دليل المعلم فى الجبر والهندسة الفراغية الصف الثالث الثانوى الجديد 2017 منتدى توجيه الرياضيات by Ybalja

‫ﺍﻟﺒﺤﺘﺔ‬

º∏©ªdG π«dO

iƒfÉãdG ådÉãdG ∞°üdG

‫�إعداد‬ ‫�أ‪ /‬كمال يون�س كب�شة‬ ‫ ‬

‫�أ‪.‬د‪� /‬سمر عبد الفتاح ال�شني‬

‫د‪� /‬أمل ال�شحات حافظ‬

‫�أ‪ /‬عبد الرحمن محمد عمر‬

‫شركة سقارة للنشر‬ ‫�ش‪ .‬م‪ .‬م‬

‫الطبعــة األولى ‪2017/2016‬‬ ‫رقم اإليــداع ‪2016 / 8706‬‬ ‫الرقم الدولى ‪978 - 977 - 706 - 034 - 9‬‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫بسم الل ّٰه الرحمن الرحيم‬ ‫اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻔﺎﺿﻞ‪........‬‬ ‫اﻟﻤﻌﻠﻤﺔ اﻟﻔﺎﺿﻠﺔ ‪........‬‬ ‫ﻳﺴﺮﻧﺎ أن ﻧﻘﺪم ﻫﺬا اﻟﺪﻟﻴﻞ ﻟﻤﻌﻠﻤﻰ ﻣﺎدة اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻟﻠﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى )ﻋﻠﻤﻰ( آﻣﻠﻴﻦ اﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﻣﻨﻪ ﻓﻰ‬ ‫اﻋﺪاد وﺗﺤﻀﻴﺮ اﻟﺪرس وﺗﻨﻔﻴﺬﻫﺎ ﻛﺎﺣﺪ اﻟﻤﺼﺎدر اﻟﺘﻰ ﺗﺴﺎﻋﺪ ﺗﺤﻘﻴﻖ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﺮﺟﻮه‪.‬‬ ‫وﻧﺤﻦ ﻧﻘﺪم ﻟﻚ ﻫﺬا اﻟﺪﻟﻴﻞ ﻟﻴﻜﻮن ﻣﺮﺷﺪًا ﻓﻰ ﺗﺨﻄﻴﻂ وﺗﻨﻔﻴﺬ اﻟﺪروس ﺑﻤﺎ ﻳﺘﻼﺋﻢ ﻣﻊ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎت اﻟﻄﻠﺒﺔ واﻟﻄﺎﻟﺒﺎت‬ ‫وﻳﺴﺎﻋﺪ ﻋﻠﻰ ﺗﻨﻤﻴﺔ ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻤﻰ وﻓﻰ ﻣﺤﺎوﻟﺔ ﻷن ﻳﻤﺘﺰج اﻟﺘﻌﻠﻴﻢ ﺑﺎﻟﻤﺘﻌﻪ واﻟﺘﺸﻮق وذﻟﻚ ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ‬ ‫اﺳﺎﻟﻴﺐ اﻟﺘﻌﻠﻢ اﻟﺤﺪﻳﺜﺔ‪.‬‬ ‫وﻧﺤﻦ اذا ﻧﻀﻊ ﻫﺬا اﻟﺪﻟﻴﻞ ﺑﻴﻦ ﻳﺪﻳﻚ أﻳﻬﺎ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻔﺎﺿﻞ‪ ،‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﺪم أﻣﺜﻠﺔ ﻻ ﻳﺠﺐ اﻟﻮﻗﻮف ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻘﻂ‪ ،‬ﺑﻞ ﻧﻌﺪﻫﺎ‬ ‫ً‬ ‫ﻣﻨﻄﻠﻘﺎ ﻟﺘﻨﻤﻴﺔ ﺧﺒﺮاﺗﻚ واﺑﺮاز ﻗﺪراﺗﻚ اﻻﺑﺪاﻋﻴﺔ‪.‬‬

‫‪:z≈ª∏©dG º°ù≤dG{ ájƒfÉãdG á∏Môª∏d äÉ«°VÉjôdG ègÉæe áØ°ù∏a‬‬ ‫ﻣﻦ اﻟﻤﻬﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻔﻠﺴﻔﺔ اﻟﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻄﻮﻳﺮ ﻣﻨﺎﻫﺞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻓﻰ ﺿﻮﺋﻬﺎ‪ ،‬واﻟﺘﻰ ﺗﻨﺒﺜﻖ ﻣﻦ ﻓﻠﺴﻔﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﺔ‬ ‫ﻟﻤﻮاﺟﻬﺔ اﻟﺘﺤﺪﻳﺎت اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺘﻤﻌﻨﺎ‪.‬‬ ‫وﺣﻴﺚ إن اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت وﺳﻴﻠﺔ ﻣﻬﻤﺔ ﻹﻋﺪاد اﻟﻤﺘﻌﻠﻢ ﻟﻤﻮاﺟﻬﺔ ﻣﺸﻜﻼت ﺑﻴﺌﺘﻪ اﻟﻤﺘﻨﻮﻋﺔ واﻹﺳﻬﺎم ﻓﻰ ﺣﻠﻬﺎ‪ ،‬ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ‬ ‫إﻟﻰ إﻋﺪاده ﻟﻤﻮاﺟﻬﺔ ﺗﺤﺪﻳﺎت ﻋﺪﻳﺪة ﻋﺎﻟﻤﻴﺔ وإﻗﻠﻴﻤﻴﺔ وﻣﺤﻠﻴﺔ‪ ،‬اﻷﻣﺮ اﻟﺬى ﻳﺤﺘﻢ ﺗﻨﻤﻴﺔ أﻧﻤﺎط ﻣﺘﻌﺪدة ﻣﻦ اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ‬ ‫ﻟﺪى اﻟﻤﺘﻌﻠﻢ وﺗﻨﻤﻴﺔ ﻣﻬﺎراﺗﻪ ﻓﻰ ﺣﻞ اﻟﻤﺸﻜﻼت‪ ،‬وﺗﻨﻤﻴﺔ اﻟﺤﺲ اﻟﺒﺤﺜﻰ ﻟﺪﻳﻬﻢ وﺗﻨﻤﻴﺔ اﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ اﻟﻘﻴﻢ واﻻﺗﺠﺎﻫﺎت‬ ‫وأوﺟﻪ اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻠﻪ ﻳﺘﺼﺪى ﻟﻠﺴﻠﺒﻴﺔ اﻟﻔﻜﺮﻳﺔ وﻳﻘﺒﻞ اﻟﻤﺨﺎﻃﺮ واﻟﻤﺸﺎرﻛﺔ اﻻﻳﺠﺎﺑﻴﺔ واﻟﺴﻌﻰ إﻟﻰ ﺗﻌﻠﻴﻢ ذاﺗﻪ‬ ‫واﻟﻮﺻﻮل إﻟﻰ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻣﻦ ﺧﻼل ﻣﺼﺎدرﻫﺎ اﻷﺻﻠﻴﺔ وﺗﻮﻇﻴﻔﻬﺎ ﻓﻰ ﻧﻤﺬﺟﺔ اﻟﻤﺸﻜﻼت اﻟﻤﺤﻠﻴﺔ واﻟﻌﺎﻟﻤﻴﺔ‬ ‫واﻟﺘﻮﺻﻞ إﻟﻰ ﺣﻠﻮل إﺑﺪاﻋﻴﺔ ﻟﻬﺎ‪ ،‬ﻫﺬا ﺑﺎﻟﺮﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ إﺑﺮاز دور اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻓﻰ ﺧﺪﻣﺔ اﻟﻤﺠﺘﻤﻊ واﻹﺳﻬﺎم ﻓﻰ ﺗﻄﻮﻳﺮه‬ ‫وﺣﻞ ﻣﺸﻜﻼﺗﻪ‪.‬وأﻳﻀﺎ دورﻫﺎ ﻓﻰ ﺧﺪﻣﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻷﺧﺮي وﺗﻘﺪﻣﻬﺎ‪ ،‬ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ﺗﻘﺪﻳﻢ اﻷﺳﺎﺳﻴﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ اﻟﻼزﻣﺔ‬ ‫ﻟﻠﻄﻼب ﻋﻨﺪ دراﺳﺘﻬﻢ اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ ﻣﻊ ﺟﻌﻞ اﻟﻤﻨﺎﻫﺞ ﻣﺮﻧﺔ ﺗﺴﻤﺢ ﺑﺤﺮﻳﺔ اﻻﺧﺘﻴﺎر ﻣﺮاﻋﺎة ﻟﻠﻔﺮوق اﻟﻔﺮدﻳﺔ ﻣﻊ ﺗﻔﻌﻴﻞ‬ ‫اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻘﻨﻴﺎت اﻟﺤﺪﻳﺜﺔ ﻓﻰ ﺗﻌﻠﻴﻢ وﺗﻌﻠﻢ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‪.‬‬ ‫وﻧﻮرد ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻰ أﻫﻢ ﻣﻨﻄﻠﻘﺎت ﻓﻠﺴﻔﺔ ﻣﻨﺎﻫﺞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‪:‬‬ ‫❏ ﺗﻘﺪﻳﺮ دور اﻟﻌﻠﻤﺎء واﻹﺷﺎرة إﻟﻰ اﻟﺮواد اﻟﻤﻌﺎﺻﺮﻳﻦ‪ ،‬اﻟﺬﻳﻦ أﺳﻬﻤﻮا ﻓﻰ ﻧﻈﺮﻳﺎﺗﻬﺎ وﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻬﺎ‪ ،‬وﺗﺄﻛﻴﺪ أن‬ ‫اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻋﻠﻢ ﻓﻜﺮ ﻳﺴﻬﻢ ﻓﻰ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺤﻀﺎرات‪ ،‬ﺑﻤﺎ ﻓﻰ ذﻟﻚ ﻣﺎ أﺳﻬﻤﺖ وﺗﺴﻬﻢ ﺑﻪ اﻟﺤﻀﺎرات اﻟﻤﺼﺮﻳﺔ‬ ‫واﻟﻌﺮﺑﻴﺔ واﻹﺳﻼﻣﻴﺔ‪.‬‬ ‫❏ ﻳﻨﺒﻐﻰ أن ﻳﻜﻮن ﻟﺘﻌﻠﻴﻢ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت دور ﻣﺠﺘﻤﻌﻰ ﺑﻤﻌﻨﻰ اﻫﺘﻤﺎم ﻣﻨﺎﻫﺞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﺎﻟﻤﺴﺎﻫﻤﺔ ﻓﻰ ﻣﻌﺎﻟﺠﺔ‬ ‫ﺑﻌﺾ ﻗﻀﺎﻳﺎ اﻟﻤﺠﺘﻤﻊ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫❏ ﻳﻨﺒﻐﻰ أن ﺗﻜﻮن ﻫﻨﺎك رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻟﻠﺠﻤﻴﻊ ﻓﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻘﺮرات ﺗﻌﺎﻟﺞ ﺑﻤﺴﺘﻮﻳﺎت ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﺗﺘﻔﻖ ﻣﻊ ﺗﻨﻮع واﺧﺘﻼف‬ ‫أﻫﺪاف ﺗﻌﻠﻴﻢ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻟﻤﺨﺘﻠﻒ اﻟﻄﻼب‪ ،‬ﺧﺎﺻﺔ ﻓﻰ إﻃﺎر أن اﻟﺘﻌﻠﻴﻢ اﻵن ﺟﻤﺎﻫﻴﺮى ﻣﻠﺰم ﻻﺳﺘﻴﻌﺎب ﺟﻤﻴﻊ‬ ‫اﻟﻄﻼب ﻓﻰ ﻣﺮﺣﻠﺔ اﻹﻟﺰام وأن ﻧﺴﺒﺔ ﻛﺒﻴﺮة ﻣﻨﻬﻢ ﺗﻮاﺻﻞ اﻟﺘﻌﻠﻴﻢ ﺣﺘﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻧﻮﻳﺔ‪.‬‬ ‫❏ ﺗﺴﻬﻢ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻛﺄﺣﺪ ﻋﻠﻮم اﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ ﻓﻰ ﺗﻄﻮرﻫﺎ ﺣﻴﺚ ﺗﺮﺗﺒﻂ ﻣﻨﺎﻫﺠﻬﺎ ﺑﻘﻀﺎﻳﺎ واﺣﺘﻴﺎﺟﺎت اﻷﺟﻴﺎل‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﻴﺔ وﻣﺤﺎوﻟﺔ اﻟﺘﻨﺒﺆ ﺑﺎﺣﺘﻴﺎﺟﺎت اﻷﺟﻴﺎل اﻟﻼﺣﻘﺔ‪ ،‬ﺑﻤﺎ ﻳﻌﻄﻰ اﻟﻄﻼب دواﻓﻊ ﻧﺤﻮ دراﺳﺔ ﻣﺎدة اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‪.‬‬ ‫❏ ﺗﺪرﻳﺲ ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت ﻣﺘﻘﺪﻣﺔ ﻓﻰ اﻟﻤﺮاﺣﻞ اﻷوﻟﻰ ﻣﻦ اﻟﺘﻌﻠﻴﻢ‪ ،‬ﻣﻊ ﻧﻤﻮ دراﺳﺘﻬﺎ ﻓﻰ اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻧﻮﻳﺔ وﻣﺎ ﺑﻌﺪ‬ ‫ذﻟﻚ‪ ،‬واﻟﺘﻘﻠﻴﻞ ﻣﻦ اﻟﺘﻌﻠﻴﻢ اﻟﺸﻜﻠﻰ ﻟﻠﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﺎم )ﻏﻴﺮ اﻟﻤﺘﺨﺼﺺ( وﻳﺸﺎر ﺑﻮﺟﻪ ﺧﺎص إﻟﻰ دراﺳﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل واﻟﺘﻮﺑﻮﻟﻮﺟﻰ واﻟﺘﺤﻮﻳﻼت‬ ‫اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ واﻟﻨﻤﺬﺟﺔ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ واﻟﻤﻨﻄﻖ اﻟﺮﻳﺎﺿﻰ واﻟﻮﻳﺎﺿﻴﺎت اﻟﺤﻴﻮﻳﺔ‪ ...‬أﻟﺦ واﻟﻄﺮق اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺎ ﻟﻬﺎ ﻣﻦ أﻫﻤﻴﺔ‬ ‫ﻓﻰ ﺣﻞ ﻣﺸﻜﻼت اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺤﺎﺳﺐ اﻵﻟﻰ‪.‬‬ ‫❏ ﻫﻨﺎك ﻣﺴﺘﻮﻳﺎت وﻗﺪرات ﻣﺘﻔﺎوﺗﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﻤﺘﻌﻠﻤﻴﻦ ﻻﺑﺪ أن ﺗﻘﺪم ﻣﻘﺮرات ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻔﺌﺎت اﻟﻤﺘﻌﻠﻤﻴﻦ‪.‬‬ ‫❏ إرﺳﺎء اﻟﻘﺪرة ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻨﻘﺪى اﻟﻤﻨﻬﺠﻰ‪ ،‬وﺗﻨﻤﻴﺔ اﻟﺮﻏﺒﺔ ﻓﻰ اﻟﺒﺤﺚ وﻣﻬﺎرة اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻤﻨﻄﻘﻰ ﻟﺪى اﻟﻄﻼب‬ ‫ﻓﻰ ﻛﺎﻓﺔ اﻟﺼﻔﻮف اﻟﺪراﺳﻴﺔ‪ ،‬وذﻟﻚ ﻟﻠﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ اﻛﺘﺴﺎﺑﻬﻢ ﻣﻬﺎرة اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻰ واﻟﻘﺪرة ﻋﻠﻰ ﺣﻞ اﻟﻤﺸﻜﻼت‬ ‫وﻣﻤﺎرﺳﺔ اﻟﻌﻤﻞ اﻹﺑﺪاﻋﻰ اﻟﺨﻼق‪.‬‬ ‫❏ ﺗﺴﻬﻢ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻴﺔ ﺑﻔﺮوﻋﻬﺎ اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻓﻰ ﺣﻞ اﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﻜﻼت اﻟﺤﻴﺎﺗﻴﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‪ ،‬واﻟﻄﺒﻴﺔ‪....،‬إﻟﺦ‪.‬‬

‫‪:äÉ«°VÉjôdG ègÉæe AÉæH ¢ù°SCG‬‬ ‫ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺑﻨﺎء ﻣﻨﺎﻫﺞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت وﺗﻨﻈﻴﻤﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻋﺪة أﺳﺲ اﻟﺒﻌﺾ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﺘﻄﻮرات اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‬ ‫وﺗﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺔ اﻻﺗﺼﺎﻻت ﺑﺼﻮرة ﻋﺎﻣﺔ وﺗﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ اﻟﺘﻌﻠﻴﻢ ﺑﺼﻮرة ﺧﺎﺻﺔ‪ ،‬واﻟﺒﻌﺾ اﻵﺧﺮ ﻳﺘﻌﻠﻖ ﺑﻔﻠﺴﻔﺔ اﻟﻤﺠﺘﻤﻊ‬ ‫وﺣﺎﺟﺎﺗﻪ وﺣﺎﺟﺎت أﻓﺮاده واﺗﺠﺎﻫﺎﺗﻬﻢ‪.‬‬ ‫وﻳﻤﻜﻦ ﺗﺼﻨﻴﻒ ﻫﺬه اﻷﺳﺲ ﻓﻰ أرﺑﻊ ﻣﺠﺎﻻت رﺋﻴﺴﻪ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺤﻮ اﻟﺘﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫‪k G‬‬ ‫‪:á«ª∏©dG ¢ù°SC’G :’hC‬‬ ‫ﺗﺴﺘﻨﺪ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺑﻨﺎء ﻣﻨﺎﻫﺞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت إﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻷﺳﺲ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻣﻨﻬﺎ‪:‬‬ ‫❏ اﻟﺒﻨﺎء ﻋﻠﻰ ﻣﺎ ﺗﻢ دراﺳﺘﻪ ﻣﻦ ﻣﻌﺎرف وﻣﻬﺎرات رﻳﺎﺿﻴﺔ ﺑﺎﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‪.‬‬ ‫❏ أن اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻋﻠﻢ ﻗﺎﺋﻢ ﺑﺬاﺗﻪ ﻟﻪ ﻣﻔﺎﻫﻴﻤﻪ وﺗﻌﻤﻴﻤﺎﺗﻪ وﺣﻘﺎﺋﻘﻪ وﻧﻈﺮﻳﺎﺗﻪ وﻣﻬﺎراﺗﻪ ﻓﻰ ﺑﻨﺎء ﻣﺘﻜﺎﻣﻞ‪ ،‬وﻫﻮ ﻋﻠﻢ‬ ‫ﻣﺘﻄﻮر وﻣﺘﻨﺎﻣﻰ‪.‬‬ ‫❏ أن اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ذات ﻃﺒﻴﻌﺔ ﺗﺮاﻛﻤﻴﺔ ﺗﺒﺪأ ﺑﺎﻟﺨﺒﺮات اﻟﻤﺤﺴﻮﺳﺔ ﺛﻢ ﺷﺒﻪ اﻟﻤﺤﺴﻮﺳﺔ ﺣﺘﻰ ﺗﺼﻞ إﻟﻰ اﻟﺨﺒﺮات‬ ‫اﻟﻤﺠﺮدة‪.‬‬

‫ب‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫❏ اﻋﺘﺒﺎر اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت أداة ووﺳﻴﻠﺔ ﺗﻜﺎﻣﻞ وﺗﺮﺑﻂ ﻣﻊ اﻟﻌﻠﻮم اﻷﺧﺮى‪.‬‬ ‫❏ إﺳﻬﺎم ﻣﺤﺘﻮى اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻓﻰ ﺗﺤﻘﻴﻖ اﻷﻫﺪاف اﻟﻤﻨﺸﻮدة ﻣﻦ ﺗﺪرﻳﺲ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت وأن ﻳﺮاﻋﻰ ﻓﻰ ﻣﻔﺮداﺗﻪ أن‬ ‫ﺗﻜﻮن ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ‪.‬‬ ‫❏ ‪ -‬ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻣﻨﺎﻫﺞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻹﻫﺘﻤﺎم ﺑﺎﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ وﻛﻴﻔﻴﺔ اﺳﺘﻘﺮاﺋﻬﺎ واﺗﻘﺎن اﻟﻤﻬﺎرات اﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﻬﺎ‪.‬‬

‫‪:ájƒHôàdG ¢ù°SC’G :É«k fÉK‬‬ ‫ﺗﺴﺘﻨﺪ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺑﻨﺎء ﻣﻨﺎﻫﺞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت إﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻷﺳﺲ اﻟﺘﺮﺑﻮﻳﺔ ﻣﻨﻬﺎ‪:‬‬ ‫❏ اﻋﺘﺒﺎر اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻟﻐﺔ ﺗﻮاﺻﻞ وأﺳﻠﻮب ﺗﻔﻜﻴﺮ ﺗﺘﻤﺜﻞ ﻓﻰ رﻣﻮزﻫﺎ وﻣﺼﻄﻠﺤﺎﺗﻬﺎ وأﺷﻜﺎﻟﻬﺎ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ واﻟﺠﺪاول‬ ‫واﻟﺮﺳﻮم اﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ‪ ،‬وأﻓﻜﺎرﻫﺎ‪.‬‬ ‫❏ إﻋﺪاد أﻫﺪاف ﻟﺘﻌﻠﻴﻢ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﻘﺼﺪ أن ﺗﺴﻬﻢ ﻓﻰ إﻋﺪاد اﻟﻤﻮاﻃﻦ اﻟﻤﺼﺮي اﻟﻤﺘﻤﻴﺰ اﻟﺬى ﻳﻤﺘﻠﻚ اﻟﻤﻌﺎرف‬ ‫وأﻧﻤﺎط اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻤﻼﺋﻤﺔ ﻟﻤﻌﺎﻳﺸﺔ ﻣﻌﻄﻴﺎت وﺗﺤﺪﻳﺎت اﻟﻤﺤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺮاﻫﻨﺔ واﻟﻤﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ‪.‬‬ ‫❏ ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻣﻨﺎﻫﺞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻷﻧﺸﻄﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺴﺘﺨﺪم ﻓﻴﻬﺎ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻣﺜﻞ اﻟﺘﺠﺎرة واﻟﺴﻴﺎﺣﺔ واﻟﺘﺮﺑﻴﺔ‬ ‫اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ وﻏﻴﺮﻫﺎ ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮن اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻋﻠﻤﺎ ﺗﻄﺒﻴﻘﻴًﺎ‪.‬‬ ‫❏ ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻣﻨﺎﻫﺞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻹﻫﺘﻤﺎم ﺑﺄﺳﺎﻟﻴﺐ اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ وأﻧﻤﺎﻃﻪ اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‪.‬‬ ‫❏ ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻣﻨﺎﻫﺞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻻﻫﺘﻤﺎم ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻻﺳﺘﺮاﺗﻴﺠﻴﺎت اﻟﺘﺪرﻳﺴﻴﺔ اﻟﻔﻌﺎﻟﺔ اﻟﻤﺘﻨﻮﻋﺔ‪.‬‬ ‫❏ اﻻﻫﺘﻤﺎم ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ اﻟﺤﺪﻳﺜﺔ ﻓﻰ اﻟﺘﺪرﻳﺲ‪.‬‬ ‫❏ ﺗﺸﺠﻴﻊ اﻟﻄﻼب ﻋﻠﻰ اﻻﻛﺘﺸﺎف واﻻﺳﺘﻘﺮاء واﻻﺑﺘﻜﺎر واﻟﺘﻌﺮض ﻟﻤﻮاﻗﻒ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﺟﺪﻳﺪة‪.‬‬ ‫❏ ﺗﻨﻤﻴﺔ اﺗﺠﺎﻫﺎت إﻳﺠﺎﺑﻴﺔ ﻧﺤﻮ دراﺳﺔ ﻣﺎدة اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت وﺗﻌﻠﻤﻬﺎ ﻣﻦ ﺧﻼل ﺧﻠﻖ داﻓﻌﻴﺔ ذاﺗﻴﺔ ﻳﺪﻋﻤﻬﺎ رﺑﺮاز‬ ‫اﻟﻌﻨﺼﺮ اﻟﺠﻤﺎﻋﻰ واﻟﺜﻘﺎﻓﻰ واﻟﻨﻔﻌﻰ ﻟﻠﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‪.‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪:á«°ùØædG ¢ù°SC’G :ÉãdÉK‬‬ ‫ﺗﺴﺘﻨﺪ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺑﻨﺎء ﻣﻨﺎﻫﺞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت إﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻷﺳﺲ اﻟﻨﻔﺴﻴﺔ ﻣﻨﻬﺎ‪:‬‬ ‫❏ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﻤﺘﻌﻠﻢ وﺧﺼﺎﺋﺼﻪ اﻟﻌﺎﻣﺔ اﻟﺘﻰ ﻳﺸﺎرﻛﻪ ﻓﻴﻬﺎ ﻏﻴﺮه ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻌﻠﻤﻴﻦ‪.‬‬ ‫❏ اﻟﻌﻮاﻣﻞ اﻟﻤﺆﺛﺮة ﻓﻰ ﻧﻤﻮ اﻟﻔﺮد ﻛﺎﻟﻮراﺛﺔ واﻟﺒﻴﺌﺔ واﻟﺠﻮاﻧﺐ اﻻﺟﺘﻤﺎﻋﻴﺔ واﻟﺜﻘﺎﻓﻴﺔ‪.‬‬ ‫❏ ﺧﺼﺎﺋﺺ وﻣﺘﻄﻠﺒﺎت ﻣﺮﺣﻠﺔ اﻟﻨﻤﻮ ﺑﺎﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻧﻮﻳﺔ وﺗﺪاﺧﻠﻬﺎ وﺗﻜﺎﻣﻠﻬﺎ ﻣﻊ اﻟﻤﺮاﺣﻞ اﻷﺧﺮى‪.‬‬ ‫❏ ﺣﺎﺟﺎت اﻟﻤﺘﻌﻠﻢ ودواﻓﻌﻪ وﻣﺘﻄﻠﺒﺎت ﻧﻤﻮه وﻣﻴﻮﻟﻪ واﺳﺘﻌﺪادﺗﻪ واﺗﺠﺎﻫﺎﺗﻪ اﻟﻨﻔﺴﻴﺔ وﻣﻬﺎراﺗﻪ ﺑﺤﻴﺚ ﺗﺘﻨﻮع‬ ‫ﻣﺠﺎﻻت اﻟﺨﺒﺮة اﻟﺘﻰ ﺗﻘﺪم ﻟﻪ‪.‬‬

‫ج‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫‪:á«YÉªàL’G ¢ù°SC’G :É©k HGQ‬‬ ‫ﺗﺴﺘﻨﺪ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺑﻨﺎء ﻣﻨﺎﻫﺞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﺎﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻧﻮﻳﺔ إﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻷﺳﺲ اﻻﺟﺘﻤﺎﻋﻴﺔ ﻣﻨﻬﺎ‪:‬‬ ‫❏ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻻ ﻏﻨﻰ ﻋﻨﻬﺎ ﻟﺘﻌﺎﻳﺶ اﻟﻔﺮد ﻣﺠﺘﻤﻌﻪ‪.‬‬ ‫❏ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻋﻠﻢ وﻓﻜﺮ ﻳﺴﻬﻢ ﻓﻰ ﺗﻜﺎﻣﻞ اﻟﺤﻀﺎرات ﺑﻤﺎ ﻓﻰ ذﻟﻚ ﻣﺎ أﺳﻬﻤﺖ وﺗﺴﻬﻢ ﺑﻪ اﻟﺤﻀﺎرة اﻟﻤﺼﺮﻳﺔ‬ ‫واﻟﻌﺮﺑﻴﺔ‪.‬‬ ‫❏ ﺣﺎﺟﺔ اﻟﻤﺠﺘﻤﻊ إﻟﻰ اﻟﻌﻤﺎﻟﺔ اﻟﻤﺪرﺑﺔ ﻟﺴﻮق اﻟﻌﻤﻞ ‪ ،‬واﻟﻤﺴﻠﺤﺔ ﺑﺎﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﺮﻳﺎﺿﻰ‪.‬‬ ‫❏ اﺳﺘﺜﻤﺎر اﻟﺜﺮوة اﻟﺒﺸﺮﻳﺔ )اﻟﻄﻼب( ﻓﻰ ﺑﻨﺎء ﻗﺎﻋﺪة ﺗﻨﻤﻮﻳﺔ ﺷﺎﻣﻠﺔ‪.‬‬ ‫❏ اﻻﻫﺘﻤﺎم ﺑﺎﻟﻘﻴﻢ واﻟﻤﺒﺎدئ اﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻤﺠﺘﻤﻊ‪.‬‬ ‫❏ اﻻﻫﺘﻤﺎم ﺑﺎﻷدوار اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻔﺌﺎت اﻟﺸﻌﺐ ﻓﻰ اﻟﺘﻨﻤﻴﺔ اﻟﺸﺎﻣﻠﺔ‪.‬‬ ‫‪:π«dódG á«ªgCG‬‬

‫ً‬ ‫ﻳﺄﺗﻰ دﻟﻴﻞ اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻣﻮازﻳًﺎ‬ ‫وﻣﻜﻤﻼ ﻟﻜﺘﺎب اﻟﻄﺎﻟﺐ ﺑﻬﺪف‪:‬‬ ‫❏ ﺗﺰوﻳﺪ اﻟﻤﻌﻠﻢ ﺑﺨﻠﻔﻴﺔ ﺿﺮورﻳﺔ وﻻزﻣﺔ ﻋﻦ اﻷﻓﻜﺎر اﻟﺘﻰ ﺗﻜﻤﻦ وراء ﺑﻨﻴﺔ اﻟﻜﺘﺎب اﻟﻤﺪرﺳﻰ‪.‬‬ ‫❏ ﺗﻮﺿﺢ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ اﻻﺳﺘﺮاﺗﻴﺠﻴﺎت اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﺘﻨﻮﻋﺔ اﻟﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ أن ﻳﺴﺘﺨﺪﻣﻬﺎ اﺛﻨﺎء ﺷﺮح اﻟﺪرس‪.‬‬ ‫❏ ﺗﻮﺿﺢ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ اﻟﺨﻄﻮات واﻻﺟﺮاءات اﻟﻼزﻣﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺴﺎﻋﺪه ﻓﻰ ﺗﻨﻔﻴﺬ اﻟﺪرس‪.‬‬ ‫❏ ﻛﻤﺎ ﻳﺒﺮز اﻟﺪﻟﻴﻞ ﺟﺎﻧﺐ ﻫﺎم ﻣﻦ أﺳﺎﻟﻴﺐ اﻟﺘﻘﻮﻳﻢ اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺮاﻋﻰ اﻟﻔﺮوق اﻟﻔﺮدﻳﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﻄﻼب‪.‬‬ ‫‪?π«dódG Gòg Ωóîà°ùJ ∞«c‬‬

‫ﻟﻘﺪ ﺣﺎوﻟﻨﺎ أن ﻳﻜﻮن ﻫﺬا اﻟﺪﻟﻴﻞ واﻓﻴًﺎ ﺑﺠﻤﻴﻊ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ اﻟﺘﻲ ﻗﺪ ﺗﺤﺘﺎﺟﻬﺎ ﻟﺘﺪرﻳﺲ ﻫﺬا اﻟﻤﻘﺮر وﺳﻴﻜﻮن أﻣﺎﻣﻚ‬ ‫ﺻﻮرة ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺎت ﻛﺘﺎب اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻓﻰ ﻛﻞ درس‪ ،‬ﻣﻤﺎ ﻳﺴﺎﻋﺪك ﻋﻠﻰ رﺑﻂ ﺗﻮﺟﻴﻬﺎت اﻟﺪﻟﻴﻞ ﻣﺎ ﻳﺮاه اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻓﻰ ﻛﺘﺎﺑﻪ‪،‬‬ ‫وﻣﻤﺎ ﻻ ﺷﻚ ﻓﻴﻪ أن ﻫﺬا ﻳﺰﻳﺪ ﻣﻦ ﻓﺎﺋﺪة اﻟﺪﻟﻴﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻚ‪ ،‬إﻟﻰ ﺟﺎﻧﺐ اﻟﺼﻮرة اﻟﻤﺼﻐﺮة ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ ﻛﺘﺎب اﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ‫ﺗﺘﻀﻤﻦ ﺻﻔﺤﺔ اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻟﻠﻌﻨﺎﺻﺮ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻜﻞ وﺣﺪة وﻛﻞ درس‪.‬‬ ‫)‪ (١‬ﻣﻘﺪﻣﺔ اﻟﻮﺣﺪة‪ :‬وﺗﻮﺿﺢ ﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻮﺣﺪة ودروﺳﻬﺎ وﻣﻨﻬﺎ ﻣﺨﺮﺟﺎت اﻟﺘﻌﻠﻢ وزﻣﻦ‬ ‫اﻟﺘﺪرﻳﺲ واﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ وﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﺗﻮﺿﺢ اﻟﻤﻘﺪﻣﺔ وﺳﺎﺋﻞ وﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻢ وﻃﺮق‬ ‫اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮح اﺳﺘﺨﺪاﻣﻬﺎ وأﺧﻴ ًﺮا ﻃﺮق اﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‪.‬‬ ‫)‪ (٢‬دروس اﻟﻮﺣﺪة‪ :‬ﻓﻰ ﻫﺬا اﻟﺠﺰء ﻳﺘﻢ ﺗﻨﺎول ﺗﻔﺎﺻﻴﻞ ﻛﻞ درس ﻣﻦ دروس اﻟﻮﺣﺪة وﺗﺸﻤﻞ ﻫﺬه اﻟﺘﻔﺎﺻﻴﻞ‪:‬‬ ‫❏‬

‫ﺧﻠﻔﻴﺔ‪ :‬ﺣﻴﺚ ﻳﺘﻢ ﺧﻼﻟﻬﺎ اﻟﺮﺑﻂ ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻟﺪى اﻟﻄﺎﻟﺐ واﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﺠﺪﻳﺪة ﻓﻰ اﻟﺪرس‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻣﺨﺮﺟﺎت اﻟﺪرس‪ :‬ﺣﻴﺚ ﻳﺘﻢ ﺧﻼﻟﻬﺎ اﺳﺘﻌﺮاض ﻣﺨﺮﺟﺎت اﻟﺘﻌﻠﻢ اﻟﻤﺮﺟﻮ ﺗﺤﻘﻴﻘﻬﺎ ﻓﻰ اﻟﺪرس وﻫﻰ ﻣﺼﺎﻏﺔ‬ ‫ﺑﺼﻮرة اﺟﺮاﺋﻴﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﻤﻼﺣﻈﺔ واﻟﻘﻴﺎس‪.‬‬

‫❏‬

‫اﻟﻤﻔﺮدات اﻻﺳﺎﺳﻴﺔ‪ :‬ﺣﻴﺚ ﻳﺘﻢ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت اﻟﺘﻲ ﺳﻴﺘﻢ ﺗﻨﺎوﻟﻬﺎ ﻓﻰ اﻟﺪرس‪.‬‬

‫❏‬

‫اﻟﻤﻮاد اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‪ :‬ﻳﺘﻢ اﻻﺷﺎرة إﻟﻰ اﻟﻮﺳﺎﺋﻞ اﻟﻤﻌﻴﻨﺔ اﻟﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ اﺳﺘﺨﺪاﻣﻬﺎ ﻓﻰ ﺷﺮح وﺗﺤﻘﻴﻖ‬ ‫اﻫﺪاﻓﻪ اﺛﻨﺎء ﻋﻤﻠﻴﺔ اﻟﺘﻌﻠﻴﻢ واﻟﺘﻌﻠﻢ‪.‬‬

‫د‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫❏‬

‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‪ :‬ﻳﻮﺿﺢ ﻫﺬا اﻟﺠﺰء ﻣﺴﻤﻴﺎت ﻋﺪد ﻣﻦ ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ﺗﻮﻇﻴﻔﻬﺎ اﺛﻨﺎء‬ ‫اﻟﺤﺼﺔ وﺗﺘﻨﻮع ﻫﺬه اﻟﻄﺮق ﻣﻦ درس ﻵﺧﺮ ﻓﻬﻨﺎك اﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ اﺳﺘﺨﺪاﻣﻬﺎ أﺛﻨﺎء‬ ‫ﻋﺮض اﻟﻤﺤﺘﻮى وﻣﻦ ﻫﺬه اﻟﻄﺮق‪ :‬اﻟﻤﺤﺎﺿﺮة ‪ -‬اﻟﺘﻌﻠﻢ اﻟﺘﻌﺎوﻧﻰ ‪ -‬اﻟﻌﺼﻒ اﻟﺬﻫﻨﻰ‪ -‬اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪ -‬ﺣﻞ‬ ‫اﻟﻤﺸﻜﻼت ‪ -‬اﻻﻛﺘﺸﺎف‪.‬‬

‫‪:¢ùjQóàdG ¥ôW øY ¬àaô©e ÖLGƒdG Ée‬‬ ‫❏‬

‫اﻟﻤﻔﻬﻮم ‪ -‬ﺧﻄﻮات اﻟﺘﻨﻔﻴﺬ‪ -‬ﻣﺘﻄﻠﺒﺎت اﻟﺘﻨﻔﻴﺬ‪ -‬اﻟﻤﻤﻴﺰات‪ -‬اﻟﻌﻴﻮب أو ﺻﻌﻮﺑﺎت اﻟﺘﻨﻔﻴﺬ ‬

‫‪:áÑ°SÉæªdG ¢ùjQóàdG á≤jôW QÉ«àNG ºàj ∞«c‬‬ ‫❏‬

‫ﻳﺘﻢ اﺧﺘﻴﺎر ﻃﺮﻳﻘﺔ اﻟﺘﺪرﻳﺲ ﻓﻰ ﺿﻮد ﻣﺨﺮﺟﺎت اﻟﺘﻌﻠﻢ اﻟﻤﺴﺘﻬﺪﻓﺔ واﻟﻤﺤﺘﻮى وﺧﺼﺎﺋﺺ اﻟﻄﻼب ً‬ ‫وﻓﻘﺎ ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ‬ ‫اﻟﻌﻤﺮﻳﺔ واﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ واﻟﻮﻗﺖ اﻟﻤﺘﺎح‪.‬‬

‫‪:π°†aCG ¢ùjQóàdG ¥ôW iCG‬‬ ‫❏‬

‫ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺗﺪرﻳﺲ ﺑﻌﻴﻨﻬﺎ ﻫﻰ اﻷﻓﻀﻞ وﻟﻜﻦ اﻓﻀﻞ اﻟﻄﺮق ﻫﻲ اﻟﺘﻲ ﺗﻨﺎﺳﺐ اﻟﻄﺎﻟﺐ واﻟﻤﻮﻗﻒ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻰ‬ ‫وﺗﺴﺎﻋﺪ ﻓﻰ ﺗﺤﻘﻴﻖ اﻷﻫﺪاف اﻟﻤﺮﺟﻮة‪.‬‬

‫‪:¢ùjQóàdG ¥ôW êPÉªf‬‬ ‫‪: ≈fhÉ©àdG º∏©àdG‬‬ ‫❏‬

‫اﺳﻠﻮب ﺗﻌﻠﻢ ﻳﺘﻢ ﻓﻴﻪ ﺗﻘﺴﻴﻢ اﻟﻄﻼب إﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺎت ﺻﻐﻴﺮة ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ أو ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ً‬ ‫وﻓﻘﺎ ﻟﻠﻬﺪف أو اﻟﻤﻬﻤﺔ‬ ‫اﻟﺘﻲ ﺳﻴﻜﻠﻒ ﺑﻬﺎ اﻓﺮاد اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ وﻳﻘﻮم اﻓﺮاد اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺑﺎﻟﺘﻌﺎون ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻢ ﻹﻧﺠﺎز اﻟﻤﻬﻤﺔ اﻟﻤﻜﻠﻔﺔ ﺑﻬﺎ‪،‬‬ ‫وﺗﻬﺪف ﻫﺬه اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ إﻟﻰ ﺗﻨﻤﻴﺔ روح اﻟﺘﻌﺎون ً‬ ‫ﺑﺪﻻ ﻣﻦ اﻟﺘﻨﺎﻓﺲ وﺗﺸﺠﻴﻊ روح اﻟﻔﺮﻳﻖ‪.‬‬

‫‪:≈ægòdG ∞°ü©dG‬‬ ‫❏‬

‫ﻳﺘﻢ ﺧﻼل اﻟﻤﻮﻗﻒ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻰ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﻮﺿﻮع أو ﻗﻀﻴﺔ أو ﺳﺆال‪ ،‬وﻳُﻄﻠﺐ ﻣﻦ اﻟﻄﻼب اﺳﺘﺪﻋﺎء أﻛﺒﺮ ﻗﺪر ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت واﻷﻓﻜﺎر أو اﻹﺟﺎﺑﺎت أو اﻟﺤﻠﻮل اﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺘﻠﻚ اﻟﻘﻀﻴﺔ أو ﻫﺬا اﻟﻤﻮﺿﻮع؛ وذﻟﻚ وﻓﻖ ﻗﻮاﻋﺪ ﻣﺘﻔﻖ‬ ‫ﻋﻠﻴﻬﺎ‪ ،‬وﺗﺘﻤﺜﻞ ﻓﻰ ﺗﺴﺠﻴﻞ اﻷﻓﻜﺎر ﻛﺎﻓﺔ وﻋﺪم اﻟﻨﻘﺪ أو اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ ﻷى ﻓﻜﺮة ﻟﺘﺸﺠﻴﻊ اﻟﺠﻤﻴﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺸﺎرﻛﺔ‬ ‫اﻹﻳﺠﺎﺑﻴﺔ؛ وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﺗﻮﻟﻴﺪ اﻛﺒﺮ ﻗﺪر ﻣﻦ اﻷﻓﻜﺎر اﻟﻌﺎدﻳﺔ أو اﻟﻤﺒﺘﻜﺮة‪ ،‬وﺑﻌﺪ اﻻﻧﺘﻬﺎء ﻣﻦ ﻋﻤﻠﻴﺔ اﺳﺘﺪﻋﺎء اﻷﻓﻜﺎر‬ ‫ﻳﺘﻢ ﻣﻨﺎﻗﺸﺘﻬﺎ ﻟﻠﻮﺻﻮل إﻟﻰ أﻓﻀﻞ ﺣﻞ أو إﺟﺎﺑﺔ أو ﻓﻜﺮة وذﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺒﻌﺎد اﻷﻓﻜﺎر ﻏﻴﺮ اﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ أو اﻟﻤﻜﺮرة دون‬ ‫اﻹﺷﺎرة اﻟﺘﻰ ﺻﺎﺣﺐ ﺗﻠﻚ اﻟﻔﻜﺮة‪ ،‬وﻳﻤﻜﻦ ﺗﻠﺨﻴﺺ ﺧﻄﻮات اﻟﻌﺼﻒ اﻟﺬﻫﻨﻰ ﻓﻰ أرﺑﻊ ﺧﻄﻮات أﺳﺎﺳﻴﺔ ﻫﻰ‪:‬‬ ‫✵‬

‫اﻹﻋﺪاد واﻟﺘﻬﻴﺌﺔ ‪ :‬ﻟﻠﻤﻮﺿﻮع اﻟﺬى ﺳﻴﺘﻢ اﺳﺘﺪﻋﺎء اﻷﻓﻜﺎر ﺑﺸﺄﻧﻪ‪.‬‬

‫✵‬

‫ﻃﺮح اﻟﻤﻮﺿﻮع ‪ :‬اﻟﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ وﺿﻮح اﻟﻤﻮﺿﻮع ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺠﻤﻴﻊ‪.‬‬

‫✵‬

‫ﺗﻮﻟﻴﺪ اﻷﻓﻜﺎر‪ :‬ﺑﻤﺸﺎرﻛﺔ ﻛﺎﻓﺔ اﻟﻄﻼب‪.‬‬

‫✵‬

‫ﺗﻘﻮﻳﻢ اﻷﻓﻜﺎر‪ :‬ﺣﺬف اﻟﻤﻜﺮر أو ﻏﻴﺮ اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ واﻻﺗﻔﺎق ﻋﻠﻰ اﻓﻀﻞ اﻷﻓﻜﺎر أو اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬

‫ﻩ‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫‪:äÓμ°ûªdG πM‬‬ ‫❏‬

‫ﻫﻲ إﺣﺪى اﻟﻄﺮق اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻬﺪف إﻟﻰ اﻟﻮﺻﻮل إﻟﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ او اﻗﺘﺮاح ﺣﻠﻮل ﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻣﺤﺪدة ﺗﻤﺜﻞ ً‬ ‫ﻋﺎﺋﻘﺎ أو‬ ‫ﺗﺤﺪﻳًﺎ ﻟﻠﻄﻼب‪ ،‬ﺗﻬﺪف ﻫﺬه اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ إﻟﻰ ﺗﺪرﻳﺐ اﻟﻄﻼب ﻋﻠﻰ اﺗﺒﺎع اﻟﺨﻄﻮات اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ أو اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻤﻰ ﻟﻤﻮاﺟﻬﺔ‬ ‫ﻣﺸﻜﻠﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ‪ ،‬ﺗﻌﺘﻤﺪ ﺗﻠﻚ اﻻﺳﺘﺮاﺗﻴﺠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺗﻨﻔﻴﺬ ﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﺨﻄﻮات ﻣﻨﻬﺎ ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﺗﺤﺪﻳﺪًا ً‬ ‫ً‬ ‫دﻗﻴﻘﺎ‬ ‫وﻛﺎﻣﻼ‪،‬‬ ‫واﻟﺒﺪء ﻓﻰ ﺟﻤﻊ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎت ﻋﻦ ﺗﻠﻚ اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ واﻟﺤﻘﺎﺋﻖ اﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﻬﺎ‪ ،‬ﻓﺮض ﻓﺮوض ﺗﻤﺜﻞ اﻟﺤﻠﻮل اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺘﻠﻚ‬ ‫اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ‪ ،‬وﻳﺘﻢ اﺧﺘﺒﺎر ﺗﻠﻚ اﻟﻔﺮوض ﻻﺧﺘﻴﺎر أﻳﻬﺎ ﺳﺎﻫﻢ ﻓﻰ ﺣﻞ اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ‪ ،‬وﻓﻰ اﻟﺨﺘﺎم اﺳﺘﺨﻼص اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ وﺗﻘﺪﻳﻢ‬ ‫اﻟﺤﻠﻮل اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ؛ وﻣﻦ ﺛﻢ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻌﻤﻴﻢ ﺗﻠﻚ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻓﻰ ﻣﻮاﻗﻒ أﺧﺮى ﻣﺸﺎﺑﻬﺔ ﻟﻠﻤﺸﻜﻠﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻢ دراﺳﺘﻬﺎ‪.‬‬

‫‪:á°ûbÉæªdGh QGƒëdG‬‬ ‫❏‬

‫ﺗﻤﺜﻞ ﺗﻠﻚ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ إﺣﺪى اﻟﻄﺮق اﻟﻠﻔﻈﻴﺔ‪ ،‬وﻳﻤﻜﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻃﺮﻳﻘﺔ اﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﺑﺄﻧﻬﺎ ﺣﻮار ﻣﻨﻈﻢ ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺗﺒﺎدل‬ ‫اﻵراء واﻷﻓﻜﺎر ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻌﻠﻢ واﻟﻄﻼب أو ﺑﻴﻦ اﻟﻄﻼب ﺑﻌﻀﻬﻢ اﻟﺒﻌﺾ‪ ،‬وﺗﻬﺪف ﻫﺬه اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ إﻟﻰ ﺗﻨﻤﻴﺔ ﻣﻬﺎرات‬ ‫اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﻟﺪى اﻟﻄﻼب واﻟﺘﺪرﻳﺐ ﻋﻠﻰ ﻋﺮض اﻷﻓﻜﺎر ﻣﺪﻋﻮﻣﺔ ﺑﺎﻟﺪﻟﻴﻞ ﻋﻠﻰ ﺻﺤﺘﻬﺎ‪ ،‬ﻓﻀﻼً ﻋﻦ اﻻﻟﺘﺰام ﺑﺂداب اﻟﺤﻮار‬ ‫واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻛﺈﺣﺪى اﻟﻤﻬﺎرات اﻻﺟﺘﻤﺎﻋﻴﺔ اﻟﻮاﺟﺐ ﺗﻨﻤﻴﺘﻬﺎ ﻟﺪى اﻟﻄﻼب‪.‬‬

‫❏‬

‫ﺗﺘﻤﺜﻞ ﺧﻄﻮات اﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻓﻰ ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻟﻠﻬﺪف ﻣﻦ اﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‪ ،‬وﺗﻘﺴﻴﻢ ﻫﺬا اﻟﻬﺪف إﻟﻰ ﻋﺪة أﻓﻜﺎر ﻓﺮﻋﻴﺔ أو‬ ‫ﻋﺪد ﻣﻦ اﻷﺳﺌﻠﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮب اﻻﺟﺎﺑﺔ ﻋﻨﻬﺎ‪ ،‬وﻳﺘﻢ وﺿﻊ ﻗﻮاﻋﺪ ﻹدارة وﺗﻨﻈﻴﻢ اﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺎت‪ ،‬وﻣﻦ أﻣﺜﻠﺔ ﺗﻠﻚ اﻟﻘﻮاﻋﺪ‬ ‫إﺗﺎﺣﺔ اﻟﻔﺮﺻﺔ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﻟﻌﺮض اﻟﻔﻜﺮة ﻛﺎﻣﻠﺔ وﻣﻨﺎﻗﺸﺔ وﻧﻘﺪ اﻟﻔﻜﺮة دون اﻹﺳﺎءة أو اﻟﺘﻘﻠﻴﻞ ﻣﻦ ﺷﺄن ﺻﺎﺣﺐ‬ ‫اﻟﻔﻜﺮة‪ ،‬وﻫﻜﺬا وﻳﺤﺮص اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺰام اﻟﻄﻼب ﺑﺘﻠﻚ اﻟﻘﻮاﻋﺪ ﻟﻴﺴﺎﻋﺪﻫﻢ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮﺻﻞ إﻟﻰ اﻷﻓﻜﺎر ورﺑﻂ‬ ‫اﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ واﺳﺘﺨﻼص اﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎت واﻟﺘﻮﺻﻴﺎت اﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻬﺪف اﻟﺬى ﺗﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪه‪ ،‬وﻣﻦ ﺧﻼل ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﻟﻜﻞ ﻓﻜﺮة ﻓﺮﻋﻴﺔ ﻳﺘﻢ اﻟﺘﻮﺻﻞ إﻟﻰ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻟﻠﻘﻀﻴﺔ أو اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ‪.‬‬

‫‪: ±É°ûàc’ÉH º∏©àdG‬‬ ‫❏‬

‫ﻫﻰ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺗﻔﻜﻴﺮ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ أن ﻳﻘﻮم اﻟﻄﺎﻟﺐ ﺑﺎﺳﺘﺮﺟﺎع وﺗﻨﻈﻴﻢ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻟﺪﻳﻪ وإﻋﺎدة ﺻﻴﺎﻏﺘﻬﺎ‬ ‫ﺑﺸﻜﻞ ﻳُﻤ ﱢﻜﻦ ﻣﻦ اﺳﺘﺨﺪاﻣﻬﺎ ﻓﻰ ﻣﻮاﻗﻒ ﺟﺪﻳﺪة‪ ،‬وﻳُﻌﺮف اﻟﺘﻌﻠﻢ ﺑﺎﻻﻛﺘﺸﺎف ﺑﺄﻧﻪ اﻟﺘﻌﻠﻢ اﻟﺬى ﻳﺤﺪث ﻧﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﻟﻤﻌﺎﻟﺠﺔ اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت وﺗﺮﻛﻴﺒﻬﺎ وﺗﺤﻮﻳﻠﻬﺎ ﻟﻠﻮﺻﻮل إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎت ﺟﺪﻳﺪة ﻣﻦ ﺧﻼل اﻛﺘﺸﺎف أﻓﻜﺎر أو ﺣﻠﻮل‬ ‫ﻳﺼﻞ إﻟﻴﻬﺎ اﻟﻄﻼب ﺑﺄﻧﻔﺴﻬﻢ؛ ﻣﻤﺎ ﻳﺸﺠﻌﻬﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﻮاﺻﻠﺔ ﻋﻤﻠﻴﺔ اﻟﺘﻌﻠﻢ ‪.‬‬

‫اﻟﺘﻌﻠﻢ ﺑﺎﻻﻛﺘﺸﺎف ﻟﻪ أﻧﻮاع ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ درﺟﺔ اﻟﺘﻮﺟﻴﻪ اﻟﺬى ﻳﻘﺪﻣﻪ اﻟﻤﻌﻠﻢ وﻣﻦ ﺗﻠﻚ اﻷﻧﻮاع‪:‬‬ ‫❏‬

‫اﻻﻛﺘﺸﺎف اﻟﻤﻮﺟﻪ‪ :‬واﻟﺬى ﻳﻮﻓﺮ ﻓﻴﻪ اﻟﻤﻌﻠﻢ ﺑﻌﺾ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﺎت اﻟﺘﻰ ﺗﻀﻤﻦ ﻣﺴﺎﻋﺪة اﻟﻄﻼب ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺠﺎح ﻓﻰ اﻟﻤﻬﻤﺔ‪.‬‬

‫❏‬

‫اﻻﻛﺘﺸﺎف ﺷﺒﻪ اﻟﻤﻮﺟﻪ‪ :‬وﻓﻴﻪ ﻳﻘﺪم اﻟﻤﻌﻠﻢ ﺑﻌﺾ اﻟﺘﻮﺟﻴﻬﺎت اﻟﻌﺎﻣﺔ دون أن ﻳﺘﻘﻴﺪ ﺑﻬﺎ اﻟﻄﺎﻟﺐ‪.‬‬

‫❏‬

‫اﻻﻛﺘﺸﺎف اﻟﺤﺮ‪ :‬ﻓﻴﻪ ﻳﻮاﺟﻪ اﻟﻄﺎﻟﺐ اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﺑﻨﻔﺴﻪ دون أى ﺗﻮﺟﻴﻬﺎت ﻣﻦ اﻟﻤﻌﻠﻢ‪ ،‬وﻳﻄﻠﺐ ﻣﻨﻪ اﻟﻮﺻﻮل إﻟﻰ اﻟﺤﻞ‬ ‫وﺻﻴﺎﻏﺔ اﻟﻔﺮوض وﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺘﺠﺎرب وﺗﻨﻔﻴﺬﻫﺎ‪.‬‬

‫و‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫‪:¢SQódG äGAGôLG‬‬

‫أ ( اﻟﺘﻬﻴﺌﺔ‪ :‬وذﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼل ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ اﻟﻌﻤﻞ اﻟﺘﻌﺎوﻧﻰ أو ﺑﻨﺪ "ﻓﻜﺮ وﻧﺎﻗﺶ" اﻟﻮارد ﻓﻰ ﺑﺪاﻳﺔ اﻟﺪرس‪ ،‬وﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﻌﺮوف أن ﺗﻮاﻓﺮ اﻟﺪاﻓﻌﻴﺔ ﻓﻰ اﻟﺘﻌﻠﻢ ﻟﺪى اﻟﻄﻼب أﻣﺮ ﻻزم ﺑﻞ ﺣﺘﻤﻰ ﻟﻀﻤﺎن ﺣُ ﺴﻦ ﺳﻴﺮ اﻟﺪرس‬ ‫وإﻳﺠﺎﺑﻴﺔ اﻟﻄﻼب‪ ،‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﺗﺘﺤﻘﻖ اﻷﻫﺪاف اﻟﻤﻨﺸﻮدة‪ .‬وﻳﺠﺐ أﻻ ﻳﻄﻐﻰ زﻣﻦ ﺗﻬﻴﺌﺔ اﻟﻄﻼب ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻤﺨﺼﺺ ﻟﺒﺎﻗﻰ أﻧﺸﻄﺔ اﻟﺪرس‪ ،‬وﻋﺎدة ﻻ ﻳﺰﻳﺪ زﻣﻦ ﺗﻬﻴﺌﺔ اﻟﺪرس ﻋﻦ ﻋﺸﺮ دﻗﺎﺋﻖ‪.‬‬ ‫ب ( ﺗﻌﻠﻢ‪ :‬ﺑﻌﺪ اﻟﺘﻬﻴﺌﺔ ‪ -‬وﻓﻰ ﺗﺮاﺑﻂ وﺳﻼﺳﺔ ‪ -‬ﻳﺪﺧﻞ اﻟﻤﻌﻠﻢ إﻟﻰ ﺧﻄﻮات ﻋﺮض اﻟﺪرس‪ ،‬ﻓﻴﺒﺪأ ﻓﻰ ﺗﻨﻔﻴﺬ‬ ‫ﻃﺎ ً‬ ‫اﻷﻧﺸﻄﺔ اﻟﻮاردة ﻓﻰ ﻫﺬا اﻟﺠﺰء ﻣﻦ اﻟﺪﻟﻴﻞ وﻫﻰ ﺗﺮﺗﺒﻂ ارﺗﺒﺎ ً‬ ‫وﺛﻴﻘﺎ ﺑﺼﻔﺤﺔ ﻛﺘﺎب اﻟﻄﺎﻟﺐ‪ ،‬وأن‬ ‫اﻟﺮﺑﻂ ﺑﻴﻦ ﻣﺎ ﻳﺤﺪث ﻓﻰ ﻣﺮﺣﻠﺔ ﺗﻬﻴﺌﺔ اﻟﻄﻼب وﺑﻴﻦ ﺑﺪاﻳﺔ اﻟﺪرس أﻣﺮ ﻣﻬﻢ ﺟﺪٍّا‪ ،‬ﺣﺘﻰ ﻻ ﺗﻔﻘﺪ‬ ‫اﻟﺘﻬﻴﺌﺔ أﻫﻤﻴﺘﻬﺎ ودورﻫﺎ ﻓﻰ ﻧﺠﺎح اﻟﺪرس وﺗﺤﻘﻴﻖ أﻫﺪاﻓﻪ‪.‬‬ ‫ وﻳﺘﺨﻠﻞ ﻫﺬا اﻟﺠﺰء اﺳﺘﻌﺮاض ﻟﻸﻣﺜﻠﺔ واﻟﺘﺪرﻳﺒﺎت ﻛﺎﻓﺔ وﻛﺬﻟﻚ اﻷﻧﺸﻄﺔ اﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ‪ ،‬وﻳﺘﺎح ﻟﻚ ﻓﻰ‬ ‫ﻫﺬا اﻟﺠﺰء ﻣﺰﻳﺪ ﻣﻦ اﻟﻄﺮق ﻻﺳﺘﻨﺘﺎج اﻟﻘﻮاﻧﻴﻦ او اﻟﻌﻼﻗﺎت وﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﺘﻤﺎرﻳﻦ اﻹﺛﺮاﺋﻴﺔ اﻟﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫اﺳﺘﺨﺪاﻣﻬﺎ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮاﻓﺮ زﻣﻦ ﻣﺘﺎح أو ﻟﻠﻄﻼب اﻟﻤﺘﻔﻮﻗﻴﻦ‪ ،‬ﻋﻠﻤً ﺎ ﺑﺄن ﻫﺬه اﻟﺘﻤﺎرﻳﻦ ﻣﺠﺎب ﻋﻨﻬﺎ‪.‬‬ ‫ اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ واﻟﺘﺪرﻳﺐ‪ :‬وﻳﺸﻤﻞ ﻫﺬا اﻟﺒﻨﺪ ﺟﻮاﻧﺐ ﻣﻬﻤﺔ ﻫﻰ "اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ" وﻳﺸﻤﻞ إﺟﺎﺑﺎت ﻟﻤﺎ ورد ﻓﻰ ﺑﻨﺪ‬ ‫"ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ" أو ﻳﺸﻤﻞ أﺳﺌﻠﺔ ﺷﻔﻬﻴﺔ أو ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﺔ ﺧﻼل ﻋﺮض اﻟﺪرس‪ ،‬اﻟﺠﺎﻧﺐ اﻵﺧﺮ ﻫﻮ" اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ و‬ ‫اﻟﺘﺪرﻳﺐ"‪ ،‬وﻳﺸﻤﻞ ﻫﺬا اﻟﺒﻨﺪ إﺟﺎﺑﺎت ﻣﺎ ورد ﻓﻰ ﺑﻨﺪ "ﺗﻤﺎرﻳﻦ" و اﻟﺠﺎﻧﺐ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻫﻮ "اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ"‪ ،‬وﻳﺸﻤﻞ‬ ‫أﺳﺌﻠﺔ ﺷﻔﻬﻴﺔ أو ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﺔ ﺗﺴﺎﻋﺪك ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ أﻫﺪاف اﻟﺪرس‪ ،‬وﻣﺪى اﺳﺘﻔﺎدة ﻃﻼﺑﻚ ﻣﻤﺎ‬ ‫ﺗﻌﻠﻤﻮه‪ ،‬وذﻟﻚ ﺟﻨﺒًﺎ إﻟﻰ اﻟﺘﻤﺎرﻳﻦ اﻟﻌﺎﻣﺔ واﻻﺧﺘﺒﺎرات اﻟﻮاردة ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻛﻞ وﺣﺪة ‬

‫د ( ﺗﻤﺎرﻳﻦ إﺛﺮاﺋﻴﺔ‪ :‬ﻳﻘﺪم اﻟﺪﻟﻴﻞ ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻛﻞ درس أﻧﺸﻄﺔ إﺛﺮاﺋﻴﺔ ﻟﻠﻄﻼب اﻟﻤﺘﻔﻮﻗﻴﻦ‪ ،‬وﻟﻜﻦ ﺣﺬار أن ﺗﻌﻠﻦ‬ ‫أن ﻫﺬا اﻟﻨﺸﺎط ﺧﺎص ﺑﺎﻟﻄﻼب اﻟﻤﺘﻔﻮﻗﻴﻦ وﻻ ﺗﻘﺴﻢ اﻟﻄﻼب ﻓﻰ اﻟﻔﺼﻞ إﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺎت ً‬ ‫وﻓﻘﺎ ﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎﺗﻬﻢ‪،‬‬ ‫ﻓﻬﺬا اﻟﻨﺸﺎط ﺧﺎص ﺑﺎﻟﻤﻌﻠﻢ ﻟﻴﻮاﺟﻪ اﻟﻔﺮوق اﻟﻔﺮدﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻃﻼﺑﻪ‪ ،‬ﻳﻤﻜﻨﻚ أن ﺗﺴﺘﻘﻄﻊ وﻗﺘًﺎ ﻓﻰ ذات اﻟﺪرس‬ ‫ﻟﻠﻘﻴﺎم ﺑﻬﺬه اﻷﻧﺸﻄﺔ اﻹﺛﺮاﺋﻴﺔ‪ ،‬وأﺣﻴﺎﻧًﺎ ﻳﻜﻠﻒ ﺑﻬﺎ اﻟﻄﻼب ﺑﻮﺻﻔﻬﺎ ﻧﺸﺎ ً‬ ‫ﻃﺎ ﺧﺎرﺟﻴٍّﺎ ﻳﻘﻮﻣﻮن ﺑﻪ ﺑﻌﺪ اﻟﺪرس‪،‬‬ ‫ﺮاﺟﻊ ﻣﻌﻬﻢ إﻧﺠﺎزاﺗﻬﻢ ﻓﻰ‬ ‫وﻗﺪ ﻳﻌﺮﺿﻮن ﻋﻠﻴﻚ ﻣﺎ أﻧﺠﺰوه ﻓﻰ ﻫﺬه اﻷﻧﺸﻄﺔ ﺧﺎرج وﻗﺖ اﻟﺤﺼﺔ‪ ،‬أو ﻗﺪ ﺗُ ِ‬ ‫ﺑﺪاﻳﺔ اﻟﺤﺼﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬وﻗﺒﻞ اﻟﺘﻬﻴﺌﺔ اﻟﺠﺪﻳﺪة )ﻳﺘﻮﻗﻒ ذﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﻧﻮع ﺗﻠﻚ اﻷﻧﺸﻄﺔ‪ ،‬وﻣﺎ ﺗﺤﺘﺎﺟﻪ ﻣﻦ زﻣﻦ‬ ‫ﻟﻤﺘﺎﺑﻌﺘﻬﺎ(‪ ،‬وﻧﺸﻴﺮ ﻫﻨﺎ إﻟﻰ أﻧﻪ ﻋﻨﺪ ﺗﻜﻠﻴﻒ أى ﻃﺎﻟﺐ ﺑﻨﺸﺎط ﻣﺎ ﻳﺠﺐ أن ﺗﺘﺎﺑﻊ إﻧﺠﺎزه ﻓﻴﻪ‪ ،‬ﺣﻴﺚ إن ﻋﺪم‬ ‫ﺗﻮﻓﺮ ذﻟﻚ ﻳﺆدى إﻟﻰ ﺗﻜﺎﺳﻠﻬﻢ ﺑﻞ إﻫﻤﺎﻟﻬﻢ اﻟﻘﻴﺎم ﺑﺄى ﻧﺸﺎط إﺛﺮاﺋﻰ‪.‬‬ ‫ﻫـ ( اﻷﺧﻄﺎء اﻟﺸﺎﺋﻌﺔ‪ :‬ﻳﺘﻢ اﺳﺘﻌﺮاض ﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﺼﻌﻮﺑﺎت اﻟﺘﻰ ﺗﻮاﺟﻪ اﻟﻄﻼب ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺑﻌﺾ اﻷﺧﻄﺎء اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ‬ ‫ﻣﻨﻬﻢ اﻟﻮﻗﻮع ﺑﻬﺎ‪ ،‬وﺗﺨﺘﻠﻒ ﻫﺬه اﻷﺧﻄﺎء ﺑﺎﺧﺘﻼف اﻟﻤﻮﺿﻮع واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ وﻛﺬﻟﻚ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫اﻷﻛﺎدﻳﻤﻲ ﻟﻠﻄﻼب‪.‬‬ ‫و ( ﻣﻠﺨﺺ اﻟﻮﺣﺪة واﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﺘﺮاﻛﻤﻰ‪ :‬ﺗﻨﺘﻬﻲ اﻟﻮﺣﺪة ﺑﻌﺮض ﻣﻠﺨﺺ ﻟﺪروس اﻟﻮﺣﺪة وﺗﻤﺎرﻳﻦ ﻋﺎﻣﺔ‪ ،‬وﻛﺬا‬ ‫اﺧﺘﺒﺎر ﺗﺮاﻛﻤﻰ ﻟﻠﻮﺣﺪة ﻋﻠﻤً ﺎ ﺑﺄن اﻟﺪﻟﻴﻞ ﻳﻮﻓﺮ ﻟﻚ إﺟﺎﺑﺎت ﻟﻜﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬

‫ز‬

тАля║Ня╗Яя╗дя╗Шя║кя╗гя║ФтАм тАл╪зя╗Яя║ая║Оя╗зя║Р ╪зя╗Яя╗ия╗Ия║о┘Й я╗Яя║кя╗Яя╗┤я╗Ю ╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗втАм тАл┘ЛтАм тАля╗Ля║оя║┐я║О я╗гя╗оя║Я ┘Ля║░╪з я╗Яя╗ая║ая║Оя╗зя║Р ╪зя╗Яя╗ия╗Ия║о┘Й я╗Яя╗ая║кя╗Яя╗┤я╗ЮтАм тАл┘И╪зя╗╡┘Ж я╗Ля║░я╗│я║░┘Й ╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗в я╗Ыя╗░ я║Чя╗Шя╗о┘Е я║Ся║к┘И╪▒┘Г я╗Ля╗ая╗░ ╪гя╗Ыя╗дя╗Ю ┘Ия║Яя╗к я║│я╗о┘Б я╗зя║Шя╗ия║О┘И┘ДтАм тАля╗Ля╗ж ╪зя╗Яя╗ия╗Шя║О╪╖ ╪зя╗Яя║Шя║Оя╗Яя╗┤я║ФтАк:тАмтАм тАлтЭП я║Чя╗Дя║Тя╗┤я╗Шя║О╪к ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к тАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАля║Чя╗ия╗Ия╗┤я╗в я╗гя║дя║Шя╗о┘Й я╗гя║О╪п╪й ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я╗Уя╗░ ╪зя╗Яя║╝я╗Т ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗Яя║Ъ ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗зя╗о┘ЙтАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАля║Чя║╝я╗ия╗┤я╗Т тАм

тАлтЭПтАм

тАл╪ея║│я║Шя║о╪зя║Чя╗┤я║ая╗┤я║О╪к я╗Ля║Оя╗гя║Ф я╗Яя╗ая║Шя║к╪▒я╗│я║▓ ╪зя╗Яя╗ия║Оя║Яя║втАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАля╗гя╗Мя║Оя╗│я╗┤я║о ┘Ия╗гя║Жя║╖я║о╪з╪к ╪зя╗Яя║╝я╗Т ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗зя╗░ ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗зя╗о┘ЙтАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАл╪зя╗╗я║Чя║ая║Оя╗ля║О╪к ╪зя╗Яя║дя║кя╗│я║Ья║Ф я╗Уя╗▓ я║Чя╗Мя╗ая╗┤я╗в ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪ктАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАля║зя║╝я║Оя║Ля║║ ╪зя╗Яя╗ия╗дя╗о я╗Яя╗Дя╗╝╪и ╪зя╗Яя╗дя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗зя╗оя╗│я║ФтАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАл╪е╪п╪з╪▒╪й ┘Ия║Чя╗ия╗Ия╗┤я╗в я║Ся╗ия╗┤я║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗в ╪зя╗Яя╗ия║╕я╗ВтАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАля║Ся╗ия║О╪б я║Яя║к┘И┘Д я╗гя╗о╪зя║╗я╗Фя║О╪к ╪зя╗╗я║зя║Шя║Тя║О╪▒ ╪зя╗Яя║Шя║дя║╝я╗┤я╗ая╗░тАк.тАмтАм

тАлтАк├д├Й┬л┬░V├Йj├┤dG ├б┬л┬й┬л├СWтАмтАм

тАля╗гя╗ж ╪гя║гя║к ╪▒я╗Ыя║Оя║Ля║░ я║Ся╗ия║О╪б ╪зя╗Яя╗дя╗ия╗мя║Ю я╗гя║о╪зя╗Ля║О╪й я╗Гя║Тя╗┤я╗Мя║Ф ╪зя╗Яя╗дя║О╪п╪й я╗Ыя║Дя║гя║к ╪зя╗Яя╗дя║Жя║Ыя║о╪з╪к я╗Ля╗ая╗░ я╗гя╗Ья╗оя╗зя║Оя║Чя╗к я╗гя╗ж я║гя╗┤я║Ъ ╪зя╗╖я╗ля║к╪з┘Б ┘И╪зя╗Яя╗дя║дя║Шя╗о┘ЙтАм тАл┘Ия╗Гя║о┘В ╪зя╗Яя║Шя║к╪▒я╗│я║▓ ┘И╪зя╗╖я╗зя║╕я╗Дя║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗дя╗┤я║Ф ┘И╪зя║│я║Оя╗Яя╗┤я║Р ╪зя╗Яя║Шя╗Шя╗оя╗│я╗втАк ╪МтАмя╗Яя║м╪з я╗гя╗ж ╪зя╗Яя╗Ая║о┘И╪▒┘Й я║Чя╗оя║┐я╗┤я║в ╪зя╗Яя╗Фя║о┘В я║Ся╗┤я╗ж я╗Гя║Тя╗┤я╗Мя║Ф ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪ктАм тАля╗Ыя╗Мя╗ая╗в ┘Ия╗Ыя╗дя║О╪п╪й ╪п╪▒╪зя║│я╗┤я║ФтАк .тАмя╗╗я║│я║Шя╗┤я╗Мя║О╪и я╗Гя║Тя╗┤я╗Мя║Ф ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я╗╗я║Ся║к я╗гя╗ж ╪е╪п╪▒╪з┘Г я╗гя║о╪зя║гя╗Ю я║Чя╗Дя╗о╪▒ ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я╗Ля║Тя║о ╪зя╗Яя╗Мя║╝я╗о╪▒ ╪зя╗Яя╗дя║ия║Шя╗ая╗Фя║ФтАм тАл┘Ия╗Уя╗мя╗в ╪зя╗Яя║Шя╗Ря╗┤я║о╪з╪к ╪зя╗Яя║Шя╗░ я║Чя║дя║к╪л я╗Уя╗░ я╗Гя║Тя╗┤я╗Мя║Ф ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я╗гя╗ж я╗Ля║╝я║о ╪ея╗Яя╗░ ╪вя║зя║отАк ╪МтАм┘Ия╗│я╗дя╗Ья╗ж ╪зя╗Яя║Шя╗Мя║о┘Б я╗Ля╗ая╗░ я╗Гя║Тя╗┤я╗Мя║Ф ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я╗Уя╗░тАм тАля║Ыя╗╝я║Ыя║Ф я╗Уя║Шя║о╪з╪к ╪▓я╗гя╗ия╗┤я║Ф я║Чя╗дя║Ья╗Ю я║Чя║О╪▒я╗│я║ж я║Чя╗Дя╗о╪▒ ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к ┘Ия╗ля╗░тАк:тАмтАм тАл╪зя╗Яя╗Фя║Шя║о╪й ╪зя╗╖┘Ия╗Яя╗░ я╗гя╗ия║м я╗зя║╕я║Д╪й ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к ┘Ия║гя║Шя╗░ я╗Чя║Тя╗Ю я╗Зя╗мя╗о╪▒ ╪зя╗Яя║дя╗Ая║О╪▒╪й ╪зя╗╗я╗Пя║оя╗│я╗Шя╗┤я║ФтАк ╪МтАм┘И╪зя║Чя║┤я╗дя║Ц я╗Гя║Тя╗┤я╗Мя║Ф ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я╗Уя╗░ я╗ля║м┘З ╪зя╗Яя╗Фя║Шя║о╪йтАм тАля║Ся╗Ья╗оя╗зя╗мя║О ╪░╪з╪к я╗Гя║Тя╗┤я╗Мя║Ф я╗Ля╗дя╗ая╗┤я║Ф я╗Яя╗в я║Чя╗Ья╗ж я║Чя╗Мя║Шя╗дя║к я╗Ля╗ая╗░ ╪зя╗Яя║Тя║оя╗ля║О┘Ж ╪зя╗Яя╗дя╗ия╗Дя╗Шя╗░ ┘Ия╗Ыя║Оя╗зя║Ц я║Чя╗Мя║Шя╗дя║к я╗Ля╗ая╗░ ╪зя╗Яя║дя║Оя╗╗╪к ╪зя╗Яя║ия║Оя║╗я║Ф я╗Уя╗Шя╗В тАк.тАмтАм тАл╪зя╗Яя║Ья║Оя╗зя╗┤я║ФтАк :тАмя╗гя╗ия║м я╗зя║╕я║Д╪й ╪зя╗Яя║дя╗Ая║О╪▒╪й ╪зя╗╗я╗Пя║оя╗│я╗Шя╗┤я║Ф я║гя║Шя╗░ ╪зя╗Яя╗Шя║о┘Ж ╪зя╗Яя║Шя║Оя║│я╗К я╗Ля║╕я║отАк ╪МтАмя║Чя╗дя╗┤я║░╪к я╗ля║м┘З ╪зя╗Яя╗Фя║Шя║о╪й я║Ся║Тя║к╪зя╗│я║Ф ╪зя╗Яя╗ия╗Ия║О┘Е ╪зя╗Яя║Тя║кя╗│я╗мя╗░ ╪зя╗Яя╗Шя║Оя║Ля╗втАм тАл╪зя╗Яя╗Фя║Шя║о╪й ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗зя╗┤я║ФтАм тАля╗Ля╗ая╗░ ╪зя╗Яя╗дя╗ия╗Дя╗Ц я║гя╗┤я║Ъ я╗│я║Шя╗Ья╗о┘Ж я╗ля║м╪з ╪зя╗Яя╗ия╗Ия║О┘Е я╗гя╗ж я╗гя║ая╗дя╗оя╗Ля║Ф я║Ся║┤я╗┤я╗Дя║Ф я╗гя╗ж ╪зя╗Яя╗дя╗Мя║оя╗Уя║О╪к ┘И╪зя╗Яя╗╝ я╗гя╗Мя║оя╗Уя║О╪к ┘И╪зя╗Яя║Тя║кя╗│я╗мя╗┤я║О╪к ┘И╪зя╗Яя╗дя║┤я╗ая╗дя║О╪к ┘Ия╗гя╗ия╗мя║О я║Чя║╕я║Шя╗ЦтАм тАл╪зя╗Яя╗ия╗Ия║оя╗│я║О╪к тАк ╪МтАм┘Ия╗Пя╗ая║Р я╗Ля╗ая╗░ я╗Гя║Тя╗┤я╗Мя║Ф ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я╗Уя╗░ я╗ля║м┘З ╪зя╗Яя╗Фя║Шя║о╪й ╪зя╗Яя╗Дя║Оя║Ся╗К ╪зя╗Яя║Шя║ая║оя╗│я║к┘Й ┘И╪зя║│я║Шя║ия║к╪з┘Е ╪зя╗Яя║оя╗гя╗о╪▓тАк.тАмтАм тАл╪зя╗Яя╗Фя║Шя║о╪й ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗Яя║Ья║Ф тАк :тАмя╗гя╗ж ╪зя╗Яя╗Шя║о┘Е ╪зя╗Яя║Шя║Оя║│я╗К я╗Ля║╕я║о я║гя║Шя╗░ ╪зя╗╡┘Ж я║гя╗┤я║Ъ я║Чя╗в ╪▒я╗Уя║╛ я╗Уя╗Ья║о╪й ╪зя╗Яя║╝я║к┘В ╪зя╗Яя╗дя╗Дя╗ая╗Ц ╪зя╗Яя║Шя╗░ я╗Пя╗ая║Тя║Ц я╗Ля╗ая╗░ ╪зя╗Яя╗Фя║Шя║о╪й ╪зя╗Яя║┤я║Оя║Ся╗Шя║ФтАм тАля║Ся╗Ю ╪зя║╗я║Тя║в я╗ля║м╪з ╪зя╗Яя║╝я║к┘В я╗зя║┤я║Тя╗░ тАк ╪МтАм┘Ия║Ся║к╪г я╗Уя╗░ я╗ля║м┘З ╪зя╗Яя╗Фя║Шя║о╪й ╪зя║│я║Шя║ия║к╪з┘Е я╗Яя╗Ря║Ф я╗гя╗оя║гя║к╪й я╗Яя║ая╗дя╗┤я╗К я╗Уя║о┘И╪╣ ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к ┘И╪зя║╗я║Тя║дя║Ц ╪зя╗Ыя║Ья║о я║Чя║ая║оя╗│я║к╪зтАм тАл┘Ия║Чя╗Мя║к╪п╪к ╪зя╗╗я╗зя╗Ия╗дя║Ф ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║Ф ┘И╪зя║╗я║Тя║в ╪зя║│я╗ая╗о╪и ╪зя╗╗я║│я║Шя╗ия║Тя║О╪╖ ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗░ ╪зя║│я╗ая╗о╪и я╗Ля║О┘Е я╗Уя╗░ я║Яя╗дя╗┤я╗К я╗гя║ая║Оя╗╗╪к ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪ктАк.тАмтАм тАл╪е┘Ж ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я╗Ыя╗Мя╗ая╗в ╪г┘И я╗Ыя╗дя║О╪п╪й ╪п╪▒╪зя║│я╗┤я║Ф ╪░╪з╪к я╗Гя║Тя╗┤я╗Мя║Ф ╪зя║│я║Шя║кя╗╗я╗Яя╗┤я║Ф ╪г┘Й ╪зя╗Яя╗оя║╗я╗о┘Д ╪ея╗Яя╗░ я╗зя║Шя║Оя║Ля║Ю я║╗я║О╪пя╗Чя║Ф я╗гя╗ж я║зя╗╝┘Д я╗гя╗Шя║кя╗гя║О╪к я╗гя║┤я╗ая╗втАм тАля║Ся║╝я║кя╗Чя╗мя║О ┘ЛтАм тАл┘Ия╗Уя╗Шя║О я╗Яя║ия╗Дя╗о╪з╪к я║Чя║дя╗Ья╗дя╗мя║О я╗Чя╗о╪зя╗зя╗┤я╗ж ╪зя╗Яя╗дя╗ия╗Дя╗ЦтАк ╪МтАм┘Ия╗гя╗ж я║зя╗╝┘Д я╗ля║м╪з ╪зя╗╗я║│я║Шя║кя╗╗┘Д я╗│я╗дя╗Ья╗ж ╪зя║╖я║Шя╗Шя║О┘В ╪зя╗Яя╗ия║Шя║Оя║Ля║Ю ┘И╪зя╗Яя╗ия╗Ия║оя╗│я║О╪ктАк.тАмтАм

тАл╪нтАм

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫وﺗﺨﺘﻠﻒ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻛﻌﻠﻢ ﻋﻦ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻛﻤﺎدة دراﺳﻴﺔ ﺑﺎﺧﺘﻼف ﻃﺮﻳﻘﺔ اﻟﻤﻌﺎﻟﺠﺔ واﺳﻠﻮب اﻟﻌﺮض وﻳﻤﻜﻦ ﺗﻮﺿﻴﺢ‬ ‫ذﻟﻚ ﻛﻤﺎﻳﻠﻰ‪:‬‬ ‫❏‬

‫اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻛﻤﺎدة دراﺳﻴﺔ ﺗﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ اﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻌﻠﻢ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت وﻟﻜﻦ ﺑﻌﺪ ﺗﺒﺴﻴﻄﻬﺎ‪.‬‬

‫❏‬

‫اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻛﻌﻠﻢ ﻫﻰ ﺑﻨﺎء اﺳﺘﺪﻻﻟﻰ ﻳﻬﺪف إﻟﻰ اﻟﻮﺻﻮل إﻟﻰ اﻟﻨﻈﺮﻳﺎت ﺑﻴﻨﻤﺎ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻛﻤﺎدة دراﺳﻴﺔ ﻻﺗﻬﺪف‬ ‫إﻟﻰ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت رﻳﺎﺿﻴﺔ ﺟﺪﻳﺪة ﻣﺜﻠﻤﺎ ﻳﻔﻌﻞ اﻟﻌﻠﻤﺎء‪.‬‬

‫❏‬

‫اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻛﻌﻠﻢ ﺗﺘﻀﻤﻦ اﻟﻤﺴﻠﻤﺎت ﻓﻰ ﺻﻴﻐﺔ ﺗﺠﺮﻳﺪﻳﺔ ﺑﻴﻨﻤﺎ ﻫﺬه اﻟﻤﺴﻠﻤﺎت ﺗﻘﺪم ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﻓﻰ اﻟﻤﺎدة اﻟﺪراﺳﻴﺔ‬ ‫ﺑﺼﻮرة واﺿﺤﺔ وﻣﻔﻬﻮﻣﻪ وﻣﺒﺴﻄﺔ‪..‬‬

‫‪iôNC’G Ωƒ∏©dGh äÉ«°VÉjôdG‬‬

‫اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻋﻠﻢ ﺣﻰ داﺋﻢ اﻟﺘﻄﻮر‪ ،‬ﺗﺰداد أﻫﻤﻴﺘﻪ إﻟﻰ درﺟﺔ اﻟﻘﻮل ﺑﺄن اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت أﺻﺒﺤﺖ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺘﻄﻮر‬ ‫اﻟﺤﻀﺎرى واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻲ اﻟﻤﻌﺎﺻﺮ واﻟﻤﺴﺘﻘﺒﻠﻰ‪ ،‬وذﻟﻚ ﻷن ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻬﺎ وأﻧﻤﺎﻃﻬﺎ أﺻﺒﺤﺖ ﺗﻐﻄﻰ ﻛﻞ أﻧﻮاع اﻷﻧﺸﻄﺔ‬ ‫‪ ..‬ﻓﻰ اﻟﻔﻨﻮن واﻷداب ﻓﻰ ﺳﻮق اﻟﻌﻤﻞ وﻣﺠﺎﻻت اﻟﺘﺮوﻳﺢ ‪ ...‬ﻓﻰ اﻹﺳﺘﺮاﺗﻴﺠﻴﺎت اﻟﻌﺴﻜﺮﻳﺔ وﻗﺮارات اﻟﺴﻴﺎﺳﻴﻴﻦ وﻓﻰ‬ ‫اﻹﻧﺘﺎج واﻟﺨﺪﻣﺎت‪ .‬اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻛﺎﻧﺖ وﻣﺎزاﻟﺖ ﻧﺸﺎ ً‬ ‫ﻃﺎ ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﺛﻘﺎﻓﺔ إﻧﺴﺎﻧﻴﺔ ﺗﺘﻮﺳﻊ ﻣﻦ داﺧﻠﻬﺎ ﻟﺘﺤﻞ ﻣﺸﻜﻼت‬ ‫ﻣﻦ ﺧﺎرﺟﻬﺎ‪ ،‬وﺗﻜﺘﺸﻒ ﻣﻦ ﺧﻼل ﻧﻤﺬﺟﻪ وﺗﺠﺮﻳﺪ ﻣﻮاﻗﻒ ﻣﻦ ﺧﺎرﺟﻬﺎ ﻋﻼﻗﺎت ﺗﺜﺮﻳﻬﺎ ﻣﻦ داﺧﻠﻬﺎ‪ ،‬ﻟﻢ ﻳﻌﺪ ﻧﺸﺎط‬ ‫اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻗﺎﺻ ًﺮا ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺪد واﻟﺸﻜﻞ اﻟﺬﻳﻦ ﻛﺎﻧﺎ ﻣﺼﺪرى إﻟﻬﺎﻣﻬﺎ‪ ،‬ﺑﻞ ﻳﻤﺘﺪ إﻟﻰ ﻧﺸﺎﻃﻬﺎ ﻟﺪراﺳﺔ اﻟﻌﻼﻗﺎت واﻷﻧﻤﺎط‬ ‫وإﻟﻰ اﺷﺘﻘﺎق ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻣﻊ ﻣﻘﺪﻣﺎت‪ ،‬وﻟﻢ ﺗﻌﺪ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻣﺠﺮد أرﻗﺎم ورﻣﻮز ﻳﻔﻬﻤﻬﺎ ﻗﻠﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﺎس‪ ،‬ﺑﻞ ﻟﻐﺔ ﻳﺘﻮاﺻﻞ‬ ‫ﺑﻬﺎ وﻳﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻌﻬﺎ ﻏﺎﻟﺒﻴﺔ اﻟﺒﺸﺮ‪ ،‬وﻳﻌﻤﻞ ﻣﻨﻄﻘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺗﻴﺴﻴﺮ ﻋﻤﻞ اﻟﺤﺎﺳﺒﺎت وﺑﺚ واﺳﺘﻘﺒﺎل اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت واﻟﺘﻮاﺻﻞ‬ ‫ﺑﻬﺎ ﻣﻦ ﺧﻼل اﻷﻟﻴﺎف اﻟﻀﻮﺋﻴﺔ‪ ،‬ﺗﻌﺪدت ﻣﺠﺎﻻت وﻓﺮوع اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻓﻰ ﺑﻨﻰ ﻣﺠﺮدة ﻣﺜﻞ اﻟﺰﻣﺮة )‪ (Group‬واﻟﺤﻘﻞ‬ ‫)‪ (Field‬وﻓﻀﺎء اﻟﻤﺘﺠﻪ )‪ (Vector space‬ﻟﻬﺎ ﺗﻤﺜﻴﻼﺗﻬﺎ ﻓﻰ اﻟﻔﺮوع اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‪.‬‬ ‫ورﻏﻢ ﻛﻞ اﻟﺘﺠﺮﻳﺪات اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻓﺈن اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﺗﻨﺼﺖ ﻟﻠﻄﺒﻴﻌﺔ ﻟﺘﺮﺳﻢ ﺑﻬﺎ ﻧﻤﺎذج ﻳﻨﺒﺜﻖ ﻣﻨﻬﺎ وﻋﻨﻬﺎ ﺣﻠﻮل‬ ‫ﻟﻠﻤﺸﻜﻼت واﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﺗﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ اﻟﻤﺆﻛﺪات وﻣﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت واﻟﻼﻳﻘﻴﻨﻴﺎت‪ ،‬ﻣﻊ ﻣﻈﺎﻫﺮ اﺳﺘﺎﺗﻴﻜﻴﺔ وأﺧﺮى‬ ‫دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻴﺔ ‪ ..‬وﻓﻮﺿﻮﻳﺔ ﺗﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ أﺷﻜﺎل ﻣﺜﺎﻟﻴﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ وأﺧﺮى ﻣﻌﻘﺪة‪ ،‬ﻣﻊ أﺑﻌﺎد ﺻﺤﻴﺤﺔ وأﺧﺮى ﻛﺴﻮرﻳﺔ‪،‬‬ ‫وﺗﺴﻬﻢ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻓﻰ ﺣﻞ ﻛﺜﻴﺮ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﻜﻼت واﻟﺘﺤﺪﻳﺎت اﻟﻌﻤﻠﻴﺔ واﻟﺤﻴﺎﺗﻴﺔ‪ ،‬ﻣﻦ ﺧﻼل ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ أو ﻧﻤﺬﺟﺘﻬﺎ ﻋﻼﻗﺎت‬ ‫ﺑﻠﻐﺔ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ورﻣﻮزﻫﺎ‪ ،‬ﻳﺘﻢ ﺣﻠﻬﺎ ﺛﻢ إﻋﺎدة ﺗﺮﺟﻤﺘﻬﺎ إﻟﻰ أﺻﻮﻟﻬﺎ اﻟﻤﺎدﻳﺔ ‪ ،‬اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ‪ -‬ﻣﺜﻼً ‪ -‬ﺗﺸﺮح وﺗﻔﺴﺮ‬ ‫ﻟﻨﺎ ﻇﻮاﻫﺮ اﻟﻨﻤﻮ ﻓﻰ اﻟﻜﺎﺋﻨﺎت اﻟﺤﻴﺔ وﻇﺎﻫﺮات اﻟﺘﺂﻛﻞ ﻣﻦ ﻣﻮاد إﺷﻌﺎﻋﻴﺔ )واﻟﺘﻰ ﺗﻤﺜﻠﻬﺎ ﻗﻮى أﺳﻴﺔ ﻓﻰ اﻟﺠﺒﺮ(‪ ،‬ﻛﻤﺎ‬ ‫أن اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﺗﻘﺪم ﻟﻨﺎ ﻧﻤﺎذج ﻋﺪﻳﺪة ﻟﻠﺘﺼﻤﻴﻤﺎت اﻟﻤﻌﻤﺎرﻳﺔ واﻟﺼﻨﺎﻋﻴﺔ‪ ،‬وﺗﻨﻈﻢ ﻟﻨﺎ ﻋﻤﻠﻴﺎت اﻷﻧﺸﻄﺔ اﻟﺨﺪﻣﻴﺔ‬ ‫واﻹﻧﺘﺎﺟﻴﺔ‪ ،‬وﺗﺘﻨﺒﺄ ﻟﻨﺎ ﺑﺠﺪوى اﻟﻘﻴﺎم ﺑﻤﺸﺮوﻋﺎت ﺟﺪﻳﺪة‪ ،‬اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﺗﺼﻒ ﻟﻨﺎ ﻛﻴﻒ ﺗﻨﺴﺎب اﻟﻤﻮﺳﻴﻘﻰ وﻧﻐﻤﺎﺗﻬﺎ‬ ‫اﻟﺠﻤﻴﻠﺔ‪ ،‬اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﺗﻤﺪﻧﺎ ﺑﺄﺷﻜﺎل ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﻳﻤﻜﻦ أن ﺗﻤﺜﻞ وﺣﺪات اﻟﺘﻜﻮﻳﻦ ﻷﺷﻜﺎل زﺧﺮﻓﻴﺔ وﻣﺼﻮرات ﻓﻨﻴﺔ ﺟﻤﻴﻠﺔ‬

‫ط‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫‪:(≈ª∏Y) iƒfÉãdG ≈fÉãdG ∞°üdG ≈a äÉ«°VÉjôdG iƒàëe º«¶æJ‬‬

‫ﻳﺠﺮى ﺗﺪرﻳﺲ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻓﻰ اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى )ﻋﻠﻤﻰ( ﻓﻰ ﺷﻜﻞ وﺣﺪات دراﺳﻴﺔ ﻣﻮزﻋﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﻴٍّﺎ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﺻﻔﻮف اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻧﻮﻳﺔ‪ ،‬وﺑﻴﻦ اﻟﻤﺠﺎﻻت اﻟﻤﻌﺮوﻓﺔ‪ :‬اﻷﻋﺪاد واﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻴﻬﺎ‪ ،‬اﻟﺠﺒﺮ واﻟﻌﻼﻗﺎت واﻟﺪوال‪ ،‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ‪،‬‬ ‫وﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت‪ .‬وﻣﻦ ﻧﺎﺣﻴﺔ أﺧﺮى ﻓﺈن اﻟﻤﺤﺘﻮى ﻳﻨﻤﻮ رأﺳﻴٍّﺎ )ﻋﺒﺮ اﻟﺼﻔﻮف ( وﺣﻠﺰوﻧﻴٍّﺎ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻓﺮع‪ ،‬وﻳﺘﻮزع‬ ‫أﻓﻘﻴٍّﺎ )ﻓﻰ ﻛﻞ ﺻﻒ( ﺑﺤﻴﺚ ﻳﺘﻀﻤﻦ وﺣﺪات ﻣﻦ ﻓﺮوع ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﺗﻌﻜﺲ‪ -‬إﻟﻰ ﺣﺪ ﻣﺎ‪ -‬وﺣﺪة اﻟﻔﻜﺮ اﻟﺮﻳﺎﺿﻰ‪ .‬وﻳﺮاﻋﻰ‬ ‫ﻓﻰ ﺟﻤﻴﻊ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﻨﺎﻏﻢ اﻟﺮﻳﺎﺿﻰ ﻟﻤﺘﻄﻠﺒﺎت اﻟﻮﺣﺪات ﻋﻠﻰ اﺧﺘﻼف اﻧﺘﻤﺎءاﺗﻬﺎ اﻟﻔﺮﻋﻴﺔ وﻟﺨﺪﻣﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻷﺧﺮى‬ ‫ذات اﻟﺼﻠﺔ‪.‬‬ ‫‪:äÉ«°VÉjôdG ¢ùjQóJ ±GógCG ∞«æ°üJ‬‬

‫ﻳﻮاﺟﻪ اﻟﻤﻌﻠﻢ داﺋﻤً ﺎ ﺑﺎﻟﺴﺆال اﻵﺗﻰ »ﻟﻤﺎذا ﻧﻌ ﱢﻠﻢ اﻟ ﱢﺮﻳﺎﺿﻴﺎت؟« أو ﻣﺎ اﻟﻬﺪف ﻣﻨﻬﺎ‪ ،‬ان ﺗﺪرﻳﺲ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻳﻬﺪف‬ ‫إﻟﻰ ﺗﺰوﻳﺪ اﻟﻄﺎﻟﺐ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎرف اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ واﻛﺘﺴﺎب اﻟﻤﻬﺎرات اﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺘﻠﻚ اﻟﻤﻌﺎرف وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﺗﻮﻇﻴﻒ واﺳﺘﺨﺪام‬ ‫ﺗﻠﻚ اﻟﻤﻌﺎرف واﻟﻤﻬﺎرات ﻣﻦ ﺧﻼل ﺗﻜﻮﻳﻦ اﺗﺠﺎﻫﺎت إﻳﺠﺎﺑﻴﺔ ﻧﺤﻮ دراﺳﺘﻬﺎ ‪ ،‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻠﺨﻴﺺ اﻫﺪاف ﺗﺪرﻳﺲ‬ ‫اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت إﻟﻰ أﻫﺪاف ﺗﺘﻌﻠﻖ ‪:‬‬ ‫❏‬

‫ﺑﻤﻌﺮﻓﺔ وﻓﻬﻢ اﺳﺎﺳﻴﺎت ﻣﺎدة اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‪.‬‬

‫❏‬

‫ﺑﺎﻟﺘﺪرﻳﺐ ﻋﻠﻰ اﺳﺎﻟﻴﺐ ﺗﻔﻜﻴﺮ ﺳﻠﻴﻤﺔ وﺗﻨﻤﻴﺘﻬﺎ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﺑﺎﻛﺘﺴﺎب اﻟﻤﻬﺎرات اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ )اﻟﻌﻘﻠﻴﺔ واﻟﻨﻔﺲ ﺣﺮﻛﻴﺔ(‬

‫❏‬

‫ﺑﺎﻛﺘﺴﺎب اﺗﺠﺎﻫﺎت ﻣﻮﺟﺒﺔ وﺗﻨﻤﻴﺔ ﻣﻴﻮل واوﺟﻪ اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ ﻧﺤﻮ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت وﻋﻠﻤﺎؤﻫﺎ‪.‬‬

‫ﻫﻨﺎك أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻟﻠﺘﻌﺮﻳﻒ ﺑﺘﺼﻨﻴﻒ أﻫﺪاف ﺗﻌﻠﻴﻢ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‪ ،‬أﺷﻬﺮﻫﺎ ﺗﺼﻨﻴﻒ اﻷﻫﺪاف إﻟﻰ‪:‬‬ ‫)‪ (١‬أﻫﺪاف ﻣﻌﺮﻓﻴﺔ ‪ Cognitive‬ﺗﺘﻤﺜﻞ اﻷﻫﺪاف اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﻌﺮﻓﺔ اﺳﺎﺳﻴﺎت اﻟﻤﺎدة وﻓﻬﻢ ﺑﻨﻴﺘﻬﺎ وﺗﺮﻛﻴﺒﻬﺎ واﻷﺳﺲ‬ ‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﻟﺒﻌﺾ اﻟﻨﻮاﺣﻰ اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻴﺔ ﺣﻴﺚ ﻳﺴﺎﻋﺪ ذﻟﻚ ﻋﻠﻲ اﻛﺴﺎب اﻟﻄﺎﻟﺐ اﻟﻘﺪرة ﻋﻠﻰ ﺗﻄﺒﻴﻖ اﻟﻘﻮاﻋﺪ واﻟﻨﻈﺮﻳﺎت ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﺎدة اﻟﺪراﺳﻴﺔ أو ﻓﻰ ﻣﻮاﻗﻒ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﻛﻤﺎ ﺗﺴﻬﻢ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺗﻠﻚ اﻻﺳﺎﺳﻴﺎت ﻓﻰ ﻓﻬﻢ اﺳﺎﺳﻴﺎت ﻣﻮاد دراﺳﻴﺔ اﺧﺮى‪.‬‬ ‫)‪ (٢‬أﻫﺪاف وﺟﺪاﻧﻴّﺔ ‪ Affective‬ﺗﺘﻌ ّﻠﻖ ﺑﺘﻘﺪﻳﺮ ‪ appreciation‬اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻛﻌﻠﻢ وﻣﺠﺎل وأﺳﻠﻮب ﺗﻔﻜﻴﺮ ﺑﺸﺮى‪ ،‬وﺗﻘﺪﻳﺮ‬ ‫اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﻴﻦ وإﺳﻬﺎﻣﺎﺗﻬﻢ‪ ،‬وﺗﻜﻮﻳﻦ ﻣﻴﻮل واﺗﺠﺎﻫﺎت إﻳﺠﺎﺑﻴﺔ ﻧﺤﻮ دراﺳﺔ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‪ ،‬وﻧﺤﻮ دورﻫﺎ ﻓﻰ اﻟﺘﻘﺪﱡم وﻧﺤﻮ‬ ‫أﺳﺎﻟﻴﺒﻬﺎ ﻓﻰ اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ودﻗﺔ ﻟﻐﺘﻬﺎ ﻓﻰ اﻻﺗﺼﺎل ﺳﻮاء ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ أو ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻰ‪.‬‬ ‫)‪ (٣‬أﻫﺪاف ﻧﻔﺴﺤﺮﻛﻴﺔ ‪ Psychomotor‬ﻳﻘﺼﺪ ﺑﻬﺎ ﺗﻨﻤﻴﺔ اﻟﻤﻬﺎرات اﻟﻌﻤﻠﻴﺔ واﻟﻌﻘﻠﻴﺔ‪ ،‬ﻣﺜﻞ اﻹﻧﺸﺎءات اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‪ ،‬واﺳﺘﺨﺪام‬ ‫أدوات ذات ﻃﺎﺑﻊ رﻳﺎﺿﻰ ﻫﻨﺪﺳﻰ أو ﺣﺴﺎﺑﻰ أو ﺣﻮﺳﺒﻰ‪ ،‬اﻟﻤﻬﺎرات اﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﻓﻰ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻳﻐﻠﺐ ﻋﻠﻴﻬﺎ اﻟﻨﺎﺣﻴﺔ‬ ‫اﻻداﺋﻴﺔ وﺗﺴﻬﻢ اﻟﻨﺎﺣﻴﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﺔ ﺑﻘﺪر أﻗﻞ ﻣﻦ اﻟﻨﺎﺣﻴﺔ اﻟﻴﺪوﻳﺔ‪ ،‬ﺑﻴﻨﻤﺎ اﻟﻤﻬﺎرات اﻟﻌﻘﻠﻴﺔ اﻟﻤﺘﻤﺜﻠﺔ ﻓﻰ اﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫واﻟﻤﻌﺎرف ﻓﻰ ﺣﻞ اﻟﻤﺸﻜﻼت ﻓﻴﻐﻠﺐ ﻋﻠﻴﻬﺎ اﻟﻨﺎﺣﻴﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺘﺮﺟﻢ ﺑﺎﻟﻤﻬﺎرة اﻟﻴﺪوﻳﺔ اﻟﻰ ﺧﻄﻮات وﺧﻮرازﻣﻴﺎت‬ ‫ﻟﻠﺤﻞ‪.‬‬

‫ي‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫‪íLÉædG ¢ùjQóà∏d áeÉY äÉ«é«JGôà°SEG‬‬ ‫إﺳﺘﺮاﺗﻴﺠﻴﺔ اﻟﺘﺪرﻳﺲ‪ :‬ﻫﻰ ﺧﻄﺔ ﺗﺤﺮﻛﺎت اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻓﻰ ﺗﺤﻘﻴﻖ أﻫﺪاف اﻟﺪرس‪ ،‬ﻣﻊ ﻣﻼﺣﻈﺔ أن اﻟﻬﺪف اﻷﺳﺎﺳﻰ ﻟﻠﺘﺪرﻳﺲ‬ ‫واﻟﺘﻌﻠﻴﻢ ﻫﻮ أن ﻳﺘﻌﻠﻢ اﻟﻄﺎﻟﺐ‪ .‬وﻳﻘﺎس ﻧﺠﺎح اﻻﺳﺘﺮاﺗﻴﺠﻴﺔ ﺑﻤﺪى ﻛﻔﺎءﺗﻬﺎ ﻓﻰ أن ﻳﺘﻌ ﱠﻠﻢ اﻟﻄﻼب ﻣﺎ ﻳﺮاد ﻟﻬﻢ أن ﻳﺘﻌﻠﻤﻮه‪ ،‬ﺑﻐﺮض‬ ‫ﻣﺴﺎﻋﺪة اﻟﻄﻼب ﻓﻰ أن ﻳﺒﻨﻮا ﺑﺄﻧﻔﺴﻬﻢ وﻳﻜﺘﺸﻔﻮا اﻟﻤﻌﺎرف اﻟﺘﻰ ﻳﺘﻌﻠﻤﻮﻧﻬﺎ ﻓﻰ ﺿﻮء اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺒﻨﺎﺋﻴﺔ ‪Constructivism‬‬ ‫وﺗﺘﻀﻤﻦ إﺳﺘﺮاﺗﻴﺠﻴﺔ اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻨﺎﺟﺤﺔ أن ﻳﻘﻮم اﻟﻤﻌﻠﻢ ﺑﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫❏‬

‫اﻟﺘﻘﺪﱡم ﺑﻤﺸﻜﻠﺔ أو ﺳﺆال ﻳﺜﻴﺮ اﻧﺘﺒﺎه اﻟﻄﻼب )وﻗﺪ ﻳﻜﻮن ﻗﺼﺔ ﺗﺎرﻳﺨﻴﺔ(‪.‬‬

‫❏‬

‫إﻋﻄﺎء ﻓﺮﺻﺔ ﻟﻠﻄﻼب ﻟﻠﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﺗﻮزﻳﻊ اﻟﻌﻤﻞ ﺑﻴﻦ أﻋﻤﺎل ﺗﻌﺎوﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺎت ﺻﻐﻴﺮة ﺗﻌﻤﻞ ﺗﻌﺎوﻧﻴٍّﺎ‪ ،‬وأﻋﻤﺎل ﻓﺮدﻳﺔ ﻳﻔﻜﺮ ﻓﻴﻬﺎ ﻛﻞ ﻃﺎﻟﺐ‬ ‫ﺑﻨﻔﺴﻪ‪ ،‬وأﻋﻤﺎل ﺟﻤﺎﻋﻴﺔ ﻳﺤﺪث ﻓﻴﻬﺎ ﺗﻔﺎﻋﻼت ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻌﻠﻢ واﻟﻄﻼب وﺑﻴﻦ اﻟﻄﻼب أﻧﻔﺴﻬﻢ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻛﻞ ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ أو ﻋﻤﻞ ﺗﻌﺎوﻧﻰ أو ﻋﺮوض ﻣﻦ ﺟﺎﻧﺐ ﺑﻌﺾ اﻟﻄﻼب ﻳﻘﻮم اﻟﻤﻌﻠﻢ ﺑﺘﻠﺨﻴﺺ واﺿﺢ ﻟﻤﺎ ﺗﻢ‬ ‫ﻣﻨﺎﻗﺸﺘﻪ أو ﺣﻠﻪ ﻣﺘﻀﻤﻨًﺎ اﻷﺳﺎﺳﻴﺎت‪ :‬ﺗﻌﺮﻳﻔﺎت‪ ،‬ﻋﻼﻗﺎت‪ ،‬ﻣﻨﻄﻮق ﻧﻈﺮﻳﺎت ﻟﻬﺎ ﺑﺮاﻫﻴﻦ‪ ،‬إﻟﺦ‪.‬‬

‫❏‬

‫إﻋﻄﺎء اﻟﻄﻼب ً‬ ‫ﻓﺮﺻﺎ داﺧﻞ اﻟﻔﺼﻞ أو اﻟﻤﻨﺰل )واﺟﺒﺎت( ﻻﻛﺘﺸﺎف ﺑﻌﺾ اﻟﺨﻮاص أو اﻟﻌﻼﻗﺎت ﺑﺄﻧﻔﺴﻬﻢ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﺗﺸﺠﻴﻊ اﻟﻄﻼب ﻋﻠﻰ إﻋﻄﺎء ﺣﻠﻮل أو ﺑﺮاﻫﻴﻦ ﺑﺪﻳﻠﺔ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻋﻨﺪ ﺗﺪرﻳﺲ ﻣﻔﻬﻮم أو ﻋﻼﻗﺔ ﺿﻤﻦ ﻋﺪة ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻳﻌﻄﻰ اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻣﺜﺎل وﻻ ﻣﺜﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻔﻬﻮم أو اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺠﺪﻳﺪة ‪.‬‬

‫❏‬

‫اﻟﺒﻌﺪ ﻋﻦ اﻟﺘﻠﻘﻴﻦ أو ﺳﺮد اﻟﺤﻘﺎﺋﻖ وﻋﺮض اﻻﺟﺎﺑﺎت اﻟﺠﺎﻫﺰة دون ﻣﺸﺎرﻛﺔ ﻓﻌﺎﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﻄﻼب‪.‬‬

‫❏‬

‫ﺗﻨﻮﻳﻊ اﻟﺴﻠﻮﻛﻴﺎت )أى ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ( ﻓﻰ اﻟﺤﺼﺔ اﻟﻮاﺣﺪة‪.‬‬

‫❏‬

‫اﻟﺤﺮص ﻋﻠﻰ إﻋﻄﺎء رﻋﺎﻳﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻓﻰ ﻓﺘﺮة اﻟﻌﻤﻞ اﻟﻔﺮدى أو ﻓﻰ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺎت اﻟﺘﻌﺎوﻧﻴﺔ ﻟﻠﻄﻼب ﺑﻄﻴﺌﻰ اﻟﺘﻌﻠﻢ أو‬ ‫ﻣﻦ ﻫﻢ دون اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻓﻰ ﻗﺪراﺗﻬﻢ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻌﻠﻢ‪ ،‬وﻛﺬﻟﻚ اﻟﺤﺎل ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ اﻟﻄﻼب اﻟﻤﺘﻔﻮﻗﻴﻦ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﺗﻨﻮﻳﻊ اﻟﻮاﺟﺒﺎت ﺳﻮاء داﺧﻞ اﻟﻔﺼﻞ أو ﻓﻰ اﻟﻤﻨﺰل ﻣﻊ ﻣﺮاﻋﺎة اﻟﻔﺮوق اﻟﻔﺮدﻳﺔ‪ -‬ﻟﻴﺲ ﻣﻦ اﻟﻀﺮورة أن ﻳﺤﻞ ﻛﻞ‬ ‫اﻟﻄﻼب ﺟﻤﻴﻊ اﻟﺘﻤﺎرﻳﻦ ﻓﻰ اﻟﻜﺘﺎب ﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ اﻟﻄﻼب »اﻟﻀﻌﺎف«‪ ،‬ﻓﻴُﻘﺪﱠم ﻟﻬﻢ اﻟﺤﺪ اﻷدﻧﻰ‪ ،‬وﻳُﻼﺣﻆ‬ ‫ﺗﻘﺪﻣﻬﻢ ﺣﺘﻰ ﻳﺼﻠﻮا إﻟﻰ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎت أﻓﻀﻞ ﻣﺘﺪ ﱢرﺟﻴﻦ ﻓﻰ اﻟﻮاﺟﺒﺎت‪.‬‬

‫❏‬

‫ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺑﻌﺾ اﻟﺴﺎﻋﺎت ﻟﻠﻤﺴﺎﻋﺪة ﺧﺎرج اﻟﻔﺼﻞ ﻓﻰ ﻣﻜﺘﺐ اﻟﻤﻌﻠﻢ أو ﻓﻰ اﻟﻤﻜﺘﺒﺔ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻣﺴﺎﻋﺪة اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻋﻠﻰ أن ﻳﺸﻌﺮ ﺑﺄﻧﻪ ﻳﻤﻜﻨﻪ اﻟﻨﺠﺎح واﻟﺘﻔﻮق ﻓﻰ ﻫﺬا اﻟﻤﻘﺮر‪.‬‬

‫‪áeÉY á«ª«∏©J §FÉ°Sh‬‬

‫اﻟﻮﺳﻴﻂ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻰ ﻫﻮ ﻣﺎدﱠة ﺗﻌﻠﻴﻤﻴﺔ ﻣﻜﺘﻮﺑﺔ أو ﻣﺮﺳﻮﻣﺔ‪ ،‬أو ﺻﻮرة ﺛﺎﺑﺘﺔ أو ﻣﺘﺤ ﱢﺮﻛﺔ ﻣُﺴﺠﱠ ﻠﺔ ﻋﻠﻰ أوراق أو‬ ‫ﺷﺮاﺋﻂ أو أﻗﺮاص ﻣﺪﻣﺠﺔ )‪ (CDs‬أو ﻣﺨﺰﻧﺔ ﻋﻠﻰ ﻛﻤﺒﻴﻮﺗﺮ‪.‬‬ ‫وﺗﺸﻤﻞ اﻟﻮﺳﺎﺋﻂ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻷدوات واﻷﺟﻬﺰة اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ﻓﻰ ﻋﺮض واﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﻮا ﱢد اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﱠﺔ واﻟﺒﺮﻣﺠﻴﺎت‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ٍ‬ ‫ﻣﻠﺼﻘﺎ أو‬ ‫اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻰ‬ ‫وﻗﺪ ﻳﻜﻮن اﻟﻮﺳﻴﻂ‬ ‫ﺑﻄﺎﻗﺎت ﻛﺮﺗﻮﻧﻴﺔ أو ﻗﻄﻌً ﺎ ﺧﺸﺒﻴﱠﺔ أو ﺑﻼﺳﺘﻴﻜﻴﺔ أو أﺟﻬﺰة ﻟﻌﺮض ﺷﻔﺎﻓﻴﺎت‬ ‫ﱡ‬ ‫أو ﺻﻮر ﻣﻌﺘﻤﺔ أو ﺟﻬﺎز ﺳﻴﻨﻤﺎ أو ﺣﺎﺳﻮﺑًﺎ‪ ،‬وﻗﺪ ﺗﻜﻮن ﻣﻮا ﱠد ﻣﻦ اﻟﻄﺒﻴﻌﺔ أو ﻣﺼﻨﻌﺔ أو ﻧﻤﺎذج ﻣﺤﺎﻛﺎة ﻷﺷﻜﺎل‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ أو ﺗﺠﺎرب ﻣﻌﻤﻠﻴﱠﺔ‪.‬‬

‫ك‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫ﻋﻤﻼ ﺗﻌﻠﻴﻤﻴٍّﺎ ﻧﺸﻴ ً‬ ‫واﻷﺻﻞ ﻓﻰ اﻟﻮﺳﻴﻂ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻰ ﻫﻮ أن ﻳﺴﺘﺨﺪﻣﻪ اﻟﻄﺎﻟﺐ ﺑﻨﻔﺴﻪ وﻳﻤﺎرس ﻣﻦ ﺧﻼﻟﻪ ً‬ ‫ﻄﺎ‪ ،‬ﻻ أن‬ ‫ﻳﻜﺘﻔﻰ ﺑﻤﺸﺎﻫﺪﺗﻪ ﺳﻮاء ﻗﺎم اﻟﻤﻌﻠﻢ ﺑﺘﺸﻐﻴﻠﻪ أو ﻛﺎن ﻳﻌﻤﻞ آﻟﻴٍّﺎ‪ ،‬ﻓﺎﻟﻤﻬﻢ ﻣﺜﻼً أن ﻳﻌﻤﻞ اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﺳﻮب ‪hands‬‬ ‫‪ on‬ﻻﻛﺘﺸﺎف ﻋﻼﻗﺔ رﻳﺎﺿﻴﺔ أو ﺗﺤﻘﻴﻖ ﺻﺤﺘﻬﺎ أو ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﻴﺎﻧﻰ ﻷﺣﺪ اﻟﺠﺪاول ﻣﺴﺘﺨﺪﻣً ﺎ ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﻠﻮﺣﺔ اﻟﺠﺪوﻟﻴﺔ‬ ‫‪ excelsheet‬أو رﺳﻢ ﺑﻌﺾ اﻷﺷﻜﺎل اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺳﻠﺤﻔﺎة ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﻠﻮﺟﻮ )‪ (LOGO‬أو اﻟﺒﺮاﻣﺞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ‬ ‫اﻟﻤﺘﺨﺼﺺ ﻣﺜﻞ ‪.geogebra‬‬ ‫ &‪ , ! "# $%& & $% F( )* , + - ! * *./% 0 * . 1 2 3 45 6‬‬ ‫ &‪ 1 7 87 0 9 : $% & ;< : $& &=% " # * *./% 0 ;.$& −>: $‬‬ ‫‪(≈ª∏Y)iƒfÉãdG ådÉãdG ∞°üdG äGô°TDƒeh ô«jÉ©e‬‬ ‫‪É¡«∏Y äÉ«∏ª©dGh OGóYC’G :∫hC’G ∫ÉéªdG‬‬ ‫‪É¡∏«ãªK ¥ôWh ,É¡°UGƒNh ,áÑcôªdG OGóYC’G º¡a :∫hC’GQÉ«©ªdG‬‬ ‫❏‬ ‫❏‬ ‫❏‬ ‫❏‬ ‫❏‬ ‫❏‬ ‫❏‬ ‫❏‬ ‫❏‬ ‫❏‬ ‫❏‬

‫ﻳﻤﺜﻞ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺮﻛﺐ وﻣﺮاﻓﻘﻪ ﺑﻴﺎﻧﻴٍّﺎ ﺑﻨﻘﺎط )أزواج ﻣﺮﺗﺒﻪ( ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى إﺣﺪاﺛﻰ‬ ‫ﻳﺤﺪد اﻟﻤﻘﻴﺎس واﻟﺴﻌﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻤﺮﻛﺐ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮف اﻟﺴﻌﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻤﺮﻛﺐ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮف اﻟﺼﻮر اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻤﺮﻛﺐ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮف ﻧﻈﺮﻳﺔ دﻳﻤﻮاﻓﺮ وﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﺠﺬور اﻟﻨﻮﻧﻴﺔ ﻷى ﻋﺪد ﻣﺮﻛﺐ‪.‬‬ ‫ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﺟﺎ ن ‪ ،i‬ﺟﺘﺎ ن ‪ i‬ﺑﺪﻻﻟﺔ اﻟﻨﺴﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰاوﻳﺔ وﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺗﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮف ﻣﻔﻜﻮك ﺟﺎ ‪ ،i‬وﺟﺘﺎ ‪ i‬ﻛﻤﺘﻠﺴﻼت‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﻗﺎﻧﻮن أوﻳﻠﺮ ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﺘﺴﻠﺴﻼت‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮف وﻳﻄﺒﻖ ﻃﺮق اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﺑﻴﻦ اﻟﺼﻮر اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻤﺮﻛﺐ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮف اﻟﺠﺬور اﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮاﺣﺪ اﻟﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬

‫‪áÑcôªdG OGóYC’G ≈∏Y (_ ,* ,- ,+) á«HÉ°ùëdG äÉ«ª∏©dG AGôLEG :≈fÉãdG QÉ«©ªdG‬‬ ‫❏‬ ‫❏‬ ‫❏‬ ‫❏‬ ‫❏‬ ‫❏‬ ‫❏‬ ‫❏‬ ‫❏‬

‫ل‬

‫ﻳﺘﻌﺮف اﻟﻤﻘﻴﺎس واﻟﺴﻌﺔ ﻟﺤﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻋﺪدﻳﻦ ﻣﺮﻛﺒﻴﻦ وﻟﺨﺎرج ﻗﺴﻤﺘﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻳﺠﺮى اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺮﻛﺐ ﻓﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺤﻞ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺬور اﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮاﺣﺪ اﻟﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﺨﺪم اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﻓﻰ ﺣﻞ اﻟﻤﺸﻜﻼت اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﺨﺪم ﺑﻌﺾ ﺑﺮاﻣﺞ اﻟﺤﺎﺳﻮب ﻓﻰ ﺣﻞ ﻣﺸﻜﻼت رﻳﺎﺿﻴﺔ ﺗﺘﻀﻤﻦ أﻋﺪادًا ﻣﺮﻛﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺧﻮاص ﻋﻤﻠﻴﺘﻰ اﻟﺠﻤﻊ واﻟﻀﺮب ﻋﻠﻰ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺧﻮاص ﻋﻤﻠﻴﺘﻰ اﻟﺠﻤﻊ واﻟﻀﺮب ﻋﻠﻰ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺧﻮاص اﻟﻌﺪدﻳﻦ اﻟﻤﺘﺮاﻓﻘﻴﻦ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺧﻮاص اﻟﺠﺬور اﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮاﺣﺪ اﻟﺼﺤﻴﺢ‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫‪∫GhódGh äÉbÓ©dGh ôÑédG :≈fÉãdG ∫ÉéªdG‬‬ ‫‪áÑcôªdG OGóYC’G ≈∏Y äÉ«∏ª©dG ¢UGƒN êÉàæà°SG :∫hC’GQÉ«©ªdG‬‬ ‫❏‬

‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺧﻮاص ﻋﻤﻠﻴﺘﻰ اﻟﺠﻤﻊ واﻟﻀﺮب ﻋﻠﻰ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬

‫❏‬

‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺧﻮاص اﻟﻌﺪدﻳﻦ اﻟﻤﺘﺮاﻓﻘﻴﻦ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺧﻮاص اﻟﺠﺬور اﻟﺘﻜﻌﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮاﺣﺪ اﻟﺼﺤﻴﺢ‬

‫‪.É¡«∏Y äÉ≤«Ñ£Jh ,≥«aGƒàdGh ∫OÉÑàdGh ó©dG CGóÑe ±ô©J :≈fÉãdG QÉ«©ªdG‬‬ ‫❏‬

‫ﻳﺘﻌﺮف ﻣﺒﺪأ اﻟﻌﺪ )ﻗﺎﻋﺪة اﻟﺠﻤﻊ(‬

‫❏‬

‫ﻳﺘﻌﺮف اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺘﺒﺎدﻳﻞ واﻟﺘﻮاﻓﻴﻖ ﻛﺄﺳﺎﻟﻴﺐ وﻃﺮق ﻟﻠﻌﺪ‬

‫❏‬

‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﻗﻮاﻧﻴﻦ وﻧﺘﺎﺋﺞ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺒﺎدﻳﻞ واﻟﺘﻮاﻓﻴﻖ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﺴﺘﺨﺪم اﻟﺘﺒﺎدﻳﻞ واﻟﺘﻮاﻓﻴﻖ ﻓﻰ ﺣﻞ ﻣﺸﻜﻼت رﻳﺎﺿﻴﺔ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺠﺎﻟﻼت ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‪.‬‬

‫‪¬«∏Y äÉ≤«Ñ£Jh ,øjóëdG äGP ájô¶f ±ô©J :ådÉãdG QÉ«©ªdG‬‬ ‫❏‬

‫ﻳﺘﻌﺮف ﻧﻈﺮﻳﺔ ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ ﺑﺄس ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺎم ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮك ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬

‫❏‬ ‫❏‬

‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻛﻞ ﺣﺪ واﻟﺤﺪ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﻪ ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮك ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ أى ﺣﺪ ﻓﻰ ﻣﻜﻔﻮك ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ ً‬ ‫وﻓﻘﺎ ﻟﺮﺗﺒﺔ ﻫﺬا اﻟﺤﺪ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ أى ﻗﻮة ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ س ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮك ) س‪+‬ص( ن‬

‫❏‬

‫ﻳﻮﺟﺪ اﻟﺤﺪ اﻟﺨﺎﻟﻰ ﻣﻦ س ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮك )س ‪ +‬ص( ن‬

‫❏‬

‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ أﻛﺒﺮ ﺣﺪ ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮك ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ‬

‫❏‬

‫ﻳﻮﺟﺪ اﻟﺤﺪ اﻷوﺳﻂ ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮك ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ ﻋﻨﺪﻣﺎ ن ﻋﺪد زوﺟﻰ واﻟﺤﺪان اﻷوﺳﻄﺎن ﻋﻨﺪﻣﺎ ن ﻋﺪد ﻓﺮدى‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﻋﻼﻗﺎت ﺑﻴﻦ اﻟﺘﻮاﻓﻴﻖ ﻣﺴﺘﺨﺪﻣً ﺎ ﻣﻔﻜﻮك ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ‬

‫❏‬

‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳﻜﺎل وﻣﻌﺎﻣﻼت ﻣﻔﻜﻮك ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ‪ ،‬وﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺑﻌﺾ اﻷﻧﻤﺎط ﻓﻰ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳﻜﺎل‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﺤﻞ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت رﻳﺎﺿﻴﺔ وﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬

‫‪Éª¡JÉeGóîà°SGh ,É¡°UGƒNh ,äGOóëªdGh äÉaƒØ°üªdG º¡a :ådÉãdG QÉ«©ªdG‬‬ ‫❏‬

‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺧﻮاص اﻟﻤﺤﺪدات‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﺤﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ﻣﺴﺘﺨﺪﻣً ﺎ ﺧﻮاص اﻟﻤﺤﺪدات‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﻌﻴﻦ ﻣﻌﻜﻮس ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﺮﺑﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻌﻮاﻣﻞ اﻟﻤﺮاﻓﻘﺔ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﺤﻞ ﻣﻌﺎدﻻت ﺧﻄﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﻌﻜﻮس اﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﺘﻌﺮف اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺨﻄﻴﺔ اﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴﺔ وﻏﻴﺮ اﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴﺔ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﻌﻴﻦ ﻣﺮﺗﺒﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت ورﺗﺒﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت اﻟﻤﻮﺳﻌﺔ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺗﺒﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت ورﺗﺒﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت اﻟﻤﻮﺳﻌﺔ وإﻣﻜﺎﻧﻴﺔ اﻟﺤﻞ‪.‬‬

‫م‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫‪á°Sóæ¡dG :ådÉãdG ∫ÉéªdG‬‬ ‫‪á«JÉ«Mh á«°VÉjQ ≈a Éª¡JÉ≤«Ñ£Jh ,OÉ©HG áKÓKh øjó©H ≈a ¢SÉ«≤dGh á°Sóæ¡dG º¡a :∫hC’G QÉ«©ªdG‬‬ ‫❏‬

‫ﻳﺘﻌﺮف اﻟﻨﻈﺎم اﻹﺣﺪاﺛﻰ ذى اﻟﺜﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد وﻳﺤﻠﻞ اﻟﻤﺘﺠﻪ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﻮﺟﺪ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ وإﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﻮﺟﺪ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻜﺎرﺗﺰﻳﺔ ﻟﻠﻜﺮة ﺑﺪﻻﻟﺔ إﺣﺪاﺛﻴﺎت اﻟﻤﺮﻛﺰ وإﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻜﺮة‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﺘﻌﺮف ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﻣﻦ ﺧﻼل‪:‬‬

‫❏‬

‫ﺗﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺘﺠﻪ ﺑﺜﻼﺛﻰ ﻣﺮﺗﺐ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻣﺘﺠﻬﺎت اﻟﻮﺣﺪة اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ‪ ،(٠ ،١ ،٠) = N ، (٠ ،٠ ،١) = M‬ﻉ = )‪.(١ ،٠ ،٠‬‬

‫❏‬

‫اﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ أى ﻣﺘﺠﻪ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻣﺘﺠﻬﺎت اﻟﻮﺣﺪة اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ‪، N ، M‬‬

‫❏‬

‫اﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﻪ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﺑﺪاﻟﺔ أﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻃﺮﻓﻴﻬﺎ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﺘﻌﺮف ﺣﺎﺻﻞ اﻟﻀﺮب اﻟﻘﻴﺎﺳﻰ وﺣﺎﺻﻞ اﻟﻀﺮب اﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى واﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﺘﻌﺮف ﺧﻮاص ﺣﺎﺻﻞ اﻟﻀﺮب اﻟﻘﻴﺎﺳﻰ واﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى واﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﺘﻌﺮف اﻟﻨﻈﺎم اﻹﺣﺪاﺛﻰ ذا اﻟﺜﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد وﻳﺤﻠﻞ اﻟﻤﺘﺠﻪ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﻮﺟﺪ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﻮﺟﺪ إﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﻮﺟﺪ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻜﺎرﺗﺰﻳﺔ ﻟﻠﻜﺮة‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﺘﻌﺮف اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﻤﺜﻞ ﻣﺘﺠﻬً ﺎ ﺛﻼﺛﯩٍّﺎ ﻣﺮﺗﺒًﺎ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﺤﺪد ﻣﺘﺠﻬﺎت اﻟﻮﺣﺪة اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﻗﻴﻤﺔ أى ﻣﺘﺠﻪ ﻗﻴﻤﺔ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻣﺘﺠﻬﺎت اﻟﻮﺣﺪة اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻉ‬

‫ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺳﻴﻨﻴﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﺑﺪﻻﻟﺔ إﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻃﺮﻓﻴﻬﺎ‪.‬‬

‫‪äÉ≤«Ñ£àdG ¢†©Hh ,É¡«∏Y äÉjô¶ædGh ÆGôØdG ≈a äÉjƒà°ùªdGh áª«≤à°ùªdG •ƒ£îdG ±ô©J :≈fÉãdG QÉ«©ªdG‬‬ ‫‪á«°VÉjQ ∞bGƒe ≈a‬‬ ‫❏‬

‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺘﺠﻪ اﺗﺠﺎه اﻟﺨﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﻮﺟﺪ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺒﺎراﻣﺘﺮﻳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ واﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻻﺗﺠﺎﻫﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﻮﺟﺪ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ اﻟﻜﺎرﺗﻴﺰﻳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﻮﺟﺪ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﻮﺟﺪ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫❏‬

‫ﻳﺘﻌﺮف اﻟﺰاوﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫❏‬ ‫❏‬

‫ن‬

‫ ‪ ? ;< @ *% $ U B C%.%‬‬ ‫ ‪ ? ;< @ *% 4D * U B C%.%‬‬

тАля║Ня╗Яя╗дя╗Шя║кя╗гя║ФтАм тАлтЭПтАм

тАл * тАк ? ;< @ *% EI G F- # $тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАля╗│я╗Мя╗┤я╗ж ╪зя╗Яя╗дя║┤я║Оя╗Уя║Ф я║Ся╗┤я╗ж я╗зя╗Шя╗Дя║Ф ┘Ия╗гя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗в я╗Уя╗░ ╪зя╗Яя╗Фя║о╪з╪║тАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАля╗│я╗оя║Яя║к ╪зя╗Яя╗дя║┤я║Оя╗Уя║Ф я║Ся╗┤я╗ж я╗зя╗Шя╗Дя║Ф ┘Ия╗гя║┤я║Шя╗о┘Й я║Ся║Оя║│я║Шя║ия║к╪з┘Е я║гя║Оя║╗я╗Ю ╪зя╗Яя╗Ая║о╪и ╪зя╗Яя╗Шя╗┤я║Оя║│я╗░ ┘Ия║Ся║Оя║│я║Шя║ия║к╪з┘Е ╪зя╗Яя║╝я╗о╪▒╪й ╪зя╗Яя╗Ья║О╪▒я║Чя╗┤я║░я╗│я║ФтАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАля╗│я╗Мя╗┤я╗ж ╪зя╗Яя╗дя║┤я║Оя╗Уя║Ф я║Ся╗┤я╗ж я╗гя║┤я║Шя╗оя╗│я╗┤я╗ж я╗гя║Шя╗о╪з╪▓я╗│я╗┤я╗жтАк.тАмтАм

тАлтАк├д├Й┬л┬░V├Йj├┤dG ┬║┬лтИП┬йJ тЙИa ├б├гj├│├лdG ├д├Йg├Й├йJтАЩGтАмтАм

тАля╗ля╗ия║О┘Г я╗Ля║к╪й ╪зя║Чя║ая║Оя╗ля║О╪к я║гя║кя╗│я║Ья║Ф я╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗в ┘Ия║Чя╗Мя╗ая╗в ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я║О╪к я╗зя╗о╪▒╪п я╗гя╗ия╗мя║О я╗гя║О я╗│я╗ая╗░тАк:тАмтАм тАля║Чя╗Мя╗ая╗┤я╗в ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я╗гя╗ж ╪гя║Яя╗Ю я║гя╗Ю я╗гя║╕я╗Ья╗╝╪к ╪зя╗Яя║Тя╗┤я║Мя║Ф ┘И╪зя╗Яя╗дя║ая║Шя╗дя╗КтАк :тАм┘Ия╗│я║кя╗Ля╗о я╗ля║м╪з ╪зя╗╗я║Чя║ая║О┘З я╗╖┘Ж я╗│я╗Ья╗о┘Ж я╗Яя╗ая║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к ╪п┘И ┘Л╪▒╪з я╗Уя╗░ я╗гя╗Мя║Оя╗Яя║ая║Ф я╗Чя╗Ая║Оя╗│я║ОтАм тАл┘Ия╗гя║╕я╗Ья╗╝╪к ╪зя╗Яя╗дя║ая║Шя╗дя╗КтАк ╪МтАм┘И╪г┘Ж я║Чя║оя║Чя║Тя╗В ╪зя╗Яя╗дя╗Мя║оя╗Уя║Ф ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║Ф я║Ся║Оя╗Яя║ия║Тя║о╪з╪к ╪зя╗Яя║дя╗┤я║Оя║Чя╗┤я║Ф ┘И╪зя╗Яя║Тя╗┤я║Мя╗┤я║Ф я╗Яя╗ая╗Дя╗╝╪итАк.тАмтАм тАля║Чя╗Мя╗ая╗┤я╗в ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я╗гя╗ж ╪гя║Яя╗Ю я║Чя╗ия╗дя╗┤я║Ф ╪зя╗зя╗дя║О╪╖ ╪зя╗Яя║Шя╗Фя╗Ья╗┤я║о ┘И╪гя║│я╗ая╗о╪и я║гя╗Ю ╪зя╗Яя╗дя║╕я╗Ья╗╝╪ктАк :тАмя╗│я╗Мя║к я╗ля║м╪з ╪зя╗╗я║Чя║ая║О┘З я╗гя╗ж ╪зя╗╗я║Чя║ая║Оя╗ля║О╪к ╪зя╗Яя╗дя╗Фя╗Ая╗ая║Ф я╗Уя╗░ я║Чя╗Мя╗ая╗┤я╗втАм тАл╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪ктАк ╪МтАм┘Ия╗Чя║к я╗зя║Тя╗К я╗ля║м╪з ╪зя╗╗я║Чя║ая║О┘З я╗зя║Шя╗┤я║ая║Ф я╗Яя╗ая║Шя╗Ря╗┤я║о ╪зя╗Яя║┤я║оя╗│я╗К я╗Уя╗░ ╪зя╗Яя╗дя╗Мя║О╪▒┘Б ┘И╪зя╗╖я║│я║Оя╗Яя╗┤я║Р ╪зя╗Яя║Шя╗Ья╗ия╗оя╗Яя╗оя║Яя╗┤я║Ф ┘И╪зя║│я║Шя║ия║к╪зя╗гя║Оя║Чя╗мя║ОтАк ╪МтАм┘Ия╗Яя║м╪з ╪гя║╗я║Тя║дя║ЦтАм тАл╪зя╗Яя╗дя╗Мя║оя╗Уя║Ф я╗Уя╗░ я║гя║к ╪░╪зя║Чя╗мя║О я╗Яя╗┤я║┤я║Ц я╗ля╗░ ╪зя╗Яя╗мя║к┘Б ╪зя╗╗я║│я╗дя╗░ я║Ся╗Ю я╗Гя║о┘В ╪зя╗Яя║дя║╝я╗о┘Д я╗Ля╗ая╗┤я╗мя║ОтАк ╪МтАм┘Ия╗ля╗о я╗гя║О я╗│я║Шя╗дя║Ья╗Ю я╗Уя╗░ ╪гя╗зя╗дя║О╪╖ ╪зя╗Яя║Шя╗Фя╗Ья╗┤я║о ╪зя╗Яя╗дя║ия║Шя╗ая╗Фя║Ф ┘И╪гя║│я╗ая╗о╪итАм тАля║гя╗Ю ╪зя╗Яя╗дя║╕я╗Ья╗╝╪к ┘И╪зя╗Яя║Шя╗░ я╗│я╗дя╗Ья╗ж я║Чя╗ия╗дя╗┤я║Шя╗мя║О я╗гя╗ж я║зя╗╝┘Д я║Чя╗Мя╗ая╗┤я╗в ┘Ия║Чя╗Мя╗ая╗в ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪ктАк.тАмтАм тАля║Чя╗Мя╗ая╗┤я╗в ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я╗гя╗ж ╪гя║Яя╗Ю я║Чя╗ия╗дя╗┤я║Ф ╪зя╗╣я║Ся║к╪з╪╣тАк :тАмя╗Яя╗ая║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к ╪п┘И╪▒ я╗ля║О┘Е я╗Уя╗░ я║Чя╗ия╗дя╗┤я║Ф ╪зя╗╣я║Ся║к╪з╪╣ я╗Яя║к┘Й ╪зя╗Яя╗дя║Шя╗Мя╗ая╗дя╗┤я╗ж я╗Яя╗дя║О я╗Яя╗мя║О я╗гя╗ж я╗Гя║Тя╗┤я╗Мя║Ф я║Чя║┤я║Оя╗Ля║к я╗Ля╗ая╗░тАм тАл╪░я╗Яя╗ЪтАк ╪МтАмя╗╖┘Ж ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я║Ся╗дя╗Ая╗дя╗оя╗зя╗мя║О я║Чя╗Мя║Шя╗дя║к я╗Ля╗ая╗░ ╪е╪п╪▒╪з┘Г ╪зя╗Яя╗Мя╗╝я╗Чя║О╪к я╗Яя╗ая╗оя║╗я╗о┘Д ╪ея╗Яя╗░ ╪зя╗Яя╗ия║Шя║Оя║Ля║Ю ┘И╪зя╗Яя╗ия╗Ия║оя╗│я║О╪к ┘Ия╗Пя╗┤я║оя╗ля║О я╗гя╗ж ╪зя╗╣я║Ся║к╪зя╗Ля║О╪ктАк ╪МтАм┘Ия║Яя╗оя╗ля║отАм тАл╪зя╗╣я║Ся║к╪з╪╣ я╗ля╗о ╪е╪п╪▒╪з┘Г я╗Ля╗╝я╗Чя║О╪к я║Яя║кя╗│я║к╪й я║Чя║Ж╪п┘Й ╪ея╗Яя╗░ я║Чя╗ия╗о╪╣ я╗гя╗ж ╪зя╗Яя║дя╗ая╗о┘Д я╗Яя╗ая╗дя║╕я╗Ья╗ая║Ф ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║Ф ╪зя╗Яя╗дя╗Дя║о┘Ия║гя║ФтАк .тАмя╗Яя╗мя║м╪з ╪зя╗Ля║Шя║Тя║о ╪зя╗Яя║Шя║оя║Ся╗оя╗│я╗о┘Ж ╪г┘Ж я║Чя╗ия╗дя╗┤я║ФтАм тАл╪зя╗╣я║Ся║к╪з╪╣ я╗ля║к┘Б ╪гя║│я║Оя║│я╗░ я╗гя╗ж ╪гя╗ля║к╪з┘Б я║Чя╗Мя╗ая╗┤я╗в ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪ктАк.тАмтАм тАля║Чя╗Мя╗ая╗┤я╗в ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я╗Яя╗ая╗Фя║Мя║О╪к ╪зя╗Яя║ия║Оя║╗я║ФтАк :тАм╪г╪п┘Й ╪зя╗╗я╗ля║Шя╗дя║О┘Е я║Ся║дя║Оя║Яя║О╪к ╪зя╗Яя╗дя║Шя╗Мя╗ая╗втАк ╪МтАм┘Ия║┐я║о┘И╪▒╪й я║Чя╗Мя╗ая╗┤я╗дя╗к я║Ся╗Шя║к╪▒ я╗гя║О я║Чя║┤я╗дя║в я║Ся╗к ╪зя║│я║Шя╗Мя║к╪з╪п╪зя║Чя╗к ┘Ия╗Чя║к╪▒╪зя║Чя╗ктАм тАл╪ея╗Яя╗░ я╗Зя╗мя╗о╪▒ ╪зя║Чя║ая║О┘З я╗зя║дя╗о я║Чя╗Мя╗ая╗┤я╗в ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я╗Яя╗ая╗Фя║Мя║О╪к ╪зя╗Яя║ия║Оя║╗я║Ф )я║Ся╗Дя╗┤я║К ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗в тАк -тАм╪зя╗Яя╗дя║Шя╗Фя╗оя╗Чя╗о┘Ж тАк -тАм╪зя╗Яя╗дя╗Мя║Оя╗Чя╗┤я╗ж( я║гя╗┤я║Ъ я╗Яя╗Ья╗Ю я╗гя╗ж я╗ля║м┘З ╪зя╗Яя╗Фя║Мя║О╪ктАм тАл╪зя║│я║Шя╗Мя║к╪з╪п╪зя║Чя╗к ┘Ия╗Чя║к╪▒╪зя║Чя╗к ┘И╪ея╗гя╗Ья║Оя╗зя║Оя║Чя╗ктАк ╪МтАм┘И╪гя║╗я║Тя║в я╗гя╗ж ╪зя╗Яя╗Ая║о┘И╪▒┘Й я║Чя║╝я╗дя╗┤я╗в я╗гя╗ия║Оя╗ля║Ю я╗Яя╗ая║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я╗Яя╗Ья╗Ю я╗Уя║Мя║Ф я╗гя╗ж я╗ля║м┘З ╪зя╗Яя╗Фя║Мя║О╪к я║гя║Шя╗░ я╗│я╗дя╗Ья╗ж ╪г┘ЖтАм тАля║Чя║Шя╗Мя╗ая╗в я╗Ыя╗Ю я╗Уя║Мя║Ф я║Ся╗Шя║к╪▒ я╗гя║О я╗Яя║кя╗│я╗мя║О я╗гя╗ж я║зя║╝я║Оя║Ля║║тАк.тАмтАм тАля║Чя╗Мя╗ая╗┤я╗в ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я╗Уя╗░ я║┐я╗о╪б я╗гя╗Фя╗мя╗о┘Е ╪зя╗Яя╗Мя╗оя╗Яя╗дя║ФтАк :тАмя╗зя║Шя╗┤я║ая║Ф я╗Яя╗ая║Шя╗Шя║к┘Е ╪зя╗Яя╗мя║Оя║Ля╗Ю я╗Уя╗░ я║Чя╗Ья╗ия╗оя╗Яя╗оя║Яя╗┤я║О ╪зя╗╗я║Чя║╝я║О┘ДтАк ╪МтАмя╗Яя╗в я╗│я╗Мя║к я╗Яя╗ая║Тя╗Мя║к ╪зя╗Яя║ая╗Ря║о╪зя╗Уя╗░ я║Чя║Дя║Ыя╗┤ ┘Ля║о╪зтАм тАля╗Уя╗░ я╗Ля║░┘Д ╪зя╗Яя║к┘И┘Д я╗Ля╗ж я║Ся╗Мя╗Ая╗мя║О ╪зя╗Яя║Тя╗Мя║╛тАк ╪МтАм┘И╪гя║╗я║Тя║в ╪зя╗Яя╗Мя║Оя╗Яя╗в я╗Ыя╗Шя║оя╗│я║Ф я║╗я╗Ря╗┤я║о╪й я╗гя║Шя║╕я║Оя║Ся╗Ья║Ф ╪зя╗╖я╗Гя║о╪з┘БтАк ╪МтАм┘И╪гя║╗я║Тя║в я╗Яя╗ая╗дя║╕я╗Ья╗╝╪к я║Ся╗дя║ия║Шя╗ая╗Т я╗гя║ая║Оя╗╗я║Чя╗мя║ОтАм тАля║╗я╗Фя║Ф ╪зя╗Яя╗Мя║Оя╗Яя╗дя╗┤я║ФтАк ╪МтАмя║гя╗┤я║Ъ я╗Яя╗в я║Чя╗Мя║к ╪п┘Ия╗Яя║Ф ┘И╪зя║гя║к╪й я║Ся║Ия╗гя╗Ья║Оя╗зя║Оя║Чя╗мя║О я╗Чя║О╪п╪▒╪й я╗Ля╗ая╗░ я╗гя╗о╪зя║Яя╗мя║Ф я╗ля║м┘З ╪зя╗Яя╗дя║╕я╗Ья╗╝╪ктАк ╪МтАм┘Ия║Ся║Оя╗Яя║Шя║Оя╗Яя╗░ я╗Яя╗в я╗│я╗Мя║к я╗гя║Тя║к╪г ╪зя╗╗я╗Ыя║Шя╗Фя║О╪б ╪зя╗Яя║м╪зя║Чя╗░тАм тАля║╗я║Оя╗Яя║д┘Л я║О я╗Яя╗ая║Шя╗Дя║Тя╗┤я╗Ц я╗Уя╗▓ я╗Зя╗Ю я╗ля║м┘З ╪зя╗Яя╗Ия║о┘И┘Б я╗Уя║дя╗Ю я╗гя║дя╗ая╗к я╗гя║Тя║к╪г ╪зя╗╗я╗Ля║Шя╗дя║О╪п ╪зя╗Яя╗дя║Шя║Тя║О╪п┘Д ╪зя╗Яя║м┘Й я╗│я║кя╗Ля╗о ╪ея╗Яя╗░ ╪ея╗зя╗Фя║Шя║О╪н ╪п┘И┘Д ╪зя╗Яя╗Мя║Оя╗Яя╗в я╗Ля╗ая╗░ я║Ся╗Мя╗Ая╗мя║ОтАм тАл╪зя╗Яя║Тя╗Мя║╛тАк ╪МтАмя╗Яя╗ия╗Мя╗┤я║╢ я╗Уя╗░ я║│я╗╝┘Е я╗Ля║Оя╗Яя╗дя╗░ ┘Ия║Чя╗Мя║О┘И┘Ж я╗гя║╕я║Шя║о┘Г я╗гя╗ж ╪гя║Яя╗Ю я║зя╗┤я║о ╪зя╗╣я╗зя║┤я║О┘ЖтАк ╪МтАм┘Ия╗ля║м╪з я╗гя║О я╗│я║Ж╪п┘Й ╪ея╗Яя╗░ ╪ея║Чя║┤я║О╪╣ я║Ся╗┤я║Мя║Ф ╪зя╗╣я╗зя║┤я║О┘Ж я╗гя╗ж ╪зя╗Яя╗дя║дя╗ая╗┤я║ФтАм тАл╪ея╗Яя╗░ ╪зя╗Яя╗Мя║Оя╗Яя╗дя╗┤я║ФтАк .тАм┘Ия╗ля║м╪з я╗гя║О я╗│я║кя╗Ля╗о ╪ея╗Яя╗░ ╪г┘Ж я║Чя╗Ья╗о┘Ж я╗гя╗ия║Оя╗ля║Ю ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к ╪зя╗Яя║Шя╗░ я╗│я║к╪▒я║│я╗мя║О ╪зя╗Яя╗дя║Шя╗Мя╗ая╗в я║Чя║┤я║Оя╗Ля║к я╗Уя╗░ ╪ея╗Ля║к╪з╪п┘З я╗Яя║мя╗Яя╗ЪтАк.тАмтАм тАля║Чя╗Мя╗ая╗в ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к ╪░╪зя║Чя╗┤┘Ля║О тАк :тАм╪з╪п┘Й ╪зя╗╗я╗зя╗Фя║ая║О╪▒ ╪зя╗Яя╗дя╗Мя║оя╗Уя╗░ ╪ея╗Яя╗░ я╗Зя╗мя╗о╪▒ ╪зя╗Яя║дя║Оя║Яя║Ф ╪ея╗Яя╗░ ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗в ╪зя╗Яя║м╪зя║Чя╗░ ┘Ия╗Зя╗мя║о╪к я╗Ля║к╪й ╪гя║│я║Оя╗Яя╗┤я║Р я╗Яя╗ая║Шя╗Мя╗ая╗в ╪зя╗Яя║м╪зя║Чя╗░ я╗гя╗жтАм тАл╪гя╗ля╗дя╗мя║О ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗в я║Ся║Оя╗Яя╗дя║о╪зя║│я╗ая║Ф ┘И╪зя╗Яя╗дя╗о╪пя╗│я╗оя╗╗╪к ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗дя╗┤я║Ф ┘Ия║Ся║Оя║│я║Шя║ия║к╪з┘Е ╪зя╗Яя║дя║Оя║│я║Р ╪зя╗╡я╗Яя╗░тАк.тАмтАм тАл╪ея╗╗ ╪г┘Ж я║Чя╗Мя╗ая╗в ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я║Ся║Оя║│я║Шя║ия║к╪з┘Е ╪зя╗Яя║дя║Оя║│я║Р ╪зя╗╡я╗Яя╗░ я╗зя║О┘Д ╪зя╗ля║Шя╗дя║Оя╗г┘Л я║О я╗Ыя║Тя╗┤ ┘Ля║о╪з я╗гя╗ж я╗Чя║Тя╗Ю ╪зя╗Яя║Шя║оя║Ся╗оя╗│я╗┤я╗ж ┘И╪зя╗Яя║Тя║Оя║гя║Ья╗┤я╗┤я╗ж я╗Уя╗░ я╗гя║ая║О┘Д я║Чя╗Мя╗ая╗┤я╗в ┘Ия║Чя╗Мя╗ая╗втАм тАл╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к ┘Ия╗Зя╗мя║о╪к ╪зя╗Яя╗Мя║кя╗│я║к я╗гя╗ж ╪зя╗Яя║Тя║о╪зя╗гя║Ю я║Ся║Оя╗Яя╗Мя║оя║Ся╗┤я║Ф ┘И╪зя╗╣я╗зя║ая╗ая╗┤я║░я╗│я║Ф я╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗в ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я║Ся║Оя║│я║Шя║ия║к╪з┘Е ╪зя╗Яя║дя║Оя║│я║Р ╪зя╗╡я╗Яя╗░тАк.тАмтАм тАля║Чя╗Мя╗ая╗┤я╗в ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я║Ся║Оя║│я║Шя║ия║к╪з┘Е ╪зя╗╣я╗зя║Шя║оя╗зя║ЦтАк :тАм╪зя╗╣я╗зя║Шя║оя╗зя║Ц я╗ля╗о я╗гя╗ия╗Ия╗оя╗гя║Ф я╗Ля║Оя╗Яя╗дя╗┤я║Ф я║Чя║оя║Ся╗В я╗гя║ая╗дя╗оя╗Ля║Ф я╗гя╗ж ╪зя╗Яя║дя║Оя║│я║Тя║О╪к ╪зя╗╡я╗Яя╗┤я║Ф я║Ся║╕я║Тя╗Ья║Ф ┘И╪зя║гя║к╪йтАм тАл┘И╪зя╗╣я╗зя║Шя║оя╗зя║Ц я╗Яя╗к я╗Ля║к╪й я╗гя╗дя╗┤я║░╪з╪к ╪пя╗Уя╗Мя║Ц ╪зя╗Яя║Шя║оя║Ся╗оя╗│я╗┤я╗ж ╪ея╗Яя╗░ ╪зя╗Яя╗дя╗ия║О╪п╪з┘З я║Ся╗Ая║о┘И╪▒╪й ╪зя║│я║Шя║ия║к╪зя╗гя╗к ┘Ия╗ля╗░тАк:тАмтАм

тАл╪│тАм

тАля║Ня╗Яя╗дя╗Шя║кя╗гя║ФтАм тАлтЭПтАм

тАл╪зя╗Яя╗оя╗Уя║о╪й ╪зя╗Яя╗мя║Оя║Ля╗ая║Ф я╗Уя╗░ я╗гя║╝я║О╪п╪▒ ╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗оя╗гя║О╪к ┘Ия╗гя╗ия╗мя║ОтАк :тАм╪зя╗Яя╗Ья║Шя║Р ╪зя╗╗я╗Яя╗Ья║Шя║о┘Ия╗зя╗┤я║ФтАк ╪МтАм╪зя╗Яя║к┘И╪▒я╗│я║О╪ктАк ╪МтАмя╗Чя╗о╪зя╗Ля║к ╪зя╗Яя║Тя╗┤я║Оя╗зя║О╪ктАк ╪МтАм╪зя╗Яя╗дя╗оя║│я╗оя╗Ля║О╪ктАк ╪МтАм╪зя╗Яя╗дя╗о╪зя╗Чя╗К ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗дя╗┤я║ФтАм

тАлтЭПтАм

тАл╪зя╗╗я║Чя║╝я║О┘Д я╗Пя╗┤я║о ╪зя╗Яя╗дя║Тя║Оя║╖я║о ┘И╪░я╗Яя╗Ъ я╗гя╗ж я║зя╗╝┘Д ╪зя╗Яя║Тя║оя╗│я║к ╪зя╗╗я╗Яя╗Ья║Шя║о┘Ия╗зя╗░тАк ╪МтАм┘И╪зя╗Яя║Тя║оя╗│я║к ╪зя╗Яя║╝я╗оя║Чя╗░тАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАл╪зя╗╗я║Чя║╝я║О┘Д ╪зя╗Яя╗дя║Тя║Оя║╖я║о ┘И╪░я╗Яя╗Ъ я╗гя╗ж я║зя╗╝┘Д ╪зя╗Яя║Шя║ия║Оя╗Гя║Р ╪зя╗Яя╗Ья║Шя║Оя║Ся╗░ ╪зя╗Яя╗дя║Тя║Оя║╖я║отАк ╪МтАм┘И╪зя╗Яя║Шя║ия║Оя╗Гя║Р ╪зя╗Яя║╝я╗оя║Чя╗░ ┘И╪зя╗Яя║Шя║ия║Оя╗Гя║Р я║Ся║Оя╗Яя║╝я╗о╪к ┘И╪зя╗Яя║╝я╗о╪▒╪йтАк.тАмтАм

тАл тАк ) )H *G : $ ; IJM " @ I*) 7 ;& $% L M%)9 N*.% :тАмтАм тАлтАкO M P $& O M ," G F)*%& O M $< " # I*) 7 , G$& / % Q %)9 :R& $ ; SтАмтАм тАл &тАк T , %M& G 4 U IJM *.%& % 9 R *& ;& $% V /% ; 1 T @ W U ; X ,P* %тАмтАм тАл ^тАкI*) 7 0 &Y , J/Z& 8 ;< / % ;< T* RQ <* CAI[ I*) 7 # \& : $% 0 ]*76 %6тАмтАм тАл ) <тАк IJM 4 _ M-H `J a MZ ;< $тАмтАм тАлтАк├бj╞Тf├Й├гdG ├бтИПM├┤┬кdG ├Ь├УW ╞Т┬кf ┬в├╝F├Й┬░├╝NтАмтАм

тАл╪е┘Ж я╗гя╗Мя║оя╗Уя║Ф я║зя║╝я║Оя║Ля║║ ╪зя╗Яя╗ия╗дя╗о я╗Яя╗Дя║Оя╗Яя║Р ╪зя╗Яя╗дя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗зя╗оя╗│я║Ф я╗│я║┤я║Оя╗Ля║кя╗зя║О я╗Ля╗ая╗░ я╗гя╗Мя║оя╗Уя║Ф я║гя║Оя║Яя║Оя║Чя╗ктАк ╪МтАм┘Ия║Чя╗Мя║о┘Б я╗гя║к┘Й я╗зя╗дя╗о ╪зя╗Яя╗Дя║Оя╗Яя║РтАм тАля║Ся║Оя╗Яя╗ия║┤я║Тя║Ф я╗Яя╗дя║Шя╗оя║│я╗В ╪зя╗Чя║о╪зя╗зя╗ктАк ╪МтАм┘Ия╗│я╗Мя╗┤я║╢ я╗Гя║Оя╗Яя║Р ╪зя╗Яя╗дя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗зя╗оя╗│я║Ф я╗Уя╗░ я╗гя║оя║гя╗ая║Ф я╗Ля╗дя║оя╗│я║Ф я║Чя║┤я╗дя╗░ я╗гя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя║ФтАк ╪МтАм┘Ия╗│я╗Шя║╝я║ктАм тАля║Ся║Оя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя║Ф ╪гя╗зя╗мя║О я╗гя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя╗ия╗дя╗о ╪зя╗Яя║м┘Й я╗│я║╝я╗Ю я╗Уя╗┤я╗мя║О ╪зя╗Яя╗Дя╗Фя╗Ю ╪ея╗Яя╗░ я╗гя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя║Тя╗ая╗о╪║тАк ╪МтАм┘Ия╗Ля╗ия║к ╪зя║│я║Шя║ия║к╪з┘Е я╗гя║╝я╗Дя╗ая║в ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя║Ф я╗Уя║И┘Ж я╗ля║м╪зтАм тАл╪зя╗Яя╗дя║╝я╗Дя╗ая║в я╗│я║Шя╗Ая╗дя╗ж я╗зя╗дя╗о┘С┘Н╪з я║Яя║┤я╗дя╗┤┘С┘Ня║О ┘И╪зя║Яя║Шя╗дя║Оя╗Ля╗┤┘С┘Ня║О ┘Ия╗зя╗Фя║┤я╗┤┘С┘Ня║ОтАк ╪МтАм┘Ия║Чя║Тя║к╪г я╗гя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя║Ф я╗Ля╗ия║к ╪зя╗Яя║Тя╗ия╗┤я╗ж я╗Уя╗░ я║Ыя╗╝╪л я╗Ля║╕я║о╪й я║│я╗ия║Ф я╗Уя║Дя╗Ыя║Ья║отАм тАля║Чя╗Шя║оя╗│я║Т┘Ля║ОтАк ╪МтАм┘Ия║Чя║Тя║к╪г я╗Ля╗ия║к ╪зя╗Яя║Тя╗ия║О╪к я╗Уя╗░ я║│я╗ж ╪зя║Ыя╗ия║Шя╗░ я╗Ля║╕я║о╪й я║│я╗ия║Ф я╗Уя║Дя╗Ыя║Ья║о я║Чя╗Шя║оя╗│я║Т┘Ля║ОтАк ╪МтАмя╗│я║ия║Шя╗ая╗Т я║│я╗ж я║Ся║к╪зя╗│я║Ф ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя║Ф я╗гя╗ж я╗гя║ая║Шя╗дя╗К ╪ея╗Яя╗░ я╗гя║ая║Шя╗дя╗КтАм тАл┘Ия╗Пя║Оя╗Яя║Т┘Ля║О я╗гя║О я║Чя║Тя║к╪г я╗гя║Тя╗Ья║о╪й я╗Уя╗░ ╪зя╗Яя╗дя╗ия║Оя╗Гя╗Ц ╪зя╗Яя║дя║О╪▒╪й я╗Ля╗ия╗мя║О я╗Уя╗░ ╪зя╗Яя╗дя╗ия║Оя╗Гя╗Ц ╪зя╗Яя║Тя║О╪▒╪п╪йтАк ╪МтАм┘Ия╗гя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя║Ф ╪зя╗Яя╗дя║Тя╗Ья║о╪й ╪зя╗Яя║Шя╗░ я║Чя║Тя║к╪г я╗гя╗К я║Ся║к╪зя╗│я║ФтАм тАл╪зя╗Яя║Тя╗ая╗о╪║ ┘Ия║Чя╗ия║Шя╗мя╗░ я╗Ля╗ия║к я║│я╗ж я║│я║Ц я╗Ля║╕я║о╪й ╪г┘И я║│я║Тя╗К я╗Ля║╕я║о╪й я║│я╗ия║ФтАк ╪МтАм┘Ия╗Чя║к я║Чя╗в я║Чя║дя║кя╗│я║к я╗ля║м╪з ╪зя╗Яя║┤я╗ж я║Ся╗Дя║оя╗│я╗Шя║Ф я╗Чя║┤я║оя╗│я╗к я║Чя║ия║Шя╗ая╗Т я╗гя╗ж я╗гя║ая║Шя╗дя╗КтАм тАля╗╡я║зя║отАк ╪МтАм┘Ия╗ля╗ия║О┘Г ╪зя║Чя╗Фя║О┘В я╗Ля╗ая╗░ ╪г┘Ж я║Чя╗ия╗Шя║┤я╗в я╗Уя║Шя║о╪й ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя║Ф ╪ея╗Яя╗░ я╗гя║оя║гя╗ая║Шя╗┤я╗ж я╗ля╗дя║ОтАк ╪МтАм╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя║Ф ╪зя╗Яя╗дя║Тя╗Ья║о╪йтАк ╪МтАм╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя║Ф ╪зя╗Яя╗дя║Шя║Дя║зя║о╪йтАк ╪МтАм┘Ия║Чя║Тя║к╪гтАм тАля╗гя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя║Ф ╪зя╗Яя╗дя║Тя╗Ья║о╪й я╗гя╗К я║│я╗ж ╪зя╗Яя║Тя╗ая╗о╪║ ┘Ия║Чя╗ия║Шя╗мя╗░ я╗Уя╗░ я║│я╗ж тАк ┘б┘жтАм╪г┘И тАк ┘б┘зтАмя║│я╗ия║Ф ╪г┘И я╗Ля╗ия║к ╪зя╗Яя║Шя║дя║О┘В ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Ц я║Ся║Оя╗Яя║╝я╗Т ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗зя╗░ ╪г┘ИтАм тАл╪зя╗Яя║Ья║Оя╗Яя║Ъ ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗зя╗о┘ЙтАк ╪МтАм╪гя╗гя║О я╗гя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя║Ф ╪зя╗Яя╗дя║Шя║Дя║зя║о┘З я╗Уя║Шя║Тя║к╪г я╗Уя╗░ я╗зя╗мя║Оя╗│я║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗в ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗зя╗о┘Й ┘Ия║Чя╗дя║Шя║к ╪ея╗Яя╗░ я╗гя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗в ╪зя╗Яя║ая║Оя╗гя╗Мя╗░тАк╪МтАмтАм тАл┘Ия╗Уя╗░ ╪зя╗Яя╗дя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗╖я║зя╗┤я║о╪й ┘Ия╗ля╗░ ╪зя╗Яя║Шя╗░ я╗│я║┤я║Шя╗Мя║к я╗Уя╗┤я╗мя║О╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Ц я╗Яя║кя║зя╗о┘Д я╗гя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя║оя║╖я║к я╗Уя╗┤я║┤я║Шя╗Мя║к я╗Яя║мя╗Яя╗Ъ я╗гя╗мя╗ия╗┤┘Ля║О ┘Ия╗│я║Шя╗Мя║о┘Б я║Ся║╕я╗Ья╗Ю ╪гя╗Ыя║Ья║отАм тАля╗зя╗Ая║а┘Л я║О ┘Ия╗Чя║к я║Чя╗дя║Шя║к я╗ля║м┘З ╪зя╗Яя╗дя║оя║гя╗ая║Ф ╪ея╗Яя╗░ тАк ┘в┘атАмя║│я╗ия║Ф ╪г┘И ╪гя╗Ыя║Ья║отАк.тАмтАм тАл < & ; тАк:c @ *3 = & IJI a( !M dтАмтАм тАлтАктЙИ┬к┬░├╣├йdG ╞Т┬к├жdGтАмтАм

тАля║Чя╗Мя║к ┬╗я╗гя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя║Ф┬л я╗Гя╗Фя║о╪й я╗Уя╗░ ╪зя╗Яя╗ия╗дя╗о ╪зя╗Яя║ая║┤я╗дя╗░тАк ╪МтАмя╗Уя╗мя╗░ я╗гя║оя║гя╗ая║Ф я╗зя╗дя╗о я║Яя║┤я╗дя╗░ я║│я║оя╗│я╗КтАк ╪МтАм┘Ия╗ля║м┘З ╪зя╗Яя║Шя╗Ря╗┤я║о╪з╪к ╪зя╗Яя║┤я║оя╗│я╗Мя║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗░тАм тАля║Чя║╝я║Оя║гя║Р ╪зя╗Яя╗ия╗дя╗о ╪зя╗Яя║ая║┤я╗дя╗░ ┘Ия╗гя╗ия╗мя║О ╪зя╗Яя║ая╗ия║┤я╗░ я║Чя║ая╗Мя╗ая╗к я╗Пя╗┤я║о ┘И╪зя║Ыя╗Ц я╗Уя╗░ я╗зя╗Фя║┤я╗к ┘Ия╗Уя╗░ я╗Чя║к╪▒╪зя║Чя╗к ┘И╪зя╗ля║Шя╗дя║Оя╗гя║Оя║Чя╗ктАк ╪МтАм┘Ия║Чя╗Ья╗о┘Ж я╗Яя║кя╗│я║Ф я╗гя║╕я║Оя╗Ля║отАм тАля╗Чя╗оя╗│я║Ф я║Чя╗Мя╗Ья║▓ я║╖я╗Мя╗о╪▒╪й я║Ся╗Мя║к┘Е ╪зя╗╗я║│я║Шя╗Шя║о╪з╪▒ ┘Ия╗гя╗ж ╪гя╗ля╗в ╪зя╗Яя╗дя║╕я╗Ья╗╝╪к ╪зя╗Яя╗дя║╝я║Оя║гя║Тя║Ф я╗Яя╗ая╗ия╗дя╗о ╪зя╗Яя║ая╗ия║┤я╗░ я╗Яя╗ая╗дя║о╪зя╗ля╗Ц я╗ля╗о я╗Зя╗мя╗о╪▒ я║гя║Р ╪зя╗Яя║╕я║Тя║О╪итАм тАл┘И╪зя╗Яя║Шя╗мя╗┤я║ая║О╪к ╪зя╗Яя║ая╗ая║кя╗│я║Ф я╗Яя╗ая╗дя║о╪зя╗ля╗Ц ┘И╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя║ФтАк ╪МтАм┘Ия╗Ыя║мя╗Яя╗Ъ ╪зя╗Яя╗дя╗Мя║Оя╗зя║О┘З ╪зя╗Яя║ая║┤я╗┤я╗дя║Ф ╪зя╗Яя╗дя║╝я║Оя║гя║Тя║Ф я╗Ля╗ия║к ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя╗к я╗гя║Ья╗ЮтАк :тАм╪зя╗Яя║╝я║к╪з╪╣тАк ╪МтАм┘И╪вя╗╗┘ЕтАм тАл╪зя╗Яя╗Ия╗мя║о ┘Ия╗зя╗оя║Ся║О╪к я║Чя╗Ря╗┤я║о ╪зя╗Яя╗дя║░╪з╪м ┘И╪зя╗╗я╗Ыя║Шя║Мя║О╪итАк.тАмтАм тАл !тАк: ! " #MтАмтАм тАлтЭПтАм

тАл╪зя╗╗я║│я║Шя╗Фя║О╪п╪й я╗гя╗ж я╗гя║О╪п╪й ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к ┘И╪зя╗Яя╗Мя╗ая╗о┘Е ┘Ия║Чя╗Дя║Тя╗┤я╗Шя║Оя║Чя╗мя║О ╪зя╗Яя╗Мя╗дя╗ая╗┤я║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗░ я║Чя╗Мя╗дя╗Ю я╗Ля╗ая╗░ я║Чя╗ия╗дя╗┤я║Ф я║Яя╗о╪зя╗зя║Р ╪зя╗Яя╗ия╗дя╗о ╪зя╗Яя║ая║┤я╗дя╗░тАм тАля║Ся║Дя║Ся╗Мя║О╪пя╗ля║О ╪зя╗Яя╗дя║ия║Шя╗ая╗Фя║Ф тАк.тАмтАм

тАл╪╣тАм

тАля║Ня╗Яя╗дя╗Шя║кя╗гя║ФтАм тАлтЭПтАм

тАл╪зя╗╗я╗ля║Шя╗дя║О┘Е я║Ся║Оя╗╖я╗ля║к╪з┘Б ╪зя╗Яя╗дя╗Мя║оя╗Уя╗┤я║Ф я╗Уя╗░ ╪зя╗Яя╗дя╗о╪з╪п ╪зя╗Яя╗дя║ия║Шя╗ая╗Фя║Ф я╗Яя║Шя╗Мя║оя╗│я╗Т ╪зя╗Яя╗Дя╗╝╪и ┘Ия║Чя║Тя║╝я╗┤я║оя╗ля╗в я║Ся║Тя╗Мя║╛ ╪зя╗Яя╗дя║╕я╗Ья╗╝╪к я╗Ыя╗дя╗дя║О╪▒я║│я║ФтАм тАл╪зя╗Яя║Шя║кя║зя╗┤я╗ж ┘И╪зя║зя║Шя╗┤я║О╪▒ ╪зя╗╗я║╗я║кя╗Чя║О╪бтАк.тАмтАм

тАлтАктЙИc├┤├лdG ╞Т┬к├жdGтАмтАм

тАля╗│я╗ия║Шя║Ю я╗Ля╗ж ╪зя╗Яя╗ия╗дя╗о ╪зя╗Яя║ая║┤я╗дя╗░ ╪зя╗Яя║┤я║оя╗│я╗К я╗гя╗┤я╗Ю ╪зя╗Яя╗Дя║Оя╗Яя║Р ╪ея╗Яя╗░ ╪зя╗Яя╗Ья║┤я╗Ю ┘И╪зя╗Яя║ия╗дя╗о┘Д ┘Ия╗│я╗Ья╗о┘Ж я╗Чя╗ая╗┤я╗Ю ╪зя╗Яя╗ия║╕я║О╪╖ ┘И╪зя╗Яя║дя║оя╗Ыя║Ф тАк ╪МтАм┘И╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя╗о┘ЖтАм тАля╗Уя╗░ я║Ся║к╪зя╗│я║Ф я╗ля║м┘З ╪зя╗Яя╗дя║оя║гя╗ая║Ф я╗│я╗Ья╗о┘Ж я║Чя╗о╪зя╗Уя╗Шя║Ф ╪зя╗Яя║дя║оя╗Ыя╗░ я╗Пя╗┤я║о ╪пя╗Чя╗┤я╗Ц ┘Ия║Чя║Шя║┤я╗в я║гя║оя╗Ыя║Оя║Чя╗к я║Ся╗Мя║к┘Е ╪зя╗╗я║Чя║░╪з┘Ж ┘Ия╗Ыя║Ья╗┤ ┘Ля║о╪з я╗гя║О я╗│я║╝я╗Дя║к┘Е я║Ся║Оя╗╖я║Яя║┤я║О┘ЕтАм тАл╪зя╗Яя║Шя╗░ я║Чя╗Мя║Шя║оя║┐я╗к ╪г┘И я║Чя║┤я╗Шя╗В я╗гя╗ж я║Ся╗┤я╗ж я╗│я║кя╗│я║Ф ╪зя╗╖я║╖я╗┤я║О╪б ╪зя╗Яя║Шя╗░ я╗│я╗дя║┤я╗Ъ я║Ся╗мя║ОтАк ╪МтАм┘Ия╗гя╗дя║О я╗│я║┤я║Оя╗Ля║к┘З я╗Ля╗ая╗░ я╗Ля║к┘Е ╪зя║│я║Шя╗Шя║о╪з╪▒┘З ╪зя╗Яя║дя║оя╗Ыя╗░ я║Чя╗Мя║оя║┐я╗ктАм тАля╗Яя╗ия╗Шя║к ╪зя╗Яя╗Ья║Тя║О╪▒ ┘Ия║Чя╗Мя╗ая╗┤я╗Шя║Оя║Чя╗мя╗в ┘Ия║Чя║дя╗дя╗┤я╗ая╗к ╪зя╗Яя╗Мя║кя╗│я║к я╗гя╗ж ╪зя╗Яя╗дя║┤я║Мя╗оя╗Яя╗┤я║О╪к ╪зя╗╗я║Яя║Шя╗дя║Оя╗Ля╗┤я║ФтАк ╪МтАмя╗гя╗дя║О я╗Чя║к я╗│я║┤я║Тя║Р я╗Яя╗к ╪зя╗╗╪▒я║Чя║Тя║О┘Г ┘Ия╗Уя╗Шя║к╪з┘Ж ╪зя╗╗я║Чя║░╪з┘ЖтАк.тАмтАм тАл !тАк:%& ! " #MтАмтАм тАлтЭПтАм

