TEMA: PROPORCIONALIDAD - SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS PROPORCIONALIDAD 1. En la figura mostrada se tiene que: m // n // a . Hallar DF – BD, si FB = 22.
5. Se tiene el rectángulo ABCD, en el cual AB = 3 y BC = 4. usando como centro A y como radio AB se traza un arco que interseca en F a AC
y en G a AD . Usando como diámetro AG , se traza una semicircunferencia la cual interseca en M a AC . Hallar la longitud de FM .
2. En la figura mostrada. Si L1// L2 // L3 // L4 . AB = 3, BC = 4, MN = 2X – 2, NP = 2X + 2, PQ = 3X – 1, CD = Y. Hallar X + Y.
6. En un triángulo ABC, sea O su circuncentro y M el punto medio de AB . La perpendicular trazada por M a AO interseca a AC en N. Hallar AB, si AN = 4 y NC = 5. 7. En un triángulo ABC, si m<ABC = 120°, AB = 18 y BC = 36. hallar la longitud de la bisectriz interior BF 8. En un triángulo ABC, el ángulo B mide 135°, se traza la mediana BF tal que m<BAC = m<FBC. Hallar m<FBC.
3. Se tiene un triángulo ABC, se traza la ceviana BQ , por “Q” se traza una paralela a BC que interseca a AB en M y por M se traza una paralela a BQ que intercepta a AQ en “N”. Hallar QC, si AN = 4m y NC = 5m
9. Dado un triángulo rectángulo ABC recto en B, se trazan la altura BH , la mediana BM , la mediatriz de dicha mediana que interseca a los catetos AB y BC en P y Q respectivamente, si AC = 24m y BH = 8m. Hallar PQ.
4. Los lados de un triángulo miden AB = 3, BC = 5 y AC = 6. calcular la longitud del lado del rombo BMNQ. (M AB , N AC y Q BC ).
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10. En los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC, se ubican los puntos “M”, “N” y “L” respectivamente, tal que: ML // BC y NL // AB .
14. En la figura, BM = MC, AB = 12, PQ = 4 y AC = 18.hallar PR.
Además MN y AC se intersecan en F, si CF = 5 y AF = 5 5 . Hallar LF.
11. En un triángulo ABC, si 4AB = 3BC, se traza la bisectriz interior BD y la mediana AM intersecándose en F, si BF = 7m, hallar FD. A) 2m B) 2,5m C) 3m D) 4m
E) 4,5m
12. En la figura: MN // AB, PN NC , QM = 8, BM = 6 y MC = 9. calcular PM.
15. En un triángulo ABF, se traza la mediana BE, por un punto D del lado AF , se traza una paralela a la mediana, dicha paralela interseca al lado BF en P y a la prolongación del lado AB en C, si AB = 11, BC = 7 y BP = 14. hallar PF. 16. Si L1, L2, L3 y L4 son paralelas. (BC)(CD) = 16 y (QR)(RS) = 12. calcular la relación de AB Y PQ.
13. Según el gráfico, ML // BC, AB // NL, CF 3
y AF 3 3 . Calcular LF
SEMEJANZA 1. En la figura mostrada, calcular la altura relativa
al lado AC del triángulo ABC.
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7. triángulo ABC, AB < BC y 2. En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices CF F AB , luego por F una paralela a AC
el
AB 2 . Si: AM es BC 3
mediana y BD es bisectriz interior y AM BD Q. Calcular:
de modo que interseca a BC en Q. Hallar BQ, si BC = 5 y AC = 6 3. Dado el triángulo ABC, se traza la bisectriz interna BP. Luego se traza la bisectriz externa BQ, Q pertenece a la prolongación de AC , luego se toma el punto F en AB tal que FC // BQ . BP FC R. Hallar (AP)(BR), si: AQ=x: PR=y
En
BQ . QD
8. En un triángulo ABC, por el incentro se traza una paralela al lado AB , intersecando en F al lado BC . Calcular CF. Si AB = 13, BC = 14 y AC = 15. 9. En un triángulo ABC se traza MN // AB ( EF // BC y ( M AC y N BC ) E AB y F AC ), luego se traza BT que
4. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia y la mediatriz de AC interseca a esta circunferencia en el punto P, si la prolongación de PB interseca a la prolongación de CA en “Q”. Calcular: AQ, sabiendo que AB = 5, BC = 9 y AC = 8 5. Por un punto “A” de una circunferencia se trazan la cuerda AC y el diámetro AB, por un punto de AB se traza una perpendicular a dicho diámetro que interseca a AC en “E” y al arco AC en “F”, hallar AF, si AE = 2 y EC = 6. 6. En la figura mostrada, AB = 4 y ON = 3. hallar BC.
