
(
)13. 將－2 與 4 這兩點間的線段 3 等分，則最右邊的等分點為何？ (A)－2 (B) 0
(
(D) 4
)14. ∣甲∣≦3，則滿足此條件的甲有多少個？ (A) 2
(
(C) 2
(B) 3
(C) 5
(D) 7
)15. 如圖所示，A、B、C 三點所代表的 數的相反數分別為甲、乙、丙三數， 則有關甲、乙、丙三數絕對值的敘 述何者正確？ (A)∣甲∣＞∣乙∣＞∣丙∣ (B)∣乙∣＞∣丙∣＞∣甲∣ (C)∣丙∣＞∣甲∣＞∣乙∣ (D)∣丙∣＞∣乙∣＞∣甲∣
A
B 0
1
C
15
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
16
(
)16. 絕對值小於 7 的整數有多少個？ (A) 6
(
(B) 7
(B)越大
(B) 9 個
(C)絕對值越小
(C) 10 個
(B)負分數
2 3
(D)－5
)23. －(－a)代表什麼意思？
)24. 滿足－ 6 (A)－7
(
(D)對稱數
)22. 如果甲數的絕對值恰好等於甲數的相反數，那麼下列哪一個數不可能是甲數？
(A) a 的絕對值 (
(D)絕對值越大
(D)無限多個
(C)相反數
(A) 0 (B)－3.14 (C) 2 (
(D) 0
)21. 在數線上位於原點的左右兩邊，並且與原點等距離的兩點所表示的數稱為什麼？ (A)正分數
(
(C)－3.3
)20. 數線上介於 1 與 2 之間的小數有幾個？ (A) 0 個
(
1 3
(B)－ 3
)19. 數線上，如果代表某數的點與原點距離越遠，則關於此數的敘述下列何者正確？ (A)越小
(
(D) ±1
(C)－1
)18. 若 A 點在數線上的位置為－3，則下列哪一點在數線上離 A 點最近？ (A)－2.5
(
(D) 14
)17. 若甲數的相反數等於甲數，則甲數＝？ (A) 0 (B) 1
(
(C) 13
(B) a 的倒數
(C)－a 的相反數 (D) a 的相反數
4 2 ＜x＜－ 4 的所有整數 x 中最小的為何？ 5 3
(B)－6
(C)－5
(D) 0
)25. 若｜－3.9｜≦甲＜｜5.1｜，這樣的整數甲數有 a 個；若｜－3.9｜≦｜乙｜ ＜｜5.1｜，這樣的整數乙數有 b 個，則 a＋b＝？ (A) 4
(B) 6
(C) 8
(D)無限多個
1-2 整數的加減
1-2
整數的加減 基本觀念
1. 整數的加法 (1) 同號數相加【★數字相加，符號相同】 例
2 + 3 =+ ( 2) + ( +3) = +5
− (2 + 3) = −5 例 ( −2) + ( −3) = (2) 異號數相加【★數字大減小，符號同大數】 例
4 + ( −3) =+ ( 4) + ( −3) = +(4 − 3) = +1
例 3 + ( −4) =( +3) + ( −4) =−(4 − 3) =−1
( 5) + ( +2) =−(5 − 2) =−3 例 ( −5) + 2 =− ( 2) + ( +5) = +(5 − 2) = +3 例 ( −2) + 5 =− 2. 加法交換律 對任意整數 a、b，滿足 a + b = b + a 。 例
4 + ( −3) =+(4 − 3) =+1 ( −3) + 4 =+(4 − 3) =+1 ⇒ 4 + ( −3) = ( −3) + 4
3. 加法結合律
對任意三個整數 a、b、c，滿足 ( a + b) + c = a + (b + c ) 。 例
[3 + ( −2)] + 2 =+ [ (3 − 2)] + 2 =+1 + 2 =3 3 + [( −2) + 2] = 3 + 0 = 3 ⇒ [3 + ( −2)] + 2 = 3 + [( −2) + 2]
✐減法不適用於交換律與結合律。
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﹝一﹞Live 數位國中數學講義 4. 整數的減法 對任意整數 a、b，滿足 a − b = a + ( −b) 【★減一個數等於加上這個數的相反數】 例
2 − 3 =+ ( 2) − ( +3) =+ ( 2) + ( −3) = −(3 − 2) = −1
( 2) − ( +3) =− ( 2) + ( −3) = −(2 − 3) = −5 例 −2 − 3 =− ( +3) − ( −2) = ( +3) + ( +2) = +(3 + 2) = +5 例 3 − ( −2) = ( −3) − ( −2) = ( −3) + ( +2) = −(3 − 2) = −1 例 −3 − ( −2) = 5. 數線上兩點間的距離 在數線上，從 A 點到 B 點(或 B 點到 A 點)的距離(或線段長)記為 AB 。 數線上，兩點 A(a)、B(b)的距離： AB = a − b = b − a 例
如右圖，求 A 點到 B 點的距離 AB 。
B −2
解 A、B 兩點的距離 AB = 3 − ( −2) = 3 + 2 = 5 = 5
O −1
0
A 1
2
3
1-2 整數的加減
精選題型 題型 1 計算下列各式的值。 (1) (－3)＋(－8)＝？ (2) (－8)＋(－3)＝？ (3) (－9)＋(－4)＝？ (4) (－4)＋(－9)＝？
題型 2 計算下列各式的值。 (1) 7＋(－3)＝？ (2) (－5)＋2＝？ (3) 4＋(－9)＝？ (4) (－6)＋11＝？
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﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 3 計算下列各式的值。 (1) [284＋(－397)]＋297＝？ (2) 54＋[(－54)＋27]＋(－127)＝？ (3) 1＋(－2)＋3＋(－4)＋5＋…＋(－10)＝？
題型 4 計算下列各式的值。 (1) 199＋256＋(－199)＝？ (2) 199＋28＋(－99)＋(－128)＝？ (3) 50＋49＋48＋…＋1＋0＋(－1)＋…＋(－49)＋(－50)＝？
1-2 整數的加減
題型 5 計算下列各式的值。 (1) (－5)＋6＋(－7)＋8＋…＋(－99)＋100＝？ (2) 2＋(－4)＋6＋(－8)＋10＋(－12)＋…＋198＋(－200)＝？
題型 6 計算下列各式的值。 (1) 25－46＝？ (2) 17－(－9)＝？ (3) (－9)－21＝？ (4) (－3)－(－8)＝？
21
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﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 7 計算下列各式的值。 (1) 35－(－29)＋(－6)＝？ (2) (－8)＋6－(－17)＝？ (3) (－13)＋(－33)－(－12)＝？ (4) 23－(－45)＋(－15)＝？
題型 8 計算下列各式的值。 (1) (5－12)－{(－3)－[20－(－18)]}＝？ (2) 27－{(52－65)－[(－17)－28]}－10＝？
1-2 整數的加減
題型 9 在數線上有三個點A(－5)、B(－2)、C(4)，求 ¯ AB 、 ¯ BC 、 ¯ CA 。
題型 10 數線上A、B兩點分別表示為－12、18，若將 ¯ AB 分成六等分，求： (1) ¯ AB 的長？（即A、B兩點間的距離） (2) 每一等分有多少單位長？ (3) 這五個等分點表示的數各為多少？
23
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﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 11 已知數線上 A 點所表示的數是－7，B 點到 A 點的距離為 27，求 B 點在數線上所表示的數 為何？
題型 12 (1) 若｜a－3｜＝5，則 a＝？ (2) 已知 a、b 為整數，若｜a－5｜＋｜b＋5｜＝0，則 a＝？b＝？
1-2 整數的加減
題型 13 計算下列各式的值。 (1) ｜－99｜－(－99)＋[－(－99)]＝？ (2) 100－｜－59｜＝？ (3) 35－[(－24)－｜－13｜]＝？
題型 14 (1) 有一艘潛水艇從海平面下 35 公尺處發射一枚飛彈，這枚飛彈在海平面上方 68 公尺 處爆炸，請問這枚飛彈升高了多少公尺？ (2) 北平今天的平均溫度是 7℃，明天起將有一波冷氣團，會使得平均溫度降低 13℃， 請問明天北平的平均溫度是幾度？
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﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 15 下表是 8 位學生數學考試得分與全班平均分數相差數的一覽表。 學
生
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
得分與平均分數差 －9 －6 －5 －2 ＋3 ＋11 ＋13 ＋19 若丁生得分為 65 分。問： (1) 全班平均分數為多少分？ (2) 這 8 個學生中，最高分和最低分相差多少分？
1-2 整數的加減
學力評量 (
)1. 最大負整數與最小正整數的和是多少？
(
)2. 在數線上，比 5.1 小，但比－4.9 大的所有整數之和是多少？ (A) 9 (B) 0
(
(C) 4
(A)－2
(B)－1
(C) 0
(D) 2
(D) 5
)3. 在一向右為正的數線上，於－3 與－4 之間的線段上 5 等分，則最右邊的等分 點是下列何者？ 1 (A)－3 5
(
4 (B)－3 5
(C) 5
(B) 15
(C)－15
(D)－5
)6. 如下圖，A、B 兩點所表示的數分別為 4、－9，則 A、B 兩點的距離可以如何 表示？
(A)│4－9│ (
(D)－5
)5. －5，7，－(－3)的相反數分別為 a、b、c，則 a＋b＋c＝？ (A) 5
(
B
O
A
−9
0
4
(B) 9－4
(C)│(－9)－4│
(C)－9
(C)－5
(D) 1
(B) 25
(C)－25
(D)－50
)10. 若 a＜0＜b，則下列哪一個算式的值最大？ (A) a＋b
(
(B)－8
)9. 求－1＋2－3＋4－5＋6＋……－99＋100 之值為何？ (A) 50
(
(A) 17
)8. 若│甲－2│＋│乙＋3│＝0，則甲－乙＝？ (A) 5 (B)－1
(
(D)│－9│－│4│
)7. 在數線上，有一個點在原點的左邊，而且它和 4 所代表的點相距 13 個單位， 則這個點所代表的數為何？
(
4 (D)－4 5
)4. 計算(26－│(－24)－(－13)│)－│7－10│＋│(－5)－12│之值為多少？ (A) 29 (B) 15
(
1 (C)－4 5
(B) a－b
(C) b－a
(D)│a＋b│
)11. 計算(－7)－[(－23)－(－15)]－[21－8＋(－5)]＝？ (A)－6
(B)－7
(C)－8
(D)－9
(D) 17 或－9
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﹝一﹞Live 數位國中數學講義
28
(
)12. 已知數線上四點A( 3 )、B( 5 )、C(－3 )、D(－5 )，則∣(－3 )－5∣是代表那一 個線段？ (A) ￣ AB
(
(B) ￣ BC (C) ￣ CD
(D) ￣ DA
)13. 若(－18)－12＝甲數，(－41)－(－14)＝乙數，(－32)－(－12)＝丙數， 25－(－10)＝丁數，則下列哪一數最小？ (A)甲數
(
(B)乙數
(C)丙數
(D)丁數
)14. 對於│a│的解釋，下列哪一個說法是正確的？ (A)│a│代表數線上 a 點到任何點的距離 (B)│a│代表數線上 a 點到 1 的距離 (C)│a│代表數線上 a 點到原點 0 的距離 (D)│a│代表數線上 a 點到－1 的距離
(
)15. 14＋│(－1)－5│－│6＋(－3)│＝？
(
)16. 若 a、b 兩數的關係為 a＋b＜0，且│a│＞│b│，則下列哪一選項的圖示，可能
(A) 16
(B) 17
(C) 18
(D) 19
是 a、b 在數線上的位置？ (A) (B)
a
(C)
0
b
b
a
0
a
0
b
(D) (
b 0 a )17. 溫度由零下 2℃上升了 5℃，再下降 1℃，則最後的溫度是多少℃？ (A) 8℃
(
(B) 4℃
(C) 2℃
)18. ∣(－3 )－(－2 )∣在數線上代表的意義為何？ (A)－3 到－2 的距離 (C)－3 到 2 的距離
(
(B) 3 到 2 的距離 (D) 3 到－2 的距離
)19. 在數線上要畫出 1.75 這個點，至少要將 1 與 2 兩點之間分成幾等分？ (A) 100
(
(D) 0℃
(B) 25 (C) 4
(D) 2
)20. 若︱甲數＋(－6 )︱＝︱甲數︱＋︱－6︱，則甲數可能為下列哪一數？ (A) 5
(B) 12
(C) 8
(D)－4
1-2 整數的加減
(
)21. 在數線上有五個點，分別為－7、3、－1、0、1，請問哪一點距離－1 最遠？ (A)－7
(
(C) 0
(B) 1
(C) 2a－3
(D) 12
)24. 若 a＞0 且 b＜0，又│a│＝5，│b│＝8，那麼 a＋b 的結果為 (A) 13 (B) 3
(
(D) 3－2a
)23. 設數線上三點分別為A (－12 )、B (－6 )、C (－1 )，求￣ AB ＋￣ BC ＝？ (A) 9 (B) 10 (C) 11
(
(D) 1
)22. 若│a│＝－a，則│a－1│－│a－2│＝？ (A)－1
(
(B) 3
(C)－13
(D)－3
)25. 如下圖，數線上的 A 點表示 14，E 點表示 38，若將 A 和 E 間的距離分成四等 分，且三個等分點為 B、C、D，那麼 B 點表示的數是多少？ A
B
C
D
14 (A) 15 (B) 20 (C) 26
E 38
(D) 35
29
30
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
1-3
整數的乘除與四則運算 基本觀念
1. 整數的乘法─符號法則 (＋)×(＋)→(＋)
(正正得正)
例
(＋3)×(＋2)=＋(3×2)=＋6
(＋)×(－)→(－)
(正負得負)
例
(＋3)×(－2)=－(3×2)=－6
(－)×(＋)→(－)
(負正得負)
例
(－3)×(＋2)=－(3×2)=－6
(－)×(－)→(＋)
(負負得正)
例
(－3)×(－2)=＋(3×2)=＋6
2. 整數的乘法─乘法性質 (1) 任意整數 a 乘以 0，其值為 0。
例
a×0=0×a=0
(2) 任意整數 a 乘以 1，其值不變。
例
a×1=1×a=a
(3) 任意整數 a 乘以(－1)，其值為 a 的相反數。 例 a×(－1)= (－1)×a=－a (4) 兩個以上的整數連乘的運算規則【★正負先判斷，數字再相乘】 1 算式中，有偶數個負數→乘積為正數。 ○
例 (－1)×(－2)×(－3)×(－4)=＋(1×2×3×4)=＋24 2 算式中，有奇數個負數→乘積為負數。 ○
例 (－1)×2×(－3)×(－2)×1=－(1×2×3×2×1)=－12 3. 乘法交換律 對任意整數 a、b，滿足 a×b=b×a。 例
(＋3)×(－2)=－(3×2)=－6 (－2)×(＋3)=－(2×3)=－6 ∵－6 =－6 ∴(＋3)×(－2)=(－2)×(＋3)
1-3 整數的乘除與四則運算 4. 乘法結合律 對任意三個整數 a、b、c，滿足 ( a × b) × c = a × (b × c ) 。 例
[2 × ( −3)] × 4 =− [ (2 × 3)] × 4 =− ( 6) × 4 =−(6 × 4) =−24 2 × [( −3) × 4] =2 × [ −(3 × 4)] =2 × ( −12) =−(2 × 12) =−24 ∵－24 =－24 ∴ [2 × ( −3)] × 4 = 2 × [( −3) × 4]
✐除法不適用於交換律與結合律。 5. 乘法分配律 設 a、b、c 為任意三個整數，則： (1) a × (b + c ) = a × b + a × c 例
2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14
(2) ( a + b) × c = a × c + b × c 例
(2 + 3) × 4 = 2 × 4 + 3 × 4 = 8 + 12 = 20
(3) a × (b − c ) = a × b − a × c 例
2 × (3 − 4) =2 × 3 − 2 × 4 =6 − 8 =−2
(4) ( a − b) × c = a × c − b × c 例
(2 − 3) × 4 =2 × 4 − 3 × 4 =8 − 12 =−4
6. 整數的除法─符號法則 (＋)÷ (＋)→(＋)
(正正得正)
例
(＋6)÷(＋2)=＋(6÷2)=＋3
(＋)÷(－)→(－)
(正負得負)
例
(＋6)÷(－2)=－(6÷2)=－3
(－)÷(＋)→(－)
(負正得負)
例
(－6)÷(＋2)=－(6÷2)=－3
(－)÷(－)→(＋)
(負負得正)
例
(－6)÷(－2)=＋(6÷2)=＋3
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﹝一﹞Live 數位國中數學講義 7. 整數的除法─除法性質 (1) 任意整數 a 除以 0，其值無意義。
例
a÷0 無意義【★0 不可為除數】
(2) 任意整數 a 除以 1，其值不變。
例
a÷1=a
(3) 任意整數 a 除以(－1)，其值為 a 的相反數。
例
a÷(－1)=－a
(4) a 為任意整數，但 a≠0。 1 ○ 0÷a=0 2 ○ a÷a=1 3 ○ a÷(－a)=－1 4 ○ (－a)÷a=－1
8. 除法分配律 設 a、b、c 為任意三個整數，則： (1) ( a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c 例 (12 + 4) ÷ 2 = 12 ÷ 2 + 4 ÷ 2 = 6 + 2 = 8 (2) ( a − b) ÷ c = a ÷ c − b ÷ c 例 (12 − 4) ÷ 2 = 12 ÷ 2 − 4 ÷ 2 = 6 − 2 = 4 (3) a ÷ (b + c ) ≠ a ÷ b + a ÷ c 例
【★除法之除數不可任意拆解】
12 ÷ (4 + 2) = 12 ÷ 6 = 2 12 ÷ 4 + 12 ÷ 2 = 3 + 6 = 9 ∵2 ≠ 9 ∴ 12 ÷ (4 + 2) ≠ 12 ÷ 4 + 12 ÷ 2
(4) a ÷ (b − c ) ≠ a ÷ b − a ÷ c 例
【★除法之除數不可任意拆解】
12 ÷ (4 − 2) = 12 ÷ 2 = 6 12 ÷ 4 − 12 ÷ 2 =3 − 6 =−3 ∵ 6 ≠ −3 ∴ 12 ÷ (4 − 2) ≠ 12 ÷ 4 − 12 ÷ 2
1-3 整數的乘除與四則運算 9. 整數的四則運算與去括號法則 (1) 整數的四則運算規則【★括號先算，先乘除後加減】 進行正、負整數的四則運算時，須遵循以下規則： 有括號時，先作括號內的計算；若同時有加、減、乘、除運算，應先作乘、除， 再做加、減，並且應由左而右依序計算。 9 − 7 × (5 + 4 ÷ 2)
例
= 9 − 7 × (5 + 2)
= 9 −7×7 = 9 − 49 = −40 (2) 整數的去括號法則【★小中大，內而外】 進行正、負整數的四則運算時，若算式中包含括號，需遵循以下規則： 先計算小括號 ( 括號 { 例
) 內的算式，再計算中括號 [
} 內的算式。 ( −7) + {8 ÷ [4 + 2 × (5 − 3)] − 6}
=( −7) + {8 ÷ [4 + 2 × 2] − 6} =( −7) + {8 ÷ [4 + 4] − 6} =( −7) + {8 ÷ 8 − 6} =( −7) + {1 − 6} = ( −7) + ( −5)
= −12
] 內的算式，最後再計算大
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﹝一﹞Live 數位國中數學講義
精選題型 題型 1 計算下列各式的值。 (1) 13 × (－5)＝？ (2) (－8) × 3＝？ (3) (－19) × (－43)＝？ (4) 0 × (－99999)＝？
題型 2 計算下列各式的值。 (1) 6 × (－2) × (－3)＝？ (2) (－5) × 4 × (－3) × (－2)＝？ (3) (－1999) × (－1998) × (－1997) × (－1996) × (－1995) × 0＝？
1-3 整數的乘除與四則運算
題型 3 計算下列各式的值。 (1) [(－23) × 2] × (－5)＝？ (2) 50 × [(－2) × 99]＝？ (3) 5 × 83 × (－2)＝？ (4) (－25) × 93 × (－4)＝？
題型 4 計算下列各式的值。 (1) (－83) × (－19) ＋ (－17) × (－19)＝？ (2) 183 × (－19) ＋ 83 × 19＝？ (3) 345 × 951 － 345 × 894 ＋ 345 × 43＝？ (4) (－49) × 123 ＋ (－123) × 49 － 146 × (－49)＝？
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﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 5 計算下列各式的值。 (1) 32 ÷ (－4)＝？ (2) (－15) ÷ 3＝？ (3) (－49) ÷ (－7)＝？ (4) 0 ÷ (－3)＝？
題型 6 計算下列各式的值。 (1) (－54) ÷ (－6) ÷ 3＝？ (2) (－54) ÷ [(－6) ÷ 3]＝？ (3) (－96) ÷ 2 ÷ (－3) ÷ (－4)＝？ (4) 0 ÷ (－3) ÷ 4 ÷ (－5) ÷ 6＝？
1-3 整數的乘除與四則運算
題型 7 計算下列各式的值。 (1) (－4) ÷ (－6) ＋ (－2) ÷ (－6)＝？ (2) (－27) ÷ 8 ＋ (－18) ÷ 8 ＋ (－27) ÷ 8＝？ (3) (－96) ÷ 7 － 18 ÷ (－7) － (－29) ÷ 7＝？
題型 8 計算下列各式的值。 (1) 3 ＋ 5 × (－2) ＋ [(－4) － 5 × 2]＝？ (2) (－21) ÷ 3 × 2 ＋ 5 × (－6)＝？ (3) 240 ÷ [(－2) × 6 － 8]＝？
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﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 9 計算下列各式的值。 (1) (－3) × {(－2) － [(－123) ÷ 3 － 85 ÷ (－17)]} － 171 ÷ (－19)＝？ (2) {[81 ＋ (－67)] ÷ (－7) － (－6)} － (－63) ÷ (－9)＝？
題型 10 (1) 水庫每天都上升 9 公分，則 6 天前的水位比現在高或低多少公分？ (2) 水庫每天都下降 7 公分，則 3 天前的水位比現在高或低多少公分？
1-3 整數的乘除與四則運算
學力評量 (
)1. 最大的負整數和最小的正整數的乘積為何？ (A) 0
(
(B) 1
(C)－1
)2. 計算(－1)×(－1)÷(－1)×(－1)÷(－1)＝？ (A)－1 (B) 0
(
(C) 1
(
(B) 3
(D) C÷( A＋B )＝C÷A＋C÷B
)6. 從－2，－3，4，5 這四個數中任取三數相乘，則乘積最大的為何？ (B) 30
(D) 120
(C)－32
(D)－40
)8. 1296×(－58 )－196×(－58 )＋1296×42－196×42＝？ (B)－19600
(C)－14380
(D)－17600
)9. 97863×(－5)×9×0×(－4)＝？ (B)－17615340
(C) 176153400
(D) 0
)10. 某水庫水位每日下降 3 公分，5 天前水位和現在相比為何？ (B)低 15 公分
(C)不變
(D)高 8 公分
)11. 若 999×(－98)＋999×(－2)＝999×a＝b，求 b－a＝？ (A)－99800
(
(C) 24
)7. 計算{[(－4)＋(－2)]×[(－3)－(－6)]－(7－9)}÷(－4)－36＝？
(A)高 15 公分 (
(D) 42
(C) ( A＋B )÷C＝A÷C＋B÷C
(A) 17615340 (
(C) 21
(B) C×( A＋B )＝C×A＋C×B
(A) 12960 (
(D)(－5)÷0＝0
(A) ( A＋B )×C＝A×C＋B×C
(A) 32 (B) 40 (
(C) 0 × (－5)＝0
)5. 下列敘述何者錯誤
(A) 60 (
(B) 0 × 0＝0
)4. 計算 9＋(－2) × [18－(－3) × 2]÷4 之值為何？ (A)－3
(
(D) 2
)3. 下列哪一個選項的式子是錯誤的？ (A)(－5) × 0＝0
(
(D)無法求得
(B) 100000
(C) 10100
(D)－99900
)12. 已知 3×37037＝111111，求 111111×58＋26×37037 之值為何？ (A) 3703700
(B) 370370 (C) 7407400
(D) 740740
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﹝一﹞Live 數位國中數學講義
40
(
)13. (1－2) × (2－3) × ……×(99－100)＝？ (A) 1
(
(B)－1
(C) 0
(D) 100
)14. 設 a、b、c 三數都是負數，且 a×(－3 )＝b×(－2 )＝c×(－4 )，則 a、b、c 三數 的大小關係為何？ (A) a＜b＜c
(
(B) 360
(C) 370
(B) 340
(D) (－a)÷b－b
(D) 380
(C) 360
(D) 390
)18. 計算 34576×987－34576×653＋17288×666×2 之值為何？ (A) 3457600
(
(C)－a÷(－b )－a
)17. 求(－5)×[7×(8－17)－(9－19)÷(－2)]＝？ (A) 330
(
(B)︱a︱×︱b︱－b
)16. 若甲數÷243＝378，則(甲數－6804)÷243＝？ (A) 350
(
(C) b＜a＜c (D) b＜c＜a
)15. a＞0，b＜0，下列何式恆為負數？ (A) a－b
(
(B) a＜c＜b
(B) 3456700
(C) 34576000
(D) 34567000
)19. 利用結合律、交換律與分配律的觀念，判別下列各敘述中正確的有幾項？ (甲)(5×3)×2＝(2×3)×5 (乙) 7×(2＋3)＝(7×2)＋3 (丙)(3－2)×4＝3×4－2×4 (丁)(10－8)－3＝10－(8－3) (戊)(9－5)×3＝9×3＋5×3 (A) 1
