Universidad Nacional de la Patagonia Facultad de Ingeniería – Departamento de Matemática
Lugares geométricos, conjuntos de puntos y sucesiones en el plano complejo con wiris Ms. Ana María Teresa Lucca
Lugares geométricos, conjuntos de puntos y sucesiones en el plano complejo con wiris by Ana María Teresa Lucca is licensed under a Creative Commons Reconocimiento -No comercial-Sin obras derivadas 2.5 Argentina License. Publicado en matematics.wordpress.com .
En el artículo “Geometría y aritmética de los números complejos con wiris1 ” hemos visto cómo wiris presenta comandos muy útiles para trabajar con números complejos. Recordemos que para comenzar a trabajar debemos realizar los siguientes pasos: •
Ingresar al sitio http://www.wiris.com/applets/CAS/es/cas_1_es.htm
•
En la pestaña Edición pulsar el botón Nueva sesión
•
Comenzar a tipear la operación. Para indicar la unidad imaginaria ir a la pestaña Símbolos y ubicar allí el botón correspondiente.
1. Distancia Es muy fácil definir en wiris la fórmula que calcula la distancia entre dos números complejos dados. No obstante, el comando distancia facilita la tarea considerando los puntos asociados a cada número complejo.
1
Disponible en http://issuu.com/amtlucca/docs/articulo_1
Ms. Ana María Teresa Lucca
1
Universidad Nacional de la Patagonia Facultad de Ingeniería – Departamento de Matemática
2. Círculos y discos La noción de distancia permite caracterizar fácilmente a puntos ubicados en un círculo. Así, la ecuación z − a = r corresponde a todos los puntos sobre el círculo de centro a y radio r. Tomando esto como base, z − a < r caracteriza a todos los puntos dentro del círculo (disco abierto), mientras que z − a ≤ r corresponde a los puntos del disco cerrado de centro a y radio r. Con wiris podemos explorar si un punto pertenece al disco abierto o cerrado como sigue: •
Fijemos nuestra atención, a modo de ejemplo, en el disco abierto de centro a = 3 – 7 i y radio r = 4; esto es, z − 3 + 7 i < 4 .
•
Estamos interesados en saber si z = 1 + i pertenece al disco abierto. Procedemos como sigue:
•
Sería útil comprobar gráficamente esta respuesta. Para dibujar la circunferencia observemos que contamos con el centro y su radio, de modo que dentro de la pestaña Geometría ubicaremos el comando adecuado para la gráfica.
2
Ms. Ana María Teresa Lucca
Universidad Nacional de la Patagonia Facultad de Ingeniería – Departamento de Matemática
•
Ingresamos el centro y el radio de nuestro disco, y al evaluar tendremos la expresión correspondiente a la circunferencia.
•
Para dibujarla, conviene dar un nombre a la expresión anterior, para usar el comando dibujar.
Ms. Ana María Teresa Lucca
3
Universidad Nacional de la Patagonia Facultad de Ingeniería – Departamento de Matemática
•
Basta ahora dibujar también el punto de análisis.
3. Generando sucesiones Existe una forma muy simple de generar tantos términos como sean necesarios de una sucesión de números complejos. El comando clave es aplicar_función, como veremos en el siguiente ejemplo que considera la sucesión cuyo término general está dado por i/n.
Si nos interesara obtener algún término en particular de la sucesión, por ejemplo el segundo y el octavo, procedemos de la siguiente manera:
4
Ms. Ana María Teresa Lucca
Universidad Nacional de la Patagonia Facultad de Ingeniería – Departamento de Matemática
4. Punto límite Un punto se dice punto límite, o punto de acumulación, de un conjunto si todo disco abierto centrado en él contiene al menos un punto del conjunto distinto de él. Para determinar si un punto es un punto límite puede resultar interesante representar gráficamente las situaciones. A modo de ejemplo, veamos cómo podemos analizar si el cero es un punto límite del conjunto {i/n : n ∈ N}.
Es claro que cero es efectivamente un punto de acumulación de este conjunto. (Nota: la herramienta Zoom dentro puede resultar útil para un acercamiento y posterior análisis de la situación). Se invita al lector a intentar analizar cuáles son los puntos límite del conjunto formado por los elementos de la forma in con n número entero.
Ms. Ana María Teresa Lucca
5
Universidad Nacional de la Patagonia Facultad de Ingeniería – Departamento de Matemática
5. Sucesiones de números complejos Los comandos de las Secciones anteriores resultan útiles para graficar sucesiones de números complejos con wiris, además de permitir analizar la convergencia.
( )
Por ejemplo, para graficar algunos términos de la sucesión i n
∞ n=1
hacemos lo siguiente:
Es claro que esta sucesión no es convergente. En cambio, la sucesión (1 + i / n )∞n =1 es convergente, y converge a 1.
6
Ms. Ana María Teresa Lucca
Universidad Nacional de la Patagonia Facultad de Ingeniería – Departamento de Matemática
6. Sucesiones acotadas La representación gráfica muchas veces nos puede brindar pistas respecto de si una sucesión de números complejos es acotada. Si retomamos los ejemplos de la Sección anterior, claramente estamos ante ejemplos de ellas.
Ms. Ana María Teresa Lucca
7
Universidad Nacional de la Patagonia Facultad de Ingeniería – Departamento de Matemática
7. Límite de sucesiones de números complejos Hasta ahora hemos intentado analizar gráficamente la convergencia de una sucesión. Wiris también permite obtener el valor del límite, de existir, mediante el comando lim ubicado en la pestaña Análisis. El símbolo ∞ está disponible en la pestaña Símbolos.
Si la sucesión no es convergente obtendremos un mensaje de advertencia.
8
Ms. Ana María Teresa Lucca