Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-1
5
Interaction ของ Spin
เนื้อหา 5.1 Hyperfine Splitting 5.2 Two Spin - 1 particles 2
5.3 EPR Paradox 5.4 การรวมกันของ Angular Momentum 5.5 บทสรุป 5.6 ปญหาทายบท
5.1 Hyperfine Splitting ในเนื้อหาของ quantum mechanics เบื้องตน เราคุนเคยเปนอยางดีกับการศึกษาระบบของ hydrogen atom ซึ่งอิเล็กตรอนมีอันตรกริยากับโปรตอน ซึ่งก็คือ Coulomb interaction ทั้งนี้ เนื่องจากทั้งสอง อนุภาคมีประจุไฟฟา โดยทีโ่ ปรตอนมีประจุบวกในขณะที่อิเล็กตรอนมีประจุลบ
แบบจํ แบบจําาลองอั ลองอันนตรกริ ตรกริยยาเชิ าเชิงงspin spin ระหว ระหวาางงproton proton--electron electron
proton
N
S
หมอก electron
S Hˆ = 2 A Sˆ ⋅ Sˆ 2 1 2
N
Hydrogen Hydrogenอะตอม อะตอม
ภาพ 5.1 แสดง spin-spin interaction ระหวางอนุภาคอิเล็กตรอนและโปรตอนที่อยูใกลเคียงกัน ภายในอะตอมของ hydrogen นอกจากนี้ ยังมี interaction อีกประเภทหนึ่งซึ่งเกิดจากคุณสมบัติเชิง spin ของอนุภาคทั้งสอง ทั้งนี้ เนื่องจากอิเล็กตรอนและโปรตอนตางก็เปนอนุภาคที่มี spin s = 1 และเมื่ออยูในบริเวณใกลเคียง 2
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-2
กันภายใน hydrogen อะตอม จึงมีอันตรกริยาระหวางกัน เปรียบเสมือนกับแทงแมเหล็กสองแทง ดัง ในภาพ 5.1 ซึ่งในกรณีดังกลาว เราสามารถเขียน Hamiltonian ของ interaction ไดวา 2A ˆ ˆ Hˆ = S1 ⋅ S2 2
_________________________ สมการ (5.1)
สมการ (5.1) แสดงใหเห็นวาพลังงานของระบบขึ้นอยูกบั Sˆ1 ⋅ Sˆ2 ซึ่งก็คือมุมระหวาง spin ของ อนุภาคทั้งสอง ในภาพ 5.2 (ขวา) เราใชทิศทางของแมเหล็กสองแทงเพื่อเปรียบเทียบใหเห็น ภาพพจนของ interaction ดังกลาว นอกจากนี้ interaction energy ยังจะตองขึ้นอยูกับปจจัยอืน่ ๆอาทิ เชน ระยะหางระหวางอนุภาคทั้งสอง และ magnetic moment ของอนุภาคคูกรณี เปนตน แตเนื่องจากปจจัยอื่นๆเหลานี้ มีความซับซอนเกินกวาขอบเขตของเนื้อหาในปจจุบัน เราจึงทําไดดี ที่สุดโดยการแทนดวยคาคงที่ A และการหารดวย 2 ในสมการ (5.1) ก็เพื่อที่จะบังคับให A มี หนวยเปนพลังงานนั่นเอง basis state ของระบบ spin ที่มี 2 อนุภาค การที่จะคํานวณหาพลังงานของระบบ สามารถทําไดโดย เปลี่ยน Hamiltonian operator ดังในสมการ (5.1) ใหอยูใ นรูปของ matrix จากนั้นจึงทําการแก eigen equation เพื่อที่จะหาคาของ eigen energy และ eigenstate ในลําดับตอไป แตการที่จะสราง Hamiltonian matrix นั้น เราจําเปนจะตองกําหนด basis state ซึ่งก็คือสถานะ พื้นฐานทั้งหมดที่มีโอกาสจะเกิดขึ้น ในเมื่อเรากําหนดใหอนุภาคทั้งสองมี spin s = 1 จึงมีโอกาส 2
ที่จะเกิดขึ้นไดทั้งหมด 4 กรณีดว ยกันคือ +Z , +Z , +Z , −Z , −Z , + Z , −Z , −Z
__________________ สมการ (5.2)
สมการขางตนแสดงใหเห็นวาเราเลือกที่จะวัด spin ของทั้งสองอนุภาคตามแนวแกน z ซึ่งสัญลักษณ ี้ มายถึง spin ของอนุภาคที่หนึ่งอยูในสถานะ + Z และ อนุภาคที่สองอยูใน + Z , − Z ในที่นห สถานะ − Z ตามลําดับ อยางไรก็ตาม ดังที่ไดเห็นในการทดลองของ Stern-Gerlach ที่วาเราสามารถเลือกที่จะวัด spin ของ อนุภาคในทิศใดก็ได เพราะฉะนัน้ basis state ดังในสมการ (5.2) มิไดเปนเซตที่ตายตัว ยกตัวอยาง เชน เราอาจจะเลือกใชเซตของ Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-3
+ Z , + X , + Z , − X , −Z , + X , −Z , − X
ซึ่งโดยหลักการแลวมิไดผิดพลาดแตอยางใด แตในทางปฏิบัติจะนําไปสูความยุงเหยิงทางคณิตศาสตร ที่ไมจําเปน เพราะฉะนัน้ ในเนื้อหาของบทที่ 5 เมื่อกลาวถึงอนุภาคทีม่ ี spin s = 1 อยู 2 อนุภาค 2
ดวยกัน เราจะใช basis state ดังในสมการ (5.2) แตจะใชสัญลักษณดังตอไปนี้แทน เพื่อความกระชับ ↑↑ , ↑↓ , ↓↑ , ↓↓
__________________ สมการ (5.3)
เมื่อทราบ basis state และความหมายของมันดังในสมการ (5.3) ทําใหเราทราบผลของ operator ตางๆ ที่กระทํากับ basis state เหลานี้ Sˆ1z ↑↑ = +
2
↑↑
Sˆ1+ ↑↑ = 0
Sˆ1z ↑↓ = +
2
↑↓
Sˆ1+ ↑↓ = 0
Sˆ1− ↑↑ =
↓↑
3 2 ↑↑ Sˆ12 ↑↑ = 4
Sˆ1− ↑↓ =
Sˆ1z ↓↑ = − Sˆ1+ ↓↑ =
↓↓
3 2 ↑↓ Sˆ12 ↑↓ = 4
2
↓↑
Sˆ1z ↓↓ = −
↑↑
Sˆ1+ ↓↓ =
2
↓↓ ↑↓
Sˆ1− ↓↑ = 0
Sˆ1− ↓↓ = 0
3 2 ↓↑ Sˆ12 ↓↑ = 4
3 2 ↓↓ Sˆ12 ↓↓ = 4
_______________________ สมการ (5.4) ดังแสดงในตารางขางตน การใชสัญลักษณ Sˆ1z นั้นหมายถึงวา operator ดังกลาวกระทํากับเฉพาะ สถานะของอนุภาคที่หนึ่งเทานั้น โดยที่นักศึกษาสามารถทบทวนคณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับ operator Sˆ1z , Sˆ1+ , Sˆ1− , และ Sˆ12 ไดจากบทที่ 3 ในเรื่อง Angular Momentum และในทํานองเดียวกันกับ operator ที่กระทํากับเฉพาะอนุภาคที่สอง จะไดวา Sˆ2 z ↑↑ = +
2
↑↑
Sˆ2 + ↑↑ = 0 Sˆ2 − ↑↑ =
Sˆ2 z ↑↓ = − Sˆ2 + ↑↓ =
↑↓
3 2 Sˆ22 ↑↑ = ↑↑ 4
2
↑↓
Sˆ2 z ↓↑ = +
↑↑
Sˆ2 + ↓↑ = 0
Sˆ2 − ↑↓ = 0 3 2 Sˆ22 ↑↓ = ↑↓ 4
Sˆ2 − ↓↑ =
2
↓↑
Sˆ2 z ↓↓ = − Sˆ2 + ↓↓ =
↓↓
3 2 Sˆ22 ↓↑ = ↓↑ 4
2
↓↓ ↓↑
Sˆ2 − ↓↓ = 0 3 2 Sˆ22 ↓↓ = ↓↓ 4
_______________________ สมการ (5.5) Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-4
ผลของ operator Sˆ1 ⋅ Sˆ2 ที่กระทํากับ basis state อยางไรก็ตาม Hamiltonian operator ดังใน สมการ (5.1) นั้น อยูในรูปของ Sˆ1 ⋅ Sˆ2 ซึ่งเปน operator ที่เรายังไมเคยไดวิเคราะห ดังนัน้ ใน ขั้นตนนี้ เราจําเปนตองเปลี่ยนรูปของ operator Sˆ1 ⋅ Sˆ2 ใหอยูในรูปของ Sˆ1z , Sˆ1+ , Sˆ1− และ Sˆ2 z , Sˆ2 + , Sˆ2 − เสียกอน ในทํานองเดียวกันกับ vector เราสามารถเขียน
(
)(
2Sˆ1 ⋅ Sˆ2 = 2 Sˆ1x i + Sˆ1 y j + Sˆ1z k ⋅ Sˆ2 x i + Sˆ2 y j + Sˆ2 z k
)
____________ สมการ (5.6)
= 2Sˆ1x Sˆ2 x + 2Sˆ1 y Sˆ2 y + 2 Sˆ1z Sˆ2 z
นอกจากนี้ เราทราบวา raising และ lowering operator Sˆ± มีความสัมพันธกับ Sˆx และ Sˆ y อยูในรูป ____________ สมการ (5.7)
Sˆ± = Sˆ x ± iSˆ y
