Huskeregler by Alfabeta Forlag

Huskeregler En matematisk formelsamling med eksempler Hvis en matematikopgave er besværlig, kan Huskeregler være en hjælp. Hæftet indeholder opgavetyper, formler og løsningsforslag inden for matematikkens vigtigste områder. Hæftet henvender sig til alle, der er i gang med at lære matematik svarende til 9. klasse. Huskeregler fungerer som et opslagsværk: Find opgaven i hæftet – se eksemplet – regn din egen opgave. Huskeregler fungerer som et opslagsværk: Find opgaven i hæftet – se eksemplet – regn din egen opgave. • Tal og algebra • Funktioner • Geometri • Statistik • Regneark • Godt at vide

V = 43 ⋅·ππ⋅ r· 3r 3

r C

r = 15 cm V = 43 ⋅·ππ⋅ r· 3153 = 14.137 cm3

ISBN 978-87-6360-586-1

Matematisk formelsamling med eksempler

HUSKEREGLER

Jette Helland

9 788763 605861 www.alfabetaf orlag.dk

9788763605861_omslag.indd 1

14/08/2017 13.13

69 9788763605861_indhold.indd 69

14/08/2017 10.17

Jette Helland

Huskeregler Matematisk formelsamling med eksempler

ALFABETA

1 9788763605861_indhold.indd 1

14/08/2017 10.17

71 9788763605861_indhold.indd 71

14/08/2017 10.17

Forord

Huskeregler er en formelsamling til matematik. Hæftet indeholder ud over formler også eksempler, der viser, hvordan formlerne skal anvendes. I mange eksempler vises, hvordan lommeregner, mobiltelefon og regneark kan anvendes. Hæftet henvender sig til alle, der er i gang med at lære matematik svarende til 9. klasse. Huskeregler dækker ikke et bestemt pensum, men er derimod et opslagsværk, der viser, hvordan man udregner gennemsnit, areal af en cirkel, frekvens i regneark osv. God arbejdslyst. Jeg håber, at hæftet kan hjælpe dig.

Jette Helland

3 9788763605861_indhold.indd 3

14/08/2017 10.17

Indhold Forord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Indhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. Tal og algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

De 4 regningsarter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Talord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Tallenes opbygning – positionssystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Afrunding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Overslagsregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Sammensætning af regningsarterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Potenser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

10’er potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Kvadratrod Kubikrod

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Procenter % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Kg-priser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Stykpris. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Antal kilometer og liter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Antal kroner og liter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Gennemsnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Forholdstal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Tid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Hastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Valuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Negative tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Parentesregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Ligninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Koordinatsystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Tegn en ret linje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Lav selv en forskrift. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 9788763605861_indhold.indd 4

14/08/2017 10.17

Indhold

Eksempel med 3 rette linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Skæringspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Andre funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Enheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Omregning – enheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Formelsamling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Pythagoras’ sætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Firkant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Areal af sammensatte figurer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Overfladeareal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Rumfang (V). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Eksempler på opgaveformuleringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Målestoksforhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Massefylde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4. Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Statistik – enkeltobservationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Statistik – grupperede observationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5. Regneark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Grundlæggende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Funktioner i regneark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Statistik i regneark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6. Godt at vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Førfaglige ord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Den lille tabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Tips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 9788763605861_indhold.indd 5

14/08/2017 10.17

Tal og algebra

De 4 regningsarter Regningsart

Forklaring

Eksempel

Plus Addition

at lægge to tal sammen en sammenlægning at tælle sammen at addere

3 + 26 = 29 Resultatet kaldes summen. led + led = sum

Minus Subtraktion

at trække to tal fra hinanden en fratrækning at subtrahere

37 – 25 = 12 Resultatet kaldes forskellen eller differencen. led – led = differens

∙

Gange Multiplikation

at gange to tal med hinanden 3 ∙ 13 = 39 at multiplicere Resultatet kaldes produktet. faktor ∙ faktor = produkt

Dividere Division

at dividere to tal med hinanden

20 : 4 = 5 Resultatet kaldes kvotienten. dividend : divisor = kvotient

Talord Tal Mængdetal Ordenstal

Ordenstal Eksempler

første

anden

tre

tredje

fire

fjerde

fem

femte

seks

sjette

syv

syvende

otte

ottende

niende

10.

