ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΜΙΑΣ ΤΑΞΗ Β2’

Ερευνητική Εργασία

ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

2012-2013

www.3lykeiolamias.gr 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1.

Πρόλογος

2.

Συστήματα Αρίθμησης

3.

Μαθηματικά ανέκδοτα

4.

Μαθηματικές γελοιογραφίες

5.

Παιχνίδια βασισμένα σε μαθηματικά

6.

Μαθηματικοί γρίφοι

7.

Μαθηματικά παράδοξα

8.

Επίλογος - Συμπέρασμα

9.

Βιβλιογραφία

2

1. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ίσως να νιώθατε έκπληξη αν κάποιος ισχυριζόταν πως τα μαθηματικά είναι κάτι εξαιρετικά όμορφο. Οι περισσότεροι αντιμετωπίζουμε τα μαθηματικά με προκατάληψη η οποία αναπτύσσεται ήδη από τις πρώτες τάξεις τις στοιχειώδους εκπαίδευσης. Ωστόσο, σε αντίθεση με την αρνητική άποψη των περισσοτέρων, εμείς αποφασίσαμε να κάνουμε αυτή την εργασία με σκοπό να καλλιεργηθεί η συμπάθεια για τα μαθηματικά, να ενθαρρυνθεί η ενασχόληση με αυτά και να επαναφερθούν μνήμες σε σχέση με μαθηματικές γνώσεις. Περιεχόμενο της εργασίας αυτής είναι η διασκεδαστική πραγματικότητα της καθημερινής ζωής που βασίζεται στα μαθηματικά και τη μαθηματική σκέψη. Καλή ανάγνωση!

3

2.ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Τα αριθμητικά σύμβολα, τα οποία χρησιμοποιούμε από το δημοτικό για να φτιάξουμε τους αριθμούς και να κάνουμε τις πράξεις, κρύβουν μέσα τους μια ιστορία χιλιάδων αιώνων. Όλοι οι αρχαίοι λαοί χρησιμοποίησαν μαθηματικά σύμβολα για να απεικονίσουν αριθμούς και να λύσουν με αυτά τα καθημερινά προβλήματα υπολογισμών. Οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε σήμερα προέρχονται από τους Άραβες οι οποίοι τους εξέλιξαν, αφού τους πήραν από τους Ινδούς. Ας γνωρίσουμε κάποια συστήματα αρίθμησης παλαιότερων εποχών.

Αρχαίο ελληνικό σύστημα αρίθμησης

Αρχαίο λατινικό σύστημα αρίθμησης

4

Βαβυλωνιακό σύστημα αρίθμησης

Αρχαίο ινδικό σύστημα αρίθμησης

Σύστημα αρίθμησης των Μάγια

5

3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ

1. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ο Χριστός απευθύνεται στον Πέτρο.

- Πέτρο ; - Ναι κύριε.

- y = x².

- Tι είναι αυτό κύριε; - Παραβολή Πέτρο.

2. ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ ΤΟΥ BOLZANO Πόσα παιδιά είχε ο Bolzano; Τουλάχιστον ένα …

3. ΕΥΚΟΛΟΣ ΔΡΟΜΟΣ Πως θα περάσει ένας Μαθηματικός το ποτάμι, που στις όχθες του υπάρχουν πολλά δέντρα; Θα υψώσει ένα δέντρο στο τετράγωνο, θα φύγει η ρίζα...

4. Η ΕΞΟΔΟΣ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ Πως μπορεί ένας μαθηματικός να βγει από ένα δωμάτιο χωρίς κανένα άνοιγμα; Λέει: «Έστω πόρτα ...»

5. Η ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ΕΝΟΣ ΑΝΘΡΩΠΟΥ Δύο φίλοι κάνουν ένα ταξίδι με αερόστατο. Κάποια στιγμή αρχίζει να βρέχει. Σε πολύ λίγο η βροχή γίνεται καταιγίδα και το αερόστατο κομμάτια. Πυξίδες και χάρτες χάνονται. Οι δύο φίλοι κρατιούνται από κάτι σκοινιά και καταφέρνουν να προσγειωθούν σώοι και αβλαβείς σε ένα λιβάδι. Η καταιγίδα έχει πια σταματήσει

6

και περίπου στο κέντρο του λιβαδιού μπορούν να διακρίνουν έναν άντρα να διαβάζει. Πάνε λοιπόν προς το μέρος του και τον ρωτάνε: - «Συγνώμη, μήπως ξέρετε που βρισκόμαστε;» Ο άντρας κοιτάει για λίγο γύρω του, σκέφτεται και λέει: - «Βρίσκεστε στη μέση ενός λιβαδιού.» Οι φίλοι τον ευχαριστούν και φεύγουν. Όταν απομακρύνονται κάπως, λέει ο ένας στον άλλο: «Αυτός ήταν μαθηματικός!» «Που το κατάλαβες;» ρωτάει ο άλλος. «Πρώτον σκέφτηκε πριν απαντήσει και δεύτερον έδωσε μια σωστή απάντηση με ακρίβεια, που όμως δε μας χρησιμεύει σε τίποτα!»

6. ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΤΑΞΥ ΑΡΙΘΜΩΝ. Τι είπε το 0 στο 8; Ωραία ζώνη!!!

