الرياضيات التطبيقية الميكانيكا ثالث ثانوى2017أصلى by Ybalja

‫اال�ســـــم ‪:‬‬ ‫الفـــ�سل ‪:‬‬ ‫املدر�ســة‪:‬‬

‫‪....................................................................................‬‬

‫ت�أليف‬ ‫�أ‪ /‬كمال يون�س كب�شة‬ ‫�أ‪.‬د‪ /‬عبد �ل�شافى فهمى عبادة‬ ‫�أ‪� /‬أ�شامة جابر عبد �حلافظ‬

‫الطبعــة األولى ‪2017/2016‬‬

‫رقم اإليـــداع ‪2016 / 8707‬‬

‫الرقــم الدولى‬

‫‪978 - 977 - 706 - 035 - 6‬‬

‫�أ‪.‬د‪ /‬نبيل توفيق �ل�شبع‬ ‫�أ‪ /‬جمدى عبد �لفتاح �ل�شفتى‬

‫المقدمة‬ ‫بسم ال� ل�ه الرحمن الرحيم‬ ‫يسعدنا ونحن نقدم هذا الكتاب أن نوضح الفلسفة التى تم ىف ضوئها بناء املادة التعليمية ونوجزها فيمايىل‪:‬‬

‫يشهد عالم اليوم تطو ًرا علميًّا مستم ًرا ‪ ،‬وجيل الغد يلزمه أن يتسلح بأدوات تطور عرص الغد؛ حتى‬ ‫ً‬ ‫وانطالقا من هذا املبدأ سعت وزارة الرتبية والتعليم إىل‬ ‫يستطيع مواكبه االنفجار الهائل يف العلوم املختلفة‪،‬‬ ‫تطوير مناهجها عن طريق وضع املتعلم يف موضع املستكشف للحقيقة العلمية باإلضافة إىل تدريب الطالب‬ ‫عىل البحث العلمى يف التفكري؛ لتصبح العقول هى أدوات التفكري العلمى وليست مخازن للحقائق العلمية‪.‬‬ ‫ونحن نقدم هذا الكتاب « التفاضل والتكامل» للصف الثالث الثانوى؛ ليكون أداة مساعدة يستنري بها‬ ‫أبناؤنا عىل التفكري العلمى‪ ،‬ويحفزهم عىل البحث واالستكشاف ‪.‬‬ ‫وفى �شوء ما �شبق روعى فى كتاب « �مليكانيكا » مايلى‪:‬‬

‫‪ ‬تقسيم الكتاب إىل وحدات متكاملة ومرتابطة‪ ،‬لكل منها مقدمة توضح مخرجات التعلم املستهدفة ومخططٌ‬ ‫يوضح الهدف من‬ ‫تنظيمى لها‪ ،‬واملصطلحات الواردة بها باللغة العربية واإلنجليزية‪ ،‬ومقسمة إىل دروس َّ‬ ‫تدريسها للطالب تحت عنوان (سوف تتعلم)‪ .‬ويبدأ كل درس من دروس كل وحدة بالفكرة األساسية ملحتوى‬ ‫الدرس‪ ،‬وروعى عرض املادة العلمية من السهل إىل الصعب‪ ،‬ويتضمن الدرس مجموعة من األنشطة التى‬ ‫تربطه باملواد األخرى والحياة العملية‪ ،‬والتى تناسب القدرات املختلفة للطالب‪ ،‬وتراعى الفروق الفردية من‬ ‫خالل بند (اكتشف الخطأ ملعالجة بعض األخطاء الشائعة لدى الطالب)‪ ،‬وتؤكد عىل العمل التعاونى‪ ،‬وتتكامل‬ ‫مع املوضوع‪ ،‬كما يتضمن الكتاب بعض القضايا املرتبطة بالبيئة املحيطة وكيفية معالجتها‪.‬‬ ‫‪ ‬كما ُقدِّم ىف كل درس أمثلة تبدأ من السهل إىل الصعب‪ ،‬وتشمل مستويات التفكري املتنوعة‪ ،‬مع تدريبات‬ ‫عليها تحت عنوان (حاول أن تحل)‪ ،‬وينتهى كل درس ببند «تمارين»‪ ،‬ويشمل مسائل متنوعة‪ ،‬تتناول‬ ‫املفاهيم واملهارات التى درسها الطالب ىف الدرس‪.‬‬ ‫‪ ‬تنتهى كل وحدة بملخص للوحدة‪ ،‬يتناول املفاهيم والتعليمات الواردة بالوحدة‪ ،‬وتمارين عامة تشمل مسائل‬ ‫متنوعة عىل املفاهيم واملهارات التى درسها الطالب ىف هذه الوحدة‪.‬‬ ‫‪ ‬تُختم وحدات الكتاب باختبار تراكمى‪ ،‬يقيس بعض املهارات الالزمة لتحقيق مخرجات تعلم الوحدة‪.‬‬ ‫‪ ‬ينتهى الكتاب باختبارات عامة‪ ،‬تشمل بعض املفاهيم واملهارات التي درسها الطالب‪.‬‬

‫وأخير ًا ‪..‬نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا‪ ،‬ولمصرنا العزيزة‪.‬‬ ‫وال� �له من وراء القصد‪ ،‬وهو يهدى إلى سواء السبيل‬

‫�لمحتويات‬ ‫اوال ‪ :‬االستاتيكا‬

‫الوحدة األولى‪ :‬االحتكاك‬

‫‪1-1‬‬ ‫‪2-1‬‬

‫اتزان جسم على مستوى أفقى خشن‬

‫ ‬

‫اتزان جسم على مستوى مائل خشن‬

‫ملخص الوحدة‬ ‫تمارين عامة‬

‫‪.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬العزوم‬

‫‪1-2‬‬ ‫‪2-2‬‬

‫عزم قوة بالنسبة لنقطة فى نظام احداثى ثنائى االبعاد‬ ‫عزم قوة بالنسبة لنقطة فى نظام احداثى ثالثى االبعاد‬

‫ملخص الوحدة‬ ‫تمارين عامة‬ ‫اختبار تراكمى‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬القوى المتوازية المستوية‬

‫‪1-3‬‬ ‫‪2-3‬‬

‫محصلة القوى المتوازية المستوية‬

‫اتزان مجموعة من القوى المتوازية المستوية‬

‫ملخص الوحدة‬ ‫تمارين عامة‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬االتزان العام‬

‫‪1-4‬‬

‫اتزان جسم جاسىء‬

‫ملخص الوحدة‬ ‫تمارين عامة‬ ‫اختبار تراكمى‬

‫الوحدة الخامسة‪ :‬االزدواجات‬

‫‪1-5‬‬ ‫‪2-5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪21‬‬

‫االزدواجات‬

‫االزدواج المحصل‬

‫تمارين عامة‬ ‫اختبار تراكمى‬

‫‪24‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪73‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪87‬‬ ‫‪86‬‬ ‫‪96‬‬ ‫‪97‬‬

‫�لمحتويات‬ ‫الوحدة السادسة‪ :‬مركز الثقل‬

‫‪1-6‬‬ ‫‪2-6‬‬

‫مركز الثقل‬

‫طريقة الكتلة السالبة‬

‫ملخص الوحدة‬ ‫تمارين عامة‬

‫‪100‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪121‬‬ ‫‪123‬‬

‫ثانيًا‪ :‬الديناميكا‬

‫الوحدة األولى‪ :‬الحركة فى خط مستقيم‬

‫‪1-1‬‬ ‫‪2-1‬‬

‫تفاضل الدوال المتجهة‬

‫تكامل الدوال المتجهة‬

‫تمارين عامة‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬قوانين نيوتن للحركة‬

‫‪1-2‬‬ ‫‪2-2‬‬ ‫‪3-2‬‬ ‫‪4-2‬‬ ‫‪5-2‬‬ ‫‪6-2‬‬ ‫‪7-2‬‬

‫كمية الحركة‬

‫القانون األول لنيوتن‬

‫القانون الثاني لنيوتن‬

‫القانون الثالث لنيوتن‬

‫حركة جسم على مستوى مائل أملس‬ ‫حركة جسم على مستوى خشن‬ ‫البكرات البسيطة‬

‫ملخص الوحدة‬ ‫تمارين عامة‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬الدفع والتصادم‬

‫‪1-3‬‬ ‫‪2-3‬‬

‫الدفع‬

‫التصادم‬

‫ملخص الوحدة‬ ‫تمارين عامة‬ ‫اختبار تراكمى‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬الشغل ‪ ،‬القدرة ‪ ،‬الطاقة‬

‫‪1-4‬‬ ‫‪2-4‬‬ ‫‪1-4‬‬ ‫‪2-4‬‬

‫الشغل‬

‫طاقة الحركة‬

‫طاقة الوضع‬

‫القدرة‬

‫تمارين عامة‬

‫‪128‬‬ ‫‪139‬‬ ‫‪146‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪156‬‬ ‫‪163‬‬ ‫‪174‬‬ ‫‪182‬‬ ‫‪187‬‬ ‫‪192‬‬ ‫‪210‬‬ ‫‪212‬‬ ‫‪222‬‬ ‫‪230‬‬ ‫‪238‬‬ ‫‪239‬‬ ‫‪241‬‬ ‫‪238‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪289‬‬ ‫‪266‬‬ ‫‪275‬‬

‫أوال‬ ‫اإلستاتيكا‬

‫االحتكاك‬ ‫‪Friction‬‬

‫الوحدة‬

‫‪1‬‬

‫مقدمة الوحدة‬ ‫قوة االحتكاك قديمة منذحقب طويلة فقد اعتمد عليها المصريون القدماء وفقا لألسلوب الهندسى والعلمى المتاح لديهم ‪ ،‬وقد استخدم العمال‬ ‫القدماء مجموعة متنوعة من األدوات لقطع الكتل الحجرية المستخدمة فى بناء األهرامات حيث كان يتم سحبها من مكان إلى آخر على دعامات‬ ‫مشحمة حتى تقل قوة االحتكاك بين الكتل وتلك الدعامات ‪ .‬وفى عهد انتصارات اإلمبراطورية الرومانية قام المهندسون الحربيون بتزييت اآلالت‬ ‫العسكرية أثناء الحصار وذلك لتقليل قوة االحتكاك بين هذه األجزاء ‪ .‬وأول من وضع األسس العلمية لعلم االحتكاك فى عصر النهضة هو العالم‬ ‫االيطالى ليوناردو دافنشى ‪1462( Leonardo da Vinci‬م ‪1519 -‬م) الذى عَ رف مفهوم االحتكاك كقيمة لقوة االحتكاك‪ ،‬ومن التجارب العملية‬ ‫التي قام بها العلماء لوحظ أن قوة االحتكاك لألجسام الساكنة أكبر من قوة االحتكاك لألجسام المتحركة‪ .‬وهذا شيء نالحظه في حياتنا العملية حيث‬ ‫يحتاج الشخص إلى قوة كبيرة في بداية األمر لتحريك صندوق خشبي على األرض ولكن بعد أن يتحرك الصندوق نالحظ أن القوة الالزمة أصبحت‬ ‫أقل من ذي قبل وهذا ألن الجسم أصبح متحركا ً وبالتالي فإن قوة االحتكاك تصبح أقل ‪.‬لهذا السبب يمكن تقسيم االحتكاك إلى نوعين هما االحتكاك‬ ‫السكوني ‪ static friction‬واالحتكاك الحركي ‪ .. kinetic friction‬وسوف نتناول فى هذه الوحدة مفهوم االحتكاك وخواصه‪ ،‬وشروط اتزان جسم‬ ‫على مستوى أفقى خشن وأخر على مستوى مائل خشن وسوف نختم هذه الوحدة ببعض التطبيقات الحياتية على االحتكاك‪.‬‬

‫أهداف الوحدة‬ ‫بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن‪:‬‬

‫ يميز بين السطوح الملساء والسطوح الخشنة ‪.‬‬ ‫ يتعرف على مفهوم االحتكاك وخواصه ‪.‬‬

‫ يتعرف قوة االحتكاك وقوة االحتكاك النهائى ‪.‬‬

‫ يحدد معامل االحتكاك ‪ ،‬وزاوية االحتكاك والعالقة بينهما ‪.‬‬ ‫ يحدد شروط اتزان جسم على مستو أفقى خشن ‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ يحدد شروط اتزان جسم على مستو مائل خشن ‪.‬‬

‫ يستنتج العالقة بين قياس زاوية االحتكاك وقياس زاوية ميل‬ ‫المستوى على األفقى عند وضع جسم على مستوى مائل خشن‬ ‫بشرط أن يكون على وشك االنزالق تحت تأثير وزنه فقط ‪.‬‬ ‫ يحل تطبيقات حياتية على االحتكاك ‪.‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪ Ñ‬االحتكاك‬

‫‪Friction‬‬

‫‪ Ñ‬سطح أملس‬

‫‪Smooth Surface‬‬

‫‪ Ñ‬سطح خشن‬

‫‪Rough Surface‬‬

‫‪ Ñ‬رد الفعل العمودي‬

‫‪Reaction Normal‬‬

‫‪ Ñ‬قوة االحتكاك السكونى‬

‫‪Static Friction‬‬

‫‪ Ñ‬قوة االحتكاك الحركى‬

‫‪ Ñ‬قوة االحتكاك السكونى النهائى‬

‫‪Limiting Static Friction‬‬

‫‪ Ñ‬رد الفعل المحصل‬

‫‪Resultant Reaction‬‬

‫‪ Ñ‬زاوية االحتكاك‬

‫‪Angle of Friction‬‬

‫‪ Ñ‬مستوى أفقى خشن‬

‫‪Horizontal rough plane‬‬

‫‪ Ñ‬مستوى مائل خشن‬

‫‪Inclined rough plane‬‬

‫‪Kinetic Friction‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫دروس الوحدة‬ ‫(‪ :)1- 2‬اتزان جسم على مستوى أفقى خشن‪.‬‬

‫آلة حاسبة علمية ‪.‬‬

‫(‪ :) 2- 2‬اتزان جسم على مستوى مائل خشن‪.‬‬

‫مخطط تنظيمى للوحدة‬ ‫االحتكاك‬ ‫السطوح‬ ‫ملساء‬

‫قوة االحتكاك‬ ‫قوة االحتكاك النهائى‬

‫خشنة‬

‫معامل االحتكاك‬

‫االتزان‬

‫زاوية االحتكاك‬

‫السكونى‬ ‫مستوى أفقى خشن‬

‫مستوى مائل خشن‬

‫الحركى‬

‫تطبيقات حياتية على االحتكاك‬ ‫تعيين معامل االحتكاك‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪3‬‬

‫الوحدة األولى‬

‫‪1-1‬‬

‫اتزان جسم على مستوى أفقى خشن‬ ‫‪Equilibrium of a body on a horizontal rough plane‬‬

‫ماذا سيحدث لو أن االحتكاك في لحظة ما قد اختفى من العالم ‪ ،‬إذا اختفى االحتكاك‬ ‫سنجد أن السيارات والقطارات وجميع وسائل المواصالت لن تستطيع التحرك ألنها‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫ السطوح امللساء والسطوح تتحرك اعتما ًدا على االحتكاك بين األرض والعجالت‪ .‬وحتى لو تحركت فإنها لن‬ ‫اخلشنة ‪.‬‬ ‫تستطيع أن تتوقف‪ ،‬ألن الفرامل تعتمد أساسا على االحتكاك‪ .‬كما لن يستطيع الناس‬ ‫ مفهوم االحتكاك‬ ‫السير أو حتى الوقوف وقفة سليمة‪ ،‬وكأنهم واقفون على أرضية جليدية‪ .‬ولن يستطيعوا‬ ‫ قوة االحتكاك السكونى‬ ‫أمساك األشياء المختلفة ألنها ستنزلق من أيديهم‪ .‬كما ستتفتت الجبال ولن يبقى عليها‬ ‫ قوة االحتكاك احلركى‬ ‫أي غطاء من التربة‪.‬و لن تبقى أي أبنية سليمة بل ستتهدم‪ .‬وستتفكك الحبال المربوطة‪.‬‬ ‫ العالقة بني معامل االحتكاك‬ ‫كل هذا بسبب االنزالق وانعدام االحتكاك‪ .‬باختصار فإن الحياة مستحيلة بدون قوى‬ ‫وظل زاوية االحتكاك‬ ‫االحتكاك‪.‬لذلك فإن لالحتكاك فوائد هامة ؛ فهو يجعل عجالت السيارة تتحرك على‬ ‫ خواص االحتكاك‬ ‫الطريق‪ ،‬ويجعل عجالت القاطرة ُتمسك بقضبان السكك الحديدية‪ .‬وهو يسمح‬ ‫ اتزان جسم عىل مستوى‬ ‫للسير الناقل بأن يدير البكرة دون انزالق‪ .‬وأنت ال تستطيع السير دون االحتكاك‬ ‫أفقى خشن ‪.‬‬ ‫لتمنع حذاءك من التزحلق على الرصيف‪ .‬ولهذا فمن الصعب السير على الجليد ؛‬ ‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪ Friction‬حيث أن السطح األملس ال يسبب احتكاكاً ‪ ،‬وبذلك ال يسمح للحذاء باالنزالق‪.‬‬ ‫ االحتكاك‬ ‫ سطح أملس ‪ Smooth Surface‬ويثبت التربة على سطح الجبال ويثبت البنايات‬ ‫ سطح خشن ‪ Rough Surface‬ويجعلها قائمة‪.‬ويجعل الحبال المربوطة تبقى‬ ‫ رد الفعل العمودي‬ ‫ثابتة‪ .‬باإلضافة إلى العديد من الفوائد األخرى ‪.‬‬ ‫‪Normal Reaction‬‬

‫ قوة االحتكاك السكونى‬ ‫‪Static Friction‬‬

‫ قوة االحتكاك احلركى‬ ‫‪Kinetic Friction‬‬

‫ قوة االحتكاك السكونى النهائى‬ ‫‪Limiting Static Friction‬‬

‫ رد الفعل املحصل‬ ‫‪Resultant Reaction‬‬

‫ زاوية االحتكاك‬

‫رد الفعل‪:‬‬ ‫تعلمنا فيما سبق نوعا من القوى ينشأ عند تالمس‬ ‫جسمين يطلق عليه اسم رد الفعل ‪ .‬فإذا وضعت كرة على نضد فإن النضد يؤثر على‬ ‫الكرة عند نقطة التماس بقوة تسمى برد فعل النضد على الكرة‪ .‬كما تؤثر الكرة على‬ ‫النضد بقوة مضادة تسمى‪:‬‬ ‫ضغط الكرة على النضد والقوتان متساويتان فى المقدار ومتضادتان فى االتجاه‪ ،‬ينص‬ ‫على ذلك القانون الثالث لنيوتن من قوانين الحركة ‪.‬‬

‫‪Angle of Friction‬‬

‫ مستوى أفقى خشن‬ ‫‪Horizontal rough plane‬‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫ آلة حاسبة علمية‬

‫‪Scientific calculator‬‬

‫‪4‬‬

‫الضغط المؤثر على النضد‬ ‫شكل (‪)1‬‬ ‫الصف الثالث الثانوى‬

‫رد الفعل المؤثر على الكرة‬ ‫شكل (‪)2‬‬ ‫كتاب الطالب‬

‫�� ‬

‫‪1 1‬‬

‫ال�شطوح المل�شاء وال�شطوح الخ�شنة ‪:‬‬ ‫يفسر العلماء منشأ قوى االحتكاك بين األجسام إلى وجود نتوءات وتجويفات مجهرية فى سطوح األجسام مهما‬ ‫بلغت نعومتها وينتج عن تداخل هذه النتوءات والتجويفات لكل من السطحين المتالمسين ما يسمى بقوة االحتكاك‬ ‫‪ ،‬وبالتالى نجد مقاومة عند محاولة تحريك أحد السطحين على السطح األخر ‪ ،‬ويعتبر معامل االحتكاك مقياسا‬ ‫لدرجة خشونة األسطح‪ ،‬فإذا ازدادت قيمة معامل االحتكاك ازدادت الخشونة والعكس صحيح ‪ ،‬وإذا ساوى معامل‬ ‫االحتكاك الصفر انعدمت قوى االحتكاك تماماً ‪.‬‬ ‫يتوقف رد الفعل على طبيعة الجسمين المتالمسين كما يتوقف على القوى المؤثرة األخرى على الجسم‪ ،‬ففى حالة‬ ‫السطوح الملساء يكون رد الفعل عمود ًيا على‪:‬‬ ‫سطح التماس المشترك للجسمين المتالمسين ‪ ،‬أما إذا كان الجسمان خشنين فيكون لرد الفعل مركبة فى اتجاه‬ ‫سطح التماس تسمى باالحتكاك السكونى ‪ ،‬كما يكون لرد الفعل مركبة عمودية على سطح التماس تسمى برد الفعل‬ ‫العمودى‪.‬‬

‫‪Smooth Surfaces and Rough Surfaces‬‬

‫رد الفعل‬

‫رد الفعل فى حالة السطوح الخشنة‬

‫رد الفعل فى حالة السطوح الملساء‬

‫شكل (‪)4‬‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫تجربة عملية‪:‬‬ ‫ضع قطعة مستوية من الخشب على نضد أفقى واربطها بخيط يمر على بكرة ملساء عند حافة النضد ويتدلى‬ ‫الخيط رأس ًيا منته ًيا بحامل للصنج كما بالشكل‪.‬‬ ‫ش‬ ‫ش‬

‫‪S‬‬

‫‪I‬س‬ ‫و‪1‬‬

‫و‪2‬‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫صغيرا تالحظ أن القطعة الخشبية التتحرك ‪:‬‬ ‫ال‬ ‫ضع اثقا ً‬ ‫ال مناسبة على القطعة الخشبية وضع فى حامل الصنج ثق ً‬ ‫ً‬ ‫ومعنى ذلك أن قوة االحتكاك التى اثرت على القطعة الخشبية كانت كافية لمنع الحركة رغم وجود الشد ش فى‬ ‫الخيط وكما هو معروف‪ ،‬فإن مقدار هذا الشد يساوى وزن الحامل ووزن الصنج الموضوعه فيه معا ‪.‬‬ ‫زد الصنج الموضوعة على الحامل بالتدريج نالحظ أن القطعة الخشبية تبدأ فى التحرك على النضد عندما تصل‬ ‫االثقال الموضوعة فى الحامل إلى حد معين‪.‬‬ ‫ويعنى هذا أن مقدار قوة االحتكاك السكونى يتزايد كلما تزايد الشد وانه يصل إلى حد معين اليتعداه‪ .‬فإذا زاد‬ ‫الشد عن هذا الحد لم يستطع االحتكاك موازنته ويبدأ الجسم فى الحركة ويالحظ انه لو زدنا االثقال الموضوعة‬ ‫على القطعة الخشبية فإننا نحتاج إلى زيادة الثقل الموضوع فى حامل الصنج حتى تصبح القطعة الخشبية على وشك‬ ‫الحركة‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪5‬‬

‫�كت�الا‬

‫خوا�ص قوة االحتكاك ال�شكونى‪:‬‬ ‫(‪ )1‬تعمل قوة االحتكاك السكونى (‪ )I‬على معاكسة االنزالق فتكون فى اتجاه مضاد لالتجاه الذى يميل الجسم‬ ‫إلى االنزالق فيه‪.‬‬ ‫(‪ )2‬تكون قوة االحتكاك السكونى (‪ )I‬مساوية فقط للقوة المماسية التى تعمل على تحريك الجسم واليمكن ان‬ ‫تزيد عن هذه القوة‪.‬‬ ‫(‪ )3‬تتزايد قوة االحتكاك السكونى (‪ )I‬كلما تزايدت القوة المماسية التى تعمل على إحداث الحركة فتكون دائ ًما‬ ‫مساوية لها فى المقدار مادام الجسم متزنًا‪.‬‬ ‫(‪ )4‬تتزايد قوة االحتكاك السكونى إلى حد التتعداه وعند ذلك يكون الجسم على وشك االنزالق ويسمى االحتكاك‬ ‫فى هذه الحالة باالحتكاك السكونى النهائى ويرمز له بلرمز ( ‪I‬س)‪.‬‬ ‫(‪ )5‬النسبة بين االحتكاك السكونى النهائى ورد الفعل العمودى ثابتة وتتوقف هذه النسبة على طبيعة الجسمين‬ ‫المتالمسين وليس على شكليهما او كتلتهما وتسمى هذه النسبة بمعامل االحتكاك السكونى ويرمز لها بالرمز مس‪.‬‬ ‫‪I‬‬ ‫أى أن مس =‬ ‫‪S‬‬

‫س حيث ‪I‬س االحتكاك السكونى النهائى‬

‫ويالحظ أن معامالت االحتكاك السكونى فى اغلب األحيان يكون فيها ‪ < 0‬مس < ‪ 1‬الصحيح إال أنه فى بعض‬ ‫الحاالت الخاصة قد تزيد على الواحد الصحيح ‪.‬‬ ‫قوة االحتكاك الحركى‬ ‫إذا تحرك جسم على سطح خشن فإنه يخضع لقوة احتكاك حركى(‪I‬ك) يكون اتجاهه عكس اتجاه حركته‪ ،‬وتعطى‬ ‫قيمتها بالعالقة ‪I :‬ك = مك‪ S‬حيث ‪:‬‬ ‫حيث مك هو معامل االحتكاك الحركى ‪ S ، Coefficient of Kinetic Friction‬رد الفعل العمودى‬

‫‪Friction Kinetic‬‬

‫أى أن‪ :‬قوة االحتكاك الحركى تساوى حاصل ضرب‬ ‫معامل االحتكاك الحركى فى قوة رد الفعل العمودية ‪.‬‬ ‫ومن ذلك يمكن تعريف معامل االحتكاك الحركى على أنه النسبة بين قوة االحتكاك الحركى وقوة رد الفعل العمودى‪.‬‬ ‫أى أن ‪ :‬مك =‬

‫‪I‬ك‬

‫‪S‬‬

‫حيث ‪I‬ك قوة االحتكاك الحركى‬

‫رد الفعل المح�شل (‪) / S‬‬ ‫ال على سطح التماس حيث أنه يعتبر محصلة رد الفعل‬ ‫في حالة السطوح الخشنة فإن رد الفعل المحصل يكون مائ ً‬ ‫العمودي وقوة االحتكاك السكونى ‪ .‬ويسمى رد الفعل المحصل أو رد الفعل الكلي‪.‬‬

‫‪Resultant Reaction‬‬

‫تعريف‬

‫رد الفعل المحصل ( ‪ ) /S‬هو محصلة رد الفعل العمودى ‪ S‬وقوة االحتكاك السكونى ‪I‬‬

‫‪6‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪1 1‬‬

‫�� ‬

‫زاوية االحتكاك‬ ‫إذا كان ل هو قياس الزاوية المحصورة بين رد الفعل العمودي ورد الفعل المحصل ‪.‬‬ ‫فأننا نالحظ أن قيمة ل تتزايد كلما تزايد مقدار قوة االحتكاك (بفرض ثبوت مقدار قوة رد الفعل العمودي) وأن‬ ‫هذه القيمة تصل إلى نهايتها العظمى عندما يصبح االحتكاك نهائياً ‪ .‬وتسمى الزاوية في هذه الحالة (زاوية االحتكاك)‬ ‫واألشكال التالية توضح ذلك‪.‬‬

‫‪Angle of Friction‬‬

‫‪S‬‬

‫ق‪1‬‬

‫ل‪1‬‬

‫‪S‬‬

‫‪/‬‬

‫ق‪2‬‬

‫ح‪1‬‬

‫و‬

‫‪S‬‬

‫‪/‬‬

‫‪S‬‬

‫ل‪2‬‬ ‫ح‪2‬‬

‫ل‬

‫قس‬

‫و‬

‫شكل (‪)6‬‬

‫‪S‬‬

‫‪/‬‬

‫حس‬

‫و‬

‫شكل (‪)8‬‬

‫شكل (‪)7‬‬

‫من شكل (‪ ، )1‬شكل (‪ )2‬نجد أن‪ :‬متجه رد الفعل المحصل ‪ /S‬هو محصلة رد الفعل العمودى ‪ S‬وقوة االحتكاك‬ ‫‪ + 2S‬ح‪2‬‬ ‫‪ I‬أى أن‪= /S :‬‬ ‫ومن شكل (‪ )3‬عندما يكون االحتكاك نهائ ًيا‪:‬‬ ‫‪ + 2S‬ح‪2‬س ‪ a‬حس = م س‪= /S ` S‬‬ ‫` ‪= /S‬‬

‫‪ 2S+ 2S‬م‪2‬‬

‫س‬

‫` ‪S = /S‬‬

‫‪ + 1‬م‪2‬‬

‫س‬

‫العالقة بين معامل االحتكاك وزاوية االحتكاك ‪:‬‬ ‫فى حالة االحتكاك النهائى من شكل (‪: )8‬‬ ‫نجد أن ‪ :‬ظال =‬

‫حس‬

‫‪S‬‬

‫ولكن‬

‫حس‬

‫‪S‬‬

‫= مس‬

‫أى أن ‪ :‬مس = ظا ل‬

‫أى أنه عندما يكون االحتكاك نهائيا فإن معامل االحتكاك يساوى ظل زاوية االحتكاك‬ ‫تفكير ناقد‪ :‬قارن بين قياسى زاويتي االحتكاك السكونى واالحتكاك الحركى‪.‬‬ ‫اتزان ج�شم على م�شتوى اأفقى خ�شن‬ ‫إذا وضع جسم وزنه و على مستوى أفقى خشن وأثرت عليه قوة مقدارها ق تميل على األفقى ألعلى بزاوية قياسها‬ ‫ه ْـ فإن الجسم فى وضع التوازن يكون متزنا تحت تأثير القوى ‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪Equilibrium of a body on a rough horizantal plane‬‬

‫‪/‬‬

‫هـ‬

‫‪ )1‬قوة الوزن و رأسيا ألسفل ومقدارها و‬ ‫‪/‬‬ ‫‪ )2‬قوة رد الفعل المحصل ‪ /S‬ومقدارها‪S‬‬ ‫‪ )3‬القوة ‪ X‬ومقدارها ‪ X‬والشكل (‪ )9‬يوضح ذلك ‪.‬‬

‫و‬

‫وبتحليل القوة ‪ X‬إلى مركبتين فى االتجاه األفقى واالتجاه العمودى عليه فإن‬ ‫مقدارهما يكون ‪ X‬جتا هـ ‪ X ،‬جا هـ ‪.‬‬

‫وبتحليل ‪ /S‬إلى مركبتين متعامدين هما رد الفعل العمودى ‪ S‬ومقداره ‪، S‬‬ ‫وقوة االحتكاك ح ومقدارها ح والشكل (‪ )10‬يوضح ذلك ‪.‬‬

‫شكل (‪)9‬‬

‫‪S‬‬

‫‪ X‬جا هـ‬ ‫‪ X‬جتا هـ‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫ح‬

‫و شكل (‪)10‬‬

‫‪7‬‬

‫�كت�الا‬

‫فتكون معادلتا اتزان الجسم هما ‪ :‬ح = ‪ X‬جتا هـ ‪ X + S ،‬جا هـ = و‬ ‫مثال‬ ‫القوة املؤثرة عىل جسم‬ ‫يدفع كريم صندوقا ممتلئا بالكتب إلى سيارته ‪ ،‬فإذا كان وزن الصندوق والكتب ‪ 124‬نيوتن ومعامل االحتكاك‬ ‫السكونى بين الطريق والصندوق ‪ 0.45‬فما مقدار القوة التى يدفع بها كريم الصندوق حتى يكون على وشك الحركة‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪S‬‬

‫بإعتبار أن و = ‪ 124‬نيوتن ‪ ،‬مس = ‪0.45‬‬ ‫من شروط اتزان جسم على مستوى أفقى فإن ‪:‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫أى أن ‪124 = S :‬‬ ‫‪=S‬و‬ ‫ومن (‪ )1‬تكون ‪ 55.8 = 124 × 0.45 = X :‬نيوتن‬ ‫‪ = X‬مس ‪S‬‬

‫ح‬

‫‪X‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫و‬

‫شكل (‪)11‬‬

‫وضعت كتله وزنها ‪ 32‬نيوتن على مستوى افقى خشن وأثرت عليه قوة أفقية ‪ X‬حتى أصبحت الكتلة على‬ ‫وشك الحركة‬ ‫أ اذا كانت ‪ 8 = X‬نيوتن اوجد معامل االحتكاك السكونى بين الكتلة والمستوى‬ ‫ب اذا كان مس = ‪ 0.4‬أوجد ‪X‬‬ ‫مثال‬

‫قوة االحتكاك‬

‫‪ 2‬وضع جسم وزنه ‪ 8‬نيوتن على نضد أفقى وربط بخيط أفقى يمر على بكرة صغيرة ملساء مثبتة عند حافة النضد‬ ‫ويتدلى من طرفه ثقل مقداره ‪ 1.5‬نيوتن ‪ .‬فإذا كان الجسم متزنًا على النضد فأوجد قوة االحتكاك‪ .‬وإذا ُعلم أن‬ ‫معامل االحتكاك السكونى بين الكتلة والنضد يساوى ‪ . 14‬هل يكون الجسم على وشك الحركة؟ فسر إجابتك‪.‬‬

‫الحل‬

‫القوة التى تعمل على تحريك الجسم على النضد هى قوة الشد فى الخيط األفقى ومقدارها ‪ 1.5‬نيوتن ‪ ,‬وتكون‬

‫قوة االحتكاك فى االتجاه المضاد لقوة الشد كما فى الشكل المقابل ‪.‬‬

‫‪S‬‬

‫من دراسة اتزان الجسم نجد أن ‪:‬‬

‫ش = ‪ 1.5‬نيوتن ‪ ،‬ح = ‪ 1.5‬نيوتن ‪ 8 = S ،‬نيوتن‬

‫لمعرفة ما إذا كان الجسم على وشك الحركة أم ال ‪ ،‬نعين‬ ‫قيمة‬

‫أقصى‬ ‫حس‬ ‫‪ a‬حس = مس ‪S‬‬

‫ممكنه‬

‫لمقدار‬

‫قوة‬

‫االحتكاك‬

‫` حس = ‪ 2 = 8 × 14‬نيوتن‪.‬‬

‫السكونى‬

‫ش‬

‫‪ 1٫5‬نيوتن‬

‫ش‬

‫ح‬ ‫و‬

‫شكل (‪)12‬‬

‫` ح < حس لذلك فإن االحتكاك غير نهائى وال يكون الجسم على وشك الحركة‪.‬‬

‫‪8‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�� ‬

‫‪1 1‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 2‬وضع جسم وزنه ‪ 20‬نيوتن على مستوى أفقى خشن‪ ،‬فإذا كان معامل االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى‬ ‫‪ 14‬أوجد ‪:‬‬ ‫أ مقدار القوة األفقية التى تكفى لجعل الجسم على وشك الحركة ‪.‬‬ ‫ب القوة التى تميل على المستوى بزاوية قياسها ‪ c30‬وتجعل الجسم على وشك الحركة ‪.‬‬

‫مثال‬ ‫زاوية االحتكاك‬ ‫‪ 3‬وضع جسم وزنه ‪ 57‬ث كجم على مستوى أفقى خشن وأثرت على الجسم قوتان مقدارهما ‪ 3 ، 2‬ث كجم‬ ‫ويحصران بينهما زاوية قياسها ‪ c60‬بحيث كانت القوتان أفقيتين واقعتين فى نفس المستوى األفقى مع‬ ‫الجسم‪ ،‬فإذا أصبح الجسم على وشك الحركة فأوجد معامل االحتكاك بين الجسم والمستوى وكذلك قياس‬ ‫‪S‬‬ ‫زاوية االحتكاك‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪2‬‬

‫‪I‬س‬

‫‪19‬‬

‫‪S‬‬

‫القوى المؤثرة على الجسم هى ‪:‬‬ ‫‪57‬‬ ‫(‪ )1‬مقدار وزنه ‪ 57‬ث ‪ .‬كجم رأسياًألسفل ‪.‬‬ ‫‪57‬‬ ‫(‪ )2‬مقدار رد الفعل ‪ S‬العمودى على المستوى ‪.‬‬ ‫شكل (‪)14‬‬ ‫شكل (‪)13‬‬ ‫(‪ )3‬قوتان مقدارهما ‪ 3 ، 2‬ث كجم وتعمالن فى نفس المستوى ويحصران بينهما زاوية قياسها ‪. c60‬‬ ‫(‪ )4‬قوة االحتكاك ح وتقع فى المستوى األفقى ‪.‬‬ ‫‪ a‬مجموع المركبات الجبرية للقوى فى االتجاه العمودى على المستوى = صفر‬ ‫` ‪ 57 = S‬ث كجم‬ ‫القوى المستوية والمتزنة ‪ I ، 3 ، 2‬ث كجم تكون ‪ I‬مساوية ومضادة لمحصلة القوتين ‪ 3 ، 2‬ث كجم ‪.‬‬

‫‪I a‬س =‬

‫‪ 2X 1X2 + 22X + 12X‬جتا ى‬

‫‪3‬‬

‫قانون محصلة قوتين متالقيتين فى نقطة‬

‫‪ 19 = 1 * 3 * 2 * 2 + 9 + 4‬ث ‪ .‬كجم‬ ‫` ‪I‬س =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ a‬الجسم متزن‬ ‫` مس‪57 = S ، 19 = S‬‬ ‫` وبقسمة المعادلتين ‪ ` :‬م = ‪1‬‬ ‫س‬ ‫‪ a‬مس = ظا ل‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪3‬‬ ‫` ظا ل = ‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪c60‬‬

‫‪I‬س‬

‫` ‪c(X‬ل) = ‪c 30‬‬

‫‪ 3‬وضع جسم مقدار وزنه ‪ 6‬نيوتن على مستوى أفقى خشن وأثرت عليه فى نفس المستوى قوتان مقدارهما‬ ‫‪ 4 ، 2‬نيوتن تحصران بينهما زاوية قياسها ‪ c120‬فظل ساكنا ‪ .‬أثبت أن قياس زاوية االحتكاك (ل) بين الجسم‬ ‫والمستوى يجب أن ال تقل عن ‪. c30‬‬ ‫وإذا كانت ‪c(X‬ل) = ‪ c45‬وبقى اتجاه القوتين ثابتا ‪ ،‬كما بقيت القوة ‪ 4‬نيوتن دون تغيير ‪ ،‬فعين مقدار القوة‬ ‫األخرى لكى يكون الجسم على وشك أن يبدأ الحركة‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪9‬‬

‫�كت�الا‬

‫مثال‬ ‫الربهنة النظرية‬ ‫‪ 4‬وضع جسم وزنه و نيوتن على مستوى أفقى خشن وكان قياس زاوية االحتكاك بين الجسم والمستوى ل ‪ .‬شد‬ ‫الجسم بقوة تميل على المستوى األفقى بزاوية قياسها هـ فأصبح الجسم على وشك الحركة ‪ .‬اثبت أن مقدار‬ ‫و جا ل‬ ‫هذه القوة يساوى‬ ‫جتا ( هـ ‪ -‬ل)‬

‫‪ ،‬ثم أوجد مقدار أقل قوة تكفى لتحريك الجسم والشرط الالزم لذلك‪.‬‬ ‫‪S‬‬

‫الحل‬

‫‪X‬‬

‫‪ a‬قياس زاوية االحتكاك = ل‬ ‫جا ل‬ ‫` معامل االحتكاك السكونى (مس) = ظا ل =‬ ‫جتا ل‬

‫‪ X‬جا هـ‬

‫‪ X‬جتا هـ هـ‬

‫جا ل‬ ‫` مقدار قوة االحتكاك النهائى حس = مس‪* S = S‬‬ ‫جتا ل‬

‫و‬

‫شكل (‪)15‬‬

‫وبتحليل القوة ‪ X‬إلى مركبتين فى اتجاهين متعامدين مقدارهما ‪ X‬جتا هـ ‪ X ،‬جا هـ‬ ‫` معادلتا االتزان هما ‪ X :‬جتا هـ = مس‪S‬‬ ‫جا ل‬

‫‪( ، )1( .................................................‬ألن مس = طا ل)‪،‬‬ ‫` ‪ X‬جتا هـ = ‪* S‬‬ ‫جتا ل‬ ‫‪ X + S‬جا هـ = و ‪)2( ......................................................................................‬‬

‫ق جتا هـ جتا ل‬ ‫ومن (‪= S )1‬‬ ‫جا ل‬ ‫ق جتا هـ جتا ل‬ ‫‪ +‬ق جا هـ = و‬ ‫`‬ ‫جا ل‬

‫وبالتعويض فى (‪)2‬‬

‫` ق (جتا هـ جتا ل ‪ +‬جا هـ جا ل) = و جال‬ ‫و جا ل‬ ‫`‪= X‬‬ ‫جتا ( هـ ‪ -‬ل)‬

‫حس‬

‫تذكر �أن‬

‫جتا (هـ ‪ -‬ل) =‬ ‫جتاهـ جتا ل ‪ +‬جاهـ جا ل‬ ‫جتا (هـ ‪ +‬ل) =‬ ‫جتاهـ جتا ل ‪ -‬جاهـ جا ل‬

‫` ‪ X‬جتا هـ جتا ل ‪ X +‬جا هـ جا ل = و جا ل‬ ‫` ‪ X‬جتا (هـ – ل) = و جا ل‬

‫وحيث أن المطلوب هو إيجاد مقدار اقل قوة فهذا يستلزم أن يكون جتا (هـ ‪ -‬ل)‬

‫أكبر ما يمكن ‪ .‬أى أن جتا (هـ ‪ -‬ل) = ‪1‬‬ ‫` مقدار أقل قوة تكفى لجعل الجسم على وشك الحركة يساوى ‪ = X‬و جا ل‬ ‫وذلك عندما جتا (هـ ‪ -‬ل) = ‪ 1‬أى أن ‪ :‬هـ ‪ -‬ل = ‪ c0‬أى أن ‪ :‬هـ = ل‬ ‫` الشرط الالزم هو أن يكون قياس زاوية ميل القوة على األفقى يساوى قياس زاوية االحتكاك‬ ‫حل آخر‬

‫‪ /S a‬هى محصلة القوتين ‪I ، S‬س‪:‬‬ ‫` الجسم متزن تحت تأثير ثالث قوى هى‪:‬‬ ‫بتطبيق قاعدة المى ‪:‬‬ ‫و‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫`‬ ‫جا (‪ - c180‬ل) جا [‪( - c90‬هـ ‪-‬ل)]‬ ‫و‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫ل‬ ‫جا‬ ‫جتا (هـ ‪ -‬ل)‬

‫‪X‬‬

‫و جا ل‬ ‫` ‪=X‬‬ ‫جتا (هـ ‪ -‬ل)‬

‫‪،‬‬

‫و ‪S ،‬‬

‫‪/‬‬

‫‪ a‬المطلوب هو أقل قوة ‪ ،‬فيكون المقدار جتا (هـ – ل) أكبر ما يمكن‬

‫‪0‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪S‬‬

‫‪X‬‬

‫‪S‬‬

‫ل‬

‫هـ‬ ‫و‬

‫شكل (‪)16‬‬ ‫كتاب الطالب‬

‫‪/‬‬

‫ك‬

‫�� ‬

‫‪1 1‬‬

‫والشرط الالزم هو ‪:‬‬ ‫` ‪ = X‬و جا ل‬ ‫` جتا (هـ – ل) = ‪1‬‬ ‫` هـ = ل‬ ‫` هـ – ل = ‪0‬‬ ‫جتا (هـ – ل) = جتا ‪0‬‬ ‫` الشرط الالزم هو أن تكون قياس زاوية ميل القوة على األفقى يساوى قياس زاوية االحتكاك‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 4‬وضع جسم وزنه (و) ث كجم على مستو أفقى خشن قياس زاوية االحتكاك بين الجسم والمستوى (ل) ‪ ،‬شد‬ ‫الجسم بقوة تصنع مع األفقى زاوية قياسها (‪2‬ل) ألعلى جعلت الجسم على وشك الحركة ‪ .‬أثبت أن مقدار هذه‬ ‫القوة يساوى و ظا ل ‪.‬‬

‫تمــــاريــن ‪1 - 1‬‬

‫�أوال ‪� :‬أكمل م� ي�أتى ‪:‬‬

‫تسمى القوة التى تظهر عند انزالق سطحين متالمسين خشنين بقوة‬ ‫تنعدم قوى االحتكاك ويكون معامل االحتكاك مساويا للصفر فى السطوح ‪.................................................‬‬ ‫عندما تصل قوة االحتكاك السكونى إلى قيمتها العظمى فإن الجسم عندها يكون ‪......................................‬‬ ‫قوة االحتكاك الحركى تساوى حاصل ضرب معامل االحتكاك الحركى فى قوة ‪............................................‬‬ ‫محصلة قوة رد الفعل العمودى وقوة االحتكاك السكونى النهائى تسمى ‪....................................................................‬‬ ‫قوة االحتكاك السكونى أقل من أو تساوى حاصل ضرب معامل االحتكاك السكونى فى قوة ‪.................................................‬‬ ‫إذا كان معامل االحتكاك السكونى بين كتلة مقدارها ‪ 40‬كجم وسطح األرض يساوى ‪ 0.45‬فإن مقدار القوة‬ ‫األفقية التى تؤثر على الكتلة وتجعلها على وشك الحركة تساوى ‪.................................................‬‬ ‫إذا وضع جسم وزنه ‪ 6‬نيوتن على مستوى أفقى خشن وكان مقدار قوة االحتكاك السكونى ‪ 4‬نيوتن فإن معامل‬ ‫االحتكاك السكونى يساوى ‪.................................................‬‬ ‫‪............................................................................‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬

‫ث�ني� ‪� :‬أجب عن �الأ�سئلة �الآتية ‪:‬‬ ‫‪ 9‬يدفع فتى حجرا وزنه ‪ 56‬نيوتن بقوة أفقية مقدارها ‪ 42‬نيوتن على رصيف فكان الحجر على وشك الحركة ‪.‬‬ ‫أوجد معامل االحتكاك السكونى بين الحجر والرصيف‪.‬‬

‫‪ 0‬جسم وزنه ‪ 240‬ث كجم وضع على ٍ‬ ‫مستو أفقى خشن ويراد شده بحبل يميل على األفقى ألعلى بزاوية قياسها ‪ ، c30‬فإذا‬ ‫كان معامل االحتكاك السكونى يساوى ‪ 0.3‬فأوجد مقدار الشد الذى يلزم لجعل الجسم على وشك الحركة ‪.‬‬ ‫وضع جسم وزنه ‪ 39‬ث جم على مستوى أفقى خشن ‪ ،‬أثرت عليه قوتان أفقيتان مقدارهما ‪ 8 ، 7‬ث جم‬ ‫وتحصران بينهما زاوية قياسها ‪ c60‬فأصبح الجسم على وشك الحركة ‪ .‬أوجد معامل االحتكاك السكونى ‪.‬‬

‫‪ 2‬وضع جسم وزنه ‪ 12‬نيوتن على نضد أفقى وربط بخيط أفقى يمر على بكرة صغيرة ملساء مثبتة عند حافة النضد‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫�كت�الا‬

‫ويتدلى من طرفه ثقل مقداره ‪ 4‬نيوتن ‪ .‬فإذا كان الجسم متزن على النضد فأوجد قوة االحتكاك‪ .‬وإذا ُعلم أن معامل‬ ‫االحتكاك السكونى بين الكتلة والنضد يساوى ‪ . 13‬هل يكون الجسم على وشك الحركة ؟ فسر إجابتك ‪.‬‬

‫‪ُ 3‬شد صندوق وزنه (و) ث كجم موضوع على مستوى أفقى خشن بواسطة حبلين الشد فيهما ‪ 8 ، 6‬ث كجم‬ ‫ويحصران بينهما زاوية قياسها ‪ ، c90‬فإذا كان معامل االحتكاك السكونى بين الصندوق والمستوى يساوى ‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫فأوجد وزن الصندوق (و) إذا كان الصندوق على وشك الحركة‪.‬‬

‫‪ 4‬وضع جسم وزنه ‪ 39‬نيوتن على مستو أفقى خشن وكان ظل زاوية االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى‬ ‫‪ ، 13‬شد الجسم بقوة تصنع مع األفقى زاوية جيبها ‪ 45‬جعلت الجسم على وشك الحركة ‪ .‬اوجد ‪:‬‬

‫أوال ‪ :‬مقدار قوة الشد ‪.‬‬

‫ثانيا ‪ :‬مقدار قوة االحتكاك السكونى‬

‫‪2‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫اتزان جسم على مستوى مائل خشن‬ ‫‪Equilibrium of a body on an Inclined rough plane‬‬

‫الوحدة األولى‬

‫‪2-1‬‬

‫سبق أن درسنا اتزان جسم وزنه (و) على مستوى أفقى خشن تحت تأثير قوة (ق) تميل‬ ‫على األفقى ألعلى بزاوية هـ وعلمنا أن الجسم فى وضع االتزان يكون متزنا تحت سوف تتعلم‬ ‫تأثير القوى اآلتية‪.‬‬ ‫ رشوط اتزان جسم عىل‬ ‫½ قوة الوزن و‬ ‫½ قوة رد الفعل المحصل ‪/S‬‬ ‫مستوى مائل خشن‬ ‫½ القوة‬

‫‪X‬‬

‫‪/S‬‬

‫وفى هذا الدرس سوف ندرس اتزان جسم على ح‬

‫مستوى مائل خشن ‪.‬‬ ‫نعتبر أن جسما متزنا على مستوى خشن يميل على‬ ‫األفقى بزاوية قياسها هـ ‪.‬‬ ‫يتزن الجسم على المستوى تحت تأثير قوتين ‪:‬‬

‫ العالقة بني قياس زاوية‬ ‫االحتكاك وقياس زاوية‬ ‫ميل املستوى عىل األفقى ‪.‬‬

‫‪S‬‬

‫ل‬ ‫هـ‬ ‫و‬

‫(‪ )1‬قوة وزنه و وتعمل رأسياً ألسفل وليكن مقدارها (و)‬

‫و جا هـ‬

‫هـ‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫(‪ )2‬قوة رد الفعل المحصل وليكن مقدارها ( ‪)/S‬‬

‫ تعيني معامل االحتكاك بني‬ ‫سطحني متالمسني (نشاط)‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫ مستوى مائل خشن‬

‫‪Inclined rough plane‬‬

‫ رد الفعل العمودى‬

‫ومن �شروط �التز�ن نجد �أن ‪:‬‬

‫‪Normal Reaction‬‬

‫ رد الفعل املحصل‬

‫قوة رد �لفعل �لمح�سل تعمل ر�أ�سي ً� الأعلى ‪.‬‬

‫ويكون ‪ = /S :‬و ‪)1( ...............................................‬‬ ‫يمكن االن تعيين قوتى االحتكاك ورد الفعل العمودى باعتبارهما مركبتى قوة رد الفعل‬ ‫المحصل فى اتجاهين أحدهما يوازى المستوى واآلخر عمودى عليه كما فى الشكل المقابل ‪.‬‬

‫قوة �الحتك�ك ‪.‬‬

‫‪Resultant Reaction‬‬

‫ زاوية االحتكاك‬ ‫‪Angle of Friction‬‬

‫ معامل االحتكاك‬ ‫‪Coefficient of Friction‬‬

‫ح = و جا هـ ‪)2( .............................................................‬‬ ‫وتعمل هذه القوة عكس اتجاه الحركة المحتملة ‪ ،‬أى أنها توازى خط أكبر ميل‬ ‫وتكون موجهة ألعلى المستوى ‪.‬‬

‫قوة رد �لفعل �لعمودى ‪.‬‬

‫‪ = S‬و جتا هـ ‪)3(.............................................................‬‬

‫�لعالقة بين قي��س ز�وية �الحتك�ك �ل�سكونى وقي��س ز�وية ميل �لم�ستوى على‬ ‫�الأفقى ‪.‬‬

‫إذا وضع جسم على مستو مائل خشن وكان الجسم على وشك الحركة فإن قياس زاوية‬ ‫األدوات المستخدمة‬ ‫االحتكاك السكونى يساوى قياس زاوية ميل المستوى على األفقى ‪.‬‬ ‫ آلة حاسبة علمية‬

‫‪Scientific calculator‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪3‬‬

‫�كت�الا‬ ‫البرهان ‪:‬‬

‫‪ a‬االحتكاك نهائى‬ ‫` قوة رد الفعل المحصل تصنع مع العمودى على المستوى زاوية قياسها يساوى قياس زاوية االحتكاك‬ ‫السكونى وليكن قياسها (ل) ‪.‬‬ ‫ومن الشكل السابق نجد أن ‪ :‬هـ = ل‬ ‫كما يمكن صياغة هذه المتساوية بداللة معامل االحتكاك كاآلتى ‪:‬‬ ‫ظا ل = م‬

‫أو‬

‫م = ظا هـ‬

‫فمثال ‪:‬‬ ‫ٍ‬ ‫مستو مائل خشن وكان على وشك الحركة بتاثير وزنه فقط عندما كانت زاوية ميل المستوى‬ ‫إذا وضع جسم على‬ ‫على االفقى قياسها ‪ . c30‬فإن معامل االحتكاك السكونى م = ظا ‪1 = c30‬‬

‫نشاط‬

‫‪3‬‬

‫تعيني معامل االحتكاك السكونى بني سطحني متالمسني‬

‫الهدف من النشاط ‪:‬‬ ‫تعيين معامل االحتكاك بين سطحين متالمسين معلومين باستخدام المستوى المائل ‪.‬‬

‫األدوات المستخدمة فى النشاط ‪:‬‬ ‫مستوى خشن – كتلة خشبية أحد أوجهها مستوى واآلخر المقابل به حفرة مستطيلة الشكل ‪ -‬حامل كابستان‬ ‫بماسك – محور ارتكاز – منقلة – خيط رصاص ‪.‬‬

‫خطوات إجراء النشاط ‪:‬‬ ‫(‪ )1‬أربط محور االرتكاز بماسك الحامل وثبت فيه المستوى ‪.‬‬ ‫(‪ )2‬ثبت المنقلة فى المستوى بحيث ينطبق قطرها على حافة المستوى كما فى الشكل‬ ‫المقابل ‪.‬‬ ‫(‪ )3‬علق خيط الرصاص من مسمار عند مركز المنقلة ويراعى أن يمر بمنتصف تدريج‬ ‫المنقلة عندها يكون المستوى أفقيا ‪.‬‬ ‫شكل (‪)2‬‬ ‫(‪ )4‬أجعل المستوى فى وضع أفقى وضع عليه الكتلة الخشبية بوجهها المستوى ثم ضع ثقال مناسبا فى الحفرة ‪.‬‬ ‫(‪ )5‬أَ ِمل المستوى تدريجيا حتى تبدأ الكتلة فى االنزالق عند طرقها طرقاً خفيفاً ‪.‬‬ ‫(‪ )6‬أقرأ تدريج المنقلة عند نقطة انطباق الخيط عليها ومن ذلك أوجد قياس زاوية ميل المستوى على األفقى‬ ‫وليكن (ى) ‪.‬‬ ‫(‪ )7‬كرر الخطوتين (‪ )6( ، )5‬السابقتين مع تغيير الثقل الموضوع فى الحفرة وتعيين قياس زاوية ميل المستوى فى كل‬ ‫مرة وسجل النتائج فى كل مرة ‪ .‬ماذا تالحظ عن قياسات الزوايا التى حصلت عليها فى المرات السابقة ‪.‬‬

‫من �لن�شاط �ل�شابق نجد �أن ‪:‬‬

‫‪4‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�� ل�� ‬

‫½ قياسات الزوايا التى حصلنا عليها فى المرات السابقة متساوية القياس على وجه التقريب ‪.‬‬

‫‪1 1‬‬

‫½ متوسط قياسات الزوايا هو قياس زاوية االحتكاك ‪.‬‬

‫½ ظل هذه الزاوية هو معامل االحتكاك بين السطحين المتالمسين ‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫وضع جسم وزنه ‪ 3‬نيوتن على مستوى يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ c30‬ومعامل االحتكاك السكونى بينه‬ ‫وبين الجسم يساوى ‪ . 23‬أثرت على الجسم قوة تعمل فى خط أكبر ميل للمستوى وألعلى ومقدارها ‪ 2‬نيوتن ‪،‬‬ ‫فإذا كان الجسم متزنا ‪ .‬عين قوة االحتكاك عندئذ وبين ما إذا كان الجسم على وشك الحركة أم ال ؟‬ ‫الحل‬

‫بتحليل وزن الجسم و إلى مركبتين فى اتجاه المستوى والعمودى عليه ‪.‬‬ ‫‪ )1‬المركبة المماسية فى اتجاه خط اكبر ميل للمستوى إلى أسفل ومقدارها و جا هـ = ‪ 3‬جا ‪ 32 = c30‬نيوتن‬ ‫‪ )2‬المركبة العمودية على المستوى ومقدارها و جتا هـ = ‪ 3‬جتا ‪ 3 2 3 = c30‬نيوتن‬ ‫وبالمقارنة بين مقدار المركبة المماسية للوزن و جا هـ = ‪ 32‬نيوتن ‪ ،‬مقدار القوة المؤثرة على الجسم فى اتجاه‬ ‫خط أكبر ميل للمستوى ألعلى = ‪ 2‬نيوتن نجد أن ‪ > X :‬و جا هـ‪.‬‬ ‫لذلك فإن الجسم يميل إلى التحرك ألعلى المستوى ولذلك يجب أن تكون قوة االحتكاك ح فى عكس‬ ‫االتجاه أى فى اتجاه خط اكبر ميل للمستوى ألسفل وبذلك يكون ‪:‬‬ ‫` ‪=2‬ح‪3 +‬‬ ‫` ح = ‪ 12‬نيوتن‬ ‫‪ = X‬ح ‪ +‬و جا هـ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ = S‬و جتا هـ‬

‫` ‪ 3 = S‬جتا ‪c30‬‬

‫مقدار االحتكاك = ‪ 12‬نيوتن ويعمل فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ألسفل‬ ‫‪2‬‬ ‫وللتعرف على ما إذا كان الجسم على وشك الحركة أم ال‬

‫` ‪ 3 32 = S‬نيوتن‬

‫نوجد مقدار قوة االحتكاك النهائى ‪I‬س = مس ‪ 3 = 3 32 * 23 = S‬نيوتن‬ ‫‪c30‬‬ ‫فنجد أن ‪ :‬ح < ‪I‬س أى أن االحتكاك غير نهائى‬ ‫‪ 3‬جتا ‪c30‬‬ ‫` الجسم ال يكون على وشك الحركة ‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪S‬‬

‫‪3‬جا ‪c30‬‬

‫‪ c30‬ح‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫وضع جسم وزنه ‪ 2‬ث كجم على مستوى يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ c 30‬ومعامل االحتكاك السكونى‬ ‫بينه وبين الجسم يساوى ‪ . 0.9‬أثرت على الجسم قوة تعمل فى خط أكبر ميل للمستوى وألعلى ومقدارها ‪2.5‬‬ ‫نيوتن ‪ ،‬فإذا كان الجسم متزنا ‪ .‬عين قوة االحتكاك عندئذ وبين ما إذا كان الجسم على وشك الحركة أم ال ؟‬

‫تفكير ناقد‪ :‬إذا وضع جسم على مستوى مائل يميل على األفقى بزاوية قياسها (هـ) وكان قياس زاوية االحتكاك‬ ‫السكونى بين الجسم والمستوى (ل) – ماذا تتوقع أن يحدث للجسم إذا كان ‪:‬‬ ‫ب هـ) > ل‬ ‫أ هـ < ل‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪5‬‬

‫�كت�الا‬

‫مثال‬ ‫‪ 2‬وضع جسم وزنه ‪ 10‬ث كجم على مستو مائل خشن تؤثر عليه قوة فى اتجاه خط أكبر ميل إلى أعلى المستوى‪،‬‬ ‫فإذا علم أن الجسم يكون على وشك الحركة إلى أعلى المستوى عندما ق = ‪ 6‬ث كجم ويكون على وشك‬ ‫الحركة إلى اسفل المستوى عندما ‪ 4 = X‬ث كجم ‪.‬أوجد ‪:‬‬ ‫أ قياس زاوية ميل المستوى على األفقى ‪.‬‬ ‫ب معامل االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى ‪.‬‬ ‫الحل‬

‫عندما ‪ 6 = X‬ث كجم يكون الجسم على وشك الحركةإلى أعلى المستوى ويكون االحتكاك السكونى نهائيا‬ ‫ويعمل إلى أسفل المستوى ‪.‬‬ ‫‪ 10 = 6 ،‬جاهـ ‪ +‬مس ‪ 1S‬وبحذف ‪ 1S‬من المعادلتين ‪:‬‬ ‫` ‪ 10 = 1S‬جتا هـ‬ ‫` ‪ 10‬جا هـ ‪ 10 +‬مس جتا هـ = ‪)1( .................................... 6‬‬ ‫عندما ‪ 4 = X‬ث كجم يكون الجسم على وشك الحركةإلى أسفل المستوى ويكون االحتكاك السكونى نهائيا‬ ‫ويعمل إلى ألعلى المستوى ‪.‬‬ ‫` ‪ 10 = 2S‬جتا هـ‬ ‫‪ + 4 ،‬مس ‪10 = 2S‬جا هـ وبحذف ‪2S‬‬ ‫‪1S‬‬ ‫‪6‬‬ ‫من المعادلتين ‪:‬‬ ‫` ‪ 10‬مس جتا هـ = ‪ 10‬جا هـ ‪)2( ......................................4 -‬‬ ‫‪10‬جا هـ‬ ‫هـ‬ ‫من (‪: )2( ، )1‬‬ ‫هـ‬ ‫‪10‬جتا هـ‬ ‫مس‪1S‬‬ ‫` ‪ 10 = 6‬جا هـ ‪ 10 +‬جا هـ – ‪ 20 ` 4‬جا هـ = ‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫شكل (‪)4‬‬ ‫` جا هـ = ‪1‬‬ ‫` هـ = ‪c30‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2S‬‬ ‫‪4‬‬ ‫م‬ ‫‪4‬‬ ‫–‬ ‫‪c30‬‬ ‫جا‬ ‫‪10‬‬ ‫=‬ ‫‪c30‬‬ ‫جتا‬ ‫م‬ ‫‪10‬‬ ‫`‬ ‫(‪)1‬‬ ‫رقم‬ ‫فى‬ ‫وبالتعويض‬ ‫‪S‬‬ ‫س‬ ‫س ‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪3‬‬ ‫` ‪ 10 * 3‬م = ‪4 – 5‬‬ ‫` مس = ‪3 5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫معامل االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى = ‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪10‬جا هـ‬

‫هـ‬

‫‪10‬جتا هـ‬

‫‪10‬‬

‫هـ‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫ٍ‬ ‫مستو مائل خشن لوحظ أن الجسم يكون على وشك االنزالق إذا كان‬ ‫‪ 2‬وضع جسم مقدار وزنه ‪ 30‬نيوتن على‬ ‫المستوى يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ ،c30‬فإذا أريد زيادة ميل المستوى إلى ‪ c60‬فأوجد مقدار ‪:‬‬ ‫أ أقل قوة تؤثر فى الجسم موازية لخط أكبر ميل فى المستوى وتمنعه من االنزالق ‪.‬‬ ‫ب القوة التى تؤثر فى الجسم موازية لخط اكبر ميل فى المستوى وتجعله على وشك الحركة إلى أعلى‬ ‫المستوى ‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�� ل�� ‬

‫‪1 1‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 3‬وضع جسم وزنه ‪ 2‬ث كجم على مستوى افقى خشن ثم اميل المستوى تدريجيا حتى أصبح الجسم على‬ ‫وشك االنزالق اسفل المستوى عندما كان قياس زاوية ميل المستوى على األفقى ‪ c30‬أوجد معامل االحتكاك‬ ‫السكونى بين الجسم والمستوى‪ ،‬وإذا ربط الجسم عندئذ بخيط ثم شد الخيط فى اتجاه يميل بزاوية قياسها‬ ‫‪c60‬على األفقى حتى أصبح الجسم على وشك الحركة إلى أعلى المستوى فأوجد ‪:‬‬ ‫أ مقدار قوة الشد‬

‫ب مقدار قوة االحتكاك السكونى‬

‫الحل‬

‫‪ X‬جتا ‪X 30‬‬

‫ال‪ a :‬الجسم على وشك االنزالق ألسفل المستوى تحت تأثير وزنه فقط‬ ‫أو ً‬ ‫‪1‬‬ ‫` مس = ظا ‪= c30‬‬ ‫‪3‬‬

‫من (‪)2( ، )1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫مس‪S‬‬

‫‪c30‬‬ ‫‪ 2‬جتا ‪30‬‬

‫‪c30‬‬

‫‪ 2‬جا ‪30‬‬

‫شكل (‪)6‬‬

‫` ‪، )1( .................................... X 12 - 3 = S‬‬ ‫‪)2( ........................................... S2 + 3 2 = X 3 ` S‬‬

‫‪)X 12 - 3 (2 + 3 2 = X3‬‬

‫` ‪3 4=X4‬‬

‫وبالتعويض فى (‪ 3 12 = 3 12 - 3 = S ` )1‬ث كجم‬ ‫` قوة االحتكاك السكونى = مس ‪ 12 = 3 12 * 1 = S‬ث كجم‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪c30‬‬

‫‪ X‬جا ‪30‬‬

‫‪2‬‬

‫ثان ًيا ‪ a :‬الجسم على وشك الحركة ألعلى المستوى ‪:‬‬

‫معادالت االتزان هى ‪:‬‬ ‫‪ X + S‬جا ‪ 2 = c30‬جتا ‪c 30‬‬ ‫‪ X‬جتا ‪ 2 = c 30‬جا ‪+ c 30‬‬

‫‪S‬‬

‫` ‪ 3 = X‬ث كجم‬

‫‪3‬‬

‫‪ 3‬جسم وزنه ‪ 20‬نيوتن موضوع على مستو مائل خشن لوحظ أن الجسم يكون على وشك االنزالق إذا كان‬ ‫جيب زاوية ميل المستوى على األفقى = ‪ 12‬فإذا زيد ميل المستوى بحيث كان جيب زاوية ميل المستوى على‬ ‫األفقى = ‪: 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أ أوجد مقدار أقل قوة تؤثر على الجسم موازية لخط أكبر ميل للمستوى تمنعه من االنزالق‬ ‫ب القوة التى تجعله على وشك الحركة ألعلى المستوى وموازية لخط أكبر ميل‪.‬‬

‫تمــــاريــن ‪2 - 1‬‬

‫�أوال‪� :‬سع عالمة (�) �أو عالمة (�)‪:‬‬

‫يتوقف معامل االحتكاك بين جسمين على شكليهما وكتلتيهما‪.‬‬ ‫‪ 2‬تسمى النسبة بين مقدارى قوة االحتكاك السكونى النهائى ورد الفعل العمودى بمعامل االحتكاك‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪7‬‬

‫�كت�الا‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫ظل زاوية االحتكاك السكونى يساوى النسبة بين قوة االحتكاك النهائى ورد الفعل العمودى‬ ‫إذا وضع جسم على مستوى مائل خشن وكان على وشك االنزالق فإن معامل االحتكاك السكونى بين الجسم‬ ‫والمستوى يساوى قياس زاوية ميل المستوى على األفقى‪.‬‬ ‫إذا وضع جسم على مستوى مائل خشن وكان على وشك االنزالق فإن قياس زاوية االحتكاك يساوى قياس‬ ‫زاوية ميل المستوى على األفقى‪.‬‬ ‫زاوية االحتكاك هى الزاوية المحصورة بين قوة االحتكاك النهائى وقوة رد الفعل المحصل‪.‬‬

‫ث�ني�‪� :‬ختر �الج�بة �ل�سحيحة من بين �الج�ب�ت �لمعط�ة‬

‫‪ 7‬فى الشكل المقابل‪:‬إذا كان الجسم على وشك االنزالق ألسفل فإن قوة‬ ‫االحتكاك النهائى تساوى ‪:‬‬ ‫أ ‪3‬‬ ‫ب ‪3 2‬‬ ‫د ‪9‬‬ ‫ج ‪3 3‬‬

‫م = ‪1‬‬ ‫س‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 6‬نيوتن‬

‫‪ 8‬فى الشكل المقابل‪ :‬الجسم على وشك االنزالق إلى أسفل المستوى‬ ‫‪ 6‬متر‬ ‫فيكون قياس زاوية االحتكاك السكونى يساوى ‪:‬‬ ‫ب ‪c41.41‬‬ ‫أ ‪c36.87‬‬ ‫د ‪c53.13‬‬ ‫ج ‪c48.59‬‬

‫‪ 9‬فى الشكل المقابل‪:‬‬ ‫الجسم على وشك األنزالق أسفل المستوى فيكون ‪ c(X‬هـ) =‬ ‫ب ‪c14.48‬‬ ‫أ ‪c14.04‬‬ ‫د ‪c75.87‬‬ ‫ج ‪c75.52‬‬

‫‪c30‬‬

‫مس = ‪0.25‬‬

‫‪ 8‬متر‬

‫هـ‬

‫ث�لث�‪� :‬أجب عن �الأ�سئلة �التية‬

‫‪ 0‬وضع جسم وزنه ‪ 39‬نيوتن على مستو أفقى خشن وكان ظل زاوية االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى‬ ‫‪ ، 13‬شد الجسم بقوة تصنع مع األفقى زاوية جيبها ‪ 45‬جعلت الجسم على وشك الحركة ‪ .‬اوجد ‪:‬‬ ‫ب مقدار قوة االحتكاك‬ ‫أ مقدار قوة الشد‪.‬‬

‫جسم وزنه ‪ 38‬ث ‪ .‬كجم يكون على وشك الحركة تحت تأثير وزنه إذا وضع على مستوى مائل خشن يميل‬ ‫على األفقى بزاوية ظلها ‪ ، 14‬فإذا وضع هذا الجسم على مستوى أفقى فى نفس خشونة المستوى المائل وأثرت‬ ‫عليه قوة شد إلى أعلى تصنع مع األفقى زاوية ظلها ‪ 34‬وتقع فى مستوى رأسى فجعلته على وشك الحركة ‪ .‬اوجد‬ ‫مقدار هذه القوة ومقدار رد الفعل العمودى ‪.‬‬ ‫‪ 2‬وضع جسم وزنه ‪ 400‬ث ‪ .‬جم على مستوى يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ ْ 30‬ومعامل االحتكاك بينه وبين‬ ‫الجسم يساوى ‪ . 3‬أثرت على الجسم قوة مقدارها ‪ 50‬ث جم فى خط أكبر ميل للمستوى وألعلى ‪ .‬إذا كان‬ ‫‪4‬‬ ‫الجسم متزنا فعين قوة االحتكاك وبين ما إذا كان الجسم على وشك الحركة أم ال ‪.‬‬ ‫‪ 3‬وضع جسم كتلته ‪ 4‬كجم على مستوى مائل خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ ْ 30‬ومعامل االحتكاك بينه‬

‫‪8‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�� ل�� ‬

‫‪1 1‬‬

‫وبين المستوى ‪ . 3‬بين ما إذا كان الجسم ينزلق على المستوى أو يكون على وشك االنزالق أو أن االحتكاك‬ ‫‪2‬‬ ‫غير نهائى ‪ ،‬واوجد مقدار واتجاه قوة االحتكاك عندئذ ‪ .‬ثم اوجد مقدار القوة التى تؤثر على هذا الجسم فى‬ ‫اتجاه خط أكبر ميل بحيث يكون الجسم على وشك الحركة إلى اعلى المستوى ‪.‬‬ ‫‪ 4‬وضع جسم وزنه ‪ 3 20‬نيوتن على مستوى مائل خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ c30‬ثم شد الجسم‬ ‫إلى اعلى بواسطة خيط واقع فى المستوى الرأسى المار بخط أكبر ميل وفى اتجاه يصنع زاوية قياسها ‪ c30‬مع‬ ‫المستوى ‪ ،‬فإذا كان معامل االحتكاك يساوى ‪ 0.25‬فأوجد أقل قيمة للشد فى الخيط تمنع الجسم من الحركة‬ ‫إلى أسفل المستوى ‪.‬‬ ‫‪ 5‬وضع جسم وزنه (و) على مستوى خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها (هـ) فوجد أن أقل قوة توازى خط‬ ‫أكبر ميل للمستوى وتجعل الجسم على وشك الحركة إلى أعلى المستوى تساوى ‪ 2‬و جا هـ ‪ .‬اثبت أن ‪:‬‬ ‫ب مقدار رد الفعل المحصل = و‬ ‫أ قياس زاوية االحتكاك = هـ‬ ‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪20‬‬

‫‪2‬‬

‫وضع جسم وزنه ‪ 25‬ث ‪ .‬كجم على مستوى مائل خشن تؤثر عليه قوة ق فى اتجاه خط أكبر ميل إلى أعلى‬ ‫المستوى ‪ .‬فإذا علم أن الجسم يكون على وشك الحركة إلى أعلى المستوى عندما ق = ‪ 15‬ث ‪ .‬كجم ويكون‬ ‫على وشك الحركة إلى أسفل المستوى عندما ق = ‪ 10‬ث ‪ .‬كجم فأوجد ‪:‬‬ ‫ب معامل االحتكاك السكونى‬ ‫أ قياس زاوية ميل المستوى على األفقى‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 13‬شد الجسم بقوة أفقية مقدارها‬ ‫وضع جسم وزنه (و) نيوتن على مستو مائل خشن يميل على األفقى بزاوية جيبها‬ ‫‪ 22‬نيوتن واقعة فى المستوى الرأسى المار بخط اكبر ميل للمستوى جعلت الجسم على وشك الحركة ألعلى‬ ‫المستوى‪ ،‬فإذا كان معامل االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى هو ‪ ، 12‬فأوجد مقدار وزن الجسم (و)‪.‬‬ ‫وضع جسم وزنه ‪ 8‬ث ‪ .‬كجم على مستوى افقى خشن ثم اميل المستوى تدريجيا حتى أصبح الجسم على‬ ‫وشك االنزالق اسفل المستوى عندما كان قياس زاوية ميل المستوى على األفقى ‪ . c30‬أوجد معامل االحتكاك‬ ‫بين الجسم والمستوى‪ ،‬وإذا ربط الجسم عندئذ بخيط ثم شد الخيط فى اتجاه يميل بزاوية قياسها ‪ c30‬على‬ ‫المستوى حتى أصبح الجسم على وشك الحركة إلى أعلى المستوى فأوجد ‪:‬‬ ‫ب مقدار رد الفعل العمودى‬ ‫أ مقدار قوة الشد‬ ‫وضع جسم وزنه ‪ 3‬ث كجم على مستو خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ c60‬وكان معامل االحتكاك‬ ‫السكونى بين الجسم والمستوى ‪ . 3‬بين مع ذكر السبب أن هذا الجسم ال يمكن أن يبقى ساكنا ثم أوجد‬ ‫‪9‬‬ ‫قيمة اكبر واصغر قوة أفقية (واقعة فى المستوى الرأسى المار بخط اكبر ميل) تؤثر فى الجسم ويبقى متزنا ‪.‬‬ ‫كتلتان ‪ 5 ، 3‬كجم متصالن بخيط خفيف وموضوعتان على مستوى مائل خشن وكان معامل االحتكاك‬ ‫السكونى بين المستوى والجسمين ‪ 45 , 23‬على الترتيب ‪ .‬بين أى الجسمين يوضع أسفل الجسم اآلخر حتى‬ ‫يتحرك الجسمان معاً ‪ ،‬ثم أثبت أن ظل زاوية ميل المستوى على األفقى عندما يكون الجسمان على وشك‬ ‫الحركة ‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫تفكير إبداعى ‪ :‬جسم وزنه (و) موضوع على مستو مائل خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها (هـ) وزاوية‬ ‫االحتكاك بينه وبين الجسم قياسها ل ‪ .‬اثرت فى الجسم قوة مقدارها (‪ )X‬وتميل على المستوى ألعلى بزاوية‬ ‫قياسها (ى) ‪ .‬اوجد اصغر مقدار للقوة (‪ )X‬بحيث تجعل الجسم على وشك الحركة ألعلى المستوى ‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪9‬‬

‫�كت�الا‬

‫السطوح الملساء‪ :‬تنعدم قوى االحتكاك فيها تماما ويكون معامل االحتكاك = صفرا‪.‬‬ ‫السطوح الخشنه‪ :‬تظهر فيها قوى االحتكاك ويكون معامل االحتكاك فيها يساوى عدداً‬ ‫حقيقيا موجبا أكبر من الصفر‪.‬‬ ‫رد الفعل‪:‬‬

‫‪ Á‬فى حالة السطوح الملساء يكون رد الفعل عمودياً على سطح التماس المشترك للجسمين المتالمسين‪.‬‬

‫‪ Á‬فى حالة السطوح الخشنة يكون رد الفعل غير معلوم االتجاه إذ يتوقف على طبيعة السطحين المتالمسين كما‬ ‫يتوقف على القوى األخرى المؤثرة على الجسم ‪.‬‬ ‫قوة االحتكاك السكونى‪ :‬تظهر عند انزالق سطحين متالمسين أو يكونا على وشك الحركة ويكون اتجاهها معاكسا‬ ‫التجاه القوة وتعطى قيمتها بالمتباينة ‪I H 0‬س ‪ H‬مس‪ S‬حيث مس هو معامل االحتكاك السكونى ‪.‬‬ ‫قوة االحتكاك السكونى النهائى‪ :‬عندما تصل قوة االحتكاك السكونى النهائى (‪I‬س) إلى قيمتها العظمى يكون‬ ‫الجسم عندها على وشك الحركة (دون أن يتحرك) ويكون االحتكاك عندها نهائيا ويرمز له بالرمز (‪I‬س)‪.‬‬ ‫وتكون ‪I :‬س = مس‪S‬‬

‫قوة االحتكاك الحركى‪ :‬إذا تحرك جسم على سطح خشن فإنه يخضع لقوة احتكاك حركى يكون اتجاهه عكس‬ ‫اتجاه حركته ‪ ،‬وتعطى قيمتها بالعالقة ‪I :‬ك = مك‪ S‬حيث مك هو معامل االحتكاك الحركى ‪.‬‬ ‫مالحظات على معامل االحتكاك السكونى والحركى‪:‬‬

‫‪ Á‬مس ‪ ،‬مك يعتمد كل منهما على طبيعة الجسم والسطح ‪ ،‬لكنه ال يعتمد على مساحة السطوح المتماسة أو كتلة‬ ‫الجسم المتحرك‪.‬‬ ‫‪ Á‬معامل االحتكاك السكونى (مس)> معامل االحتكاك الحركى (مك)‬

‫رد الفعل المحصل‪ :‬رد الفعل المحصل (‪)/S‬هو محصلة رد الفعل العمودى ر وقوة االحتكاك‬

‫حس‬

‫زاوية االحتكاك‪ :‬الزاوية المحصورة بين رد الفعل العمودي ورد الفعل المحصل ‪ ،‬و تصل إلى قيمتها العظمى عندما‬ ‫يصبح االحتكاك نهائياً ‪.‬‬ ‫العالقة بين معامل االحتكاك وزاوية االحتكاك‪ :‬عندما يكون االحتكاك نهائيا فإن معامل االحتكاك يساوى ظل‬ ‫زاوية االحتكاك‬ ‫العالقة بين قياس زاوية االحتكاك وقياس زاوية ميل المستوى على األفقى‪ :‬إذا وضع جسم على مستو مائل خشن‬ ‫وكان الجسم على وشك االنزالق فإن قياس زاوية االحتكاك يساوى قياس زاوية ميل المستوى على األفقى‪.‬‬

‫‪20‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�ختر �الإج�بة �ل�سحيحة من بين �الإج�ب�ت �لمعط�ه ‪:‬‬ ‫زاوية االحتكاك هى ‪:‬‬ ‫أ الزاوية المحصورة بين رد الفعل المحصل ورد الفعل العمودى فى حالة االحتكاك النهائى‪.‬‬ ‫ب الزاوية المحصورة بين رد الفعل المحصل وقوة االحتكاك النهائى‪.‬‬ ‫ج النسبة بين رد الفعل العمودى وقوة االحتكاك النهائى‪.‬‬ ‫د النسبة بين معامل االحتكاك السكونى ومعامل االحتكاك الحركى‪.‬‬

‫‪ 2‬معامل االحتكاك يتوقف على ‪:‬‬ ‫أ مساحة سطح التالمس‪.‬‬ ‫ج طبيعة مادة الجسمين‪.‬‬

‫ب شكل الجسمين‪.‬‬ ‫د كل ماسبق‪.‬‬

‫‪ 3‬إذا كان مس ‪ ،‬مك هما معاملى االحتكاك السكونى والحركى على الترتيب لجسمين متالمسين فإن ‪:‬‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫د التوجد عالقة بينهما ‪.‬‬ ‫مس > مك‬ ‫مس < مك‬ ‫مس = مك‬

‫�جب عن �ال�سئلة �الآتية ‪:‬‬

‫ٍ‬ ‫مستو أفقى خش معامل االحتكاك بينهما ‪ ، 23‬أثرت على الجسم قوة أفقية‬ ‫‪ 4‬وضع جسم وزنه ‪ 13.5‬ث كجم على‬ ‫مقدارها ‪ 7.5‬ث كجم‪ .‬بين هل الجسم يكون على وشك الحركة ؟ فسر إجابتك ‪.‬‬ ‫‪ 5‬جسم وزنه ‪ 45‬ث كجم موضوع على مستوى أفقى خشن معامل االحتكاك بينه وبين الجسم يساوى ‪. 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أوجد‪:‬‬ ‫أ مقدار أقل قوة تكفى لتحريك الجسم على المستوى‪.‬‬ ‫ب مقدار واتجاه رد الفعل المحصل‪.‬‬ ‫‪ 6‬وضع جسم وزنه ‪ 26‬نيوتن على مستو أفقى خشن واصبح الجسم على وشك الحركة عندما أثرت عليه قوتان‬ ‫أفقيتان مقدارهما ‪ 8 ، 7‬نيوتن وتحصران بينهما زاوية قياسها ‪ . c60‬أوجد معامل االحتكاك السكونى بين الجسم‬ ‫والمستوى ‪.‬‬

‫ٍ‬ ‫مستو يميل على االفقى بزاوية قياسها ‪ c30‬فكان الجسم على وشك االنزالق‪.‬‬ ‫‪ 7‬وضع جسم وزنه ‪ 10‬ث كجم على‬ ‫أوجد القوة التى تعمل فى اتجاه خط اكبر ميل للمستوى لتجعل الجسم على وشك الحركة إلى اعلى المستوى‪.‬‬ ‫‪ 8‬وضع جسم وزنه ‪ 6‬نيوتن على مستوى خشن يميل على األفقى بزاوية جيب تمامها ‪ 45‬وكان قياس زاوية‬ ‫االحتكاك بين الجسم والمستوى ‪ . ْ 45‬بين أن الجسم يبقى متزنا ثم أوجد مقدار أقل قوة تؤثر على الجسم فى‬ ‫اتجاه خط اكبر ميل للمستوى ألسفل وتجعله على وشك الحركة ‪.‬‬ ‫لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى‬

‫‪www.sec3mathematics.com.eg‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪2‬‬

‫العزوم‬ ‫‪Moments‬‬

‫الوحدة‬

‫‪2‬‬

‫مقدمة الوحدة‬ ‫اعتمد اإلنسان منذ القدم على فكرة الروافع لتمكنه من حمل ونقل االشياء من مكان آلخر‪ .‬والجهاز الحركى لإلنسان يشبه إلى حد كبير الفكرة‬ ‫التى تقوم عليها الروافع‪ .‬فالعظام هى األجسام الصلبة المادية التى تؤثر عليها القوة العضلية المرتبطة بها لتدور حول نقطة ثابتة (مركز)‪.‬‬ ‫وهذا يحتم علينا فهم التأثير الدورانى للقوة (عزم القوة)‪ .‬وفى هذه الوحدة سوف نلقى الضوء على مفهوم عزم قوة بالنسبة لنقطة فى نظام‬ ‫احداثى ثنائى أو ثالثى االبعاد‪.‬‬

‫أهداف الوحدة‬ ‫بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن‪:‬‬

‫ يتعرف ويوجد عزم قوة بالنسبة لنقطة فى الفراغ‪.‬‬ ‫ يوجد معيار واتجاه عزم قوة بالنسبة لنقطة‪.‬‬

‫ يوجد عزوم القوى المستوية بالنسبة لنقطة واقعه فى مستويها‪.‬‬

‫‪22‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ يتعرف النظرية العامة للعزوم «إذا كانت لمجموعة من القوى‬ ‫المستوية المؤثرة على جسم متماسك محصلة فإن المجموع‬ ‫الجبرى لعزوم القوى حول نقطة يساوى عزم المحصلة حول‬ ‫نفس النقطة»‪.‬‬ ‫ يحل تطبيقات متنوعة على العزوم‪.‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪ Ñ‬عزم‬

‫‪ Ñ‬مركبة العزم‬

‫‪Moment‬‬

‫‪ Ñ‬مركز العزم‬

‫‪ Ñ‬عكس اتجاه دوران عقارب الساعة‬

‫‪Moment centre‬‬

‫‪ Ñ‬محور العزم‬

‫‪ Ñ‬القياس الجبرى للعزم‬

‫‪Moment arm‬‬

‫‪ Ñ‬دوران‬

‫‪ Ñ‬معيار العزم‬

‫‪Rotation‬‬

‫‪ Ñ‬محصلة‬

‫‪Anti clockwise‬‬

‫‪ Ñ‬فى اتجاه دوران عقارب الساعة‬

‫‪Moment axis‬‬

‫‪ Ñ‬ذراع العزم‬

‫‪Moment component‬‬

‫‪Clockwise‬‬ ‫‪Algebraic measure of the moment‬‬ ‫‪Norm of the moment‬‬

‫‪Resultant‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫دروس الوحدة‬ ‫(‪ :)1- 2‬عزم قوة بالنسبة لنقطة فى نظام احداثى ثنائى االبعاد‪.‬‬

‫آلة حاسبة علمية ‪ -‬برامج رسومية للحاسوب‪.‬‬

‫(‪ :) 2- 2‬عزم قوة بالنسبة لنقطة فى نظام احداثى ثالثى االبعاد‪.‬‬

‫مخطط تنظيمى للوحدة‬ ‫العزوم‬

‫عزم قوة حول نقطة فى‬

‫نظام احداثى ثنائى البعد‬

‫نظام احداثى ثالثى األبعاد‬ ‫معيار العزم‬

‫عزم قوة حول نقطة‬ ‫القياس الجبرى للعزم‬

‫المركبات االحداثية لعزم قوة‬ ‫حول نقطة فى الفراغ‬

‫نظرية فارينون‬

‫النظرية العامة للعزوم‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪23‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪1-2‬‬

‫سوف تتعلم‬

‫ عزم قوة بالنسبة لنقطة‪.‬‬

‫ عزوم القوى املستوية‬ ‫بالنسبة لنقطة ىف مستوهيا‪.‬‬

‫عزم قوة بالنسبة لنقطة فى نظام احداثى‬ ‫ثنائى األبعاد‬ ‫‪Moment of a force about a point in 2D-coordinate system‬‬

‫تعلمت ساب ًقا أن القوة قد تنتج من تأثير جسم طبيعى على جسم طبيعى آخر‪ .‬وهذا التأثير‬ ‫ينتج عنه صور مختلفة (تأثير حركة ‪ -‬تأثير شكلى ‪ .)...‬فإذا تحرك الجسم من موضع إلى‬ ‫تأثيرا حرك ًيا انتقال ًيا‪ .‬وإذا تحرك الجسم حركة دورانية‬ ‫آخر فإن تأثير القوة هنا يكون ً‬ ‫حول نقطة فإن تأثير القوة فى هذه الحالة يكون تأثير حرك ًيا دوران ًيا‪ .‬وهنا نقول أن القوة‬ ‫قادرة على احداث دوران للجسم حول نقطة وهو ما يعرف بعزم القوة حول نقطة‪.‬‬ ‫ويعتمد هذا التأثير الدورانى للقوة (العزم) على مقدار القوة وعلى ُبعد خط عمل القوة‬ ‫عن هذه النقطة‪.‬‬

‫فكر و‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫ عزم‬

‫ مركز العزم‬ ‫ حمور العزم‬

‫‪Moment‬‬ ‫‪Moment centre‬‬ ‫‪Moment axis‬‬

‫ ذراع العزم‬

‫ناقش‬

‫مركز الدوران‬

‫(‪ )1‬الشكل المقابل يوضح طفالن على ارجوحه‬ ‫متزنة فى وضع أفقى‪.‬‬ ‫أى الطفلين (األثقل ‪ -‬األخف) يكون أقرب‬ ‫إلى مركز الدوران‪.‬‬ ‫إذا أراد الطفل األثقل أن يجعل االرجوحة تدور حيث يرتفع الطفل األخف‬ ‫العلى‪ .‬فما الذى يفعله؟‬ ‫(‪ )2‬الشكل المقابل ليد شخص يحاول أن يربط‬ ‫ماسورة‪ .‬فإن انسب موضع للقوة ‪ X‬الحكام‬ ‫الربط هو ‪ ،C( ..‬ب‪ ،‬جـ)‬

‫ق‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫تعلم‬ ‫عزم قوة حول نقطة فى نظام احداثى متعامد ثنائى االبعاد‬ ‫‪Moment of a force about a point in 2D-coordinates system‬‬

‫يعرف عزم القوة ‪ X‬حول نقطة و بأنه‬ ‫مقدره القوة على احداث دوران للجسم حول‬ ‫‪X‬‬ ‫نقطة و‪ .‬ويمكن حساب هذا التأثير الدورانى‬ ‫‪C‬‬ ‫ر‬ ‫جو‬ ‫من العالقة جو = ‪X * S‬‬ ‫و‬ ‫حيث ‪ S‬متجه موضع نقطة ‪ C‬على خط عمل‬ ‫مركز العزم‬ ‫القوة بالنسبة للنقطة و‪ .‬تسمى النقطة (و)‬ ‫مركز العزوم‪ .‬ويسمى المستقيم المار بالنقطة‬ ‫و عمود ًيا على المستوى الذى يحوى القوة ‪ X‬والنقطة و ‪ ،‬بمحور العزم ونالحظ أن‬ ‫محور العزم‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫ آله حاسبة علمية‪.‬‬

‫‪24‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�� ‬

‫‪2 2‬‬

‫عزم القوة هو كمية متجهه‪ .‬وطب ًقا لقاعدة اليد اليمنى للضرب االتجاهى يكون اتجاه عزم القوة بالنسبة لنقطة و‬ ‫و‬ ‫عمود ًيا على المستوى الذى يحوى القوة ‪ X‬والنقطة و‪.‬‬ ‫تفكير ناقد‪ :‬هل يتوقف عزم القوة‬ ‫‪1C‬‬ ‫‪ C‬على خط عمل القوة؟‬ ‫مفاهيم اساسية (عزم قوة ‪ -‬معيار العزم ‪ -‬القياس الجبرى للعزم ‪ -‬وحدة قياس مقدار العزم)‬ ‫‪X‬‬

‫بالنسبة لنقطة و على موضع النقطة‬

‫‪1S‬‬

‫‪X‬‬

‫‪2S‬‬

‫‪2C‬‬

‫‪3C‬‬

‫(‪ )1‬عزم قوة بالن�سبة لنقطة‬

‫من تعريف الضرب االتجاهى لمتجهين فإن‬

‫جو‬

‫جو = (|| ‪ || X || || S‬جا ‪ ) i‬ى‬

‫ى‬

‫ل‬

‫حيث ى متجه وحدة عمودى على مستوى ‪ S , X‬بحيث يكون الدوران‬ ‫من ‪ S‬إلى ‪ X‬فى اتجاه المتجه ى ‪ i‬هى قياس الزاوية بين ‪X ، S‬‬ ‫وبفرض || ‪ || S || , X = || X‬جا ‪ = i‬ل‬ ‫حيث ل طول العمود الساقط من و على خط عمل القوة ‪( X‬ل يسمى ذراع العزم) فإن عزم‬ ‫هو جو = (‪ X‬ل) ى‬ ‫(‪)1‬‬ ‫و‬

‫‪3S‬‬

‫‪i‬‬

‫ر‬

‫‪i‬‬

‫‪X‬‬

‫حول نقطة و‬

‫(‪ )2‬القيا�س الجبرى للعزم‬

‫وإذا كانت القوة ‪ X‬تعمل على الدوران حول و فى‬ ‫و‬ ‫و‬ ‫عكس اتجاه دوران عقارب الساعة كان القياس الجبرى‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫لمتجه العزم موج ًبا (متجه العزم فى اتجاه المتجه ى ) وإذا‬ ‫كانت القوة ‪ X‬تعمل على الدوران حول و فى اتجاه‬ ‫دوران عقارب الساعة كان القياس الجبرى لمتجه العزم سال ًبا (متجه العزم فى اتجاه المتجه ‪ -‬ى )‬ ‫و‬ ‫(‪ )3‬معيار العزم ويكون معيار العزم هو|| جو || = ‪X‬ل (‪)2‬‬ ‫(‪ )4‬عزم قوة حول نقطة على خط عملهما = صفر‬ ‫‪X‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫‪X‬‬

‫(‪ )5‬وحدة قيا�س مقدار العزم‬

‫وحدة قياس مقدار العزم = وحدة قياس مقدار القوة * وحدة قياس الطول‬ ‫ومنها نيوتن‪.‬متر ‪ ،‬داين‪.‬كم ‪ ،‬ث كجم‪.‬متر ‪...‬‬

‫‪X‬‬ ‫خط عمل القوة يمر بالنقطة و‬ ‫` جو = صفر‬

‫مثال‬

‫إذا كانت ‪ , N , M‬ع مجموعة يمينية من متجهات الوحدة وكانت القوة‬ ‫النقطة ‪ )3 ،1-( C‬من جسم أوجد‪:‬‬ ‫أ عزم القوة ‪ X‬بالنسبة لنقطة األصل و (‪)0 ،0‬‬ ‫ب طول العمود الساقط من النقطة و على خط عمل القوة ‪X‬‬

‫‪M3 = X‬‬

‫‪)4 ،3( = X‬‬

‫‪ N 4 +‬تؤثر فى‬ ‫ص‬

‫‪)3 ،1-( C‬‬

‫الحل‬

‫أ ‪ = S‬و‪ - C = C‬و‬

‫ = (‪)3 ،1-( = )0 ، 0( - )3 ،1-‬‬

‫س‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫و‬

‫‪S‬‬

‫‪25‬‬

‫��ل�‬

‫جو =‬ ‫ = (‪ )3 * 3 - 4 * 1-( = )4 ،3( * )3 ،1-‬ع‬ ‫ = ‪ 13-‬ع‬ ‫‪X * S‬‬

‫معيار العزم = ‪ 13‬وحدة عزم‪ ،‬القياس الجبرى لمتجه العزم = ‪ 13-‬وحدة عزم‬

‫تفسير الناتج‪ :‬أى أن القوة‬ ‫اتجاه ‪-‬ع )‬

‫‪X‬‬

‫تحدث دورانًا للجسم حول نقطة و فى اتجاه دوران عقارب الساعة (اتجاه العزم فى‬

‫ب اليجاد طول العمود المرسوم من و على خط عمل القوة‬ ‫‪ || a‬جو || = ‪ X‬ل‬

‫`ل=‬

‫|| جو ||‬ ‫‪X‬‬

‫‪13‬‬

‫=‬

‫‪X‬‬

‫‪24 + 23‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 13‬وحدة طول‪.‬‬ ‫= ‪5‬‬

‫إذا كانت ‪ , N , M‬ع مجموعة يمينية من متجهات الوحدة وكانت القوة‬ ‫النقطة ‪ )3 ،2( C‬أوجد‪:‬‬ ‫أ عزم القوة ‪ X‬بالنسبة للنقطة ب (‪)1 ، 2‬‬ ‫ب طول العمود الساقط من النقطة ب على خط عمل القوة‪.‬‬

‫‪X‬‬

‫=‬

‫‪M‬‬

‫‪ N 2 -‬تؤثر فى‬

‫تفكير ناقد‪ :‬إذا تالشى عزم قوة حول نقطة‪ .‬فماذا يعنى ذلك؟‬

‫تعلم‬ ‫مبداأ العزوم (نظرية فارينون)‬ ‫عزم القوة‬

‫‪X‬‬

‫)‪Principle of moments (Varignons theorm‬‬

‫بالنسبة لنقطة يساوى مجموع عزوم مركبات هذه القوة بالنسبة لنفس النقطة‪.‬‬

‫بفرض القوة ‪X = X‬س ‪X + M‬ص ‪ N‬تؤثر فى نقطة ‪C‬‬

‫متجه موضعها بالنسبة للنقطة و هو‬

‫جو =‬ ‫ = (س‪ ،‬ص) * ( ‪X‬س‪X ،‬ص)‬ ‫‪X * S‬‬

‫‪S‬‬

‫‪X‬ص‬

‫‪X‬‬

‫= (س‪ ،‬ص) فإن‬

‫‪C‬‬

‫‪X‬س‬

‫ = (س ‪X‬ص) ع ‪-( +‬ص ‪X‬س) ع‬

‫ص‬

‫عزم ‪X‬ص حول و ‪ +‬عزم ‪X‬س حول و‬ ‫‪C‬‬

‫مثال‬

‫متر‬

‫‪S‬‬

‫س‬

‫ص‬

‫و‬

‫‪c30‬‬

‫‪ 2‬فى الشكل المقابل‪:‬‬ ‫أوجد القياس الجبرى لعزم القوة بالنسبة لنقطة و‬

‫‪26‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫س‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪ 200‬نيوتن‬