тАля║Чя║╕я║ая╗┤я╗К ┘И╪▒я╗Ля║Оя╗│я║Ф ╪зя╗Яя╗ия╗дя╗о ╪зя╗Яя║дя║оя╗Ыя╗░ я╗Ля╗ж я╗Гя║оя╗│я╗Ц ╪зя╗╗я╗зя║╕я╗Дя║Ф ╪зя╗Яя╗дя║ия║Шя╗ая╗Фя║Ф тАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАля║Чя╗Ая╗дя╗┤я╗ж я║Ся╗Мя║╛ я╗гя╗оя║┐я╗оя╗Ля║О╪к ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪к я║Ся║Оя╗╖я╗зя║╕я╗Дя║Ф ╪зя╗Яя║дя║оя╗Ыя╗┤я║Ф я║Ся║Оя╗Яя║Шя╗Мя║О┘И┘Ж я╗гя╗К я╗гя╗Мя╗ая╗в ╪зя╗Яя║Шя║оя║Ся╗┤я║Ф ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║Ф тАк.тАмтАм

тАлтАктЙИтИПтЙд┬йdG ╞Т┬к├жdGтАмтАм

тАл╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪з╪к ╪зя╗Яя╗Мя╗Шя╗ая╗┤я║Ф я╗гя║Ья╗Ю ╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪й ╪зя╗Яя╗ая╗Ря╗оя╗│я║Ф ┘И╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪й ╪зя╗Яя╗Мя║к╪пя╗│я║Ф ┘И╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪й ╪зя╗Яя╗дя╗Ья║Оя╗зя╗┤я║Ф ┘И╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪й ╪зя╗Яя╗дя╗┤я╗Ья║Оя╗зя╗┤я╗Ья╗┤я║Ф ┘И╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪й ╪зя╗Яя╗дя╗оя║│я╗┤я╗Шя╗┤я║ФтАм тАля║Чя╗Ия╗Ю я╗Уя╗░ я╗зя╗дя╗оя╗ля║О ╪зя╗Яя╗дя╗Ая╗Дя║о╪п я║зя╗╝┘Д я╗Уя║Шя║о╪й ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя║Ф тАк ╪МтАмя║гя╗┤я║Ъ я╗│я╗дя╗┤я╗Ю ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Ц ╪ея╗Яя╗░ ╪зя╗Яя╗Шя║о╪з╪б╪й ┘И╪зя╗╗я╗Гя╗╝╪╣ ┘И╪зя╗Яя║оя║гя╗╝╪к ╪зя╗Яя║ия║О╪▒я║Яя╗┤я║ФтАм тАл┘Ия╗Чя║о╪з╪б╪й ╪зя╗Яя╗Шя║╝я║║ ┘И╪зя╗Яя╗дя║ая╗╝╪к я╗Уя╗░ я╗гя║дя║О┘Ия╗Яя║Ф я╗Яя╗ая║Тя╗Мя║к я╗Ля╗ж ╪зя╗Яя╗дя╗ия║Оя╗ля║Ю ╪зя╗Яя║к╪▒╪зя║│я╗┤я║ФтАк ╪МтАм┘Ия╗│я║дя║О┘И┘Д ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Ц ╪зя╗Яя║Шя╗Мя║Тя╗┤я║о я╗Ля╗ж ╪░╪зя║Чя╗к ┘Ия╗зя╗Шя║кя╗ля║О я╗Ля╗жтАм тАля╗Гя║оя╗│я╗Ц я╗гя║мя╗Ыя║о╪зя║Чя╗ктАк ╪МтАм┘Ия╗Ыя║Шя║Оя║Ся╗к ╪зя╗Яя╗дя║мя╗Ыя║о╪з╪к ╪зя╗Яя║ия║Оя║╗я║Ф я╗Ля╗╝я╗гя║Ф я╗гя╗ж я╗Ля╗╝я╗гя║О╪к ╪зя╗Яя╗ия╗дя╗о ╪зя╗Яя╗Мя╗Шя╗ая╗░ ┘И╪зя╗Яя╗ия╗дя╗о ╪зя╗╗я║Яя║Шя╗дя║Оя╗Ля╗░тАк ╪МтАм┘Ия╗Чя║к я║Чя╗Ья╗о┘Ж ┘Ия║│я╗┤я╗ая║ФтАм тАля╗Яя║Шя╗Фя║оя╗│я╗О ╪зя╗╗я╗зя╗Фя╗Мя║Оя╗╗╪к ┘И╪зя╗Яя╗мя║о┘И╪и я╗гя╗ж ╪зя╗Яя╗Шя╗ая╗Ц ┘И╪зя╗Яя╗Ая╗┤я╗Ц ╪зя╗Яя╗ия╗Фя║┤я╗░тАк.тАмтАм тАл !тАк: % " ! " #MтАмтАм тАлтЭПтАм

тАля║Чя║к╪▒я╗│я║Р ╪зя╗Яя╗Дя╗╝╪и я╗Ля╗ая╗░ ╪зя║│я║Шя║ия║к╪з┘Е ╪зя╗╗я║│я╗ая╗о╪и ╪зя╗Яя╗Мя╗ая╗дя╗░ я╗Уя╗░ ╪зя╗Яя║Шя╗Фя╗Ья╗┤я║о тАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАля╗гя║о╪зя╗Ля║О╪й ╪зя╗Яя╗Фя║о┘И┘В ╪зя╗Яя╗Фя║о╪пя╗│я║Ф я║Ся╗┤я╗ж ╪зя╗Яя╗Дя╗╝╪и ┘И╪зя║╖я║о╪зя╗Ыя╗мя╗в я╗Уя╗░ я║Ся╗Мя║╛ ╪зя╗Яя╗дя╗мя║О┘Е ┘И╪зя╗Яя║Шя╗Ья╗ая╗┤я╗Фя║О╪к я╗Уя╗░ я║┐я╗о╪б я╗Чя║к╪▒╪зя║Чя╗мя╗втАк.тАмтАм

тАлтАк├б┬лa├┤┬й┬кdG ├д├Й┬лтИП┬к┬йdGh ├дGQ├│тЙдdGтАмтАм

тАля║Чя║ия║Шя╗ая╗Т ╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪з╪к я╗Ля╗ж ╪зя╗Яя╗Мя╗дя╗ая╗┤я║О╪к ╪зя╗Яя╗дя╗Мя║оя╗Уя╗┤я║ФтАк ╪МтАмя╗Уя║Оя╗Яя╗Шя║к╪▒╪й я╗ля╗░ я╗гя║О я╗│я║┤я║Шя╗Дя╗┤я╗К ╪зя╗Яя╗Фя║о╪п я╗Ля╗дя╗ая╗к ╪г┘И ╪зя╗Яя╗Шя╗┤я║О┘Е я║Ся╗к я║Ся╗┤я╗ия╗дя║О я║Чя║Шя╗Мя╗ая╗Ц ╪зя╗Яя╗Мя╗дя╗ая╗┤я║ФтАм тАл╪зя╗Яя╗дя╗Мя║оя╗Уя╗┤я║Ф я║Ся╗дя║О я╗│я║дя║к╪л я╗Уя╗░ ╪зя╗Яя╗Мя╗Шя╗Ю ╪░╪зя║Чя╗к ╪г┘И я║Ся╗дя║О я╗│я║к┘И╪▒ я╗Уя╗░ ╪зя╗Яя╗Мя╗Шя╗Ю ┘Ия╗ля╗о я╗│я║┤я║Шя║ая╗┤я║Р я╗Яя╗ая╗дя║Шя╗Ря╗┤я║о╪з╪к ╪зя╗Яя╗дя║ия║Шя╗ая╗Фя║Ф ┘Ия╗Ля╗ая╗┤я╗к я╗Уя║Ия╗зя╗к я╗│я╗дя╗Ья╗жтАм тАл╪зя╗Яя╗Шя╗о┘Д я║Ся║И┘Ж ╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪й я║Чя║╕я╗дя╗Ю я╗Ля╗ая╗░ ╪зя╗Яя╗Мя╗дя╗ая╗┤я║О╪к ╪зя╗Яя╗дя╗Мя║оя╗Уя╗┤я║Ф ┘И╪гя╗зя╗о╪з╪╣ я╗гя║Ья╗┤я║о╪зя║Чя╗мя║О ┘И╪зя╗╖я║╖я╗Ья║О┘Д ╪зя╗Яя╗дя║ия║Шя╗ая╗Фя║Ф я╗╗я║│я║Шя║ая║Оя║Ся║Оя║Чя╗мя║О╪Ы ┘Ия╗Яя║мя╗Яя╗Ъ я╗Уя║И┘ЖтАм тАл╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪й я║Чя║Жя╗Ыя║к я╗Ля╗ая╗░ ╪зя╗Яя╗ия║Оя║гя╗┤я║Ф ╪зя╗Яя╗Мя╗Шя╗ая╗┤я║Ф ╪зя╗Яя║Тя║дя║Шя╗к я╗гя║Ья╗Ю ╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪з╪к ╪зя╗╗я║│я║Шя╗Шя║о╪зя║Ля╗┤я║ФтАк ╪МтАм┘И╪зя╗Яя╗Мя╗дя╗ая╗┤я║О╪к ╪зя╗Яя╗дя╗Мя║оя╗Уя╗┤я║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗░ я║Чя╗Мя║Шя╗дя║к я╗Ля╗ая╗░ ╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪з╪ктАм тАл╪зя╗Яя╗Мя╗Шя╗ая╗┤я║Ф я╗ля╗░ ╪зя╗╣я╗зя║Шя║Тя║О┘З ╪зя╗Яя║м┘Й я╗│я╗ия╗дя╗о я╗Уя╗░ я║╖я║кя║Чя╗к ┘Ия╗гя║┤я║Шя╗о╪з┘З ┘Ия╗Гя╗о┘Д я╗гя║кя║Чя╗к я╗│я║┤я║Шя╗Дя╗┤я╗К ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Ц ╪зя║│я║Шя╗┤я╗Мя║О╪и я╗гя║╕я╗Ья╗╝╪к я╗Гя╗оя╗│я╗ая║Ф я╗гя╗Мя╗Шя║к╪йтАм тАля╗Уя╗░ я║│я╗мя╗оя╗Яя║Ф ┘Ия╗│я║┤я║отАк ╪МтАм┘И╪зя╗╣╪п╪▒╪з┘Г ╪зя╗Яя║м┘Й я╗│я║Шя║Дя║Ыя║о я║Ся╗ия╗дя╗о ╪зя╗Яя╗Фя║о╪п ╪зя╗Яя║ая║┤я╗дя╗░ ┘И╪зя╗Яя╗Мя╗Шя╗ая╗░ ┘И╪зя╗╗я╗зя╗Фя╗Мя║Оя╗Яя╗░ ┘И╪зя╗╣я║Яя║Шя╗дя║Оя╗Ля╗░тАк ╪МтАмя╗Уя╗┤я╗ия╗дя╗о я╗гя╗ж ╪зя╗Яя╗дя║┤я║Шя╗о┘ЙтАм тАл╪зя╗Яя║дя║┤я╗░ ╪зя╗Яя╗дя║Тя║Оя║╖я║о я╗Ля╗ия║к ╪зя╗Яя╗Дя╗Фя╗Ю ╪ея╗Яя╗░ ╪зя╗Яя╗дя║┤я║Шя╗о┘Й ╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗ия╗о┘Й ╪зя╗Яя╗дя║ая║о╪п я╗Ля╗ия║к ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗ЦтАк ╪МтАм┘Ия║Чя╗ия╗дя╗о я╗Ля╗дя╗ая╗┤я║Ф ╪зя╗Яя║Шя║мя╗Ыя║о ┘Ия║Чя╗ия╗дя╗о я╗гя╗Мя╗мя║О ╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪йтАм тАля╗Ля╗ая╗░ ╪зя╗Яя║дя╗Фя╗Ж ┘И╪зя╗╗я║│я║Шя║оя║Яя║О╪╣ ┘И╪зя╗Яя║Шя╗Мя║о┘БтАк ╪МтАм┘И╪зя╗Яя║Шя║мя╗Ыя║о я╗Ля╗ия║к ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Ц я╗│я╗Мя║Шя╗дя║к я╗Ля╗ая╗░ ╪зя╗Яя╗Фя╗мя╗в ┘И╪зя║│я║Шя╗ия║Шя║О╪м ╪зя╗Яя╗Мя╗╝я╗Чя║О╪к я║Ся╗┤я╗ж ╪зя╗Яя╗Мя╗ия║Оя║╗я║о ╪зя╗Яя║Шя╗░тАм тАля╗│я║Шя╗в я║Чя║мя╗Ыя║оя╗ля║О ┘Ия╗│я║Шя║Дя║Ыя║о я║Чя║мя╗Ыя║о ╪зя╗Яя╗Фя║о╪п я╗Яя╗ая╗дя╗оя║┐я╗оя╗Ля║О╪к ╪зя╗Яя╗дя║ия║Шя╗ая╗Фя║Ф я║Ся║к╪▒я║Яя║Ф я╗гя╗┤я╗ая╗к я╗зя║дя╗оя╗ля║О ┘И╪зя║│я║Шя╗дя║Шя║Оя╗Ля╗к я║Ся╗мя║О ┘Ия║Ся║Оя╗зя╗Фя╗Мя║Оя╗╗я║Чя╗к ┘Ия║зя║Тя║о╪зя║Чя╗ктАм тАл╪зя╗Яя╗дя║ия║Шя╗ая╗Фя║Ф ┘И╪гя╗│я╗Ая║О я║Ся╗ия╗дя╗о ╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪й я╗Ля╗ая╗░ ╪зя╗╗я╗зя║Шя║Тя║О┘ЗтАк.тАмтАм

тАл┘БтАм

тАля║Ня╗Яя╗дя╗Шя║кя╗гя║ФтАм тАл╪гя╗гя║О я╗Ля╗дя╗ая╗┤я║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Фя╗Ья╗┤я║о я╗Уя║Ия╗зя╗мя║О я║Чя║Шя║Дя║Ыя║о я╗Ля╗ия║к ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Ц я║Ся║Оя╗Яя║Тя╗┤я║Мя║Ф ╪зя╗Яя╗дя║дя╗┤я╗Дя║Ф ┘Ия║Ся╗дя║О я║Чя║Шя╗Ая╗дя╗ия╗к я╗гя╗ж я╗гя║Шя╗Ря╗┤я║о╪з╪к я║Чя║дя╗Фя║░┘З ╪ея╗Яя╗░ ╪зя╗Яя╗о╪з┘Ж я╗гя║ия║Шя╗ая╗Фя║ФтАм тАля╗гя╗ж ╪зя╗╗я║│я║Шя║кя╗╗┘Д ┘Ия║гя╗Ю ╪зя╗Яя╗дя║╕я╗Ья╗╝╪ктАк ╪МтАмя║Чя║░╪п╪з╪п я╗Чя║к╪▒╪й ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Ц я╗Ля╗ая╗░ ╪зя╗Яя║Шя║ия╗┤я╗Ю ╪зя╗Яя╗дя║ая║о╪п ╪зя╗Яя╗дя║Тя╗ия╗░ я╗Ля╗ая╗░ ╪зя╗Яя║╝я╗о╪▒╪й ╪зя╗Яя╗ая╗Фя╗Ия╗┤я║ФтАк ╪МтАмя╗Ыя╗дя║О я║Чя╗Ия╗мя║отАм тАл╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪й ╪зя╗Яя╗дя╗Ья║Оя╗зя╗┤я║Ф я╗Яя║к┘Й ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Ц я╗Уя╗░ я╗Чя║к╪▒я║Чя╗к я╗Ля╗ая╗░ я╗Уя╗мя╗в ╪зя╗╖я║╖я╗Ья║О┘Д ╪зя╗Яя╗мя╗ия║кя║│я╗┤я║Ф ╪зя╗Яя╗дя║ия║Шя╗ая╗Фя║Ф ┘И╪е╪п╪▒╪з┘Г ╪зя╗Яя╗Мя╗╝я╗Чя║О╪к ╪зя╗Яя╗дя╗Ья║Оя╗зя╗┤я║Ф я╗Уя╗░ я║│я╗мя╗оя╗Яя║ФтАм тАля║Чя║╝я╗о╪▒ я║гя║оя╗Ыя║О╪к ╪зя╗╖я║╖я╗Ья║О┘Д ┘И╪зя╗Яя╗дя║ая║┤я╗дя║О╪ктАк ╪МтАм╪гя╗гя║О ╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪й ╪зя╗Яя╗Мя║к╪пя╗│я║Ф я╗Уя║Шя╗оя║┐я║в я╗Уя╗░ ╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪й я╗Ля╗ая╗░ ╪ея║Яя║о╪з╪б ╪зя╗Яя╗Мя╗дя╗ая╗┤я║О╪к я║Ся║┤я╗мя╗оя╗Яя║Ф ┘Ия║│я║оя╗Ля║ФтАк╪МтАмтАм тАл┘Ия║Чя╗Ия╗Ю ╪зя╗Яя╗Шя║к╪▒╪з╪к я╗гя╗Дя║о╪п╪й я╗Уя╗░ я╗зя╗дя╗оя╗ля║О тАк - ;< V$e R3f< Y #9 " T , B " %< G & " %< gJ-тАмтАм тАл & тАк GтАмтАм тАлтАктЙИd├Й┬й├ШfEтАЩG ╞Т┬к├жdGтАмтАм

тАля║Чя║оя║Чя║Тя╗В ╪зя╗зя╗Фя╗Мя║Оя╗╗╪к ╪зя╗Яя╗Фя║о╪п я╗│я║Шя╗Ря╗┤я╗┤я║о╪з╪к я╗Ля╗Ая╗оя╗│я║Ф ╪п╪зя║зя╗ая╗┤я║Ф я╗│я║╝я║Оя║гя║Тя╗мя║О я╗гя║╕я║Оя╗Ля║о ┘Ия║Яя║к╪зя╗зя╗┤я║Ф ┘Ия║Чя╗Ря╗┤я║о╪з╪к я╗Уя║┤я╗┤я╗оя╗Яя╗оя║Яя╗┤я║Ф ┘Ия╗Ыя╗┤я╗дя╗┤я║Оя║Ля╗┤я║ФтАм тАл╪п╪зя║зя╗Ю ╪зя╗Яя║ая║┤я╗втАк ╪МтАм┘Ия║Чя║Жя║Ыя║о я║Ся╗┤я║Мя║Ф ╪зя╗Яя╗Фя║о╪п я╗Уя╗░ я║Чя╗ая╗Ъ ╪зя╗╗я╗зя╗Фя╗Мя║Оя╗╗╪ктАк ╪МтАмя╗Уя╗мя╗░ я║Ся╗дя║Ья║Оя║Ся║Ф я╗гя║Шя╗Ря╗┤я║о я╗Яя╗мя║ОтАк ╪МтАм┘Ия╗Яя╗ая╗ия╗дя╗о ╪гя║Ыя║о я╗Уя╗░ я║Чя╗Ря╗┤я║о ┘Ия║Чя╗Дя╗о╪▒ ╪зя╗╗я║│я║Шя║ая║Оя║Ся║О╪ктАм тАля╗Яя╗ая╗дя║Ья╗┤я║о╪з╪ктАк ╪МтАм┘Ия╗Яя╗Ья╗ж ╪зя╗Яя╗дя╗Ия║Оя╗ля║о ╪зя╗Яя║к╪зя║зя╗ая╗┤я║Ф я║Чя╗Ья╗о┘Ж ╪гя╗Чя║о╪и я╗Яя╗ая║Ья║Тя║О╪к ┘И╪зя╗╗я║│я║Шя╗Шя║о╪з╪▒ я╗гя╗ия╗мя║О ╪ея╗Яя╗░ ╪зя╗Яя║Шя╗Ря╗┤я║отАк ╪МтАм┘Ия║Чя║Шя║┤я╗в я╗гя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя║Ф ╪гя╗зя╗мя║ОтАм тАля╗Ля╗ия╗┤я╗Фя║Ф я╗Уя╗░ я║гя║к╪й ╪зя╗╣я╗зя╗Фя╗Мя║Оя╗╗╪ктАк ╪МтАмя║гя╗┤я║Ъ я╗зя║ая║к ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Ц ╪п╪зя║Ля╗в ╪зя╗Яя║Ья╗о╪▒╪й я╗Ля╗ая╗░ ╪зя╗╖┘Ия║┐я║О╪╣ я╗гя║Шя╗дя║о╪п┘Л╪з я╗Ля╗ая╗░ ╪зя╗Яя╗Ья║Тя║О╪▒тАк ╪МтАмя╗Ыя║Ья╗┤я║о ╪зя╗Яя╗ия╗Шя║ктАк ╪МтАм┘Ия╗│я║╕я╗Мя║отАм тАл╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Ц я║Ся║Д┘Ж ╪зя╗╖я║│я║о╪й ┘И╪зя╗Яя╗дя║к╪▒я║│я║Ф ┘И╪зя╗Яя╗дя║ая║Шя╗дя╗К я╗╗ я║Чя╗Шя║к╪▒ я╗гя╗оя╗Чя╗Фя╗ктАк ╪МтАм┘Ия╗╗ я║Чя║дя║▓ я║Ся║Ия║гя║┤я║Оя║│я╗к ╪зя╗Яя║ая║кя╗│я║ктАк ╪МтАмя╗Яя║м╪з я╗Уя╗мя╗о я╗│я║┤я╗Мя╗░ ╪п┘И┘Ж я╗Чя║╝я║ктАм тАля╗╡┘Ж я╗│я║Жя╗Ыя║к я╗зя╗Фя║┤я╗к я║Ся║Ья╗о╪▒я║Чя╗к ┘Ия║Чя╗дя║о╪п┘З ┘Ия╗Ля╗ия║О╪п┘ЗтАк.тАмтАм тАл !тАк: '() ! " #MтАмтАм тАлтЭПтАм

тАля║Чя╗ия╗дя╗┤я║Ф ╪зя╗Яя║Ья╗Шя║Ф ┘И╪зя╗╗я║│я║Шя╗Шя╗╝я╗Яя╗┤я║Ф я╗Яя║к┘Й ╪зя╗Яя╗Дя╗╝╪и я╗гя╗ж я║зя╗╝┘Д я╗гя║╕я║О╪▒я╗Ыя║Ф ╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗в я╗Яя╗ая╗Дя╗╝╪и я╗Уя╗░ я╗Ля║о╪╢ ╪зя╗Уя╗Ья║О╪▒я╗ля╗в ┘Ия╗гя║╕я║О╪▒я╗Ыя║Шя╗мя╗втАм тАля╗Яя╗дя║╕я╗Ья╗╝я║Чя╗мя╗в ╪зя╗Яя║╕я║ия║╝я╗┤я║Ф тАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАл╪зя║Яя║Шя╗ия║О╪и ╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗в я╗╗я║│я║Оя╗Яя╗┤я║Р ╪зя╗Яя╗Мя╗Шя║О╪и я╗Пя╗┤я║о ╪зя╗Яя║Шя║оя║Ся╗оя╗│я║Ф )я╗Ыя║Оя╗Яя╗Мя╗Шя║О╪и ╪зя╗Яя║Тя║кя╗зя╗░тАк ┘йтАм╪г┘И ╪зя╗Яя║┤я║ия║оя╗│я║Ф ╪г┘И ╪зя╗╗я║│я║Шя╗мя║░╪з╪б тАк ...тАм╪зя╗Яя║жтАм

тАлтАктЙИY├Й┬к├аLEтАЩG ╞Т┬к├жdGтАмтАм

тАля╗гя╗К я║Ся║к╪зя╗│я║Ф я╗гя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Шя║Ф я║Чя║░╪п╪з╪п я╗гя║ая║Оя╗╗╪к ╪зя╗Яя╗ия║╕я║О╪╖ ╪зя╗╗я║Яя║Шя╗дя║Оя╗Ля╗░тАк ╪МтАм┘Ия╗│я║Шя╗ия╗о╪╣ ╪зя╗╗я║Чя║╝я║О┘Д ╪зя╗Яя║╕я║ия║╝я╗░ я║Ся║Оя╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗дя╗┤я╗ж ┘И╪зя╗Яя╗Шя║О╪п╪йтАм тАл┘И╪зя╗Яя║оя╗Уя║О┘В ┘Ия╗Пя╗┤я║оя╗ля╗втАк ╪МтАм┘Ия║Ся║Оя║Чя║┤я║О╪╣ ╪п╪зя║Ля║о╪й ╪зя╗Яя╗Мя╗╝я╗Чя║О╪к ┘И╪зя╗Яя║Шя╗Фя║Оя╗Ля╗Ю ╪зя╗╗я║Яя║Шя╗дя║Оя╗Ля╗░ я╗│я║Шя║ия╗ая║║ ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Ц я╗гя╗ж я║Ся╗Мя║╛ я║Яя╗о╪зя╗зя║Р ╪зя╗╖я╗зя║Оя╗зя╗┤я║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗░тАм тАля║Чя╗Дя║Тя╗К я║│я╗ая╗оя╗Ыя╗к я╗Уя╗░ я╗гя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя╗Дя╗Фя╗оя╗Яя║Ф я╗Уя╗┤я║дя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я╗│я║Дя║зя║м ┘Ия╗│я╗Мя╗Дя╗░ ┘Ия╗│я║Шя╗Мя║О┘И┘Ж я╗гя╗К ╪зя╗╡я║зя║оя╗│я╗ж ┘И╪гя║Ыя╗ия║О╪б я║Чя╗Фя║Оя╗Ля╗Ю ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Ц ┘Ия║Чя╗Мя║Оя╗гя╗ая╗к я╗гя╗КтАм тАл╪зя╗╡я║зя║оя╗│я╗ж я║Чя║Шя║Дя╗Ыя║к я╗Яя║кя╗│я╗к я╗гя╗Ия║Оя╗ля║о ╪зя╗Яя║Ья╗Шя║Ф я║Ся║Оя╗Яя╗ия╗Фя║▓ ┘Ия║Чя║Дя╗Ыя╗┤я║к ╪зя╗Яя║м╪з╪ктАк ╪МтАм┘Ия╗гя║дя║О┘Ия╗Яя║Шя╗к ╪ея║╖я╗Мя║О╪▒ ╪зя╗╡я║зя║оя╗│я╗ж я║Ся║Дя╗ля╗дя╗┤я║Шя╗к я╗Ыя╗Фя║о╪п я╗Яя╗к я╗Ыя╗┤я║О┘Ж я╗гя║┤я║Шя╗Шя╗ЮтАк╪МтАмтАм тАля╗ля║м╪з я╗гя║О я╗│я║Жя╗Ыя║к я╗гя╗┤я╗Ю ╪зя╗Яя╗дя║о╪зя╗ля╗Ц я╗Яя╗ая╗Мя╗ия║Оя╗│я║Ф я║Ся╗дя╗Ия╗мя║о┘З ┘Ия╗гя╗╝я║Ся║┤я╗к ┘Ия╗Гя║оя╗│я╗Шя║Ф я║гя║кя╗│я║Ья║Ф я╗Уя╗ия║ая║к┘З я╗│я║Шя║дя║к╪л я╗Ыя║Ья╗┤ ┘Ля║о╪з я╗Ля╗ж я╗зя╗Фя║┤я╗к ┘Ия╗Ля╗ж я╗Чя║к╪▒╪зя║Чя╗ктАм тАл┘Ия║Чя╗Фя╗оя╗Чя╗к ┘Ия╗Уя╗░ я╗гя║ая║Оя╗╗╪к ╪зя╗Яя║Шя║дя║╝я╗┤я╗Ю ╪г┘И я╗Уя╗░ я╗гя║ая║Оя╗╗╪к ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я║ФтАк.тАмтАм тАл !тАк:%* !+) ! " #MтАмтАм тАлтЭПтАм

тАл╪зя║│я║Шя║Ья╗дя║О╪▒ я╗гя╗┤я╗о┘Д ╪зя╗Яя╗Дя║Оя╗Яя║Р я╗Уя╗░ я║Чя╗ия╗дя╗┤я║Ф я║╖я║ия║╝я╗┤я║Шя╗ктАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАля║Чя╗ия╗дя╗┤я║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Фя║Оя╗Ля╗Ю ╪зя╗╗я║Яя║Шя╗дя║Оя╗Ля╗▓ я║Ся╗┤я╗ж ╪зя╗Яя╗Дя╗╝╪и ┘И╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗дя╗┤я╗жтАк.тАмтАм

тАл╪е╪п╪▒╪з╪й ┘Ия║Чя╗ия╗Ия╗┤я╗в я║Ся╗┤я║Мя║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗в ╪зя╗Яя╗ия║╕я╗ВтАм тАля║Чя║Шя╗дя║Ья╗Ю ╪зя╗╣╪п╪з╪▒╪й ╪зя╗Яя║ая╗┤я║к╪й я╗Яя╗ая╗дя╗Мя╗ая╗в я╗Яя║Тя╗┤я║Мя║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗в ┘И╪зя╗Яя║Шя╗░ я║Чя╗Мя║Шя╗дя║к я╗Ля╗ая╗░ я╗гя║╕я║О╪▒я╗Ыя║Ф ╪зя╗Яя╗Дя╗╝╪и я╗Уя╗░ ╪зя╗Яя║Шя║ия╗Дя╗┤я╗В ┘И╪зя╗Яя║Шя╗ия╗Фя╗┤я║м я╗Яя╗ая╗Мя╗дя╗ая╗┤я║ФтАм тАл╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗дя╗┤я║Ф я╗Ля║Оя╗гя╗╝┘Л я╗гя╗мя╗д┘С┘Н я║О я╗Ля╗ая╗░ я║Чя╗оя╗Уя╗┤я║о ╪зя╗Яя║ая╗мя║к ┘И╪зя╗╗я║│я║Шя╗Ря╗╝┘Д ╪зя╗╖я╗гя║Ья╗Ю я╗Яя╗дя╗оя╗Чя╗Т ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗втАк ╪МтАм┘Ия╗Ля╗ия║╝ ┘Ля║о╪з я╗гя╗мя╗д┘С┘Н я║О я╗Уя╗░ я║Чя║дя╗Шя╗┤я╗Ц ╪зя╗╖я╗ля║к╪з┘БтАм тАл╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗дя╗┤я║Ф ╪зя╗Яя╗дя╗ия║╕я╗о╪п╪йтАк.тАмтАм

тАл╪╡тАм

тАля║Ня╗Яя╗дя╗Шя║кя╗гя║ФтАм тАл┘Ия╗гя╗К я╗Зя╗мя╗о╪▒ ╪зя╗╖я║│я║Оя╗Яя╗┤я║Р ╪зя╗Яя║Шя║оя║Ся╗оя╗│я║Ф ╪зя╗Яя║дя║кя╗│я║Ья║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗░ я║Чя║Жя╗Ыя║к я╗Ля╗ая╗░ я║┐я║о┘И╪▒╪й ╪г┘Ж я╗│я╗Ья╗о┘Ж ╪зя╗Яя╗Дя║Оя╗Яя║Р я╗ля╗о я╗гя║дя╗о╪▒ ╪зя╗Яя╗Мя╗дя╗ая╗┤я║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗дя╗┤я║ФтАм тАл┘И╪г┘Ж я╗│я╗Ья╗о┘Ж я╗Яя╗к ╪п┘И ┘Л╪▒╪з ╪ея╗│я║ая║Оя║Ся╗┤┘С┘Ня║О я╗Уя╗░ ╪зя╗Яя╗Мя╗дя╗ая╗┤я║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗дя╗┤я║Ф ┘Ия║Ся║Оя╗Яя║Шя║Оя╗Яя╗░ я╗гя╗ж ╪зя╗Яя╗дя╗Фя╗Ая╗Ю ╪ея║╖я║Шя║о╪зя╗Ыя╗к я╗Уя╗░ ╪е╪п╪з╪▒╪й я╗ля║м┘З ╪зя╗Яя╗Мя╗дя╗ая╗┤я║ФтАк ╪МтАм┘Ия╗гя╗К ╪зя╗Яя║Шя║Дя╗Ыя╗┤я║ктАм тАля╗Ля╗ая╗░ ╪п┘И╪▒ ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗в ╪зя╗Яя╗ия║╕я╗В ┘Ия╗ля╗о я╗гя║О ╪г╪п┘Й я╗Уя╗░ я║Яя╗дя╗ая║Шя╗к ╪ея╗Яя╗░ ╪е╪п╪з╪▒╪й я║Ся╗┤я║Мя║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗в я║Ся║Шя╗ая╗Ъ ╪зя╗Яя║Шя╗Ря╗┤я║о╪з╪к ╪зя╗Яя║Шя║оя║Ся╗оя╗│я║ФтАк ╪МтАм┘Ия╗гя╗К я╗гя║о╪зя╗Ля║О╪й я║зя║╝я║Оя║Ля║║тАм тАля╗Гя╗╝╪и ╪зя╗Яя╗дя║оя║гя╗ая║Ф ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗зя╗оя╗│я║ФтАк ╪МтАмя║гя╗┤я║Ъ я║Чя║ия║Шя╗ая╗Т ╪е╪п╪з╪▒╪й я║Ся╗┤я║Мя║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗в ╪зя╗Яя║Шя╗░ я╗│я║Шя╗дя║оя╗Ыя║░ я╗Уя╗┤я╗мя║О ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗в я║гя╗о┘Д ╪зя╗Яя╗дя║Шя╗Мя╗ая╗втАк ╪МтАм╪г┘И я╗гя╗дя║О я╗│я║┤я╗дя║в я╗Яя╗ктАм тАл╪зя╗Яя╗Шя╗┤я║О┘Е я║Ся║Тя╗Мя║╛ ╪зя╗╖я╗Ля╗дя║О┘Д ╪зя╗╣╪п╪з╪▒я╗│я║Ф ╪п╪зя║зя╗Ю ╪зя╗Яя╗Фя║╝я╗Ю ╪зя╗Яя║к╪▒╪зя║│я╗░тАк ╪МтАм┘Ия╗│я║Шя╗Дя╗ая║Р ╪░я╗Яя╗Ъ я╗гя╗ия║в ╪зя╗Яя╗Дя╗╝╪и я║Ся╗Мя║╛ ╪зя╗Яя║дя║оя╗│я║Ф я╗Уя╗░ ╪е╪п╪з╪▒╪й я║Ся╗┤я║Мя║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗втАм тАл╪░╪зя║Чя╗┤┘С┘Ня║О я║Чя║дя║Ц я║Чя╗оя║Яя╗┤я║Ф ┘И╪ея║╖я║о╪з┘Б ╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗втАк ╪МтАм╪зя╗╖я╗гя║о ╪зя╗Яя║м┘Й я╗│я║Шя╗Дя╗ая║Р ┘Ия║┐я╗К я╗гя║ая╗дя╗оя╗Ля║Ф я╗гя╗ж ╪зя╗Яя╗Шя╗о╪зя╗Ля║к ╪зя╗Яя╗Мя║Оя╗гя║Ф я╗Яя╗ая║Шя╗Мя║Оя╗гя╗Ю ╪п╪зя║зя╗Ю я║Ся╗┤я║Мя║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗втАм тАля╗│я║Шя╗оя╗Уя║о я║Ся╗мя║О ╪зя╗Яя║╕я║о┘И╪╖ ╪зя╗Яя║Шя║Оя╗Яя╗┤я║ФтАк:тАмтАм тАлтЭПтАм

тАл╪з┘Ж я║Чя╗Ья╗о┘Ж я╗гя║Шя╗о╪зя╗Уя╗Шя║Ф я╗гя╗К я╗Чя╗о╪зя╗Ля║к ┘Ия║│я╗┤я║Оя║│я║О╪к ╪зя╗Яя╗дя║к╪▒я║│я║Ф ┘И╪п╪зя╗Ля╗дя╗к я╗Яя╗мя║ОтАм

тАлтЭПтАм

тАл)я╗гя║Ья╗ЮтАк :тАм╪зя╗╖я╗ля║Шя╗дя║О┘Е я║Ся╗ия╗Ия║Оя╗Уя║Ф ╪зя╗Яя╗дя╗Ья║О┘Ж тАк -тАм╪зя║гя║Шя║о╪з┘Е ╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗в тАк -тАм╪зя║гя║Шя║о╪з┘Е ╪зя╗╣╪п╪з╪▒╪й ╪зя╗Яя╗дя║к╪▒я║│я╗┤я║Ф тАк -тАм╪зя║гя║Шя║о╪з┘Е ╪зя╗Яя║░я╗гя╗╝╪бтАк(.....тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАл╪з┘Ж я║Чя║дя║к╪п я╗гя║ая╗дя╗оя╗Ля║Ф я╗гя╗ж ╪зя╗╖я║│я║▓ ╪зя╗Яя║Шя╗░ я╗│я║ая║Р я║Чя╗о╪зя╗Уя║оя╗ля║О я╗Уя╗░ ╪зя╗Яя║┤я╗ая╗о┘Г ╪зя╗Яя║┤я╗о┘Й я╗Яя╗ая╗Дя╗╝╪итАк ╪МтАм┘И╪г┘Ж я╗│я║кя╗Ля╗в я╗Ыя╗Ю я║│я╗ая╗о┘Г я║Ся╗дя║Тя║о╪▒╪з╪ктАм тАля╗Ля╗Шя╗╝я╗зя╗┤я║ФтАк ╪МтАмя║Ся║╕я╗Ья╗Ю я╗│я║Тя╗┤я╗ж я║┐я║о┘И╪▒╪й я╗ля║м╪з ╪зя╗Яя║┤я╗ая╗о┘Г ┘Ия╗Уя║Оя║Ля║кя║Чя╗к я╗Яя║┤я╗┤я║о ╪зя╗Яя╗Мя╗дя╗Ю я╗Уя╗░ ╪зя╗Яя╗Фя║╝я╗Ю я║Ся║╕я╗Ья╗Ю ╪ея╗│я║ая║Оя║Ся╗░тАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАл╪е┘Ж я║Чя╗Ья╗о┘Ж я╗гя╗Шя║Тя╗оя╗Яя║Ф я╗гя╗ж ╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗в ┘И╪зя╗Яя╗Дя║Оя╗Яя║РтАк ╪МтАм┘Ия╗ля║м╪з я╗│я║┤я║Шя╗ая║░┘Е ╪г┘Ж я╗│я║Шя╗Мя║О┘Ия╗зя║О я╗Уя╗░ ┘Ия║┐я╗Мя╗мя║ОтАк.тАмтАм

тАлтАк┬║тИП┬й├аdG ├б├Д┬лH IQGOEG ├д├Йf╞Т╬╝eтАмтАм

тАля║гя╗┤я╗ж я║Чя╗Ья╗о┘Ж ╪е╪п╪з╪▒╪й я║Ся╗┤я║Мя║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗в я╗Ля╗дя╗ая╗┤я║Ф я╗гя║╕я║Шя║оя╗Ыя║Ф я║Ся╗┤я╗ж ╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗в ┘И╪зя╗Яя╗Дя╗╝╪итАк ╪МтАмя╗Уя║И┘Ж я╗ля║м╪з я╗│я╗Мя╗ия╗░ я║┐я║о┘И╪▒╪й ╪ея╗Ля║О╪п╪й я║╗я╗┤я║Оя╗Пя║Ф ╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗втАм тАля╗╖╪п┘И╪з╪▒┘ЗтАк ╪МтАмя║гя╗┤я║Ъ я╗│я╗Шя╗о┘Е я║Ся║Шя╗Мя╗Ия╗┤я╗в ╪п┘И╪▒ ╪зя╗Яя╗дя║Шя╗Мя╗ая╗втАк ╪МтАм┘И╪г┘Ж я╗│я║╝я║Тя║в ╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗в я╗Ля╗Ая╗о┘Л╪з я╗Уя╗░ я║Яя╗дя║Оя╗Ля║Ф ╪г┘И я╗Чя║Оя║Ля║к┘Л╪з я╗Уя╗░ я╗Уя║оя╗│я╗Ц ╪гя╗Ыя║Ья║о я╗гя╗ж я╗Ыя╗оя╗зя╗ктАм тАл╪зя╗Яя╗дя║╝я║к╪▒ ╪зя╗Яя╗оя║гя╗┤я║к я╗Яя╗ая║┤я╗ая╗Дя║ФтАк.тАмтАм тАл╪е┘Ж я║Ся╗┤я║Мя║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗в я╗Чя║к я║Чя╗Ья╗о┘Ж я║гя║ая║о╪й ╪зя╗Яя║к╪▒╪зя║│я║Ф ╪г┘И ╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗дя╗Ю ╪г┘И ╪зя╗Яя╗дя╗Ья║Шя║Тя║Ф ╪г┘И я║гя║ая║о╪й ╪зя╗Яя╗оя║│я║Оя║Ля╗В ╪зя╗Яя╗дя║Шя╗Мя║к╪п╪й ╪г┘И я╗Пя╗┤я║о ╪░я╗Яя╗ЪтАк ╪МтАмя║гя╗┤я║ЪтАм тАля╗│я╗оя║Яя║к ╪зя╗Яя╗Дя╗╝╪и я╗гя╗К я╗гя╗Мя╗ая╗дя╗мя╗в я╗│я║ия╗Дя╗Дя╗о┘Ж ┘Ия╗│я╗ия╗Фя║м┘И┘Ж я╗гя╗М┘Л я║О я╗Ля║к╪п┘Л╪з я╗гя╗ж ╪зя╗╖я╗зя║╕я╗Дя║Ф ╪зя╗Яя║Шя║оя║Ся╗оя╗│я║ФтАк ╪МтАм┘Ия╗гя╗ж я║Ыя╗в я╗Уя║И┘Ж я╗гя╗Ья╗оя╗зя║О╪к я║Ся╗┤я║Мя║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗втАм тАля║Чя║Шя╗дя║Ья╗Ю я╗Уя╗┤я╗дя║О я╗│я╗ая╗░тАк:тАмтАм тАлтЭПтАм

тАл╪зя╗Яя║Шя║ия╗Дя╗┤я╗В ╪зя╗Яя║ая╗┤я║к я╗Яя║Шя║дя║кя╗│я║к я║зя╗Дя╗о╪з╪к ┘Ия╗Гя║оя╗│я╗Шя║Ф я║Чя╗ия╗Фя╗┤я║м ╪зя╗Яя╗Мя╗дя╗ая╗┤я║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗дя╗┤я║ФтАм

тАлтЭПтАм

тАл╪зя╗Яя║Шя╗ия╗Ия╗┤я╗в ╪зя╗Яя╗дя║О╪п┘Й я╗Яя╗ая╗Фя║╝я╗Ю я╗Яя╗дя║ая║Оя║Ся╗мя║Ф ╪ея║гя║Шя╗┤я║Оя║Яя║О╪к ╪зя╗Яя╗Мя╗дя╗ая╗┤я║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗дя╗┤я║ФтАм

тАлтЭПтАм

тАля║Чя║дя║кя╗│я║к ╪зя║│я║Оя╗Яя╗┤я║Р ╪г┘И я╗Гя║о┘В ╪зя╗Яя║Шя╗Фя║Оя╗Ля╗Ю я║Ся╗┤я╗ж ╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗в ┘И╪зя╗Яя╗Дя╗╝╪итАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАля║Чя╗мя╗┤я║Мя║Ф я╗гя╗ия║О╪о ╪зя╗Яя╗Фя║╝я╗Ю я╗Яя╗дя║ая║Оя║Ся╗мя║Ф ╪зя║гя║Шя╗┤я║Оя║Яя║О╪к ╪зя╗Яя╗Дя╗╝╪и я╗Яя║Шя║дя╗Шя╗┤я╗Ц ╪зя╗╖я╗ля║к╪з┘Б ╪зя╗Яя╗дя╗ия║╕я╗о╪п╪йтАм

тАлтЭПтАм

тАля║┐я║Тя╗В я║│я╗ая╗о┘Г ╪зя╗Яя╗Дя╗╝╪итАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАл╪зя║│я║Шя╗Ря╗╝┘Д ╪зя╗Яя║Тя╗┤я║Мя║Ф ╪зя╗Яя╗дя║дя╗┤я╗Дя║Ф ╪гя╗Уя╗Ая╗Ю ╪зя║│я║Шя╗Ря╗╝┘Д я╗╣я║гя║к╪з╪л я╗Ля╗дя╗ая╗┤я║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗в тАк /тАм╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗в ╪зя╗Яя║ая╗┤я║ктАк.тАмтАм

тАлтЭПтАм

тАл╪зя╗╗я║│я║Шя╗Ря╗╝┘Д ╪зя╗╖я╗гя║Ья╗Ю я╗Яя╗ая╗оя╗Чя║Ц я╗Яя║Шя║дя╗Шя╗┤я╗Ц ╪зя╗Ыя║Тя║о ┘Ия╗Чя║Ц я╗гя╗дя╗Ья╗ж я╗Яя╗ая║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗втАк.тАмтАм

тАл !* тАкh Q. 1 @&e & 1 !< " #iтАмтАм тАл тАк1$ . : $& R \Y 0 OQ ;% O3 *Q 3*/& k5 # 7тАмтАм тАлтАкjтАмтАм тАл<; тАк 1%&RтАмтАм тАлтАк┬з┬░├╗├жdG ┬║тИП┬й├аdG ├б├Д┬лH IQGOEтАЩ ├бeR├УdG ├дGQ├Й┬б┬кdGh ├д├Й┬к┬░├╣dGтАмтАм

тАля╗│я║Шя╗Дя╗ая║Р я╗зя║ая║О╪н ╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗в я╗Уя╗░ я╗Чя╗┤я║О╪пя║Чя╗к ╪зя╗Яя║Шя║оя║Ся╗оя╗│я║Ф я╗Яя║Тя╗┤я║Мя║Ф ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗в ╪ея╗Яя╗░ я║Чя╗о╪зя╗Уя║о я╗гя║ая╗дя╗оя╗Ля║Ф я╗гя╗ж ╪зя╗Яя║┤я╗дя║О╪к ┘И╪зя╗Яя╗дя╗мя║О╪▒╪з╪к ╪зя╗╖я║│я║Оя║│я╗┤я║Ф ┘Ия╗ля╗░тАм тАля╗Ыя╗ая╗мя║О я╗╗╪▓я╗гя║Ф я╗Яя╗ия║ая║О╪н ╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗в я║Ся║к╪▒я║Яя║О╪к я╗гя║Шя╗Фя║О┘Ия║Чя╗к ┘Ия╗гя╗ия╗мя║ОтАк:тАмтАм

тАл┘ВтАм

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫ ‪ L\7 , . F6 , *2 & 8&7 , /% i ; " G , . G= ,kl# 6& 8&Z : ,‬‬ ‫<; ‪8( 6 %-‬‬ ‫ ‪,#*Z.& R mG7 & N 5 L M%) ;< "_ / : $ N < @ N < ;< !!M%& < $& ; : ' - .‬‬ ‫ ‪O % " 6M ) R& k5 O %/‬‬ ‫‪ e ,:R. ; &Q 8&$ h m - ,: #*R m . 1 JI E 8 $% ; : $& " T ;.$ * !+ - ./‬‬ ‫‪ n 3 I* )X R 4 !% 8Y Z& R * = X% N 9 ; 1 T‬‬ ‫‪§°ûædG º∏©àdG áÄ«H º«¶æJ‬‬

‫ﺗﺤﺘﺎج إدارة ﺑﻴﺌﺔ اﻟﺘﻌﻠﻢ إﻟﻰ ﻋﻨﺎﻳﺔ ﻓﺎﺋﻘﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻟﻠﺘﻨﻈﻴﻢ واﻟﺘﺨﻄﻴﻂ واﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‪ ،‬وﻳﻌﺪ اﻟﻔﺼﻞ وﺗﺮﺗﻴﺒﻪ أﺣﺪ‬ ‫اﻟﻌﻮاﻣﻞ اﻟﺮﺋﻴﺴﻴﺔ ﻟﻨﺠﺎح ﻋﻤﻞ اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻟﺘﺤﻘﻴﻖ أﻫﺪاف اﻟﺘﻌﻠﻢ اﻟﻨﺸﻂ‪ ،‬وﻟﺬﻟﻚ ﻳﺠﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﻠﻢ أن ﻳﺮاﻋﻰ ﻋﺪد ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻨﻘﺎط اﻟﻬﺎﻣﺔ وﻫﻰ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﺮوﻧﺔ‪ :‬وﺗﻌﺪ ﺣﺠﺮ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻓﻰ ﺗﻨﻈﻴﻢ اﻟﻔﺼﻞ؛ ﻷﻧﻪ ﻣﻬﻤﺎ ﻧﻈﻢ اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻓﺼﻠﻪ ﻓﺴﻮف ﻳﺘﻢ ﺗﻌﺪﻳﻠﻪ ﻋﻨﺪ اﻟﺘﻄﺒﻴﻖ‬ ‫ﻟﻴﻨﺎﺳﺐ ‪ M% & % Q %) IJM %‬‬ ‫[‪8! 8/B # 7 45 * IJM 1 L*G *) 45 U Z. 0 k 6% ;< : $& Ee 0 OQ : MZ39 N*3 o‬‬ ‫ ‪ 5/ 0 TH : $ − ;3 $% : $% − 4# : $% :8= :R Y IJM G O‬‬ ‫[‪: # & 8&$ IJM @/& ;% 0 /& : q. ;.$ FZ. : $% 8! : q. : #H # *& ] ^9 : q. p‬‬ ‫ <; ‪ 16 "# S @/& ;% Y 7 8R) ^j ^ L M% @/ 0S ," 6Y *&Q‬‬ ‫[‪c @ IJM 6) . 0*/ & $% # !& ; " Q7 @ _\ 4*%7 0 OQ : & $% # !& r‬‬ ‫ & ‪ :R T 4 7 4 &$ 4*%‬‬ ‫[‪ IJM @ # P " s‬‬ ‫‪á«∏YÉØH º∏©àdG âbh IQGOEG‬‬ ‫?> ! ‪6 / * 28 9; <- = F M‬‬ ‫‪: ! M F M ! 1 2 ' 23 ! 4 ./‬‬ ‫‪5 7‬‬ ‫ ‪ % + M %M& JQ ) # R < 8- T* gJt%) Y ; *T* JM%) ) #‬‬ ‫ ‪ MZ3H‬‬ ‫ ‪ T < R% & H 7‬‬ ‫ ‪ 5 . LDJ L R& * H 7‬‬ ‫ ‪ * H H _* ;< L R& @ &R 8/ LDJ T* R < # 7 8&$ M- E‬‬ ‫ ‪ # 7 @ D g m< MM k5 5 .‬‬ ‫ ‪ _ #H : *G MM 5 . $ %‬‬ ‫ ‪ T* J/Z R *& g* O ) ;.6‬‬ ‫ ‪1%M- \Q. 0 : $& ; , % 8 @ 8Y @ D 1G< 0 9 u F MM% 0 ; S . Z‬‬ ‫ ‪:; v L*G 0 1 ;t6. V! 8- # 1%T " #S @ : $& @ 7 ;/ ,# 7& @ \ $j 6‬‬ ‫ ‪ R% R3 T* R% T* c @ !7 T* L \% i‬‬ ‫ ‪ R J Y R 6) R%T 5 .% !7 _ .^ 1R * 0 @/& ;% J/Z& 8 7‬‬ ‫ ‪ !7 T &=%) 8! " #S ; W U k c 1) Q F MM%‬‬

‫ر‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ≈∏«°üëàdG QÉÑàN’G äÉØ°UGƒe ∫hóL AÉæH 8 !7 4*% 13 G& n& 45 H ,: $%& 1& $ 16 %Y G 7 ; S ; !7% 6%-9 R

: *M- " ; !7% 6%-9 _ .6 6%-9 3 :R m6I @ 5 IJM @ k w 8 !7 4*% & O M RG G7 ; S G& R ;% C *. [ H 7 @ , RG G7 ; S 6%-9 ;$ ;% H _* ;< 6%-9 R Mt ;% * *& 4 [ 6%-9 4*%7 7 OQ ;% * *& @&e% ;( .^ g * , + *& g 1 m M ;( .^ g 8& W U m G7 8( ) * *& ;6 . 0D* [ 6 . & H , : $% C *3[ ;) G& & $% H , 6%-9 R Mt 0 O 3 ,;) G& R O3 *Q 6%-9 8 =& &% @ \ + *& g L M%) H : $& *&Y 8&$ g Q 5 L M%) 0 &Y , 6%-9 5 P + @ E< 45 H ,"#*Z.& x R =& 6%-9 R.&e% 0 OQ ;% /<H %- ;< + *& g # S *M, % & ;< 1 ;q7 45 L &% 9 /$ ;% R. 8/ 6 . 0 D H ;) G& : $% C *3 7 + *& g " & ; O%/ 6 . 0 D H 7 6%-9 $ : $& ;. % ;/ , R. 8Y 8 =& 6 3 ,;) G& * * 7 : % R *& 3 $%)9 1./& ;) G& * * 8 =& 6 3 ;) G& * * @ N* * 8Y % a!M& @ \ ; j G< * *& k5 O%/ R. 8/ 6 . 0 D H ,;) G& R.&e% ;% * *& 7 $ J- @ @ $ # * *& 8=& ;% * ! ,: $% C *3 8=& ;% " & H EI G @ XZ. ,g Q * + # 2)H 6 3 # 7 ;% y*%7& * * @ N* * 8Y 8 =& # /$ # 7 ;% 3 M [ N* * 8/ # 7& ;6 . 0D* , 4*%7& * * @ N* * 8/ 6 . 6%-9 R.&e% 0 OQ ;% 2)H : % *MM N 6 :% + *& g J- @ - 8/ 6 . & H 7% ,4*%7& * * @ M E 7 :% M E EI G% 45 N* *& [ 7 :% V! / *2& 6 . 7 :% M E EI G% 45 R [ #*&$ / *2& 6 . 7 :% #*&$ / *2& 6 . 7 :%

‫ش‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫‪äÉjƒàëªdG‬‬ ‫ﺃﻭ ﹰﻻ‪ :‬ﺍﻟﺠـــــﺒـﺮ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪ :‬ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﻭﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ﻭﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‬ ‫‪١-١‬‬

‫ﻣﺒﺪأ اﻟﻌﺪ ‪ -‬اﻟﺘﺒﺎدﻳﻞ ‪ -‬اﻟﺘﻮاﻓﻴﻖ‬

‫‪٢-١‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ ﺑﺄس ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ‬

‫‪٣-١‬‬

‫إﻳﺠﺎد اﻟﺤﺪ اﻟﻤﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ س ك ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ‬

‫‪٤-١‬‬

‫اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﺣﺪﻳﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﻴﻦ ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ‬

‫‪٤‬‬

‫‪................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪١١‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٢٤‬‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ :‬ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫‪١-٢‬‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻤﺮﻛﺐ‬

‫‪٢-٢‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ دﻳﻤﻮاﻓﺮ‬

‫‪٣-٢‬‬

‫اﻟﺠﺬور اﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮاﺣﺪ اﻟﺼﺤﻴﺢ‬

‫‪٣٢‬‬ ‫‪٤٢‬‬ ‫‪٤٧‬‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪ :‬ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻭﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬ ‫‪١-٣‬‬

‫اﻟﻤﺤﺪدات‬

‫‪٢-٣‬‬

‫اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬

‫‪٤-٣‬‬

‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﻌﻜﻮس اﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬

‫ت‬

‫‪.......................................................................................................................................‬‬

‫‪٥٢‬‬ ‫‪٦٠‬‬ ‫‪٦٦‬‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫‪äÉjƒàëªdG‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎﹰ‪ :‬ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪ :‬ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﻭﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻓﻰ ﺑﻌﺪﻳﻦ ﻭﺛﻼﺛﺔ ﺃﺑﻌﺎﺩ‬ ‫‪١-١‬‬

‫اﻟﻨﻈﺎم اﻹﺣﺪاﺛﻲ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ ﻓﻲ ﺛﻼت أﺑﻌﺎد‬

‫‪٢-١‬‬

‫اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﺮاغ‬

‫‪٣-١‬‬

‫ﺿﺮب اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت‬

‫‪٨٢‬‬ ‫‪٩٠‬‬ ‫‪٩٩‬‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ :‬ﺍﻟﺨﻄﻮﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‬ ‫‪١-٢‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‬

‫‪٢-٢‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‬

‫ﺍﻟﻤﻼﺣﻖ‬

‫‪١٢٠‬‬ ‫‪١٢٨‬‬

‫‪١٤٠‬‬

‫ث‬

‫‪Ò‬‬ ‫‪Ď ò ĀĿí :śōã‬‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬

‫‪ŐĿōŗí óĊăŎĿí‬‬ ‫‪øjó◊G äGP ájô¶fh ≥«aGƒàdGh πjOÉÑàdG‬‬ ‫‪Permutation , combination and‬‬ ‫‪Binomial‬‬ ‫‪Bi‬‬ ‫‪nomial theorem‬‬

‫‪øjó◊G äGP ájô¶fh ≥«aGƒàdGh πjOÉÑàdG‬‬ ‫‪Permutation, combination and‬‬ ‫‪Binomail theorem‬‬

‫ﻣﻘﺪﻣﺔاﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﺗﻌﺪ ﻣﻮﺿﻮﻋﺎﺕ ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﻭﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ﻭﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻋﺎﺕ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻓﻰ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻋﻠﻢ ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﺭﺗﺒﺎﻃﻬﺎ ﺑﺎﻟﻌﻠﻮﻡ‬ ‫ﺍﻷﺧﺮﻯ ﻛﺎﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺀ ﻭﺍﻟﻜﻴﻤﻴﺎﺀ ﻭﻏﻴﺮﻫﺎ‪ .‬ﻭﺳﻮﻑ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ‫ﺍﻟﻤﺰﻳﺪ ﻋﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﻭﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ﻭﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‬ ‫ﻭﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻬﻢ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ‪.‬‬

‫‪óĊăŎĿí ôŃĊĸŃ‬‬ ‫‪éneT î{x dL |ed > ºpa dRí dL Ò}HÌ Y ºëÐ}xÎ R p_SÐ UÐ Ü J Ñ}ôS ºØí}g = (ê¼½Â¿ - ê¼½»¼ ) H ]UÐ x{UÐ }[i {õUíô‬‬

‫‪Ø{L Ñn A R x J ân= U ºÓnh nx}UÐí daUÐ dLí pa daUÐí pec UÐ neghdL ÜÚ{R ºî}[eUÐ x{UÐ h_Yí dÉ eUÐ x{UÐ‬‬ ‫‪Ñn A R ÓnYne wÐ (ê¼ÀÂÁ- ê¼À»¼) ëØÚncU ënTí º hRÐ UÐí xØn UÐ ê{ HÐ neT ºpad eUÐ }wÐ ^UÐ Ôí{ U ÓnincYüÐ‬‬ ‫‪ L ÒÚn L wí (Computer Architecture) Ñ Hn UÐ pxÚne_Y R Ð}h T‬‬ ‫‪ð ðøn Y U Ön>Ì neY º HnHúÐ {_UÐ Ì{ Y pbx}]= ÓnincYüÐ Ø{L‬‬ ‫>[‪ A R ng>nYÐ{ HÐí hRÐ UÐí xØn UÐ h= pSĆ_UÐí {_UÐ Ì{ Y Ò{A UÐ ì|w éínf >í ºÑ Hn dU phahK UÐ Ónhde_UÐ phf=í he‬‬ ‫=_ ‪.nghdL ph>nh UÐí ph nx}UÐ Ónbh ] UÐ _= Aí º x{ UÐ ÓÐÙ px}^i dL æ}_>í ºph nx}UÐ ÓĆcZeUÐ‬‬

‫‪óĊăŎĿí ıíĊŋã‬‬ ‫‪:o f Kf rk T^y ʘ v Z K?pȚ 4 [q 2S x ʘ 2*yf t4u vp }Z‬‬ ‫ ‪ë (Þ+Ü ) è caY R Ü }h` edU Ò S îÌ Yn_Y {@ x‬‬ ‫ ‪( e UÐ Ò{LnS) {_UÐ Ì{ Y æ}_ x‬‬ ‫ ‪.{_UÐ ç}Jí ohUnHjT hRÐ UÐí xØn UÐ h= pSĆ_UÐ æ}_ x‬‬

‫ﻣﺨﺮﺟﺎت اﻟﻮﺣﺪة‬

‫ ‪. hRÐ UÐí xØn UÐ dL sýn ií hiÐ S s f x‬‬

‫ ‪ x{ UÐ ÓÐÙ è caY R {A } TÌ Yn_Y {@ x‬‬

‫ ‪ph>nhA ph nxÚ ÓĆcZY A R hRÐ UÐí xØn UÐ ê{ x‬‬ ‫‪pad Y Óøn Y R‬‬

‫ ‪Ø{L ë nY{fL x{ UÐ ÓÐÙ è caY R HíúÐ { UÐ {@ x‬‬ ‫‪.îØ}R Ø{L ë nY{fL ën]HíúÐ ëÐ{ UÐí @íÛ‬‬

‫ ‪.o@ Y yh É Üj= x{ UÐ ÓÐÙ px}^i æ}_ x‬‬ ‫ ‪. x{ UÐ ÓÐÙ è caY R ên_UÐ { UÐ s f x‬‬

‫وﺗﺘﻜﻮن ﻫﺬه اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ أرﺑﻌﺔ دروس وﻫﻰ‪:‬‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺍﻷﻭﻝ‪ :‬ﻣﺒﺪﺃ ﺍﻟﻌﺪ ‪ -‬ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‪ :‬ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﺑﺄﺳﻰ ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪ :‬ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻤﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﺱﻙ ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‪ :‬ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﺣﺪﻳﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﻴﻦ ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬ ‫ﻭﻗﺒﻞ ﺍﻟﺒﺪﺀ ﻓﻰ ﻋﺮﺽ ﺩﺭﻭﺱ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺃﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﻃﻼﺑﻚ ﻗﺮﺍﺀﺓ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﻓﻰ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺗﻮﺿﺢ ﺍﻟﻜﺜﻴﺮ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻋﻦ ﺗﺎﺭﻳﺦ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﻭﻣﻜﺘﺸﻒ ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫ﺑﺎﺳﻜﺎﻝ ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻌﺎﻟﻢ ﺑﻠﻴﺰ ﺑﺎﺳﻜﺎﻝ ﻭﺍﻃﻠﺐ ﺍﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﺮﺟﻮﻉ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻷﻧﺘﺮﻧﺖ( ﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺰﻳﺪ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻋﻦ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﻟﻬﻢ ﺍﻫﺘﻤﺎﻣﺎﺕ ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺧﺎﺻﺔ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﻭﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻬﺎ ﺣﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﺍﻻﺳﺘﻔﺎﺩﺓ ﻣﻨﻬﺎ ﺃﺛﻨﺎﺀ ﺗﻨﻔﻴﺬ ﺍﻟﺪﺭﻭﺱ ﻭﻣﺎ ﺗﺘﻀﻤﻨﻪ ﻣﻦ ﺃﻧﺸﻄﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﺨﺮﺟﺎت اﻟﺘﻌﻠﻢ‪:‬‬ ‫ﻗﺎﺩﺭﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬه ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ً‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﺒﺪﺃ ﺍﻟﻌﺪ )ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺠﻤﻊ(‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﻭﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ﻛﺄﺳﺎﻟﻴﺐ ﻭﻃﺮﻕ ﻋﺪ‪.‬‬ ‫ ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﻭﻧﺘﺎﺋﺞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ‬

‫ ‪ÓÐÙ è caY R U =n UÐ { UÐí {A T h= p fUÐ s f x‬‬ ‫‪. x{ UÐ‬‬

‫ ‪.{ UÐ Ð|w p >}U nðbRí x{ UÐ ÓÐÙ è acY R {A îÌ Yn_Y {@ x‬‬

‫‪2‬‬

‫ ‪ x{ UÐ ÓÐÙ è caY nYð { Y hRÐ UÐ h= ÓnSĆL s f x‬‬ ‫ ‪ÓÐÙ è caY ÓĆYn_Yí éncHn= rd Y h= pSĆ_UÐ s f x‬‬ ‫‪.éncHn= rd Y R àneiúÐ _= s f xí º x{ UÐ‬‬ ‫ ‪ÓÐÙ px}^i dL pL f Y ph>nhAí ph nxÚ Ónbh ]> x‬‬ ‫‪. x{ UÐ‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﻭﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ﻓﻰ ﺣﻞ ﻣﺸﻜﻼﺕ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺠﺎﻻﺕ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‪.‬‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﺑﺄﺱ ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ‪.‬‬ ‫ ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬

‫ ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻛﻞ ﺣﺪ ﻭﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﻪ ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮﻣﻚ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬ ‫ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺃ￯ ﺣﺪ ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﻭﻓ ﹰﻘﺎ ﻟﺮﺗﺒﺔ ﻫﺬﺍ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪ‪.‬‬ ‫ ‬

‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺃ￯ ﻗﻮﺓ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ﺱ ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮﻙ )ﺱ ‪ +‬ﺹ(ﻥ‬

‫ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺃﻛﺒﺮ ﺣﺪ ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬

‫ ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﻋﻼﻗﺎﺕ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ﻣﺴﺘﺨﺪ ﹰﻣﺎ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬ ‫ ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳﻜﺎﻝ ﻭﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬ ‫ ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻧﻤﺎﻁ ﻓﻰ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳﻜﺎﻝ‪.‬‬

‫ ﻳﺤﻞ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺭﻳﺎﺿﻴﺔ ﻭﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﻣﺘﻨﻮﻋﻪ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬ ‫ﺯﻣﻦ ﺗﺪﺭﻳﺲ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‪ ١٢ :‬ﺣﺼﺔ‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ ‪ë (Þ + Ü) è caY R Ü Y Un UÐ { UÐ {@ x‬‬

‫‪ôŔēîēã‬‬ ‫‪ôŔēîē‬‬ ‫‪ēã õîĄŀĤĜŃ‬‬ ‫‪ē‬‬ ‫‪õ‬‬ ‫‪{_UÐ Ì{ Y Ñ‬‬ ‫‪ xØn UÐ Ñ‬‬

‫‪Fundamental counting principle‬‬ ‫‪Permutations‬‬

‫‪ hRÐ UÐ Ñ‬‬ ‫‪ x{ UÐ ÓÐÙ px}^i Ñ‬‬

‫‪Combinations‬‬ ‫‪Binomial Theorem‬‬

‫‪ľëîēŎĿíō õíōĉŗ‬‬ ‫‪õíōĉŗí‬‬ ‫‪ŗí‬‬ ‫‪phedL p HnA pUË Ñ‬‬

‫اﻟﻮﺳﺎﺋﻞ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺃﻗﻼﻡ ‪ -‬ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺭﺳﻮﻣﻴﺔ‪.‬‬

‫‪óĊăŎĿí đōčĉ‬‬ ‫‪Scientific‬‬ ‫‪Sci‬‬ ‫‪ieentific calculator‬‬

‫‪ hRÐ UÐ - xØn UÐ - {_UÐ Ì{ Y :(¼ - ¼) ÜÚ{UÐ‬‬

‫‪o@ Y yh É Üj= x{ UÐ ÓÐÙ px}^i :(½ - ¼) ÜÚ{UÐ‬‬

‫‪è caY Y è Ü dL e ZeUÐ { UÐ Øn xÎ :(¾ - ¼) ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪ x{ UÐ ÓÐÙ‬‬ ‫‪ÓÐÙ è caY Y hhUn Y xØ{A h= p fUÐ :(¿ - ¼) ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪ x{ UÐ‬‬

‫÷‪óĊăŎŀĿ ŐńŔĨň‬‬ ‫÷‪Ő Ĩň‬‬ ‫‪ŐńŔĨ‬‬ ‫‪Ĩňň ĢĤĈŃ‬‬

‫ﻃﺮق اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫ﺗﺘﻤﺜﻞ ﻓﻰ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺸﻔﻬﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺤﺮﻳﺮﻳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ ﻭﺍﻟﺠﻤﺎﻋﻴﺔ ﻗﺒﻞ‬ ‫ﻭﺑﻌﺪ ﻭﺃﺛﻨﺎﺀ ﺍﻟﺪﺭﺱ‪ ،‬ﻭﺍﻷﻧﺸﻄﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‪ ،‬ﻭﺳﻠﻢ ﺍﻟﺘﻘﻴﻴﻢ ﺍﻟﺨﺎﺹ‬ ‫ﺑﺎﻷﻧﺸﻄﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻮﺩﺓ ﺑﺎﻟﻮﺣﺪﺓ‪ .‬ﻭﺍﻟﺘﻜﺎﻟﻴﻒ ﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ ﻭﺍﻟﺠﻤﺎﻋﻴﺔ‬ ‫ﻭﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺮﺍﻛﻤﻰ )ﺗﻘﻴﻴﻢ ﺫﺍﺗﻰ(‪.‬‬

‫‪ņœĊĄĿí õíċ ôœĎĨŇō ĶŔĳíŎøĿíō ľœĉîòøĿí‬‬ ‫‪ĊĬĿí ãĊòŃ‬‬

‫‪ņœĊĄĿí õíċ ôœĎĨŇ‬‬

‫‪ņœĊĄĿí õíċ ĹŎļĴŃ‬‬

‫ﺍﻟﻤﺨﻄﻂ ﺍﻟﺘﻨﻈﻴﻤﻰ ﻟﻠﻮﺣﺪﺓ‪:‬‬ ‫ﻳﺘﻨﺎﻭﻝ ﺍﻟﻤﺨﻄﻂ ﺍﻟﺘﻨﻈﻴﻤﻰ ﻟﻠﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﻤﻔﻬﻮﻡ ﺍﻷﺳﺎﺳﻰ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﻣﺒﺪﺃ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪ ‪ -‬ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ‪ -‬ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﻭﻳﻮﺿﺢ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﺑﻴﻦ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳﻜﺎﻝ ﻭﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪ ،‬ﻛﺬﻟﻚ‬ ‫ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻛﻞ ﺣﺪ ﻭﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﻪ ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬ ‫ﺁﺧﺮﺍ ﻳﺘﻨﺎﻭﻝ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺭﻳﺎﺿﻴﺔ ﻭﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻭﺃﺧﻴﺮﺍ ﻭﻟﻴﺲ ً‬ ‫ً‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬

‫‪ľœĉîòøĿí‬‬

‫‪ĶŔĳíŎøĿí‬‬

‫‪ŁîĬĿí ĊĄĿí‬‬

‫‪Ĺ đ Őŀī ľńøĘńĿí ĊĄĿí ĉîĀœç‬‬

‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪3‬‬

‫ﻣﻜﺎن اﻟﺘﺪرﻳﺲ‬ ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ‪.‬‬ ‫ﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻢ‬ ‫ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺹ ‪ ٢‬ﺍﻟﻰ ﺹ ‪.٤١‬‬‫ ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ‪.‬‬‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻭﺍﻟﺤﻮﺍﺭ ‪ -‬ﺣﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪.‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪3‬‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫‪ŐĿōŗí óĊăŎĿí‬‬

‫‪1-1‬‬

‫‪≥«aGƒàdG - πjOÉÑàdG - ó©dG CGóÑe‬‬ ‫‪Fundamental counting principle‬‬ ‫‪permulations combinations‬‬

‫‪1-1‬‬

‫‪≥«aGƒàdG - πjOÉÑàdG - ó©dG CGóÑe‬‬ ‫‪Fundamental counting principle permutations combinations‬‬

‫ﺗﻤﻬﻴﺪ‬

‫‪łŀĬø÷ ıŎē‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫" ! ‬ ‫ )‪ # $ % & ' M‬‬ ‫" ! ‪ * + ,‬‬

‫ﺧﻠﻔﻴﺔ‪:‬‬

‫‪nk G‬‬ ‫‪:ó©dG CGóÑe :’hC‬‬ ‫ ‪:‬‬ ‫ ‪Ů [y2F e 2* dgN 2" Y2F -.Nr Ů [y2F i f dgN 2" Y2F -.N i ^ /‬‬ ‫‪. [y2F ( * ) tr 7y wj b dgOb r arĔ dgOb 2" Y2F -.N i V‬‬ ‫‪Multiplication rule‬‬

‫ﻓﻜﺮ ‪ō‬‬

‫ﺳﺒﻖ ﻭﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﺒﺪﺃ ﺍﻟﻌﺪ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﺒﺴﻂ ﻭﺳﻮﻑ ﻧﺴﺘﻜﻤﻞ‬ ‫ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻣﺒﺪﺃ ﺍﻟﻌﺪ )ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺠﻤﻊ( ﻭﻧﺘﻄﺮﻕ ﺇﻟﻰ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ‬ ‫ﻭﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻭﻧﺘﻨﺎﻭﻝ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺃﺳﺘﺨﺪﺍﻡ‬ ‫ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﻭﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ﻓﻰ ﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‪.‬‬

‫‪ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ‬‬ ‫ ‬

‫‪Permutations‬‬

‫ ! ‬ ‫ ‬

‫‪Combinations‬‬ ‫‪Counting prenciple‬‬

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫^‪{ń ŮŃ Ůł ŮŁ Ůŀ} Nsg#gb 2> kN lf Wc +f e Z1 đ lf qkys_ l_gy -¹ .N h‬‬ ‫&‪?(a3 kf ł ) e Z1 đ lf is_f -.Ob i z‬‬ ‫‪ń = - &Ē hZ1 lys_ Y2F -.N‬‬ ‫‪Ń = 2;Ob hZ1 lys_ Y2F -.N‬‬ ‫‪ł = gb hZ1 lys_ Y2F -.N‬‬ ‫‪e Z1Ĕ Nsg#f lf Wc +f e Z1 đ lf is_f -.N lys_ Y2F -.N wb b r‬‬ ‫ ‪ŅĿ = ł * Ń * ń = GOgb‬‬ ‫ ‪e Z1Ĕ Nsg#f lf (1 2_ b (g7y) e Z1 đ lf ¹js_f -¹ .N h^ : !" #‬‬ ‫} ‪? {ń ŮŃ Ůł ŮŁ Ůŀ‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫أﻫﺪاف اﻟﺪرس‬

‫‪(™ªédG IóYÉb ) ó©dG CGóÑe‬‬ ‫ ‪i V Ů [y2F e 2* dgN 2" Y2F -.Nr Ů [y2F i f dgN 2" Y2F -.N i ^ /‬‬ ‫‪. [y2F (i + e ) tr 7y wj b dgOb arĔ dgOb 2" Y2F -.N‬‬ ‫‪Addition rule‬‬

‫ﺑﻌﺪ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻉ ﻭﺗﻨﻔﻴﺬ ﺍﻷﻧﺸﻄﺔ ﻳﺘﻮﻗﻊ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺃﻥ‪:‬‬

‫‪ôŃĊĈøĔńĿí õíōĉŗí‬‬ ‫ ‪* ' * % - * .‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪ ! " # $ % & ' ‬‬

‫‪- 2V Ń lf is_f \y2V lys_ - 2y½ Ů k Ņ Ů -Đr ň q lz7k#b Hc +f d?V 1‬‬ ‫‪.8k#b 8Wj lf \y2Wb is_y z' d?Wb 0o lf‬‬

‫‪ ( ) * ! & + ' , ‬‬ ‫‪ ( ) * ! - . / M1 23 ‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫أ ‪ŀŁŅ =ŃXň = H[V -¹ Đr m CN i ^ / \y2Wb lys_ Y2F -.N‬‬

‫‪4‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫اﻟﻤﻮاد اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‪:‬‬

‫إﺟﺮاءات اﻟﺪرس‪:‬‬ ‫ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻣﺘﻄﻮﺭﺓ‬ ‫ ﺍﻃﺮﺡ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ »ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ«‪ .‬ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻌﺮﺽ ﻭﺗﺴﺄﻝ ﻋﻦ‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻜﻮﻳﻨﻪ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ }‪ {٥ ،٤ ،٣ ،٢ ،١‬ﺩﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ -‬ﺍﻟﺤﻮﺍﺭ ﻭﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ ‪ -‬ﺣﻞ‬ ‫ﺗﻜﺮﺍﺭ ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺃﺑﻘﻞ ﻣﻦ ‪.٣٠٠‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪ -‬ﺍﻻﻛﺘﺸﺎﻑ‬ ‫ ﺗﺎﺑﻊ ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻭﺩﻭﻧﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ‪..‬‬ ‫ﻣﻜﺎن اﻟﺘﺪرﻳﺲ‪:‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ ﻭﻣﺪﻯ ﺻﺤﺘﻬﺎ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﺍﻟﻤﻘﺼﻮﺩ ﺑﻤﺒﺪﺃ ﺍﻟﻌﺪ‪.‬‬ ‫ ﻃﺒﻖ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺠﻤﻊ( ﻋﻠﻰ ﻣﺜﺎﻝ ﺹ ‪٤‬‬

‫ ﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺹ ‪ ٤‬ﺍﻟﻰ ﺹ ‪١٣‬‬‫ ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ(‬‫اﻟﺘﻬﻴﺌﺔ‬ ‫ ﻛﻠﻒ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﻌﻨﻜﺒﻮﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻣﺒﺪﺃ ﺍﻟﻌﺪ )ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻊ(‪.‬‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻴﻤﺎ ﺗﻮﺻﻠﻮﺍ ﺇﻟﻴﻪ ﻣﻦ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻭﺗﻮﻇﻴﻔﻬﺎ ﺩﺍﺧﻞ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻬﺎ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺃﺳﻬﻞ ﻭﺳﻮﻑ ﺗﻴﺴﺮ ﻟﻨﺎ ﺑﻌﺾ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﻟﺠﺎﺕ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ‪.‬‬

‫ﻣﺒﺪأ اﻟﻌﺪ ‪ -‬اﻟﺘﺒﺎدﻳﻞ ‪ -‬اﻟﺘﻮاﻓﻴﻖ‬ ‫‪` Z y f - h 1 f - 2Sf 2 k‬‬

‫‪1-1‬‬

‫ب ‪ŀń = ŃXŅ = H[V k m CN i ^ / \y2Wb lys_ Y2F -.N‬‬ ‫‪ŀŃŀ = ŀń + ŀŁŅ = ŃXŅ+ŃXň = 8k#b 8Wj lf m CN i ^ / \y2Wb lys_ Y2F -.N‬‬ ‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪= +:Ĕ 1 z * p l_gy [y2F h^ :."r 7j Ń Ů a "1 ń lf js_f Nsg#f lf O¹ f = +: ł 2z * 1‬‬ ‫ ‪: z Ē Đ 'b lf d^ wV đ b‬‬ ‫أ ‪?8k#b 8Wj lf đ b = +:Ĕ i ^ /‬‬ ‫ب ‪?8k#b 8Wj lf H[V i k hpzV đ b = +:Ĕ i ^ /‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪ O 1Ĕ lf dZĔ wcN lzb 6 lgC i E2; Ů pkf Ņ lN z#y i b Gb wcNr Ů c 6 Ň wcN i ' f Z1r ts ' 2‬‬ ‫ ‪? pkN z#y w b c 6Ĕ 1 z * b Gcb p l_gy [y2F h_V Ů wbrĔ‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫أ ‪Ņ = ŃXŃ*ŁXŃ o-.N Y2G Z1sb wZ lf c 6 O 1 r wbrĔ O 1Ĕ lf lzb 6 1 +y i b Gcb l_gy‬‬ ‫ب ‪ŀŅ = XŃ * XŃ o-.N Y2G Z1sb wZ lf đ r wbrĔ O 1Ĕ lf c 6 ł 1 +y i b Gcb l_gy‬‬ ‫‪ł‬‬

‫‪ł‬‬

‫ﺟ ‪Ņ = ŁXŃ * ŃXŃ o-.N Y2G Z1sb wZ lf lzb 6r wbrĔ O 1Ĕ lf c 6 Ń 1 +y i b Gcb l_gy‬‬ ‫‪ŁŇ = Ņ + ŀŅ + Ņ =ŁXŃ *ŃXŃ+łXŃ * łXŃ+ ŃXŃ* ŁXŃ= c 6Ĕ 1 z * Y2F -.N‬‬ ‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪:≥«aGƒàdG‬‬ ‫ ﺍﺳﺘﺮﺟﻊ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﻔﻬﻮﻡ ﺍﻷﺳﺎﺳﻰ ﻟﻠﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ﻭﺍﺳﺘﻌﺮﺽ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺃﺭﺍﺩ ﻓﺮﻳﻖ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺪﺭﺳﺔ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺛﻼﺙ ﺃﻋﻼﻡ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻷﻋﻼﻡ ﺍﻟﻤﻮﺟﻮﺩﺓ ﺑﺎﻟﻤﺪﺭﺳﺔ‪ ،‬ﻭﺫﻟﻚ ﻻﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﻓﻰ ﺣﻔﻠﺔ ﺍﻟﻤﺪﺭﺳﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻴﺔ‪ .‬ﻓﻬﻞ ﻫﻨﺎﻙ ﺿﺮﻭﺭﺓ ﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺍﻷﻋﻼﻡ?‬ ‫ﻭﻣﺎﺫﺍ ﻳﺴﻤﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﻣﻦ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ )ﺗﺒﺎﺩﻳﻞ ﺃﻡ ﺗﻮﺍﻓﻴﻖ(?‬ ‫إﺟﺎﺑﺔ ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ‪ 1‬ص ‪:٥‬‬ ‫أ‬

‫ﻋﺪﺩ ﻭﻃﺮﻕ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺍﻷﺷﺨﺎﺹ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﻣﻦ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺠﻨﺲ =‬ ‫‪ ١٤ = ٣X٤+٣X٥‬ﻃﺮﻳﻘﺔ‬

‫ب‬

‫ﻋﺪﺩ ﻭﻃﺮﻕ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺍﻷﺷﺨﺎﺹ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﻣﻨﻬﻢ ﺍﺛﻨﺎﻥ ﻓﻘﻂ ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺠﻨﺲ = ‪ ٧ = ١X٥ * ٢X٤ + ١X٤ * ٢X٥‬ﻃﺮﻳﻘﺔ‬

‫‪ zj b k7b wb a [ jĐ qb \'y Đr Ů z6 1- - sf Ň zOf #b zc_b t.& wbrĔ k7b wV b Gb 51.y 2‬‬ ‫ ‪? zj b k7cb d[ ky i b Gcb p l_gy [y2F h_V ŮdZĔ wcN pkf Ņ wV (#j / Đ‬‬ ‫‪∫ÓMEG ¿hóH hCG ∫ÓME’G ™e áæ«Y QÉ«àNG ¥ôW OóY‬‬ ‫ ‪:$% # &' ( ) )*" , %-. / /%0 / , %-. / % 1‬‬ ‫ ‪Si = 1 z *Đ Y2F -.N i V z 2 b r ađ&Ė Pf 1 z *Đ i ^ / -‬‬ ‫½ ‪Łń = Łń tr 7y {ń ŮŃ Ůł ŮŁ Ůŀ } e Z1Ĕ Nsg#f lf lzgZ1 lf is_f -.N lys_ Y2F -.N‬‬ ‫ ‪SX ŀ- S + i = 1 z *Đ Y2F -.N i V z 2 ir. r ađ&Ė Pf 1 z *Đ i ^ / -‬‬ ‫½ ‪ŁĿ =łXŅ = łX ŀ- ł + Ń = tr 7y \y- k> Ń wcN c g f 2^ ł Py3s Y2F -.N‬‬

‫اﺟﺎﺑﺔ ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ‪ 2‬ص‪٥‬‬

‫‪i‬‬ ‫ ‪Sa = 1 z *Đ Y2F -.N i V z 2 b N 2f Pf ađ& ir. 1 z *Đ i ^ / -‬‬ ‫½ ‪ńĿŃĿ = ņ * Ň * ň * ŀĿ = ŃaŀĿtr 7y l^ f ŀĿ q 1 K j & 6 wV 1 z6 Ń UsZr Y2F -.N‬‬

‫ ‪SX i = 1 z *Đ Y2F -.N i V z 2 b N 2f ir- ađ& ir. 1 z *Đ i ^ / -‬‬

‫‪ņňŁ =ńXŀŁ tr 7y ?+:‬‬ ‫½ ‪ŀŁ lz lf = +: ń lf \y2V 1 z * Y2F -.N‬‬ ‫‪¹‬‬

‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪5‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪ (١‬ص ‪٥ ،٤‬‬

‫ ﻛﻠﻒ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺤﻞ ﻣﺜﺎﻝ ‪ ١‬ﻓﻬﻮ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ﻭﻣﺒﺪﺃ ﺍﻟﻌﺪ )ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺠﻤﻊ(‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻃﻼﺑﻚ ﻭﻗﺪﻡ ﺍﻟﺘﻐﺬﻳﺔ ﺍﻟﺮﺍﺟﻌﺔ ﺍﻟﻤﻨﺎﺳﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪:πjOÉÑàdG :É«k fÉK‬‬ ‫ ﺍﺳﺘﺮﺟﻊ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ‬ ‫ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻬﺎ‪:‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻥ ‪ S ،‬ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺻﺤﻴﺤﻴﻦ ﻣﻮﺟﺒﻴﻦ ﺑﺤﻴﺚ ﻥ ‪ ، S G‬ﻓﺈﻥ ﻋﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﺍﻟﻤﻜﻮﻥ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻣﻦ ﺃﺷﻴﺎﺀ ﻋﺪﺩﻫﺎ ‪ ، S‬ﻭﺍﻟﻤﺄﺧﻮﺫﺓ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻥ ﻣﻦ ﺍﻷﺷﻴﺎﺀ ﻫﻮ‪.‬‬ ‫ﻣﻀﺮﻭﺏ ﻥ‬ ‫ﻥ‬ ‫ﻥﻝ ‪= S‬‬ ‫ﻭﺗﻨﻄﻖ‬ ‫ﻥ ‪S-‬‬

‫‪1-1‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﺮﻕ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺃﻥ ﻳﻨﺘﻘﻞ ﻟﻠﺴﻨﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫= ‪ ٣٧ = ٨X٨ + ٧X٨ * ٦X٨‬ﻃﺮﻳﻘﺔ‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻭﺍﺳﺘﺮﺟﻊ ﻣﻌﻬﻢ ﻋﺪﺩ ﻃﺮﻕ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﻊ‬ ‫ﺍﻷﺣﻼﻝ ﺃﻭ ﺑﺪﻭﻥ ﺃﺣﻼﻝ‪.‬‬ ‫ ﻋﺪﺩ ﻃﺮﻕ ﻭﻗﻮﻑ ﻥ ﺳﻴﺎﺭﺓ ﻓﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻧﺘﻈﺎﺭ ﺳﻴﺎﺭﺓ ﻓﻰ ﺻﻒ‬ ‫ﻭﺍﺣﺪ ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ‪.‬‬ ‫‪:á«aÉ°VG äÉeƒ∏©e‬‬ ‫ﻋﺎﻣﻼ ﻫﺎ ًﻣﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ? ﻻ‬ ‫ ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﻫﻞ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻳﻌﺪ ً‬ ‫ ﻫﻞ ﻳﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ?‬

‫ﻻ‬

‫ ﻟﻤﺎﺫﺍ? ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ‪:‬‬

‫ﻷﻥ ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﻳﻘﺴﻢ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻧﻔﺴﻪ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ‬ ‫ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ﻋﺪﺩ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻨﻪ ﻭﺣﻴﺚ ﺍﻥ ﻛﻞ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻳﺤﺴﺐ ﻋﻠﻰ ﺣﺪﺓ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﻭﺇﻥ ﺍﻟﺘﻮﻓﻴﻘﻪ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪﺓ ﺗﻘﺎﺑﻞ ﺗﺒﺪﻳﻠﻪ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﺃﻭ ﺃﻛﺜﺮ‪،‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈﻥ ﺫﻟﻚ ﻳﺠﻌﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻰ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻨﻄﻘﻰ ﺃﻧﻪ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ‪.‬‬

‫ﻣﻀﺮﻭﺏ ﻥ ‪S -‬‬

‫وﻧﺴﺘﻄﻴﻊ أن ﻧﺮى ﻟﻤﺎذا ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻫﺬا اﻟﻘﺎﻧﻮن ﻷن‪:‬‬

‫ﻥﻝ ‪ = S‬ﻥ )ﻥ ‪) ...... * (١ -‬ﻥ ‪(١+ S -‬‬ ‫ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻠﻤﻀﺮﻭﺏ ﻥ ﻥ‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪5‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‪ :‬اﻟﺘﺒﺎدﻳﻞ واﻟﺘﻮاﻓﻴﻖ وﻧﻈﺮﻳﺔ ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ‬ ‫ ‪r 2+f 3 6Opx ` Z y f x h 1 f :ȟxȚ 2*yf‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت ﻋﻠﻰ اﻷﻣﺜﻠﺔ‪:‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻓﻰ ﺹ ‪ ٦‬ﻷﻥ ﻛﻞ ﻣﺜﺎﻝ ﻳﻌﺒﺮ‬ ‫ﻋﻦ ﻓﻜﺮﺓ ﻓﻰ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﻭﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ‪.‬‬

‫‪lf d^ wV Cz 2^ Ł r 2g& 2^ ł '6 Y2F -.N ."r Ů Cz 2^ Ň Ů 2g& 2^ŀŁ p z[& 3‬‬ ‫ ‪: z Ē Đ 'b‬‬ ‫أ ‪. z 2 b r ađ&Đ Pf '7b i ^ /‬‬ ‫ب ‪. z 2 b Pf ađ& ir. '7b i ^ /‬‬ ‫ﺟـ ‪. z 2 ir-r ađ& ir. '7b i ^ /‬‬

‫ ﺍﺗﺮﻙ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻓﺘﺮﺓ ﻟﻠﺘﻔﻜﻴﺮ ﻓﻰ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺴﺎﺋﻞ ‪.‬‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﺨﻄﺄ‪.‬‬ ‫ ﺗﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﻓﻬﻢ ﻃﻼﺑﻚ ﻟﻠﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻨﻔﻴﺬ ﻭﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﻷﻧﻬﺎ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻣﻬﺎﺭﺍﺕ ﻗﺒﻠﻴﻪ ﻳﺠﺐ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ‫ﺍﺗﻘﺎﻧﻬﺎ‪.‬‬ ‫ ﺩﺭﺏ ﻃﻼﺑﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﺗﻘﺎﻧﻬﻢ ﻟﻤﻬﺎﺭﺓ ﺍﺟﺮﺍﺀ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺑﺎﻟﻮﺭﻗﺔ ﻭﺍﻟﻘﻠﻢ ﻭﺫﻟﻚ ﻟﻠﺘﺄﻛﺪ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺤﻞ‪.‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫أ ‪ŀŀĿńňŁ = ŁŇ * łŀŁ = '7b Y2F -.N‬‬ ‫ﺟـ ‪ŅŀŅĿ = XŇ * XŀŁ= '7b Y2F -.N‬‬ ‫‪ł‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪.UsZr l^ f ŀĿ p 1 K j & 6 wV 1r # f 1 z6 Ń UsZr Y2F -.N ."r :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬ ‫ب ‪.X> d_: wcN XZsgb i ^ /‬‬ ‫أ ‪. 2 - d_: wcN XZsgb i ^ /‬‬ ‫‪:πjOÉÑàdG :Ék«fÉK‬‬ ‫‪ pb z6 6Ĕ ZđOb r dy- b espWf 61- i \ 6‬‬ ‫ ‪: is_y S Gi Ů E ǽS Ůi d_b : 2‬‬ ‫‪( ŀ+ S - i ) ... (Ł-i ) (ŀ- i)i = Sai 3‬‬ ‫‪ŀ * Ł * ł * ... (Ł - i ) (ŀ- i)i = i = iai 4‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i 5‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪... = Ł- i (ŀ- i) i = ŀ- i i = i 6‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S-i‬‬

‫‪?º∏©J πg‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪Sa‬‬

‫‪i‬‬

‫‪+N ǽ‬‬

‫‪ŀ= ŀ = Ŀ‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪:w y gf d^ wV i gzZ ."r 4‬‬ ‫أ ‪ŁńŁĿ = ńań-ił‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫أ ‪ŁńŁĿ= ńań-ił a‬‬ ‫`‬

‫‪ń- ił‬‬

‫‪ńa‬‬

‫=‪ņ‬‬

‫‪ńa‬‬

‫‪ŁńŁĿ= ńaņ a‬‬ ‫` ‪ņ=ń-ił‬‬

‫ب ‪i ňĿ = Ł + i‬‬ ‫ب ‪i ňĿ = Ł+ i a‬‬ ‫`‬

‫‪Ł+ i‬‬

‫‪= Ła‬‬

‫‪ŀĿ‬‬

‫‪Ła‬‬

‫‪Ł+i‬‬ ‫`‬ ‫‪i‬‬ ‫` ‪ŀĿ = Ł + i‬‬

‫= ‪ňĿ‬‬

‫` ‪Ň=i‬‬

‫` ‪Ń=i‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ »اﻟﺤﻮارواﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ«‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪:w y gf d^ wV 1 gzZ ."r 3‬‬ ‫أ ‪ŅņŁĿ = ŀ- SłaŇ‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‪:‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ‬

‫‪٨‬ﻝ‪٨ = ٦٧٢٠ = ١- S٣‬ﻝ‬ ‫` ‪٢ = S ٦ = S ٣ ` ٥ = ١- S٣‬‬

‫ب ‪ň = Ń- Saň‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪i gzZ ."r V ł-iaŇ = ł- iaŇ i ^ / 5‬‬

‫‪6‬‬

‫اﺟﺎﺑﺔ ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ‪3‬‬ ‫أ‬

‫ب ‪ņłňŁĿ = ŁaŇ * łaŀŁ= '7b Y2F -.N‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪٥‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ‪ :‬اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‪.‬‬

‫ب ‪٩‬ﻝ‪٩ = ٩ = ٤- S‬ﻝ‬ ‫‪١٣ = S‬‬ ‫` ‪٩ = ٤- S‬‬ ‫ﺃﻳﻬﻤﺎ ﺃﻛﺒﺮ ﻋﺪ ًﺩﺍ‪ :‬ﻃﺮﻕ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺛﻼﺛﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ ﺧﻤﺴﺔ‬ ‫ ﺃﻋﻂ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺜﺎﻝ ﺹ ‪) ٣‬ﺃ‪ ،‬ﺟـ( ﻭﺫﻟﻚ ﻳﻌﺘﺒﺮ ﺗﺪﺭﻳﺐ ﻣﺒﺎﺷﺮ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺃﻡ ﻃﺮﻕ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻊ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺍﻟﻤﺘﺴﻠﺴﻞ ﻟﺜﻼﺛﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﻦ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ‪.‬‬ ‫ﺑﻴﻦ ﺧﻤﺴﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮ?‬ ‫‪٩‬‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎت اﺿﺎﻓﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ‪:‬‬

‫أﺧﻄﺎء ﺷﺎﺋﻌﺔ‪:‬‬

‫ﻗﺪ ﻳﺨﻄﺊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﺨﻠﻂ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﺃﻭ ﻗﺎﻧﻮﻥ‬ ‫ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ﺑﺎﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ ‪nCr‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﺗﺬﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ‬ ‫ ﻭﻫﻨﺎﻙ ﺭﻣﻮﺯ ﺃﺧﺮﻯ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ﻣﺜﻞ ) ‪( nr‬‬ ‫ﻏﻴﺮ ﻣﻬﻢ‪ ،‬ﺃﻣﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﻓﻬﻮ ﻫﺎﻡ‪،‬‬ ‫ﻼ‪ :‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺬﻛﺮ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺳﺤﺒﺖ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﺸﻮﺍﺋﻴﺔ )ﻣﺨﺘﺎﺭﺓ(‬ ‫ﻓﻤﺜ ً‬ ‫ﻧﺸﺎط اﺛﺮاﺋﻰ‪:‬‬ ‫أ ﺗﺤﺘﻮﻯ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺍﻟﻜﺘﺐ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﻗﺮﺍﺀﺗﻬﺎ ﻓﻰ ﻣﻜﺘﺒﺔ ﻋﺎﻣﺔ ﻓﺘﻮﺿﺢ ﻫﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻏﻴﺮ ﻣﻬﻢ‪.‬‬ ‫)ﻣﺎ( ‪ ٢٠‬ﻛﺘﺎ ًﺑﺎ‪.‬‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ‪4‬‬ ‫ﻥ‪٤-‬‬ ‫ﻥ‪٤-‬‬ ‫ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﻃﺮﻕ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ )‪ (٤‬ﻛﺘﺐ ﻟﻘﺮﺍﺀﺗﻬﺎ?‬ ‫‪ a‬ﻝ = ﻝ‬ ‫‪٩‬‬

‫ب‬

‫‪6‬‬

‫‪٩‬‬

‫ﻭﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻗﺮﺍﺀﺗﻚ ﻟﻠﻜﺘﺐ ﺍﻷﺭﺑﻌﺔ ﻟﻪ ﺃﻫﻤﻴﺔ‪ .‬ﺃﻭﺟﺪ ` ﺻﻔﺮ > ‪ H ٩‬ﻥ ‪٤ -‬‬ ‫` ﻥ ∋ }‪{..... ،١٥ ،١٤ ،١٣‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﺮﻕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻜﺘﺐ ﺍﻷﺭﺑﻌﺔ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ ‪ ٢٠‬ﻥ ‪١٣ G‬‬ ‫ﻛﺘﺎ ًﺑﺎ‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

тАл ╪зя╗Яя║Шя╗о╪зя╗Уя╗┤я╗ЦтАм- тАл ╪зя╗Яя║Шя║Тя║О╪пя╗│я╗ЮтАм- тАля╗гя║Тя║к╪г ╪зя╗Яя╗Мя║ктАм

1-1

┘е : ┘г = тАля╗Э я╗етАм┘б- тАля╗етАм┘в: ┘б- тАля╗Э я╗етАм┘б+ тАля╗етАм┘в тАля║Гя║ля║Н я╗Ыя║Оя╗етАм ┘г ┘е ┘г ┘е

┘б-тАля╗етАм

┘б+ тАля╗етАм┘в

┘в+тАля╗етАм

┘б - тАля╗етАм┘в

`┬АZ y f - h 1 f - 2Sf 2 k

1-1

┘е тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

─╛─Д─┐├н

{┼А┼А ┼о┼А─┐ ┼о ... ┼о┼Е ┼о┼Д ┼о┼Г ┼о ┼В } ╟╜ i `╞Е╞Е┼В G i G ┼А┼А `╞Е╞Е─┐G ┼В- i G ┼З `╞Е╞Е┼В-ia┼З= ┼В- ia┼З a ─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

i gzZ ."r V

┼А : ┼В─┐┼З─┐─┐ = ┼В─┐┼З─┐─┐ =

S - ┼Д┼А

┼Д┼Г

┼Г┼А = S `

┼Д┼Е S - ┼Д─┐

a┼Д┼Г

┼Е+S

a┼Д┼Е

i ^ / i gzZ ."r 6 ─╛─Д─┐├н

┼А : ┼В─┐┼З─┐─┐ =

┼А─┐ = S - ┼Д┼А `

┼В+Sa

┼Д┼Г :

┼Е+ S a

┼Д┼Е

┼В─┐┼З─┐─┐ = (S - ┼Д┼А ) ┼Д┼Д * ┼Д┼Е ` ─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

.i gzZ ."r V ┼Д : ┼В = i a┼А- i┼Б: ┼А- i a┼А+ i┼Б i ^ / 5 тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм

тАл = я║╗я╗Фя║отАм┘д - тАл я╗етАм┘б┘б - ┘втАля╗етАм┘г ┘а = (┘д - тАл * я╗етАм┘б + тАля╗етАм┘г)

╚ТS ┼оi lf d^ gzZ gV

┼З┼Г─┐ = ┼В- S

a┼Ж

┼о ┼Г┼Б :┼А = S

a┼Б- i :

┼Б- S

a┼Б- i

i ^ / 7 ─╛─Д─┐├н

┼З┼Г─┐ = ┼Гa┼Ж a ┼Г = ┼В- S `

┼Ж= S `

6 тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

┘й┘а =┘втАля╗ЭтАм S ┘г┘и┘а =┘втАл я╗ЭтАм+тАля╗етАм ┘б┘е = тАл` я╗етАм

┼В+ S

┘ж + тАл я╗етАм┘й + ┘втАл я╗етАм┘г = ┘б┘а + тАл я╗етАм┘в┘а

(┘б) ┘б┘а = S -тАл` я╗етАм (┘б┘в) ┘в┘а = S +тАл` я╗етАм ┘е = SтАГтАГ

= ┼Иa┼Г-i i ^ / 4 тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм

┘б- тАля╗етАм┘в (тАля╗етАм┘в) (┘б+тАля╗етАм┘в) * ┘б - тАля╗етАм┘в ┘б- тАл( )я╗е( я╗етАм┘б+тАл( )я╗етАм┘в+тАл)я╗етАм

S -тАля╗етАм

┼Г-i

┘б-тАля╗етАм

┘д = тАл я╗етАм╪МтАл я╗гя╗оя╗Уя╗оя║╜тАм┘б-┘г = тАля╗етАм

┼Иa

┼Б-i ┼А ┼И-i ┼Г┼Б = ┼Б - i * ┼Ж - i ` ┼Ж ┼Ж-i ┼Ж=┼Ж-i ` ┼Бa = ┼Б a

┼А┼Г = i

тАл╪гтАм

┼о╞Е╞Е ┼З┼Г─┐ = ┼В- S a┼Ж a ┼Ж ┼Ж ┼Гa = ┼В- S a ` ┼Г┼Б :┼А = ┼Жa┼Б- i : ┼Дa┼Б-i ┼Г┼Б = (┼З - i) (┼Ж - i) ─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

:w y gf d^ wV 1 ┼оi lf d^ gzZ ."r 6 ┼Ж┼Б─┐ = S ┼о ┼Е─┐┼Г┼З─┐ = Sai тАл╪итАм

┼В┼З─┐ = ┼БaS +i ┼о ┼И─┐ =┼БaS -i тАл╪гтАм тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм k_ggb S ┼оi hzZ ."r V ┼А┼Б─┐ = Sai i ^ / 8

┘з┘в┘а = S ╪М ┘ж┘а┘д┘и┘а = SтАля╗ея╗ЭтАм тАля╗етАм ┘й = тАлтАГтАГя╗етАм┘жтАля╗ЭтАм┘й = ┘ж┘а┘д┘и┘а = ┘жтАлтАГтАГ` я╗ЭтАм┘ж = S `

─╛─Д─┐├н

тАл╪итАм

┼В = S f.kN ┼Е = i `

┼Вa ┼Гa

┼Г = 1 f.kN ┼Д = i ` ┼Д = S f.kN ┼Д = i `

┼Дa

┼Е=┼Г*┼Д*┼Е=

┼Аa

┼А┼Б─┐

i :7'

i : %) 8

i : 79 8

┼Д=┼Б*┼В*┼Г*┼Д=

┼Д=┼А*┼Б*┼В*┼Г*┼Д=

┼А = S f.kN ┼А┼Б─┐ = i `

:тАл╪зя╗Яя║Шя╗Шя╗┤я╗┤я╗в ╪зя╗Яя║дя╗о╪з╪▒ ┘И╪зя╗Яя╗дя╗ия║Оя╗Чя║╕я║ФтАм

=Sa i : 7 0

╟║'f - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

тАл( я╗ня║Чя╗оя║╗я╗Ю я╗гя╗Мя╗мя╗в я║Зя╗Яя╗░тАм┘з) тАл┬Ш я╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗гя╗К я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я║Ся╗ия║к я║гя║Оя╗ня╗Э я║Гя╗е я║Чя║дя╗ЮтАм .тАля║Ня╗╗я║Яя║Оя║Ся║Оя║Х я║Ня╗Яя║╝я║дя╗┤я║дя║ФтАм r 2+f 3 6Opx `┬АZ y f x h 1 f :╚Яx╚Ъ 2*yf

8 тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм ┘в-тАля╗етАм

─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

k_ggb 1 ┼оi lf d^ hzZ ."r V ┼Б┼А─┐ =Sa i i ^ / 7

= ┘д - тАля╗етАм┘в ┘в

┘д-тАля╗етАм

: тЙе┬лaG╞Т├аdG :├Йk├гd├ЙK is_y S Gi ┼о +N ╟╜S ┼о i d_b i gcN i \ 6 i Sa i = SXi (┬Ы) = SXi (┬Ъ)

┬┐CG ├ЯMтАЩ

┘в-тАля╗етАм

┘в

┘ж=тАл` я╗етАм

┘ж┘ж =

┘в+тАля╗етАм

┘д- тАля╗етАм

= тАля╗Эя╗етАм

3 = ─┐Xi = iXi a i H Xi S

i = = + 5 r = = 5 i V

+N ╟╜

┘ж┘ж = ┘б-тАля╗етАмX┘б+тАля╗етАм

┘б┘б = тАля╗етАм

┘а = ┘б┘г┘в - тАл я╗етАм+ ┘втАля╗етАм

i┼БX

┼Б┼Д

тАля╗етАм SтАля╗ХтАм тАля╗етАм ┘б-SтАля╗ХтАм

┼А─┐

┼А┼Б─┐ = ┼ВXi ` ┼А─┐ = i `

= ┼А┼Б─┐ a

i (┬Ь)

i┼Б

тАл╪гтАм

┼Б┼Д

= ┼А┼Г-i┼БX┼Б┼Д тАл╪итАм

тАл╪итАм ┼А=

тАля╗Уя╗Ья║о ┘Ия╗зя║Оя╗Чя║╢тАм

тАл┬Ш я║│я║Оя╗Ля║к я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я╗Уя╗░ я╗гя║дя║Оя╗ня╗Яя║Ф я║Ня║Ыя║Тя║Оя║ХтАм

┼Д- i┼В

i ┼Б = ┼Д - i ┼В :7' (\[' ) ┼Д = i `

┼Б┼Д = i ┼Б + ┼Д - i ┼В : %7 ) 8 \[' ┼Е = i ` ┼В─┐ = i ┼Д ┼А-iX

┼А┼Б─┐ = ┼В-iXi a тАл╪гтАм ┼А─┐ i ┼ВX = ┼ВX ` X┼Б┼Д = X┼Б┼Д a тАл╪итАм

─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

┼Е┼Е =

┼А-iX

┼А +i

тАл╪гтАм

:w y gf d^ wV i gzZ ."r 8 ├б├С┬░├╣├жdG ┬┐╞Тf├Йb

Ratio rule

┼А┼В- ┼Б┼Ж ┼А┼ГX┼Б┼Ж = (┼А) ┼А┼Г ┼А┼ВX┼Б┼Ж

┼А +S - i = S

┼В┼Е ┼В┼Е ┼В┼Е ┼Б┼ГX * ┼Б┼ДX = ┼Б┼ДX (┼Б) ┼В┼Е ┼В┼Е ┼В┼Е ┼Б┼ВX ┼Б┼ГX ┼Б┼ВX

тАл ╪зя╗Яя║ая▒ктАм- тАля╗Ыя║Шя║О╪и ╪зя╗Яя║ая▒к ┘И╪зя╗Яя╗мя╗ия║кя║│я║Ф ╪зя╗Яя╗Фя║о╪зя╗Пя╗┤я║ФтАм

i i

┼А-SX

: # ; $<0 = $ > & 8? /!2@

Xi i i _ = S Xi : /2@. A M

┼А-S ┼А-S-i ┼А-S S-i S ┼А+S-i ┼А-S i * = ╞Е╞Е╞Е╞Е╞Е i S-i S

┼А + S - i = S - i (┼А + S - i) ┼А - S * S

┼А

┼А S-i ┼А-S S

= ╞Е╞Е╞Е╞Е╞Е тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм

┼Б - i gzZ ."r ┼А┼В = ┼ДXi : ┼ЕXi i ^ / 10 f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

─╛─Д─┐├н ┼ВX

{┘б┘а ╪М┘г} тИЛ тАля╗етАм ┘б+S - тАля╗етАм

:w y gf d^ wV i gzZ ."r 9 ┼А┼Б─┐ = ┼В-iXi тАл╪гтАм

= ┼Д- i┼ВX┼Б┼Д тАл╪итАм

┬┐CG ├ЯMтАЩ

┘в┘е ┘в┘е ┘б-тАл=я╗етАм┘д-тАля╗етАм┘в` ┘б-тАля╗етАмX = ┘б┘д-тАля╗етАм┘вX ┘б┘а = тАл ` я╗етАм┘в┘е = ┘б-тАл я╗етАм+ ┘д - тАля╗етАм┘в ╪М┘г = тАл` я╗етАм

S - iX

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм

┘д - тАля╗етАм┘в

┘б-тАля╗етАм

S-i S i i =X = 5X i ^ /

9 тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

┘б+тАля╗етАм ┘в

тАля╗Эя╗етАм

┘д- тАля╗етАм┘в

тАл ╪зя╗Яя║Шя║Тя║О╪пя╗│я╗Ю ┘И╪зя╗Яя║Шя╗о╪зя╗Уя╗┤я╗Ц ┘Ия╗зя╗Ия║оя╗│я║Ф ╪░╪з╪к ╪зя╗Яя║дя║кя╗│я╗жтАм:тАл╪зя╗Яя╗оя║гя║к╪й ╪зя╗╖┘Ия▒ГтАм `┬АZ y f - h 1 f - 2Sf 2 k

1-1

(тАл╪зя╗Яя║Шя╗Шя╗┤я╗┤я╗в ╪зя╗Яя╗дя║┤я║Шя╗дя║о )╪зя╗Яя║дя╗о╪з╪▒ ┘И╪зя╗Яя╗дя╗ия║Оя╗Чя║╕я║ФтАм

─╛─Д─┐├н

┼А = ┼А+┼Е-i ` ┼В ┼Е

┼А = ┼Е Xi a ┼В ┼Д Xi ┼Б┼Г = ┼Г = ┼Б - ┼Е = ┼Б - i `

┼А = ┼Д-i ` ┼В ┼Е

┼Ж=i`

тАл┬Ш я╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗гя╗К я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я║Ся╗ия║к я║гя║Оя╗ня╗Э я║Гя╗е я║Чя║дя╗Ю я╗ня║Чя╗оя║╗я╗Ю я╗гя╗Мя╗мя╗в я║Зя╗Яя╗░тАм :тАля║Ня╗╗я║Яя║Оя║Ся║Оя║Х я║Ня╗Яя║╝я║дя╗┤я║дя║ФтАм

─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

┼А = SX┼Ж: SX┼Ж : i ^ / S gzZ 7& 9 ┼В ┼АSX

┼А+i

i i ┼А- SX + S X

:тАл╪ея║Яя║Оя║Ся║Ф я║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

: # C( D E & 8? /!2@

i S + i (┼А + S - i) i (S + ┼А + S - i) i i = = + = /2@. A M

┼А+S-i S ┼А+S-i ┼А-S ┼А+S-i S S-i S i (┼А + i) ┼А+i = =╞Д╞Е =@. A M = SX┼А+ i = S - (┼А + i) S S-┼А+i S

┘б ┘ж = S `тАГ ┘г

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм

.S ┼оi lf d_b y-.Ob gz[b ."r ┼Д┼Е = ┼В-SXi + ┼Б- SX i ┼о ┼А : ┼Ж┼Б─┐ =

┼А+ SX

┼А+i

─╛─Д─┐├н

┼А : ┼Ж┼Б─┐ = ┼Д=S` ┼Д┼Е = ┼ВX┼А+i `

┼А+ SX

┼Е = ┼А+S

┼Д┼Е = ┼БXi + ┼ВXi `

┼Д┼Е = ┼З = ┼А+i `

┼Ж=i`

┼А +i

: ┼А+S a┼А+i ┼Ж┼Б─┐ = ┼А + S

i i ┼В-SX + ┼Б-SX ┼ВX

┼З

┘е ┘б

: ┼А+S a┼А+i i ^ / 11

i i ┼Б+ SX + ┼А + SX

тАл`я╗етАм

┘з=

= ┼ВX┼А+i `

┘е ┘ж

┼о ┼Д : ┼И = ┼А+SX┼А┼В : SX┼А┼В i ^ / 10

= ┘б- SX┘з: SX┘з a

тАля╗етАм

┘б-SX

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм ┼Б+i ┼А─┐ ┼А─┐ ┼А─┐ ┼ЖX + ┼ЕX ┼Б +┼ДX : gzZ ."r `b/ lfr ┼Б+ SX

= ┘б- S

─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г i

S ┼о i lf ─С^ ├К F ╞Е ┼В┼Г┼В┼Б = ┼А- SX + ┼Б- SX

┘б -┘з = ┘б+S `тАГ ┘г S

тАля╗етАм

: SX = SтАл я╗ЭтАмa 11

┘е ┘б

┘б- S S * ┘е ` ┘б- S ┘з

┘б+┘з - тАля╗етАм ┘ж

┘е ┘з

тАля╗етАм

= ┘жX : ┘зX ` ┘б┘б = тАл` я╗етАм

┼Б + SX ┼Ш─Я ┼Е─╛╦О─Я 12 ─╛─Д─┐├н

i i i i ┼Б+ SX + ┼А+ SX + ┼А+ SX + SX

=@. A M =

┼Б + SX

┼Б+i

┼Б + SX

┼Д = S ┼о ┼А─┐ = i PBs ┼Ж┼И┼Б = ┼ЖX┼А┼Б +

┼А+i + ┼А+i ┼А + SX

= /2@. A M

┘б┘г ┘б┘г ┘е : ┘й = ┘б+ SX : SX a

┼А─┐ ┼А─┐ ┼А─┐ ┼ЖX + ┼ЕX ┼Б + ┼ДX = 1 .[gb

┘й ┘е

= ┼Б+ ┼ДX┼А─┐ + ┼А+ ┼ДX┼А─┐ ┼Б + ┼ДX┼А─┐ : *" $<0 = $ > /

┼Б+┼А─┐ ┼Б+ ┼ДX

─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

┼А┼Б─┐=┼АXi + ┼БXi┼Б + ┼ВXi\[' w b i :$2% F тАл ╪гтАм11 ┼ДX

╟║'f - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

┼А┼Ж + X┼А┼Ж ┼Е ┼А┼З ┼ДX

┘б+ S - ┘б┘г

┘й + S ┘й - ┘б┘б┘з ┘в : ┘б = ┘б┘вXтАл я╗етАм: ┘б┘бXтАля╗етАм

┘й=S ┘г┘е = тАл` я╗етАм

:$2% F тАл╪итАм

S┘е=

тАл я╗ня║ля╗Яя╗Ъ я╗Яя║Тя╗┤я║Оя╗е я║Ня╗Яя╗Мя╗╝я╗Чя║Оя║Х я║Ня╗Яя╗дя║ия║Шя╗ая╗Фя║ФтАм┘з тАл┬Ш я║Ня╗Ля╗В я╗Яя╗Дя╗╝я║Ся╗Ъ я╗гя║Ья║Оя╗Э я║╣тАм тАля╗Яя╗Шя║Оя╗зя╗оя╗е я║Ня╗Яя║Шя╗оя║Ня╗Уя╗┤я╗ЦтАм r 2+f 3 6Opx `┬АZ y f x h 1 f :╚Яx╚Ъ 2*yf ┼Б┼Г

┼Б┼Д

┼Д┼З = ┼ВX + ┼ГX 8 D E / ┼И ┼Б┼В ┼Б┼Г ┼БX + ┼ВX

i S

= ┘б-SXтАл я╗етАм: SXтАл┬Ш я╗ня║┐я║в я╗Яя╗Дя╗╝я║Ся╗Ъ я║Ня╗╗я║Ыя║Тя║Оя║Х я╗Яя╗Шя║Оя╗зя╗оя╗е я╗етАм

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм

┼А+ S┼Б G i :i V ┼А- SXi * ┼А+ SXi G SXi :

i ┼Б+SX i ^ / 13

─╛─Д─┐├н i i ┼А- SX * ┼А+ SX

┼АG

┘б+тАля╗етАм

= ┼А- SX ┼А-i : SXi 8 : ┼╗╟И─г┼а ╞Д┼Р╟Ф╞╜┼Э

(┼А + S) - i

(┼А + S) - i * S ┼Б+S ┼А + S┼Б + ┼БS G ┼Б(S - i) ┼А + S┼Б G i

┼АG

i * i ┼Б+SX a i i SX ┼Б + SX * i ` i ┼А - SX ┼А + SX

(┼Б + S) S G (┼А + S- S) (┼А - S - i ) ┼Б(┼А + S) G ┼Б(S- i) ┼А + S G S- i `

(┘б) тАля╗зя║╕я║О╪╖тАм

╪МтАл я╗Гя╗╝я║П( я║Ня╗Яя╗оя╗Чя╗оя╗С я╗Уя╗░ я╗гя╗Шя║кя╗гя║Ф я║Ня╗Яя╗Фя║╝я╗ЮтАм┘е) тАл┬Ш я║Ня╗Гя╗ая║Р я╗гя╗ж я╗Гя╗╝я║Ся╗ЪтАм ╪МтАл я╗ня║Ня╗Гя╗ая║Р я╗гя╗ия╗мя╗в я║Ня╗Яя╗оя╗Чя╗оя╗С я║Ся║Шя╗оя║Ня╗Уя╗┤я╗Ц я╗гя║Шя╗Мя║кя║йя║УтАм╪МтАля╗ня║Ня║зя║Шя║о я║Ыя╗╝я║Ыя║Ф я╗гя╗ия╗мя╗втАм .тАля╗ня╗ня║┐я║в я╗Яя╗мя╗в я║Гя╗е я║Ня╗Яя║Шя║оя║Чя╗┤я║Р я╗Яя╗┤я║▓ я╗Яя╗к я║Гя╗ля╗дя╗┤я║ФтАм

─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г i i ┼ДX * ┼ЖX

G ┼ЕXi * ┼ЗXi :i ^ / k_gb i hzZ ."r 12

(┘б-┘б) тАля║Чя╗д┘А┘А┘А┘Ая║О╪▒я╗│┘А┘Ая╗жтАм

k G :I├Й┬г┬й┬кdG ├дGQ├Й┬л├аNтАЩG ├╕┬лH ├╕e ├б├л┬л├л┬░├╝dG ├бH├ЙLEтАЩG ├┤├аNG :тАЩhC e.N Pf { r ┼о ┬╢o ┼о E ┼о ┬╢" ┼о ┼о C } Nsg#gb 2> kN lf O┬╣ f Wc +f U2& ─С r lzV2& 1 z * Y2F -.N 1 :wo 1 2_ b ┼Е ┼Е тАл╪птАм ┼Е ┼Е тАля║ЯтАм ┼Е ┼Е тАл╪итАм ┼Е ┼Е тАл╪гтАм ┼В a + ┼Бa ┼ВX + ┼БX ┼Вa * ┼Бa ┼ВX * ┼БX :tr 7 i i V ┼А : ┼В = ┼ГX i : ┼ДX ii ^ / 2 ┼А┼И тАл╪птАм ┼А┼Ж тАля║ЯтАм ┼И тАл╪итАм ┼Ж тАл╪гтАм ? b b r wj b r ar─Ф 4^2gb z 2 p l_gy [y2F h^ ┼о & 7cb [ 7f wV ┬╣ N─Р ┼А┼Б ]2 : 3 ┼В┼Б┼А─┐ тАл╪птАм ┼Б┼В┼А─┐ тАля║ЯтАм ┼А┼В┼Б─┐ тАл╪итАм ┼А┼Б┼В─┐ тАл╪гтАм ┼В─┐ тАл╪птАм

┼Б┼Ж тАля║ЯтАм

┼А┼Б тАл╪птАм

┼Д тАля║ЯтАм

┼А┼Д тАл╪птАм ┼ВX

┼Д┼Д

тАл╪птАм

┼А┼А тАля║ЯтАм тАля║ЯтАм

+ X┼Д─┐ gzZ 7 :tr 7 ╚Н ┼ВXS- ┼Д┼Е ┼А=S ┼Г X┼Д┼Е тАл╪итАм X┼Д┼Е тАл╪гтАм

┼Д┼Д

тАля╗етАм ┘еX

┼Е

┼Б

┼Г

тАля╗етАм ┘иX тАля╗етАм ┘зX

┘б G (┘е - тАл)я╗етАм┘д┘и(┘з - тАл)я╗етАм

┘б┘г G тАл` я╗етАм

┘а G ┘б┘г - тАля╗етАм┘б┘в - ┘втАля╗етАм

┘б┘е =

+N тИЛ ┘иX

тАля║ПтАм+C

┘б┘е ┘з * ┘и

┘б+┘ж - тАл я╗етАм┘б + ┘и - тАля╗етАм * ┘и ┘ж

┘д┘и G ┘г┘е + тАля╗етАм┘б┘в - ┘втАл` я╗етАм

тАл* я║ПтАм ┘з

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

тАля╗етАм тАля╗етАм тАля╗етАм ┘еX * ┘зX G ┘жXтАл * я╗етАм┘иX

┘бG

?┼Бai pyr 7 i l_gy z ─Т hz[b t 4

┼Б┼Д тАл╪итАм ┼Б┼Г тАл╪гтАм :tr 7 e i V ┼Д + ea┼Б┼И= ┼Д+ ea┼А┼Ж i ^ / 5 ─┐ тАл╪итАм ┼Д- тАл╪гтАм :tr 7 pj V ┼З = ┼Жa┼В-ii ^ / 6 ┼А─┐ тАл╪итАм ┼З тАл╪гтАм

┼ГX

┘бG

тАля╗етАм ┘жX

тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм = CXтАл я║ПтАм+ C

┘и тАл я╗│я╗Шя║Тя╗Ю я║Ня╗Яя╗Шя║┤я╗дя║Ф я╗Ля╗ая╗░тАм┘б┘е

тАл ╪пя╗Яя╗┤я╗Ю ╪з┘Е┘Дя╗Мя╗ая╗втАм- тАл╪зя╗Яя║╝я╗Т ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗Яя║Ъ ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗зя╗о┘ЙтАм

1-1

(1-1) ├╕jQ├Й┬кJ тАл╪зя║│я║Мя╗ая║Ф ╪зя╗╗я║зя║Шя║Тя║О╪▒тАм тАл╪гтАм

тАГтАГ тАл╪птАм

тАГтАГ тАл╪итАм

тАГтАГ тАл╪птАм

тАГтАГ тАля║ЯтАм

тАл╪гтАм

тАГтАГ тАл╪гтАм

тАГтАГ тАля║ЯтАм

тАля╗етАм

тАля╗етАм SX тАля║Ся║Оя╗Яя╗Шя║┤я╗дя║Ф я╗Ля╗ая╗░тАм

┘б ┘б+ S

┘б

┘б+ тАля╗етАм

тАля╗етАм тАля╗етАм +SX + SX

S-тАля╗етАм

┘б+ S ┘б┘ж

┘з =

+┘б

тАля╗етАм┘б┘в┘а =SтАля╗ея╗ЭтАм

S-тАля╗етАмX

┘е = ┘б-SXтАл_ я╗етАм

S-тАля╗етАм

тАля╗етАм

i X┼А┼Д + ┼ЕX┼А┼Д ┼А+S SX = gzZ - #y wV `b/ e.+ 6 h i 17 ┼А┼Д ┼А + i ┼А+SXi + SXi ┼ЕX ┼А-i + Xi i X ┼З ┼В= ┼З b- Ogb d& wV `b/ e.+ 6 h =SX┼А-i : SXi i 18 S-i X┼А-i ┼З

S ┼о i lf d^ gzZ ."r ┼Б-Sai * ┼Г─┐ = SX┼А+i ┼о ┼А-SXi = SXi i ^ / 19 S . 'z'> Z─СOb dO# w b r i 2zS gcb gzZ dZ ."r h S┼БX┼А┼Б gzZ 7& V S-iXi┼А┼Б─┐ =Sai i ^ / 20 ┼А┼Г ┼А┼Д ┼ГX + ┼ДX ┼А┼В ┼А┼Г ┼ВX + ┼ГX

gzZ - #y wV `b/ e.+ 6 h

тАля╗етАм

S - тАл я╗етАм┘б+ S

S-тАля╗етАм

┘б+ тАля╗етАм

тАля║Ня╗╖я║Ыя║Тя║Оя║ХтАм

┘б + ┘еX┘б┘е ┘б+┘г ┘дX┘б┘д тАля╗Чя╗┤я╗дя║Ф я║Ня╗Яя╗дя╗Шя║кя║Ня║нтАм = ┘в = ┘б┘г X ┘г + ┘б ┘з +┘б ┘дX┘б┘д

┘б+ SX┘б┘д тЗР ┘в SX┘б┘д

┘б+ SX┘б┘г + SX┘б┘г SX┘б┘г + ┘б-SX┘б┘г

S- ┘б┘д = ┘в + S┘в тЗР

┘д=S ` ┘б G

тАля╗етАм ┘итАля╗ЭтАм тАля╗етАм ┘зтАля╗ЭтАм

┘зтАля╗ЭтАм

┘и G тАлтАГтАГтАГя╗етАм┘б G ┘з- тАлтАГтАГ` я╗етАм┘б G

┘в=

S -┘б┘д

┘б+ S ┘б┘в = S┘г

тАл я╗етАмG тАл я╗ея╗ЭтАмa ┘и

┘з- тАля╗етАм тАля╗етАм

тАля╗етАм

┼А+i = SXi _ ┼А + SX┼А + i i 22 ┼А+S

X┼А┼В + X┼А┼В S gzZ ."r V ┼Б = ┼А+S ┼А┼В S ┼А┼В i ^ / 23 SX + ┼А-SX ?= ┼о 5 lf d^ gzZ gV =┼Б+ 5a┼В─┐ = 5a┼В─┐ i ^ / 24 ?i gzZ gV ┼Жai G ┼Зai i ^ / 25 i + e gzZ ."r V ┼Б - i + e ┼В┼З─┐ = i + e :i ^ / 26

┘г = SXтАл я╗етАм: ┘б+SXтАля╗етАм тАл я╗│я║дя╗Ю я║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Шя╗┤я╗жтАм┘г = S ┘д - тАля╗етАм

┘б+ S ┘б┘б = тАл я╗етАм╪М ┘в = S

┘в=

:w y gf d^ wV S ┼оi lf d^ gzZ ."r 15 i ┼В┼В┼Е = Sa┼З ┼о┼З┼Г─┐ =┼Гai тАл╪итАм ┼И─┐ = ┼БaS+ ┼о┼Б =┼Бai тАл╪гтАм i ┼Е = S- i ┼о ┼А─┐ =SXi тАл╪птАм ┼И┼И─┐ = ┼Вa S+ ┼о ┼Б┼А =┼БXi тАля║ЯтАм .S ┼оi lf d_b y-.Ob gz[b ."r ┼В : ┼Г =┼А-SXi : ┼Б-SXi ┼о ┼В : ┼Б = ┼А-SXi : SXii ^ / 16

┘б- = S ┘ж - тАля╗етАм

┘в┘и ┘й

┼А┼Д : ┼Д : ┼А = ┼А+SXi : SXi : ┼А-SXi i ^ / S ┼оi lf d^ gzZ ."r 21

┘б+тАля╗етАм = ┘б+S

lf js_gb z ─Т - .N─Ф lf d^ -.N ."r hZ2b 1 2_ % g7b e.N A2Wyr {┼Д ┼о┼Г ┼о┼В ┼о┼Б } = M j ^ / 14 .M 2> kN .dZ─Ф wcN e Z1 ┼В lf ┬╣js_f -.Ob i ^ / тАл╪итАм .H Cb e Z1 ┼В lf ┬╣js_f -.Ob i ^ / тАл╪гтАм .2 ^─Ф wcN e Z1 ┼В lf ┬╣js_f -.Ob i ^ / тАля║ЯтАм

┘е=S

┘б+ S - тАля╗етАм

┘г=

.┼Ж

┘ж┘ж = ┘вX┘б┘в = ┘б┘аX┘б┘в ┘е=

. y-2V - .N ┼Д ┼о z"r3 - .N ┼Г lf ly-2V ly-.Nr w"r3 -.N 1 z * p l_gy [y2F h^ . y-2V - .N ┼Д ┼о z"r3 - .N ┼Г lf ly-2V ly-.N r w"r3 -.N 1 z * p l_gy [y2F h^ . ─СF ┼Г wcN tr 7 b 4 s" ┼З Py3s p l_gy [y2F h^ ?{┼Ж ┼о┼Е ┼о┼Д ┼о┼Г ┼о┼В ┼о┼Б ┼о ┼А} e Z1─Ф Nsg#f lf qkys_ l_gy e Z1 O 1 lf ┬╣js_f -┬╣ .N h^ a─С& ir. тАл╪итАм a─С&─Ц Pf тАл╪гтАм

тАля╗Чя╗┤я╗дя║Ф я║Ня╗Яя╗дя╗Шя║кя║Ня║нтАм

┘б┘е

┘жX

:tr 7 i i V ┼В- ┼Бi = ┼ГX┼Б+i i ^ / 9 ┼Г тАл╪итАм ┼Б тАл╪гтАм

┼Е тАля║ЯтАм

┼А─┐ тАл╪птАм

тАля╗етАм тАля╗етАм ┘б+SX + SX

┘б┘е + ┘жX┘б┘е

┬╣ c 6─Ф lf dZ─Ф wcN c 6 ┼Г lN z#y i E2; ─Р 6 ┼А┼В lf c 6 ┼А─┐ lN z#y i b F wcN #y 8 ? b Gb z#y i p l_gy [y2F h^ ┼оwbr─Ф 8g+b ┼Б┼З─┐ тАля║ЯтАм ┼А┼И┼Е тАл╪итАм ┼А┼Г─┐ тАл╪гтАм ┼В┼Г┼Е тАл╪птАм

:├б┬лJBтАЩG ├бтИП├Д┬░SCтАЩG ├╕Y ├ЦLCG :├Йk┬лf├ЙK

тАля╗етАм SX

┘б┘в┘а = тАл` я╗ЩтАм

тАля║Ня╗╣я║Ыя║Тя║Оя║ХтАм

`┬АZ y f - h 1 f - 2Sf 2 k

1-1

┘и- тАля╗етАм

╟║'f - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

тАл ╪зя╗Яя║Шя║Тя║О╪пя╗│я╗Ю ┘И╪зя╗Яя║Шя╗о╪зя╗Уя╗┤я╗Ц ┘Ия╗зя╗Ия║оя╗│я║Ф ╪░╪з╪к ╪зя╗Яя║дя║кя╗│я╗жтАм:тАл╪зя╗Яя╗оя║гя║к╪й ╪зя╗╖┘Ия▒ГтАм r 2+f 3 6Opx `┬АZ y f x h 1 f :╚Яx╚Ъ 2*yf

┼Б

(

┘в - тАля╗етАм┘г

: z ─Т ─Р- Ogb lf d^ d& 27 ┼Б+ i тАл╪гтАм тАля║ЯтАм ┼Ж - i┼В ┼Ж┼Б= ┼В - i i┼Б

i ) (┼Б + i ┼В + ┼Бi ) = i┼Б ┼Б тАл╪итАм

тАля╗етАм

= ┘д- тАл я╗етАм┘г ┘в+ тАл я╗етАмa

┼Б - i┼В i = ┼Г- i ┼В

S ┼оi lf d^ gzZ - #y wV `b/ e.+ 6 h

i S

┼А-i i ┼А-SX :SX i

┼И─┐ = SX┼А + i ┼И = ┼А+SX ┼Б+ i i ^ / ┼А + S ┼Б G i i ┼А+ SXi G ┼Б + SXii ^ / 29 : & 0 2 0 U ' 30

┘втАля╗ЭтАм┘в- тАля╗етАм┘г = ┘втАля╗ЭтАм┘в+ тАля╗етАм

┘в- тАля╗етАм┘г

┘д- тАля╗етАм┘г

i ┼А-SX *

i gzZ ."r z 7& O f is_ ┼ЖXi * ┼В ┼о ┼ЕXi * ┼В ┼о ┼ДXi * ┼Г i ^ / тАл╪гтАм X┼А┼Г * ┼Б i ^ / тАл╪итАм .S gzZ ."r V w6.ko P wV X┼А┼Г * ┼Е ┼о X ┼А┼Г * ┼В ┼о ┼А-S

┼Б┼Г : ┼Б┼З : ┼А┼Д = ┼А+SXi : ┼Б+SXi:SXi тАл╪итАм ┼А┼Д ┼А┼Д i i тАл╪птАм ┼Д - 1┼ВX = 1X ┼о ┼Д : ┼И = ┼А-SX :SX

┼А+ S

:w y gf d^ wV S ┼оi lf d^ gzZ ."r 31 ┼В : ┼Б : ┼А = ┼Б+SXi : ┼А+SXi:SXi тАл╪гтАм ┼А┼Г : ┼А┼Г : ┼В = ┼Г+SXi : ┼Б+SXi:SXi тАля║ЯтАм ┼Б-i * ┼И─┐ = ai ┼о = ┼В─┐ ┼В─┐ тАля╗лтАм ┼Дa ┼Ж ┼А─┐+SX :1X

pkf d^ d? w b gz[ 7gb PG[b -.N ."r ┼о .& r f [ 6 wcN 7zbr ┼о.& r ts 7f wV E [j ┼Г ky.b ?lz G[j lz ?= +: 7g* lz lf = +: ─С 1 z * p l_gy [y2F h^ lf k#cb is_ z' ┼о b F 2;Nr ┬╣ b F ┼Б─┐ lz lf CN p cGcb k#b + j p l_gy [y2F h^ ?lz b Fr ─СF ┼Г \y2Wb ts 'y z' ┼о-─Рr 7g*r k P7 lz lf CN O 6 lf \y2V lys_ p l_gy [y2F h^ ?H[V -─Рr ─С {cN @+: d*.y─Р z' ?+: ┼А┼Б lz lf = +: ┼В lf is_ gpkf d^ lz k#b + j p l_gy [y2F h^ ┬╣ ? Zsb / wV lz k#cb wV :qN─СB -.N PcCgb 5r 1 ┼В dz>s lf # kb c gb -.N ."r ┼Е тАля║ЯтАм ┼Д тАл╪итАм ┼Г тАл╪гтАм

┘в+ тАля╗етАм тАля╗етАм

┘в = тАлтАГтАГ` я╗етАм┘д = тАля╗етАм┘в `тАГтАГ┘в-тАл я╗етАм┘г = ┘в + тАл` я╗етАм ┘б G

┘б-S - тАля╗етАм ┘в+ S

┘в+ ┘б G ┘б+

┘г +S┘вGтАля╗етАм

тАля╗етАм тАля╗етАм SX SX

┘в + S G ┘б- S - тАля╗етАм

тАля╗етАм тАля╗етАм тАля╗етАм ┘жX ┘ж = ┘зX ┘г + ┘еX ┘д тАл╪гтАм

33 34

┘ж=

тАля╗етАм ┘зX тАля╗етАм ┘жX

тАля╗етАм ┘еX тАл* я╗етАм┘д ┘жX

┘г+

тАля╗етАм ┘ж = ┘ж ┘з- * ┘г + ┘в┘дтАля╗етАм

┘е-

:qN─СB -.N PcCgb 1 GZ─Ф -.N ."r 38 ┼А┼Б тАля║ЯтАм ┼З тАл╪итАм ┼Е тАл╪гтАм : 7j ┼В ┼о a "1 ┼И lz lf = +: ┼Г lf k#b lys_ - 2y┬╜ 39 . k#cb m0o lys_ b Wc +gb Y2Gb -.N ."r тАл╪гтАм ?H[V .& r 2f wcN ts ' k#b h^ тАл╪итАм ?dZ─Ф wcN .& r 2f wcN ts ' k#b h^ тАля║ЯтАм

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

тАл╪гтАм

тАля╗етАм ┘в = ┘ж┘з- + ┘итАля╗етАм ┘е-

┘з┘а-тАл я╗етАм┘б┘д = ┘г┘а + тАл я╗етАм┘б┘б - ┘втАл я╗етАм+ ┘е┘ж ┘а = (┘б┘г - тАл( )я╗етАм┘б┘в - тАл)я╗етАм ┘а = ┘б┘е┘ж + тАля╗етАм┘в┘е - ┘втАля╗етАм ┘б┘г = тАл я║Гя╗н я╗етАм┘б┘в = тАля╗етАм

┘в ┘б┘д ┘б┘д ┘б-SX ┘ж * ┘б+ SX ┘б┘д * ┘в = (SX * ┘г) ┘б┘д ┘б┘д ┘б┘д ┘б┘д ┘б- SX * ┘б+ SX * ┘б┘в =SX * SX * ┘й

тАл╪итАм

┘б+ SX ┘б┘д * ┘д = SX ┘б┘д * ┘г ┘б- SX ┘б┘д SX ┘б┘д S -┘б┘д ┘б+S -┘б┘д *┘д= *┘г ┘б+S S S -┘б┘д S -┘б┘е *┘д= *┘г ┘б+S S

┘д┘е + S ┘д┘в + ┘вS ┘г- = ┘вS ┘д - S ┘е┘ж ┘а = ┘д┘е + S ┘б┘д - ┘вS ┘й=

╪М

┘е=S

= тАля╗Ля║кя║й я║Ня╗Яя╗Шя╗Дя╗К я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗дя║Ф я║Ня╗Яя║Шя╗░ я║Чя║╝я╗Ю я╗Ыя╗Ю я╗гя╗ия╗мя║О я╗гя╗ж я╗зя╗Шя╗Дя║Шя╗┤я╗жтАм тАл я╗Чя╗Дя╗КтАм┘ж = ┘дX ┘й * ┘гX ┘е

┘в┘а

тАля║ЯтАм

тАГтАГ┘б┘а

┘вX ┘д

= тАля╗Ля║кя║й я║Ня╗Яя╗Дя║оя╗ХтАм

тАл тАГтАГ ╪итАм┘д тАл╪гтАм

35 37

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫‪ŐĿōŗí óĊăŎĿí‬‬

‫‪¢SCÉH øjóëdG äGP ájô¶f‬‬ ‫‪ÖLƒe í«ë°U‬‬

‫‪ÖLƒe í«ë°U ¢S‬‬ ‫‪x oCÉH øjóëdG äGP ájô¶f‬‬

‫‪2-1‬‬

‫‪Binomial theorem in integer positive power‬‬

‫ﻓﻜﺮ ‪ō‬‬

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫‪łŀĬø÷ ıŎē‬‬

‫) ‪: H‬‬ ‫) ‪C + 5 = ŀ( C + 5‬‬ ‫) ‪C + C 5Ł + Ł5 = Ł (C + 5‬‬

‫ ‪9 4% :/; F 2‬‬ ‫" ‪ + <6 3!45‬‬

‫‪Binomail Theorem in integer positive power‬‬

‫ ‪C + ? 3!45@ * 0!A‬‬

‫ =‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ǽ = : -‬‬

‫ @‪: I /!2‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫) ‪C + C 5ł + C Ł5ł + ł5 = (C + 5‬‬ ‫‪Ń‬‬

‫‪+N‬‬

‫ ‪B+SC # D/ * 0!A‬‬

‫‪ł‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪ł‬‬

‫) ‪: C + C 5Ń + C Ł5Ņ + C ł5Ń + Ń5 = (C + 5‬‬ ‫½ ‪?5Ĕ gzZr -r.'b -.N lz ZđOb f‬‬ ‫½ ‪?]s_Wgb -r.& lf .& d^ wV Ů C ly2zS gb tsZ lz ZđOb / f‬‬ ‫½ ‪?]s_Wgb -r.& d^ wV -r.'b đf Of lN L&đ / f‬‬ ‫½ ‪? đf Ogb lN 2z O cb a _6 c f e .+ 6 l_gy do‬‬ ‫½ & ‪i( + C ) ]s_Wf - #y .N Z ! k 6 ar‬‬ ‫‪Pascal triangle‬‬ ‫‪∫Éμ°SÉH å∏ãe‬‬ ‫‪J ! 0 K 9 L 92@ M7 2) M NC!O2 &> :Řğ ƩũĪ‬‬

‫ ‪/@ ( E <2‬‬

‫ ‪= + ? 3!45‬‬

‫ ‪ + " F%"8 + * " * )0‬‬ ‫ ‪ M%"8‬‬

‫‪ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ‬‬ ‫ ‪3!45‬‬

‫) ‪ŀ( + C‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫) ‪Ł( + C‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫ ‪ - 6‬‬ ‫ ‪# +‬‬

‫‪The general term‬‬

‫ ‪F%"8 +‬‬

‫‪The middle term‬‬

‫اﻟﻤﻮاد اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‪:‬‬

‫ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺃﻗﻼﻡ‬

‫) ‪ł( + C‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫) ‪Ń( + C‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬

‫‪Ń‬‬ ‫‪ń‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪ł‬‬

‫‪ł‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪ŀĿ‬‬

‫‪ôŃĊĈøĔńĿí õíōĉŗí‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ń‬‬

‫‪ŀĿ‬‬

‫ﻣﻔﻜﻮﻙ ‪ -‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ‪ -‬ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳﻜﺎﻝ ‪ -‬ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ -‬ﺍﻟﺤﺪ‬ ‫ﺍﻷﻭﺳﻂ ‪ -‬ﺭﺗﺒﻪ‬

‫‪Binomial‬‬

‫ >& ‪NC!O2 P‬‬

‫‪Ł‬‬

‫ﻣﻔﺮدات أﺳﺎﺳﻴﺔ‪:‬‬

‫‪The expansion‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫) ‪ń( + C‬‬

‫‪2-1‬‬

‫ ‪* / * % - * .‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪ń‬‬

‫‪Scientific calculator‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫ ‪* !%0 1 2‬‬

‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‪:‬‬

‫‪Graphical programs‬‬

‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ ‪ -‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪-‬‬ ‫ﺍﻻﻛﺘﺸﺎﻑ‪.‬‬

‫½ ‪:wb b d_;b wV g^ \zV s b e .+ 6 a _6 c f ^ l_gy‬‬

‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪13‬‬

‫ﻣﻜﺎن اﻟﺘﺪرﻳﺲ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ‬ ‫ﺧﻠﻔﻴﺔ‪:‬‬

‫ﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫ُﻳﻌﺪ ﺍﺳﺤﺎﻕ ﻧﻴﻮﺗﻦ ﻣﻦ ﺃﺑﺮﺯ ﺍﻟﻌﻠﻤﺎﺀ ﻣﺴﺎﻫﻤﺔ ﻓﻰ ﺗﻄﻮﺭ ﻋﻠﻢ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻞ‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﻜﺎﻣﻞ‪ ،‬ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ ﺍﻟﻰ ﻣﺴﺎﻫﻤﺘﻪ ﻓﻰ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻤﺘﺴﻠﺴﻼﺕ ﻭﺗﻌﺎﻭﻧﻪ‬ ‫ﻣﻊ ﺑﻠﻴﺰ ﺑﺎﺳﻜﺎﻝ ﻓﻰ ﺗﻄﻮﺭ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪ .‬ﻭﻫﺬﺍ ﻣﺎ ﺳﻮﻑ‬ ‫ﻧﺘﻄﺮﻕ ﻟﺪﺭﺍﺳﺘﻪ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﻭﻫﻤﺎ ﻣﻮﺿﻮﻋﺎﻥ ﺃﺳﺎﺳﻴﺎﻥ ﻓﻰ ﻋﻠﻢ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳﻜﺎﻝ‪.‬‬‫‪ -‬ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬

‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺹ‪ ١٤‬ﺍﻟﻰ ﺹ‪٢٤‬‬

‫ﻣﺨﺮﺟﺎت اﻟﺪرس‪:‬‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳﻜﺎﻝ‪.‬‬ ‫ ﻳﻮﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺫ￯ ﺣﺪﻳﻦ ﻣﺮﻓﻮﻉ ﻟﻘﻮﺓ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﻥ‬

‫ ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻔﻜﻮﻙ )ﺱ ‪(C +‬‬

‫ﺣﻴﺚ ﻥ ∋‪+N‬‬

‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﺤﺪ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﺡ‪١+S‬‬ ‫ﻥ‬

‫ ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮﻙ )ﺱ ‪(C+‬‬ ‫ ﻳﺤﺴﺐ ﺭﺗﺒﻪ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﺳﻂ ﻭﺍﻟﺤﺪﺍﻥ ﺍﻷﻭﺳﻄﺎﻥ ‪.‬‬ ‫ ﻳﻮﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﺳﻂ ﻭﺍﻟﺤﺪﺍﻥ ﺍﻷﻭﺳﻄﺎﻥ‪.‬‬

‫ ﻭ ﻳﺤﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬

‫اﻟﺘﻬﻴﺌﺔ‪:‬‬ ‫ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺨﻠﻔﻴﺔ ﺍﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﻤﺪﻭﻧﻪ ﻓﻰ ﺑﺪﺍﻳﺔ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻤﻌﻠﻢ ﻋﻦ‬ ‫ﺍﻟﻌﺎﻟﻴﻦ ﺍﺳﺤﺎﻕ ﻧﻴﻮﺗﻦ ﻭﺑﻠﻴﺰ ﺑﺎﺳﻜﺎﻝ‪.‬‬ ‫ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﺒﺤﺚ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﻌﻨﻜﺒﻮﺗﻴﺔ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺰﻳﺪ‬ ‫ﻣﻦ ﺃﻋﻤﺎﻝ ﻫﺬﻳﻦ ﺍﻟﻌﺎﻟﻤﻴﻦ‪.‬‬ ‫اﺟﺮاءات اﻟﺪرس‪:‬‬ ‫ﺑﻨﺪ ﻓﻜﺮ وﻧﺎﻗﺶ‪:‬‬

‫ ﺃﻋﻂ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺑﺎﻳﺠﺎﺩ ﻣﻔﻜﻮﻙ ) ‪ + C‬ﺏ(ﻥ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻥ =‬ ‫‪٤ ،٣ ،١،٢‬‬ ‫ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻋﺪﺍﺩ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﻓﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺗﻌﻠﻢ ﺗﻌﺎﻭﻧﻰ ﺑﻴﻦ ﺃﻋﻀﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺎﺕ ﺑﻌﺪ ﺗﻘﺴﻴﻤﻬﻢ )‪(٨-٦‬‬ ‫ ﺃﻋﻂ ﺍﻟﻔﺮﺻﺔ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻓﻰ ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ‪.‬‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪11‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‪ :‬اﻟﺘﺒﺎدﻳﻞ واﻟﺘﻮاﻓﻴﻖ وﻧﻈﺮﻳﺔ ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ‬ ‫ ﺩﻭﻥ ﺍﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﺳﺆﺍﻝ‪.‬‬

‫ ‪r 2+f 3 6Opx ` Z y f x h 1 f :ȟxȚ 2*yf‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﺍﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻟﻜﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‪.‬‬ ‫ ‬

‫‪ŀ( + C ) ]s_Wf đf Of‬‬ ‫‪Ł( + C ) ]s_Wf đf Of‬‬

‫ﺗﻮﺻﻞ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻣﻔﻜﻮﻙ ) ‪ + C‬ﺏ(ﻥ‬

‫‪ł( + C ) ]s_Wf đf Of‬‬ ‫‪Ń( + C ) ]s_Wf đf Of‬‬

‫ ﺍﻋﺮﺽ ﻋﻠﻴﻬﻢ ﻧﻤﻮﺫﺝ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳﻜﺎﻝ‪.‬‬

‫‪ń( + C ) ]s_Wf đf Of‬‬

‫ ﻗﺎﺭﻥ ﺍﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ ﺑﺎﻟﻨﻤﻮﺫﺝ‪.‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪ŀX ĿX‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŁX ŀX ĿX‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ł X Ł X ŀX ĿX‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ń X łX Ł X ŀX Ŀ X‬‬ ‫‪ń‬‬ ‫‪ń‬‬ ‫‪ń‬‬ ‫‪ń‬‬ ‫‪ń‬‬ ‫‪ń‬‬ ‫‪ń X Ń X ł X Ł X ŀX Ŀ X‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫ ‪ŁX ŮŀX ŮĿX d g ŀ ŮŁ Ůŀ i L&đj a _6 c f lf b b X?b K&đg‬‬ ‫‪lf pkys_ l_gy w b z 4#b Nsg#gb d g ŁXŁ ŮŀXŁ ŮĿXŁ i r z 2 b wcN‬‬ ‫‪ŁŁ = Ń = XŁ + XŁ + XŁƅƅ z& ly2?kN wcN ts ' Nsg#f‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ŀ‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺧﻮﺍﺹ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳﻜﺎﻝ‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪3‬‬

‫ ‪{N Ů M }Ů{N} Ů {M} Ů z z 4#b p Nsg#f {= Ů 5 } Nsg#gb‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3 3‬‬

‫ ‪: *" Q92 0‬‬ ‫‪d?'j w b z 4#b Nsg#gb -.N d g łXł Ů ŁXł Ů ŀXł ŮĿXł‬‬ ‫‪3 6 6 3 łŁ = Ň Nsg#gb m0o -.Nr 2> kN ł wcN ts ' Nsg#f lf pzcN‬‬ ‫ ‪łŁ = Xł + Xł + Xł + Xł t‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ŀ‬‬ ‫‪as?'b l_gy w b z 4#b Nsg#gb -.N i V i o2> kN -.N Nsg#f ky.b i ^ / esgOb q"r wcNr‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪iŁ = pkf pzcN‬‬ ‫ ‪Ł=iXi + ........ + ŁXi + ŀXi + ĿXi R‬‬

‫ﻧﺸﺎط‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﻃﻼﺑﻚ ﻧﺴﺦ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳﻜﺎﻝ ﻋﻠﻰ ﻭﺭﻗﺔ‪ .‬ﻭﺍﻃﻠﺐ ﻣﻨﻬﻢ‬ ‫ﺭﺳﻢ ﺃﻗﻄﺎﺭ ﺗﻔﺼﻞ ﺑﻴﻦ ﻛﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﺔ‪.‬‬

‫‪:ȈǭƽƗ ƄŐʗƯŝ‬‬

‫‪.\zV s 1s> wcN Ņ( + C ) đf Of ."r 3‬‬

‫ﺍﻟﺘﻮﺻﻞ ﺇﻟﻴﻪ‪.‬‬ ‫ﺳﻴﺘﻢ ﻮ‬ ‫ ﻣﺪ ﺍﻷﻗﻄﺎﺭ ﻭﻻﺣﻆ ﻣﺎ ﻢ‬

‫ ‪/@ ( SE NC!O‬‬ ‫ ‪:is_y +N ǽ i Ů I ǽ5 Ů C i ^ /‬‬ ‫ ‪= i(C + 5 ) -‬‬ ‫ ‪= i(C Ɔ- 5 ) -‬‬

‫‪١‬‬

‫‪١ ٢ ١‬‬ ‫‪١ ٣ ٣ ١‬‬ ‫‪١ ٤ ٦ ٤ ١‬‬ ‫‪١ ٥ ١٠ ١٠ ٥ ١‬‬ ‫‪٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠‬‬ ‫ ﺍﺗﺮﻙ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻓﺮﺻﺔ ﻟﻠﺘﻔﻜﻴﺮ ﻓﻰ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻛﺘﺸﺎﻑ ﺍﻟﻨﻤﻂ‬ ‫ﻭﺍﺳﺘﻜﻤﺎﻟﻪ‪.‬‬ ‫ ﺍﻛﺘﺸﻒ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﻛﻴﻒ‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳﻜﺎﻝ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ‬ ‫ﺑﺸﻜﻞ ﺹ‪.١٥‬‬ ‫ﺗﻌﺒﻴﺮ ﺷﻔﻬﻰ‪:‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ‪ -‬ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻔﻘﺮﺗﻴﻦ ) ﺃ (‪) ،‬ﺏ( ﻟﺘﻮﺿﻴﺢ ﻛﻴﻒ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﻛﺘﺎﺑﺔ )‪ + C‬ﺏ(‪ ٦‬ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺗﻮﺍﻓﻴﻖ‪.‬‬

‫‪.\zV s 1s> wcN ń ( - C ) đf Of ."r 4‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫‪+ C Ł-i5 ŁXi + Cŀ-i 5 ŀXi + i5‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪-Ɔ C Ł-i5 ŁXi + Cŀ-i 5 ŀXiƆ - i5‬‬

‫‪C + ...‬‬

‫‪...‬‬

‫‪i‬‬

‫‪(iC -) +‬‬

‫)‪i( + 5‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ >‪/@ ( SE NC!O & TP‬‬

‫ (‬ ‫ (‬ ‫ (‬ ‫ (‬

‫&‪.‬‬ ‫‪É ŀ + i ]s_Wgb -r.& -.N‬‬ ‫ ‪. yÊ .N ? C tsZ 7& 2fr zÊ b3 k 5 tsZ 7& 2f ]s_Wgb‬‬ ‫‪.i tr 7y .& t wV C tsZr 5 tsZ Msg#f‬‬ ‫>'‪. .'b `b/ 1 lN 'z‬‬ ‫‪ .& r‬‬ ‫‪d[y ]s_Wgb -r.& lf .& t wV X dzb‬‬‫‪¹‬‬ ‫‪¹‬‬

‫‪14‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫أﺧﻄﺎء ﺷﺎﺋﻌﻪ‪:‬‬

‫ﻗﺪ ﻳﺨﻄﺊ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻭﻳﻘﻮﻣﻮﺍ ﺑﺠﻤﻊ ﺣﺪﻭ ًﺩﺍ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺔ ﻣﺜﻞ‪:‬‬ ‫‪٢‬ﺱ‪٢‬ﺹ‪٢ ،‬ﺹ‪٢‬ﺱ ﻭﺍﻟﻌﻼﺝ ﻳﻜﻮﻥ ﺑﺎﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﺘﺤﺪﻳﺪ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﺔ ً‬ ‫ﺃﻭﻻ ﻗﺒﻞ ﺍﺟﺮﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﺠﻤﻊ‪ .‬ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻭﺿﻊ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﺔ ﺃﺳﻔﻞ ﺑﻌﻀﻬﺎ ﻭﺟﻤﻊ ﻣﻌﺎﻣﻼﺗﻬﺎ‪.‬‬ ‫ ‬

‫ﻭﺿﺢ ﻛﻴﻒ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ﻻﻳﺠﺎﺩ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ) ‪ + C‬ﺏ(‪٥‬‬

‫ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺗﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﻌﺪ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻤﻔﻜﻮﻛﺎﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﺎﻣﻮﺍ ﺑﺎﺟﺮﺍﺀﻫﺎ‬ ‫ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﻋﻤﻞ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺑﺎﻟﺘﻌﻤﻴﻤﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﻼﺣﻈﺎﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺘﻀﻤﻦ‬ ‫ﻣﺎ ﻳﻠﻰ‪:‬‬ ‫ﻥ‬ ‫ﺣﺪﺍ‪.‬‬ ‫ ﻋﺪﺩ ﺣﺪﻭﺩ ﺍﻟﻤﻔﻜﻮﻙ ) ﺱ ‪ (C +‬ﻫﻮ ﻥ ‪ً ١ +‬‬ ‫ﻥ‬

‫ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﻝ ﻫﻮ ﺱﻥ ﻭﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﺧﻴﺮ ﻫﻮ ‪ C‬ﻭﻟﻜﻠﻴﻬﻤﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻞ ‪.١‬‬ ‫ ﺗﺘﻨﺎﻗﺺ ﺃﺳﺲ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺱ ﺑﻤﻘﺪﺍﺭ ‪ ١‬ﻓﻰ ﺣﻴﻦ ﺗﺘﺰﺍﻳﺪ ﺃﺳﺲ‬ ‫ﺑﻤﻘﺪﺍﺭ ‪١‬‬ ‫ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺃﺳﺲ ﻛﻞ ﺣﺪ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻥ‬

‫‪12‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪C‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ ﺑﺄس ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫‪Ǯ Ǡ r 2+f 3 6Op‬‬ ‫‪ &yk , +B 9‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ‪ :‬اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‪:‬‬

‫‪2-1‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪r 2+f 3 ayc[k b‬‬ ‫‪Ń( =ł + 5Ł ) ]s_Wf ^ 1‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬ ‫)‪Ń( =ł ) + ł(=ł ) ( 5Ł ) XŃ+ Ł(=ł ) Ł(5Ł ) XŃ + (=ł ) ł(5Ł) XŃ + Ń(5 Ł ) = Ń( =ł + 5 Ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ń= Ňŀ + ł= 5 ŁŀŅ + Ł= Ł5 ŁŀŅ + = ł5 ňŅ + Ń5 ŀŅ = ƅƅƅ‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫ب‬

‫)‪Ņ(ŀ- Ł5‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ )‪ (١‬ص‪١٦‬‬

‫‪:øjóëdG iP ∑ƒμØe øe á°UÉN ä’ÉM‬‬ ‫أ )‪... + Ł5 ŁXi + 5 ŀXi + ŀ= i(5 + ŀ‬‬ ‫ب )‪i(5-) + ... - Ł5 Xi + 5 Xi - ŀ = i(5 - ŀ‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪i5 +‬‬

‫‪٥‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫ ^ ‪ŅX + ........ +ŁX +ŀX + ĿX :1 .[gcb y-.N gzZ - #y wV `b/ e.+ 6 h Ů (5 + ŀ) ]s_Wf‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬ ‫‪Ņ 5 + ń5 X Ņ + Ń 5 X Ņ + ł5 X Ņ + Ł 5 X Ņ +‬‬ ‫‪ń‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫)‪5ŀXŅ + ŀ = Ņ(5 + ŀ‬‬ ‫ ‪lzV2Gb wV ŀ = 5 PBs‬‬ ‫)‪ŀ + ........ + łXŅ + ŁXŅ + ŀXŅ + ŀ = Ņ(ŀ + ŀ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪Ņ Ņ‬‬ ‫‪ŅX + ........ + łX + ŁX + ŀX + ĿX = Ł‬‬ ‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪2‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ )‪ (١‬ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ‬ ‫ﻟﻼﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫‪ÖLƒe í«ë°U ¢SCÉH øjóëdG iP ájô¶f‬‬

‫‪:]s_Wf ^ 1‬‬ ‫أ ) ‪ń (= + 5ł‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2-1‬‬

‫‪٤٠٥‬ﺱ‪٤‬ﺹ ‪ ٢٧٠ +‬ﺱ‪٣‬ﺹ‪٢‬‬ ‫أ )‪٣‬ﺱ ‪ +‬ﺹ( =‬ ‫‪ ٩٠ +‬ﺱ‪٢‬ﺹ‪١٥ + ٣‬ﺱ ﺹ‪ + ٤‬ﺹ‪٥‬‬ ‫ ﺗﻮﺻﻞ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﺍﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎﺕ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ‬ ‫ﻓﻬﻤﻬﻢ ﻟﻸﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻓﻰ ﺹ‪.١٦‬‬ ‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ‪ :‬اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬

‫‪Ň‬‬ ‫‪Ň‬‬ ‫‪Ň‬‬ ‫‪Ň‬‬ ‫‪Ň‬‬ ‫ ^ ‪ŇX + .... +łX - ŁX + ŀX - ŀ : gzZ - #y wV `b/ e.+ 6 h Ů (5- ŀ) ]s_Wf‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ )‪(٢‬ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ‬ ‫ﻟﻼﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬

‫‪.ly.'b / y2Kj f¹ .+ 7f Ů y2;N e Z1 đ b $ kb ¹ 2[f½ Ů ň(ŀŬĿŀ) gzZ ."r 3‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬ ‫) ‪ň( ĿŬĿŀ+ ŀ‬‬

‫)‪= ň(ŀŬĿŀ‬‬ ‫‪ŀ ) Xň + Ł ( ŀ ) Xň + ( ŀ ) X ň + ŀ = ƅ‬‬ ‫‪.. + ł( ŀĿĿ‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ŀĿĿ Ł‬‬ ‫‪ŀĿĿ ŀ‬‬ ‫‪ĿŬĿĿŀ lf dZ -r.& .. + ĿŬĿĿĿĿŇŃ + ĿŬĿĿłŅ + ĿŬĿň + ŀ = ƅ‬‬ ‫‪ŀŬĿňŃ - ŀŬĿňłŅ = ƅ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫)‪- ١‬ﺱ(‪١X٨ - ١ = ٨‬ﺱ ‪ ٢X٨ +‬ﺱ‪ ٣X٨ - ٢‬ﺱ‪ ٤X٨ + ٣‬ﺱ‪+ ٤‬‬ ‫‪ X٨‬ﺱ‪ X٨ + ٥‬ﺱ‪ X٨ + ٦‬ﺱ‪ X٨ + ٧‬ﺱ‪٨‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪. y2;N e Z1 đ 2ZĔ s#b ¹ 2[f Ůly.'b / y2Kj e .+ 6 ŀĿ(ĿŬňŇ) gzZ ."r 3‬‬ ‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪٢٤٣‬ﺱ‪+ ٥‬‬

‫‪15‬‬

‫أﺧﻄﺎء ﺷﺎﺋﻌﻪ‪:‬‬

‫ ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﻫﻮ ﺳﻬﻞ‬ ‫ﻓﻰ ﺗﻄﺒﻴﻘﻪ ﻭﻟﻜﻦ ﻫﻨﺎﻙ ﺑﻌﺾ ﺍﻷﺧﻄﺎﺀ ﻣﺜﻞ‪:‬‬

‫ﺑﻮﺿﻊ ﺱ = ‪١‬‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫)‪١٠(٠٫٩٨‬‬

‫‪3‬‬

‫= )‪٢(٫٠٢) ٢X١٠ + (٫٠٢)١X ١٠-١ = ١٠(٫٠٢ - ١‬‬ ‫‪٠٫٨١٧ -‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ‪ ٢٢- :‬ﻭ )‪٢(٢-‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ اﺿﺎﻓﻰ‪:‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ١ :‬ص ‪١٦‬‬

‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﻻﻳﺠﺎﺩ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﻛﻞ ﻣﻦ‬ ‫أ )ﺱ ‪ ٥(٢-‬ب )ﻡ ‪ +‬ﻝ(‪ ٤‬ﺟ )ﺹ ‪ +‬ﻉ(‪٩‬‬

‫ ﺍﻃﻠﺐ ﺍﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﻓﻰ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ‪ .‬ﻭﻫﻮ‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻣﺒﺎﺷﺮ‪.‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪13‬‬

тАл ╪зя╗Яя║Шя║Тя║О╪пя╗│я╗Ю ┘И╪зя╗Яя║Шя╗о╪зя╗Уя╗┤я╗Ц ┘Ия╗зя╗Ия║оя╗│я║Ф ╪░╪з╪к ╪зя╗Яя║дя║кя╗│я╗жтАм:тАл╪зя╗Яя╗оя║гя║к╪й ╪зя╗╖┘Ия▒ГтАм тАл ╪зя╗Яя║дя╗о╪з╪▒ ┘И╪зя╗Яя╗дя╗ия║Оя╗Чя║╕я║ФтАм:тАл╪зя╗Яя║Шя╗Шя╗┤я╗┤я╗втАм

r 2+f 3 6Opx `┬АZ y f x h 1 f :╚Яx╚Ъ 2*yf

тАл┬Ш я╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗гя╗К я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я║Ся╗ия║к я║гя║Оя╗ня╗Э я║Гя╗е я║Чя║дя╗Ю я╗ня║Чя╗оя║╗я╗Ю я╗гя╗Мя╗мя╗в я║Ня╗Яя╗░тАм тАля║Ня╗╗я║Яя║Оя║Ся║Оя║Х я║Ня╗Яя║╝я║дя╗┤я║дя║ФтАм

├╕j├│├лdG ├дGP тИС╞Т╬╝├Шe ├╕e ╬й├Й┬йdG ├│├лdG i= + .... + ┼Б= ┼Б-i5 Xi + = ┼А-i5 Xi + i5 = i(= + 5) ]s_Wf wV ┼Б ┼А

The general term of the expansion of binomial

┼Б= ┼Б-i5 Xi ┼Б

┼А ┼А-i 5 Xi ┼ВI╞Е╞Е┼о╞Е╞Е = ┼А ┼З= ┼З-i5 Xi ┼З

: 1s?b wcN q ^ l_gy

┼А + SI

z& i V i H S H ─┐ z&

= ┼БI UP'

= ┼ИI : C!@ Q92 0

┼А+SI e Ob .'b A2W r

S(=) S - i(5)

┼А + SI

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм

V = ( Q F

┼З(

┼Б + 5) ]s_Wf lf 4 5

┘ж(┘втАл я║▒тАм- ┘б) тАля╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗гя╗К я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я╗гя╗Фя╗Ья╗оя╗ЩтАм

┬Ш

тАл я╗Уя╗░ я║Ня╗Яя╗Дя║оя╗СтАм┘в = тАл┬Ш я╗Чя║┤я╗в я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я║Ня╗Яя╗░ я╗Уя║оя╗│я╗Шя╗┤я╗ж я╗Уя║оя╗│я╗Ц я╗│я╗Мя╗оя║╜ я╗Ля╗ж я║▒тАм тАл я╗Уя╗░ я║Ня╗Яя╗Дя║оя╗С я║Ня╗╖я╗│я║┤я║о я╗Яя╗ая║Шя║Дя╗Ыя║ктАм┘в = тАля║Ня╗╖я╗│я╗дя╗ж я╗ня║Ня╗╡я║зя║о я╗│я╗Мя╗оя║╜ я╗Ля╗ж я║▒тАм ┘з┘в┘й = тАля╗гя╗ж я║Ня╗Яя║Шя║┤я║Оя╗нтАм

─╛─Д─┐├н

┼Б - 5 ┼А┼Ж┼И┼Б = ┼Б-5 ┼Д┼Б * ┼ДX┼З = ┼Д( ┼Б ) ┼В(5) ┼ДX┼З = ┼ЕI 5

S(wj b .'b df Of) S-i( ar─Ф .'b df Of )

┘ж(┘втАл я║▒тАм- ┘б) = ┘ж(тАл я║▒тАм+ ┘б ) ┘ж(тАл я║▒тАм- ┘б)

┼А┼Ж┼И┼Б = .'b 0o df Ofr i = ┼А+ SI df Of L&─Р

─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

5 gzZ ."r ┼о ┼ЖI = ┼ВI i ^ / r ┼о zb3 k b 5 tsZ 7& ┼ЖI ┼о ┼ВI lf d^ ."r ┼о┼Ж( ┼А┼Б + ┼Б5┼Б) ]s_Wf wV 4 тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм . y pkb lf 2: Ob .'b ."r ┼о ┼А┼В(

(тАля║Чя╗дя║О╪▒я╗│я╗ж ╪зя║┐я║Оя╗Уя╗┤я║Ф )╪зя║Ыя║о╪зя║Ля╗┤я║ФтАм

┼А ┼Б - 5┼В) ]s_Wf lf 5 5┼Б ─╛─Д─┐├н

┼А┼В(┼Б5 ┼В+

┼А┼А ┼Б ) ]s_Wf wV y . b lf 2: Ob .'b so ┼А┼В( - 5┼В) ]s_Wf wV y pkb lf 2: Ob .'b 5┼Б 5┼Б ┼И ┼А┼Г5 ┼В * ┼Ж┼А┼Д = ┼И(┼Б5┼В) ┼Г( ┼А- ) X┼А┼В = I ┼А─┐ ┼Г┼Б 5┼Б ┼И

┘е

─О─З├б ─╛─Г

yr 7f q 1 is_ r ┼о┼А┼В(

┼А ┼Б - 5┼В) ]s_Wf wV y pkb lf 2: Ob .'b 1 7& l_gy qj L&─Р 5┼Б

= ┼Г(

┼А- ┼И ┼Б ) ( 5┼В)┼ГX┼А┼В = ┼ДI y . b lf ┼ДI so y pkb lf ┼А─┐I 5┼Б ─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

╟╡┼╗╞░─г╟И

(... + ┼ДI + ┼ВI + ┼АI) ┼Б = (C - 5) + (C + 5) ( ┬Ъ i

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

┘д┘д┘а ┘в┘б┘и┘з

┘е

┘б

┘е

┘б

( ┘гтАля║▒тАм┘г - ┘б) ┘етАл ( = я║▒тАм┘втАля║▒тАм┘г - тАл)я║▒тАм

┘б

┘в( ┘гтАля║▒тАм┘г ) ┘вX┘е + ( ┘гтАля║▒тАм┘г ) ┘бX┘е -┘б)] ┘етАл= я║▒тАм

тАл я╗гя╗ж я║Ня╗Яя╗ия╗мя║Оя╗│я║Ф я╗Уя╗░ я║Ня╗Яя╗дя╗Фя╗Ья╗оя╗ЩтАм┘дтАля║бтАм

┘б ┘б ┘б [ ┘е( ┘гтАля║▒тАм┘г ) - ┘д( ┘гтАля║▒тАм┘г ) ┘дX┘е + ┘г( ┘гтАля║▒тАм┘г ) ┘вX┘е -

┘б тАля║▒тАм┘г

тАл╪итАм

- тАля║▒тАм┘в )

┘б ( ┘б┘етАля║▒тАм┘в┘д┘г -

┘б┘б= ┘г(тАля║▒тАм┘в) ┘и( ) ┘гX┘б┘б тАл я╗ля╗отАм┘б┘б (тАля║▒тАм┘в + ) ┘втАля║▒тАм┘г ┘втАл я║▒тАм┘г

┘б

┘е

┘б┘втАля║▒тАм┘и┘б

┘б┘атАля║▒тАм┘в┘д┘г

┘б

┘б┘итАл( ╪╡тАм┘ж) тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

тАл я╗гя╗ж я║Ня╗Яя║Тя║кя║Ня╗│я║Ф я╗Уя╗░ я╗гя╗Фя╗Ья╗оя╗ЩтАм┘дтАл я╗ля╗о я║бтАм┘б┘б ( ┘в ┘б┘г-тАля║▒тАм

тАл╪итАм

- тАл)я║▒тАм

тАля║Гя╗ня║Яя║к я╗гя╗Фя╗Ья╗оя╗ЩтАм (тАля║▒тАм┘в + ┘б) тАл╪гтАм

:тАля╗ня╗│я╗дя╗Ья╗ж я║гя╗ая╗мя║О я║Ся╗Дя║оя╗│я╗Шя║Ф я║Гя║зя║оя╗п я╗Ыя║Оя╗Яя║Шя║Оя╗Яя╗░тАм тАл┬Ш я╗│я╗дя╗Ья╗ж я║Ня║зя║оя║Ня║Э я║▒ я╗Ля║Оя╗гя╗Ю я╗гя║╕я║Шя║оя╗Щ я╗Яя║ая╗Мя╗Ю я║Ня╗Яя╗дя╗Шя║кя║Ня║н я╗Ля╗ая╗░ я║Ня╗Яя║╝я╗оя║ня║УтАм ┘ж(тАл я║▒тАм- ┘б)

┼А - 5┼Б ) ]s_Wf lf 5 5┼В

: y pkb lf P 2b .'b ."r ┼А┼А ( ┼Б (... + ┼ЕI + ┼ГI + ┼БI) ┼Б = (C - 5) - (C + 5) ( ┬Ы

┘ж

тАля╗Ля╗ия║к я║гя╗Ю я╗│я╗дя╗Ья╗ж я║Ня║│я║Шя║ия║кя║Ня╗б я║Ня╗Яя╗дя╗Фя╗Ья╗оя╗Щ я║Ся║Оя╗Яя╗Дя║оя╗│я╗Шя║Ф я║Ня╗Яя╗Мя║Оя║йя╗│я║ФтАм

┼Д = ┼А+ ┼А─┐ - ┼А┼Г = ┼А+ ┼А─┐ - :-r.'b -.Ob

┼И┼В * ┼Ж┼А┼Д ┼Г┼Б

┼А┼Г5

┘б ( тАля║▒тАм┘г

┘б┘а ┘б┘а ┘е + ┘йтАля║▒тАм┘в┘з - ┘жтАля║▒тАм┘й + ( ┘гтАля║▒тАм┘г ) -┘б)] ┘етАл= я║▒тАм

┘е - ┘зтАля║▒тАм┘и┘б

┘б┘а + ┘дтАля║▒тАм┘в┘з -

┘б┘а ┘в ┘е ┘е тАля║▒тАм┘й + тАл я║▒тАм┘г - тАл= я║▒тАм

├╕j├│├лdG ├дGP тИС╞Т╬╝├Шe ├╕e ╬й├Й┬йdG ├│├лdG :тАл┬Ш я╗│я║ая║Р я║Ня╗Яя║Шя║Дя╗Ыя╗┤я║к я╗Ля╗ая╗░ я║Гя╗етАм тАля╗етАм

(тАл)я║ПтАмSX = ┘б+SтАл я║П(я╗етАГя║Гя╗птАГя║бтАм+ C ) тАля║Ня╗Яя║дя║к я║Ня╗Яя╗Мя║Оя╗б я╗гя╗ж я╗гя╗Фя╗Ья╗оя╗ЩтАм ╪М........ ┘г ╪М┘в ╪М┘б ╪М┘а = S тАля║гя╗┤я║ЪтАм ┘б┘зтАл( ╪╡тАм┘е) тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм ┘в ┘б ┘е

┘з

┘ж ┘б

┘з

┘етАл я║▒тАм┘б┘ж┘и = ( ┘в ) (тАля║▒тАм┘в) ┘вX = ┘гтАля║бтАм ┘з

тАл я║▒тАм┘г┘в = ( ┘в ) (тАля║▒тАм┘в) ┘жX = ┘зтАля║бтАм ┘з

тАл я║▒тАм┘г┘в * ┘г = ┘етАл я║▒тАм┘б┘ж┘и ` ┘б ┘д┬▒=тАл` я║▒тАм

┘г ┘зтАля║бтАм

┘б ┘в┘е┘ж

= ┘гтАл я║бтАмa

= ┘дтАлтАГтАГ` я║▒тАм┘а тЙа тАл я║▒тАмa

2-1

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ ﺑﺄس ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ‬ ١٨‫( ص‬٧) ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

- ١) - ٥( ‫ ﺱ‬+ ١) (٦‫ ﺡ‬+ ٤‫ ﺡ‬+ ٢‫ )ﺡ‬٢ = (٥( ‫ ) ﺱ‬+ ٣( ‫ ) ﺱ‬٣X٥ + ‫ ﺱ‬١X٥) ٢ = ٥( ‫ﺱ‬

(٢‫ ﺱ‬+ ‫ﺱ‬١٠ + ٥) ‫ﺱ‬

Ǯ Ǡ r 2+f 3 6Op &yk , +B 9

2-1

‫ﻣﺜﺎل‬

‫أ‬

Ņ(Ł- 5 ) + Ņ(Ł + 5)

ľĄĿí

(ņIł+ ńI + łI + ŀI ) Ł = Ņ(Ł- 5) + Ņ(Ł + 5 ) (ŅŃ + Ł5 ŁŃĿ + Ń5ŅĿ + Ņ5) = (ŅŁ + ŃŁ * Ł5 ŃXŅ + ŁŁ * Ń5 ŁXŅ + Ņ5) Ł = ƅƅƅƅƅ ľĄ÷ Ņã Ľōîă ń(

٢=

5 - ŀ) - ń( 5 + ŀ ) 1s> H7 wV ."r 6

.ly.'b / y2Kj f¹ .+ 7f Ů Ň(ĿŬňņ) + Ň(ŀŬĿł) y2;N e Z1 đ 2ZĔ ."r ( ‫ﻣﺜﺎل‬

٨(٠٫٩٧) + ٨(١٫٠٣)

‫ب‬

٨(٠٫٠٣-١) + ٨(٠٫٠٣+ ١) =

(٩‫ ﺡ‬+ ٧‫ ﺡ‬+ ٥‫ ﺡ‬+ ٣‫ ﺡ‬+ ١‫ )ﺡ‬٢ = ٤ (...... + (٠٫٠٣) ٤X٨ + ٢(٠٫٠٣) ٢X٨ + ١) ٢ = ٢٫٠٥١ - (..... + ٠٫٠٠٠٠٥٦٧ + ٠٫٠٢٥٢ + ١) ٢ =

.'b ."r ŀŀ(5Ł - ŀ ) ... Ł(5Ł- ŀ ) ň(5 + ł ) ŁXŀŀ+ (5Ł - ŀ) ŀĿ(5 + ł) ŀXŀŀ- ŀŀ(5 + ł) ]s_Wf lf 7 .8f +b ľĄĿí ŀŀ(5ł +

Ł ) = ŀŀ[(5Ł - ŀ) - (5 + ł)] ]s_Wf d gy 1 .[gb : is_yr Ń5 łŃŁŀŃŃĿ = Ń5 Ńł * ņŁ * łłĿ = Ń(5ł) ņ(Ł) Xŀŀ = I Ń ń ľĄ÷ Ņã Ľōîă

.'cb y-.Ob gz[b ."r Ů Ň5ŅńŅŀ + .... + ņ(5 - ŀ) Ł5 ŁńŁ + ņ(5 - ŀ) 5 ŁŃ + Ň(5 - ŀ) ]s_Wf lf 7 ŀ = 5 f.kN 5- 7b ‫ﻣﺜﺎل‬ i5 iC + ....... + ł5 C + Ł5 C + 5 ŁĿ + ŀ Ł ŀ

١٨‫( ص‬٧) ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ŀ ! ¶" z& ¶" Ůi lf d^ gzZ ."r

ľĄĿí

- ١) ٢X٨ + (‫ﺱ‬٣) ٧(‫ ﺱ‬- ١) ١X٨ + ٨(‫ ﺱ‬- ١) ٨(‫ﺱ‬٣) + ...... + ٨(‫ﺱ‬٢ + ١) = ٨(‫ﺱ‬٣) + (‫ ﺱ‬- ١)) = ٥‫ ﺱ‬١٧٩٢ = ٥(‫ﺱ‬٢) X٨ = ‫ﺡ‬ ٥ ٦ ١٧٩٢ = ‫ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ ﻟﻠﺤﺪ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‬١ = ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ‬

٢(‫ﺱ‬٣) ٦(‫ﺱ‬

...................