และในทางกลับกัน ถาจัดรูปสมการ (5.7) เสียใหม จะไดวา Sˆ + Sˆ Sˆ1x = 1+ 1− 2
Sˆ − Sˆ Sˆ1 y = 1+ 1− 2i
ˆ
ˆ
และ Sˆ2 x = S2 + + S2 − 2
Sˆ − Sˆ2 − Sˆ2 y = 2 + 2i
____________ สมการ (5.8) เมื่อแทน operator ดังในสมการ (5.8) เขาในในสมการ (5.6) จะทําให 2 Sˆ1 ⋅ Sˆ2 = Sˆ1+ Sˆ2 − + Sˆ1− Sˆ2 + + 2 Sˆ1z Sˆ2 z
____________ สมการ (5.9)
จะสังเกตเห็นวา ทั้ง 3 เทอมในทางขวามือของสมการ (5.9) ลวนอยูใ นรูปของ operator ที่มีคุณสมบัติ ดังที่ไดสรุปในสมการ (5.4) และ สมการ (5.5) ทําใหเราอยูในฐานะทีจ่ ะคํานวณ matrix element ของ Hamiltonian ไดโดยงาย แบบฝกหัด 5.1 จงพิสูจนสมการ (5.9) โดยเริ่มจากสมการ (5.6) และ (5.8) eigen energy และ eigenstate จากสมการ (5.9) เราสามารถเขียน Hamiltonian operator ไดวา Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
(
A ˆ ˆ Hˆ = S S + Sˆ1− Sˆ2 + + 2 Sˆ1z Sˆ2 z 2 1+ 2 −
)
5-5
____________ สมการ (5.10)
เพราะฉะนั้น เราสามารถที่จะคํานวณ matrix element ของ Hamiltonian โดยใช basis set ↑↑ , ↑↓ , ↓↑ , ↓↓ ซึ่งจะยกตัวอยางใน 2 กรณี 1)
(
)
A ↑↑ Hˆ ↑↑ = ↑↑ Sˆ1+ Sˆ2 − + Sˆ1− Sˆ2 + + 2Sˆ1z Sˆ2 z ↑↑ 2
และเมื่ออาศัยสมบัติการกระจาย จะทําให A A 2A ↑↑ Hˆ ↑↑ = ↑↑ Sˆ1+ Sˆ2 − ↑↑ + ↑↑ Sˆ1− Sˆ2 + ↑↑ + ↑↑ Sˆ1z Sˆ2 z ↑↑ 2 2 2
จากนั้น นําสมการ (5.4) และ (5.5) มาเปนตัวชวยลดรูปเทอมทั้ง 3 ที่ปรากฏทางในขวามือของสมการ ขางตน 2A A A ↑↑ Hˆ ↑↑ = ↑↑ Sˆ1+ Sˆ2 − ↑↓ + ↑↑ Sˆ1− Sˆ2 + ↑↑ + ↑↑ Sˆ1z Sˆ2 z ↑↑ 2 2 2 =
2A 2
22
↑↑ ↑↑
A ↑↑ Hˆ ↑↑ = 2
และในกรณีของตัวอยางที่สอง 2)
(
)
A ↑↑ Hˆ ↑↓ = ↑↑ Sˆ1+ Sˆ2 − + Sˆ1− Sˆ2 + + 2Sˆ1z Sˆ2 z ↑↓ 2
ซึ่งเมื่อเรากระจายเทอมขางตน และใชคณ ุ สมบัติดังในสมการ (5.4) และ (5.5) เขาชวย จะไดวา
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-6
A A A ↑↑ Hˆ ↑↓ = ↑↑ Sˆ1+ Sˆ2 − ↑↓ + ↑↑ Sˆ1− Sˆ2 + ↑↓ + 2 ↑↑ Sˆ1z Sˆ2 z ↑↓ 2 2 2 A 2 ↑↑ ↓↑
=
2
+
A ⎛ ⎞⎛ ⎞ 2 + − ↑↑ ↑↓ 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
↑↑ Hˆ ↑↓ = 0
แบบฝกหัด 5.2 จงคํานวณ matrix element ใหครบทั้ง 16 เทอม matrix ที่ได มีสมบัติเปน Hermitian matrix หรือไม ? และเมื่อคํานวณครบทั้ง 16 กรณีจะไดวา Hamiltonian matrix คือ 0 0 ⎡A 2 ⎢ 0 −A 2 A Hˆ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎢ ↑↑ , ↑↓ , ↓↑ , ↓↓ basis ⎢ 0 A −A 2 ⎢ 0 0 ⎣ 0
0 ⎤ 0 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ A 2⎦
_______ สมการ (5.11)
Hamiltonian matrix ดังสมการขางตนมี eigenstate อยู 4 state ดวยกัน ในจํานวนนี้ มีอยู 3 สถานะที่ มี eigen energy เทากันคือ + A และอีกสถานะหนึ่งมี eigen energy เทากับ − 3 A ซึ่งเขียนอยูใ น 2
2
รูปของ eigenvector ไดวา ⎡1 ⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥, ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦
⎡0⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎢ +1⎥ , 2 ⎢ +1⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦
⎡0⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦
ลวนมี eigenvalue เทากับ + A 2
และ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎢ +1⎥ 2 ⎢ −1⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦
มี eigenvalue เทากับ − 3 A 2
เพราะฉะนั้น เราสรุปไดวา hyperfine interaction ระหวาง spin ของอิเล็กตรอนและ spin ของโปรตอน นั้น ระบบจะมี eigenstate หรือ สถานะที่เสถียรอยูทั้งสิ้น 4 สถานะดวยกัน โดยที่แตละสถานะมี การจัดเรียงตัวของ spin และมี eigen energy ดังตอไปนี้
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
⎫ ⎪ ⎪ 1 1 ↑↓ + ↓↑ ⎬ 2 2 ⎪ ⎪ ↓↓ ⎭
5-7
↑↑
1 1 ↑↓ − ↓↑ 2 2
eigen energy คือ + A _______ สมการ (5.12) 2
eigen energy คือ − 3 A _______ สมการ (5.13) 2
แบบฝกหัด 5.3 สมมุติวาเราตองการขยายขอบเขตของการวิเคราะห hyperfine interaction ใหกวาง ขึ้น ที่จากเดิมจํากัดอยูแตเพียง spin angular momentum ใหครอบคลุมไปถึง angular momentum โดยทั่วไป (spin angular momentum + orbital angular momentum) ดังที่ไดกลาวในบทที่ 3 ที่เราใช สัญลักษณ jm เปนตัวบงบอกถึงสถานะของอนุภาคใดๆ ถาเรากําหนดให อนุภาคโปรตอน
มี basis state
อนุภาคอิเล็กตรอน
มี basis state
⎧1 1 1 1 ⎫ j1m1 ∈ ⎨ , + , , − ⎬ ⎩2 2 2 2 ⎭ ⎧3 3 3 1 3 1 3 3 ⎫ j2 m2 ∈ ⎨ , + , , + , , − , , − ⎬ ⎩2 2 2 2 2 2 2 2 ⎭
a) ในระบบทีม่ ีทั้งโปรตอนและอิเล็กตรอน จะพบวา มีจาํ นวน basis state ทั้งสิ้น 2x4 = 8 สถานะ จง เขียนสถานะทัง้ 8 ดังกลาว ใหอยูในรูป j1m1; j2m2 b) ในทํานองเดียวกันกับสมการ (5.1) เราสามารถเขียน Hamiltonian ไดวา
(
A ˆ ˆ Hˆ = J J + Jˆ1− Jˆ2 + + 2 Jˆ1z Jˆ2 z 2 1+ 2 −
)
จงสราง Hamiltonian matrix ขนาด 8x8 และหา eigen
energy ของระบบ สืบเนื่องจาก eigen energy ของระบบดังในสมการ (5.13) และ สมการ (5.12) จะสังเกตวา hydrogen อะตอม ซึ่งแตเดิมถานําเอาเฉพาะ Coulomb interaction มาวิเคราะห จะมีพลังงาน ground state อยาง หยาบๆ เทากับ E0 ≈ 13.6eV ดังในภาพ 5.2 เมื่อนําเอา hyperfine interaction เขามารวมพิจารณา เพื่อใหไดระดับพลังงานที่ละเอียดถี่ถวนมากขึ้น พบวา แทจริงแลว ระดับพลังงานของ hydrogen อะตอมนั้น ขึน้ อยูกับลักษณะการเรียงตัวของ spin ของอนุภาคทั้งสองดวย ในแงของระดับพลังงาน นั้น แยกออกเปน 2 ระดับดังภาพ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-8
Hydrogen Hydrogenอะตอม อะตอม 1 1 ↑↓ + ↓↑ 2 2
↑↑
proton
E0 ≅ 13.6eV
↓↓
5.9 × 10−6eV
หมอก electron
1 1 ↑↓ − ↓↑ 2 2
λ = 21cm ภาพ 5.2 การเกิดคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ความยาวคลื่น 21cm เนื่องมาจาก hyperfine interaction ระหวาง spin ของอิเล็กตรอนและ spin ของโปรตอน