tiende

Bemærk punktummerne

Tal Naturlige tal: 1, 2, 3, 4, 5, 6… De reelle tal (eksempler): –5,3, – 3 , 4 , 5,2, 8 5

– 2 , 2 , π, 3 125

Hun har købt 4 stole. (fire) Han har fødselsdag den 4. marts. (fjerde)

Hele tal og tallet 0: …–3, –2, –1, 0, 1, 2…

Primtal: En speciel gruppe af naturlige tal, som kun tallet selv går op i og tallet 1: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…

De lige naturlige tal: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16… De ulige naturlige tal: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17…

6 9788763605861_indhold.indd 6

14/08/2017 10.17

Huskeregler til matematik

Brøker tæller

En brøk består af

4 Husk: brøkstreg 5 nævner

4 = 4 : 5 = 0,8 5

Opgavetype

Forklaring

Eksempel

Forlænge

Man forlænger en brøk ved at gange tæller og nævner med det samme tal.

Forlæng 2 med 4 2⋅4 = 8 3 ⋅ 4 12

Forkorte

Man skal først finde et tal, som går op i både tæller og nævner.

Ægte brøk

Tæller er mindre end nævner.

1 9

18 19

Uægte brøk

Tæller er større end nævner.

13 12

5 4

Blandet tal

Består af et helt tal og en ægte brøk.

9 12 9:3 =3 12 : 3 4

Forkort

4 5 24 7

6 23

Uægte brøk til blandet tal

Man omskriver en uægte brøk til et blandet tal ved at dividere nævneren op i tælleren.

28 = 28 : 9 = 3 1 9 9

Blandet tal til uægte brøk

Man omskriver et blandet tal til en uægte brøk ved at gange nævneren med det hele tal og lægge tælleren til. Nævneren lader man stå.

4 3 = 5 ⋅ 4 + 3 = 23

Blandet tal til decimaltal

Man beholder det hele tal. Brøkens tæller divideres med nævneren.

⋅ 4 + 3 23 4 3 == 54,6 =

Decimaltal til brøk

Man beholder det hele tal. Husk, første plads efter kommaet er tiendedele. (Anden plads er hundrededele).

7,3 = 7 3

5 3 : 5 = 0,6

14 9788763605861_indhold.indd 14

14/08/2017 10.17

1. Tal og algebra

Opgavetype

Eksempel

Et hold har 24 kursister. 7 kursister har sorte sko på. Hvor stor en brøkdel af kursisterne har sorte sko på? 2 3 af 24 kursister har ikke dansk.

7 24 (Altså 7 ud af 24) 2 ⋅ 24 = 16 kursister 3

Altså: Find 3 af 24

16 ⋅ 3 = 24 kursister 2

Hvor mange kursister er der i klassen, hvis 2 svarer til 16. 3 Find ”det hele” – altså ”i alt”.

Opgavetype 1 3 5 + = 4 8 8

Forklaring

På lommeregneren

Regnes opgaven i hånden, skal man huske at forlænge den første brøk, så brøkerne får samme nævner.

Brug n -knappen. Indtast n og d. d

til at ”hoppe” op/ned/til siden.

Brug

4 2 8 ⋅ = 5 3 15

Regnes opgaven i hånden, skal man huske: Tæller gange tæller og nævner gange nævner.

Brug n -knappen og indtast tallene.

3 ⋅ 4 = 12 = 2 2

Regnes opgaven i hånden, skal man huske: Det hele tal ganges med tælleren, og nævneren ændres ikke.

3 x n -knap (Indtast n og d)

Enter (Resultat 3 ⋅ 4 = 12 )= 2 2

5 5 5 4 12 2 3Men ⋅ = =er2en uægte brøk. 5 5 5

Klik derfor på 2nd-knap og så på

n <>U n -knappen d d 4 12 Enter3 ⋅(Resultat = = 2 2) 5 5 5

5 : 2 = 5⋅ 3 = 7 1 3

2 3 2 4 8 : = ⋅ = 3 4 3 3 9

Regnes opgaven i hånden, skal man huske: Gang med den ”omvendte”.