7. ΤΟ ΠΛΥΣΙΜΟ ΤΩΝ ΠΙΑΤΩΝ Ερώτηση: Πως πλένει ένας μαθηματικός τα πιάτα; Απάντηση: Πλένει το ένα και τα άλλα ομοίως …

8. ΑΠΛΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ!!! Ένας Μαθηματικός (ΜΑΘ) και ένας Μηχανικός (ΜΗΧ) παρακολουθούσαν μια διάλεξη που έδινε ένας Φυσικός. Το θέμα αφορούσε τις θεωρίες Kulza-Klein περιλαμβανομένων των φυσικών διαδικασιών σε εντεκαδιάστατους και δωδεκαδιάστατους χώρους. Ο Μαθηματικός καθόταν και φαινόταν να διασκεδάζει την διάλεξη την ώρα που ο Μηχανικός κατσούφιαζε, και ήταν εμφανώς μπερδεμένος. Στο τέλος της διάλεξης ο Μηχανικός είχε ένα τρομερό πονοκέφαλο ενώ ο Μαθηματικός έκανε κάποια θετικά σχόλια για την ομιλία. Τότε ο Μηχανικός γυρνάει στον Μαθηματικό και τον ρωτάει:

7

ΜΗΧ: «Πώς μπορείς και καταλαβαίνεις αυτά τα πράγματα;» ΜΑΘ: «Απλώς φαντάζομαι νοερά την διαδικασία.» ΜΗΧ: «Μα πως είναι δυνατόν να φαντάζεσαι νοερά κάτι με 11, 12 διαστάσεις;;;» ΜΑΘ: «Απλά πρώτα σκέφτομαι το πρόβλημα σε ν-διάστατο χώρο και μετά θέτω όπου ν = 12.»

9. Η ΑΛΛΑΓΗ ΤΗΣ ΛΑΜΠΑΣ Ερώτηση: «Πόσοι Μαθηματικοί χρειάζονται για να αλλάξουν μια λάμπα;» Απάντηση: «Κανείς. Αφήνεται στον αναγνώστη σαν άσκηση.» Ερώτηση: «Πόσοι ειδικοί στην πραγματική Ανάλυση (απειροστικό λογισμό) χρειάζονται για να αλλάξουν μια λάμπα;» Απάντηση: «Δύο!!! Ένας για να αποδείξει την ύπαρξη και ένας την μοναδικότητα.»

Ερώτηση: «Πόσοι Λογικολόγοι (ειδικοί επί της Μαθηματικής Λογικής) χρειάζονται για να αλλάξουν μια λάμπα;» Απάντηση: «Κανείς. Δεν μπορούν να την αλλάξουν, αλλά μπορούν εύκολα να αποδείξουν ότι κάτι τέτοιο μπορεί να γίνει.»

10. ΑΛΛΑΓΗ ΣΤΑΣΗΣ Ο πιτσιρικάς ήταν σκράπα στα μαθηματικά. Δεν τα έπαιρνε με τίποτε. Οι γονείς του, στην απελπισία τους και παρ' όλο που ήταν άθεοι, αποφάσισαν να τον γράψουν σε ένα ιδιωτικό σχολείο που διοικούνταν από καλόγριες και που είχε πολύ καλή φήμη. Ένα μήνα μετά, ο γιος τους άρχισε να φέρνει συνεχώς δεκάρια στα μαθηματικά. Οι έρμοι γονείς έπαθαν πλάκα.

- Πώς έγινε αυτό το καλό; έχουν καλύτερους δασκάλους στο νέο σου σχολείο; - Μπα, το ίδιο είναι.

- Έχουν καλύτερα βιβλία; - Μπα, τα ίδια έχουν.

8

- Ε, τότε; - Κατάλαβα από την πρώτη μέρα, πως εκεί παίρνουν τα μαθηματικά πολύ στα σοβαρά και πως αν δεν τα κατάφερνα, την είχα βαμμένη!

- Και πως το κατάλαβες αυτό; - Μόλις μπήκα στην τάξη, είδα στον τοίχο το αγαλματάκι ενός τύπου που ήταν καρφωμένος πάνω στο σύμβολο του συν!!!

11. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΑΡΑΛΟΓΙΣΜΟΣ Ένας Μαθηματικός, ένας Βιολόγος και ένας Φυσικός καθόταν σε έναν τραπεζάκι σε γνωστό προάστιο της Αθήνας έξω στον πεζόδρομο έπιναν καφέ και κοιτούσαν τους ανθρώπους που μπαινόβγαιναν στο απέναντι κτίριο. Πρώτα βλέπουν 2 άτομα να μπαίνουν μέσα στο κτίριο. Περνάει λίγη ώρα και βλέπουν 3 άτομα να βγαίνουν από το κτίριο. Τότε λέει ο Φυσικός με ύφος: - "Η μέτρηση δεν ήταν ακριβής!!!" Τον κοιτάει ο Βιολόγος όλο απορία και υποθέτει: -«Μάλλον αναπαράχθηκαν!!!» Ο Μαθηματικός με ψιλοαδιάφορο στυλ λέει ότι: -«Αν τώρα μπει ακόμη ένα άτομο μέσα στο κτίριο τότε θα αδειάσει!!!»

12. ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΠΑΡΑΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται σε μερικούς επιστήμονες το ακόλουθο πρόβλημα: Να εξετάσετε αν όλοι οι περιττοί αριθμοί  3 είναι πρώτοι. Οι απαντήσεις που δόθηκαν ανά ειδικότητα ήταν: Μαθηματικός: «το 3 είναι πρώτος, το 5 είναι πρώτος, το 7 είναι πρώτος, το 9 δεν είναι, άρα ο ισχυρισμός δεν είναι αληθής.» Φυσικός: «το 3 είναι πρώτος, το 5 είναι, το 7 είναι, το 9 είναι πειραματικό λάθος, το 11 είναι κλπ» Μηχανικός: «το 3 είναι, το 5 είναι, το 7 είναι, το 9 είναι, το 11 είναι, το 13 είναι, το 15 είναι, κτλ.» Προγραμματιστής: «το 3 είναι, το 5 είναι, το 7 είναι, το 7 είναι, το 7 είναι, το 7 είναι, …»

9

Βιολόγος: «το 3 είναι, το 5 είναι, το 7 είναι, για το 9 δεν έχουν βγει τα αποτελέσματα ακόμη» Στατιστικολόγος: «Ας δοκιμάσουμε μερικούς τυχαία εκλεγμένους αριθμούς: το 23 είναι το 17 είναι, το 11 είναι, άρα η πρόταση ισχύει.» Πωλητής Η/Y: «το 3 είναι, το 5 είναι, το 7 είναι, το 9 θα γίνει στην επόμενη version.»

13. ΤΟ ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ερώτηση: «Ποια είναι η τιμή επικαμπύλιου ολοκληρώματος επί της Ευρώπης;» Απάντηση: «Μηδέν. Οι Πόλοι είναι εκτός!!!»

14. ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Ερώτηση: «Τι είναι μια πολική αρκούδα;» Απάντηση: «Πολική αρκούδα είναι η αρκούδα που προκύπτει μετά από αλλαγή συντεταγμένων.»

15. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΟ π; Τι είναι το π; Μαθηματικός: «Είναι ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρο.» Προγραμματιστής: « Το π είναι το 3,141592653589 με διπλή ακρίβεια.» Φυσικός: «Το π είναι 3,14159 συν πλην 0,000005.» Μηχανικός: « Το π είναι περίπου

22 ;» 7

Λογιστής (με συνωμοτικό ύφος): «Πόσο θέλεις να είναι;»

16. ΠΑΡΑΛΟΓΗ ΙΣΟΤΗΤΑ;;; 1 + 1 = 3 για μεγάλες τιμές τού 1!!!

10

17. Η ΣΕΡΒΙΤΟΡΑ ΠΟΥ ΗΞΕΡΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ!!! Έτρωγαν δύο μαθηματικοί σε ένα εστιατόριο και διαφωνούσαν για το επίπεδο των γνώσεων του Αμερικανικού λαού πάνω στα μαθηματικά. Συμφωνούν να βάλουν στοίχημα και να ρωτήσουν την σερβιτόρα μια ερώτηση μαθηματική και αν απαντήσει σωστά ή λάθος ο ένας ή ο άλλος θα πλήρωνε το γεύμα. Πάει λοιπόν ο απαισιόδοξος στην τουαλέτα και ο άλλος φωνάζει την σερβιτόρα και της λέει: x3 - Θα σου κάνουμε μια ερώτηση, θα απαντήσεις και θα κερδίσεις 10 δολάρια.

3 Επιστρέφει ο άλλος από την τουαλέτα, φωνάζουν την σερβιτόρα και την ρωτούν: - Ποιο είναι το ολοκλήρωμα της συνάρτησης x2; x3 - Το , απαντά η σερβιτόρα και φεύγει.

3 Οπότε ο απαισιόδοξος χάνει το στοίχημα και αναλαμβάνει να πληρώνει το γεύμα. Την ώρα που πλήρωναν, έρχεται η σερβιτόρα και λέει: - Συν μια σταθερά, έτσι δεν είναι;

18. Η ΚΟΝΣΕΡΒΑ Ήταν ένας μαθηματικός, ένας φυσικός και ένας χημικός σε ένα πλοίο το οποίο ναυάγησε (όχι, δεν ήταν ο Τιτανικός) και έτσι βρέθηκαν αυτοί οι τρεις κύριοι ναυαγοί σε ένα ερημονήσι μαζί με ένα κιβώτιο κονσέρβες. Δυστυχώς όμως οι κονσέρβες δεν είχαν ανοιχτήρι μαζί τους και έπρεπε αυτοί να βρουν ένα τρόπο να τις ανοίξουν και ο καθένας παίρνει από ένα κονσερβοκούτι ώστε να προσπαθήσει κάποιο τρόπο ανάλογο της επιστήμης του προκειμένου να το ανοίξει. Πηγαίνουν λοιπόν σε τρία διαφορετικά μέρη του νησιού και δίνουν ραντεβού σε μια μέρα. Ο φυσικός αφού μελετάει τη θέση του ήλιου τοποθετεί το κονσερβοκούτι κάτω από τα γυαλιά του και περιμένει την επίδραση των ακτινών του ηλίου που θα περνάνε μέσα από τους φακούς των γυαλιών, ώστε να λειτουργήσουν ως πανίσχυρη οξυγονοκόλληση. Δυστυχώς όμως, μία μέρα μετά και ακόμη δεν καταφέρνει τίποτα. Παράλληλα, ο χημικός με τη σειρά του αφού μελέτησε τη γεωγραφική θέση τους έβαλε το κονσερβοκούτι στη θάλασσα από τη μεριά που υπήρχαν δυνατά ρεύματα και μεγαλύτερη περιεκτικότητα σε αλάτι προκειμένου να σκουριάσει γρηγορότερα. Περνάει μία μέρα και ακόμη όμως το κονσερβοκούτι δεν είχε πάθει τίποτα. Επιστρέφουν λοιπόν όλοι πίσω για να δουν τι πέτυχε ο καθένας. Ο φυσικός και ο χημικός αναφέρουν ότι απέτυχαν και ρωτούν τον μαθηματικό με αγωνία.