ทั้งนี้จะพบวา เมื่อ hydrogen อะตอมมีการเปลี่ยนแปลงสถานะเกิดขึ้น ก็จะตองปลดปลอยคลื่น แมเหล็กไฟฟาที่มีพลังงานเทากับ hν = ΔE =
A ⎛ 3A ⎞ −⎜ ⎟ = 2A 2 ⎝ 2 ⎠
ในป 1944 Hendrik van de Hulst ไดทํานายความถี่ของคลื่นแมเหล็กไฟฟาดังกลาวในทางทฤษฏีวา อยูในชวง 1420.4058 MHz หรือที่ความยาวคลื่นประมาณ 21cm ซึ่งตอมาในป 1951 Ewen และ Purcell ไดพิสจู นดว ยการทดลองวาคลื่นดังกลาวมีอยูจ ริง (Nature. 168:356) คลื่นวิทยุที่ความถี่ ดังกลาวนี้มีความสําคัญมากในทางดาราศาสตร เพราะวาเอกภพประกอบดวยกลุมแก็ส hydrogen จํานวนมหาศาล และในป 1951 Muller และ Oort (Nature. 168:357) ไดสรางแผนที่ของกาแล็กซี ทางชางเผือกขึ้นเปนครั้งแรกโดยอาศัยการตรวจวัดความเขมของสัญญาณในชวง 21cm ซึ่งได คนพบเปนครัง้ แรกวากาแล็กซีทางชางเผือกมีโครงสรางที่เปน spiral
5.2 Two Spin
1 2
Particles
ในการศึกษา eigenstate ของ hyperfine interaction Hamiltonian นั้น เราพบวาสถานะทั้ง 3 ใน สมการ (5.12) มีพลังงานที่เทากัน จึงเปนที่นาสังเกตวาสถานะทั้ง 3 ดังกลาว ควรจะมีคุณสมบัติบาง ประการที่เหมือนกัน
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-9
จริงอยู ระบบที่เรากําลังพิจารณาโดยภาพรวมแลวนั้นประกอบดวย 2 อนุภาค แต basis state ที่เรา นํามาใช เปนคุณสมบัติทกี่ ลาวถึงรายละเอียดเฉพาะตัวของอนุภาคนั้นๆ ยกตัวอยางเชน ↑↓ เปนสถานะทีอ่ นุภาคที่หนึ่งมี spin up และอนุภาคที่สองมี spin down ในทางตรงกันขาม เราอาจจะสนใจคุณสมบัติโดยรวมของทั้งระบบ อาทิเชน total spin angular momentum ตามแนวแกน z หรือ total spin angular momentum ยกกําลังสอง และการที่จะไดมา ซึ่งปริมาณทางฟสิกสเหลานี้ ก็ทําไดโดยการสราง operator ขึ้นมา และ หา eigenvalue ของ operator นั้นๆ โดยเราสามารถนิยาม __________________ สมการ (5.14)
Sˆ z ≡ Sˆ1z + Sˆ2 z
และ
(
)(
Sˆ 2 ≡ Sˆ ⋅ Sˆ = Sˆ1 + Sˆ2 ⋅ Sˆ1 + Sˆ2
)
Sˆ 2 = Sˆ12 + Sˆ22 + 2Sˆ1 ⋅ Sˆ2
_______________ สมการ (5.15)
ดวยอาศัยรูปแบบของ Sˆ 2 operator ในสมการ (5.15) และอาศัย basis state ↑↑ , ↑↓ , ↓↑ , ↓↓ เราเขียน Sˆ 2 ในรูปของ matrix ไดวา ⎡2 ⎢0 → 2⎢ Sˆ 2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ↑↑ , ↑↓ , ↓↑ , ↓↓ basis ⎢0 ⎢ ⎣0
0 1 1 0
0 1 1 0
0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 2⎦
_______ สมการ (5.16)
ซึ่ง matrix ดังกลาวมี eigenvector และ eigenvalue ดังตอไปนี้ ⎡1 ⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥, ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦
⎡0⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎢ +1⎥ , 2 ⎢ +1⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦
⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦
ลวนมี eigenvalue เทากับ 2
2
= 1(1 + 1) 2
และ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎢ +1⎥ 2 ⎢ −1⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦
Dr. Teepanis Chachiyo
มี eigenvalue เทากับ 0
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
2
= 0(0 + 1) 2
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-10
ซึ่ง eigenvector ของ Sˆ 2 operator ขางตน เขียนใหอยูใ นรูปของ ket ไดวา eigenvalue
d =
↑↑
Sˆ 2 d = 1(1 + 1) 2 d
c =
1 1 ↑↓ + ↓↑ 2 2
Sˆ 2 c = 1(1 + 1) 2 c
b =
↓↓
a =
1 1 ↑↓ − ↓↑ 2 2
ˆ2
S b = 1(1 + 1)
2
____________ สมการ (5.17)
b
Sˆ 2 a = 0(0 + 1) 2 a
จากสมการขางตน เพื่อความสะดวก เราใชสัญลักษณ a , b , c , d แทน eigenstate ทั้ง 4 ที่มีอยู และจะสังเกตไดชัดเจนวา เซตของ eigenstate ดังกลาวเปนเซตเดียวกันกับ eigenstate ของ hyperfine splitting Hamiltonian ในสมการ (5.13) และ (5.12) นอกจากนี้ สมการ(5.14) และ (5.15) ยังแสดงใหเห็นวา operator ที่แสดงถึงคุณสมบัติโดยรวมของ ระบบทั้งสองนั้น commute หรืออีกนัยหนึ่ง ⎡ Sˆ , Sˆ 2 ⎤ = 0 ⎣ z ⎦
__________________ สมการ (5.18)
ทั้งนี้จะเห็นไดจากการพิจารณา ⎡⎣ Sˆz , Sˆ 2 ⎤⎦ และกระจายเทอมออกเปนชิ้นๆ จะไดวา ⎡ Sˆ , Sˆ 2 ⎤ = ⎡ Sˆ + Sˆ , Sˆ 2 + Sˆ 2 + 2 Sˆ ⋅ Sˆ ⎤ 2z 1 2 1 2⎦ ⎣ z ⎦ ⎣ 1z = ⎡ Sˆ1z , Sˆ12 ⎤ + ⎡ Sˆ2 z , Sˆ12 ⎤ + ⎡ Sˆ1z , Sˆ22 ⎤ + ⎡ Sˆ2 z , Sˆ22 ⎤ + ⎡⎣ Sˆ1z + Sˆ2 z , 2 Sˆ1 ⋅ Sˆ2 ⎤⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
จากแบบฝกหัด 3.4 เราทราบวา ⎣⎡ Sˆ1z , Sˆ12 ⎦⎤ = 0 และ ⎣⎡ Sˆ2 z , Sˆ12 ⎦⎤ = 0 เพราะ operator คูกรณีนั้น มิไดกระทํากับอนุภาคตัวเดียวกัน ทําใหสมการขางตนลดรูปเหลือเพียง ⎡ Sˆ , Sˆ 2 ⎤ = ⎡ Sˆ + Sˆ , 2Sˆ ⋅ Sˆ ⎤ 2z 1 2⎦ ⎣ z ⎦ ⎣ 1z = 2 ⎡⎣ Sˆ1z + Sˆ2 z , Sˆ1x Sˆ2 x + Sˆ1 y Sˆ2 y + Sˆ1z Sˆ2 z ⎤⎦
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-11
และดวยอาศัยคุณสมบัติเชิง commutator ของ angular momentum operator ในสมการ (3.5) ทําให เราสรุปไดวา ⎡⎣ Sˆz , Sˆ 2 ⎤⎦ = 0 ซึ่งก็เปนจริงดังในสมการ (5.18) แบบฝกหัด 5.4 พิสูจนวา ⎡⎣ Sˆ1z + Sˆ2 z , Sˆ1x Sˆ2 x + Sˆ1y Sˆ2 y + Sˆ1z Sˆ2 z ⎤⎦ = 0 เนื่องจาก ⎣⎡ Sˆz , Sˆ 2 ⎤⎦ = 0 จะไดวา eigenstate ของ Sˆ 2 ดังในสมการ (5.17) ก็ยอมตองเปน eigenstate ของ Sˆz ดวยเชนกัน เพราะฉะนั้น เราสามารถที่จะคํานวณผลของ operator Sˆz ตอ eigenstate ดังกลาว ยกตัวอยางเชน
(
)
1 ⎛ 1 ⎞ Sˆ z c = Sˆ1z + Sˆ2 z ⎜ ↑↓ + ↓↑ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ 1 1 1 1 = Sˆ1z ↑↓ + Sˆ1z ↓↑ + Sˆ2 z ↑↓ + Sˆ2 z ↓↑ 2 2 2 2 1 1 1 1 = ↑↓ − ↓↑ − ↑↓ + ↓↑ 2 2 2 2 2 2 2 2
เนื่องจากในสมการขางตนนัน้ เครื่องหมายของแตเทอมหักลางกันพอดี จึงทําให Sˆz เขียนไดอีกวา
c =0
หรือ
Sˆ z c = 0 c
เมื่อเปนเชนนี้ เราสามารถสรุปผลของ operator Sˆz และ Sˆ 2 ที่มีตอ eigenstate ดังนี้
a ,b ,c ,d
d =
↑↑
Sˆ 2 d = 1(1 + 1) 2 d
Sˆ z d = + d
c =
1 1 ↑↓ + ↓↑ 2 2