5 : n -knap (Indtast n og d) d

Enter (Resultat 5 :2 = 5 ⋅15 = 7 1 ) 3

Regnes opgaven i hånden, skal Brug n -knappen og tast : (dividér) d man huske: Gang med den 2 3 2 4 8 : (Resultat = ⋅ = ) ”omvendte”. 3 4 3 3 9

Brøk

Procent

Decimaltal 0,5 · 100%

1:2

5 : 2 = 5⋅ 3 = 7 1 3 2 2

50%

0,5

5 :2 = 5 ⋅155==7 1 3

10 2

50 : 100

15 9788763605861_indhold.indd 15

14/08/2017 10.17

Huskeregler til matematik

Procenter % Procent betyder, at det opdeles i hundrededele. 1% (procent) betyder en hundrededel. Eksempel: 6 % = 0,06 "Husketrekant": 1. Læg fingeren på dét, du skal beregne. 2. Gang eller dividér, som det fremgår af trekanten.

Opgavetype

Del Procent som decimaltal

Det hele

Løsningsforslag

1. Find delen Find 45 % af 160 Altså: Find ”Del” i Husketrekanten. Prisstigning En bil koster 236.000 kr. Prisen stiger 20 %. a. Hvor mange kroner er prisstigningen på? (Delen) b. Find prisen efter prisstigningen.

Prisfald Et tv koster 2.100 kr. Der gives 5 % i rabat. a. Hvor mange kroner er rabatten på? (Delen) b. Find prisen efter prisfaldet.

45 ∙ 160 = 72 100

Eller 0,45 ∙ 160 = 72 En bil koster + stigning på 20 % af 236.000 kr. = Den nye pris Eller 236.000 ∙ 1,20 = Et tv koster – rabat på 5 % af 2.100 kr. = Den nye pris Eller 2.100 ∙ 0,95 =

236.000 kr. + 47.200 kr. 283.200 kr. 283.200 kr. 2.100 kr. – 105 kr. 1.995 kr. 1.995 kr.

2. Find procenten H vor mange % udgør (er) 5 kg dårlige æbler af 15 kg?

5 ∙ 100% = 33,3% 15

Altså: Find ”Procent som decimaltal” i Husketrekanten. Gang med 100% for at få procent. Find stigningen i procent En busbillet er steget fra 18 kr. til 22 kr. Find stigningen i procent.

" Forskel i tal " ∙ 100% = " Det oprindelige tal " (22 − 18) ∙ 100% = 22,2 % 18

16 9788763605861_indhold.indd 16

14/08/2017 10.17

1. Tal og algebra

Opgavetype

Løsningsforslag

Find faldet i procent En T-shirt er nedsat fra 120 kr. til 90 kr. Find faldet i procent.

" Forskel i tal " ∙ 100 % = " Det oprindelige tal " (120 − 90) ∙ 100 % = 25% 120

Find forskel i procent ”end-tallet” Et køleskab koster 2.000 kr. i Bilka og 3.000 kr. i Elgiganten. Hvor mange procent er Elgiganten dyrere end Bilka?

" Forskel i tal " ∙ 100 % = " end-tallet " (3.000 − 2.000) ∙ 100 % = 50 % 2.000

3. Find det hele Find hele beløbet, når 45 % af dette beløb er 135 kr. Altså: Find ”Det hele” i Husketrekanten. 135 kr. er ”Del”.

135 ∙ 100 % = 300 kr. 45

Eller 135 = 300 kr. 0, 45

Moms-beregning:

Med moms (25%) En boremaskine koster 1.300 kr. uden moms. Find prisen med moms. Gang med 1,25

Uden moms En røremaskine koster 5.000 kr. med moms. Find prisen uden moms. Dividér med 1,25

En boremaskine koster + moms 25% af 1.300 kr. = Pris med moms Eller 1.300 ∙ 1,25 =

1.300 kr. + 325 kr. 1.625 kr.

En røremaskine koster – moms 20% af 5.000 kr. = Pris uden moms Eller 5.000 : 1,25 =

5.000 kr. – 1.000 kr. 4.000 kr.

1.625 kr.

4.000 kr.

