برنامه ریسی خطی پیشرفته دانشگاه تربیت معلم تهران
جلسه هشتم .روش سیمپلکس اولیه-دوگان اکرم دىنٌخلجی استادیار دانشکده علٌم ریاضی ً کاهپیٌتر – دانشگاه تربیت هعلن تيراى نیوسال اًل سال 1390-91 teachingmath.blogfa.com akramdehnokhalaji@gmail.com 1
روش سیمپلکس اولیه-دوگان
با ضذوی بُدن دَگان آغاس می ضُد َ با حفظ ضزایط مکمل سایذ بً ضذوی بُدن اَلیً می رسذ. تفاَت آن با رَش سیمپلکس دَگان ایه است کً ویاسی ویست جُاب ضذوی دَگان اساسی باضذ.
در فاس Iتالش بز رسیذن بً ضذوی بُدن اَلیً است .اگز امکان پذیز وبُد با تغییز جُاب ضذوی دَگان سعی می کىیم بً ضذوی بُدن اَلیً بزسیم .ممکه است در وٍایت بً وامحذَد بُدن دَگان بزسیم.
2
تىسعه روش Max wb )(D
wA c
unrestricted
s.t.
Min cx Ax b
)(P
x0
w
فزض کىیذ wجُاب ضذوی اَلیً بزای دَگان باضذ .اگز ،wa j c jدر ایه صُرت x jمی تُاوذ مثبت باضذ َ سعس می کىیم اس طزیك ایه متغیزٌا بً ضذوی بُدن اَلیً بزسیم .فزض کىیذ: }Q { j : wa j c j 0
مسالً فاس Iبً صُرت سیز است:
1xa
j
0x
x0 Min
jQ
)(I
Ixa b
a x
j Q
x j 0,
j j
jQ
3
xa 0
s.t.
s.t.
تعبیر جىاب فاز I اگز با حل Iداضتً باضیم ،x0 0جُابی ضذوی بزای اَلیً بً دست می آیذ کً بٍیىً ویش ٌست (چزا؟). فزض کىیذ . x0 0پس ضذوی بُدن حاصل وطذي َ بایستی یک جُاب دَگان جذیذ پیذا کىیم کً اجاسي َرَد یک متغیز دیگز را بً مسالً Iبذٌذ َ x0کاٌص یابذ .بزدار دَگان wرا بً گُوً ای تغییز می دٌیم کً: متغیزٌای اساسی اَلیً در مسالً محذَد ضذي در مسالً محذَدضذي اَلیً جذیذ َارد ضُوذ. حذالل یک متغیز اَلیً کً لبال در Qوبُدي بً مسالً محذَد ضذي َارد ضُد. ممذار x0با معزفی ایه متغیز جذیذ بً پایً کاٌص یابذ.
4
دَگان Iبً صُرت سیز است:
Max vb )(II
va j 0,j Q
s.t.
v 1 unrestricted
v
فزض کىیذ * vبٍیىً IIباضذ .اگز x jدر Iاساسی باضذ در IIداریمv * a j 0 :
ٌمچىیه معیار َرَد بً پایً در مسالً محذَد ضذي اَلیً ایه است کً لیذ وظیز دَگان آن بزلزار وباضذ یعىی v. * a j 0 ،چُن جُاب فعلی بٍیىً است ٌیچ متغیزی دارای ایه خاصیت ویست .بً اسای v * a j ، j Qرا محاسبً کىیذ. اگز ، v * a j 0اگز َ x jارد فاس Iضُد ،کاوذیذایی بزای َرَد بً پایً است َ می تُاوذ باعث کاٌص x0ضُد. 5
:فزض کىیذ
w' w v*, 0 w' a j c j ( w v*)a j c j
: در ایه صُرت
( wa j c j ) (v * a j )
j Q wa j c j 0, v * a j 0 w' a j c j 0 j Q, x j basic v * a j 0, wa j c j 0 w' a j c j 0 ..... j Q, v * a j 0 wa j c j 0, v * a j 0 w' a j c j 0 j Q, v * a j 0 0, w' a j c j 0 (how)
6
بزای بزلزاری رابطً اخز کافی است لزار دٌیم: ) (wak ck 0 v * ak
: v * a j 0}
) ( wa j c j v*a j
{ min
در ایه صُرت ٌ . w' ak ck 0 :مچىیه بزای ٌز jبا ضزط داریم. w' a j c j 0 : بىابزایه ’ wضذوی دَگان است َ ٌمً متغیزٌای اساسی در Iدر مسالً جذیذ I َارد می ضُوذ .بً عالَي متغیز جذیذ xkکاوذیذایی بزای َرَد بً پایً در مسالً محذَد ضذي اَلیً جذیذ َارد می ضُد کً بً کاٌص احتمالی x0می اوجامذ. v*a j 0
7
بیکرانی دوگان رَوذ فُق تا سماوی ادامً می یابذ کً داضتً باضیم ، x0 0یا وتیجً بگیزیم x0 0 and v * a j 0, j Q
در ایه حالت ’ wبً اسای ٌز 0ضذوی دَگان است (چزا؟) ) w' a j c j ( wa j c j ) (v * a j j wa j c j 0, v * a j 0 w' a j c j 0, 0.
داریم . v * b x0 0پس w' w v* w' b wb v * b w' b when
پس دَگان بیکزان َ اَلیً وطذوی است. 8
خالصه الگىریتم اولیه-دوگان
wa j c j 0, j
بزدار wرا بً گُوً ای اوتخاب کىیذ کً .1فزض کىیذ} Q { j : wa j c j 0مسالً اَلیً محذَد ضذي سیز را حل کىیذ 1xa
j
0x
x0 Min
jQ
)(I
Ixa b
a x
j Q
x j 0,
j j
s.t.
jQ
xa 0
اگز x0 0متُلف ضُیذ .جُاب بٍیه حاصل ضذي است .در غیز ایه صُرت فزض کىیذ * vبٍیىً دَگان Iباضذ. .2 اگز بً اسای ٌز ، v * a j 0 ،jتُلف کىیذ .دَگان بیکزان َ اَلیً وطذوی است .در غیز ایه صُرت wرا بً رَس کىیذ َ 1را تکزار کىیذ. 9
هثال .هثال 6.8 شکل جدًلی اًلیو دًگاى.