Sˆ 2 c = 1(1 + 1) 2 c
Sˆ z c = 0 c
b =
↓↓
Sˆ 2 b = 1(1 + 1) 2 b
Sˆ z b = − b
a =
1 1 ↑↓ − ↓↑ 2 2
Sˆ 2 a = 0(0 + 1) 2 a
Sˆ z a = 0 a
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
_ สมการ (5.19)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-12
เมื่อเราทบทวนบทที่ 3 ในเรือ่ งของ angular momentum จะพบวา เราสามารถใช basis state j, m เพื่อเปนตัวแทนสถานะเชิง spin ของระบบ นอกจากนี้ เรายังทราบวา ผลของ operator Sˆz และ Sˆ 2 ตอสถานะ j, m ก็คือ Sˆ z j , m = m
และ Sˆz
j, m
j , m = j ( j + 1) 2 j , m
________ สมการ (5.20)
เพราะฉะนั้นถาเราลองเปรียบเทียบสมการ (5.20) กับสมการ (5.19) จะทําใหเราสามารถเขาใจ ความหมายของสถานะ a , b , c , d ไดดยี ิ่งขึ้น นั่นก็คือ จากการเปรียบเทียบเราพบวา d
=
j = 1, m = +1
c b
= =
j = 1, m = 0 j = 1, m = − 1
a
=
j = 0, m = 0
______________ สมการ (5.21)
และกอนทีเ่ ราจะวนอยูใ นวงกตของคณิตศาสตร จนหลงประเด็นทีก่ ําลังจะทําความเขาใจ ผูเขียนจะ ขอย้ําอีกครั้งวา ใน Section 5.2 นี้ เราตองการที่ศึกษาคุณสมบัติโดยรวมของระบบที่มีสองอนุภาค โดยแตละอนุภาคมี spin ไดสองแบบคือ spin up
1 1 j = ,m = − 2 2
และ spin down
1 1 j = ,m = + 2 2
โจทย spin ของทั้งสองอนุภาคจะตองเรียงตัวอยางไร ระบบโดยรวมจึงจะ มี ตอบ จากสมการ (5.21) จะไดวา คําตอบที่ถูกตองก็คือ ↑↑
j =1
และ m = 1
จากตัวอยางในขางตน เราสามารถทําความเขาใจไดโดยงายวา ในเมื่ออนุภาคแตละตัวมี angular momentum ตามแนวแกน z เทากับ m1 = + 1 และ m2 = + 1 ก็ยอมจะทําใหทั้งระบบมี m = 1 2
2
แตพฤติกรรมของ quantum mechanics มิไดทําความเขาใจไดโดยงายเสมอไป ยกตัวอยางเชน ถาเรา ตองการที่จะใหระบบโดยรวมมี j = 0, m = 0 นั่นก็คอื เปน spin ที่มีขนาดของ vector เปนศูนย จากสมการ (5.21) จะพบวา อนุภาคทั้งสองจะตองอยูใ นสถานะ j = 0, m = 0 =
Dr. Teepanis Chachiyo
1 1 ↑↓ − ↓↑ 2 2
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
________ สมการ (5.22)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-13
สมการขางตนแสดงใหเห็นวา ในสภาวะที่ spin ของทั้งสองอนุภาคมีทศิ ทางตรงกันขามซึ่งก็คือ ↑↓ หรือ ↓↑ จะทําให spin ของระบบมีคาเปนศูนย และเนื่องจากการที่อนุภาคทั้งสองมี spin ชี้ใน ทิศตรงกันขามนี้ เปนไปไดสองกรณี j = 0, m = 0 ดังในสมการ (5.22) จึงเปน superposition ของ basis sate ทั้งสอง ทั้งนี้ ใหสังเกตสัมประสิทธิ์ที่เปนเครื่องหมายลบ ถาเราทําใหสัมประสิทธิ์เปนเครื่องหมายบวก ผลลัพธที่ได กลับทําให angular momentum ของทั้ง ระบบไมเปนศูนย นัน่ ก็คือ จากสมการ (5.21) j = 1, m = 0 =
1 1 ↑↓ + ↓↑ 2 2
________ สมการ (5.23)
สถานะ j = 1, m = 0 ขางตน แสดงใหเห็นถึง spin ของระบบที่ไมเปนศูนย ( j ≠ 0) และเรา จะตองย้าํ ใหเห็นอีกครั้งวา ถึงแมวาสถานะทั้งสองทางขวามือของสมการ (5.23) ลวนแลวแตเปน สถานะที่ spin ของอนุภาคทั้งสองมีทิศตรงกันขาม แตเมื่อนํามาเรากัน spin ของทั้งระบบกลับไม เปนศูนย และนี่กเ็ ปนอีกตัวอยางหนึ่งทีแ่ สดงใหเห็นความแปลกที่ผิดแผกไปในโลกของ quantum mechanics ทั้งนี้ เราจะขอสรุปคุณสมบัติการรวมกันของ spin j1m1 และ เดียวกัน เราใชสัญลักษณ j1m1; j2m2 เพื่อใหกระชับ ไดวา j = 1, m = +1
=
j = 1, m = 0
=
j = 1, m = −1
=
j = 0, m = 0
=
j2 m2
ซึ่งเมื่อรวมอยูใ นระบบ
1 1 1 1 ,+ ; ,+ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,+ ; ,− + ,− ; ,+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ,− ; ,− 2 2 2 2
_____ สมการ (5.24)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,+ ; ,− − ,− ; ,+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ในทายที่สุด เราสามารถตอบคําถามที่เกี่ยวของกับ eigen energy ของ hyperfine interaction ที่วา เพราะเหตุใด พลังงานของ eigenstate จึงแบงออกเปน 2 กลุมอยางชัดเจน จากสมการ (5.24), (5.13)
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
, และ (5.12) เราตอบไดวา พลังงาน j =1
ในขณะที่พลังงาน
E=−
5 Interaction ของ Spin E=+
3A 2
A 2
5-14
นั้นเปนกลุมของ eigenstate ที่มี angular momentum
อยูในกลุมของ eigenstate ที่มี
j=0
นั่นเอง
5.3 EPR Paradox เพื่อที่จะยกตัวอยางที่เปนรูปธรรมของการนําสมการ (5.24) มาประยุกตใชงานในสถานการณจริง เราจะมาศึกษาการสลายตัวของอนุภาค η meson และจากการวิเคราะหการสลายตัวของอนุภาคที่ ไมเสถียรนี้เอง จะนําไปสูขอสังเกตที่ Einstein, Podolsky, และ Rosen (Phys.Rev. 1935. 47:777) ได ใหไวเพื่อประกอบความเชื่อของบุคคลทั้งสามในขณะนัน้ ที่วา quantum mechanics ยังเปนทฤษฏีที่ มีขอบกพรองอยู ซึ่งขอสังเกตดังกลาวนี้ รูจักกันทัว่ ไปภายใตชื่อ EPR Paradox
อนุภาค η -meson มี spin s = 0
กอนสลายตัว หลังสลายตัว อนุภาค μ + มี spin s = 1
2
อนุภาค μ − มี spin s = 1
2
เนื่องจากกฎของการอนุรักษ angular momentum ภายหลังจาก การสลายตัว ระบบของอนุภาคทั้งสองจะตองมีสถานะเปน Ψ =
1 1 ↑↓ − ↓↑ 2 2
ภาพ 5.3 แสดงการสลายตัวของอนุภาค η -meson ซึ่งในบางครั้งเกิดเปนอนุภาค μ + anti-muon และ μ − muon ภาพ 5.3 แสดงการสลายตัวของอนุภาค η -meson ซึ่งเปนอนุภาคทีม่ ี spin s = 0 ถึงแมวาการ สลายตัวของอนุภาคโดยปกติจะเกิดผลลัพธที่แตกตางกันขึ้นอยูกับระดับพลังงานของอนุภาคดังกลาว ในบางครั้ง η -meson สลายตัวออกเปนอนุภาคสองตัวคือ muon และ anti-muon ซึ่งใชสัญลักษณวา μ − และ μ + ตามลําดับ และเปนทีท ่ ราบโดยทั่วไปวา คุณสมบัติของ muon หรือ anti-muon นั้น ลวนเปนอนุภาคที่มี spin s = 1
2
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-15
โจทย ภายหลังจากการสลายตัวทําใหเกิดเปนระบบทีม่ ีสองอนุภาค จงเขียนสถานะของระบบ ตอบ
Ψ =
1 1 ↑↓ − ↓↑ 2 2
เมื่อพิจารณาระบบที่มีสองอนุภาค และแตละอนุภาคมี spin s = 1 นั้น การเรียงตัวของ spin เปนไป 2
