برًاهه ریسی خطی پیشرفته داًشگاه تربیت هعلن تهراى
جلطه دوم .روظ ضیوپلکص اصالح شده اکزم دٌُْخلجی استادیار داًطکدٍ علْم ریاضی ّ کاهپیْتز – داًطگاٍ تزبیت هعلن تِزاى ًیوسال اّل سال 1390-91 teachingmath.blogfa.com akramdehnokhalaji@gmail.com 1
ضیوپلکص اصالح شده
دارای ُواى هزاحل سیوپلکس است با ایي تفاّت کَ اطالعات را در یک آرایَ کْچکتز ًگَ داری هی کٌد. در ایي رّش ستْى ُای غیز اساسی اس ضکل جدّلی حذف هی ضْد ّ تٌِا ستْى غیز اساسی هزبْط بَ هتغیز ّارد ضًْدٍ بَ پایَ در ًظز گزفتَ هی ضْد.
2
هراحل روظ ضیوپلکص اصالح شده شکل جدولی 1 B پیدا کٌید .فزض کٌید گام آغاسیي .یک جْاب اساسی ضدًی اّلیَ با هعکْش پایَ
ّ جدّل سیز را تطکیل دُید:
cB b
w
b
B 1
1
1
w cB B , b B b
گام اصلی .بَ اسای هتغیزُای غیز اساسی z j c j ،را هحاسبَ کٌید .فزض کٌید zk ck Max z j c j اگز ، z k ck 0پایَ فعلی بِیٌَ است .در غیز ایي صْرت قزار دُید 1 yk B akاگز y k 0هقدار بِیٌَ تابع ُدف بیکزاى است .در غیز ایي صْتّ ، ستْى سیز را سوت راست جدّل قزار دُید:
z k ck
cB b
yk
b
w B 1
اًدیس rرا بَ صْرت سیز تعییي کٌید:
bi br } Min{ : yik 0 yrk 1i m yik در y rkهحْرگیزی کٌید ّ جدّل را بَ رّس کٌید.سپس ستْى سوت راست را حذف کٌید.
.هثال Min x1 2 x2 x3 x4 4 x5 x6 s.t
x1 x2 x3 x4 x5 x6 6 2 x1 x2 2 x3 x4
4
x3 x4 2 x5 x 6 4 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0 Slack : x7 , x8 , x9 , B [a7 , a8 , a9 ] I w cB B 1 (0,0,0) , b b
.1 تکزار x7 x8 x9
z1 c1 1, z 2 c2 2,
0
0
0
0
1
0
0
6
z3 c3 1, z 4 c4 1,
0
1
0
4
z5 c5 4, z6 c6 2
0
0
1
4
k 5, y5 B 1a5 I (1,0,2)t (1,0,2)t
4 z5 c5 1 y 0 5 2
x5 x7 x8 x9
0
0
0
0
4
1
0
0
6
1
0
1
0
4
0
0
0
1
4
2
x7 x8 x5
0
0
-2
-8
1
0
-1/2
4
0
1
0
4
0
0
1/2
2
.2 تکزار
w (0,0,2) x7 x8 x9
0
0
0
0
1
0
0
6
0
1
0
4
0
0
1
4
z1 c1 1, z 2 c2 2, z3 c3 3, z 4 c4 1, z6 c6 4, z9 c9 2 2 z2 c2 1 y 1 2 0
1 0 1 / 2 1 1 k 2, y2 B 1a 2 0 1 0 1 1, 0 0 1 / 2 0 0 x2 x7 x8 x5
0
0
-2
-8
2
1
0
-1/2
4
1
0
1
0
4
0
0
1/2
2
1 0
x2 x8 x5
-2
0
-1
-16
1
0
-1/2
4
1
1
-1/2
8
0
0
1/2
2
تکزار .3 )w (2,0,1 z1 c1 1, z3 c3 4, z 4 c4 2, z6 c6 5, z9 c9 1
پس جدّل حاصل اس تکزار 2بِیٌَ است ّ جْاب هسالَ عبارت است اس
)x* (0,4,0,0,2,0,0,8,0
هقایطه بیي ضیوپلکص و ضیوپلکص اصالح شده کلی
zj cj
هحْرگیزی
m(n-m)+n+1
)(m+1)(n-m+1
ضزب
)m(n-m+1
)m(n-m+1
جوع
m(n-m)+(m+1)2
)m(n-m
)(m+1)(m+1
ضزب
)m(n+1
)m(n-m
)m(m+1
جوع
سیوپلکس
سیوپلکس اصالح ضدٍ
شکل ضربی هاتریص هعکىش B (a B1 , a B2 ,..., a Br 1 , aBr , aBr 1 ,..., a Bm )
فزض کٌید
Bˆ (a B1 , a B2 ,..., a Br 1 , aBk , a Br 1 ,..., a Bm ) Bˆ ( Be1 , Be2 ,..., Ber 1 , By k , Ber 1 ,..., Bem ) BT
: ًوایص هی دُین کَ بَ صْرت سیز استE را باT هعکْس هاتزیس 1 0 .... 0 y1k 0 1 .... 0 y 2k E 0 0 .... 0 yrk 0 0 .... 0 ymk
yrk 0 ... 0 yrk 0 ... 0 yrk 0 ... 0 yrk 0 ... 1
:دارین
Bˆ BT Bˆ 1 T 1 B 1 EB 1 Bt1 Et 1 Bt11 Et 1 Et 2 Bt12 ... Et 1 Et 2 ...E1 B11 B1 I Bt1 Et 1 Et 2 ...E1 . یک بزدار سطزی باضدc ّ باضدE ام هاتزیسr ستْىg فزض کٌین.پس ضزب ،در ایي صْرت 1 0 .... 0 0 1 .... 0 cE (c1 , c2 ..., cm ) 0 0 .... 0 0 0 .... 0
g1 ... 0 g 2 ... 0 (c1 , c2 ..., cr 1 , cg , cr 1 ,...cm ) g r ... 0 g m ... 1
، در ایي صْرت.بزدار باضدm یکa فزض کٌین.پیص ضزب
1 0 .... 0 0 1 .... 0 Ea 0 0 .... 0 0 0 .... 0
g1 ... 0 a1 a1 g1ar a1 g1 g g 2 ... 0 a2 a2 g1ar a2 2 ar g r ... 0 ar ar g r ar 0 gr g m ... 1 am am g m ar am g m Ea aˆ ar g
روظ ضیوپلکص اصالح شده با اضتفاده از شکل ضربی هعکىش پایه
هحاسبَ بزدار w
هحاسبَ بزدار yk
هحاسبَ بزدار سوت راست.
w cB Bt1 cB Et 1Et 2 ...E2 E1 1 t k
yk B a Et 1Et 2 ...E2 E1ak
b Bt1b Et 1 Et 2 ...E2 E1b
هثال .هسالَ سیز را با رّش سیوپلکس اصالح ضدٍ ّ استفادٍ اس ضکل ضزبی هعکْس هاتزیس پایَ حل کٌید: Min x1 2 x2 x3 4
x1 x2 x3
x1 2 x2 2 x3 6 5
2 x1 x2
0
x1 , x2 , x3
s.t