8 Central Potential

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8

8 Central Potential

8-1

Central Potential

เนื้อหา 8.1 Introduction 8.2 Orbital Angular Momentum Operator 8.3 เซตของ Commuting Observables 8.4 Position Space ในพิกัดทรงกลม 8.5 Eigen State ของ Hamiltonian 8.6 Application - Nuclear Magic Number 8.7 Eigen State ของ Lˆz และ Lˆ2 8.8 Application - Coulomb Potential 8.9 บทสรุป 8.10 ปญหาทายบท

8.1 Introduction ระบบทางฟสิกสจํานวนไมนอย ที่อยูภ ายใตอิทธิพลของพลังงานศักยซึ่งมีความสมมาตรในแนวรัศมี ยกตัวอยางเชน อะตอมซึ่งประกอบดวยอิเล็กตรอนและนิวเคลียส โดยที่อิเล็กตรอนจะอยูภายใต อิทธิพลของ Coulomb interaction ระหวางประจุลบของตัวมัน และประจุบวกของโปรตอนที่อยู ภายในนิวเคลียส หรือเขียนใหอยูในรูปของสมการไดวา V (r ) = −

e2 Z 4πε 0 r

(SI unit) _____________________ สมการ (8.1)

เมื่อ Z คือ atomic number ของนิวเคลียส ซึ่งแสดงถึงจํานวนของโปรตอนที่บรรจุอยูภายใน และ r คือระยะทางระหวางอิเล็กตรอนและนิวเคลียส โดยที่เรากําหนดใหนิวเคลียสของอะตอม อยู ณ จุด กําเนิดพอดี จากสมการ (8.1) จะเห็นวา พลังงานศักยดังกลาวขึ้นอยูก บั ระยะทางของอนุภาคจากจุด กําเนิดเพียงเทานั้น เราเรียกระบบที่อยูภ ายใตอิทธิพลของพลังงานศักยเชนนีว้ า central potential และจะเปนประเด็นหลักของเนื้อหาในบทนี้

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

central potential

V (r ) = V ( r )

8-2

_____________________ สมการ (8.2)

ซึ่งจะสงผลให Hamiltonian operator ของระบบอยูในรูปของ pˆ 2 Hˆ = + V (r ) 2m

_____________________ สมการ (8.3)

เนื่องจากสสารทุกชนิดที่เราพบเห็น ลวนประกอบดวยอะตอมทั้งสิน้ การที่เราสามารถนํา quantum mechanics มาใชในการวิเคราะหใหเห็นถึงพฤติกรรมในแงตางๆของอะตอม จึงมี ความสําคัญยิ่ง และจะเปนพื้นฐานทีจ่ ําเปนในการศึกษาระบบที่ซับซอนมากขึ้น อาทิเชนโมเลกุล, ผลึก, หรือ สมบัติของวัสดุ เปนตน ขอมูลชิ้นสําคัญที่ไดจากการคํานวณเชิง quantum mechanics นอกจากระดับพลังงานของโมเลกุล แลว ก็คือการกระจายตัวของกลุมหมอกอิเล็กตรอน เนือ่ งจากความกาวหนาทางวิทยาการ คอมพิวเตอร ประกอบกับงานวิจยั เชิงทฤษฏีในดาน quantum chemistry ทําใหนกั วิทยาศาสตร สามารถที่จะประมาณคําตอบของ Schrödinger equation ของโมเลกุลขนาดใหญขึ้น ซึ่งผลลัพธที่ได ก็คือความนาจะเปนที่จะพบอิเล็กตรอน ณ ตําแหนงตางๆ หรือที่เรียกวา กลุมหมอกอิเล็กตรอน นั่นเอง

กลุมหมอกอิเล็กตรอนจากการถายภาพโดย STM เปรียบเทียบกับผลการคํานวณ

Experimental

Quantum

ภาพ (8.1) [credit: Moresco and Gourdon, "Scanning tunneling microscopy experiments on single molecular landers". PNAS, Vol 102:8809-8814]

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-3

ภาพ (8.1) แสดงกลุมหมอกอิเล็กตรอนจากการถายภาพโดย scanning tunneling microscope เปรียบเทียบกับผลการคํานวณที่ไดจากทฤษฏี quantum mechanics โมเลกุลที่ปรากฏเปน สารประกอบ hydrocarbon ที่ชื่อ pentacene ซึ่งมีโครงสรางทางเคมีดังแสดงในภาพ (geometry) ภาพของกลุมหมอกที่อยูภ ายใตชื่อ homo และ lumo โดยคราวๆแลวมีความหมายเปนการกระจายตัว ของอิเล็กตรอนที่มีระดับพลังงานแตกตางกัน สําหรับการคํานวณเชิง quantum mechanics นั้นเปน ผลจากทฤษฏีหนึ่งที่ชื่อ density functional theory หรือ DFT ซึ่งตอยอดออกมาจากฐานของ quantum mechanics และถึงแมเนื้อหาของ DFT จะอยูนอกเหนือจากขอบเขตของหนังสือเลมนี้ ภาพที่ ปรากฏใหเห็นดังกลาว ก็จะเปนสิ่งที่ทําใหนักศึกษาไดเห็นถึงเนื้อหาที่นาตื่นเตนของ quantum mechanics ซึ่งรออยูในอนาคต ถานักศึกษาตัดสินใจทีจ่ ะทํางานวิจยั ในดานนี้ อยางไรก็ตาม central potential มิไดจํากัดอยูแตในปรากฏการณทางฟสิกสในระดับของอะตอม ซึ่ง มีขนาดอยูที่ประมาณ 10−10 meter แตเพียงเทานัน้ พฤติกรรมของนิวเคลียสเอง ซึ่งมีขนาดเล็กกวา อะตอมถึง 1 แสนเทา (หรือราว 1 femto-meter) ก็สามารถที่จะอธิบายไดดวย central potential ของ nuclear force ซึ่งเปนแรงที่ยดึ เหนีย่ วใหโปรตอนและนิวตรอนสามารถอยูรวมกันได โดยที่เราจะ วกกลับมาวิเคราะหระบบที่เล็กในระดับนิวเคลียสในโอกาสตอไป ภายหลังจากทีเ่ ราไดเขาใจใน กลไกทางคณิตศาสตรซึ่ง quantum mechanics ใชเปนเครื่องมือในการวิเคราะห central potential เรียบรอยแลว

Position Space in 3 Dimensions เมื่อจะทําการวิเคราะหพฤติกรรมของระบบดวย quantum mechanics เราจําเปนจะตองเลือก basis state พื้นฐานในการบรรยายถึงสถานะของอนุภาคนั้นๆ วิธีการที่งายและเปนธรรมชาติที่สุดในการ อธิบายพฤติกรรมของมัน ก็คือการตั้งคําถามวา อนุภาคอยู ณ ตําแหนงใด กําหนดให r

แทนสถานะของอนุภาค ซึ่งอยู ณ ตําแหนง r _______________ สมการ (8.4)

และโดยทัว่ ไปแลว เรามีวิธใี นการกํากับตําแหนงของอนุภาคใน 3 มิติโดยอาศัย Cartesian coordinate ดวยเหตุนี้เอง ในการอธิบายสถานะดังสมการ (8.4) เราอาจจะใชสัญลักษณ

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา x, y , z

8 Central Potential

8-4

แทนสถานะของอนุภาค ซึ่งอยู ณ ตําแหนง r = xˆi + yˆj + zkˆ _____ สมการ (8.5) z 2

ψ ( x, y, z ) dxdydz = y

ความนาจะเปน ที่จะพบอนุภาคอยูภายใน กลองขนาด dV = dxdydz ซึง่ ตั้งอยู ณ ตําแหนง ( x, y, z )

x

ทั้งนี้ นักศึกษาจะตองไมลืมวา กลไกในการบงบอกถึงตําแหนงของอนุภาค มิไดมีเพียง Cartesian coordinate ที่ใชตัวแปร ( x, y, z ) เพียงอยางเดียวเทานั้น ณ ตําแหนงเดียวกันนี้เอง เราอาจจะใช spherical coordinate ซึ่งกํากับตําแหนงของอนุภาคดวย (r ,θ , ϕ ) หรือแมกระทั่งการใชตัวแปร ( ρ ,θ , z ) ในพิกด ั กระบอก อยางนี้เปนตน อยางไรก็ตาม ในขัน้ ตนนี้ เราจะใช Cartesian coordinate ในการกําหนดตําแหนงของอนุภาค และจะวกกลับมากลาวถึงประเด็นของ spherical coordinate อีก ครั้งหนึ่งเมื่อมีความจําเปน เราทราบดีวา quantum mechanics มองสถานะของระบบในแงของความนาจะเปน กลาวคือเราไม อาจจะทราบไดวา แทจริงแลวอนุภาคทีก่ ําลังสนใจ อยู ณ ตําแหนงใดกันแน เพราะฉะนั้นถา กําหนดให Ψ แทนสถานะของอนุภาค แลวเราสามารถเขียนสถานะของระบบใหอยูใ นรูป linear superposition ของ basis state ในสมการ (8.5) ไดดงั ตอไปนี้ Ψ = ∫∫∫ dxdydzψ ( x, y, z ) x, y, z

หรือนิยมเขียนแบบยอวา Ψ = ∫ d 3 r ψ (r ) r

เมื่อ ψ (r ) คือ probability amplitude ของสถานะ สามารถตีความไดวา 2

r

_______________ สมการ (8.6)

และดวยคํานิยามของฟงชันกดังกลาว

ความนาจะเปนที่อนุภาคจะมีตําแหนงอยูระหวาง x → x + dx , y → y + dy , และ z → z + dz _______________ สมการ (8.7)

ψ (r ) d 3 r =

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-5

และจากคํานิยามของ basis state ใน 3 มิติ ดังในสมการ (8.4) ก็ดี หรือในระบบของพิกัด Cartesian ในสมการ (8.5) ก็ดี กลไกของ operator ที่เราเคยไดศกึ ษามาแลวใน 1 มิติ อาทิเชน position operator xˆ , translation operator Tˆ (a) , หรือ แมกระทั่ง momentum operator pˆ x ก็สามารถนํามา ประยุกตใชกบั ระบบใน 3 มิติไดเชนเดียวกัน ซึ่งก็คือ position operator xˆ , yˆ , และ zˆ เปน operator ซึ่งทําหนาที่เสมือนกับการวัดตําแหนงของ อนุภาค ตามแนวแกน x, y, และ z ตามลําดับ โดยเขียนใหอยูในรูปของสมการไดวา xˆ r = x r

,

yˆ r = y r

, และ

_______________ สมการ (8.8)

zˆ r = z r

momentum operator pˆ x , pˆ y , และ pˆ z เปน operator ซึ่งทําหนาที่ในการวัด momentum ของ อนุภาคตามแนวแกนตางๆ และผลของ operator ดังกลาวที่กระทํากับสถานะใน 1 มิติที่เราไดศึกษา มาแลว สามารถเขียนใหอยูในรูปของ 3 มิติไดดังนี้ ∂ ψ ( x, y , z ) i ∂x ∂ r pˆ y Ψ = ψ ( x, y , z ) i ∂y ∂ r pˆ z Ψ = ψ ( x, y , z ) i ∂z r pˆ x Ψ =

__________________ สมการ (8.9)

translation operator Tˆx (a) , Tˆy (a) , และ Tˆz (a) เปน operator ที่มีผลทําใหสถานะของอนุภาค เลื่อนตําแหนงของมันตามแนวแกน x, y, หรือ z ไปเปนระยะทางเทากับ a หรืออีกนัยหนึ่ง Tˆx (a) r = Tˆx (a) x, y, z = x + a, y, z Tˆy (a) r = Tˆy (a) x, y, z = x, y + a, z

____________ สมการ (8.10)

Tˆz (a) r = Tˆz (a) x, y, z = x, y, z + a

นอกจากนี้ ในกรณีทกี่ ารเลื่อนของตําแหนงมีขนาดเล็กมากๆ เปนระยะทางสั้นๆ Δa หรือที่ เรียกวา infinitesimal translation เราสามารถเขียน translation operator ใหอยูใ นรูปทีส่ ัมพันธอยูกับ momentum operator ซึ่งก็คือ Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-6

i Tˆx (Δa ) = 1 − pˆ x Δa i Tˆy (Δa ) = 1 − pˆ y Δa

_____________________ สมการ (8.11)

i Tˆz (Δa ) = 1 − pˆ z Δa

จากคํานิยามของ position operator , momentum operator, และ translation operator ดังกลาว ทําให เราสามารถเขียนความสัมพันธของ operator ตางๆเหลานี้ใหอยูในรูปของ commutator ไดวา

[ xˆ, pˆ x ] = i , ⎡⎣ yˆ , pˆ y ⎤⎦ = i , และ [ zˆ, pˆ z ] = i

___________ สมการ (8.12)

สําหรับ operator ซึ่งกระทําในแกนของพิกดั Cartesian ที่ตางกัน ยกตัวอยางเชน xˆ และ เราสามารถสลับลําดับที่ของการกระทํากับสถานะใดๆได กลาวคือ

pˆ y

นั้น

ˆˆ y − pˆ y xˆ = 0 = ⎡⎣ xˆ , pˆ y ⎤⎦ xp

แบบฝกหัด 8.1 จงพิสูจนวา ⎡ xp ˆ ˆ x , pˆ x ⎤⎦ = i pˆ y ⎣ ˆˆ y − yp

_________________ สมการ (8.13)

⎡ xp ˆ ˆ x , pˆ y ⎤⎦ = −i pˆ x ⎣ ˆˆ y − yp

_________________ สมการ (8.14)

และ

ความสัมพันธในเชิง commutator ระหวาง position operator และ momentum operator ประกอบกับ คํานิยามของ infinitesimal translation operator นี้เอง จะเปนพืน้ ฐานสําคัญในการวิเคราะห orbital angular momentum operator ในลําดับตอไป

8.2 Orbital Angular Momentum Operator เมื่อครั้งที่ศึกษาถึงสมบัติที่เกี่ยวของกับการหมุนของระบบ หรือที่เรียกวา angular momentum นั้น เราใชสัญลักษณ J ≡ Jˆ x + Jˆ y + Jˆ z แทน angular momentum โดยทั่วไปของระบบ ซึ่งแยก ออกเปนสองประเภทดวยกันคือ orbital angular momentum และ spin angular momentum กลาวคือ Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-7

J = L+S

เราใชเวลาอยูพ อสมควรในการศึกษา spin angular momentum S ≡ Sˆx + Sˆ y + Sˆz โดยเฉพาะอยาง ยิ่ง Sˆz operator นัน้ นอกจากจะมีความหมายถึง operator ในการวัด spin angular momentum ตาม แนวแกน z ของระบบแลว มันยังทําหนาเปน generator of rotation กลาวคือ มันเปนตนเหตุที่ทาํ ให spin ของอนุภาคมีการหมุนรอบแกน z เปนมุม infinitesimal dϕ นั่นเอง i Rˆ (dϕ kˆ ) = 1 − Sˆ z dϕ

_________________ สมการ (8.15)

อยางไรก็ตาม rotation operator ดังปรากฏอยูในสมการขางตน มีผลแตเฉพาะตอสมบัติเชิง spin ของ อนุภาคเพียงเทานั้น โดยที่เราใช orbital angular momentum Lˆz เปน generator of rotation ซึ่งทําให เกิดการหมุนของอนุภาคใน 3 มิติรอบแกน z ซึ่งในการวิเคราะหที่ผานมา เราไดหลีกเลี่ยงการ กลาวถึง rotation operator ที่มีผลตอการหมุนของตําแหนงของอนุภาค มาโดยตลอด ในทํานองเดียวกันกับสมการ (8.15) เราสามารถนิยาม infinitesimal rotation operator i Rˆ (dϕ kˆ ) = 1 − Lˆ z dϕ

_________________ สมการ (8.16)

เมื่อ Lˆ z

คือ 1) operator ในการวัด orbital angular momentum ตามแนวแกน z 2) generator of rotation รอบแกน z _________________ สมการ (8.17)

ขอแตกตางทีส่ ําคัญระหวางสมการ (8.15) และสมการ (8.16) ก็คือ ⎛⎜1 − i Sˆz dϕ ⎞⎟ อธิบายการหมุน ⎝

⎠

ของ spin ในขณะที่ ⎛⎜1 − i Lˆz dϕ ⎞⎟ เปนการหมุนของตําแหนงของอนุภาคใน 3 มิติ และในลําดับ ⎝

⎠

ตอไปเราจะใชคํานิยามของ ในสมการ (8.17) มาเปนเงื่อนไขในการเขียน Lˆz ใหอยูใ นรูปของ position และ momentum operator Lˆ z

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

Lˆ z

8 Central Potential

8-8

ในรูปของ Position และ Momentum Operator

ภาพ (8.2) แสดงการหมุนของตําแหนงของอนุภาครอบแกน z เมื่อพิจารณาในระนาบ x-y สมมุติ วาแตเดิม ตําแหนงของอนุภาคก็คือ ( x, y) ซึ่งทํามุมกับแกน x เทากับ α ณ ตําแหนงดังกลาวนี้เอง ระยะหางของอนุภาคจากจุดกําเนิดมีคาเปน

ρ = x2 + y 2

เมื่อเกิดการหมุนรอบแกน z ปรากฏวาอนุภาคอยู ณ ตําแหนงใหม ( x′, y′) และเนื่องจากการหมุน เปนมุม dϕ ดังกลาว ระยะหางของอนุภาคจากแกน z (หรือรัศมี) จะตองคงที่ เพราะฉะนั้นแลว x′ = ρ cos (α + dϕ ) = x 2 + y 2 cos (α + dϕ )

_________________ สมการ (8.18)

y′ = ρ sin (α + dϕ ) = x 2 + y 2 sin (α + dϕ )

_________________ สมการ (8.19)

และ

การเปลี การเปลีย่ ่ยนสถานะของอนุ นสถานะของอนุภภาคาค ดดววยการหมุ ยการหมุนนตํตําาแหน แหนงงของมั ของมันนรอบแกน รอบแกนzz

y

r′ = x′, y′, z = x − ydϕ , y + xdϕ , z

dϕ

r = x, y , z

α

x

ภาพ (8.2) แสดงการเปลี่ยนตําแหนงของอนุภาค เนื่องจากการหมุนรอบแกน z เปนมุมขนาดเล็ก และเมื่อเราพิจารณาเฉพาะในกรณีที่มุม dϕ มีขนาดเล็กมาก สมการ (8.18) และ สมการ (8.19) ลด รูปลงเหลือ x′ = x − ydϕ

และ

y′ = y + xdϕ

_______________ สมการ (8.20)

แบบฝกหัด 8.2 จงพิสูจนสมการ (8.20) จากสมการ (8.18) และ (8.19)

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-9

กระบวนการในการหมุนของตําแหนงที่อนุภาคตั้งอยู จากสถานะ x, y, z มาเปน x − ydϕ , y + xdϕ , z นั้น เปนผลของ infinitesimal rotation operator ในสมการ (8.16) เพราะฉะนั้นแลว x − ydϕ , y + xdϕ , z = Rˆ (dϕ kˆ ) x, y, z

_______________ สมการ (8.21)

ถาสังเกตใหดจี ะพบวา การหมุนเปนมุมขนาดเล็กดังกลาว ประกอบดวยสองขั้นตอนดวยกัน คือ 1) translation ของอนุภาคตามแนวแกน y เปนระยะทาง xdϕ หรือ Tˆy ( xdϕ ) 2) translation ของอนุภาคตามแนวแกน x เปนระยะทาง − ydϕ หรือ Tˆx (− ydϕ ) ดังนั้น infinitesimal rotation operator operator ทั้งสองไดดังนี้

Rˆ (dϕ kˆ )

จึงสามารถเขียนใหอยูในรูปของ translation

Rˆ (dϕ kˆ ) = Tˆx (− ydϕ )Tˆy ( xdϕ ) ⎡ i ⎤⎡ i ⎤ ˆ ϕ ) ⎥ ⎢1 − pˆ y ( xd ˆ ϕ )⎥ = ⎢1 − pˆ x ( − yd ⎣ ⎦⎣ ⎦ i ˆˆ y − yp ˆ ˆ x dϕ Rˆ (dϕ kˆ ) = 1 − xp

(

_________ สมการ (8.22)

)

โดยที่ในสมการขางตน เราอาศัยคํานิยามของ infinitesimal translation operator ดังปรากฏใน สมการ (8.11) และตัดเทอมทีแ่ ปรผันกับ ( dϕ )2 ทิ้งไป และในทายที่สุดถาหากเราเปรียบเทียบ สมการ (8.16) ซึ่งเขียน infinitesimal rotation operator ใหอยูในรูปของ orbital angular momentum กับสมการ (8.22) ขางตน จะสรุปไดวา ˆ ˆ y − yp ˆˆx Lˆ z = xp

____________________ สมการ (8.23)

สมการ (8.23) แสดงใหเห็นถึงความสัมพันธของ orbital angular momentum operator Lˆz กับ position operator และ momentum operator และเปนความสัมพันธทมี่ ีประโยชนอยางมากในทาง คณิตศาสตร โดยเฉพาะอยางยิ่งสมบัติที่เกี่ยวของกับ commutator ระหวาง Lˆz และ operator อื่นๆ ยกตัวอยางเชน ถาเราตองการพิจารณา commutator ⎡⎣ Lˆz , pˆ x ⎤⎦ ก็สามารถทําไดโดยการแทน ˆˆ y − yp ˆˆx Lˆ z = xp

เขาไปใน commutator ซึ่งจะทําให

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-10

⎡ Lˆ z , pˆ x ⎤ = ⎡ xp ˆˆ ˆˆ ˆ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ y − yp x , p x ⎦ ˆˆ y , pˆ x ⎤⎦ − [ yp ˆ ˆ x , pˆ x ] = ⎡⎣ xp ⎡ Lˆ z , pˆ x ⎤ = i pˆ y ⎣ ⎦

เชนนี้เปนตน แบบฝกหัด 8.3 จงพิสูจนสมบัติตอไปนี้ของ commutator ⎡ Lˆ , pˆ 2 + pˆ 2 + pˆ 2 ⎤ = 0 y z⎦ ⎣ z x ⎡ Lˆ , xˆ 2 + yˆ 2 + zˆ 2 ⎤ = 0 ⎣ z ⎦