ไดทั้งหลายวิธดี ังในสมการ (5.24) แตมีอยูวิธีเดียวเทานัน้ ที่ทําให total spin angular momentum ของระบบทั้งหมดมีคาเปนศูนย สาเหตุที่ตองเปนศูนยก็เพราะวาอนุภาค η -meson ที่ใหกําเนิด muon และ anti-muon นั้น มี s = 0 ซึ่งเมื่อพิจารณากฎการอนุรักษ angular momentum แลวจะได วา spin กอนและหลังการสลายตัวจะตองเปนศูนย เพราะฉะนัน้ แลว สถานะของระบบภายหลังจาก การสลายตัว จะตองอยูในรูปของ
Ψ =
1 1 ↑↓ − ↓↑ 2 2
นอกจากนี้ กฎของการอนุรักษ momentum อีกเชนกันทีบ่ ังคับให muon และ anti-muon จะตองพุง ออกไปในทิศทางที่ตรงกันขาม และถาเราลองจินตนาการวา อนุภาคทัง้ สองเคลื่อนที่หางออกไป เรื่อยๆโดยไมอะไรมากีดขวาง จนอยูห างกันหลายลานปแสง คนละซีกของเอกภพ
ภาพ 5.4 แสดงเหตุการณสมมุติที่ Einstein จินตการขึ้นเพื่อชี้ใหเห็นวา quantum mechanics ยังเปน ทฤษฏีที่ไมมีความสมบูรณ ดังแสดงในภาพ 5.4 ถาสมมุติวาอนุภาคทั้งสองอยูหางกันเปนระยะทางมหาศาล แตดว ยขอกําหนด ของระบบที่วา spin ของอนุภาคทั้งสองจะตองมีทิศทางตรงกันขามเสมอ เพราะฉะนัน้ ถาเราติดตั้ง Stern-Gerlach experiment เพื่อทําการวัด spin และพบวาอนุภาค anti-muon μ + ทางซายมือมี spin Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
เปน
1 1 ,+ 2 2
5 Interaction ของ Spin
5-16
อนุภาค muon μ − ที่อยูอีกซีกหนึ่งของกาแล็กซีจะโดนบังคับดวย quantum
mechanics ใหมี spin เปน
1 1 ,− 2 2
ในทันที ซึ่งเร็วกวาความเร็วแสง และขัดกันอยางสิ้นเชิงกับ
special relativity ของ Einstein นอกจากนี้ การที่คุณสมบัติเชิง spin ของอนุภาค muon μ − ไปผูกติดอยูก ับคุณสมบัตขิ องอนุภาค anti-muon μ + ยังแสดงใหเห็นวา spin ของอนุภาค muon μ − มิใชคุณสมบัติเฉพาะตัวของมันเอง หากแตไปผูกติดอยูกับอนุภาคอื่นๆที่อยูหา งไกลออกไป นักฟสิกสเรียกพฤติกรรมลักษณะดังกลาว นี้วา non-locality และในป 1935 Einstein, Podolsky, และ Rosen (Phys.Rev. 1935. 47:777) ไดตีพิมพบทความที่ แสดงจุดยืนเชิงปรัชญาที่วา คุณสมบัติตางๆเชน momentum, มวล, พลังงาน, หรือ spin ก็ตาม ควร จะตองเปนสมบัติเฉพาะตัวของอนุภาคตัวนั้นๆ และไมขึ้นอยูกับสิ่งแวดลอมหรืออนุภาคอื่นใด พฤติกรรมลักษณะเชนนี้เรียกวา local reality ซึ่งหมายถึง คุณสมบัติของอนุภาค (reality) จะตองมี อยูจริงและเปนสมบัติเฉพาะตัว (local) ของมันเอง ความขัดแยงในเชิงปรัชญาอันนี้เอง ที่เรียกกัน โดยทั่วไปวา EPR Paradox
1. สองภาพใสซอง ทีเ่ หมือนกัน
2. สลับซองจนแยกไมออก วาภาพไหนอยูซองใด
3. สงออกไปยังผูรับ
ภาพ 5.5 เหตุการณจําลองที่จะทําใหนกั ศึกษาเขาใจความหมายของ Einstein ในแงของ local reality ไดงายขึ้น สมมุติวามีภาพสองภาพ 1) แจกัน และ 2) ใบหนา ถาเราใสซองที่เหมือนกันและสลับ จนแยกไมออกวาภาพไหนอยูซองใด จากนั้นสงไปยังผูร ับ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-17
ภาพ 5.5 แสดงเหตุการณจาํ ลองที่จะทําใหนักศึกษาเขาใจความหมายของ Einstein ในแงของ local reality ไดงายขึ้น สมมุติวามีภาพสองภาพ 1) แจกัน และ 2) ใบหนา ถาเราใสซองที่เหมือนกันและ สลับจนแยกไมออกวาภาพไหนอยูซองใด จากนั้นสงไปยังผูรับ จริงอยูวาถายังไมเปดซองเราก็ไมทราบวาภายในซองมีภาพใด *แต* ภาพที่อยูในซอง เปนสมบัติ เฉพาะตัวของซองนั้นๆ และสมบัติดังกลาวไดถูกกําหนดไวอยางชัดเจนตั้งแตเมื่อครั้งที่เราไดทําการ บรรจุภาพเอาไว และการที่เราไมทราบวาซองไหนมีภาพใดก็เปนเพราะ ภาพถูกซอนไวในซอง Einstein ใชคําศัพทวา "hidden variable" ที่ใชแทนปริมาณทางฟสิกสทเี่ ราไมอาจจะวัดไดดว ย ขอจํากัดตางๆ และความไมแนนอน หรือ randomness ในทางฟสิกสก็เปนผลสืบเนือ่ งมาจาก ขอจํากัดดังกลาวนี้เอง
Quantum Mechanics Theory
Hidden Variable Theory
ความไมแนนอนเปนสมบัติ พื้นฐานและหลีกเลี่ยงไมได
Ψ =
1 1 ↑↓ − ↓↑ 2 2
ความไมแนนอนเปนเพียงขอจํากัดใน การวัดปริมาณทางฟสิกสที่ซุกซอนอยู
ภาพ 5.6 แสดงถึงมุมมองที่แตกตางกันระหวาง quantum mechanics theory และ hidden variable theory ภาพ 5.6 แสดงถึงมุมมองที่แตกตางกันระหวาง quantum mechanics theory และ hidden variable theory เมื่อเราพิจารณาระบบที่เปนสถานะผสมของ basis state ดังจะเห็นในตัวอยางที่เปนสถานะ ผสมของภาพแจกันและภาพใบหนา quantum mechanics theory มองการผสมของสองสถานะดังกลาวเปนกฎเกณฑพื้นฐานของธรรมชาติ และหลีกเลีย่ งไมได ดังทีไ่ ดเห็นในภาพที่อาจจะตีความไดวาเปนแจกันหรือใบหนาก็ได ขึ้นอยูก ับ จังหวะและมุมมองของผูสังเกต
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-18
ในขณะที่ hidden variable theory มองการผสมของสองสถานะดังกลาวเปนเพียงขอจํากัดทางเทคนิค เปรียบเสมือนภาพที่ซุกซอนไวในซอง โดยที่แตละซองก็จะมีภาพซึ่งเปนสมบัติเฉพาะตัวของซอง นั้นๆ และเปนอิสระจากซองอื่นๆ กอนป 1964 นักฟสิกสสวนใหญเชื่อวา กลไกทาง quantum mechanics ที่เกีย่ วของกับ probability amplitude หรือ แมกระทั่งการใช complex number เขามาเปนหนึ่งในหัวใจสําคัญของตัวทฤษฏีนั้น ถึงแมวาจะสามารถอธิบายและทํานายผลการทดลองได ก็เปนเรื่องบังเอิญ Einstein เชื่อวาเราสามารถที่จะออกแบบ hidden variable theory ที่อธิบายและทํานายผลการทดลอง ตางๆที่ quantum mechanics เคยประสบความสําเร็จมาแลว อาทิเชน Stern-Gerlach experiment โดย ที่ hidden variable theory ดังกลาว ไมมีความจําเปนใดๆที่จะตองนําแนวคิดของ non-locality หรือ complex number เขามามีสวนรวมแตอยางใด ในป 1964 John Bell (J. Bell. Physics 1, 195) ไดออกแบบการทดลองขึ้นมาชุดหนึ่งที่ quantum mechanics theory และ hidden variable theory มีผลการทํานายที่แตกตางกันโดยสิ้นเชิง และตอมา ในภายหลังนักวิทยาศาสตรอาทิ Aspect et. al. (A. Aspect, P. Grangier, and G. Roger. Phys. Rev. Lett. 49:91) ก็ไดพิสูจนใหเห็นจริงดวยการทดลองวา quantum mechanics เปนทฤษฏีที่ถูกตอง
