برًاهَ ریسی خطی پیشرفتَ داًشگاٍ تربیت هعلن تِراى
جلسَ اّل .قْاعد هواًعت از دّر در رّش سیوپلکس اکرم دٌُْخلجی استادیار داًشکذٍ علْم ریاظی ّ کاهپیْتر – داًشگاٍ ترتیت هعلن تِراى ًیوسال اّل سال 1390-91 akramdehnokhalaji@gmail.com
1
تباُیدگی ،دّری ،بَ تاخیر اًداختي ()stalling هشکالت تثاُیذگی در ترًاهَ ریسی خؽی: هفِْهی .در هْرد ادعای ّجْد جْاب تِیٌَ دگریي در تِیٌگیّ ،لتی j NB, z j c j 0
تایذ هحتاغ تْدُ .وچٌیي تَ ازای ُوَ پایَ ُای هتٌاظر تا جْاب تِیٌَ ترای یک هسالَ هیٌیون سازی شرغ z j c j 0, j 1,..., n را هوکي است ًذاشتَ تاشین. هحاسثاتی .در تثاُیذگی تَ راحتی هوکي است تا یک هحْر گیری از یک پایَ تَ پایَ دیگر ترّین ّ ًمؽَ راسی تغییر ًکٌذ ّ تعویٌی ترای ُوگرایی رّش سیوپلکس در تعذاد هتٌاُی هرحلَ ًذارین .چْى br 0در ُواى ًمؽَ راسی هوکي است ترای ُویشَ تالی تواًین ّ فمػ پایَ ُا تغییر کٌذ. 2
قضیَ. لعیَ .در یک هسالَ ترًاهَ ریسی خؽی هیٌیون سازی ،هتٌاظر تا یک جْاب تِیٌَ راسی دادٍ شذٍ ،پایَ تِیٌَ هتٌاظری ُست کَ z j c j 0, j 1,..., n.
در ًاتثاُیذگی احتوال آى ُست (ُرچٌذ کن) کَ تا رسیذى تَ یک جْاب راسی غیر تِیٌَ کَ هتٌاظر تا پایَ ُای Bt ,....B2 , B1است ،در هحْرگیری ُا یکی پس از دیگری تَ پایَ ُای فْق ترسین ّ . Bt B1یعٌی تذّى رسیذى تَ پایَ تِیٌَ تَ دّر تیفتین .هثال Bealeایي حالت را ًشاى هی دُذ.
3
قاعدٍ اّل هواًعت از دّر: قاعدٍ لکسیکْگرافیک (الفبایی) فرض کٌیذ هتٌاظر تا پایَ ،Bهتغیر غیر اساسی ّ xkارد شًْذٍ تاشذ کَ zk ck Max {z j c j }.
اًذیس rترای هتغیر خارج شًْذٍ x Brتَ صْرت زیر تعییي هی شْد: b b }}I 0 {r : r Min { i : yik 0 yrk 1im yik
اگر I0تک ععْی تاشذ ،یعٌی } x Br ،I 0 {rاز پایَ خارج هی شْد. در غیر ایٌصْرت لرار هی دُین: y y }} I1 {r : r1 Min { i1 iI 0 yrk yik
4
اگر I1تک ععْی تاشذ ،یعٌی } x Br ، I1 {rاز پایَ خارج هی شْد. در غیر ایٌصْرت I2را تشکیل هی دُین .تَ ؼْر کلی }}
yij yik
{ Min iI j 1
yrj yrk
I j {r :
در ًِایت j m ،ی ُست (چرا؟) کَ Ijتک ععْی خْاُذ تْد .اگر }، I j {r x Brاز پایَ خارج هی شْد.
تا تَ کار تردى لاعذٍ الفثایی در هْرد هسالَ ،Bealeهشاُذٍ هی شْد کَ تا سَ جذّل تَ تِیٌگی هی رسین.
5
اعتبار قاعدٍ لکسیکْگرافیک (الفبایی) هی تْاى ثاتت کرد تا تَ کار گیری لاعذٍ الفثایی تَ جای آزهْى هیٌیون ًسثت، رّش سیوپلکس در تعذاد هتٌاُی هحْر گیری تَ جْاب تِیٌَ هی رسذ. تعریف .تردار xرا الفثایی هثثت هی ًاهینُ ،رگاٍ اّلیي هْلفَ ًاصفر آى هثثت تاشذ. هثال .تردارُای ) (0,0,1,-1) ّ (2,1,-3,1) ،(0,2,-1,3الفثایی هثثتٌذ .در حالی کَ تردارُای ) (0,0,-2,1) ّ (-1,1,2,3) ،(0,0,0,0الفثایی هثثت ًیستٌذ. تعریف .تردار xرا الفثایی ًاهٌفی هی ًاهینُ ،رگاٍ xتردار صفر یا الفثایی هثثت تاشذ.