_________________ สมการ (8.24) __________________ สมการ (8.25)

และในทํานองเดียวกันกับ Lˆz ดังในสมการ (8.23) เราสามารถเขียน Lˆx และ Lˆ y ใหอยูในรูปของ position operator และ momentum operator ไดเชนเดียวกัน โดยเริ่มจากการพิจารณาผลของการ หมุนเปนมุมขนาดเล็ก รอบแกน x ในกรณีของ Lˆx และ รอบแกน y ในกรณีของ Lˆ y และจะไดวา ˆ ˆ z − zp ˆˆ y Lˆ x = yp

และ

ˆˆ z ˆ ˆ x − xp Lˆ y = zp

_________________ สมการ (8.26)

เปนที่นาสังเกตวา ความสัมพันธขางตน สอดคลองกับคํานิยามของ angular momentum ในวิชา classical mechanics ซึ่งเขียนอยูในรูป vector ไดวา ⎡ x ⎤ ⎡ px ⎤ ⎡ yp z − zp y ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Lclassical ≡ r × p = ⎢⎢ y ⎥⎥ × ⎢ p y ⎥ = ⎢ zpx − xpz ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢ p ⎥ ⎢ xp y − ypx ⎥ ⎦ ⎣ z⎦ ⎣

อยางไรก็ตาม ถึงแมบังเอิญจะมีรูปแบบของความสัมพันธที่คลายกัน ในทาง quantum mechanics เรานิยาม orbital angular momentum โดยอาศัยความสัมพันธกับการหมุนรอบแกนตางๆ ซึ่งมิได เกี่ยวของใดๆกับ cross product ของ vector r และ p แตอยางใด แบบฝกหัด 8.4 จงพิสูจนสมบัติตอไปนี้ของ commutator ⎡ Lˆ x , Lˆ y ⎤ = i ⎣ ⎦ ⎡ Lˆ y , Lˆ z ⎤ = i ⎣ ⎦

Dr. Teepanis Chachiyo

Lˆ z

_____________________ สมการ (8.27)

Lˆ x

_____________________ สมการ (8.28)

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential ⎡ Lˆ z , Lˆ x ⎤ = i Lˆ y ⎣ ⎦

Lˆ2

8-11

_____________________ สมการ (8.29)

ในรูปของ Position และ Momentum Operator

นอกจากองคประกอบตามแนวแกน z ของ orbital angular momentum หรือ Lˆz แลวนัน้ เราอาจจะ มีความตองการทราบเพียงขนาดของ orbital angular momentum โดยมิไดสนใจวา vector ของ orbital angular momentum ดังกลาว ชี้ไปในทิศทางใดทิศทางหนึง่ โดยเฉพาะ เพราะฉะนั้นเรานิยาม operator Lˆ2 ≡ Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z

_____________________ สมการ (8.30)

เหมือนดังในกรณีของ Lˆz ซึ่งเราสามารถที่จะเขียนใหอยูใ นรูปของ position operator และ momentum operator ได ดังปรากฏในสมการ (8.23) เราก็สามารถเขียน Lˆ2 ใหอยูในลักษณะ เชนเดียวกันนีไ้ ด ซึ่งก็คือ

(

Lˆ2 = xˆ 2 + yˆ 2 + zˆ 2

)( pˆ x2 + pˆ 2y + pˆ z2 ) − ( xpˆˆ x + ypˆ ˆ y + zpˆ ˆ z )2 + i ( xpˆˆ x + ypˆ ˆ y + zpˆ ˆ z ) __________________ สมการ (8.31)

หรือเขียนแบบยอๆไดวา 2 Lˆ2 = rˆ 2 pˆ 2 − ( rˆ ⋅ pˆ ) + i rˆ ⋅ pˆ

__________________ สมการ (8.32)

เมื่อเรานิยามใหสัญลักษณตอ ไปนี้มีความหมายเปน rˆ2 ≡ xˆ 2 + yˆ 2 + zˆ 2 , pˆ 2 ≡ pˆ x2 + pˆ 2y + pˆ z2 , ˆˆ x + yp ˆ ˆ y + zp ˆ ˆ z สําหรับเอกลักษณทางคณิตศาสตรในสมการ (8.31) หรือ ที่เขียน และ rˆ ⋅ pˆ ≡ xp อยางยอในสมการ (8.32) ก็ดี สามารถพิสูจนไดอยางไมยากเย็นนัก โดยเริ่มจากการเขียน

(

)

(

)

2 2 2 ˆ ˆ z − zp ˆˆ z ) + xp ˆˆ y − yp ˆˆx ˆ ˆ y + ( zp ˆ ˆ x − xp Lˆ2 ≡ Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z = yp

และเมื่อทําการกระจายเทอม และจัดกลุมใหมจะไดวา

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-12

ˆ ˆ z yp ˆ ˆ z − yp ˆ ˆ z zp ˆ ˆ z + zp ˆ ˆ y − zp ˆ ˆ y yp ˆ ˆ y zp ˆˆ y + Lˆ2 = yp ˆˆ z − xp ˆˆ z zp ˆˆ z xp ˆˆ z + ˆ ˆ x zp ˆ ˆ x − zp ˆ ˆ x xp ˆ ˆ x + xp zp ˆˆ y xp ˆˆ y − xp ˆˆ y yp ˆ ˆ x − yp ˆ ˆ x xp ˆˆ y + yp ˆ ˆ x yp ˆˆx xp

ˆ ˆ z yp ˆ ˆ z + zp ˆˆ z xp ˆˆ z + xp ˆˆ y xp ˆˆ y + yp ˆ ˆ x yp ˆ ˆ x} ˆ ˆ y zp ˆ ˆ y + zp ˆ ˆ x zp ˆ ˆ x + xp { yp ˆ ˆ z zp ˆ ˆ z + zp ˆˆ z + xp ˆˆ z zp ˆˆ y yp ˆ ˆ x + yp ˆ ˆ x xp ˆˆ y } ˆ ˆ y + zp ˆ ˆ y yp ˆ ˆ x xp ˆ ˆ x + xp − { yp

=

__________________ สมการ (8.33) จะเห็นวาสมการขางตนประกอบดวย 2 วงเล็บดวยกัน เราสามารถที่จะใชสมบัติของ commutator จัดรูปเทอมที่อยูภายในวงเล็บปกกาอันแรกไดวา ˆ ˆ z yp ˆ ˆ z + zp ˆˆ z xp ˆˆ z + xp ˆˆ y xp ˆˆ y + yp ˆ ˆ x yp ˆ ˆ x} ˆ ˆ y zp ˆ ˆ y + zp ˆ ˆ x zp ˆ ˆ x + xp { yp = yˆ 2 pˆ z2 + zˆ 2 pˆ 2y + zˆ 2 pˆ x2 + xˆ 2 pˆ z2 + xˆ 2 pˆ 2y + yˆ 2 pˆ x2

(

)

(

) (

)

= xˆ 2 pˆ x2 + pˆ 2y + pˆ z2 + yˆ 2 pˆ x2 + pˆ 2y + pˆ z2 + zˆ 2 pˆ x2 + pˆ 2y + pˆ z2 − xˆ 2 pˆ x2 − yˆ 2 pˆ 2y − zˆ 2 pˆ z2

(

= xˆ 2 + yˆ 2 + zˆ 2

)( pˆ x2 + pˆ 2y + pˆ z2 ) − ( xˆ 2 pˆ x2 + yˆ 2 pˆ 2y + zˆ2 pˆ z2 )

ในขณะที่เทอมในวงเล็บปกกาอันที่สองสามารถจัดรูปไดโดยอาศัยสมบัติ ˆ ˆ y − i , และ pˆ z zˆ = zp ˆˆ z − i pˆ y yˆ = yp ดังนั้นแลว

ˆˆ x − i pˆ x xˆ = xp

,

ˆ ˆ z zp ˆ ˆ z + zp ˆˆ z + xp ˆˆ z zp ˆˆ y yp ˆ ˆ x + yp ˆ ˆ x xp ˆˆ y } ˆ ˆ y + zp ˆ ˆ y yp ˆ ˆ x xp ˆ ˆ x + xp { yp ˆ ˆ y − i ) pˆ z + zˆ ( xp ˆˆ x − i ) pˆ z + ˆ ˆ z − i ) pˆ y + zˆ ( yp = yˆ ( zp ˆ ˆ y − i ) pˆ x + yˆ ( xp ˆˆ x − i ) pˆ y ˆ ˆ z − i ) pˆ x + xˆ ( yp xˆ ( zp ˆ ˆ ˆ y pˆ z + xzp ˆ ˆ ˆ x pˆ z + xyp ˆˆ ˆ x pˆ y ) − 2i ( xp ˆˆ x + yp ˆ ˆ y + zp ˆˆ z ) = 2 ( yzp

และเมื่อรวมวงเล็บปกกาทั้งสองเขาดวยกัน สมการ (8.33) จะอยูในรูปของ Lˆ2 =

( xˆ 2 + yˆ 2 + zˆ2 )( pˆ x2 + pˆ 2y + pˆ z2 ) − ( xˆ 2 pˆ x2 + yˆ 2 pˆ 2y + zˆ2 pˆ z2 ) (

)

ˆ ˆ ˆ y pˆ z + xzp ˆ ˆ ˆ x pˆ z + xyp ˆˆ ˆ x pˆ y + 2i −2 yzp

ˆ ˆ y + zp ˆˆ z ) ( xpˆˆ x + yp

สมการขางตนจะลดรูปใหงายขึ้นไปอีก ถาเราใชเอกลักษณทวี่ า

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา ˆ ˆ y + zp ˆˆ z ) ( xpˆˆ x + yp

8 Central Potential

8-13

2

(

) (

)

ˆ ˆ ˆ y pˆ z + xzp ˆ ˆ ˆ x pˆ z + xyp ˆˆ ˆ x pˆ y − i = xˆ 2 pˆ x2 + yˆ 2 pˆ 2y + zˆ 2 pˆ z2 + 2 yzp

ˆ ˆ y + zp ˆˆ z ) ( xpˆˆ x + yp

__________________ สมการ (8.34) แบบฝกหัด 8.5 จงพิสูจนเอกลักษณในสมการ (8.34) ทําใหในทายทีส่ ุดแลว Lˆ2 =

( xˆ 2 + yˆ 2 + zˆ2 )( pˆ x2 + pˆ 2y + pˆ z2 ) − ( xpˆˆ x + ypˆ ˆ y + zpˆ ˆ z )2 + i ( xpˆˆ x + ypˆ ˆ y + zpˆ ˆ z )

ซึ่งก็ตรงกับสมการ (8.31) อยางไรก็ตาม การพิสูจนความสัมพันธในสมการ (8.31) ดวยวิธีการ กระจายเทอมตางๆออกมาโดยตรงนัน้ คอนขางจะตองใชความรอบคอบและละเอียดพอสมควร เราสามารถที่จะพิสูจนสมการเดียวกันนี้ โดยใชอีกวิธีหนึ่งที่มีความซับซอนนอยกวา กลาวคือ ถาเราเปลี่ยนการเรียกพิกดั ในระบบ Cartesian ซึ่งเดิมเปน ( x, y, z ) ใหอยูในรูปแบบของสัญลักษณ ( x1, x2 , x3 ) แทน เราจะเขียน orbital angular momentum ตามแกนตางๆไดวา Lˆ1 = xˆ2 pˆ 3 − xˆ3 pˆ 2 , Lˆ2 = xˆ3 pˆ1 − xˆ1 pˆ 3

และ Lˆ3 = xˆ1 pˆ 2 − xˆ2 pˆ1 ____________ สมการ (8.35)

หรือเขียนใหอยูในรูปทัว่ ไป Lˆi =

3

3

∑ ∑ ε ijk xˆ j pˆ k ____________ สมการ (8.36) j =1 k =1

เมื่อ ε ijk คือคาคงที่ซึ่งอาจจะเปน 0, +1, หรือ -1 ขึ้นอยูกับดัชนี i, j, k ที่กํากับมันอยู และมีชอื่ เรียก โดยทั่วไปวา permutation symbol ในทายที่สุดแลว การเขียนในรูปของสมการขางตน มีผลลัพธที่ ไดไมแตกตางจากสมการ (8.35) เพียงแตวาสมการ (8.36) มีความกระชับมากกวาเทานั้น นอกจากนี้ permutation symbol ε ijk ยังมีเอกลักษณหลายประการที่สําคัญ อาทิเชน

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา ⎧ 0 if ⎪⎪ ε ijk = ⎨+1 if ⎪ ⎪⎩−1 if

8 Central Potential

8-14

(i = j ) ∨ ( j = k ) ∨ ( k = i ) ( i, j, k ) ∈ {(1, 2,3) , ( 2,3,1) , ( 3,1, 2 )} ____________ สมการ (8.37) ( i, j, k ) ∈ {(1,3, 2 ) , ( 3, 2,1) , ( 2,1,3)} 3

3

∑ ∑ ε ijk = 0 ____________ สมการ (8.38)

i =1 j =1 3

3

∑ ∑ ε ipqε jpq = 2δij ____________ สมการ (8.39)

p =1 q =1 3 3 3

∑ ∑ ∑ ε ijk ε ijk = 6 ____________ สมการ (8.40)

i =1 j =1 k =1

3

∑ ε ijk ε imn = δ jmδ kn − δ jnδ km ____________ สมการ (8.41)

i =1

[credit: Weisstein Eric W. "Permutation Symbol." MathWorld - A Wolfram Web Resource]

และจากสมการ (8.36) เราบอกไดวา 3 3 ⎛ 3 3 ⎞⎛ 3 3 ⎞ Lˆ2 = ∑ Lˆ2i = ∑ ⎜ ∑ ∑ ε ijk xˆ j pˆ k ⎟ ⎜ ∑ ∑ ε imn xˆm pˆ n ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ m =1 n =1 i =1 i =1 ⎝ j =1 k =1 ⎠ ⎠ 3

3

Lˆ2 = ∑ ∑

3

3

3

∑ ∑ ∑ ε ijk ε imn xˆ j pˆ k xˆm pˆ n

i =1 j =1 k =1 m =1 n =1

เนื่องจากเทอม xˆ j pˆ k xˆm pˆ n ไมขึ้นอยูกับดัชนี i เราสามารถจัดกลุมของ summation เสียใหม ประกอบกับใช identity ในสมการ (8.41) ทําให Lˆ2 =

=

⎛ 3 ⎞ ∑ ∑ ∑ ∑ ⎜⎜ ∑ ε ijk ε imn ⎟⎟ xˆ j pˆ k xˆm pˆ n j =1 k =1 m =1 n =1 ⎝ i =1 ⎠ 3

3

3

3

3

3

3

3

∑ ∑ ∑ ∑ (δ jmδ kn − δ jnδ km ) xˆ j pˆ k xˆm pˆ n j =1 k =1 m =1 n =1

Lˆ2 =

3

3

3

∑∑∑

3

3

3

∑ δ jmδ kn xˆ j pˆ k xˆm pˆ n − ∑ ∑

j =1 k =1 m =1 n =1

3

3

∑ ∑ δ jnδ km xˆ j pˆ k xˆm pˆ n

j =1 k =1 m =1 n =1

ถึงแม summation ขางตนจะมีเทอมที่บวกกันอยูเปนจํานวนมาก ดวยสมบัติของ Kronecker delta function จะมีเฉพาะบางเทอมที่ไมเทากับศูนย ดังนั้น Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

3

∑

Lˆ2 =

8 Central Potential

3

3

∑ xˆ j pˆ k xˆ j pˆ k − ∑

j =1 k =1 3

∑

=

3

∑

3

∑ xˆ j pˆ k xˆk pˆ j

j =1 k =1

3

(

3

)

∑ xˆ j xˆ j pˆ k − i δ kj pˆ k − ∑

j =1 k =1

Lˆ2 =

8-15

3

3

∑ xˆ 2j pˆ k2 − i

3

j =1

∑ xˆ j pˆ k ( pˆ j xˆk + i

j =1 k =1

∑ xˆ j pˆ j − ∑

j =1 k =1

3

3

∑ xˆ j pˆ j pˆ k xˆk − i

j =1 k =1

δ jk

)

3

∑ xˆ j pˆ j j =1

แตเทอมที่ 3 ในสมการขางตน สามารถจัดรูปเสียใหมไดวา 3

∑

3

∑ xˆ j pˆ j pˆ k xˆk =

j =1 k =1

3

∑

3

∑ xˆ j pˆ j ( xˆk pˆ k − i

j =1 k =1

3

3

3

) = ∑ ∑ xˆ j pˆ j xˆk pˆ k − 3i ∑ xˆ j pˆ j j =1 k =1

j =1

เพราะฉะนั้นแลว Lˆ2 =

3

3

∑∑

j =1 k =1

xˆ 2j pˆ k2

3

−∑

3

3

∑ xˆ j pˆ j xˆk pˆ k + i ∑ xˆ j pˆ j

j =1 k =1

j =1

⎛ 3 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ = ⎜ ∑ xˆ 2j ⎟ ⎜ ∑ pˆ k2 ⎟ − ⎜ ∑ xˆ j pˆ j ⎟ ⎜ ∑ xˆk pˆ k ⎟ + i ⎟ ⎜ j =1 ⎟ ⎜⎝ k =1 ⎟⎠ ⎜ j =1 ⎟ ⎜⎝ k =1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 3 ⎞ ⎜ ∑ xˆ j pˆ j ⎟ ⎜ j =1 ⎟ ⎝ ⎠

ทั้งนี้ถาเรานิยาม rˆ2 ≡ xˆ12 + xˆ22 + xˆ32 , pˆ 2 ≡ pˆ12 + pˆ 22 + pˆ 32 , และ rˆ ⋅ pˆ ≡ xˆ1 pˆ1 + xˆ2 pˆ 2 + xˆ3 pˆ 3 จะสามารถเขียนสมการขางตนอยางยอๆใหอยูในรูปของ 2 Lˆ2 = rˆ 2 pˆ 2 − ( rˆ ⋅ pˆ ) + i rˆ ⋅ pˆ

ซึ่งก็ไดผลลัพธตรงกันกับสมการ (8.32) ไมวาเราจะทําการพิสูจนแบบกระจายเทอมออกมาโดยตรง เหมือนในวิธแี รก หรือการใช permutation symbol ε ijk เขาชวยเหมือนดังวิธีที่สอง ก็ตาม

Commutator ⎡⎣ Lˆz , Hˆ ⎤⎦ = 0 = ⎡⎣ Lˆ2 , Hˆ ⎤⎦ สมบัติเชิงคณิตศาสตรที่สําคัญอีกประการหนึ่งของ Lˆz และ Lˆ2 ก็คือ operator ทั้งสอง ตางก็ commute กับ Hamiltonian ของระบบ central potential โดยในขัน้ ตนนี้เราจะเพียงพิสูจนเฉพาะ Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-16

เอกลักษณทางคณิตศาสตรดงั กลาวนี้ แตจะขามการวิเคราะหใหเห็นถึงความหมายในทางฟสิกสไป กอน เมื่อพิจารณา Hamiltonian operator ของระบบที่เปน central potential พบวา ประกอบดวยสองเทอม ดวยกันคือ พลังงานจลน และ พลังงานศักย pˆ 2 ˆ H= + V (r ) 2m

เมื่อ

pˆ 2 ≡ pˆ x2 + pˆ 2y + pˆ z2

จากสมการ (8.24) จะเห็นวา ⎡⎣ Lˆz , pˆ 2 ⎤⎦ = 0 เพราะฉะนัน้ แลว Lˆz

จะตอง commute กับพลังงานจลนของระบบ กลาวคือ ⎡ pˆ 2 ⎤ ⎢ Lˆ z , ⎥=0 2m ⎥⎦ ⎢⎣

____________________ สมการ (8.42)

สวนในกรณีของพลังงานศักย V (r ) ถานิยามตัวแปร ξ ≡ r 2 และเขียน V (r ) ใหอยูใ นรูปของ V (r ) = V ( ξ ) จากนั้นเราสามารถกระจายใหอยูในรูปของ Taylor expansion ไดวา ⎛ ⎞ ⎞ 1 ⎜ ∂2 ⎛ ⎞ 1 ⎛⎜ ∂ ⎟ξ 2 + ⎟ + + ( ) ( ) V ( ξ ) = ⎜V ( ξ ) V ξ ξ V ξ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 0 ξ = ⎜ ⎟ 2! ∂ξ ⎝ ⎠ 1! ⎝ ∂ξ ξ =0 ⎠ ξ =0 ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ 1 ⎜ ∂n ⎟ξ n =∑ V( ξ ) n ⎜ ⎟ n! n = 0 ⎝ ∂ξ ξ =0 ⎠ ∞

จากสมการ (8.25) เราทราบวา

Lˆ z

commute กับ ξ = xˆ 2 + yˆ 2 + zˆ 2 เพราะฉะนัน้

⎡ Lˆ , ξ n ⎤ = 0 ⎣ z ⎦

เมื่อ n คือเลขจํานวนเต็ม 0,1,2, …

และถาพิจารณา commutator ระหวาง Lˆz กับพลังงานศักย V (r ) = V (

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

ξ)

จะพบวา

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-17

⎡ ⎛ n ⎞ ⎤ ∞ ⎛ ⎞ ∞ 1 ⎜ ∂n ⎟ξ n ⎥ = ⎟ ⎡ Lˆ , ξ n ⎤ ⎡ Lˆ z ,V (r ) ⎤ = ⎢ Lˆ z , ∑ 1 ⎜ ∂ V ( ξ ) V( ξ ) ∑ ⎣ ⎦ ⎢ n n ⎦ ⎟ ⎥ ⎟⎣ z n ! ⎜ ∂ξ n ! ⎜ ∂ξ ξ = 0 ⎠ ⎥⎦ n = 0 ⎝ ξ =0 ⎠ ⎢⎣ n = 0 ⎝ =0

ดังนั้น ⎡ Lˆ z ,V (r ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦

____________________ สมการ (8.43)

เนื่องจาก orbital angular momentum ตามแนวแกน z commute กับทั้งพลังงานจลนและพลังงาน ศักย จึงสรุปไดทันทีวา ⎡ Lˆ z , Hˆ ⎤ = 0 ⎣ ⎦