5.4 การรวมกันของ Angular Momentum ในตัวอยางของ Section ที่ผานมา เรามุงเนนไปที่ spin ของอิเล็กตรอนและโปรตอนซึ่งมี s = 1 ใน 2
คราวนี้เราจะมาศึกษาการที่ angular momentum eigenstate ของ Jˆ1 คือ eigenstate ของ Jˆ2 คือ
Jˆ1
และ
j1m1
m1 ∈ {+ j1, j1 − 1,
j2 m2
m2 ∈ {+ j2 , j2 − 1,
Jˆ2
เขามารวมกัน โดยที่
, − j1 + 1, − j1}
มีทั้งสิ้น 2 j1 + 1 state , − j2 + 1, − j2 } มีทั้งสิ้น 2 j2 + 1 state
เมื่อ angular momentum ทั้งสอง มีความจําเปนที่จะตองนํามาพิจารณาเปนระบบเดียวกัน ไมวาจะ เปน (1) สองอนุภาคเขามารวมกันเปนอะตอม (2) หรือสองอนุภาคที่เกิดขึ้นจากปรากฏการณการ สลายตัวของอนุภาคที่ไมเสถียร (3) หรือแมกระทั่งกรณีของอนุภาคเดียว แตเราตองการพิจารณาทั้ง orbital angular momentum Jˆ1 = Lˆ และ spin angular momentum Jˆ2 = Sˆ ไปพรอมๆกัน กลาวคือ Jˆ1 + Jˆ2 = Lˆ + Sˆ เปนตน
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-19
ในกรณีเชนนี้ เราสามารถสราง basis state ใหอยูใ นรูปของ basis set
j1m1; j2 m2
มีทั้งสิ้น (2 j1 + 1)(2 j2 + 1) state _____ สมการ (5.25)
อยางไรก็ตาม เซตของ basis state ในสมการ (5.25) เปนสถานะที่แสดงถึงคุณสมบัติเฉพาะตัวของ อนุภาคทั้งสอง และถาเราตองการที่จะสราง state ที่แสดงใหเห็นถึงสมบัติโดยรวมของทั้งระบบ สามารถทําไดโดยเขียน jm
โดยที่ ( Sˆ 2 )
jm = j ( j + 1) 2 jm
และ ( Sˆz )
jm = m
jm
_____ สมการ (5.26)
สถานะทั้งสองลักษณะดังสมการ (5.25) และ (5.26) นั้น เราไดเคยวิเคราะหมาแลวในกรณีตวั อยาง ดัง ในสมการ (5.24) และจากตัวอยางนี้เอง จะพบวา เราสามารถเขียน jm ใหอยูในรูป superposition ของ basis set j1m1; j2m2 ไดวา jm =
∑
m1 , m2
Cm1, m2 j1m1; j2 m2
_____ สมการ (5.27)
โดยที่สัมประสิทธิ์ Cm1, m2 มีชื่อเฉพาะวา Clebsch-Gordan Coefficient ซึ่งมีคาแตกตางกันไปตาม พฤติกรรมของระบบที่กําลังพิจารณา จะเห็นวา สัมประสิทธิ์ดังกลาว มีตัวเลขดัชนีกาํ กับอยู 2 ตัวคือ m1 และ m2 ยกตัวอยางเชน ถาเราเขียนตัวอยางดังที่ไดกลาวไวในสมการ (5.24) ใหอยูในรูปแบบ ของภาษาที่ใชในสมการ (5.27) จะไดวา
j = 1, m = 0 =
1 1 C 1 1 j1, m1 = + ; j2 , m2 = + + ,+ 2 2
1 1 +C 1 1 j1, m1 = + ; j2 , m2 = − + ,− 2 2
1 1 +C 1 1 j1, m1 = − ; j2 , m2 = + − ,+ 2 2
1 1 +C 1 1 j1, m1 = − ; j2 , m2 = − − ,− 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
ซึ่งในกรณีนี้ สัมประสิทธิ์ดังกลาวมีคาเทากับ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
C 1 1 =0
C 1 1=
+ ,+ 2 2
C 1 1 = − ,+ 2 2
+ ,− 2 2
1 2
5-20
1 2
C 1 1 =0 − ,− 2 2
ทั้งนี้ การเขียนสถานะ jm ใหอยูใ นรูปทั่วไปดังสมการ (5.27) มีจุดประสงคก็เพื่อเปนสากลในการ วิเคราะหระบบตางๆทางฟสิกสที่มี angular momentum j , m , j1 , และ j2 แตกตางกันออกไป และโดยปรกติแลว นักศึกษาจะสามารถตรวจสอบคาของสัมประสิทธิ์ Cm1, m2 ไดจากตารางอางอิง ทั่วไปที่ไดมีการจัดทําไวแลวเพื่อการสะดวกในการนํามาใชงาน a) 1 2 ⊗1 2
1
0
0 +1 2 −1 2 1 2 −1 2 + 1 2 1 2
0 12 −1 2
−1 2 −1 2
b) 1 ⊗1 2
ละไวในถานที่เขาใจวาสัมประสิทธิใ์ นตาราง จะตองอยูในรูปของ square root กอนนํามา ใชงาน ยกตัวอยางเชน −1 2 จริงๆแลว หมายถึง − 1 2
1
+1 +1 2 +1 2 1
1 −1 1
c)
32
+3 2 +1 + 1 2 1 +1 − 1 2 0 +1 2
3 2
12
+1 2 13 23
+1 2 2 3 −1 3
0 −1 2 −1 + 1 2
การอานตาราง m1 m2
3 2
m1 m2
12
−1 2 −1 2 23 13 1 3 −2 3
j
j
m m
สัมประสิทธิ์
32
−3 2 −1 −1 2 1
ภาพ 5.7 แสดงตาราง Clebsch-Gordan Coefficient ที่พบไดโดยทัว่ ไป ยกตัวอยางเชนภาพ 5.7 ที่แสดงตาราง Clebsch-Gordan Coefficient ที่พบไดโดยทั่วไปในหนังสือ อางอิง นักศึกษาจะพบวาในภาพจะประกอบดวยตารางยอยที่ขึ้นตนดวยสัญลักษณอาทิเชน 1 ⊗ 1 2 ซึ่งหมายถึงการรวมกันของ angular momentum
j1 = 1 และ j2 =
1 2
ตารางดังภาพ 5.7b ยังแบงออกเปนสวนยอยๆ 4 สวน ซึ่งแตละสวนมีความหมายดังแสดงในภาพ 5.7c ในภาพดังกลาว แถวบนแสดงถึงสถานะ jm ที่เปนไปได ในขณะทีแ่ ถวซายแสดงถึง linear superposition ของ j1m1; j2m2 และในบริเวณสวนกลางของตารางก็คือสัมประสิทธิ์ ยกตัวอยางเชน
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 32 +3 2 +1 + 1 2 1
5 Interaction ของ Spin
5-21
มีความหมายวา j = 3 2, m = + 3 2 = j1, m1 = +1 ; j2 , m2 = + 1 2
+1 − 1 2 0 +1 2
3 2 +1 2
12 +1 2
13 23
2 3 −1 3
มีความหมายวา
j = 3 2, m = + 1 2 =
1 2 j1, m1 = +1 ; j2 , m2 = − 1 2 + j1, m1 = 0 ; j2 , m2 = + 1 2 3 3
และ j = 1 2, m = + 1 2 =
2 1 j1, m1 = +1 ; j2 , m2 = − 1 2 − j1, m1 = 0 ; j2 , m2 = + 1 2 3 3
สัมประสิทธิ์ที่เรียกวา Clebsch-Gordan Coefficient ดังที่แสดงในสมการ (5.27) นอกจากจะเขียนอยู ในรูป Cm1, m2 ยังอาจจะเขียนอยูในรูปของ bra-ket ไดวา jm =
∑ (
j1m1; j2 m2 jm
)
j1m1; j2 m2
_____ สมการ (5.28)
m1 , m2
สมการ (5.28) ขางตนนิยามให Clebsch-Gordan Coefficient อยูในรูปของ j1m1; j2m2 jm ซึ่งเรา จะมาศึกษาอยางละเอียดในขัน้ ตอนตอไปถึงการคํานวณปริมาณดังกลาว อยางไรก็ตามกอนที่เราจะ วิเคราะห Clebsch-Gordan Coefficients ดวยวิธีการทางคณิตศาสตรอยางละเอียด ภาพ 5.8 แสดงถึง ตารางของสัมประสิทธิ์ในกรณีตางๆทั้งสิ้น 7 กรณีเพื่อความสะดวกในการใชงานในอนาคต
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-22
ภาพ 5.8 แสดง Clebsch-Gordan Coefficients ที่เกีย่ วของกับการรวมกันของ angular momentum และ j2 ซึ่งดังตารางใชสัญลักษณ j1 ⊗ j2
j1
อยางไรก็ตาม ตารางดังแสดงในภาพ 5.8 เปนสิ่งที่เราสามารถที่สรางไดเองในกรณีทเี่ ราจําเปนตอง วิเคราะหระบบที่มี angular momentum นอกเหนือจากทีม่ ีอยูในตาราง ดังนั้นเราจําเปนตองมา พิจารณาเอกลักษณทางคณิตศาสตร 3 ขอดวยกันคือ 1)
j1m1; j2 m2 jm = 0
Dr. Teepanis Chachiyo
เวนแต m = m1 + m2