Skriv det tal, som du kender, i den rette cirkel. Regn dig derefter frem til resultatet. Pris med moms

Pris uden moms ∙ 1,25 : 1,25 ∙ 0,25

: 0,20 ∙ 0,20

: 0,25

Momsbeløbet

17 9788763605861_indhold.indd 17

14/08/2017 10.17

Funktioner Koordinatsystemet y-akse 2.-akse

5 4

A(5,3)

3 2 1 0 –3 –2 –1

III

–1

0 1

–2 –3

x-akse 1.-akse

Et koordinatsæt skrives (x,y) med en parentes rundt om.

Punkt A har koordinatsættet (5,3). Husk: Man skriver altid x-koordinaten først og y-koordinaten bagerst.

(5,3) (x,y)

Koordinatsystemet er inddelt i fire områder (fire kvadranter: I, II, III og IV). I Geogebra er koordinatsystemet tegnet på forhånd. Punkter indsættes ved hjælp af som findes i værktøjslinjen. Følgende punkter er her indtegnet i Geogebra:

A= (5,3) B= (2,3) C= (–4,5) D= (–4,–1) E= (1,–2) F= (3,0) G= (0,5)

32 9788763605861_indhold.indd 32

14/08/2017 10.17

Huskeregler til matematik

Lav selv en forskrift

Eksempel på en opgave:

Her skal du tænke på den generelle forskrift for en ret linje:

TAXA-firmaet Hurtig-Karl koster: 15 kr. pr. km 40 kr. i startgebyr Lav en forskrift, og tegn grafen.

Den samlede pris. Prisen varierer efter, hvor mange kilometer der køres.

Prisen for én kilometer

Antal kilometer der køres

Fast startgebyr

a og b indsættes i forskriften:

Lav en tabel i regneark: x y = 10x + 40

y = ax + b

0 40

y = 15x + 40

5 115

10 190

15 265

20 340

Sådan ser grafen ud:

Kontrol: Bemærk:

Hvis du fx kører 5 km, bliver prisen

y = 15 ∙ 5 + 40 = 115 kr.

Grafen kan også tegnes i Geogebra.

34 9788763605861_indhold.indd 34

14/08/2017 10.17

2. Funktioner

Eksempel med 3 rette linjer Diskotek STAR

Diskotek DANS

20 kr. for en sodavand/øl

40 kr. for en sodavand/øl

100 kr. entré

Gratis entré

Diskotek Gul Gratis sodavand/øl 200 kr. entré

Opgaver

1) Bestem forskrifterne Her skal man bruge den generelle forskrift for en ret linje y = ax + b og indsætte a og b. Diskotek STAR y = 20x + 100

Diskotek DANS y = 40x

Diskotek Gul

y = 200

2) Tegn graferne

Brug regneark (se afsnit 5).

Først laves en tabel:

Derefter tegnes linjerne:

x y = 20x + 100 y = 40x y = 200

0 100 0 200

2 140 80 200

4 180 160 200

6 220 240 200

8 260 320 200

10 300 400 200

3) Forklar, hvad graferne viser (sammenlign) Graferne krydser i punktet (5,200). Det kaldes for skæringspunktet. Det betyder, at hvis man drikker 5 genstande, er prisen den samme (200 kr.) på alle tre diskoteker. Vil man kun have 2 drikkevarer, er det billigst på Diskotek DANS. Se den røde graf ligger nederst. Hvis man derimod er tørstig og vil have 10 genstande, vil det blive dyrest på Diskotek DANS. Grafen ligger øverst. Det vil være billigst at gå på Diskotek Gul, hvis man vil drikke fx mange sodavand/øl.

35 9788763605861_indhold.indd 35

14/08/2017 10.17

Huskeregler til matematik

Skæringspunkt Eksempel: Tegn de rette linjer: Linjen p Linjen q

y = x – 2 y = –0,5x + 2,5

Bemærk: a = 1 og b = –2 Bemærk: a = –0,5 og b = 2,5

Lav først en tabel, og tegn dernæst de rette linjer:

Skæringspunktet kan aflæses: (3,1) Eller

Skæringspunktet kan også beregnes:

Saml x’erne på venstre side.