(
(B) 2
(
(D) 4
)20. 計算(－8)×(－1)＋{－3×[－2＋(－6)×(－3)]＋∣7－8∣}＝？ (A)－39
(
(C) 3
(B) 33
(C) 31
(D)－65
)21. 下列各式的值，何者與其他算式的值不相等？ (A) 96÷(－8)÷(－4)
(B)[96÷(－8)]÷(－4)
(C) 96÷[(－8)÷(－4)]
(D) 96÷[(－8)×(－4)]
)22. 請計算｜5－3｜－｜10－15｜×｜－5－3｜的值是多少？ (A) 38
(B)－38
(C) 42
(D)－42
1-3 整數的乘除與四則運算
(
)23. 從－2，3，－4，5，－6 這五個數中任取三數相乘，則乘積最小的數為何？ (A)－60 (B)－48
(
(D)－30
)24. 若 9＋18＋27＋36＋45＋54＋63＋72＋81＝9×□，則 □＝？ (A) 48 (B) 45
(
(C)－90
(C) 40
(D) 36
)25. 一糖果店以每公斤 60 元買進 A 種糖果 25 公斤，每公斤 30 元買進 B 種糖果 35 公斤，混合後以每公斤 55 元售出，請問全數賣完後可以賺多少元？ (A) 700 (B) 750
(C) 800
(D) 850
41
42
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
1-4
指數律 基本觀念
1. 乘方的表示法─底數與指數 當一個數 a 連乘 n 次時，可表示為乘方的形式─ a n ，其中 a 稱為底數，n 稱為指數。 乘方(同數相乘)
記法
讀法
備註
7×7
72
七的二次方
二次方又稱「平方」
7×7×7
73
七的三次方
三次方又稱「立方」
( −7) × ( −7) × ( −7) × ( −7)
( −7) 4
負七的四次方
( −7) 4 其值為正
−(7 × 7 × 7 × 7)
−74
負的七的四次方
−74 其值為負
a × a × ×a n個a
an
a 的 n 次方
※當指數為 1 時，通常省略不寫，例如： 71 = 7 2. 指數律 若 a、b 是不為 0 的整數，m、n 是任意正整數。 (1) a m × a n = a m + n 【★同底相乘指數相加】 例
7 2 × 7 3 = 7 2 + 3 = 75
(2) a m ÷ a n = a m −n 【★同底相除指數相減】 例
7 5 ÷ 7 3 = 7 5− 3 = 7 2
(3) ( a m ) n = a m×n 【★乘方再乘方指數相乘】 例
2 3 2×3 (7= ) 7= 76
(4) ( a × b) n =a n × bn 【★相乘後乘方＝乘方後相乘】 例
(5 × 7)3 =53 × 73 n
an a (5) ( a ÷ b) = a ÷ b ⇔ = n 【★相除後乘方＝乘方後相除】 b b 2 42 4 例 (4 ÷ 3)2 = 42 ÷ 32 ⇔ = 2 3 3 n
n
n
1-4 指數律 3. 指數為 0 或指數為負數 若 a 是不為 0 的整數，n 是任意正整數。 (1) a 0 = 1 例
20 = 23−3 = 23 ÷ 23 = 8 ÷ 8 = 1
※ 00 無意義 (2) a − n = 例
1 an
1 2 −3 =20−3 =20 ÷ 23 =1 ÷ 23 = 3 2
43
44
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
精選題型 題型 1 完成下面的表格： 乘方(同數相乘)
記法
讀法
底數
指數
3× 3 2×2×2 ( −5) × ( −5) × ( −5) × ( −5) ( −a ) × ( − a ) × × ( − a) m個( −a )
題型 2 計算下列各式的值。 (1) 34 ＝？
(2) ( −3) 4 ＝？
(3) −34 ＝？
(4) 43 ＝？
(5) ( −4)3 ＝？
(6) −43 ＝？
1-4 指數律
題型 3 計算下列各式的值。 (1) ( −1)100 ＝？ (2) −( −1)99 ＝？ (3) −( −1)80 ＝？ (4) ( −1)3 − ( −1) 2 − [( −1)6 − ( −1)7 ] ＝？
題型 4 計算下列各式的值。 (1) −24 + ( −9) 2 ＝？ (2) ( −6) 2 − ( −4)3 ＝？ (3) −53 + [( −8) 2 − ( −1) 4 ] ÷ 32 ＝？ (4) 6 − 23 × [3 − ( −2)3 ] − 5 ＝？
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﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 5 計算下列各式的值。 (1) 3−3 ＝？ (2) 2 −5 ＝？ (3) ( −4) −2 ＝？ (4) ( −7) −3 ＝？
題型 6 利用指數律計算下列各式的值。 (1) 105 × 10−3 ＝？ (2) ( −2) −2 ÷ ( −2) −5 ＝？ (3) ( −32 ) 2 ＝？ (4) [( −5)3 × 23 ]2 ＝？
1-4 指數律
題型 7 利用指數律計算下列各式的值。 (1) 153 ÷ ( −5)3 × 23 ÷ ( −6) 2 ＝？ (2) (2 × 32 )3 ÷ 63 × 53 ÷ ( −15) 2 ＝？ (3) ( −22 × 3)0 × 305 ÷ 23 ÷ ( −3) 4 ÷ 55 ＝？
題型 8 計算下列各式的值。 (1) ( −3) 2 × 4 + ( −2)3 × 5 + 40 ＝？ (2) 215 + 3 × (5 − 4 × 2) 4 ＝？
47
48
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 9 比較下列各組數的大小。 (1) a＝ ( −2)3 ，b＝ ( −2) 4 ，c＝ ( −2)5 (2) a＝ ( −97)7 ，b＝ ( −97)8 ，c＝ ( −97)9 ，d＝0
1 1 1 (3) a＝ ( − ) 2 ，b＝ ( − )3 ，c＝ ( − ) 4 3 3 3
題型 10 試比較下列各數的大小。 (1) 224 ， 316 ， 108 (2) 223 ， 411 ， 87 (3) 23 × 32 × 73 ， 22 × 3 × 74 ， 24 × 33 × 72
1-4 指數律
學力評量 (
)1. (0.1)2＝？ (A) 0.1 (B) 1 (C) 0.2
(
(D) 0.01
)2. 關於－74，則下列何種表示法正確？ (A)(－7)×(－7)×(－7)×(－7) (B)(－7)＋(－7)＋(－7)＋(－7) (C)(－4)＋(－4)＋(－4)＋(－4)＋(－4)＋(－4)＋(－4) (D)(－1)×(－7)×(－7)×(－7)×(－7)
(
)3. 有關指數形式有時可以有不同的表達方式。 例如：56＝5×5×5×5×5×5＝(5×5)×(5×5)×(5×5)＝253 仿上例：若 38＝9□＝81△，則□＋△之值為何？ (A) 4
(
(B) 6
(C) 8
(D) 10
)4. 下列敘述何者正確？ (A) 32＝9 (B) 63 表示 6 個 3 相乘 (C) 23 的底數是 3、指數是 2 (D) 8 的立方可以寫成 8×3
(
)5. 計算[(－3)2×(－2)3－(－4)×3＋3]×(－2)＝？ (A) 114
(
(B)－114 (C)－116
)6. 下列等式何者錯誤？ (A)(－6)2＝62
(
(D) 116
(B)－62＝－(－6)2
(C)－(63)＝(－63)
(D)－(－6)2＝62
)7. 若甲＝(－2)3，乙＝(－1)3，丙＝(－3)×(－1)，那麼甲、乙、丙三數的大小關係 為何？ (A)甲＞乙＞丙 (B)甲＞丙＞乙 (C)丙＞甲＞乙
(
(D)丙＞乙＞甲
)8. 指出下列敘述何者正確？ (A) 28×22＝216
(B) 32×31＝32
(C) 42×43＝45 (D) 24×34＝54
49
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
50
(
)9. a≠0，若 a3×a2＝a□，a12÷a4＝a△，則□＋△＝？ (A) 9
(
(B) 30
(B) (53)2
(C) 253
(D) (－53)2
(B) b＞a＞c (C) a＞c＞b (D) b＞c＞a
(B) b＞a＞c (C) a＞c＞b (D) c＞a＞b
(B)－3
(C) 81
(D)－81
)16. a＝－52、b＝(－5)2、c＝(－6)2、d＝－62，則下列何者正確？ (A) c＞b＞d＞a
(
(D) 25
)15. (－3)6 是－32 的多少倍？ (A) 3
(
(C) 23
)14. 若 a＝24×32×52，b＝25×33×5，c＝23×34×5，則 a、b、c 的大小關係為何？ (A) a＞b＞c
(
1 (D) 100
)13. 若 a＝29，b＝36，c＝73，則 a、b、c 的大小關係為何？ (A) a＞b＞c
(
1 (C) 10
(B) 10
)12. (52)3 與下列哪一個數不相等？ (A) 55
(
(D) 15
)11. 23×25×(23)5＝2m，則 m＝？ (A) 16
(
(C) 13
)10. 2 × 10−5 × 5 × 102 ＝？ (A) 1
(
(B) 11
(B) c＞b＞a＞d
(C) a＝b＜c＝d
(D) a＝b＞c＝d
)17. 下列哪一個式子錯誤？ (A) 25＞24＞23 (B)(－2)3＞(－2)4＞(－2)5 1 1 1 (C) ( 2 )3＞( 2 )4＞( 2 )5 (D)－23＞－24＞－25
(
)18. 計算 5－[20－(－4 )3]÷[(－2 )4－( 2－5 )2]＝？ (A)－25 (B) 17
(
(C)－7
(D) 14
)19. 下列四個數中，答案等於 1 的有哪幾個？ 甲：3250
乙：139
丙：－(－5)0
(A)甲、乙 (B)甲、丙
丁：(－1)9×13
(C)甲、乙、丙
(D)甲、乙、丙、丁
1-4 指數律
(
)20. 已知 243＝3a、128＝2b，則 a − b2 ＝？ (A) 2 (B)－44
(
(B) 10−3
(C) 451
(B) 24 個
(D) 461
(C) 30 個
(D) 40 個
)24. 若甲＝(－7)3，乙＝(－3)4，丙＝－73，丁＝－34，下列敍述何者正確？ (A)甲＞乙 (B)甲＋丙＝0
(
(D) 10−5
)23. 求 10 × 1002 × 10003 × 100004 的乘積中，末尾共有幾個零？ (A) 10 個
(
(C) 10−4
)22. 已知 119×21＝2499，求 119×213－2498×212＝？ (A) 431 (B) 441
(
(D) 44
102 ，則 a＝？ )21. 若 10−3 ÷ a = (A) 10−2
(
(C)－2
(C)乙與丁互為相反數
(D)丙＜丁
)25. 海關清點查扣的 9 大箱走私香菸，發現在每大箱裡有 9 個小箱子，在每個小箱 子裡有 9 盒香菸，而每盒裝了 9 包香菸，則此次查扣的走私香菸共有幾包？ (A) 9×4
(B) 99
(C) 94
(D) 49
51
52
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
1-5
科學記號 基本觀念
1. 十進位值與 10 的次方
例
位名
數值
表示法
10n
⋮
萬位
⋮
10000
⋮
10 × 10 × 10 × 10
⋮
104
千位
1000
10 × 10 × 10
103
百位
100
10 × 10
102
十位
10
10
101
個位
1
1
100
十分位
0.1
1 10
10−1
百分位
0.01
1 100
10−2
千分位
0.001
1 1000
10−3
萬分位
0.0001
1 10000
10−4
⋮
⋮
⋮
⋮
54321=50000＋4000＋300＋20＋1 =5×1000＋4×1000＋3×100＋2×10＋1 =5×104＋4×103＋3×102＋2×101＋1×100
例
0.12345=0.1＋0.02＋0.003＋0.0004＋0.00005 =1×0.1＋2×0.01＋3×0.001＋4×0.0001＋5×0.00001 =1× 10−1 ＋2× 10−2 ＋3× 10−3 ＋4× 10−4 ＋5× 10−5
1-5 科學記號 2. 10 的次方與國際單位制詞頭
10n
詞頭
英文
符號
109
吉
giga
G
Gm
吉米
Gg
吉克
106
百萬
mega
M
Mm
百萬米
Mg
百萬克
103
千
kilo
k
km
千米
kg
千克
102
百
hecto
h
hm
百米
hg
百克
101
十
deca
da
dam
十米
dag
十克
meter(m)
米
gram(g)
克
100
長度單位
重量單位
10−1
分
deci
d
dm
分米
dg
分克
10−2
釐
centi
c
cm
釐米
cg
釐克
10−3
毫
milli
m
mm
毫米
mg
毫克
10−6
微
micro
μ
μm
微米
μg
微克
10−9
奈
nano
n
nm
奈米
ng
奈克
根據上表進行長度單位換算：
根據上表進行重量單位換算：
(1) 1Gm = 109 m
(1) 1Mg = 106 g
1吉米=109 米 (2) 1km = 103 m 1千米=103 米
1百萬克=106 克 1公噸 = 106 公克 (2) 1kg = 103 g
1公里=103 公尺 (3) 1µ m = 10−6 m
1千克=103 克 1公斤=103 公克
1微米=10-6 米 (4) 1nm = 10−9 m -9
1奈米=10 米
(3) 1µ g = 10−6g 1微克=10-6 克
53
54
﹝一﹞Live 數位國中數學講義 3. 科學記號的定義與應用 大於或等於 1 且小於 10】 1 ≤ a < 10【a 科學記號表示法： a × 10n n為整數 例
地球的質量為 5974200000000000000000000 公斤 5974200000000000000000000＝ 5.9742 × 1024
例
A 型流感病毒的直徑為 0.00000008～0.00000012 公尺 0.00000008＝ 8 × 10−8 0.00000012＝ 1.2 × 10−7
4. 數與科學記號之互換 大於 10 的數
科學記號
小於 1 的數
科學記號
12
1.2 × 101
0.34
3.4 × 10−1
120
1.2 × 102
0.034
3.4 × 10−2
1200
1.2 × 103
0.0034
3.4 × 10−3
12000
1.2 × 104
0.00034
3.4 × 10−4
12000000
1.2 × 107
0.0000034
3.4 × 10−6
1200000000
1.2 × 109
0.000000034
3.4 × 10−8
5. 科學記號之乘法運算 進行科學記號之乘法運算，可利用乘法交換律、結合律與指數律做運算。 例
以科學記號表示下列各式之結果 (1) 12000000 × 30000000
解
(1) 12000000 × 30000000
(2) 0.00000045 × 0.00000006 (2)
0.00000045 × 0.00000006
= (1.2 × 107 ) × (3 × 107 )
= (4.5 × 10−7 ) × (6 × 10−8 )
= (1.2 × 3) × (107 × 107 )
= (4.5 × 6) × (10−7 × 10−8 )
= 3.6 × 107+7
= 27 × 10( −7)+( −8)
= 3.6 × 1014
= 27 × 10−15 = 2.7 × 101 × 10−15 = 2.7 × 101+( −15) = 2.7 × 10−14
1-5 科學記號 6. 科學記號之除法運算 進行科學記號之除法運算，可利用指數律做運算。 例
以科學記號表示下列各式之結果 (1) 980000000 ÷ 20000000
解
(1) 980000000 ÷ 20000000
(2) 0.000000035 ÷ 0.000005 (2)
0.000000035 ÷ 0.000005
= (9.8 × 108 ) ÷ (2 × 107 )
= (3.5 × 10−8 ) ÷ (5 × 10−6 )
= (9.8 ÷ 2) × (108 ÷ 107 )
= (3.5 ÷ 5) × (10−8 ÷ 10−6 )
= 4.9 × 108−7
= 0.7 × 10( −8)−( −6)
= 4.9 × 101
= 0.7 × 10−2 =× 7 10−1 × 10−2 = 7 × 10( −1)+( −2) = 7 × 10−3
7. 科學記號之加減運算 進行科學記號之加減運算，先將指數部份化成相同後，再利用乘法分配律做運算。 例
以科學記號表示下列各式之結果 (1) 1.2 × 109 + 3.4 × 107
解
(1) 1.2 × 109 + 3.4 × 107
(2) 9.8 × 10−6 − 7.6 × 10−8 (2)
9.8 × 10−6 − 7.6 × 10−8
= 1.2 × 102 × 107 + 3.4 × 107
= 9.8 × 10−6 − 7.6 × 10−2 × 10−6
= 120 × 107 + 3.4 × 107
=9.8 × 10−6 − 0.076 × 10−6
= (120 + 3.4) × 107
= (9.8 − 0.076) × 10−6
= 123.4 × 107 = 1.234 × 102 × 107 = 1.234 × 109
= 9.724 × 10−6
55
56
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
精選題型 題型 1 將下列各數用科學記號來表示。 (1) 4560000
(4) 0.00006
(2) 258 × 108
(5) 0.000231
(3) 1234.567
(6) 8673 × 10−10
題型 2 寫出下列各科學記號乘開的結果。 (1) 3.12 × 103
(4) 2 × 10−3
(2) 1.673 × 104
(5) 9.65 × 10−4
(3) 9 × 105
(6) 1.236 × 10−5
1-5 科學記號
題型 3 求下列各式的值，並用 10 的次方來表示： (1) 102 × 10−3 (2) 10−7 × 10−2 (3) 10−5 × 108 (4) 105 × 106
題型 4 計算下列各式的值，並以科學記號表示。 (1) 120 × 500 (2) 0.008 × 0.05 (3) 4 × 103 × 5 × 106 (4) 7 × 10−8 × 9 × 10−6
57
58
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 5 (1) 試比較 1 × 107 與 9.9 × 106 的大小。 (2) 試比較 2.1 × 10−3 與 8.9 × 10−4 的大小。
題型 6 若 A= 4 × 10−7 ，B= 8 × 10−9 ，試求出下列各式的值，並以科學記號表示結果。 (1)
A× B
(2)
A÷ B
1-5 科學記號
題型 7 計算下列各式的值，並以科學記號表示。 (1) 4.62 × 107 − 3.2 × 107 (2) 1.63 × 10−3 + 6.7 × 10−3
題型 8 計算下列各式的值，並以科學記號表示。 (1)
104 2 × 103
4 × 10−5 (2) 16 × 10−2
(3)
0.2 × 109 + 1.3 × 108 500 × 103
(4)
0.3 × 10−6 + 3.7 × 10−7 0.05 × 108
59
60
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 9 冠狀病毒是引起 SARS 的元兇，這種病毒的大小約為 20 奈米，已知 1 奈米＝ 10−9 米， 那麼 SARS 病毒的大小是多少米？用科學記號來表示。
題型 10 光在真空中的速度是每秒 3 × 108 公尺，那麼光走 1 小時的距離是多少公尺？用科學記 號來表示。
1-5 科學記號
61
題型 11 若一年以 365 天計算，秒數為 3.1536 × 107 秒，那麼 4 年共有多少秒？用科學記號來 表示。
題型 12 某恆星距地球 1.5 × 1015 公里，光速以 3 × 108 公尺／秒計算，則光從恆星到地球需幾秒？ (請以科學記號表示結果)
62
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 13 「庫侖」(C) 是電量的單位。 1 個電子所帶的電量約為 1.6 × 10−19 庫侖的負電。 請問 1 莫耳(約 6 × 1023 個)電子所帶的電量約為多少庫侖？
題型 14 右表是A、B、C、D、E 五種細菌的大小，
A
6.1 × 10−6
請將這五種細菌，由大到小排列出來。
B
2.3 × 10−5
C
5 × 10−4
D
3.61 × 10−6
E
9.73 × 10−5
(單位：mm)
1-5 科學記號
題型 15 已知實驗室有體長為 1.47 × 10−4 米的變形蟲和體長為 9.6 × 10−5 米的草履蟲，請問變形 蟲、草履蟲哪一種較長？長多少米？(以科學記號表示)
63
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
64
學力評量 (
)1. 關於科學記號 a × 10n 的敘述，下列何者正確？ (A) 1 ≤ a ≤ 10
(
(B) 4
(B) 8 位數
(B) 1
(D) 10－9 倍
(B) 35.5 × 103
(C) 1.46 × 10－7
(D) 1 × 10－9
(C) 2
(D) 3
17 )7. 若 1000000 ＝1.7×10a，893000＝8.93×10b，0.000054＝5.4×10c，則a＋b＋c＝？ (B) 5
(C)－5
(D)－6
)8. 1 微米＝10－6 米，1 奈米＝10－9 米，那麼 50 微米是 1 奈米的多少倍？ (A) 500 倍
(
(C) 109 倍
)6. 將 3.21×10－5 寫成小數形式，則其小數點後第五位數字為何？
(A) 4 (
(D) 10 位數
)5. 下列哪一個選項的表示法不是科學記號的表示法？
(A) 0 (
(C) 9 位數
(B) 10－6 倍
(A) 3.5 × 10－3 (
(D) 6
)4. 在 7534.347 中，末尾的 7 是首位的 7 之多少倍？ (A) 106 倍
(
(C) 5
)3. 若甲數＝7.2 × 108，則甲數為幾位數？ (A) 7 位數
(
(D) 1 ≤ a＜10
)2. 若 50706.35＝5×10a＋7×10b＋6×10c＋3×10d＋5×10e，則 a＋b＋c＋d＋e＝？ (A) 3
(
(B) n 為正整數 (C) n 為負整數
(B) 5000 倍
(C) 50000 倍
(D) 500000 倍
)9. 計算 (5.8 × 10－6) × (8.5 × 10－8) 的結果以科學記號表示為 a × 10n，則有關 a、n 的值下列哪一個是正確的？ (A) a＜5
(
(B) a＞5
(C) n＝－14
(D) n＝－12
)10. 有一動物可以看到的光是波長介於 3.8×10－6 和 7.7×10－7 公尺之間，則下列哪個 波長的光是該動物看不到的？ (A) 1.2×10－6 公尺
(
(B) 10－6 公尺
(C) 3.2×10－7 公尺
(D) 9.5×10－7 公尺
)11. 5.8 × 10－5 這個數，在小數點後的第幾位數開始不是 0？ (A)第四位
(B)第五位
(C)第六位
(D)第七位
1-5 科學記號
(
)12. 下列哪一個數讀作「四億零四十萬零四百零三」？ (A) 400040403 (B) 404000403
(
(C) 404004003
(D) 400400403
)13. 計算 (8.2 × 10－5)＋(5.8 × 10－5) 所得的結果以科學記號表示為何？ (A) 14 × 10－5
(
65
(B) 1.4 × 10－6 (C) 14 × 10－10
(D) 1.4 × 10－4
)14. 已知 A＝5.4×10－5、B＝1.8×10－6，請判斷下列選項何者正確？ (A) A＋B＝7.2×10－6 (B) A－B＝5.22×10－6 (C) A×B＝9.72×10－11 (D) A÷B＝3×10－1
(
)15. 一莫耳的氧原子有 6×1023 個，那麼 7.2×1026 個的氧原子約等於幾莫耳？ (A) 12 莫耳
(
(D) 12000 莫耳
2 )16. 下列何者為 25 的科學記號？ (A) 8×10－1
(
(B) 120 莫耳 (C) 1200 莫耳
(B) 8×10－2
(C) 2.3×10－1
(D) 2.3×10－2
)17. 如果 500 張白紙的厚度大約是 1.5 公分，那麼一張白紙的厚度大約是多少公分？ （以科學記號表示） (A) 3 × 10－2 公分
(
(B) 3 × 10－3 公分
(C) 3 × 10－4 公分
(D) 3 × 10－5 公分
)18. 人類的頭髮直徑介於 25000～50000 奈米(nm)之間，下列哪一個可能是頭髮直 徑？ 1 1 1 1 (A) 25000 m (B) 45000 m (C) 2500 m (D) 4500 m
(
)19. 光年是光連續跑一年的距離，大約是 9.46 × 1015 公尺，那麼 9.33 光年的距離大 約多少公里？ (A) 8.83 × 1012 公里 (B) 8.83 × 1013 公里 (C) 8.83 × 1014 公里 (D) 8.83 × 1015 公里
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
66
(
)20. 人體中白血球的大小大約是 1cm的千分之一，下列哪一個數可表示白血球的大 小？ 1 1 －4 (A) 10－2 mm (B) 1000 mm (C) 10 mm (D) 100000 mm
(
)21. 若 3.8×108＋4×108－8×1018÷(4×1010)－8×107＝a×10n，則 a＋n＝？ (A) 11
(
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(B) 1.01×109
(C) 1.1×107
(D) 1.01×107
)24. A＝6.5×10－5、B＝9.3×10－7、C＝6.4×10－8、D＝3.5×10－7，問四數中何者最大？ (A) A (B) B
(
(D) 14
)23. 若 a＝109，b＝107，則可將 a＋b 的結果以科學記號表示為何？ (A) 1.1×109
(
(C) 13
)22. 人類腦細胞的數量大約有 140 億個，今將 140 億寫成 1.4×10a，則 a＝？ (A) 7
(
(B) 12
(C) C
(D) D
)25. 已知一個質子的質量是 1.67262 × 10－27 kg，那麼多少個質子的質量才會等於 1 公克？ (A) 5.98 × 1023
(B) 6.98 × 1023
(C) 5.98 × 1024
(D) 6.98 × 1024
第一章
第一章 (
)1.