‫‪ 2‬متر‬

‫و‬

‫كتاب الطالب‬

‫�� ‬ ‫الحل األول‪:‬‬

‫‪ 12‬متر‬

‫‪ 200 = 1X‬جتا‪30‬‬

‫نحلل القوة ‪ 200‬نيوتن إلى مركبتين‬ ‫‪ 200 = 1X‬حتا ‪ 3 100 = 30‬نيوتن‬ ‫‪ 200 = 2X‬جا ‪ 100 = 30‬نيوتن‬ ‫وطب ًقا لنظرية فارينون يكون‬ ‫ج =‪1* X-2* X-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و‬ ‫‪2 2‬‬ ‫ = ‪1 * 100 - 2 * 3 100 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ = (‪ )50 - 3 200-‬نيوتن ‪ .‬متر‬

‫‪c30‬‬

‫‪200‬‬

‫‪c30‬‬ ‫‪ 2‬متر‬

‫‪ 200 = 2X‬جا‪30‬‬

‫و‬ ‫‪ 12‬متر‬ ‫‪c30‬‬ ‫‪c30‬‬

‫‪c30‬‬

‫الحل الثانى‪:‬‬

‫طول العمود الساقط من و على خط عمل القوة = ل‬ ‫حيث ل = ‪ 2‬حتا ‪ 12 + 30‬جا ‪ ) 14 + 3 ( = 30‬متر‬ ‫‪ a‬القوة تعمل على الدوران حول و فى اتجاه دوران عقارب الساعة‬ ‫` القياس الجبرى لعزم القوة يكون سالب‬ ‫` جو = ‪ )50 - 3 200-( = ) 14 + 3 ( * 200 -‬نيوتن ‪ .‬متر‬

‫‪200‬‬

‫ل‬

‫‪ 2‬متر‬ ‫‪c30‬‬

‫و‬ ‫‪ 100‬نيوتن‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪c40‬‬

‫‪ 2‬فى الشكل المقابل‪ :‬احسب القياس الجبرى لعزم القوة ‪ 100‬نيوتن بالنسبة لنقطة ‪C‬‬

‫‪ 1.4‬متر‬

‫نظرية‬

‫مجموع عزوم عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة بالنسبة ألى نقطة فى‬ ‫الفراغ يساوى عزم محصلة هذه القوى بالنسبة للنقطة نفسها‬

‫‪ 0.4‬متر‬

‫البرهان‬

‫بفرض ‪X ،... ، 2X ، 1X‬ن مجموعة محدودة من القوى تؤثر فى نقطة ‪C‬‬

‫وبفرض و النقطة المطلوب إيجاد العزوم عندها‬ ‫` ‪ = S‬و‪C‬‬ ‫مجموع عزوم القوى بالنسبة للنقطة و‬ ‫= ‪* S + ... + 2X * S + 1X * S‬‬ ‫= ‪+ 1X ( * S‬‬

‫= ‪ * S‬ح‬

‫‪2 2‬‬

‫‪2X‬‬

‫‪X + ... +‬ن )‬

‫‪X‬ن‬

‫= عزم محصلة هذه القوى بالنسبة للنقطة نفسها و‬

‫ح‬

‫‪2X‬‬

‫‪X‬ن‬

‫‪1X‬‬

‫و‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪C‬‬

‫‪S‬‬

‫‪27‬‬

‫‪C‬‬

‫��ل�‬

‫مثال‬

‫(عزوم القوى املستوية املتالقية ىف نقطة)‬

‫‪ 3‬تؤثر القوى ‪ N 4 + M 4 = 3X ، )3 ،1( = 2X , N 2 + M = 1X‬فى النقطة ‪ )1 ،2-( C‬أوجد مجموع‬ ‫عزوم هذه القوى حول نقطة ب (‪ )2 ،0‬ثم أوجد عزم محصلة هذه القوى حول نقطة ب‪ .‬ماذا تالحظ؟‬ ‫الحل‬

‫‪2X‬‬

‫= ب‪= C‬‬

‫‪S‬‬

‫ج‪* S = 1‬‬

‫‪1X‬‬

‫‪ -‬ب = (‪)1- ،2-‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪1X‬‬

‫= (‪)2 ،1( * )1- ،2-‬‬

‫ب‬

‫‪S‬‬

‫‪3X‬‬

‫‪C‬‬

‫= (‪ )1 + 4-‬ع = ‪ 3-‬ع‬

‫ج‪ )1 + 6-( = )3 ،1( * )1- ،2-( = 2X * S = 2‬ع = ‪ 5-‬ع‬ ‫ج‪ )4 + 8-( = )4 ،4( * )1- ،2-( = 3X * S = 3‬ع = ‪ 4 -‬ع‬

‫` مجموع عزوم القوى بالنسبة لنقطة ب‬ ‫ = ج‪ + 1‬ج‪+ 2‬‬

‫ج‪3‬‬

‫ = ‪ 3-‬ع ‪ 5 -‬ع ‪ 4 -‬ع = ‪ 12-‬ع‬

‫محصلة القوى‪:‬‬

‫ح = ‪+ 2X + 1X‬‬

‫` عزم المحصلة = ‪ * S‬ح‬

‫‪3X‬‬

‫= (‪)9 ،6( = )4 ،4( + )3 ،1( + )2 ،1‬‬

‫ = (‪)9 ،6( * )1- ،2-‬‬ ‫ = (‪ )6 + 18-‬ع = ‪ 12-‬ع‬ ‫نالحظ أن مجموع عزوم القوى بالنسبة لنقطة يساوى عزم محصلة القوى بالنسبة للنقطة نفسها‪.‬‬

‫النظرية العامة للعزوم‬

‫نظرية‬

‫المجموع الجبرى لعزوم مجموعة من القوى حول نقطة ما يساوى عزم المحصلة حول نفس النقطة‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 3‬تؤثر القوى ‪ N 3 - M 2- = 2X , N - M 3 = 1X‬فى النقطة ‪ .)4 ،1-( C‬اوجد مجموعة عزوم هذه‬ ‫القوى حول نقطة ب(‪ )1 ،1‬ثم أوجد عزم محصلة هذه القوى حول نقطة ب‪.‬‬

‫‪28‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�� ‬

‫‪2 2‬‬

‫مثال‬ ‫‪ C 4‬ب جـ ‪ E‬مستطيل فيه ‪ C‬ب = ‪6‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪8‬سم اثرت قوى مقاديرها ‪ 3 ،3 ،5 ،4‬نيوتن فى اتجاهات‬ ‫‪ C‬ب ‪ ،‬ب هـ ‪ E ،‬جـ ‪ E C ،‬حيث هـ ∈ ب جـ ‪ ،‬ب هـ = ‪6‬سم‪ .‬اثبت أن محصلة هذه القوى تمر بالنقطة هـ‪.‬‬ ‫الحل‬

‫مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى‬ ‫بالنسبة لنقطة هـ = ‪ = 6 * 3 + 2 * 3 + 6 * 4-‬صفر‬ ‫وطب ًقا لنظرية العزوم فإن عزم المحصلة بالنسبة للنقطة هـ‬ ‫يساوى = صفر‬ ‫أى أن المحصلة تمر بالنقطة هـ‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 6‬سم‬

‫ب‬

‫هـ‬

‫‪ 6‬سم‬

‫‪5‬‬

‫جـ‬

‫‪ 2‬سم‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ C 4‬ب جـ ‪ E‬مربع طول ضلعه ‪6‬سم‪ ،‬هـ ∈ ب جـ حيث ب هـ = ‪1‬سم ‪ ,‬اثرت قوى مقاديرها ‪ X ،4 ،3 ،2 ،1‬نيوتن‬ ‫فى ‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪ ،‬جـ ‪ C ، C E ، E‬جـ على الترتيب‪ .‬فإذا كان خط عمل المحصلة يمر بالنقطة هـ أوجد قيمة ‪X‬‬ ‫مثال‬

‫‪ 5‬تؤثر القوة ‪2 - = X‬‬ ‫جـ (‪)2 ،1-(E ،)4 ،1‬‬ ‫الحل‬ ‫‪1S‬‬

‫= ب‪= C‬‬

‫‪M‬‬

‫‪3+‬‬

‫‪N‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -‬ب = (‪)4- ،1‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -‬جـ = (‪)7- ،3‬‬

‫‪C‬‬

‫= (‪)5- ،5‬‬

‫فى النقطة ‪ .)3- ،4( C‬أوجد عزم‬

‫‪X‬‬

‫بالنسبة لكل من النقط ب(‪،)1 ،3‬‬ ‫(‪)4 ،1‬‬

‫‪2S‬‬

‫‪3S‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫ب‬

‫=‬

‫‪CE‬‬

‫‪-‬‬

‫` ج‪ )10 - 15( = )3 ،2-( * )5- ،5( = X * 2S = E‬ع = ‪ 5‬ع‬

‫‪4‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3‬‬

‫‪)2 ،1-( E‬‬

‫‪1‬‬

‫(‪)1 ،3‬‬

‫` ججـ = ‪ )14 - 9( = )3 ،2-( * )7- ،3( = X * 2S‬ع = ‪ 5-‬ع‬ ‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫` جب = ‪ )8 - 3( = )3 ،2-( * )4- ،1( = X * 1S‬ع = ‪ 5-‬ع‬

‫= جـ‪= C‬‬

‫‪5‬‬

‫‪X‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3- 2- 1‬‬‫‪1-‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬‫‪3-‬‬

‫(‪)3- ،4‬‬

‫من المثال السابق نستنتج أن‪:‬‬

‫‪4-‬‬

‫(‪ )1‬إذا كان عزم قوة حول نقطة ب = عزم هذه القوة حول نقطة جـ كان خط عمل القوة ‪ //‬ب جـ‬

‫(‪ )2‬إذا كان عزم قوة حول نقطة ب = ‪ -‬عزم هذه القوة حول نقطة ‪ E‬كان خط عمل القوة ينصف‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 5‬تؤثر القوة‬

‫‪X‬‬

‫‪ 28‬ع أوجد‬

‫فى النقطة ‪ )2 ،3-( C‬فإذا كان عزم‬ ‫‪X‬‬

‫‪.‬‬

‫‪X‬‬

‫ب‪E‬‬

‫حول كل من النقطتين ب (‪ ،)1 ،3‬جـ (‪ )4 ،1-‬يساوى‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪29‬‬

‫��ل�‬

‫تعميم االستنتاج السابق‬

‫إذا أثرت عدة قوى مستوية على جسم وكانت ‪ ,C‬ب نقطتين فى نفس المستوى‪.‬‬

‫(‪ )1‬فإذا كان مجموع عزوم القوى حول ‪ = C‬مجموع عزوم القوى حول ب فإذا خط عمل المحصلة ‪ C //‬ب ‪.‬‬

‫(‪ )2‬إذا كان مجموع عزوم القوى حول ‪ - = C‬مجموعة عزوم القوى حول ب فإن خط عمل المحصلة يمر بمنتصف‬ ‫‪C‬ب‬

‫مالحظة‪ :‬أما إذا كان مجموع عزوم القوى حول نقطة ما ولتكن جـ ينعدم فإما جـ تقع على خط عمل المحصلة أ‪،‬‬ ‫أن المحصلة هى المتجه الصفرى‬ ‫مثال‬ ‫‪ 6‬تؤثر القوى ‪ 2 = 1X‬س ‪ -‬ص ‪ 5 = 2X ،‬س ‪ 2 +‬ص ‪ 3- = 3X ،‬س ‪ 2 +‬ص فى النقطة ‪ )1 ،1(C‬برهن‬ ‫باستخدام العزوم أن خط عمل المحصلة يوازى المستقيم المار بالنقطتين ب(‪ ، )1 ،2‬جـ (‪)4 ،6‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ a‬ح = ‪N 3 + M 4 = 3X + 2X + 1X‬‬

‫‪ = 1S‬ب ‪ - C = C‬ب = (‪ )0 ،1-‬ج ب = ‪ * 1S‬ح = (‪ 3- = )3 ،4( * )0 ،1-‬ع‬ ‫‪ = 2S‬جـ ‪ - C = C‬جـ = (‪ )3- ،5-‬ج جـ = ‪ * 2S‬ح = (‪ 3- = )3 ،4( * )3- ،5-‬ع‬

‫‪ a‬ج ب = ج جـ ‪ ،‬ح ! ‪0‬‬

‫` خط عمل ح ‪ //‬ب جـ‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 6‬تؤثر القوى ‪ = 1X‬س ‪ 2 +‬ص ‪3 = 2X ،‬س ‪ -‬ص فى النقطة ‪ )3 ،2-( C‬برهن باستخدام العزوم أن خط عمل‬ ‫المحصلة ينصف القطعة المستقيمة المرسومة بين النقطتين ب(‪ ،)5 ،1-‬جـ(‪)2 ،1‬‬ ‫‪C‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 7‬فى الشكل المقابل‪ C :‬ب تمثل رافعة لرفع البضائع إذا كان الشد فى‬ ‫الخيط يساوى ‪ 140‬نيوتن‪ ،‬ووزن الصندوق ‪ 125‬نيوتن‪ .‬أوجد مجموع‬ ‫عزمى القوتين بالنسبة للنقطة ب‬

‫‪ 12‬م‬ ‫‪125‬‬

‫‪4‬م‬

‫‪30‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ب‬

‫‪5‬م‬

‫كتاب الطالب‬

‫ش‬

‫‪140‬‬

‫�� ‬

‫‪2 2‬‬

‫تمــــاريــن ‪1 - 2‬‬

‫اأكمل ما ياأتى‬

‫قوة مقدارها ‪ 50‬نيوتن وتبعد عن نقطة ‪ C‬مسافة ‪8‬سم فإن معيار عزم القوة حول نقطة ‪ C‬يساوى ‪ ..........................‬نيوتن ‪ .‬سم‬

‫‪ 2‬فى الشكل المقابل‪ :‬معيار عزم القوة حول نقطة األصل (و) يساوى‬

‫‪ 18‬سم‬

‫‪...............................‬‬

‫‪ 3‬قوة ‪ N 4‬نيوتن تؤثر فى نقطة متجه موضعها بالنسبة إلى نقطة‬ ‫األصل يساوى ‪ M 5‬متر فإن عزم القوة حول نقطة األصل يساوى‪....‬‬ ‫صفرا فإن ذلك يعنى‬ ‫‪ 4‬إذا كان عزم قوة حول نقطة ما يساوى ً‬

‫‪30‬‬

‫‪..................‬‬

‫ب‬

‫‪..................‬‬

‫‪0‬‬

‫قوة رأسية السفل مقدارها ‪ 70‬نيوتن‪ .‬فإن معيار عزم القوة حول نقطة ‪C‬‬

‫سم‬

‫‪ 6‬الشكل المقابل‪ :‬قضيب مثبت بمفصل عند ‪ C‬اثرت على الطرف ب‬

‫‪10‬‬

‫‪ 5‬إذا كان عزم القوة ثاب ًتا فإن مقدار القوة يتناسب عكس ًيا مع‬

‫‪ 70‬نيوتن‬

‫يساوى ‪ ...............................‬نيوتن‪ .‬متر‬

‫‪c60‬‬ ‫‪C‬‬

‫اختر الجابة ال�سحيحة من بين الإجابات المعطاه‪:‬‬

‫‪ 7‬الشكل المقابل يمثل باب متصل بمفصل عند ‪ . C‬اثرت عليه قوة‬ ‫لها أكبر عزم عند ‪C‬‬ ‫‪ C‬ج‬ ‫‪ C‬ب‬ ‫أ‬ ‫‪X‬‬

‫‪X‬‬

‫أى من األشكال اآلتية تكون القوة‬ ‫د‬

‫‪C‬‬

‫‪X‬‬

‫اثرت على نهايته االخرى قوة مقدارها ‪ X‬وتميل على القضيب بزاوية‬ ‫قياسها ‪ i‬إذا كانت‬

‫يجب أن تكون عمودية على القضيب فعلى أى‬

‫ل‬

‫‪i‬‬

‫‪ 9‬إذا كان عزم قوة‬

‫أ ‪C = X‬ب‬

‫ج ‪ C // X‬ب‬

‫مركز‬ ‫الدوران‬

‫‪X‬‬

‫ُبعد من مركز الدوران يمكن أن تؤثر ‪ X‬بحيث يكون لها نفس العزم‬ ‫ج ل‬ ‫ب ل حتا ‪i‬‬ ‫أ ل جا ‪i‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪X‬‬

‫‪C‬‬

‫‪X‬‬

‫‪ 8‬قضيب طول ل يمكنه الدوران بسهوله حول نقطة عند أحد نهايتيه‪.‬‬ ‫‪X‬‬

‫و‬

‫د ل طا ‪i‬‬

‫حول النقطة ‪ C‬يساوى عزمها حول النقطة ب فإن‬ ‫ب ‪ X‬تنصف ‪ C‬ب‬ ‫د التوجد عالقة بين ‪ C‬ب ‪،‬‬

‫‪.....................................................................‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪X‬‬

‫‪3‬‬

‫��ل�‬

‫اأجب عن الأ�سئلة الآتية‬

‫‪ 0‬تؤثر القوتان ‪ = 1X‬م ‪ = 2X , N 2 + M‬ل ‪ N - M‬فى النقطتين ‪ )2- ،1-( 2C ،)1 ،1( 1C‬على الترتيب‪.‬‬ ‫عين قيمة كل من الثابتين م‪ ،‬ل بحيث ينعدم مجموع عزمى هاتين القوتين حول نقطة األصل وبالنسبة للنقطة‬ ‫ب (‪)3 ،2‬‬ ‫القوى ‪ N 2 + M 3 -= 3X , N 2 + M 5= 2X , N - M 2 = 1X‬تؤثر فى النقطة ‪ .)1 ،1( C‬برهن‬ ‫باستخدام العزوم أن خط عمل المحصلة يوازى المستقيم المار بالنقطتين (‪)4 ،6( ، )1 ،2‬‬

‫‪ 2‬الشكل المقابل يمثل شخص يحمل بيده ثقل‪ .‬فإذا كان معيار عزم‬ ‫الثقل حول نقطة ‪ C‬يساوى ‪ 80‬نيوتن متر أوجد عزم الثقل حول نقطة ‪C‬‬

‫‪ 35‬سم‬

‫‪c30‬‬

‫‪c40‬‬

‫‪ 27‬سم‬

‫‪C‬‬

‫‪ 3‬فى كل من األشكال اآلتية أوجد القياس الجبرى لعزم القوة حول النقطة و‬ ‫‪ 10‬سم‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫‪ 30‬سم‬ ‫‪ 40‬نيوتن‬

‫و‬

‫‪c20‬‬

‫‪ 20‬سم‬

‫‪ 30‬سم‬

‫و‬

‫‪c45‬‬ ‫‪ 40‬نيوتن‬

‫‪ 40‬نيوتن‬

‫ص‬

‫‪32‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬م‬

‫‪ 4‬تؤثر القوة ‪ X‬فى المستوى س ص على المثلث ‪ C‬و ب‪ .‬فإذا كان‬ ‫القياس الجبرى لعزم ‪ X‬بالنسبة للنقطة و يساوى ‪ 84‬نيوتن ‪ .‬م‬ ‫‪ ،‬والقياس الجبرى لعزمها بالنسبة للنقطة ‪ C‬يساوى ‪ 100 -‬نيوتن‬ ‫‪ .‬م ‪ ،‬والقياس الجبرى لعزمها بالنسبة للنقطة ب يساوى صفر‪.‬‬ ‫عين ‪X‬‬

‫س‬

‫ب‬

‫‪3‬م‬

‫ب‬

‫و‬

‫كتاب الطالب‬

‫عزم قوة بالنسبة لنقطة فى نظام احداثى‬ ‫ثالثى األبعاد‬ ‫‪Moment of a force about a point in 3D- Coordinate system‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪2-2‬‬

‫تعلمت فى الدرس السابق إيجاد عزم قوة بالنسبة لنقطة فى مستويها‪ .‬وفى هذا الدرس‬ ‫سوف تتعلم إيجاد عزم قوة بالنسبة لنقطة في الفراغ‪.‬‬ ‫سوف تتعلم‬

‫ عزم قوة حول نقطة ىف‬ ‫الفراغ‪.‬‬

‫تعلم‬ ‫عزم قوة حول نقطة فى الفراغ‬ ‫‪moments of a force about a point in space‬‬

‫إذا كانت ‪X( = X‬س ‪X ،‬ص ‪X ،‬ع) تؤثر فى النقطة ‪( C‬س ‪ ،‬ص ‪ ،‬ع)‬ ‫التى متجه موضعها بالنسبة للنقطة و(‪)0 ،0 ،0‬‬ ‫ع‬ ‫‪X‬‬ ‫هو ر = (س ‪ ،‬ص ‪ ،‬ع) فإن عزم القوة ‪X‬‬ ‫حول نقطة و يساوى‬ ‫جو =‬

‫‪C‬‬

‫ر * ‪X‬‬ ‫‪M‬‬

‫ =‬

‫س‬

‫ص‬

‫ع‬ ‫ع‬

‫‪N‬‬

‫ص‬

‫‪X‬س ‪X‬ص‬

‫س‬

‫‪S‬‬

‫و‬

‫ع‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫ص‬

‫‪X‬ع‬

‫س‬

‫تؤثر القوة ‪ 3 + N - M 2 = X‬ع فى النقطة ‪ .)2 ،1 ،3-( C‬أوجد عزم القوة‬ ‫نقطة ب (‪ )1- ،2 ،2‬ثم احسب طول العمود الساقط من ب على خط عمل القوة‬

‫‪X‬‬

‫الحل‬

‫جب =‬ ‫‪)3 ،1- ،2( = X‬‬ ‫= ( ‪)3 ، 1 - ، 2( * )3 , 1 - , 5 -‬‬ ‫= (‪M )1 - * 3 - 3 * 1 -‬‬ ‫= ‪ N M‬ع‬ ‫‪3 1- 5‬‬‫ ‪N )2 * 3 - 3 * 5 -( -‬‬ ‫‪3 1- 2‬‬ ‫ ‪ )1 - * 2 - 1 - * 5 -( +‬ع‬ ‫= ‪ 7 + N 21‬ع وحدة عزم‬ ‫ل =‬

‫‪27 + 221 + 20‬‬

‫‪23 + 2)1-( + 22‬‬

‫حول‬

‫‪Components‬‬ ‫‪Rotation‬‬

‫ حمور‬

‫‪Axis‬‬

‫‪S‬‬

‫‪X * S‬‬

‫|| ‪|| X‬‬

‫ مركبات‬

‫‪Space‬‬

‫‪)2 ،1 ،3-( C‬‬

‫‪ = S‬ب ‪ - C = C‬ب = (‪)1- ،2 ،2( - )2 ،1 ،3-‬‬ ‫ = (‪)3 ، 1 - ، 5 -‬‬

‫|| جب ||‬

‫ فراغ‬

‫ دوران‬

‫مثال‬

‫=‬

‫ املركبات االحداثية لعزم‬ ‫قوة بالنسبة لنقطة ىف الفراغ‪.‬‬

‫ب‬

‫(‪)1- ،2 ،2‬‬

‫األدوات المستخدمة‬ ‫ آلة حاسبة علمية‬

‫ برامج رسوم ثالثية األبعاد‬

‫= ‪ 35‬وحدة طول‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪33‬‬

‫��ل�‬ ‫حاول أن تحل‬

‫أوجد عزم القوة ‪ X‬بالنسبة لنقطة األصل حيث ‪ 5 + N 3 + M 2- = X‬ع وتؤثر فى نقطة ‪ C‬متجه موضعها‬ ‫حول نقطة األصل هو ‪ + N + M = S‬ع ثم أوجد طول العمود المرسوم من نقطة األصل على خط عمل‬ ‫القوة ‪X‬‬

‫المركبات االحداثية لعزم قوة بالن�سبة لنقطة‬

‫ع‬

‫بفرض القوة ‪X = X‬س ‪X + M‬ص ‪X + N‬ع ع تؤثر فى نقطة ‪C‬‬

‫متجه موضعها حول نقطة األصل‬ ‫فإن عزم القوة‬

‫يساوى‬

‫‪X‬‬

‫‪X * S‬‬ ‫‪M‬‬

‫ =‬

‫س‬

‫‪S‬‬

‫= (س ‪ ،‬ص ‪ ،‬ع)‬

‫حول نقطة األصل و‬

‫‪N‬‬

‫ص‬

‫‪X‬س ‪X‬ص‬

‫‪X‬ع‬ ‫‪X‬ص‬

‫ص‬

‫ع‬ ‫ع‬

‫‪C‬‬

‫ع‬

‫‪S‬‬ ‫‪X‬س‬

‫و‬

‫س‬

‫ص‬

‫‪X‬ع‬

‫س‬

‫= (ص ‪X‬ع ‪ -‬ع ‪X‬ص) ‪( + M‬ع ‪X‬س ‪ -‬س ‪X‬ع) ‪( + N‬س ‪X‬ص ‪ -‬ص ‪X‬س) ع‬

‫أى أن عزم القوة ‪ X‬له ‪ 3‬مركبات يمكن تفسير كل منهم كاآلتى‪:‬‬ ‫مركبة العزم فى اتجاه ‪ M‬يمكن حسابها بإيجاد عزم المركبات ‪X‬س ‪X ،‬ص ‪X ،‬ع حول محور س‪.‬‬ ‫المركبة ‪X‬س ليس لها عزم دورانى حول محور س ألنها توازى المحور‪ .‬بينما المركبة ‪X‬ص تعمل على الدوران حول‬ ‫محور س فى اتجاه دوران عقارب الساعة فيكون عزمها ‪ -‬ع * ‪X‬ص ‪.‬‬ ‫بينما المركبة ‪X‬ع تعمل على الدوران حول محور س فى اتجاه عكس دوران عقارب الساعة فيكون عزمها ‪X * N‬ع‬ ‫فيكون مجموع عزوم المركبات حول محور س يساوى ‪X * N‬ع ‪ -‬ع * ‪X‬ص‬ ‫بالمثل لباقى مركبات العزم فى اتجاه ‪ ، N‬ع‬ ‫مثال‬ ‫‪ 2‬إذا كانت القوة ‪ = X‬ك ‪ - N 4 + M‬ع تؤثر فى نقطة ‪ C‬متجه موضعها بالنسبة لنقطة األصل هو‬ ‫‪ )2 ، 2 ، 1( = S‬وكان مركبة عزم القوة ‪ X‬حول محور ص يساوى ‪ 7‬وحدات عزم أوجد قيمة ك ثم أوجد‬ ‫ع‬ ‫طول العمود المرسوم من و على خط عمل ‪X‬‬ ‫الحل‬ ‫‪X‬‬

‫‪X‬ع‬

‫= (ك‪X # )1- ، 4 ،‬س = ك ‪X ،‬ص = ‪X ، 4‬ع = ‪1 -‬‬

‫‪ # )2 ، 2 ،1( = S‬س = ‪ ،1‬ص = ‪ ،2‬ع = ‪2‬‬ ‫مركبة عزم القوة حول محور ‪ = N‬ع ‪X‬س ‪ -‬س ‪X‬ع‬ ‫` ‪2‬ك ‪7 = )1-( 1 -‬‬

‫‪34‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ع‬

‫ص‬

‫س‬

‫‪X‬س‬

‫س‬ ‫كتاب الطالب‬

‫‪2 2‬‬

‫�� ل�� ‬

‫` ‪2‬ك ‪ # 7 = 1 +‬ك = ‪3‬‬ ‫` جو =‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ع = ‪ 2 - N 7 + M 10 -‬ع‬ ‫‪2‬‬

‫‪1- 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫` طول العمود المرسوم من و على خط عمل القوة =‬ ‫(‪2)2-( + 2)7( + 2)10-‬‬ ‫‪ 442 3 = 2‬وحدة طول‬ ‫‪26‬‬ ‫‪)1-( + 24 + 23‬‬

‫|| جو ||‬

‫|| ‪X‬‬

‫||‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 2‬إذا كانت القوة ‪ = X‬ك ‪ + M‬م ‪ 2 - N‬ع تؤثر فى نقطة ‪ C‬متجه موضعها بالنسبة لنقطة األصل هو‬ ‫‪ )1 ، 1 ، 3( = S‬فإذا كانت مركبتا عزم ‪ X‬حول المحورى س ‪ ،‬ص هما ‪ 8 - ، 1 -‬على الترتيب أوجد قيمة‬ ‫كل من ك ‪ ،‬م‬ ‫ع‬

‫مثال‬

‫‪C‬‬

‫‪ 3‬تؤثر القوى ‪ 13 6 = 1X‬نيوتن ‪ 61 = 2X ,‬نيوتن‬ ‫فى اتجاهات ‪ C‬ب ‪ C ،‬جـ كما بالشكل‪ .‬أوجد‬ ‫أ مجموع عزوم القوى حول نقطة و‬ ‫ب عزم محصلة القوتين حول نقطة و‪ .‬ماذا تستنتج‬

‫‪4‬م‬

‫من هندسة الشكل احداثيات النقط هى‬ ‫‪ ، )6 ، 0 ، 0( C‬ب (‪ ،)0 ، 4 ، 0‬جـ (‪)0 ، 3 - ، 4‬‬ ‫‪C‬ب = ب ‪-‬‬

‫‪2X‬‬

‫‪1X‬‬

‫الحل‬

‫ص‬

‫‪6‬م‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫و‬ ‫س‬

‫‪3‬م‬

‫= (‪)6 - ، 4 ، 0( = )6 ، 0 ، 0( - )0 ، 4 ، 0‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ C‬ب ) = ‪)6- ،4 ،0( * 13 6 = ) )6 - ، 4 ، 0( ( 13 6‬‬ ‫‪(1 X = 1 X‬‬ ‫‪2)6-( + 24 + 20‬‬ ‫‪13 2‬‬ ‫|| ‪ C‬ب ||‬

‫` ‪)18- ،12 ،0( = 1X‬‬ ‫‪C‬جـ = جـ ‪-‬‬

‫‪C‬‬

‫= (‪)6 - ، 3 - ، 4( = )6 ، 0 ، 0( - )0 ، 3 - ، 4‬‬

‫‪ C‬جـ‬ ‫) = ‪) )6- ،3- ،4 ( ( * 61 = ) 2 )6- ،2 3- ، 4(2 ( 61‬‬ ‫‪(2 X = 2 X‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪)6-( + )3-( + 4‬‬ ‫|| ‪ C‬جـ ||‬

‫`‬

‫‪2X‬‬

‫= (‪)6- ،3- ،4‬‬

‫عزم القوة‬

‫‪1X‬‬

‫بالنسبة لنقطة و = و‪)18 - ، 12 ، 0( * )6 ، 0 ، 0( = 1X * C‬‬ ‫ =‬

‫‪M‬‬

‫‪N‬‬

‫‪0‬‬

‫‪12‬‬

‫‪0‬‬

‫ع = ‪72-‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪M‬‬

‫‪18-‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪35‬‬

‫��ل�‬

‫عزم القوة‬

‫‪2X‬‬

‫بالنسبة لنقطة و = و‪)6 - ، 3 - ، 4( * )6 ، 0 ، 0( = 2X * C‬‬ ‫ =‬

‫‪M‬‬

‫‪N‬‬

‫‪4‬‬ ‫أ مجموع عزوم القوى حول و = ‪72 -‬‬

‫‪3-‬‬

‫‪0‬‬

‫‪M‬‬

‫‪18 +‬‬

‫ع‬ ‫‪6‬‬

‫‪6-‬‬

‫‪M‬‬

‫= ‪18‬‬ ‫‪24 +‬‬

‫‪M‬‬

‫‪N‬‬

‫‪24 +‬‬

‫‪N‬‬

‫= ‪54 -‬‬

‫‪M‬‬

‫محصلة القوتين ح = ‪)6 - ، 3 - ، 4( + )18 - ، 12 ، 0( = 2X + 1X‬‬ ‫ = (‪ )24- ،9 ،4‬وتؤثر فى نقطة ‪C‬‬

‫ب عزم المحصلة حول النقطة و = و‪ * C‬ح = (‪)24- ،9 ،4( * )6 ،0 ،0‬‬ ‫ =‬

‫‪M‬‬

‫‪N‬‬

‫‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫‪0‬‬

‫ع = ‪54 -‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪M‬‬

‫‪24 +‬‬

‫‪N‬‬

‫‪24 +‬‬

‫‪N‬‬

‫ (‪)1‬‬

‫ (‪)2‬‬

‫‪24-‬‬

‫من ‪ 2 ،1‬نالحظ أن‬ ‫مجموع عزوم القوى حول نقطة فى الفراغ يساوى عزم محصلة هذه القوى بالنسبة للنقطة نفسها‬

‫تمــــاريــن ‪2-2‬‬ ‫إذا كانت ‪ , N , M‬ع مجموعة يمينية من متجهات الوحدة‪ .‬وكانت القوة ‪ - N 3 + M 2 = X‬ع‬

‫تؤثر فى نقطة ‪ )4 ،1- ،1(C‬أوجد‬ ‫أ عزم القوة‬

‫‪X‬‬

‫ب عزم القوة‬

‫‪X‬‬

‫=‪2‬‬

‫‪ 2‬إذا كانت‬ ‫يساوى ‪2‬‬

‫‪M‬‬

‫‪4+‬‬

‫حول نقطة األصل و (‪)0 ،0 ،0‬‬

‫حول نقطة ب (‪ )1 ،3- ،2‬ثم استنتج طول العمود المرسوم من ب على خط عمل القوة‬ ‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪+‬ل‬

‫‪N‬‬

‫‪ -‬ع تؤثر فى النقطة أ (‪ )0 ،2- ،4‬وكان عزم‬

‫‪X‬‬

‫‪ 16 +‬ع فما قيمة ل‪.‬‬

‫حول نقطة األصل‬ ‫ع‬

‫‪ 3‬فى الشكل المقابل قوة مقدارها ‪ 130‬نيوتن تؤثر فى القطر ‪ C‬ب‬

‫فى متوازى مستطيالت ابعاده ‪3‬م‪4 ،‬م‪12 ،‬م كما بالشكل‬

‫أوجد عزم القوة ‪ X‬حول النقطة ‪E‬‬

‫‪36‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪C‬‬ ‫ص ‪E‬‬

‫و‬

‫‪X‬‬

‫ب‬

‫‪4‬م‬

‫‪ 12‬م‬

‫‪3‬م‬

‫جـ‬

‫كتاب الطالب‬

‫س‬

‫�� ل�� ‬

‫‪ 4‬فى الشكل المقابل حبل مثبت فى النقطة ‪ E‬يمر على بكره ملساء‬

‫‪3‬م‬

‫عند ‪ C‬ويتدلى من الطرف اآلخر للخيط زورق صغير‪ .‬فإذا كان‬

‫مقدار الشد فى الحبل‬

‫‪CE‬‬

‫فى الحبل حول النقطة جـ‪.‬‬

‫‪ 5‬قوة‬

‫األصل يساوى ‪21‬‬

‫‪ 6‬إذا كانت القوة‬

‫‪X‬‬

‫‪ 7 +‬ع أوجد ‪. X‬‬

‫=‪2‬‬

‫‪2‬م‬ ‫‪C‬‬

‫يساوى ‪ 29 10‬نيوتن أوجد عزم الشد‬

‫‪ X‬تؤثر فى النقطة ‪ )3 ،1- ،2(C‬فإذا كان عزم ‪X‬‬ ‫‪N‬‬

‫ع‬

‫‪M‬‬

‫‪ +‬ب‬

‫‪ )2- ، 3 ، 1- ( C‬وكانت مركبة عزم‬

‫‪X‬‬

‫‪N‬‬

‫بالنسبة لنقطة‬

‫‪2 2‬‬

‫ص‬

‫‪E‬‬

‫‪4‬م‬

‫جـ‬

‫س‬

‫‪ +‬ع تؤثر فى النقطة‬

‫حول محور س يساوى ‪ 3-‬وحدات عزم ‪ .‬أوجد قيمة ب ‪ .‬ثم أوجد طول‬

‫العمود المرسوم من نقطة األصل على خط عمل القوة‪.‬‬

‫‪ C 7‬ب جـ ‪ E‬شبه منحرف قائم الزاوية فى ب ‪،‬‬

‫‪EC‬‬

‫‪ //‬ب جـ ‪ C ،‬ب = ‪ 8‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪ 15‬سم‪9 = E C ،‬سم ‪ .‬رسم‬

‫‪ E‬هـ = مستوى شبه المنحرف حيث ‪ E‬هـ = ‪ 12‬سم ‪ .‬اثرت قوة مقدارها ‪ 75‬نيوتن فى ‪ C‬هـ ‪ .‬أوجد عزم القوة‬

‫حول النقطة ب ‪.‬‬

‫‪ 8‬إذا كان عزم القوة ‪ - N 3 + M 2 = X‬ع حول نقطة األصل و يساوى ج = ‪ - N 3 + M 5 -‬ع‬ ‫و‬

‫وإذا كانت هذه القوة تمر بنقطة االحداثى ص لها يساوى ‪ . 2‬أوجد االحداثيي س ‪ ،‬ع للنقطة وكذلك أوجد‬

‫طول العمود المرسوم من نقطة االصل على خط عمل القوة‪.‬‬ ‫‪ 9‬قوة‬

‫‪X‬‬

‫= ‪15‬‬

‫‪M‬‬

‫‪25 -‬‬

‫‪N‬‬

‫‪ 40 +‬ع تؤثر فى نقطة ‪ )2 ،3- ،3-( C‬أوجد مركبة عزم ‪ X‬حول محور ص ‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪37‬‬

‫��ل�‬

‫‪ 1‬عزم قوة بالنسبة لنقطة يعرف عزم القوة ‪ X‬المؤثرة على جسم حول‬ ‫النقطة و بأنه مقدرة القوة ‪ X‬على احداث دوران للجسم حول نقطة و‬ ‫ويحسب عزم القوة ‪ X‬من العالقة جو = ‪ X * S‬حيث ‪ S‬متجه موضع نقطة على‬ ‫خط عمل القوة بالنسبة للنقطة (و) ويكون اتجاه العزم عمودى على المستوى الذى يحوى كل من‬

‫‪S، X‬‬

‫‪ 2‬معيار عزم قوه بالنسبة لنقطة إذا كان ‪ X‬يمثل معيار القوة ‪ ، X‬ل يمثل طول العمود الساقط من النقطة و‬ ‫على خط عمل القوة فإن معيار عزم ‪ X‬حول النقطة و يحسب من العالقة || جو || = ‪ X‬ل‬

‫‪ 3‬القياس الجبرى لعزم قوة بالنسبة لنقطة إذا‬ ‫كانت القوة تعمل على دوران الجسم حول نقطة و‪،‬‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫فى عكس اتجاه دوران عقارب الساعة فإن القياس‬ ‫الجبرى لمتجه عزم القوة يكون موج ًبا وإذا كانت القوة تعمل على دوران الجسم حول نقطة و ‪ ،‬مع اتجاه‬ ‫دوران عقارب الساعة كان القياس الجبرى لمتجه العزم سال ًبا‬ ‫|| جو ||‬ ‫‪ 4‬طول العمود المرسوم من نقطة و على خط عمل القوة ‪ X‬هو ل حيث ل =‬ ‫|| ‪|| X‬‬ ‫‪ 5‬إذا تالشى عزم قوة بالنسبة لنقطة فإن خط عمل القوة يمر بهذه النقطة‬ ‫‪ 6‬مبدأ العزوم (نظرية فارينون) عزم القوة ‪ X‬بالنسبة لنقطة يساوى مجموع عزوم مركبات هذه القوة بالنسبة‬ ‫للنقطة نفسها‬ ‫‪ 7‬نظرية مجموع عزوم عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة بالنسبة ألى نقطة فى الفراغ يساوى عزم محصلة‬ ‫هذه القوى بالنسبة للنقطة نفسها‬ ‫‪ 8‬إذا كان مجموع عزوم عدة قوى مستوية حول نقطة ‪ = C‬مجموع عزوم هذى القوى حول نقطة ب‬ ‫كان خط عمل المحصلة مواز ًيا ‪ C‬ب‬ ‫‪ 9‬إذا كان مجموع عزوم عدة قوى مستوية حول نقطة ‪ - = C‬مجموع عزوم هذه القوى حول نقطة ب‬ ‫كان خط عمل المحصلة ينصف ‪ C‬ب‬ ‫‪ 10‬عزم قوة بالنسبة لنقطة فى الفراغ جو = ‪X * S‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪M‬‬

‫=‬

‫س‬

‫‪N‬‬

‫ص‬

‫‪X‬س ‪X‬ص‬

‫‪+‬‬

‫و‬

‫‪-‬‬

‫ع‬

‫ع حيث ‪ S‬متجه موضع نقطة على خط عمل القوة بالنسبة للنقطة و‬

‫‪X‬ع‬

‫‪ 11‬مركبات عزوم قوة فى اتجاه المحاور إذا كانت‬ ‫بالنسبة لنقطة األصل ر = ( س‪ ،‬ص‪ ،‬ع) فإن‪:‬‬ ‫(ص ‪X‬ع ‪ -‬ع ‪X‬ص) ‪ #‬مركبة عزم ‪ X‬فى اتجاه محور س‬ ‫‪X‬‬

‫(ع ‪X‬س ‪ -‬س ‪X‬ع) ‪ #‬مركبة عزم‬

‫‪X‬‬

‫(س ‪X‬ص ‪ -‬ص ‪X‬س) ‪ #‬مركبة عزم‬

‫‪38‬‬

‫‪X‬‬

‫= (‪X‬س ‪X ،‬ص ‪X ،‬ع) قوة تؤثر فى نقطة متجه موضعها‬

‫فى اتجاه محور ص‬

‫‪X‬‬

‫فى اتجاه محور ع‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪00‬‬

‫‪X‬‬

‫إذا كان عزم القوة األفقية ‪ X‬حول نقطة و‬ ‫يساوى عزم القوة الرأسية ‪ 50‬نيوتن حول نقطة و فما قيمة ‪X‬‬

‫‪c70‬‬

‫‪1‬‬ ‫سم‬

‫‪ 50‬نيوتن‬

‫و‬

‫ع‬

‫‪ 2‬فى الشكل المقابل‬ ‫احسب عزم القوة ‪ 5 14 = X‬نيوتن‬ ‫حول النقطة و‬

‫‪C X‬‬

‫ب‬

‫‪2‬م‬

‫‪1‬م‬

‫ص‬

‫‪2‬م‬

‫و‬

‫س‬

‫‪ 3‬قوة ‪ 7 = X‬ص تؤثر فى النقطة (‪ )0 ،3-‬أوجد عزم القوة بالنسبة للنقطة (‪)2- ،1‬‬ ‫‪ 4‬القوة ‪ N + M 2 = 1X‬نيوتن تؤثر فى نقطة متجه موضعها ‪ N 2 + M 2‬متر وقوة اخرى ‪ M 5 = 2X‬نيوتن‬ ‫تؤثر فى نقطة متجه موضعها ‪ N + M 2 -‬متر أوجد مجموع عزوم هذه القوى حول نقطة األصل‬

‫‪ 5‬إذا كانت ‪ ، N ، M‬ع مجموعة يمينية من متجهات الوحدة‬

‫وكانت القوة ‪ + M 3 = X‬ك ‪ 4 + N‬ع تؤثر فى النقطة ‪)1 - ، 0 ، 1( C‬‬ ‫وكان عزم القوة‬

‫‪X‬‬

‫بالنسبة للنقطة ب (‪ )3 ،1- ،2‬يساوى ‪4-‬‬

‫‪ 6‬فى الشكل المقابل‬ ‫أوجد القياس الجبرى لمجموع عزوم القوى‬ ‫بالنسبة للنقطة جـ‬

‫‪3‬‬

‫س‬

‫‪N8 - M‬‬

‫ ‪ 5‬ع ‪ .‬فما قيمة ك‪.‬‬‫ص‬

‫‪ 300‬نيوتن‬

‫‪ 600‬نيوتن‬

‫‪4‬م‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬م‬

‫‪ 2.5‬م‬

‫‪2‬م‬

‫و‬

‫جـ‬

‫‪ 1.5‬م‬

‫‪c30‬‬

‫‪6‬م‬ ‫‪ 800‬نيوتن‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪39‬‬

‫��ل�‬

‫‪ 7‬فى الشكل المقابل اثبت أن محصلة‬ ‫القوتين ‪ 100‬نيوتن ‪ 2 80 ،‬نيوتن‬ ‫تمر بالنقطة جـ‬

‫‪ 100‬نيوتن‬

‫‪ 8‬فى الشكل المقابل‬ ‫أوجد القياس الجبرى لعزم القوة ‪ 100‬نيوتن‬ ‫حول نقطة و‬

‫‪C‬‬

‫‪ 20‬سم‬

‫‪2 80‬‬

‫نيوتن‬

‫‪c45‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪ 25‬سم‬

‫‪ 100‬نيوتن‬

‫‪4‬م‬

‫‪c45‬‬

‫و‬ ‫ع‬ ‫‪X‬‬

‫‪ 9‬فى الشكل المقابل‬

‫‪ 15‬م‬

‫أوجد عزم القوة ‪ 11 15 = X‬نيوتن حول نقطة و‬ ‫‪5‬م‬

‫ص‬

‫لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى‬

‫‪40‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪5‬م‬

‫و‬

‫س‬

‫‪www.sec3mathematics.com.eg‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫اختر الإجابة ال�سحيحة من بين الإجابات المعطاة‪:‬‬

‫‪ C‬ب جـ قائم الزاوية فى ب ‪ C ،‬جـ = ‪ 10‬سم ‪c (X ،‬ب جـ ‪ i = ) C‬فإن ب جـ =‬ ‫د ‪5‬‬ ‫ج ‪ 10‬ظا ‪i‬‬ ‫ب ‪ 10‬جتا ‪i‬‬ ‫أ ‪ 10‬جا ‪i‬‬ ‫‪ 2‬البعد بين النقطتين (‪ )3 ، 1- ( ، )1- ، 2‬يساوى‬ ‫د ‪2‬‬ ‫ب ‪5‬‬ ‫أ ‪4‬‬ ‫ج ‪5‬‬ ‫‪ 3‬جيوب تمام االتجاه للمتجه (‪ )1 ،2 ،2-‬هى‪:‬‬ ‫ب ‪1 ، 2 ، 2-‬‬ ‫أ ‪1- ، 2- ، 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫ج ‪1 ،2 ،2‬‬ ‫‪3 3 3‬‬

‫‪3‬‬

‫د‬

‫‪1 ، 2 ، 2‬‬‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ C 4‬ب جـ مثلث فيه ‪C‬ب = ‪8‬سم ‪ Cc (X ،‬ب جـ) = ‪ c70‬فإن طول العمود المرسوم من ‪ C‬على ب جـ يساوى‪:‬‬ ‫ج ‪ 8‬ظا ‪70‬‬ ‫ب ‪ 8‬جا ‪70‬‬ ‫أ ‪ 8‬جتا ‪70‬‬ ‫د ‪8‬‬ ‫‪ 5‬إذا كان‬ ‫أ ‪7‬‬

‫‪C‬‬

‫= (‪ ، )1- ، 2‬ب = (‪ )2 ، 3‬فإن‬ ‫ب ‪65‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ :‬ب =‬ ‫ج ‪4‬‬

‫‪ 6‬إذا كان ‪ ، )3 ، 2 ، 1-( = C‬ب = (‪ )1 ، 2 ، 2‬فإن ‪ * C‬ب =‬ ‫ج ( ‪)6- ،7 ، 4-‬‬ ‫ب ( ‪)6- ،7- ،4-‬‬ ‫أ ( ‪)6- ،7 ،4‬‬ ‫‪ 7‬إذا كان‬ ‫أ ‪7‬‬

‫‪X‬‬

‫= (‪ ، )4 ، 3- ، 2‬تؤثر فى النقطة (‪ )1 ، 1 ، 1‬فإن مركبة عزم‬ ‫ج ‪5-‬‬ ‫ب ‪2-‬‬

‫‪X‬‬

‫اأجب عن الأ�سئلة الآتية ‪:‬‬

‫د ‪8‬‬ ‫د ‪5‬‬

‫حول محور س يساوى‬ ‫د ‪2‬‬

‫‪C 8‬ب جـ ‪ E‬مربع طول ضلعه ‪10‬سم‪ .‬اثرت قوى مقاديرها ‪ 2 5 ،8 ،5 ،3‬ث‪ .‬كجم فى اتجاهات ‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪،‬‬ ‫جـ ‪ C ، E‬جـ على الترتيب ‪ .‬أوجد القياس الجبرى لمجموع عزوم القوى‪:‬‬ ‫ب بالنسبة للنقطة ب‬ ‫أ بالنسبة للنقطة ‪C‬‬ ‫‪c60‬‬ ‫ج بالنسبة لمركز المربع‬ ‫‪ 9‬الشكل المقابل يمثل تأثير قوة ‪ 15‬نيوتن على ذراع مثبتة بمفصل‬ ‫عند ‪ . C‬أوجد القياس الجبرى لعزم القوة بالنسبة لنقطة‪. C‬‬

‫‪ 0‬فى الشكل المقابل الشد فى الخيط ‪ C‬ب مقداره ‪ 150‬نيوتن‬ ‫أوجد القياس الجبرى لعزم قوة الشد بالنسبة للنقطة و‪.‬‬

‫‪ 15 = X‬نيوتن‬

‫ش‬ ‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬ ‫‪ 60‬سم‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬س‬

‫‪c30‬‬

‫‪5‬م‬

‫م‬

‫و‬

‫إذا كان العزم الالزم لدوران المسمار حول و يساوى ‪ 400‬نيوتن‪.‬سم أوجد‬ ‫اقل قيمة للقوة ‪ X‬وقيمة ‪ i‬التى تحقق دوران المسمار‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪X‬‬

‫و‬

‫‪i‬‬

‫‪ 20‬سم‬

‫‪4‬‬

‫القوى المتوازية المستوية‬ ‫‪Parallel coplanar forces‬‬

‫الوحدة‬

‫‪3‬‬

‫مقدمة الوحدة‬ ‫في دراستنا السابقة لمجمموعة القوى المستوية المؤثرة علي نقطة مادية‪ ،‬كانت خطوط عمل هذه القوى تتالقى فى نقطة مادية واحدة‪ ،‬وبالتالى‬ ‫فإن خط عمل محصلة هذه القوى يمر بنقطة واحدة هى نقطة التالقى المشتركة لهذه المجموعة من القوى‪.‬‬ ‫وفى هذه الوحدة سوف نتناول مجموعة القوى التى تؤثر علي جسم متماسك حيث أن خطوط عمل هذه القوى التتالقى فى نقطة واحدة بالضرورة‬ ‫‪ ،‬وستقتصر دراستنا فى هذه الوحدة على تلك القوى التى تتوازى خطوط عملها وتقع جميعها فى مستو واحد وهو مايطلق عليه بالقوى المتوازية‬ ‫المستوية ‪ ،‬وسوف نتناول فى دراستنا لهذه الوحدة عرض القوى المتوازية المستوية عندما يطلب إيجاد محصلتها من حيث اتجاهها ومقدارها‬ ‫ونقطة تأثيرها‪.‬‬

‫أهداف الوحدة‬ ‫بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن‪:‬‬ ‫ يتعرف القوى المتوازية المستوية‬

‫ يعين خط عمل محصلة قوتين متوازيتين عندما تكونان فى‬ ‫اتجاه واحد أو في اتجاهين مختلفين‪.‬‬ ‫ يعين احدى قوتين متوازيتين إذا علمت القوة اآلخرى‬ ‫والمحصلة ‪.‬‬ ‫ يوجد عزوم مجموعة من القوى المتوازية المستوية حول نقطة‪.‬‬

‫ يوجد محصلة مجموعة من القوى المتوازية المستوية‪.‬‬

‫‪42‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ يستنتج أن مجموع عزوم عدة قوى متوازية حول نقطة يساوى‬ ‫عزم المحصلة حول نفس النقطة‪.‬‬ ‫ يستنتج أن مجموع عزوم عدة قوة متوازية حول نقطة يساوى‬ ‫صفر إذا كانت محصلتهما تمر بهذه النقطة‪.‬‬ ‫ يستنتج أن مجموع عزوم مجموعة من القوى المتوازية حول‬ ‫نقطة يساوى صفر إذا تالشت محصلة هذة القوى‪.‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪ Ñ‬قوى متوازية‬

‫‪Parallel forces‬‬

‫‪ Ñ‬محصلة‬

‫‪Resultant‬‬

‫‪ Ñ‬مقدار‬

‫‪Magnitude‬‬

‫‪ Ñ‬معيار‬

‫‪Norm‬‬

‫‪ Ñ‬نقطة تأثير‬

‫‪Point of action‬‬

‫‪ Ñ‬رد فعل‬

‫‪Reaction‬‬

‫‪ Ñ‬وزن‬

‫‪Weight‬‬

‫‪ Ñ‬متوازيان‬

‫‪Parallel‬‬

‫‪ Ñ‬حامل (وتد)‬

‫‪Support‬‬

‫‪ Ñ‬سقالة‬

‫‪Beam‬‬

‫‪ Ñ‬شد‬

‫‪Tension‬‬

‫‪ Ñ‬يكرة‬

‫‪pully‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫دروس الوحدة‬

‫آلة حاسبة علمية ‪.‬‬

‫(‪ :)1- 3‬محصلة القوى المتوازية المستوية‪.‬‬ ‫(‪ :) 2- 2‬اتزان مجموعة من القوى المتوازية المستوية‪.‬‬

‫مخطط تنظيمى للوحدة‬ ‫القوى المتوازية المستوية‬

‫محصلة القوى المتوازية المستوية‬

‫اتزان القوى المتوازية المستوية‬

‫محصلة قوتين‬

‫محصلة عدة قوى‬

‫مجموع عزوم‬

‫محصلة القوى‬

‫متوازيتين‬

‫متوازية ومستوية‬

‫القوى حول أى‬

‫تساوى صفرا‬

‫نقطة يساوى صفر‬ ‫يعمالن فى‬

‫يعمالن فى‬

‫نفس االتجاه‬

‫اتجاهين متضادين‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪43‬‬

‫الوحدة الثالثة‬

‫‪1-3‬‬

‫محصلة القوى المتوازية المستوية‬ ‫‪Resultant of a parallel coplanar forces‬‬

‫سوف تتعلم‬

‫ حمصلة قوتني متوازيتني وىف‬ ‫نفس االجتاه‪.‬‬ ‫ حمصلة قوتني متوازيتني وىف‬ ‫اجتاهني متضادين‪.‬‬ ‫ حمصلة عدة قوى متوازية‬ ‫ومستوية‪.‬‬

‫عمل تعاونى‬ ‫‪7‬‬

‫ قوى متوازية‬ ‫ حمصلة‬

‫‪Resultant‬‬

‫ مقدار‬

‫‪Magnitude‬‬

‫ معيار‬

‫ نقطة تأثري‬

‫‪Norm‬‬ ‫‪Point of action‬‬

‫‪3‬‬

‫شكل (‪ )1‬يوضح مسطرة خشبية‬ ‫مدرجة من ‪ 1‬إلى ‪ 7‬موضوع عليها حجران متماثالن عند طرفى المسطرة‪.‬‬ ‫(‪ )1‬عين موضع نقطة على المسطرة يمكن تعليق المسطرة منها‪ .‬بحيث تتزن افق ًيا‪.‬‬ ‫شكل (‪)1‬‬

‫(‪ )2‬إذا وضع ثقالن عند أحد‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫الطرفين شكل (‪.)2‬‬ ‫شكل (‪)2‬‬ ‫هل يتغير موضع نقطة التعليق؟‬ ‫عين موضع نقطة التعليق الجديدة إذا تغير الموضع؟‬ ‫ا ً‬ ‫أوال‪ :‬مح�صلة قوتين متوازيتين ومتحدتى االتجاه‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪Parallel‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪Resultant of two parallel forces having the same direction‬‬

‫تعلمت أن محصلة عدة قوى مستوية ‪X ،... ، 2X ، 1X‬ن متالقية فى نقطة واحدة هو‬

‫قوة ح حيث ح =‬

‫‪X + ... +‬ن وتمر بنفس النقطة‪ .‬وفى هذا الدرس‬

‫‪2X + 1X‬‬

‫سوف تتعلم إيجاد محصلة عدة قوى متوازية ومستوية ‪.‬‬

‫نبدأ بإيجاد محصلة قوتين متوازيتين ومستويتين ولهما نفس االتجاه‪.‬‬

‫بفرض‬

‫‪1X‬‬

‫‪،‬‬

‫‪2X‬‬

‫قوتان متوازيتان ويعمالن فى نفس االتجاه ويؤثران فى جسم‬

‫متماسك فى نقطتين ‪ ,C‬ب فتكون محصلة القوتين هى ح حيث‪:‬‬ ‫ح = ‪. 2X + 1X‬‬

‫‪X‬‬

‫ولتحديد موضع نقطة تأثير‬

‫المحصلة‬

‫متساويتان‬

‫نفرض‬ ‫فى‬

‫قوتان‬

‫‪X‬‬

‫المقدار‬

‫ومتضادين فى االتجاه تؤثران‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫ آلة حاسبة علمية‬

‫ح‪1‬‬

‫عند ‪ ،C‬ب وهذا لن يغير من‬ ‫تأثير القوتين ‪. 2X ، 1X‬‬ ‫يمكن إيجاد محصلة‬

‫ولتكن ح‪ 1‬كذلك‬

‫القوتين ‪1X‬‬

‫و‬

‫‪،‬‬

‫‪C‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪1X‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪2X‬‬

‫‪1X‬‬

‫ح‪ 2‬محصلة القوتين ‪X‬‬

‫‪ .‬عند ‪ C‬والتى تمثل قطر متوازى االضالع‬ ‫‪ 2X ،‬عند ب‪.‬‬

‫وبفرض أن خطى عمل المحصلتين ح‪ ، 1‬ح‪ 2‬يتقاطعان عند نقطة و‪.‬‬

‫‪44‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ح‪2‬‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫ح‬

‫‪X‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫يوةسم ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم‬

‫فيمكن استبدال القوة ح‪ 1‬بمركبتيها االصليين ‪، 1X‬‬

‫القوى المؤثرة عند نقطة (و) هى‪:‬‬

‫والقوتان‬

‫‪X‬‬

‫‪،‬‬

‫‪1X‬‬

‫‪،‬‬

‫‪2X‬‬

‫‪X‬‬

‫كذلك يمكن استبدال القوة ح‪ 2‬بمركبتيها االصليين ‪، 2X‬‬

‫‪3 3‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪.‬‬

‫وتعمالن فى اتجاه و جـ (الموازى لخط عمل القوتين االصليتين)‬

‫‪ X‬وتعمالن فى اتجاهين متضادين حيث يمكن حذفهما دون حدوث أى تغير فى تأثير القوتين ‪1X‬‬

‫‪ 2X ،‬عند نقطة و)‪ .‬القوتان ‪ 2X ، 1X‬المؤثرتان عند نقطة( و) تعمالن فى اتجاه و جـ يكون لهما نفس تأثير القوتين‬ ‫أيضا فى اتجاه و جـ‬ ‫‪ 2X ، 1X‬المؤثرتان عند ‪ ، C‬ب وبالتالى فإن محصلتهما هى ح = ‪ 2X + 1X‬وتؤثر ً‬

‫وحيث أن القوى ‪ ، 2X ، 1X‬ح متوازية فإن‬ ‫‪X‬‬

‫‪1X‬‬

‫‪ C‬جـ‬ ‫=‬ ‫و جـ‬

‫بقسمة (‪ )2‬على (‪)1‬‬ ‫ومن ذلك فإن ‪:‬‬

‫(‪)1‬‬

‫فإن ‪:‬‬

‫‪X‬‬

‫‪2X‬‬

‫*‬

‫‪1X‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪X‬‬ ‫ب جـ‬ ‫=‬ ‫‪،‬‬ ‫و جـ‬ ‫‪2X‬‬ ‫ب جـ و جـ‬ ‫أى أن‬ ‫*‬ ‫=‬ ‫و جـ‬ ‫‪ C‬جـ‬

‫‪ C * 1X‬جـ = ‪ * 2X‬ب جـ‬

‫(‪)2‬‬

‫‪1X‬‬ ‫‪2X‬‬

‫ب جـ‬ ‫=‬ ‫‪ C‬جـ‬

‫‪C‬‬

‫فى شكل (‪ )4‬يأخذ متجه وحدة ى فى اتجاه القوتين فإن ‪:‬‬

‫‪1X‬‬

‫‪ 1X = 1X‬ى ‪ 2X = 2X ،‬ى‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫ى‬

‫‪2X‬‬

‫` ح = ( ‪ ) 2X + 1X‬ى مما يعنى أن المحصلة تكون فى اتجاه القوتين‬ ‫ويساوى معيارها مجموع معيارى القوتين أى أن‪:‬‬

‫ح‬

‫شكل (‪)4‬‬

‫محصلة قوتين متوازيتين ومتحدتى اإلتجاه هى قوة فى إتجاههما ويساوى معيارها مجموع معيارى القوتين‬ ‫ويقسم خط عملها المسافة بين خطى عمل القوتين بنسبة عكسية لمعياريهما‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫تعيني محصلة قوتني متوازيتني تعمالن ىف نفس االتجاه‬ ‫قوتان متوازيتان وفى نفس االتجاه مقدارهما ‪ 7 ، 5‬نيوتن تؤثران‬ ‫فى نقطتين ‪ , C‬ب حيث ‪C‬ب = ‪36‬سم أوجد محصلة القوتين‬ ‫الحل‬

‫نفرض ى متجه وحدة فى اتجاه القوتين‬ ‫` ‪ 5 = 1X‬ى ‪ 7 = 2X ،‬ى‬

‫‪5‬‬

‫‪C‬‬

‫مقدار واتجاه المحصلة ‪:‬‬

‫نفرض المحصلة تؤثر فى نقطة جـ ∈ ‪ C‬ب‬

‫جـ‬

‫‪ 36‬سم‬

‫‪7‬‬

‫ى‬

‫ب‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫ح = ‪ 5 = 2X + 1X‬ى ‪ 7 +‬ى = ‪ 12‬ى‬

‫تعيين نقطة ت�أثير المح�صلة‬

‫ح‬

‫` ‪ C‬جـ = ‪ 7‬أى أن ‪ C‬جـ = ‪7‬‬ ‫‪ C - 36‬جـ ‪5‬‬ ‫جـ ب ‪5‬‬

‫` ‪C 5‬جـ = ‪C 7 - 252‬جـ أى أن ‪C‬جـ = ‪21‬سم‬ ‫أى أن مقدار المحصلة يساوى ‪ 12‬نيوتن ويعمل اتجاهها فى نفس اتجاه القوتين وتؤثر فى نقطة تبعد عن ‪ C‬بمقدار ‪21‬سم‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪45‬‬

‫ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم‬ ‫حاول أن تحل‬

‫قوتان متوازيتان يعمالن فى نفس االتجاه مقدارهما ‪ 6 ،4‬نيوتن تؤثران فى نقطتين ‪ ,C‬ب حيث ‪ C‬ب = ‪25‬سم‪.‬‬ ‫أوجد محصلة القوتين‬ ‫تفكير ناقد‪ :‬إذا كانت القوتان متساويتان فأين تقع نقطة تأثير المحصلة‪.‬‬

‫تعلم‬ ‫مح�صلة قوتين متوازيتين ومت�صادين فى االتجاه‬ ‫ح‬

‫‪Resultant of two parallel forces having opposite directions‬‬

‫بالمثل فى شكل (‪ )6‬إذا كان ‪ 2X ، 1X‬قوتان متوازيتان وغير متساويتان‬ ‫وتعمالن فى اتجاهين متضادين وتؤثران فى نقطتين ‪ ، C‬ب من جسم‬

‫متماسك وكانت محصلتهما ح فإن‪ :‬ح =‬

‫‪2X + 1X‬‬

‫‪1X‬‬

‫جـ‬

‫وتؤثر فى نقطة‬

‫‪C‬‬

‫جـ التى تقسم ‪ C‬ب من الخارج بنسبة عكسية بمعيار القوتين ‪.‬‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫إذا كان ‪ 2X > 1X‬فإن‬ ‫ب جـ‬

‫=‬

‫‪2X‬‬ ‫‪1X‬‬

‫ب‬ ‫شكل (‪)6‬‬

‫‪2X‬‬

‫أى أن‪ C * 1X :‬جـ= ‪ * 2X‬ب جـ‬

‫أى أن ‪ :‬محصلة قوتين متوازيتين ومتضادتين فى اإلتجاه وغير متساويتى المعيار هى قوة فى إتجاه القوة األكبر‬ ‫معيارا ويساوى معيارها الفرق بين معياريهما ويقسم خط عملها المسافة بين خطى عمل القوتين من الخارج‬ ‫ً‬ ‫معيارا بنسبة عكسية لمعياريهما‪.‬‬ ‫من ناحية القوة األكبر‬ ‫ً‬ ‫تعيني محصلة قوتني متوازيتني يعمالن ىف اتجاهني مختلفني‬ ‫مثال‬ ‫‪ 2‬قوتان متوازيتان ومتضادان فى االتجاه مقدارهما ‪ 100 ، 40‬نيوتن والمسافة بين خطى عمليهما ‪240‬سم‪.‬‬ ‫أوجد محصلتهما‪.‬‬ ‫ح‬

‫الحل‬

‫نفرض ى متجه وحدة فى اتجاه القوة الكبرى‬ ‫` ‪ 100 = 1X‬ى ‪ 40 - = 2X ،‬ى‬

‫جـ‬

‫مقدار واتجاه المحصلة‬

‫‪100‬‬

‫‪ 240‬سم‬ ‫‪C‬‬

‫ب‬ ‫‪40‬‬

‫شكل (‪)7‬‬

‫` ح = ‪ 100 = 2X + 1X‬ى ‪ 40 -‬ى = ‪ 60‬ى‬

‫جـ ‪C‬‬ ‫‪40‬‬ ‫تعيين نقطة تأثر المحصلة نفرض أن المحصلة تؤثر فى نقطة جـ ∈ ب‬ ‫‪ C‬حيث جـ ب = ‪100‬‬ ‫جـ ‪C‬‬ ‫= ‪2‬‬ ‫` ‪C 5‬جـ = ‪C 2 + 480‬جـ ` ‪C‬جـ = ‪160‬سم‬ ‫` ‪ + 240‬جـ ‪5 C‬‬

‫أى أن مقدار المحصلة يساوى ‪ 60‬نيوتن واتجاهها نفس اتجاه القوة ‪ 100‬نيوتن‬ ‫وتعمل فى نقطة∈ ب ‪ C‬وتقع خارج ‪ C‬ب وتبعد عن ‪ C‬مسافة ‪160‬سم‬

‫‪46‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫ى‬

‫يوةسم ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم‬

‫‪3 3‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 2‬أوجد محصلة قوتان متوازيتان ومتضادان فى االتجاه مقدارهما ‪ 12 ،7‬نيوتن تؤثران فى ‪ ,C‬ب حيث‬ ‫‪ C‬ب = ‪20‬سم‬

‫تفكير ناقد‪ :‬ماذا تقول عن محصلة قوتين متساويتين و متوازيتين ومتضادين فى االتجاه ؟‬

‫نظرية‬

‫«مجموع عزوم أى عدد محدود من القوى المتوازية المستوية بالنسبة لنقطة يساوى عزم محصلة هذه‬ ‫القوى بالنسبة لنفس النقطة»‬

‫البرهان (ال يمتحن فيه الطالب)‬ ‫نبدأ باثبات هذه النظرية فى حالة خاصة عندما تكون المجموعة مكونة من قوتين فقط‪.‬‬

‫(‪ )1‬اإذا ك�نت القوت�ن متحدتى االتج�ه‬

‫نعتبر نقطة مثل (و) واقعة فى مستوى القوتين ونقيم منها عمو ًدا مشتركًا‬ ‫على خطى عمل القوتين ‪ 2X ، 1X‬فيقطعهما فى النقطتين ‪ ,C‬ب على الترتيب‬ ‫ويقطع خط عمل المحصلة فى نقطة جـ‬ ‫فيكون المجموع الجبرى لعزوم القوى بالنسبة لنقطة و‬

‫‪1X‬‬

‫= ‪ * 1X -‬و جـ ‪ C * 1X +‬جـ ‪ * 2X-‬وجـ ‪ * 2X -‬جـ ب‬

‫ولكن‪:‬‬

‫‪2X‬‬ ‫‪1X‬‬

‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫شكل (‪)8‬‬

‫و‬

‫= ‪ * 1X -‬و‪ * 2X - C‬وب = ‪ ( 1X -‬و جـ ‪C -‬جـ) ‪( 2X -‬وجـ ‪ +‬جـ ب)‬ ‫ب جـ‬ ‫=‬ ‫‪ C‬جـ‬

‫ح‬

‫‪2X‬‬

‫ب‬

‫(‪)1‬‬

‫= أى أن ‪ C * 1X‬جـ = ‪ * 2X‬ب جـ‬

‫` جو = ‪ * 1X -‬و جـ ‪ * 2X -‬و جـ‬ ‫بالتعويض فى (‪)1‬‬ ‫= ‪ * )2X + 1X( -‬و جـ‬ ‫= ‪ -‬ح * وجـ = عزم المحصلة بالنسبة للنقطة و‬

‫‪2X‬‬

‫(‪ )2‬اإذا ك�نت القوت�ن مت�ص�دتين فى االتج�ه‬

‫بفرض ‪ 2X > 1X‬فيكون المجموع الجبرى لعزوم القوى بالنسبة لنقطة و‬ ‫= ‪ * 1X‬و ‪ * 2X - C‬و ب‬ ‫= ‪( 1X‬وجـ ‪ +‬جـ‪( 2X - )C‬وجـ ‪ +‬جـ ب)‬ ‫= ‪ * 1X‬وجـ ‪ * 1X +‬جـ ‪ * 2X - C‬وجـ ‪ * 2X -‬جـ ب‬ ‫ولكن‬

‫‪1X‬‬ ‫‪2X‬‬

‫جـ ب‬ ‫=‬ ‫جـ ‪C‬‬

‫أى أن ‪ * 1X‬جـ ‪ * 2X = C‬جـ ب‬

‫` جو = ‪ * 1X‬و جـ ‪ * 2X -‬و جـ‬ ‫= ‪ * )2X - 1X( -‬و جـ‬ ‫= ح * و جـ = عزم المحصلة بالنسبة للنقطة و‬

‫و‬

‫جـ‬

‫‪C‬‬

‫ح‬

‫‪1X‬‬

‫(‪)2‬‬

‫ب‬ ‫شكل (‪)9‬‬

‫وبالتعويض فى (‪)2‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪47‬‬

‫ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم‬

‫(‪ )3‬اأم� اإذا ك�نت المجموعة تتكون من اأى عدد محدود من القوى (اأكثر من قوتين) والتى التنعدم مح�صلته�‬

‫فيمكن إثبات النظرية بتحصيل أى قوتين من قوى المجموعة على التوالى حتى يتم تحصيل كافة قوى المجموعة‬ ‫إلى قوتين وتطبيق النظرية عليها‪.‬‬ ‫مثال‬

‫تعيني إحدى قوتني متوازيتني إذا علمت األخرى واملحصلة‬

‫‪ 3‬قوتان متوازيتان مقدارهما ‪ X ، 20‬نيوتن تؤثران فى نقطتين ‪ ، C‬ب ومقدار محصلتهما ‪ 35‬نيوتن والبعد بين‬ ‫خطى عمل القوة المعلومة والمحصلة يساوى ‪15‬سم‪ .‬أوجد ‪ X‬فى كل من الحالتين‪:‬‬ ‫أ القوة المعلومة والمحصلة فى نفس االتجاه‪.‬‬

‫ب القوة المعلومة والمحصلة فى عكس االتجاه‪.‬‬ ‫ح‬

‫الحل‬

‫أ نفرض ى متجه وحدة فى اتجاه المحصلة‬ ‫` ح = ‪ 35‬ى ‪ 20 = 1X ،‬ى‬

‫‪ a‬ح = ‪ 2X + 1X‬أى أن ‪ 35‬ى = ‪ 20‬ى‬ ‫` ‪ 15 = 2X‬ى‬

‫‪1X‬‬

‫‪2X +‬‬

‫‪2X‬‬

‫‪ 15‬سم‬ ‫‪C‬‬

‫ى‬

‫جـ‬

‫شكل (‪)10‬‬

‫ب‬

‫أى أن القوة ‪ 2X‬مقدارهما ‪ 15‬نيوتن واتجاهها نفس اتجاه القوة المعلومة والمحصلة‬ ‫‪ a‬مجموع عزوم القوى بالنسبة لنقطة جـ يساوى عزم المحصلة بالنسبة لنقطة جـ = صفر‬ ‫` ‪ * 15 - 15 * 20‬ب جـ = صفر‬ ‫` ب جـ = ‪ 20‬سم أى أن القوة ‪ 2X‬تؤثر فى نقطة ب على بعد‬ ‫ح‬ ‫‪2X‬‬ ‫‪ 35‬سم من ‪C‬‬ ‫ب نفرض ى متجه وحدة فى اتجاه المحصلة‬ ‫` ح = ‪ 35‬ى ‪ 20 - = 1X ،‬ى‬

‫` ح = ‪ 2X + 1X‬أى أن ‪ 35‬ى = ‪ 20 -‬ى‬ ‫` ‪ 55 = 2X‬ى‬

‫جـ‬ ‫‪2X +‬‬

‫ى‬ ‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪ 15‬سم‬

‫شكل (‪)11‬‬

‫‪1X‬‬

‫أى أن القوة ‪ X‬مقدارها ‪ 55‬نيوتن واتجاهها نفس اتجاه القوة المحصلة‬ ‫‪ a‬مجموع عزوم القوى بالنسبة لنقطة جـ يساوى عزم المحصلة بالنسبة لنقطة جـ = صفر‬ ‫‪ 60‬سم‬ ‫` ‪ * 55 - 15 * 20‬ب جـ = صفر أى أن ب جـ = ‪11‬‬ ‫‪ 105‬سم من ‪C‬‬ ‫أى أن القوة ‪ 2X‬تؤثر فى نقطة ب على بعد ‪11‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 3‬قوتان متوازيتان مقدار محصلتهما ‪ 350‬نيوتن ومقدار إحدى القوتين ‪ 500‬نيوتن وتعمل على بعد ‪51‬سم من‬ ‫المحصلة‪ .‬أوجد القوة الثانية والبعد بين خطى عمل القوتين إذا كانت القوة المعلومة والمحصلة تعمالن‬ ‫ً‬ ‫ثان ًيا‪ :‬فى اتجاهين متضادين‬ ‫أوال‪ :‬فى اتجاه واحد‬

‫‪48‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪3 3‬‬

‫يوةسم ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم‬

‫عزوم مجموعة من القوى املتوازية املستوية حول نقطة‬ ‫مثال‬ ‫‪ 4‬الشكل المقابل يمثل مجموعة من القوى المتوازية‬ ‫‪ 5‬نيوتن‬ ‫العمودية على ‪ C‬ب أوجد القياس الجبرى لمجموعة عزوم‬ ‫‪ 4‬سم‬ ‫هذه القوى بالنسبة إلى‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫ب نقطة جـ‬ ‫أ نقطة ‪C‬‬

‫‪ 4‬نيوتن‬ ‫‪ 5‬سم‬

‫‪E‬‬

‫‪ 7‬سم‬

‫‪ 6‬نيوتن‬

‫الحل‬

‫ب‬ ‫‪ 2‬نيوتن‬

‫أ القوة ‪ 5‬نيوتن تؤثر فى نقطة ‪ C‬فيكون عزمها بالنسبة لنقطة ‪ C‬مساوى صفر‬

‫وبمراعاه اتجاه دوران القوى بالنسبة لنقطة ‪( C‬مع أو عكس اتجاه دوران عقارب الساعة)‬ ‫فإن القياس الجبرى لمجموع عزوم القوى بالنسبة لنقطة ‪C‬‬

‫= ‪ 20 = 16 * 2 + 9 * 4 - 4 * 6‬نيوتن ‪ 0‬سم‬

‫ب القوة ‪ 6‬نيوتن تؤثر فى نقطة جـ فيكون عزمها بالنسبة لنقطة جـ مساوى الصفر‪.‬‬ ‫ويكون القياس الجبرى لمجموع عزوم القوى بالنسبة لنقطة جـ‬

‫= ‪ 24 = 12 * 2 + 5 * 4 - 4 * 5‬نيوتن ‪0‬سم‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 4‬الشكل المقابل يمثل مجموعة من القوى المتوازية‬ ‫العمودية على ‪ C‬ب‬ ‫أوجد القياس الجبرى لمجموع عزوم هذه القوى بالنسبة‬ ‫أ نقطة ‪C‬‬

‫‪ 3‬نيوتن‬ ‫‪ 2‬سم‬ ‫‪C‬‬

‫ب نقطة منتصف ‪ C‬ب‬

‫‪ 4‬نيوتن‬

‫جـ‬

‫‪ 6‬نيوتن‬

‫‪ 1‬سم‬

‫‪E‬‬

‫‪ 1‬سم‬

‫ب‬

‫هـ‬

‫‪ 5‬نيوتن ‪ 1‬نيوتن‬

‫محصلة مجموعة من القوى املتوازية واملستوية‬ ‫مثال‬ ‫‪ ، C 5‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ، E ،‬هـ نقط تقع على خط مستقيم واحد بحيث‪:‬‬ ‫‪ C‬ب ‪ :‬ب جـ ‪ :‬جـ ‪ E : E‬هـ = ‪ 7 : 4 : 3 : 2‬اثرت خمس قوى متوازية وفى نفس االتجاه مقاديرها‬ ‫‪ 40 ،70 ،20 ،50 ،30‬نيوتن فى النقط ‪ ، C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ، E ،‬هـ على الترتيب‪ .‬أوجد محصلة هذه القوى‬ ‫ى‬

‫الحل‬

‫بفرض ‪ C‬ب = ‪2‬س ‪ ،‬ب جـ = ‪3‬س‬ ‫جـ ‪4 = E‬س ‪ E ،‬هـ = ‪ 7‬س‬ ‫وبفرض ى متجه وحدة فى اتجاه القوى‬

‫‪30‬‬

‫‪50‬‬

‫‪20‬‬

‫‪70‬‬

‫‪40‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫هـ‬

‫` ح =‬ ‫= ‪ 30‬ى ‪ 50 +‬ى ‪ 20 +‬ى ‪ 70 +‬ى ‪ 40 +‬ى = ‪ 210‬ى نيوتن‬ ‫أى أن مقدار المحصلة ‪ 210‬نيوتن فى نفس اتجاه القوى‬ ‫‪5X + 4X + 3X + 2X + 1X‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫شكل (‪)12‬‬

‫‪49‬‬

‫ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم‬

‫وإليجاد نقطة تأثير المحصلة‪ ،‬نفرض أن المحصلة تؤثر فى نقطة و ∈ ‪ C‬هـ‬

‫‪ a‬مجموع عزوم القوى حول ‪ C‬يساوى عزم المحصلة حول ‪C‬‬

‫‪1470‬س‬ ‫= ‪7‬س سم‬ ‫`‪C‬و =‬ ‫‪210‬‬

‫` ‪2 * 50 -‬س ‪5 * 20 -‬س ‪9 * 70 -‬س ‪16 * 40 -‬س = ‪ C * 210 -‬و‬

‫‪ C‬و = ‪7‬س = ‪7‬‬ ‫‪ 16‬أى أن المحصلة تؤثر فى نقطة (و) التى تقسم ‪ C‬هـ من الداخل بنسبة ‪ 16 : 7‬من جهة ‪C‬‬ ‫‪16‬س‬ ‫‪ C‬هـ‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 5‬إذا كانت جـ ‪ ، E ،‬هـ ∈ ‪ C‬ب بحيث ‪ C‬جـ ‪ :‬جـ ‪ E : E‬هـ ‪ :‬هـ ب = ‪ 7 : 5 : 3 : 1‬أثرت قوى متوازية وفى نفس‬ ‫االتجاه ومتساوية فى المقدار فى النقط ‪ ،C‬جـ‪ ،E ،‬هـ ‪ ،‬ب برهن أن المحصلة تقسم ‪ C‬ب بنسبة ‪5 : 3‬‬ ‫محصلة عدة قوى متوازية‬ ‫مثال‬ ‫‪ 6‬فى الشكل المقابل (شكل ‪ ، C )13‬ب‪ ،‬جـ ‪ ،E ،‬هـ خمس نقط تقع‬ ‫على خط مستقيم واحدا أثرت القوتان ‪ 30 ،20‬نيوتن رأس ًيا ألعلى‬ ‫عند النقطتين ب ‪ E ،‬واثرت القوتان ‪ 60 ،40‬نويتن رأس ًيا ألسفل‬ ‫عند النقطتين ‪ ، C‬جـ ‪ .‬أوجد مقدار واتجاه ونقطة تأثيرة المحصلة‪.‬‬

‫‪30‬‬

‫‪20‬‬

‫‪ 4‬سم ‪ 2‬سمجـ ‪ 3‬سم ‪ 2‬سم‬ ‫هـ‬ ‫ب‬ ‫‪E‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪40‬‬

‫ى‬

‫‪60‬‬

‫شكل (‪)13‬‬

‫الحل‬

‫بفرض ى متجه وحدة ألسفل كما فى شكل (‪)13‬‬ ‫` ح =‬

‫‪4X + 3X + 2X + 1X‬‬

‫= ‪ 30-‬ى ‪ 60 +‬ى ‪ 20 -‬ى ‪ 40 +‬ى = ‪ 50‬ى‬

‫نفرض المحصلة تؤثر فى نقطة على القضيب تبعد س سم من ‪C‬‬

‫` س = ‪0٫2‬‬

‫‪ a‬مجموع عزوم القوى حول ‪ = C‬عزم المحصلة حول ‪C‬‬

‫‪ * 50 = 4 * 20 - 6 * 60 + 9 * 30‬س‬‫أى أن المحصلة تؤثر فى نقطة على القضيب وعلى بعد ‪ 0٫2‬سم من ‪C‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 6‬الشكل المقابل يوضح قضيب خفيف ‪ C‬ب ‪ .‬أثرت عليه القوى‬ ‫المتوازية الموضحة بالشكل فإذا كانت مقدار المحصلة ‪300‬‬ ‫نيوتن وتعمل ألعلى وتؤثر فى نقطة على القضيب تبعد ‪ 4‬متر من ‪.C‬‬ ‫أوجد ‪ , X‬ك‬ ‫مثال‬

‫‪200‬‬

‫ب‬

‫ك‬

‫‪ 3‬سم‬

‫‪ 4‬سم‬

‫‪ 3‬سم‬

‫‪ X‬شكل (‪)14‬‬

‫الربهنة النظرية‬

‫‪C‬‬

‫‪100‬‬

‫‪ 2X , 1X 7‬قوتان متوازيتان ويعمالن فى نفس االتجاه تؤثران فى نقطتين ‪ ،C‬ب ومحصلتهما ح إذا تحركت القوة‬ ‫‪ 2X‬موازية لنفسها فى اتجاه ‪ C‬ب مسافة س سم اثبت أن محصلة القوتين تتحرك فى اتجاه ‪ C‬ب مسافة مقدارها‬

‫(‬

‫‪2X‬‬

‫‪2X + 1X‬‬

‫‪50‬‬

‫)س‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫يوةسم ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم‬ ‫الحل‬

‫فى الحالة األولى‪:‬‬ ‫نفرض المحصلة تؤثر فى نقطة جـ‬ ‫‪ a‬عزم المحصلة عند ‪ = C‬مجموع عزوم القوى عند ‪C‬‬ ‫` ح * ‪C‬جـ = ‪ C * 2X‬ب‬

‫‪1X‬‬

‫‪C‬‬

‫(‪)1‬‬

‫ح‬

‫َح‬

‫جـ‬

‫جـَ‬ ‫شكل (‪)15‬‬

‫‪2X‬‬

‫ب‬

‫‪3 3‬‬ ‫‪2X‬‬

‫س‬

‫َب‬

‫فى الحالة الثانية‪:‬‬

‫إذا تحركت القوة ‪ 2X‬موازية لنفسها فى اتجاه ‪ C‬ب مسافة س سم‪.‬‬ ‫نفرض المحصلة تؤثر فى ج َـ‬ ‫‪ a‬عزم المحصلة عند ‪ = C‬مجموع عزوم القوى عند ‪C‬‬

‫` ح * ‪ C‬ج َـ = ‪َ C * 2X‬ب‬ ‫بطرح (‪ )1‬من (‪)2‬‬

‫(‪)2‬‬

‫` ح ( ‪ C‬ج َـ ‪ C -‬جـ) = ‪َ C( 2X‬ب ‪ C -‬ب)‬ ‫` ح * جـ ج َـ = ‪ * 2X‬س‬ ‫` جـ ج َـ =‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪2X‬‬

‫ح‬

‫*س=(‬

‫‪2X‬‬

‫‪2X + 1X‬‬

‫)س‬

‫‪ 7‬قوتان متوازيتان وفى نفس االتجاه مقدارهما ‪ X2 ,X‬تؤثران فى نقطتين ‪ ،C‬ب إذا تحركت القوة ‪ X 2‬موازية‬ ‫نفسها فى اتجاه ‪ C‬ب مسافه س سم اثبت أن محصلة القوتين تتحرك فى نفس االتجاه مسافه قدرها ‪ 23‬س‬

‫مثال‬ ‫‪ 8‬تؤثر القوتان ‪،N 3 - M 2 = 1X‬‬ ‫محصلة القوتين ونقطة تأثيرها‪.‬‬

‫‪ N 6 - M 4 = 2X‬فى النقطتين ‪ ، )3 ،1(C‬ب ( ‪ )9 ،4‬على الترتيب ‪ .‬أوجد‬

‫الحل‬

‫ح = ‪N 9 - M 6 = 2X + 1X‬‬

‫نالحظ أن ‪ 1X 2 = 2X‬أى أن القوتين متوازيتان وفى نفس االتجاه‬ ‫نفرض المحصلة تؤثر فى نقطة جـ ∈ ‪ C‬ب حيث ‪ C‬جـ = ‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬

‫جـ ب‬ ‫م ص ‪+‬م ص‬ ‫م س ‪+‬م س‬ ‫ومن قانون نقطة التقسيم جـ =( ‪) 1 2 2 1 ، 1 2 2 1‬‬ ‫م‬ ‫‪+‬‬ ‫م‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫م‪ + 1‬م‪2‬‬ ‫‪3 * 1 + 9 * 2 1* 1 + 4 * 2‬‬ ‫) = (‪)7 ،3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫` جـ = (‬ ‫‪1+ 2‬‬ ‫‪1+ 2‬‬

‫(‪)3 ،1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫(‪)9 ،4‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 8‬تؤثر القوتان ‪ N 3 + M 9 - = 2X ،N - M 3 = 1X‬فى النقطتين ‪ ، )0 ،1- (C‬ب ( ‪ )2 ،1‬على الترتيب ‪ .‬أوجد‬ ‫محصلة القوتين ونقطة تأثيرها‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪5‬‬

‫ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم‬

‫تمــــاريــن ‪1 - 3‬‬

‫اختر االإج�بة ال�صحيحة من بين االإج�ب�ت المعط�ه ‪:‬‬

‫قوتان متوازيتان ومتضادين فى االتجاه مقدارهما ‪ 12 ،7‬نيوتن فإن مقدار محصلتهما يساوى‪:‬‬ ‫د ‪ 5‬نيوتن‬ ‫ج ‪ 7‬نيوتن‬ ‫ب ‪ 12‬نيوتن‬ ‫أ ‪ 19‬نيوتن‬

‫‪ 2‬قوتان متوازيتان ومتحدتا االتجاه مقدارهما ‪ 10 ،7‬نيوتن تؤثران فى النقطتين ‪ ،C‬ب حيث ‪ C‬ب = ‪51‬سم‪.‬‬ ‫فإذا كانت محصلتهما تؤثر فى نقطة جـ فإن ‪ C‬جـ =‬ ‫د ‪ 12‬سم‬ ‫ج ‪ 21‬سم‬ ‫ب ‪ 27‬سم‬ ‫أ ‪ 30‬سم‬ ‫‪ 3‬قوتان متوازيتان ومتحدتا فى االتجاه مقدارهما ‪ 7 ،5‬نيوتن فإن مقدار محصلتهما تساوى‬ ‫د ‪1‬‬ ‫ج ‪2‬‬ ‫ب ‪6‬‬ ‫أ ‪12‬‬

‫اجب عن االأ�صئلة االآتية‪:‬‬

‫فى التمارين ‪ 6 - 4‬قوتان ‪ 2X ، 1X‬متوازيتان وتؤثران فى النقطتين ‪ ، C‬ب فإذا كانت محصلتهما ح تؤثر فى نقطة‬ ‫جـ ∈ ‪ C‬ب‬ ‫‪ 4‬أوجد مقدار واتجاه المحصلة وطول ‪ C‬جـ فى كل مما يأتى (القوتان فى نفس االتجاه)‬ ‫أ ‪ 9 = 1X‬نيوتن ‪ 17 = 2X ،‬نيوتن ‪ C ،‬ب = ‪13‬سم‬ ‫ب ‪ 23 = 1X‬نيوتن ‪ 15 = 2X ،‬نيوتن ‪ C ،‬ب = ‪57‬سم‬ ‫ج ‪ 16 = 1X‬نيوتن ‪ 10 = 2X ،‬نيوتن ‪ C ،‬ب = ‪30‬سم‬ ‫‪ 5‬إذا كانت ‪ 2X ، 1X‬فى نفس االتجاه اجب عما يأتى‪:‬‬ ‫أ ‪ 8 = 1X‬نيوتن ‪ ،‬ح = ‪ 13‬نيوتن ‪ C ،‬جـ = ‪ 10‬سم أوجد ‪ C ، 2X‬ب‬ ‫ب ‪ 6 = 2X‬نيوتن ‪ C ،‬جـ = ‪24‬سم ‪ C ،‬ب = ‪ 56‬سم أوجد ‪ ، 1X‬ح‬ ‫ج ‪ 6 = 1X‬نيوتن ‪ C ،‬جـ = ‪ 9‬سم ‪ ،‬جـ ب = ‪ 8‬سم أوجد ‪ ، 2X‬ح‬

‫‪ 6‬إذا كانت ‪ 2X ، 1X‬متضادان فى االتجاه اجب عما يأتى‪:‬‬ ‫أ ‪ 15 = 1X‬نيوتن ‪ ،‬ح = ‪ 20‬نيوتن ‪ C ،‬جـ = ‪70‬سم أوجد ‪ C ، 2X‬ب‬ ‫ب ‪ 6 = 2X‬نيوتن ‪ C ،‬جـ = ‪ 24‬سم ‪ ،‬جـ ∉ ‪ C‬ب ‪ C ،‬ب = ‪ 56‬سم أوجد ‪ ، 1X‬ح‬ ‫ج ‪ 6 = 1X‬نيوتن ‪ C ،‬جـ = ‪ 9‬سم ‪ ،‬جـ ∉ ‪ C‬ب ‪ ،‬جـ ب = ‪ 8‬سم أوجد ‪ ، 2X‬ح‬ ‫‪ 7‬فى كل مما يأتى أوجد مقدار واتجاه المحصلة و ُبعد نقطة تأثيرها عن نقطة ‪C‬‬ ‫‪ 9‬نيوتن‬

‫‪C‬‬

‫‪ 7‬سم‬

‫شكل (‪)16‬‬

‫‪52‬‬

‫‪ 7‬نيوتن‬

‫‪ 5‬نيوتن‬

‫‪ 9‬سم‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪ 8‬نيوتن‬

‫‪ 4‬نيوتن‬

‫شكل (‪)17‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ب‬

‫‪ 4‬سم‬ ‫‪C‬‬

‫شكل (‪)18‬‬

‫‪ 6‬نيوتن‬

‫كتاب الطالب‬

‫يوةسم ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم‬

‫‪3 3‬‬

‫‪ 8‬قوتان متوازيتان ومتضادان فى االتجاه مقدارهما ‪ 9 ،4‬نيوتن تؤثران فى نقطتين ‪ ، C‬ب حيث ‪ C‬ب = ‪15‬سم‪.‬‬ ‫أوجد محصلتهما‪.‬‬ ‫‪ 9‬إذا كانت محصلة القوتان المتوازيتان ‪ 7‬ى ‪ 5 ،‬ى نيوتن تؤثر فى نقطة تبعد ‪ 2 13‬متر عن خط عمل القوة‬ ‫الصغرى‪ .‬أوجد المسافة بين خطى عمل القوتين‬

‫‪ 0‬قوتان متوازيتان صغراهما ‪ 30‬نيوتن وتؤثر فى الطرف ‪ C‬من قضيب خفيف ‪ C‬ب والكبرى تؤثر فى الطرف ب‬ ‫فإذا كان مقدار محصلتهما ‪ 10‬نيوتن ويبعد خط عملها عن الطرف ب بمقدار ‪ 90‬سم‪ ،‬فما طول القضيب؟‬

‫‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ‪ ،E ،‬هـ نقط تقع على خط مستقيم واحد بحيث ‪ C‬ب = ‪4‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪6‬سم‪ ،‬جـ ‪8 = E‬سم ‪،‬‬ ‫‪ E‬هـ = ‪10‬سم‪ .‬اثرت خمس قوى مقاديرها ‪ 40 ، 80 ، 50 ، 30 ، 60‬ث كجم فى النقط ‪ ، C‬جـ ‪ ، E ،‬ب‬ ‫‪ ،‬هـ على الترتيب وفى اتجاه عمودى على ‪ C‬هـ بحيث كانت القوى الثالث األولى متحدة االتجاه‪ ،‬والقوتان‬ ‫االخريان فى االتجاه المضاد‪ .‬عين محصلة المجموعة‬

‫‪ 2‬فى شكل (‪ )19‬وضعت أربعة اثقال مقدارها ‪ 3 ، 5 ، 7 ، 1‬ث كجم على قضيب خفيف كما بالشكل‪ .‬عين نقطة‬ ‫تعليق على القضيب بحيث يظل القضيب افق ًيا‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪ 1‬متر‬

‫‪ 1‬ث كجم‬

‫‪ 1‬متر‬

‫‪ 7‬ث كجم‬

‫‪ 1‬متر‬

‫‪ 5‬ث كجم‬

‫شكل (‪)19‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ 3‬ث كجم‬

‫‪ 3‬قوتان متوازيتان ومتحدتا االتجاه مقاديرها ‪ 8 ،5‬نيوتن تؤثران فى نقطتين ‪ ،C‬ب حيث ‪ C‬ب = ‪ 39‬سم‪ .‬إذا اضيف‬ ‫للقوة األولى قوة أخرى مقدارها ‪ X‬فى نفس االتجاه فإن المحصلة تتحرك ‪ 8‬وحدات‪ .‬أوجد ‪X‬‬ ‫‪ ، C 4‬ب ‪ ،‬جـ ثالث نقط تقع على مستقيم افقى حيث ‪ C‬ب = ‪ 1‬متر ‪ C ،‬جـ = ‪3‬متر ب ∈ ‪ C‬جـ ‪ .‬اثرت القوى التى‬ ‫مقاديرها ‪ 12 ،2‬نيوتن رأس ًيا السفل فى النقطتين ‪ ،C‬جـ على الترتيب كما اثرت قوة مقدارها ‪ 4‬نيوتن فى نقطة ب‬ ‫رأس ًيا ألعلى‪ .‬أوجد مقدار واتجاه المحصلة وبعد نقطة تأثيرها عن نقطة ‪C‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪53‬‬

‫الوحدة الثالثة‬

‫‪2-3‬‬

‫اتزان مجموعة من القوى المتوازية المستوية‬ ‫‪Equilibrium of a system of coplanar parallel forces‬‬

‫فكر و‬

‫سوف تتعلم‬

‫ اتزان جسم حتت تأثري‬ ‫جمموعة من القوى املتوازية‪.‬‬

‫ناقش‬

‫‪X‬‬

‫½ إذا أثر على الجسم قوتان متساويتان فى المقدار‬ ‫ومتضادان فى االتجاه وعلى نفس خط العمل ‪.‬‬ ‫هل يتزن الجسم؟‬

‫‪X‬‬

‫شكل (‪)20‬‬ ‫‪X‬‬

‫½ إذا اثر على الجسم قوتان متساويتان فى المقدار‬ ‫ومتضادان فى االتجاه وليسا على نفس خط‬ ‫العمل‪ .‬هل يتزن الجسم؟‬

‫‪X‬‬ ‫‪3X‬‬

‫‪1X‬‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫ رد فعل‬ ‫ وزن‬

‫ متوازيان‬

‫ حامل (وتد)‬

‫‪Reaction‬‬ ‫‪Weight‬‬ ‫‪Parallel‬‬ ‫‪Support‬‬

‫ سقالة‬ ‫ شد‬

‫‪Beam‬‬ ‫‪Tension‬‬

‫ بكرة‬

‫ دوران‬

‫‪Pulley‬‬ ‫‪Rotate‬‬

‫½ إذا أثر على الجسم عدة قوى متوازية‬ ‫ومستوية بحيث تنعدم محصلة هذه‬ ‫القوى‪ .‬هل يتزن الجسم؟‬

‫شكل (‪)21‬‬

‫‪2X‬‬

‫شكل (‪)22‬‬

‫‪4X‬‬

‫نشاط‬

‫اتزان مجموعة من القوى املتوازية املستوية‬ ‫الهدف من النشاط‪ :‬التحقق من أنه إذا أتزن جسم متماسك تحت تأثير مجموعة من‬ ‫القوى المتوازية المستوية‪ ،‬عددها أكثر من ثالث‪ ،‬فإن ‪:‬‬ ‫صفرا‪.‬‬ ‫‪ 1‬مجموع القياسات الجبرية لهذه القوى يساوى ً‬ ‫صفرا‪.‬‬ ‫‪ 2‬مجموع القياسات الجبرية لعزوم هذه القوى حول أى نقطة في مستويها يساوى ً‬ ‫األدوات المستخدمة‪ :‬مسطرة خفيفة مدرجة ‪ -‬حامال كابستان ‪ -‬ميزانان زنبركيان ‪-‬‬ ‫أثقال ‪ -‬خيوط خفيفة‪.‬‬ ‫ش‪1‬‬