____________________ สมการ (8.44)

และในกรณีของ Lˆx และ Lˆ y เราจะใชตรรกะของความสมมาตร กลาวคือ Hamiltonian operator  ับทิศทางใด ทิศทางหนึ่งโดยเฉพาะ หากแตมีความสมมาตรในแนวรัศมี Hˆ มิไดขึ้นอยูก เพราะฉะนั้นสมการ (8.44) เมื่อเปนจริงตามแนวแกน z แลว ก็จะตองเปนจริงตามแนวแกนอื่นๆดวย เพราะวาแกนที่เรากําหนดขึน้ วาเปน x, y, หรือ z นั้น เปนเพียงสิ่งทีส่ มมุติขึ้น ดังนั้น ⎡ Lˆ x , Hˆ ⎤ = 0 = ⎡ Lˆ y , Hˆ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

____________________ สมการ (8.45)

ในเมื่อไดขอสรุปแลววา orbital angular momentum operator ทั้ง 3 ลวน commute กับ Hamiltonian ของระบบ central potential ทั้งสิ้น เราสามารถโยงความสัมพันธดังกลาวไปยัง operator Lˆ2 ไดดว ย เชนกัน กลาวคือ ⎡ Lˆ2 , Hˆ ⎤ = ⎡ Lˆ2 + Lˆ2 + Lˆ2 , Hˆ ⎤ = ⎡ Lˆ2 , Hˆ ⎤ + ⎡ Lˆ2 , Hˆ ⎤ + ⎡ Lˆ2 , Hˆ ⎤ y z ⎣ ⎦ ⎣ x ⎦ ⎣ x ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ z ⎦ ˆ ˆ , Cˆ ⎤ = Aˆ ⎡ Bˆ , Cˆ ⎤ + ⎡ Aˆ , Cˆ ⎤ Bˆ ทําใหเราทราบวาเทอมทั้ง 3 ที่ อาศัยสมบัติของ commutator ที่วา ⎡⎣ AB ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ปรากฏอยูทางขวามือของสมการขางตน ลวนมีคาเปนศูนย เพราะฉะนัน้ แลว ⎡ Lˆ2 , Hˆ ⎤ = 0 ⎣ ⎦

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

____________________ สมการ (8.46)

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-18

แบบฝกหัด 8.6 จงพิสูจนวา 0 = ⎡⎣ Lˆ2x , Hˆ ⎤⎦ = ⎡⎣ Lˆ2y , Hˆ ⎤⎦ = ⎡⎣ Lˆ2z , Hˆ ⎤⎦ และภายหลังจากที่ไดพิสูจนใหเห็นในเชิงคณิตศาสตร ถึงความสัมพันธเชิง commutator ดังในสมการ (8.44) และ สมการ (8.46) เรียบรอยแลว ในลําดับตอไปเราจะไดกลาวถึงนัยสําคัญที่ซอนอยู เบื้องหลังเปลือกนอกของคณิตศาสตรเหลานี้

8.3 เซตของ Commuting Observables quantum mechanics ใชกลไกของ operator ในการวัดปริมาณทางฟสิกส เราเรียกปริมาณเหลานีว้ า observable อาทิเชน ตําแหนง , momentum, angular momentum, หรือ พลังงาน เปนตน เราแทน กระบวนการในการวัด observable เหลานี้ดว ย operator อาทิเชน xˆ , pˆ x , Lˆz , หรือ Hˆ สมมุติวาเรากําลังพิจารณา operator ที่ใชแทนกระบวนการวัด observable ปรากฏวา operator ทั้งสองนั้น commute หรือ ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ = 0

Aˆ

ในทางตรงกันขาม ถาสมมุติตอไปอีกวา operator Cˆ มิได commute กับ

Aˆ

และ Bˆ ใดๆ และ

กลาวคือ ⎡⎣ Aˆ , Cˆ ⎤⎦ ≠ 0

ผลลัพธที่จะตามมาในแงของการตีความในเชิง quantum mechanics นัน้ มีความสําคัญมากที่เรา จําเปนจะตองทําความเขาใจนัยสําคัญทางฟสิกส ที่อยูลึกลงไปจากพืน้ ผิวของคณิตศาสตรที่ปรากฏ

ความเขาใจผิดเกี่ยวกับ operator และ Eigen Equation กําหนดใหสถานะ r แทนสถานะของอนุภาคที่เราทราบแนชัดวาอยู ณ ตําแหนง r ซึ่งถาเราใช พิกัด Cartesian ในการกํากับตําแหนง ก็จะเขียนใหชัดเจนยิ่งขึ้นไดวา r = x, y , z

แทนสถานะของอนุภาค ทีท่ ราบแนชัดวาอยู ณ พิกัด ( x, y, z )

พิจารณา operator xˆ ที่ใชแทนกระบวนการวัดตําแหนงตามแนวแกน x ของอนุภาค แนนอนวาเรา สามารถเขียนสมการในรูปดังตอไปนี้ xˆ r = x r

____________________ สมการ (8.47)

ทางซายมือของสมการ แสดงถึงกระบวนการวัดพิกดั ตามแนวแกน x ถาระบบอยูในสถานะ Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

r

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-19

ทางขวามือของสมการ แสดงถึงผลลัพธของการวัด นัน่ ก็คือ ไดคําตอบเทากับ สมการ (8.47) เรียกอีกอยางหนึ่งวา eigen equation และใหสังเกตวาสถานะ และขวามือของสมการดังกลาว

r

x

ปรากฏอยูทั้งทางซาย

นอกจากนี้ เมือ่ พิจารณา operator pˆ x ที่ใชแทนกระบวนการวัด momentum ตามแนวแกน x ของ อนุภาค มีนกั ศึกษาอยูจํานวนไมนอยที่อาศัยสมการ (8.47) เปนตัวอยาง และเขียน eigen equation อยางผิดๆวา Incorrect ! pˆ x r = px r ____________________ สมการ (8.48) ดวยความเขาใจที่ผิดวา เมื่อนํา operator pˆ x เขาไปวัด momentum ของสถานะ r แลวจะไดคา momentum px ออกมาเปนผลลัพธ เราจะอภิปรายความผิดพลาดของสมการขางตนใน 4 ประเด็น ดวยกัน คือ 1) จาก Heisenberg uncertainty principle ที่วา ΔxΔp ≥

2

นั่นก็แสดงวา ถาเราทราบตําแหนงทีแ่ น

ชัดของสถานะ r หรืออีกนัยหนึ่ง ความคลาดเคลื่อนของการวัดตําแหนง Δx = 0 ยอม หมายความวาสถานะดังกลาวมีความคลาดเคลื่อนของการวัด momentum Δp = ∞ พูดงายๆก็คือ เราไมมีทางทราบเลยวา momentum ของสถานะ r มีคาเปนเทาใดกันแน นั่นก็แสดงวา อนุภาคที่อยูใ นสถานะ r ไมอาจจะมี momentum px ที่แนนอนเปนสมบัติเฉพาะตัว ของมันเอง ดังนั้นความพยายามในการเขียนสมการ (8.48) ดังกลาวจึงไมถูกตอง 2) ในเชิงคณิตศาสตร การเขียนสมการ (8.48) นั้น คลายกับจะพยายามจะสื่อความหมายวาสถานะ r เปน eigenstate ของ operator pˆ x ซึ่งในทางคณิตศาสตรแลว เปนไปไมได เนื่องจาก operator xˆ และ pˆ x ตางก็ไม commute กลาวคือ [ xˆ, pˆ x ] = i ≠ 0 ดังนั้น operator ทั้ง สองไมอาจจะมี eigenstate รวมกันได และถาเรากําหนดให r เปน eigenstate ของ xˆ ตั้งแตแรก เสียแลว มันก็ไมอาจจะเปน eigenstate ของ operator pˆ x ไดอีกตอไป

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-20

3) ในเชิงฟสิกส ถาพิจารณา operator Aˆ ใดๆที่ใชวัดปริมาณทางฟสิกส การที่เราจะเขียน eigen equation ในลักษณะ Aˆ α = a α ไดนั้น ยอมมีความหมายที่ละไวในถานที่เขาใจวา สถานะ α จะตองมีสมบัติเฉพาะตัวที่แนนอนคาหนึ่ง ซึ่งมีคาเทากับ a ยกตัวอยางเชน แสดงวา สถานะ แสดงวา สถานะ แสดงวา สถานะ

xˆ r = x r yˆ r = y r zˆ r = z r

r r r

มีพิกัดตามแกน x ที่แนนอน มีพิกัดตามแกน y ที่แนนอน มีพิกัดตามแกน z ที่แนนอน

4) จริงๆแลว เราสามารถคํานวณผลของ operator pˆ x ที่กระทําตอสถานะ r ไดโดยใช ความสัมพันธระหวาง infinitesimal translation operator Tˆx (Δa) และ momentum operator จากการพิจารณา Tˆx (Δa) = 1 − i

pˆ x Δa

pˆ x =

และผลของ operator

pˆ x

pˆ x

ได

ดังนั้น

iΔa

ที่กระทํากับสถานะ

r

−

iΔa

Tˆx (Δa)

ก็คือ

⎛ ⎞ pˆ x r = ⎜ Tˆx (Δa) ⎟ x, y, z = − iΔa ⎝ iΔa iΔa ⎠

(

x , y , z + x + Δa , y , z

)

จะเห็นวา สถานะผลลัพธที่ได เปน linear superposition ระหวางสถานะที่อนุภาคอยู ณ ตําแหนงเดิม ผสมกับสถานะที่อนุภาคเลื่อนไปขางหนาเปนระยะทาง Δa ดวยเหตุเหลานี้เอง สมการ (8.48) จึง ไมถูกตอง

Simultaneous Observables ในกรณีตัวอยางของ position operator xˆ และ momentum operator pˆ x ที่กลาวมาแลวขางตน เรา สามารถสรุปใหครอบคลุมไปถึงกรณีทั่วไป โดยการพิจารณา Hermitian operator Aˆ และ Bˆ ใดๆ (ซึ่งเปนตัวแทนของการวัดปริมาณทางฟสิกส ) ถาสมมุติให operator

Aˆ

commute กับ operator Bˆ หรืออีกนัยหนึ่ง ถา ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ = 0 แลวผลลัพธ

ที่จะตามมาก็คือ ทั้งสอง operator ดังกลาวมี eigenstate รวมกัน ซึ่งเขียนในรูปของสมการไดวา

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

Aˆ Π = a Π

และ Bˆ Π

8-21

=b Π

จากสมการขางตน จะเห็นวาสถานะ Π เปน eigenstate ของ Aˆ ซึ่งก็หมายถึงสถานะดังกลาวมี ปริมาณทางฟสิกสที่แทนดวย observable a ที่ชัดเจนแนนอนคาหนึ่ง และสถานะ Π ก็ยังเปน eigenstate ของ Bˆ ซึ่งก็หมายถึงสถานะดังกลาวมีปริมาณทางฟสิกสที่แทนดวย observable b ที่ ชัดเจนแนนอนคาหนึ่ง อีกเชนกัน ในเมื่อคาของ a และ b ตางก็เปนสมบัติเฉพาะตัวของสถานะ สถานะดังกลาววา

Π

จึงไมแปลกที่เราอาจจะเขียน

Π = a, b

นักศึกษาอาจจะมีเพื่อนที่มีสมบัติเฉพาะตัวคือ เขาเปนคนที่สูงมาก และเพื่อนคนเดียวกันนี้ ยังเปน คนมีฐานะร่ํารวยเปนพิเศษ ในบางครั้งเราเอยถึงเขาโดยอาศัยสมบัติเฉพาะตัวที่มีอยู และเรียกเพื่อน คนนี้วา เสี่ย , โยง การที่สถานะ Π สามารถมีคาทั้ง a และ b เปนสมบัติเฉพาะตัวพรอมๆกันได เราเรียกเหตุการณ ในลักษณะนี้วา Aˆ และ Bˆ เปน simultaneous observables ซึ่งจะเกิดขึ้นก็ตอเมื่อ ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ = 0 เทานั้น

Eigen State ของระบบ Central Potential ในกรณีของ Hamiltonian operator ซึ่งใชในการวัดระดับพลังงานของระบบ ถาสมมุติใหสถานะ Ψ เปน eigenstate ของ Hˆ operator แลว จะไดวา Hˆ Ψ = E Ψ

เมื่อ E คือพลังงานของระบบ นอกจากนี้ จากสมการ (8.46) เราทราบวา ⎡⎣ Lˆ2 , Hˆ ⎤⎦ = 0 เพราะฉะนั้น

Ψ

ยอมตองเปน eigenstate ของ operator

Lˆ2

ดวย กลาวคือ

Lˆ2 Ψ = l ( l + 1) 2 Ψ

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-22

เมื่อ l ก็คือเลข quantum number ของ orbital angular momentum สมการขางตนแสดงใหเห็นวา ระบบดังกลาวมีขนาดของ orbital angular momentum เทากับ l ( l + 1) 2 (สําหรับนักศึกษาที่ยงั ขาดความแมนยําในประเด็นดังกลาว สามารถทบทวนเนือ้ หาในบทที่ 3 Angular Momentum ได) ในกรณีทั่วไปแลว angular momentum j สามารถที่จะมีคาไดทั้งที่เปนเลขจํานวนเต็ม และเปน ครึ่งหนึ่งของจํานวนเต็ม กลาวคือ angular momentum

⎧ 1 3 j ∈ ⎨0, ,1, , 2, ⎩ 2 2

⎫ ⎬ ⎭

แตในกรณีของ orbital angular momentum l ซึ่งเกี่ยวของเฉพาะกับการหมุนของอนุภาคใน 3 มิตินั้น มีคาไดเฉพาะเปนเลขจํานวนเต็มเทานั้น หรืออีกนัยหนึง่ orbital angular momentum

l ∈ {0,1, 2,

}

โดยที่เราจะไดกลาวถึงเหตุผลของขอจํากัดดังกลาวในโอกาสตอไป และในทายที่สุด เนื่องจาก Hamiltonian Hˆ commute กับ operator Lˆz ดังจะเห็นไดจากสมการ (8.44) ทําให Ψ เปน eigenstate ของ Lˆz โดยปริยาย ดังนั้น Lˆ z Ψ = m Ψ

เมื่อ m ก็คือองคประกอบตามแนวแกน z ของ orbital angular momentum ซึ่งคาของ m ที่เปนไป ไดนั้นมีอยูภายในชวงที่จํากัด คือ m ∈ {−l , − ( l − 1) , , + ( l − 1) , +l} และในเมื่อสถานะ Ψ มีสมบัติเฉพาะตัวที่ทราบคาแนชัดอยู 3 ปริมาณดวยกัน 1) พลังงาน , 2) ขนาด orbital angular momentum , และ 3) องคประกอบตามแนวแกน z ของ orbital angular momentum เราจึงอาจจะเรียก Ψ ดวยสมบัติที่มันมีอยูไดวา ให Lˆ2

เปนสถานะ eigenstate ของระบบ central potential โดยที่ Hˆ E , l , m = E E , l , m ____________________ สมการ (8.49) E , l , m = l ( l + 1) 2 E , l , m ____________________ สมการ (8.50) Lˆ z E , l , m = m E , l , m ____________________ สมการ (8.51) E, l, m

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-23

จากสมการทั้งสามขางตน จะพบวา E , l , m แสดงถึงสถานะของระบบที่มีสมบัติเฉพาะตัวพรอมๆ กัน 3 ประการดวยกันคือ 1) มีพลังงานเทากับ E , 2) มีขนาดของ orbital angular momentum เทากับ l ( l + 1) 2

, และ 3) มีองคประกอบตามแนวแกน z ของ orbital angular momentum เปน m

ขอควรระวัง เนื่องจากเราใชสัญลักษณ m แทนมวลของอนุภาค ในขณะเดียวกัน m ก็อาจจะ หมายถึง องคประกอบตามแนวแกน z ของ orbital angular momentum นักศึกษาจึงควรระมัดระวัง เปนพิเศษไมใหสับสน โดยดูจากสภาพแวดลอมของสมการ เพื่อแยกแยะระหวางกรณีทั้งสอง

8.4 Position Space ในพิกัดทรงกลม ดังที่ไดเกริ่นไวแลววา การอธิบายถึงตําแหนงของอนุภาค มิไดจํากัดอยูแ ตเพียง Cartesian coordinate เพียงเทานั้น ในขั้นนีเ้ ราจะพยายามทีจ่ ะใชพิกัดทรงกลม ในการกํากับตําแหนงของอนุภาค รวมไป ถึงการเขียน operator ตางๆอาทิเชน Lˆ2 , และ Lˆz ใหอยูในรูปของ spherical coordinate

Spherical Coordinate ในพิกดั ทรงกลมดังแสดงใน ภาพ (8.3) เราอธิบายตําแหนง r ของอนุภาคดวยเซตของตัวแปร 3 ตัว ดวยกันคือ ( r ,θ , ϕ ) เมื่อ ระยะหางของอนุภาคจากจุดกําเนิด θ ≡ มุมกมที่กระทํากับแกน z ϕ ≡ มุมกวาด ทีเ่ งาซึ่งทอดลงบนระนาบ x-y กระทํากับแกน x r≡

z

2

ψ (r ,θ , ϕ ) r 2 sin θ drdθ dϕ = θ

ϕ

r

y

ความนาจะเปน ที่จะพบอนุภาคอยูภายใน กลองขนาด dV = r 2 sin θ drdθ dϕ ซึ่งตัง้ อยู ณ ตําแหนง (r ,θ , ϕ )

x ภาพ (8.3) ภาพแสดงวิธกี ารอธิบายตําแหนงของอนุภาค ในระบบของ spherical coordinate Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-24

จากคํานิยามของตัวแปรในพิกัดทรงกลมทั้ง 3 เราสามารถเขียนความสัมพันธกับตัวแปรในพิกดั Cartesian ไดวา x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ

____________ สมการ (8.52)

และ 2

2

r= x +y +z

2

θ = cos

⎛

⎞ ⎟ ⎜ x2 + y 2 + z 2 ⎟ ⎝ ⎠ z

−1 ⎜

⎛ y⎞ ⎝ ⎠

ϕ = tan −1 ⎜ ⎟ x

_____ สมการ (8.53)

และสามารถคํานวณ partial derivative ระหวางคูตางๆของตัวแปรเหลานี้ได ซึ่งก็คอื ⎡ ∂x ⎢ ∂r = sin θ cos ϕ ⎢ ⎢ ∂y ⎢ ∂r = sin θ sin ϕ ⎢ ⎢ ∂z ⎢ ∂r = cos θ ⎣

∂x = r cos θ cos ϕ ∂θ ∂y = r cos θ sin ϕ ∂θ ∂z = −r sin θ ∂θ

⎤ ∂x = − r sin θ sin ϕ ⎥ ∂ϕ ⎥ ⎥ ∂y = + r sin θ cos ϕ ⎥ ∂ϕ ⎥ ⎥ ∂z =0 ⎥ ∂ϕ ⎦

_____ สมการ (8.54)

และ ⎡ ∂r x ⎢ ∂x = x2 + y 2 + z 2 ⎢ ⎢ ⎢ ∂θ xz = ⎢ ⎢ ∂x x2 + y 2 x2 + y 2 + z 2 ⎢ ⎢ ∂ϕ −y = ⎢ 2 2 ⎣ ∂x x + y

(

∂r = ∂y

)

∂θ = ∂y

∂r = ∂z

y x2 + y 2 + z 2

(

yz

x2 + y 2 x2 + y 2 + z 2

x ∂ϕ = 2 ∂y x + y 2

)

z x2 + y 2 + z 2

− x2 + y 2 ∂θ = ∂z x2 + y 2 + z 2

(

∂ϕ =0 ∂z

)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

___________________ สมการ (8.55) นอกจากนี้ เพือ่ ความสะดวก partial derivative ดังในสมการขางตน สามารถเขียนใหอยูใ นรูปของ ตัวแปรในพิกดั ทรงกลม โดยอาศัยสมการ (8.52) เปนตัวชวย ไดดังตอไปนี้

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

⎡ ∂r ⎢ ∂x = sin θ cos ϕ ⎢ ⎢ ∂θ cos ϕ cos θ = ⎢ ∂ x r ⎢ ⎢ ∂ϕ sin ϕ =− ⎢ r sin θ ⎣ ∂x

⎤ ∂r = cos θ ⎥ ∂z ⎥ ∂θ sin θ ⎥ =− ⎥ ∂z r ⎥ ⎥ ∂ϕ =0 ⎥ ∂z ⎦

∂r = sin θ sin ϕ ∂y ∂θ sin ϕ cos θ = ∂y r ∂ϕ cos ϕ =+ ∂y r sin θ

8-25

____________ สมการ (8.56)

และถากําหนดให r = r ,θ , ϕ เปนสถานะที่ทราบแนชดั วา อนุภาคอยู ณ ตําแหนง r เรา สามารถที่เขียนสถานะ Ψ ใดๆของอนุภาคใหอยูในรูป linear superposition ไดวา Ψ = ∫ d 3 r ψ (r ) r +∞ +∞ +∞

=

∫ ∫ ∫

−∞ −∞ −∞ ∞ π 2π

Ψ =

____________ สมการ (8.57)

dxdydz ψ ( x, y, z ) x, y, z

∫ ∫ ∫ drdθ dϕ r

2

sin θψ (r , θ , ϕ ) r ,θ , ϕ

00 0

จะสังเกตวา คาที่เปนไปไดของตัวแปร ( r ,θ , ϕ ) ในพิกัดทรงกลมนั้น มิไดอยูในชวง ( −∞, +∞ ) เหมือนกันกับในกรณีของ Cartesian coordinate แตวามีคาจํากัดอยูในชวง r ∈ ( 0, +∞ ) , θ ∈ ( 0, π ) , และ ϕ ∈ ( 0, 2π ) เพียงเทานั้น จากสมการ (8.57) ขางตน ประกอบกับ ภาพ (8.3) เราบอกไดวา 2

ψ (r ,θ , ϕ ) r 2 sin θ drdθ dϕ = ความนาจะเปนที่จะพบอนุภาคภายในกลอง

ขนาด dV = r 2 sin θ drdθ dϕ ซึ่งตั้งอยู ณ ตําแหนง r = ( r ,θ , ϕ ) __________________ สมการ (8.58)