(－5201314)＋[5201313＋(－1688)]＝？ (C)－1685
(D) A＋B＝100
)3. 下列何者最大？ (A)(－8)＋15
(
(D)－1683
)2. A＝(－80)－20÷4，B＝[(－80)－20]÷4，則下列何者正確？ (A) A＞B (B) A＜B (C) A＝B
(
模擬試題
模擬試題
整數的運算
(A)－1689 (B)－1687 (
整數的運算
(B)－32＋45
(C)－8－(－12)
(D)(－9)＋(－7)
)4. 甲＝25×(－4)×(－0.9) 乙＝－(－3)×[－(－3)] 丙＝16÷(－2)÷(－2)÷(－2) 丁＝(－32)÷16÷(－2)÷[－(－2)] 甲、乙、丙、丁中有幾個正數？ (A) 1 個
(
(B) 2 個
(D) 4 個
)5. (－649)×1234－649×8766＝？ (A)－6490000
(
(C) 3 個
(B)－6390000
(C)－6290000
(D)－6190000
)6. 在數線上，A 點在原點左邊與原點相距 9 個單位長，B 在 A 的左邊 7.5 個單位 長，則 B 的坐標是多少？ (A) 2.5
(
(B)－2.5
(C)－14.5
(D)－16.5
)7. 在數線上 A(－2)、B(8)、C(12)，且單位長 2cm，則下列何者正確？ (A) A、B 兩點距離 10cm (B) B、C 兩點距離 4cm (C) A、C 兩點距離 28cm (D) A、B 兩點距離是 B、C 兩點距離的 2 倍
(
)8. 下列何者正確？ (A) 10000000＝108
(B) 0.00001＝10－4
(C) 100＝0
(D) 0.0000001＝10－7
67
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
68
(
)9. 哪一個選項等號不相等？ (A)(－95)＋44＝－(95－44) (B) 7－(－39)＝7＋39 (C)(－63)－(－78)＝78－63 (D)(－15)＋(－13)＝28
(
)10. 甲是整數，且 8＜│甲│＜12，則甲有幾個？ (A) 3 個
(
(B) 4 個
(C) 5 個
(D) 6 個
)11. 甲＝(－1.1) 2，乙＝(－1.1) 3，丙＝(－1.1) 4，丁＝(－1.1) 5，則 (A)丙＞甲＞乙＞丁 (B)丙＞甲＞丁＞乙 (C)丁＞丙＞乙＞甲 (D)丁＞乙＞丙＞甲
(
)12. m＝3.6×108，n＝3.4×106 以科學記號表示，m×n＝？ (A) 12.24×1015
(
(B)－2
(B) 0
(D)－3
(C) 1
(D) 2
(B) 5 × 10－7
(C) 2 × 10－7
(D) 2 × 10－8
)16. {－4－[2.5－(－3＋8)×0.8]}×(－0.2)＋3.7＝？ (A)－4.2
(
(C) 5
)15. 樂透彩頭彩中獎機率約為五百萬分之一，表示成科學記號應為下列哪一個？ (A) 5 × 10－6
(
(D) 1.224×1016
)14. 請計算[(－2) 2×(－3) 2－(－5)×4＋8]÷(－4) 3 之值為下列何者？ (A)－1
(
(C) 1.224×1015
)13. 2│m＋4│＋3│n＋5│＋4│r－7│＝0，求 m＋n＋r＝？ (A) 4
(
(B) 1.224×1014
(B)－3.2
(C) 4.2
(D) 3.2
)17. 下列何者正確？ (A) 53＝5＋5＋5
(B) 34＝4×4×4 (C) 28×29＝272
(D) (23×34) 2＝26×38
第一章
(
整數的運算
模擬試題
)18. 關於科學記號的表示法下列何者正確？ (A) 450000＝45×104 (B) 0.4317＝4.317×10－4 (C) 0.1688＝1.688×10－2 (D) 0.001234＝1.234×10－3
(
)19. 在如下的數線上，O 表示原點，P、Q 兩點所表示的數分別是 a、b，則下列何 者正確？ Q
O
b (A)│a│＞│b│ (
a (C) PQ ＝a＋b
(D) OP ＋ OQ ＝│a│＋│b│
)20. │m│＝│n│，且 m＞n，則下列何者正確？ (A) m＞0，n＜0
(
0 (B) a－b＜0
P
(B) m＞0，n＞0
(C) m＜0，n＜0
(D) m＜0，n＞0
)21. a、b 皆整數，何者不正確？ (A) a×b＞0，a、b 是同號數 (B) a÷b＞0，則 a、b 不可能是異號數 (C) a÷b＝0，則 b≠0，且 a 必是 0 (D) a×b＝0，則 a＝0，且 b＝0
(
)22. (0.001) 5×(1000) 5×(－1314) 0＝？ (A) 1000
(
(B) 0
(C) 10
(D) 1
)23. 在 2，3，－5，－6 四數中任取三數相乘，乘積最大是 a，乘積最小是 b，則 a ＋b＝？ (A)－54
(
(B) 54
(C) 36
(D)－36
)24. 氫原子 1 莫耳的質量是 1.008 公克，已知 1 莫耳有 6×1023 個氫原子，求氫原子 1 個的重量是幾公克？ (A) 1.68×10－23
(B) 1.68×10－24
(C) 1.68×10－22
(D) 1.68×10－25
69
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
70
(
)25. 已知 1 微米＝10－6m，1 奈米＝10－9m，0.068m＝a 奈米＝b 微米，則下列何者 正確？ (A) a＝6.8×105
(B) b＝6.8×108
(C) a＝6.8×107
(D) b＝6.8×106
2 分數的運算 2-1 因數與倍數 2-2 最大公因數與最小公倍數 2-3 分數的加減 2-4 分數的乘除與四則運算
72
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
2-1
因數與倍數 基本觀念
1. 整除、因數、倍數 整除：當一整數 a 除以一整數 b（b≠0），其商為整數且餘數為 0，此時就稱 b 可以整 除 a 或 a 能被 b 整除。 因數與倍數：當一整數 a 能被一整數 b（b≠0）整除，此時就稱 a 是 b 的倍數，b 是 a 的因數。 例
6÷3＝2……0
⇒
⇒
6 被 3 整除或 3 整除 6 6 是 3 的倍數，3 是 6 的因數
若 a、b、c 為整數，如果 a＝b×c（即 a÷b＝c 或 a÷c＝b），則 a 是 b、c 的倍數，b、c 是 a 的因數。 例
6＝1×6＝2×3＝(－1)×(－6)＝(－2)×(－3) ⇒
6 是±1、±2、±3、±6 的倍數；±1、±2、±3、±6 都是 6 的因數
✐國中階段如無特別說明，所指的因數與倍數都是正因數與正倍數。 ★ 1 是任意正整數的因數 ★ 0 是任意正整數的倍數 2. 2 的倍數判別法 若一個正整數的個位數字為 0、2、4、6、8，則這個正整數一定是 2 的倍數，否則就不 是 2 的倍數。 例
26，45，132，681，5678900000，200520062007 中，哪些是 2 的倍數？
解
因為 26，132，5678900000 的個數數字是 0、2、4、6、8 的其中一數，所以是 2 的倍數。
✐正整數中，2 的倍數是偶數，不是 2 的倍數是奇數。
2-1 因數與倍數
73
3. 3 的倍數判別法 若一個正整數的各個數字和是 3 的倍數，則這個正整數就是 3 的倍數，否則就不是 3 的倍數。 例
36，25，129，862，123456，135790 中，哪些是 3 的倍數？
解
36 25 129 862
⇒
⇒
3＋6＝9 2＋5＝7
⇒
8＋6＋2＝16 ⇒
123456
4. 4 的倍數判別法
⇒
1＋2＋9＝12
⇒
135790
⇒
∵9 是 3 的倍數
∵7 不是 3 的倍數 ∴25 不是 3 的倍數 ⇒
⇒
∵12 是 3 的倍數
∴129 是 3 的倍數
∵16 不是 3 的倍數
∴862 不是 3 的倍數
1＋2＋3＋4＋5＋6＝21
⇒
∵21 是 3 的倍數
⇒
∵25 不是 3 的倍數
⇒
∴36 是 3 的倍數
∴123456 是 3 的倍數
1＋3＋5＋7＋9＋0＝25 ∴135790 不是 3 的倍數
若一個正整數的末兩位數字是 4 的倍數，則這個正整數就是 4 的倍數，否則就不是 4 的倍數。 例
96，25，572，862，20104380，19775678 中，哪些是 4 的倍數？
解
96 25 572 862
⇒
⇒
末兩位數字是 96，是 4 的倍數 末兩位數字是 25，不是 4 的倍數
⇒
⇒
20104380 19775678 5. 5 的倍數判別法
⇒
96 是 4 的倍數 ⇒
末兩位數字是 72，是 4 的倍數 ⇒ 末兩位數字是 62，不是 4 的倍數 ⇒
⇒
25 不是 4 的倍數 572 是 4 的倍數
⇒
末兩位數字是 80，是 4 的倍數
862 不是 4 的倍數 ⇒
末兩位數字是 78，不是 4 的倍數
20104380 是 4 的倍數 ⇒
19775678 不是 4 的倍數
若一個正整數的個位數字為 0 或 5，則這個正整數就是 5 的倍數，否則就不是 5 的倍數。 例
95，54，245，506，13579000，12345009 中，哪些是 2 的倍數？
解
因為 95，245，13579000 的個數數字是 0 或 5，所以是 5 的倍數。
74
﹝一﹞Live 數位國中數學講義 6. 8 的倍數判別法 若一個正整數的末三位數字是 8 的倍數，則這個正整數就是 8 的倍數，否則就不是 8 的倍數。 例
128，668，5656，5678，96480016，12345076 中，哪些是 8 的倍數？
解
128
⇒
末三位數字是 128，是 8 的倍數
⇒
668 5656
末三位數字是 668，不是 8 的倍數
⇒
128 是 8 的倍數 ⇒
末三位數字是 656，是 8 的倍數 ⇒
⇒
5678
⇒
末三位數字是 678，不是 8 的倍數 ⇒
96480016
⇒
12345076 7. 9 的倍數判別法
末三位數字是 016，是 8 的倍數
668 不是 8 的倍數 5656 是 8 的倍數
⇒
5678 不是 8 的倍數 ⇒
末三位數字是 076，不是 8 的倍數
96480016 是 8 的倍數 ⇒
12345076 不是 8 的倍數
若一個正整數的各個數字和是 9 的倍數，則這個正整數就是 9 的倍數，否則就不是 9 的倍數。 例
36，46，756，492，465237，999996 中，哪些是 9 的倍數？
解
36 46 756 492
⇒
⇒
⇒
⇒
465237
999996
3＋6＝9 4＋6＝10
⇒
⇒
7＋5＋6＝18 4＋9＋2＝15 ⇒
∵9 是 9 的倍數
∵10 不是 9 的倍數 ∴46 不是 9 的倍數 ⇒
⇒
∵18 是 9 的倍數
∴756 是 9 的倍數
∵15 不是 9 的倍數
∴492 不是 9 的倍數
4＋6＋5＋2＋3＋7＝27
⇒
∵27 是 9 的倍數
⇒
∵51 不是 9 的倍數
⇒
∴36 是 9 的倍數
∴465237 是 9 的倍數
9＋9＋9＋9＋9＋6＝51 ∴999996 不是 9 的倍數
2-1 因數與倍數
75
8. 11 的倍數判別法 若一個正整數的奇數位數字和與偶數位數字和兩者差的絕對值是 11 的倍數，則這個正 整數就是 11 的倍數，否則就不是 11 的倍數。 例
試判斷 714324314 和 123456789 是否為 11 的倍數？
解
奇數位數字和 ⇒
偶數位數字和
⇒
和為 20
7＋4＋2＋3＋4＝20 1＋3＋4＋1＝9
∵∣20－9∣＝11，11 是 11 的倍數
7
1
4
3
偶數位數字和
⇒
⇒
4
3
1
4
7
8
9
和為 9
∴714324314 是 11 的倍數
奇數位數字和
2
和為 25
1＋3＋5＋7＋9＝25 2＋4＋6＋8＝20
∵∣25－20∣＝5，5 不是 11 的倍數 ∴123456789 不是 11 的倍數
1
2
3
4
5
6
和為 20
9. 質數與合數 (1) 質數：一個大於 1 的正整數，除了 1 和本身以外，再也沒有其他的正因數，這樣 的整數就稱為質數。 例
2、3、5、7、11、13、17、19、…等都是質數。
(2) 合數：一個大於 1 且不是質數的正整數，這樣的整數就稱為合數。（除了 1 和本 身以外，還有其他的正因數。） 例
4、6、8、9、10、12、14、15、…等都是合數。
★ 1 不是質數也不是合數。 ★ 2 是最小的質數，也是質數中唯一的偶數。
76
﹝一﹞Live 數位國中數學講義 10. 質因數與質因數分解 (1) 質因數：若一個正整數的因數是質數，則這個因數就是這個整數的質因數。 例
6 的因數有 1、2、3、6，其中 2、3 是質數，所以 2、3 是 6 的質因數。
(2) 質因數分解：將一個大於 1 且不是質數的正整數，分解成它的質因數連乘積之過 程，就稱為質因數分解。 例
將 210 分解成質因數的乘積。
解
210 2
105 3
⇒
35 5
210＝2×3×5×7
7
11. 標準分解式─樹狀分解法與短除法 標準分解式：將質因數分解的結果，按照質因數大小，由小到大排列，並將相同質因 數的連乘積，以指數形式表示，此種表示法稱為標準分解式。 例
將 180 分解成質因數的乘積並以標準分解式表示。
解
【方法一：樹狀分解法】 180 2
90 2
180＝2×2×3×3×5
⇒
180＝2×2×3×3×5
＝22×32×5
45 3
15 3
解
⇒
5
【方法二：短除法】 2
180 2 90 3 45 3 15 5
＝22×32×5
2-1
精選題型 題型 1 (1) 判斷 31 是不是 527 的因數。 (2) 下列哪些數是 34×5 的因數？ 3、32、33、34、35
題型 2 396 是下列哪些數的倍數？ 1、4、8、11、18、36、99、396
因數與倍數
77
78
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 3 有一個 5 位數為 1234□，請問： (1) 如果它是 2 的倍數，則□可能是多少？ (2) 如果它是 5 的倍數，則□可能是多少？ (3) 如果它同時是 2 和 5 的倍數，則□可能是多少？
題型 4 (1) 在 1～20 中，有幾個數是 2 的倍數？ (2) 在 5～20 中，有幾個數是 3 的倍數？
2-1 因數與倍數
題型 5 (1) 在 101～300 當中，有幾個數是 2 的倍數？ (2) 在 101～300 當中，有幾個數是 5 的倍數？ (3) 在 101～300 當中，有幾個數是 2 的倍數，也是 5 的倍數？
題型 6 在 1～150 當中，2 或 5 的倍數有幾個？
79
80
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 7 (1) 有一個四位數為 45□8，已知此四位數為 3 的倍數，則□內可能是什麼數？ (2) 在下列的□內填入一個 0～9 的數，使該數成為 9 的倍數。 12□8，37□，5□84，3□6
題型 8 (1) 試判別 97576 和 86434 哪一個是 4 的倍數？ (2) 試判別 98765432 和 12345678 哪一個是 8 的倍數？
2-1 因數與倍數
題型 9 (1) 若三位數的 63△是 11 的倍數，則△＝？ (2) 若四位數 32□8 是 11 的倍數，則□＝？
題型 10 (1) 若 123△45 被 9 除餘數為 3，則△＝？ (2) 若 4567□30 被 11 除餘數為 2，則□＝？
81
82
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 11 (1) 若 34△4 為 12 的倍數，求△＝？ (2) 若五位數 1△38□是 11 也是 5 的倍數，求此五位數。
題型 12 (1) 3 是不是 15 的因數？ 15 是不是質數？ (2) 在 1～10 中有哪些數是質數？
2-1 因數與倍數
題型 13 (1) 已知 15 的的因數有 1、3、5、15，則 15 的質因數為 (2) 請寫出 24 的質因數有
。
題型 14 (1) 設 a=1×2×3×……×10，則 a 的標準分解式為何？ (2) 承(1)，請寫出 a 的質因數。
。
83
84
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 15 (1) 以短除法做 126 的質因數分解，並寫出其標準分解式。 (2) 已知 504 的標準分解式為 2a × b2 × c ，試求 a＋b＋c＝？
題型 16 有一個四位數為 7□25，其標準分解式為 3a × 5b × 11c ，且 a、b、c 皆不等於 0，則 a＋b＋c ＝？
2-1 因數與倍數
學力評量 (
)1. 下列哪一個數不是 32 的因數？ (A) 30
(
(B) 31
(C) 32
(D) 33
)2. 若 40 可分解為 a×b，其中 a、b 均為正整數，則下列哪一個不可能是(a＋b)的 值？ (A) 22 (B) 12 (C) 13
(
(D) 14
)3. 老師在黑板上寫了算式“49÷7＝7…0”，以下是四位同學對此算式的看法： 甲：這算式可說是 49 被 7 整除 乙：這算式亦可說是 7 可整除 49 丙：因為餘數為 0，所以 49 是 7 的因數 丁：應該是 49 為 7 的倍數 請問何人的說法正確？ (A)只有丁對
(
(B)只有甲、丁對
(C)只有甲、丙對
(D)甲、乙、丁都對
)4. 將 42 顆彈珠分堆，每堆數目相同，且不能剩下，則每堆數目不可能為下列何 者？ (A) 7
(
(C) 21
(D) 3
)5. 下列何者是 2 的倍數也是 3 的倍數？ (A) 216
(
(B) 18
(B) 435
(C) 568
(D) 651
)6. 若 1534□8 是 4 的倍數，且□中只能填入 0～9 的數字，則下列何者不可能是 □中的數字？ (A) 0 (B) 2
(
(C) 5
(D) 8
)7. 下列哪一個式子，計算後所得的結果不是 5 的倍數？ (A) 3572＋4315＋6983 (B) 9874＋8421＋1235 (C) 6681－4562－1289 (D) 4567－2415－1173
85
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
86
(
)8. 有一個四位數 630□，是 2 的倍數，且用 5 除之會餘 1，請問□內為何數？ (A) 2
(
(B) 6
(C) 9
(D) 0
)9. 已知四位數 6□89 為 9 的倍數，另一個四位數 3△42 為 11 的倍數，則□＋△ ＝？ (A) 8
(
(B) 9
(C) 10
(D) 11
)10. 有關質數與合數的敘述，何者正確？ (A)質數必為奇數，合數必為偶數 (B)一個質數與一個合數的和必為奇數 (C)質數必大於 2 (D)在 1 到 10 的整數中，質數個數比合數個數少一個
(
)11. 下列何者為質數？ (A) 51
(
(C) 91
(D) 97
)12. 若 a 和 b 皆為質數，且 a＋b＝18，a＞b，則 a－b＝？ (A) 3
(
(B) 87
(B) 4
(C) 5
(D) 6
)13. 欲將 n 個邊長為 1 的小正方形，拼成一個長、寬皆大於 1 的矩形，且不會剩下 任何小正方形，則 n 不可能為下列哪一個數？ (A) 81
(
(B) 85
3 3 5 5
A B C D E 5
(A) 3 個
(B) 4 個
(C) 5 個 (D) 6 個
)15. 220 的相異質因數共有幾個？ (A) 3 個
(
(D) 89
)14. 下圖是小富將正整數A做質因數分解的過程，試問A的質因數有幾個？ 2
(
(C) 87
(B) 4 個
(C) 5 個
(D) 6 個
)16. a＝20×21×22×23×24×25，則 a 有幾個相異質因數？ (A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
2-1 因數與倍數
(
)17. 如圖是小富利用樹狀圖分解a的計算過程，則a＝？ a 2
b
3 5 (A) 30 (B) 15 (
(C) 10
(D) 6
)18. 小富將一正整數a分解成質因數相乘，計算過程如附圖。則下列哪一個選項是 正確的？ 2 a 2 b 2 c 3 d 3 e 5 f 5 g 7 (A) b＝22×32×52×7
(
)19. 若五位數 34□48 的標準分解式為 2 a ×3 b ×11 c ，則下列何者正確？ (A) a＋b＋c＝6
(
(B) c＝32×52×7 (C) e＝32×52×7 (D) f＝5×7
(B) a＋b＋c＝7
(C) a＋b＋c＝8
(D) a＋b＋c＝9
)20. 下列各選項的敘述中，何者錯誤？ (A)一個大於 1 的整數，除了 1 和本身之外沒有其他的因數，就是質數 (B)一個大於 1 的整數，除了 1 和本身之外還有其他的因數，就是合數 (C)所有的質因數都是質數 (D)所有的偶數都是合數
(
)21. 小富利用自己的生日設計一個四位數的密碼，方法是分別將月份與日期寫成兩 個質數的和，再將此四個質數相乘，所得的數字即為密碼。（例如，生日若為 8 月 24 日，將 8 寫成 3 與 5 的和，24 寫成 11 和 13 的和，再將 3、5、11、13 相乘得密碼為 2145）。已知小富的密碼為 2030，求小富出生在幾月份？ (A) 5
(B) 7
(C) 9
(D) 12
87
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
