برنامه ریزی خطی پیشرفته دانشگاه تربیت معلم تهران
جلسه هفتم .تحلیل حساسیت اکزم دٌُْخلجی اطتادیار داًشکذٍ علْم ریاضی ّ کاهپیْتز – داًشگاٍ تزبیت هعلن تِزاى ًیوظال اّل طال 1390-91 teachingmath.blogfa.com akramdehnokhalaji@gmail.com 1
مساله تحلیل حساسیت
2
در هطایل کارتردی هوکي اضت دادٍ ُا دقیقا هعلْم ًثاشٌذ ّ الزم اضت تخویي زدٍ شًْذ. پیذا کردى پایَ تِیٌَ جذیذ ّقتی تخویي ُای دیگری از دادٍ ُا حاصل شْد ،تذّى ایي کَ ًیاز تَ کار پر ُسیٌَ دّتارٍ حل کردى هطالَ داشتَ تاشین ،اُویت دارد. هوکي اضت در هراحل اّلیَ حل هطالَ ترخی عْاهل دّتارٍ هذ ًظر قرار گیرد ّ تَ رّز کردى جْاب جاری تَ طْری کَ ایي عْاهل در ًظر گرفتَ شْد، ضرّری هی ًوایذ. در خیلی از هْارد قیْد چٌذاى هحکن ًیطت .یعٌی هیساى ترخی هٌاتع در دضترش هوکي اضت تا ترخی عْاهل تغییر کٌذ ّ الزم اضت تتْاى تذّى حل دّتارٍ هطالَ تتْاى تا ایي هْارد ترخْرد کرد ّ جْاب جذیذ را تَ دضت آّرد.
انواع تغییر در پارامترهای مساله برنامه ریزی خطی فرض کٌیذ Bپایَ تِیٌَ هطالَ زیر تاشذ.
Min cx Ax b x0
تغییرات زیر هوکي اضت در تحلیل حطاضیت در ًظر گرفتَ شْد: تغییر در تردار ُسیٌَ c تغییر در تردار ضوت راضت b تغییر در هاتریص ضرایة A اضافَ کردى یک فعالیت جذیذ اضافَ کردى یک قیذ 3
s.t.
تغییر در بردار هزینه c فرض کٌیذ ضریة ُسیٌَ هتغیر xkاز ckتَ ' ckتغییر کٌذ. xk غیر اضاضی اضت: ' zk ck ' ( zk ck ) ck ck
اگر ، zk ck ' 0پایَ فعلی تِیٌَ اضت .در غیر ایي صْرتّ xk ،ارد پایَ هی شْد ّ رّظ ضیوپلکص ترای اداهَ هطالَ جذیذ تَ کار گرفتَ هی شْد.
4
. هتغیر اضاضی اضتxk در ایي صْرت. xk xBt فرض کٌیذ
z j' c j cBt 'B-1a j c j (cBt B-1a j c j ) ( 0,...,0,cBt ' cBt ,0,...,0 )y j (z j c j ) (cBt ' cBt )ytj j
تٌاترایي. zk 'ck ck 'ck ّ ytk 1 ّ zk ck 0 :دارین zk 'ck ' ( zk 'ck ) ck ck ' (ck 'ck ) ck ck ' 0
ّ امtضطر جذیذ ُذف از اضافَ کردى حاصل ضرب هقذار تغییر ُسیٌَ در ضطر افسّدى آى تَ ضطر ُذف قثلی حاصل هی شْد ّ هقذار ُذف جذیذ cBt 'B-1b cBt B -1b (cBt ' cBt )bt 5
تغییر در بردار سمت راست b
اگر تردار ضوت راضت از bتَ ’ bتغییر یاتذ، m
) y (b 'b j
j
j
B -1b' B -1b B -1 (b'b) b
j 1
چْى در هطالَ جذیذ ، z j c j 0تٌِا هشکلی کَ در هْرد تِیٌگی پایَ تِیٌَ قثلی هوکي اضت داشتَ تاشین هٌفی تْدى ترخی هْلفَ ُای تردار ضوت راضت جذیذ اضت .در ایي صْرت رّظ ضیوپلکص دّگاى ترای اداهَ هراحل تا رضیذى تَ جْاب تِیٌَ دًثال هی شْد. ضْال .راتطَ تیي ایي حالت ّ حالت قثلی؟ جْاب .تغییر تردار ضوت راضت در اّلیَ تَ هٌسلَ تغییر تردار ُسیٌَ در دّگاى اضت. 6
تغییر در ماتریس ضرایب A
تغییز در بزدارُای فعالیت هتغیزُای غیز اطاطی (تغییز در ططزُای با ُslackای اطاطی) .فزض کٌیذ طتْى اطاطی a jبَ ' a jتغییز یابذ. z j' c j cB B -1a j 'c j
اگز بَ اسای ُز ، z j' c j 0 jپایَ جاری بِیٌَ هظالَ جذیذ اطت .در غیز ایي x j
صْرت طتْى jبَ رّس شذٍ ّ رّع طیوپلکض با هعزفی هتغیز غیز اطاطی اداهَ هی یابذ. هعادل دّگاى :تغییز یک ططز با اطلک اطاطی .ططز جذیذ بَ رّس هی شْد .اگز هقذار اطلک هٌفی باشذ ،رّع طیوپلکض دّگاى بَ کار گزفتَ هی شْد.