3 4

‫ ﻟﻪ ﻣﻄﻠﻮﺏ‬١٨ ‫ ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ﻛﻞ ﻣﺜﺎﻝ ﻣﻦ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻓﻰ ﺹ‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻭﺗﺸﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﻮﻋﻴﺎﺕ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻭﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ‬ ‫ﻭﻟﻜﻦ ﻧﻨﺒﻪ ﺇﻟﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻫﻮ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻟﻤﺎ ﺃﺧﺬ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ‬ ‫ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻋﻄﺎﺀ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻔﺮﺻﺔ ﻟﻠﺤﻞ ﺍﻟﻔﺮﺩﻯ ﻟﺤﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ‬ ‫ﺑﻌﺪ ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ‬

‫ اﻟﺠﱪ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

+ ł5 ł¶" łX + Ł5 Ł¶" ŁX + 5 ¶" ŀX + ŀ = i(5 ¶" + ŀ)

ŁĿ = ¶" `ƅƅƅ ŁĿ = ¶" i `ƅƅƅ ŁĿ = ¶" Xi ` ŀ i ƅƅƅƅƅƅƅł i Ł i ¶" łX * ł = ¶" ŁX * ŀŅ a

¶" ł X * ł = ŁXi * ŀŅ `

ŁĿ * X i * ł = X i * ŀŅ `ƅƅƅƅƅƅ Ł i ł Ł-i * ł = i `ƅƅƅƅƅƅ ŀĿ = i `ƅƅƅŁĿ * ł Ł = ŁĿ ŀĿ = ¶" `ƅƅƅƅƅƅ

١٨ ‫ﻣﻼﺣﻈﺎت ﺣﻮل اﻷﻣﺜﻠﺔ اﻟﻮاردة ﺑﺎﻟﻜﺘﺎب ص‬

= i( 5 ¶" + ŀ ) i ^ / 8 ŁC ł = ŀC ŀŅ i ^r

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

ŁĿ * 3

/ W@C 0

i łX * ł = i ŀŅ ` i ŁX

$ 2 " W@C 0

┘б┘йтАл( ╪╡тАм┘й) тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

d^ gzZ ."r ┼Б┼А─┐ 8f +b .'b i ^r ┼о┼А┼З─┐ tr 7y b b .'b df Of i ^ / ┼А─┐(5 ┬╢" + ┼А ) ]s_Wf lf 8 . "sf (z'> -.N ┬╢" z& 5 ┼о ┬╢" lf

┘втАл я║Я┘АтАм┘д┘е = ┘б┘и┘а `

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм ┼И(┼Б5 - 5 + ┼А) ]s_Wf wV ┼А─┐5 df Of ."r

┘в ! = тАл` я║Я┘АтАм

─╛─Д─┐├н ┼И SX = ┼А+S% `

e +S5 * XS * X┼И * e(┼А-) = S e ┼А+S%

S(┼Б5 - 5) *

┼И SX = ┼А+S% a

┘б ┘б┘ж

(5 - )eXS * S5 * SX┼И = ┼А+S% ` e +S5 = ┼А─┐5 ` e G S < ┼А─┐ z&┼А─┐ = e + S

┼И=S

┼З=S

┼Ж=S

┼Е=S

┼Д=S

┼А=e

┼Б=e

┼В=e

┼Г=e

┼Д=e

┘д(тАл )я║Я┘А я║▒тАмX┘б┘а = ┘етАля║бтАм ┘д

= ┘дтАл` я║▒тАм

┘дтАл я║▒тАм┘б┘ж =

┘б`

┘б ┘в !=тАл` я║▒тАм

┘б┘йтАл( ╪╡тАм┘б┘а) тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

┼Д ┼И ┼З ┼И ┼Ж ┼И ┼Е ┼И ┼Д ┼И ┼ДX * ┼ИX - ┼БX * ┼ЗX + ┼ВX * ┼ЖX - ┼ГX * ┼ЕX + ┼ДX * ┼ДX - = ┼А─┐5 df Of ┼А┼А┼Ж = ┼И - ┼Б┼Д┼Б + ┼А┼Б┼Е─┐ - ┼А┼Б┼Е─┐ + ┼А┼Б┼Е- = ┼А─┐5 df Of `

┘е ┘в

┘е┘в

(( тАл я║▒тАм+ тАл )я║▒тАм+ ┘б) = ( тАл я║▒тАм+ тАл я║▒тАм+ ┘б) тАля╗Уя╗░ я╗гя╗Фя╗Ья╗оя╗ЩтАм

─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г ┼Д┼Б

┘д = ┘втАля║Я┘АтАм

┘дтАл я║▒тАм┘дтАл я║Я┘АтАм┘в┘б┘а = ┘в┘б┘а `

┼И((┼Б5 - 5) + ┼А) ]s_Wf wV S(5- ┼А ) * S5 *

┘втАл я║Я┘АтАм┘вX┘б┘а = ┘гтАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║бтАм

┼Б

( 5 + 5 + ┼А) ]s_Wf wV 5 df Of ."r 9

(┘втАл я║▒тАм+ тАл * )я║▒тАмSX┘е = ┘б+SтАля║бтАм

S тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм i S

┼А-SX

i ┼А-i

= i тАл ╪гтАм10

(тАл я║▒тАм+ ┘б ) * SтАл я║▒тАмSX┘е =

5 gzZ ."r ┼З┼И tr 7 ┼А┼Г( ┼Б ┼А -5 ) ]s_Wf lf ┼ДI ┼о┼А┼Д( ┼А + 5) ]s_Wf lf ┼ЕI lz 7kb j ^ / тАл╪итАм 5 5 i S

┼А-S ┼А - i i ┼А+S-┼А- i ┼А - S i = * ┼А-i ┼А-S S ┼А-i S- i S

┼А ) ┼А─┐5 X┼А┼Д ┼Д 5 ┼В5 * ┼А┼Д = ┼З = ┼Д ┼И ┼Г ┼А- ┼А─┐ ( ┼Б ) 5 ┼ГX┼А┼Г 5 ┼Д(

тАля╗бтАм

─╛─Д─┐├н ┼А-i

= SX

_ SX

┼А + 5) lf I ┼Е 5 = ╞Д╞Е╞Е╞Е ┼А┼Г( ┼А + 5) lf I ┼Д ┼Б5 ┼Б =5 ` ┼З ┼В ┼В ┼Б┼Ж = 5 ` ┼А┼Д(

тАля╗б я║▒тАмXS ┘а SтАл я║▒тАмSX┘е = тАл я╗бтАм+SтАл я║▒тАмXS ┘а SX┘е = тАля╗бтАм тАля╗бтАмGSG┘в ╪М ┘в=тАля╗бтАм+S

┘б = тАлтАГтАГя╗бтАм┘а = тАлтАГтАГя╗бтАм┘б = SтАГтАГ┘в = S ` f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

┘б┘е = ┘бX┘б * ┘бX┘е + ┘аX┘в ┘а ┘вX┘е = ┘втАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║▒тАм :тАл╪зя╗Яя║дя╗ЮтАм

тАл я║▒тАмSXтАл = я╗етАм┘б+SтАл я║бтАмa

тАл` я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║бтАм тАл = я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║бтАм┘етАл я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║бтАмa ┘й тАл=я╗етАм

┘б┘в = ┘и + ┘д = тАл` я╗етАм ┘е┘е ┘в

тАл = я╗етАмSXтАл` я╗етАм

┘б ┘в

┘е┘е ┘в

=тАл` я║▒тАм

┘б┘ж┘е тАл я╗│я║┤я║Оя╗ня╗птАм┘б┘б(┘в-тАля║▒тАм- ┘втАл( я║Ня║ля║Н я╗Ыя║Оя╗е я║Ня╗Яя║дя║к я║Ня╗Яя║Шя║Оя║│я╗К я╗Уя╗░ я╗гя╗Фя╗Ья╗оя╗Щ )я║▒тАм┘б) ?тАля╗Уя║Дя╗ня║Яя║к я╗Чя╗┤я╗дя║Ф я║▒ я║Ня╗Яя║дя╗Шя╗┤я╗Шя╗┤я║ФтАм

┘б+S

┘иX

= ┘гтАл я║▒тАм┘гX┘б┘в `

тАля║Чя╗дя║О╪▒я╗│я╗ж ╪зя║Ыя║о╪зя║Ля╗┤я║ФтАм

┘е┘е ┘в = ┘дтАл я║бтАмa ┘гтАл * я║▒тАм┘б┘а*┘б┘б*┘б┘в = ` ┘б*┘в*┘г ┘б ┘г ┘и = тАл` я║▒тАм

(┘б┘б) тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

┘б- тАля╗етАм┘г - тАл(я╗етАм┘г + ┘б) = ┘б- тАля╗етАм┘г - тАля╗етАм┘д тАля╗етАм тАля╗етАм ┘б-тАля╗етАм┘г + ....... + ┘г┘г ┘гX + ┘в┘г ┘вX + тАля╗етАм┘г + ┘б = тАля╗етАм ┘г (┘г)+ ....... + ┘г * ┘гXтАл * я╗етАм┘в┘г * ┘вXтАл= я╗етАм [┘в-тАля╗етАм┘г + ...... - ┘г * ┘гXтАл я╗етАм+ ┘вXтАл ]я╗етАм┘в┘г ┘б- тАля╗етАм┘г - тАля╗етАм┘д тАл я╗Ля║Оя╗гя╗Ю я╗гя╗ж я╗Ля╗оя║Ня╗гя╗Ю я║Ня╗Яя╗дя╗Шя║кя║Ня║нтАм┘й

:тАл╪зя╗Яя║дя╗ЮтАм ┘б +┘и

тАл=я║бтАм

┘й

тАля║бтАм

┘и-┘б┘б(┘втАл )я║▒тАм┘и(┘в-тАл я║▒тАм-) X┘б┘б = ┘и ┘г(┘втАл )я║▒тАм┘и(┘в-тАл я║▒тАм-) X┘б┘б = ┘и ┘б┘б ┘б┘б ┘гX = ┘иX тАля║гя╗┤я║ЪтАм

┘ж

тАл * я║▒тАм┘б┘ж-тАл * я║▒тАм┘гX┘б┘б =

┘б┘а-тАл я║▒тАм┘б┘ж┘е = ┘б┘а-тАл* я║▒тАм

┘й*┘б┘а*┘б┘б ┘б *┘в *┘г

┘б┘ж┘е = ┘б┘а-тАл я║▒тАм┘б┘ж┘е `

┘б┘ж┘е = ┘етАл я║бтАмa

┘б = ┘б┘атАл` я║▒тАм ┘б!=тАля║▒тАм

┘б = ┘б┘а-тАля║▒тАм ┘б┘а(┘б !) = ┘б┘атАл` я║▒тАм

тАл я║Ня║ля║Н я╗Ыя║Оя╗етАм╪М тАл я║▒(я╗е я║гя║┤я║Р я╗Чя╗оя╗п я║▒ я║Ня╗Яя║Шя║╝я║Оя╗Ля║кя╗│я║ФтАм+ ┘б) тАл( я╗Уя╗░ я╗гя╗Фя╗Ья╗оя╗ЩтАм┘в) тАл я╗Уя║Дя╗ня║Яя║к я╗Чя╗┤я╗дя║Ф я╗е я║Ыя╗в я║Ня║ля║Н я╗Ыя║Оя╗етАм.┘йтАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║б я╗│я║┤я║Оя╗ня╗п я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║бтАм ┘е .тАл я╗Уя║Дя╗ня║Яя║к я╗Чя╗┤я╗дя║Ф я║▒тАм┘в┘з- тАля║Ня╗Яя║дя║к я║Ня╗Яя║оя║Ня║Ся╗К я╗Уя╗░ я╗ля║мя║Н я║Ня╗Яя╗дя╗Фя╗Ья╗оя╗Щ я╗│я║┤я║Оя╗ня╗птАм тАл ╪пя╗Яя╗┤я╗Ю ╪з┘Е┘Дя╗Мя╗ая╗втАм- тАл╪зя╗Яя║╝я╗Т ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗Яя║Ъ ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗зя╗о┘ЙтАм

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ ﺑﺄس ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫‪Ǯ Ǡ r 2+f 3 6Op‬‬ ‫‪ &yk , +B 9‬‬

‫‪2-1‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪."r ŁŀĿ tr 7y 8f +b .'b i ^r ŮŀŇĿ tr 7y b b .'b df Of i ^ / ŀĿ(5 ¶" + ŀ ) ]s_Wf wV 10‬‬ ‫‪+Nǽ ¶" z& 5 Ů ¶" lf d^ gzZ‬‬ ‫‪¿(C + ¢S) ∑ƒμØe ≈a §°ShC’G óëdG‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ŀ + i = ]s_Wgb -r.& -.N i .#j (C + 5) ]s_Wf wV‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ '‪q 1 .z&r H6r .& ]s_Wgcb ."syr Ůt-2V -.N so ]s_Wgb -r.& -.N i V Ů zÊ "r3 -¹ .N i j ^ / :‬‬ ‫‪The middle term‬‬

‫‪Ł+i‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪ go 1 i G6r i .& ]s_Wgcb ."syr Ůw"r3 -.N so ]s_Wgb -r.& -.N i V Ů yÊ -2V -¹ .N i j ^ / : %7 ) 8‬‬ ‫‪ł+i Ů ŀ+i‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪2-1‬‬

‫‪Ł‬‬

‫ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻥ = ‪ ١٠‬ﻓﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ = ‪١١‬‬ ‫`‬

‫ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻻﻭﺳﻂ ﺗﺮﺗﻴﺒﻪ‬

‫‪١٠‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ ١ +‬ﺃﻯ ﺡ‬ ‫‪٦‬‬

‫ﻭﺍﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻥ = ‪ ٦‬ﻓﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ = ‪٧‬‬

‫` ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﺳﻂ ﺗﺮﺗﻴﺒﻪ‬

‫‪٦‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١+‬‬

‫`‬

‫ﺡ‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪ŀ + 5Ł) ]s_Wf wV H6rĔ .'b ."r 11‬‬

‫‪Ł5Ł‬‬

‫ﺃﻣﺎ ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻥ ﻋﺪﺩ ﻓﺮﺩﻯ ‪:‬‬

‫( ‪ŀŁ‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫`‬

‫‪ņ = ŀ + ŀŁ‬‬ ‫‪Ł = H6rĔ .'b 1‬‬ ‫‪Ņ - 5 XŀŁ = ŀŁ - Ņ5 Ņ( ŀ ) Ņ(Ł) XŀŁ = Ņ` ŀ i Ņ(5Ł) XŀŁ = IƄƅƅ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪ņ‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫`‬

‫‪5Ł‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ŀĿ ŀ‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪5 gzZ ."r ŁŇ‬‬ ‫‪Łņ = .'b 0o gzZ j ^ / r Ů ( 5Ł + 5) ]s_Wf lf H6rĔ .'b ."r 11‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪ł + Ł5 ) ]s_Wf wV lzG6rĔ ly.'b ."r 12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ł‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﻥ ‪ ١ +‬ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﺯﻭﺟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻔﻜﻮﻙ ﻟﻪ ﺣﺪﺍﻥ ﺃﻭﺳﻄﺎﻥ ﻫﻤﺎ‬

‫ﻥ‪١+‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪،‬‬

‫ﻥ‪٣+‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻥ = ‪ ١١‬ﻭﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ = ‪١٢‬‬

‫(‪ŀń‬‬

‫` ﺍﻟﺤﺪﺍﻥ ﺍﻷﻭﺳﻄﺎﻥ ﻫﻤﺎ ﺭﺗﺒﺘﻬﻤﺎ‪:‬‬ ‫‪ ٣+٢١١ ، ١+٢١١‬ﺃﻯ ﺡ‪ ، ٦‬ﺡ‬ ‫‪٧‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪ŀ + ŀń tr 7 lzG6rĔ ly.'b 1‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ň5 ŀ * Xŀń = ņ - ŀŅ5 * ņ + Ň-ł * Xŀń = ņ` ł i Ňa 5 k Xŀń = I‬‬ ‫‪ņ‬‬ ‫‪Ň‬‬ ‫‪ł ņ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ł ņ‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ņ5 ł * Xŀń = Ň - ŀŃ5 * ņ - Ňł * Xŀń = Ň` ł i ņa 5 k Xŀń = I‬‬ ‫‪Ň‬‬ ‫‪Ň‬‬ ‫‪ň‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ł Ň‬‬ ‫‪ňI Ů ŇI t qzcy t0b r‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ ‪ :‬اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪Ł = 5 i lzyr 7 f ŀł(=Ł + 5ł) ]s_Wf lf i G6rĔ i .'b i ^ / 12‬‬ ‫= ‪ł‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ‬ ‫ﻟﻼﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪19‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ )‪(١٣‬‬ ‫‪١‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ )‪(١٢‬‬ ‫‪٢ ٢‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪ ٢X = ٣I‬ﺟـ ﺱ = ‪ ٤X١٠ = ٥I ،١٨٠‬ﺟـ‪٤‬ﺱ‪٢١٠ = ٤‬‬ ‫ﺟـ‪٤‬ﺱ‪٤‬‬ ‫‪X١٠ ٥I‬‬ ‫‪٢١٠‬‬ ‫=‬ ‫‪*٤‬‬ ‫=‬ ‫`‬ ‫ﺟـ‪٢‬ﺱ‪١٨٠ ٢‬‬ ‫‪١٠ ٣I‬‬ ‫‪٢X‬‬ ‫‪٢١٠ ٢ ٢ ١٤‬‬ ‫‪١ ٢ ٢‬‬ ‫‪ ٣‬ﺟـ ﺱ =‬ ‫` ﺟـ ﺱ = ‪٤‬‬ ‫‪١٨٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١ ٢‬‬ ‫ﻳﻮﺿﻊ ﺱ = ‪ ` ١‬ﺟـ = ‪ ` ٤‬ﺟـ = ! ‪٢‬‬

‫‪¿(C + ¢S) ∑ƒμØe ≈a §°ShC’G óëdG‬‬

‫ ﺍﺳﺘﺮﺟﻊ ﻋﻠﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺣﺪﻭﺩ ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮﻙ‬

‫ﺣﺪﺍ‪.‬‬ ‫)ﺱ ‪(C +‬ﻥ = ﻥ ‪ً ١ +‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺃﻥ )ﻥ ‪(١ +‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻟﻬﺎ ﺣﺎﻟﺘﺎﻥ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﺳﻂ ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮﻙ )ﺱ‪٢ + ٢‬ﺱ (‪ ١٠‬ﻫﻮ ﺡ‬ ‫ﺡ‪a ١ k ٥X١٠ = ٦‬‬ ‫‪٢‬ﺱ‬

‫‪ ٦٣٨ a‬ﺱ‪= ٥‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪i‬ﺱ‪= `٢‬‬

‫‪٢٨‬‬ ‫‪٢٧‬‬

‫‪٦٣‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪٦‬‬

‫ﺱ‪٥‬‬

‫`ﺱ=‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ )‪(١٤‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺪﺍﻥ ﺍﻷﻭﺳﻄﺎﻥ ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮﻙ)‪٣‬ﺱ ‪٢+‬ﺹ(‪١٣‬‬ ‫‪٢) X١٣ = I‬ﺹ(‪٣) * ٦‬ﺱ(‪٧‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٢) X١٣ = I‬ﺹ(‪٣) * ٧‬ﺱ(‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪٧X‬‬ ‫‪٨I‬‬ ‫= ‪* ١٣ ` ١‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪٧I‬‬ ‫‪٦X‬‬

‫ﺱ‬ ‫‪٢ ١ + ٧ - ١٣‬ﺹ‬ ‫= ‪` ١‬‬ ‫*‬ ‫ﺱ‬ ‫‪٣‬ﺱ‬ ‫‪٧‬‬

‫=‬

‫ﺹ ﺡ‪ ، ٧‬ﺡ‪٨‬‬

‫)‪٢‬ﺹ(‪٣) ٧‬ﺱ(‪٦‬‬ ‫)‪٢‬ﺹ(‪٣) ٦‬ﺱ(‪٧‬‬

‫=‪١‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬

‫ﺍﻷﻭﻟﻰ‪ :‬ﻥ ﻋﺪﺩ ﺯﻭﺟﻰ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‪ :‬ﻥ ﻋﺪﺩ ﻓﺮﺩﻯ‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻥ ﻋﺪﺩ ﺯﻭﺟﻰ ﻓﺈﻥ ﻥ ‪ ١ +‬ﻳﻜﻮﻥ ﻓﺮﺩ ًﻳﺎ‬ ‫`‬

‫ﺍﻟﻤﻔﻜﻮﻙ ﺑﻪ ﺣﺪ ﺃﻭﺳﻂ ﻭﺍﺣﺪ ﻭﺭﺗﺒﺘﻪ‬

‫ﻥ‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١+‬‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪17‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‪ :‬اﻟﺘﺒﺎدﻳﻞ واﻟﺘﻮاﻓﻴﻖ وﻧﻈﺮﻳﺔ ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ‬ ‫ ‪r 2+f 3 6Opx ` Z y f x h 1 f :ȟxȚ 2*yf‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ )‪(١٥‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪١٠‬‬ ‫‪١+ ٢‬‬

‫ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﺳﻂ = =‬

‫=‪٦‬‬

‫‪٥‬‬ ‫‪ ٢i ` ١ i ٥X١٠ = ٦I‬ﺱ ` ‪-i ٥X١٠ +‬‬

‫‪13‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪ ٢‬ﺱ‬ ‫= ‪` ١ i ٥X١٠‬‬ ‫‪ ٢‬ﺱ‬

‫‪٥‬‬

‫ ‪Ň(5Ł - ł) + Ň(5Ł + ł) ]s_Wf lf H6rĔ .'b ."r‬‬

‫‪ ٢) ٥` ١‬ﺱ ( ‪٥‬‬

‫‪ń = ŀ + ŇŁ = H6rĔ .'b 1‬‬ ‫‪Ń(5Ł-) Ń(ł) XŇ + Ń(5Ł) Ń(ł) XŇ‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ń‬‬

‫‪= ƅ ńIƅƅ‬‬

‫‪ ٢‬ﺱ‬

‫‪= Ń(5 Ł) Ń(ł) ŃXŇ * Ł = ƅƅƅƅ‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪ ٢i‬ﺱ ` ]‪ = [١ - ١‬ﺻﻔﺮ‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ŀ - 5 Łi + ŀĿ` ŀ + 5 Łi ]s_Wf lf H6rĔ .'b ."r 13‬‬ ‫‪5 Ł‬‬ ‫‪5 Ł‬‬

‫اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬ ‫ ‪:$(%(X $0 FY 1‬‬

‫‪:tr 7 i i V ŇŮņ go i(= + 5 ) ]s_Wf wV i G6rĔ i .'b i ^ / 1‬‬ ‫ﺟ ‪ŀŅ‬‬ ‫ب ‪ŀń‬‬ ‫أ ‪ŀŃ‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ اﺛﺮاﺋﻰ‪:‬‬

‫‪ł* Ń* ń Ł Ń* ń‬‬ ‫‪+ 5‬‬ ‫‪+ 5 ń + ŀ i ^ / 2‬‬ ‫‪ŀ* Ł* ł‬‬ ‫‪ŀ* Ł‬‬

‫)‪ (١‬ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﺍﻷﻭﺳﻄﻴﻦ ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮﻙ )‪٢‬ﺱ ‪٤ -‬ﺱ‪٩( ٢‬‬ ‫ﻫﻤﺎ ‪ ، C‬ﺏ ﺣﻴﺚ ‪ = C‬ﺏ ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ‬

‫‪5‬‬

‫ب ‪ńŁ‬‬ ‫أ ‪ņŁ‬‬ ‫‪.ŀĿ(5Ł + ŀ ) ]s_Wf lf 8f +b .'b df Of 4‬‬

‫أ‬ ‫‪5‬‬

‫‪ŀĿ ŀŅ‬‬

‫ب ‪ŀ‬‬ ‫‪ŀŅ‬‬

‫‪ńX‬‬

‫‪ŀĿ‬‬

‫‪ńX‬‬

‫ب‬

‫‪łI‬‬

‫‪ŃI‬‬

‫‪) ]s_Wf wV H6rĔ .'b i ^ / 7‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪٨ ٤‬ﺱ‪٣‬‬

‫‪ ،‬ﺏ = ﺡ‪٦‬‬

‫=‬

‫‪٩‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٤ ) ٥X‬ﺱ‪٢) ٥( ٢‬ﺱ(‬

‫=‪٩-‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪ł‬‬

‫ ‬

‫‪ŁC +‬‬

‫د ‪ Ł = C‬‬

‫‪iŇ‬‬

‫( ‪:tr 7 i i V P6 b .'b so‬‬ ‫ﺟ ‪ł‬‬

‫د ‪Ń‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪٧ ١‬‬

‫‪-) ٧X١٥ = C = ٨I‬ﺱ (‬

‫ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻻﻳﻤﻦ = ‪ ٨ + C‬ﺏ ﺱ‪٣‬‬

‫‪ = ٩I‬ﺏ‬

‫ﺱ‪٣‬‬

‫‪١‬‬

‫‪* ٤X٩ * ٨ - ٣‬‬ ‫= ‪* X٩‬‬ ‫‪٨ ٤‬ﺱ‬

‫‪١‬‬

‫‪ńI‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ )‪(١٦‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٦٤‬ﺱ‪٦‬‬

‫`‬

‫‪١‬‬ ‫‪٨‬ﺱ‪٣‬‬

‫‪( ٤X٩ - ٤X٩ ) ٣‬‬

‫‪١‬‬ ‫` ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻻﻳﻤﻦ =‬ ‫‪٨‬ﺱ‬

‫‪CŁ‬‬

‫د ‪."syĐ‬‬

‫ﺟ ‪ Ň = C‬‬

‫ﺍﻟﺤﺪﺍﻥ ﺍﻷﻭﺳﻄﺎﻥ ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮﻙ )ﺱ ‪ -‬ﺱ (‬

‫‪* ٤X٩ - ٣‬‬ ‫= ‪* X٩‬‬ ‫‪٨ ٤‬ﺱ‬

‫‪ŃX‬‬

‫د‬

‫‪ŀĿ ŀ‬‬ ‫‪ŃX ŀŅ‬‬

‫‪:i V lzyr 7 f‬‬

‫‪١٥ ١‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪ ٦٤ ٤‬ﺱ‪٦‬‬

‫‪١‬‬ ‫=‬ ‫‪٨‬ﺱ‬

‫ب ‪Ł‬‬

‫أ ‪ŀ‬‬

‫‪20‬‬

‫‪ŀ + iŁ‬‬

‫ب ‪ Ń = C‬‬

‫أ ‪ŀ = C‬‬ ‫ ‪Ł‬‬

‫‪٤‬ﺱ‬

‫ﺟ‬

‫‪ŀĿ ŀŅ‬‬

‫ﺟ‬

‫‪( Ł + C ) ]s_Wf lf i G6rĔ i .'b i ^ / 6‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ = ‪ ، ١٠‬ﺍﻟﺤﺪﺍﻥ ﺍﻷﻭﺳﻄﺎﻥ = ﺡ‪ ، ٥‬ﺡ‪٦‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٩ ١‬‬‫ﺣﻴﺚ ‪ = C‬ﺡ‪٢) ( ٢ ) ٤X٩ = ٥‬ﺱ(‬

‫ﺟ‬

‫‪ŅŁ‬‬

‫د >‪2W‬‬

‫‪:so ŀŁ5 wcN dg ;gb .'b is_y SŃ- ŁŃ5 SXŀŁso e Ob .'b i ^ / ly.'b / ]s_Wf lf‬‬ ‫أ‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬

‫‪ = ٠ = ٠ * ٣‬ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ‬

‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ‪:‬‬

‫)‪ (٢‬ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺤﺪﺍﻥ ﺍﻷﻭﺳﻄﺎﻥ ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮﻙ )‪ C‬ﺱ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﻴﻦ ﺣﻴﺚ ﻥ ∋ ﺹ‪ +‬ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺱ =‬

‫‪18‬‬

‫ﺟ ‪ŀĿ‬‬

‫د ‪ł‬‬

‫‪:tr 7y ņ( ŀ - Ł5) ]s_Wf -r.& đf Of Msg#f 3‬‬

‫‪ ٨ + C‬ﺏ ﺱ‪ = ٣‬ﺻﻔﺮ‬

‫‪٩‬‬

‫د ‪ńŅ‬‬

‫‪:tr 7 5 i V (ŀĿŁŃ) = ń5 + ........... + ł5‬‬

‫ب ‪Ł‬‬

‫أ ‪ŀ‬‬

‫‪١‬‬

‫=‬

‫`‪ŀĿ‬‬

‫ﺗﻤــــﺎرﻳــﻦ )‪(٢ - ١‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻷﺛﺮﺍﺋﻴﺔ‬

‫`‬

‫‪Ń5 ŀŇŀŃŃĿ‬‬

‫‪+‬ﺏ(‪٢‬ﻥ‪١+‬‬

‫ﺏ‬ ‫‪C‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫= ‪-) ٨X١٥‬‬

‫ﻫﻤﺎ ‪٩I ، ٨I‬‬

‫ﺱ‪٨‬‬

‫‪ ٨( ١‬ﺱ‪٧‬‬

‫ﺱ‬

‫` ‪ ٧X١٥‬ﺱ ‪ +‬ﺱ‪١ * ٨X١٥ * ٢‬ﺱ =‬ ‫‪ + C‬ﺏ ﺱ‪ = ٢‬ﺻﻔﺮ‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪ ٧X -‬ﺱ ‪ ٨X +‬ﺱ = ﺻﻔﺮ ﻷﻥ ‪٧X = ٨X‬‬

тАля╗зя╗Ия║оя╗│я║Ф ╪░╪з╪к ╪зя╗Яя║дя║кя╗│я╗ж я║Ся║Д╪│ я║╗я║дя╗┤я║в я╗гя╗оя║Яя║РтАм

2-1 тАл я╗гя╗ж я║Ня╗Яя║Тя║кя║Ня╗│я║Ф я╗Уя╗░тАм┘д

╟о ╟а r 2+f 3 6Op &yk ,┬А+B 9

2-1

┘б тАл я╗ля╗о я║бтАм┘й(

тАля║▒тАм

- тАл )я║▒тАм┘дтАля╗гя╗ж я║Ня╗Яя╗ия╗мя║Оя╗│я║Ф я╗Уя╗░ я║▒тАм

┘дтАля║бтАм

┼Е

┘й(тАля║▒тАм+ ┘б

┘д тАл я║▒тАм-) тАля╗гя╗Фя╗Ья╗оя╗Щ я║▒тАм

┼ЕX

тАл╪птАм

┼И

┼Д

┼ДX

тАл╪птАм

┼З(─┐┼м┼И┼З) - ┼З(┼А┼м─┐┼Б)

: lf d^ gzZ lzy.'b / y2Kj f┬╣ .+ 7f Xb lf hZ1 2Z─Ф ."r 11 тАля║ЯтАм ┼Ж(─┐┼м┼И┼И┼З) тАл╪итАм ┼Д(┼А┼м─┐─┐┼В) тАл╪гтАм

┘б┘ж┘б┘е

┘б┘е= ┘втАля║▒тАм ┘д

┘б┘бтАля║▒тАм

┘д ┘б

(тАл* )я║▒тАм

┘б┘б(тАл )я║▒тАм┘г

┘з=

┘в

- тАля╗гя╗ж )я║▒тАм

(

┘и ┘вX =

┼Д(

┘дI

┘дтАля║▒тАм

┘г┘е ┘и

┼Г(

┼Б 5 ┼Б -┼А ) + ┼Г( ┼Б + ┼А) тАля║ЯтАм

.i gzZ ."r 2: Ob .'b df Of tr 7y 5- 7b .'b df Of i ^ / i(5 + ┼А ) ]s_Wf lf 16

┘б┘е ┘дX

┼А─┐ ┼А = C ┼Б i ┼Е┼В ┼З = ┼ЕI df Of i ^ / zb3 k b 5 tsZ 7& ( + 5 C ) ]s_Wf lf 17

= `

.H6r─Ф .'b gzZ ."r ┼А┼Б( ┼А + ┼Б5┼Б) ]s_Wf lf 18 5┼Б

┘б) X┘б┘д ┘втАл я║▒тАм┘г ┘б┘и ┘б┘е ! = тАл` = я║▒тАм

┼Б5 .lzG6r─Ф ly.'b ."r ┼А┼А( ┼Б ) ]s_Wf lf 19

┼Б

. y pkb lf P 2b .'b ."r ┼о zb3 k b 5 tsZ 7& ┼И( ┼А - 5 ) ┼Г5 ]s_Wf lf 20 5

┼А─┐ ┼А + ┼Б5) ]s_Wf lf H6r─Ф .'b i ^ / 21 .5 gzZ ."r V ┼Б┼З ┼Б┼Ж tr 7y (

5┼Б

5┼Б 7kcb y-.Ob gz[b ."r h ┼о ┼А─┐( ┼В + ) ]s_Wf lf 8f +b .'b r H6r─Ф .'b lz 7kb ."r 22 5┼Б ┼В ┼В = 5 f.kN ┼А 5 tr 7 ┼А┼Г( ┼А - 5) ]s_Wf lf P 2b .'b r ┼А┼Д( + ) ]s_Wf lf 8f +b .'b lz 7kb j ^ / 23 5 ┼Б5 5 gzZ ."r ┼А┼Д : ┼А┼Е-

┘в┘и = ┘вXтАля╗етАм

- тАля║Ня╗Яя║дя║к я║Ня╗╖я╗ня║│я╗В )я║▒тАм

= ┘д(тАл )я║▒тАм┘д(

: lf ─С^ ├К ]s_Wf 1s> wcN ^ 14 ┼Г( 5 + ┼Б ) тАл╪гтАм

┼А -5) тАл╪итАм 5

┼В ) - ┼Д(┼Б + ┼В ) тАл╪птАм

┼Д(┼Б -

┘б ┘и ┘етАл ( я╗ля╗о я║бтАм┘в

┼Г┼З─┐ = ┼Е( ┼В - ┼А ) - ┼Е( ┼В + ┼А ) \[' w b 5 gzZ ."r 12

5 ┼оi :lf d^ gzZ ."r ┼А┼А┼Б─┐ = ┼ДI ┼о ┼Б5┼Б┼З = ┼ВI i ^ / y.N ? b 5 tsZ 7& i(5 + ┼А) ]s_Wf lf 15

( ┘б┘в -) ┘вXтАл = я╗етАм┘гтАл я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║бтАм┘в-тАл я║▒ я╗етАм┘в( ┘б┘в -) ┘вXтАл = я╗етАм┘гтАля║бтАм ┘и= тАл` я╗етАм

5┼В

:i ┼А─┐5 +......... + ┼Б5 ┼БX┼А─┐ + 5 ┼АX┼А─┐ + ┼А = ┼А─┐(5 + ┼А ) : ]s_Wgb e .+ 6 13 ┼А─┐┼Б = X┼А─┐ + ......... + X┼А─┐+ X┼А─┐+ ┼А тАл╪гтАм 2W> = ┼А─┐X┼А─┐+ ......... - ┼БX┼А─┐ +┼АX┼А─┐ - ┼А тАл╪итАм ┼А─┐ ┼Б ┼А

┘б + тАл я╗гя╗ж )я║▒тАм┘еI тАля║▒тАм

┘б ┘б┘д( ┘втАля║▒тАм

┼Д

┼Е(─┐─┐┼м┼И┼И + ┼Е(┼А┼м─┐┼А)

┼Е

: Z@ 2 [F : %7 ) 8 5 gzZ ."r ┼Б┼Д┼Е = ┼З5 + ......... + ┼Б5 ┼БX┼З + 5┼З + ┼А i ^ / 10

┘б

┘б┘е(

:so 5- 7b .'b df Of is_y ┼И(5 + ┼А ) ]s_Wf lf 8 тАля║ЯтАм X┼И тАл╪итАм X┼И тАл╪гтАм

: 1s?b wcN is_y 1 .[gb i V b 6 -r.& ┼Е ┼о "sf -r.& ┼Ж ky.b ly.'b t/ 1 .[gb ]s_Wf lf 9 ┼А┼В( - C ) тАл╪птАм ┼А┼Б ( + C ) тАля║ЯтАм ┼А┼В ( - C ) тАл╪итАм ┼А┼Б( - C ) тАл╪гтАм

тАл я║▒тАм┘гX┘й = ┘ж( тАл я║▒тАм-) ┘гтАл я║▒тАм┘гX┘й + ┘дтАл = я║▒тАм┘дтАл` я║бтАм

┘б┘ж┘б┘е

┼И

╟║'f - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

┘б -) X┘и = ┘етАля║бтАм ┘в ┘д

: тАл╪зя╗Яя║Шя╗Шя╗оя╗│я╗втАм (┘в-┘б) тАл╪ея║Яя║Оя║Ся║Ф я║Ся╗Мя║╛ я║Чя╗дя║О╪▒я╗│я╗жтАм тАл ╪итАм5

тАГтАГ тАля║ЯтАм тАл╪гтАм

тАл я║▒тАм┘г

тАГтАГ тАл╪птАм

4 9

тАГтАГ тАля║ЯтАм

┘д┘и┘а =┘ж( ┘г тАл я║▒тАм┘г

тАля║▒тАм┘г

┘д┘и┘а = {┘е ┘г ┘в=тАл я║▒тАм┘г

3 8

тАГтАГ тАл╪птАм тАГтАГ тАл╪итАм

тАГтАГ тАл╪птАм

7 тАГтАГ тАл ╪птАм6

- ┘б) - ┘ж( ┘г

+ ┘б) 13

┘д┘и┘а = ┘жтАля║бтАм┘в + ┘дтАля║бтАм┘в + ┘втАля║бтАм┘в

┘ж ┘г ┘еX + ┘г

┘ж ┘гX + ┘г

┘ж ┘бX }┘в

┘д┘и┘а = { ┘й * ┘ж + ┘г * ┘в┘а + ┘ж } ┘г

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫‪∑ ¢S ≈∏Y πªà°ûªdG óëdG OÉéjEG‬‬

‫‪3-1‬‬

‫‪øjóëdG äGP ∑ƒμØe øe‬‬ ‫‪Finding the term contain xR in the‬‬ ‫‪expansion of binomail‬‬

‫‪ŐĿōŗí óĊăŎĿí‬‬

‫‪øjóëdG äGP ∑ƒμØe øe ∑ ¢S ≈∏Y πªà°ûªdG óëdG OÉéjEG‬‬

‫‪3-1‬‬

‫‪Finding the term contain xR in the expansion of‬‬ ‫‪binomial‬‬

‫‪łŀĬø÷ ıŎē‬‬ ‫ ‪ + IJ , # + # $ %‬‬ ‫ @‪K L + " 3? & M‬‬ ‫ ? ‬ ‫ ‪3? & M@ + IJ‬‬

‫ @‪ 3!45‬‬ ‫ ‪ ? N ! GH IJ‬‬

‫ﺧﻠﻔﻴﻪ‪:‬‬

‫ﺳﺒﻖ ﻭﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻳﺠﺎﺩ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻤﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﻭﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﺳﻂ ﻟﻬﺬﺍ‬ ‫ﻭﺍﺳﺘﻤﺮﺍﺭﺍ ﻟﺬﻟﻚ ﺳﻨﺘﻨﺎﻭﻝ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﺪ‬ ‫ﺍﻟﻤﻔﻜﻮﻙ‬ ‫ً‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ *‪ 4‬ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬

‫ ‪: i \ 7b 51.b wV kgcO‬‬ ‫‪ŀ ŀň Ł‬‬ ‫‪ŀ Ł‬‬ ‫(‪) ( 5)ŀXŁĿ - ŁĿ(Ł5) = ŁĿ‬‬ ‫)‪- 5‬‬ ‫‪5Ł‬‬ ‫‪5Ł‬‬ ‫)‪ŀĿ( ŀ- ) + ........ + ł( ŀ )ŀņ(Ł5‬‬ ‫‪5Ł‬‬ ‫‪5Ł‬‬

‫‪ŀ ŀŇ Ł‬‬ ‫‪ŁĿ Ł‬‬ ‫‪ŁĿ‬‬ ‫( ‪ŃX - (5 Ł ) ( 5)łX +‬‬

‫‪¾ j i dp7b lf do‬‬ ‫½‪r 5 lf wb +b .'b r ŁŃ5 r ŀŅ5 wcN dg ;gb .'b ."s‬‬ ‫ ‪?]s_Wgb -r.& ^ wV a 62 6Đ ir.‬‬ ‫‪ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ‬‬ ‫ ‪# -‬‬

‫ ‪E -‬‬ ‫‪? 9 F‬‬ ‫ ‪ ! GH‬‬

‫‪General term‬‬ ‫‪Free term of x‬‬ ‫‪Heightest power‬‬

‫ ‪ -‬‬

‫‪Coefficient‬‬

‫ﻣﺨﺮﺟﺎت اﻟﺘﻌﻠﻢ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﳊﺪ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﰱ ﺇﳚﺎﺩ ﺍﳊﺠﺪ ﺍﳌﺸﺘﻤﻞ ﻋﲆ ‪. 56‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﳊﺪ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﰱ ﺇﳚﺎﺩ ﺍﳊﺪ ﺍﳌﺸﺘﻤﻞ ﻋﲆ ﺍﳊﺪ ﺍﳋﺎﱃ ﻣﻦ ﺱ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﳊﺪ ﺍﳌﺸﺘﻤﻞ ﻋﲆ *‪ 4‬ﻣﻦ ﺍﳌﻔﻜﻮﻙ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺃﻛﱪ ﻗﻮﺓ ﻟـ ﺱ‪.‬‬

‫ﻓﻜﺮ ‪ō‬‬

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫‪wcN dg ;gb .'b - #yĖ 0pbr ů Z : is_ ]s_Wgb - #y ' b [y2F i .#j‬‬ ‫‪: w Ē P j ]s_Wgb lf ]5‬‬ ‫ ‪.S bĐ. .'b 0o ."sjr ŀ + SI e Ob .'b so .'b 0o i A2 Wj -‬‬

‫ ‪ s[cb y¹ r 7f Msg#gb 0o PCjr S bĐ. e Ob .'b wV 5 tsZ Msg#f ."sj -‬‬ ‫ ‪: ky.br ] scGgb s[b wcN .'b 0o s & \[' w b S ."sj pkfr Ů] scGgb‬‬ ‫أ ‪. scGgb .'b so ŀ + S is_y E ǽ S‬‬ ‫ب ‪.]s_Wgb lf scGgb s[b wcN ts 'y .& ."sy Đ E Ǿ S‬‬ ‫‪2W> = e Ob .'b lf 5 tsZ Msg#f PCj 5 lf wb +b .'b lN ' b b & wV‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪ôŃĊĈøĔńĿí õíōĉŗí‬‬ ‫ ‪* / * % - * .‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫‪5ł‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪) ]s_Wf lf 1‬‬ ‫‪5ł‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫(‪. ]s_Wgb 0o wV 5 df Of ."r ŀŀ‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬ ‫‪I‬‬

‫‪S‬‬

‫‪5ł‬‬ ‫‪) Xŀŀ= ŀ +‬‬ ‫‪Ł S‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫)‬ ‫‪5ł‬‬

‫(‪S - ŀŀ‬‬

‫ ‪S- S -ŀŀ5 SC< $) <20‬‬

‫=‬

‫(‪S‬‬

‫‪ŀ5‬‬

‫‪ŀ= S Ł - ŀŀƄƄƅƅ‬‬

‫‪ń=S‬‬

‫ ‪Ņňł = ń( Łł )Ņ( łŁ ) ńXŀŀ= ŅI df Of ƅƅ .5- 7b .'b so scGgb .'b‬‬

‫ﻣﻔﺮدات أﺳﺎﺳﻴﺔ‪:‬‬

‫‪22‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ‪ -‬ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ‪ -‬ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ -‬ﺍﻟﺤﺪ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ‪ -56‬ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﺨﺎﻟﻰ ﻣﻦ ﺱ ‪ -‬ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻤﺸﺘﻤﻞ‬ ‫اﻟﺘﻬﻴﺌﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪. 56‬‬ ‫ ﺍﺳﺘﺮﺟﻊ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺭﺳﻴﻦ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﻴﻦ ﺑﻤﺮﺍﺟﻌﺔ‬ ‫اﻟﻤﻮاد اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﻤﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻤﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺃﻗﻼﻡ ‪ -‬ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ‪ -‬ﺍﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ﻣﺘﻄﻮﺭﺓ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬

‫اﺟﺮاءات اﻟﺪرس‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ ‪ -‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪-‬‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ« ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﺳﺘﻌﺮﺍﺽ‬ ‫ﺍﻻﻛﺘﺸﺎﻑ‬ ‫ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻣﻜﺎن اﻟﺘﺪرﻳﺲ‬

‫ﻫﻞ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺃﻥ ﻧﻮﺟﺪ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻤﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﺱ‪ ١٦‬ﺃﻭ ﺍﻟﺤﺪ‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﻟﻰ ﻣﻦ ﺱ ﺑﺪﻭﻥ ﺍﺳﺘﻜﻤﺎﻝ ﺍﻟﻤﻔﻜﻮﻙ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ‪.‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺃﺳﻬﻞ ﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ‬ ‫ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫ﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻢ‬

‫ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺹ‪ ٢٤‬ﺍﻟﻰ ﺹ‪٢٩‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ(‬

‫‪20‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫)‪ (١‬ﻧﻔﺘﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻤﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﻫﻮ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫)‪ (٢‬ﻧﻮﺟﺪ ﺡ ﻓﻰ ﺃﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ ﻟﻪ‪.‬‬ ‫)‪ (٣‬ﻧﺴﺎﻭﻯ ﺃﺱ ﺱ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻓﻰ ‪ ١ + S I‬ﺑﺎﻷﺱ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ﻙ‪ .‬ﻓﻨﺤﺼﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ‪ S‬ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻤﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﺱ‪ 5‬ﻫﻮ ‪١ + S I‬‬ ‫‪SI‬‬

‫‪١+‬‬

‫إﻳﺠﺎد اﻟﺤﺪ املﺸﺘﻤﻞ ﻋﲆ س ك ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ذات اﻟﺤﺪﻳﻦ‬ ‫` ﺱ‪٢٤‬‬

‫‪3-1‬‬

‫ ' ‪r 2+f 3 ayc[k rk a 9 ȠR hl ?Ȟ 2+f 1‬‬

‫`‬

‫ﺱ‪٠‬‬

‫‪S‬‬

‫=‪٨‬‬

‫` ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﺨﺎﻟﻰ ﻣﻦ ﺱ ﻫﻮ ‪= ٤(٢)٨(١-) ٨X١٢= ٩I‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ł - 5Ł ) ]s_Wf wV Ň 5 df Of ."r 1‬‬ ‫‪5 ł‬‬

‫‪S- ٣ -‬‬

‫=‬

‫‪3-1‬‬

‫( ‪ŀŁ‬‬

‫‪٤٢ * X١٢‬‬ ‫‪٨‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ł5Ł - 5Ł) ]s_Wf lf 2‬‬

‫ب‬

‫( ‪: ."r ň‬‬

‫أ ‪ł5 df Of‬‬ ‫ب ‪5 lf wb +b .'b‬‬ ‫ﺟ ‪Ł5 wcN dg ;y .& wcN ts 'y Đ ]s_Wgb i‬‬

‫‪3‬‬

‫‪S‬‬

‫ ‪\ . $) <20‬‬ ‫أ‬

‫‪١‬‬ ‫` * )‪C‬ﺱ(‬ ‫‪j X١٠ = ١ + SI‬‬ ‫‪ S‬ﺏﺱ‬ ‫ = ‪ S-١٠C X١٠‬ﺏ‪ S-‬ﺱ‪S٢-١٠‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪` ŀ- j S - ň(5Ł) SXň = ŀ + SI‬‬ ‫‪Ł5Ł‬‬

‫ﺣﺎﻭﻝ ﻣﻊ ﻧﻔﺴﻚ‬ ‫‪S-١٠‬‬

‫‪ł5 df Of - #yĖ‬‬

‫ﻻﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﺨﺎﻟﻰ ﻧﻀﻊ ‪ = S٢ - ١٠‬ﺻﻔﺮ‬

‫‪ł5 = SŁ- S -ň5‬‬ ‫‪ł= S ł - ň‬‬ ‫ ‪ł5 wcN ts 'y b b .'b‬‬ ‫= ‪Ń- ņ5( ŀ ) ņ(Ł ) Xň = Ł( ŀ- ) ņ(5Ł ) Xň‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪łI‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ń‬‬

‫‪Ł=S‬‬

‫`‬

‫‪5Ł‬‬

‫‪łŁ * łŅ = ńŁ * ŁXň = łI df Of‬‬ ‫ب ‪ł = S ƅƅƅ2W> = Sł - ňƅƅƅ5 lf wb +b .'b - #yĖ‬‬ ‫ ‪łŁ * Xň - =ł( ŀ- ) Ņ(Ł ) Xň = I so scGgb .'b‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫ﺟ ‪Ł = S ł - ň PBs‬‬

‫` ‪Ł5 wcN dg ;y Đ ]s_Wgb 0o‬‬

‫` ‪ ٥C X١٠‬ﺏ‪ X١٠ = ٥-‬ﺏ‪٤C ٦-‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪٧I‬‬

‫‪ C ٢٥٢‬ﺏ = ‪٧ ٢١٠‬‬

‫` ‪E Ǿ ņł = S‬‬

‫`‪Sł = ņ‬‬

‫‪ = ٦I‬ﻣﻌﺎﻣﻞ‬

‫‪C٦‬ﺏ=‪٥‬‬

‫‪١‬‬‫‪` j SX٦ = ١ + SI‬‬ ‫ﺱ‬

‫‪S‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ŀ Ł‬‬ ‫‪ 2‬أ ‪- 5Ł) ]s_Wf wV 5 lf wb +b .'b ."r‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫ب ‪ŀń( Ł - 5 ) ]s_Wf wV ŀĿ-5 df Of ."r‬‬ ‫‪Ł5‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫( ‪ŮP 7b .'b df Of tr 7y 5 lf wb +b .'b i ^ / zb3 k b 5 tsZ 7& ŀĿ‬‬ ‫‪+ 5 C ) ]s_Wf lf 3‬‬ ‫ ‪5‬‬ ‫ ‪ń = C Ņ i‬‬ ‫(‪ŀŁ‬‬

‫`‬

‫‪S‬‬

‫=‪٥‬‬

‫‪S‬‬

‫)ﺱ ﻙ(‪S-٦‬‬ ‫‪ ٢‬ﻙ ‪ -‬ﻙ‪S -S‬‬

‫= ‪ (١-) SX٦‬ﺱ‬ ‫ﻻﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﺨﺎﻟﻰ ﻣﻦ ﺱ ﻧﻀﻊ‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪ŀ ń‬‬ ‫&‪» .‬‬ ‫* ‪+ 5) ]s_Wf lf 5 lf a‬‬ ‫‪ -¹ .N i i ^ / 3‬‬ ‫>'‪È ."sy Đ qj ¹ "sf 'z‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪i f.kN Đ i( Ł‬‬

‫‪ņ = i b & wV .'b 0o ."r h ņ -.Ocb XN Cf‬‬

‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪23‬‬

‫‪ ٦‬ﻙ ‪ -‬ﻙ‪S - S‬‬ ‫ﻙ )‪-٦‬ﺱ( = ‪S‬‬ ‫‪S‬‬

‫)‪ (٤‬ﻧﻌﻮﺽ ﺑﻘﻴﻤﺔ ‪ S‬ﺍﻟﺘﻰ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻤﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﺱ‪5‬‬

‫‪SI‬‬

‫‪ ١ +‬ﻟﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬

‫= ﺻﻔﺮ‬ ‫ﻙ=‬

‫‪S‬‬ ‫‪S-٦‬‬

‫∋ }‪ {٥ ،٤ ،٣‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ ٣ = S‬ﻙ = ‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺃﺻﻐﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺤﺪ ﺍﻟﺨﺎﻟﻰ ﻋﻨﺪ )ﺱ = ‪ (١-) X٦ = (٣‬ﺱ‪٦ ٣-٣-٦‬‬ ‫= ‪٢X‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ‪:‬‬

‫)‪ (١‬ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻗﻴﻤﺔ ‪ S‬ﺍﻟﺘﻰ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﻄﻮﺓ )‪ (٣‬ﻛﺴﺮﻳﺔ‬ ‫ﺃﻭ ﺳﺎﻟﺒﻪ ﻳﺒﻴﻦ ﻟﻨﺎ ﺃﻥ ﺱﻙ ﻻ ﺗﻈﻬﺮ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻔﻜﻮﻙ‪.‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﺨﺎﻟﻰ ﻣﻦ ﺱ ﻓﻨﻌﺘﺒﺮ ﺃﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻤﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﺱ ‪.‬‬ ‫ﺃﻯ ﻧﺴﺎﻭﻯ ﺃﺱ ﺱ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻓﻰ ‪ ١ + S I‬ﺑﺎﻟﺼﻔﺮ ﻟﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ‪. S‬‬ ‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ ‪ :‬اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﺍﻟﻰ‬ ‫ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪٣‬ﺱ‬

‫‪S‬‬

‫‪٢‬ﺱ‬

‫‪( ٣ ) ( ٢ -) SX١٢= ١ + S I‬‬ ‫` ﺱ‪ = S- S -١٢‬ﺱ‪٨‬‬ ‫`‬

‫‪٢ ٢‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ = ﻣﻌﺎﻣﻞ ‪٣ ) (٣-) ٢X = ٣I‬‬ ‫‪2‬‬

‫ب‬

‫‪SI‬‬

‫‪١+‬‬

‫‪١‬‬

‫‪S-١٢‬‬

‫‪S‬‬

‫=‪٢‬‬

‫(‪١٠‬‬

‫= ‪ -) SX١٢‬ﺱ (‪٢) S‬ﺱ‪(٢‬‬

‫‪S-١٢‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪21‬‬

i┼Д =S ┼Ж

┼Б5

S - i(┼Д5)

)

2W> 5

2W> ┼Б = S ┼Ж - i ┼Д

┼А+SI

тАл я║ЯтАм5

S┼Б-S┼Д-i┼Д 5

┼Ж -.Ocb XN Cf i f.kN +N ╟╜

┼Ж = i f.kN

(3-1) ├╕jQ├Й┬кJ ┬втАа┬йH ├бH├ЙLG

─╛─Д─┐├н

┼А

┼ЕIso scGgb .'b

i┼Д ┼Ж

┼А ┼Б5

тАГтАГ тАл╪птАм

тАл я║ЯтАм10 тАГтАГ тАл я║ЯтАм9

┼Д=S

┼Б┼А = ┼ДX┼Ж = ┼Д(

тАГтАГ тАля║ЯтАм

) ┼Б(┼Д5) ┼ДX ┼Ж = ┼ЕI

┘б┘е

─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

┘в

(

┼А

: ."r i┼В ( 5 + ┼Б5) ]s_Wf lf 4 i┼В5 wcN ts 'y t0b .'b df Of тАл╪гтАм H6r─Ф .'b df Ofr (i┼В 5 wcN dg ;y t0b ) .'b 0o df Of lz 7kb ."r ┼о┼Е = i j ^ / тАл╪итАм

S-┘б┘е

тАГтАГ тАл╪итАм ┘втАля║▒тАм

┘гтАля║▒тАм

(

┘в

┘втАля║▒тАм

┘в

тАГтАГ тАля║ЯтАм

тАГтАГ тАл╪итАм

тАГтАГ тАля║ЯтАм

7 тАГтАГ тАл я║ЯтАм6

) ┘втАл я╗гя╗Фя╗Ья╗оя╗Щ я║▒тАмS ┘б┘втАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║▒тАм

┘в тАля║▒тАм

) ` ┘г j SX┘б┘е * ┘втАл = я║▒тАм┘б + SI

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм ┬╣ : ."r ┼И( .lzyr 7 f lzG6r─Ф ly.'b dO# w b 5 gzZ ─Рr

5 + ┼Б ) ]s_Wf lf 4 ┼В ─╛─Д─┐├н

┼А+┼И lzG6r─Ф ly.'b 1 ┼Б

┼о t qzcy t0b r ┼Д(

5 ┼Г ┼Д ┼И ┼Г 5 ┼Д ) (┼Б) X = ( ) (┼Б) ┼В ┼В

┼ЕI = ┼ЗI

┼Е=5 `

5 =┼Б ┼В

S ┘е-┘г┘втАл = я║▒тАм┘б┘втАл` я║▒тАм ┘д=S ` ┘з-┘в = X┘б┘е = ┘б┘б-┘в * ┘д┘в * X┘б┘е= I тАл = я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм┘б┘втАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║▒тАм ┘д ┘д ┘е

тАл я║зя║Оя╗Яя╗░ я╗гя╗ж я║▒тАм┘жI

(┘г-┘б) тАля║Чя╗д┘А┘А┘А┘Ая║О╪▒я╗│┘А┘Ая╗ж ╪зя╗Яя║к╪▒╪│тАм

┘е-тАля╗етАм

:$(%(X $0 FY 1

┼ДX

┼А─┐ *

┼В┼Б тАл╪птАм

:tr 7y ┼А─┐(5┼Б + ┼А) ]s_Wf lf ┼Г5 wcN dg ;gb .'b

┼А─┐ ┼ГX ┼А┼Е

тАля║ЯтАм

┼ГX

┼А─┐

┼А тАл╪итАм ┼А┼Е

┼ГX

тАля║▒тАм

┘в┘а = тАл` я╗етАм

┼А

5 lf a * .& ."sy─Р тАл╪птАм

:so 5 lf wb +b .'b is_y ┼А─┐( + 5 ) ]s_Wf lf 2 5 I тАл╪итАм I тАл╪гтАм

тАля║ЯтАм ┼ЕI

┼Д

┘е ┘б-

(тАля║▒тАм┘в) ` ┘г j ┘еXтАл * я╗етАм┘втАл = я║▒тАм┘жI `

тАл╪гтАм

┼А┼Д

┘а = ┘б┘е - ┘е - тАл` я╗етАм

┼Г

┼Б┼А тАл╪птАм

:so ┼Г5 wcN dg ;gb .'b df Of is_y ┼Ж(5 + ┼А ) ┼В5 ]s_Wf lf 3 ┼Ж тАля║ЯтАм ┼Ж тАл╪итАм ┼Ж ┼АX ┼ВX ┼ГX тАл╪гтАм

5 lf a * .& ."sy ─Р тАл╪птАм

.'b so 5 lf wb +b .'b is_y ┼Е( + ┼Б5) ]s_Wf lf 4 5 .8f +b тАля║ЯтАм .P 2b тАл╪итАм . b b тАл╪гтАм

S-┘в┘а

┘б-

(тАля║▒тАм┘в) * ` тАл я║▒тАмj SX┘в┘а =

┘б+

┼Б

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

S ┘ж-тАл = я║▒тАм┘д-┘в┘атАл` я║▒тАм

┘б┘жтАля║▒тАм

S-тАля╗етАм 3-1

* ┘б-S

тАля╗етАм

┘б-тАля╗етАм

r 2+f 3 ayc[k rk a 9 ╚аR hl ?╚Ю 2+f 1 '

S-тАля╗етАм

┼А

┼Б! тАл╪птАм ┼З

тАл╪птАм

= C i V lzyr 7 f ┼Ж5 ┼о┼Г5 ─Сf Of i ^ / ┼А┼А( + ┼Б5C ) ]s_Wf lf 5 5C ┼А! тАля║ЯтАм ┼А- тАл╪итАм ┼А тАл╪гтАм ┼А = i i V ┼ЖI so i( + 5) ]s_Wf lf 5 lf a +b .'b i ^ / 6 5 ┼А┼Б тАля║ЯтАм ┼А─┐ тАл╪итАм ┼Е тАл╪гтАм

тАля╗етАм S

┼Ж─┐ тАля║ЯтАм

┼А┼Г─┐ тАл╪итАм

┼Г! тАл╪птАм

= C i V ┼Д┼Е─┐ =┼ДI df Of i ^ / ┼Ж( 5 C + ┼А ) ]s_Wf lf 10 ┼Б! тАля║ЯтАм ┼Г тАл╪итАм ┼Б тАл╪гтАм

S-тАля╗етАм┘в

┼А

- 5 ┼Б) ]s_Wf lf 14 ┼В5

5 lf wb +b .'b : ─г┼Р┼а─г┼Ю ╚л i

┼З = i f.kN .'b 0o gzZ ."r h ┼оH6r─Ф .'b so 5 lf wb +b .'b i i┼Б(

╟║'f - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

тАля╗етАм

┘б┘аX

┘б- * ┘йX┘б-тАля╗етАм

┘б

┘б+

┘б+S тАля║Ня╗Яя║дя║к я║Ня╗Яя║ия║Оя╗Яя╗░ я╗гя╗ж я║▒ я╗ля╗о я║бтАм

тАля╗етАм┘в ┘в

= тАля║ня║Чя║Тя║Ф я║Ня╗Яя║дя║к я║Ня╗╖я╗ня║│я╗ВтАм

тАля║Гя╗п я║Гя╗е я║Ня╗Яя║дя║к я║Ня╗Яя║ия║Оя╗Яя╗░ я╗гя╗ж я║▒ я╗ля╗о я║Ня╗Яя║дя║к я║Ня╗╖я╗ня║│я╗ВтАм

= 5┼Б 5 + ) ]s_Wf lf ┼Г ( ) df Of ."r 16 5┼Б = =

┼А-i┼Б(5 + ┼А) ]s_Wf lf i5 df Of XOB tr 7y qj h ┼о i┼Б(5 + ┼А) ]s_Wf lf i5 df Of ."r

* S

┘б-S

тАл = я║╗я╗Фя║отАмS┘в - тАля╗етАм┘в

= SX┼А-i :SXi i 15

.i gzZ ."r ┼В : ┼Б tr 7 ┼А-i(= - ┼А) ]s_Wf ┼А─┐(

┘б-тАля╗етАм

тАля╗етАм : SX

┘б-тАля╗е я╗етАм

(тАл я║▒ ` * )я║▒тАмj SXтАля╗етАм┘в =

┘б+тАл= я╗етАм┘б+

╚л df Of :─к╟М─Я

┼Б5 wcN dg ;y .& wcN ts 'y ─Р ]s_Wgb 0o i :─г ╚л┼К╟д─г┼Ю

┘б-S

┘г ┘в

=тАля╗етАм

┘б+тАля║б я╗етАм

?─Р e ┼Е-5 wcN .& wcN dg ;y ]s_Wgb ┼Б5

= ┘б-SX

* S

┼В┼Д тАл╪гтАм

: ."r ┼И(

┘д

┘б-тАля╗етАм

┘б┘е = тАля╗етАм

┼А ┼Б 5 lf wb +b .'b gzZ ."r ┼А┼Б( + 5┼Г ) ]s_Wf lf 11 5┼Б ┼Б ┼А┼Д( ┼Б + 5 ) ┼Б5 ]s_Wf lf ┼А┼Б5 df Of ."r 12 ┼В5 ┼Б ┼А 0o do : ' h ┼оi gzZ ."r ┼о5 lf z┬╣ b * i( ┼В - 5 ┼Б) ]s_Wf lf 5- 7b dg ;y .'b i ^ / 13 5

lf ┼А─┐I df Ofr i(┼Б5 + ┼А ) ]s_Wf lf ┼А┼АIdf Of lz 7kb j ^ / r

тИМ ┘в┘ж = S

тАля╗етАм┘в = ┘б-тАл я║▒ (я╗етАм+ ┘б) ┘б┘бI тАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм (тАл я║╣тАм- ┘б) ┘б┘аI

┼А ┼Б + 5) ]s_Wf lf 7 5C ┼Д! тАл╪птАм ┼Г! тАля║ЯтАм ┼Г- тАл╪итАм ┼Г тАл╪гтАм ┼Г ┼Д ┼Д ┼Д ┼А :i V P 7b .'b df Of tr 7y 5 lf {b +b .'b i ^ / zb3 k b 5 tsZ 7& ┼А─┐( + 5 C) ]s_Wf lf 8 5 ┼Б┼Д = C тАл╪птАм ┼В┼Е = C тАля║ЯтАм ┼Д = C тАл╪итАм ┼Е = C тАл╪гтАм ┼В┼Е ┼Б┼Д ┼Е ┼Д ┼З( ┼А + 5 ┼Б ) ]s_Wf lf 5 lf wb +b .'b 9 5┼Б

= C i V ┼А- 5 df Of tr 7y H6r─Ф .'b df Of i ^ / ┼З(

┼Д┼Е тАл╪птАм

+тАля║╣тАм

тАл` я╗╗ я╗│я╗оя║Яя║к я║гя║к я╗│я║╕я║Шя╗дя╗Ю я╗Ля╗ая╗░тАм

┘б┘ж ┘иX = ┘йI

┼А + 5 ) ]s_Wf lf 18 5

S-┘ж

тАл= я║╗я╗Фя║отАм

S-(S-┘ж) тАля╗ЩтАм

┘б

(тАл я║▒ ` * )я║▒ я╗ЩтАмj SX┘ж =

S- S тАл я╗ЩтАм- тАля╗ЩтАм┘жтАля║▒тАм

┘б+

┘ж `

тАл╪ея╗│я║ая║О╪п ╪зя╗Яя║дя║к ╪з┘Е┘Дя║╕я║Шя╗дя╗Ю я╗Ля▓Ж ╪│ ┘Г я╗гя╗ж я╗гя╗Фя╗Ья╗о┘Г ╪░╪з╪к ╪зя╗Яя║дя║кя╗│я╗жтАм

3-1 S-┘й S┘г-┘б┘и

┘б

(┘втАл я║▒тАм┘й) ` тАля║▒тАм┘г j SX┘й =

┘б+

S-┘й ┘й * S- ┘г *

тАля║▒тАм

24 r 2+f 3 6Opx `┬АZ y f x h 1 f :╚Яx╚Ъ 2*yf

┘й

5 lf z┬╣ b * .& ├К ]s_Wgcb dO# w b ] gzZ :─к╟М─Я ┬╣ lf pzcN c?& w b ] hzZ lf gzZ 2 ^─Ф H6r─Ф .'b df Ofr 5 lf wb +b .'b lz 7kb :─г┼Р┼а─г┼Ю .─Рr ╚л

= ┘г-┘б┘итАля║▒тАм ┘жI ╪М ┘еI тАля║Ня╗Яя║дя║кя╗│я╗ж я║Ня╗╖я╗ня║│я╗Дя╗┤я╗ж я╗ля╗░тАм

┘ж=S `

тАля║▒я╗етАм

┘д(┘втАля║▒тАм┘й) ┘е` ┘б

┘й = ┘е(┘втАля║▒тАм┘й) ┘д` ┘б

тАля║▒тАм┘г j ┘еX

тАля║▒тАм┘г j ┘дX

┘б =тАл` я║▒тАм ┘г

┘й

.┼Б = 5 f.kN H6r─Ф .'b gzZ ."r h gzZ ."r ┼о ┼А┼Е : ┼Д

.C gzZ ."r ┼А┼Д5 df Of tr 7y ┼Д5 df Of i ^ / ┼А─┐( ┼В C + ┼Б5┼Б) ]s_Wf lf 21

┬╗ .& ."sy ─Р qj :─к╟М─Я ╚л 5 lf a *

5 gzZ ."r ┼А┼АI=┼ГI i ^ / :─г┼Р┼а─г┼Ю ╚л

:."r ┼И( ┼Б

:тАл я║Гя╗ня║Яя║ктАм+N тИЛ тАл я║гя╗┤я║Ъ я╗ЩтАм┘б┘в( ┘б + 56) тАля╗Уя╗░ я╗гя╗Фя╗Ья╗оя╗ЩтАм

lzG6r─Ф ly.'b dO# w b 5 gzZ ."r h ┼о┼И(

┼А ┼Б + 5┼И) ]s_Wf lf 5 lf wb +b .'b gzZ ."r 24 5┼В

.lzyr 7 f i ┼В(

.тАля║гя║кя║Н я║зя║Оя╗Я ┘Ля╗┤я║О я╗гя╗ж я║▒тАм ┘Л тАля╗Чя╗┤я╗в я╗Щ я║Ня╗Яя║Шя╗░ я║Чя║ая╗Мя╗Ю я╗Яя╗ая╗дя╗Фя╗Ья╗оя╗ЩтАм :тАл╪зя╗Яя║дя╗ЮтАм -┘б┘в(56) S` ┘б j тАля║▒тАм S5-5┘б┘в6 S-S5-5┘б┘в6

=тАля╗ЩтАм

┘б┘в =

┘б+

┬╗ .& wcN dg ;y ─Р ]s_Wgb 0o i :─к╟М─Я ╚л . z├К "r3 -┬╣ .N i i ^ / ─Р 5 lf a * i┼В5 wcN dg ;y t0b .'b df Of ."r :─г┼Р┼а─г┼Ю ╚л .]s_Wgb 0o lf H6r─Ф .'b r i┼В5 wcN dg ;y t0b .'b lz 7kb ."r ┼о ┼Е = i i ^ / :─г ╚л┼К╟д─г┼Ю

┘б

` тАл я║▒тАмj SX┘б┘в = S

* SX┘б┘в = + SI ┘б

┘а = S-S5-5┘б┘в

тАл я║зя║Оя╗Э я╗гя╗ж я║▒тАм┘зI тАл я╗ня╗│я╗Ья╗оя╗етАм┘б = тАл я╗Уя║Ия╗е я╗ЩтАм┘ж =

тАл я║зя║Оя╗Э я╗гя╗ж я║▒тАм┘йI тАл я╗ня╗│я╗Ья╗оя╗етАм┘в = тАл я╗Уя║Ия╗е я╗ЩтАм┘и =

┘б┘б = S ╪М┘б┘а =

┼А ┼Б + 5) ]s_Wf lf 25 5

тАля╗зя╗Фя║оя║╜ я║Гя╗е я║Ня╗Яя║дя║к я║Ня╗Яя║ия║Оя╗Яя╗░ я╗гя╗ж я║▒ я╗ля╗отАм

S S-┘б┘в

┼А + 5) ]s_Wf lf 23 5

╚л 5 lf wb +b .'b gzZr 1 :─к╟М─Э .2W> tr 7y ]s_Wgb wV lzG6r─Ф ly.'b Msg#f dO# w b 5 gzZ :─г┼Р┼а─г┼Ю

тАля║▒тАм

тАля╗ня╗Яя╗┤я╗Ья╗оя╗е я║зя║Оя╗Яя╗░ я╗гя╗ж я║▒тАм

5 ┼А ┼Б + 5) ]s_Wf lf 22 5┼З

: zb3 k b 5 tsZ 7& ┼А┼В(

┘б = ┘втАл я║▒тАм┘й * тАля║▒тАм┘г

┼А ┼Б + 5) ]s_Wf lf 20 5C

tr 7 ]s_Wgb 0o lf ┼В5 df Ofr 5 lf wb +b .'b lz 7kb j ^ / ┼А┼Б(

:(тАля║Чя╗дя║оя╗│я╗ж ╪зя║┐я║Оя╗Уя╗░ )╪зя║Ыя║о╪зя║Ля╗░тАм

┘б+

┼А ] + 5) ]s_Wf lf 19 5

: ."r . "sf (z'> -.N ] z& ┼Е(

╪М┘й=

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

{┘е ╪М┘д ╪М┘г} тИЛ S ┘а SS-┘ж = тАля╗ЩтАм ┘е=тАл` я╗ЩтАм

тАл я╗Ля╗ия║ктАм..... тАля╗ня╗Ыя║мя╗Яя╗ЪтАм

┘е = S тАля║Гя╗Ыя║Тя║о я╗Чя╗┤я╗дя║Ф я╗Щ я╗Ля╗ия║кя╗гя║ОтАм ┘дтАл= я║бтАм

┘ж ┘в┘а S-┘б┘а

тАля║Ня╗Яя║дя║к я║Ня╗╖я╗ня║│я╗ВтАм =

┘ж ┘ж X ┘г ┘еX

┘жI I тАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм ┘д

C j X┘б┘а = (┘втАля║▒тАм┘в) * ` ┘гтАля║▒тАм S

S┘г-S┘в-┘в┘а

тАля║▒тАм

тАля║▒тАм-┘б┘а ┘в *

┘г=S `

┘етАля║▒тАм

┘б=S `

┘б┘етАля║▒тАм

┘ж= тАля║бтАм ┘ж

┘еX

┘б+

` 19

C SX┘б┘а

= S ┘е-┘в┘атАля║▒тАм

= S ┘е-┘в┘атАл` я║▒тАм ┘вIтАл = я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм┘дIтАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм

┘й ┘в * C X┘б┘а = ┘з ┘в * ┘гC * X┘б┘а ` ┘б ┘г

┘б ┘г

┘б ┘д = ┘й ┘в * ┘б┘а = ┘вC = ┘г ┘б┘в ┘з ┘в * ┘б┘в┘а

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬

‫‪4-1‬‬

‫‪ŐĿōŗí óĊăŎĿí‬‬

‫‪øe ø«dÉààe øjóM ø«H áÑ°ùædG‬‬ ‫‪øjóëdG äGP ∑ƒμØe‬‬

‫‪øjóëdG äGP ∑ƒμØe øe ø««dÉààe øjóM ø«H áÑ°ùædG‬‬

‫‪4-1‬‬ ‫‪(C + 5) ]s_Wf lf‬‬ ‫‪ŀ+SI‬‬ ‫‪SI‬‬

‫‪i‬‬

‫‪SX‬‬

‫‪ŀ-SX‬‬

‫)‪S( C) S- i( 5‬‬

‫ ‪ - * OP IJ‬‬ ‫ ‪ - & * OP IJ‬‬ ‫ ‬

‫)‪ŀ-S( C)ŀ+S- i( 5‬‬

‫‪C‬‬

‫‪Xi‬‬ ‫‪* S i‬‬ ‫‪ŀ-SX‬‬

‫‪5‬‬

‫‪C * ŀ + S- i = ŀ+SI‬‬ ‫‪SI‬‬

‫ﺧﻠﻔﻴﺔ‬

‫‪S‬‬

‫‪5‬‬

‫ @!‪C df Of * ŀ + S- i = ŀ+SI df Of : C‬‬

‫‪ ƅƅ łI‬ب ‪ ƅƅ ņI df Of‬ﺟ ‪ ƅƅ ŅI‬د‬ ‫‪ŃI‬‬ ‫‪ŇI df Of‬‬ ‫‪ŁI‬‬

‫أ‬

‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬

‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ ‪ -‬ﺍﻟﺤﻮﺍﺭ ﻭﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪ ،‬ﺣﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪ -‬ﺍﻻﻛﺘﺸﺎﻑ‪.‬‬

‫‪=Ł‬‬ ‫‪ŀ + Ł - ŀŁ‬‬ ‫‪I‬‬ ‫أ‬ ‫*)‬ ‫‪= ł‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŁI‬‬ ‫‪=ŀŀ =Ł ŀŀ‬‬ ‫=‬ ‫= ‪* Ł‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ņ‬‬ ‫‪ņ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫ب ‪ņI df Of‬‬ ‫‪ŀŁ = Ł * ŀ + ņ - ŀŁ = ŇI df Of‬‬

‫ﺟ‬

‫‪ŅI‬‬ ‫‪ŃI‬‬

‫‪ŅI‬‬ ‫‪ńI‬‬

‫‪=Ł ŀ + Ń - ŀŁ‬‬ ‫‪=Ł‬‬ ‫‪ŀ + ń - ŀŁ‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(*‬ ‫*)‬ ‫‪=Ƅ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪ń‬‬ ‫‪Ł= ņŁ‬‬ ‫‪=Ł‬‬ ‫‪=Ł‬‬ ‫‪ň‬‬ ‫‪Ň‬‬ ‫‪Ł5 ń = 5 * Ń * 5 * ń =Ƅ‬‬

‫‪ŇI df Of‬‬ ‫‪ŅI df Of‬‬

‫=‬

‫‪ŇI df Of‬‬ ‫‪ņI df Of‬‬

‫*‬

‫‪ņI df Of‬‬ ‫‪ŅI df Of‬‬

‫اﻟﺘﻬﻴﺌﺔ‪:‬‬ ‫ ﺭﺍﺟﻊ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻘﻮﺍﻧﻴﻴﻦ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﻭﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ‪.‬‬ ‫ ﺛﻢ ﺍﺳﺘﺮﺟﻊ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ‬ ‫ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻻﻭﺳﻂ‬ ‫اﺟﺮاءات اﻟﺪرس‪:‬‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ‬ ‫ﻥ ‪C * ١ + S-‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪S‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ ‪I‬‬

‫‪= ١+S‬‬

‫ﻭﻳﻜﻮﻥ‬

‫ﻣﻌﺎﻣﻞ ‪SI‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣﻞ ‪C‬‬ ‫ﻥ ‪١ + S-‬‬ ‫*‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ‬ ‫‪S‬‬

‫ ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺎﻵﺗﻰ‬

‫ﻣﻜﺎن اﻟﺘﺪرﻳﺲ‬

‫‪SX‬‬

‫ﻥ‬

‫=‬

‫ﻥ‬ ‫‪١-SX‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ‬

‫ﻥ ‪١ + S-‬‬

‫‪S‬‬

‫‪I‬‬ ‫ﺑﻴﻨﻤﺎ ‪= ١+S‬‬ ‫‪SI‬‬

‫ﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺹ‪ ٣٠‬ﺍﻟﻰ ‪٣٤‬‬ ‫ ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ(‬‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ ‪* / * % - * .‬‬

‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪SI‬‬

‫ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻣﺘﻄﻮﺭﺓ‬

‫=‬

‫* ‪ńI‬‬ ‫‪ŃI‬‬

‫‪ôŃĊĈøĔńĿí õíōĉŗí‬‬

‫‪Ł * ŀ + Ņ - ŀŁ * Ł * ŀ + ņ - ŀŁ =Ƅƅƅƅ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪ņ‬‬ ‫‪Ń = Łŀ * ņŅ * Łŀ * Ņņ =Ƅƅƅƅ‬‬

‫‪I‬‬ ‫‪= ١+S‬‬

‫اﻟﻤﻮاد اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‪:‬‬

‫‪ŇI df Of‬‬ ‫‪ŅI df Of‬‬

‫ ‪ = -‬‬

‫‪Consecutive terms‬‬

‫(‬

‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﺣﺪﻳﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﻴﻦ ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺣﺪﻳﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﻴﻦ ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ‬‫ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬

‫ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‬

‫‪ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫ﻣﺨﺮﺟﺎت اﻟﺘﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ‪ -‬ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ‪ -‬ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ -‬ﺣﺪﻳﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﻴﻦ ‪-‬‬

‫‪S‬‬

‫‪5 df Of‬‬

‫^‪: lf đ‬‬ ‫‪Ê ."r ŀŁ(=Ł + ł ) ]s_Wf lf 1‬‬

‫د‬

‫ﻣﻔﺮدات أﺳﺎﺳﻴﺔ‪:‬‬

‫‪SI df Of‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﺳﺒﻖ ﻭﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﻭﺗﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺃﻳﻀﺎ ﺍﻟﺤﺪ‬ ‫ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﺳﻂ ﻭﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻭﺗﻨﺎﻭﻝ ً‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﻟﻰ ﻣﻦ ﺱ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻤﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ‪ 56‬ﻓﻰ‬ ‫ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪ .‬ﻭﺳﻮﻑ ﻧﺴﺘﻜﻤﻞ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﺣﺪﻳﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﻦ ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﻭﻛﺬﻟﻚ‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺣﺪﻳﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﻴﻦ‬

‫‪24‬‬

‫‪i‬‬

‫=‬

‫‪=ƅ‬‬

‫‪i‬‬

‫‪SI go lzb gb ly.'b i A2W r‬‬

‫‪SI Ů ŀ +‬‬

‫‪łŀĬø÷ ıŎē‬‬

‫ﺣﻴﺚ‬ ‫ﺑﻴﻨﻤﺎ‬

‫ﻥ‬

‫‪٨X‬‬

‫ﻥ‬

‫‪٧X‬‬

‫‪٨I‬‬ ‫‪٧I‬‬

‫ﻓﺈﻥ‬

‫ﻥ ‪١ + S-‬‬ ‫‪S‬‬

‫ﺗﻜﻮﻥ‬

‫*‬

‫ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫‪S‬‬

‫=‪٨‬‬ ‫‪S‬‬

‫=‪٧‬‬

‫‪27‬‬

тАл╪зя╗Яя╗ия║┤я║Тя║Ф я║С┘Ж┘К я║гя║кя╗│я╗ж я╗гя║Шя║Шя║Оя╗Я┘Ж┘К я╗гя╗ж я╗гя╗Фя╗Ья╗о┘Г ╪░╪з╪к ╪зя╗Яя║дя║кя╗│я╗жтАм

4-1

r 2+f 3 6Opx `┬АZ y f x h 1 f :╚Яx╚Ъ 2*yf

┘е ┘в

(┘б)тАГ (┘в)тАГ

┘б ┘д

┘в ┘г

┘б +┘й - тАля╗етАм ┘в тАля║▒тАм * `тАГтАГтАГ ┘г ┘г ┘й

= тАля║▒тАм

= ┘г *

┘д*┘в ┘г

┘б┘в┘е = ┘гтАля║▒тАм┘и `

=тАля║▒тАм

┘б┘д

┘б+┘б┘д - тАля╗етАм ┘б ` тАГтАГтАГ ┘б┘д ┘д

I = ┘б┘а ┘йI

─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

┼З(

╚л 5 gzZ ."r ┼Б┼Д : ┼З tr 7 7kb m0o j ^ / r ┼о5- 7b r 8f +b ly.'b lz 7kb ."r :─к╟М─Я ┬╗ .& wcN ts 'y ─Р ]s_Wgb 0o i :─г┼Р┼а─г┼Ю 5 lf a * ╚л

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм . y├К -.N

I = ┘б┘е

┼Б=

┘б┘дI

─╛─Д─┐├н

┼ЕI + ┼ГI ┼ДI ┼ДI

┼ДI wcN g7[b ┼ДI┼Б =┼ЕI + ┼ГI

┼Б = =┼Г + 5┼Г ┼А 5┼Д =┼Д

= 5 ┼Д * 0

┘и-тАля╗етАм

5 ."r ┼ЕI + ┼ГI= ┼ДI ┼Б i ^ / ┼З(= + 5) ]s_Wf lf 2 =

┼Б =(

┼Б=┼Г + = 5 ┼А─┐ - ┼Б5┼Г

┘б┘и ┘б┘в

┘в ┘г

=тАля║▒тАм ┘д ┘б

(┘б)

тАля║╣тАм

=тАл* я║▒тАм

─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

=┘д

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм ┼о y.N ? b 5 tsZ 7& ┼Ж ┼о┼Б┼А ┼о ┼В┼Д wo i(5 + ┼А) ]s_Wf lf zb f -r.& ─С ─Сf Of j ^ / 3 . ─С b -r.'b 1 r i lf d^ gzZ ."r ─╛─Д─┐├н

┼Б+SI ┼о ┼А+SI ┼оSI A2W

┼В┼А = ┼А + S - i ┼Д S

┘гI ┘б + ┘д тАля╗етАм ┘е тАля║╣тАм ┘еI = * = ┘в тАля║▒тАм ┘д ┘дI ┘в ├╖ тАля║Ся╗Шя║┤я╗дя║ФтАм ┘в*┘д ┘д*(┘в- тАл)я╗етАм

(┘в)

┘б┘и - тАля╗етАм┘ж = ┘б┘а - тАля╗етАм┘е =

┘е

┼Б┼А = ┼А + S - i = ┼А+SI df Of ┼В┼Д S SI df Of

┼Д = S┼о┼Ж = i `

┼А +( ┼А + S )- i I df Of ┼Ж = ┼Б+S ┼Б┼А = ┼А+S ┼А+SI df Of

┘б┘б┘в = ┘жтАл я║▒тАм┘втАл я║╣тАм┘вX┘и `

┘б┘б┘в =┘гI тАля║▒тАм┘в = тАл я║╣тАм╪М┘д = ┘жтАл я║▒тАм┘втАл` я║╣тАм

┘в ! = тАл я║╣тАм╪М┘б ! = тАля║гя╗Ю я║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Шя╗┤я╗ж я║▒тАм

тАл я╗ня╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗гя╗К я╗Гя╗╝я║Ся╗ЪтАм┘г┘гтАл я║╣тАм┘б┘и ╪М┘б┘з тАл┬Ш я║Гя╗Ля╗В я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я╗гя║Ья║Оя╗Э я║ня╗Чя╗втАм S тАля║Ня╗Яя╗дя╗Фя║оя║йя║Ня║Х я║Ня╗Яя║ия║Оя║╗я║Ф я║Ся║Оя╗Яя╗дя║Ья║Оя╗Яя╗┤я╗ж я║гя╗┤я║Ъ я╗│я║Шя╗Мя║оя║╜ я║Ня╗Яя╗дя║Ья║Оя╗Яя╗┤я╗ж я╗Яя╗Шя╗┤я╗дя║ФтАм тАля║Ыя╗в я║Ся╗Мя║к я║ля╗Яя╗Ъ я╗Чя╗┤я╗в я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я╗гя╗ж я║зя╗╝я╗Э я║Ня╗Яя║дя╗оя║Ня║н я╗ня║Ня╗Яя╗дя╗ия║Оя╗Чя║╕я║Ф я╗Уя╗░ я║Ся╗ия║ктАм ┘г┘гтАл( я║╣тАм┘б┘з) тАля║гя║Оя╗ня╗Э я║Гя╗е я║Чя║дя╗ЮтАм

┼А + S = S ┼В - i┼В :/% 2 Q(0

┼А= S ┼Г - i┼В ┼А= S┼Г - i ┼В

┼Д- = S ┼З - i ┼Д

─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

┼о ┼А┼А┼Б─┐ ┼о ┼Г┼Г┼З ┼о┼А┼А┼Б z 2 b wcN wo i(= + 5) ]s_Wf lf 8f +b ┼о P 2b ┼о b b :-r.'b j ^ / 3 5 ┼о= ┼оi lf d^ hzZ ."r

(┘б) S ┘и = тАл тАГтАГя║Ся║Оя╗Яя║Шя╗Мя╗оя╗│я║╛ я╗Ля╗ж я╗етАм┘и = тАля╗етАм тАля║▒тАм┘д = тАл я║╣тАм┘в `

S┼В = ┼Д+S┼Д-i┼Д

┼Д- = S ┼З - i ┼Д ┼А = S-i ╞Д ┼В ┼А+S

(┘г-тАл )я╗етАм┘г

тАля║▒тАм┘в = тАля║╣тАм

┼А + ) ]s_Wf lf 2 5 5

5 gzZ ."r 6 k f ┼ЕI ┼о ┼ЖI┼Б┼Д ┼о ┼ДI┼о ┼ГI i ^ / ┼З (

тАл я║▒тАм┘б┘в * ` ┘г ┘й

┘б +┘г - тАля╗етАм ┘г

= ┼А+┼Д-┼З 5 ┼Г ) +( ) ┼Д 5 = ┼А+┼Г-┼З

= 5 ┼А─┐ = ┼Б=┼Г + ┼Б5┼Г ─┐ = ┼Б= ┼Б + = 5 ┼Д - ┼Б5┼Б = = 5┼Б 5 ┼Б = 5 ╞Е r ╞Е ╞Е ┼А┼Б = ┼А = =

┼Б _ 2W> = ─┐ = ( = ┼Б - 5 ) (= - 5 ┼Б) =┼Б = 5

= ┘й * ┘б┘г - тАл(тАГтАГ` я╗етАм┘в _ ┘б) тАля║Ся╗Шя║┤я╗дя║ФтАм

┘в┘а = тАлтАГтАГя╗етАм┘б┘а┘а = тАл я╗етАм┘етАГтАГ┘е┘ж = тАля╗етАм┘з = ┘б┘е┘ж - тАля╗етАм┘б┘в ┘г ┘в

┼Б + ┼Б5 ) ]s_Wf lf 1 5

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

тАл ╪зя╗Яя║дя╗о╪з╪▒ ┘И╪зя╗Яя╗дя╗ия║Оя╗Чя║╕я║ФтАм:тАл╪зя╗Яя║Шя╗Шя╗┤я╗┤я╗втАм

тАл┬Ш я╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗гя╗К я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я╗гя╗ж я║Ся╗ия║к я║гя║Оя╗ня╗Э я║Гя╗е я║Чя║дя╗Ю я╗ня║Чя╗оя║╗я╗Ю я╗гя╗Мя╗мя╗в я║Ня╗Яя╗░тАм .тАля║Ня╗╗я║Яя║Оя║Ся║Оя║Х я║Ня╗Яя║╝я║дя╗┤я║дя║ФтАм тАл┬Ш я╗Ыя╗ая╗Т я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я║Ся║дя╗Ю я║Ся╗ия║к я║гя║Оя╗ня╗Э я║Гя╗е я║Чя║дя╗Ю я╗Яя╗ая║Шя║Дя╗Ыя║к я╗гя╗ж я╗Яя╗Фя╗мя╗в я╗Гя╗╝я║Ся╗ЪтАм .тАля╗Яя╗╕я╗гя║Ья╗ая║Ф я║Ня╗Яя║Шя╗░ я║Чя╗в я║гя╗ая╗мя║О я╗гя╗К я║Ня╗Яя╗Дя╗╝я║ПтАм ┘и ┘гтАля║▒тАм┘е

┘д ┘е

┘в

= ┘гтАл* я║▒тАм ┘ж┘д ┘б┘в┘е

=тАл`я║▒тАм

тИЭтАля║╣тАм

тИМ

┘б┘ж ┘г

┘б+┘е-┘и ┘е

┘в┘е

┘жI ┘еI

┘и

= ┘гтАл * я║▒тАм┘и = ┘гтАля║▒тАм┘е

(┘втАл )я║▒тАмS( тАл ) я║▒тАмSX┘и = ┘б+SI ┘атАл = я║▒тАмS ┘г-┘б┘жтАл` я║▒тАм `

тАля╗╗ я╗│я╗оя║Яя║к я║гя╗Ю я║зя║Оя╗Яя╗░ я╗гя╗ж я║▒тАм

┘жI = ┘еI ┘в┘е ┘зI ┘дI тАля║▒тАм

тАля║▒тАм ┘в┘е

┘ж ┘б+┘ж-┘и

┘б тАля║▒тАм

тАля║▒тАм

* тАля║▒тАм

тАля║▒тАм┘в ┘в┘е

┘в

S-┘и

┘б+┘д-┘и ┘д ┘е

тАля║▒тАм

тАля║▒тАм┘д

тАл ╪зя╗Яя║Шя║Тя║О╪пя╗│я╗Ю ┘И╪зя╗Яя║Шя╗о╪зя╗Уя╗┤я╗Ц ┘Ия╗зя╗Ия║оя╗│я║Ф ╪░╪з╪к ╪зя╗Яя║дя║кя╗│я╗жтАм:тАл╪зя╗Яя╗оя║гя║к╪й ╪зя╗╖┘Ия▒ГтАм 4-1

r 2+f 3 ayc[k rk ╔к┬Аf k r 2* ╔к ;qf

(3-1) ├╕jQ├Й┬кJ

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм

2* ╟║b 1 '

┼А─┐(=┼В+ 5┼Б) ]s_Wf wV .& 2 ^ df Of ."r

─╛─Д─┐├н

тАл╪гтАм

┼В * S - ┼А + ┼А─┐ = ┼А + SI a ┼Б S SI

S┼В - ┼В┼В S - ┼А┼А ┼А + SI = ` = ┼В┼Б * S┼Б S SI

┼Е┼м┼Е H S `

┼В┼В H S┼Д `

S ┼Б G S ┼В - ┼В┼В `

┼АG

S┼В - ┼В┼В S┼Б

7 :'

тАГтАГ

.................................................

┼Д┼З

tr 7 lf b .'b : P6 b .'b ┼А─┐(= +5) ]s_Wf lf 1

тАл╪птАм

5┼В тАл╪итАм =┼З

┼Б=

тАл╪птАм

┼Б5

................

┼А

┼ЕI ┼ГI

┼Б5┼Б┼Д

тАля║ЯтАм

┼Б= ┼Б┼Д

тАл╪итАм

┘б┘е ┘и

┼А тАля║ЯтАм

┼А- тАл╪птАм

┼ЕI ┼ЗI

тАл╪птАм

............................................................................................................

┼Г:┼И тАл╪гтАм :$% # $ ^ . / [F : %7 ) 8 ┼В :lf ─С^ ├К ."r ┼А┼А( ┼Б + ┼Б5 ┼Б ) ]s_Wf lf 5 ┼ГI ┼ДI

┼ВI ┼БI

тАл╪итАм

┘б +┘в - тАля╗етАм ┘в

┘б-тАля╗етАм

= ┘в

┘г ┘б +┘й - тАля╗етАм * ┘й ┘гтАля║▒тАм┘в ┘б + ┘ж -тАля╗етАм ┘г ┘гтАля║▒тАм┘в * ┘ж

┘б┘аI ┘йI

┘зI ┘жI

тАл я╗│я╗ия║Шя║Ю ╪г┘ЖтАм┘в ├╖ ┘б тАля║Ся╗Шя║┤я╗дя║ФтАм

┼И:┼Г тАл╪итАм

тАля║ЯтАм

тАля║ПтАм

тАл╪гтАм

┼Б5 ┼А┼Е ┼А┼А = : C i V ┼В┼Б tr 7 z 2 b wcN lzG6r─Ф ly.'b lz 7kb j ^ / ( ┼Б - C┼В) ]s_Wf lf 4

┼ГI df Of ┼ЕI df Of

┼Б= ┼А┼Е

тАл╪гтАм

= тАл я║П(я╗етАм+ C) тАл я╗гя╗ж я╗гя╗Фя╗Ья╗оя╗ЩтАм┘гI: ┘вI

┘б=

(┘в)

7j is_ ┼З(= + 5) ]s_Wf lf 3

тАГтАГ

┘б+тАля╗етАм ┘г

(┘б)

=┼В тАл╪гтАм 5┼З

8f +b .'b df Of : 5- 7b .'b df Of ┼А┼Б(5 - ┼А) ]s_Wf lf 2 ┼З- тАля║ЯтАм ┼Д тАл╪итАм ( ┼З┼Д ) тАл╪гтАм ┼Д ┼З

............................................................................................................

тАГтАГ тАля║ЯтАм

┘е=тАл` я╗етАм

: M 2 & 0 FY /%0 / $(%(X $0 FY 1

=┼З тАля║ЯтАм 5┼В

тАГтАГ тАл╪птАм

┘б+┘г- (┘г + тАл)я╗етАм ┘г

(┘г-┘б) тАля║Чя╗д┘А┘А┘А┘Ая║О╪▒я╗│┘А┘Ая╗жтАм

...........................................................................

┘г + тАл я║П( я╗етАм+ C ) тАл я╗гя╗ж я╗гя╗Фя╗Ья╗оя╗ЩтАм┘дI ┘гI

] =) D E / S┼В-┼В┼В ┼Е┼м┼Е G S ` ┼В┼В G S┼Д ` S ┼Б H S ┼В - ┼В┼В ` ┼А H : %7 ) 8 S┼Б ┼ЖI< ┼ЗI< ┼ИI< ┼А─┐I < ┼А┼АI ] =) D E / ┼Б┼Г┼Г┼И┼Г┼Г─┐ = ┼ЖI df Of `╞Е┼Е┼В * ┼Г┼Б * ┼ЕX┼А─┐ = ┼ЖI df Of `╞Д┼А─┐(=┼В + 5 ┼Б) ]s_Wf wV .& 2 ^ so ┼ЖI` ┼АI< ......< ┼ДI< ┼ЕI < ┼ЖI

5┼З тАл╪птАм =┼В

тАл╪гтАм

┘и ┘б┘е

тАл╪гтАм

┘в┘а = тАля╗етАм

5 gzZ ."r ┼БI┼Б = ┼ВI i ^ / ┼А┼Б( 5 + ┼А ) ]s_Wf lf 6

┘ж (┘и - тАл)я╗етАм

┘й * (┘е - тАл)я╗етАм

┘в┘а - тАл я╗етАм┘д = ┘д┘а - тАл я╗етАм┘е

i ┼о ┼о C lf ─С^ ├К gzZ ."r ┼А─┐┼З─┐ =┼ГI ┼о ┼Ж┼Б─┐ =┼ВI ┼о ┼Б┼Г─┐ =┼БI i ^ / i( + C ) ]s_Wf lf 7

тАл я╗ня║│я╗В я║гя║┤я║Оя║Ся╗░ я╗Яя╗ая║дя║кя╗│я╗ж я║Ня╗╖я╗ня╗Э я╗ня║Ня╗Яя║Ья║Оя╗Яя║ЪтАм┘втАля║бтАм

i gzZ ."r ┼В + i ( + C ) ]s_Wf lf ┼ГI : ┼ВI lz 7kb tr 7 i( + C) ]s_Wf lf ┼ВI: ┼БI j ^ / 8

┘гI ┘бI + ┘вI ┘вI

╟║'f - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

I d^ gzZ ."r ┼А = 5 f.kN `b/r K&─Сf ┼А┼Г = ┼Г ┼о┼ЗI┼Ж = ┼ЕI┼Г j ^ / i(5 e + ┼А )]s_Wf lf 9 ┼ЕI i ┼о e lf ┼З = ┼ЕI ┼о I= I i ^ / i( ┼В + 5┼Б) ]s_Wf lf 10 ts 'y ─Р ]s_Wgb 0o i h ┼оi gzZ ."r ┼А┼Д ┼А─┐ ┼И ┼Б5 ┼ЖI .5 lf a * .& wcN .'b r ar─Ф .'b lz w 7& H6r wj b .'b i ^ / zb3 k b 5 tsZ 7& i(= + 5) ]s_Wf lf 11 i gzZ ."r = ┼Б = 5 f.kN b b

тАл я║╣тАм┘б +┘в - тАля╗етАм тАля║▒тАм ┘б * + * тАля║▒тАм тАл я║╣тАм┘б+┘б - тАля╗етАм ┘в

=┘в

тАля║╣тАм ┘б - тАля║╣ я╗етАм┘в ┘б * + * тАля║▒тАм┘в ┘в тАля║╣тАм тАля╗етАм

=┘в

S- i

i S

S- i

= Sa

┬Ы

SX S =

┬Э

┬Я

S Sa

S- i X = SX

┼А

i i ┼А = ─┐X = i X

i = = + 5 r = = 5 i V =Xi =

┬Ь

(┘в 6 )

i ^ / ┬а

i(C-5)

[ 2b y-2Wb -r.'b Msg#f ] ┼Б = i(C - 5 ) + i (C + 5 ) ┬Ъ┬Ы

┘б-

` ┘втАл я║▒тАмj

┬Ю

i ┼А+i i i ┬в SX ┼А + S- i SX = = ┼А-SX = SX i ┬б S ┼А-SX i ┼А-i Xi ┬Ъ┬Щ SX S = ┼А: S iC ! ┼БC┼Б -i5 Xi+ C ┼А-i 5 Xi! i5 = i(C ! 5) ┬Ъ┬Ъ ┼Б ┼А i(C- ) + ┼БC ┼Б-i 5 Xi+ C ┼А-i 5 Xi- i5 ┼Б ┼А

S-┘б┘а

┘в!=тАля║▒тАм

┘в тАля╗етАм

┘б┘а =

┘б+

тАл╪гтАм

┘атАл = я║▒тАмS┘в-S┘в-┘в тАля║▒тАм

┘е=S ┘б┘ж

┘а = ┘и + тАля╗етАм┘й - ┘втАля╗етАм

- ┘втАл я╗Уя╗░ я╗гя╗Фя╗Ья╗оя╗Щ )я║▒тАм┘б+SI

┘втАля║▒тАм

(┼А + S - i ) ........ (┼Б- i ) (┼А-i )i = Sai ┬Ъ ─┐

┘в= ┘д

тАл я╗гя║оя╗Уя╗оя║╜тАм┘б = тАл я╗етАм╪М ┘и = тАля╗етАм ┘б┘а( ┘б

┼А=

┘б-тАля╗етАм

тАл я╗етАм┘и = тАл я╗етАм- ┘втАл я╗етАм+ ┘и `

├│─К─Г┼О─┐├н ─Ъ─И┼А┼Г i

┘гтАл я║бтАм+ ┘бтАл = я║бтАм┘втАля║бтАм┘в

=┘в`

r 2+f 3 6Opx `┬АZ y f x h 1 f :╚Яx╚Ъ 2*yf

┘б-

= ┘дтАл* я║▒тАм

┘б+┘г - ┘б┘а ┘г

┘дI ┘гI

тАл╪итАм

┘б┘ж = ┘дтАля║▒тАм

[ 2b z"r4b -r.'b Msg#f ] ┼Б = i(C - 5 ) - i(C + 5 ) ┬Ъ┬Ь i (5!) +........... + ┼В5 Xi ! ┼Б5 Xi + 5 Xi ┼В ┼Б ┼А S C S- i5

┼В+i ┼Б

┼о

┼А + SIso

! ┼А = i( 5 ! ┼А ) ┬Ъ┬Э

i(C + 5) ]s_Wf wV e Ob .'b ┬Ъ┬Ю

i(C + 5) ]s_Wf wV H6r─Ф .'b ┼А + i go 1 i G6r i .& ."sy y-2V i j ^ / тАл╪гтАм ┼Б ┼Б + i q 1 .z&r H6r .& ."sy z"r3 i j ^ / тАл╪итАм ├И ┼Б

C ┼А+S - % = i(C + 5) ly.'b / ]s_Wf lf lzzb f ly-.& lz 7kb ┬Ъ┬Я 5* ┼Б wj b df Of ┼А+S - i i * = (C + 5) ly.'b / ]s_Wf lf lzzb f ly.& wcf Of lz 7kb ┬Ъ┬а ar─Ф df Of

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

4-1

├бe├ЙY ├╕jQ├Й┬кJ

k R r 5 l

├┤┼Г├о─л ┼Ж┼У─Н├о┼Д├╖

:тАл╪г┘Ия╗╗тАм тАл я║ЯтАм3

тАГтАГ тАля║ЯтАм

тАГтАГ

тАл╪гтАм

тАГтАГ тАл я║ЯтАм5 тАГтАГ тАля║ЯтАм 9 тАГтАГ тАл ╪итАм8 тАГтАГ тАл╪птАм

тАл я║ЯтАм6 тАля║ЯтАм

тАл ╪итАм11 тАГтАГ тАл я║ЯтАм10

тАл╪птАм

7 : M 2 & 0 FY /%0 / $(%(X $0 FY 1 :' = ┼А-Sa┼А-i : Sai 1 .[gb 1 тАля║ЯтАм S тАл╪итАм i тАл╪гтАм

┼Г тАл╪птАм

┼Д тАля║ЯтАм

┼В r ┼Б тАл╪птАм

┼В тАля║ЯтАм

S+i тАл╪птАм

┼А+ S - i тАля║ЯтАм

= 5 i V ┼Б-5 ┼Б─┐ =┼Вa5 * ┼В-5 i ^ / 2 ┼Б тАл╪итАм 2W> тАл╪гтАм .

= S i V ┼Б+ SX┼А┼Г = ┼БSX┼А┼Г i ^ / 3 ┼Г тАл╪итАм ┼Б тАл╪гтАм

тАл╪итАм

┘е┘а┘д┘а = SXтАл* я╗етАм

`тАГтАГ┘е┘а┘д┘а = SтАл я╗ея╗ЭтАм14

┘д = SтАГтАГ ┘д

┘б┘а = тАлтАГтАГтАГ` я╗етАм┘д SтАля╗ЭтАм

тАля╗етАм

* ┘б┘в┘а = SтАл * я╗ЭтАмS `

= ┘в┘д =

тАля╗ЭтАм┘б┘а SтАля╗ЭтАм

тАля╗етАм

┼Б+SX

= ┘е┘а┘д┘а = ┘дтАля╗ЭтАм

тАля╗етАм

* ┘б┘в┘а = SтАля╗ЭтАм

тАля╗етАм

┘б┘а ┘в = X┘б┘а ┘б-

тАля╗етАм ┘еX * ┘б┘в┘а = ┘етАля╗ЭтАм тАл╪гтАм

= ┘вX┘б┘а + ┘бX┘б┘а + ┘б

┘в

тАля║▒тАм

(┘в)тАГ ┘г = ┘б *

┘б+┘ж - тАля╗етАм ` ┘ж

┘ж ┘б┘д

┼ВC + ┼Б C ┼БC тАл╪птАм

┼Г >S тАл╪гтАм

= S - ┼Е gzZ i V ┼А <┼ДXS┼о ┼А <SX┼Ж i ^ / 8 ┼А тАл╪итАм 2W> тАл╪гтАм

i ^r ┼А─┐5 ┼А─┐C + ....... + ┼Г5┼ГC +┼В 5┼ВC + ┼Б5┼БC + 5┼АC + ┼А = i(5 + ┼А) ]s_Wf lf 9 ┼З тАля║ЯтАм ┼Е тАл╪итАм ┼Г тАл╪гтАм ┼В*┼Г*┼Д ┼Б ┼Г*┼Д + 5 + 5 ┼Д┼Б + ┼А i ^ / 10 ┼Б ┼З ┼Б┼Г

┼Г тАл╪итАм

┼Д тАл╪гтАм

= i V ┼Б = 5 .kN lzyr 7 f i G6r─Ф i .'b i ^ / ┼А + i┼Б ( + 5C ) ]s_Wf lf 11 ┼А = C тАл╪птАм ┼Б = C тАля║ЯтАм C┼Б = тАл╪итАм ┼Б = C тАл╪гтАм ┼Б

.........................................

23 ╟║'f - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

r 2+f 3 6Opx `┬АZ y f x h 1 f :╚Яx╚Ъ 2*yf

: Z@ 2 [F : %7 ) 8 ┼Е Sa i ^ / 12

S ┼о i lf ─С^ ├К ."r ┼Е = S - i ┼о ┼А- Sa┼Е * ┼Г =

тАля║ЯтАм

i i ┼А-SX _ ┼Б-SX

┘иI ┘зI

gzZ ."r ┼Г =┼В-eae ┼о ┼Г┼Д =┼Б-iXi i ^ / 13

. S┼БX┼А+i gzZ ."r ┼Б┼А─┐ = SXi┼о ┼Д─┐┼Г─┐ = (┼А + S - i ) ............ (┼Б- i ) (┼А- i ) i i ^ / 14 ┼В +S┼ЖX

i gzZ ."r

.S ┼оi lf d^ gzZ ."r ┼Д =

┼Д +S┼БX

= S ┼Б +┼БSXi┼о ┼А┼Б─┐ = ┼ВXi i ^ / 15

i i ┼А -Sa _ Sa ┼о ┼Ж : ┼Д =

i i ┼А -SX _ SX i ^ /

. e Z1─Ф m0o lf qkys_ l_gy ┼В─┐─┐ lf 2 ^ z├К "r3 -┬╣ .N h^ ."r V ┼Д ┼о┼Г ┼о┼В ┼о┼Б ┼о┼А - .N─Ф ky.b i ^ / 18 ┼Б - SX

┼В= ┼А +i ┼А +i ┼Д ┼А -SX : SX ┼о ┼Ж┼Б─┐ = i i ^ / 19

┼А+i gzZ ."r

.S ┼оi lf d^ gzZ ."r ┼А -SXi * S┼Б

┼А-i┼Б *

┘ж*(┘ж - тАл)я╗етАм ┘з * (┘е-тАл)я╗етАм

┼И─┐ =

X┼А┼Б gzZ ."r

┼А +i *

┼И=

┼А +SX

┼Б+i i ^ /

┼А┼Б─┐ = Sai i ^ / 21 i ┬╢b gzZ dZ 7& h

............

+ ┼Б5 ┼БX┼А─┐ + 5┼АX ┼А─┐ + ┼А = ┼А─┐(5 + ┼А) i ^ / 23 ┼А─┐ ┼А─┐ ┼А─┐ ┼А─┐X + ............ + ┼БX + ┼АX + ┼А тАл╪гтАм

┼А─┐(┼В) +

h ┼оi gzZ ."r ┼о2;N

............

тАл╪итАм ┼А─┐ ┼А─┐ ┼А─┐ ┼А─┐X + ............ -┼БX + ┼АX - ┼А + ┼ВX┼А─┐ * ┼Е┼Г + ┼БX┼А─┐ * ┼И + ┼В─┐ + ┼А тАля║Я┘АтАм ┼А

b b .'b df Of tr 7y P 2b .'b df Of i ^ / i( + ┼Б5) ]s_Wf lf 24 5 .5 lf wb +b .'b gzZr 1 ."r ┼И = 5 f.kN i gzZ ."r ┼ДI * ┼БI = ┼Б(┼ВI) i ^ / i(5 + ┼А) ]s_Wf lf 25 ┼Д

:lf ─С^ ├К ."r ┼А┼АIdf Of ┼о ┼ИIdf Of lz w 7'b H6sb so ┼А┼И- i тАля║Я┘АтАм

┼А─┐I

df Of i ^ / i(5 + ┼А) ]s_Wf lf 26 i тАл╪итАм i тАл╪гтАм ┼Вa

5 ┼о i lf d^ gzZ ."r ┼Б┼А : ┼А┼Г : ┼Е = ┼ЕI: ┼ЖI: ┼ЗIi ^ / y.N ? b 5 tsZ 7& i(5 + ┼А) ]s_Wf lf 27 I f S gz[b 7kb ."r h ┼о y.N ? b 5 tsZ 7& i(5 + ┼А ) ]s_Wf lf ┼А+S lz 7kb ^ 28 SI

..& r lf 2 ^ 7kb 0o dO# w b S gzZ 7& r ┼А┼Б(5 + ┼А) ]s_Wf lf 7kb m0o qyr 7 f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

i SX *

i =i(Xi * i) + ... + (┼ГXi * ┼Г) + (┼ВXi * ┼В) + (┼БXi * ┼Б) + ┼АXi : ┼Ш─Я ┼Е─╛╦О─Я 22

:- #y wV `b/ e.+ 6 ┼А─┐5 ┼А─┐X┼А─┐ +

тАл я╗│я╗ия║Шя║Ю ╪г┘ЖтАм┘в ├╖ ┘б тАля║Ся╗Шя║┤я╗дя║ФтАм

.S ┼оi w gzZ ."r V ┼Е : ┼Г : ┼Ж =┼Б -SX┼А-i ┼Д :┼А -SXi : SXi i ^ / 17

┘ж

┼Ж┼Б─┐ тАля║ЯтАм

┼А + ....... + ┼В5 = 5 i V ┼А─┐┼Б┼Г = ┼Д5 ┼В┼Б ┼З тАл╪птАм ┼Е тАля║ЯтАм

┘б┘д ┘зI ┘в┘б = I

┘г *┘г ┘в *┘з

i i ┼А+SX + SX 1 .[gb X┼А+i тАл╪гтАм

┼Г <S тАл╪итАм

.........................................

┘б┘бI тАл я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм+ ┘йI тАл = я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм┘в ┘б┘аI тАл я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм┘б┘аI тАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм ┘б+┘б┘а -тАля╗етАм ┘й + ┘б┘б * =┘в ┘б┘а ┘б+┘й -тАля╗етАм ┘й -тАля╗етАм ┘й ++ =┘в ┘б┘а ┘и -тАля╗етАм

тАля║▒тАм = ┘б * ┘б+┘з┘з - тАл` я╗етАм

= i i V ┼В =

┼И

┘б┘д = тАл я╗етАм╪М ┘в┘г = тАл` я╗етАм ┘г (┘б)тАГ ┘з

тАл╪итАм

┘б┘б тАл я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║бтАм+ ┘йтАл = я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║бтАм┘б┘атАл я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║бтАм┘в

┘б*

┼А+SX

.........................................

┘б- = тАля║Ся╗оя║┐я╗К я║▒тАм тАл = я║╗я╗Фя║отАм+ ┘гX┘б┘а - ┘вX┘б┘а + ┘бX┘б┘а - ┘б ┘б┘а ┘д = тАл я║Ня╗Яя╗дя╗Фя╗Ья╗оя╗ЩтАм┘г = тАля║Ся╗оя║┐я╗К я║▒тАм

тАля║ЯтАм

= =-5┼Б i V ┼В┼Д = ┼ВX┼В- = ┼о ┼Б┼А─┐ = ┼Бa= + 5 i ^ / 7 ┼Б тАля║ЯтАм ┼А─┐ тАл╪итАм ┼Д тАл╪гтАм

┼Е тАл╪птАм

тАля╗етАм

┘б = тАля║Ся╗оя║┐я╗К я║▒тАм

┼А +i

┼Д >S тАля║ЯтАм

┼А тАл╪птАм

┘е = S тАл` я║Гя╗Чя╗Ю я╗Чя╗┤я╗дя║Ф я╗е я║Ся║ая╗Мя╗Ю я║Ня╗Яя╗Мя║Тя║Оя║ня║УтАм

┘е=тАля║╣ я╗етАм

┼А+SX

┼Д <S тАл╪птАм

........

┘е=

тАл╪птАм

i V ┼А-SX┼И < SX┼И i ^ / 6

┼А +i

i i ┼А-Sa _ Sa S- i тАл╪гтАм

┼А-S-i тАл╪итАм

тАл ╪зя╗Яя║Шя║Тя║О╪пя╗│я╗Ю ┘И╪зя╗Яя║Шя╗о╪зя╗Уя╗┤я╗Ц ┘Ия╗зя╗Ия║оя╗│я║Ф ╪░╪з╪к ╪зя╗Яя║дя║кя╗│я╗жтАм:тАл╪зя╗Яя╗оя║гя║к╪й ╪зя╗╖┘Ия▒ГтАм k R r 5 l

┘й=тАля╗етАм ┘б=тАля║▒тАм

┼А─┐- ┼о ┼А z 2 b wcN wo wbr─Ф ─С b -r.'b j ^ / y.N ? b 5 tsZ 7& i (5 e + ┼А) ]s_Wf lf 29 ┼В

.┼В = 5 f.kN ]s_Wgb 0o lf H6r─Ф .'b gzZ 7& h i ┼о e gzZ ."r ┼Б5┼Д ┼о 5

]s_Wf lf 5 lf wb +b .'b 1 tr 7 ┼Б┼А( ┼В - ┼Б5┼Б) ]s_Wf lf 5 lf wb +b .'b 1 j ^ / 30 5 ┼А . wj b ]s_Wgb lf lzG6r─Ф ly.'b lz 7kb ."r h i gzZ ."r i┼Б( + 5) 5

┘б ┘в

0o lf lzG6r─Ф ly.'b dO# w b 5 gzZ ."r h ┼Д5 df Of ."r ┼А┼В( ┼А + ┼В5┼Г ) ]s_Wf lf 31 5┼Б ┬╗ .& ."sy ─Р qj h lzyr 7 f ]s_Wgb . ]s_Wgb 0o wV 5 lf a *

┘б┘е - тАл я╗етАм┘г = ┘в┘д - тАля╗етАм┘д ┘г ┘з

┘зI ` ┘жI

┘з

. ─С b -r.'b 1r i gzZ ."r ┼Ж ┼о ┼Б┼А ┼о ┼В┼Д wo zb f -r.& ─С ─Сf Of j ^ / i(5 + ┼А) ]s_Wf lf 32

┘б ┘в

5 gzZ ."r P 7b .'b XOB tr 7y ┼А─┐(5 + ┼А) ]s_Wf lf H6r─Ф .'b i ^ / 33 ┬╗ .& wcN ts 'y i( ┼А + ┼Б5) ]s_Wf i ^ / 34 0o gzZ ."r h ┼о ┼В -.Ocb XN Cf i i V 5 lf a * 5 .┼А┼Б = i f.kN .'b

┘г ┘е

?5 gzZ gzV lzyr 7 f ┼А┼Ж(┼В+ 5┼Б) ]s_Wf wV i G6r─Ф i .'b i ^ / 35

тАля║бтАм┘в = ┘жтАл я║бтАм33

тАля║▒тАм

= ┘б * ┘б+┘ж┘ж- ┘б┘а ` ┘б ┘в

=тАля║▒тАм

┘е

=тАл я║▒тАм┘ж

-тАл(я╗етАм┘втАл )я║▒тАмS` ┘б j SXтАл = я╗етАм+ SI 34 ┘б тАля║▒тАм

─┐ = ┼Б5 + C i V zb3 k b 5 tsZ 7& ┼А┼Д( ┼А -5 ) ]s_Wf wV i G6r─Ф i .'b go ┼о C i ^ / 36

5 5┼Б ┼В y.N ? b 5 tsZ 7& i( + ) ]s_Wf wV P 2b .'b df Of wb 5- 7b .'b df Of 7j j ^ / 37 ┼В ┼Б

.i gzZ gV ┼Б┼Ж : ┼З tr 7y

.'b y┬╣ r 7f zb3 k b 5 tsZ 7& ┼Ж( ┼А┼Б + ┼Б5┼Б) ]s_Wf wV

┘г

=тАл *я║▒тАм┘з

┘бтАля║▒тАм

S ┘г = тАля╗етАм┘в

b b .'b dO# w b 5 gzZ ."r 38 .5- 7b

5 ┼оi lf d^ hzZ ."r V y.N ? b 5 tsZ 7& i(5 + ┼А) ]s_Wf lf ┼ЕI = ┼ДI ┼о ┼БI ┼Б┼Д ┼В = ┼ГI i ^ / 39

S┘г-тАля╗етАм┘в

тАл`я║▒тАм

тАля╗╗ я╗│я╗оя║Яя║к я║гя║к я║зя║Оя╗Э я╗гя╗ж я║▒ я║Зя╗╗ я║Ня║ля║Н я╗Ыя║Оя╗зя║Ц я╗е я╗гя╗Ая║Оя╗Ля╗ТтАм

i ^r .. + ┼Г5 ┼Гe + ┼В5 ┼Вe + ┼Б5 ┼Бe + 5 ┼Аe + ┼А = i(5 ┬╢" + ┼А ) :i ^r ┬╣ "sf 'z'> -┬╣ .N i i ^ / 40 ┬╣ ┬╢" ┼оi lf d^ gzZ ."r ┼Бe┼Г = ┼Гe ┼о ┼А┼Б = ┼Аe wo zb3 k b 5 tsZ 7& z 2 b wcN i(= + 5 ) ]s_Wf wV 8f +b r P 2b r b b :-r.'b j ^ / 41 .i ┼о = ┼о5 lf d^ gzZ ."r V ┼о┼А┼А┼Б─┐ ┼о ┼Г┼Г┼З ┼о ┼А┼А┼Б wo zb3 k b 5 tsZ 7& z 2 b wcN i(= +5 ) ]s_Wf wV P 2b r b b r wj b :-r.'b j ^ / 42 .i ┼о = ┼о 5 lf d^ gzZ ."r V ┼о ┼А─┐┼З─┐ ┼о┼Ж┼Б─┐ ┼о ┼Б┼Г─┐

┘б┘в

┘иX

=S ┘г тАля╗Яя╗ая╗Мя║кя║йтАм

┘в┘д

┘и = ┘г =S

= тАля║бтАм ┘й

┘и ┘жI тАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм ┘в┘з = ┘дI тАл я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм37

5 tsZ 7& ┼Б┼З ┼о┼Б┼Г ┼о┼А┼Д wo z 2 b wcN i(5 + ┼А ) ]s_Wf wV zb f -r.& ─С ─Сf Of j ^ / 43 ?-r.'b m0o 1r i gzV gV ┼о y.N ? b

тАля╗етАм┘в ┘г

┘жI тАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм ┘и ┘еI тАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм ┘в┘з = ┘дI тАл * я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм┘еI тАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм

╟║'f - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

┘в

┘и = ┘в┘з r 2+f 3 6Opx `┬АZ y f x h 1 f :╚Яx╚Ъ 2*yf

5┼Б

` i*

┘и ┘в┘з

. ┼А┼Б( ┼Б ┼В + 5┼Б ) ]s_Wf wV ."r 44 ┼В

_ ┼В5 wcN dg ;gb .'b ┼Б H6r─Ф .'b - ┼А : / >;

┘в ┘г ┘г ┘в

┘б+┘д -тАля╗етАм ┘б+┘е -тАля╗етАм * ┘д ┘е

┘г-тАля╗етАм ┘д -тАля╗етАм = ┘в * ┘д * ┘е ┘г

┼А - 5) - ┼Е( ┼А + 5) ]s_Wf wV 5 lf wb +b .'b ."r 45 5 5 i ┼В 7k^ P 7b .'b r 5- 7b .'b lz lzyr 7 f 2: Ob r P6 b .'b i ^ ( ┼Б5 + 5┼Б) ]s_Wf wV 46

┘й=тАля╗етАм

┼Е(

┬╗ .& wcN ts 'y ─Р ]s_Wgb i r i gzZ ."r V ┼о┼А┼Д : ┼З 5 lf a *

┼А┼Д5 df Of XOB ┼А─┐5 df Of dO# { b ┬╢" gzZ ."r ┼А┼Д(

-┘б┘е(┘втАл )я║▒тАмS` тАл я║Я┘АтАмj

┬╢" + ┼Б5) ]s_Wf wV 47

┘гтАля║▒тАм

┼В5

.lzG6r─Ф ly.'b wcf Of Msg#fr 5 lf wb +b .'b lz 7kb ."r ┼А┼Д( ┼А + ┼Б5) ]s_Wf wV 48 5

: ."r "sf (z'> -.N ] z& ┼З( ┼А + ]5) ]s_Wf wV 49 5

5 lf z┬╣ b * .& ├К ]s_Wgcb dO# w b ] hzZ тАл╪гтАм ┬╣ wV pzcN c?& w b hz[b 2 ^─Ф `b/r H6r─Ф .'b df Ofr 5 lf wb +b .'b lz 7kb тАл╪итАм .─Рr

┘г = SтАГтАГтАГ┘б┘е

┘б┘е =

┘б+

┘б┘атАл = я║▒тАмS┘е- ┘г-тАля║▒тАм

= S ┘е - ┘г┘а ╪М ┘д = S

: i V i5 i .. + ┼Б5 ┼БC + 5 ┼АC + ─┐C = i(5 + ┼А) : i ^ / 50 i ┼В ┼Б (┼А+ i ) i = iC + .. + ┼ВC + ┼БC + ┼АC

┼Б ┼А-iC ┼БC ┼АC ─┐C i┼В = C i ┼Б + .. + C ┼З + + C ┼Г+ C ┼Б+ C i ┼В ┼Б ┼А ─┐

тАл╪гтАм

┘б┘етАл я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║▒тАм┘в = ┘б┘атАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║▒тАм

тАл╪итАм

w b = gzZ ."r V 5 lf z┬╣ b * zb3 k b 5 tsZ 7& i( ┼Б ┼А + 5┼Б) ]s_Wf wV b b .'b i ^ / 51 5 ┼В─┐(┼В= + ┼А) ]s_Wf wV wj b .'cb y r 7f .'b 0o dO# ┬╣

┘дтАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║бтАм

.C gzZ ."r V ┼А─┐5 tr 7y H6r─Ф .'b df Of i ^ / ┼З( ┼А + ┼Б5) ]s_Wf wV 52 5C ┬╗ .& ."sy ─Р qj ┼А┼Г( ┼А - ┼Б5) ]s_Wf wV 53 .'b r P 7b .'b lz 7kb ."r h ┼о 5 lf a * 5

┘в=

┼А- = 5 f.kN ]s_Wgb 0o wV 5- 7b

f.kN i yr 7 f lzG6r─Ф ly.'b i h ┼о 5 lf wb +b .'b gzZ ."r ┼И ( ┼А + ┼Б5┼И) ]s_Wf wV 54 5┼В ┼А= 5 ┼В .'b r 5 lf wb +b .'b lz 7kb j ^ / r ┼о 5 lf wb +b .'b gzZ ."r ┼И( ┼А + ┼Б5) ]s_Wf wV 55 5

┘в = тАл` я║Я┘АтАм ┘г

. z[z['b 5 gzZ ."r V ┼о ┼Б:┼В tr 7 5- 7b

df Ofr i┼В5 df Of lz 7kb ."r V ┼Е = i j ^ / r ┼о i┼В 5 df Of ."r i┼В(

S-тАля╗етАм┘г

┼А + ┼Б5) ]s_Wf wV 56 5

тАля╗етАм┘г

тАля║▒тАм

тАля╗етАм

┘еI

тАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм

┘дI тАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм ┘б + ┘д - ┘б┘е тАля║Я┘АтАм ┘в= ` ┘б * ┘д

(┘втАл )я║▒тАмS` ┘б j

.H6r─Ф .'b

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

┘в = ┘етАл` я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║бтАм

тАля╗етАм┘гтАля║▒тАм

= ┘б + SI

= S┘г-тАля╗етАм┘жтАля║▒тАм

4-1 ┘б┘а( ┘б + тАл )я║▒тАм┘б

тАля║Ня╗Яя║дя║к я║Ня╗Яя║ия║Оя╗Яя╗░ я╗гя╗ж я║▒ я╗е я╗гя╗Фя╗Ья╗оя╗ЩтАм ┘втАля║▒тАм

┘гтАля║▒тАм S

-┘б┘атАл* я║▒тАм

┘б ` j ┘гтАля║▒тАм

тАл╪итАм

}lb 6 5 .

┼Р┼Д─╗├н─О├╖ ─Н├о├▓├╕─З├н

┘б ┘втАля║▒тАм

= ┘б + SI ┘втАл = я║▒тАм┘в- S┘г- S -┘б┘атАл` я║▒тАм ┘и- = S ┘д- ` ┘б┘а

............

┼Ж тАл╪птАм ..............................................

┼А тАл╪птАм ┼Г

= S i V ┼В+S┼ВIdf Of =┼Г+SI df Of i ^ / ┼А┼Ж(5 + ┼А) ]s_Wf lf 1 ┼А┼Ж тАля║ЯтАм ┼Г тАл╪итАм ┼В тАл╪гтАм

= 5 i V ┼А:┼В = lzG6r─Ф ly.'b lz 7kb j ^ / ┼Б┼Ж(5 + ┼А) ]s_Wf lf 2 ┼А тАля║ЯтАм ┼В тАл╪итАм ┼Г тАл╪гтАм ┼В

┼Б ┼Д┼З тАля║ЯтАм

┼Б ┼Д┼З - тАл╪птАм

..............................................

5 ) ]s_Wf lf P 2b .'b 4 :so ┼Е( ┼В +

┘в =S

┼Б5 ┼Б─┐

┘втАля║▒тАм

тАля║▒тАм тАл я║▒тАм┘б┘в ┘б┘а┘а-

┘б┘а = ┘гI `

=┘г

┼А─┐ ( 5┼ЕX

┘б+┘в-тАля╗етАм ` ┘в

тАл я║▒тАм┘б - = ┘втАл( я║бтАм┘б) ┘в┘д = тАл( я╗бтАм┘б - тАл)я╗етАм ┘д

тАля║ЯтАм

┼А

. i gzZ ."r ┼Д + i┼Е + ┼Бi = ┼ВXi + ┼БXii ^ / тАл ╪гтАм7 ┼А ) ]s_Wf wV 5 lf wb +b .'b gzZ ."r тАл╪итАм

┼В5 + 5 ) ( ┼Б5

i gzZ 7& h 5 ┼оi lf d^ gzZ ."r ┼БI┼Б┼Д

.i ┼оe lf d^ gzZ ."r ┼Б5

┼В ┼А─┐─┐

= ┼ГI ┼В i ^r ┼ЕI= ┼ДI i ^ / i (5 + ┼А ) ]s_Wf lf 8

i b b .'b i ^r 5 ┼А┼Г = wj b .'b i ^ / (5 e - ┼А ) ]s_Wf lf 9

gpkz 7kb j ^ / r ┼В-5 wcN dg ;y t0b .'b r H6r─Ф .'b ."r ┼А┼Б( ┼Б

┼Б 5┼В + ) ]s_Wf wV 10 ┼Б 5┼В .5 gzZ ."r ┼Ж┼Г tr 7

-.N wcN as?'cb - .N─Ф m0o f┬╣ .+ 7f ┼о pkys_ l_gy w b e Z1─Ф -.N ^ ┼о ┼Д ┼о┼Г ┼о┼В ┼о┼Б ┼о┼А e Z1─Ф ky.b 11 .┼Г─┐─┐ lf dZ

┘б┘а┘а

."r ┼о ┼А┼А : ┼Б┼Г : ┼Г─┐ wo i (

┘б = тАл я║▒тАГтАГтАГя╗е я╗бтАм┘б - = (тАл я╗б я║▒тАм- ) тАля╗етАм ┘бX ┘д ┘д ┘в┘д = тАл( я╗бтАм┘б - ┘б ) ` тАля╗бтАм┘д ┘б┘а┘а

┼А─┐5-

5 ┼Б─┐ тАл╪гтАм

so ┼Д(5 + ┼Б ) ┼Д(5 - ┼Б) ]s_Wf lf 2z*─Ф .'b 5 ┼Д5 - тАл╪итАм ┼Д5 тАл╪гтАм

┼А + S- i ┼А+SI = i i(5 + ┼А) ]s_Wf lf 6 S SI I ┼Ж i ^ / r i gzZ ."r ┼А┼ГIdf Of tr 7y ]s_Wgb 0o lf 5 gzZ ."r ┼А┼А = ┼А┼Б ┼ДI

┘вI

┘б┘д

тАля╗бя║▒тАм-

тАл╪птАм

тАл╪итАм

y.N ? b 5 tsZ 7& ┼А┼ВI df Of i ^ / r 5

┘г ┘б┘а┘а

= ┘б

┼А─┐5

┘вX

┼В

5 ┼Б─┐ 5

┼Б─┐ тАля║ЯтАм

тАл╪птАм

..............................................

тАля╗ля╗о я║Ня╗Яя║дя║к я║Ня╗Яя║ия║Оя╗Яя╗░тАм

= ┼Д(┼А - ┼Б ) - ┼Д(┼А + ┼Б ) 1 .[gb 3 ┼З┼Б тАл╪итАм ┼З┼Б- тАл╪гтАм

┼Б 5┼В + ) ]s_Wf wV P 7b r 5- 7b r 8f +b :-r.'b lz 7kb j ^ / 12 5┼В ┼Б

5 ┼оi lf ─С^ ├К

┘б = тАля╗етАм-` тАля╗бтАм┘д

╟║'f - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

┘ж = тАл я╗бтАм- ┘б┘д ┘в┘е ┘б ┘б┘а┘а

┘ж=тАля╗етАмa

┘в┘д - ┘в┘е ┘ж ┘б = - =тАля╗бтАм ┘в┘е ┘д ┘б┘а┘а ┘б ┘в┘е = =тАля╗етАм ┘б *┘д ┘б┘а┘а

=тАля╗бтАм

┘зтАл = я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║Ня╗Яя║дя║к я║Ня╗╖я╗ня║│я╗В = я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║бтАм┘б┘итАл` я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║▒тАм

┘б┘а

┘в┘б = ┘зI тАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм ┘е┘е ┘б┘аI тАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗ЮтАм

13 ┘в┘д ┘д┘а

(┘б)

┘в┘д ┘д┘а

┘б +┘е - тАля╗етАм ┘д ┘втАля║▒тАм┘й * ┘е ┘б┘б ┘в┘д

(┘в)

┘б┘б ┘в┘д

┘б +┘ж - тАля╗етАм ┘д ┘втАля║▒тАм┘й * ┘ж

┘жI ┘еI

┘б┘и

┘йX

7 ┘е + тАля╗етАм┘ж + ┘втАл = я╗етАм┘гXтАл я╗етАм+ ┘вXтАля╗етАм

┘д !=тАл`я║▒тАм ┘г

┘б┘и

┘жX

:тЙИ┬кcG├┤J Q├Й├С├аNG тАл я║Я┘АтАм5 тАГтАГтАл я║Я┘АтАм4 тАГтАГтАл я║ПтАм3 тАГтАГтАл я║Я┘АтАм2 тАГтАГтАл я║ГтАм1

┘зI ┘жI

┘б┘ж = тАл я║Ся║Оя╗Яя║Шя╗Мя╗оя╗│я║╛ я╗Ля╗ж я╗етАм┘б┘ж = тАл я╗│я╗ия║Шя║Ю я║Ня╗е я╗етАм┘в ╪М ┘б тАля╗гя╗жтАм

тАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║б = я╗гя╗Мя║Оя╗гя╗Ю я║бтАм ┘з

тАл╪гтАм

тАл` я║Ся║Оя╗Яя╗Фя╗ЪтАм

┘е + тАля╗етАм┘ж + ┘втАл= я╗етАм

(┘в- тАл( )я╗етАм┘б- тАля╗е )я╗етАм ┘ж

(┘б- тАля╗е )я╗етАм ┘в

┘б┘а = тАл( = я╗етАм┘б+тАл( )я╗етАм┘е+тАл )я╗етАм┘ж = (┘б+тАл( )я╗етАм┘б-тАля╗е )я╗етАм

‫‪Ò‬‬ ‫‪Ď ò ĀĿí :śōã‬‬

‫‪ôŔŇîüĿí óĊăŎĿí‬‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬

‫‪áÑcôŸG OGóYC’G‬‬ ‫‪Complex number‬‬

‫‪áÑcôŸG OGóYC’G‬‬ ‫‪Complex numbers‬‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﺔ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﺳﺒﻖ ﻭﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺎﺕ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻸﻋﺪﺍﺩ ‪ ،‬ﻓﻘﺪ ﺩﺭﺱ‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ ﺛﻢ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺛﻢ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺛﻢ‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺳﻮﻑ ﺗﺴﺘﻜﻤﻞ ﺣﻠﻘﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺑﺎﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫ﺃﻭ ﻣﺎﻳﻄﻠﻖ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻴﺔ ‪ Complex number‬ﻭﺗﺒ ًﻌﺎ ﻟﻬﺬﺍ‬ ‫ﺳﻨﺘﻄﺮﻕ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﺛﻢ ﻧﺘﻨﺎﻭﻝ ﻧﻈﺮﻳﺔ‬ ‫ﺩﻳﻤﻮﺍﻓﺮ ﻭﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬ ‫ﻭﺗﺘﻜﻮﻥ ﻫﺬه ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻣﻦ ﺛﻼﺙ ﺩﺭﻭﺱ‬ ‫اﻟﺪرس اﻷول‪ :‬ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻧﻰ‪ :‬ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺩﻳﻤﻮﺍﻓﺮ‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ :‬ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﻭﻗﺒﻞ ﺍﻟﺒﺪﺀ ﻓﻰ ﻋﺮﺽ ﺩﺭﻭﺱ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ‪ ،‬ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﻗﺮﺍﺀﺓ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﻓﻰ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺗﻮﺿﺢ ﺍﻟﻜﺜﻴﺮ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﻣﻜﺘﺸﻒ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ )ﺍﻟﻌﺎﻟﻢ ﺍﺭﺟﺎﻧﺪ(‪.‬‬

‫‪óĊăŎĿí ôŃĊĸŃ‬‬

‫‪ R ngY{ HÐí nhð dh[a> complex numbers p T}eUÐ ØÐ{LúÐ ÜÚØ Y éíÌ wí º xÛÚn UÐ hh nx}UÐ êĆLÌ Y ({in@ÚÌ }h=íÚ ën@) {_x‬‬ ‫@|‪ ] e= æí}_eUÐ ] eUÐ íÌ cZUn= p T}eUÐ ØÐ{LúÐ e>í ºphdh > êÌ phbhbA ÊÐ H ÐÚí‬‬ ‫‪px} UÐ ÓøØn_eUÐ he U ëÌ Ón ?Î‬‬ ‫‪ð‬‬

‫>‪Þ e>í º fh UÐ Ú eUÐ dL bhb UÐ Ø{_UÐ Ü rhA (Þ ºÜ) p]bf= nYÌ º{in@ÚÌ i}aUÐ Un_dU nex}c‬‬ ‫‪Argand Diagram‬‬ ‫‪ð‬‬ ‫=‬

‫‪ R æ}_ fH neT . 5 ¼-nK ngwn >Ðí ½Þ + ½Ü îín x nwÚÐ{bY (Vector) g Y phec= íÌ îØn[UÐ Ú eUÐ dL dh UÐ Ø{_UÐ‬‬ ‫‪nchYnfx{UÐí Ên=}gcUnT nf>nhA R B{> UÐ p T}eUÐ ØÐ{LúÐ dL Ónbh ]> Aí yh [UÐ {AÐ dU ph h_c UÐ Úí| UÐ dL Ò{A UÐ ì|w‬‬ ‫‪.ß}Y cZ= phýngfUÐ p h fUÐ UÎ é É UÐ dL ÒÚ{bUÐ ngU pi}Y ØÐ{LÌ w ØÐ{LúÐ ì|wí º pad eUÐ Ênx~haUÐ xØnhYí º ph fUÐ px}^fUÐí‬‬

‫‪óĊăŎĿí ıíĊŋã‬‬ ‫‪:o }gR 5Ǜ 1 ^ oyc o f Kf rk T^y ʘ v Z K?pȚ 4 [q 2S x 2*yf vp }Z‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪î Y R ( >}Y ÕÐíÛÌ) ànbf= nhă inh= bRÐ}Yí oT}eUÐ Ø{_UÐ ex‬‬ ‫‪ ?Ð{AÎ‬‬ ‫‪.oT}eUÐ Ø{_dU p_ UÐí ÜnhbeUÐ Ø{ x‬‬ ‫‪.oT}eUÐ Ø{_dU phHnHúÐ p_ UÐ æ}_ x‬‬ ‫‪.oT}eUÐ Ø{_dU ph d eUÐ Ú [UÐ æ}_ x‬‬ ‫‪.ng>nbh ]>í }RÐ exØ px}^i æ}_ x‬‬ ‫‪.oT}Y Ø{L îú phi fUÐ Úí| UÐ s f x‬‬ ‫‪.ng>naLn\Yí pxíÐ~dU ph d eUÐ o fUÐ pUø{= i ë n @ ºi ë n@ L } _x‬‬ ‫‪.ÓĆ d eT i n @í ºi n@ è caY æ}_ x‬‬ ‫‪.ÓĆ d eUÐ éĆB Y }dxíÌ ë inS s f x‬‬ ‫‪.oT}eUÐ Ø{_dU pad eUÐ Ú [UÐ h= x UÐ ç}J ]xí æ}_ x‬‬ ‫‪.yh [UÐ {AÐ dU ph h_c UÐ Úí| UÐ æ}_ x‬‬

‫‪36‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪ÕÚn Uí h T}Y xØ{L Ñ} Én U p_ UÐí ÜnhbeUÐ æ}_ x‬‬ ‫‪.neg e S‬‬ ‫‪.ph d eUÐ ÒÚ [UÐ R oT}eUÐ Ø{_UÐ dL phHnHúÐ Ónhde_UÐ î} x‬‬ ‫‪.yh [UÐ {AÐ dU ph h_c UÐ Úí| UÐ dL Ónbh ]> x‬‬ ‫‪.ph nx}UÐ ÓĆcZeUÐ A R p T}eUÐ ØÐ{LúÐ ê{ x‬‬ ‫‪ e\ > ph nxÚ ÓĆcZY A R Ñ Hn UÐ sYÐ}= _= ê{ x‬‬ ‫‪.p T}Y ÐØð Ð{LÌ‬‬ ‫‪.p T}eUÐ ØÐ{LúÐ dL Ñ}\UÐí e UÐ hdeL ÞÐ B s f x‬‬ ‫‪.p T}eUÐ ØÐ{LúÐ dL Ñ}\UÐí e UÐ hdeL ÞÐ B s f x‬‬ ‫‪. hbRÐ} eUÐ xØ{_UÐ ÞÐ B s f x‬‬ ‫‪yh [UÐ {AÐ dU ph h_c UÐ Úí| UÐ ÞÐ B s f x‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ ﻳﻤﺜﻞ ﺟﺬﺭ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻋﻠﻲ ﺷﻜﻞ ﺍﺭﺟﺎﻧﺪ‬ ‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﻰ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‬

‫ﻣﺨﺮﺟﺎت اﻟﺘﻌﻠﻢ ‪:‬‬

‫ ﻳﻤﺜﻞ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﻫﻨﺪﺳ ًﻴﺎ‬

‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬه اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﻳﻜﻮن اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎد ًرا ﻋﻠﻰ أن‪:‬‬

‫ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺮﺍﻓﻖ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬

‫‪ C ، ~+ C‬ﺕ ‪~ +‬‬

‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﻌﻨﻰ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ‬

‫ ﻳﻮﻇﻒ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺩﻳﻤﻮﺍﻓﺮ ﻓﻰ ﺣﻞ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ‬

‫ ﻳﻤﺜﻞ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﺑﻴﺎﻧ ًﻴﺎ‬

‫ ﻳﺤﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺭﻳﺎﺿﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ‬

‫ ﻳﻤﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧ ًﻴﺎ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻣﺮﻛﺒﻴﻦ‬

‫ ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻓﻰ ﺣﻞ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ‪.‬‬

‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺳﻌﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ‬

‫ ﻳﻮﻇﻒ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻟﺴﻌﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻓﻰ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤﻴﺎﺗﻴﺔ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﺒﻴﺌﺔ‪.‬‬

‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫ ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺴﻌﺔ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ‪.‬‬

‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻟﺴﻌﺔ ﻟﺤﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻣﺮﻛﺒﻴﻦ ﻭﺧﺎﺭﺝ زﻣﻦ ﺗﺪرﻳﺲ اﻟﻮﺣﺪة ‪:‬‬ ‫‪ ٦‬ﺣﺼﺺ‬ ‫ﻗﺴﻤﺘﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺩﻳﻤﻮﺍﻓﺮ ﻷﺱ ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺩﻳﻤﻮﺍﻓﺮ ﻷﺱ ﻧﺴﺒﻰ ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ‬

‫‪30‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ﻣﻜﺎن اﻟﺘﺪرﻳﺲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ‬

‫‪ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ‬‬ ‫‪{in@ÚÌ î Y Ñ‬‬

‫‪Argand diagram‬‬

‫‪ RÐ}Y Ñ‬‬

‫‪conjugate‬‬

‫‪ÜnhbY Ñ‬‬

‫‪Modulus‬‬

‫‪phHnHÌ p_H Ñ‬‬

‫‪principle omplitude‬‬

‫‪p d Y Ú É Ñ‬‬ ‫‪}RÐ exØ px}^i Ñ‬‬

‫‪Trigonmetric‬‬

‫‪ h_c> Ú|@ Ñ‬‬

‫‪cubic root‬‬

‫‪demoivres thearem‬‬

‫‪Ò{A UÐ Ò}ýÐØ Ñ‬‬

‫‪Unitcircle‬‬

‫‪Ú|@ Ñ‬‬

‫‪root‬‬

‫‪ _h=}> Ú|@ Ñ‬‬

‫‪ ]S Ñ‬‬

‫‪Polar‬‬

‫‪square root‬‬

‫‪óĊăŎĿí đōčĉ‬‬

‫‪ľëîēŎĿíō õíōĉŗí‬‬ ‫‪:(¼-½) ÜÚ{UÐ‬‬

‫‪phedL p HnA pUË Ñ‬‬

‫‪:(½-½) ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪:(¾-½) ÜÚ{UÐ‬‬

‫‪oT}eUÐ Ø{_dU ph d eUÐ ÒÚ [UÐ‬‬ ‫‪}RÐ exØ px}^i‬‬ ‫‪yh [UÐ {AÐ dU ph h_c UÐ Úí| UÐ‬‬

‫‪óĊăŎŀĿ ŐńŔĨň÷ ĢĤĈŃ‬‬ ‫‪ôòĻĎńĿí ĉíĊīśí‬‬

‫‪ðĻĎńĿí ĉĊĬŀĿ ôŔüŀüńĿí óčŎĜĿí‬‬ ‫‪ĊŇîÿčã ŏŎøĔŃ‬‬

‫‪ĎĳíŎńœĉ ôœĎĨŇ‬‬ ‫‪ĂŔĄě ĉĊī ŏŗ‬‬

‫‪ĂŔĄĜĿí ĊăíŎŀĿ ôŔòŔĬļøĿí čōČĀĿí‬‬

‫‪ðÿŎŃ ŐòĔŇ ĉĊī ŏŗ‬‬

‫‪ŐŇîŔòĿí ľŔüńøĿí‬‬ ‫‪ðĻĎńĿí ĉĊĬĿí čōČÿ‬‬ ‫‪ĉĊĬĿí đîŔĸŃ‬‬ ‫‪ðĻĎńĿí‬‬

‫‪ðĻĎńĿí ĉĊĬĿí ôĬē‬‬

‫÷‪čōČÿ ľŔüń‬‬ ‫‪ðĻĎńĿí ĉĊĬĿí‬‬ ‫‪ľļė Őŀī‬‬ ‫‪ĊŇîÿčã‬‬

‫‪čōČĀĿí ęíŎć‬‬ ‫‪ĊăíŎŀĿ ôŔòŔĬļøĿí‬‬ ‫‪ĂŔĄĜĿí‬‬ ‫‪čōČĀĿí ęíŎć‬‬ ‫‪ĊăíŎŀĿ ôŔòŔĬļøĿí‬‬ ‫‪ĂŔĄĜĿí‬‬

‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻭﺗﻤﺜﻴﻠﻪ ﻫﻨﺪﺳ ًﻴﺎ ﻭﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻲ ﻣﺮﺍﻓﻖ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ‪، ~+ C‬‬

‫÷‪čōČĀĿí ľŔüń‬‬ ‫‪ĊăíŎŀĿ ôŔòŔĬļøĿí‬‬ ‫‪îŔēĊňŋ‬‬

‫‪ĪńĀĿ ôĬĔĿíō đîŔĸńĿí‬‬ ‫‪ņœĉĊī ïĎğō āĎģō‬‬ ‫‪îńŌøńĔķ ýčîćō ņŔòĻĎŃ‬‬

‫اﻟﻤﺨﻄﻂ اﻟﺘﻨﻈﻴﻤﻰ ﻟﻠﻮﺣﺪة ‪:‬‬ ‫ﻳﺘﻨﺎﻭﻝ ﺍﻟﻤﺨﻄﻂ ﺍﻟﺘﻨﻈﻴﻤﻰ ﻟﻠﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﻭﻳﺘﻔﺮﻉ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻭﻧﺘﻨﺎﻭﻝ ﺑﺎﻟﺘﻔﺼﻴﻞ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺍﺭﺟﺎﻧﺪ‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻪ‪ ،‬ﻭﻛﺬﻟﻚ ﻧﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻲ ﻣﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺳﻌﺘﻪ‪ ،‬ﻭﻧﺘﻨﺎﻭﻝ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻟﺴﻌﺔ ﻟﺤﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻋﺪﺩﻳﻦ‬ ‫ﺻﺤﻴﺤﻴﻦ ﻭﺧﺎﺭﺝ ﻗﺴﻤﺘﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺟﻬﺔ ﺃﺧﺮﻯ ﻧﺘﻄﺮﻕ ﺇﻟﻰ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺩﻳﻤﻮﺍﻓﺮ ﻷﻯ ﻋﺪﺩ‬ ‫ﺻﺤﻴﺢ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﻷﻯ ﻋﺪﺩ ﻧﺴﺒﻰ ﻣﻮﺟﺐ ﺛﻢ ﻧﻮﺟﺪ ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ﻭﺃﺧﻴﺮﺍ ﻧﺘﻨﺎﻭﻝ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻭﺗﻤﺜﻴﻠﻪ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺍﺭﺟﺎﻧﺪ‬ ‫ً‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻭﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ‬ ‫‪ C‬ﺕ ‪.~ +‬‬

‫‪ĉíĊīŗí ĶĳíĎŃ‬‬

‫‪~ + õC i~+ C‬‬

‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪37‬‬

‫ﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻢ‬ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺹ )‪ (٣٨‬ﺇﻟﻰ ﺹ )‪(٦٣‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻭﺍﻟﺤﻮﺍﺭ‪-‬‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪ -‬ﺍﻻﻛﺘﺸﺎﻑ‬ ‫اﻟﻮﺳﺎﺋﻞ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺃﻗﻼﻡ ‪ -‬ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺣﺎﺳﺐ ﺁﻟﻰ ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫ﺗﺘﻤﺜﻞ ﻓﻰ ﺍﻻﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺸﻔﻬﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺤﺮﻳﺮﻳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ ﻭﺍﻟﺠﻤﺎﻋﻴﺔ ﻗﺒﻞ‬ ‫ﻭﺑﻌﺪ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺲ‪ ،‬ﻭﻓﻰ ﺃﺛﻨﺎﺀ ﺍﻟﺪﺭﺱ ‪ ،‬ﺍﻷﻧﺸﻄﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‪ ،‬ﻭﺳﻠﻢ‬ ‫ﺍﻟﺘﻘﻴﻴﻢ ﻟﻸﻧﺸﻄﺔ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻮﺩﺓ ﺑﺎﻟﻮﺣﺪﺓ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺘﻜﺎﻟﻴﻒ ﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﺠﻤﺎﻋﻴﺔ ﻭﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺮﺍﻛﻤﻰ )ﺗﻘﻴﻴﻢ ﺫﺍﺗﻰ(‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪31‬‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬

‫‪1-2‬‬

‫‪ôŔŇîüĿí óĊăŎĿí‬‬

‫‪ÖcôªdG Oó©∏d á«ã∏ãªdG IQƒ°üdG‬‬

‫‪1-2‬‬

‫‪Polar form of a complex number‬‬

‫‪łŀĬø÷ ıŎē‬‬

‫‪Trigonometric form a complex number‬‬

‫ ' & ‪"# $ %‬‬ ‫* ) (‬ ‫ ' & ‪+,% - .$‬‬ ‫ ‪(/ #‬‬ ‫ ‪("# $ %‬‬ ‫ ‪("# $ %‬‬ ‫ ‪("# $ % 0‬‬

‫ﺧﻠﻔﻴﺔ‪:‬‬

‫ ‪("# $ % $ 1‬‬ ‫ ‪23 '! 4 * $‬‬ ‫ ‪(56 7 8 9* / # +,%‬‬

‫ﺳﺒﻖ ﻭﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﻋﻠﻲ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ‬ ‫ﻉ = ﺱ ‪ +‬ﺕ ﺹ ﺣﻴﺚ ﺱ ‪ ،‬ﺹ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ ،‬ﺕ‪، ١- = ٢‬‬ ‫ﻭﺍﺳﺘﻜﻤﺎﻻ ﻟﺬﻟﻚ ﺳﻮﻑ ﻧﺪﺭﺱ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺻﻮﺭ ﺍﺧﺮﻯ ﻟﻜﺘﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻭﻫﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﻤﺜﻴﻞ‬ ‫ﺫﻟﻚ ﺑﻴﺎﻧ ًﻴﺎ‬

‫‪ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪Conjugate‬‬ ‫‪Modulus‬‬

‫ ‬

‫‪Principle amplitude‬‬

‫ ! ‬

‫‪Trigonmetric form‬‬

‫‪ôŃĊĈøĔńĿí õíōĉŗí‬‬ ‫ ‬ ‫‪Scientific calculator‬‬

‫‪ ‬ميﺜﻞ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ ﰱ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺍﺭﺟﺎﻧﺪ‬ ‫‪ ‬ميﺜﻞ ﳎﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻣﺮﻛﺒني ﺑﻴﺎﻧ ًﻴﺎ‬ ‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ‬ ‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺳﻌﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ‬ ‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﺍﳌﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻟﺴﻌﺔ ﳊﺎﺻﻞ ﴐﺏ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻣﺮﻛﺒني ﻭﺧﺎﺭﺝ‬ ‫ﻗﺴﻤﺘﻬﲈ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﳛﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﳌﺮﻛﺒﺔ ‪.‬‬ ‫اﻟﻤﻮاد اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬

‫‪:á«JQÉμjódGh á«Ñ£≤dG äÉ«KGóME’G‬‬ ‫ ‪d [ r 2 .b wcN P[ (= Ů 5 ) C ŮH o2GZ X?j asF 2 - d gy d [gb d_;b‬‬ ‫‪. i yr 3‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫" ‪=i‬‬ ‫" ‪= i‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪H‬‬ ‫= = ‪i " H‬‬ ‫‪i " H = 5‬‬ ‫‪= ŀ‬‬‫=‬ ‫‪ts 7gb kcf / r‬‬ ‫&‪ J = i: i t ( = J Ů Ł= + Ł5 = H z‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‪ "sgb 4#b wcN w G[b 1s'gb \ Gky z' w GZ ts 7f qj wcN w 1 _y.b‬‬ ‫‪. 8_Ob r z 1 _y- wb z G[b z .&Ė dys' kk_gy qj V kz7b 1s'gb‬‬

‫‪Argand diagram‬‬

‫ ‬

‫أﻫﺪاف اﻟﺪرس‪:‬‬

‫‪ 1s?b wcN q ^ l_gy ^2gb -.Ob i gcNr Ů ^2gb - .NĔ 61- i \ 6‬‬ ‫‪wV r ŀ - = Ł Ů i z[z[& i -.N = Ů 5 z& , = + 5 = M‬‬ ‫‪. zÊ j z qcz g zWz^r Ů ^2gb -.Ob _b t2* 1s> wcN U2O j Us6 51.b 0o‬‬

‫‪á«JQÉμjO äÉ«KGóMG ≈dEG á«Ñ£≤dG äÉ«KGóME’G πjƒëJ‬‬ ‫ ‪ z G[b z .&Ė wV C G[kb j ^ /‬‬ ‫ ‬ ‫‪8Wkb z 1 _y.b z .&Ė i V (i Ůa ) wo‬‬ ‫‪ , C‬‬ ‫ ‬ ‫‪H‬‬ ‫ ‪: z& (= Ů5 ) wo G[kb‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪i " a = = Ů i " a = 5‬‬ ‫ ‪(i " a Ů i " a ) = (= Ů5)ƅ:‬‬ ‫‪ófÉLQCG iƒà°ùe‬‬ ‫‪ z .& ts 7f wcN zÊ j z M ^2gb -.Ob dz g " " wB y2b hb Ob e Z‬‬ ‫‪dO"r ^2gb -.Ob lf w[z['b 4#b d gy /5 5 w[VĔ 1s'gb dO"r Ů .f O f‬‬ ‫ ‪w b G[kb is_ V . ^2gb -.Ob lf wcz+ b 4#b d gy /= = w6 2b 1s'gb‬‬ ‫ &‪= + 5 ^2gb -.Ob d g (= Ů5) pz .‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪i L&đj 1r #gb .j "1 d_: wV 1‬‬ ‫ ‪Ů ŁM ly-.Ob iđ g lz cb lz G[kb‬‬ ‫‪.(r) d>Ĕ G[kb 7kb i c g f‬‬

‫‪ŁM -‬‬

‫ = ‪ +‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ = ‪ + −‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ − − −‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫ ‬ ‫‪ − − = −‬‬ ‫ = ‪ −‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪38‬‬

‫اﻟﺘﻬﻴﺌﺔ‪:‬‬ ‫ ﺍﺳﺘﺮﺟﻊ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻻﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ )ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ(‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﻘﺪﻣﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻋﻦ ﻣﻜﺘﺸﻒ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫ﻭﻣﺪﻯ ﺍﻫﻤﻴﺘﻬﺎ ﻓﻰ ﺗﻘﺪﻡ ﺍﻟﻌﻠﻮﻡ ﺍﻷﺧﺮﻯ‪.‬‬

‫اﺟﺮاءات اﻟﺪرس‬ ‫ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﻄﺒﻴﺔ ﻭﺍﻟﺪﻳﻜﺎﺭﺗﻴﺔ‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ )اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ(‬ ‫ﻭﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻣﻊ ﺇﻋﻄﺎﺀ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻵﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻭﺍﻟﺤﻮﺍﺭ ‪ -‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ‬ ‫ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ‪.‬‬ ‫ ﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺔ ) ‪ ( ٣ ٣ ،٣‬ﺇﻟﻰ ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻗﻄﺒﻴﺔ‬ ‫ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ‬

‫ﻣﻜﺎن اﻟﺘﺪرﻳﺲ‪:‬‬

‫=‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ‬

‫)‬

‫‪3‬‬

‫√‬

‫)‪( ,‬‬

‫)‬

‫‪3 SHIFT‬‬

‫)‪(pol‬‬

‫‪SHIFT +‬‬

‫ﺗﻌﻄﻰ ‪i = 60% ، r = 6‬‬

‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ ‪:‬‬

‫ﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺹ )‪ (٣٨‬ﺇﻟﻰ ﺹ) ‪(٤٩‬‬ ‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻻﻧﺘﺮﻧﺖ(‬

‫ ﺍﻋﺪ ﻣﺜﺎﻝ ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﻨﺎﻗﺪ ﺹ)‪ (٣٩‬ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻟﻄﻼﺑﻚ‬ ‫ﻭﻧﺎﻗﺶ ﺍﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺍﺭﺟﺎﻧﺪ ‪.‬‬ ‫ ﺳﺎﻋﺪ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺍﺭﺟﺎﻧﺪ‬ ‫ﻟﻠﺘﺪﺭﻳﺐ ﻋﻠﻴﻬﺎ‬

‫‪32‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫اﻟﺼﻮرة املﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد املﺮﻛﺐ‬ ‫‪1-2‬‬

‫ ‪ b6Ȟ 12Sgf #g#Ȟ 5yCf‬‬

‫^‪5 5 1s'gcb 7kb i c g f ŀM ŮŀM lz[V 2 gb ly-.Ob iđ g lz cb lz G[kb i L&đj `b0‬‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎت اﺿﺎﻓﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‪:‬‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬

‫‪/‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪:- .NĔ lf d^ .j "1 d_: wcN dÍ f¼ 1‬‬ ‫‪M + ŀƄƅŮƅM -ƄƅŮƅ M ƄƅŮƅ Ń + ł = M‬‬

‫ﺱ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ ‪١‬‬ ‫‪The modulus and the amplitude (argument) of a complex number‬‬

‫"! ‪wV (= Ů 5)M G[j qc g ¹ ^2f -¹ .Nƅ = + 5 = Mƅ‬‬ ‫‪4f2y r . r d>Ĕ G[j lN m.O ½ so M -.Ob 5 z[f i V Ů.j "1 ts 7f‬‬ ‫‪:is_yr Ů ^2gb -.Ob O7 iwg7 r a r |M| 4f2b M -.Ob 5 z[gb‬‬ ‫‪= ŀ- J = iƅt i ƅƅ = = i JƅƅŮƅƅ Ł= + Ł5 = a‬‬ ‫‪5‬‬

‫ ‬

‫ ‪ ,‬‬ ‫‪#‬‬

‫ ‬

‫‪5‬‬

‫ ‬

‫‪ÖcôªdG Oó©∏d ( á«Ñ£≤dG) á«ã∏ãªdG IQƒ°üdG‬‬

‫‪i‬‬

‫أ ‪arĔ P 2b wV P[ i i V Ŀ < = Ů Ŀ < 5‬‬ ‫ب ‪wj b P 2b wV P[ i i V Ŀ < = Ů Ŀ > 5‬‬ ‫ﺟ ‪b b P 2b {V P[ i i V Ŀ > = Ů Ŀ > 5‬‬ ‫د ‪P 2b P 2b wV P[ i i V Ŀ> = Ů Ŀ < 5‬‬

‫=‬ ‫‪( ) ŀ- J = i‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= ŀ‬‬‫‪( ) J + r= i‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪( ) ŀ- J + r-= i‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= ŀ‬‬‫‪( ) J =i‬‬ ‫‪5‬‬

‫ ‬

‫’‪¿CG ßM‬‬ ‫‪Ŀ = ii V Ŀ = = ŮĿ<5‬‬ ‫‪Ŀ = ii V Ŀ = = ŮĿ > 5‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪: z Ē ^2gb - .NĔ lf d_b z6 6Ĕ O7b r 5 z[gb ."r 2‬‬ ‫ب ‪ - ŀ - = ŁM‬‬ ‫أ ‪ + ł - = ŀM‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪: i V = + 5 = M : wo ^2gb -.Ob 1s> a‬‬ ‫أ ‪ŀ = =ƅƅƅŮƅƅ ł - = 5‬‬ ‫` ‪wj b P 2b wV P[y ŀM -.Ob‬‬

‫ ‪ , −‬‬ ‫ ‬

‫‪i‬‬

‫‪= Ł(ŀ) + Ł( ł -) = Ł= + Ł5 = a‬‬ ‫‪rń = r - r = ( ŀ- ) ŀ - F + r = i‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪ł‬‬

‫‪Ł= Ń‬‬

‫‪39‬‬

‫ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺗﻌﻠﻢ‪ :‬اﻟﻤﻘﻴﺎس واﻟﺴﻌﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻤﺮﻛﺐ‪:‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﻘﺼﻮﺩ ﺑﺎﻟﻤﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫ﺣﻴﺚ ﻣﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻉ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ |ﻉ|‬ ‫ﺃﻯ |ﻉ| =‬

‫ ‬

‫ﺱ = ﻝ ﺟﺘﺎ‪i‬‬

‫ﻭﻳﻔﻀﻞ ﺃﻥ ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ﻇﺎ‪ = i‬ﺱ ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ‬ ‫ﺹ‬ ‫ﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻈﻞ ﻫﻰ ﻇﺎ‪ ١-‬ﺱ ﺗﻌﻄﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ‪.i‬‬ ‫ﻻﺣﻆ أن ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺪﺍﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻌﺔ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﺄﺧﺬ ﻋﺪ ًﺩﺍ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺨﺘﻠﻒ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻋﻦ ﺍﻷﺧﺮﻯ ﻟﻌﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻦ‬ ‫ﻼ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﺭﺍﺕ ﻷﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ i‬ﻋﺪﺩ ﻣﺮﻛﺐ )ﻉ( ﻓﺈﻥ ﻛ ً‬ ‫ﺃﻳﻀﺎ ﺳﻌﺔ ﻟﻨﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫‪ ٢ + i‬ﻥ ‪ r‬ﺣﻴﺚ ﻥ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻰ ﻳﻜﻮﻥ ً‬ ‫ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ )ﻉ(‪.‬‬

‫ﺹ‪٢‬‬

‫ﻻﺣﻆ أن ﺳﻌﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﺻﻔﺮ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭﺫﻟﻚ ﻷﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ‬ ‫ﺍﻟﺼﻔﺮﻯ ﻟﻴﺲ ﻟﻪ ﺍﺗﺠﺎه‪.‬‬ ‫ﻻﺣﻆ ً‬ ‫أﻳﻀﺎ أن ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﻋﻨﺪ ﺍﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻣﻦ ﻗﻴﺎﺱ‬ ‫ﺳﻴﺘﻴﻨﻰ ﺇﻟﻰ ﻗﻴﺎﺱ ﺩﺍﺋﺮﻯ ﻭﺑﺎﻟﻌﻜﺲ‪.‬‬

‫‪ci‬‬ ‫‪= ١٨٠‬‬

‫‪Ei‬‬

‫‪r‬‬

‫‪:≈aÉ°VEG øjôªJ‬‬

‫وﻧﻼﺣﻆ أن ع ﻋﺪد ﻏﻴﺮ ﺳﺎﻟﺐ ﺑﻤﻌﻨﻰ أن‪:‬‬

‫) ﺃ ( ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻟﺴﻌﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻉ = ‪ - ٣‬ﺕ‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻉ = ‪٠‬‬ ‫ﻉ‪ ٠ G‬ﻭﺃﻥ | ﻉ| = ‪٠‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﻘﺼﻮﺩ ﺑﺎﻟﺴﻌﺔ ﺣﻴﺚ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻠﺴﻌﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪، i‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ r H i > r -‬ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﺴﻤﻰ ﻓﻲ ﻫﺬه ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺴﻌﺔ‬ ‫ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻉ‬ ‫‪1‬‬