-

Εγώ κύριοι βρήκα τη λύση στο πρόβλημα μας!!! Και ποια είναι αυτή, αναρωτιούνται με μία φωνή; ΕΣΤΩ ΑΝΟΙΧΤΗΡΙ ...

11

19. ΕΠΑΓΩΓΗ Μία μαθηματικός διαβάζει το παιδί της. Το παιδί δεν μπορεί να καταλάβει την έννοια που του εξηγεί. Η μαμά με περίσσεια υπομονή, του την αναλύει αμέτρητες φορές και με ποικίλους τρόπους. Κάποια στιγμή η υπομονή της εξαντλείται και του λέει: - «Στο είπα μια φορά, στο είπα ν φορές, στο είπα ν + 1 εεε! αμάν πια! Πόσες φορές πρέπει να σου το πω ακόμα;»

20. ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ερώτηση: Έχεις ακούσει ποτέ για κάποιον Στατιστικολόγο; Απάντηση: Πιθανότατα!

Τοποθέτηση: Ο καθηγητής που μου κάνει Γεωμετρία άλλοτε είναι οξύς, άλλοτε είναι αμβλείος, αλλά πάντα είναι ορθός.

21. ΕΙΣΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ;;; Ίσως είσαι Μαθηματικός εάν: 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο 7ο 8ο

Είσαι ξετρελαμένος με την εξίσωση eiπ + 1 = 0. Ξέρεις απ' έξω και ανακατωτά τα πρώτα 50 ψηφία του αριθμού π. Στον ύπνο σου βλέπεις «άξονες» να σε κυνηγάνε. Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού του τηλεφώνου σου είναι πρώτος αριθμός. Ξέρεις τουλάχιστον 15 τρόπους για να αποδείξεις το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Έχεις ξοδέψει πολλά βράδια προσπαθώντας να αποδείξεις την εικασία Goldbach. Λες στον πωλητή αυτοκινήτων ότι θα αγοράσεις το μπλε ή το άσπρο μοντέλο και αισθάνεσαι την ανάγκη να συμπληρώσεις "αλλά όχι και τα δύο". Έχεις σκύλο που τον φωνάζεις Gοdel.

22. ΤΑ ΠΡΟΒΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΚΩΤΙΑ Ένας μαθηματικός, ένας φυσικός και ένας μηχανικός ταξιδεύουν με το τραίνο στην Σκωτία. Μακριά στο λιβάδι βλέπουν ένα μαύρο πρόβατο. « Αα», λέει ο μηχανικός, «Τα πρόβατα στην Σκωτία έχουν μαύρο μαλλί».

12

«Μμμ», λέει ο φυσικός, γυρίζοντας προς τον μαθηματικό, «Αυτό που μπορούμε να ισχυριστούμε είναι ότι κάποια από τα πρόβατα της Σκωτίας έχουν μαύρο μαλλί». «Όχι», λέει ο μαθηματικός, αυτό που ξέρουμε είναι ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα πρόβατο στην Σκωτία, του οποίου η μία πλευρά έχει μαύρο μαλλί!

23. ΤΟ ΙΔΙΑΙΤΕΡΟ Ένας μεταπτυχιακός φοιτητής των μαθηματικών, που πήγαινε κάθε μέρα με τα πόδια, στο πανεπιστήμιο, φθάνει μια μέρα με ποδήλατο και αντιμετωπίζει τα δικαιολογημένα ερωτήματα τριών συμφοιτητών του. «Είναι ένα ευχαριστήριο δώρο», απαντά αυτός. Έκανα ιδιαίτερο μάθημα σε μια φοιτήτρια του μαθηματικού και χθες με πήρε τηλέφωνο και μου είπε πως πέρασε όλα τα μαθήματα και θα έρθει να με ευχαριστήσει προσωπικά. Φθάνει και αφού βγάζει όλα τα ρούχα της, μου λέει: «Πάρε ότι θέλεις από μένα.» Πριν προλάβει να συνεχίσει τον διακόπτουν οι φίλοι του … «Καλά έκανες και πήρες το ποδήλατο», λέει ο ένας. «Τα ρούχα ήταν κοριτσίστικα», λέει ο δεύτερος. «Άσε που δεν θα σου κάνανε», λέει ο τρίτος.