88
(
)22. 小富利用短除法將a做質因數分解，其計算過程如圖，則下列哪一個選項是正 確的？ 2 2
a b 3 c 5 d 5
(A) a＝2 2 ×3 2 ×5 (
(D) d＝25
)23. 已知 756 的標準分解式為 756＝2a×3b×7c，則 a＋b＋c＝？ (A) 4
(
(B) b＝2×3×5 (C) c＝65
(B) 5
(C) 6
(D) 7
)24. 將一個三位的整數寫成標準分解式後，發現只有三個相異質因數，則此三位數 最小可能是多少？ (A) 102
(
(B) 105
(C) 180
(D) 210
)25. 傳說某沉船有億萬寶藏，必須輸入密碼才能開啟寶箱取寶，已知寶箱密碼有四 碼 abcd，分別藏在 2898＝2 a ×b 2 ×c 1 ×23 d 的標準分解式中，請問此寶箱密碼為 何？ (A) 1351 (B) 1371
(C) 2351 (D) 2371
2-2 最大公因數與最小公倍數
2-2
最大公因數與最小公倍數 基本觀念
1. 公因數、最大公因數、互質 公因數：幾個整數共同的因數稱為這幾個整數的公因數。 最大公因數：幾個整數中，它們所有的公因數中最大的數，稱為這幾個整數的最大公 因數。 例
試求 12 與 18 的公因數與最大公因數。
解
12 的因數：1、2、3、4、6、12 18 的因數：1、2、3、6、9、18 ∴12 與 18 的公因數為 1、2、3、6，最大公因數為 6
✐若 d 為 a、b 兩正整數的最大公因數，可記為（a , b）＝ d。 ✐若 d 為 a、b、c 三個正整數的最大公因數，可記為（a , b , c）＝ d。 互質：兩個正整數的最大公因數是 1，稱這兩個正整數互質。 例
4 的因數：1、2、4 9 的因數：1、3、9 ∴（4 , 9）＝ 1 ⇒
4 和 9 互質
2. 利用標準分解式做因數的判斷 例
下列各數中，哪些數是 23×32 的因數？ (1) 22×32
解
(2) 23×32
23 × 32 (1)∵ 2 2 = 2 （整除） 2 ×3 23 × 32 (2)∵ 3 2 = 1 （整除） 2 ×3
(3) 23×33 ⇒
⇒
23 × 32 1 (3)∵ 3 3 = （不能整除） 2 ×3 3 23 × 32 32 (4)∵ 3 = （不能整除） 2 ×5 5
(4) 23×5
22×32 是 23×32 的因數。 23×32 是 23×32 的因數。 ⇒ 23×33 不是 23×32 的因數。
⇒ 23×5 不是 23×32 的因數。
89
90
﹝一﹞Live 數位國中數學講義 3. 最大公因數的求法 標準分解式法： 例
求 540 和 840 的最大公因數。
解
540＝
22
× 33 × 5
840＝
23
× 3 × 5 ×7
取 22
取3
取5
∴（540 , 840）＝ 22
×3
★取共同的質因數中指數較小者相乘
×5
＝60
短除法： 例
求 540 和 840 的最大公因數。
解
2 2 3 5
540
840
270
420
135
210
45
70
9
14
9 和 14 的最大公因數是 1
∴（540 , 840）＝ 22× 3× 5＝60 4. 公倍數、最小公倍數 公倍數：幾個整數共同的倍數稱為這幾個整數的公倍數。 最小公倍數：幾個整數中，它們所有的公倍數中最小的數，稱為這幾個整數的最小公 倍數。 例
試求 4 與 6 的三個公倍數與最小公倍數。
解
4 的倍數：4、8、12、16、20、24、28、32、36、… 6 的倍數：6、12、18、24、30、36、42、48、54、… ∴4 與 6 的三個公倍數為 12、24、36，最小公倍數為 12
✐若 d 為 a、b 兩正整數的最小公倍數，可記為﹝a , b﹞＝ d。 ✐若 d 為 a、b、c 三個正整數的最小公倍數，可記為﹝a , b , c﹞＝ d。
2-2 最大公因數與最小公倍數 5. 利用標準分解式做倍數的判斷 例
下列各數中，哪些數是 23×32 的倍數？ (1) 23×32
解
(2) 23×33
(3) 23×33×5
23 × 32 (1)∵ 3 2 = 1 （整除） 2 ×3 23 × 33 (2)∵ 3 2 = 3 （整除） 2 ×3
⇒
(4) 22×32
⇒
23×32 是 23×32 的倍數。 23×33 是 23×32 的倍數。
23 × 33 × 5 (3)∵ 3 2 = 3 × 5 = 15 （整除） 2 ×3 22 × 32 1 (4)∵ 3 2 = （不能整除） 2 ×3 2
23 × 52 52 (6)∵ 3 2 = 2 （不能整除） 2 ×3 3
6. 最小公倍數的求法
⇒
23×33×5 是 23×32 的倍數。
⇒ 22×32 不是 23×32 的倍數。
22 × 32 × 5 5 (5)∵ 3 2 = （不能整除） 2 ×3 2
⇒ 22×32×5 不是 23×32 的倍數。
⇒ 23×52 不是 23×32 的倍數。
標準分解式法： 例
求 120、180 和 105 的最小公倍數。
解
120＝
23
× 3 × 5
180＝
22
× 32 × 5
105＝ 取 23
3 × 5 ×7 取 32
取5
(5) 22×32×5
7 也要取
★取所有質因數且取共同質因數中指數較大者相乘 ∴﹝120 , 180 , 105﹞＝ 23 × 32× 5× 7＝2520
(6) 23×52
91
92
﹝一﹞Live 數位國中數學講義 短除法： 例
求 120、180 和 105 的最小公倍數。
解
3 5
120
180
105
40
60
35
8
12
7
4
6
7
2
3
7
2 2
2、3 和 7 的任意兩數互質
∴﹝120 , 180 , 105﹞＝ 23 × 32× 5× 7＝2520 7. (A, B) × [A, B] = A × B 兩個正整數的最大公因數和最小公倍數的乘積等於兩數的乘積。 例
已知 a 和 8 的最大公因數是 2，最小公倍數是 24，求 a？
解
(a,8)=2 [ a , 8 ] = 24 ⇒
( a,8) × [a,8] = a ×8
⇒
a=6
⇒
2 × 24 =a × 8
2-2 最大公因數與最小公倍數
精選題型 題型 1 回答下列問題： (1) 15 的因數有
。
(2) 45 的因數有
。
(3) 15 和 45 的公因數有 (4) (15 , 45)＝
。 。
題型 2 (1) 小於 10 且與 50 互質的正整數有幾個？ (2) 6、22、35、39 四個整數中，去掉哪一個整數後，其餘的任兩數均會互質？
93
94
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 3 下列哪些數是 33 × 72 的因數？ (A) 2
(B) 3
(C) 5
(D)7
(E) 32 × 7
(F) 3 × 72
(G) 34 × 7
(H) 32 × 5
(I) 73
(J) 3 × 5 × 7
題型 4 (1) 若 a = 24 × 32 × 5 ， b = 23 × 33 × 7 ，則 ( a, b) = ？ (2) 若 c = 20 × 30 × 40 ， d = 15 × 25 × 35 ，則 ( c, d ) = ？
2-2 最大公因數與最小公倍數
題型 5 求下列各組數的最大公因數。（不用乘開） (1) (38 × 74 ,33 × 75 ,36 × 79 ) = ？ (2) (27 × 73 × 116 , 25 × 114 ,72 × 118 ) = ？
題型 6 利用短除法求下列各組數的最大公因數。 (1) (420 , 990) (2) (825 , 1155)
95
96
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 7 利用短除法求下列各組數的最大公因數。 (1) (45 , 105 , 165) (2) (36 , 126 , 210)
題型 8 一年二班男生有 18 人，女生有 12 人。 (1) 現在把男生、女生混合分隊，每隊的男生人數要相等，每隊的女生人數也要相等， 則最多可編
隊？每隊的男生有
人？女生有
人？
(2) 現在要分成若干隊伍，每隊的人數一樣，且男、女生不混合編隊， 則每隊最多
人？男生有
隊？女生有
隊？
2-2 最大公因數與最小公倍數
題型 9 將 36 個蘋果、96 個水梨混合裝在幾個盒子裡，且使同一種水果在同一個盒子裡一樣多， 則： (1) 最多可裝幾盒？ (2) 每盒的蘋果有幾個？水梨有幾個？
題型 10 用某正整數除 193 餘 4，同時用它除 1077 不足 3，則某數最大為何？最小為何？
97
98
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 11 將一個長 45 公尺、寬 63 公尺的長方形土地全部分割成數個大小相同的正方形花圃，則 每一個正方形花圃的面積最大是多少平方公尺？
題型 12 將一個長 45 公分、寬 105 公分、高 30 公分的長方體積木切割成數個相同的正方體，且 沒有剩下，則這樣的正方體邊長最長是幾公分？
2-2 最大公因數與最小公倍數
題型 13 下列哪些數是 54 × 73 的倍數？ (A) 54
(B) 73
(C) 53
(D) 74
(F) 55 × 74
(G) 2 × 54 × 73
(H) 25 × 53 × 73
(I) 24 × 74
題型 14 求下列各組數的最小公倍數。（不用乘開） (1) [23 × 34 , 22 × 35 ] = ？ (2) [22 × 52 , 24 × 32 ] = ？ (3) [32 × 7 , 23 × 52 ] = ？
(E) 54 × 73
99
100
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 15 求下列各組數的最小公倍數。 (1) [32 × 52 × 72 ,33 × 5 × 72 ,3 × 53 × 73 ] = ？ (2) [22 × 52 ,53 × 7, 2 × 72 ] = ？
題型 16 利用短除法求出下列各組數的最小公倍數。 (1) [30 , 45] (2) [154 , 66]
2-2 最大公因數與最小公倍數
題型 17 利用短除法求出下列各組數的最小公倍數。 (1) [27 , 18 , 45] (2) [84 , 140 , 210]
題型 18 (1) 計算 (24,[16, 36]) = ？ (2) 計算 [24, (16, 36)] = ？
101
102
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 19 小富某天趕鴨子 10000 隻到野外覓食，已知當天走失的鴨子不超過 100 隻，回家後， 每 3 隻一數、每 5 隻一數、每 7 隻一數都剩下 2 隻，請問走失的鴨子有多少隻？
題型 20 小雪每 4 天上一次電腦課，小華每 6 天上一次電腦課，某個星期六，兩人同時到電腦 教室上課，請問： (1) 下一次兩人同一天上電腦課至少要幾天後？ (2) 下一次兩人同一天上電腦課且又是星期六至少要幾天後？
2-2
最大公因數與最小公倍數
103
題型 21 有一段道路長 1600 公尺，路的兩側每隔 20 公尺裝設一盞燈且路的起點與終點都有路燈， 今為加強照明，改為每隔 16 公尺裝設一盞燈，請問在施工的過程中，有多少盞燈可以不 必移動？
題型 22 小強與小美在操場跑步，小強跑一圈要 72 秒，小美跑一圈要 90 秒，如果兩人同時出 發，則下一次相遇時小強是跑完了第幾圈？
104
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 23 將長 12 公分，寬 8 公分的長方形瓷磚在牆壁上貼成正方形的圖案，請問： (1) 貼成的最小正方形的邊長是幾公分？ (2) 至少需幾塊瓷磚才能貼成一個正方形？
題型 24 有一種長方體積木的長為 30 公分，寬為 24 公分，高為 10 公分，若將數個積木堆疊 成一個大的正立方體，請問： (1) 堆疊成的最小正立方體的邊長是幾公分？ (2) 至少需要幾個積木才能堆疊出一個正立方體？
2-2 最大公因數與最小公倍數
題型 25 (1) 若 a = 24 、 b = 26 ，則 [a, b] × ( a, b) = ？ (2) 若 a = 8 、 b = 14 、 c = 6 ，則 [8,14,6] × (8,14,6) = ？
題型 26 (1) 若 a = 15 ，且 [a, b] = 105 ， ( a, b) = 3 ，則 b = ？ (2) 若 a= 23 × 32 ， ( a, b= ) 23 × 3 ， [a, b] = 24 × 32 × 7 ，則 b = ？
105
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
106
學力評量 (
)1. a 是一個正整數，其所有正因數有：1、2、4、7、14、28。 則 a 與 210 的最大公因數為何？ (A) 4
(
(B) 55
(C) 60
(D) 70
(B) 32×7
(C) 24×53×72
(D) 22×32×52×72
)4. 設 a＝22×33×52×7，b＝3465，則 a、b 的最大公因數為何？ (A) 33×52×7
(
(D) 28
)3. 下列何者不是 25×33×52×74 的因數 (A) 23×32×7
(
(C) 14
)2. 10 到 20 的整數中，和 54 互質的整數總和為多少？ (A) 50
(
(B) 7
(B) 32×5×7
(C) 22×33×52×7×11 (D) 3×5×7
)5. 若(108 , 72 , 90)＝a，[108 , 72 , 90]＝b，則下列何者正確？ (A) a＝36、b＝2160 (B) a＝36、b＝1080 (C) a＝18、b＝2160 (D) a＝18、b＝1080
(
)6. 設 180 和 126 的最小公倍數為 L，且 L 之標準分解式為 2a×3b×5c×7d， 則 a＋b＋c＋d＝？ (A) 8
(
(B) 7
(D) 5
［a , b , c］ )7. 若a＝23×32×73，b＝22×3×74，c＝24×33×72，則 ( a , b , c ) ＝？ (A) 22×3×72
(
(C) 6
(B) 22×32×7
(C) 22×32×72
(D) 23×33×72
)8. 若 a＝6×10×15，b＝8×12×15，則[a , b]＝？ (A) 2 2 ×3 2 ×5 2
(B) 2 5 ×3 2 ×5 2
(C) 2 4 ×3 3 ×5 2
(D) 2 8 ×3 4 ×5 3
2-2 最大公因數與最小公倍數
(
107
)9. 甲、乙、丙、丁四人分別對下列算式做了敘述，何者正確？ 甲：2×3 是三個數的公因數
2 126 3 63 7 21 3 3 1
乙：2×3×7 是三個數的公因數 丙：2×32×7 是三個數的最大公因數
198 140 99 70 33 70 33 10 11 10
丁：2×32×7×10×11 是三個數的最小公倍數 (A)甲 (B)乙 (
(B) 12
(C) 36
(D) 144
)11. 若（126，a）＝18，〔a，126〕＝378，則 a 之值為何？ (A) 81
(
(D)丁
)10. 試計算〔36，（84，108），（39，69）〕的結果為何？ (A) 3
(
(C)丙
(B) 72
(C) 54
(D) 27
)12. 用 a 除 109 餘 1，除 183 餘 3，若 a 為一正整數，則滿足這些條件的 a 共有幾 個解？ (A) 9 (B) 6
(
(C) 5
(D) 4
)13. 將柳丁 80 個，芒果 82 個平均分給學生若干人，結果柳丁剩下 8 個，芒果不足 8 個，則學生可能有多少人？ (A) 18
(
(B) 14
(C) 10
(D) 6
)14. 某數是介於 50 與 150 之間的整數，若其被 15 除餘 5，被 21 除也餘 5，則此數 被 11 除餘數為何？ (A) 0 (B) 1
(
(D) 5
)15. 某一正數用 8 去除餘 6，用 9 去除餘 7，用 15 去除餘 13，則這個數至少是多少？ (A) 1078
(
(C) 3
(B) 1082
(C) 358
(D) 362
)16. 將長 30 公分、寬 45 公分的長方形紙片長與長連接、寬與寬連接拼排成大正方 形，請問所排成的正方形邊長可能是幾公分？ (A) 150 公分
(
(B) 60 公分 (C) 180 公分
(D) 15 公分
)17. 甲 3 天值班一次，乙 5 天值班一次，丙 7 天值班一次，若甲、乙、丙三人於 3 月 4 日同天值班，則下一次三人同時值班為幾月幾日？ (A) 6 月 15 日
(B) 6 月 16 日
(C) 6 月 17 日
(D) 6 月 18 日
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
108
(
)18. 小富買了 231 顆蘋果和 429 顆柳丁，現在要把蘋果和柳丁混合且用籃子裝起來， 每個籃子都有蘋果和柳丁，且每個籃子所裝的蘋果和柳丁數量相同，則最多可 裝成幾籃？ (A) 11 籃
(
(B) 33 籃
(C) 7 籃
(D) 13 籃
)19. 一跨海大橋長 240m，今在橋的兩旁每隔 5m 設一水銀燈(頭尾都設)，每隔 6m 插上紅旗(頭尾都插)，試問此座橋共有幾處同時設有水銀燈及插上紅旗？ (A) 8
(
(B) 9
(C) 16
(D) 18
)20. 小賈有一些長為 6 公分、寬為 4 公分、高為 3 公分的長方體積木，最少要用幾 塊才能排成一個實心的正方體？ (A) 12
(
(B) 24
(C) 36
(D) 48
)21. 已知文具店裡最便宜的原子筆每枝賣 3 元，姐姐與妹妹到文具店選購了同一種 的原子筆若干枝，姐姐付了 48 元，妹妹付了 84 元，則下列何者不可能是他們 買的原子筆每枝的價錢？ (A) 4 元
(
(B) 6 元
(C) 8 元
(D) 12 元
)22. 如圖，甲車順著矩形的周長行駛自 A 點，每 18 分 鐘繞回 A 點，乙車自 A 點沿矩形對角線 AC 來回行 駛，每 16 分鐘走完一趟，試問兩車在幾分鐘後會
A
D 乙
甲
B
C
在 A 點第一次相遇？ (A) 72 (
(B) 108
(C) 144 (D) 288
)23. 安安將三條長分別為 72 公分、84 公分、96 公分的繩子剪成等長的小線段，且 每段長需為整數，則最少共可剪成多少段？ (A) 12 段
(B) 18 段
(C) 21 段
(D) 27 段
2-2 最大公因數與最小公倍數
(
)24. 甲、乙、丙三家新聞台每天中午 12：00 同時開始播報新聞，其中： 甲台每播報 10 分鐘新聞後就接著播廣告 2 分鐘； 乙台每播報 8 分鐘新聞後就接著播廣告 1 分鐘； 丙台每播報 15 分鐘新聞後就接著播廣告 3 分鐘。 在 12：47 時，三家新聞台進行的內容為何？ (A)甲：廣告；乙：新聞；丙：新聞 (B)甲：新聞；乙：廣告；丙：新聞 (C)甲：新聞；乙：新聞；丙：廣告 (D)三家新聞台皆正在播報新聞
(
)25. 如表為臺汽公司臺南站開往高雄與嘉義 時
之列車時刻表的一部分，只知各班車開 出的時間有一定的間隔，由表中可推出 下列哪一個時候，臺南站開往高雄與嘉 義的班車會同時開出？ (A) 9：50 (B) 10：30 (C) 10：50 (D) 11：20
目 的 地
往高雄
往嘉義
1
6：50
6：50
2
7：05
7：14
3
7：20
7：38
4
7：35
8：02
間 班
次
109
110
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
2-3
分數的加減 基本觀念
1. 分數與負分數 分數：
3 為分子
3 4
分線 4 為分母
分數的單位： 例 1（個）÷ 4（等份）＝
1 （個／等份） 4
分數的類別： (1) 真分數：一個分數其分子小於分母稱為真分數。 例
2 3
(2) 假分數：一個分數其分子等於或大於分母稱為假分數。 例
3 2
c (3) 帶分數：一個分數為整數加一個真分數，可表示為 a 稱為帶分數。 b
例
4
2 3
負分數：負分數的負號，可放在分子、分母或分數前面，三種方式都表示相同的負分 數。 例
2 −2 2 − = = 3 3 −3 −4
2 2 12 2 14 −14 14 = −(4 + ) = −( + ) = − = = 3 3 3 3 3 3 −3
2. 等值分數、擴分、約分與最簡分數 等值分數：設 a、b、c、d 都是整數，若 例
1 2 4 ∵ = = 2 4 8
∴
a c a c = ，則稱 與 為等值分數。 b d b d
1 2 4 、 、 為等值分數 2 4 8
擴分：將一個分數的分子與分母同乘一個不為 0 的整數，此過程稱為擴分。
1 1× 2 2 例 = = 2 2×2 4
2-3 分數的加減
111
約分：將一個分數的分子與分母同除以它們的公因數，此過程稱為約分。
4 4÷2 2 例 = = 8 8÷2 4 最簡分數：一個分數的分子與分母互質，則此分數為最簡分數。 例
3 1 5 −6 、 、− 、 為最簡分數 4 2 4 7
3. 通分與比較分數的大小 通分：若兩個分數的分母不同，利用約分或擴分，將它們化為同分母的分數，這樣的 過程稱為通分。 例
將
1 1 和 通分 2 3
∵ [2,3] = 6 ∴
1 3 1 2 = ， = 2 6 3 6
比較分數的大小： 正分數的比較大小：先利用擴分，將分母或分子化為相同的正整數後，再做比較。 【將分母化為相同正整數】 例
比較
【將分子化為相同正整數】
