بروامه ریسی خطی پیشرفته داوشگاه تربیت معلم تهران
جلسه وهم .اصل تجسیه اکرم دٌُْخلجی اضتادیار داًػکذٍ ػلْم ریاضی ّ کاهپیْتر – داًػگاٍ تربیت هؼلن تِراى ًیوطال اّل ضال 1390-91 teachingmath.blogfa.com akramdehnokhalaji@gmail.com 1
تکنیک تجزیه ولف-دنتزیک ترای حل مسایل تروامً ریسی خطی دارای سایس تسرگ دارای ساختار َیژي تً کار می رَد. استراتژی ایه تکىیک کار کردن رَی دَ مسالً تروامً ریسی خطی است. دارای قیُد عمُمی (مسالً اصلی) دارای قیُد تا ساختار َیژي (زیرمسالً) اطالعات تیه ایه دَ مسالً جا تً جا می شُد تا وقطً ای حاصل شُد کً جُاب مسالً اصلی است. مسالً اصلی مجمُعً ای جذیذ از ضرایة ٌسیىً را تً زیر مسالً میذٌذ َ زیر مسالً تر مثىای ایه ضرایة ستُن جذیذی تً مسالً اصلی معرفی می کىذ( .تکىیک تُلیذ ستُن) 2
الگىریتم تجسیه
فرض کىیذ Xیک مجمُعً چىذَجٍی معرف قیُد تا ساختار َیژي تاشذ. Min cx
)(1
Ax b
x X
فرض کىیذ Xکراوذار تاشذ .تىاترایه
t
x , j j
x X x
j 1
t
1, j 0 j 1,..., t
j
j 1
َ مسالً ( )1تً صُرت زیر وُشتً می شُد: 3
s.t.
t
)(2
j
(cx ) j
Min
j 1 t
b
j
( Ax ) j
s.t.
j 1 t
1
j
j 1
j 0, j 1,..., t
4
حل مسالً فُق کار دشُاری است .چُن معمُال tعذدی تسیار تسرگ است َ شمردن تمامی وقاط راسی Xکار سادي ای ویست .تىاتریان تایذ تذتیری اوذیشیذي شُد کً مسالً فُق تذَن ویاز تً شمردن ٌمً وقاط راسی Xقاتل حل تاشذ.
کاربرد روش سیمپلکس اصالح شده
فرض کىیذ ) (B , Nیک جُاب اساسی شذوی تاشذ .فرض کىیذ معکُش پایً ، B 1 ،از سایس ) (m 1) (m 1مشخص تاشذ.
1 b
فرض کىیذ . b B َ cˆ j cx j 1 داریم (w, ) cˆB B 1
5
cˆB b
) ( w,
b
B 1
با هحاضبَ
Ax j cx j ˆ ˆ zk ck Max z j c j Max ( w, ) 1 j t 1 j t 1 Max wAx j cx j 1 j t
بِیٌَ بْدى جْاب فؼلی را بررضی هی کٌین .هی داًین zk cˆk 0 اگر ، zk cˆk 0جْاب بِیٌَ در دضت اضت .اگر ، zk cˆk 0هتغیر غیر
اضاضی kافسایع هی یابذ تا هقذار ُذف بِبْد یابذ. چْى Xیک هجوْػَ چٌذ ّجِی کراًذار اضت بِیٌَ یک تابغ ُذف خطی در یکی از ًقاط راضی آى اتفاق هی افتذ پص Max ( wA c) x j Max ( wA c) x xX
6
1 j t
زیر مساله
بٌابرایي برای بررضی بِیٌگی کافیطت هطالَ Max (wA c) x xX
حل غْد کَ بَ دلیل ضاختار ّیژٍ Xبَ ضادگی قابل حل هی باغذ .هقذار بِیٌَ ایي هطالَ هقذار zk cˆkاضت کَ اگر صفر باغذ جْاب جاری بِیٌَ اضت .در غیر ایي صْرت ضتْى zk cˆk Ax yk B 1 k 1
y k
بَ رّظ ضیوپلکص اصالح غذٍ افسّدٍ هی غْد .چْى X کَ در آى کراًذار اضت ًوی تْاى داغت ّ yk 0با تطت هیٌیون ًطبت هتغیر خارج غًْذٍ اًتخاب ّ جذّل بَ رّز هی غْد .با پایَ جذیذ رًّذ فْق تکرار هی غْد تا بِیٌگی حاصل غْد. 7
خالصه الگىریتم تجسیه
گام اّلیَ .فرض کٌیذ هتٌاظر جْاب اضاضی غذًی اّلیَ جذّل زیر را دارین: cˆB b
) ( w,
b
B 1
گام اصلی .1 .هطالَ زیر را حل کٌیذ: Max (wA c) x xX
فرض کٌیذ xkجْاب اضاضی غذًی بِیٌَ زیرهطالَ باغذ ّ zk cˆkهقذار بِیٌَ ُذف باغذ .اگر zk cˆk 0هتْقف غْ .ایي جْاب بِیٌَ هطالَ اصلی اضت. در غیر ایي صْرت بَ گام 2برّ zk cˆk 1 Axk .2قرار دُیذ ّ yk B 1 ضتْى yk را اضافَ کٌیذ .تطت هیٌیون y ًطبت را اًجام دُیذ ّ در rkهحْرگیری کٌیذ .با بَ رّز کردى جذّل ّ یافتي 8پایَ هؼکْش جذیذ بَ گام 1برّیذ.