6
اثبات ُوگرایی رّش سیوپلکس در تبِگٌی با استفادٍ از قاعدٍ الفبایی ًشاى هی دُین ُیچ کذام از پایَ ُای تْلیذ شذٍ تْسػ رّش سیوپلکس تکراری ًیستٌذ. ترای ایي کار الف .اتتذا ثاتت هی کٌین ُر سؽر از هاتریس الحالی ) (b, B1الفثایی هثثت است. اّال چْى پایَ اّلیَ Iهی تاشذ ّ ،b 0در شرّع رّش سیوپلکس شرغ فْق تر لرار است( .اگر پایَ اّلیَ ً Iثاشذ تاز ُن هی تْاى حکن را ثاتت کرد -توریي 4.50حل شْد) ًشاى هی دُین تعذ از ُر هحْرگیری تا فرض ترلراری شرغ فْق ترای پایَ اّلیَ ،پایَ حاصل ًیس در شرغ فْق صذق هی کٌذ .یعٌی:
(b, B1) 0 (bˆ, Bˆ 1) 0
7
هی داًین ،تعذ از هحْر گیری سؽرُای هاتریس فْق تَ شکل زیر است: )*(
ir ir
yrm ) yik yrk
yr1 yik ,..., yim yrk yrm ) yrk
b (bi r yik , yi1 yrk
yr1 ,..., yrk
b ( r , yrk
چْى ّ ،yrk 0سؽر rام لثل از هحْرگیری الفثایی هثثت است پس تعذ از هحْر گیری ُن تا تْجَ تَ راتؽَ فْق الفثایی هثثت خْاُذ تْد .حال ًشاى هی دُین سؽر iام تعذ از هحْر گیری هثثت است .دّ حالت در ًظر هی گیرین.
8
حالت اّل
i I0
اگر ، yik 0چْى سؽرiام را هی تْاى تَ صْرت زیر ًْشت y ) (bi , yi1,..., yim ) ik (br , yr1,..., yrm yrk
ًتیجَ هی شْد کَ ایي سؽر تعذ از هحْر گیری ًیس ،الفثایی هثثت است. اگر ، yik 0از تعریف ً I0تیجَ هی شْد کَ br b b i bi yik ( r ) 0 yrk yik yrk
کَ تا تْجَ تَ راتؽَ * ًتیجَ هی شْد سؽر iام تعذ از هحْرگیری ًیس ،الفثایی هثثت است. 9
حالت دّمi I 0 . br در ایي حالت ّ ، yik 0دارین . bi yik ( ) 0 :دّ حالت تشخیص دادٍ هی yrk
شْد: y : i I1تٌاترایي تا تْجَ تَ تعریف I1دارین ً ّ yi1 yik ( r1 ) 0تیجَ yrk هؽلْب حاصل هی شْد. yr1 : i I1در ایي صْرت ّ yi1 yik ( y ) 0دّ حالت رخ هی دُذ. rk i I 2یا ّ i I 2تا اداهَ رًّذ فْق حذاکثر در m+1هرحلَ ًتیجَ هی شْد کَ ُر سؽر هاتریس ) (bˆ, Bˆ 1الفثایی هثثت است.