‫ش‪2‬‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫ آله حاسبة علمية‪.‬‬

‫‪2X‬‬

‫ معمل ميكانيكا‬

‫‪X‬ن‬

‫‪1X‬‬

‫شكل (‪)23‬‬

‫‪54‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫لتسلل‬

‫ةصزم تم ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم‬

‫‪3 3‬‬

‫تنفيذ النشاط ‪:‬‬ ‫‪ 1‬علق الميزانين الزنبركيين فى حاملى كابستان ثم علق فيهما المسطرة بواسطة خيطين واضبط الجهاز بحيث يصبح‬ ‫الميزانان والخيطان رأسيين كما فى شكل (‪.)23‬‬

‫‪ 2‬علق عد ًدا من األثقال المناسبة فى المسطرة بواسطة خيوط وعدل فى مواضع هذه األثقال وفى مقاديرها حتى‬ ‫تتزن المسطرة فى وضع أفقى‪ .‬ولتكن مقادير األثقال ‪X،...،2X ،1X‬ن ( هذه القوى موجهة رأس ًيا إلى أسفل)‬ ‫‪ 3‬عين قراءة كل من الميزانين لتعيين قوتى الشد ‪ ،‬وليكن ش‪ ، 1‬ش‪ 2‬معيارى الشدين (هاتان القوتان موجهتان‬ ‫رأس ًيا إلى أعلى ) نجد أن‪:‬‬ ‫ش‪ + 1‬ش‪X +... + 2X + 1X = 2‬ن‬ ‫‪ 4‬عين أبعاد األثقال عن نقطة من نقط المسطرة (تؤخذ عادة نقطة منتصفها)‬

‫‪ 5‬عين المجموع الجبرى لعزوم كافة القوى ‪ :‬ولتكن مقادير األثقال‪X،.. ،2X ، 1X‬ن ‪،‬ش‪ ،1‬ش‪ 2‬المؤثرة على‬ ‫صفرا‪.‬‬ ‫المسطرة حول النقطة المختارة فنجد أنه يساوى ً‬ ‫‪ 6‬كرر التجربة عدة مرات مع تغيير األثقال ونقط تعليقها فنحصل فى كل حالة على النتيجة التالية ‪:‬‬ ‫إذا اتزن جسم تحت تأثير مجموعة من القوى المتوازية المستوية فإن ‪:‬‬ ‫صفرا ‪.‬‬ ‫‪ -1‬مجموعة القياسات الجبرية لهذه القوى =‬ ‫ً‬ ‫صفرا أستنا ًدا إلى النشاط‬ ‫‪ - 2‬مجموع القياسات الجبرية لعزوم هذه القوى حول أى نقطة فى مستويها =‬ ‫ً‬ ‫السابق يمكن صياغة القاعدة التالية ‪:‬‬

‫قاعدة‬

‫إذا اتزن جسم متماسك تحت تأثير مجموعة من القوى المتوازية المستوية فإن ‪:‬‬ ‫صفرا ‪.‬‬ ‫‪ -1‬مجموع القياسات الجبرية لهذه القوى ( بالنسبة لمتجه وحدة يوازيها) يساوى ً‬ ‫( المحصلة = صفر)‪.‬‬ ‫صفرا‪.‬‬ ‫‪ - 2‬مجموع القياسات الجبرية لعزوم هذه القوى حول أى نقطة فى مستويها يساوى ً‬

‫مثال‬

‫اتزان جسم تحت تأثري مجموعة من القوى املتوازية املستوية‬

‫الشكل المقابل يوضح لوح خشبى كتلته ‪ 30‬كجم لكل‬ ‫متر من طوله يرتكز فى وضع أفقى على حاملين ‪ ، C‬ب‬ ‫ويحمل صندوق كتلته ‪ 240‬كجم‪ .‬أوجد الضغط الواقع‬ ‫على كل حامل‪.‬‬

‫‪2‬م‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬م‬

‫شكل (‪)24‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫ب‬

‫‪55‬‬

‫ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم‬ ‫الحل‬

‫‪CS‬‬

‫حيث أن اللوح منتظم فإن وزنه يؤثر فى نقطة منتصفه‬ ‫كتلة اللوح = ‪ 180 = 6 * 30‬كجم‬ ‫` وزن اللوح = ‪ 180‬ث كجم‬ ‫‪C‬‬ ‫رد الفعل عند كل حامل يساوى الضغط عليه‬ ‫مجموع القياسات الجبرية للقوى فى االتجاه العمودى على القضيب = ‪0‬‬ ‫‪240‬‬ ‫` ‪ S + C S‬ب = ‪S + C S 180 + 240‬ب = ‪)1( 420‬‬ ‫مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى حول نقطة ب = صفر‬ ‫ ‪ = 6 * C S + 4 * 240 - 3 * 180‬صفر أى أن ‪ 250 = C S‬ث كجم‬‫` بالتعويض فى (‪)1‬تكون ‪ S‬ب = ‪ 170‬ث كجم‬ ‫تفكير ناقد ‪ :‬ماذا يحدث لرد الفعل عند كل من ‪ ، C‬ب كلما اقترب الصندوق من نقطة ‪C‬‬ ‫‪2‬م‬

‫حاول أن تحل‬

‫رجالن ‪ , C‬ب يحمالن لوح من الخشب طوله ‪ 2‬متر ووزنه‬ ‫‪16‬ث كجم يؤثر عند منتصفه يحمل صندوقا وزنه ‪ 24‬ث كجم كما‬ ‫موضحا فى شكل (‪ )26‬أوجد الضغط على كتف كل رجل ثم‬ ‫هو‬ ‫ً‬ ‫عين على أى نقطة من اللوح يكون موضع كتف الرجل ب حتى‬ ‫يتساوى الضغطين‪.‬‬

‫‪S‬ب‬

‫‪4‬م‬

‫ب‬ ‫شكل (‪)25‬‬

‫‪180‬‬

‫‪ 20‬سم ‪ 60‬سم‬

‫‪C‬‬

‫‪ 20‬سم‬

‫شكل (‪)26‬‬

‫ب‬

‫مثال‬ ‫اتزان مجموعة من القوى املتوازية املستوية‬ ‫‪ C 2‬ب قضيب منتظم طوله ‪ 90‬سم ووزنه ‪ 60‬نيوتن معلق فى وضع أفقى بخيطين رأسيين من طرفيه ‪ ، C‬ب اين‬ ‫يعلق ثقل مقداره ‪ 150‬نيوتن حتى يكون مقدار الشد عند ‪ C‬ضعف مقداره الشد عند ب‪.‬‬ ‫ش‬

‫‪2‬ش‬

‫الحل‬

‫‪ 45‬سم‬ ‫‪E‬‬

‫‪ 45‬سم‬

‫نفرض أن الثقل ‪ 150‬نيوتن معلق من نقطة تبعد عن ‪ C‬مسافة‬ ‫س‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫س سم وأن الشد عند ب = ش ‪ ،‬الشد عند ‪ 2 = C‬ش‬ ‫شكل (‪)27‬‬ ‫` مجموع القياسات الجبرية للقوى = صفر‬ ‫‪150‬‬ ‫` ‪ 2‬ش ‪ +‬ش ‪ = 60 - 150 -‬صفر ومنها ش = ‪ 70‬نيوتن‬ ‫‪60‬‬ ‫‪ a‬مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى حول ‪ C‬يساوى صفر ` ‪ * 150‬س ‪ - 45 * 60 +‬ش * ‪= 90‬‬ ‫صفر‬ ‫س = ‪ 24‬سم‬ ‫` ‪ 150‬س = ‪3600‬‬ ‫وبالتعويض عن ش = ‪70‬‬ ‫جـ‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ C 2‬ب لوح خشبى منتظم كتلته ‪ 10‬كجم وطوله ‪ 4‬متر يرتكز فى وضع أفقى على حاملين أحدهما عند ‪ C‬واآلخر‬ ‫عند نقطة تبعد ‪ 1‬متر عن ب ‪ .‬بين على أى ُبعد يقف على اللوح طفل وزنه ‪ 50‬ث كجم لكى يتساوى ردى الفعل‬ ‫على الحاملين‪.‬‬

‫‪56‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫لتسلل‬

‫ةصزم تم ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم‬

‫‪3 3‬‬

‫مثال‬ ‫‪ C 3‬ب لوح خشبى غير منتظم طوله ‪ 4‬متر يرتكز فى وضع أفقى على حاملين عند جـ ‪ E ،‬بحيث ‪ C‬جـ = ‪ 1‬متر ‪،‬‬ ‫ب ‪ 1 12 = E‬متر‪ .‬فإذا كانت أقصى مسافة يستطيع أن يتحركها رجل وزنه ‪ 780‬نيوتن على اللوح من ‪ C‬إلى‬ ‫ب دون أن يختل توازن اللوح هى‪ 3‬متر وأقصى مسافة يستطيع أن يتحركها نفس الرجل من ب إلى ‪ C‬هى‬ ‫‪ 3 12‬متر ‪ .‬عين وزن اللوح ونقطة تأثيره‪.‬‬ ‫الحل‬

‫نفرض وزن اللوح يساوى( و) نيوتن ويؤثر فى نقطة تبعد عن الطرف ‪ C‬مسافة س متر‪.‬‬

‫الحالة األولى‪:‬‬ ‫عندما يقطع الرجل اقصى مسافة ‪ 3‬متر من ‪ C‬إلى ب‬ ‫يصبح اللوح على وشك الدوران حول ‪ .E‬أى أن رد‬ ‫فعل الحامل عند جـ ينعدم‪.‬‬ ‫‪ a‬مجموع عزوم القوى حول ‪ = E‬صفر‬

‫‪S‬‬

‫‪C‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ - 12 * 780‬و ( ‪ - 2 12‬س) = صفر‬

‫` و ( ‪ - 2 12‬س) = ‪390‬‬

‫س‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2 E‬‬

‫جـ‬

‫شكل (‪)28‬‬

‫و‬

‫(‪)1‬‬

‫الحالة الثانية‪:‬‬ ‫عندما يقطع الرجل أقصى مسافة ‪ 3 12‬متر من ب إلى‬ ‫‪ C‬يصبح اللوح على وشك الدوران حول جـ ‪ .‬أى أن‬ ‫رد فعل الحامل عند ‪ = E‬صفر‬ ‫‪ a‬مجموع عزوم القوى حول جـ = صفر‬ ‫` و (س ‪0 = 12 * 780 - )1-‬‬ ‫(‪)2‬‬

‫‪S‬‬

‫‪C‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪780‬‬

‫‪1‬‬

‫‪32‬‬

‫س‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬جـ‬

‫‪780‬‬

‫‪1‬‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫و‬

‫ب‬ ‫شكل (‪)29‬‬

‫` و (س ‪390 = )1-‬‬ ‫من (‪)2( ، )1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫` س ‪ - 2 2 = 1 -‬س ومنها س = ‪ 1٫75‬متر‬ ‫وبالتعويض فى (‪ )2‬نجد أن و = ‪ 520‬نيوتن‬ ‫أى أن وزن اللوح يساوى ‪ 520‬نيوتن ويؤثر فى نقطة تبعد عن الطرف ‪ C‬مسافة ‪ 1٫75‬متر‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 3‬يرتكز قضيب ‪ C‬ب طوله ‪ 90‬سم ووزنه ‪ 50‬نيوتن ويؤثر فى نقطة منتصفه فى وضع أفقى على حاملين ‪،‬‬ ‫احدهما عند الطرف ‪ C‬واآلخر عند نقطة جـ تبعد ‪30‬سم عن ب ويحمل ثقال مقداره ‪ 20‬نيوتن عند نقطة تبعد‬ ‫ايضا مقدار الثقل الذى يجب تعليقه من الطرف ب‬ ‫‪15‬سم عن ب عين قيمة الضغط على كل حامل ‪ .‬وأوجد ً‬ ‫بحيث يصبح القضيب على وشك الدوران وماهى قيمة الضغط على جـ عندئذ‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪57‬‬

‫ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم‬

‫تمــــاريــن ‪2 - 3‬‬

‫فى كل من االأ�صك�ل االآتية ‪ .‬ق�صيب خفيف متزن اأفقيً� اأوجد معي�ر كل من القوى ق‪ ،‬ك ‪ ،‬البعد �س‬ ‫‪ 7‬نيوتن‬

‫‪ 4‬نيوتن‬

‫س‬

‫جـ ‪ 16‬سم‬

‫‪C‬‬

‫‪ X‬نيوتن‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬سم‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫شكل (‪)34‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ 7‬نيوتن‬

‫‪2‬م‬

‫‪E‬‬

‫‪2‬م‬

‫‪ 6‬نيوتن‬

‫شكل (‪)36‬‬

‫ب‬

‫‪12‬سم‬

‫‪C‬‬

‫‪35‬سم‬

‫‪ 12‬نيوتن‬

‫شكل (‪)35‬‬

‫‪ 4‬نيوتن‬

‫ك نيوتن‬

‫‪30‬سم هـ‪30‬سم ‪20‬سم‬

‫جـ‬ ‫‪ 10‬نيوتن‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫‪ X‬نيوتن‬

‫‪4‬‬

‫‪X‬‬

‫س جـ‬

‫جـ‬

‫‪9‬سم‬

‫‪ 15‬نيوتن‬

‫‪ X‬نيوتن‬

‫‪3‬‬

‫ك نيوتن‬

‫‪E‬‬ ‫‪ 5‬نيوتن‬

‫شكل (‪)37‬‬

‫ب‬

‫‪ 10‬نيوتن‬

‫اأجب عم�ي�أتى ‪:‬‬

‫‪ 5‬قضيب منتظم طوله ‪ 2‬متر وكتلته ‪ 75‬كجم يرتكز فى وضع أفقى على حاملين عند طرفيه‪ .‬علق ثقل مقداره‬ ‫‪ 15‬ث كجم من نقطة على القضيب على بعد ‪ 50‬سم من احد طرفيه‪ .‬أوجد رد الفعل عند كل حامل‪.‬‬ ‫‪ 6‬قضيب منتظم طوله ‪ 3‬متر وكتلته ‪ 4‬كجم ويحمل جسمين كتلتاهما ‪5‬كجم‪ 1٫5 ،‬كجم عند طرفيه‪ .‬أوجد‬ ‫موضع نقطة تعليق على القضيب لكى يتزن القضيب فى وضع أفقى‪.‬‬ ‫‪ C 7‬ب قضيب غير منتظم طوله ‪120‬سم‪ ،‬إذا ثبت عند طرفه ب ثقل قدره ‪ 1‬نيوتن وعلق من ‪ C‬ثقل قدره ‪ 16‬نيوتن‬ ‫فإن القضيب يتزن فى هذه الحالة عند نقطة تبعد ‪30‬سم من‪ ، C‬وإذا أنقص الثقل الموجود عند ‪ C‬وصار ‪ 8‬نيوتن‬ ‫فإن القضيب يتزن عند نقطة تبعد ‪40‬سم من ‪ .C‬أوجد وزن القضيب وبعد نقطة تأثير وزنه عن ‪. C‬‬

‫‪58‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫لتسلل‬

‫ةصزم تم ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم‬

‫‪ 8‬فى شكل (‪ )38‬يوضح دراجة نارية كتلتها ‪ 200‬كجم ووزنها يؤثر‬ ‫فى الخط الرأسى المار بمنتصف المسافة بين العجلتين وكانت‬ ‫كتلة راكب الدراجة ‪ 84‬كجم ووزنه يؤثر فى الخط الرأسى الذى‬ ‫يبعد ‪ 1‬متر خلف العجلة األمامية أوجد رد فعل األرض على كل من‬ ‫العجلتين فى كل من الحاالت اآلتية ‪:‬‬ ‫أ الدراجة بدون الراكب‬ ‫ب الدراجة مع وجود الراكب‪.‬‬

‫‪ 70‬سم‬

‫‪3 3‬‬

‫‪ 70‬سم‬

‫شكل (‪)38‬‬

‫‪ 9‬يرتكز قضيب ‪ C‬ب طوله ‪ 60‬سم ووزنه ‪ 400‬ث جم يؤثر عند نقطة منتصفه على وتد يبعد ‪20‬سم من ‪ C‬حفظ‬ ‫القضيب أفق ًيا فى حالة إتزان بواسطة خيط خفيف رأسى يتصل بطرفه ب أوجد ‪:‬‬ ‫أ مقدار كل من الشد فى الخيط ورد فعل الوتد‪.‬‬ ‫ب مقدار الثقل الذى يلزم تعليقه من ‪ C‬ليجعل الشد فى الخيط على وشك أن ينعدم‪.‬‬

‫‪ 0‬قضيب متنظم ‪ C‬ب طوله ‪ 60‬سم ووزنه ‪10‬ث‪.‬جم ويؤثر عند منتصفه معلق فى وضع أفقى بواسطة خيطين‬ ‫رأسيين أحدهما مربوط فى نقطة ‪ C‬واآلخر مربوط فى نقطة جـ حيث ‪C‬جـ = س سم‪ ،‬علق ثقل قدره ‪ 12‬ث ‪.‬جم‬ ‫فى نقطة ‪ E‬حيث ‪ 25 = E C‬سم‪ .‬فإذا كان أقصى شد يتحمله كل خيط هو ‪ 15‬ث ‪ .‬جم‪ ،‬فأوجد القيم التى تقع‬ ‫بينها س‪ ،‬وأوجد أيضا أكبر وأقل قيمة للشد فى كل من الخيطين‪.‬‬ ‫‪ C‬ب قضيب غير منتظم طوله ‪120‬سم‪ ،‬إذا ثبت عند طرفه ب ثقل قدره ‪ 1‬نيوتن وعلق من ‪ C‬ثقل قدره ‪ 1‬نيوتن‬ ‫وعلق من ‪ C‬ثقل قدره ‪ 16‬نيوتن فإن القضيب يتزن فى هذه الحالة عند نقطة تبعد ‪ 30‬سم من ‪ ،C‬وإذا أُنقص الثقل‬ ‫الموجود عند ‪ C‬وصار ‪ 8‬نيوتن فإن القضيب يتزن عند نقطة تبعد ‪ 40‬سم من ‪ C‬أوجد وزنالقضيب وبعد نقطة تأثير‬ ‫وزنه عن ‪.C‬‬

‫‪ 2‬يحمل رجالن ‪ ,C‬ب جسما كتلته ‪90‬كجم معلق من قضيب معدنى متين وخفيف‪ ،‬فإذا كانت المسافة بين‬ ‫الرجلين ‪60‬سم وكانت نقطة تعليق الجسم تبعد ‪20‬سم من ‪ ،C‬فما مقدار ما يتحمله كل رجل من هذا الثقل؟ وإذا‬ ‫كان الرجل ب ال يمكنه أن يحمل أكثر من ‪ 50‬ثقل كجم‪ ،‬فعين أكبر مسافة من ‪ C‬يمكن تعليق الثقل عندها‬ ‫حتى يتمكن الرجل ب من االستمرار فى حمل القضيب‪.‬‬

‫‪ 3‬تؤثر القوى المستوية المتزنة والمتوازية ‪ 4X ، 3X ، 2X ، 1X‬فى النقط ‪ ،)1- ،2( = C‬ب ( ‪ ، )3- ،4-‬جـ = (‪)5 ،3‬‬ ‫‪ )0 ،1- ( = E ،‬على الترتيب ‪ ،‬فإذا كانت ‪ 20 = || 2X || ، N 4 + M 3 = 1X‬نيوتن فى نفس اتجاه ‪ . 1X‬أوجد‬ ‫كال من ‪ 4X ، 3X‬إذا كانتا تعمالن فى اتجاه مضاد التجاه ‪. 1X‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪59‬‬

‫ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم‬

‫‪ 1‬محصلة قوتين متوازييين وفى نفس االتجاه‬ ‫‪1X‬‬

‫= ‪ 1X‬ى ‪،‬‬

‫‪2X‬‬

‫= ‪ 2X‬ى تؤثران فى ‪ ، C‬ب فإن‬

‫‪ C‬جـ‬ ‫المحصلة ح = ‪ 2X + 1X‬وتؤثر فى نقطة جـ∈ ‪ C‬ب بحيث =‬ ‫جـ ب‬

‫‪ 2‬محصلة قوتين متوازيتين ومتضادين فى االتجاه‬

‫=‬

‫‪2X‬‬ ‫‪1X‬‬

‫‪ 1X = 1X‬ى ‪ 2X - = 2X ،‬ى (‪ )2X > 1X‬تؤثران فى ‪ ، C‬ب فإن ‪:‬‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫ح = ‪ )2X - 1X( = 2X + 1X‬ى وتؤثر فى نقطة جـ ∈ ب ‪ C‬بحيث = جـ ب =‬

‫‪ 3‬عزوم القوى المتوازية المستوية ‪:‬‬

‫‪2X‬‬ ‫‪1X‬‬

‫نظرية ( مجموع عزوم أى عدد محدود من القوى المتوازية المستوية بالنسبة لنقطة يساوى عزم محصلة هذه‬ ‫القوى بالنسبة لنفس النقطة ) ‪.‬‬

‫‪ 4‬محصلة عدة قوى متوازية ‪:‬‬

‫إذا كانت القوى‬ ‫ح=‬

‫‪1X‬‬

‫‪2X + 1X‬‬

‫‪،‬‬

‫‪2X‬‬

‫‪..... +‬‬

‫‪X ،.....‬ن متوازية وتؤثر فى النقط ‪C ... ، 2C ، 1C‬ن فإن محصلتها هى ح حيث‬

‫‪X‬ن‬

‫وتؤثر فى نقطة جـ حيث ‪ 1C‬جـ =‬

‫‪ 5‬اتزان مجموعة من القوى المتوازية المستوية‬

‫|| ح ||‬

‫قاعدة‬

‫لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى‬

‫‪60‬‬

‫|| مجموع عزوم القوى حول ‪||1C‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪www.sec3mathematics.com.eg‬‬ ‫كتاب الطالب‬

‫اأكمل ‪:‬‬ ‫قوتان متوازيتان وفى اتجاهين متضادين مقدارهما ‪ 15 ،10‬نيوتن تؤثران‬ ‫فى ‪ ، C‬ب على الترتيب حيث ‪ C‬ب = ‪ 35‬سم فإن المحصلة تؤثر فى نقطة جـ حيث ‪ C‬جـ =‬

‫‪ 2‬مجموع عزوم عدة قوى متوازية ومستوية حول نقطة يساوى‬

‫‪......................‬‬

‫‪ 3‬قوتان متوازيتان وفى نفس االتجاه مقدارهما ق‪2 ،‬ق وتؤثران فى النقطتين ‪ ، C‬ب بالترتيب حيث ‪ C‬ب = ‪ 39‬سم‬ ‫فإن المحصلة تؤثر فى نقطة جـ حيث ‪ C‬جـ = ‪......................‬‬

‫اأجب عم�ي�أتى ‪:‬‬

‫‪ 4‬قوتان متوازيتان مقدار محصلتهما ‪ 250‬نيوتن ومقدار احدى القوتين ‪ 150‬نيوتن وتعمل علي بعد ‪40‬سم من‬ ‫المحصلة‪ .‬أوجد مقدار القوة الثانية والبعد بين خطى عمل القوتين إذا كانت القوة المعلومة والمحصلة تعمالن‪:‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬فى اتجاهين متضادين‪.‬‬ ‫أوالً ‪ :‬فى اتجاه واحد‪.‬‬

‫‪ ، C 5‬ب ‪ ،‬جـ ‪ E ،‬اربع نقط تقع على خط مستقيم واحد حيث ‪ C‬ب = ‪ 32‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪ 40‬سم ‪ ،‬جـ ‪8 = E‬سم‬ ‫اثرت القوتان المتوازيتان ‪ 10 ، 8‬نيوتن فى ‪ ، C‬جـ على الترتيب واثرت القوتان ‪ 3 ، 7‬نيوتن فى ب ‪ E ،‬فى اتجاه‬ ‫مضاد للقوتين عند ‪ ، C‬جـ ‪ .‬عين محصلة هذه المجموعة وبعد نقطة تأثيرها عن ‪. C‬‬ ‫‪ 6‬وضعت األوزان ‪ 5 ،4 ،3 ،2‬ث كجم على قضيب خفيف بحيث تبعد عن احدى طرفيه ‪5 ،4 ،3 ،2‬سم على‬ ‫الترتيب ‪ .‬أوجد بعد نقطة تعليق القضيب عن هذا الطرف بحيث يتزن القضيب افق ًيا ‪.‬‬

‫‪ C 7‬ب قضيب منتظم طوله ‪100‬سم ووزنه ‪ 10‬نيوتن يؤثر فى منتصفه يرتكز افق ًيا على حاملين أحدهما عند ‪C‬‬

‫واآلخر عند نقطة على بعد ‪25‬سم من ب اوجد الثقل الذى يجب تعليقه من الطرف ب من القضيب ليكون قيمة‬ ‫رد الفعل الحامل القريب من الطرف ب مساو ًيا ستة امثال قيمة رد فعل الحامل عند ‪ . C‬ثم أوجد رد فعل كل‬ ‫حامل فى هذه الحالة‪.‬‬

‫‪ C 8‬ب قضيب غير منتظم طوله ‪80‬سم ووزنه ‪ 20‬ث كجم‪ ،‬يرتكز فى وضع أفقى على حاملين عند جـ ‪ E ،‬حيث‬ ‫‪ C‬جـ = ب ‪10 = E‬سم ‪ .‬علق من ‪ C‬ثقل قدره ‪ 40‬ث كجم فأصبح القضيب على وشك الدوران حول جـ‪ .‬أوجد بعد نقطة‬ ‫تأثير وزن القضيب عن ‪ C‬ثم أوجد اكبر ثقل يمكن تعليقه من ب دون أن يختل التوازن مع رفع الثقل المعلق من ‪. C‬‬ ‫‪ C 9‬ب جـ ‪ E‬قضيب غير منتظم يرتكز في وضع افقى على حاملين املسين عند ب‪ ،‬جـ بحيث ‪ C‬ب = ‪ 6‬سم ‪،‬‬ ‫جـ ‪ 7 = E‬سم ونقطة تأثير وزن القضيب تقسمه بنسبة ‪ 3 : 2‬من جهة الطرف ‪ . C‬وجد انه لو علق من الطرف ‪ C‬ثقل قدره ‪120‬‬ ‫ث جم او من الطرف ‪ E‬ثقل قدره ‪ 180‬ث جم كان القضيب على وشك الدوران ‪ ،‬اوجد وزن القضيب والبعد بين الحاملين‪.‬‬

‫‪ C 0‬ب قضيب منتظم طوله ‪ 120‬سم ووزنه ‪ 60‬نيوتن يؤثر عند نقطة منتصفه‪ ،‬يرتكز القضيب فى وضع أفقى‬ ‫على حامل عند طرفه ب‪ ،‬ويحفظ فى حالة توازن بواسطة خيط رأسى مثبت من نقطة ويحمل ثقال مقداره‬ ‫‪ 20‬نيوتن عند نقطة تبعد ‪20‬سم من ‪ . C‬عين قيمة كل من الشد فى الخيط والضغط على الحامل ‪ ،‬وما هو مقدار‬ ‫الثقل الذى يجب تعليقه فى الطرف ‪ C‬حتى يصبح القضيب على وشك االنفصال عن الحامل ‪ ،‬وما هى قيمة الشد‬ ‫فى الخيط عندئذ‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪6‬‬

‫االتزان العام‬ ‫‪General Equilibrium‬‬

‫الوحدة‬

‫‪4‬‬

‫مقدمة الوحدة‬ ‫االتزان هو أحد فروع علم الميكانيكا؛ حيث يتناول دراسة الشروط التي يجب أن تحققها مجموعة ما من القوى ‪ ،‬بحيث إذا أثرت هذه القوى فى‬ ‫نقطة مادية أو فى جسم جاسئ بقيت تلك النقطة أو الجسم فى حالة سكون ‪.‬‬ ‫ولقد اهتم اإلنسان منذ القدم بموضوع االتزان قبل غيره من فروع علم الميكانيكا األخرى‪ ،‬فطالئع تطبيقات هذا العلم ترجع إلى آالف السنين‬ ‫قبل الميالد‪ ،‬حين استفاد البابليون والمصريون القدماء من مبادئ االتزان وقوانين اآلالت البسيطة فى رفع األثقال إلى علو شاهق فى أثناء تشييد‬ ‫المعابد واألهرامات ‪ ،‬بيد أن حسب ما هو متوافر من معلومات يوضح أن بدايات ما ُخ َّ‬ ‫ط فى هذا الموضوع كان من قبل أرشميدس فى القرن‬ ‫الرابع قبل الميالد‪.‬‬ ‫وقد تم صياغة هذا العلم بشكله الحالي فى القرن السابع عشر الميالدي‪ ،‬حين تكاملت الصياغة النظرية لعلم الميكانيكا فى عهد نيوتن ‪.‬‬ ‫وقد حظي علم الميكانيكا ‪ -‬والسيما بحوث التوازن ‪ -‬باالهتمام الكبير فى ظل الحضارة العربية اإلسالمية ‪ ،‬فلقد تم نقل بعض الكتب‬ ‫اليونانية فى الميكانيكا إلى العربية‪ ،‬ومن هذه الكتب كتاب «الفيزياء ‪ »Physics‬وبعد دراسة المؤلفات المنقولة دراسة دقيقة ‪ ،‬ت ّم‬ ‫إدخال تعديالت على بعضها‪ ،‬وتوسيع بعضها اآلخر‪ ،‬وإجراء إضافات أساسية أسهمت فى تطوير هذا العلم‪ .‬وممن نبغ فى هذا العلم ابن‬ ‫الهيثم وأبو سهل القوهي‪ ،‬والبيروني وابن سينا والخيام وغيرهم ‪ ،‬وقد ألفوا كتبا ً فى مراكز األثقال ‪ ،‬وفي البكرات وفي توازن الموائع‪.‬‬ ‫وسوف نتعرف فى هذه الوحدة على شروط اتزان مجموعة من القوى مع حل بعض التطبيقات الحياتية التى تتطلب ذلك ‪.‬‬

‫أهداف الوحدة‬

‫بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها من المتوقع أن يكون يحل تطبيقات متنوعة على اتزان ُسلم أو قضيب على أرض‬ ‫الطالب قاد ًرا على أن‪:‬‬ ‫أفقية خشنة وحائط رأسى أملس‪.‬‬ ‫ يحدد الشروط العامة لالتزان فى المستوى ‪.‬‬ ‫ يحل تطبيقات حياتية على اتزان ُسلم أو قضيب على أرض‬ ‫ يحدد الشروط العامة التزان جسم تحت تأثير مجموعة من‬ ‫أفقية خشنة وحائط رأسى خشن‪.‬‬ ‫القوى المستوية ‪.‬‬

‫‪62‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪ Ñ‬االحتكاك‬

‫‪ Ñ‬مركبة أفقية‬

‫‪Friction‬‬

‫‪ Ñ‬االتزان العام‬

‫‪ Ñ‬مركبة رأسية‬

‫‪General Equilibrium‬‬

‫‪ Ñ‬رد فعل عمودى‬ ‫‪ Ñ‬المحصلة‬

‫‪Horizontal Component‬‬ ‫‪Vertical Component‬‬

‫‪ Ñ‬اتزان جسم جاسئ‬

‫‪Vertical Reaction‬‬

‫‪Equilibrium of original body‬‬

‫‪ Ñ‬مثلث قوى‬

‫‪Resultant‬‬

‫‪ Ñ‬مركبة جبرية‬

‫‪triangle of force‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫دروس الوحدة‬ ‫(‪ :)1- 4‬االتزان العام‪.‬‬

‫آلة حاسبة علمية ‪.‬‬

‫مخطط تنظيمى للوحدة‬ ‫االتزان العام‬

‫اتزان جسم تحت تأثير عدة‬ ‫قوى متالقية فى نقطة‬ ‫االتزان العام‬ ‫مجموع المركبات‬ ‫األفقية = ‪0‬‬

‫مجموع المركبات‬ ‫الرأسية = ‪0‬‬

‫تطبيقات على االتزان العام‬

‫الشروط الكافية والالزمة‬ ‫التزان مجموعة من‬ ‫القوى المستوية‬

‫مجموع المركبات األفقية = ‪0‬‬

‫تجارب علمية باستخدام‬ ‫تكنولوجيا المعلومات‬

‫مجموع المركبات الرأسية = ‪0‬‬ ‫مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى‬ ‫بالنسبة لنقطة واحدة = ‪0‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪63‬‬

‫اتزان جسم جاسىء‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫‪1-4‬‬

‫سوف تتعلم‬

‫ انعدام عزم جمموعة القوى‬ ‫بالنسبة ألى نقطة‬ ‫ الرشوط الكافية والالزمة‬ ‫التزان جمموعة من القوى‬ ‫املستوية ‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫ االتزان العام‬

‫‪General Equilibrium‬‬

‫ رد فعل عمودى‬ ‫‪reaction Vertical‬‬

‫ مركبة أفقية‬ ‫‪Horizontal Component‬‬

‫ مركبة رأسية‬ ‫‪Vertical Component‬‬

‫ اتزان جسم جاسئ‬ ‫‪Equilibrium of original body‬‬

‫ مثلث قوى‬

‫‪triangle of force‬‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫ آلة حاسبة علمية‬

‫‪64‬‬

‫‪Equilibrium of original body‬‬

‫سبق أن علمت إنه إذا أثرت قوتان‪ ،‬أو أكثر متالقيتان فى نقطة فى جسم جاسئ ولم‬ ‫يتغير وضعه ‪ ،‬قيل أن هذا الجسم متزن‪.‬‬ ‫وقد سبق لك أن درست اتزان جسم جاسئ تحت تأثير‬ ‫ر‬ ‫قوتين ثم تحت تأثير ثالث قوى مستوية‪ ،‬وتعرفت‬ ‫م‬ ‫ق‬ ‫على قاعدة مثلث القوى وقاعدة المى‪ ،‬ثم درست اتزان‬ ‫جسم جاسئ تحت تأثير عدة قوى مستوية متالقية فى‬ ‫و‬ ‫نقطة‪ .‬يوضح الشكل المقابل اً‬ ‫مثاال لالتزان فى بعدين‪،‬‬ ‫فلكى يكون الجسم ساك اًنا تحت تأثير القوى األربع الموضحة بالشكل يجب أن‬ ‫كل من المركبات األفقية والرأسية للقوى مساو اًيا للصفر ‪ .‬وبتطبيق‬ ‫يكون مجموع ٍّ‬ ‫شرط االتزان وهو أن مجموع كل من المركبات األفقية والرأسية للقوى تساوى صفر‬ ‫‪ – S‬و = ‪ – X ، 0‬م = ‪ 0‬باعتبار أن االتجاه الموجب إى اليمين وإلى اعلى ‪.‬‬

‫فكر و‬

‫ناقش‬

‫فى الشكل المقابل‪ :‬كيف يمكنك إيجاد مقدار قوى‬ ‫الشد المؤثرة على هذا الجسم ؟‬

‫‪c35‬‬

‫‪c55‬‬

‫وزن الجسم يؤثر فى االتجاه الرأسى إلى أسفل ومقداره‬

‫‪ 400‬نيوتن‪ ،‬وطب اًقا لتعريف الشد يجب أن يكون اتجاها‬

‫القوتين األخريين على استقامة الحبلين‪ ،‬بحيث تكونا‬

‫مبتعدتين عن الجسم‪ ،‬وبفرض أن الشد فى الحبلين ش‪، 1‬‬ ‫ش‪ 2‬نرسم المخطط البيانى كما فى شكل (‪. )2‬‬

‫كال‬ ‫كيف يمكنك كتابة مركبات ش‪ ، 1‬ش‪ 2‬؟ نحلل اًّ‬

‫‪ 400‬نيوتن‬ ‫شكل (‪)1‬‬

‫ش‪1‬‬

‫ص‬

‫من ش‪ ، 1‬ش‪ 2‬إلى مركبتين فى اتجاهين متعامدين ‪ ،‬ثم‬ ‫نكتب معادالت االتزان ‪.‬‬ ‫‪c55‬‬ ‫ش‪ 1‬جتا ‪ = c55‬ش‪ 2‬جتا ‪c 35‬‬ ‫س‬ ‫` ‪0.57‬ش‪0.82 = 1‬ش‪، )1( ............. 2‬‬ ‫شكل (‪)2‬‬ ‫ش‪ 1‬جا ‪ +c55‬ش‪ 2‬جا ‪400 = c35‬‬ ‫‪400‬‬ ‫` ‪0.82‬ش‪0.57 +1‬ش‪)2( .... 400 = 2‬‬ ‫وبحل المعادلتين نجد أن ‪ :‬ش‪ 328.81 - 1‬نيوتن ‪ ،‬ش‪ 228.52 - 2‬نيوتن‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ش‪2‬‬

‫‪c35‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫�� ‬ ‫هل يمكنك التحقق من صحة النتائج التى حصلت عليها ؟‬

‫‪4 4‬‬

‫يمكن استخدام قانون إيجاد محصلة القوتين ‪ 2X ، 1X‬اللتين تحصران بينهما زاوية قياسها ى على النحو التالى ‪:‬‬

‫‪=I‬‬

‫‪2X 1X 2 +2 2X + 2 1X‬جتا ى‬

‫وعلى ذلك فإن ‪ 400 - 2)228.52( + 2)328.81( = I :‬وهذا يتفق مع وزن الجسم‪.‬‬ ‫ماذا تتوقع إذا كانت مجموعة القوى السابقة غير متالقية فى نقطة واحدة ؟‬ ‫‪S‬‬ ‫فى هذه الحالة يكون الشرط السابق وهو أن يكون مجموع‬ ‫كل من المركبات األفقية والرأسية للقوى مساوية للصفر‬ ‫‪X‬‬‫ٍ‬ ‫كاف‪ ،‬ومن الممكن أن يتحرك الجسم حتى إذا تحقق‬ ‫غير‬ ‫هذا الشرط ‪ ،‬ذلك أن هناك شرطااً ثانيااً ال بد من تحققه حتى‬ ‫يكون الجسم فى حالة اتزان استاتيكى‪ .‬ففى شكل (‪ )3‬نجد‬ ‫أن المسطرة متزنة تحت تأثير وزنها رأس اًّيا ألسفل (و) ورد‬ ‫الفعل العمودى (‪)S‬؛ حيث ر = و ‪ ،‬فإذا دفعت المسطرة‬ ‫و‬ ‫بقوتين متساويتين فى المقدار ومتضادين فى االتجاه (‪، X -‬‬ ‫‪ )X‬فلن تبقى ساكنة إذ تبدأ فى الدوران‪ ،‬رغم تحقق الشرط‬ ‫شكل (‪)3‬‬ ‫األول ‪ .‬لذلك كان من الضرورى البحث عن شرط آخر يتعلق‬ ‫بالدوران حتى يكون الجسم فى حالة اتزان‪.‬‬

‫‪X‬‬

‫انعدام عزم مجموعة القوى بالن�سبة لأى نقطة‬ ‫تعريف ‪:‬‬ ‫تتوازن عزوم الدوران المؤثرة على جسم فى اتجاه دوران عقارب الساعة مع عزوم الدوران فى عكس اتجاه دوران‬ ‫عقارب الساعة حتى يكون الجسم فى حالة اتزان‪.‬‬ ‫من ذلك نجد أن‪:‬‬ ‫يكون الجسم الواقع تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية فى حالة اتزان استاتيكى إذا تحقق الشرطان التاليان‪:‬‬ ‫(‪ )1‬أن ينعدم متجه محصلة القوى للمجموعة ( ح = ‪) 0‬‬ ‫ج‬ ‫(‪ )2‬أن ينعدم عزوم القوى بالنسبة لنقطة ( ج = ‪) 0‬‬ ‫وهذه الشروط الكافية والالزمة التزان مجموعة من القوى المستوية‬ ‫ع‬ ‫الشكل (‪ : )4‬يبين مجموعة متجهات الوحدة المتعامدة ( ‪ ، N ، M‬ع )‬ ‫‪N‬‬ ‫بحيث تقع ‪ N ، M‬فى مستوى القوى‪ ،‬وبالتالى يكون ع عمود اًّيا على‬ ‫ح‬ ‫‪M‬‬ ‫هذا المستوى ‪.‬‬ ‫وبذلك يمكن تحليل متجه المحصلة ح فى اتجاهى ‪ ، N ، M‬بينما‬ ‫شكل (‪)4‬‬ ‫متجه العزم ج يوازى متجه الوحدة ع‬ ‫لذلك فإن ‪ :‬ح = س ‪ + M‬ص ‪ ، N‬ج = ج ع‬ ‫حيث ‪ :‬س = مجموع المركبات الجبرية لقوى المجموعة فى اتجاه ‪، M‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪65‬‬

‫�ع�� تا�ا‬

‫ص = مجموع المركبات الجبرية لقوى المجموعة فى اتجاه ‪، N‬‬ ‫ج = مجموع القياسات الجبرية لعزوم قوى المجموعة فى اتجاه ع ‪.‬‬ ‫ومن ذلك نجد أنه إذا كان س = ‪ ، 0‬ص = ‪ ، 0‬ج = ‪ 0‬فإن ‪ :‬ح = ‪ ، 0‬ج = ‪0‬‬ ‫وحيث إننا لم نحدد اتجاهى ‪ N ، M‬فى المستوى ‪ ،‬فإنه يمكن التوصل إلى الصياغة التالية ‪:‬‬ ‫الشروط الكافية والالزمة التزان جسم تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية‬ ‫لكى تتوازن مجموعة من القوى المستوية يلزم ويكفى أن تتحقق الشروط التالية ‪:‬‬ ‫(‪ )1‬ينعدم مجموع المركبات الجبرية للقوى فى اتجاهين متعامدين واقعين فى مستويهما ‪.‬‬ ‫(‪ )2‬ينعدم مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى بالنسبة لنقطة واحدة فى مستويها ‪.‬‬ ‫ويمكن التعبير رياضيا عن هذه الشروط كاآلتى ‪:‬‬ ‫ج = صفر‬ ‫‪،‬‬ ‫ص = صفر‬ ‫‪،‬‬ ‫س = صفر‬ ‫مثال‬

‫جـ‬

‫اتزان قضيب أفقى مثبت ىف مفصل‬

‫ب‬

‫الحل‬

‫‪66‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫مفصلة‬ ‫‪ 60‬سم‬

‫‪ 40‬سم ‪20‬سم‬

‫أ‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫نيوتن نيوتن‬ ‫شكل (‪)5‬‬ ‫ص‬

‫‪5‬‬

‫هـ‬

‫ش‬

‫‪4‬‬

‫د‬

‫‪3‬‬

‫جـ‬ ‫‪ 160‬سم‬

‫شكل (‪ )6‬يمثل المخطط البيانى للمثال‪ ،‬القضيب متزناًا تحت تأثير أربع‬ ‫قوى هى ‪:‬‬ ‫وزن القضيب ‪ 4‬نيوتن رأس اًّيا ألسفل ‪.‬‬ ‫رأسا ألسفل ‪.‬‬ ‫الثقل ‪ 3‬نيوتن اً‬ ‫قوة الشد فى الخيط ش ويعمل فى اتجاه ب جـ ‪ ،‬ويصنع خط عملها مع‬ ‫األفقى زاوية قياسها هـ ‪.‬‬ ‫قوة رد فعل المفصل‪ ،‬ويمثلها المركبتان المتعامدتان س‪ ، 1‬ص‪ 1‬كما‬ ‫بالشكل‪.‬‬ ‫بكتابة شروط االتزان‪:‬‬ ‫س =‪ ، 0‬ص=‪ ، 0‬ج =‪0‬‬ ‫س‬ ‫` س‪ = 1‬ش جتاهـ‬ ‫(‪)1‬‬ ‫` س‪ 35 = 1‬ش ‪.........‬‬ ‫‪ ،‬ص‪ + 1‬ش جا هـ = ‪4 + 3‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫` ص‪ 45 + 1‬ش = ‪.......... 7‬‬

‫‪ 160‬سم‬

‫متصال‬ ‫منتظما طوله ‪ 120‬سم ووزنه ‪ 4‬نيوتن‬ ‫الشكل (‪ )5‬يمثل قضي اًبا‬ ‫اً‬ ‫اً‬ ‫بحائط رأسى عن طريق مفصلة ‪ ،‬علق فى القضيب الوزن ‪ 3‬نيوتن‬ ‫وربط طرفه الحر بواسطة حبل إلى نقطة على الحائط‪ ،‬فإذا كان‬ ‫القضيب فى حالة اتزان استاتيكى افق اًيا‪ ،‬أوجد مقدار الشد فى‬ ‫الحبل؟ ثم أوجد مقدار واتجاه رد فعل المفصل‪.‬‬

‫هـ‬ ‫س‬ ‫ب ‪40‬سم ‪20‬سم ‪60‬سم ‪ 1‬أ‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫شكل (‪)6‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫ص‪1‬‬

‫‪4 4‬‬

‫�� ‬

‫‪120* 160‬‬

‫– ‪0 = 80*3 - 60*4‬‬ ‫`ش *‬ ‫‪ a‬ج =‪0‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪C‬‬ ‫نيوتن‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫ش‬ ‫`‬ ‫‪480‬‬ ‫=‬ ‫ش‬ ‫` ‪96‬‬ ‫‪S‬‬ ‫وبالتعويض فى (‪)2( ، )1‬‬ ‫ل‬ ‫` س‪ 3 = 5 * 35 = 1‬نيوتن ‪،‬‬ ‫‪C‬‬ ‫س‪1‬‬ ‫` ص‪ 3 = 1‬نيوتن‬ ‫ص‪7 = 5 * 45 + 1‬‬ ‫وبذلك يمكن تعيين مقدار واتجاه قوة رد فعل المفصل‪ ،‬وبفرض أن ‪ S‬هو مقدار هذه القوة ‪ ،‬ل قياس زاوية ميل‬ ‫خط عملها ‪ C‬س‬ ‫‪ = S a‬س‪ + 12‬ص‪ 2 3 = 9 + 9 = 12‬نيوتن‬ ‫ص‬ ‫‪ ،‬ظا ل = ‪ ` 1 = 33 = 1‬ل = ‪c45‬‬ ‫س‪1‬‬ ‫أى أن ‪ :‬مقدار قوة رد فعل المفصل = ‪ 2 3‬نيوتن‪ ،‬وتصنع زاوية قياسها ‪ c45‬مع‬ ‫‪C‬س ‪.‬‬ ‫ص‪1‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫متصال بحائط رأسى عن‬ ‫شكل (‪ : )7‬يمثل قضي اًبا مهمل الوزن طوله ‪ 210‬سم‬ ‫اً‬ ‫طريق مفصلة‪،‬علق فى القضيب الوزن ‪ 120‬نيوتن ‪ ،‬فإذا كان القضيب فى‬ ‫حالة اتزان استاتيكى أفق اًيا أوجد مقدار الشد فى الحبل ؟ ثم أوجد مقدار‬ ‫واتجاه رد فعل المفصل ‪.‬‬

‫مفصلة‬ ‫‪c40‬‬ ‫‪ 150‬سم‬

‫‪60‬سم‬

‫شكل (‪)7‬‬

‫‪ 120‬نيوتن‬

‫مثال‬ ‫اتزان قضيب مائل مثبت فى مفصل‬ ‫منتظما ‪ C‬ب وزنه ‪ 20‬نيوتن‪ ،‬يميل على األفقى بزاوية قياسها‬ ‫‪ 2‬شكل (‪ )8‬يمثل قضي اًبا‬ ‫اً‬ ‫‪ ، c30‬علق من طرفه ب ثقل مقداره ‪ 10‬نيوتن‪ ،‬وشد بحبل ب جـ يميل على األفقى‬ ‫بزاوية قياسها ‪ ، c30‬فإذا كان القضيب فى حالة اتزان استاتيكى‪ ،‬أوجد مقدار الشد‬ ‫فى الحبل ؟ ثم أوجد مقدار واتجاه رد فعل المفصل ‪.‬‬

‫ب‬

‫‪c30‬‬ ‫مفصلة‬

‫الحل‬

‫شكل (‪ )9‬يمثل المخطط البيانى للمثال ‪( .‬الحظ أن مثلث ‪C‬ب جـ متساوى األضالع)‬ ‫القضيب متزن تحت تأثير أربع قوى هى ‪:‬‬ ‫وزنه ‪ 20‬نيوتن ويعمل رأس اًّيا ألسفل عند منتصف القضيب‬ ‫الثقل ‪ 10‬نيوتن ويعمل رأس اًّيا ألسفل عند طرف القضيب‬ ‫الشد فى الحبل ش ويعمل فى اتجاه ب جـ‬ ‫رد فعل المفصل الذى مركبتاه المتعامدتان س‪ ، 1‬ص‪. 1‬‬ ‫وبتطبيق شروط االتزان وهى ‪:‬‬ ‫(بفرض أن طول القضيب = ‪ 2‬ل)‬ ‫س=‪،0‬ص=‪،0‬ج =‪0‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫م‬ ‫‪C‬‬ ‫*‬ ‫‪10‬‬ ‫–‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫*‬ ‫‪20‬‬ ‫–‬ ‫ك‬ ‫‪C‬‬ ‫*‬ ‫ش‬ ‫`‬ ‫‪ a‬ج =‪0‬‬ ‫س‬ ‫‪C‬‬ ‫` ش = ‪ 20‬نيوتن‬ ‫` ش × ‪ 3‬ل = ‪ 3 * 20‬ل ‪ 3 * 10 +‬ل‬ ‫‪2‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫جـ‬

‫‪c30‬‬

‫أ‬

‫‪ 10‬نيوتن ‪ 20‬نيوتن‬ ‫شكل (‪)8‬‬ ‫ص‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫ش‬

‫‪c30‬‬ ‫‪c30‬‬

‫‪D‬‬

‫‪J‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪K‬‬ ‫‪c30‬‬ ‫‪E‬‬ ‫س‬ ‫‪1‬‬

‫‪20‬‬

‫ص‪1‬‬

‫‪C‬‬

‫شكل (‪)9‬‬

‫‪67‬‬

‫�ع�� تا�ا‬

‫‪ ،‬س‪ = 1‬ش جتا ‪ 3 10 = 3 × 20 = c30‬نيوتن‬ ‫‪2‬‬ ‫` ص‪ 20 = 12 * 20 – 30 = 1‬نيوتن‬ ‫‪ ،‬ص‪ + 1‬ش جا ‪20 + 10 =c30‬‬ ‫س ‪+ 2‬ص ‪2‬‬ ‫` ‪ 7 10 = 400 + 300 = S‬نيوتن‬ ‫‪=S a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ص‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪1.1547‬‬ ‫‪ a‬ظا ل = ‪= 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ /‬س‪1‬‬ ‫` ل = ‪( c49 6‬حيث ل هى زاوية ميل رد فعل المفصل مع األفقى)‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ C 2‬ب قضيب منتظم طوله ‪ 60‬سم ووزنه ‪ 8‬نيوتن‪ ،‬يتصل طرفه ‪ C‬بمفصل مثبت فى حائط رأسى‪ ،‬علق ثقل قدره ‪6‬‬ ‫نيوتن فى نقطة من القضيب تبعد ‪ 40‬سم عن الطرف ‪ . C‬اتزن القضيب فى وضع أفقى بواسطة خيط خفيف‬ ‫يتصل أحد طرفيه بالطرف ب من القضيب‪ ،‬وثبت الطرف اآلخر للخيط فى نقطة على الحائط تبعد ‪ 80‬سم‬ ‫‪ ‬‬ ‫رأس اًّيا أعلى ‪ . C‬أوجد الشد فى الخيط ورد فعل المفصل ‪.‬‬ ‫مثال‬

‫اتزان سلم عىل مستويني متعامدين أحدهما خشن‬

‫‪ 3‬سلم منتظم وزنه ‪20‬ث كجم يرتكز بأحد طرفيه على أرض أفقية خشنة وبالطرف‬ ‫اآلخر على حائط رأسى أملس‪ ,‬أتزن السلم فى مستو رأسى‪ ،‬وكان قياس زاوية‬ ‫ميله على األفقى ‪ ،c60‬فإذا علم أن معامل االحتكاك بين السلم واألرض يساوى‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .‬اثبت أن أقصى مسافة تستطيع فتاة وزنها ‪ 60‬ث كجم أن تصعدها‬ ‫‪3 2‬‬ ‫على السلم تساوى نصف طول السلم ‪.‬‬ ‫الحل‬

‫السلم متزن تحت تأثير القوى ‪:‬‬ ‫وزن السلم ‪ 20‬ث كجم‪ ،‬ويعمل رأس اًّيا ألسفل عن منتصفه‪.‬‬ ‫وزن الفتاة ‪ 60‬ث كجم ويعمل رأس اًّيا ألسفل على بعد س من قاعدة السلم‪.‬‬ ‫رد فعل األرض الخشنة على الطرف ‪ C‬ومركبتيه الرأسية ‪ 1S‬واألفقية م ‪. 1S‬‬ ‫رد فعل الحائط األملس ‪ 2S‬ويكون عمود اًّيا على الحائط ‪.‬‬ ‫وبتطبيق شروط االتزان وهى ‪:‬‬ ‫س‬ ‫س = ‪ ، 0‬ص = ‪ ، 0‬ج‪0 = C‬‬ ‫وبفرض أن طول السلم = ل ‪،‬‬ ‫وأن أقصى مسافة تصعدها الفتاة = س فيكون القضيب على وشك الحركة‬ ‫‪ 80 = 60 + 20 = 1S a‬ثكجم ‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪= 2S‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫`‪= S‬‬ ‫‪3 2 2‬‬

‫‪ a‬ج =‪0‬‬

‫�لل‬ ‫‪ ‬‬

‫�س‬ ‫س‬ ‫‪ ‬‬ ‫ْ◌ ‪06‬‬ ‫‪ ‬‬

‫(‪�� ) 01‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪2S‬‬

‫س‬ ‫‪1S‬‬

‫‪c60‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪1 J C‬‬ ‫شكل (‪)11‬‬

‫‪60 20‬‬

‫* ‪ 40 = 80‬ث كجم (‪)1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪68‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫ص‬

‫‪D‬‬

‫�� ‬

‫ل‬ ‫` ‪* 20‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4 4‬‬

‫جتا ‪ × 60 + c60‬س جتا ‪ × 2S – c60‬ل جا ‪)2( ...... 0 = c60‬‬

‫من (‪)2( ، )1‬‬ ‫` ‪ 5‬ل ‪ 30 +‬س – ‬

‫‪ 3‬ل * ‪0 = 40‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 15‬ل = ‪ 12‬ل‬ ‫` ‪ 30‬س – ‪ 15‬ل = ‪0‬‬ ‫` س = ‪30‬‬ ‫` المسافة القصوى التى تصعدها الفتاة تساوى نصف طول السلم ‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ C 3‬ب سلم منتظم وزنه ‪ 30‬ث كجم‪ ،‬وطوله ‪ 4‬أمتار‪ ،‬يرتكز بطرفه ‪ C‬على مستو أفقى أملس‪ ،‬وبطرفه اآلخر ب‬ ‫على حائط رأسى أملس ‪ ,‬اتزن السلم فى مستو رأسى وكان قياس زاوية ميله على األفقى ‪ c45‬بواسطة حبل‬ ‫أفقى يصل الطرف ‪ C‬بنقطة من المستوى األفقى‪ ،‬تقع رأس اًّيا أسفل ب تما اًما‪ ،‬فإذا صعد رجل ونه ‪ 80‬ث كجم‬ ‫على هذا السلم‪ ،‬فأثبت أن مقدار الشد فى الحبل يزداد كلما صعد الرجل ‪ .‬وإذا كان الحبل ال يتحمل شدااً يزيد‬ ‫مقداره على ‪ 67‬ث كجم‪ ،‬فأوجد طول أكبر مسافة يمكن أن يصعدها الرجل دون أن ينقطع الحبل ‪.‬‬ ‫مثال‬

‫اتزان قضيب عىل مستويني متعامدين خشنيني‬

‫‪2S‬‬

‫الحل‬

‫‪xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx‬‬

‫‪ 4‬قضيب منتظم يرتكز بطرفه العلوى على حائط رأسى معامل االحتكاك بينه وبين القضيب يساوى ‪ ، 12‬وبطرفه‬ ‫السفلى على مستوى أفقى‪ ،‬معامل االحتكاك بينه وبين القضيب يساوى ‪ . 34‬أوجد ظل زاوية ميل القضيب على‬ ‫‪/‬‬ ‫‪2S J‬‬ ‫األفقى عندما يكون على وشك االنزالق ‪.‬‬ ‫القضيب متزن تحت تأثير القوى ‪:‬‬ ‫وزن القضيب (و) ويعمل رأس اًّيا ألسفل‪.‬‬ ‫‪1S‬‬ ‫رد فعل الطرف ‪ C‬على المستوى األفقى ومركبتاه المتعامدتان ‪ ، 1S‬م ‪.1S‬‬ ‫هـ‬ ‫‪xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx‬‬ ‫رد فعل الطرف ب على الحائط الرأسى ومركبتاه المتعامدتان‪ ، 2 S‬م‪.2S /‬‬ ‫‪1S J‬‬ ‫‪C‬‬ ‫و‬ ‫وبفرض أن طول القضيب ل‪ ،‬ويميل على األفقى بزاوية هـ وبتطبيق شروط االتزان وهى ‪:‬‬ ‫س = ‪ ، 0‬ص = ‪ ، 0‬ج‪0 = C‬‬ ‫‪ = 2S a‬م ‪+ 1S ، 1S 34 = 2S ` 1S‬م‪ = 2S/‬و ` ‪ =2S 12 + 1S‬و‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫` ‪ ( 34 = 2S‬و – ‪)2S 12‬‬ ‫` ‪ 4 = 2S‬و – ‪2S 8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 11‬و‬ ‫` ‪= 2S‬‬

‫‪ 34 = 2S 11‬و‬ ‫` ‪8‬‬ ‫ل‬ ‫جتا هـ ‪ * 2S-‬ل جا هـ ‪ * 2S 12 -‬ل جتا هـ = ‪ 0‬بقسمة الطرفين على ل جتا هـ ثم الضرب * ‪2‬‬ ‫‪ a‬ج=‪ ` 0‬و*‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫` و – ‪ 2S2‬ظا هـ – ‪0 = 2S‬‬ ‫` ‪ 2( 2S‬ظا هـ ‪ = )1 +‬و ‪)2( ..........................‬‬ ‫من (‪)2( ، )1‬‬ ‫‪..........................‬‬

‫(‪)1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪6‬‬ ‫` ‪ 11‬و × (‪ 2‬ظا هـ ‪ = )1 +‬و ` ‪ 2‬ظا هـ ‪ ` 6 = 1 +‬ظا هـ = ‪12‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪69‬‬

‫�ع�� تا�ا‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪C 4‬ب قضيب منتظم مقدار وزنه ‪ 40‬نيوتن‪ ،‬يرتكز بطرفه ‪ C‬على حائط رأسى‪ ،‬معامل االحتكاك بينه وبين القضيب‬ ‫يساوى ‪ 12‬وبطرفه ب على أرض أفقية معامل االحتكاك بينها وبين القضيب تساوى ‪ ، 13‬فإذا كانت أقل قوة‬ ‫أفقية تجعل الطرف ب للقضيب على وشك الحركة نحو الحائط تساوى ‪ 60‬نيوتن ‪ ،‬فأوجد فى وضع االتزان‬ ‫قياس زاوية ميل القضيب على األفقى ‪ ،‬علما بأن القضيب يتزن فى مستوى رأسى ‪.‬‬ ‫مثال‬

‫اتزان ساق عىل مستوى أفقى خشن ووتد أملس‬

‫‪C 5‬ب ساق منتظمة وزنها ‪ 5‬ث كجم وطولها ‪ 30‬سم‪ ،‬ترتكز بطرفها ‪ C‬على أرض أفقية خشنة‪ ،‬وترتكز عند إحدى‬ ‫نقطها جـ على وتد أملس‪ ،‬يعلو عن سطح األرض بمقدار ‪ 12.5‬سم‪ ،‬فإذا كانت الساق على وشك االنزالق‬ ‫عندما كانت تميل على األرض األفقية بزاوية قياسها ‪ c30‬وتقع فى مستوى رأسى‪ .‬أوجد ‪:‬‬ ‫اً‬ ‫أوال ‪ :‬مقدار قوة رد فعل الوتد ‪.‬‬ ‫ثان اًيا ‪ :‬معامل االحتكاك بين الطرف ‪ C‬واألرض ‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪2S‬‬

‫نالحظ أن ‪ C‬جـ = ‪ 25‬سم‬

‫‪ 2S‬جتا ‪30‬‬ ‫ب‬

‫‪°30‬‬

‫وزن الساق ‪ 5‬ث كجم ويعمل رأس اًّيا ألسفل ‪.‬‬

‫رد فعل الطرف ‪ C‬على األرض مركبتاه المتعامدتان‪ ، 1S‬م ‪. 1 S‬‬

‫‪1S‬‬

‫رد فعل الوتد على القضيب ‪ ، 2S‬ويكون عمود اًّيا على القضيب‬

‫‪15‬‬

‫سم‬

‫‪°30‬‬

‫‪1S J‬‬

‫‪ 12٫5‬سم‬

‫الساق متزنه تحت تأثير القوى ‪:‬‬

‫‪ 2S‬جا ‪30‬‬ ‫م‬

‫جـ‬

‫‪xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx‬‬

‫‪C‬‬

‫عند نقطة التماس جـ ‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫وبتطبيق شروط االتزان وهى ‪ :‬س = ‪ ، 0‬ص = ‪ ، 0‬ج = ‪0‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪ a‬ج =‪0‬‬ ‫‪C‬‬

‫` ‪ 15 * 5‬جتا ‪0 = 25 * 2S – c30‬‬

‫ومن معادلتى االتزان ‪ :‬س = ‪ ، 0‬ص = ‪0‬‬

‫` ‪ 2S‬جا ‪ – c30‬م ‪0 = 1S‬‬

‫`‪3 3 = S‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫` ‪ 2 = 2S‬م ‪1S‬‬

‫‪)1( .........‬‬ ‫وبالتعويض من (‪)1‬‬

‫`م‪3 3 = S‬‬ ‫`‪2‬م‪3 3 = S‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫` ‪ 5 = 2S 32 + 1S‬وبالتعويض من (‪)1‬‬ ‫‪ 2S + 1S ،‬جتا ‪5 = c30‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 11‬ث كجم ‪.‬‬ ‫` ‪5 = 3 2 3 * 32 + 1S‬‬ ‫` ‪4 = 4 – 5 = 1S‬‬

‫‪)2( ............‬‬

‫وبالتعويض عن قيمة ‪ 1S‬فى المعادلة (‪ )2‬إليجاد قيمة م ‪.‬‬

‫‪= 11‬‬ ‫` م* ‪4‬‬

‫‪70‬‬

‫‪3 3‬‬ ‫‪4‬‬

‫`‪=J‬‬

‫‪3 3‬‬ ‫‪11‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�� ‬

‫‪4� �4‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪C‬ب قضيب منتظم وزنه ‪ 20‬نيوتن وطوله ‪ 60‬سم‪ ،‬يرتكز بطرفه ‪ C‬على مستوى أفقى خشن‪ ،‬ويرتكز عند إحدى‬ ‫نقطه جـ على وتد أملس‪ ،‬يعلو ‪ 25‬سم عن المستوى األفقى‪ ،‬وكان القضيب على وشك االنزالق عندما كانت‬ ‫زاوية ميله على األفقى ‪ .c30‬أوجد رد فعل الوتد‪ ،‬وكذلك معامل االحتكاك بين القضيب والمستوى‪ ،‬عل ًما بأن‬ ‫الساق تقع فى مستوى رأسى‪.‬‬

‫تمــــاريــن ‪1 - 4‬‬

‫� اً‬ ‫أول ‪� :‬ضع عالمة (✓) �أو عالمة (✗)‪:‬‬

‫لكى تتزن مجموعة من القوى المستوية غير المتالقية فى نقطة يلزم ويكفى أن ينعدم متجه مجموع القوى ‪.‬‬

‫لكى تتوازن مجموعة من القوى المستوية المؤثرة على جسم ما ‪ ،‬يلزم ويكفى أن ينعدم مجموع المركبات‬ ‫كل من اتجاهين متعامدين واقعين فى مستويها‪.‬‬ ‫الجبرية للقوى فى ٍّ‬ ‫إذا انعدم مجموع المركبات الجبرية للقوى لمجموعة ما‪ ،‬وانعدم عزمها بالنسبة لنقطة واحدة فى مستويها‬ ‫كانت هذه المجموعة متزنة ‪.‬‬

‫يتزن السلم إذا ارتكز بأحد طرفيه على أرض أفقية ملساء وبطرفه اآلخر على حائط رأسى خشن ‪.‬‬

‫ث�نياً�‪� :‬أكمل م�ي�أتى‪:‬‬

‫الشروط الكافية والالزمة التزان مجموعة من القوى هى‬

‫‪..............................................................................................................................................‬‬

‫إذا استند قضيب بإحدى نقطه على وتد أملس‪ ،‬فإن اتجاه رد الوتد على القضيب يكون‬

‫‪...............................................................‬‬

‫إذا وضع جسم وزنه ‪ 6‬نيوتن على مستوى أفقى خشن‪ ،‬معامل االحتكاك بينه وبين الجسم ‪ ، 13‬فإن مقدار القوة‬ ‫األفقية التى تجعل الجسم على وشك الحركة تساوى ‪...........................................................................................................................................................‬‬

‫ث�ل اًث� ‪� :‬أجب عن �لأ�ضئلة �لأتية‬

‫‪C‬ب قضيب منتظم وزنه ‪ 4‬نيوتن وطوله ‪ 120‬سم يتصل أحد طرفيه بمفصل مثبت عند طرفه ‪ ،C‬والمفصل مثبت‬ ‫فى حائط رأسى ‪ .‬علق ثقل قدره ‪ 6‬نيـوتن من نقطة على القضيب تبعد ‪ 20‬سم عن طرفه ‪ C‬ثم حفظ القضيب‬ ‫فى وضع أفقى بواسطة حبل رفيع ب جـ مثبت طرفه جـ بنقطة على الحائط تقع رأس ًّيا فوق ‪ C‬تما ًما وتبعد عن ‪C‬‬ ‫مسافة ‪ 90‬سم‪ .‬أوجد مقدار الشد فى الحبل ومقدار واتجاه رد فعل المفصل‪.‬‬ ‫ثقال‬ ‫ساق منتظمة وزنها ‪ 4‬ث كجم‪ ،‬يتصل طرفها ‪ C‬بمفصل مثبت فى حائط رأسى‪ ،‬وتحمل عند طرفها اآلخر ب ً‬ ‫قدره ‪ 2‬ث كجم ‪ .‬حفظت الساق فى وضع تميل فيه على األفقى ألعلى بزاوية قياسـها ‪ c30‬بواسطة حبل مساو‬ ‫لها فى الطول ويتصل أحد طرفيه بالطرف ب للساق‪ ،‬ويتصل طرفه اآلخر بنقطة جـ من الحائط تقع رأس ًّيا‬ ‫أعلى ‪ C‬وعلى بعد منها يساوى طول الساق ‪ .‬أوجد مقدار الشد فى الحبل ومقدار قوة رد فعل المفصل ‪.‬‬

‫‪ 1‬قضيب منتظم وزنه (و) يرتكز بطرفه العلوى على حائط رأسى‪ ،‬معامل االحتكاك بينه وبين القضيب يساوى‬ ‫‪ 12‬وبطرفه السفلى على مستوى أفقى معامل االحتكاك بينه وبين القضيب يساوى ‪ ، 34‬أوجد ظل الزاوية التى‬ ‫يصنعها القضيب مع األفقى عندما يكون على وشك االنزالق ‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫�ع�� تا�ا‬

‫سلم منتظم وزنه ‪ 64‬ث كجم‪ ،‬يرتكز بأحد طرفيه على حائط رأسى أملس وبطرفه اآلخر على مستوى أفقى‬ ‫أملس‪ ،‬وحفظ السلم فى مستوى رأسى فى وضع يميل فيه على األفقى بزاوية قياسها ‪ ،c45‬بواسطة حبل مثبت‬ ‫فى قاعدة السلم وفى نقطة من المستوى تقع رأس اًّيا أسفل قمة السلم ‪ .‬وقف رجل وزنه يســاوى وزن السلم على‬ ‫موضع من السلم يبعد ‪ 34‬طول السلم من ناحية القاعدة ‪ .‬ع ِّين قوة الشد فى الحبل وردى فعل الحائط والمستوى‪.‬‬

‫‪ 2‬فى الشكل المقابل‪ :‬يرتكز قضيب منتظم وزنه ‪ 24‬ث‬ ‫كجم بأحد طرفيه على أرض أفقية خشنة وبطرفه اآلخر‬ ‫على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ .c60‬إذا‬ ‫كان القضيب على وشك االنزالق عندما كان قياس زاوية‬ ‫ميله على األفقى ‪ ،c30‬فأوجد معامل االحتكاك بين القضيب‬ ‫كل من المستوى واألرض‪.‬‬ ‫واألرض ورد فعل ٍّ‬

‫الق‬

‫ضيب‬

‫‪°60‬‬

‫‪°30‬‬

‫‪xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx‬‬

‫‪ 3‬يرتكز سلم منتظم وزنه ‪ 10‬ث كجم بطرفه‪ C‬على مستوى أملس وبطرفه ب على حائط رأسى أملس ‪ .‬حفظ‬ ‫السلم فى مستوى رأسى فى وضع يميل فيه على األفقى بزاوية قياسها ‪ c45‬بواسطة حبل أفقى يصل الطرف ‪C‬‬ ‫بنقطة من المستوى األفقى رأس اًّيا أسفل ب ‪ .‬يصعد رجل وزنه ‪ 80‬ث كجم هذا السلم‪ .‬أوجد‪:‬‬ ‫اً‬ ‫أوال ‪ :‬قوة الشد فى الحبل عندما يكون الرجل قد قطع ‪ 34‬طول السلم‪.‬‬ ‫علما بأنه يكون على وشك االنقطاع عندما يصل الرجل إلى قمة السلم‪.‬‬ ‫ثان اًيا ‪ :‬أقصى قيمة للشد التى يتحملها الحبل اً‬ ‫‪ 4‬يرتكز قضيب منتظم وزنه ‪ 40‬نيوتن بطرفه ‪ C‬على أرض أفقية خشنة وبطرفه ب على حائط رأسى أملس‪ ،‬بحيث‬ ‫يكون القضيب فى مستوى رأسى عمودى على الحائط‪ ،‬ويميل على األرض األفقية بزاوية قياسها ‪ .c45‬أوجد‬ ‫علما بأن‬ ‫مقدار أقل قوة أفقية تؤثر عند الطرف ‪ C‬للقضيب؛ لكى تجعلها على وشك االنزالق اً‬ ‫بعيدا عن الحائط اً‬ ‫معامل الحتكاك بين القضيب واألرض ‪0.75‬‬ ‫‪ 5‬قضيب منتظم يرتكز فى مستوى رأسى بطرفه العلوى على حائط رأسى أملس‪ ،‬وبطرفه السفلى على مستوى‬ ‫خشن أفقى؛ بحيث يصنع القضيب مع األفقى زاوية ظلها ‪ 32‬أوجد معامل االحتكاك بين القضيب والمستوى‬ ‫األفقى عندما يكون على وشك االنزالق‪.‬‬

‫‪C 6‬ب قضيب منتظم وزنه ‪ 56‬نيوتن يرتكز بأحد بطرفه ‪ C‬على حائط رأسى أملس وبطرفه ب على أرض أفقية‬ ‫خشنة‪ ،‬بحيث يقع فى مستوى رأسى ويميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ . c45‬أثبت أنه فى حالة اتزان القضيب‬ ‫معامل االحتكاك ‪ , 0.5 G‬وإذا كان معامل االحتكاك = ‪ 0.75‬فعين القوة األفقية التى تؤثر عند ب وتجعله على‬ ‫وشك الحركة ‪:‬‬ ‫اً‬ ‫بعيدا عن الحائط‬ ‫أوال ‪ :‬نحو الحائط‬ ‫ثان اًيا ‪ :‬اً‬ ‫‪ 7‬قضيب منتظم وزنه «و» يتصل أحد طرفيه بمفصل‪ ،‬ويتصل طرفه اآلخر بخيط مربوط فى نقطة فى نفس‬ ‫ٍ‬ ‫مساو هـ‪.‬‬ ‫المستوى األفقى المار بالمفصل‪ ،‬بحيث كان قياس زاوية ميل كل من القضيب والخيط على األفقى‬ ‫و‬ ‫ظتا ‪ 2‬هـ ‪9 +‬‬ ‫أثبت أن رد فعل المفصل يساوى‬

‫‪72‬‬

‫‪4‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫إذا اتزن جسم جاسئ تحت تأثير قوتين‪ ،‬فإنه يمكن نقل نقطة تأثير أى من القوتين إلى نقطة أخرى على خط عملها‬ ‫دون أن يؤثر ذلك فى اتزان الجسم‪.‬‬

‫إذا اتزنت ثالث قوى مستوية ومتالقية فى نقطة ‪ ،‬ورسم مثلث أضالعه توازى خطوط عمل القوى ‪ ،‬فإن أطوال‬ ‫أضالع المثلث تكون متناسبة مع مقادير القوى المناظرة ‪.‬‬

‫إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى مستوية وغير متوازية ‪ ،‬فإن خطوط عمل هذه القوى تتالقى فى نقطة واحدة‪.‬‬ ‫شروط اتزان جسم تحت تأثير عدة قوى مستوية ومتالقية فى نقطة‪:‬‬

‫‪ Á‬المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه و س = صفر‬ ‫‪ Á‬المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه و ص = صفر‬

‫انعدام عزم مجموعة القوى بالنسبة ألى نقطة تتوازن عزوم الدوران المؤثرة على جسم فى اتجاه دوران عقارب‬ ‫الساعة مع عزوم الدوران فى عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حتى يكون الجسم فى حالة اتزان ‪.‬‬

‫الشروط الكافية والالزمة التزان مجموعة من القوى المستوية؛ لكى تتوازن مجموعة من القوى المستوية يلزم‬ ‫ويكتفى أن تتحقق الشروط التالية ‪:‬‬

‫‪ Á‬ينعدم مجموع المركبات الجبرية للقوى فى اتجاهين متعامدين واقعين فى مستويهما ‪.‬‬ ‫‪ Á‬ينعدم مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى بالنسبة لنقطة واحدة فى مستويها ‪.‬‬ ‫‪ Á‬ويمكن التعبير رياض اًّيا عن هذه الشروط كاآلتى‪ :‬س = صفر ‪،‬‬

‫لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى‬

‫ص = صفر ‪،‬‬

‫ج = صفر‬

‫‪www.sec3mathematics.com.eg‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪73‬‬

‫�ع�� تا�ا‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫يرتكز قضيب غير منتظم ‪C‬ب طوله ‪ 140‬سم بطرفه ب على أرض أفقية‪،‬‬ ‫كل من األرض‬ ‫وبطرفه ‪ C‬على حائط رأسى ‪ ،‬إذا كان معامال االحتكاك بين القضيب و ٍّ‬ ‫والحائط يساوى ‪ 13 ، 12‬على الترتيب‪ ،‬وكان القضيب على وشك االنزالق عندما كان قياس زاوية ميله على‬ ‫األفقى ‪ ، c45‬فأوجد بعد مركز ثقل القضيب عن الطرف ب ‪.‬‬ ‫‪C‬ب قضيب منتظم طوله ‪ 260‬سم ومقدار وزنه ‪ 43‬نيوتن يرتكز بطرفه ‪ C‬على حائط رأسى وبطرفه ب على‬ ‫كل من الحائط واألرض يساويان ‪ 12 ، 14‬على الترتيب‪ ،‬وكان‬ ‫أرض أفقية وكان معامال االحتكاك بين القضيب و ٍّ‬ ‫الطرف ب يبعد ‪ 100‬سم عن الحائط ‪ .‬أوجد مقدار القوة األفقية التى إذا اثرت فى الطرف ب جعلت القضيب‬ ‫على وشك الحركة نحو الحائط ‪.‬‬ ‫يرتكز سلم منتظم وزنه ‪ 40‬ث كجم بأحد طرفيه على حائط رأسى أملس وبطرفه اآلخر على أرض أفقية خشنة‬ ‫بحيث يقع فى مستوى رأسى عمودى على الحائط ويميل السلم على األفقى بزاوية قياسها ‪ . c45‬صعد ولد وزنه‬ ‫يساوى وزن السلم‪ ،‬فأصبح السلم على وشك االنزالق عندما يقطع الولد مسافة ‪ 34‬طول السلم ‪ ،‬أوجد معامل‬ ‫االحتكاك بين األرض والسلم‪ .‬وإذا أراد الولد أن يتم صعود السلم ‪ ،‬فأوجد أقل قوة أفقية تؤثر على الطرف‬ ‫السفلى للسلم حتى يتمكن الولد من ذلك ‪.‬‬ ‫‪C‬ب قضيب منتظم وزنه ‪ 15‬ث كجم يرتكز بطرفه ‪ C‬على أرض أفقية خشنة‪ ،‬وبطرفه ب على حائط رأسى أملس‬ ‫بحيث يقع القضيب فى مستوى رأسى عمودى على الحائط ويميل القضيب على األفقى بزاوية قياسها ‪،c45‬‬ ‫أثرت قوة أفقية ‪ X‬عند نقطة جـ من القضيب؛ حيث ‪C‬جـ يساوى ‪ 14‬طول القضيب فأصبح الطرف ‪ C‬على وشك‬ ‫الحركة نحو الحائط إذا كان معامل االحتكاك بين القضيب واألرض يساوى ‪ 12‬أوجد القوة ‪ X‬ورد فعل الحائط‪.‬‬ ‫سلم منتظم يرتكز بأحد طرفيه على حائط رأسى خشن وبطرفه اآلخر على أرض أفقية خشنة‪ ،‬وكان معامل‬ ‫االحتكاك بين السلم وكل من الحائط واألرض يساوى ‪ . 12‬فإذا اتزن السلم فى مستوى رأسى عمودى على‬ ‫رجال وزنه يساوى ضعف وزن السلم اليمكنه‬ ‫الحائط فى وضع يميل فيه على الحائط بزاوية ظلها ‪ . 34‬برهن أن اً‬ ‫الصعود اكثر من ‪ 12‬طول السلم دون أن يختل التوازن ‪.‬‬ ‫قضيب منتظم وزنه (و) يستند بأحد طرفيه على حائط رأسى خشن وبطرفه اآلخر على أرض أفقية خشنة‬ ‫وكان معامل االحتكاك بين القضيب والحائط يساوى ‪ 1‬ومعامل االحتكاك ين القضيب واألرض يساوى ‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫فإذا اتزن القضيب فى مستوى رأسى عمودى على الحائط فأوجد ظل زاوية ميل القضيب على الرأسى عندما‬ ‫يكون القضيب على وشك االنزالق‪.‬‬

‫‪ 7‬يتزن سلم منتظم فى مستو رأسى على حائط رأسى وأرض أفقية‪ ،‬إذا كان قياس زاوية األحتكاك بين السلم وكل من‬ ‫الحائط واألرض هى ل فأثبت أن قياس زاوية ميل السلم على الرأسى عندما يكون على وشك األنزالق هـ = ‪ 2‬ل ‪.‬‬ ‫‪C 8‬ب قضيب منتظم وزنه ‪ 10‬ث كجم يستند بطرفه ‪ C‬على أرض أفقية خشنة وبطرفه ب على حائط رأسى أملس؛‬ ‫بحيث يكون القضيب فى مستوى رأسى عمودى على الحائط ويميل على األرض األفقية بزاوية قياسها ‪c45‬‬ ‫فإذا كان معامل االحتكاك بين القضيب واألرض يساوى ‪ . 34‬أوجد مقدار أقل قوة أفقية تؤثر عند الطرف ‪C‬‬ ‫بعيدا عن الحائط ‪ ،‬ومقدار رد فعل الحائط‪.‬‬ ‫للقضيب‪ ،‬وتجعله على وشك االنزالق اً‬

‫‪74‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪0‬‬

‫ثالث قوى مستوية مقاديرها ‪ 6 ، 5 ، 4‬نيوتن تؤثر فى نقطة مادية ‪ ،‬فإذا كانت‬ ‫المجموعة متزنة ‪ .‬فما قياس الزاوية بين القوتين األخيرتين ‪.‬‬ ‫أزيحت كرة بندول وزنها ‪ 600‬ث‪.‬جم حتى صار الخيط يصنع زاوية قياسها ‪ c30‬مع الرأسى تحت تأثير قوة‬ ‫على الكرة فى اتجاه عمودى على الخيط ‪ ,‬أوجد مقدار القوة ومقدار الشد فى الخيط ‪.‬‬ ‫علق ثقل وزنه ‪ 26‬نيوتن بخيطين طولهما ‪ 25‬سم ‪ 60 ،‬سم ‪ ,‬وثبت الطرفان اآلخران للخيطين فى نقطتين من خط‬ ‫كل من الخيطين ‪.‬‬ ‫أفقى‪ ،‬البعد بينهما ‪ 65‬سم ‪ .‬أوجد الشد فى ٍّ‬ ‫علق جسم وزنه (و) نيوتن بواسطة خيطين يميالن على الرأسى بزاويتين قياسيهما هـ‪ c30 ، c‬فاتزن الجسم‬ ‫عندما كان الشد فى الخيط األول ‪ 12‬نيوتن والشد فى الخيط الثانى ‪ 9‬نيوتن ‪ .‬أوجد قيمة الوزن (و) وقياس‬ ‫الزاوية هـ ‪.‬‬ ‫كرة مصمتة منتظمة وزنها ‪ 30‬ث‪.‬جم تستند بسطحها على مستويين‪ ،‬فإذا كانت الكرة فى حالة اتزان بين‬ ‫مستويين أملسين أحدهما رأسى ‪ ،‬واآلخر يميل على الرأسى بزاوية قياسها ‪ .c60‬أوجد مقدار قوتى الضغط‬ ‫كل من المستويين ‪.‬‬ ‫على ٍّ‬ ‫قضيب منتظم طوله ‪ 100‬سم ووزنه ‪ 20‬نيوتن ( يؤثر فى منتصفه )‪ ،‬علق القضيب من طرفيه بخيطين خفيفين‪،‬‬ ‫ثبت طرفاهما من نقطة فى سقف حجرة ‪ .‬إذا كان الخيطان متعامدين وطول أحدهما ‪ 60‬سم ‪ ،‬فأوجد مقدار‬ ‫حرا وفى حالة توازن ‪.‬‬ ‫الشد فى كل من الخيطين عندما يكون القضيب معل اًقا تعلي اًقا اًّ‬ ‫‪C‬ب قضيب منتظم (وزنه يؤثر فى منتصفه) مثبت بطرفه ‪ C‬فى حائط رأسى بواسطة مفصل ‪ ،‬جذب القضيب‬ ‫أفقيا بقوة مقدارها ق ث كجم حتى اتزن القضيب فى وضع يصنع فيه زاوية قياسها ‪ c30‬مع الرأسى ‪ .‬أوجد ق‪،‬‬ ‫ورد فعل المفصل ‪.‬‬ ‫قضيب منتظم يرتكز فى مستوى رأسى بطرفه العلوى على حائط رأسى أملس وبطرفه السفلى على مستوى‬ ‫أفقى معامل االحتكاك بينه وبين القضيب يساوى ‪ . 14‬أوجد ظل الزاوية التى يصنعها القضيب مع األفقى عندما‬ ‫يكون على وشك االنزالق ‪.‬‬ ‫‪C‬ب سلم منتظم وزنه ‪ 14‬ث كجم‪ ،‬يرتكز بطرفه ‪ C‬على أرض أفقية خشنة ويرتكز بطرفه ب على حائط رأسى‬ ‫خشن ‪ ،‬وكان معامل االحتكاك بين السلم واألرض ‪ 37‬ومعامل االحتكاك بين السلم والحائط ‪ ، 13‬فإذا اتزن السلم‬ ‫فى مستوى رأسى عمودى على الحائط عندما كان يميل على األفقى بزاوية ‪ c45‬فأوجد مقدار أقل قوة أفقية‬ ‫تؤثر عند الطرف ‪ C‬من السلم لتجعله على وشك الحركة نحو الحائط ‪.‬‬ ‫‪C‬ب سلم منتظم طوله ‪ 10‬متر ووزنه ‪ 20‬ث كجم يستند بطرفه ‪ C‬على أرض أفقية خشنة معامل االحتكاك بينها‬ ‫وبين السلم ‪ ، 14‬ويرتكز بطرفه ب على حائط رأسى أملس ‪ .‬اثبت أن السلم ال يمكن أن يتزن عندما يكون‬ ‫الطرف ب على بعد ‪ 8‬متر من سطح األرض‪.‬‬ ‫‪C‬ب سلم منتظم وزنه ‪ 9‬ث كجم يستند بطرفه ‪ C‬على أرض أفقية خشنة وبطرفه ب على حائط رأسى خشن‪ ،‬فإذا‬ ‫كان معامال االحتكاك عند ‪ ، C‬ب هما ‪ 12 ، 56‬على الترتيب ثم شد الطرف ‪ C‬للسلم بقوة أفقية ق جعلت السلم‬ ‫بعيدا عن الحائط‪ ،‬وكان السلم يصنع مع األفقى زاوية قياسها ‪ .c45‬أوجد مقدار القوة ق‬ ‫على وشك االنزالق اً‬ ‫(السلم فى مستوى رأسى عمودى على الحائط)‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪75‬‬

‫االزدواجات‬ ‫‪Couples‬‬

‫الوحدة‬

‫‪5‬‬

‫مقدمة الوحدة‬ ‫تناولنا فى الوحدات السابقة تحصيل قوتين متوازيتين متضادتين فى االتجاه وذلك بإبدالهما إلى قوتين تتالقيان فى نقطة‪ ،‬والحظنا أن ذلك‬ ‫يكون ممكنًا ما دامت القوتان غير متساويتين‪ ،‬أما إذا كانت القوتان المتوازيتان متساويتين فى المقدار‪ ،‬فإنه ال يمكن االستعاضة عنهما بقوتين‬ ‫غير متوازيتين‪ ،‬بل نحصل دائمً ا على قوتين متوازيتين متساويتين فى المقدار ومختلفتين فى االتجاه‪ ،‬وبذلك ال يمكن تحصيل مثل هاتين‬ ‫القوتين فى قوة واحدة‪.‬‬ ‫من ذلك نرى أن المجموعة المركبة من قوتين متوازيتين متساويتين فى المقدار ومتضادتين فى االتجاه تكون مسمى جديدًا فى علم اإلستاتيكا‬ ‫يعرف باالزدواج‪ ،‬وتتناول هذه الوحدة مفهوم باالزدواج وتعريفه وحساب عزمه‪ ،‬ثم اتزان جسم متماسك تحت تأثير ازدواجين مستويين‪ ،‬وعزم‬ ‫األزدواج المحصل‪ ،‬وتنتهى الوحدة بدراسة مجموع أى عدد محدود من االزدواجات‪.‬‬

‫أهداف الوحدة‬ ‫بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن‬ ‫يكون قاد ًرا على أن‪:‬‬

‫ يتعرف مفهوم االزدواج‪.‬‬ ‫ يوجد عزم االزدواج‪.‬‬

‫ يستنتج أن عزم االزدواج هو متجه ثابت‪.‬‬

‫ يتعرف على تكافؤ ازدواجين واتزان ازدواجين‪.‬‬

‫ يتعرف مفهوم اتزان جسم تحت تأثير ازدواجين مستويين‪.‬‬ ‫ يوجد محصلة عدة ازدواجات‪.‬‬

‫مقدارا‬ ‫القوى حول ثالث نقط ليست على استقامة واحدة =‬ ‫ً‬ ‫ثابتًا ! صفر)‬

‫ازدواجا باستخدام‬ ‫ يثبت أن مجموعة من القوى تكافئ‬ ‫ً‬ ‫التعريف‪.‬‬ ‫ يتعرف النظرية التى تنص على أن ( مجموعة القوى المؤثرة‬ ‫ازدواجا ‪)..‬‬ ‫فى أضالع مضلع فى اتجاه دورى واحد تكافئ‬ ‫ً‬ ‫ يحل تطبيقات متنوعة على االزدواجات‪.‬‬

‫ يثبت أن مجموعة من القوى تكافئ ازدواج ( المحصلة =‬ ‫صفر‪ ،‬العزوم حول أى نقطة ! صفر) أو ( مجموع عزوم‬

‫‪76‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪ Ñ‬ازدواج‬

‫‪Couple‬‬

‫‪ Ñ‬خط عمل‬

‫‪Line of action‬‬

‫‪ Ñ‬اتزان‬

‫‪ Ñ‬جسم متماسك (جاسئ)‬

‫‪Rigid body‬‬

‫‪ Ñ‬تكافؤ‬

‫‪Equivalent‬‬

‫‪Equilibrium‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫دروس الوحدة‬ ‫(‪ :)1-5‬االزدواجات‬

‫آلة حاسبة علمية‪.‬‬

‫(‪ :)2-5‬االزدواج المحصل‬

‫مخطط تنظيمى للوحدة‬ ‫مفهوم االزدواج‬ ‫تعريف عزم االزدواج‬ ‫محصلة عدة ازدواجات‬

‫تكافؤ ازدواجين‬ ‫اتزان ازدواجين‬ ‫اتزان جسم تحت تأثير‬

‫نظام من القوى المؤثرة فى‬

‫ازدواجين‬

‫جسم تكافئ ازدواجـًا‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪77‬‬

‫االزدواجات‬

‫الوحدة الخامسة‬

‫‪1-5‬‬

‫سوف تتعلم‬

‫ االزدواج ‪ -‬عزم االزدواج‬ ‫ تكافؤ ازدواجني‬

‫ اتزان جسم حتت تأثري‬ ‫ازدواجني أو أكثر‪.‬‬

‫‪COUPLES‬‬

‫صفرا‬ ‫مقدمة‪ :‬قد يظن البعض أنه إذا كانت محصلة القوى المؤثرة على جسم تساوى ً‬ ‫فإن هذا الجسم يظل ساك ًنا‪ ،‬ولكن إذا نظرت إلى الشكل المقابل تجد قوتين متساويتين‬ ‫فى المقدار ومتضادتان فى االتجاه (محصلتهما تساوى صفر)‬ ‫ترى أن هذا الجسم سوف يتحرك حركة دورانية حول (و) وتعتمد سرعة الدوران على‬ ‫عدة اشياء يمكن أن يكتشفها الطالب من العمل التعاونى اآلتى‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫و‬

‫‪X‬‬

‫عمل تعاونى‬ ‫المصطلحات األساسية‬

‫ ازدواج‬

‫ خط عمل‬

‫‪Couple‬‬ ‫‪Line of action‬‬

‫ اتزان‬

‫ جسم متامسك‬ ‫ تكافؤ‬

‫‪Equilibrium‬‬ ‫‪Rigid body‬‬ ‫‪Equivalence‬‬

‫الشكل المقابل يمثل مسطرة مدرجة يؤثر‬ ‫على طرفيها قوتان متوازيتان متضادتان فى‬ ‫االتجاه‪ ،‬مقدار كل منها ‪ 15‬نيوتن‪ .‬استعن‬ ‫بزمالئك فى إيجاد مجموع عزوم القوتين‬ ‫حول كل من النقط ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ‪ ،E ،‬هـ‪ ،‬و‪ ،‬ز‬ ‫وضع النتائج فى الجدول اآلتى‪:‬‬ ‫َ‬ ‫مجموع عزوم القوى‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫‪15‬‬

‫‪C‬‬

‫ز‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫هـ‬

‫و‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪2‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪1‬‬

‫‪15‬‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫ز‬

‫و‬

‫ماذا تالحظ من نتائج الجدول؟‬

‫تعلم‬ ‫االزدواج‬

‫ آلة حاسبة علمية‬ ‫ معمل ميكانيا‬

‫‪78‬‬

‫تعريف‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫‪couple‬‬ ‫‪ 20‬سم‬

‫االزدواج‪ :‬هو نظام من القوى‪ ،‬يتكون‬ ‫من قوتين متساويتين فى المعيار‬ ‫ومتضادين فى االتجاه وال يجمعهما‬ ‫خط عمل واحد‪.‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪ 20‬سم‬

‫‪X‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫زجاودزالا‬

‫‪5 5‬‬

‫عزم االزدواج‬

‫يعرف عزم االزدواج بأنه مجموع عزوم قوتى االزدواج حول أى نقطة فى الفراغ‪ ،‬ومعياره‬ ‫يساوى حاصل ضرب معيار إحدى القوتين فى البعد بينهما‪ ،‬ويرمز له بالرمز ج = || ج ||‬ ‫` || ج || = ‪ * X‬ل حيث ‪ ، || X || = X‬ل يسمى ذراع االزدواج‬ ‫مثال‬

‫ل‬

‫‪X‬‬

‫أوجد القياس الجبرى لعزم االزدواج فى كل من األشكال اآلتية‪:‬‬ ‫ب‬ ‫‪ 40‬نيوتن‬ ‫أ‬

‫‪ 20‬نيوتن‬

‫‪ 50‬نيوتن‬

‫‪ 80‬سم‬

‫‪ 100‬سم‬

‫‪ 50‬نيوتن‬

‫‪ 40‬نيوتن‬

‫‪ 8‬سم‬

‫‪ 4‬سم‬

‫‪ 20‬نيوتن‬

‫‪ 40‬نيوتن‬

‫‪X‬‬

‫‪ 40‬نيوتن‬

‫الحل‬

‫أ القياس الجبرى لكال العزمين فى شكل ( أ ) يساوى ‪ 4000 -‬نيوتن‪ .‬سم‬ ‫ب القياس الجبرى لكال العزمين فى شكل (ب) يساوى ‪ 160‬نيوتن‪ .‬سم الحظ زيادة البعد بين القوتين ونقصان‬ ‫معيار القوتين وثبوت معيار العزم‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫أوجد القياس الجبرى لعزم االزدواج فى الشكل اآلتى‪:‬‬ ‫‪c45‬‬ ‫‪ 70‬نيوتن‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫سم‬

‫‪ 70‬نيوتن‬ ‫‪c45‬‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫نظرية‬

‫عزم االزدواج هو قيمة ثابتة‪ ،‬ال تعتمد على النقطة التى ننسب إليها عزمى قوتيه‪.‬‬

‫البرهان (ال يمتحن فيه الطالب)‬ ‫نفرض أن القوتين ‪ X - ، X‬تؤثران فى النقطتين ‪ ، C‬ب على الترتيب‪ ،‬ونفرض أن نقطة و نقطة عامة فى الفراغ‪.‬‬ ‫نوجد مجموع عزوم القوى حول نقطة و‬ ‫‪X‬‬ ‫ب‬ ‫ج = و‪ + X * C‬وب * ‪X -‬‬

‫ = ( و ‪ - C‬و ب ) * ‪X‬‬

‫‪C‬‬

‫‪S‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪ a‬و‪ - C‬وب =‬ ‫والصورة األخيرة للعزم توضح أن عزم االزدواج ال يعتمد على موضع نقطة و التى تنسب العزوم إليها‪.‬‬ ‫ب‪C‬‬

‫` ج = ب‪X * C‬‬

‫‪X-‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪S‬ب‬

‫و‬

‫‪79‬‬

‫زجاودزالا‬

‫مثال‬ ‫ازدواجا وتؤثران فى النقطتين‬ ‫إذا كانت القوتان ‪ + M 2 = 1X‬ب ‪ N 5 - M C = 2X ، N‬تكونان‬ ‫ً‬ ‫‪ ، )3 ، 1-( C‬ب (‪ )2 ، 2‬على الترتيب‪ .‬أوجد قيمة كل من ‪ ، C‬ب‪ ،‬ثم أوجد عزم االزدواج‪.‬‬ ‫الحل‬

‫ ‬

‫ازدواجا‬ ‫‪ a‬القوتان تكونان‬ ‫ً‬ ‫` ‪ ، 2- = C‬ب = ‪5‬‬ ‫عزم االزدواج = عزم ‪ 1X‬حول ب‬ ‫ = ب ‪ 1X * C‬حيث ب ‪= C‬‬ ‫ = (‪)5 ، 2( * )1 ، 3-‬‬ ‫ = (‪ )2 - 15-‬ع = ‪ 17-‬ع‬

‫‪-‬ع‬

‫` ‪. 2X - = 1X‬‬

‫‪1X‬‬

‫‪)3 ،1-( C‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪ -‬ب‬

‫ب‬

‫(‪)2 ،2‬‬ ‫‪2X‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫إذا كان ‪ 2X ، 1X‬قوتى ازدواج بحيث ‪ N 2 + M 3- = 1X‬تؤثر فى النقطة ‪ 2X ، )1 ، 1( C‬تؤثر فى‬ ‫النقطة ب ( ‪ )2 ، 1-‬أوجد ‪ 2X‬ثم أوجد عزم االزدواج وكذلك طول العمود المرسوم من أ على خط عمل ‪2X‬‬

‫اتزان ج�سم متم��سك تحت ت�أثير ازدواجين م�ستويين اأو اأكثر‬

‫تعريف‬

‫يقال لجسم متماسك إنه متزن تحت تأثير ازدواجين مستويين إذا كان مجموع عزميهما هو المتجه‬ ‫الصفرى‪.‬‬