‫ ‬

‫‪i‬‬

‫ ‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫ﺱ‪+ ٢‬‬

‫ ‬

‫‪،‬‬

‫ﺱ‪ + ٢‬ﺹ‪٢‬‬

‫ ‬

‫ﺹ‬

‫‪r = ii V Ŀ< = Ů Ŀ= 5‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪r- = ii V Ŀ >= Ů Ŀ = 5‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫ ‬

‫ﺟﺎ‪ = i‬ﻝ =‬

‫ ‪ ,‬‬

‫ﺹ = ﻝ ﺟﺎ ‪i‬‬

‫‪Polar form of a complex number‬‬

‫ ‪qj V [ rŮ r- [ǽ i z& i z6 6Ĕ q O6r ¹ ^2f -¹ .N = + 5 = M i ^ /‬‬ ‫‪: z Ē Đ 'cb O¹ i 5 zZ -.' yr (i " + i ") a = M 1s?b _y‬‬

‫ﺹ‬

‫ ‬

‫‪،‬‬

‫ﺱ‪ + ٢‬ﺹ‪٢‬‬

‫ﺹ‬

‫ﺃﻯ‬

‫ ‬

‫ﺱ‬

‫ﺟﺘﺎ‪ = i‬ﻝ =‬

‫‪..j "1 d_: wcN Ł tr 7y w[z['b o 4" w b M ^2gb - .NĔ Pzg" qc g t0b f :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬

‫‪ÖcôªdG Oó©∏d á©°ùdGh ¢SÉ«≤ªdG‬‬

‫‪1-2‬‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬

‫‪ a‬ﻉ=‬ ‫|ﻉ|‬

‫‪- ٣‬ﺕ‬ ‫=ﻝ=‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ‪ ١‬ص ‪٣٩‬‬

‫` ﺱ = ‪ ، ٣‬ﺹ =‪١-‬‬ ‫ﺱ‪ + ٢‬ﺹ‪٢ = ٢‬‬

‫ﺹ‬

‫ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺴﻌﺔ ﻇﺎ ‪ ١-‬ﺱ = ﻇﺎ ‪) ١-‬‬ ‫ﺱ<‪٠‬‬

‫ = ‪ +‬‬ ‫ ‪ +‬‬

‫‪r‬‬

‫‪١+‬‬ ‫‪٣‬‬

‫(=‬

‫‪r‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪r‬‬

‫ﻉ = ‪ ) ٢‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٦‬ﺕ ﺟﺎ ‪( ٦‬‬ ‫ ‬

‫ = ‪ −‬‬

‫‪ −‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪33‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ :‬اﻷﻋﺪاد املﺮﻛﺒﺔ‬ ‫ ‪ b6Ȟ 1 2RȚ : p #f 2*yf‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ‪ :‬اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬

‫ب ‪ŀ - = =ƅŮ Ƅŀ - = 5‬‬ ‫` ‪b b P 2b wV P[y ŁM -.Ob‬‬

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﻟﻺﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪:‬‬ ‫‪ 2‬ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ )‪(٢‬‬ ‫أ ﻝ= ‪، ٢= ٢+٢‬‬ ‫ب ﻝ= ‪٢ ٣+١‬‬ ‫ﺟ ﻝ=‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪٣‬‬

‫د ﻝ=‪٥‬‬

‫‪،‬‬

‫‪Ł = Ł(ŀ -) + Ł(ŀ -) = Ł= + Ł5 = a‬‬ ‫‪rł - = r + r - = ( ŀ ) ŀ - F - r - = i‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪=i‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪=i‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪r‬‬‫‪-=i‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ł‬‬

‫‪ −‬‬ ‫ ‪ − , −‬‬

‫‪i‬‬

‫ ‬

‫‪: z Ē ^2gb - .NĔ lf d_b z6 6Ĕ O7b r 5 z[gb ."r 2‬‬ ‫ب ‪- ŀ = ŁM‬‬ ‫أ ‪ Ł + Ł = ŀM‬‬ ‫د ‪ń= M‬‬ ‫ﺟ ‪ ł -= M‬‬

‫‪¿CG ôcòJ‬‬

‫‪ ł‬‬

‫‪= ci‬‬ ‫‪cŀŇĿ‬‬

‫‪Ń‬‬

‫ ( |‪| M- | = |M-| = | M | = |M‬‬ ‫ ( ‪= M M‬‬

‫|‪Ł|M‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪M Ů M Ů M- - .NĔ lf d_b z6 6Ĕ O7b ."r V iwo M -.Ocb z6 6Ĕ O7b j ^ / :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫^‪: z c gb 1s?b z Ē ^2gb - .NĔ lf đ‬‬ ‫‪Ê ^ 3‬‬ ‫‪ń‬‬ ‫ﺟ‬ ‫أ ‪ ł Ł - Ł = ŀM‬ب ‪ Ń - = ŁM‬‬ ‫‪ - Ł - = łM‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ ﻫﻮ ﻣﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ‬

‫د ‪Ł - = ŃM‬‬

‫ ‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫ﻉ = ﺱ ‪ +‬ﺕ ﺹ ﺣﻴﺚ ﻉ ‪ ٠‬ﻭﻛﺎﻥ‪ i‬ﺍﻟﺴﻌﺔ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬

‫‪:i V `b0b = + 5 : wo ^2gb -.Ob 1s> a‬‬ ‫أ ‪ł Ł - = =ƅŮƅŁ = 5‬‬ ‫` ‪P 2b P 2b wV P[y ŀM‬‬

‫ﺱ = ﻝ ﺟﺘﺎ ‪i‬‬

‫‪= |ŀM| = a‬‬

‫‪Ł= + Ł5‬‬

‫ ‬ ‫‪ −‬‬ ‫= )‪Ń = ŀŅ = Ł( ł Ł -) + Ł(Ł‬‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫‪i‬‬

‫‪r - = ( ł Ł )ŀ - J - = i‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫ﺹ = ﻝ ﺟﺎ ‪i‬‬

‫` ‪(i " + i ") a = ŀM‬‬ ‫‪(( rł- ) " + ( rł- ) ") Ń = Ƅƅ‬‬

‫` ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻝ ﺑﺎﻟﺼﻮﺭﺓ‬ ‫ﻉ=ﺱ‪+‬ﺕﺹ‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪40‬‬

‫ﻉ =ﻝ ﺟﺘﺎ‪ + i‬ﺕ ﻝ ﺟﺎ‪i‬‬

‫` ﻉ = ﻝ ) ﺟﺘﺎ ‪ +i‬ﺕ ﺟﺎ ‪(i‬‬ ‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ اﺛﺮاﺋﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪ -١‬ﻋﺒﺮ ﻋﻦ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺑﺎﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ب ‪ ٣ ٤-٤‬ﺕ‬ ‫أ ‪٢+٢-‬ﺕ‬

‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ﻉ = ‪ ) ٢ ٤‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٤‬ﺕ ﺟﺎ ‪( ٤‬‬

‫ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ‪:‬‬

‫ﻳﻬﺪﻑ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻉ )‪-‬ﻉ(‬ ‫ﺑﺎﻷﻧﻌﻜﺎﺱ ﺣﻮﻝ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ ‪ ،‬ﻉ ﺑﺎﻷﻧﻌﻜﺎﺱ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ‬

‫اﻟﺤﻞ‬

‫أ ﺑﻔﺮﺽ ﻉ = ‪ ٢ + ٢-‬ﺕ ﺱ = ‪ ، ٢-‬ﺹ = ‪٢‬‬ ‫ﺱ‪+ ٢‬‬

‫‪| a‬ﻉ| = ﻝ =‬ ‫` |ﻉ| = ‪٢‬‬

‫ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻭﺗﺘﺤﺪﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‪ i‬ﻟﻜﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ‬

‫ﺹ‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻉ‬

‫ﺱ > ‪ ، ٠‬ﺹ < ‪ =i ` ٠‬ﻇﺎ‪= ١ ١-‬‬ ‫ﻉ=‪٢‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ ) ٢‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٤‬ﺕ ﺟﺎ ‪( ٤‬‬

‫ب |ﻉ| = ‪٤ = ١٦ + ١٦‬‬

‫`‬

‫‪ =i‬ﻇﺎ‪= ٤٤ = ١-‬‬

‫‪34‬‬

‫‪r‬‬

‫‪i+‬‬

‫‪i‬‬

‫‪-‬ﻉ‬

‫‪٢‬‬

‫‪ a‬ﺱ<‪،٠‬ﺹ>‪٠‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪٤‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪r‬‬

‫‪Öcôe Oó©d á©°ùdGh ¢SÉ«≤ªdG ¢UGƒN‬‬ ‫‪:is_y i q O6 r = + 5 = M ^2f -.N d_b‬‬ ‫ ( |‪2W> G |M‬‬ ‫ ( ‪» 2zR -.N 0* ^2gb -.Ob O6‬‬ ‫‪-.Ob O6 i t .rŁ 1r- lf (z'> -.N V B `b/r Ůhz[b lf q kf‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ ‪.(z'> -.N i z& i rŁ + i tr 7 ^2gb‬‬

‫‪ = i‬ﺻﻔﺮ‬

‫ﻭﻫﺬه ﻫﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﻉ‬

‫‪Ei‬‬

‫ ‪$ %&' ( )* + -&.‬‬ ‫‪ /0 1 " 12/&3 /0 45‬‬ ‫< ; ‪67 8 9‬‬

‫ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺗﻌﻠﻢ)‪(٢‬‬

‫ﺃﻯ‬

‫ ‬

‫‪ −‬‬

‫ﺍﻧﻌﻜﺎﺱ ﺣﻮﻝ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ‬

‫ﺍﻧﻌﻜﺎﺱ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻉ ﻭﻣﺮﺍﻓﻘﻪ‬ ‫‪ ١‬ﺹ‬‫ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺴﻌﺔ ﻇﺎ‬ ‫ﺱ‬

‫ ‬

‫اﻟﺼﻮرة املﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد املﺮﻛﺐ‬ ‫‪1-2‬‬

‫ ‪ b6Ȟ 12Sgf #g#Ȟ 5yCf‬‬

‫ب ‪Ń - = = Ů Ŀ =5 a‬‬ ‫` ‪= 1s'f wcN P[y ŁM‬‬ ‫‪Ń = Ł(Ń -) + Ł(Ŀ) = Ł= + Ł5 = |ŁM| = a‬‬ ‫‪r- = i‬‬ ‫‪(( rŁ - ) " + ( rŁ - ) ")Ń = ŁM‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫د ‪Ŀ = = Ů ł- = 5 a‬‬ ‫‪ł = Ł(Ŀ) + Ł(ł -) = |M| = a‬‬ ‫‪r= i‬‬

‫ ﺍﺳﺘﺮﺟﻊ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻘﻮﺍﻧﻴﻦ ﻣﺜﻞ ‪:‬‬

‫‪ i‬‬ ‫‪D−‬‬

‫ ‬

‫‪ń‬‬ ‫‪+ Ł‬‬‫ﺟ‬ ‫ ‪+ (> ?@ 5 1@ A B Cƅƅƅ‬‬ ‫‪ - Ł - * - Ł - = łM‬‬ ‫‪ŀ = = Ů Ł - = 5 `ƅƅ + Ł - = ( ŀ ++ ŁŃ-)ń = ƅ‬‬ ‫` ‪wj b P 2b wV P[y łM‬‬

‫‪= Łŀ + Ł(Ł -) = Ł= + Ł5 = |M| = a‬‬ ‫‪EŁŬŅŇ = ( ŀ )ŀ - F - r = i‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫` ‪(EŁŬŅŇ " + EŁŬŅŇ ") Ł = łM‬‬

‫ﻣﺜﺎل ص ‪٤٣‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫‪ ١‬ﺟﺘﺎ ‪ -i‬ﺕ ﺟﺎ ‪ =i‬ﺟﺘﺎ ) ‪ + (i-‬ﺕ ﺟﺎ ‪i‬‬ ‫‪ = (i + r‬ﺟﺘﺎ‪i‬‬ ‫‪ - ٢‬ﺟﺎ ) ‪٢‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪i‬‬

‫‪ń‬‬

‫‪ - = (i + r‬ﺟﺎ‪i‬‬ ‫‪ ٣‬ﺟﺘﺎ ) ‪٢‬‬

‫‪ −‬‬

‫‪ - = (i + r٣‬ﺟﺘﺎ ‪i‬‬ ‫‪ ٤‬ﺟﺎ ) ‪٢‬‬

‫` ‪5 1s'f wcN P[y ŃM‬‬ ‫` ‪(r " + r ")ł = ŃM‬‬

‫‪ - = (i+ r٣‬ﺟﺎ‪i‬‬ ‫‪ ٥‬ﺟﺘﺎ ) ‪٢‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫^‪: z c gb 1s?b wV z Ē - .NĔ lf đ‬‬ ‫‪Ê ^ 3‬‬ ‫ب ‪ ń = ŁM‬‬ ‫أ ‪Ň = ŀM‬‬

‫ﺟ ‪ ł - ł - = łM‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪: z Ē - .NĔ lf d_b z6 6Ĕ O7b r 5 z[gb ."r 4‬‬ ‫أ ‪(cŃń " + cŃń ") Ň - = ŀM‬‬ ‫ب ‪(r Ń " - r Ń ") Ł = M‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪ł‬‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ اﺿﺎﻓﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫‪¿CG ôcòJ‬‬ ‫ & ‪= i − i‬‬ ‫ & ‪ i − + i −‬‬

‫ﻋﺒﺮ ﻋﻦ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺑﺎﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ب ‪١-‬‬ ‫أ ‪١‬‬ ‫د ‪-‬ﺕ‬ ‫ﺟ ﺕ‬

‫‪ł‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫أ ‪(cŃń " + cŃń ") Ň - = ŀM‬‬ ‫ ‬ ‫‪(Ńń " - Ńń " -)Ň = ƅ‬‬ ‫‪b b P 2b wV P[y M `ƅƅƅ2W> > = Ů 2W> > 5 a‬‬ ‫‪(Ńń + ŀŇĿ) " = Ńń " -ƅŮƅ(Ńń + ŀŇĿ) " = Ńń " - a‬‬ ‫` ‪(cŀłń - " + cŀłń - ")Ň = (ŁŁń " + ŁŁń ")Ň = ŀM‬‬ ‫` ‪cŀłń- = i z6 6Ĕ O7b Ů Ň = ŀM -.Ob 5 z[f‬‬

‫ ‬

‫‪i‬‬

‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫ = ‪F‬‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬

‫أ ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻉ = ‪ * ٠ + ١ = ١‬ﺕ‬ ‫‪41‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﻟﻺﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬

‫` ﺱ=‪،١‬ﺹ=‪٠‬‬

‫` |ﻉ| = ‪١‬‬

‫‪ a‬ﺟﺘﺎ‪ ، ١ = i‬ﺟﺎ ‪٠= i‬‬

‫`‪٠=i‬‬

‫` ‪ ) = ١‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٠‬ﺕ ﺟﺎ ‪(٠‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ واﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬

‫‪3‬‬

‫ب ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻉ = ‪ * ٠ + ١- = ١-‬ﺕ‬ ‫ﺱ = ‪ ، ١-‬ﺹ = ‪٠‬‬ ‫` |ﻉ| = ‪١‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ص )‪(٤١‬‬

‫أ ﻉ‪ ) ٨ = ١‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٠‬ﺕ ﺟﺎ ‪(٠‬‬

‫ﺟﺘﺎ‪ ، ١- = i‬ﺟﺎ‪٠ = i‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ب ﻉ‪ ) ٥ = ٢‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٢‬ﺕ ﺟﺎ ‪( ٢‬‬

‫` ‪ ) = ١-‬ﺟﺘﺎ ‪ + r‬ﺕ ﺟﺎ ‪(r‬‬

‫ﺟ ﺱ>‪،٠‬ﺹ>‪٠‬‬

‫‪r‬‬‫‪r‬‬‫‪ ) ٢‬ﺟﺘﺎ ) ‪ + ( ٤‬ﺕ ﺟﺎ ) ‪(( ٤‬‬

‫`‪r=i‬‬

‫ب ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻉ = ﺕ = ‪ + ٠‬ﺕ‬ ‫` ﺱ=‪،٠‬ﺹ=‪١‬‬

‫‪ i‬ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫‪r‬‬‫‪ +r - = i‬ﻇﺎ‪، ٤ -= ١-‬‬ ‫‪٢ ٣= ٩+٩‬‬ ‫ﻝ=‬ ‫ﻉ=‪٣‬‬

‫‪1-2‬‬

‫` |ﻉ| = ‪١‬‬ ‫‪ a‬ﺟﺘﺎ ‪ ، ٠ = i‬ﺟﺎ ‪١ =i‬‬

‫‪= i‬‬

‫` ﺕ = ) ﺟﺘﺎ ‪ + r٢‬ﺕ ﺟﺎ ‪( r٢‬‬ ‫د‬

‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻉ = ‪-‬ﺕ‬

‫‪r‬‬ ‫‪٢‬‬

‫`ﺱ = ‪ ، ٠‬ﺹ = ‪١-‬‬

‫` |ﻉ| = ‪١‬‬ ‫‪r٣‬‬ ‫‪ a‬ﺟﺘﺎ = ‪ ، ٠ i‬ﺟﺎ‪= ١- = i‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪( r٣‬‬ ‫‪ + r٣‬ﺕ ﺟﺎ‬ ‫ ﺕ = ) )ﺟﺘﺎ‬‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪35‬‬

‫ اﻷﻋﺪاد املﺮﻛﺒﺔ‬:‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ b6Ȟ 1 2RȚ : p #f 2*yf

(r Ńł " - r Ńł ") Ł =ŁM ‫ب‬ P 2b P 2b wV P[y M ` ȇ > = Ů ȇ < 5 a

¿CG ôcòJ r Ł i − = i + r & Ł i & − = i + rł Ł i = i + rł & Ł

ŀņ

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﻟﻺﺟﺎﺑﺎﺕ‬ : ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬

( rŅń ) " = r Ņ " = (r ł + rŁł ) " = r Ńł " a

i & = i +

‫ اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬: ‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ‬

Ń rł ( rŅń ) " = (r ŀņ Ņ ) " = (r ł + Ł ) " =

r Ńł " r ń r ń (( Ņ " + Ņ ")Ł = ŁM ` rń z6 6Ĕ O7b ŮŁ = M -.Ob 5 z[f ` Ł Ņ ľĄ÷ Ņã Ľōîă

٤٢ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ص‬

: z Ē ^2gb - .NĔ lf d_b z6 6Ĕ O7b r 5 z[gb ."r 4 (cŃń " - cŃń ") Łŀ- = ŁM ‫ب‬ ( rł " - rł ") Ł = ŀM ‫أ‬

r(( r٣ ) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ( ٣ ) ‫ ) ﺟﺘﺎ‬٢ = ١‫ﻉ‬

٣ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬

r٣

á«ã∏ãªdG IQƒ°üdG ΩGóîà°SÉH áÑcôªdG OGóYC’G áª°ùbh Üô°V

=i ، ٢ = ‫ﻝ‬

multiplying and dividing complex numbers using the trigonometric form

i V (Łi " + Łi ")Ła = ŁMƅŮƄ(ŀi " + ŀi ")ŀa = ŀM i ^ /

(Łi " + Łi ") (ŀi " + ŀi ") Łaŀa = ŁMŀM ( ((Łi + ŀi) " + (Łi + ŀi) ") Łaŀa = |ŁM||ŀM| = Łaŀa = |ŁMŀM| " 9 Łi + ŀi = (ŁMŀM) O6

((Łi - ŀi) " + (Łi - ŀi) ")

ŀa Ła

a = ŀi " + ŀi " * ŀ

ŀ ŁM

a Łi " + Łi " Ł M M M ŀ ) O6 Ů |ŀ | = ŀa = | ŀ | " 9 i i = ( Ł ŀ |ŁM| ŁM Ła ŁM

(

(٤٥ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ٤٥ ‫ ﺟﺎ‬- )

= ٢‫ﻉ‬

١ r٣ ( r٣ = ٢‫ﻉ‬ ٤ ) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ٢ ٤ ‫) ﺟﺘﺎ‬ ٢

r٣ ٤

, 0G8 %H IJ K>'8>C 48&3 ‫ﻣﺜﺎل‬

= i، =‫ﻝ‬

r " + r ") Ń * ( rń " + rń ") ł lN 2 N 5 = + 5 1s?b ( ŀŁ Í¼ ŀŁ ŀŁ ŀŁ ľĄĿí

r " + r ")Ń * ( rń " + rń ") ł ( ŀŁ ŀŁ ŀŁ ŀŁ r + rń ) " + ( r + rń "))Ń * ł = (( ŀŁ ŀŁ ŀŁ ŀŁ

(٣) ‫ﻓﻲ ﺑﻨﺪ ﺗﻌﻠﻢ‬

ŀŁ = ((ŀ) + Ŀ)ŀŁ = ( rŁ " + rŁ ") ŀŁ = f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺤﻘﺎﺋﻖ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﺠﺐ ﻋﻠﻲ‬ : ‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﺗﻘﺎﻧﻬﺎ ﻭﻫﻰ‬ ١i‫ﺟﺎ‬٢i ‫ ﺟﺘﺎ‬+٢i ‫ﺟﺘﺎ‬١i ‫ ( = ﺟﺎ‬٢i+ ١i) ‫ﺟﺎ‬

:‫ﻻﺣﻆ أن‬

‫ ﻣﻘﻴﺎﺱ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻣﺮﻛﺒﻴﻦ = ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ‬ . ‫ﻣﻘﻴﺎﺳﻴﻬﻤﺎ‬ ‫ ﺳﻌﺔ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻣﺮﻛﺒﻴﻦ = ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺳﻌﺘﻴﻬﻤﺎ‬ (i‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ i‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻉ = ﻝ ) ﺟﺘﺎ‬ (i‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ i‫ ( * ﻝ ) ﺟﺘﺎ‬i‫ ﺕ ﺟﺎ‬+i ‫ = ﻝ ) ﺟﺘﺎ‬٢‫ﻓﺈﻥ ﻉ‬ ((i+ i) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ (i + i) ‫ ) ﺟﺘﺎ‬٢‫ = ﻝ‬٢‫ﻉ‬ ( i٢ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+i ٢ ‫ ) ﺟﺘﺎ‬٢‫ = ﻝ‬

٢i‫ ﺟﺎ‬١i‫ ﺟﺎ‬- ٢i‫ﺟﺘﺎ‬١i ‫( = ﺟﺘﺎ‬٢i +١i ) ‫ﺟﺘﺎ‬

( ٢i -١i ) ‫ﺟﺎ‬ (٢i + ١i) ‫ﺟﺘﺎ‬ ٢i‫ﺟﺎ‬١i ‫ ﺟﺎ‬-٢i ‫ ﺟﺘﺎ‬١i‫= ﺟﺘﺎ‬ i ‫ﺟﺘﺎ‬i ‫ ﺟﺎ‬٢ =i ٢ ‫ﺟﺎ‬ i ٢

‫ ﺟﺘﺎ‬i٢ ‫ ﺟﺎ‬٢ = i‫ﺟﺎ‬

i٢‫ ﺟﺎ‬- i٢‫= ﺟﺘﺎ‬

‫( ﻓﺈﻥ‬i ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ i ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻉ = ﻝ ) ﺟﺘﺎ‬

١- i ٢‫ ﺟﺘﺎ‬٢ =

(i ٢ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+i ٢ ‫ ) ﺟﺘﺎ‬٢‫ = ﻝ‬٢‫ﻉ‬

i٢‫ ﺟﺎ‬٢ - ١ =

(i ‫ ﺕ ﺟﺎ ﻥ‬+ i‫ﻉﻥ = ﻝﻥ ) ﺟﺘﺎ ﻥ‬

٢i ‫ ﺟﺎ‬١i‫ ﺟﺘﺎ‬- ٢i‫ ﺟﺘﺎ‬١i‫= ﺟﺎ‬

:‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‬

‫ ﻥ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ ﻓﺈﻥ‬، (i ‫ﺕ ﺟﺎ‬i ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻉ = ﻝ ) ﺟﺘﺎ‬

i ٢‫ ﺟﺎ‬- i ٢ ‫= ﺟﺘﺎ‬ ٢ ٢ ١- i٢ ٢ ‫ ﺟﺘﺎ‬٢ = i ٢‫ ﺟﺎ‬٢ - ١ = ٢

‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

i ٢ ‫ﺟﺘﺎ‬

٣ ٤

i‫ﺟﺘﺎ‬

1-2

‫اﻟﺼﻮرة املﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد املﺮﻛﺐ‬ 1-2

:‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ إﺛﺮاﺋﻴﺔ‬

، (c١٢٠ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬- c١٢٠ ‫ ) ﺟﺘﺎ‬٢ = ١‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻉ‬

b6Ȟ 12Sgf #g#Ȟ 5yCf ľĄ÷ Ņã Ľōîă

¿CG ôcòJ L + L & =

r " + r ")Ł lN 2 N 5 = + 5 1s?b (( rńŁ- " + rńŁ- ")ł * ( ŀń ŀń

‫ﻣﺜﺎل‬

r +r & = − R r + r & = R Ł Ł r + r & = − R Ł Ł

: ‫( ﻓﺄﻭﺟﺪ‬c١٥٠ ‫ ﺕ ﺟﺘﺎ‬+ c١٥٠ ‫ ) ﺟﺎ‬٣ = ٢‫ﻉ‬ : ‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ‬ ٤ ‫ﺟ‬ ٢ ‫ب‬ ٢ ‫ ﻉ‬١ ‫ﻉ‬ ٢‫ﻉ‬١‫أ ﻉ‬

d_;b g^ .j "1 ts 7f wcN lzc gf lz ^2f ly-.N ŁM Ů ŀM i ^ / 6 M

Ł ŀM

-.Ob = + 5 1s?b wcN ."r Ůd [gb ľĄĿí

cŀĿĿ = cŀĿ + cňĿ =ŀM O6 Ů Ł = |ŀM| h62b lf

(cŀĿĿ " + cŀĿĿ ")Ł = ŀM ` cŁĿ - = ŁM O6ƅŮƄŃ = |ŁM|

c L

:‫اﻟﺤﻞ‬

c L

((cŁĿ -) " + (cŁĿ -) ") Ń = ŁM `

(cŁĿ -) " + (cŁĿ -) " * Ń = ŁM ` Ł ŀM (cŀĿĿ " + cŀĿĿ ")Ł [(cŀĿĿ - cŁĿ -) " + (cŀĿĿ -cŁĿ -) "] Ł = ((cŀŁĿ -) " + (cŀŁĿ -) ") Ł =

‫ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬٢‫ ﻉ‬، ١‫ﻧﻀﻊ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻉ‬ (c١٢٠ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬- c١٢٠ ‫ ) ﺟﺘﺎ‬٢ =

١‫ﻉ‬

[ ( ١٢٠- ) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ( ١٢٠ ) ‫ ] ﺟﺘﺎ‬٢ = ١‫ﻉ‬

= + 5 1s?b wcN ŁM ."r Ůd [gb .j "1 ts 7f e .+ 6 6 ŀ

(i Ł " + i Ł ")Ła = ŁM A

(٣٠ ‫ ﺕ ﺟﺘﺎ‬- ٣٠ ‫ ) ﺟﺎ‬٣ = ٢‫`ﻉ‬ ((٣٠٠ ) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ (٣٠-) ‫ ) ﺟﺘﺎ‬٣ = ٢‫`ﻉ‬ [ (c ١٥٠ - ) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+c١٥٠-) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ c١٥٠ ) ‫ ] ﺟﺘﺎ‬٦ = ٢‫ﻉ‬١‫أ ﻉ‬

* - ŀŁ -) Ł = ľĄ÷ Ņã Ľōîă

(c١٥٠ ‫ ﺕ ﺟﺘﺎ‬+c ١٥٠ ‫ ) ﺟﺎ‬٣ = ٢‫ ﻉ‬

ł -ŀ- = ( ł

:èFÉàf i V (i " + i ")a = M i ^ / (

((i-) " + (i-) ") = aŀ = Mŀ ( (i- ) " + (i-) " ) a =

:i ^r ^2f -¹ .N iM ... ŮŁM ŮŀM i ^ / V ^2gb - .NĔ lf -r.'f -.N 2B d> & hzgO l_gy ( (ii " + ii ")ia = iMŮ ....................... Ů(Łi " + Łi ")Ła = ŁM Ů (ŀi " + ŀi ")ŀa = ŀM ((ii + .......... + Łi + ŀi) " + (ii + .......... + Łi + ŀi ) ")ia .......... Ła ŀa = iM .......... ŁM ŀM : @ :is_y (i " + i ")a = iM= .......... = ŁM = ŀM f.kN > +b b 'b wVr

(i i " + i i ")ia = iM ‫ﻣﺜﺎل‬

[( c٢٤٠ - ) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ (c ٢٤٠ -) ‫ ] ﺟﺘﺎ‬٤ =

٢‫ﻉ‬

‫ب‬ 43

[c١٢٠ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ c١٢٠ ‫ ] ﺟﺘﺎ‬٤ = [ (c ١٢٠- ) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ( c١٢٠-) ‫ ] ﺟﺘﺎ‬٤ ٣ =

Ň(

٤‫ﻉ‬

‫ﺟ‬

- ŀ) ."r h Ů z c gb 1s?b wcN -ŀ -.Ob PB 7

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

:‫ اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬:‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﻟﻺﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ٤٣ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ص‬

r r٢ r [( r٢ ١٥ - ١٥ ) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ( ١٥ - ١٥ ) ‫ ]ﺟﺘﺎ‬٣ * ٢ = ‫ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ‬5 ١ r( ‫ ﺕ‬٣٢ - ٢ ) ٦ = [( ( r٣ ) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ( ٣ ) ‫ )ﺟﺘﺎ‬٦ = ‫ ﺕ‬٣ ٣-٣= ‫ﻉ‬ ( r٢ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ r٢ ‫ ) ﺟﺘﺎ‬٢ = ٢‫ ﻉ‬6 ١ ‫ﺕ‬٢=

‫ اﻟﺠﱪ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ :‬اﻷﻋﺪاد املﺮﻛﺒﺔ‬ ‫ ‪ b6Ȟ 1 2RȚ : p #f 2*yf‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ‪ :‬اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‪:‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﻟﻺﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬

‫‪ŀ - = =ƅŮƅŀ = 5 a‬‬ ‫‪Ŀ>= Ů Ŀ<5 a‬‬ ‫‪r- + r - = ( ŀ- )ŀ - F - = i‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ń‬‬

‫‪r‬‬‫‪Ň‬‬ ‫‪Ň‬‬ ‫` )‪Ń ) " + ( Ń ) " ( Ł ) = ( - ŀ‬‬ ‫‪((rŅ -) " + ( rŁ -) ") ŀŅ = ƅƅ‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ص ‪٤٤‬‬ ‫ﻉ‪٤‬‬

‫‪١‬‬

‫‪Ł= + Ł 5‬‬

‫=‬ ‫‪=a‬‬ ‫` ‪P 2b P 2b wV P[y M‬‬ ‫` ‪( rŃ- " + rŃ- ") Ł = - ŀ‬‬ ‫=‬

‫‪Ň(( r-‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪(cŃĿ " + cŃĿ ")ł = ŁM Ů (cŀĿ " + cŀĿ ")Ł = ŀM i ^ / 7‬‬ ‫ ‪ = + 5 1s?b wcN ŁŁ M Ńŀ M -.Ob ."r‬‬

‫ﻉ‪ ) ٩ = ٢٢‬ﺟﺘﺎ ‪ +c ٨٠‬ﺕ ﺟﺎ ‪(c ٨٠‬‬

‫‪(ô∏jhCG IQƒ°U) ÖcôªdG Oó©∏d á«°SC’G IQƒ°üdG‬‬ ‫^‪ gzVr (Taylor series) 1scy c7c7 f wg7 5 tsZ lf c7c7 g^ pkN 2z O b l_gy 5 2zS gb wV b - d‬‬ ‫‪. .&sb m0o wV 6 1.b d'f a r.b DO b 1scy ]s_Wf -1sj wcy‬‬

‫)‪Exponential form of a complex number (Euler form‬‬

‫‪ 7‬ﻉ‪ ١٤‬ﻉ‪ ) ١٤٤ = ٢٢‬ﺟﺘﺎ ‪ + ١٢٠‬ﺕ ﺟﺎ ‪(١٢٠‬‬ ‫ﻉ‪ ١٤‬ﻉ‪ ٣ ٧٢ + ٧٢٠ = ٢٢‬ﺕ‬

‫ ( ‪5 " = = z#b b -‬‬ ‫‪5‬‬ ‫" ‪= 5‬‬ ‫‪ŀ‬‬

‫‪-‬‬

‫‪ł5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪ł‬‬

‫‪ń5‬‬

‫‪-‬‬

‫‪ń‬‬

‫‪ŀ+iŁ5‬‬ ‫‪* i(ŀ -) +‬‬ ‫‪ŀ+ i Ł‬‬

‫‪...................‬‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﺮﻛﺐ )ﺻﻮرة أوﻳﻠﺮ(‬

‫" ‪-ŀ = 5‬‬

‫ﻻﺣﻆ أن ‪:‬‬

‫ (‬

‫ "ﻫـ " ﻋﺪﺩ ﻏﻴﺮ ﻧﺴﺒﻰ ﻓﻠﻴﺲ ﻟﻪ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻀﺒﻮﻃﺔ ﺑﻞ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﺗﻘﺮﻳ ًﺒﺎ‬ ‫ﺗﻨﺤﺼﺮ ﺑﻴﻦ ‪ ٣ ،٢٫٧‬ﺗﻘﺮﻳ ًﺒﺎ ﻫﻰ ‪ ٢٫٧١٨٢٨‬ﻟﺘﺴﻌﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻋﺸﺮﻳﺔ‬ ‫‪ ،‬ﻭﺍﻟﻌﺪﺩ "ﻫـ" ﻫﻮ ﺃﺣﺪ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﻰ ﻟﻪ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻛﺒﻴﺮﺓ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﻠﻮﻡ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ ‪.‬‬

‫ﻉ = ﺱ ‪ +‬ﺕ ﺹ ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫ﺱ‪+ ٢‬‬

‫ﺹ‪٢‬‬

‫‪ ١‬ﺹ‬‫‪= i‬ﻃﺎ ﺱ‬

‫ﻻﺣﻆ أن‪:‬‬ ‫ﺱ‬

‫ ‪5¶o = = z6Ĕ b .b‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪+ ŀ = 5¶o‬‬ ‫‪ŀ‬‬

‫ﺹﺕ‬

‫= ﻫـ * ﻫـ‬ ‫‪ a‬ﻫـ‬ ‫ﻟﻜﻦ ﻫـ ﺱ ‪ +‬ﺹ ﺕ = ﻫـ ﺱ ) ﺟﺘﺎ ﺹ ‪ +‬ﺕ ﺟﺎ ﺹ‪٩‬‬ ‫ﺹﺕ‬ ‫= ﺟﺘﺎ ﺹ ‪ +‬ﺕ ﺟﺎ ﺹ‬ ‫ﻫـ‬ ‫ﻭﻫﺬه ﺗﺴﻤﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺃﻭﻳﻠﺮ‬ ‫ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺹ = ‪ r ٢‬ﻓﺈﻥ ﻫـ ‪ ٢‬ﻁ ﺕ = ﺟﺘﺎ ‪ ٢‬ﻁ = ﺕ ﺟﺎ ‪r ٢‬‬

‫ﺃﻯ ﺃﻥ ﻫـ ‪ ٢‬ﻁ ﺕ = ‪ ١‬ﻭﻛﺬﻟﻚ ﻫـ ‪ ٢‬ﻁ ﺭ ﺕ =‪ ١‬ﺣﻴﺚ ﺭ∋ ﺹ‬ ‫ﺗﺬﻛﺮ أن‪:‬‬

‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻉ = ﺱ ‪ +‬ﺕ ﺹ = ﻝ ) ﺟﺘﺎ‪ + i‬ﺕ ﺟﺎ ‪(i‬‬ ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪+‬‬

‫‪Ł5‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪+‬‬

‫‪ MNO‬‬

‫‪ł5‬‬

‫‪ł‬‬

‫‪...................‬‬

‫ ‪ł 5 ł‬‬

‫‪+‬‬

‫‪i5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪i‬‬

‫‪...................‬‬

‫‪ƅ‬‬

‫‪5 ¶o‬‬

‫‪+‬‬

‫‪...................‬‬

‫‪+‬‬

‫ ‪i5i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪+‬‬

‫‪...................‬‬

‫‪( ...................‬‬

‫= " ‪5 " + 5‬‬

‫ ‪: 1s?b wcN q ^ l_gy (i " + i ")a = = + 5 = M ^2gb -.Ob " 9‬‬

‫‪44‬‬

‫ﺱ‪ ،‬ﺹ ∋ﺡ‪ ،‬ﺕ‪ ١- = ٢‬ﻓﺈﻥ ﻫـ ﻉ = ﻫـ ﺱ ) ﺟﺘﺎ ﺹ ‪ +‬ﺕ ﺟﺎ ﺹ(‬ ‫ﺑﻤﻌﻨﻰ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫ﻫـ ﺱ ‪ +‬ﺹ ﺕ = ﻫـ ﺱ ) ﺟﺘﺎ ﺹ ‪ +‬ﺕ ﺟﺎ ﺹ(‪ ،‬ﺹ ﻣﻘﻴﺴﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻘﺪﻳﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ‪.‬‬ ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ‬

‫‪Ł‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪iŁ‬‬

‫)‪( z"r4b 5 tsZ wcN ts 'y ]s_Wgb `b0b 5 " = (5 -) " iĔ z"r3 b - wo e g b z" b -‬‬

‫‪=M‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻉ = ﺱ ‪ +‬ﺹ ﺕ ﺣﻴﺚ‬

‫‪Ł5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪Ń5‬‬

‫‪-‬‬

‫‪...................‬‬

‫‪* i(ŀ -) +‬‬

‫‪iŁ5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪...................‬‬

‫ ‪Ł5 Ł‬‬ ‫ ‪5‬‬ ‫ ‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‪+ŀ‬‬ ‫‪¶o‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫ ‪ł5‬‬ ‫ ‪Ł5 5‬‬ ‫‬‫‬‫‪................... +‬‬ ‫=‪+ŀ‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪ł5‬‬ ‫‪Ń5‬‬ ‫‪Ł5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‬‫ ‪) + ( ...................‬‬‫= )‪- ŀ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫ ﺗﻌﺮﻳﻒ )ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻷﺳﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ (‬

‫ﻉ = ﻝ ) ﺟﺘﺎ‪ + i‬ﺕ ﺟﺎ‪ (i‬ﺣﻴﺚ ﻝ = |ﻉ| =‬

‫‪+‬‬

‫‪...................‬‬

‫)‪( y-2Wb 5 tsZ wcN ts 'y ]s_Wgb `b0b 5 " - = (5 -) " y-2V b - z#b b -‬‬

‫ ( ‪5 " = = e g b z" b -‬‬

‫‪38‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ŀŅ = ( Ŀ " + Ŀ ") ŀŅ = ƅƅ‬‬

‫= ‪ ) ١٦‬ﺟﺘﺎ ‪ +c ٤٠‬ﺕ ﺟﺎ ‪(c٤٠‬‬

‫ﺱ‪+‬ﺹﺕ‬

‫‪Ł(ŀ -) + Łŀ‬‬

‫‪z& 2cyr 1s> wg7 r i‬‬ ‫‪¶o a‬‬

‫‪.t2 .b 2y.[ b i‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻲ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﻉ = ﻝ ﻫـ ‪i‬ﺕ‬

‫‪∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG‬‬ ‫‪ r‬‬

‫‪ PH = + Q* ' < 85‬‬ ‫ *‪6< R S TU 4/C FC W 1‬‬ ‫@‪ X i ' H 1‬‬ ‫ ‪69 ; (& C‬‬

‫اﻟﺼﻮرة املﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد املﺮﻛﺐ‬ ‫‪1-2‬‬

‫ ‪ b6Ȟ 12Sgf #g#Ȟ 5yCf‬‬

‫اﻟﺤﻞ‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫^‪:(2cyr 1s>) z6Ĕ 1s?b wcN z Ē ^2gb - .NĔ lf đ‬‬ ‫‪Ê ^ 8‬‬ ‫ب ‪ + Ł - = M‬ﺟ ‪ rŅ + ł¶o = M‬‬ ‫أ ‪ +ŀ= M‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫ﻉ=‬

‫د ‪ Ł- = ŃM‬‬

‫‪ł‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫أ ‪ + ŀ = ŀM‬‬ ‫‪Ł = Ł(ŀ) + Ł(ŀ) = |ŀM| = a‬‬ ‫‪Ŀ <= ŮĿ <5 a‬‬ ‫‪r = ( ŀ )ŀ - F = i‬‬ ‫‪Ń ŀ‬‬

‫` ‪ŀ = =ƅŮƅŀ = 5‬‬

‫ب ‪ + Ł - = ŁM‬‬ ‫‪ł = Ł(ŀ) + Ł( Ł -) = a‬‬ ‫‪Ŀ <= Ů Ŀ >5 a‬‬

‫ﺟ ‪= łM‬‬

‫‪ rŅ + ł¶o‬‬

‫‪ rŃ ¶o‬‬

‫‪Ů‬‬

‫` ‪Ł -=5‬‬

‫‪E‬‬

‫` ‪= ŁM‬‬

‫‪ i ¶o a‬‬

‫= ‪¶o Ł‬‬

‫‪ rŅ‬‬

‫د ‪Ł = Ń = Ł(Ł -) + Ł(Ŀ) = a`ƅƅƅŁ - = =ƅŮƅĿ = 5 `ƅƅƅ Ł - = ŃM a‬‬ ‫` ‪= 1s'f wcN P[y ŃM‬‬

‫‪Ł - = =ƅŮƅĿ = 5 a‬‬ ‫` ‪r- = i‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪-١‬ﺕ‬

‫`‬

‫ﻝ = |ﻉ| =‬

‫`‬

‫‪- ١‬ﺕ‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻉ = ‪+ ١‬ﺕ =‬

‫`‬

‫‪ ŁŬńł‬‬

‫‪r = M O6ƅŮƅŁ¶o = | M| = a is_yr‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ņ ł‬‬

‫‪-١‬ﺕ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪+ ١‬ﺕ * ‪- ١‬ﺕ‬

‫‪١‬‬ ‫ﻉ=‪٢‬‬

‫==‪ŀ‬‬

‫` ‪wj b P 2b wV P[y ŁM‬‬

‫‪ŀ‬‬‫‪ŁŬńł = ( ŀ‬‬‫` ‪Ł ) J + r = i‬‬

‫= ‪¶o * ł¶o‬‬

‫`‬

‫` ‪arĔ P 2b wV P[y ŀM‬‬ ‫` ‪Ł = i ¶o a = ŀM‬‬

‫‪1-2‬‬

‫ﻝ=‬

‫‪-‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١‬‬

‫ﺕ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫=‬

‫‪٢‬‬

‫‪ = i‬ﻇﺎ ‪-= (١- ) ١-‬‬

‫‪ r-‬‬

‫` ‪Ł ¶o Ł = ŃM‬‬

‫‪١‬‬

‫= ‪ - ١ ) ٢‬ﺕ(‬

‫‪r‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪. z6Ĕ 1s?b M -.Ob ^ V Ł = M i ^ / 8‬‬

‫`‬

‫‪ +ŀ‬‬

‫‪.á«°SC’G IQƒ°üdG ΩGóîà°SÉH áÑcôªdG OGóYC’G áª°ùbh Üô°V‬‬ ‫ ‪¶o Ła = ŁM Ů ŀi ¶o ŀa = ŀM i ^ /‬‬

‫‪ Łi‬‬

‫@‪= Łi ¶o * ŀi ¶o Łaŀa = ŁMŀM Y‬‬

‫‪Ła ŀa‬‬

‫‪ŀM‬‬ ‫‪ŁM‬‬

‫=‬

‫‪ ŀi ¶o‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪* ŀ‬‬ ‫‪ Łi ¶o‬‬ ‫‪Ła‬‬

‫=‬

‫‪ŀa‬‬ ‫‪Ła‬‬

‫‪¶o‬‬

‫‪Ů (Łi + iŀ) ¶o‬‬

‫‪: z6Ĕ 1s?b wV w y gf d^ $ j ."r 9‬‬ ‫‪ +ŀ‬‬

‫ب )‬ ‫‪ -ŀ‬‬

‫(‪ņ‬‬

‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪45‬‬

‫ﺿﺮب وﻗﺴﻤﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺼﻮرة اﻷﺳﻴﺔ ‪:‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ إﺿﺎﻓﻰ‪:‬‬

‫‪ ٣‬ﺕ ﺿﻊ ﻉ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺃﺳﻴﺔ )ﺻﻮﺭﺓ‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻉ = ‪- ١‬‬ ‫ﺃﻭﻳﻠﺮ(‪.‬‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫`‬

‫ﻝ = |ﻉ| = = ﺱ‪ + ٢‬ﺹ‪= ٣ + ١ = ٢‬‬

‫` ﺱ=‪،١‬ﺹ =‪-‬‬

‫‪ ٣‬ﺕ‬

‫‪= i‬ﻇﺎ‪- ) ١-‬‬

‫‪-= ( ٣‬‬

‫‪٢= ٤‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪١‬‬

‫ﻉ =‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻝ‬ ‫)‪ ( i + i‬ﺕ‬ ‫ﻝ ﻫـ ‪٢ ١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻉ‪ ٢ = ١‬ﻫـ‬

‫ﻉ‪١‬ﻉ‪٢ = ٢‬‬ ‫ﺕ‬

‫ﻉ‬

‫‪ + ( r‬ﺕ ﺟﺎ )‬‫‪٣‬‬

‫‪١‬‬

‫ﻉ =‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺿﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻷﺳﻴﺔ )ﺻﻮﺭﺓ ﺃﻭﻳﻠﺮ( ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ﻁ‬ ‫ﻁ‬ ‫ﻉ = ‪ ) ٤‬ﺟﺘﺎ ‪ - ٣‬ﺕ ﺟﺎ ‪( ٣‬‬ ‫ﻉ = ‪ )٤‬ﺟﺘﺎ )‬

‫‪٣‬‬

‫`‬

‫‪٣‬‬

‫ﺿﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻷﺳﻴﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻉ =‬

‫ﺕ‪r‬‬ ‫‪٤‬‬

‫ﺕ‪r‬‬‫‪٤‬‬

‫‪ ٢‬ﻫـ ‪-‬‬ ‫ﺕ‪r‬‬ ‫‪ ٢‬ﻫـ ‪٤ -‬‬

‫ﺕ‪r‬‬ ‫‪ ٢‬ﻫـ ‪٣ -‬‬

‫ﺕ‪r‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪-‬‬

‫ﺕ‪r‬‬ ‫‪٣‬‬

‫= ‪ ٢ ٢‬ﻫـ‬

‫‪٢‬‬

‫‪٧‬ﺕ‪r‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫= ‪ ٢‬ﻫـ‬

‫ﺕ‪r‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ ‪ :‬اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪:‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﻟﻺﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬

‫‪(( r‬‬‫‪٣‬‬

‫ﺕ‪r‬‬ ‫ﻉ = ‪ ٤‬ﻫـ ‪٣ -‬‬

‫ﻫـ‪ ٢ i‬ﺕ‬

‫)‪ ( i + i‬ﺕ‬ ‫ﻓﺈﻥ ﻉ‪١‬ﻉ‪ = ٢‬ﻝ‪ ١‬ﻝ‪ ٢‬ﻫـ ‪٢ ١‬‬

‫ﻉ‪ ٢ = ٢‬ﻫـ‬

‫ﻉ = ﻝ ﻫـ ﺕ‪i‬‬

‫= ‪ ٢‬ﻫـ ‪-‬‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻉ = ﻝ ﻫـ‪ ١ i‬ﺕ‬ ‫‪ ،‬ﻉ‪ = ٢‬ﻝ‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫ﻉ‬

‫ﻉ=‪-١‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻷﺳﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻉ =‬

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺍﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﻟﻼﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫‪ r٤‬ﺕ‬ ‫‪ 8‬ﻉ = ﻫـ‬

‫)‪ (Łi - ŀi‬‬

‫أ ‪(cŀńŇ " - cŀńŇ " )Ł * (cŁń " + cŁń ")Ł‬‬

‫‪a‬‬

‫‪ ٢‬ﻫـ‬

‫ﺕ‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‪:‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪+ ١‬ﺕ‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪39‬‬

‫ اﻷﻋﺪاد املﺮﻛﺒﺔ‬:‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ b6Ȟ 1 2RȚ : p #f 2*yf

r(( r٣ ) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ( ٣ ) ‫ )ﺟﺘﺎ‬٢ =

ľĄĿí

:w Ē ^ 'z'?b z c gb 1s?b wb ŁM dys' ‫أ‬ cŅŇ " + cŅŇ " = (cŅŇ + cňĿ) " - (cŅŇ + cňĿ) " = (cŀńŇ " - cŀńŇ ") a (cŅŇ " + cŅŇ ") Ł * (cŁń " + cŁń " ) ł ` ¿CG ßM’ ((cŅŇ + cŁń) " + (cŅŇ + cŁń) ") Ņ = Ei ŀŬŅŁ¶o Ņ = (cňł " + cňł ") Ņ = = cňł r cŀŇĿ (cŃń " + cŃń " ) Ł = + ŀ a ‫ب‬ r * cňł = Ei : 9

cŀŇĿ

((cŃń-) " + (cŃń-) " ) Ł

rŁ-

r٢ (( r١٢ ) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ( ١٢ ) ‫)ﺟﺘﺎ‬

= -ŀ +ŀ

٢ = ٢‫ﻉ‬١‫)ﺃ( ﻉ‬ ‫ﻉ‬

١ ٢ r٧ ( r٧ (‫)ﺏ‬ ١٢ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ١٢ ‫ )ﺟﺘﺎ‬٢ = ٢‫ﻉ‬ ٦( r٤ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ r٤ ‫ ) ﺟﺘﺎ‬٢ ] = ٢٦‫)ﺟـ( ﻉ‬

-ŀ

¶o =

( r٤ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ r٤ ‫ )ﺟﺘﺎ‬٢ = ٢‫ﻉ‬

) ` (cŃń + cŃń) " + (cŃń + cŃń) " = ( -ŀ r " + r " = cňĿ " + cňĿ " = ƅƅƅƅƅ Ł Ł rņ " + rņ " = ņ( r " + r " ) = ņ( + ŀ ) ` Ł Ł Ł Ł

Z[ - Ei

١‫ﻉ‬

( rŁ- ) " + ( rŁ- ) " = ƅƅƅƅƅ

r٣ (( r٣ ٢ ) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ٢ ‫ ) ﺟﺘﺎ‬٨ =

ľĄ÷ Ņã Ľōîă

: z c gb 1s?b wV w y gf đ^ Ê ."r Ů + ŀ = ŁM Ů ł - ŀ = ŀM i ^ / 9 ŁM ‫ب‬ Ņ( M) ‫ﺟ‬ Ł ŁM ŀM ‫أ‬ ŀM

‫ﻣﺜﺎل‬

(٤٦) ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ص‬

% ǽ = Ů 5 z& = + 5 y2 #b 1s?b rȊŃ ¶o Ł = M lN 2 N 10 ľĄĿí

rł = i Ń

¿CG ßM’

Ł = |M| = a `

ŀ - = c S & = rł & Ń ŀ rł Ł = c S = Ń

rȊ Ń

¶o Ł =

M a

( rŃł " + rŃł ") Ł = ( Łŀ + ŀŁ - ) Ł =

r ٦

= i ، ٨ = ‫ ﻝ‬10 ٤ = ٦٠ ‫ * ﺟﺘﺎ‬٨ = ‫ﺱ‬

+ ŀ-=

ľĄ÷ Ņã Ľōîă

% ǽ = Ů 5 z& = = 5 y2 #b 1s?b rŅ ¶o Ň = M lN 2 N 10

٤ = ٦٠ ‫ * ﺟﺎ‬٨ = ‫ﺹ‬ ٣ ٤+٤=‫ﻉ‬ :‫ﺗﻤﺮﻳﻦ إﺛﺮاﺋﻰ‬

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

(٢‫ ﻫـ‬+ ‫ ﻫـ‬+ ١ ) (‫ ﻫـ‬- ١ ) = r‫ ﺕ‬- ‫ ﻫـ‬- r‫ ﺕ‬+ ٣ ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﻫـ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

1-2

( r‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ r ‫ )ﺟﺘﺎ‬٣ ‫ =ﻫـ‬r‫ *ﻫـ ﺕ‬٣‫ ﻫـ‬- r‫ ﺕ‬+ ٣ ‫ﻫـ‬ ٣ ‫ ﻫـ‬- = (٠ + ١- ) ٣ ‫= ﻫـ‬ (١)

b6Ȟ 12Sgf #g#Ȟ 5yCf

(١ - ٢) ‫ﺗﻤــــﺎرﻳــﻦ‬

≈JCÉj Ée πªcG ( ............... Ů ............... ) = C z& C G[kb .j "1 d_: wcN dË gy½ Ń - ł = M -.Ob 1 1s> i V Ů.j "1 ts 7f wcN M -.Ob d g Ů.j "1 ts 7f wcN M -.Ob d g C G[j j ^ / 2 ............... wV 5 _OjĐ ............... tr 7y ń - = M ^2gb -.Ob 5 z[f 3 ...............

...............

- Ł = M i ^ / 4 = |M| i V +Ł

...............

wo Ň( ł

wo + ŀ - -.Ocb z6Ĕ 1s?b 7

+ ŀ) -.Ob z6 6Ĕ O7b i V ł ...............

...............

= |M| i V ŀ = M i ^ / 6

+ ŀ = M i ^ / 8

wo ł Ł - Ł = M -.Ocb z c gb 1s?b 9

wo MŁ ^2gb -.Ob O6 i V i wo M ^2gb -.Ob O6 j ^ / 10

r‫ﺕ‬- ‫ﻫـ‬

r ‫ ﺕ ﺟﺎ‬- r‫= ﺟﺘﺎ‬

(٢)

١- =

r‫ ﺕ‬- ‫ﻫـ‬

(١) ‫( ﻣﻦ‬٢) ‫ﺑﻄﺮح‬

wo M O6 i V M ^2gb -.Ocb z6 6Ĕ O7b wo i j ^ / 5 ...............

...............

(r- ) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ (r- ) ‫ ) ﺟﺘﺎ‬١ =

(١-) - ٣ ‫ﻫـ‬- = ٣ ‫ ﻫـ‬- ١ = (٢‫ ﻫـ‬+ ‫ ﻫـ‬+ ١ ) (‫ ﻫـ‬- ١) =

r‫ ﺕ‬- ‫ ﻫـ‬- r‫ ﺕ‬+ ٣ ‫ﻫـ‬

:IÉ£©ªdG äÉHÉLE’G ø«H øe áë«ë°üdG áHÉLE’G ôàNG tr 7 M -.Ocb z6 6Ĕ O7b i V (cłĿ " + cłĿ ") Ł cŀŁĿ ‫د‬ cňĿ ‫ﺟ‬ cŅĿ ‫ب‬ ...............

...............

tr 7 M -.Ocb z6 6Ĕ O7b i V Ň = |M| i ^ r i( ł r ‫ﺟ‬ r ‫ب‬

r ‫د‬ ...............

+ ŀ) = M i ^ / 12

r ‫أ‬ Ł

= ŁM ŀM i Vr = Łi + ŀi i ^r (Łi " + Łi ") Ła = ŁM Ů ( ŀi " + ŀi ") ŀa = ŀM i ^ / 13 ‫ب‬ Ła ŀa - ‫د‬ Ła ŀa ‫ﺟ‬ Ła ŀa Ła ŀa ‫أ‬ cŁņĿ ‫د‬

cŀŇĿ ‫ﺟ‬

Ł- ‫د‬

Ł ‫ﺟ‬

...............

= M i ^ / 11 cłĿ ‫أ‬

tr 7 ł - = M ^2gb -.Ob O6 14 cňĿ ‫ب‬ c2W> ‫أ‬

= | M | i V ł Ł ‫ب‬

+ ŀ- = M i ^ / 15

ł -ŀ- ‫أ‬

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

1-2

‫اﻟﺼﻮرة املﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد املﺮﻛﺐ‬ b6Ȟ 1 2RȚ : p #f 2*yf

(١- ٢) ‫ﺣﻞ ﺑﻌﺾ ﺗﻤﺎرﻳﻦ‬

...............

ŁŁń¶o

(٤ ،٣ ) = C 1

‫د‬

rȊŃ ...............

wo M -.Ocb z6Ĕ 1s?b i V - ŀ - = ŀM i ^ / 16 ‫ب‬ rȌ rȊ Ń ¶o Ń ¶o ‫أ‬

= ŁM + ŀM -.Ob O6 i V ł ł - ł - = ŁM Ů ł Ł + Ł = ŀM i ^ / 17 cŀŇĿ ‫ﺟ‬

cłĿĿ ‫د‬

‫ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‬2

‫ﺟ‬

¶o Ł

cŁŃĿ ‫ب‬

...............

CŁ ‫ﺟ‬

ŀ ‫د‬

٥=‫ ﻝ‬3

...............

^2gb -.Ob d gy d [gb d_;b 19 (cłĿ " +cłĿ ")ł ‫أ‬ (cŅĿ " +cŅĿ ")ł ‫ب‬

c L

(cŀŁĿ " +cŀŁĿ ")ł ‫ﺟ‬ (cŀńĿ " +cŀńĿ ")ł ‫د‬

ŀ r!i Ů r Ł !i z& ............... wo M O6 i V i z6 6Ĕ q O6 ¹ ^2f -¹ .N M i ^ / 20

١= |‫ |ﻉ‬6

i- r ‫ﺟ‬

i+ r- ‫د‬

i- ‫ب‬

i ‫أ‬

:≈JCÉj ÉsªY ÖLCG

7 ‫ﺟ‬

c٣٠ = ‫ﺍﻟﺴﻌﺮ ﺍﻷﺳﺎﺳﻰ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﻉ‬

cŅĿ ‫أ‬

+ C = = + 5 i ^ / 18 - C Ł - ŁC ‫ب‬ Ł +ŁC ‫أ‬

Ł= + Ł5 i V =

: z c gb 1s?b z Ē - .NĔ lf đ^ Ê ^ 21 ‫ب‬ ‫أ‬

11 cDS

٢‫ ﻝ‬١‫ ﻝ‬12

c L D

(cŃĿ " - cŃĿ ") Ń = ńM ‫ﻫ‬

Ń + ł - =ŃM ‫د‬

: z Ē ^2gb - .NĔ lf d_b z6 6Ĕ O7b r 5 z[gb ."r 22 + ŀ - = ŀM ‫أ‬ Ń ‫ب‬ - ł = ŁM (cŃń " + cŃń ")Ł - = M ‫ﺟ‬

r 14

٢ 15

cŁĿ J +ŀ = ŃM ‫د‬

(١٢٠ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ١٢٠ ‫ ) ﺟﺘﺎ‬٣ 19 ‫ ﺕ‬٥ = ١‫أ ﻉ‬

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

(٢١ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ٢١٠ ‫ )ﺟﺘﺎ‬٤ = ٢‫ب ﻉ‬

1-2

b6Ȟ 12Sgf #g#Ȟ 5yCf

(١٤٥- ) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ (٤٥- ) ‫ = ) ﺟﺘﺎ‬٣‫ﺟ ﻉ‬ ٢٠ ‫ﺟﺎ‬ ٢٠ ‫ ﺕ ﺟﺘﺎ‬+ ١ = ٤‫ ﻉ‬22 ١ ( ٢‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ٢٠ ‫ ) ﺟﺘﺎ‬٢٠ ‫ =ﺟﺘﺎ‬٤‫ﻉ‬

cŀłŇ " + cŃŁ " = ŁM Ů cŅŅ " + cŀŀŃ " = ŀM i ^ / 23 ŁM ŀM łM

c L

‫=ﺕ‬

‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ١٥٦ ‫ ﺟﺘﺎ‬٢‫ﻉ‬١‫ﻉ‬ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ r٢ ‫ = ﺟﺘﺎ‬١٥٦ = ‫ﻉ‬ ٦٦ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ٦٦ ‫ﺟﺘﺎ‬ ٣

(٩٠ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ٩٠ ‫ ) ﺟﺘﺎ‬٨ = r ‫ ﺕ‬٢ ‫ * ﻫـ‬٨ = r

‫ ﺕ‬٣ ‫= * ﻫـ‬ ‫ * ﻫـ ﺕ‬٢ =

ŁM

c L

ŀM

rŅ

rȊ Ń ¶o Ł =

¶o ŀŁ =

%ǽ Ů C

ł =M i ^ / 28

( -C) + ( + C) z& |M| ."r h 1s> H7 wV M -.Ob ."r V =M i ^ / 29 ( + C) - ( -C)

ŁM + ŀM :-.Ocb z c gb 1s?b ."r Ůŀń " + ŀń " = ŁM

( Ņł M ) O6 ‫د‬

Ů ŁMŀM

ŀ i ( rł " + rł ")Ł =M i ^ / 27 M ŅM y2 #b 1s?b ."r +

٢‫ﻉ‬١‫ ﻉ‬24

Ů ņń " + ņń " = ŀM i ^ / :ȈưĝŻśĞ ƄŐǔƽŝ 30

r :."r rŅ = łM O6 Ů rȊ Ń =ŁM O6 r Ů ł =ŀM O6 i ^ / 31 MM ( Ł ŀ ) O6 ‫ﺟ‬ (ŁM . ŀMŁ) O6 ‫ب‬ ( ŁŁ M łŀ M ) O6 ‫أ‬ łM

( i -¶o - i¶o) Ł - = i "ƅƅŮ( i -¶o + i¶o) ŀŁ = i " i :ȈưĝŻśĞ ƄŐǔƽŝ 32

٢‫ﻉ‬١‫ﻉ‬ ١‫ﻉ‬ ٢‫ﻉ‬ ‫ﻉ‬ ١ ٢٥ ٢‫ﻉ‬

‫ اﻟﺠﱪ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

ŁM

:-.Ob z6Ĕ 1s?b wcN ."r d [gb d_;b wV 25

: y2 #b 1s?b z Ē - .NĔ lf đ^ Ê ^ 26 rł ¶o = M ‫أ‬ M ‫ب‬

¶o ł ‫ﺟ‬ rȌ ł

ŀM

١١٤ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ١١٤ ‫ = ﺟﺘﺎ‬١‫ ﻉ‬23 ٤٢ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ٤٢ ‫ = ﺟﺘﺎ‬٢‫ ﻉ‬١٣٨ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ٤٢ ‫ = ﺟﺘﺎ‬٢‫ﻉ‬ ٦٦ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ٦٦ ‫ = ﺟﺘﺎ‬٣‫ ﻉ‬١١٤ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ٢٤ ‫ = ﺟﺎ‬٣‫ﻉ‬ r ٢

:-.Ocb y2 #b 1s?b ."r ŮŀŀŃ " + ŁŃ " = łM

:-.Ob z6Ĕ 1s?b wcN ."r Ů(cŀń " + cŀń ") Ń = ŁM Ů (cņń " +cņń ") Ł = ŀM i ^ / 24

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬

‫‪2-2‬‬

‫‪ôŔŇîüĿí óĊăŎĿí‬‬

‫‪ôaGƒªjO ájô¶f‬‬ ‫‪Demoivres theorem‬‬

‫‪ôaGƒªjO ájô¶f‬‬

‫‪2-2‬‬

‫‪De Moivre's theorem‬‬

‫ﻓﻜﺮ ‪ō‬‬

‫‪łŀĬø÷ ıŎē‬‬ ‫ ‪< =! 0 ,% , :‬‬ ‫ "(‬

‫ ( ‪M -.Ob 5 z[f‬‬

‫ ‪> 0 ,% , :‬‬ ‫ "(‬ ‫ ;* ‪("# $ %‬‬

‫‪ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ‬‬

‫اﻟﻤﻮاد اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ‪:‬‬

‫‪root‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪i " tsZ bĐ. i ł " lN 2 N 1‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬ ‫‪ł‬‬

‫ \ < > @ ‪.‬‬ ‫‪i ł " +ił " = (i " + i ") a‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫ ‪.(i " ) i Ł "ŀYł + ił " = (i " + i ") B‬‬ ‫]‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪(i " ) + (i " ) i " ŁYł +‬‬ ‫ \ ! ‪. 4 %‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫ ‬ ‫= " ‪i ł " - i Ł " i " ł - i " i Ł " ł + i‬‬ ‫‪.{[z['b 4#b r 7g (Ł) Ů (ŀ) lf‬‬ ‫` " ‪i Ł " -ŀ = i Ł‬‬ ‫‪ŀ = i Ł " + i Ł " a‬‬ ‫` " ‪i Ł " i " ł - i ł " = i ł‬‬ ‫‪(i Ł " -ŀ) i " ł - i ł " =ƅƅ‬‬ ‫‪i ł " ł + i " ł - i ł " =ƅƅ‬‬ ‫‪.i " ł - i ł " Ń =ƅƅ‬‬

‫أﻫﺪاف اﻟﺪرس‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺩميﻮﺍﻓﺮ ﻷﺱ ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺩميﻮﺍﻓﺮ ﻷﺱ ﻧﺴﺒﻰ ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ‬ ‫‪ ‬ميﺜﻞ ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ ﻋﲇ ﺷﻜﻞ ﺍﺭﺟﺎﻧﺪ‬

‫‪ÖLƒe í«ë°U ¢SCÉH ôaGƒªjO ájô¶f‬‬ ‫>'‪ ¹ "sf 'z‬‬ ‫ ‪ -¹ .N i i ^ /‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫@‪ii " + ii " = i(i " + i ") Y‬‬

‫‪demoivres thearem‬‬

‫ ; ‬

‫‪ł‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﺧﻠﻔﻴﺔ ‪:‬‬

‫ﺳﺒﻖ ﻭﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﻭﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻭﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ‪ ،‬ﻭﺳﻮﻑ ﻧﺘﻨﺎﻭﻝ ﻓﻲ ﻫﺬﺍ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺩﻳﻤﻮﺍﻓﺮ ﻷﺱ ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ ﻭﻧﻈﺮﻳﺔ ﺩﻳﻤﻮﺍﻓﺮ ﻷﻯ‬ ‫ﺃﺱ ﻧﺴﺒﻰ ﻣﻮﺟﺐ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﻧﺘﻨﺎﻭﻝ ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻭﺗﻤﺜﻴﻞ‬ ‫ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺍﺭﺟﺎﻧﺪ‪.‬‬

‫ ( ‪M -.Ob O6‬‬

‫‪ł‬‬

‫‪ł‬‬ ‫ب ‪ z6 6Ĕ O7b i V i{o M -.Ocb z6 6Ĕ O7b i ^r Ů ¹ ^2f -¹ .N M i ^ /‬‬ ‫‪............................... wo M -.Ocb‬‬

‫ @ ' ;* ‪? "# $ %‬‬ ‫‪( 'AB‬‬

‫ ‪ ,% , :‬‬

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫أ ‪:."r V i z6 6Ĕ q O6r Ůa q6 z[f ¹ ^2f -¹ .N M i ^ /‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪i " tsZ bĐ. i ł " lN 2 N 1‬‬

‫‪50‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺗﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ‪:‬‬

‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬

‫ﻧﻌﻠﻢ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‪ i‬ﺳﻌﺔ ﻋﺪﺩ ﻣﺮﻛﺐ ﻓﺈﻥ ﻛﻼ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ‪٢ + i‬ﺭ ‪r‬‬

‫)ﺣﻴﺚ ﺭ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ( ﻫﻰ ﺳﻌﺔ ﻟﻨﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻭﺍﻟﺤﻮﺍﺭ ‪ ،‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﻄﻬﻨﻰ ‪،‬‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪ ،‬ﺍﻻﻛﺘﺸﺎﻑ ‪.‬‬

‫ﻷﻥ ﺟﺘﺎ ‪ +i‬ﺕ ﺟﺎ‪ = i‬ﺟﺘﺎ )‪ ٢ + i‬ﺭ‪ + (r‬ﺕ ﺟﺎ )‪ ٢ + i‬ﺭ‪(r‬‬

‫ﻣﻜﺎن اﻟﺘﺪرﻳﺲ ‪:‬‬

‫ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻥ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ) ﻣﻮﺟﺐ ﺃﻭ ﺳﺎﻟﺐ( ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫)ﺟﺘﺎ ‪ +i‬ﺕ ﺟﺎ‪(i‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ‬

‫= ] ﺟﺘﺎ )‪ ٢ + i‬ﺭ‪ + ( r‬ﺕ ﺟﺎ )‪ ٢ + i‬ﺭ‪[ r‬ﻥ‬

‫ﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻢ ‪:‬‬

‫= ﺟﺘﺎﻥ )‪ ٢ + i‬ﺭ‪ + r‬ﺕ ﺟﺎ )‪٢+ i‬ﺭ‪( r‬‬

‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺹ )‪ (٥٠‬ﺇﻟﻰ ﺹ )‪(٥٤‬‬ ‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻻﻧﺘﺮﻧﺖ(‬

‫= ﺟﺘﺎ ) ﻥ ‪ ٢ +i‬ﻥ ﺭ‪ + ( r‬ﺕ ﺟﺎ ) ﻥ‪ ٢ + i‬ﻥ ﺭ ‪(r‬‬ ‫ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ دﻳﻤﻮاﻓﺮ‬ ‫= ﺟﺘﺎ ﻥ‪ + i‬ﺕ ﺟﺎ ﻥ‪i‬‬

‫اﻟﺘﻬﻴﺌﺔ ‪:‬‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻨﺪ " ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ" ﺣﻮﻝ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ﻉ‪ ٢‬ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺳﻌﺘﻪ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ‪.‬‬

‫‪42‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ﺭ ∋‪N‬‬

‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻥ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ) ﺟﺘﺎ‪ + i‬ﺕ ﺟﺎ‪(i‬ﻥ ﻟﻪ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺣﻴﺪﺓ‬

‫ﻫﻰ ) ﺟﺘﺎ ﻥ ‪ +i‬ﺕ ﺟﺎ ﻥ‪ ( i‬ﻟﺠﻤﻴﻊ ﺭ ∋‪N‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ دﻳﻤﻮاﻓﺮ‬ ‫‪2-2‬‬

‫‪6Z yl 1 6Op‬‬

‫‪2-2‬‬

‫‪r٧‬‬ ‫‪r٧‬‬ ‫‪) ٤‬ﺟﺘﺎ ‪ + ١٢‬ﺕ ﺟﺎ ‪( ١٢‬‬

‫‪ÖLƒe ≈Ñ°ùf ¢SCÉH ôaGƒªjO ájô¶f‬‬ ‫‪.(z'> -.N 1 z& ů(r 1Ł + i) " + (r 1Ł + i) " = i " + i " i hcOj‬‬ ‫‪r 1Ł + i " + r 1Ł + i " = ]ŀ (i " + i ") i V "sf -.N ] i ^ / V‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪¹‬‬

‫ﻉ‪= ٢‬‬

‫‪lf ] tr 7y Wc +gb hz[b m0o -.N is_yr Ů1 hz[b O¹ -.O f gzZ‬‬ ‫ ^ " ‪¹ 0* y ] (i " + i ") 1 .[f‬‬ ‫ ‪rȆ r- lz 1s?'f r 1Ł + i O7b dO# { b .... Ł Ů ŀ Ů Ŀ Ů ŀ - Ů Ł - Ů .... =1 hzZ PBs pzcN d?'j { b Ůhz[b‬‬

‫ﻉ‪) ١٢ = ٣‬ﺟﺘﺎ ‪ + ١٢‬ﺕ ﺟﺎ ‪( ١٢‬‬

‫]‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪r‬‬

‫]‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﻉ‪= ٤‬‬

‫‪ ł -ŀ = ŃM b- Ogb d& Nsg#f {V ."r 2‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫½'‪ z c gb 1s?b wb ł -ŀ -.Ob as‬‬ ‫‪Í j‬‬ ‫` ‪ ł -ŀ -.Ob‬‬ ‫]= ‪Ł = Ł( ł -)+Łŀ = Ł=+Ł5‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪r٣‬‬

‫‪r١٣‬‬

‫‪r١٩‬‬ ‫‪r١٩‬‬ ‫‪) ٤‬ﺟﺘﺎ ‪ + ١٢‬ﺕ ﺟﺎ ‪( ١٢‬‬

‫‪ł - = =ƅŮƅŀ = 5‬‬

‫ﻧﻼﺣﻆ أن‪:‬‬

‫‪P 2b P 2b {V P[y‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٥‬‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ )ﺟﺘﺎ ‪ + c٥٠‬ﺕ ﺟﺎ ‪ ( c٥٠‬ﻟﻪ ﺧﻤﺲ ﻗﻴﻢ ﺗﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ‪:‬‬

‫‪r Łł - =( ł ) ŀ- J - = i‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ł ) - " + (r Ł - ") Ńŀ Ł = M‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪[(r1Ł + r Łł -) ŀŃ " + (r1Ł + r Łł -) ŀŃ "] Ł Ń‬‬ ‫‪ r ŀ -¶o Ł Ń = (r ŀ - " + r ŀ - ") Ł Ń = M‬‬ ‫‪ Y@ Ŀ = 1‬‬ ‫‪ 5 2R‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪ r ŀ ¶o Ł Ń = (r ŀ " + r ŀ ") Ł Ń = M‬‬ ‫@‪ Y‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 5 2R‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ r Ł -¶o Ł Ń = (r Ł - " + r Ł - ") Ł Ń = M‬‬ ‫‪ Y@ ŀ - = 1‬‬ ‫‪ 5 2R‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ r ń ¶o Ł Ń = (r ń " + r ń ") Ł Ń = M‬‬ ‫‪ Y@ Ł = 1‬‬ ‫‪ 5 2R‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫` ‪{ r ń ¶o Ł Ń ƅŮƄ r Ł -¶o Ł Ń ƅŮƄ r ŀ ¶o Ł Ń ƅŮƄ r ŀ -¶o Ł Ń } =d'b Nsg#f‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ņ‬‬

‫` ‪((r Łł -) " + (r Łł -) ")Ł = ŃM‬‬ ‫‪ŀ‬‬

‫‪Ń (r‬‬

‫)ﺟﺘﺎ ‪٢ +c٥٠‬ﺭ ‪ + r‬ﺕ ﺟﺎ ‪٢ + ٥٠‬ﺭ ‪( r‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪٥‬‬

‫ﻋﻦ ﺭ = ‪٤ ،٣ ،٢ ،١ ،٠‬‬ ‫أى ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺪار‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ ł Ł +Ł =ŃM b- Ogb d& Nsg#f {V ."r 2‬‬

‫)ﺟﺘﺎ‪٣٦٠ + c٥٠‬ﺭ ‪ +‬ﺕ ﺟﺎ)‪٣٦٠ + ٥٠‬ﺭ (‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪٥‬‬

‫‪..j "1 ts 7f wcN 1r0#b dÍ f¼ r Ůŀ = łM b- Ogb 1r0" ."r 3‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪٥‬‬

‫ﻋﻦ ر = ‪ ٤ ،٣ ،٢ ،١ ،٠‬وﻫﻰ‬

‫‪ŀ = łM‬‬ ‫= " ‪%Ŀ " +%.‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫`‪ł (%Ŀ " +%. ") = M‬‬

‫)ﺟﺘﺎ ‪ + c١٠‬ﺕ ﺟﺎ ‪) ، (١٠‬ﺟﺘﺎ ‪ + c٨٢‬ﺕ ﺟﺎ ‪(c٨٢‬‬ ‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫)ﺟﺘﺎ ‪ + c١٥٤‬ﺕ ﺟﺎ ‪) ، (c١٥٤‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٢٢٦‬ﺕ ﺟﺎ ‪(٢٢٦‬‬

‫‪51‬‬

‫)ﺟﺘﺎ ‪ +c٢٩٨‬ﺕ ﺟﺎ ‪(c٢٩٨‬‬ ‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ‪ :‬اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﻟﻺﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫‪ 1‬ﻉ = ﺟﺘﺎ ﻫـ ‪ +‬ﺕ ﺟﺎ ﻫـ‬ ‫ﻉ‪ = ٣‬ﺟﺘﺎ ‪ ٣‬ﻫـ ‪ +‬ﺙ ﺟﺎ ‪ ٣‬ﻫـ‬ ‫) ﺟﺘﺎ ﻫـ ‪ +‬ﺕ ﺟﺎ ﻫـ (‪ =٣‬ﺟﺘﺎ ‪ ٣‬ﻫـ ‪ +‬ﺕ ﺟﺎ ‪ ٣‬ﻫـ‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪ ٣‬ﻫـ ‪ ٣ +‬ﻕ‪ ١‬ﺕ ﺟﺎ ﻫـ ﺟﺘﺎ ‪ ٢‬ﻫـ ‪٣ +‬ﻕ‪ ٢‬ﺕ‪ ٢‬ﺟﺎ‪ ٢‬ﻫـ ﺟﺘﺎ ﻫـ‬ ‫‪ ) +‬ﺕ ﺟﺎ ﻫـ‪(٣‬‬ ‫= ﺟﺘﺎ ‪ ٣‬ﻫـ ‪ +‬ﺕ ﺟﺎ ‪ ٣‬ﻫـ‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪ ٣‬ﻫـ ‪ ٣ +‬ﺕ ﺟﺎ ﻫـ ﺟﺘﺎ‪ ٢‬ﻫـ ‪ ٣٠ ) +‬ﺟﺎ‪ ٢‬ﻫـ ﺟﺘﺎ ﻫـ ‪-‬‬ ‫ﺕ ﺟﺎ‪ ٣‬ﻫـ‬ ‫= ﺟﺘﺎ ‪ ٣‬ﻫـ ‪ +‬ﺕ ﺟﺎ ‪ ٣‬ﻫـ‬ ‫ﺟﺎ ‪ ٣‬ﻫـ = ‪ ٣‬ﺟﺎﻫـ ﺟﺘﺎ‪ ٢‬ﻫـ ‪ -‬ﺟﺎ ‪ ٣‬ﻫـ‬ ‫‪r‬‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ إﺿﺎﻓﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫‪١‬‬

‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺩﻳﻤﻮﺍﻓﺮ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﻛﻞ ﻣﻦ‪:‬‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪ ، i٢‬ﺟﺎ ‪ i٢‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺟﺎ ‪ ، i‬ﺟﺘﺎ ‪i‬‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫ﺟﺘﺎ‪ +i ٢‬ﺕ ﺟﺎ ‪ ) =i ٢‬ﺟﺘﺎ ‪ +i‬ﺕ ﺟﺎ ‪٢(i‬‬

‫ﺟﺘﺎ‪ + i ٢‬ﺕ ﺟﺎ ‪ =i ٢‬ﺟﺘﺎ‪ - i ٢‬ﺟﺎ ‪ ٢ +i ٢‬ﺟﺎ‪ i‬ﺟﺘﺎ‪i‬‬

‫ﻣﻦ ﺧﻮاص اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﻳﻨﺘﺞ أن‬

‫ﺟﺘﺎ‪ = i ٢‬ﺟﺘﺎ ‪ -i ٢‬ﺟﺎ ‪،i ٢‬‬ ‫ﺟﺎ ‪ ٢ = i ٢‬ﺟﺎ ‪i‬ﺟﺘﺎ ‪i‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺩﻳﻤﻮﺍﻓﺮ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪:‬‬ ‫أ ﺟﺘﺎ ‪i٣‬‬ ‫ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺟﺎ ‪ ،i‬ﺟﺘﺎ ‪.i‬‬ ‫ب ﺟﺎ ‪i ٣‬‬

‫‪r‬‬

‫‪ 2‬ﻉ = ‪ ) ٤‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٣‬ﺕ ﺟﺎ ‪( ٣‬‬ ‫‪٤‬‬

‫ﻉ=‬

‫ﻉ‪= ١‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪ ) ٤‬ﺟﺘﺎ‬

‫‪r‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪r ٢ +‬ﺭ‬ ‫‪٤‬‬

‫‪ +‬ﺕ ﺟﺎ‬

‫‪r‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪r ٢ +‬ﺭ‬ ‫‪٤‬‬

‫‪r٧‬‬ ‫‪r٧‬‬ ‫‪ ) ٤‬ﺟﺘﺎ ‪ + ١٢‬ﺕ ﺟﺎ ‪( ١٢‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪43‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ :‬اﻷﻋﺪاد املﺮﻛﺒﺔ‬ ‫ ‪ b6Ȟ 1 2RȚ : p #f 2*yf‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫‪(r1Ł) ŀł " + (r1Ł) ŀł " =ƅ‬‬

‫ﻋﻨﺪ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺟﺪﻭﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻉ‪ ١ = ٣‬ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺍﺭﺟﺎﻧﺪ ﻭﺿﺢ‬ ‫ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻥ ﻋﻨﺪ ﻉ‪ ١ = ٣‬ﻓﺈﻥ‪:‬‬

‫‪ŀ =%Ŀ " ł + %Ŀ " = ŀM i V Ŀ = 1 f.kN‬‬ ‫‪ rŁ‬‬

‫‪ł ¶o = rłŁ " + rłŁ " = ŁM i V ŀ = 1 f.kN‬‬ ‫‪ rŁ - ¶o = rŁ - " + rŁ - " = M i V ŀ - = 1 f.kN‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ł‬‬

‫ﻉ‪ = ٣‬ﺟﺘﺎ‪ +c ٠‬ﺕ ﺟﺎ‪c ٠‬‬

‫ ‪r −‬‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪ −‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪..j "1 ts 7f wcN 1r0#b d fr ŀ = ŃM b- Ogb 1r0" ."r 3‬‬ ‫‪á«fƒædG QhòédG‬‬

‫‪١‬‬

‫ﻉ = ﺟﺘﺎ ‪ ٢)) ٣‬ﺭ‪ + r‬ﺕ ﺟﺎ ‪٢)( ٣‬ﺭ‪((r‬‬

‫`‬

‫ ‪r‬‬ ‫ ‬ ‫‪ −‬‬

‫ ‪z& C = i5 b- Ogb‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪. i C = 5 1s?b wcN 1r0#b lf i pb is_y ^2f -.N C‬‬

‫‪.j "1 ts 7f {V O¹ zg" 1r0#b P[ r Ů2V sgy- y2Kj \z G h C -.Ocb z c gb 1s?b - #y p 7& l_gy‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪ O¹ cCf is_ r Ȇ i |C| o2GZ X?j asFr d>Ĕ G[j o4^2f .& r 2 - wcN‬‬ ‫‪.i q6r 1 -.N Ů gK kf‬‬ ‫‪¹‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ‬

‫ ‪łŁ - = %M b- Ogb asc& {o łŁ - -.Ocb z6 g+b 1r0#b‬‬ ‫‪. z c gb 1s?b wb łŁ - -.Ob dys' r‬‬ ‫` ‪(r " + r ") łŁ = %M‬‬ ‫‪ŀ‬‬

‫` ‪r ") ń łŁ = M‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫ ‬

‫‪ń (r " +‬‬

‫= ‪.((r1Ł + r) ŀń " + (r1Ł + r) ŀń ") Ł‬‬

‫ ﺍﺳﺘﺮﺷﺪ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻮﺟﻮﺩ ﻓﻰ ﺹ )‪ (٥٢‬ﻟﺘﺒﻴﻦ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻥ‬ ‫ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﻋﻠﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﺭﺟﺎﻧﺪ ﺗﻘﺴﻢ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ‪ ،‬ﻭﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ﺇﻟﻰ ‪ ٣‬ﺃﻗﻮﺍﺱ‬

‫ ‬

‫ _‪c‬‬

‫ ‬

‫ﺭ = ‪١-‬‬

‫‪ r٢‬ﺕ‬‫ﻉ‪ = ٣‬ﻫـ ‪٣‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫_‪c‬‬

‫ﺭ=‪٠‬‬ ‫ﺭ=‪١‬‬

‫ﻉ‪١ = ١‬‬ ‫‪ r٢‬ﺕ‬ ‫ﻉ‪ = ٢‬ﻫـ ‪٣‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫) ‪(ɺɹ - 12Sgf : l/f 5x4'f‬‬ ‫‪łŁ - -.Ocb z6 g+b 1r0#b .j "1 d_: wcN d f 4‬‬

‫‪2W> = 1 PBs `b/r arĔ 10#b ."sj‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪(%łŅ " + %łŅ ") Ł = ( r‬‬ ‫` ‪ń " + ń ") Ł = M‬‬

‫[ ‪c‬‬

‫ ‬ ‫ ‪S‬‬

‫ _‪c‬‬

‫‪١‬‬

‫ ‬

‫‪asFr Ůd>Ĕ G[j o4^2f { b 2 .b h7[ 1r0#b i L&đj‬‬ ‫‪ pkf d^ 5 zZr Ů yr 7 f 5 sZ ł wb .&sb o2GZ X?j‬‬ ‫‪.(MđBĔ tr 7 f c f 5r 1 is_ H[kb z .& )%ŀŁĿ‬‬

‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻥ‬ ‫ﻉ = )ﺟﺘﺎ ‪ + ٠‬ﺕ ﺟﺎ ‪(٠‬‬

‫ ‬

‫ _‪c‬‬

‫‪%ņŁ = łŅĿ {o qzcy x0b r 10" d^ lz yr 4b 5 zZ is_ r‬‬ ‫‪ń‬‬ ‫‪((%ņŁ + %łŅ) " + (%ņŁ + %łŅ ")) Ł = ŁM‬‬ ‫= ‪(%ŀĿŇ " + %ŀĿŇ ") Ł‬‬

‫ ‬

‫ ‪D‬‬

‫‪(%ŀŇĿ " + %ŀŇĿ ") Ł = ((%ņŁ * Ł + %łŅ) " + (%ņŁ + %łŅ ")) Ł = łM‬‬ ‫‪(%ŁńŁ " + %ŁńŁ ") Ł = ((%ņŁ * ł + %łŅ) " + (%ņŁ*ł + %łŅ ")) Ł = ŃM‬‬

‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻭﻗﻴﺎﺱ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ‪c١٢٠‬‬

‫= ‪(%ŀĿŇ -) " + (%ŀĿŇ -) ") Ł‬‬

‫‪52‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ ‪:‬اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﻟﻺﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫اﻟﺠﺬور اﻟﻨﻮﻧﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻉ‪٤‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺱﻥ = ‪ C‬ﺣﻴﺚ ‪ C‬ﻋﺪﺩ ﻣﺮﻛﺐ ﻓﺈﻥ‬

‫=‪١‬‬

‫‪١‬‬

‫ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺗﻜﻮﻥ ﻋﻠﻲ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺱ = ‪ C‬ﻥ ‪.‬‬

‫ﻉ‪) ١ = ٤‬ﺟﺘﺎ ﺻﻔﺮ ‪ +‬ﺕ ﺟﺎ ﺻﻔﺮ(‬ ‫ﺭ‬ ‫‪r٢‬ﺭ‬ ‫‪( r٢‬‬ ‫ﻉ = ‪) ١‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٤‬ﺕ ﺟﺎ ‪٤‬‬ ‫ﻉ‪) = ١‬ﺟﺘﺎ ﺻﻔﺮ ‪ +‬ﺕ ﺟﺎ ﺻﻔﺮ(‬ ‫ﻉ‪) = ٢‬ﺟﺘﺎ ‪ + r٢‬ﺕ ﺟﺎ‪( r‬‬ ‫ﻉ‪) = ٣‬ﺟﺘﺎ‪ + r‬ﺕ ﺟﺎ ‪(r‬‬ ‫‪r‬‬‫‪( r‬‬‫ﻉ‪) = ٤‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٢‬ﺕ ﺟﺎ ‪٢‬‬

‫ﻳﻤﻜﻦ ﺣﺴﺎب اﻟﺠﺬر اﻟﻨﻮﻧﻰ ﺑﺎﻟﺨﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﺇﳚﺎﺩ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪C‬‬

‫‪ ‬ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺩميﻮﺍﻓﺮ‬ ‫‪ ‬ﺗﻘﻊ ﺍﳉﺬﻭﺭ ﻋﲇ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺍﺭﺟﺎﻧﺪ ﻋﲇ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫‪١‬‬

‫ﺍﻷﺻﻞ ﻭﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ |‪ |C‬ﻥ ‪.‬‬

‫ ‬

‫ ﺍﻋﻂ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺜﺎﻝ ﺹ )‪ (٥٢‬ﻟﺘﻮﺿﻴﺢ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻨﻮﻧﻴﺔ ﻭﻫﻰ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺨﻤﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ) ‪(٣٢-‬‬ ‫ ﺍﺳﺘﺮﺷﺪ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻟﺒﻴﺎﻥ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﻋﻠﻲ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺍﺭﺟﺎﻧﺪ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪44‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

тАля╗зя╗Ия║оя╗│я║Ф ╪пя╗│я╗дя╗о╪зя╗Уя║отАм

2-2

тАля║Ня╗╣я║Яя║Оя║Ся║ФтАм ┘в ┘в

┘в

+┘в

= r┘и тАля║Яя║Шя║ОтАм

-┘в

= r┘и тАля║Яя║ОтАм

┘в

┘б-= ┘в

r ┘и

6Z yl 1 6Op

(%┼В┼Б┼Г " + %┼В┼Б┼Г ") ┼Б = ((%┼Ж┼Б*┼Г + %┼В┼Е) " + (%┼Ж┼Б * ┼Г + %┼В┼Е ")) ┼Б =

┼ДM

(%┼В┼Е - " + %┼В┼Е- ") ┼Б = ─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

┼А -.Ocb z6 .7b 1r0#b .j "1 d_: wcN d├Н f 4 тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм ┼Г +┼В -.Ocb zOz 2 b 1r0#b ."r 5 ─╛─Д─┐├н ┼А

тАля╗Зя║ОтАм

тАл ╪зя╗Яя║дя╗о╪з╪▒ ┘И╪зя╗Яя╗дя╗ия║Оя╗Чя║╕я║ФтАм:тАл╪зя╗Яя║Шя╗Шя╗┤я╗┤я╗в ╪зя╗Яя╗дя║┤я║Шя╗дя║отАм

тАл┬Ш я╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗гя╗К я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я║Ся╗ия║к я║гя║Оя╗ня╗Э я║Гя╗е я║Чя║дя╗Ю я╗ня║Чя╗оя║╗я╗Ю я╗гя╗Мя╗мя╗в я║Зя╗Яя╗░тАм тАля║Ня╗╣я║Яя║Оя║Ся║Оя║Х я║Ня╗Яя║╝я║дя╗┤я║дя║ФтАм

lzV2Gb Pz 2 = + 5 = ┼Б ( ┼Г +┼В) i A2Wj = 5 ┼Б +┼Б= - ┼Б5 = ┼Г +┼В ` {cz+ b 4#b {cz+ b 4#b r {[z['b 4#b {[z['b 4#b r 7g # ┼Г = = 5 ┼Б╞Е╞Е┼о╞Е # ┼В =┼Б= - ┼Б5 ` Pg#b r ┼о Pz 2 ┼Б┼Д = ┼Г= + ┼Б= ┼Б5┼Б + ┼Г5 ` ┼А┼Е + ┼И = ┼Б= ┼Б5┼Г + ┼Г= + ┼Б= ┼Б5 ┼Б - ┼Г5 ` # ┼Д =(┼Б= +┼Б5) `╞Е ┼Б┼Д = ┼Б(┼Б= + ┼Б5) ` ┼А = = # {V DysO b ┼Б = 5 .kN ┼Б ! = 5 pkfr ┼З = ┼Б5 ┼Б # ┼о Pg# + ┼Б = ar─Ф 10#b ` - ┼Б - = {j b 10#b ` ─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

( + ┼А) ┼А -.Ocb lzOz 2 b ly10#b z c gb 1s?b wcN ."r 5 ┼Б

тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

─┐ = ┼Б - ┼Г + 5 ( - ┼В) - ┼Б5 ( - ┼А) b- Ogb d& Nsg#f {V ."r 6

тАл я║│я║кя║Ня║│я╗░ я╗гя╗ия║Шя╗Ия╗втАм4

┘б ┘б

─╛─Д─┐├н

: 1s?b wcN b- Ogb PBr l_gy -┼Г -┼В ┼Б 2W> = ┼Б -┼А +5 -┼А - 5

┘б

┘б c c c c c c

┘б

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм

-┼В a + ┼Б = ┼Б┼Б + ┼Г = ┼А + ┼Б + ┼В = ( + ┼А) ( - ┼В) = ┼А+┼А ( + ┼А) ( - ┼А) - ┼А + ┼А) ( ┼Б - ┼Г) ┼Б - ┼Г + ┼В = ┼Б┼Б + ┼Е = ┼Б + ┼Б + ┼Г = ( = a ( + ┼А) ( - ┼А) - ┼А ┼А+┼А

─┐ = + ┼В + 5 ( + ┼Б) - ┼Б5 {o 1s> H7 {V b- Ogb zOz 2 b b- Ogb d'b e Ob isj [b e .+ 6 r ┬╢"C┼Г - ┼Б ! - = 5

C┼Б ┼Г - ┼А┼Б - ┼А - ( ┼Г + ┼Г) ! ( + ┼Б) = ( + ┼В)┼Г - ┼Б( + ┼Б) ! ( + ┼Б) = ┼Б ┼Б

┘б

╟║'f - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

┘б

тАл я║ХтАм┘в┘д - ┘з = ┘втАл я║ХтАм┘й + тАл я║ХтАм┘в┘д - ┘б┘ж = тАл я║ХтАм┘в┘д - ┘з = ┘в(тАл я║ХтАм┘г - ┘д) =

тАля╗ЙтАм

┘в

=тАля║╣тАм╪М

┘б= r ┘д

(тАл я║ХтАм┘г - ┘д ) ! =

┘б

┘в ┘б ┘б ┘в+ ┘в

=тАл я║▒тАм5 = |тАл` |я╗ЙтАм

=┘б ┘б- тАл= я╗Зя║ОтАмi ` ┘б = iтАля╗Зя║ОтАм

( r┘д тАл я║Х я║Яя║ОтАм+ r┘д тАля╗Й = ) я║Яя║Шя║ОтАм :тАля║Ня╗Яя║ая║мя║ня║Ня╗е я║Ня╗Яя║Шя║оя║Ся╗┤я╗Мя╗┤я║Оя╗е я╗ля╗дя║ОтАм ┘б ┘в

(

┘б = тАл( я╗Ля╗ия║к я║нтАм

r ┘и

rтАля║нтАм┘в+ ┘г

r ┘д

( r┘д тАл я║Х я║Яя║ОтАм+ r┘д тАля╗Й = ) я║Яя║Шя║ОтАм тАл я║Х я║Яя║ОтАм+

rтАля║нтАм┘в+ ┘г

r ┘д

тАл= ) я║Яя║Шя║ОтАм

┘б= тАл я║нтАм╪М ┘а = тАля║нтАм

тАл я║Х я║Яя║ОтАм+ r┘и тАл я║Ня╗Яя║ая║мя║н я║Ня╗╖я╗ня╗Э = ) я║Яя║Шя║ОтАм┘а = тАля╗Ля╗ия║к я║нтАм

r┘й ( r┘й ┘д тАл я║Х я║Яя║ОтАм+ ┘и тАля║Ня╗Яя║ая║мя║н я║Ня╗Яя║Ья║Оя╗зя╗░ = ) я║Яя║Шя║ОтАм : тАл┬Ш я╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я╗ля╗Ю я║Ся║Оя╗╣я╗гя╗Ья║Оя╗е я║гя║┤я║Оя║П я╗Ыя╗Ю я╗гя╗жтАм r тАл я╗Зя║ОтАм╪М r ┘и ┘в

тАл я║Яя║ОтАм╪М r┘и тАля║Яя║Шя║ОтАм

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ :‬اﻷﻋﺪاد املﺮﻛﺒﺔ‬ ‫‪6‬‬

‫ ‪ b6Ȟ 1 2RȚ : p #f 2*yf‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ص ‪٦٠‬‬

‫)‪ ł ! ( + Ł‬‬ ‫=‬ ‫‪Ł‬‬

‫= )‪ň - ! ( + Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫ ‪ Ł + ŀ = ł +Ł + Ł = arĔ 10#b‬‬

‫ﺱ‪ + ١) + ٢‬ﺕ( ﺱ ‪ ٣ + ٦ -‬ﺕ = ﺻﻔﺮ‬

‫ ‪+Ł = arĔ 10#b‬‬ ‫ ‪ - ŀ = ł -‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫` ‪{ - ŀ Ů Ł + ŀ} = d'b Nsg#f‬‬

‫ﺱ = ‪ + ١)-‬ﺕ( ! )‪ + ١‬ﺕ(‪(٣ + ٦-)١*٤ - ٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫=‬

‫ﺗﻤــــﺎرﻳــﻦ )‪(٢ - ٢‬‬

‫‪ ٢‬ﺕ ‪ ١٢ - ٢٤ +‬ﺕ‬

‫ﺱ = ‪ + ١)-‬ﺕ( !‬

‫ﺱ=‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪Ŀ = ł + Ņ - 5 ( + ŀ) + Ł5 b- Ogb d& Nsg#f {V ."r 6‬‬

‫‪: z Ē [ G gb '> 2V sgy- y2Kj e .+ 6 1‬‬ ‫ب " ‪i " ń + ił "ŁĿ - iń " ŀŅ = iń‬‬ ‫أ " ‪ŀ + iŁ "Ň - i Ń " Ň = iŃ‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ + ١)-‬ﺕ( ! ‪١٠-٢٤‬ﺕ‬

‫‪: = + 5 1s> wcN 1r0#b ^ ů z Ē Đ- Ogb lf d^ d& Nsg#f wV ."r 2‬‬ ‫ﺟ ‪Ŀ = Ň + łM‬‬ ‫ب ‪Ŀ = Ň + łM‬‬ ‫أ ‪ŀŅ = ŃM‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ + ١)١‬ﺕ( ! ) ‪ - ٥‬ﺕ(‬

‫‪z& Ŀ = ŁŃł + ńM b- Ogb d& Nsg#f ."r 3‬‬

‫ﺱ=‬ ‫=‬ ‫ﺱ‪= ١‬‬ ‫ﺱ‪٣- = ٢‬‬ ‫ﺱ‪ - ٢ = ١‬ﺕ‬ ‫` ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = }‪ - ٢‬ﺕ ‪{ ٣- ،‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ - ١‬ﺕ ‪ - ٥ +‬ﺕ‬‫‪٢‬‬

‫‪ - ١‬ﺕ ‪+ ٥ -‬ﺕ‬‫ﺱ ‪=٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪:lf d_b zOz 2 b 1r0#b ."r 5‬‬ ‫أ ‪ ł Ł-Ł‬‬ ‫د ‪ Ń+ł‬‬

‫ب ‪ -ŀ‬‬ ‫ﻫ ‪ ŀŁ - ń‬‬ ‫‪..j "1 d_: wcN 1r0#b m0o d fr Ň -.Ocb z zO_ b 1r0#b ."r 6‬‬

‫ﺟ ‪ Ň‬‬

‫‪..j "1 d_: wcN 1r0#b m0o d fr ŀ - -.Ocb O 2b 1r0#b ."r 7‬‬ ‫‪( Ņ Ł - Ł Ł) = M -.Ocb Wc +gb hz[b ."r 8‬‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ إﺿﺎﻓﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ‪:‬‬

‫‪١‬‬

‫‪ ǽ M‬‬

‫‪. z6Ĕ 1s?b wcN d'b ^ . ł Ł + Ł = ŃM b- Ogb d& Nsg#f ."r 4‬‬

‫‪ Ń-ņ‬‬ ‫‪i ^ / 9‬‬ ‫‪ +Ł‬‬

‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫= ‪( C Ł + -) 1 .[gb hzZ ."r Ů + C‬‬

‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪. z6Ĕ 1s?b wcN zOz 2 b m1r0" ."r h Ů z c gb 1s?b wcN ( + ŀ) Ł Ł -.Ob PB 10‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ )ﺱ ‪ +‬ﺕ ﺹ(‪ ٢ + ١ ) ٢‬ﺕ( = ‪ ٢ + ١١‬ﺕ‬ ‫ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻢ ﺱ‪ ٢‬ﺹ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬

‫‪ł‬‬

‫‪. y2 #b 1s?b wcN Ł 5 ."r Ņ - Ň = 5 i ^ / 11‬‬ ‫‪(ł + i Ł " Ń + iŃ " ) ŀŇ = i Ń " i : ȈưĝŻśĞ ƄŐǔƽŝ 12‬‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫`‬ ‫`‬

‫)ﺱ ‪ +‬ﺕ ﺹ(‪ ٢ + ١) ٢‬ﺕ( = ‪ ٢ + ١١‬ﺕ‬ ‫‪ ٢ + ١١ ٢‬ﺕ‬ ‫)ﺱ ‪ +‬ﺕ ﺹ( =‬ ‫)ﺱ ‪ +‬ﺕ ﺹ(‪= ٢‬‬ ‫=‬

‫`‬ ‫`‬

‫)‪ ٢ + ١‬ﺕ( ) ‪ ٢ - ١‬ﺕ(‬

‫‪ ٢٠ - ١٥‬ﺕ‬ ‫‪٥‬‬

‫)ﺱ ‪ +‬ﺕ ﺹ(‪ ٤ - ٣ = ٢‬ﺕ‬ ‫ﺱ‪ - ٢‬ﺹ‪ ٢ + ٢‬ﺱ ﺹ ﺕ = ‪ ٤ - ٣‬ﺕ‬ ‫)‪(١‬‬ ‫ﺱ‪ - ٢‬ﺹ‪٣ = ٢‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫‪٢‬ﺱ ﺹ = ‪٤-‬‬ ‫ﺑﺘﺮﺑﻴﻊ )‪ (٢) ، (١‬واﻟﺠﻤﻊ‬

‫`‬

‫)ﺱ‪ + ٢‬ﺹ‪٢٥ = ٢(٢‬‬ ‫ﺱ‪ + ٢‬ﺹ‪(٣) ٥ = ٢‬‬

‫ﺑﺠﻤﻊ )‪(٣) ، (١‬‬

‫‪٢‬ﺱ‪ ٨ = ٢‬ﺱ‪ ٤ = ٢‬ﺱ = !‪٢‬‬ ‫ﺑﻄﺮح )‪ (١‬ﻣﻦ )‪(٣‬‬ ‫`‬

‫‪٢‬ﺹ‪ ٢ = ٢‬ﺹ‪ ١ = ٢‬ﺹ = ! ‪١‬‬

‫`‬

‫‪46‬‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ ‪١ - ٢‬‬

‫‪ 5‬ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪ ٤ + ٣‬ﺕ‬ ‫‪ ٤ + ٤‬ﺕ ‪ +‬ﺕ‪٢‬‬

‫) ‪ +٢‬ﺕ(‪٢‬‬

‫=‬

‫` ﺱ ‪ ،‬ﺹ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﺎﻥ ﻓﻰ ﺍﻻﺷﺎﺭﺓ‬ ‫ﺱﺹ>‪٠‬‬ ‫ﺱ = ‪ ، ٢‬ﺹ = ‪ ١-‬ﺃﻭ ﺱ = ‪ ، ٢-‬ﺹ =‪١‬‬ ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫= !) ‪ + ٢‬ﺕ(‬

‫‪ 6‬ﻉ = ‪ ) ٨ = ٨‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٠‬ﺕ ﺟﺎ ‪(٠‬‬

‫‪ r٣٢ + ٠‬ﺭ ‪ +‬ﺕ ﺟﺎ‬

‫‪٣‬‬

‫ﻉ = ‪ ) ٢‬ﺟﺘﺎ‬ ‫ﻉ‪ ) ٢ = ١‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٠‬ﺕ ﺟﺎ ‪(٠‬‬ ‫ﻉ‪ ) ٢ = ٢‬ﺟﺘﺎ ‪ + ١٢٠‬ﺕ ﺟﺎ ‪(١٢‬‬ ‫ﻉ‪) ٢ = ٣‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٢٤٠‬ﺕ ﺟﺎ ‪( ٢٤٠‬‬

‫‪ r٢+٠‬ﺭ‬ ‫‪٣‬‬

‫‪ 12‬ﺃ = ‪ ، ١‬ﺏ = ) ‪ - ٢‬ﺕ( ‪ ،‬ﺟـ = ‪ - ٣‬ﺏ‬

‫ﻉ = ‪ + ٢-‬ﺕ ! )‪ - ٢‬ﺕ(‪ - ٣)١*٤ - ٢‬ﺕ(‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻉ = ‪ + ٢-‬ﺕ ! ) ‪ - ٢‬ﺕ(‪-٣)*١* ٣- ٢‬ﺕ(‬ ‫ﻉ=‬

‫‪ + ٢‬ﺕ !‬‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٩-‬‬

‫‪ + ٢-‬ﺕ ! ‪ ٣‬ﺕ‬

‫ﻣﻦ )‪(٢‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪54‬‬

‫‪٢+١‬ﺕ‬

‫) ‪٢ + ١١‬ﺕ( ) ‪٢ - ١‬ﺕ(‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ﻉ=‬ ‫‪٢ - ٢‬ﺕ‬‫ﻉ‪= ١‬‬ ‫‪ ،‬ﻉ‪٢ = ٢‬‬ ‫ﻉ‪ - ١- = ٢‬ﺕ‬ ‫= ‪ ٢ + ١-‬ﺕ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤ + ٢‬ﺕ‬‫‪٢‬‬

‫(‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫‪ôŔŇîüĿí óĊăŎĿí‬‬

‫‪¢SQódG º°SG‬‬ ‫‪3-2‬‬

‫‪í«ë°üdG óMGƒ∏d á«Ñ«©μàdG QhòédG‬‬

‫‪3-2‬‬

‫‪í«ë°üdG óMGƒ∏d á«Ñ©μàdG QhòédG‬‬

‫‪Cubic roots of unity‬‬ ‫‪: }px S hlR‬‬ ‫ ‪ŀ= łM b- Ogb d& Nsg#f ."r 2 sgy- y2Kj e .+ 6‬‬ ‫ ‪. y2 #b 1s?b [ 7b 1r0#b ."r‬‬ ‫ ‪?L&đ / f . đ b 1r0#b Nsg#f ."r‬‬

‫‪łŀĬø÷ ıŎē‬‬ ‫ ‪ A *;G‬‬ ‫ ‪(< =1‬‬ ‫ ‪ A *;G H 9‬‬ ‫ ‪(< =1‬‬ ‫ @ ' ‪ A *;G‬‬ ‫‪ I JK‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪í«ë°üdG óMGƒ∏d á«Ñ«©μàdG QhòédG‬‬ ‫ ‪:wo ŀ = łM b- Ogb d& Nsg#f :i .#j 2 sgy- y2Kj e .+ 6‬‬ ‫‪. ł - ŀŁ- Ů łŁ + ŀŁ - Ů ŀ‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫ ‪ů2*Ē 10#b tr 7y lz ^2gb ly10#b .& P 2f i‬‬ ‫‪Ł~Ů~ Ů ŀ 1s?b wcN z zO_ b 1r0#b A2Oj i l_gy `b0br‬‬ ‫&‪ ł " ŀŁ - = Ł~ƅŮƄ ł ! ŀŁ - = ~ z‬‬

‫‪~+ M C , ~+ C % 0 Cubic roots of unity‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ‬‬ ‫ ; ‬

‫‪Ł‬‬

‫‪: ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬

‫‪(z'?b .& scb z zO_ b 1r0#b - #y `k_gy do‬‬ ‫ ‪? ^2gb -.Ocb y2 #b 1s?b e .+ 6‬‬

‫‪¿CG ôcòJ‬‬

‫‪Root‬‬

‫ ; ‪& D E‬‬

‫‪Square root‬‬

‫ ; ‪> AE‬‬

‫‪Cubic root‬‬

‫ ‪ F %‬‬

‫‪Unit circle‬‬

‫ ‬

‫‪Conjugate‬‬

‫~‬

‫‪:í«ë°üdG óMGƒ∏d á«Ñ«©μàdG QhòédG ¢UGƒN‬‬ ‫~‪ŀ = S‬‬ ‫‪ƅ‬‬ ‫‪2W> = S‬‬ ‫ ‪Ŀ = Ƅƅƅƅƅ .& scb z zO_ b 1r0#b wo Ł~ Ů ~ Ů ŀ j ^ /‬‬ ‫ ‪i V (z'?b‬‬ ‫ ‪(2W> = 1r0#b Msg#f) 2W> = Ł~ + ~ + ŀ -‬‬ ‫) ‪(ŀ - = Ł~ + ~ Ů ~ - =Ł~ + ŀ Ů Ł~ - = ~ + ŀ‬‬

‫ ‪-‬‬

‫~ ‪ŀ =ł‬‬ ‫‪ŀ Ł‬‬ ‫)~ =‬ ‫~‬

‫‪Cubic root of unity‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫~‬

‫ ‪P[ (z'?b .& scb z zO_ b 1r0#b -‬‬ ‫‪as&r d>Ĕ G[j o4^2f 2 - wcN‬‬ ‫‪c f 5r 1 is_ r ŀ o2GZ X?j‬‬ ‫‪.MđBĔ tr 7 f‬‬

‫ﻣﻜﺎن اﻟﺘﺪرﻳﺲ ‪:‬‬

‫‪ôŃĊĈøĔńĿí õíōĉŗí‬‬ ‫ ‬

‫‪(Ł = ~ Ů‬‬

‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺹ )‪ (٥٥‬ﺇﻟﻰ ﺹ )‪(٥٨‬‬ ‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ(‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ‬ ‫‪Scientific calculator‬‬

‫~‬

‫ﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻢ ‪:‬‬

‫ ‪ C D‬‬ ‫‪Graphical programs‬‬

‫‪c L‬‬ ‫ ‬ ‫‪c L −‬‬ ‫~‪Ł‬‬

‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪55‬‬

‫اﻟﺘﻬﻴﺌﺔ‬ ‫ ﺍﺳﺘﺮﺟﻊ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺩﻳﻤﻮﺍﻓﺮ ﻭﻗﺴﻢ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺎﺕ ﻭﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻉ‪ ١= ٣‬ﻭﺫﻛﺮﻫﻢ ﺃﻧﻬﻢ ﻗﺎﻣﻮﺍ ﺑﺤﻞ ﻫﺬه ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ‪.‬‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻲ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻮﺻﻠﻮﺍ ﺍﻟﻴﻬﺎ‪.‬‬

‫ﺧﻠﻔﻴﺔ‪:‬‬

‫ﺳﺒﻖ ﻭﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﻭﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ اﺟﺮاءات اﻟﺪرس ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﺩﺭﺱ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺩﻳﻤﻮﺍﻓﺮ ﻭﺇﻳﺠﺎﺩ ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺗﻌﻠﻢ وﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼب أن‬ ‫ﻭﺗﻤﺜﻴﻠﻪ ﻋﻠﻲ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺃﺭﺟﺎﻧﺪ ﻭﺳﻮﻑ ﻧﺘﻨﺎﻭﻝ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﻣﻌﺮﻓﺔ ‪ a‬ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﻫﻰ ) ﺟﺘﺎ ‪ + ٠‬ﺕ ﺟﺎ ‪(٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬ ‫` )‪ ) = ٣ (١‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٠‬ﺕ ﺟﺎ ‪. ٣ (٠‬‬ ‫أﻫﺪاف اﻟﺪرس‪:‬‬

‫`‬

‫‪٢‬ﺭ‪r‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬ﺭ‪ r‬ﺣﻴﺚ ﺭ = ‪٢ ،١ ،٠‬‬ ‫)‪ = (١‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٣‬ﺕ ﺟﺎ ‪٣‬‬

‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﺍﳉﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ‪.‬‬

‫`‬

‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن‪:‬‬

‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﳉﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪r٤‬‬ ‫‪r٢‬‬ ‫‪r٢‬‬ ‫‪( r٤‬‬ ‫)ﺟﺘﺎ‪ + ٠‬ﺟﺎ‪ ) ،(٠‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٢‬ﺕ ﺟﺎ ‪) ،( ٢‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٢‬ﺕ ﺟﺎ ‪٢‬‬

‫‪ ‬ميﺜﻞ ﺍﳉﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻫﻨﺪﺳ ًﻴﺎ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺮﺍﻓﻖ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ‪ C ، ~+ C‬ﺕ ‪.~ +‬‬ ‫اﻟﻤﻮاد اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬

‫ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ‬

‫‪١‬‬

‫ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ﻟﻠﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻌﻜﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﻫﻰ‪:‬‬ ‫‪١‬‬‫‪١‬‬ ‫‪ ٣٢ + ٢ ، ١‬ﺕ ‪- ٢ - ،‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺕ‬

‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻭﺍﻟﺤﻮﺍﺭ ‪ ،‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ ‪ ،‬ﺣﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪ ،‬ﺍﻻﻛﺘﺸﺎﻑ ‪.‬‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪47‬‬

‫ اﻷﻋﺪاد املﺮﻛﺒﺔ‬:‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ b6Ȟ 1 2RȚ : p #f 2*yf

: ‫ﺧﻮاص اﻟﺠﺬور اﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮاﺣﺪ اﻟﺼﺤﻴﺢ‬

‫ﻣﺜﺎل‬ :lf d^ gzZ ."r . (z'?b .& scb z zO_ b 1r0#b wo Ů Ł~ Ů ~ Ů ŀ j ^ / 1 Ł Ł Ł~ń + ~ń + ń ‫أ‬ (Ł~ń + ~ń + ł) ( Ł - - ŀ) ‫ب‬ ~

:‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎت اﺿﺎﻓﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‬

ľĄĿí

]2 ;f df N ń -.Ob 0* ( Ł~ + ~+ ŀ ) ń = 1 .[gb ‫أ‬ 2W> = 2W> * ń = ƅƅ

٠ = ‫ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‬

ŀ ŀ Ł Ł ~ = Ł ŮŁ ~ = lN DysO b (Ł~ń + ~ń + ł) ( Ł - ŀ) = 1 .[gb ‫ب‬ ~ ~ ~ ~

٠ = ٢~ + ~+ ١ :‫أي أن‬

((Ł~ + ~) ń + ł) ((~ + Ł~) Ł - ŀ) = (Ł~ ń + ~ń + ł) (~ Ł - Ł~ Ł - ŀ) = ƅƅ Ņ - = (ń - ł) (Ł + ŀ) = ((ŀ -) ń + ł ) ((ŀ -) Ł - ŀ) = ƅƅ

: ‫ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ‬

ľĄ÷ Ņã Ľōîă

: gzZ ."r . (z'?b .& scb z zO_ b 1r0#b wo Ł~ Ů ~ Ů ŀ j ^ / 1 ł( ŀ + Ł~) Ł( ŀ + ~) ‫ب‬ ń(Ł~ Ł + ~ ń + Ł) ‫أ‬ Ł ~

٣ ٢

٠=‫ﺕ‬

٣ ٢

(‫ﺕ‬

١٢

٣ ٢

) + (‫ﺕ‬

١+ ٢ )+١

‫ﻣﺜﺎل‬ Ł ň =Ń[ ~ņ Ł- Ł - ~ł - ń ]i h lfr ł

ņ - ~Ł

ł - ~ń

Ďćã ľă

" ŀŁ - = ~ Ł ł ( " ŀŁ -) - ( Ł ł != ! ŀŁ + Ł

¿CG ßM’ ł ! = ~ + Ł~ $N 1@ T5 -&3 4 > 4 >&

! = ~ - Ł~ i 2

Ů ł

! ŀŁ - = Ł~ a Ł ł ! ŀ -) = ~ - Ł~ ` Ł Ł ł ! ŀ - = Ƅƅƅ Ł Ł

! = ł-

ŐŇîüĿí ľĄĿí

Ń[

- Ń ~ = Ł ( ~ - Ł ~) a Ł - (Ł~ + ~) = Ł~ + Ł- ~= Ƅƅƅ ł - = Ł - ŀ- = Ƅƅƅ

! = ~ - Ł~ ` ~ņ -ł~ Ł ņ -Ł~Ł

Ł ł - ~ł - ~ ń ]=ƅ Ń[ ~ņŁ - Ł

ł- ~ń

ň = Ń[

ņ - ~Ł

Ł ! ] =ƅŃ[ (ņ - ~Ł ) ~ ņ -Ł~Ł

Ł - ~ł - ń ]= 1 .[gb ł- ~ń (ł ~ń )ł~ ]= Ƅ ł- ~ń

:‫ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ‬ r٢ ( ٣ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ٣ ‫ ( )ﺟﺘﺎ‬r٢ ٣ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ٣ ‫)ﺟﺘﺎ‬ r٢ r٤ r٢ ( r٤ ٣ + ٣ ) ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ( ٣ + ٣ ) ‫= ﺟﺘﺎ‬ ‫ﻁ‬٤

- Ł~ + ¶" - ¶" Ł~ - ~ + C ] = i 2 + ¶" ~ ¶" + + C Ł~

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

١ = ٢~ :‫أى أن‬

ľĄ÷ Ņã Ľōîă

Ňŀ = Ň[

+ ٢-١=

‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﻦ ﺍﻟﺘﺨﻠﻴﻠﻴﻪ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ‬ ١ = ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‬

Ł~ + Ł~ Ł

٣ ٢

- ١٢ - ‫ﺕ‬

‫ﻁ‬٤

١ = ٠ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ٠ ‫ = ﺟﺘﺎ‬٢ ‫ ﺕ ﺟﺎ‬+ ٢ ‫= ﺟﺘﺎ‬

١=٢~ * ~

١= ٣~ ‫أى‬ 3-2

, +Cf 2* ygf Sc f 5x4'f

‫ﻣﺜﺎل‬ 2W> = ŀ + ń5 + ŀĿ5 b- Ogb asc& .& so

ł- + ŀ= 5 i 3 Ł

ľĄĿí ł- + ŀ~ = ł + ŀŁ - = ł + ŀ - = = 5a Ł Ł Ł

‫ اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬:‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ‬

(z'?b .& scb ^2gb 1r0#b .& d g 5 i t ~ = 5 f.kN 2W> = ŀ + Ł~ + ŀ~ = ŀ + ń~ + ŀĿ~ i V ľĄ÷ Ņã Ľōîă ł (Ł~ + ~

‫ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻲ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ‬ .‫ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺭﺅﻭﺱ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬

- ŀ) Ů ł(Ł~ - ~ + ŀ) o 10" w b zOz 2 b b- Ogb is^ 3

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﻟﻺﺟﺎﺑﺎﺕ‬ . ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬

(٣ - ٢) ‫ﺗﻤــــﺎرﻳــﻦ‬

(٥٦) ‫ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﺹ‬

: (z'?b .& scb z zO_ b 1r0#b wo Ł~Ů ~Ů ŀ i ^ /

:≈JCÉj Ée πªcCG = Ł(Ł~ Ł + ~ ń + Ł) ŀ Ł Ł ŀ Ł + ~) ( + ~) Ł ~ ~ ł ŀ ........................ = Ł~ł + ~ł + ŀ 6 ........................ = ( - ~ + ŀ) ( ) ~ Ł+~ ........................ = Ł + ŁC i V Ł~ń + ł = Ů Ł~ł - ~Ł = C i ^ /

Ń Ň ............. = 5 + 5 i V

........................ = Ń( Ł~ - ~) 2 ł + ŀ - = 5 i ^ / 4

........................

Ł ........................ = (

= S~

........................

ŀ=S

٢~ ٢٤٣ = ٥(~٣) = ٥(٢~٢ + ~ ٥ + ٢)

‫أ‬ ‫ب‬ ٣( ٢ ٢ ٢~ + ~ ) ( + ~)

١- = ٣(١-) ٢(١-) =

1 3

‫ اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬:‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ‬

:IÉ£©ªdG äÉHÉLE’G ø«H øe áë«ë°üdG áHÉLE’G ôàNG ŀ ‫د‬ ~

ŀ ‫ﺟ‬

ń- ‫د‬

ł- ‫ﺟ‬

...............................................................

Ł~

...............................................................

2W> ‫ب‬

...............................................................

ŁC

- Ł ‫د‬

Ł( - C) ‫ﺟ‬

...............................................................

Ł ‫د‬

ŀ- ‫ﺟ‬

‫ب‬

tr 7y ~ -.Ob \V 2f 9 ~ ‫أ‬

= Ł(

ł- ‫ﺟ‬

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

+ ŀ) (

ŀ + ~) 10 ~

ł ‫أ‬

= (Ń~C + ~ + C) (Ł~ C + ~ + C) 11 -C ‫ب‬ ŀ ‫أ‬ =(

ŀ Ń~

+ ~ Ł + ŀ) (

ŀ ‫ب‬

...............................................................

ł ‫د‬

ŀ Ł~

ł ! ‫ب‬

ŀ Ł~

= Ł~ -

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﻟﻺﺟﺎﺑﺎﺕ‬ : ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ٨(

(‫ ﺏ‬+ ‫ )~ﺟـ‬٢~ ‫ ﺏ‬+ ‫~ ﺟـ‬

‫ ~ﺟـ‬+‫ﺏ‬+ C ٢~)~ ‫ ~ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬+ C٢~

) 2

+ ń~Ł + ŀ) 12

2W> ‫أ‬ ~E - C E - Ł~C

ł ‫أ‬

! ) = ٨( ٢~- ~)

٨١ = ٨( ‫ ﺕ‬٣

١=٣=

~ + ٢ +٢~ +٢

١ + ~٢ +٢~ ٢ + ٤

]= ٢ + ~+٢ ~+٢

‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

‫اﻟﺠﺬور اﻟﺘﻜﻌﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮاﺣﺪ اﻟﺼﺤﻴﺢ‬

3-2

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ إﺿﺎﻓﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‬

‫ ﻫﻰ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‬٢~ ، ~، ١ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬ :‫ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ‬

b6Ȟ 1 2RȚ : p #f 2*yf ...............................................................

(ŀ - Ů ŀ) ‫د‬

= ( Ů C) i V i z[z[& i -.N Ů C z& ~ + C = ņ(~ + ŀ) i ^ / 14 (ŀ Ů Ŀ) ‫ﺟ‬ (ŀ Ů ŀ) ‫ب‬ (ŀ - Ů Ŀ) ‫أ‬

...............................................................

Ņ ‫د‬

wo 'z'?b i ¶b gzZ dZ i V i(Ł~ + ŀ) = i(Ł~ + ŀ) i ^ / 15 ń ‫ﺟ‬ ł ‫ب‬ Ł ‫أ‬ ...............................................................

٨ = ٣(٢~- ~- ١) ‫ب‬

٢~ = ١٦ (~ + ١)

‫أ‬

٣ = (٢~ - ١) (~ - ١) ‫ﺟ‬ ١٨ = (٢~٥ - ~+ ١) (٢~ +٢ - ١)

Ł~

‫د‬

~ ‫ﺟ‬

Ł~

‫د‬

5 ‫ﺟ‬

ŀĿĿ~ +

ŀ ‫ب‬

...............................................................

... + ł~ + Ł~ + ~ + ŀ 16 2W> ‫أ‬

= |M | i V 5~ = M i ^ / 17 ŀ ‫أ‬

~ ‫ب‬

...............................................................

ŀ ‫ﺟ‬

~+ŀ ‫د‬

‫د‬

= S~+ ŀ

Ņ ‫ب‬

ŀ=S

2W> ‫أ‬

: z Ē [ G gb '> 19

‫ اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬:‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﻟﻺﺟﺎﺑﺎﺕ‬ .‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ٨- = ٣(٢~٢- ) = ٣(٢~ - ~ +١) 4 ٨- = ٣(~٢- ) = ٣(~- ٢~+ ١) ‫ = ﺻﻔﺮ‬٦٤ + ‫ ﺱ‬١٦ + ٢‫ﺱ‬ ٢~ + ٢ =

(٢~ + ٢)٣ = ٣

(٢~ + ٢)٣ ١ + ~٢+ ٢~٢+ ٤

٢~ + ٢ ٢~ + ٢

٣ ~+٢

٢ (‫ﺏ‬- ‫ ) ﺃ‬11 10 ٢~ 9 ~ ١٥ 8

٣٨ 7

٤٢ = ٢~٢- * ~ ٢- * ٢~٢- * ~ ٢ 19 ٢~٢+١ ١٠~ ٢~ ) + ٢( ) ٣ =٢( ٢ ~ ~ ٢+ ١

٧- ٢~٢

٢~ ٤ = ‫ ﺻﻔﺮ‬+ ٢(٢~٢-) = ٢(٤~ +٢~ + ١) + ٢(~+ ٢~- ١) ٣ ~ + ٢ + ٢~+ ٢ = ١ ١ ١= = ٣ ١ + ~٢ + ٢~٢ + ٤ ٢~ + ٢ + ~+ ٢ ٢ = ٢~٣ + ~٣ + ٥ 20 ٢(~+ ٢~+ ~+ ١ ) + ٢(٢~ +٢~ + ~+ ١ ) ( ١ + ١ + ١)٢~ = ١- = ٢ + ١- = ~ ~ ٢~ + ٢~ ٤-

٢~٣ - ١- ~٣ + ١

١ - ١ ] ]= ٢[ ~٣+ ١ ٢~٣+ ١ ٩+٢~٣ + ~ ٣+ ١ ٢٧- ٢ [ (‫ ﺕ‬٣ !) ٣ ] = ٤٩ = ٧ ٢ (‫ ﺕ‬+ ~- ) (‫ ﺕ‬+ ~- )

‫ = ﺕ = ﺕ‬١- ‫ﺕ‬٢~ - ‫ ~ ﺕ‬- ١ =

(ŀ - Ł~) (ŀ - ~)Ł~ (Ł + Ł~) (ŀ + ~ Ł) ŀ ŀ Ł[ ]= Ł~ ł + ŀ ~ł + ŀ zOz 2 b 1r0#b ."r Ů5Ņ + Ł5ŀń + ł5Ł + Ń5 ŀń + ń5Ņ + i ł + ŀ - = 5 i ^ / 21 Ł ŀ ŀ Ů i ^ / 22 Ł~ + ŀ ~ + ŀ

. z c gb 1s?b wV M -.Ocb lzzOz 2 b ly10#b ."r h ŮM -.Ocb Wc +gb 1s?b ."r : ."r i(~ń + ~ Ł + Ł) = i(Ł~ Ł + ~ ń + Ł) dO# w b i hzZ ."r :ȈưĝŻśĞ ƄŐǔƽŝ 23 (SŁ~ + S~ + ŀ)

ŀĿ 2W> = S

‫ب‬

‫ اﻟﺠﱪ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

ŀĿ 2W> = S

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

:‫ﻻﺣﻆ أن‬ ٢~- = ~ + ١

، ١- = ٢~ + ~- = ٢~ +

~ (‫)أ‬

١ ‫ﻓﻤﺜﻼ‬

٣- ~٥

٢~= ٨~= ٨ (~- ) = ٨ ( ٢~+ ١)

[

:w y gf d^ gzZ ."r 20 Ł~ ł + ~ł + ń

ŀ) + Ł(Ł~ Ł + ~ + ŀ)

(٣- ~٥)٢~

٣- = ٢( ‫ ﺕ‬٣ !) = ٢( ~ - ٢~)

Ł(Ł~ + ~Ł +

ŀ ~ Ł~ ŀĿ - = Ł( Ł ~Ł + ŀ ) + Ł( ] ‫ﺟ‬ ) ‫ب‬ ł Ł~ ~ + ŀ ~Ł + ŀ Ł Ł~ = Ň(Ł~ + ŀ) ‫ﻫـ‬ ł - = Ł[ ~ ņŁ - Ł - ~ł - ń ] = ‫د‬ ł - ~ń ņ - ~Ł ~Ń = Ł(Ń~ + Ł~ + ŀ) + Ł( Ń~ + Ł~ - ŀ) ‫و‬

. 5 -.Ocb

٢~٩ 1

~+ŀ

( + Ł~) ( + ~) Ł = M i ^ / b- Ogb ."r V Ů zOz 2 b- Of 10" go

٢- 6 5 ١- 4 ~٤ 3 ٩ 2

(٧- ٢~٢) ~

ŀŅ = Ň[ Ł + ~

ŀ ŀ + ŀ)( + + ŀ) ( + Ł~ ~

(٣ - ٢ ) ‫اﺟﺎﺑﺔ ﺑﻌﺾ ﺗﻤﺎرﻳﻦ‬

٢(

= (ŀŅ~ + Ň~ - ŀ) (Ň~ + Ń~ - ŀ) (Ń~ + Ł~ - ŀ)(Ł~ + ~ - ŀ) ‫أ‬

ŃŁ

(٢~ + ~) ٣ + ٢ = ٢~ ٣ + ~ ٣ + ٢ ( ‫) أ‬ ١- = ٣ - ٢ = ١- * ٣ * ٢ = ٢~ + ( ~ + ١ ) ٥ = ٢~ + ٢~٥ - =

٢~ + ~ ٥ + ٥ (‫)ب‬ ٢~ + ٢~- *٥ = ٢~٤ - =

~ ٢ + (٢~ + ١) ٣- =٢~ ٣ - ~ ٢ + ٣ (‫)ﺟ‬ ~٢ +~ - * ٣- = ~٥ = ~ ٢ + ~٣ = ٢(٢~٤ + ~٣ + ٢) (‫)د‬ ٢(٤ - ٤ - ~ ٣ + ٢) = ٢[ (~- ١٠ ) ٤ + ~ ٣ + ٢ ] = ٢~ ٣- = ٢~ + ٢~٤- = ٢~ + ~ ٤ + ٤ = ٢(~- ٢-) =

‫أ‬

‫‪Ò‬‬ ‫‪Ď ò ĀĿí :śōã‬‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬

‫‪ôüĿîüĿí óĊăŎĿí‬‬ ‫‪äÉaƒØ°üŸGh äGOóëŸG‬‬

‫‪Determinants and Matrices‬‬

‫‪äÉaƒØ°üŸGh äGOóëŸG‬‬ ‫‪Matrix‬‬

‫ﻣﻘﺪﻣﺔ اﻟﻮﺣﺪة‪:‬‬ ‫ﺃﻭﻝ ﻣﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺼﻴﻨﻰ »ﺗﺴﻌﺔ ﻛﺘﺐ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ« ﻗﺒﻴﻞ ﺑﺪﺍﻳﺔ ﺍﻟﺘﺎﺭﻳﺦ ﺍﻟﻤﻴﻼﺩﻯ‪ ،‬ﺑﻴﻨﻤﺎ ﺃﻭﻝ ﻣﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻌﺎﻟﻢ ﺍﻟﻴﺎﺑﺎﻧﻰ ‪ Seki kowa‬ﺳﻨﺔ ‪١٦٨٣‬ﻡ‬

‫ﻭﺗﻌﺪ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻭﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻋﺎﺕ‬ ‫ﺍﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﻷﺣﺪ ﻓﺮﻭﻉ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭﻫﻮ ﺍﻟﺠﻴﺮ ﺍﻟﺨﻄﻰ‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻬﺎ‪ :‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﻭﺣﻞ ﺍﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺤﺎﺳﻮﺏ‪.‬‬ ‫ﻭﻓﻰ ﻫﺬه ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺳﻮﻑ ﺗﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻭﺧﻮﺍﺻﻬﺎ‪،‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻭﺃﻧﻮﺍﻋﻬﺎ ﻭﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﻣﺮﺗﺒﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫ﻭﺃﻳﻀﺎ ﻧﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺧﻄﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ‬ ‫ً‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‪ .‬ﻭﻣﻌﺮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻭﻏﻴﺮ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻭﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﺮﺗﺒﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎﻣﻼﺕ ﻭﻣﺮﺗﺒﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻼﺕ ﺍﻟﻤﻮﺳﻌﺔ‪.‬‬ ‫وﺗﺘﻜﻮن ﻫﺬه اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ ﺛﻼﺛﺔ دروس‪:‬‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺍﻷﻭﻝ‪ :‬ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‪ :‬ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪ :‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‪.‬‬ ‫ﻗﺒﻞ ﺍﻟﺒﺪﺀ ﻓﻰ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﻃﻼﺑﻚ ﻗﺮﺍﺀﺓ ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺗﻮﺿﺢ ﺍﻟﻜﺜﻴﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻋﻦ ﻛﻴﻔﻴﺔ‬ ‫ﻧﺸﺄه ﻋﻠﻢ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻭﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‪.‬‬

‫ﻣﺨﺮﺟﺎت اﻟﺘﻌﻠﻢ‪:‬‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﻳﻜﻮن اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎد ًرا ﻋﻠﻰ أن‪:‬‬ ‫ ﺳﻴﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻭﺧﻮﺍﺻﻬﺎ‪.‬‬ ‫ ﻳﺤﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺘﻨﻮﻋﻪ ﻣﺴﺘﺨﺪ ﹰﻣﺎ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ‪.‬‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻟﻤﺮﺍﻓﻘﻪ‪.‬‬

‫‪50‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪óĊăŎĿí ôŃĊĸŃ‬‬ ‫>_{ ‪ÓnR a[eUnR . ] UÐ } UÐ yh>naY wÌ Y } _>í ºÓnh nx}UÐ âí}R pRnT R pY{ eUÐ ÓÐíØúÐ wÌ {AÌ ÓnR a[eUÐ‬‬ ‫‪{Sí ÊnY{bUÐ ë hfh[UÐ ÓnR a[eUÐ Z TÐ Y éíÌ ënTí ºpR}_eUÐ âí}R ^_Y R negY‬‬ ‫‪ă ÐÚíØ‬‬ ‫)‪ð îØkx nxÚ ê gaY w (Matrices‬‬

‫‪ÓnR a[eUÐ e_ >í ºæ aÉí Ò{eLÌ ÒÚ É dL ne^i‬‬ ‫‪ð ngU íí º ^fY cZ= UÙ {_= (¼Ã½¼ - ¼ÃÄÀ) dhT Un_UÐ ngY{ HÐ‬‬ ‫‪ð Ð|w º afUÐ dLí âne @øÐ dLí Øn[ SøÐ dL R h[ eUÐ S Y } n UÐ qS UÐ R‬‬ ‫‪ R _d> î|UÐ }h cUÐ Úí{UÐ L Ć\R‬‬

‫‪ÓnR a[edU ph=n UÐ hbUÐ e> wí ÓÐØ{ eUÐ nYÌ .phbh ] UÐ ê d_UÐ }ýnHí ÊnhehcUÐí Ênx~haUÐ R î}BúÐ ng>nbh ]>í Ónh nx}UÐ‬‬ ‫‪Ð|w }x ]> >í ºê¼ÁÃ¾ pfH (Sekikowa) î hT chH in=nhUÐ Un_UÐ w ph] UÐ ÓøØn_eUÐ A R ngY{ HÐ Y éíjR p_=}eUÐ‬‬

‫‪.pad Y ê dL R î}BúÐ Ónbh ] UÐ _= Rí ph] UÐ ÓøØn_eUÐ A R Êned_UÐ {x dL d_UÐ‬‬

‫‪óĊăŎĿí ıíĊŋã‬‬ ‫‪:o f Kf rk T^y ʘ v Z K?pȚ 4 [q 2S x ʘ 2*yf vp }Z‬‬ ‫ ‪.ÓÐØ{ eUÐ ÞÐ B s f x‬‬

‫ ‪.ÓÐØ{ eUÐ ÞÐ B nYð { Y pL f Y ýn Y x‬‬ ‫ ‪êÐ{ Hn= p Un UÐ p >}UÐ Y p_=}Y pR a[Y Ü c_Y h_x‬‬ ‫‪.pbRÐ}eUÐ YÐ _UÐ pR a[Y‬‬ ‫ ‪ =}\UÐ Ü c_eUÐ êÐ{ Hn= ph]B ÓøØn_Y x‬‬ ‫‪.pR a[edU‬‬

‫‪64‬‬

‫ ‪.p in eUÐ }hQí p in eUÐ ph] UÐ ÓøØn_eUÐ æ}_ x‬‬ ‫ ‪ÓĆYn_eUÐ pR a[Y p >Úí ÓĆYn_eUÐ pR a[Y p >}Y h_x‬‬ ‫‪.p_H eUÐ‬‬ ‫ ‪pR a[Y p >Úí ÓĆYn_eUÐ pR a[Y p >}Y h= pSĆ_UÐ s f x‬‬ ‫‪. UÐ phincYÎí p_H eUÐ ÓĆYn_eUÐ‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻤﺼﻔﻮﻓﻪ ﻣﺮﺑﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﻢ ‪٣ * ٣‬‬

‫ ﻳﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺧﻄﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﻪ‪.‬‬ ‫ ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ‪.‬‬

‫ ﻳﺤﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ﻣﺴﺘﺨﺪ ﹰﻣﺎ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ‪.‬‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻭﻏﻴﺮ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴﺔ‪.‬‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﺮﺗﺒﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‪.‬‬

‫ ﻳﺪﺭﻙ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺗﺒﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻼﺕ ﻭﻣﺼﻔﻮﻓﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﻮﺳﻌﻪ ﻭﺍﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ﺍﻟﺤﻞ‪.‬‬ ‫ ﻳﻮﻇﻒ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻭﻏﻴﺮ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻓﻰ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ‪.‬‬

‫‪ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ‬‬ ‫‪Ø{ Y Ñ‬‬ ‫‪phin UÐ p@Ú{UÐ Ø{ Y Ñ‬‬

‫‪Determinants‬‬

‫‪- order determinant‬‬ ‫‪p Un UÐ p@Ú{UÐ Ø{ Y Ñ‬‬ ‫‪Third - order determinant‬‬ ‫‪Row‬‬ ‫‪ É Ñ‬‬ ‫‪Column‬‬ ‫‪Ø{ Y Ñ‬‬ ‫‪Motrix‬‬ ‫‪pR a[eUÐ Ñ‬‬ ‫‪Second‬‬

‫‪}[f_UÐ Ñ‬‬ ‫‪p >}Y Ñ‬‬ ‫‪ É pR a[Y Ñ‬‬ ‫‪Ø eL pR a[Y Ñ‬‬ ‫‪p_=}Y pR a[Y Ñ‬‬ ‫‪px}aÉ pR a[Y Ñ‬‬ ‫‪pxín Y ÓnR a[Y Ñ‬‬ ‫‪pR a[eUÐ p >}Y Ñ‬‬

‫‪Element‬‬ ‫‪Rank‬‬ ‫‪Row matrix‬‬

‫‪p_H Y pR a[Y Ñ‬‬ ‫‪Homogenuous equation p in Y pUØn_Y Ñ‬‬ ‫‪p in Y }h`UÐ pUØn_Y Ñ‬‬ ‫‪Augmented Matrix‬‬

‫‪Column natrix‬‬ ‫‪Square matrix‬‬ ‫‪Zero matrices‬‬ ‫‪Equal matrices‬‬

‫‪Non Homgenuous equation‬‬

‫‪pb deUÐ pR a[eUÐ Ñ‬‬ ‫‪ÓĆYn_eUÐ pR a[Y Ñ‬‬ ‫‪ph]B pUØn_Y Ñ‬‬

‫‪Co factor matrix‬‬ ‫‪Linear Equation‬‬

‫‪óĊăŎĿí đōčĉ‬‬ ‫‪Scientific calculator‬‬

‫ ‪. 12+lf :(ɸ - ɸ) 952f‬‬ ‫ ‪. Zy[Clf :(ɹ - ɸ) 952f‬‬ ‫ ‪} 6Gf 9ycSlf i 2/ : K/f Ȗ1 Slf h* :(ɺ - ɸ) 952f‬‬ ‫‪ Zy[Clgf‬‬

‫ﺗﺘﻤﺜﻞ ﻓﻰ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺸﻔﻬﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺤﺮﻳﺮﻳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﺠﻤﺎﻋﻴﺔ ﻓﻰ ﺃﺛﻨﺎﺀ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺪﺭﺱ‪ ،‬ﻭﺍﻷﻧﺸﻄﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ ﻭﺍﻟﺘﻜﺎﻟﻴﻒ ﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ ﻭﺍﻟﺠﻤﺎﻋﻴﺔ ﻭﺗﺪﺭﻳﺒﺎﺕ‬ ‫ﻋﺎﻣﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺮﺍﻛﻤﻰ ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‪.‬‬

‫‪õîĳŎĴĜńĿíō õíĉĊĄńĿí‬‬

‫‪õîĳŎĴĜńĿí‬‬

‫‪õíĉĊĄńĿí ęíŎć‬‬ ‫‪ôĸĳíĎńĿí ľŃíŎĬĿí‬‬ ‫‪ŁíĊĈøēîñ ľëîĔŃ ľă‬‬ ‫‪ęíŎĈĿí‬‬

‫‪ôĳŎĴĜńĿí ôò÷ĎŃ‬‬

‫‪ôĸĄŀńĿí ôĳŎĴĜńĿí‬‬ ‫‪ôĳŎĴĜńĿí đŎļĬŃ‬‬

‫‪õŜŃîĬńĿí ôĳŎĴĜŃ ôò÷ĎŃ‬‬

‫‪ôĬēŎńĿí ôĳŎĴĜńĿí ôò÷ĎŃ‬‬

‫‪îńŌňŔñ ôķŜĬĿí‬‬

‫‪ôŔĤć õśĉîĬŃ ľă‬‬ ‫‪đŎļĬŃ ŁíĊĈøēîñ‬‬ ‫‪ôĳŎĴĜńĿí‬‬

‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻭﺍﻟﺤﻮﺍﺭ‬ ‫ ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ ‪ -‬ﺍﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ‪ -‬ﺍﺗﺨﺎﺫ ﺍﻟﻘﺮﺍﺭ ‪ -‬ﺣﻞ‬‫ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‪:‬‬

‫‪óĊăŎŀĿ ŐńŔĨň÷ ĢĤĈŃ‬‬

‫‪õíĉĊĄńĿí‬‬

‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‪:‬‬

‫‪Rank of a matrix‬‬

‫‪ľëîēŎĿíō õíōĉŗí‬‬ ‫‪phedL p HnA pUË Ñ‬‬

‫‪Adjoint matrix‬‬

‫‪õśĉîĬńĿí ľă ôŔŇîļŃç‬‬ ‫‪ôŔĤĈĿí‬‬ ‫‪ôŔĤĈĿí õśĉîĬńĿí ľă‬‬

‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪65‬‬

‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴﺔ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ‪ -‬ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ‪ -‬ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ‪ -‬ﺃﻧﻮﺍﻉ‬ ‫ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ‪ -‬ﻣﺮﺗﺒﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﻪ ‪ -‬ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻟﻤﺮﺍﻓﻘﺔ ‪-‬‬ ‫ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ‪ -‬ﻣﺮﺗﺒﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻼﺕ ‪ -‬ﻣﺮﺗﺒﺔ‬ ‫ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ ﺍﻟﻤﻮﺳﻌﻪ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ‪-‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﻏﻴﺮ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴﺔ‪.‬‬

‫اﻟﻤﺨﻄﻂ اﻟﺘﻨﻈﻴﻤﻰ ﻟﻠﻮﺣﺪة‪:‬‬ ‫ ﻳﻮﺿﺢ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺨﻄﻂ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺳﻴﺘﻢ‬ ‫ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺩﺭﻭﺱ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‪ ،‬ﻓﻘﺪ ﺗﻨﺎﻭﻝ ﺍﻟﻤﺨﻄﻂ ﻣﻔﻬﻮﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻭﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻭﻳﻨﺪﺭﺝ ﺗﺤﺖ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﺧﻮﺍﺻﻬﺎ‬ ‫ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺣﻞ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ‪.‬‬ ‫ ﺃﻣﺎ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻓﻘﺪ ﺗﻨﺎﻭﻟﻨﺎ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﺛﻢ‬ ‫ﻭﺃﺧﻴﺮﺍ ﺣﻞ‬ ‫ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻟﻤﺮﺍﻓﻘﺔ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﻣﺮﺗﺒﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻭﻏﻴﺮ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻭﺗﻮﻇﻴﻒ ﻛﻞ ﻣﺎ ﻳﺘﻌﻠﻖ‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻭﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻓﻰ ﺣﻞ ﻣﺸﻜﻼﺕ ﻣﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﺒﻴﺌﺔ‪.‬‬

‫زﻣﻦ ﺗﺪرﻳﺲ اﻟﻮﺣﺪة‪:‬‬ ‫‪ ٧‬ﺣﺼﺺ‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﺘﻰ ﺗﺘﻤﻴﺰ اﻟﻮﺣﺪة‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﻨﺎﻗﺪ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻻﺑﺪﺍﻋﻰ ‪ -‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ‬ ‫ﺍﻻﺑﺪﺍﻋﻰ ‪ -‬ﺍﻟﻘﺪﺭه ﻋﻠﻰ ﺍﺗﺨﺎﺫ ﺍﻟﻘﺮﺍﺭ‪.‬‬ ‫اﻟﻮﺳﺎﺋﻞ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺒﻮﺭه ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺃﻗﻼﻡ ‪ -‬ﺟﻬﺎﺯ ﻋﺮﺽ ‪-‬‬ ‫ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺔ‪.‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪51‬‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬

‫‪1-3‬‬

‫‪ôüĿîüĿí óĊăŎĿí‬‬

‫‪äGOóëªdG‬‬

‫‪1-3‬‬ ‫‪Delerminals‬‬

‫‪Determinats‬‬

‫‪łŀĬø÷ ıŎē‬‬

‫‪ŻŐǭǨŝ‬‬

‫ ‪ - .‬‬

‫'‪ VsW?gb -.‬‬ ‫‪Ů -.'gb r VsW?gb 61‬‬‫‪Í f½ pb O 2f VsW?f d^ i gcNr‬‬ ‫¼‬ ‫¼‬ ‫‪... 0_or b b "1.b -.'g ł * ł -.'fr zj b "1.b -.'g Ł * Ł -.'gb wg7yr‬‬

‫ ( ) ‪ / 01( 21‬‬ ‫‪ - .‬‬

‫‪¶" C‬‬ ‫‪:-.'gb đ gV‬‬ ‫^‪ g‬‬ ‫‪¹ -.'gb gzZ - #y zWz^ gcN‬‬ ‫¼‬ ‫ ‪E‬‬ ‫‪Ń ł‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪łŇ = (ń-) Ń - Ņ * ł = Ņ ń- -.'gb gzZ‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪= ¶o -.'gb gzZ - #y zWz^ gcO `b0^r‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪r‬‬ ‫"‬

‫ﺧﻠﻔﻴﺔ‪:‬‬

‫ﺳﺒﻖ ﻭﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻭﺗﻌﺮﻓﺖ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺔ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﺤﺪﺩﻫﺎ‪ .‬ﻭﺳﻮﻑ ﻧﺴﺘﻜﻤﻞ‬ ‫ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻭﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ‪.‬‬

‫ ! ‪9 I‬‬

‫‪ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ‬‬ ‫ ! ‬

‫‪Determinants‬‬

‫ ! ‪ " # $‬‬ ‫‪Second − degree determinant‬‬

‫ ! ‪ # # $‬‬

‫‪= ¶o‬‬

‫ &‪%‬‬

‫ﻓﻜﺮ ‪ō‬‬

‫‪Row‬‬ ‫‪Column‬‬ ‫‪Main diagonal‬‬ ‫‪Triangular form‬‬

‫ ‪¶o‬‬

‫ =‬

‫ ( ' ‪ " #$ ! % &ƄƄ r ¶" 5 + M ¶" E - M r C = 9‬‬ ‫ ‪)&* +,‬‬

‫‪Third − degree determinant‬‬

‫ ‬ ‫ ‪'( ) M+‬‬ ‫ & ‪ # # ,‬‬

‫= ‪¶" - E C‬‬

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫‪ł‬‬ ‫ ‪Ł = ŀ9 i ^ /‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫ ‪ŀ- = Ł9 i ^ /‬‬

‫‪ŀ‬‬‫‪ń‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪............................... = Ł9 i V‬‬ ‫‪ń‬‬

‫‪i V‬‬

‫‪= ŀ9‬‬

‫‪...............................‬‬

‫ ‪.` " 27V ?i yr 7 f go do Ł9 Ů ŀ9 lz ZđOb f‬‬

‫أﻫﺪاف اﻟﺪرس‪:‬‬

‫‪ôŃĊĈøĔńĿí õíōĉŗí‬‬

‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬا اﻟﺪرس‪ ،‬ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﻳﻜﻮن اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎد ًرا ﻋﻠﻰ‬ ‫أن‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﳌﺤﺪﺩﺍﺕ ﻭﺧﻮﺍﺻﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺑﻌﺾ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﳌﺤﺪﺩﺍﺕ ﺍﻻﺳﺎﺳﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺜﺒﺖ ﺻﺤﺔ ﺑﻌﺾ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﳌﺤﺪﺩﺍﺕ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﳛﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﳌﺤﺪﺩﺍﺕ‪.‬‬

‫ ‬ ‫‪Scientific calculator‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪?$ k 7 / f ? -.'gb .gN C -.'gb UsW> ZđN f‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪äGOóëª∏d á«°SÉ°SC’G ¢UGƒîdG‬‬

‫‪(1) á«°UÉN‬‬ ‫‪ z 2 b 8Wk 2J kgb q .gN -.'gb UsW> dy. .kN -.'gb gzZ 2zS Đ‬‬

‫‪66‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ﻣﻔﺮدات أﺳﺎﺳﻴﺔ‪:‬‬

‫ﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﻣﺤﺪﺩ ‪ -‬ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ ‪ -‬ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻟﻤﺮﻓﻘﻪ ‪ -‬ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ‪.‬‬

‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺹ)‪ (٦٦‬ﺇﻟﻰ ﺹ)‪(٧٨‬‬ ‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻻﻧﺘﺮﻧﺖ(‬

‫اﻟﻤﻮاد اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‪:‬‬

‫ﺍﻟﺴﺒﻮﺭه ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺃﻗﻼﻡ ‪ -‬ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺁﻟﻪ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺔ ‪-‬‬ ‫ﺑﺮﺍﻣﺞ ﺭﺳﻮﻣﻴﺔ ﻟﻠﺤﺎﺳﻮﺏ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻭﺍﻟﺤﻮﺍﺭ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ ‪-‬‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪.‬‬ ‫ﻣﻜﺎن اﻟﺘﺪرﻳﺲ‪:‬‬

‫اﻟﺘﻬﻴﺌﺔ‬ ‫ﺍﺳﺘﺮﺟﻊ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﺍﻟﻤﻘﺼﻮﺩ ﺑﺎﻟﻤﺤﺪﺩ ﺣﻴﺚ ﻫﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻻﻋﺪﺍﺩ ﻣﺮﺗﺒﺔ ﻓﻰ ﺻﻔﻮﻑ ﻭﺃﻋﻤﺪﺓ ﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺼﻔﻮﻑ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻋﻤﺪﺓ ﻭﻣﻮﺿﻮﻋﺔ ﺑﻴﻦ ﺧﻄﻴﻦ ﺭﺃﺳﻴﻴﻦ ﻭﺗﻨﺸﺄ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻛﻨﺘﻴﺠﺔ ﻟﺤﺬﻑ ﻋﺪه ﻣﺘﻐﻴﺮﺍﺕ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﺧﻄﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺼﻮﺭه ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺤﺪﺩ ‪W‬‬ ‫‪=9‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ‬

‫‪ C‬ﺟـ‬ ‫ﺏ ‪E‬‬

‫= ‪ - E C‬ﺏ ﺟـ‬

‫إﺟﺮاءات اﻟﺪرس‪:‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻨﺎ ﺳﻨﻘﺘﺼﺮ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪.‬‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻨﺪ ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ‪.‬‬

‫‪52‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫املﺤﺪدات‬ ‫‪1-3‬‬

‫ ‪ 12+Ȟ‬‬

‫‪=9‬‬

‫‪ŀŀC‬‬

‫‪ŁŀC‬‬

‫‪łŀC‬‬

‫ ‪ŀŁ‬‬

‫ ‪ŁŁ‬‬

‫ ‪łŁ‬‬

‫"¶‪ŀł‬‬

‫"¶‪Łł‬‬

‫"¶‪łł‬‬

‫=‬

‫‪ŀŀC‬‬

‫ ‪ŀŁ‬‬

‫"¶‪ŀł‬‬

‫‪ŁŀC‬‬

‫ ‪ŁŁ‬‬

‫"¶‪Łł‬‬

‫‪łŀC‬‬

‫ ‪łŁ‬‬

‫"¶‪łł‬‬

‫‪1-3‬‬

‫ ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ﻣﺜﺎﻝ )‪ (١‬ﺑﺪﻭﻥ ﻓﻚ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﻟﺬﻟﻚ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺒﺪﺍﻝ‬ ‫ﺍﻟﺼﻔﻮﻑ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻷﻋﻤﺪﺓ ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻟﺘﻌﻄﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‪.‬‬

‫‪.ly-.'gb lf d^ `W `b/ l_gyr‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪ł-‬‬

‫‪ŀ-‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪Ł-‬‬

‫‪ń‬‬

‫‪Ł‬‬

‫=‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪Ł-‬‬

‫‪ł-‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪ń‬‬

‫‪ŀ-‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪Ł‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ‪) :‬اﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ واﻟﺤﻮار(‬

‫ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﻟﻺﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫‪ľĄĿí‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪ł-‬‬

‫‪ŀ-‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪Ł-‬‬

‫‪ń‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪Ń ŀ‬‬

‫=‪ŀń- = (Ŀ- ń)- (Ň + Ł )ł + (ŁĿ - Ŀ) Ł = ń Ł- - Ł Ł- ł + Ł ń Ł‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪Ł-‬‬

‫‪ł-‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪ń‬‬

‫‪ŀ-‬‬

‫ ‪:' % -‬‬

‫‪Ń Ŀ‬‬

‫‪Ŀ ŀ‬‬

‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪ .‬ﻣﻊ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺃﻥ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻫﻮ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻓﺒﺎﺷﺮ‬ ‫ﻟﻠﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ‪.‬‬

‫‪ń ł‬‬‫‪ń Ŀ‬‬ ‫=‪Ł ŀ- - Ł Ń Ł‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ł-‬‬

‫‪ŀ-‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪Ł-‬‬

‫‪ń‬‬

‫‪Ł‬‬

‫=‬

‫‪Ŀ ł‬‬‫‪Ń ŀ- Ł-‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪Ł-‬‬

‫‪ł-‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪ń‬‬

‫‪ŀ-‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪Ł‬‬

‫= ‪ŀń- = (Ŀ- ŮŁ-)Ł- (ń + Ņ- )- (ŁĿ-Ŀ) Ł‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ )‪ (١‬ص )‪(٧٥‬‬

‫‪٧٤- = (٤ + ١٥) ٣ - (١ + ١٠) ٢- (٣ - ٨)١ = ١9‬‬ ‫‪٧٤- = (١٢ + ٢) ١ - (٩ + ٤) ٥- (٣ - ٨)١ = ٢9‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ł-‬‬

‫‪ń‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪ŀ-‬‬

‫‪ł‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫=‬

‫‪ń‬‬

‫‪ŀ-‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪ł‬‬

‫‪ł-‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪Ł‬‬

‫ﺃﻯ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﻻﺗﺘﻐﻴﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﺑﺎﺳﺘﺒﺪﺍﻝ ﺍﻟﺼﻔﻮﻑ ﻣﺤﻞ ﺍﻷﻋﻤﺪﺓ ﺃﻭ‬ ‫ﺍﻟﻌﻜﺲ‪.‬‬

‫‪(2) á«°UÉN‬‬

‫ ﺍﻋﻂ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ‬

‫‪.( -sgN) X> t 2> kN \y2F lN q_W 2zS Đ -.'gb gzZ‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪i 2‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪ŀ-‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪ł‬‬

‫‪ń‬‬

‫‪ŀ-‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪t2* 2f arĔ X?b 2> kN f¹ .+ 7fr 2f arĔ -sgOb 2> kN f¹ .+ 7f‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ‪:‬‬ ‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪١٧ = ٢9 ، ١9‬‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﺗﻔﺴﻴﺮ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻮﺻﻠﻮﺍ ﺇﻟﻴﻬﺎ‪.‬‬ ‫ ﺍﻧﺘﻘﻞ ﺑﻌﺪﻫﺎ ﺇﻟﻰ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ‬

‫أى‬

‫‪١١C‬‬

‫‪٢١C‬‬

‫‪٣١C‬‬

‫ﺏ‪١٢‬‬

‫ﺏ‪٢٢‬‬

‫ﺏ‪٣٢‬‬

‫ﺟـ‪١٣‬‬

‫ﺟـ‪٢٣‬‬

‫ﺟـ‪٣٣‬‬

‫=‬

‫ﺟـ‪١٣‬‬

‫‪٢١C‬‬

‫ﺏ‪٢٢‬‬

‫ﺟـ‪٢٣‬‬

‫‪٣١C‬‬

‫ﺏ‪٣٢‬‬

‫ﺟـ‪٣٣‬‬

‫‪١١C‬‬

‫‪٢٢C‬‬ ‫‪٢٣C‬‬

‫ﺏ‪٣٣‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﺘﺠﺔ‬ ‫ﺃﻭ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ )‪ (٢‬ﻭﺗﺴﻠﻬﻢ ﻣﺘﻰ ﺗﻜﻮﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ = ﺻﻔﺮ?‬ ‫ﻭﻫﻰ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺟﻤﻴﻊ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺃﻯ )ﺻﻒ( )ﻋﻤﻮﺩ( ﻓﻰ ﻣﺤﺪﺩ‬ ‫ﺗﺴﺎﻭﻯ ﺻﻔﺮ ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ = ﺻﻔﺮ‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ )‪ (١‬ﻟﻬﺎ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﺧﺎﺻﺔ‬ ‫ﻭﺫﻟﻚ ﻷﻧﻜﺘﺎﺑﻪ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﺑﺪﻻﻟﻪ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ً‬ ‫ﺑﺪﻻ ﻣﻦ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺍﻟﺼﻒ ﻳﻮﻓﺮ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻮﻗﺖ ﻭﺍﻟﺠﻬﺪ ﻭﺧﺎﺻﺔ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺑﻌﺾ ﻋﻨﺎﺻﺮه ﺑﻬﺎ ﺃﺻﻔﺎﺭ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻻﻳﻤﻦ =‬ ‫‪٣٢C‬‬

‫ﺟـ‪١٣‬‬

‫ﺟـ‪٢٣‬‬

‫ﺟـ‪٣٣‬‬

‫ ﺍﺳﺄﻝ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ )ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ( ﻣﺴﺎﻭ ًﻳﺎ ﻟﻠﺼﻔﺮ ﻓﻬﻞ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ?‬

‫ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺛﺒﺎﺕ ﺧﺎﺻﻴﺔ )‪ (١‬ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪١١C‬‬

‫ﺻﻔﺮ‬

‫‪67‬‬

‫ ﺍﺗﺮﻙ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻓﺮﺻﺔ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺣﻞ ﺍﻟﻔﻘﺮﺗﻴﻦ ﻭﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ‬

‫ﺏ‪١٢‬‬

‫‪١١C‬‬

‫‪٢١C‬‬

‫‪٣١C‬‬

‫ ﺍﺗﺮﻙ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻟﻠﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ‬ ‫‪٢١C -‬‬

‫‪١٢C‬‬ ‫‪١٣C‬‬

‫‪٣٢C‬‬ ‫ﺏ‪٣٣‬‬

‫‪٣١C +‬‬

‫‪١٢C‬‬ ‫‪١٣C‬‬

‫‪٢٢C‬‬ ‫ﺏ‪٢٣‬‬

‫= ‪٢٣C ١٢C ٣١C + ١٣C ٣٢C ٢١C + ٣٣C ١٢C ٢١C - ٢٣C ٣٢C ١١C - ٣٣C ١٣C ١١C‬‬

‫ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ ﺑﻔﻜﻪ ﺳﻨﺼﻞ ﺇﻟﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‪.‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪53‬‬

‫ املﺤﺪدات واملﺼﻔﻮﻓﺎت‬:‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ Zy[CȞ x 12+Ȟ : #f #f 2*yf

ľĄĿí )&* " #$ ! : .&/ ŀ- Ł

ł Ń

ńł = ( Ń + Ņ ) ń + ( ł + Ŀ ) = ł Ń ń + Ŀ ŀ- =

)&* +, " #$ ! : 0 Ń Ŀ

ł Ŀ

ł Ń

ńł = ŁĿ + łĿ + ł = (ŁĿ - Ŀ ) - (ŀń- Ŀ ) Ł- (ł + Ŀ ) = ŀ- ń - Ŀ ń Ł- Ŀ ŀ- = 9 ŀ Ł ł

-sgOb 2> kN f¹ .+ 7fr 2f arĔ X?b 2> kN f¹ .+ 7f .t2* 2f wj b

ł ŀ Ł

Ł ł ŀ

ľĄ÷ Ņã Ľōîă

(٧٦) ‫( ص‬٣) ‫ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻨﻌﺪﻡ ﻓﻴﻬﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ‬ ‫( ﺛﻢ ﺃﻋﻂ ﻟﻬﻢ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻋﺪﺩﻳﺔ ﺑﺴﻴﻄﺔ ﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﺗﻠﻚ‬٠ = 9 ) .‫ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ‬

-.'gb gzZ ."r 2

(٦ - ٤) ‫اﻟﺨﻮاص‬

(3) á«°UÉN : z Ē đ b Đ 'b wV e.Ok -.'gb gzZ

2W> = -.'gb gzZ i V 2W> tr 7 -.'f wV (-sgN) X> t 2> kN Pzg" j ^ / :.&/ łŀC

ŁŀC

ŀŀC

2W> = 2W> 2W> 2W> -.'gb gzZ łłC

ŁłC

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﺨﻮﺍﺹ ﻟﻠﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻭﻗﻢ ﺑﺈﻋﻄﺎﺋﻬﻢ‬ .‫ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻋﺪﺩﻳﺔ ﺑﺴﻴﻄﺔ ﺗﻮﺿﺢ ﺫﻟﻚ‬

ŀłC

2W> = 9 :is_y wj b X?b 2> kN e .+ 6 -.'gb `W `b/ l_gyr 2W> = -.'gb gzZ i V Ů-.'f wV (ly-sgN) lzW> t wV 2J k gb 2> kOb r 7 / : 0 ¶"

2W> = ¶"

ƅ'1 2/

.(`b/ ) 3 & )&* 4 5, 3 6 7 # " # 2& 8 % &

(‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬

(٦٩) ، (٦٨) ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﺹ‬ .‫ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﺇﻟﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬

. 2* (-sgN) X?b 2J kgb 2> kOcb WN Cf ( -sgN) X> 2> kN j ^ / : 0

2W> =

٧٧‫ ص‬:‫ﺣﻠﻮل‬

‫ﻣﺜﺎل‬

ń-

ł ƅƅi -.'gb `V ir. 3

ŀŅ-

ŀĿ

Ł-

ľĄĿí ŀ= Ł- = ł= i .#j -.'gb wV

2W> = -.'gb gzZ `

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

١‫ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻖ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺹ‬

١٨- = (١ - ٦) + (٢ - ٩) ٣ - (٤ - ٣) ٢ = ٢‫ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻖ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻉ‬ ‫ ﻻﺗﺘﻐﻴﺮ ﻗﻴﻤﺔ‬١٨- = (٣ - ٤) ٢- (١ - ٦) ١ + (٢ - ٩) ٣- = .‫ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﺑﻔﻜﻪ ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻖ ﺃﺣﺪ ﺻﻔﻮﻓﻪ ﺃﻭ ﺃﻋﻤﺪﺗﻪ‬ (٦٩) ‫( ص‬٣) ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

1-3

12+Ȟ

5 "

2W> = = "

M "

ł-

(4) á«°UÉN

H٢ =

.-.'gb !1 * m0* l_gy df Ob 0o i V -.'f wV (-sgN) X> 2> kN Pzg" wV ]2 ;f df N ."r /

ņ-

ŀń

ŀĿ

ņ-

ń*Ł=

ņ-

ŀń

ŀĿ

ľĄ÷ Ņã Ľōîă EŁ

CŁ

ƅqzV ."r ƅŀĿ =

¶o

MŃ- rŃ- ¶"Ń-

¶o

4 i ^ /

¶"

(6) á«°UÉN wc>Ĕ -.'gb - = $ kb -.'gb i V (ly-sgN ) lzW> PBsf kb. / "

łŀC łŁC łłC

‫ ﺟﺎ ﺱ‬H٢

H٢ ‫ﺟﺎ ﺹ ﻧﺄﺧﺬ‬

‫ﺟﺎ ﺹ‬H٢

‫ﺟﺎ ﻉ‬

٣-

‫ ﺟﺎ ﻉ‬H٢

gzZ ."r -.'gb `V ir. 4

9; , @; 3 6 7 # " # 2& 8 % &

."t2* [y2G `b/ ar &"

‫ﻉ‬ ‫ﺱ‬ ‫َﺹ‬ َ َ = = ‫ﺟﺎ ﺱ ﺟﺎ ﺹ ﺟﺎ ﺹ‬ ٧

‫ﻣﺜﺎل‬

ľĄĿí 9; 4 < = $ > ,@; 4 < = $ @ -AB

eŁ

‫ﺟﺎ ﺱ‬

(5) á«°UÉN gzZ * ] = $ kb -.'gb gzZ i V Ů ] w[z[& -.N wV -.'f lf (-sgN) X> t 2> kN Pzg" 2B / 0o i V -.'f wV "-sgN t r " X> t 2> kN Pzg" wV ]2 ;f df N ."r / 8_Ob r Ůwc>Ĕ -.'gb "qzV ¹ r2Cf" -sgOb !1 * m0* l_gy df Ob

2W> = 2W> * ŀĿ =

‫ﺱ ﺹ ﻉ ﻣﺜﻠﺚ‬

ľĄ÷ Ņã Ľōîă

= Ƅi -.'gb = s* f¹ .+ 7f M = 5 9 wV 3

ŁŀC ŁŁC ŁŁC

C C ŀŀ

łŀC

ŁŀC

ŀŁC

- = rłŁC oŁŁC

ŀłC

łłC

ŁłC

C C ŀŀ E ŀŁC

‫ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮك ﻣﻦ اﻟﻌﻤﻮد اﻷول‬ ‫ﺟﺎ ﺱ‬

‫ﺟﺎ ﺱ‬

‫ﺟﺎ ﺹ = ﺻﻔﺮ‬

‫ ﺟﺎ ﺹ‬H٢ = 9

‫ﺟﺎ ﻉ‬

٣-

‫ﺟﺎ ﻉ‬

٣‫ ع‬، ١‫ﻟﺘﺴﺎوى اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ اﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮه ﻓﻰ ع‬

(٦٩) ‫( ص‬٤) ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ٣‫( ﻣﺸﺘﺮﻙ ﻣﻦ ﺹ‬٤-) ، ١‫( ﻣﺸﺘﺮﻙ ﻣﻦ ﺹ‬٢) ‫ﺑﺄﺧﺬ‬

٨٠- = ١٠ * ٤- * ٢ = 9

ŀłC

9; ,@; C D (E 2 A/ F , & G & 3 4 5, C

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

тАл╪з┘Е┘Дя║дя║к╪п╪з╪ктАм

1-3

Zy[C╚Ю x 12+╚Ю : #f #f 2*yf

(┘з) тАля╗Уя╗░ я║Ся╗ия║к я║зя║Оя║╗я╗┤я║ФтАм

тАл( я╗ня║Гя║╖я║о я║Зя╗Яя╗┤я╗мя╗в я║Гя╗зя╗к я╗│я╗дя╗Ья╗ж я╗Ыя║Шя║Оя║Ся║ФтАм┘з) тАл┬Ш я╗зя║Оя╗Чя║╢ я║Ня╗Яя╗Дя╗╝я║П я╗Уя╗▓ я║зя║Оя║╗я╗┤я║ФтАм тАля║Ня╗Яя╗дя║дя║кя║й я╗Ля╗ая╗░ я║╗я╗оя║ня║У я╗гя║ая╗дя╗оя╗Й я╗гя║дя║кя║йя╗│я╗ж я║Ыя╗в я╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗гя╗Мя╗мя╗в я║Ня╗Яя╗дя║Ья║Оя╗ЭтАм (┘з) тАля║Ня╗Яя╗дя║дя╗ая╗оя╗Э я╗Ыя║Шя╗Дя║Тя╗┤я╗Ц я╗гя║Тя║Оя║╖я║о я╗Ля╗ая╗░ я║зя║Оя║╗я╗┤я║ФтАм

2W> =

┼Г

┼В

┼Б

┼А-

┼Б

┼Е

┼Ж

┼Д

2W> = 9 + 9- =

тАля╗Й = я║╗я╗Фя║отАм тАля║нтАм

тАля╗ЭтАм

тАля╗етАм

тАля╗бтАм

тАля║▒ я║╣тАм-

(┘б-) + тАля╗ЙтАм

тАля║нтАм

тАля╗ЩтАм

┼В┼АC

┼Б┼АC

┼В┼БC

┼Б┼БC

┼В┼ВC

┼Б┼ВC

┬╢o

┘г ┘ж

┘в ┘е

┘б ┘д

┼В

┼Б

┼А-

┼Б

┼Е

┼Ж

┼Д

┼В┼АC

┼Б┼АC

┼А┼АC

┼В┼БC

┼Б┼БC

┼А┼БC

┼Б┼ВC

┼А┼ВC

┼В┼ВC

┼Г

┼В

┼Б

┼А-

┼Б

┼Е

┼Ж

┼Д

- `

┼В┼АC

┼Б┼АC

e + ┼А┼АC

┼В┼БC

┼Б┼БC

i + ┼А┼БC

┼В┼ВC

┼Б┼ВC

┬╢o + ┼А┼ВC

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм i

2W> ┬╣ = M

= ]

5 + Y-

M 1

= ]

a 5- :i -.'gb `V ir. 6 Y

─╛─Д─┐├н 4 * L M 4 3 J N K 2& 8E O J P 4( :4 Q K & @N ,RN 4 S5 T 2& 8 4 * L M 3 4 '/ UV W

:тАля║Чя╗дя║оя╗│я╗ж ╪ея║Ыя║о╪зя║Ля╗░тАм

тАля╗Ля╗ая╗░ я║Ня╗Яя║╝я╗оя║ня║УтАм

┼Г

HI % J K % I C01 4( &

тАл я╗Уя╗░ я║Ня╗Яя╗дя║дя║кя║й я║Ня╗Яя║Ья║Оя╗зя╗░тАм┘бтАл( я╗Ля║Оя╗гя╗╝ я╗гя║╕я║Шя║оя╗Ыя║О я╗гя╗ж я╗Ля╗ия║Оя║╗я║о я╗ЙтАм┘б-) тАля║Гя║зя║мя╗зя║ОтАм

┘д-

┼Ж

тАля╗ЭтАм

тАля╗ЩтАм

┘г

┼Е

┼В ╞Е:i -.'gb `V ir. 5 ┼Д

(7) ├б┬л┬░U├ЙN

тАля║▒ я║╣тАм-

┘е

┼Б

┼В

^ l_gy qj V ly2?kN Msg#g^ "-sgN" X> t 2> kN Pzg" ^ / ly-.'f Msg#f 1s> wcN wc>─Ф -.'gb

тАля╗│я╗мя║кя╗С я║Зя╗Яя╗░ я║Ня║│я║Шя║ия║кя║Ня╗б я║зя╗оя║Ня║╣ я║Гя║зя║оя╗п я╗Уя╗░ я║Зя║Ыя║Тя║Оя║Х я║Гя╗е я╗Чя╗┤я╗дя║Ф я║Ня╗Яя╗дя║дя║кя║йтАм :тАл= я║╗я╗Фя║о я║йя╗ня╗е я╗Уя╗Ья╗к я╗ня╗гя╗ия╗мя║О я║Ня╗Яя║дя╗Ю я║Ня╗╡я║Чя╗░тАм = тАля║Ня╗Яя╗Дя║оя╗С я║Ня╗╖я╗│я╗дя╗жтАм тАля╗бтАм

┼А-

┼Г

─╛─Д─┐├н )&* 3 3 & )&* 4 5, C

:тАля╗Уя╗░ я║Ся╗ия║к я║Чя╗Фя╗Ья╗┤я║о я╗зя║Оя╗Чя║ктАм

тАля╗етАм

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм

┼Б

─┐

2W> ┬╣ = M

= ]

─┐ ─┐

M 1

= ]

a-a 5 + 5- = lgy─Ф U2Gb Y-Y

(1 W> Msg#gb -.'f wV ┼АM 2> kN i─Ф) .Y2Gb m0o t.& 2^/ ? p_V ir- -.'gb gzZ - #y─Ц t2* Y2F e .+ 6 `k_gy do :┼╗╟И─г┼а ╞Д┼Р╟Ф╞╜┼Э

тАля║Ня╗Ыя║Шя║Р я║Ня╗Яя╗дя║дя║кя║йтАм f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

?тАля╗гя║ая╗дя╗оя╗Й я╗гя║дя║кя║йя╗│я╗ж я╗Чя╗┤я╗дя║Ф я║Гя║гя║кя╗ля╗дя║О я║╗я╗Фя║отАм :тАл╪зя╗Яя║дя╗ЮтАм

тАля╗зя╗╝я║гя╗Ж я║Гя╗е я║Ня╗Яя╗дя╗Дя╗ая╗оя║П я╗ля╗о я║Гя╗е я╗зя╗Ая╗К я╗Ля╗ия║Оя║╗я║о я║Гя╗п я║╗я╗Т я║Гя╗н я╗Ля╗дя╗оя║й я╗Ля╗ая╗░тАм ┘Н тАля╗гя║┤я║Оя╗н я╗Яя╗ая╗Мя╗ия║╝я║о я║Ня╗Яя╗дя╗ия║Оя╗Зя║о я╗гя╗ж я╗Ля╗ия║Оя║╗я║отАм тАля║╗я╗оя║н┘З я╗гя║ая╗дя╗оя╗Й я╗Ля║кя║йя╗│я╗ж я║Гя║гя║кя╗ля╗дя║ОтАм тАля║╗я╗Т я║Бя║зя║о )я║Гя╗н я╗Ля╗дя╗оя║й я║Бя║зя║о( я║Ыя╗в я╗зя║ая║оя╗пя║А я║Ня╗Яя╗дя║дя║кя║й я║Зя╗Яя╗░ я╗гя║дя║кя║йя╗│я╗жтАм :тАл( я╗Ыя║Оя╗Яя║Шя║Оя╗Яя╗░тАм┘е) тАля║гя║┤я║Р я║зя║Оя║╗я╗┤я║ФтАм

1-3

12+╚Ю ─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

z& ┼Вe + ┼Бe + ┼Аe = e -.'gb ."r 5 ┼Г

┼А-

┼Б

┼Д

┼А

┼Г

┼А-

┼А

─┐

= ┼Вe ┼о

┼Г

┼В

┼Б

┼Д

┼Б ┼А- = ┼Бe ┼о

┼Г

┼Б

┼В

┼Б-

┼Д

┼А-

┼Г

─┐

┼А-

┼Г

─┐

= ┼Аe

(8) ├б┬л┬░U├ЙN

┘в

┘г ┘д-

┘б

┘в

┘б

┘е

┘г

┘б + ┘в ┘д

┘е

┘в + ┘г ┘г ┘д-

┘г ┘д┘в ┘е

┘б ┘д

┘б+┘в ┘в

┘б

┘б+┘е ┘е

┘д

┘е

┘г ┘д-

┘г

┘в

┘ж

┘е

┘б ┘д

тАл я╗зя╗╝я║гя╗Ж я║Гя╗е я╗Ля╗ия║Оя║╗я║о я║Ня╗Яя╗Мя╗дя╗оя║йя╗│я╗ж я║Ня╗╖я╗ня╗ЭтАм╪МтАля║Ся║Оя║│я║Шя║ия║кя║Ня╗б я║Гя║гя║к я║Ня╗Яя║ия╗оя║Ня║╣тАм тАля╗ня║Ня╗Яя║Ья║Оя╗зя╗░ я╗гя║Шя║┤я║Оя╗ня╗│я║Оя╗е я╗ня║Ся║Оя╗Яя║Шя║Оя╗Яя╗▓ я╗Чя╗┤я╗дя║Ф я║Ня╗Яя╗дя║дя║кя║й = я║╗я╗Фя║отАм тАл┬Ш я╗Ыя║оя║н я║Ня╗Яя╗Мя╗дя╗ая╗┤я║Ф я╗ня╗Яя╗Ья╗ж я║Ся║Шя║ая║оя╗пя║А я╗Ля╗ия║Оя║╗я║о я║Ня╗Яя║╝я╗Т я║Ня╗╖я╗ня╗Э я╗Яя║Шя║╕я║Шя╗дя╗ЮтАм :тАля╗Ля╗ая╗░ я║Ня╗Яя╗Мя╗ия║Оя║╗я║о я║Ня╗Яя╗дя╗ия║Оя╗Зя║о┘З я╗гя╗ж я║Ня╗Яя║╝я╗Т я║Ня╗Яя║Ья║Оя╗зя╗░ я╗Ыя║Оя╗Яя║Шя║Оя╗Яя╗░тАм ┘г + ┘в ┘в + ┘б ┘б + ┘е-

┘г

┘в

┘б

┘ж

┘е

┘д

┘г

┘в

= ┘б

┘е

┘г ┘д-

┘г

┘в

┘б

┘ж

┘е

┘д

┘в

┘б ┘е-

┘а тАл я╗ня║Ня║┐я║в я║Гя╗е я║Ня╗Яя╗дя║дя║кя║й я║Ня╗Яя║Ья║Оя╗зя╗░ я╗│я║┤я║Оя╗ня╗птАм┘г ┘в ┘б + ┘г ┘в ┘б ┘ж ┘е ┘д тАл я╗Яя║Шя║┤я║Оя╗ня╗п я╗Ля╗ия║Оя║╗я║о я║Ня╗Яя║╝я╗Фя╗┤я╗ж я║Ня╗Яя║Ья║Оя╗зя╗░ я╗ня║Ня╗Яя║Ья║Оя╗Яя║ЪтАм┘ж ┘е ┘д

2zS ─Р -.'gb gzZ i V 2* (-sgN) X> t 2> kN WN Cf -.'g (-sgN) X> t 2> kOb kWB /

┼Б┬╢" e + ╚И┬╢"

┼Б e + ┼А

┼Б Ce + ┼А C

┼Б┬╢"

┼Б

┼БC

┼В┬╢"

┼В

┼ВC

┼А┬╢"

┼А

┼АC

┼Б┬╢"

┼Б

┼БC

┼В┬╢"

┼В

┼ВC

╞Д╞Д

e + ┼А= 4f2b zcgOb m0pb 4f2j r e wV q r2Cf wj b X?b 2> kN ar─Ф X?b 2> kN wb kWB ly-.'f Msg#f wb [ 7b z> +cb O┬╣ 27y─Ф U2Gb -.'gb ar─Ф X?b 2> kN 4# `b/ l_gyr 2W> = q gzZ 2*─Т r lgy─Ф U2Gb -.'f wGOy go.&

┼Б=

┼А┼Б

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм

┼З

┼В

┼Б┼Ж

┼Б┼А

7 ┼И ╞Д╞Е╞Е: gzZ ."r -.'gb `V ir.

