برنامو ریسی خطی پیشرفتو دانشگاه تربیت معلم تيران
جلسو پنجم .دًگان ً تعبیر اقتصادی آن اکزم دٌُْخلجی استادیار داًشکذٍ علْم ریاضی ّ کاهپیْتز – داًشگاٍ تزتیت هعلن تِزاى ًیوسال اّل سال 1390-91 teachingmath.blogfa.com akramdehnokhalaji@gmail.com 1
مسایل اًلیو ًدًگان Max wb
Min cx s.t.
Ax b x0
هیٌیون ساسی
(P)
s.t.
wA c
(D)
w0
هاکسیون ساسی
0 | هتغیزُا | لیْد 0 | | unbounded -------|-----------------------------------------------------------|----------| لیْد | هتغیزُا 0 | | 0 unbounded | |
قضیو ضعیف دًگانی اگز wo ّ xoتَ تزتیة شذًی اّلیَ ّ دّگاى تاشٌذ ،آًگاٍ . cxo wob نتیجو .1اگز wo ّ xoتَ تزتیة شذًی اّلیَ ّ دّگاى تاشٌذ ّ ، cxo wobآًگاٍ wo ّ xoتَ تزتیة تِیٌَ اّلیَ ّ دّگاى ُستٌذ. نتیجو .2اگزیکی اس Pیا Dهمذار تِیي تیکزاى داشتَ تاشذ ،آًگاٍ دیگزی ًشذًی است.
3
قضیو قٌی دًگانی اگز یک هسالَ جْاب تِیٌَ هتٌاُی داشتَ تاشذ ،آى گاٍ ُز دّ هسالَ جْاب تِیٌَ هتٌاُی دارًذ ّ همذار تاتع ُذف تِیي آًِا تا ُن تزاتز است. نتیجوً P .شذًی است اگز ّ تٌِا اگز شکل ُوگي دّگاى آى تیکزاى تاشذ. Max wb )(HD
wA 0 w0
4
s.t.
قضیو اساسی دًگانی -قضیو مکمل زاید قضیو .تٌِا یکی اس عثارات سیز تزلزار است: ُ D ّ P ز دّ دارای جْاب ُای تِیٌَ ُ wo ّ xoستٌذ کَ . cxo wob یک هسالَ دارای همذار ُذف ًاهتٌاُی است ّ دیگزی ًشذًی است. ُ ز دّ هسایل ً D ّ Pشذًی ُستٌذ. قضیو مکمل زاید .اگز wo ّ xoتَ تزتیة شذًی اّلیَ ّ دّگاى تاشٌذ ،آًگاٍ تَ تزتیة تِیٌَ ُستٌذ اگز ّ تٌِا اگز
5
j 1,..., n
(c j w * a j ) x j * 0,
i 1,..., m
w j * (ai x * bi ) 0,
بردارقیمت ىای سایو فزض کٌیذ Bپایَ تِیٌَ هسالَ اّلیَ ّ cBتزدار ُشیٌَ هتٌاظز تا آى تاشذ .فزض کٌیذ *ً xمطَ راسی غیز تثِگي هتٌاظز تاشذ. c j ) x j
j
(z
c j ) x j w * b
jR
j
(z
z cB B 1b
jR
اگز لیذ iام اًذکی آشفتَ شْد ،پایَ فعلی شذًی تالی هی هاًذ ّ تِیٌَ تْدى آى را تاس * z ُن خْاُین داشت .دارین: * c B 1 w i
B i
bi
اگز biیک ّاحذ افشایش (کاُش) یاتذ ّ تا شزط ایي کَ هتغیزُای غیز اساسی فعلی صفز تواًٌذً ،زخ تغییز تاتع ُذف * wiخْاُذ تْد ،کَ چْى ًاهٌفی است، همذار ُذف ثاتت هی هاًذ یا افشایش (کاُش) هی یاتذ. * wرا تزدار لیوت ُای سایَ تزای تزدار سوت راست هی ًاهٌذ.
قیمت ىای سایو * wرا تزدار لیوت ُای سایَ تزای تزدار سوت راست هی ًاهٌذ. اگز لیذ iام هیشاى تماضا تزای تْلیذ حذالل ّ biاحذ اس هحصْل iام تاشذ ّ ُ cxشیٌَ کل تْلیذ تاشذُ wi * ،شیٌَ اضافی تزای تْلیذ یک ّاحذ تیشتز اس هحصْل iام هی تاشذ یا * wiلیوت هٌصفاًَ ای است کَ تایذ تپزداسین تا یک ّاحذ اس هحصْل iام تیشتز تْلیذ شْد.