10
ب .حال تا تْجَ تَ آًچَ در الف اثثات شذ ُوگرایی رّش سیوپلکس را ثاتت هی کٌین .تررسی سؽر صفر لثل ّ تعذ از هحْرگیری ًتیجَ هی دُذ کَ: zk ck 1 1 ˆ ˆ (cB B b, cB B ) (cBˆ B b, cBˆ B ) ) (br , yr1,..., yrm yrk 1
1
تْجَ کٌیذ ) (br , yr1,..., yrmسؽر rام ) ّ (b, B1الفثایی هثثت است ّ zk ck 0, yrk 0پس (cB B 1b, cB B 1 ) (cBˆ Bˆ 1b, cBˆ Bˆ 1 ) 0
حال اگر در یک دًثالَ از پایَ ُای هتْالی Bt ,....B2 , B1داشتَ تاشین از راتؽَ اخیر ًتیجَ هی شْد کَ 0 0کَ غیر هوکي است .پس پایَ ُای ظاُر شذٍ تکراری ًوی تْاًذ تاشذ پس الگْریتن سیوپلکس در تعذاد هتٌاُی هرحلَ ُوگراست . Bt B1
11
قاعدٍ دّم هواًعت از دّر :قاعدٍ بالًد فرض کٌیذ هتغیرُای تصوین دارای ترتیة اّلیَ xn ,..., x2 , x1تاشٌذ .تَ ازای ُر هتغیر غیر اساسی تا شرغ ، z j c j 0هتغیر ّارد شًْذٍ تَ پایَ هتغیر تا کْچک تریي اًذیس اًتخاب هی شْدُ .وچٌیي از تیي ُوَ هتغیرُای داّؼلة ترای ترک پایَ ،هتغیر تا کْچک تریي اًذیس از پایَ خارج هی شْد. هثال Bealeرا هی تْاى تا لاعذٍ تالًذ حل کرد ّ تَ جْاب تِیٌَ رسیذ (توریي .)4.43
12
اثبات ُوگرایی رّش سیوپلکس در تبِگٌی با استفادٍ از قاعدٍ بالًد ّیژگی یکٌْایی قاعدٍ بالًد .هی تْاى ثاتت کرد ،در یک دًثالَ از هحْرگیری ُای تثاُیذٍ ،اگر هتغیر ّ xqارد پایَ شْدً ،وی تْاًذ از پایَ خارج شْد ،هگر ایي کَ هتغیری تا اًذیس تیشتر از qکَ در زهاى ّرّد xqتَ پایَ غیر اساسی تْدٍ ّارد پایَ شْد. اثبات رخ ًدادى دّر .تا ترلراری ّیژگی یکٌْایی ،فرض کٌیذ دّر داشتَ تاشین. در یک دّر ُر هتغیری کَ ّارد پایَ هی شْد تایذ تتْاًذ از پایَ ُن خارج شْد .تٌاترایي هتغیری تا تیشتریي اًذیس ُست کَ ّارد پایَ شذٍ ّ از آى خارج هی شْد .ترای خرّج چٌیي هتغیری از پایَ ؼثك ّیژپی یکٌْایی تایذ هتغیری تا اًذیس تیشتر ّارد شْد کَ اهکاى ًذارد .پس استفتذٍ از لاعذٍ تالًذ از دّر جلْگیری هی کٌذ. 13
اثبات برقراری ّیژگی یکٌْایی قاعدٍ بالًد. فرض کٌیذ ّ xqارد پایَ شْد ّ جْاب اساسی شذًی فعلی را در ًظر تگیریذ. هسالَ را هی تْاى در فعای هتغیر ُای غیر اساسی تَ صْرت زیر ًْشت: )**(
c x
j j
iJ 2
cq xq
c x
j j
Min
iJ1
Ax N xB b x N , xB 0
s.t
کَ در آى xN , xBتَ ترتیة هتغیرُای اساسی ّ غیراساسی فعلی ّ c j c j z j : Jهجوْعَ هتغیرُای غیر اساسی تا اًذیس کوتر از q 1 : Jهجوْعَ هتغیرُای غیر اساسی تا اًذیس تیشتر از q 2
14
تا تْجَ تَ لاعذٍ تالًذ ،چْى ّ xqارد شًْذٍ است: c j 0, j J1, cq 0,
فرض خلف .در دًثالَ ای از هحْرگیری ُای تثاُیذٍ j J 2 , x j ،غیر اساسی تالی تواًذ ّ.تا هسالَ ** تَ عٌْاى هسالَ خؽی اصلی رفتار شْد ّ تَ هحْرگیری ای ترسین کَ ّ x pارد ّ xqخارج هی شْد ّ B1پایَ ایي هحْرگیری تاشذ .فرض کٌیذ تردار ظرایة ُسیٌَ اساسی c B1تاشذ .چْى x p ّارد هی شْد ّ . cB1 B11a p c p 0 ،چْى . c p 0 ، p qپس )* * *( .cB1 B11a p 0 15
فرض کٌیذ .y p B11a pترای ععْ هحْری دارین .yqp 0 :از ؼرفی ترای ترلراری *** تایذ xrاساسی ای تاشذ کَ ( yrp 0 ّ cr 0تْجَ کٌیذ کَ هْلفَ ُای دیگر c B1هتٌاظر j J1 , x jیا هتغیرُای ُ x Bستٌذ ّ تٌاترایي دارای ظرایة ُسیٌَ تملیل یافتَ ًاهٌفی اًذ .) .پس ّ r J1چْى در هحْرگیری ُای تثِگي ًمؽَ راسی ثاتت هی هاًذ پس . xr 0پس ً xrیس در آزهْى هیٌیون ًسثت ،شرغ خرّج از پایَ را دارد .پس تٌا تر لاعذٍ تالًذ ،چْى r qتایستی xrپایَ را ترک هی کرد کَ تٌالط است. cq 0
16