برًاهَ ریسی خطی پیطرفتَ داًطگاٍ تربیت هعلن تِراى
جلسَ سْم .رّش سیوپلکس هتغیرُای کراى دار اکزم دٌُْخلجی اطتادیار داًؼکذٍ علْم ریاضی ّ کاهپیْتز – داًؼگاٍ تزبیت هعلن تِزاى ًیوظال اّل طال 1390-91 teachingmath.blogfa.com akramdehnokhalaji@gmail.com 1
رّش سیوپلکس هتغیرُای کراى دار هظالَ سیز را در ًظز بگیزیذ:
)(1 با فزض
Min cx s.t. Ax b l xu
x x1 u x x2 l
هظالَ جذیذ دارای m+2nلیذ ّ 3nهتغیز هی باػذ یعٌی طایش هظالَ بشرگ هی ػْد .ایي هظالَ هی تْاًذ تْطط الگْریتن طیوپلکض حل ػْد .راٍ دیگز اطتفادٍ اس رّع الگْریتن طیوپلکض بزای هتغیزُای کزاًذار اطت.
ّیژگی ُا: طایش پایَ m×mهی باػذ (پایَ فؼزدٍ). جْاب اطاطی ػذًی دارین. الگْریتن اس یک جْاب اطاطی ػذًی بَ یک جْاب اطاطی ػذًی دیگز (در یک هحْرگیزی ًاتباُیذٍ) هی رّد تا بِیٌگی حاصل ػْد یا بیکزاًی. تعزیف .جْاب xرا یک جْاب اطاطی طیظتن هظالَ 1هی ًاهین ،اگز بتْاى A را بَ ] ( [ B, N1 , N 2افزاس اطاطی ) افزاس کزد کَ Bهعکْص پذیز ّ m×m باػذ بَ طْری کَ اگز ) x ( xB , xN , xNداػتَ باػین: 2
1
x N1 lN1 , x N2 uN1 , x B B 1b B 1 N1lN1 B 1 N2uN1 بَ عالٍّ ،اگز x ، lB x B u Bیک جْاب اطاطی ػذًی اطت ّ یک جْاب اطاطی ػذًی غیز تبِگي اطت ،اگز .lB x B u B
دّ افزاس اطاطی را هجاّر گْیینُ ،زگاٍ ُوَ هتغیزُای غیز اطاطی آى بَ جش یکی دلیما در کزاًی کَ هی گیزًذ یکظاى باػٌذ.
بزای یک ًمطَ تباُیذٍُ ،ز اًتخاب اس n-mلیذ اس لیْد l x uکَ در آى ًمطَ فعال باػٌذ ّ با لیْد n ،Ax=bابزصفحَ هظتمل خطی فعال در آى ًمطَ تؼکیل بذٌُذُ ،وگی هتٌاظز با یک افزاس پایَ ػذًی ُظتٌذ. 5
هثالُ .وَ جْاب ُای اطاطی طیظتن
x1 x2
x1 2 x2 4 0 x1 4 - 1 x2 4
را تعییي کٌیذ.