13

4. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΓΕΛΟΙΟΓΡΑΦΙΕΣ

14

15

16

5. ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΒΑΣΙΣΜΕΝΑ ΣΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Κύβος του Ρούμπικ Ο Κύβος του Ρούμπικ είναι τρισδιάστατο μηχανικό παζλ. Επινοήθηκε το 1974 από τονΟύγγρο γλύπτη και καθηγητή αρχιτεκτονικής Έρνο Ρούμπικ. Έως τον Ιανουάριο του 2009, 350 εκατομμύρια κύβοι έχουν πουληθεί παγκοσμίως κάνοντας τον το καλύτερο παιχνίδι παζλ σε πωλήσεις παγκοσμίως. Ευρέως θεωρείται το καλύτερο σε πωλήσεις παιχνίδι στον κόσμο. Σε έναν κλασσικό κύβο του Ρούμπικ κάθε μία από τις έξι έδρες καλύπτεται από εννιά αυτοκόλλητα με έξι χρώματα (παραδοσιακά λευκό, κόκκινο, κίτρινο, πράσινο, μπλε και πορτοκαλί) Ένας μηχανισμός περιστροφής επιτρέπει σε κάθε έδρα να περιστρέφεται ανεξάρτητα από τις άλλες, με αποτέλεσμα να συγχέονται τα χρώματα. Για να λυθεί το παζλ, πρέπει κάθε έδρα του κύβου να αποτελείται αποκλειστικά από αυτοκόλλητα του ίδιου χρώματος. Διάφορα άλλα παζλ έχουν παραχθεί με διαφορετικό αριθμό αυτοκολλήτων, όχι όλα από τον Ρούμπικ. Η αρχική 3×3×3 εκδοχή του κύβου γιόρτασε την τριακοστή επέτειο της το 2010.

Σουντόκου Το σουντόκου (Sudoku) (ακριβέστερα:σουουντόκου) (Ιαπ:数独 Suudoku) είναι ένα παζλ που βασίζεται στη λογική. Στόχος είναι να συμπληρωθούν όλα τα κουτάκια στον πίνακα (9x9), ώστε κάθε στήλη, κάθε σειρά και κάθε κουτάκι 3x3 να περιέχουν όλα τα ψηφία από το 1 μέχρι το 9. Μερικά κουτάκια είναι ήδη συμπληρωμένα, ώστε να υπάρχει μόνο μία δυνατή λύση.

17

Το σουντόκου επινοήθηκε από τον Αμερικανό Χάουαρντ Γκαρνς το 1979 και δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά από την εταιρεία Dell Magazines με το όνομα "Number Place".[1] Έγινε δημοφιλές στην Ιαπωνία το 1986, όταν εκδόθηκε από τον οίκο Nikoli και δόθηκε το όνομα Sudoku. Έγινε μόδα ανά την υφήλιο το 2005. Όπως προκύπτει από τον στόχο και τις βασικές αρχές του παιχνιδιού, αντί αριθμών μπορούν να χρησιμοποιηθούν οποιαδήποτε σύμβολα. Πράγματι έχουν δημιουργηθεί γρίφοι με βάση κινέζικα σύμβολα, κινέζικους αριθμούς ή σύμβολα που αναπαριστούν μερίδες σούσι!

18

6. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΓΡΙΦΟΙ Ο ΓΡΙΦΟΣ ΤΟΥ ΑΙΝΣΤΑΙΝ Υπάρχουν πέντε σπίτια πέντε διαφορετικών χρωμάτων. Σε κάθε σπίτι ζει ένας άνθρωπος διαφορετικής εθνικότητας. Οι πέντε ιδιοκτήτες πίνουν ένα συγκεκριμένο είδος ποτού. Καπνίζουν μία συγκεκριμένη μάρκα τσιγάρων και έχουν ένα συγκεκριμένο κατοικίδιο. 'Ολοι έχουν μεταξύ τους διαφορετικά κατοικίδια, διαφορετικές μάρκες τσιγάρων και διαφορετικά είδη ποτών. Η ερώτηση είναι: Ποιος έχει το ψάρι;

ΣΤΟΙΧΕΙΑ: 1. Ο Άγγλος μένει στο κόκκινο σπίτι.

2. Ο Σουηδός έχει σκύλο.

3. Ο Δανός πίνει τσάι.

4. Το πράσινο σπίτι είναι αριστερά από το άσπρο σπίτι.

5. Ο ιδιοκτήτης του πράσινου σπιτιού πίνει καφέ.

6. Αυτός που καπνίζει Pall mall εκτρέφει πουλιά.

7. O ιδιοκτήτης του κίτρινου σπιτιού καπνίζει Dunhill.

8. Αυτός που μένει στο μεσαίο σπίτι πίνει γάλα.

9. Ο Νορβηγός μένει στο πρώτο σπίτι.

10. Αυτός που καπνίζει Blends μένει δίπλα σ' αυτόν που έχει γάτες.

11. Αυτός που έχει το άλογο μένει δίπλα σ' αυτόν που καπνίζει Dunhill.

12. Ο ιδιοκτήτης που καπνίζει BluemaSters πίνει μπύρα.

13. Ο Γερμανός καπνίζει Prince.

14. Ο Νορβηγός μένει δίπλα στο μπλε σπίτι.

15. Αυτός που καπνίζει Blends έχει ένα γείτονα που πίνει νερό. Ο Αϊνστάιν έγραψε αυτό το γρίφο στον 20ό αιώνα. Υποστήριξε ότι το 98% των ανθρώπων δε μπορούν να τον λύσουν.