pasa por el punto de intersección de MN y EF ( T AC ). Si AM=5, MT=3 y AC=18. calcular FT. 10. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores AD, CE y BF que concurren en el CI BI AI AD CE BF
punto “i”. Hallar:
11. Se da un triángulo isósceles ABC (AB = BC) en la prolongación de AC se ubica el punto D, tal que: CD = AC, en AB se ubican L y E, de tal manera que: BL
AB
y BE
AB
3
, se unen
2 L y E con D que intersecan a BC en Q y P
respectivamente. Si AB = 12. calcular: PQ. 12. ABCD es un cuadrilátero: m B m D 90
E BC
una
AE AD , AE BD H , L es
recta
paralela
a
AC, H L ,
L AB M, L BC N , mBNM =
mAHM , si NC = 2 y BN = 6. calcular EN.
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13. Se tienen dos circunferencias secantes en A y B en una se de ellas se ubican los puntos P y Q (P pertenece al arco AQ), luego PB y BQ intersecan a la otra circunferencia en “E” y “F” respectivamente. Si PE = 3, QF = 4 y AQ = 8. hallar AP.
17. En un triángulo isósceles ABC (AC = BC), se traza la ceviana BD, tal que: m<AID = 90°, si “I” es el incentro del triángulo ABC y (BC)(CD) = 32. hallar IC. 18. Si los radios de dos circunferencias miden 2cm y 6cm, la distancia entre los centros es de 20cm, calcular la distancia entre los puntos de intersección de las tangentes comunes a las dos circunferencias.
4. Calcular el radio de la circunferencia menor, si
AD = 8 y BC = 2.
19. En un triángulo. AB = 3BC y AC = 12, se traza la bisectriz exterior BP. Calcular PC.
RELACIONES MÉTRICAS 1. Hallar el radio de la circunferencia inscrita en
un rombo cuyas diagonales miden 8 y 6cm respectivamente 2. Calcular el radio del cuadrante AOB, si AM = 2
y BN = 4.
5. En una semicircunferencia de diámetro AB y radio “R” se ubican los puntos “P” y “Q”, luego se trazan las perpendiculares PE y QF al diámetro, tal que: AE = EF = FB, además AQ PE M y BP QF N. Si MN , interseca a la semicircunferencia en “C” y “D”. Hallar CD 6. La bases de un trapecio miden 8 y 20cm, los lados no paralelos miden 10 y 14cm. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases.
3. De la figura mostrada, hallar AB, si PQ = 3, PT
= 9 y AB // QT
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7. En la figura se muestra un triángulo equilátero, cuyo lado mide 3cm. Hallar BD.
13. En un triángulo ABC, calcular la distancia del incentro al excentro relativo al lado AB, si la suma de las longitudes entre el inradio y el exradio relativo al lado AB es igual a “m”, además AC – BC = n 14. Hallar la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, si las medianas relativas a los catetos miden 6 y 8cm
8. Se tiene el triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, se traza la altura BH, de tal manera que AH = 1 y HC = 3. calcular el perímetro de la región triangular ABC.
15. En la figura mostrada, las circunferencias son ortogonales y sus radios miden 20 y 15cm. Calcular la distancia entre las cuerdas AB y CD.
9. Los tres lados de un triángulo miden 9, 16 y 17 metros respectivamente. Disminuidos en “x” el triángulo sería rectángulo. Hallar “X” 10. En el triángulo rectángulo ABC, recto en “C”, se traza la altura CH, desde “H” se trazan las perpendiculares HM y HN a los catetos AC y BC, respectivamente (“M” en AC y “N” en BC), de tal manera que AM = X, BN = Y, AB = Z y CH = h, indicar la relación correcta. 11. En un cuadrante AOB, con centro en “O”, se ubica un punto “P” en el arco AB de tal manera que las longitudes de las cuerdas PA y PB son 8 y 3, respectivamente. Calcular la longitud del radio del cuadrante. 12. Se tiene el rectángulo ABCD, cuyos lados AB y AD miden 4 y 6 respectivamente. en el lado BC se ubica el punto P, de tal manera que el cuadrilátero APCD es circunscriptible. Calcular la longitud del inradio del triángulo ABP.
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