برنامو ریسی خطی پیشرفتو دانشگاه تربیت معلم تيران
جلسو ششم .رًش سیمپلکس اکرم دٌُْخلجی استادیار داًشکدٍ علْم ریاضی ّ کاهپیْتر – داًشگاٍ ترتیت هعلن تِراى ًیوسال اّل سال 1390-91 teachingmath.blogfa.com akramdehnokhalaji@gmail.com 1
هستقیوا هسالَ دّگاى را با جدّل سیوپلکس حل هی کٌد. در ُز هزحلَ اس یک جْاب اساسی شدًی بزای هسالَ دّگاى بَ یک جْابی اساسی شدًی بِبْد یافتَ حزکت هی کٌین تا بِیٌگی یا بیکزاى بْدى دّگاى حاصل شْد (ًشدًی بْدى اّلیَ). Max wb )(D
wA c
s.t.
Min cx )(P
Ax b
w0
2
فزض کٌید Bیک پایَ باشد کَ لشّها شدًی اّلیَ ًیست.
x0
s.t.
.شدنی بىدن دوگان و بهینگی اولیه 0 1
z1 c1 z2 c2 .... zn cn y1
y2
....
yn
zn 1 cn 1 ... zn m cn m yn 1
....
yn m
cB b b
َ بz1 c1 0 بَ عالٍّ بِیٌَ است اگز. b 0 جدّل اّلیَ شدًی است اگز دارین، w cB B1 اگز. j 1,..., n اسای z j c j wa j c j
zn i cn i w(ei ) 0 wi z j c j 0 wa j c j wi 0 wi 0
ٌَجْاب بِی
w cB B 1 بِیٌگی
j 1,..., n wA c i 1,.., m w 0
در، در هسالَ هیٌیون ساسی بَ شکل کاًًْی.لن .هسالَ است
3
رًش سیمپلکس دًگان
در هْاردی بَ کار هی رّد کَ BFSبزای شزّع سیوپلکس بزای هسالَ اّلیَ بَ راحتی قابل دست یابی ًیست ،در حالی کَ پیدا کزدى یک جْاب شدًی بزای هسالَ دّگاى اهکاى پذیز است. یک سزی اس جدّل ُای سیوپلکس تْلید هی کٌد کَ شدًی دّگاى ّ شزایط هکول ساید در آًِا بزقزار است ّ بَ سوت شدًی بْدى اّلیَ هی رّد. cB b b
4
zn 1 cn 1 ... zn m cn m yn m
....
yn 1
z1 c1 z2 c2 .... zn cn yn
....
y2
y1
0
z
xB 1
انتخاب سطر ً ستٌن محٌری
در ُوَ جدّل ُا بَ اسای ُز ،j اگز بَ اسای ُز ، bi 0 ،iجدّل جاری بِیٌَ است .در غیز ایي صْرت، سطز rبا ، br 0سطز هحْری است. ستْى هحْری ستْى kبا رابطَ سیز تعییي هی شْد: zj cj 0
zj cj zk ck { Mib }: yrj 0 yrk yrj
5
هتغیز خارج شًْدٍ ّ x B rهتغیز ّارد شًْدٍ xkاست. عضْ هحْری ( ) yrkهٌفی است .هحْر گیزی اًجام هی شْد.
ىا بعذ از محٌرگیری درzj -cj نامنفی مانذن جذًل جذیذ ( z j c j )' ( z j c j )
yrj yrk
0
yrj yrk
yrj yrk
( zk ck ) 0 ( z j c j )
( zk ck )
yrj yrk
، yrj 0 اگز ( zk ck ) ( z j c j )
، yrj 0 اگز zj cj yrj
zj cj yrj
(z j c j )
yrj yrk
( zk ck ) ( z j c j )
yrj yrk
( zk ck ) 0
: بعد اس هحْر گیزی:ًَتیج
( z j c j )' 0 6
تغییر تابع ىذف ) ( zk ck br yrk
z' z
zk ck 0, yrk 0, br 0 z ' z
7
هقدار تاتع ُدف تیشتر هی شْد یا ثاتت هی هاًد .یعٌی در هسالَ دّگاى کَ تَ صْرت هاکسیون سازی است تاتع ُدف تِثْد هی یاتد.