Operator ( rˆ ⋅ pˆ ) ในพิกัดทรงกลม เพื่อแสดงขั้นตอนในการเขียนผลของ operator ตางๆ ที่แตเดิมนิยามอยูในรูปของพิกัด Cartesian ใหอยูใ นรูปของตัวแปรในพิกัดทรงกลม เราจะเสนอตัวอยางของ operator rˆ ⋅ pˆ ซึ่งมีคํานิยามวา ˆˆ x + yp ˆ ˆ y + zp ˆˆ z rˆ ⋅ pˆ ≡ xp

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-26

ในขั้นแรก พิจารณาผลของ operator ดังกลาวใน Cartesian coordinate กําหนดให สถานะใดๆของระบบ จะไดวา

Ψ

แทน

ˆˆ x + yp ˆ ˆ y + zp ˆˆ x Ψ + r yp ˆ ˆ y Ψ + r zp ˆ ˆ z Ψ = r xp ˆˆ z Ψ r ( rˆ ⋅ pˆ ) Ψ = r xp ˆˆ x Ψ เนือ ่ งจาก xˆ เปน ในแตละเทอมที่ปรากฏอยูทางขวามือของสมการ ยกตัวอยางเชน r xp Hermitian operator เราสามารถนํามันมากระทํากับสถานะ bra r ไดโดยไมผิดกติกา นอกจากนี้ โดยคํานิยามแลว r xˆ = r x เนื่องจาก r เปน eigenstate ของ xˆ ดังนั้น

r ( rˆ ⋅ pˆ ) Ψ = x r pˆ x Ψ + y r pˆ y Ψ + z r pˆ z Ψ

ถาเราเขียนสถานะ +∞ +∞ +∞

Ψ =

∫ ∫ ∫

Ψ

ในรูปของ linear superposition ของ position ในพิกัด Cartesian

dxdydz ψ ( x, y, z ) x, y, z

จะไดวา

−∞ −∞ −∞

r ( rˆ ⋅ pˆ ) Ψ = x r pˆ x Ψ + y r pˆ y Ψ + z r pˆ z Ψ ∂ψ i ∂x

∂ψ i ∂z

∂ψ i ∂y

เพราะฉะนั้นแลว ในพิกัด Cartesian r ( rˆ ⋅ pˆ ) Ψ =

⎛ ∂ψ ∂ψ ∂ψ ⎞ +y +z ⎜x ⎟ ∂y ∂z ⎠ i ⎝ ∂x

__________________ สมการ (8.59)

ในขั้นที่สอง เราทําการเปลี่ยนทางขวามือของสมการ (8.59) ใหอยูในรูปตัวแปรของพิกัดทรงกลม พิจารณา

∂ψ ∂x

เนือ่ งจากเราทราบวา นอกจากเราจะเขียนฟงชันก ψ

= ψ ( x, y , z )

แลว มันยัง

อาจจะเขียนใหอยูในรูปของตัวแปร ψ ( r ,θ , ϕ ) ไดอกี ดวย ดังนั้น อาศัยกฎลูกโซของ partial derivative ∂ψ ∂ψ ∂r ∂ψ ∂θ ∂ψ ∂ϕ = + + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂ϕ ∂x

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-27

เพราะฉะนั้น x

⎛ ∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ +y +z = x⎜ ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂r ⎛ ∂ψ + y⎜ ⎝ ∂r

∂r ∂ψ ∂θ ∂ψ ∂ϕ ⎞ + + ⎟ ∂x ∂θ ∂x ∂ϕ ∂x ⎠ ∂r ∂ψ ∂θ ∂ψ ∂ϕ ⎞ + + ⎟ ∂y ∂θ ∂y ∂ϕ ∂y ⎠

⎛ ∂ψ ∂r ∂ψ ∂θ ∂ψ ∂ϕ ⎞ + z⎜ + + ⎟ ⎝ ∂r ∂z ∂θ ∂z ∂ϕ ∂z ⎠

จัดกลุมสมการขางตน ใหอยูในรูปผลคูณของ

x

∂ψ ∂r

,

∂ψ ∂θ

, และ

∂ψ ∂ϕ

จะได

∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ ⎛ ∂r ∂r ∂r ⎞ +y +z = + y +z ⎟ ⎜x ∂x ∂y ∂z ∂r ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎛ ∂θ ∂θ ∂θ ⎞ +y +z ⎜x ⎟ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂ψ ⎛ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ + +y +z ⎜x ⎟ ∂ϕ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ +

∂ψ ∂θ

ในทายที่สุด ใชสมการ (8.56) ชวยในการคํานวณเทอมทีอ่ ยูภายในวงเล็บทั้งสาม จะไดวา ⎛ ∂r ∂r ∂r ⎞ + y + z ⎟ = r sin 2 θ cos 2 ϕ + r sin 2 θ sin 2 ϕ + r cos 2 θ = r ⎜x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ⎛ ∂θ ∂θ ∂θ ⎞ 2 2 +y +z ⎜x ⎟ = sin θ cos θ cos ϕ + sin θ cos θ sin ϕ − sin θ cos θ = 0 ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ⎛ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ +y +z ⎜x ⎟ = − sin ϕ cos ϕ + sin ϕ cos ϕ + 0 = 0 ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x

ดวยเหตุนี้

x

∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ +y +z =r ∂x ∂y ∂z ∂r

และเมื่อแทนผลลัพธที่ไดเขาไปในสมการ (8.59) จะ

ไดผลของ operator ( rˆ ⋅ pˆ ) ใน spherical coordinate กลาวคือ r ( rˆ ⋅ pˆ ) Ψ =

i

r

∂ ψ (r , θ , ϕ ) ∂r

ถา

∞ π 2π

Ψ =

∫ ∫ ∫ drdθ dϕ r

2

sin θψ (r , θ , ϕ ) r ,θ , ϕ

00 0

_____________________ สมการ (8.60) Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-28

แบบฝกหัด 8.7 จงหาผลของ operator Lˆx , Lˆ y , และ Lˆz ใน spherical coordinate โดยใชวิธีใน ทํานองเดียวกับที่กลาวมาแลวขางตน และแสดงใหเห็นวา ⎛ ∂ ∂ ⎞ − cot θ cos ϕ ⎜ − sin ϕ ⎟ψ (r ,θ , ϕ ) _____ สมการ (8.61) i⎝ ∂θ ∂ϕ ⎠ ⎛ ∂ ∂ ⎞ r Lˆ y Ψ = ⎜ cos ϕ − cot θ sin ϕ ⎟ψ (r ,θ , ϕ ) ______ สมการ (8.62) i⎝ ∂θ ∂ϕ ⎠ ∂ r Lˆ z Ψ = ψ (r ,θ , ϕ ) ____________________________ สมการ (8.63) i ∂ϕ

r Lˆ x Ψ =

Operator

Lˆ2

ในพิกัดทรงกลม

จากการเขียน operator Lˆx , Lˆ y และ , Lˆz ใหอยูในรูปของ spherical coordinate ดังในสมการ (8.61) , สมการ (8.62) , และสมการ (8.63) นั้น เราสามารถนํารูปแบบดังกลาว มาประกอบกันขึ้นเปน operator ที่ซับซอนมากขึ้น อาทิเชน r Lˆ2x Ψ ⎧ ∂ = − 2 ⎨sin ϕ ∂θ ⎩

⎛ ∂ψ ∂ψ + cot θ cos ϕ ⎜ sin ϕ ∂θ ∂ϕ ⎝

⎞ ∂ ⎛ ∂ψ ∂ψ + cot θ cos ϕ ⎟ + cot θ cos ϕ ⎜ sin ϕ ∂ϕ ⎝ ∂θ ∂ϕ ⎠

⎞⎫ ⎟⎬ ⎠⎭

⎛ ∂ψ ∂ψ − cot θ sin ϕ ⎜ cos ϕ ∂θ ∂ϕ ⎝

⎞ ∂ ⎛ ∂ψ ∂ψ − cot θ sin ϕ ⎟ − cot θ sin ϕ ⎜ cos ϕ ∂ϕ ⎝ ∂θ ∂ϕ ⎠

⎞⎫ ⎟⎬ ⎠⎭

r Lˆ2y Ψ ⎧ ∂ = − 2 ⎨cos ϕ ∂θ ⎩

2

∂ψ r Lˆ2z Ψ = − 2 ∂ϕ 2

และเมื่อรวมเทอมทั้งสามเขาดวยกัน จะปรากฏวาเทอมจํานวนมากหักลางกันหายไป เหลือแตเพียง ⎧⎪ ∂ 2ψ ∂ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ⎫⎪ r Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z Ψ = − 2 ⎨ + cot θ + cot 2 θ + ⎬ 2 ∂θ ∂ϕ 2 ∂ϕ 2 ⎭⎪ ⎪⎩ ∂θ

ซึ่งสามารถจัดรูปไดวา

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-29

⎧ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂ 2 ⎫⎪ 1 2 2⎪ 1 ˆ r L Ψ =− ⎨ ⎬ψ ( r , θ , ϕ ) ⎜ sin θ ⎟+ ∂θ ⎠ sin 2 θ ∂ϕ 2 ⎪⎭ ⎩⎪ sin θ ∂θ ⎝

______________________ สมการ (8.64)

8.5 Eigen State ของ Hamiltonian ในการวิเคราะหหา eigenstate และ eigen energy ของ Hamiltonian operator Hˆ นั้น ในเมื่อเรา ทราบวาพลังงานศักย V (r ) มีความสมมาตรในแนวรัศมี จึงอาจจะเปนประโยชนอยูบาง ถาเราจะ ลองเขียน Hˆ ใหอยูในรูปของ spherical coordinate

Operator

Hˆ

ในพิกัดทรงกลม

การสราง Hamiltonian operator ในพิกดั ทรงกลมนั้น สามารถเริ่มไดจากการพิจารณา operator 2 Lˆ2 = rˆ 2 pˆ 2 − ( rˆ ⋅ pˆ ) + i rˆ ⋅ pˆ ในสมการ (8.32) จะไดวา 2 r Lˆ2 Ψ = r rˆ 2 pˆ 2 − ( rˆ ⋅ pˆ ) + i rˆ ⋅ pˆ Ψ 2 = r rˆ 2 pˆ 2 Ψ − r ( rˆ ⋅ pˆ ) Ψ + i r rˆ ⋅ pˆ Ψ

โดยที่เราจะพิจารณาทางขวามือของสมการ ไปทีละเทอมดวยกัน เทอมที่ 3) จากสมการ (8.60) เราทราบวา ∂ i r ( rˆ ⋅ pˆ ) Ψ = 2 r ψ (r ,θ , ϕ ) ∂r

เทอมที่ 2) ไดจากการนํา operator ( rˆ ⋅ pˆ ) มากระทําซอนกัน 2 ครั้ง ดังนั้น ⎛ ⎞ ∂ ⎛ ∂ ∂2 ∂ ⎞ 2 r ( rˆ ⋅ pˆ ) Ψ = − 2 r ⎜ r ψ (r , θ , ϕ ) ⎟ = − 2 ⎜ r 2 ψ (r ,θ , ϕ ) + r ψ (r ,θ , ϕ ) ⎟ ⎜ ∂r 2 ⎟ ∂r ⎝ ∂r ∂r ⎠ ⎝ ⎠

เทอมที่ 1) เนื่องจาก position operator rˆ2 = xˆ 2 + yˆ 2 + zˆ 2 เปน Hermitian operator เราสามารถนํา มันมากระทํากับสถานะ bra r ไดวา

(

)

r rˆ 2 pˆ 2 Ψ = x 2 + y 2 + z 2 r pˆ 2 Ψ = r 2 r pˆ 2 Ψ

และเมื่อรวมเทอมทั้งสามเขาดวยกัน จะทําใหไดผลลัพธ Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-30

⎛ ∂2 ∂ ⎞ r Lˆ2 Ψ = r 2 r pˆ 2 Ψ + 2 ⎜ r 2 + 2r ⎟ψ (r ,θ , ϕ ) 2 ⎜ ∂r ⎠⎟ ⎝ ∂r

จากนั้นทําการจัดรูปใหอยูในรูปของ operator

r

pˆ 2 r Ψ 2m

2 ⎛ 2 1 2 ∂ ⎞ ∂ pˆ 2 r Lˆ2 Ψ − Ψ = + ⎜ ⎟ψ (r , θ , ϕ ) 2m 2m ⎜⎝ ∂r 2 r ∂r ⎟⎠ 2mr 2

สมการขางตนเปนผลของ operator

pˆ 2 2m

ที่กระทํากับสถานะ

Ψ

ใดๆ ในพิกัดทรงกลม ซึ่งเปน

operator ที่แสดงถึงพลังงานจลนของระบบ เพราะฉะนั้น เราสามารถสราง Hamiltonian eigen equation ไดวา pˆ 2 r Hˆ E , l , m = r + V (r ) E , l , m 2m pˆ 2 + V (r ) E , l , m + r V (r ) E , l , m 2m 2 ⎛ 2 ∂ 1 2 ∂ ⎞ r Hˆ E , l , m = r Lˆ2 E , l , m − + ⎜ ⎟ψ E (r ,θ , ϕ ) + V (r )ψ E (r ,θ , ϕ ) 2m ⎜⎝ ∂r 2 r ∂r ⎟⎠ 2mr 2 = r

______________________ สมการ (8.65) ในสมการขางตน เราเขียน probability amplitude (หรือ wave function) ซึ่งเปน eigenstate ของ Hamiltonian วา r E , l , m ≡ ψ E (r ,θ , ϕ )

eigenstate ของ Hamiltonian

ทั้งนี้เพื่อปองกันการสับสนกับสถานะอื่นๆ แตจากคํานิยามของสมการ (8.50) Lˆ2 E , l , m = l ( l + 1) 2 E , l , m และสมการ (8.49) Hˆ E , l , m = E E , l , m ดังนั้นแลว สมการขางตนลดรูปลงเหลือ

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา E r E, l, m =

l ( l + 1) 2 2mr 2

8 Central Potential

r E, l, m −

8-31

⎛ ∂2 2 ∂ ⎞ + ⎜ ⎟ψ E (r ,θ , ϕ ) + V (r )ψ E (r ,θ , ϕ ) 2m ⎜⎝ ∂r 2 r ∂r ⎟⎠ 2

หรือ ⎧⎪ 2 ⎛ ∂ 2 2 ∂ ⎞ l ( l + 1) 2 ⎫⎪ + V (r ) ⎬ψ E (r ,θ , ϕ ) = Eψ E (r ,θ , ϕ ) ⎜ 2+ ⎟+ ⎨− ⎜ r ∂r ⎟⎠ 2mr 2 ⎪⎩ 2m ⎝ ∂r ⎪⎭

______________________ สมการ (8.66) ที่แสดงขางตนเปน eigen equation ของ Hamiltonian operator ที่เขียนขึ้นไป spherical coordinate ในมุมมองของคณิตศาสตร มันเปนสมการอนุพันธอันดับสอง ที่มีผลเฉลยคือ 1) eigen function ψ E (r ,θ , ϕ ) ซึ่งมีความหมายในทาง quantum mechanics เปน probability amplitude ที่จะพบ อนุภาค ณ ตําแหนง r = ( r ,θ , ϕ ) และ 2) eigen value E ซึ่งก็คือระดับพลังงานของอนุภาคที่อยู ในสถานะนัน้ ๆ นอกจากนี้จะสังเกตวา ผลเฉลย ψ E (r ,θ , ϕ ) และ E ของสมการ (8.66) นั้น ขึ้นอยูกับสมบัติเชิง orbital angular momentum ของอนุภาคดวย ดังจะเห็นไดจากเทอม l ( l + 1) 2 ที่ปรากฏในสมการ ดังกลาว

Radial Equation สมการ (8.66) มีลักษณะพิเศษที่สําคัญอยูขอหนึ่งก็คือ operator ทางซายมือของสมการ ขึ้นอยูกับตัว แปร r เพียงอยางเดียว ดวยเหตุนี้จึงเปนการสมเหตุผลที่เราจะสมมุติวา probability amplitude ψ E (r ,θ , ϕ ) ซึ่งจากนิยามแลวเปนฟงชันกของทั้ง r , θ , และ ϕ นั้น สามารถเขียนใหอยูในรูป ψ E (r ,θ , ϕ ) = R(r )Y (θ , ϕ )

______________________ สมการ (8.67)

กลาวคือ สวนที่ขึ้นอยูกับรัศมี r นั้น เปนอิสระจากสวนที่ขึ้นอยูกับมุมทั้งสอง และเมื่อแทน สมมุติฐานดังกลาวเขาไปในสมการ (8.66) จะไดวา 2 2 ⎛ 2 2 ∂ ⎞ l ( l + 1) ∂ ⎪⎧ ⎪⎫ + V (r ) ⎬ R(r ) = E R(r ) ⎜ 2+ ⎟+ ⎨− ⎜ r ∂r ⎠⎟ 2mr 2 ⎪⎩ 2m ⎝ ∂r ⎪⎭

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-32

______________________ สมการ (8.68) นอกจากนี้เมื่อพิจาณาสมบัติเชิง normalization ที่วา summation ของความนาจะเปนทั้งหมดมีคา เปนหนึ่ง หรือ ∞ π 2π

1=

2

sin θ ψ (r ,θ , ϕ )

∫ ∫ ∫ drdθ dϕ r

2

sin θ R (r ) Y (θ , ϕ )

00 0 ∞ π 2π

=

2

∫ ∫ ∫ drdθ dϕ r

00 0 ⎛∞

2

2

⎞ ⎛ π 2π ⎞ 2 1 = ⎜ ∫ dr r R (r ) ⎟ ⎜ ∫ ∫ dθ dϕ sin θ Y (θ , ϕ ) ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝0 ⎠⎝ 0 0 ⎠ 2

2

เพราะฉะนั้น เพื่อความสะดวก เราจะกําหนดใหทั้งสองเทอมที่คูณกันอยูมีคาเปน 1 ทั้งคู กลาวคือ ∞

normalization condition

∫ dr r

2

2

R(r ) = 1

0

π 2π

∫ ∫ dθ dϕ sin θ Y (θ ,ϕ )

______________ สมการ (8.69) 2

=1

0 0

จากสมการ (8.68) เปนหัวใจสําคัญในการวิเคราะหระดับพลังงานของระบบที่มีลักษณะเปน central potential ซึ่งการจะหาผลเฉลยของสมการดังกลาว จําเปนตองมีขอมูลเบื้องตนอยู 2 ประการคือ 1) ทราบฟงชันกของ central potential V (r ) ที่เรากําลังศึกษา และ 2) กําหนดขนาดของ orbital angular momentum l ที่เรากําลังพิจารณา ดวยขอมูลทั้งสองชิ้นดังกลาว ถาเราประสบผลสําเร็จในการแกสมการ ก็จะไดผลเฉลยเปนขอมูล ออกมา 2 ประเภทดวยกันคือ 1) ระดับพลังงาน E ที่เปนไปไดของระบบ และ 2) ฟงชันก R(r ) ที่ สอดคลองกับระดับพลังงานนั้นๆ นอกจากนี้จะสังเกตวา ระดับพลังงานดังกลาว มิไดเกี่ยวของกับลักษณะการกระจายตัวเชิงมุม Y (θ , ϕ ) แตอยางใด

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-33

Degeneracy จากที่กลาวมาแลวขางตนวา eigenstate ของระบบ มีสมบัติเฉพาะตัวอยูอ ยางนอย 3 ชนิดดวยกันคือ 1) พลังงาน 2) ขนาดของ orbital angular momentum และ 3) องคประกอบตามแกน z ของ angular momentum หรือที่เขียนใหอยูในรูปของสัญลักษณวา ψ E = E, l, m

อยางไรก็ตาม จากสมการ (8.68) เราทราบวา ระดับพลังงาน E ของระบบ มิไดเกีย่ วของกับ m แต อยางใด ดวยเหตุนี้เอง จึงหลีกเลี่ยงไมได ที่จะมี eigenstate อยูจํานวนหนึ่งที่มีพลังงานเทากัน ทั้งๆที่ ตัว eigenstate เอง มีคุณสมบัติที่เกี่ยวของกับ องคประกอบตามแกน z ของ angular momentum แตกตางกัน ยกตัวอยางเชน สมมุติวาเรากําลังวิเคราะหอนุภาคที่เคลื่อนที่ภายใตอิทธิพลของ central potential V (r ) และพิจารณากรณีที่ระบบมี l = 1 หรืออีกนัยหนึ่ง กําหนดใหระบบมีขนาดของ orbital angular momentum เทากับ 1⋅ (1 + 1) = 2 ในเมื่อ l = 1 ก็แสดงวา m ∈ {−1, 0, +1} ทําใหมี eigenstate อยู 3 สถานะดวยกันคือ E , l = 1, m = −1

,

E , l = 1, m = 0

, และ

E , l = 1, m = +1

โดยที่สถานะทั้ง 3 เหลานี้ มีองคประกอบตามแกน z ของ orbital angular momentum แตกตางกัน แตมีพลังงานเทากัน (สาเหตุที่พลังงานเทากันก็เพราะวา พลังงานขึ้นอยูกับคาของ l เพียงเทานั้น) ในทาง quantum mechanics การที่ eigenstate มีสมบัติแตกตางกัน แตมีพลังงาน เทากัน เราเรียกเหตุการณเชนนี้วา "degeneracy" จากตัวอยางขางตน เรามักจะเรียกเหตุการณเชนนี้วา 3 fold degeneracy และในกรณีของ l ใดๆ นั้น เนื่องจาก m ∈ {−l , − ( l − 1) , − ( l − 2 ) ,… , + ( l − 2 ) , + ( l − 1) , +l} เราจึงสรุปไดวา ในระบบ central potential eigenstate ที่มี quantum number l จะแยกออกเปน (2l + 1) fold degeneracy เปนอยางนอย Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-34

ความเขาใจในธรรมชาติของ degeneracy ของระบบ มีความสําคัญเกี่ยวกับการวิเคราะหระบบในกรณี ที่ประกอบดวยอนุภาคมากกวาหนึ่งอนุภาค ซึ่งจะไดยกตัวอยางการนํามาใชงานในลําดับตอไป เมื่อ กลาวถึง nuclear magic number