‫إذا كان ج‪ ، 1‬ج‪ 2‬عزمى االزدواجين‪ ،‬فإن شرط اتزان الجسم تحت تأثير االزدواجين هو ج‪ + 1‬ج‪ = 2‬و‬

‫وعموما إذا أثر على الجسم عدة ازدواجات مستوية عزومها هى ج‪ ، 1‬ج‪ ، ... ، 2‬جن فإن شرط توازن الجسم‬ ‫ً‬ ‫تحت تأثير هذه االزدوجات هو ج‪ + 1‬ج‪ + ... + 2‬جن = و‬

‫نتيجة‬

‫يتزن الجسم تحت تأثير ازدواجين مستويين أو أكثر إذا انعدم مجموع القياسات الجبرية لعزوم‬ ‫االزدواجات‪.‬‬

‫مثال‬ ‫‪ C‬ب قضيب خفيف تؤثر فيه القوى الموضحة بالشكل‪.‬‬ ‫أثبت أن القضيب متزن‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪250‬‬

‫‪C‬‬

‫ازدواجا‬ ‫القوتان ‪ 10 ،10‬تكونان‬ ‫ً‬ ‫القياس الجبرى لعزمه ج‪ 70- = 7 * 10- = 1‬نيوتن‪ .‬متر‬ ‫القوتان ‪ 3 40 ، 3 40‬تكونان ازدواج القياس الجبرى لعزمه‬

‫‪80‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫نيوتن‬

‫جـ‪1‬م‬

‫‪2‬م‬ ‫‪10‬‬

‫‪1‬م ‪2 E c60‬م‬

‫‪c60‬‬

‫‪3 40‬‬

‫نيوتن‬

‫‪ 3 40‬نيوتن ‪10‬‬

‫نيوتن‬

‫‪1‬م‬

‫‪250‬‬

‫نيوتن‬

‫ب‬

‫نيوتن‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪5 5‬‬

‫زجاودزالا‬

‫ج‪ 3 * 3 40- = 2‬جا ‪ 180- = 60‬نيوتن‪ .‬متر‬ ‫القوتان ‪ 250 ،250‬تكونان ازدواج القياس الجبرى لعزمه‬ ‫ج‪ 250 = 1 * 250 = 3‬نيوتن‪ .‬متر‬ ‫‪ a‬ج‪ +1‬ج‪ + 2‬ج‪ = 250 + 180 - 70- =3‬صفر‬

‫` القضيب متزن‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫فى الشكل المقابل‪ C :‬ب جـ ‪ E‬مستطيل هـ‪ ،‬ومنتصفات‬ ‫ب جـ ‪،‬‬

‫‪EC‬‬

‫على الترتيب ‪ C‬ب = ‪6‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪16‬سم‪ .‬فإذا‬

‫كانت القوى المؤثرة بالنيوتن ومقاديرها واتجاهاتها كما‬ ‫بالشكل‪ .‬أثبت أن المجموعة متزنة‪.‬‬

‫‪ 32‬و‬

‫‪C‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪20‬‬

‫ب‬

‫هـ‬

‫‪32‬‬

‫‪18‬‬

‫جـ‬

‫مثال‬ ‫‪ C‬ب قضيب مهمل الوزن معلق أفق ًيا من مسمار فى منتصفه‪ ،‬أثرت فيه قوتان مقدار كل منهما ‪ 7٫5‬نيوتن فى‬ ‫طرفيه إحدهما رأسية إلى أعلى واألخرى رأسية إلى أسفل كما ُشد بخيط يميل على القضيب بزاوية قياسها‬ ‫‪ c60‬من نقطة عليه مثل جـ أوجد مقدار واتجاه ونقطة تأثير القوة التى إذا أثرت على القضيب مع القوى السابقة‬ ‫علما بأن مقدار الشد فى الخيط يساوى ‪ 10‬نيوتن وأن طول القضيب ‪30‬سم‪.‬‬ ‫حفظته فى حالة توازن وهو أفقى‪ً ،‬‬

‫الحل‬

‫‪ 10 = R‬نيوتن‬

‫القوتان ‪ 7٫5 ، 7٫5‬نيوتن عند ‪ ، C‬ب تكونان ازدواج القياس‬ ‫الجبرى لعزمه ج‪ 225- = 30 * 7٫5- = 1‬نيوتن‪ .‬سم‬ ‫‪c60‬‬ ‫‪E‬‬ ‫لكى يتزن القضيب يجب أن تكون قوة الشد فى الخيط والقوة ‪C‬‬ ‫و هـ‬ ‫جـ‬ ‫األخرى ازدواج القياس الجبرى لعزمه ‪ 225‬نيوتن‪ .‬سم‬ ‫` القوة األخرى ‪ = X‬ش = ‪ 10‬نيوتن ‪ ،‬هـ = ‪c 60‬ويكون ‪ 7٫5‬نيوتن‬ ‫‪X‬‬ ‫ ‪ * 10‬جـ ‪ E‬جا ‪225 = 60‬‬ ‫أى أن نقطة ‪ E‬تبعد عن نقطة جـ مسافة ‪ 3 15‬سم على القضيب‪.‬‬ ‫` جـ ‪ 3 15 = E‬سم‬

‫‪ 7٫5‬نيوتن‬

‫ب‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪C‬ب جـ ‪ E‬هـ و سداسى منتظم أثرت القوى ‪ 2X , 9 ، 3 ، 1X ، 9 ، 3‬ث جم فى االتجاهات ‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪،‬‬ ‫‪ E‬جـ ‪ E ،‬هـ ‪ ,‬هـ و ‪ C ،‬و على الترتيب أوجد قيمة كل من ‪ 2X ، 1X‬لكى تتزن المجموعة‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مربع طول ضلعه ‪ 60‬سم ووزنها ‪ 200‬ث جم يؤثر عند نقطة تالقى‬ ‫القطرين‪ُ ،‬علقت الصفيحة فى مسمار من ثقب صغير بالقرب من الرأس ‪ C‬بحيث كان مستواها رأس ًّيا وأثر فيه‬ ‫ازدواج فى مستواها معيار عزمه ‪ 2 3000‬ث جم‪ .‬سم أوجد فى وضع االتزان قياس زاوية ميل ‪ C‬جـ على‬ ‫الرأسى‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪8‬‬

‫زجاودزالا‬ ‫الحل‬

‫‪ 2 3000‬ب‬

‫فى وضع التوازن تكون الصفيحة تحت تأثير قوتين هما وزن الصفيحة‬ ‫ورد فعل المسمار عند ‪ C‬باإلضافة إلى االزدواج الخارجى‪.‬‬ ‫نفرض أن االزدواج الخارجى يعمل فى اتجاه عكس دوران عقارب الساعة‬ ‫(كما فى الشكل) وحيث إن االزدواج ال يتزن إال مع ازدواج مثله‪ .‬فعلى‬ ‫ازدواجا القياس الجبرى لعزمه‬ ‫ذلك رد الفعل عند نقطة ‪ C‬والوزن ُيك َِّونان‬ ‫ً‬ ‫ج‪ C * 200- = 2‬م جا هـ‬ ‫حيث ‪ C‬م = ‪2 30‬‬ ‫‪ 2 30 * 200 - 2 3000‬جا هـ = صفر‬ ‫ج‪ + 1‬ج‪ = 2‬صفر‬ ‫ومنها جا هـ = ‪1‬‬ ‫هـ = ‪ c30‬أو ‪c150‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫هـ‬

‫م‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫‪ 200‬ث جم‬

‫حاول أن تحل‬

‫قضيب طوله ‪40‬سم ووزنه ‪ 2٫4‬ث كجم يؤثر عند منتصفه‪ ،‬يمكنه الدوران بسهولة فى مستوى رأسى حول‬ ‫مفصل ثابت عند طرفه‪ .‬أثر على القضيب ازدواج معيار عزمه ‪ 24‬ث كجم‪ .‬سم واتجاهه عمودى على المستوى‬ ‫الرأسى الذى يمكن للقضيب الدوران فيه‪َ .‬ع ِّين مقدار واتجاه رد فعل المفصل وزاوية ميل القضيب على الرأسى‬ ‫فى وضع االتزان‪.‬‬

‫تكاف�ؤ ازدواجين‬

‫‪Equivalent couples‬‬

‫تعريف‬

‫يقال الزدواجين مستويين أنهما متكافئان إذا تساوى القياسان الجبريان لمتجهى عزميهما‪.‬‬

‫‪X 2-‬‬

‫‪X2‬‬

‫ل‬ ‫‪2‬‬

‫ح‬

‫‪X‬‬‫‪X‬‬

‫ل‬

‫ح‬ ‫ل‬

‫‪X‬‬‫‪X‬‬

‫مثال‬ ‫‪C 6‬ب جـ ‪ E‬مستطيل‪ ،‬فيه ‪ C‬ب= ‪ 12‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪16‬سم أثرت قوتان مقدار كل منهما ‪ 96‬نيوتن فى اتجاهات ‪ C‬ب ‪،‬‬ ‫جـ ‪ E‬أوجد مقدار كل من القوتين المتساويتين والمؤثرتين فى ‪ ،C‬جـ فى اتجاه يوازى ب ‪ E‬بحيث يتكافأ‬ ‫و‬ ‫المك َْون من القوتين األخريين‪.‬‬ ‫االزدواج المكون من القوتين األوليين واالزدواج ُ‬ ‫الحل‬

‫‪C‬‬

‫ازدواجا القياس الجبرى لعزمه‬ ‫القوتان ‪ 96 ،96‬نيوتن تكونان‬ ‫ً‬ ‫ج‪ 1536- = 16 * 96- = 1‬نيوتن‪ .‬سم‬ ‫لكى يتكافأ األزدوجان فإن القوتين عند ‪ ،C‬جـ يعمالن على الدوران‬

‫‪8‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪X‬‬

‫‪96‬‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫‪ 12‬سم‬

‫هـ‬

‫‪ 16‬سم‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪96‬‬

‫جـ‬

‫‪X‬‬

‫زجاودزالا‬

‫فى اتجاه عقارب الساعة (كما بالشكل)‪.‬‬ ‫` ج‪ * X - = 2‬جـ و‬ ‫` ج‪19٫2 * X - = 2‬‬ ‫‪ a‬االزدواجين متكافئان ` ج‪ = 1‬ج‪2‬‬ ‫` ‪1536 - = 19٫2 * X -‬‬ ‫` ‪ 80 = X‬نيوتن‬

‫‪5 5‬‬

‫من نظرية إقليدس‬ ‫جـ ب * جـ ‪E‬‬ ‫جـ هـ =‬ ‫ب‪E‬‬

‫جـ هـ = ‪* 16‬‬ ‫‪9٫6 = 1220‬سم‬ ‫جـ و = ‪ 2‬جـ هـ‬ ‫جـ و = ‪19٫2‬سم‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ C‬ب قضيب خفيف‪ ،‬طوله ‪50‬سم‪ ،‬تؤثر قوتان مقدار كل منهما ‪ 30‬نيوتن فى ‪،C‬ب فى اتجاهين متضادين‪ .‬أثرت‬ ‫قوتان أخريان مقدار كل منهما ‪ 100‬نيوتن فى اتجاهين متضادين فى نقطتين جـ‪ E ،‬من القضيب‪ ،‬حيث جـ ‪E‬‬ ‫ازدواجا يكافئ االزدواج المكون من القوتين األوليين‪ .‬أوجد قياس زاوية ميل القوتين‬ ‫يكونان‬ ‫ً‬ ‫= ‪ 30‬سم بحيث ِّ‬ ‫األخريين على القضيب‪.‬‬

‫تمــــاريــن ‪1 - 5‬‬

‫اختر االإج�بة ال�سحيحة من بين االإج�ب�ت المعط�ة‪:‬‬

‫االزدواج هو‪:‬‬ ‫أ قوتان متوازيتان ومتساويتان فى المقدار متحدتا االتجاه‪.‬‬ ‫ب قوتان متعامدتان ومتساويتان فى المقدار‪.‬‬ ‫ج قوتان متوازيتان ومتساويتان فى المقدار وعلى خط عمل واحد‪.‬‬ ‫د قوتان متوازيتان ومتساويتان فى المقدار و متضادتان فى االتجاه وليستا على خط عمل واحد‪.‬‬

‫أى من الشروط اآلتية ال تغير من تأثير االزدواج على الجسم‪:‬‬ ‫ب ازاحة االزدواج إلى مستوى آخر يوازى مستواه‬ ‫أ ازاحة االزدواج إلى موضع جديد فى مستواه‪.‬‬ ‫د كل ما سبق‪.‬‬ ‫ج دوران االزدواج فى نفس مستواه‪.‬‬

‫القوتان المؤثرتان على عجلة قيادة السيارة وتحدثان دورانًا لعجلة القيادة تكونان‪:‬‬ ‫ب‬ ‫ازدواجا‪.‬‬ ‫أ احتكاكًا‪.‬‬ ‫ً‬ ‫د محصلة غير صفرية‪.‬‬ ‫ج قوة عمودية على عجلة القيادة‪.‬‬ ‫إلحداث ازدواج من قوتين يجب أن تكون القوتان‪:‬‬ ‫أ متساويتين فى المقدار‪.‬‬ ‫ج ليسا على خط عمل واحد‪.‬‬

‫ب متضادتين فى االتجاه‪.‬‬ ‫د كل ماسبق‪.‬‬

‫إذا كان ج‪ ،1‬ج‪ 2‬هما القياسان الجبريان لعزمى ازدواجين‪ ،‬وكان ج‪ + 1‬ج‪ = 2‬صفر فإن‪:‬‬ ‫ب االزدواجين غير متزنين‬ ‫أ االزدواجين متكافئان‬ ‫د االزدواجين يكافئان قوة‬ ‫ج االزدواجين متزنان‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪8‬‬

‫زجاودزالا‬

‫‪ 6‬حاصل ضرب معيار إحدى قوتى االزدواج فى ذراع االزدواج يسمى‪:‬‬ ‫ب عزم االزدواج‪.‬‬ ‫أ محصلة االزدواج‪.‬‬ ‫د ال شىء مما سبق‪.‬‬ ‫ج عزم إحدى قوتى االزدواج‪.‬‬

‫ازدواجا فإن ( ‪ ،C‬ب) =‬ ‫‪ 7‬إذا كان ‪ - M 3 = 1X‬ب ‪ N 5 - M C = 2X ، N‬تكونان‬ ‫ً‬ ‫د ( ‪)5- ،3-‬‬ ‫ج ( ‪)5 ،3-‬‬ ‫ب ( ‪)5 ،3‬‬ ‫أ ( ‪)4- ،3‬‬

‫‪ 8‬إذا كان ازدواج معيار عزمه ‪ 350‬نيوتن‪ .‬م ومعيار إحدى قوتيه ‪ 70‬نيوتن‪ ،‬فإن طول ذراع عزم االزدواج يساوى‪:‬‬ ‫د ‪24500‬سم‪.‬‬ ‫ج ‪ 5‬سم‪.‬‬ ‫ب ‪ 5‬أمتار‬ ‫مترا‬ ‫أ ‪ً 50‬‬

‫اجب عن اال�سئلة االآتية ‪:‬‬

‫‪ 9‬الشكل المقابل يوضح قوتين مقدار كل منهما ‪ 40‬نيوتن‪ ،‬تؤثران على طرفى‬ ‫صفيحة مستطيلة الشكل أبعادها س‪ ،‬ص سم‪ .‬أوجد عزم ازدواج القوتين فى‬ ‫كل من الحاالت اآلتية‪:‬‬ ‫أ س = ‪3‬سم ‪ ،‬ص = ‪ 4‬سم ‪ = i ،‬صفر‪c‬‬ ‫ب س = ص = ‪6‬سم ‪r = i ،‬‬

‫‪40‬‬

‫‪i‬‬

‫س‬ ‫ص‬

‫‪4‬‬ ‫جـ س = ‪ ، 0‬ص = ‪5‬سم ‪c30 = i ،‬‬

‫‪i‬‬

‫‪40‬‬

‫د س = ‪6‬سم ‪ ،‬ص = ‪c 60 = i ، 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫هـ‬ ‫س = ‪5‬سم ‪ ،‬ص = ‪ 12‬سم ‪ ،‬ظا ‪12 = i‬‬ ‫ب‬

‫‪ 0‬الشكل المقابل يوضح قوتين معيار كل منها ‪ 50‬نيوتن‪ ،‬تؤثران على‬ ‫رافعة ‪ C‬ب أوجد القياس الجبرى لعزم االزدواج بطريقتين‪:‬‬ ‫أ باستخدام البعد العمودى بين القوتين‪.‬‬ ‫ب بإيجاد مجموع عزوم القوتين بالنسبة لنقطة ‪C‬‬

‫‪50‬‬ ‫نيوتن‬ ‫‪ 40‬سم‬

‫‪ 60‬سم‬

‫‪c35‬‬

‫جـ‬

‫‪ 50‬نيوتن‬

‫‪c65‬‬

‫‪C‬‬

‫أثرت القوتان (‪ ) N 5 + M 3-( ، ) N 5 - M 3‬نيوتن فى النقطتين ‪ ،C‬ب على الترتيب‪ ،‬متجها‬ ‫ازدواجا وأوجد عزمه‪.‬‬ ‫موضعهما (‪ ) N + M 4( ، ) N + M 6‬متر برهن أن المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬

‫أثرت القوتان (‪ + M C‬ب ‪ ) N 2 - M 5( ، ) N‬نيوتن فى النقطتين جـ ‪ E ،‬على الترتيب‬ ‫ازدواجا‪ .‬أوجد قيمة كل من ‪ ،C‬ب‪ ،‬ثم أوجد عزم‬ ‫حيث جـ(‪ )1 ،3 (E ،)1 ،2-‬فإذا كانت القوتان تكونان‬ ‫ً‬ ‫أيضا البعد العمودى بين خطى عمل القوتين‪.‬‬ ‫االزدواج‪ ،‬وأوجد ً‬

‫‪8‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫زجاودزالا‬

‫الشكل المقابل يمثل قضي ًبا متزنًا تحت تأثير أربع‬ ‫قوى‪ ،‬أوجد قيمة ‪.X‬‬

‫‪ 10‬داين‬

‫‪5 5‬‬

‫‪X‬‬

‫‪c30‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪ 2‬سم ب‬

‫‪X‬‬

‫‪ 4‬سم‬

‫‪ 1‬سم‬ ‫جـ ‪c30‬‬ ‫‪ 10‬داين‬

‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬مستطيل فيه ‪ C‬ب = ‪8‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪6‬سم‪ ،‬س‪ ،‬ص‪ ،‬ع‪ ،‬ل منتصفات األضالع ‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪ ،‬جـ ‪C E ، E‬‬

‫على الترتيب‪ ،‬أثرت القوى التى مقاديرها ‪ 6 ، 6 ، X ، X ، X ، X‬نيوتن فى االتجاهات ‪ C‬س ‪ ،‬جـ ع ‪،‬‬ ‫ص س ‪ ,‬ل ع ‪ ،‬جـ ص ‪ C ،‬ل على الترتيب إذا اتزن المستطيل‪ ،‬أوجد قيمة ‪.X‬‬

‫‪ C‬ب قضيب طوله ‪60‬سم ووزنه ‪ 18‬نيوتن‪ ،‬يؤثر عند منتصفه‪ ،‬يمكن للقضيب الدوران بسهولة فى مستوى‬ ‫رأسى حول مسمار أفقى ثابت يمر بثقب صغير فى القضيب عند النقطة جـ التي تبعد ‪ 15‬سم عن ‪ ،C‬فإذا استند‬ ‫وشد الطرف ‪ C‬أفق ًيا بحبل حتى أصبح رد فعل النضد مساو ًيا لوزن‬ ‫القضيب بطرفه ب على نضد أفقى أملس ُ‬ ‫علما بأن القضيب يتزن فى وضع يميل فيه على األفقى بزاوية‬ ‫القضيب‪ .‬أوجد الشد فى الحبل ورد فعل المسمار ً‬ ‫قياسها ‪.c60‬‬

‫‪ C 6‬ب جـ ‪ E‬صفيحة رقيقة على هيئة مستطيل فيه ‪ C‬ب = ‪ 18‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪ 24‬سم ووزنها ‪ 20‬نيوتن‪ ،‬ويؤثر‬ ‫فى نقطة تالقى القطرين‪ُ ،‬علقت الصفيحة فى مسمار رفيع من ثقب صغير بالقرب من الرأس د بحيث كان‬ ‫مستواها رأس ًّيا‪ .‬فإذا أثر على الصفيحة ازدواج معيار عزمه يساوى ‪ 150‬نيوتن‪ .‬سم واتجاهه عمودى على مستوى‬ ‫الصفيحة‪ .‬فأوجد زاوية ميل ‪E‬ب على الرأس فى وضع االتزان‪.‬‬ ‫‪ C 7‬ب جـ ‪ E‬مربع طول ضلعه ‪ 10‬سم أثرت القوتان ‪ 60 ،60‬نيوتن فى اتجاهات ب‪ E ، C‬جـ ‪ ،‬أوجد قوتين‬ ‫ازدواجا يتكافئ مع االزدواج المكون من‬ ‫وتكونان‬ ‫متساويتين فى المقدار تؤثران فى ‪ ،C‬جـ توازيان ب ‪E‬‬ ‫ً‬ ‫ِّ‬ ‫القوتين األوليين‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪8‬‬

‫االزدواج المحصل‬

‫الوحدة الخامسة‬

‫‪2-5‬‬

‫‪Resultant couple‬‬

‫فكر و‬

‫سوف تتعلم‬

‫ جمموع ازدواجات مستوية‬ ‫(االزدواج املحصل)‬ ‫ رشط جمموعة من القوى‬ ‫ازدواجا‪.‬‬ ‫املستوية تكافئ‬ ‫ً‬

‫‪)1‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪)4‬‬

‫ناقش‬

‫إذا وقع جسم تحت تأثير ازدواج‪ .‬ما التأثير الحادث على هذا الجسم نتيجة ذلك‬ ‫االزدواج؟‬ ‫هل يتحرك الجسم الواقع تحت تأثير ازدواج حركة خطية أم حركة دائرية؟‬ ‫إذا كانت محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة تساوى صفر‪ .‬هل يمكن‬ ‫ازدواجا؟‬ ‫أن تمثل هذه القوى‬ ‫ً‬ ‫إذا كانت محصلة عدة قوى مستوية وغير متالقية فى نقطة تساوى صفر‪ .‬هل‬ ‫ازدواجا؟‬ ‫يمكن أن تمثل هذه القوى‬ ‫ً‬

‫تعلم‬ ‫المصطلحات األساسية‬

‫ ازدواج حمصل‬

‫‪Resultant‬‬

‫‪couple‬‬

‫ يكافئ‬

‫‪Equivalent‬‬

‫ازدواجا‬ ‫نظام الق�ى الم�ست�ية الذى يكافئ‬ ‫ً‬ ‫ازدواجا إذا تحقق‬ ‫يقال لعدة قوى مستوية ‪X ، ... ، 2X ، 1X‬ن إنها تكافئ‬ ‫ً‬ ‫الشرطان اآلتيان م ًعا‪:‬‬ ‫‪ )1‬انعدام محصلة القوى (أو مجموع المركبات الجبرية للقوى فى أى اتجاه= صفر)‬ ‫‪ )2‬مجموع عزوم القوى حول أى نقطة ال ينعدم‬ ‫ازدواجا فالقوى‬ ‫ملحوظة‪ :‬تح ُّقق أحد الشرطين فقط اليكفى إلثبات أن المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬ ‫ازدواجا‪.‬‬ ‫المتالقية فى نقطة إذا انعدمت محصلتها فإن المجموعة تكون متزنة والتكافئ‬ ‫ً‬ ‫‪ 15‬نيوتن‬

‫مثال‬

‫‪ C‬ب قضيب خفيف أثرت عليه القوى‬ ‫الموضحة بالشكل أثبت أن مجموعة‬ ‫ازدواجا وأوجد القياس‬ ‫القوى تكافئ‬ ‫ً‬ ‫الجبرى لعزمه‪.‬‬

‫ب‬

‫جـ‬ ‫‪ 9‬سم‬

‫‪ 7‬نيوتن‬

‫‪ 5‬سم‬ ‫‪ 8‬نيوتن‬

‫الحل‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫ آلة حاسبة علمية‪.‬‬

‫‪86‬‬

‫‪C‬‬

‫بفرض أن ى متجه وحدة فى اتجاه القوة ‪ 15‬نيوتن‬ ‫` ح = ‪ 15‬ى ‪ 8 -‬ى ‪ 7 -‬ى = ‪0‬‬ ‫أى أن المحصلة تنعدم‬ ‫ازدواجا‪ ،‬لذلك نوجد مجموع عزوم‬ ‫` إما أن تكون المجموعة متزنة أو تكافئ‬ ‫ً‬ ‫القوى حول أى نقطة (ولتكن‪)C‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫زجاودزج زدزالا‬

‫ج ‪138 - = 14 * 7 - 5 * 8- = C‬‬ ‫ازدواجا‪ ،‬القياس الجبرى لعزمه يساوى ‪ 138 -‬نيوتن‪.‬سم‬ ‫` المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬

‫تفكير ناقد‪ :‬أوجد مجموع عزوم القوى حول كل من ب‪ ،‬جـ ماذا تالحظ؟‬ ‫حاول أن تحل‬

‫ازدواجا‬ ‫فى الشكل المقابل أثبت أن المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬ ‫وأوجد القياس الجبرى لعزمه‪.‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪ 4‬سم‬

‫‪ 11‬نيوتن‬

‫جـ‬

‫‪ 5‬سم‬

‫‪5 5‬‬

‫‪ 6‬نيوتن‬

‫ب‬

‫‪ 3 E‬سم‬

‫‪ 10‬نيوتن ‪ 7‬نيوتن‬

‫قاعدة‬

‫وم َّثلها تمثي ً‬ ‫تاما أضالع مثلث‬ ‫ال ًّ‬ ‫إذا أثرت ثالث قوى مستوية وغير متالقية فى نقطة فى جسم متماسك َ‬ ‫مأخوذة فى ترتيب دورى واحد كانت هذه المجموعة تكافئ ازدواج معيار عزمه يساوى حاصل ضرب‬ ‫ضعف مساحة سطح المثلث فى مقدار القوة الممثل لوحدة األطوال‪.‬‬

‫البرهان (غير مطلوب من الطالب)‬ ‫ال تا ًّما‪،‬‬ ‫تمثل القطع المستقيمة الموجهة ‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪ ،‬جـ ‪ C‬القوى الثالث تمثي ً‬ ‫واتجاها وخط عمل وبفرض أن م تمثل مقدار القوة لوحدة األطوال‬ ‫مقدارا‬ ‫أى‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫أى م =‬

‫‪1X‬‬

‫‪C‬ب‬

‫=‬

‫‪2X‬‬

‫ب جـ‬

‫=‬

‫‪3X‬‬

‫‪ C‬جـ‬

‫‪C‬‬

‫‪3X‬‬

‫‪1X‬‬

‫ب‬

‫‪ C a‬ب ‪ +‬ب جـ ‪ +‬جـ‪ = C‬و‬

‫جـ‬

‫‪2X‬‬ ‫‪3X-‬‬

‫ ‪ = 3X + 2X + 1X‬و‬

‫` ‪- = 2X + 1X‬‬

‫‪E‬‬

‫‪3X‬‬

‫أى أن محصلة القوتين ‪ 2X ، 1X‬هى قوة (‪ ) 3X -‬وتؤثر فى نقطة ب ‪ -‬لذلك فإن المجموعة تكافئ القوتين‬ ‫ازدواجا‪.‬‬ ‫وتعمل عند جـ ‪ ) 3X -( ،‬وتعمل عند ب‪ ،‬أى أنها تكافئ‬ ‫ً‬ ‫لتعيين معيار عزم هذا االزدواج نرسم عمو ًدا من ب على ‪ C‬جـ فيقطعه فى نقطة ‪.E‬‬

‫معيار عزم االزدواج = || ‪ * || 3X‬ب ‪E‬‬

‫ولكن || ‪ C = || 3X‬جـ * م‬ ‫معيار عزم االزدواج = ‪ C‬جـ * م * ب ‪E‬‬ ‫ = ( ‪ C‬جـ * ب ‪ * ) E‬م = م * ضعف مساحة سطح المثلث ‪ C‬ب جـ‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪87‬‬

‫‪3X‬‬

‫زجاودزالا‬

‫مثال‬ ‫‪ C‬ب جـ مثلث‪ ،‬فيه ‪ C‬ب = ب جـ = ‪ 17‬سم ‪ C ،‬جـ = ‪ 16‬سم أثرت قوى مقاديرها ‪ 320 ، 340 ، 340‬نيوتن فى‬ ‫ازدواجا وأوجد معيار عزمه‪.‬‬ ‫‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪ ،‬جـ ‪ C‬على الترتيب أثبت أن المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬

‫الحل‬

‫‪340 340‬‬ ‫‪20 = 320‬‬ ‫حيث إن ‪16 = 17 = 17‬‬ ‫` مقدار القوة الممثل لوحدة األطوال يساوى ‪ 20‬نيوتن وحيث إن ‪340‬‬ ‫القوى مأخوذة فى ترتيب دورى واحد‬ ‫` المجموعة تكافئ االطوال‬ ‫ب‬ ‫معيار عزم االزدواج = ضعف مساحة ‪ C9‬ب جـ * مقدار القوة الممثل‬ ‫لوحدة األطوال‬ ‫إليجاد مساحة ‪ 9‬نرسم ب ‪ C = E‬جـ فينصفه‬ ‫` ب ‪ 15 = 28 - 217 = E‬سم‬ ‫` معيار عزم االزدواج = ‪ 4800 = 20 * 15 * 16 * 12 * 2‬نيوتن‪ .‬سم‬

‫‪C‬‬

‫‪ 17‬سم‬

‫‪340‬‬

‫‪E‬‬

‫‪ 16‬سم‬

‫‪320‬‬

‫جـ‬

‫‪ 17‬سم‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث قائم الزاوية فى ب فيه ‪ C‬ب = ‪ 30‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪ 40‬سم أثرت قوى مقاديرها ‪ 10 ،8 ،6‬نيوتن فى‬ ‫ازدواجا وأوجد معيار عزمه‪.‬‬ ‫‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪ ،‬جـ ‪ C‬على الترتيب أثبت أن المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬

‫ال تا ًما أضالع مضلع مقفل مأخوذة فى ترتيب‬ ‫تعميم‪ :‬إذا أثرت عدة قوى مستوية فى جسم متماسك ومثلها تمثي ً‬ ‫ازدواجا معيار عزمه يساوى حاصل ضرب ضعف مساحة سطح المضلع‬ ‫دورى واحد‪ ،‬كانت هذه المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬ ‫فى مقدار القوة الممثل لوحدة األطوال‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬شكل رباعى فيه ‪ C‬ب = ‪20 = EC‬سم‪ ،‬ب جـ = جـ ‪ 7 10 = E‬سم ‪ c120 = )C c(X ،‬أثرت قوى ممثلة‬ ‫بالقطع المستقيمة الموجهة ‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪ ،‬جـ ‪ CE ، E‬فإذا كانت المجموعة تؤول إلى ازدواج معيار عزمه‬ ‫جـ‬ ‫‪ 3 180‬نيوتن‪ .‬سم فى االتجاه ‪ C‬ب جـ ‪ E‬أوجد مقدار القوى المؤثرة فى أضالع الشكل‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪88‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪ 7‬سم‬ ‫‪10‬‬

‫‪ a‬القوى تؤثر فى أضالع المضلع ومأخوذة فى ترتيب دورى واحد‬ ‫` معيار االزدواج = ضعف مساحة الشكل * م‬ ‫ب‬ ‫(‪)1‬‬ ‫ضعف مساحة الشكل * م = ‪3 180‬‬ ‫من هندسة الشكل‪ C 9‬ب جـ ‪ E C 9 /‬جـ‬ ‫من قانون جيب التمام فى‪ C 9‬ب جـ‬

‫‪2X‬‬

‫‪10‬‬

‫‪7‬‬

‫سم‬

‫‪20‬‬

‫‪3X‬‬

‫سم‬

‫‪1X‬‬

‫‪c60 c60‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪20‬سم‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪E‬‬

‫زجاودزج زدزالا‬

‫(ب جـ)‪C( = 2‬ب)‪ C( + 2‬جـ)‪C 2 - 2‬ب * ‪ C‬جـ * جتا (ب ‪ C‬جـ)‬ ‫` ( ‪ C( + 220 = 2) 7 10‬جـ)‪ C * 20 * 2 - 2‬جـ * جتا ‪60‬‬ ‫` ‪ C( + 400 = 700‬جـ)‪ C 20 - 2‬جـ‬ ‫` (‪ C‬جـ)‪ C 20 - 2‬جـ ‪ = 300 -‬صفر‬ ‫ومنها ‪ C‬جـ = ‪30‬‬ ‫` (‪ C‬جـ ‪ C( )10 +‬جـ ‪0 = )30 -‬‬ ‫مساحة الشكل ‪ C‬ب جـ ‪ * 2 = E‬مساحة‪ C 9‬ب جـ‬ ‫= ‪ C * 12 * 2‬ب * ‪ C‬جـ * جا ‪60‬‬ ‫= ‪ * 30 * 20‬جا ‪ 3 300 = 60‬سم‪2‬‬ ‫بالتعويض فى (‪)1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫` ‪ * 3 300 * 2‬م = ‪ 3 180‬ومنها م = ‪10‬‬ ‫‪= 1X a‬‬ ‫‪C‬ب‬

‫‪2X‬‬

‫ب جـ‬

‫=‬

‫‪3X‬‬

‫جـ ‪E‬‬

‫‪5 5‬‬

‫= ‪ = 4X‬م‬ ‫‪CE‬‬

‫` ‪3 = 4X = 3X = 2X = 1X‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪7 10‬‬ ‫‪7 10‬‬

‫ومنها ‪ 6 = 1X‬نيوتن ‪ 7 3 = 2X ،‬نيوتن ‪ 7 3 =3X ،‬نيوتن ‪ 6 = 4X ،‬نيوتن‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬شبه منحرف فيه ‪ // E C‬ب جـ ‪ C ،‬ب = ب جـ ‪ C ،‬ب = ‪6‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪9‬سم ‪ 3 = E C ،‬سم‬ ‫ال تا ًّما بالقطع المستقيمة الموجهة ‪ ، CE‬جـ ‪ ، E‬ب جـ ‪،‬‬ ‫أثرت القوى ‪ ، 4X ، 3X ، 2X ، 1X‬ممثلة تمثي ً‬ ‫ازدواجا معيار عزمه ‪ 360‬نيوتن‪ .‬سم فى االتجاه ‪ C‬ب جـ ‪E‬‬ ‫‪ C‬ب على الترتيب‪ ،‬فإذا كانت المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬ ‫فأوجد مقدار كل من ‪4X ، 3X ، 2X ، 1X‬‬

‫قاعدة‬

‫إذا كان مجموع القياسات الجبرية لعزوم مجموعة من القوى المستوية بالنسبة لثالث نقط فى مستواها‬ ‫ازدواجا‬ ‫مقدارا ثابتًا اليساوى الصفر‪ ،‬كانت هذه المجموعة تكافئ‬ ‫ليست على استقامة واحدة يساوى‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫القياس الجبرى لعزمه يساوى هذا المقدار الثابت‪.‬‬

‫البرهان (ال يمتحن فيه الطالب)‬ ‫أى مجموعة من القوى اما أن تؤول إلى قوة واحدة ‪ X‬أو تؤول إلى ازدواج أو تكون متزنة‪.‬‬ ‫واضح أن القوى غير متزنة ألن مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى حول نقطة ما الينعدم ‪ ،‬نفرض أن المجموعة‬ ‫تكافئ قوة واحدة مقدارها ‪ X‬وان النقط الثالث هى ‪ ، C‬ب ‪ ،‬جـ وان ابعادها عن خط عمل القوة هى ل‪ ، 1‬ل‪ ، 2‬ل‪3‬‬ ‫` ‪ * X‬ل‪ * X = 1‬ل‪ * X = 2‬ل‪ = 3‬المقدار الثابت‬ ‫على الترتيب‬ ‫ب‬ ‫وبالقسمة على ‪ X‬حيث ‪! X‬صفر ` ل‪ = 1‬ل‪ = 2‬ل‪3‬‬ ‫أى أن النقط ‪ ، C‬ب‪ ،‬جـ تقع على مستقيم واحد يوازى خط عمل ‪ X‬وهذا يتنافى مع الفرض‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫` مجموعة القوى التكافئ قوة‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ل‪3‬‬ ‫` المجموعة تكافئ ازدواجا القياس الجبرى لعزمه يساوى المقدار الثابت‬ ‫‪X‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪89‬‬

‫زجاودزالا‬

‫مثال‬ ‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬شبه منحرف فيه ‪ // E C‬ب جـ ‪c(X ،‬ب) = ‪ C ،c 90‬ب = ‪ 12‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪ 18‬سم ‪= E C ،‬‬ ‫‪9‬سم‪ ،‬أثرت القوى التى مقاديرها ‪ 13 300 ، 1200 ، 500 ، 600 ، 200‬ث كجم فى ب ‪ ، C‬ب جـ ‪ ،‬جـ ‪E‬‬ ‫ازدواجا وأوجد عزمه‪.‬‬ ‫‪ C ، C E‬جـ على الترتيب أثبت أن المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬

‫الحل‬

‫نحسب مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى بالنسبة لثالث نقط ليست على استقامة واحدة ولتكن ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ‬ ‫ج = ‪ C * 500 - 12 * 600 -‬و‬ ‫‪C‬‬ ‫و‬ ‫حيث ‪ C‬و = ‪ 9‬جا ‪7٫2 = 12 * 9 = i‬‬ ‫‪15‬‬ ‫سم‬ ‫كجم‪.‬‬ ‫ث‬ ‫‪10800‬‬ ‫‬‫=‬ ‫‪7٫2‬‬ ‫`ج = ‪* 500 - 12 * 600 -‬‬ ‫‪ 9‬سم‪1200‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ل‬ ‫هـ‬ ‫ب‬ ‫*‬ ‫‪300‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ل‬ ‫ب‬ ‫*‬ ‫‪500‬‬ ‫‬‫‪12‬‬ ‫*‬ ‫‪1200‬‬‫=‬ ‫ ‬ ‫‪13‬‬ ‫هـ‬ ‫جب‬ ‫‪ 15‬سم‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫سم‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪14٫4 = 12‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪12 1‬‬ ‫حيث ب ل = ‪ 18‬جا‪15 * 18 = i‬‬ ‫‪200‬‬

‫ ‪ ،‬ب هـ = ‪36 = 18 * 12‬‬ ‫‪13 6‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪36‬‬ ‫` جب = ‪* 13 300 + 14٫4 * 500 - 12 * 1200-‬‬ ‫‪13‬‬

‫ب‬

‫‪i‬‬ ‫‪600‬‬

‫‪ 18‬سم‬

‫جـ‬

‫ = ‪ 10800-‬ث كجم‪ .‬سم‬ ‫` ججـ = ‪12 * 1200 - 18 * 200‬‬ ‫ = ‪ 10800 -‬ث كجم‪.‬سم‬ ‫ازدواجا يعمل على الدوران فى اتجاه دوران عقارب الساعة‪ ،‬معيار عزمه ‪ 10800‬ث كجم‪.‬سم‬ ‫` المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬مربع طول ضلعه ‪10‬سم‪ ،‬هـ ∈ جـ ب ‪ ،‬و ∈ جـ ‪ ، E‬بحيث كان جـ هـ = جـ و = ‪ 30‬سم‪ .‬أثرت‬ ‫قوى مقاديرها ‪ 2 ،30 ،20 ،10 ،40‬ث كجم فى ‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪ ،‬جـ ‪ ، C E ، E‬هـ و على الترتيب‪ .‬أثبت أن‬ ‫ازدواجا وأوجد عزمه‪.‬‬ ‫المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬

‫االزدواج المح�سل‬ ‫يعرف مجموع ازدواجين مستويين على أنه االزدواج الذى عزمه يساوى مجموع عزمى هذين االزدواجين‬

‫‪Resultant couple‬‬

‫ازدواجا)‬ ‫ج = ج‪ + 1‬ج‪ 2‬ويسمى مجموع ازدواجين مستويين باالزدواج المحصل ( المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬ ‫‪ 200‬نيوتن ‪ 200‬نيوتن‬

‫مثال‬ ‫فى الشكل المقابل أوجد القياس الجبرى‬ ‫لالزدواج المحصل‬

‫‪ 100‬نيوتن‬ ‫‪ 4‬سم‬ ‫‪ 100‬نيوتن‬

‫‪ 80‬سم‬

‫‪ 500‬نيوتن‬

‫‪90‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪ 150‬سم‬

‫‪ 500‬نيوتن‬

‫كتاب الطالب‬

‫زجاودزج زدزالا‬

‫‪5 5‬‬

‫الحل‬

‫ازدواجا القياس الجبرى لعزمه‬ ‫القوتان ‪ 200 ، 200‬نيوتن تكونان‬ ‫ً‬ ‫ج‪ 160 = 0٫8 * 200 = 1‬نيوتن‪ .‬متر‬ ‫ازدواجا القياس الجبرى لعزمه‬ ‫القوتان ‪ 500 ، 500‬تكونان‬ ‫ً‬ ‫ج‪ 1150- = 2٫3 * 500 - = 2‬نيوتن‪.‬متر‬ ‫ازدواجا القياس الجبرى لعزمه‬ ‫القوتان ‪ 100 ، 100‬تكونان‬ ‫ً‬ ‫ج‪ 4- = 0٫04 * 100- = 3‬نيوتن‪.‬متر‬ ‫االزدواج المحصل =ج‪ + 1‬ج‪ + 2‬ج‪3‬‬ ‫= ‪ 994- = )4-( + )1150- ( + 160‬نيوتن‪.‬متر‬

‫حاول أن تحل‬

‫الشكل المقابل يمثل صفيحة منتظمة على شكل مثلث‬ ‫متساوى األضالع تؤثر عليها القوى كما بالشكل أوجد‬ ‫القياس الجبرى لعزم االزدواج المحصل‪.‬‬

‫‪ 80‬نيوتن‬ ‫‪ 2‬متر‬

‫‪ 100‬نيوتن‬ ‫‪ 2‬متر‬

‫‪ 80‬نيوتن‬

‫‪ 100‬نيوتن‬ ‫‪ 2‬متر‬

‫مثال‬

‫‪ 150‬نيوتن‬

‫‪ C 6‬ب جـ ‪ E‬مربع طول ضلعه ‪10‬سم‪ ،‬أثرت قوتان مقدار كل منهما ‪ 40‬ث كجم فى ‪ ، E C‬جـ ب وقوتان مقدار‬ ‫كل منهما ‪ 70‬ث كجم فى ‪ C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ، E‬أوجد القياس الجبرى لعزم االزدواج المحصل‪.‬‬ ‫الحل‬

‫ازدواجا القياس الجبرى لعزمه‬ ‫القوتان ‪ُ 40 ،40‬تك َِّونان‬ ‫ً‬ ‫‪10‬سم‬ ‫ج‪ 400 = 10 * 40 = 1‬ث كجم‪ .‬سم‬ ‫‪70‬‬ ‫القوتان ‪ُ 70 ، 70‬تك َِّونان ازدواج القياس الجبرى لعزمه‬ ‫ج‪ 700 - = 10 * 70- = 2‬ث كجم‪.‬سم‬ ‫ب‬ ‫االزدواج المحصل = ج‪ + 1‬ج‪ 300 - = )700- ( + 400 = 2‬ث كجم‪.‬سم‬ ‫‪C‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 40‬ث كجم‬

‫‪E‬‬ ‫‪ 70‬ث كجم‬

‫‪ 40‬ث كجم‬

‫جـ‬

‫‪10‬سم‬

‫‪ C 6‬ب جـ ‪ E‬مستطيل‪ ,‬فيه ‪ C‬ب = ‪ 60‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪ 160‬سم ‪ ،‬س ‪ ،‬ص منتصفات ب جـ ‪ E C ،‬على الترتيب‪,‬‬

‫أثرت القوى التى مقاديرها ‪ X , X ، 400 ، 400 ، 200 ، 200‬نيوتن فى االتجاهات ‪ C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ، E‬جـ ب ‪،‬‬ ‫‪ ، E C‬س‪ ، C‬ص جـ ‪ ،‬على الترتيب‪ ,‬إذا كان القياس الجبرى لعزم االزدواج المحصل يساوى ‪ 6400‬نيوتن‪ .‬سم‪.‬‬ ‫أوجد قيمة‪.X :‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪9‬‬

‫زجاودزالا‬

‫تمــــاريــن ‪2 - 5‬‬ ‫ازدواجا وأوجد القياس الجبرى لعزمه‪:‬‬ ‫بين أى نظم القوى اآلتية تكافئ‬ ‫ً‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫‪ 10‬نيوتن‬ ‫‪ 5‬نيوتن‬ ‫أ‬ ‫‪ 2‬متر‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫‪ 10‬نيوتن‬

‫‪ 5‬نيوتن‬

‫د‬

‫‪3‬م‬

‫‪C‬‬

‫جـ‬

‫‪3‬م‬

‫‪C‬‬

‫‪ 15‬نيوتن‬

‫ز‬

‫‪E‬‬ ‫‪ 12‬سم‬

‫‪ 12‬نيوتن‬ ‫‪ 16‬سم‬

‫ب‬

‫‪ 6‬نيوتن‬

‫‪C‬‬

‫نيوتن‬

‫‪C‬‬

‫‪ 3‬ث كجم‬ ‫‪ 5‬نيوتن‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫‪1‬م‬

‫ط‬

‫‪ 5‬نيوتن‬ ‫‪ 5‬نيوتن‬ ‫‪ 10‬سم‬

‫جـ‬

‫‪4‬م‬

‫‪C‬‬

‫‪ 5‬ث كجم‬ ‫‪E‬‬

‫‪ 30‬ث كجم‬

‫و‬

‫ب‬

‫‪ 10‬سم‬

‫‪8‬‬

‫جـ‬

‫ح‬

‫‪8‬‬

‫نيوتن‬

‫‪ 1‬م جـ‬

‫‪2‬م‬

‫‪C‬‬

‫‪3‬م‬

‫ب‬

‫‪ 4‬نيوتن‬ ‫‪ 2‬ث كجم‬

‫‪ 6‬ث كجم‬

‫ه‬

‫ب‬

‫‪ 12‬نيوتن‬

‫‪ 6‬نيوتن‬

‫‪ 10‬نيوتن‬

‫‪ 5‬نيوتن‬

‫‪ 10‬نيوتن‬

‫جـ‬

‫‪2‬م ‪2 E‬م‬

‫‪ 10‬ث كجم‬

‫ب‬

‫‪ 20‬ث كجم‬ ‫‪C‬‬

‫‪ 15‬نيوتن‬

‫ب‬

‫‪c60‬‬

‫‪ 15‬نيوتن‬ ‫‪c60‬‬

‫‪c60‬‬ ‫‪ 15‬نيوتن‬ ‫‪ 10‬سم‬

‫جـ‬

‫‪C‬ب جـ ‪ E‬مربع طول ضلعه ‪ 3‬أمتار تؤثر القوى التى مقاديرها ‪ 2 ،5 ،2 ،5‬نيوتن فى اتجاهات ب ‪ ، C‬ب جـ ‪،‬‬ ‫ازدواجا وأوجد معيار عزم ًها‪.‬‬ ‫‪ E‬جـ ‪ ، C E ،‬على الترتيب‪ .‬بين أن المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬

‫‪C‬ب جـ ‪ E‬مستطيل فيه ‪ C‬ب = ‪6‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪ 8‬سم أثرت قوى مقدار كل منها ‪ 7‬ث‪ .‬كجم فى كل من ‪ C‬ب ‪،‬‬ ‫ازدواجا وأوجد معيار عزمه‪.‬‬ ‫ب جـ ‪ ،‬جـ ‪ C E ، E‬على الترتيب أثبت أن المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬ ‫‪C‬ب جـ ‪ E‬مستطيل فيه ‪ C‬ب = ‪30‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪ 40‬سم أثرت القوى التى مقاديرها ‪ 30 ،15 ،30 ،15‬ث‪.‬جم فى‬ ‫ازدواجا وأوجد عزمه‪ ،‬ثم‬ ‫ب ‪ ، C‬ب جـ ‪ E ،‬جـ ‪ ، ، C E ،‬على الترتيب‪ ،‬أثبت أن هذه المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬ ‫أوجد قوتين تؤثران فى ‪ ، C‬جـ عموديتين على ‪ C‬جـ ‪ ،‬بحيث تتزن المجموعة‪.‬‬

‫‪C‬ب جـ ‪ E‬معين طول ضلعه ‪ 10‬سم‪c(X ،‬ب ‪ C‬جـ) = ‪ c120‬أثرت القوى التى مقاديرها ‪15 ، 20 ، 15 ، 20‬‬ ‫ازدواجا وأوجد معيار‬ ‫ث كجم فى ‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪ ،‬جـ ‪ C E ، E‬على الترتيب‪ ،‬أثبت أن المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬ ‫عزمه‪ .‬ثم أوجد القوتين اللتين تؤثران فى ب‪ E ،‬عموديتين على ب ‪ E‬بحيث تتزن المجموعة‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫زجاودزج زدزالا‬

‫‪ 6‬الشكل المقابل يمثل قنطرة تؤثر عليها القوى الموضحة‬ ‫بالشكل إذا كان القياس الجبرى لعزم االزدواج المحصل‬ ‫يساوى ‪ 3 200 - 200‬نيوتن‪ .‬متر أوجد ‪.X‬‬

‫‪ 2‬متر‬

‫‪X‬‬ ‫‪c30‬‬ ‫‪ 1‬متر‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪5 5‬‬

‫‪ 2‬متر‬ ‫‪ 200‬نيوتن‬ ‫‪4 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪c30‬‬

‫‪4 5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪X‬‬

‫‪ 200‬نيوتن‬

‫‪ C 7‬ب جـ ‪ E‬شبه منحرف متساوى الساقين فيه ‪ // E C‬ب جـ ‪9 = E C ،‬سم ‪ C‬ب = ‪ E‬جـ = ‪15‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪ 33‬سم‬ ‫أثرت القوى ‪ 27 ،45 ، 99 ،45‬فى االتجاهات ‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪ ،‬جـ ‪ C E ، E‬على الترتيب‪ ،‬أثبت أن المجموعة‬ ‫ازدواجا وأوجد معيار عزمه‪.‬‬ ‫تكافئ‬ ‫ً‬ ‫‪ C 8‬ب جـ ‪ E‬هـ و مسدس منتظم طول ضلعه ‪ 15‬سم‪ ،‬أثرت قوى مقاديرها ‪ 30 ،50 ،40 ،30 ،50 ،40‬نيوتن فى ‪ C‬ب‬

‫‪ ،‬جـ ب ‪ ،‬جـ ‪ E ، E‬هـ ‪ ،‬و هـ ‪ ،‬و ‪ C‬على الترتيب‪ .‬عين عزم االزدواج المحصل‪.‬‬

‫‪ C 9‬ب جـ ‪ E‬هـ خماسى منتظم طول ضلعه ‪15‬سم‪ .‬أثرت قوى مقدار كل منها ‪10‬ث كجم فى ‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪،‬‬ ‫ازدواجا وأوجد معيار عزمه‪.‬‬ ‫جـ ‪ E ، E‬هـ ‪ ،‬هـ ‪ C‬على الترتيب أثبت أن المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬

‫‪ C 0‬ب جـ مثلث فيه ‪ C‬ب = ب جـ = ‪6‬سم‪ Cc(X ،‬ب جـ) = ‪ c120‬أثرت قوى مقاديرها ‪ 3 18 ،18 ،18‬فى ‪ C‬ب‬

‫ازدواجا وأوجد معيار عزمه‪.‬‬ ‫‪ ،‬ب جـ ‪ ،‬جـ ‪ C‬على الترتيب‪ ،‬أثبت أن المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬

‫‪C‬ب جـ ‪ E‬مربع طول ضلعه ‪60‬سم أثرت قوى مقاديرها ‪ 50 ،80 ،20 ،10‬نيوتن فى ‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪ ،‬جـ ‪، E‬‬ ‫‪ C E‬على الترتيب واثرت قوتان مقدارهما ‪ 2 20 ، 2 50‬نيوتن فى ‪ C‬جـ ‪ E ،‬ب على الترتيب برهن أن‬ ‫ازدواجا معيار عزمه ‪ 4800‬نيوتن‪.‬سم‬ ‫المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬ ‫‪ 1‬متر ‪ 1‬متر‬

‫فى الشكل المقابل أوجد ‪ X‬التى تجعل القياس الجبرى‬ ‫لعزم االزدواج المحصل يساوى ‪3 500 - 150‬‬

‫‪4 5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪c30‬‬ ‫‪ 250‬نيوتن‬ ‫‪X‬‬

‫‪4 5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪C‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪X‬‬

‫ب‬

‫‪ 2‬متر‬ ‫‪ 250‬نيوتن‬ ‫‪ 2‬متر‬ ‫‪c30‬‬ ‫‪ 2‬متر‬

‫‪9‬‬

‫زجاودزالا‬

‫تعريف االزدواج‪ :‬هو نظام من القوى يتكون من قوتين متساويتين فى المعيار‬ ‫ومتضادتين فى االتجاه وال يجمعهما خط عمل واحد‪.‬‬

‫عزم االزدواج‪ :‬يعرف عزم االزدواج بأنه مجموع عزمى قوتى االزدواج حول أى نقطة فى الفراغ ومعياره يساوى‬ ‫حاصل ضرب معيار إحدى القوتين فى البعد بينهما‪.‬‬ ‫نظرية‪ :‬عزم االزدواج هو متجه ثابت ال يعتمد على النقطة التى ينسب إليها عزمى قوتيه‪.‬‬

‫اتزان ازدواجين‪ :‬يقال الزدواجين إنهما متزنان إذا كان مجموع عزميهما هو المتجه الصفرى‪.‬‬

‫اتزان جسم تحت تأثير عدة ازدواجات إذا أثر على الجسم عدة ازدواجات مستوية متجهات عز‪،‬مها هى ج‪، 1‬‬ ‫ج‪ ، ... ، 2‬جن فإن شرط اتزان الجسم تحت تأثير هذه االزدواجات هو ج‪ + 1‬ج‪ + .. + 2‬جن = و‬

‫تكافؤ ازدواجين‪ :‬يقال الزداوجين مستويين إنهما متكافئان إذا تساوى القياسان الجبريان لمتجهى عزميهما‪.‬‬

‫ازدواجا إذا‬ ‫نظام القوى المستوية التى تكافئ ازدواج‪ :‬يقال لعدة قوى مستوية ‪ 1X .. ، 1X ، 1X‬إنها تكافئ‬ ‫ً‬ ‫تحقق الشرطان اآلتيان م ًعا‪:‬‬ ‫‪ - 1‬محصلة القوى تساوى المتجه الصفرى ( ‪X + .. + 2X + 1X‬ن = و )‬ ‫‪ - 2‬مجموع عزوم القوى حول أى نقطة فى الفراغ ال ينعدم‪.‬‬

‫ال تا ًّما أضالع مثلث‬ ‫قاعدة ‪ :1‬إذا أثرت ثالث قوى مستوية وغير متالقية فى نقطة فى جسم متماسك ومثلها تمثي ً‬ ‫ازدواجا معيار عزمه يساوى حاصل ضرب ضعف‬ ‫مأخوذة فى ترتيب دورى واحد‪ ،‬كانت هذه المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬ ‫مساحة سطح المثلث فى مقدار القوة الممثل لوحدة األطوال‪.‬‬ ‫تعميم‪ :‬إذا أثرت عدة قوى مستوية فى جسم متماسك ومثلها تمثيال تا ًّما أضالع مضلع مقفل مأخوذة فى ترتيب‬ ‫ازدواجا معيار عزمه يساوى حاصل ضرب ضعف مساحة سطح المضلع‬ ‫دورى واحد‪ ،‬كانت هذه المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬ ‫فى مقدار القوة الممثل لوحدة األطوال‪.‬‬

‫قاعدة ‪ :2‬إذا كان مجموع القياسات لعزوم مجموعة من القوى المستوية بالنسبة لثالث نقط فى مستواها ليست‬ ‫ازدواجا القياس الجبرى‬ ‫مقدارا ثاب ًتا ال يساوى الصفر كانت هذه المجموعة تكافئ‬ ‫على استقامة واحدة يساوى‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫لعزمه يساوى هذا المقدار الثابت‪.‬‬ ‫االزدواج المحصل‪ :‬يعرف مجموع ازدواجين مستويين على أنه االزدواج الذى عزمه يساوى مجموع عزمى هذين‬ ‫االزدواجين ( ج = ج‪ + 1‬ج‪) 2‬‬

‫‪9‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫أوجد القياس الجبرى لعزم االزدواج المحصل فى كل من األشكال اآلتية‪:‬‬ ‫ج‬ ‫‪ 50‬نيوتن‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ب ‪ 50‬نيوتن سم‬ ‫‪ 40‬سم‬

‫‪C‬‬

‫‪40‬‬

‫ب‬

‫‪ 6‬نيوتن‬

‫‪c30‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ 50‬نيوتن‬

‫‪C‬‬

‫‪ 4‬نيوتن‬ ‫‪3‬م‬

‫‪2‬م‬

‫ب‬

‫‪ 10‬نيوتن‬

‫‪ 50‬نيوتن‬

‫الشكل المقابل يوضح صفيحة على شكل متوازى أضالع أثر‬ ‫عليها ازدواجان‪ ،‬أوجد‪:‬‬ ‫أ القياس الجبرى لعزم االزدواج المكون من القوتين ‪7 ، 7‬‬ ‫ب القياس الجبرى لعزم االزدواج المكون من القوتين ‪5 ، 5‬‬

‫‪ 7‬نيوتن‬ ‫‪ 5‬نيوتن‬

‫‪ 5‬نيوتن‬

‫‪ 10‬سم‬ ‫‪i‬‬

‫‪ 7‬نيوتن‬ ‫‪ 16‬سم‬

‫نيوتن عندما ‪.c60 = i‬‬ ‫ج إذا كان القياس الجبرى لعزم االزدواج المحصل يساوى ‪ 30‬نيوتن‪.‬سم‬ ‫فما قيمة ‪i‬؟‬ ‫د إذا اتزنت الصفيحة فما قيمة ‪i‬؟‬

‫‪ C‬ب قضيب منتظم طوله ‪20‬سم‪ ،‬يمكنه الدوران فى مستوى رأسى حول مسمار أفقى ثابت يمر بثقب صغير فى‬ ‫القضيب عند نقطة جـ ∈ ‪ C‬ب حيث ‪ C‬جـ = ‪5‬سم‪ ،‬إذا اتزن القضيب فى وضع أفقى تحت تأثير قوتين مقدار‬ ‫كل منها ‪ 50‬نيوتن وتؤثران فى طرفيه ‪ ، C‬ب فى اتجاهين متضادين وتصنعان مع القضيب زاوية قياسها ‪.c30‬‬ ‫أوجد وزن القضيب ومقدار رد فعل المسمار‪.‬‬

‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬مستطيل فيه ‪ C‬ب = ‪30‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪40‬سم أثرت قوى مقاديرها ‪ 5 ،6 ،4 ،2 ،1‬ث‪.‬كجم فى ‪ C‬ب ‪،‬‬ ‫ازدواجا وأوجد معيار عزمه‪.‬‬ ‫ب جـ ‪ ،‬جـ‪ C ، C E ، E‬جـ على الترتيب‪ ،‬برهن أن المجموعة تكافئ‬ ‫ً‬ ‫عين معيار عزم االزدواج المؤثر فى كل من األشكال اآلتية‪:‬‬ ‫‪ 0٫8‬سم‬ ‫ب‬ ‫‪ 200‬نيوتن‬ ‫أ‬ ‫‪ 250‬نيوتن‬

‫‪5 4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 60‬سم‬

‫ب‬

‫‪ 250‬نيوتن‬

‫ج‬ ‫‪ 2‬متر‬

‫‪ 2‬متر‬ ‫‪ 60‬سم‬

‫‪ 400‬نيوتن‬

‫‪C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4 5‬‬

‫‪ 0٫5‬متر‬

‫‪ 300‬نيوتن‬

‫ب‬ ‫‪ 400‬نيوتن‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪9‬‬

‫‪C‬‬

‫زجاودزالا‬

‫‪ 6‬فى الشكل المقابل صفيحة على شكل مثلث قائم‬ ‫الزاوية‪ ،‬تؤثر عليها القوى كما بالشكل أوجد القياس‬ ‫الجبرى لعزم االزدواج المحصل‪.‬‬

‫‪ 700‬نيوتن‬

‫‪ 400‬نيوتن‬

‫‪2‬‬

‫‪ 700‬نيوتن‬

‫متر‬

‫‪ 400‬نيوتن‬

‫‪c30‬‬

‫‪ 300‬نيوتن‬

‫‪ C 7‬ب جـ ‪ E‬مربع طول ضلعه ‪20‬سم‪ ،‬أثرت القوى التى مقاديرها ‪ 5 ،3 ،5 ،3‬ث كجم فى ب‪ ، C‬ب جـ ‪E ،‬جـ ‪،‬‬ ‫‪ C E‬على الترتيب كما أثرت قوتان مقدار كل منها ‪ 2 4‬ث كجم فى النقطتين ‪ ،C‬جـ فى اتجاه ب‪E ، E‬ب‬ ‫على الترتيب أوجد معيار االزدواج المحصل الذى يكافئ المجموعة‪.‬‬ ‫‪ 8‬قوتان ‪ + M 5 - = 2X ، N 3 - M C = 1X‬ب ‪ N‬تؤثران فى النقطتين جـ(‪ ،)1- ،2‬د ( ‪ )2- ،0‬على‬ ‫ازدواجا‪ .‬أوجد قيمة كل من أ‪ ،‬ب ثم أوجد عزم االزدواج وطول البعد العمودى بين القوتين‪.‬‬ ‫الترتيب وتكونان‬ ‫ً‬ ‫‪ 9‬أثرت القوة ‪ N 6 = 1X‬فى نقطة االصل كما أثرت القوة ‪ N 6 - = 2X‬فى النقطة (‪ )0 ،2‬بين أن مجموع‬ ‫عزوم القوى بالنسبة ألى نقطة (س‪ ،‬ص) اليعتمد على س‪ ،‬ص‪.‬‬

‫‪ 0‬أثرت القوى ‪ N 7 + M 3- = 3X ، N 3 - M = 2X ، N 4 - M 2 = 1X‬فى النقط‬ ‫ازدواجا وأوجد‬ ‫‪ ،)1 ،1- ( C‬ب ( ‪ ،)3 ،2-‬جـ ( ‪ )1 ،0‬على الترتيب‪ .‬برهن أن هذه المجموعة من القوى تكافئ‬ ‫ً‬ ‫معيار عزمه‬ ‫نيوتن‬ ‫نيوتن‬ ‫الشكل المقابل يوضح مجموعة من القوى الموثرة على قضيب ‪E C‬‬

‫تكون ازدواج القياس الجبرى لعزمه يساوى ‪ 75-‬نيوتن‪ .‬م‪ .‬أوجد قيمة‬ ‫كل من ‪ ،X‬ك‪.‬‬

‫لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى‬

‫‪96‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪5‬‬

‫‪X‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3‬م‬

‫ب‬ ‫ك نيوتن‬

‫‪ 4‬م جـ‬

‫‪5‬م‬

‫‪E‬‬

‫‪ 15‬نيوتن‬

‫‪www.sec3mathematics.com.eg‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫اختر االج�بة ال�سحيحة من بين االإج�ب�ت‪:‬‬

‫إذا كانت قوتان مقدارهما ‪ 8 ،4‬نيوتن تؤثران فى نقطة وقياس الزاوية بينهما ‪ 120‬فإن مقدار محصلتهما يساوى‪:‬‬ ‫ب ‪4‬‬ ‫أ ‪12‬‬ ‫د ‪3 8-‬‬ ‫ج ‪3 4‬‬

‫إذا كانت قوتان متوازيتان ومتحدتا االتجاه مقدارهما ‪ 7 ،5‬نيوتن تؤثران فى نقطتين ‪ ،C‬ب فإن مقدار محصلتهما‬ ‫يساوى‪:‬‬ ‫ب ‪2‬‬ ‫أ ‪12‬‬ ‫د ‪24‬‬ ‫ج جـ ‪74‬‬ ‫إذا كانت القوة ‪ N 3 - M 2 = X‬تؤثر فى النقطة ‪ )2- ،1( C‬فإن عزم ‪ X‬بالنسبة للنقطة ب ( ‪ )4 ،1-‬يساوى‪:‬‬ ‫د ‪ 22‬ع‬ ‫ج ‪ 22‬ع‬ ‫ب ‪ 6‬ع‬ ‫أ ‪ 6-‬ع‬ ‫إذا كانت القوة ‪ 3 - N 2 + M = X‬ع تؤثر فى النقطة ‪ )3 ،1- ،2( C‬فإن عزم ‪ X‬بالنسبة لنقطة األصل‬ ‫يساوى‪:‬‬ ‫ب ‪ + N2- M-‬ع‬ ‫أ ‪ 5 + N 9 + M 3-‬ع‬ ‫د ‪ + N5- M2‬ع‬ ‫ج ‪5 - N 9 - M3‬ع‬ ‫إذا اتزنت ثالث قوى مستوية ومتساوية فى المقدار ومتالقية في نقطة فإن قياس الزاوية بين أى قوتين فيها‬ ‫يساوى‪:‬‬ ‫‪ X‬نيوتن د ‪c120‬‬ ‫ج ‪c90 -‬‬ ‫ب ‪c 60‬‬ ‫أ ‪c30‬‬

‫اأجب عن اال�سئلة االآتية‪:‬‬

‫منتظما ‪ C‬ب فى حالة اتزان تحت‬ ‫‪ 6‬الشكل المقابل يوضح قضي ًبا‬ ‫ً‬ ‫تأثير القوى الموضحة أوجد ق‪ .‬ك‪.‬‬

‫‪ 50‬سم‬

‫‪ 7‬إذا كانت ‪ = X‬ل ‪ + M‬م ‪ N‬تؤثر فى النقطة أ (‪ )2- ،3‬فإذا كان‬ ‫عزم القوة ‪ X‬بالنسبة لنقطة األصل يساوى ‪ 0‬وبالنسبة للنقطة‬ ‫ب (‪ )2 ،1-‬يساوى ‪ 8-‬ع أوجد قيمة كل من ل‪ ،‬م‪.‬‬

‫ك نيوتن‬

‫‪ 50‬سم‬ ‫‪c30‬‬ ‫‪ 20‬نيوتن‬

‫‪ 8‬إذا كانت القوة ‪ + M = X‬ب ‪ + N‬جـ ع تؤثر فى نقطة ‪ )2 ،1 ،2-( C‬وكانت مركبتا عزم ‪ X‬بالنسبة‬ ‫لمحورى ص‪ ،‬ع هما ‪ 3- ،2‬على الترتيب أوجد قيمة كل من ب‪ ،‬جـ‪.‬‬

‫‪ C 9‬ب جـ مثلث متساوى الساقين فيه ‪(X‬ب) = ‪ C ،c120‬جـ = ‪ 3 12‬سم أثرت قوى مقاديرها ‪ 3 8 ،7 ،6‬نيوتن‬ ‫فى ‪ C‬جـ ‪ ،‬جـ ب ‪ C ،‬ب على الترتيب أوجد مجموع عزوم القوى حول نقطة منتصف ب جـ ‪.‬‬ ‫‪ ،C 0‬ب‪ ،‬جـ ثالث نقط على استقامة واحدة حيث ‪C‬ب = ‪6‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪ 4‬سم‪ ،‬جـ∈ ‪ C‬ب ‪ .‬أثرت قوتان متوازيتان‬ ‫فى النقطتين ‪ ،C‬ب مقدار محصلتهما يساوى ‪ 24‬نيوتن‪ ،‬وتؤثر فى نقطة جـ‪ .‬أوجد مقدار كل من القوتين‪.‬‬ ‫تؤثر القوى المتوازية ‪ 4X ، 3X ، 2X ، 1X‬فى النقطة ‪ ،)1 ،1(C‬ب(‪ ،)1 ،2-‬جـ( ‪ )0 ،2- ( E ،)3 ،3‬على‬ ‫الترتيب‪ .‬فإذا كانت القوى متزنة وكان ‪ 5 2 = || 2X || ، N 2 + M = 1X‬نيوتن فى عكس اتجاه ‪، 1X‬‬ ‫أوجد ًّ‬ ‫كال من ‪4X ، 3X ، 2X‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪97‬‬

‫مركز الثقل‬ ‫‪Center of Gravity‬‬

‫الوحدة‬

‫‪6‬‬

‫مقدمة الوحدة‬

‫بالرغم من اختالف األجسام (التى تتكون من عدد كبير من الجزيئات) من حيث الشكل والمظهر الخارجى وإن كانت متساوية الوزن‪ ،‬فإنها‬ ‫تتأثر بقوة جذب األرض لها والتى يعمل اتجاهها عادة رأسيًّا ألسفل (باتجاه مركز األرض) ‪ ،‬وقد وجد العلماء أن محصلة القوى المؤثرة فى‬ ‫جميع األجزاء التى يتكون منها الجسم تساوى وزن الجسم ‪ ،‬كما وجدوا أن محصلة هذه القوى المؤثرة فى الجسم تتمركز فى نقطة واحدة‬ ‫وعليه يكون مركز ثقل الجسم الجاسىء هو تلك النقطة الثابتة لهذا الجسم والتى تمر بها خط عمل محصلة قوى الجاذبية األرضية لنقط الجسم‬ ‫المذكور عند أى وضع له فى الفراغ‪ ،‬وجدير بالذكر أن مركز الثقل هو نقطة هندسية قد تقع خارج الجسم كما فى حالة الحلقة‪ .‬وأجزائه‬ ‫متمركزة فيها ‪ ،‬وقد أمكن تحديد مركز ثقل بعض األجسام المنتظمة بسهولة حيث ت ُكون هذه النقطة هى موقع مركزها الهندسى (كالصفائح‬ ‫الهندسية المنتظمة واألقراص والكرات وغيرها‪ .)...‬أما بالنسبة لألجسام غير المنتظمة (مثل جسم اإلنسان) فإن طريقة تحديد مركز ثقلها‬ ‫يتم من خالل أسس علمية مختلفة‪ ،‬ومن الجدير بالذكر أنه تم تحديد مركز ثقل جسم اإلنسان باستخدام بعض البرامج الحاسوبية التى تغذى‬ ‫الحاسب بمعلومات عن وزن الجسم ووزن كل جزء من أجزائه وأبعاد مراكز ثقلها فى األنظمة اإلحداثية المتعامدة‪.‬‬ ‫ومن الدراسات التى اهتمت بذلك هى دراسة (براون وفيشر) التى حددت ارتفاع مركز ثقل جسم اإلنسان بـ ‪ % 54.8‬من طوله مقاسا من أسفل‬ ‫القدم ‪ ،‬كما أشار (كروسكى) إلى أن مركز الثقل عند الرجال أعلى منه عند النساء‪ .‬وتظهر أهمية دراسة مركز الثقل فى الحركة الرياضية فى‬ ‫مجال التحليل الحركى (الميكانيكا الحيوية الرياضى ‪ )Biomechanics of sports‬وسوف نتناول ذلك من خالل أنشطة هذه الوحدة‪.‬‬ ‫وفى هذه الوحدة سوف نتعرف مركز ثقل نظام من الجسيمات‪ ،‬وإيجاد مركباته فى األنظمة اإلحداثية المتعامدة مع تعيين مركز ثقل الجسم‬ ‫الجاسئ والصفائح المركبة ‪ ،‬كما سنتناول بعض التطبيقات على مركز الثقل فى مجاالت حياتية مختلفة‪.‬‬

‫أهداف الوحدة‬

‫حرا‪.‬‬ ‫بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن يستنتج مركز ثقل الجسم الجاسئ المعلق تعلي ًقا ًّ‬

‫يكون قاد ًرا على أن‪:‬‬

‫ يستنج مركز ثقل نقطتين ماديتين بينهما مسافة ل‪.‬‬

‫ يتعرف مركز ثقل الجسم الجاسئ‪.‬‬

‫ يتعرف العالقة بين ثقل الجسم ومركز الثقل واالتزان‬ ‫والجاذبية األرضية‪.‬‬ ‫ يتعرف مركز ثقل نظام من الجسيمات‪.‬‬

‫ يتعرف متجه موضع مركز الثقل للجسم الجاسئ بالنسبة‬ ‫لنقطة األصل‪.‬‬ ‫ يستنتج مركبات مركز الثقل فى نظام اإلحداثيات الديكارتية‬ ‫المتعامدة‪.‬‬

‫‪98‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ يستنتج مركز ثقل قضيب رفيع منتظم‪.‬‬

‫ يستنتج مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة على شكل متوازى‬ ‫أضالع‪.‬‬ ‫ يستنتج مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مثلث‪.‬‬

‫ يتعرف طريقة الكتل السالبة لحساب مركز ثقل جسم بعد‬ ‫حذف جزء منه‪.‬‬ ‫ يتعرف مركز ثقل بعض األجسام التى لها خصائص تماثل‪.‬‬ ‫كتاب الطالب‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪ Ñ‬كتلة سالبة‬

‫‪Negative Mass‬‬

‫‪ Ñ‬تماثل‬

‫‪Symmetry‬‬

‫‪ Ñ‬مركز الثقل‬

‫‪Center of Gravity‬‬

‫‪ Ñ‬جسيم نقطة مادية‬

‫‪two-dimensional system‬‬

‫‪ Ñ‬نظام ثنائى األبعاد‬

‫‪Three-dimensional system‬‬

‫‪ Ñ‬نظام ثالثى األبعاد‬ ‫‪ Ñ‬تعليق حر‬

‫‪free suspension‬‬

‫‪Physical point‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫دروس الوحدة‬ ‫(‪ :)1- 6‬مركز الثقل‬

‫‪.‬‬

‫آلة حاسبة علمية‪.‬‬

‫(‪:)2- 6‬طريقة الكتلة السالبة‬

‫مخطط تنظيمى للوحدة‬ ‫مركز الثقل‬

‫التعليق الحر للجسم الجاسئ‬

‫تعريف‬

‫مركز ثقل نقطتين ماديتين‬

‫ثقل الجسم‬

‫مركز الثقل‬

‫مركز ثقل قضيب منتظم‬ ‫مركز ثقل صفيحة على‬

‫متجه الموضع بالنسبة لنقطة األصل‬

‫شكل متوازي أضالع‬ ‫مركز ثقل صفيحة‬

‫المركبات فى األنظمة اإلحداثية‬

‫طريقة الكتلة السالبة‬

‫أشكال هندسية منتظمة‬

‫التماثل‬

‫على شكل مثلث‬

‫مجسمات هندسية منتظمة‬ ‫كرة مصمتة‬

‫سلك منتظم‬

‫صفيحة دائرية‬

‫قشرة أسطوانية‬ ‫أسطوانة قائمة‬ ‫متوازي مستطيالت‬ ‫منشور قائم منتظم‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪99‬‬

‫مركز الثقل‬

‫الوحدة السادسة‬

‫‪1-6‬‬

‫تمهيد‬

‫سوف تتعلم‬

‫ مركز ثقل اجلسم اجلاسئ‬ ‫ ثقل اجلسم ومركز ثقله‬ ‫واجلاذبية األرضية‪.‬‬

‫ مركز ثقل نقطتني ماديتني‪.‬‬

‫ متجه موضع مركز ثقل اجلسم‬ ‫اجلاسئ‪.‬‬

‫ مركز الثقل ىف نظام‬

‫ التعليق احلر للجسم اجلاسئ‪.‬‬ ‫ مركز ثقل قضيب رفيع‬ ‫منتظم‪.‬‬

‫ مركز ثقل صفيحة منتظمة عىل‬ ‫شكل متوازى أضالع‪.‬‬

‫ مركز ثقل صفيحة منتظمة عىل‬ ‫شكل مثلث‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫ مركز الثقل‬ ‫‪Center of Gravity‬‬

‫ جسيم‬

‫‪Particle‬‬ ‫‪Physical point‬‬

‫ نظام ثنائى األبعاد‬

‫‪-‬‬

‫‪two dimensional system‬‬

‫ نظام ثالثى األبعاد‬

‫‪-‬‬

‫‪Three dimensional system‬‬

‫ تعليق حر‬

‫‪free suspension‬‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫ آلة حاسبة علمية‬

‫‪Scientific calculator‬‬

‫‪100‬‬

‫من خالل دراستك السابقة لحركة أو سكون األجسام‬ ‫الحظت أننا لم نعط حجوم أو أبعاد تلك األجسام اهتما ًما‪.‬‬ ‫واكتفينا بتمثيلها فى أغلب األحيان بنقطةأو دائرة صغيرة أو‬ ‫مستطيل على فرض أن القوة المؤثرة فى الجسم تمر بنقطة‬ ‫واحدة تقع فى منتصفه‪.‬‬

‫‪J‬‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫مركز ثقل الج�سم الجا�سئ‪:‬‬

‫اإلحداثيات املتعامدة‪.‬‬

‫ نقطة مادية‬

‫‪Center of Gravity‬‬

‫إذا نظرنا إلى األجسام الكبيرة التى تتحرك بشكل انتقالى فقط لوجدنا أن كل نقطة فيها‬ ‫تتحرك بنفس الشكل تما ًما‪ ،‬وبالتالي فإن اعتبار هذا الجسم مكاف ًئا لنقطة واحدة‬ ‫ممكن فى هذه الحالة‪ .‬إال أنه لو كان لدينا جسم كبير يتحرك عشوائ ًّيا (كانتقال‬ ‫فمثال عند قذف مضرب‬ ‫ودوران) لتحركت كل نقطة منه بشكل مختلف عن غيرها‪ً ،‬‬ ‫تعقيدا من حركة كرة فلزية ويعود‬ ‫كرة فى الهواء‪ ،‬فإن حركته صعو ًدا وهبوطًا أكثر‬ ‫ً‬ ‫ذلك إلى وجود الحركة الدورانية للمضرب أثناء حركته االنتقالية ؛ أي إن كل نقطة فى‬ ‫المضرب لها حركتها المختلفة عن غيرها من النقاط ‪ ،‬وفى الشكل (‪ )2‬سنجد أن هناك‬ ‫نقطة معينة على المضرب تتحرك على المسار المعروف لدينا للجسم المقذوف؛ أي‬ ‫كحركة الكرة الفلزية الصغيرة عند قذفها فى الهواء‪.‬‬ ‫من الواضح أن هذه النقطة تتحرك كما لو أن كتلة المضرب تتركز فى هذه النقطة؛‬ ‫ووزن المضرب يؤثر فقط فى هذه النقطة‪.‬‬ ‫إن هذه النقطة المعينة تسمى مركز الثقل‬ ‫‪ Center of Gravity‬والتي تبدو وكأن كل‬ ‫الجسم متجمع عندها‪ .‬أى أن مركز الثقل‬ ‫هو نقطة افتراضية تعبر عن محصلة أثقال‬ ‫أيضا نقطة‬ ‫عناصر الجسم الجاسئ‪ ،‬وهي ً‬ ‫االتزان‪ ،‬كما نستطيع القول إنها النقطة‬ ‫التى تتوزع حولها ثقل الجسم بالتساوي‬ ‫شكل (‪)2‬‬ ‫من جميع الجهات‪.‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫لقثل زكرم‬

‫‪6 6‬‬

‫تعريف‬

‫مركز ثقل جسم جاسئ هو نقطة ثابتة فى الجسم‪ ،‬يمر بها خط عمل محصلة أوزان الجسيمات التى‬ ‫يتكون منها الجسم ‪ ،‬وال يتغير موضعها بالنسبة للجسم‪ ,‬مهما تغير وضعه بالنسبة لألرض‪.‬‬

‫ثقل الج�سم ومركز ثقله والجاذبية الأر�سية ‪:‬‬ ‫إذا اعتبرنا أن الجسم بوجه عام (غاز ًيا أم ً‬ ‫سائال أم صل ًبا) مجموعة من النقط المادية‪ ،‬فإن تأثير الجاذبية األرضية‬ ‫عليه بقوة وزنه تكون عند كل نقطة من هذه النقاط‪ ،‬وإذا اعتبرنا أن األرض كرة متجانسة‪ ،‬فإن َع ِمل وزن كل نقطة‬ ‫يعمل فى المستقيم الواصل بين هذه النقطة ومركز األرض‪ ،‬ولما كانت األجسام التى تقابلنا فى حياتنا اليومية وتدخل‬ ‫نظرا لبعدها الكبير عن مركز األرض‪ ،‬فإنه يمكن اعتبار خطوط عمل‬ ‫فى نطاق دراستنا صغيرة ًّ‬ ‫جدا بالنسبة لألرض و ً‬ ‫أوزان النقط المادية المكونة لجسم ما متوازية‪ .‬وبذلك يمكن تركيبها فى قوة واحدة تساوى من حيث المقدار‬ ‫مجموع أوزان هذه النقاط وتعمل رأس ًّيا إلى أسفل نحو األرض‪.‬‬ ‫من الطبيعى أن الجاذبية األرضية تؤثر فى جميع أجزاء الجسم ‪ ،‬ولكن عند أخذ العزوم تؤثر قوة الجاذبية األرضية‬ ‫(وزن الجسم) فى نقطة واحدة فيه تسمى بمركز ثقل الجسم‪.‬‬ ‫مركز ثقل نظام من الج�سيمات ‪:‬‬ ‫إذا اعتبرنا ‪ .......، 3C ، 2C ، 1C‬مجموعة من الجسيمات المكونة‬ ‫لجسم جاسئ وأن و‪ ، 1‬و‪ ، 2‬و‪ .......، 3‬هى أوزان هذه الجسيمات‬ ‫على الترتيب وتؤثر رأس ًّيا ألسفل كما فى شكل (‪.)3‬‬ ‫½ محصلة القوتين المتوازيتين و‪ ، 1‬و‪ 2‬المؤثرتين عند‬ ‫‪ 2C ،1C‬على الترتيب وتمر بالنقطة ‪ 1J‬هى (و‪ + 1‬و‪)2‬‬ ‫لذلك فإن ‪ :‬و‪ = 1J 1C * 1‬و‪ 1J 2C * 2‬مهما كان وضع‬ ‫الجسم بالنسبة لألرض وذلك ألن البعد بين النقطتين‬ ‫‪ 2C ، 1C‬ثابت ألن الجسم جاسئ‪ ،‬وبالتالى تظل م‪ 1‬ثابتة‪.‬‬

‫‪Center of gravity of a system of particles‬‬

‫‪C‬‬

‫‪1‬‬

‫و‪1‬‬

‫‪1J‬‬

‫(و‪ + 1‬و‪)2‬‬

‫‪2J‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫و‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3‬‬

‫و‪3‬‬

‫(و‪ + 1‬و ‪ + 2‬و ‪)3‬‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫½ محصلة القوتين المتوازيتين (و‪ + 1‬و‪ ، )2‬و‪ 3‬هى (و‪ + 1‬و‪ + 2‬و‪ )3‬ونفرض أن نقطة تأثيرها هى نقطة ‪ .2J‬لذلك‬ ‫فإن‪ :‬و‪( = 2J 3C × 3‬و‪ + 1‬و‪ 2J 1J × )2‬وتظل المسافة ‪ 1J 3C‬ثابتة‪.‬وبالتالى فإن ‪ 2J‬نقطة ثابتة مهما كان وضع‬ ‫الجسيمات عند النقاط ‪.3C ، 2C ، 1C‬‬ ‫½ بتكرار العمل السابق بالنسبة ألوزان جميع الجسيمات المكونة للجسم ‪ ،‬نحصل على وزن الجسم ‪ ،‬ونجد‬ ‫أنه يساوى مجموع جميع أوزان الجزيئات‪ ،‬ويمر دائما بنقطة ثابتة الوضع‪.‬‬

‫الحظ أن ‪ :‬مركز ثقل الجسم الجاسئ يتغير بتغير شكله ‪ ،‬وذلك لتغير األبعاد بين الجسيمات المكونة له‪.‬‬

‫الج�سم المنتظم الكثافة ‪:‬‬

‫هو الجسم الذى تكون كتلته وحدة األطوال أو المساحات أو الحجوم المأخوذة من أى جزء منه ثابتة‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪101‬‬

‫لقثل زكرم‬ ‫(‪Center of gravity of two points (particles‬‬

‫مركز ثقل نقطتين ماديتين (ج�سيمين( ‪:‬‬ ‫إذا كانت كتلة الجسيمين هما ك‪ ، 1‬ك‪ 2‬فى الموضعين س‪ ، 1‬س‪ 2‬على محور السينات على الترتيب بالنسبة لراصد‬ ‫موجود عند نقطة األصل و كما بالشكل (‪ ، )4‬فإن مركز ثقل هذين الجسيمين بالنسبة للراصد تتحدد بالعالقة ‪:‬‬ ‫س‪= J‬‬

‫ك‪ 1‬س‪ + 1‬ك‪ 2‬س‪2‬‬

‫ك‪1‬‬

‫ك‪2‬‬

‫ك‪ + 1‬ك‪2‬‬

‫س‪2‬‬

‫س‪1‬‬

‫شكل (‪)4‬‬

‫( مجموع عزوم القوى المستوية المتوازية حول نقطة يساوى عزم المحصلة حول نفس النقطة)‬ ‫مثال‬

‫مركز ثقل نقطتني ماديتني‬

‫‪ 1‬جسيمين ماديين كتلة كل منهما ‪ 2‬نيوتن ‪ 4 ،‬نيوتن والمسافة بينهما ‪ 3‬أمتار‪ .‬أوجد مركز ثقل الجسيمين بالنسبة‬ ‫للجسيم ‪ 2‬نيوتن‪.‬‬ ‫الحل‬

‫باعتبار أن الخط الواصل بين الجسيمين يقع على محور السينات وباعتبار أن نقطة األصل تقع عند الجسم ‪ 2‬نيوتن‬ ‫فيكون ‪ :‬س‪ ، 0 = 1‬س‪ ، 3 = 2‬ك‪ ، 2 = 1‬ك‪4 = 2‬‬ ‫باستخدام العالقة ‪ :‬س‪= J‬‬

‫ك‪ 1‬س‪ + 1‬ك‪ 2‬س‪2‬‬ ‫ك‪ + 1‬ك‪2‬‬

‫‪3*4+0*2‬‬ ‫س‪= J‬‬ ‫‪4+2‬‬

‫فإن ‪:‬‬

‫‪2 = 12‬‬ ‫= ‪6‬‬

‫‪4‬نيوتن‬

‫س‪3=2‬‬

‫‪ 2‬نيوتن‬

‫‪ 3‬متر‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫س‪0=1‬‬

‫أى أن ‪ :‬مركز ثقل الجسيمين الماديين يقع على بعد ‪ 2‬متر من الجسم ‪ 2‬نيوتن‪.‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 1‬جسيمين ماديين كتلة كل منهما ‪ 3‬نيوتن ‪ 5 ،‬نيوتن والمسافة بينهما ‪ 8‬أمتار‪ .‬أوجد مركز ثقل الجسيمين بالنسبة‬ ‫للجسيم ‪ 3‬نيوتن‪.‬‬ ‫متجه مو�سع مركز الثقل للج�سم الجا�سئ بالن�سبة لنقطة الأ�سل‬ ‫إذا كانت و‪ ، 1‬و‪ ، 2‬و‪ ، .......، 3‬ون أوزان الجسيمات المكونة للجسم الجاسئ ‪، .......، 3S ، 2S ، 1S ،‬‬ ‫متجهات مواضع هذه الجسيمات منسوبة إلى نقطة األصل‬

‫فإن متجه الموضع ‪ S‬لمركز ثقل الجسم الجاسئ منسو ًبا إلى نقطة األصل يتحدد من العالقة‪:‬‬ ‫‪= JS‬‬

‫و‪+ 1S 1‬و‪+ 2S 2‬و‪ +....+ 3S 3‬ون ‪S‬ن‬

‫و‪ + 1‬و‪ + 2‬و‪ +......+ 3‬ون‬

‫‪)1( ...............‬‬

‫‪S‬ن‬

‫و‪ = 1‬ك‪E 1‬‬ ‫و‪ = 1‬ك‪E 2‬‬ ‫ون = كن‪E‬‬

‫وبكتابة كل من األوزان و‪ ، 1‬و‪ ، 2‬و‪ ، .....، 3‬ون كحاصل ضرب الكتلة المناظرة فى مقدار عجلة الجاذبية األرضية‬ ‫وقسمة كل من البسط والمقام على ‪ E‬نحصل على العالقة‪:‬‬

‫‪102‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫لقثل زكرم‬

‫‪= JS‬‬

‫ك‪+ 1S 1‬ك‪+ 2S 2‬ك‪ +....+ 3S 3‬كن ‪S‬ن‬

‫ك‪ + 1‬ك‪ + 2‬ك‪ +......+ 3‬كن‬

‫‪6 6‬‬

‫‪)2( ...............‬‬

‫ويمكن كتابة العالقات االتجاهية السابقة بداللة المركبات فى اتجاه محورى االحداثيين المتعامدين و س ‪،‬‬ ‫و ص فنحصل على اآلتى ‪:‬‬ ‫س‪= J‬‬

‫ك‪ 1‬س‪ + 1‬ك‪ 2‬س‪ +2‬ك‪ 3‬س‪ + ............ +3‬كن سن‬ ‫ك‪ + 1‬ك‪ + 2‬ك‪ + ............ + 3‬كن‬

‫‪ ،‬ص‪= J‬‬

‫ك‪ 1‬ص‪ + 1‬ك‪ 2‬ص‪ +2‬ك‪ 3‬ص‪ + ............ +3‬كن صن‬

‫مثال‬

‫ك‪ + 1‬ك‪ + 2‬ك‪ + ............ + 3‬كن‬

‫مركز ثقل نظام ثنائى األبعاد‬

‫‪ 2‬فى شكل (‪ : )6‬أوجد موضع مركز ثقل ثالثة أوزان مقاديرها‬ ‫‪ 3 ، 2 ، 1‬نيوتن موضوعة عند رؤوس مثلث متساوى األضالع‬ ‫طول ضلعه ‪ 12‬سم‪.‬‬

‫‪ 2‬نيوتن‬

‫ص‬

‫‪12‬سم‬ ‫س‬

‫‪ 3‬نيوتن‬

‫‪ 1‬نيوتن‬

‫شكل (‪)6‬‬

‫الحل‬

‫يمكن وضع بيانات المسألة فى جدول على النحو التالى على أعتبار المحاور المتعامدة كما بالشكل (‪:)5‬‬ ‫الثقل‬

‫‪ 1‬نيوتن‬

‫‪ 2‬نيوتن‬

‫‪ 3‬نيوتن‬

‫ص‬

‫‪0‬‬

‫‪3 6‬‬

‫‪0‬‬

‫س‬

‫‪ a‬س‪= J‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪12‬‬

‫ك‪ 1‬س‪ + 1‬ك‪ 2‬س‪ +2‬ك‪ 3‬س‪3‬‬ ‫ك‪ + 1‬ك‪ + 2‬ك‪3‬‬

‫` س‪ 8 = 12 * 3 + 6 * 2 + 0*1 = J‬سم‬ ‫‪3+2+1‬‬ ‫ك‪ 1‬ص‪ + 1‬ك‪ 2‬ص‪ +2‬ك‪ 3‬ص‪3‬‬ ‫‪ a‬ص‪= J‬‬ ‫ك‬ ‫‪+‬‬ ‫ك‬ ‫‪+‬‬ ‫ك‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫`ص = ‪0*3+ 3 6*2+0*1‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪3+2+1‬‬ ‫موضع مركز الثقل للمجموعة هو (‪) 3 2 ، 8‬‬

‫=‪ 3 2‬سم‬

‫تفكير ناقد ‪:‬‬

‫هل يتغير موضع مركز الثقل للنظام فى المثال السابق بتغير مواضع المحاور المتعامدة ؟ فسر إجابتك‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪103‬‬

‫لقثل زكرم‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ C 2‬ب جـ مثلث متساوى األضالع‪ ،‬طول ضلعه ‪ 4‬ديسيمترات ‪ ،‬النقط ‪ ، E‬هـ ‪ ،‬و منتصفات أضالعه ب جـ ‪،‬‬ ‫جـ ‪ C ، C‬ب على الترتيب‪ ،‬وضعت األثقال ‪ 6 ، 4 ، 2 ، 3 ، 1 ، 5‬ث كجم عند النقط ‪ ، C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ، E ،‬هـ ‪ ،‬و‪ ،‬على‬ ‫الترتيب‪ .‬أوجد موضع مركز ثقل المجموعة من ب‪.‬‬

‫مالحظة هامة‪ :‬التعليق الحر للج�سم الجا�سئ ‪:‬‬ ‫حرا فإن مركز ثقله يقع على الخط الرأسى المار بنقطة التعليق وذلك‬ ‫إذا علق جسم جاسئ من إحدى نقطه تعلي ًقا ً‬ ‫ب ش‬ ‫ألن الجسم فى هذه الحالة يكون متزنًا تحت تأثير القوتين المبينتين فى الشكل (‪ )6‬وهما ‪:‬‬

‫(‪ )2‬ثقل الجسم رأس ًيا إلى اسفل‬ ‫(‪ )1‬الشد فى الخيط ‪،‬‬ ‫وعلى ذلك فالبد أن تتساوى هاتان القوتان فى المقدار وتتضادا فى االتجاه وتتحدا فى خط العمل ‪.‬‬ ‫لذلك البد وأن يقع مركز ثقل الجسم م على امتداد الخط الرأسى ب ‪C‬‬ ‫مركز ثقل الق�سبان وال�سفائح المنتظمة ‪:‬‬ ‫‪ -1‬مركز ثقل قضيب منتظم الكثافة عند نقطة منتصفة‪.‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪J‬‬

‫و‬ ‫شكل (‪)6‬‬

‫‪ -2‬مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة المحدودة على شكل متوازى األضالع يقع عند مركزها الهندسى‬ ‫(نقطة تقاطع القطرين)‬

‫‪ -3‬مركز ثقل الصفيحة المنتظمة المحدودة بمثلث يقع عند نقطة تالقى متوسطات هذا المثلث‪.‬‬ ‫‪-4‬مركز ثقل صفيحة منتظمة الكثافة محدودة بدائرة يقع فى مركزها‪.‬‬ ‫مثال‬

‫مركز ثقل قضيب منتظم‬

‫حرا ‪ ،‬فإذا كان ب جـ أفق ًّيا‬ ‫ُنى قضيب منتظم ‪ C‬جـ طوله ‪ 2‬ل من نقطة منتصفه ب‪ ،‬ثم ُعلق من الطرف ‪ C‬تعلي ًقا ًّ‬ ‫‪ 3‬ث َ‬ ‫فى وضع االتزان‪ .‬فأثبت أن جتا(‪Cc‬ب جـ) = ‪. 13‬‬ ‫الحل‬

‫نفرض أن وزن القضيب ‪ C‬ب يساوى (و) يؤثر فى نقطة منتصفه ‪ ، 2J‬وزن القضيب ب جـ يساوى (و) ويؤثر فى‬ ‫‪C‬‬ ‫منتصفه ‪1J‬‬ ‫ل‬ ‫‪2‬‬

‫(الحظ أن ‪C :‬ب = ب جـ) ‪ ،‬وأن ‪Cc(X‬ب جـ) = ى‬

‫‪ a‬القضيب متزن وهو معلق من نقطة ‪ C‬فى وضع يكون فيه ب جـ أفق ًّيا‪.‬‬ ‫` مركز الثقل يمر بالخط ‪. E C‬‬ ‫` و × ‪ = E1J‬و * ن ‪E‬‬

‫` ‪ = E1J‬ن‪)1( .......E‬‬

‫جـ‬

‫‪1J‬‬

‫‪2J‬‬

‫‪ E‬ن‬

‫ى‬

‫و ‪2‬و و‬ ‫شكل (‪)7‬‬

‫‪104‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫ل‬ ‫‪2‬‬

‫ب‬

‫لقثل زكرم‬

‫‪6 6‬‬

‫من هندسة الشكل ‪:‬‬ ‫‪ 2J // E C a‬ن ‪ 2J ،‬منتصف ‪ C‬ب ` ن منتصف ب ‪E‬‬ ‫` ‪E‬ن = ب ن‪)2( ......................‬‬

‫ومن (‪)2( ، )1‬‬

‫ل‬ ‫ل‬ ‫` ‪ = E1J‬ن‪ = E‬ب ن = ‪= * 13‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ a‬جتاى = ن ب = ل ÷ ل = ل * ‪1 = 2‬‬ ‫ل ‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب‪6 2J‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 3‬سلك رفيع منتظم السمك والكثافة على شكل شبه منحرف ‪C‬ب جـ ‪ E‬فيه ‪C‬ب = ‪ 15‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪ 12‬سم ‪،‬‬ ‫جـ ‪ 10 = E‬سم ‪Cc(X ،‬ب جـ) = ‪c(X‬ب جـ ‪ .c90 = )E‬أوجد ُبعد مركز ثقل هذا السلك عن الضلعين ‪ C‬ب‬ ‫‪ ،‬ب جـ‬ ‫مثال‬ ‫‪ 4‬صفيحة رقيقة منتظمة على شكل متوازى أضالع ‪C‬ب جـ ‪ E‬فيه ‪C‬ب = ‪ 40‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪ 20‬سم ‪c( X ،‬ب جـ‪)C‬‬ ‫= ‪ُ .c90‬علقت الصفيحة من نقطة (هـ) على جـ ‪ E‬فاتزنت عندما كانت جـ ‪ E‬أفق ًّيا‪ .‬أوجد طول جـ هـ ‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪ a‬الخط الرأسى المار بنقطة التعليق ال بد وأن يمر‬ ‫بمركز ثقل الصفيحة‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫‪J‬‬