Ο ΠΡΩΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΓΡΙΦΟΣ Ο Πάπυρος του Ράιντ αποδεικνύει την ευρηματικότητα των αρχαίων Αιγυπτίων

Τον πρώτο μαθηματικό γρίφο της Ιστορίας περιέχει ο Πάπυρος του Ράιντ, που καλεί τους αναγνώστες να βρουν πόσα αντικείμενα περιγράφονται σε πολύπλοκο κατάλογο. «Επτά σπίτια έχουν το καθένα επτά γάτες, η καθεμιά από τις οποίες τρώει επτά ποντίκια, που έφαγαν επτά σπόρους σιταριού το καθένα, ενώ ο κάθε

19

σπόρος θα είχε παραγάγει 35 κιλά αλεύρι». Η απάντηση του δυσεπίλυτου αινίγματος είναι 19.607. Ο Πάπυρος του Ράιντ χρονολογείται από το 1650 π.Χ. και είναι ένας από σειρά εύθραυστων παπύρων και άλλων αντικειμένων που αποδεικνύουν τη μαθηματική ευρηματικότητα των αρχαίων Αιγυπτίων. Αλλοι ανάλογοι πάπυροι είναι ο Μαθηματικός Πάπυρος της Μόσχας στο Μουσείο Πούσκιν, ο Αιγυπτιακός Μαθηματικός Δερμάτινος Πάπυρος (στο Βρετανικό Μουσείο, μαζί με τον Πάπυρο του Ράιντ) και τα Ξύλινα Μαθηματικά Δισκία του Αχμίμ στο Αιγυπτιακό Μουσείο του Καΐρου. Τα αντικείμενα αυτά περιλαμβάνουν μεθόδους υπολογισμού του ύψους του καταρτιού και του πλάτους του πηδαλίου σε πλοία, του όγκου κυλίνδρων και θεμελίων για πυραμίδες, τον διαμοιρασμό μεγάλων ποσοτήτων σιτηρών σε μικρότερες και τον υπολογισμό της ανταλλακτικής αναλογίας ζύθου και ψωμιού. Οι Αιγύπτιοι είχαν καταφέρει επίσης να υπολογίσουν το εμβαδόν του κύκλου, υπολογίζοντας την αξία του «π» στο 3,16 αντί του 3,14 που γνωρίζουμε ότι είναι σήμερα. «Οι γρίφοι και τα μαθηματικά προβλήματα ανήκουν στην κατηγορία των πανάρχαιων ενστίκτων. Ο Πάπυρος του Ράιντ είναι το πρώτο βιβλίο προβλημάτων στον κόσμο. Οι άνθρωποι κάθε πολιτισμού και εποχής αγαπούν τα μαθηματικά προβλήματα γιατί αυτά, αντίθετα από τα θεμελιώδη προβλήματα και ερωτήματα της ύπαρξης, έχουν απάντηση», λέει ο δρ Μαρσέλ Ντανέζι, καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Τορόντο. Ο Πάπυρος του Ράιντ δεν έχει ωστόσο σκοπό να ψυχαγωγήσει, όπως εξηγεί ο συντάκτης του, ο γραφέας Αχμές, στην εισαγωγή των περίπου 85 προβλημάτων: «Παρουσιάζω τον σωστό τρόπο υπολογισμού, αντίληψης της σημασίας των αντικειμένων και αντίληψης επί παντός επιστητού και όλων των μυστικών».

ΤΟ ΔΥΣΚΟΛΟΤΕΡΟ ΛΟΓΙΚΟ ΠΑΖΛ Το δυσκολότερο λογικό παζλ είναι ο τίτλος που δόθηκε από τον Αμερικανό φιλόσοφο και λογικολόγο Τζορτζ Μπούλος σε ένα άρθρο που δημοσιεύτηκε στο Harvard Review of Philosophy το 1996 [1] (η Ιταλική μετάφραση είχε εκδοθεί προηγουμένως στην εφημερίδα La Repubblica, υπό τον τίτλο L'indovinello più difficile del mondo) για το ακόλουθο λογικό παζλ: Τρεις θεοί ο Α, ο Β και ο Γ ονομάζονται, χωρίς απαραίτητα να διατηρείται αυτή η σειρά ο Θεός της Αλήθειας, ο Θεός του Ψεύδους και ο Θεός της Τύχης. Ο Θεός της Αλήθειας λέει πάντα αλήθειες, ο Θεός του Ψεύδους ψέματα και ο Θεός της Τύχης απαντάει με τελείως τυχαίο τρόπο. Ο σκοπός είναι να βρούμε τις ταυτότητες των θεών κάνοντας τρεις ερωτήσεις, που απαντώνται με ναι ή όχι, ενώ κάθε ερώτηση πρέπει να απευθύνεται σε ακριβώς έναν θεό. Οι θεοί καταλαβαίνουν

20

ελληνικά, αλλά θα απαντήσουν τις ερωτήσεις στην δική τους γλώσσα, στην οποία το ναι και το όχι μεταφράζονται σε ντα και τζα, με κάποια σειρά, αλλά δεν ξέρουμε ποια λέξη σημαίνει ποια. Ο Μπούλος έδωσε τις ακόλουθες διευκρινήσεις: Σε έναν θεό μπορεί να τεθούν περισσότερες από μία ερωτήσεις, το οποίο σημαίνει ότι σε κάποιον άλλο θεό δεν θα τεθεί καμία. Η δεύτερη ερώτηση και το σε ποιόν θα τεθεί, μπορεί να εξαρτάται από την απάντηση στην πρώτη ερώτηση. (Προφανώς το ίδιο ισχύει και για την τρίτη ερώτηση.) Το εάν ο Θεός της Τύχης απαντάει με αλήθεια ή όχι μπορούμε να σκεφτούμε ότι εξαρτάται από την ρίψη ενός κέρματος που υπάρχει κρυμμένο στο κεφάλι του : αν το κέρμα έρθει γράμματα, λέει αλήθεια, αν έρθει κεφαλή, λέει ψέματα.