8.6 Application - Nuclear Magic Number application ที่สําคัญอันหนึ่งซึ่งจะเปนตัวอยางในการนําสมการ (8.68) มาใชในการวิเคราะหระดับ พลังงานของระบบ ก็คือ "nuclear magic number"

a) mass number คือจํานวนของ nucleon b) simple model ของ nucleus

12

C6

mass number atomic number

credit: graphic จาก atomicarchive.com และ Virginia university Astronomy Group

ภาพ (8.4) a) แสดง mass number ที่ปรากฏอยูในตารางธาตุ ซึ่งก็หมายจํานวนของ nucleon ภายใน นิวเคลียสนัน่ เอง b) model อยางงายทีใ่ ชในการคํานวณเชิง quantum mechanics ภายในนิวเคลียส ซึ่งมีขนาดเล็กกวาอะตอมประมาณถึง 1 แสนเทานั้น โดยทั่วไปแลวประกอบดวย อนุภาคโปรตอนและนิวตรอน เราเรียกอนุภาคทั้งสองชนิดนีว้ า nucleon ในธาตุแตละชนิดก็จะมี จํานวน nucleon แตกตางกันออกไป และจํานวนของ nucleon ภายในนิวเคลียสนี้เอง มีชื่อเรียกวา "mass number" ซึ่งมักจะแทนดวยสัญลักษณ A ยกตัวอยางเชน อะตอมของ carbon ที่มีจํานวนโปรตอน 6 ตัวนั้น มีอยูดวยกันหลาย isotope กลาวคือ carbon-12 และ carbon-14 ซึ่งหมายถึงมี mass number เทากับ 12 และ 14 ตามลําดับ จากการทดลองของนักวิทยาศาสตร ถาจํานวนของ nucleon มีคาเฉพาะคาหนึ่ง จะพบวานิวเคลียส ดังกลาวนัน้ มีความเสถียรเปนพิเศษ จํานวนเหลานั้นก็คือ 2, 8, 20, 28, 50, 82, … ดวยความพิเศษ ของมัน เราเรียกลําดับของตัวเลขดังกลาวนีว้ า "magic number" (Warner, "Not-so-magic-number" Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-35

Nature 430:517-519 (2004) และ Mayer "On closed shell nuclei II" Phys.Rev. 75:1969-1970 (1949))

Infinite Spherical Potential Well ดังแสดงใน ภาพ (8.4)b เราจะใช model อยางงายในการคํานวณหาระดับพลังงานของ nucleon ที่ บรรจุอยูภายในนิวเคลียส โดยมองวาอนุภาค nucleon โดนกักอยูภายในดวยอิทธิพลของ central potential ที่มีความแข็งเปนอนันต หรือ ⎧0 r < a V (r ) = ⎨ ⎩∞ r ≥ a

__________________ สมการ (8.70)

ลักษณะของบอพลังงานศักยดังกลาว มีความคลายคลึงกับ infinite square well ใน 1 มิติ เพียงแต V (r ) ในสมการ (8.70) นั้นเปนระบบใน 3 มิติ และเนื่องจากกําแพงศักย ณ r = a มีความแข็งเปน อนันต probability amplitude บริเวณภายนอกทรงกลมจะตองมีคาเปนศูนยเสมอ ซึ่งเราจะเรียก เงื่อนไขนีว้ า boundary condition ψ E (r ,θ , ϕ ) = 0

ถา r ≥ a __________________ สมการ (8.71)

และในเมื่อเราแยก probability amplitude (หรือ wave function) ออกเปน 2 สวนดวยกันคือ ψ E (r ,θ , ϕ ) = R(r )Y (θ , ϕ ) จะไดวา ณ ตําแหนงรัศมีเทากับ a นั้น R (a ) = 0

boundary condition __________________ สมการ (8.72)

จากสมการ (8.68) ระดับพลังงานของ central potential นั้นถูกกําหนดโดยฟงชันก R(r ) และ orbital angular momentum quantum number l เพียงเทานัน้ ซึ่งอยูในรูปของสมการดังตอไปนี้ ⎧⎪ 2 ⎛ ∂ 2 2 ∂ ⎞ l ( l + 1) 2 ⎫⎪ ⎜ 2+ ⎟+ ⎨− ⎬ R(r ) = E R(r ) ⎜ r ∂r ⎟⎠ 2mr 2 ⎪⎭ ⎪⎩ 2m ⎝ ∂r

เมื่อ r < a ________ สมการ (8.73)

ในสมการขางตน จะเห็นวาเรากําหนดให V (r ) = 0 ซึ่งก็สืบเนื่องมาจากลักษณะของบอศักยทกี่ ําลัง พิจารณาอยู เมื่อ m ก็คือมวลของ nucleon (หรือมวลของโปรตอน) เราสามารถจัดรูปสมการ ขางตนใหดูงายขึ้นไดวา Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

∂2R ∂r 2

+

8 Central Potential

8-36

2 ∂R l ( l + 1) ⎛ 2mE ⎞ − R+⎜ ⎟R = 0 2 r ∂r r ⎝ 2 ⎠

โดยทั่วไปแลวสมการอนุพันธอันดับสองจะมีผลเฉลยที่ซับซอนและแกสมการไดลําบาก แตโชคดีที่ เราสามารถเปลี่ยนรูปของสมการขางตนใหอยูในรูปของ spherical Bessel equation ซึ่งนัก คณิตศาสตรไดศึกษาผลเฉลยไวเรียบรอยแลว โดยใชเทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร ρ≡

2mE 2

r

สมการอนุพันธขางตนจะอยูใ นรูปของ ∂2R ∂ρ 2

+

2 ∂R ⎡ l ( l + 1) ⎤ ⎢1 − ⎥R=0 ρ ∂ρ ⎣⎢ ρ 2 ⎦⎥

spherical Bessel equation ที่ปรากฏขางตน ในทางคณิตศาสตรแลว มีผลเฉลยอยู 2 ประเภทใหญๆคือ 1) spherical Bessel functions l l ⎛ 1 d ⎞ ⎛ sin ρ ⎞

jl ( ρ ) = ( − ρ ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ρ dρ ⎠ ⎝ ρ ⎠

________ สมการ (8.74)

และ 2) spherical Neumann functions l l ⎛ 1 d ⎞ ⎛ cos ρ ⎞

ηl ( ρ ) = − ( − ρ ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ρ dρ ⎠ ⎝ ρ ⎠

________ สมการ (8.75)

จะเห็นวา ฟงชันกทั้งสองมีรูปแบบที่ขึ้นอยูกับ l ซึ่งเชื่อมโยงอยูกับขนาดของ orbital angular momentum ของระบบ โดยมีลักษณะของฟงชันกดังแสดงใน ภาพ (8.5)

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

∂2R

ผลเฉลยของ ผลเฉลยของSpherical SphericalBessel BesselEquation Equation

2 ∂R ⎡ l ( l + 1) ⎤ ⎢1 − ⎥R=0 ρ ∂ρ ⎢⎣ ρ 2 ⎥⎦

∂ρ 2 Spherical Neumann Function ηl ( ρ )

Spherical Bessel Function jl ( ρ ) 1

+

8-37

η1

η0

j0

η2

0

j1

0.5

j2 −1

0

− 0.5

0

2

4

6

8

10

−2

0

2

4

6

8

10

ρ ρ ภาพ (8.5) แสดงผลเฉลยของ spherical Bessel equation ซึ่งมีฟงชันกที่เปนผลเฉลยอยู 2 ประเภท คือ spherical Bessel function และ spherical Neumann functions

ฟงชันกทั้งสองแบบดังกลาว มี close form ดังตอไปนี้ j0 ( ρ ) = j1 ( ρ ) =

sin ρ

ρ sin ρ ρ2

η0 ( ρ ) = − −

cos ρ

η1 ( ρ ) = −

ρ

⎛ 3 1⎞ 3cos ρ − j2 ( ρ ) = ⎜ sin ρ − ⎜ ρ 3 ρ ⎟⎟ ρ2 ⎝ ⎠

cos ρ

ρ cos ρ

ρ2

−

sin ρ

ρ

⎛ 3 1⎞ 3sin ρ − cos ρ − ⎜ ρ 3 ρ ⎟⎟ ρ2 ⎝ ⎠

η2 ( ρ ) = − ⎜

อยางไรก็ตาม ถึงแมวาผลเฉลยในทางคณิตศาสตรมีไดสองแบบ เนื่องจาก spherical Neumann functions ηl ( ρ ) → −∞ ณ จุดกําเนิด ในทางฟสิกสเราจึงตัดผลเฉลยนี้ออกไป คงเหลือไวแต spherical Bessel functions เทานั้นเอง เพราะฉะนัน้ probability amplitude สามารถเขียนใหอยูใ นรูป ⎛ 2mE ⎞ R(r ) = N R jl ⎜⎜ r 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠

เมื่อ

เมื่อ l = 0,1, 2,

∞

NR

คือ normalization constant ที่ทําให ∫ dr r 2

___________ สมการ (8.76)

2

R(r ) = 1

0

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-38

Energy Eigen Values และเนื่องจากขอกําหนดของ probability amplitude ที่วา R(r = a) = 0 ซึ่งเงื่อนไขนี้เองจะเปนตัว กําหนดใหพลังงาน E ของระบบมีคาไดเฉพาะเพียงคาใดคาหนึ่ง กลาวคือ jl (

ยกตัวอยางเชน ในกรณีที่ l = 0 จะไดวา

2mE 2

a) = 0

__________________ สมการ (8.77)

⎛ 2mE ⎞ sin ⎜ a⎟ 2 2mE ⎝ ⎠ =0 j0 ( a) = 2 2mE a 2

หรือ 2mE

a = nπ

เมื่อ n = 1, 2,3,

⎛π2 2 ⎞ 2 En,l = 0 = ⎜ ⎟n ⎜ 2ma 2 ⎟ ⎝ ⎠

เมื่อ n = 1, 2,3,

2

นั่นก็คือ ____________ สมการ (8.78)

สมการขางตน แสดงระดับพลังงานที่เปนไปไดของ nucleon เฉพาะกรณีที่มี orbital angular momentum เปนศูนย สวนในกรณีที่ l ≠ 0 การคํานวณหาระดับพลังงานมีความซับซอนมากขึ้น และจะตองอาศัยขอมูล จากตารางดังแสดงใน ภาพ (8.6)

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-39

spherical Bessel function เปนศูนย ณ ตําแหนงตางๆกัน 1

n=2

n =1

j0

4.49

n=2

n =1

0.5

j1 ( ρ ) = 0

7.73

3.14

n=3

6.28

j1 0

2

4

j0 ( ρ ) = 0

9.42

6

8

10

ρ

− 0.5

ภาพ (8.6) spherical Bessel functions

jl ( ρ ) = 0

ณ ตําแหนง ρ ตางๆกัน จุดที่ฟง ชันกเปนศูนย

นี้เองจะเปนตัวกําหนดระดับพลังงานของระบบ โดยอาศัยเงื่อนไข

l =0

l =1

jl (

2mE

l=2

2

a) = 0

l =3

3.142 4.493 5.763 6.988 6.283 7.725 9.095 10.417 n=2 9.425 10.904 12.323 13.698 n=3 ตารางแสดงคาของ ρ ที่ทําให jl ( ρ ) = 0 หรือเรียกอีกอยางหนึ่งวา zeroth of Bessel function (จาก MathCAD Version 14) n =1

สําหรับขั้นตอนในการอานตารางขางตน เพื่อที่จะนําไปคํานวณระดับพลังงานของระบบนั้น สมมุติ วาเราตองการทราบระดับพลังงานลําดับที่ n = 3 ของ nucleon ในขณะที่มันมีขนาดของ orbital angular momentum เปน

2 ( 2 + 1) 2

สามารถทําไดโดยการกําหนดให

(

2m En =3,l = 2 2

) a = 12.323

เพราะฉะนั้นแลว En =3,l = 2 =

Dr. Teepanis Chachiyo

2

(12.323)2 2ma 2

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-40

และเราอาจจะนําระดับพลังงานดังกลาว แทนเขาไปในสมการ (8.76) ทั้งนี้เนื่องจากระดับพลังงาน ขางตน ขึ้นอยูกับเลข quantum number n, l จึงเปนการเหมาะสมที่เราจะใชดัชนี n, l กํากับ probability amplitude R(r ) เพื่อใหเกิดความชัดเจนยิ่งขึ้น กลาวคือ Rn,l (r ) = N R jl (

Rn,l (r )

2mEn,l 2

r)

เมื่อ l = 0,1, 2,

ในกรณีตา งๆกัน สําหรับนิวเคลียสรัศมี a = 1

5

8

R1,0

4

R3,1

6

R2,1

4

3

___________ สมการ (8.79)

R1,1

R1,1

2

2 0

R1,2

1

0

0.5

1

r

−2

0.5

1

r

−4

ภาพ (8.7) แสดง probability amplitude ในสวนของ

Rn,l (r )

ในสถานการณตางๆกัน

ภาพ (8.7) แสดง probability amplitude Rn,l (r ) ที่ระดับพลังงาน และ ที่ orbital angular momentum ตางๆกัน จะสังเกตวาเมื่อขนาดของ orbital angular momentum สูงขึ้น (ในภาพซายที่ กําลังเปรียบเทียบ Rn,l =0 (r ) , Rn,l =1(r ) , และ Rn,l = 2 (r ) ) อนุภาค nucleon โดยเฉลี่ยแลวจะ อยูในบริเวณทีม่ ีรัศมีจากจุดศูนยกลางมากขึน้ ซึ่งก็สอดคลองกับลักษณะการเคลื่อนที่ในมุมมองของ classical mechanics ที่วา ถาอนุภาคเคลื่อนที่ดวยรัศมีของการหมุนเพิม่ ขึ้น angular momentum ของ มันก็จะมากขึน้ เปนเงาตามตัวนั่นเอง

Nucleon Magic Number จากตัวอยางขางตน จะเห็นวาเมื่อเราพิจารณาระบบของ nucleon ที่โดนกักอยูในนิวเคลียส ซึ่ง model อยางงายที่เราใชเปนเครื่องมือในการศึกษาเบื้องตนก็คือ spherical infinite potential well หรือบอพลังงานศักยรูปทรงกลมที่แข็งมาก ทําใหอนุภาคไมสามารถออกไปภายนอกไดนนั้

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-41

ในแตละกรณีที่อนุภาคดังกลาวมี orbital angular momentum (ซึ่งกํากับดวยเลข quantum number l ) ที่แตกตางกัน ก็จะมีระดับพลังงานเปนชัน้ ๆ เปนเซตของตัวมันเอง (ซึ่งกํากับดวยเลข quantum number n ) ดังที่ไดสรุปไวในภาพ ภาพ (8.8)

แสดงจํานวน nucleon ทีส่ ามารถบรรจุอยูในแตละระดับชั้นพลังงาน

En,l

10

2ma 2 2

6

100

0

2 6

2 2

6

l =0

l =1

14 10 10 l=2

14

จํานวน nucleon สะสม

14

200

34 40 20 18 8 2

l =3

ภาพ (8.8) แสดงระดับพลังงานของ nucleon ในกรณีของ n และ l ตางๆกันออกไป ภาพ (8.8) แสดงระดับพลังงาน En,l ของ nucleon ในกรณีของ orbital angular momentum l (l + 1) ตางๆกัน จะเห็นวาระดับพลังงานดังกลาว ขึ้นอยูก  ับคาของ n และ l ตัวเลขที่เขียนกํากับอยูก ับในแตละชัน้ พลังงาน อาทิ 2, 6, 10, หรือ 14 แสดงถึงจํานวนของ nucleon ที่สามารถบรรจุเขาไปใหเต็ม ในแตละระดับพลังงานนั้นๆ ซึ่งตัวเลขดังกลาว ขึ้นอยูกับคาของ l และสมบัติเชิง spin ของ nucleon ยกตัวอยางเชน ถา l = 1 แลวจะไดวา ณ ระดับพลังงานเดียวกันนี้ องคประกอบตามแนวแกน z ของ angular momentum หรือที่แทนดวยสัญลักษณ m นั้น มีคาที่เปนไปไดก็คือ m ∈ {−1, 0, +1} ซึ่งเปนไป ไดทั้งสิ้น 2 ⋅ l + 1 = 3 แบบ หรือที่เรียกวา 3 fold degeneracy ประกอบกับการที่ nucleon ซึ่งก็คือ โปรตอนหรือนิวตรอนนัน้ มี spin s = 1 ดังนั้น เราสามารถบรรจุ nucleon ถึง 6 ตัวเขาไปอยูใน 2

ระดับพลังงานเดียวกันนี้ โดยที่ทั้ง 6 ตัวดังกลาว มีสถานะไมซ้ํากันเลย ซึ่งก็คือ

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-42

nucleon ทั้ง 6 อยูใ นระดับพลังงานเดียวกัน m = +1 l =1

S z = +1 2 S z = −1 2

Sz Sz Sz m = −1 Sz m=0

3 fold

= +1 2 = −1 2 = +1 2 = −1 2

รวมทั้งหมด 6 fold degeneracy

2 fold

เมื่อพิจารณานิวเคลียสของธาตุตางๆ จากการทดลองพบวา ถาจํานวน nucleon ที่อยูภายในนิวเคลียส มีคาเทากับ 2, 8, 20, 28, 50, หรือ 82 แลว นิวเคลียสดังกลาวจะมีความเสถียรเปนพิเศษ ทําให นักวิทยาศาสตรตั้งชื่อลําดับของตัวเลขเหลานี้วา "nuclear magic number" ในความพยายามที่จะใชอธิบาย nuclear magic number โดยใช model ของ quantum mechanics แบบ infinite spherical potential well นั้น เราจะตั้งสมมุติฐานวา การที่นิวเคลียสมีความเสถียรเปนพิเศษก็เพราะจํานวน nucleon ที่อยูภายใน บรรจุอยูเต็มชัน้ ระดับพลังงานของระบบพอดี ในทางทฤษฏีนั้น โดยอาศัยระดับพลังงานที่คํานวณไดดงั แสดงใน ภาพ (8.8) เงื่อนไขขางตนจะ เกิดขึ้นได ก็ตอ เมื่อจํานวน nucleon ทั้งหมดของนิวเคลียส มีคาเทากับ "จํานวน nucleon สะสม" ซึ่ง ก็คือ 2, 8, 18, 20, 34, และ 40 นั่นเอง โดยอาศัยตรรกะอันนี้ เราสามารถทํานายตัวเลข magic number ในทางทฤษฏี ซึ่งก็คือ 2, 8, 18, 20, 34, หรือ 40 และจะเห็นวามีความใกลเคียงกับ magic number จากการทดลองอยูบาง โดยเฉพาะ อยางยิ่งตัวเลขในสองอันดับแรก คือเลข 2 และ เลข 8 ตนเหตุที่ทําใหเกิดความแตกตางระหวางการคํานวณและผลที่ทดลองไดนั้น มีที่มาจากการที่ model ที่เราใชศึกษา มีการประมาณที่หยาบจนเกินไป อีกทั้งยังมีอันตรกริยาภายในนิวเคลียสอื่นๆที่เรียกวา spin-orbit interaction ซึ่งเราละเลยมิไดนํามาพิจารณารวมดวย และภายหลังจากการนําปจจัยตางๆที่ เกี่ยวของเขามาวิเคราะหเชิง quantum mechanics โดยละเอียด เราจะพบวา magic number ที่ไดจาก การคํานวณนัน้ ตรงกันพอดีกับผลที่ปรากฏจากการทดลอง (B.T.Feld, Ann. Rev. Nuclear Sci. 2:239 (1953)) Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-43

8.7 Eigen State ของ Lˆz และ Lˆ2 ที่ผานมาเราไดใชเวลาสวนใหญในการคํานวณ R(r ) ซึ่งแทนการกระจายตัวของ probability amplitude ψ E (r ,θ , ϕ ) ในเชิงรัศมี แตยงั มีขอมูลอีกสวนหนึ่งที่เรายังไมไดกลาวถึง ซึ่งก็คือ Y (θ , ϕ )

รูปแบบทางคณิตศาสตรของ Y (θ , ϕ ) เมื่อพิจารณา operator Lˆz และ operator Lˆ2 นั้น จะพบวา operator ทั้งสอง เมื่อเขียนใหอยูใ นรูป ของพิกัดทรงกลมแลว ขึน้ อยูกับมุม θ และมุม ϕ ดังตอไปนี้ r Lˆ z Ψ =

∂ ψ (r ,θ , ϕ ) i ∂ϕ

และ ⎡ 1 ∂ ⎛ 1 ∂ ⎞ ∂2 ⎤ sin r Lˆ2 Ψ = − 2 ⎢ θ + ⎥ψ ( r , θ , ϕ ) ⎜ ⎟ ∂θ ⎠ sin 2 θ ∂ϕ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ sin θ ∂θ ⎝

ถากําหนดให สถานะ

Ψ

เปน eigenstate ของ Hamiltonian หรือ

Ψ = E, l, m

แลวจะทําให

∂ {R(r )Y (θ , ϕ )} i ∂ϕ ∂ r E , l , m = R(r ) Y (θ , ϕ ) i ∂ϕ

r Lˆ z E , l , m = m

R ( r ) Y (θ ,ϕ )

หรือ ∂ i ∂ϕ Lˆ z operator in spherical coordinate

และในกรณีของ

Lˆ2

Dr. Teepanis Chachiyo

Y (θ , ϕ ) =

m

Y (θ , ϕ )

_______________ สมการ (8.80)

eigenvalue

จะไดวา

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-44

⎡ 1 ∂ ⎛ 1 ∂ ⎞ ∂2 ⎤ sin θ + r Lˆ2 E , l , m = − 2 ⎢ ⎥ { R(r )Y (θ , ϕ )} ⎜ ⎟ 2 2 sin θ θ θ ∂ ∂ ⎝ ⎠ sin θ ϕ ∂ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎡ 1 ∂ ⎛ 1 ∂ ⎞ ∂2 ⎤ l (l + 1) 2 r E , l , m = − R(r ) 2 ⎢ θ sin + ⎥ Y (θ , ϕ ) ⎜ ⎟ ∂θ ⎠ sin 2 θ ∂ϕ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ sin θ ∂θ ⎝ R ( r ) Y (θ ,ϕ )