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-23
คุณสมบัติขางตนของ Clebsch-Gordan Coefficient สามารถพิสูจนไดโดยงายเมื่อเราพิจารณา operator Jˆ z = Jˆ z1 + Jˆ z 2 เพราะฉะนัน้ Jˆ z − Jˆ z1 − Jˆ z 2 = 0
ซึ่งเมื่อ operator ที่เปนศูนยดงั กลาวกระทํากับสถานะใด ก็ยอมตองเปนศูนย หรือ
Jˆ z m
และเมื่อแยกตัวประกอบเอาสถานะ
( Jˆz − Jˆz1 − Jˆz 2 ) jm − ( Jˆ z1 + Jˆ z 2 ) jm − ( Jˆ z1 + Jˆ z 2 ) jm
(m ขั้นตอนตอไปคือการนําสถานะ bra
jm = 0 jm = 0 jm = 0
ออกมาจะไดวา − Jˆ z1 − Jˆ z 2
j1m1; j2 m2
)
jm = 0
มาประกบทั้งสองขางของสมการ ซึ่งจะทําให
(
j1m1; j2 m2 m − Jˆ z1 − Jˆ z 2
operator ( m
− Jˆ z1 − Jˆ z 2
) ที่เดิมการทํากับสถานะ ket
ของตัวมันเองเพื่อที่จะกระทํากับสถานะ bra
− Jˆ z†1 − Jˆ z†2
จากบทที่ 3 เรื่อง Angular Momentum เราทราบวา Jˆ z† = Jˆ z เพราะฉะนั้น
(
Jˆ z
และทําใหในทายที่สุด
) jm = 0
เปน Hermitian operator ซึ่งมีคุณสมบัติที่วา
j1m1; j2 m2 m − m1 − m2
( m − m1 − m2 )
jm = 0
เราสามารถเปลี่ยนใหเปน adjoint
jm
j1m1; j2 m2
( j1m1; j2m2 m
)
)
jm = 0
j1m1; j2 m2 jm = 0
สมการขางตนแสดงใหเห็นวา Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-24
ซึ่งก็คือ Clebsch-Gordan Coefficient จะตองมีคาเปนศูนยเวนแต m = m1 + m2 ______________________ สมการ (5.29)
j1m1; j2 m2 jm
2) Clebsch-Gordan Coefficients มีความสัมพันธแบบ recursive ที่วา j ( j + 1) − m ( m ± 1) j1m1; j2 m2 j , ( m ± 1) =
j1 ( j1 + 1) − m1 ( m1 ∓ 1) j1 ( m1 ∓ 1) ; j2 m2 jm +
j2 ( j2 + 1) − m2 ( m2 ∓ 1) j1m1; j2 ( m2 ∓ 1) jm
กอนที่เราจะนําความสัมพันธแบบ recursive ดังกลาวนํามาใชเปนเครื่องมือในการสรางตารางดังใน ภาพ 5.8 เราจะมาพิสูจนความสัมพันธขา งตน ทั้งนี้เพือ่ ฝกฝนการนําเอกลักษณทางคณิตศาสตรที่ได ศึกษาในบทที่ 3 มาใชประกอบการวิเคราะห พิจารณา operator
Jˆ±
ที่กระทํากับสถานะ
jm
(
จะไดวา
Jˆ± jm = Jˆ1± + Jˆ2 ±
)
jm
___________________ สมการ (5.30)
นอกจากนี้ เนือ่ งจากเซตของสถานะ เปน basis set ดังนั้นเราจึงสามารถเขียน identity operator ดัง ในสมการ (2.25) ไดวา 1ˆ =
∑
j1m1; j2 m2
j1m1; j2 m2
___________________ สมการ (5.31)
m1 , m2
เราสามารถนํา identity operator ดังกลาวเขาไปแทรกทางขวามือของสมการ (5.30) จะทําให
( Jˆ1± + Jˆ2± )1ˆ jm = ( Jˆ1± + Jˆ2± ) ∑
j1m1; j2 m2
j1m1; j2 m2 jm
______ สมการ (5.32)
m1 , m2
และโดยอาศัยสมบัติของ raising และ lowering operator ดังในสมการ (3.75)-(3.76) เราสามารถ กระจายเทอมในสมการ (5.32) ออกเปน 2 เทอมดังตอไปนี้
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
( Jˆ1± + Jˆ2± )
jm =
5 Interaction ของ Spin
∑
j1 ( j1 + 1) − m1 ( m1 ± 1) j1 ( m1 ± 1) ; j2 m2
∑
j2 ( j2 + 1) − m2 ( m2 ± 1) j1m1; j2 ( m2 ± 1)
5-25 j1m1; j2 m2 jm
m1 , m2
+
j1m1; j2 m2 jm
m1, m2
เพื่อที่จะลดรูปให summation ทั้งสองนั้นหายไป เราสามารถนําสถานะ bra j1m1′ ; j2m2′ เขาไป ประกบกับทั้งสองขางของสมการขางตน ใหสังเกตการใชสัญลักษณ m1′m2′ เพื่อปองกันการ ซ้ําซอนกับ m1m2 ที่ปรากฏอยูภายใน summation
(
j1m1′ ; j2 m2′ Jˆ1± + Jˆ2 ± =
)
jm
∑
j1 ( j1 + 1) − m1 ( m1 ± 1) j1m1′ ; j2 m2′ j1 ( m1 ± 1) ; j2 m2
∑
j2 ( j2 + 1) − m2 ( m2 ± 1) j1m1′ ; j2 m2′ j1m1; j2 ( m2 ± 1)
j1m1; j2 m2 jm
m1 , m2
+
j1m1; j2 m2 jm
m1 , m2
ดวยสมบัติความเปน orthonormal ของ basis set j1m1; j2m2 จะไดวา เทอมตางๆภายใน summation อันแรกมีคาเปนศูนย ยกเวนแตกรณีที่ m1′ = m1 ± 1 และ m2′ = m2 และในกรณีของ summation อันที่สอง เทอมที่มีคาไมเปนศูนยจะเกิดขึ้นก็ตอเมื่อ m1′ = m1 และ m2′ = m2 ± 1 เพราะฉะนั้น
(
j1m1′ ; j2 m2′ Jˆ1± + Jˆ2 ± =
)
jm
j1 ( j1 + 1) − m1′ ( m1′ ∓ 1) j1 ( m1′ ∓ 1) ; j2 m2′ jm +
j2 ( j2 + 1) − m2′ ( m2′ ∓ 1) j1m1′ ; j2 ( m2′ ∓ 1) jm
จะเห็นวาสมการขางตนนั้น ใชสัญลักษณ m1′m2′ เปนตัวกํากับสถานะของระบบ และเพื่อใหเกิด ความสวยงามเราอาจะเปลี่ยนมาเปนใชสัญลักษณ m1m2 แทน ซึ่งก็มิไดทําใหเกิดขอผิดพลาดทาง คณิตศาสตรแตอยางใด
(
j1m1; j2 m2 Jˆ1± + Jˆ2 ± =
)
jm
j1 ( j1 + 1) − m1 ( m1 ∓ 1) j1 ( m1 ∓ 1) ; j2 m2 jm +
j2 ( j2 + 1) − m2 ( m2 ∓ 1) j1m1; j2 ( m2 ∓ 1) jm
_______________________ สมการ (5.33) นอกจากนี้ ทางซายมือของสมการ (5.33) ยังสามารถเขียนอยูใ นรูป
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
(
j1m1; j2 m2 Jˆ1± + Jˆ2 ±
)
5 Interaction ของ Spin
5-26
jm = j1m1; j2 m2 Jˆ± jm j ( j + 1) − m ( m ± 1) j1m1; j2 m2 j , ( m ± 1)
=
__ สมการ (5.34)
และในทายทีส่ ุด ถาเราพิจารณาสมการ (5.33) และสมการ (5.34) จะไดวา ทั้งสองสมการมีคาเทากัน และนําไปสูความสัมพันธ j ( j + 1) − m ( m ± 1) j1m1; j2 m2 j , ( m ± 1) =
j1 ( j1 + 1) − m1 ( m1 ∓ 1) j1 ( m1 ∓ 1) ; j2 m2 jm +
j2 ( j2 + 1) − m2 ( m2 ∓ 1) j1m1; j2 ( m2 ∓ 1) jm
_________________________ สมการ (5.35)
3)
⎧ j= ⎪ m= ⎪ j1m1; j2 m2 jm = 1 if ⎨ ⎪ m1 = ⎪⎩ m2 =
j1 + j2 j j1 j2
สมบัติทางคณิตศาสตรขางตน สามารถพิสูจนไดโดยอาศัยสมการ (5.29) เขารวมในการพิจารณา กลาวคือ จากสมการ (5.28) เราสามรถเขียน j = ( j1 + j2 ) , m = j =
∑ (
j1m1; j2 m2
( j1 + j2 ) , ( j1 + j2 )
m1 , m2
)
j1m1; j2 m2
________________ สมการ (5.36) ภายใน summation ที่ประกอบดวยหลายๆเทอมดวยกัน แตจากสมการ (5.29) เทอมตางๆเหลานี้ ลวนมีคาเปนศูนย ยกเวนในกรณีที่ m1 + m2 = ( j1 + j2 )
________________ สมการ (5.37)
แตดว ยคุณสมบัติที่เกี่ยวกับ angular momentum เราทราบวา m1 ∈ { j1, j1 − 1, , − j1 + 1, − j1} และ ่ ุดคือ j1 และ m2 มีคา m2 ∈ { j2 , j2 − 1, , − j2 + 1, − j2 } นั่นหมายถึง m1 มีคาไดมากทีส ไดมากที่สุดคือ j2 เมื่อเปนเชนนี้ คาของ m1 และ m2 ที่จะทําใหสมการ (5.37) เปนจริงไดนนั้ ก็คือ m1 = j1 และ m2 = j2 ซึ่งเทอมตางๆที่ปรากฏอยูภายใน summation ที่ไมเปนไปตามเงื่อนไขดังกลาว ยอมมีคา เปนศูนย เพราะฉะนัน้ สมการ (5.36) แปรสภาพเปน Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