┼Д┼Б

┼Г┼Г

┼Б─┐

─╛─Д─┐├н wj b -sgOb wV 2J kgb 2> kOb wb gp V B r ┼Б- * ar─Ф -sgOb 2> kN 2C ┼ВM + ┼АM┼Б-╞Е:% -P& ┼БM + ┼АM┼Б- ╞Е:'1 2/ ┼Е

┼Б

┼В

┼И

┼В

┼И

┼А┼Б

┼Г

┼Б─┐

┼В*┼Б-┼А┼Б

┼В*┼Б-┼З

┼В

┼И*┼Б-┼Б┼Ж

┼И*┼Б-┼Б┼А

┼И

┼Б─┐*┼Б-┼Д┼Б ┼Б─┐*┼Б-┼Г┼Г ┼Б─┐

┼А┼Б

┼З

┼Б┼Ж

┼Б┼А

┼В ┼И ╞Е

┼Д┼Б

┼Г┼Г

┼Б─┐

wj b -sgOb 2> kN WN Cf b b -sgOb 2> kN i L&─Сj kor 2W> = -.'gb gzZ `

┼Ж-

┼Д

┼Г

┼А-

─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г ┼Б 6 ┼В- ╞Д╞Е╞Е gzZ ."r -.'gb `V ir.

┼Г-

┼А

┼В

╟║'f - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

‫ املﺤﺪدات واملﺼﻔﻮﻓﺎت‬:‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ Zy[CȞ x 12+Ȟ : #f #f 2*yf

:‫اﻟﻤﺤﺪد ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

(9) á«°UÉN 2J kgb 2> kOcb [V 2gb df sOb wV (-sgN) X> t 2> kN k 2B / -.'f t wV . 2W> y¹ r 7f is_y $ kb i V 2Cb $ sj kOg" h 2* (-sgN) X> t wV łŀC

ŁŀC

ŀŀC

łŁC

ŁŁC

ŀŁC

łłC

ŁŁC

ŀłC

-.'gb wV

:3X 3 +, " # 6 7 # ,łŀC Ů ŁŀC Ů ŀŀC 3X )&* +, " #$ G V łŁ

e * ł + Ł(ŀ-) Ů e * Ł + Ł(ŀ-) Ů ŀŁe * ŀ + Ł(ŀ-) ŁŁ

ŁŀC

ŀŀC

ŁłC

ŀłC

łŀC -

łŀC

ŀŀC

łłC

ŀłC

Y@; = R; :'*W

ŁŀC +

2W> =

ņ ŮŃ ŮŁwo ŀ= 2> kN i V

łŀC

ŁŀC

łłC

ŁłC

ŀŀC- =

łŀC

ŁŀC

ŀŀC

łŁC

ŁŀC

ŀŀC

łłC

ŁłC

ŀłC

Ł-

-.'gb

‫ ﺑﻌﻨﺎﺻﺮ ﺍﻟﻘﻄﺮ ﺍﻟﺮﺋﻴﺴﻰ‬٣٣C ١٣C ١١C ‫ﺣﻴﺚ ﺗﺴﻤﻰ‬ .‫ﻓﻰ ﻫﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﺤﺪد ﺑﺎﻟﺼﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺜﻪ‬

= C i ^ / :

:3X G +, " # 6 7 # & Ń Ł ł+ł ņ Ł ņ Ń (ŀ)ƅƅŮ ƅ ŀ ł Ł + ł(ŀ)ƅƅŮƅ ŀ Ł- ŀ + ł(ŀ) Ł- ł

(Łŀ - Ł) ŀ-ƅƅŮƅƅƅ(ŀŃ + Ń)ŀ :'1 2/

(ŀŁ - Ń-) ŀƅƅŮ

ŀŅ-ƅƅƅŮ ƅƅƅŀňƅƅƅƅŮƅƅƅƅ ŀŇƅ :'1 2/ 9; " # 3 R; " #$ [ \ " V N K . 2W> ¹ = ŀŅ- * ņ + ŀň * Ń + ŀŇ * Ł =

áã∏ãªdG IQƒ°üdG ≈∏Y OóëªdG z 2 b wcN zcOb r wcW7b z c gb 1s?b 1s?b m0o zg6½ Ů lz 1s?b t.& -.'gb ^ / łŀC

ŁŀC

ŀŀC

łŁC

ŁŁC

łłC

ŀŀC

ŁŁC

ŀŁC

łłC

ŁłC

ŀłC

¢ù«FôdG ô£≤dG

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﺍﻟﻤﻘﺼﻮﺩ ﺑﺎﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺔ ﻟﻠﻤﺤﺪﺩ ﻭﻫﻰ ﺃﻥ‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ﺟﻤﻴﻊ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﺍﻟﻮﺍﻗﻌﺔ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻄﺮ ﺍﻟﺮﺋﻴﺴﻰ‬ ‫( ﻣﻦ‬٧٢)‫ﺃﻭ ﺃﺳﻔﻠﻪ ﻛﻠﻬﺎ ﺃﺻﻔﺎﺭ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﺹ‬ .‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻭﺟﻮﺩ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺔ ﻟﻠﻤﺤﺪﺩ ﺃﺛﻨﺎﺀ‬ .‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫ ﺇﻥ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺔ ﺗﺴﺎﻋﺪ ﺑﺸﻜﻞ ﻛﺒﻴﺮ ﻓﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ‬ ‫( ﺃﻧﻪ ﻓﻰ‬٨) ‫ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﺑﺼﻮﺭﺓ ﺃﺳﺮﻉ ﺣﻴﺚ ﻧﻄﺒﻖ ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺔ ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﺗﺘﺤﺪﺩ‬ (‫ )ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺍﻟﻘﻄﺮ ﺍﻟﺮﺋﻴﺴﻰ‬٣٣C * ٢٢C * ١١C ‫ﺑﻀﺮﺏ‬ ٣١C

¢ù«FôdG ô£≤dG

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

٢١C

١١C

٣٢C

٢٢C

٣٣C

‫ﺃﻭ‬

١١C

٢٢C

١٢C

٣٣C

٢٣C ١٣C ¢ù«FôdG ô£≤dG

:‫ ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺄﻥ‬ 1-3

12+Ȟ

pc^ zj b b 'b wV g^ qcW6 r wbrĔ b 'b wV g^ 8z 2b 2G[b wcN OZ sb -.'gb 2> kN Pzg" is_ r .w7z 2b 2G[b 2> kO łłC * ŁŁC * ŀŀC 2> kOb wg7 g^ Ů1 W>

٣٣C

* ٢٢C * ١١C

(10) á«°UÉN

(‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬

w7z 2b 2G[b 2> kN 2B d> & tr 7 c gb 1s?b wcN -.'gb gzZ . [ 7b 1s?b lf łłC * ŁŁC * ŀŀC -.'gb gzZ Ł

(C - ¶")(¶" - )( - C) =

(٦) ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫ﻣﺜﺎل‬

ŀ ƅ:i -.'gb `V ir. 8

Ł¶"

¶"

ľĄĿí G & 3 4 5, 4 ( F 7 # " # 3 1 T \1 & R− * )&* +, " #$ [ ]

ŁC

(C + )(C - )

C-

(C + ¶")(C - ¶")

C - ¶"

ŁC

ŁC - Ł

C-

ŁC - Ł¶"

C - ¶"

C+

C + ¶"

(C - ¶")(C - ) =

b b X?b wV 2J kgb 2> kOb wb p V B r ŀ-* wj b X?b 2> kN 2C ŁC

C+ - ¶"

(C - ¶")(C - ) =

¶"Ł

¶" - - C

¶"Ł

C - ¶" -

CŁ

- C - ¶"

CŁ

‫ﺏ‬٢

‫ ﺟـ‬- ‫ ﺏ‬- C

‫ ﺟـ‬٢

C - ‫ ﺟـ‬- ‫ﺏ‬

C٢

‫ ﺏ‬- C - ‫ﺟـ‬

‫ﺏ‬٢

C٢

‫ ﺟـ‬٢

‫ﺏ‬٢

‫ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬+ C

‫ ﺟـ‬٢

C - ‫ ﺟـ‬- ‫ﺏ‬

‫ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬+ C

‫ ﺏ‬- C - ‫ﺟـ‬

‫ﺏ‬٢

‫ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬+ C

١‫ ﺟـ( ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮﻙ ﻣﻦ ﻉ‬+ ‫ ﺏ‬+ C) ‫ﻳﺄﺧﺬ‬

( - ¶") (C - ¶") (C - ) = (C - ¶") (¶" - ) ( - C) = Ł(¶" + + C) =

‫ ﺟـ‬٢

‫ ﻳﻨﺘﺞ ﺃﻥ‬١‫ ﺇﻟﻰ ﻉ‬٣‫ ﻉ‬+ ٢‫ﺑﺈﺿﺎﻓﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻉ‬

P = YC − ^_W YC − [W -AB

ŁC

‫ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺔ‬

ľĄ÷ Ņã Ľōîă

i -.'gb `V ir. 7

‫ ﺟـ‬٢

‫ﺏ‬٢

‫ ﺟـ‬٢

C - ‫ ﺟـ‬- ‫ﺏ‬

‫ ﺏ‬- C - ‫ﺟـ‬

‫ﺏ‬٢

(‫ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬+ C)

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

‫املﺤﺪدات‬

1-3

Zy[CȞ x 12+Ȟ : #f #f 2*yf

٣‫ ﺹ‬+ ١‫( ﺹ‬١ -) ، ٢‫ ﺹ‬+ ١‫( ﺹ‬١-) ‫ﺑﻀﺮﺏ‬

(١ - ٣) ‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ‬

‫ﻳﻨﺘﺞ ﺃﻥ‬ ‫ ﺟـ‬٢

‫ﺏ‬٢

٠ ٢

(‫ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬+ C)

‫ د‬8

‫أ‬ ‫د‬

3 6

¶o

¶"

¶o

(C - ‫ ﺟـ‬- ‫ﺏ‬-) (‫ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬+ C ) = ٣(‫ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬+ C ) =

¶"

¶o

¶"

łĿ- ‫أ‬

¶"C ‫ب‬

= Ł ‫ﺟ‬

ń ‫د‬

M-= ‫ﺟ‬

5-M ‫د‬

M-=

=-5

5-M

M-=

=-5

=-M

‫ﺟ‬

ŀ ‫د‬

‫ ﺟـ‬C ‫ﻡ‬

‫ﺏ‬C‫ﻡ‬

‫ ﻡ ﺏ ﺟـ‬E 9 `

‫ ﺟـ‬C

‫ﺏ‬C

‫ﺏ ﺟـ‬

2W> ‫أ‬

i V ŀ-=Ł j ^ / 6 ŀ - Ł ‫أ‬

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

٣‫ ﺹ‬، ٢‫ﻳﻮﺟﺪ ﺗﻨﺎﺳﺐ ﻣﻦ ﺹ‬

1-3

12+Ȟ

5ł 5Ł

wo % wV ňŅ =

‫ ( ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ‬C )‫ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺩ‬E C ` 12

‫ﺏ ﺟـ‬ ‫ ﺟـ‬E

‫ ﺟـ‬C + ‫ ﺏ‬C ` ‫ ﺟـ‬C

E‫ﺏ‬ ‫ ﺟـ‬E

(‫ ﺟـ‬E + E ‫ﻡ ) ﺏ‬

‫ ﺟـ‬E ‫ﻡ‬

E‫ﻡﺏ‬

‫ﺏ ﺟـ‬

‫ ﺟـ‬E

E‫ﺏ‬

‫ﺏ ﺟـ = ﺻﻔﺮ‬

‫ ﺟـ‬E

E‫ﺏ‬

‫ﺏ ﺟـ‬

‫ ﺟـ‬E

E‫ﺏ‬

‫ﺏ‬C ‫ ﺟـ‬C

5 5Ł 5ł b- Ogb d& Nsg#f 7

= 2W> ‫د‬

= e i V

¶" Ň

Ń ‫أ‬ /

C ń

is_y ¶" C 9 wV 8

¶" " " C "

¶"Ň ‫ﺟ‬

ņ ‫ب‬

ŀĿ

= eƅŮƄ ń

ŀĿ

ŁĿ

iŁĿ ‫ﺟ‬

iłĿ ‫د‬

ł ‫ب‬

‫`ﻡ‬

‫=ﻡ‬

ŀ- ‫ﺟ‬

2W> ‫د‬

i ‫أ‬ ŀ-

ň-

ň- ‫أ‬

Ł5

Ł=

ŁM

ņ = M - = Ů ń = = - 5 i ^ / y-.Ob -.'gb gzZ ."r h ¶" // ¶oE d [gb d_;b wV :ǶƒŻŏǭǤģś ƤśƄǤĝ 12

C Ȯƀ

Ȯű

‫ اﻟﺠﱪ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

ň ņ-

ņ- ‫ب‬

(5- M ) (M - = ) (=- 5 ) =

Cń ‫أ‬

= i i ^ / 9

iŀĿ ‫ب‬

٣‫ ﺹ‬، ٢‫ﻳﺘﺴﺎﻭﻯ ﺹ‬

Ł ‫ﺟ‬

Ł- ‫د‬

2W> =

E ț

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

ŀ + Ł ‫ب‬

2W> ‫أ‬

5-M

¶"

= =-5

= ŀ-

= ‫` ﺏ ﺟـ‬

C ¶"C

=-5 ‫ب‬

‫ ﻫـ‬E

‫ﺏ‬C

¶"

ŀ ‫ب‬

ŀ+

‫ ﻫـ‬C ‫ ﺟـ‬C

¶" ŀ ŀ C

‫ أ‬5

2W> ‫أ‬

‫ أ‬1

i ^ / 2

r M

ŀń- ‫ب‬

¶" ‫ﺟ‬

¶" C ‫د‬

i ^ / 1

ŀŁ- ‫أ‬

‫ ﺏ ﺟـ‬C 9 ‫ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ‬// ‫ ﻫـ‬E a 12

‫= ﺻﻔﺮ‬

i V ŀń =

‫ د‬9 ‫ د‬9

¶o

‫ب‬ ‫ب‬

‫=ﻡ‬

Ņ- ‫ب‬

2W> ‫ﺟ‬

ŀń ‫د‬

¶"

i V ŀŁ =

Ņ ‫ﺟ‬

ŀŁ ‫د‬

‫ﺣﻞ ﺑﻌﺾ ﺗﻤﺎرﻳﻦ اﻟﺪرس اﻷول‬

‫أ‬

C - ‫ ﺟـ‬- ‫ﺏ‬

‫ ﺏ‬- C - ‫ﺟـ‬

:IÉ£©ªdG äÉHÉLE’G ø«H øe áë«ë°üdG áHÉLE’G ôàNG

¶oC

ŀ ¶oE i

¶"C

C ¶"

тАл ╪з┘Е┘Дя║дя║к╪п╪з╪к ┘И╪з┘Е┘Дя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║О╪ктАм:тАл╪зя╗Яя╗оя║гя║к╪й ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗Яя║Ья║ФтАм Zy[C╚Ю x 12+╚Ю : #f #f 2*yf

┬╢" C c X?ky ┼Д

2W> =

┼Б

┬╢"C + C ┬╢"C C ┬╢" ┬╢" E E

╚Ы

╚о┼▒

┼В

2W> =

┘втАл я╗ЙтАм╪М┘бтАл я║Ся║ая╗дя╗К я╗Ля╗ия║Оя║╗я║о я╗ЙтАм14

c f ┬╢" C 13

┼А

5┼Б " 5┼Б "

┼А

14 =┼Б " =┼Б " i

┼А

M┼Б "

:├б┬лJBтАЩG ├дтАЩO├Й┬й┬кdG ╧АM ├дGO├│├л┬кdG ┬вUG╞ТN ╬йG├│├о├а┬░S├ЙH ─┐

┼А ┼Б5 5 5- =

┼А

┼А┼Е =

┼А

┼Г

┼В

┼Б

┼А-

┼А

┼Д

5┼В 5┼Б

┼А

┼И┼Е = 5 5┼Б

5┼В

─┐

┼А+5┼Б= ─┐

┼Б

тАл я║▒тАм┘втАл я║Яя║Шя║ОтАм+ тАл я║▒тАм┘втАля║Яя║ОтАм

тАл я║▒тАм┘втАля║Яя║ОтАм

┘б

тАл я║╣тАм┘втАл я║Яя║Шя║ОтАм+ тАл я║╣тАм┘втАля║Яя║ОтАм

тАл я║╣тАм┘втАля║Яя║ОтАм

┘б

тАл я╗ЙтАм┘втАл я║Яя║Шя║ОтАм+ тАл я╗ЙтАм┘втАля║Яя║ОтАм

тАл я╗ЙтАм┘втАля║Яя║ОтАм

тАля║▒тАм

┘б + ┘втАля║▒тАм

┘б+тАля║▒тАм

┘б-тАля║▒тАм

┼А

┼А+5

:┬┐CG ├в├СKCG ├дGO├│├л┬кdG ┬вUG╞ТN ╬йG├│├о├а┬░S├ЙH C┼Б

C┼Б

┬╢" - - C

┼Б

C - ┬╢" -

┼Б

- C - ┬╢"

┬╢"┼Б

┼В(┬╢" + + C) =

M=5┼Г=

┼А

┼Б┬╢" ┼Б ┼Б ┬╢" C ┬╢" ┬╢" C = ┼БC C C ┬╢" C

M+=

5+M =+5 M =

┼А

( -┬╢")(C-┬╢")(C- ) = ┬╢"

= M

┼Б= - ┼Б5 =

┼Б┬╢"

C┬╢" ┼БC

┼Б ┼В┼Е

┼А ┼Б ┼Г-

┼Д ┼Г ┼Б

┼А┼Б ┼Б

тАля║▒тАм

┘б

тАля║▒тАм

┘б+тАля║▒тАм

┘б-

┘б

┘б + ┘втАля║▒тАм

тАля║▒тАм

тАля║▒тАм-

┬╢" ┼Б┬╢" 21 ┼Б

┼Д ┼Г ┼Д-

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

тАл я║▒тАм+ ┘гтАл я║▒ = я║▒тАм+ ┘втАля║▒тАм- ┘б + тАл я║▒тАм+ ┘втАл я║▒тАм+ ┘гтАля║▒тАм тАл = я║▒тАм┘б + тАля║▒тАм┘в

┘б- = тАл` я║▒тАм ┘б

┘б

тАля║Я┘АтАм

тАля║ПтАм

┘втАля║Я┘АтАм

┘втАля║ПтАм

┘вC

┘гтАл я╗ЙтАм+ ┘бтАля╗ЙтАм- ╪М

1-3

┘б

┼БC

┼А ┼А ┼А i -.'gb `V ir. 23 5 = 5 =- 5 5

тАля║▒тАм-

┼А

:├б┬к┬лb ├│LhCG O├│├л┬кdG тИВa ┬┐h├│H ┼В ┼Б ┼Д-

┘а

┼А-

┘б = тАля║▒тАм┘втАл я║Яя║Шя║ОтАм+ тАля║▒тАм┘втАл я╗╖я╗е я║Яя║ОтАм┘втАл я╗ЙтАм╪М┘бтАля╗Яя║Шя║┤я║Оя╗ня╗п я╗Ля╗ия║Оя║╗я║о я╗ЙтАм

┼А+5

┘б

┘втАл я╗ЙтАм+ ┘бтАля╗ЙтАм-

12+╚Ю

┘а

C - тАля║Я┘АтАм

тАл я║Я┘АтАм- тАля║ПтАм

┘вC - ┘втАля║Я┘АтАм

┘вC - ┘втАля║ПтАм

┘вC

:┬┐CG ├в├СKCG ├дGOh├│├л┬кdG ┬вUG╞ТN ╬йG├│├о├а┬░SC├ЙH e-

2W> =

─┐

┼Б= + ┼Б5 ┼Б(= + 5)

= 5┼В

2W> =

a M┼В

┼Бa + ┼БM

┼Б(a + M)

i e┼В

┼Бi + ┼Бe

┼Б(i + e)

2W> =

aM+=5

┼А

aM+ie

┼А

ie+=5

┼А

тАл( я╗Ля║Оя╗гя╗Ю я╗гя║╕я║Шя║оя╗ЩтАмC - тАлтАГя║Ня║зя║м )я║Я┘АтАм

┼А

┼Б5 + ┼А

┼Б= + ┼А

┼Б(C - 5)(C┼Б + 5) =

┼ВM+┼Б= + 5 =

C C 5

C 5

M-

╚З ┼А

┼А

╚З

┼БM

┘гтАл я╗ЙтАм+ ┘втАля╗ЙтАм-

┼Б

┼Е

┼Г

┼А─┐

┼Е

┼З

┼Г

┼И

┼Е

┼А+ ┼Г

┼В

┼Г

┼Б

┼Ж-

┼А-

┼Д-

┼Б

┼Д

┼А

┬╢"

C ┬╢"

┼А

╚И

┼Б

┬╢"

┼Б┬╢"

┼А

( + C) = C

C ┬╢" ┼Б

┬╢"

┬╢"C

C + тАля║Я┘АтАм

C+тАля║ПтАм

┘вC

┘а

┘б

тАл я║ПтАм- тАля║Я┘АтАм

C+тАля║ПтАм

┘вC

┘б

-r.'gb = s* e .+ 6 34

┘а

┘б

(C - тАл( )я║Я┘АтАмC - тАл)я║ПтАм

(тАл я║ПтАм- тАл( )я║Я┘АтАмC - тАл( )я║Я┘АтАмC - тАл= )я║ПтАм

: i -.'gb `V ir. 33 (┬╢" + + C)(┬╢" - C)( - C) = ┬╢"

┘а 29

-.'gb = s* e .+ 6 32 2W> =

┘б

:┬┐CG ├в├СKCG O├│├л┬кdG тИВa ┬┐h├│H ┼А=

тАл( я╗Ля║Оя╗гя╗Ю я╗гя║╕я║Шя║оя╗ЩтАмC - тАлтАГтАГя║Ня║зя║м )я║ПтАм

тАл я║Я┘А я║ПтАмC C тАля║Я┘А я║ПтАм тАл я║Я┘АтАм┘в тАля║ПтАм

тАл я║П я║Я┘АтАмC =

┘втАля║ПтАм

┘втАля║Я┘АтАм

тАля║П я║Я┘АтАм

┘вC

CтАля║Я┘АтАм

┘втАля║Я┘АтАм

тАля║ПтАмC

┘вC

┘втАля║ПтАм

тАл я║Я┘АтАм╪МтАл я║ПтАм╪МC тАля║Ся║Оя╗Яя╗Ая║оя║П я╗Уя╗░тАм 77

╟║'f - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

‫املﺤﺪدات‬

‫‪1-3‬‬

‫ ‪ Zy[CȞ x 12+Ȟ : #f #f 2*yf‬‬

‫‪١‬‬

‫‪:i -.'gb `V ir. 35‬‬ ‫‪ŀ + ŁC‬‬ ‫‪ C‬‬ ‫‪¶"C‬‬

‫‪ C‬‬ ‫ ‪ŀ + Ł‬‬ ‫ "¶‬

‫‪=9‬‬

‫‪28‬‬

‫‪¶"C‬‬ ‫ "¶ = ‪ŀ + Ł¶" + Ł + ŁC‬‬ ‫"¶‪ŀ + Ł‬‬

‫ﺱﺹ‪+‬ﻉﻝ‬

‫ﻡﻥ‬

‫‪١‬‬

‫ﺱﺹ‬

‫ﻡﻥ‪+‬ﻉﻝ‬

‫‪١‬‬

‫ﻉﻝ‬

‫ﺱﺹ‪٢+‬ﻥ‬

‫‪:i -.'gb `V ir. 36‬‬ ‫‪C+ŀ‬‬ ‫‪Ȉ‬‬ ‫‪Ȉ‬‬

‫‪Ȉ‬‬

‫‪ +ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪ŀ - łC‬‬

‫‪ŀ ŀ ŀ‬‬ ‫= ‪+ + ) ¶" C‬‬ ‫‪¶" C‬‬

‫‪ -‬ﺹ‪ + ١‬ﺹ‪- ،٢‬ﺹ‪ + ١‬ﺹ‪٣‬‬

‫‪(ŀ +‬‬

‫‪¶" + ŀ‬‬

‫‪37‬‬ ‫ ‪ŀ - ł i ^ /‬‬

‫ ‪Ł‬‬

‫‪C‬‬ ‫ ‬

‫‪ŁC‬‬

‫"¶‪ŀ - ł‬‬

‫"¶‪Ł‬‬

‫"¶‬

‫= >‪z&ƅƅ2W‬‬

‫‪¶" ! ! C‬‬

‫‪=9‬‬

‫ ‪ŀ= ¶" C i‬‬

‫‪i -.'gb `V ir. 38‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪C‬‬ ‫ "¶‬

‫ ‬

‫"¶‬

‫"¶‪C‬‬

‫‪ C‬‬

‫‪C‬‬ ‫ ‬

‫‪ -‬‬

‫‪¶"-‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫"¶ ‪Ł‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫ "¶‬

‫‪ŁC‬‬ ‫"¶‪C‬‬ ‫"¶ ‪Ł‬‬

‫‪ŁC‬‬

‫‪i -.'gb `V ir. 39‬‬

‫‪i -.'gb `V ir. 40‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫ ‪Ł‬‬ ‫"¶ ‪Ł‬‬

‫ ‪Ł‬‬

‫=‬

‫‪ŁC‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪C‬‬ ‫ ‬

‫ ‪Ł‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫"¶‬

‫"¶ ‪Ł‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫=‬

‫‪ C‬‬

‫‪ C‬‬ ‫‪¶" C‬‬

‫‪٠‬‬

‫ﺱﺹ‪-‬ﻡﻥ‬

‫ﻡﻥ‪+‬ﺱﺹ‬

‫‪٠‬‬

‫‪٤‬ﻝ‪-‬ﻡﻥ‬

‫ﻡﻥ‪+‬ﻉﻝ‬

‫ﻳﺄﺧﺬ ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮﻙ )ﺱ ﺹ ‪ -‬ﻡ ﻥ( ‪ ،‬ﻉ ﻝ ‪ -‬ﻡ ﻥ‬

‫= ‪ł ¶" + Ł + C‬‬

‫ "¶‬

‫‪١‬‬

‫ﻡﻥ‬

‫ﺱﺹ‪+‬ﻉﻝ‬

‫‪ C‬‬ ‫"¶‪C‬‬ ‫ "¶‬

‫"¶‪C‬‬ ‫ "¶‬

‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬

‫‪) = 9‬ﺱ ﺹ ‪ -‬ﻡ ﻥ( )ﻉ ﻝ ‪ -‬ﻡ ﻥ(‬

‫‪ C‬‬

‫ﺱﺹ‪+‬ﻉﻝ‬ ‫‪١‬‬‫‪١-‬‬

‫ﻡﻥ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫= ﺻﻔﺮ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﺹ‪ ،٢‬ﺹ‪٣‬‬

‫‪78‬‬

‫‪30‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪ C‬ﺏ ﺟـ‬

‫‪ C‬ﺏ ﺟـ‬

‫‪ C‬ﺟـ‪٢‬‬

‫‪ C‬ﺏ‪٢‬‬

‫ﺏ ﺟـ‪٢‬‬

‫ﺏ ‪ C‬ﺟـ‬

‫ﺏ ‪٢C‬‬

‫ﺏ‪ ٢‬ﺟـ‬

‫ﺟـ ‪٢C‬‬

‫ﺟـ ‪ C‬ﺏ‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺮﺍﺝ ﺍﻟﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻙ ﺏ ﺟـ ﻣﻦ ﻉ‪١‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ C‬ﺏ ﺟـ‬

‫ﺟـ‬ ‫ﺏ‬

‫‪9 27‬‬

‫ﺹ‬

‫ﺱﺹ‬

‫‪ + ١‬ﺹ‪٢‬‬

‫‪٠‬ﺹ ﺹ‪ + ١‬ﺹ‪٣‬‬

‫‪32‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٥‬‬‫‪١‬‬

‫ﺱ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬

‫‪٤‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٥‬‬

‫ﺹ‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٧‬‬‫‪٢‬‬

‫=‪١‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢*٢* ٤ +‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٦‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺏ‬ ‫‪C‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٥‬‬‫‪١‬‬

‫ﺟـ‬

‫‪٤‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٥‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪+‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٦‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ ٠‬ﻝ ‪-‬ﻡ‬

‫ ﻝ ‪ - ٠‬ﻥ ﺑﺈﺑﺪﺍﻝ ﺍﻟﺼﻔﻮﻑ ﻭﺍﻷﻋﻤﺪﺓ‬‫ﻡ ﻥ ‪٠‬‬

‫‪١- * ١- * ١- = 9‬‬

‫‪-=9‬‬

‫ﺱ‬

‫‪ + ١‬ﺱ‪٢‬‬

‫ﺱﺹ‬

‫‪ ٠‬ﺱ ﺹ‪ + ١‬ﺹ‪٢‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬

‫‪ C‬ﺟـ ﻣﻦ ﻉ‪ C ، ٢‬ﺏ ﻣﻦ ﻉ‪٣‬‬

‫ﺟـ‬ ‫ﺏ‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١‬‬

‫ﺱ‬

‫ﺹ‬

‫‪٠‬‬ ‫ﻝ‬‫ﻡ‬

‫` ‪ = 9٢‬ﺻﻔﺮ‬

‫ﻝ‬ ‫‪٠‬‬ ‫ﻥ‬

‫‪- ٠‬ﻝ ‪٢‬‬ ‫ﻝ ‪ ٠‬ﻥ‬ ‫ﻡ ‪-‬ﻥ ‪٠‬‬‫ﻡ‬‫ﻥ‬‫‪٠‬‬

‫ﺑﺈﺑﺪﺍﻝ ﺍﻟﺼﻔﻮﻑ ﻭﺍﻷﻋﻤﺪﺓ‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٥‬‬‫‪١‬‬

‫‪٥‬‬‫‪١‬‬‫‪٧-‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪+‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٦‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٢‬‬

‫=‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٢‬‬

‫= ﺻﻔﺮ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﻉ‪ ،٢‬ﻉ‪٣‬‬

‫=‪9-‬‬

‫` ‪ = 9‬ﺻﻔﺮ‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪59‬‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬

‫‪2-3‬‬

‫‪ôüĿîüĿí óĊăŎĿí‬‬

‫‪äÉaƒØ°üªdG‬‬

‫‪äÉ``aƒØ``°ü```ªdG‬‬ ‫‪Matrices‬‬

‫‪2-3‬‬

‫‪ŻŐǭǨŝ‬‬

‫‪Matrices‬‬

‫ ‪ 2f ar." wV NsBsf 2> kOb lf Nsg#f wo VsW?gb i \ 6 gzV V2O‬‬ ‫‪Ur2'b .& pb 4f2yr (ƅƅ) 1s?b wcN lz6s[ F 'f - -¹ sgN i Ů ¹W> e‬‬ ‫ ‪i * e 1s?b wcN VsW?gb hKj _yr z #pb‬‬

‫‪Name of Lesson‬‬

‫ ‪ ƅƅ VsW?gb‬‬

‫ﺧﻠﻔﻴﺔ‪:‬‬

‫‪Ł- ł‬‬ ‫‪l‬‬ ‫= ‪ŀ ń‬‬

‫‪b‬‬

‫‪Ł * Ł hKkb wcN O 2f VsW?f‬‬

‫‪ń‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ł‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪Ņ‬‬

‫^‪f ŀ- Ń Ŀ p = VsW?gb `b0‬‬

‫ﺳﺒﻖ ﻭﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻭﻫﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻭﺍﻟﻄﺮﺡ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻭﺗﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺔ‬ ‫‪ ٢ * ٢‬ﻭﺳﻮﻑ ﻧﺴﺘﻜﻤﻞ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﻋﺮﺽ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻭﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻟﻤﺮﺍﻓﻘﺔ ﻭﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫‪ ٣ * ٣‬ﻭﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻭﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﺧﻮﺍﺹ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‪.‬‬

‫‪Ŀ Ł- ŀ‬‬ ‫‪l‬‬ ‫ ‪ł Ń ń VsW?gb gkz‬‬

‫‪b‬‬

‫‪ŀ ŀ‬‬‫ =‬ ‫‪9‬‬

‫‪l‬‬

‫‪E‬‬

‫‪ -‬‬

‫‪C ¶" -‬‬

‫ﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫ﻣﻔﺮدات أﺳﺎﺳﻴﺔ‪:‬‬

‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺹ)‪ (٧٩‬ﺇﻟﻰ ﺹ)‪(٨٥‬‬ ‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻻﻧﺘﺮﻧﺖ(‬

‫اﻟﻤﻮاد اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‪:‬‬

‫ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺃﻗﻼﻡ ‪ -‬ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬

‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ ‪ -‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪-‬‬ ‫ﺍﻻﻛﺘﺸﺎﻑ‬ ‫ﻣﻜﺎن اﻟﺘﺪرﻳﺲ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ‬

‫ ‪ B 6 C‬‬ ‫ ‪ 6 D 6 C‬‬ ‫ ‪ C E +D6‬‬ ‫ ‪ D 6 D 6‬‬ ‫ ‪ " 5 F 6‬‬

‫‪ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ‬‬ ‫ ‪ ' 3 4 56‬‬

‫‪Inveres of a Matrix‬‬

‫ ‪ 7 6‬‬ ‫‪Adioient element‬‬

‫‪¿CG ôcòJ‬‬

‫ ‪ 7‬‬

‫ ‪ 5, 3X I 6 V 5,‬‬ ‫ _ ‪ X MJ " #$ Q‬‬ ‫ ‪ " # 3J & R 38 d‬‬ ‫‪ 5"/‬‬

‫‪l = @I‬‬

‫‪Ŀ ŀ‬‬ ‫‪ŀ Ŀ‬‬

‫‪p = 9I‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ŀ‬‬ ‫‪Ŀ‬‬

‫‪b‬‬

‫‪Adjoint matrix‬‬

‫‪ôŃĊĈøĔńĿí õíōĉŗí‬‬ ‫ ‬ ‫‪Scientific Calculator‬‬

‫‪Ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ŀ‬‬

‫‪Ŀ‬‬ ‫‪Ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬

‫‪f‬‬

‫‪b‬‬

‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﳌﺮﺍﻓﻘﻪ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﺍﳌﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﴬىب ﳌﺼﻔﻮﻓﻪ ﻋﲆ ﻧﻈﺎﻡ ‪٣ * ٣‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﳌﺮﺍﻓﻘﻪ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﳌﺮﺑﻌﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻈﻢ ‪٣ * ٣‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻋﲆ ﺧﻮﺍﺹ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺔ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻠﺤﻘﺔ ‪-‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‪ ،‬ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ‪.‬‬

‫ ‪= 01 M. 6‬‬ ‫ ‪ ' 8 4 56‬‬

‫ ‪>? (" @1 MA B 6‬‬ ‫ ‪ (" @1‬‬

‫‪ Đ- Ogb lf e Kj d& {Vr zG+b đys' b wV w[z G d_; VsW?gb e.+ 7 r‬‬ ‫ ‪Mr2V hKOfr _zj _zgb ^ Wc +gb escOb wV .y.N Đ #f wV e.+ 7 g^ zG+b‬‬ ‫ ‪. Đ g &Đ y2Kjr ?&Đ wVr 2 sz g_b .Ogb zj z b es62b r y4zWb‬‬

‫ ‬

‫ ‪ 6 ' 8 4 56‬‬ ‫ < ";‪ 9 * 9 :‬‬

‫ ( ) ‪ / 01( 21‬‬ ‫‪ - .‬‬

‫‪ł * Ł hKkb wcN VsW?f‬‬

‫‪áaƒØ°üª∏d ≈Hô°†dG ¢Sƒμ©ªdG‬‬ ‫‪(."r i ) w 2Cb 5s_Ogb - #y zWz^ 61- i \ 6‬‬ ‫‪:'/ ` a$& Ł * Ł hKkb lf O 2gb VsW?gcb‬‬ ‫‪' P& Ł * Ł hKkb wcN lz O 2f lz VsW?f Ů ' P 1‬‬ ‫‪ VsW?gcb zÊ 2B 6s_Of‬‬ ‫ = = ‪wg7 ' I‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪. t2*ĕb z¹ 2B 6s_Of‬‬ ‫^‪ Ů lf d‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪ŀ‬‬‫‪I = ƅ = ŀ - = '/ 2/‬‬ ‫ ( ! ‬ ‫ ‪ T S I 5, b '/ UV Q‬‬ ‫ ‬ ‫\ ‪H c‬‬

‫ ‪ 7 6‬‬

‫ ‪ - .‬‬

‫‪ł * ł hKkb wcN O 2f VsW?f‬‬

‫‪w 2Cb 5s_Ogb i V b E ¶"C l = i ^ / V‬‬ ‫‪:i V Ŀ ! 9 = -.'f is_y f.kN ¹V2Of is_y C VsW?gcb‬‬

‫أﻫﺪاف اﻟﺪرس‪:‬‬

‫‪łŀĬø÷ ıŎē‬‬

‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫اﻟﺘﻬﻴﺌﺔ‪:‬‬ ‫ ﺍﺳﺘﺮﺟﻊ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﻘﺼﻮﺩ ﺑﺎﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻭﻣﺪﻯ ﺃﻫﻤﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﺤﻴﺎه ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ‪.‬‬ ‫ ﻛﻠﻒ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺈﻋﺪﺍﺩ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ﺍﻷﻛﺴﻞ ﺍﻟﺤﺎﺳﻮﺑﻰ‬ ‫ﻭﻛﻴﻒ ﻧﻨﻈﻤﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻧﺘﺎﺋﺞ‬ ‫ﺗﺴﺎﻋﺪﻧﺎ ﻓﻰ ﺇﺗﺨﺎﺫ ﺍﻟﻘﺮﺍﺭ?‬ ‫إﺟﺮاءات اﻟﺪرس‪:‬‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﻓﻜﺮ ﻧﺎﻗﺶ« ﺹ)‪ (٨٦‬ﻭﺍﺳﺄﻝ ﺍﻟﻄﻼﺏ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻣﺪﻯ ﺍﻻﺳﺘﻔﺎﺩه ﻣﻦ ﻭﺿﻊ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﻓﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ‪.‬‬ ‫ﻭﻛﻴﻒ ﺗﻘﺮﺃ‪.‬‬ ‫ ﺍﺷﺮﺡ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﻪ ﻣﻜﻮﻧﻪ ﻣﻦ )‪ (٣‬ﺻﻒ‪ (٢) ،‬ﻋﻤﻮﺩ‬ ‫ﻭﻟﺬﻟﻚ ﺗﺘﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻈﻢ ‪٢ * ٣‬‬

‫‪60‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪79‬‬

‫املﺼﻔﻮﻓﺎت‬ ‫ ‪ Zy[CȞ x 12+Ȟ : #f #f 2*yf‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪¿CG ôcòJ‬‬

‫‪:lf d_b ."r i w 2Cb 5s_Ogb ."r 1‬‬ ‫‪Ń Ł‬‬ ‫‪l‬‬ ‫أ‬ ‫ = ‪Ņ ł‬‬

‫‪Ń Ł‬‬ ‫ب‬ ‫‪l‬‬ ‫ = ‪ł ŀ‬‬

‫‪b‬‬

‫‪:' e ! 9 ' P 1‬‬ ‫ ‪ \ f ( C 5, a‬‬ ‫ ‪:3Eg P 4‬‬

‫‪b‬‬

‫‪4 ,# 3 \& 4 ) CE Y /‬‬ ‫ ‪S d M 3a$ 4 J‬‬ ‫ ‪HC 5, a‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬ ‫‪Ń Ł‬‬ ‫أ ‪2W> =ŀŁ - ŀŁ = Ņ ł = 9 VsW?gb -.'f ."sj‬‬ ‫` ‪ VsW?gcb w 2B 5s_Of ."sy Đ‬‬ ‫‪Ń Ł‬‬ ‫ب ‪Ł = Ń - Ņ = ł ŀ =9 VsW?gb -.'f ."sj‬‬ ‫‪Ń- ł ŀ ŀ‬‬‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫` ‪Ł ŀ- Ł = 4f2b qb 4f2j r VsW?gcb w 2B 5s_Of ."sy‬‬ ‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫[‪c i Y‬‬ ‫‪3E h1 4 P‬‬ ‫ ‪3a$ 4 J 4 ,#‬‬ ‫ ‪C 5, a Ag M‬‬ ‫_^‪ KE # 5, [ ] Y‬‬ ‫ ‪ Y[W ,Y/W j _1‬‬ ‫‪R−‬‬ ‫‪C 3a$ , # ŀ‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪ň C‬‬ ‫‪l VsW?gb dO# w b C hzZ ."r 1‬‬ ‫‪C Ń‬‬

‫‪.w 2B 5s_Of pb 8zb b‬‬ ‫‪Inveres of a matrix of 3 * 3 systems‬‬

‫‪3 * 3 º¶ædG øe áaƒØ°üª∏d ≈Hô°†dG ¢Sƒμ©ªdG‬‬ ‫>‪5s_Of ."sy qj V 2W‬‬ ‫ ‪¹ tr 7y Đ VsW?gb m0o -.'f i t 2W> ! | | i ^ /‬‬ ‫ ‪Ů I= ŀ- z& Cy‬‬ ‫‪¹ O 2f VsW?f sor ŀ- 4f2b qb 4f2y r VsW?gcb w 2B‬‬ ‫&‪" .&sb VsW?f I" z‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪p = z& VsW?gb j ^ / f -.& 2‬‬ ‫‪.` " (Br ŴĐ e w 2B‬‬

‫‪ł‬‬ ‫‪ŀ‬‬‫‪ŀ‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ŀ‬‬‫‪Ł‬‬ ‫‪Ŀ‬‬

‫‪5s_Of pb f ŀ‬‬ ‫‪ŀ-‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬ ‫‪:w Ē s'kb wcN O 2gb VsW?gb -.'f gzZ q"sj‬‬

‫‪∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG‬‬ ‫• ‪6 5# 5,‬‬ ‫" = ‪ 5, 3X "6‬‬ ‫ ‪f ( T S 3‬‬ ‫\ ‪ 5" = 9 3‬‬ ‫• ‪ k" 6 5# k 5,‬‬ ‫ = ‪ 5, 3X "6‬‬ ‫ ‪3 \ f ( T 3‬‬ ‫‪ 5" ! 9‬‬

‫‪Ł ŀ- ł‬‬ ‫‪Ł ŀ‬‬‫‪ŀ ŀ‬‬‫‪ŀ Ł‬‬ ‫| | = ‪Ŀ ŀ Ł + ŀ- ŀ (ŀ-) - ŀ- Ŀ ł = ŀ Ł ŀ-‬‬ ‫‪ŀ- Ŀ ŀ‬‬

‫= ‪ŀĿ- = Ń - ŀ - Ņ- = (Ł - Ŀ) Ł + (ŀ - ŀ) + (Ŀ - Ł-) ł‬‬ ‫‪Ŀ!|C| a‬‬

‫` ‪?Đ e w 2B 5s_Of VsW?gcb ."sy‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪p = ƅ VsW?gcb do -.& 2‬‬

‫‪Ń‬‬ ‫‪Ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬

‫‪ł‬‬‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪f ŀ‬‬

‫‪80‬‬

‫‪:áaƒØ°üª∏d ≈Hô°†dG ¢Sƒμ©ªdG‬‬ ‫ارﺷﺎدات ﻟﻠﺪراﺳﺔ‪:‬‬

‫ ﻻﺣﻆ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻮﻗﻌﻰ ﻋﻨﺼﺮﻯ ﺍﻟﻘﻄﺮ ﺍﻟﺮﺋﻴﺴﻰ ﻭﺗﻐﻴﻴﺮ ﺇﺷﺎﺭﺗﻰ‬ ‫ﻋﻨﺼﺮﻯ ﺍﻟﻘﻄﺮ ﺍﻵﺧﺮ ﻋﻨﺪ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ‬ ‫ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﻪ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﻜﻮﺳﺎ ﺿﺮﺑ ًﻴﺎ ﻓﻰ‬ ‫ ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻻﻳﻮﺟﺪ ﻟﻬﺎ‬ ‫ً‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺤﺪﺩ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﻪ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺻﻔﺮ‪.‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﻪ ﻣﻦ‬ ‫ﺧﻼﻝ )ﺑﻨﺪ( ﺗﺬﻛﺮ ﺹ)‪.(٨٠‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ إﺿﺎﻓﻰ‬

‫ﺣﺪﺩ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻛﻞ ﺯﻭﺝ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻳﻤﺜﻞ ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ‬ ‫ﻭﻣﻌﻜﻮﺳﻬﺎ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﺃﻡ ﻻ?‬ ‫أ ‪=C‬‬

‫‪٢- ٣‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪١ ١-‬‬

‫‪b‬‬

‫ﺏ=‬

‫‪٢ ١‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪٣ ١‬‬

‫‪b‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‪ :‬ﻧﻌﻢ‪ ،‬ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺿﺮﺑﻰ ﻟﻸﺧﺮ‬

‫‪?w 2B 5s_Of‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪2-3‬‬

‫ب ﻡ=‬

‫‪١- ٣‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪٢- ٤‬‬

‫ﻥ=‬

‫‪٣- ١‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪٤ ٢‬‬

‫ﻣﻌﻜﻮﺳﺎ ﺿﺮﺑ ًﻴﺎ ﻟﻶﺧﺮ‪.‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‪ :‬ﻻ‪ ،‬ﻻ ﺗﻤﺜﻞ ﺃﻯ ﻣﻨﻬﻤﺎ‬ ‫ً‬ ‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ‪ :‬اﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ واﻟﺤﻮار‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻫﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ ﻣﺮﺑﻌﺔ ﻳﻜﻮﻥ‬ ‫ﻛﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻗﻄﺮﻫﺎ ﺍﻟﺮﺋﻴﺲ ‪ ،١‬ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺑﻘﻴﻪ ﺍﻟﻌﻨﺎﺻﺮ‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺃﺻﻔﺎﺭﺍ‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﺇﺟﺎﺑﺔ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﺹ )‪(٨٠‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ a‬ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺿﺮﺑﻰ‬ ‫‪٩ C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C ٤‬‬

‫‪٠! :‬‬

‫` ‪٠ ! ٩ * ٤ - ٢C‬‬ ‫` ‪٦ ! ! ٢C‬‬

‫اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ‪:‬‬

‫ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻣﺎ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻌﻨﻴﻪ ﻋﺪﻡ ﻭﺟﻮﺩ ﻣﻌﻜﻮﺱ‬ ‫ﺿﺮﺑﻰ ﻟﻤﺼﻔﻮﻓﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻼﺕ ﻓﻰ ﻧﻈﺎﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‪.‬‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺒﺤﺚ ﻭﻳﺘﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﺇﻟﻰ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫ﻭﺇﺟﺮﺍﺀﺍﺕ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﺪﻭﻳﻨﻬﺎ ﻓﻰ ﺑﺤﺚ ﻭﺭﻗﻰ ﺃﻭ ﻋﺮﺿﻬﺎ ﻣﻦ‬ ‫ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﺘﻘﺪﻳﻤﻰ ﺃﺛﻨﺎﺀ ﺷﺮﺡ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ‪.‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪61‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪ :‬املﺤﺪدات واملﺼﻔﻮﻓﺎت‬ ‫ ‪ ǙǙZy[ǙǙCǙǙǙȞ‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ‪ :‬اﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ واﻟﺤﻮار‬

‫‪á≤aGôªdG πeGƒ©dG‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﻟﻺﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪p‬‬

‫‬‫‪+‬‬

‫‪٤‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪٥‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٣‬‬‫‪٧‬‬ ‫‪٣‬‬‫‪٥‬‬

‫‪2-3‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٠‬‬

‫‬‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪٥‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٣‬‬‫‪٧‬‬ ‫‪٣‬‬‫‪٥‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٠‬‬

‫‪+‬‬

‫‬‫‪+‬‬

‫‪٤‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٤‬‬

‫ ‪= j ^ /‬‬

‫‪p‬‬

‫‪Adjoimt Factors‬‬

‫‪ŀŀC‬‬

‫‪ŁŀC‬‬

‫‪łŀC‬‬

‫‪ŀŁC‬‬

‫‪ŁŁC‬‬

‫‪łŁC‬‬

‫‪ŀłC‬‬

‫‪ŁłC‬‬

‫‪łłC‬‬

‫‪f‬‬

‫‪:i V ,| | o-.'fr ł * ł hKkb wcN VsW?f‬‬

‫ ‪-sgOb r X?b U0& lf $ kb r M = C 2?kOcb d [gb 2S>Ĕ -.'gb gzZ so M = C 2?kOcb l‬‬ ‫‪:woC VsW?gcb [V 2gb VsW?f is_ `b/ wcN M+ =(ŀ-) wV ¹ r2Cf M = C 2?kOb gpOF [ wV P[y i 0cb r‬‬ ‫‪=e‬‬

‫‪f‬‬

‫‪p‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪łŁC ŁŁC‬‬ ‫)‪ŀ+ŀ(ŀ-‬‬ ‫‪łłC ŁłC‬‬ ‫‪łŀC ŁŀC‬‬ ‫)‪ŀ+Ł(ŀ-‬‬ ‫‪łłC ŁłC‬‬ ‫‪łŀC ŁŀC‬‬ ‫)‪ŀ+ł(ŀ-‬‬ ‫‪łŁC ŁŁC‬‬

‫‪łŀC ŀŁC‬‬ ‫)‪Ł+ŀ(ŀ-‬‬ ‫‪łłC ŀłC‬‬

‫‪ŁŁC ŀŀC‬‬ ‫)‪ł+ŀ(ŀ-‬‬ ‫‪ŁłC łŀC‬‬

‫‪łŁC ŀŀC‬‬ ‫)‪Ł+Ł(ŀ-‬‬ ‫‪łłC ŀłC‬‬

‫‪ŁŀC ŀŀC‬‬ ‫)‪ł+Ł(ŀ-‬‬ ‫‪ŁłC ŀłC‬‬

‫‪łŀC ŀŀC‬‬ ‫)‪Ł+ł(ŀ-‬‬ ‫‪łŁC ŀŁC‬‬

‫‪ŁŀC ŀŀC‬‬ ‫)‪ł+ł(ŀ-‬‬ ‫‪ŁŁC ŀŁC‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ‬‬

‫‪p = VsW?gcb [V 2gb VsW?f ."r 3‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬ ‫‪:wb b s'kb wcN C VsW?gcb [V 2 gb df sOb ."sj‬‬

‫‪3 * 3 ΩÉ¶ædG øe áaƒØ°üª∏d ≈Hô°†dG ¢Sƒμ©ªdG‬‬ ‫ ﺍﺳﺘﺮﺟﻊ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻗﺒﻞ ﺍﻟﺒﺪﺀ ﻓﻰ ﻋﺮﺽ‬ ‫ﻣﻮﺿﻮﻉ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ‪٣ * ٣‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺔ ﻻﻳﻮﺟﺪ ﻟﻬﺎ‬ ‫ﻣﻌﻜﻮﺳﺎ ﺿﺮﺑ ًﻴﺎ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ٠ ! 9‬ﻓﺈﻥ ﺫﻟﻚ ﻳﻨﻄﺒﻖ‬ ‫ً‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ‪٣ * ٣‬‬ ‫ ﺧﻄﻮﺍﺕ ﻣﻌﺮﻓﻪ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ‪ ٣ * ٣‬ﻟﻬﺎ‬ ‫ﻣﻌﻜﻮﺳﺎ ﺿﺮﺑ ًﻴﺎ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫) ﺃ ( ﻧﻮﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ | ‪) | C‬ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎه(‪.‬‬ ‫)ﺏ( ﻧﺤﺴﺐ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﻓﺈﺫﺍ ﻇﻬﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ | ‪٠ ! | C‬‬ ‫ﻣﻌﻜﻮﺳﺎ ﺿﺮﺑ ًﻴﺎ‪.‬‬ ‫ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫ً‬

‫‪Ł ł ŀ+ŀ‬‬ ‫‪(ŀ-) = ŀŀC‬‬

‫‪Ł= Ł Ł‬‬

‫‪Ł ŀ+Ł‬‬ ‫‪(ŀ-) = ŀŁC‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł ŀ+ł‬‬ ‫‪(ŀ-) = ŀłC‬‬ ‫‪ł‬‬

‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪f‬‬

‫‪ł Ł ł+ŀ‬‬ ‫‪(ŀ-) = łŀC‬‬

‫‪Ł Ł Ł+ŀ‬‬ ‫‪(ŀ-) = ŁŀC Ů‬‬

‫‪ŀ= Ł ŀ‬‬

‫‪Ů Ł- = Ł ŀ‬‬

‫‪ŀ Ł+Ł‬‬ ‫= ‪(ŀ-) = ŁŁC Ů Ł‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪ŀ Ł+ł‬‬ ‫= ‪(ŀ-) = ŁłC Ů ń-‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪f‬‬

‫‪ŀ ł+Ł‬‬ ‫‪(ŀ-) = łŁC‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ ł+ł‬‬ ‫‪(ŀ-) = łłC‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪ł‬‬ ‫‪Ů ŀ- = Ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ů Ń= Ł‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫‪Ŀ= Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ- = ł‬‬

‫‪:wb b 1 :Ė ar." P [V 2gb đf Ogb lys_ b 2> kOb -.'gb GN w b 1 :Ė i L&đgb lfr‬‬

‫‪p‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫‪f -‬‬

‫ ‪C VsW?gb wV \V 2gb qcf Of wcN as?'b - 2gb 2?kOb qc 'y t0b i _gb‬‬

‫‪+‬‬

‫‪:wo [V 2gb VsW?f i V `b0b‬‬

‫‪p=e‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ń-‬‬

‫‪Ł‬‬‫‪ŀ‬‬‫‪Ń‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ŀ‬‬ ‫‪ŀ-‬‬

‫ =‪p‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫‪Ŀ‬‬ ‫‪ł‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ņ‬‬

‫‪ł-‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ VsW?gcb [V 2gb VsW?f ."r 3‬‬

‫‪f‬‬

‫‪f ń‬‬ ‫‪ņ‬‬

‫‪á≤ë∏ªdG áaƒØ°üªdG‬‬ ‫ ‪ ['cgb VsW?gb VsW?gb 2> kOb [V 2gb df sOb VsW?f 1r.f - #y lf # kb VsW?gb wg7‬‬ ‫‪df( ) 4f2b pb 4f2y r VsW?gcb‬‬

‫‪Adjoint matrix‬‬

‫) (‪= df‬‬

‫‪p‬‬

‫‪ŀŀC‬‬

‫‪ŁŀC‬‬

‫‪łŀC‬‬

‫‪ŀŁC‬‬

‫‪ŁŁC‬‬

‫‪łŁC‬‬

‫‪ŀłC‬‬

‫‪ŁłC‬‬

‫‪łłC‬‬

‫‪f‬‬

‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫ﻣﻞ‬

‫ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ‪I | C | = C C = C C‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ‪ :‬اﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ واﻟﺤﻮار‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ إﺛﺮاﺋﻴﺔ‪:‬‬

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ‬ ‫ﻟﻺﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬

‫ﻟﻠﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻈﻴﺮ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ‪:‬‬ ‫ﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻟﻴﺴﺖ ﺍﺑﺪﺍﻟﻴﺔ‪ ،‬ﻓﻤﻦ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﻭﺭﻯ ﺍﻟﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻓﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻴﻦ‪.‬‬

‫‪ 3‬ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ‬

‫=‪p‬‬

‫‪٦- ١٥ ٧‬‬ ‫‪١- ٢ ١‬‬ ‫‪٤ ١٠- ٥-‬‬

‫‪f‬‬

‫ﻣﻞ‬

‫=‪p‬‬

‫‪٣ ٠ ٢‬‬ ‫‪١- ٢ ١‬‬‫‪١ ٥ ٠‬‬

‫‪pf‬‬

‫‪٦- ١٥ ٧‬‬ ‫‪١- ٢ ١‬‬ ‫‪٤ ١٠- ٥-‬‬

‫ﻣﻞ‬

‫=‪p‬‬

‫‪٦- ١٥ ٧‬‬ ‫‪١- ٢ ١‬‬ ‫‪٤ ١٠- ٥-‬‬

‫‪p f‬‬

‫|‪|C‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٠‬‬

‫ﻣﻞ‬

‫‪C‬‬

‫‪CC‬‬

‫|‪p =I*|C‬‬

‫‪62‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ إﺿﺎﻓﻰ‪:‬‬

‫‪p=f‬‬

‫‪٣ ٠ ٢‬‬ ‫‪١- ٢ ١‬‬‫‪١ ٥ ٠‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬‫‪١‬‬

‫‪١‬‬‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٠‬‬

‫‪٠ ٠ ١‬‬‫‪٠ ١- ٠‬‬ ‫‪١- ٠ ٠‬‬

‫‪p=f‬‬

‫ﺣﺪﺩ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻛﻞ ﺯﻭﺝ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻳﻤﺜﻞ ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ‬ ‫ﻭﻣﻌﻜﻮﺳﻬﺎ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﺃﻡ ﻻ?‬

‫‪f‬‬

‫‪٠ ٠ ١‬‬‫‪٠ ١- ٠‬‬ ‫‪١- ٠ ٠‬‬

‫= ‪١- = (٥-) ٣ + (٧) ٢‬‬

‫ﻡ= ‪p‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬‫‪١-‬‬

‫ﻣﻊ ﻣﻼﺣﻈﺔ أن‪:‬‬

‫‪f‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪f‬‬

‫ﻉ= ‪l‬‬

‫‪٤- ٢‬‬ ‫‪٢- ١‬‬

‫ﻣﻌﻜﻮﺳﺎ ﺿﺮﺑ ًﻴﺎ ﻟﻶﺧﺮ ﺇﺫﺍ ﻭﺇﺫﺍ‬ ‫ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ ﻡ‪ ،‬ﻉ ﺗﻤﺜﻼﻥ‬ ‫ً‬ ‫ﻓﻘﻂ ﻛﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‪ :‬ﻡ ‪ :‬ﻉ = ‪I‬‬ ‫‪:á≤ë∏ªdG áaƒØ°üªdG‬‬ ‫ﺧﻄﻮات إﻳﺠﺎد اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻤﻠﺤﻘﺔ‪:‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪f ٠‬‬ ‫‪١-‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪b‬‬

‫ ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﺮﺍﻓﻘﺎﺕ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ‪.‬‬

‫‪81‬‬

‫املﺼﻔﻮﻓﺎت‬

2-3

Zy[CȞ x 12+Ȟ : #f #f 2*yf

.‫ ﺗﻜﺘﺐ ﺇﺷﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ‬

.‫ ﻭﻣﻨﻬﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻠﺤﻘﺔ‬ ‫ﻣﻞ‬ ( C ) ‫ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‬

Ŀ Ł ń

Ł ń Ŀ ń Ŀ Ł

ŀĿ Ł Ŀ Ł ŀ-

Ł ŀĿ

ŀ- ŀŀ Ŀ ł Ł ŀ Ŀ ł Ł ŀ- ŀ-

ŀŀ ł ŀ ł ŀ-

Ł ń Ŀ ń Ŀ Ł

ń-

ŀ Ł ŀ-

ņ ŀń Ņ-

ŀń Ł ŀĿ-

ņ ŀ ń-

p = df `

f ŀĿŃ Ņ-

f ŀŃ

VsW?gb 2> kN lf 2?kN d_b [V 2gb df sOb VsW?f is_½ Í j½ ¾ ½ ( [V 2gb df sOb VsW?f) df ['cgb VsW?gb ."sj ¾ ½ ZđOb lf VsW?gcb w 2Cb 5s_Ogb ."sj ŀ

* | | = ŀ-

f ń

١-

ŀł Ń

Ł Ń ŀ

‫` ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺿﺮﺑﻰ‬

2-3

‫ﻣﻞ‬

= C*

Ń ŀ Ł ŀ Ł Ń

ń Ŀ ł Ŀ ł ń

Ń ŀ Ł ŀ Ł Ń -

ń Ŀ ł Ŀ ł ń

ł Ń ŀŃ ŀł

= 5, _

ŀł ń ŁĿ-

" 5, & "

ŀŃ- ŀŁ ŁĿdf ŀf Ł ł- ń p Ņ-ŀ = * |ŀ | = is_zV ŀĿ ň- ŀł

/ _

ŀŃ- ŀŁ ŁĿf Ł ł- ń p = df ŀĿ ň- ŀł ľĄ÷ Ņã Ľōîă

: z Ē VsW?gb d_b w 2Cb 5s_Ogb ."r 4 Ŀ Ŀ ń

ł ł- Ł

ŀŁ ł

f Ł- Ł ņ p = ƅƅƅƅ f Ń

Ŀ ŀ Ł

p = ƅƅ."r i

:áaƒØ°üªdG ¢Sƒμ©e ¢UGƒN ¢†©H :i V lz -2Wkf 2zR i VsW?f Ů j ^ /

Some properties of inverse of a matrix

ŀ- ŀ- = ŀ-( )

= ŀ-(ŀ- )

Y & f ( = f ( & W

ŀ-( .f ) = .f(ŀ- )

YQ f ( = f ( Q W

ŀ-( Ł ) = Ł(ŀ- )

I = ŀ-(I)

¿CG ôcòJ :6 5# 5, 5" = X :6 5# k 5, 5" ! X

١-

|C|

f ň- ł- ŀŁ p =

=|C|

= | |

YC 5, = C 5, f ( f ( W

Y6 V 5, = 6 V O 5, f ( W

= C

‫ﻣﺜﺎل‬ ŀ Ł

ŀ- ł

: zb b = s+b \['V b ń ŀ- l = Ů b Ł ŀ l = : j ^ / 6

١ ١-

ł Ń ŀŃ ŀł

ŀĿ Ł ŀŃ-

١- ‫ ﺻﻔﺮ‬٤ f ٢- ٢- ١١ p ‫ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻟﻤﺮﺍﻓﻘﺔ‬ ١ ١ ٦٦- ١١ ٤ f ١ ٢- ٠ p = ‫ﻣﻞ‬C ١ ٢- ١-

Ł Ń ŀ

ǙǙZy[ǙǙCǙǙǙȞ

C ‫ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬:‫ﺛﺎﻧﻴًﺎ‬ ١ ١- ٠ ٤ ٢ ١ ٨ ٣ ٢

ŀł Ń

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

‫|ﺏ| = ﺻﻔﺮ‬

١- = (٤ - ٣) ١ + (٨ - ٨) ١ + =

ł ń Ŀ

Ņ- = łň + ń - ŃĿ- = (ł - ŀŅ) ł + (ń - Ŀ) ŀ + (ŁĿ - Ŀ) Ł =

ً ‫ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺏ‬:‫أوﻻ‬

‫ﻣﺜﺎل‬

p = VsW?gcb w 2Cb 5s_Ogb ."r 5

ľĄĿí "2 A1" )&* +, " #$ ! / 5, _

= ‫ﺃ‬

C , ‫ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻜﻞ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﻴﻦ ﺏ‬

ľĄĿí VsW?gcb [V 2gb VsW?f ."sj

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﺇﻟﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ‬ .‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬

٤ ٠ ١-

VsW?gcb ['cgb VsW?gb ."r 4

Finding invers of asquare matrix 3*3 º¶ædG øe á©HôªdG áaƒØ°üªdG ¢Sƒμ©e OÉéjEG P j i l_ggb lf [V 2gb df sOb VsW?f e .+ 6 ł*ł hKkb wcN w b VsW?gb w 2Cb 5s_Ogb - #yĖ : zb b sG+b ¾ ½ 2W> ! | | K&đf Pf VsW?gb -.'f ."sj

(‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬

١١ ٢٢-

p = df( ) is_ \ 7b a gb wWV

٦١ ١

Ł Łŀ

ŴL&đ / f Ů :lf d^ gzZ ."r \ 7b a gb lf ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ

‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﻣﻞ‬ ١ ١‫ﺃ = *ﺃ‬ |‫|ﺃ‬ ‫ ﺍﺳﺘﺮﺟﻊ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ‬ ‫ﺏ‬- E l ١ C ‫ﺟـ‬- 9

Ł ŀĿ

‫ﻣﺜﺎل‬ ł

f ŀ-

3 * 3 º¶ædG øe á©HôªdG áaƒØ°üªdG ¢Sƒμ©e OÉéjEG .‫ ﺍﺳﺘﺮﺟﻊ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺤﺪﺩ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ٠ ! ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺃﻥ ﻣﺤﺪﺩ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫ ﺗﺄﻛﺪ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﺳﺘﻴﻌﺎﺑﻬﻢ ﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ‬ .‫ﺍﻟﻤﺮﺍﻓﻘﺔ‬ ‫ ﺗﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﺃﻥ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﺳﺘﻮﻋﺒﻮﺍ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻠﺤﻘﺔ‬ .‫ (ﻣﻞ ﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻟﻤﺮﺍﻓﻘﺔ‬C )

ńŃ ŀ-

٦ ١١-

١١٢ ٢

٤٠ ١

ŀ- Ƅŀ- = ŀ-( ) :.&/

= ŀ-(ŀ- ) : 0

‫ اﻟﺠﱪ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

ŀ = (ŀ-) ŀ - ń * Ł = | |

ŀ- ń ŀ l Ł ŀ ŀŀ =

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

ŀ-

ľĄĿí ņ = (ŀ-) - Ł * ł = | | b

ŀ Ł ŀ ŀl ł ŀ- ņ =

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪ :‬املﺤﺪدات واملﺼﻔﻮﻓﺎت‬ ‫ ‪ Zy[CȞ x 12+Ȟ : #f #f 2*yf‬‬

‫‪á©FÉ°T AÉ£NCG‬‬ ‫ﻗﺪ ﻳﺨﻄﻰﺀ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺔ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻈﻢ ‪ ٣ * ٣‬ﻭﺫﻟﻚ ﻟﺨﻄﺄه ﺃﺛﻨﺎﺀ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻟﻤﺮﺍﻓﻘﺔ‬ ‫ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻠﺤﻘﺔ‪ ،‬ﻓﻴﺠﺐ ﺍﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺃﺛﻨﺎﺀ ﺍﻟﺤﻞ ﺃﻥ‬ ‫ﻳﺮﺍﺟﻌﻮ ﻛﻞ ﺧﻄﻮﺓ ﻟﻠﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﺴﺎﺑﺎﺕ ﻷﻥ ﺍﻟﺨﻄﺄ ﻓﻰ ﺃﻯ ﺧﻄﻮه‬ ‫ﻳﺆﺛﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻠﻴﻬﺎ‪.‬‬

‫ ‬ ‫‪:.&/‬‬

‫‪: 0‬‬ ‫‪ŀ Ł‬‬ ‫‪ŀ Ł‬‬ ‫‪ŀ‬‬‫= ‪ņ ņ p = b ł ŀ- l ŀņ‬‬ ‫ ‬ ‫‪ł ŀ‬‬‫‪ņ Ł‬‬ ‫` | ‪ŀ * ŀ + ł * Ł = |ŀ-‬‬ ‫‪ņ ņ ņ ņ‬‬

‫‪Ł- ņ‬‬ ‫‪ŀ Ł ŀ- ł‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫‪lb‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫= ‪ŀŀ Ŀ = ń ŀ- Ł ŀ‬‬

‫ ‬

‫` ) ( = ‪ņņ‬‬ ‫‪Ł ŀŀ ŀ ŀ‬‬‫‪l‬‬ ‫` ) ( = ‪ņ Ŀ ņņ‬‬

‫‪b‬‬

‫‪YRW‬‬

‫‪ŀ Ł ŀ ŀ- ń ŀ‬‬ ‫‪ŀ- ŀ‬‬‫‪l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ł ŀ- ņ * Ł ŀ ŀŀ = Ƅ‬‬ ‫‪Ł ŀŀ ŀ‬‬ ‫‪l‬‬ ‫= ‪ņ Ŀ ņņ‬‬

‫‪b‬‬

‫‪f‬‬

‫= ‪ŀ= ŀ + Ņ‬‬ ‫‪ņ Ńň Ńň‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪ł‬‬ ‫= ‪ņpņ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪ņ‬‬

‫` ) ‪ŀ-(ŀ-‬‬

‫‪Y@W‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪ŀ ł‬‬ ‫‪C = b Ł ŀ l =f ņ‬‬‫‪Ł‬‬ ‫‪ņ‬‬

‫‪ = ŀ-(ŀ- ) '/ 2/‬‬

‫ ‪ŀ- ŀ- = ŀ-( ) `ƅƅƅY@W , YRW 4‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪: z Ē = s+b lf \[' \ 7b a gb wV 5‬‬

‫ﺑﻨﺪ ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ ص )‪(٩٠‬‬

‫‪ŀ-(.f ) = .f(ŀ- ) :.&/‬‬ ‫ ‬

‫‪ŀ-(Ł ) = Ł(ŀ- ) : 0‬‬

‫ ‬

‫ﻳﻬﺪﻑ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫ﻣﻞ‬

‫‪C‬‬

‫ﻣﻞ‬

‫‪CC=C‬‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ )‪(٢ - ١‬‬

‫=|‪I|C‬‬

‫‪k G‬‬ ‫‪:á«JB’G äÉHÉLE’G ø«H øe áë«ë°üdG áHÉLE’G ôàNG :’hC‬‬

‫ﺣﻞ اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ‪:‬‬ ‫ﻣﻞ‬

‫=‪p‬‬

‫‪C‬‬

‫ﻣﻞ‬

‫‪CC‬‬

‫ﻣﻞ‬

‫‪C‬‬

‫|‪|C‬‬

‫‪٧‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٥-‬‬

‫‪١٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١٠-‬‬

‫‪f‬‬

‫=‪p‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٠‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬‫‪١‬‬

‫‪p f‬‬

‫=‪p‬‬

‫‪١‬‬‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٠‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١-‬‬

‫‪f‬‬

‫=‪p‬‬

‫‪٧‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٥-‬‬

‫‪١٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١٠-‬‬

‫‪٦‬‬‫‪١‬‬‫‪٤‬‬

‫‪p f‬‬

‫=‪p‬‬

‫‪١‬‬‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٠‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١-‬‬

‫‪f‬‬

‫=‪p‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٠‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬‫‪١‬‬

‫‪=f‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٠‬‬

‫‪١‬‬‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬

‫ﻣﻞ‬

‫ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ‪C C = C C‬‬

‫‪64‬‬

‫‪ŀ5‬‬ ‫‪:wo -2Wkf b Ł Ń- l VsW?gb dO# w b 5 gzZ 2‬‬ ‫ب ‪ŀ-‬‬ ‫أ ‪Ł-‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫ﺟ ‪ŀ-‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪Ń- Ņ‬‬

‫‪ŀ Ł‬‬ ‫أ ‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ŀ ŀ-‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١-‬‬

‫د ‪Ń Ł‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪Ņ ł-‬‬

‫‪b‬‬

‫د ‪Ł‬‬

‫‪: VsW?gb .N f w 2B 5s_Of pb z Ē VsW?gb Pzg" 3‬‬

‫‪٧‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٥-‬‬

‫‪١٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١٠-‬‬

‫‪٦‬‬‫‪١‬‬‫‪٤‬‬

‫ﺟ ‪ł- Ł‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪Ņ Ń-‬‬

‫ب ‪Ń Ŀ‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ł- ŀ‬‬

‫‪:tr 7 ŀ-( ) i V -2Wkf 2zR VsW?f j ^ / 4‬‬ ‫ب ‪ŀ- ŀ-‬‬ ‫أ ‪ -‬‬

‫ﺟ‬

‫د ‪ŀ ŀ‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ł Ł‬‬

‫د‬

‫ ‪ŀ- ŀ-‬‬

‫) (‪ŀ-‬‬

‫‪f‬‬ ‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪84‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٠‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬‫‪١‬‬

‫‪f‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ً‬ ‫أوﻻ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪ ١‬ﻣﺪ‬‫)ﺃ ( =‬ ‫‪١‬‬‫‪٧‬‬ ‫)ﺃ ﻣﺪ( = ‪b ١ ٣ l‬‬ ‫‪٢ ١-‬‬

‫‪f‬‬

‫=|‪I |C‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪١‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪p‬‬

‫ﻣﺪ ‪١-‬‬

‫)ﺃ ( =‬

‫= ‪١- = (٥-) ٣ + (٧) ٢‬‬

‫ﻣﻞ‬

‫ﺟ ‪ł Ł‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪ń Ń‬‬

‫‪Ņ ń‬‬

‫‪٦‬‬‫‪١‬‬‫‪٤‬‬

‫|‪p =I*|C‬‬

‫‪:wo zb b VsW?gb lz lf -2Wkgb VsW?gb 1‬‬ ‫ب ‪Ł- ł‬‬ ‫‪Ń ł‬‬ ‫‪l‬‬ ‫أ ‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬

‫ﺛﺎﻧﻴًﺎ‪:‬‬ ‫‪٢ ١-‬‬

‫)ﺃ ( =‬ ‫ﺃ‪l = ٢‬‬ ‫‪١ ٢‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪١- ٣‬‬ ‫‪٢ ١‬‬

‫) ﺃ (‪= -‬‬

‫‪l‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪p= f‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪=f‬‬

‫‪l‬‬

‫‪١‬‬‫‪)= b ٣‬ﺃ (‬

‫‪ ١-‬ﻣﺪ‬

‫‪١ ٢‬‬ ‫‪٣ ١-‬‬

‫‪l b‬‬

‫ﻣﺪ‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪١‬‬‫‪٧‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪١- ٢‬‬ ‫‪٣ ١‬‬

‫‪b‬‬

‫‪١- ٣‬‬ ‫‪٢ ١‬‬

‫‪٥ ٣‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l ١‬‬ ‫‪٨ ٥- ٤٩‬‬

‫‪١‬‬ ‫* ‪٧‬‬

‫‪l‬‬

‫‪l=b‬‬

‫‪١ ٢‬‬ ‫‪٣ ١-‬‬

‫‪=b‬‬

‫‪٥- ٨‬‬ ‫‪٣ ٥‬‬

‫‪b‬‬

‫= ) ﺃ ‪٢ (١ -‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٤٩‬‬

‫‪l‬‬

‫‪٥ ٣‬‬ ‫‪٨ ٥-‬‬

‫‪b‬‬

‫املﺼﻔﻮﻓﺎت‬

2-3

ǙǙZy[ǙǙCǙǙǙȞ

:á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :Ék«fÉK

٠ ٠ ١

٠ ١ ٠

١ ٠ ٠

٠ ٠ ٣

p ٢٧ = ١ - f

٠ ٣ ٠

٣ ٠ ٠

: -2Wkf z Ē VsW?gb lf đ^ Ê dO# w b 5 gzZ ."r 5

‫ﻫ‬

f ń ŀ

١ |‫|ﺃ‬

٠ ٠ ١

=١- f

٠ ٠ ١

٠ ١ ٠

١ ٣ ٥-

١ ٣٥

ŀ-

f ŀ + 5 5ł 5Ł p ‫ب‬

ł-5

Ł+5

p ‫أ‬

: z Ē VsW?gb lf d_b w 2Cb 5s_Ogb ."r 6 f

‫ﻣﻞ‬

Ł Ń+5 Ń ł p ‫ﺟ‬ ŀ-5 ņ

iŁ J i Z

p ‫د‬

i Z ŀ ł Ł ŀ f ŀ ł Ł p ‫ح‬ Ł ŀ ł

‫ز‬

i "- i " i " Ŀ f Ŀ ŀ

p ‫ﺟ‬

i " Ŀ ŀ ŀ ł p ‫ز‬ Ŀ ń-

Ŀ ł ‫ب‬ l ł Ŀ

ń Ń l ‫أ‬ ł Ł

Ŀ ł ŀ Ŀ Ŀ ł f Ŀ ŀ Ŀ p ‫و‬ f Ŀ ł Ŀ p ‫ﻫ‬ ŀ Ŀ Ŀ ł Ŀ Ŀ ŀ- ŀ- = ŀ-( ) i \['V b ń ł l = Ů b ŀ- ŀ l = i ^ / 7 Ł ŀ Ŀ Ł .f(ŀ- ) = ŀ-(.f ) :i \['V

p ١=

ł Ł ŀ

f ŀ- Ł- Ŀ p = i ^ / 8 ł- Ŀ Ŀ

Ł(ŀ- ) = ŀ-(Ł ) :i \['V

Ŀ Ń ł-

f ń ŀ- Ł p = i ^ / 9 Ł- Ŀ ŀ

Ł ł

= I Ň - ņ - Ł i V b Ń ŀĿ l = i ^ / :ȈưĝŻśĞ ƄŐǔƽŝ 10

١-

f b ٥ ٣ l b ١- ٤ l p = ١-(‫ ﺏ‬C) ٢ ١

C VsW?gcb w 2Cb 5s_Ogb - #y wV `b/ e.+ 6 h

‫ اﻷﻳﻤﻦ‬7

٣- ١٠ ١ l ٢ ٦- ٢

٠ ٢

= ١- b ٣ ٢ l = ١٠ ٦ ‫اﻷﻳﺴﺮ‬

١- ١١ ٠ ١ ٥- ٢ b l ٢ * b l= C ‫ﺏ‬ ١ ٢٣ ١-

٣- ١٠ ١ l ٢ ٦- ٢ ١- ١-

٠- ٠ ٦ ٠ ٣- ٦ ٢- ١ ٤

١ ٢

= ١- f

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

= ١-

‫ ﺏ( = ﺏ‬C)

٠- ٠ ١ ٠ ٢- ٢ ٣- ١- ٣

(٢ - ١) ‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ‬

‫ﺍﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬ ١- ‫ﻣﺪ‬ p = ( C) 8

‫ د‬4

‫ﺟ‬

b b

٢ ٤- ١ l ٣- ١٠ ٢

١-

= C`

٧ ٧ l ٧ ٠

١-

٣ ‫ﺱ‬٢ ٤

f ١ + ‫ﺱ ﺱ‬٣ ٤

١=‫`ﺱ‬

-b ٢ ٣ l=

p ‫ب ﻗﻴﻢ ﺱ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻞ‬

‫= ﺻﻔﺮ‬

٤ ١٠ ٢ ٤- ١b l = C٨ ٣- ١٠

٥- ٣ ١ l ٤ ٢- ٢

‫ اﻟﺠﱪ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

١-

١+‫ﺱ‬

‫ﺱ‬٣

‫ﺱ‬٢

٥ ٤

= b ٣ ٢ l ‫ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟـ‬6

i ‫ ﺟﺘﺎ‬i ‫ﺟﺎ‬ i ‫ ﺟﺎ‬i ‫ ﺟﺘﺎ‬-

٢+‫ﺱ‬

‫ﺑﻮﺿﻊ‬

= I ٨ - C٧ - ٢C = ١-C٨ - I ٧ - C

I ٧ - C = ١-C٨

٣-‫ﺱ‬

٢ ٠ ٨٠ ١٤- ٢١١٤ ٤٩ l+b l+ b l= C ٨٠ ٠ ٢٨- ٧٠٣٦ ٧٠ =b ٠ ٠ l= ٠ ٠

١-C = (C٨ - C٧ - ٢‫ )ﻡ‬١-C

1 5

‫ ﺗﻔﻜﻴﺮ إﺑﺪاﻋﻰ‬10 ٢ ٣

‫ب‬ ‫أ‬

‫= ﺻﻔﺮ‬ ٢ I ٨ - C٧ - C :‫ ﻓﺎﺛﺒﺖ ﺃﻥ‬b ٤ ١٠ l = C

‫أ‬

p ١ = ١ - i ‫ ﺟﺘﺎ‬- i ‫ﺟﺎ‬ p f i ‫ ﺟﺎ‬i ‫ﺟﺘﺎ‬

‫ﺟ‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬

‫‪3-3‬‬

‫‪ΩGóîà°SÉH á«£îdG ä’OÉ©ªdG πM‬‬ ‫‪áaƒØ°üª∏d ≈Hô°†dG ¢Sƒμ©ªdG‬‬

‫‪Solving Linear Equations Matrix Inverse‬‬

‫‪ôüĿîüĿí óĊăŎĿí‬‬

‫‪¢Sƒμ©ªdG ΩGóîà°SÉH á«£îdG ä’OÉ©ªdG πM‬‬ ‫‪áaƒØ°üª∏d ≈Hô°†dG‬‬

‫‪3-3‬‬

‫‪Solving Linear Equations Using Matrix Inverse‬‬

‫‪łŀĬø÷ ıŎē‬‬

‫ﻓﻜﺮ ‪ ō‬ﻧﺎﻗﺶ‪Name of Lesson‬‬

‫ ‪ MA B 6 ;"G‬‬ ‫ ‪ 6 H I = 01‬‬ ‫ ‪ 6 JF 6 K L‬‬ ‫‪ M.‬‬

‫‪¹‬‬ ‫&‪: z Ē zG+b Đ- Ogb d& - #yĖ Wc +f y2 " Đsc‬‬ ‫‪ f.+ 6 i \ 6‬‬ ‫‪ń = = - 5łƅƅŮƅƅņ = =ł + 5Ł‬‬

‫ ‪NK I P B 6 " 5 F‬‬ ‫ ‪ 6‬‬

‫‪m0o d& - #y r VsW?gb b- Of 1s> wcN [ 7b Đ- Ogb dz g `k_gy dpV‬‬ ‫ ‪? Đ- Ogb‬‬

‫ ‪ C MF‬‬

‫ﺧﻠﻔﻴﺔ‪:‬‬

‫‪I. 4 a P U# 5, E‬‬ ‫ ‪I. U‬‬

‫ﺳﺒﻖ ﻭﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﺠﺒﺮﻯ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﻭﻛﺬﻟﻚ‬ ‫ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺔ ‪ ٢ * ٢‬ﻭﻛﺬﻟﻚ ‪ ٣ * ٣‬ﻭﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻴﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻭﺳﻮﻑ ﻧﺴﺘﻜﻤﻞ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻭﻓﻴﻬﺎ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺣﻞ ﻟﻬﺬه ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‪.‬‬

‫‪ņ = =ł + 5Ł‬‬ ‫‪ń = = - 5ł‬‬

‫‪ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ‬‬ ‫ ‪ 6‬‬ ‫ ‪ C‬‬

‫‪Rank of a matrix‬‬

‫ ‪ (" @1 6‬‬ ‫‪Homogenuous equation‬‬

‫ ‪ (" @1 >? 6‬‬ ‫‪Non Homgenuous equation‬‬

‫ ‪ 6‬‬ ‫‪Augmented Matrix‬‬

‫ ‪ M. B 6‬‬

‫‪Linear Equations‬‬

‫ ‪ C‬‬

‫‪Rank of a matrix‬‬

‫‪Co factor matrix‬‬

‫‪ly -.&r Ů VsW?gb b- Of e Kjr y2 #b q 1s> wV Đ- Ogb e Kj lz i1 Z Q‬‬ ‫ ‪. s b VsW?fr Ů 2zS gb VsW?f Ů= Ů5 đf Of VsW?f ."s‬‬ ‫ ‪C I 5,‬‬ ‫‪ł Ł‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ŀ- ł‬‬

‫ ‪f I i 5,‬‬ ‫*‬

‫‪5‬‬ ‫‪b l‬‬ ‫=‬

‫ ‪[ ` 5,‬‬

‫=‬

‫‪ņ‬‬ ‫‪b l‬‬ ‫‪ń‬‬

‫‪ = 5 C : 1s?b b- Of wV VsW?f d^ ^ l_gy `b0b‬‬ ‫‪ł Ł‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪? b l b ŀ- ł l lz VsW?gb 2B $ j - #y `k_gy do Q‬‬ ‫=‬ ‫‪?L&đ / f - zj b UsW> -.Nr wbrĔ .gN -.N lz i1 Z Q‬‬

‫‪ ‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺧﻄﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﴬىب ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﳛﻮﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺔ ﺇﱃ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻄﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻭﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﻏﲑ ﺍﳌﺘﺠﺎﻧﺴﺔ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﺮﺗﺒﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ ﺍﳌﻌﺎﻣﻼﺕ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﺮﺗﺒﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ ﺍﳌﻌﺎﻣﻼﺕ ﺍﳌﻮﺳﻌﺔ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺘﻘﻨﻴﺎﺕ ﺍﳊﺪﻳﺜﺔ ﰱ ﺗﺴﻬﻴﻞ ﺇﺟﺮﺍﺀﺍﺕ ﺍﳊﻞ‪.‬‬

‫‪ņ‬‬ ‫‪b l tr 7y i #y qzcN c?& t0b 2Cb $ j Q‬‬ ‫‪ń‬‬

‫‪ b- Of d'b \ 7b 51.b wV VsW?gb 5s_Of e .+ 6 `k_gy do Q‬‬ ‫ ‪? VsW?gb‬‬

‫‪86‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﻣﻔﺮدات أﺳﺎﺳﻴﺔ‪:‬‬

‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻄﻴﺔ ‪ -‬ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ‪ -‬ﻣﺮﺗﺒﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻼﺕ ‪-‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻏﻴﺮ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴﺔ‬

‫اﻟﻤﻮاد اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬

‫ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺃﻗﻼﻡ ‪ -‬ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ‬

‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻭﺍﻟﺤﻮﺍﺭ ‪-‬‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪ -‬ﺍﻻﻛﺘﺸﺎﻑ‬

‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺹ)‪ (٨٦‬ﺇﻟﻰ ﺹ)‪(١٠٢‬‬ ‫اﻟﺘﻬﻴﺌﺔ‪:‬‬ ‫ ﺍﺳﺘﺮﺟﻊ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ ﺹ‪ ٨٦‬ﻋﻦ‬ ‫ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺮﺍﺕ ﺱ‪ ،‬ﺹ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﺠﺒﺮﻯ‪.‬‬ ‫إﺟﺮاءات اﻟﺪرس‪:‬‬ ‫ ﺍﻧﺘﻘﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﺠﺒﺮﻯ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻓﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‪ .‬ﻋﻦ‬ ‫ﻃﺮﻳﻖ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ‪.‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﻛﻴﻔﻴﻪ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﻴﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫ﻛﻤﺎ ﺗﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ‪C‬ﺱ = ﺝ‬

‫ﻣﻜﺎن اﻟﺘﺪرﻳﺲ‬

‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫ﺱ‬ ‫‪٢ ٤‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫ﺹ‬ ‫‪٣- ١٠‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ‬

‫‪b‬‬

‫=‬

‫‪٧‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪٥‬‬

‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ‪C‬ﺱ = ﺝ‬

‫‪66‬‬

‫‪ņ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ł Ł‬‬ ‫‪l b lb‬‬ ‫‪l‬‬ ‫= = ‪ń‬‬ ‫‪ŀ- ł‬‬

‫‪b‬‬

‫‪Equation of a matrix‬‬

‫ ‪ D 6‬‬

‫أﻫﺪاف اﻟﺪرس‪:‬‬

‫ ‪ 5,‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪b‬‬

‫ﺣﻞ املﻌﺎدﻻت اﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام املﻌﻜﻮس اﻟﴬﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫‪3-3‬‬

‫*‪ Zy[Clgf } ȏf 9ycSȞ i 2/ : K/f Ȗ1 SȞ h‬‬

‫‪á«£îdG ä’OÉ©ªdG áª¶fCG‬‬ ‫‪e .+ 6 .z&r d& pb w b r 2zS gb lf «i» wcN ts ' w b zG+b Đ- Ogb lf «i» -.N d& l_gy‬‬ ‫‪ł = i r Ł = i is_ f.kN VsW?gb 2B‬‬ ‫‪:so Đ- Ogb e Kj i 1 N r‬‬

‫‪Systems of linear Equations‬‬

‫‪M ŀ ¶" + = ŀ + 5 ŀC‬‬

‫= ‪ŀE‬‬

‫‪M Ł¶" + = Ł + 5 ŁC‬‬

‫= ‪ŁE‬‬

‫‪M ł¶" + = ł + 5 łC‬‬

‫= ‪łE‬‬

‫‪ŀ-‬‬

‫ ] [ ‪R− 3 3 I‬‬

‫‪ŀ-‬‬

‫‪Q K " A‬‬

‫) * ‪ * ŀ- = M * (C‬‬

‫*' ‪ ,#$ I‬‬

‫= ‪ ŀ-‬‬ ‫= ‪ ŀ-‬‬

‫‪M*I‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪ VsW?f wV đf Ogb VsW?gb w 2Cb 5s_Ogb 2B d> & so = MC VsW?gb b- Of d& :'/ mV.‬‬ ‫ ‪. s b‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪ VsW?gcb w 2Cb 5s_Ogb e .+ 6 Ŀ = Mņ-= Ů ŀń = MŁ + 5 Ů Ŀ== + 5Ń : z Ē Đ- Ogb d& 1‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬ ‫‪G V n = M / 5, D (E‬‬

‫ =‪p‬‬

‫‪Ŀ ŀ Ń‬‬

‫‪MƅŮƄ f Ł Ŀ ŀ‬‬

‫‪ņ- ŀ Ŀ‬‬

‫‪5‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪M‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫= ‪f ŀń p = !ƅŮƄ f = p‬‬

‫‪Ŀ ŀ Ń‬‬

‫‪p‬‬

‫ﺟﻬﺎﺯﺍ ﺍﺳﺘﺄﺟﺮﺕ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻧﻮﻉ?‬ ‫ﻓﻜﻢ‬ ‫ً‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬

‫ ﻛﻠﻒ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺘﺮﺟﻤﻪ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺟﺒﺮﻳﺔ‬ ‫ﻭﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﻴﻪ‪.‬‬ ‫اﺟﺎﺑﺔ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‪:‬‬

‫‪ŀ- = (ņ-)ŀ- (Ł-)Ń = Ł Ŀ ŀ = 9 = -.'f‬‬ ‫‪ņ- ŀ Ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ł ŀ‬‬ ‫‪Ł Ŀ‬‬ ‫‪Ŀ‬‬ ‫‪ņ- Ŀ - ņ- ŀ‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ŀ Ń‬‬ ‫‪Ŀ ŀ‬‬ ‫‪Ŀ - ņ- Ŀ‬‬ ‫‪ņ- ŀ - = [V 2gb df sOb VsW?f‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ŀ Ń‬‬ ‫‪Ŀ ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ł ŀ - Ł Ŀ‬‬ ‫‪Ł ņ Ł‬‬‫‪ŀ ņ Ł‬‬‫= ‪f Ń- ŁŇ- ņ p‬‬ ‫ ‪Ň- ŁŇ- ņ p = df‬‬ ‫‪ŀ- Ń- ŀ‬‬ ‫‪ŀ- Ň- Ł‬‬

‫ ﻛﻠﻒ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺈﺟﺮﺍﺀ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﻴﺔ‬

‫‪o‬‬ ‫ _ ( ‪ 5, ! 5, a 3 ] f‬‬

‫‪Ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ŀ‬‬

‫ﻧﺸﺎط‬

‫ﺗﺨﻄﻂ ﺍﺩﺍﺭﺓ ﺍﻟﻤﺪﺭﺳﺔ ﻻﻗﺎﻣﺔ ﻳﻮﻡ ﻣﻔﺘﻮﺡ ﻟﻄﻼﺏ ﻣﺮﺣﻠﺔ ﺩﺭﺍﺳﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺗﻜﻠﻔﺔ ﺗﺄﺟﻴﺮ ﺁﻟﺔ ﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﺒﻄﺎﻃﺲ )‪ (٦٠‬ﺟﻨﻴ ًﻬﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﻴﻮﻡ‪،‬‬ ‫ﻭﺗﻜﻠﻔﺔ ﺗﺄﺟﻴﺮ ﺁﻟﺔ ﺍﻟﺤﻠﻮﻯ )‪ (٧٠‬ﺟﻨﻴ ًﻬﺎ‪ ،‬ﻭﺩﻓﻌﺖ ﺍﻻﺩﺍﺭﺓ ‪ ٦٦٠‬ﺟﻨﻴ ًﻬﺎ‬ ‫ﻻﺳﺘﺌﺠﺎﺭ )‪ (١٠‬ﺃﺟﻬﺰﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻋﻴﻦ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﻴﻦ‪.‬‬

‫ ‪[ = M/ 3a$ , #‬‬

‫ )‪ * ŀ- = (M * C‬‬

‫‪3-3‬‬

‫‪ ٤‬ﺁﻻﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫‪ ٦‬ﺁﻻﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪f‬‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ إﺿﺎﻓﻴﺔ‪:‬‬

‫‪f‬‬

‫‪Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪87‬‬

‫ ﻳﻀﺮﺏ ﻛﻞ ﻃﺮﻑ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ‬

‫ﻣﻌﻜﻮﺳﺎ ﺿﺮﺑ ًﻴﺎ‬ ‫‪١‬ـ ﺣﺪﺩ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﻴﻦ ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫ً‬ ‫ﻟﻸﺧﺮﻯ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ‬

‫) أ ( ‪ ،( ١٢ ٢١ ) = C‬ﺏ = ) ‪( ١-٢ ١٠‬‬

‫ﻳﻄﺒﻖ ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪ ١-(C)C‬ﺱ = ﺏ * ) ‪( C‬‬ ‫`‬ ‫`‬

‫(‬

‫ﻧﻮﺟﺪ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻼﺕ ﺇﻥ ‪٢‬ـ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻟﺤﻞ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ‪:‬‬ ‫ﻭﺟﺪ‬ ‫‪٢‬ﺱ ‪ +‬ﺹ = ‪٩‬‬ ‫ﻣﻦ ‪١‬‬ ‫ﺱ‪+‬ﺹ=‪٣‬‬ ‫‪ I‬ﺱ = )‪ ١-(C‬ﺏ‬

‫`ﺱ=‬ ‫`‬

‫‪١-‬‬

‫‪١‬‬

‫)ب( ﻝ = ) ‪ ،( ١-٠ ١-١-‬ﻡ = )‬

‫‪١- ١‬‬ ‫‪٠ ١-‬‬

‫ﺏ‬

‫اﻹﺟﺎﺑﺔ )‪(٢- ، ٥‬‬

‫‪C‬‬

‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ C‬ﺱ = ﺏ ﻫﻮ ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻼﺕ ﻓﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺜﻮﺍﺑﺖ‪.‬‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎت إﺿﺎﻓﻴﺔ‬

‫ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻫﺬه ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻟﺤﻞ ﻧﻈﺎﻡ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻓﻘﻂ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬ ‫ﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻼﺕ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺿﺮﺑﻰ‪ ،‬ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻟﻢ ﻳﻜﻦ ﻟﻬﺎ ﻣﻌﻜﻮﺱ‬ ‫ﺿﺮﺑﻰ‪ ،‬ﻓﻴﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﻠﻨﻈﺎﻡ ﻋﺪﺩ ﻻﻧﻬﺎﺋﻰ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ ﺃﻭ‬ ‫ﻻﻳﻮﺟﺪ ﻟﻪ ﺣﻞ‪.‬‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﺠﱪ‬

‫‪67‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪ :‬املﺤﺪدات واملﺼﻔﻮﻓﺎت‬ ‫ ‪ Zy[CȞ x 12+Ȟ : #f #f 2*yf‬‬

‫اﻛﺘﺸﻒ اﻟﺨﻄﺄ‪:‬‬

‫‪Ł ņ Ł‬‬‫‪f Ň- ŁŇ- ņ p ŀ-ŀ = dfC * |ŀC| = ŀ-C‬‬

‫ﻗﺎﻣﺖ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺳﻤﺮ ﻭﺃﻣﻞ ﺑﺎﻋﺪﺍﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﻴﻪ ﺑﻨﻈﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪٣‬ﺹ ‪٤ +‬ﺱ = ‪١٠‬‬ ‫‪٥‬ﺱ ‪٧ +‬ﺹ = ‪١٩‬‬

‫` ‪ ŀ-C = M‬‬

‫‪ŀ- Ń- ŀ‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫=‬ ‫‪ŀ- = f M p‬‬

‫‪p‬‬

‫‪Ł ņ Ł‬‬‫‪Ň- ŁŇ- ņ‬‬ ‫‪ŀ- Ń- ŀ‬‬

‫‪ȇ‬‬

‫‪f ŀń p f‬‬ ‫‪Ŀ‬‬

‫‪ŀĿń‬‬‫= ‪f ŃŇĿ p‬‬ ‫‪ŅĿ‬‬

‫` ‪ŅĿ = MƅŮƅŃŇĿ = =ƅŮƅŀĿń- = 5‬‬

‫‪{(ŅĿ Ů ŃŇĿ Ů ŀĿń-)} = d'b Nsg#f‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫ﺣﻞ ﺳﻤﺮ‬

‫‪: z Ē Đ- Ogb d& 1‬‬ ‫‪ŀŁ= MŁ-5ƅŮƅŀń = Mł + =Ł + 5ƅŮƅň= M - =ł - 5Ł‬‬ ‫ ‪ VsW?gcb w 2Cb 5s_Ogb e .+ 6‬‬

‫) ‪ ) ( ٧٢ ٥٤‬ﺱﺹ ( = ) ‪( ١٩١٠‬‬

‫‪á«ª∏©dG áÑ°SÉëdG ádB’G ΩGóîà°SG‬‬ ‫‪:wb b as'kb wcN dzo #f ł wV zG+b Đ- Ogb Nsg#f d& wV zcgOb 6 'b bĒ e .+ 6 l_gy‬‬

‫‪Use of Scientific Calculator‬‬

‫ﺣﻞ أﻣﻞ‬

‫‪: d TU MODE p E 5 3a$ Fi\ a‬‬

‫) ‪ ) ( ٧٤ ٥٣‬ﺱﺹ ( = ) ‪( ١٩١٠‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﻣﺤﺎﻭﻟﺔ ﺍﻛﺘﺸﺎﻑ ﺍﻟﺨﻄﺄ ﻟﻌﺪﻡ ﻭﻗﻮﻉ ﺃﺣﺪ‬ ‫ﺍﻟﻄﻠﺒﻪ ﻓﻴﻪ‪.‬‬ ‫ﺇﺟﺎﺑﺔ ﺃﻣﻞ ﺧﺎﻃﺌﺔ ﻹﻧﻬﺎ ﻭﺿﻌﺖ ‪ ٣‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ﺱ ً‬ ‫ﺑﺪﻻ ﻣﻦ ‪٤‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ إﺛﺮاﺋﻰ‪:‬‬

‫‪١‬ـ ﺣﺪﺩ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺃﺑﺪﺍ ﻭﻓﺴﺮ‬ ‫ﺩﺍﺋﻤﺎ‪ ،‬ﺻﺤﻴﺤﺔ ﺃﺣﻴﺎﻧًﺎ‪ ،‬ﻏﻴﺮ ﺻﺤﻴﺤﺔ ً‬ ‫ﺻﺤﻴﺤﺔ ً‬ ‫ﺇﺟﺎﺑﺘﻚ‪) .‬ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺔ ﻟﻬﺎ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺿﺮﺑﻰ(‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫ﺍﺣﻴﺎﻧًﺎ‪ :‬ﺇﺟﺎﺑﺔ ﻣﻤﻜﻨﻪ‪ :‬ﻻﻧﻪ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺔ ﻣﻌﻜﻮﺱ‬ ‫ﺿﺮﺑﻰ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺤﺪﺩﻫﺎ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺻﻔﺮ‬ ‫‪٢‬ـ ﺍﻛﺘﺐ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﻴﻪ ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﺣﻞ?‬ ‫ﺍﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺣﻞ‬ ‫ﺱ‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٣ ٢‬‬ ‫ﺹ =‬ ‫‪٦ ٣‬‬

‫‪١٠‬‬

‫أﺧﻄﺎء ﺷﺎﺋﻌﻪ‪:‬‬

‫ ﻭﺟﻪ ﻃﻼﺑﻚ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﺗﻜﺘﺐ‬ ‫ﻣﻊ ﻣﺘﻐﻴﺮﺍﺗﻬﺎ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻧﻔﺴﻪ ﻗﺒﻞ ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﺼﻴﻐﻪ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﻴﻪ‪.‬‬ ‫ ﻛﻴﻒ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻣﺼﻔﻮﻓﻴﻪ ﻟﺤﻞ ﺃﻧﻈﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬

‫‪88‬‬

‫)‪1 (COMP‬‬

‫‪MODE‬‬

‫‪General Calculations‬‬

‫)‪2 (CMPLX‬‬

‫‪MODE‬‬

‫‪Complex number calculations‬‬

‫)‪3 (STAT‬‬

‫‪MODE‬‬

‫‪Statistical and regression calculations‬‬

‫)‪4 (BASE-N‬‬

‫‪MODE‬‬

‫‪Calculations involving specific number systems‬‬ ‫)‪(binary, octal, decimal, hexadeiaml‬‬

‫)‪5 (EQN‬‬

‫‪MODE‬‬

‫‪Equation solution‬‬

‫)‪6 (MATRIX‬‬

‫‪MODE‬‬

‫‪Matrix calculations‬‬

‫)‪7 (TABLE‬‬

‫‪MODE‬‬

‫‪Generate a number table based on one or two‬‬ ‫‪functions.‬‬

‫)‪8 (VECTOR‬‬

‫‪MODE‬‬

‫‪Vector calculations‬‬

‫)‪1 (INEQ‬‬

‫‪MODE‬‬

‫‪Inequality solution‬‬

‫)‪2 (VERIF‬‬

‫‪MODE‬‬

‫‪Verify a calculation‬‬

‫)‪3 (DIST‬‬

‫‪MODE‬‬

‫‪Distribution calculations‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ إﺛﺮاﺋﻰ )ﻧﺸﺎط ﺗﻌﺎوﻧﻰ(‬ ‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ اﻵﺗﻴﺘﻴﻦ ﺑﻄﺮق ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‬

‫‪٤‬ﺱ ‪٢ -‬ﺹ = ‪٢٠‬‬‫‪٣‬ﺱ ‪ +‬ﺹ = ‪٥‬‬ ‫ ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺣﻞ ﻫﺎﺗﻴﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺑﺄﺭﺑﻊ ﻃﺮﻕ‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‬ ‫‪١‬ـ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ‪.‬‬ ‫‪٢‬ـ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ‪.‬‬ ‫‪٣‬ـ ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻛﺮﺍﻣﺮ‪.‬‬ ‫‪٤‬ـ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﻪ‪.‬‬ ‫ ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻨﻬﻢ ﺃﻥ ﻳﻮﺿﺤﻮﺍ ﻧﻘﻂ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺑﻴﻦ ﻫﺬه ﺍﻟﻄﺮﻕ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻌﺎﻳﻴﺮ ﻣﺤﺪﺩه‪.‬‬

‫ ﺭﺗﺐ ﻛﻞ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﻓﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ‪.‬‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎت إﺿﺎﻓﻴﺔ‪:‬‬

‫ ﺭﺗﺐ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺮﺍﺕ ﻓﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮﺍﺕ‪.‬‬

‫ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ‪ TI - nspire‬ﻟﺤﻞ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﻭﺫﻟﻚ ﻷﻧﻬﺎ ﺗﺤﺘﻮﻯ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻮﺳﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻼﺕ ﻣﻊ ﻋﻤﻮﺩ ﺇﺿﺎﻓﻰ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻦ ﻳﺤﻮﻯ ﺍﻟﺜﻮﺍﺑﺖ‪ ،‬ﻭﺑﺎﺧﺘﺰﺍﻝ‬ ‫ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻮﺳﻌﺔ ﻳﺼﺒﺢ ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻬﻞ ﺣﻞ ﻧﻈﺎﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‪.‬‬

‫ ﺭﺗﺐ ﺍﻟﺜﻮﺍﺑﺖ ﻓﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ ﺍﻟﺜﻮﺍﺑﺖ‪.‬‬ ‫ ﻧﻮﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻤﺼﻔﻮﻓﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻼﺕ‪.‬‬ ‫ ﺍﺿﺮﺏ ﻃﺮﻓﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ‬ ‫ﻟﻤﺼﻔﻮﻓﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻼﺕ‪.‬‬ ‫ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﻞ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ‪.‬‬

‫‪68‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ﺣﻞ املﻌﺎدﻻت اﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام املﻌﻜﻮس اﻟﴬﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬

3-3

(‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬

Zy[Clgf } ȏf 9ycSȞ i 2/ : K/f Ȗ1 SȞ h*

: zb b g [b `b 2pK V

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ‬

To select this calculation Type:

‫ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ‬1

Simultaneous linear equations with two unknowms

1 (anX + bnY = Cn)

Simultaneous linear equations with three unknowms

2 (anX + bnY = CnZ = dn)

Quadratic equation

3 (aX2 + bX = 0)

Cubic equation

٣- ٢ ٢ ١

١- ٣-

٢- ٣- ٢ = | ‫ | ﺃ‬، f

١٣ ٢

٣٢ ٠

٢ ١ ١

4 (aX3 + bX2 + cX + d = 0)

‫ﺃ‬

x - y + z = 2, y - z = 0, -x + y + z = 4 MODE

5 (EQN)

2 (anX + bnY + CnZ =dn)

1 =

(-) 1 = 0 =

(-) 1 = 1 =

٤ ٥٢

١ ٢١

١-

٧ ٧ ٧-

٦ ٣ ٣

٤ ٥٢

١ p ٢١ = f ١٠ f ٤ p= ١-

1 = 4 = (X=) = 1

‫ﺃ‬

(Y=) = 2 (Z=) = 3

‫=ﺃ ﺝ‬ ٩ ١٥ f p ١٢

Math

(-) 1 = 1 = 2 =

1 = 1 =

٦ ٣ ٣

:wo GOgb Đ- Ogb l_ br qzcN HSCb `b/r 2 qkf 2 * a Ń = M + = + 5-ƅŮƅĿ = M - = + 5ƅŮƅŁ = M + = - 5

٢١- = (٣ + ٤) ٢ - (٢ + ٩-) = ٧ ٧ ٧-

5 (EQN) lf 2 *

Press this key:

‫ﻧﺸﺎط‬

‫ﺱ‬ ‫ﺹ‬ ‫ﻉ‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺹ‬ ‫ﻉ‬

(ŀ) a f d& '> lf \[' cb zgcOb 6 'b bĒ e.+ 6 :á«£N ä’OÉ©e ≈dEG áaƒØ°üªdG ádOÉ©e πjƒëJ

Convert a matrix equation to linear equation

zc>Ĕ q 1s> wb q - N l_gzV Ů VsW?f 1s> wV Đ- Of lf e Kj ky.b i ^ /

. 2zS gb VsW?f wV đf Ogb VsW?f 2C `b/r zG* Đ- Of 1s>"

:w Ē ^ zG* Đ- Of 1s> wb zb b VsW?gb b- Of dys' l_gy ŀĿ f ŀŇ p = ŁĿ

5 ŀ*ł

ń Ł- ł

ŀĿ

ł Ń ŀ

ŁĿ

ń Ł- ł

f Ń- ł Ł p :'/ 2/ f ŀŇ p = f = p f Ń- ł Ł p

f=p

ł*ł

ŀĿ

ł Ń ŀ

Mń + =Ł- 5ł

f ŀŇ p = f MŁ - =Ł + 5Ł p :' % -

ŁĿ

Mł + =Ń + 5

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

١- = ‫ ﻉ‬،٤ = ‫ ﺹ‬،١٠ = ‫ﺱ‬

á°ùfÉéàªdG ô«Zh á°ùfÉéàªdG á«£îdG ä’OÉ©ªdG ΩÉ¶f ‫ﻳﻘﺎﻝ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﺃﻧﻬﺎ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻓﻘﻂ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ ﻛﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﺜﻮﺍﺑﺖ = ﺻﻔﺮ ﺑﻤﻌﻨﻰ ﺃﻥ‬

Zy[CȞ x 12+Ȟ : #f #f 2*yf

. yr 7 f VsW?gb is_ wb b r rU# S5 4 4 5, 2& 8E " A 4 &

ŁĿ = Mł + =Ń+ 5ƅ,ƅŀŇ = MŁ - =Ł+ 5Łƅ,ƅŀĿ = M ń+ =Ł- 5ł

f ٠ p =‫ﺏ‬

. VsW?gb tr 7 r VsW?gb 2B e .+ 6 wc>Ĕ Đ- Ogb e Kj ky.b ( ?yr

‫ﻳﻘﺎﻝ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﺃﻧﻬﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻭﺟﻮﺩ ﺃﺣﺪ‬ .‫ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ ﺍﻟﺜﻮﺍﺑﺖ ﻻﻳﺴﺎﻭﻯ ﺻﻔﺮ‬ :‫ﺗﻌﺒﻴﺮ ﺷﻔﻬﻰ‬

‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻭﻏﻴﺮ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴﺔ‬ .‫ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﻋﺮﺽ ﺑﻨﺪ ﺗﻌﺒﻴﺮ ﺷﻔﻬﻰ‬ ‫اﻛﺘﺸﻒ اﻟﺨﻄﺄ‬

‫ﻛﺘﺐ ﺃﺳﺎﻣﻪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﻴﻪ ﺗﻮﺿﺢ ﺗﻜﺎﻟﻴﻒ ﺭﺣﻠﺘﻴﻦ ﺑﺎﻟﻘﻄﺎﺭ ﻣﻦ‬ ‫ ﻭﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺮﻣﺰ )ﺱ( ﻟﻴﺪﻝ ﻋﻠﻰ‬،(‫ ( ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺪﻳﻨﺔ )ﺏ‬C ) ‫ﺍﻟﻤﺪﻳﻨﺔ‬ ‫ﺗﻜﻠﻔﺔ ﺍﻟﺮﺣﻠﺔ ﺫﻫﺎ ًﺑﺎ ﻭﺃﻳﺎ ًﺑﺎ ﻭﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺮﻣﺰ )ﺹ( ﻟﺘﻜﻠﻔﺔ ﺍﻟﺮﺣﻠﺔ‬ .‫ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﻭﺍﺣﺪ‬ ‫ﺱ‬ ٦١ ١ ٣ = ‫ﺹ‬ :‫ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‬ ٥٤ ٢ ٢ ‫ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ‬

)

( ١-٢- ٢٣ ) ١٤ = ١-( ١٢ ٣٢ ) 69

‫ اﻟﺠﱪ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

á°ùfÉéàªdG ô«Zh á°ùfÉéàªdG á«£îdG ä’OÉ©ªdG ΩÉ¶f 2W> tr 7y s b VsW?f 2> kN lf 2?kN d^ i ^ / 7j # f zG+b Đ- Ogb e Kj i a [y Ŀ

wg7 zG+b Đ- Ogb e Kj i V 2W> tr 7y Đ s b VsW?f 2> kN .& i ^ / f ، f Ŀ p = '1 2/ Ŀ

7j # f 2zR zG* Đ- Of zG* Đ- Of e Kj d gy py r 7j # f zG* Đ- Of e Kj d gy z Ē gKjĔ lf e Kj x lz :ȈǭƽƗ ƄŐʗƯŝ . 7j # f 2zR Ŀ= MŁ-MƅŮƅ Ń= MŁ+=ł-MńƅŮƅĿ= Mń-=Ł+Mł Ŀ= M+MƅŮƅ=Ń= M+MłƅŮƅMń==ł+MŁ áaƒØ°üªdG áÑJôe

Rank of a matrix

.2W> tr 7 Đ q gzZ VsW?gcb 2S> -.'f r -.'gb "1- wcN wo y2W?b 2zR VsW?gb 2f ŀG( ) S z&Ů ( ) S 4f2b pb 4f2j VsW?gb 2f i V y2W> 2zR VsW?gb j ^ / V

ĲœĎĬ÷

( ) ( )(

áaƒØ°üªdG áÑJôe OÉéjEG á«Ø«c :3 &* dZĔ {cN .& r -.'f ."r / V Ů 2 ^Ĕ wcN i tr 7 2f i V i < e z& i * e hKkb {cN VsW?f l_ b i "1.b lf -.'gb Pzg" j ^ / f Ů i tr 7 VsW?gb 2f i V 2W> ¹ tr 7 Đ q gzZ i "1.b lf .& r ."r / V VsW?gcb (ŀ-K) "1.b lf -.'gb Pzg" 7'j ,i lf dZ is_ 2f i V 2W> ¹ tr 7 7' V 2W> ¹ tr 7y Đ dZĔ {cN pkf ¹ tr 7 pOzg" j ^ / f (ŀ - K ) tr 7 VsW?gb 2f i V 2W> 2W> ¹ tr 7yĐ -.'gb "1- 2 ^ wb d?j zcgOb 1 2_ 0_or Ů VsW?gcb (Ł- K) "1.b lf -.'gb d^ .-.'gb 2f wo is_ V ‫ﻣﺜﺎل‬ b

ń Ń ŀ l ŀń ŀŁ ł =

Ń Ł- ł l 2 Ņ ł- Ł = lz VsW?gb lf d^ 2f ."r

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

‫ املﺤﺪدات واملﺼﻔﻮﻓﺎت‬:‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ 3-3

Zy[Clgf } ȏf 9ycSȞ i 2/ : K/f Ȗ1 SȞ h*

:‫ﺛﻢ ﺣﺴﺐ ﺇﺟﺎﺑﺘﻪ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‬

ľĄĿí Ń ŀ- ł ł * Ł hKj wcN VsW?f b ŀ ń Ł l = VsW?gb :.&/ Ł so pkf kys_ l_gy -.'gb "1- wcN i V `b0b

( ٦١٥٤ )

Ł- ł Ł "1- t2S?b -.'gb ƅƅ2W> ! ń- = Ń + ň- = ł- Ł ."sj ` Ł = ŀ - ł = ŀ- K = ( ) S ` ń Ń ŀ

ł * Ł hKj wcN VsW?f b ŀń ŀŁ ł l = VsW?gb : 0 Ł so pkf qkys_ l_gy -.'gb "1- wcN ń ŀ

ń Ń

(

١٤ ٣ ٤

Ń ŀ

ľĄ÷ Ņã Ľōîă

: z Ē VsW?gb lf d^ 2f ."r 2 b

‫ﺹ‬

‫ ﻭﺟﺪ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺘﻰ ﺣﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻻﺗﺤﻘﻖ‬،‫ﻭﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﺎ ﺇﺟﺎﺑﺘﻪ‬ ?‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻹﺻﻠﻴﺔ‬ ?‫ﻓﺄﻳﻦ ﺍﻟﺨﻄﺄ ﻓﻴﻤﺎ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﺃﺳﺎﻣﻪ‬ ‫ ﻓﻰ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﺨﻄﻮه ﺍﻷﺧﻴﺮه ﺗﺴﺎﻭﻯ‬:‫اﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ٣٤ ‫ ﻭﻟﻴﺴﺖ‬١٧

2W> = t2S?b -.'gb lf d^ gzZa ŀ=( ) S ` Ł > ( ) S `

ň ł ŀŬń l Ņ Ł ŀ =

)() = ‫ﺱ‬

( ٣٤١٠ )

2W> = ŀń ł Ů 2W> = ŀń ŀŁ Ů 2W> = ŀŁ ł

١ ٢ ١ ٢-

ł- ņ Ł l Ł ń ł =

[y2Gb 8Wj P r e H 2f i V K > e j ^r K * e hKj wcN y2W> 2zR VsW?f j ^ / : .wbrĔ b 'b wV g^ ‫ﻣﺜﺎل‬ : z Ē VsW?gb lf d^ 2f ."r 3 Ņ Ł

ń Ł

ŀń ń

Ł ł-

f ŀŁ Ń p = ƅƅƅŮƅƅƅ f Ń- Ņ p =

(‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬

ľĄĿí

ń Ł Ł wo pkf qkys_ l_gy -.'gb "1- wcN is_ V Ł * ł hKkb wcN VsW?f f Ń- Ņ p = VsW?gb :.&/ Ł łń Ł 2W> ! łŇ- = łĿ - Ň- = : Ń- Ņ D ."sj Ł = = ( ) S ` Ņ Ł Ł * ł hKj wcN VsW?f f ŀŁ Ń p = VsW?gb : 0 ŀń ń Ł "1- wcN pkf qkys_ l_gy -.'gb "1- wcN ` Ņ Ł

ŀŁ Ń

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﻮﺩ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ‬ .‫ﺇﻟﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ (٩٩)‫( ص‬٢) ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ņ Ł

2W> = ŀń ń ƅŮƅ2W> = ŀń ń ƅŮƅ2W> = ŀŁ Ń 2W> = t2S?b -.'gb gzZ a ŀ = ( ) S

١ = (‫ )ﺏ‬S

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

٢=(‫)ﺃ‬S (١٠٠)‫( ص‬٣) ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

١ = (‫ )ﺏ‬S Zy[CȞ x 12+Ȟ : #f #f 2*yf

ŀf ŁŃ-

(١٠٠)‫( ص‬٤) ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

ľĄ÷ Ņã Ľōîă ŀ ņ- ń Ł p= Ů ŀ f ł Ł p = : z Ē VsW?gb lf d^ 2f ."r 3 Ŀ Ŀ Ł

٢ = (‫ )ﺏ‬S

i ^ / V C -.'f ."sj " O 2f VsW?f" e * e hKj wcN y2W> 2zR VsW?f C j ^ / : e > (C) S is_ V 2W> = |C| - e = (C) S is_ V 2W> ! |C| - .d'b wV [ 7b sG+b 8Wj P j r ‫ﻣﺜﺎل‬ Ń ŀ ł

ŀ Ł ŀ-

f ń ł Ł p = ƅŮƅ f ŀ-

Ŀ ń ł

Ł ŀ Ł

p = : z Ē VsW?gb lf d^ 2f ."r 4 ľĄĿí ł * ł hKkb wcN C VsW?f

ł > ( C) S `

ŁM +

Ń ŀ ł ŀM = łM iĔ 2W> = ń ł Ł = | | ŀ Ł ŀ-

‫ﻳﻬﺪﻑ ﺇﻟﻰ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻏﻴﺮ ﺍﻟﺼﻔﺮﻳﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﺴﺎﺋﻞ‬ .‫ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ‬

= ‫ـ ﻙ‬٢

ń ł 2W> ! ņ- = ŀĿ - ł = : ŀ Ł D

Ł=(C) S ` ń ł Ł f Ł- Ń ņ p = VsW?gb Ů ŀń ň Ņ

٣ = ( ‫) ﺃ‬S :‫ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ‬

٢٠ ٧

Ł "1- lf -.'f t ."sj

١=(‫)ﺃ‬S

f Ŀ ŀ ł p = C VsW?gb lf d^ 2f ."r 4 ł ŀ- ŀ Řğ ƩũĪ

2W> ! ŀ = |I| iĔ e tr 7y 2f i V e * e hKkb wcN .&sb VsW?f C j ^ / -

2W> tr 7 y2W?b VsW?gb 2f - .f 2f =

VsW?gb 2f -

.2zS Đ p 1 i V VsW?gb wcN t2W> (-sgN) X> (U0&½ r ) XzB½ / -

.2zS Đ VsW?gb 2f i V ( .gN ) UsW> .Ob Pzg# lN 1 N (-sgN) X> (U0& r ) XzB / - ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ

] gzZ ."r Ł = ( ) S i ^r

ł ŀ Ł f ŀ Ŀ ] p = VsW?gb j ^ / - ŀ- Ń Ł

z[z['b ] gzZ ."r ł = ( ) S j ^r

f Ł ] Ŀ p = VsW?gb j ^ / -

ŀ ł ŀŃ ŀ ł

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

٠ = ‫ـ ﻙ‬١ ‫ﻧﺸﺎط‬

ľĄ÷ Ņã Ľōîă

Ŀ Ł ń

‫اﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﻨﻮﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻖ ﺃﻣﺜﻠﺔ‬ :‫ﺃﻭﺑﺮﻫﺎﻥ ﻟﻜﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ‬ ‫( ﻣﺮﺗﺒﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﺼﻔﺮﻳﺔ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﺻﻔﺮ‬١) ‫ﻣﺪ‬C ‫ = ﻣﺮﺗﺒﺔ‬C ‫( ﻣﺮﺗﺒﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬٢) (C) ‫( ﺇﺫﺍ ﺃﺿﻴﻒ »ﺻﻒ« ﺃﻭ »ﻋﻤﻮﺩ« ﺻﻔﺮﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬٣) ‫ﻓﺈﻥ ﺭﺗﺒﺘﻬﺎ ﻻﺗﺘﻐﻴﺮ‬ ‫( ﺇﺫﺍ ﺃﺿﻴﻒ ﺻﻒ ﺃﻭ ﻋﻤﻮﺩ ﻋﺒﺎﺭه ﻋﻦ ﺗﺠﻤﻴﻊ ﻟﻌﺪه ﺻﻔﻮﻑ‬٤) .‫)ﺃﻋﻤﺪه( ﻓﺈﻥ ﻣﺮﺗﺒﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻻﺗﺘﻐﻴﺮ‬ ‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

3-3

‫ﺣﻞ املﻌﺎدﻻت اﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام املﻌﻜﻮس اﻟﴬﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ á©°SƒªdG áaƒØ°üªdG :‫ﻧﺸﺎط‬

3-3

Zy[Clgf } ȏf 9ycSȞ i 2/ : K/f Ȗ1 SȞ h*

á©°SƒªdG áaƒØ°üªdG : 1s?b wcN p ^ l_gyr =5 1s?b wcN _ pj V Ůdzo #gb lf K {V zG+b Đ- Ogb lf e ky.b i ^ / Augmented matrix

‫ ﻻﺣﺘﻮﺍﺋﻬﺎ ﻋﻠﻰ‬TI - ns pire ‫ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ ﻟﺘﺴﻬﻴﻞ‬.‫ﻣﺼﻔﻮﻓﻪ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﻣﻊ ﻋﻤﻮﺩ ﺇﺿﺎﻓﻰ ﻳﺤﻮﻯ ﺍﻟﺜﻮﺍﺑﺖ‬ .‫ﺇﺟﺮﺍﺀ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺔ‬

‫ ﻛﻴﻒ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻻﺳﺘﻔﺎﺩه ﻣﻦ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﺣﻞ ﺑﻌﺾ‬ .‫ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﺪ ﺗﻘﺎﺑﻠﻨﺎ ﺃﺛﻨﺎﺀ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺴﺎﺋﻞ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‬

p=f

iŁC

p 5+ i

..................................

ŁŁC

ŀŀC ŀŁC

p 5+ f Ł

p= 5 ŀ

ŁeC

i eC

ŀeC

lf d^ 1 N kk_gy z& MŀC

ŀ * e hKj wcN -sgN VsW?f Ůi Ů....................... Ůł ŮŁ Ůŀ = M z&

‫ ﻛﻠﻒ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺎﻟﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻭﻣﻌﺮﻓﻪ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﺠﺮﻭﺍ‬ .‫ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻮﺳﻌﺔ‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻴﻤﺎ ﺗﻮﺻﻠﻮﺍ ﺇﻟﻴﻪ ﻣﻦ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﺣﻮﻝ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ﻭﻫﻞ ﻳﻤﻜﻦ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺤﺴﺎﺑﺎﺕ ﺍﻷﺧﺮﻯ‬ .‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ‬

ŁŀC

iŀC

MŁC

M eC ŀ

ŀ * e hKj wcN -sgN VsW?f

p = `b0^r

.C VsW?gb .gN {oƅ

iŀC

ŁŀC

iŁC

ŁŁC

pƅŮƅf

i eC

iŀC

.................

ŁŀC ŀŀC

iŁC

.................

ŁŁC ŀŁC

.................

i eC

eC eC

ŀŀC

pƅŮƅf

ŀŁC

p VsW?gb i L&đjr

ŀ eC

Ł eC

1s?b wcN .& r VsW?f {V đf Ogb VsW?f Pf s b VsW?f k ^r

Ł ŀ

* 4f2b pb 4f2jr Ů O6sgb VsW?gb wg7 .(ŀ + i) * eƅƅhKkb wcN {or ( ) = *

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ إﺿﺎﻓﻴﺔ‬

:‫ﺍﻛﺘﺐ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﻮﺳﻌﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ‬ ٤- = ‫ﻉ‬٢ + ‫ﺹ‬٤ - ‫ﺱ‬٦ ‫أ‬ ١٠ = ‫ﻉ‬٦ + ‫ﺹ‬٢ - ‫ﺱ‬٢ ٢- = ‫ﻉ‬٢ + ‫ﺹ‬٢ + ‫ﺱ‬٢ ٠ = ‫ﺹ‬٦ + ‫ﺱ‬٤ ‫ب‬ ٧ = ‫ﺹ‬٢ - ‫ﺱ‬٨

: z Ē gKjĔ lf d_b O6sgb VsW?gb ."r 5 ł = = - 5ŃƅŮƅƅƅň = =ņ + 5ŁƅŮƅŁ = =ń - 5ł ‫أ‬ ł- = Mł - =Ł + 5łƅŮƅł = MŁ + =ł - 5ŁƅŮƅň = M + = + 5 ‫ب‬

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

Zy[CȞ x 12+Ȟ : #f #f 2*yf

fł ł-

ŀ ŀ ŀ * ‫ب‬ Ł ł- Ł p = ł- Ł ł

fň ł

ľĄĿí

ń- ł * ņ Łp= ‫أ‬ ŀ- Ń

ľĄ÷ Ņã Ľōîă

٤- = ‫ﺹ‬٢ + ‫ﺱ‬٣ ‫ﺟ‬ ١٣ = ‫ﺹ‬٧ + ‫ﺱ‬٤

: z Ē gKjĔ lf d_b O6sgb VsW?gb ."r 5 ń==-5ł Ů ņ =ł + 5Ł ‫أ‬ Ŀ =M-5 Ů ł =M + = + 5 Ů Ń = M - =Ł + 5ł ‫ب‬

ŀ ==-5 Ů

‫ﻣﺜﺎل‬

‫أﺧﻄﺎء ﺷﺎﺋﻌﺔ‬

،‫ ﺹ‬،‫ ﻗﺪ ﻳﺨﻄﻰﺀ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﻋﺪﻡ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺱ‬ ‫ ﻭﻃﺒ ًﻘﺎ ﻋﻠﻴﻪ ﻳﺘﺮﺗﺐ ﺃﺧﻄﺎﺀ ﻓﻰ ﺑﺎﻗﻰ‬،‫ﻉ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ‬ .‫ﺍﻹﺟﺮﺍﺀﺍﺕ‬ ‫ ﺃﻛﺪ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﻛﻞ ﺧﻄﻮﺓ ﻣﻦ ﺧﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‬ ‫ﺣﺘﻰ ﻳﺴﺘﻄﻴﻊ ﺗﺪﺍﺭﻙ ﺍﻟﺨﻄﺄ ﻭﺣﺘﻰ ﻻﻳﻀﻴﻊ ﻣﻨﻪ ﻭﻗﺖ ﺇﺫﺍ‬ .‫ﺍﻛﺘﺸﻒ ﺍﻟﺨﻄﺄ ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‬ ‫ﺩﺍﺋﻤﺎ ﺗﻐﺬﻳﺔ ﺭﺍﺟﻌﺔ ﻋﻨﺪ ﺗﻜﻠﻴﻒ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﺤﻞ ﺍﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ً ‫ ﻗﺪﻡ‬ .‫ﺑﺘﺼﺤﻴﺢ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺨﻄﺄ ﺃﻭﻝ ﺑﺄﻭﻝ‬ ‫ ﺍﻋﺮﺽ ﻋﻠﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﻦ ﺍﻛﺘﺸﻒ ﺍﻟﺨﻄﺄ ﺣﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ‬ .‫ﺇﺩﺭﺍﺝ ﺍﻟﺨﻄﺄ ﻭﻋﺪﻡ ﺍﻟﻮﻗﻮﻉ ﻓﻴﻪ‬

ň ==ł - 5 ŅƅŮƄł==- 5Ł e Kkcb O6sgb VsW?gb 2f ."r 6 ľĄĿí ł ł * Ł hKj wcN VsW?f b ň

ŀ- Ł * l ł- Ņ =

Ł {o pkf qkys_ l_gy -.'gb "1- wcN ` ł ŀ-

ł Ł

ŀ- Ł

2W> = ŀŇ - ŀŇ = ň Ņ ƅŮƄĿ = ň + ň- = ň ł- ƅŮƄ2W> =Ņ + Ņ- = ł- Ņ 2W> = y2W?b -.'gb lf d^ gzZ a ŀ= ( ) S Ł>( )S ` ľĄ÷ Ņã Ľōîă

gKjĔ lf d_b O6sgb VsW?f 2f ."r 6 ŀĿ = =ŀń + 5ňƅŮƄŁ ==ń - 5ł ‫ب‬

Ņ- = =ł + 5ŁƅŮƄŃ ==Ł + 5ł ‫أ‬

πëdG á«fÉμeEGh á©°SƒªdG äÓeÉ©ªdG áaƒØ°üeáÑJQh äÓeÉ©ªdG áaƒØ°üe áÑJôe øÑj ábÓ©dG The relation between the Rank of a factor matrix and Augmented matrix, and solution availability Non homogeneous equations

k G á°ùfÉéàªdG ô«Z ä’OÉ©ªdG :’hC

Ŀ ! ! z& 7j # f 2zR b- Of ! = K5 KC + ....... + Ł5ŁC + ŀ5ŀC : b- Ogb wg7 ! ! z& 7j # f 2zR ! = MC Nsg#gb wg7 r ¹ K wV 7j # f 2zR b- Of K lf js_gb Nsg#gcb is_y −R j ^ / .z&r d& Đsp#f 2W> ! | | z& dzo #gb -.N)

= (* )S = ( ) S

i ^ / « { pj Đ -.N» asc'b lf -r.'f 2zR -.N Đ- Ogb Nsg#gb is_y −@ * K > ] z& ] = ( )S = ( ) S f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

‫ اﻟﺠﱪ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

тАл ╪з┘Е┘Дя║дя║к╪п╪з╪к ┘И╪з┘Е┘Дя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║О╪ктАм:тАл╪зя╗Яя╗оя║гя║к╪й ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗Яя║Ья║ФтАм 3-3

Zy[Clgf } ╚Пf 9ycS╚Ю i 2/ : ┬АK/f ╚Ц1 S╚Ю h*

:4 f :.&/ ┼А ┬╢" = = ┼А + 5┼АC

┼Б ┬╢" = = ┼Б + 5┼БC

┼А┬╢"

!=M `

p=f

f ┬╢" ┼Б

p f ┼Б ┼Б

┼АC

┘й┘д тАл ╪╡тАм┘е тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

p :'/ 2/

┼БC

.z&r d& ."sy qj V ┼Б = ( )1 = ( * ) 1 j ^ / (┬Ъ)

asc'b lf w pj─Р -.N ."sy qj V ┼А = ( * )1 = 1 j ^ / (┬Ы) Y─СF─Ф wcN d& ."sy─Р qj V ┼А= ( * )1 ┼о ┼Б = j ^ / (┬Ь)

5a I. 3Eg )& K s a & ┬ОGzefT├Р ┬Оe^dT├Р

┘д

oTm┬ЬT├Р

┬Й┬ЬT├Р oghmbX├О

(├М)├Ъ

( ├М)├Ъ

i OF [ y i gz[ 7gb

.z&r d& ."sy

┼Б

┬╜

f ┘г

i y3 s y i gz[ 7gb

Y─СF─Ф wcN d& ."sy─Р

┼А

┬╜

┘а

i [ Gky i gz[ 7gb

asc'b lf w pj─Р -.N ."sy

┼А

┬╝

.d& qb 8zb e Kkb 0o i ┼о ┼Д==┼Г-5┼Е ┼о┼А==┼Б-5┼В e Kkb d& ir. 7 ─╛─Д─┐├н

┼А # ┼А

┼Б- ┼В l ┼Г- ┼Е =

* p= тАл╪г я║ГтАм

┘б┘б ┘б

┘в ┘б ┘а

┘г ┘б ┘б

* p= тАл╪и я║ГтАм

┘д

┘в

┘г

| C| `

┼А= (C)1 ` ┼В * ┼Б hKj wcN VsW?f b ┼Д

┘в ┘г ┘б

┘в = ( *тАл ) я║ГтАмS ╪М b ┘ж- ┘г ┘в l = *тАл╪г я║ГтАм

┼Б- ┼В

O 2f VsW?f ┼Б*┼Б hKj wcN VsW?f {or b ┼Г- ┼Е l = C = VsW?gb ."sj ┼Б- ┼В

┘г ┘б┘б-

┘б┘б┘втАл ╪╡тАм┘ж тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм

2W> =┼А┼Б +┼А┼Б- = ┼Г- ┼Е =

┘з ┘е ┘б

┘в ┘е- ┘г

┘в = ( *тАл ) я║ГтАмS ╪М b ┘б┘а ┘б┘е ┘й l = *тАл╪и я║ГтАм

*C ."sj

┼Б "1- {o pkf qkys_ l_gy -.'gb "1- wcN ` ┼А ┼Б-

├б┬░├╣f├Й├й├а┬кdG ├┤┬лZh ├б┬░├╣f├Й├й├а┬кdG ├дтАЩO├Й┬й┬кdG тАл┬Ш я║Гя╗Ыя║к я╗Ля╗ая╗░ я║Ня╗Яя╗Дя╗╝я║П я╗гя╗Фя╗мя╗оя╗б я║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗╗я║Х я║Ня╗Яя║ия╗Дя╗┤я║Ф я║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая║Оя╗зя║┤я║Ф я╗ня╗Пя╗┤я║отАм .тАля║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая║Оя╗зя║┤я║ФтАм

2W> ! ┼Е- =┼Г +┼А─┐- = ┼Д ┼Г- ."sj ┼Б =┼А - ┼В = (*C) 1

┼Б #

┼Б ┼о ┼А lf (*C)1 !( C )1 `

d& qb 8zb e Kkb `

╟║'f - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

╪МтАля║│я╗дя╗┤я║Ц я╗гя║Шя║ая║Оя╗зя║┤я║Ф я╗ня║Зя║ля║Н я╗Ыя║Оя╗зя║Ц я║Гя║▒ = я║ПтАм

= тАля╗Уя║Ия║ля║Н я╗Ыя║Оя╗зя║Ц я║Гя║▒тАм .тАля╗Ыя║Оя╗зя║Ц я╗Пя╗┤я║о я╗гя║Шя║ая║Оя╗зя║┤я║ФтАм !тАля║ПтАм

Zy[C╚Ю x 12+╚Ю : #f #f 2*yf ─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

:e Kkb d& ir. 7 ┼Ж = =┼Б + 5 ┼Г╞Е┼о╞Е┼Д = = + 5┼Б

.─С& ├К qb 8zb e Kkb 0o i

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм

├б┬л┬г├оdG ├дтАЩO├Й┬й┬кdG ╧АM ├б┬лf├Й╬╝eEG ! тАл я║ЭтАм╪М тАля╗гя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Шя╗┤я╗ж я╗Уя╗░ я╗гя║ая╗мя╗оя╗Яя╗┤я╗ж я║гя╗┤я║Ъ я║Гя║▒ = я║ЭтАм (┘б┘а┘г)тАл┬Ш я╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗гя╗К я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я║Ня╗Яя║ая║кя╗ня╗Э я║Ня╗Яя╗дя║оя╗Уя╗Ц я║╣тАм

┼А = = - 5╞Е┼о╞Е┼Д = = -5┼В e Kkb d& zj _f ' 8

─╛─Д─┐├н ┼А- ┼В " O 2f VsW?f" ┼Б * ┼Б hKj wcN VsW?f {or b ┼А- ┼А l = C VsW?gb ."sj ┼А #

┼А- ┼В ┼Б = ( C ) 1 ╞Д╞Е 2W> ! ┼Б- =┼А + ┼В- = ┼А- ┼А = |C| ` ┼Д ┼А- ┼В * ┼В * ┼Б hKj wcN VsW?f {or b ┼А ┼А- ┼А l C O6sgb VsW?gb ."sj

(┘б┘а┘е) ╪М(┘б┘а┘д)тАля╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗гя╗К я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я╗гя║О я╗ня║ня║й я╗Уя╗░ я║Ся╗ия║к я║гя║Оя╗ня╗Э я║Гя╗е я║Чя║дя╗Ю я║╣тАм .тАля╗ня║Чя╗оя║╗я╗Ю я╗гя╗Мя╗мя╗в я║Зя╗Яя╗░ я║Ня╗╣я║Яя║Оя║Ся║Ф я║Ня╗Яя║╝я║дя╗┤я║дя║ФтАм

┼Б "1- {o pkf qkys_ l_gy -.'gb "1- wcN ` ┼Б #

┼Б = ( * ) S `

2W> !┼Б- = ┼А + ┼В- =

┼А- ┼В ┼А- ┼А

(┘й┘ж) тАл( ╪╡тАм┘и) тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

┼Б ┼о ┼А lf ┼Б sor dzo #gb -.N ┼Б = (* ) S = ( ) S a

..z&r d& qb e Kkb `

─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

.┼Б == + 5╞Е┼о╞Е┼Д= = + 5 ┼Б e Kkb d& zj _f ' 8 тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм ┼А─┐ = =┼Б + 5┼Г ╞Е┼о╞Е┼Д = = + 5┼Б e Kkb d& zj _f ' 9 ─╛─Д─┐├н ┼А┼Б

O 2f VsW?f {or b ┼Б ┼Г l = C VsW?gb ."sj ┼А # ┼Д

(┘й┘ж) тАл( ╪╡тАм┘й) тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

тАл > я╗гя╗ж я╗Ля║кя║й я║Ня╗Яя╗дя║ая║Оя╗ля╗┤я╗ЮтАм┘б = ( *тАл ) я║ГтАмS = ( тАл ) я║ГтАмS .тАля╗Яя║мя╗Яя╗Ъ я╗│я╗Ья╗оя╗е я║Ня╗Яя╗ия╗Ия║Оя╗б я╗Яя╗к я╗Ля║кя║й я╗╖я╗зя╗мя║О я╗Уя╗░ я╗гя╗ж я║Ня╗Яя║дя╗ая╗оя╗ЭтАм

┼А ┼Б

┼В*┼Б hKj wcN VsW?f {or b ┼А─┐

(тАл )я╗Ля║кя║й я║Ня╗Яя╗дя║ая║Оя╗ля╗┤я╗ЮтАм┘в = ( *тАл ) я║ГтАмS = ( тАл ) я║ГтАмS (┘б- ╪М┘г) тАля╗│я╗оя║Яя║к я║гя╗Ю я╗ня║гя╗┤я║к я╗ня╗ля╗отАм

2W> = ┼Г - ┼Г = ┼Б ┼Г = |C| ` ┼А =┼А-┼Б = ( ) S `

┼А ┼Б * l ┼Б ┼Г = C O6sgb VsW?gb ."sj

┼Б "1- {o pkf qkys_ l_gy -.'gb "1- wcN ` ┼Д ┼Б

┼Д ┼А

┼А ┼Б

2W> = ┼Б─┐ - ┼Б─┐ = ┼А─┐ ┼Г ╞Е╞Е┼о╞Е╞Е2W> =┼А─┐-┼А─┐ = ┼А─┐ ┼Б ┼о2W> =┼Г-┼Г = ┼Б ┼Г 2W> = t2S?b -.'gb lf d^ gzZ a ┼Б # ┼А= (* ) S ` ┼Б > (* ) S ` ┼Б ┼о ┼А lf .dzo #gb -.N (┼Б lf dZ ) > ┼А = (* ) S = ( ) S (a┼Б - ┼Д ┼оa) d'b 1s>r asc'b lf { pj ─Р -.N qb e Kkb ` f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

тАля║гя╗Ю ╪з┘Е┘Дя╗Мя║О╪пя╗╗╪к ╪зя╗Яя║ия╗Дя╗┤я║Ф я║Ся║Оя║│я║Шя║ия║к╪з┘Е ╪з┘Е┘Дя╗Мя╗Ья╗о╪│ ╪зя╗Яя┤мя║Ся╗░ я╗Яя╗ая╗дя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║ФтАм

3-3

(┘й┘з) тАл( ╪╡тАм┘й) тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

Zy[Clgf } ╚Пf 9ycS╚Ю i 2/ : ┬АK/f ╚Ц1 S╚Ю h* ─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

┘в = ( тАл ) я║ГтАмS = ( *тАл ) я║ГтАмS (┘б ╪М┘б) тАля╗│я╗оя║Яя║к я║гя╗Ю я╗ня║гя╗┤я║к я╗ля╗отАм

┼Б== ┼Г- 5┼Е╞Е┼о┼А╞Е = =┼Б - 5┼В e Kkb d& zj _f ' 9 ─С b ─Р- Ogb 51.j : z┬╣ j ┼А ┬╢" = = ┼А + 5 ┼АC ┼Б ┬╢" = = ┼Б + 5┼БC ┼В ┬╢" = = ┼В + 5 ┼ВC ! = M i t 5 ┼А┬╢" ┼А ┼АC b l =M ┼о = f ┬╢" p = ! ┼о f C p = z&

(┘й┘и) тАл( ╪╡тАм┘б┘б) тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

┼Б ┼В┬╢"

┘в = ( тАл ) я║ГтАмS = ( *тАл ) я║ГтАмS (┘г- тАл я╗ЭтАм╪М тАля╗│я╗оя║Яя║к я╗Ля║кя║й я╗╗ я╗зя╗мя║Оя║Ля╗░ я╗гя╗ж я║Ня╗Яя║дя╗ая╗оя╗Э я╗Ля╗ая╗░ я║Ня╗Яя║╝я╗оя║ня║У )я╗ЭтАм

┬ОGzefT├Р ┬Оe^dT├Р

┘б = ( тАл ) я║ГтАмS = ( *тАл ) я║ГтАмS тАля║Гя╗Чя╗Ю я╗гя╗ж я╗Ля║кя║й я║Ня╗Яя╗дя║ая║Оя╗ля╗┤я╗ЮтАм тАля╗╗я╗│я╗оя║Яя║к я║гя╗Ю я╗Ля╗ая╗░ я║Ня╗╖я╗Гя╗╝я╗ХтАм

r " r3 gz[ 7gb PF [

wcN d& ."sy─Р

gz[ 7gb Pzg" t3 s O┬╣ zg" gz[ 7gb \ Gk

Y─СF─Р

.z&r d& ."sy

wcN d& ."sy─Р Y─СF─Р lf w pj─Р -.N ."sy asc'b

( ├М )├Ъ

┼Б

┬╛

┼Б

┬╜

┼А

┬╜

┼А

┬╝

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм ┼А = =┼Б - 5 ┼В ┼о ┼Д = =┼В + 5 ┼Б ┼о ┼Б = = + 5 ."r i d'b ^ r z ─Т ─Р- Ogb d& zj _f ' 10 ┼А ┼А

┼А

┼А ┼Б ┼Б- ┼В

┼Б = ( ) 1 ┼о ─┐ ! ┼А = ┼Б - ┼В = ┼В ┼Б ┼о f ┼В

─╛─Д─┐├н

┼Б ┼А ┼А ┼Б ┼А ┼А ┼Б ┼А ┼А * f ┼А ┼А ─┐ p + f ┼А ┼А ─┐ p + f ┼Д ┼В ┼Б p=

( *тАл ) я║ГтАмS = (C) S

тАля║Ня╗Яя╗ия╗Ия║Оя╗б я╗Яя╗к я║гя╗Ю я╗ня║гя╗┤я║к я╗ня╗ля╗о я║Ня╗Яя║дя╗Ю я║Ня╗Яя║╝я╗Фя║оя╗птАм

┬Й┬ЬT├Р oghmbX├О

.& r G[j wV gz[ 7gb PF [

тАля╗Уя║И╪░╪з я╗Ыя║О┘ЖтАм

тАля╗Уя║Ия╗етАм

oTm┬ЬT├Р

b b Pf i OF [ yr i k t3 s y

(┘б┘а┘ж) тАл( ╪╡тАм┘б┘в) тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

├б┬░├╣f├Й├й├а┬кdG ├дтАЩO├Й┬й┬кdG тАля╗│я╗дя╗Ья╗ж я║Ня╗Яя╗Шя╗оя╗Э я║Ся║Дя╗е я╗гя║ая╗дя╗оя╗Ля║Ф я║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗╗я║Х я║Ня╗Яя║Шя╗░ я╗гя╗К я║Ня╗Яя║╝я╗оя║ня║УтАм тАля║Чя║┤я╗дя╗░ я║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗╗я║Х я║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая║Оя╗зя║┤я║ФтАм =тАля║▒тАмC

┼Б ┼Б ┼В ┼ВC

: d'b zj _f─Ц Wc +gb ─Р 'b w ─Т ar.#b @+cy

─┐

┼Д- ┼Д- ─┐

┼А ┼Б- ┼В

┼Б = (* ) 1 ┼о ┼В ! (* ) 1 ┼о ─┐ = |* | `

╟║'f - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

тАл╪гя╗гя║О ╪е╪░╪з я╗Ыя║О┘ЖтАм

тАл( > я╗етАмC) S тАл ( = я║╗я╗Фя║о я╗Уя║Ия╗зя╗ктАмC )S тАля╗│я╗оя║Яя║к я║гя╗Ю я╗Яя╗ая╗дя║ая╗дя╗оя╗Ля║Ф я╗Пя╗┤я║о я║Ня╗Яя║дя╗Ю я║Ня╗Яя║╝я╗Фя║оя╗птАм

(тАл)я╗е я╗Ля║кя║й я║Ня╗Яя╗дя║ая║Оя╗ля╗┤я╗ЮтАм

┘б┘а┘е тАля╗Ля╗ия║к я╗Ля║о╪╢ я╗гя║Ья║О┘Д ╪╡тАм

тАл┬Ш я╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗гя╗К я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я╗Уя╗░ я╗Ыя╗┤я╗Фя╗┤я║Ф я║Ня╗Яя╗оя║╗я╗оя╗Э я║Зя╗Яя╗░ я║Ня╗Яя╗дя╗Дя╗ая╗оя║П я╗ня╗ля╗о я╗гя║Шя╗░тАм .тАля╗│я╗Ья╗оя╗е я╗Яя╗ая╗ия╗Ия║Оя╗б я║гя╗Ю я║╗я╗Фя║оя╗п я╗Уя╗Шя╗ВтАм тАл┬Ш я╗ня║┐я║в я╗Яя╗Дя╗╝я║Ся╗Ъ я║Гя╗зя╗к я╗Ля╗ия║к я║гя╗Ю я║Ня╗Яя╗ия╗Ия║Оя╗б я║Ся║Ия╗│я║ая║Оя║й я╗гя║дя║кя║й я║Ня╗Яя╗дя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║ФтАм тАля╗ня║Зя╗│я║ая║Оя║й я╗Чя╗┤я╗дя║Шя╗к я╗ня╗ля╗░ я╗╗я║Чя║┤я║Оя╗ня╗п я║╗я╗Фя║отАм

Zy[C╚Ю x 12+╚Ю : #f #f 2*yf

┼А ┼Б ┼А- ┼В 5 l b l b l= b l b ┼А ┼Д ┼А ┼Б- = =

┼А-

! = M ┼А= = = 5 ─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

┼А─┐ = =┼Е + 5 ┼Г ┼о ┼Д = = ┼В + 5 ┼Б ┼о┼Б = = + 5 ."r i d'b ^ r w ─Т ─Р- Ogb e Kj d& zj _f ' 10 тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм ┼А─┐ = =┼Д + 5┼Д ┼о ┼Г = = ┼Б + 5 ┼Б ┼о ┼Б = = + 5╞Е."r i d'b ^ r z ─Т ─Р- Ogb e Kj d& zj _f ' 11 ─╛─Д─┐├н ┼Б ┼А ┼А ┼А ┼А ┼А = (* ) 1 f ┼Г ┼Б ┼Б p =* ┼А = ( ) 1 ┼о ┼о f ┼Б ┼Б p = ┼А─┐ ┼Д

┼Д

(a - ┼Б ┼о a ) 1s?b wcN asc'b lf w pj─Р -.N ."sy `

┼Д

O┬╣ zg" gz[ 7gb \ Gk r = ┼А = ( )1 = (* ) 1 a ─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

= ┼В - ┼Д = 5┼В ┼о ┼Ж = = ┼Б - 5 ┼Б ┼о ┼В = = - 5 ."r i d'b ^ r z ─Т ─Р- Ogb e Kj d& zj _f ' 11

тАл = я╗Ля║кя║й я║Ня╗Яя╗дя║ая║Оя╗ля╗┤я╗Ю я╗ня║Ся║Оя╗Яя║Шя║Оя╗Яя╗░ я║Чя║┤я║Шя╗Дя╗┤я╗К я║Гя╗етАм┘г = ( тАл ) я║ГтАмS тАл┬Ш я╗ня║Ся║Оя╗Яя╗ия╗Ия║о я╗Ля╗жтАм тАля╗зя╗Шя╗оя╗Э я║Гя╗е я║Ня╗Яя╗ия╗Ия║Оя╗б я╗Яя╗к я║гя╗Ю я╗ня║гя╗┤я║к я║Ся╗дя╗Мя╗ия╗░тАм ┘а=тАля╗ЙтАм╪М┘а=тАля║╣тАм╪М┘а=тАля║▒тАм

┼Б = ( )1 = (* ) 1 a

─С b lf lz b- Of lf t d' qzcN d?' .z&r d& ."sy `

тАля╗гя║Ья║О┘ДтАм

┼Б = (* ) 1

┼Б

┼А

f ┼Г ┼Б ┼А- ┼Б

: { ─Т ─Р- Ogb e Kj d& zj _f ' 12 ┼А- = = ┼Б + 5 ┼Б╞Е┼о╞Е┼Г = = ┼Б + 5 ┼Б╞Е┼о╞Е┼Б = = + 5 ─╛─Д─┐├н ┼А ┼А ┼А * ┼А = ( ) 1 ┼о ┼о f ┼Б ┼Б p = ┼Б p= ┼Б

┼Б

┼А = ( )1 > (* )1

. Y─СF─Ф {cN d& ."sy─Р `

─╛─Д├╖ ┼Е├г ─╜┼Н├о─Г

┼А = = + 5 ┼о ┼Д = = ┼В + 5 ┼Б ┼о ┼Б= = + 5 : w ─Т ─Р- Ogb e Kj d& zj _f ' 12 ╧А┬лg├Й├йe ├з├УK тЙИa ├б┬л┬г├оdG ├дтАЩO├Й┬й┬кdG

I. $ K t 5#

┼Б] = M ┼Б┬╢" + = ┼Б + 5┼БC

┼А] = M ┼А┬╢" + =┼А + 5 ┼АC

! = M ╞Е╞Е'/ 2/╞Е╞Е╞Е┼В] = M ┼В ┬╢" + = ┼В + 5 ┼ВC G V M ┬╢" C ┼А] ┼А┬╢" ┼А ┼АC * f = p = 5 ┼о f ┼А┼Б┬╢" ┼А┼Б ┼А┼БC p = f ┼Б] ┼Б┬╢" ┼Б ┼БC p = ┼В] ┼В┬╢" ┼В ┼ВC

┼В┬╢" ┼В ┼ВC

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

‫ املﺤﺪدات واملﺼﻔﻮﻓﺎت‬:‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ 3-3

Zy[Clgf } ȏf 9ycSȞ i 2/ : K/f Ȗ1 SȞ h*

(‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬

7j # f Đ- Ogb ) Ŀ = ł] = Ł] = ŀ] j ^ / r \ 7b Đ- Ogb e Kj d& zj _f w Ē ar.#b @+cyr .* O6sgb VsW?gb 2f {cN 2 yĐ 0pV TÐ oghmbXÎ

(Ì)Ú

(*Ì)Ú

.z&r d& ."sy

YđFĐ wcN d& ."syĐ

YđFĔ wcN d& ."syĐ

asc'b lf w pjĐ -.N ."sy

YđFĐ wcN d& ."syĐ

asc'b lf w pjĐ -.N ."sy

Homogeneous equations

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻭﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ‬ .‫ﺇﻟﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﺣﻠﻮل‬ ١- ١ ٢ ١- ٠ ١ ١ ٢ ٠

á°ùfÉéàªdG ä’OÉ©ªdG :Ék«fÉK

zG+b Đ- Ogb Nsg#fr Ů 7j # gb zG+b b- Ogb Ŀ = K5 KC + ....... + Ł5ŁC + ŀ5ŀC : b- Ogb wg7 = M 1s?b _ 7j # gb g - qj 6 # gb 2zR Đ- Ogb lN 7j # gb zG+b Đ- Ogb 4zg r :t O6sgb VsW?gb 2f p7Wj wo đf Ogb VsW?f 2f is_ * 2W> = i 5 = .. = ł5 = Ł5 = ŀ5 sor .z&r d& e Kkcb is_zV ( )S = ( ) S i = dzo #gb -.N i ^ / −R (%sBsb .y.: qjs_b wpy. b ) t2W?b d'b wg7yr

١١١

=|‫`|ﺃ‬

٣=(‫)ﺃ‬S`

:t dzo #gb -.N lf dZ đf Ogb VsW?f 2f j ^ / −@ asc'b lf w pj Đ -.N Nsg#gcb ."sy qj V 2W> = | | Ů(dzo #gb -.N i z&) K > = ( ) S «t2W?b d'b Uđ+

١ ٠ ٢

٢ ١ ٠

p =‫ﺃ‬a

٠!١=|‫`|ﺃ‬ ‫= ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻫﻴﻞ‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﻟﻪ ﺣﻞ ﻭﺣﻴﺪ ﻫﻮ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﺼﻔﺮﻯ‬

.H[V yÊ 2W> đ& Ê Ŀ = M - = Ů Ŀ==+5 Ů Ŀ =Mń + =Ł - 5ł e Kkcb i lzÍ ¼ 13 ľĄĿí ń Ł- ł

ł * ł hKj wcN O 2f VsW?f {or

fĿ ŀ ŀp =

ŀ- ŀ Ŀ ń Ł- ł ƅ arĔ -sgOb 2> kN e .+ 6 Ŀ ŀ ŀ = | | ` ŀ- ŀ Ŀ (ń -Ŀ) 2W> + ( Ŀ- ŀ-)ŀ- (Ŀ - ŀ-) ł = | | `

dzo #gb -.N = ł = ( ) S ` {(Ŀ Ů ĿŮĿ)} = d'b Nsg#f is_ V Ŀ=M ŮĿ== ŮĿ=5 sor

١ ٣ ٢

f ٥

٣ * ٣ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ‬

2W> ! Ł- = ŀ + ł- = | | ƅ x2W?b d'b sor .z&r d& qb e Kkb `

٢=(‫)ﺃ‬S`

ľĄ÷ Ņã Ľōîă

٣ ٢ ١-

p = ‫ ﺃ‬14

‫| ﺃ | = ﺻﻔﺮ‬

.H[V yÊ 2W> đ& Ê Ŀ = M + =ŁƅŮƅĿ=M - 5ƅŮƅĿ=M - = + 5Ł e Kkcb i lz 13

‫ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻫﻴﻞ‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻟﻠﻨﻈﺎﻡ ﻋﺪﺩ ﻻ ﻧﻬﺎﺋﻰ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

(٣ - ٣ ) ‫ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎرﻳﻦ‬ ‫ د‬4 ‫ ب‬3 ‫ أ‬2 ‫ د‬1

Zy[CȞ x 12+Ȟ : #f #f 2*yf

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ ﺟ‬8

lf zÊ pj Đ -¹ .N Ŀ=M + =Ł + 5-ƅŮƅĿ=Mń + =ł + 5ŁƅŮƅĿ=MŃ + = + 5ł e Kkcb i lz 14 .d'b 0o 1s> ."r r asc'b ľĄĿí Ń ŀ ł ł * ł hKj wcN O 2f VsW?f {or f ń ł Ł p = C ."sj

‫ﺟ‬

‫ ب‬6 ‫ أ‬5 ‫ أ‬10 ‫أ‬

ŀ Ł ŀ-

‫ أ‬11

Ń ŀ ł

ŁM + ŀM = łM z& Ů2W> = ń ł Ł = |C| `

Ł= ( ) S `

ŀ Ł ŀ-

dzo #gb -.N (ł lf dZ ) Ł= ( ) S a .(eŁ- a Ů e Ůa ) 1s?b wcN asc'b lf { pj Đ -.N e Kkcb ` ľĄ÷ Ņã Ľōîă

lf zÊ pj Đ -¹ .N 2W> = Mŀń + =ň + 5Ņƅ,ƅĿ=MŁ- =Ń + 5ņ ŮĿ = Mń +=ł +5Ł e Kkcb i lz 14 .d'b 1s> ^ r lf asc'b

٣ ٥ ٤ l l ١- b ٢ ٣ ٠

٣- ٢ ٤ l l b ٥ ٣٠

(٣ - ١) ‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ‬ k G :IÉ£©ªdG äÉHÉLE’G ø«H øe áë«ë°üdG áHÉLE’G ôàNG :’hC

:wo 7j # gb Đ- Ogb Nsg#f Ů z Ē zG+b gKjĔ lz lf 1 ŀŁ = =Ł + 5 Ů Ŀ = = - 5 ‫ب‬ Ł = =Ł + 5 Ů ł = = + 5Ł ‫أ‬ Ŀ = = + 5ł Ů Ŀ = =Ł - 5 ‫د‬

ł l ‫د‬ Ł

٤ l ٠

٣ ٥

‫ﺱ‬ =b‫ﺹ‬l b ٢ ٣ l ٣ ٥

٣ ٥

‫ﺱ‬ = b ‫ ﺹ‬l b ٢ ٣ l ١- b ٢ ٣ l

٣ ٥ ٣- ٢ ‫ﺱ‬ ١ = b ‫ ﺹ‬l b ٢ ٣ l b ٥ ٣- l ١

Ŀ = = + 5Ł Ů ŀ = = + 5ł ‫ﺟ‬

ŀ- Ł 5 ł 5 :tr 7 b = l i Vƅ b Ń l = b = l b Ł ŀ l i ^ / 2 Ł ŀ Ł b l ‫ﺟ‬ b l ‫ب‬ b l ‫أ‬ ł Ł ŀ

٨ l ١٢-

٠ ١

‫ﺱ‬ =b‫ﺹ‬l b ١ ٠ l

Ń Ł ŀ

= ( ) S i V b ŀŅ Ň Ń l = j ^ / 3 ł ‫د‬

Ł ‫ﺟ‬

ŀ ‫ب‬

2W> ‫د‬

ŀ ‫ﺟ‬

Ł ‫ب‬

ł ‫د‬

Ł ‫ﺟ‬

2W> ‫أ‬ łI .&sb VsW?f 2f

ł * ł hKkb lf ŀ ‫ب‬

ł ‫أ‬ VsW?gb 2f 5

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

2W> ‫أ‬

١٢ = ‫ ﺹ‬،٨ = ‫` ﺱ‬

٨ l ١٢-

١=‫ﺏ‬ ٢=‫ﺩ‬

‫ﺱ‬

=b‫ﺹ‬l ٢=C ‫ب‬ ٥ = ‫ﺟ ﺟـ‬

100

‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

‫ﺣﻞ املﻌﺎدﻻت اﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام املﻌﻜﻮس اﻟﴬﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬

3-3

١- = ‫ ﺩ‬، ‫ ﺟـ = ﺻﻔﺮ‬،٧ = ‫د ﺏ‬ ٢ = ‫ ﻉ‬، ١- = ‫ ﺹ‬، ١ = ‫ﻫ ﺱ‬ ٣ = ‫ ﻉ‬، ٢ = ‫ ﺹ‬، ١ = ‫و ﺱ‬ ٠ ١٣

٠ ١٣

٣ ٠ ٢

١ ١ ١

٣٣ ١

٠! f

٢٠ ١-

١ ٣ ٠

p =‫ﺃ‬

٠ ٠ ٠

٢ ٤ ٦

٢٠ ١-

١ ٥

٢٣ ٢

٣ = ( *‫ ) ﺃ‬S = ( ‫ ) ﺃ‬S

١-

١ ٥٠

١ ٣ ٣

١ ١ ١

٣=(‫)ﺃ‬S

١ ٠ ٣

١ ٣ ١١ ٣ ١-

= *‫ ﺃ‬24

ŀ- ŀ ŀ

ŀ- ł ‫ب‬ l Ł ŀ

ŀ ŀ ŀ

f ŀ- ŀ- Ł p ‫ﻫ‬ ŀ- Ł ł

ł Ń 5 l b l b Ł Ŀ = = ń Ł Ŀ f ŀ p = f ¶" p f ŀ- ŀ ņ E Ŀ ŀ b

ń l ‫أ‬ ł

ŀ Ŀp ‫د‬ ŀ

Ů ŀŁ = Mł + =Ł + 5ł Ů

Ŀ = M + = + 5Ł ‫أ‬

ŀ- = M + 5 Ů

Ŀ = MŁ + =ł + 5 ‫ب‬

ŀ- = = + 5 Ů

Ŀ = Mł + = + 5Ł ‫ﺟ‬

ł = =Ł + 5

ł = MŁ + =

ŀŁ = MŃ + =Ł + 5ł Ů Ņ = Mń - =ł + 5Ń ‫د‬ :H[V yÊ 2W> đ& Ê z Ē gKjĕb i lzÍ ¼ 13 Ŀ = = - MŅ Ŀ= MŁ + =Ń - 5ł

101

Ů Ŀ = MŁ - = + 5ł

Ů Ŀ = Mł + =ņ + 5Ł ‫أ‬

Ŀ = MŃ + 5ł

Ů Ŀ = MŁ + =Ł - 5 ‫ب‬

Ů Ŀ = M - =ł + 5Ł

Ŀ = M - =Ł + 5 ‫ﺟ‬

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

Zy[CȞ x 12+Ȟ : #f #f 2*yf

.d'b 1s> ^ r asc'b lf zÊ pjĐ -¹ .N z Ē gKjĕb i lzÍ ¼ 14 Ŀ = MŁ + = - 5ł

Ů Ŀ = Mń + =ł + 5Ł

Ů Ŀ = Mł + =Ł + 5 ‫أ‬

Ŀ = MŁ + 5

Ů Ŀ = MŅ + =Ł - 5Ń

Ŀ = MŁ + =ł + 5-

Ŀ = Mł + = ¶ 5Ł ‫ب‬

Ů Ŀ = Mł + = + 5Ł Ů Ŀ = MŁ - =ń - 5ł ‫ﺟ‬

Ů pzk" ŀĿ 2O7 ( ) Mskb (Patch work) dz^ ;_b lf M sj đ _gb t.& Pz :ǵƃģŭņǤģś ƤśƄǤĝ 15 ¹ i ^r Ms 6 wV Đs_;^ ńŁ _gb N / V Ů p¹ zk" ŁĿ 2O7 (¶") Mskb r p¹ zk" ŀń 2O7 ( ) Mskb r Oz gb wb g" i ^r Ň 1 .[g ( ) Mskb lf dz^ ;_b -.N lN .y4y ( ) Mskb lf dz^ ;_b -.N ?Msj d^ lf Oz gb dz^ ;_b -.N h_V p¹ zk" ņŁĿ

óĊăŎĿí ĚĈŀŃ

١ ٢ ٣

* p ‫ﺃ‬

١ ٢ ١ ١ ٢ ١

.gNĔ lf K Ů UsW?b lf K lf is_ y K "1.b lf -.'gb : a . zG+b Đ- Ogb lf K wV 2zS gb lf (ŀ – K) U0& lf ;kyr

:I ; A a . p z 2 8Wk UsW?b .gNĔ r .gNĔ UsW?b b. / -.'gb gzZ 2zS Đ ½ gzZ × ] = $ kb -.'gb gzZ i V ] w[z[& -.N wV -.'f lf (-sgN) X> t 2> kN Pzg" 2B / ½ i V -.'f wV ” -sgN t r ” X> t 2> kN Pzg" wV ]2 ;f df N .¼ "¾ r½ / 8_Ob r Ůwc>Ĕ -.'gb “qzV ¹ r2Cf” -sgOb !1 * m0* l_gy df Ob 0o : z Ē Đ 'b wV 2W> tr 7 -.'gb gzZ ½ .2W> = -.'gb gzZ i V 2W> tr 7 -.'f wV (-sgN t ) r X> t 2> kN Pzg" j ^ /

p = ‫ ﺃ‬27

.2W> = -.'gb gzZ i V -.'f wV (ly-sgN r ) lzW> t wV 2J k gb 2> kOb r 7 / .wc>Ĕ -.'gb * ŀ-= $ kb -.'gb i V (ly-sgN) lzW> PBsf kb. / ½

* p ‫ﺃ‬

wcN wc>Ĕ -.'gb ^ l_gy qj V ly2?kN Msg#g^ “-sgN” X> t 2> kN Pzg" ^ / ½ . ly-.'f Msg#f 1s>

(*‫ )ﺃ‬S = ( ‫ ) ﺃ‬S

. 8z 2b 2G[b 2> kN 2B d> & tr 7 c gb 1s?b wcN -.'gb gzZ ½

٢ = ٤ ،٢- =‫ ﺹ‬،١ = ‫ﺱ‬

l b

: z Ē zVsW?gb Đ- Ogb d& 11

‫ﺟ‬

(*‫ )ﺃ‬S = ( ‫ ) ﺃ‬S ٢ = ‫ ﻉ‬، ٣ = ‫ ﺹ‬، ٤- = ‫ﺱ‬ ١ ٢ ٠ ١ ٢ ٠

٣=(‫)ﺃ‬S

ŀ ŀ ŀ f ł p = f = p f ŀ ŀ- Ł p ‫و‬

ń l b C Ń = 5 Ł f ŀ p= f=p M ŀb

Ŀ = M - =ł - 5Ń

p =‫ﺃ‬

ŀ ŀ ‫ﺟ‬ ņ ¶" l l b l b ŀ- ŀ ł = E

= *‫ﺃ‬

٣ ‫ ﺹ‬+ ١ ‫ ﺹ‬- ،١ ‫ ﺹ‬+ ١ ‫ ﺹ‬-

٣ = ( ‫) ﺃ‬S

‫` ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﺤﻞ ﻭﺣﻴﺪ‬

٣ ٤ ١-

qV b d'b ‫أ‬ t2W?b d'b .N asc'b lf w pj -.N ‫ﺟ‬ :á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG

ŀ- = MŁ + = + 5Ń

٣‫ ﻉ‬+ ١‫ﺱ ﻉ‬- ، ٢‫ ﻉ‬+ ١‫ ﻉ‬- 13

‫ﺍﻛﻤﻞ‬ ‫ﺍﻛﻤﻞ‬

‫` ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻭﺣﻴﺪ‬

٥١ ٣

.asc'b lf w pjĐ -.N ‫ب‬

ł- Ł- Ń

: VsW?gb 5s_Of [y2F e .+ 6 e Kkb 0o d& h Ůw Ē Đ- Ogb e Kkb O6sf VsW?f ^ 12

٢ = ( *‫ ) ﺃ ( = ) ﺃ‬S ‫` ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﻷﻧﻬﺎﺋﻰ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬

٠!|‫|ﺃ‬، f

.YđFĖ wcN d& ."syĐ ‫د‬

ł Ł Ł

= f = p f ł- Ł- ŀ p e Kkcb ."sy 10

=‫ﺱ‬

Ł- ‫أ‬

so Ŀ = = - 5łƅŮƄĿ = =ń + 5Ł :e Kkb asc& -.N 9 .YđFĖ wcN d& ."sy Đ ‫ب‬ .H[V t2W?b d'b ‫أ‬ .t2W?b d'b .N asc'b lf w pj -.N ‫ﺟ‬ .YđFĖ wcN d& ."sy Đ ‫د‬ 5

١٠١ f ٥ p ٥ ٥ ١ ٣ ٠

2W> ‫ب‬

wo ŀń = =ň - 5ŅƅŮƄń = =ł - 5Ł :e Kkcb O6sgb VsW?gb 2f 8 Ł ‫ﺟ‬ ŀ ‫ب‬ 2W> ‫أ‬

ł ‫د‬

*‫ﺃ‬

‫ب‬ ٢ ٤ ٦

Ł ‫ﺟ‬

Ņ ‫د‬

ŀ- Ł ł

hKkb wcN is_ O6sgb VsW?gb i V dzo #gb -.N i Ů zG+b Đ- Ogb -.N e i ^ / 7 (ŀ + K) (ŀ + e) ‫د‬ K * (ŀ + e) ‫ﺟ‬ (ŀ + K) * e ‫ب‬ K*e ‫أ‬

‫ ﺝ‬١-C = ‫ﺱ‬

٢ ٢١

١ = ‫ ﻉ‬،١ = ‫ ﺹ‬، ٢- = ‫ ` ﺱ‬

ł Ł- ŀ

= ] i V Ł = ( ) S i ^r f ŀ Ŀ ] p = i ^ / 6

٢ ١ ٠

١ ٤ ٢-

Zy[Clgf } ȏf 9ycSȞ i 2/ : K/f Ȗ1 SȞ h*

‫ اﻟﺠﱪ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

e d f -.N wV r2Cf 2* “-sgN” X> lf pb 2J kgb 2> kOb “-sgN” X> t 2> kOb kWB / ½ . 2zS Đ -.'gb gzZ i V

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

102

‫ املﺤﺪدات واملﺼﻔﻮﻓﺎت‬:‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ Zy[CȞ x 12+Ȟ : #f #f 2*yf

ôŃîī ņœčîń÷ k G :IÉ£©ªdG äÉHÉLE’G ø«H øe áë«ë°üdG áHÉLE’G ôàNG :’hC

.........................................................................