بیکرانی دًگان – نشذنی بٌدن اًلیو اگر تَ ازای ُر ، yrj 0 ،jاّلیَ ًشدًی ّ دّگاى تیکراى است. فرض خلف .فرض کٌید اّلیَ شدًی تاشد .پس x 0ی ُست کَ شدًی اّلیَ است. اگر سطر rرا در ًظر تگیرین: br
rj x j
y
کَ تا تْجَ تَ عالهت تک تک جوالت ًتیجَ هی شْد br 0کَ تٌاقض است. پس اّلیَ ًشدًی ّ دّگاى تیکراى است.
توریي 6.34را ترای پیدا کردى اشعَ ای کَ تیکراًی ُدف را هی دُد حل کٌید.
8
.هثال
Min 2 x1 3 x2 4 x3 s.t x1 2 x2 x3 3 2 x1 x2 3 x3 4
x1
x2
x3
x4
x5
x1, x2 , x3 0
-2
-3
-4
0
0
0
x4
-1
-2
-1
1
0
-3
x5
-2
1
-3
0
1
-4
0
-4
-1
0
-1
4
x4
0
-5/2
1/2
1
-1/2
-3
x1
1
-1/2
3/2
0
-1/2
4
0
0
-9/5
-8/5
-1/5
28/5
x2
0
1
-1/5
-2/5
1/5
2/5
x1
1
0
7/5
-1/5
-2/5
11/5
( x1, x2 , x3 , x4 , x5 ) ( 8 1 ( w1, w2 ) ( , ) 5 5
11 2 , ,0,0,0) 5 5
جٌاب اساسی دًگان مکمل Max wb )(D
wA c w0
s.t.
Min cx )(P
Ax b
s.t.
x0
x1,..., xnهکول اسلک دّگاى هتغیرُای ساختاری xn 1,...xn mهکول هتغیرُای ُای دّگاى w1,..., wm اسلک ُا 1 (w1,..., wm ) cB Bضرایة فرض کٌید Bپایَ اّلیَ تاشد (شدًی یا ًشدًی) سیوپلکس اًد .هتٌاظر تا ایي تردار ،هقادیر z j c jترای ُ x jا عثارتٌد از ُ . wa j c j wm jوچٌیي .zni cni wiترای هتغیرُای اساسی .z j c j 0 پس از سیستن Dسایر هتغیرُا کَ هکول هتغیرُای غیر اساسی اًد تَ صْرت یکتا تعییي هی شْد .تٌاترایي ،جْاب دّگاى ،قریٌَ اعضای سطر ُدف ،یک جْاب اساسی دّگاى است. wm1,...wm n
10
هتغیرُای اساسی دّگاى هکول هتغیرُای غیر اساسی اّلیَ ُستٌد ّ هتغیرُای غیر اساسی دّگاى هکول هتغیرُای اساسی اّلیَ اًد. فرض کٌید xON ّ xOBتَ ترتیة هتغیرُای ساختاری اساسی ّ غیر اساسی اّلیَ ّ xSN ّ xSBتَ ترتیة هتغیرُای اسلک اساسی ّ غیر اساسی اّلیَ تاشٌد .قیْد اّلیَ را هی تْاى تَ صْرت زیر ًْشت: A11xOB A12 xON xSN b1 A21xOB A22 xON xSB b2 xOB xSB A11 0 B A I 21
11
فرض کٌید wON ّ wOBتَ ترتیة هتغیرُای دّگاى هتٌاظر تا دّقید اّلیَ ّ wSB ّwSNتَ ترتیة هتغیرُای اسلک قیْد دّگاى ،تَ ترتیة ًسثت تَ ستْى ُای xON ّ xOBتاشٌد .قیْد دّگاى را هی تْاى تَ صْرت زیر ًْشت: t t t A11 wOB A21 wON wSN cOB
پایَ دّگاى:
t t t A12 wOB A22 wON wSB cON
wOB wSB
توریي 6.37را حل کٌید.
12
At11 0 At12 I
بررسی پایو در حالت اًلیو استانذارد
13
توریي
تقارب متناىی الگٌریتم سیمپلکس دًگان
14