Η ΛΥΣΗ Ο Μπούλος έδωσε την λύση του στο ίδιο δημοσίευμα που εισήγαγε το παζλ. Ισχυρίζεται ότι η πρώτη κίνηση είναι να βρεις έναν θεό που σίγουρα δεν είναι ο Θεός της Τύχης, δηλαδή, να είναι είτε ο Θεός της Αλήθειας είτε ο Θεός του Ψεύδους. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές ερωτήσεις για να επιτευχθεί αυτό. Μια στρατηγική είναι να χρησιμοποιήσεις πολύπλοκους λογικούς συνδέσμους στην ερώτηση (είτε λογική ισοδυναμία είτε κάτι ισοδύναμο). Η ερώτηση του Μπούλος ήταν: Το ντα σημαίνει ναι ανν εσύ είσαι ο Αληθής ανν ο Β είναι ο Τυχαίος; Παρατηρήθηκε από τον Ρόμπερτς (2001)[2] και ανεξάρτητα από τους Rabern and Rabern (2008)[3] ότι η ερώτηση μπορεί να απλοποιηθεί με την χρήση συνεπαγωγής. Το νόημα αυτής της ερώτησης είναι ότι, για κάθε ναι/όχι ερώτηση Ε, αν ρωτήσεις τον Θεό της Αλήθειας ή τον Θεό του Ψεύδους την ερώτηση Αν σε ρώταγα Ε, θα έλεγες τζα; οδηγεί στην απάντηση τζα αν η αληθοτιμή της ερώτησης Ε είναι ναι, και στην απάντηση ντα αν η αληθοτιμή της ερώτησης Ε είναι όχι (οι Rabern και Rabern ονομάζουν αυτό το αποτέλεσμα "το λήμμα της εμφωλευμένης ερώτησης"). Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι αυτό λειτουργεί αν εξετάσουμε τις οκτώ ακόλουθες περιπτώσεις: Ας υποθέσουμε ότι τζα σημαίνει ναι και ντα όχι.

1. Ρωτάμε τον Θεό της Αλήθειας και απαντά τζα. Αφού λέει πάντα αλήθεια, η πραγματική απάντηση στην Ε είναι τζα, που σημαίνει ναι.

2. Ρωτάμε τον Θεό της Αλήθειας και απαντά ντα. Αφού λέει πάντα αλήθεια, η πραγματική απάντηση στην Ε είναι ντα, που σημαίνει όχι.

21

3. Ρωτάμε τον Θεό του Ψεύδους και απαντά τζα. Αφού λέει πάντα ψέματα, αν τον ρώταγες Ε θα σου απαντούσε ντα. Όμως και πάλι θα έλεγε ψέματα, άρα η πραγματική απάντηση στην Ε είναι τζα, που σημαίνει ναι.

4. Ρωτάμε τον Θεό του Ψεύδους και απαντά ντα. Αφού λέει πάντα ψέματα, αν τον ρώταγες Ε θα σου απαντούσε τζα. Όμως και πάλι θα έλεγε ψέματα, άρα η πραγματική απάντηση στην Ε είναι ντα, που σημαίνει όχι. Ας υποθέσουμε ότι τζα σημαίνει όχι και ντα ναι.

1. Ρωτάμε τον Θεό της Αλήθειας και απαντά τζα. Αφού λέει πάντα αλήθεια, η πραγματική απάντηση στην Ε είναι ντα, που σημαίνει ναι.

2. Ρωτάμε τον Θεό της Αλήθειας και απαντά ντα. Αφού λέει πάντα αλήθεια, η πραγματική απάντηση στην Ε είναι τζα, που σημαίνει όχι.

3. Ρωτάμε τον Θεό του Ψεύδους και απαντά τζα. Αφού λέει πάντα ψέματα, αν τον ρώταγες Ε θα σου απαντούσε τζα. Όμως και πάλι θα έλεγε ψέματα, άρα η πραγματική απάντηση στην Ε είναι ντα, που σημαίνει ναι.