برخی مالحظات در الگىریتم تجسیه
9
الگْریتن ،بَ طْر هطتقین رّظ ضیوپلکص اصالح غذٍ اضت پص با بَ کار بردى قْاػذ هواًؼت از دّر در صْرت لسّمُ ،وگرا اضت. در ُر تکرار هطالَ اصلی (در یک هحْرگیری غیر تبِگي) یک BFSبِبْد یافتَ برای هطالَ اّلیَ هی دُذ .ایي کار تْضط هؼرفی هتغیر غیر اضاضی تْضط زیر هطالَ اًجام هی ضْد .در ُر هرحلَ زیر هطالَ یک ًقطَ راضی ّ هتٌاظر آى یک ضتْى هؼرفی هی کٌذ .برای ُویي ایي رّظ بَ طرح تْلیذ ضتْى ًیس هؼرّف اضت. در ُر تکرار یک بردار دّگاى از هطالَ اصلی بَ زیر هطالَ رد هی غْد .بَ جای حل هجذد زیر هطالَ ،پایَ بِیٌَ هرحلَ قبل برای بَ رّز کردى ضطر ُسیٌَ بَ کار هی رّد.
کافی اضت زیر هطالَ جْابی بذُذ کَ هقذار ُذف زیر هطالَ هثبت باغذ .لسّهی ًذارد کَ حتوا تا بِیٌگی زیر هطالَ جلْ برّین. اگر قیْد هطالَ اصلی از ًْع ًاهطاّی باغٌذ ،هتغیرُای کوکی ًیس برای غرط ّرّد بَ پایَ بایذ بررضی غًْذ .هثال برای قیذ از ًْع کْچکتر هطاّی دارین: e z si csi ( w, ) i 0 wi ضازی ،یک 0 هتغیر کوکی برای یک
قیذ از ًْع پص برای یک هطالَ هیٌیون کْچکتر یا هطاّی هی تْاًذ بَ پایَ ّارد غْد ُرگاٍ ّ wi 0برای قیذ از ًْع بسرگتر یا هطاّی هی تْاًذ ّارد پایَ غْد ُر گاٍ ( . wi 0هطالَ )4.7 ضایس پایَ 5-1 درصذ بِیٌگی در ػْض غرط بِیٌگی هؼیار خاتوَ باغذ. 10
محاسبه و استفاده از کران پاییه
در الگْریتن تجسیَ چْى تؼذاد ًقاط راضی هجوْػَ Xهوکي اضت زیاد باغذ ،برای هطایل بسرگ اداهَ رًّذ تا بَ غرط zk cˆk 0برضین هوکي اضت ّقت گیر باغذ. هی تْاًین کراى پاییٌی برای ُذف ُر جْاب غذًی هطالَ کلی ّ بٌابریاى کراى پاییٌی برای جْاب بِیٌَ هطالَ کلی بَ دضت آّرین .چْى الگْریتن تجسیَ ًقاطی را تْلیذهی کٌذ کَ بِیٌَ ًابذتر بَ دضت هی دُذ ،دًبالَ ای از کرى باالُای ًاصؼْدی دارین .هی تْاًین تا زهاًی بَ رًّذ اداهَ دُین کَ تفاّت بیي تابغ ُذف در دضت با کراى پاییي در آى هرحلَ از حذ هػخصی بیػتر ًباغذ ّ .با دقتی قابل قبْل جْاب هطالَ را پیذا کٌین. ( wA c) x zk cˆk ) cx wAx ( zk cˆk ) wb ( zk cˆk ) cˆBb ( zk cˆk ) Min cx cˆBb ( zk cˆk Ax b, xX
بِتریي کراى باالی فؼلی cˆBbاضت .کراى ُای پاییي حاصل الزم ًیطت یکٌْا باغٌذ ّ .هوکي اضت الزم غْد بسرگتریي کراى پاییي در ًظر گرفتَ غْد. 11
شروع الگىریتم
t
(cx j ) j
j 1
اگر x1 Xی باغذ کَ ، Ax1 b پایَ زیر در دضت اضت:
t
b
I Ax1 1 I - Ax1 B , B 0 1 0 1
j
t
1
j
j 1
RHS
j 0, j 1,..., t
cx1
0
z
- Ax1 b - Ax1
I 0
s
1
j
( Ax )
s.t.
j 1
جذّل ابتذایی بَ صْرت زیر اضت: cx1
Min
1
1
در حالتی کَ قیْد بَ صْرت تطاّی باغٌذ اضتفادٍ از هتغیرُای تصٌؼی ّ بَ کار گرفتي رّظ دّفازی یا ام بسرگ پایَ غرّع را بَ دضت هی دُذ 12
مثال 2.7
13