‫` هـ م هو الخط الرأسى‬

‫‪C‬‬

‫‪ a‬جـ ‪ E‬أفقى ` ‪ c(X‬م هـ جـ) = ‪.c90‬‬

‫` ‪ J‬جـ = ‪ 3 10‬سم‬

‫` جـ هـ = ‪ J‬جـ جتا ‪c30‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪،‬‬

‫هـ‬

‫جـ‬

‫‪20‬سم‬

‫ب‬

‫‪40‬سم‬ ‫شكل (‪)9‬‬

‫من المثلث ‪ C‬ب جـ نجد أن ‪Cc(X :‬جـ ب) = ‪،c90‬‬ ‫ب جـ = ‪C 12‬ب‬ ‫` ‪ c(X‬جـ ‪ C‬ب) = ‪،c30‬‬

‫ش‬

‫‪C‬جـ = ‪ 3 20‬سم‬

‫‪ c(X a‬م جـ هـ) = ‪c30‬‬ ‫` جـ هـ = ‪* 3 10‬‬

‫‪ 15 = ) 3‬سم‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫حرا من الرأس ‪ C‬وثبت عند الرأس ب ثقل وزنه ‪ 14‬و‪ .‬أثبت أن‬ ‫‪ُ 4‬علقت صفيحة مربعة منتظمة وزنها (و) تعلي ًقا ًّ‬ ‫‪1‬‬ ‫ظل زاوية ميل القطر ‪ C‬جـ على الرأسى فى وضع االتزان يساوى ‪. 5‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪105‬‬

‫لقثل زكرم‬ ‫تفكير ناقد‪:‬‬

‫أثبت أن مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مثلث ينطبق مع مركز ثقل ثالث كتل متساوية موضوعة عند‬ ‫رؤوس المثلث‪.‬‬ ‫مثال‬

‫إيجاد مركز ثقل صفيحة مثلثة‬

‫‪ 5‬صفيحة رقيقة منتظمة كتلتها ‪ 3‬كجم على هيئة المثلث ‪C‬ب جـ الذى فيه ‪C‬ب = ‪C‬جـ ‪،‬ب جـ = طول ارتفاع‬ ‫المثلث = ‪6‬سم‪ .‬ثبتت الكتل ‪ 4 ، 3 ، 2 ، 3‬كجم عند النقط ‪،C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ E ،‬على الترتيب حيث ‪ E‬منتصف ‪ C‬ب ‪.‬‬ ‫حرا فأوجد‬ ‫عين مركز ثقل المجموعة وأثبت أنه يبعد عن جـ مسافة ‪ 4‬سم‪ .‬وإذا ُعلقت الصفيحة من جـ تعلي ًقا ًّ‬ ‫ص‬ ‫فى وضع االتزان قياس زاوية ميل كل من جـ ب ‪ ،‬جـ ‪ C‬على الرأسى‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪4 C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫يمكن و�سع بيانات الم�ساألة فى جدول على النحو التالى‪:‬‬

‫الكتلة‬ ‫�س‬ ‫�س‬

‫عند ‪C‬‬

‫عند ب‬

‫عند جـ‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪JJ‬‬

‫ب‬

‫عند ‪E‬‬

‫‪0‬‬

‫د‬

‫` ‪ J‬جـ =‬

‫‪106‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪4‬‬

‫‪4.5‬‬

‫الخ‬ ‫ط‬ ‫ا‬ ‫لرأ‬ ‫بنق سي‬ ‫ا‬ ‫ل‬ ‫طة الت مار‬ ‫ع‬ ‫ليق‬

‫س‬

‫ص‬

‫شكل (‪)11‬‬

‫` ‪)2.4 ، 3.2( = J‬‬

‫` بعد مركز الثقل م عن جـ وليكن ‪ J‬جـ‬ ‫(‪ 4 = 2)2.4( + 2)3.2‬سم‬

‫جـ‬

‫شكل (‪)10‬‬

‫‪ a‬س‪ 3.2 = 4.5 * 4 + 0 * 4+6 * 3 + 3 * 4 = J‬سم ‪،‬‬ ‫‪4+4+3+4‬‬ ‫‪ a‬ص‪2.4 = 3 * 4 + 0 + 0 + 6 * 4 = J‬سم ‪،‬‬ ‫‪4+4+3+4‬‬

‫‪6‬سم‬

‫باعتبار أن االتجاهين المتعامدين جـ س ‪ ،‬جـ ص وبذلك‬ ‫تكون نقطة جـ هى نقطة األصل‪.‬‬ ‫نوزع كتلة الصفيحة ‪ 3‬كجم عند الرؤوس ‪ ، C‬ب ‪ ،‬جـ‬ ‫إلى ثالث كتل متساوية كتلة كل منهما ‪ 1‬كجم وبذلك‬ ‫تصبح الكتل المثبتة عند ‪ ، C‬ب ‪ ،‬جـ‪ E ،‬هى ‪4 ، 4 ، 3 ، 4‬‬ ‫كجم كما هو موضح بالشكل‪.‬‬ ‫س‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫‪J‬‬ ‫هـ‬

‫ك ن‬

‫شكل (‪)14‬‬

‫ل‬

‫كتاب الطالب‬

‫جـ‬

‫لقثل زكرم‬

‫اإيجاد قيا�س زاوية ميل جـ ‪ C‬على الراأ�سى ‪:‬‬

‫‪6 6‬‬

‫نرسم جـ م فيكون هو الخط الرأسى المار بنقطة التعليق (جـ) وباعتبار أن ل هى‬ ‫قياس زاوية ميل جـ ب على جـ م ‪ ،‬ونرسم م ك = جـ ب ‪.‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫مك‬ ‫=‬ ‫` ظا ل =‬ ‫ك جـ ‪3.2‬‬

‫=‪0.75‬‬

‫اإيجاد قيا�س زاوية ميل جـ ‪ C‬على الراأ�سى‪:‬‬

‫‪C‬ن‬ ‫نحسب قياس زاوية ‪C‬جـ ب ولتكن هـ حيث ظاهـ =‬ ‫ن جـ‬

‫` هـ = ‪c63 /26 // 6‬‬

‫` ل = ‪c36 /52 /12‬‬ ‫= ‪2 = 63‬‬ ‫ص‬

‫` قياس زاوية ميل جـ ‪ C‬على الرأسى جـ ‪ = J‬هـ ‪ -‬ل = ‪c26 /33 // 54= c36 /52 // 12 -c63 /26 // 6‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫جـ‬

‫‪ 5‬فى شكل (‪ )12‬صفيحة رقيقة كتلتها ‪ 300‬جم على شكل مثلث متساوى‬ ‫األضالع ‪ C‬ب جـ‪ ،‬طول ضلعه ‪ 12‬سم ‪ ،‬ألُصقت كتلة ‪ 100‬جم فى الصفيحة‬ ‫عند نقطة تثليث ‪ C‬ب ‪ .‬عين مركز ثقل المجموعة بالنسبة للمحورين‬ ‫المتعامدين ‪ C‬س ‪ C ،‬ص ‪.‬‬ ‫مثال‬

‫س‬

‫ب‬

‫‪100‬‬

‫إيجاد مركز ثقل صفيحة عىل شكل مربع‬

‫‪C‬‬

‫شكل (‪)12‬‬

‫‪ 6‬صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مربع ‪C‬ب جـ ‪ E‬طول ضلعه ل ‪ ،‬فيها هـ ‪ ،‬و منتصفا الضلعين ‪ C‬ب ‪ E C ،‬على‬ ‫الترتيب‪ .‬ثُ َنى المثلث ‪C‬هـ و حول الضلع هـ و بحيث انطبقت ‪ C‬على مركزالمربع ى‪ .‬عين مركز ثقل الصفيحة‬ ‫فى وضعها الجديد‪.‬‬ ‫ص‬ ‫الحل‬

‫باعتبار أن كتلة الصفيحة (‪4‬ك) ‪ ،‬و‪ /‬منتصف الضلع ب جـ فى الوضع‬ ‫الجديد‪.‬‬

‫وباعتبار اأن ال�سفيحة مكونة من ثالثة اأجزاء كالآتى‪:‬‬

‫س‬

‫½ الصفيحة المثلثة (المكونة من طبقتين) و هـ ى كتلتها تساوى‬ ‫ربع كتلة الصفيحة أى (ك) وليكن مركز ثقلها ‪1J‬‬ ‫½ الصفيحة المربعة هـ ب و‬

‫‪/‬‬

‫ى وكتلتها (ك) ‪ ،‬وليكن مركز ثقلها ‪2J‬‬

‫و‬

‫‪C‬‬ ‫هـ‬

‫ز‬

‫‪1J‬‬

‫‪2J‬‬

‫ب‬

‫½ الصفيحة المستطيلة و و‪ /‬جـ ‪ E‬وكتلتها (‪2‬ك) ‪ ،‬وليكن مركز ثقلها ‪.3J‬‬

‫د‬

‫ى‬

‫‪3J‬‬

‫و‬ ‫شكل (‪)13‬‬ ‫‪/‬‬

‫وبالتالى تصبح الصفيحة فى وضعها الجديد تكافئ مجموعة مكونة من ثالث كتل‪ ..‬كتلة (ك) عند ‪ ، 1J‬وأخرى‬ ‫مساوية لها عند ‪ 2J‬وكتلة (‪2‬ك) عند ‪ 3J‬كما هو مبين بشكل (‪.)16‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪107‬‬

‫جـ‬

‫لقثل زكرم‬

‫وباعتبار ى س ‪ ،‬ى ص اتجاهين متعامدين بحيث يمر المحور األول بالنقطة هـ ‪ ،‬والمحور الثانى بالنقطة و كما هو‬ ‫مبين بنفس الشكل نفسه‪ .‬وباعتبار النقطة ز منتصف هـ و فإن‪:‬‬ ‫ز ى = ‪ C 12‬ى = ‪= 12‬‬

‫=‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ل‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪4‬‬

‫(‪C‬‬

‫ل‪2‬‬

‫هـ)‪( + 2‬هـ ى)‪2‬‬

‫=‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫` ى ‪ 23 = 1J‬ز ى = ‪* 23‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫ل‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ل=‬

‫=‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2 2‬‬

‫ل‬

‫‪2 3‬‬

‫ل ل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ل جا ‪، ( = )c45‬‬ ‫ل جتا ‪، c45‬‬ ‫`‪(= J‬‬ ‫‪6 6‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪2 3 1‬‬

‫)‬

‫ل ‪-‬ل‬ ‫ويقع مركز الثقل ‪ 2J‬للصفيحة المربعة هـ ب و‪ /‬ى فى مركز المربع أى أن ‪، ( = J :‬‬ ‫‪4 4 2‬‬ ‫ل‬‫أيضا أى أن ‪( = J :‬‬ ‫ويقع مركز الثقل ‪ 3J‬للصفيحة المستطيلة وو‪ /‬جـ ‪ E‬فى مركزها ً‬ ‫‪4 3‬‬

‫ولإيجاد مركز ثقل ال�سفيحة فى و�سعها الجديد ن�ستخدم المركبات الآتية ‪:‬‬ ‫‪ a‬س‪= J‬‬ ‫`س‪= J‬‬

‫)‬

‫‪)0 ،‬‬

‫ك‪1‬س‪ + 1‬ك‪ 2‬س‪ +2‬ك‪ 3‬س‪ + ......+3‬كنسن‬ ‫ك‪ + 1‬ك‪ + 2‬ك‪ + ......+ 3‬كن‬

‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ك * ‪ + 6‬ك * ‪ 2 +‬ك * (‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫)‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 48‬ل‬ ‫=‪-‬‬

‫ك ‪ +‬ك ‪2 +‬ك‬ ‫ك‪ 1‬ص‪ + 1‬ك‪ 2‬ص‪ +2‬ك‪ 3‬ص‪ +.......+ 3‬كن صن‬ ‫ك‪ + 1‬ك‪ + 2‬ك‪ + ......+ 3‬كن‬

‫‪ a‬ص‪= J‬‬

‫ل‬ ‫ل‬ ‫ك * ‪ +‬ك * (‪ 2 +) -‬ك * صفر‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪ 48 -‬ل‬ ‫` ص‪= J‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫ك ‪ +‬ك ‪2 +‬ك‬

‫حل آخر ‪:‬‬

‫فى شكل (‪ )14‬ومن خالل جدول البيانات تحدد المركبات اآلتية‪:‬‬ ‫ص‬

‫و‬

‫‪C‬‬ ‫هـ‬

‫ب‬

‫‪108‬‬

‫‪4J‬‬

‫‪1J‬‬

‫‪2J‬‬

‫د‬

‫‪1J‬‬

‫‪2J‬‬

‫‪3J‬‬

‫‪4J‬‬

‫الكتلة‬

‫ك‬

‫�س‬

‫ل‬ ‫‪6‬‬

‫ل‬ ‫‪4‬‬

‫‪6‬‬‫‪4‬‬

‫ى‬ ‫‪3J‬‬

‫َو‬

‫شكل (‪)13‬‬

‫�س‬ ‫جـ‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ل‬ ‫‪6‬‬

‫ل‬‫‪4‬‬

‫ل‬‫‪4‬‬ ‫ل‬ ‫‪4‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫لقثل زكرم‬ ‫س‪ = J‬ك *‬ ‫ص‪ = J‬ك *‬

‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل ل‬ ‫‪4 - 4- 4 + 6‬‬

‫‪4‬ك‬

‫ل ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫‪4 + 4- 4 - 6‬‬

‫‪4‬ك‬

‫‪6 6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 48‬ل‬ ‫=‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 48‬ل‬ ‫=‪-‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 6‬صفيحة رقيقة منتظمة الكثافة على شكل مستطيل ‪ C‬ب جـ ‪ E‬فيه ‪ C‬ب = ‪6‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪10‬سم‪ ،‬هـ∈ ‪ E C‬بحيث‬ ‫‪ C‬هـ = ‪6‬سم ‪ ،‬ثنى المثلث ‪ C‬ب هـ حول الضلع ب هـ حتى انطبق ‪ C‬ب على ب جـ تما ًما عين موضع مركز ثقل‬ ‫الصفيحة بعد ثنيها بالنسبة إلى جـ ب‪ ،‬جـ ‪. E‬‬

‫تمــــاريــن ‪1 - 6‬‬

‫ا اً‬ ‫أول ‪� :‬سع عالمة (✓) اأو عالمة (✗) لكل عبارة مما ياأتى‪:‬‬

‫‪ 1‬مركز ثقل الجسم الجاسئ يكون ثاب ًتا وال يقع بالضرورة على أحد جسيمات هذا الجسم‪.‬‬ ‫حرا فإن الخط الرأسى المار بنقطة‬ ‫‪ 2‬إذا ُعلقت صفيحة غير منتظمة ومحدودة بمثلث من أحد رؤوسها تعلي ًقا ًّ‬ ‫التعليق يمر بنقطة تالقى المستقيمات المتوسطة للمثلث‪.‬‬ ‫‪ 3‬إذا ُوضعت ثالث كتل متساوية عند منتصفات أضالع مثلث متساوى األضالع فإن مركز ثقلها يقع على نقطة‬ ‫تقاطع متوسطات المثلث‪.‬‬ ‫‪ 4‬مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة محدودة بمثلث ينطبق مع مركز ثقل ثالث كتل متساوية موضوعة عند رؤوس‬ ‫هذا المثلث‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫ُطريه‪.‬‬ ‫‪ 5‬مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة محدودة بشكل متوازى أضالع يقع عند نقطة تقاطع ق‬ ‫‪ 6‬إذا ُوضعت أربع كتل متساوية عند رؤوس شبه منحرف متساوى الساقين فإن مركز ثقل المجموعة يؤثر عند‬ ‫ِ‬ ‫ُطريه‪.‬‬ ‫نقطة تالقى ق‬ ‫‪ 7‬إذا ُعلق جسم جاسئ تعلي ًقا حرا فإن الخط المستقيم الرأسى المار بمركز ثقل الجسم يمر بنقطة التعليق‪.‬‬ ‫‪ 8‬مركز ثقل نقطتين ماديتين تفصل بينهما مسافة ثابتة يقع على القطعة المستقيمة المرسومة بينهما ويقسم طولها‬ ‫بنسبة تساوى النسبة بين كتلتيهما‪.‬‬ ‫حرا ‪،‬‬ ‫‪ 9‬إذا ُعلقت صفيحة منتظمة السمك والكثافة ومحدودة بمثلث متساوى األضالع من أحد رؤوسها تعلي ًقا ًّ‬ ‫كان الضلع المقابل لهذا الرأس أفق ًّيا‪.‬‬ ‫‪ 10‬إذا وضعت أربع كتل متساوية عند رؤوس متوازى أضالع فإن مركز ثقل المجموعة يؤثر عند نقطة تالقى‬ ‫قطرى متوازى األضالع‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪109‬‬

‫لقثل زكرم‬

‫ثانياًا ‪ :‬اأجب عن الأ�سئلة الآتية‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪13‬‬

‫‪14‬‬

‫أوجد مركز ثقل جسيمين ماديين كتلة كل منهما ‪ 4‬نيوتن ‪ 6 ،‬نيوتن والمسافة بينهما ‪ 5‬متر‪.‬‬ ‫أين يقع مركز ثقل نظام مؤلف من ثالث كتل موزعة على النحو التالى ‪:‬‬ ‫ك‪ 1 = 1‬كجم عند الموضع ‪ ، )0 ، 0( 1J‬ك‪ 1 = 2‬كجم عند الموضع ‪ ، )0 ، 3( 2J‬ك‪ 2 = 3‬كجم عند الموضع‬ ‫‪.)4 ، 3( 3J‬‬ ‫أوجد مركز ثقل التوزيع اآلتى‪:‬‬ ‫ق‪ 3 = 1‬نيوتن عند (‪ ، )1 - ، 4‬ق ‪ 5 = 2‬نيوتن عند (‪، )3 ، 0‬‬ ‫ق ‪ 4 = 3‬نيوتن عند (‪)3 ، 2 -‬‬ ‫عين مركز ثقل كل من المجموعات اآلتية حسب البيانات المعطاة فى الجدول‪:‬‬ ‫ب‬

‫جـ‬

‫الكتلة‬ ‫المو�سع‬

‫ب‬

‫‪12‬سم‬

‫شكل (‪)14‬‬ ‫‪15‬سم‬

‫‪ 20‬جم‬ ‫عند ‪C‬‬

‫د‬

‫‪20‬سم‬

‫شكل (‪)15‬‬

‫‪ 30‬جم‬

‫عند ب‬

‫‪C‬‬

‫‪20‬سم‬ ‫جـ‬

‫‪C‬‬

‫‪ 40‬جم‬

‫‪60‬سم‬

‫عند جـ‬

‫ك‬

‫الكتلة‬ ‫المو�سع‬

‫ك‬

‫عند جـ عند هـ‬

‫عند ‪C‬‬

‫ك‬

‫عند و‬

‫ص‬ ‫و‬

‫جـ‬

‫‪50‬سم‬

‫الكتلة‬ ‫المو�سع‬

‫‪110‬‬

‫هـ‬

‫‪50‬سم‬

‫شكل (‪)16‬‬ ‫س‬

‫ب‬

‫‪50‬سم‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪ 4‬جم‬ ‫عند ‪C‬‬

‫د‬ ‫‪12‬سم‬

‫‪ 5‬جم‬

‫عند ب‬

‫‪C‬‬

‫‪ 3‬جم‬

‫عند جـ‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪50‬سم‬

‫جـ‬

‫شكل (‪)17‬‬

‫الوزن‬ ‫المو�سع‬

‫‪ 8‬ث جم ‪ 3‬ث جم ‪ 2‬ث جم ‪ 2‬ث جم‬ ‫عند ‪C‬‬

‫عند جـ‬

‫عند هـ‬

‫عند و‬

‫كتاب الطالب‬

‫لقثل زكرم‬

‫ص‬

‫‪C‬‬

‫د‬

‫‪10‬سم‬

‫س‬

‫شكل (‪ )18‬س‬

‫ب‬

‫‪ 20‬جم‬

‫الكتلة‬ ‫المو�سع عند ‪C‬‬

‫‪ 30‬جم‬

‫عند ب‬

‫جـ‬

‫‪ 10‬جم‬

‫عند جـ‬

‫ب‬

‫هـ‬ ‫جـ‬

‫‪ 40‬جم‬

‫عند ‪E‬‬

‫‪ 10‬جم‬

‫الكتلة‬ ‫المو�سع عند ‪C‬‬

‫مسدس منتظم‬

‫‪C‬‬

‫و‬

‫‪6 6‬‬

‫د‬

‫شكل (‪)19‬‬

‫‪ 15‬جم‬

‫عند جـ‬

‫‪ 5‬جم‬

‫عند ‪E‬‬

‫‪ 20‬جم‬ ‫عند و‬

‫ثالثا‪ :‬اأجب عن الأ�سئلة التية‬

‫‪C 15‬ب قضيب منتظم ‪،‬طوله ‪ 90‬سم وكتلته ‪ 5‬كجم‪ ،‬جـ ‪ E ،‬نقطتا تثليثه من ناحية الطرف ‪ .C‬وضعت كتل مقاديرها‬ ‫‪ 4 ،3 ، 2 ، 1‬كجم عند النقط ‪ ، C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ E ،‬على الترتيب عين بعد مركز ثقل المجموعة عن الطرف ‪.C‬‬ ‫‪C 16‬ب قضيب غير منتظم طوله ‪ 30‬سم ‪ ،‬وزنه ‪ 500‬ث جم‪ .‬ثُبت ثقالن مقدارهما‪ 200 ، 100‬ث جم من الطرفين‬ ‫‪ ، C‬ب للقضيب على الترتيب فاصبح مركز ثقل المجموعة فى نقطة منتصف القضيب عين موضع مركز ثقل‬ ‫القضيب بالنسبة للطرف ‪.C‬‬ ‫‪C 17‬ب جـ صفيحة على شكل مثلث متساوي األضالع كتلتها ‪ 3‬كجم ‪ J ،‬مركز ثقلها ‪ ،‬وضعت كتل مقاديرها‪2 ، 2‬‬ ‫‪ 11 ،‬كجم عند الرؤوس ‪ ، C‬ب ‪ ،‬جـ على الترتيب‪ .‬برهن أن مركز ثقل المجموعة يقع عند نقطة منتصف م جـ ‪.‬‬ ‫حرا من الرأس ‪ C‬وثبت عند الرأس ب ثقل قدره‬ ‫‪ُ 18‬علقت صفيحة مربعة منتظمة الكثافة وزنها ‪ 40‬ثقل جرام تعلي ًقا ًّ‬ ‫‪ 10‬ثقل جرام‪ .‬أوجد قياس زاوية ميل القطر ‪ C‬جـ على الرأسى فى وضع االتزان‪.‬‬ ‫‪ 19‬شكل (‪C : )24‬ب سلك رفيع منتظم الكثافة ثنى عند ب ‪ ،‬جـ‪ .‬أوجد ُبعد‬ ‫‪C‬‬ ‫مركز الثقل عن كل من ‪ C‬ب ‪ ،‬جـ ب ‪ ،‬ثم أوجد فى وضع االتزان قياس‬ ‫حرا‪.‬‬ ‫زاوية ميل ‪ C‬ب على الرأسى إذا ُعلق السلك من ‪ C‬تعلي ًقا ًّ‬ ‫‪E‬‬ ‫‪12‬سم‬ ‫‪C 20‬ب جـ ‪ E‬مربع طول ضلعه ل رسم على ب جـ ‪ ،‬مثلث متساوى الساقين‬ ‫‪6‬سم‬ ‫ب جـ هـ بحيث يقع الرأس هـ خارج المربع‪ .‬أوجد مركز ثقل الصفيحة‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫منتظمة السمك والكثافة المحدودة بالشكل الناتج عل ًما بأن طول ضلع‬ ‫‪12‬سم‬ ‫شكل (‪)24‬‬ ‫المربع يساوى ضعف طول ارتفاع المثلث‪.‬‬ ‫‪ 21‬تتكون صفيحة منتظمة الكثافة من جزءين ‪ :‬مستطيل ‪C‬ب جـ ‪ E‬فيه ‪C‬ب = ‪ 12‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪ 16‬سم ومثلث‬ ‫متساوى الساقين جـ هـ ‪ E‬فيه ‪E‬هـ = ‪ 10‬سم والرأس هـ خارج المستطيل‪ .‬عين مركز ثقل الصفيحة‪.‬‬ ‫‪C 22‬ب جـ ‪ E‬صفيحة منتظمة السمك والكثافة على شكل مستطيل فيه ‪C‬ب = ‪ 12‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪ 16‬سم ‪ ،‬هـ نقطة‬ ‫ِ‬ ‫ُطريه ‪ C‬جـ ‪ ،‬ب ‪ E‬فصل المثلث ‪C‬هـ ‪ E‬وثبت فوق المثلث ب هـ جـ‪ .‬أوجد مركز ثقل الصفيحة فى هذه‬ ‫تقاطع ق‬ ‫حرا من نقطة جـ ‪ ،‬فأوجد ظل زاوية ميل جـ ب على الرأسى‪.‬‬ ‫الحالة‪ .‬وإذا ُعلقت الصفيحة تعلي ًقا ًّ‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪111‬‬

‫الوحدة السادسة‬

‫‪2-6‬‬

‫‪Negative Mass Method‬‬

‫تمهيد‬

‫سوف تتعلم‬

‫ طريقة الكتلة السالبة‪.‬‬ ‫‪Negative Mass Method‬‬

‫ مركز ثقل بعض األجسام‬ ‫التى هلا خصائص متاثل‪.‬‬ ‫ مركز الثقل ىف جمال‬ ‫امليكانيكا احليوية‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫ كتلة سالبة‬

‫طريقة الكتلة السالبة‬

‫‪Negative Mass‬‬

‫ متاثل‬

‫‪Symmetry‬‬

‫سبق أن علمنا أن مركز ثقل الجسم الجاسئ هو نقطة ثابتة فى الجسم يمر بها خط‬ ‫عمل محصلة أوزان الجسيمات التى يتكون منها هذا الجسم‪ ،‬ثم أوجدنا مركبات‬ ‫مركز الثقل فى نظام ثنائى األبعاد وآخر ثالثى األبعاد فى نظام اإلحداثيات المتعامدة‪،‬‬ ‫حرا يقع على المستقيم الرأسى‬ ‫ثم علمنا بأن مركز ثقل الجسم الجاسئ المعلق تعلي ًقا ًّ‬ ‫المار بنقطة التعليق‪.‬‬ ‫وسوف ندرس فى هذا الدرس طريقة الكتلة السالبة لحساب مركز ثقل جسم بعد‬ ‫انتزاع جزء منه‪ ،‬كما سنتعرف مركز ثقل بعض األجسام التى لها خصائص تماثل‪.‬‬ ‫طريقة الكتلة ال�سالبة‪:‬‬ ‫جسما كتلته ك ومركز ثقله ‪ ، J‬فإذا‬ ‫باعتبار أن‬ ‫ً‬ ‫اقتطعنا منه الجزء األيسر كما فى (شكل ‪)20‬‬ ‫وكان ‪ 1J‬مركز ثقل الجزء المقتطع ‪ 2J ،‬مركز ثقل‬ ‫الجزء األيمن المتبقى ‪ ،‬فإذا كان ‪، 2S ، 1S‬‬ ‫‪ JS‬متجهات موضع ‪ J ، 2J ، 1J‬على الترتيب‬ ‫بالنسبة لنقطة األصل (و) وباعتبار أن كتلة‬ ‫الجسم األصلى (ك) والجزء المقتطع (باعتبار أن‬ ‫كتلته سالبة) هو (‪ -‬ك‪ )1‬فإن كتلة الجزء المتبقى‬ ‫(ك – ك‪)1‬لذلك فإن ‪ JS‬تعطى بالعالقة ‪:‬‬ ‫‪ = S‬ك‪(+ 1S 1‬ك‪ -‬ك‪)1‬‬ ‫‪J‬‬ ‫ك‬

‫‪2S‬‬

‫ك ‪ = JS‬ك‪( + 1S 1‬ك ‪ -‬ك‪)1‬‬ ‫األدوات المستخدمة‬

‫ آلة حاسبة علمية‪.‬‬

‫ برامج رسومية للحاسب‪.‬‬

‫‪112‬‬

‫أى أن ‪( :‬ك ‪ -‬ك‪ = 2S )1‬ك‬ ‫لذلك فإن ‪ = S :‬ك‬ ‫‪2‬‬

‫‪2J‬‬

‫‪2S‬‬

‫‪J‬‬ ‫‪S‬م‬

‫‪1J‬‬ ‫‪1S‬‬

‫و‬

‫شكل (‪)20‬‬

‫وبضرب الطرفين فى ك فإن‪:‬‬

‫‪2S‬‬

‫‪ - JS‬ك‪1S 1‬‬

‫ك ‪ -‬ك‪1‬‬

‫بالتعويض عن ‪ 1S ، JS‬بداللة مركباتها الجبرية فى اتجاه المحاور المتعامدة‬ ‫المتعامدة و س ‪ ،‬و ص ‪ ،‬نحصل على احداثيات الجزء المتبقى وهما ‪:‬‬ ‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�ق�ر ز�� ز��ز� ‬

‫‪6 6‬‬

‫‪ -‬ك‪ 1‬ص‪1‬‬

‫كص‬ ‫كس ‪-‬ك س‬ ‫‪ ، 1 1‬ص‪= 2‬‬ ‫س‪= 2‬‬ ‫ك‬ ‫‬‫ك‬ ‫ك‬ ‫‬‫ك‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حيث ( س ‪ ،‬ص) مركز ثقل الجسم األصلى وكتلته ك ‪( ،‬س‪ ، 1‬ص‪ ) 1‬مركز ثقل الجسم المقتطع وكتلته ك‪1‬‬ ‫وهذه القاعدة تعنى أنه عند إيجاد مركز ثقل الجسم المتبقى ينظر اليه كما لوكان مكونًا من جسمين هما‪:‬‬ ‫(‪ )1‬الجسم األصلى ( ‪)‬‬

‫(‪ )2‬الجسم المتقطع باعتبار كتلته ( ‪ -‬ك‪ )1‬لذلك سميت طريقة الكتلة السالبة‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫ص‬

‫‪ 1‬وضعت أربع كتل متساوية مقدار كل منها ‪ 100‬جرام عند رؤوس المربع ‪C‬ب جـ ‪.E‬‬ ‫أول ‪ :‬عين مركز ثقل المجموعة بالنسبة إلى ‪ C‬ب ‪. E C ،‬‬ ‫جـ‬ ‫ثان ًيا ‪ :‬إذا رفعت الكتلة الموجودة عند الرأس جـ فعين مركز ثقل المجموعة المتبقية‪.‬‬

‫‪E‬‬

‫الحل‬

‫ً‬ ‫أوال ‪ :‬بفرض أن طول ضلع المربع = ل سم وان نقطة هـ هى مركز المربع ‪C‬ب جـ‬ ‫س‬ ‫‪ C ، E‬هى نقطة األصل كما فى شكل (‪.)21‬‬

‫الكتلة‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫‪ a‬س‪= J‬‬

‫عند أ‬ ‫‪100‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫عند ب‬ ‫‪100‬‬ ‫ل‬ ‫‪0‬‬

‫ك‪1‬س‪ + 1‬ك‪ 2‬س‪ +2‬ك‪ 3‬س‪ + 3‬ك‪4‬س‪4‬‬

‫عند جـ‬ ‫‪100‬‬ ‫ل‬ ‫ل‬

‫عند د‬ ‫‪100‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ل‬

‫هـ‬ ‫ب‬

‫شكل (‪)21‬‬

‫ك‪ + 1‬ك‪ + 2‬ك‪ + 3‬ك‪4‬‬

‫‪ * 100 + 0* 100‬ل ‪*100+‬ل‪0*100+‬‬ ‫= ‪2‬ل سم‬ ‫` س‪= J‬‬ ‫‪100+ 100 + 100 + 100‬‬ ‫ك‪ 1‬ص‪ + 1‬ك‪ 2‬ص‪ +2‬ك‪ 3‬ص‪ + 3‬ك‪ 4‬ص‪4‬‬ ‫‪ a‬ص‪= J‬‬ ‫ك‬ ‫‪+‬‬ ‫ك‬ ‫‪+‬‬ ‫ك‬ ‫‪+‬‬ ‫ك‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ * 100+ 0 * 100 + 0* 100‬ل‪*100+‬ل‬ ‫= ‪2‬ل سم‬ ‫` ص‪= J‬‬ ‫‪100+ 100 + 100 + 100‬‬

‫احداثى مركز ثقل المجموعة هى ( ‪2‬ل ‪2 ،‬ل ) أى عند مركز المربع عند نقطة هـ‬ ‫ثان ًيا ‪ :‬بعد رفع الكتلة الموجودة عند جـ أى ‪ 100‬جرام يكون ‪:‬‬ ‫ل ل‬ ‫مركز ثقل المجموعة األصلية ( حيث الكتلة ك = ‪ 400‬جرام) هو نقطة هـ = ( س‪ ،‬ص) = ( ‪) 2 ، 2‬‬ ‫مركز ثقل الكتلة المرفوعة ك‪ 100 = 1‬جرام عند الرأس جـ هى ( ل ‪ ،‬ل)‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪113‬‬

‫‪C‬‬

‫لقثل زكرم‬

‫مركز ثقل الجزء المتبقى ليكن م‪ ( = 2‬س‪ ، 2‬ص‪ ) 2‬يتعين من ‪:‬‬ ‫‪ -‬ك‪ 1‬س‪1‬‬

‫كس‬ ‫س‪= 2‬‬ ‫ك ‪ -‬ك‪1‬‬

‫ل‬ ‫‪* 400‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬

‫‪100 - 400‬‬

‫ل‬ ‫ك ص ‪ -‬ك‪ 1‬ص‪* 400 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫ص‪= 2‬‬

‫ك‬

‫‪ * 100 -‬ل‬

‫‪100 - 400‬‬

‫‪ -‬ك‪1‬‬

‫` مركز ثقل المجموعة المتبقية هو ( ‪3‬ل ‪3 ،‬ل )‬

‫= ‪3‬ل سم‬ ‫= ‪3‬ل سم‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 1‬هل يمكنك حل مثال (‪ )1‬بطرق أخرى عرفتها من الدرس السابق؟ وضح ذلك واكتب هذه الطرق األخرى إن وجدت‪.‬‬ ‫ص‬

‫مثال‬ ‫‪ 2‬فى شكل (‪C : )22‬ب جـ مثلث متساوى األضالع‪،‬‬ ‫طول ضلعه ‪ 20‬سم ‪ E ،‬نقطة تقاطع متوسطاته ‪ ،‬هـ‬ ‫نقطة منتصف ب جـ ‪ ،‬ثبتت كتل مقاديرها ‪، 20 ، 10‬‬ ‫‪ 50 ، 30 ، 30‬جم عند النقط ‪ ، C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ، E ،‬هـ على‬ ‫الترتيب‪ .‬عين مركز ثقل هذه المجموعة‪ .‬وإذا رفعت‬ ‫الكتلة المثبتة عند ب فأين يقع مركز ثقل المجموعة‬ ‫المتبقية بالنسبة للرأس جـ‪.‬‬ ‫س‬

‫‪2‬سم‬

‫‪10 C‬‬

‫‪0‬‬

‫‪30 E‬‬

‫‪20‬‬ ‫ب‬

‫الحل‬

‫هـ ‪50‬‬ ‫شكل (‪)22‬‬

‫تعيين مركز ثقل المجموعة‪:‬‬

‫نأخذ جـ س ‪،‬جـ ص اتجاهين متعامدين باعتبار أن جـ نقطة األصل‪.‬‬ ‫‪ C‬هـ = ‪ 20‬جا ‪E ، 3 10 = c60‬هـ = ‪3 10‬‬ ‫‪3‬‬

‫بتكوين جدول الإحداثيات الآتى‪:‬‬

‫عند جـ‬ ‫الكتلة‬ ‫�س‬ ‫�س‬

‫‪30‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫عند هـ عند ب‬ ‫‪50‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪65 10 * 30 + 10 * 10 + 20 * 20 + 10* 50‬‬ ‫` سم =‬ ‫= ‪7‬‬ ‫‪30+ 10 + 20 + 50 + 30‬‬

‫صم =‬

‫‪3 10 * 30 + 3 10 *10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪30 + 10 + 20 + 50 + 30‬‬

‫عند ‪C‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪3 10‬‬

‫عند ‪E‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪3 10‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪3 10‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪ ) 3 10 ، 65‬من نقطة جـ‪.‬‬ ‫أى أن احداثيى مركز الثقل هما ( ‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪114‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪30‬‬ ‫جـ‬

‫�ق�ر ز�� ز��ز� ‬

‫عند رفع الكتلة الموجودة عند ب ‪:‬‬ ‫` س‪= J‬‬ ‫ص‪= J‬‬

‫ك س‪ - J‬ك‪ 1‬س‪1‬‬ ‫ك ‪ -‬ك‪1‬‬

‫ك ص‪ - J‬ك‪ 1‬ص‪1‬‬ ‫ك ‪ -‬ك‪1‬‬

‫=‬

‫‪20* 20 - 65‬‬ ‫‪7 *140‬‬ ‫‪20 - 140‬‬

‫‪0* 20 - 3 10 *140‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪20 - 140‬‬

‫‪6 6‬‬

‫‪15‬‬ ‫= ‪2‬‬ ‫=‪3 5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪) 3 5 ، 15‬‬ ‫` مركز الثقل الجديد بعد رفع الكتلة ‪ 20‬عند ب هو ( ‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫ِ‬ ‫ُطريه وطول ضلع‬ ‫‪ 2‬وضعت ‪ 5‬كتل متساوية عند الرؤوس ‪ ، C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ، E ،‬هـ لمربع ‪C‬ب جـ ‪ E‬حيث هـ ملتقى ق‬ ‫ثقل المجموعة‬ ‫المربع ‪ 12‬سم‪ .‬عين مركز ثقل المجموعة‪ ،‬وإذا ُرفعت الكتلة الموجودة عند ب فعين مركز َ‬ ‫المتبقية بالنسبة للمحورين ‪ C‬ب ‪. E C ،‬‬ ‫مركز ثقل بع�ص الأج�سام التى لها خ�سائ�ص تماثل‬

‫‪Center of gravity of some symmetric bodies‬‬

‫تماثل صفيحة هندسية رقيقة منتظمة الكثافة باعتبار ‪ C‬ب محور تماثل للصفيحة‬ ‫قسم الصفيحة إلى جزأين متماثلين تما ًما من حيث الشكل‬ ‫المنتظمة لذا فهو ُي ِّ‬ ‫وبالتالى من حيث الكتلة كما فى شكل (‪.)23‬‬

‫وباعتبار أن ‪ 2J ، 1J‬مركزى ثقل هذين الجزأين فمن الواضح أن محور التماثل‬ ‫يقطع القطعة ‪ 2J1J‬على التعامد من منتصفها‪.‬‬ ‫وحيث أن مركز ثقل الصفيحة هو نفسه مركز ثقل كتلتين متساويتين موضوعتين‬ ‫عند ‪ ، 2J ، 1J‬فإنه يقع عند نقطة منتصف ‪ ، 2J1J‬أى على محور التماثل‪.‬من ذلك‬ ‫نستطيع أن نستنتج اآلتى‪:‬‬

‫إذا وجد محور تماثل هندسى لصفيحة رقيقة منتظمة الكثافة‪ ،‬فإن‬ ‫مركز ثقلها يقع على هذا المحور‪.‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪1J‬‬

‫‪2J‬‬

‫ب‬ ‫شكل (‪)23‬‬

‫‪1J‬‬

‫بع�س المج�سمات الهند�سية المنتظمة الكثافة‬ ‫تماثل المجسمات الهندسية يماثل تما ًما تماثل األشكال الهندسية بعد االستعاضة‬ ‫عن محور التماثل بمستوى التماثل‪ ،‬وشكل (‪ )24‬يوضح ذلك‪.‬‬ ‫لذلك نستطيع أن نستنتج أنه‪:‬‬

‫‪2J‬‬

‫شكل (‪)24‬‬

‫إذا ُوجد مستوى تماثل هندسى لمجسم منتظم الكثافة‪ ،‬وقع مركز ثقله فى هذا المستوى‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪115‬‬

‫لقثل زكرم‬

‫من التماثل السابق للشكل الهندسى المنتظم والمجسم الهندسى المنتظم يمكننا تحديد بعض الحاالت الخاصة‬ ‫لمركز الثقل على النحو التالى ‪:‬‬ ‫‪ - 1‬مركز ثقل سلك منتظم الكثافة على هيئة دائرة يقع فى مركز الدائرة‪.‬‬

‫‪ - 2‬مركز ثقل صفيحة منتظمة الكثافة على شكل دائرة يقع فى مركز الدائرة‪.‬‬ ‫‪- 3‬مركز ثقل قشرة كروية منتظمة الكثافة يقع فى مركز الكرة‪.‬‬ ‫‪- 4‬مركز ثقل كرة مصمتة منتظمة الكثافة يقع فى مركز الكرة‪.‬‬

‫‪- 5‬مركز ثقل مجسم منتظم الكثافة على هيئة متوازى مستطيالت يقع فى مركزه الهندسى‪.‬‬

‫‪- 6‬مركز ثقل قشرة أسطوانية دائرية قائمة منتظمة الكثافة‪ ،‬يقع عند نقطة منتصف محورها‪.‬‬

‫‪- 7‬مركز ثقل أسطوانة دائرية قائمة مصمتة منتظمة الكثافة يقع عند نقطة منتصف محورها‪.‬‬

‫‪ - 8‬مركز ثقل منشور قائم منتظم يقع عند نقطة منتصف المحور الموازى ألحرفه الجانبية والمار بمركزى ثقل‬ ‫قاعدتيه‪ ،‬باعتبارهما صفيحتين رقيقتين منتظمتى الكثافة‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 3‬لوح رقيق دائرى منتظم مساحته ‪ 200‬سم‪ , 2‬ثُقب ثق ًبا دائر ًّيا مساحته ‪ 40‬سم‪ ، 2‬فإذا كان ُبعد مركز الثقب عن‬ ‫مركز اللوح ‪ 4‬سم‪ .‬عين مركز ثقل الجزء المتبقى من اللوح‪.‬‬ ‫الحل‬

‫الكتلة‬

‫بعد مركز الثقل عن هـ‬

‫ ‪ 15‬ك‬‫‪ 45‬ك‬

‫‪4‬‬

‫ك‬

‫اللوح‬ ‫الثقب‬ ‫الجزء المتبقي‬

‫بفرض أن كتلة اللوح ك‬ ‫‪ a‬مساحة اللوح = ‪ 200‬سم‪ ، 2‬مساحة سطح الثقب = ‪ 40‬سم‪.2‬‬ ‫` كتلة الثقب = ‪ 15 -‬ك‪.‬‬ ‫` س ‪=2‬‬

‫ك س‪ – J‬ك‪ 1‬س‪1‬‬ ‫ك ‪ -‬ك‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫= ك * ‪ 5 - 0‬ك *‪ 4 - = 4‬ك‬ ‫‪5‬ك‪-‬ك‬ ‫ك ‪ 15 -‬ك‬

‫=‪1-‬‬

‫` مركز ثقل الجزء الباقى يبعد عن هـ بمقدار ‪ 1‬سم فى اتجاه و هـ ‪.‬‬

‫‪116‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪0‬‬

‫س‬

‫و‬

‫‪4‬سم‬

‫هـ‬

‫شكل (‪)25‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫�ق�ر ز�� ز��ز� ‬

‫‪6 6‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 3‬صفيحة رقيقة منتظمة السمك والكثافة على شكل قرص دائرى مركزه نقطة األصل وطول نصف قطره ‪6‬‬ ‫وحدات طول ‪ ،‬قُطع منه قرصان دائريان مركز أحدهما (‪ )3- ، 1-‬وطول نصف قطره وحدة طول واحدة ومركز‬ ‫اآلخر (‪ )2 ، 1‬وطول نصف قطره ‪ 3‬وحدات طول‪ .‬أوجد مركز ثقل الجزء الباقى من القرص األصلى‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 4‬صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مستطيل ‪C‬ب جـ ‪ E‬الذى فيه ‪C‬ب = ‪ 30‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪ 80‬سم ‪ ،‬قُطع منها المثلث‬ ‫حرا من الرأس جـ‪ .‬عين قياس زاوية ميل الضلع‬ ‫‪C‬ب هـ حيث هـ منتصف ‪ ، E C‬ثم علق الجزء الباقى تعلي ًقا ًّ‬ ‫جـ ب على الرأسى فى وضع االتزان‪ .‬وإذا كانت كتلة الصفيحة هى ك فما الكتلة التى يجب وضعها عند الرأس‬ ‫‪ E‬حتى يميل ب جـ بزاوية ‪ c45‬مع الرأسى فى وضع التوازن؟‬ ‫الحل‬

‫ا اً‬ ‫أول ‪ :‬اإيجاد قيا�س زاوية ميل ال�سلع جـ ب على الراأ�سى‪:‬‬

‫` كتلة المستطيل ‪C‬ب جـ ‪ = E‬ك‪ ،‬كتلة ‪C 9‬ب هـ = ‪ 14 -‬ك‬

‫نن�سئ جدول الإحداثيات كالآتى‪:‬‬ ‫الكتلة‬

‫الم�ستطيل‬

‫المثلث‬

‫ك‬

‫‪ 14 -‬ك‬

‫�س‬ ‫�س‬

‫‪40‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪3‬‬

‫ب‬

‫شكل (‪)26‬‬

‫ك * ‪ 1 - 40‬ك* ‪200‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫` س‪= J‬‬ ‫ك ‪ 14 -‬ك‬

‫‪200 = 40 + 80 + 80‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪30+ 30 + 0‬‬

‫س‬

‫= ‪20‬‬

‫ظا ى = ص = ‪3 = 280 ÷ 40‬‬ ‫س ‪7 9 3‬‬

‫د‬ ‫‪30‬سم‬

‫‪1‬‬ ‫مساحة سطح المثلث ‪C‬ب هـ = ‪1 = 40 * 30* 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪80 * 30‬‬ ‫مساحة سطح المربع ‪C‬ب جـ ‪E‬‬

‫الرأس ‪C‬‬ ‫ي‬

‫‪40‬سم‬

‫هـ‬

‫‪40‬سم‬

‫ى‬

‫جـ‬

‫= ‪280‬‬ ‫‪9‬‬

‫ك‬ ‫ك * ‪40 20* 4 - 15‬‬ ‫ص‪= J‬‬ ‫= ‪3‬‬ ‫ك ‪ 14 -‬ك‬

‫` ‪c( X‬ى) = ‪c23 /12‬‬

‫ثانياًا ‪ :‬عند تعليق ثقل مقداره و عند ‪ E‬حتى ي�سبح ميل ب جـ على الراأ�سى بزاوية ‪ c45‬فى و�سع التوازن‪.‬‬ ‫ص‬ ‫‪ a‬ظاى =‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫`‪=1‬‬ ‫س‬

‫ص‬ ‫` ظا ‪= c45‬‬ ‫س‬

‫`ص=س‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪117‬‬

‫لقثل زكرم‬

‫الم�ستطيل‬ ‫الكتلة‬

‫ك‬

‫�س‬

‫‪15‬‬

‫�س‬

‫‪40‬‬

‫المثلث‬

‫الثقل عند و‬

‫‪ 14 -‬ك‬

‫و‬

‫‪20‬‬

‫‪30‬‬

‫‪200‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ a‬س‪ = J‬ص‬

‫‪J‬‬

‫‪ 200‬ك‬ ‫` ‪40‬ك‪12 -‬‬ ‫=‬ ‫‪ 34‬ك ‪ +‬و‬ ‫‪ 40‬ك = ‪ 30‬و‬ ‫` ‪3‬‬

‫‪15‬ك‪ 5-‬ك ‪30+‬و‬ ‫‪ 34‬ك ‪ +‬و‬

‫` و = ‪ 49‬ك‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 4‬صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مستطيل ‪ C‬ب جـ ‪ E‬الذى فيه ‪C‬ب = ‪ 6‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪ 8‬سم ‪ ،‬قُطعت منها قطعة‬ ‫مربعة الشكل من الرأس ب طول ضلعها ‪ 4‬سم ‪ ،‬أوجد ُبعد مركز ثقل الجزء الباقى عن كل من جـ ‪ ، E‬جـ ب‬ ‫حرا من الرأس جـ فأوجد فى وضع التوازن ظل زاوية ميل جـ ب على الرأسى‪.‬‬ ‫ثم إذا ُعلق الجزء الباقى تعلي ًقا ًّ‬

‫‪118‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�ق�ر ز�� ز��ز� ‬

‫‪6 6‬‬

‫تمــــاريــن ‪2 - 6‬‬

‫ا اً‬ ‫أول ‪ :‬اأكمل ما ياأتى‪:‬‬ ‫‪ 1‬تسمى النقطة الثابتة فى الجسم التى يمر بها خط عمل محصلة أوزان الجسيمات التى يتكون منها الجسم ‪ ,‬مهما‬ ‫تغير وضعه بالنسبة لألرض بـ ‪.............................................‬‬ ‫حرا على الخط المستقيم الرأسى المار بـ‬ ‫‪ 2‬يقع مركز ثقل الجسم الجاسئ المعلق تعلي ًقا ًّ‬ ‫‪ 3‬مركز ثقل قضيب رفيع منتظم الكثافة يقع عند‬

‫‪.............................................‬‬

‫‪ 4‬مركز ثقل الصفيحة المنتظمة المحدودة بشكل متوازى األضالع يقع عند‬ ‫‪ 5‬مركز ثقل الصفيحة المنتظمة المحدودة بمثلث يقع عند نقطة تالقى‬

‫‪.............................................‬‬

‫‪ 6‬إذا ُوجد محور تماثل هندسى لصفيحة رقيقة منتظمة الكثافة ‪ ،‬فإن مركز ثقلها يقع على‬ ‫‪ 7‬إذا ُوجد مستوى تماثل هندسى لمجسم منتظم الكثافة ‪ ،‬وقع مركز ثقله فى‬ ‫‪ 8‬مركز ثقل صفيحة منتظمة الكثافة محدودة بدائرة يقع فى‬ ‫‪ 9‬مركز ثقل كرة مصمتة منتظمة الكثافة يقع فى‬

‫‪.............................................‬‬

‫‪ 10‬مركز ثقل مجسم منتظم الكثافة على هيئة متوازى مستطيالت يقع فى‬

‫‪.............................................‬‬

‫‪ 11‬مركز ثقل قشرة أسطوانية دائرية قائمة منتظمة الكثافة ‪ ،‬يقع عند نقطة‬

‫‪.............................................‬‬

‫ثانياًا ‪ :‬اأجب عن الأ�سئلة الآتية‪:‬‬ ‫‪ 12‬وضعت ‪ 4‬كتل متساوية عند الرؤوس ‪ ، C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ E ،‬لمربع طول ضلعه ‪ 80‬سم ثم أضيفت كتلة خامسة مساوية‬ ‫لها عند مركزه‪ .‬عين مركز ثقل المجموعة ‪ ،‬وإذا رفعت الكتلة الموجودة عند ‪ C‬عين مركز ثقل المجموعة‬ ‫باستخدام طريقة الكتلة السالبة‪.‬‬ ‫‪ 13‬صفيحة رقيقة منتظمة على شكل قرص دائرى طول نصف قطره ‪ 30‬سم‪ .‬اقتطع منها جزء على شكل قرص‬ ‫دائرى طول نصف قطره ‪ 10‬سم ويبعد مركزه عن مركز الصفيحة ‪ 20‬سم‪ .‬أوجد مركز ثقل الجزء المتبقى‪.‬‬ ‫‪ C 14‬ب جـ مثلث متساوى األضالع‪ ،‬طول ضلعه ‪ 12‬سم ‪ J ،‬مركز ثقله‪ .‬اقتطع منه المثلث م ب جـ‪ .‬عين مركز ثقل‬ ‫الجزء المتبقى‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪119‬‬

‫لقثل زكرم‬

‫‪ 15‬صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مثلث متساوى الساقين ‪ C‬ب جـ فيه ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ ‪ E C ،‬هو ارتفاع المثلث وطوله‬ ‫‪ 45‬سم‪ُ .‬رسم مستقيم ٍ‬ ‫مواز للقاعدة ب جـ ويمر بمركز ثقل الصفيحة فقطع ‪ C‬ب ‪ C ،‬جـ فى النقطتين هـ ‪ ،‬و على‬ ‫الترتيب‪ .‬أثبت أن مركز ثقل الشكل الرباعى هـ ب جـ و يقع على ‪ E C‬ويبعد ‪ 7‬سم عن نقطة ‪.E‬‬ ‫‪ 16‬سلك منتظم طوله ‪ 100‬سم ثنى على هيئة خمسة أضالع من مسدس منتظم ‪C‬ب جـ ‪ E‬هـ و‪ .‬عين بعد مركز ثقله‬ ‫حرا من طرفه ‪ ، C‬فعين قياس زاوية ميل ‪ C‬ب على الرأسى فى وضع‬ ‫عن مركز المسدس‪ .‬وإذا ُعلق السلك تعلي ًقا ًّ‬ ‫االتزان‪.‬‬ ‫‪ 17‬صفيحة رقيقة منتظمة محدودة بالمستطيل‪ C‬ب جـ ‪E‬حيث ‪C‬ب = ‪ 30‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪ 60‬سم ‪ ،‬هـ منتصف ‪، E C‬‬ ‫حرا من النقطة ب فأوجد‬ ‫ن منتصف ‪ E‬جـ ‪ ،‬فإذا فُصل المثلث هـ ‪ E‬ن من الصفيحة و ُعلق الجزء الباقى تعلي ًقا ًّ‬ ‫فى وضع التوازن ظل الزاوية التى يصنعها ب جـ مع الرأسى‪.‬‬ ‫تقاطع قُطراه فى ‪ J‬ونصفت ‪E‬م‬ ‫‪ 18‬صفيحة رقيقة منتظمة الكثافة على شكل مربع ‪C‬ب جـ ‪ E‬طول ضلعه ‪ 36‬سم‪،‬‬ ‫َ‬

‫فى نقطة هـ وفُصل منها المثلث هـ ‪ .E C‬عين مركز ثقل الجزء الباقى من الصفيحة‪ .‬وإذا ُعلقت الصفيحة تعلي ًقا‬ ‫خالصا من نقطة ‪ C‬حتى اتزنت فى مستوى رأسى فأوجد ميل ‪ C‬ب على الرأسى‪.‬‬ ‫ً‬

‫‪ 19‬صفيحة منتظمة على شكل مربع ‪C‬ب جـ ‪ E‬طول ضلعه ‪ 8‬سم ‪ ،‬فصل منها قرص دائرى طول نصف قطره ‪ 2‬سم‬ ‫ويبعد مركزه ‪ 3‬سم عن كل من ‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪ .‬عين بعد مركز ثقل الجزء الباقى عن كل من ‪E‬جـ ‪. E C ،‬‬

‫‪ 20‬صفيحة رقيقة منتظمة محدودة بالمربع ‪ C‬ب جـ ‪ E‬الذى طول ضلعه ‪ 40‬سم ‪ ،‬ثقبت ثقباً دائريا مساحته ‪100‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حرا من‬ ‫سم ومركزه عند نقطة على القطر ب ‪ E‬وتقسمه من الداخل بنسبة ‪ 4 : 1‬من ناحية ب ‪ ،‬ثم ُعلقت تعلي ًقا ًّ‬ ‫الرأس ‪ .C‬عين قياس زاوية ميل الضلع ‪ C‬ب على الراسى فى وضع االتزان‪.‬‬

‫‪120‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫ُم َّ‬ ‫�ص ال َو ْحدَ ة‬ ‫لخ ُ‬ ‫‪ )1‬مركز ثقل جسم جاسئ ‪ :‬هو نقطة ثابتة فى الجسم يمر بها خط عمل محصلة أوزان الجسيمات التى يتكون منها‬ ‫الجسم ‪ ،‬وال يتغير موضعها بالنسبة للجسم ‪ ,‬مهما تغير وضعه بالنسبة لألرض‪.‬‬ ‫‪ )2‬مالحظات على مركز الثقل ‪:‬‬

‫مركز ثقل الجسم الجاسئ يتغير بتغير شكله ‪ ،‬وذلك لتغير األبعاد بين الجسيمات المكونه له‪.‬‬ ‫الجسم المنتظم الكثافة ‪ :‬هو الجسم الذى تكون كتلة وحدة األطوال أو المساحات أو الحجوم المأخوذة من‬ ‫أى جزء منه ثابتة‪.‬‬

‫‪ )3‬متجه موضع مركز الثقل للجسم الجاسئ بالنسبة لنقطة األصل‪:‬‬

‫إذا كانت ك‪ ، 1‬ك‪ ، 2‬ك‪ .......، 3‬كتل الجسيمات المكونة للجسم الجاسئ ‪، .......، 3S ، 2S ، 1S ،‬‬ ‫متجهات مواضع هذه الجسيمات منسوبة إلى نقطة األصل‪ ،‬فإن متجه الموضع ‪S‬م لمركز ثقل الجسم الجاسئ‬ ‫منسو ًبا إلى نقطة األصل يتحدد من العالقة‪:‬‬ ‫‪S‬ن‬

‫‪= JS‬‬

‫و‪+ 1S 1‬و‪+ 2S 2‬و‪ +....+ 3S 3‬ون ‪S‬ن‬

‫و‪ + 1‬و‪ + 2‬و‪ +......+ 3‬ون‬

‫ويُعبر عنها بدللة مركبات مركز الثقل فى نظام الإحداثيات الديكارتية المتعامدة كالآتى‪:‬‬ ‫سم =‬ ‫صم =‬

‫‪)4‬‬ ‫‪)5‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪)7‬‬ ‫‪)8‬‬

‫ك‪ + 1M1‬ك‪ +2M 2‬ك‪ + ......+3M 3‬كن‪M‬ن‬ ‫ك‪ + 1‬ك‪ + 2‬ك‪ +......+ 3‬كن‬

‫ك‪ + 1N1‬ك‪ +2N 2‬ك‪ + ......+3N 3‬كن‪N‬ن‬ ‫ك‪ + 1‬ك‪ + 2‬ك‪ +......+ 3‬كن‬

‫‪،‬‬

‫حرا على الخط المستقيم الرأسى‬ ‫التعليق الحر للجسم الجاسئ ‪ :‬يقع مركز ثقل الجسم الجاسئ المعلق تعلي ًقا ًّ‬ ‫المار بنقط التعليق‪.‬‬ ‫مركز ثقل قضيب رفيع منتظم ‪ :‬مركز ثقل قضيب رفيع منتظم الكثافة يقع عند نقطة منتصفه‪.‬‬ ‫مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة على شكل متوازى أضالع ‪ :‬مركز ثقل الصفيحة المنتظمة المحدودة بشكل‬ ‫متوازى األضالع يقع عند مركزها الهندسى (نقطة تقاطع القطرين)‪.‬‬ ‫مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مثلث‪ :‬مركز ثقل الصفيحة المنتظمة المحدودة بمثلث يقع عند نقطة‬ ‫تالقى متوسطات هذا المثلث‪.‬‬ ‫طريقة الكتلة السالبة‪ :‬وباعتبار أن كتلة الجسم األصلى (ك) والجزء المقتطع (باعتبار أن كتلته سالبة) هو‬ ‫(‪ -‬ك‪ )1‬فإن كتلة الجزء المتبقى (ك – ك‪ )1‬لذلك فإن ‪ُ 2S‬تعطى بالعالقة‪:‬‬ ‫‪ = S‬ك‬ ‫‪2‬‬

‫‪ - JS‬ك‪1S 1‬‬

‫ك ‪ -‬ك‪1‬‬

‫ويمكن كتابة العالقة االتجاهية السابقة بداللة المركبات فى اتجاه محاور اإلحداثيات المتعامدة‪:‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪121‬‬

‫لقثل زكرم‬

‫و س ‪ ،‬و ص فنحصل على اآلتى‪:‬‬ ‫س‪= 2‬‬

‫ك س‪ -J‬ك‪ 1‬س‪1‬‬ ‫ك ‪ -‬ك‪1‬‬

‫‪ ،‬ص‪= 2‬‬

‫ك ص‪ -J‬ك‪ 1‬ص‪1‬‬ ‫ك ‪ -‬ك‪1‬‬

‫‪ )9‬تماثل صفيحة هندسية رقيقة منظمة الكثافة ‪ :‬إذا ُوجد محور تماثل هندسى لصفيحة رقيقة منتظمة الكثافة ‪ ،‬فإن‬ ‫مركز ثقلها يقع على خط هذا المحور‪.‬‬ ‫‪ )10‬تماثل مجسم هندسى منظم الكثافة‪ :‬إذا ُوجد مستوى تماثل هندسى لمجسم منتظم الكثافة ‪ ،‬وقع مركز ثقله‬ ‫فى هذا المستوى‪.‬‬ ‫‪ )11‬بعض الحاالت الخاصة لمركز الثقل ‪:‬‬

‫½ مركز ثقل سلك منتظم الكثافة على هيئة دائرة يقع فى مركز الدائرة‪.‬‬

‫½ مركز ثقل صفيحة منتظمة الكثافة محدودة بدائرة يقع فى مركز الدائرة‪.‬‬ ‫½ مركز ثقل قشرة كروية منتظمة الكثافة يقع فى مركز الكرة‪.‬‬ ‫½ مركز ثقل كرة مصمتة منتظمة الكثافة يقع فى مركز الكرة‪.‬‬

‫½ مركز ثقل مجسم منتظم الكثافة على هيئة متوازى مستطيالت يقع فى مركزه الهندسى‪.‬‬

‫½ مركز ثقل قشرة أسطوانية دائرية قائمة منتظمة الكثافة ‪ ،‬يقع عند نقطة منتصف محورها‪.‬‬ ‫½ مركز ثقل أسطوانة دائرية قائمة مصمته منتظمة الكثافة يقع عند نقطة منتصف محورها‪.‬‬

‫½ مركز ثقل منشور قائم منتظم يقع عند نقطة منتصف المحور الموازى ألحرفه الجانبية والمار بمركزى‬ ‫ثقل قاعدتيه‪ ،‬باعتبارهما صفيحتين رقيقتين منتظمتى الكثافة‪.‬‬

‫‪122‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫اأولاً ‪ :‬اختر الإجابة ال�سحيحة من بين الإجابات المعطاة‪:‬‬

‫‪ 1‬مركز ثقل ثالث كتل متساوية قيمة كل واحدة ‪ 2‬كجم موضوعة عند رؤوس مثلث‬ ‫قائم الزاوية طول ضلعى القائمة ‪ 3‬سم ‪ 4 ،‬سم هو‪:‬‬ ‫ب (‪) 3 ، 2‬‬ ‫أ (‪) 4 ،1‬‬ ‫‪3‬‬

‫ج ( ‪)1 ، 43‬‬

‫‪2‬‬

‫د ( ‪)2 ، 33‬‬

‫ص‬ ‫جـ‬

‫س‬

‫‪ 3‬سم‬

‫ب ‪ 4‬سم‬ ‫شكل (‪)35‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ 2‬مركز ثقل نقطتين ماديتين تفصل بينهما مسافة ثابتة يقع على القطعة المستقيمة الواصلة بينهما ويقسم طولها‬ ‫بنسب‪:‬‬ ‫د ثابتة‪.‬‬ ‫ج عشوائية‪.‬‬ ‫ب عكسية‪.‬‬ ‫أ طردية‪.‬‬ ‫‪ 3‬مركز ثقل النظام التالى ‪ :‬ك‪ 1 = 1‬كجم عند (‪ ، )3 ، 2‬ك‪ 2 = 2‬كجم عند (‪ )1 ، 2 -‬ك‪ 3 = 3‬كجم عند (‪ )1 ، 0‬هو‪:‬‬ ‫أ (‪) 43 ، 13 -‬‬

‫ب ( ‪) 43 ، 76‬‬

‫ج ( ‪) 23 ، 13-‬‬

‫د (‪)1 ،0‬‬

‫أ ‪ 3‬متر‬

‫ب ‪ 4‬متر‬

‫ج ‪ 5‬متر‬

‫د ‪ 6‬متر‬

‫أ ‪ 3 2‬سم‬

‫ب ‪ 3 4‬سم‬

‫ج ‪6‬سم‬

‫د ‪ 3 6‬سم‬

‫أ ‪c22.5‬‬

‫ب ‪c30‬‬

‫ج ‪c45‬‬

‫د ‪c 60‬‬

‫ج (‪)5 ،3‬‬

‫د‬ ‫د (‪)8 ،4‬‬ ‫شكل (‪)36‬‬

‫‪ 4‬مركز ثقل نظام مؤلف من كتلتين ‪ 9 ، 6‬ث كجم بينهما مسافة ‪ 10‬أمتار‪ ،‬يبعد عن الكتلة األولى مسافة‪:‬‬ ‫‪ 5‬بعد مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مثلث متساوى األضالع طول ضلعه‪ 12‬سم عن أحد رؤوس‬ ‫المثلث يساوى ‪.:‬‬ ‫‪ 6‬إذا ُعلقت صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مثلث متساوى األضالع بخيط من نقطة على أحد أحرفها تقسمه‬ ‫بنسبة ‪ 2 : 1‬فإن زاوية ميل هذا الحرف على الرأسى تساوى ‪:‬‬ ‫‪ 7‬فى الشكل المقابل ‪C :‬ب جـ‪ E‬سلك طوله ‪ 32‬سم فيه ‪C‬ب = ‪2‬ب جـ = ‪ 2‬جـ ‪ 16 = E‬سم فإن بعد مركز‬ ‫ثقل السلك عن كل من ب جـ ‪ ،‬ب ‪ C‬على الترتيب هو‪:‬‬ ‫أ (‪)3 ،3‬‬

‫ب (‪)4، 4‬‬

‫ثانياًا ‪ :‬اأجب عن الأ�سئلة الآتية ‪:‬‬

‫‪C‬‬ ‫جـ‬

‫ب‬

‫‪ C 8‬ب جـ مثلث قائم الزاوية فى ب ‪ ،‬فيه ‪ C‬ب = ‪3‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪4‬سم ‪ .‬وضعت ثالث كتل متساوية‪ ،‬مقدار كل‬ ‫منها ك عند ب ‪ ،‬نقطة منتصف ‪ C‬ب ‪ ،‬نقطة منتصف ‪ C‬جـ أوجد مركز ثقل هذه الكتل الثالث‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪123‬‬

‫لقثل زكرم‬

‫‪ 9‬صفيحة رقيقة منتظمة الكثافة محدودة بالمثلث ‪C‬ب جـ القائم الزاوية فى ب فيه ‪C‬ب = ب جـ = ‪ 9‬سم‪ .‬إذا فصل‬ ‫حرا من النقطة ب فأوجد ظل زاوية ميل‬ ‫المثلث ‪C‬ب م حيث م مركز ثقل الصفيحة وعلق الجزء الباقى تعلي ًقا ًّ‬ ‫ب جـ ‪ .‬على الرأسى فى وضع التوازن‪.‬‬

‫‪C 10‬ب قضيب منتظم طوله ‪ 24‬سم وكتلته ‪ 2‬كجم‪ .‬ثُبتت كتلة مقدارها ‪ 2‬كجم عند نقطة ‪ C‬وثبتت كتلة أخرى مقدارها‬ ‫‪ 3‬كجم عند نقطة جـ واقعة على القضيب وتبعد ‪ 8‬سم عن نقطة ب‪ .‬أوجد بعد مركز ثقل المجموعة عن ب‪.‬‬ ‫‪C 11‬ب جـ ‪ E‬مربع طول ضلعه ‪ 4‬سم ثُبتت الكتل ‪ 2 ، 3 ، 4 ، 6‬جرام عند ‪ ،C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ E ،‬على الترتيب‪ ،‬كما ثُبتت‬ ‫كتلة مقدارها ‪ 10‬جرام عند منتصف ‪ C‬ب ‪ .‬عين بعد مركز ثقل المجموعة عن كل من جـ ‪ ، E‬جـ ب ‪.‬‬

‫‪ 12‬سلك رفيع منتظم السمك والكثافة ثنى على شكل مثلث ‪C‬ب جـ قائم الزاوية فى ب فيه ‪C‬ب = ‪3‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪4‬‬ ‫سم‪ .‬أوجد بعد مركز ثقل السلك عن كل من ب‪ ، C‬ب جـ ثم أوجد بعده عن ب‪.‬‬ ‫‪ 13‬سلك رفيع منتظم السمك والكثافة طوله ‪ 40‬سم ثنى على شكل شبه منحرف ‪C‬ب جـ ‪ E‬فيه ‪C‬ب = ‪ 16‬سم ‪،‬‬ ‫جـ‪ 8 = E‬سم ‪ 6 = CE ،‬سم ‪CE(X ،‬ب) = ‪c(X‬جـ‪ .c90= )CE‬أوجد ُبعد مركز ثقل هذا السلك عن الضلعين ‪E C‬‬ ‫‪ C‬ب وإذا ُعلق السلك تعلي ًقا حراًمن ‪ C‬فأوجد ظل الزاوية التى يصنعها ‪ C‬ب مع الراسى فى وضع االتزان‪.‬‬ ‫‪ 14‬صفيحة رقيقة منتظمة السمك والكثافة على شكل شبه منحرف ‪C‬ب جـ‪ E‬فيه ‪،c90 = )Ec(X = )Cc(X‬‬ ‫جـ ‪ 40 = E‬سم ‪ 60 = EC ،‬سم ‪C ،‬ب = ‪ 120‬سم‪ .‬عين بعد مركز ثقل الصفيحة عن كل من ‪ C ، E C‬ب ‪.‬‬ ‫‪ 15‬سلك منتظم السمك والكثافة طوله ‪ 120‬سم وكتلته ‪ 600‬جرام‪ ،‬ثُنى على شكل مثلث ‪C‬ب جـ قائم الزاوية فى‬ ‫حرا من الرأس ب فاتزن‬ ‫ب حيث ‪C‬ب = ‪ 30‬سم ‪ ،‬إذا ثُبتت كتلة ك جرام عند الرأس ‪ ، C‬ثم ُعلق السلك تعلي ًقا ًّ‬ ‫عندما كانت ‪ C‬جـ أفقية فأوجد ك‪.‬‬ ‫‪ 16‬صفيحة رقيقة منتظمة السمك والكثافة على شكل قرص دائرى مركزه نقطة األصل وطول نصف قطره ‪ 24‬سم‪،‬‬ ‫قُطع منه قرصان دائريان مركز أحدهما (‪ )12 - ، 2 -‬وطول نصف قطره ‪ 4‬سم ومركز اآلخر (‪ )10 ، 6‬وطول‬ ‫نصف قطره ‪ 12‬سم‪ .‬عين مركز ثقل الجزء الباقى من القرص‪.‬‬ ‫‪C 17‬ب جـ ‪ E‬صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مستطيل فيه ‪C‬ب = ‪ 40‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪60‬سم ‪ ،‬تقاطع قطراه فى م ‪ ،‬قطع‬ ‫حرا من الرأس جـ‪ .‬عين ظل زاوية ميل جـ ب على الرأسى‬ ‫منها المثلث ب جـ م ثم ُعلِّق الجزء الباقى تعلي ًقا ًّ‬ ‫فى وضع االتزان‬ ‫‪C 18‬ب جـ ‪ E‬صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مربع طول ضلعه ‪ 48‬سم وكتلتها ‪ 40‬جم‪ .‬النقطتان ل ‪ ،‬م منتصفا ‪ C‬ب‬

‫‪ E C ،‬على الترتيب‪ .‬قطع المثلث ‪ C‬ل م ثم ثُبتت عند كل من جـ ‪ E ،‬كتلة تساوى كتلة المثلث المقطوع وثبت‬ ‫حرا من النقطة جـ‪ .‬أوجد ظل‬ ‫عند ب كتلة تساوى ضعف كتلة المثلث المقطوع ‪ ،‬فإذا ُعلقت المجموعة تعلي ًقا ًّ‬ ‫زاوية ميل ب جـ على الرأسى فى وضع االتزان‪.‬‬

‫‪124‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪C 19‬ب جـ صفيحة رقيقة منتظمة السمك والكثافة على هيئة مثلث قائم الزاوية فى ب حيث ‪C‬ب = ‪ 12‬سم ‪،‬‬ ‫ب جـ = ‪ 20‬سم وكانت س ‪ ،‬ص ‪،‬ع منتصفات ‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪ ،‬جـ ‪ C‬على الترتيب‪ .‬قطع المثلث جـ ص ع وطبق‬ ‫حرا من النقطة ب‪ .‬أوجد ظل زاوية ميل ب جـ على الرأسى‬ ‫على المثلث ص ب س فإذا ُعلقت المجموعة تعلي ًقا ًّ‬ ‫فى وضع االتزان‪.‬‬ ‫‪ 20‬صفيحة رقيقة منتظمة السمك والكثافة على شكل المثلث ‪C‬ب جـ المتساوى الساقين حيث ‪C‬ب = ‪C‬جـ = ‪26‬‬ ‫سم‪ ،‬ب جـ = ‪ 20‬سم‪ .‬رسم ‪ = E C‬ب جـ ويقطع ب جـ فى ‪ ، E‬فإذاكانت هـ منتصف ‪ E C‬وفصل المثلث‬ ‫هـ ب جـ‪ .‬أوجد بعد مركز ثقل الجزء الباقى عن النقطة هـ‪.‬‬ ‫‪ 21‬صفيحة رقيقة منتظمة السمك والكثافة على شكل مربع ‪C‬ب جـ‪ E‬طول ضلعه ‪ 48‬سم ‪ ،‬م نقطة تقاطع قطريه‪.‬‬ ‫قُطع المثلث جـ م ‪ E‬ثم لصق على المثلث جـ م ب بحيث انطبق م ‪ E‬على م ب ‪ .‬أوجد بعد مركز ثقل الصفيحة‬ ‫عن كل من ب ‪ ، C‬ب جـ ‪.‬‬ ‫‪ 22‬صفيحة رقيقة منتظمة السمك والكثافة على شكل مستطيل ‪C‬ب جـ ‪ E‬مركزه م حيث ‪C‬ب = ‪ 16‬سم ‪،‬‬ ‫ب جـ = ‪ 20‬سم‪ .‬أخذت النقطتان هـ ‪ ،‬و على ‪ C‬ب حيث ‪C‬هـ = ب و = ‪ 3‬سم ‪ ،‬إذا قُطع المثلث م هـ و فأوجد‬ ‫حرا من ‪ E‬فأوجد فى وضع‬ ‫بعد مركز ثقل الجزء الباقى عن كل من جـ ‪ . E C ، E‬وإذا ُعلق هذا الجزء تعلي ًقا ًّ‬ ‫التوازن ظل الزاوية التى يصنعها ‪ C E‬مع الرأسى‪.‬‬ ‫‪ 23‬ثبتت كتل مقاديرها ‪ 40 ، 10 ، 30 ، 10 ، 20 ، 10‬كجم عند الرؤوس ‪ ، C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ، E ،‬هـ ‪ ،‬و على الترتيب لمسدس‬ ‫منتظم طول ضلعه ‪ 60‬سم‪ .‬أوجد بعد مركز ثقل هذه المجموعة عن مركز المسدس‪.‬‬ ‫‪ 24‬صفيحة رقيقة منتظمة الكثافة على شكل مستطيل ‪ C‬ب جـ ‪ E‬الذى فيه ‪ C‬ب = ‪25‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪16‬سم‪ .‬فرضت نقطة‬ ‫هـ∈ ب جـ ‪ ،‬و∈ ب ‪ C‬بحيث ب هـ = ‪10‬سم ثم فصل المثلث ب هـ و ووضعت الصفيحة فى مستو رأسى بحيث‬ ‫انطبق حرفها جـ هـ على نضد أفقى أملس فكانت الصفيحة على وشك الدوران حول (هـ) ‪ .‬أوجد طول ب و ‪.‬‬ ‫لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع اللكترونى‬

‫‪www.sec3mathematics.com.eg‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪125‬‬

‫الحركة فى خط مستقيم‬

‫ثانيا‬ ‫الديناميكا‬

‫‪Rectilinear Motion‬‬

‫الوحدة‬

‫‪1‬‬

‫مقدمة الوحدة‬ ‫فى هذه الوحدة سوف ندرس الحركة الخطية لجسيم متحرك وتحليل هذه الحركة ودراسة الموضع‬ ‫واإلزاحة ومتجه السرعة وعجلة الحركة للجسيم‪ ،‬ويتم تحديدها عند أى لحظة خالل حركة الجسيم على‬ ‫الخط المستقيم سواء كانت الحركة منتظمة أو منتظمة التغير مستخدمين فى ذلك طرق التكامل والتفاضل‬ ‫الستنتاج عناصر الدراسة وسيتم تحليل الحركة الخطية بيانيًّا من خالل منحنيات الحركة‪ ،‬واستخدام ذلك‬ ‫فى حل المسائل المختلفة‪ ،‬ولن تقتصر الدراسة على الجسيم المتحرك فقط ولكن سيؤخذ فى االعتبار‬ ‫األجسام األخرى المختلفة كالسيارات والقطارات والطائرات وغير ذلك‪.‬‬ ‫مخرجات التعلم‬ ‫بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن‪:‬‬

‫ يستخدم للتعبير عن السرعةإذا كانت اإلزاحة دالة فى الزمن‬ ‫‪E‬ف‬

‫(ع = ‪ E‬ن )‬ ‫ يستخدم للتعبير عن العجلة إذا كانت السرعة دالة فى‬ ‫‪E‬ع‬

‫الزمن(جـ = ‪ E‬ن )‬

‫ يعبر عن العجلة كدالة فى اإلزاحة إذا كانت السرعة دالة فى‬ ‫‪E‬ع‬

‫اإلزاحة (جـ = ع ‪ E‬ف )‬

‫‪126‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ إذا كانت كل من ف ‪ .‬ع‪ .‬جـ اً‬ ‫دوال فى الزمن فإن‪:‬‬ ‫‪E‬ف‬

‫ ع = ‪E‬ن ‪ +‬ع‪E‬ن= ‪E‬ف `ف= ع‪E‬ن‬ ‫‪E‬ع‬

‫ جـ = ‪ E‬ن ‪ +‬جـ ‪ E‬ن = ‪ E‬ع ` ع = جـ ‪ E‬ن‬

‫ إذا كانت جـ دالة فى اإلزاحة فإن‪:‬‬ ‫ جـ = ع‬

‫‪E‬ع‬ ‫‪E‬ف‬

‫‪ +‬جـ ‪ E‬ف = ع ‪ E‬ع‬

‫كتاب الطالب‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪ Ñ‬الحركة فى خط مستقيم‬

‫‪Rectilinear Motion‬‬

‫‪ Ñ‬موضع‬

‫‪Position‬‬

‫‪ Ñ‬إزاحة‬

‫‪Displacement‬‬

‫‪ Ñ‬مسافة‬

‫‪Distance‬‬

‫‪ Ñ‬متجه السرعة المتوسطة‬

‫‪Average Velocity‬‬

‫‪ Ñ‬السرعة المتوسطة‬

‫‪Average Speed‬‬

‫‪ Ñ‬متجه السرعة‬

‫‪Velocity‬‬

‫‪ Ñ‬السرعة‬

‫‪Speed‬‬

‫‪ Ñ‬العجلة المتوسطة‬

‫‪Average Acceleration‬‬

‫‪ Ñ‬العجلة‬

‫‪Acceleration‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫دروس الوحدة‬

‫‪ Ñ‬آلة حاسبة علمية ‪ -‬برامج رسومية للحاسوب‪.‬‬

‫(‪ :)1- 1‬تفاضل الدوال المتجهة‪.‬‬ ‫(‪ :)2- 1‬تكامل الدوال المتجهة‪.‬‬

‫مخطط تنظيمى للوحدة‬ ‫الحركة فى خط مستقيم‬

‫باستخدام التفاضل‬

‫باستخدام التكامل‬

‫الموضع دالة فى‬

‫السرعة دالة فى‬

‫العجلة دالة فى‬

‫الزمن‬

‫اإلزاحة‬

‫الزمن‬

‫العجلة دالة فى اإلزاحة‬

‫السرعة دالة فى اإلزاحة‬

‫اإلزاحة دالة فى‬ ‫الزمن‬

‫السرعة دالة فى‬ ‫الزمن‬

‫السرعة دالة فى‬

‫اإلزاحة دالة فى‬

‫الزمن‬

‫العجلة دالة فى‬ ‫الزمن‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪127‬‬

‫الوحدة األولى‬

‫تفاضل الدوال المتجهة‬

‫‪1-1‬‬

‫فكر و ناقش‬

‫سوف تتعلم‬ ‫ إذا كانت ف‬

‫فإن‪:‬‬

‫ ‬

‫‪Differentiation of vector functions‬‬

‫كل من األشكال البيانية اآلتية تمثل منحنى السرعة‪ -‬الزمن لجسيم يتحرك فى خط‬ ‫دالة ىف الزمن‬ ‫مستقيم‪.‬‬

‫ع = ‪ E‬ف‬

‫ع‬

‫‪E‬ن‬

‫‪ E‬ع‬

‫جـ =‬ ‫‪E‬ن‬ ‫ إذا كانت ع دالة ىف‬

‫االزاحة ف فإن جـ =‬

‫‪E‬ع‬ ‫ع‬ ‫‪E‬ف‬ ‫المصطلحات األساسية‬

‫ احلركة ىف خط مستقيم‬

‫‪Rectilinear motion‬‬

‫ موضع اجلسيم‬ ‫‪Position of the porticle‬‬

‫ اإلزاحة‬ ‫‪Distance‬‬ ‫ املسافة‬ ‫‪Speed‬‬ ‫ الرسعة‬ ‫‪Velocity‬‬ ‫ متجه الرسعة‬ ‫ متجه الرسعة املتوسطة‬ ‫‪Displacement‬‬

‫‪Average velocity‬‬

‫ متجه الرسعة اللحظية‬ ‫‪Instantaneous velocity‬‬

‫ العجلة املتوسطة‬ ‫‪Average acceleration‬‬ ‫‪Accelertion‬‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫ آله حاسبة علمية‪.‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪12‬‬

‫ن‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪12‬‬

‫‪1‬‬

‫‪24‬‬

‫ن‬

‫‪0‬‬ ‫‪4-‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8-‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪12‬‬‫‪24-‬‬

‫‪12-‬‬

‫‪0‬‬

‫‪36-‬‬

‫بعد دراسة هذه المنحنيات‪،‬‬ ‫‪ 1‬هل يمكنك تعيين سرعة الجسيم ع عند بداية الحركة ثم بعد ‪ 2‬ثانية‪ ،‬بعد ‪ 4‬ثوان‬ ‫من بدء الحركة؟‬ ‫‪ 2‬كيف يمكنك حساب إزاحة الجسيم عند ن = ‪ ،2‬ن = ‪4‬؟‬ ‫هل يمكن تعيين عجلة الحركة للجسيم المتحرك؟‬

‫تعلم‬ ‫‪ -1‬الحركة فى خط م�ستقيم‪:‬‬ ‫إذا تحرك جسيم فى خط مستقيم فيقال إنه يتحرك حركة خطية‪.‬‬

‫‪Rectilinear motion‬‬

‫‪ -2‬مو�سع الج�سيم‪:‬‬ ‫عندما يتحرك جسيم حركة خطية فإنه عند أى لحظة ن سيشغل موضع معين على الخط‬ ‫المستقيم ‪ ،‬ولتعيين الموضع س لجسيم متحرك عند أى لحظة زمنية ن ‪ ،‬نختار نقطة‬ ‫ثابتة "و" على الخط المستقيم كنقطة أصل ونحدد اتجاه موجب على طول الخط‪.‬‬

‫‪Position of the particle‬‬

‫على سبيل المثال‪:‬‬ ‫عندما يكون الجسيم عند الموضع(‪ )C‬على الخط المستقيم فإن س = ‪ 5‬ى‬ ‫ى‬

‫‪C‬‬

‫ برامج رسومية للحاسب‬

‫حيث ى متجه وحدة فى اتجاه و ‪، C‬‬

‫‪128‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪12‬‬

‫‪36‬‬

‫‪8‬‬

‫‪30‬‬

‫ إذا كانت ع دالة ىف الزمن‬ ‫فإن‪:‬‬

‫ العجلة‬

‫ع‬

‫‪36‬‬ ‫‪24‬‬

‫ع‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫و‬

‫س‬

‫كتاب الطالب‬

‫ةهجتمل لاو ل لضافت‬

‫بينما إذا كان الجسيم عند الموضع ب على الخط المستقيم فإن س = ‪ 3-‬ى‬ ‫ى‬

‫‪C‬‬

‫و‬

‫ب‬ ‫س‬

‫الحظ أن موضع الجسيم كمية متجهة ويمكن التعبير عنه كدالة فى الزمن ن‬ ‫أى أن س = د (ن) ويقاس معيار س فى النظام الدولى للوحدات بالمتر‪.‬‬ ‫ الإزاحة‪:‬‬‫تعرف إزاحة الجسيم ف بأنها التغير فى موضعه‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪Displacement‬‬

‫و‬

‫‪C‬‬ ‫‪Δ‬س‬ ‫‪/‬‬

‫‪1 1‬‬

‫س‬

‫إذا تحرك الجسيم من الموضع ‪ C‬إلى الموضع ‪ C‬على الخط المستقيم فإن‪:‬‬

‫اإلزاحة ف = ‪ 9‬س حيث ‪ 9‬س = س‪ - /‬س ‪ ،‬فى هذه الحالة ‪ 9‬س تكون موجبة حيث أن موضع الجسيم‬ ‫‪/‬‬

‫النهائى ‪ C‬على يمين الموضع االبتدائى للجسيم‪ ، C‬وإذا كان الموضع النهائى للجسيم على يسار الموضع االبتدائى‬ ‫للجسيم فإن ‪ 9‬س ستكون سالبة‪.‬‬ ‫‪ Á‬إزاحة الجسيم ف كمية متجهة ويمكن التعبير عنها كدالة فى الزمن ن أى ف (ن)‪ ،‬واإلزاحة ف تتميز عن‬ ‫المسافة المقطوعة بواسطة الجسيم‪ ،‬وعلى وجه التحديد المسافة كمية قياسية موجبة تمثل طول المسار الكلى‬ ‫المقطوع بواسطة الجسيم‪.‬‬ ‫‪ Á‬يمكن استخدام الرموز س ‪ ،‬ف للتعبير عن القياس الجبرى لمتجه الموضع س ولإلزاحة ف‬ ‫‪ Á‬إذا كان موضع الجسم عند بداية قياس الزمن عند نقطة األصل فإن س = ويكون ف = س‬

‫‪ -4‬متجه ال�سرعة‪:‬‬

‫‪Velocity‬‬

‫إذا كانت ف = ‪ 9‬س هى إزاحة الجسيم خالل فترة زمنية ‪9‬ن فإن متجه السرعة المتوسطة ع يساوى خارج‬ ‫س (ن ‪9 +‬ن) ‪ -‬س (ن)‬ ‫‪9‬ن‬

‫قسمة اإلزاحة على الزمن أى ع = ‪ 9‬س =‬ ‫م‬ ‫‪9‬ن‬ ‫ويعرف متجه السرعة اللحظية ع عند أى لحظة زمنية ن بالعالقة‪:‬‬

‫م‬

‫س (ن ‪9 +‬ن) ‪ -‬س (ن)‬ ‫‪9‬ن‬

‫ع = نهــــــا ‪ 9‬س = نهــــــا‬ ‫‪9‬ن!‪0‬‬ ‫‪9‬ن!‪ 9 0‬ن‬ ‫ومن تعريف المشتقة يمكن استنتاج أن‪ :‬ع = ‪E‬س (ميل المماس لمنحنى الموضع ‪ -‬الزمن)‬ ‫‪E‬ن‬ ‫وحيث أن س‬ ‫متجها ثابتًا فإن‪ :‬متجه السرعة يساوى معدل تغير اإلزاحة بالنسبة للزمن ع =‬ ‫ً‬

‫‪E‬ف‬ ‫‪E‬ن‬

‫(ميل المماس لمنحنى اإلزاحة ‪ -‬الزمن) ويحسب معيار متجه السرعة بوحدة م ‪ /‬ث فى النظام الدولى للوحدات‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪129‬‬

‫يقتت ط ى ةمضحلا‬

‫‪ Á‬يمكن استخدام الرمز ع للتعبير عن القياس الجبرى لمتجه السرعة ع ‪.‬‬ ‫‪ -5‬ال�سرعة‪:‬‬

‫‪Speed‬‬

‫إذا كانت ع (ن) متجه سرعة جسيم يتحرك فى خط مستقيم فإن السرعة هى الكمية القياسية التى تعبر عن معيار‬ ‫متجه السرعة أى أن السرعة =|| ع || = || ‪ E‬س || = || ‪ E‬ف ||‬

‫‪E‬ن‬ ‫‪E‬ن‬ ‫‪E‬ف‬ ‫‪E‬س‬ ‫|‬ ‫|= |‬ ‫وإذا كان ع هو القياس الجبرى لمتجه السرعة‪ ،‬س هو القياس الجبرى للموضع فإن السرعة = |ع| = |‬ ‫‪E‬ن‬ ‫‪E‬ن‬

‫مثال‬

‫‪1‬‬

‫قذف حجر رأسيا ألعلى‪ ،‬وكان ارتفاعه س بعد ن ثانية من قذفه يعطى بالعالقة س = ‪ 49‬ن ‪ 4٫9 -‬ن‪2‬‬

‫حيث س بالمتر‪.‬‬

‫ًّ‬

‫أ أوجد أقصى ارتفاع يبلغه الجسم المقذوف‪.‬‬ ‫مترا‪ ،‬ثم أوجد سرعته عندئذ‪.‬‬ ‫ب أوجد القياس الجبرى لمتجه السرعة عندما يكون الحجر على ارتفاع ‪ً 78٫4‬‬

‫كال من منحنى الموضع ‪ -‬الزمن ومنحنى السرعة ‪-‬الزمن واستخدمه فى تحليل الحركة‪.‬‬ ‫جـ ارسم ًّ‬

‫الحل‬

‫فى النظام اإلحداثى للحركة فى خط مستقيم نعتبر س تقيس االرتفاع (الموضع) عن نقطة القذف‪،‬‬ ‫ع تكون موجبة فى حالة الحركة ألعلى‪.‬‬ ‫‪ a‬ع (ن) = ‪ E‬س‬ ‫‪E‬ن‬

‫‪ a‬س (ن) = ‪ 49‬ن ‪ 4٫9 -‬ن‪2‬‬

‫أ يبلغ الحجر أقصى ارتفاع له عندما ع = ‪0‬‬ ‫`ن=‪5‬ث‬ ‫` ‪ 9٫8 - 49‬ن = ‪0‬‬ ‫` أقصى ارتفاع س (‪ 122٫5 = 25 * 4٫9 - 5 * 49 = )5‬متر‬

‫` ع (ن) = ‪ 9٫8 - 49‬ن‬

‫ب يكون الحجر على ارتفاع ‪ 78٫4‬متر عندما س = ‪78٫4‬‬ ‫` ‪ 49‬ن ‪ 4٫9 -‬ن‪78٫4 = 2‬‬

‫` ‪ 4٫9‬ن‪ 49 - 2‬ن ‪0 = 78٫4 +‬‬

‫` (ن ‪( )2 -‬ن ‪0 = )8 -‬‬

‫` ن = ‪ 2‬ث أو ن = ‪ 8‬ث‬

‫بقسمة طرفى المعادلة على ‪ 4٫9‬نجد أن‪ :‬ن‪ 10 - 2‬ن ‪0 = 16 +‬‬ ‫` ع (‪ 29٫4 = 2 * 9٫8 - 49 = )2‬م‪/‬ث‬

‫` ع (‪ 29٫4- = 8 * 9٫8 - 49 = )8‬م‪/‬ث‬

‫صاعدا بعد ‪ 2‬ث ومرة هابطًا بعد ‪ 8‬ث‬ ‫أى أن‪ :‬الحجر يكون على ارتفاع ‪ 78٫4‬متر مرة‬ ‫ً‬ ‫القياس الجبرى لمتجه السرعة إما ‪ 29٫4‬أو ‪29٫4 -‬‬

‫` سرعة الحجر فى الحالتين = |! ‪ 29٫4 = |29٫4‬م ‪ /‬ث‬

‫‪1 0‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪1 1‬‬

‫ةهجتمل لاو ل لضافت‬

‫جـ من منحنى الموضع ‪ -‬الزمن نجد أن‪:‬‬

‫س (ن)‬

‫½ الحجر يبلغ أقصى ارتفاع له ‪ 122٫5‬متر عندما ن = ‪ 5‬ث‬

‫‪107٫8‬‬ ‫‪98‬‬

‫(نقطة رأس المنحنى)‪.‬‬

‫‪88٫2‬‬ ‫‪78٫4‬‬

‫½ يعود الحجر لنقطة القذف مرة أخرى عندما ن = ‪ 10‬ث‬

‫‪68٫6‬‬ ‫‪58٫8‬‬

‫(النقطة ب (‪)0 ، 10‬‬

‫‪49‬‬

‫½ مرحلة الصعود استغرقت ‪ 5‬ثوان‪ ،‬ومرحلة الهبوط‬ ‫استغرقت ‪ 5‬ثوان أخرى‪.‬‬

‫½ الحجر كان على ارتفاع ‪ 78٫4‬متر عندما ن = ‪ 2‬ث ‪،‬‬ ‫ن=‪8‬ث‬

‫‪39٫2‬‬ ‫‪29٫4‬‬ ‫‪19٫6‬‬ ‫‪9٫8‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫الزمن (ن)‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪49‬‬

‫‪39٫2‬‬

‫‪ -1‬السرعة االبتدائية للحجر كانت ‪ 49‬م ‪ /‬ث وأخذت فى‬

‫‪29٫4‬‬

‫التناقص خالل الفترة الزمنية ]‪ [5 ، 0‬حتى سكن لحظ ًّيا‬

‫سرعته فى التزايد فى االتجاه المضاد فى الفترة الزمنية‬

‫‪0‬‬

‫‪1-‬‬

‫ع (ن) ل‬

‫من منحنى السرعة ‪ -‬الزمن نجد أن‪:‬‬

‫عندما ن = ‪ 5‬وعندها وصل ألقصى ارتفاع له ثم أخذت‬

‫‪117٫6‬‬

‫‪19٫6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫الزمن (ن)‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪C‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫]‪ [10 ، 5‬حتى عاد مرة أخرى لنقطة القذف عندما‬ ‫ن = ‪ 10‬ث بنفس سرعة القذف ‪ 49‬م ‪ /‬ث‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9٫8‬‬

‫و‬

‫‪1‬‬‫‪9٫8-‬‬

‫‪19٫6‬‬‫‪29٫4‬‬‫‪39٫2‬‬‫‪49-‬‬

‫‪ -2‬يمكن حساب أقصى ارتفاع للحجر من خالل منحنى السرعة ‪ -‬الزمن بإحدى طريقتين‪:‬‬ ‫½ أقصى ارتفاع = مساحة ‪ 9‬و ‪ C‬ل = ‪ 12‬و ‪ * C‬و ل = ‪ 122٫5 = 49 * 5 * 12‬متر مربع‬ ‫½ بحساب التكامل وسنبحث هذه الطريقة بشكل مفصل الح ًقا‪.‬‬

‫تفكير ناقد‪ :‬كيف تحسب من المنحنى السابق السرعة ‪ -‬الزمن فى مثال (‪ )1‬المسافة المقطوعة خالل رحلة الحجر‬ ‫حتى عودته إلى نقطة القذف‪ ،‬وكذلك إزاحته خالل هذا الزمن؟‬ ‫حاول أن تحل‪:‬‬

‫‪ 1‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كان موضعه س عند أى لحظة زمنية ن يعطى بالعالقة‬ ‫س (ن) = (ن‪4 - 2‬ن ‪ )3 +‬ى حيث س مقاسه بالمتر ‪ ،‬ن بالثانية‪ ،‬ى متجه وحدة فى اتجاه حركة الجسيم‪.‬‬ ‫أ أوجد إزاحة الجسيم خالل الثوانى الثالث األولى‬ ‫ب أوجد متجه السرعة المتوسطة للجسيم عندما ن ∈ [ ‪]2 ،0‬‬

‫جـ أوجد متجه سرعة الجسيم عندما ن = ‪4‬‬ ‫د من خالل منحنى السرعة‪-‬الزمن‪ ،‬منحنى الموضع ‪ -‬الزمن قم بتحليل حركة الجسيم‪ ،‬وبين متى يغير الجسيم‬ ‫اتجاه حركته‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1 1‬‬

‫يقتت ط ى ةمضحلا‬

‫‪ -6‬العجلة‪:‬‬ ‫إذا كانت ‪ 9‬ع تعبر عن التغير فى متجه السرعة خالل فترة زمنية ‪9‬ن فإن العجلة المتوسطة جـ تعطى بالعالقة‬

‫‪Acceleration‬‬

‫‪ 9‬ع‬ ‫جـ =‬ ‫م ‪9‬ن‬

‫م‬

‫ع (ن ‪9 +‬ن) ‪ -‬ع (ن)‬ ‫أى أن جـ =‬ ‫م‬ ‫‪9‬ن‬

‫اختصارا) عند أى لحظة زمنية ن‬ ‫وتعرف العجلة اللحظية جـ (العجلة‬ ‫ً‬ ‫بالعالقة جـ = نهــــــا‬