7
تغییر در بردارهای فعالیت متغیرهای اساسی (تغییر در سطرهای با slackهای غیر اساسی).
فزض کٌیذ طتْى اطاطی a jبَ ' a jتغییز یابذ .پض پایَ ّ هعکْص آى ّ بَ تبع آى ُز طتْى تغییز هی کٌذ .ایي تغییز را هی تْاى در دّ هزحلَ اعوال کزد: فزض کٌیذ فعالیت جذیذ ' x jبا طتْى' a jبَ هظالَ اضافَ شْد. فعالیت ّ x jطتْى a jاس هظالَ حذف هی شْد. z j' c j cB B -1a j 'c j
y j ' B -1a j ' ,
اگز ، y jj ' 0با هحْرگیزی طتْى ' a jبَ پایَ ّارد ّ طتْى a jاس پایَ خارج هی شْد .با ایي کار هوکي اطت شذًی بْدى اّلیَ یا دّگاى یا ُز دّ بَ ُن بخْرد. در ایي صْرت با هتغیزُای تصٌعی در صْرت لشّم ّ بِیٌَ طاسی دّبارٍ شذًی بْدى بزقزار خْاُذ شذ. 8
9
اگز ، y jj ' 0با جایگشیي کزدى طتْى جذیذ بَ جای قبلی دیگز پایَ ًخْاُین داشت (چزا؟) در ایي حالت ،یک راٍ بزای حذف x jایي اطت کَ با آى بَ عٌْاى هتغیز تصٌعی بزخْرد شْد ّ با بَ کارگیزی رّع دّفاسی یا M بشرگ اس هظالَ حذف شْد. هعادل دّگاى :تغییز ططزی کَ هتغیز اطلک هتٌاظز با آى غیز اطاطی اطت (جشییات را خْدتاى هطالعَ کٌیذ).
اضافه کردن یک فعالیت جدید
فعالیت جذیذ xn 1با ُشیٌَ ّ cn1طتْى an 1اضافَ هی شْد. zn 1 cn 1 0 xn* 1 0
ّ Bجاری بِیٌَ اطت .در غیز ایي صْرت ّ xn 1ارد هی شْد ّ رّع طیوپلکض اداهَ هی یابذ تا پایَ بِیٌَ حاصل شْد.
اضافه کردن یک قید جدید
هعادل دّگاى :اضافَ کزدى یک فعالیت جذیذ. اگز جْاب بِیٌَ هظالَ اصلی در قیذ جذیذ صذق کٌذً ،قطَ بِیٌَ هظالَ جذیذ ُن ُظت. در غیز ایي صْرت ،ایي قیذ ًقطَ بِیٌَ را جذا هی طلشد ّ رّع طیوپلکض دّگاى بزای پیذا کزدت پایَ جذیذ بَ کار هی رّد.
جشییات بَ عٌْاى توزیي ّاگذار هی شْد.
11
تحلیل پارامتری -آشفتگی بردار هزینه
فزض کٌیذ Bپایَ بِیٌَ هظالَ باشذ.
c c c ' 0 فزض کٌیذ
}S { j : ( z j c j )' 0
اگز ،S پایَ جاری بِیٌَ اطت .در غیز ایي صْرت با قزار دادى ) ( z j c j ˆ { Min }| j S ' z j 'c j
ˆ
اگز ] ، [0, پایَ جاری بِیٌَ اطت( .جشییات ّ اداهَ هزاحل بَ عٌْاى توزیي ّاگذار هی شْد)
تحلیل پارامتری -آشفتگی بردار سمت راست
فزض کٌیذ Bپایَ بِیٌَ هظالَ باشذ.
b b b' 0 فزض کٌیذ
}S {i : bi ' 0 }| i S
bi b'i
{ ˆ Min
اگز ]ˆ ، [0, پایَ جاری بِیٌَ اطت( .جشییات ّ اداهَ هزاحل بَ عٌْاى توزیي ّاگذار هی شْد)
13