11 17 和 的大小 2 3
∵ [2,3] = 6 ∴
7 14 和 的大小 48 97
∵ [7,14] = 14
11 33 17 34 = ， = 3 6 2 6
又∵
比較
例
∴
11 17 33 34 ⇒ < < 2 3 6 6
7 14 14 14 ， = = 48 96 97 97
又∵
14 14 7 14 ⇒ > > 96 97 48 97
負分數的比較大小：先比較負分數取絕對值後的大小，再改變其不等號的方向。 例
1 1 比較 − 和 − 的大小 2 3 ∵−
O
1 1 1 1 =， − = 3 3 2 2
−1
1 3 1 2 ∵ [2,3] = 6 ⇒ = ， = 2 6 3 6 又∵
3 2 > 6 6
∴
1 1 1 1 ⇒ − >− > 2 3 2 3 ⇒ −
1 1 <− 2 3
−
0
1 2 −
1 3
1
112
﹝一﹞Live 數位國中數學講義 4. 正分數的加減運算 同分母的加減運算：分母不變，分子相加減。 例
8 5 8 + 5 13 + = = 11 11 11 11 5 7 5 − 7 −2 −1 1 − = = == − 12 12 12 12 6 6
異分母的加減運算：分母通分，分子相加減。 例
2 3 8 9 8 + 9 17 + = + = = 3 4 12 12 12 12 5 7 15 14 15 − 14 1 − = − = = 6 9 18 18 18 18
5. 負分數的加減運算 同分母的加減運算：分母不變，分子相加減。 例
4 6 −4 + ( −6) −10 −2 − + (− ) = = = =−2 5 5 5 5 1 4 7 −4 − ( −7) −4 + 7 3 1 − − (− ) = = = = 9 9 9 9 9 3
異分母的加減運算：分母通分，分子相加減。 例
2 3 8 9 −8 + ( −9) −17 17 − + ( − ) =− + ( − ) = = =− 3 4 12 12 12 12 12 5 7 15 14 −15 − ( −14) −1 1 − − ( − ) =− − ( − ) = = =− 6 9 18 18 18 18 18
6. 帶分數的加減運算 【方法一】
【方法二】
將帶分數化為假分數再相加減
整數部份與分數部份分別相加減再合併
例
2 5 8 1 −4 +7 3 6 9 5 29 71 = − + 3 6 9 30 87 142 = − + 18 18 18 30 − 87 + 142 = 18 85 = 18 13 =4 18
例
2 5 8 1 −4 +7 3 6 9 2 5 8 = (1 + ) − (4 + ) + (7 + ) 3 6 9 2 5 8 = (1 − 4 + 7) + ( − + ) 3 6 9 12 15 16 =4 + ( − + ) 18 18 18 13 = 4+ 18 13 =4 18
2-3 分數的加減 7. 分數運算─加法交換律與加法結合律 加法交換律： 對任意分數 a、b，滿足 a + b = b + a 。 加法結合律： 對任意三個分數 a、b、c，滿足 ( a + b) + c = a + (b + c ) 。
精選題型 題型 1 請在( (1) −
(2)
)中填入適當的值，使等式成立。
( ) −5 20 ( ) = == 169 ( ) −52 39
64 8 ( ) ( ) = − = = ( ) 6 −3 15
題型 2 將下列各分數化為最簡分數。 (1)
18 30
(2)
39 91
(3) −
21 49
(4) −5
111 123
113
114
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 3 (1) 求一分數使介於
11 13 與 之間，並已知此分數之分子是 143。 12 14
1 1 (2) 求一最大分數使介於 與 之間，並已知此分數之分母是 36。 3 4
題型 4 比較下列各數的大小。
5 7 (1) − ， − 6 6 1 2 3 (2) −1 ， −1 ， −1 2 3 4
2-3 分數的加減
題型 5 若甲數為負整數，且 −
題型 6 求出下列各式的值。
3 1 (1) ( − ) + 4 4 7 1 (2) ( − ) − ( − ) 6 6 5 7 (3) ( − ) − 8 8
7 甲 −8 ，則符合這樣條件的甲數共有幾個？ < < 12 60 15
115
116
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 7 求出下列各式的值。
5 1 − 12 4 3 1 (2) − (− ) 7 2
(1)
5 1 (3) ( − ) + ( ) 6 −4 (4) ( −
8 2 )−( ) 15 −3
題型 8 計算下列各式的值。
2 3 1 (1) ( −14 ) + 24 + ( −38 ) 3 5 3 1 1 2 (2) ( −15 ) + 16 − 17 3 4 5
2-3 分數的加減
題型 9 計算下列各式的值。
15 3 1 −( − ) 8 8 2 1 5 4 3 (2) ( − + ) − ( − ) 2 3 3 2 (1)
題型 10 計算 −
1 1 1 1 + − − ( − ) + ( − ) 之值。 6 4 2 24
117
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
118
學力評量 (
8 )1. 下列何者的值與 6 相等？ 6 (A) 8
(
2 (C)1 3
21 (D) 15
12 a 2 8 )2. 若－ 18 ＝ 9 ＝ b ＝－ ，求a＋b＋c＝？ c (A) 3
(
12 (B) 9
(B)－3
(C)－12 (D) 21
乙 丁 乙 丁 119 39 、 ，且甲、乙、丙、丁為正整數，若 都是最 )3. 已知 28 ＝ ＝ 、 甲 143 丙 甲 丙 簡分數，則甲＋乙－丙＋丁＝？ (A) 13
(
(B) 14
119 (B) 130
(B) 209
(D) 211
4 4 (C)－(6－ 5 ) (D)－6－ 5
5 7 11 )7. 若甲＝－ 2 ，乙＝－ 3 ，丙＝－ 4 ，試比較甲、乙、丙三數的大小？ (B)乙＞甲＞丙
(C)乙＞丙＞甲 (D)丙＞乙＞甲
3004 2004 1004 )8. 已知甲＝ 2999 、乙＝ 1999 、丙＝ 999 ，則甲、乙、丙三者的大小關係為何？ (A)甲＞乙＞丙
(
(C) 210
4 (B) 6－ 5
(A)甲＞乙＞丙 (
123 (D) 130
4 )6. －6 5 和下列哪一個數相等？ 4 (A)－6＋ 5
(
121 (C) 130
13 15 )5. 已知一分數介於 14 與 16 之間，且其分子為 195，試求此分數的分母是多少？ (A) 208
(
(D) 44
9 12 )4. 有一最簡分數甲，已知甲的分母為 130，且甲介於 13 和 10 之間，則甲＝？ 117 (A) 130
(
(C) 43
(B)乙＞甲＞丙
(C)丙＞甲＞乙
(D)丙＞乙＞甲
4 )9. － 5 的絕對值是a、相反數是b、與原點的距離是c，則a＋b＋c＝？ (A) 0
(B) 1
7 (C) 20
2 (D) 3
2-3 (
)10. 下列哪一個式子的值最大？ (A)
(
)11.
－7 9 ＋ 13 13
)13. 計算
(C)
11 30
(B)－3
10 17
2 9
(B)
(C)－3
(C)
(C)－
17 30
27 17
(D)－3
19 30
27 17
(D)－
1 9
(D)－
)16. 化簡 15
(B)乙＞甲＞丙
2 9
(C)丙＞甲＞乙
(D)丙＞乙＞甲
1 2 1 5 － －（4 －3 ）＝？ 4 3 2 6
11 12
(B) 13
11 12
(C) 14
11 12
(D) 15
11 12
)17. 在數線上，下列哪一個數最接近(－2 )？ 1 5
(B)－2
1 6
(C)－1
1 9
(D)－1
7 8
)18. 如下圖，a、b、c 為數線上的三個數，試問下列哪一個值最小？ O b
a
－2
－1
(A)｜a＋b｜ (
49 12
(D)
4 5 6 )15. 已知甲＝－ 、乙＝－ 、丙＝－ ，試問甲、乙、丙三者的大小關係為何？ 5 6 7
(A)－2 (
5 2
13 30
10 (B) － 17
1 9
(A) 12 (
8 19 －(－ ) 27 27
10 7 3 －（ － ）的結果為多少？ 13 17 13
(A)甲＞乙＞丙 (
(D)
－13 5 3 4 2 )＝？ )14. (－ )＋ －(－ )＋(－ )＋( 6 4 9 36 3 (A)
(
7 2 (C)－ ＋ 3 3
1 3 )12. 已知｜甲數－3 ｜＋｜乙數＋7 ｜＝0，則甲數＋乙數＝？ 6 5
(A) (
19 12
(B)
(A)－3 (
16 －9 －( ) 25 25
(B)－
4 5 3 ＋ － ＝？ 3 4 2 (A) 2
(
分數的加減
0
c
1
(B)｜a＋c｜
2
(C)｜a－b｜ (D)｜a－c｜
3 3 )19. 已知甲＝－ 2 、乙＝－2＋ 、丙＝－1.375，請問下列哪一個選項是正確的？ 8 8
(A)甲＝乙
(B)乙＝丙
(C)甲＜乙＜丙 (D)甲＜丙＜乙
119
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
120
(
5 7 )20. 設a＝ 8 ，b＝－ 8 ，則下列各數中何者最小？ (A)｜a＋b｜
(
(B)｜a－b｜
(C)｜a｜－｜b｜
(D)｜a｜＋｜b｜
1 1 1 )21. 某次段考，全班英文及格的有 3 ，數學及格的有 2 ，兩科都及格的有 6 ，則兩 科中至少有一科及格的占了全班的幾分之幾？ 1 (A) 3
(
(B) 1
(C) 2
(D) 4
2 (B) 5
3 (C)－ 4
2 (D)－ 5
1 5 )24. 比 3 大且比 4 小的分數中，分母是 12 且是最簡分數的所有分數的和是多少？ 34 (A) 12
(
3 (D) 4
1 1 1 1 1 1 1 1 )23. 請計算｜ 8 － 10 ｜＋｜ 8 － 6 ｜＋｜ 3 － 6 ｜＋｜ 3 － 2 ｜＝？ 3 (A) 4
(
2 (C) 3
1 2 4 8 )22. 請計算 － ＋ － ＝？ 2 3 4 （－2） （－2） （－2） （－2）5
(A) 0 (
1 (B) 2
35 (B) 12
36 (C) 12
37 (D) 12
安打數 )25. 已知棒球選手的打擊率＝ ，若甲、乙、丙、丁四位選手的打擊次數分 打擊次數 別是 24、19、29、33 次，安打數分別是 11、6、16、20 支，則下列何者是甲、 乙、丙、丁四位棒球選手打擊率的高低順序？ (A)甲＞乙＞丙＞丁 (B)乙＞甲＞丙＞丁 (C)丙＞丁＞乙＞甲 (D)丁＞丙＞甲＞乙
2-4 分數的乘除與四則運算
2-4
分數的乘除與四則運算 基本觀念
1. 正分數的乘法運算 分數×整數：分母不變，分子乘整數。 例
2 2×3 6 ×= 3 = 7 7 7
分數×分數：分母乘分母，分子乘分子。 例
2 4 2×4 8 ×= = 3 5 3 × 5 15 34 9 34 26 2 × 2 4 ×1 = × = = 39 17 39 17 3 × 1 3
✐在乘法運算中，如遇到帶分數，先將帶分數化為假分數後再相乘。 2. 負分數的乘法運算 兩同號分數相乘：乘積為正。 例
2 2 3× 2 6 ( −3) × ( − ) = 3 × = = 7 7 7 7 2 4 2 4 2×4 8 (− ) × (− ) = × = = 3 5 3 5 3 × 5 15
兩異號分數相乘：乘積為負。 例
33 21 33 21 3× 3 9 × ( − ) =−( × ) =−( ) =− 14 22 14 22 2×2 4 4 1 4 25 1× 5 5 ( − ) × 6 =−( × ) =−( ) =− =−5 5 4 5 4 1×1 1
3. 分數的乘法─乘法性質 分數×0： a × 0 = 0 × a = 0 例
1 ×0 = 0 2 1 0× = 0 3
121
122
﹝一﹞Live 數位國中數學講義 分數×1： a × 1 = 1 × a = a 例
2 2 ×1 = 3 3 1×
3 3 = 4 4
分數× ( −1) ： a × ( −1) =( −1) × a =− a 例
4 4 × ( −1) =− 5 5 ( −1) ×
6 6 =− 5 5
分數連乘：正負先判斷，數字再相乘 (1) 偶數個負數：乘積為正。 例
1 2 3 4 1 2 3 4 1 (− ) × (− ) × (− ) × (− ) = × × × = 2 3 4 5 2 3 4 5 5
(2) 奇數個負數：乘積為負。 例
7 6 5 4 3 7 6 5 4 3 7 ( − ) × × ( − ) × ( − ) × =−( × × × × ) =− 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 2
(3) 有一數為 0：乘積為 0。 例
(−
399 695 334 801 289 )× × (− )×0× × (− ) =0 199 783 951 439 573
4. 分數之乘法交換律與乘法結合律 乘法交換律：對任意分數 a、b，滿足 a×b=b×a。 例
1 1 1 1 × (− ) = (− ) × 2 3 3 2
乘法結合律：對任意三個分數 a、b、c，滿足 ( a × b) × c = a × (b × c ) 。 例
1 1 1 1 1 1 ( × )× = ×( × ) 2 3 4 2 3 4
✐除法不適用於交換律與結合律。
2-4 分數的乘除與四則運算 5. 分數之乘法分配律 設 a、b、c 為任意三個分數，則： (1) a × (b + c ) = a × b + a × c 例 13 × (
12 2 12 2 2 2 + ) = 13 × + 13 × = 12 + = 12 13 39 13 39 3 3
3 7 3 12 3 7 12 3 19 3 × + × = ×( + ) = × = 7 19 7 19 7 19 19 7 19 7 (2) ( a + b) × c = a × c + b × c 例 (
12 2 12 2 2 2 + ) × 13 = × 13 + × 13 = 12 + = 12 13 39 13 39 3 3
(3) a × (b − c ) = a × b − a × c 例
17 33 22 17 33 17 22 3 1 ×( − ) = × − × = − 2 =− 11 34 17 11 34 11 17 2 2 5 13 5 42 5 13 42 5 29 5 × − × = × ( − )= × ( − )= − 13 29 13 29 13 29 29 13 29 13
(4) ( a − b) × c = a × c − b × c 例 (
33 22 17 33 17 22 17 3 1 − ) × = × − × =− 2 = − 34 17 11 34 11 17 11 2 2
6. 倒數 兩數相乘的積為 1，則兩數互為倒數。 ∵1×1=1
∵(－1)×(－1)=1
∴1 的倒數是 1
∴－1 的倒數是－1
1 ∵ 3× = 1 3
1 ∵ ( −3) × ( − ) =1 3
∴3 的倒數是
1 3
∴－3 的倒數是 −
3 4 ∵ × = 1 4 3 ∴
3 4 ∵ ( − ) × ( − ) =1 4 3
3 4 的倒數是 4 3
★∵ 0 × a = 0 ⇒
1 3
3 4 ∴ − 的倒數是 − 4 3 0 沒有倒數
★ a 是不為 0 的任意數
⇒
a與
1 互為倒數 a
123
124
﹝一﹞Live 數位國中數學講義 7. 分數的除法運算 除以一個不為 0 的數，就是乘以這個數的倒數。 (1) 正分數相除 例
1 1 1 1×1 1 ÷3= × = = 2 2 3 2×3 6 2 3 2 4 2×4 8 ÷ = × = = 3 4 3 3 3× 3 9
(2) 負分數相除【★先判斷正負，數字再相乘】 例
(−
11 33 11 33 11 26 2 )÷ = −( ÷ ) = −( × ) = − 13 26 13 26 13 33 3
1 3 1 3 9 3 9 4 3 ( −1 ) ÷ ( − ) = 1 ÷ = ÷ = × = 8 4 8 4 8 4 8 3 2 8. 分數之乘方與指數律 n
an a 分數之乘方：若 a、b 為整數，且 b≠0，則 = n b b 3 2 2 2 2 2×2×2 2 = × × = = 3 5 5 5 5 5×5×5 5 3
例
分數之指數律：若 a、b 是不為 0 的分數，m、n 是任意正整數。 (1) a m × a n = a m + n 【★同底相乘指數相加】 3
例
4
2 2 2 × = 5 5 5
3+ 4
2 = 5
7
(2) a m ÷ a n = a m −n 【★同底相除指數相減】 7
例
3
2 2 2 − ÷− = − 5 5 5
7 −3
2 = − 5
4
(3) ( a m ) n = a m×n 【★乘方再乘方指數相乘】 4
例
2 3×4 2 2 3 ) (6 ) (6 )12 = (6= 5 5 5
(4) ( a × b) n =a n × bn 【★相乘後乘方＝乘方後相乘】 7
例
7
7
4 5 4 5 5 × − = × − = − 3 4 3 4 3
7
2-4 分數的乘除與四則運算 (5) a 0 = 1 0
379 1 − = 973
例
(6) a − n =
1 an −4
4
1 24 34 34 81 2 2 1 1 1 = =÷ =÷ =× = = 4 34 24 24 16 3 3 2 3
例
9. 分數的四則運算與去括號法則 (1) 分數的四則運算規則【★括指乘除加減】 進行正、負分數的四則運算時，須遵循以下規則： 有括號時，先作括號內的計算，若有指數，要先做指數，之後若同時有加、減、 乘、除運算，應先作乘、除，再做加、減，並且應由左而右依序計算。 (2) 分數的去括號法則【★小中大，內而外】 進行正、負分數的四則運算時，若算式中包含括號，需遵循以下規則： 先計算小括號 ( 括號 {
) 內的算式，再計算中括號 [
} 內的算式。
1 1 1 1 1 1 1 1 + × { − ÷ [ − 23 × + ( − )]} 2 3 4 5 6 48 3 5
例 = = = = = = = =
1 1 1 1 1 1 5 3 + × { − ÷ [ − 8 × + ( − )]} 2 3 4 5 6 48 15 15 1 1 1 1 1 1 2 + × { − ÷ [ − + ]} 2 3 4 5 6 6 15 1 1 1 1 2 + ×{ − ÷ } 2 3 4 5 15 1 1 1 1 15 + ×( − × ) 2 3 4 5 2 1 1 1 3 + ×( − ) 2 3 4 2 1 1 1 6 + ×( − ) 2 3 4 4 1 1 5 + × (− ) 2 3 4 1 5 6 5 1 + (− ) = + (− ) = 2 12 12 12 12
] 內的算式，最後再計算大
125
126
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
精選題型 題型 1 計算下列各式的值。
7 3 (1) ( − ) × ( − ) 3 14 (2) ( − (3)
4 1 1 ) × ( −2 ) × ( − 3 ) 15 2 3
27 16 49 × (− ) × (− ) 28 81 9
題型 2 計算下列各式的值。
1 1 1 1 (1) 3257 × + 42 × 2 33 2 33 (2) ( −3) × 125
2 483
2-4 分數的乘除與四則運算
題型 3 計算下列各式的值。 (1)
8 8 8 × 15 + × 10 + × 13 19 19 19
(2)
1 ( −27) 1 ( −27) 1 27 × + × + × 2 35 3 35 4 35
題型 4 計算下列各式的值。
5 3 (1) ( − ) ÷ 9 10 1 1 (2) ( −3 ) ÷ ( −6 ) 5 4 (3)
5 3 2 ÷ ( − ) ÷ ( −1 ) 8 5 3
1 2 3 4 (4) ( − ) ÷ ÷ ( − ) ÷ 2 3 4 5
127
128
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 5 計算下列各式的值。
5 (1) ( − )3 3 1 (2) ( −2 ) 2 2 3 1 (3) ( − ) 2 × ( −1 ) 2 4 3
題型 6 計算下列各式的值。
3 4 (1) ( − )3 × ( − ) 4 4 3 3 3 (2) ( − )7 ÷ ( − )5 2 2
2-4 分數的乘除與四則運算
題型 7 比較下列各分數的大小。
2 2 2 2 (1) − 、 ( − ) 2 、 ( − )3 、 ( − ) 4 3 3 3 3 3 3 3 3 (2) − 、 ( − ) 2 、 ( − )3 、 ( − ) 4 2 2 2 2
題型 8 計算下列各式的值。 (1) ( −0.375) ÷ ( −1.2) × 2.2
2 3 (2) 3 ÷ ( −8.25) × ( − ) 3 4
129
130
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 9 計算下列各式的值。
1 (1) 3 × ( −2) + 4 ÷ ( − ) 3 (2) 5 − 3 × (
7 1 + ) 12 4