‫‪9‬ن!‪0‬‬

‫ع (ن ‪9 +‬ن) ‪ -‬ع (ن)‬ ‫‪9‬ن‬

‫‪ E‬ع‬ ‫ومن تعريف المشتقة يمكن استنتاج أن‪ :‬جـ =‬ ‫‪E‬ن‬

‫أى أن العجلة هى معدل تغير متجه السرعة بالنسبة للزمن(ميل المماس لمنحنى السرعة ‪ -‬الزمن)‬

‫ويحسب معيار متجه العجلة بوحدةم ‪ /‬ث‪ /‬ث (م‪/‬ث‪ )2‬فى النظام الدولى للوحدات‬

‫مما سبق نجد أن‪ :‬إذا كانت س (ن) موضع الجسيم وهى دالة فى الزمن ن‪ ،‬فإن متجه السرعة ع = ‪E‬‬ ‫س ‪ ،‬من‬ ‫‪E‬ن‬

‫ذلك يمكن استنتاج أن العجلة جـ = ‪ E‬ع = ‪ 2E‬س‬ ‫‪ E‬ن‪2‬‬ ‫‪E‬ن‬

‫تنبيه‪ :‬عند اإلشارة إلى القياسات الجبرية لكل من الموضع ومتجه السرعة والعجلة فإننا نستخدم على الترتيب الرموز‬ ‫س ‪ ،‬ع ‪ ,‬جـ‪.‬‬ ‫ع‪2‬‬

‫القيا�س الجبرى لمتجه ال�سرعة والعجلة‪:‬‬ ‫‪ -1‬إذا كانت جـ > ‪ 0‬فإن ع تتزايد‪ ،‬وهذا يعنى أن الجسيم يتحرك بشكل‬

‫ب‬ ‫جـ > ‪0‬‬

‫أسرع فى االتجاه الموجب شكل (‪ )1‬أو أن الجسيم يتحرك ببطء‬

‫جـ > ‪0‬‬

‫‪ -2‬إذا كانت جـ < ‪ 0‬فإن ع تتناقص وهذا يعنى‪:‬‬ ‫أن الجسيم يتحرك ببطء أكثر فى االتجاه الموجب شكل (‪ )3‬أو‬ ‫أن الجسيم يتحرك بشكل أسرع فى االتجاه السالب شكل (‪.)4‬‬

‫ع‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫(‪)2‬‬

‫ب‬ ‫ع‪2‬‬

‫ع‪1‬‬

‫(‪)1‬‬

‫‪C‬‬

‫ع‪1‬‬

‫أكثر فى االتجاه السالب شكل (‪ )2‬فى الحالتين ‪9‬ع > ‪0‬‬

‫‪ -3‬فى كل من الحالتين (‪ )3( ، )2‬يقال إن الجسيم يتحرك بتقصير‪،‬‬ ‫بينما فى كل من الحالتين (‪ )4( ، )1‬يتحرك الجسيم بتسارع‬ ‫(بتحرك أسرع)‪.‬‬

‫ع‪1‬‬

‫ب‬

‫ع‪2‬‬

‫ع‪1‬‬

‫‪C‬‬

‫جـ < ‪0‬‬

‫(‪)4‬‬

‫جـ < ‪0‬‬

‫أى أن‪ :‬الجسم يتحرك حركة متسارعة إذا كان ع ‪ ،‬جـ لهما االتجاه نفسه (ع جـ > صفر)‬ ‫ ويتحرك حركة تقصيرية إذا كان ع ‪ ،‬جـ متضادين فى االتجاه (ع جـ < صفر)‬

‫‪1 2‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫(‪)3‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫ةهجتمل لاو ل لضافت‬

‫‪1 1‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 2‬إذا كان القياس الجبرى إلزاحة جسيم يتحرك فى خط مستقيم يعطى بالعالقة ف = ن‪6 - 3‬ن‪9 + 2‬ن حيث‬ ‫ف مقاسه بالمتر ‪ ،‬ن بالثانية‬ ‫أ أوجد عجلة الجسيم عند انعدام السرعة‬ ‫ب أوجد سرعة الجسيم عندما تنعدم العجلة‬

‫جـ أوجد المسافة المقطوعة بواسطة الجسيم خالل الفترة من ن = ‪ 0‬إلى ن = ‪2‬‬ ‫الحل‬

‫‪ a‬ف = ن‪ 6 - 3‬ن‪ 9 + 2‬ن‬ ‫‪E‬ع‬ ‫` جـ =‬ ‫‪E‬ن‬

‫= ‪6‬ن ‪12 -‬‬

‫` ع= ‪E‬‬ ‫ف = ‪ 3‬ن‪ 12 - 2‬ن ‪9 +‬‬ ‫‪E‬ن‬

‫أ تنعدم سرعة الجسيم عندما ‪ 3‬ن‪ 12 - 2‬ن ‪0 = 9 +‬‬ ‫` ن‪ 4 - 2‬ن ‪0 = 3 +‬‬ ‫(ن ‪( )1 -‬ن ‪0 = )3 -‬‬

‫جـ‬

‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬

‫ع‬

‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬

‫ف‬

‫عندما ن =‪ ، 1‬ن = ‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0 1‬‬

‫جـ (‪ 6- = 12 - )1( 6 = )1‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫جـ (‪ 6 = 12 - )3( 6 = )3‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫ب تنعدم عجلة الجسيم عندما ‪ 6‬ن ‪0 = 12 -‬‬

‫‪2‬‬‫‪4‬‬‫‪6-‬‬

‫` ن=‪2‬‬

‫السرعة = |ع(‪ 3 = |9 + 2 * 12 - 4 * 3| = |)2‬م‪/‬ث‬

‫‪8-‬‬

‫‪10‬‬‫‪12-‬‬

‫جـ من دراسة منحنى السرعة ‪ -‬الزمن لحركة الجسيم أو بدراسة إشارة ع (ن) نجد أن الجسيم يتحرك فى‬ ‫االتجاه الموجب فى الفترة ‪ H 0‬ن < ‪ 1‬ثم يغير اتجاه حركته ويتحرك فى االتجاه المضاد فى الفترة‬ ‫‪<1‬ن<‪.3‬‬ ‫` المسافة المقطوعة من ن = ‪ 0‬إلى ن = ‪ 2‬خالل الثانيتين األولى والثانية‬ ‫ = |ف (‪ - )1‬ف (‪| + |)0‬ف (‪ - )2‬ف (‪|)1‬‬ ‫ = |‪ 6 = |4 - 2| + |0 - 4‬أمتار‬

‫تفكير ناقد‪ :‬مستعي ًنا بالشكل السابق بين فترات التسارع وفترات التقصير لحركة الجسيم‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 2‬إذا كان متجه سرعة جسيم ع يعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة ع (ن) = ‪( -‬ن‪ 6 - 2‬ن ‪ )5 +‬ى‬

‫حيث ى متجه وحدة فى اتجاه حركة الجسيم‪.‬‬ ‫أ متى يغير الجسيم اتجاه حركته؟‬ ‫ب متى تزداد سرعة الجسيم‪ ،‬ومتى تتناقص؟‬ ‫جـ أوجد عجلة حركة الجسيم عندما تنعدم سرعته‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1‬‬

‫ميقتس ط ى ةكرحلا‬ ‫تفكير ناقد‪:‬‬

‫الشكل المرفق يبين سرعة جسيم ع = د(ن) يتحرك فى خط مستقيم‪.‬‬ ‫أ متى يتحرك الجسيم لألمام ومتى يتحرك للخلف؟ ومتى‬ ‫تتزايد سرعته ومتى تتباطأ؟‬

‫ع (ن)‬ ‫‪2‬‬

‫ن‬ ‫‪9‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫ب متى تكون عجلة الحركة موجبة ؟ ومتى تكون سالبة؟‬

‫‪0‬‬ ‫‪1-‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪2-‬‬

‫ومتى تنعدم؟‬

‫جـ متى تصل سرعة الجسيم إلى قيمتها العظمى؟‬

‫د متى يتوقف الجسيم لمدة أكثر من ثانية واحدة؟‬

‫ا�ضتنتاج العجلة عندما يكون متجه ال�ضرعة دالة فى المو�ضع‪:‬‬ ‫إذا كانت ع = د (س) ‪ ،‬س = د(ن)‬

‫‪E‬ع ‪E‬ع ‪E‬س‬ ‫‪:‬‬ ‫=‬ ‫فباستخدام قاعدة السلسلة يمكن استنتاج أن‪:‬‬ ‫‪E‬ن ‪E‬س ‪E‬ن‬ ‫‪E‬ع‬ ‫أى أن‪ :‬جـ = ع ‪:‬‬ ‫‪E‬س‬

‫وهى صورة أخرى للعجلة يمكن استخدامها عندما يكون متجه السرعة ع دالة فى الموضع س‬

‫مثال‬ ‫جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كان القياس الجبرى لمتجه سرعته ع يعطى‬

‫بالعالقةع = ‪1‬‬ ‫‪ - 400( 20‬س‪ )2‬حيث س تعبر عن القياس الجبرى للموضع س ‪ ،‬أوجد القياس الجبرى لعجلة‬

‫الحركة جـ عندما س = ‪15‬‬ ‫الحل‬

‫‪E‬ع‬ ‫` ‪ E‬س = ‪ 110-‬س‬

‫‪a‬ع= ‪1‬‬ ‫‪ - 400( 20‬س‪)2‬‬ ‫‪E‬ع‬ ‫‪ a‬جـ = ع‬ ‫‪E‬س‬

‫جـ = ‪1-‬‬ ‫‪ 200‬س (‪ - 400‬س‪)2‬‬

‫عندما س = ‪ 15‬وحدة طول‪.‬‬

‫` جـ = ‪1-‬‬ ‫‪)225 - 400( 15 * 200‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 105‬وحدة عجلة‬ ‫جـ = ‪8 -‬‬

‫جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت العالقة بين ع ‪ ،‬س تعطى فى الصورةع = ‪5+ 4‬س حيث ع مقاسة‬ ‫بوحدة م ‪ /‬ث‪ ،‬س مقاسة بوحدة متر‪ .‬أوجد عجلة الحركة عندما س = ‪ 2‬متر‪.‬‬

‫‪1 4‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫ةهجتكل ملاومل ملرافس‬

‫‪1 1‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 4‬يتحرك جسيم فى خط مستقيم بحيث كانت العالقة بين ع ‪ ،‬س تعطى فى الصورة ع‪ - 9( 5 = 2‬س‪)2‬‬ ‫أوجد عجلة الحركة عند انعدام السرعة عل ًما بأن السرعة مقاسة بوحدة م‪/‬ث ‪ ،‬س مقاسة بوحدة المتر‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪ a‬ع‪ - 9( 5 = 2‬س‪)2‬‬ ‫` ‪ 2‬جـ = ‪ 10-‬س‬ ‫تنعدم السرعة عندما ع = ‪0‬‬ ‫جـ (‪ 15 - = 3 * 5- = )3‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫‪E‬ع‬ ‫= ‪ 10 -‬س‬ ‫`‪2‬ع‬ ‫‪E‬س‬ ‫` جـ = ‪ 5 -‬س‬

‫أى ‪ - 9( 5‬س‪0 = )2‬‬ ‫جـ (‪ 15 = 3- * 5- = )3-‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫`س=!‪3‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 4‬يتحرك جسيم فى خط مستقيم بحيث كان القياس الجبرى لمتجه سرعته ع فى عالقة مع القياس الجبرى‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬أوجد جـ بداللة س حيث جـ هو القياس الجبرى لعجلة الحركة‪،‬‬ ‫موضعه س معطاة بالصورةع‪= 2‬‬ ‫‪ - 4( 8‬س )‬ ‫ثم أوجد أصغر سرعة للجسيم المتحرك‪.‬‬

‫تمــــاريــن ‪1 - 1‬‬

‫تخير الإجابة ال�صحيحة من بين الإجابات المعطاة‪:‬‬ ‫‪ 1‬عندما يتحرك جسيم فى خط مستقيم بسرعة ثابتة فإن معيار عجلته‬ ‫ج ثابت ال يساوى الصفر‬ ‫ب يتناقص‬ ‫أ يزداد‬ ‫‪..............‬‬

‫التغير فى متجه موضع جسيم يتحرك فى خط مستقيم يعرف بأنه‬ ‫ج متجه السرعة‬ ‫ب المسافة‬ ‫أ اإلزاحة‬

‫د صفر‬

‫‪..............‬‬

‫د متجه العجلة‬

‫جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت ع = ‪3‬هـ ن‪ 2+‬فإن سرعته االبتدائية تساوى‬ ‫د هـ‪2‬‬ ‫ج ‪3‬هـ‪2‬‬ ‫ب هـ‬ ‫أ ‪3‬‬

‫‪..............‬‬

‫‪ 4‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم‪ ،‬ومعادلة حركته س =طا ن فإن عجلة الحركة حـ تساوى‬ ‫د عس‬ ‫ج ‪2‬ع س‬ ‫ب ‪ 2‬قان‬ ‫أ قا‪2‬ن‬

‫‪..............‬‬

‫جسيم يتحرك فى خط مستقيم وكانت معادلة حركته س = ‪ + 2‬لو (ن ‪ )1 +‬فإن‬ ‫هـ‬ ‫ب‬ ‫دائما‪.‬‬ ‫تتزايدان‬ ‫كة‬ ‫الحر‬ ‫وعجلة‬ ‫سرعته‬ ‫دائما‪.‬‬ ‫ً‬ ‫أ سرعته وعجلة الحركة تتناقصان ً‬ ‫‪..............‬‬

‫ج السرعة تتناقص وعجلة الحركة تزداد‪.‬‬

‫د السرعة تتزايد وعجلة الحركة تتناقص‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1‬‬

‫يقتت ط ى ةمضحلا‬

‫‪ 6‬أي من األشكال التالية تمثل جسي ًما تتزايد سرعته ‪:‬‬ ‫ف‬

‫ن‬

‫ف‬

‫جـ‬

‫ن‬

‫شكل ج‬

‫شكل د‬

‫‪ 7‬أي من األشكال التالية تمثل جسي ًما يتحرك بتقصير منتظم‪:‬‬ ‫ع‬

‫ن‬

‫ع‬

‫ن‬

‫شكل ب‬

‫شكل أ‬

‫‪E‬‬

‫ن‬

‫شكل ب‬

‫شكل أ‬

‫ف‬

‫شكل ج‬

‫شكل د‬

‫‪ 8‬فى كل من المنحنيات المرسومة (منحنى الموضع ‪ -‬الزمن) حدد إشارة القياس الجبرى لمتجه السرعة‪ ،‬ثم‬ ‫عين ما إذا كان الجسيم يتحرك بتسارع أو يتباطأ (يتحرك ببطء)‪.‬‬ ‫س‬

‫س‬

‫س‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫ن‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0 1‬‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫‪1 6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫ن‬

‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪1‬‬‫‪3-‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2-‬‬

‫‪2‬‬

‫ن‬

‫‪4‬‬

‫‪4-‬‬

‫‪0 1‬‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪1 1‬‬

‫ةهجتمل لاو ل لضافت‬

‫‪ 9‬فى كل من المنحنيات المرسومة (منحنى السرعة ‪ -‬الزمن) حدد إشارة العجلة‪ ،‬وبين إذا كان الجسيم يتحرك‬ ‫بتسارع أو يتحرك بتباطؤ‪.‬‬ ‫ع‬

‫ع‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫ن‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬‫‪2-‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ن‬

‫‪0 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫ن‬

‫ع‬

‫‪3-‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4-‬‬

‫‪0 1‬‬

‫‪2‬‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ 10‬أمامك ثالثة منحنيات (‪ )3( ، )2( ، )1‬كل منها تمثل منحنى الموضع ‪ -‬الزمن وثالثة منحنيات (‪، )5( ، )4‬‬ ‫(‪ )6‬كل منها تمثل منحنى السرعة ‪ -‬الزمن ‪ .‬صل كل منحنى من المجموعة األولى بالمنحنى المناظر له من‬ ‫المجموعة الثانية‪.‬‬ ‫س‬

‫ن‬

‫س‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫س‬

‫ن‬

‫‪4‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪2-‬‬

‫‪1‬‬

‫ن‬

‫‪5‬‬

‫‪2-‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1-‬‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫المجموعة األولى‬ ‫ع‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬

‫ع‬

‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫ن‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪2‬‬

‫ن‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0 1‬‬

‫‪2-‬‬

‫شكل (‪)4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫ن‬

‫ع‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0 1‬‬

‫‪3-‬‬

‫‪2-‬‬

‫المجموعة الثانية‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1‬‬‫‪2-‬‬

‫‪1-‬‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4-‬‬

‫شكل (‪)6‬‬

‫‪1 7‬‬

‫يقتت ط ى ةمضحلا‬

‫‪ 11‬إذا كانت ع = ‪ 3‬س فأوجد جـ بداللة س ثم أوجد جـ عندما س = ‪2‬‬

‫‪ 12‬يتحرك جسيم فى خط مستقيم بحيث كان القياس الجبرى لمتجه السرعة ع فى عالقة مع القياس الجبرى‬ ‫‪1‬‬ ‫س ‪ ،‬أوجد عجلة الحركة عندما س = ‪ 2‬حيث س مقاسة بالمتر‪ ،‬ع‬ ‫للموضع س يعطى بالصورةع = س ‪+‬‬ ‫مقاسة بوحدة م‪/‬ث‪.‬‬ ‫‪ 1‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كان القياس الجبرى لسرعته ع يعطى فى عالقة مع القياس الجبرى‬ ‫للموضع س بالصورة ع = ‪ ، 1‬أوجد حـ بداللة س‪ ،‬ثم أوجد حـ عندما س = ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س‬

‫‪ 14‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كان القياس الجبرى للسرعة ع يعطى فى عالقة مع القياس الجبرى‬ ‫للموضع س بالصورة ع‪ 9 - 16 = 2‬جتا س‪ ،‬أوجد أقصى سرعة للجسيم وعجلة الحركة عندئذ‪.‬‬ ‫‪ 15‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث تكون معادلة حركته تعطى بالصورة س (ن) = ‪ 3‬جتا ن ‪ 4 +‬جا ن حيث‬ ‫س مقاسة بالمتر ‪ ،‬ن مقاسة بالثانية‪.‬‬ ‫أ أوجد القياس الجبرى لإلزاحة ف عندما ن = ‪ ، r‬ن = ‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ ،‬ن =‪r‬‬ ‫ب أوجد القياس الجبرى لمتجه السرعة ع عندما ن= ‪ ، 0‬ن =‬ ‫‪2‬‬

‫جـ أوجد أقصى إزاحة للجسيم‪.‬‬

‫‪ 16‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم تب ًعا للعالقة س = ‪ C‬جا ك ن حيث س يعبر عن القياس الجبرى للموضع‪ ،‬ن الزمن‪،‬‬ ‫‪ ، C‬ك ∈ ح‪.‬‬ ‫أ أوجد العالقة بين ع‪ ،‬س حيث ع القياس الجبرى لمتجه السرعة‪.‬‬ ‫ب أوجد ع عندما س = ‪. C‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪C-‬‬

‫ج أوجد الزمن المستغرق حتى يكون س = ‪ 2‬وأوجد عجلة الحركة عندئذ‪.‬‬

‫‪1 8‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫تكامل الدوال المتجهة‬ ‫‪Integration of vector functions‬‬

‫المنحنى المرسوم يمثل منحنى السرعة‪ -‬الزمن‪ ،‬منحنى العجلة‪ -‬الزمن فى شكل بيانى‬ ‫واحد؛ بين أن المساحة تحت منحنى العجلة‪ -‬الزمن خالل أى فترة زمنية [‪ ، 0‬ن]‬ ‫يساوى سرعة الجسيم عند الزمن ن‬ ‫ع (ن)‬

‫ن‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫جـ (ن)‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0 1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫‪3‬‬

‫س=‬

‫ع‪E‬ن‬

‫ع= جـ ‪ E‬ن‬

‫ إذا كانت العجلة دالة ىف‬ ‫املوضع فإن‬ ‫جـ ‪ E‬س =‬

‫ع‪E‬ع‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫ن‬

‫ إذا كانت كل من حـ ‪ ،‬ع‬ ‫دوال ىف الزمن فإن‪:‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫جـ (ن)‬

‫‪2-1‬‬

‫سوف تتعلم‬

‫عمل تعاونى‬

‫ع (ن)‬

‫الوحدة األولى‬

‫‪2‬‬

‫‪0 1‬‬

‫‪0‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫ تكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫يمكن استخدام المنحنيات المرسومة أو باستخدام أى برامج رسومية إنشاء منحنيات‬ ‫أخرى تثبت من خاللها ما هو مطلوب منك‪.‬‬

‫تعلم‬ ‫‪ -1‬التكامل المحدد‪:‬‬

‫ب د‪( /‬س) ‪E :‬س = د(ب) ‪ -‬د( ‪) C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اً‬ ‫فمثل‪( 1 :‬س ‪2 +‬س ‪ = )1 -‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫= [ س ‪2 +‬س ‪ = ]1 -‬س‬

‫‪3‬‬ ‫س‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= [ ‪ +‬س ‪ -‬س] ‪33 = ]1 - 1 + [ - ]4 - 16 + [ = 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫وسوف يدرس التكامل المحدد فى علم التفاضل‬

‫‪ -2‬ا�ستنتاج ال�سرعة والإزاحة‪:‬‬ ‫‪E‬ع‬ ‫(‪ )i‬إذا كانت جـ =‬ ‫‪E‬ن‬

‫فإن جـ ‪ E‬ن = ‪ E‬ع‬

‫` ع = جـ ‪ E‬ن‬

‫(‪)1 - 1‬‬

‫تذكر �أن‬ ‫الرموز حـ ‪ ،‬ع ‪ ،‬س تستخدم‬ ‫لتدل على القياسات الجبرية‬ ‫لكل من العجلة ‪ ،‬متجه السرعة‬ ‫والموضع على الترتيب‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫األدوات المستخدمة‬ ‫ آله حاسبة علمية‪.‬‬

‫ برامج رسومية للحاسب‪.‬‬

‫‪139‬‬

‫يقتت ط ى ةمضحلا‬

‫ولتعيين عجلة حركة وحيدة تطابق العجلة المعطاة جـ (ن) يجب وضع الشروط االبتدائية لكل من السرعة‬ ‫ع‬ ‫االبتدائية ‪ :‬والموضع االبتدائى س‪:‬‬ ‫وذلك عند ن = ‪ ،0‬ويمكن استبدال التكامل غير المحدد التكامل المحدد مع حدود التكامل المناسبة فيكون‬ ‫لدينا‪.‬‬ ‫ع‬

‫ن‬

‫‪:‬‬

‫ع‬

‫‪E‬ع=‬

‫ن‬

‫‪:‬‬

‫` ع ‪ -‬ع ‪ : = :‬جـ ‪ E‬ن‬ ‫= المساحة تحت منحنى العجلة ‪ -‬الزمن‬ ‫ن‬ ‫وإذا كانت العجلة جـ ثابتة فإن‪ :‬ع ‪ -‬ع ‪ = :‬جـ ‪ E :‬ن‬ ‫` ع = ع ‪ + :‬جـ ن‬

‫جـ ‪ E‬ن‬

‫(‪)2 - 1‬‬ ‫(‪)3 - 1‬‬

‫الحظ أن‪:‬‬

‫ال يمكن استخدام المعادلة (‪ )3 - 1‬إال فى حالة العجلة الثابتة أما إذا كانت العجلة دالة فى الزمن نستخدم المعادلة‬ ‫(‪ )1 - 1‬أو (‪ )2 - 1‬حسب معطيات المسألة‪.‬‬ ‫‪E‬س‬ ‫(‪ )ii‬إذا كانت ع =‬ ‫‪E‬ن‬ ‫` س= ع‪E‬ن‬

‫فإن‪ :‬ع ‪ E‬ن = ‪ E‬س‬

‫ومع استخدام التكامل المحدد وحدود التكامل المناسبة نجد أن‪:‬‬ ‫س‪:‬‬

‫س‬

‫‪E‬س=‪:‬‬

‫ن‬

‫ع‪E‬ن‬

‫(‪)1 - 2‬‬

‫(‪)2 - 2‬‬

‫(الحظ أن س ‪ -‬س‪ = :‬ف)‬ ‫` س ‪ -‬س‪ : = :‬ع ‪ E‬ن‬ ‫= المساحة تحت منحنى السرعة ‪ -‬الزمن‬ ‫وإذا كانت العجلة ثابتة يمكن بالتعويض عن السرعة ع من المعادلة (‪ )3 - 1‬نجد أن‪:‬‬ ‫`‬

‫س ‪ -‬س‪: = :‬‬

‫ن‬

‫` س‪-‬س =ع ن‪1 +‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫(ع‪ + :‬جـ ن) ‪ E‬ن‬

‫` س = س ‪ +‬ع ن ‪1+‬‬ ‫‪2 : :‬‬ ‫‪E‬ع‬ ‫(‪ )iii‬إذا كانت حـ = ع‬ ‫‪E‬س‬

‫جـ ن‪2‬‬

‫فإن‪ :‬جـ ‪ E‬س = ع ‪ E‬ع‬

‫جـ ن‪2‬‬

‫(‪)1 - 3‬‬

‫وباستخدام التكامل المحدد ومع حدود التكامل المناسبة نجد أن‪:‬‬ ‫ع‪:‬‬

‫ع‬

‫‪E‬ع = س‪:‬‬

‫س‬

‫جـ ‪ E‬س‬

‫س‬

‫‪ ( 12‬ع‪- 2‬ع‪ = ) :2‬س‪ :‬جـ ‪ E‬س‬ ‫= المساحة تحت منحنى العجلة ‪ -‬اإلزاحة‬

‫وعند ثبوت العجلة حـ يكون‪ :‬ع‪ - 2‬ع‪ 2 = :2‬جـ‬ ‫` ع‪ = 2‬ع‪ 2 + :2‬جـ (س ‪ -‬س‪):‬‬

‫‪140‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫(‪)2 - 3‬‬ ‫س‪:‬‬

‫س‬

‫‪E‬س‬

‫(الحظ أن س ‪ -‬س‪ = :‬ف) (‪)3 - 3‬‬ ‫كتاب الطالب‬

‫ةجج ل لاو ل لضافت‬

‫‪1 1‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 1‬بدأ جسيم حركته فى خط مستقيم من نقطة األصل بسرعة ابتدائية قدرها ‪8‬م‪/‬ث وكانت عجلة الحركة بعد‬ ‫كال من سرعة الجسيم وإزاحته بعد ‪2‬ث من بدء الحركة‪.‬‬ ‫ن ثانية تعطى بالعالقة (‪ 3‬ن ‪ )2-‬أوجد ًّ‬ ‫الحل‬

‫‪ a‬جـ = ‪ 3‬ن ‪2 -‬‬ ‫‪ a‬ع ‪8 = :‬م‪/‬ث‬

‫` ع = (‪ 3‬ن ‪E )2 -‬ن‬ ‫` ع = ‪8‬م‪/‬ث عندما ن = ‪0‬‬

‫` ع = ‪ 32‬ن‪ 2 - 2‬ن ‪8 +‬‬ ‫‪ a‬ع = ‪ 32‬ن‪ 2 - 2‬ن ‪8 +‬‬

‫` س = ‪ 12‬ن‪ - 3‬ن‪8 + 2‬ن ‪ +‬ث‬ ‫‪ a‬س = ‪ 0‬عندما ن = ‪0‬‬

‫` ع = ‪ 32‬ن‪ 2 - 2‬ن ‪ +‬ث‬ ‫` ث=‪8‬‬

‫` ع (‪ 10 = 8 + 2 * 2 - 4 * 32 = )2‬م‪/‬ث‬

‫‪/‬‬

‫` س = ( ‪ 32‬ن‪ 2 - 2‬ن ‪ E )8 +‬ن‬

‫` س = ‪ 12‬ن‪ - 3‬ن‪ 8 + 2‬ن‬

‫` ث‪0 = /‬‬

‫ف(‪ = )2‬س (‪ - )2‬س (‪ 16 = )2(8 + 2)2( - 3)2( 12 = )0‬متر‬

‫حل آخر‪:‬‬

‫‪ a‬جـ = ‪ 3‬ن ‪2 -‬‬ ‫`‬

‫‪8‬‬

‫ع‬

‫‪E‬ع = ‪:‬‬

‫ن‬

‫(‪ 3‬ن ‪ E )2-‬ن‬

‫` ع = ‪ 32‬ن‪ 2 - 2‬ن ‪8 +‬‬ ‫‪ a‬ف=‬

‫ن‬

‫‪:‬‬

‫ع‪E‬ن‬

‫‪E‬ع‬ ‫`‬ ‫‪E‬ن‬ ‫` ع ‪ 32 = 8 -‬ن‪ 2 - 2‬ن‬

‫=‪3‬ن‪2-‬‬

‫` ع(‪ 10 = 8 + 2 * 2 - 4 * 32 = )2‬م‪/‬ث‬ ‫` ف(‪: = )2‬‬

‫` ف(‪ 12 [ = )2‬ن‪ - 3‬ن‪ 8 + 2‬ن]‪ 16 = )2( 8 + 2)2( - 3)2( 12 = 02‬متر‬

‫‪2‬‬

‫( ‪ 32‬ن‪ 2 - 2‬ن ‪ E )8 +‬ن‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 1‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم مبتدأ من السكون وعلى بعد ‪ 8‬أمتار من نقطة ثابتة على الخط المستقيم فإذا‬ ‫كانت جـ = ‪6‬ن ‪ 4 -‬حيث جـ مقاسة بوحدة م‪/‬ث‪ 2‬فأوجد العالقة بين السرعة والزمن‪ ،‬كذلك العالقة بين‬ ‫اإلزاحة والزمن‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 2‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كان القياس الجبرى لسرعته ع يعطى كدالة فى الزمن بالعالقة‬ ‫ع = ‪6‬ن‪ 24 - 2‬حيث ع مقاسة بوحدة (م‪/‬ث) أوجد متى تصل سرعة الجسيم ‪ 72‬م‪/‬ث ‪ ،‬ثم أوجد مقدار عجلة‬ ‫الجسيم عندما تبلغ سرعته ‪ 30‬م‪/‬ث ثم أوجد مقدار إزاحة الجسيم خالل الفترة ن ∈ [‪]4 ، 1‬‬ ‫الحل‬

‫‪ a‬ع = ‪6‬ن‪24 - 2‬‬ ‫‪ -1‬عندما تبلغ سرعة الجسيم ‪ 72‬م‪/‬ث‬ ‫` ‪6‬ن‪96 = 2‬‬ ‫` ‪6‬ن‪72 = 24 - 2‬‬

‫ن‪16 = 2‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫ن=‪4‬ث‬

‫‪141‬‬

‫يقتت ط ى ةمضحلا‬

‫‪ -2‬عندما تبلغ سرعة الجسيم ‪ 30‬م ‪ /‬ث‬ ‫` ‪6‬ن‪54 = 2‬‬ ‫` ‪6‬ن‪30 = 24 - 2‬‬

‫ن‪9 = 2‬‬

‫‪E‬ع‬

‫‪ a‬جـ = ‪ 12‬ن‬ ‫‪ a‬جـ = ‪ E‬ن‬ ‫‪ -3‬مقدار اإلزاحة خالل الفترة الزمنية ن ∈ [‪]4 ، 1‬‬ ‫‪4‬‬

‫ف=‪ 1‬ع‪E‬ن‬ ‫مترا‬ ‫ف = (‪ً 54 = )24 - 2( - )4 * 24 - 64 * 2‬‬

‫جـ (‪ 36 = )3‬م ‪/‬ث‪2‬‬ ‫ف=‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫ن=‪3‬ث‬

‫(‪6‬ن‪ E )24 - 2‬ن = [‪2‬ن‪ 24 - 3‬ن]‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 2‬بدأت سيارة الحركة من السكون فى خط مستقيم من نقطة ثابتة على الخط ويعطى القياس الجبرى لمتجه‬ ‫كال من‬ ‫سرعتها بعد زمن ن بالعالقة ع = ‪ 3‬ن‪ 2 + 2‬ن حيث ع مقاسة بوحدة م‪/‬ث ‪ ،‬ن مقاسة بالثانية‪ .‬أوجد ًّ‬ ‫عجلة الحركة وإزاحة السيارة عند ن = ‪2‬‬ ‫مثال‬ ‫بدأت سيارة حركتها من السكون فى خط مستقيم من نقطة ثابتة على الخط ويعطى القياس الجبرى لمتجه‬ ‫كال من متجه‬ ‫سرعتها بعد زمن ن بالعالقة ع = ‪3‬ن‪ 6 - 2‬ن حيث ع مقاسة بوحدة م‪/‬ث‪ ،‬ن مقاسة بالثانية‪ .‬أوجد ًّ‬ ‫السرعة المتوسطة والسرعة المتوسطة خالل الفترة الزمنية ‪ H 0‬ن ‪3٫5 H‬‬ ‫الحل‬

‫‬‫‪+‬‬ ‫`ع = ‪ 3‬ن (ن ‪)2 -‬‬ ‫‪ a‬ع = ‪ 3‬ن‪6 - 2‬ن‬ ‫ن=‪ 2‬ن=‪0‬‬ ‫نجد أن السيارة تغير اتجاه حركتها بعد ‪ 2‬ث ويوضح ذلك بحث إشارة ع (ن) أو منحنى السرعة ‪ -‬الزمن‬ ‫`ف=‪:‬‬

‫‪3٫5‬‬

‫ع ‪ E‬ن =‪0‬‬

‫‪3٫5‬‬

‫(‪ 3‬ن‪ 6 - 2‬ن) ‪ E‬ن‬

‫` ف = [ ن‪ 3 - 3‬ن‪49 = 2)3٫5( 3 - 3)3٫5( = 3٫5 ]2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪49‬‬ ‫` متجه السرعة المتوسطة ع = ‪ 8‬ى =‪ 1٫75‬ى‬ ‫م‬ ‫‪0- 3٫5‬‬ ‫حيث ى متجه وحدة فى اتجاه الحركة ‪ ،‬ويكون القياس الجبرى لمتجه السرعة‬

‫المتوسطة يساوى ‪1٫75‬م‪/‬ث‬

‫ع‬

‫‪15‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬

‫ن‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0 1‬‬

‫المسافة المقطوعة خالل الفترة الزمنية ن ∈ [ ‪]3٫5 ، 0‬‬ ‫= |‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫ع‪E‬ن|‪2|+‬‬

‫‪3٫5‬‬

‫‪49‬‬ ‫‪3٫5 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 113‬متر‬ ‫ع ‪ E‬ن| = | [ن ‪3 -‬ن ]‪[| + | 0‬ن ‪3 -‬ن ]‪8 = 4 + 8 + 4 = | 2‬‬

‫‪113‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 4٫04 - 113‬م‪/‬ث‬ ‫` السرعة المتوسطة = ‪28 = 0- 3٫5‬‬

‫‪142‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪3-‬‬

‫ةجج ل لاو ل لضافت‬

‫‪1 1‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫بدأت سيارة حركتها من السكون فى خط مستقيم من نقطة ثابتة على هذا الخط‪ ،‬ويعطى القياس الجبرى‬ ‫لمتجه السرعة ع بعد زمن ن بالعالقة ع = ‪ 4‬ن ‪3 -‬ن‪ 2‬حيث ع مقاسة بوحدة م‪/‬ث‪ ،‬ن مقاسة بالثانية أوجد خالل‬ ‫كال من السرعة المتوسطة ومتجه السرعة المتوسطة‪ .‬متى تصل سرعة السيارة‬ ‫الفترة الزمنية ن حيث ن∈ [‪ًّ ]4 ، 0‬‬ ‫إلى قيمتها العظمى؟ وأوجد مقدار العجلة عندئذ‪.‬‬ ‫مثال‬

‫‪ 4‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم يبدأ حركته من نقطة ثابتة على الخط المستقيم بحيث كان القياس الجبرى‬ ‫لعجلته جـ يعطى بداللة القياس الجبرى لموضعه س بالعالقة حـ = ‪ 2‬س ‪ 5 +‬عل ًما بأن سرعة الجسيم االبتدائية‬ ‫‪2‬م‪/‬ث فأوجد‪:‬‬ ‫ب أوجد سرعة الجسيم عندما س = ‪1‬‬ ‫أ ع‪ 2‬بداللة س‬ ‫جـ أوجد س عندما ع = ‪ 4‬م‪/‬ث‬ ‫الحل‬

‫أ ‪ a‬جـ = ‪ 2‬س ‪5 +‬‬ ‫`‪:‬‬

‫س‬

‫(‪2‬س ‪ E )5 +‬س = ‪2‬‬

‫ع‬

‫` س‪ 5 + 2‬س = ‪( 12‬ع‪)4 - 2‬‬

‫ع‪E‬ع‬

‫‪ a‬جـ ‪ E‬س = ع ‪ E‬ع‬ ‫‪2‬‬ ‫` [س ‪5 +‬س] ‪:‬‬

‫س‬

‫ع‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪[ 2‬ع ] ‪2‬‬

‫` ع‪ 2 = 2‬س‪ 10 + 2‬س ‪4 +‬‬

‫ب عندما س = ‪ 1‬نجد أن‪:‬‬ ‫` السرعة = |ع| = ‪ 4‬م‪/‬ث‬ ‫ع‪16 = 2‬‬ ‫جـ عندما ع = ‪ 4‬م‪/‬ث نجد أن‪:‬‬ ‫‪ 2 = 16‬س‪ 10 + 2‬س ‪4 +‬‬ ‫(س ‪( )6 +‬س ‪0 = )1 -‬‬

‫` س‪ 5 + 2‬س ‪0 = 6 -‬‬ ‫س = ‪ 6 -‬متر أو س = ‪ 5‬متر‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 4‬سيارة تتحرك فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية ‪ 12‬م‪/‬ث من موضع يبعد ‪ 4‬أمتار فى االتجاه الموجب من نقطة‬ ‫ثابتة على الخط المستقيم بحيث كانت حـ = س ‪ 4-‬فأوجد‪:‬‬ ‫ب أوجد سرعة السيارة عندما جـ = ‪0‬‬ ‫أ ع‪ 2‬بداللة س‬ ‫مثال‬ ‫‪ 5‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية قدرها ‪8‬م ‪ /‬ث من نقطة ثابتة على الخط المستقيم بحيث كانت‬ ‫جـ = ‪ 40‬هـ ‪-‬س ‪ ،‬أوجد‪:‬‬ ‫ب أوجد س عندما ع = ‪ 10‬م‪/‬ث‬ ‫أ ع‪ 2‬بداللة س‬ ‫جـ عين أقصى سرعة للجسيم‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪14‬‬

‫يقتت ط ى ةمضحلا‬ ‫الحل‬

‫أ ‪a‬‬

‫جـ = ‪ 40‬هـ ‪-‬س‬

‫` ‪40‬‬

‫س‬

‫‪:‬‬

‫هـ ‪-‬س ‪ E‬س =‬ ‫س‬

‫‪8‬‬

‫ع‬ ‫ع‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س‬‫` ‪ [ 40 -‬هـ ]‪[ 2 = :‬ع ]‪8‬‬ ‫` ع‪ 80 - 144 = 2‬هـ ‪-‬س‬

‫ع‪E‬ع‬

‫ب عندما ع = ‪ 10‬م‪/‬ث نجد أن‪:‬‬

‫‪ a‬جـ ‪ E‬س = ع ‪ E‬ع‬ ‫` ‪( 80-‬هـ ‪-‬س ‪ = )1 -‬ع‪64 - 2‬‬ ‫‪ 80‬هـ ‪-‬س = ‪44‬‬

‫` هـ س = ‪20‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪80‬‬ ‫جـ ‪a‬ع‪- 144 = 2‬‬ ‫هـ س‬ ‫‪80‬‬ ‫` س ‪ 0 #‬عندما هـ س ‪∞ #‬‬ ‫هـ‬

‫لو‬ ‫‪ 20‬متر‬ ‫` س = ‪11‬‬ ‫هـ‬

‫‪ a‬هـ س > ‪ 0‬لجميع قيم س‬ ‫` أقصى سرعة = ‪ 12‬م‪/‬ث‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 5‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية مقدارها ‪ 2‬م‪/‬ث من نقطة ثابتة على الخط المستقيم بحيث‬ ‫كانت جـ = هـ س ‪ ،‬أوجد ع‪ 2‬بداللة س ثم أوجد ع عندما س = ‪ 4‬متر ‪ ،‬س عندما ع = ‪ 20‬م‪/‬ث‪.‬‬

‫تمــــاريــن ‪2 - 1‬‬ ‫فى جميع المسائل اعتبر أن الجسيم يتحرك فى خط مستقيم ‪ ،‬س ‪ ،‬ع ‪ ،‬جـ هى القياسات الجبرية لكل من‬ ‫الموضع ‪ ،‬متجه السرعة‪ ،‬العجلة على الترتيب‪:‬‬

‫اختر الإجابة ال�صحيحة من بين الإجابات المعطاة‪:‬‬ ‫‪ 1‬إذا كان ع = ‪3‬ن‪2 - 2‬ن ‪ ،‬وكانت س = ‪ 1‬عندما ن = ‪ 0‬فإن‪:‬‬ ‫ب س = ‪3‬ن‪2 - 2‬ن ‪ 1 +‬ج س = ن‪ - 3‬ن‪1 + 2‬‬ ‫أ س = ‪6‬ن ‪2 -‬‬

‫‪ 2‬إذا كان ع = ‪ + 1‬جا ن‪ ،‬وكانت س = ‪ 3-‬عندما ن = ‪ 0‬فإن‪:‬‬ ‫ج س = ن ‪-‬جتا ن ‪2 +‬‬ ‫ب س = ن ‪ -‬جتا ن‬ ‫أ س = ن ‪ +‬جتا ن‬ ‫إذا كان ع = ‪3‬ن ‪ ، 2 -‬فإن ف خالل الفترة [‪]2 ، 0‬‬ ‫ب ‪ 2‬وحدة طول‬ ‫أ ‪ 1‬وحدة طول‬

‫ج ‪ 3‬وحدة طول‬

‫‪ 4‬إذا كان ع = ‪ 3‬ن‪2 - 2‬ن ‪ ،‬فإن المسافة المقطوعة خالل [‪]2 ، 0‬‬ ‫أ ‪4‬‬ ‫ج‬ ‫‪ 112‬وحدة طول‬ ‫ب ‪ 4‬وحدة طول‬ ‫‪ 27‬وحدة طول‬ ‫‪27‬‬

‫د س = ن‪ - 3‬ن ‪1 -‬‬ ‫د س = ن ‪ -‬جتا ن ‪2-‬‬ ‫د ‪ 4‬وحدة طول‬ ‫د‬ ‫‪ 116‬وحدة طول‬ ‫‪27‬‬

‫‪ 5‬إذا كانت ع = ن‪ 3 - 3‬ن‪2 + 2‬ن ‪ ،‬فإن المسافة المقطوعة خالل الفترة الزمنية [‪]3 ، 0‬‬ ‫د‬ ‫‪ 11‬وحدة طول‬ ‫ج ‪ 94‬وحدة طول‬ ‫ب ‪ 12‬وحدة طول‬ ‫أ ‪ 14‬وحدة طول‬ ‫‪4‬‬

‫‪144‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪1 1‬‬

‫هجتمل لاو ل لماكت‬

‫إذا كانت حـ = ‪ ، 3‬ع = ‪ 1-‬فإن ف خالل الفترة الزمنية [‪.]2 ، 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ج ‪ 25‬وحدة طول‬ ‫ب ‪ 4‬وحدة طول‬ ‫أ ‪ 1‬وحدة طول‬ ‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫د‬ ‫‪ 13‬وحدة طول‬ ‫‪3‬‬

‫إذا كانت حـ = ‪ ، 3‬ع‪ 1- = :‬فإن المسافة المقطوعة خالل الفترة الزمنية [‪.]2 ، 0‬‬ ‫ج ‪ 25‬وحدة طول‬ ‫ب ‪ 4‬وحدة طول‬ ‫أ ‪ 1‬وحدة طول‬ ‫من منحنى السرعة ‪ -‬الزمن المقابل فإن مقدار االزاحة‬

‫د‬ ‫‪ 13‬وحدة طول‬ ‫‪3‬‬ ‫ع‬

‫‪..............‬‬

‫أ ‪ 3‬وحدة طول‬ ‫ب ‪ 5‬وحدة طول‬ ‫ج ‪ 7‬وحدة طول‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫ن‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3-‬‬

‫من منحنى السرعة ‪ -‬الزمن المقابل ‪،‬فإن المسافة المقطوعة =‬

‫ج ‪ 13٫5‬وحدة طول‬

‫‪1‬‬‫‪2-‬‬

‫د ‪ 8‬وحدة طول‬

‫أ ‪ 4٫5‬وحدة طول‬ ‫ب ‪ 10٫5‬وحدة طول‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪..............‬‬

‫ع‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫ن‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫د ‪ 19٫5‬وحدة طول‬

‫‪0 1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬‫‪2‬‬‫‪3-‬‬

‫‪ 1‬قذف جسيم رأس ًّيا ألعلى بسرعة ابتدائية قدرها ‪ 5٫6‬م‪/‬ث من نقطة على أرتفاع ‪ 24٫5‬متر من سطح األرض‬ ‫أوجد كل من ع ‪ ،‬س بداللة ن ثم أوجد أقصى ارتفاع يصل إليه الجسيم عن سطح األرض‪.‬‬ ‫جسيم يتحرك فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية ‪ 2‬م ‪ /‬ث من نقطة ثابتة بحيث كانت حـ = ‪ 2‬ن ‪6 -‬‬ ‫حيث حـ مقاسة بوحدة م ‪ /‬ث‪ 2‬أوجد بداللة ن كل من ع ‪ ،‬س ثم أوجد س عندما ع = ‪ 18‬م‪/‬ث‬ ‫‪1‬‬

‫جسيم يتحرك فى خط مستقيم من نقطة ثابتة على المستقيم مبتدأ من السكون بحيث كانت حـ = ‪2 - 8‬ن‪2‬‬

‫حيث جـ مقاسة بوحدة م‪/‬ث‪ 2‬أوجد أقصى سرعة للجسيم وزمن الوصول ألقصى سرعة والمسافة المقطوعة‬ ‫حتى هذا الزمن‪.‬‬

‫‪ 1‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم من نقطة ثابتة على المستقيم مبتدأ من السكون بحيث كانت حـ = ‪ 38‬س‪2‬حيث‬ ‫جـ مقاسة بوحدة م‪/‬ث‪ ، 2‬س بالمتر‪ .‬أوجد سرعة الجسيم عندما يكون س = ‪ 2‬متر‪ ،‬ثم أوجد موضعه عندما تكون‬ ‫ع=‪8‬م‪/‬ث‬ ‫‪ 1‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية ‪ 3‬م‪/‬ث من نقطة ثابتة بحيث حـ = ‪6‬س ‪ 4 +‬حيث جـ مقاسة‬ ‫بوحدة م‪ /‬ث‪ ، 2‬س بالمتر أوجد ع‪ 2‬بداللة س ‪ ،‬أوجد سرعة الجسيم عندما س = ‪ 2‬ثم أوجد س عندما‬ ‫ع‪87 = 2‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪15‬‬

‫يقتت ط ى ةمضحلا‬

‫اختر الإجابة ال�صحيحة من بين الجابات المعطاة‬

‫‪ 1‬إذا كان س = ن‪3 - 2‬ن ‪ 2 +‬فإن الجسيم يغير اتجاه حركته عندما‪:‬‬ ‫ج ن = ‪1٫5‬‬ ‫ب ن=‪1‬‬ ‫أ ن = ‪ ،1‬ن =‪2‬‬

‫د ن=‪2‬‬

‫إذا كانت ع (ن) = ‪9٫8‬ن ‪ 5 +‬حيث س (‪ ، 10 = )0‬فإن س (‪)10‬‬ ‫ج ‪540‬‬ ‫ب ‪530‬‬ ‫أ صفر‬

‫د ‪550‬‬

‫‪ 2‬إذا كان س = ‪6‬ن ‪ -‬ن‪ 2‬فإن المسافة المقطوعة خالل الفترة الزمنية ‪ H 0‬ن ‪ 6 H‬تكون‬ ‫د ‪36‬‬ ‫ج ‪18‬‬ ‫ب ‪9‬‬ ‫أ صفر‬

‫‪ 4‬إذا كانت ع (ن) = ‪ 2‬جتا ‪2 i‬ن ` ‪ ،‬كانت س (‪ 1 = )2r‬فإن س (ن)‬ ‫‪r‬‬

‫أ‬

‫‪ 2‬جا ‪2 i‬ن ` ‪1 +‬‬

‫‪r‬‬

‫ب ‪ 2‬جا ‪2 i‬ن ` ‪1 -‬‬ ‫‪r‬‬

‫ج جا ‪2 i‬ن ` ‪1 +‬‬

‫‪r‬‬

‫د جا ‪2 i‬ن ` ‪1 -‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫‪ 5‬إذا كان حـ (ن) = ‪4-‬جا ‪2‬ن ‪ ،‬كان ع (‪ ، 2 = )0‬س (‪ 3- = )0‬فإن س (‪)r‬‬ ‫ج ‪2‬‬ ‫ب ‪0‬‬ ‫أ ‪3-‬‬

‫‪ 6‬المنحنى المرسوم بالشكل المقابل يمثل موضع جسيم ومتجه سرعته وعجلة‬ ‫الحركة فأى االختيارات اآلتية تمثل على الترتيب منحنيات الموضع ‪ -‬الزمن‪،‬‬ ‫السرعة ‪ -‬الزمن‪ ،‬العجلة ‪ -‬الزمن‪.‬‬ ‫أ ‪1 ،2 ، 3‬‬ ‫ب ‪2 ،3 ،1‬‬ ‫ج ‪2 ،1 ،3‬‬

‫د ‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪2‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫د ‪3 ،2 ،1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0 1‬‬

‫‪4‬‬‫‪8‬‬‫‪12-‬‬

‫‪ 7‬المنحنى المرسوم بالشكل المقابل يمثل موضع جسيم ومتجه سرعته وعجلة الحركة فأى االختيارات اآلتية‬ ‫تمثل على الترتيب منحنيات الموضع ‪ -‬الزمن‪ ،‬السرعة ‪ -‬الزمن ‪ ،‬العجلة ‪ -‬الزمن‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب ‪3 ،2 ،1‬‬ ‫أ ‪1 ،2 ، 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫د ‪2 ،1 ،3‬‬ ‫ج ‪1 ،3 ،2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 8‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم طب ًقا للعالقة س = ‪ 4‬جتا ن حيث س مقاسة‬ ‫بوحدة سنتيمتر ‪ ،‬ن بالثانية ‪ ،‬أوجد ‪:‬‬ ‫أ ع عندما ن = ‪r‬‬ ‫ب جـ عندما ن = ‪r‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪146‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪1‬‬‫‪2-‬‬

‫‪3-‬‬

‫‪3‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪ 9‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم من نقطة ثابتة على الخط المستقيم طب ًقا‬ ‫للعالقة ع = جا ن ‪ -‬جتا ن‪ ،‬أوجد س ( ‪) r‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 10‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كان القياس الجبرى إلزاحته ف يعطى‬ ‫كدالة فى الزمن ن بالعالقة ف = ن‪6 - 3‬ن‪ 9 + 2‬ن حيث ف مقاسة بالمتر ‪ ،‬ن بالثانية ‪.‬‬ ‫أ أوجد عجلة الحركة عند لحظات انعدام السرعة‪.‬‬ ‫ب أوجد سرعة الجسيم عندما تكون جـ = ‪0‬‬ ‫ج حدد متى تتزايد سرعة الجسيم ومتى تتناقص ؟‬ ‫د أوجد المسافة المقطوعة خالل الخمس ثوان األولى ‪.‬‬

‫‪ 11‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم طب ًقا للعالقة حـ (ن) = ‪ 2-‬بسرعة ابتدائية قدرها ‪ 3‬م‪/‬ث من نقطة ثابتة على‬ ‫كال من اإلزاحة والمسافة المقطوعة خالل الفترة الزمنية [‪]4 ، 1‬‬ ‫الخط المستقيم أوجد ًّ‬

‫كال من‪:‬‬ ‫‪ 12‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم طب ًقا للعالقة ف = ن‪ 3 -3‬ن‪2‬حيث ف مقاسة بالمتر ‪،‬ن بالثانية أوجد ًّ‬ ‫أ عجلة الحركة عندما تنعدم السرعة‬ ‫ب سرعته المتوسطة ‪ ،‬متجه سرعته المتوسطة خالل الفترة الزمنية [‪. ]5 ، 0‬‬

‫‪ 1‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية قدرها ‪2-‬م ‪ /‬ث‪ ،‬ومن موضع يبعد ‪ 3‬أمتار فى االتجاه الموجب‬ ‫من نقطة ثابتة على الخط المستقيم بحيث كانت حـ = ‪2‬ن ‪ 1 +‬فأوجد س عند لحظات انعدام السرعة‪.‬‬

‫مبتدءا من النقطة ‪ C‬فى اتجاه ‪ C‬ب بحيث كان‬ ‫‪ ، C 14‬ب نقطتان على خط مستقيم واحد تحرك جسيم من السكون‬ ‫ً‬ ‫القياس الجبرى لسرعته يعطى بالعالقة ع = ‪ 0٫4‬ن ‪ 0٫9 +‬ن‪ 2‬حيث ع مقاسة بوحدة م‪/‬ث ‪،‬ن بالثانية وبعد‬

‫ثانيتين من تحرك الجسيم األول تحرك جسيم آخر مبتدءا من النقطة ب فى اتجاه ب ‪ C‬من السكون بعجلة ثابتة‬

‫قدرها ‪0٫2‬م‪/‬ث‪ 2‬فتقابل الجسمان بعد ‪ 5‬ثوان من تحرك الجسم األول فأوجد البعد بين ‪ ، C‬ب‬ ‫ب‬

‫لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى‬

‫‪C‬‬

‫‪www.sec3mathematics.com.eg‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪147‬‬

‫قوانين نيوتن للحركة‬ ‫‪Newton's laws of motion‬‬

‫الوحدة‬

‫‪2‬‬

‫مقدمة الوحدة‬

‫يعود الفضل فى اكتشاف قانون الجذب العام إلى العالم اإلنجليزى إسحق نيوتن (‪ )1727 - 1642‬الذى يعد أحد رموز الثورة العلمية فى مجال‬ ‫علم الميكانيكا الحديث ‪ ،‬ثم جاء العالم األلمانى يوهان كبلر ( ‪ )1630 - 1571‬ومن قبله فوضع بعض القواعد الرياضية التى تحكم حركة الكواكب‬ ‫حول الشمس ‪ ،‬بناء على ارصاد العلماء المسلمين التى ترجمت واجريت خالل القرون السابقة وقد أسس العالم اإليطالى جاليليو جاليلى (‪1564‬م‬ ‫ ‪1642‬م) علم الحركة‪ ،‬حيث أجرى الكثير من التجارب على األجسام الساقطة أو المقذوفة‪ ،‬كذلك األجسام المتحركة أفقيًّا‪ ،‬وقد اكتشف من خالل‬‫تجاربه الكثير من الخصائص المهمة لحركتها‪ ،‬ويرجع له الفضل فى اكتشاف أن األجسام التى تتحرك على سطوح أفقية بدون مقاومة تستمر فى‬ ‫حركتها بسرعة منتظمة ‪ ،‬ويُعتقد أن جاليليو كان قد توصل من خالل تجاربه إلى القانون األول والثانى من قوانين الحركة لنيوتن‪ .‬ولقد جمع إسحق‬ ‫نيوتن مجمل أبحاثه فى كتابه اسماه "برنسبيا" أى المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية‪ ،‬ويعد هذا الكتاب من أهم الكتب العلمية التى ظهرت فى‬ ‫العصر الحديث‪ ،‬وفيه صاغ نيوتن قوانينه الثالثة‪ .‬ولقد أوضح قانون الجذب العام لنيوتن مفهوم أن القوة يمكن أن تحدث تأثي ًرا عن بُعد ‪ ،‬فاألجسام‬ ‫تجذب بعضها البعض ‪ ،‬حتى وإن لم تكن متالمسة‪ ،‬فعلى سبيل المثال تجذب األرض األجسام بقوة تسمى " قوة الوزن" ‪.‬‬ ‫أما بشأن الكتلة فنالحظ أن تعريفها االستاتيكى ال يسمح بتعيين كتل األجسام ‪ ،‬ولكن فقط بمقارنة الكتل فيما بينها عن طريق مقاومة أوزانها‪،‬‬ ‫كما يمكن إعطاء تعريف ديناميكى للكتلة عن طريق دراسة حركة االجسام وتتناول هذه الوحدة دراسة الكتلة‪ ،‬وكمية الحركة‪ ،‬وقوانين نيوتن‬ ‫للحركة‪ ،‬مع تطبيقات على هذه القوانين تتناول الحركة على المستوى األملس والخشن‪ ،‬ودراسة حركة البكرات البسيطة‪.‬‬

‫مخرجات التعلم‬ ‫بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن‪:‬‬ ‫ يتعرف مفهوم كمية الحركة ووحدات قياسها ‪ -‬التغير فى‬ ‫كمية الحركة‪.‬‬ ‫ يتعرف على قوانين نيوتن (األول ‪ -‬الثانى ‪ -‬الثالث)‪.‬‬ ‫ يتعرف العالقة بين القوة والعجلة‪:‬‬ ‫إذا كانت القوة ق دالة فى الزمن ن أى أن ‪ = X‬د(ن) فإن ‪:‬‬

‫‪E‬ع‬ ‫‪=X‬ك‬ ‫‪E‬ن‬

‫أى أن‬

‫‪EX‬ن = ك ‪E‬ع‬

‫إذا كانت القوة ‪ X‬دالة فى اإلزاحة ف أى ‪ = X‬د(ف) فإن ‪:‬‬

‫‪E‬ع‬

‫أى أن ‪ E X‬ف = ك ع ‪ E‬ع‬ ‫‪ = X‬كع‬ ‫‪E‬ف‬ ‫ يطبق قوانين نيوتن للحركة فى مواقف حياتية مثل‪:‬‬ ‫ جسم موضوع داخل مصعد متحرك بعجلة منتظمة‬ ‫(حركة األجسام المتصلة بخيوط أو سالسل)‪.‬‬

‫‪148‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ حركة البكرات البسيطة‪.‬‬ ‫ حركة جسم على مستوى أملس (أفقى ‪ -‬مائل)‪.‬‬ ‫ يتعرف الحركة على مستوى خشن ( أفقى ‪ -‬مائل)‬ ‫ حركة مجموعة مكونة من جسمين يتدليان رأس ًّيا من طرفى‬ ‫خيط يمر على بكرة ملساء‪.‬‬ ‫ حركة مجموعة مكونة من جسمين مربوطين فى طرفى خيط‬ ‫يتحرك أحدهما على نضد أفقى خشن واآلخر رأس ًّيا‪.‬‬ ‫ حركة مجموعة مكونة من جسمين مربوطين فى طرفى خيط‬ ‫أحدهما يتحرك على مستوى مائل أملس واآلخر يتحرك رأس ًّيا‪.‬‬ ‫ حركة مجموعة مكونة من جسمين مربوطين فى طرفى خيط‬ ‫أحدهما يتحرك على مستوى مائل خشن واآلخر يتحرك رأس ًّيا‪.‬‬ ‫كتاب الطالب‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪ Ñ‬كمية الحركة‬

‫‪ Ñ‬كمية الحركة الخطية‬

‫‪Momentum‬‬

‫‪linear momentum‬‬

‫‪ Ñ‬كتلة‬

‫‪Mass‬‬

‫‪ Ñ‬متجه السرعة‬ ‫‪Ñ‬‬

‫‪Velocity‬‬

‫التغير فى كمية الحركة ‪Change of momentum‬‬

‫‪ Ñ‬القانون األول لنيوتن‬

‫‪Newton's first law‬‬

‫‪ Ñ‬القصور الذاتى‬

‫‪ Ñ‬مبدأ القصور الذاتى‬

‫‪Inertia‬‬ ‫‪Inertia principle‬‬

‫‪ Ñ‬القوة‬

‫‪Force‬‬

‫‪ Ñ‬القانون الثانى لنتوتن‪.‬‬

‫‪Newton's second law‬‬

‫‪ Ñ‬معادلة الحركة‬

‫‪Equqtion of motion‬‬

‫‪ Ñ‬الوزن‬

‫‪weight‬‬

‫‪ Ñ‬القانون الثالث لنيوتن‬

‫‪Newtons third law‬‬

‫‪ Ñ‬الضغط‬

‫‪Pressure‬‬

‫‪ Ñ‬رد الفعل‬

‫‪Reaction‬‬

‫‪ Ñ‬حركة المصاعد‬

‫‪Lift motion‬‬

‫‪ Ñ‬ميزان الزنبرك‬

‫‪ Ñ‬ميزان معتاد‬

‫‪balance‬‬

‫‪ Ñ‬مستوى مائل‬

‫‪Inclined plane‬‬

‫‪ Ñ‬مستوى أملس‬

‫‪Smooth plane‬‬

‫‪ Ñ‬مستوى خشن‬

‫‪Rough plane‬‬

‫‪ Ñ‬احتكاك ديناميكي‬

‫‪Kinetic friction‬‬

‫‪ Ñ‬احتكاك استاتيكي‬

‫‪static friction‬‬

‫‪ Ñ‬بكرة ملساء‬

‫‪Pulley‬‬

‫‪Spring scale‬‬

‫‪ Ñ‬ميزان الضغط‬

‫‪Pressure scale‬‬

‫دروس الوحدة‬ ‫(‪ :)1 - 2‬كمية الحركة‪.‬‬

‫(‪ :)5 - 2‬حركة جسم على مستوى مائل‬

‫(‪ :)2 - 2‬القانون األول لنيوتن‬

‫(‪ :)6 - 2‬حركة جسم على مستوى خشن‬

‫(‪ :)3 - 2‬القانون الثانى لنيوتن‬

‫(‪ :)7 - 2‬البكرات البسيطة‬

‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية ‪ -‬برامج رسومية للحاسوب‪.‬‬

‫(‪ :)4 - 2‬القانون الثالث لنيوتن‬

‫مخطط تنظيمى للوحدة‬ ‫قوانين نيوتن للحركة‬

‫كمية الحركة‬

‫القانون األول لنيوتن‬

‫الحركة على‬ ‫مستوى أملس‬

‫جسمان مربوطان بخيط‬ ‫يمر على بكرة ويتدليان‬ ‫رأسيًّا‬

‫القانون الثانى لنيوتن‬

‫الحركة على‬ ‫مستوى خشن‬

‫القانون الثالث لنيوتن‬

‫األجسام المتصلة‬ ‫بخيوط‬

‫حركة جسمين أحدهما‬ ‫على مستوى أفقى‬ ‫واآلخر يتدلى رأسيًّا‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫حركة المصاعد‬

‫حركة جسمين أحدهما‬ ‫على مستوى مائل واآلخر‬ ‫يتدلى رأسيًّا‬

‫‪149‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫كمية الحركة‬

‫‪1-2‬‬

‫‪Momentum‬‬

‫فكر و‬

‫سوف تتعلم‬

‫ناقش‬

‫‪ 1‬ما تأثير وضع حجر كبير على سقف منزل؟ وما تأثير انطالق رصاصة من فوهة‬ ‫ مفهوم كمية احلركة‪.‬‬ ‫بندقية على هذا السطح؟‬ ‫ وحدات قياس كمية احلركة‪.‬‬ ‫ التغري ىف كمية احلركة‪.‬‬ ‫‪ 2‬ما تأثير وضع حبة رمل على كف يدك؟ وما تأثير هذه الحبة من الرمل إذا تحركت‬ ‫فى عاصفة تجاه سيارة تتحرك مسرعة نحو هذه العاصفة؟‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫ كمية احلركة‬

‫‪Momentum‬‬

‫ كمية احلركة اخلطية‬ ‫‪linear momentum‬‬

‫ كتلة‬

‫‪Mass‬‬

‫ متجه الرسعة‬

‫‪Velocity‬‬

‫ التغري ىف كمية احلركة‬ ‫‪Change of momentum‬‬

‫الحظ من هذه األمثلة أن‪:‬‬ ‫‪ - 1‬إطالق الرصاصة رغم صغر كتلتها على سقف المنزل ستغوص فيه لمسافة ما‬ ‫ألن سرعة الرصاصة أكبر بكثير من سرعة الحجر ‪.‬‬ ‫‪ - 2‬حبة الرمل رغم صغر كتلتها يمكن أن تخدش زجاج السيارة ألنها اكتسبت‬ ‫جدا‬ ‫كمية حركة بالنسبة للسيارة‪ ،‬وأن متجه كمية حركتها أصبح‬ ‫كبيرا ًّ‬ ‫ً‬ ‫نتيجة ِ‬ ‫كبر متجه سرعتها النسبية‪.‬‬

‫تعلم‬ ‫كمية الحركة‬ ‫كمية حركة جسم متحرك هى كمية متجهة لها نفس اتجاه سرعة هذا الجسم ومقدارها‬ ‫عند لحظة ما ُيقدر بحاصل ضرب كتلة هذا الجسم فى سرعته عند هذه اللحظة و ُيرمز‬ ‫لمتجه كمية الحركة بالرمز ‪. W‬‬

‫‪Momentum‬‬

‫‪= W‬ك ع‬

‫وفى حالة الحركة الخطية يكون كل من ‪ ، W‬ع مواز ًيا للخط المستقيم الذى تحدث‬ ‫عليه الحركة‪ ،‬ويمكن التعبير عن كل من ‪ ، W‬ع بداللة القياس الجبرى لكل منهما‪:‬‬ ‫‪ = W‬كع‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫ آلة حاسبة علمية‪.‬‬

‫‪150‬‬

‫حيث ‪ ، W‬ع هما القياسان الجبريان لمتجهى كمية الحركة والسرعة على الترتيب‪.‬‬ ‫وحدات قيا�س كمية الحركة‬ ‫وحدة معيار كمية الحركة = وحدة كتلة * وحدة سرعة‬ ‫وفى النظام الدولى للوحدات ُيقاس معيار كمية الحركة بوحدة كجم‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫أى أن‪( W :‬كجم‪ .‬م ‪ /‬ث) = ك (كجم) * ع (م‪/‬ث)‪.‬‬

‫‪Units of momentum‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫مرحك ةيمك‬

‫‪2 2‬‬

‫الحظ أن‪ :‬عند ثبوت كتلة الجسم يتناسب ‪ W‬مع ع وتكون العالقة بينهما خطية؛ لذلك تسمى كمية الحركة فى‬ ‫هذه الحالة بكمية الحركة الخطية‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫تعريف كمية الحركة‬ ‫‪ 1‬احسب كمية حركة دراجة كتلتها ‪ 35‬كجم تتحرك بسرعة ثابتة قدرها‬ ‫‪ 12‬م‪/‬ث فى اتجاه الشرق‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪ a‬م = كع‬ ‫` م = ‪ 420 = 12 * 35‬كجم ‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫كمية حركة الدراجة = ‪ 420‬كجم ‪ .‬م‪/‬ث فى اتجاه الشرق‪.‬‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 1‬احسب كمية حركة قطار كتلته ‪ 40‬ط ًّنا يتحرك فى اتجاه الشمال بسرعة ثابتة قدرها ‪ 72‬كم‪/‬س‪.‬‬ ‫احسب كمية حركة سيارة كتلتها ‪ 800‬كجم تتحرك فى اتجاه الجنوب الغربى بسرعة ثابتة قدرها ‪126‬كم‪/‬س‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫استخدام املتجهات‬ ‫سيارة كتلتها ‪ 2‬طن تتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت س = (‪3‬ن‪4 - 2‬ن ‪ )1 +‬ى حيث ى متجه وحدة‬ ‫اتجاه حركة السيارة‪ ،‬إذا كانت س مقيسة بوحدة المتر فأوجد مقدار‬ ‫كمية حركة السيارة عند بدء الحركة ثم بعد ‪3‬ث من بداية الحركة‪.‬‬

‫الحل‬

‫‪ a‬س = (‪3‬ن‪4 - 2‬ن ‪ )1 +‬ى‬

‫`ع =‬

‫‪E‬س‬ ‫‪E‬ن‬

‫= (‪6‬ن ‪ )4 -‬ى‬

‫(‪ )1‬عند بدء الحركة ن = ‪ ، 0‬ع = ‪ 4 -‬ى‬ ‫‪ a‬م =ك ع‬

‫مقدار كمية الحركة = ‪ 8000‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫` م = ‪ 4 - ( 2000‬ى ) = ‪ 8000 -‬ى‬

‫(‪ )2‬عندما ن = ‪3‬ث ‪ ،‬فإن ع = (‪ )4 - 3 * 6‬ى = ‪ 14‬ى‬ ‫‪ a‬م =ك ع‬

‫مقدار كمية الحركة = ‪ 28000‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‪.‬‬

‫` م = ‪ 14( 2000‬ى ) = ‪ 28000‬ى‬

‫حاول أن تحل‬

‫سيارة كتلتها ‪ 1200‬كجم تتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت ف = ن‪ 12 - 3‬ن‪ 2‬حيث ف مقيسة بالمتر‪،‬‬ ‫أوجد كمية حركة السيارة بعد ‪ 4‬ث من بداية الحركة‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪151‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫التغير فى كمية الحركة‬ ‫إذا كان متجها سرعة جسم متحرك عند لحظتين زمنيتين متتاليتين ن‪ ، 1‬ن‪ 2‬على الترتيب هما ع‪ ، 1‬ع‪ 2‬فإن التغير فى‬ ‫كمية حركة الجسم يتحدد بالعالقة‪:‬‬ ‫‪= W 9‬ك‪ 9:‬ع‬

‫‪The change of momentum‬‬

‫حيث ك كتلة الجسم المتحرك‪ 9 ،‬ع التغير الحادث فى قيمة سرعته‬ ‫` التغير فى كمية حركة الجسم ‪ = W 9‬ك ( ع‪ - 2‬ع‪) 1‬‬ ‫وإذا كانت جـ (ن) هى عجلة الجسم المتحرك فإن‪:‬‬ ‫‪ = W9‬ك‬

‫ن‪1‬‬

‫ن‬

‫‪ 2‬جـ ‪ E‬ن‬

‫مثال‬ ‫التغري ىف كمية الحركة‬ ‫سقطت كرة من المطاط كتلتها ‪200‬جم من ارتفاع ‪90‬سم على سطح أفقى فارتدت إلى ارتفاع ‪40‬سم‪ .‬احسب‬ ‫بوحدة كجم‪.‬م‪/‬ث مقدار التغير فى كمية حركة الكرة نتيجة للتصادم‪.‬‬

‫الحل‬

‫نعتبر ى متجه وحدة فى اتجاه الحركة رأس ًّيا ألسفل‪.‬‬ ‫دراسة حركة الكرة فى مرحلة السقوط‪.‬‬ ‫‪ a‬ع‪ = 2‬ع ‪ E 2 + 20‬ف‬ ‫` ع ‪90 * 980 * 2 + 0 = 21‬‬ ‫ع‪ 420 = 1‬سم ‪ /‬ث‬ ‫‪=E‬‬ ‫` ع‪ 420 = 1‬ى‬

‫دراسة حركة الكرة فى مرحلة االرتداد‪.‬‬ ‫‪ a‬ع‪ = 2‬ع ‪ E 2 + 20‬ف‬ ‫` ‪ = 0‬ع ‪40 * 980 * 2 - 22‬‬ ‫ع‪ 280 = 2‬سم ‪ /‬ث‬ ‫` ع‪ 280 - = 2‬ى‬ ‫التغير فى كمية الحركة‪ =. W 9‬ك ( ع‪ - 2‬ع‪) 1‬‬

‫ع=‪0‬‬

‫ى‬

‫‪=E‬‬

‫‪ 980‬سم‪/‬ث‪2‬‬

‫ف = ‪90‬سم‬

‫ع=‪0‬‬ ‫‪ 980 -‬سم‪/‬ث‪2‬‬

‫ف=‪40‬سم‬ ‫ع‪1‬‬

‫ع‪2‬‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫= ‪200‬‬ ‫‪ )4٫2 - 2٫8 -( 1000‬ى = ‪ 1٫4 -‬ى‬

‫` مقدار التغير فى كمية الحركة = ‪ 1٫4‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 4‬حجر كتلته ‪ 800‬جم يسقط من السكون لمدة ثانيتين ثم يصطدم بسطح بركة‪ ،‬ويغوص فى الماء بسرعة‬ ‫مترا فى ‪ٍ 3‬‬ ‫ثوان ‪ ،‬أوجد التغير فى كمية حركة الحجر نتيجة لتصادمه بسطح الماء‪.‬‬ ‫منتظمة فيقطع ‪ً 12‬‬

‫‪15‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫مرحك ةيمك‬

‫‪2 2‬‬

‫مثال‬ ‫استخدام التكامل‬ ‫‪ 4‬جسم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت عجلة حركته حـ ُتعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة‬ ‫حـ = ‪2‬ن ‪ 6 -‬حيث حـ مقاسة بوحدة م‪/‬ث‪ ،2‬الزمن ن بالثانية‪ ،‬احسب التغير فى كمية حركة الجسم فى الفترة‬ ‫الزمنية ‪ G 5‬ن ‪ 3 G‬إذا كانت كتلة الجسم ‪8‬كجم‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪ = W9a‬ك‬ ‫` ‪8 = W9‬‬

‫ن‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫ن‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫جـ ‪ E‬ن‬

‫(‪2‬ن ‪ E )6 -‬ن = ‪[ 8‬ن‪6 - 2‬ن ]‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪32 = ])18 - 9( - )30 - 25([ 8‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬

‫`‪ 32 = W 9‬ى حيث ى متجه وحدة فى اتجاه حركة الجسم‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 5‬سيارة كتلتها ‪ 1٫5‬طن‪ ،‬تتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت حـ (ن) تعطى بالعالقة حـ = ‪12‬ن ‪-‬‬ ‫حيث جـ مقيسة بوحدة م‪/‬ث‪ ،2‬الزمن ن مقيس بالثانية أوجد‪:‬‬ ‫أ التغير فى كمية حركة السيارة خالل الثوانى الست األولى‪.‬‬ ‫ب التغير فى كمية حركة السيارة خالل الفترة الزمنية [‪]14 ، 2‬‬

‫ن‪2‬‬

‫تفكير ناقد‪:‬‬

‫فى لعبة البلياردو عندما تضرب الكرة البيضاء إحدى الكرات األخرى نجد‬ ‫أن حركة كل من الكرتين تتغير‪ ،‬فتتباطأ حركة الكرة البيضاء وربما يتغير‬ ‫اتجاهها ومن ثم تتناقص كمية حركتها‪ ،‬بينما تبدأ الكرة األخرى فى الحركة‪،‬‬

‫ومن ثم تزداد كمية حركتها‪ .‬فسر ذلك‪.‬‬

‫شكل (‪)4‬‬

‫تمــــاريــن ‪1 - 2‬‬

‫اختر الإج�بة ال�صحيحة من بين الإج�ب�ت المعط�ة فى كل مم� ي�أتى‪:‬‬ ‫‪ 1‬كمية حركة رصاصة كتلتها ‪100‬جم تتحرك بسرعة ‪240‬م‪/‬ث‪.‬‬ ‫ب ‪24‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫أ ‪ 3 - 10 * 24‬جم‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫‪.‬‬

‫ج ‪ 310 * 24‬جم‪ .‬م‪/‬ث‬

‫د ‪ 310 * 24‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬

‫ج ‪30000‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬

‫د ‪ 108000‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬

‫كمية حركة سيارة كتلتها ‪ 2‬طن تتحرك فى خط مستقيم بسرعة ‪54‬كم‪ /‬س‪.‬‬ ‫ب ‪3000‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫أ ‪ 108‬طن‪ .‬م‪/‬ث‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪15‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫جسم كتلته ‪500‬جم يسقط من ارتفاع ‪ 4٫9‬أمتار عن سطح األرض‪ ،‬كمية حركة الجسم لحظة وصوله لألرض‪.‬‬ ‫ب ‪4٫9‬كجم‪.‬م‪/‬ث‬ ‫أ ‪ 2٫45‬كجم‪.‬م‪/‬ث‬ ‫ج ‪2450‬كجم‪.‬م‪/‬ث‬

‫د ‪ 4900‬كجم‪.‬م‪/‬ث‬

‫‪ 4‬صاروخ كتلته ‪ 4‬طن بما فيه من وقود‪ ،‬إنطلق بسرعة ‪ 200‬م‪/‬ث‪ ،‬ويقذف الوقود بمعدل ثابت قدره ‪100‬كجم‬ ‫كل ثانية مع بقاء كمية الحركة ثابتة فإن سرعة الصاروخ بعد ‪ 10‬ثوان بوحدة كم‪/‬س‪.‬‬ ‫أ ‪800‬‬ ‫ب ‪600‬‬ ‫‪3‬‬

‫ج ‪800‬‬

‫د ‪960‬‬

‫‪ 5‬قذيفة كتلتها ‪1‬كجم تنطلق بسرعة ‪ 720‬كم‪/‬س نحو دبابة كتلتها ‪ 50‬طن تتحرك نحو المدفع بسرعة ‪20‬م‪/‬ث فإن‪:‬‬ ‫(‪ )1‬مقدار كمية حركة القذيفة بالنسبة للدبابة‪:‬‬ ‫أ ‪ 200‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫ج ‪ 710‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬

‫(‪ )2‬مقدار كمية حركة الدبابة بالنسبة للقذيفة‪:‬‬ ‫أ ‪ 200‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫ج ‪ 710‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬

‫اأجب عن الأ�صئلة الآتية‪:‬‬

‫ب ‪ 220‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫د ‪ 710 * 1٫1‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫ب ‪ 220‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫د ‪ 710 * 1٫1‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬

‫كرة كتلتها ‪200‬جم تتحرك أفق ًّيا بسرعة ثابتة قدرها ‪ 40‬م‪/‬ث‪ ،‬اصطدمت بحائط رأسى وكان مقدار التغير فى‬ ‫كمية حركة الكرة نتيجة التصادم ‪12‬كجم‪.‬م‪/‬ث‪ ،‬احسب سرعة ارتداد الكرة‪.‬‬

‫سقط جسم كتلته ‪90‬جم وبعد ‪ٍ 3‬‬ ‫ثوان من سقوطه اصطدم بسطح سائل لزج فغاص فيه بسرعة منتظمة فقطع‬ ‫‪ 2٫2‬متر فى نصف ثانية احسب التغير فى كمية الحركة نتيجة للتصادم‪.‬‬

‫‪ 8‬جسم من المطاط كتلته ‪100‬جم يتحرك أفق ًّيا بسرعة ‪120‬سم‪/‬ث عندما اصطدم بحائط رأسى وارتد فى اتجاه‬ ‫عمودى على الحائط بعد أن فقد ثلثى مقدار سرعته‪ .‬احسب التغير فى كمية حركة الجسم المطاطى نتيجة‬ ‫التصادم‪.‬‬ ‫‪ 9‬من نقطة أسفل سقف حجرة بمسافة ‪240‬سم قُذفت كرة كتلتها ‪40‬جم بسرعة ‪980‬سم‪/‬ث رأس ًّيا إلى أعلى‬ ‫فاصطدمت بالسقف وتغيرت لذلك كمية حركتها بمقدار ‪0٫4‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‪ ،‬أوجد سرعة ارتداد الكرة‪.‬‬

‫‪ 10‬سقطت كرة من المطاط كتلتها ‪ 12‬كجم من ارتفاع ‪ 8٫1‬أمتار عن أرض أفقية فارتدت الكرة رأس ًّيا ألعلى إلى‬ ‫ارتفاع ‪ 3٫6‬أمتار بعد اصطدامها باألرض‪ .‬احسب التغير فى كمية حركة الكرة نتيجة للتصادم باألرض‪.‬‬ ‫‪ 11‬عربة سكة حديد كتلتها ‪ 15‬ط ًّنا تتحرك أفق ًّيا بسرعة مقدارها ‪40‬م‪/‬ث اصطدمت بالحاجز فى نهاية الخط‬ ‫فارتدت للخلف بسرعة ‪30‬م‪/‬ث‪ .‬احسب التغير فى كمية حركتها‪.‬‬

‫‪154‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫مرحك ةيمك‬

‫‪2 2‬‬

‫‪ 1‬قذف جسم كتلته ‪ 1‬كجم رأس ًّيا ألعلى بسرعة ‪58٫8‬م‪/‬ث‪ .‬فاحسب التغير فى كمية حركته فى الفترات الزمنية‬ ‫اآلتية‪:‬‬ ‫ج [‪]11 ، 7‬‬ ‫ب [‪]8 ، 4‬‬ ‫أ [‪]5 ، 2‬‬ ‫‪ 1‬جسم متحرك فى خط مستقيم كتلته عند أى زمن ن بالثانية تساوى ‪( 15‬ن ‪ )5 +‬كجم‪ ،‬وكانت إزاحته عند أى‬ ‫زمن ن ُتعطى بالصورة ف = ‪( 12‬ن‪4 - 2‬ن ‪ )3 +‬ى حيث ى متجه وحدة فى اتجاه حركة الجسم‪ ،‬ومعيار ف‬ ‫ُيعطى بالمتر‪.‬‬

‫أ أوجد كمية حركة الجسم عند أى لحظة زمنية ن‪.‬‬

‫ب أوجد التغير فى كمية حركة الجسم خالل الفترة الزمنية [‪]5 ، 2‬‬

‫‪ 14‬جسم كتلته ‪ 12‬كجم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت ف ُتعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة‬ ‫ف = ن (‪ - 6‬ن) ى حيث ى متجه وحدة فى اتجاه الحركة‪ ،‬إذا كان معيار ف بوحدة المتر‪ ،‬ن بالثانية‬ ‫فأوجد التغير فى كمية حركة الجسم فى الفترات الزمنية اآلتية‪:‬‬ ‫ج [‪]6 ، 4‬‬ ‫ب [‪]5، 2‬‬ ‫أ [‪]2 ، 1‬‬ ‫‪ 15‬جسم يتحرك فى خط مستقيم بعجلة منتظمة حـ = ‪3 -‬م‪/‬ث‪ 2‬وبسرعة ابتدائية ‪5‬م‪/‬ث‪ .‬إذا كانت كتلة الجسم‬ ‫‪18‬كجم فأوجد مقدار التغير فى كمية الحركة فى الفترات الزمنية اآلتية‪:‬‬ ‫ب [‪]2، 1‬‬ ‫أ [‪]3 ، 0‬‬ ‫‪ 1‬جسم كتلته ‪ 48‬جم‪ ،‬يتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت جـ = (‪3‬ن ‪ )12 -‬م‪/‬ث‪ . 2‬احسب التغير فى كمية‬ ‫الجسم خالل الفترة الزمنية اآلتية‪:‬‬ ‫ب [‪]5، 3‬‬ ‫أ [‪]3 ، 1‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪155‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫القانون األول لنيوتن‬

‫‪2-2‬‬

‫‪Newton's first law‬‬

‫مقدمة ‪:‬‬ ‫نتعامل فى حياتنا اليومية مع العديد من أنواع القوى المختلفة التى قد تؤثر على األجسام‬ ‫المتحركة فتغير من سرعتها مثل شخص يدفع عربة أو يسحبها أو أن تؤثر القوة على‬ ‫األجسام الساكنة لتبقيها ساكنة مثل الكتاب الموضوع على المكتب أو الصور المعلقة‬ ‫على الحائط‪ ،‬ويكون تأثير القوة مباشر ‪ Contact force‬مثل سحب زنبرك أو دفع صندوق‪،‬‬ ‫ويمكن أن يكون تأثير القوة عن بعد ‪ Action -at - a distance‬مثل تنافر أو تجاذب قطبى‬ ‫مغناطيسى‪ ،‬و ُيعرف الجسيم الساكن بأنه فى حالة اتزان ‪equilibrium‬‬ ‫صفرا ‪.‬‬ ‫عندما تكون محصلة القوى المؤثرة عليه تساوى ً‬ ‫يوجد العديد من أنواع القوة الموجودة فى الطبيعة وهى أما أن تكون ميكانيكية أو‬ ‫جاذبية أو كهربية أو مغناطيسية أو نووية‪ ،‬وسندرس فى هذه الوحدة النوع األول‬ ‫والثانى فقط‪.‬‬ ‫أنواع من القوى‬

‫سوف تتعلم‬

‫ القانون األول لنيوتن‪.‬‬ ‫ مبدأ القصور الذاتى‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫ القانون األول لنيوتن‬ ‫‪Newton's first law‬‬ ‫ القصور الذاتى‬

‫‪Inertia‬‬

‫ مبدأ القصور الذاتى‬ ‫‪Inertiaprinciple‬‬

‫ القوة‬

‫‪Force‬‬

‫ميكانيكية‬

‫جاذبية‬

‫كهربية‬

‫مغناطيسية‬

‫نووية‬

‫ولدراسة القوى الميكانيكية سنبدأ بدراسة قوانين نيوتن للحركة‬ ‫‪Newton's first law‬‬

‫القانون الأول لنيوتن‬ ‫وصف نيوتن من خالل هذا القانون ما الذى يحدث لجسم عندما تكون محصلة القوى‬ ‫المؤثرة عليه تساوى صفر‪.‬‬

‫كل جسيم يحتفظ بحالته من حيث السكون أو الحركة المنتظمة فى خط‬ ‫مستقيم ما لم تؤثر عليه قوة خارجية تغير من حالته‪.‬‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫ آلة حاسبة علمية‪.‬‬

‫ برامج رسومية للحاسب‪.‬‬

‫‪15‬‬

‫نالحظ من القانون األول لنيوتن اآلتى ‪:‬‬ ‫(‪ )1‬الجسم الساكن يظل ساك ًنا ما لم تؤثر عليه قوة تحاول تحريكه‪ ،‬والجسم المتحرك‬ ‫حركة منتظمة يظل متحركًا بها ما لم تؤثر عليه قوة تغير من حركته‪.‬‬ ‫(‪ )2‬يقصد بتعبير "القوة" فى صياغة القانون محصلة جميع القوى المؤثرة على‬ ‫تخليدا لذكراه‪.‬‬ ‫الجسم‪ ،‬وتقاس القوة بوحدة النيوتن‬ ‫ً‬

‫(‪ )3‬يضع القانون حالتى السكون والحركة المنتظمة فى خط مستقيم فى وضع متكافئ‪،‬‬ ‫وتمثل كلتاهما" الحالة الطبيعية" للجسم‪ ،‬عندما تكون محصلة القوى المؤثر عليه‬ ‫مساوية للصفر‪.‬‬ ‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫نوينو ألا ننحوين‬

‫‪2 2‬‬

‫(‪ )4‬يبين القانون أن الجسم الساكن أو المتحرك حركة منتظمة فى خط مستقيم (أى عندما يكون فى حالته‬ ‫الطبيعية) ال يمكنه تغيير حالته هذه تلقائ ًّيا ‪ ،‬بل البد أن تؤثر عليه قوة فتخرجه من هذه الحالة ‪ .‬ولهذا السبب‬ ‫سمى القانون األول لنيوتن" قانون القصور الذاتى "‪.‬‬ ‫الق�صور الذاتى‬ ‫من القانون األول لنيوتن يمكن استنتاج أن األجسام لها ميل طبيعى للمحافظة على حالتها من حيث السكون أو‬ ‫الحركة المنتظمة فى خط مستقيم وتعرف هذه الممانعة والمقاومة للتغيير بالقصور الذاتى‪.‬‬

‫‪Inertia‬‬

‫مبدأ القصور الذاتى‪:‬‬ ‫كل جسم قاصر أو عاجز بذاته عن تغيير حالته من حيث السكون أو الحركة المنتظمة فى خط مستقيم‪.‬‬

‫نشاط‬

‫العالقة بني الكتلة والقصور الذاتى‬

‫‪ 1‬يبين النشاط التالى أن الكتلة هى مقياس لكمية القصور الذاتى‪.‬‬

‫‪ 2‬أحضر كرتين إحداهما كرة جولف تزن حوالى ‪ 500‬ث جم‪ ،‬وكرة بولينج‬ ‫وزنها تقري ًبا ‪ 5‬ث كجم‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫أى من الكرتين تحتاج قوة أكبر لتتحرك؟‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ 4‬دون شك تحتاج كرة البولينج إلى قوة أكبر لتبدأ الحركة من القوة التى تحتاجها كرة الجولف‪.‬‬

‫نظرا لكتلتها الكبيرة‬ ‫‪ 5‬يرجع ذلك إلى ميل كرة البولينج للحفاظ على وضع السكون‪ ،‬أى أن قصورها الذاتى كبير ً‬ ‫التى تقدر بعشرة أضعاف كتلة كرة الجولف‪.‬‬ ‫القوة‬ ‫يتضمن القانون األول لنيوتن تعري ًفا للقوة بأنها المؤثر الذى يغير أو يعمل على تغيير حالة الجسم من سكون أو‬ ‫حركة منتظمة فى خط مستقيم‪.‬‬

‫‪Force‬‬

‫مثال‬ ‫(الجسم ىف حالة سكون)‬ ‫‪ 1‬يوضح الشكل المقابل جسم ساكن تؤثر عليه مجموعة القوى‪ .‬أوجد ‪. 2X ، 1X‬‬ ‫الحل‬

‫‪ a‬الجسم فى حالة سكون‬ ‫` ‪70 = 40 + 2X‬‬ ‫` ‪ 30 = 2X‬نيوتن‬ ‫‪ a‬القوى األفقية متزنة‬ ‫` ‪ 50 = 1X‬نيوتن‬

‫` القوى الرأسية متزنة‬ ‫` ‪20 = 1X‬‬

‫‪2X +‬‬

‫‪ 40‬نيوتن‬

‫‪2X‬‬

‫‪ 20‬نيوتن‬

‫‪1X‬‬

‫‪2X‬‬

‫‪ 70‬نيوتن‬

‫شكل (‪)6‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪15‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪1X‬‬

‫‪ 1‬يوضح الشكل المقابل جس ًما ساك ًنا تؤثر عليه مجموعة‬ ‫من القوى ‪ .‬أوجد ‪.2X ، 1X‬‬

‫‪ 150‬نيوتن‬

‫مثال‬ ‫(الجسم ىف حالة حركة)‬ ‫يوضح الشكل المقابل جس ًما يتحرك أفق ًّيا فى االتجاه‬ ‫الموضح بسرعة ثابتة قدرها ‪8‬م‪/‬ث ‪ ،‬أوجد ‪.2X ، 1X‬‬

‫الحل‬

‫‪ a‬الجسم فى حالة حركة منتظمة‬ ‫` القوى األفقية متزنة‬ ‫` ‪120 + 300 = 90 + 1X2‬‬ ‫` ‪ 165 = 1X‬نيوتن‬ ‫‪ a‬القوى الرأسية متزنة‬ ‫` ‪400 = 2X + 240‬‬ ‫` ‪ 160 = 2X‬نيوتن‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪2X‬‬

‫‪ 90‬نيوتن‬ ‫شكل (‪)7‬‬

‫‪ 30‬نيوتن ‪ 50‬نيوتن‬ ‫‪ 400‬نيوتن‬ ‫‪1X 2‬‬

‫‪ 300‬نيوتن‬ ‫‪ 120‬نيوتن‬

‫‪ 90‬نيوتن‬

‫جسما متحركًا رأس ًيا ألعلى بسرعة‬ ‫يوضح الشكل المقابل‬ ‫ً‬ ‫ثابتة تؤثر عليه مجموعة من القوى ‪ .‬أوجد ‪.2X ، 1X‬‬

‫‪ 240‬نيوتن‬

‫شكل (‪)8‬‬

‫‪2X‬‬

‫‪ 450‬نيوتن‬

‫‪ 40 + 1X 3‬نيوتن‬

‫‪ 310‬نيوتن‬

‫‪ 800‬نيوتن‬

‫مثال‬ ‫قطار كتلته ‪ 200‬طن‪ ،‬يتحرك تحت تأثير مقاومة تتناسب مع مربع‬ ‫سرعته‪ .‬فإذا كانت هذه المقاومة‪ 9٫6‬ث‪.‬كجم لكل طن من كتلة القطار‬ ‫عندما كانت سرعة القطار ‪72‬كم ‪ /‬ساعة‪ .‬فأوجد أقصى سرعة للقطار إذا‬ ‫كانت القاطرة تجره بقوة ثابتة مقدارها ‪ 4٫32‬ث طن‪.‬‬

‫شكل (‪)9‬‬

‫معطيات‬

‫م‪9٫6 = 1‬‬

‫*‬

‫‪200‬‬

‫ = ‪ 1920‬ث كجم‬

‫ع‪ 72 = 1‬كم ‪ /‬س‬

‫الحل‬

‫نفرض أن المقاومة = م‪ 1‬عندما تكون سرعة القطار ع‪.1‬‬

‫المقاومة = م‪ 2‬عندما تكون سرعة القطار ع‪.2‬‬

‫‪ a‬المقاومة تتناسب مع مربع السرعة‬

‫‪158‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫شكل (‪)10‬‬ ‫كتاب الطالب‬

‫نوينو ألا ننحوين‬

‫` م‪= 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫ع‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ع‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬ ‫ع‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ع‬ ‫‪2‬‬

‫م‬

‫‪2 2‬‬

‫يبلغ القطار أقصى سرعة له عندما تكون المقاومة مساوية تما ًما لقوة َج ِّر القطار‬ ‫` م‪ 4320 = 2‬ث كجم‬ ‫فإذا كانت ع‪ 2‬أقصى سرعة للقطار فإن م‪ 4٫32 = 2‬ث طن‬

‫`‬

‫م‪1‬‬ ‫م‪2‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪72 * 72 = 1920‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4320‬‬ ‫ع‬ ‫‪2‬‬

‫` ع‪ 108 = 2‬كم‪/‬ساعة‪.‬‬

‫طن تجره قاطرة بقوة ثابتة مقدارها ‪ 12‬ث طن‪ ،‬فإذا كانت المقاومة لحركة القطار تتناسب‬ ‫قطار كتلته ‪ًّ 240‬‬ ‫مع مربع سرعته‪ ،‬وكانت المقاومة ‪ 8‬ث كجم لكل طن من الكتلة المتحركة عندما كانت سرعة القطار‬ ‫‪ 45‬كم‪ /‬س‪ .‬احسب أقصى سرعة للقطار‪.‬‬ ‫مثال‬

‫‪ 4‬يهبط أحد جنود المظالت رأس ًّيا ومظلته مفتوحة‪ ،‬فإذا كان وزن الجندى ومعداته ‪ 90‬ث كجم‪ ،‬وكانت مقاومة‬ ‫الهواء تتناسب مع مربع سرعته‪ ،‬وكانت أقصى سرعة هبوط للجندى ‪ 15‬كيلومتر‪ /‬ساعة فأوجد مقاومة الهواء‬ ‫للجندى عندما كانت سرعته ‪ 10‬كيلو متر ‪ /‬ساعة‪.‬‬ ‫الحل‬

‫يبلغ الجندى أقصى سرعة هبوط عندما تكون المقاومة مساوية لوزن الجندى ومعداته‪.‬‬ ‫إذا كانت م‪ 1‬هى مقاومة الهواء عندما كانت سرعة الجندى ع‪1‬‬

‫عندما ع‪ 15 = 1‬كم‪ /‬س‬ ‫` م‪ 90 = 1‬ث كجم‬ ‫واذا كانت م‪ 2‬هى مقاومة الهواء عندما كانت سرعة الجندى ع‪2‬‬

‫عندما ع‪10 = 2‬كم ‪/‬س‬ ‫` م‪ = 2‬؟‬ ‫‪ a‬المقاومة تتناسب مع مربع السرعة‬ ‫`‬

‫م‪1‬‬ ‫م‪2‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬ ‫ع‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ع‬ ‫‪2‬‬

‫‪15 * 15 90‬‬ ‫ ‪ ،‬م‪40 = 2‬ث كجم‬ ‫` =‬ ‫م‪10 * 10 2‬‬

‫شكل (‪)11‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 4‬رجل مربوط إلى مظلة نجاة يهبط هو والمظلة رأس ًّيا‪ ،‬فإذا كانت مقاومة الهواء تتناسب طرد ًّيا مع مربع سرعته‬ ‫ومقاومة الهواء تساوى ‪ 49‬من وزن الجندى ومعداته عندما كانت سرعته ‪12‬كم ‪/‬س ‪ .‬أوجد أقصى سرعة‬ ‫هبوط للجندى‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 5‬يتحرك جسم فى خط مستقيم تحت تأثير ثالث قوى ‪O 3 + M 4 = 1X‬‬

‫بحيث كان متجه إزاحته ف ُيعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة ف =‬

‫‪2X ،‬‬

‫‪2‬ن ‪M‬‬

‫‪-‬‬

‫=‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪N4 + M -‬‬

‫ن‪N‬‬

‫‪، O 15 -‬‬

‫‪3X‬‬

‫‪ O +‬فأوجد معيار ‪. 3X‬‬

‫‪159‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬ ‫الحل‬

‫‪E‬ع‬ ‫‪E‬‬ ‫` ع = ف = ‪ ، N - M 2‬جـ =‬ ‫‪E‬ن‬ ‫‪E‬ن‬

‫‪ a‬ف = ‪2‬ن ‪ - M‬ن ‪O + N‬‬

‫` الجسم يتحرك بسرعة ثابتة قدرها ‪ 5‬وحدة سرعة‬ ‫` ‪0 = 3X + 2X + 1X‬‬ ‫` ‪2X - 1X - = 3X‬‬ ‫‪)15 ، 4 - ، 1 ( + )3 - ، 0 ، 4 - ( = 3X‬‬ ‫‪O 12 + N 4 - M 3 - = 3X‬‬ ‫‪ 13 = 144 + 16 + 9 = || 3X || = 3X‬وحدة قوة‪.‬‬