4. Ρωτάμε τον Θεό του Ψεύδους και απαντά ντα. Αφού λέει πάντα ψέματα, αν τον ρώταγες Ε θα σου απαντούσε ντα. Όμως και πάλι θα έλεγε ψέματα, άρα η πραγματική απάντηση στην Ε είναι τζα, που σημαίνει όχι. Το αποτέλεσμα είναι ότι ανεξάρτητα με το αν ο Θεός λέει ψέματα ή όχι και από το ποια λέξη σημαίνει ναι ή όχι, μπορείς να καθορίσεις αν η πραγματική απάντηση στην ερώτηση Ε είναι ναι ή όχι. Αν όμως ο Θεός απαντά τυχαία, η απάντηση στην ερώτηση δεν σου δίνει καμία πληροφορία. Η ακόλουθη λύση κατασκευάζει τις τρεις ερωτήσεις χρησιμοποιώντας το προηγούμενο λήμμα. Ε1: Ρώτα τον Θεό Β, "Αν σε ρωτούσα 'Είναι ο Α ο Θεός της Τύχης', θα έλεγες τζα;". Αν ο Β απαντήσει τζα, τότε είτε ο Β είναι ο Θεός της Τύχης (και απαντά τυχαία), είτε δεν είναι και η απάντηση δείχνει ότι ο Α είναι ο Θεός της Τύχης. Σε κάθε περίπτωση, ο Γ δεν είναι ο Θεός της Τύχης. Αν ο Β απαντήσει ντα, τότε είτε είναι ο Θεός της Τύχης (και απαντάει τυχαία), είτε όχι και η απάντηση δείχνει ότι ο Α δεν είναι ο Θεός της Τύχης. Σε κάθε περίπτωση, ο Α δεν είναι ο Θεός της Τύχης. Ε2: Ρώτα τον Θεό που βρήκες ότι δεν είναι ο Θεός της Τύχης από την προηγούμενη ερώτηση (είτε τον Α είτε τον Γ) και ρώτα τον: "Αν σε ρωτούσα 'Είσαι ο Θεός του Ψεύδους', θα απαντούσες τζα;". Αφού δεν είναι ο Θεός της Τύχης, αν απαντήσει ντα σημαίνει ότι είναι ο Θεός της Αλήθειας, ενώ αν απαντήσει τζα σημαίνει ότι είναι ο Θεός του Ψεύδους.

22

Ε3: Ρώτα τον ίδιο Θεό την ερώτηση: "Αν σε ρωτούσα 'Είναι ο Β ο Θεός της Τύχης', θα απαντούσες τζα;". Αν η απάντηση είναι τζα, τότε ο Β είναι ο Θεός της Τύχης, διαφορετικά ο Θεός της Τύχης είναι αυτός που δεν του έχεις μιλήσει. Ο τελευταίος θεός μπορεί να βρεθεί με αποκλεισμό.

23

7. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΟΞΑ Αριθμοί Φιμπονάτσι Η Ακολουθία Φιμπονάτσι ονομάστηκε έτσι από τον Λεονάρντο της Πίζας, γνωστό και ως Φιμπονάτσι. Στα Μαθηματικά, οι Αριθμοί Φιμπονάτσι είναι οι αριθμοί της παρακάτω ακέραιης ακολουθίας:

Εξ ορισμού, οι πρώτοι δύο αριθμοί Φιμπονάτσι είναι το 0 και το 1, και κάθε επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Εκπληκτικός όμως είναι ο τρόπος με τον οποίο οι αριθμοί Φιμπονάτσι εμφανίζονται στη φύση. Είναι το αριθμητικό σύστημα της φύσης. Τους συναντάς παντού, στη διάταξη των φύλλων ενός φυτού, στο μοτίβο των πετάλων ενός λουλουδιού, στο άνθος της αγκινάρας, σε ένα κουκουνάρι ή στο φλοιό ενός ανανά. Ισχύουν για την ανάπτυξη κάθε ζωντανού οργανισμού, ενός κυττάρου, ενός κόκκου σιταριού, μιας κυψέλης μελισσών, ακόμη και για όλη την ανθρωπότητα.

24

Ομορφιά και η Συμμετρία 1x8+1=9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 = 987654 1234567 x 8 + 7 = 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 123456789 x 8 + 9 = 987654321 ***** 1x1=1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111 = 12345678987654321 ***** 1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111 1234 x 9 + 5 = 11111 12345 x 9 + 6 = 111111 123456 x 9 + 7 = 1111111 1234567 x 9 + 8 = 11111111 12345678 x 9 + 9 = 111111111 123456789 x 9 +10 = 1111111111 ***** 9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 88888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888

25

8. ΕΠΙΛΟΓΟΣ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Μέσα από την εκπόνηση της Ερευνητικής Εργασίας διαπιστώσαμε τον καταλυτικό ρόλο που παίζουν τα μαθηματικά στη καθημερινή ζωή όλων μας. Επιπλέον συνειδητοποιήσαμε ότι ερχόμαστε καθημερινά σε επαφή με αμέτρητα παιχνίδια, γρίφους, γελοιογραφίες και ανέκδοτα, ακρογωνιαίο λίθο των οποίων αποτελούν τα μαθηματικά και η μαθηματική σκέψη. Επομένως, ανακαλύψαμε πόσο ευχάριστα και δημιουργικά μπορούν να γίνουν τα μαθηματικά, αν τους το επιτρέψουμε βάζοντας στην άκρη τις προκαταλήψεις.

26

9. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ http://eisatopon.blogspot.gr/ http://www.wikipedia.org http://www.google.gr/imghp?hl=el&tab=wi Προσωπικές γνώσεις μαθητών

Ομάδα μαθητών:                 

Ζυγογιάννη Ιωάννα Ζυγούρη Παναγιώτα Καλτσάς Νίκος Καπνιάς Γρηγόρης Καπούλας Χρήστος Καραγιώργος Κωνσταντίνος Καραναστάσης Μαρίνος Καραντζάβελου Κατερίνα Καραπατής Γιώργος Καυκιάς Σάκης Κοντός Χρήστος Κόρκος Ανδρέας Κόρκου Ζωή Κοτρώνη Έφη Κούσουλα Μάρω Κούτρας Ανδρέας Κουτσομπλή Γλυκερία

Υπεύθυνος Καθηγητής: Λάμπρος Καραγκούνης, Μαθηματικός

27