1 0 1 0 1 B [ a2 , a4 ] B 2 1 2 1 x2 5 x1 x3 x4 6 3 x1 2 x3
جْاب ُا عبارتٌذ اس
)(2,3,0,0), (0,2,0,3), (4,1,0,6), (0,1,6,6), (4,1,2,10 بِبْد یک جْاب اساسی ضدًی .اگز ًاحیَ ػذًی ًاتِی ّ بِیٌَ کزاى دار باػذ، یک جْاب اطاطی ػذًی بِیٌَ ّجْد دارد .اها تعذاد جْاب ُای اطاطی ػذًی n nm n-m 2هحذّد هی ػْد .بزای ُز اًتخاب پایَ 2 ، سیاد اطت ّ اس باال بَ m راٍ بزای اًتخاب غیز اطاطیُ ا( کزاى باال-کزاى پاییي) ّجْد دارد پض رّػی هتمارى بزای حزکت بیي جْاب ُای اطاطی ػذًی السم اطت. اگز ] [ B, N1 , N 2افزاسی اطاطی ّ ) x ( xB , xN , xNیک جْاب اطاطی ػذًی باػذ ّ ) ، c (cB , cN , cNدارین: 2
2
1
1
xB B 1b B 1 N1 xN1 B 1 N 2 xN 2 z cB xB cN1 xN1 cN 2 xN 2 cB ( B 1b B 1 N1 xN1 B 1 N 2 xN 2 ) cN1 xN1 cN 2 xN 2 cB B 1b (cN1 cB B 1 N1 ) xN1 (cN 2 cB B 1 N 2 ) xN 2 :جذّل اّلیَ بَ صْرت سیز اطت
z
xB
Z
1
0
xB
0
I
xN1 cB B 1 N1 c N1 B 1 N1
xN 2
RHS
cB B 1 N 2 c N 2
zˆ
B 1 N 2
bˆ
دارین: )(2
c j ) x j
j
(z
jR2
c j ) x j
j
(z
z cB B 1b
jR1
هجوْعَ اّل :اًذیض هتغیزُای غیزاطاطی کَ در کزاى پاییي اًذ. هجوْعَ دّم :اًذیض هتغیزُای غیزاطاطی کَ در کزاى باال ُظتٌذ. ، j R1 , z j c j 0افشایغ x jباعث بِبْد تابع ُذف هی ػْد. ، j R2 , z j c j 0کاُغ x jباعث بِبْد تابع ُذف هی ػْد. تعییي هتغیر ّارد ضًْدٍ .تظت سیز هتغیز خارج ػًْذٍ x kرا هؼخص هی کٌذ. )Max{Max z j c j , Max c j z j } (3 jR2
jR1
الف .افسایص از کراى پاییي برای هتغیر ّارد ضًْدٍ بزای هیشاى افشایغ هتغیز x kتا یک حذ هعیي طَ حالت دارین: یکی اس هتغیز ُای غیز اطاطی بَ کزاى پاییي بزطذ یکی اس هتغیزُای غیز اطاطی بَ کزاى باال بزطذ خْد هتغیز ّارد ػًْذٍ بَ کزاى باال بزطذ xk lk k xB B 1b B 1N1l N1 B 1N 2u N 2 B 1ak k )( 4 c j )u j ( zk ck ) k
j
(z
jR2
)(5
c j )l j
j
(z
bˆ yk k z cB B 1b
jR1
zˆ ( zk ck ) k
k min{ 1, 2 , uk lk } bˆi l Bi bˆr lBr Min{ : yik 0} 1 yik yrk yk 0 u Bi bˆi u Br bˆr Min{ : yik 0} 2 yik yrk yk 0
( 6) else else
(7 )
(8)
بَ رّز کردى جدّل ّقتی هتغیر غیر اساسی افسایص هی یابد.
اگز ، k uk lkپایَ جاری تغییزی ًوی کٌذ ّ ٌُْ x kس غیز اطاطی اطت با ایي تفاّت کَ کزاى باال را هی گیزد .تٌِا بزدار طوت راطت طبك 5 ّ 4تغییز هی کٌذ. اگز k 1یا ّ x k ، k 2ارد ّ x Brخارج هی ػْد ّ با هحْرگیزی در ، yrkتوام جذّل بَ جش بزدار طوت راطت را با هحْرگیزی بَ رّس هی کٌین ّ طتْى طوت راطت با اطتفادٍ اس 5 ّ 4جذاگاًَ بَ رّس هی ػْد بَ جش هْلفَ rام کَ بزابز با lk kلزار دادٍ هی ػْد .تْجَ کٌیذ کَ عضْ هحْری هی تْاًذ هٌفی باػذ ّ در ایي حالت هؼکلی ایجاد ًوی ػْد.