j = ( j1 + j2 ) , m = j =
5 Interaction ของ Spin
(
j1m1; j2 m2
5-27
( j1 + j2 ) , ( j1 + j2 )
)
j1 j1; j2 j2
Clebsch-Gordan Coefficient
ในเมื่อเทอมทางขวามือของสมการขางตน ประกอบดวยเทอมเพียงเทอมเดียว โดยอาศัยหลักของ normalization สัมประสิทธิ์ Clebsch-Gordan จะตองมีคาเปนหนึ่ง หรือสรุปไดวา ⎧ j= ⎪ m= ⎪ j1m1; j2 m2 jm = 1 if ⎨ ⎪ m1 = ⎪⎩ m2 =
j1 + j2 j
__________________ สมการ (5.38)
j1 j2
คุณสมบัติของ Clebsch-Gordan Coefficients ทั้ง 3 ขอในขางตน สามารถนํามาเปนเครื่องมือในการ สรางตารางที่สมบูรณดังในภาพ 5.8 ดังจะขอยกตัวอยางในกรณีของ
j1 = 1 และ j2 =
1 2
จากสมการ (5.38) เราบอกไดวา j1m1 = 1; j2 m2 =
1 3 3 ,+ =1 2 2 2
__________________ สมการ (5.39)
ซึ่งสัมประสิทธิ์ขางตน แสดงอยูในตารางยอยสีฟา ของกรณี 1 ⊗ 1 นอกจากนี้ เรายังสามารถใช 2
ความสัมพันธแบบ recursive ในสมการ (5.35) ทั้งนี้ ถากําหนดให m2 =
1 , j = 3 , และ m = 3 2 2 2
j1 = 1 , j2 =
1 , m1 = 0 , 2
จะทําให
3⎛3 ⎞ 3⎛3 ⎞ 1 1 3 ⎛3 ⎞ , ⎜ − 1⎟ ⎜ + 1⎟ − ⎜ − 1⎟ 1, 0; , + 2⎝2 ⎠ 2⎝2 ⎠ 2 2 2 ⎝2 ⎠ = 1(1 + 1) − 0 ( 0 + 1)
j1 ( m1 + 1) ; j2 m2
3 3 ,+ + 2 2
1⎛1 ⎞ 1⎛1 ⎞ ⎜ + 1⎟ − ⎜ + 1⎟ 2⎝2 ⎠ 2⎝ 2 ⎠
j1m1; j2 ( m2 + 1)
3 3 ,+ 2 2
สังเกตวาเทอมที่สองทางขวามือ มีคาเปนศูนย ในขณะที่สมการ (5.39) บอกวาเทอมแรกนั้น j1 ( m1 + 1) ; j2 m2
Dr. Teepanis Chachiyo
3 3 ,+ = 1 เพราะฉะนั้นแลว สมการขางตนลดรูปเหลือเพียง 2 2
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-28
1 1 3 1 2 1, 0; , + , = 2 2 2 2 3
ซึ่งก็คือ Clebsch-Gordan Coefficients ที่แสดงในตารางยอยสีเขียวนัน่ เอง แบบฝกหัด 5.5 จงใชคุณสมบัติทั้ง 3 ขอของ Clebsch-Gordan Coefficients เพื่อสรางตารางที่ สมบูรณในกรณีของ spin 1 ⊗ 1
2
5.5 บทสรุป ในบทที่ 5 นี้ เราไดกลาวถึงอันตรกริยาระหวาง spin ของอนุภาค โดยที่เราไดเริ่มยกตัวอยางของ กรณี hyperfine splitting ซึ่งเปน interaction ระหวาง spin ของอิเล็กตรอน และ spin ของโปรตอน ภายใน hydrogen อะตอม ในกรณีดังกลาวนี้เอง Hamiltonian ของระบบอยูในรูปของ 2A ˆ ˆ Hˆ = S1 ⋅ S2 2
ซึ่งถาเราใช basis state เปนเซตของ energy ของระบบอยูในรูปของ
↑↑ , ↑↓ , ↓↑ , ↓↓
⎫ ⎪ ⎪ 1 1 ↑↓ + ↓↑ ⎬ 2 2 ⎪ ⎪ ↓↓ ⎭ 1 1 ↑↓ − ↓↑ 2 2
ก็จะไดวา eigenstate และ eigen
↑↑
eigen energy คือ + A 2
eigen energy คือ − 3 A 2
นอกจากการวิเคราะห hyperfine splitting ดังกลาวจะนําไปสูการเปรียบเทียบผลที่ไดจากการทดลอง ยังนําไปสูการตีความของ eigenstate ตางๆที่เกี่ยวของ ยกตัวอยางเชน
1 1 ↑↓ − ↓↑ 2 2
หมายถึงสภาวะของระบบที่ total angular momentum ของทั้งระบบเปนศูนย ในสวนของ eigenstate อื่นๆนั้น เขียนโดยสรุปไดวา Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
j = 1, m = +1
=
j = 1, m = 0
=
j = 1, m = −1
=
j = 0, m = 0
=
5 Interaction ของ Spin
5-29
1 1 1 1 ,+ ; ,+ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,+ ; ,− + ,− ; ,+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ,− ; ,− 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,+ ; ,− − ,− ; ,+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ทั้งนี้จากสมการขางตน จะสังเกตวา เราใชสัญลักษณ jm ซึ่งแสดงถึง angular momentum โดยทั่วไป ซึ่งไมเฉพาะเจาะจงวาเปน spin angular momentum หรือ orbital angular momentum จากนั้น เราใชกรณีของ EPR paradox เปนตัวอยางในการนําเอาสถานะ
1 1 ↑↓ − ↓↑ 2 2
เขามา
ใชในการวิเคราะหปรากฏการณทางฟสิกสที่เปนรูปธรรมมากขึ้น ในทายที่สุด เรากลาวถึงกรณีทั่วๆไปของการรวมกันของ angular momentum j1m1 และ j2 m2 ซึ่งจะเปนที่มาของ Clebsch-Gordan Coefficients ดังที่ไดแสดงในตาราง 5.8
5.6 ปญหาทายบท แบบฝกหัด 5.6 พิจารณา hydrogen atom ที่มี spin Hamiltonian 2A ˆ ˆ Hˆ = S1 ⋅ S2 + ω0 Sˆ1z 2
โดยที่เทอมแรกเปน hyperfine interaction ในขณะที่เทอมที่สองเกิดจากสนามแมเหล็กภายนอกที่มี ความเขม
B0
ซึ่งจะทําให ω0 ≡ geB0 2mc
a) จงคํานวณ eigen energy ของระบบ b) วิเคราะหผลของพลังงานงานที่ไดในสองกรณีดว ยกันคือ 1. limit limit A ω0 โดยใช Taylor expansion
A
ω0
และ 2.
แบบฝกหัด 5.7 ในเวลา t=0 อนุภาค 2 อนุภาคคือ electron และ positron เกิดขึ้นจากการสลายตัว ของอนุภาคทีข่ นาดใหญกวา โดยมี total angular momentum ของระบบเปนศูนย จากนั้นอนุภาค ทั้งสองอยูภายใตอิทธิพลของสนามแมเหล็กที่มีความเขม B0 Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
5 Interaction ของ Spin
5-30
a) จงอธิบายวา ถาไมมี interaction ระหวาง electron และ position แลว เราสามารถเขียน Hamiltonian ของทั้งระบบไดวา ˆ = ω Sˆ - ω Sˆ H 0 1z 0 2 z คือ spin operator ของ electron ในขณะที่ คือ Sˆ
โดยที่ Sˆ1z 2 z spin operator ของ positron. b) จงแสดงใหเห็นวา สถานะของระบบมีการ oscillate ระหวาง spin-0 และ spin-1 พรอมทั้ง คํานวณหาคาบของการสั่น พรอมเขียนสถานะ Ψ (t ) ของระบบที่ขึ้นกับเวลา c) ณ เวลา t เราทําการวัด spin โดยใช operator Sˆ1x และ Sˆ2 x จงคํานวณความนาจะเปนที่การวัด ทั้งสองจะไดคา ออกมาเปน + พรอมๆกันทั้งสอง operator 2
แบบฝกหัด 5.8 สืบเนื่องจากขอ 5.7 คราวนี้เรานํา hyperfine interaction ระหวางอนุภาคทั้งสองมา คิดรวมดวย จะไดวา Hamiltonian ของระบบก็คือ ˆ = 2 A Sˆ ⋅ Sˆ + ω Sˆ - ω Sˆ H 1 2 0 1z 0 2 z 2
จงหา eigen energy ของระบบ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009