‫= ‪0‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪5‬‬

‫جسم يتحرك بسرعة منتظمة تحت تأثير مجموعة القوى ‪3X ، 2X ، 1X‬‬

‫حيث ‪= 1X‬‬ ‫من ‪ ، C‬ب ‪ ،‬حـ‪..‬‬

‫‪MC‬‬

‫‪-‬‬

‫‪N5‬‬

‫‪،O7 +‬‬

‫‪2X‬‬

‫= ‪3-‬‬

‫‪M‬‬

‫‪ +‬ب‪، N‬‬

‫‪3X‬‬

‫=‬

‫‪N4 + M 2‬‬

‫كال‬ ‫‪ +‬جـ ‪ ، O‬أوجد ًّ‬

‫تمــــاريــن ‪2 - 2‬‬

‫اختر الإج�بة ال�صحيحة من بين الج�ب�ت المعط�ة فى كل مم� ي�أتى‪:‬‬

‫‪ 1‬سيارة كتلتها ‪ 4‬أطنان تتحرك على طريق أفقى بسرعة منتظمة‪ ،‬إذا كانت قوة المحرك ‪ 120‬ث كجم قإن مقاومة‬ ‫الحركة لكل طن من الكتلة‪.‬‬ ‫د ‪ 480‬ث كجم‬ ‫ج ‪ 120‬كجم‬ ‫ب ‪ 30‬ث كجم‬ ‫أ ‪ 4‬ث طن‬ ‫تحرك جسم فى خط مستقيم بسرعة منتظمة تحت تأثير القوتين‬ ‫‪2X‬‬

‫=‬

‫أ ‪4‬‬

‫‪ + M 6‬ب‪N‬‬

‫ هـ ‪ O‬فأوجد ‪ + C‬ب ‪ +‬هـ ‪.‬‬‫ب ‪3‬‬

‫‪1X‬‬

‫= ‪2‬‬

‫‪MC‬‬

‫ج ‪3-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪N3‬‬

‫‪4 +‬ع ‪،‬‬

‫د ‪4-‬‬

‫إذا كان جسم وزنه ‪ 20‬ث كجم يهبط بسرعة منتظمة على مستوى مائل على األفقى بزاوية قياسها ‪ 30‬فإن‬ ‫مقاومة المستوى بثقل الكيلو جرام‪:‬‬ ‫د ‪20‬‬ ‫ب ‪10‬‬ ‫أ صفر‬ ‫ج ‪3 10‬‬ ‫‪ 4‬جسم يتحرك بسرعة منتظمة تحت تأثير ثالث قوى ‪ 3X ، 2X ، 1X‬حيث‬ ‫‪2X‬‬

‫=‬

‫‪N5‬‬

‫‪ ، O 49 +‬فإن مقدار ‪. 3X‬‬

‫أ ‪ 49‬وحدة قوة ‪.‬‬

‫ب ‪ 54‬وحدة قوة‪.‬‬

‫ج ‪ 85‬وحدة قوة‪.‬‬

‫‪1X‬‬

‫=‬

‫‪N7 + M 5‬‬

‫‪، O 35 +‬‬

‫د ‪ 103‬وحدة قوة‪.‬‬

‫‪ 5‬جندى مظالت يهبط رأس ًّيا وكانت مقاومة الهواء لحركته تتناسب مع مربع سرعته وكانت ع‪ 1‬سرعته عندما‬ ‫‪9‬‬ ‫كانت مقاومة الهواء له تعادل ‪25‬‬

‫أ ‪25 : 9‬‬

‫‪1 0‬‬

‫من وزنه‪ ،‬ع‪ 2‬أقصى سرعة هبوط للجندى‪ .‬احسب ع‪ : 1‬ع‪2‬‬

‫ب ‪9 : 25‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ج ‪5:3‬‬

‫د ‪3:5‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫نوينو ألا ننحوين‬

‫‪2 2‬‬

‫اأجب عن الأ�صئلة الآتية‪:‬‬

‫فى كل من المواقف اآلتية الجسم فى حالة سكون تحت تأثير مجموعة من القوى‪.‬‬ ‫أ‬

‫‪ 50‬نيوتن‬

‫‪ 40‬نيوتن‬

‫‪X‬‬

‫ك‬

‫‪ 70‬نيوتن‬

‫ب‬ ‫‪ 32‬نيوتن‬

‫‪X‬‬ ‫شكل (‪)12‬‬

‫شكل (‪)13‬‬

‫‪X‬‬

‫ك‬

‫ج‬

‫‪ 48‬نيوتن‬

‫‪ 25‬نيوتن‬

‫‪X‬‬

‫د‬

‫‪ 49‬نيوتن‬

‫‪ 40‬نيوتن‬

‫شكل (‪)14‬‬

‫شكل (‪)15‬‬

‫أوجد مقدار القوة المجهولة فى كل حالة‪.‬‬ ‫فى كل من المواقف اآلتية‪ :‬الجسم متحرك بسرعة منتظمة ع تحت تأثير مجموعة من القوى‪.‬‬ ‫‪ 20‬نيوتن‬

‫أ‬

‫ك‬

‫‪X‬‬

‫‪ 18‬نيوتن‬

‫ب‬

‫‪ 20‬نيوتن‬

‫‪ 75‬نيوتن‬

‫‪ 64‬نيوتن‬

‫شكل (‪)17‬‬

‫شكل (‪)16‬‬

‫ج‬

‫‪ 24‬نيوتن‬ ‫‪2‬ك‬

‫‪X3‬‬

‫‪ 18‬نيوتن‬ ‫‪ 68‬نيوتن‬

‫‪ 84‬نيوتن‬ ‫شكل (‪)18‬‬

‫ك‬

‫‪ 30‬نيوتن‬

‫‪X‬‬

‫أوجد مقدار القوة المجهولة فى كل حالة‪.‬‬

‫د‬ ‫‪X‬‬ ‫شكل (‪)19‬‬

‫‪ 8‬سيارة كتلتها ‪ 8‬أطنان تتحرك بسرعة منتظمة تحت تأثير مقاومة ثابتة مقدارها ‪ 6‬ث كجم لكل طن من كتلة‬ ‫السيارة‪ .‬فما قوة محرك السيارة؟‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1 1‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫‪ 9‬قطار كتلته ‪ 240‬ط ًّنا يتحرك بسرعة منتظمة‪ ،‬وكانت قوة محرك القطار‪ 4‬ث طن ‪ ،‬أوجد مقدار المقاومة لكل‬ ‫طن من كتلة القطار؟‬

‫‪ 10‬سيارة كتلتها ‪ 3‬أطنان تتحرك تحت تأثير مقاومة تتناسب مع سرعة السيارة ‪ ،‬فإذا كانت هذه المقاومة‬ ‫‪ 8‬ث كجم لكل طن من كتلة السيارة عندما كانت سرعتها ‪ 36‬كم‪/‬س ‪ ،‬فأوجد أقصى سرعة للسيارة إذا كانت‬ ‫قوة آالت جر السيارة ‪ 120‬ث كجم‪.‬‬ ‫‪ 11‬قطار كتلته ‪ 200‬طن يتحرك تحت تأثير مقاومة تتناسب مع مربع سرعته‪ ،‬فإذا كانت هذه المقاومة ‪8‬ث كجم‬ ‫لكل طن من كتلة القطار عندما كانت سرعة القطار ‪ 70‬كم‪/‬س‪ .‬فأوجد أقصى سرعة للقطار إذا كانت القاطرة‬ ‫تجره بقوة ثابتة مقدارها ‪ 6٫4‬ث طن‪.‬‬ ‫‪ 1‬قطار كتلة ‪ 300‬طن تجره قاطرة بقوة ثابتة مقدارها ‪ 810‬ث كجم تحت تأثير مقاومة تتناسب مع مربع السرعة‪،‬‬ ‫فإذا كانت أقصى سرعة للقطار تساوى ‪ 30‬م‪/‬ث‪ .‬فأوجد معدل المقاومة لكل طن من كتلة القطار عندما تكون‬ ‫سرعة القطار ‪ 90‬كم‪/‬س‪.‬‬ ‫‪ 1‬وزن جندى مظالت ومعداته ‪ 80‬ث كجم ‪ ،‬ومقاومة الهواء لحركته تتناسب مع مربع سرعته‪ ،‬فإذا كانت هذه‬ ‫المقاومة تساوى ‪ 45‬ث كجم عندما كانت سرعة الجندى ‪ 4٫5‬كم‪/‬س فأوجد أقصى سرعة يكتسبها الجندى‬ ‫أثناء هبوطه‪.‬‬

‫‪ 14‬وزن جندى ومعداته ‪ 90‬ث كجم ‪ ،‬ومقاومة الهواء لحركته تتناسب مع مربع سرعته‪ ،‬فإذا كانت أقصى سرعة‬ ‫هبوط للجندى ‪12‬كم ‪/‬س‪ ،‬فأوجد مقاومة الهواء عندما كانت سرعته ‪8‬كم ‪/‬س‪.‬‬ ‫منحدرا‬ ‫‪ 15‬قاطرة كتلتها ‪ 30‬ط ًّنا وقوة آالتها ‪ 51‬ثقل طن تجر عدد من عدد العربات كتلة كل منها ‪ 10‬أطنان لتصعد‬ ‫ً‬ ‫يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ c30‬بسرعة منتظمة‪ ،‬فإذا كانت مقاومة لحركة القاطرة والعربات ‪ 10‬ثقل‬ ‫كجم لكل طن من الكتلة فما هو عدد العربات‪.‬‬ ‫‪ 1‬قطار كتلته ‪ 300‬طن يصعد منحدرا يميل على األفقى بزاوية جيبها ‪1‬‬ ‫‪ 240‬فى اتجاه خط أكبر ميل‪ ،‬فإذا كانت‬ ‫ً‬ ‫أقصى سرعة للقطار ‪ 108‬كم‪/‬س وقوة آالت الجر تساوى ‪ 3500‬ث كجم‪ ،‬وإذا كان مقدار المقاومة يتناسب‬ ‫مع مربع مقدار السرعة فأوجد المقاومة التى يالقيها القطار عندما يتحرك بسرعة قدرها ‪ 72‬كم‪/‬س‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫القانون الثانى لنيوتن‬ ‫‪Newton's second law‬‬

‫فكر و‬

‫ناقش‬

‫نعلم من القانون األول لنيوتن أن محصلة القوى المؤثرة على جسم متحرك بسرعة‬ ‫صفرا‪ ،‬فإن‬ ‫منتظمة تنعدم‪ ،‬أما إذا كانت محصلة القوى المؤثرة على الجسم ال تساوى ً‬ ‫الجسم سيتحرك بعجلة ‪.‬‬ ‫½ هل توجد عالقة بين مقدار القوة المحصلة المؤثرة على الجسم ومقدار عجلة‬ ‫الحركة؟‬ ‫½ هل يمكنك استنتاج هذه العالقة؟‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪3-2‬‬

‫سوف تتعلم‬

‫ القانون الثانى لنتوتن‪.‬‬ ‫ وحدات القوة‪.‬‬ ‫ الوزن والكتلة‪.‬‬

‫تعلم‬ ‫‪Newton's second law‬‬

‫‪ - 1‬القانون الثانى لنيوتن‬

‫معدل التغير فى كمية الحركة يتناسب مع القوة المحدثة له‪،‬‬ ‫ويحدث فى اتجاه القوة‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ E‬ن (ك ع ) ‪ X‬أى أن ‪ E‬ن (ك ع ) = ‪X C‬‬

‫وعند ثبوت كتلة الجسم أثناء الحركة فإن ‪:‬‬ ‫‪E‬ع‬ ‫ك‬ ‫‪E‬ن‬

‫(حيث ‪ C‬ثابت التناسب)‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫ القانون الثانى لنتوتن‪.‬‬ ‫‪newton's second law‬‬ ‫ معادلة احلركة‬ ‫‪Equqtion of motion‬‬

‫(حيث ‪ C‬ثابت التناسب)‬

‫=‪X C‬‬

‫وتكون ك جـ = ‪X C‬‬

‫ القوة‬

‫‪force‬‬

‫ الكتلة‬ ‫ الوزن‬

‫‪mass‬‬ ‫‪weight‬‬

‫وإذا عرفنا وحدة القوى بأنها القوة التى إذا أثرت على جسم كتلته وحدة الكتل‬ ‫ألكسبته وحدة العجالت‪ ،‬وبالتعويض فى المعادلة السابقة نجد أن‪:‬‬ ‫`‪1=C‬‬ ‫‪1*1*C=1‬‬ ‫ك جـ = ‪X‬‬ ‫ونأخذ المعادلة السابقة الصورة‬ ‫وتسمى هذه المعادلة بمعادلة الحركة لجسم ثابت الكتلة‪ ،‬وتعتبر المعادلة األساسية‬ ‫لعلم الديناميكا‪ .‬إذ يمكن تطبيقها على جميع األجسام المتحركة ثابتة الكتلة باعتبار‬ ‫هذه األجسام نقطًا مادية‪.‬‬ ‫األدوات المستخدمة‬ ‫من معادلة الحركة السابقة نجد أن كل من‬

‫جـ فى اتجاه معين لزم قياس‬ ‫الحركة فى الصورة ‪:‬‬

‫‪X‬‬

‫‪ ،‬جـ لهما نفس االتجاه‪ ،‬فإذا قيست‬

‫ آلة حاسبة علمية‪.‬‬

‫فى االتجاه نفسه ؛ لذلك من األنسب كتابة معادلة‬ ‫ك جـ =‬

‫‪X‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫على الترتيب‪،‬‬

‫وإذا كانت جـ ‪ X ،‬تعبر عن القياس الجبرى لكل من جـ ‪،‬‬ ‫فإن معادلة الحركة لجسم ثابت الكتلة تأخذ الصورة‪:‬‬ ‫ك جـ = ‪X‬‬

‫‪X‬‬

‫حيث ك كتلة الجسم المتحرك‪ ،‬جـ عجلة الحركة‪ X ،‬تعبر عن القياس الجبرى لمحصلة مجموعة القوى المؤثرة‬ ‫على الجسم‪ ،‬أى أن‪:‬‬ ‫ك جـ = ‪X‬‬ ‫اما إذا كانت كتلة الجسم ك متغيرة فإن معادلة حركة الجسم تأخذ الصورة‬ ‫‪X‬‬

‫`‬

‫‪E‬‬

‫‪ E = X‬ن (ك ع)‬

‫‪E‬‬

‫= ‪ E‬ن (ك ع )‬

‫معادلة الحركة با �صتخدام التفا�صل‬

‫‪Use of calculus to determine the equation of motion‬‬

‫مع�دلة حركة ج�صم ث�بت الكتلة ك ُتعطى ب�ل�صورة‬ ‫‪ = X‬ك جـ‬ ‫‪E‬ع‬ ‫فإذا كانت جـ = ‪ E‬ن‬

‫‪E‬ع‬ ‫أما إذا كانت جـ = ع ‪ E‬ف‬

‫‪E‬ع‬ ‫فإن ‪ = X‬ك ‪ E‬ن‬

‫‪E‬ع‬ ‫فإن ‪ = X‬ك ع ‪ E‬ف‬

‫`‬

‫ن‪1‬‬

‫`‬

‫ف‪1‬‬

‫ن‪2‬‬

‫‪ E X‬ن = ك ‬

‫ف‪2‬‬

‫ع‪1‬‬

‫‪ E X‬ف = ك ‬

‫ع‪1‬‬

‫ع‪2‬‬

‫‪E‬ع‬

‫ع‪2‬‬

‫ع ‪E‬ع‬

‫وتأخذ معادلة الحركة الصورة اآلتية إذا كانت الكتلة متغيرة‪EE = X :‬ن (ك ع)‬ ‫حيث كل من ك ‪ ،‬ع دوال قابلة لالشتقاق فى ن‬ ‫وحدات القوة والكتلة‬ ‫عند استنتاج معادلة الحركة لجسم متحرك اخترنا وحدات محددة لكل من القوة والكتلة والعجلة‪ ،‬حتى يكون ثابت‬ ‫التناسب مساو ًيا للواحد الصحيح‪ ،‬وتصبح معادلة الحركة على الصورة ك جـ = ‪ ،X‬لذلك عند استخدام معادلة‬ ‫الحركة‪ ،‬فإننا نستخدم الوحدات المطلقة للقوة مثل النيوتن‪ ،‬الداين‬

‫‪units of force and units of mass‬‬

‫ك * جـ = ‪X‬‬

‫‪1‬كجم * ‪ 1‬م‪ /‬ث‪ 1 = 2‬نيوتن‬ ‫‪1‬جم * ‪1‬سم‪ /‬ث‪ 1 = 2‬داين‬

‫تذكر اأن‬ ‫‪1‬ث كجم = ‪ 9٫8‬نيوتن‬ ‫‪1‬ث جم = ‪ 980‬داين‬

‫الوزن والكتلة‬ ‫وزن الجسم هو قوة جذب األرض للجسم‪ ،‬فإذا كان لدينا جسم كتلته ‪ 1‬كجم‪ ،‬فإن وزنه طب ًقا لمعادلة الحركة‬ ‫يساوى‪ 1‬ث كجم‬ ‫‪ 9٫8 = X‬نيوتن = ‪ 1‬ث كجم‬ ‫` ‪X = 9٫8 * ١‬‬ ‫‪ a‬ك جـ = ‪X‬‬ ‫‪the weight and the mass‬‬

‫‪1 4‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫نوينو نثين ننحوين‬

‫‪2 2‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 1‬أثرت قوة مقدارها ‪ 10‬نيوتن على جسم ساكن كتلته ‪ 8‬كجم‪ ،‬فحركته فى اتجاهها بعجلة منتظمة‪ ،‬احسب‬ ‫المسافة المقطوعة بعد ‪ 12‬ث وسرعته عندئذ‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫الحل‬

‫‪ 10 = X‬نيوتن‬ ‫ك = ‪ 8‬كجم‬

‫‪،‬‬

‫مع�دلة حركة الج�صم‬

‫ع‪0 = 0‬‬ ‫ن = ‪ 12‬ث‬

‫ك جـ = ‪X‬‬

‫جـ = ‪ 54‬م‪/‬ث‬ ‫‪ a‬ع = ع‪ + 0‬جـ ن‬

‫‪ a‬ف=ع ن‪1 +‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪X‬‬

‫` ‪ 8‬جـ = ‪10‬‬ ‫جـ ن‪2‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫ ` ع = ‪ 15 = 12 * 54 + 0‬م‪/‬ث‬ ‫ ` ف = ‪ 90 = 144 * 54 * 12 + 0‬متر‬

‫ك‪E‬‬ ‫شكل (‪)20‬‬

‫‪ 1‬فصلت العربة األخيرة من قطار سكة حديد وكتلتها ‪ 24٫5‬ط ًّنا‪ ،‬عندما‬ ‫مترا‪،‬‬ ‫كانت سرعتها ‪ 54‬كم‪ /‬س‪ ،‬فتحركت بتقصير منتظم وتوقفت بعد ‪ً 125‬‬ ‫أوجد مقدار المقاومة التى أثرت على العربة المنفصلة بثقل الكيلوجرام‪.‬‬ ‫مثال‬

‫شكل (‪)21‬‬

‫سقط جسم كتلته ‪ 3‬كجم من ارتفاع ‪ 10‬أمتار على أرض رملية فغاص فيها مسافة ‪5‬سم‪ ،‬أوجد مقاومة الرمل‬ ‫علما بأن الجسم تحرك بعجلة منتظمة داخل الرمل‬ ‫للجسم بثقل الكيلو جرام ً‬

‫الحل‬

‫مرحلة ال�سقوط الحر‬

‫ع‪ = 2‬ع‪ E 2 + 02‬ف‬ ‫ع‪10 * 9٫8 * 2 + 0 = 2‬‬ ‫ع = ‪ 14‬م‪/‬ث‬

‫مرحلة الغو�ص فى الرمل‬

‫ع‪ = 2‬ع‪2 + 2‬جـ ف‬ ‫‪2 + 2)14( = 0‬جـ * ‪0,05‬‬ ‫جـ = ‪ 1960 -‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫مع�دلة الحركة‬

‫ك جـ = ك ‪ - E‬م‬ ‫‪ - 9٫8 * 3 = 1960 - * 3‬م‬ ‫` م = ‪1960 * 3 + 9٫8 * 3‬‬ ‫م = ‪ 5909٫4‬نيوتن‬ ‫م = ‪ 603‬ث كجم‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1 5‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬ ‫حاول أن تحل‬

‫صندوق كتلته ‪ 100‬كجم‪ُ ،‬يرفع رأس ًّيا ألعلى بحبل بعجلة منتظمة قدرها ‪ 25‬سم ‪/‬ث‪ .2‬أوجد قوة الشد فى الحبل‬ ‫مع إهمال المقاومة‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫قطار كتلته ‪ 220‬طن‪ ،‬يتحرك فى طريق أفقى مستقيم بسرعة منتظمة‬ ‫مقدارها ‪ 29٫4‬م‪/‬ث ‪ ،‬وأثناء حركته انفصلت منه العربة األخيرة وكتلتها‬ ‫‪ 24‬ط ًّنا ‪ ،‬وتحركت بتقصير منتظم فوقفت بعد دقيقة واحدة من لحظة‬ ‫انفصالها‪ ،‬أوجد‪:‬‬

‫اً‬ ‫أوال‪ :‬مقدار المقاومة لكل طن من كتلة القطار بفرض ثبوتها‪.‬‬

‫شكل (‪)23‬‬

‫ثان اًيا‪ :‬مقدار قوة آلة جر القطار‪.‬‬ ‫علما بأن باقى‬ ‫ثال اًثا‪ :‬المسافة بين الجزء الباقى من القطار والعربة المنفصلة لحظة سكون العربة المنفصلة ً‬ ‫القطار تحرك بعجلة منتظمة‪.‬‬

‫الحل‬

‫ا اً‬ ‫أول‪ :‬درا�سة حركة العربة المنف�سلة من قوانين الحركة فى خط م�ستقيم‪:‬‬ ‫ع = ع‪ + 0‬جـ ن‬

‫‪ 60 + 29٫4 = 0‬جـ‬

‫ ‬

‫‪ 0٫49 -‬م‪ /‬ث‪2‬‬

‫ك = ‪ 24‬طن‬ ‫ع=‪0‬‬

‫` جـ =‬ ‫من معادلة حركة العربة المنفصلة‬ ‫‪ - = 0٫49 - * 1000 * 24‬م‬ ‫ك جـ = ‪ -‬م‬ ‫` م = ‪ 1200‬ث كجم‬ ‫م = ‪ 11760‬نيوتن‪.‬‬ ‫م = ‪ 50‬ث كجم ‪/‬طن‬ ‫المسافة التى تحركتها العربة المنفصلة خالل دقيقة واحدة بعد االنفصال‬ ‫ف = ع ن ‪ 1 +‬جـ ن‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪2)60( * 0٫49 * 1 - 60 * 29٫4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ف = ‪ 882‬متر‬

‫ثانياًا‪ :‬درا�سة حركة القطار قبل النف�سال‬

‫‪ a‬القطار كان متحركًا بسرعة منتظمة قبل االنفصال‬ ‫` القوة المحركة = المقاومات الكلية‬ ‫` ‪ 11000 = 220 * 50 = X‬ث كجم‬

‫‪1‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ع‪ 29٫4 = 0‬م‪/‬ث‬ ‫ن = ‪ 60‬ث‬

‫ ك = ‪ 220‬طن‬ ‫ المقاومة‪ /‬طن = ‪ 50‬ث كجم‬

‫كتاب الطالب‬

‫نوينو نثين ننحوين‬

‫ثال اًثا‪ :‬درا�سة حركة باقى القطار بعد انف�سال العربة الأخيرة‬

‫‪2 2‬‬

‫معادلة الحركة‬ ‫ك = ‪ 196‬طن‬ ‫ك جـ = ‪ - X‬م‬ ‫‪ 11000 = X‬ت كجم‬ ‫‪ 1000 * 196‬جـ = (‪9٫8 * )196 * 50 - 11000‬‬ ‫جـ = ‪ 3‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫المقاومة‪/‬طن = ‪ 50‬ث كجم‬ ‫‪50‬‬ ‫من قوانين الحركة‬ ‫ف = ع ن ‪ 1 +‬جـ ن‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪2)60( * 3 * 1 + 60 * 29٫4‬‬ ‫‪50 2‬‬ ‫ف = ‪ 1872‬متر‬ ‫المسافة بين باقى القطار والعربة المنفصلة لحظة سكونها‬ ‫= ‪882 - 1872‬‬ ‫= ‪ 990‬متر‬ ‫تفكير ناقد‪ :‬ارسم منحنى يمثل المسافة بين باقى القطار والعربة المنفصلة منذ لحظة انفصالها حتى تتوقف‪ ،‬ثم من‬ ‫خالل المنحنى أوجد‪:‬‬ ‫ب المسافة بينهما بعد ‪ 40‬ثانية من انفصال العربة‪.‬‬ ‫أ متى تكون المسافة بينهما ‪ 110‬متر؟‬ ‫حاول أن تحل‬

‫منطاد كتلته ‪ 105‬كجم‪ ،‬يتحرك رأس ًّيا ألسفل بعجلة منتظمة مقدارها‬ ‫‪ 98‬سم‪ /‬ث‪ .2‬أوجد مقدار قوة رفع الهواء المؤثرة على المنطاد بثقل الكيلو‬ ‫جرام‪ ،‬وإذا سقط من منطاد جسم كتلته ‪ 35‬كجم‪ ،‬عندما كانت سرعة‬ ‫المنطاد ‪ 490‬سم‪/‬ث‪ ،‬أوجد المسافة بين المنطاد والجسم المنفصل عنه‬ ‫‪ 20‬ثانية من لحظة االنفصال‪.‬‬ ‫بعد ‪7‬‬

‫شكل (‪)24‬‬

‫مثال‬

‫‪ 4‬يتحرك جسم كتلته الوحدة تحت تأثير القوى الثالث ‪، N + M C = ١X‬‬

‫‪ + M = 2X‬ب ‪ – N 2 + M = ٣X ، O 3 + N‬هـ ‪ ، O‬فإذا كان متجه اإلزاحة ف يعطى بالعالقة‬ ‫ف = ن ‪ 12 ( + M‬ن‪ + 2‬ن) ‪ O 5 + N‬فأوجد قيمة كل من ‪ ، C‬ب ‪ ،‬هـ‬

‫الحل‬

‫‪( + M )2 + C( = ٣X + ٢X + ١X = X a‬ب ‪ – 3( + N )3 +‬هـ) ‪O‬‬ ‫‪ a‬ف = ن ‪ 12 ( + M‬ن‪ + 2‬ن) ‪O 5 + N‬‬

‫‪E‬ف‬ ‫ع = ‪E‬ن‬

‫= ‪( + M‬ن ‪N )1 +‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫‪E‬ع‬ ‫جـ =‬ ‫‪E‬ن‬

‫‪ a‬ك جـ = ‪X‬‬

‫= ‪N‬‬

‫‪0=2+C‬‬ ‫‪2– = C‬‬

‫` ‪( + M )2 + C( = N‬ب ‪ – 3( + N )2 +‬هـ) ‪O‬‬

‫‪ – 3‬هـ = ‪0‬‬ ‫هـ = ‪3‬‬

‫‪،‬ب ‪1 = 3 +‬‬ ‫‪،‬ب = –‪2‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪، N - M 2 = ٢X‬‬

‫‪ 4‬يتحرك جسم كتلته ‪ 3‬كجم بتأثير ثالث قوى مستوية هى ‪N + M C = ١X‬‬

‫‪ + M 3 = ٣X‬ب ‪ N‬حيث ‪ N ، M‬متجها وحدة متعامدان فى مستوى القوى‪ ،‬فإذا كان متجه اإلزاحة‬ ‫يعطى كدالة فى الزمن بالعالقة ف = (ن‪2( + M )1 + 2‬ن‪ , N )3 + 2‬ع ِّين قيمة كل من ‪ ، C‬ب‪.‬‬ ‫مثال‬

‫‪ 5‬أثرت قوة ‪ X‬على جسم ساكن كتلته ‪ 1‬كجم‪ ،‬يتحرك فى خط مستقيم مبتد ًئا من نقطة أصل "و" على الخط‬ ‫المستقيم‪ ،‬وكانت ‪ 5 = X‬س ‪ 6 +‬حيث س بعد الجسم عن "و" مقيسة بالمتر‪ X ،‬بالنيوتن‪.‬‬ ‫أوجد‪:‬‬ ‫أوال سرعة الجسم ع عندما س = ‪ 4‬متر‬ ‫ثان اًيا إزاحة الجسم عندما تكون ع = ‪9‬م‪/‬ث‬ ‫الحل‬

‫‪5 =X a‬س ‪6 +‬‬ ‫` ك جـ = ‪ 5‬س ‪6 +‬‬ ‫‪E‬ع‬ ‫‪ a‬جـ = ع ‪ E‬س ‪ ،‬ك = ‪ 1‬كجم‬

‫‪C‬‬ ‫شكل (‪)25‬‬

‫ا اً‬ ‫أول‪:‬‬

‫‪E‬ع‬ ‫= ‪5‬س ‪6 +‬‬ ‫`ع‬ ‫‪E‬س‬ ‫ع‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫` [ ع ]‪ [ = 0‬س ‪ 6 +‬س]‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ثانياًا‪:‬‬

‫ع‪128 = 2‬‬

‫‪E‬ع‬ ‫‪ a‬ع ‪E‬س = ‪5‬س ‪6 +‬‬ ‫س‬ ‫‪92 1‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫]‬ ‫]‬ ‫` [‪2‬ع ‪2[ = 0‬س ‪ 6 +‬س ‪0‬‬ ‫` ‪5‬س‪12 + 2‬س – ‪0 = 81‬‬

‫(‪5‬س ‪( )27 +‬س – ‪0 = )3‬‬

‫‪1 8‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫س‬

‫`‬

‫‪0‬‬

‫ع ع ‪E‬ع =‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫و‬

‫(‪ 5‬س ‪E )6 +‬س‬

‫` ‪ 12‬ع‪0 - )4 * 6 + 16 * 52 ( = 2‬‬ ‫` ع = ! ‪ 2 ٨‬م‪/‬ث‬ ‫`‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫ع ‪E‬ع = ‪ 0‬س (‪ 5‬س ‪E )6 +‬س‬

‫‪ 52 = 81‬س‪6 + 2‬س – ‪0‬‬ ‫` ‪2‬‬ ‫` س=‪3‬‬

‫‪،‬‬

‫س = – ‪27‬‬ ‫‪5‬‬ ‫كتاب الطالب‬

‫نوينو نثين ننحوين‬

‫‪2 2‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 5‬أثرت قوة ‪ X‬على جسم كتلته ‪ 3‬كجم‪ ،‬يتحرك فى خط مستقيم مبتد ًئا بسرعة قدرها ‪2‬م‪/‬ث‪ ،‬وكانت‬ ‫‪ 3 = X‬حيث ع سرعة الجسم بعد زمن قدره ن‪ ،‬متى تكون سرعة الجسم ‪ 6‬م‪/‬ث‪.‬‬ ‫‪2‬ع ‪1 +‬‬

‫مثال‬ ‫قوة تؤثر على جسم كتلته ‪ 250‬جم‪ ،‬يتحرك فى خط مستقيم مبتد ًئا من السكون من نقطة أصل "و" على الخط‬ ‫المستقيم‪ ،‬وكانت ‪5( = X‬ن – ‪ 4 + M )2‬ن ‪N‬‬ ‫كال من السرعة ع ‪ ،‬اإلزاحة ف بداللة الزمن ن‬ ‫إذا كانت ‪ X‬مقيسة بوحدة النيوتن‪ ،‬ن بالثانية‪ ،‬أوجد ًّ‬

‫الحل‬

‫‪5( = X a‬ن ‪ 4 + M )2 -‬ن ‪N‬‬

‫` ‪ 14‬جـ = (‪5‬ن ‪ 4 + M )2 -‬ن ‪N‬‬

‫‪E‬ع‬ ‫‪ a‬جـ =‬ ‫‪E‬ن‬ ‫`‬

‫‪0‬‬

‫ع‬

‫‪E‬ع‬

‫=‪0‬‬

‫ن‬

‫`‬

‫‪0‬‬

‫ف‬

‫‪ E‬ف =‪0‬‬

‫ن‬

‫` جـ = (‪20‬ن ‪ 16 + M )8 -‬ن ‪N‬‬

‫‪E‬ع‬ ‫`‬ ‫‪E‬ن‬

‫[( ‪20‬ن ‪ 16 + M )8 -‬ن‪ E ] N‬ن‬

‫` ع = (‪10‬ن‪ 8 - 2‬ن) ‪ 8 + M‬ن‪N 2‬‬

‫‪E‬ف‬ ‫‪ a‬ع = ‪E‬ن‬

‫‪ = X a‬ك جـ حيث ك = ‪ 14‬كجم‬ ‫= (‪20‬ن ‪ 16 + M )8 -‬ن ‪N‬‬

‫‪E‬ف‬ ‫` ‪ E‬ن = (‪10‬ن‪ 8 - 2‬ن) ‪ 8 + M‬ن‪N 2‬‬

‫[( ‪10‬ن‪8 - 2‬ن ) ‪ 8 + M‬ن‪ E ] N 2‬ن‬

‫‪ 10‬ن‪ 4 - 3‬ن‪ 83 + M )2‬ن‪N 3‬‬ ‫` ف =(‪3‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫قوة ‪ X‬ثؤثر على جسم ساكن كتلته ‪ 12‬كجم مبتد ًئا حركته من نقطة ثابتة "و" على خط مستقيم‪ ،‬وكانت‬ ‫مقيسا بالنيوتن ‪ ،‬أوجد عندما ن = ‪ 2‬ثانية‪،‬‬ ‫مقيسا بالثانية‪ ،‬ق ً‬ ‫‪4( = X‬ن ‪ N 4 + M )1 -‬حيث ن الزمن ً‬ ‫سرعة الجسم ‪ ،‬وبعده عن و‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫يتحرك جسم متغير الكتلة‪ ،‬كتلته ك = ‪2‬ن ‪ 1 +‬فى خط مستقيم ثابت‪ ،‬وكان متجه إزاحته ُيعطى بالعالقة‪:‬‬ ‫ف = ( ‪ 12‬ن‪ + 2‬ن) ‪ M‬حيث ‪ M‬متجه وحدة مواز للخط المستقيم ‪.‬‬ ‫أوجد كمية حركة هذا الجسم واستنتج قانون القوة المؤثرة عليه‪.‬‬ ‫الحل‬

‫ك = ‪2‬ن ‪1 +‬‬ ‫متجه السرعة ع =‬

‫‪E‬ف‬

‫‪ E‬ن = ‪EE‬ن ( ‪ 12‬ن‪+ 2‬‬

‫ن) ‪ ( = M‬ن ‪M )1 +‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1 9‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫متجه كمية الحركة ‪ = W‬ك ع‬ ‫= (‪ 2‬ن ‪( )1 +‬ن ‪ 2( = M )1 +‬ن‪3 + 2‬ن ‪M )1 +‬‬ ‫من القانون الثانى لنيوتن نجد أن ‪:‬‬

‫‪ E = X‬ن (ك ع ) =‬ ‫‪E‬‬

‫=‬

‫‪WE‬‬

‫‪E‬ن‬

‫‪E‬‬ ‫‪ E‬ن (‪2‬ن‪3 + 2‬ن ‪4( = M )1 +‬ن ‪M )3 +‬‬

‫أى أن القوة المؤثرة على الجسم تكون فى اتجاه المتجه ‪ M‬ويساوى مقدارها (‪ 4‬ن ‪)3 +‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫كرة معدنية كتلتها ‪ 100‬جم تحركت بسرعة منتظمة ‪10‬م‪/‬ث وسط غبار يلتصق بسطحها بمعدل ثابت يساوى‬ ‫‪ 0٫6‬جم فى الثانية ‪ .‬أوجد كتلة الكرة والقوة بالداين المؤثرة عليها عند أى لحظة‪.‬‬

‫تمـــــــاريـــن ‪3 - 2‬‬ ‫اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة فى كل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪ 1‬جسم كتلته ‪ 5‬كجم يكون وزنه‪:‬‬ ‫أ‬ ‫ج ‪ 49‬نيوتن‬ ‫ب ‪ 5‬نيوتن‬ ‫‪ 25‬نبوتن‪.‬‬ ‫‪49‬‬

‫د ‪ 49‬ث كجم‬

‫جسم كتلته ك كجم يتحرك تحت تأثير القوة ‪ 3 = X‬ك ‪ 4 + M‬ك ‪ , N‬حيث ‪ X‬بالنيوتن‪ ،‬فإن مقدار عجلة‬ ‫الحركة بوحدة م‪/‬ث‪:2‬‬ ‫د ‪7‬‬ ‫ج ‪5‬‬ ‫ب ‪4‬‬ ‫أ ‪3‬‬

‫جسم كتلته الوحدة يتحرك تحت تأثير القوة ‪ 5 = X‬ى فإذا كان متجه سرعته ع = (‪C‬ن‪ + 2‬ب ن) ى ‪ ،‬فإن‬ ‫‪+C‬ب‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫‪X‬‬ ‫د ‪5‬‬ ‫أ ‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 4‬جسم كتلته ‪ 8‬كجم يتحرك رأس ًّيا ألعلى بعجلة منتظمة جـ تحت تأثير قوة تعمل فى اتجاه الحركة‬ ‫مقدارها ‪ 12‬ت كجم‪ .‬فإن جـ بوحدة م‪ /‬ث‪:2‬‬ ‫أ ‪1‬‬ ‫ب ‪3‬‬ ‫د ‪14٫7‬‬ ‫ج ‪4٫9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫و‬

‫شكل (‪)26‬‬

‫‪ 5‬أُطلقت رصاصة كتلتها ‪ 7‬جم أفق ًّيا من فوهة مسدس بسرعة ‪ 245‬م‪/‬ث على حاجز رأسى من‬ ‫الخشب فغاصت فيه ‪ 12٫25‬سم قبل أن تسكن‪ .‬احسب مقاومة الخشب للرصاصة عل ًما بأنها تحركت بتقصير‪.‬‬ ‫د ‪ 1715‬ث كجم‬ ‫ج ‪ 175‬ث كجم‬ ‫ب ‪ 175‬نيوتن‬ ‫أ ‪ 17,15‬نيوتن‬ ‫إذا تحرك جسم كتلته ك(‪2‬ن ‪ )3 +‬كجم يتحرك فى خط مستقيم‪ ،‬وكان متجه إزاحته كدالة فى الزمن ُيعطى‬ ‫بالعالقة ف = ( ‪ 32‬ن‪2 + 2‬ن) ى ‪ ،‬ف مقاسه بالمتر ‪ ،‬ن بالثانية فإن مقدار القوة المؤثرة عليه بالنيوتن هى ‪:‬‬ ‫د ‪6‬ن ‪13 +‬‬ ‫ج ‪ 12‬ن ‪13 +‬‬ ‫ب ‪ 12‬ن ‪3 +‬‬ ‫أ ‪2‬ن ‪3 +‬‬

‫‪1 0‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫نوينو نثين ننحوين‬

‫‪2 2‬‬

‫فى كل من الحاالت اآلتية‪ ،‬القوة ‪ X‬تؤثر على الجسم الذى كتلته ك كجم‪ ،‬وتكسبه عجلة حركة منتظمة‬ ‫واتجاها‪ ،‬أوجد ‪X‬‬ ‫مقدارا‬ ‫موضحة بالشكل‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫‪X‬‬ ‫‪S‬‬

‫‪X‬‬

‫جـ =‬

‫‪2‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫ك = ‪10‬كجم‬

‫‪ 35‬نيوتن ك = ‪5‬كجم‬

‫و‬

‫جـ =‬

‫شكل (‪)27‬‬

‫و‬

‫‪X‬‬

‫جـ =‬ ‫‪2‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫ك = ‪10‬كجم‬

‫‪ 15‬نيوتن‬

‫‪ 53‬نيوتن‬

‫‪2‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫شكل (‪)28‬‬

‫و‬

‫شكل (‪)29‬‬

‫‪ 8‬فى كل من الحاالت اآلتية القوة ق تؤثر على الجسم الذى كتلته ك كجم‪ ،‬وتكسبه عجلة حركة منتظمة موضحة‬ ‫واتجاها‪ ،‬أوجد ك‬ ‫مقدارا‬ ‫بالشكل‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫‪ 76‬نيوتن‬

‫جـ =‬

‫‪6‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫‪S‬‬

‫‪ 50‬نيوتن‬

‫ك‬ ‫و‬

‫‪ 1‬و‬ ‫‪3‬‬

‫ك‬

‫جـ =‬

‫شكل (‪)30‬‬

‫‪ 9‬نيوتن‬

‫و‬

‫‪3‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫شكل (‪)31‬‬

‫‪ 25‬نيوتن‬

‫جـ =‬ ‫‪1٫3‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫ك‬ ‫و‬ ‫شكل (‪)32‬‬

‫‪ 9‬فى كل من الحاالت اآلتية‪ ،‬القوة ‪ X‬تؤثر على الجسم الذى كتلته ك كجم‪ ،‬وتكسبه عجلة منتظمة جـ مقاسة‬ ‫بوحدة م‪/‬ث‪ ،2‬أوجد جـ‬ ‫‪ 72‬نيوتن‬

‫جـ = ؟‬

‫‪ 60‬نيوتن‬

‫‪ 24‬نيوتن ‪ 16‬نيوتن‬

‫ك = ‪15‬كجم‬

‫ك = ‪6‬كجم‬

‫ك = ‪8‬كجم‬

‫و‬

‫شكل (‪)33‬‬

‫شكل (‪)34‬‬

‫‪ 10‬جسم كتلته ‪ 150‬جم‪ ،‬أثرت عليه قوة مقدارها ‪ 4500‬داين‪ ،‬أوجد العجلة الناتجة‪.‬‬

‫شكل (‪)35‬‬

‫‪ 11‬كتلة مقدارها ‪ 20‬كجم موضوعة على مستوى أفقى أملس‪ ،‬أثرت عليها قوة أفقية مقدارها ‪ X‬فحركتها بعجلة‬ ‫منتظمة مقدارها ‪ 49‬م‪/‬ث‪ ،‬أوجد ق‪.‬‬ ‫‪ 1‬سيارة ساكنة كتلتها ‪ 4٫9‬طن‪ ،‬أثرت عليها قوة فأصبحت سرعتها ‪ 27‬كم‪ /‬س خالل دقيقة واحدة‪ ،‬أوجد القوة‬ ‫التى أثرت على السيارة بثقل الكجم‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1 1‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫‪ 1‬إذا كانت قوة آلة قاطرة تساوى ‪ 2٫5‬ث طن‪ ،‬وكانت كتلة القطار والقاطرة ‪ 200‬طن‪ ،‬وبدأ القطار يتحرك من‬ ‫السكون‪ ،‬أوجد سرعة القطار بعد نصف دقيقة‪.‬‬

‫‪ 14‬أوجد قوة مقاومة الفرامل لحركة قطار مقدرة بثقل الكيلوجرام لكل طن من كتلته‪ ،‬إذا كانت سرعته‬ ‫مترا‪ ،‬أوجد الزمن الالزم لذلك‪.‬‬ ‫‪ 72‬كم‪/‬س وأوقفته الفرامل بعد أن قطع ‪ً 250‬‬

‫‪ 15‬دفع رجل سيارة ساكنة كتلتها ‪ 980‬كجم بقوة ثابتة‪ ،‬فأصبحت سرعتها ‪ 45‬سم‪/‬ث بعد ‪ٍ 5‬‬ ‫ثوان‪ ،‬أوجد بثقل‬ ‫الكيلوجرام القوة التى دفع بها الرجل السيارة إذا كانت المقاومة ‪ 50‬ث كجم‪.‬‬

‫‪ 1‬أوجد القوة األفقية التى ُتشد بها قاطرة قطار كتلته ‪ 245‬ط ًّنا لتزيد سرعته إلى ‪ 18‬كم‪/‬س بعد أن قطع مسافة‬ ‫كيلومتر واحد على طريق أفقية إذا كانت قوة المقاومة ‪ 4‬ت كجم‪ /‬طن‪.‬‬

‫‪ 1‬أثرت قوة أفقية ثابتة مقدارها ‪ 1‬ث طن على سيارة كتلتها ‪ 4‬أطنان تسير على طريق أفقى‪ ،‬فإذا بدأت السيارة‬ ‫حركتها من السكون وبلغت سرعتها ‪ 4,9‬م‪/‬ث فى ‪ٍ 10‬‬ ‫ثوان‪ ،‬أوجد مقدار المقاومة التى أثرت على السيارة‪.‬‬ ‫‪ 18‬جسم كتلته ‪ 2‬كجم تؤثر عليه القوى ‪ N + M - = ٢X ، N2 + M 4 = ١X‬حيث معيار ‪ X‬بالنيوتن‪،‬‬ ‫أوجب معيار جـ‬

‫‪ 19‬أثرت قوة ‪ X‬على جسم كتلته ‪ 500‬جم‪ ،‬فأكسبته عجلة جـ حيث جـ = ‪ N 2 + M 5‬فإذا كانت جـ‬ ‫بوحدة م‪/‬ث‪ ،2‬فأوجد مقدار ‪ X‬بوحدة نيوتن‪.‬‬

‫‪ 0‬أوجد متجه عجلة الحركة جـ التى اكتسبها جسم كتلته ‪ 2‬كجم‪ ،‬إذا أثرت عليه القوى‬ ‫‪4 + N 3 - M 2 = ١X‬ع ‪ 2 + N 5 + M = ٢X ،‬ع إذا كانت ‪ X‬بوحدة نيوتن‪.‬‬ ‫=‪4‬‬

‫=‪4‬‬

‫‪ 1‬القوى ‪ + M C = ١X‬ب ‪ + N‬جـ ‪ O + N 3 - M 2 = ٢X ، O‬أثرت على جسم كتلته ‪ 2‬كجم‪،‬‬ ‫=‪4‬‬

‫=‪4‬‬

‫فأكسبته عجلة جـ = ‪ ، O + M 4‬أوجد ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ‪ ،‬إذا كانت ‪ X‬بوحدة نيوتن‪ ،‬جـ بوحدة م‪/‬ث‪.2‬‬ ‫=‪4‬‬

‫=‪4‬‬

‫يتحرك جسم كتلته ‪ 3‬كجم بتأثير ثالث قوى مستوية ‪ - M 2 = ١X‬ب ‪، N + M C = ٢X ، N‬‬ ‫=‪4‬‬

‫=‪4‬‬

‫‪ N 2 + M 3 = ٣X‬حيث ‪ N ، M‬متج ًها وحدة متعامدين فى مستوى القوى‪ ،‬فإذا كان متجه اإلزاحة‬ ‫=‪4‬‬

‫=‪4‬‬

‫ُيعطى كدالة فى الزمن بالعالقة ف = (ن‪2( + M )1 + 2‬ن‪ N )3 + 2‬عين الثابتين ‪ ،C‬ب‪.‬‬ ‫=‪4‬‬

‫=‪4‬‬

‫جسم كتلته ك = ( ‪ 2‬ن ‪ )5 +‬كجم ومتجه موضعه ‪ 12 ( = S‬ن‪ + 2‬ن ‪ )5 -‬ى حيث متجه ى وحدة ثابت ‪،‬‬ ‫=‪4‬‬

‫=‪4‬‬

‫‪ S‬مقاسة بالمتر ‪ ،‬ن الزمن بالثانية ‪ .‬أوجد ‪:‬‬

‫اً‬ ‫أوال‪ :‬متجهى السرعة والعجلة للجسم عند أى لحظة زمنية ن‪.‬‬ ‫ثان اًيا ‪ :‬مقدار القوة المؤثرة على الجسم عند ن = ‪ 10‬ثانية‬

‫‪1‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫نوينو نثين ننحوين‬

‫‪2 2‬‬

‫‪ 4‬كرة معدنية كتلتها ‪ 150‬جم تحركت بسرعة منتظمة ‪12‬م‪/‬ث وسط غبار يلتصق بسطحها بمعدل ثابت ‪0٫5‬‬ ‫جم فى الثانية ‪ .‬أوجد كتلة الكرة والقوة بالداين المؤثرة عليها عند أى لحظة زمنية ن‪.‬‬ ‫‪ 5‬كرة معدنية كتلتها ‪10‬جم تتحرك فى خط مستقيم داخل وسط محمل بالغبار الذى يلتصق بسطحها بمعدل‬ ‫جرام واحد كل ثانية‪ ،‬فإذا كانت إزاحة هذه الكرة فى نهاية فترة زمنية ن هى ف = (ن‪3 + 2‬ن) ‪ M‬حيث‬ ‫=‪4‬‬

‫‪ M‬متجه وحدة فى اتجاه حركتها فأوجد القوة المؤثرة على الكرة عند أى لحظة ن واحسب معيارها عند ن =‬ ‫‪ 3‬ثوانى إذا علم أن معيار اإلزاحة يقاس بالسنتيمتر‪.‬‬ ‫يتحرك جسم متغير الكتلة فى خط مستقيم وكانت كتلته عند أى لحظة زمنية ن تساوى ك = ( ‪4‬ن ‪ )1+‬جرام‬

‫وكان متجه إزاحته يعطى بالعالقة ف = (ن‪2 + 2‬ن) ‪ M‬حيث ‪ M‬متجه وحدة ثابت مواز للخط المستقيم ‪،‬‬ ‫ن الزمن بالثانية‪ ،‬ف المسافة بالسنتيمتر أوجد ‪:‬‬ ‫‪ - 1‬متجه كمية الحركة لهذا الجسم ‪ - 2 ،‬معيار القوة المؤثرة على الجسم عندما ن = ‪.4‬‬ ‫=‪4‬‬

‫أثرت قوة ‪3 = X‬ن ‪ 1 +‬على جسم ‪ ،‬ساكن كتلته ‪ 4‬كجم مبتد ًئا حركته من نقطة أصل "و" على خط مستقيم‪.‬‬ ‫أ أوجد ع عندما ن = ‪ 2‬ثانية‪.‬‬ ‫ علما بأن ‪ X‬بوحدة نيوتن‪.‬‬ ‫ب أوجد ف عندما ن = ‪ 2‬ثانية‪, .‬‬ ‫ً‬

‫شدا‬ ‫‪ 8‬أوجد أقل عجلة ينزلق بها رجل كتلته ‪ 75‬كيلوجرا ًما على حبل النجاة من الحريق إذا كان الحبل ال يتحمل ًّ‬ ‫علما بأن عجلة الحركة منتظمة‪.‬‬ ‫مترا‪ً ،‬‬ ‫يزيد عن ‪ 50‬ثقل كيلوجرام‪ ،‬ثم أوجد سرعة الرجل بعد أن يهبط ‪ً 30‬‬ ‫‪ 9‬رصاصة كتلتها ‪ 20‬جرا ًما اصطدمت بحاجز ثابت من الخشب عندما كانت سرعتها ‪ 700‬متر‪ /‬ثانية‪ ،‬فغاصت‬ ‫فيه مسافة ‪ 5‬سم‪ .‬احسب بثقل الكيلوجرام مقاومة الخشب بفرض أنها ثابتة‪.‬‬ ‫‪ 0‬سقط جسم كتلته ‪ 2‬كجم من ارتفاع ‪ 10‬أمتار نحو أرض رملية‪ ،‬فغاص فيها مسافة ‪ 5‬سم‪ ،‬احسب بثقل‬ ‫الكيلوجرام مقاومة الرمل بفرض ثبوتها‪.‬‬ ‫‪ 1‬قطار كتلته ‪ 245‬ط ًنا ( بمافى ذلك القاطرة ) يتحرك بعجلة منتظمة مقدارها ‪15‬سم‪/‬ث‪ 2‬على طريق مستقيم‬ ‫أفقى فإذا كانت مقاومة الهواء واالحتكاك ‪75‬ث‪.‬كجم لكل طن من كتلة القطار فأوجد بثقل الكيلو جرام قوة‬ ‫آالت القاطرة ‪ .‬وإذا انفصلت العربة األخيرة وكتلتها ‪ 49‬ط ًنا بعد أن تحرك القطار من السكون لمدة ‪ 4٫9‬دقيقة‬ ‫فأوجد الزمن الذى تأخذه العربة المنفصلة حتى تقف‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪4-2‬‬

‫ الضغط ورد الفعل‪.‬‬ ‫ حركة املصاعد‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫ القانون الثالث لنيوتن‬

‫‪Newtons third law‬‬

‫ الضغط‬

‫‪pressare‬‬

‫ رد الفعل‬

‫‪reaction‬‬

‫ حركة املصاعد‬

‫‪liltmotion‬‬

‫ ميزان الزنربك‬

‫‪spring scale‬‬ ‫‪pressare scale‬‬

‫ ميزان معتاد‬

‫‪balance‬‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫ آلة حاسبة علمية‪.‬‬ ‫ ميزان معتاد‬

‫ ميزان زنربكى‬ ‫ ميزان ضغط‬

‫‪1 4‬‬

‫‪Newton's Third law‬‬

‫عمل تعاونى‬

‫سوف تتعلم‬

‫ ميزان الضغط‬

‫القانون الثالث لنيوتن‬ ‫قم مع زميل لك بإحضار ميزان ضغط وضعه فى أرضية‬ ‫مصعد‪ ،‬ثم قف على الميزان والمصعد ساكن‪ ،‬ودع زميلك‬ ‫يسجل قراءة الميزان لدى وقوفك على ميزان الضغط‪ ،‬واجعل‬ ‫المصعد يتحرك ألعلى وزميلك يسجل أى تغير يحدث فى‬ ‫شكل (‪)36‬‬ ‫قراءة الميزان‪ ،‬ثم أوقف المصعد وسجل القراءة مرة أخرى‪،‬‬ ‫ثم اجعل المصعد يهبط ألسفل وزميلك يسجل قراءة الميزان عند حدوث أى تغير فى‬ ‫القراءة‪ ،‬ثم كرر التجربة بالتبادل مع زميلك‪.‬‬ ‫سجل قراءة الميزان حال وقوف كل منكما على الميزان فى كل مرحلة من مراحل‬ ‫سكون المصعد أو الحركة ألعلى أو الحركة ألسفل‪.‬‬ ‫بماذا تفسر اختالف قراءة الميزان فى كل الحاالت؟‬

‫تعلم‬ ‫‪ - 1‬القانون الثالث لنيوتن‪:‬‬ ‫ٍ‬ ‫مساو له فى المقدار ومضاد له فى االتجاه‪.‬‬ ‫لكل فعل رد فعل‬

‫‪Newtns third law‬‬

‫ ال�صغط ورد الفعل‪:‬‬‫‪S‬‬ ‫جسما كتلته ك على مستوى أفقى‬ ‫عندما نضع‬ ‫ً‬ ‫ساكن‪ ،‬فإن الجسم يؤثر على المستوى بقوة ضغط‬ ‫تساوى فى هذه الحالة وزن الجسم‪ ،‬وتنشأ عن‬ ‫ذلك قوة رد فعل للمستوى تؤثر على الجسم وهى‬ ‫تساوى تما ًما ضغط الجسم على المستوى والقوتان‬ ‫ض‬ ‫متضادتان فى االتجاه‪ ،‬ولكنهما متساويتان فى‬ ‫شكل (‪)37‬‬ ‫المقدار تما ًما ‪ ،‬ويتغير ضغط الجسم على المستوى كلما تحرك المستوى صعو ًدا أو‬ ‫هبوطًا‪ ،‬ويعرف الضغط فى هذه الحالة بالوزن الظاهري‪.‬‬

‫‪pressure and reaction‬‬

‫حركة الم�ساعد‪Lift motion :‬‬

‫وتعتبر حركة المصاعد من أشهر تطبيقات الفعل ورد الفعل ‪ ،‬عندما‬ ‫يقف شخص كتلته ك داخل مصعد كتلته ك‪ /‬فإن هناك مجموعة‬ ‫من القوى المؤثرة على كل منهما‪.‬‬ ‫شكل (‪)38‬‬ ‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫نوينو نثين ننحوين‬

‫القوى الموؤثرة على ال�سخ�ص داخل الم�سعد‬

‫‪the forces acting on the person inside the lift‬‬

‫يؤثر على الشخص داخل المصعد قوتان‪.‬‬ ‫‪ - 1‬وزن الشخص = ك ‪( E‬ويؤثر رأس ًّيا ألسفل مهما كان اتجاه حركة المصعد)‬ ‫‪ - 2‬رد فعل المصعد على الشخص‬

‫‪2 2‬‬

‫‪S‬‬

‫=‪S‬‬

‫(ويؤثر رأس ًّيا ألعلى مهما كان اتجاه حركة المصعد)‪.‬‬

‫معادلة حركة ال�سخ�ص‪:‬‬

‫‪equation of the motion of the person‬‬

‫عندما يكون المصعد ساك ًنا أو متحركًا حركة منتظمة (سرعة ثابتة ألعلى أو ألسفل)‬ ‫فإن ك ‪S = E‬‬

‫عند الحركة ألعلى بعجلة قدرها جـ تكون معادلة حركة الشخص ك جـ = ‪- S‬‬

‫ك‪E‬‬

‫عند الحركة ألسفل بعجلة قدرها جـ تكون معادلة حركة الشخص ك جـ = ك ‪- E‬‬

‫شكل (‪)39‬‬

‫‪S‬‬

‫تفكير ناقد ‪ :‬ماذا تتوقع أن يكون رد فعل المصعد على الرجل إذا سقط المصعد بعجلة مساوية لعجلة الجاذبية؟‬ ‫ش‬

‫القوى الموؤثرة على الم�سعد فقط وال�سخ�ص بداخله (�سكل ‪)40‬‬ ‫‪The forces acting on the lift‬‬

‫يؤثر على المصعد ثالث قوى عندما يكون الشخص بداخله‪:‬‬ ‫‪ - 1‬وزن المصعد فقط = ك‪( E /‬ويؤثر رأس ًّيا ألسفل مهما كان اتجاه حركة المصعد)‬ ‫‪ - 2‬ضغط الشخص على أرضية المصعد = ض‬ ‫(ويؤثر رأس ًّيا ألسفل مهما كان اتجاه حركة المصعد)‬ ‫‪ - 3‬الشد فى الحبل الذى يحمل المصعد = ش‬ ‫(ويؤثر رأس ًّيا ألعلى مهما كان اتجاه حركة المصعد)‬

‫معادلة حركة الم�سعد‬

‫‪equation of the motion of the lift‬‬

‫ض‬

‫ك‪E /‬‬ ‫ش (‪)40‬‬ ‫شكل‬

‫عند الحركة ألعلى بعجلة قدرها جـ تكون معادلة حركة المصعد‬ ‫ك‪ /‬جـ = ش ‪ -‬ض ‪ -‬ك‪E /‬‬ ‫عند الحركة ألسفل بعجلة قدرها جـ تكون معادلة حركة المصعد‬ ‫ك‪ /‬جـ = ك‪ + E /‬ض ‪ -‬ش‬

‫القوى الموؤثرة على الم�سعد والرجل معاًا (�سكل ‪)41‬‬

‫‪the forces acting on the aysfem‬‬

‫يؤثر على المصعد والرجل م اًعا قوتان‪:‬‬ ‫‪ - 1‬وزن المجموعة (الرجل والمصعد) = (ك ‪ +‬ك‪E )/‬‬ ‫(ويؤثر رأس ًّيا ألسفل مهما كان اتجاه حركة المصعد)‬ ‫‪ - 2‬الشد فى الحبل الذى يحمل المصعد = ش‬ ‫(ويؤثر رأس ًّيا ألعلى مهما كان اتجاه حركة المصعد)‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫(ك ‪ +‬ك‪E )/‬‬ ‫شكل (‪)41‬‬

‫‪1 5‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬ ‫ملحوظة‪:‬‬

‫ضغط الرجل على أرضية المصعد يساوى ويضاد رد فعل المصعد على الرجل‬

‫مع�دلة حركة المجموعة‪:‬‬

‫‪equation of the motion of the aysfem‬‬

‫عند الحركة ألعلى بعجلة قدرها جـ تكون معادلة حركة المصعد‬

‫عند الحركة ألسفل بعجلة قدرها جـ تكون معادلة حركة المصعد‬

‫ميزان الزنبرك‬

‫(ك ‪ +‬ك‪ )/‬جـ = ش ‪( -‬ك ‪ +‬ك‪E)/‬‬

‫(ك ‪ +‬ك‪ )/‬جـ = (ك ‪ +‬ك‪ - E )/‬ش‬ ‫‪Spring Scale‬‬

‫عندما يعلق جسم كتلته ك فى سلك ميزان زنبرك مثبت فى سقف مصعد‪،‬‬ ‫فإن قراءة الميزان تعبر عن الشد الحادث فى سلك الميزان‪.‬‬

‫‪pressure )health) scale‬‬

‫ميزان ال�سغط‬

‫شكل (‪)42‬‬

‫عندما يوضع جسم كتلته ك على ميزان ضغط مثبت فى أرضية مصعد‪،‬‬ ‫فإن قراءة الميزان تعبر عن ضغط الجسم على الميزان‪.‬‬

‫‪S‬‬

‫ش‬

‫شكل (‪)43‬‬

‫ك‪E‬‬

‫ك‪E‬‬ ‫شكل (‪)44‬‬

‫شكل (‪)45‬‬

‫‪ - 1‬إذا كانت قراءة الميزان > الوزن الحقيقي‬

‫ش > ك‪ > S ،E‬ك‪E‬‬

‫‪ - 2‬إذا كانت قراءة الميزان < الوزن الحقيقي‬

‫ش< ك ‪ < S ، E‬ك ‪E‬‬

‫‪ - 3‬إذا كانت قراءة الميزان = الوزن الحقيقي‬

‫ش = ك‪ = S ،E‬ك‪E‬‬

‫صاعدا ألعلى بعجلة تزايدية أو هابطًا ألسفل بعجلة تقصيرية‪.‬‬ ‫فإن المصعد يكون‬ ‫ً‬ ‫صاعدا ألعلى بعجلة تقصيرية‪.‬‬ ‫فإن المصعد يكون هابطًا ألسفل بعجلة تزايدية أو‬ ‫ً‬

‫الحظ أن‬

‫فإن المصعد يكون ساك ًنا أو متحركًا بسرعة منتظمة‪.‬‬ ‫قراءة ميزان الضغط أو ميزان الزنبرك تسمى الوزن الظاهري‪.‬‬

‫إذا تحرك مصعد ألعلى بعجلة منتظمة وتحرك ألسفل بالعجلة نفسها‪،‬‬ ‫فإن قراءة الميزان حال الصعود ‪ +‬قراءة الميزان حال الهبوط = ضعف الوزن الحقيقي‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫نوينو نثين ننحوين‬

‫الميزان المعتاد ذى الكفتين‬

‫‪2 2‬‬

‫‪balance‬‬

‫الميزان المعتاد ذى الكفتين هو الوحيد الذى يقيس الوزن الحقيقى فى كل‬ ‫الظروف واألجواء‬ ‫مثال‬

‫شكل (‪)46‬‬

‫‪ 1‬رجل كتلته ‪ 80‬كجم يقف داخل مصعد‪ ،‬احسب بثقل الكيلوجرام ضغط الرجل على أرضية المصعد فى كل‬ ‫من الحاالت اآلتية‪:‬‬ ‫صاعدا بعجلة منتظمة قدرها ‪ 49‬سم‪ /‬ث‪.2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ً‬ ‫‪ - 2‬متحركًا بسرعة منتظمة قدرها ‪ 80‬سم‪ /‬ث‪.‬‬ ‫‪ - 3‬هابطًا بعجلة منتظمة قدرها ‪ 98‬سم‪ /‬ث‪.2‬‬ ‫الحل‬

‫ضغط الرجل على أرض المصعد يساوى فى المقدار رد فعل المصعد على الرجل‬ ‫‪ - 1‬المصعد يتحرك ألعلى بعجلة قدرها ‪ 0٫49‬م‪ /‬ث‪.2‬‬ ‫` ك جـ = ‪ - S‬ك د‬ ‫‪9٫8 * 80 - S = 0٫49 * 80‬‬ ‫` ‪9٫8 * 80 + 0٫49 * 80 = S‬‬ ‫‪ 84 = S‬ث كجم‬ ‫‪ 823٫2 = S‬نيوتن‬ ‫‪ - 2‬المصعد يتحرك بسرعة منتظمة‪.‬‬ ‫` جـ = ‪0‬‬ ‫‪ 80 = S‬ث كجم‬ ‫`‪ = S‬ك‪E‬‬ ‫‪ - 3‬المصعد يتحرك ألسفل بعجلة منتطمة قدرها ‪ 0٫98‬م‪/‬ث‪.2‬‬ ‫ك جـ = ك ‪S - E‬‬ ‫‪S - 9٫8 * 80 = 0٫98 * 80‬‬ ‫‪ 705٫6 = S‬نيوتن‪.‬‬ ‫‪0٫98 * 80 - 9٫8 * 80 = S‬‬

‫‪S‬‬

‫ك‪E‬‬ ‫شكل (‪)47‬‬

‫‪ 72 =S‬كجم‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 1‬شخص كتلته ‪ 60‬كجم يقف داخل مصعد‪ ،‬احسب بثقل الكيلوجرام ضغط الرجل على أرضية المصعد فى كل‬ ‫من الحاالت اآلتية‪:‬‬ ‫‪ - 1‬إذا كان المصعد ساك ًنا‪.‬‬ ‫‪ - 2‬المصعد يتحرك ألعلى بعجلة تزايدية قدرها ‪ 49‬سم‪/‬ث‪.2‬‬ ‫‪ - 3‬المصعد يتحرك ألسفل بعجلة تزايدية قدرها ‪ 49‬سم‪/‬ث‪.2‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫مثال‬ ‫ُعلق جسم بواسطة خيط فى ميزان زنبركى مثبت فى سقف مصعد يتحرك رأس ًّيا‪ ،‬فإذا كان مقدار الشد فى‬ ‫الخيط أثناء الصعود بعجلة تزايدية قدرها ‪ 2٫45‬م‪/‬ث‪ 2‬يساوى ‪ 50‬ث كجم‪.‬‬ ‫أوجد كتلة الجسم‪ ،‬وإذا هبط المصعد بالعجلة نفسها فما مقدار الشد فى الخيط؟‬ ‫الحل‬

‫أوال‪ :‬المصعد يتحرك ألعلى بعجلة ‪ 2٫45‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫معادلة الحركة‪ :‬ك جـ = ش ‪ -‬ك ‪E‬‬

‫ك * ‪ - 9٫8 * 50 = 2٫45‬ك * ‪9٫8‬‬ ‫ك (‪9٫8 * 50 = )9٫8 + 2٫45‬‬ ‫ثان اًيا‪ :‬المصعد يتحرك ألسفل بعجلة ‪ 2٫45‬م‪/‬ث‪.2‬‬ ‫معادلة الحركة‪ :‬ك جـ = ك ‪ - E‬ش‬ ‫‪ - 9٫8 * 40 = 2٫45 * 40‬ش‬ ‫ش = ‪)2٫45 - 9٫8( 40‬‬

‫ش‬

‫ك = ‪ 40‬كيلو جرام‬

‫ك‪E‬‬ ‫شكل (‪)48‬‬

‫ش = ‪ 30‬ث كجم‬

‫ش = ‪ 294‬نيوتن‬

‫حاول أن تحل‬

‫جسم وزنه الحقيقى ‪ 240‬ث جم ُمعلق فى سلك ميزان زنبركى ُمثبت فى سقف مصعد‪ ،‬ووزنه الظاهرى ‪ 276‬ث جم كما‬ ‫يعينه الميزان الزنبركى ‪ ،‬بين أن عجلة الحركة للمصعد لها قيمتان ‪ ،‬فأوجدهما وعين اتجاه الحركة ‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫مصعد يتحرك رأس ًّيا ألعلى بعجلة منتظمة قدرها ‪ 140‬سم‪/‬ث‪.2‬‬ ‫يقف رجل بداخل المصعد‪ ،‬وكان ضغطه على أرضية المصعد يساوى ‪ 72‬ث كجم‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫ضغطه على أرضية المصعد حال هبوطه بنفس العجلة‪.‬‬ ‫احسب كتلة هذا الرجل ‪ ،‬ثم أوجد مقدار‬ ‫الحل‬

‫اً‬ ‫أوال‪ :‬المصعد يتحرك ألعلى بعجلة جـ = ‪ 1٫4‬م‪/‬ث‪.2‬‬ ‫معادلة الحركة‪ :‬ك جـ = ‪ - S‬ك ‪E‬‬ ‫ك * ‪ - 9٫8 * 72 = 1٫4‬ك * ‪9٫8‬‬ ‫` ك = ‪ 63‬كجم‬ ‫ثان اًيا‪ :‬المصعد يتحرك ألسفل بعجلة جـ = ‪ 1٫4‬م‪/‬ث‪.2‬‬ ‫معادلة الحركة ‪ :‬ك جـ = ك ‪S - E‬‬ ‫‪S - 9٫8 * 63 = 1٫4 * 63‬‬ ‫‪ 529٫2 = S )1,4 - 9٫8( 63 = S‬نيوتن‬ ‫‪ 54 = S‬ث كجم‬

‫‪1 8‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪S‬‬

‫ك‪E‬‬ ‫شكل (‪)49‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫نوينو نثين ننحوين‬

‫‪2 2‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫رجل كتلته ‪ 70‬كجم يقف على أرضية مصعد كهربى كتلته ‪420‬كجم فإذا تحرك المصعد رأس ًّيا ألعلى بعجلة‬ ‫مقدارها ‪ 70‬سم‪/‬ث‪.2‬‬ ‫أوجد بثقل الكجم مقدار كل من الشد فى الحبل الذى يحمل المصعد وضغط الرجل على أرضية المصعد‪.‬‬ ‫مثال‬

‫‪ 4‬جسم معلق فى ميزان زنبركى مثبت فى سقف مصعد‪ ،‬لوحظ عند تحرك المصعد إلى أعلى بعجلة جـ م‪ /‬ث‪ ،2‬أن‬ ‫قراءة الميزان ‪ 8‬ث كجم وعندما تحرك المصعد إلى أسفل بعجلة ‪ 2‬جـ م‪/‬ث‪ 2‬كانت قراءة الميزان ‪ 5‬ث كجم‪.‬‬ ‫احسب قيمة جـ ‪ ،‬وإذا كان الحبل الصلب الذى يحمل المصعد ال يتحمل شدًّ ا أكثر من ‪ 1٫2‬ث طن‪،‬‬ ‫علما بأن كتلة المصعد وهو فارغ‬ ‫فأوجد أقصى حمولة يمكن أن يحملها المصعد وهو صاعد بالعجلة جـ اً‬ ‫تساوى ‪ 600‬كجم‪.‬‬ ‫الحل‬

‫أوال‪ :‬المصعد يتحرك ألعلى بعجلة جـ‬ ‫معادلة الحركة‪ :‬ك جـ = ش ‪ -‬ك ‪E‬‬ ‫ك جـ = ‪ - 9٫8 * 8‬ك * ‪9٫8‬‬ ‫ك جـ = (‪ - 8‬ك) * ‪9٫8‬‬ ‫ثان اًيا‪ :‬المصعد يتحرك ألسفل بعجلة ‪ 2‬جـ‬ ‫معادلة الحركة ك جـ = ك ‪ - E‬ش‬ ‫‪ 2‬ك جـ = ك * ‪9٫8 * 5 - 9٫8‬‬ ‫‪ 2‬ك جـ = (ك ‪9٫8 * )5 -‬‬ ‫من (‪ )2( ، )1‬نجد أن‬ ‫‪ 2‬ك جـ (ك ‪9٫8 * )٥ -‬‬ ‫ك جـ =‬ ‫(‪ - 8‬ك) * ‪9٫8‬‬ ‫‪ = 2‬ك‪5-‬‬ ‫‪-8 1‬ك‬

‫(‪)1‬‬

‫ش‬ ‫ك‪E‬‬ ‫شكل (‪)48‬‬

‫(‪)2‬‬

‫‪ 3‬ك = ‪21‬‬

‫ك ‪2 - 16 = 5 -‬ك‬ ‫` ك = ‪ 7‬كجم‬ ‫من (‪ )1‬نجد أن‬ ‫جـ = ‪ 1٫4‬م‪/‬ث‪.2‬‬ ‫‪ 7‬جـ = ‪9٫8‬‬ ‫ثال اًثا‪:‬‬ ‫نفترض أن أقصى حمولة يمكن أن توضع فى المصعد كتلتها ك كجم‬ ‫عندئذ يكون الشد فى الحبل الذى يحمل المصعد يساوى ‪1200‬ث كجم‬ ‫معادلة الحركة‪( :‬ك ‪ +‬ك‪ )/‬جـ = ش ‪( -‬ك ‪ +‬ك‪E )/‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫ش‬

‫(ك ‪ +‬ك‪E )/‬‬ ‫شكل (‪)51‬‬

‫‪1 9‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫` (ك ‪( - 9,8 * 1200 = 1,4 * )600 +‬ك ‪9,8 * )600 +‬‬ ‫` (ك ‪9,8 * 1200 = 11,2 * )600 +‬‬ ‫ك = ‪ 450‬كجم‬ ‫ك ‪1050 = 600 +‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫صاعدا‬ ‫‪ُ 4‬علق جسم فى ميزان زنبركى مثبت فى سقف مصعد‪ ،‬فسجل القراءة ‪ 17‬ث كجم‪ ،‬عندما كان المصعد‬ ‫ً‬ ‫بعجلة منتظمة ‪ 1٫5‬جـ م‪ /‬ث‪ ،2‬وسجل القراءة ‪ 16‬ث‪.‬كجم عندما كان المصعد هابطًا بتقصير منتظم مقداره‬ ‫جـ م‪/‬ث‪ ،2‬أوجد كتلة الجسم ومقدار جـ ‪.‬‬

‫تمـــــــاريـــن ‪4 - 2‬‬

‫اأكمل اًّ‬ ‫كل مم� ي�أتي‪:‬‬

‫‪ 1‬جسم كتلته ‪ 70‬كجم موضوع على ميزان ضغط على أرضية مصعد متحرك بعجلة منتظمة ‪ 1٫4‬م‪/‬ث‪ 2‬ألسفل‪،‬‬ ‫فإن قراءة الميزان ‪ ..........................‬ث كجم‪.‬‬ ‫صاعدا‬ ‫ُعلق جسم فى خطاف ميزان زنبركى معلق فى سقف مصعد فسجل القراءة ‪ 390‬ث جم عندما كان‬ ‫ً‬ ‫ألعلى‪:‬‬ ‫إذا كانت عجلة الحركة ‪ 70 -‬سم‪/‬ث‪ ،2‬فإن كتلة الجسم ‪ ..........................‬جم‪.‬‬ ‫إذا كانت كتلة الجسم ‪ 350‬جم‪ ،‬فإن عجلة الحركة ‪ ..........................‬سم‪/‬ث‪.2‬‬

‫شخص يقف على ميزان ضغط مثبت فى أرضية مصعد‪ ،‬فسجل الميزان القراءة ‪ 75‬ث كجم‪ ،‬عندما كان‬ ‫متحركًا ألعلى بعجلة جـ م‪/‬ث‪ ،2‬وسجل القراءة ‪ 69‬ث كجم عندما كان متحركًا ألسفل بالعجلة نفسها‪ ،‬فإن‬ ‫وزن الشخص الحقيقي‪ ..........................‬ث كجم‪.‬‬

‫‪ 4‬يقف طفل على ميزان ضغط داخل مصعد متحرك ألسفل بعجلة ‪ 1٫4‬م‪/‬ث‪.2‬‬ ‫إذا كانت قراءة الميزان ‪ 30‬ث كجم‪ ،‬فإن وزن الطفل = ‪..........................‬ث كجم‬ ‫إذا كان وزن الطفل ‪ 49‬ث كجم‪ ،‬فإن قراءة الميزان ‪ ..........................‬ث كجم‬

‫اأجب عن الأ�صئلة الآتية‪:‬‬

‫‪ 5‬يقف شخص كتلته ‪ 80‬كجم على ميزان ضغط مثبت فى أرضية مصعد‪ ،‬أوجد قراءة الميزان فى كل من الحاالت‬ ‫اآلتية‪:‬‬ ‫أ المصعد يتحرك بسرعة منتظمة‪.‬‬ ‫ب المصعد يتحرك ألعلى بعجلة تقصيرية مقدارها ‪ 44٫1‬سم‪/‬ث‪.2‬‬ ‫ج المصعد يتحرك ألسفل بعجلة تزايدية مقدارها ‪ 29,4‬سم‪/‬ث‪.2‬‬

‫‪180‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫نوينو نثين ننحوين‬

‫‪2 2‬‬

‫جسم كتلته ك‪ ،‬معلق فى سلك ميزان زنبركى مثبت فى سقف مصعد‪ ،‬أوجد ك فى كل من الحاالت اآلتية‪:‬‬ ‫أ المصعد يتحرك ألعلى بعجلة تزايدية قدرها ‪ 98‬سم‪/‬ث‪ ،2‬قراءة الميزان ‪ 44‬ث جم‬ ‫ب المصعد يتحرك ألسفل بعجلة تزايدية قدرها ‪ 140‬سم‪/‬ث‪ ،2‬قراءة الميزان ‪ 210‬ث جم‪.‬‬ ‫ج المصعد ساكن وقراءة الميزان ‪ 100‬ث جم‪.‬‬

‫مصعد كهربائى يتحرك رأس ًّيا ألعلى حركة تقصيرية بعجلة منتظمة مقدارها جـ م‪/‬ث‪ ،2‬مثبت فى سقفه ميزان‬ ‫زنبركى يحمل جس ًما كتلته ‪ 35‬كجم‪ ،‬فإذا كان الوزن الظاهرى الذى يبينه الميزان قدره ‪ 30‬ث كجم‪ ،‬فأوجد‬ ‫قيمة جـ ‪.‬‬

‫‪ُ 8‬وضع جسم على ميزان ضغط مثبت فى أرضية مصعد‪ ،‬فسجل القراءة ‪ 14‬ث كجم‪ ،‬عندما كان المصعد ساك ًنا‪.‬‬ ‫أوجد بثقل الكجم قراءة الميزان عندما يتحرك رأس ًّيا ألعلى بعجلة منتظمة قدرها ‪ 70‬سم‪/‬ث‪.2‬‬

‫‪ 9‬جسم كتلته ‪ 94٫5‬كجم وضع فى صندوق كتلته ‪ 52٫5‬كجم‪ ،‬ثم رفع رأس ًّيا إلى أعلى بواسطة حبل متحرك‬ ‫بعجلة قدرها ‪ 1٫4‬م‪/‬ث‪ ،2‬أوجد مقدار ضغط الجسم على قاعدة الصندوق‪ ،‬ومقدار الشد فى الحبل الذى يحمل‬ ‫الصندوق‪ ،‬وإذا قُطع الحبل‪ ،‬فأوجد ضغط الجسم على قاعدة الصندوق عندئذ‬

‫‪ 10‬مصعد كهربى وزنه ‪ 350‬ث كجم يهبط رأس ًيا إلى أسفل بعجلة تقصيرية مقدارها ‪49‬سم‪/‬ث‪ 2‬وبه رجل وزنه‬ ‫‪ 70‬ث كجم‪ .‬أوجد مقدار كل من ضغط الرجل على أرضية المصعد والشد فى الحبل الذى يحمل المصعد بثقل‬ ‫الكجم‪.‬‬ ‫‪ 11‬علق جسم فى ميزان زنبركى مثبت فى سقف مصعد فسجل الميزان القراءة ‪ 7‬ث كجم عندما كان المصعد‬ ‫ساك ًنا ثم سجل القراءة ‪ 8‬ث كجم عندما تحرك المصعد رأس ًيا بعجلة منتظمة‪ .‬أوجد مقدار واتجاه العجلة التى‬ ‫يتحرك بها المصعد‪.‬‬ ‫صاعدا‬ ‫‪ُ 1‬علق جسم فى ميزان زنبركى مثبت فى سقف مصعد فسجل القراءة ‪ 16‬ث جم‪ ،‬عندما كان المصعد‬ ‫ً‬ ‫بعجلة مقدارها جـ سم‪/‬ث‪ ،2‬وسجل القراءة ‪ 11‬ث جم عندما كان المصعد هابطًا بعجلة مقدارها ‪ 1٫5‬جـ سم‬ ‫أيضا قراءة الميزان عندما يكون المصعد هابطًا بتقصير منتظم‬ ‫‪/‬ث‪ .‬أوجد كتلة الجسم والعجلة جـ‪ ،‬واحسب ً‬ ‫قدره ‪ 12‬جـ سم‪/‬ث‪.2‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪181‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪5-2‬‬

‫سوف تتعلم‬

‫ حركة جسم عىل مستوى‬ ‫مائل‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫ مستوى مائل‬

‫‪inclined plane‬‬

‫ مستوى أملس‬ ‫‪Smooth plane‬‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫ آلة حاسبة علمية‬

‫‪18‬‬

‫حركة جسم على مستوى مائل أملس‬ ‫‪Motion of a body on a smooth inclined plane‬‬

‫فكر و‬

‫ناقش‬

‫إذا ُوضع جسم كتلته ك كجم على مستوى مائل أملس يميل على األفقى بزاوية‬ ‫قياسها هـ‪ ،‬وأثرت عليه قوة مقدارها ‪ X‬نيوتن فى اتجاه خط أكبر ميل ألعلى المستوى‪،‬‬ ‫فحدد اتجاه حركة الجسم وعلى ما يتوقف اتجاه الحركة؟‬ ‫حركة ج�صم على م�صتو مائل اأمل�س‬ ‫جسما كتلته ك يتحرك على مستو أملس يميل على األفقى بزاوية‬ ‫إذا فرضنا أن‬ ‫ً‬ ‫قياسها هـ تحت تأثير قوة مقدارها ‪ X‬تعمل فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى إلى‬ ‫أعلى فإننا نالحظ أن الجسم يكون واق ًعا تحت تأثير القوى الثالث اآلتية‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ - 1‬القوة المعلومة وتؤثر فى اتجاه خط أكبر‬ ‫ميل للمستوى إلى أعلى ومقدارها ‪.X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ - 2‬وزن الجسم ويؤثر رأس ًّيا إلى أسفل‬ ‫ك‬ ‫‪E‬‬ ‫ج‬ ‫هـ‬ ‫ا هـ‬ ‫ومقداره ك ‪.E‬‬ ‫‪ - 3‬رد فعل المستوى ويؤثر فى اتجاه عمودى‬ ‫ك ‪ E‬جتا هـ‬ ‫هـ‬ ‫على المستوى إلى أعلى ومقداره ‪S‬‬ ‫وبتحليل الوزن إلى مركبتين إحداهما فى‬ ‫ك‪E‬‬ ‫شكل (‪)52‬‬ ‫اتجاه المستوى ألسفل واألخرى فى االتجاه‬ ‫العمودى عليه‪.‬‬ ‫المركبة فى اتجاه المستوى = ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫المركبة فى االتجاه العمودى على المستوى = ك ‪ E‬جتا هـ‬ ‫وتكون لدينا ثالث حاالت تعتمد على المقارنة بين ‪ ، X‬ك ‪ E‬جا هـ بنفس الوحدة ‪.‬‬ ‫الحالة األولى ‪ :‬إذا كانت ‪ > X‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫‪S‬‬ ‫فإن الجسم يتحرك بعجلة منتظمة جـ ألعلى‬ ‫‪X‬‬ ‫المستوى ‪ ،‬وتكون معادلة حركته‬ ‫ك‬ ‫‪E‬‬ ‫ج‬ ‫ك جـ = ‪ - X‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫هـ‬ ‫ا هـ‬ ‫وإذا أ ُبطل عمل القوة ‪ X‬بعد مرور زمن ن‬ ‫ك ‪ E‬جتا هـ‬ ‫هـ‬ ‫من بداية الحركة فإن الجسم يتحرك ألعلى‬ ‫المستوى ( نفس اتجاهه السابق) ولكن بعجلة‬ ‫ك‪E‬‬ ‫شكل (‪)53‬‬ ‫تقصيرية جـ‪ /‬حيث جـ‪ E - = /‬جا هـ‬ ‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�يمك �� ي ��و� �ي�� ل�ي� ‬

‫ويصل الجسم حت ًما إلى سكون لحظى ثم يغير اتجاه حركته ألسفل المستوى بعجلة تزايدية قدرها ‪ E‬جا هـ‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫الحالة الثانية ‪ :‬إذا كانت ‪ < X‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫فإن الجسم يتحرك بعجلة منتظمة جـ ألسفل المستوى ‪ ،‬وتكون معادلة حركته‬ ‫‪X‬‬ ‫ك جـ = ك ‪ E‬جا هـ ‪X -‬‬ ‫ك‪E‬‬ ‫ج‬ ‫ا‬ ‫هـ‬ ‫هـ‬ ‫الحالة الثالثة ‪ :‬إذا كانت ‪ = X‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫فإن الجسم يظل محتفظًا بحالة السكون على المستوى ‪ ،‬أما إذا أكسب الجسم‬ ‫ك ‪ E‬جتا هـ‬ ‫هـ‬ ‫سرعة منتظمه ع فى اتجاه المستوى ألعلى أو ألسفل فإن الجسم يتحرك على‬ ‫المستوى فى اتجاه ع بسرعة منتظمة طب ًقا للقانون األول لنيوتن‪.‬‬ ‫ك‪E‬‬

‫مثال‬

‫‪2 2‬‬

‫شكل (‪)54‬‬

‫‪ 1‬جسم كتلته ‪ 12‬كجم موضوع على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ ،c30‬أثرت قوة مقدارها‬ ‫‪ 88٫8‬نيوتن فى اتجاه خط أكبر ميل ألعلى المستوى‪ ،‬أوجد سرعة هذا الجسم بعد ‪ 14‬ثانية من بدء الحركة‪،‬‬ ‫إذا أوقفت القوة المؤثرة على الجسم عند هذه اللحظة‪ ،‬أوجد المسافة التى يتحركها الجسم على المستوى بعد‬ ‫ذلك حتى يسكن‬ ‫الحل‬

‫= ‪ 88٫8‬نيوتن‬ ‫‪X a‬‬ ‫‪ a‬ك ‪ E‬جا هـ = ‪1 * 9٫8 * 12‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ 58٫8‬نيوتن‬ ‫‪ > X‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫` الجسم يتحرك ألعلى المستوى بعجلة منتظمة جـ‬ ‫معادلة الحركة‪:‬‬ ‫ك جـ = ‪ - X‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫ك ‪ E‬جتا هـ‬ ‫‪ 12‬جـ = ‪58٫8 - 88٫8‬‬ ‫= ‪ 2٫5‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫‪ a‬ع = ع‪ + 0‬جـ ن = ‪ 35 = 14 * 2٫5 + 0‬م‪/‬ث‬ ‫‪/‬‬ ‫بعد إيقاف تأثير القوة يتحرك الجسم فى نفس اتجاهه السابق بتقصير منتظم جـ‬ ‫معادلة الحركة‪:‬‬ ‫ك جـ‪ - = /‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫= ‪ 4٫9 - = 1 * 9٫8 -‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫‪/‬‬ ‫جـ‬ ‫‪2‬‬ ‫يقطع الجسم مسافة ف حتى يصل لسكون لحظى حيث‬ ‫ع‪ = 2‬ع‪ 2 + 02‬جـ‪ /‬ف‬ ‫‪ 4٫9 * 2 - 2)35 ( = 0‬ف‬ ‫ف = ‪ 125‬متر‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪S‬‬

‫هـ‬ ‫ك‪E‬‬

‫ك‬

‫هـ‬

‫‪E‬ج‬

‫ا هـ‬

‫شكل (‪)55‬‬

‫‪18‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ ، 12‬أثرت‬ ‫‪ 1‬جسم كتلته ‪ 32٫5‬كجم موضوع على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ‪ ،‬حيث جتا هـ = ‪13‬‬ ‫عليه قوة مقدراها ‪ 83٫5‬نيوتن فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ألعلى‪ ،‬أوجد مقدار واتجاه عجلة الحركة‪ ،‬ثم‬ ‫أوجد سرعة الجسم بعد ‪ 8‬ثواني من بدء الحركة‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫ُوضع جسم كتلته ‪ 25‬كجم على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ‪ ،‬حيث ظا هـ = ‪ ، 43‬أثرت‬ ‫عليه قوة أفقية نحو المستوى مقدارها ‪ 30‬ث كجم‪ ،‬ويقع خط عملها فى المستوى الرأسى المار بخط أكبر‬ ‫ميل للمستوى‪ .‬أوجد العجلة الناشئة ومقدار قوة رد فعل المستوى‪.‬‬

‫الحل‬

‫‪ X‬جتا هـ = ‪ 18 = 35 * 30‬ث كجم و جا هـ = ‪20 = 45 * 25‬ث كجم‬ ‫‪X a‬جتا هـ < و جا هـ‬

‫` الجسم يتحرك ألسفل المستوى بعجلة منتظمة جـ حيث‬ ‫ك جـ = ك ‪ E‬جا هـ ‪ X -‬جتا هـ‬ ‫‪ 25‬جـ = ( ‪9٫8 * )18 - 20‬‬ ‫= ‪ 98‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫‪125‬‬ ‫‪ X = S‬جا هـ ‪ +‬ك ‪ E‬جتا هـ‬ ‫= ‪ 39 = 35 * 25 + 45 * 30‬ث كجم‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫ك‬

‫هـ‬

‫‪ X‬جا هـ‬ ‫ك ‪ E‬جتا هـ‬

‫هـ‬

‫‪S‬‬

‫‪X‬ج‬ ‫تا هـ‬ ‫هـ‬

‫‪X‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪5‬‬

‫هـ‬ ‫ك‪E‬‬

‫‪E‬ج‬

‫ا هـ‬

‫شكل (‪)56‬‬

‫يتحرك جسم كتلته ‪ 2‬كجم على خط أكبر ميل لمستوى أملس يميل على األفقى بزاوية ‪c 60‬تحت تأثير قوة‬ ‫مقدارها ‪ 1‬ث كجم موجهة نحو المستوى‪ ،‬وتصنع مع األفقى زاوية قياسها ‪ c30‬ألعلى‪ ،‬أوجد مقدار قوة رد فعل‬ ‫المستوى على الجسم‪ ،‬وكذلك عجلة الحركة‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫يتحرك جسم كتلته ‪ 30‬كجم إلى أعلى مستوى مائل املس يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ c30‬تحت تأثير قوة‬ ‫مقدارها ‪ X‬نيوتن فى اتجاه خط اكبر ميل ألعلى بعجلة مقدارها ‪ 1٫5‬م‪/‬ث‪ .2‬أوجد العجلة التى يتحرك بها هذا‬ ‫الجسم على نفس المستوى تحت تأثير قوة مقدارها ‪ X 12‬وتؤثر فى اتجاه خط اكبر ميل ألعلى ‪.‬‬ ‫‪X‬‬

‫الحل‬

‫معادلة الحركة فى الحالة األولى‬ ‫ك جـ = ‪ - X‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫` ‪1 * 9٫8 * 30- X = 1٫5 * 30‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ومنها ‪ 192 = X‬نيوتن‬

‫‪184‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪S‬‬

‫ك ‪ E‬جتا هـ‬

‫‪5‬‬

‫‪30‬‬

‫ك‬

‫‪E‬ج‬ ‫ا هـ‬

‫ك‪E‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫�يمك �� ي ��و� �ي�� ل�ي� ‬

‫معادلة الحركة فى الحالة الثانية‬ ‫ك جـ‪ - X 12 = /‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫` ‪ 30‬جـ‪1 * 9٫8 * 30 - 96 = /‬‬ ‫‪2‬‬ ‫` جـ‪ 1٫7- = /‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫‪S‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪2‬‬

‫ك ‪ E‬جتا هـ‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪2 2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪30‬‬

‫ك‬

‫‪E‬ج‬ ‫ا هـ‬

‫يتحرك جسم كتلته ‪ 200‬كجم اعلى مستوى مائل املس يميل‬ ‫على األفقى بزاوية قياسها ‪ c30‬تحت تأثير قوة مقدارها نيوتن‬ ‫فى اتجاه خط اكبر ميل ألعلى بعجلة مقدارها ‪2‬م‪/‬ث‪ 2‬وإذا نقصت هذه القوة إلى النصف فإن الجسم يتحرك‬ ‫ألسفل المستوى بعجلة مقدارها ‪1٫45‬م‪/‬ث‪ 2‬أوجد مقدار ‪. X‬‬ ‫ك‪E‬‬

‫تمـــــــاريـــن ‪5 - 2‬‬ ‫‪X‬‬

‫اأكمل ك اًّل مم� ي�أتي‪:‬‬ ‫‪ 1‬فى الشكل المرسوم‪ :‬الجسم الموضوع على المستوى األملس كتلته‬ ‫‪ 2‬كجم‪ ،‬بدأ حركته من السكون تحت تأثير القوة ‪ X‬التى مقدارها ‪1٫5‬‬ ‫ث كجم‬ ‫‪2‬‬ ‫أ عجلة الحركة = ‪ ..........................‬م‪ /‬ث واتجاهها ‪..........................‬‬ ‫ب سرعة الجسم بعد ‪ٍ 4‬‬ ‫ثوان من بدء الحركة‬ ‫ج رد فعل المستوى = ‪ ..........................‬ث كجم‪.‬‬ ‫فى الشكل المرسوم‪ :‬الجسم الموضوع على المستوى األملس كتلته‬ ‫ك = ‪ 12‬كجم‪ ،‬بدأ حركته من السكون تحت تأثير القوة ‪ X‬التى‬ ‫مقدارها ‪ 8‬ث كجم‪.‬‬ ‫أ عجلة الحركة = ‪ ..........................‬م‪/‬ث‪ ،‬واتجاهها ‪..........................‬‬ ‫ٍ‬ ‫ثوان من بدء‬ ‫ب المسافة التى يقطعها الجسم على المستوى فى ‪3‬‬ ‫الحركة ‪ ..........................‬متر‬

‫ج رد فعل المستوى = ‪ ..........................‬ث كجم‬

‫‪c30‬‬ ‫ك‪E‬‬

‫شكل (‪)58‬‬

‫هـ‬

‫‪X‬‬

‫هـ‬

‫ك‪E‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫اختر من بين الإج�ب�ت الإج�بة ال�صحيحة ‪:‬‬

‫هـ‬

‫شكل (‪)59‬‬

‫يسير راكب دراجة كتلته هو والدراجة ‪ 85‬كجم بعجلة منتظمة مقدارها‬ ‫‪0٫5‬م‪/‬ث‪ 2‬فإن القوة التى يستخدمها الحداث هذه العجلة هى ‪:‬‬ ‫ب ‪ 42٫5‬نيوتن‬ ‫أ ‪ /42٫5‬ث كجم‬ ‫د ‪ 170‬نيوتن‪.‬‬ ‫ج ‪ 170‬ث كجم‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪185‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫‪ 4‬تسير سيارة على طريق مهمل المقاومات بعجلة مقدارها ‪ 1٫47‬م‪/‬ث‪ 2‬فإذا كانت قوة المحرك ‪ 150‬ث كجم‬ ‫فإن كتلة السيارة تساوى ‪:‬‬ ‫أ ‪ 102‬كجم‬ ‫ج ‪ 1000‬كجم‬

‫ب ‪ 100‬كجم‬

‫د ‪ 220٫5‬كجم‪.‬‬

‫‪ 5‬إذا تحرك جسم على مستوى مائل املس يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ‬ ‫تحت تأثير وزنه فقط فإن عجلة حركته تساوى ‪:‬‬ ‫أ ‪E‬‬

‫ب ‪E‬جتا هـ‬

‫هـ‬

‫د صفر‪.‬‬ ‫ج ‪E‬جا هـ‬ ‫إذا تحرك جسم على مستوى مائل أملس تحت تأثير وزنه فقط فإن عجلته تتوقف على ‪:‬‬ ‫ج زاوية ميل المستوى د رد فعل المستوى‪.‬‬ ‫ب وزنه‬ ‫أ كتلته‬

‫اأجب عن الأ�صئلة الآتية‪:‬‬

‫ُوضع جسم كتلته ‪ 10‬كجم على مستوى أملس‪ ،‬يميل على األفقى بزاوية جيبها ‪ ، 3‬أثرت قوة مقدارها ‪ 80‬نيوتن‬ ‫‪5‬‬ ‫فى اتجاه خط أكبر ميل إلى أعلى‪ .‬أوجد مقدار واتجاه العجلة الناشئة ومقدار رد الفعل العمودي‪.‬‬

‫‪ 8‬وضع جسم كتلته ‪ 1‬كجم على مستوى أملس‪ ،‬يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ ،c30‬أثرت عليه قوة مقدارها ‪10‬‬ ‫نيوتن فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ألعلى‪ ،‬أوجد عجلة الحركة ورد فعل المستوى على الجسم‪.‬‬ ‫‪ 9‬وضع جسم كتلته ‪ 16‬كجم على مستوى أملس‪ ،‬يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ ،c45‬أثرت قوة أفقية نحو‬ ‫المستوى ومقدارها ‪ 24‬نيوتن‪ ،‬ويقع خط عملها فى المستوى الرأسى المار بخط أكبر ميل للمستوى‪ ،‬أوجد‬ ‫مقدار عجلة الحركة ورد فعل المستوى‪.‬‬

‫‪ 10‬تفكير ابداعى ‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫فى الشكل المقابل ‪ C :‬م نصف قطر رأسى ‪ C‬ب ‪ C ،‬جـ وتران يمثالن‬ ‫طريقين أملسين فى الدائرة حيث ‪ C‬جـ > ‪ C‬ب انزلقت خرزتان من‬ ‫السكون من نقطة ‪ C‬احدهما على الوتر ‪ C‬ب‬ ‫فوصلت ب بعد زمن ن‪1‬‬ ‫واألخرى على الوتر ‪ C‬جـ فوصلت جـ بعد زمن ن‪ 2‬أوجد قيمة النسبة‬ ‫ن‪ : 1‬ن‪. 2‬‬

