TEMA: INTRODUCCIĂ“N A LA GEOMETRĂ?A DEL ESPACIO DIEDROS PLANO.- Llamaremos plano a la uniĂłn de tres puntos no colineales.
Q y ABC son Coincidentes
II.
EL PLANO Y LA RECTA
đ?‘Ž
P
Q y đ?‘Ž son Secantes Q
POSICIONES RELATIVAS DE DOS FIGURAS EN EL PLANO: I.
đ?‘š âƒĄ y R son Paralelos
DOS PLANOS
A y B son Secantes
đ?‘Ž
III.
A y B son Paralelas
đ?‘Ž estĂĄ contenida en Q
DOS RECTAS
đ??ż1
đ??ż1 đ?‘Ś đ??ż2 son rectas secantes
đ??ż2
đ?‘Ž
POLIEDROS REGULARES đ?‘Ž đ?‘Ś đ?‘? son rectas paralelas
đ?‘?
đ?‘š âƒĄ đ?‘Ś đ?‘› son rectas alabeadas
DEFINICIĂ“N Es aquel sĂłlido limitado por cuatro o mĂĄs regiones poligonales planas, dichas regiones se denominan caras del poliedro, los lados de las caras se denominan aristas.
Poliedro Convexo
Poliedro no Convexo o CĂłncavo
TEOREMA DE THALES Si đ??´ ⍽ đ??ľ ⍽ đ??ś, tenemos que:
POLIEDROS REGULARES
đ??¸đ??š đ?‘ƒđ?‘„ đ?‘€đ?‘ = = đ??šđ??ş đ?‘„đ?‘… đ?‘ đ??ż
Es aquel poliedro en el cual sus caras son regiones poligonales congruentes entre sĂ, de modo que en todos sus vĂŠrtices concurran el mismo nĂşmero de aristas. SĂłlo existen cinco poliedros regulares los cuales son: TETRAEDRO REGULAR
TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES
Limitado por cuatro regiones triangulares equilĂĄteras.
đ??ż1
L
B E
a F A
B
G
C đ?‘†đ?‘–: đ??ż1 â&#x;˜đ?‘„ đ?‘Ś đ??¸đ??šâ&#x;˜đ?‘Ž ⇒ đ??ľđ??šâ&#x;˜đ?‘Ž
Del grĂĄfico: G : baricentro de la regiĂłn triangular ABC
Desarrollo de la superficie del hexaedro regular
Notación: Tetraedro regular L – ABC Altura
:
LG =
a 6 3
Área de la superficie :
A = a2
Área lateral
:
AL = 3a2
Volumen
:
A=
3
3 4
a3 2 12
Desarrollo de la superficie del tetraedro regular
OCTAEDRO REGULAR Limitado por ocho regiones triangulares equiláteras. M a B
C
O
A
D
HEXAEDRO REGULAR Limitado por seis regiones cuadradas. B
C
Observación: O: centro del octaedro regular. ABCD ; AMCN ; BMDN : cuadrados
D
A O a
F
Notación: Octaedro regular M – ABCD – N
G H
E
N
Observación: O es el centro del hexaedro regular.
Diagonal : Área de la superficie :
MN = a A = 2a2
Volumen
V=
:
2 3
a3 2 3
Notación: Hexaedro regular ABCD – EFGH Diagonal
:
AG = a
Área de la superficie :
A = 6a2
Área lateral
:
AL = 4a2
Volumen
:
V = a3
3
Desarrollo de la superficie del octaedro regular
DODECAEDRO REGULAR Limitado por doce regiones pentagonales regulares. a
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS PRISMA RECTO Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases. B
C
A
D F
aL
E B´
Desarrollo de la superficie del dodecaedro regular
C´ D´
A´ F´
P
E´
Área de la Superficie Lateral:
ASL = (2pBASE)aL
Área de la Superficie Total:
AST = ASL + 2ABASE
Volumen:
V = (ABASE) aL
ICOSAEDRO REGULAR Limitado por veinte regiones triangulares equiláteras.
a
Observación: Si las bases de un prisma recto son regiones limitadas por polígonos regulares, entonces se trata de un prisma regular.
PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR, ORTOEDRO O RECTOEDRO Es un paralelepípedo recto cuyas bases son rectángulos. En consecuencia, las seis caras son rectángulos.
Desarrollo de la superficie del icosaedro regular
c
D b a
Área de la Superficie Lateral:
Área de la Superficie Lateral:
ASL = 2ac + 2bc
ASL = 2rg Área de la Superficie Total:
Área de la Superficie Total: AST = 2ac + 2bc + 2ab
AST 2r (g + r) Volúmen:
Volúmen:
V = r2 g
V = abc Diagonal:
PIRÁMIDE REGULAR Es la pirámide recta que tiene la base limitada por un polígono regular.
D2 = a2 + b2 + c2
V
CILINDRO CIRCULAR RECTO Denominado también “cilindro de revolución” debido a que puede generarse por una región rectangular al girar una vuelta en torno a uno de sus lados.
F
A
h
E
r
O h
VH
g r
En forma práctica se dice que un cilindro se desarrolla en una región rectangular y dos círculos, aquí mostramos entonces el desarrollo de su superficie lateral.
ASL = (pbase) . ap Área de la Superficie Total: AST = ASL + ABASE
2r r
Volúmen: g
H C
: Centro de la base : Apotema de la pirámide
Área de la Superficie Lateral:
360°
D
O
B
r
ap
g
V=
A BASE h 3
Observaciones: En una pirámide regular las aristas laterales tienen longitudes iguales. En la pirámide regular la altura de la cara lateral trazada del vértice de la pirámide se denomina apotema. En la pirámide regular las caras laterales son congruentes.
CONO CIRCULAR RECTO Denominado también “cono de revolución” debido a que puede generarse por una región triangular recta al girar una vuelta en torno a uno de sus catetos. O 360°
g
Observaciones Un cono se denomina equilátero si es revolución y la generatriz tiene la misma longitud que el diámetro de la base. El desarrollo de la superficie lateral de un cono equilátero es un semicírculo.
ESFERA Es el sólido limitado por una superficie esférica, la cual se define como el conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo denominado centro. La distancia de todo punto de la superficie esférica al centro se denomina radio.
g
h
R h
R
O
Círculo máximo
r
r
Para calcular el área de la superficie lateral ésta se desarrolla como un sector circular.
Un plano secante a una esfera determina en ella un círculo, al cual se le denomina máximo si contiene al centro de la esfera y menor en otro caso.
Área de la Superficie Lateral: ASL = r g
V = 4 R3 3
Área de la Superficie Total: AST = r (g + r) Volúmen: V=
r2 h 3
ASE = 4 R2