1 1 3 (3) (1 + ) ÷ ( − 1) × 3 3 8 9 3 5 (4) 1 − ( − ) ÷ ( − ) 2 4 4
題型 10 3 1 9 3 1 計算 − {2 + [ − 2 ÷ ( −5 )]} 的值。 4 2 10 5 5
2-4 分數的乘除與四則運算
題型 11 2 1 2 計算 ( −2 ) ÷ ( −23 ) − 2 × ( − )3 + ( −0.5) 2 的值。 3 4 3
題型 12 2 1 2 2 1 4 計算 ( − ) 2 − × {( − ) − ( − ) × [ −5 − ( ) 2 × ( − ) 2 + 9]} 的值。 3 2 3 3 2 3
131
132
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 13 兩個分數 1
19 13 、 3 分別乘以同一個正分數後，其乘積都可化為整數，則所乘的正分數最 21 14
小是多少？
題型 14 4 已知水梨 2 公斤賣 104 元，請問 4.375 公斤的水梨賣多少元？ 5
2-4 分數的乘除與四則運算
題型 15 甲 4 小時做一工程的
2 1 ，乙 3 小時做剩下的 ，丙 2 小時將剩下的完成，則甲、乙、丙 3 2
1 小時各完成整件工程的幾分之幾？
題型 16 3 2 某次段考中，數學及格的人數為全班人數的 ，而英語及格的人數為全班人數的 。如果 5 3 兩科都及格的人數占全班的
8 ，試回答下列問題： 15
(1) 至少有一科及格的人數占全班的幾分之幾？ (2) 已知全班有 45 人，則兩科都不及格的有多少人？
133
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
134
學力評量 (
2 1 )1. 2 3 的倒數與－3 3的相反數的乘積為何？ (A)
(
－80 9
5 (B) 4
5 (C)－ 4
80 (D) 9
)2. 下列敘述何者正確？ (A) 0 的倒數還是 0 (B) 1 的倒數還是 1 (C)任何數都有倒數 2 3 (D) 1 3 的倒數是 1 2
(
)3. 下列哪一個算式是錯誤的？ 3 3 4 ) ＝( 7 )4 7
(A) (－
3 2 2 3 (B) (－ 7 )×(－ 9 )＝(－ 9 )×(－ 7 ) 3 2 2 3 2 2 (C)［(－ 7 )÷(－ 9 )］÷ 7 ＝(－ 7 )÷［(－ 9 )÷ 7 ］ 3 2 2 3 2 2 (D)［(－ 7 )×(－ 9 )］× 7 ＝(－ 7 )×［(－ 9 )× 7 ］ (
1 1 1 1 )4. 計算(1＋ 4 )×(1＋ 5 )×(1＋ 6 )×…×( 1＋100 )＝？ 4 (A) 100
(
77 (B) 4
5 (C) 100
101 (D) 4
95 (C) 6
131 (D) 49
1 1 1 1 1 )6. 化簡 ( 2－1)÷( 3－1)÷( 4－1)÷( 5－1)÷…÷( 100－1)＝？ 1 (A)－ 25
(
201 4
7 5 3 11 1 )5. 計算 3 ＋ 6 ×1 7 ÷( 14 － 2 )＝？ 13 (A) 2
(
(B)
(B)－25
1 (C) 25
(D) 25
1 3 )7. 計算 4÷(－ 2 )3×(－ 16 )＋(－3)2 之值為何？ (A) 3
(B) 15
285 (C) 32
391 (D) 32
2-4 分數的乘除與四則運算
(
2 1 )8. 下列有關 (－3 5 )÷2 3 的運算，下列何者正確？ 1 2 1 2 (A) (－3 5 )÷2 3 ＝(－3)÷2＋( 5 ÷ 3 ) 1 2 16 8 16 8 128 (B) (－3 5 )÷2 3 ＝(－ 5 )÷ 3 ＝(－ 5 )× 3 ＝－ 15 1 2 1 2 (C) (－3 5 )÷2 3 ＝(－3)÷2×( 5 ÷ 3 ) 1 2 16 8 16 3 6 (D) (－3 5 )÷2 3 ＝(－ 5 )÷ 3 ＝(－ 5 )× 8 ＝－ 5
(
1 )9. 下列哪一個式子的值為－( 5) 4 ？ 1 (A)(－ 5) 4 1 (B)(－ 5)×4 1 1 1 1 (C)(－ 5)×(－ 5)×(－ 5)×(－ 5) 1 1 1 1 (D)－( 5× 5× 5× 5)
(
1 2 7 3 1 )10. 求－9 4 － 5 ×［ 4 －( 8 － 2 )］之值為何？ 99 (A)－10 (B)－ 10
(
43 (D)－ 5
1 6 6 1 )11. 計算 0.41×(－163 7)＋0.59×(－36 7)－0.41×36 7＋0.59×(－163 7)＝？ 1 (A)－200 (B)－ 7
(
17 (C)－ 2
(C)－2 (D)－163.59
)12. 下列敘述何者正確？ 3 3 (A) (－ 5 )2＝(－ 5 )×2 1 1 (B) 3 ÷(－2 )＝3×(－ 2 ) 1 1 (C) 4÷ 5 ÷3＝4×5× 3 3 3 (D) (－ 5 )÷3×2＝－ 5 ÷6
135
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
136
(
1 1 1 13 4 1 )13. 21 ×|－3 2 |－ 4 ÷0.125×［( 2 ) 3－( 3 ) 2］＋ 36 ＝？ 1 (B) 2
(A) 0 (
(C)－1
(D) 1
)14. 下列何者錯誤？ (A)－
14 16 12 ＞－ ＞－ 15 17 13
5 5 5 (B) (－ 4 ) 3＞ (－ 4 ) 5＞ (－ 4 ) 7 (C) ( 0.9 ) 3＞ ( 0.9 ) 5＞ ( 0.9 ) 7 5 5 5 (D) ( 4 ) 4＞ ( 4 ) 6＞ ( 4 ) 8 (
)15. 若a、b、c為三個相異的正整數，則下列四個選項中的式子，哪一個是正確的？ (A)－a÷(b－c)＝－a×
1 1 －a× c b
1 1 (B)－a÷(b－c)＝－a× b ＋a× c
(
(C)－a÷(b－c)＝a×
1 b＋c
(D)－a÷(b－c)＝a×
1 c－b
3 4 )16. 紅繩子長 7公尺，綠繩子長 5公尺，則紅繩子是綠繩子長的多少倍？ 21 (A) 20
(
20 (B) 21
12 (C) 35
35 (D) 12
)17. 如附圖每一方格面積均相等，若塗灰色部分面積 2 為 8 5 平方公分，則空白部分面積為多少平方公 分？ (A) 12
(
(B) 13
(C) 14
(D) 15
)18. 有一枝竹竿在水面下的長度為全長的
1 ，若露出水面的部分為 20 公尺，則這 4
枝竹竿全長是幾公尺？ (A) 15 公尺
(B) 20 公尺
(C)
80 公尺 3
(D)
100 公尺 3
2-4
(
)19. 長 9
分數的乘除與四則運算
3 1 公尺的繩子繞正方的周圍 10 圈，還剩下 公尺，求此正方形的面積為多 2 2
少平方公尺？ (A) (
4 5
(B)
1 25
(C)
1 4
(D)
16 25
1 2 )20. 甲、乙、丙三人合吃一顆大西瓜，甲先吃全部的 ，乙吃剩下的 ，丙把剩下 3 3
的全部吃完，則甲、乙、丙三人誰吃的最多？ (A)甲 (
(B)乙
(C)丙
(D)一樣多
)21. 小玲暑期打工，她將所得的
1 1 買書，剩下錢的 交學費，最後剩下 3000 元， 4 2
則小玲暑期打工所得為何？ (A) 6000 元 (
(C) 10000 元
(D) 12000 元
2 1 )22. 長為 2 公尺的繩子，每 公尺剪成一段，則剪到最後時剩下多少公尺？ 3 6
(A) (
(B) 8000 元
1 公尺 4
(B)
1 公尺 5
)23. 小美買了一匹布，長為 2
(C) 1 4
1 公尺 6
(D)
1 公尺 8
公尺，寬為 60 公分，共花了 120 元，則這一匹布
每平方公尺賣多少元？ (A) (
500 600 700 800 元 (B) 元 (C) 元 (D) 元 9 9 9 9
)24. 如圖的每一個方格皆同等大小，若斜線部 4 分代表 3 ，則塗灰部分代表的是多少？ 7
(A) 4
(
20 21
(B) 1
1 35
(C) 5
20 21
(D) 2
1 7
)25. 有紅色和白色兩種卡片共 84 張，甲、乙兩人各拿 42 張。若甲所拿的卡片中， 有
3 2 是紅色的，乙拿的紅色卡片是甲拿到紅色卡片的 ，則此 84 張卡片中有 7 3
幾張是紅色的？ (A) 30
(B) 45
(C) 52
(D) 54
137
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
138
第二章 (
分數的運算
)1. 143 的因數有 a 個，質因數有 b 個，則 a＋b＝？ (A) 5
(
(B) 6
(B) 7
(D) 9
(B) 6 個
(C) 3 個
(D) 4 個
(B) 4 個
(C) 5 個
(D) 6 個
)5. 50 個水果平分成若干堆(含 1 堆)，每堆個數一樣多，有多少種分法？ (A) 5 種
(
(C) 8
)4. 1～50 的整數中，恰有 3 個因數的數有幾個？ (A) 3 個
(
(D) 8
)3. 3、11、17、0、1、53、221 左列數字中，質數有幾個？ (A) 5 個
(
(C) 7
)2. 四位數 2□53 是 9 的倍數，73△5 是 11 的倍數，則□－△＝？ (A) 5
(
模擬試題
(B) 6 種
(C) 7 種
(D) 8 種
)6. 有一個 A 數，依次用 5，9，11 除皆餘 3，又知此 A 數不大於 1000，則 A 數最 大為何？ (A) 495
(
(B) 498
(B) 538
(C) 558
(D) 588
)8. A＝(75，90，105)，B＝(36，54)，則[A，B]＝？ (A) 105
(
(D) 993
)7. 22×33 與 2×32×5 的最大公因數為 A，最小公倍數為 B，則 A＋B＝？ (A) 438
(
(C) 990
(B) 90
(C) 85
(D) 70
)9. 3432、2266、7143、999990、111111 五個數中，2 的倍數有 a 個，3 的倍數有 b 個，5 的倍數有 c 個，11 的倍數有 d 個，13 的倍數有 e 個，則 a＋b－c＋d－ e＝？ (A) 6
(
(B) 7
(C) 8
(D) 9
)10. 設 a、b、c 均為正整數，已知 a＝3×25×215，b＝1055，c＝32×53×76，比較 a、 b、c 三數的大小順序？ (A) a＞b＞c
(B) b＞a＞c (C) a＞c＞b (D) c＞a＞b
第二章
(
分數的運算
模擬試題
139
)11. 小文有一個長方體積木長為 32cm、寬為 24cm、高為 16cm，至少要幾個這種 積木才能堆成一個最小的正方體？ (A) 48 個
(
(B) 60 個
(C) 72 個
(D) 84 個
)12. 某國中有男生 720 人、女生 630 人，若將男、女生分別編隊，每隊人數要相等， 且隊數要求要最少，則男、女生可編成幾隊？ (A) 5
(
)13.
(B) 10
)14.
(D) 20
27 a 3 ＝ ＝ ，則 a＋b＝？ 14 56 b
(A) 134 (
(C) 15
(B) 136
(C) 138
(D) 140
1 1 與 兩分數同時乘上正整數 k 後，其值成為正整數，已知 k＜500，則 k 的 18 16
最大值＝？ (A) 332 (
)16. 若 a＝
(B) 36 個
)17. －5 (A)
(
33 14
(D) 38 個
(B) a＞b＞c (C) a＜b＜c (D) b＞a＞c
14 33
(B)
(C)－
33 14
(D)－
14 33
3 2 1 1 )18. (－ 2 )－(－ )＋│－ 5 │－(－ 3 )＝？ 4 3 3 5
)19. A(－3 (A) 9
(
(C) 37 個
1 1 的相反數是甲，－2 的倒數是乙，則甲×乙＝？ 2 3
(A) 6 (
(D) 486
98 97 96 ，b＝ ，c＝ ，則下列何者正確？ 99 98 97
(A) a＞c＞b (
(C) 490
3 6 )15. 分子是 24 的分數中，比 大、比 小的分數有幾個？ 8 7
(A) 35 個 (
(B) 432
9 20
(B) 5
11 20
(C) 13
8 20
(D)－ 6
7 20
1 1 )、B(7 )，則 AB ＝？ 2 4
3 4
(B) 10
3 4
(C) 3
3 4
(D) 2
1 4
1 2 4 8 )20. 請計算 － ＋ － ＝？ 2 3 4 （－2） （－2） （－2） （－2）5
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 4
140
﹝一﹞Live數位國中數學講義
(
1 1 3 )21. (1＋ )÷( －2)× ＝？ 3 3 4
(A)－ (
3 4
(B)－
3 7
(D)－
4 9
(B) 12345000
(C) 24690
(D)－24690
1 1 1 )23. A＝(1－ )×(1－ )×……×(1－ ) 2 3 100
B＝(
1 1 1 1 －1)×( －1)×( －1)×……×( －1)，下列何者正確？ 2 3 4 100
(A) A＞B (
(C)－
1 5 1 )22. － 999 ×12345＋(－ )×12345＋(－ )×12345＝？ 9 9 3
(A)－12345000 (
3 5
(B) A＜B
(C) A＝B
(D) 2A＋B＝0
)24. 婷婷在高速公路上以固定的速率開車由北向南行駛，他從桃園(里程標示 57
3 4
1 公里處)，經過 2 小時 30 分到達泰山休息站(里程標示 285 公里處)，請問他的 4 平均時速為多少公里？ (A) 90 (
(B) 91
(C) 92
)25. 有一長方形紙條的長為 2 為4
(D) 93
3 6 公分、寬為 9 公分，現在從較長的部分剪下一寬 23 7
2 公分的長條如圖，那麼剩餘紙張(塗灰色部分)的面積為多少平方公分？ 11
(A) 11 平方公分
(B)
123 133 平方公分 (C) 平方公分 (D) 13 平方公分 11 11 9
2
6 7
3 23
4
2 11
3 一元一次方程式 3-1 以符號代表數 3-2 一元一次式的化簡 3-3 解一元一次方程式
142
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
3-1
以符號代表數 基本觀念
1. 以符號代表數 以文字或符號來代表數。例如：□、○、△、…或甲、乙、丙、…或 a、b、c、… ✐常用 x 來代表未知數。 代數式：以文字符號、數字與運算符號＋、－、×、÷所組成的式子，稱為代數式。 例 奶茶比土司貴五元，若以 x 表示土司的價錢，則奶茶的價格為 x＋5 2. 代數之四則運算 (1) 代數的四則運算規則【★括指乘除加減】 進行文字符號與數字的四則運算時，須遵循以下規則： 有括號時，先作括號內的計算，若有指數，要先做指數，之後若同時有加、減、 乘、除運算，應先作乘、除，再做加、減，並且應由左而右依序計算。 (2) 代數的去括號法則【★小中大，內而外】 進行文字符號與數字的四則運算時，若算式中包含括號，需遵循以下規則： 先計算小括號 ( 括號 {
) 內的算式，再計算中括號 [
] 內的算式，最後再計算大
} 內的算式。
3. 代數之交換律 加法交換律：對任意 a、b，滿足 a + b = b + a 。 乘法交換律：對任意 a、b，滿足 a × b = b × a 。 4. 代數之結合律 加法結合律：對任意 a、b、c，滿足 ( a + b) + c = a + (b + c ) 。 乘法結合律：對任意 a、b、c，滿足 ( a × b) × c = a × (b × c ) 。 ✐減法、除法不適用於交換律與結合律。
3-1 以符號代表數 5. 代數之乘法分配律 設 a、b、c 為三個任意數，則： (1) a × (b + c ) = a × b + a × c (2) ( a + b) × c = a × c + b × c (3) a × (b − c ) = a × b − a × c (4) ( a − b) × c = a × c − b × c ✐除法改乘法後，再用分配律： (1) a ÷ (b + c ) =a ×
1 a = b+c b+c
1 1 1 (2) ( a + b) ÷ c = ( a + b) × = a × + b × c c c (3) a ÷ (b − c ) =a ×
1 a = b−c b−c
(4) ( a − b) ÷ c = ( a − b) ×
1 1 1 = a× −b× c c c
6. 代數符號規則─乘法的簡記 算式中，因為乘號「×」和英文字母「x」容易混淆，所以常將「×」改寫成「．」或將 「．」省略不寫，且數字要寫在文字之前。 整數與文字： 例
3 × x = 3 ⋅ x = 3x
x ⋅ 7 = 7 ⋅ x = 7x ( −2) × x =− ( 2) ⋅ x =−2 x 1 × x =1 ⋅ x =1x = x
( −1) × x =− ( 1) ⋅ x =−1x =− x 分數與文字： 例
4 4 4 4x ×x = ⋅x = x = 5 5 5 5 3 3 3 3 x −3 x ( − ) × x =− ( ) ⋅ x =− x =− = 2 2 2 2 2
143
144
﹝一﹞Live 數位國中數學講義 文字與文字： 例
a × b = a ⋅ b = ab = ba
( −6 x ) × y =− ( 6 x ) ⋅ y =−6 xy =−6 yx x × x = x ⋅ x = x2 a × a × a = a ⋅ a ⋅ a = a3 混合類型： 例
( −3) × ( x − 5) =− ( 3) ⋅ ( x − 5) =− ( 3)( x − 5) =−3( x − 5) 3 × y 2 =3 ⋅ y 2 =3 y 2 3 3 3 3 3 3z 3 3 (− ) × z = (− ) ⋅ z = − z = − 5 5 5 5
✐除法改乘法後，再進行簡記運算。 7. 代數式的值 一個代數式所代表的數，由代數式中文字符號所代表的數來決定。 例 當 x = 3 ，算式 2x 之值
⇒
當 x = −2 ，算式 3x − 2 之值 當x=
2x = 2 ⋅ 3 = 6 ⇒
2 ，算式 −6 x + 1 之值 ⇒ 3
3x − 2 =3 ⋅ ( −2) − 2 =−6 − 2 =−8 2 −6 x + 1 =−6 ⋅ + 1 =−4 + 1 =−3 3
3-1 以符號代表數
精選題型 題型 1 姊妹兩人相差 3 歲，若妹妹今年 a 歲，則姊姊今年幾歲？ (A) (a＋3)歲
(B) (a－3)歲
題型 2 簡記下列各乘式。 (1) 12 × x (2)
x×
2 3
(3) ( −6) × x (4)
y × ( −5)
3 (5) ( − ) × y 4 (6)
y × ( −1)
(C) 3a 歲
a (D) 3 歲
145
146
﹝一﹞Live數位國中數學講義
題型 3 簡記下列各除式。 (1)
x÷6
(2)
x ÷ ( −10)
(3)
x÷
(4)
4 x ÷ (− ) 5
3 4
題型 4 簡記下列各式。 (1) ( −6) × x + 15 (2)
y × ( −0.6) − 1.3
(3)
x ÷ ( −4) − 10
(4)
1 2 y ÷ (− ) + 2 5
3-1 以符號代表數
題型 5 請在下表的空格中，填入各算式的值。 x
結 算
果 式
4x + 1 −2 x − 3 x ÷ 3−
1 2
x ÷ ( −2) +
3 4
3
−2
1 2
−
3 4
147
148
﹝一﹞Live數位國中數學講義
題型 6 求出下列各算式所代表的值。 (1)
x = 2 ， x2 =
(2)
y = −3 ， y 2 =
， x3 = ， y3 =
(3) a = 4 ， −a 2 =
。 。
， ( −a )2 =
。
題型 7 (1) 學生分配宿舍，有 x 間宿舍，若 8 人分一間，則有 4 人無宿舍可住，那麼學生有 人。 (2) 六個連續整數中，若最大的是 y，則最小的是
。
(3) 有一條 y 公尺的繩子，剪去 3 公尺之後，將剩餘的繩子平分成 5 等分，則每一等 分是
公尺。
3-1
題型８
b
如右圖，有一張長方形紙的長是
b 公分，寬是 a 公分，
今將此長方形紙右下角邊長是 x 公分的正方形剪掉，所以 剩下圖形的面積為
以符號代表數
a
平方公分(以a、b、x 表示)。
題型 9 已知梯形的上底為 3 公分，下底為 x 公分，高為 4 公分，則： (1) 梯形的面積(以 x 表示)。 (2) 若 x＝5 ，則梯形面積為多少平方公分？
x x
149
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
150
學力評量 (
)1. 下列敘述何者錯誤？ (A) x的
1 x 3 倍為 3
2 2x (B) 3 的x倍為 3 (C)比x大 25 的數為x－25 (D)比 3 小x的數為 3－x (
1 )2. 下列何者等於 3 4 x？ 1 1 1 1 (A) 3× 4 ×x (B) 3× 4 ＋x (C) (3＋ 4 )＋x (D) (3＋ 4 )×x
(
)3. 下列敘述何者錯誤？ (A)比x小 3 的數，以(x－3)表示 (B)比x大 12 的數，以(x＋12)表示 1 1 (C) x的 5 倍，以 5 x表示 (D)原價x元，打九折後，以 0.1x元表示
(
)4. 下列化簡結果哪一個是正確的？ 1 1 1 2 2 1 (A) x÷ 3 ＝ 3 x (B) x×(－ 2 )＝2x (C) x÷ 3 ＝ 3 x (D) x÷(－8)＝－ 8 x
(
)5.