หรือ ⎡ 1 ∂ ⎛ 1 ∂ ⎞ ∂2 ⎤ 2 θ sin − 2⎢ + ⎥ Y (θ , ϕ ) = l (l + 1) Y (θ , ϕ ) ⎜ ⎟ 2 2 ∂θ ⎠ sin θ ∂ϕ ⎥⎦ ⎣⎢ sin θ ∂θ ⎝ eigenvalue

_______________

Lˆ2 operator in spherical coordinate

สมการ (8.81) จากสมการ (8.80) และ (8.81) จะเห็นวา นอกจาก Y (θ , ϕ ) จะแสดงถึงการกระจายตัวของ Hamiltonian eigenstate ในสวนที่เกี่ยวของกับมุม (θ , ϕ ) แลว มันยังมีสมบัตทิ ี่มีความสําคัญก็คือ เปน eigenstate ของ Lˆz และ Lˆ2 operator ซึ่งมี l และ m เปนสมบัติเฉพาะตัว

Ylm (θ , ϕ )

โดยที่เราใชดชั นี l , m กํากับฟงชันก Y (θ , ϕ ) ก็เพื่อบงชี้ใชชัดเจนวา ฟงชันก Ylm (θ , ϕ ) ในพิกัด ทรงกลมดังกลาว เปนตัวแทนของ eigenstate ซึ่งมี ขนาดของ orbital angular momentum เทากับ และมีองคประกอบในแนวแกน z ของ orbital angular momentum เทากับ m และ การที่เราใหดชั นี m เปน superscript (ปรากฏอยูดานบน) นั้น ก็เพียงเพื่อใหสอดคลองรูปแบบการ ใชสัญลักษณแบบสากลของฟงชันก Ylm (θ , ϕ ) เทานัน้ l (l + 1) 2

นอกจากนี้ เรายังอาจจะเขียน eigenstate ของ l , m ซึ่งมีคุณสมบัติคือ

Lˆ z

Lˆ2 l , m = l (l + 1) 2 l , m

และ Lˆ2 operator ใหอยูในรูปของ ket ไดวา

และ Lˆz

l, m = m l, m

eigenstate l , m ที่เขียนอยูใ นลักษณะของ ket นั้น มีขอดีคอื มันไมไดยึดติดอยูกับพิกัดใดๆ ของ ระบบ หากแตใชไดในกรณีทั่วไป ซึ่งตางจาก Ylm (θ , ϕ ) ซึ่งเปนตัวแทนของ eigenstate ในพิกัด ทรงกลมเพียงเทานั้น กลาวคือ Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

θ , ϕ l , m = Ylm (θ , ϕ )

8-45

__________________ สมการ (8.82)

เมื่อ θ , ϕ มีความหมายเปนสถานะที่อนุภาคตั้งอยู ณ มุมกม θ และ มุมกวาด ϕ ในพิกดั ทรงกลม โดยมิไดสนใจวาอนุภาคดังกลาวมีรัศมี r หางจากจุดกําเนิดเปนระยะทางเทาใด และเพื่อที่จะแสดงใหเห็นวา Ylm (θ , ϕ ) เปนฟงชันกทขี่ ึ้นอยูกับ มุม θ และมุม ϕ อยางไรบาง เรา เริ่มดวยการพิจารณาสมการ (8.81) ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂2 ⎤ m 1 2 m θ − 2⎢ + sin ⎥ Yl (θ , ϕ ) = l (l + 1) Yl (θ , ϕ ) ⎜ ⎟ 2 2 ∂θ ⎠ sin θ ∂ϕ ⎥⎦ ⎣⎢ sin θ ∂θ ⎝ ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎢ sin θ ∂θ ⎜ sin θ ∂θ ⎝ ⎣

แตจากสมการ (8.80)

1 ∂2 m ⎞⎤ m + Y θ ϕ Yl (θ , ϕ ) + l (l + 1)Ylm (θ , ϕ ) = 0 ( , ) ⎟⎥ l 2 2 ⎠⎦ sin θ ∂ϕ

∂ m Yl (θ , ϕ ) = m Ylm (θ , ϕ ) i ∂ϕ

ดังนั้น

∂2 ∂ϕ

Y m (θ , ϕ ) = − m2Ylm (θ , ϕ ) 2 l

หรือ ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞⎤ m m2 θ θ ϕ − sin Y ( , ) Ylm (θ , ϕ ) + l (l + 1)Ylm (θ , ϕ ) = 0 ⎟⎥ l ⎢ 2 ∂θ ⎜ 2 θ ∂ ⎝ ⎠⎦ sin θ ⎣ sin θ

__________________ สมการ (8.83) เนื่องจากสมการขางตน เปนสมการอนุพันธของ Yl ,m (θ , ϕ ) ที่ขึ้นอยูกับมุม θ เพียงอยางเดียว ในขณะที่สมการ (8.80) ก็เปนสมการอนุพนั ธของ Yl ,m (θ , ϕ ) ที่ขึ้นอยูกับมุม ϕ เพียงเทานั้น เรา สามารถเขียนมันใหอยูในรูปของ Ylm (θ , ϕ ) = Θ(θ )Φ (ϕ )

__________________ สมการ (8.84)

กลาวคือ สวนที่ขึ้นกับมุมทั้งสองนั้น เปนฟงชันกทเี่ ปนอิสระตอกัน และเมื่อแทนคํานิยามขางตน เขาไปในสมการ (8.80) จะไดวา ∂ Φ (ϕ ) = m Φ (ϕ ) i ∂ϕ

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-46

ซึ่งมีผลเฉลยของสมการก็คือ Φ (ϕ ) = eimϕ

____________________ สมการ (8.85)

สวนในกรณีของมุม θ นั้น แทนสมการ (8.84) เขาไปในสมการ (8.83) จะทําให ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞⎤ m2 θ Θ θ − Θ(θ ) + l (l + 1)Θ(θ ) = 0 ⎜ sin ⎟ ( ) ⎢ ∂θ ⎠ ⎦⎥ sin 2 θ ⎣ sin 2 θ ∂θ ⎝

ใชเทคนิคของการเปลี่ยนตัวแปร โดยนิยามให (1 − x 2 )

∂2 ∂x 2

Θ − 2x

x ≡ cos θ

และเขียนสมการขางตนในรูปของ

x

⎡ ∂ m2 ⎤ Θ + ⎢l (l + 1) − ⎥Θ = 0 2 ∂x 1 − x ⎣⎢ ⎦⎥

เปนที่นายินดีที่มีปราชญนามวา Adrien-Marie Legendre ไดศึกษาสมการอนุพันธขา งตน และทราบ ผลเฉลยเปนอยางดี สมการขางตนมีชื่อเฉพาะวา associated Legendre differential equation ซึ่งมีผล เฉลยคือ เมื่อ

Θ(θ ) = Plm ( x)

เมื่อ

Pl

m

m −1) ( ( x) ≡ (1 − x 2 )m 2

2l l !

d l +m

x 2 − 1) l +m ( dx

l

x ≡ cos θ

อาทิเชน

P00 ( x) = 1

(

P10 ( x) = x

P20 ( x) =

P1+1 ( x) = − 1 − x 2

(

)

1 3x 2 − 1 2

(

P2+1 ( x) = −3 x 1 − x 2

(

P2+2 ( x) = 3 1 − x 2

Dr. Teepanis Chachiyo

)

12

)

)

12

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

P1−1 ( x) =

(

)

12 1 1 − x2 2

(

)

12 1 x 1 − x2 2 1 P2−2 ( x) = 1 − x 2 8

P2−1 ( x) =

(

)

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา P30 ( x) =

(

1 x 5x2 − 3 2

)

8 Central Potential

)( ) P3+2 ( x) = 15 x (1 − x 2 ) 32 P3+3 ( x) = −15 (1 − x 2 )

P3+1 ( x) =

(

8-47

( )( 1 P3−2 ( x) = x (1 − x 2 ) 8 32 1 P3−3 ( x) = (1 − x 2 ) 48

12 3 1 − 5x2 1 − x2 2

P3−1 ( x) = −

)

12 1 1 − 5x2 1 − x2 8

ตารางแสดง associated Legendre polynomial (credit: Weisstein, Eric W. "Legendre Polynomial." From MathWorld-A Wolfram Web Resource) และเมื่อเรานําผลลัพธ Θ(θ ) = Plm ( x) เขามารวมกับ Φ(ϕ ) = eimϕ จะทําใหได Ylm (θ , ϕ ) อยูใน รูปที่สมบูรณคือ Ylm (θ , ϕ ) =

2l + 1 ( l − m ) ! m ⋅ Pl (cos θ )eimϕ 4π ( l + m ) !

สาเหตุที่จําเปนจะตองมีสัมประสิทธิ์

2l + 1 ( l − m ) ! ⋅ 4π ( l + m )!

_______________ สมการ (8.86)

คูณอยูกับผลเฉลยของ associated Legendre

equation ก็เพราะวา เราตองการใหฟงชันก Ylm (θ , ϕ ) normalized เปนหนึ่ง กลาวคือ π 2π

∫ ∫ dθ dϕ sin θ Y (θ ,ϕ )

2

=1

0 0

สัมประสิทธิ์ของการ normalization ดังแสดงในสมการ (8.86) นั้น สามารถพิสูจนใหเห็นไดอยางไม ยากเย็นนัก โดยการสมมุตใิ ห Ylm (θ , ϕ ) = N ⋅ Plm (cos θ )eimϕ

เมื่อ

N

คือ normalization constant และอาศัยเงื่อนไข

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

π 2π

1= ∫

∫

dθ dϕ sin θ N ⋅ Plm (cos θ )eimϕ

∫

dθ dϕ sin θ N 2 Plm (cos θ )

0 0 π 2π

=∫

(

0 0

π

2

(

1 = N 2π ∫ dθ sin θ Plm (cos θ ) 0

กําหนดให

x ≡ cos θ

)

)

8-48 2

2

2

ดังนั้น dθ sin θ = dx เพราะฉะนั้น 2

1 = N 2π

+1

∫

(

dx Plm ( x)

−1

)

2

อาศัยสมบัติทางคณิตศาสตรของ associated Legendre function ที่วา +1

∫

−1

ทําให 1 = N 2 2π

(

dx Plm ( x)

2 ( l + m )! ⋅ 2l + 1 ( l − m ) !

)

2

=

2 ( l + m )! ⋅ 2l + 1 ( l − m ) !

__________________ สมการ (8.87)

หรืออีกนัยหนึ่ง N=

2l + 1 ( l − m ) ! ⋅ 4π ( l + m ) !

นอกจากนี้ associated Legendre function ยังมีสมบัติที่เปนประโยชนในการคํานวณทางคณิตศาสตร มากก็คือ m (2l + 1) xPlm ( x) = (l + m) Plm −1 ( x) + (l − m + 1) Pl +1 ( x)

_________ สมการ (8.88)

ดังปรากฏในสมการ (8.86) ดังกลาว นอกจากนี้ฟงชันก Yl , m (θ , ϕ ) ยังมีชื่อเรียกอีกอยางหนึ่งวา spherical harmonic ซึ่งจะปรากฏใหเห็นบอยครั้งมากในสมการทางฟสิกสที่ใชพิกดั ทรงกลมในการ วิเคราะห ตารางดังตอไปนีแ้ สดงตัวอยางของ spherical harmonic Yl ,m (θ , ϕ ) ในกรณี l , m ตางๆกัน

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา Y00 (θ , ϕ ) =

1 1 2 π

Y10 (θ , ϕ ) =

1 3 cos θ 2 π

Y20 (θ , ϕ ) =

1 5 3cos 2 θ − 1 4 π

(

8 Central Potential

)

Y1+1 (θ , ϕ ) = −

1 3 sin θ e+iϕ 2 2π

Y2+1 (θ , ϕ ) = −

1 15 sin θ cos θ e+iϕ 2 2π

Y2+2 (θ , ϕ ) =

Y30 (θ , ϕ ) =

(

1 7 cos θ 5cos 2 θ − 3 4 π

)

8-49

1 15 sin 2 θ e+2iϕ 4 2π

Y3+1 (θ , ϕ ) = − Y3+2 (θ , ϕ ) =

(

)

1 21 sin θ 5cos 2 θ − 1 e+iϕ 8 π

1 105 2 sin θ cos θ e +2iϕ 4 2π

Y3+3 (θ , ϕ ) = −

1 35 3 +3iϕ sin θ e 8 π

ตารางแสดง associated Legendre polynomial (credit: Weisstein, Eric W. "Spherical Harmonics." From MathWorld-A Wolfram Web Resource) ตารางขางตนแสดงเฉพาะในสวนที่ m ≥ 0 สําหรับกรณีที่ m < 0 เราสามารถใชเอกลักษณทาง คณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับ complex conjugate ของ Ylm (θ , ϕ ) กลาวคือ m Yl− m (θ , ϕ ) = ( −1) ⎡Ylm (θ , ϕ ) ⎤ ⎣ ⎦

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

∗

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

Spherical Harmonics l = 0, m = 0

z

8-50

Ylm(θ,ϕ)

2

2

) ,φ m (θ Yl

y l =1, m = 0

l =1, m = ±1

l = 2, m = 0

l = 2, m = ±1

x

l = 2, m = ±1

ภาพ (8.9) แสดงรูปรางของ spherical harmonics ยกกําลังสอง ในกรณีตางๆกัน แบบฝกหัด 8.8 จงแสดงใหเห็นวา 2π π

∫

(

)

(

∗

) (

)

m′ m ∫ dϕ dθ sin θ Yl ′ (θ , ϕ ) cosθ Yl (θ ,ϕ ) = δ l ′,l +1 + δ l ′,l −1 δ m′,m

0 0

l

และ m เปนจํานวนเต็ม

เมื่อกลาวถึง angular momentum โดยทั่วไปนั้น เราใชสัญลักษณ J = L + S ซึ่งรวมเอา angular momentum ทั้งสองชนิดไดดวยกัน กลาวคือ 1) orbital angular momentum และ 2) spin angular momentum นอกจากนี้ ในบทที่ 3 เราไดพิสูจนแลววา เมื่อพิจารณาขนาดของ angular momentum และ องคประกอบตามแนวแกน z ของ angular momentum Jˆ 2 j , m = j ( j + 1) 2 j , m

โดยที่ j มีคาไดอยูในชวง ⎧⎨0, 1 ,1, 3 , 2, ⎩ 2

2

⎫ ⎬ ⎭

และ

Jˆ z j , m = m

j, m

เพียงเทานัน้ แตเมื่อเราเริ่มศึกษาเกีย่ วกับ eigenstate

ของ orbital angular momentum operator ซึ่งอาจจะเขียนอยูในรูป

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

Lˆ2 l , m = l (l + 1) 2 l , m

และ Lˆz

8-51

l, m = m l, m

ดังกลาวนัน้ เราไดสมมุติวา l มีคาไดอยูในชวง {0,1, 2,3, } ซึ่งเปนจํานวนเต็ม และแตกตางจาก กรณีของ j ที่เปนไดทั้งจํานวนเต็ม หรือ ครึง่ หนึ่ง ของจํานวนเต็มก็ได และใน Section นี้ เราจะได อภิปรายถึงสาเหตุที่ l และ m จะตองเปนเลขจํานวนเต็มเพียงเทานั้น ถาเราพิจารณา eigenstate ของ

Lˆ z

ในพิกดั ทรงกลม ซึ่งก็คือ Φ (ϕ ) = eimϕ

โดยที่ตัวแปร ϕ แสดงถึงมุมกวาดตามแนวราบในพิกดั ทรงกลม และสมมุติวา แตเดิมอนุภาคตั้งอยู ณ ตําแหนงทีม่ ีมุม ϕ = ϕ0 จากนัน้ ทําการหมุนอนุภาคดังกลาวใหครบ 1 รอบพอดี กลาวคือ กําหนดให ϕ → ϕ0 + 2π เนื่องจากเรากําลังพิจารณาพิกดั ทรงกลมใน 3 มิติ อนุภาคจะตองมาอยู ณ จุดเดิม กอนที่จะมีการหมุน หรืออีกนัยหนึ่ง Φ (ϕ0 ) = Φ (ϕ0 + 2π ) im ϕ + 2π ) eimϕ0 = e ( 0

สมการขางตนจะเปนจริงไดในทุกๆกรณี ก็ตอเมื่อ ei 2mπ m

และเนื่องจาก m ∈ {−l , − ( l − 1) ,

ซึ่งจะเกิดขึ้นไดถา

เปนจํานวนเต็ม

, + ( l + 1) , +l}

l

=1

การที่ m เปนจํานวนเต็ม ก็ยอ มหมายความวา

เปนจํานวนเต็ม

ดวยเชนกัน กลาวโดยสรุปก็คือ โดยอาศัยตรรกะที่เกีย่ วของกับ symmetry ของระบบพิกดั ใน 3 มิติ ซึ่งก็คือ eigenstate ของ Lˆz จะตองไมมกี ารเปลี่ยนแปลง เนื่องจากการหมุนเปนมุม 2π รอบ แกน z เราสามารถบอกไดวา l และ m จะตองเปนจํานวนเต็มเสมอ

รูปแบบที่สมบูรณของ ψ E ( r ,θ , ϕ ) ในพิกัดทรงกลม Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-52

มาถึงขึ้นนี้ เรามีขอมูลที่ครบถวนที่จะสราง probability amplitude หรือ ที่เรียกวา wave function ของ อนุภาคในพิกดั ทรงกลม และเปนการดีที่เราจะไดสรุปขั้นตอนโดยทั่วไปของการนํา quantum mechanics มาวิเคราะหระบบที่เปน central potential

General Steps for Solving Central Potential Problem โจทยกําหนด central potential V (r ) แกสมการ radial equation 2 2 ⎛ 2 2 ∂ ⎞ l ( l + 1) ⎪⎫ ∂ ⎪⎧ R (r ) = En,l Rn,l (r ) ⎜ 2+ ⎟+ ⎨− 2 ⎬ n,l ⎜ ∂r ⎟ m r r 2 ∂ 2 mr ⎪⎩ ⎪⎭ ⎝ ⎠ R (r ) ไดผลลัพธ ⎪⎧⎨ n,l ⎪⎩ En,l

สราง complete wave function ψ n,l , m (r ,θ , ϕ ) = Rn,l (r )Ylm (θ , ϕ )

ภาพ (8.10) แสดงขั้นตอนโดยทั่วไปของการวิเคราะหระบบแบบ central potential ดังแสดงใน ภาพ (8.10) กลไกโดยทัว่ ไปในการวิเคราะหระบบแบบ central potential แบงออกเปน 3 ขั้นตอนดวยกันคือ 1) อาศัยกฎเกณฑทางฟสิกสเปนตัวกําหนด central potential V (r ) ของระบบที่เราตองการศึกษา 0 r<a ⎩∞ r ≥ a

ยกตัวอยางเชน model อยางงายของ nucleon ภายในนิวเคลียส V (r ) = ⎧⎨ หนึ่งก็คือ อิเล็กตรอนของ hydrogen atom V (r ) = −

2) ทําการแกสมการ

Dr. Teepanis Chachiyo

e2 1 4πε 0 r

หรืออีกตัวอยาง

เปนตน

⎧⎪ 2 ⎛ ∂ 2 2 ∂ ⎞ l ( l + 1) 2 ⎫⎪ + V (r ) ⎬ Rn,l (r ) = En,l Rn,l (r ) ⎜ 2+ ⎟+ ⎨− 2m ⎜⎝ ∂r r ∂r ⎟⎠ 2mr 2 ⎩⎪ ⎭⎪

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-53

ซึ่งก็ขึ้นอยูกับความซับซอนของ V (r ) วาเราสามารถที่จะหาผลเฉลยใหอยูใ นรูปของ analytical solution ไดหรือไม ถาหากไมได การใชวิธี numerical method ในการประมาณคําตอบของสมการก็ เปนทางเลือกหนึ่ง ที่สามารถทําไดโดยไมยากนัก ผลลัพธที่ไดจากการแกสมการก็คือ i) ระดับพลังงาน En,l ของระบบ ซึ่งการใชดัชนี n, l ในการ กํากับพลังงานดังกลาว ก็เพื่อที่จะบงชี้ใหชดั เจนวา ระดับพลังงานที่ไดนั้น ขึ้นอยูกบั orbital angular momentum l และในแตคาของ l ก็จะมีระดับพลังงานไดมากกวาหนึ่งอัน ซึ่งกํากับดวยดัชนี n นั่นเอง และ ii) radial wave function Rn,l (r ) ซึ่งเปนฟงชันกที่แสดงถึงการกระจายตัวในแนวรัศมีของ probability amplitude ทั้งนี้ ดัชนี n, l เปนสิ่งที่บงชี้ใหเห็นวา ระบบที่มี orbital angular momentum l และระดับพลังงาน n ที่แตกตางกัน ก็จะมีการกระจายตัวในแนวรัศมีที่แตกตางกัน ดวยเชนกัน 3) สราง probability amplitude ใน 3 มิติที่สมบูรณของระบบ โดยที่ r E , l , m = Rn,l (r )Ylm (θ , ϕ )

__________________ สมการ (8.89)

เมื่อ Yl , m (θ , ϕ ) ก็คือ spherical harmonics function ดังที่แสดงในตารางขางตน

8.8 Application - Coulomb Potential ตั้งแตป 1913 นักวิทยาศาสตรไดทําการศึกษาการแผรังสีของ hydrogen atom หรือที่เรียกวา emission spectrum อยางละเอียดและพบวาแสงที่เปลงออกมานั้น มีความยาวคลื่น λ แตกตางกัน ออกไป ยกตัวอยางเชน ในชวงแสงสีแดง ณ ความยาวคลื่น λ = 410.2 nm หรือในชวงแสงสีน้ํา เงิน ณ ความยาวคลื่น λ = 486.1nm เปนตน กอนหนานั้นถึง 30 ป โดยอาศัยการลองผิดลองถูก ในป 1885 อาจารยชาว Swiss ชื่อ Johann Balmer ไดคนพบสูตรทางคณิตศาสตรที่สามารถทํานายความยาวคลื่นของแสง ที่แผออกมาจาก hydrogen atom ไดตรงกับผลของการทดลอง (เปนบางสวน) ซึ่งมีสมการวา

