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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA SAN JUAN BOSCO FACULTAD DE INGENIERĂ?A DEPARTAMENTO DE MATEMĂ TICA ANĂ LISIS DE VARIABLE COMPLEJA TRABAJO PRĂ CTICO N° 1 - Dominios en el Plano đ?’™đ?’š La estructura algebraica de â„?đ?&#x;? 1. Sean đ?‘§ = (2, −2), đ?œ = (−1, 5). Calcular: a. đ?‘§ + đ?œ b. đ?œ − đ?‘§ c. 2đ?‘§ − đ?œ d. đ?‘§ + 4đ?œ 2. Dados đ?‘§, đ?œ como en el Ejercicio 1, resolver lo siguiente para đ?‘¤ = (đ?‘˘, đ?‘Ł): a. đ?‘§ + 2đ?œ + 3đ?‘¤ = 0

b. 2đ?‘§ + đ?‘¤ = −đ?œ La estructura distancia en â„?2 1. Sean đ?‘§ = (−1, 4), đ?‘§0 = (2, 2). Calcular: a. |đ?‘§| b. |đ?‘§0 | c. |đ?‘§ − đ?‘§0 | d. |đ?‘§0 − đ?‘§| 2. Calcular la distancia de đ?‘§0 a đ?‘§, con đ?‘§, đ?‘§0 como en el Ejercicio 1. 3. Bosquejar en el plano los conjuntos de puntos đ?‘§ determinados por cada una de las siguientes condiciones. AquĂ­ đ?‘§0 = (1, 1). a. |đ?‘§| = 1 b. |đ?‘§| < 1 c. |đ?‘§ − đ?‘§0 | = 1 d. |đ?‘§ − đ?‘§0 | ≼ 1 4. Establecer las siguientes desigualdades Ăştiles. Bosquejar! a. |đ?‘§ + đ?œ | ≤ |đ?‘§| + |đ?œ |

(Desigualdad triangular)

b. |�| ≤ |�|, |�| ≤ |�| donde � = (�, �)

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Dominios en â„?đ?&#x;? 1. a. Bosquejar el conjunto đ?‘† de puntos đ?‘§ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) que satisfacen đ?‘Ľ ≼ 0. b. Verificar que el subconjunto de puntos interiores de đ?‘† estĂĄ determinado por la condiciĂłn đ?‘Ľ > 0. c. ÂżEs el subconjunto en (b) un dominio? 2. a. Bosquejar el “anilloâ€? Ί = {đ?‘§ âˆś 1 < |đ?‘§| < 2} . b. Existe un agujero en Ί. ÂżEs Ί conexo? c. Verificar que Ί es un dominio. 3. En lugar de designar uno de los dominios estĂĄndar por una letra mayĂşscula, a menudo hablamos del “disco unitario |đ?‘§| < 1â€?, “el disco punteado 0 < |đ?‘§| < 1â€?, y asĂ­ siguiendo. dibujar los conjuntos determinados por cada una de las siguientes condiciones y decidir cuĂĄles son dominios. AquĂ­ đ?‘§0 es un punto arbitrario pero fijo. a. |đ?‘§| > 1 b. 1 ≤ |đ?‘§| ≤ 2 c. |đ?‘§ − đ?‘§0 | < 1 d. |đ?‘§ − đ?‘§0 | ≤ 2 4. Sea Ί un dominio y sea đ?‘† un subconjunto no vacĂ­o de Ί que satisface (i) đ?‘† es abierto, (ii) su complemento Ί − đ?‘† es abierto (a veces se dice que đ?‘† es cerrado en Ί). Demostrar que đ?‘† = Ί; es decir, Ί − đ?‘† es vacĂ­o. Fronteras y acotados 1. ÂżCuĂĄles de los siguientes conjuntos son acotados? a. |đ?‘§| ≼ 1 b. Un subconjunto de un conjunto acotado. c. 0 < |đ?‘§ − đ?‘§0 | < 1. d. El grafo de đ?‘Ś = sen đ?‘Ľ 2. Determinar las fronteras de los siguientes conjuntos. Como es usual, đ?‘§ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś). a. đ?‘Ľ > 0, đ?‘Ś > 0 b. |đ?‘§ − đ?‘§0 | ≤ 2 c. 0 < |đ?‘§ − đ?‘§0 | < 2 d. 0 < đ?‘Ľ < 1, đ?‘Ś arbitrario

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