Matemรกticas Financieras
Septiembre de 2014.
Modulo VI Rentas y Anualidades
Modulo VI ANUALIDADES Y PERPETUIDADES
Anualidades
Son una sucesión de pagos generalmente iguales realizados en intervalos iguales de tiempo
Los intervalos no son necesariamente mensuales, bimestrales, quincenales, etc.
Ejemplos: sueldos quincenales, pagos mensuales por la renta de una casa, pagos mensuales a tarjetas de crédito, pagos anuales de primas de seguros, pagos mensuales de hipotecas
Intervalo de pago: tiempo que transcurre entre un pago y otro
años,
pueden
ser:
Plazo: tiempo entre el primer y último pago Rentas de una anualidad: son los pagos periódicos por la vida de la anualidad.
Clasificación de anualidades ANUALIDADES
CIERTAS
(Los plazos comienzan y terminan en fechas determinadas ) Se dividen de acuerdo al tiempo en:
VENCIDAS
(Los pagos se hacen al final de cada período)
ANTICIPADAS
(Los pagos se hacen al principio de cada período)
DIFERIDAS
CONTIGENTES O EVENTUALES
(Los pagos se aplazan por un cierto tiempo)
(El primer y/o el último pago dependen de algún suceso, sin saber cuando ocurrirá )
Ejemplo de Anualidad Vencida La beneficiaria de un seguro de vida recibirá $8,000 mensuales durante 10 años, sin embargo prefiere que le den el equivalente total al inicio del plazo. ¿Cuánto le darán si el dinero otorga un rendimiento promedio de 14% anual capitalizable mensualmente?
VA = R 1 – (1 + i/p i/p
)-np
Donde:
R = renta por cada período i = tasa de interés capitalizable en p períodos al año p = frecuencia de capitalización de intereses n = plazo en años Modulo VI. Anualidades y Perpetuidades
Los datos que se tiene son: R= $8,000 i = 14% anual capitalizable mensualmente Ăł 0.14 p = 12 n = 10
Sustituyendo,
VA = 8,000
1 – ( 1.011667 )-120 0.011667
VA = 8,000 * ( 0.751406 / 0.011667 )
VA = $515,235
Modulo VI. Anualidades y Perpetuidades
Ejemplo de anualidad anticipada Una persona renta una propiedad, cobrando una renta bimestral de $20,000, acordando con el arrendatario que los pagos deberán depositarse en el banco “X” el primer día de cada bimestre. Si el banco le paga al arrendador una tasa de interés de 6% anual capitalizable bimestralmente, ¿cuánto tendrá la persona al final de un año?
VF = R
(1 + i/p )np + 1 - 1 i /p
-1
Modulo VI. Anualidades y Perpetuidades
Los datos son: R = 20,000 i = 6% anual capitalizable bimestralmente Ăł 0.06% p=6 n=1
Sustituyendo,
VF = 20,000 ( 0.072135 / 0.01000 ) – 1
VF = 20,000 * 6.21 VF = $124,270
Modulo VI. Anualidades y Perpetuidades
Ejemplo de anualidad diferida ¿Cuánto acumulará el municipio “P” en la fecha de jubilación de cada uno de sus empleados, si 3 años antes hace un depósito de $4,500 seguido de 20 depósitos mensuales de $1,200 cada uno, ganando intereses del 8% anual capitalizable mensualmente?
Para poder determinar el monto al final a los tres años con una tasa i = .08 / 12 , se tiene que calcular por separado: 1.
El Valor final de $4,500 a tres años (ecuación de Valor Futuro con interés compuesto)
2.
El Valor final de los depósitos a fecha del último de ellos (ecuación de Valor Futuro de una anualidad vencida)
3.
El Valor final del monto acumulado de los depósitos al término de los tres años.
4.
Suma de los resultados del Punto 1 + Punto 3 Modulo VI. Anualidades y Perpetuidades
Esto es: M1 = 4,500 * (1.006667 )36 M1 = $5,716
M2 = 1,200 * ( 1.006667 )
( 1.006667)20 – 1 0.006667
M2 = 1,280.0004 * ( 21.318869 ) M2 = $25,753 M3 = 25,753 * ( 1.006667 )16 M3 = $28,641 M4 = 28,641 + 5,716 M4 = $34,357 Modulo VI. Anualidades y Perpetuidades
Perpetuidades
Son una variable de las anualidades ciertas
Se les llama a aquellos pagos cuyo plazo no tienen fin
El número de períodos es muy grande
Se establece la tasa de interés del período de tiempo (no se capitalizan los intereses)
El valor de cada pago o renta equivalen a los intereses que se generan Modulo VI. Anualidades y Perpetuidades
Perpetuidades (Cont.)
La tasa de interés es casi siempre anual y el valor de cada renta es igual a los intereses que se generan en el periodo
Ejemplos: inversiones inmobiliarias de arrendamiento, pensiones o rentas vitalicias.
Fórmula: R=I=C*i
R = Valor de cada renta I = Interés C = Capital Inicial i = tasa de interés del período
Modulo VI. Anualidades y Perpetuidades
Ejemplo 1: Para que mis 2 hijos estudien becados en una universidad de prestigio, dentro de 10 años, es requisito fundamental -entre otrosdepositar el día de hoy una suma de dinero en una institución financiera que paga mensualmente por ahorros de este tipo el 1.5% y que permite a la institución disponer de UM 2,500 mensuales a perpetuidad. ¿Cuánto debo depositar el día de hoy?. R = I = 2,500 i = 1.5% ó 0.015 C=? R=I=C*i C=I/i C = 2,500/0.015 = $166,667 (Debo depositar el día de hoy $ 166,6667. Mensualmente el dinero gana $ 2,500 de interés. Este interés constituye la beca)
Modulo VI. Anualidades y Perpetuidades
Ejemplo 2: Con el producto de sus ventas, la Lotería Nacional instituye una beca trimestral de $6,500. ¿De cuánto deber ser el capital a invertir a la tasa de interés del 15% compuesto trimestralmente? R = $6,500 i = 15% ó 0.015 / 4 = 0.0375 R=I=C*i C=R/i
Sustituyendo, C = 6,500 / 0.0375 C = $173,333 Esto indica que mientras los $173,333 permanezcan invertidos con la misma tasa de interés, se podrá otorgar la beca de $6,500 trimestralmente por un tiempo indefinido.
Modulo VI. Anualidades y Perpetuidades
Resumen Anualidades
Características
Clasificación
Perpetuidades
Características
Modulo VI. Anualidades y Perpetuidades