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential ⎛ 1 1 ⎞ = R⎜ − ⎟ 2 λ n2 ⎠ ⎝2 1

8-54

______________ สมการ (8.90)

และความยาวคลื่นแสงที่สอดคลองกับสมการขางตนนั้น เรียกวา Balmer series เมื่อ R คือคาคงที่ ซึ่งเทากับ 1.097 ×107 m−1 อยางไรก็ตาม ความเขาใจที่ถองแทเกีย่ วกับทีม่ าของสมการดังกลาว ตลอดจนขอมูลเชิงทฤษฏีในแงอื่นๆที่เกีย่ วของกับ hydrogen atom ยังจําเปนจะตองรอจนกวาจะมี การถือกําเนิดของ quantum mechanics ในป 1926 และใน Section นี้ เราจะไดศึกษาถึงระดับพลังงานของ hydrogen ในมุมมองของ quantum mechanics ซึ่งจะเปนพืน้ ฐานที่สําคัญในการทําความเขาใจกับธรรมชาติของอะตอม ที่ประกอบกัน ขึ้นเปนสรรพสิ่งรอบๆตัวเรา

Bound State Solutions ณ Asymptotic Limits เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอน ที่อยูภายใตอิทธิพลของ Coulomb interaction ระหวาง นิวเคลียส ซึ่งมีประจุเทากับ + Ze จะพบวาพลังงานศักยก็คอื e2 Z V (r ) = − 4πε 0 r

และในการคํานวณ probability amplitude ของระบบ เราเริ่มดวย radial equation ⎧⎪ 2 ⎛ ∂ 2 2 ∂ ⎞ l ( l + 1) 2 e2 Z ⎫⎪ − ⎜ 2+ ⎟+ ⎨− ⎬ R(r ) = E R(r ) ⎜ r ∂r ⎟⎠ 4πε 0 r ⎪ 2mr 2 ⎪⎩ 2m ⎝ ∂r ⎭

________ สมการ (8.91)

เพื่อที่จะทราบสมบัติอยางคราวๆของผลเฉลย R(r ) เรามาลองวิเคราะหผลเฉลยดังกลาวในสอง asymptotic limit ดวยกันคือ 1) ที่รัศมีหางจากนิวเคลียสอยูมากพอสมควร หรือ r 1 และ 2) ที่ บริเวณใกลกับจุดกําเนิด หรือ r 1

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-55

จะมีอยู 3 เทอมที่ปรากฏอยูทางซายมือของสมการขางตน ที่มีคานอยมาก 2 2 l ( l + 1) , และ โดยประมาณแลว เราสามารถตัดออกจากสมการได ซึ่งเทอมเหลานีก้ ็คือ , 1) ในกรณีที่ r

1

2mr 2

r

e2 Z 4πε 0 r

เพราะฉะนัน้ แลว สมการ (8.91) ลดรูปเหลือ ∂2

1

r

∂r 2

R (r ) +

2mE 2

R(r ) = 0

ในทางคณิตศาสตรแลว สมการขางตนมีผลเฉลยอยูสองประเภท ขึ้นอยูก ับคาของระดับพลังงาน กลาวคือ ถา

E >0

ถา

E<0

⎛ 2m E ⎞ R (r ) ∼ exp ⎜ ±i r⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2m E ⎞ R (r ) ∼ exp ⎜ ± r⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

E

________ สมการ (8.92) ________ สมการ (8.93)

ทั้งนี้ เมื่อเรากําลังพิจารณา bound state solution ซึ่งหมายถึงการกําหนดใหอิเล็กตรอนอยูภายใน บริเวณใกลเคียงกับนิวเคลียส หรืออีกนัยหนึ่ง bound state solution

lim R (r ) = 0

r →∞

นั่นก็คือ ความนาจะเปนที่จะพบอนุภาค ณ ตําแหนงไกลออกไปจากนิวเคลียส จะตองมีคาเปนศูนย แตจากสมการ (8.92) และ (8.93) เงื่อนไของ bound state จะเกิดขึ้นไดก็ตอเมื่อ ระดับพลังงาน E<0

⎛

และ R(r ) ∼ exp ⎜ − ⎜ ⎝

2m E ⎞ r⎟ 2 ⎟ ⎠

ดังนั้นเราสรุปไดวา

ในกรณี bound state ของ hydrogen atom E < 0 และเมื่อ r

⎛ 2m E 1 จะทําให R (r ) ∼ exp ⎜ − 2 ⎜ ⎝

⎞ r⎟ ⎟ ⎠

__________________ สมการ (8.94)

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-56

ดังแสดงในสมการขางตน จะพบวาในสถานะ bound state นั้น พลังงานของ hydrogen atom จะตองมีคาเปนลบ และในบริเวณที่อยูห างออกไปจากนิวเคลียส ความนาจะเปนที่จะพบ อิเล็กตรอนมีคาลดลงเรื่อยๆแบบ exponential decay นั่นเอง 2) ในกรณีที่ r 1 เราลองเดาผลเฉลยของ R(r ) ในกรณีดังกลาวนี้ โดยสมมุติใหอยูใ นรูป R (r ) = r s ซึ่งเมื่อแทนเขาไปในสมการ (8.91) จะได −

2

2m

( s(s − 1)r

s −2

+ 2sr

s−2

)

l ( l + 1) 2 s − 2 e2 r Zr s −1 = Er s + − 2m 4πε 0

เมื่อคูณทั้งสองขางของสมการดวย r − s + 2 ทําให −

2

2m

[ s( s − 1) + 2s ] +

ในกรณีที่ r → 0 เราสามารถที่จะตัดเทอม

l ( l + 1) 2 2m e2

4πε 0

Zr

−

และ

e2 Zr = Er 2 4πε 0

Er 2

ทิ้งไปได เพราะฉะนัน้

− s ( s − 1) − 2s + l ( l + 1) = 0

[ s − l ] ⎡⎣ s + ( l + 1)⎤⎦ = 0 หรือ s = +l และ s = −(l + 1) ในที่นี้เราเลือกเฉพาะผลเฉลยที่ R(r ) ∼ r l เทานั้น เพราะวาผล เฉลย R(r ) ∼ r −(l +1) นั้นมีคาลูเขาสู infinity ณ จุดกําเนิด เพราะฉะนั้น ในกรณี bound state ของ hydrogen atom เมื่อ r 1 จะทําให R(r ) ∼ r l __________________ สมการ (8.95) ขอมูลที่เราวิเคราะหได มาจนถึงบัดนีก้ ็คือลักษณะทางคณิตศาสตรแบบหยาบของฟงชันก R(r ) ใน 2 กรณีดว ยกันคือ

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

⎧ ⎛ 2m E ⎪⎪exp ⎜ − 2 ⎜ R (r ) ∼ ⎨ ⎝ ⎪ rl ⎪⎩

8-57

⎞ r ⎟ if r ⎟ ⎠

1

if r

1

จะเปนพื้นฐานที่สําคัญในการชวยแนะแนวทางใหเราสามารถเขียนผลเฉลย ใดๆ ไดสําเร็จ

R(r )

ณ ตําแหนง r

ระดับพลังงานของ Bound State จะสังเกตวาสมการ (8.91) ยังประกอบดวยคาคงที่จํานวนหนึ่ง อาทิเชน พลังงาน

E

2

2m

ซึ่งก็ถือวาเปนคาคงที่ของระบบอีกอันหนึ่ง ถาเรานิยามตัวแปรของระยะทาง ρ=

จากนั้นเขียนสมการ (8.91) ใหอยูในรูปของ

ρ

8m E 2

r

__________________ สมการ (8.96)

จะไดวา

⎛ ∂2 l ( l + 1) ⎛γ 1⎞ 2 ∂ ⎞ R(ρ ) + ⎜ − ⎟ R(ρ ) = 0 ⎜ 2+ ⎟ R(ρ) − 2 ⎜ ∂ρ ⎟ ρ ∂ρ ⎠ ρ ⎝ ρ 4⎠ ⎝

โดยที่ γ =

หรือแมกระทั่ง

Ze2 4πε 0

m 2E

_________ สมการ (8.97)

และเมื่อพิจารณา asymptotic limit ดังในสมการ (8.94) และ สมการ

(8.95) จะพบวา ⎧⎪e− ρ 2 R( ρ ) ∼ ⎨ ⎪⎩ ρ l

if ρ

1

if ρ

1

เทคนิคในทางฟสิกสที่พบบอย เพื่อที่จะหาผลเฉลยของสมการ (8.97) นั้น ทําไดโดยการเขียน R( ρ ) ใหอยูใ นรูปผลคูณของ asymptotic limit ทั้งสอง และคูณอยูกบ ั ฟงชันกทั่วไปอันหนึง่ กลาวคือ กําหนดให R ( ρ ) = ρ l e − ρ 2L( ρ )

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

_________________ สมการ (8.98) teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-58

สมการขางตนมิไดมีการประมาณเขามาเกีย่ วของแตอยางใด ถึงแมเราจะจํากัดรูปแบบทาง คณิตศาสตรใหอยูในรูปของ ρ l e− ρ 2 แตฟงชันก L( ρ ) ก็ยังสามารถที่จะเปนอะไรก็ได และ เพื่อที่จะหาวา L( ρ ) มีรูปแบบเชนใด แทน R( ρ ) ดังในสมการ (8.98) เขาไปในสมการ (8.97) ทํา ให ⎛ γ − ( l + 1) ⎞ ⎛ 2 + 2l ⎞ ∂ − 1⎟ L( ρ ) + ⎜ L( ρ ) + ⎜ ⎟ L( ρ ) = 0 ρ ∂ρ ⎝ ρ ⎠ ∂ρ ⎝ ⎠ ∂2

2

_________ สมการ (8.99)

กอนที่จะทําการวิเคราะหเพื่อหาผลเฉลยทางคณิตศาสตรของ L( ρ ) เราจะทําการพิสูจนใหเห็นวา การที่ผลเฉลยจะอยูลักษณะที่เปน bound state solutions นั้น γ จะตองเปนจํานวนเต็มเสมอ พิจารณาฟงชันก L( ρ ) ที่อยูในรูป power series expansion L( ρ ) =

∞

∑ ck ρ k

k =0

และเมื่อแทน summation ดังกลาวเขาไปในสมการ (8.99) จะพบวา ∞

∑

k =2

∞

∞

k =1

k =1

k (k − 1)ck ρ k − 2 + 2 ( l + 1) ∑ kck ρ k − 2 − ∑ kck ρ k −1 + ⎡⎣γ − ( l + 1) ⎤⎦ ∞

∞

k =2

k =0

∞

∑ ck ρ k −1 = 0

k =0

∑ kck [(k − 1) + 2(l + 1)] ρ k − 2 + ∑ ck ⎣⎡γ − ( l + 1 + k )⎦⎤ ρ k −1 = 0

ถาสังเกตใหดจี ะเห็นวาเทอมแรก สามารถจัดรูปของ summation ใหมไดเปน ∞

∑

k =2

kck [ (k − 1) + 2(l + 1) ] ρ k − 2 =

∞

∑ (k + 1)(k + 2l + 2)ck +1ρ k −1

k =0

เพราะฉะนั้นแลว สมการขางตนกลายเปน

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

∞

∑ (k + 1)(k + 2l + 2)ck +1ρ k −1 +

k =0

8-59

∞

∑ ck ⎣⎡γ − ( l + 1 + k )⎦⎤ ρ k −1 = 0

k =0

∞

∑ {[(k + 1)(k + 2l + 2)] ck +1 + ⎡⎣γ − ( l + 1 + k )⎤⎦ ck } ρ k −1 = 0

k =0

เนื่องจากสมบัติความเปน orthogonal ของ polynomial ρ k −1 สมการจะเปนจริงไดในทุกกรณี ก็ ตอเมื่อเทอมภายในวงเล็บปกกาตองมีคาเทากับศูนย หรือ

[(k + 1)(k + 2l + 2)] ck +1 + ⎡⎣γ − ( l + 1 + k )⎤⎦ ck = 0 ทําให ck +1 =

(l + 1 + k ) − γ (k + 1)(k + 2l + 2)

ck

_________________ สมการ (8.100)

สมการขางตน เปนกลไกทีส่ ามารถใชในการคํานวณหาเซตของสัมประสิทธิ์ {ck } ยกตัวอยาง เชน เราอาจจะกําหนดให l = 0 และ c0 = 1 ซึ่งจะไดวา c0 = 1 c1 = c2 =

( 0 + 1 + 0) − γ

(0 + 1)(0 + 2 ⋅ 0 + 2) ( 0 + 1 + 1) − γ (1 + 1)(1 + 2 ⋅ 0 + 2)

c0 = c1 =

1− γ 2

2 − γ 1− γ ⋅ 6 2

c3 =

เชนนี้เปนตน อยางไรก็ตาม ถาสัมประสิทธิ์มีคา ck ≠ 0 เชนนีเ้ รื่อยไป สุดทายแลวจะทําให

c 1 lim k +1 = k k →∞ ck

∞

ซึ่งก็หมายถึง L( ρ ) = ∑ ck ρ k จะมีคาเขาสูอนันต ณ บริเวณที่อยูไกลจากนิวเคลียส ( ρ → ∞ ) k =0

และทําใหขัดกับขอกําหนดของ bound state solutions ที่เราตั้งใจไวตั้งแตแรก วิธีการที่จะหลีกเลี่ยงไมใหเกิดสถานการณที่ไมพึงประสงคดังกลาว ก็คือการกําหนดให γ มีคา เทากับจํานวนเต็มบวกคาหนึง่ กลาวคือ

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

กําหนดให γ

=n

8-60

เมื่อ n = 1, 2,3,

และในสถานการณเชนนี้ เมื่อ k = n − l − 1 จะทําให ck +1 = 0 , ck + 2 = 0 , และ ck +3 = 0 ( n − l −1)

อยางนี้เรื่อยไป สงผลให L( ρ ) = ∑

k =0

(n − l − 1)

ck ρ k

เปน polynomial ที่มี order สูงสุดเพียงแค order

และจะไมลูเขาสูอนันต เปนไปตามที่เราตองการ

จากคํานิยามของ

Ze2 γ= 4πε 0

m 2E

จะไดวา ระดับพลังงานของระบบก็คอื

2

⎛ Ze2 ⎞ ⎛ m ⎞ 1 En = − ⎜ ⋅ ⎟ ⋅ ⎜ 4πε 0 ⎟ ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ n 2 ⎝ ⎠

เมื่อ n = 1, 2,3,

____________ สมการ (8.101)

นอกจากนี้จะพบวา มีคาของ l ที่เปนไปไดอยูจํานวนหนึ่ง ที่ทําใหระดับพลังงานเทากัน ซึ่งก็คือ l = 0,1,

En

, ( n − 1)

_________________ สมการ (8.102)

ระดับพลังงานของ hydrogen atom r

E3

nf

hv = Ef − Ei

E2

ni

photon

อิอิเล็เล็กกตรอนกระโดดลงมาที ตรอนกระโดดลงมาที่ร่ระดั ะดับบ พลั พลังงงานต่ งานต่ําํากวกวาาและเปล และเปลงงแสงออกมา แสงออกมา

E1 V (r )

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-61

2

ในกรณีของ hydrogen atom นั้น

⎛ Ze2 ⎞ ⎛ m ⎞ = 13.6 eV ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ 4πε 0 ⎟ ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠

และเพื่อเปรียบเทียบกับผลการ

ทํานายที่เรียกวา Balmer series ดังที่ไดเกริน่ ไวขางตนในสมการ (8.90) เรามองวาแสงที่เปลงออกมา จาก hydrogen atom นั้น เกิดขึ้นจากการทีอ่ ิเล็กตรอนมีการกระโดดจากระดับพลังงานในชั้น n f ที่ สูงกวา มายังระดับพลังงาน ni ที่ต่ํากวา สงผลใหเปลงแสงที่มีพลังงานเทากับ ΔE = E f − Ei หรืออีกนัยหนึง่ ⎛ Ze 2 ⎞ hv = − ⎜ ⎟ ⎜ 4πε 0 ⎟ ⎝ ⎠

2

2 1 ⎤ ⎛ Ze 2 ⎞ ⎛ m ⎞ ⎡ 1 1 ⎤ ⎛ m ⎞ ⎡ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⋅⎜ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⎜ ⎟ 2⎟ ⎢ 2 2 ⎥ ⎜ 4πε ⎟ ⎜ 2⎟ ⎢ 2 2⎥ nf ⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎣ n f ni ⎦ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎣ ni

และเมื่ออาศัยความสัมพันธระหวางความยาวคลื่นของแสง และความถี่ของมัน c = λ v ทําให 1 ⎛ Ze2 ⎞ = ⎜ ⎟ λ hc ⎜⎝ 4πε 0 ⎟⎠ 1

2

1 ⎤ ⎛ m ⎞ ⎡1 ⎢ ⎥ ⋅⎜ ⋅ − ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎢⎣ ni2 n 2f ⎥⎦

Rydberg constant

จากการคํานวณ เราจะพบวา Rydberg constant นั้นมีคาเทากับ 1.097 ×107 m−1 และ Balmer series นั้นเปนเพียงกรณีที่มีการกระโดดจากระดับพลังงาน n f ใดๆ มาสูระดับพลังงานชั้นที่ ni = 2

Radial Wave Function มาถึงขั้นนี้เราก็มีความพรอมที่จะคํานวณหา radial wave function เราจะเขียนคํานิยามของ ρ =

8m E 2

r

เสียใหม โดยอาศัย

ρ=

e2

R( ρ )

กอนอื่น เพื่อความสะดวก

⎛ Ze2 ⎞ E =⎜ ⎟ ⎜ 4πε 0 ⎟ ⎝ ⎠

2

⎛ m ⎞ 1 ⋅⎜ ⎟⋅ ⎝ 2 2 ⎠ n2

จะได

m 2Z ⋅ ⋅r 4πε 0 2 n ⋅

1 a0

ซึ่งโดยทั่วไปแลว คาคงที่ a0 = 4πε2 0 e

2

m

≅ 0.529 A

มีชื่อเรียกวา Bohr radius ซึ่งเปนหนวยใน

การวัดระยะทางในระดับอะตอม เพราะฉะนั้นแลว จึงเปนการเหมาะสมเราจะเขียน

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential ρ=

2Z r ⋅ n a0

8-62

______________________ สมการ (8.103)

นอกจากนี้จะสังเกตวาสมการ (8.99) นั้น มีความคลายคลึงกับสมการทางคณิตศาสตรที่ชื่อ associated Laguerre equation ที่วา ∂2

⎛ k +1 ⎞ ∂ ⎛s⎞ L( x) + ⎜ − 1⎟ L( x) + ⎜ ⎟ L( x ) = 0 ⎝ x ⎠ ∂x ⎝ x⎠ ∂x 2

_________ สมการ (8.104)

เมื่อ k และ s เปนจํานวนเต็ม และ Edmond Laguerre (1834-1886) ไดทําการศึกษาผลเฉลยของ สมการดังกลาว ซึ่งมีชื่อวา associated Laguerre function ที่มักจะเขียนโดยใชสัญลักษณ L(sk ) ( x) =

x−k e x d s − x s + k e x s ! dx s

(

)

______________ สมการ (8.105)

ยกตัวอยางเชน L(0k ) ( x) = 1 L(1k ) ( x) = − x + k + 1

1⎡ 2 x − 2 ( k + 2 ) x + ( k + 1)( k + 2 ) ⎤ ⎦ 2⎣ 1 L(3k ) ( x) = ⎡ − x3 + 3 ( k + 3) x 2 − 3 ( k + 2 )( k + 3) x + ( k + 1)( k + 2 )( k + 3) ⎤ ⎦ 6⎣ L(2k ) ( x) =

ซึ่งมีเอกลักษณทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับ integration ดังตอไปนี้ ∞

( s + k )! − x k (k ) x L s ′ ( x)L(sk ) ( x) = δ s′, s s!

______________ สมการ (8.106)

2 − x k +1 ⎡ ( k ) ⎤ = ( s + k )! ( 2 s + k + 1) dx e x ( x ) L s ∫ ⎣ ⎦ s!

______________ สมการ (8.107)

L(sk ) ( x) = L(sk +1) ( x) − L(sk−+11) ( x)

______________ สมการ (8.108)

∫ dx e

0

และ ∞

0

นอกจากนี้

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-63

เมื่อเปรียบเทียบ associated Laguerre equation (8.104) กับสมการ (8.99) เราสามารถเขียนผลเฉลย ของ radial equation ไดวา l +1) Rn,l ( ρ ) = N ρ l e− ρ 2L(2 n − l −1 ( ρ )

ซึ่ง

∞

N

ก็คือ normalization constant ที่จะทําให ∫ dr r 2 ⎡⎣ Rn,l (r ) ⎤⎦

2

หรือในรูปของ

=1

ρ

0

3∞ 2 ⎛ na0 ⎞

2 2 ⎡ l − ρ 2 (2l +1) ⎤ =1 N ⎜ d e ρ ρ ρ L ( ρ ) ⎟ ∫ n −l −1 ⎣ ⎦ ⎝ 2Z ⎠ 0

และจากเอกลักษณทางคณิตศาสตรของ associated Laguerre functionsในสมการ (8.107) จะพบวา ∞

∫ dρ

0

2 l +1) ⎤ = 2n ( n + l ) ! ( ) ρ 2 ⎡ ρ l e − ρ 2L(2 ρ n − l −1 ⎣ ⎦ ( n − l − 1)!

ดังนั้น

⎛ 2Z ⎞ N =⎜ ⎟ ⎝ na0 ⎠

32

( n − l − 1)! และ 2n ( n + l ) !

ในทายที่สุด ⎛ 2Z ⎞ Rn,l (r ) = ⎜ ⎟ ⎝ na0 ⎠

32

( n − l − 1)! ρ l e− ρ 2n ( n + l ) !