ŁŃ ‫ﺟ‬

ńŅ ‫د‬

....................................

Łń

ŁŃ

ŁŇ

Łņ

łŁ

łŀ

łĿ

ŀŁ ‫ب‬

wo 2W> =

{ń} ‫ب‬

łŀŅ ‫ﺟ‬

Ł Ň

ŀĿ-

ŀ-

łŀņ

łŀŅ

ŀńȊ

łŀŇ

łŀņ

łŀŅ

łŁĿ

łŀň

łŀŇ

ŀĿ- ‫أ‬ =

łŀń ‫ب‬ =

ŀ- ‫ب‬

¶" + + C ‫ﺟ‬

¶" C ‫د‬

Ł- ‫أ‬ ¶" + C + ¶" + C ¶" C ŀ ŀ ŀ

2W> ‫ب‬

Ȯű

....................................

ń ‫ﺟ‬

2W> ‫د‬

.........................................................................

5ł - Ń

ŀ-5

Ł ‫ﺟ‬

ł ‫د‬

ȮƀC

ȮƀE

ȮűC

țC ¶"

Ņ ‫ب‬

:wo 2W> =

C ‫ﺟـ‬

‫ ﺏ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬C + C ‫ﺟـ‬

‫ﺏ‬C

‫ﺏ ﺟـ‬

C ‫ﺟـ‬

‫ﺏ‬C

(‫ ﺏ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬C + C ‫= )ﺟـ‬

‫ = ﺻﻔﺮ‬9 `

104

¶" // ¶oE d [gb d_;b wV 7 E

‫ ﺏ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬C + C ‫ﺟـ‬

٣‫ ﻉ‬+ ١‫ﻉ‬

١‫ ! ﻉ‬٣‫ ﻉ‬+ ٢‫ ﻉ‬+ ١‫ ﻉ‬15

k R r 5 l

Ȯƀ

ŀ- ‫أ‬

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

‫ﺏ ﺟـ‬

ŁĿŀņ ŁĿŀń ŁĿŀł

....................................

‫ ﺏ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬C + C ‫ﺟـ‬

2W> ‫أ‬

....................................

2W> ‫ﺟ‬

٢- ٤ l ٥ ١٠ 10 ٣! 9 ٢‫ ! ﻉ‬٣‫ ﻉ‬+ ٢‫ ﻉ‬14

ŁĿŀŇ ŁĿŀņ ŁĿŀŅ

ŀ ‫د‬

‫ ﺻﻔﺮ‬7 ‫ ﺻﻔﺮ‬6 ‫ ﺻﻔﺮ‬5

ŀ-

= ŀĿ

ŀ- ‫ب‬ ....................................

łŀņ ‫د‬

{Ł} ‫أ‬ ń

2W> ‫ﺟ‬

٢-

b- Ogb d& Nsg#f 2

....................................

ŀĿ ‫د‬

‫ ﺻﻔﺮ‬4 ‫ ﺻﻔﺮ‬3 ١٠ 2 ‫ ﺻﻔﺮ‬1

2W> ‫أ‬

{ņ} ‫ﺟ‬

{ŀĿ} ‫د‬

ŁŅ

= Łň

‫ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﻋﺎﻣﺔ‬

‫ﺹ‬

‫ﺱ‬

‫ﺹ‬

١ + ‫ ﺹ‬+ ‫ﺱ‬٢

١ + ‫ﺹ‬٢ + ‫ﺱ‬

‫ﺱ‬

(١ + ‫ ﺹ‬+ ‫)ﺱ‬٢ =

٢(١ + ‫ ﺹ‬+ ‫( )ﺱ‬١ + ‫ ﺹ‬+ ‫)ﺱ‬٢ ٣(١ + ‫ ﺹ‬+ ‫)ﺱ‬٢ =

ņ ‫أ‬ b- Ogb d& Nsg#f 8

Ł- ‫ب‬

Ń- ‫أ‬

:wo -2Wkf b ŀ + 5 Ń l VsW?gb dO# w b 5 gzZ 9 ł± ‫ﺟ‬ ł ‫ب‬ ł- ‫أ‬

ň ‫د‬

: VsW?gb .N f w 2B 5s_Of pb 8zb z Ē VsW?gb Pzg" 10 b

Ł- Ń ‫د‬ l ń ŀĿ

Ň- Ń ‫ﺟ‬ l Ń- Ł

Ņ Ł ‫ب‬ l ł ŀ

Ņ- ł l ‫أ‬ Ń Ł-

ł- Ł- ŀ

= ( )S i V f Ņ Ń Ł- p = VsW?gb j ^ / 11 ň- Ņ- ł

Ł ‫ﺟ‬

ł ‫د‬

.YđFĖ wcN d& ."sy Đ ‫ب‬ .t2W?b d'b .N asc'b lf w pj Đ -.N ‫د‬

ŀ ‫ب‬

2W> ‫أ‬

ŀ Ł- Ł : so fŀŬń- Ņ łŁ Ň- Ń

p VsW?gb d& 12

.t2W?b d'b ‫أ‬

.asc'b lf w pj Đ -.N ‫ﺟ‬ :á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :Ék«fÉK

:i z Ē -.'gb lf t `V ir. C + C ¶"

2W> = ¶" + C

C ¶" + ¶"

¶" C ¶" C

ŀ ŀ ŀ

ł(ŀ + = + 5)Ł =

105

¶"

Ł¶" + ŀ

¶"

ŀ = ¶" Ł + ŀ = 5 = ŀ + = + 5Ł ŀ + =Ł + 5 5

Ł+=+5 ŀ ŀ

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

‫ﺣﻞ املﻌﺎدﻻت اﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام املﻌﻜﻮس اﻟﴬﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬

3-3

١‫ ! ﻉ‬٣‫ ﻉ‬+ ٢‫ ﻉ‬+ ١‫ﻉ‬

‫ﺱ‬

Zy[CȞ x 12+Ȟ : #f #f 2*yf

Ł5 ł + 5 Ł + ŀ =

‫ﺱ‬

(C٢ + ‫= )ﺱ‬

C-‫ﺱ‬

Ł¶"Ł + ¶"Ł Ł¶"Ł + ŀ ł¶"Ł

ŀ ŀ ¶"

C+5

ŁC

ŀ ŀ ŀ

]+5

(C٢ + ‫= )ﺱ‬

ŀ ł ŀ

C+5

ł Ł Ł

] 5

ŀ-5 ŀ ŀ-

¶" C ¶" C

ŀ ŀ ŀ

¶"

-.'gb df sN .& (ŀ – 5 ) i ^ / 20

-.'gcb đf N ¹ 5 is_ z' ] gzZ ."r 21

łŀ-5 ]+5

k : nóLp oh ¿EG ó«MƒdG πëdG óLhCGh á«JB’G ä’OÉ©ªdG øe πc πM á«fÉμeEG åëHG :ÉãdÉK

ŀĿ = Mł + = + 5 Ů

‫ﻙ‬+١

١-

Ņ = M – = – 5Ń Ů

ł = M + =Ł + 5 23

2W> = Mł + =Ł + 5ł Ů ń - = Mł + = – 5Ł Ů

ŀ = M + = + 5 24

Ŀ = MŅ – =Ń + 5Ł Ů

Ŀ = = Ł – 5 - M Ů Ŀ = Mł – =Ł + 5 25

Ŀ = =Ł – 5 – M Ů

= MŁ + = + 5ł Ů Ŀ = M - =ł + 5Ł 26

f Ņ p = f = p = f ŀ ł- ŀ p 28

ŀ+5 Ł ŀ

ŀ ń Ń-

Ŀ ŀ- ŀ

Ņ- Ń- Ł

ŀ-

f Ŀ p = f = p = f Ł ł Ł p 27 f Ŀ p = f = p = f ł Ł ŀ- p 29 Ņ ł-

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

٣‫ ﺹ‬+ ٢‫ ﺹ‬+ ! ٢‫ﺹ‬ k R r 5 l

‫ﻙ‬+٣

‫ﻙ‬+١

١-

ts ' Ů z& z7b O# kgb .& wV c g f Y- kV đ z& z6 ^2: `c g :ǶũģŐƑǤģś ƤśƄǤĝ :ƣģƖŠ 30 ¾ Pzg" d½ SÀ ¼: h / V Ů 26Ĕ r ¾ ar.#cb ¹[Vr đ b Y- kWcb 2Ë 6Ĕ U2Sb lf -.Ob 8Wj wcN đ b Y- kWb Ë Ë . w_y2fĔ 1Đr.b .& sb 2y27b 2O6r U2Sb gz7[ lz y t0b wb b ÚøízTm< AzTÐ

|w|G ¿ å< oQ|P

|w|G ¾ å< oQ|P

|w|G ½ å< oQ|P

ŀŁńĿĿ ŀŀŃĿĿ

ŀĿĿ ňĿ ŀŅĿ

ŀńĿ ŀŃĿ ŁĿĿ

ŁĿĿ ŀŇĿ ŁŃĿ

ŀņŁĿĿ

‫( = ﺻﻔﺮ‬٢ - ‫ ﻙ‬+ ٣) ١١- = ‫ﻙ‬

(Ì) çze`TÐ (Ñ) çze`TÐ (å?) çze`TÐ

.ar.#b GOgb j z b dÍ g½ O6sf VsW?f ^ ‫أ‬ ' h Ů O6sgb VsW?gb r đf Ogb VsW?f lf d^ 2f ."r ‫ب‬ .e Kkb 0pb ¾ -.N ."r ‫ﺟ‬ zgcOb 6 'b bĒ e.+ 6 `k_gy) zN 2b r z đ b r z k b U2Sb lf d^ wV 2Ë 6Ĕ .( Đ- Ogb d& wV zG+b Đ- Ogb d& zj _f

ađ* Y.kV d^ d*- ."r V Ů -.'gb 1 O6Ĕ 8Wk đ b Y- kWb wV l^ fĔ Pzg" dS: 2g 6 / ‫د‬ Ë ..& r Ms 6 z s _kOb _ ;b f¹ .+ 7f `b/ lN ¹ ' ^ .. 2?f {V {fs[b d*.b 1- ?f ho lf & z7b 2 O ‫ﻫ‬ fscOgcb

107

:-.'gb df sN .& (Ł – 5) dO# w b ] hzZ ."r 22

‫ = ﺻﻔﺮ‬9 ‫ ﺗﺠﻌﻞ‬١ = ‫ ﺱ‬20

‫= ﺻﻔﺮ‬

C+5 C

5 5-C

(C – ¶") (¶" – ) ( – C) =

٢(C - ‫( )ﺱ‬C٢ + ‫ = )ﺱ‬9

‫= ﺻﻔﺮ‬

Ł5Ł + 5ŁŁ5Ł + ł-

C-5

] gzZ ."r ŀ + 5

Ł5Ł + ŀ Ł5ł

Ł(C – 5) (CŁ + 5) =

(C - ‫( )ﺱ‬C - ‫( )ﺱ‬C٢ ‫)ﺱ ـ‬

Ł¶"ł + ¶"łŁ¶"ł ł¶" ł + ŀ

¶"ł + !Ł + ŀ =

٢‫ ! ﺹ‬١‫ ﺹ‬+ ٣‫ ﺹ‬، ١‫ ! ﺹ‬١‫ ﺹ‬+ ٢‫ﺹ‬ C

5 ł5Ł ł5ł + ŀ

‫ اﻟﺠﱪ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

106

‫ املﺤﺪدات واملﺼﻔﻮﻓﺎت‬:‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ Zy[CȞ x 12+Ȟ : #f #f 2*yf

٧٠ = ٢ * ٣٥ 1

ŐńĻíĎ÷ ŐńĻ Őń Ő ńńĻíĎ÷ ńĻíĎ ńĻ ĻííĎĎ÷÷ ččî ĻĻíĎ÷ čîòø čîò čîòøćí îîòø îò îòøćí òòø òøć øøćí ćí :IÉ£©ªdG äÉHÉLE’G ø«H øe áë«ë°üdG áHÉLE’G ôàNG

..... = łń ‫ﺟ‬

ņĿ ‫د‬

¶" r Mņ

ŀĿ ‫ب‬

- ¶" c ...... = ( C ) X i V ¶"C C C C

cŅĿ ‫ﺟ‬

cłĿ ‫د‬

c٦٠

¶" C Cń ¶o Eń i V Ł = r ¶o E i ^ / 1 M = 5 =ņ 5łń

ņĿĿ ‫أ‬

‫ ﺟـ‬3

- ¶" = ¶"C i ^r Ů c f ¶" C 2 C C

cňĿ ‫ب‬

cŀŁĿ ‫أ‬

ł Ń-

٣! 4

ń Ł

..... = ! i V = ! * C i ^r b ŀ ŀ l = Ů b ł ń l = C i ^ / 3 b

Ņ ň- ‫د‬ l ŀ- ł

= C j ^ / -2Wkf b ŇC ŀŅ ‫د‬

Ń ŀņ- ‫ﺟ‬ l ŀ- Ņ

l VsW?gb is_ ....... = 5 i V C = C i ^r b

Ń! ‫ﺟ‬

Ń ŀŀ- ‫ب‬ l ŀ- ł

ŀ Ňl ‫أ‬ Ł ł

٧ 5

5 Ł l 4 Ł- 5 = i ^ /

Ń ‫ب‬

Ń- ‫أ‬

‫ ﺻﻔﺮ‬6

ń Ł ŀ 5 ......... = = i Vƅ b Ł l = b = l C i ^r b ł ŀ l = ŀ-C i ^ / 5

Ň ‫د‬

ņ ‫ﺟ‬

Ņ ‫ب‬

ń ‫أ‬ ¶"

..... =

2W> ‫د‬

ł ‫ﺟ‬

ń ń ń

Ń ‫ب‬

+C ¶" + ¶" + C

[١-] - ‫ ﺡ‬7 6

١ 8

ń ‫أ‬

i V .z&r d& ł = MŁ + = ] + 5łƅŀł = M ] + =ł - 5Ł Ůń = Mł + =Ł + 5 Đ- Ogcb i ^ / 7 ......... ǽ ] {ŀł Ůŀ-} - % ‫د‬

{ŀł} - % ‫ﺟ‬

{ŀ-} - % ‫ب‬

% ‫أ‬ ŀ- ł Ł

...... = ( C )S i V f ŀ ł- Ł- p = C i ^ / 8 ł ‫د‬

Ł ‫ﺟ‬

ŀ ‫ب‬ ...... = ( .fC )S i V

ł ‫د‬

Ł ‫ﺟ‬

ŀ ‫ب‬

ł- ň Ņ

2W> ‫أ‬

ł ŀ ŀ f Ł Ŀ ŀ- p = C i ^ / 9 ŀ Ł- Ł

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

2W> ‫أ‬

١+‫ﺏ‬+C

١+‫ﺏ‬

١+C

‫ﺏ‬+C

‫ﺱ‬٣

108

(١ + ‫ ﺏ‬+ C) ‫ﺱ‬٣ ١

١+‫ﺏ‬

١+C

‫ﺏ‬+C

‫ = ﺻﻔﺮ‬9 `

‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

١‫ = ﺹ‬٢‫ ﺹ‬a

‫ﺣﻞ املﻌﺎدﻻت اﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام املﻌﻜﻮس اﻟﴬﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬

3-3

}lb 6 5 .

11 5ł 5ł 5ł ŀ C ŀ+ ŀ+C +C

2W> =

١-

٥-

١-

:á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :Ék«fÉK

:i -.'gb `V ir. 10

ł ŀ- Ł

f ń- Ń ŀ- p = C VsW?gb 2f 7& 11 ŀ- ń Ń

-.'gb `V ir. 12 =5=

: z Ē Đ- Ogb d& VsW?gcb w 2Cb 5s_Ogb e .+ 6 13

(١٦ - ٥-) ٣ + (٢٠ + ١) ١ + (٢٥ + ٤-) ٢= ‫ = ﺻﻔﺮ‬٦٣ - ٢١ + ٤٢

‫ ! ﺹ‬٢١- = ١٦ - ٥- =

٤ ١٥ ٤

ň = MŁ + = + 5 Ůń = = + 5ł Ůł = M - =Ł + 5Ł :i -.'gb = s* e .+ 6 14 (¶" C + ¶" + C ) 5 + ¶" C =

٣>(C)S`

ŀ- = MŁ + =ń - 5ł Ůń = M - =ł + 5Ł Ů Ł = M + = - 5 M + = + 5 gzZ ."r Ń- =

‫ﺱ‬+١

‫ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻔﺮﺩه‬C ‫ﺏ ﻣﻨﻔﺮﺩه‬

ŀŅ Ň ‫ب‬ l Ń Ł =

Ł ŀ ŀ

f Ń Ł Ł p=- ‫د‬

‫ﺹ‬+١

‫ﺱ‬+١

‫ﺹ‬+١

‫ﺱ‬

‫ﺹ‬-

‫ﺱ‬-

١ ٣

‫ ! ﺻﻔﺮ‬١٧ = ٢ + ١٥ = ٥ ٢- = C 17 ١٦ ٨

‫ = ﺻﻔﺮ‬٤ ٢ = ‫ﺏ‬ ٣ ١ ١

‫ ! ﺻﻔﺮ‬١٢- = (٢ - ٠) ١ + (٦ - ٤-) ١ = ١- ١ ٠ = ‫ﺟـ‬ ٤- ٠ ٢

‫ﺝ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻔﺮﺩه‬ ٢ ١ ١ ١‫ﺹ‬٢ = ٣‫ = ﺻﻔﺮ ﺣﻴﺚ ﺹ‬٤ ٢ ٢ = ‫ﺩ‬

٦ ٣ ٣

‫` ﺩ ﻣﻔﺮﺩه‬

Ņ ł ł

‫=ﺱﺹ‬

‫ اﻟﺠﱪ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

= 5 Ł+M Ł+= 5 M = Ł+5 M

i ^ / 16

: -2Wkf 2zR py r -2Wkf z Ē VsW?gb lf yÊ lzÍ ¼ 17

‫ ﺻﻔﺮ‬12 ‫ﺹ‬+١

5 5 5+C 5 5+ 5 5 + ¶¶" 5 5

: z Ē Đ- Ogb d& zj _f ' 15

٢=(C)S

ŀ ŀ ŀ ŀ ŀ = + ŀ i ŀ =+ŀ ŀ

109

Ǻ'f - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

ŀ ł l ‫أ‬ ń Ł- = C

ł ŀ ŀ ‫ﺟ‬ f ŀ- ŀ Ŀ p = ! Ń- Ŀ Ł

‫‪ôŔįíĎĴĿí ôēĊňŌĿí :îŔŇîû‬‬ ‫‪Ò‬‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬

‫‪ŐĿōŗí óĊăŎĿí‬‬ ‫‪OÉ©HCG áKÓKh øjó©H ≈a ¢SÉ«≤dGh á°Sóæ¡dG‬‬

‫‪OÉ©HCG áKÓKh øjó©H ≈a ¢SÉ«≤dGh á°Sóæ¡dG‬‬

‫‪Geometry Measurement in two and three dimensions‬‬

‫‪Geometry Measurment in two and‬‬ ‫‪three Dimensions‬‬

‫‪óĊăŎĿí ôŃĊĸŃ‬‬ ‫‪:øjCGõL ≈dEG º°ù≤æJh É¡°†©ÑH äÉaÉ°ùªdGh ÉjGhõdGh ∫Éμ°TC’G ábÓY á°SGQO É¡fCG Éªc ,É¡JÉØ°Uh ∫Éμ°TC’G ´GƒfCG ∞∏àîe á°SGQO º∏Y ≈g á°Sóæ¡dG‬‬ ‫‪OÉ©HCG áKÓK É¡d ≈àdG äÉª°ùéªdG á°SGQóH ¢üàîJh:(AÉ°†ØdG) á«ZGôØdG á°Sóæ¡ªdG ,§≤a øjó©H É¡d ≈àdG á«°Sóæ¡dG ∫Éμ°TC’G á°SGQóH ¢üàîJh :ájƒà°ùªdG á°Sóæ¡dG‬‬ ‫)‪.ájhôμdGh á«WhôîªdG ΩÉ°ùLC’Gh ,á«fGƒ£°SC’G äÉª°ùéªdGh ,äÓ«£à°ùªdG iRGƒàe πãe äÉZGôa ™e πeÉ©àJh (´ÉØJQCG ,¢VôY ,∫ƒW‬‬

‫ﻣﻘﺪﻣﺔ اﻟﻮﺣﺪة‬

‫‪≥∏WCG ÜÉàc ≈a É¡ª¶fh á«°Sóæ¡dG èFÉàædG πc ∂dP ó©H ¢Só«∏bCG ™ªL ºK äÉjô¶ædG ¢†©Ñd äÉJÉÑKG ¢ù«dÉW ∞°ûàcGh ≥jôZC’G ºg á°Sóæ¡dG Ωóîà°SG øe ∫hCGh‬‬

‫ﻳﺘﺴﻢ ﺍﻟﻌﺎﻟﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻌﻴﺶ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﻔﺮﺩ ﺑﺎﻟﻨﻮﻉ ﻭﺍﻻﺧﺘﻼﻑ‬ ‫ﻭﻳﻤﺘﺎﺯ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺑﻘﺪﺭﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻓﻬﻢ ﻭﺍﺳﺘﻴﻌﺎﺏ ﺍﻟﻮﺍﻗﻒ‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻮﺍﻗﻒ ﺍﻟﺤﻴﺎﺗﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺗﻤﺜﻞ‬ ‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺃﺣﺪ ﻣﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﻓﻬﻢ ﺍﻟﻨﻈﻢ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻤﻜﻨﻪ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻌﻬﻢ‬ ‫ﺳﻮﺍﺀ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﺜﻨﺎﺋﻴﺔ ﺃﻭ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﺍﻟﺬﻯ‬ ‫ﻳﻤﺜﻠﻪ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﺛﻼﺛﻰ ﺍﻷﺑﻌﺎﺩ‪ .‬ﻭﻓﻰ ﻫﺬه ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻳﺴﺘﻜﻤﻞ‬ ‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺩﺭﺍﺳﺘﻪ ﻟﻌﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﻟﺘﻰ ﺳﺒﻖ ﻭﺩﺭﺳﺘﻬﺎ‬ ‫ﻓﻰ ﺑﻌﺪﻳﻦ ﻭﻟﻜﻦ ﺗﺸﻜﻞ ﺃﻛﺜﺮ ﺗﻮﻇﻴﻔﻴﺔ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺩﺭﺍﺳﺔ‬ ‫ﺗﻠﻚ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﻓﻰ ﻧﻈﺎﻡ ﺛﻼﺛﻰ ﺍﻷﺑﻌﺎﺩ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﻋﻠﻴﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻣﺨﺮﺟﺎت اﻟﺘﻌﻠﻢ‪:‬‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﻮﺣﺪة وﺗﻨﻔﻴﺬ اﻷﻧﺸﻄﺔ ﻓﻴﻬﺎ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﻳﻜﻮن‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎد ًرا ﻋﻠﻰ أن‪:‬‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﺫ￯ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﺃﺑﻌﺎﺩ ﻭﻳﺤﻠﻞ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬ ‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬

‫‪,á«°Só«∏bEG ÓdG á°Sóæ¡dGh (OÉ©HCG á©HQC’G äGP) ≈μ°ùaƒμæe á°Sóægh äÉã∏ãªdG á°Sóægh á«∏«∏ëàdG á°Sóæ¡dG ≈dEG ∂dP ó©H äQƒ£J ºK "ÇOÉÑªdG" ¬«∏Y‬‬ ‫‪.OÉ©HCG áKÓK ≈a Éª¡æ«H ábÓ©dGh äÉjƒà°ùªdGh äÉª«≤à°ùªdG á°SGQO ≈a äÉ¡éàªdG ΩGóîà°SG ∫hÉæàf ±ƒ°S IóMƒdG √òg ≈ah Égô«Zh‬‬

‫‪óĊăŎĿí ıíĊŋã‬‬ ‫‪:o }gR 5Ǜ 1 ^ f Kf oyc o T^y lf rk ʘ v Z K?pȚ 4 [q 2S x ʘ 2*yf t4u vp }Z‬‬ ‫ ‪.ãÐ}aUÐ R eUÐ d xí Øn_=Ì p?Ć UÐ îÙ ?Ð{AüÐ ên^fUÐ æ}_ x‬‬ ‫ ‪ [ fY p]bi Ónh?Ð{AÎí ãÐ}aUÐ R h ]bi h= pRn eUÐ {@ x‬‬ ‫‪.ãÐ}aUÐ R pehb Y p_]S‬‬ ‫ ‪~T}eUÐ Ónh?Ð{AÎ pUø{= Ò}cdU px~>ÚncUÐ pUØn_eUÐ {@ x‬‬ ‫‪.Ò}cUÐ dL p]bi Ónh?Ð{AÎí‬‬ ‫ ‪:éĆB Y ãÐ}aUÐ R Óng eUÐ dL æ}_ x‬‬ ‫ >‪.o>}Y ?Ć = eUÐ h e‬‬

‫ ‪º (» º» º¼) = M ãÐ}aUÐ R phHnHúÐ Ò{A UÐ Óng Y‬‬ ‫‪.(¼ º» º») = M º(» º¼ º») = N‬‬

‫ ‪M º N º M phHnHúÐ Ò{A UÐ Óng Y pUø{= Y îÌ L }h _ UÐ‬‬

‫ ‪Ónh?Ð{AÌ pUÐ{= ãÐ}aUÐ R g@ eUÐ pehb eUÐ p_]bUÐ L }h _ UÐ‬‬ ‫‪.nghR}J‬‬

‫‪110‬‬

‫ ‪ wn >øÐ Ñ}\UÐ ÉnAí HnhbUÐ Ñ}\UÐ ÉnA æ}_ x‬‬ ‫‪.ãÐ}aUÐí î eUÐ R hg eU‬‬ ‫ ‪ R hg eU wn >øÐí HnhbUÐ Ñ}\UÐ ÉnA ÞÐ B æ}_ x‬‬ ‫‪.ãÐ}aUÐí î eUÐ‬‬ ‫ ‪.ãÐ}aUÐ R eUÐ d xí Øn_=Ì p?Ć UÐ ÐÙ ?Ð{AüÐ ên^fUÐ æ}_ x‬‬ ‫ ‪.ãÐ}aUÐ R h ]bi h= pRn eUÐ {@ x‬‬

‫ ‪.ãÐ}aUÐ R pehb Y p_]S [ fY p]bi Ónh?Ð{AÎ {@ x‬‬ ‫ ‪.Ò}cdU px~>ÚncUÐ pUØn_eUÐ {@ x‬‬ ‫ ‪.ãÐ}aUÐ R Óng eUÐ æ}_ x‬‬ ‫‪.n ð >}Y nhă ?Ć? ng Y‬‬ ‫ ‪ ex‬‬ ‫‪ð‬‬

‫ ‪.ãÐ}aUÐ R phHnHúÐ Ò{A UÐ Óng Y Ø{ x‬‬

‫ ‪.phHnHúÐ Ò{A UÐ Óng Y pUø{= pehS Y îÌ pehS L } _x‬‬

‫ ‪.nghR}J Ónh?Ð{AÎ pUø{= ãÐ}aUÐ R pg@ Y phfhH p]bi L } _x‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻭﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ‬ ‫ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮ￯ ﻭﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺧﻮﺍﺹ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻭﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻮ￯ ﻭﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﺫﺍ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﺃﺑﻌﺎﺩ ﻭﻳﺤﻠﻞ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬ ‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬

‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬ ‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻜﺎﺭﺗﺰﻳﺔ ﻟﻠﻜﺮﺓ‪.‬‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬

‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻜﺎﺭﺗﺰﻳﺔ ﻟﻠﻜﺮﺓ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰ‬ ‫ﻭﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﺮﺓ‪.‬‬

‫ﻣﺘﺠﻬﺎ ﺛﻼﺛﻴﺎ ﻣﺮﺗ ﹰﺒﺎ‪.‬‬ ‫ ﻳﻤﺜﻞ‬ ‫ﹰ‬

‫ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺑﺜﻼﺛﻰ ﻣﺮﺗﺐ‪.‬‬

‫ ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﻗﻴﻤﺔ ﺃ￯ ﻣﺘﺠﻪ ﻗﻴﻤﺔ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻣﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ‪.‬‬

‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ‪:‬‬

‫ ﻣﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ‪، (٠ ،٠ ،١) = M‬‬ ‫‪ ،(٠ ،١ ،٠) = N‬ﻉ = )‪.(١ ،٠ ،٠‬‬

‫ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﺃ￯ ﻣﺘﺠﻪ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻣﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ‪N ، M‬‬

‫‪ ،‬ﻉ‬

‫ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﺑﺪﺍﻟﺔ ﺃﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬ ‫ﻃﺮﻓﻴﻬﺎ‪.‬‬

‫‪80‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ ﻳﺤﺪﺩ ﻣﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬

‫ ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺳﻴﻨﻴﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻃﺮﻓﻴﻬﺎ‪.‬‬

ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ HnhbUÐ ?Ć UÐ Ñ}\UÐ Ñ scalar trople product positiouvectorin unit vector space

: ‫زﻣﻦ ﺗﺪرﻳﺲ اﻟﻮﺣﺪة‬ (‫ ﺣﺼﺺ‬٩)

the norm of cector

plane scalar product

UÐ Y Ñ Ò{A UÐ Y Ñ eUÐ Únh_Y Ñ

vector produvt component work

î Y Ñ HnhS Ñ} Ñ wn >Ð Ñ} Ñ eUÐ p T}Y Ñ `ZUÐ Ñ

óĊăŎĿí đōčĉ

ãÐ}R Ñ Øn_=úÐ ?Ć? Ñ bY Ñ fehUÐ {hUÐ Ò{LnS Ñ o>}UÐ ?Ć? Y Ñ

space 3D projection right hand Rule vector trio ranks

ľëîēŎĿíō õíōĉŗí

.Øn_=Ì p?Ć? R {Yn_ eUÐ ?Ð{AüÐ ên^fUÐ :(¼ - ¼) ÜÚ{UÐ

phedL p HnA pUË Ñ

.ãÐ}aUÐ R Óng eUÐ :(½ - ¼) ÜÚ{UÐ .Óng eUÐ Ñ} :(¾ - ¼) ÜÚ{UÐ

:‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜري اﻟﺘﻰ ﺗﻨﻤﻴﻬﺎ اﻟﻮﺣﺪة‬

‫ ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ‬- ‫ ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﻨﺎﻗﺪ‬- ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬- ‫ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻰ‬ .‫ﺍﻟﺘﺄﻣﻠﻰ‬

óóĊăŎŀĿ ĊăŎŀĿ Ő ŐńŔĨň÷ ńŔĨň÷ ĢĤĈŃ ĉîĬñã ôûŜûō ņœĊĬñ Őĳ đîŔĸĿíō ôēĊňŌĿí

:‫اﻟﻮﺳﺎﺋﻞ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ .‫ ﺍﻗﻼﻡ ﻣﻠﻮﻧﺔ‬- ‫ ﻃﺒﺎﺷﻴﺮ ﻣﻠﻮﻥ‬- ‫ ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﺠﺴﻤﺔ‬- ‫ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ‬ :‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ - ‫ ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬- ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬- ‫ ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ‬- ‫ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ‬ .‫ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ ﺍﻷﻛﺘﺸﺎﻑ‬

ĉîĬñã ôûŜû Őĳ ĊŃîĬøńĿí ŐûíĊăří ŁîĨňĿí

Īńÿ õîŌĀøńĿí

ŐŋîĀ÷śí ïĎĠĿí ņŔŌĀøńĿ

‫اﻟﻤﺨﻄﻂ اﻟﺘﻨﻈﻴﻤﻰ ﻟﻠﻮﺣﺪة‬ :‫ﻳﻮﺿﺢ اﻟﻤﺨﻄﻂ اﻟﺘﻨﻈﻴﻤﻰ ﻟﻠﻮﺣﺪة‬

‫ ﻋﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻨﻈﺎﻡ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻰ ﺛﻼﺛﻰ ﺍﻷﺑﻌﺎﺩ ﻣﺜﻞ‬‫ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﻣﻮﺿﻊ ﺟﺴﻢ ﺃﻭ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ‬ ‫ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻭﺍﻟﻤﻌﻨﻰ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﻰ ﻟﻠﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬

‫ اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

Īńÿ õîŌĀøńĿí

ŊĀøŃ ïĎğ ŐĸŔĸă

ĢĸĔŃ (ŊĀøŃ ôòĻĎŃ)

ŊĀøŃ óĊăŎĿí

ōã łĔĀĿí ĪğŎŃ ĭíĎĴĿí Őĳ ôĤĸŇ

ŊĀøŃ ĪğŎńĿí

ņŔŌĀøńĿ ŐēîŔĸĿí ïĎĠĿí ôĿĉîĬŃ Őĳ óĎļĿí ĭíĎĴĿí

ïĎğ ęíŎć õîŌĀøńĿí

‫ﻃﺮق اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ - ‫ ﺍﻷﻧﺸﻄﺔ ﺍﻟﻤﻔﺘﻮﺣﺔ‬- ‫ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﻭﺟﻤﺎﻋﻴﺔ‬- ‫ﺍﺳﺌﻠﺔ ﺷﻔﻬﻴﺔ ﻭﺗﺤﺮﻳﺮﻳﺔ‬ .‫ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺗﺮﺍﻛﻤﻲ‬- ‫ ﻣﺸﻜﻼﺕ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ‬- ‫ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻋﺎﻣﺔ‬

õîŌĀøńĿí

õîŌĀøńĿí Őŀī õîŔŀńĬĿí

111

ŐēĊňŌĿí ŐňĬńĿí õîŌĀøńĿí ïĎĠĿ

V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

ĲĜøňŃ ôĬĤķ ôńŔĸøĔŃ ņŔñ ôŀěíō ņŔøĤĸŇ ĭíĎĴĿí Őĳ

ņŔñ ĊĬòĿí ņŔøĤĸŇ ĭíĎĴĿí Őĳ

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫‪ŐĿōŗí óĊăŎĿí‬‬

‫‪≈a óeÉ©àªdG ≈KGóM’G ΩÉ¶ædG‬‬ ‫‪OÉ©HG çÓK‬‬

‫‪1-1‬‬

‫‪OÉ©HCG áKÓK ≈a óeÉ©àªdG ≈KGóME’G ΩÉ¶ædG‬‬

‫‪1-1‬‬

‫‪The three- dimensional orthogonal coordinate system‬‬

‫ﻓﻜﺮ وﻧﺎﻗﺶ‬

‫‪łŀĬø÷ ıŎē‬‬

‫‪The three dimensional orthogo coord‬‬

‫ ‪ M‬‬ ‫ ‬

‫‪ G[j lN h7#b 0o .O ½ V2Of e4cy hz[ 7f H* wcN h7" PBsf .y.' b a‬‬ ‫ ) * ‪.(r) d>Ĕ G[j wg7 r ŮqzcN ( y1 z‬‬ ‫ ‬ ‫‪% ǽ 5 = Cr‬‬

‫ ' ‪ M !" # $ % &$‬‬ ‫ *" ‪ &"M & (!' )$‬‬ ‫ ‪ + ,-‬‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫ ‬

‫ ‪ + ,- &"M & . /%‬‬ ‫ ‪ + ,- 0,1‬‬

‫ﺧﻠﻔﻴﺔ‪:‬‬

‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ ﻓﻰ ﺑﻌﺪﻳﻦ‬ ‫ﻭﺩﺭﺍﺳﺔ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﻻﺷﻜﺎﻝ ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺨﻄﻮﻁ‬ ‫ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﻭﻓﻰ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺳﻴﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﻭﻟﻜﻦ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﺣﺪﺍﺛﻰ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺛﻼﺛﻰ ﺍﻷﺑﻌﺎﺩ‪.‬‬

‫‪H[7f V2Of e4cy ts 7f wV h7" PBsf .y.' b a‬‬ ‫‪. .f O f z .& x1s'f wcN h7#b 0o‬‬ ‫‪Ł% ǽ (= Ů5) = C‬‬ ‫‪?Q 2Wb wV h7" PBsf .y.' `k_gy Xz^ a‬‬

‫‪ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ‬‬ ‫ ‪+ ,2‬‬

‫ ‬ ‫‪C‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪space‬‬

‫ ‬

‫‪3d‬‬

‫ * ‪F‬‬

‫‪projection‬‬

‫ ‪ )$ $ 0 4‬‬

‫‪right hand rule‬‬

‫ *" ‪5‬‬

‫‪plane‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪(3ì) OÉ©HCG áKÓK ≈a óeÉ©àªdG ≈KGóME’G ΩÉ¶ædG‬‬ ‫)‪the three- dimensional orthogonal coordinate system (R3‬‬

‫ ‬

‫ﻣﺨﺮﺣﺎت اﻟﺪرس‪:‬‬

‫‪ôŃĊĈøĔńĿí õíōĉŗí‬‬

‫ ‪ đ wb 7kb Q 2Wb wV C G[kb z .& lzO‬‬ ‫‪Ůwk f wk f .f O fr .& r G[j wV OF [ f 1r 'f‬‬ ‫‪.1s'f d^ wcN G[kb m0o H[7f - #y `b/r‬‬

‫ ‪ $)64 .7 8‬‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫ ‬

‫ ‪,‬‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‪,‬‬

‫ ‬

‫‪ M ‬‬ ‫‪ !"M ! #$% &' "( M )$" * ' ! + ‬‬ ‫‪ !"M ! , -. ‬‬

‫‪112‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪ / 0 -. ‬‬ ‫ﺗﻬﻴﺌﺔ‪:‬‬

‫ﻣﻔﺮدات اﺳﺎﺳﻴﺔ‬

‫ﻓﺮﺍﻍ ‪ -‬ﺛﻼﺛﻰ ﺍﻻﺑﻌﺎﺩ ‪ -‬ﻣﺴﻘﻂ ﻣﺴﺘﻮﻯ ‪ -‬ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻴﺪ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ‬ ‫اﻟﻤﻮاد اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‪:‬‬

‫ﺳﺒﻮﺭﺓ ﺗﻌﻠﻴﻤﻴﺔ ‪ -‬ﻃﺒﺎﺷﻴﺮ ﻣﻠﻮﻥ ‪ -‬ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﺠﺴﻤﺔ ‪ -‬ﺳﺒﻮﺭﺓ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪ -‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ‪.‬‬ ‫ﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻴﻢ‪:‬‬

‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺹ‪ ١٢٠‬ﺇﻟﻰ ﺹ ‪.١٢٧‬‬

‫‪82‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﻓﻜﺮ ﻧﺎﻗﺶ ﺹ )‪ (١٢٠‬ﺫﻛﺮ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﺒﻌﺾ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻰ ﺳﺒﻖ ﻭﺗﻢ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ‬ ‫ﺗﻌﺮﻑ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﻮﺿﻊ ﺟﺴﻢ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‪ ،‬ﻭﺃﻛﺪ‬ ‫ﻼ ﻋﻨﺪ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﻮﺿﻊ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺪﺭﺝ ﺍﻟﺤﺎﺩﺙ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ﻓﻤﺜ ً‬ ‫ﺟﺴﻢ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺨﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺘﺤﺪﺙ ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺍﺣﺎﺩﻯ‬ ‫ﺃﻣﺎ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﻮﺿﻌﻪ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺘﺤﺪﺙ ﻋﻦ‬ ‫ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ﻭﻟﺬﺍ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻣﻮﺿﻌﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‬ ‫ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺘﺤﺪﺙ ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺍﺣﺪﺍﺛﻰ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺛﻼﺛﻰ ﺍﻻﺑﻌﺎﺩ‪.‬‬

‫ ‪,‬‬

‫ ‬

‫اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎد ًرا ﻋﻠﻰ أن‪:‬‬

‫‪E‬‬

‫ ‪,‬‬

‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬا اﻟﺪرس وﺗﻨﻔﻴﺬ اﻷﻧﺸﻄﺔ ﻓﻴﻪ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﻳﻜﻮن‬

‫‪Scientific calculator‬‬

‫‪ z .& ."r Ů\ 7b w .&Ė e Kkb wVƄ:Ƅǔƾ‬‬ ‫^‪E Ů¶" Ů H[kb lf d‬‬

‫ ‬ ‫ ‪

, ,‬‬

‫اﻟﻨﻈﺎم اﻻﺣﺪاﺛﻰ املﺘﻌﺎﻣﺪ ﰱ ﺛﻼث اﺑﻌﺎد‬ ‫‪1-1‬‬

‫ ‪1 S "ȗ" Ȕ 2k S Ȟ }" 2*Ȝ i Oqf‬‬

‫ ‬

‫‪:á«°SÉ°SCG º«gÉØe‬‬ ‫ ‪ -‬‬ ‫‪ůwkgzb .zb .N Z M #y - O đ wV .f O gb w .&Ė e Kkb lys_ .kN‬‬ ‫&‪m # 2z;yr Ů= 1s'gb "sgb m # Đ wb zk'kgb .zb P > 2z; z‬‬ ‫ ‪.M 1s'gb "sgb m # Đ wb e p Ė‬‬

‫ ‪-‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬

‫ ‬ ‫"‪wV P[ (Ŀ Ů= Ů5) p z .& { b Q 2Wb wV H[kb Pzg‬‬ ‫ ‪2W> = M q b- Of is_ r = 5 w .&Ė ts 7gb‬‬ ‫"‪ts 7gb wV P[ (M ŮĿ Ů5) p z .& { b Q 2Wb H[j Pzg‬‬ ‫ ‪2W> = = q b- Of is_ r M 5 w .&Ė‬‬ ‫"‪wV P[ (M Ů= ŮĿ) p z .& { b Q 2Wb H[j Pzg‬‬ ‫ ‪2W> = 5 q b- Of is_ r M = w .&Ė ts 7gb‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫ ‬

‫ = ‬

‫ ‬

‫ = ‬ ‫'&‪!"# $M‬‬ ‫ ‪ , ,‬‬

‫ = ‬

‫ ‬

‫ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﻃﻼﺑﻚ ﻗﺮﺍﺀﺓ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﻭﻣﻨﺎﻗﺸﺘﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ‪ ،‬ﻭﺍﺑﺪﺃ‬ ‫ﺑﺮﺳﻢ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ ﻓﻰ ﺛﻼﺙ ﺃﺑﻌﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ‬ ‫ﻭﺍﺑﺪﺃ ﻓﻰ ﺍﺩﺍﺭ ﺣﻮﺍﺭ ﻭﻋﺼﻒ ﺫﻫﻨﻰ ﺣﻮﻝ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﻮﺿﻊ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺃﻧﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﺰﻭﺍﺝ ﺍﻟﺜﻼﺛﻰ )‪(٢ ،٣ ،٢-‬‬ ‫ﻧﺒﺪﺃ ﺑﺘﺤﺪﻳﺪ ﻣﻮﺿﻊ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻰ ﺱ ﺛﻢ‬

‫) ‪(U 6[f Ȕ K_p TFyk ɪ S‬‬

‫ ‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪+‬‬

‫أ ‪-.'j (Ł Ůł ŮŁ-) C G[kb lzzO b‬‬ ‫ ‪5 ts 7gb wV (ł ŮŁ-) G[kb‬‬ ‫=‪ "sgb m # Đ wV ]2' j h Ů‬‬ ‫‪wcN d?'kV Ůlz .&r M 1s'gb‬‬ ‫ ‪C G[kb‬‬

‫*‬

‫‪*− +−‬‬ ‫‪(− )−‬‬ ‫) (‬ ‫*‬ ‫ ‪+‬‬‫ ‬

‫)‬ ‫(‬ ‫‪)− (−‬‬ ‫(‬

‫‪*−‬‬ ‫)‬

‫‪+−‬‬ ‫*‬

‫‬‫ ‬

‫ ‬

‫ﺹ ﺛﻢ ﺭﺑﻂ ﻫﺬه ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ ﻉ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ‬ ‫ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺑﻌﺾ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻣﻮﺟﺒﺔ‬ ‫ﻭﺑﻌﻀﻬﺎ ﺳﺎﻟﺐ‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫‪-‬‬

‫ب ‪-.'j (ń Ůŀ- Ůł) G[kb lzzO b‬‬ ‫ ‪Ů= 5 ts 7gb wV (ŀ- Ůł) G[kb‬‬ ‫ ‪ "sgb m # Đ wV ]2' j h‬‬ ‫‪wcN d?' V Ů .&r ń M 1s'gb‬‬ ‫ ‪. G[kb‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬ ‫*‬ ‫)‬ ‫‪*− +−‬‬ ‫‪(− )−‬‬ ‫) (‬ ‫*‬ ‫ ‪+‬‬‫ ‬

‫(‬ ‫‪)− (−‬‬ ‫(‬

‫‪*−‬‬ ‫)‬

‫‪+−‬‬ ‫*‬

‫‪+‬‬

‫ﺍﻟﻤﺤﻮﺭﻳﻦ ‪ -‬ﺱ ‪ ،‬ﺹ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ )ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﺪﻯ‬ ‫ﺍﻟﻄﻼﺏ( ﻭﺍﺳﺘﻤﺮ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﺎﺵ ﺣﺘﻰ ﻳﺼﻠﻮﺍ ﺇﻟﻰ ﺍﻥ ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬ ‫ﺃﻯ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻫﻰ )ﺱ ﺩ ﺹ ﺩ( ﻭﺍﻧﻪ ﻳﺴﻤﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺱ ﺹ ﻭﺗﻜﻮﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﻉ = ﺻﻔﺮ ‪ ،‬ﻭﺍﻧﺘﻘﻞ ﺇﻟﻰ ﺑﺎﻗﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ﺣﺘﻰ ﺗﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻭﺿﻮﺡ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻟﻬﻢ‪.‬‬

‫‪(ÆGôØdG ≈a á£≤f ™°Vƒe ø««©J) ∫Éãe óæH ≈a‬‬

‫‪:- O Ĕ { đ .f O f { .& e Kj e .+ 6 z Ē H[kb lf d^ PBsf lzN 1‬‬ ‫ﺟ "¶ )‪(ŀ- ŮĿ ŮŃ‬‬ ‫ب )‪(ń Ůŀ- Ůł‬‬ ‫أ ‪(Ł Ůł ŮŁ-) C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪1-1‬‬

‫‬‫ ‬

‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪113‬‬

‫إﺟﺮاءات اﻟﺪرس‬

‫‪: (121) º∏©J óæH ≈a‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺭﺳﻢ ﻧﻈﺎﻡ ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﻣﻮﺿﻊ ﺍﻟﺠﺴﻢ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﻫﻮ ﻣﺎ ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ ﻓﻰ ﺛﻼﺙ ﺍﺑﻌﺎﺩ‬ ‫)ﻃﻮﻝ‪ ،‬ﻋﺮﺽ‪ ،‬ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ( ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻋﻠﻰ ﺭﺳﻢ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ‪.‬‬ ‫ ﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﺳﺘﻴﻌﺎﺏ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﻤﺠﺴﻢ‬ ‫ﻟﻤﺘﻮﺍﺯﻯ ﻣﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ﺃﻭ ﻣﻜﻌﺐ ﻟﺘﻘﺮﻳﺐ ﻓﻜﺮﺓ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﺛﻼﺛﻰ‬ ‫ﺍﻻﺑﻌﺎﺩ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺃﻯ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬

‫‪121¢U á«°SÉ°SG º«gÉØe óæH ≈a‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﻘﺼﻮﺩ ﺑﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻴﺪ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ﻟﺘﻮﺿﻴﺢ ﻣﻮﺿﻊ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﺍﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﺱ‪ ،‬ﺹ‪ ،‬ﻉ ﻭﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺛﺒﺎﺕ ﻫﺬﺍ‬ ‫ﺍﻟﻮﺿﻊ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﺍﻷﺯﻭﺍﺝ ﺍﻟﺜﻼﺛﻴﺔ ﻷﻯ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪ .‬ﻭﻭﺿﺢ‬ ‫ﺇﻟﻴﻬﻢ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻤﻴﺰ ﺑﻴﻦ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻭﺍﻻﺗﺠﺎه‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻜﻞ ﻣﺤﻮﺭ ﻣﻦ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ‪.‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪﺓ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﺛﻼﺛﺔ‬ ‫ﻣﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ﻧﺎﺗﺠﺔ ﻋﻦ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻟﻜﻞ ﻣﺤﻮﺭﻳﻦ ﻣ ًﻌﺎ ﻭﻫﺬﺍ ﻣﺎ ﻳﻄﻠﻖ‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻨﻬﻢ ﺷﺮﺡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪83‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‪ :‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ واﻟﻘﻴﺎس ﰱ ﺑﻌﺪﻳﻦ وﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‬ ‫ ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻧﻪ ﻟﺘﺤﺪﻳﺪ ﻣﻮﺿﻊ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻧﺮﺳﻢ ﺧﻄﻮﻁ‬ ‫ﺗﻮﺍﺯﻯ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﻧﺒﺪﺃ ﺑﺘﺤﺪﻳﺪ ﻣﻮﺿﻊ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻰ‬ ‫ﺍﻟﺴﻴﻨﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ ﺱ ﻭﺭﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮﺍﺯﻯ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ‬ ‫ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺹ ﺣﺘﻰ ﻧﺼﻞ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﺑﻴﻦ ﺱ‪ ،‬ﺹ ﺛﻢ ﺭﺳﻢ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮﺍﺯﻯ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ ﻉ ﻟﻨﺼﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﺪﺩ ﺍﻟﺰﻭﺝ‬ ‫ﺍﻟﺜﻼﺛﻰ )ﺱ‪ ،‬ﺹ‪ ،‬ﻉ( ﻭﻫﻜﺬﺍ‪.‬‬

‫ ‪1 S "ȗ"x r 2S Ȕ 9 _f x :2qvf :ȟxȚ 2*yf‬‬ ‫ ‬

‫ﺟ ‪ G[kb z .& lzzO b‬‬ ‫"¶ )‪(Ŀ ŮŃ) G[kb -.'j (ŀ- ŮĿ ŮŃ‬‬ ‫‪wV ]2' j h Ů5 1s'f wcN‬‬ ‫ ‪ .&r M 1s'gb b 7b m # Đ‬‬ ‫‪. .& r‬‬

‫‪+‬‬ ‫*‬ ‫)‬ ‫‪+−‬‬ ‫‪+‬‬

‫‬‫ ‬

‫*‬

‫(‬ ‫‪*−‬‬ ‫‪+− *−‬‬ ‫‪)− (− (− )−‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫* ‪+‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪12‬‬

‫‪-−‬‬

‫‪8‬‬ ‫ ‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪:- O Ĕ { đ .f O f { .& e Kj e .+ 6 z Ē H[kb lf d^ PBsf lzN 1‬‬ ‫‪(Ń ŮĿ ŮĿ) ¶"ƅƅƅ(ł ŮŃ Ůŀ-) ƅƅƅ(ł ŮŁ Ůł) C‬‬

‫‪! /0 2‬‬ ‫أ ½ ‪.asF .&r ............................... = = 5 w .&Ė ts 7gb lN (ł ŮŁ Ůŀ-) C G[kb .O‬‬ ‫ب ½ ‪.asF .&r ............................... = M = w .&Ė ts 7gb lN (ŀ ŮŁ- ŮŃ) G[kb .O‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪ÆGôØdG ≈a ø«à£≤f ø«H ó©ÑdG :º∏©J‬‬ ‫ ‪ ZđOb wGOy ŮC lz G[kb lz .O ½ b i V ŮQ 2Wb wV lz G[j (ŁM ŮŁ= ŮŁ5) Ů(ŀM Ůŀ= Ůŀ5) C j ^ /‬‬

‫‪the distance between two point in space‬‬

‫‪:122¢U 2 , 1 πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a‬‬

‫‪= C‬‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻮﺻﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭﺫﻟﻚ‬ ‫ﺑﺮﺳﻢ ﺷﺒﻜﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺔ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻷﺑﻌﺎﺩ ﻭﺗﻮﻗﻴﻊ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﻜﺘﻮﺑﺔ‬ ‫ﻋﻠﻴﻬﺎ‪.‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫)‪ŀ= - Ł=)+ (ŀ5 - Ł5‬‬

‫ ‬ ‫ )‬ ‫ (‬

‫ )‪. ) ,) ,‬‬ ‫‪12‬‬

‫ ‬

‫ ) ‪( −‬‬

‫ (‬

‫‪C‬‬

‫ (‪ ( ,( ,‬‬ ‫ )‬

‫ ‬

‫‪ C‬‬

‫‪º∏©J óæH ≈a‬‬

‫)ﺱ‪ - ٢‬ﺱ‪١‬‬

‫(‪٢‬‬

‫‪) +‬ﺹ‪ - ٢‬ﺹ‪١‬‬

‫ ﺍﺳﺘﻤﺮ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺎﺕ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺣﺘﻰ ﻳﺘﻢ ﺍﻟﺘﻮﺻﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺒﻌﺪ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﻫﻰ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)ﺱ‪ - ٢‬ﺱ‪) + (١‬ﺹ‪ - ٢‬ﺹ‪) + (١‬ﻉ‪ - ٢‬ﻉ‪١‬‬

‫(‪٢‬‬

‫‪∫Éãe óæH ≈a‬‬ ‫ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﻃﻼﺑﻚ ﻗﺮﺍﺀﺓ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ‪ ١٢٢‬ﻭﻧﺎﻗﺸﻬﻢ‬ ‫ﻓﻲ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ )ﺍﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ( ﻭﻳﻤﻜﻦ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻣﻜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﻭﺍﻟﻨﻈﺮﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻢ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‬ ‫ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻰ ﺫﻭ ﺍﻟﺒﻌﺪﻳﻦ )ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ( ﻓﻰ ﺣﻞ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﺫﻟﻚ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﻔﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺙ ﻻﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‪.‬‬

‫‪84‬‬

‫ ) ‪( −‬‬

‫ (‬

‫ )‬

‫ ‬

‫‪.¶" wV yr 4b h Z (ŀ Ůń ŮŁ-) ¶" Ů (Ł Ů Ń ŮŃ-) Ů (ł Ůŀ- ŮŁ) C z& ¶" C c gb i 2‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪ C‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫‪Ł‬‬ ‫)‪ŀ= - Ł=)+ (ŀ5 - Ł5‬‬

‫(‪Ł‬‬

‫‪ŀM - ŁM) +‬‬

‫)‪Ł(Ł - ł) + Ł(Ń - ŀ-)+Ł(Ń + Ł‬‬

‫(‪Ł‬‬

‫= ‪ŅŁ‬‬

‫ "¶ =‬

‫)‪Ł(ŀ - Ł) + Ł(ń - Ń)+Ł(٢ + Ń-‬‬

‫= ‪Ņ‬‬

‫=‬

‫)‪Ł(ŀ - ł) + Ł(ń - ŀ-)+Ł(٢ + Ł‬‬

‫= ‪ńŅ‬‬

‫‪¶" C‬‬

‫‪114‬‬

‫ ' ‪3 M&' 3 4 56 7‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫(‪٢‬‬

‫‪C‬ﺏ=‬ ‫ ﺍﻓﺘﺢ ﺑﺎﺏ ﺍﻟﺤﻮﺍﺭ ﻭﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﻴﻦ ﺣﻮﻝ ﺍﻭﺟﻪ‬ ‫ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺑﻴﻦ ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﻭﺍﺣﺪﺛﻴﺎﺗﻬﺎ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ )ﺛﻼﺛﻰ ﺍﻻﺑﻌﺎﺩ( ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻋﻦ‬ ‫ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﻌﻴﻦ ﻣﻮﺿﻊ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺰﻭﺝ ﺍﻟﺜﻼﺛﻰ‬ ‫ﻟﻜﻞ ﻧﻘﻄﺔ‪.‬‬

‫‪C‬ﺏ=‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪E ( − ) .‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﺹ‪ .١٢٢‬ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺗﺬﻛﺮ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺒﻌﺪ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ‪)C‬ﺱ‪ ،١‬ﺹ‪ (١‬ﺏ)ﺱ‪،٢‬‬ ‫ﺹ‪ (٢‬ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺃﻧﻪ ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻫﺎﺗﻴﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻨﻪ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫(‪Ł‬‬

‫‪ŀM - ŁM) +‬‬

‫(‪Ł‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﺗﻄﻠﺐ ﻣﻦ ﻃﻼﺑﻚ ﺭﺳﻢ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻮﺿﺢ ﻛﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ )‪ ,C‬ﺏ‪ ،‬ﺟـ( ﻭﺭﺳﻢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ C‬ﺏ ﺟـ‬ ‫ﻟﻠﺘﻄﺒﻴﻖ ﻋﻠﻰ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﻮﺿﻊ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﺷﻜﻞ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬

‫اﻟﻨﻈﺎم اﻻﺣﺪاﺛﻰ املﺘﻌﺎﻣﺪ ﰱ ﺛﻼث اﺑﻌﺎد‬ ‫‪1-1‬‬

‫ ‪1 S "ȗ" Ȕ 2k S Ȟ }" 2*Ȝ i Oqf‬‬ ‫‪Ł( C) a‬‬

‫= ) ‪ŅŁ = ńŅ + Ņ = Ł(Ņń ) + Ł( Ņ ) = Ł(¶" C) + Ł(¶" ) ŮŅŁ = Ł(ŅŁ‬‬

‫` )‪Ł( C‬‬

‫= ) "¶(‪Ł(¶" C) + Ł‬‬

‫اﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬

‫ﺍﺳﺘﻤﺮﺍﺭﺍ ﻓﻰ ﺍﻻﺳﺘﻔﺎﺩه ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺒﺮﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻟﺪﻯ ﺍﻟﻄﻼﺏ‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﺃﺣﺪﻫﻢ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻮﺿﺢ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﺤﺪﻳﺪ‬ ‫ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮﻯ‪.‬‬

‫` ‪cňĿ = (¶")X‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪c gb 5r 1 wo (Ń Ů Ń ŮĿ) ¶" Ů (Ń ŮĿ ŮŃ) Ů (Ŀ ŮŃŮ Ń)C H[kb i 3‬‬

‫‪.q & 7f ."r r ŮMđBĔ tr 7 f‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪áª«≤à°ùe á©£b ∞°üàæe á£≤f äÉ«KGóMEG‬‬

‫‪The coordinates of midpoint of a line segment‬‬

‫ ﻭﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﻣﺎ ﺗﻢ ﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺎﺕ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﻜﻴﻔﻴﺔ‬ ‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺗﻮﻗﻊ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ﺗﻮﺿﺢ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﻴﺚ‬

‫ ‪:wo C X? kf P[ w b ¶" G[j z .& i V ŮQ 2Wb wV i G[j (ŁM ŮŁ= ŮŁ5) Ů(ŀM Ůŀ= Ůŀ5)C j ^ /‬‬ ‫"¶ ‪k‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪Ł5 + ŀ5‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪Ů‬‬

‫=‪Ł= + ŀ‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪Ů‬‬

‫‪ŁM + ŀM‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪a‬‬

‫‪ C X? kf G[j z .& ."r Ů(Ń Ůŀ- ŮŃ) Ů(Ł Ůł- Ůŀ)C j ^ / 3‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫ &‪X? kgb G[j z .‬‬

‫=‪Ł= + ŀ‬‬

‫‪5+ 5‬‬ ‫=‪Ů Ł Łŀ k‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫= ‪a Ń +Ł Ł Ů ŀ -Łł- Ů Ń Ł+ŀ k‬‬ ‫= ) ‪(ł ŮŁ- Ů ńŁ‬‬

‫‪Ů‬‬

‫‪ŁM + ŀM‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪1-1‬‬

‫‪a‬‬

‫ﺟـ ﻫﻰ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ‪ C‬ﺏ‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫ﺱ‪ + ١‬ﺱ‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪(Ń Ůł ŮŅ-)E Ů(Ł- ŮŃ ŮĿ) ¶" z& E ¶" X? kf G[j z .& ."r 4‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ﺟـ )‬ ‫(‬ ‫ ﻭﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﻣﺎ ﺗﻢ ﻣﻨﺎﻗﺸﺘﻪ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ‪.‬‬

‫‪ G[j z .& ."r (Ŀ , Ń- ,ŀ) C z& C X? kf G[j wo (Ņ ŮŁ ŮŁ) ¶" j ^ / :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪ÆGôØdG ≈a IôμdG ádOÉ©e‬‬

‫ﺹ‪ + ١‬ﺹ‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻉ‪ + ١‬ﻉ‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪equation of sphere‬‬

‫½ ‪ G[j lN .O { b Q 2Wb H[j Nsg#f pj 2_b U2OË‬‬ ‫‪.( 2_b 2GZ X?j asG wg7y) ¹ .O‬‬ ‫) ‪¹ ½ ( 2_b 4^2g U2O‬‬

‫ ‬ ‫ ‪

, ,‬‬

‫‪H‬‬

‫ ‪ K ,9 ,:‬‬

‫‪ G[kb o4^2f { b 2_b wcN P[ (M Ů= Ů5) G[kb j ^ / V‬‬ ‫)‪lz G[j lz .O b isj [b ¹[ F qj V H o2GZ X?j asFr (K Ů] Ůa‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫ ‬

‫‪H = Ł(K - M) + Ł(] - =) + Ł(a - 5) is_y‬‬

‫ ‬

‫‪123¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a `4‬‬ ‫ ﺳﺎﻋﺪ ﻃﻼﺑﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪:‬‬

‫ ‬

‫‪ŁH = Ł(K - M) + Ł(] - =) +Ł(a - 5) 2_b b- Ogb z6 z[b 1s?b wcN d?'j lzV2Gb Pz 2 r‬‬

‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪115‬‬

‫‪(ÆGôØdG ≈a √ôμdG ádOÉ©e) º∏©J óæH ≈a‬‬ ‫ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮه ﻭﻧﺎﻗﺶ ﻣﻌﻬﻢ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻭﺍﻟﻜﺮه ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺍﻭﺟﻪ ﺍﻟﺸﺒﻪ ﻭﺍﻻﺧﺘﻼﻑ‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫‪:123¢U í°VƒªdG πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a‬‬ ‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ‬ ‫ﻓﺘﺢ ﺑﺎﺏ ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻭﺍﻟﺤﻮﺍﺭ ﻋﻦ ﺍﻟﺸﺮﻁ ﺍﻟﻮﺍﺟﺐ ﺗﻮﺍﻓﺮه ﻟﻴﻜﻮﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﻮﻇﻴﻒ ﻣﺎ ﺗﻢ ﺗﻌﻠﻤﻪ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ‪.‬‬ ‫ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﺗﻘﺴﻢ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺇﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺎﺕ ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻘﻮﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺎﺕ ﺑﺎﻟﺤﻞ ﻭﻋﻤﻞ ﻧﻮﻉ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻨﺎﻓﺴﺔ ﺍﻹﻳﺠﺎﺑﻴﺔ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺎﺕ ﺣﻮﻝ ﺍﻷﺳﺮﻉ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﻟﻺﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﺪﺭﻳﺒﻬﻢ ﻋﻠﻰ ﺭﺳﻢ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻓﻰ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻰ‬ ‫ﺛﻼﺛﻰ ﺍﻻﺑﻌﺎﺩ‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪85‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‪ :‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ واﻟﻘﻴﺎس ﰱ ﺑﻌﺪﻳﻦ وﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﺮﺓ ﻫﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻂ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﺗﺒﻌﺪ‬ ‫ﺑﻌﺪﺍ ﺛﺎﺑ ًﺘﺎ )ﻳﺴﻤﻰ‬ ‫ﻋﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ )ﺗﻌﺮﻑ ﺑﻤﺮﻛﺰ ﺍﻟﻜﺮﺓ( ً‬ ‫ﺑﻄﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﻜﺮﺓ(‪ ،‬ﻭﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻧﻪ ﻳﺸﺒﻪ ﺇﻟﻰ ﺣﺪ ﻛﺒﻴﺮ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻭﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺃﻥ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﻟﻬﺎ‬ ‫ﺛﻼﺛﺔ ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‪.‬‬ ‫ ﺍﻓﺘﺮﺽ ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻟﻤﺮﻛﺰ ﺍﻟﻜﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﺧﺮﻯ ﻷﺣﺪ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻜﺮﺓ ﻭﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﺎ ﺗﻢ ﺗﻌﻠﻤﻪ‬ ‫ﻋﻦ ﻃﻮﻝ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻭﺍﺻﻠﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﺍﻃﻠﺐ‬ ‫ﻣﻨﻬﻢ ﺗﺴﺠﻴﻞ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻮﺿﺢ ﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺛﻢ‬ ‫ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻨﻬﻢ ﻣﻘﺎﺭﻧﻪ ﻣﺎ ﺗﻮﺻﻠﻮﺍ ﺇﻟﻴﻪ ﻣﻊ ﻣﺎ ﻫﻮ ﻣﺪﻭﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ‬ ‫ﺹ‪ ،١٢٣‬ﺛﻢ ﺍﻧﺘﻘﻞ ﺇﻟﻰ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻜﺮﺓ‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﻰ ﻳﺘﻢ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻣﻦ ﺗﺮﺑﻴﻊ ﻃﺮﻓﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫)ﺱ ‪ -‬ﻝ(‪) + ٢‬ﺹ ‪ -‬ﻙ(‪) + ٢‬ﻉ ‪ -‬ﻥ(‪٢‬‬

‫‪=H‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪. .&r ł o2GZ X?j asFr (Ń Ůŀ- ŮŁ) G[kb o4^2f { b 2_b b- Ogb z6 z[b 1s?b ."r 4‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪ň = Ł(Ń - M) + Ł(ŀ + =) + Ł(Ł - 5) 2_b b- Of‬‬ ‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪. .&r ń o2GZ X?j asFr d>Ĕ G[j o4^2f { b 2_b b- Of ."r 5‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪. pzV 2GZ wV2F go (Ł- Ůŀ Ůń) Ů (ŃŮ ń Ůŀ-)C { b 2_b b- Of ."r 5‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪(ŀŮ ł ŮŁ) = ( Ł Ł- Ń Ů ŀ +Ł ń Ů ń +Łŀ- ) x C X? kf G[j so 2_b 4^2f‬‬ ‫‪C G[jr 4^2gb lz .O b xr 7y 2_b 2GZ X?j asF‬‬ ‫` ‪ŁŁ = Ł(Ń - ŀ) + Ł(ń - ł) + Ł(ŀ + Ł) = H‬‬

‫` ‪ŁŁ = Ł(ŀ - M) + Ł(ł - =) + Ł(Ł - 5) :wo 2_b b- Of‬‬ ‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪z& pzV 2GZ C w b 2_b b- Of ."r 6‬‬

‫‪(Ņ ŮŁ- Ůł) Ů(Ł Ů Ń Ůŀ-) C‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪Ŀ =ŀŀ + MŅ- =Ł- 5Ń + ŁM + Ł= + Ł5 p b- Of w b 2_b 2GZ X?j asFr 4^2f lzÍ N¼ 6‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪:{cy g^ P 2gb a g^ e.+ 7j 2_cb z6 z[b 1s?b wcN as?'cb‬‬ ‫)‪ŀŀ- = (... +MŅ - ŁM) + (.... + =Ł + Ł=) + (... +5Ń + Ł5‬‬

‫‪ ;;; , ! 5 <>' ?4@ , ! 5 <>' ?4@ 3 A@MB C + ( + + $A EF4‬‬

‫‪) = ٢ H‬ﺱ ‪ -‬ﻝ(‪) + ٢‬ﺹ ‪ -‬ﻙ(‪) + ٢‬ﻉ ‪ -‬ﻥ(‪٢‬‬

‫ ﻭﻟﻠﺘﺪﺭﻳﺐ ﻋﻠﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻜﺮﺓ‬ ‫ﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﺳﺘﻴﻌﺎﺏ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ‪ ١٢٤‬ﺣﻴﺚ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ﻋﻦ ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﻭﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮ‬ ‫ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫‪:116¢U í°VƒªdG πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a `5‬‬ ‫ ﺳﺎﻋﺪ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﺮﺓ ﻭﻓﻖ ﺍﻟﻤﻌﻄﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺎﺣﺔ ﻭﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻤﻴﻴﺰ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ ﺑﺄﻋﺘﺒﺎﺭ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺤﻴﻂ ﺍﻟﻜﺮﺓ ﻭﺑﻴﻦ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ‪.‬‬ ‫‪٦٨ = ٢(٦-٢) + ٢(٢+٤) + ٢(٣- ١-) = ٢ H‬‬ ‫‪٨٨ = ٢ H‬‬ ‫‪٣ + ١-‬‬

‫‪٢-٤‬‬

‫‪٦+٢‬‬

‫ﻡ=) ‪( ٢ ، ٢ ، ٢‬‬ ‫ﻡ = )‪(٤ ، ١ ، ١‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻜﺮة ﻫﻲ ‪:‬‬

‫)ﺱ ‪) + ٢(١-‬ﺹ ‪) = ٢(١-‬ﻉ ‪١٧ = ٢(٤ -‬‬

‫‪86‬‬

‫ ‪1 S "ȗ"x r 2S Ȕ 9 _f x :2qvf :ȟxȚ 2*yf‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫` )‪ŀŀ - ň + ŀ + Ń = (ň + MŅ - ŁM) + (ŀ + =Ł + Ł=) + (Ń + 5Ń + Ł5‬‬ ‫` )‪ł = Ł(ł - M) + Ł(ŀ + =) + Ł(Ł + 5‬‬ ‫‪ o2GZ X?j asFr (ł Ůŀ- ŮŁ- ) G[kb o4^2f { b 2_b b- Of d g 2z*Ĕ 1s?b r‬‬

‫‪116‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ ﻭﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻭﺟﻮﺩ ﺻﻌﻮﺑﺔ ﻟﺪﻯ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻄﻼﺏ‪ ،‬ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ‬ ‫ﻣﺰﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺐ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﻣﺮﺍﺟﻌﺔ ﺧﻄﻮﺍﺕ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ‬ ‫ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ‪ ١١٦‬ﻣﻊ ﺗﻮﺿﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻳﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻜﺮﺓ ﻭﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮ ﻟﻠﻜﺮه‪.‬‬

‫‪asF .&r ł‬‬

‫اﻟﻨﻈﺎم اﻻﺣﺪاﺛﻰ املﺘﻌﺎﻣﺪ ﰱ ﺛﻼث اﺑﻌﺎد‬ ‫‪1-1‬‬

‫ ‪1 S "ȗ" Ȕ 2k S Ȟ }" 2*Ȝ i Oqf‬‬

‫ﺑﻌﺾ إﺟﺎﺑﺎت ﺗﻤﺎرﻳﻦ اﻟﺪرس اﻷول ﻣﻦ ص‪ ١١٧‬إﻟﻰ ‪١١٩‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪Ŀ =ŀ + MŃ + =Ň - 5Ņ + ŁM + Ł= + Ł5 p b- Of w b 2_b 2GZ X?j asFr 4^2f lzN 7‬‬

‫‪ 1‬ﻉ = ﺻﻔﺮ‬

‫‪:»JCÉj Ée πªcCG‬‬

‫‪4‬‬

‫‪...............................................‬‬

‫‪q b- Of x0b ............................................... w .&Ė ts 7gb i js_y /M M Ů /5 5 i gz[ 7gb 2‬‬

‫` ﺟـ )‬

‫ ‬

‫ &‪(Ŀ ŮĿ ŮĿ)r d>Ĕ G[j wcN \ Gky q6r 1 .‬‬ ‫‪...............................................‬‬

‫‪...............................................‬‬

‫‪.‬‬

‫ ‬

‫‪...............................................‬‬

‫‪wo .&r ń o2GZ X?j asFr (Ń Ůŀ- ŮŁ) G[kb o4^2f { b 2_b b- Of 5‬‬

‫‪...............................................‬‬

‫‪:IÉ£©ªdG äÉHÉLE’G ø«H øe áë«ë°üdG áHÉLE’G ôàNG‬‬ ‫‪asF .&r .... xr 7y M 5 w .&Ė ts 7gb lN (Ł Ůŀ- Ůł) G[kb .O ½ 6‬‬ ‫ﺟ ‪Ł‬‬ ‫ب ‪ŀ-‬‬ ‫أ ‪ł‬‬

‫د ‪ŀ‬‬

‫‪.asF .&r ............................................... xr 7y 5 1s'f wcN (Ń Ůł ŮŁ-) G[kb lf es62gb -sgOb asF 7‬‬ ‫د ‪Ń‬‬ ‫ﺟ ‪ń‬‬ ‫ب ‪ł‬‬ ‫أ ‪Ł‬‬ ‫‪wo (Ň Ůŀ Ůń) (Ń ŮŁ Ůł-) o V2F { b gz[ 7gb OG[b X? kf G[j z .& 8‬‬ ‫ﺟ )‪(Ń Ůŀ- ŮŇ‬‬ ‫ب )‪(Ń Ůŀ- ŮŁ‬‬ ‫أ )‪(Ņ Ů ł Ůŀ‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪، ٢ ،‬‬

‫‪(١ ،٢- ،‬‬

‫‪ 5‬ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻜﺮﺓ ﻫﻰ‬ ‫)ﺱ ‪) + ٢(٢ -‬ﺹ ‪) + ٢(١ +‬ﻉ ‪٢٥ = ٢(٤ -‬‬

‫‪12‬‬

‫‪ ) ,+ ,8 C‬‬

‫‪wo ¶" G[kb z .& r‬‬

‫‪٠+١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٣ - ١-‬‬

‫‪٢-٤‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢)=( ٢‬‬

‫ ‬

‫‪wo C X? kf G[j z .& i V (Ł Ůł- ŮĿ) Ů (Ń Ůŀ- Ůŀ) C j ^ / 4‬‬

‫‪ ،‬ﺟـ )‪(٢ ،٠ ،٦‬‬

‫ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺟـ ﻣﻨﺘﺼﻒ ‪ C‬ﺏ‬

‫‪...............................................‬‬

‫‪..f O f { .& e Kj wV đzG 7f x3 s f d gy d [gb d_;b 3‬‬

‫‪wo G[kb z .& i V‬‬

‫‪ 2‬ﺱﻉ ‪ ،‬ﺹ=‪٠‬‬

‫‪ 3‬ب )‪(٠ ،٤ ،٦‬‬

‫ﺗﻤــــﺎرﻳــﻦ )‪(١-١‬‬ ‫‪= M i V = 5 w .&Ė ts 7gb wV P[ (M Ů= Ů5) G[kb j ^ / 1‬‬

‫‪1-1‬‬

‫‪C 8‬‬

‫‪ 10‬ﺩ‬

‫‪11‬‬

‫أ ﺍﻟﺒﻌﺪ =‬

‫د )‪(ŁŮ łŁ - Ůŀ‬‬

‫)‪٢(٠ + ٤) + ٢(٠ - ٠) + ٢(١ - ٧‬‬

‫= ‪ ٦٥‬ﻭﺣﺪﺓ ﻃﻮﻳﻠﺔ‬

‫‪wo .&r ń o2GZ X?j asFr d>Ĕ G[j o4^2f { b 2_b b- Of 9‬‬ ‫ب ‪Ŀ = ŁM + Ł= + Ł5‬‬ ‫أ ‪ń = ŁM + Ł= + Ł5‬‬ ‫ﺟ )‪Łń = Ł(ń - M) + Ł(ń - =) + Ł(ń - 5‬‬ ‫د ‪Łń = ŁM + Ł= + Ł5‬‬

‫)‪٢(٦ + ٩) + ٢(١ - ١) + ٢(٢ - ٤‬‬

‫ب ﺍﻟﺒﻌﺪ =‬ ‫= ‪ ١٣‬ﻭﺣﺪﺓ ﻃﻮﻳﻠﺔ‬

‫‪wo = 5 w .&Ė ts 7gb 8g r (Ń Ůł- ŮŁ) G[kb o4^2f { b 2_b b- Of 10‬‬ ‫ب )‪ň = Ł(Ń - M) + Ł(ł + =) + Ł(Ł - 5‬‬ ‫أ )‪Ń = Ł(Ń - M) + Ł(ł + =) + Ł(Ł - 5‬‬ ‫ﺟ )‪ŀŅ = Ł(Ń - M) + Ł(ł + =) + Ł(Ł - 5‬‬ ‫د )‪ŀŅ = Ł(Ń + M) + Ł(ł - =) + Ł(Ł + 5‬‬ ‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪ 6‬ﺩ‬

‫‪C 7‬‬

‫)‪٢(٧ + ٧-) + ٢(٣ + ١) + ٢(٢ + ١‬‬

‫ﺟـ ﺍﻟﺒﻌﺪ =‬ ‫= ‪ ٥ = ٢٥‬ﻭﺣﺪﺓ ﻃﻮﻳﻠﺔ‪.‬‬

‫‪117‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫‪: 116¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a `6‬‬ ‫ﻣﻮﺿﺤﺎ‬ ‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ً‬ ‫ﻟﻬﻢ ﺿﺮﻭﺭﺓ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻜﺮﺓ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ‬ ‫ﻗﻄﺮ ﺍﻟﻜﺮﺓ ﺣﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻜﺮﺓ‪.‬‬ ‫ ﺍﻟﻔﺖ ﺍﻧﺘﺒﺎه ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ﻳﻤﺜﻞ ﺗﺠﻤﻴﻊ ﻟﻠﻌﻼﻗﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻢ ﺗﻌﻠﻤﻬﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺃﻧﻪ‬ ‫ﻟﻢ ﻳﻄﻠﺐ ﻣﻨﻬﻢ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﺒﺎﺷﺮ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﺃﻭ ﻃﻮﻝ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻭﺍﺻﻠﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‪.‬‬

‫‪117¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a `7‬‬ ‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺍﺧﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ﺣﻴﺚ ﺗﻢ‬ ‫ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻜﺮﺓ ﻛﻤﻌﻄﻰ ﻭﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ﻫﻮ ﺇﻳﺠﺎﺩ‬ ‫ﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮ ﻭﻫﺬﺍ ﻳﺘﻄﻠﺐ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﻤﻬﺎﺭﺍﺗﻬﻢ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺳﺒﻖ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ ﻓﻰ ﻓﺮﻉ ﺍﻟﺠﺒﺮ‬ ‫ﻭﺇﻛﻤﺎﻝ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺤﻞ‪.‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪87‬‬

‫ اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ واﻟﻘﻴﺎس ﰱ ﺑﻌﺪﻳﻦ وﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‬:‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‬ 1 S "ȗ"x r 2S Ȕ 9 _f x :2qvf :ȟxȚ 2*yf

:á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :{ y gf d^ wV C lz G[kb lz .O b ."r 11 (Ŀ Ů Ŀ Ů ŀ) Ů (Ń ŮĿ Ů ņ) C ‫أ‬ (ņ- Ů ł- Ů Ł-) Ů (ņ- Ů ŀ Ů ŀ) C ‫ﺟ‬

(Ņ Ů ŀ Ů Ł) Ů (ň Ůŀ ŮŃ) C ‫ب‬ :q & 7f ."r r Ů yr 4b h Z (Ŀ Ů ń Ů Ł-) Ů(Ł Ů ŀ- Ů Ł) Ů(ŀ Ů Ń Ů Ń-) ‫ب‬

c f so z Ē H[kb q6r 1 t0b c gb i 12 (Ŀ Ů Ń Ů Ŀ) Ů(Ł Ů Ŀ Ů Ŀ) Ů(Ł Ů ń Ů Ł-) ‫أ‬ O_f .&r Łņ qg#& ¹ O_f d gy d [gb d_;b 13 d>Ĕ G[j wcN \ Gky q6r 1 .& . 5r 2b {Z z .& ."r

(١) (٢) (٣)

(٠ ،٤ ،٠) ‫ ﺟـ‬، (٢ ،٠ ،٠) ‫ ﺏ‬، (٢ ،٥ ،٢-) C ‫ ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ‬12 ٢٩ = ٢(٢ - ٢) + ٢(٠ - ٥) + ٢(٠ - ٢-) = ‫ ﺏ‬C ` ٣= ٩ = ٢ (٠ + ٢) + ٢(٤ - ٥) + ٢(٠ - ٢-) = ‫ ﺟـ‬C ٢٠ = ٢(٠ + ٢) + ٢(٤ + ٠) + ٢(٠ - ٠) = ‫ﺏ ﺟـ‬

¿CG óéf 3 ,2 ,1 øe ٢(‫ )ﺏ ﺟـ‬+ ٢(‫ ﺟـ‬C) = ٢(‫ ﺏ‬C)

."r h Ů z[z['b ] hzZ Pzg#b lzZ 7b tr 7 f ¹ c f is_ (ł Ůń Ůł) Ů(] Ůł Ůń) Ů (ł Ůŀ Ůņ) H[kb i 14 .MđBĔ xr 7 f c gb dO# { b ] (hzZ) gzZ

‫ ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬٥

:{ y gf d^ wV C gz[ 7gb OG[b X? kf G[j z .& ."r 15 (Ň ŮŃ ŮŅ-) Ů (ń Ůń Ůł-)C ‫ب‬ (ŀ- ŮĿ ŮŁ) Ů (Ń Ůŀ- Ůł)C ‫أ‬ .C G[kb z .& ."r (ŀ ŮŁ- ŮŃ)

‫ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻃﻮﻟﻴﺔ‬٣ = ٢٧ ٣ = ‫ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﻟﻤﻜﻌﺐ‬13 (٣ ،٣ ،٣)‫ ﺩ‬، (٠ ،٣ ،٣)‫ ﺟـ‬، (٠ ،٣ ،٠) ‫ ﺏ‬، (٣ ،٣ ،٠) C ` (٣ ،٠ ،٣)‫( ﻥ‬٠ ،٠ ،٣)‫ ﻝ‬، (٠ ،٠ ،٠) ‫ ﻭ‬، (٣ ،٠ ،٠) ‫ﻫـ‬

z& C gz[ 7gb OG[b X? kf (Ŀ ŮŃ Ůŀ-) ¶" j ^ / 16 ņ

:i ^ / 2_b b- Of ."r 17 o2GZ X?j asFr (Ł Ůŀ- Ůł) G[kb o4^2f ‫أ‬ . pzV 2GZ zÊ pj (ŀ ŮŁ ŮĿ) Ů(ł- ŮŃ Ůł) ‫ب‬

(ń Ůŀ- ŮŁ) G[kb 2g r (ŀ ŮŅ- Ůŀ) G[kb o4^2f ‫ﺟ‬

(٣،٥،٣) ‫ ﺟـ‬،(‫ﻙ‬،٥،٣) ‫ ﺏ‬،(٧،١،٣) C ‫ ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ‬14

:w y gf d^ wV 2_b 2GZ X?j asFr 4^2f ."r 18 Ŀ = =Ń + 5Ł - ŁM + Ł= + Ł5 ‫ب‬

‫ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺟـ‬9 ` ١ ٣ = ٢٠ * ٣ * ٢ = ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺤﻪ‬

ň = ŁM + Ł= + Ł5 ‫أ‬ Ŀ = ń + MŃ - =Ņ - 5Ł - ŁMŁ + Ł=Ł + Ł5Ł ‫ﺟ‬

k G ’hC ٢(‫ ﻙ‬- ٣) + ٢(٣ - ١) + ٢(٥ - ٧)

. "sgb z .&Ė ys 7f 8g r Ů .&r ł o2GZ X?j asF { b 2_b b- Of ."r 19

=‫ﺏ‬C`

:ȋưĝŻśĞ ƄŐǔƽŝ 20

G[kb r Ů C X? kf (2W> Ůŀ- Ůŀ) G[kb j ^r M 1s'f ǽ ¶" Ů= 1s'f ǽ Ů5 1s'f ǽ C j ^ / ¶" C X? kf z .& ."r . ¶" X? kf (Ł Ůŀ- ŮĿ)

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

٢(‫ ﻙ‬- ٣) + ٨

(١)

٢(٣ - ٥) + ٢(٥ - ٣) + ٢(٣ - ٥)

118

(٢)

= = ‫ﺏ ﺟـ‬

٢(‫ ﻙ‬- ٣) + ٨

= ‫ ﺏ = ﺏ ﺟـ ﻟﺠﻤﻴﻊ ﻗﻴﻢ ﻙ ∋ ﺡ‬C ‫ ﻳﻨﺘﺞ ﺃﻥ‬٢ ، ١ ‫ﻣﻦ‬

:Ék«fÉK = ٢(٣ - ٣) + ٢(٥ - ١) + ٢(٣ - ٧) = ‫ ﺟـ‬C ‫ﻟﻜﻰ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ‬ ٣٢ = ٢(‫ ﻙ‬- ٣) + ٨ ٢٤ = ٢(٣ - ‫ ! )ﻙ‬٢٤ = ٢(‫ ﻙ‬- ٣) ٣ + ٦ ٢ ! = ٣ + ٢٤ ! = ‫` ﻙ‬

٣٢

‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

тАл╪зя╗Яя╗ия╗Ия║О┘Е ╪зя╗╗я║гя║к╪зя║Ыя╗░ ╪з┘Е┘Дя║Шя╗Мя║Оя╗гя║к я░▒ я║Ыя╗╝╪л ╪зя║Ся╗Мя║О╪птАм

1-1

┘е = ┘втАл я╗ЙтАм+ (┘д + тАля║╣тАм┘д + тАл )я║╣тАм+ (┘б + тАля║▒тАм┘в - ┘втАл` )я║▒тАм ┘е = ┘в(┘а - тАл )я╗ЙтАм+ ┘в(┘в-) - тАл )я║╣тАм+ ┘в(┘б - тАл` )я║▒тАм ┘е

1 S "╚Ч" ╚Ф 2k S ╚Ю }" 2*╚Ь i Oqf

."r ┼о ┼оC lz G[kb wV ┼Г = ┼Б(┼А - M) + ┼Б(┼В + =) + ┼Б(┼Б - 5) 2_b kz7b 1s'f PGZ / :╚Л╞░─Э┼╗┼Ы─Ю ╞Д┼Р╟Ф╞╜┼Э 21 C asF ts 7gb wV P[ (─┐ ┼о= ┼о5) 1s?b wcN { b Q 2Wb wV H[kb Pzg" j ^ / :┼Д─г┼Р╞б─г╩Ю╩╡╟д─Э ╚И╞╛ ╟╢┼Ы─г┼Ж╟Ф╟д─Э 22 wcN t0b Q 2Wb wV H[kb Pzg" qzV P[ x0b ts 7gb b- Of ."r V ┼о─┐ = M q b- Ofr = 5 x1 _y.b (┼Б ┼о= ┼о5) 1s?b

= H ╪М (┘а ╪М┘в- ╪М┘б) тАл` я║Ня╗Яя╗дя║оя╗Ыя║░тАм

."r (┼Б ┼о ─┐ ┼о ┼А)C

z& ┬╢" C gz[ 7gb OG[b X? kf (┼Б ┼о┼Г ┼о┼А-) G[kb j ^ / :─ж╞е┼▓╟д─Э ╞╝╞Ц┼Ж╟Х─Э 23 ┬╢" G[kb z .&

┘а = ┘е + тАля╗ЙтАм┘д - тАля║╣тАм┘ж - тАля║▒тАм┘в - ┘втАля╗ЙтАм┘в + ┘втАля║╣тАм┘д + ┘втАля║▒тАм┘в a тАля║Я┘АтАм ┘й

I J !

┘б

┼З== #

┘е-

┼Б=M #

┘б+ ┘д + ┘д + ┘в = ┘г

5+┼А ┼Б =+─┐ ┼Г= ┼Б M+┼Б ┼Б= ┼Б

┼В- = 5 # ┼А- =

(┘б + тАля╗ЙтАм┘в - ┘втАл )я╗ЙтАм+ ( ┘д + тАля║╣тАм┘г - ┘втАл )я║╣тАм+ ( ┘д + тАл я║▒тАм- ┘втАл` )я║▒тАм ┘й

G@H0 !

(M ┼о= ┼о5) ┬╢" A2Wj `

aa ┼Б

M + ┼АM 5 + ┼А= 5 + ┼А5 k ┼о a┼Б k ┼о a┼Б kk = ┬╢" ┼Б ┼Б ┼Б

┼Б+┼Б ─┐+┼Г ┼А + ┼Аk ┼оa k ┼оa kk = ┼Б ┼Б ┼Б

(┼Б ┼о┼Б ┼о─┐) =

(┼Б ┼о┼З ┼о┼В-) ┬╢" `

┘б

? / gbr ? ┬╣ s> lzc'b x

┘б = ┘в(┘б - тАл )я╗ЙтАм+ ┘в( ┘в - тАл )я║╣тАм+ ┘в( ┘в - тАл` )я║▒тАм ┘г

┘б

┘б = H ╪М (┘б ╪М ┘в ╪М ┘в ) тАл` я║Ня╗Яя╗дя║оя╗Ыя║░тАм тАл я║Ня╗Яя╗Ья║оя║У я║Чя╗дя║▓ я╗гя║┤я║Шя╗оя╗│я║Оя║Х я║Ня╗╗я║гя║кя║Ня║Ыя╗┤я║Оя║Х я║Ня╗Яя╗дя╗оя║Яя║Тя║ФтАмa 19 (┘г ╪М┘г ╪М┘г) тАл` я║Ня╗Яя╗дя║оя╗Ыя║░тАм ┘й = ┘в(┘г - тАл )я╗ЙтАм+ ┘в(┘г -тАл )я║╣тАм+ ┘в(┘г - тАл )я║▒тАм:тАл` я║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗Яя║ФтАм ┬АV 6[f :2qvf - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

119

┘г (┘в

╪М

┘б┘в

╪М

(┘б-) + ┘д ┘е ┘в)=( ┘в

╪М

┘а + ┘б┘в

╪М

┘в+┘г ┘в

) тАл╪гтАм

┘б┘г ┘й ┘й(┘в ╪М ┘в ╪М ┘в) тАл╪итАм

(тАл я╗ЙтАм╪МтАл я║╣тАм╪МтАл)я║▒тАмC тАл я║Ся╗Фя║оя║╜ я║Гя╗етАм16 (┘а ╪М┘д ╪М┘б-) = (

┘б+тАля╗ЙтАм ┘в

┘в-тАля║╣тАм

┘д+тАля║▒тАм

╪М ┘в ╪М ┘в ` ┘б- = тАл я╗ЙтАм╪М ┘б┘а = тАл я║╣тАм╪М ┘ж- = тАл` я║▒тАм (┘б- ╪М┘б┘а ╪М┘ж-)C ` 17

┘з = ┘в(┘в - тАл )я╗ЙтАм+ ┘в(┘б + тАл )я║╣тАм+ ┘в(┘г - тАл╪г )я║▒тАм ┘в┘й ┘в ┘г тАл╪итАм ┘д = H ╪М (┘б- ,┘г , ┘в ) тАля║Ня╗Яя╗дя║оя╗Ыя║░ я╗бтАм ┘г ┘в(┘б + тАл )я╗ЙтАм+ ┘в(┘г - тАл )я║╣тАм+ ┘в( - тАл` я╗гя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я║Ня╗Яя║кя║Ня║Ля║оя║У я╗ля╗░ )я║▒тАм ┘в ┘в┘й ┘д = ┘д┘в = ┘вH тАля║Я┘АтАм ┘д┘в = ┘в(┘б - тАл )я╗ЙтАм+ ┘в(┘ж + тАл )я║╣тАм+ ┘в(┘б - тАл )я║▒тАм:тАля╗гя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я║Ня╗Яя║кя║Ня║Ля║оя║У я╗ля╗░тАм 18

┘г = H ╪М (┘а ╪М┘а ╪М ┘а) тАл╪г я║Ня╗Яя╗дя║оя╗Ыя║░тАм ┘а = тАля║╣тАм┘д + тАля║▒тАм┘в - ┘втАл я╗ЙтАм+ ┘втАл я║╣тАм+ ┘втАл я║▒тАмa тАл╪итАм

тАл ╪зя╗Яя╗мя╗ия║кя║│я║Ф ╪зя╗Яя╗Фя║о╪зя╗Пя╗┤я║ФтАм- тАля╗Ыя║Шя║О╪и ╪зя╗Яя║ая▒к ┘И╪зя╗Яя╗мя╗ия║кя║│я║Ф ╪зя╗Яя╗Фя║о╪зя╗Пя╗┤я║ФтАм

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬

‫‪2-1‬‬

‫‪ŐĿōŗí óĊăŎĿí‬‬

‫‪ÆGôØdG ≈a äÉ¡éàªdG‬‬

‫‪2-1‬‬

‫‪Vectors in space‬‬

‫‪łŀĬø÷ ıŎē‬‬

‫‪Vectors in space‬‬

‫ @<‪ 9': ; < =>"? ($‬‬ ‫ ">= ? ‪ + ,- A‬‬ ‫ ">‪ $7 7 0 # B‬‬ ‫ ‪ + ,-‬‬

‫‪:áeó≤e‬‬ ‫‪ OG[ dË gy½ q# gb i gcNr Ů p# gb zg_b r z6 z[b zg_b ¹[ 6 61‬‬‫‪ar k j 51.b 0o {Vr Ům # r Ů(q# gb 1 zOf) 1 .[g -.' p"sf gz[ 7f‬‬ ‫ ‪.(- O đ r/ { .& e Kj) sor ŮQ 2Wb wV p# gb‬‬

‫ " ‪# B>" C =>" D4 E.‬‬ ‫ ‪ $7 7 0‬‬ ‫ " ‪ )$ "*? M D4 E.‬‬ ‫ ? ‪# $ % C + ,- BF‬‬ ‫‪ B$2,I‬‬

‫ﺧﻠﻔﻴﺔ‪:‬‬

‫ '* ‪ + ,- &B>" HI‬‬ ‫ ‪ + ,- =>"? : $‬‬

‫ﺳﺒﻖ ﻭﺩﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻭﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻪ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ‪ ،‬ﻭﻟﺪﻯ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺧﺒﺮه ﺳﺎﺑﻘﺔ ﻋﻦ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻪ‬ ‫ﻣﻘﺪﺍﺭﺍ‬ ‫ﺑﺸﻜﻞ ﻋﺎﻡ ﻭﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﺤﺪﻳﺪﻫﺎ‬ ‫ً‬ ‫ﻭﺍﺗﺠﺎﻫﺎ ﻭﻟﺬﺍ ﻓﻼﺑﺪ ﻣﻦ ﺍﻻﺳﺘﻔﺎﺩﺓ ﻣﻦ ﻫﺬه ﺍﻟﺨﺒﺮﺓ ﻓﻰ ﺍﺳﺘﻴﻌﺎﺏ‬ ‫ً‬ ‫ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪ÆGôØdG ≈a ™°VƒªdG ¬éàe‬‬ ‫‪qj wcN (Ŀ ŮĿ ŮĿ) r d>Ĕ G[kb 7kb (MC Ů=C Ů5C) C G[kcb PBsgb q# f U2Oy‬‬ ‫ ‪.C G[kb p y pjr d>Ĕ G[j p y . { b p"sgb gz[ 7gb OG[b‬‬

‫‪position vector in space‬‬

‫ ">= ‪ =>" J K 0‬‬ ‫ ‪ + ,-‬‬

‫‪4f2b C G[kb PBsf q# gb 4f2yr a‬‬

‫ ‪ + ,- # B>"? L‬‬ ‫ ‪ $ 4 # B>"? MN‬‬

‫‪ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ‬‬ ‫ ">= ‪+ ,- A‬‬ ‫ ‪=>"? : $‬‬ ‫ ">= ‪0‬‬

‫‪q# gb ^2f wg7 5C a‬‬

‫‪C‬‬

‫‪.5 1s'f m # wV‬‬

‫‪q# gb ^2f wg7 =C a‬‬

‫‪C‬‬

‫‪.= 1s'f m # wV‬‬

‫‪q# gb ^2f wg7 MC a‬‬

‫‪Position vector in space‬‬ ‫‪the norm vector‬‬ ‫‪Unit vector‬‬

‫ ‪ 7 $ MO‬‬

‫‪Scalar product‬‬

‫ ‪ P KC MO‬‬

‫‪Vector product‬‬

‫‪C‬‬

‫‪.M 1s'f m # wV‬‬

‫‪¬éàªdG QÉ«©e‬‬ ‫‪.q# gb d g { b p"sgb gz[ 7gb OG[b asF so‬‬ ‫‪i ^ / V‬‬

‫‪C‬‬

‫‪the norm of vector‬‬

‫= )‪is_y lz G[j lz .O b isj Z lf i V (MC Ů=C Ů5C‬‬ ‫||‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﻣﺨﺮﺟﺎت اﻟﺘﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‪i x‬‬

‫‪C‬‬

‫= )‪(MC Ů=C Ů5C‬‬

‫‪C‬‬

‫|| =‬

‫)‪Ł( C) + Ł( C) + Ł( C‬‬ ‫‪M‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬

‫‪i V (ł- ŮŃ ŮĿ) = Ů (łŮŀ- ŮŁ) = C i ^ / 1‬‬ ‫‪Ł wo 5 1s'f m # wV C q# gb ^2f a‬‬ ‫‪ł- wo M 1s'f m # wV q# gb ^2f a‬‬

‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬا اﻟﺪرس وﺗﻨﻔﻴﺬ اﻷﻧﺸﻄﺔ ﻣﺒﻨﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن‬

‫||‬

‫ﻳﻜﻮن اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎد ًرا ﻋﻠﻰ أن‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫|| =‬

‫‪Ł(ł) + Ł(ŀ-) + ŁŁ‬‬

‫= ‪ŀŃ‬‬

‫|| || = )‪ń = Ł(ł-) + Ł(Ń) + Ł(Ŀ‬‬

‫‪ 1% 2 3 45" #3&+ ‬‬

‫ ‪ ^2f e.Ok ) M = w .&Ė ts 7gb wV P[y q# gb‬‬

‫‪120‬‬

‫‪ 6 7 45" ‬‬

‫‪C‬‬

‫‪5 1s'f m # wV‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪ '8 8 / * 95" : "+ ‬‬ ‫‪ '8 8 / * 95" 45" ;< = + ‬‬

‫ﻣﻜﺎن اﻟﺘﺪرﻳﺲ‪:‬‬

‫‪* ' . 9> 7 &' "(7 M ;< = + ‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ‪ -‬ﻏﺮﻓﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺐ ﺍﻵﻟﻰ )ﺍﻟﻮﺳﺎﺋﻞ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩﺓ(‬

‫‪ !959" AB (% UD : "+ ‬‬

‫ﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫‪ ! E F 4 / 45" B 45" G ' > + ‬‬

‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺹ‪ ١٢٨‬ﺇﻟﻰ ﺹ‪.١٣٦‬‬

‫‪ 9'? I‬‬

‫‪ !95" H #I -. ; ;0&"+ ‬‬ ‫‪ ' < * 95"7 JK #I > + ‬‬ ‫ﻣﻔﺮدات أﺳﺎﺳﻴﺔ‪:‬‬

‫ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻮﺿﻊ ‪ -‬ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ‪ -‬ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻻﺳﺎﺳﻰ ‪ -‬ﻣﻌﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪-‬‬ ‫ﻣﺮﻛﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ -‬ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻻﺗﺠﺎه‪.‬‬ ‫اﻟﻤﻮاد اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‪:‬‬

‫ﺳﺒﻮﺭﺓ ﺗﻌﻠﻴﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺳﺒﻮﺭﺓ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ ‪ -‬ﻃﺒﺎﺷﻴﺮ ﻣﻠﻮﻥ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ ‪ -‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪.‬‬

‫‪90‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ﺗﻬﻴﺌﺔ‪:‬‬

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻭﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ ‫ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻭﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺿﺮﻭﺭﺓ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭ‬ ‫ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻣﻊ ﺍﻻﺛﺎﺭه ﺇﻟﻰ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺗﺘﻄﺮﻕ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﻭﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺗﻬﺎ ﻓﻰ ﻧﻈﺎﻡ ﺛﻼﺛﻰ ﺍﻻﺑﻌﺎﺩ‪.‬‬

‫املﺘﺠﻬﺎت ﰱ اﻟﻔﺮاغ‬ ‫‪2-1‬‬

‫ ‪U 6[f Ȕ v' Ȟ‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪i ^ / 1‬‬ ‫أ‬

‫= )‪."r (Ŀ Ůŀ Ůł) = Ů (Ł ŮŃ Ůŀ-‬‬

‫‪C‬‬

‫ب ||‬

‫‪= + 5C‬‬

‫‪ÆGôØdG ≈a äÉ¡éàªdG ™ªL‬‬ ‫ ‪i ^ /‬‬ ‫"¶ =‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‬

‫= )‪:i V (M Ů= Ů5 ) Ů(MC Ů=C Ů5C‬‬

‫ ( ‪) +‬‬ ‫ (‬

‫‪(M¶" Ů=¶" Ů5¶") = (M +MC Ů= +=C Ů5 + 5C) = +‬‬

‫‪i ^ / 2‬‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎه‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬

‫‪Addition for 3 D vectors‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪C‬‬

‫‪121¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a `1‬‬

‫|| ‪|| || +‬‬

‫ )‬ ‫ ( ‪( ) +‬‬

‫ ‬

‫ )‬

‫ (‬

‫ )‬

‫‪C‬‬

‫‪ÆGôØdG ≈a äÉ¡éàªdG ™ªL‬‬

‫ ( ‪) +‬‬

‫= )‪:i V Ů(Ń ŮŁ- ŮĿ) = Ů(ŀ Ůł ŮŁ-‬‬

‫ ‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻧﺎﺗﺞ ﺟﻤﻊ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻭﺟﻮﺩ ﺻﻌﻮﺑﺔ ﻟﺪﻯ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺫﻛﺮﻫﻢ‬ ‫ﺑﻄﺮﻕ ﺟﻤﻊ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ )ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ( ‪ ،‬ﻣﻊ ﺍﻟﺘﺄﻛﻴﺪ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻣﺮﺍﻋﺎﺓ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻛﻞ ﻣﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ‬ ‫ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻉ‪.‬‬

‫‪(ń Ůŀ ŮŁ-) = (Ń +ŀ Ů(Ł-) +ł ŮĿ+Ł-) = (Ń ŮŁ- ŮĿ) + (ŀ Ůł ŮŁ-) = +‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ + C ."r (Ł Ůń Ůŀ-) = Ů (Ŀ ŮŃ- ŮŃ) = C i ^ / 2‬‬

‫‪ÆGôØdG ≈a äÉ¡éàªdG ™ªL á«∏ªY ¢UGƒN‬‬ ‫‪:i V ł% ǽ Ů C lzp# f xĔ‬‬

‫ ‪:LMN'O $ " PƄ -‬‬ ‫ ‪:: 4 $ " P -‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‪) :? $ " P -‬‬

‫‪ + C‬‬

‫‪Ů = +‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪ł% ǽ‬‬

‫‪C‬‬

‫‪= ¶" + ( +‬‬

‫‪C‬‬

‫‪( ¶" + ) +‬‬

‫ ‪:Q@R> S T5 U @> 5 -‬‬ ‫‪C = C + r = r + C :70 Q0‬‬ ‫ ‪q# f d_b : 5 V5 -‬‬

‫‪C‬‬

‫‪wV {Og#b .y 'gb 2?kOb so (Ŀ ŮĿ ŮĿ) = r‬‬

‫‪ł%‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫= )‪."sy ł% ǽ (MC Ů=C Ů5C‬‬

‫‪121¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH `2‬‬

‫‪r = C + ( C -) = ( C -) + C : z' ł% ǽ (MC - Ů=C- Ů5C-) = C -‬‬

‫‪≈≤«≤M OóY ≈a ¬éàªdG Üô°V‬‬ ‫ ‪:i V % ǽ ] i ^r ł% ǽ (MC Ů=C Ů5C) = C i ^ /‬‬ ‫]‬

‫‪2-1‬‬

‫‪=C] Ů5C ]) = (MC Ů=C Ů5C) ] = C‬‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬

‫‪Multiplying avector by ascalar‬‬

‫‪ł% ǽ (MC] Ů‬‬

‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫أ ‪C‬ﺱ ‪ +‬ﺏ ﺹ = ﺻﻔﺮ‬

‫‪121‬‬

‫ب || ‪= ٤ + ١٦ + ١ = || C‬‬ ‫‪١٠ = ١ + ٩‬‬ ‫|| ﺏ ||=‬ ‫|| ‪١٠ = ٢١ = || C‬‬

‫‪٢١‬‬

‫إﺟﺮاءات اﻟﺪرس‪:‬‬

‫ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺗﻌﻠﻢ ﺫﻛﺮ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﺄﻥ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻳﻌﺒﺮ‬ ‫ﻋﻨﻬﺎ ﺑﺜﻼﺙ ﺍﻟﺮﺗﺐ )ﺱ‪ ،‬ﺹ‪ ،‬ﻉ( ‪ ،‬ﻭﺫﻛﺮ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﻤﻔﻬﻮﻡ ﻣﺘﺠﻪ‬ ‫ﺍﻟﻤﻮﺿﻊ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻥ ﻣﺘﺠﻪ ﻣﻮﺿﻊ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻨﻬﺎ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪C) = C‬ﺱ‪C ،‬ﺹ‪C ،‬ﻉ(‬ ‫ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﺳﺘﻴﻌﺎﺏ ﺍﺳﻢ ﻛﻞ ﺇﺣﺪﺍﺛﻰ ﻣﻦ ﺗﻠﻚ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬ ‫ﻭﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﺗﺠﺎﻫﻪ‪.‬‬

‫‪¬éàªdG QÉ«©e‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻰ ﻟﻤﻔﺮﺩﺓ ﻣﻌﻴﺎﺭ‪ ،‬ﻭﺍﺳﺘﺨﺪﻡ‬ ‫ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻣﻌﻴﺎﺭ ﻣﺘﺠﻪ ﻣﻮﺿﻊ ﺃﻯ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻊ ﺍﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻮﺿﻊ ﻫﻮ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﻮﺍﺻﻠﻪ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ )‪ (٠ ،٠ ،٠‬ﻭﺗﻠﻚ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ )‪C‬ﺱ‪C ،‬ﺹ‬ ‫‪C ،‬ﻉ(‬ ‫ ﻭﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻮﺿﺢ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻌﻴﺎﺭ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ‪ ١٢٨‬ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺐ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﻌﻴﺎﺭ ﻣﺘﺠﻪ‪.‬‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪91‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‪ :‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ واﻟﻘﻴﺎس ﰱ ﺑﻌﺪﻳﻦ وﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‬ ‫ﺧﻮاص ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺟﻤﻊ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‬

‫ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻢ ﺍﻟﺘﻮﺻﻞ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﺧﺮ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ‪ ،‬ﺍﺳﺘﻌﺮﺽ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺧﻮﺍﺹ‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺟﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﻓﻰ ﺹ‪١٢١‬‬ ‫ﻭﻫﻰ )ﺍﻻﻧﻔﻼﻕ ‪ -‬ﺍﻻﺑﺪﺍﻝ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻣﺞ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻊ ‪ -‬ﺍﻟﻌﻨﺼﺮ ﺍﻟﻤﺤﺎﻳﺪ‬ ‫ﻓﻀﻼ ﻋﻦ ﺍﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ﺿﺮﺏ ﻣﺘﺠﻪ‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻌﻰ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﺠﻤﻌﻰ( ً‬ ‫ﻓﻰ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻣﺜﻠﺔ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ﻟﺘﻮﺿﻴﺢ ﺗﻠﻚ‬ ‫ﺍﻟﺨﻮﺍﺹ‪.‬‬ ‫ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺤﺎﻭﻟﺔ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﺨﻮﺍﺹ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺣﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ‪ ١٣٠‬ﻣﻊ ﺗﻘﺪﻳﻢ ﺍﻟﻤﺴﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻼﺯﻣﺔ ﻟﻬﻢ ﻋﻨﺪ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﻭﺭﺓ‪.‬‬

‫ ‪1 S "ȗ"x r 2S Ȕ 9 _f x :2qvf :ȟxȚ 2*yf‬‬

‫‪W‬‬ ‫‪(ŀŁ Ůł- ŮŅ)Ƅ= (Ń Ůŀ- ŮŁ) ł :MX A‬‬ ‫‪(ł Ů ň‬‬ ‫‪(Ņ Ůň ŮŃ) ŀ‬‬ ‫=‪Ł ŮŁ)Ƅ‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪(Ň ŮŅ ŮŁ-)Ƅ= (Ń- Ůł- Ůŀ) Ł‬‬‫‪≈≤«≤M OóY ≈a äÉ¡éàªdG Üô°V ¢UGƒN‬‬ ‫ ‪i V % ǽ a Ů] i ^r ł% ǽ = Ů C i ^ /‬‬

‫ ‪? J $ " P‬‬ ‫‪)] a‬‬

‫‪]=( +‬‬

‫‪C‬‬

‫‪a) ] a‬‬

‫‪C‬‬

‫( = ‪]) a‬‬

‫‪C‬‬

‫= )‪i V (ł Ůŀ- ŮŃ) = Ů (Ł Ůń Ůŀ-‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ )‪(٣‬‬

‫أ ‪ ٥‬ﺟـ ‪٢ -‬‬ ‫‪ ٥‬ﺟـ ‪٢-‬‬ ‫ب ‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪92‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬

‫= )‪(٤- ،٤ ،٠) - (٥ ،١٥- ،١٠‬‬ ‫=)‪(٩ ،١٩- ،١٠‬‬ ‫‪E‬‬

‫= ﺟـ ‪٤ -‬‬ ‫= )‪(٨- ،٨ ،٠) + (١ ،٣- ،٢‬‬ ‫= )‪(٧- ،٥ ،٢‬‬ ‫‪٧- ٥ ٢‬‬ ‫=)‪( ٣ ، ٣ ، ٣‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪C‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪i ^ / 3‬‬

‫ ‪ ł - C Ł‬‬

‫= ‪(ł Ůŀ- ŮŃ) ł- (Ł Ůń Ůŀ-)Ł‬‬ ‫= )‪(ň- Ůł ŮŀŁ-) + (Ń ŮŀĿ ŮŁ-‬‬ ‫= )‪(ń- Ůŀł ŮŀŃ-‬‬ ‫‪ Ł = C ł + ¶" Ł‬‬

‫ ‪z& ¶" q# gb ."r‬‬ ‫‪ł + ¶" Ł a‬‬

‫‪122¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a `3‬‬

‫ ﻣﻊ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺃﻥ ﻃﺮﺡ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺟﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﻣﻊ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﺠﻤﻌﻰ ﻟﻠﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ‪ - C‬ﺏ = ‪+ C‬‬ ‫)‪ -‬ﺏ ( ﻭﻓﻰ )ﺏ( ﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻭﺗﻮﻇﻴﻒ ﻣﻌﺎﺭﻓﻬﻢ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻰ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻣﺘﺠﻪ ﻣﻌﻴﻦ‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‪Y $ " P‬‬ ‫( = )] ‪(a‬‬

‫‪C‬‬

‫‪*− $A EF4‬‬

‫=‪ Ł‬‬

‫‪C‬‬

‫` ‪¶" Ł‬‬

‫=‪ł- Ł‬‬

‫` ‪¶" Ł‬‬

‫= ‪(Ł Ůń Ůŀ-) ł- (ł Ůŀ- ŮŃ) Ł‬‬

‫` "¶‬

‫= )‪(Ņ- Ůŀń- Ůł) + (Ņ ŮŁ- ŮŇ‬‬ ‫= )‪(Ŀ Ůŀņ- Ůŀŀ‬‬ ‫‪ŀŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪(Ŀ Ů ŀņ‬‬‫= ‪Ł Ů Ł ) = (Ŀ Ůŀņ- Ůŀŀ) Ł‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫ ﺍﻟﻔﺖ ﺍﻧﺘﺒﺎه ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺇﻟﻰ ﺇﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺧﻮﺍﺹ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺟﻤﻊ‬ ‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﺃﻥ ) ﺃ ( ﻳﻄﻠﺐ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ﻓﻴﻬﺎ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺿﺮﺏ ﻣﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻰ ﺛﻢ ﺇﻳﺠﺎﺩ‬ ‫)ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺃﻭ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ(‬

‫‪ ]+‬‬

‫‪C‬‬

‫‪(a + ]) a‬‬

‫=]‬

‫‪C‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪Ů(ŀ Ůł- ŮŁ) = ¶" i ^ / 3‬‬ ‫أ ‪Ł - ¶" ń ."r‬‬ ‫‪Ń‬‬‫ب ‪ł i ^ /‬‬

‫‪E‬‬

‫= )‪(Ł- ŮŁ ŮĿ‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪122‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‪3 A @MB‬‬

‫= "¶ ‪."r Vƅƅƅ‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ŀ A .@Z 4‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪C‬‬

‫‪a+‬‬

‫‪C‬‬

‫املﺘﺠﻬﺎت ﰱ اﻟﻔﺮاغ‬ ‫‪2-1‬‬

‫ ‪U 6[f Ȕ v' Ȟ‬‬

‫ﻭﻟﻬﺬﺍ ﺗﻌﺘﺪ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ ﻭﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻤﺜﻞ ﺑﻬﺎ‬ ‫ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﺘﻜﻮﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻫﻰ ﻭﺣﺪﺓ ﺍﻷﻃﻮﺍﻝ)‪.(١‬‬

‫‪ÆGôØdG ≈a äÉ¡éàªdG ihÉ°ùJ‬‬ ‫ ‪:i V (M Ů= Ů5 ) = Ů(MC Ů=C Ů5C) = C i ^ /‬‬ ‫‪ = C‬‬

‫‪2-1‬‬

‫\[ ‪M = MC Ů= = =C Ů5 = 5C :7 / [\ F&A‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪lzp# gb dO# w b i Ůe Ů a gzZ ."r 4‬‬

‫‪C‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫= )‪lzyr 7 f (ŁK Ůŀ Ůń) = Ů(ŀ Ů ł - Łe ŮŃ - a‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪a‬‬ ‫`‬

‫‪C‬‬

‫= ‬

‫‪5 = 5C‬‬ ‫‪= = =C‬‬ ‫‪MC‬‬

‫ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫ﻣﻊ ﺍﻻﺳﺘﺮﺷﺎﺩ ﺑﺎﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﺤﻠﻮﻝ‬

‫= ‪M‬‬

‫‪#‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪#‬‬

‫‪ń= Ń-a #‬‬ ‫‪ŀ = ł - Łe #‬‬ ‫‪ŀ = ŁK #‬‬

‫‪ň=a‬‬ ‫‪Ń = Łe‬‬ ‫‪ŀ! = K‬‬

‫‪Ł! = e #‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬ ‫‪?] Ů= Ů5 gzZ gV (ŀ + 5 ŮŃ - Ł= Ůŀ-) = (Ń + ] Ůń Ůŀ + 5Ł) i ^ / 4‬‬

‫ﻣﺘﺠﻬﺎت اﻟﻮﺣﺪة اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ‪:‬‬

‫‪IóMƒdG ¬éàe‬‬ ‫‪a sFĔ .&r tr 7y m1 zOf t0b q# gb qj .&sb q# f U2Oy‬‬

‫‪W‬‬ ‫‪:MX A‬‬ ‫‪Ń ł‬‬‫‪||ƅƅ:7# S ( ŀŁ‬‬ ‫‪ŀł Ů ŀł Ů ŀł ) = C‬‬

‫‪C‬‬

‫|| =‬

‫ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻻﺳﺎﺳﻰ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻭﺍﺭﺩ ﻓﻰ‬ ‫ﺹ‪ ١٢٣‬ﻭﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺿﺮﻭﺭﺓ ﺗﻮﺍﻓﺮ ﺛﻼﺛﺔ ﺷﺮﻭﻁ ﺣﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ‬ ‫ﺗﻄﻠﻖ ﻋﻠﻴﻪ ﻣﺘﺠﻪ ﻭﺣﺪه ﺍﺳﺎﺳﻰ ﻭﻫﺬه ﺍﻟﺸﺮﻭﻁ ﻫﻰ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪١‬ـ ﺑﺪﺍﻳﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ‬ ‫‪٢‬ـ ﻣﻌﻴﺎﺭه ﻭﺣﺪه ﺍﻷﻃﻮﺍﻝ‬ ‫‪٣‬ـ ﺍﺗﺠﺎﻫﻪ ﻫﻮ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻭﻟﻬﺬﺍ‬ ‫ﻓﻬﻨﺎﻙ ﺛﻼﺛﺔ ﻣﺘﺠﻬﺎﺕ ﻭﺣﺪﺓ ﺍﺳﺎﺳﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﺜﻼﺙ‬ ‫ﻣﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪﺓ ﺱ ‪ ،‬ﺹ‪ ،‬ﻉ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‪.‬‬

‫‪Ł Ń Ł ł‬‬‫‪ŀ = Ł( ŀŁ‬‬ ‫) ‪ŀł ) + ( ŀł ) ( ŀł‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ .&r q# f d gy z Ē p# gb t lz 5‬‬ ‫ = ) ‪( ń - Ů Ńń Ů ŀń‬‬ ‫‪( Łł Ů Łł Ů ŀł ) = C‬‬ ‫‪ń‬‬

‫‪( M , N , M ) á«°SÉ°SC’G IóMƒdG äÉ¡éàe‬‬ ‫‪ po # r a sFĔ .&r o1 zOfr Ůd>Ĕ G[j p y . p"sf gz[ 7f PGZ wo‬‬ ‫‪:7\ ^0 z 2 b wcN M Ů= Ů5 z .&Ė 1r 'gb "sgb o # Đ so‬‬ ‫‪(ŀ ŮĿ ŮĿ) = M Ů(Ŀ Ůŀ ŮĿ) = N Ů (Ŀ ŮĿ Ůŀ) = M‬‬

‫ ‬

‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬

‫ ‬ ‫‪M‬‬

‫‪ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬

‫‪ .&sb p# f bĐ. (ŀ- ŮĿ ŮĿ) Ů(Ŀ Ůŀ- ŮĿ) Ů (Ŀ ŮĿ Ůŀ-) p# gb lN 2 N‬‬ ‫ ‪. z6 6Ĕ‬‬

‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫ ‬

‫‪123‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ )‪(٤‬‬

‫ﺗﺴﺎوى اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‬

‫‪٢‬ﺱ ‪١- = ١ +‬‬

‫` ﺱ = ‪١-‬‬

‫ﺹ‪ ` ٥ = ٤ - ٢‬ﺹ‪ ٩ =٢‬‬

‫` ﺹ= !‪٣‬‬

‫ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﺍﻻﻟﺘﺰﺍﻡ ﺑﺘﺮﺗﻴﺐ ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺛﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺮﺗﺐ ﻷﻯ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﺟﻪ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﻣﺘﻰ‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ )‪(٥‬‬ ‫ﻳﺘﺴﺎﻭﻯ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺑﺘﻌﺮﻳﻒ‬ ‫‪١٤٤ ٩‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫|| ‪١ = ١٦٩ + ١٦٩ + ١٦٩ =|| C‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﺣﺘﻰ ﻳﻌﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺸﺮﻁ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﺘﺴﺎﻭﻯ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﺫﻟﻚ ﺍﻟﻤﻔﻬﻮﻡ ﺍﻋﺮﺽ ﻋﻠﻴﻬﻢ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ‬ ‫` ‪ C‬ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺣﺪﺓ‬ ‫ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ‪١٢٣‬‬ ‫ﻙ‪٠=٤+‬‬

‫||‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﻤﺤﻮر واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫ﺏ‬

‫|| =‬

‫` ﻙ = ‪٤-‬‬

‫‪١‬‬

‫‪١٦‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪= ٢٥ + ١٦٩ + ٢٥‬‬

‫‪٢٢‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫` ﺏ ﻟﻴﺴﺖ ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺣﺪﺓ‬

‫‪123¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a `4‬‬ ‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺗﻮﻇﻴﻒ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻮﻟﺔ‬

‫‪IóMƒdG ¬éàe‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﺍﻃﻠﺐ ﻣﻨﻬﻢ ﻗﺮﺍﺀﺓ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺨﺎﺹ ﺑﻪ ﺹ‪ ١٣١‬ﻭﻟﻠﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺃﻥ ﻗﻴﻤﻪ ﻣﺘﺠﻪ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺗﺴﺎﻭﻯ‬ ‫ ﺍﻟﻔﺖ ﺍﻧﺘﺒﺎﻫﻢ ﺇﻟﻰ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻳﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ )‪(٠ ،٠ ،٠‬‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪93‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‪ :‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ واﻟﻘﻴﺎس ﰱ ﺑﻌﺪﻳﻦ وﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‬ ‫ ‪1 S "ȗ"x r 2S Ȕ 9 _f x :2qvf :ȟxȚ 2*yf‬‬

‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ‬

‫‪á«°SÉ°SC’G IóMƒdG äÉ¡éàe ád’óH ÆGôØdG ≈a ¬éàe øY ô«Ñ©àdG‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺹ‪١٢٣‬‬ ‫ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻭﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻓﻰ ﻛﻞ ﺛﻼﺛﻰ ﺍﻟﺮﺗﺐ ﻣﻮﺿﺢ ﻭﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻫﺬﺍ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺸﻂ ﻛﺘﻤﻬﻴﺪ ﻟﺘﻮﺿﻴﺢ ﻛﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﻣﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ‪.‬‬

‫ ‪i ^ /‬‬ ‫‪C‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫‪: 124¢U πëJ hCG ∫hÉM óæH ≈a `6‬‬ ‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭﺍﻻﺳﺘﻔﺎﺩﺓ‬ ‫ﻣﻦ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻻﺳﺎﺳﻰ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﻣﺘﺠﻪ‬ ‫ﺑﻮﺍﺳﻄﺘﻪ‬ ‫ ﻭﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ ﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﻛﻴﻔﻴﺔ‬ ‫ﺇﻳﺠﺎﺩ || ‪ - C‬ﺏ ||‬

‫||‬

‫‪C‬‬

‫‪+‬‬

‫ﺏ‬

‫|| ! ||‬

‫‪C‬‬

‫|| ‪|| +‬‬

‫ﺏ‬

‫||‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ )‪(٦‬‬

‫‪٣‬‬ ‫||‬

‫‪94‬‬

‫‪ ٥ -‬ﺏ = )‪(٧ ،٩- ،١٥-) = (١- ،٠ ،١٥) - (٣- ،٩- ،.‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪ -‬ﺏ || =‬

‫‪= ١+١+٩‬‬

‫‪١١‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪C‬‬

‫= )‪(MC ŮĿ ŮĿ) + (Ŀ Ů=C ŮĿ) + (Ŀ ŮĿ Ů5C‬‬ ‫= ‪(ŀ ŮĿ ŮĿ)MC + (Ŀ Ůŀ ŮĿ)=C + (Ŀ ŮĿ Ůŀ)5C‬‬ ‫‪N =C +‬‬ ‫= ‪M 5C‬‬ ‫‪M MC +‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪i ^ / 5‬‬ ‫أ‬

‫=‪Ł‬‬

‫‪C‬‬

‫‪M‬‬

‫‪-= Ů M + N ł-‬‬

‫‪M‬‬

‫ ‪."r Ƅ N Ł‬‬‫ب || ‪?$ k 7 / fƅ|| || + || C || Ů || + C‬‬

‫‪ ł- C Ł‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫أ ‪ ł- C Ł‬‬

‫‪IóMƒdG äÉ¡éàe ád’óH ÆGôØdG ≈a ¬éàe øY ô«Ñ©àdG‬‬ ‫‪:á«°SÉ°SC’G‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪C) = C‬ﺱ ‪C ،‬ﺹ ‪C ،‬ﻉ( ﺫﻛﺮﻫﻢ‬ ‫ﺑﺘﻌﺮﻳﻒ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﺳﺎﺳﻰ ﻭﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ﺱ ‪ ،‬ﺹ ‪،‬‬ ‫ﻉ ‪ ،‬ﻭﺍﺭﺑﻂ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻔﻬﻮﻡ ﺑﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻮﺿﻊ ﻭﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ‬ ‫ﻭﺍﺧﻴﺮﺍ ﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺍﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﻛﻞ ﻣﺤﻮﺭ‪،‬‬ ‫ً‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﺃﻯ ﻗﻴﻤﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﺳﺎﺳﻰ‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻰ‪C = C :‬ﺱ ﺱ ‪C +‬ﺹ ﺹ ‪ C +‬ﻉ ﻉ‬ ‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﺃﻥ ‪C‬‬ ‫ً‬ ‫ﺱ ‪C ،‬ﺹ‪C ،‬ﻉ ﻫﻰ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﺱ‪ ،‬ﺹ‪ ،‬ﻉ ﻭﺃﻥ ﺱ ‪،‬‬ ‫ﺹ ‪ ،‬ﻉ ‪ ،‬ﻫﻰ ﻣﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻻﺗﺠﺎه‬

‫‪C‬‬

‫= )‪ł% ǽ (MC Ů=C Ů5C‬‬

‫‪q# gb i V‬‬

‫‪ 1s?b wcN q ^ l_gy‬‬

‫= ‪M Ł) Ł‬‬ ‫= ‪MŃ‬‬

‫`‪Ł‬‬ ‫ب‬

‫‪ņ= ł-‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ + C‬‬

‫‪M‬‬

‫‪M + Nł -‬‬

‫‪ł+ M Ł+ N Ņ-‬‬

‫‪Ņ+‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M Ł+‬‬

‫= )‪M Ł‬‬

‫=‬

‫( ‪M -) ł-‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪(N Ł -‬‬

‫‪M‬‬

‫‪M + Nł -‬‬

‫( ‪M -) +‬‬

‫‪(N Ł -‬‬

‫‪M + N ń-‬‬

‫= ‪Łņ = Łŀ + Ł(ń-) + Łŀ‬‬

‫` ||‬

‫‪C‬‬

‫‪|| +‬‬

‫‪||ƆƆƆƄ‬‬

‫‪C‬‬

‫|| ‪= || || +‬‬

‫‪+ Łŀ + Ł(ł-) + ŁŁ‬‬

‫= ‪+ ŀŃ‬‬

‫)‪Ł(Ł-) + (Łŀ-‬‬

‫'‪|| 70 _ M‬‬

‫‪ń‬‬

‫‪C‬‬

‫‪|| ! || +‬‬

‫‪C‬‬

‫|| ‪|| || +‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪M Ł- = Ů M ń + M - N ł- = C i ^ / 6‬‬ ‫أ ‪ ń- C ł‬‬

‫‪Mł +‬‬

‫ ‪."r‬‬ ‫ب ||‬

‫‪C‬‬

‫‪|| -‬‬

‫‪É¡«aôW äÉ«KGóMEG ád’óH ÆGôØdG ≈a á¡Lƒe áª«≤à°ùe á©£b øY ô«Ñ©àdG‬‬ ‫ ‪. z 2 b wcN r Ů C r go d>Ĕ G[kb 7kb gpOBsf p# f ŮQ 2Wb wV i G[j ŮC i A2W‬‬ ‫‪a‬‬ ‫`‬

‫ ‪r‬‬

‫‪Cr‬‬

‫‪+‬‬

‫‪= C‬‬

‫‪ C‬‬

‫‪C‬‬

‫= ‪ r‬‬

‫‪– r‬‬

‫‪.‬‬

‫‪Cr‬‬

‫‪- = C‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪124‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫املﺘﺠﻬﺎت ﰱ اﻟﻔﺮاغ‬ ‫ ‪U 6[f Ȕ v' Ȟ‬‬

‫‪2-1‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪125¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a `7‬‬

‫‪i VƄƄ(Ł ŮĿ ŮŃ) Ů (ŀ Ůł ŮŁ-) C i ^ / 6‬‬ ‫‪ C‬‬ ‫ ‪C‬‬

‫= ‪C -‬‬ ‫= )‪(ŀ Ůł- ŮŅ) = (ŀ Ůł ŮŁ-) - (Ł ŮĿ ŮŃ‬‬ ‫= ‪ - C‬‬ ‫= )‪(ŀ- Ůł ŮŅ-) = (Ł ŮĿ ŮŃ) - (ŀ Ůł ŮŁ-‬‬

‫'‪- = C ƅ:70 _ M‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻧﻪ ﺍﻃﻠﺐ ‪ C‬ﺏ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻣﻦ‬ ‫ﻃﺮﺡ ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﺒﺪﺍﻳﺔ‬ ‫ﺏ ‪C -‬‬

‫ ‪C‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ 7‬أ ‪(ŀ- ŮŃ Ůŀ) (Ŀ Ůł- ŮŁ) C i ^ /‬‬ ‫ب ‪ G[j z .& ."r (Ł Ůŀ- ŮŃ) C Ů(Ł- Ůŀ Ůŀ) C i ^ /‬‬ ‫ ‪ C ."r‬‬

‫‪Ωƒ∏©e ¬éàe √ÉéJG ≈a IóMƒdG ¬éàe‬‬ ‫ ‪q# gb m # wV .&sb q# f i V ł% ǽ (MC Ů=C Ů5C) = C i ^ /‬‬ ‫‪= Ct‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪Ωƒ∏©e ¬éàe √ÉéJG ≈a IóMƒdG ¬éàe‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻟﻤﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه‬ ‫ﻣﻌﻴﻦ ﻭﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻭﻣﻌﻴﺎﺭه ﻭﺫﻟﻚ‬ ‫ﺑﺎﻹﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺣﻴﺚ ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﺠﻪ ‪ C‬ﺏ ‪.‬‬

‫‪Unit vector in acertain direction‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪: ZđOb wGOy Ct 4f2b qb 4f2y‬‬

‫‪C‬‬

‫||‬

‫‪C‬‬

‫||‬

‫‪ C Ů Ů C lf d^ m # wV .&sb q# f ."r (Ł- Ůŀ Ůł) = Ů(ŀ ŮŁ ŮŁ-) = C i ^ / 7‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪t‬‬

‫‪C‬‬

‫)‪(ŀ ŮŁ ŮŁ-‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪( ŀł Ů Łł Ů Ł‬‬‫=‬ ‫= ‪ł )= ŀ+Ń+Ń‬‬ ‫|| ‪|| C‬‬ ‫ ‬

‫‪ t‬‬

‫=‬

‫‪ C‬‬

‫= ‪C -‬‬ ‫= )‪(ł- Ůŀ- Ůń) = (ŀ ŮŁ ŮŁ-) - (Ł- Ůŀ Ůł‬‬

‫`‬

‫‪ C t‬‬

‫=‬

‫|| ||‬

‫ ﻛﻤﺎ ﻳﻤﻜﻦ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻭﺣﺪﺓ ﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ C‬ﺏ‬

‫= )‪( Ł- Ů ŀ Ů ł ) = (Ł- Ůŀ Ůł‬‬ ‫‪Ń+ŀ+ň‬‬

‫‪ŀŃ‬‬

‫‪ C‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫|| ‪|| C‬‬

‫= )‪( ł- Ů ŀ- Ů ń ) = (ł- Ůŀ- Ůń‬‬ ‫‪ň + ŀ + Łń‬‬

‫‪2-1‬‬

‫‪łń‬‬

‫‪125¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a `8‬‬

‫‪łń‬‬

‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﻟﻺﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬

‫‪125‬‬

‫أ ‪ C‬ﺏ = )‪(١- ، ٧ ، ١-‬‬

‫‪ád’óH ÆGôØdG ≈a á¡Lƒe áª«≤à°ùe á©£b øY ô«Ñ©àdG‬‬ ‫‪0 = É¡«aôW äÉ«KGóMG‬‬ ‫ ﺑﻌﺪ ﺃﻥ ﺗﻌﺮﻑ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻮﺿﻊ ﻭﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻻﺳﺘﻔﺎﺩﺓ ﻣﻦ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻮﺿﻊ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﺑﺪﻻﻟﺔ‬ ‫ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻃﺮﻓﻴﻬﺎ‪.‬‬

‫ب )‪= (٢ ، ١- ، ٤‬‬ ‫ﺏ = )‪(٢، ١- ، ٤) - (٢- ،١، ١‬‬ ‫ﺏ = )‪(٠ ، ٢ ، ٣-‬‬ ‫‪ - C‬ﺏ‬

‫ ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﻤﻔﻬﻮﻡ ﺟﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻛﻤﺎ‬ ‫ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺹ‪١٢٤‬‬ ‫ ﻭﻟﺘﺪﺭﻳﺐ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﻣﻮﺟﻬﺔ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻨﻬﻢ ﻗﺮﺍﺀﺓ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ‪ ١٢٥‬ﻣﻊ ﺍﻟﺘﺄﻛﻴﺪ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺃﻥ‬ ‫‪C‬ﺏ‬

‫! ﺏ‪C‬‬

‫ﻭﺇﻧﻤﺎ‬

‫ﺏ‪C‬‬

‫‪C‬ﺏ =‪-‬‬ ‫ ﻭﺍﻃﻠﺐ ﻣﻨﻬﻢ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺍﻟﺴﺒﺐ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻔﺮﺩﺍﺗﻬﻢ‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ‪.‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪95‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‪ :‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ واﻟﻘﻴﺎس ﰱ ﺑﻌﺪﻳﻦ وﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‬ ‫ ‪1 S "ȗ"x r 2S Ȕ 9 _f x :2qvf :ȟxȚ 2*yf‬‬

‫‪:ÆGôØdG ≈a ¬éàªd √ÉéJ’G ΩÉªJ Üƒ«Lh √ÉéJ’G ÉjGhR‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻮﺭ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﺼﻨﻌﻬﺎ‬ ‫ﻣﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻣﻊ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ) ‪i‬ﺱ ‪i ،‬ﺹ‬ ‫‪i ،‬ﻉ( ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺮﻛﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه‬

‫‪: z Ē p# gb lf d^ m # wV .&sb q# f ."r 8‬‬ ‫ب = ‪Ł- M‬‬ ‫أ ‪(Ň- ŮŃ- ŮŇ) = C‬‬

‫‪|| = 5C‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪Mi " + N =i " + M 5i ") || C‬‬

‫" ‪Mi " Ů=i " Ů5i‬‬

‫‪S B ` aO b a . 2 a‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪q# gb m # wV .&sb q# f d g M‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‪i t‬‬

‫ ‬

‫‪q# f d gy d [gb d_;b 8‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ .&r ŀĿ m1 zOf‬‬

‫أ ‪q# gb lN 2 N‬‬ ‫ب ‪q# gcb m # Đ y r3 6 zZ ."r‬‬ ‫‪C‬‬

‫ ‪( y4z 1 _b ^2gb ) y2 #b 1s?b‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‪c+‬‬ ‫ ‬

‫‪C‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪W‬‬ ‫‪!BU' O 0‬‬ ‫‪|| = MC‬‬

‫\ @‪ cd & M r ` a A # :3 6/‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫|| " ‪ņŬŅŅ = ŃĿ " ŀĿ = Mi‬‬

‫ ‪ ^ A ?&a $ ' X‬‬ ‫‪ŅŬŃŁŇ = ŃĿ " ŀĿ = Mi " || C || = = 5C‬‬ ‫ ‪ cd & 5 r ` a A # :3 6/@ \ = 5C $6/@ !BU' 7e‬‬ ‫‪ŁŬŀňň = ņĿ " ŅŬŃŁŇ = ņĿ " = 5C = 5C‬‬ ‫ ‪ cd & = r ` a A $ ' X‬‬ ‫‪ŅŬĿŃ = ņĿ " ŅŬŃŁŇ = ņĿ " = 5C = =C‬‬ ‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪126‬‬

‫اﻟﺘﻘﺴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ واﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬

‫ ‪٩‬ـ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﺹ‪ ١٢٦‬ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﻃﻼﺑﻚ ﻗﺮﺍﺀﺓ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ﻭﺗﻮﺿﻴﺢ ﺍﻟﻘﻮﺓ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ‪ ،‬ﻭﺍﻃﻠﺐ ﻣﻨﻬﻢ‬ ‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﺍﻧﻬﺎ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﻣﺠﻤﻮﻉ‬ ‫ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ﻟﻤﺘﺠﻪ‬ ‫ً‬ ‫ﻣﺮﻛﺒﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪﺓ‬ ‫ﻣﻀﺮﻭﺑﻪ ﻓﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻟﻜﻞ ﻣﺤﻮﺭ ‪C = C‬ﺱ ﺱ ‪ C +‬ﺹ‬ ‫ﺹ ‪C+‬ﻉ ﻉ‬ ‫ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﻟﻺﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭﻫﻰ‪:‬‬ ‫أ‬

‫ﻯ‪= C‬‬

‫ﻯ‬

‫‪C‬‬

‫|| ﻯ‪|| C‬‬

‫=‬

‫)‪(٨- ، ٤- ، ٨‬‬ ‫‪٦٤+ ١٦ + ٦٤‬‬

‫‪٢ ١ ٢‬‬ ‫)‪٤- ، ٨‬‬ ‫‪( ٣ ، ٣ ، ٣ ) = (٨- ،١٢‬‬ ‫ﻯ‪= C‬‬

‫‪96‬‬

‫‪ C‬‬

‫ ‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ ﺟﺘﺎ ‪i‬ﺱ ﺱ ‪ +‬ﺟﺘﺎ ‪i‬ﺹ ﺹ ‪ +‬ﺟﺘﺎ ‪i‬ﻉ ﻉ ﺗﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﻣﺘﺠﻪ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ C‬ﻭﻷﻥ ﻣﻌﻴﺎﺭ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫ﺟﺘﺎ‪i ٢‬ﺱ ‪ +‬ﺟﺘﺎ‪i ٢‬ﺹ ‪ +‬ﺟﺘﺎ‪i ٢‬ﻉ = ‪١‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪(M‬‬

‫‪ i C‬‬

‫‪ i‬‬

‫ ‬

‫)‪(Mi Ů=i Ů5i‬‬

‫‪Mi " + N =i " + M 5i " :70 _ O‬‬

‫وﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼب أن‬

‫ ﻭﻻﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﻻﺑﺪ ﻣﻦ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ‪ C‬ﻭﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ﻹﻳﺠﺎﺩ‬ ‫ﻭﻗﻴﻤﺔ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‪.‬‬

‫‪ i‬‬

‫" ‪ŀ = Mi Ł " + =i Ł " + 5i Ł‬‬

‫ﺹ ‪|| +‬‬

‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﻟﻬﻢ ﺍﻧﻪ‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ‪١٢٦‬‬ ‫ً‬ ‫ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﻣﺘﺠﻪ ﺑﺎﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ )ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﺭﻳﺰﻳﺔ(‬ ‫ﻓﻼﺑﺪ ﻣﻦ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺇﻟﻰ ﻣﺮﻛﺒﺘﻴﻦ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﻭﻉ‬ ‫ﻷﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎه ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻭ ﻉ ﺛﻢ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺗﻘﻊ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻰ ﺱ ﺹ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺈﻳﺠﺎﺩ ﺟﺘﺎ ‪i‬ﻉ ‪ ،‬ﺟﺎ ‪i‬ﻉ‬ ‫‪ ،‬ﺛﻢ ﺗﻜﺮﺍﺭ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﻣﺮﻛﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪C‬ﺱ ﺹ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻣﺮﻛﺒﺘﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﺱ ‪ ،‬ﺹ‬

‫‪C‬‬

‫‪ C‬‬

‫‪Mi " || C‬‬

‫‪S B ` aO J a‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻰ‪:‬‬

‫= ||‬ ‫|| ﺟﺘﺎ ‪i‬ﻉ ﻉ‬

‫‪C‬‬

‫= ||‬

‫وﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﻛﻴﻔﻴﺔ اﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﻣﺘﺠﻪ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﺘﺠﻬﺎت‬ ‫‪ || C‬ﺟﺘﺎ ‪i‬ﺱ‬

‫|| " ‪|| = =CƅŮƄ5i‬‬

‫‪C‬‬

‫|| " ‪|| = MCƅŮƄ=i‬‬

‫ ‬

‫= || ‪M Mi " || C || + N =i " || C || + M 5i " || C‬‬

‫` ‪C‬‬

‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﺇﻧﻪ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺧﻮﺍﺹ‬ ‫ ‪ C‬ﺱ = || ‪ || C‬ﺟﺘﺎ ‪i‬ﺱ ﻭﻫﻜﺬﺍ‬ ‫ً‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﻭﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻭﺃﻥ || ‪ || C‬ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﺒﻌﺪ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻭﺍﻟﻤﺤﻮﺭ‪.‬‬

‫ﺱ ‪|| +‬‬

‫‪M -‬‬

‫‪ÆGôØdG ≈a ¬éàªd √ÉéJ’G ΩÉªJ Üƒ«Lh √ÉéJ’G ÉjGhR‬‬ ‫ ‪ y r4b 6 zZ (Mi Ů=i Ů5i) j ^r Q 2Wb wV q# f (MC Ů=C Ů5C) = C i ^ /‬‬ ‫ ‪:i V z 2 b wcN M Ů= Ů5 1r 'gb "sgb m # Đ Pf q# gb pOk?y w b‬‬

‫ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺣﻴﺚ ﺗﻤﺎﻡ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ ﺣﻴﺚ‬

‫‪ || C‬ﺟﺘﺎ ‪i‬ﺹ‬

‫‪N‬‬

‫ﺟ‬

‫"¶ = ‪M ł‬‬

‫‪M Ń-‬‬

‫ ‬

‫ ‪cf‬‬

‫ ‬

2-1

‫املﺘﺠﻬﺎت ﰱ اﻟﻔﺮاغ‬ 2-1

( ‫ ﻉ‬٢ - ‫ ﺹ‬٤) + ( ‫ ﻉ‬٥ + ‫ ﺹ‬٣ - ‫ ﺱ‬٢)٢ = ‫ ﺏ‬+

U 6[f Ȕ v' Ȟ

٢ ‫أ‬

S B $ g ad V d > 7 Va h i4 N =C + M 5C = C N ŅŬĿŃ + M ŁŬŀňň =

` a A S 2 ' ` aO J I : W '

ŀ = ( M ņŬŅŅ + N ŅŬĿŃ + M ŁŬŀňň) ŀĿ

( ‫ ﻉ‬٢ - ‫ ﺹ‬٤) + ( ‫ ﻉ‬١٠ + ‫ ﺹ‬٦ - ‫ ﺱ‬٤) =

M ĿŬņŅŅ +

‫ ﻉ‬٨ + ‫ﺹ‬٢- ‫ ﺱ‬٤ = ١ ١ ٦ - ‫ ﺹ‬٥ + ‫ ﺱ‬٤) - ( ‫ ﻉ‬٢ - ‫ ﺹ‬٤) ٢ = ‫ ﺟـ‬- ‫ ﺏ‬٢ ‫ب‬ (‫ﻉ‬

( ‫ ﻉ‬٦ + ‫ ﺹ‬٥ - ‫ ﺱ‬٤-) + ( ‫ ﻉ‬- ‫ ﺹ‬٢) =

M MC + M ņŬŅŅ +

= Ct

ĿŬŅĿŃ + M ĿŬŁŀňň =

cņņŬł = (ĿŬŁŀňň) ŀ- " =

ĿŬŁŀňň =

cńŁŬŇŃ =

(ĿŬŅĿŃ) ŀ- " =

ĿŬŅĿŃ

=i "ƅ

cŃĿ =

(ĿŬņŅŅ) ŀ- " =

ĿŬņŅŅ

Mi "ƅ

5i " `

ľĄ÷ Ņã Ľōîă

l szj ŁĿĿ o1 .[f

. y2 #b 1s?b

sZ d gy d [gb d_;b 9 X

s[b lN 2 N ‫أ‬

. X s[cb m # Đ y r3 6 zZ ."r ‫ب‬

(٢-١) ‫ﺗﻤــــﺎرﻳــﻦ‬

‫ ﻉ‬٥ + ‫ ﺹ‬٣ - ‫ ﺱ‬٤- =

: ak ! /0 || i V (Ł ŮŃ Ůł-) =

i ^ / 1

i V M – N ł = Ů M ł + N Ł - M =

i ^ / 2

............................................

٥ + ‫ ﺱ‬٤) ٢- ( ‫ ﻉ‬٥ + ‫ ﺹ‬٣ - ‫ ﺱ‬٢) ٣ = ‫ﺟـ‬٢ - C ٣ ‫ﺟـ‬ ( ‫ ﻉ‬٦- ‫ﺹ‬

............................................

= -

............................................

= ||

so (Ł Ůŀ- Ůł) Ů (Ŀ ŮŁ Ůŀ-) C z& C m # wV .&sb q# f 3

.5 1s'gb "sgb m # Đ Pf ............................................ p6 zZ yr 3 Pk?y M Ł - N + M ł =

q# gb 4

.M 1s'gb "sgb m # Đ Pf ............................................ p6 zZ yr 3 Pk?y N Ł + M = q# gb 5

(١٢ + ‫ ﺹ‬١٠ - ‫ ﺱ‬٨-) + ( ‫ ﻉ‬١٥ + ‫ ﺹ‬٩ - ‫ ﺱ‬٦) =

: M5 4 2 3 4 3 $U U> $4 2 @ P = ] i V .&r ł = || C || i ^r (ŀ Ů] ŮŁ-) = Ł! ‫ﺟ‬ Ń- ‫ب‬

............................................

. ‫ ﻉ‬٢٧ + ‫ ﺹ‬١٩ - ‫ ﺱ‬٢- =

ŀŃ

127

‫د‬

i ^ / 6 Ń ‫أ‬

V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

١٢٨ ‫ إﻟﻰ‬١٢٧ ‫ﺑﻌﺾ إﺟﺎﺑﺎت ﺗﻤﺎرﻳﻦ اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻣﻦ‬ 1

٢٥

‫ﻉ ﻉ‬+ ‫ ﺹ‬٥- ‫ﺱ‬

(

٢ ٢٩

٣٢٩

) 3

٢٩

c٣٦ ٤َ٢ 4 c٩٠ 5 c٦٨٫٦ 7 ‫ ﺏ‬8 10

(١ ،٥- ،٦) = (٠ ،٢- ،٤) + (١ ،٣- ،٢) = ‫ ﺏ‬+

‫أ‬

١ ١ (٣ ،٠ ،٦-) ٣ - (١ ،٣- ،٢)٣ = ‫ ﺟـ‬٣ + C ٣ ‫ب‬ (٢ ،٩- ،٨) = (١- ،٠ ،٢) + (٣ ،٩- ،٦) = ٣ ٣ ٢ ٣ (٣ ،٠ ، ٦-) ٢ + (٠ ،٢- ،٤) ٢ = ‫ ﺟـ‬٣ + ‫ ﺏ‬٢ ‫ﺟـ‬ (٢ ،٣- ،٣) = (٢ ،٠ ،٤-) + (٠ ،٣- ،٦) =

‫ اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫ اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ واﻟﻘﻴﺎس ﰱ ﺑﻌﺪﻳﻦ وﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‬:‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‬ 1 S "ȗ"x r 2S Ȕ 9 _f x :2qvf :ȟxȚ 2*yf

= i i V q# gb m # Đ y r3 wo i ŮcņĿ ŮcłĿ i ^ / 7 cŁŅĿ ‫ﺟ‬ cŇĿ ‫ب‬ cŀĿĿ ‫أ‬

cŅŇŬŅ ‫د‬ ............................................

= ¶" i V M = ¶" + + M + NŅ - M- ‫ب‬ M - NŃ + M ‫د‬ ............................................

ń) ‫ﺟ‬ ( ńŁ Ů ń Ů Ł-

(ŀ Ůŀ Ůŀ-) ‫د‬

i ^r (ŀ Ůŀ Ůł) = Ů(Ł- Ůń Ůŀ-) = C i ^ / 8 M - NŅ + M ‫أ‬ M ł - NŃ + M ‫ﺟ‬

= ٠ + ١ + ٤ = || C || ‫ أ‬12 ٣ = ٤ + ٤ + ١ =|| ‫ب || ﺏ‬ ١٧ = ١٦ + ١ = || E ||"

............................................

١ = || ‫ﺟـ || ﺟـ‬

wo (Ł Ůŀ ŮŁ-) = C q# gcb m # Đ y r3 e g sz" 9 ‫ب‬ ( Łł Ů ŀł Ů Ł(Ł Ůŀ ŮŁ-) ‫أ‬ ł)

p# gb lf đ^ Ê ."r M Ņ - N ń + M Ń = ¶" Ů M Ł - N Ń = Ů M ń + N ł - M Ł = ‫ﺟ‬

¶" Ł - C ł

NŃ - M

¶" - ŀ ‫ب‬ Ł

|| M || |]| = || b(

|| i (Ŀ ŮĿ Ůŀ) = M Ů (Ŀ ŮĿ Ů]) =

‫=ﻙ‬

‫ || = || ﻙ‬C || ` || M || |‫= | ﻙ‬

i ^ / 13

: z Ē p# gb lf d^ 1 zOf ."r 12 (Ł- ŮŁ Ůŀ) = ‫ب‬ (Ŀ Ůŀ- ŮŁ) = C ‫أ‬

M = ¶" ‫ﺟ‬

‫د‬

i ^ / 11 : z Ē + C Ł ‫أ‬ C

(٠ ،٠ ،١ ) ‫= ﻙ‬

( ٠ ،٠ ،‫= ) ﻙ‬

: ak l20 : z Ē p# gb lf đ^ Ê ."r (ł ŮĿ ŮŅ-) = ¶" ƄŮƅ (Ŀ ŮŁ- ŮŃ) = ƄŮƅ (ŀ Ůł- ŮŁ) = C i ^ / 10 ¶" Ł + ł ‫ﺟ‬ ¶" ŀ - C ł ‫ب‬ + C ‫أ‬ ł Ł ł

. M = w .&Ė ts 7gb t3 sy C q# gb i ^ / :ŦǍņƽǩ ǡĝǐƒ 15 C q# gb z .& lN as[ i l_gy / f

i V2Gb i ^ / || || + ||

^2gb ."r l szj ŁĿ tr 7 Hz+b wV .;b sZ j ^ / 14 X s[cb y2 #b

|| = || +

|| do .ł% wV lzp# f Ů C i ^ / :ŦǍņƽǩ ǡĝǐƒ 16 ?2 ^Ĕ so lzV2Gb t Ì .lzyr 7 f 2zR

y r3 z .&Ė 1r 'f Pf Pk?yr Ů .&r ń m1 zOf t0b

q# gcb y2 #b 1s?b ."r :ƭĝŻśĞ ƄŐǔƽŝ 17 .5 z[b wV yr 7 f m #

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

- 14 ‫ ﺏ‬C : ‫ ﻭ ﺏ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻰ ﻭ ﻳﻜﻮﻥ‬C 9، ٥

: ‫ﺑﻤﻘﻴﺎﺱ ﺭﺳﻢ ﻣﻌﻴﻦ‬

= ‫ ﻭ‬C : ‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ٣= ٤+٥ =

‫ ﺏ ﻳﻤﺜﻞ ﺍﻟﻘﻮﺓ‬C ‫ﻭﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ‬

X ٣ = ٣ * X= ‫ﺱ‬i ‫ﺟﺘﺎ‬X =

128

‫ ﺱ‬C`

* X = ‫ ﺱ‬i‫ﺟﺎ‬X = ‫ ﺹ ﻉ‬C

(‫ ﻭﺟـ‬C ) ‫ ﺟﺘﺎ‬X ٥ - = ‫ ﺹ‬C ` ٣

١٠ X ٣ = ٢X ٣ =

٢ ٥

١ ٥

* X ٥ -= ٣

* X ٥ -= ( ‫ ﻭﺟـ‬C ) ‫ ﺟﺎ‬X ٥ - = ‫ﻉ‬C ٣ ٣

‫ ﻉ‬X ٢ - N X١٣ ٣

٤٠

٢ ٣=

٢٠

‫ ﻉ‬٣ -N ٣ -

٤ ٣

14 ºbôd ôNBG πM (٢- ،١- ،٢ ) = (٢ ،١ ،٠ ) - (٠ ،٠ ،٢ ) = ‫ ﺏ‬C ٠ < ‫( ﺣﻴﺚ ﻙ‬١) (٢- ،١- ،٢ )‫= ﻙ‬

‫ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ‬

‫ ﻙ‬٣ = ٩ ‫|| = ﻙ‬

||`

‫ ﻙ‬٣ = ٢٠ ` ٢٠ ٣

=‫` ﻙ‬ : ‫( ﻳﻜﻮﻥ‬١) ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ﻙ ﻓﻰ‬ ٢٠

(٢- ،١- ،٢ ) ٣ = ٤٠

‫ ﻉ‬٣ -

٢٠ ٣

‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

٤٠ ٣ )=

тАля║Ня╗Яя╗оя║гя║кя║У я║Ня╗╖я╗ня╗Яя╗░тАм

3-1

┼Р─┐┼Н┼Ч├н ├│─К─Г┼О─┐├н

├д├Й┬б├й├а┬кdG ├Ь├┤┬░V

3-1

Vectors multiplication

┼В┼А─м├╕├╖ ─▒┼О─У &B>"? 7 $ MO + ,- I 5 "*? &B>" 'I 5T ' &B>" & : U

/ * 95" ; ' '&' < &57 : "+ яА│

,V8 =>" J K =>" .Q, ,V8 =>" J K =>" F *

8 ' 3 JL #I > + яА│

0 M7 WIX.? (RS

wV q# gb 2Br Pg#b d f ┼о p# gb wcN zcgOb DO 2" ┬╣[ 6 gcO d[& wV 2Cb zcgN 2" l_gy do : b 7 .Z is_ .Z `k_br ┼оw[z[& -.N w6 z[b 2Cb go ┼о p# gb 2B lf i Nsj ] ko .hOj : s#b r ? p# gb lf lzNskb ly0o ar k j 51.b 0o wVr .lzp# gb wo # ─Р 2Cb r lzp# gb ┼п z y4zWb gp [z G r ┼о z6.kpb r y2 #b gp> s*r ┼оdzc' b r %2;b 2Cb . _zj _zgb 6 1- wV `b k┬╣ zOf `b/ is_zb

&B>"? P KC MO Scalar product of two vectors (Dot product) + ,- I 5 "*?