－4 3x 所代表的意義與下列哪一個式子相同？ 4 (A)－ 3 ‧x (B)－4÷3×x
(
)6. 若 x＝－2，則下列哪一個式子的運算結果其值最大？ (A)－2(3－2x) (B) x＋3
(
(C)－4．3x (D) 4÷(－3)÷x
(C) 2x－1
(D)－3(1－2x)
x )7. 「－ 3 」可視為下列哪個式子的簡記？ (A)(－x)÷(－3)
(B) x×(－3)
1 1 (C) x×(－ 3 ) (D) x÷(－ 3 )
3-1
(
)8. 若x＝
1 ，則下列哪一個代數式的值最小？ 3
(A) x－1 (
(B)－3x (C)－x＋1
x
－4
7
－3x＋1
甲
乙
2 －3x÷4
丙
丁
(A)甲＜乙
1 x＋1 2
(B)丙＜1
(C)丁＞－1
(D)乙×丁＜0
)10. 已知一分數的分母比分子的 5 倍多 2，設分子是 x，則此分數為何？ (A)
(
(D)
)9. 根據下表的數據，判斷下列哪一個選項是正確的？ 算式
(
以符號代表數
5x－2 x (B) x 5x－2
(C)
5x＋2 x
(D)
x 5x＋2
)11. 某公司今年度的營收比去年度多 12%，假如該公司去年度的營收是 x 元，則今 年的營收是多少元？ (A) 0.12x 元
(
(B) 1.12x 元
(C) 1.2x 元
(D) 12x 元
)12. 小富從家裏出發，要步行到圖書館看書，若她步行的時速是 6 公里，走了x小 時後，離圖書館還有 2 公里，則小富家到圖書館的距離為多少？(以x表示) (A)(
(
6 x ＋2)公里 (B)( ＋2)公里 x 6
)13. 兩年前，丁丁的年紀是爸爸的
(C)(6x＋2)公里 (D)
8 公里 x
1 ，如果現在丁丁的年紀是x歲，那麼爸爸今年 5
是多少歲？ (A) 5x－2 (
(B) 5(x－2) (C) 5(x－2)＋2
(D)
x－2 ＋2 5
)14. 樂樂第一次段考七科總平均是x分，若其中數學考了 75 分，則其他六科的平均 是多少分？ (A)(x－75)分
(B)
x 分 6
(C)(
7x－75 )分 6
(D)(
6x－75 )分 7
151
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
152
(
)15. 某成衣商場換季大拍賣時，舉辦買三件送一件的促銷活動，則下列哪一個敘述 可解釋此促銷活動？ (A)每件衣服只算原價的
3 4
(B)買三件，則其中一件免費，其他兩件打 75 折 (C)一次買四件，每件都打 75 折 (D)一次買四件，每件都打 7 折 (
)16. 有一正三角形的周長和另一正方形的周長相等，如果此正三角形的邊長為a， 則此正方形的邊長為何？ (A)
(
3 4a
4 (C) 3 a
(B) 4a
(D) a
)17. 阿郎進入職棒隊，第一年的年薪是x元，因第一年表現良好，所以第二年加薪 8 ％，但第二年因傷表現欠佳，於第三年又減薪 8％，試問第三年年薪為多少元？ (A) x元 8 (B) (x＋ 100 x)元 8 8 (C) (x＋ 100 x)× 100 元 8 8 (D) (1＋ 100 )( 1－ 100 )x元
(
)18. 小美今天買了 3 個單價x元的蛋塔，2 杯單價 15 元的奶茶，又借 50 元給好朋友 小玲，結果身上還剩下 100 元，請問小美今天出門時帶了多少元？ (A)(3x＋130)元
(
(C)(3x＋180)元
(D)(3x＋80)元
)19. 小華買了 5 枝原子筆，若一打原子筆需要 a 元，則小華付 100 元可找回多少錢？ (A) 100－
(
(B)(x＋180)元
5 12
a
(B) 100－5a
a (C) 100－ 12
(D) 100－
7 a 12
)20. 假如一個二位數的個位數字為 a，十位數字比個位數字大 4，選出可以表示這 個二位數的算式。 (A) 10a＋4 (B) 10(a－4)＋a
(
(C) 10(a＋4)＋a
(D) 10a＋4＋a
)21. 撲滿內有 x 個 10 元和 10 個 5 元，則撲滿內共有多少錢？ (A) x＋5
(B) x＋50
(C) 10x＋5
(D) 10x＋50
3-1 以符號代表數
(
)22. 小高與大仁玩猜拳遊戲，約定贏的人得 3 分，輸的人得 2 分，已知遊戲結束 後，小高是 57 分，大仁是 43 分，若假設小高贏了x次，則小高輸了多少次？ (A) 25－x
(
(B) 20－x
(C) x＋14
(D) x－14
)23. 上數學課時，老師要大家心裡想一個數，然後依序加上 8，乘以 4，減去 12， 最後再除以 6，如果你想的數字為x，下列哪個選項能代表依照這些運算順序算 出來的結果？ (A) x＋8×4－12÷6 (B) ( x＋8 )×4－12÷6 (C) [( x＋8 )×4－12]÷6 (D)
(
( 8＋x×4 )－12 6
)24. 將一條繩子對摺 2 次後，長度變為x公分，則繩子原長為多少公分？ (A) 2x公分
(
(B) 4x公分
(C) 3x公分
1 (D) 4 x公分
3 )25. 百貨公司舉辦促銷活動，將原價x元的衣服改為( 5 x＋1)元出售。則下列哪一個 敘述可作為此百貨公司的促銷標語？ (A) 原價打三折再加 1 元 (B) 原價打三五折再加 1 元 (C) 原價打四折再加 1 元 (D) 原價打六折再加 1 元
153
154
﹝一﹞Live數位國中數學講義
3-2
一元一次式的化簡 基本觀念
1. 代數之一元一次式 若一個式子中，只含有一個代表數的文字符號（元），且該文字符號的次方是一次， 這樣的式子就稱為一元一次式。 例 x＋5、2x－3、－4y＋6、7z＋8－9z－1 2. 代數式之乘法運算 乘法交換律： a × b = b × a 例
x ⋅7 = 7⋅ x
乘法結合律： ( a × b) × c = a × (b × c ) 例
3 ⋅ (4 x ) = 3 ⋅ (4 ⋅ x ) = (3 ⋅ 4) ⋅ x = 12 x 2 x ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 x = 3 ⋅ (2 ⋅ x ) = (3 ⋅ 2) ⋅ x = 6 x
乘法分配律： a × (b + c ) = a × b + a × c ， ( a + b) × c = a × c + b × c
a × ( b − c ) = a × b − a × c ， ( a − b) × c = a × c − b × c 例
( y + 4) ⋅ 5 = y ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 = 5 y + 20 2 ⋅ ( x + 3) = 2 ⋅ x + 2 ⋅ 3 = 2 x + 6 (8 − y ) ⋅ 9 = 8 ⋅ 9 − y ⋅ 9 = 72 − 9 y 6 ⋅ (7 − x ) = 6 ⋅ 7 − 6 ⋅ x = 42 − 6 x
3. 代數式之除法運算 除一個數等於乘上該數的倒數。
1 1 1 2 2x 2x ÷ 3 = 2x ⋅ = 2 ⋅ x ⋅ = 2 ⋅ ⋅ x = x = 3 3 3 3 3 ( −5 x ) ÷
3 4 4 4 20 20 x −20 x = ( −5 x ) ⋅ = ( −5) ⋅ x ⋅ = ( −5) ⋅ ⋅ x = − x = − = 4 3 3 3 3 3 3
✐除法不適用於交換律與結合律。
3-2
一元一次式的化簡
4. 代數式之加減運算 (1) 去括號法則 括號前為「＋」，去括號後，括號內的「＋」、「－」不變。 例
+( x + 6) = x + 6
+( x − 6) = x − 6
+( −2 x + 3) = −2 x + 3
+( −2 x − 3) = −2 x − 3
括號前為「－」，去括號後，括號內的「＋」、「－」變號。(＋⇒－、－⇒＋) 例
−( x + 6) = − x − 6
−( x − 6) = − x + 6
−( −2 x + 3) = 2 x − 3
−( −2 x − 3) = 2 x + 3
(2) 運用分配律 例
3x + 2 x = (3 + 2) x = 5 x
3x − 2 x = (3 − 2) x = 1x = x
−4 x + 7 x = ( −4 + 7) x = 3x
−4 x − 9 x = ( −4 − 9) x = −13x
1 1 1 3 2 5 5x x x 1 + = ⋅ x + ⋅ x = ( + ) ⋅ x = ( + )x = x = 2 3 2 3 2 3 6 6 6 6 1 1 1 3 2 1 x x 1 x − = ⋅ x − ⋅ x = ( − ) ⋅ x = ( − )x = x = 2 3 2 3 2 3 6 6 6 6 5. 代數式之併項與化簡_同類項合併 (1) 同類項 一元一次式 2 x + 3 − 4 x − 5 也可表示為 2 x + 3 + ( −4 x ) + ( −5) ，式子中 2x 、3、 −4x 、 −5 之間以「＋」區隔，我們稱 2x 、3、 −4x 、 −5 為一元一次式 2 x + 3 − 4 x − 5 的項，其中
2x 和 −4x 含有相同的文字符號，且文字符號的次方相同，稱為同類項，又稱 x 的一次 項；而 3 和 −5 都不含文字符號，我們也稱 3 和 −5 為同類項，又稱常數項。 (2) 同類項合併 例
(2 x + 3) + (4 x + 5) = 2x + 3 + 4x + 5 = 2x + 4x + 3 + 5 = 6x + 8
(9 x − 8) − (7 x − 6) = 9x − 8 − 7x + 6 = 9x − 7x − 8 + 6 = 2x − 2
155
156
﹝一﹞Live數位國中數學講義 (3) 四則運算法則 ✐括號先算，先乘除後加減 ✐去括號法則 例
⇒
小中大、內而外
2 x − {(3 + x ⋅ 4) − [2 x − 4 − 3( x − 2 ⋅ 3)]} = 2 x − {(3 + x ⋅ 4) − [2 x − 4 − 3( x − 6)]} = 2 x − {(3 + x ⋅ 4) − [2 x − 4 − 3 x + 18]} = 2 x − {(3 + 4 x ) − [2 x − 3 x − 4 + 18]} = 2 x − {(3 + 4 x ) − ( − x + 14)} = 2 x − {3 + 4 x + x − 14} = 2 x − (5 x − 11) = 2 x − 5 x + 11 = −3x + 11
3-2
精選題型 題型 1 判斷下列各式何者為一元一次式：
x 、 −3y 、
x + 3 、 x 2 − 3 、 4 x − 5 y 、 z 3 + 3 、 5 − 0.5x 2
題型 2 化簡下列各式。 (1) 3x ⋅ 5
1 (2) ( −4) ⋅ x 8 1 5 (3) 1 ⋅ x 2 3
3 (4) ( −4 y ) ⋅ ( − ) 2 2 (5) ( − ) ⋅ ( −6 y ) 3 1 1 (6) ( −2 y ) ⋅ 3 14
一元一次式的化簡
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158
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 3 化簡下列各式。 (1) 5 x ÷ 3 (2) 8 x ÷
2 3
3 (3) 6 x ÷ ( − ) 4
(4) ( −
1 y) ÷ 6 2
(5) ( −
7 2 y ) ÷ (− ) 10 5
(6) 2
1 1 y ÷ ( −3 ) 2 3
題型 4 化簡下列各式。 (1) (2 x + 3) × ( −3)
3 1 (2) ( − x − 9) × 4 3 1 (3) 4( x + 3) 2
(4) −2(15 − 7 x )
3 (5) − (8 − 6 x ) 4
3-2
題型 5 化簡下列各式。 (1) 4 x + 5 x (2) −3x + 2 x (3) −6 x − 4 x (4)
1 1 x− x 2 3
題型 6 化簡下列各式。 (1) 6 x − 7 − 3x + 8 (2) −5 x + 7 − 3x − 9 (3) − y − 12 + 1 − 8 y (4) 2 − 5 y − 3 − 2 y
一元一次式的化簡
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﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 7 化簡下列各式。 (1)
x + 5 − 2( x − 1)
(2) 2( x + 3) − 5(2 x − 5) (3) 3(4 x − 7) − ( −4)( −3x )
1 3 (4) − ( x + 4) − (8 − 2 x ) 2 4
題型 8 1 1 1 化簡 { [ (2 x − 48) + 15] − 3} 2 3 4
3-2
一元一次式的化簡
題型 9 化簡下列各式。 (1)
4x − 7 x + 5 − 3 2
(2)
7x + 3 2x 6 − 4x − + 5 3 15
題型 10 設 A = x − 2 ， B = 4 − 3x ， C = −4 x + 6 ，請計算下列各式的值。(用 x 表示) (1)
A − (B + C)
1 (2) 2 A − 3B + C 2
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﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 11 (1) 設某數為 x，則某數的
1 1 減去它的 差是多少？ 5 6
(2) 把 36 分成甲、乙兩數，設甲數為 x，則： 1 ○
乙數為何？
2 ○
甲數的
1 1 與乙數的 的和是多少？ 2 3
題型 12 (1) 三個連續奇數中，若最小的奇數為 x，則最大的奇數為何？ (2) 五個連續偶數中，若中間的偶數為 y，則這五個連續偶數的和為何？
3-2
一元一次式的化簡
題型 13 康康國中某班學生有男生 2x 人，恰好比全班總人數的
3 倍少 3 人，則此班的女生有 5
多少人？
題型 14 在濃度 30% 的食鹽水 2x 公克和濃度 20% 的食鹽水 3x 公克混合後的食鹽水中， (1) 含食鹽多少公克？ (2) 含水有多少公克？ (3) 混合後的食鹽水濃度為何？
163
164
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 15 某次段考庭庭的國、英、數、社會四科的平均分數是 x 分，若再加上自然與生活科技的 80 分，則五科的總平均分數是多少？(以 x 表示) (A)(5x+80) 分
(B) (4x+80) 分
(C)(
4 x+16) 分 5
(D) (
4 x+80) 分 5
題型 16 健康氣墊鞋，每雙的成本價為 a 元，若照成本加四成作為定價，則： (1) 定價為
元。(以 a 表示)
(2) 若照定價打八折出售，則售價為 (3) 銷售此種氣墊鞋每雙可賺
元。(以 a 表示) 元。(以 a 表示)
3-2
一元一次式的化簡
學力評量 (
)1. 下列四個算式化簡的結果，哪一個是正確的？ 甲：3x－x＝2 1 1 乙：x＋ x－ x＝13x 3 4 1 1 丙：3x×(－ 4 )＝－3 4 x 1 3 丁：(－ 5 )÷3x＝－ 5 x (A)甲、丙
(
(B)僅乙
(C)乙、丁
(D)皆不正確
)2. 下列有關一元一次式的運算哪一個是錯誤的？ (A) 6x÷3＝2x (B) 6x÷
3 ＝4x 2
(C) (－6x )÷(－3)＝－2x 2 (D) 6x÷(－ 3 )＝－9x (
)3. 化簡－(－5x＋1)－(7－9x)的結果為多少？ (A)－14x＋8
(
(B)－8x＋19
(D) 4x＋8
(C)－4x＋25
(D) 8x－14
1 )5. 化簡 6x－3{－2x－ 5 [8x＋2(x－7)－9(4x－2)＋4(4－x)]}－1＝？ (A)－6x＋11 (B) 6x＋19
(
(C) 4x－8
)4. 化簡(2x－3)－2[(x－3)－2(4－2x)]＝？ (A)－4x＋5
(
(B) 14x－8
3 (C)－36 5 x－1
(D)－35x＋20
1＋x 2－x x－2 )6. 化簡 2 ＋ 3 － 4 ＝？ (A)
－x＋16 9
(B)
－x＋16 12
(C)
－x＋20 9
(D)
－x＋20 12
165
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
166
(
)7. 以下是甲、乙兩人化簡式子的過程： 甲：化簡
3x－7 5x－9 ＋ 6 4
1 將式子乘以 24，得 4(3x－7)＋6(5x－9) ○ 2 去括號，得 12x－28＋30x－54 ○ 3 合併同類項，得化簡結果為 42x－82 ○
乙：化簡
2x＋1 －3x＋2 － 3 2
1 將式子乘以 6，得 2(2x＋1)－3(－3x＋2) ○ 2 去括號，得 4x＋2＋9x＋6 ○ 3 合併同類項，得化簡結果為 13x＋8 ○
對於兩人的化簡過程，下列判斷何者正確？ (A) 甲、乙都正確 (B) 甲、乙都錯誤 (C) 甲正確，乙錯誤 (D) 甲錯誤，乙正確 (
)8. 下列式子的化簡，從哪一步驟開始發生錯誤？ －4(y－2)－3[(5y＋1)－(2y－6)]＝？ 步驟一：原式＝－4y＋8－3[5y＋1－2y＋6] 步驟二：原式＝－4y＋8－3[3y＋7] 步驟三：原式＝－4y＋8－9y＋21 步驟四：原式＝－13y＋29 (A)步驟一
(
(C)步驟三
(D)步驟四
)9. 有一長方形的長是寬的 3 倍少 2 公分，若寬為 x 公分，則周長為多少公分？ (A) 4x－2
(
(B)步驟二
(B) 8x－4
(C) 3x－2
(D) x．(3x－2)
)10. 假設蘋果一個x元，且蘋果的單價比橘子貴 10 元，若婷婷共買了 4 個蘋果與 3 個橘子，再加一個 1 元的塑膠袋，那麼她應付多少錢？ (A)(7x－29)元
(B)(7x－30)元
(C)(7x－27)元
(D)(7x＋29)元
3-2 (
)11. 已知雞有 x 隻，兔比雞的 2 倍少 3 隻，則總共有多少隻腳？ (A) 8x－6
(
(B) 10x－12
(C) 10x－10
(D) 10x－8
)12. 有一等腰三角形的頂角為 x°，則其中一底角為多少度？ (A) 90－x
(
一元一次式的化簡
(B) 180－x
x (C) 90－ 2
x (D) 90＋ 2
3 2 )13. 小富從家裡走路到奶奶家，去的時候花了 3 小時，回來的時候花了 2 小時，如 果小富家和奶奶家的距離是x公里，那麼小富來回的平均時速為多少公里？ (A)
(
12 13 x公里
13 (B) 12 x公里
6 (C) 13x公里
13 (D) 6 x公里
1 )14. 大仁剛上國一時的年紀是老師的 3 ，如果大仁三年後畢業的年紀是x歲，那麼 此時老師已經多少歲了？ x＋3 (B) 3 ( x－3 ) (C) 3 ＋3
(A) 3x＋3 (
(D) 3x－6
)15. 有一梯形，上底為(3a－1)公分、下底為(5a－3)公分、高為 8 公分，則此梯形 的面積為多少平方公分？ (A) 16a－8
(
(B) 32a－16
(C) 16a－4
(D) 32a－4
)16. 阿丹全家一起去看電影，共買了 2 張全票和 3 張兒童票，若兒童票是全票的八 折，且兒童票的票價為每張 a 元，則阿丹全家看電影共花了多少錢？ 9 (A) 2 a
(
(B) 5a
11 (C) 2 a
(D) 6a
)17. 如圖所示，若每個轉角皆為直角，求總周長為何？ 10
5x－2
12 9x＋1
(A) 14x＋24
(B) 18x＋15
(C) 28x＋22
(D) 30x＋20
167
168
﹝一﹞Live數位國中數學講義 (
)18. 如附圖，已知小明的身長比頭長的 2 倍還多 20 公分，腿長則比身長的 1.5 倍還 少 55 公分，若頭長為x公分，則小明的身高應為下列何者？ 頭長 x 公分 身長
腿長
(A) 2x＋20 (
(B) 3x－25
(C) 6x＋10
(D) 6x－5 公分
)19. 如附圖，每個角都是直角，則以 x 表示該圖形的面積應為下列哪一個式子？
2x＋3 x
5
4 (A) 14x－5 (
(B) 14x＋5
(C) 10x－15
(D) 10x＋15
)20. 某貨品每件的成本是 a 元，如果照成本加 2 成作為定價，再照定價打九折出售， 則這種貨品每件可賺多少元？ (A) 0.08a
(
(B) 0.1a
(C) 0.12a
(D) 0.18a
)21. 水果商從國外進口了 50 公斤的榴槤，他從中選出較優的 x 公斤，每公斤賣 200 元，剩下的每公斤賣 150 元，若他將全部的榴槤全部賣出，共可得多少錢？ (A) 7500＋50x 元
(
(B) 200x－150 元
(C) 200x 元
)22. 阿瑋過年領到的壓歲錢有 x 元，她用其中的 後阿瑋剩下多少錢？ (A)
1 1 1 1 x (B) x (C) x (D) x 2 3 6 12
(D) 350x＋7500 元
1 1 買書，再用其中的 買文具，最 3 6
3-2 (
一元一次式的化簡
)23. 附圖是一張長(3x＋10)cm、寬 8cm 的紙片，把它的四個角都剪去邊長為 2cm 的 小正方形，然後折成一長方體的容器，則該容器的容量為多少 cm 3 ？(假設紙張 很薄，厚度可忽略)
(3x＋10) 2 2
2 2
2
2 2
⇒
2
(A)(24x＋48)cm 3 (
8
單位：cm
(B)(24x＋80)cm 3
(C)(12x＋24)cm 3
(D)(12x＋40)cm 3
)24. 便利商店為了吸引顧客上門消費，推出特價方案「購買相同物品，第二件六 折。」即購買相同物品兩件時，第二件物品享有六折優待，請問購買相同物品 兩件時，相當於每件物品平均打多少折？ (A) 9 折
(
(B) 8 折
(C) 6 折