2 (2l +1) L n − l −1 ( ρ )

เมื่อ ρ = 2Z ⋅ n

r a0

____________________ สมการ (8.109) ยกตัวอยางเชน ⎛Z ⎞ R1,0 (r ) = 2 ⎜ ⎟ ⎝ a0 ⎠

32

⎛ Z ⎞ R2,0 (r ) = 2 ⎜ ⎟ ⎝ 2a0 ⎠

e− Zr a0

32

1 ⎛ Z ⎞ R2,1 (r ) = ⎜ ⎟ 3 ⎝ 2a0 ⎠

⎛ Z ⎞ R3,0 (r ) = 2 ⎜ ⎟ ⎝ 3a0 ⎠

Dr. Teepanis Chachiyo

⎛ Zr ⎞ − Zr 2a0 ⎜1 − ⎟e ⎝ 2a0 ⎠

32

Zr − Zr 2a0 e a0

3 2⎛

2 Zr ⎜1 − 2Zr + ( ) ⎜ 3a0 27 a02 ⎝

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

2

⎞ ⎟ e− Zr 3a0 ⎟ ⎠

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

4 2⎛ Z ⎞ R3,1 (r ) = ⎜ ⎟ 9 ⎝ 3a0 ⎠

32

2 2 ⎛ Z ⎞ ⎜ ⎟ 27 5 ⎝ 3a0 ⎠

R3,2 (r ) =

Zr ⎛ Zr ⎞ − Zr 3a0 ⎜1 − ⎟e a0 ⎝ 6a0 ⎠

32

2

⎛ Zr ⎞ − Zr 3a0 ⎜ ⎟ e ⎝ a0 ⎠

Radial Probability Amplitude 2

Rn,l ( r )

ของ Hydrogen Atom

0.8

R1,0 (r )

1.5

0.6

8-64

0.3

R2,0

R3,0 R3,1 R3,2

0.2

0.4

1 0.5

r a0 0

5

10

15

20

0.1

R2,1

0.2 0

5

10

15

0

20

− 0.2

5

10

15

20

− 0.1

Complete Wave Function ของ Hydrogen Atom สิ่งที่เราไดวิเคราะหมาดวยความลําบากพอสมควร ก็คือ Rn,l (r ) , Ylm (θ , ϕ ) , และ En ของ hydrogen atom ทําใหเราทราบขอมูลทั้งหมดเกีย่ วกับ hydrogen atom นั่นก็คือ probability amplitude (หรือ wave function) ของอิเล็กตรอนภายในอะตอมนั่นเอง กําหนดให

n, l , m

แทนสถานะ eigenstate ของ hydrogen atom จะไดวา

r , θ , ϕ n, l , m = ψ n,l , m ( r , θ , ϕ ) = Rn,l (r )Ylm (θ , ϕ )

โดยที่

Dr. Teepanis Chachiyo

32

( n − l − 1)! ρ l e− ρ 2L(2l +1) ( ρ ) เมื่อ ρ = 2Z ⋅ r n − l −1 2n ( n + l ) ! n a0 2l + 1 ( l − m )! m ⋅ Pl (cos θ )eimϕ 4π ( l + m ) !

⎛ 2Z ⎞ Rn,l (r ) = ⎜ ⎟ ⎝ na0 ⎠

Ylm (θ , ϕ ) =

______________ สมการ (8.110)

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

การกระจายตัวของ probability density

Rn,l (r )Ylm (θ , ϕ )

n =1

2

ในระนาบ x-z n=3

z x

l = 0, m = 0

l = 0, m = 0

n=2

l = 0, m = 0

l = 1, m = 0

8-65

l = 1, m = 0

l = 1, m = ±1

l = 1, m = ±1

l = 2, m = 0

l = 2, m = ±1

ภาพ (8.11) แสดงการกระจายตัวของ probability density หรือ

l = 2, m = ±2

Rn,l (r )Ylm (θ , ϕ )

2

ของ hydrogen

atom ในระนาบ x-z บริเวณที่ภาพมีความเขมสูงหมายถึงมีความนาจะเปนที่จะพบอิเล็กตรอน ณ ตําแหนงดังกลาวสูง ในขณะที่ background สีขาวหมายถึงบริเวณทีไ่ มมีอิเล็กตรอนปรากฏอยู และสมบัติอื่นๆที่เกี่ยวของกับ operator อาทิเชน Hˆ n, l , m = En n, l , m

ซึ่ง

⎛ Ze2 ⎞ En = − ⎜ ⎟ ⎜ 4πε 0 ⎟ ⎝ ⎠

Lˆ2 n, l , m = l ( l + 1) 2 n, l , m Lˆ z n, l , m = m n, l , m

2

l ∈ {0,1,

⎛ m ⎞ 1 ⋅⎜ ⎟⋅ ⎝ 2 2 ⎠ n2 , (n − 1)}

m ∈ {−l , − ( l − 1) ,

, + ( l − 1) , +l}

ดังแสดงใน ภาพ (8.11) ที่เรียกไดวาเปนการกระจายตัวของกลุมหมอกอิเล็กตรอน ในกรณีที่มนั มี ระดับพลังงาน และ สมบัติเชิง orbital angular momentum ตางๆกัน ซึ่งมีขอสังเกตอยูหลายประการ ดังตอไปนี้ 1) เฉพาะในกรณีที่ orbital angular momentum l = 0 เพียงเทานั้น ที่อิเล็กตรอนมีโอกาสที่จะอยู ณ ตําแหนงของนิวเคลียสพอดี

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-66

2) ในระดับพลังงานสูงขึ้น หรือ n มากขึ้นนั้น อิเล็กตรอนมีโอกาสที่จะอยูห างไกลจากนิวเคลียส มากขึ้น ซึ่งจะสังเกตไดจากภาพวา อะตอมมีขนาดใหญขึ้น ในทางคณิตศาสตร เราสามารถ คํานวณรัศมีโดยเฉลี่ยของของอิเล็กตรอนไดวา a r = n, l , m r n, l , m = 0 ⎡3n 2 − l (l + 1) ⎤ ⎦ 2Z ⎣

_____________ สมการ (8.111)

แบบฝกหัด 8.9 จงพิสูจนสมการ (8.111) นอกจากนี้ ยังมีสมบัติทางคณิตศาสตรอีกจํานวนหนึ่งทีจ่ ะเปนประโยชนมากในการคํานวณคาเฉลี่ย ของปริมาณทางฟสิกสในลําดับตอไป อาทิเชน 2

⎛a n⎞ r 2 = n, l , m r 2 n, l , m = 2 ⎜ 0 ⎟ ⎡5n 2 + 1 − 3l (l + 1) ⎤ ⎦ ⎝ 2Z ⎠ ⎣ 1 1 Z = n, l , m n, l , m = 2 r r n a0

1 r2 1 r3

= n, l , m

= n, l , m

1 r3

1 r2

n, l , m =

n, l , m =

2Z 2 n3a02 ( 2l + 1) 2Z 3

n3a03l ( l + 1)( 2l + 1)

_______ สมการ (8.112) _______ สมการ (8.113) _______ สมการ (8.114) _______ สมการ (8.115)

แบบฝกหัด 8.10 จงคํานวณพลังงานจลนโดยเฉลี่ยของ hydrogen atom ถาระบบอยูในสถานะ eigenstate n, l , m และแสดงใหเห็นวา pˆ 2 = En 2m

___________________ สมการ (8.116)

เมื่อเปรียบเทียบกับอะตอมอืน่ ๆที่มีอยูในธรรมชาติ hydrogen atom ถือเปน model พื้นฐานและไม ซับซอนจนเกินไป ที่จะเปดโอกาสใหเราใชผลการวิเคราะหทางคณิตศาสตรไดอยางแมนยํา อยางไร ก็ตาม เรื่องราวเกีย่ วกับ hydrogen atom ยังมิไดจบลงแตเพียงระดับพลังงานและรูปรางของกลุมหมอก อิเล็กตรอนที่ปรากฏเทานั้น ยังมีอันตรกริยาอื่นๆ อีกที่เรายังไมไดกลาวถึง อาทิเชน interaction ที่เกี่ยวของกับ spin ของโปรตอน และอิเล็กตรอนภายใน hydrogen atom, interaction ระหวาง hydrogen atom กับ สนามไฟฟา หรือ Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-67

สนามแมเหล็ก ภายนอกที่ปอนใหกับระบบ, หรือแมกระทั้ง ปรากฏการณที่มวลของอิเล็กตรอนมีคา เพิ่มขึ้นเล็กนอยเมื่อมันเคลื่อนที่ดวยความเร็วสูง (อันเปนผลจากทฤษฏี special relativity ของ Einstein) ซึ่งเราจะไดกลาวถึงปรากฏการณตางเหลานีใ้ นอนาคต ภายหลังจากที่ไดศกึ ษาเทคนิคทาง quantum mechanics ที่เรียกวา perturbation theory เรียบรอยแลว

8.9 บทสรุป ประเด็นหลักของเนื้อหาในบทนี้ก็คืออนุภาคที่เคลื่อนที่อยูภายใตอิทธิพลของ central potential V (r ) = V ( r )

สงผลให Hamiltonian ของระบบอยูในรูปของ pˆ 2 + V (r ) Hˆ = 2m

ดวยความที่เปนระบบใน 3 มิติ เราเขียนสถานะ ของ position basis states

Ψ

ของอนุภาคใหอยูในรูป linear superposition

Ψ = ∫ d 3 r ψ (r ) r

เมื่อ ψ (r ) คือ probability amplitude ของสถานะ สามารถตีความไดวา 2

r

และดวยคํานิยามของฟงชันกดังกลาว

ความนาจะเปนที่อนุภาคจะมีตําแหนงอยูระหวาง x → x + dx , y → y + dy , และ z → z + dz

ψ (r ) d 3 r =

operator ที่มีความสําคัญอยางมากในการศึกษา central potential ก็คือ operator ที่เกี่ยวของกับ orbital angular momentum Lˆz และ Lˆ2 ซึ่งเขียนใหอยูใ นรูปของ position และ momentum operator ไดวา ˆˆ y − yp ˆˆx Lˆ z = xp

Dr. Teepanis Chachiyo

และ Lˆ2 = rˆ2 pˆ 2 − ( rˆ ⋅ pˆ )2 + i

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

rˆ ⋅ pˆ

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-68

ซึ่ง operator ทั้งสองนั้น commute กับ Hamiltonian กลาวคือ ⎡ Lˆ z , Hˆ ⎤ = 0 = ⎡ Lˆ2 , Hˆ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

สงผลให เราสามารถกําหนดให

E, l, m

เปนสถานะ eigenstate ของระบบ central potential โดยที่

Hˆ E , l , m = E E , l , m Lˆ2 E , l , m = l ( l + 1) 2 E , l , m Lˆ z E , l , m = m E , l , m

เมื่อ l มีคาไดอยูในชวง {0,1, 2,3, } และ m ∈ {−l , − ( l − 1) , , + ( l + 1) , +l} ทั้งนี้ นอกจาก พิกัด Cartesian ที่เราใชเปนตัวกํากับตําแหนงของอนุภาคแลว เราอาจจะใชพิกัดทรงกลม ( r ,θ , ϕ ) และเขียนสถานะ Ψ ใหอยูใ นรูปของ linear superposition 3

Ψ = ∫ d r ψ (r ) r =

∞ π 2π

∫ ∫ ∫ drdθ dϕ r

2

sin θψ (r ,θ , ϕ ) r ,θ , ϕ

00 0

ซึ่งฟงชันก ψ (r ,θ , ϕ ) ก็คือ probability amplitude ในพิกัดทรงกลม และ 2

ψ (r ,θ , ϕ ) r 2 sin θ drdθ dϕ = ความนาจะเปนที่จะพบอนุภาคภายในกลองขนาด dV = r 2 sin θ drdθ dϕ

ซึ่งตั้งอยู ณ ตําแหนง r = ( r ,θ , ϕ )

และในระบบ spherical coordinate นี้เอง operator ที่สําคัญๆสามารถเขียนใหอยูใ นรูป r Lˆ z Ψ =

∂ ψ (r ,θ , ϕ ) i ∂ϕ

⎧⎪ 1 ∂ ⎛ 1 ∂ ⎞ ∂ 2 ⎫⎪ sin r Lˆ2 Ψ = − 2 ⎨ θ + ⎬ψ ( r ,θ , ϕ ) ⎜ ⎟ ∂θ ⎠ sin 2 θ ∂ϕ 2 ⎪⎭ ⎪⎩ sin θ ∂θ ⎝

รวมไปถึง operator ที่เกี่ยวของกับ Hamiltonian ดวย ซึง่ ก็คือ 2 ⎛ 2 pˆ 2 1 2 ∂ ⎞ ∂ 2 ˆ r r L Ψ − Ψ = + ⎜ ⎟ψ (r ,θ , ϕ ) 2m 2m ⎝⎜ ∂r 2 r ∂r ⎠⎟ 2mr 2

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-69

และ r Hˆ Ψ =

1 2mr 2

r Lˆ2 Ψ −

⎛ ∂2 2 ∂ ⎞ + ⎜ ⎟ψ (r ,θ , ϕ ) + V (r )ψ (r ,θ , ϕ ) 2m ⎝⎜ ∂r 2 r ∂r ⎠⎟ 2

รูปแบบของ Hamiltonian operator ในพิกัดทรงกลมดังกลาว นําไปสูการเขียน probability amplitude ใน 3 มิติของระบบ ใหอยูใ นรูป ψ n,l , m (r ,θ , ϕ ) = Rn,l (r )Ylm (θ , ϕ )

เมื่อ ψ n,l , m (r ,θ , ϕ ) คือ eigenstate ของ Hamiltonian ซึ่งจากสมการขางตน แยกออกเปนสองสวน คือ 1) radial part Rn,l (r ) และ 2) angular part Ylm (θ , ϕ ) ในสวนของ radial part นั้น สามารถหาไดจากการแกสมการ ⎧⎪ 2 ⎛ ∂ 2 2 ∂ ⎞ l ( l + 1) 2 ⎫⎪ + V (r ) ⎬ Rn,l ( r ) = En,l R( r ) ⎜ 2+ ⎟+ ⎨− ⎜ r ∂r ⎟⎠ 2mr 2 ⎪⎩ 2m ⎝ ∂r ⎪⎭

โดยจะไดผลเฉลยของสมการเปน Rn,l (r ) และ eigen energy En,l ของระบบ จะสังเกตวา สมการ ดังกลาวขึ้นอยูก ับ orbital angular momentum l และ V (r ) เพียงเทานั้น และมิไดเกีย่ วของกับ องคประกอบตามแกน z หรือ m แตอยางใด ทําใหในระบบ central potential eigenstate ที่มี quantum number l จะแยกออกเปน (2l + 1) fold degeneracy เปนอยางนอย นอกจากนี้ เพือ่ เปนตัวอยางของการนําสมการดังกลาวมาประยุกตใชงาน เราไดศึกษาระบบของ นิวเคลียส โดยจําลองวาเปนกําแพงพลังงานศักยทรงกลมที่แข็งมาก จนโปรตอนและนิวตรอนที่บรรจุ อยูภายในนั้น ทะลุออกมาไมได ⎧0 r < a V (r ) = ⎨ ⎩∞ r ≥ a

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-70

จากการวิเคราะหระดับพลังงานของระบบดังกลาวพบวา model อยางหยาบๆที่เราใชนั้น ทํานาย "nuclear magic number" วามีคาเปน 2, 8, 18, 20, 34, และ 40 ทั้งนี้ เมื่อเปรียบเทียบกับผลที่ไดจาก การทดลอง ซึ่งก็คือ 2, 8, 20, 28, 50, หรือ 82 ก็ถือไดวา เปนจุดเริ่มตนที่ดี ในสวนของ angular part Ylm (θ , ϕ ) นั้น ปรากฏวาไมไดขึ้นอยูกบั ลักษณะเฉพาะตัวของ central potential V (r ) แตอยางใด และฟงชันกดังกลาว สามารถคํานวณไดดว ยการแกสมการ ⎡ 1 ∂ ⎛ 1 ∂ ⎞ ∂2 ⎤ m 2 m θ sin − 2⎢ + ⎥ Yl (θ , ϕ ) = l (l + 1) Yl (θ , ϕ ) ⎜ ⎟ 2 2 sin θ θ θ ∂ ∂ ⎝ ⎠ sin θ ∂ϕ ⎥⎦ ⎢⎣

ซึ่งมีผลเฉลยก็คือ Ylm (θ , ϕ ) =

2l + 1 ( l − m )! m Pl (cos θ )eimϕ ⋅ 4π ( l + m ) !

เมื่อ Plm ( x) คือ associated Legendre polynomial นอกจาก Ylm (θ , ϕ ) จะเปนสวน angular part ของ eigenstate ในระบบที่เปน central potential แลว ตัวมันเองยังมีสมบัติเปน eigenstate ของ Lˆz และ Lˆ2 operator อีกดวย ในทายที่สุด เราไดใชเวลาในการศึกษา hydrogen atom เพื่อที่จะไดทราบถึงระดับพลังงาน ตลอดจน การกระจายตัวของ probability amplitude ใน 3 มิติของมัน hydrogen atom ประกอบดวยอิเล็กตรอนทีอ่ ยูภายใตอิทธิพลของ Coulomb interaction ซึ่งมีพลังงาน ศักยอยูใ นรูปของ e2 Z V (r ) = − 4πε 0 r

และจากการแกระบบของสมการดังที่กลาวไวขางตน พบวาระดับพลังงานของมันมีคาเปน

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-71

2

⎛ Ze2 ⎞ ⎛ m ⎞ 1 En = − ⎜ ⋅ ⎟ ⋅ ⎜ 4πε 0 ⎟ ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ n 2 ⎝ ⎠

เมื่อ n = 1, 2,3,

ในแตละชั้น n ของระดับพลังงานนั้นๆ ระบบมี orbital angular momentum l ∈ 0,1, และถากําหนดให n, l , m แทนสถานะ eigenstate ของ hydrogen atom จะไดวา

, (n − 1)

r , θ , ϕ n, l , m = ψ n,l , m ( r , θ , ϕ ) = Rn,l (r )Ylm (θ , ϕ )

โดยที่

Ylm (θ , ϕ ) =

32

( n − l − 1)! ρ l e− ρ 2L(2l +1) ( ρ ) เมื่อ ρ = 2Z ⋅ r n − l −1 n a0 2n ( n + l ) !

2l + 1 ( l − m )! m ⋅ Pl (cos θ )eimϕ 4π ( l + m ) !

⎛ 2Z ⎞ Rn,l (r ) = ⎜ ⎟ ⎝ na0 ⎠

8.10 ปญหาทายบท แบบฝกหัด 8.11 จงแสดงใหเห็นวา ในกรณี eigenstate ของ hydrogen atom นั้น คาเฉลี่ยของพิกัด ตามแนวแกน z ของอิเล็กตรอนนั้น มีคาเทากับ z = n, l , m zˆ n, l , m = 0

แบบฝกหัด 8.12 พิจารณาพลังงานของ diatomic molecule ที่อยูในรูปพลังงานจลนของการ หมุนรอบตัวเอง กลาวคือ กําหนดให Hamiltonian Lˆ2 Hˆ = 2I

เมื่อ I คือคาคงที่ ซึ่งอาจจะตีความไดวาเปน moment of inertia Moment of Inertia Center of Mass ⎛ mm ⎞ I = ⎜ 1 2 ⎟ r02 ⎝ m1 + m2 ⎠

m1

m2 r0

a) จงคํานวณระดับพลังงานและ eigenstate ของระบบ b) ในกรณีของ hydrochloric acid หรือ HCl พบวา absorption spectrum เกิดขึน้ ที่ ความยาวคลื่น

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

8 Central Potential

8-72

λ = 479, 243, 162, 121, และ 96 micron

จงวิเคราะห spectrum ดังกลาวเพือ่ คํานวณหาระยะหาง ระหวาง chlorine atom และ hydrogen atom ภายในโมเลกุล หมายเหตุ: ขอมูลจาก D. Bloor et at., Proc. Roy. Soc. A260, 510(1961) แบบฝกหัด 8.13 พิจารณา Hamiltonian ของระบบที่มีรูปแบบทางคณิตศาสตรดังตอไปนี้ Lˆ2 + ω0 Lˆ z Hˆ = 2I

เมื่อ I และ ω0 คือคาคงที่ a) จงคํานวณ eigen energy และ eigenstate ของระบบ b) จงใหความหมายในทางฟสิกสของ Hamiltonian ดังกลาว โดยเฉพาะอยางยิ่งที่มาของเทอม ω0 Lˆz แบบฝกหัด 8.14 พิจารณา ground state ของ hydrogen atom จงคํานวณความนาจะเปนที่จะพบ อิเล็กตรอนอยูน อก classically allowed region หมายเหตุ: classically allowed region คือบริเวณที่ E − V ≥ 0 แบบฝกหัด 8.15 พิจารณา isotope ของ hydrogen atom ที่เรียกวา tritium นั่นก็คืออิเล็กตรอนที่อยู ภายใตอิทธิพลของนิวเคลียสซึ่งประกอบดวย 1 proton และ 2 นิวตรอน กําหนดใหแตเดิม อิเล็กตรอนอยูใ นสถานะ ground state จากนั้นสมมุตวิ าเกิดปฏิกิริยานิวเคลียรขึ้นภายในนิวเคลียส ทําใหนวิ ตรอน 1 ตัวกลายเปน proton ทําใหในทายทีส่ ุด นิวเคลียสประกอบดวยโปรตอนถึง 2 ตัว a) จงคํานวณความนาจะเปนที่อิเล็กตรอนจะอยูในสถานะ ground state ของระบบภายหลังจาก ปฏิกิริยานิวเคลียรดังกลาว b) แสดงคําตอบออกมาเปนตัวเลข แบบฝกหัด 8.16 พิจารณา Hamiltonian ของระบบที่อยูในรูปของ spherical harmonic กลาวคือ pˆ 2 1 + mω2 r 2 Hˆ = 2m 2

เมื่อ ω คือคาคงที่ และสมมุติใหระบบอยูในสถานะ bound state a) จงหาผลเฉลยของ R(r ) ณ asymptotic limit r 1 และ r 1 b) จงคํานวณ energy eigenstate ของระบบ c) จงคํานวณรูปแบบผลเฉลยของ R(r ) ณ รัศมี r ใดๆ

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009