8 ' 3 JL #I Y 8 Z 7 [" "(+ яА│

MO (Y Z 7 [ ? P KC # B>" D $ $)$ 4 )>? 0 7 $ < MO (Y

- тАл я║Ня╗Яя║╕я╗Ря╗ЮтАм- тАл я╗гя║оя╗Ыя║Тя║Ф я╗гя║Шя║ая╗к я║Ня╗Яя╗оя║гя║кя║УтАм- тАл я║┐я║оя║П я║Ня║Чя║ая║Оя╗ля╗░тАм- тАля║┐я║оя║П я╗Чя╗┤я║Оя║│я╗░тАм тАл я║Ня╗Яя╗Ая║оя║П я║Ня╗Яя║Ья╗╝я║Ыя╗░ я║Ня╗Яя╗Шя╗┤я║Оя║│я╗░тАм- тАля╗гя║┤я╗Шя╗В я╗Чя║Оя╗Ля║кя║У я║Ня╗Яя╗┤я║к я║Ня╗Яя╗┤я╗дя╗ия╗░тАм

7 $ MN P K MN .Q,

component

0 =>"

unit vector

(RS

work right hand rule

тАл╪зя╗Яя╗дя╗о╪з╪п ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗┤я╗дя╗┤я║Ф ╪зя╗Яя╗дя║┤я║Шя║ия║кя╗гя║ФтАм

)$ $ 0 4

7 $ < MO scalar triple product

i i " ||

i ^ /

q# gb ^2fr q# gb 1 zOf 2B d> & -┬Ы

q# gb ^2fr q# gb 1 zOf 2B d> & -┬Ы q# gb m #

& 7f lN 2 O 1 .[gb 0pb [cGgb gz[b r i " || C || || || tr 7y . q# gb m # wV C q# gb ^2fr q# gb 1 zOf m .O t0b dzG 7gb

Scalar product of two vectors C

: тАля╗Гя║о┘В ╪зя╗Яя║Шя║к╪▒я╗│я║▓ ╪зя╗Яя╗дя╗Шя║Шя║оя║гя║ФтАм

129

тАл я║Ня╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗втАм- тАл я║Ня╗Яя╗дя╗ия║Оя╗Чя║╕я║Ф я╗ня║Ня╗Яя║дя╗оя║Ня║н я║гя╗Ю я║Ня╗Яя╗дя║╕я╗Ья╗╝я║ХтАм- тАля║Ня╗Яя╗Мя║оя║╜ я║Ня╗Яя╗дя║Тя║Оя║╖я║отАм . тАля║Ня╗Яя║Шя╗Мя║Оя╗ня╗зя╗░тАм

┘б┘д┘г тАл я║Зя╗Яя╗░ я║╣тАм┘б┘в┘й тАля╗Ыя║Шя║Оя║П я║Ня╗Яя╗Дя║Оя╗Яя║Р я╗гя╗ж я║╣тАм

q# gb ^2f -┬Ъ

тАля║Чя╗Мя╗ая╗втАм

тАл я╗гя║ая║┤я╗дя║Оя║Х я║Ся║оя║Ня╗гя║Ф я║ня║│я╗оя╗гя╗┤я║Ф я║Чя╗оя║┐я║в я║Ня╗╖я║╖я╗Ья║Оя╗Э я║Ыя╗╝я║Ыя║ФтАм- тАля║│я║Тя╗оя║ня║У я║Чя╗Мя╗ая╗┤я╗дя╗┤я║ФтАм тАля║Ня╗╖я║Ся╗Мя║Оя║йтАм

:тАля╗гя║╝я║О╪п╪▒ ╪зя╗Яя║Шя╗Мя╗ая╗втАм

:70 Y ' тАля╗зя║Оя╗Чя║╢тАм┼Н тАл я╗Уя╗Ья║отАм4 3 tr 7 q# gb m # wV C q# gb ^2f -┬Ъ i " || C ||

vectar product

. q# gb m # wV

├┤┼Ф─У├о─У├г ├╡├о─Д┼А─д─Ь┼Г scalar product

┼Н тАля╗Уя╗Ья║отАм

:."r V i gpkz yr 4b 5 zZ ┼оlzp# f ┼о

MO (Y Z 7 [ ? 7 $ <

: тАля╗гя╗Фя║о╪п╪з╪к ╪зя║│я║Оя║│я╗┤я║ФтАм

├╕┬л┬б├й├а┬кd тЙИ┬░S├Й┬лтЙдdG ├Ь├┤┬░тАаdG

тАля╗зя║Оя╗Чя║╢тАм

├╕┬л┬б├й├а┬кd тЙИ┬░S├Й┬лтЙдdG ├Ь├┤┬░тАаdG

i V i gpkz yr 4b 5 zZ ┼оlzp# f ┼о C i ^ / ^2fr lzp# gb .& 1 zOf m .O t0b dzG 7gb & 7f lzp# gcb w6 z[b 2Cb U2O qzcN 2*─Т q# gb : C ly4f2b gpb 4f2yr

┬АV 6[f :2qvf - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

: тАля║зя╗ая╗Фя╗┤я║ФтАм

тАля╗╗ я╗Яя║Шя╗оя╗Зя╗┤я╗Т я║Ня╗Яя║ия║Тя║оя║Ня║Х я║Ня╗Яя║┤я║Оя║Ся╗Шя║Ф я╗Яя║кя╗п я║Ня╗Яя╗Дя╗╝я║П я╗Уя╗░ я║Зя╗Гя║Оя║нтАм ┘Л тАля║Ня║│я║Шя╗Ья╗дя║ОтАм тАля║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя║Оя║Х я║Ня╗Гя╗ая║Р я╗гя╗ия╗мя╗в я╗Ля║оя║╜ я║Ня╗гя║Ья╗ая║Ф я╗Яя╗дя║Ц я║Чя╗в я║Чя╗Мя╗ая╗дя╗к я╗гя╗ж я╗Чя║Тя╗Ю я╗ня╗гя║О я║Чя╗втАм тАля╗гя╗оя║┐я║дя║О я╗Яя╗мя╗в я║Гя╗зя╗к я║│я║Тя╗Ц я╗ня║Чя╗в я║Ня║Яя║оя║Ня║А я╗Ля╗дя╗ая╗┤я║ФтАм тАля║Чя╗Мя╗ая╗дя╗к я╗Уя╗░ я║Ня╗Яя╗оя║гя║кя║У я║Ня╗Яя║дя║Оя╗Яя╗┤я║ФтАм ┘Л тАля║Яя╗дя╗К я║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя║Оя║Х я╗Уя╗░ я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗п я║Ся║Дя╗Ыя║Ья║о я╗гя╗ж я╗Гя║оя╗│я╗Шя║Ф я╗ня║┐я║оя║П я╗гя║Шя║ая╗к я╗Уя╗░тАм тАля╗Ля║кя║й я║гя╗Шя╗┤я╗Шя╗░ я╗ня║Ся║Оя╗Яя║Шя║Оя╗Яя╗░ я║│я║Шя║Шя╗Мя╗ая╗в я╗Уя╗▓ я║йя║ня║▒ я║Ня╗Яя╗┤я╗оя╗б я╗Ыя╗┤я╗Фя╗┤я║Ф я║┐я║оя║П я╗гя║Шя║ая╗мя╗┤я╗жтАм .тАля╗Уя╗░ я║Ня╗Яя╗Фя║оя║Ня╗Н я╗ня║Ня╗Яя╗Дя║оя╗Х я║Ня╗Яя╗дя║ия║Шя╗ая╗Фя║Ф я╗Яя║мя╗Яя╗ЪтАм :тАля╗гя║ия║оя║Яя║О╪к ╪зя╗Яя║к╪▒╪│тАм :тАля║Ся╗Мя║к ╪п╪▒╪зя║│я║Ф я╗ля║м╪з ╪зя╗Яя║к╪▒╪│ ┘Ия║Чя╗ия╗Фя╗┤я║м ╪зя╗зя║╕я╗Дя║Шя╗к я╗│я║Шя╗оя╗Чя╗К я╗гя╗ж ╪зя╗Яя╗Дя║Оя╗Яя║Р ╪г┘ЖтАм B A "(7 !95"7 8 ' JL 9 : "+ яА│

" B AM " !95" ! яА│ !95" ! +B N > + яА│ OP 45" E F 495" ,Q &' яА│ OP 45" E F 45" F ( яА│ / M8 SBT,7 #UV &' 1( яА│ B A "(7 W !95"7 X F JL 9 : "+ яА│ X F JL #I Y 8 Z 7 [" "(+ яА│

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‪ :‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ واﻟﻘﻴﺎس ﰱ ﺑﻌﺪﻳﻦ وﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‬ ‫ ‪1 S "ȗ"x r 2S Ȕ 9 _f x :2qvf :ȟxȚ 2*yf‬‬

‫اﻟﺘﻬﻴﺌﺔ ‪:‬‬

‫‪7\ ^0‬‬

‫ ﻳﺒﺪﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻢ ﺑﻌﺮﺽ ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ ﻋﻠﻲ ﺟﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬ ‫ﻭﺿﺮﺏ ﻣﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻭﻳﻄﺮﺡ ﻋﻠﻴﻬﻢ ﺍﺳﺌﻠﺔ‬ ‫ﺗﺴﺎﻋﺪﻫﻢ ﻋﻠﻲ ﺗﺬﻛﺮ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻲ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺛﻢ ﻳﺜﻴﺮ‬ ‫ﻣﻮﺿﻮﻉ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻋﻠﻲ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻫﻞ ﻫﻰ ﻣﻤﻜﻨﻪ ﻭﻫﻞ‬ ‫ﻟﻬﺎ ﺻﻮﺭﺓ ﻭﺣﻴﺪﺓ ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺃﻥ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻟﻪ ﺻﻮﺭﺗﻴﻦ‬ ‫ﺳﻴﺘﻢ ﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ‪:‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪ : C ."r Ň = || || Ł = || C || i ^r cŅĿ yr 4b 5 zZ Ůlzp# f Ů C i ^ / 1‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫|| ‪||ƅ#ƅŇ = || || Ł = || C‬‬ ‫ ‪ m & .@Z < @5a 3‬‬ ‫‪ : C‬‬ ‫= || ‪i " || || || C‬‬ ‫= ‪ŀŅ = ŅĿ " * Ń * Ň‬‬

‫‪C‬‬

‫|| = ‪Ń = || || Ů Ň‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ : C ."r ŀĿ = || ||ƅŮƄŅ = || C || i ^r cŀłń gpkz yr 4b 5 zZ Ůlzp# f Ů C i ^ / 1‬‬ ‫‪?2W?b tr 7y w6 z[b 2Cb d> & pzV is_y w b Đ 'b f :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬

‫ ‪$ j n UB‬‬ ‫ ‪. G[kb 8Wkb (lzc* - r ) lz"1 * i p# gb is_y i #y lzp# gb lz yr 4b .y.' b -‬‬

‫اﺟﺮاءات اﻟﺪرس ‪:‬‬

‫ ‪[r Ů Ŀ] ǽ lzp# gb lz yr 4b 5 zZ -‬‬ ‫‪C‬‬

‫ ﺍﺑﺪﺃ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﺘﻮﺟﻴﻪ ﺳﺆﺍﻝ ﻋﻦ ﻣﺮﻛﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻭﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﺳﺎﺳﻰ ﺍﻟﺬﻯ ﺗﻢ ﺩﺭﺍﺳﺘﻪ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ‪.‬‬

‫ ﺑﻌﺪ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ ﻭﺗﺪﺭﻳﺐ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻲ‬ ‫ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩﻫﻢ ﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻄﻠﻘﺔ ﻟﺤﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ‬ ‫ﻣﻌﻴﺎﺭ ﻣﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﻣﺮﻛﺒﺔ ﻣﺘﺠﻪ ﺁﺧﺮ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎﻫﻪ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﻣﺴﺎﺣﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﺍﻟﺬﻯ ﺑﻌﺪﺍه ﻣﻌﻴﺎﺭ ﺃﺣﺪ ﻫﺬﻳﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﺭ ﻣﺮﻛﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻵﺧﺮ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺣﻴﺚ‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺣﺴﺎﺏ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻭﻫﻮ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﻧﺼﻒ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭ ﺍﻟﻴﻪ ‪.‬‬

‫‪129 ¢U º∏©J óæH ≈a‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺟﺮﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺑﺈﻳﺠﺎﺩ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﺍﻟﺬﻯ ﺑﻌﺪﺍه‬ ‫ﻣﻌﻴﺎﺭ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻭﻣﺮﻛﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻵﺧﺮ ﻋﻠﻴﻪ ﻭﺃﻥ ﻫﺬه‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﻳﻄﻠﻖ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻭﻭﺿﺢ ﺭﻣﺰ‬ ‫ﺍﻟﺮﻣﺰ ﺍﻟﺨﺎﺹ ﺑﻌﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ‪.‬‬ ‫ ﻭﻟﻤﺰﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﻔﻬﻢ ﻭﺍﻻﺳﺘﻴﻌﺎﺏ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ‬ ‫ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ ‪ ١٣٠‬ﻛﺘﻄﺒﻴﻖ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ‬ ‫ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ‪.‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪C‬‬

‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬

‫ ‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪Ů N Ů M j ^ / 2‬‬

‫ ﻭﻧﺎﻗﺶ ﻣﻌﻬﻢ " ﺑﻨﺪ ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ" ﺹ ‪ ١٢٩‬ﻣﻊ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺃﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﺯﺍﻭﻳﺔ )‪ (i‬ﻭﻟﺬﺍ ﻓﻴﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺮﻛﺒﺔ ‪ C‬ﻓﻰ‬ ‫ﺍﺗﺠﺎه ﺏ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎﻡ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬

‫‪100‬‬

‫‪i " || || || C || = : C‬‬

‫‪M lf d^ ."r V Ů zkzgy Nsg#gb .&sb p# f M‬‬

‫‪ŮM :‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M : M ŮN :‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪!X 4‬‬

‫‪M‬‬

‫‪:‬‬

‫‪M‬‬

‫= || ‪cĿ " || M || || M‬‬ ‫= ‪ŀ =ŀ * ŀ * ŀ‬‬

‫‪N‬‬

‫‪:‬‬

‫‪N‬‬

‫=‪ŀ= M : M Ůŀ‬‬

‫‪¿CG ôcòJ‬‬ ‫ ‪^ S d 5‬‬ ‫ >‪;o U‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪lf d^ ."r V Ů .&sb p# f lf zkzgy Nsg#f M Ů N Ů M j ^ / 2‬‬ ‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪130‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ )‪(١‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪ :‬ﺏ = ||‬

‫‪ : C‬ﺏ‬

‫‪C‬‬

‫= ‪ * ١٠ * ٦‬ﺟﺘﺎ ‪١٣٥‬‬

‫)‪(٢‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪:‬‬

‫‪N‬‬

‫‪ :‬ﻉ = ﺻﻔﺮ‬

‫ﻉ ‪:‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫|| ||‬

‫ﺏ || ﺟﺘﺎ ‪i‬‬

‫= ﺻﻔﺮ‬

‫‪M‬‬

‫‪ŮN:‬‬

‫‪N‬‬

‫‪: M ŮM :‬‬

‫‪M‬‬

‫ﴐب املﺘﺠﻬﺎت‬ ‫‪3-1‬‬

‫‪ v' Ȟ Ȏ‬‬

‫ ﻓﻰ ﺍﺳﺘﻌﺮﺍﺽ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ ‪ ١٣٠‬ﺫﻛﺮ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﻘﺎﻋﺪﺓ‬ ‫ﺍﻟﻴﺪ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻢ ﻓﻬﻤﻬﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﺘﻮﺿﻴﺢ ﺟﻤﻠﺔ‬ ‫)ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﻴﻤﻨﻴﺔ ( ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ‪.‬‬

‫‪≈°SÉ«≤dG Üô°†dG ¢UGƒN‬‬ ‫ ‪: B / m & .@Z P p m V $&4 $BX # 3‬‬

‫ ‪-‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‪-‬‬

‫‪C : C‬‬

‫ ‪-‬‬ ‫ ‪-‬‬

‫‪= :‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪: 4 $ " P‬‬

‫ ‪C :‬‬

‫= ||‬

‫‪Ł|| C‬‬

‫\[ ‪7 / [\ F&A‬‬

‫‪Ŀ= :‬‬

‫‪= ( ¶" + ) :‬‬

‫‪C + : C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ 3 j 5a U@H 3 5 ,‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ ) اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫‪? J $ " P ¶" :‬‬

‫ ‪ r & & IW 9 7 / [\ ( : C )] = ( ]) : C = : ( C ]) -‬‬

‫‪:130 ¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a - 2‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫^‪lf đ‬‬ ‫‪Ê ."r . h6ŀĿ qOcB asF P 2f E ¶" C 3‬‬ ‫ب ‪¶" : C‬‬ ‫أ ‪¶" E : C‬‬

‫ﺟ‬

‫ ﺫﻛﺮ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﺄﻥ ﻣﻌﻴﺎﺭ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬

‫‪C ¶" : C‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫أ ‪m # Đ 8Wj wVr i y3 s f ¶" E Ů C a‬‬ ‫` ‪c2W> = gpkz yr 4b 5 zZ‬‬ ‫` ‪cĿ " || ¶" E || || C || = ¶" E : C‬‬ ‫= ‪ŀĿĿ = ŀ * ŀĿ * ŀĿ‬‬ ‫ب ‪i .f O f ¶" Ů C‬‬ ‫` ‪2W> = ¶" : C‬‬

‫ ‪cC j 4 $ g‬‬

‫‪$M& sR' 3 7t 6 O‬‬ ‫ﺟ ‪C ¶" Ů C a‬‬ ‫` ‪cŀłń kpkz yr 4b 5 zZ ( ? V m- . f wcN C ¶" .gj‬‬ ‫‪ŀłń " || C ¶" || || C || = C ¶" : C ƄƄ‬‬ ‫= ‪ŀĿĿ- = ŀ- * Ł ŀĿ * ŀĿ‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪≈°SÉ«≤dG Üô°†dG ¢UGƒN‬‬ ‫ ﺑﻌﺪ ﺃﻥ ﻳﺴﺘﻮﻋﺐ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺃﻭ ﺍﺟﺮﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﻴﻦ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺃﺣﺪ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻟﺸﺮﺡ‬ ‫ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻭﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﻣﻼﺣﻈﺘﻬﻢ ﻟﻠﻨﺘﺎﺋﺞ‬ ‫ﻓﻰ ﻛﻞ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻭﻫﺬه ﺍﻟﺨﻮﺍﺹ ﻫﻰ ) ﺍﻻﺑﺪﺍﻝ ‪ -‬ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‬ ‫ﻟﻤﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﻧﻔﺴﻪ ‪ -‬ﺷﺮﻁ ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ‪ -‬ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻓﻲ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ(‬

‫‪12‬‬

‫‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪Ł‬‬

‫ ! ‪ @&R @Pt‬ﺟ‬ ‫‪C ¶" : C ƅ‬‬

‫‪3-1‬‬

‫‪12‬‬

‫‪.‬‬

‫= ‪( ¶" C -) : C‬‬ ‫= ‪¶" C : C -‬‬

‫= ‪Ńń " || C ¶" || || C ||-‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ ‪ ١٣١‬ﻟﻠﺘﺪﺭﻳﺐ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻣﻮﺿﺤﺎ ﺃﻥ ﺃ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ‬ ‫ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ‪ ،‬ﺏ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ‪ ،‬ﺟـ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﺑﻨﻴﻬﻤﺎ ﺯﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﻭﻟﻜﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻟﻴﺴﺎ ﺧﺎﺭﺟﻴﻦ ﺃﻭ ﺩﺍﺧﻠﻴﻦ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﻧﻤﺎ ﻫﻢ‬ ‫ﻓﻲ ﺗﺘﺎﺑﻊ ﻭﻟﺬﺍ ﻧﺎﻗﺶ ﻃﺮﻳﻘﺘﻴﻦ ﺍﻻﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﻴﻦ ‪.‬‬

‫= ‪ŀĿĿ- = ŀ * Ł ŀĿ * ŀĿ-‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪131‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ ) اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ (‬

‫‪:130 ¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a - 1‬‬ ‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻻﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ ‪:‬‬

‫‪: 130 ¢U óbÉædG ô«μØàdG óæH ≈a‬‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻜﻮﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ‬ ‫ﻣﻮﺿﺤﺂ ﺃﻥ ﺫﻟﻚ ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻲ ﻗﻴﻢ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺻﻔﺮ‬ ‫ً‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺮﺍﺕ ﻭﻫﻰ || ‪ || ، || C‬ﺏ || ﺃﻯ ﻣﻌﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﻭﻣﻌﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ﺃﻭﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎﻡ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪ ،‬ﻭﺍﻃﻠﺐ‬ ‫ﻣﻨﻬﻢ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺟﺘﺎ ‪ =i‬ﺻﻔﺮ‬ ‫ ﺍﻟﻔﺖ ﺍﻧﺘﺒﺎه ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺿﺮﻭﺭﺓ ﻣﺮﺍﻋﺎﺓ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ‬ ‫ﻓﻴﺠﺐ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﺒﺪﺍﻳﺔ ﺃﻭ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﻧﺤﻮ‬ ‫ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻫﺬﻳﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ‪،٠ }∋i‬‬ ‫‪ {r‬ﻭﺫﻟﻚ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻠﻴﻦ ﺹ ‪١٣٨‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪101‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‪ :‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ واﻟﻘﻴﺎس ﰱ ﺑﻌﺪﻳﻦ وﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‬ ‫ ‪1 S "ȗ"x r 2S Ȕ 9 _f x :2qvf :ȟxȚ 2*yf‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺶ(‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪c f ¶" C 3‬‬

‫‪: 132 ¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a - 3‬‬

‫أ‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ‬ ‫ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻳﻤﺜﻼﻥ ﺑﺎﺿﻼﻉ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ‬ ‫ﻓﻲ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺮﻛﺒﺔ ﻣﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﻣﺘﺠﻪ ﺁﺧﺮ ﺩﺍﺧﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ،‬ﻭﻻﺣﻆ ﺃﻥ ﺟـ ﺗﺘﻄﻠﺐ ﺿﺮﺏ ﻛﻞ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻓﻲ ﻋﺪﺩ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻰ ﺛﻢ ﺍﺟﺮﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‬

‫ب ‪¶" : C‬‬

‫‪¶" C : C‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪óeÉ©àªdG ≈KGóME’G ΩÉ¶ædG ≈a ø«¡éàªd ≈°SÉ«≤dG Üô°†dG‬‬ ‫‪The scalar product of two vectors in orthogonal coordindte system‬‬

‫\[ ‪7 /‬‬

‫‪7FA ( M M +‬‬

‫‪C‬‬

‫= )‪N =C + M 5C‬‬

‫‪M MC +‬‬

‫‪ : C‬‬

‫= )‪N =C + M 5C‬‬

‫‪? J $ " P b u m 4 ( M M + N = + M 5 ) : ( M MC +‬‬

‫= ‪M 5 5C‬‬

‫‪:‬‬

‫‪N 5 =C +Ƅ‬‬

‫‪M‬‬

‫‪:‬‬

‫‪: M 5 MC +Ƅ‬‬

‫ ‪7\ v‬‬

‫` ‪ : C‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫(‪N = + M 5 ) = Ů‬‬

‫‪= 5CƄ‬‬

‫‪M‬‬

‫‪:‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M 5C‬‬

‫‪M‬‬

‫‪M :‬‬

‫‪= =CƄ‬‬

‫‪N‬‬

‫‪:‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M =C‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M :‬‬

‫‪: M‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M MC‬‬

‫‪M : M‬‬

‫‪= MCƄ M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪:‬‬

‫‪M‬‬

‫=‬

‫‪N‬‬

‫‪:‬‬

‫‪M‬‬

‫‪:‬‬

‫‪N‬‬

‫=‬

‫‪N‬‬

‫‪: M = M :‬‬

‫= ‪ŀ= M : M‬‬ ‫‪M‬‬

‫= >‪2W‬‬

‫= ‪M MC + = =C + 5 5C‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬

‫\[ ‪7 /‬‬ ‫‪7FA‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫= )‪w .&Ė ts 7gb wV (= Ů 5 ) = Ů (=C Ů 5C‬‬ ‫‪= =C + 5 5C = :‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺗﻌﻠﻢ ‪:‬‬

‫‪Nł + MŁ = C‬‬

‫‪i ^ / 4‬‬

‫)‪≈KGóM’G ΩÉ¶ædG »a ø«¡éàªd ≈°SÉ«≤dG Üô°†dG‬‬ ‫‪( óeÉ©àªdG‬‬ ‫ ﺫﻛﺮ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﺄﻥ ﺃﻯ ﻣﺘﺠﻪ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺑﺜﻼﺙ ﻣﺮﻛﺒﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪﺓ ﻭﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﺳﺎﺳﻰ ﻟﻜﻞ‬ ‫ﻣﻨﻬﺎ ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺫﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ = ‪N C + M C = C‬‬ ‫ﺹ‬ ‫ﺱ‬ ‫‪C +‬ﻉ ﻉ ‪ ،‬ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻨﻬﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺧﻮﺍﺹ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬ ‫ﻭﺑﺸﻜﻞ ﺧﺎﺹ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻻﺟﺮﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ‪.‬‬ ‫ ﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺗﺬﻛﺮ ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﺳﺎﺳﻰ ﻓﻰ‬ ‫ﻧﻔﺴﻪ ﻭﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ ﻣﺘﺠﻬﻰ ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ﺣﺘﻰ ﻳﺼﻠﻮﺍ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ) ‪ : C‬ﺏ ( ﻋﺒﺎﺭﺓ‬ ‫ﻋﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻣﺮﻛﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻣﻊ ﻣﺮﻛﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ‬ ‫ﺍﻻﺗﺠﺎه ﻓﻲ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﺎﺕ ﻧﻔﺴﻬﺎ ﺃﻯ ﺃﻥ‪ : C :‬ﺏ‬ ‫= ‪C‬ﺱ ﺏﺱ‬ ‫‪C +‬ﺹ ﺏﺹ ‪C +‬ﻉ ﺏﻉ‬ ‫ ﻭﻟﺘﻮﺿﻴﺢ ﺫﻟﻚ ﻧﺎﻗﺸﻬﻢ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ ‪ ١٣٢‬ﻭﺍﻛﺪ ﻓﻰ‬ ‫ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﺃﻥ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻫﻮ ﻛﻤﻴﺔ ﻗﻴﺎﺳﻴﺔ‬ ‫ﻟﻬﺬﺍ ﻓﺎﻟﻨﺎﺗﺞ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﻋﺪﺩ ﺃﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﺤﺪﺩ‪.‬‬

‫‪132 ¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH »a - 4‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻟﻄﺮﻕ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ‬ ‫ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻰ )ﺃ( ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺃﻥ )ﺏ( ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻧﺎﺗﺞ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﻭﻟﻴﺲ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ ‪.‬‬ ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪ Ů M Ń+‬‬

‫= ‪NŁ - M-‬‬

‫‪ : C ."r M +‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪ : C‬‬

‫= )‪(ŀ ŮŁ- Ůŀ-) : (Ń Ůł ŮŁ‬‬ ‫= ‪ŀ * Ń + (Ł-) * ł + ŀ- * Ł‬‬ ‫= ‪Ń- = Ń + Ņ - Ł-‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪."r 4‬‬ ‫أ‬ ‫ب‬

‫‪132‬‬

‫‪C‬‬

‫‪: z Ē Đ 'b lf d^ wV :‬‬

‫‪ Ů(Ł Ůł Ůŀ-) = C‬‬ ‫‪M Ł= C‬‬

‫‪-‬‬

‫‪N‬‬

‫= ‪N Ł- M Ń‬‬

‫‪= Ů‬‬

‫‪M ń+‬‬

‫‪?$ k 7j / f‬‬

‫‪Mł- N‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪ C‬ﺏ ‪ C :‬ﺟـ = || ‪ C‬ﺏ || || ‪ C‬ﺟـ‬

‫||ﺟﺘﺎ ^‬ ‫‪C‬‬

‫= ‪ * ٨ * ٨‬ﺟﺘﺎ ‪٣٢ = ٦٠‬‬ ‫‪ C‬ﺏ ‪ :‬ﺏ ﺟـ = || ‪ C‬ﺏ || || ﺏ ﺟـ || ﺟﺘﺎ )‪(٦٠ - ١٨٠‬‬ ‫‪٢٠‬‬

‫= ‪٣٢- = ( ٣ -) * ٨ * ٨‬‬ ‫‪ C ٢‬ﺏ ‪ ٣ :‬ﺟـ ﺏ = ‪ C ) ٦‬ﺏ ‪ :‬ﺟـ ﺏ (‬ ‫= ‪ C || ٦‬ﺏ || || ﺟـ ﺏ || ﺟﺘﺎ ﺏ‬ ‫‪١‬‬

‫= ‪١٩٢ = ٢ * ٨ * ٨ * ٦‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪ :‬ﺏ = ‪ = ١ + ٦ - ٤ -‬ﺻﻔﺮ‬

‫‪C‬‬

‫‪ :‬ﺏ = ‪٧- = ١ - ٦ -‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫‪102‬‬

‫^‪:lf đ‬‬ ‫‪Ê ."r .h6 Ň qOcB asF MđBĔ tr 7 f‬‬ ‫ﺟ )‪( ¶"ł) : ( C Ł‬‬

‫‪C‬‬

‫=‬

‫ﺏ‬

‫ﴐب املﺘﺠﻬﺎت‬ ‫‪3-1‬‬

‫‪ v' Ȟ Ȏ‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ ) اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ (‪:‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪ø«¡éàe ø«H ájhGõdG‬‬

‫ ‪v‬‬

‫‪: 133 ¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a - 5‬‬

‫‪the angle between two vectors‬‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻲ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭﺩﺭﺑﻬﻢ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﻮﻇﻴﻒ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻟﺘﺤﺪﻳﺪ ﻣﻮﺿﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬ ‫ﻭﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪i " || || || C || = : C 70 B5a‬‬

‫‪cŀŇĿ H i H cĿ Ů : C lzy2W?b 2zR lzp# gb lz yr 4b 5 zZ i‬‬ ‫‪ : C‬‬ ‫` " ‪= i‬‬ ‫|| ‪|| || || C‬‬

‫‪i‬‬ ‫ ‬

‫‪:á°UÉN ä’ÉM‬‬ ‫ ‪7 / [\ -‬‬ ‫ ‪7 / [\ -‬‬

‫ ‪7 / [\ -‬‬

‫" ‪7FA ŀ = i‬‬

‫‪C‬‬

‫‪.m # Đ 8Wj wVr Ůi y3 s f Ů‬‬

‫" ‪7FA ŀ- = i‬‬

‫‪C‬‬

‫‪.m # Đ 8_N wVr Ůi y3 s f Ů‬‬

‫" ‪7FA Ŀ = i‬‬

‫‪C‬‬

‫‪.i .f O f Ů‬‬

‫‪ ،( ٢ ، ٤) = C‬ﺏ = )‪(٣ ، ١‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪lzp# gb lz yr 4b 5 zZ ."r 5‬‬

‫‪Nł + MŃ = C‬‬

‫‪ Ů M ņ+‬‬

‫= ‪Nń + MŁ‬‬

‫‪3-1‬‬

‫‪ : C‬ﺏ = || ‪ || || C‬ﺏ || ﺟﺘﺎ ‪i‬‬

‫‪. M Ń+‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪ ٢٥ * ٢٥‬ﺟﺘﺎ ‪٦ + ٤ = i‬‬

‫|| ‪ņŃ = Łņ + Łł + ŁŃ = || C‬‬ ‫|| || = ‪Ńń = ŁŃ + Łń + ŁŁ‬‬ ‫" ‪i‬‬

‫=‬

‫‪ : C‬‬

‫ﺟﺘﺎ ‪== i‬‬

‫|| ‪|| || || C‬‬

‫‪ńŀ‬‬ ‫)‪ŁŇ + ŀń + Ň (Ń Ůń ŮŁ) : (ņ Ůł ŮŃ‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪Ńń ņŃ‬‬ ‫‪Ńń ņŃ‬‬ ‫‪Ńń ņŃ‬‬ ‫‪ńŀ‬‬ ‫` " ‪) ŀ-‬‬ ‫‪Ńń ņŃ‬‬

‫‪١٠‬‬ ‫‪٢ ١٠‬‬ ‫‪١٠١٠‬‬

‫=‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٤٥= i‬‬

‫‪٥‬‬

‫( = " ‪cŁņŬň = (ĿŬŇŇłŇ) ŀ-‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪:w y gf d^ wV i ."r 5‬‬

‫ ‬

‫‪i‬‬

‫*‬ ‫)‬ ‫‪i‬‬

‫ ‪+‬‬

‫(‬

‫ ‬

‫)‪b‬‬

‫)‪b‬‬ ‫(‪b‬‬

‫ ‬

‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪133‬‬

‫‪ø«¡éàe ø«H ájhGõdG‬‬ ‫ ﺍﻛﺘﺐ ﺍﻣﺎﻡ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ‪ : C‬ﺏ =|| ‪ || || C‬ﺏ || ﺟﺘﺎ ﻫـ‬ ‫ ﻭﺍﻃﻠﺐ ﻣﻨﻬﻢ ﻣﺤﺎﻭﻟﺔ ﺻﻴﺎﻏﺔ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺃﻭ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺃﻭ‬ ‫ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻫﺬﻳﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻣﻊ ﺍﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻗﻴﺎﺱ‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻣﺤﺪﺩ ﺣﻴﺚ ‪ c١٨٠ i H c٠‬ﻭﺍﺳﺘﻤﺮ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﺎﺵ ﻣﻊ‬ ‫ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﻋﺎﺩﺓ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻛﻤﺎﻳﻠﻰ‪:‬‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪= i‬‬

‫‪ : C‬ﺏ‬ ‫|| ‪ || || C‬ﺏ ||‬

‫ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ ﻟﻬﻤﺎ ﻓﺈﻣﺎ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻧﺎ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻦ ﺃﻭ‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ﻛﻤﺎ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻧﺎ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺃﻭ ﻋﻜﺲ‬ ‫ﺍﻻﺗﺠﺎه ﻟﺬﺍ ﻋﻠﻲ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻣﺮﺍﻋﺎﺓ ﺍﻟﺪﻗﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﺎﺱ‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻭﻭﺻﻒ ﻭﺿﻌﻬﻤﺎ ﻭﻓ ًﻘﺎ ﻟﻬﺬه ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪.‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪103‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‪ :‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ واﻟﻘﻴﺎس ﰱ ﺑﻌﺪﻳﻦ وﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‬ ‫ ‪1 S "ȗ"x r 2S Ȕ 9 _f x :2qvf :ȟxȚ 2*yf‬‬

‫ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﺍﺣﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﺘﻔﻮﻗﻴﻦ ﺃﻥ ﻳﻮﺿﺢ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ‬ ‫ﻣﺴﻘﻂ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻋﻠﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﺃﺧﺮﻯ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻲ ﺗﻄﺒﻴﻖ‬ ‫ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ‪.‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺍﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺮﻛﺒﺔ ﻣﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﻣﺘﺠﻪ‬ ‫ﺁﺧﺮ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻫﺬه ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﺃﻭ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪C‬ﺏ = ||‬

‫‪C‬‬

‫|| ﺟﺘﺎ ‪= i‬‬

‫‪ : C‬ﺏ‬ ‫|| ﺏ ||‬

‫ ﻭﺍﻛﺪ ﻋﻠﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻔﻬﻮﻡ ﺑﻤﺮﺍﺟﻌﺔ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ ‪١٣٤‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪C‬‬

‫‪.ôNBG ¬éàe √ÉéJG ≈a ¬éàe (§≤°ùe) áÑcôe‬‬

‫\[ ‪7 /‬‬

‫‪C‬‬

‫‪q# gb ^2f 7FA Ůlzp# f Ů‬‬

‫‪C‬‬

‫‪wo ( C pb 4f2yr) m # wV‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪ : C‬‬ ‫‪= i " || C || = C‬‬ ‫|| ||‬

‫ ‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪ s[b ^2f ."r 6‬‬

‫‪Nł - MŁ = X‬‬

‫‪z& C m # wV M ń +‬‬

‫‪(ł ŮŁ Ůŀ-) Ů(Ŀ ŮŃ Ůŀ)C‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪ C‬‬

‫= ‪-‬‬ ‫= )‪(ł ŮŁ- ŮŁ-) = (Ŀ ŮŃ Ůŀ) - (ł ŮŁ Ůŀ-‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪ s[b ^2f‬‬

‫‪X‬‬

‫‪= C m # wV‬‬

‫‪X‬‬

‫‪ C :‬‬

‫|| ‪|| C‬‬ ‫‪ŀņ‬‬ ‫)‪(ł ŮŁ- ŮŁ-) : (ń Ůł- ŮŁ‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫= ‪ŀņ‬‬ ‫)‪Łł + Ł(Ł-) + Ł(Ł-‬‬ ‫‪ŀņ‬‬

‫ ‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪) .‬‬

‫‪."r asF .&r Ł qOcB asF ¹ O_f d gy d [gb d_;b 6‬‬ ‫‪ ¶" q# gb wcN C r q# gb H[7f‬‬

‫‪C‬‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫)‬

‫‪?2* gzZ m # wV q# f ^2f e.Ok w f :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬

‫‪12‬‬

‫)‬ ‫ ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫‪: 134 ¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH »a - 6‬‬ ‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻲ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ‪.‬‬

‫‪X‬‬

‫ ‪ s[b j ^ /‬‬ ‫‪.đS:‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪: ZđOb e .+ 6 dS;b 0o - #y l_gyr‬‬

‫ ﻓﻲ ﺑﻨﺪ ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ ‪ ،‬ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻲ ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺳﺒﻖ ﻭﺗﻌﻠﻤﻬﺎ ﻓﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺣﺘﻰ ﻳﻤﻜﻨﻪ‬ ‫ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻨﻌﺪﻡ ﻓﻴﻬﺎ ﻣﺮﻛﺒﺔ ﻣﺘﺠﻪ ﻓﻲ ﺍﺗﺠﺎه ﻣﺘﺠﻪ‬ ‫ﺁﺧﺮ ‪ ،‬ﻭﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﻭﺟﻮﺩ ﺻﻌﻮﺑﺔ ﻟﺪﻯ ﺍﻟﺒﻌﺾ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﻣﻔﻬﻮﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﻘﻂ ﻭﻋﻼﻗﺘﻪ ﺑﻤﺮﻛﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪،‬ﻛﺬﻟﻚ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ‬

‫‪: º∏©J‬‬ ‫ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻻﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺸﻐﻞ ﺍﻟﻤﺒﺬﻭﻝ ﻣﻦ ﻗﻮﺓ‪.‬‬ ‫ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺗﻮﻇﻴﻒ ﻣﺎ ﺗﻢ ﺗﻌﻠﻤﻪ ﻓﻰ ﻣﺎﺩﺓ ﺍﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺀ‬ ‫ﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﺸﻐﻞ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻲ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻐﻞ ﻫﻮ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﺓ ﺍﻟﻤﺆﺛﺮﺓ ﻋﻠﻲ ﺟﺴﻢ ﻭﺍﺩﺕ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺗﺤﺮﻳﻜﻪ ﺍﺯﺍﺣﺔ ﻣﺤﺪﺩﺓ‪.‬‬ ‫ ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻐﻞ ﻫﻮ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺍﻟﺤﻴﺎﺗﻴﺔ ﻟﻤﻔﻬﻮﻡ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ‪.‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫&‪ b0 .Z s[b i :as[j kj V U & 3 q ^2‬‬ ‫ ‪Ë h7" wcN 2 gb‬‬

‫‪=Q‬‬

‫‪X‬‬

‫‪|| = U :‬‬

‫‪X‬‬

‫‪i‬‬

‫‪C‬‬

‫‪U‬‬

‫|| || ‪i " || U‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ )‪(٦‬‬

‫ﻣﺴﻘﻂ ﻭ ‪ C‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻭ ﺏ = ‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫ ‬

‫‪. & 3Ė 5 zZ .&r * s[b 5 zZ .&r wo dS;b 5 zZ .&r‬‬

‫‪134‬‬

‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ ‪:‬‬

‫‪104‬‬

‫‪Iƒb øe ∫hòÑªdG π¨°ûdG OÉéjE’ ≈°SÉ«≤dG Üô°†dG ΩGóîà°SG‬‬ ‫‪Using scalar product to find the work done by aforce‬‬

‫ﴐب املﺘﺠﻬﺎت‬ ‫‪3-1‬‬

‫‪ v' Ȟ Ȏ‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫‪(Ŀ Ůŀ Ůł-) C G[j lf q ^2'V h7" wV l szj M ł + N Ł - M = X sZ 2 7‬‬ ‫ ‪ 1.[f & 3Ė z& X s[b lf ar0 gb dS;b ."r .(Ł- ŮĿ ŮŁ) G[j wb‬‬ ‫ ‪.2 gb‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪: 135¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a `8‬‬

‫\[ ‪ c & x' /‬‬ ‫ ‪$ J ,3a‬‬ ‫‪ 7FA ,@ c‬‬ ‫ ‪;: c !Nw‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻭﺟﻪ ﺍﻟﺸﺒﺔ ﺃﻭ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺑﻴﻨﻪ ﻭﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﻪ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺣﺴﺎﺏ‬ ‫ﺍﻟﺸﻐﻞ ﺍﻟﻤﺒﺬﻭﻝ ﻓﻰ ﻫﺬه ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪.‬‬

‫‪U‬‬ ‫= ‪- = C‬‬ ‫= )‪(Ŀ Ůŀ Ůł-) - (Ł- ŮĿ ŮŁ‬‬ ‫= )‪(Ł- Ůŀ- Ůń‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪U :‬‬ ‫‪=Q‬‬ ‫= )‪as" ŀ = (Ł- Ůŀ- Ůń) : (ł ŮŁ- Ůŀ‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪X‬‬

‫ﺵ=‬ ‫ﺵ = ||‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ s[b 2z ' hz7" ]2' y 7‬‬ ‫ ‪. s[b lf ar0 gb‬‬

‫‪N Ň + M Ņ- = X‬‬

‫‪dS;b ."r .(ņ ŮŃ) G[kb wb (ł Ůŀ-) C G[kb lf‬‬

‫‪:‬‬

‫‪X‬‬

‫|| ﺟﺘﺎ ‪i‬‬

‫‪|| || X‬‬ ‫ﺵ = ‪ * ٣ * ١٢٠‬ﺟﺘﺎ ‪١٨٠ = ٣٠‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪ s[ ¹Zr.k> '7y @+: :!4 & !Vw A 8‬‬ ‫‪ yr 4 w[VĔ wcN dzg r Ůl szj ŀŅĿ o1 .[f .:‬‬ ‫‪.1 f ń o1.Z z[V V 7f q^2'zb łŃ p6 zZ dJ‬‬ ‫ ‪..;b sZ lf ar0 gb dS;b ."r‬‬

‫‪3-1‬‬

‫‪X‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺟﻮﻝ‬

‫ ‬ ‫‪ '(8‬‬ ‫ ‪3a‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬ ‫‪X‬‬

‫ ‪= dS;b‬‬ ‫= || ‪i " || U || || X‬‬ ‫= ‪Ń * ń * ŀŅĿ‬‬ ‫‪ń‬‬ ‫= ‪as" ŅŃĿ‬‬ ‫‪U:‬‬

‫‬‫*‬ ‫‪+‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪Ů 7cf 2_ wcN 2gy Hz* G6 s ¹Zr.k> PV2y @+: :!4 & !Vw A 8‬‬ ‫‪l szj ŀŁĿ Hz+b wV .;b sZ j ^ / V .łĿ p6 zZ yr 4 5 2b wcN dzgyr‬‬ ‫‪ sZ lf ar0 gb dS;b ."r V Ů1 f ł V 7f A1Ĕ (G6 lN Yr.k?b PW 2zb‬‬ ‫ ‪.Hz+b wV .;b‬‬

‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪135‬‬

‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﺃﻧﻬﺎ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻤﻴﻦ ﻭﺣﺪﺓ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﻨﻘﻞ‬ ‫ً‬ ‫ﻭﺣﺪﺓ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﻘﻮﺓ ﻭﻣﻮﺣﺪﺓ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻷﺯﺍﺣﺔ‪ ،‬ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﻣﺎ ﺛﻢ‬ ‫ﺍﻳﻀﺎ ﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺃﻥ ﻭﺣﺪﺓ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﻘﻮﺓ‬ ‫ﺩﺭﺍﺳﺘﻪ ﻓﻰ ﻣﺎﺩﺓ ﺍﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺀ ً‬ ‫ﻫﻰ ﺍﻟﻨﻴﻮﺗﻦ ﻭﻭﺣﺪﺓ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺸﻐﻞ ﻫﻰ ﺍﻟﺠﻮﻝ‪.‬‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ‪ ١٣٥‬ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ‬ ‫ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻷﺯﺍﺣﺔ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻟﻠﺠﺴﻢ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺗﺤﺮﻛﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺃﺧﺮﻯ ﻣﻊ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻭﺍﻟﻔﺖ ﺍﻧﺘﺒﺎﻫﻢ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ‬ ‫‪ C‬ﺏ ! ﺏ ‪ C‬ﻭﺃﻧﻤﺎ ‪ C‬ﺏ = ‪ -‬ﺏ ‪C‬‬ ‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫ ‪٧‬ـ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﺹ‪ ١٣٥‬ﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺣﻴﺚ ﺃﻧﻪ ﻳﺸﺒﻪ ﺇﻟﻰ ﺣﺪ ﻛﺒﻴﺮ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ‪ ١٣٥‬ﻭﺍﻟﺨﺎﺹ ﺑﻘﻴﺎﻡ‬ ‫ﺷﺨﺺ ﺑﺴﺤﺐ ﺻﻨﺪﻭﻕ ﺑﻮﻗﺔ ﻣﺤﺪﺩﺓ ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺃﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ‬ ‫ﻫﻮ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺣﻴﺎﺗﻰ ﺁﺧﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺑﻴﻦ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﺍﻟﺬﻳﻦ‬ ‫ﻳﻌﺒﺮﺍﻥ ﻋﻦ ﻗﻮﺓ ﺍﻟﺸﺪ ﻭﺍﻻﺯﺍﺣﺔ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻋﻨﻪ‪.‬‬ ‫ ﺫﻛﺮ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ‬ ‫ﺑﺠﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ‪.‬‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪105‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‪ :‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ واﻟﻘﻴﺎس ﰱ ﺑﻌﺪﻳﻦ وﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‬

‫‪ø«¡éàªd ≈gÉéJ’G Üô°†dG º∏©J‬‬ ‫ ﺫﻛﺮ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﺄﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﻃﺮﻳﻘﻴﻦ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ‬ ‫ﻭﺃﻧﻪ ﺗﻢ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻭﺃﻧﻪ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ‬ ‫ﺍﻷﺧﺮﻯ ﻳﻄﻠﻖ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ‪.‬‬ ‫ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻄﺮﻳﻔﻴﻦ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺍﻛﺘﺸﺎﻑ‬ ‫ﺃﻧﻪ ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻫﻮ ﻛﻤﻴﺔ ﻣﺘﺠﻬﻪ ﻭﻳﺘﺤﺪﺩ‬ ‫ﺍﺗﺠﺎﻫﻬﺎ ﺑﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﺤﻮﻯ‬ ‫ﻫﺬﻳﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻭﻟﻴﺴﺘﻮﻋﺐ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻔﻬﻮﻡ ﺫﻛﺮﻫﻢ‬ ‫ﺑﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻴﺪ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ﺣﺘﻰ ﻳﻤﻜﻨﻬﻢ ﺗﺨﻴﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﺤﻮﻯ‬ ‫ﻧﺆﻛﺪﺍ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‪ً .‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺿﺮﻭﺭﺓ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻴﺪ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ﻭﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻻﺑﻬﺎﻡ ﻳﺸﻴﺮ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‪.‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﻼﺣﻈﺎﺕ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﻭﺍﻟﻔﺖ ﺍﻧﺘﺒﺎﻫﻢ ﺍﻧﻪ ﻧﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻓﻘﺪ ﻳﺨﺘﻠﻒ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ‬ ‫ﻭﺑﺄﻧﻪ ﺑﻴﺬﻛﺮ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺘﺤﻘﻖ‬ ‫ﻣﻦ ﺃﻥ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻏﻴﺮ ﺍﺑﺪﺍﻟﻴﺔ ﺣﻴﺚ‬ ‫‪ * C‬ﺏ =‪ -‬ﺏ *‬

‫‪C‬‬

‫ﺃﻯ ﺃﻧﻪ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺍﺧﺘﻠﻒ ﻓﻰ‬

‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ‪.‬‬ ‫ ﻭﺫﻛﺮﻫﻢ ﺑﺄﻥ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻣﺘﺠﻬﻰ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻷﻯ‬ ‫ﻣﺴﺘﻮﻯ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻻﺳﺎﺳﻰ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺃﻯ ﺃﻥ ﺱ * ﺹ = ﻉ ﻭﻫﻜﺬﺍ‪.‬‬ ‫ ﺫﻛﺮ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ ﻫﻮ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺼﻐﺮﻯ ﻭﺍﻃﻠﺐ ﻣﻨﻬﻢ ﻣﺤﺎﻭﻟﺔ ﺗﻔﺴﻴﺮ ﺍﻟﺴﺒﺐ‬ ‫ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﺣﺘﻰ ﻳﻜﺘﺸﻔﻮﺍ ﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﻫﺬه ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺗﺴﺎﻭﻯ‬ ‫ﺍﻟﺼﻔﺮ‪.‬‬ ‫ ﺍﻟﻔﺖ ﺍﻧﺘﺒﺎه ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺇﻟﻰ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‬ ‫ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ) ‪ : C‬ﺏ (‬ ‫ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺍﻟﻔﺖ ﺍﻧﺘﺒﺎﻫﻢ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻫﻮ ﻣﻌﻴﺎﺭ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ‪.‬‬

‫‪106‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ ‪1 S "ȗ"x r 2S Ȕ 9 _f x :2qvf :ȟxȚ 2*yf‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪ø«¡éàªd ≈gÉéJ’G Üô°†dG‬‬

‫)‪Vector product of two vectors (cross product‬‬

‫\[ ‪i ^r i p6 zZ yr 3 gpkz i 2?'y Ůts 7f wV lzp# f Ů C 7 /‬‬ ‫‪d> & 7FA Ů C ts'y t0b ts 7gb wcN yÊ -sgN .&r q# f t‬‬ ‫ ‪ ZđOb wGOy½ Ů C lzp# gcb wo # Đ 2Cb‬‬

‫‪t‬‬

‫‪t (i " || || || C ||) = * C‬‬

‫‪i‬‬

‫‪Ůwkgzb .zb .N [b ¹[ F (dW6 e wcNĔ) t .&sb q# f m # -.' yr‬‬ ‫&‪C q# gb lf i 1r.b m # wb wkgzb .zcb zk'kgb P >Ĕ 2z; z‬‬ ‫ ‪t q# gb m # wb e p Ė 2z;zV q# gb wb‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‬

‫‪áeÉg äÉXƒë∏e‬‬ ‫ ‪i V t q# gb m # wV * C 7 / [\ -‬‬ ‫‪C * - = * C 70 ^0 t -‬‬

‫‪t‬‬

‫ * ‪C‬‬

‫ ‬

‫ _‪q# gb m # wV is‬‬ ‫ ‬

‫ ‪7FA .&sb p# f lf zkzgy Nsg#f wcN wkgzb .zb .N Z \z G -‬‬ ‫‪M = M * N Ů M = N * M‬‬ ‫‪N = M * M‬‬ ‫‪M -= N * M Ů N -= M * M‬‬ ‫‪M -= M * N‬‬ ‫ ‪r = C * C is_y C q# f tĔ -‬‬

‫‪C‬‬

‫&‪z‬‬

‫‪C‬‬

‫‪t2W?b q# gb r‬‬

‫‪t‬‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪C‬‬

‫‪9‬‬

‫‪|| i ^ / V cņĿ gpkz yr 4b 5 zZ Ůts 7f wV i p# f Ů‬‬

‫‪C‬‬

‫|| = ‪1 zOf ."r ŀņŬń = || || ŀĿ‬‬

‫‪ * C‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪a‬‬

‫‪|| a‬‬

‫‪136‬‬

‫* ‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫= || ‪t i " || || || C‬‬

‫* || = ||‬

‫‪C‬‬

‫|| || || " ‪ŁŃŅŬŅņ = ņĿ " * ŀņŬń * ŀń = i‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ﴐب املﺘﺠﻬﺎت‬ ‫‪3-1‬‬

‫‪ v' Ȟ Ȏ‬‬ ‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ Ů C lzp# gb lz yr 4b 5 zZ ."r ŁŅ = || || Ů ń = || C || i ^r t Ņń- = * C i ^ / 9‬‬

‫‪ájõ«JQÉμdG äÉ«KGóME’G ≈a ≈gÉéJ’G Üô°†dG‬‬

‫\[ ‪7 /‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ * C‬‬

‫= )‪7FA lzp# f (M Ů= Ů5 ) = Ů (MC Ů=C Ů5C‬‬ ‫=‬

‫)‪N =C + M 5C‬‬

‫‪( M MC +‬‬

‫=‬

‫* ) ‪N = + M 5‬‬

‫‪( M M +‬‬

‫‪M * M 5 5C‬‬

‫‪M = 5C +‬‬

‫* ‪Nƅ‬‬

‫‪M M 5C +‬‬

‫* ‪M‬‬

‫‪M * N 5 =C +Ƅ‬‬

‫‪N = =C +‬‬

‫* ‪Nƅ‬‬

‫‪N M =C +‬‬

‫* ‪M‬‬

‫‪M = MC +‬‬

‫* ‪Nƅ‬‬

‫‪M * M M MC +‬‬

‫‪M 5 MC +Ƅ‬‬

‫ ‪7\ v‬‬

‫‪M * M‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪ * C‬‬

‫=‬

‫* ‪M‬‬

‫‪N * N‬‬

‫*‪Ů M=N‬‬

‫‪N‬‬

‫‪ C‬ﺏ‬ ‫ﺟـ ‪E‬‬ ‫ﺱ‬

‫ﺹ‬

‫ﻉ‬

‫‪C‬‬

‫ﺏ‬

‫ﺟـ‬

‫ﻫـ‬

‫ﻝ‬

‫ﻡ‬

‫= ‪ - E C‬ﺏ ﺟـ‬ ‫= ﺱ )ﺏ ﻡ ‪ -‬ﻝ ﺟـ(‬ ‫ ﺹ )‪ C‬ﻡ ‪ -‬ﻫـ ﺟـ(‬‫‪ +‬ﻉ )‪ C‬ﻝ ‪ -‬ﻫـ ﺏ(‬

‫= ‪r = M * M‬‬

‫* ‪M‬‬

‫=‬

‫‪M‬‬

‫‪M Ů‬‬

‫* ‪M‬‬

‫=‬

‫‪N‬‬

‫ ﻣﻊ ﺍﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻻﺷﺎﺭﺍﺕ ﻋﻨﺪ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ‬

‫‪i V‬‬

‫= ‪( N -) M 5C + M = 5C + Ŀ‬‬ ‫‪M -) 5 =C +ƆƄƄ‬‬

‫‪3-1‬‬

‫ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﺍﻟﻤﻌﻄﻰ ﻛﻤﺜﺎﻝ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ‬ ‫ﻓﻰ ﺇﻋﺎﺩﺓ ﺻﻴﺎﻏﺔ ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ‬ ‫ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ‪ ،‬ﻭﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻭﺟﻮﺩ ﺻﻌﻮﺑﺔ ﺍﺳﺄﻟﻬﻢ ﻋﻦ‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ‪ ،‬ﻭﺍﺳﺘﻤﺮ ﻓﻰ‬ ‫ﻋﺮﺽ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺇﻟﻰ ﺗﺴﺎﻋﺪ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻰ ﺗﻮﺟﻴﻪ ﺗﻔﻜﻴﺮﻫﻢ‬ ‫ﻭﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ‪.‬‬

‫( ‪( M ) M =C + Ŀ +‬‬

‫‪Ŀ + ( M -) = MC + ( N ) 5 MC +ƆƄƄ‬‬ ‫= )‪N (M 5C - 5 MC) + M (= MC - M =C‬‬

‫‪M (5 =C - = 5C) +ƆƄƄ‬‬

‫‪:w Ē ^ ł * ł hKkb wcN -.'f d_: wcN p ^ l_gy 2z*Ĕ 1s?b r‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪C‬‬

‫* =‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫‪5C‬‬

‫‪=C‬‬

‫‪MC‬‬

‫ ‪5‬‬

‫ =‬

‫ ‪M‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ﻓﻰ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ‬ ‫ﻭﻋﻼﻗﺘﻪ ﺑﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻻﺷﺎﺭﺍﺕ )‪C‬ﻉ ﺏﺱ ‪ C -‬ﺱ ﺏﻉ( ﺹ‬ ‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪137‬‬

‫‪ * C‬ﺏ = ‪ ٦٥ -‬ﻯ‬ ‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫|| ‪ || || C‬ﺏ || * ﺟﺎ ﻫـ = ‪٦٥-‬‬ ‫‪ ٢٦ * ٥‬ﺟﺎ ﻫـ = ‪٦٥-‬‬

‫‪137¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a `9‬‬ ‫ﺟﻴﺪﺍ ﻭﺗﻮﺿﻴﺢ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ‪ ،‬ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ‬ ‫ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻗﺮﺍﺀﺗﻪ ً‬ ‫ﻓﻰ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺃﻧﻪ ﻻﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻓﻼﺑﺪ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻌﻴﺎﺭ ‪ * C‬ﺏ‬

‫ﺟﺎ ﻫـ = ‪-‬‬ ‫`‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪^)X‬‬ ‫ﻫـ ( = ‪١٥٠‬‬

‫‪ájõ«JQÉμdG äÉ«KGóM’G ≈a ≈gÉéJ’G Üô°†dG‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ‬ ‫ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ‪،‬‬ ‫ﻭﻣﺎ ﺗﻢ ﺗﻌﻠﻤﻪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻟﺘﺒﺴﻴﻂ ﻋﻤﻠﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﺹ‪١٣٧‬‬ ‫ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺍﻷﺧﻴﺮ ﻟﻠﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﻴﻦ‪.‬‬ ‫ﺍﻛﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻭﻟﻜﻦ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺭﻣﻮﺯ‬ ‫ﻭﻟﻴﺴﺖ ﺍﻋﺪﺍﺩ ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﺗﺬﻛﺮﻫﻢ ﺑﻤﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ‪:‬‬ ‫ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ً‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪107‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‪ :‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ واﻟﻘﻴﺎس ﰱ ﺑﻌﺪﻳﻦ وﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‬ ‫ ‪1 S "ȗ"x r 2S Ȕ 9 _f x :2qvf :ȟxȚ 2*yf‬‬

‫ ﺑﻌﺪ ﺍﺳﺘﻴﻌﺎﺏ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ‬ ‫ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﺍﻟﺜﻼﺛﻰ ﺍﻻﺑﻌﺎﺩ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ‪،‬‬ ‫ﻭﺟﻪ ﻟﻬﻢ ﺳﺆﺍﻝ ﻋﻦ ﺷﻜﻞ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻰ ﺱ‪ ،‬ﺹ ﻓﻤﺎ ﻫﻰ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺘﻰ ﺳﺘﺘﻐﻴﺮ‬ ‫ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﺳﺘﻴﻌﺎﺏ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﻓﻰ ‪،١٣٨‬‬ ‫ﻣﻔﺴﺮﺍ ﻟﻬﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ ﻉ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‬ ‫ً‬ ‫ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻰ‪.‬‬

‫‪á°UÉN ádÉM‬‬ ‫\[ ‪7 /‬‬

‫= )‪7FA = 5 w .&Ė ts 7gb wV (= Ů 5 ) = Ů(=C Ů 5C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪M‬‬

‫‪ * C‬‬

‫=‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫‪5C‬‬

‫‪=C‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫ ‪5‬‬

‫ =‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪M (5 =C - = 5C)Ƅ=ƅ‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪."r (Ń ŮŁ Ůŀ) = Ů(ŀ Ůł ŮŁ-) = C i ^ / 10‬‬ ‫ ‪ Ů C lzp# gb ts'y t0b‬‬

‫‪C‬‬

‫* ‪ts 7gb wcN t-sgOb .&sb q# f $ k 6 h‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪ * C‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ‪ ١٣٨‬ﻭﺍﻟﺬﻯ ﻳﻮﺿﺢ ﻛﻴﻔﻴﺔ‬ ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻰ ﺛﻼﺛﻰ ﺍﻻﺑﻌﺎﺩ‪.‬‬

‫=‬

‫‪M‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫‪Ł-‬‬

‫‪ł‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪Ń‬‬

‫= )‪(ŀ * Ł - Ń * ł‬‬ ‫= ‪ŀĿ‬‬

‫‪M‬‬

‫‪ň+‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫‪(ŀ * ŀ - Ń * Ł-) -‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M (ŀ * ł - Ł * Ł-) +‬‬

‫‪M ņ-‬‬

‫‪ * C‬‬ ‫‪= Ů C ts 7f wcN t-sgOb .&sb q# f‬‬ ‫|| ‪|| * C‬‬ ‫‪M ņ - N ň + M ŀĿ‬‬ ‫= ‪M ņ - N ň + M ŀĿ‬‬ ‫` ‪= t‬‬ ‫‪Ł(ņ-) + Łň + ŁŀĿ‬‬ ‫‪ŁłĿ‬‬ ‫‪ŁłĿ‬‬ ‫‪ŁłĿ‬‬

‫ ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‪.‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪q# gcb m # Đ y r3 e g sz" j ^r Ņ = || C || i ^ / 10‬‬ ‫ = )‪ * C ."r (ń Ů ł Ů Ł-‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫‪C‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫‪q# gb i ^r ŀł Ů Ł‬‬‫‪ł Ů ł z 2 b wcN wo‬‬

‫‪ø«¡éàªd ≈gÉéJ’G Üô°†dG π°UÉM ¢UGƒN‬‬ ‫\[ ‪7 /‬‬

‫‪:138¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a 10‬‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ﻭﺍﻃﻠﺐ ﻣﻨﻬﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﻤﻌﻄﻴﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺎﺣﺔ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﻮﻇﻴﻔﻬﺎ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ‬ ‫ ﺣﺘﻰ ﻳﺘﻤﻜﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻣﻦ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ‬ ‫ﺑﺸﻜﻞ ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻨﻬﻢ ﻓﻰ ﺣﺎﺟﺔ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺧﻮﺍﺹ ﻋﻤﻠﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺣﻴﺚ ﻧﺠﺪ ﺃﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻏﻴﺮ‬ ‫ﺍﺑﺪﺍﻟﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺃﻥ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻪ ﻣﻊ ﻧﻔﺴﻪ ﻳﻨﺘﺞ ﻋﻨﻪ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺼﻐﺮﻯ‪.‬‬

‫ ‪-‬‬

‫‪C * -= * C‬‬

‫ ‪-‬‬

‫‪r = * = C * C‬‬

‫‪138‬‬

‫‪ø«¡éàªd ≈gÉéJ’G Üô°†dG π°UÉM ¢UGƒN‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪:7FA i j 4 $ g ,3 j ,‬‬ ‫ ‪ $ 4\ @ y $ B c aO .@Z‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫= )‪ ، (٢ ، ٤- ، ٤‬ﺏ = )‪(٥ ، ٣ ، ٢-‬‬ ‫* ﺏ =‬

‫ﺱ‬

‫ﺹ‬

‫ﻉ‬

‫‪٤‬‬

‫‪٤-‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢-‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪ * C‬ﺏ = ‪ ٢٦-‬ﺱ ‪ ٢٤ -‬ﺹ ‪ ٤ +‬ﻉ‬

‫‪108‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ﴐب املﺘﺠﻬﺎت‬ ‫‪3-1‬‬

‫‪ v' Ȟ Ȏ‬‬

‫ﺍﻻﺗﺠﺎه‪.‬‬

‫ ‪r tr 7y gođ^ r lzp# gb .& r // C f V r = * C i ^ / -‬‬

‫ ‪-‬‬

‫‪C‬‬

‫* ) ‪) = ( ¶" +‬‬

‫ ‪]) -‬‬

‫(* =‬

‫‪C‬‬

‫* (‪)+‬‬

‫* )] ( = ])‬

‫* "¶ (‬

‫‪C‬‬

‫* (‬

‫‪C‬‬

‫‪ø«¡éàe iRGƒJ‬‬ ‫‪lzp# gb i wo # Đ 2Cb = s* wV ky 1‬‬

‫‪^0‬‬

‫)‪N (M 5C - 5 MC) + M (= MC - M =C‬‬

‫‪= MC = M =C ^0‬‬

‫‪^0‬‬

‫‪=C‬‬ ‫ =‬

‫‪^0‬‬

‫‪5C‬‬

‫ ‪5‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫‪MC‬‬ ‫ ‪M‬‬ ‫‪=C‬‬

‫ =‬

‫‪Ů‬‬ ‫=‬

‫‪Ů‬‬

‫‪5C‬‬ ‫ ‪5‬‬

‫=‬

‫‪MC‬‬ ‫ ‪M‬‬

‫‪5 MC = M 5C‬‬

‫‪Ů‬‬

‫‪5C‬‬ ‫ ‪5‬‬

‫=‬

‫‪? J $ " P‬‬

‫‪:∫Éãe‬‬

‫ ‪ & & I 9 v‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻻﺳﺘﻔﺎﺩه ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻓﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻮﻟﺔ ﻷﺣﺪ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‪،‬‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﺤﺎﻝ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ‪١٣٩‬‬

‫‪r = * C :i ^ / H[Vr / lzy3 s f i js_y Ů C‬‬ ‫‪r = M (5 =C ¶ = 5C +‬‬

‫‪Ů‬‬

‫‪5 =C = = 5C‬‬

‫‪=C‬‬ ‫ =‬

‫‪MC‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫ ‪M‬‬

‫ ‪7 V 9 = l 3 ^0 z@R4‬‬

‫‪:139¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a `11‬‬

‫‪M ] = MC Ů = ] = =C Ů5 ] = 5C‬‬

‫`‬

‫‪N =C + M 5C = C‬‬

‫‪M MC +‬‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫` ‪ ]= C‬‬

‫‪i p# gb is_y Ŀ > ] is_ f.kNr Ům # Đ 8Wj wVr lzy3 s f i p# gb is_y Ŀ < ] is_ f.kN a‬‬ ‫‪.m # Đ 8_N wVr lzy3 s f‬‬

‫ﺏ =ﻙ‬ ‫|| ﺏ || = |ﻙ| ||‬ ‫‪| = ١٣ ٣‬ﻙ| ‪١٣‬‬ ‫‪C‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪e + N ł - M Ł) = C‬‬

‫‪q# gb i ^ / 11‬‬ ‫ ‪] Ůe lf d^ gzZ ."r‬‬

‫‪ q# gb t3 sy ( M‬‬

‫= )‪Ň + N] + M‬‬

‫‪(M‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬ ‫‪5C‬‬ ‫ ‪5‬‬

‫‪=C‬‬ ‫ =‬

‫‪MC‬‬

‫‪ // C a‬‬

‫`‬

‫‪e ł- Ł‬‬ ‫`‪Ň =]=ŀ‬‬

‫‪Ň*Ł‬‬ ‫‪ł- * ŀ‬‬ ‫‪= e Ů ł‬‬‫`]= ‪Ł = Ł‬‬ ‫‪ŀ‬‬

‫=‬

‫ ‪M‬‬

‫‪i ^ / 11‬‬

‫= )‪// i ^r (ł- ŮŁ‬‬

‫‪C‬‬

‫= ‪ŀŅ‬‬

‫ﺏ = )‪(٩- ، ٦‬‬ ‫ﺏ = )‪(٩ ، ٦-‬‬

‫‪. ."r ŀł ł = || || i ^ / V‬‬

‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪C‬‬

‫||‬

‫ﻙ = !‪٣‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪3-1‬‬

‫‪139‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻭﺿﺮﺏ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ‬ ‫ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻓﻰ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻰ ﺛﻢ ﺭﻛﺰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻮﺿﺢ‬ ‫ﻣﺘﻰ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻦ‪.‬‬

‫ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ * C‬ﺏ = ﻭ ﻓﻬﺬﺍ ﻳﻌﻨﻰ ﺃﺣﺪ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺃﻥ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺼﻐﺮﻯ ﺃﻭ‬ ‫ﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﺻﻔﺮ ﺃﻯ ﺃﻧﻬﻤﺎ‬ ‫ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻦ‪.‬‬

‫‪ø«¡éàe iRGƒàe‬‬ ‫ ﻟﺘﻮﺿﻴﺢ ﺍﺗﺠﺎه ﻣﺘﺠﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ‬ ‫ﻓﻼﺑﺪ ﻣﻦ ﺗﻮﻇﻴﻒ ﺧﻮﺍﺹ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﺣﺘﻰ‬ ‫ﻳﻜﺘﺸﻒ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻫﻞ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺃﻡ ﺃﻧﻬﻤﺎ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎﻫﺎﻥ ﻣﺘﻌﺎﻛﺴﺎﻥ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻋﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ‬ ‫ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻮﺿﺢ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ‬

‫ ‪ = C‬ﻙ ﺏ ﺣﻴﺚ ﻙ ﻗﻴﻤﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻳﺘﻮﻗﻒ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ‬ ‫ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻙ < ‪ ٠‬ﻓﻬﺬﺍ ﻳﻌﻨﻰ‬ ‫ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻙ > ‪٠‬‬ ‫ﻓﻬﺬﺍ ﻳﻌﻨﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻭﻟﻜﻦ ﻓﻰ ﻋﻜﺲ‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪109‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‪ :‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ واﻟﻘﻴﺎس ﰱ ﺑﻌﺪﻳﻦ وﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‬ ‫ ‪1 S "ȗ"x r 2S Ȕ 9 _f x :2qvf :ȟxȚ 2*yf‬‬

‫ ﺭﺍﺟﻊ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﺤﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ‬ ‫ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻭﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﺹ‪ ١٤٠‬ﻭﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ﺗﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻳﻤﺜﻼﻥ ﺑﻀﻠﻌﻴﻦ ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﺿﻼﻉ‪ ،‬ﻭﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻛﺘﺸﺎﻑ ﺃﻥ ﻣﻌﻴﺎﺭ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻻﺿﻼﻉ ﺍﻟﺬﻯ ﻓﻴﻪ ﺿﻠﻌﺎﻥ ﻣﺘﺠﺎﻭﺭﺍﻥ‬ ‫ﻳﻤﺜﻼﻥ ﻫﺬﻳﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﺃﻭ ﺿﻌﻒ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ ﻫﺬﻳﻦ‬ ‫ﺍﻟﻀﻠﻌﻴﻦ‪.‬‬

‫= || || * ‪a‬‬

‫= ‪Ů qzV t0b MđBĔ t3 s f & 7f‬‬ ‫= ‪c gb & 7f XOB‬‬

‫ ‪Ů qzV t0b‬‬

‫‪C‬‬

‫‪.i OcB‬‬

‫‪C‬‬

‫‪i OcB Ů‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪ * C‬‬

‫=‬

‫||‬

‫‪C‬‬

‫‪5‬‬

‫=‬

‫‪M‬‬

‫‪ł-‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ł‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪ŀ-‬‬

‫)‪Ł(ŀń-) + Ł(ł) + Ł(ň-‬‬

‫* || =‬

‫= )‪(ň-‬‬

‫‪Nł + M‬‬

‫‪M ŀń -‬‬

‫= ‪łń ł‬‬

‫` ‪. & 7f .&r łń ł = MđCb t3 s f & 7f‬‬ ‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪i ^ / 12‬‬

‫= )‪c gb & 7f ."r (ŀ- Ůń Ů Ŀ) = Ů (Ń- Ů Ł Ů ŀ‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‪qzV t0b‬‬

‫‪C‬‬

‫‪.i OcB Ů‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪¢SÉ«≤dG ≈KÓãdG Üô°†dG‬‬ ‫ ‪2z ^ qb t0b .w6 z[b w đ b 2Cb d> ' U2Oy ¶" * : C 1 .[gb i V p# f ¶" Ů Ů C i ^ /‬‬ ‫‪¹ w6 z[b 2Cb 2"Ė wkOf Đ z& 5 sZ -s"r e.N L&Đ) _z 6Đ a #f wV đz g b lf‬‬ ‫ ‪(Đr‬‬

‫‪Scalar triple product‬‬

‫ ‪z@R4‬‬

‫‪C‬‬

‫‪7FA‬‬

‫‪¶" * : C‬‬

‫= )‪(M¶" Ů=¶" Ů5¶") = ¶" Ů (M Ů= Ů5 ) = Ů(MC Ů=C Ů5C‬‬

‫= )‪N =C + M 5C‬‬

‫‪140‬‬

‫ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﻗﻴﺎﺳﻴﺎ ﺃﻭ ﺍﺗﺠﺎﻫﻴﺎ‪ ،‬ﻭﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺠﺰﺀ ﺳﻴﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪= 9‬‬ ‫ً‬ ‫ً‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻧﻪ ﺗﻢ ﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪= 9‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5 : ( M MC +‬‬ ‫"¶‪5‬‬

‫=‬ ‫ =‬ ‫"¶=‬

‫‪M‬‬ ‫ ‪M‬‬ ‫"¶‪M‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪= 9‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫||‬ ‫ﺱ‬

‫‪C‬‬

‫* ﺏ ||‬ ‫ﺹ‬

‫ﻉ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٤-‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪١-‬‬

‫)‪(٥ + (١-) ٢- (٢ + ٢-) ١‬‬

‫= ‪ ٢٢٫٥ = (٥ + ٢ + ١٨) ٢‬ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺴﺎﺣﺔ‬

‫‪110‬‬

‫‪C‬‬

‫‪i‬‬

‫ ‬

‫= )‪(ŀ- Ů Ń Ů ł) * (Ł Ů ŀ Ů ł-‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪i 1r # f i OcB‬‬

‫|| " ‪i‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪i ^ / 12‬‬ ‫‪.i 1r # f‬‬

‫‪: 148¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a `12‬‬

‫ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺟﺪﻳﺪ ﻭﻫﻰ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﺜﻼﺛﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﺮﺑﻂ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻭﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ‪.‬‬

‫||‬

‫= ) ‪qzV t0b MđBĔ t3 s f & 7f ."r (ŀ- Ů Ń Ů ł) = Ů (Ł Ů ŀ Ů ł-‬‬

‫‪C‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫‪i " || C || = a‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‬

‫ ﻭﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ‪ ١٤٠‬ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺿﺮﻭﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﺘﺮﻛﻴﺰ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻓﻰ ﻣﺤﺪﺩ ﻭﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺘﺠﻪ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﺣﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﻌﻴﺎﺭ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻻﺿﻼﻉ‬ ‫ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ‪.‬‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻛﻤﺎ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫&‪z‬‬

‫‪C‬‬

‫ﴐب املﺘﺠﻬﺎت‬ ‫‪3-1‬‬

‫‪ v' Ȟ Ȏ‬‬ ‫= )‪N =C + M 5C‬‬

‫‪M MC +‬‬

‫( ‪N (5¶" M -M¶" 5 ) - M (=¶" M - M¶" = )] :‬‬

‫‪[ M (5¶" = - =¶" 5 ) +Ƅ‬‬

‫ ﺗﻮﺿﺢ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ‪ ٢‬ﻣﻦ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﺜﻼﺛﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺃﻧﻪ ﻓﻰ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﻭﺟﻮﺩ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﻣﺘﺠﻬﺎﺕ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺗﻮﺍﺣﺪ ﻓﺈﻥ ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﺜﻼﺛﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺻﻔﺮ ﻫﺬﺍ ﻳﻌﻨﻰ ﺍﻧﻪ ﻻﺑﺪ ﻣﻦ‬ ‫ﻭﺟﻮﺩ ﻧﻈﺎﻡ ﺛﻼﺛﻰ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺣﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﺜﻼﺛﻰ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻭﻓﻰ ﻫﺬه ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻫﺬه ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺗﻤﺜﻞ ﺛﻼﺛﺔ‬ ‫ﺍﺿﻼﻉ ﻓﻰ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺳﻄﻮﺡ ﻓﺈﻥ ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺣﺠﻢ‬ ‫ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺘﻮﺍﺯﻯ ﻣﻊ ﻣﺮﺍﻋﺎﺓ ﺃﻥ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﺗﻠﻚ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻳﺠﺐ ﺃﻻ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺔ‬

‫‪(5¶" = - =¶"5 )MC + (5¶" M -M¶" 5 )=C - (=¶" M -M¶" = ) 5CƄ‬‬

‫=‬

‫‪5C‬‬

‫‪=C‬‬

‫‪MC‬‬

‫ ‪5‬‬

‫ =‬

‫ ‪M‬‬

‫"¶‪M¶" =¶" 5‬‬

‫‪¢SÉ«≤dG ≈KÓãdG Üô°†dG ¢UGƒN‬‬

‫ ‪..& r t1r- z 2 wV p# gb z 2 j ^ / 2zS Đ q gzZ 5 z[b w đ b 2Cb -‬‬ ‫‪¶" , , C ^d l a@ _ O ( * C ) : ¶" = ( C * ¶" ) : = ( ¶" * ) : C‬‬

‫ ‪e.Oky w6 z[b w đ b 2Cb d> & i V .& r ts 7f wV ¶" Ů Ů C p# gb j ^ / -‬‬ ‫‪2W> = ( ¶" * ) : C 7\ ^0‬‬ ‫‪≈°SÉ«≤dG ≈KÓãdG Üô°†dG π°UÉëd ≈°Sóæ¡dG ≈æ©ªdG‬‬

‫"¶‬

‫ ‪ đ is_ Ů p# f đ ¶" Ů Ů C i ^ /‬‬ ‫ ‪t3 s f h#& i V Ů%sG6 t3 s f wV y3 s f 2zR MđB‬‬ ‫ ‪.w6 z[b w đ b 2Cb d> 'b [cGgb gz[b = %sG7b‬‬ ‫‪| = %sG7b t3 s f h#& 7\ ^0‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‬

‫‪| ¶" * :‬‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻟﺴﻄﻮﺡ = ‪ : C‬ﺏ‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪ p# gb pc gy 1r # f MđB đ qzV t0b %sG7b t3 s f h#& ."r 13‬‬ ‫ = )‪(Ł- Ů ŀ Ů ŀ) = ¶" Ů(Ł Ů ł Ů ŀ-‬‬

‫‪C‬‬

‫= )‪Ů(ł Ůŀ ŮŁ‬‬

‫‪ : C‬ﺏ‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫&‪%sG7b t3 s f h#‬‬

‫=|‬

‫` ‪¶" * : C‬‬

‫=‬

‫ ( ‬

‫‪| ¶" * :‬‬

‫‪C‬‬

‫‪5C‬‬

‫‪=C‬‬

‫‪MC‬‬

‫ ‪5‬‬

‫ =‬

‫ ‪M‬‬

‫‪3-1‬‬

‫*‬

‫ﺟـ‬

‫=‬

‫*‬

‫ﺟـ‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤-‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣-‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٢‬‬

‫"¶‪M¶" =¶" 5‬‬

‫= ‪(٦-) ١ + (٩) ٤ + (٦ + ٤) ٣‬‬ ‫= ‪٦٠ = ٦ - ٣٦ + ٣٠‬‬

‫‪ł ŀ Ł‬‬

‫= ‪h#& .&r ŁŇ = |ŁŇ-| =%sG7b t3 s f h#& 70 ^0ƅƅŁŇ- = Ł ł ŀ-‬‬ ‫‪Ł- ŀ ŀ‬‬ ‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪141‬‬

‫` ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻟﺴﻄﻮﺡ = ‪ ٦٠‬ﻭﺣﺪﺓ ﺣﺠﻢ‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻧﻪ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﻴﻦ‬ ‫ﺛﻢ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﺹ‪ ١٤٠‬ﻭﺑﺘﻄﺒﻴﻖ‬ ‫ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ C‬ﻭﻧﺎﺗﺞ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻓﻰ‬ ‫ﺹ‪ ١٤١‬ﻭﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﻴﻌﺎﺑﻪ ﺑﺴﻬﻮﻟﺔ ﺣﻴﺚ ﻳﻤﺜﻞ ﻛﻞ ﺻﻒ‬ ‫ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻛﻞ ﻣﺘﺠﻪ ﺣﻴﺚ‬ ‫‪ : C‬ﺏ‬

‫* ﺟـ =‬

‫‪C‬ﺱ‬

‫‪C‬ﺹ‬

‫‪C‬ﻉ‬

‫ﺏﺱ‬

‫ﺏﺹ‬

‫ﺏﻉ‬

‫ﺟـﺱ‬

‫ﺟـﺹ‬

‫ﺟـﻉ‬

‫ ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻣﺮﺍﻋﺎﺓ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻓﻰ ﺍﺩﺧﺎﻝ‬ ‫ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻛﻞ ﻣﺘﺠﻪ ﻭﻓ ًﻘﺎ ﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺓ‬ ‫) ‪ : C‬ﺏ * ﺟـ (‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﻘﺼﻮﺩ ﺑﻤﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺍﻟﺪﻭﺭﻯ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ‬ ‫ﻓﻰ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﺜﻼﺛﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻭﺃﻥ ﻧﺎﺗﺞ ﺃﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﻻﺗﺨﺘﻠﻒ ﺇﺫﺍ ﺗﻢ ﺍﻟﺤﻔﺎﻅ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﻴﻌﺎﺏ‬ ‫ﻫﺬه ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﻣﺜﺎﻝ ﺗﻄﺒﻴﻘﻰ ﻷﻯ ﺛﻼﺙ ﻣﺘﺠﻬﺎﺕ‬ ‫ﻭﺇﻳﺠﺎﺩ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﺜﻼﺛﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻓﻰ ﺣﺎﻻﺕ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‪.‬‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪111‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‪ :‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ واﻟﻘﻴﺎس ﰱ ﺑﻌﺪﻳﻦ وﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‬ ‫ ﻭﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ‪ ١٤١‬ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺐ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﺜﻼﺛﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻟﺜﻼﺛﺔ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺎﺕ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﺣﺴﺎﺏ ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻟﺴﻄﻮﺡ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻌﺒﺮ‬ ‫ﻫﺬه ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻋﻦ ﺍﺿﻼﻋﻪ‪.‬‬

‫ ‪1 S "ȗ"x r 2S Ȕ 9 _f x :2qvf :ȟxȚ 2*yf‬‬ ‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ p# gb pc gy Ů y3 s f 2zR U2& đ qzV t0b %sG7b t3 s f h#& ."r 13‬‬ ‫ = )‪(Ł ŮŁ Ů ł) = ¶" Ů (ł- Ů Ł Ů Ŀ‬‬

‫ﺗﻤــــﺎرﻳــﻦ )‪(٣-١‬‬ ‫‪x' / [\ : ak ! /0‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫‪142¢U πëJ ¿CG ∫hÉM óæH ≈a `13‬‬ ‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻹﻳﺠﺎﺩ‬ ‫ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻟﺴﻄﻮﺡ‬

‫‪1‬‬

‫‪M‬‬

‫‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪N‬‬

‫* ‪= M‬‬

‫‪N‬‬

‫=‬

‫‪M‬‬

‫‪Ů‬‬

‫‪N‬‬

‫‪............................................................................................................‬‬

‫‪i ^ / 3‬‬ ‫‪i ^ / 4‬‬

‫‪C‬‬

‫‪i V Ŀ = :‬‬

‫‪i ^ / 5‬‬

‫‪C‬‬

‫* = ‪i V r‬‬

‫‪6‬‬

‫‪: j 3 $ $ M Ů‬‬

‫‪............................................................................................................‬‬

‫‪C‬‬

‫= )‪ ^2f i V (Ń- Ů ł) = Ů (ŀ- Ů Ł‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪i js_y Ů‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪M ł lzp# gb lz yr 4b 5 zZ‬‬

‫‪ s[b lf ar0 gb dS;b 7‬‬

‫‪............................................................................................................‬‬

‫‪i js_y Ů‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪M ł= X‬‬

‫‪C‬‬

‫‪tr 7 m # wV‬‬

‫‪............................................................................................................‬‬

‫‪N Ņ + M Ń- Ů N‬‬

‫‪tr 7y‬‬

‫‪............................................................................................................‬‬

‫‪tr 7y (ń Ůł Ů ņ) G[j wb (Ł Ůŀ Ů ŀ)C G[j lf hz7" `y2' b M ņ +‬‬

‫ ‪: M5 4 2 3 4 3 $U U> $4 2 @ P‬‬ ‫‪N * M‬‬

‫أ‬

‫إﺟﺎﺑﺎت ﺑﻌﺾ ﺗﻤﺎرﻳﻦ اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻣﻦ ص ‪ ١٤٢‬إﻟﻰ ص ‪١٤٣‬‬ ‫ﺱ‬

‫‪ 1‬ﺻﻔﺮ‬ ‫‪٢ 3‬‬

‫‪ 4‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ‬

‫‪ 5‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ‬

‫‪c١٤٢ /٧ 6‬‬

‫‪ ٣٩ 7‬ﻭﺣﺪﺓ ﺷﻐﻞ‬

‫‪ 8‬ﺩ‬

‫‪ 9‬ﺏ‬

‫‪ 10‬ﺟـ‬

‫‪."r 13‬‬

‫‪C 11‬‬

‫‪ 12‬ﺏ‬

‫‪142‬‬

‫=‬

‫‪............................................................................................................‬‬

‫ب ‪Ŀ‬‬

‫‪r‬‬

‫‪i ^ / 9‬‬ ‫أ ‪Ň-‬‬

‫‪2‬‬

‫‪) i V ly.f O f .&r wp# f Ů‬‬ ‫ب ‪ņ-‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C i V .&r wp# f Ů C i ^ / 10‬‬ ‫ب [‪]ŀ Ůŀ-‬‬ ‫أ [‪]ŀ ŮĿ‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ ǽ :‬‬

‫ﺟ ‪ŀ‬‬

‫د‬

‫ ‪ł) : ( Ł‬‬‫ﺟ ‪ŁŃ‬‬

‫‪C‬‬

‫‪= ( ń+‬‬

‫ﺟ ]‪[ŀ Ůŀ-‬‬

‫‪tr 7y (Ń Ůŀ Ůŀ) Ů (Ł ŮŁ- Ů Ł) lzp# gb lz yr 4b 5 zZ 11‬‬ ‫ﺟ ‪ŀłŃŬłņ‬‬ ‫ب ‪łńŬŁŅ‬‬ ‫أ ‪ńņŬĿŁ‬‬ ‫‪= ] i V lzy3 s f (Ņ- ŮŅ Ů Ń) Ů (ł- Ů]Ů Ł) i p# gb i ^ / 12‬‬ ‫ﺟ ‪ł-‬‬ ‫ب ‪ł‬‬ ‫أ ‪Ņ‬‬

‫‪: ak l20‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪: z Ē Đ 'b lf d^ wV :‬‬ ‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪15‬‬

‫‪ = ١‬ﺻﻔﺮ‬‫‪14‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪١+١+١‬‬

‫‪٤+ ١ + ٢٥‬‬

‫‪٢+١+٥‬‬ ‫‪٢٩‬‬

‫‪٣‬‬

‫=‬

‫` ‪c١٤٢ /٥٧ = i‬‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪= i‬‬

‫‪٤٠ - ١٢ + ١٤‬‬ ‫‪٥٦‬‬

‫=‬

‫ﺟﺘﺎ ‪= i‬‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫‪٢١‬‬

‫‪112‬‬

‫‪٢-‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤-‬‬

‫= ‪ ١٥-‬ﺱ ‪ ٧ -‬ﺹ ‪ ٩ -‬ﻉ‬

‫)‪(٤- ،٦ ،٢) : (١٠- ،٢ ،٧‬‬ ‫‪١٠+ ٤ + ٤٩‬‬ ‫‪١٤‬‬‫‪١٥٣‬‬

‫‪١٦ + ٣٦ + ٤‬‬

‫=‬

‫‪٥٦‬‬

‫‪٥‬‬

‫=‬

‫)‪(٠ ،٢- ،١) : (٤ ،١ ،٢‬‬ ‫‪١٦+ ١ + ٤‬‬

‫‪٠+٤+١‬‬

‫` ‪c ٩٠ = i‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ﺹ‬

‫ﻉ‬

‫‪٧‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪١٠-‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪٤‬‬

‫= ‪ ١٥-‬ﺱ ‪ ٧ -‬ﺹ ‪ ٩ -‬ﻉ‬

‫ﺟـ‬

‫` ‪c٩٨ /٤٢ = i‬‬ ‫ﺟـ‬

‫ﺱ‬

‫ﺹ‬

‫ﻉ‬

‫ﺱ‬

‫‪٨٧‬‬

‫‪١٥٣‬‬

‫* ﺏ = )‪(٤- ،٣ ،١) * (١ ،٣ ،٢-‬‬

‫ب‬

‫أ ﺟﺘﺎ ‪= i‬‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫أ‬

‫‪ + C‬ﺏ = ) ﺱ ( ‪ ٢) :‬ﺹ ‪ -‬ﻉ ( = ‪* ٠ + ٢ * ٠ + ٠ * ١‬‬

‫)‪(١- ،١ ،١) : (٢- ،١ ،٥‬‬

‫د‬

‫‪+%‬‬

‫د ‪cĿ‬‬

‫‪............................................................................................................‬‬

‫‪ :‬ﺏ = )‪١٠ = ٦ - ٤ - ٢٠ = (٣ ،٤- ،٤) : (٢- ،١ ،٥‬‬

‫=‬

‫د ‪Ŀ‬‬

‫‪............................................................................................................‬‬

‫ب ‪ : C‬ﺏ = )‪ ٣-‬ﺱ ‪ ٢-‬ﺹ ‪ -‬ﻉ ( ‪ ٦) :‬ﺱ ‪ ٤ +‬ﺹ ‪٢ +‬‬ ‫ﻉ ( = ‪٢٨- - ٢ - ٨ - ١٨-‬‬ ‫ﺟـ‬

‫‪M‬‬

‫‪............................................................................................................‬‬

‫‪13‬‬

‫أ‬

‫‪..............................................................................................‬‬

‫‪............................................................................................................‬‬

‫‪8‬‬

‫‪C‬‬

‫= )‪Ů(ŀ Ů Ń- Ů ł‬‬

‫=‬

‫ﺱ‬

‫ﺹ‬

‫ﻉ‬

‫‪٢‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٢-‬‬

‫‪٠‬‬

‫=‪ ٨‬ﺱ ‪ ٤+‬ﺹ ‪ ٥-‬ﻉ‬

‫د ‪ŀ‬‬

тАля┤Р╪и ╪з┘Е┘Дя║Шя║ая╗мя║О╪ктАм

3-1

тАля╗птАм

(┘д┘е тАля║Яя║ОтАм

тАля╗птАм

(┘б┘г┘е тАля║Яя║Шя║ОтАм

┘б┘в * ┘б┘в) =

┘в

C тАля║Я┘АтАм

┘б┘д┘д = ┘а тАл я║Яя║Шя║ОтАм┘б┘в * ┘б┘в = тАля╗птАм

(┘д┘е тАля║Яя║ОтАм

┘б┘в *

┘в

┘б┘в) =

тАля╗птАм

┘б┘д┘д- =

тАля║ПтАмC

тАля╗птАм

┘б┘д┘д- =

тАля╗птАм

(┘й┘а тАл я║Яя║ОтАм┘б┘в * ┘б┘в ) =

тАля║Гя╗нтАм

EтАля║ПтАм

тАля║╣тАм

┘е+

тАля║▒тАм

тАля║╣тАм

тАля║▒тАм

┘б

┘г-

┘в

┘г-

┘в

┘б-

┘з=

= ┘д┘й + ┘в┘е + ┘д┘й

┘б┘в┘г

:."r .m s 7f wcN t-sgN .&r q# f t .h6┼А┼Б qOcB asF P 2f E ┬╢" C 16 ┬╢" C : C тАл╪гтАм C ┬╢" * C тАл╪итАм тАл┘ИтАм

:w y gf d^ wV 1r # f U2& ─С d g ┬╢" ┼о ┼о

тАл я║П я║Я┘АтАм: тАл я║ПтАмC тАл┘ИтАм

┼о

M ┼З+

┘з ┘б┘в┘г

+ тАля║╣тАм

┘е ┘б┘в┘г

+ тАля║▒тАм

(┼В ┼о ┼А ┼о ┼А) =

┼о

(┼Б ┼о┼Б ┼о ─┐) =

┼о

N ┼Г─┐ + M ┼А─┐ =

N┼Г - M┼З =

┼о

M ┼Б-

N + M ┼Б- = C

┬АV 6[f :2qvf - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

тАл * я║ПтАмC

┘з+ C

тАл я╗ЙтАм┘й - тАл я║╣тАм┘з - тАл я║▒тАм┘б┘е- =

тАл╪гтАм

тАля╗ЙтАм

тАля║╣тАм

тАля║▒тАм

┘б

┘г

┘в-

┘д-

┘г

┘б

тАл╪итАм

┘з ┘б┘в┘г

тАл я╗ЙтАм┘г - тАл я║╣тАм┘е - тАл я║▒тАм┘б┘а =

тАля╗ЙтАм

тАля║╣тАм

тАля║▒тАм

┘а

┘в-

┘б-

┘е-

┘г

┘а

тАля║Я┘АтАм тАля╗птАм

тАля║гя╗┤я║ЪтАм

тАля╗птАм

тАл || || я║П || я║Яя║О я╗л┘АтАмC || = тАл * я║ПтАмC тАл я║ПтАм╪М C тАля╗гя║Шя║ая╗к я╗ня║гя║кя║У я╗Ля╗дя╗оя║йя╗п я╗Ля╗ая╗░тАм тАл( я╗птАм┘ж┘а тАл я║Яя║ОтАм┘и * ┘ж) = тАл я╗птАм┘г ┘в┘д = 16

┘б┘д┘д = ┘д┘е тАля║Яя║Шя║ОтАм

┘в

тАл я║Я┘АтАмC

113

тАл╪гтАм

┘б┘в * ┘б┘в = -*

тАля║ПтАмC

тАл я║Я┘АтАмC : тАл я║ПтАмC C тАля║Я┘АтАм

тАл╪гтАм

┬╢o тАл╪итАм

= || тАл* я║ПтАм

┼о

N ┼В- =

M ┼З+

┘б┘д┘д =

тАля╗ЙтАм

qzV t0b %sG7b t3 s f h#& ."r 20

:`b/ 2zR e ly.f O f e lzy3 s f i p# gb i ^ / f lz w y gf d^ wV 21

= тАл` я╗гя║Шя║ая╗к я║Ня╗Яя╗оя║гя║кя║У я║Ня╗Яя╗Мя╗дя╗оя║йя╗птАм тАля╗ЙтАм

(┼Г ┼о ┼А ┼о ┼Б) =

(┼Г- ┼о ─┐ ┼о ┼В) =

┬╢" C * E тАл╪птАм

:w y gf d^ wV ┬╢o i e a M─СB─Ф t3 s f & 7f 7& 19 (┼В ┼о ┼Д ┼о ┼Б)i ┼о (┼Д ┼о ┼Г ┼о ┼А) e ┼о (┼В ┼о ┼А ┼о ┼Б) a тАл╪итАм (┼Г ┼о ┼Д)i ┼о (┼В ┼о ┼Б) e ┼о (┼А ┼о ┼А) a тАл╪гтАм

(┼Б- ┼о ┼А ┼о ┼Д) = ┬╢"

тАля║ПтАм

тАля╗лтАм

┬╢" : C

:w y gf d^ wV r ┬╢o E c gb & 7f 7& 18 (─┐ ┼о ┼Г ┼о ┼Б) r ┼о (┼В ┼о ┼Г- ┼о ┼Г) ┬╢o ┼о (┼Б- ┼о ┼А ┼о ┼Д)E тАл╪гтАм (┼А- ┼о ─┐ ┼о ┼А-) r ┼о (┼Д ┼о ┼А ┼о ┼Б) ┬╢o ┼о (┼Б ┼о ─┐ ┼о ┼Г) E тАл╪итАм

тАл я║П я║Я┘АтАм: тАл я║ПтАмC тАля╗л┘АтАм

тАл╪гтАм тАл╪итАм тАля║ЯтАм

: ┬╢" тАля║ЯтАм

тАл╪птАм

143

тАля╗ЙтАм

.lzp# gb ts'y t0b ts 7gb wcN y├К -sgN .&r q# f ."r 17 M ┼В- N ┼Б + M - = ┼о M + N ┼В - M ┼Б = C

┘б┘д┘д =

тАля╗птАм

: z ─Т ─Р 'b lf d^ wV * C ."r 15 (┼Г- ┼о ┼В ┼о ┼А) = ┼о ( ┼А ┼о ┼В ┼о ┼Б-) = C тАл╪гтАм M ┼Д - N┼В = ┼оN┼Б - M- = C тАл╪итАм c┼Е─┐ gpkz yr 4b 5 zZr ┼З =|| || ┼о ┼Е = || C || тАля║ЯтАм

┬╢" * C

тАл я║Я┘АтАмC

(┼В ┼о┼Г- ┼о ┼Г) = ┼о (┼Б- ┼о ┼А ┼о ┼Д) = ┼о M - N ┼Б - M ┼В- = M - N┼Б = ┼оM =

M┼Е=

: z ─Т ─Р 'b lf d^ wV lzp# gb lz yr 4b 5 zZ ."r 14 (┼Г ┼о ┼Е ┼о ┼Б) ┼о (┼А─┐- ┼о ┼Б ┼о ┼Ж) тАл╪итАм (┼А- ┼о┼А ┼о ┼А) ┼о (┼Б- ┼о┼А ┼о ┼Д) тАл╪гтАм (─┐ ┼о┼Б- ┼о┼А) ┼о (┼Г ┼о ┼А ┼о ┼Б) тАля║ЯтАм

E C : тАля║Я┘А я║П я║Я┘АтАм

тАл я╗птАм┘в

тАл= я║╗я╗Фя║отАм

v' ╚Ю ╚О

M ┼Б +N┼Г +

┘б┘в * ┘б┘в) - =

┘в

3-1

( тАл я║Я┘АтАмC * тАл я║ПтАмC ) - =

тАл╪гтАм

тАля║ПтАмC тАл╪итАм

тАля║ЯтАм

‫ اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ واﻟﻘﻴﺎس ﰱ ﺑﻌﺪﻳﻦ وﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‬:‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‬ 1 S "ȗ"x r 2S Ȕ 9 _f x :2qvf :ȟxȚ 2*yf

ôŃîī ņœčîń÷

(٣ ،١ ،٢-) =

: ak ! /0 ....................................................

q b- Of t0b ................................................ z .&Ė ts 7f wV P[ (ł- Ů Ŀ Ů Ł) G[kb 1 : đzG 7f t3 s f d gy d [gb d_;b 2 i V . (ŁŃ Ů Ň Ů Ņ ) C ‫أ‬ ................................................ wo E G[kb z .& ‫ب‬ ................................................ wo ¶" G[kb z .&

)+ ,{ ,8 C

................................................

.........................................

‫ ﻉ‬٥ - ‫ ﺹ‬٢١ + ‫ ﺱ‬٣ =

.........................................

tr 7y Ů

‫ﺹ‬

‫ﺱ‬

٣-

٥-

٢-

i ^r (e Ů ň Ů Ł-) = Ů (Ń- Ůł Ů]) =

lzp# f lz yr 4b 5 zZ i V || *

|| = :

i ^ / 5

i ^ / 6

‫ﻭ‬E ‫ب‬

‫ ﻫـ‬E * ‫ ﻭ‬E

٢١٫٨ = ٢٥ + ٤٤١ + ٩ = || ‫ ﻫـ‬E * ‫ ﻭ‬E || ١ ‫ ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬١٠٫٩ = ٢١٫٨ * ٢ = 9 ‫` ﻣﺴﺎﺣﺔ‬

= e i V Łń = Ł(ł - M) + Ł(ŀ - =) + Ł(Ł + 5) 2_b wcN P[ (e Ů Ń Ů Ł-) G[kb j ^ / 4

= e Ů ............................................ = ] i V //

، (٣- ،٠ ،٥-) =

‫ﻉ‬

wo E r q# gcb m # Đ y r3 ‫ﺟ‬

= C i V (ń Ů ŀ- Ů Ń) Ů (ł Ů Ł Ů ŀ-)C i ^ / 3

‫ ﻫـ‬E

: M5 4 2 3 4 3 $U U> $4 2 @ P .........................................

Ł== ‫د‬

q b- Of t0b z .&Ė ts 7f i js_y /M M Ů /5 5 i gz[ 7gb 7 Ŀ=M ‫ﺟ‬ Ŀ== ‫ب‬ Ŀ=5 ‫أ‬

‫أ‬

(٣ ،٤) =

......................................... wo (Ł Ůŀ- Ů ł) G[kb 2g r d>Ĕ G[j o4^2f w b 2_b b- Of 8 ŀŃ = Ł(Ł - M) + Ł(ŀ + =) +Ł(ł - 5) ‫ب‬ Ń = ŁM + Ł= + Ł5 ‫أ‬ ŀŃ = ŁM + Ł= + Ł5 ‫د‬ ŀŃ = Ł(Ł - M) + Ł(ŀ + =) + Ł(ł - 5) ‫ﺟ‬

( ŀŁ Ů ŀ Ů Ń) ‫د‬ || || ‫د‬ Ł Ů ł- Ů ŀ- ) ‫د‬ ( ŀŁ ŀŁ ŀŁ

(Ń- Ů ŀ- Ů Ņ) ¶o Ů (ł Ů ł Ů Ł)E z& ¶o E OG[b X? kf G[j z .& 9 ( ŀŁ - Ů ŀ Ů Ń) ‫ﺟ‬ ( ŀŁ Ů ŀ Ů Ł) ‫ب‬ (ł ŀŁ Ů Ł Ů Ń) ‫أ‬

|| ‫ﺟ‬

ł ‫ﺟ‬ (Ŀ Ů Ńń Ů ń)

.........................................

= * ŀ ‫ب‬

i V //

‫ﻉ‬

٥-=

i ^ / 10 2W> ‫أ‬

‫ﻉ‬

‫ﺱ‬

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

‫ﻝﻥ‬

‫ﻝﻡ‬

‫` ﻝﻡ‬

‫ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬٥ = || ‫` ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺘﻮﺍﺯﻯ = || ﻝ ﻡ * ﻝ ﻥ‬

150

‫ﻝﻥ‬

(٢- ،٤ ،٠) = ( ‫ ﻉ‬٢ - ‫ ﺹ‬+ ‫ ﺱ‬٢-) ٤- =

‫ ﺏ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ‬,

، (٢ ،١) =

: z Ē p# gb wV .&r q# f d gy t0b q# gb 11 ( ŀŃ Ů ŀł Ů ŀŁ ) ‫ب‬ (Ł Ů Ł Ů ł-) ‫أ‬

‫ﻝﻥ‬

٢-

٤- = C

‫ ﺱ‬١٤ =

، (٢ ،٣ ،١-) =

‫ﻉ‬

‫ﺹ‬

‫ﺱ‬

١-

٢-

‫ ﻫـ‬E

‫ب ﻝﻡ‬

‫` ﻝﻡ‬ ‫ ﻉ‬٤- ‫ﺹ‬

= || ‫` ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ = || ﻝ ﻡ * ﻝ ﻥ‬ ‫ ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬١٤٫٧ = ٢٤ + ٢٢ + ٢١٤ 20

‫ ﻭﺣﺪﺍﺕ‬٩ = | ‫ ﺏ * ﺟـ‬:

| = ‫أ ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻟﺴﻄﻮﺡ‬ ‫ﻣﻜﻌﺒﺔ‬ 21

‫ ﻭﻏﻴﺮ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻷﻥ‬٠ ! ‫ ﺏ‬:

‫أ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ﻷﻥ‬ ‫ ﺏ‬:‫!ﻙ‬ (٨ ،٣- ،٠) : (١٥ ،٤٠ ، ١٠) = ‫ ﻭ‬: ‫ب ﻫـ‬ ٨ * ١٥ + (٣-) * ٤٠ + ٠ * ١٠ = ‫= ﺻﻔﺮ‬ ‫ ﻭ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ‬، ‫` ﻫـ‬ ‫ ﻉ‬٢ - ‫ ﺹ‬+ ‫ ﺱ‬٢- = C a ‫ﺟـ‬ ‫ ﻉ‬٨+ ‫ ﺹ‬٤- ‫ ﺱ‬٨= ‫ ﺏ‬،

‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

114

‫ﴐب املﺘﺠﻬﺎت‬

3-1

k R r 5 l

‫ﻉ‬٦ = ٢‫ ﻉ‬+ ٢‫ ﺹ‬+ ٢‫ ﺱ‬a 16 ٩ = (٩ + ‫ﻉ‬٦ - ٢‫ )ﻉ‬+ ٢‫ ﺹ‬+ ٢‫` ﺱ‬ ٩ = ٢(٣ - ‫ )ﻉ‬+ ٢‫ ﺹ‬+ ٢‫` ﺱ‬ ٣=H، (٣ ،٠ ،٠) ‫` ﺍﻟﻤﺮﻛﺰ‬

= r + ¶o + ] ‫د‬

:i V C q# gcb m # Đ y r3 e g sz" wo r Ů¶o Ů] i ^ / 12 ŀ = Łr + Ł¶o + Ł] ‫ﺟ‬ r = ¶o = ] ‫ب‬ ŀ = r + ¶o + ] ‫أ‬ ..............................................

|| || ‫د‬

‫ﺟ‬

= ¶" : i V Ŀ = ¶" : C Ů r = * ŀ ‫ب‬

..............................................

= 1s'f ‫ﺟ‬

M 1s'f ‫د‬

i ^ / 13 Ŀ ‫أ‬

wV i OF [ y M = Ů= 5 z .&Ė ys 7f 14 5 1s'f ‫ب‬ d>Ĕ G[j ‫أ‬

: ak 3 l20 .lzZ 7b tr 7 f c f so (ł Ů ń Ů ł) Ů(Ń Ů ł Ů ń) Ů(ł Ů ŀ Ů ņ) H[kb q6 1 t0b c gb i 15

(٥ ،٣ ،٢-) - (٢- ،٤ ،١) =

MŅ = ŁM + Ł= + Ł5 2_b 2GZ X?j asFr 4^2f ."r 16

- ‫ ﺏ = ﺏ‬C 17 (٧- ،١ ،٣) =

C ."r (Ł- Ů Ń Ů ŀ) Ů(ń Ůł Ů Ł-) C i ^ / 17 ¶" m # wV .&sb gzZ ."r V (Ł Ů Ł- Ů ŀ) = ¶" i ^ / 18 i

(٢ ،٢- ،١) = ‫ ﺟـ‬a 18 ٣ = ٤ + ٤ + ١ = || ‫` || ﺟـ‬ ٢ ٢- ١ ( ٣ ، ٣ ، ٣ ) = ‫` ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﺟـ‬ ١ = ٢(i ‫ )ﺟﺘﺎ‬+ ٢(٨٠ ‫ )ﺟﺘﺎ‬+ ٢(٦٠ ‫ ) ﺃ ( )ﺟﺘﺎ‬19 ٢(٨٠ ‫ = )ﺟﺘﺎ‬٢(٦٠ ‫ )ﺟﺘﺎ‬-١ = ٢(i ‫)ﺟﺘﺎ‬ c٤٣ /٥٧ = i `

z& ci Ů cŇĿ Ů cŅĿ p 6 zZ y r3 M Ů= Ů5 "sgb z .&Ė 1r 'f Pf Pk?y

ŀł = || || ¶" || ."r // q# f d gy *

‫ ﺟﻮﻝ‬٤٠٠- = ١٨٠ ‫ ﺟﺘﺎ‬١٠ * ٤٠ = ‫ﺍﻟﺸﻐﻞ‬

151

115

z& w y gf đ^ Ê lo2 25

C C

| + Ł|| *

|| ‫أ‬

|| = (‫ ﻯ‬٢‫ ﺟﺘﺎ‬+ ‫ ﻯ‬٢‫ )ﺟﺎ‬٢‫ ﺏ‬٢C ٢|| ‫ ﺏ‬: C ||

V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

٠=‫ﺹ‬،‫ ﺱﻉ‬1

‫أ‬

(٠ ،٨ ،٠) ‫ب ﺟـ‬

‫ب‬ ‫ﺟـ‬

‫أ‬

‫ب‬

، (٠ ،٨ ،٦) E ‫أ‬ c٩٠ ،c٣٦ /٥٢ ، c٥٣ /٨ ‫ﺟـ‬ (٢ ،٣- ،٥) =

- ‫ﺏ = ﺏ‬C 3 ١- ،٧ 4

١٢- = ‫ ﻡ‬،

٢٣

=‫ ﻙ‬5 c٤٥ 6

٢(‫ ﺏ ﺟﺘﺎ ﻯ‬C) + ٢(‫ ﺏ ﺟﺎ ﻯ‬C) = C

|| = Ł| :

١٥١ ‫ إﻟﻰ‬١٥٠‫أﺟﻮﺑﺔ ﺑﻌﺾ اﻟﺘﻤﺎرﻳﻦ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻣﻦ ص‬

|| ٢||

s[b lf ar0 gb dS;b ."r 23

r = r r = C f i V r = * C Ů Ŀ = : C i ^ / ‫ب‬

(٠ ،١- ،١) - (٢- ،٤ ،٢) = ‫ ﺏ‬23 ‫ ﻑ‬: X = ‫ﺍﻟﺸﻐﻞ‬ (٢- ،٥ ،١) = ١٠ - ١٥ - ٢ = (٢- ،٥ ،١) : (٥ ،٣- ،٢) = ‫ ﻭﺣﺪﺓ ﺷﻐﻞ‬٢٣- =

٢|| ‫ﺏ‬

ł% ǽ Ů

‫ ﺟـ = ﺻﻔﺮ ﻷﻧﻬﻤﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ‬C : ‫ ﺏ‬C ٣٦٠ = ١٨٠ ‫ ﺟﺘﺎ‬٦ * ٦ = E ‫ ﺟـ‬: ‫ ﺏ‬C ‫ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﺏ ﺟـ = ﻭ‬E ‫ﻣﺮﻛﺒﻪ ﺟـ‬

|| + ٢|| ‫ * ﺏ‬C

i ^ / 20

."r h6Ň = ¶" Ůh6Ņ = C qzV dzG 7f E ¶" C 22 E ¶" : C ‫ب‬ ¶" C : C ‫أ‬

Ł|| || Ł|| C

٩ ١ = ٤ + ١ + ٤ = || ‫|| ﺟـ‬

٢|| ‫ ﺏ‬: C

A1Ĕ (G6 YsV 1 f ŀĿ V 7f wcNĔ zÊ 6 1 ]2' y l szj ŃĿ m1 .[f h7" i3r lf ar0 gb dS;b ."r 24

‫ ﺏ‬+ C a 20 ٣ ١ ( ٢ ،١ ، ٢ ) = ‫` ﺟـ‬

٧ ٢

|| i gcN /

(Ł- Ů Ń Ů Ł) G[j wb (Ŀ Ů ŀ- Ů ŀ) G[j lf hz7" `y2' b (ń Ůł- Ů Ł) =

١٣ ‫ ﻉ‬٩٫٤ + ‫ ﺹ‬٢٫٣ + ‫ ﺱ‬٢ =

١ ١ ٢ ‫` ﻙ‬

i ^r (e + ] Ů e Ů]) = ¶" Ů(e Ů ł Ů]) = Ů(Ł Ů Ņ Ů ŀ) =

wo # Đ 2Cb d> & is_y E2: t ' .ł% wV .&r wp# f Ů C i ^ / 21 .` " 27V .ł% wV .&r

¶" m # wV E ¶" ^2f ‫ﺟـ‬

‫( ﺹ‬٨٠ ‫ ﺟﺘﺎ‬١٣) + ‫( ﺱ‬٦٠ ‫ ﺟﺘﺎ‬١٣) = C ‫( ﻉ‬c٤٣ /٥٧ ‫ ﺟﺘﺎ‬١٣) +

١=‫ﻡ‬،

q# gb i ^ / 19 - & yr 3 i gzZ ."r ‫أ‬ q# gcb y2 #b 1s?b ^ ‫ب‬ C

‫ ﺩ‬10

‫ ﺏ‬7

C 10

‫ ﺟـ‬9

‫ ﺟـ‬12

‫ ﺟـ‬11

‫ ﺟـ‬14

C 13

(٣ ،٥ ،٣)‫ ﺟـ‬، (٤ ،٣ ،٥)‫ ﺏ‬، (٣ ،١ ،٧) C ‫ ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ‬15 ٩ = ٢(٣ - ٤) + ٢(١ - ٣) + ٢(٧ - ٥) = ٢(‫ ﺏ‬C) ` ٩ = ٢(٤ - ٣) + ٢(٣ - ٥) + ٢(٥ - ٣) = ٢(‫)ﺏ ﺟـ‬ ‫ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ‬9 ` ‫ ﺏ = ﺏ ﺟـ‬C `

‫ اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫ اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ واﻟﻘﻴﺎس ﰱ ﺑﻌﺪﻳﻦ وﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‬:‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﱃ‬ 1 S "ȗ"x r 2S Ȕ 9 _f x :2qvf :ȟxȚ 2*yf

ŐńĻíĎ÷ čîòøćí

‫ﺏ * ﻭ‬

: ak ! /0 asF .&r .............................................. tr 7y M = z .&Ė ts 7f lN (Ł Ůł- Ů Ń-) G[kb .O 1 ..............................................

٩٠ = i , ‫ﺃ‬ ‫= ﻭ ﺃﻭ‬

‫ﻭ‬ C

= ‫ ﺏ‬، ‫ = ﻭ‬C ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫ * ﺏ = ﻭ ﻋﻨﺪﻣﺎ‬C ،

= i V M 5 w .&Ė ts 7gb wV P[ (Ń - ¶" Ů ł + ŮŁ - C) G[kb j ^ / 2

..............................................

i V (Ń Ů Ň Ůń) C : đzG 7f t3 s f d [gb d_;b 4

..............................................

‫إﺟﺎﺑﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺘﻤﺎرﻳﻦ ﻣﻦ اﻷﺧﺘﺒﺎر اﻟﺘﺮاﻛﻤﻰ‬

wo C X? kf z .& i V (Ń Ů ŀ- Ů ń) Ů (Ł- Ů Ŀ Ů ŀ-) C j ^ / 3

..............................................

wo G[kb z .& ‫أ‬ wo ¶" G[kb z .& ‫ب‬

٣- 2

٤ 1

(ŀ- Ůŀ- ŮŁ-) G[kb 2g r (ŀ- Ůł- Ůŀ) G[kb o4^2f w b 2_b b- Of 5 .............................................. wo

..............................................

= ¶" + ł -

Ł i V (ń Ůł- Ůŀ) = ¶" Ů(Ł- ŮŁ Ů Ŀ) = Ů(ŀ Ůł ŮŁ-) =

..............................................

tr 7y

m # wV .&sb q# f i V (ł Ů Ł- Ůń) =

i ^ / 6

i ^ / 7

(١ ،

|| i ^r (e ŮŁ- Ůł) = ň ‫ب‬

i ^ / 8 Łŀ ‫أ‬

- M Ń= Ů M - N ł+ MŁ= Ń ‫ب‬

i ^ / 9 ń ‫أ‬

^2f i V M ń + N ł - M Ń = ł ‫ب‬

i ^ / 10 Ń ‫أ‬

^2f i V N Ń + M ł = Ů (ŀ- Ů ł Ů Ł) = ŀŇ ‫ب‬

i ^ / 11 ŀŇ ‫أ‬

ł ‫ﺟ‬

ŀņ ‫د‬ = :

Ł ‫د‬ ń ‫د‬

= e i V ŁŁ = ||

i V ł ‫ﺟ‬

tr 7 = 1s'f m # wV ł ‫ﺟ‬

tr 7 m # wV

ŀŇ ‫د‬ Łń

ŀŇ - ‫ﺟ‬ ń

cŅĿ ‫د‬

cĿ ‫ﺟ‬

..............................................

(٤ ،٠ ،٠) ‫ب ﺟـ‬

(٤ ،٨ ،٠) ‫أ ﺏ‬

(٧ ،٣- ، ٣-) 6 (٣ ،٢- ،٥)

C 9

‫ﺏ‬

152

٣٨

‫ ﺟـ‬8

‫ ﺟـ‬10

‫ﺏ‬ 16 ١

‫( ﻉ‬

٣ ١ ٣

١ = ‫ ﻫـ‬٢‫ ﺿﺎ‬+ ‫ ﻫـ‬٢‫ ﺿﺎ‬+ ‫ ﻫـ‬٢‫ ﺿﺎ‬a * ٣

٢١) + ‫ﺱ‬

١ ٣

٣= ١+٤+٤

(٣ ،٤ ، ٢-) ‫ = ﻙ‬X 17 ٩ + ١٦ + ٤ ‫ || = ﻙ‬X || ` ٢٩ * ‫ = ﻙ‬٢٩ ١٢ ` ١٢ = ‫` ﻙ‬ (٣٦ ،٤٨ ، ٢٤-) = X `

= (‫ﺏ‬C)

٦ = ١٦ + ٦ + ٤

* ٣ ٢١) = C `

٤٥

‫ ﺹ‬٢١ + ‫ ﺱ‬٢١ =

٠ < ‫ﺣﻴﺚ ﻙ‬

(٤ ،٤- ،٢)‫( ﺟـ‬٠ ،٠ ،٠)‫ ﺏ‬، (١ ,٢ ,٢) C ‫ ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ‬13

١ = ‫ ﻫـ‬٢‫ ﺟﺘﺎ‬٣ `

= ‫ﺟﺘﺎ ﻫـ‬

١٣ = ٢(١ + ‫ )ﻉ‬+ ٢(٣ + ‫ )ﺹ‬+ ٢(١ - ‫ )ﺱ‬5

= i i V i Ů cŃń Ů cŃń qb m # Đ y r3 q# f 12 cňĿ ‫ب‬ cŃń ‫أ‬

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

،٢)

: 4 2 3 4 3 $U U> $4 2 @ P ..............................................

١٢

= ‫ﺏ ﺟـ‬

= ٩ + ٣٦ + ٠

= ‫ ﺟـ‬C

٢(‫ )ﺏ ﺟـ‬+ ٢(‫ﺟـ‬C) = ٢(‫ ﺟـ‬C) `

‫ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺏ‬9 ` ١

‫ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬٩ = ٦ * ٣ * ٢ = ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺤﻪ‬

‫ ﺍﻟﻜﺮﺓ ﺗﻤﺲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺱ ﻉ‬a

٤=H` ١٦ = ٢‫ ﻉ‬+ ٢(٤ - ‫ )ﺹ‬+ ٢‫` ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻜﺮﺓ ﺱ‬ ١٤

٤+٩+١

= ||

(٥ ،١- ،١) = ‫ ﺏ‬+ ٢٧

= ٢٥ + ١ + ١

= || ‫ ﺏ‬+

‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

|| 15 C

|| `

116

тАля┤Р╪и ╪з┘Е┘Дя║Шя║ая╗мя║О╪ктАм

3-1

}lb 6 5 .

тАля╗ЙтАм

тАля║╣тАм

тАля║▒тАм

┘б-

┘а

┘б

┘б-

┘б

┘а

: ak l20

тАл я║Я┘АтАмC * тАл я║ПтАмC

."r r ┼о yr 4b h Z c f so (┼Г ┼о ┼Г- ┼о ┼Б) (─┐ ┼о ─┐ ┼о ─┐) ┼о(┼А ┼о ┼Б ┼о ┼Б) G[kb q6r 1 t0b c gb i 13 .q & 7f M 5 w .&─Ц ts 7gb 8g r (─┐ ┼о┼Г ┼о ─┐) G[kb o4^2f w b 2_b b- Of ."r 14 || +

|| ┼о ||

|| ."r (┼В ┼о ┼Б ┼о ─┐) = ┼о (┼Б ┼о┼В- ┼о ┼А) =

z .&─Ц 1r 'f Pf 5 z[b yr 7 f y r3 Pk?yr ┼В ┼Б┼А m1 zOf t0b

тАля╗ЙтАм

тАля║╣тАм

тАля║▒тАм

b+ C

тАля╗ЙтАм

тАля║╣тАм

тАл)я║▒тАм

┘б ┘г

тАл я║Я┘АтАмC * тАл я║ПтАмC

┘е=

c┘ж┘д ┘е┘д = тАля║▒тАмi !

s[b ^2f ."r 17

` q# gb wcN y-sgN ┼БX C

( ┼Б-

= || тАл || я║Я┘АтАм21

(

q# gb m # wV ┼АX

C C :

┼Б|| C

z' ┼БX ┼о ┼АX lz ^2f wb

= ┼БX ╞Е╞Е┼о╞Д╞Д

(

C :

┼АX

┼Б|| C

s[b dzc' scGgb 18 :i lo2 . C

) = ┼АX

."r M ┼Д + N ┼Б - M ┼В = ┼о M ┼Б - N + M = C i ^ / 19 * C тАл╪гтАм ( ┼В) * ( C ┼Б) тАл╪итАм

тАля║ЯтАм

wcN t-sgN .&r q# f ."r (─┐ ┼о ┼А ┼о ─┐) ┬╢" ┼о(─┐ ┼о ─┐ ┼о ┼А) ┼о (┼А ┼о─┐ ┼о ─┐) C i ^ / :╚И╞░─Э┼╗┼Ы─Ю ╞Д┼Р╟Ф╞╜┼Э 20 ┬╢" C ts 7gb

┘г

= тАля║▒тАмi тАл` я║Яя║Шя║ОтАм ┘е = тАля║╣тАмi тАл` я║Яя║Шя║ОтАм c┘б┘в┘д /┘в┘з = тАля║╣тАмi ! ┘в ┘е ┘е = тАля╗ЙтАмi тАл` я║Яя║Шя║ОтАм c┘д┘е = тАля╗ЙтАмi ! ┘в ┘е /

тАл я║ПтАм╪М C тАля╗ля╗о я╗гя║Шя║ая╗к я╗ня║гя║кя║У я╗Ля╗дя╗оя║йя╗п я╗Ля╗ая╗░ я╗Ыя╗Ю я╗гя╗жтАм ┘в

i ^ / 15

|| тАл я║Я┘АтАмC || || тАл я║ПтАмC ||

┘в┘е + ┘б┘ж + ┘й

l szj ┼Б┼И ┼А┼Б o1 .[f w b

q# gcb y2 #b 1s?b ."r 16 . "sgb

1r 'gb "sgb o # ─Р Pf M ┼Д +

┘в ┘д-

N┼Г

- M ┼В = ┬╢" q# gb pOk?y w b y r4b 6 zZ ."r 21 . z .&─Ц

┬АV 6[f :2qvf - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

153

= тАля╗ЙтАм

┘е-

тАля║╣тАм

┘б┘б -

тАля║▒тАм

тАл * я║ПтАмC

тАл ╪гтАм19

тАля╗ЙтАм

тАля║╣тАм

тАля║▒тАм

┘в-

┘б

┘е

┘в-

┘г

) ┘ж = ( тАл я║ПтАм┘г) * (

┘в)

тАл╪итАм

тАл я╗ЙтАм┘г┘а - тАл я║╣тАм┘ж┘ж - тАл я║▒тАм┘ж =

( тАл я║ПтАм┘в-

тАля║Я┘АтАм

[(┘е ╪М┘в- ╪М┘г) ┘в- (┘в- ╪М┘б ╪М┘б)] * (┘в- ╪М┘б ╪М┘б) = (┘б┘в- ╪М┘е ╪М┘е-) * (┘в- ╪М┘б ╪М┘б) = тАля╗ЙтАм

┘б┘а +

тАл я║╣тАм┘в┘в + тАл я║▒тАм┘в- =

(┘б- ╪М┘б ╪М┘а) =

117

тАл я║Я┘АтАмC

тАля╗ЙтАм

тАля║╣тАм

тАля║▒тАм

┘в-

┘б

┘б┘в-

┘е

┘е-

╪М (┘б- ╪М┘а ╪М ┘б) =

тАля║ПтАмC

‫‪Ò‬‬ ‫‪ôŔįíĎĴĿí ôēĊňŌĿí :îŔŇîû‬‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬

‫‪ôŔŇîüĿí óĊăŎĿí‬‬

‫‪ÆGôØdG ≈a äÉjƒà°ùŸGh áª«≤à°ùŸG •ƒ£ÿG‬‬ ‫‪Straight Lines and planes in space‬‬

‫‪ÆGôØdG ≈a äÉjƒà°ùŸGh áª«≤à°ùŸG •ƒ£ÿG‬‬ ‫‪Straight lines and planes in space‬‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﺔ اﻟﻮﺣﺪة‪:‬‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺤﺎﻟﻴﺔ ﺍﻣﺘﺪﺍﺩ ﻭﺗﻜﻤﻠﺔ ﻟﻤﺎ ﺗﻢ ﺩﺭﺍﺳﺘﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ‬ ‫ً‬ ‫ﻭﺍﺳﺘﻜﻤﺎﻻ ﻟﺘﻌﻠﻢ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺨﻄﻮﻁ ﻭﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﺣﻴﺚ ﺗﻢ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻣﻮﺿﻊ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﻣﺘﺠﻪ ﻣﻮﺿﻌﻬﺎ‬ ‫ﻭﺳﻴﺘﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺤﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪ ،‬ﻭﻛﺬﻟﻚ‬ ‫ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‪.‬‬

‫‪óĊăŎĿí ôŃĊĸŃ‬‬ ‫‪ì|w ÓnhHnHÌ Y } _> ì|wí nwÚnh_Y Øn xÎ phahTí eUÐ Óng Y U|T ºãÐ}aUÐ R p]bi {x{ > pb=n UÐ Ò{A UÐ R qHÚØ‬‬ ‫‪ð‬‬ ‫‪ð‬‬ ‫‪. =n UÐ ên_UÐ R ÜÚØ neU ĆecYí‬‬ ‫‪pb=n UÐ Ò{A UÐ R ÜÚØ neU ønec HÐ‬‬ ‫‪} _> ngiÎ rhA Ò{A UÐ‬‬ ‫‪pd YúÐ qL f> {Sí ºpad eUÐ nwÚ [= î eUÐ pUØn_Y U|T ãÐ}aUÐ R hb eUÐ pUØn_Y oUn]UÐ ÜÚ{x æ H Ò{A UÐ ì|w Rí‬‬ ‫‪pH{fg= p] >}eUÐ î}BúÐ hwnaeUÐí æÚn_eUÐ pHÐÚØ dL oUn]UÐ {Ln > UÐ pxÚngeUÐí phR}_eUÐ æÐ{w±U nðbhb > UÐ ç}Jí‬‬ ‫‪.phUn UÐ phehd_ UÐ AÐ}eUÐ R ãÐ}aUÐ‬‬

‫‪óĊăŎĿí ıíĊŋã‬‬ ‫‪:o f Kf rk T^y ʘ v Z K?pȚ 4 [q x 2*yf vp }Z‬‬ ‫ ‪.ãÐ}aUÐ R hb eUÐ UÐ ìn >Ð Y {@ x‬‬

‫ ‪.ãÐ}aUÐ R hx Y {Yn_> à}I s f x‬‬

‫ ‪pUØn_eUÐí ãÐ}aUÐ R hb edU px} YÐÚn UÐ pUØn_eUÐ {@ x‬‬ ‫‪.ãÐ}aUÐ R hb edU phwn >øÐ‬‬ ‫ ‪.ãÐ}aUÐ R hb edU px~h>ÚncUÐ pd?ne eUÐ pUØn_eUÐ {@ x‬‬

‫ ‪.ãÐ}aUÐ R hx Y Jnb> B pUØn_Y {@ x‬‬ ‫ ‪.ãÐ}aUÐ R hb Yí p]bi h= pRn eUÐ h_x‬‬

‫ ‪.ãÐ}aUÐ R î edU phHnhbUÐ pUØn_eUÐ {@ x‬‬

‫ ‪Ñ}\UÐ ÉnA êÐ{ Hn= î Yí p]bi h= pRn eUÐ {@ x‬‬ ‫‪.px~h>ÚncUÐ ÒÚ [UÐ êÐ{ Hn=í HnhbUÐ‬‬

‫ﻣﺨﺮﺟﺎت اﻟﻮﺣﺪة‪:‬‬

‫ ‪.ãÐ}aUÐ R î edU pYn_UÐ pUØn_eUÐ {@ x‬‬

‫ﺑﻌﺪ دراﺳﺔ ﻫﺬه اﻟﻮﺣﺪة وﺗﻨﻔﻴﺬ اﻷﻧﺸﻄﺔ‪ ،‬ﻳﺘﻮﻗﻊ ﻣﻦ اﻟﻄﺎﻟﺐ أن‪:‬‬

‫ ‪.ãÐ}aUÐ R hx Y h= pxíÐ~UÐ æ}_ x‬‬

‫ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬

‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬ ‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺍﻟﻜﺎﺭﺗﻴﺰﻳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬ ‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮ￯ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬

‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮ￯ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬ ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬

‫ ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺷﺮﻁ ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬

‫ ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺷﺮﻁ ﺗﻮﺍﺯ￯ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬

‫ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬ ‫ ﻳﻌﻴﻦ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪.‬‬

‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﻣﺴﺘﻮ￯ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻭﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻜﺎﺭﺗﻴﺰﻳﺔ‪.‬‬ ‫ ﻳﻌﻴﻦ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ‪.‬‬

‫‪118‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪154‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ ‪.ãÐ}aUÐ R hx Y îÛÐ > à}I s f x‬‬

‫ ‪. hxÛÐ Y hx Y h= pRn eUÐ h_x‬‬

ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ plane Standard form Parallel planes Perpendicular planes

:‫اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻤﻘﻴﺎس ﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ ﺣﺼﺺ‬٥

Interecting planes Angle

î Y Ñ phHnhS ÒÚ É Ñ ënxÛÐ Y ënx Y Ñ ëÐ{Yn_ Y ënx Y Ñ ën_Jnb Y ënx Y Ñ pxíÐÛ Ñ

oHnf x Ñ Parallel straight Lines ënxÛÐ Y ënehb Y Ñ ëÐ{Yn_ Y ënehb Y Ñ

ìn >Ð Y Ñ ìn >Ð nxÐíÛ Ñ Direction cosines ìn >øÐ êne> Ñ h@ Ñ Perpendicular straight Lines Direction ratios ìn >øÐ o i Ñ ën_Jnb Y ënehb Y Ñ Vector equation pg Y pUØn_Y Ñ Intersecting straight Lines Parametric equations px} YÐÚn= ÓøØn_Y Ñ Skew straight Lines ënaUn Y ënehb Y Ñ Cartesian equation px~h>ÚnT pUØn_Y Ñ Perpendicular distance îØ eL {_= Ñ General equation pYnL pUØn_Y Ñ Proportional

óĊăŎĿí đōčĉ

Direction vector

Direction angles

ľëîēŎĿíō õíōĉŗí

.ãÐ}aUÐ R hb eUÐ pUØn_Y :(¼ - ½) ÜÚ{UÐ

:‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﺘﻰ ﺗﻨﻤﻴﻬﺎ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ ﺣﻞ‬- ‫ ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻞ‬- ‫ ﺍﺩﺭﺍﻙ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﻨﺎﻗﺪ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬

.phinh= p HnA pUË Ñ .Øn_=úÐ ph?Ć? phY HÚ sYÐ}= Ñ

.ãÐ}aUÐ R î eUÐ pUØn_Y :(½ - ½) ÜÚ{UÐ

óĊăŎŀĿ ŐńŔĨň÷ ĢĤĈŃ

:‫اﻟﻮﺳﺎﺋﻞ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫ﺍﻟﺒﺮﺍﻣﺞ ﺍﻟﺮﺳﻮﻣﻴﺔ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻷﺑﻌﺎﺩ‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ ‫ ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ‬- ‫ ﺍﻟﺤﻮﺍﺭ ﻭﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬- ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬- ‫ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮﺓ‬ ‫ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻻﺳﺘﻨﺒﺎﻃﻴﺔ‬- ‫ ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ ﺑﺎﻻﻛﺘﺸﺎﻑ‬- ‫ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ‬ :‫ﻃﺮق اﻟﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ ،‫ﺍﺳﺌﻠﺔ ﺷﻔﻬﻴﺔ ﻭﺗﺤﺮﻳﺮﻳﺔ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﻭﺟﻤﺎﻋﻴﺔ ﻗﺒﻞ ﻭﺃﺛﻨﺎﺀ ﻭﺑﻌﺪ ﺍﻟﺪﺭﺱ‬ ‫ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻋﺎﻣﺔ‬- ‫ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻣﺤﻠﻮﻟﻪ ﻭﺑﻬﺎ ﺍﺧﻄﺎﺀ ﻣﻄﻠﻮﺏ ﺗﺼﻮﻳﺒﻬﺎ‬ .‫ﻭﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺗﺮﺍﻛﻤﻰ ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬

:‫اﻟﻤﺨﻄﻂ اﻟﺘﻨﻈﻴﻤﻰ ﻟﻠﻮﺣﺪة‬ ‫ﻳﻮﺿﺢ ﺍﻟﻤﺨﻄﻂ ﺍﻟﺘﻨﻈﻴﻤﻰ ﻟﻠﻮﺣﺪﺓ ﻋﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﻟﺘﻰ ﺳﻴﺘﻢ‬ ‫ﺗﻌﻠﻤﻬﺎ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺩﺭﻭﺱ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺗﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﺣﻴﺚ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﻪ ﻭﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﻠﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‬ ‫ ﻛﻤﺎ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺣﺴﺎﺏ‬،‫ﻭﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻭﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮﻯ‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻭﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻷﻭﺿﺎﻉ‬ (‫ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﺪ‬- ‫ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ )ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﺘﻮﺍﺯﻯ‬

119

‫ اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

ĭíĎĴĿí Őĳ õîœŎøĔńĿíō ôńŔĸøĔńĿí ġŎĤĈĿí

ĭíĎĴĿí Őĳ łŔĸøĔńĿí

ĭíĎĴĿí Őĳ ŏŎøĔńĿí

ŏŎøĔńĿí ôĿĉîĬŃ ĭíĎĴĿí Őĳ

ņŔñ ôĳîĔńĿí Őĳ ņŔœŎøĔŃ àîĠĴĿí ņŔñ ôĳîĔńĿí ĭíĎĴĿí Őĳ ņŔœŎøĔŃ

ôĤĸŇ ņŔñ ôĳîĔńĿí àîĠĴĿí Őĳ łŔĸøĔŃō

óčŎĜĿí ôŃîĬĿí àíĐÿśí ôĿśĊñ ŏŎøĔńĿí ôĿĉîĬŃ ùîŔûíĊăśí čōîĄŃ ņŃ ôīŎĤĸńĿí

ņŔœŎøĔŃ ņŔñ ôķŜĬĿí ĭíĎĴĿí Őĳ

ņŔñ ôķŜĬĿí ĭíĎĴĿí Őĳ ņŔńŔĸøĔŃ

óčŎĜĿí ŊŌĀøńĿí

óčŎĜĿí ôŔēîŔĸĿí

óčŎĜĿí ôŀûîńøńĿí

ņŔœĊŃîĬøŃ

155

ņŔĬģîĸøŃ

V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

óčŎĜĿí ŊŌĀøńĿí

óčŎĜĿí ôœĎøŃíčîòĿí óčŎĜĿí ôŀûîńøńĿí

ņŔñ ôœōíĐĿí ņŔńĸøĔŃ

óčŎĜĿí ôœĎøŃíčîòĿí ņŔœďíŎøŃ

łŔĸøĔńĿí ôĿĉîĬŃ ĭíĎĴĿí Őĳ

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫‪ôŔŇîüĿí óĊăŎĿí‬‬

‫‪1-2‬‬

‫‪1-2‬‬ ‫‪łŀĬø÷ ıŎē‬‬

‫‪Equation of a straight line in space‬‬

‫ ! ‪ ) *!+$ F-‬‬ ‫ ‪ ) *!+$ $ . !/$ 0 1‬‬ ‫ ‪ 2 *!+ 2 "' 3‬‬ ‫ ‪ ) *!+ ' M*5 2 6 +$‬‬ ‫ ‪ "( !$ 7% *!+$‬‬ ‫ ‪ 08 !$ 7% *!+$‬‬

‫ﺧﻠﻔﻴﺔ‪:‬‬

‫‪Equation of a straight Line in space‬‬ ‫ ‪ Wc +gb 1s?b - #y zWz^r ts 7gb wV hz[ 7gb H+b [ 7b sk7b wV gcO‬‬ ‫‪ 1s?b - y2 f 1 b 1s?b - p# gb 1s?b ) ts 7gb wV hz[ 7gb H+b b- Ogb‬‬ ‫ ‪hz[ 7gb b- Of - #y zWz^r Q 2Wb wV hz[ 7gb hcO j 51.b 0o wVr ( f Ob‬‬ ‫‪ 6.kpb Đ #f wV 2z ^ zgo lf `b/ wV gb Wc +gb o1s> wV Q 2Wb wV‬‬ ‫‪. CWb escN [z G r t1 gOgb hzg? b r‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪ÆGôØdG ≈a º«≤à°ùªdG √ÉéJG ¬éàe‬‬ ‫ ‪Q 2Wb hz[ 7f m # y r3 wo Mi Ů=i Ů5i‬‬ ‫ " ‪m # Đ e g sz" wo Mi " Ů=i " Ů5i‬‬ ‫‪.i Ů e Ů a 4f2b pb 4f2y - Nr hz[ 7gb 0pb‬‬

‫‪Direction vector of a straight Line in space‬‬

‫ﻳﻬﺘﻢ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺑﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﺻﻮﺭﻫﺎ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‬ ‫ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﻻﺳﺘﻔﺎﺩﺓ ﻣﻤﺎ ﺗﻌﻠﻤﻪ ﻓﻰ ﺍﻷﻋﻮﺍﻡ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻋﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻭﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ ﻭﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻪ‪.‬‬

‫‪ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ‬‬ ‫ ! ‬

‫‪Direction vector‬‬

‫ ‪ "# $‬‬

‫‪ i‬‬

‫ ‬

‫ ‪ŀ = Łi + Łe+ Ła‬‬ ‫ ‪.hz[ 7gb m # wV .&sb q# f so M i + = e + 5 a= t q# gb‬‬ ‫ ‪qb 4f2yr hz[ 7gb m # q# f wg7y t .&sb q# gb y¹ 3 sf q# f t‬‬ ‫ ‪¶o 4f2b‬‬

‫‪ôŃĊĈøĔńĿí õíōĉŗí‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎد ًرا ﻋﻠﻰ أن‪:‬‬

‫‪ i‬‬

‫‪Mi " = i Ů=i " = e Ů5i " = a‬‬

‫ ( '" & ‬

‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬا اﻟﺪرس وﺗﻨﻔﻴﺬ اﻷﻧﺸﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﻳﻜﻮن‬

‫‪ i‬‬

‫ ‬

‫ ‪ %!$ $‬‬

‫ﻣﺨﺮﺣﺎت اﻟﺪرس‪:‬‬

‫ ‬

‫ ‪(¶" Ů Ů C ) = ( M i+ = e+ 5 a) ] = ¶o‬‬ ‫ ‪Iǽ] Ů i Ů e Ů a Pf 6 k ¶" Ů Ů C‬‬ ‫‪hz[ 7gb m # 7j wg7 ¶" Ů Ů C‬‬

‫ ‬ ‫ ‪.hz[ 7gb m # Đ e g sz" wo ( Łł Ů ŀł Ů Łł ) i ^ / :‬‬ ‫‪2W> ! ] z& hz[ 7gb m # q# f d gy ( Łł Ů ŀł Ů Łł ) ] = ¶o q# gb i V‬‬ ‫ ‪(Ł Ůŀ ŮŁ) = ¶o # ł = ] PBs‬‬

‫‪ F ‬‬

‫‪(Ń- ŮŁ- ŮŃ-) = ¶o # Ņ- = ] PBs r‬‬ ‫ ‪ pkf d^r Ů y3 s gb m # Đ p# f lf w pj Đ -.N qb hz[ 7gb H+b‬‬ ‫‪.hz[ 7gb 0o t3 sy‬‬

‫‪ ! "# ‬‬ ‫‪ $ % &' &( ) * "# ‬‬

‫‪156‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪ ) M , &( - ". ‬‬ ‫‪ $ % &' /0 01 U)3 4 5 ‬‬

‫ﺗﻬﻴﺌﺔ‪:‬‬

‫‪ $ 6 & " 7 U8 4 5 ‬‬

‫ ﺍﻛﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻭﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ‬ ‫ﺑﻜﻞ ﺻﻮﺭﺓ )ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ(‪.‬‬

‫ﻣﻔﺮدات اﺳﺎﺳﻴﺔ‬

‫ﻣﺘﺠﻪ ﺍﺗﺠﺎه ‪ -‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺒﺎﺭﻣﺎﻣﺘﺮﻳﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ‪ -‬ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻻﺗﺠﺎه‬ ‫اﻟﻤﻮاد اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‪:‬‬

‫ﺳﺒﻮﺭﺓ ﺗﻌﻠﻴﻤﻴﺔ ‪ -‬ﻃﺒﺎﺷﻴﺮ ﻣﻠﻮﻥ ‪ -‬ﺑﺮﺍﻣﺞ ﺭﺳﻮﻣﻴﺔ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻷﺑﻌﺎﺩ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪ -‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪.‬‬ ‫ﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻴﻢ‪:‬‬

‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺹ)‪ (١٦٤‬ﺇﻟﻰ)‪.(١٧٣‬‬

‫‪120‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ املﺴﺘﻘﻴﻢ ﰱ اﻟﻔﺮاغ‬ ‫‪1-2‬‬

‫‪U 6[f Ȕ m _ ;Ȟ f1 Sk‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪١‬ـ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‪:‬‬

‫‪(Ł- Ů Ń Ů Ŀ) Ů (ŀ Ůł Ů Ł-) C lz G[kb 1 gb hz[ 7gcb m # Đ q# f ."r 1‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪- = C = hz[ 7gb m # q# f‬‬ ‫‪ƅƅ ¶o‬‬

‫`‬

‫‪C‬‬

‫‪1-2‬‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬

‫= )‪(ŀ Ů ł Ů Ł-) - (Ł- Ů Ń Ů Ŀ‬‬

‫= )‪(ł- Ů ŀ Ů Ł‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪: z Ē gz[ 7gb lf d^ m # q# f ."r 1‬‬

‫‪:óbÉf ô«μØJ‬‬

‫أ ‪(Ł- Ů Ł Ů ŀ-) G[kb r d>Ĕ G[k 1 gb hz[ 7gb‬‬ ‫ب ‪(ŀ- Ů ŀ Ů ŀ) E Ů (ł Ů Ł- Ů Ŀ) ¶" lz G[kb 1 gb hz[ 7gb‬‬

‫ ﻳﺆﻛﺪ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺻﻮﺭ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺣﻴﺚ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻳﻜﻮﻥ‬ ‫ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻣﺴﺎﻭ ًﻳﺎ ﺻﻔﺮ‪.‬‬

‫‪:ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬

‫ ‪(2W> Ů Ů C ) = ¶o qo # q# f t0b hz[ 7gb lN as[ i l_gy / f -‬‬ ‫ ‪. z .&Ė 1r 'f lf d_b m # q# f ."r -‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪ÆGôØdG ≈a º«≤à°ùªdG ádOÉ©ªd á¡éàªdG IQƒ°üdG‬‬ ‫ ‪q# f C G[kb 2gyr (¶" Ů Ů C) = ¶o qo # q# f Q 2Wb wV hz[ 7f a i ^ /‬‬ ‫‪q# f hz[ 7gb wcN G[j t G[kb j ^ / V (ŀM Ůŀ = Ů ŀ5) = C pOBsf‬‬ ‫‪ (M Ů = Ů 5) = S pOBsf‬‬ ‫‪ C + C = S‬‬ ‫‪:is_y d_;b lf‬‬

‫‪Vector form of the equation of astraight Line in space‬‬

‫ ‬

‫ ﺗﻌﻠﻢ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪:‬‬

‫‪. , , 0 1‬‬ ‫‪S‬‬

‫‪.2 , 2 , 2 0 C‬‬

‫ ‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﺘﺤﺪﺩ ﺑﻨﻘﻄﻪ ﻋﻠﻴﻪ ﻭﻣﺘﺠﻪ ﺍﺗﺠﺎﻫﻪ‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﺹ)‪ (١٥٧‬ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﺳﺘﻴﻌﺎﺏ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻣﻊ‬ ‫ﺍﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﻳﻮﺍﺯﻯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪( ¶o ] = C ) ¶o // C‬‬

‫`‬

‫‪¶o ] + C = S‬‬

‫‪.hz[ 7gb H+b b- Ogb p# gb 1s?b #Ƅ‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪.qb m # q# f (ł Ů Ń ŮŁ-) q# gb r (Ŀ Ůŀ- Ůł) G[kb 1 gb hz[ 7gb b- Ogb p# gb 1s?b ."r 2‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫) ‪(Ŀ Ů ŀ- Ů ł‬‬

‫) ( ‪ !" #$% &M‬‬

‫`‬

‫)‪(ł Ů Ń Ů Ł-‬‬

‫ ( ‪ !" * +) ,+!-‬‬

‫` ‪(ł Ů Ń Ů Ł-) = ¶o‬‬

‫‪wo hz[ 7gb b- Of‬‬ ‫`‬

‫‪S‬‬

‫‪C‬‬

‫= ) ‪(Ŀ Ů ŀ- Ů ł‬‬

‫ﻓﻲ ﻣﺜﺎل )‪:(٢‬‬

‫= ‪¶o ] + C‬‬

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻣﺜﺎﻝ )‪ (٢‬ﻭﺑﻴﻦ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﺗﺘﻄﻠﺐ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪:‬‬ ‫ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫= )‪.hz[ 7gb b- Ogb p# gb 1s?b # (ł Ů Ń Ů Ł-) ] + (Ŀ Ů ŀ- Ů ł‬‬ ‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪157‬‬

‫ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫ﻋﺮض اﻟﺪرس‬

‫ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺗﻌﻠﻢ »ﻣﺘﺠﻪ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﺍﺭﺳﻢ ﺍﻣﺎﻡ‬ ‫ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ ﺛﻼﺛﻰ ﺍﻻﺑﻌﺎﺩ ﻭﻭﺿﺢ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ) ﺱ‪ ،‬ﺹ‪ ،‬ﻉ(‬ ‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺗﺬﻛﺮ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻭﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻝ‪ ،‬ﻡ‪ ،‬ﻥ ﺗﺸﻴﺮ ﺇﻟﻰ ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎﻡ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻭﺃﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻫﻰ ﻝ‪ + ٢‬ﻡ‪ + ٢‬ﻥ‪١ = ٢‬‬

‫ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺨﺎﺹ ﺑﻪ ﻭﺫﻟﻚ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻـ‬ ‫ﻧﻈﺮﺍ ﻻﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ﻭﺟﻮﺩ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻣﺘﺠﻪ ﻣﻮﺍﺯﻯ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫‪ ١٦٥‬ﻭ ً‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻡ ﻓﺈﻥ »ﻙ« ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮ ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﺗﺄﺧﺬ ﻗﻴﻢ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‪.‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﺃﻯ ﻣﺘﺠﻪ ﻣﻮﺍﺯﻯ ﻟﻪ‬ ‫ﻭﺍﻟﺬﻯ ﻳﻄﻠﻖ ﻋﻠﻴﻪ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ﻫـ‬ ‫ﻭﺃﻥ ﻯ = )ﻝ ﺱ ‪ +‬ﻡ ﺹ ‪ +‬ﻥ ﻉ ( ﺑﻴﻨﻤﺎ ﻫـ = )ﻝ ﺱ ‪+‬‬ ‫ﻡ ﺹ ‪ +‬ﻥ ﻉ ( = )ﺃ ‪ ،‬ﺏ ‪ ،‬ﺟـ( ﺣﻴﺚ ‪ ،C‬ﺏ ‪ ،‬ﺟـ ﻳﺘﻨﺎﺳﺐ ﻣﻊ‬ ‫ﻝ ‪ ،‬ﻡ ‪ ،‬ﻥ ‪ ،‬ﻙ ﻭﺗﺴﻤﻰ ﻧﺴﺐ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ ﻟﺘﻮﺿﻴﺢ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ ﺑﺸﻜﻞ ﺗﻄﺒﻴﻘﻰ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ‬ ‫ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ)‪ (١٦٤‬ﺣﺘﻰ ﻳﺪﺭﻙ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺃﻥ ﺃﻯ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻟﻪ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻻﻧﻬﺎﺋﻰ ﻣﻦ ﻣﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺘﻮﺍﺯﻳﺔ ﻭﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﻮﺍﺯﻯ‬ ‫ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‪ ،‬ﻭﻟﺘﺪﺭﻳﺐ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﺗﺠﺎه‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻋﺮﺽ ﻋﻠﻴﻬﻢ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ)‪.(١٥٧‬‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪121‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ :‬اﻟﺨﻄﻮط املﺴﺘﻘﻴﻤﺔ واملﺴﺘﻮﻳﺎت ﰱ اﻟﻔﺮاغ‬ ‫ ‪U 6[f Ȕ y ;Ȟ x l _ ;Ȟ IyK/f : p #f 2*yf‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‪:‬‬

‫‪ b 'b m0o wV wg7yr Ů Wc +f z[z[& gzZ‬‬ ‫‪¹ 0* y d .z&r -.N lN 2 Oy Đ w[z[& -.N ] :&3 4$‬‬‫ ‪.hz[ 7gb wcN G[j - #y l_gy ] 2 f 1 cb gzZ d^ .kNr .2 f 1‬‬

‫‪ -٢‬ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ﺻـ ‪:١٥٨‬‬

‫ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺻﻮﺭﺓ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻭﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮ ﺃﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﻙ ﻳﻤﻜﻨﻪ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﺍﺧﺮﻯ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪ + (٥ ، ٢- ، ٤) = S‬ﻙ )‪(٢ ، ٢- ، ١‬‬

‫ ‬ ‫ ‪56%‬‬

‫]=‪ŀ‬‬

‫ ‪Ƅ‬‬

‫‪S‬‬

‫= ) ‪. hz[ 7gb wcN G[j PBsf q# f d g (ł Ů ł Ů ŀ‬‬

‫ ‪56%‬‬

‫]=‪Ł‬‬

‫ ‬

‫‪S‬‬

‫= )‪.hz[ 7gb wcN t2* G[j PBsf q# f d g (Ņ Ů ņ Ů ŀ-‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪.qb m # q# f (Ł Ů Ł- Ů ŀ) q# gb r (ń Ů Ł- Ů Ń) G[kb 1 gb hz[ 7gb b- Ogb p# gb 1s?b ."r 2‬‬ ‫ ‪.hz[ 7gb 0o wcN t2* G[j ."r h‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪ÆGôØdG ≈a º«≤à°ùª∏d ájôàeGQÉÑdG ä’OÉ©ªdG‬‬ ‫‪¶o ] + C = S hz[ 7gcb p# gb b- Ogb lf‬‬ ‫‪(¶" Ů Ů C) = ¶o Ů (ŀM Ů ŀ= Ů ŀ5) = C Ů (M Ů = Ů 5) = S lN DysO b r‬‬ ‫‪i V‬‬ ‫)‪(¶" Ů Ů C) ] + (ŀM Ů ŀ= Ů ŀ5) = (M Ů = Ů 5‬‬

‫‪Parametric equations of a straight Line in space‬‬

‫ﻋﻨﺪ ﻙ = ‪١‬‬

‫` ‪(٢ ، ٢- ، ١) + (٥ ، ٢- ، ٤) = S‬‬ ‫‪(٧ ، ٤- ، ٥) = S‬‬

‫` )‪hz[ 7gb H+cb y2 f 1 b Đ- Ogb # (¶" ] + ŀM = M Ů ] + ŀ= = = Ů C] + ŀ5 = 5‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪.qb m # q# f (ń Ů Ł- Ů Ń) q# gb r (ł Ů ŀ- Ů Ł) G[kb 1 gb hz[ 7gb H+cb y2 f 1 b Đ- Ogb ."r 3‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬ ‫‪S‬‬ ‫= )‪ !" & 7 8 &9+! ;< = Ƅ#Ƅ(ń Ů Ł- Ů Ń) ] + (ł Ů ŀ- Ů Ł‬‬ ‫` )‪(ń Ů Ł- Ů Ń) ] + (ł Ů ŀ- Ů Ł) = (M Ů = Ů 5‬‬ ‫` ‪] ń + ł = MƅŮƅ]Ł- ŀ- = =ƅŮƅ]Ń + Ł = 5‬‬

‫‪:ÆGôØdG ≈a º«≤à°ùª∏d ájôàeGQÉÑdG ä’OÉ©ªdG º∏©J‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻧﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺍﻟﺤﺎﻟﻰ ﺳﻴﺘﻢ ﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﻋﺪﺓ‬ ‫ﺻﻮﺭ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻫﺬه ﺍﻟﺼﻮﺭ‬ ‫ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺄﺣﺪ ﺍﻟﺼﻮﺭ ﻻﻳﺠﺎﺩ ﺻﻮﺭ ﺍﺧﺮﻯ ﻛﻤﺎ‬ ‫ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﺻـ ‪ ١٥٨‬ﺣﻴﺚ ﺗﻢ ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ‪ ،‬ﺍﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ‬ ‫ﺃﻥ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺛﻼﺛﺔ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺔ ﺍﻟﺜﻼﺛﻴﺔ‬ ‫ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﻣﺜﺎﻝ ﺻـ ‪ ١٥٨‬ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻧﻪ ﻻﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ ﻳﺘﻢ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‪:‬‬ ‫‪ -٣‬ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ﺻـ ‪: ١٥٨‬‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﻟﻼﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬

‫‪:º«≤à°ùªdG §î∏d á∏KÉªàªdG ádOÉ©ªdG º∏©J‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﻠﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﺍﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ‬ ‫ﺃ ‪ ،‬ﺏ ‪ ،‬ﺟـ ! ﺻﻔﺮ‬

‫‪122‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪.qb m # q# f (ŀ Ůł Ů Ł-) q# gb r Ůd>Ĕ G[k 1 gb hz[ 7gcb y2 f 1 b Đ- Ogb ."r 3‬‬

‫‪Symmetric equation of a straight Line in space‬‬

‫ ‪ !" F?$ & @!- < A BC7 8‬‬‫‪¶" ] + ŀM = M Ů ] + ŀ= = = ŮC ] + ŀ5 = 5‬‬ ‫‪ŀ5 - 5‬‬

‫`‬

‫‪C‬‬

‫=‬

‫= ‪ŀ= -‬‬

‫ ‬

‫=‬

‫‪ŀM - M‬‬

‫"¶‬

‫‪hz[ 7gb b- Ogb c g gb 1s?b #‬‬

‫&‪2W?b tr 7y Đ ¶" Ů Ů C lf d^ z‬‬

‫‪158‬‬

‫‪M-M‬‬ ‫=‪=-‬‬ ‫‪5-5‬‬ ‫‪Ů]= ŀ‬‬ ‫‪,]= ŀ‬‬ ‫`‬ ‫"¶‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪]= ŀ‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ املﺴﺘﻘﻴﻢ ﰱ اﻟﻔﺮاغ‬ ‫‪1-2‬‬

‫‪U 6[f Ȕ m _ ;Ȟ f1 Sk‬‬

‫‪:&3 4$-‬‬

‫=‪=-‬‬ ‫‪Ůŀ5 = 5 1s?b 0* hz[ 7gcb c g gb 1s?b i V đ f‬‬ ‫ ‪¹ 2W> = C b & wV -‬‬ ‫ ‬

‫‪=ŀ‬‬

‫‪ŀM - M‬‬

‫ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﻣﺜﺎل ﺻـ ‪:١٥٩‬‬

‫"¶‬

‫ ‪i DO b lKyr Ŀ = ¶" + = + 5 C {o ts 7gb wV hz[ 7gb b- Of i [ 7b sk7b wV gcO -‬‬ ‫‪ 2z*Ĕ b- Ogb i z& P : G* 0or Ŀ = E + M ¶" + = + 5 C is_ 6 Q 2Wb wV hz[ 7gb b- Of‬‬ ‫ ‪. z Ē 5r1.b wV `b/ (C z6 g^ Q 2Wb wV ts 7f b- Of d g‬‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﻛﻴﻒ‬ ‫ﻳﻤﻜﻨﻬﻢ ﺍﻟﺒﺪﺀ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻭﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮ )ﻙ( ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﻜﻦ ﻣﻦ‬ ‫ﺧﻼﻟﻪ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﻛﻴﻔﻴﺔ‬ ‫ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺘﻠﻚ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‪.‬‬

‫ ‪ c g gb 1s?b ^ l_gy qj V i Ůe Ůa m # Đ e g sz" Pf 6 k ¶" Ů Ů C m # Đ 7j i z& -‬‬ ‫‪ 1s?b wcN hz[ 7gb b- Ogb‬‬ ‫‪ŀ5 - 5‬‬

‫‪a‬‬

‫=‬

‫= ‪ŀ= -‬‬

‫‪e‬‬

‫‪ŀM - M‬‬

‫=‬

‫‪i‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪.(Ń Ů ŀ Ů ł-) Ů (ń Ů ŀ- Ů Ł) lz G[kb 1 gb hz[ 7gb b- Ogb Wc +gb 1s?b ."r 4‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪(ŀ- Ů Ł Ů ń-) = (ń Ů ŀ- Ů Ł) - (Ń Ů ŀ Ů ł-) = ¶o hz[ 7gb m # q# f‬‬ ‫` = <; !‪ !" & 7 8 &9+‬‬ ‫‪(ŀ- Ů Ł Ů ń-) ] + (ń Ů ŀ- Ů Ł) = S ƅƅ‬‬ ‫‪] - ń = M Ů ]Ł + ŀ- = = Ů ]ń - Ł = 5ƅƅ‬‬ ‫ ‪& @!- < A BC7 8‬‬

‫ = <; ! ‪&$D‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ń-M‬‬ ‫=‪ŀ+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ-‬‬

‫‪Ł-5‬‬ ‫‪ń-‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺍﻥ ﻧﺴﺐ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻫﻰ ) ‪ (٣- (٢ ، ٣‬ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﻙ = ‪ ١‬ﺃﻭ )‪ (٩- ، ٦ ، ٢‬ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻙ = ‪ ٣‬ﻭﻫﻜﺬﺍ‪.‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪(Ń Ů ł Ů ŀ-) Ů (Ŀ Ů Ł Ů ł) lz G[kb 1 gb hz[ 7gb b- Ogb Wc +gb 1s?b ."r 4‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪M-ń‬‬ ‫=‪ŀ-‬‬ ‫‪ŀ + 5ł‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪hz[ 7gb b- Ogb Wc +gb 1s?b ."r 5‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫ ‪E@F‬‬ ‫`‬

‫‪M-ń‬‬ ‫=‪ŀ-‬‬ ‫‪ŀ + 5ł‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ + 5ł‬‬ ‫‪ pkfr‬‬ ‫=]‬ ‫‪Ł‬‬ ‫=‪ŀ-‬‬ ‫‪ pkfr‬‬ ‫=]‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪M-ń‬‬ ‫‪ pkfr‬‬ ‫=]‬ ‫‪ł‬‬

‫‪1-2‬‬

‫ﺣﻠﻮل‪:‬‬

‫=]‬ ‫‪] Łł + ŀ‬‬‫‪ł = 5‬‬ ‫= = ‪]Ł + ŀ‬‬

‫ﻫـ = )‪(٤ ، ١ ، ٤-) = (٠ ، ٢ ، ٣) - (٤ ، ٣ ، ١-‬‬ ‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪:‬‬

‫ ‪& @!- < A BC7 8‬‬ ‫ ‪ !" F?$‬‬

‫‪]ł - ń = M‬‬

‫‪ + (٤ ،٣ ،١-) = S‬ﻙ )‪(٤ ،١ ، ٤-‬‬

‫ ‪& 7 8 &G ! & @!- < A BC7 8 -‬‬ ‫)‪(ł- Ů Ł Ů Łł ) ] + (ń Ů ŀ Ů ŀł -) = (M Ů = Ů 5‬‬ ‫ ‬ ‫‪ p# gb 1s?b (ł- Ů Ł Ů Łł ) ] + (ń Ů ŀ Ů ŀł -) = S‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺒﺎراﻣﺘﺮﻳﺔ‪:‬‬

‫ﺱ = ‪٤- ١-‬ﻙ ‪،‬‬ ‫ﺹ = ‪ + ٣‬ﻙ ‪ ،‬ﻉ = ‪٤ + ٤‬ﻙ‬

‫‪(ň- Ů Ņ Ů Ł) r (ł- Ů Ł Ů Łł ) wo hz[ 7gb m # 7j : H C‬‬ ‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪159‬‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ‪:‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﻼﺣﻈﺎﺕ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﺻـ ‪ ١٥٩‬ﻭﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﻠﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﺴﺎﻭﺍﺓ‬ ‫)‪ = C‬ﻝ ﺱ‬

‫= ﺟﺘﺎ ‪i‬ﺱ‬

‫ﻫﻤﺎ ﺱ = ﺱ‪، ١‬‬

‫ﺱ‪١+‬‬ ‫‪٤-‬‬

‫‪+‬‬

‫ﺹ‪٣-‬‬ ‫‪١‬‬

‫=‬

‫ﻉ‪٤-‬‬ ‫‪٤‬‬

‫ﺱ ( ﻟﻠﺼﻔﺮ ﻓﻴﺘﻢ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ‬

‫ﺹ ‪ -‬ﺹ‪١‬‬

‫ﺏ‬

‫=‬

‫ﻉ ‪ -‬ﻉ‪١‬‬

‫ﻭﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫ﺟـ‬

‫ﺍﻟﻨﺴﺐ ﺃ ‪ ،‬ﺏ ‪ ،‬ﺟـ ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﻠﺨﻂ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻰ‬

‫ﺱ ‪ -‬ﺱ‪١‬‬

‫ﻝ‬

‫=‬

‫ﺹ ‪ -‬ﺹ‪١‬‬

‫ﻡ‬

‫=‬

‫ﻉ ‪ -‬ﻉ‪١‬‬

‫ﻥ‬

‫ﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﺍﺳﺘﻴﻌﺎﺏ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻟﻠﺼﻮﺭ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻢ‬ ‫ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻـ ‪ ١٦٧‬ﻭﺍﻟﺬﻯ‬ ‫ﻳﻌﺮﺽ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ ﻭﻛﺬﻟﻚ‬ ‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺘﻴﻦ‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‪:‬‬ ‫‪ -٤‬ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ﺻـ ‪: ١٦٧‬‬

‫ﺳﺎﻋﺪ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻻﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪ ،‬ﻭﻳﻤﻜﻨﻚ ﺍﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﺍﺧﺮﻯ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻟﺘﺪﺭﻳﺐ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪123‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ :‬اﻟﺨﻄﻮط املﺴﺘﻘﻴﻤﺔ واملﺴﺘﻮﻳﺎت ﰱ اﻟﻔﺮاغ‬ ‫ ‪U 6[f Ȕ y ;Ȟ x l _ ;Ȟ IyK/f : p #f 2*yf‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‪:‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ń + =Ł‬‬ ‫‪Ń+5‬‬ ‫=‬ ‫‪hz[ 7gb b- Ogb Wc +gb 1s?b ."r 5‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ł‬‬

‫‪ -٥‬ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎول إن ﺗﺤﻞ ﺻـ ‪: ١٦٠‬‬

‫=‬

‫‪M-Ń‬‬ ‫‪Ń‬‬

‫ ‪ 0o wcN P[ G[j ."r h‬‬

‫ ‪.hz[ 7gb‬‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻻﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ‬ ‫ﻛﻴﻒ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻴﻪ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻰ‪:‬‬

‫‪space‬‬

‫ ‪Ů (ŀ¶" Ů ŀ Ů ŀC ) = ŀo gpzo # wp# f Q 2Wb wV lzgz[ 7f Ła Ů ŀa i ^ /‬‬ ‫‪ ZđOb wGO Ła Ůŀa lzgz[ 7gb lz t2S?b yr 4b 5 zZ i V (Ł" Ů Ł Ů ŁC) = Ło‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﺘﻢ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ﺑﻴﻦ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﻫﻰ‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺼﻐﺮﻯ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻋﻠﻰ ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﻤﺎ ﺗﻢ ﺩﺭﺍﺳﺘﻪ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻣﻦ ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎﻡ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﺘﺠﻪ ﻣﻌﻴﻦ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺇﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﻝ‪ ، ١‬ﻝ‪ ٢‬ﻣﻦ ﺧﻼﻝ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﺟﺘﺎ ﻫـ =‬

‫| ﻫـ ‪: ١‬‬

‫ﻫـ ‪|٢‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪ÆGôØdG ≈a ø«ª«≤à°ùe ø«H ájhGõdG‬‬

‫ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺃﻧﻪ ﺑﻤﻌﺮﻓﺔ ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎﻡ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬ ‫)ﻝ‪ ،١‬ﻡ‪ ، ١‬ﻝ‪) (١‬ﻝ‪ ،٢‬ﻡ‪ ، ٢‬ﻥ‪ (٢‬ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺣﺘﺎ ﻫـ = |ﻝ‪ ١‬ﻝ‪ + ٢‬ﻡ‪١‬ﻡ‪ + ٢‬ﻥ‪ ١‬ﻥ‪|٢‬‬ ‫ﻭﻟﺘﺪﺭﻳﺐ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻌﻬﻢ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻـ ‪١٦٨‬ﻣﻊ ﻟﻔﺖ ﺍﻻﻧﺘﺒﺎه ﺃﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻄﻴﺎﺕ ﻫﻰ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻭﻛﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻟﻪ ﺻﻮﺭﺓ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‪.‬‬

‫‪The angle netween two straight Lines in‬‬

‫‪i‬‬

‫" ‪= i‬‬

‫| ‪| Ło : ŀo‬‬ ‫|| ‪|| Ło || || ŀo‬‬

‫‪:i V lzgz[ 7gcb m # Đ e g sz" wo (Łi Ů Łe Ů Ła) Ů(ŀi Ů ŀe Ů ŀa) i ^ / r‬‬ ‫" ‪|Łi ŀi + Łe ŀe + Ła ŀa| = i‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪lzgz[ 7gb lz yr 4b 5 zZ ."r 6‬‬

‫‪ŀS‬‬

‫=‪Ń-‬‬ ‫‪ń+M‬‬ ‫=‬ ‫= )‪Ů ŀ = 5 Ů(Ł Ů Ŀ Ů Ł-) ŀ] + (ł Ůŀ- Ů Ł‬‬ ‫‪ł‬‬‫‪ł‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪I J !" & 7 8- -‬‬

‫‪(Ł Ů Ŀ Ů Ł-) = ŀ o‬‬

‫‪# !" $ & @!- < A BC7 8 -‬‬

‫‪(ł- Ů ł Ů Ŀ ) = Ł o‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪lzgz[ 7gb lz yr 4b 5 zZ ."r 6‬‬

‫‪M =-Ł ŀ+5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪: ŁaƅŮƄ]Ń + ł = M Ů ] - ŀ = = Ů]ń - Ł = 5 : ŀa‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ń‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪wo gpo # e g sz" ly0b lzgz[ 7f lz yr 4b 5 zZ ."r 7‬‬ ‫‪ŀŁ‬‬‫‪ń‬‬ ‫‪Ů‬‬ ‫)‬ ‫‪Ł ŀł‬‬ ‫‪Ł ŀł‬‬

‫‪ł‬‬‫‪ŀ‬‬ ‫(‪) Ů‬‬ ‫‪Ł ń‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪Ů‬‬

‫‪160‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪:ÆGôØdG ≈a ¿ÉjRGƒàªdG ¿Éª«≤à°ùªdG º∏©J‬‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺗﻮﺍﺯﻯ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‬ ‫ﻭﺫﻛﺮﻫﻢ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺃﻯ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﻣﺘﺠﻪ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺍﻟﺨﺎﺹ‬ ‫ﺑﻪ ﻭﺍﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻧﻬﻤﺎ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﺣﺘﻰ ﻳﺘﻔﻬﻢ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺷﺮﻁ‬ ‫ﺗﻮﺍﺯﻯ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻫﻮ ﺗﻮﺍﺯﻯ ﻣﺘﺠﻬﻰ ﺍﺗﺠﺎﻫﻬﻤﺎ ﻭﺍﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﺸﺮﻁ ﺃﻥ ﻳﺘﺤﻘﻖ ﺑﻌﺪﺓ ﺻﻮﺭ‪ ،‬ﻭﺍﻥ ﻫﺬه ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺍﻟﻴﻬﺎ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻠﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ ﺍﻟﻔﺖ ﺍﻧﺘﺒﺎه ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻰ ﺃﻥ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﺸﺮﻭﻁ ﻳﻜﻔﻰ ﺃﻯ ﺃﻥ‪:‬‬

‫‪124‬‬

‫ﺏ‪١‬‬

‫ﺟـ‪١‬‬

‫=ﺏ =‬ ‫ﺟـ‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪ł‬‬‫)‪) = (Łi ŮŁe ŮŁa‬‬ ‫‪Ł ń‬‬

‫(‬

‫‪Ń‬‬ ‫‪Ů‬‬ ‫‪Ł ń‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪Ů‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪) Ů( ŀł Ů Ł‬‬‫‪ł Ů ł ) wo gpo # e g sz" ly0cb lzgz[ 7gb lz yr 4b 5 zZ ."r 7‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪Ů‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫(‬

‫‪(Ŀ Ů‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪ÆGôØdG ≈a ¿ÉjRGƒàªdG ¿Éª«≤à°ùªdG‬‬ ‫ ‪ / Ła//ŀa i V Ła Ůŀa lzgz[ 7gb m # p# f go (Ł¶" Ů Ł Ů ŁC) = Ło Ů(ŀ¶" Ů ŀ Ů ŀC) = ŀo i ^ /‬‬ ‫‪ Wc +f 1s> .O q[[' l_gy E2;b 0or Ło // ŀo i ^ / H[Vr‬‬

‫‪Parallel Lines in space‬‬

‫ ‪Ło ] = ŀo -‬‬

‫ ‪-‬‬

‫‪ŀ¶" = ŀ = ŀC‬‬ ‫‪Ł¶" Ł ŁC‬‬

‫ ‪r = Ło * ŀo -‬‬

‫‪ǶƫǍŨǣǩ‬‬

‫ ‪.i [ Gkf lzgz[ 7gb i V 2*Ē \[' go.& wcN G[j j ^r lzy3 s f i gz[ 7gb i ^ / -‬‬ ‫ ‪.i Wb + f r i OF [ f f Ła Ůŀa i V Ło t3 sy Đ ŀo i ^ / -‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪( M - = Ł+ 5 ) ŀ]+ = = ŀS‬‬ ‫‪lzgz[ 7gb i 8‬‬ ‫‪( = Ł - 5 Ł-) Ł] + ( M + = + 5 ) = ŁS‬‬ ‫‪. gpOF [ G[j ."r r Ů G[j wV i OF [ f‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪ƅŮƄ(ŀ- Ů Ł Ů ŀ) = ŀo‬‬ ‫‪a‬‬

‫ﺳﺒﻖ ﻭﺗﻢ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ‪،‬‬

‫ﻫـ‪ = ١‬ﻙ‬

‫‪ŀŁ‬‬‫‪ń‬‬ ‫‪Ů‬‬ ‫)‪) = (ŀi Ůŀe Ůŀa‬‬ ‫‪Ł ŀł Ł ŀł‬‬ ‫` " ‪|Łiŀi +Łeŀe + Łaŀa|= i‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪ŀŁ‬‬‫‪ł‬‬‫‪ń‬‬ ‫|‬ ‫*‬ ‫‪+‬‬ ‫*‬ ‫‪+‬‬ ‫*‬ ‫=|‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł ń Ł ŀł‬‬ ‫‪Ł ń Ł ŀł‬‬ ‫‪ŃŇ‬‬‫‪ŀń‬‬‫‪ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫= |‪Ņń = |ƅƅ Ł ƅƅ+ ƅƅ ŀłĿ ƅƅ+ ƅƅ ŀłĿ ƅƅ‬‬ ‫‪/ //‬‬ ‫‪ŀ ŀ‬‬‫= " )‬ ‫` ‪i‬‬ ‫‪cŇň ņ Ņ =( Ņń‬‬

‫‪Ů‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻻﺳﺘﻔﺎﺩﺓ ﻣﻨﻬﺎ ﻓﻰ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺻﻮﺭﺓ ﺍﺧﺮﻯ‬ ‫ﺗﺴﺎﻋﺪ ﻓﻰ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ‬ ‫ﺑﻜﻞ ﻣﻦ ﻣﺜﺎﻝ ‪ ٧ ، ٦‬ﻭﺍﺳﺘﻤﺮ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﺣﺘﻲ ﻳﻤﻜﻨﻬﻢ‬ ‫ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻻﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬

‫ﻫـ‪٢‬‬

‫‪1-2‬‬

‫‪U 6[f Ȕ m _ ;Ȟ f1 Sk‬‬

‫‪ -٦‬ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ﺻـ )‪(١٦١ ، ١٦٠‬‬

‫ﺃﻭ‬

‫‪Ń‬‬ ‫‪Ů‬‬ ‫‪Ł ń‬‬

‫‪Ů‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫(‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‪:‬‬

‫‪٢C‬‬

‫‪2I‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫|)‪|(ł- Ů ł Ů Ŀ) : (Ł Ů Ŀ Ů Ł-‬‬ ‫` " ‪= | Ł : ŀ | = i‬‬ ‫)‪Ł(ł-)Ł+Łł+ŁĿ ŁŁ+ŁĿ+Ł(Ł-‬‬ ‫|| ‪|| Ło || ŀo‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫=‪ŀ‬‬ ‫` ‪cŅĿ = i‬‬ ‫‪Ł ŀŇ Ň =ƆƄƄ‬‬

‫|| ﻫـ ‪ || : ||١‬ﻫـ ‪||٢‬‬

‫‪١C‬‬

‫‪KI‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪ŀC‬‬ ‫‪Ł- = C‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪Ło‬‬

‫= ‪ŀ ƅŮ Ƅƅ ŀ -‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫ ‪Ł‬‬

‫= )‪(Ŀ ŮŁ- Ů Ł-‬‬ ‫= ‪Ł‬‬ ‫‪ŀ- = Ł-‬‬

‫`‬

‫‪ŀ ! ŀC‬‬ ‫ ‪Ł‬‬ ‫‪ŁC‬‬

‫` ‪' j G[j wV i OF [ f lzgz[ 7gb i Ė lzy3 s f 2zR i gz[ 7gb‬‬ ‫ ‪ŁS = ŀS iđO#‬‬

‫‪Ł] ¶b gzZr Ůŀ] ¶b gzZ lN‬‬

‫` = ‪ đf Ogb r 7g ( = Ł- 5 Ł-) Ł]+ M + = + 5 = ( M - = Ł + 5 ) ŀ] +‬‬ ‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪161‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ املﺴﺘﻘﻴﻢ ﰱ اﻟﻔﺮاغ‬ ‫ ‪U 6[f Ȕ y ;Ȟ x l _ ;Ȟ IyK/f : p #f 2*yf‬‬

‫‪ŀ = Ł]Ł + ŀ]ƅƅ pkfr‬‬ ‫`‬ ‫]‪Ł]Ł - ŀ = ŀ‬‬ ‫‪Ŀ= Ł] Ɔ + ŀ]ƅƅ pkfr‬‬ ‫‪Ł]Ł- = ŀ]Ł‬‬ ‫‪.P0‬‬ ‫‪ŀ- = ŀ]ƅƅ pkfr‬‬ ‫]‪ŀ = ŀ‬‬‫‪ŀ = Ł] ƅƅ .20 # .P0 - S 8! G‬‬ ‫ ‪.K0 & 7 8 T 4) *UV‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‪:‬‬

‫‪.20‬‬ ‫‪.K0‬‬

‫‪ -٩‬ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ﺻـ )‪: (١٦١‬‬

‫` ‪so gpOF [ G[j PBsf q# f is_yr Ů G[j wV i OF [ f i gz[ 7gb‬‬ ‫‪(ŀ Ů ŀ- Ů ŀ-)ƅ ƅ M + = - 5 - = ( M - = Ł+ 5 ) ŀ - = = S‬‬ ‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪(ń Ů ń- Ů Ŀ) ŀ] + (ń Ů ł- Ů ł ) = ŀS lzgz[ 7gb i 8‬‬ ‫‪(ŀ- Ů ŀ- Ů ń) Ł] + (ŀ Ů ł Ů Ł-) = ŁS‬‬ ‫‪. gpOF [ G[j z .& ."r r Ů G[j wV i OF [ fr i .f O f‬‬

‫‪Perpendicular Lines in space‬‬

‫ ‪i V ŁaŮŀa lzgz[ 7gb m # p# f go (Ł¶" ŮŁ ŮŁC) = Ło Ů (ŀ¶" Ůŀ Ů ŀC) = ŀo i ^ /‬‬ ‫‪Ŀ = Ło : ŀo i ^ / H[Vr / Ła = ŀa‬‬ ‫= )‪i .f O f (ŀŀ Ů ņ Ů Ł-)Ł] + (ŀ Ů ŀ Ů ŀ‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫`‬

‫‪arĔ hz[ 7gb m # q# f # (ŀ Ů ŀ- Ů Ł ) = ŀo‬‬ ‫‪wj b hz[ 7gb m # q# f # (ŀŀ Ů ņ Ů Ł-) = Ło‬‬ ‫‪(ŀŀ Ů ņ Ů Ł-) : (ŀ Ů ŀ- Ů Ł) = Ł ¶o : ŀ ¶o‬‬ ‫= ‪ŀŀ * ŀ + ņ * (ŀ-) + (Ł-) * Ł‬‬ ‫= ‪ŀŀ + ņ - Ń-‬‬ ‫= >‪2W‬‬ ‫` ‪i .f O f i gz[ 7gb‬‬

‫‪ŁS = ŀS dO# Ł] Ůŀ] ¶b hzZ t ."s Đ qj j i Wb + f lzgz[ 7gb i Ė‬‬ ‫ ‪ đf Ogb r 7g (ŀŀ Ů ņ Ů Ł-) Ł] + (ŀ Ů ŀ Ů ŀ) = (ŀ Ů ŀ- Ů Ł) ŀ] + (Ń Ů Ł Ů ŀ) t‬‬ ‫‪.20‬‬ ‫=‪Ŀ‬‬ ‫‪ pkfr‬‬ ‫‪Ł] +‬‬ ‫]‪ŀ‬‬ ‫` ‪Ł]Ł - ŀ = ŀ]Ł + ŀ‬‬ ‫‪.K0‬‬ ‫]‪ŀ- = Ł]ņ - ŀ‬‬‫‪ pkfr‬‬ ‫‪Ł]ņ + ŀ = ŀ] - Ł‬‬ ‫‪.P0‬‬ ‫]‪ł- = Ł]ŀŀ - ŀ‬‬ ‫‪ pkfr‬‬ ‫‪Ł]ŀŀ + ŀ = ŀ] + Ń‬‬

‫‪162‬‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﻣﺜﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺛﻢ ﺍﻳﺠﺎﺩ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻟﻬﻤﺎ ﻭﺫﻟﻚ ﻻﺛﺒﺎﺕ ﺍﻥ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻣﺴﺎﻭ ًﻳﺎ‬ ‫ﻟﻠﺼﻔﺮ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ‪.‬‬

‫‪1-2‬‬

‫‪U 6[f Ȕ m _ ;Ȟ f1 Sk‬‬

‫‪ b b b- Ogb \[' Đ hz[b m0or ŀŅ = Ł] Ů ŀ‬‬‫ '‪Ņ = ŀ] wcN d?'j Ł Ů ŀ lz b- Ogb d‬‬ ‫` ‪i Wb + f i gz[ 7gb‬‬ ‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪lzgz[ 7gb i 9‬‬

‫‪ŀS‬‬

‫= )‪Ů(ł Ů ŀ Ů Ń) ŀ] + (Ł Ů ŀ- Ů ł‬‬

‫= )‪.i Wb + f (Ł Ů ŀ- Ů ŀ) Ł] + (ŀ- Ů Ń Ů Ŀ‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪..f O b wcN (ŀ- Ů Ł Ů Ł) ] + (Ł Ů ŀ- Ů ŀ) = ŀS hz[ 7gb PG[yr (ł Ů ŀ- Ů Ł) G[kb 1 gb hz[ 7gb b- Of ."r 10‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫ ‪LM &M # 8I !- !" E@F‬‬ ‫‪(escOgb hz[ 7gb ) ŀa hz[ 7gb ǽ ¶" a‬‬ ‫` "¶ ‪ 1s?b wcN p ^ l_gy‬‬ ‫"¶ )‪(] - Ł Ů ]Ł + ŀ- Ů ]Ł + ŀ‬‬ ‫‪C - ¶" = ¶" C = Ł ¶o so ( scGgb hz[ 7gb ) Ła m # q# f‬‬ ‫` ‪(ŀ- ]- Ů ]Ł Ů ŀ - ]Ł) = Ło‬‬ ‫‪(ŀ- Ů Ł Ů Ł) = ŀo a‬‬ ‫` ‪Ŀ = Ł ¶o : ŀ ¶o‬‬ ‫‪i .f O f i gz[ 7gb a‬‬ ‫` )‪Ŀ = (ŀ - ]- Ů ]Ł Ů ŀ - ]Ł) : (ŀ- Ů Ł Ů Ł‬‬ ‫` ‪Ŀ =ŀ + ] + ]Ń + Ł - ]Ń‬‬ ‫` ‪ŀ = ]ƅ pkfrƅŀ = ]ň‬‬ ‫‪ň‬‬ ‫‪Ł ņ‬‬‫‪(ŀĿ- Ů Ł Ů ņ-) = ( ŀĿ‬‬‫` ‪ň Ů ň Ů ň ) = Ło‬‬ ‫` ‪(ŀĿ- Ů Ł Ů ņ-) Ł] + (ł Ů ŀ- Ů Ł) = S wo Ła b- Of‬‬

