TEMA: SEMEJANZA – PROPORCIONALIDAD Y RELACIONES MÉTRICAS
TEOREMA DE THALES Y PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS RAZÓN DE SEGMENTOS Es el cociente de sus longitudes expresado en una misma unidad de medida; entonces de
TEOREMA DE THALES Tres o más rectas paralelas, determinan en una recta secante a ellas, segmentos que son proporcionales, a los segmentos determinados por las mismas rectas paralelas en cualquier otra secante a ellas.
acuerdo a lo mencionado la razón de AB y CD es el número
AB
D
A
CD
Ejemplo:
B
L1
E
L2
Si AB = 10 cm y CD = 15 cm, entonces la razón de AB y CD es
AB CD
10 cm
=
15 cm
2
C
3
F
L3
SEGMENTOS PROPORCIONALES Dos segmentos AB y CD son proporcionales a
Si:
L1 // L 2 // L3
otros dos, PQ y RT , si: AB CD
=
PQ RT
Entonces: También:
Ejemplo:
AB BC
DE EF
AC DF BC EF
AC DF AB DE
AB = 2cm, CD = 4cm y PQ = 3cm, RT = 6cm, como
AB CD
=
1 2
y
PQ RT
1 2
= , entonces AB y CD son
proporcionales a PQ y RT .
Escribe aquí el tema de la clase
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COROLARIO B B
c N
L2
A
por Tales:
En el ABC: si
MN // AC
C
BM BN MA NC
se cumple:
D
n m
L3
C
L1 // L 2 // L3
c m a n
a
A
Si:
En el ABC:
L1
M
TEOREMA DEL INCENTRO En todo triángulo el incentro determina en la bisectriz segmentos proporcionales a la suma de los lados adyacentes al ángulo bisecado y el tercer lado.
BM BN MA NC
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR B
En todo triángulo, los lados concurrentes con una bisectriz interior son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado al cual es relativa.
m
c
En el ABC “I”: incentro a
m n
I
B
ac b
n
c
En el ABC:
a
A
b
C
c m a n
A m
C
D n
TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR En todo triángulo, los lados concurrentes con una bisectriz exterior son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado al cual es relativa.
Escribe aquí el tema de la clase
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SEMEJANZA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
Casos de semejanza de triángulos
Definición:
Dos figuras geométricas son semejantes si tienen igual forma y tamaños diferentes. En dos figuras geométricas semejantes sus elementos homólogos son proporcionales.
Dos triángulos son semejantes, si dos ángulos del primer triángulo son de igual medida que dos ángulos del segundo triángulo respectivamente B N
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS A
Definición: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos interiores tienen igual medida respectivamente y sus lados homólogos son proporcionales. Los lados homólogos en triángulos semejantes, son aquellos lados opuestos a ángulos de igual medida.
A
Notación:
M
Se
B Q
N
ck
Donde: K es razón de semejanza
c
ABC MNQ
AB y MN; BC y NQ; AC y MQ AB BC AC K cumple: MN NQ MQ
Q
Dos triángulos son semejantes, si un ángulo del primer triángulo es de igual medida que un ángulo del segundo y los lados que los determinan son proporcionales respectivamente.
C
Símbolo de semejanza: se semejante” Pares de lados homólogos:
M
C
Entonces: ABC MNQ
N
Si: mBAC = mNMQ y mACB = mMQN
B
A
bk
C
Si: mBAC = mNMQ y lee
“es
M
b
Q
AB MN AC MQ
Entonces: ABC MNQ
Dos triángulos son semejantes si los tres lados del primer triángulo son respectivamente proporcionales a los tres lados del segundo triángulo.
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B
PROPIEDADES
N
ck
ak c
a
1. L: Lado del cuadrado PQRS B
A
C
bk
M
b
Q Q
R h
AB BC AC MN NQ MQ
Si:
Entonces:
L
L
ABC MNQ
A
hb
C
S
P
hb
b
Algunos casos de Semejanza B
1.
2. ABCD : Trapecio, a
M
C
B
N
Q
P
MBN ABC
BC // PQ // AD
A
2ab ab
x=
ab ab
C A
2.
D
A
b
ABHAHC ABC B
3.
C
H
b
3.
a
B
Q P
A
PQ =
x
ABC PBQ
C
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4. ABCD : Rombo PQRS : Cuadrado de lado “L”
TEOREMAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
B Q
R
B C
A
D
L=
S
P
a
c
Dd
h
Dd
H
A
C n
m
D d
b
AH : proyección ortogonal de AB sobre AC
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y EN LA CIRCUNFERENCIA PROYECCIÓN ORTOGONAL La proyección ortogonal de un punto sobre una recta es el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto hacia la recta. Además la proyección ortogonal de un segmento sobre una recta es el segmento que une las proyecciones ortogonales de los extremos del segmento dado. P B
HC :
proyección ortogonal de BC sobre AC
Teoremas
1.
c2 = bm
2.
a 2 + c 2 = b2
3.
ac = bh
4.
h2 = mn
a2 = bn
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA TEOREMA DE LAS CUERDAS
A
C A P´
A´
B´
L
Proyección ortogonal de P sobre L : P´ Proyección ortogonal de AB sobre L : A´B´
a
x P b y
B
D En la figura, las cuerdas AB y CD se intersecan en P, entonces: ab = xy
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TEOREMA DE LAS SECANTES a A
b
B
P D
n
m
C
En la figura; por el punto P se trazan las rectas PBA y PDC secantes a la circunferencia, entonces:
ab = mn
TEOREMA DE LA TANGENTE m
A
P b B a C
En la figura, por el punto P se trazan la tangente PA y la secante PBC , entonces:
m2 = ab
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