1,5x = 4,5

x = 4,5 : 1,5

x=3

x = 3 indsættes:

Sæt de to funktioner lig med hinanden. Løs det som en ligning.

x + 0,5x = 2,5 + 2

x – 2 = –0,5x + 2,5

Nu er x-koordinaten beregnet.

y=x–2=3–2=1

Skæringspunktet beregnes derfor til (3,1)

Eller

og vælg "Skæringsværktøj". Tegn evt. de rette linjer i Geogebra. Klik derefter på Klik på linjerne, og yderst til venstre står skæringspunktet.

36 9788763605861_indhold.indd 36

14/08/2017 10.17

Geometri Enheder

Længde måles fx i: Opgaveformulering: Hvor lang er…?

dam

kilometer

hektometer

dekameter

meter

decimeter

centimeter

millimeter

dm2

cm2

mm2

Mål længden af… Beregn omkredsen af…

Areal måles fx i: Opgaveformulering: Hvor stort er arealet af…? Beregn arealet af… fx arealet af en græsplæne

km2

kvadrat- hektar/ kilohektometer meter

Rumfang måles fx i: Bemærk: Alle enheder er ikke medtaget.

Opgaveformulering: Hvor stort er rumfanget af…? Beregn rumfanget af… fx rumfanget af en kasse

kvadrat- kvadrat- kvadrat- kvadratmeter decicentimillimeter meter meter

km3

dm3

cm3

mm3

kubikkilometer

kubikmeter

kubikdecimeter

kubikcentimeter

kubikmillimeter

Rummål måles fx i: Opgaveformulering:

liter

deciliter

centiliter

milliliter

Hvor meget vand kan der være i…? Beregn rumfanget i liter… Vægt måles fx i: Bemærk: Alle enheder er ikke medtaget.

Opgaveformulering:

ton

kilogram

gram

milligram

Hvor meget vejer…?

40 9788763605861_indhold.indd 40

14/08/2017 10.17

Huskeregler til matematik

Trekant Trekanter A b

C a

Forklaring

Eksempel

Denne trekant hedder ∆ABC.

Hvad hedder siden, der ligger overfor: ∠A ? Den hedder a. ∠B ? Den hedder b. ∠C ? Den hedder c.

Vinkelsummen i en trekant er altid 180°. ∠A + ∠B + ∠C = 180° Arealet af en trekant er: A= 1 ·h·g 2

h = højden g = grundlinjen

Spidsvinklet trekant Alle vinkler er under 90°.

Beregn arealet af en trekant, hvor h = 4 cm og g = 12 cm. Besvarelse: Indsæt tallene i formlen: A = 0,5 ∙ 4 ∙ 12 = 24 cm2 Beregn størrelsen af ∠B. 50 º

∠A = 60° ∠C = 50°

60 º

Besvarelse: ∠B = 180°– (60° + 50°) = 70° Stumpvinklet trekant Én af vinklerne er over 90°. (I dette tilfælde ∠B)

Kan ∠B være 180° og samtidig danne en stumpvinklet trekant?

Retvinklet trekant Én af vinklerne er 90°. (I dette tilfælde ∠C)

Hvis ∠C = 90°, hvor stor er de to andre vinkler tilsammen?

Ligesidet trekant Alle sider er lige lange. Alle vinkler er 60°.

Besvarelse: Vinkelsummen i en trekant er 180°. Resultatet bliver: 180° – 90° = 90°

A 110º

Beregn ∠B og ∠C.

side a = b = c

Besvarelse: Nej, det er ikke muligt. Det bliver kun en ret linje.

side a = b

Ligebenet trekant To af siderne (”benene”) i trekanten er lige lange. To af vinklerne er lige store.

Besvarelse: De to røde streger viser, at det er en ligebenet trekant, og dermed er ∠B og ∠C lige store. Vinkelsummen i en trekant er 180°. ∠B = (180° – 110°) : 2 = 35° Altså ∠B = ∠C = 35°

44 9788763605861_indhold.indd 44

14/08/2017 10.17

3. Geometri

Pythagoras’ sætning I en retvinklet trekant gælder:

a2 + b2 = c2

Eller

c2 = a2 + b2

Pythagoras Født: 570 f.Kr. Død: 495 f.Kr. Græker

Pythagoras’ sætning kan bruges til at udregne længden af en manglende side – ud fra formlerne: c = a2 + b2

a = c 2 − b2

b = c 2 − a2

Eksempel:

Beregn længden af siden b i den retvinklede trekant ∆ABC, når a = 4 og c = 5.