‫‪2I‬‬

‫‪(ł Ůŀ- ŮŁ) C‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪LM‬‬

‫‪KI‬‬

‫‪:ÆGôØdG ≈a º«≤à°ùeh á£≤f ø«H áaÉ°ùªdG‬‬ ‫ ﻳﻮﺿﺢ ﻣﺜﺎﻝ ‪ ١١‬ﺻـ )‪ (١٦٣‬ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻭﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﺍﻟﻔﺖ ﺍﻧﺘﺒﺎﻫﻬﻢ ﺇﻟﻰ ﺍﻧﻪ ﺳﻴﺘﻢ ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ‬ ‫ﺑﻌﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﻟﺘﻰ ﺳﺒﻖ ﻭﺗﻢ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ ﻣﺜﻞ ﻣﺴﻘﻂ ﻣﺘﺠﻪ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﻧﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺙ ﻭﻣﻌﻴﺎﺭ ﻣﺘﺠﻪ ﻭﻏﻴﺮ ﺫﻟﻚ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺎﻫﺞ ﺍﻟﻼﺯﻣﺔ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ‪.‬‬

‫= )‪.f O b wcN (ł Ů ŀ Ů Ł) ] + (Ń Ů ŀ Ů ł‬‬

‫) ‪(U 6[f Ȕ m _ ;kx K_p ɪ Z ;Ȟ‬‬

‫‪(ń Ů ł Ů Ŀ) Ů(ŀ- Ů Ł Ů Ł) lz G[kb 1 gb hz[ 7gcb (ņ Ů ŀ- Ů ł) G[kb lf t-sgOb .O b ."r 11‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫ ‪(ņ Ů ŀ- Ů ł) ¶" Ů(ń Ů ł Ů Ŀ) Ů(ŀ- Ů Ł Ů Ł) C A2W‬‬ ‫ "¶ = "¶ ‪(Ł Ů Ń- Ů ł) = (ń Ů ł Ů Ŀ) - (ņ Ů ŀ- Ů ł) = -‬‬ ‫‪= C = ¶o hz[ 7gb m # q# f‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻥ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺨﺎﻟﻔﺎﻥ ﺍﻧﻪ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻟـ ﻙ‪ ، ١‬ﻙ‪ ٢‬ﺗﺠﻌﻞ ‪ ٢S = S‬ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺫﻟﻚ ﻣﻦ‬ ‫ﺧﻼﻝ ﻣﺴﺎﻭﺍﺓ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﻭﺍﻟﺘﻰ ﻳﻨﺘﺞ ﻋﻨﻬﺎ ﺛﻼﺛﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺗﻮﺿﺢ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻙ‪ ، ١‬ﻙ‪ ٢‬ﻭﻳﺤﻞ ﻫﺬه ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﻳﺘﻀﺢ ﺻﻌﻮﺑﺔ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻢ ﻙ‪ ، ١‬ﻙ‪ ٢‬ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﺸﺮﻁ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻫﺬﺍ ﻳﺜﺒﺖ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﺨﺎﻟﻔﺎﻥ‪.‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪hz[ 7gb PG[yr d>Ĕ G[k 1 gb hz[ 7gb b- Of ."r 10‬‬

‫‪S‬‬

‫ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻭﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ‬ ‫ﺗﺤﻞ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ‬ ‫ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﺧﺮﻱ ﺗﻮﻇﻒ ﻓﻴﻬﺎ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻣﺘﺠﻬﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬ ‫ﻭﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻟﻬﻤﺎ‪ .‬ﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺍﻧﻪ ﻟﻜﻰ ﻳﻜﻮﻥ ﻝ‪= ١‬‬ ‫ﻝ‪ ٢‬ﻓﻼﺑﺪ ﻣﻦ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻫـ‪ : ١‬ﻫـ‪ = ٢‬ﺻﻔﺮ‪.‬‬ ‫ ﻭﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﺍﻟﻤﻔﻬﻮﻡ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻌﻬﻢ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻـ )‪(١٦٢‬‬ ‫ﻭﺃﻳﻀﺎ ﺍﻧﻬﻤﺎ‬ ‫ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻄﻠﺐ ﻓﻴﻪ ﺍﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ‬ ‫ً‬ ‫ﻣﺘﺨﺎﻟﻄﻴﻦ‪.‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪ŁS‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻧﻪ ﻻﻳﺠﺎﺩ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻓﻼﺑﺪ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﻙ‪ ، ١‬ﻙ‪ ٢‬ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻞ ‪ ٢S = S‬ﻭﺫﻟﻚ‬ ‫ﺑﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‪ ،‬ﻭﻻﺛﺒﺎﺕ ﺍﻧﻬﻤﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ‬ ‫ﻓﻼﺑﺪ ﻣﻦ ﺍﻻﺳﺘﻔﺎﺩﺓ ﺑﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﺩﺭﺍﺳﺘﻪ ﻋﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‪ ،‬ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺍﻟﻰ ﺍﻻﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪Ů (ŀ Ů ŀ- Ů Ł) ŀ] + (Ń ŮŁ Ů ŀ) = ŀS lzgz[ 7gb i 9‬‬ ‫ ‪.i Wb + f lzgz[ 7gb i lz h‬‬

‫‪ŁS‬‬

‫‪1-2‬‬

‫‪.O ,2− ,P0 LM‬‬

‫ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻋﻤﻞ ﺗﺼﻮﺭ‬

‫‪C‬‬ ‫‪.2− ,K ,K0‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪1‬‬

‫‪.Q ,P ,R0‬‬

‫` ‪(Ņ- Ů ŀ- Ů Ł) = o‬‬ ‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪163‬‬

‫ﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺤﻞ ﻻﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺠﻬﻮﻟﺔ ﻃﻮﻝ ) ﺟـ ‪ ( E‬ﻭﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ )ﺟـ( ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺏ ‪. C‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪125‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ :‬اﻟﺨﻄﻮط املﺴﺘﻘﻴﻤﺔ واملﺴﺘﻮﻳﺎت ﰱ اﻟﻔﺮاغ‬ ‫ ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﻌﻮﺩﺓ ﺇﻟﻰ ﻣﺎ ﺗﻢ ﺩﺭﺍﺳﺘﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻻﻳﺠﺎﺩ‬ ‫)ﻣﺴﻘﻂ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ(‪.‬‬

‫ ‪U 6[f Ȕ y ;Ȟ x l _ ;Ȟ IyK/f : p #f 2*yf‬‬

‫ ‪| C : ¶" | = hz[ 7gb wcN ¶" H[7f 5 z[f wo E‬‬ ‫|| ‪|| C‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫= |)‪= |(Ņ- Ůŀ- ŮŁ ) : (Ł ŮŃ- Ůł‬‬ ‫‪Ł(Ņ-)+Ł(ŀ-)+ŁŁ‬‬ ‫‪Ńŀ‬‬

‫ ‪E‬‬

‫`‬

‫‪|| ¶" ||ƅl_b‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‪:‬‬

‫‪ŁŁ + Ł(Ń-) + Łł‬‬

‫=‬

‫= ‪Łň‬‬

‫) "¶(‪Ł(E ) + Ł‬‬

‫` ‪= E ¶" t-sgOb .O b‬‬

‫=‬

‫‪Ń‬‬ ‫‪= Ńŀ‬‬ ‫‪- Łň‬‬

‫‪ .&r ńŬł - ŀŀŇń‬‬ ‫‪Ńŀ‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ -١١‬ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ﺻـ ‪: ١٦٤‬‬

‫‪(Ł- Ů ł Ů Ł) ] + (Ł Ůŀ- Ůŀ) = S hz[ 7gb wcN (Ń- Ů ŀ Ů Ł) G[kb lf es62gb -sgOb asF ."r 11‬‬

‫ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ﺑﺎﻟﺮﺳﻢ ﻭﺗﺤﺪﻳﺪ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻄﻴﺎﺕ ﻋﻠﻴﻪ ﺛﻢ ﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﻻﺟﺎﺑﺔ ﻣﻊ ﺍﻻﺳﺘﻔﺎﺩﺓ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻻﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬

‫ﺗﻤــــﺎرﻳــﻦ )‪(١ - ٢‬‬

‫‪:πªcCG‬‬ ‫‪wo qb m # q# f (Ł Ů Ń Ů ŀ-) q# gb r (ł Ů ŀ- Ů Ł) G[kb 1 gb hz[ 7gcb p# gb b- Ogb 1‬‬ ‫‪tr 7y MŃ- = =- = 5Ņ Ů M- = =ł = 5Ł lzgz[ 7gb lz yr 4b 5 zZ 2‬‬

‫‪....................................‬‬

‫‪tr 7y (Ń Ůŀ- ł - Ůŀ- ł ) (Ł Ůŀ Ůŀ) wo gpo # 7j ly0cb lzgz[ 7gb lz yr 4b 5 zZ 3‬‬

‫‪...............................‬‬

‫‪i V M 1s'fr d>Ĕ G[jr (ŀ Ů ŀ- Ůł) G[kb 1 gb hz[ 7gb pOk?y w b yr 4b wo Mi j ^ / 4‬‬ ‫" ‪.................................. = i‬‬ ‫‪M‬‬

‫اﺟﺎﺑﺔ ﺑﻌﺾ ﺗﻤﺎرﻳﻦ اﻟﺪرس اﻷول ﻣﻦ ﺻـ ‪ ١٦٤‬اﻟﻰ ‪:١٦٥‬‬ ‫‪S‬‬

‫‪1‬‬

‫= )‪ + (٣ ،١- ، ٢‬ﻙ )‪(٢ ، ٤ ، ١-‬‬ ‫‪c٦٠ 3‬‬

‫‪c٩٠ 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪١‬‬‫‪١١‬‬

‫‪6‬‬

‫أ ﺟﺘﺎ ‪i‬ﺱ =‬

‫‪(١ ، ٢- ، ٢) 5‬‬ ‫‪١‬‬‫‪١٤‬‬ ‫‪٣‬‬

‫ﺟﺘﺎ ‪i‬ﻉ =‬ ‫ب‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ ،‬ﺟﺘﺎ ‪i‬ﺹ =‬

‫‪٢‬‬ ‫‪١٤‬‬

‫‪qo # 7j t0b hz[ 7gcb m # Đ e g sz" ."r 6‬‬ ‫أ ‪ł Ů Ł Ů ŀ-‬‬

‫ب ‪ŀ Ůŀ Ůŀ‬‬

‫‪.hz[ 7gb b- Ogb Wc +gb 1s?b ."r 7‬‬ ‫أ ‪.qb m # q# f (ŀ- Ů ŀ Ů Ł) = ¶o q# gb r (ń Ů Ł- Ů Ń) G[kb 1 gb‬‬ ‫ب ‪(Ł Ů Ł- Ů Ń) = C z& C q# gb t3 syr (ń Ů ŀ- Ů ł) G[kb 1 gb‬‬ ‫ﺟ ‪(ŀ Ů Ń Ů Ŀ) Ů(Ŀ Ů Ł- Ů ł) lz G[kb 1 gb‬‬ ‫د ‪. yr 7 f y r3 z .&Ė 1r 'gb "sgb o # Đ Pf Pk?yr (ń Ů Ł Ů ł) G[kb 1 gb‬‬ ‫‪.(ŀ Ů Ń Ů Ł) Ů(Ń Ů Ł- Ů ŀ) lz G[kb 1 gb hz[ 7gcb y2 f 1 b Đ- Ogb ."r 8‬‬

‫‪،‬‬ ‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪164‬‬

‫‪١٤‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪ 7‬أ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‬ ‫ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ‪:‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪S‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫= )‪ + (٥ ،٢- ، ٤‬ﻙ )‪(١- ،١ ، ٢‬‬

‫ﺱ‪ ٤-‬ﺹ‪٢+‬‬ ‫‪١ + ٢‬‬

‫ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ‪:‬‬ ‫ﺱ = ‪٣ + ٣‬ﻙ‬

‫‪= ٣‬‬

‫ﺹ = ‪ + ٢-‬ﻙ ‪ ،‬ﻉ = ‪- ٥‬ﻙ‬ ‫‪+‬‬

‫ﻉ‪٥-‬‬ ‫‪١-‬‬

‫ب ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‪:‬‬ ‫‪ + (٥ ،١- ، ٣) = S‬ﻙ )‪(٢ ، ٢- ، ٤‬‬ ‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ‪:‬‬ ‫ﺱ = ‪٤ + ٣‬ﻙ ‪ ،‬ﺹ = ‪٢- ١-‬ﻙ ‪ ،‬ﻉ = ‪٢ + ٥‬ﻙ‬ ‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ‪:‬‬ ‫ﻉ‪٥-‬‬ ‫ﺱ‪ ٣-‬ﺹ‪١+‬‬ ‫‪= ٢- = ٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺟـ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‪:‬‬ ‫‪ + (٠ ،٢- ،٣) = S‬ﻙ )‪(١- ، ٦- ، ٣‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ﺹ = ‪٦- ٢-‬ﻙ‪ ،‬ﻉ = ‪-‬ﻙ‬

‫‪،‬‬

‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ‪:‬‬ ‫ﺱ‪٣-‬‬

‫ﺱ = ‪٢ + ٤‬ﻙ ‪،‬‬ ‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ‪:‬‬

‫‪126‬‬

‫‪so (ł Ů ł- Ů ń) Ů(Ń Ů ń- Ů ņ) lz G[kb 1 gb hz[ 7gb m # q# f 5‬‬

‫‪..............................‬‬

‫ﺹ‪٢+‬‬ ‫‪٦-‬‬

‫ﻉ‬

‫=‬

‫‪١-‬‬

‫‪ + (١ ،٤ ،٢) = S a 8‬ﻙ )‪(٣- ،٦ ،١‬‬ ‫ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ ﻫﻰ‪:‬‬ ‫‪ ،‬ﺹ = ‪٦ + ٤‬ﻙ‬ ‫ﺱ=‪+٢‬ﻙ‬ ‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪ + (٥ ،٢ ،٣) = S‬ﻙ )‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﺱ‪٣-‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫=‬

‫ﺹ‪٢-‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫=‬

‫ﻉ‪٥-‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪،‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪ ،‬ﻉ = ‪٣ - ١‬ﻙ‬

‫‪،‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫(‬

тАля╗гя╗Мя║О╪пя╗Яя║Ф ╪з┘Е┘Дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗в я░▒ ╪зя╗Яя╗Фя║о╪з╪║тАм

1-2 ┘з ┘б┘в ┘з-

= тАл я╗ЩтАм: тАл╪г┘К ╪г┘ЖтАм

1-2

┘б┘д- = тАл я╗ЩтАм┘в┘д ` = тАл` я╗гя║Шя║ая╗к я║Ня║Чя║ая║О┘З я╗ЭтАм

┘з-

┼о M ┼В- 5 - = r ┼о ╞Д M + = ┼Б - 5 =

┘з-

┘б┘б

╞Дi ^ / 9

. M ┼Г+ = + 5 ┼З = E r ┼о M ┼Б - = + 5 ┼В = ┬╢"r ╞Ж ╞Е gz[ 7gb lf d_b p# gb b- Ogb ."r ┬╢" y┬╣ 3 sf E G[kb 1 gb тАл╪итАм ┼оC lz G[kb 1 gb тАл╪гтАм .f O b wcN C PG[y ┬╢" G[kb 1 gb тАля║ЯтАм

( ┘б┘в ) ┘д + ┘г ╪М ( ┘б┘в ) ┘в- ┘г- ╪М ( ┘б┘в ) ┘в + ┘в-) ┘в

U 6[f ╚Ф m┬А_ ;╚Ю f1 Sk

lzgz[ 7gb lz yr 4b 5 zZ ."r 10 (┼Б- ┼о ┼Д ┼о ┼Б) ┼о (┼Г ┼о ┼Б ┼о ┼В-) lzG [kb 2gy : ┼Аa тАл╪гтАм (┼В ┼о ┼Б ┼о ┼Г) ┼о (┼Б ┼о ┼Б- ┼о ┼А ) lz G[kb 2gy : ┼Бa

┘б┘й

( ┘г ╪М ┘ж - ╪М ┘ж -)

(┼Б ┼о ┼Г ┼о ┼А-) ┼А] + (┼В ┼о ┼А- ┼о ┼Б) (┼В ┼о ┼А ┼о ┼А) ┼Б] + (┼А- ┼о ┼Б ┼о ─┐) =

S S

: ┼Аa тАл╪итАм : ┼Бa

M┼Г = =┼В = 5┼Б : ┼Аa тАля║ЯтАм

M ┼Б+= ┼А-5 = = : a ┼Д┼В ┼Б ┼Б-

(┘втАл я║Я┘АтАм╪М ┘втАл я║ПтАм╪М ┘вC) тАл( = я╗ЩтАм┘бтАл я║Я┘АтАм╪М┘бтАл я║ПтАм╪М ┘бC) тАл╪гтАм тАл( = я║╗я╗Фя║отАм┘втАл я║Я┘АтАм╪М ┘втАл я║ПтАм╪М ┘вC) .(┘бтАл я║Я┘АтАм╪М┘бтАл я║ПтАм╪М ┘бC) тАл╪итАм

i gz[ 7gb is_y w_b e3─Сb (Er2;b r ) E2;b 2^/ 11 ┼А]┼А┬╢" + ┼АM =M ┼о ┼А]┼А + ┼А= = = ┼о ┼А]┼АC + ┼А5 = 5 = ┼Аa

G[j wV i OF [ f тАля║ЯтАм

gpOF [ G[j ."r r ┼о G[j wV i OF [ f

┼А+M ┼Г-= = = 5 : ┼Бa ┼Б ┼А:─ж╞е┼▓╟д─Э ╞╝╞Ц┼Ж╟Х─Э 14

┼А tr 7y hz[ 7f t─Ф m # ─Р 7j O 2f Msg#f тАл╪гтАм wo (┼БM ┼о ┼Б= ┼о ┼Б5) ┼о (┼АM ┼о ┼А= ┼о ┼А5) lz G[kb 1 gb hz[ 7gcb m # ─Р e g sz" тАл╪итАм (┼АM - ┼БM ┼о ┼А= - ┼Б= ┼о ┼А5 - ┼Б5)

gpkz yr 4b 5 zZ i V ┼Бa ┼о┼Аa lzgz[ 7gcb m # ─Р 7j wo (┼Б┬╢" ┼о ┼Б ┼о ┼БC) ┼о (┼А┬╢" ┼о┼А ┼о ┼АC) i ^ / тАля║ЯтАм |┼Б┬╢"┼А┬╢" +┼Б ┼А + ┼БC┼АC| = i " Z─СOb wGO

:тАл я║Чя║ая║к я║Гя╗етАм┘г- = тАля║Ся╗оя║┐я╗К я╗ЩтАм (┘б- ╪М ┘б- ╪М ┘е) ┘г - (┘а ╪М ┘б- ╪М ┘б) = S (┘г ╪М ┘в ╪М ┘б┘д-) = тАл( я║Чя╗Шя╗К я╗Ля╗ая╗░ я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗втАм┘г ╪М ┘в ╪М ┘б┘д-) тАля║Гя╗п я║Гя╗етАм S

i y3 s f тАл╪гтАм

(┼В ┼о┼А ┼о ┼Г) ┼А] + (i ┼о┼А- ┼о ┼В) = ┼А1 : ┼Аa lzgz[ 7gb dO# w b i gzZ ."r 13

:тАл я║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя║Ф я╗ля╗░тАм12

(┘г ╪М ┘в ╪М ┘б┘д-) =

i .f O f тАл╪итАм

┼о(┼А ┼о┼Б ┼о ┼В-) lz G[kb 1 gb hz[ 7gb t3 syr (─┐ ┼о ┼А- ┼о ┼А) C G[kb 1 gb hz[ 7gcb p# gb b- Ogb ."r 12 .hz[ 7gb wcN P[ (┼В ┼о ┼Б ┼о ┼А┼Г-) E G[kb i lz h (─┐ ┼о ┼А ┼о ┼Б) ┬╢"

тАл = я║╗я╗Фя║отАм┘втАл я║Я┘АтАм┘бтАл я║Я┘АтАм+ ┘втАл я║ПтАм┘бтАл я║ПтАм+ ┘вC ┘бC :тАля║Гя╗п я║Гя╗етАм

(┘б- ╪М┘б- ╪М ┘е) тАл я╗ЩтАм+ (┘а ╪М ┘б- ╪М ┘б) =

┼Б]┼Б┬╢" + ┼БM = M ┼о ┼Б]┼Б + ┼Б= = = ┼о ┼Б]┼БC + ┼Б5 = 5 = ┼Бa

165

┬АV 6[f :2qvf - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

тАля║Гя╗н я║Ся╗оя║┐я╗КтАм

(┘б- ╪М ┘б- ╪М ┘е) тАл я╗ЩтАм+ (┘а ╪М ┘б- ╪М ┘б) = (┘г ╪М ┘в ╪М ┘б┘д-) ` ┘г- = тАл я╗ЩтАм: тАл╪г┘К ╪г┘ЖтАм тАля╗ЩтАм┘е + ┘б = ┘б┘д- ` ┘г- = тАл я╗ЩтАм: тАл╪г┘К ╪г┘ЖтАм тАля╗ЩтАм- ┘б- = ┘в ┘г- = тАл я╗ЩтАм: тАл╪г┘К ╪г┘ЖтАм тАл я╗ЩтАм- ┘а =┘г тАл( я║Чя╗Шя╗К я╗Ля╗ая╗░ я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗втАм┘г ╪М ┘в ╪М ┘б┘д- ) тАл` я║Ня╗Яя╗ия╗Шя╗Дя║ФтАм

(┘д ╪М┘в- ╪М┘в) тАл я╗ЩтАм+ (┘б ╪М┘в- ╪М ┘б) =

тАл╪гтАм

(┘б ╪М ┘б- ╪М ┘д-) тАл я╗ЩтАм+ (┘д ╪М ┘б ╪М ┘и) =

тАл╪итАм

:тАл я║П я╗ля╗░тАмC тАл я║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя║Ф я╗Яя╗ая╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗втАмa тАля║Я┘АтАм (┘д ╪М┘в- ╪М┘в) тАл я╗ЩтАм+ (┘б ╪М ┘в- ╪М ┘б) = S (тАля╗ЩтАм┘д + ┘б ╪М тАля╗ЩтАм┘в- ┘в- ╪М тАля╗ЩтАм┘в + ┘б) = (тАл я╗ЙтАм╪М тАл я║╣тАм╪М тАл` )я║▒тАм тАл я║ПтАмC тАля╗ля╗░ я║Гя╗п я╗зя╗Шя╗Дя║Ф я║Чя╗Шя╗К я╗Ля╗ая╗░ я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗втАм

тАля╗ня║Ся╗Фя║оя║╜ я║Гя╗е я╗зя╗Шя╗Дя║Ф я║Чя╗Шя║Оя╗Гя╗К я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗в я╗Э я║Ня╗Яя╗дя╗Дя╗ая╗оя║П я╗гя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Шя╗к я╗ня║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗втАм (тАля╗ЩтАм┘д + ┘б ╪М тАля╗ЩтАм┘в- ╪М ┘в- ╪М тАля╗ЩтАм┘в + ┘б) тАл я║П я╗ля╗░ я║Я┘АтАмC (┘в- ┘б ╪М ┘г) - (тАля╗ЩтАм┘д + ┘б ╪МтАля╗ЩтАм┘в - ┘в- ╪М тАля╗ЩтАм┘в + ┘б) = тАл` я╗гя║Шя║ая╗к я║Зя║Чя║ая║О┘З я╗ЭтАм (тАля╗ЩтАм┘д + ┘г ╪М тАля╗ЩтАм┘в- ┘г- ╪М тАля╗ЩтАм┘в+ ┘в-) = тАл я║П я╗гя║Шя╗Мя║Оя╗гя║кя║Ня╗етАмC ╪М тАл я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗дя║Оя╗е я╗ЭтАмa тАл( = я║╗я╗Фя║отАм┘д ╪М┘в- ╪М ┘в) . (тАля╗ЩтАм┘д + ┘г ╪М тАля╗ЩтАм┘в- ┘г- ╪М тАля╗ЩтАм┘в + ┘в-) ` тАл я╗Щ = я║╗я╗Фя║отАм┘б┘ж + ┘б┘в + тАля╗ЩтАм┘д + ┘ж + тАля╗ЩтАм┘д + ┘д- `

127

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫‪ôŔŇîüĿí óĊăŎĿí‬‬

‫‪2-2‬‬

‫‪The equation of a plane in space‬‬

‫ﻓﻜﺮ ‪ō‬‬

‫‪łŀĬø÷ ıŎē‬‬

‫‪the equation of a plane in space‬‬

‫ ‪ > . ? 9 !+ @ !$ $‬‬ ‫ ‪? 9 !+ * $‬‬ ‫ ‪ > .‬‬ ‫ ‪ > . ? 9 !+ $‬‬ ‫ ‪ 2" !+ 2 "' 3‬‬ ‫ ‪ 2" !+ 9( A UC‬‬ ‫ ‪ 2" !+ 8 A UC‬‬ ‫ ‪? 2" !+ DI *A FE‬‬ ‫ ‪ > .‬‬ ‫ ‪ 9 !+ ' M*5 2 6 +$‬‬ ‫ ‪ 2"( ! 2" !+ 2 6 +$‬‬

‫ﺧﻠﻔﻴﺔ‪:‬‬

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫ ‪= : C i V ly.f O f lzp# f Ů C i ^ / -‬‬ ‫ ‪so (ŁM ŮŁ= ŮŁ5) Ů(ŀM Ůŀ= Ůŀ5) lz G[kb 1 gb hz[ 7gb m # gzZ -‬‬ ‫‪.............................................‬‬

‫‪............................................‬‬

‫ ‪tr 7y = 5 w .&Ė ts 7gb wV P[ w b H[kb Pzg#b M w .&Ė -‬‬ ‫‪.............................................‬‬

‫ﺑﻌﺪ ﺍﻹﻧﺘﻬﺎﺀ ﻣﻦ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‬ ‫ﺳﻮﻑ ﻳﺪﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻢ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺭﻭﺱ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ )ﻗﻴﺎﺳﻴﺔ ﺃﻭ ﻋﺎﻣﺔ ‪ -‬ﻣﺘﺠﻬﺔ( ﻭﻛﺬﻟﻚ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻭﻣﺘﺠﻬﺎﺕ ﺑﺎﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﻏﻴﺮ ﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ‪.‬‬

‫‪Vector form of the equation of a plane in space‬‬

‫‪ôŔēîēã õîĄŀĤĜŃ‬‬ ‫ ‪9 !+‬‬

‫‪plane‬‬

‫ ; ‪ : 0‬‬

‫‪Standard form‬‬

‫ ‪< "( ! < " !+‬‬

‫‪Parallel planes‬‬

‫ ‪< 8 ! < " !+‬‬ ‫‪Perpendicular planes‬‬

‫ ‪q# f (ŀM Ůŀ= Ůŀ5) C G[kb j ^ /‬‬ ‫‪q# gb i ^r Ůts 7gb wcN P[ C pOBsf‬‬ ‫‪wcN t-sgN m # q# f (¶" Ů ŮC) = K‬‬ ‫ ‪wcN G[j t (M Ů= Ů5) j ^r ts 7gb‬‬ ‫ ‪:i V S pOBsf q# f ts 7gb‬‬

‫ ‪< I *! < " !+‬‬ ‫ ( '" ‬

‫` ‪- ): K‬‬ ‫`‬

‫‪ôŃĊĈøĔńĿí õíōĉŗí‬‬

‫ﻣﺨﺮﺟﺎت اﻟﺘﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬا اﻟﺪرس وﺗﻨﻔﻴﺬ اﻷﻧﺸﻄﺔ ﻓﻴﻪ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﻳﻜﻮن‬

‫‪C‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S‬‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫ ‬

‫‪2W> = C : K‬‬

‫‪Interecting planes‬‬ ‫‪Angle‬‬

‫‪K‬‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫) = ‪(S‬‬

‫(=‪Ŀ‬‬

‫‪:K= 1 :K‬‬

‫‪C‬‬

‫‪W !" & 7 8 &9+! ;< = #‬‬

‫ ‪q# fr ts 7gb wcN G[j V2Of #y ts 7gcb p# gb b- Ogb - #yĖ :‬‬ ‫ ‪.ts 7gb wcN t-sgOb m # Đ‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪q# gb r (ŀ Ůŀ Ů Ŀ) G[kb 1 gb ts 7gb b- Ogb p# gb 1s?b ."r 1‬‬ ‫‪.ts 7gb wcN t-sgN M + = + 5 = K‬‬

‫اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎد ًرا ﻋﻠﻰ أن‪:‬‬ ‫‪ $ 6 / 9 : ‬‬ ‫‪166‬‬

‫‪ $ % / ; 9 ! 4 5 ‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪ $ % / ' 4 5 ‬‬ ‫‪ & &( ) * < = "# ‬‬ ‫‪ $ % & " 7) /0 7 U)8 ‬‬ ‫‪ / ) M , &( - "# ‬‬ ‫‪ & 0 & &( - "# ‬‬ ‫ﻣﻔﺮدات أﺳﺎﺳﻴﺔ‪:‬‬

‫ﻣﺴﺘﻮﻯ‪ -‬ﻣﺴﺘﻮﻳﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ‪ -‬ﻣﺴﺘﻮﻳﺎﻥ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ‪ -‬ﻣﺴﺘﻮﻳﺎﻥ‬ ‫ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ ‪ -‬ﺻﻮﺭﺓ ﻗﻴﺎﺳﻴﺔ ‪ -‬ﺻﻮﺭﺓ ﻋﺎﻣﺔ‪ -‬ﺻﻮﺭﺓ ﻣﺘﺠﻬﺔ‪-‬ﺯﺍﻭﻳﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﻤﻮاد اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‪:‬‬

‫ﺑﺮﺍﻣﺞ ﺭﺳﻮﻣﻴﺔ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻻﺑﻌﺎﺩ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ‪ -‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪ -‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﺘﺄﻣﻠﻰ‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ‪.‬‬ ‫ﻣﺼﺎدر اﻟﺘﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺻـ )‪ (١٦٦‬ﺍﻟﻰ ﺻـ )‪.(١٧٧‬‬

‫‪128‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ ‬

‫ﺗﻬﻴﺌﺔ‪:‬‬

‫ﺍﻃﺮﺡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻻﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﺻـ )‪ (١٦٦‬ﻭﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺇﻛﻤﺎﻝ ﺍﻻﺟﺎﺑﺔ‪ ،‬ﻭﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﺳﺘﺪﻋﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻭﺗﻘﺪﻳﻢ ﺍﻟﺘﻐﺬﻳﺔ ﺍﻟﺮﺍﺟﻌﺔ ﻣﻨﻚ ﻟﺘﺼﻮﻳﺐ ﺃﻯ‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺧﻄﺄ ﺃﻭ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻏﻴﺮ ﻭﺍﺿﺤﺔ ﻟﺪﻳﻬﻢ‪.‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ املﺴﺘﻮى ﰲ اﻟﻔﺮاغ‬ ‫‪U 6[f Ȕ m _ ;Ȟ f1 Sk‬‬

‫‪2-2‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‪:‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫ ‪z& C : K = S : K q# gb r b- Ogb‬‬ ‫` )‪(ŀ Ů ŀ Ů Ŀ) : (ŀ Ů ŀ Ů ŀ) = S : (ŀ Ů ŀ Ů ŀ‬‬ ‫)‪Ł = S : (ŀ Ů ŀ Ů ŀ‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2-2‬‬

‫= )‪(ŀ Ů ŀ Ů Ŀ‬‬

‫‪ -١‬ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ﺻـ )‪. (١٦٧‬‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺐ ﻋﻠﻰ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‬ ‫ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻭﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻻﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪wcN t-sgN (ł Ů Ł- Ů ŀ) = K q# gb r (ŀ Ů ł- Ů Ł) G[kb 1 gb ts 7gb b- Ogb p# gb 1s?b ."r 1‬‬ ‫ ‪.ts 7gb‬‬

‫‪Standard form and general form of the equation of a plane in space‬‬

‫ = <; !‪ !" & 7 8 &9+‬‬‫‪2W> = ( C - S ) : K‬‬ ‫ ‬ ‫‪(ŀM Ů ŀ= Ů ŀ5) = C Ů(M Ů = Ů 5) = S Ů(¶" Ů Ů C) = K‬‬ ‫` )‪2W> = (ŀM - M Ů ŀ= - = Ů ŀ5 - 5) : (¶" Ů Ů C‬‬ ‫` ‪ !" & 7 8 & X ;< = # Ŀ = (ŀM - M) ¶" + (ŀ= - =) + (ŀ5 - 5)C‬‬ ‫ ‪ YJ ZFG‬‬ ‫` ‪Ŀ = (ŀM ¶& - ŀ= - ŀ5C-) + M ¶" + = + 5C‬‬ ‫ ‪ E = ŀM ¶" - ŀ= - ŀ5C- E@FG‬‬ ‫‪ !" & 7 8 &- 8 ;< = #ƅ Ŀ = E + M ¶" + = + 5 C‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻧﻪ ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺗﻴﻦ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‬ ‫ﻫﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻭﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻭﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺗﻮﻇﻴﻒ‬ ‫ﻣﻌﺎﺭﻓﻬﻢ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﺼﻮﺭ‪ .‬ﻭﻟﻠﺘﺪﺭﻳﺐ ﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﻣﻌﻬﻢ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻـ )‪.(١٦٧‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪(ŀ Ůŀ Ů Ł) = i q# gb r (Ł Ů ń- Ů ł) G[kb 1 gb ts 7gb b- Ogb f Ob 1s?b r z6 z[b 1s?b ."r 2‬‬ ‫‪.ts 7gb wcN t-sgN‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪Ŀ = (ŀM - M) ¶" + (ŀ= - =) + (ŀ5 - 5) C‬‬ ‫ = <; ‪& X‬‬ ‫` ‪& X ;< = # Ŀ = (Ł - M) + (ń + =) + (ł - 5) Ł‬‬ ‫ ‪&9G [! 7 54 \ +) YJ ZFG‬‬ ‫‪&- 8 ;< = #‬‬ ‫` ‪Ŀ = ł- M + = + 5Ł‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‪:‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪wcN t-sgN (ł Ůŀ- Ů ŀ) = i q# gb r (Ł Ů Ń Ů ł-) G[kb 1 gb ts 7gb b- Ogb Wc +gb 1s?b ."r 2‬‬ ‫ ‪.ts 7gb‬‬ ‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪ -٢‬ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ﺻـ ‪: ١٦٧‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻥ ﻣﻔﺮﺩﺓ )ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ( ﺗﻌﻨﻰ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻛﺎﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺼﻮﺭ )ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‪ -‬ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ( ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‪.‬‬

‫‪167‬‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬

‫ﻋﺮض اﻟﺪرس‪:‬‬

‫‪:(ÆGôØdG ≈a iƒà°ùªdG ádOÉ©ªd á¡éàªdG IQƒ°üdG) :º∏©J‬‬ ‫ ﻗﺒﻞ ﺍﻟﺒﺪﺀ ﻓﻰ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺼﻮﺩ ﺑﺎﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻭﺍﻧﻪ ﻳﺤﺘﻮﻯ ﻋﻠﻰ ﻋﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﻄﻮﻁ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻭﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﻛﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﻭﻋﻨﺪ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬ ‫ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻭﺑﻨﻔﺲ ﺍﻹﺟﺮﺍﺀ ﺗﻢ ﻓﻴﻪ‬ ‫ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﻭﺫﻟﻚ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺻﻮﺭﺓ )ﻣﺘﺠﻬﺔ‪ -‬ﻋﺎﻣﺔ‪ -‬ﻗﻴﺎﺳﻴﺔ(‬ ‫ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺃﺣﺪ ﺑﺮﺍﻣﺞ ﺍﻟﺤﺎﺳﺐ ﺍﻵﻟﻰ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻹﺑﻌﺎﺩ‬ ‫ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻـ )‪ (١٦٦‬ﻟﺘﺴﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﺼﻮﺭ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻭﻛﻴﻒ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻳﻀﻢ ﻧﻘﺎﻁ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﺤﺪﻳﺪ‬ ‫ﻣﺘﺠﻪ ﻣﻮﺿﻊ ﻫﺬه ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‪.‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻧﻪ ﻻﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﻷﻯ ﻣﺴﺘﻮﻯ‬ ‫ﻓﻼﺑﺪ ﻣﻦ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﻣﺘﺠﻪ‬ ‫ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ‪ ،‬ﻭﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﻥ ‪ = S :‬ﻥ ‪ C :‬ﻗﻢ ﺑﺘﺪﺭﻳﺐ ﻃﻼﺑﻚ ﻋﻠﻰ ﻫﺬه ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﺑﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻـ) ‪.(١٦٦‬‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪129‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ :‬اﻟﺨﻄﻮط املﺴﺘﻘﻴﻤﺔ واملﺴﺘﻮﻳﺎت ﰱ اﻟﻔﺮاغ‬

‫‪áeÉ≤à°SG ≈∏Y â°ù«d §≤f çÓãH QÉªdG iƒà°ùªdG ádOÉ©e‬‬ ‫‪:IóMGh‬‬ ‫ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻـ )‪ (١٦٨‬ﺳﻴﺘﻌﻠﻢ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻳﺠﺎﺩ‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺩﻭﻥ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻴﻪ ﺩﺍﺋﻤﺎ‬ ‫ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺛﻼﺛﺔ ﻧﻘﺎﻁ ﻟﻴﺴﺖ ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﻘﺎﻣﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻓﻼﺑﺪ ﻣﻦ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‪.‬‬ ‫ ﺍﻛﺪ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺿﺮﻭﺭﺓ ﺍﻟﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﺫﻟﻚ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﻟﻴﺴﺖ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﺳﺘﻘﺎﻣﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﻣﺘﺠﻪ ﻣﻮﺿﻊ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻮﺍﺻﻠﺔ ﺑﻴﻦ ﻫﺬه ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ‪.‬‬ ‫ ﺭﺍﺟﻊ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﻻﻳﺠﺎﺩ ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺍﻥ ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ‬ ‫ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﺤﻮﻯ ﻫﺬﻳﻦ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ‪.‬‬ ‫ ﻟﺘﻮﺿﻴﺢ ﺧﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺤﻞ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ‬ ‫ﻭﺧﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺤﻞ ﺻـ )‪ (١٦٨‬ﻭﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺼﻮﺭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﺑﻌﺪ ﺃﻥ ﺛﻢ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ‬ ‫ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺃﻯ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻭﺍﻛﺪ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻟﻦ ﺗﺘﻐﻴﺮ‬ ‫ﻭﺳﻴﺘﻢ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺣﺘﻲ ﻟﻮ ﺍﺧﺘﻠﻔﺖ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ‬ ‫ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻨﺘﻤﻰ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‪.‬‬

‫‪:ø«ª«≤à°ùe iƒàëj iƒà°ùe ádOÉ©e‬‬ ‫ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﻣﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻـ )‪ ، (١٦٨‬ﺻـ) ‪ (١٦٩‬ﺳﻴﺘﻢ ﺗﻌﻠﻢ ﻛﻴﻔﻴﺔ‬ ‫ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻳﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‪.‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺍﻧﻪ ﻛﺒﺪﺍﻳﺔ ﺳﻨﻮﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﻳﻀﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬ ‫ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ‪ ،‬ﻭﻫﺬﺍ ﻣﻌﻨﻰ ﺃﻥ ‪ ٢S = ١S‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﺑﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻼﺕ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻙ‪ ، ١‬ﻙ‪ ٢‬ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﻘﻖ ﻫﺬه ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﻭﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻰ ﻟﻤﺘﺠﻬﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻹﺗﺠﺎه ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻻﻳﺠﺎﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺳﻮﺍﺀ ﻓﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‪.‬‬ ‫ ﺍﻟﻔﺖ ﺍﻧﺘﺒﺎه ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺇﻟﻰ ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ﺍﺿﻒ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻚ‬ ‫ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﺻـ )‪ (١٦٩‬ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺗﻮﺿﺢ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺜﻼﺛﺔ ﻧﻘﺎﻁ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ‬ ‫ﻭﻛﻠﻒ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﺘﻔﻮﻗﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺑﻌﻤﻞ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺃﻭ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ‬ ‫ﺷﺒﻜﺔ ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ )ﺍﻻﻧﺘﺮﻧﺖ( ﻟﻠﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻫﺬه ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‪،‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺐ ﻋﻠﻰ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﻢ ) ‪.(٤ * ٤‬‬

‫‪130‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ ‪U 6[f Ȕ y ;Ȟ x l _ ;Ȟ IyK/f : p #f 2*yf‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫)‪( 2* x k _ : ȠR ; f L_p !ȗ# 5 Ȟ zy ;Ȟ f1 Sk‬‬ ‫‪.(ł Ů ł Ů Ŀ) Ů (Ń Ů ŀ Ů Ł) (Ŀ Ůŀ- Ů ł) H[kb 1 gb ts 7gb b- Ogb Wc +gb 1s?b ."r 3‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫ ‬ ‫ ‪;5 &- !X #$% " F 6 - 5 _! `+ C‬‬ ‫ ‪(ł Ů ł Ů Ŀ) ¶" Ů(Ń Ů ŀ Ů Ł) Ů(Ŀ Ů ŀ- Ů ł) C A2W‬‬ ‫‪- = C‬‬ ‫‪a‬‬

‫= )‪- ¶" = ¶" C ƅŮƄ(Ń ŮŁ Ůŀ-‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ŀ ! ŀ‬‬‫‪ł‬‬‫‪Ł‬‬

‫`‬

‫‪ C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪¶" C‬‬

‫!‬

‫= )‪(ł Ů Ń Ů ł-‬‬ ‫` ‪ .& r f [ 6 wcN 7zb H[kb‬‬

‫‪#V +)C 1@a 7 + G Z W !" #$% 7 8 * +) ,+!- b !4 !" & 7 8- 7 + c‬‬ ‫ ‪W ¶" C , C 9+! $‬‬ ‫‪= ¶" C * C = K‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪ŀ-‬‬

‫=‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪Ń‬‬

‫‪ł-‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪ł‬‬

‫= ‪M Ł + = ň - 5 ŀĿ-‬‬ ‫‪K‬‬

‫` = <; !‪ !" & 7 8 &9+‬‬ ‫‪C : K = S : K‬‬ ‫` )‪(Ŀ Ůŀ- Ů ł) : (Ł Ů ň- Ů ŀĿ-) = S : (Ł Ů ň- Ů ŀĿ-‬‬ ‫` )‪Łŀ- = S : (Ł Ů ň- Ů ŀĿ-‬‬

‫‪LM‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪1‬‬

‫ = <; ‪ !" & 7 8 & X‬‬ ‫‪Ŀ = (ŀM - M) ¶" + (ŀ= - =) + (ŀ5 - 5 ) C‬‬

‫` ‪Ŀ = MŁ + (ŀ + =) ň - (ł - 5) ŀĿ-‬‬

‫ = <; ‪ !" & 7 8 &- 8‬‬ ‫)‪Łŀ- = (M Ů= Ů 5 ) : (Ł Ů ň- Ů ŀĿ-‬‬

‫` ‪Ŀ = Łŀ + M Ł + =ň - 5ŀĿ-‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪.(ł Ů Ŀ Ů Ŀ) Ů (Ŀ ŮŁ Ů Ŀ) Ů(Ŀ ŮĿ Ů ŀ) H[kb 1 gb ts 7gb b- Ogb Wc +gb 1s?b ."r 3‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫)‪(ɪl _ ;k zy+ zy ;k‬‬

‫‪lzgz[ 7gb i 4‬‬

‫‪( M ł + = Ł+ S ) ŀ] + ( M - = + 5 ł) = ŀS‬‬

‫‪( M + = - 5 ) Ł] + ( = ń + 5 Ł) = ŀS‬‬ ‫‪. gpys 'y t0b ts 7gb b- Of ."r r Ůi OF [ f‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪168‬‬

‫‪2-2‬‬

‫‪U 6[f Ȕ m _ ;Ȟ f1 Sk‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬ ‫ ‪ŁS = ŀS i V i gz[ 7gb PF [ /‬‬

‫` )‪( M + = - 5 ) Ł] +( = ń+ 5 Ł) = ( M ł + = Ł+ 5 ) ŀ]+ ( M - = + 5 ł‬‬

‫‪ 5+ B - 8 ; " G‬‬ ‫‪ pkfr‬‬ ‫‪Ł] + Ł = ŀ] + ł‬‬ ‫‪ pkfr‬‬ ‫‪Ł] - ń = ŀ]Ł + ŀ‬‬ ‫‪ pkfr‬‬ ‫‪Ł] = ŀ]ł + ŀ‬‬‫]‪Ů ŀ = ŀ‬‬ ‫ '‪Ł Ů ŀ lz b- Ogb d‬‬

‫]‪ŀ- = Ł] - ŀ‬‬ ‫‪Ń = Ł] + ŀ]Ł‬‬ ‫‪ŀ = Ł] - ŀ]ł‬‬ ‫]‪Ł = Ł‬‬

‫‪.20‬‬ ‫‪.K0‬‬ ‫‪.P0‬‬

‫ ‪ 9 4) 9 5+ .P0 & 7 8 # *U9G S 8! G‬‬ ‫` ‪.i OF [ f i gz[ 7gb‬‬ ‫‪z& K so ts 7gb wcN t-sgOb m # Đ q# f‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ŀ = Ł¶o * ŀ¶o = K‬‬

‫=‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪ł‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪ŀ-‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫=‪M ł- = Ł+ 5 ń‬‬

‫‪C : K‬‬

‫ ‪= 1 : K ts 7gcb p# gb b- Ogb‬‬ ‫` )‪(ŀ- Ů ŀ Ů ł) : (ł- Ů Ł Ů ń) = S :(ł- Ů Ł Ů ń‬‬ ‫` )‪ŁĿ = S : (ł- Ů Ł Ů ń‬‬

‫ = <; ‪&- 8‬‬ ‫)‪ŁĿ = (M Ů = Ů 5) : (ł- Ů Ł Ů ń‬‬ ‫` ‪ŁĿ = Mł - =Ł + 5ń‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪h i OF [ f Mń = =Ł = 5ł :Ła ŮM Ń = =ł = 5Ł : ŀa lzgz[ 7gb i 4‬‬ ‫ ‪. gpys'y t0b ts 7gb b- Of ."r‬‬

‫ ‬

‫‪2‬‬

‫ ‪2 2‬‬

‫ ‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ ‪P P‬‬

‫ ‪P‬‬

‫‪2‬‬

‫ ‪K‬‬

‫ ‬

‫ ‪K‬‬

‫=‪R‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪ń = MŁ - = + 5ł ts 7gb Pf Ń- M = ŀ- =ł = 5Ł hz[ 7gb PF [ G[j ."r 5‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫ ‪5ł - MŁ + ń = = !" & 7 8-‬‬‫‪ !" & 7 8- # S 8! G‬‬ ‫‪ŃƄ-ƄMƄ=Ƅ5ňƄ-ƄMŅƄ+ƄŀŃ = 5Ł‬‬

‫‪.K0ƅŀŇ = 5ň + Mń-ƅ.20ƅ ŀŃ = MŅ - 5ŀŀ‬‬ ‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪169‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ املﺴﺘﻮى ﰲ اﻟﻔﺮاغ‬ ‫ ‪U 6[f Ȕ y ;Ȟ x l _ ;Ȟ IyK/f : p #f 2*yf‬‬

‫‪iƒà°ùe ™e º«≤à°ùe ™WÉ≤J‬‬

‫‪#$% (=4 .K0 , .20 ! 7 8 (4G‬‬ ‫‪ņŁ- = M Ů łŇ- = 5‬‬ ‫‪ !" & 7 8- # S 8! G‬‬ ‫` ‪(ņŁ- Ů Łń- Ů łŇ-) wo PF [ b G[j‬‬

‫` = = ‪Łń -‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫ ‪Ł- = S . (Ł ŮŁ Ů ł) ts 7gb Pf (Ł ŮŁ Ů ł) ] + (Ł Ů Ń Ů ŀ) = S hz[ 7gb PF [ G[j ."r‬‬

‫‪5‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪ø«jƒà°ùe ø«H ájhGõdG‬‬ ‫‪. gpzcN ly-sgOb m # Đ wp# f lz yr 4b 5 zZ so lzys 7f lz yr 4b 5 zZ‬‬ ‫‪lz yr 4b 5 zZ i V lzys 7gb wcN ly-sgOb lzp# gb go ŁK Ů ŀK i ^ / V‬‬ ‫ ‪ ZđOb wGO lzys 7gb‬‬ ‫" ‪= i‬‬

‫| ‪| ŁK : ŀK‬‬ ‫|| ‪|| ŁK || || ŀK‬‬

‫&‪z‬‬

‫‪the angle between two planes‬‬ ‫‪ŀK‬‬

‫‪ŁK‬‬

‫‪i‬‬

‫‪cňĿ H i HĿ‬‬ ‫‪i‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪Ń = MŁ + = - 5ł = Ła Ů ń = S : (Ń Ůŀ- Ů Ł) = ŀa lzys 7gb lz yr 4b 5 zZ ."r 6‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫| ‪| ŁK : ŀK‬‬

‫" ‪= i‬‬ ‫`‬

‫|| ‪|| ŁK || || ŀK‬‬

‫‪ŀń ŀ‬‬‫= " )‬ ‫‪Ņ ņ‬‬

‫‪i‬‬

‫(‬

‫|)‪|(Ł Ů ŀ- Ů ł) : (Ń Ů ŀ- Ů Ł‬‬ ‫‪ŁŃ +Ł(ŀ-) + ŁŁ‬‬

‫‪ŁŁ +Ł(ŀ-) + Łł‬‬

‫ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻـ )‪ (١٧٠‬ﻧﺎﻗﺶ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﻫﻞ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﺃﻥ ﻳﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﻭﻣﺎ ﻫﻮ ﻧﺎﺗﺞ ﺫﻟﻚ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻭﻣﺎ‬ ‫ﻣﻌﻨﻰ ﺃﻥ ﻳﻨﺘﺞ ﻋﻦ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﺃﻭ ﻋﺪﺓ ﻧﻘﺎﻁ‪.‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﺻـ )‪ (١٧٠‬ﻳﻮﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻳﺠﺎﺩ‬ ‫ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻭﺫﻟﻚ ﺍﻋﺘﻤﺎ ًﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ‬ ‫ﺗﻨﺘﻤﻰ ﺍﻟﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻓﻬﻰ ﺗﺤﻘﻘﻬﺎ‬ ‫ﻭﺫﻛﺮ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻨﻪ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ )اﻟﺰاوﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ(‪:‬‬

‫ ﻧﺎﻗﺶ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻭﻣﻦ‬ ‫ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻧﺘﻘﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ‬ ‫ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺃﻧﻪ ﺣﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﺣﺴﺎﺏ ﻗﻴﺎﺱ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﺘﻢ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻟﻜﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬

‫‪(Ń Ů ŀ- Ů Ł) = ŀK arĔ ts 7gb wcN t-sgOb m # Đ q# f‬‬ ‫‪(Ł Ů ŀ- Ů ł) = ŁK wj b ts 7gb wcN t-sgOb m # Đ q# f‬‬ ‫` ‪z& iwo lzys 7gb lz yr 4b 5 zZ‬‬ ‫=‬

‫‪ŀń‬‬ ‫=‬ ‫‪Ņ ņ‬‬

‫= ‪cŁŇ /ńŇ‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪ł = M- = + 5Ł Ů Ŀ = MŁ + =ł - 5 lzys 7gb lz yr 4b 5 zZ ."r 6‬‬ ‫‪¿GóeÉ©àªdG ¿Éjƒà°ùªdGh ¿ÉjRGƒàªdG ¿Éjƒà°ùªdG‬‬ ‫ ‪i V lzys 7gb wcN lzy-sgOb m # Đ wp# f go ŁK Ů ŀK i ^ /‬‬

‫‪Parallel planes and perpendicular planes‬‬

‫ ‪// ŀK i ^ / i y3 s f lzys 7gb -‬‬

‫‪ŁK‬‬

‫ ‪)ƅƅi ^ / t‬‬

‫ ‪Ŀ = ŁK : ŀK i ^ / i .f O f lzys 7gb -‬‬

‫‪ŀC‬‬ ‫‪ŁC‬‬

‫=‬

‫ ‬

‫‪=ŀ‬‬

‫ ‪Ł‬‬

‫"¶‬

‫‪(ŀ‬‬

‫"¶‪Ł‬‬

‫ ‪Ŀ= (Ł¶" ŀ¶" + Ł ŀ + ŁCŀC)ƅƅi ^ / t‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ ﺃﻭ ﺃﻯ ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ﺣﺎﺳﺐ‬ ‫ﺛﻼﺛﻰ ﺍﻻﺑﻌﺎﺩ ﻭﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻻﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﻧﺎﻗﺸﻬﻢ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺘﺠﻬﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻟﻜﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺍﻟﻰ ﺍﻟﺸﺮﻭﻁ ﺍﻟﻮﺍﺟﺐ ﺗﻮﺍﻓﺮﻫﺎ ﻟﻴﻜﻮﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻦ ﺃﻭ‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﺻـ )‪.(١٧١‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻـ )‪ (١٧١‬ﺍﻋﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﻬﻮﻡ‬ ‫ﺗﻮﺍﺯﻯ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻻﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﻙ ‪ ،‬ﻝ ﺍﻟﻤﺠﻬﻮﻟﻴﻦ ﻭﺫﻟﻚ‬ ‫ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺷﺮﻁ ﺍﻟﺘﻮﺍﺯﻯ ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪.a Ů ] lf d^ gzZ gVƅŀ = MŃ + = a + 5 ts 7gb t3 sy ń = M ]+ = - 5Ł ts 7gb i ^ / 7‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪i y3 s f i ys 7gb a‬‬ ‫`‬

‫‪ŀC‬‬

‫`‬

‫‪] ŀ- Ł‬‬ ‫‪Ń = a = ŀ‬‬

‫‪ŁC‬‬

‫ ‬

‫= ‪=ŀ‬‬ ‫ ‪Ł‬‬

‫"¶‪ŀ‬‬ ‫"¶‪Ł‬‬

‫‪Ň = ] Ů ŀ‬‬‫` ‪Ł =a‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪C gzZ gV Ł = Mł + =Ł + 5 C ts 7gb wcN t-sgN Ń = M + =ł - 5 ts 7gb i ^ / 7‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫)‪(ɪ y ;k TJ _ L. f1 Sk‬‬ ‫‪ń = Mł - = + 5 Ł Ů ŀ = MŁ - =Ł + 5 lzys 7gb PF [ H* b- Of ."r 8‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪\ + K− # # J & 7 8 1@aG Z , ! 7 8 - dU4G‬‬ ‫‪ł + =ł = M‬‬ ‫‪ pkfr‬‬ ‫` ‪ł = M + =ł-‬‬ ‫‪.20‬‬ ‫‪\ + K− # & & 7 8 1@aG Z , ! 7 8 - dU4G‬‬ ‫` ‪ň- = MŃ + 5ł-‬‬ ‫‪ň - 5ł‬‬

‫`‬

‫‪Ń‬‬

‫ ( ‪:@ef‬‬ ‫‪+ 5‬‬ ‫‪+ 5Ł‬‬

‫=‬

‫‪ pkfr‬‬

‫‪ł + =ł‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫=‬

‫‪=M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪ň- 5ł‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪\I ! Fe & 7 8-‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪ŀ = MŁ - =Ł‬‬ ‫= ‪ń = Mł -‬‬

‫‪.20‬‬ ‫‪.K0‬‬

‫=‪ł‬‬

‫‪.P0‬‬

‫‪ dU4G‬‬

‫‪M + =ł‬‬‫‪g = E@FG‬‬ ‫] ‪ł-‬‬ ‫‪]Ń + ň‬‬ ‫‪=5 .K0ƅŮƅ‬‬ ‫‪= = .P0‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫` ‪#V \I ! F? & @!- < A BC7 8‬‬ ‫‪] = MƄƄŮƄƄ] ŀł + ŀ- = =ƄƄŮƄƄ] Ńł + ł = 5‬‬

‫ ( ‪: D‬‬ ‫*‪.lzys 7gb wcN ly-sgOb ŁK Ů ŀK lzp# gb wcN t-sgN PF [ b H‬‬ ‫` ‪Ů ŀK lzp# gcb wo # Đ 2Cb lf q 7& l_gy ¶o PF [ b H* m # q# f‬‬ ‫‪= ŁK : ŀK = ¶o‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪ŀ‬‬

‫=‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪Ł-‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪ł-‬‬

‫ﺣﻴﺚ ﺃﻥ ‪ i‬ﻣﺤﺪﺩﺓ ‪c٩٠ H i H ٠‬‬ ‫ ﻭﻟﻤﺰﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﻻﺳﺘﻴﻌﺎﺏ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻌﻬﻢ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ‬ ‫ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ ﺑﻌﺪ ﺃﻥ ﻳﻘﻮﻡ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﺘﺤﺪﻳﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻻﺗﺠﺎه‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻟﻜﻞ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﻭﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ‪.‬‬

‫‪2-2‬‬

‫‪U 6[f Ȕ m _ ;Ȟ f1 Sk‬‬

‫ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺟﺘﺎ ‪= i‬‬

‫| ﻥ ‪ :١‬ﻥ‬

‫‪|٢‬‬

‫|| ﻥ ‪ || ||١‬ﻥ ‪||٢‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪170‬‬

‫‪2-2‬‬

‫‪ŁK‬‬

‫= ‪M ł - = - 5 Ń-‬‬ ‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪171‬‬

‫ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺻـ ‪ ١٧١‬ﺭﻗﻢ )‪ (٨‬ﺳﻴﺘﻢ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻳﺠﺎﺩ‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻋﻦ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ‪ ،‬ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﺻـ)‪ (١٧٨‬ﻟﺘﻮﺿﻴﺢ ﺫﻟﻚ ﺍﻟﺨﻂ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‪ ،‬ﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺍﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣ ًﻌﺎ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﺨﻂ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﻃﺮﻳﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻭﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻟﻠﺤﻞ ﺍﻣﻜﻦ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ ﻟﺨﻂ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻲ‬ ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪131‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ :‬اﻟﺨﻄﻮط املﺴﺘﻘﻴﻤﺔ واملﺴﺘﻮﻳﺎت ﰱ اﻟﻔﺮاغ‬ ‫ ﻭﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻟﻠﺤﻞ ﺃﻣﻜﻦ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ ﻟﺨﻂ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ‪.‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﺻـ )‪ (١٧٢‬ﻻﻳﺠﺎﺩ‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻂ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻻﺗﺠﺎه‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‪.‬‬ ‫ﻫـ = ﻥ‪ : ١‬ﻥ‪٢‬‬ ‫ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﻌﺮﺽ ﻗﻴﻤﺔ ﻟـ ﺱ‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﻬﺎ ﻓﻰ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻻﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺹ ‪ ،‬ﻉ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﺗﻜﻮﻥ ﺻﻮﺭﺓ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻂ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ‬ ‫ﻫﻰ‪:‬‬

‫ ‪U 6[f Ȕ y ;Ȟ x l _ ;Ȟ IyK/f : p #f 2*yf‬‬

‫‪# !" & 7 8- S 8! G‬‬

‫= ‪ł = Mł -‬‬

‫‪#$% (=4 .K0 ,.20 ! 7 8 (4G‬‬

‫‪ł -= = Ů ł -= M‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫` ‪.PF [ b H* wcN P[ ( łŁ - Ů łŁ - Ů ŀ) G[kb‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪Ł = Mń + =Ł - 5 Ů ł = MŁ + =- 5ł lzys 7gb PF [ H* b- Of ."r 8‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪iƒà°ùe ≈dEG á£≤f øe Ωƒ°SôªdG Oƒª©dG ∫ƒW‬‬ ‫ ‪wcN G[j j ^r 5 ts 7gb !1 * G[j (ŀM Ů ŀ= Ů ŀ5) C j ^ /‬‬ ‫ ‪lN C G[kb .O i V ts 7gb wcN t-sgOb m # Đ q# f K Ů ts 7gb‬‬ ‫ ‪K wcN C H[7f asF tr 7y ts 7gb‬‬

‫‪the length of the perpendicular from a point to a plane‬‬ ‫‪K‬‬

‫‪C‬‬

‫‪I‬‬

‫‪1‬‬

‫| ‪| K : C‬‬ ‫‪=a‬‬ ‫|| ‪|| K‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪ń = (ŀ- Ů Ł Ů Ł) . S q b- Of t0b ts 7gb wcN (ł Ů ŀ- Ů ŀ) G[kb lf es62gb -sgOb asF ."r 9‬‬

‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪ts 7gb b- Of lf ts 7gb wcN t-sgOb m # q# fr ts 7gb wcN G[j - #y #y‬‬ ‫‪(ŀ- Ů Ł Ů Ł) = K i .#j ń= (ŀ- Ů Ł Ů Ł) . S‬‬

‫ ﺃﻛﺪ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺑﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺑﻌﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‬ ‫ﻭﺍﻧﻪ ﺗﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﻣﺴﻘﻂ ﻣﻨﻪ ﻫﺬه‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‪ ،‬ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ ﺃﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻨﺘﻤﻰ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻓﻴﻤﻜﻦ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺑﻴﻦ ﻫﺬه ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﺤﺘﻮﻯ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ،‬ﺛﻢ ﺍﻋﺮﺽ ﻋﻠﻴﻬﻢ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﻝ=‬

‫‪I J !" & 7 8- S 8! G‬‬

‫‪2W> = MŁ - =Ł‬‬

‫‪.20‬‬ ‫‪.K0‬‬

‫‪(ł- Ů ŀ- Ů Ń-) ] + ( łŁ - Ů łŁ - Ů ŀ) = S PF [ b H* b- Of‬‬

‫‪ + C = S‬ﻙ ‪ :‬ﻫـ‬

‫| ﺏ‪ : C‬ﻥ‬

‫‪\a \I ! Fe #$% &M 7 + c‬‬

‫‪ŀ=5‬‬

‫ ‬ ‫‪. -0‬‬

‫‪(M Ů Ŀ Ů Ŀ) G[kb wV M 1s'f PG[y ts 7gb i A2Wj ts 7gb wcN G[j - #yĖr‬‬ ‫` )‪ń- = Mƅ 96- ƅ ń = (ŀ- Ů Ł Ů Ł) : (M Ů Ŀ Ů Ŀ‬‬ ‫` ‪ts 7gb wcN P[ (ń- Ů Ŀ Ů Ŀ) G[kb‬‬ ‫ ‪= C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪= (a) -sgOb asF‬‬

‫ = )‪(Ň Ů ŀ- Ů ŀ‬‬‫| ‪C‬‬

‫&‪z‬‬

‫‪(ł Ů ŀ- Ů ŀ ) C‬‬

‫|)‪|(ŀ- Ů Ł ŮŁ ) ű (Ň Ůŀ-Ůŀ‬‬ ‫‪K‬‬ ‫= ‪ .&r Ňł‬‬ ‫‪= | :‬‬ ‫‪Ł(ŀ-)+Ł Ł+Ł Ł‬‬

‫|| ‪|| K‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫‪172‬‬

‫|‬

‫|| ﻥ ||‬

‫‪U 6[f Ȕ m _ ;Ȟ f1 Sk‬‬

‫‪2-2‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫ﺣﻴﺚ ﻥ ﻫﻮ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‪.‬‬

‫‪á£≤f øe Ωƒ°SôªdG Oƒª©dG ∫ƒ£d á«KGóM’G IQƒ°üdG‬‬ ‫‪:iƒà°ùe ≈∏Y‬‬ ‫ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻮﺿﺢ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻧﻘﻄﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻣﺴﺘﻮﻯ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﺟﺮﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﻴﻦ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﻭﻣﻌﻴﺎﺭ ﻣﺘﺠﻪ ﻭﻛﻠﻒ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﺎﺳﺘﻨﺘﺎﺝ‬ ‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺔ ﻛﻄﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺴﺘﻮﻱ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺻـ)‪ (١٧٣‬ﻭﺫﻟﻚ‬ ‫ﺗﺤﺖ ﺍﺷﺮﺍﻓﻚ ﻭﻣﺴﺎﻋﺪﺗﻬﻢ ﺑﺘﻮﺿﻴﺢ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ‪ C‬ﺱ ‪ +‬ﺏ ﺹ ‪ +‬ﺟـ ﻉ ‪ = E +‬ﺻﻔﺮ‪.‬‬ ‫ ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‬ ‫ﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻭﺍﻟﺘﻰ ﻳﻄﻠﻖ‬ ‫ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺔ ﻟﻄﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ‪.‬‬ ‫ ﻭﻟﻤﺰﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﻔﻬﻢ ﺍﺷﺮﺡ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻـ )‪(١٧٤‬‬ ‫ﻟﻠﺘﻄﺒﻴﻖ ﻭﻳﻤﻜﻨﻚ ﺍﺿﺎﻓﺔ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﺍﺧﺮﻯ ﻣﻊ ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﺫﻭ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‪.‬‬

‫‪132‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫‪Ń = (Ł Ů ł- Ů ŀ) . S q b- Of t0b ts 7gb wcN (Ń Ů ŀ Ů Ł-) G[kb lf es62gb -sgOb asF ."r 9‬‬ ‫‪iƒà°ùe ≈∏Y á£≤f øe Ωƒ°SôªdG Oƒª©dG ∫ƒ£d á«KGóME’G IQƒ°üdG‬‬ ‫‪(ŁM Ů Ł= Ů Ł5) G[kb 1 gb ts 7gb wcN (ŀM Ů ŀ= Ů ŀ5) C G[j lf es62gb -sgOb asF i gcN‬‬ ‫‪ ZđOb wGOy ts 7gb wcN t-sgN (¶" Ů Ů C) = K q# gb r‬‬ ‫| ‪| i : C‬‬ ‫‪= a‬‬ ‫|| ‪|| i‬‬ ‫|)‪|(¶" Ů Ů C ) ű (ŁM - ŀM Ů Ł= - ŀ= Ů Ł5 - ŀ5‬‬ ‫` ‪= a‬‬ ‫‪Ł¶"+Ł +ŁC‬‬ ‫|‪|(ŁM¶" - Ł= -Ł5 C- ) + ŀM ¶"+ ŀ= + ŀ5C‬‬ ‫=‬ ‫‪Ł¶"+Ł +ŁC‬‬ ‫‪Ŀ = E + M ¶& + = + 5 C ts 7gb wcN P[ (ŁM Ů Ł= Ů Ł5) G[kb a‬‬ ‫`‬

‫‪E = ŁM ¶" - Ł= - Ł5 C -‬‬

‫` ‪= a‬‬

‫|‪|E+ ŀM ¶"+ ŀ= + ŀ5C‬‬ ‫‪Ł¶" + Ł +ŁC‬‬

‫‪#ƅƅ‬‬

‫ = <; ‪7 8 I M & D 5 c‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪.Ņ = MŁ + = - 5łq b- Of t0b ts 7gb wcN (Ń- Ůń Ů ŀ) G[kb lf es62gb -sgOb asF ."r 10‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪a‬‬

‫|‪|E + ŀM ¶"+ ŀ= + ŀ5C‬‬ ‫=‬ ‫‪Ł¶"+ Ł +ŁC‬‬ ‫‪ŀŅ‬‬ ‫|‪|Ņ - (Ń- ) Ł + (ń) - (ŀ) ł‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪Ł Ł+ Ł(ŀ-) +Ł ł‬‬ ‫‪ŀŃ‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪Ń = M - =Ł - 5 q b- Of t0b ts 7gb wcN (Ŀ Ů Ń Ů ŀ-) G[kb lf es62gb -sgOb asF ."r 10‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫) ‪(ɪ 7 y k ɪ y ;k ɪ Z ;Ȟ‬‬

‫‪. gpkz .O b ."r r Ůi y3 s f Ń = MŇ - =Ņ + 5Ł Ů ł = M Ń - =ł + 5 lzys 7gb i 11‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪.i y3 s f gpzcN lzy-sgOb m # Đ wp# f i j i y3 s f lzys 7gb i Ė‬‬ ‫‪(Ň- Ů Ņ Ů Ł) = ŁK Ů (Ń- Ů ł Ů ŀ) = ŀK‬‬ ‫‪a‬‬ ‫`‬

‫‪ŀC‬‬ ‫‪ŁC‬‬ ‫‪ŀC‬‬ ‫‪ŁC‬‬

‫=‪ŀ‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫"¶‬ ‫ ‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫= ‪=ŀ‬‬ ‫ ‪Ł¶" Ł‬‬

‫ ‬ ‫‪Ů ŀŁ = łŅ = ŀ‬‬ ‫ ‪Ł‬‬

‫"¶‪ŀ = Ń- = ŀ‬‬ ‫"¶‪Ł Ň- Ł‬‬

‫` ‪i y3 s f i ys 7gb‬‬ ‫‪ V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b‬‬

‫‪173‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ املﺴﺘﻮى ﰲ اﻟﻔﺮاغ‬ ‫ ‪U 6[f Ȕ y ;Ȟ x l _ ;Ȟ IyK/f : p #f 2*yf‬‬

‫‪.2*Ē ts 7gb wb G[kb m0o lf es62gb -sgOb asF ."sj h Ů go .& wcN G[j ."sj gpkz V 7gb - #yĖ‬‬ ‫‪Ŀ = = Ů Ŀ = 5 A2Wj arĔ ts 7gb wcN G[j - #yĖ‬‬ ‫` ‪ł- = M‬‬ ‫‪Ń‬‬

‫‪I J !" & 7 8- # S 8! G‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‪:‬‬ ‫‪ -١١‬ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ﺻـ )‪: (١٧٤‬‬

‫ ﺭﺍﺟﻊ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﻄﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻮﺍﺻﻞ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻭﺍﻟﻔﺖ ﺍﻧﺘﺒﺎﻫﻬﻢ ﺍﻟﻰ ﺍﻥ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻫﻰ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺻﻔﺮﻳﺔ ﺣﻴﺚ‪:‬‬

‫` ‪arĔ ts 7gb wcN P[ (Ń- Ů Ŀ Ů Ŀ) G[kb‬‬ ‫‪z& a so wj b ts 7gcb pkf es62gb -sgOb asF is_yr‬‬ ‫‪ŀŇ‬‬ ‫|‪|Ń - (Ń-) Ň - (Ŀ) Ņ + (Ŀ) Ł‬‬ ‫‪=a‬‬ ‫=‬ ‫‪ŁŅ‬‬ ‫‪Ł (Ň-)+ Ł Ņ +Ł Ł‬‬ ‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪. gpkz .O b ."r r Ůi y3 s f ŀ = MŁ + =Ł + 5 Ů Ń = MŅ + =Ņ + 5ł lzys 7gb i 11‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫‪ C‬ﺱ ‪ +‬ﺏ ﺹ ‪ +‬ﺟـ ﻉ ‪ = E +‬ﺻﻔﺮ‬

‫‪äÉ«KGóME’G QhÉëe øe áYƒ£≤ªdG AGõLC’G ΩGóîà°SÉH iƒà°ùªdG ádOÉ©e‬‬ ‫ ‪ts 7gb b- Of i V (ŀM Ů Ŀ Ů Ŀ) (Ŀ Ů ŀ= Ů Ŀ) Ů (Ŀ Ů Ŀ Ů ŀ5) H[kb wV z .&Ė 1r 'f ts 7gb PGZ /‬‬ ‫ _‪ 1s?b wcN is‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ŀ5‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬ ‫=‪ŀ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪ŀM‬‬

‫= ‪#ƅŀ‬‬

‫‪B D 5 c < 4- - &% M h iMJ & C5G !" & 7 8-‬‬

‫ ‪.ts 7gb b- Ogb [ 7b 1s?b Ė `61.g lO 6‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪. z 2 b wcN ń Ů ł- Ů Ł 4"Ĕ M Ů = Ů 5 z .&Ė 1r 'f lf PG[y t0b ts 7gb b- Of ."r 12‬‬ ‫‪ľĄĿí‬‬

‫‪#V !" & 7 8-‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪ŀ5‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬ ‫=‪ŀ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪ŀM‬‬

‫‪M = 5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ń‬‬ ‫‪ł‬‬‫‪Ł‬‬

‫ ‬

‫=‪ŀ‬‬ ‫=‪ŀ‬‬

‫‪ľĄ÷ Ņã Ľōîă‬‬

‫‪. z .&Ė 1r 'f lf Ņ = M - =ł + 5Ł ts 7gb pOG[y w b 4"Ĕ ."r 12‬‬ ‫‪:ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬

‫ ‪. z 2 b wcN ¶" Ů Ů C H[kb wV M Ů = Ů 5 z .&Ė 1r 'f ŀŁ = MŃ + =Ł + 5ł ts 7gb PGZ /‬‬ ‫ &‪¶" Ů C c gb & 7f 7‬‬

‫‪174‬‬

‫‪2-2‬‬

‫ﻭﺳﺎﻋﺪﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻻﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‪:‬‬

‫‪øe áYƒ£≤ªdG AGõL’G ΩGóîà°SÉH iƒà°ùªdG ádOÉ©e‬‬ ‫‪äÉ«KGóM’G QhÉëe‬‬ ‫ ﻟﻤﺴﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﺍﻻﺟﺰﺍﺀ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﻣﺤﺎﻭﺭ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺹ)‪ (١٧٤‬ﺭﺍﺟﻊ‬ ‫ﻣﻌﻬﻢ ﻣﺎ ﺳﺒﻖ ﻭﺗﻢ ﺷﺮﺣﻪ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺘﻌﻠﻖ ﺑﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﻳﻤﺮ ﺑﺜﻼﺙ‬ ‫ﻧﻘﺎﻁ ﻟﻴﺴﺖ ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﻘﺎﻣﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻭﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﺱ ﺹ‪ ١‬ﻉ‪ + ١‬ﺹ ﺱ‪ ١‬ﻉ‪ + ١‬ﻉ ﺱ‪ ١‬ﺹ‪١ = ١‬‬

‫ ‪ f Kf b - zyp #f $f #f \Cf‬‬

‫ﻭﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻓﻰ ﺱ‪ ١‬ﺹ‪ ١‬ﻉ‪ ١‬ﺗﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ(‪:‬‬

‫ﺱ‬

‫‪ -١٠‬ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ ﺻـ ‪:١٧٤‬‬

‫ﺱ‪١‬‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﺍﻟﻰ ﺍﻻﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬

‫‪+‬‬

‫ﺹ‬ ‫ﺹ‪١‬‬

‫‪+‬‬

‫ﻉ‬ ‫ﻉ‪١‬‬

‫=‪١‬‬

‫ ﻭﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﻬﻮﻡ ﻣﻦ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺹ)‪(١٧٥‬‬

‫‪:ø«jRGƒàe ø«jƒà°ùe ø«H áaÉ°ùªdG‬‬ ‫ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺭﻗﻢ ‪ ١١‬ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻـ )‪ (١٧٤‬ﻧﺎﻗﺶ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﻣﻔﻬﻮﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻭﺍﻟﺮﺑﻂ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﻴﻜﻮﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬ ‫ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻭﻫﻮ ﺗﻮﺍﺯﻯ ﻣﺘﺠﻬﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻟﻜﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ‬ ‫‪١C‬‬

‫ﺏ‪١‬‬

‫ﺟـ‪١‬‬

‫= ﺏ =‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻓﺈﻥ‬ ‫ﺟـ‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢C‬‬ ‫ ﻭﻻﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻳﺘﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻧﻔﺲ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺍﺳﺘﺨﺪﻣﺖ ﻻﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﻣﺴﺘﻮﻯ‬ ‫ﺁﺧﺮ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﻫﺬه ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺗﻨﺘﻤﻰ ﺍﻟﻰ ﺍﺣﺪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ‪ .‬ﻭﻻﻳﺠﺎﺩ ﻫﺬه ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﻳﺘﻢ ﺍﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺱ ‪ ،‬ﺹ ﺑﺎﻟﺼﻔﺮ ﻭﺍﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻉ ﺛﻢ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ‬ ‫ﻳﻄﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ‪.‬‬ ‫ ﺍﻟﻔﺖ ﺍﻧﺘﺒﺎه ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻰ ﺿﺮﻭﺭﺓ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻨﺘﻤﻰ‬ ‫ﺍﻟﻴﻪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‪.‬‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ ‪ -‬اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪133‬‬

‫ اﻟﺨﻄﻮط املﺴﺘﻘﻴﻤﺔ واملﺴﺘﻮﻳﺎت ﰱ اﻟﻔﺮاغ‬:‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ 2-2

U 6[f Ȕ m _ ;Ȟ f1 Sk

(‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ )اﻟﺤﻮار واﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ‬

(٢ - ٢) ‫ﺗﻤــــﺎرﻳــﻦ‬

:‫ـ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬١٢

(ŀ Ů Ł Ů Ŀ) ‫ﺟ‬

ń = M - = ł + 5 Ł ts 7gb wV P[ H[kb lf t 1 (Ŀ Ů Ł Ů ŀ) ‫ب‬ (ŀ Ů ŀ Ů ŀ) ‫أ‬

qbsF 4" 5 1s'f lf PG[y ŀŁ = MŃ + =Ł - 5ł ts 7gb 2 Ń ‫ﺟ‬ Ń- ‫ب‬ ł ‫أ‬

Ņ ‫د‬

¶& Ů Ů C wo łĿ = MŅ - = ń + 5 ts 7gb G6 s z .&Ė 1r 'f lf NsG[gb 4"Ĕ j ^ / 3 = ¶" + + C i V łŀ ‫ﺟ‬ łĿ ‫ب‬ 2W> ‫أ‬ Ńŀ ‫د‬ wo = Ů 5 z .&Ė 1s'f t3 syr (ł Ů Ł Ů ŀ) H[kb 1 gb ts 7gb b- Of 4 Ł== ‫د‬ ŀ=5 ‫ﺟ‬ ł=M ‫ب‬ ł==+5 ‫أ‬ Ł- = M ‫د‬

wo (Ł- Ů ł Ů Ń) Ů (ŀ Ů ł Ů ŀ-) Ů (ń Ů ł Ů Ł) H[kb 1 gb ts 7gb b- Of 5 ł== ‫ﺟ‬ ŀ- = 5 ‫ب‬ Ŀ = M- = + 5 ‫أ‬ wo qzcN t-sgN (ł Ů ŀ Ů Ł) q# gb r (ń Ů Ł- Ů ŀ) G[kb 1 gb ts 7gb b- Of 6 ŀń = Mł + = + 5Ł ‫ب‬ ŀ = Mł + = + 5Ł ‫أ‬ ŀń = Mń + =Ł - 5 ‫ﺟ‬ Ń=M+=+5 ‫د‬

‫ ﺳﺎﻋﺪ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ﻭﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ‬ .‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬

óbÉf ô«μØJ ‫ ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﻃﻼﺑﻚ ﺫﻛﺮ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺳﺒﻖ ﻭﺗﻤﺖ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ‬ ‫ﻭﺍﻣﻜﻦ ﻣﻦ ﺧﻼﻟﻬﺎ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺜﻠﺚ ﺃﻭ ﻣﺴﺎﺣﺔ‬ ‫ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻭﺍﺗﺮﻙ ﻟﻬﻢ ﺍﻟﻔﺮﺹ ﻟﻠﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ .‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬

:á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :lz h qzcN t-sgN (Ń Ů ł- Ů Ł) = K q# gb r (Ń Ů ŀ- Ů ŀ) G[kb 1 gb ts 7gb b- Ogb Wc +gb 1s?b ."r 7 ?ts 7gb t3 sy (Ł- Ů ń- Ů ł) = t q# gb do ‫ب‬ ?ts 7gb wV P[ (ŀ Ů Ł Ů Ł) G[kb do ‫أ‬

١٧٦ ‫ إﻟﻰ‬١٧٥ ‫إﺟﺎﺑﺔ ﺗﻤﺎرﻳﻦ اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻣﻦ‬

: z Ē ys 7gb lf d^ wcN P[ Q 2Wb wV H[j đ ."r 8 Ń = Mł + = - 5Ł ‫د‬

ń = =ł + 5 ‫ﺟ‬

.qzcN t-sgN M ł - = Ł + 5 =

Ł- = = ‫ب‬

ł=5 ‫أ‬

q# gb r d>Ĕ G[k 1 gb ts 7gb b- Ogb f Ob 1s?b ."r 9

‫ ﺟـ‬2

‫ ﺟـ‬1

‫ ﺏ‬4

‫ ﺟـ‬3

‫ ﺏ‬6

‫ ﺟـ‬5

M ņ - = ŀĿ + 5 Ń = K q# gb r (Ŀ Ů ŀ- Ů Ł) G[kb 1 gb ts 7gb b- Ogb Wc +gb 1s?b ."r 10

.qzcN t-sgN (Ł Ů Ŀ Ů ł) ¶" Ů (Ń Ů ł Ů ŀ-) (Ŀ Ů ŀ- Ů Ł) C H[j đ b 1 gb ts 7gb b- Ogb Wc +gb 1s?b ."r 11 ń = MŁ + = łŁ + 5 ts 7gb wcN t-sgN ( M Ń + = ł + 5 Ł) ] + M = S hz[ 7gb i 12 ts 7gb wV i O[y ( M Ł + = Ł - 5 ) ] + ( M + = + 5 ł) S :a hz[ 7gb r (Ŀ Ů ł Ů Ł) C G[kb i 13 ł = ( M - 5 Ł) . S q b- Of t0b

175

V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

‫ (= ﺻﻔﺮ‬C - S ) : ‫ﺱ‬ ‫ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‬C ‫ﺣﻴﺚ‬

(‫ ﻉ‬، ‫ ﺹ‬، ‫ = )ﺱ‬S ‫( ﻧﻀﻊ‬١) ‫ﺃﻭ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬

‫ ﻉ( = ﺻﻔﺮ‬،‫ ﺹ‬،‫ )ﺱ‬: (٣- ،٢ ،١) `

:‫ ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻥ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‬11

‫ﻉ = ﺻﻔﺮ‬٣ - ‫ﺹ‬٢ + ‫` ﺱ‬

‫ ﺟـ‬C * ‫ ﺏ‬C = ‫` ﻥ‬

‫ ﻉ‬٧ - ‫ ﺹ‬١٠ + ‫ ﺱ‬٧- =

‫ﻉ‬

‫ﺹ‬

:‫ ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‬10

‫ﺱ‬

٣-

: ‫ = ﻥ‬S : ‫` ﻥ‬

‫ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‬C ‫ﺣﻴﺚ‬ (٠ ،١- ،٢) : (٧- ،١٠ ،٤) = S : (٧- ،١٠ ،٤) `

:‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‬ S

): ‫ ﻥ‬a ‫(( = ﺻﻔﺮ‬٠ ،١- ،٢) - S ) : (٧- ،١٠ ،٧-) ` (٠ ،١- ،٢) : (٧- ،١٠ ،٧-) = S : (٧- ،١٠ ،٧-) ` ٢٤- = S : (٧- ،١٠ ،٧-) ` :‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‬ ‫( = ﺻﻔﺮ‬٠ - ‫ )ﻉ‬٧ - (١ + ‫ )ﺹ‬١٠ + (٢ - ‫)ﺱ‬٧‫( = ﺻﻔﺮ‬

:‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ :‫ ﻧﺠﺪ ﺃﻥ‬١ ‫ﻣﻦ‬ ٠ = ٢٤ + ( ‫ ﻉ‬،‫ ﺹ‬،‫ )ﺱ‬: (٧- ،١٠ ،٧-)

(١)

٢- = S : (٧- ،١٠ ،٤) ` :‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‬

‫ ﻉ = ﺻﻔﺮ‬، (١ + ‫ )ﺹ‬، (٢ - ‫ )ﺱ‬: (٧- ،١٠ ،٤) (٢)

٠ = ‫ﻉ‬٧ - (١ + ‫ )ﺹ‬١٠ + (٢ - ‫ )ﺱ‬٤ ` :‫ ﻧﺠﺪ أن‬٢ ‫ س‬:‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ‬

٠ = ‫ﻉ‬٧ - ١٠ + ‫ ﺹ‬١٠ + ٨ - ‫ﺱ‬٤ (٣ )

‫ = ﺻﻔﺮ‬٢ + ‫ﻉ‬٧ - ‫ﺹ‬١٠ + ‫ﺱ‬٤ ` ‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

134

тАля╗гя╗Мя║О╪пя╗Яя║Ф ╪з┘Е┘Дя║┤я║Шя╗о┘Й я░▓ ╪зя╗Яя╗Фя║о╪з╪║тАм

2-2

U 6[f ╚Ф y ;╚Ю x l┬А_ ;╚Ю IyK/f : ┬Аp #f 2*yf

тАл╪и ` я║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗к я║Ня╗Яя╗Мя╗дя╗оя║йя╗п я╗етАм

: z ─Т Er2;b lf ─С^ ├К \['yr (┼Г ┼о ┼А ┼о ┼Б) G[kb 2gy t0b ts 7gb b- Of ."r 14 ┼А =M┼Д + =┼В + 5┼Б ts 7gb t3 sy тАл╪гтАм (┼Г ┼о ┼Е ┼о ┼А) ┼о (┼Д ┼о ┼Б ┼о ┼В ) lz G[kb 1 gb hz[ 7gb wcN t-sgN тАл╪итАм ┼З = M┼Е- =┼Д +5┼В ┼о ┼Е =M┼Б + = + 5 ┼Ж lzys 7gb lf d^ wcN t-sgN тАля║ЯтАм

(┘б- ╪М┘д ╪М┘в-) = (┘е ╪М┘в ╪М┘г) - (┘д ╪М┘ж ╪М┘б) =

┼Г = 5 : S ts 7gb Pf ( M + = + 5 ┼Б) ] + M = 1 hz[ 7gb PF [ G[j z .& ."r 15

:тАл` я╗гя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗п я╗ля╗░тАм ┘а = (┘д - тАл я╗ЙтАм╪М┘б - тАл я║╣тАм╪М┘в - тАл )я║▒тАм: (┘б- ╪М┘д ╪М┘в-) ┘а = ┘д + тАл я╗ЙтАм- ┘д- тАля║╣тАм┘д + ┘д + тАля║▒тАм┘в┘а = ┘д + тАля╗ЙтАм- тАля║╣тАм┘д + тАля║▒тАм┘в-

wcN ┼Д ┼о ┼Г ┼о ┼Б 4"─Ф M ┼о = ┼о 5 z .&─Ц 1r 'f lf PG[y t0b ts 7gb b- Ogb Wc +gb 1s?b ."r 16 . z 2 b lf d^ b- Of ."r .d [gb d_;b wV :╟╢┼Т┼Р╩Ч╟д─г┼Ы ╞д┼Ы╞Д╟д 17 jQ . 2#'b zB1 ts 7f тАл╪гтАм . 2#'b X[6 ts 7f тАл╪итАм jK . z j #b H s'b ys 7f тАля║ЯтАм

hz[ 7gb t3 syr (┼А- ┼о ┼Б- ┼о ┼Е) ┼А] + (┼Д- ┼о ┼В ┼о ─┐) = S :┼Аa hz[ 7gb ts 'y t0b ts 7gb b- Of ."r 18 (┼В ┼о ┼В- ┼о ┼А) ┼Б] + (┼Г- ┼о ┼Ж ┼о ┼А) = S = ┼Бa

тАл я╗ля╗░ ╪зя╗Яя╗дя╗Мя║О╪пя╗Яя║Ф ╪зя╗Яя╗дя╗Дя╗ая╗оя║Ся║ФтАм┘а = ┘д - тАл я╗ЙтАм+ тАля║╣тАм┘д - тАля║▒тАм┘в тАл╪г┘ИтАм

: z ─Т ys 7gb lf !r3 d^ lz yr 4b 5 zZ ."r 19 ┼А = M┼Б- =┼Б + 5┼В :┼Бa ┼о ┼Д = M+ = - 5┼Б : ┼Аa тАл╪гтАм ┼о ┼Г = (┼А- ┼о ┼А ┼о ┼Б) : S :┼Аa тАл╪итАм ┼Ж = (─┐ ┼о ┼Б- ┼о ┼В) : S :┼Бa ┼о ┼Г = = : ┼Аa тАля║ЯтАм ┼А = M┼Д + =┼В - 5 :┼Бa

├Цd├Й┬г┬кdG IO├│┬й├аe ├бтИП├Д┬░SCG wo d>─Ф G[kb 7kb pOBsf p# f Q 2Wb wV E ┼о ┬╢" ┼о ┼о C H[kb j ^ / 20 z 2 b wcN M ┼Б + = ┼Г - 5 ┼Ж ┼о M ┼Б + = ┼Б - 5 - ┼о M ┼В + = - 5 ┼Б ┼о M + = ┬╢& C ts 7gb wcN t-sgOb m # ─Р q# f ."r тАл╪гтАм ┼Е ┼Б tr 7y ┬╢" C ts 7f wcN E lf es62gb -sgOb asF lz тАл╪итАм .i .f O f ┬╢" E ┼о ┬╢" C lzys 7gb i lz тАля║ЯтАм

(тАл я╗ЩтАм+ ┘б ╪МтАл я╗ЩтАм╪М тАля╗ЩтАм┘в) = S 15 ┘д = (┘а ╪М┘а ╪М┘б) : (тАл я╗ЩтАм+ ┘б ╪МтАл я╗ЩтАм╪МтАля╗ЩтАм┘в) ` ┘в=тАля╗ЩтАм ┘д = тАля╗ЩтАм┘в (┘г ╪М┘в ╪М┘д) :тАл` я╗зя╗Шя╗Дя║Ф я║Чя╗Шя║Оя╗Гя╗К я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗в я║Ся║Оя╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗п я╗ля╗░тАм

E r ┼о ┬╢& C lzys 7gb PF [ H* b- Of ."r тАл╪птАм ts'y = ts 7gb i ^r (┼А- ┼о ┼З ┼о ─┐) ┬╢" ┼о(┼Д ┼о ─┐ ┼о ┼А) (┼Б ┼о ┼Г ┼о ┼А) C H[kb ts'y 5 ts 7gb i ^ / 21 :."r qzcN t-sgN M ┼Б + = ┼Б + 5 = K q# gb r (┼В ┼о ┼Б ┼о ┼Б) E G[kb 5 ts 7gcb z .&─Ц b- Ogb тАл╪гтАм = ts 7gcb z .&─Ц b- Ogb тАл╪итАм U ┼о E lf d^ gzZ gV = ┼о 5 lzys 7gb lf d^ wV P[ (U ┼о ─┐ ┼о E) G[kb j ^ / тАля║ЯтАм

(┘г ╪М┘г- ╪М┘б) * (┘б- ╪М┘в- ╪М┘ж) = тАл я╗етАм18 тАля╗ЙтАм

(┘б┘ж- ╪М┘б┘й- ╪М┘й-) =

тАля║╣тАм

= ┼о 5 lzys 7gb PF [ H+b p# gb 1s?b ."r тАл╪птАм . k_ggb Y hzZ ."r = ┼о 5 lzys 7gb lf yr 7 f - O wcN ( Y ┼о┼А ┼о ┼А ) G[kb j ^ / тАля╗лтАм

тАля║▒тАм

┘б-

┘в-

┘ж

┘г

┘г-

┘б

f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

┘а = ┘в┘д + тАля╗ЙтАм┘з - тАля║╣тАм┘б┘а + тАля║▒тАм┘з - `

тАл( = я║╗я╗Фя║отАм┘е + тАл я╗ЙтАм╪М┘г - тАл я║╣тАм╪М┘а - тАл )я║▒тАм: (┘б┘ж ╪М┘б┘й ╪М┘й) ` ┘а = ┘и┘а + тАля╗ЙтАм┘б┘ж + ┘е┘з - тАля║╣тАм┘б┘й + тАля║▒тАм┘й ` тАля╗ля╗░ я╗гя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗птАм ┘а = ┘в┘г + тАля╗ЙтАм┘б┘ж + тАля║╣тАм┘б┘й + тАля║▒тАм┘й `

┘л┘б┘й┘и┘а = ┘л┘д┘е┘в┘й =

┘б┘а┘в

тАл я╗гя║Шя║ая╗к я║Ня║Чя║ая║О┘З я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗втАм12

:тАл┘Ия╗зя╗╝я║гя╗Ж ╪г┘ЖтАм

┘д ┘з┘и

= i тАл╪г я║Яя║Шя║ОтАм =i ` |(┘а ╪М┘в- ╪М┘г) : (┘б- ╪М┘б ╪М┘в)| = = i тАл╪и я║Яя║Шя║ОтАм

┘б┘г

┘г ┘г┘е

┘г┘б ||┘д┘ж = i ` C

(┘б ╪М┘б- ╪М┘б-) = тАл я║Я┘АтАмC ╪М (┘в ╪М┘а ╪М┘в) = тАл я║ПтАмC

тАл╪гтАм

тАл я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗│я║Оя╗е я╗гя║Шя╗оя║Ня║пя╗│я║Оя╗етАмa тАл ╪гтАм14 (┘е ╪М┘г ╪М┘в) = тАл` я║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗к я║Ня╗Яя╗Мя╗дя╗оя║йя╗п я╗Ля╗ая╗░ я╗Ыя╗Ю я╗гя╗ия╗мя╗дя║О я╗етАм :(┘д ╪М┘б ╪М┘в) тАл` я╗гя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗п я║Ня╗Яя╗дя║Оя║н я║Ся║Оя╗Яя╗ия╗Шя╗Дя║ФтАм ┘а=( C - S ): тАля╗етАм ┘а = (┘д - тАл я╗ЙтАм╪М┘б - тАл я║╣тАм╪М┘в - тАл )я║▒тАм: (┘е ╪М┘г ╪М┘в) `

╪М (┘в ╪М┘в- ╪М┘б-) = тАля║Я┘АтАм

тАл я╗етАм┘в= C `

тАл)я║Гя╗н я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗в( я╗Ля╗дя╗оя║йя╗п я╗Ля╗ая╗░ я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗птАм

= i тАля║Я┘А я║Яя║Шя║ОтАм

(┘г ╪М┘б- ╪М┘в) = тАл я║ПтАм╪М (┘б ╪М┘б- ╪М┘а) = E

тАл я╗етАм// C `

┘д ||┘д┘б = i `

|(┘е ╪М┘г- ╪М┘б) : (┘а ╪М┘б ╪М┘а)| ┘г┘е * ┘б

(┘в ╪М┘д- ╪М┘з) =

┘г

(┘д ╪М ┘в ╪М┘б) ┘в = (┘д ╪М┘г ╪М┘в) =

┘ж

┘е ┘е┘й

135

┘г (┘в ╪М ┘в ╪М┘б) = тАля║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗к я║Ня╗Яя╗Мя╗дя╗оя║йя╗п я╗Ля╗ая╗░ я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗п я╗етАм

|(┘в- ╪М┘в ╪М┘г) : (┘б ╪М┘б- ╪М┘в)| ┘б┘з ┘ж

┘е ┘ж┘г

┘а┘л┘е┘а┘з┘б =

(┘д ╪М┘г ╪М┘в) =

┘в

176

тАл = я║╗я╗Фя║отАм┘в┘а - тАля╗ЙтАм┘е + ┘г - тАля║╣тАм┘г + ┘д - тАля║▒тАм┘в тАл = я║╗я╗Фя║о я╗ля╗░ я║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я║Ня╗Яя╗дя╗Дя╗ая╗оя║Ся║ФтАм┘в┘з - тАля╗ЙтАм┘е + тАля║╣тАм┘г + тАля║▒тАм┘в `

‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ :‬اﻟﺨﻄﻮط املﺴﺘﻘﻴﻤﺔ واملﺴﺘﻮﻳﺎت ﰱ اﻟﻔﺮاغ‬

‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ‪ C‬ﺏ ﺟـ =‬

‫ﺱ‬

‫ﺹ‬

‫ﻉ‬

‫‪٢‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪١‬‬

‫` ﻥ = )‪(١- ،٢- ،١) = (٢- ،٤- ،٢‬‬ ‫‪ -‬ﺟـ‬

‫|)‪|(١- ،٢- ،١) : (٠ ،٢- ،٨‬‬ ‫‪٦‬‬

‫=‬

‫‪١٢‬‬ ‫‪٦‬‬

‫)‪: (١- ،٢- ،١‬‬

‫=‪٢‬‬

‫‪٧‬‬

‫‪٤-‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪٣‬‬

‫)‪(١‬‬

‫` )‪: (١ ،١٧- ،١٠-‬‬

‫= )‪(٣ ،١- ،٢) : (١ ،١٧- ،١٠-‬‬

‫‪١٠‬ﺱ ‪١٧ -‬ﺹ ‪ +‬ﻉ = ﺻﻔﺮ‬‫‪٢ ،١‬‬ ‫ﺑﺤﺬﻑ ﻉ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ‬ ‫‪١٧‬ﺱ ‪٤٣ -‬ﺹ ‪١٧ -‬ﻉ = ‪١٧‬‬ ‫‪٢٠- ،‬ﺱ ‪٣٤ -‬ﺹ ‪٢ +‬ﻉ = ‪٠‬‬ ‫‪١٩‬ﻉ = ‪١٧‬‬‫` ‪٣٧‬ﺱ‬ ‫`ﺱ=‬

‫‪١٩ + ١‬ﺹ‬ ‫‪٩-‬‬

‫)‪(٢‬‬

‫)‪(٣‬‬

‫‪136‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٤-‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪٣-‬‬

‫‪١٩ + ١٧‬ﻉ‬ ‫‪٣٧‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫` )‪) : (٤- ،٣- ،٠‬ﺱ ‪ ،١ -‬ﺹ ‪ ،٤ -‬ﻉ ‪٠ = (٢ -‬‬ ‫‪٣‬ﺹ ‪٤ - ١٢ +‬ﻉ ‪٠ = ٨ +‬‬‫‪٣‬ﺹ ‪٤ +‬ﻉ ‪ ٠ = ٢٠ -‬ﻫﻰ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺱ‪١‬‬

‫)‪(١‬‬

‫‪٣ a‬ﺹ ‪٤ +‬ﻉ ‪ = ٢٠ -‬ﺻﻔﺮ‪،‬‬ ‫‪ ،‬ﺱ ‪٢ +‬ﺹ ‪٢ +‬ﻉ ‪ = ٦ -‬ﺻﻔﺮ‬ ‫` ﻥ = )‪ (٢ ،٣ ،٠‬ﻣﺘﺠﻪ ﻋﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺱ ﻭﻋﻠﻰ‬ ‫ﺧﻂ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ‬ ‫‪ ،‬ﻡ = )‪ ( ،٢ ،١‬ﻣﺘﺠﻪ ﻋﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺹ ﻭﻋﻠﻰ‬ ‫ﺧﻂ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ‬ ‫` ﻡ * ﻥ ﻫﻮ ﻣﺘﺠﻪ ﻋﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻡ * ﻥ‬

‫ﺛﻢ ﺑﺤﺬﻑ ﺹ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ‪٢ ،١‬‬ ‫‪١٧‬ﺱ ‪٣٤ -‬ﺹ ‪١٧ -‬ﻉ = ‪١٧‬‬ ‫‪٢٠‬ﺱ ـ ‪٣٤‬ﺹ = ‪٢‬ﻉ = ‪٠‬‬‫` ‪٣٧‬ﺱ ‪١٩ -‬ﻉ = ‪١٧‬‬ ‫`ﺱ=‬

‫ﺱ‬

‫ﺹ‬

‫ﻉ‬

‫ب )‪) - (٢ ،٢ ،١‬ﺱ ‪ ،٢ -‬ﺹ ‪ ،٢ -‬ﻉ ‪ = (٣ -‬ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺱ ‪٢ + ٢ -‬ﺹ ‪٢ + ٤ -‬ﻉ ‪٠ = ٦ -‬‬ ‫` ﺱ ‪٢ +‬ﺹ ‪٢ +‬ﻉ ‪ ٠ = ٦ -‬ﻫﻰ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺹ ‪(٢) ٢‬‬ ‫ﺟـ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ )ﻁ ‪ ،٠ ،‬ﻑ( ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‪:‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻰ ‪ ٢ ،١‬ﻳﻨﺘﺞ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫ﻑ=‪٥‬‬ ‫‪٤ + (٠)٣‬ﻑ ‪٠ = ٢٠ -‬‬ ‫ﻁ = ‪٤-‬‬ ‫ﻁ ‪٠ = ٦ - (٥)٢ + (٠)٢ +‬‬ ‫د ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﺱ‪ ،‬ﺹ‪:‬‬

‫= )‪(١ ،١٧- ، ١٠-‬‬

‫‪S‬‬

‫‪ C‬ﺏ = )‪(٣ ،٤- ،٠) = (٢ ،٤ ،١) - (٥ ،٠ ،١‬‬

‫= )‪(٤- ،٣- ، ٠‬‬

‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻭ ‪ E‬ﺏ =‬ ‫ﺱ‬

‫‪ 21‬ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺱ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻂ ‪ ،C‬ﺏ ‪ ،‬ﺝ‪:‬‬

‫‪٦‬‬

‫` ﺱ ‪٢ -‬ﺹ ‪ -‬ﻉ = ‪١‬‬ ‫ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭ ‪ E‬ﺏ‪:‬‬ ‫ﻭ ‪ ، (٢ ،٤- ،٧) = E‬ﻭ ﺏ = )‪(٣ ،١- ،٢‬‬

‫ﺹ‬

‫=‬

‫` ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻥ =‬

‫= )‪(١ ،١- ،٠) : (١- ،٢- ،١‬‬

‫ﻉ‬

‫‪= ١‬‬

‫‪١٩ + ١‬ﺹ‬ ‫‪٩-‬‬

‫‪١٩ + ١٧‬ﻉ‬ ‫‪٣٧‬‬

‫‪ C‬ﺟـ = )‪(٣- ،٤ ،١-) = (٢ ،٤ ،١) - (١- ،٨ ،٠‬‬

‫د ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ‪ ، C‬ﺟـ‬ ‫‪S‬‬

‫ﺱ‬

‫أ‬

‫ب ﺟـ ‪= E‬‬ ‫= )‪(٢ ،٢- ،١-) - (٢ ،٤- ،٧‬‬ ‫= )‪(٠ ،٢- ،٨‬‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻨﺎﺯﻝ ﻣﻦ ‪ E‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ‪ C‬ﺏ ﺟـ‬ ‫‪E‬‬

‫` ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻫﻰ‪:‬‬

‫ﻭﻳﻮﺍﺯﻯ ﺧﻂ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ‪.‬‬ ‫ﻟﺬﺍ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ =‬

‫ﺱ‬

‫ﺹ‬

‫ﻉ‬

‫‪٠‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪٢‬‬

‫)‪(٤‬‬

‫= )‪(٣- ،٤ ،٢-‬‬

тАля╗гя╗Мя║О╪пя╗Яя║Ф ╪з┘Е┘Дя║┤я║Шя╗о┘Й я░▓ ╪зя╗Яя╗Фя║о╪з╪║тАм

2-2

┘б┘е + ┘е┘б = X┘в┘в ┘в ┘в┘в ┘г = ┘ж┘ж = X ┘б┘и = X `

(┘б) тАля╗╗я║Чя║дя╗Шя╗Ц ╪зя╗Яя╗дя╗Мя║О╪пя╗Яя║ФтАм

k R r 5 l

├┤┼Г├о─л ┼Ж┼У─Н├о┼Д├╖ :├д├ЙH├ЙLEтАЩG ├╕┬лH ├╕e ├б├л┬л├л┬░├╝dG ├бH├ЙLEтАЩG ├┤├аNG wo qb m # q# f (┼В ┼о┼А- ┼о┼А) = ┬╢o q# gb r (┼Б ┼о─┐ ┼о┼А-)C G[kb 1 gb hz[ 7gb b- Of 1 ┼Б-M = ┼А+5 тАл╪итАм = = ┼А ┼В ┼АM ┼А-= ┼А-5 = = ┼А тАл╪птАм ┼Б ┼А-

wo (┼А ┼о─┐ ┼о┼А-) ┼о (┼Б ┼о┼А- ┼о┼А)C lz G[kb 1 gb hz[ 7gb b- Of 2 ┼Б+M ┼А-= ┼А+5 тАл╪итАм ┼Б-M ┼А+= ┼А-5 тАл╪гтАм = = ┼А- = ┼А = ┼Б┼А ┼Б ┼А┼А+M ┼Б-= ┼А-5 ┼А-M ┼А+= ┼Б-5 тАля║ЯтАм тАл╪птАм = = = = ┼А ┼А ┼В ┼В ┼Б ┼Б ┼А+M ┼Б-= ┼А+5 ┼А+M ┼В-5 tr 7 ┼Б- = ┼Б = ┼А ┼о┼А = = ┼о ┼Б- = ┼Б lzgz[ 7gb lz yr 4b 5 zZ 3

┘б┘и┘йтАл ╪ея╗Яя╗░ ╪╡тАм┘б┘и┘итАл╪ея║Яя║Оя║Ся║О╪к я║Ся╗Мя║╛ ╪зя╗Яя║Шя╗дя║О╪▒я╗│я╗ж ╪зя╗Яя╗Мя║Оя╗гя║Ф ╪╡тАм C 2

тАл я║ПтАм1

тАл я║Я┘АтАм4

тАл я║Я┘АтАм3

тАл я║Я┘АтАм6

┘ж 5

тАл я║ПтАм8

тИТ , тИТ,

тАля║йтАм тАля║ПтАм

┘д-тАля║╣тАм ┘е

┼А тАля║ЯтАм

┼В- тАл╪птАм

┼Б тАл╪итАм

┼А- тАл╪гтАм

ts 7gb wcN P[ (┼В ┼о┼А- ┼о┼Б) G[kb 6 ┼Г = M┼Д + =┼Б - 5 тАл ╪птАм┼Б─┐ = M┼Г + =┼Б - 5┼В тАл я║ЯтАм┼А─┐- = M + =┼В - 5┼Б тАл╪итАм ┼Е=M-=+5 тАл╪гтАм M

= ┬╢" ┼о ,C 9 & 7f i V ┬╢" ┼о ,C H[kb wV z .&─Ц 1r 'f ┼А = + + ts 7gb PGZ / 7 ┼В ┼Г ┼Д ┼В─┐ тАл╪птАм ┼Б─┐ тАля║ЯтАм ┼А─┐ тАл╪итАм ┼А┼Б тАл╪гтАм

┘г+тАля║▒тАм ┘г

so ┼Д = M + =┼Б - 5┼Б ts 7gb wb (┼А ┼о┼В ┼о┼Б) G[kb lf -sgOb asF 8 ┼В тАля║ЯтАм ┼Б тАл╪итАм ┼А тАл╪гтАм

┼Г тАл╪птАм

wo ─┐ = ┼Б + M - =┼В - 5 :┼Бa ┼о─┐ = ┼А - M + = - 5┼Б :┼Аa lzys 7gb PF [ H* b- Of 9 ┼Д-M = ┼А-5 тАл╪итАм M = ┼А+5 тАл╪гтАм = -= = =

(┘ж ╪М┘е ╪М┘г) = тАл` я╗птАм (┘е- ╪М┘д ╪М┘в-) = C ╪М

(┘и- ╪М┘д ╪М┘г-) = тАля║ПтАм

c┼А┼Д тАл╪гтАм

┼Б - ] = M ┼о┼А + ]┼Б = = ┼о┼А - ]C = 5 :┼Бa ┼о┼А - ] = M ┼о┼А + ] = = ┼о┼А - ]┼Б = 5 :┼Аa i gz[ 7gb i ^ / 5 = + C i V lzy3 s f ┼Е тАля║ЯтАм ┼Б- тАл╪итАм ┼Г тАл╪гтАм ┼Б- тАл╪птАм

тАля╗ЭтАм

c┼В─┐ тАл╪итАм

M ┼Б-= ┼А-5 ┼Б-M ┼А-= 5 = ┼А = e = ┼Бa ┼о e = ┼А- = : a i gz[ 7gb i ^ / 4 e gzZ gV . ly.f O f ┼А┼Б ┼А

:тАл я╗Яя╗ия╗Фя║оя║╜ я║Гя╗е я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗в я╗Э я╗гя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Шя╗ктАм11 ┘и+тАля╗ЙтАм ┘ж

c┼Г┼Д тАля║ЯтАм

c┼Е─┐ тАл╪птАм

┼А-M = ┼А-5 тАл╪гтАм = = ┼А┼А ┼Б M = ┼А-5 тАля║ЯтАм = = ┼А ┼А┼В

┼А┼В ┼Б M ┼В-= ┼Б-5 тАля║ЯтАм = ┼Б- = ┼А ┼А-

┼А ┼А ┼В M ┼А-= ┼А-5 тАл╪птАм = ┼В = ┼Г ┼Д

179

┬АV 6[f :2qvf - ┬АV 6[f :2qvf x ╟║'f b

(┘г ╪М┘а ╪М┘б) = C тАля║ПтАм ┘в┘б ┘з┘а

|(┘г╪М ┘а ╪М ┘б) (┘ж ╪М ┘е ╪М ┘г)| ┘г┘ж +┘в┘е + ┘й

=EтАл`я║ПтАм

тАл я╗Уя╗░ я╗гя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Шя╗░тАм┘а = тАля╗ня╗╣я╗│я║ая║Оя║й я╗зя╗Шя╗Дя║Ф я║Чя╗Шя╗К я╗Ля╗ая╗░ я║зя╗В я║Ня╗Яя║Шя╗Шя║Оя╗Гя╗К я╗зя╗Ая╗К я║╣тАм тАля║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗│я╗┤я╗жтАм ┘б┘а = ┘й + ┘а + ┘б = тАл я║ПтАмC тАля╗Яя╗Ья╗жтАм ┘е=тАля╗ЙтАм ┘в┘а = тАля╗ЙтАм┘д + (┘а) ┘г ` :тАл я╗│я╗Ья╗оя╗етАмE тАл я║П я║Ня╗Яя╗Шя║Оя║Ля╗в я╗Уя╗░тАмE C 9 тАля╗Уя╗░тАм ┘а = ┘ж - тАля╗ЙтАм┘в + тАля║╣тАм┘в + тАл я║▒тАмa ╪М ┘д- = тАл я║▒тАм┘а = ┘ж - (┘е)┘в + (┘а)┘в + тАл` я║▒тАм - ┘б┘а = E C ┘б┘л┘й = ┘д┘д┘б ┘з┘а (┘е ╪М┘а ╪М┘д-) тАля║Ня╗Яя╗ия╗Шя╗Дя║Ф я╗ля╗░тАм тАл я╗ня║гя║кя║У я╗Гя╗оя╗ЭтАм┘б┘л┘й = тАл` я╗Гя╗оя╗Э я║Ня╗Яя╗Мя╗дя╗оя║йтАм тАл( я╗ля╗░ я║Ня╗Яя║╝я╗оя║ня║У я║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя║ФтАм┘г- ╪М┘д ╪М┘в-) тАл я╗ЩтАм+ (┘е ╪М┘а ╪М┘д-) = тАл` я╗птАм тАля╗Яя║ия╗В я║Ня╗Яя║Шя╗Шя║Оя╗Гя╗КтАм ┘а = ┘й - тАля╗ЙтАм┘д + тАля║╣тАм┘в - тАл я║▒тАмa 12

┘б┘г ┘в┘б

|┘й- (┘б-) * ┘д + ┘б * ┘в - ┘в | ┘б┘ж +┘д + ┘б

|┘ж - X┘в +┘в +┘б)| ┘в┘в + ┘в┘в +┘б

= тАл` я╗Гя╗оя╗Э я║Ня╗Яя╗Мя╗дя╗оя║йтАм

тАл я╗гя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗втАм13 (┘ж- ╪М┘б- ╪М┘б) тАл я╗ЩтАм+ (┘е- ╪М┘д- ╪М┘г) = тАля╗птАм C тАля║Гя╗е я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗в я╗│я╗Шя╗Дя╗К я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗п я╗Уя╗░тАм (┘б) (тАля╗ЩтАм┘ж - ┘е- ╪МтАл я╗ЩтАм-┘д- ╪МтАл я╗ЩтАм+ ┘г)C `

┘г

137

(┘б)

┘в┘д + ┘в┘г

|┘г - X┘в|

тАл я╗ня║гя║кя║У я╗Гя╗оя╗ЭтАм┘в┘л┘и =

|┘в┘а - X┘д + (┘б)┘г)|

|┘б┘з - X┘д| ┘е

тАля╗л┘АтАм

тАл` я║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗ктАм

(┘г - X┘в)┘е = |┘б┘з - X┘д | ┘г ` (┘г - X┘в)┘е ! = |┘б┘з - X┘д | ┘г ` ┘б┘е - X┘б┘а = ┘е┘б - X┘б┘в ` ┘б┘и = X ┘б┘е - ┘е┘б = X┘в (┘г - X┘в) ┘е- = (┘б┘з - X┘д)┘г тАля║Гя╗нтАм ┘б┘е + X┘б┘а = ┘е┘б - X┘б┘в

тАл ╪зя╗Яя║ия╗Дя╗о╪╖ ╪з┘Е┘Дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗дя║Ф ┘И╪з┘Е┘Дя║┤я║Шя╗оя╗│я║О╪к я░▒ ╪зя╗Яя╗Фя║о╪з╪║тАм:тАл╪зя╗Яя╗оя║гя║к╪й ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗зя╗┤я║ФтАм U 6[f ╚Ф y ;╚Ю x l┬А_ ;╚Ю IyK/f : ┬Аp #f 2*yf

тАля╗гя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗птАм (┘б- ╪М┘г- ╪М┘в) * (┘а ╪М┘в- ╪М┘б) = тАля╗етАм

┼А-M ┼Б-= ┼А+5 ┼А-M ┼Б-= ┼А+5 ts 7gb wV i O[y ┼А- = ┼Б- = ┼А :┼Бa ┼о ┼В = ┼А- = ┼А- :┼Аa i gz[ 7gb 10

─┐ = ┼Ж - M┼Б + =┼Г - 5┼Д тАл╪итАм

─┐ = ┼А - M + =┼Д - 5┼В тАл╪гтАм ─┐ = ┼Г - M - =┼Д - 5┼Ж тАля║ЯтАм

─┐ = M┼В + =┼Б + 5┼Ж тАл╪птАм

:├б┬лJBтАЩG ├бтИП├Д┬░SCтАЩG ├╕Y ├ЦLCG ┼З+M ┼Г-= ┼В+5 ┼Е = ┼Д = ┼В hz[ 7gb lN (┼Д- ┼о┼Г ┼о┼Б-) G[kb .O ┬╜ ."r 11

(┘б ╪М┘б ╪М┘в) =

┼И = ( M ┼Г + = ┼Б - 5 ) : S hz[ 7gb lN (┼А- ┼о┼А ┼о┼Б) G[kb .O ┬╜ ."r 12 H[kb 1 gb ts 7gb Pf (┼А ┼о┼В- ┼о┼Б) (┼Д- ┼о┼Г- ┼о┼В) lz G[kb 1 gb ts 7gb PF [ G[j z .& ."r 13 (─┐ ┼о┼А- ┼о┼Г) ┼о (┼А ┼о─┐ ┼о┼В) ┼о (┼А ┼о┼Б ┼о┼Б) ┼Д = (┼А ┼о┼А- ┼о┼А) : S ts 7gb Pf (┼Б ┼о┼Г ┼о┼В) ] + (┼Б ┼о┼А- ┼о┼Б) = S hz[ 7gb PF [ G[j z .& ."r 14

. gpkz .O b ."r r ┼оi y3 s f ─┐ = ┼Д + M┼Г + =┼Б + 5┼Г ┼о┼З = M┼Б + = + 5┼Б lzys 7gb i 16

M = 5 + + wo ts 7gb b- Of i ┼АM ┼А= ┼А5

┼Р┼Д─╗├н─О├╖ ─Н├о├▓├╕─З├н :тЙИJC├Йj ├Йe ╧А┬кcCG ┼А+M tr 7 M 1s'gb "sgb m # ─Р Pf ┼А = ┼Б - = = ┼А - 5 hz[ 7gb pOk?y w b yr 4b 5 zZ 1 ┼А ┼Б ┼А+M ┼А-= ┼А-5 ...................................... tr 7y ┼А- = ┼А = ┼Б hz[ 7gb wcN (┼А ┼о ─┐ ┼о┼А-) G[kb lf es62gb -sgOb asF 2

...........

wo (─┐ ┼о┼А- ┼о┼А) ┼о(┼В ┼о─┐ ┼о┼А-)C lz G[kb 1 gb hz[ 7gcb y2 f 1 b ─Р- Ogb 3

q# gb r (┼А- ┼о┼В ┼о┼Б) G[kb 1 gb ts 7gb b- Of 5 f Kf b - zyp #f $f #f \Cf

┘в┘б

┘в┘д + ┘в┘в + ┘б

тАл╪│тАм

(┘бтАл я╗ЙтАм╪М┘бтАл я║╣тАм╪М┘бтАл` я╗зя╗Шя╗Дя║Ф я║Чя╗Шя║Оя╗Гя╗К я║Ня╗Яя╗дя║Шя╗оя║│я╗Дя║Оя║Х )я║▒тАм тАля╗етАм

тАля╗ЭтАм

тАля╗бтАм

тАля╗ЙтАм

тАля║╣тАм

тАля║▒тАм

( ┘г ╪М ┘г ╪М ┘г )= ┘б= тАл я╗етАм+ тАл я╗ЭтАм+ тАля╗ЙтАм

тАля║╣тАм

тАля╗бтАм

тАля║▒тАм

┘б = тАля╗ЙтАм┘г + тАля║╣тАм┘г + тАля║▒тАм┘г тАл` я╗зя╗Шя╗Дя║ФтАм ┘б ┘б ┘б ┘г=

тАля╗ЙтАм ┘бтАля╗ЙтАм

тАля║╣тАм ┘бтАля║╣тАм

тАля║▒тАм

┘б-

┘г-

┘в S

: (┘б ╪М┘б ╪М┘в) `

тИТ

= тАля║Ня╗Яя║Тя╗Мя║ктАм

тАл я╗ЙтАм╪МтАл я║╣тАм╪МтАл я║П я║Я┘А я╗│я╗Шя╗Дя╗К я╗гя╗ж я║Ня╗Яя╗дя║дя║Оя╗ня║н я║▒тАмC тАл я╗зя╗Фя║оя║╜ я║Гя╗е я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗птАм17 тАл я╗етАм╪МтАл я╗ЭтАм╪МтАля║Гя║Яя║░я║Ня║А я╗Гя╗оя╗Яя╗мя║О я╗Ля╗ая╗░ я║Ня╗Яя║Шя║оя║Чя╗┤я║Р я╗бтАм тАля║Я┘АтАм (тАл ┘ЖтАм╪М . ╪М .) ╪М (┘а ╪М┘а ╪МтАл)я╗бтАмC (тАл ┘ЖтАм╪М тАл ┘ДтАм╪М .) тАл╪╡ ╪итАм ╪М (┘а ╪МтАл я╗ЭтАм╪М┘а) тАля║ПтАм тАл┘ДтАм (тАл я╗етАм╪М┘а ╪М┘а) тАля║Я┘АтАм (. ╪М . ╪М тАл)┘ЕтАм

тАля║Я┘АтАм тИТ,

, тАля║йтАм

|┘е + ┘д * ┘д+ ┘а * ┘в + ┘а * ┘д |

тАля╗ЭтАм

┘в┘б =

┘в┘б

┘б

:тАл я╗гя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗в я╗ЭтАм15

┘и = тАля╗ЙтАм┘в + тАл я║╣тАм+ тАля║▒тАм┘в ┘д = тАл ! я╗ЙтАм┘а = тАля╗зя╗Ая╗К я║▒ = я║╣тАм тАл( я╗зя╗Шя╗Дя║Ф я╗Уя╗░ я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗п я║Ня╗╖я╗ня╗ЭтАм┘д ╪М┘а ╪М┘а) ` :тАля║Чя╗оя║Яя║к я║Ня╗Яя║Тя╗Мя║к я║Ся╗┤я╗ж я╗ля║м┘З я║Ня╗Яя╗ия╗Шя╗Дя║Ф я╗ня║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗п я║Ня╗Яя║Ья║Оя╗зя╗░тАм

180

тАля║ПтАм

тИТ,

wo qzcN t-sgN (┼В- ┼о┼Б ┼о┼Д) =

┘в-

(┘в ╪М┘д ╪М┘г) тАл я╗ЩтАм+ (┘в ╪М┘б- ╪М┘в) = S 14 (тАля╗ЩтАм┘в + ┘в ╪МтАля╗ЩтАм┘д + ┘б- ╪МтАля╗ЩтАм┘г + ┘в) = ┘е = (┘б ╪М┘б- ╪М┘б) : S a ┘е = (┘б ╪М┘б- ╪М┘б) : (тАля╗ЩтАм┘в + ┘в ╪МтАля╗ЩтАм┘д + ┘б- ╪МтАля╗ЩтАм┘г + ┘в) ` ┘е = тАля╗ЩтАм┘в + ┘в + тАля╗ЩтАм┘д - ┘б + тАля╗ЩтАм┘г + ┘в ┘а=┘е-┘е=тАля╗ЩтАм (┘в ╪М┘б- ╪М┘в) тАл` я╗зя╗Шя╗Дя║Ф я║Ня╗Яя║Шя╗Шя║Оя╗Гя╗К я╗ля╗░тАм

tr 7 ─┐ = ┼В - M ┼Б + = - 5 :┼Бa ┼о─┐ = ┼А + M ┼Б + = - 5- :┼Аa lzgz[ 7gb lz yr 4b 5 zZ 4 ..............................

┘а

:тАля╗ня╗гя╗ия╗мя║ОтАм ┘бтАля║▒тАм

(┘в ╪М┘д- ╪М┘ж) тАл я╗ЩтАм+ (┘г ╪М┘в ╪М┘б) = тАля╗птАм

......................................

тАля║▒тАм

тАл я║Чя╗Шя╗К я╗Уя╗░ я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗птАмC a ┘з = S : (┘б ╪М┘б ╪М┘в) ` ┘з = (тАля╗ЩтАм┘ж - ┘е- ╪МтАл я╗ЩтАм- ┘д- ╪МтАл я╗ЩтАм+ ┘г) : (┘б ╪М┘б ╪М┘в) ` ┘з = тАля╗ЩтАм┘ж - ┘е - тАл я╗ЩтАм- ┘д - тАля╗ЩтАм┘в + ┘ж ┘в- = тАля╗ЩтАм ┘б┘а = тАля╗ЩтАм┘е (┘з ╪М┘в- ╪М┘б)C тАл` я╗зя╗Шя╗Дя║Ф я║Ня╗Яя║Шя╗Шя║Оя╗Гя╗КтАм

╚И╞░─Э┼╗┼Ы─Ю ╞Д┼Р╟Ф╞╜┼Э

PF [ G[j wo (┼АM ┼о┼А= ┼о┼А5) G[kb j ^r ┬╢" ┼о ┼оC H[kb wV z .&─Ц 1r 'f ts 7gb PGZ / 17 ┬╢" C c gb G6s f

..............................

тАля║╣тАм

(┘б ╪М┘в ╪М┘в) : (┘б ╪М┘б ╪М┘в) =

(┼Д ┼о┼Б- ┼о┼Ж) ┬╢" (┼В ┼о┼Б ┼о┼А) lz G[kb 1 gb hz[ 7gb wcN (┼Е ┼о┼И ┼о─┐)C G[kb H[7f ."r 15

┼В=

тАля╗ЙтАм

(тАля╗ЩтАм┘в + ┘г ╪МтАля╗ЩтАм┘д - ┘в ╪МтАля╗ЩтАм┘ж + ┘б) = тАл` я╗птАм (тАля╗ЩтАм┘в + ┘г ╪МтАля╗ЩтАм┘д - ┘в ╪МтАля╗ЩтАм┘ж + ┘б) = тАля╗Яя║Шя╗Ья╗жтАм (тАля╗ЩтАм┘в + ┘г- ╪МтАля╗ЩтАм┘д - ┘з- ╪МтАля╗ЩтАм┘ж + ┘б) =

тАл = я╗птАмCE ╪М

(┘в ╪М┘д- ╪М┘ж) = тАл я╗птАмa тАля╗Щ( = я║╗я╗Фя║отАм┘в + ┘г- ╪МтАля╗ЩтАм┘д -┘з- ╪МтАля╗ЩтАм┘ж + ┘б) : (┘в ╪М┘д- ╪М┘ж) ` ┘а = тАля╗ЩтАм┘д + ┘ж - тАля╗ЩтАм┘б┘ж + ┘в┘и + тАля╗ЩтАм┘г┘ж - ┘ж ┘б┘в┘и- = тАля╗ЩтАм┘е┘ж ┘в =тАля╗ЩтАм (┘в ╪М ┘д ╪М ┘в-) E ` ┘б

┘б

(┘ж ┘в ╪М┘е- ╪М ┘й ┘в -) E ` :тАл я╗зя╗Мя╗┤я╗ж я╗зя╗Шя╗Дя║Ф я╗Уя╗░ я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗птАм16 тАл ╪пя╗Яя╗┤я╗Ю ╪з┘Е┘Дя╗Мя╗ая╗втАм- тАл╪зя╗Яя║╝я╗Т ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗Яя║Ъ ╪зя╗Яя║Ья║Оя╗зя╗о┘ЙтАм

138

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ املﺴﺘﻮى ﰲ اﻟﻔﺮاغ‬

2-2 ١ ٢

٥ ٢

|(٠ ،٢- ،١) : (٠ ،١- ،٣)| ٥ ١٠

= i ‫ﺟﺘﺎ‬

}lb 6 5 . ..............................

c٤٥ = i `

..............................

qbsF 4" ¹ = 1s'f lf PG[y 2W> = ŀĿ + M + =Ń - 5ł ts 7gb 6

wo Ŀ = ń + Mł + =Ł - 5 ts 7gb r

M Ł-= ŀ+5 = ŀ = Ł hz[ 7gb PF [ G[j 7 ł

:äÉHÉLE’G ø«H øe áë«ë°üdG áHÉLE’G ôàNG

(٤ ،٣ ،١-) ١‫ ﻙ‬+ (٥ ،٣ ،٢) = (‫ ﻉ‬،‫ ﺹ‬،‫ )ﺱ‬a 15 (٢- ،١ ،٦) ٢‫ ﻙ‬+ :‫ﻓﻮﺟﺪ ﺛﻼﺙ ﻧﻘﺎﻁ ﻟﻴﺴﺖ ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﻘﺎﻣﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻭﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‬ ٠ = ٢‫ = ﻙ‬١‫ﺑﻮﺿﻊ ﻙ‬ (٥ ،٣ ،٢) C ‫( ﻟﺘﻜﻦ‬٥ ،٣ ،٢) = (‫ ﻉ‬،‫ ﺹ‬،‫` )ﺱ‬ ١ = ٢‫ ﻙ‬، ٠= ١‫ﺑﻮﺿﻊ ﻙ‬ (٣ ،٤ ،٨) C ‫( ﻟﺘﻜﻦ‬٣ ،٤ ،٨) = (‫ ﻉ‬،‫ ﺹ‬،‫` )ﺱ‬ ٠ = ٢‫ ﻙ‬، ١= ١‫ﺑﻮﺿﻊ ﻙ‬ (٩ ،٦ ،١) C ‫( ﻟﺘﻜﻦ‬٩ ،٦ ،١) = (‫ ﻉ‬،‫ ﺹ‬،‫` )ﺱ‬ (٢- ،١ ،٦) = ‫ ﺏ‬C `

Ł¶" + Ł

‫ﺟ‬

tr 7y 5 1s'fr (¶" Ů ŮC) G[kb lz .O b 8 Ł + ŁC Ł¶" + ŁC ‫ب‬ ‫أ‬

Ŀ=MŮĿ== ‫ﺟ‬

wo Q 2Wb wV 5 1s'f b- Of 9 Ŀ=MŮĿ=5 ‫ب‬ Ŀ==ŮĿ=5 ‫أ‬

(Ń ŮŁ ŮŁ)] (ł Ůŀ- ŮŁ) = 1 ‫ب‬ 2W> = (Ł ŮŃ- ŮŁ) : 1 ‫د‬

(ŀ Ůł ŮĿ) Ů (ł Ůŀ- ŮŁ) lz G[kb 1 gb hz[ 7gb b- Of 10 (Ł ŮŃ- ŮŁ)] (ł Ůŀ- ŮŁ)= 1 ‫أ‬ (ł Ůŀ- ŮŁ)] (Ł ŮŃ- ŮŁ)= 1 ‫ﺟ‬

‫د‬

Ł¶" + Ł

Ŀ=5 ‫د‬

(ŀ- ŮŁ Ůŀ) ] + (ł Ůŀ- ŮŁ) = 1 hz[ 7gb wcN PG[ w b G[kb 11 (Ł Ůŀ Ůł) ‫ﺟ‬ (Ł- ŮŁ ŮĿ) ‫ب‬ (ŀ Ůŀ Ůŀ) ‫أ‬

(Ŀ Ůł- ŮŃ) ‫د‬

.&r Ņ ‫ﺟ‬

.&r Ň ‫د‬

wo Ł- = = ŮŃ = = lzys 7gb lz V 7gb 12 i .&r ‫ب‬ .&r ł ‫أ‬

:á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG : z Ē gz[ 7gb lf d_b c g gb b- Ogb ^ 13 (Ł ŮŃ Ůń) ] + (ň Ůł Ůŀ) = S ‫أ‬ qb m # q# f (Ń Ůŀ- Ůł) = ¶o q# gb r (Ŀ ŮŁ ŮĿ) G[kb 1 gb hz[ 7gb ‫ب‬ lz yr 4b 5 zZ ."r 14 (Ł Ůŀ Ůŀ-) ] + (ń Ůŀ- ŮŁ) = S :Ła Ůł - M = ŀ - =ł = 5Ł : ŀa lzgz[ 7gb ‫أ‬ Ń = =Ł - 5 = Ła Ůń = = - 5ł :ŀa lzys 7gb ‫ب‬ (Ł- Ůŀ ŮŅ) Ł] + (Ń Ůł Ůŀ-) ŀ] + (ń Ůł ŮŁ) = (M Ů= Ů5) q b- Of t0b ts 7gcb z .&Ė b- Ogb ."r 15 2 f 1 Ł] Ůŀ] z&

(٤ ،٣ ،١-) = ‫ ﺟـ‬C

ƅŇ = Mņ + =Ł + 5Ł ń = MŃ + =Ń - 5ł

lzys 7gb lz yr 4b 5 zZ ."r 16

‫ ﺟـ‬C : ‫ ﺏ ! ﻙ‬C ‫ﻭﺣﻴﺚ ﺃﻥ‬

‫` ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﻟﻴﺴﺖ ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﻘﺎﻣﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ‬ ‫ ﺏ ﺟـ‬C ‫` ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‬

(١٩ ،٢٢- ،١٠) =

‫ﻉ‬

‫ﺹ‬

‫ﺱ‬

٢-

١-

181

V 6[f :2qvf - V 6[f :2qvf x Ǻ'f b

‫إﺟﺎﺑﺎت ﺑﻌﺾ ﺗﻤﺎرﻳﻦ اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﺘﺮاﻛﻤﻰ‬

٠٫٩٨ 2

‫ﻥ‬

٤٥ 1

‫ﻙ‬٣ - ٣ = ‫ ﻉ‬،‫ﻙ‬- = ‫ ﺹ‬،‫ﻙ‬٢ + ١- = ‫ ﺱ‬3 ٦٠ 4

(٥ ،٣ ،٢) : (١٩ ،٢٢- ،١٠) =

٠ = ١٩ - ‫ﻉ‬٣ - ‫ﺹ‬٢ + ‫ﺱ‬٥ 5

: (١٩ ،٢٢- ،١٠) `

‫ ﻫﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺔ‬٤٩ = ‫ﻉ‬١٩ + ‫ﺹ‬٢٢ - ‫ﺱ‬١٠ `

٫٥٣٧٨ =

|(٤ ،٤- ،٣) : (٧ ،٢ ،٢)| ٤١ ٥٧ ٢٦ ٤١

٥٧

= i ‫ ﺟﺘﺎ‬16

(٠ ،٢ ،١-) 7

٢٫٥ 6

‫ ﺟـ‬9

‫ ﺟـ‬8

‫ ﺟـ‬11

C 10

‫ ﺟـ‬12

c٥٧ / ٢٨ = i = `

‫ﻙ‬٢ + ٩ = ‫ ﻉ‬، ‫ ﻙ‬٤ + ٣ = ‫ ﺹ‬، ‫ﻙ‬٥ + ١ = ‫أ ﺱ‬ ‫ﻙ‬٤ = ‫ ﻉ‬، ‫ ﻙ‬- ٢ = ‫ ﺹ‬، ‫ﻙ‬٣ = ‫ب ﺱ‬ 14

‫أ‬

c٥٠ / ٦ = i =

١١ ٦

|(٢ ،١ ،١-) : (٦ ،٢ ،٣)| ٦ ٤٩

= i ‫ﺟﺘﺎ‬ ‫ب‬

139

‫ اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬- ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪≥MÓªdG‬‬

‫‪140‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪141‬‬

‫ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺍﻟﻤﺮﺍﺟﻊ ﻭﺍﻟﻤﻮﺍﻗﻊ ﺍﻻﻟﻜﺘﺮﻭﻧﻴﺔ‬ ❍ Daire, S. and other, Geometry U.S.A, prentice Hall ❍ Edward D. Gaughan and others, (1982) Algebra, Second course 1982, Scott Foresman. ❍ Eleanor Beoher and other, Advanced Algebra, U.S.A Prentice Hall ❍ Ernest, H. Richard, P., (2005) and others, Introductory mathematical Analysis, Eleventh Edition, pearson, prentice Hall. ❍ G.N YAkovlEv, (1982) Problem Book in High school mathematics, Mir Publishers, moscow. ❍ George, B., Maurice, D., Joet, R(2011). thomas’ colulus, twelfth Edition. ❍ J.F Talgert and H.H.Heng, (1992) Additional Mathematics, FiFth Edition, Longman ingapore publishers (Ptc) limited. ❍ John J . Bradiy and other, Algebra, U.S.A, prentice Hall, Zolo ❍ Larson, R.(2013). Precalculus, q the Edition, Brooks cole. ❍ McGraw-Hill, (2005). Advanced Mathematical calconcepts: Precalculus with Applications, 1st Edition. ❍ Randall I . Charles and others, (2010) Math Corse 3 . U.S.A, prentice Hall ❍ Rayner, General D.(1984) Mathemematics, Revision and Practice, Second edition, oxford university press. ❍ Stewart, J (2012) calculus: Early transcendentals ❍ Sullivan, M.(1996). Mathematics: An Applied Apprach, 8th Edition, John wileyand sone, inc. ❍ Sullivan, M., (2015) Trigonometry: A unit circle Approach, pearson education, Canda. ❍ Vernon, C, Richard, A (2012) college Algebra and trigonometry .

‫ اﻟﻤﻮاﻗﻊ ا ﻟﻜﺘﺮوﻧﻴﺔ‬:‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ‬ (http://geogebra.org/com) (http://www.pedowan.dk) (http:// www. phschool.com) www.NCTM.org http://www.keycurriculum.com/products/ sketchpad

‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

142

â&#x20AC;Ťďť&#x2014;ďş&#x17D;ďťŁďťŽďşą ďş?ďť&#x;ďť¤ďşźďť&#x201E;ďť ďş¤ďş&#x17D;ďş&#x2022; ďş?ďť&#x;ďş&#x2DC;ďşŽďş&#x2018;ďťŽďťłďş&#x201D; ďťďş?ďť&#x;ďť&#x152;ďť ďť¤ďť´ďş&#x201D;â&#x20AC;Ź k G Ă´Ă&#x2018;ĂŠdG :â&#x20AC;&#x2122;hC

ĂĄÂŤZGĂ´Ă&#x2DC;dG ĂĄÂ°SĂłĂŚÂĄdG :Ă&#x2030;ÂŤk fĂ&#x2030;K 39 Â&#x201E;

Permutations

Â&#x201E;

" 7 :;& <= Â&#x201E;

Combinations

Â&#x201E;

work scalar trople product Perpendicular distance

+ /0 Â&#x201E; ? :;: Â&#x201E; @ AB C D < Â&#x201E;

Direction cosines

Rank Element Motrix

- E Â&#x201E;

Angle

@ A -E Â&#x201E;

Direction angles

Â&#x201E; Â&#x201E; Â&#x201E;

GH A <I Â&#x201E;

cubic root

Â&#x201E;

J F <I Â&#x201E;

Unitcircle

! Â&#x201E;

principle omplitude

" "# " Â&#x201E;

" F % Â&#x201E;

vector produvt scalar product

K Â&#x201E;

space

/ 0 F Â&#x201E; F,F Â&#x201E;

projection

@ A M1 ( Â&#x201E;

Direction vector unit vector space

M1 ( Â&#x201E;

positiouvectorin

NO M1 ( Â&#x201E;

vector trio ranks

P :;: M1 ( Â&#x201E; M1 Q ( Â&#x201E;

component

Â&#x201E;

square root

Standard form

right hand Rule

root

Â&#x201E;

Row Trigonmetric Fundamental counting principle

$% Â&#x201E; &'&( % Â&#x201E; # ( Â&#x201E;

Column

) Â&#x201E;

Determinants

) Â&#x201E;

Third â&#x2C6;&#x2019; order determinant

& & ) Â&#x201E;

Second â&#x2C6;&#x2019; order determinant

* & ) Â&#x201E;

Skew straight Lines

R S ( RT 7 ,( Â&#x201E;

Perpendicular straight Lines

R ( ( RT 7 ,( Â&#x201E;

conjugate

Intersecting straight Lines

R I 7 ( RT 7 ,( Â&#x201E;

Rank of a matrix

( Â&#x201E;

R E ( RT 7 ,( Â&#x201E;

Argand diagram

* # + ,( Â&#x201E;

Parallel straight Lines plane

+ ,( Â&#x201E;

Equal matrices

plane

+ ,( Â&#x201E;

Row matrix

( Â&#x201E;

- , ( . ( Â&#x201E; $% ( Â&#x201E;

Perpendicular planes

R ( ( R ,( Â&#x201E;

Zero matrices

% ( Â&#x201E;

Interecting planes

R I 7 ( R ,( Â&#x201E;

Column natrix

/0 ( Â&#x201E;

Square matrix

( ( Â&#x201E;

Parallel planes

R E ( R ,( Â&#x201E;

Parametric equations

V( .B ( Â&#x201E; ( 0 ( Â&#x201E;

General equation Cartesian equation

W Q ( Â&#x201E; X1 ( ( Â&#x201E;

Vector equation

Augmented Matrix Non Homgenuous equation Linear Equation

the norm of cector

M1 ( Â&#x201E;

Homogenuous equation

Direction ratios

@ AB P,* Â&#x201E;

Modulus

P" Â&#x201E;

Proportional

143

â&#x20AC;Ťďť&#x203A;ďş&#x2DC;ďş&#x17D;Ř¨ Ř§ďť&#x;ďş ďąŞ Ů&#x2C6;Ř§ďť&#x;ďťŹďť¨ďşŞďşłďş&#x201D; Ř§ďť&#x;ďť&#x201D;ďşŽŘ§ďť?ďť´ďş&#x201D;â&#x20AC;Ź

demoivres thearem

" ( ( Â&#x201E; ,* 1 ( 23 ( Â&#x201E; M5 ( Â&#x201E; ,* 1 ( ( Â&#x201E; 6 7( Â&#x201E; / 8* Â&#x201E;

‫ﺧﺮﻳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬

‫ﻣﺨﺮﺟﺎﺕ ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ‬

‫‪YN/Z 0 F[ # ( \ ‬‬ ‫‪] 0 ^ I- P "_Q - ` F; \ ‬‬ ‫‪ − a0 b! *- `* F b , ‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ﻭﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ ﻭﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‬

‫‪] ' c .B d e .; 9( e - C S , ‬‬ ‫‪]P ( f g% 6_ h i . j 8* \ ‬‬ ‫‪]h i . j k ( e C i b , ‬‬ ‫‪]h i . j l( ( e M , i - Q ` , b , ‬‬ ‫‪] i H 7m - h i . j k ( e +# 7( ‬‬ ‫‪Yn + 6[ k ( e 6 23 /' F +# ( ( ‬‬

‫اﻟﺪرس اﻷول‪ :‬ﻣﺒﺪﺃ ﺍﻟﻌﺪ ‪ -‬ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻳﻞ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻴﻖ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻧﻰ‪ :‬ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ ﺑﺄﺳﻰ‬ ‫ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ :‬ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻤﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺱﻙ ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺮاﺑﻊ‪ :‬ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﺣﺪﻳﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﻴﻦ ﻣﻦ‬ ‫ﻣﻔﻜﻮﻙ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻳﻦ‪.‬‬

‫‪]h i . j k ( e pQ# ( ( ‬‬ ‫‪]h i . j k ( (m S ,( ` . F;0 b , ‬‬ ‫‪]h i . j k ( .;( (- q " r'&( ` F; b , ‬‬ ‫‪]q " r'&( e UT*# b , ‬‬ ‫‪]h i . j 8* a0 M0 ( - O . 7 M t ‬‬

‫‪]PQ ' , - 6 7 t ‬‬ ‫‪]PQ ' " "? , \ ‬‬ ‫‪]PQ ' &'& \ ‬‬ ‫‪] { 7 M - / 8* \ ‬‬ ‫‪]PQ ( 0 +? * - Z b , ‬‬ ‫‪] { 0 |(- - W' &'& P, B i R ,i R h0 p ‬‬ ‫‪].;,' /Q i - ,i k ( \ ‬‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﳴﺮﻛﺒﺔ‬

‫‪].;,', q;5 h( ' -# R * F b , ‬‬ ‫‪]PQ ' ' S ` g ^ I M - \ ‬‬ ‫‪]f g ' - Z \ ‬‬ ‫‪]TX /,F } ~- ` Q ( h 0 <I % i , - 6 7 \ ‬‬ ‫‪] &'& e PQ a0 " "? . '/ + ‬‬ ‫‪]f g ' - Z a0 . 7 M t ‬‬ ‫‪] O .; 9 e Q 0? C S , ‬‬ ‫‪] Q ( m 0# h/| O .; 9( e < " i b( C S , ‬‬ ‫‪] Q 0? a0 <= - N/Z '/0 n 5 b , ‬‬ ‫‪] Q 0? a0 <= - N/Z '/0 n 5 b , ‬‬ ‫‪]`7 V h n 5 b , ‬‬ ‫‪f g ' - Z n 5 b , ‬‬

‫‪144‬‬

‫ﺍﳴﻮﺿﻮﻋﺎﺕ‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫اﻟﺪرس اﻷول‪ :‬ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻧﻰ‪ :‬ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺩﻳﻤﻮﺍﻓﺮ‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ :‬ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‬

‫ﺧﺮﻳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ‬ ‫ﺍﳴﻔﺎﻫﻴﻢ‬

‫( ‪ − − #‬‬

‫ﺍﺳ‪‬ﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺲ‬

‫ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬

‫ ‪ g - X 9 'x"? &/ $ − 9F / − u / v‬‬ ‫ ‪6 y :# 0 /1 - w' − I "B 7 M − H‬‬ ‫ ‪w'"- 7/ M9*? - 6‬‬‫ ‪].; 9/ − *-‬‬ ‫ ‪$ - , X ( n S w 7‬‬ ‫ ‪ '0 ( 0 . - - 0 /1‬‬ ‫ ‪ X* /Q 5B -‬‬ ‫ ]‬

‫(‪ g - X 9 'x"? &/ $ − 9F / − u / v " −6 7( −

( − * # + ,‬‬ ‫‪ - y :# - F 0 /1 - w' − I "B 7 M − H − / 8* − &'&( % − " "#‬‬ ‫ ‪w'"- 7/ M9*? - 6‬‬ ‫ ‪].; 9/ − *- − − −‬‬ ‫ ‪ 5B - , X ( n S w 7‬‬ ‫ ! ‪ MF −‬‬ ‫ ‪] - Q X* /Q‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫‪145‬‬

‫ﺧﺮﻳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ‬ ‫ﻣﺨﺮﺟﺎﺕ ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬

‫‪]. g n 5 b , ‬‬ ‫‪]. g n 5 (m S ,( 0 ( ! ,( t ‬‬ ‫ﺍﳴﺤﺪﺩﺍﺕ ﻭﺍﳴﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬

‫‪ ( C S " & & h( ( ( 6 ( ` ‬‬ ‫ ( ‪] 7‬‬

‫اﻟﺪرس اﻷول‪ :‬اﻟﻤﺤﺪدات‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻧﻰ ‪ :‬اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ :‬ﺣﻞ‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬

‫اﻟﺨﻄﻴﺔ‬

‫‪] /' = 6 C S " M5 .B ( t ‬‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﻌﻜﻮس اﻟﻀﺮﺑﻰ‬

‫‪] ,* 1 2 - ,* 1 M~ .B \ ‬‬

‫ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‪.‬‬

‫‪] " .;( ( - .;( ( ( ` ‬‬ ‫‪.;( ( - .;( ( ( ` F; b , ‬‬ ‫ " ‪] i * ( -‬‬

‫‪]K e M1 't- # :;& +j : C 8 \ ‬‬ ‫‪ MF $ ( M7* . : - K e ` M7* ` , ‬‬ ‫(‪]K e / 7 ,‬‬ ‫‪ M7* . : - WQ . : B ' W ‬‬ ‫‪] a0‬‬ ‫‪:q;5 h( K e . X1 a0 \ ‬‬ ‫‪]P ( :;& M1 &D ‬‬ ‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﻭﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻓﻰ ﺑﻌﺪﻳﻦ ﻭﺛﻼﺛﺔ ﺃﺑﻌﺎﺩ‬

‫‪, Y , , [ = M K e " "? . X1 ( ‬‬ ‫‪ ,Y , , [ = N‬ﻉ = [ ‪]Y , ,‬‬ ‫‪ , N , M " "? . X1 ( B M1 ( +# h0 2 ‬ﻉ‬

‫‪] X I . : # K e MX / 7 , M7 h0 2 ‬‬ ‫‪e `X1 H AB <= % - " 7 <= % \ ‬‬ ‫ ‪]K - + ,‬‬ ‫‪+ , e `X1 H AB - " 7 <= % n 5 \ ‬‬ ‫ ‪]K‬‬‫‪]K e M1 't- # :;& j : C 8 \ ‬‬ ‫‪]K e ` M7* ` , ‬‬ ‫‪]K e / 7 ,( MF $ ( M7* . : ‬‬ ‫‪] ' W ‬‬ ‫‪]K e . X1 \ ‬‬ ‫( ‪] m ( :;: X1‬‬ ‫‪ &/ ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪]K e " "? . X1 ( t ‬‬ ‫‪] " "? . X1 ( B / F M1 ( +# / F h0 p ‬‬ ‫‪] X I . : B K e X ( " M7* h0 p ‬‬

‫‪146‬‬

‫ﺍﳴﻮﺿﻮﻋﺎﺕ‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫اﻟﺪرس اﻷول‪ :‬اﻟﻨﻈﺎم اﻹﺣﺪاﺛﻰ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ ﻓﻰ‬ ‫ﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻧﻰ‪ :‬اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ :‬ﺿﺮب اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت‪.‬‬

‫ﺧﺮﻳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ‬ ‫ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬

‫ﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺲ‬‫ﺍﺳ‬

g - X 9 'x"? &/ - y :# - F 0 /1 - w'"- 7/ M9*? - 6 $ - , X ( n S w 7 '0 ( 0 . - - 0 /1 X* /Q 5B - ]

$ − 9F / − u / v .; 9/ − U "B − H g # 9F ( − *- w' − ] /'0

g( − * & g(− g( − g( −$% − & & ( − ( − − / ( − /0 ( − $% X / C S , B ^ M @ H- . ( − % ( − ( C S , X| h - , - 6 (− / ( − - , ( ] g h(E h( P" / M F- 3 ( − ,* 1 ( ( − " ( M5 ( − ,* 1 (

g - X 9 'x"? &/ $ − 9F / − u / v - y :#- F 0 /1 - − I "B 7 M − H ].; 9/ . ' - 7/ M9*? - , 6 '0 ( 0 . - - 0 /1 X* /Q 5B - ]

147

‫ﺍﳴﻔﺎﻫﻴﻢ‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

0 F − F,7( − ? :;: − K

− P :;: M1 (− / < O − G" F < O − + ,( − 39 − M1 / Q ( − GH 1 M1 ( − " 7 :;& < | M1 / ( − M1 ( − NO

‫ﺧﺮﻳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬

‫ﻣﺨﺮﺟﺎﺕ ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ‬

‫‪]K e w 7 , F~ @ A M1 ( ‬‬ ‫‪w 7 ,/' H AB - K e w 7 ,/' V( ‬‬ ‫ﺍﻟﺨﻄﻮﻁ ﺍﳴﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻭﺍﳴﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﺍﻍ‬

‫‪]K e‬‬

‫ﺍﳴﻮﺿﻮﻋﺎﺕ‬ ‫اﻟﺪرس اﻷول‪:‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻧﻰ‪:‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ‪.‬‬

‫‪]K e w 7 ,/' W ':T ‬‬ ‫‪]K e + ,/' ( ‬‬ ‫‪]K e + ,/' " 7 ‬‬ ‫‪]K e ` ,( ` - W \ ‬‬ ‫‪]K e ` ,( ( U b , ‬‬ ‫‪]K e ` ,( +E U b , ‬‬ ‫‪]K e ` ,( NI 7 F5 ( ‬‬ ‫‪]K e w 7 ,(- M7* ` , ` ‬‬ ‫‪ " 7 <= % C S " + ,(- M7* ` , ‬‬ ‫ " ‪] W C S‬‬‫‪]` E ( ` ,( ` , ` ‬‬ ‫‪] ! 9 1 C X ( \ ‬‬ ‫‪]qT B .T',( C S " 7 M ! ,( t ‬‬

‫اﻟﺪرس اﻷول‪ :‬ﺑﻌﺾ اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت واﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ‬

‫‪qT B `* F C S " .; 9( t ‬‬

‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻧﻰ‪ :‬اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻷﺣﺪاث‬

‫‪ y | C X ( \ ‬‬

‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ :‬اﻻﺣﺘﻤﺎل‪.‬‬

‫‪ ! 9 < 1 y | P ‬‬ ‫ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ‬

‫‪ i − Q i − F , i − i C X ( \ ‬‬ ‫ ‪ g ,‬‬ ‫‪ ? C X ( \ ‬‬ ‫‪− ^ − NI 7 − B [ &( ? a0 . '/ \ ‬‬ ‫ ‪YqTQB‬‬ ‫‪qT B C X ( \ ‬‬ ‫‪qT B .T',( C S , ‬‬ ‫‪] F- qT < , qT B .T',( C S , ‬‬

‫‪148‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬

‫ﺧﺮﻳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ‬ ‫ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬

‫ﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺲ‬‫ﺍﺳ‬

‫ﺍﳴﻔﺎﻫﻴﻢ‬

g - X 9 'x"B &/ , 9F / - g , u / v y : - - F 0 /1 - , I "B ^ M , H $ w'"- 7/ M9*B - 6 ,.; 9/ , *- w' . 5B - X ( n S w 7 ]\ 9 QB < '" , O g/ 5 - - 0 /1 ] X* /Q 5B -

C / < − @ 1 -E − @ 1 M1 ( X1 ( ( − @ 1 B P,* − @ 1 B W Q ( − ( .B ( − R / 7 ,( − P" − ( 0 ( − − R ( ( R / 7 ,( − R E ( R / 7 ,( −R I 7 ( R / 7 ,( −+ ,( − + /0 − R S ( −R E ( R ,( − " F % R I 7 ( R ,( − R ( ( R ,( - E −

0 / - g - X u 'x"# − M / \ 9 QB − *- w ' M9*? -# 6 - y :#- F H $ − I "B 7 M ].; 9/ − 9F / − 5 - ( 0 h / − 7/ ] X* /Q

−. * &/ − q / − y $%- − ^ -? - ^ , FMS( − 9 − WQ ( 0W* − . * '0# N − * # N − . ! 90 1 − + / − MF − b y | − y | − F , − − * 1 − 7* Q ( − PQ ( − Y -#[ '0 . '/ − g ,( − ( # − ?

149

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﻦ ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬

‫ﺟﺒﺮ وﻫﻨﺪﺳﺔ ﻓﺮاﻏﻴﺔ‬

‫أﺧﺘﺒﺎر اﺳﺘﺮﺷﺎدى‬ k G :ø««JB’G ø««dGDƒ°ùdG øe §≤a óMGh ∫GDƒ°S øY ÖLCG :’hC :√É£©ªdG äÉHÉL’G øe áë«ë°üdG áHÉLE’G ôàNCG :∫hC’G ∫GDƒ°ùdG ]]]]]]]]]

+- , Y − 6>[ k ( F"-? g ( ( 1

‫د‬

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

−

‫ﺟ‬

‫أ‬

= S / F R > : = SX : + S X R Q j 2

‫د‬

>−

‫ب‬

‫ب > ﺟ‬

‫أ‬

w"]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]] = ‫ ﺏ‬C q I R Y − , , [ < , Y , − , [ C R Q j 3 Y > ‫د‬

‫ﺟ‬

‫ب‬

‫[ أ‬ > −

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

+- , f − − p = C / 4 − >

% ]]]]]]]]]]]

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

‫ﺟ‬

> ‫أ‬

= || C || R Y , , [ = ‫ ﺟـ‬,Y ,> , [ = ‫ ﺏ‬R Q- ‫ = ﺟـ‬C , ‫ = ﺏ‬C R Q j 5

Y ‫د‬

‫د‬

‫ب ﺟ‬

− ‫ب‬

‫د‬

‫ﺟ‬

‫ب‬

‫أ‬

= k R h( &Q# = n k + 6 , = n + 6 h /' R Q j 6

− ‫[ أ‬ :πªcCG :≈fÉãdG ∫GDƒ°ùdG ]]]]]]]]]]]]]]]]]

= R / F R h - , ( RY< + C[ k ( , ;( ( R Q j 1 −

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

= +- , f − − p / 2

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

= C + k R = + C + n + 6 k + ,/' R / Y , ,,[ < Y , , [ C R Q j 3

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

= Y C * ‫ ⊙ [ ﺏ‬Y ‫ * ﺏ‬C [ R Y − , − , [ = ‫ ﺏ‬, Y , , [ = C R Q j 4

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

= 6 ^

H =

> −C

/ 0 /1( 5

n+6 R = n + 6 , > = q R Q j 6

‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

150

‫ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﻦ ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬ :á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :É«k fÉK :ådÉãdG ∫GDƒ°ùdG R / F -# , ( R RYn + 6 [ k ( 6 , - ( S - N - g .;( ( * Q j 1 ( -# = + n + 6 + ,/ fM" / Y , , [ HWQ ( Q 2 :™HGôdG ∫GDƒ°ùdG 6 7/ -#

= R (- Y @ . − @ [ = > , H . + H = , . > − = R Q j 1

r = H 0 &'&/ > '0 ' h h 1 -# w: ' " "? ,

: MS .B / 0 /1/ + g \;5 - * ( rg 2 = + n − 6> , = + n − 6 , = − n> + 6 :¢ùeÉîdG ∫GDƒ°ùdG + + < + C =

+ C <C < + < < C R# :# l R- 1 + < C C

b NM7/ ,( -# = Y − [ + Y + n[ + Y> + 6[ = + − n − 6 + ,/ NMF j 2

151

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﻦ ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬ B ( '0 B ,M* 7 - <;M M ( '0 W Q ]M* 7 -# M* C X( C (# wX O g '0 <;M W ]wH X / F

äGQÉ¡e ≈∏Y õ«côàdG »a AGOC’G º««≤J ΩGóîà°SG :∫ÓN øe ∂dPh ,É«∏©dG ô«μØàdG P M + y ? w 7 '0 W Q m F * ( m ] ! ,/' B Q B ,. O N( P M ( Q g ]F7 ! ,/ ΩÉ¡ªdG ¬Ñ°ûJ ≈àdG á«ªjƒ≤àdG á£°ûfC’G Ωób :∫ÓN øe ∂dPh ,á«eƒ«dG , M : ! /0 , M9* X 9 ( M9*# C S " ]w 7 ]w ' Q_ G / 7 M9*? C S " X } g ' 3 w 7 ]w' . '/0 Q_ <;M :∫ÓN øe ∂dPh ,º««≤àdG äÉ«∏ªY »a ÖdÉW πc ∑ô°TCG

]wX /0# v 0 '0 <;M N 19 ]\ H? 7g G Q 9/ '0 <;M N 19

‫ﺗﻘﻴﻴﻢ أداء اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻓﻰ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‬ :¬H ¥ƒKƒe º««≤J ΩÉ¶f ôjƒ£Jh AÉ°ûfE’ äÉ¡«LƒJ ] / ,( '/0 H M ^ : ( w 7 C 8* M - y 9* R " ( , -? 'H ( ,w 7 . - # X8 - + 5# . - # X8 - ,M ;M - w' /' M, * F - , X ,g - X 1 % w' /' R# ]h ( / ' $F / - ( + ,/ g % . - # k H . X h /' / !;(E + # h N|* H] ( b( * w 7 }j /* 5 0 ( R F :å«ëH ∂aGógCG ≥≤ëj iòdG º««≤àdG êPƒªf ΩGóîà°SG

l M - , X ( S " w ' ^ M ( h( + g( - 8 0 X ( , !B ]w ' '/0 0 " O , ( q 1( G 1 m Q_ P M' h( ]+ 5# .B 1( G < 'M/ h ,g g ] " /'( F - b! * X '0 \ / w 7 w8* h(

‫اﺳﺘﻄﻼع رأى اﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ]l" , $ * S "# Y [ (;0 NO . h( 0 + - #/ .

%& )$*

%& '($

"# $ ]. O ( g'( 9 C 7 # ] ! ,/ h( &Q 0 ,/ } g $F / N / G ! X . O 8 ' ! ,/ wX # ! ,/ w8 ( N M "# ! ,/ G . 1 " P 1 | # . O " h( X, U < %# . O / w8 ( + /( . O R# 7 0#

? j / - ?l '| / . O * ( ] M / R# | m0- 9( $% ]. O X ( S " - , " / } 5 X " ( M9*? /! F P Q ‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

152

тАля╗зя╗дя║Оя║ля║Э я╗гя╗ж я║Гя║│я║Оя╗Яя╗┤я║Р я║Ня╗Яя║Шя╗Шя╗оя╗│я╗втАм :тАля║Чя╗Шя╗┤я╗┤я╗в ╪░╪зя║Чя╗░ я╗Яя╗Мя╗дя╗Ю ╪зя╗Яя╗Фя║оя╗│я╗ЦтАм ...................................................................................................................................................... :тАля║Гя║│я╗дя║Оя║А я║Ня╗Яя╗Фя║оя╗│я╗ЦтАм ┬Р Q j┬В Y>[ 7 - , '0

┬Р Q j┬В l 0 /1/ Y┬Х[ 7 F0# w: , . h( 0 Q m # F j┬В w!;( ┬Б - YC K[ C S " - ,

B ┬Р Q j┬В Y┬З[ 7 - , ( ┬Й ┬В

B ┬Р Q j┬В Y┬Ц[ 7 - , ( ┬в ┬В

]l 0 /1/ $%- - 1 " U ┬а ]$F / H '0 M B ┬Р* Q '7 5 6 12 5 6 12 5 6 3 12 12 0 # $ 4 3 4 ]]]]]] 0 /1/ y |0# CK

┬З

┬Ц

┬Х

] X h ' / C X/ -W1*#

┬З

┬Ц

┬Х

/X/ h( v 3 m /X

┬З

┬Ц

┬Х

/X/ m /X

┬З

┬Ц

┬Х

]┬г 5? ? h( Q ┬В m / "

┬З

┬Ц

┬Х

] u 9/ ? +- 3 ( F

┬З

┬Ц

┬Х

] /1 w + / W X1 G *-

┬З

┬Ц

┬Х

] , C h( wX ' 7 "

┬З

┬Ц

┬Х

] 0 /1/ '0 wH # O 0

┬З

┬Ц

┬Х

] g 0 ┬А wX| N( /H

............................................................................................................................... ┬Р/' , N( / q;5 h(

тАля║│я║ая╗Ю я╗Ля╗дя╗Ю ╪зя╗Яя╗Фя║оя╗│я╗ЦтАм :1 58 9 ; ┬В q % ' m ( y |0# /0 $% w: ,. g C F #- , X 'Q /X/ - ,┬д 1" ┬а /0 ] /X/ E 1*┬Д ( X - P "# -# ^ I +# Qj ] X 'Q /X/' 0 / 1 58 = > ?@!

< #

тАл╪зя╗Яя║Шя╗Шя╗┤я╗┤я╗в ╪зя╗Яя║м╪зя║Чя╗░ я╗Яя╗ая╗Дя║Оя╗Яя║РтАм

:тАля║Ня╗Яя╗дя╗мя╗дя║ФтАм ABC D E* % & > F G H ?M /' + ( ? X ┬В G ┬Р Q . - ? q ( ?l'/0 .# $ Q ?M/'┬е ┬Р - + q ( A I > 5I ?K 0 # $ ; L M > NO ] / H y ┬В '0 F ] / G y F ┬РMM┬Э 5 m ┬Р Q

153

тАля╗Ыя║Шя║О╪и ╪зя╗Яя║ая▒к ┘И╪зя╗Яя╗мя╗ия║кя║│я║Ф ╪зя╗Яя╗Фя║о╪зя╗Пя╗┤я║ФтАм

тАля╗зя╗дя║Оя║ля║Э я╗гя╗ж я║Гя║│я║Оя╗Яя╗┤я║Р я║Ня╗Яя║Шя╗Шя╗оя╗│я╗втАм тАля║зя║Тя║о╪зя║Чя╗░ я╗Уя╗▓ ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪ктАм :. O " q 1( G X7 7g # \ H?

: X'| # ┬а . O

: X '0 h / h( W( ┬В } # . O . X(

: X( S " N M "#- X 7 # . O . X( :. O G X '0 ┬Р' .┬ж /

тАл╪п╪з╪б я╗Уя╗▓ я║гя╗Ю ╪зя╗Яя╗дя║┤я║Оя║Ля╗ЮтАм5тАля║Чя╗Шя╗┤я╗┤я╗в ╪зтАм . *;

S 4 )$*

:G M = > & * ?K PQ ! G R / $ =8 ; L M > NO S 4 '($ 2 ' 2

........................

] _,/ # 7

........................

] * w" ┬г# -# q- +# 6

........................

] % S M 0- M 7 M - h( _,/ K R# N M ,

........................

] M / . ( ' / k ┬В- wX N M ,

........................

]M 0 ┬Д P1 + q ┬М, k ┬В- wX N M , FM

........................

] _,/ g P,*? MS S

........................

] g g ┬Д 7 =4

........................

] ( 1X (

- /

........................

] 7M (- /8 ( 7 M g v

........................

] g g% 7 M P,g

........................

]. m 0 ( , g g% '( Q '/1 ┬Д M 1 -

........................

] ┬Д 7 ( h( 7g

........................

] _,/ g + 5# Fm I < 1 B D

........................

] _,/ - g/ m " X8

........................

]┬Ъ 7: X8

........................

] _,/ g xI 5 .B- g( P5 ; 0 I$

154

] g ' + 5# ] g 7 mF I ( g + 1 . g Q % j N( h ( 7 M'( Q g '/ G ] F

P ,g . ' / + ] /8 1 ( 7 M g P C 8 * M / '0 R " X 0 ( ] " P 7 / M 'M S 'x" S ? g ]n N M . ( S ' / , M '" _ g _,/ N M ] * . , % ; &/ 0 N - q M , - 1 - 6 ] _, / # 7 ] X

‫ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﻦ ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬ =7 U =4 :ôªà°ùªdG º««≤àdG

................................................................ :< #

155

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬ :`* R* =H # &

mE /( R Q j ++ ] m R Q j +

m B 7( R Q j

M g − ] M ' F ]. ]K

−V −W −X −Y −Z −[ −\ −] −^ −V_ −VV −VW −VX −VY −VZ −V[ −V\ −V] −V^ −W_ −WV −WW −WX −WY −WZ −W[ −W\ −W]

‫ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﻦ ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬ (4 :ôªà°ùªdG º««≤àdG

g' + 5# mF I + 1 * F C g S , 0 0 ,/ P' M & (- X( m % X S , 8 - 3 # C g 1 $ F ( h 5 X8 N ( 1 / C 8* -P / w H / k . X/ ( X 8

................................................................ :< #

:`* R* =H # & mE /( R Q j ++ ] m R Q j + m B 7( R Q j

M g − ] M ' F ]. ]K −V −W −X −Y −Z −[ −\ −] −^ −V_ −VV −VW −VX −VY −VZ −V[ −V\ −V] −V^ −W_ −WV −WW −WX −WY −WZ −W[ −W\ −W] ‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

156

‫ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﻦ ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬ ! $ 'I$ :ôªà°ùªdG º««≤àdG

E Wx/ u

R-

( C

0 X

8 (- m % X 8 1 Bm ( X 8 'x" # M X( y- X S , w' - h 5 y § C g h 5 § 0 , M G

h 5 § N( / C 8 ! , * / / G '0 F X 8

................................................................ :< #

:`* R* =H # & mE /( R Q j ++ ] m R Q j + m B 7( R Q j

M g − ] M ' F ]. ]K −V −W −X −Y −Z −[ −\ −] −^ −V_ −VV −VW −VX −VY −VZ −V[ −V\ −V] −V^ −W_ −WV −WW −WX −WY −WZ −W[ −W\ −W]

157

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﻦ ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬ á¶MÓªdG ∫ÓN øe iOôØdG º«≤àdG . *;

. 4;

7 / . ' 8

........................ ........................ ........................

]. X/ ( X8

........................ ........................ ........................

]w H / k

........................ ........................ ........................

] g' " / MS S

........................ ........................ ........................

] F ! ,/ g = $ 0 / >

........................ ........................ ........................

] /8 ( 7 M /

........................ ........................ ........................

] 8 /

........................ ........................ ........................

] g/ F G / C 7

........................ ........................ ........................

]w h 5 N( /

........................ ........................ ........................

] * - '0 F C S ,

........................ ........................ ........................

] g 0 0 ,/ P'M

........................ ........................ ........................

a8R * b

........................ ........................ ........................

] 'x"? M

........................ ........................ ........................

]k ', - M 1

........................ ........................ ........................

]h 5 0 , !5

........................ ........................ ........................

]+ 5# Fm I < 1

........................ ........................ ........................

]h 5 # C S , - C g

........................ ........................ ........................

] 7 - H . O C S ,

........................ ........................ ........................

]+ 5? . 7 - " g .B C S , "5* b

........................ ........................ ........................

] &(- % m X8

........................ ........................ ........................

] ( 1X (

- /

........................ ........................ ........................

] 1 - - g/' m " X8

........................ ........................ ........................

]M ( P'M R# R- M'/0 g% h( Q_

‫ دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬- ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى‬

158

. * g (B . 7 . 5 B . 9F / G

Q 9/ W / . U . O 9* G *- w ' ! , /

................................................................ :< #

:`* R* =H # & mE /( R Q j ++ ] m R Q j + m B 7( R Q j

M g − ] M ' F ]. ]K −V −W −X −Y −Z −[ −\ −] −^ −V_ −VV −VW −VX −VY −VZ −V[ −V\ −V] −V^ −W_ −WV −WW −WX −WY −WZ −W[ −W\ −W]

159

‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﱪ واﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﻴﺔ‬

‫ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ ﻟﺘﻘﻴﻴﻢ ﻣﺸﺮﻭﻉ ﻣﺎ ﻣﻘﺪﻡ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ ﻃﺎﻟﺐ ﻭﺍﺣﺪ ﺃﻭ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻃﻼﺏ ﺷﻔﻬ ًّﻴﺎ ﺃﻭ‬ ‫ﻛﺘﺎﺑﺔ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻃﺮﻕ ﻧﺎﺟﺤﺔ ﻟﺘﻘﺪﻳﻢ ﺃﻯ ﻣﺎﺩﺓ‪ ،‬ﻭﻣﻦ ﺍﻟﻤﻔﻴﺪ ﺃﻥ ﻳﻘﺪﻡ ﻟﻠﻄﻼﺏ‬ ‫ﻹﺭﺷﺎﺩﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﺨﻄﻴﻂ ﻷﻯ ﻣﺸﺮﻭﻉ ﻓﻲ ﻓﻦ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺃﻭ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﺏ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‪ ،‬ﺃﻭ ﺗﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﺠﺪﺍﻭﻝ‬ ‫ﻭﺍﻟﺮﺳﻮﻡ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ‪ ،‬ﺃﻭ ﻋﺮﻭﺽ ﺣﺎﺳﻮﺑﻴﺔ‪ ،‬ﺃﻭ ﻣﺴﺮﺣﻴﺎﺕ ﻫﺰﻟﻴﺔ ﻗﺼﻴﺮﺓ‪ ،‬ﺃﻭ ﺃﻯ ﻣﺸﺮﻭﻉ ﺑﺤﺜﻰ ﺳﻮﺍﺀ ﺃﻛﺎﻥ ﺷﻔﻬ ًّﻴﺎ ﺃﻡ‬ ‫ﻣﻜﺘﻮ ًﺑﺎ‪.‬‬ ‫ ‪............................................................................................................................................... :<;M ¨P M‬‬ ‫ ‪.......................................................................................................................................................... : - 9/‬‬ ‫ ‪c!5‬‬ ‫ ‪] 9 m O (m X ( v‬‬ ‫ ‪] O O ? N( %‬‬ ‫ ‪]+ 5# ( N( F‬‬ ‫ ‪] |g‬‬‫ ‪ Mm MS M '0 |7* + F X8‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪] ( -# ¨- %# H‬‬ ‫‪]$ 8*- g * H‬‬

‫& ‪:`* R* =H #‬‬ ‫‪ mE /( R Q j ++‬‬ ‫‪] m R Q j +‬‬ ‫‪m‬‬ ‫(‪B 7‬‬ ‫ ‪R Q j‬‬ ‫‪ M g −‬‬ ‫‪] M ' F ]. ]K‬‬

‫ & ‪] O / q . y 7 "B h( W/‬‬ ‫ ‪] m ( 7‬‬ ‫ |‪h/‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ ‪] ( S ,/ / Q‬‬ ‫ ‪]<;M 0 /1( X 'Q C X/ N E X8‬‬ ‫ ' ‪ 8‬‬ ‫ ‪ O C X /' ( X8‬‬ ‫( ‪] / 5- m* /|(- ( 7( h/| :w8‬‬ ‫ ‪]P" / F - g 0 ¨ /, ! " C S ,‬‬ ‫ '‪]. 0 " h( P" / w 7 F | - O w‬‬ ‫ ‪] O / C / HB h( m W( & - 'x"? h0 P 1‬‬ ‫ ‪m X8‬‬ ‫ ‪] ! ,/ g h 1 X‬‬‫( ;‬ ‫‪m‬‬ ‫ ‪] ( S ,/ / Q‬‬

‫‪160‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﺜﺎﻧﻮى ‪ -‬دﻟﻴﻞ املﻌﻠﻢ‬