7
تعبیر اقتصادی مسالو دًگان فزض کٌیذ شزکتی هی خْاُذ همادیز هعیي bm ,...,b1اس mکاال یا خزّجی را تا اًجام nفعالیت در سطْح هختلف تْلیذ کٌذُ .ز فعالیت ُ jشیٌَ cjدارد ّ تماضا کٌٌذٍ حاضز است ُشیٌَ کل تْلیذ را تپزداسدُ .ذف تماضا کٌٌذٍ کٌتزل عولیات شزکت است ،تَ طْری کَ سطْح فعالیت تَ گًَْ ای تاشذ کَ کوتزیي ُشیٌَ را پزداخت کٌذ. اگز aijهمذار هحصْل iکَ تا یک ّاحذ فعالیت jتْلیذ هی شْد تاشذ ،آًگاٍ aij x jتعذاد ّاحذ خزّجی iاست کَ تْلیذ هی شْد ّ ًثایذ اس همذار هْرد تماضا تیشتز تاشذ .پس هسالَ سیز تایذ حل شْد: bi , i 1,...,m
c x a x
ij j
j 1,...,n
xj 0 ,
j j
8
Min s.t.
تَ جای کٌتزل عولیات شزکت ،تزای تَ دست آّردى تزکیة هطلْتی اس فعالیتِا، تماضا کٌٌذٍ هْافمت هی کٌذ کَ لیوت ُای ّاحذ wm ,..., w1را تزای m خزّجی تپزداسد ّ لیوتِا تایذ هٌصفاًَ تاشٌذ. اگز aijهمذار هحصْل iکَ تا یک ّاحذ فعالیت jتْلیذ هی شْد تاشذ ّ wiلیوت ّاحذ تزای خزّجی iتاشذً aij wi ،ثایذ اس ُشیٌَ ّالعی cjتجاّس کٌذ .پس aij wi c jتزای ُز jتزلزار است .تا ایي لیْد ،شزکت عاللَ هٌذ است ُwiا را طْری اًتخاب کٌذ کَ تیشتزیي wibiرا داشتَ تاشذ .کَ تَ هسالَ دّگاى سیز هی اًجاهذ:
w b a w c i i
j 1,...,n i 1,...,m 9
,
j
ij i
wi 0 ,
Max s.t.
تعبیر اقتصادی قضیو قٌی دًگان ً قضیو مکمل زاید خْدتاى تخْاًیذ
10
قیمت ىای سایو در تبيگنی Max wb )(D
wA c
s.t.
Min cx )(P
w0
Ax b
s.t.
x0
فزض کٌیذ Dشذًی تاشذ ّ تَ اسای ُز همذار P ،bتیکزاى ًثاشذ. فزض کٌیذ ) z * (biهمذار ُذف تَ عٌْاى تاتعی اس biتاشذ .دارین }z * (bi ) Max{w j b, j 1,..., E
کَ Eتعذاد ًماط راسی ًاحیَ شذًی هسالَ Dاست( .تَ اسای ُز جِت راسی dدر ًاحیَ شذًی دّگاى .) bd 0 ،فزض کٌیذ . w0j wkj bkپس k i
)*( 11
}z * (bi ) Max{w0j wi j bi , j 1,..., E
تاتع فْق هاکسیون ًمطَ ای تعذاد هتٌاُی تاتع آفیي اس هتغیز biاست .تٌاتزایي رّی داهٌَ هتغیز )F( biتکَ ای خطی ّ هحذب استُ .وچٌیي ،چْى افشایش ً biاحیَ شذًی Pرا هحذّدتز هی کٌذ ،ایي تاتع غیز کاُشی است. (Z*(bi
bi 12
2
1
* z wi 2 bi
تاتع ) z * (biدر ًمطَ bi 1هشتك پذیز است ّ دارین: ّلی در ًمطَ bi 2یک شکست دارین ّ تاتع هشتك پذیز ًیست. در ًمطَ ، bi 2دّگاى جْاب ُای دگزیي w4 , w3, w2را دارد .کَ ًتیجَ هی دُذ اّلیَ در تِیٌگی تثِگي است( .چزا؟) اکٌْى اس راتطَ * ،هی تْاى هشتك چپ ّ راست را ًسثت تَ biتعییي کزد( .لیوت ُای سایَ سوت راست ّ سوت چپ) )**(
* z } Max{wij : w j is an optimal dual vertex at bi bi * z } Min{wij : w j is an optimal dual vertex at bi bi
13
مثال.
14