(D) 3 折
)25. 如圖，求矩形內接塗灰色部分的三角形面積為何？ x
2 3 10 3 (A) 2 x＋10
3 (B) 2 x－85
x (C) 2 ＋10
x (D) 2 －85
169
170
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
3-3
解一元一次方程式 基本觀念
1. 一元一次方程式 若一個等式中，只含有一個未知數（元），且該未知數的最高次方是一次，這樣的等 式就稱為一元一次方程式。 例 2x＋3＝4、5x＝6、－y＋7＝8y－9 2. 一元一次方程式之列式 生活中的數量問題，許多都可用文字符號 x 來代表問題中的未知數，再依據題意中的 數量關係，可列出含有 x 的等式，此等式稱為 x 的方程式。 例 手機通話費每分鐘 10 元，打了 x 分共花 68 元。請根據上述題意，列出方程式。 解
x ⋅ 10 = 68
3. 解一元一次方程式 求出一元一次方程式中 x 所代表的數的過程就稱為解一元一次方程式。 (1) 等量公理 1 等量加法公理： a = b ○
⇒
a+c = b+c
⇒
a−c = b−c
等號兩邊同加一個數，等式依然成立。 例
x−2= 3
⇒
x − 2 + 2 = 3+ 2
⇒
x=5
2 等量減法公理： a = b ○
等號兩邊同減一個數，等式依然成立。 例
x+4= 5
⇒
x + 4−4 = 5−4
⇒
x =1
3-3 解一元一次方程式 3 等量乘法公理： a = b ○
⇒
a×c = b×c
⇒
a ÷ c = b ÷ c ( c ≠ 0)
等號兩邊同乘一個數，等式依然成立。 例
x÷7 = 8
⇒
x ÷ 7×7 = 8×7
⇒
x = 56
4 等量除法公理： a = b ○
等號兩邊同除一個數，等式依然成立。 例
x ×3 = 6
⇒
x ×3÷ 3 = 6÷ 3
⇒
x=2
(2) 移項法則 在等式中，將一個數從等號的一邊移到等號的另一邊，應遵循下列規則，此規則 稱為移項法則。 1 x + a = b ○
⇒ x = b − a
例
x+4= 5
例
−x = 3 − 2x
⇒
x= 5 − 4
⇒
−x + 2x = 3
⇒
x =1
例
x−2= 3
⇒
x − 2 + 2 = 3+ 2
2 x − a = b ○
⇒
x=5
⇒ x = b + a
⇒
例 ⇒ ⇒
x=3
3x= 5 + 2 x 3x − 2 x = 5
x=5
171
172
﹝一﹞Live 數位國中數學講義 3 x × a = b ○
⇒ x = b ÷ a
例
x ×3 = 6
⇒
x= 6 ÷ 3
⇒
x=2
4 x ÷ a = b ○
⇒ x = b × a
例
x÷7 = 8
⇒
x= 8 × 7
⇒
例 8= x ÷
x = 56
4. 解一元一次方程式之應用問題
3 = x 4
⇒
8×
⇒
6= x
例
4= x ×
⇒
4÷
⇒
3 4
2 3
2 = x 3
6= x
以一元一次方程式解應用問題的步驟： (1) 設未知數：依題意選定一個適當的未知數，習慣以 x 或 y 表示。 (2) 列方程式：依題意列出方程式。 (3) 解方程式：利用等量公理或移項法則求得未知數的值。 (4) 驗算：檢驗所求的未知數之值是否符合題意。 (5) 寫答：寫出問題所要求的答案，並注意單位。 例 小富拿了一張 500 元鈔票，買了 4 顆巧克力，找回 408 元。試問巧克力每顆多少元？ 解
設巧克力每顆x元 依題意列式：500－4x＝408 ⇒
500＝408＋4x
⇒
92＝4x
⇒
23＝x
⇒
500－408＝4x
⇒
92÷4＝x
答：巧克力每顆 23 元
3-3 解一元一次方程式 5. 一元一次方程式應用問題之合理性 解一元一次方程式的應用問題時，除了驗算計算過程外，也要檢驗所求得未知數的值 是否符合題意與是否合乎常理。 例 若三個連續整數和為 25，則最大的數是多少？ 解
設最大的整數為 x 則其他二數分別為 x－1，x－2 依題意列式：(x－2)＋(x－1)＋x＝25 ⇒
x－2＋x－1＋x＝25
⇒
3x＝25＋3
⇒
3x－3＝25
⇒
3x＝28
⇒
28 x＝ 3
28 ∵x＝ 3 與x為整數不符 ∴無解 答：無解
173
174
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
精選題型 題型 1 判斷下列各式何者為一元一次方程式： (1) 3x + 5 (2)
1 1 x−3= 8 8
−4 (3) − x 2 =
9 (4) −4 y + 2 x = (5)
x
(6)
2y −4= 5 3
題型 2 依下列文字敘述，列出一元一次方程式。 (1) 比 x 大 2 的數是 8。答：
。
(2) 比 x 的(－2)倍多 3 的數是 21。答： (3) 18 比 x 的 4 倍少 2。答：
。 。
3-3 解一元一次方程式
題型 3 嘉嘉與家人到游泳池游泳。嘉嘉買了 2 張全票與 3 張半票共付 121 元，若全票每張比 半票貴 18 元，設半票的價錢是 x 元，則： (1) 以 x 表示每張全票是
元。
(2) 2 張全票及 3 張半票共需
元。
(3) 2 張全票錢數＋ 3 張半票錢數＝嘉嘉所付的錢，依題意可列出 x 的一元一次方程式 為
題型 4 解下列各方程式。 (1)
x + ( −5) =−4
(2)
x − ( −9) =0
−2 (3) ( −7) + y =
12 (4) −10 − y =
。
175
176
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 5 解下列各方程式。 (1) −8 x = 0 (2) − y =−7 (3) ( − x ) ÷ ( −5) =10 (4) −
x = 1 3
題型 6 解下列各方程式。 (1) 2 x + 5 = 9 (2) −3x + 4 =−5 (3)
1 y −6= 2 2
(4) 8 +
1 y= −1 3
3-3 解一元一次方程式
題型 7 解下列各方程式。
−2 (1) (5 x − 6) − (3x + 2) = (2) −3(2 x − 1) = 2( x + 3)
1 (3) − (2 x − 6) =x + 1 2 (4)
1 1 ( x − 3)= ( x + 6) + 1 3 4
題型 8 解下列各方程式。 (1)
4( x − 8) 3x − 1 − = −11 3 2
(2)
2( x + 3) 5 3( x − 4) 1 −= x −2 5 4 2 5
177
178
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 9 1 1 1 2 3 1 解方程式 {x + [ x + ( x − )]} = x + 。 2 3 4 3 8 36
題型 10 6 ，求 設 x − [3 − (2 x + 3)] =
x−3 之值。 3x − 1
3-3 解一元一次方程式
題型 11 若－1 為
3x + a 5ax − 1 − = a 的根，求 a 之值。 2 3
題型 12 若方程式 2( x − 1) = a − x 與 x − a = 3 − x 有相同的解，求 a 之值。
179
180
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 13 (1) 已知兩個數的和為 56，而其中一數比另一數的 3 倍大 4，求這兩個數。 (2) 已知一個二位數的十位數與個位數的數字和為 9，若將十位數與個位數互換後，所 得的新數比原數大 27，請問原數為多少？
題型 14 在數線上兩點分別為－24、10，則此兩點同時向右移動多少個單位長之後，所表示的數 會成為相反數？
3-3 解一元一次方程式
題型 15 一瓶果汁比一瓶汽水貴 8 元，買 5 瓶果汁和 3 瓶汽水，共花了 240 元，那麼一瓶果 汁和一瓶汽水各是多少元？
題型 16 小富上山每小時可走 2 公里，下山每小時可走 3 公里。今來回一趟共需 5 小時，試問 山路長多少公里？
181
182
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 17 學生分配宿舍，如果 8 人住一間，則有 4 人無宿舍可住；如果 10 人住一間，則會剩 下 1 間宿舍沒人住，那麼學生共有多少人？宿舍共有幾間？
題型 18 光速網咖的入場基本消費為：第一小時 60 元，其餘每分鐘 0.5 元；婷婷到光速網咖上 網查資料，離開時共付了 90 元，請問婷婷在網咖停留多久？
3-3 解一元一次方程式
183
題型 19 1 某次段考，數學老師面色凝重的對全班說：「這次考試不理想，不及格人數占全班的 3 ， 及格但不到 80 分的人數占全班的一半又多 3 人， 80 分以上的只有 3 人。」那麼這 次考試中，不及格的有幾人？
題型 20 一件衣服以定價七五折賣出，則賠本 80 元；若改以定價的九折賣出，則可賺 220 元， 請問此件衣服的成本為多少元？
184
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
題型 21 有一個工程，甲獨做 6 日可完成，乙獨做 8 日可完成，丙獨做 12 日可完成，今乙、 丙二人合作二日後，因為丙生病，所以由甲代替，請問剩餘的工程，幾日可完工？
題型 22 甲的年齡比乙大 16 歲， 3 年後甲的年齡比乙的 3 倍多 12 歲，求甲今年幾歲？
3-3 解一元一次方程式
學力評量 (
)1. 下列何者是一元一次方程式？ (B) 3x－1＝2＋y (C) x2＋x＋1＝0
(A) 5x＋1＝－4x－11 (
)2. 解方程式(7x＋7)－2(x＋3)＝(3x＋14)－7，得 x＝？ (A) 1
(
10 (B) 11
11 (B) 18
(D) 4
32 (C) 11
40 (D) 11
18 (C) 21
16 (D) 21
)5. 方程式 2x－3＝x＋2 與方程式 x－a＝2－ax 有相同的解，則 a＝？ 1 2 (A) 2 (B)－3
(
(C) 3
x x x x )4. 解 x＋ 2 － 4 ＋ 8 － 16 ＝1，則x＝？ 7 (A) 18
(
(B) 2
1 1 7 )3. 解方程式 2 (3x－5)＋ 3 (x－2)＝ 2 ，得x＝？ 2 (A) 11
(
(D) 3x＋5
3 (C)－4
4 (D)－5
x )6. 有一道數學題「解一元一次方程式x＋7＝ 6 －12」，康康的解題過程如下面的 四個步驟，試問她自哪一個步驟開始發生錯誤？ x 步驟一： x－ 6 ＝－12－7 步驟二：6x－x＝－19 步驟三：5x＝－19 19 步驟四：x＝－ 5 (A)步驟一 (B)步驟二
(
(D)步驟四
)7. 一長方形的周長為 48 公分，且長比寬多 6 公分，則此長方形的面積為何？ (A) 123 平方公分
(
(C)步驟三
(B) 128 平方公分
(C) 135 平方公分
(D) 150 平方公分
)8. 四個連續正奇數的和比這四個數中最大數的 3 倍多 1，則四個數中最小的為多 少？ (A) 7
(B) 9
(C) 11
(D) 13
185
186
﹝一﹞Live數位國中數學講義 (
)9. 有一個四位數最左端的數字是 1，若將最左端的數字 1 移到最右端，則所得的 新數會比原數的五倍少 74，請問原數是多少？ (A) 9851
(
(B) 8519 (C) 5198
(D) 1985
)10. 將一條繩子折成等長的 6 段後，每段長比折成等長的 9 段後長 1 公尺，則繩長 原本應為幾公尺？ (A) 10 公尺
(
(B) 12 公尺
(C) 16 公尺
(D) 18 公尺
)11. 小華到市場買了 6 顆蘋果與 8 顆梨子，共花了 242 元。若一顆梨子比一顆蘋果 貴 4 元，請問買 4 顆梨子需要多少錢？ (A) 18 元
(
(B) 19 元
(C) 72 元
(D) 76 元
)12. 數學考題共 50 題，每答對一題得 2 分，答錯一題倒扣 1 分，不作答則不計分， 若小君答 45 題得了 75 分，則小君答對幾題？ (A) 38 題
(
(B) 39 題
(C) 40 題
(D) 42 題
)13. 如圖，相鄰的兩數相加後，填入下方的空格，若 c ＝12，則 x＝？ (A) 2
(B) 3
(C) 4
x
1 a
(D) 5
5 b
c (
7 )14. 兄弟兩人共有 190 元，若哥哥給弟弟 45 元後，哥哥的錢是弟弟的 倍，則弟 12 弟原來有多少元？ (A) 85 元
(
(B) 75 元
(C) 65 元
(D) 55 元
)15. 上等茶葉每公斤 1800 元，中等茶葉每公斤 600 元，今天茶葉販賣商將兩種茶 葉混合成每公斤 1080 元出售，若混合賣出所得與分開賣出所得金額相同，已 知上等茶葉有 20 公斤，則中等茶葉有幾公斤？ (A) 25
(B) 30
(C) 35
(D) 40
3-3
(
解一元一次方程式
1 )16. 已知一插入水中的木桿，沒入水中的部分是露出水中部分的 ，且木桿全長為 2 10 公尺，則露出水面部分的長為幾公尺？ (A)
(
5 公尺 3
(B)
10 公尺 3
(C) 5 公尺
(D)
20 公尺 3
)17. 某地區山泉水的售價如表所示，每逢假日以特價出售。若阿杰假日到此遊玩， 用販售的水桶裝 6 公升的山泉水回家飲用，共花了 420 元，則山泉水特價每公 升多少元？ 項
目
單
山泉水
70
元／公升（平日）
？
元／公升（假日）
水桶
60
（每個容量 2 公升） (A) 30 元 (B) 40 元 (
價
(C) 50 元
元／個 (D) 60 元
)18. 小娟和大仁玩數學遊戲，以下是 2 人的對話：小娟說：「你在心中默想一個數 字，將這個數字先乘 2，再加上 5，最後再除以 3，則結果為何？」大仁回答： 「結果是 3」根據以上的對話，試求大仁心中所默想的數字為何？ (A) 1
(
(B) 2
(C) 3
(D) 4
)19. 老爸對兒子說，我在你這個年紀時你才 3 歲，又說等你到我這個年紀時，我已 經 78 歲了。請問兒子現在幾歲？ (A) 25 歲
(
(B) 28 歲
(C) 53 歲
(D) 55 歲
)20. 一年四班共有學生 24 人，某次考試及格同學的平均分數為 80 分，不及格學生 的平均分數為 40 分，且全班平均分數為 60 分，則及格人數為多少人？ (A) 10 人
(
(B) 12 人
(C) 14 人
(D) 16 人
)21. 附圖是日曆的一部分，其中 a、b、c、d 分別表示 日期，且 a＋b＋c＋d＝72，則 a＋d＝？ (A) 32
(B) 34 (C) 36
(D) 38
日 一 二 三 四 五 六 a b c d
187
188
﹝一﹞Live數位國中數學講義
(
)22. 丁丁看一本書，第一天看的頁數是該書全部的
1 ，第二天看的頁數為第一天看 9
4 的 ，已知第一天比第二天少看 7 頁，則該書還有多少頁沒看？ 3 (A) 110 頁 (
(B) 120 頁
(C) 130 頁
(D) 140 頁
)23. 有 18 隻小鳥停在 A、B 兩棵樹上，後來有 2 隻鳥從 B 樹上飛走，又有 5 隻鳥 從 A 樹飛到 B 樹。結果發現兩棵樹上的小鳥數目相同，則剛開始時，A 樹上的 小鳥數目是 B 樹的幾倍？ (A) 1.5
(
(B) 2 (C) 2.6
)24. 如圖，將一白繩的
(D) 3
3 1 重疊，並以膠帶黏合形成一條長為 238 公 與一灰繩的 8 3
分長的繩子，則未黏合前兩條繩子相差多少公分？ (A) 14
(B) 17
(C) 28
白繩
(D) 34
黏合處 灰繩
(
)25. 周董有塊地長為 36 公尺，寬為 12 公尺，現在田地四周圍開闢等寬的道路，則 所剩塗灰色區域的周長為 80 公尺，則塗灰色部分的面積為多少？ (A) 432 平方公尺
(B) 340 平方公尺
36m x x
12m
(C) 256 平方公尺
(D) 532 平方公尺
第三章
第三章 (
)1. 1 公斤＝
3 (B)(a÷ 5 )公斤
(B) x－31.5
(C) x×31.5
3 (D)(a－ 5 )公斤
(D) x÷31.5
)3. x＝12，則(－8)＋x÷2＋4＝？ (B) 1
(C) 6
(D) 2
)4. 下列何者不正確？ 1 (A) a× c ＝a÷c (B) a×x＝x×a
(
3 (C)(a＋ 5 )公斤
)2. 1 元美金可兌換新台幣 31.5 元，若大仁有美金 x 元，請問他可兌換新台幣幾元？
(A) 0 (
a ac (C) a÷b÷c＝bc (D) a÷(b×c)＝ b
)5. 下列五個表示法： 1 1 (甲) 4 x 表示 4＋ x 3 3
(乙) 5x 表示 5＋x (丙) 5x2＝5x．x (丁) 6x2＝6x．6x 1 x．x (戊) x2＝ 5 5
正確有幾個？ (A) 2 個 (
)6.
(B) 3 個
(C) 4 個
(D) 5 個
x－1 x＋1 3 － 2 ＝？ (A)－x－5
(
189
5 3 台斤，則某物重 a 台斤，相當於幾公斤？
(A) x＋31.5 (
模擬試題
模擬試題
一元一次方程式
3 (A)(a× 5 )公斤 (
一元一次方程式
(B)－x＋1
(C)
－x－5 6
(D)
－x＋1 6
)7. 3x－4＝2x＋8 的解為 x＝□，8(2x－1)＋4＝2(3x－5)＋66 的解為 x＝△，則下 列何者正確。 (A)□÷△＝2
(B)□×△＝78
(C)□是奇數
(D)△是質數
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
190
(
)8. 6x－4＝(3x－8)－(2x＋12)，則 x＝？ (A)－
(
8 5
(B)
16 5
(C)－
16 5
(D)
8 5
)9. 甲、乙、丙三人共有 1000 元，甲比乙多 160 元，乙比丙少 180 元，則丙有幾 元？ (A) 300
(
(B) 400
)11.
(B)－1
(D) 5
(B) x＝6
(C) x＝－16
(D) x＝24
)12. 某數的 3 倍加 12 是－168，則某數的 12 倍加 3 是多少？ (A)－717
(
(C) 3
x＋1 x ＋3＝ 的解為下列何者？ 3 2
(A) x＝－6 (
(D) 450
)10. A＝4x－6，B＝15x＋12，若 2A＝－B＋23，則 x＝？ (A) 1
(
(C) 350
(B)－720
(C)－724
(D)－763
)13. 已知三個連續奇數的和是 945，則下列何者正確。 (A)最小的數是 315 (B)中間的數是 317 (C)最小的數是 313 (D)最大的數是 315
(
)14. 小雪今年 14 歲，媽媽比他大 24 歲，請問幾年後媽媽的年齡是小雪的 2 倍？ (A) 10
(
(C) 12
(D) 14
)15. 某數比它的相反數的 5 倍小 96，則某數的倒數與它的相反數的和是多少？ (A) 16
(
(B) 16
14 15
(B) 15
15 16
(C) 16
13 15
(D)－
251 15
)16. 小明帶 1000 元，以原價的八折購買一雙皮鞋，找回 280 元，則皮鞋原價是幾 元？ (A) 800
(
(B) 900
(C) 1030
(D) 1200
9 )17. 華氏溫度＝攝氏溫度× ＋32°，若華氏－13°時攝氏是幾度？ 5
(A) 25
(B)－25
(C) 45
(D)－45
第三章 (
(B) 370
(C) 372
191
(D) 374 6x＋12
A D
3x＋10
11
(B) 100
E
18
)19. 一段鐵絲剪去 12cm，剩下的長度比原長的 (A) 96
F
C
B
(
模擬試題
)18. 如圖，若已知周長是 98，且每個轉角為直角，則此圖的面積為何？ (A) 368
(
一元一次方程式
(C) 104
3 多 12cm，則原長多少 cm？ 4
(D) 114
)20. 將一條童軍繩平均折成三段後，去量阿華的身高還多出 10 公分，如果平均折 成四段去量，則不足 35 公分，請問此條童軍繩有多長？ (A) 500 公分
(
(B) 520 公分
(C) 540 公分
(D) 560 公分
)21. 鉛筆每 8 枝裝一盒，則有 3 枝沒盒子裝，若 9 枝裝一盒，則有一個盒子是空的， 則盒子有幾個？ (A) 99
(
(B) 96
(C) 11 (D) 12
)22. 全家大掃除，若單獨由父親做 5 小時完成，母親單獨做需 6 小時，但若是兒子 或女兒單獨做則皆需 15 個小時才能完成。請問若由四人通力合作，則需要多 久才能完成？ (A) 1 小時
(
(B) 1.5 小時
(C) 2 小時
(D) 2.5 小時
)23. 小富預定以每小時 12 公里的速率騎車到離家 8 公里遠的爺爺家拜年，不料油 箱沒油，只好以每小時 4 公里的速率繼續走路前進，結果比預定時間慢了 20 分鐘到達，設小富走路的距離為 x 公里，則 x＝？ (A) 2
(
(B) 4
(C) 5
(D) 6
)24. 一個二位數，其個位數字與十位數字的和為 7，若將個位數字與十位數字對調， 則所得到的新數比原數少 9，則原數是多少？ (A) 34
(B) 43
(C) 25
(D) 52
﹝一﹞Live 數位國中數學講義
192
(
1 1 )25. 大中用身上所有錢的 買了 2 本價格相同的書，再用剩下錢數的 買了 3 枝筆， 3 2
結果剩下 200 元，則大中所買的書，每本多少錢？ (A) 50 元
(B) 100 元
(C) 150 元
(D) 200 元
解答篇
193
ANS
Live 國中數學 i講義 1 編著者
葛 倫
出版者
徠富數位學習科技有限公司
公司地址
70247台南市南區三官路120號
服務電話
(06)2658388
Live網址
Liveism.com
電子信箱
Live.study@gmail.com
出版日期
2012年7月 第一版
ISBN
978-986-88371-0-2 (平裝)
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www.Liveism.com