بَ رّز کردى هستقین بردار سوت راست طَ هزحلَ سیز را هی تْاى بزای بَ رّس کزدى بزدار طوت راطت بَ کار بزد. .1طتْى غیز اطاطی ّارد ػًْذٍ را در همذار فعلی هتغیز ّارد ػًْذٍ ضزب هی کٌین ّ حاصل را با بزدار طوت راطت جوع هی کٌین. .2طتْى اطاطی خارج ػًْذٍ را در همذاری کَ هی گیزد ( lBrیا ) u Brضزب هی کٌین ّ ًتیجَ را اس طوت راطت کن هی کٌین. .3در پایاى یک هحْرگیزی هعوْلی بز رّی بزدار طوت راطت اعوال هی کٌین. توریي .بزرطی کٌیذ هزاحل فْق بزدار طوت راطت بَ رّس ػذٍ را بَ دطت هی دُذ.
11
ب .کاُص از کراى باال برای هتغیر ّارد ضًْدٍ بزای هیشاى افشایغ هتغیز x kتا یک حذ هعیي طَ حالت دارین: یکی اس هتغیز ُای غیز اطاطی بَ کزاى پاییي بزطذ یکی اس هتغیزُای غیز اطاطی بَ کزاى باال بزطذ خْد هتغیز ّارد ػًْذٍ بَ کزاى پاییي بزطذ xk uk k xB B 1b B 1N1l N1 B 1N 2u N 2 B 1ak k )(9 c j )u j ( zk ck ) k
j
(z
jR2
)(10
c j )l j
j
(z
bˆ yk k z cB B 1b
jR1
zˆ ( zk ck ) k
k min{ 1 , 2 , uk lk } bˆi l Bi : yik 0} Min{ 1 yik
bˆr l Br yrk yk 0
u Bi bˆi u Br bˆr : yik 0} Min{ 2 yik yrk yk 0
else else
بَ رّز کردى جدّل ّقتی هتغیر غیر اساسی کاُص هی یابد. اگز ، k uk lkپایَ جاری تغییزی ًوی کٌذ ّ ٌُْ x kس غیز اطاطی اطت با ایي تفاّت کَ کزاى پاییي را هی گیزد .تٌِا بزدار طوت راطت طبك 10 ّ 9 تغییز هی کٌذ. اگز k 1یا ّ x k ، k 2ارد ّ x Brخارج هی ػْد ّ با هحْرگیزی در ، yrkتوام جذّل بَ جش بزدار طوت راطت را با هحْرگیزی بَ رّس هی کٌین ّ طتْى طوت راطت با اطتفادٍ اس 10 ّ 9جذاگاًَ بَ رّس هی ػْد بَ جش هْلفَ rام کَ بزابز با uk kلزار دادٍ هی ػْد .تْجَ کٌیذ کَ عضْ هحْری هی تْاًذ هٌفی باػذ ّ در ایي حالت هؼکلی ایجاد ًوی ػْد. هی تْاى رّع هظتمین بزای بَ رّس کزدى بزدار طوت راطت را در ایي حالت ًیش بَ کار بزد (هزاحل را بزرطی کٌیذ).
ضرّع الگْریتن اگز جْاب ػذًی اطاطی ای هْجْد ًباػذ ،رّع طیوپلکض کزاى باال کزاى پاییي را با هتغیز ُای هصٌْعی بَ کار هی بزین. ُ .1وَ هتغیزُای اصلی هظالَ را بزابز با یکی اس کزاى ُایؼاى لزار هی دُین. .2همادیز بزدار راطت را طبك آى تعییي هی کٌین. .3اگز السم باػذ بعضی ططزُا را در -1ضزب هی کٌین. .4طتْى ُای هصٌْعی را اضافَ هی کٌین. رّع دّ فاسی یا Mبشرگ را بزای خارج کزدى هتغیزُای هصٌْعی بَ کار هی بزین.
15
تقارب هتٌاُی :تبِگٌی ّ دّری
16