Brug derfor formlen b = c 2 − a2

b = 52 − 4 2 b = 25 − 16

c b

b = 9 b = 3

”Den omvendte Pythagoras” Hvis venstre side = højre side, så er det en retvinklet trekant. Eksempel: 32 + 42 = 52

Ja, dette er en retvinklet trekant, fordi 9 + 16 = 25.

45 9788763605861_indhold.indd 45

14/08/2017 10.17

Huskeregler til matematik

Firkant Firkanter

Forklaring

Eksempel

Vinkelsummen af en firkant er altid 360°.

Beregn ∠A, når der gælder, at ∠B = 120°, ∠C = 70° og ∠D = 55°.

De forskellige firkanter kan inddeles i undergrupper. Se nedenfor.

Besvarelse: ∠A = 360° – (120° + 70° + 55°) ∠A = 115°

Kvadrat

Beregn arealet af et kvadrat, hvor a = 5 cm.

Alle fire sider er lige lange, og alle fire vinkler er 90˚. a

Areal:

A=a∙a

Omkreds: O = a + a + a + a

Beregn omkredsen af et kvadrat, hvor a = 5 cm. Besvarelse: O = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 cm

Rektangel De modstående sider er lige lange, og alle fire vinkler er 90°. Areal:

A=l∙b

Omkreds: O = l + l + b + b

l = længde

Besvarelse: A = 5 ∙ 5 = 25 cm2

b = bredde

Eller

O=2∙l+2∙b

Beregn arealet af et rektangel, hvor l = 5 cm og b = 2 cm. Besvarelse: A = 5 ∙ 2 = 10 cm2 Beregn omkredsen af et rektangel, hvor l = 5 cm og b = 2 cm. Besvarelse: O = 2 ∙ 5 + 2 ∙ 2 = 14 cm

Parallelogram De modstående sider er parallelle og lige lange.

h g

h = højde g = grundlinje a

Areal:

A=h∙g

Trapez Et trapez har to parallelle sider.

h = højde a og b er de parallelle sider

Areal: A = 1 ∙ h ∙ (a + b) 2

Beregn arealet af et parallelogram, hvor h= 3 cm og g = 6 cm. Besvarelse: A = 3 ∙ 6 = 18 cm2

Beregn arealet af et trapez, hvor h = 2,8 cm, a = 3 cm og b = 6 cm. Bevarelse: A = 0,5 ∙ 2,8 ∙ (3 + 6) A = 1,4 ∙ ( 9 ) A = 12,6 cm2

46 9788763605861_indhold.indd 46

14/08/2017 10.17

3. Geometri

Cirkel Cirkler

Forklaring

Eksempel

En cirkel er 360° hele vejen rundt. C = cirklens centrum

Tegn en cirkel med radius (r) 3 cm. Afsæt først et kryds som centrum (C).

Radius r r C

Tag dernæst r = 3 cm i passeren. Sæt spidsen i C og tegn rundt.

Cirklens radius går fra centrum til kanten af cirklen (cirkelperiferien). I formler hedder radius r.

r = radius Diameter d C

Diameteren går igennem centrum. I formler hedder diameteren d Husk, at radius er det halve af diameteren.

d = diameter

r=d:2 Arealet af en cirkel (Det røde område) A = π ∙ r2

Beregn længden af radius. I en cirkel er diameteren 2,8 cm. Altså hele vejen over cirklen. Besvarelse: r = 2,8 : 2 r = 1,4 cm

Beregn arealet af en cirkel, hvor radius er 5 cm. Besvarelse: A = π ∙ 52 = 78,5 cm2 På lommeregner/mobil : π x 5 x2 = Hvis du på din lommeregner får resultatet 25π, skal du klikke på tasten <>

Omkredsen af en cirkel (Rundt om cirklen) O=2∙π∙r

Beregn omkredsen af en cirkel, hvor diameteren er 9 cm. Altså hvor langt er der rundt om cirklen. Besvarelse: Først beregnes radius. r = 9 : 2 = 4,5 cm Derefter indsættes r i formlen: O = 2 ∙ π ∙ 4,5 = 28,3 cm

47 9788763605861_indhold.indd 47

14/08/2017 10.17

Statistik Statistik – enkeltobservationer

Udtryk

Forklaring

observation

Undersøgelse.

data

Alle tallene i en observation hedder data.

observationssæt

En mængde af data, der skal beskrives statistisk.

størrelsen

Et observationssæts størrelse er antallet af observationer i sættet.

hyppighed h(x)

Hyppigheden er det antal gange, en observation forekommer. Lav en hyppighedstabel. Det betyder, at man skal tælle op, hvor mange der er af hver.

sum

Det betyder, at man lægger alle tallene sammen i hyppighedskolonnen. Brug Autosum Σ i regneark.

frekvens f(x)

Frekvensen fortæller, hvor stor en del hyppigheden er af alle observationerne. Frekvensen er hyppigheden delt med det samlede antal af observationer (SUM): f(x) =

h( x ) ⋅·100% 100% summen

Lav tabellen i regneark. mindsteværdi

Den mindste observation i observationssættet.

størsteværdi

Den største observation i observationssættet.

variationsbredden

Forskellen mellem størsteværdi og mindsteværdi.

gennemsnit = middeltal

Man finder gennemsnittet ved at lægge alle observationerne sammen og dele med antallet. (Læs evt. afsnittet om gennemsnit).

typetal

Den observation, der forekommer flest gange i observationssættet.

median

Den midterste observation. Hvis der er et lige antal observationer, så er medianen lig gennemsnittet af de to tal i midten.

diagram

Et diagram kan fx vise hyppigheden som søjlediagram og frekvensen som et cirkeldiagram. (Se evt. forklaring om dette i afsnittet om regneark).

56 9788763605861_indhold.indd 56

14/08/2017 10.17

4. Statistik

Eksempel: Et hold vil undersøge, hvor mange kopper kaffe kursisterne drikker. Der er 18 kursister på holdet. Her er indsamlet data: En kursist har gået rundt og spurgt hver enkelt. Her er svarene: 3 kopper

0 kopper

1 kop

2 kopper

5 kopper

2 kopper

3 kopper

4 kopper

3 kopper

4 kopper

0 kopper

1 kop

0 kopper

2 kopper

Observationssættets størrelse:

Størsteværdi: 5 kopper

Variationsbredden:

Mindsteværdi:

18 kursister

0 kopper

5 kopper – 0 kopper = 5 kopper

Gennemsnit: Summen: 3 + 0 + 1 + 2 + 2 + 5 + 2 + 3 + 4 + 3 + 3 + 3 + 4 + 0 + 0 + 1 + 0 + 2 = 38 kopper Gennemsnittet: 38 : 18 = 2,1 kopper

Typetallet: 3 kopper

Medianen:

Tabel over hyppighed og frekvens:

000011222233333445 Altså: 2 kopper

Se i afsnittet om regneark, hvordan du udfylder tabeller og laver diagrammer. Forslag til spørgsmål: Hvor mange drikker over 2 kopper kaffe? Der er i alt: 5 + 2 + 1 = 8 kursister Hvor mange procent drikker 3 kopper? Der er i alt 27,8 %

Et søjlediagram over hyppighed:

Udregning: 4 ⋅100 = 22,2 % 18

Et cirkeldiagram over frekvens: 0 kopper

1 kop

2 kopper

3 kopper

4 kopper

5 kopper

6 % 4

22 %

11 %

2 28 % 1 22 % 0

0 kopper

1 kop

2 kopper

3 kopper

4 kopper

5 kopper

57 9788763605861_indhold.indd 57

14/08/2017 10.17

Regneark Grundlæggende Regnetegn

Regnetegn

–

∙

Excel

–

Hvordan lægger man mange tal sammen i regneark? – Autosum

1) Markér de tal, som skal lægges sammen. I dette eksempel er det felterne fra C2 til C6.

2) Klik på Autosum Σ i værktøjslinjen.

3) Nu er alle tallene lagt sammen. I C7 står der nu ”186”. Øverst i formellinjen ses:

Hvordan laver man et gitter rundt om tallene i regnearket?

1) Markér det område, der skal have et gitter.

2) Klik på ”Startside” i værktøjslinjen.

3) Klik på firkanterne.

4) Vælg ”Alle kanter”.

Hvordan gør man kolonnerne bredere? Her er skrevet en tekst, der fylder mere end én celle. Dobbeltklik mellem bogstaverne (i dette tilfælde A og B). Nu ser det efterfølgende sådan ud: A-kolonnen er blevet bredere.

60 9788763605861_indhold.indd 60

14/08/2017 10.17

Godt at vide Førfaglige ord

Ud over de faglige matematiske ord er der de førfaglige ord, som også er vigtige for at forstå meningen i en opgave. Herunder ses en række førfaglige ord. Skriv evt. selv til i boksene. ”Noget, du skal gøre”:

Forholdsord: bagved efter foran fra før gennem igennem langs lige efter lige før midt imellem omkring oven for over på samme side som til venstre for under ved siden af

afgøre aflæse afrunde angive anvende begrunde benytte beregne bestemme finde forklare forstørre konstruere omregne opstille reducere sammenligne udregne

Sammenligninger: billigere end billigste bredere dobbelt så høj dyrere end dyreste ens faldende-stigende flere forskellen forskellige færre halvfuld i forhold til lavere længere mindre større større end yngst ældst

Førfaglige ord Retninger: bagerst forrest frem og tilbage højre i midten mellem nedad over til højre tur-retur opad til venstre for udefra under venstre

Antal: Om tid: dagligt for nylig før hurtigere hver dag i et år i kort tid langsom ofte om ugen samtidig senere øjeblikkelig årligt

dobbelt så mange få godt og vel højst en i alt lidt mange meget nogle næsten omtrent tilsammen (Se evt. s. 6)

67 9788763605861_indhold.indd 67

14/08/2017 10.17

5. Regneark

Hvordan ændrer man antallet af decimaler?

Fjern de ekstra decimaler ved at klikke på i værktøjslinjen. i værktøjslinjen. Tilføj ekstra decimaler ved at klikke på

Hvordan indsætter man en ekstra række?

Peg på en række med musen. Klik derefter på

i værktøjslinjen.

Vælg ”Indsæt arkrække”. Rækken bliver indsat ovenover. Bemærk:

Det er også muligt at indsætte en kolonne på samme måde.

Hvordan sletter man en række eller en kolonne? Markér den række eller kolonne, der skal slettes. Klik derefter på

i værktøjslinjen.

Hvordan bruger man tal, tekst og %-tegn i regneark?

61 9788763605861_indhold.indd 61

14/08/2017 10.17

Huskeregler til matematik

Funktioner i regneark Hvordan udfylder man en tabel for en ret linje i regneark? Opgave: Tegn linjen y = 3x + 2 1) Lav først en tabel i regneark:

Husk: Små tal i formlen – små x-værdier. Store tal i formlen – store x-værdier. 2) Skriv i feltet eller i formellinjen:

Husk: Start ALTID en formel med et lighedstegn = 3) Skriv den formel, der passer til din opgave; start med = I denne opgave skal du først indsætte ”0” på x’s plads ved at klikke på cellen, hvor der står ”0”. Den hedder B1.

y = 3x + 2

4) Afslut med ”Enter”.

Hvordan udfylder man resten af tabellen? 5) Klik på det første felt. 6) Før musen ned i hjørnet af cellen. 7) Bevæg musen, indtil der kommer et sort, fedt kryds

8) Hold venstre musetast nede, og træk musen til højre under x-værdierne. Bemærk:

Det første felt bliver altid hvidt.

62 9788763605861_indhold.indd 62

14/08/2017 10.17

V = 43 ⋅·ππ⋅ r· 3r 3

r C

r = 15 cm V = 43 ⋅·ππ⋅ r· 3153 = 14.137 cm3

ISBN 978-87-6360-586-1

Matematisk formelsamling med eksempler

HUSKEREGLER

Jette Helland

9 788763 605861 www.alfabetaf orlag.dk

9788763605861_omslag.indd 1

14/08/2017 13.13