‫‪18‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫جـ‬

‫م‬

‫كتاب الطالب‬

‫ب‬

‫حركة جسم على مستوى خشن‬ ‫‪Motion of a body on a rough plane‬‬

‫مقدمة‪:‬‬ ‫علمت من دراستك السابقة لدرس االحتكاك أنه عند محاولة تحريك جسم على‬ ‫مستوى خشن تظهر قوة االحتكاك كقوة مقاومة‪ ،‬تعمل فى اتجاه مضاد لالتجاه الذى‬ ‫يميل الجسم إلى الحركة فيه‪ ،‬وتظل مساوية تما ًما للقوة المماسية التى تعمل على‬ ‫تحريك الجسم‪ ،‬وكلما ازدادت القوة المماسية التى تعمل على تحريك الجسم تزداد‬ ‫قوة االحتكاك حتى تظل مساوية لها‪ ،‬إلى أن تصل إلى حد ال تتعداه‪ ،‬وتصل إلى أقصى‬ ‫قيمة لها وعندئذ يصبح الجسم على وشك الحركة‪ ،‬فإذا ازدادت القوة المماسية التى‬ ‫تعمل على تحريك الجسم‪ ،‬واستطاعت تحريك الجسم تغيرت قوة االحتكاك عندئذ‪،‬‬ ‫ونقصت قيمتها حال حركة الجسم‪ ،‬وتسمى قوة االحتكاك عندئذ باالحتكاك الحركى‪،‬‬ ‫ويكون معامل االحتكاك فى هذه الحالة هو معامل االحتكاك الحركى‪.‬‬

‫تعلم‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪6-2‬‬

‫سوف تتعلم‬

‫ احلركة عىل مستوى خشن‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫ مستوى خشن‬

‫الحركة على م�صتوى خ�صن‬ ‫إذا كان الجسم متزنًا على مستوى خشن تحت تأثير قوة تعمل على تحريكه فإن قوة‬ ‫االحتكاك هى قوة االحتكاك السكونى ‪ ،‬ومعامل االحتكاك فى هذه الحالة هو معامل‬ ‫االحتكاك السكونى مس‪ ،‬أما إذا تحرك الجسم على مستوى خشن‪ ،‬فإن قوة االحتكاك‬ ‫عندئذ هى قوة االحتكاك الحركى ومعامل االحتكاك عندئذ هو معامل االحتكاك‬ ‫الحركى مك‪.‬‬

‫‪Motion on a rough plane‬‬

‫‪Rough plane‬‬

‫ احتكاك ديناميكي‬ ‫‪Kinetic friction‬‬

‫ احتكاك استاتيكي‬ ‫‪static friction‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 1‬مستوى مائل خشن طوله ‪ 250‬سم‪ ،‬وارتفاعه ‪ 150‬سم‪ُ ،‬وضع عليه جسم فى حالة‬ ‫سكون فانزلق الجسم إلى أسفل المستوى‪ ،‬وكانت عجلة الحركة تساوى ‪196‬‬ ‫سم‪/‬ث‪ ،2‬أوجد معامل االحتكاك الحركى‪ ،‬ثم أوجد سرعة الجسم بعد أن يقطع‬ ‫‪ 200‬سم على المستوى‪.‬‬ ‫األدوات المستخدمة‬ ‫ آلة حاسبة علمية‪.‬‬

‫ برامج رسومية للحاسب‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪18‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬ ‫الحل‬ ‫‪S‬‬

‫= ك‪ E‬جتا هـ = ‪ 4‬ك‪E‬‬

‫ك جـ‬

‫= ك ‪ E‬جا هـ ‪ -‬مك ‪S‬‬

‫‪196‬‬

‫= ‪ - 980 * 35‬مك * ‪980 * 45‬‬ ‫= ‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ع‪2‬‬

‫= ‪200 * 196 * 2 + 0‬‬

‫‪S‬‬

‫‪5‬‬

‫م‬

‫‪ a‬الجسم يتحرك ألسفل بعجلة منتظمة‬ ‫‪ 196‬ك = ‪ 3‬ك ‪ - E‬مك * ‪ 4‬ك ‪E‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫`‬ ‫‪a‬‬

‫مك‬ ‫ع‪2‬‬

‫ه‬

‫ك‬

‫هـ‬ ‫ك ‪ E‬جتا هـ‬

‫= ع‪ 2 + 2‬جـ ف‬

‫` ع‬

‫ا‬ ‫تجا‬

‫‪4‬‬

‫= ‪ 280‬سم ‪/‬ث‬

‫‪E‬ج‬ ‫ا هـ‬

‫ك‪E‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫هـ‬

‫الح‬

‫ركة‬

‫شكل (‪)61‬‬

‫هـ‬

‫حاول أن تحل‬

‫مترا‪ ،‬وارتفاعه ‪ 9‬أمتار‪ ،‬أوجد سرعة‬ ‫‪ 1‬تنقل الصناديق فى أحد المصانع بانزالقها على مستوى مائل طوله ‪ً 15‬‬ ‫الصندوق الذى بدأ حركته من السكون عند قمة المستوى‪ ،‬وذلك عند قاعدة المستوى إذا كان المستوى خش ًنا‪،‬‬ ‫ومعامل االحتكاك الحركى يساوى ‪. 14‬‬ ‫مثال‬

‫جسم كتلته ‪ 12‬كجم‪ ،‬موضوع على مستوى أفقى خشن‪ ،‬معامل االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى‬ ‫‪ 3‬بينما معامل االحتكاك الحركى يساوي ‪ 3‬احسب القوة التى تجعل الجسم على وشك الحركة‪،‬‬

‫يساوى‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫ثم أوجد القوة التى تجعله يتحرك بعجلة قدرها ‪ 3 49‬م‪/‬ث‪ 2‬إذا كانت القوة تميل على األفقى بزاوية قياسها‬ ‫‪20‬‬

‫‪.c30‬‬

‫الحل‬

‫اً‬ ‫أوال‪ :‬القوة تجعل الجسم على وشك الحركة‬ ‫‪ X + S‬جا ‪ = 30‬و‬ ‫= (‪ )X 12 - 12‬ث كجم‬ ‫‪S‬‬ ‫= مس ‪S‬‬ ‫‪ X a‬جتا ‪30‬‬ ‫`‬

‫‪X 3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪X3‬‬ ‫‪X4‬‬

‫‪X‬‬

‫‪188‬‬

‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬

‫‪)X 12 - 12( 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪X - 24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪ 6‬ث كجم‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪S‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ X‬جتا ‪c30‬‬

‫‪ X‬جا ‪c30‬‬ ‫مس ‪S‬‬

‫‪c30‬‬

‫ك‪E‬‬

‫شكل (‪)62‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪2 2‬‬

‫�يمك �� ي ��و� ��ن‬

‫ثانيا‪ :‬القوة تحرك الجسم بعجلة قدرها ‪3 49‬‬ ‫اً‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ = S a‬ك ‪ X - E‬جا ‪ 30‬أى أن ‪ )X 2 - 9٫8 * 12 (= S‬نيوتن‬ ‫= ‪X‬جتا ‪ - 30‬مك ‪S‬‬ ‫‪ a‬ك جـ‬ ‫م‪/‬ث‪2‬‬

‫‪3 49 * 12‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪3 49 * 12‬‬ ‫‪20‬‬

‫= ‪)X 12 - 9٫8 * 12( 3 - 3 * X‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫= ‪9٫8 * 3 3 - X 3 5‬‬

‫‪ 94٫08 = X‬نيوتن‬

‫‪8‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 1‬فى المثال السابق احسب مقدار القوة ‪ X‬إذا كانت القوة المؤثرة على الجسم أفقية‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫جسم وزنه ‪ 800‬نيوتن‪ ،‬موضوع على مستوى مائل خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ ،c25‬وكان معامل‬ ‫االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى يساوى ‪ ،0٫35‬ومعامل االحتكاك الحركى يساوى ‪0٫25‬‬ ‫أوجد القوة ق فى كل من الحاالت اآلتية‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫أ ‪ X‬تجعل الجسم على وشك الحركة ألعلى المستوى‪.‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ب ‪ X‬أقل قوة تحرك الجسم ألعلى المستوى‪.‬‬ ‫م‬ ‫ج ‪ X‬تمنع الجسم من االنزالق‪.‬‬ ‫س‪S‬‬

‫حيث ‪ X‬تؤثر فى اتجاه خط أكبر ميل ألعلى المستوى‪.‬‬

‫هـ‬

‫الحل‬

‫أ ‪ a‬الجسم على وشك الحركة ألعلى المستوى‬ ‫‪ = S ،‬ك ‪ E‬جتا هـ‬ ‫= مس ‪ + S‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪ * 0٫35‬ك ‪ E‬جتا هـ ‪ +‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫= ‪ 800 * 0٫35‬جتا ‪ 800 + 25‬جا ‪25‬‬ ‫= ‪ 591٫86‬نيوتن‬

‫ب أقل قوة تحرك الجسم ألعلى المستوى‬ ‫= م ك ‪ + S‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪ * 0٫25‬ك ‪ E‬جتا هـ ‪ +‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫= ‪ 800 * 0٫25‬جتا ‪ 800 + 25‬جا ‪25‬‬ ‫‪ 519٫36 -‬نيوتن‬

‫ك ‪ E‬جتا هـ‬

‫ك‪E‬‬

‫هـ‬

‫ج‬

‫ا هـ‬

‫شكل (‪)63‬‬

‫ك‪E‬‬

‫‪S‬‬ ‫‪X‬‬ ‫م‬

‫ك‬

‫هـ‬ ‫ك ‪ E‬جتا هـ‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫ك‪E‬‬

‫‪S‬‬

‫هـ‬

‫ك‪E‬‬

‫ج‬ ‫ا هـ‬

‫شكل (‪)63‬‬

‫‪189‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫ج القوة ‪ X‬تمتع الجسم من االنزالق‬ ‫= ك ‪ E‬جتا هـ‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ + X‬مس‪ = S‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫‪ * 0٫35 + X‬ك ‪ E‬جتا هـ = ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫= ‪ 800‬جا ‪ 800 * 0٫35 - 25‬جتا ‪25‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪ 84٫33‬نيوتن‬ ‫‪X‬‬

‫‪X‬‬

‫م‬

‫س‬

‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ك‪E‬‬

‫هـ‬

‫حاول أن تحل‬

‫فى المثال السابق احسب مقدار القوة ‪ X‬إذا كانت أفقية فى جميع الحاالت‪.‬‬

‫ك ‪ E‬جتا هـ‬

‫هـ‬

‫ج‬ ‫ا هـ‬

‫شكل (‪)64‬‬

‫ك‪E‬‬

‫تمـــــــاريـــن ‪6 - 2‬‬ ‫‪ 1‬فى كل من األشكال اآلتية جسم كتلته ‪ 5‬كجم موضوع على مستوى أفقى خشن‪ ،‬معامل االحتكاك الحركى‬ ‫بينه وبين الجسم مك‪ ،‬احسب مك فى كل حالة‪ ،‬ح قوة االحتكاك‪.‬‬ ‫أ‬

‫جـ = ‪2‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫‪S‬‬

‫‪ 24‬نيوتن‬

‫ب‬

‫جـ = ‪1٫1‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫‪ 30‬نيوتن‬

‫ح‬

‫‪190‬‬

‫‪E5‬‬

‫شكل (‪)66‬‬

‫‪S‬‬ ‫جـ = ‪ 3‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫ح‬

‫‪c30‬‬

‫‪ 10‬نيوتن‬

‫ح‬

‫‪E5‬‬

‫شكل (‪)65‬‬

‫‪ 40‬نيوتن‬

‫جـ = ‪1‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫ح‬

‫‪E5‬‬

‫د‬

‫‪S‬‬

‫ج‬

‫‪ 29 S‬نيوتن‬

‫ه‬

‫جـ = ‪3‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫‪ 40 S‬نيوتن‬

‫ح‬

‫و‬

‫جـ = ‪2‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫‪S‬‬

‫ح‬

‫‪c60‬‬ ‫‪c45‬‬

‫‪E5‬‬

‫شكل (‪)68‬‬

‫شكل (‪)69‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫شكل (‪)67‬‬

‫‪ 2 39‬نيوتن‬

‫‪E5‬‬

‫شكل (‪)70‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪2 2‬‬

‫�يمك �� ي ��و� ��ن‬

‫ز‬

‫‪S‬‬

‫ح‬

‫جـ =‬

‫ح‬ ‫‪2‬م‬

‫‪/‬ث ‪2‬‬

‫‪ 2 2‬نيوتن‬

‫‪S‬‬ ‫جـ =‬

‫‪c45‬‬

‫‪1‬م‬

‫‪/‬ث ‪2‬‬

‫‪c30‬‬ ‫‪c30‬‬

‫‪E5‬‬ ‫‪E5‬‬

‫شكل (‪)72‬‬

‫شكل (‪)71‬‬

‫يراد سحب جسم كتلته ‪ 1‬طن على مستوى خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ حيث ظا هـ = ‪ 3‬بواسطة‬ ‫‪4‬‬ ‫قوة توازى المستوى فى اتجاه خط أكبر ميل ألعلى‪ ،‬أوجد معامل االحتكاك الحركى بين الجسم والمستوى إذا‬ ‫كانت أقل قوة تحرك الجسم على المستوى مقدارها ‪ 1400‬ث كجم‪.‬‬ ‫جسم كتلته ‪ 2‬كجم موضوع على مستوى أفقى خشن‪ ،‬معامل االحتكاك الحركى بين الجسم والمستوى ‪، 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أوجد القوة األفقية التى تجعله يتحرك بعجلة منتظمة جـ حيث‪:‬‬ ‫أ جـ =‬

‫‪5‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫ب جـ =‬

‫‪1‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫‪ 4‬جسم وزنه ‪ 10‬ث كجم موضوع على مستوى أفقى خشن‪ ،‬أثرت عليه قوة قدرها ‪ 37‬نيوتن‪ ،‬فحركته على‬ ‫المستوى األفقى بعجلة منتظمة قدرها ‪ 54‬م‪/‬ث‪ ،2‬أوجد معامل االحتكاك الحركى بين الجسم والمستوى‪.‬‬ ‫‪ 5‬جسم كتلته ‪ 2‬كجم موضوع على مستوى مائل خشن‪ ،‬يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ ،c30‬أثرت عليه قوة‬ ‫أفقية مقدارها ‪ 20‬نيوتن نحو المستوى‪ ،‬فتحرك الجسم بسرعة منتظمة‪ ،‬أوجد معامل االحتكاك الحركى بين‬ ‫الجسم والمستوى‪.‬‬

‫ينزلق جسم على مستوى خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ ،c45‬فإذا كان معامل االحتكاك الحركى بين‬ ‫الجسم والمستوى يساوى ‪ . 34‬أثبت أن الزمن الذى يقطع فيه الجسم أى مسافة يساوى ضعف الزمن الذى يقطع‬ ‫أملسا ‪ ،‬وبفرض أن الجسم بدأ االنزالق من السكون فى الحالتين‪.‬‬ ‫فيه نفس المسافة لو أن المستوى كان ً‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪191‬‬

‫البكرات البسيطة‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪7-2‬‬

‫‪Simple pulley‬‬

‫مقدمة‪:‬‬ ‫تستخدم البكرات فى أغراض عدة منها‪ :‬تقليل القوة الالزمة لرفع‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫جسم وتسهيل الحركة وتغيير اتجاه القوة‪ ،‬ومنها ما هو ثابت‪ ،‬ومنها‬ ‫ البكرات البسيطة‪.‬‬ ‫ حركة جمموعة مكونة من‬ ‫ما هو متحرك‪ ،‬وفى هذا الدرس سنتناول نظام بكرات مكون من‬ ‫جسمني يتدليان رأس ًّيا من بكرة واحدة ثابتة‪.‬‬ ‫طرىف خيط يمر عىل بكرة‬ ‫وعندما تكون البكرة صغيرة وملساء يكون الشد على جانبى‬ ‫ملساء‪.‬‬ ‫البكرة متساو‪.‬‬ ‫ حركة جمموعة مكونة من‬ ‫جسمني يتحرك أحدمها عىل والشكل اآلتى يوضح القوى المؤثرة عند رفع حقيبة (جسم) باستخدام البكرة‪.‬‬ ‫نضد أفقى أملس واآلخر‬ ‫يتحرك رأس ًّيا‪.‬‬

‫القوى المؤثرة على البكرة‪.‬‬

‫ حركة جمموعة مكونة من‬ ‫جسمني يتحرك أحدمها عىل‬ ‫نضد أفقى خشن واآلخر‬ ‫يتحرك رأس ًّيا‪.‬‬ ‫ حركة جمموعة مكونة من‬ ‫جسمني يتحرك أحدمها عىل‬ ‫مستوى مائل أملس واآلخر‬ ‫يتحرك رأس ًّيا‪.‬‬ ‫ حركة جمموعة مكونة من‬ ‫جسمني يتحرك أحدمها عىل‬ ‫مستوى مائل خشن واآلخر‬ ‫يتحرك رأس ًّيا‪.‬‬

‫ش‬ ‫ش‬

‫القوة المؤثرة على طرفى الخيط (الحبل)‬ ‫قوة الشد فى الحبل‬ ‫تؤثر على الحقيبة‬

‫قوة الشد فى الحبل‬ ‫تؤثر على الحقيبة‬

‫الشد فى الحبل‬

‫عندما تكون البكرة صغيرة‬ ‫فأننا نهمل وزن البكرة‬

‫وزن الحقيبة‬ ‫ك‪E‬‬

‫الشد على جانبى‬ ‫البكرة متساو‬

‫شكل (‪)74‬‬

‫تعلم‬ ‫حركة مجموعة مكونة من ج�صمين يتدليان راأ�ص ًّيا من طرفى خيط يمر‬ ‫على بكرة مل�صاء‬ ‫‪Motion of system of two bodion connected by a string passing over a smooth‬‬ ‫‪pully‬‬

‫حركة ج�سمين مربوطين بخيط يمر على بكرة مل�ساء ويتدليان راأ�س ًّيا‬ ‫األدوات المستخدمة‬

‫ آلة حاسبة علمية‪.‬‬

‫ برامج رسومية للحاسب‪.‬‬

‫‪19‬‬

‫إذا ُر بط جسمان كتلتاهما ك‪ ،1‬ك‪ 2‬فى طرفى خيط خفيف غير مرن يمر على بكرة‬ ‫صغيرة ملساء‪ ،‬ويتدليان رأس ًّيا‪ ،‬وكانت ك‪ > 1‬ك‪ 2‬فإن المجموعة تبدأ الحركة من‬ ‫السكون بعجلة منتظمة قدرها جـ‪.‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪2 2‬‬

‫ن��ي � ن��ح�ك‬

‫مع�دلت الحركة‬

‫ك‪ 1‬جـ = ك‪ - E 1‬ش‬ ‫ك‪ 2‬جـ = ش ‪ -‬ك‪E 2‬‬ ‫بجمع المعادلتين بحذف الشد‪ ،‬ومن ثم يمكن حساب عجلة الحركة‬ ‫( ك‪ + 1‬ك‪ )2‬جـ = ( ك‪ - 1‬ك‪E )2‬‬ ‫وبالتالى من أى من المعادلتين نوجد الشد فى الخيط ش‬

‫ش‬

‫عند قطع الخيط ‪:‬‬

‫كال من الجسمين يتحرك فى‬ ‫إذا قطع الخيط الواصل بين الجسمين بعد زمن ن‪ ،‬فإن ًّ‬ ‫اتجاهه السابق نفسه قبل قطع الخيط‪.‬‬ ‫‪ )1‬الكتلة ك‪ 1‬تتحرك ألسفل بسرعة ابتدائية ع (هى نفس السرعة لحظة قطع‬ ‫الخيط) وتحت تأثير عجلة الجاذبية األرضية‪.‬‬ ‫‪ )2‬الكتلة ك‪ 2‬تتحرك ألعلى بسرعة ابتدائية ع (هى‬ ‫لحظ اأن‬ ‫نفس السرعة لحظة قطع الخيط) إلى أن تصل‬ ‫إذا بدأت المجموعة الحركة‬ ‫لسكون لحظي‪ ،‬وذلك تحت تأثير عجلة الجاذبية‬ ‫والكتلتين فى مستوى أفقى‬ ‫حرا‪.‬‬ ‫األرضية‪ ،‬ثم تسقط سقوطًا ًّ‬ ‫واحد‪ ،‬وكانت المسافة‬

‫ال�سغط على البكرة‪The pressure on the pulley :‬‬

‫عند تعليق الكتلتين من طرفى الخيط المار على البكرة‬ ‫يصبح الخيط مشدو ًدا ونتيجة للشد الحادث فى الخيط‬ ‫تتولد قوة ضغط على محور البكرة تساوى محصلة قوتى‬ ‫الشد فى الخيط‪.‬‬ ‫ض = ‪2‬ش‬

‫حاالت مشابهة (‪)1‬‬ ‫فى الحالة المرسومة‬ ‫إذا كان ( ك‪ + 1‬ك‪ >) 3‬ك‪ ، 2‬وكانت ك‪ < 1‬ك‪2‬‬ ‫(ك‪ + 1‬ك‪ ) 3‬جـ = (ك‪ + 1‬ك‪ - E ) 3‬ش‬ ‫ك‪ 2‬جـ = ش ‪ -‬ك‪E 2‬‬

‫ك‪E2‬‬ ‫ك‪E1‬‬

‫المقطوعة بعد زمن قدره ن‪،‬‬ ‫تساوى ف وحدة طول‪ ،‬فإن‬ ‫المسافة الرأسية بين الكتلتين‬ ‫عند نفس الزمن تساوى ‪ 2‬ف‬ ‫وحدة طول‪.‬‬

‫شكل (‪)75‬‬

‫ش‬

‫ض‬

‫ش‬

‫شكل (‪)76‬‬

‫ش‬

‫فإن معادالت الحركة‬

‫ك‪2‬‬

‫ك‪1‬‬ ‫ك‪3‬‬

‫(ك‪ + 1‬ك‪E )3‬‬

‫عند انف�سال الكتلة الإ�سافية‬

‫ك‪E 2‬‬

‫شكل (‪)77‬‬

‫وإذا انفصلت الكتلة ك‪ 3‬بعد زمن قدره ن ثانية‪ ،‬فإن المجموعة تتحرك فى نفس اتجاهها السابق ‪ ،‬ولكن بعجلة‬ ‫تقصيرية إلى أن تسكن لحظ ًّيا‪ ،‬ثم تغير اتجاه حركتها‪ ،‬وإليجاد عجلة الحركة التقصيرية بعد انفصال الكتلة ك‪3‬‬ ‫نوجد معادالت الحركة‬ ‫‪/‬‬ ‫ك‪ 1‬جـ‪ = /‬ك‪ - E 1‬ش‬ ‫ك‪ 2‬جـ‪ = /‬ش‪ - /‬ك‪E 2‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪19‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫والمجموعة بعد انفصال ك‪ 3‬الكتلة تتحرك بسرعة ابتدائية هى السرعة التى اكتسبتها لحظة االنفصال‪ ،‬وتصل إلى‬ ‫سكون لحظي‪ ،‬ثم تغير اتجاه حركتها‪ ،‬وترتد لتكون الكتلة ك‪ 2‬هى القائدة‬ ‫ش‬

‫ال�سد فى الخيط بين الكتلتين‪The tension of the string :‬‬

‫فى الشكل السابق إذا كانت الكتلتان ك‪ ، 1‬ك‪ 3‬مربوطتين بخيط آخر‪ ،‬فتكون الشدود كما‬ ‫هى موضحة فى شكل (‪ )78‬ومعادالت الحركة هي‪:‬‬ ‫ك‪ 1‬جـ‪ = /‬ك ‪ + E 1‬ش‪ - /‬ش‬ ‫‪/‬‬ ‫ك‪ 3‬جـ‪ = /‬ك‪ - E 3‬ش‬

‫حاالت مشابهة (‪)2‬‬ ‫إذا كانت ك‪ = 1‬ك‪ = 2‬ك شكل (‪)79‬‬ ‫أى أن الكتلتين متساويتان‪ ،‬وفى هذه الحالة لن تتحرك‬ ‫المجموعة‪ ،‬أما إذا أضيفت كتلة مقدارها ك‪ /‬إلى إحدى‬ ‫الكتلتين‪ ،‬فإن المجموعة تتحرك فى اتجاه الكتلتين‬ ‫(ك ‪ +‬ك‪ )/‬ومعادالت الحركة‬ ‫(ك ‪ +‬ك‪ )/‬جـ = (ك ‪ +‬ك‪ - E )/‬ش‬ ‫ك جـ = ش ‪ -‬ك ‪E‬‬

‫ك‪1‬‬

‫ش‬

‫‪/‬‬

‫ك‪E 1‬‬ ‫ش‬ ‫ك‪3‬‬

‫ك‪E 3‬‬

‫ش‬

‫ش‬ ‫ك‬

‫شكل (‪)78‬‬

‫ك‬

‫‪/‬‬

‫عند انفصال الكتلة اإلضافية‪:‬‬ ‫وإذا فُصلت الكتلة اإلضافية ك‪ /‬بعد زمن قدره ن ثانية‪،‬‬ ‫(ك ‪ +‬ك‪ E )/‬شكل (‪)79‬‬ ‫فإن المجموعة تتحرك فى نفس اتجاهها السابق بسرعة‬ ‫منتظمة‪ ،‬هى السرعة التى اكتسبتها خالل ن ثانية (السرعة لحظة انفصال الكتلة ك‪)/‬‬ ‫ك‪E‬‬

‫ش‬

‫حاالت مشابهة (‪ )3‬شكل (‪)80‬‬ ‫إذا ُعلقت الكتلتان ك‪ ، 1‬ك‪ 2‬فى طرفى الخيط وكنا ال نعلم أ ًّيا من الكتلتين أكبر من األخرى‪،‬‬ ‫ك‪2‬‬ ‫ك‪1‬‬ ‫واكسبنا الكتلة ك‪ 1‬سرعة قدرها ع ألسفل وتحركت المجموعة فإننا أمام ثالث حاالت‬ ‫‪ )1‬إذا عادت المجموعة إلى موضعها األصلى بعد زمن قدره ن‪ ،‬نستنتج من ذلك أن‬ ‫ك‪E 2‬‬ ‫ك‪ < 1‬ك‪ , 2‬وأن المجموعة تحركت بعجلة تقصيرية إلى أن سكنت لحظ ًّيا‪ ،‬ثم‬ ‫ك‪E 1‬‬ ‫شكل (‪)80‬‬ ‫غيرت اتجاه حركتها‪ ،‬ويمكن استنتاج عجلة الحركة من البيانات المعطاة حيث‬ ‫ن‬ ‫السرعة االبتدائية هى السرعة التى اكتسبتها الكتلة ك‪ ،1‬السرعة النهائية = صفر‪ ،‬الزمن =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )2‬أما إذا تحركت المجموعة حركة منتظمة بسرعة ثابتة هى السرعة التى اكتسبتها الكتلة ك‪ 1‬نستنتج من ذلك أن‬ ‫الكتلتين متساويتان ك‪ = 1‬ك‪ , 2‬وأن الحركة تتبع القانون األول لنيوتن‬ ‫‪ )3‬وإذا تحركت المجموعة بعجلة منتظمة تزايدية ‪ ,‬نستنتج من ذلك أن ك‪>1‬ك‪ , 2‬ويمكن دراسة الحركة بإيجاد‬ ‫معادالت الحركة‬ ‫ك‪ 1‬جـ = ك‪ - E 1‬ش‬ ‫ك‪ 2‬جـ = ش ‪ -‬ك‪E 2‬‬

‫‪194‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫ن��ي � ن��ح�ك‬

‫‪2 2‬‬

‫مثال‬ ‫‪ُ 1‬علق جسمان كتلتاهما ك‪ ،1‬ك‪ ،2‬حيث ك‪ >1‬ك‪ 2‬فى طرفى خيط يمر على بكرة ملساء‪ ،‬وكانا على ارتفاع واحد‬ ‫من سطح األرض عند بدء الحركة‪ ،‬وبعد ثانية واحدة كانت المسافة الرأسية بينهما ‪ 20‬سم‪ ،‬أوجد ك‪ : 1‬ك‪2‬‬ ‫الحل‬

‫عند بدء الحركةكانا الجسمان فى مستوى أفقى واحد وبعد ثانية كانت المسافة‬ ‫الرأسية بينهما ‪ 20‬سم‪.‬‬ ‫` ف = ‪ 10 = 20‬سم‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ a‬ف = ع ن ‪ 1 +‬جـ ن‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ * + 0 = 10‬جـ * ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ 20‬سم ‪/‬ث‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫معادالت الحركة‬ ‫ك‪ 1‬جـ = ك‪ - E 1‬ش‬ ‫ك‪ 2‬جـ = ش ‪ -‬ك‪E 2‬‬ ‫بالجمع نجد أن‬ ‫(ك‪ + 1‬ك‪ )2‬جـ = (ك‪ - 1‬ك‪E )2‬‬ ‫‪( 20‬ك‪ + 1‬ك‪( 980 = )2‬ك‪ - 1‬ك‪)2‬‬ ‫= ‪( 49‬ك‪ - 1‬ك‪)2‬‬ ‫ك‪ + 1‬ك‪2‬‬ ‫= ‪ 49‬ك‪ 49 - 1‬ك‪2‬‬ ‫ك‪ + 1‬ك‪2‬‬ ‫= ‪ 48‬ك‪1‬‬ ‫‪ 50‬ك‪2‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ك‪1‬‬ ‫= ‪24‬‬ ‫ك‪2‬‬ ‫= ‪24 : 25‬‬ ‫ك‪ : 1‬ك‪2‬‬

‫ش‬

‫ك‪1‬‬

‫ك‪E 1‬‬

‫ك‪2‬‬

‫ك‪E 2‬‬

‫شكل (‪)81‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ُ 1‬علق جسمان كتلتاهما ‪ 21‬جم‪ 28 ،‬جم من طرفى خيط يمر على بكرة صغيرة ملساء‪ ،‬فإذا تحركت المجموعة‬ ‫من السكون‪ ،‬فأوجد عجلة المجموعة ومقدار الشد فى الخيط وسرعة المجموعة بعد ثانيتين من بدء الحركة‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫جسمان كتلتاهما ‪ 105‬جم‪ 70 ،‬جم مربوطان فى طرفى خيط خفيف ثابت الطول‪ ،‬يمر على بكرة صغيرة‬ ‫ملساء‪ ،‬ويتدليان رأس ًّيا‪ ،‬فإذا بدأت المجموعة الحركة من السكون عندما كانت الكتلتان فى مستوى أفقى‬ ‫واحد‪ ،‬فأوجد مقدار عجلة حركة المجموعة‪ ،‬وإذا اصطدم الجسم األول باألرض بعد أن قطع مسافة ‪ 50‬سم‪،‬‬ ‫فأوجد الزمن الكلى الذى يستغرقه الجسم الثانى من بدء الحركة حتى يسكن لحظ ًّيا‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪195‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬ ‫الحل‬

‫معادالت الحركة‪:‬‬ ‫‪ 105‬جـ = ‪ - 980 * 105‬ش‬ ‫‪ 70‬جـ = ش ‪980 * 70 -‬‬ ‫ش‬ ‫بجمع المعادلتين نجد أن‬ ‫ش‬ ‫‪ 175‬جـ = ‪980 * 35‬‬ ‫= ‪ 196‬سم‪/‬ث‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫‪70‬‬ ‫عند لحظة اصطدام الجسم ‪ 105‬جم باألرض يكون استغرق زمنا ن‪1‬‬ ‫‪105‬‬ ‫ع‪ = 2‬ع‪ 2 + 20‬جـ ف‬ ‫ع‪50 * 196 * 2 + 0 = 2‬‬ ‫‪980 * 70‬‬ ‫ع = ‪ 140‬سم‪/‬ث‬ ‫‪980 * 105‬‬ ‫ع = ع‪ + 0‬جـ ن‬ ‫شكل (‪)82‬‬ ‫‪ 196 + 0 = 140‬ن‬ ‫ن = ‪ 5‬ثانية‬ ‫‪7‬‬ ‫عند اصطدام الجسم ‪ 105‬جم باألرض‪ ،‬فإن الجسم ‪ 70‬جم‪ ،‬يتحرك رأس ًّيا ألعلى بعجلة الجاذبية مبتد ًئا بالسرعة‬ ‫ع‪140 = 0‬سم‪ /‬ث‪ .‬فيسكن لحظ ًيا بعد زمن ن‪2‬‬ ‫‪ a‬ع = ع‪ E + 0‬ن‬ ‫` ‪ 980 - 140 = 0‬ن‬ ‫= ‪ 1‬ثانية‬ ‫ن‬ ‫‪7‬‬ ‫` الجسم ‪ 70‬جم يستغرق من بدء الحركة زم ًنا قدره ن حتى يصل إلى سكون لحظي‬ ‫حيث ن= ن‪ + 1‬ن‪ 67 = 17 + 57 = 2‬ثانية‬

‫حاول أن تحل‬

‫خيط خفيف يمر على بكرة مثبتة ملساء‪ ،‬ويتدلى من أحد طرفيه جسم كتلته ‪ 90‬جم‪ ،‬ومن الطرف اآلخر جسم‬ ‫كتلته ‪ 70‬جم‪ ،‬وبدأت المجموعة حركتها من السكون عندما كانت الكتلة ‪ 90‬جم على ارتفاع ‪ 245‬سم من‬ ‫سطح األرض‪:‬‬ ‫أ أوجد الزمن الذى يمضى حتى تصل الكتلة ‪ 90‬إلى سطح األرض‪.‬‬ ‫ب أوجد الزمن الذى يمضى بعد ذلك حتى يصبح الخيط مشدو ًدا مرة أخرى‪.‬‬ ‫مثال‬

‫جسمان كتلتاهما ‪ 5‬كجم‪ 3 ،‬كجم مربوطان فى طرفى خيط خفيف‪ ،‬يمر على بكرة ملساء‪ ،‬بدأت المجموعة‬ ‫حركتها من السكون عندما كان الجسمان فى مستوى أفقى واحد على ارتفاع ‪ 245‬سم من سطح األرض‪ ،‬وبعد‬ ‫ثانية واحدة من بدء الحركة قُطع الخيط‪ ،‬أوجد عجلة الحركة وسرعة كل من الجسمين عند وصوله لألرض‪.‬‬

‫‪19‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫ن��ي � ن��ح�ك‬

‫‪2 2‬‬

‫الحل‬

‫معادالت الحركة‪:‬‬ ‫‪ 5‬جـ = ‪ - 9٫8 * 5‬ش (‪)1‬‬ ‫‪ 3‬جـ = ش ‪)2( 9٫8 * 3 -‬‬ ‫بالجمع نجد أن‬ ‫‪ 8‬جـ = ‪9٫8 * 2‬‬ ‫` جـ = ‪ 2٫45‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫عند لحظة قطع الخيط‬ ‫= ع‪ + 0‬جـ ن‬ ‫ع‬ ‫= ‪ 2٫45 = 1 * 2٫45 + 0‬م‪/‬ث‬ ‫= ع ن ‪ 1 +‬جـ ن‪2‬‬ ‫ف‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ 1٫225 = 1 * 2٫45 * 12 + 0‬متر‬ ‫بعد قطع الخيط‬ ‫الجسم ‪ 5‬كجم يتحرك رأس ًّيا ألسفل‬ ‫ع‪ 2٫45 = 0‬م‪/‬ث ‪ 9٫8 = E ،‬م‪/‬ث‪ ، 2‬ف = ‪ 1٫225 = 1٫225 - 2٫45‬متر‬ ‫‪ a‬ع‪ = 2‬ع‪ E 2 + 02‬ف‬ ‫` ع‪1٫225 * 9٫8 * 2 + 2)2٫45 ( = 2‬‬

‫ش‬

‫ش‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪9٫8 * 5‬‬

‫‪9٫8 * 3‬‬

‫شكل (‪)83‬‬

‫` ع = ‪ 5 2049‬م‪/‬ث‬ ‫الجسم ‪ 3‬كجم يتحرك رأس ًّيا ألعلى حرا من نقطة على بعد ف من سطح األرض ليصل إلى سكون لحظى ثم‬ ‫مارا بنقطة بدء الحركة الحرة ثم إلى سطح األرض‪.‬‬ ‫يعود ً‬ ‫ع‪ 2٫45 = 0‬م‪/‬ث ‪ 9٫8 - = E ،‬م‪/‬ث‪ ، 2‬ف = ‪3٫675 - = )1٫225 + 2٫45( -‬‬ ‫‪ a‬ع‪ = 2‬ع‪ E 2 + 02‬ف‬ ‫= ( ‪3٫675 - * 9٫8 - * 2 + 2)2٫45‬‬

‫ع‬

‫= ‪ 13 49‬م‪/‬ث‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪20‬‬

‫يمر خيط خفيف ثابت الطول على بكرة صغيرة ملساء مثبتة‪ ،‬ويحمل من طرفيه كتلتين ‪ 12 ،20‬جم تتدليان‬ ‫رأس ًّيا‪ ،‬أوجد عجلة حركة المجموعة والشد فى الخيط‪ ،‬وإذا كانت المجموعة قد بدأت حركتها من السكون‪،‬‬ ‫وقُطع الخيط بعد مرور ثانيتين من لحظة بدء الحركة‪ ،‬عين أقصى ارتفاع تصل إليه الكتلة ‪ 12‬جم عن موضعها‬ ‫األصلى عند بدء الحركة‪.‬‬ ‫مثال‬

‫‪ 4‬خيط خفيف يمر على بكرة رأسية ملساء‪ ،‬علق فى أحد طرفيه‪ ،‬جسم كتلته ‪ 40‬جم‪ ،‬وفى الطرف اآلخر‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪19‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫جسمان كتلة كل منهما ‪ 30‬جم‪ُ ،‬تركت المجموعة لتتحرك من سكون‪ ،‬وبعد ثانية واحدة من بدء الحركة‪،‬‬ ‫انفصلت إحدى الكتلتين الصغيرتين عن المجموعة‪ ،‬أوجد المسافة التى تصعدها الكتلة ‪ 40‬جم من بدء الحركة‬ ‫حتى تصل لسكون لحظي‪.‬‬ ‫الحل‬

‫معادالت الحركة‪:‬‬ ‫‪ 60‬جـ = ‪ - 980 * 60‬ش‬ ‫‪ 40‬جـ = ش ‪980 * 40 -‬‬ ‫ش‬ ‫بجمع المعادالت نجد أن‬ ‫‪ 100‬جـ = ‪980 * 20‬‬ ‫= ‪ 196‬سم‪/‬ث‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫لحظة انفصال الكتلة الصغرى‬ ‫= ع‪ + 0‬جـ ن‬ ‫ع‬ ‫‪980 * 40‬‬ ‫= ‪ 196 = 1 * 196 + 0‬سم‪/‬ث‬ ‫شكل (‪)84‬‬ ‫= ع ن ‪ 1 +‬جـ ن‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ف‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ 98 = 1 * 196 * 12 + 0‬سم‬ ‫بعد انفصال الكتلة الصغرى معادالت الحركة‬ ‫‪ 40‬جـ‪ = /‬ش‪980 * 40 - /‬‬ ‫ش‬ ‫‪/‬‬ ‫‪ 30‬جـ ‪ - 980 * 30 = /‬ش‬ ‫بجمع المعادالت نجد أن‬ ‫‪70‬جـ = ‪980 * 10 -‬‬ ‫= ‪ 140 -‬سم‪/‬ث‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫أى أن المجموعة تتحرك فى نفس اتجاهها السابق قبل انفصال الكتلة الصغرى‪،‬‬ ‫‪980 * 40‬‬ ‫ولكن بعجلة تقصيرية إلى أن تصل لسكون لحظى بعد أن تقطع مسافة ف‪ ،2‬ثم‬ ‫شكل (‪)85‬‬ ‫تغير اتجاه حركتها‪.‬‬ ‫‪a‬ع‪2‬‬ ‫= ع‪ 2 + 02‬جـ ف‬ ‫‪2‬‬ ‫` ف‪ 137٫2 = 2‬سم‬ ‫‪0‬‬ ‫= ( ‪ 140 * 2 - )196‬ف‪2‬‬ ‫` الكتلة ‪ 40‬جم تصعد مسافة ف قبل أن تسكن لحظ ًّيا؛ حيث ف = ف‪ + 1‬ف‪235٫2 = 2‬سم‬

‫ش‬

‫‪980 * 60‬‬

‫ش‬

‫‪980 * 30‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 4‬خيط خفيف يمر على بكرة صغيرة ملساء‪ ،‬ويحمل فى أحد طرفيه ثقلين ‪ 20 ،235‬جم متصلين بخيط بحيث كان‬ ‫الثقل ‪ 20‬أسفل الثقل ‪ ،230‬وفى الطرف اآلخر ثقل قدره ‪ 235‬جم‪ ،‬احسب العجلة المشتركة إذا تحركت المجموعة‬ ‫من سكون‪ .‬وإذا قطع الخيط الذى يحمل الثقل ‪ 20‬جم بعد أن قطعت المجموعة مسافة ‪ 45‬سم‪ ،‬وكان الثقل ‪ 235‬جم‬ ‫الهابط على مسافة ‪90‬سم من سطح األرض عندئذ‪ ،‬فاحسب الزمن الذى يأخذه هذا الثقل حتى يصل إلى سطح األرض‪.‬‬

‫‪198‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫ن��ي � ن��ح�ك‬

‫‪2 2‬‬

‫حركة مجموعة مكونة من ج�صمين يتحرك اأحدهما على ن�صد اأفقى والآخر يتحرك راأ�ص ًّيا لأ�صفل‬ ‫‪Motion of system of two bodies connected by astring, one of which is hanging free and the other lying an‬‬ ‫‪a smooth horizontal plane‬‬

‫إذا ُربط جسمان كتلتاهما ك‪ ،1‬ك‪ 2‬فى طرفى خيط خفيف غير مرن يمر على بكرة صغيرة ملساء بحيث كان الجسم‬ ‫ك‪ 2‬موضوع على مستوى أفقى والجسم ك‪ 1‬يتدلى رأس ًّيا‪.‬‬ ‫ش‬

‫اأولاً‪ :‬الم�ستوى الأفقى اأمل�ص‪Smooth horizontal plane:‬‬

‫ك‪2‬‬

‫معادالت الحركة‬ ‫ك‪ 1‬جـ = ك‪ - E 1‬ش‬ ‫ك‪ 2‬جـ = ش‬ ‫ك‬ ‫‪1‬‬ ‫بجمع المعادلتين يحذف الشد‪ ،‬ومن ثم يمكن حساب عجلة الحركة‬ ‫شكل (‪)86‬‬ ‫(ك‪ + 1‬ك‪ )2‬جـ = ك‪E 1‬‬ ‫وبالتالى من أى من المعادلتين نُ ِ‬ ‫وجد الشد فى الخيط ش‪.‬‬ ‫ك‪E 1‬‬ ‫عند قطع الخيط‬ ‫كال من الجسمين يتحرك فى نفس اتجاهه السابق قبل قطع‬ ‫إذا قُطع الخيط الواصل بين الجسمين بعد زمن ن‪ ،‬فإن ًّ‬ ‫الخيط‪.‬‬ ‫‪ -1‬الكتلة ك‪ 1‬تتحرك ألسفل بسرعة ابتدائية ع (هى السرعة نفسها لحظة قطع الخيط)‪ ،‬وتحت تأثير عجلة‬ ‫الجاذبية األرضية‬ ‫‪ -2‬الكتلة ك‪ 2‬تتحرك على المستوى بسرعة منتظمة ع (هى السرعة نفسها لحظة قطع الخيط)‪.‬‬ ‫الضغط على البكرة‬ ‫ش‬ ‫عند تعليق الكتلتين من طرفى الخيط المار على البكرة يصبح الخيط مشدو ًدا ونتيجة‬ ‫للشد الحادث فى الخيط تتولد قوة ضغط على محور البكرة تساوى محصلة قوتى‬ ‫ض‬ ‫الشد فى الخيط‪.‬‬ ‫ش‬ ‫شكل (‪)87‬‬ ‫الضغط على البكرة = ‪ 2‬ش‬ ‫ش‬

‫ثانياًا‪ :‬الم�ستوى الأفقى خ�سن‬

‫‪S‬‬

‫‪Rough horizontal plane‬‬

‫إذا كان مك هو معامل االحتكاك الحركى فإن‬ ‫= ك‪E 2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫معادالت الحركة‬ ‫ش‬ ‫ك‪ 1‬جـ = ك‪ - E 1‬ش‬ ‫ك‪ 2‬جـ = ش ‪ -‬مك‪S‬‬ ‫ك‬ ‫‪1‬‬ ‫بجمع المعادلتين بحذف الشد‪ ،‬ومن ثم يمكن حساب عجلة الحركة‬ ‫( ك‪ + 1‬ك‪ )2‬جـ = ك‪ - E1‬مك‪S‬‬ ‫وبالتالى من أى من المعادلتين نُ ِ‬ ‫وجد الشد فى الخيط ش‬ ‫ك‪E 1‬‬

‫ش‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫مك ‪S‬‬

‫ك‪2‬‬

‫ك‪E 2‬‬

‫شكل (‪)88‬‬

‫‪199‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫عند قطع الخيط‪.‬‬ ‫كال من الجسمين يتحرك فى نفس اتجاهه السابق قبل قطع‬ ‫إذا قُطع الخيط الواصل بين الجسمين بعد زمن ن‪ ،‬فإن ًّ‬ ‫الخيط‪.‬‬ ‫‪ 1‬الكتلة ك‪ 1‬تتحرك ألسفل بسرعة ابتدائية ع (هى نفس السرعة لحظة قطع الخيط) وتحت تأثير عجلة الجاذبية األرضية‪.‬‬ ‫‪ 2‬الكتلة ك‪ 2‬تتحرك على المستوى بسرعة ابتدائية ع (هى نفس السرعة لحظة قطع الخيط) وبتقصير منتظم إلى‬ ‫أن تسكن‪ ،‬ويمكن استنتاج عجلة الحركة التقصيرية من معادلة الحركة‪.‬‬ ‫ك‪ 2‬جـ‪ - = /‬مك‪S‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 5‬جسم كتلته ‪ 45‬جرا ًما موضوع على نضد أفقى أملس‪ ،‬ومربوط بخيط يتصل طرفه اآلخر بجسم كتلته ‪4‬‬ ‫جرامات يتدلى رأس ًّيا‪ ،‬ويمر الخيط على بكرة ملساء عن حافة النضد‪ ،‬أوجد العجلة المشتركة للمجموعة‬ ‫والشد فى الخيط والضغط على البكرة‪.‬‬ ‫الحل‬

‫معادالت الحركة‬ ‫= ‪ - 980 * 4‬ش (‪)1‬‬ ‫‪ 4‬جـ‬ ‫(‪)2‬‬ ‫‪ 45‬جـ = ش‬ ‫بجمع المعادلتين نجد أن‬ ‫‪ 49‬جـ = ‪980 * 4‬‬ ‫= ‪ 80‬سم ‪/‬ث‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫من (‪ )2‬ش = ‪ 80 * 45‬داين‬ ‫` ش = ‪ 3600‬داين‬ ‫الضغط على البكرة = ‪ 2‬ش‬ ‫= ‪ 2 3600‬داين‬

‫‪S‬‬ ‫ش‬ ‫ش‬ ‫‪4‬‬

‫‪980 * 45‬‬

‫شكل (‪)89‬‬ ‫‪980 * 4‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 5‬جسم كتلته ‪ 400‬جرام‪ ،‬موضوع على نضد أفقى أملس‪ ،‬ثم وصل بخيط خفيف يمر على بكرة صغيرة ملساء‬ ‫عن حافة النضد‪ ،‬وحمل فى طرفه جس ًما آخر كتلته ‪ 90‬جرا ًما يتدلى رأس ًّيا‪ ،‬أوجد العجلة المشتركة للجسمين‬ ‫والشد فى الخيط والضغط على البكرة‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫جسم كتلته ‪ 60‬جم موضوع على مستوى أفقى خشن‪ ،‬ومربوط بخيط يمر على بكرة ملساء عند حافة المستوى‬ ‫ومعلق بالطرف الخالص للخيط جسم كتلته ‪ 38‬جم‪ ،‬فإذا تحركت المجموعة من السكون وقطعت مسافة ‪70‬‬ ‫سم فى ثانية واحدة‪ ،‬فاحسب معامل االحتكاك‪ ،‬وإذا قُطع الخيط عندئذ‪ ،‬فاحسب المسافة التى تتحركها‬ ‫الكتلة األولى بعد ذلك على المستوى حتى تسكن‪.‬‬

‫‪00‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫ن��ي � ن��ح�ك‬ ‫الحل‬

‫‪ a‬ف‬ ‫` ‪70‬‬ ‫جـ‬

‫=عن‪1 +‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪ * 2 + 0‬جـ * ‪1‬‬ ‫جـ ن‪2‬‬

‫‪ 140‬سم‪/‬ث‪2‬‬

‫=‬ ‫= ‪ 980 * 60‬داين‬ ‫‪S‬‬ ‫معادالت الحركة‬ ‫= ‪ - E 38‬ش‬ ‫‪ 38‬جـ‬ ‫‪ - 980 * 38 = 140 * 38‬ش (‪)1‬‬ ‫= ش ‪ -‬مك‪S.‬‬ ‫‪ 60‬جـ‬ ‫‪ = 140 * 60‬ش ‪ -‬م ك * ‪980 * 60‬‬ ‫من (‪ )2( ، )1‬بالجمع نجد أن‬ ‫‪ - 980 * 38 = 140 * 98‬مك * ‪980 * 60‬‬ ‫` م = ‪2‬‬ ‫ك ‪5‬‬

‫‪S‬‬

‫(‪)2‬‬

‫ش‬

‫ك‪2‬‬

‫م ك‪S‬‬

‫ش‬ ‫ك‪1‬‬

‫عند لحظة قطع الخيط‬ ‫ع = ع‪ + 0‬جـ ن‬ ‫= ‪1 * 140 + 0‬‬ ‫‪E 38‬‬ ‫ع = ‪ 140‬سم‪/‬ث‬ ‫بعد قطع الخيط‬ ‫الكتلة ‪ 60‬جم‪ ،‬تتحرك بعجلة تقصيرية على المستوى الخشن حتى تسكن‪.‬‬ ‫معادلة الحركة‬ ‫ك جـ‪ - = /‬مك‪S‬‬ ‫‪ 60‬جـ‪= /‬‬ ‫‪/‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫ع‪2‬‬ ‫=‬ ‫` ‪= 0‬‬ ‫` ف =‬

‫‪2 2‬‬

‫‪E 60‬‬

‫شكل (‪)90‬‬

‫ ‪980 * 60 * 25‬‬‫ ‪ 392‬سم ‪/‬ث‪2‬‬‫ع‪ 2 + 02‬جـ ف‬ ‫(‪ 392 * 2 - 2)140‬ف‬ ‫‪ 25‬سم‬

‫حاول أن تحل‬

‫ور بط بخيط أفقى يمر على بكرة صغيرة ملساء مثبتة عند‬ ‫ُوضع جسم كتلته ‪ 63‬جم على نضد أفقى خشن‪ُ ،‬‬ ‫وربط فى الطرف اآلخر للخيط جسم كتلته ‪ 35‬جم على ارتفاع ‪ 280‬سم من سطح األرض‪ ،‬فإذا‬ ‫حافة النضد ُ‬ ‫كان معامل االحتكاك الديناميكى بين الجسم والمستوى يساوى ‪ ، 13‬فأوجد السرعة التى تصل بها الكتلة‬ ‫‪ 35‬جم إلى سطح األرض والمسافة التى تتحركها الكتلة ‪ 63‬جم حتى تسكن‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪01‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫مثال‬ ‫جسم كتلته ‪ 400‬جرام موضوع على نضد أفقى أملس ومربوط من جهتيه بخيطين يمر أحدهما على بكرة‬ ‫ملساء مثبتة فى حافة النضد التى تبعد عن الجسم مسافة ‪ 150‬سم‪ ،‬ويتدلى منه رأس ًّيا جسم كتلته ‪ 100‬جم‪،‬‬ ‫بحيث كانت البكرتان والجسم بينهما على استقامة واحدة‪ ،‬وبدأت المجموعة الحركة من السكون‪ ،‬ثم قُطع‬ ‫الخيط الذى يحمل الكتلة ‪ 200‬جم بعد ثانية واحدة من بدأ الحركة‪ ،‬فأوجد متى تصل الكتلة ‪ 400‬جم إلى حافة‬ ‫النضد‪.‬‬ ‫الحل‬

‫معادالت الحركة‬ ‫‪ 200‬جـ = ‪ - 980 * 200‬ش‪1‬‬ ‫‪ 400‬جـ = ش‪ - 1‬ش‪2‬‬ ‫ش‪1‬‬ ‫ش‪2‬‬ ‫‪ 100‬جـ = ش‪980 * 100 - 2‬‬ ‫‪980 * 400‬‬ ‫بجمع المعادالت نجد أن‬ ‫‪ 100‬جم‬ ‫‪ 200‬جم‬ ‫‪ 700‬جـ = ‪980 * 100‬‬ ‫= ‪ 140‬سم‪/‬ث‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫شكل (‪)91‬‬ ‫عند لحظة قطع الخيط‬ ‫‪980 * 100‬‬ ‫‪980 * 200‬‬ ‫= ع‪ + 0‬جـ ن‬ ‫ع‬ ‫= ‪ 140 = 1 * 140 + 0‬سم‪/‬ث‬ ‫= ع ن ‪ 1 +‬جـ ن‪2‬‬ ‫ف‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ 70 = 1 * 140 * 12 + 0‬سم‬ ‫أى أن الكتلة ‪ 400‬جم قد أصبحت على بعد ‪ 80 = 70 - 150‬سم من حافة النضد‪.‬‬ ‫بعد قطع الخيط تتحرك المجموعة بعجلة تقصيرية‪ ،‬يمكن استنتاجها من معادالت الحركة الجديدة وهي‬ ‫‪/‬‬ ‫‪ 400‬جـ‬ ‫= ‪ -‬ش‪2‬‬ ‫‪ 100‬جـ‪ = /‬ش‪980 * 100 - 2‬‬ ‫` ‪ 500‬جـ‪980 * 100 - = /‬‬ ‫= ‪ 196 -‬سم‪/‬ث‪2‬‬ ‫‪/‬‬ ‫جـ‬ ‫‪ a‬ع‪2‬‬ ‫= ع‪ 2 + 02‬جـ ف‬ ‫= (‪ 196 * 2 - 2)140‬ف‬ ‫`‪0‬‬ ‫= ‪50‬سم‬ ‫ف‬ ‫= ع‪ + 0‬جـ ن‬ ‫ع‬ ‫= ‪196 - 140‬ن‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 57 = 140‬ثانية‬ ‫ن‪2‬‬ ‫= ‪196‬‬ ‫ش‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ش‪2‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫ن��ي � ن��ح�ك‬

‫‪2 2‬‬

‫أى أن الكتلة ‪ 400‬جم تسكن لحظ ًّيا بعد ‪ 57‬ثانية من لحظة قطع الخيط‪ ،‬وهى على بعد قدره ‪30 = 50 - 80‬‬ ‫سم من الحافة وعلى بعد قدره ‪ 200 = 50 + 70 + 80‬سم من الحافة األخرى‪.‬‬ ‫واآلن تغير المجموعة اتجاه حركتها وتتحرك فى االتجاه المضاد بعجلة مبتدئة من السكون‪.‬‬ ‫‪ a‬ف = ع ن ‪ 1 +‬جـ ن‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫` ‪ 196 * 2 + 0 = 200‬ن‬ ‫` ن‪7 = 3‬‬ ‫‪22 10 5‬‬ ‫` الكتلة ‪ 400‬تصل للحافة بعد زمن قدره ‪ 7 = 7 + 7 + 1‬ثانية‬

‫حاول أن تحل‬

‫جسم كتلته ‪ 14‬كجم موضوع على مستوى أفقى خشن‪ ،‬معامل االحتكاك الحركى بينهما ‪ُ ، 17‬ربط الجسم من‬ ‫جهتيه بخيطين خفيفين‪ ،‬يمر أحدهما على بكرة ملساء عند حافة المستوى‪ ،‬ويتدلى منه رأس ًّيا جسم كتلته ‪35‬‬ ‫كجم‪ ،‬ويمر الخيط الثانى على بكرة ملساء أخرى عند حافة المستوى المقابلة‪ ،‬ويتدلى منه رأس ًّيا جسم كتلته‬ ‫‪ 21‬كجم‪ ،‬بحيث كانت البكرتان والجسم بينهما على استقامة واحدة‪ ،‬فإذا تحركت المجموعة من سكون‬ ‫وجميع أجزاء الخيط مشدودة عندما كانت الكتلة ‪ 35‬كجم على ارتفاع ‪ 21‬سم من سطح األرض‪ ،‬فأوجد‬ ‫سرعتها عندما تصطدم باألرض‪.‬‬

‫حركة ج�صمين مربوطين بخيط يمر على بكرة مل�صاء اأحدهما على م�صتو مائل والآخر يتدلى راأ�ص ًّيا‬ ‫‪Motion of system of two bodies connected by a string one of which is hanging free and the other lying on‬‬ ‫‪inclined plane‬‬

‫إذا ُر بط جسمان كتلتاهما ك‪ ،1‬ك‪ 2‬فى طرفى خيط خفيف غير‬ ‫ش‬ ‫مرن‪ ،‬يمر على بكرة صغيرة ملساء‪ ،‬بحيث كان الجسم ك‪،2‬‬ ‫ش ى‬ ‫موضو ًعا على مستوى مائل يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ‪،‬‬ ‫والجسم اآلخر يتدلى رأس ًّيا‪ ،‬فإذا كان ك‪ > 1‬ك‪ 2‬فإن الجسم‬ ‫ك‬ ‫ك‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ج‬ ‫هـ‬ ‫ا هـ‬ ‫الموضوع على المستوى يتحرك ألعلى المستوى‪ ،‬وتكون معادالت‬ ‫هـ‬ ‫ك‪E 1‬‬ ‫الحركة‬ ‫ك‪ E 2‬جتا هـ ك‪E 2‬‬ ‫شكل (‪)92‬‬ ‫ك‪ 1‬جـ = ك‪ - E 1‬ش‬ ‫ك‪ 2‬جـ = ش ‪ -‬ك‪ E 2‬جا هـ‬ ‫وبجمع المعادالت يحذف الشد‪ ،‬ويمكن الحصول على عجلة الحركة جـ ومن ثم يمكن إيجاد الشد فى الخيط‪ .‬عند‬ ‫قطع الخيط الواصل بين الجسمين‪ ،‬تتحرك الكتلة ك‪ 1‬رأس ًّيا ألسفل بعجلة الجاذبية األرضية مبتدئة بالسرعة لحظة‬ ‫قطع الخيط‪ .‬أما الكتلة ك‪ 2‬فإنها تتحرك على المستوى المائل فى نفس اتجاه حركتها السابق بعجلة تقصيرية مبتدئة‬ ‫بالسرعة لحظة قطع الخيط حتى تسكن لحظ ًّيا‪ ،‬ثم تغير اتجاه حركتها‪.‬‬ ‫‪S‬‬

‫الم�ص�فة الراأ�صية بين الكتلتين‪:‬‬

‫إذا بدأت المجموعة حركتها‪ ،‬وكانت الكتلتان ك‪ ،1‬ك‪ 2‬فى مستوى أفقى واحد‪ ،‬وقطعت المجموعة مسافة ف‪ ،‬فإن‬ ‫المسافة الرأسية بين الكتلتين تساوى ف ( ‪ + 1‬جا هـ ) حيث هـ زاوية ميل المستوى على األفقي‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪0‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫ال�سغط على البكرة‪.‬‬

‫إذا كان الشد فى الخيط ش‪ ،‬وكانت هـ قياس زاوية ميل المستوى على األفقي‪ ،‬فإن‬ ‫الضغط على محور البكرة هو محصلة الشدين المتساويين فى الخيط‬ ‫ى‬ ‫‪ - 90‬هـ‬ ‫) = ‪2 + 2‬جا هـ ش‬ ‫= ‪ 2‬ش جتا (‬ ‫ض = ‪ 2‬ش جتا‬ ‫مثال‬

‫‪2‬‬

‫ش‬ ‫ض‬

‫ش‬

‫شكل (‪)93‬‬

‫‪ 8‬جسم كتلته ‪ 3‬كجم‪ ،‬موضوع عند أسفل نقطة فى مستوى مائل أملس‪ ،‬طوله ‪210‬سم وارتفاعه ‪ 140‬سم‪ ،‬يتصل‬ ‫هذا الجسم بجسم آخر كتلته ‪ 4‬كجم بواسطة خيط طوله ‪210‬سم منطبق على خط أكبر ميل للمستوى‪،‬‬ ‫ويتدلى الجسم اآلخر عند حافة المستوى العليا‪ ،‬وبدأت المجموعة حركتها من السكون حتى وصلت الكتلة‬ ‫الكبرى إلى األرض‪ ،‬واستقرت على حالة السكون‪ .‬أوجد المسافة التى تتحركها الكتلة الصغرى على المستوى‬ ‫قبل أن تقف بفرض أن حركتها لم تتأثر بتصادم الكتلة الكبرى مع األرض‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪S‬‬

‫‪ E 3 > E 4 a‬جا هـ‬ ‫ش‬ ‫` اتجاه الحركة كما هو موضح على الرسم شكل (‪)94‬‬ ‫معادالت الحركة للمجموعة‪:‬‬ ‫هـ‬ ‫‪ 4‬جـ = ‪ - E 4‬ش‬ ‫‪E4‬‬ ‫‪ 3‬جـ = ش ‪ E 3 -‬جا هـ‬ ‫‪ E 3‬جتا هـ‬ ‫بجمع المعادلتين نجد أن‬ ‫ك‪E‬‬ ‫‪9٫8 * ) 140‬‬ ‫‪ 7‬جـ = ( ‪210 * 3 - 4‬‬ ‫= ‪ 2٫8‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫‪140‬‬ ‫نحسب سرعة وصول الجسم ‪ 4‬كجم لسطح األرض‬ ‫ع‪2‬‬ ‫= ع‪ 2 + 02‬جـ ف‬ ‫= ‪1٫4 * 2٫8 * 2 + 0‬‬ ‫= ‪ 2٫8‬م‪/‬ث‬ ‫ع‬ ‫بعد وصول الجسم ‪ 4‬كجم لسطح األرض يتحرك الجسم ‪3‬ك على المستوى بعجلة تقصيرية‪.‬‬ ‫معادلة حركة الجسم المتحرك على المستوى المائل‬ ‫‪ 3‬جـ‪ E 3 - = /‬جا هـ‬ ‫` جـ‪ 98 - = /‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫نوجد المسافة التى يتحركها على المستوى حتى يسكن‪.‬‬ ‫ع‪2‬‬ ‫= ع‪ 2 + 02‬جـ ف‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 98‬ف‬ ‫‪0‬‬ ‫= ( ‪15 * 2 - )2٫8‬‬ ‫= ‪ 0٫6‬متر‬ ‫ف‬ ‫` الكتلة ‪ 3‬كجم تسكن لحظ ًّيا على بعد مترين من قاعدة المستوى المائل‪.‬‬ ‫ش‬

‫‪04‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪E3‬‬

‫هـ‬

‫شكل (‪)94‬‬ ‫‪210‬‬ ‫هـ‬

‫كتاب الطالب‬

‫ج‬ ‫ا هـ‬

‫ن��ي � ن��ح�ك‬

‫‪2 2‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪2‬‬ ‫وربط بخيط خفيف‬ ‫‪ 8‬مستوى مائل أملس يميل على األفقى بزاوية جيبها ‪ُ ، 3‬وضع عليه جسم كتلته ‪ 210‬جم‪ُ ،‬‬ ‫يمر على بكرة صغيرة ملساء عند قمة المستوى‪ ،‬ويحمل فى طرفه اآلخر كفة ميزان كتلتها ‪ 70‬جم‪ ،‬وعليها‬ ‫جسم كتلته ‪ 210‬جم‪ ،‬إذا بدأت المجموعة حركتها من السكون‪ ،‬فأوجد الشد فى الخيط والضغط على الكفة‬ ‫مقدرين بوحدة ثقل جرام‪ ،‬وإذا أبعد الجسم من الكفة بعد ‪ٍ 7‬‬ ‫ثوان من بدء الحركة‪ ،‬فأثبت أن المجموعة تسكن‬ ‫لحظ ًّيا بعد مضى ‪ٍ 8‬‬ ‫ثوان أخرى‪.‬‬

‫مثال‬

‫‪ 9‬وضع جسم كتلته كيلوجرام واحد على مستوى مائل خشن‪ ،‬يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ حيث‬ ‫جا هـ = ‪ ، 13‬ومعامل االحتكاك الديناميكى بين الجسم والمستوى يساوى ‪ ، 2‬ربط الجسم بخيط ينطبق‬ ‫‪2‬‬ ‫حامال فى نهايته جسم‬ ‫على خط أكبر ميل للمستوى‪ ،‬ويمر على بكرة ملساء عند قمة المستوى‪ ،‬ويتدلى رأس ًّيا‬ ‫ً‬ ‫كتلته ‪ 3‬كجم‪ ،‬أوجد الضغط على محور البكرة‪ ،‬وإذا بدأت المجموعة حركتها من السكون وبعد أن قطعت‬ ‫الكتلة ‪ 1‬كجم مسافة ‪ 1٫8‬متر على المستوى قُطع الخيط الواصل بين الكتلتين‪.‬‬ ‫أوجد المسافة الكلية التى قطعتها الكتلة ‪ 1‬كجم على المستوى قبل أن تسكن لحظ ًّيا‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪ E > E 3 a‬جا هـ‬ ‫` اتجاه الحركة كما هو موضح على الرسم شكل (‪)95‬‬ ‫= ‪ E‬جتا هـ‬ ‫‪S‬‬ ‫= ‪2 2 * 9٫8‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪ 2 98‬نيوتن‬ ‫‪15‬‬

‫معادالت الحركة‬ ‫‪ 3‬جـ = ‪ - E 3‬ش‬ ‫جـ = ش ‪ -‬مك ‪ E - S‬جا هـ‬ ‫بجمع المعادلتين نجد أن‬ ‫‪ 4‬جـ = ‪ - E 3‬مك‪ E - S‬جا هـ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪S‬‬

‫ش‬

‫م‬

‫‪ 3‬كجم‬

‫ح‪S‬‬

‫هـ‬

‫‪E3‬‬ ‫‪ E‬جتا هـ‬

‫(‪)1‬‬ ‫(‪)2‬‬

‫‪ E‬جا‬

‫هـ‬ ‫‪E‬‬ ‫‪1‬‬

‫شكل (‪)95‬‬ ‫‪3‬‬ ‫هـ‬

‫‪2 2‬‬

‫‪1 * 9٫8 - 2 98‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪ 4‬جـ = ‪- 9٫8 * 3‬‬ ‫= ‪ 4٫9‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫من (‪ )1‬نجد أن ش = ‪ 14٫7‬نيوتن‬ ‫ض = ‪ 2‬ش ‪ + 1‬جا هـ = ‪ 6 49 = 2 * 2 14٫7‬نيوتن‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫عند لحظة قطع الخيط‬ ‫ع‪ = 2‬ع‪ 2 + 20‬جـ ف = ‪1٫8 * 4٫9 * 2 + 0‬‬ ‫ع = ‪ 4٫2‬م‪/‬ث‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫هـ‬

‫‪05‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫بعد قطع الخيط الجسم المتحرك على المستوى يتحرك بعجلة تقصيرية إلى أن يسكن لحظ ًّيا‪.‬‬ ‫معادلة حركة الجسم المتحرك على المستوى المائل‪.‬‬ ‫= ‪ -‬م ك ‪ - S‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫ك جـ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫* ‪2 98‬‬ ‫‪15‬‬

‫ ‪1 * 9٫8 * 1‬‬‫‪3‬‬

‫‪ * 1‬جـ‪- = /‬‬ ‫= ‪9٫8 -‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫‪/‬‬ ‫جـ‬ ‫ع‪2‬‬ ‫= ع‪ 2 + 20‬جـ ف‬ ‫` ف = ‪ 0٫9‬متر‬ ‫= ( ‪9٫8 * 2 - 2)4٫2‬ف‬ ‫‪0 a‬‬ ‫` الكتلة تقطع مسافة قدرها ‪ 2٫7 = 0٫9 + 1٫8‬متر حتى تسكن لحظ ًّيا‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 9‬جسم كتلته كيلوجرام واحد موضوع على مستوى خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ‪ ،‬حيث‬ ‫جا هـ = ‪ 45‬ومربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء فى قمة المستوى‪ ،‬حيث يتدلى من الطرف اآلخر‬ ‫للخيط كفة ميزان كتلتها ‪ 400‬جرام موضوع بها كتلة مقدارها ‪ 100‬جرام‪ ،‬فإذا كان معامل االحتكاك بين الجسم‬ ‫والمستوى يساوى ‪ ، 13‬وتركت المجموعة للحركة من سكون والخيط منطبق على خط أكبر ميل للمستوى‪.‬‬ ‫فأوجد ضغط الكتلة على الكفة‪ ،‬وإذا وضعت بالكفة كتلة أخرى مقدارها ‪ 100‬جرام بعد ثانية واحدة من بدء‬ ‫الحركة‪ ،‬فأوجد الضغط على الكفة عندئذ والمسافة التى تتحركها المجموعة فى الثوانى الثالث التالية‪:‬‬

‫تمـــــــاريـــن ‪7 - 2‬‬

‫اأكمل م�ي�أتى ‪:‬‬ ‫‪ 1‬جسمان كتلة كل منهما ‪ 3‬كجم‪ ،‬مربوطان فى طرفى خيط خفيف غير مرن يمر‬ ‫على بكرة صغيرة ملساء‪ ،‬إذا اكسبت المجموعة سرعة قدرها ‪ 2‬م‪/‬ث فإن ‪:‬‬ ‫أ عجلة الحركة جـ = ‪ ..........................‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫ب الشد فى الخيط س = ‪ ..........................‬ث ‪/‬كجم‬ ‫ج المسافة التى قطعتها إحدى الكتلتين خالل ثانية واحدة من بدء الحركة‬ ‫مترا‪.‬‬ ‫‪ً ..........................‬‬

‫ش‬

‫ك‪E‬‬

‫شكل (‪)96‬‬

‫فى الشكل المقابل ‪ :‬إذا تحركت المجموعة من السكون فإن‪:‬‬ ‫‪ ..........................‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫أ عجلة المجموعة =‬ ‫ب سرعة المجموعة بعد ‪ 2‬ث = ‪ ..........................‬م‪/‬ث‬ ‫ج إذا انفصلت الكتلة ‪ 2‬ك عن المجموعة بعد ‪ 2‬ثانية فإن المجموعة تتحرك بعد‬ ‫ذلك بعجلة =‬

‫‪..........................‬‬

‫د المسافة التى قطعتها الكتلة ك فى ‪ٍ 5‬‬ ‫ثوان من بداية الحركة =‬

‫‪..........................‬‬

‫ك‪E‬‬

‫ش‬

‫ش‬ ‫ك‬

‫ك‬

‫‪2‬ك‬

‫شكل (‪)97‬‬

‫‪0‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫ن��ي � ن��ح�ك‬

‫كتلتان مقدار كل منهما ‪ 420‬جم إحداهما موضوعة فى كفة ميزان كتلتها ‪ 140‬جم‪.‬‬ ‫وتحركت المجموعة من السكون فان‪:‬‬ ‫أ عجلة الحركة =‬

‫ش‬

‫‪ ..........................‬سم‪/‬ث‪2‬‬

‫‪2 2‬‬

‫ب الشد فى الخيط = ‪ ..........................‬ث جم‬

‫‪420‬‬

‫ج الضغط على محور البكرة = ‪ ..........................‬ث جم‬

‫‪420‬‬

‫د الضغط على كفة الميزان = ‪ ..........................‬ث جم‬

‫شكل (‪)98‬‬

‫‪ 4‬فى الشكل المقابل ‪ :‬جسمان كتلتاهما ك‪ 2 ،‬ك مربوطان فى طرفى خيط يمر على بكرة صغيرة ملساء وتحركت‬ ‫المجموعة من السكون عندما كان الجسمان فى مستوى أفقى واحد‪.‬‬ ‫أ عجلة الحركة =‬

‫‪ ..........................‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫ب الضغط على البكرة = ‪ ..........................‬ث كجم‬

‫ش‬

‫ج سرعة المجموعة بعد ‪ 32‬ثانية من بدء الحركة = ‪ ..........................‬م‪/‬ث‬

‫د المسافة الرأسية بين الجسمين بعد ‪ 32‬ثانية من بدء الحركة = ‪ ..........................‬متر‪.‬‬

‫‪2‬ك‬

‫هـ إذا قُطع الخيط بعد ‪ 32‬ثانية من بدء الحركة فإن الكتلة ك تصل للسكون اللحظى‬ ‫بعد زمن قدره ‪ ..........................‬ثانية‬

‫و إذا كانت المسافة بين الجسمين بعد زمن ن ثانية بعد قطع الخيط أصبحت‬ ‫مترا فإن ن = ‪ ..........................‬ثانية‬ ‫‪ً 12٫25‬‬ ‫‪ 5‬فى الشكل المقابل‪:‬‬ ‫أ جـ =‬

‫‪ ..........................‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫ب ش = ‪ ..........................‬ث كجم‬

‫ج الضغط على البكرة = ‪ ..........................‬ث كجم‬

‫د المسافة المقطوعة بعد ‪ 2‬ثانية = ‪..........................‬متر‬

‫ش‬

‫ش‬ ‫‪ 2‬كجم‬

‫‪2‬ك‪E‬‬

‫ك‬ ‫ك‪E‬‬

‫شكل (‪)99‬‬

‫‪S‬‬ ‫‪ 5‬كجم‬ ‫‪E5‬‬

‫شكل (‪)100‬‬

‫هـ سرعة المجموعة بعد ‪ 2‬ثانية = ‪ ..........................‬م‪/‬ث‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪0‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫فى الشكل المقابل‪:‬‬ ‫الجسم ‪ 3‬كجم موضوع على المستوى المائل ومتصل بخيط بالجسم‬ ‫‪ 4‬كجم المتدلى رأس ًّيا ‪ .‬أكمل‪:‬‬ ‫أ عجلة المجموعة = ‪ .........................‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫‪S‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪c30‬‬

‫‪E4‬‬

‫ب الشد فى الخيط = ‪ .........................‬نيوتن‬

‫‪c30‬‬

‫‪E3‬‬

‫ج الضغط على البكرة = ‪ .........................‬نيوتن‬

‫شكل (‪)101‬‬

‫اأجب عن الأ�صئلة الآتية ‪:‬‬

‫فى كل من األشكال اآلتية أوجد ‪:‬‬ ‫أ عجلة الحركة‪.‬‬

‫ب الشد فى الخيط‪.‬‬

‫ج الضغط على البكرة‪.‬‬

‫ش‬

‫‪ 500‬جم‬

‫‪ 900‬جم‬

‫‪ 5‬كجم‬

‫‪E 500‬‬

‫‪E 900‬‬

‫‪E5‬‬

‫شكل (‪)102‬‬

‫شكل (‪)103‬‬

‫‪ 2‬كجم‬

‫شكل (‪)104‬‬

‫‪E2‬‬

‫‪ُ 8‬ربط جسمان كتلتاهما ‪ 5‬كجم‪ 3 ،‬كجم فى نهايتى خيط يمر فوق بكرة صغيرة ملساء‪ ،‬وحفظت المجموعة‬ ‫فى حالة اتزان وجزءا الخيط رأسيان إذا تركت المجموعة لتتحرك فأوجد مقدار عجلتها والضغط على البكرة‪،‬‬ ‫عين كذلك سرعة الجسم الذى كتلته ‪ 5‬كجم عندما يكون قد هبط ‪ 40‬سم‪.‬‬ ‫‪ُ 9‬علق جسمان كتلتاهما ك‪ ،1‬ك‪ 2‬حيث ك‪ > 1‬ك‪ 2‬فى طرفى خيط يمر على بكرة ملساء ‪ ،‬إذا كانت المجموعة‬ ‫تتحرك بعجلة ‪ 196‬سم‪/‬ث‪ 2‬فأوجد ك‪ :1‬ك‪2‬‬

‫‪ُ 10‬ربطت كتلتان ‪ 3‬ك ‪ ،‬ك جرام فى نهايتى خيط خفيف يمر على بكرة ملساء‪ ،‬وحفظت المجموعة فى حالة‬ ‫اتزان وجزءا الخيط رأسيان ‪ ،‬فإذا تركت المجموعة تتحرك من سكون عندما كانت المسافة الرأسية بين‬ ‫الكتلتين ‪ 160‬سم والكتلة ك أسفل الكتلة ‪ 3‬ك‪ .‬أوجد الزمن الذى تصبح فيه الكتلتان فى مستوى أفقى واحد‪.‬‬ ‫‪ُ 11‬علقت كفتا ميزان كتلة كل منهما ‪ 210‬جم فى طرفى خيط خفيف يمر على بكرة صغيرة ملساء ويتدليان‬ ‫رأس ًّيا‪ ،‬وضع فى إحدى الكفتين جسم كتلته ‪ 700‬جم وفى الكفة األخرى جسم كتلته ‪ 840‬جم‪ .‬أوجد عجلة‬ ‫الحركة للمجموعة والضغط على كل من الكفتين ‪.‬‬ ‫‪ُ 1‬ربطت كتلتان ‪ 5‬ك ‪ 2 ،‬ك كجم فى نهايتى خيط خفيف يمر على بكرة صغيرة ملساء وحفظت المجموعة فى‬ ‫حالة اتزان‪ ،‬وجزءا الخيط رأسيان ‪ ،‬فإذا تركت المجموعة تتحرك من سكون‪ .‬فأوجد عجلة حركة المجموعة‪،‬‬ ‫وإذا كان الضغط على محور البكرة يساوى ‪ 112‬نيوتن‪ ،‬فأوجد قيمة ك‪.‬‬

‫‪08‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫ن��ي � ن��ح�ك‬

‫‪2 2‬‬

‫‪ 1‬جسمان كتلتاهما ‪ 420‬جم‪ 560 ،‬جم مربوطان فى طرفى خيط خفيف يمر على بكرة صغيرة ملساء‪ ،‬بدأت‬ ‫المجموعة الحركة من السكون عندما كان الجسمان فى مستوى أفقى واحد‪ ،‬وبعد مرور ثانية واحدة قُطع‬ ‫الخيط الواصل بينهما‪ ،‬فاحسب المسافة بين الكتلتين بعد مرور ثانية أخرى من قطع الخيط‪.‬‬

‫‪ 14‬جسم كتلته ‪ 4‬كجم موضوع على مستوى خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ c30‬ويتصل بخيط يمر‬ ‫على بكرة صغيرة ملساء عند أعلى المستوى ويتدلى من الطرف اآلخر للخيط جسم كتلته ك‪ ،‬فإذا تحركت‬ ‫الكتلة ‪ 4‬كجم من سكون على المستوى إلى أعلى مسافة ‪ 560‬سم فى ‪ 2‬ثانية ‪ .‬فأوجد مقدار ك عل ًما بأن معامل‬ ‫االحتكاك الديناميكى بين الجسم والمستوى يساوى ‪3‬‬ ‫وأيضا أوجد مقدار الضغط على محور البكرة‪.‬‬ ‫ً‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 15‬جسم كتلته ‪ 400‬جم‪ ،‬موضوع على نضد أفقى أملس‪ ،‬تم ُو ِص َل بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء مثبتة فى‬ ‫حافة النضد‪ ،‬ويحمل فى طرفه جس ًما آخر كتلته ‪ 90‬جم ‪ ،‬أوجد عجلة المجموعة والشد فى الخيط والضغط‬ ‫على البكرة‪.‬‬ ‫‪ ، C 1‬ب جسمان كتلتاهما ‪ 200‬جم‪ 45 ،‬جم على الترتيب‪ُ ،‬وضع الجسم ‪ C‬على نضد أفقى أملس ارتفاعه ‪ 90‬سم‬ ‫وعلى بعد ‪ 270‬سم من حافة النضد ووصل بخيط خفيف طوله ‪ 270‬سم يمر على بكرة صغيرة مثبتة عند كافة‬ ‫النضد ووصل الجسم ب بالطرف اآلخر للخيط عند حافة النضد‪ ،‬فإذا أُزيح الجسم ب بهدوء ليسقط من حافة‬ ‫النضد‪ ،‬فأوجد الزمن الذى يستغرقه ‪ C‬بعد ذلك ليصل إلى حافة النضد‪.‬‬ ‫‪ 1‬وضع جسم كتلته ‪ 200‬جم على نضد أفقى خشن معامل االحتكاك الديناميكى بينهما ‪ ، 12‬ثم ُربط بخيط‬ ‫خفيف يمر على بكرة ملساء مثبتة عند حافة النضد ويتدلى من الطرف اآلخر للخيط جسم كتلته ‪ 200‬جم‬ ‫على ارتفاع متر واحد من سطح األرض‪ ،‬فإذا بدأت المجموعة الحركة من سكون فاحسب‪:‬‬ ‫أ الضغط على البكرة بالنيوتن‪.‬‬ ‫ب سرعة اصطدام الكتلة المدالة بسطح األرض‪.‬‬ ‫ج المسافة التى تتحركها الكتلة الموضوعة على النضد حتى تسكن‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪09‬‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫كمية حركة جسم عند لحظة ما هى كمية متجهة مقدارها يساوى حاصل‬ ‫ضرب كتلة هذا الجسم فى سرعته عند هذه اللحظة واتجاهها هو اتجاه‬ ‫السرعة نفسه‬ ‫`‪= X‬ك ع‬ ‫التغير فى كمية حركة جسم = ك ( ع‪ - 2‬ع‪) 1‬‬ ‫ن‪2‬‬ ‫‪ 9‬م = ك ن‪ 1‬جـ ‪ E‬ن‬ ‫إذا كانت العجلة جـ دالة فى الزمن ن‬ ‫القانون األول لنيوتن ‪ :‬كل جسم يحتفظ بحالته من حيث السكون أو الحركة المنتظمة فى خط مستقيم ما لم‬ ‫تؤثر عليه قوة خارجية تغير من حالته‪،‬‬ ‫مبدأ القصور الذاتى ‪ :‬كل جسم قاصر أو عاجز بذاته عن تغيير حالته من حيث السكون أو الحركة المنتظمة‬ ‫فى خط مستقيم‪.‬‬ ‫القوة ‪ :‬القوة هى المؤثر الذى يغير أو يعمل على تغيير حالة الجسم من سكون أو حركة منتظمة فى خط‬ ‫مستقيم‪.‬‬ ‫القانون الثانى لنيوتن‪ :‬معدل التغير فى كمية الحركة يتناسب مع القوة المحدثة له ويحدث فى اتجاهها‪.‬‬ ‫معادلة حركة جسم كتلته ك ويتحرك بعجلة منتظمة جـ‬ ‫ك جـ =‬ ‫حيث‬

‫‪X‬‬

‫‪ X‬محصلة القوى المؤثرة على الجسم‬

‫‪E‬ع‬ ‫½ إذا كانت جـ =‬ ‫‪E‬ن‬

‫فإن معادلة الحركة تأخذ الصورة ‪:‬‬

‫‪E‬ع‬ ‫½ إذا كانت جـ = ع‬ ‫‪E‬ف‬

‫ن‪1‬‬

‫ن‪2‬‬

‫‪EX‬ن = ك‬

‫ع‪1‬‬

‫ع‪2‬‬

‫فإن معادلة الحركة تأخذ الصورة‪:‬‬ ‫ف‪2‬‬

‫ع‪2‬‬

‫ف‪ E 1‬ف = ك‬ ‫½ إذا كانت الكتلة متغيرة فإن معادلة الحركة تأخذ الصورة‪:‬‬ ‫‪=X‬‬

‫‪ 8‬الوحدات المستخدمة مع معادلة الحركة‬

‫ع‪1‬‬

‫‪E‬‬

‫‪E‬ن‬

‫‪E‬ع‬

‫ع‪E‬ع‬

‫( ك ع)‬

‫ك(كجم) ‪.‬جـ ( م‪/‬ث‪ = )2‬ق ( نيوتن)‬ ‫ك(جم) جـ (سم‪/‬ث‪ = )2‬ق(داين‬

‫‪ 9‬القانون الثالث لنيوتن‬

‫ٍ‬ ‫مساو له فى المقدار ومضاد له فى االتجاه‪.‬‬ ‫لكل فعل رد فعل‬

‫‪10‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪ 10‬حركة المصاعد‬

‫ش‬

‫‪S‬‬

‫ك‪E‬‬

‫القوى المؤثرة على‬ ‫الشخص داخل المصعد‬ ‫شكل (‪)105‬‬

‫ض‬

‫(ك ‪ +‬ك‪ )/‬د‬

‫ك‪ /‬د‬

‫القوى الموثرة على المصعد‬ ‫والشخص م اًعا‬

‫القوى الموثرة على المصعد‬ ‫والشخص بداخله‬

‫شكل (‪)107‬‬

‫شكل (‪)106‬‬

‫البكرات البسيطة‪:‬‬

‫½ معادالت الحركة‬ ‫ك‪ 1‬جـ = ك‪ - E 1‬ش‬ ‫ك‪ 2‬جـ = ش ‪ -‬ك‪E 2‬‬ ‫الضغط على البكرة = ‪ 2‬ش‬

‫ش‬

‫ك‪1‬‬

‫ك‪2‬‬

‫شكل (‪)108‬‬

‫½ معادالت الحركة‬ ‫ك‪1‬جـ = ك‪ - E1‬ش‬ ‫ك‪ 2‬جـ = ش‬ ‫الضغط على البكرة = ش ‪2‬‬

‫ك‪E 1‬‬ ‫ش‬

‫ك‪2‬‬

‫ش‬ ‫ك‪1‬‬

‫½ معادالت الحركة‬ ‫ك‪1‬جـ = ك‪ - E1‬ش‬ ‫ك‪ 2‬جـ = ش ‪ -‬ك‪ E2‬جا هـ‬ ‫ى‬ ‫الضغط على البكرة = ‪ 2‬ش جتا = ش ‪2 + 2‬جا هـ‬ ‫‪2‬‬

‫شكل (‪)109‬‬

‫ك‪E 1‬‬ ‫ش‬ ‫ك‪1‬‬

‫ك‪E 2‬‬

‫ى‬

‫ك‪E 1‬‬

‫ش‬

‫ك‬

‫‪2‬‬

‫هـ‬

‫ك‬ ‫‪ E 2‬جا‬

‫شكل (‪)110‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪11‬‬

‫هـ‬

‫كو نل نحوين نينيمك‬

‫اأكمل م� ي�أتى‪:‬‬

‫‪ 1‬جسم كتلته ‪ 40‬كجم يكون وزنه‪:‬‬ ‫أ بثقل الكيلوجرام ‪..........................‬‬ ‫ب‬ ‫بالنيوتن ‪..........................‬‬

‫مترا‪.‬‬ ‫جسم يتحرك بسرعة قدرها ‪ 135‬كم‪/‬س فإنه يقطع فى الثانية الواحدة ‪ً ..........................‬‬ ‫مستوى مائل طوله ‪200‬سم وارتفاعه ‪150‬سم يكون جيبا زاوية ميله على األفقى‬

‫‪..........................‬‬

‫‪ 4‬جسم كتلته ‪ 8‬أطنان يتحرك بسرعة منتظمة وكانت المقاومة التى يالقيها لكل طن من الكتلة ‪ 4٫5‬ث كجم فإن‬ ‫القوة المحركة بالنيوتن‪..........................‬‬ ‫‪ 5‬جسم كتلته ‪ 35‬كجم‪ ،‬موضوع على ميزان ضغط مثبت فى أرضية مصعد يتحرك بسرعة قدرها ‪ 4‬م‪/‬ث وكانت‬ ‫قراءة الميزان ‪ 343‬نيوتن فإن المسافة التى يقطعها المصعد فى ‪ٍ 7‬‬ ‫ثوان ‪ ..‬متر‬ ‫‪ 147‬نيوتن =‬

‫‪..........................‬‬

‫ث كجم‬

‫‪ 1‬ث كجم = ‪ ..........................‬نيوتن‬

‫اأجب عن الأ�صئلة الآتية‪:‬‬

‫‪ 8‬كرة من المطاط كتلتها ‪ 200‬جم قُذفت أفق ًّيا بسرعة ‪ 30‬م‪/‬ث اصطدمت بحائط‬ ‫رأسى فارتدت بسرعة ‪ 26‬م‪/‬ث فأوجد التغير الحادث فى كمية حركة الكرة نتيجة‬ ‫للتصادم بوحدة كجم ‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫‪ 9‬سيارة كتلتها ‪ 6‬أطنان تتحرك تحت تأثير مقاومة تتناسب مع‬ ‫مربع السرعة فإذا كانت المقاومة ‪ 5‬ث كجم لكل طن عندما‬ ‫كانت سرعتها ‪ 36‬كم‪/‬س أوجد قوة محرك السيارة إذا كانت‬ ‫أقصى سرعة لهذه السيارة ‪ 40‬م‪/‬ث‪.‬‬

‫‪ 10‬قطار كتلته ‪ 160‬ط ًّنا ‪ ،‬بدأ من السكون من إحدى المحطات‬ ‫وكانت قوة المحرك تزيد بمقدار ‪ 4‬ث طن عن المقاومة‬ ‫الكلية لحركة القطار وعندما بلغت سرعته ‪ 44٫1‬كم‪/‬س‬ ‫استمر يسير بهذه السرعة مدة من الزمن ثم ضغط على‬ ‫تقصيرا مقداره ‪ 17٫5‬سم‪/‬ث‪ ،2‬ووقف‬ ‫الفرامل فأكسبته‬ ‫ً‬ ‫القطار فى المحطة التالية التى تبعد ‪ 4998‬متر عن المحطة التى تحرك منها القطار‪ ،‬أوجد الزمن المستغرق فى‬ ‫قطع المسافة بين المحطتين‪.‬‬

‫‪ 11‬يمر خيط خفيف على بكرة صغيرة ملساء ‪ ،‬ويتدلى من أحد طرفيه جسم كتلته ‪ 800‬جم ومن الطرف اآلخر‬ ‫ميزان زنبركى كتلته ‪ 400‬جم‪ ،‬معلق به جسم كتلته ك جم ‪ .‬إذا تحركت المجموعة من السكون وكانت قراءة‬ ‫الميزان أثناء الحركة ‪ 160‬ث جم‪ ،‬فأوجد قيمة ك ‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪ 1‬كتلتان ‪ 600 ،1300‬جم موضوعتان على مستوى أفقى أملس ومتصلتان بخيط مشدود بينهما طوله ‪ 50‬سم‪،‬‬ ‫ثم ربطت الكتلة ‪ 600‬جم بخيط آخر على استقامة األول يمر على بكرة ملساء مثبتة فى حافة المستوى‬ ‫القريب من الكتلة الثانية و ُعلق فى الطرف اآلخر للخيط كتلة قدرها ‪ 100‬جم تتدلى رأس ًّيا أوجد مقدار عجلة‬ ‫المجموعة ومقدار الشد فى كل من الخيطين‪ ،‬وإذا قُطع الخيط الواصل بين الجسمين األولين بعد ‪ 2‬ث من بدء‬ ‫الحركة‪ ،‬فما المسافة بين الجسمين بعد ‪ 1‬ث من لحظة قطع الخيط؟‬ ‫‪ 1‬جسمان كتلتاهما ‪ 350‬جم‪،‬ك جم مربوطان فى طرفى خيط يمر على بكرة صغيرة ملساء ويتدليان رأس ًّيا‪ ،‬بدأت‬ ‫المجموعة الحركة من سكون عندما كانت الكتلتان فى مستوى أفقى واحد‪ ،‬وكان الضغط على محور البكرة‬ ‫‪ 200‬ث‪/‬جم‬ ‫أوجد ك والمسافة الرأسية بين الجسمين بعد ثانية واحدة من بدء الحركة‪.‬‬

‫‪ُ 14‬علق جسمان كتلة كل منهما ك كجم من طرفى خيط خفيف يمر على بكرة صغيرة ملساء مثبتة رأس ًّيا‪ ،‬وكان‬ ‫جزءا الخيط يتدليان رأسيا وعند إضافة جسم كتلته ‪ 2‬كجم ألحد الجسمين أصبحت قيمة الشد فى الخيط ‪8‬‬ ‫ًّ‬ ‫‪7‬‬ ‫قيمته فى الحالة األولى ‪ ،‬أوجد ك‪.‬‬ ‫‪ 15‬خيط خفيف ثابت الطول يمر على بكرة صغيرة ملساء مثبت فى أحد طرفيه جسم كتلته ‪ 60‬جم وفى الطرف‬ ‫اآلخر جسمان كتلتاهما ‪ 40‬جم‪ 50 ،‬جم ‪ ،‬إذا بدأت المجموعة الحركة من سكون فأوجد عجلة الحركة والشد‬ ‫فى الخيط الذى يصل الكتلتين ‪ 40‬جم‪ 50 ،‬جم إذا انفصل الجسم الذى كتلته ‪ 50‬جم بعد ثانيتين من بدأ الحركة‬ ‫فأثبت أن المجموعة تسكن لحظ ًّيا بعد ثانيتين من لحظة االنفصال‪.‬‬ ‫‪ 1‬جسمان كتلتاهما ‪ 260‬جم‪ 230 ،‬جم‪ ،‬مربوطان فى طرفى خيط يمر على بكرة صغيرة ملساء ويتدليان رأس ًّيا‪،‬‬ ‫بدأت المجموعة الحركة من سكون عندما كانت الكتلة الكبرى على ارتفاع ‪ 270‬سم من سطح األرض‪ ،‬أوجد‬ ‫عجلة المجموعة والشد فى الخيط والزمن الذى يمضى حتى تصل الكتلة الكبرى لألرض ‪.‬‬ ‫‪ 1‬جسمان كتلتاهما ‪ 260‬جم‪ 230 ،‬جم‪ ،‬مربوطان فى طرفى خيط يمر على بكرة صغيرة ملساء ويتدليان رأس ًّيا‬ ‫فى مستوى أفقى واحد على ارتفاع ‪ 70‬سم من سطح األرض‪ ،‬فإذا بدأت المجموعة حركتها من السكون وقطع‬ ‫الخيط بعد ثانية واحدة من بدء الحركة فاحسب السرعة التى يصل بها كل من الجسمين إلى سطح األرض‪.‬‬

‫لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى‬

‫‪www.sec3mathematics.com.eg‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1‬‬

‫الوحدة الثالثة ‪ -‬الدفع والتصادم‬ ‫‪Impulse and Collisiom‬‬

‫الوحدة‬

‫‪3‬‬

‫مقدمة الوحدة‬ ‫سبق أن درسنا بعض الكميات الفيزيائية التى بواسطتها نستطيع أن نصف حركة األجسام‪ ،‬مثل السرعة والتسارع ‪ ،‬الكتلة ‪ .‬وفى هذه الوحدة‬ ‫سوف نتعرف على كميات أخرى تشارك فى وصف حركة األجسام‪.‬‬ ‫فى بعض األحيان ‪ ،‬نلحظ اً‬ ‫مثل أن هناك سهولة فى أن نوقف حركة خرزة صغيرة تتدحرج‪ ،‬عن أن نوقف كرة بولينج‪ ،‬بالرغم من أن الجسمين‬ ‫يتحركان بالسرعة نفسها ‪ .‬فنجد أن اً‬ ‫كل الجسمين يتحرك حركة انسحابية فى خط مستقيم‪.‬‬ ‫وهناك ملحظة اخرى ‪ ،‬وهى أن الشاحنة الكبيرة تبذل جهداًا كبي اًرا لكى يوقف الشاحنة فجأة‪ ،‬بالرغم من أن سرعتها قد ال تكون كبيرة فى حين‬ ‫يستطيع سائق السيارة الصغيرة أن يوقف سيارته خلل مسافة أقل رغم أن سرعتها قد تكون كبيرة‪.‬‬ ‫طا اً‬ ‫من الملحظتين السابقتين يتضح أن السرعة والكتلة مرتبطتان معاً ا أرتبا اً‬ ‫وثيقا وهو ما يعرف بكمية الحركة‪ ،‬ونظرا لثبوت كتلة الجسم فى‬ ‫معظم الحاالت فإن السرعة هى التى تتغير ‪ ،‬والتغير فى السرعة يعنى حدوث تسارع للحركة‪ ،‬والتسارع يعنى أن هناك قوة محصلة وعليه ‪ ،‬فإن‬ ‫أى تغير فى السرعة يغير كمية الحركة‪.‬‬ ‫كما أن هناك عامل آخر مهم وهو الفترة الزمنية التى تؤثر خللها القوة فى الجسم المتحرك ثم أن القوة والزمن عاملن ضروريان إلحداث تغير‬ ‫فى كمية الحركة ‪ ،‬ويكون حاصل ضربهما هو ما يعرف بالدفع ‪.Impulse .‬‬ ‫ويعتبر تصادم االجسام تطبيقا عملياًا لكمية الحركة؛ فحينما يتصادم جسمان فى غياب أى مؤثر خارجى نجد أن محصلة كمية الحركة لكل من‬ ‫الجسمين قبل التصادم وبعده متساوية وعليه فإن محصلة كمية الحركة قبل التصادم تساوى محصلة كمية الحركة بعد التصادم‪.‬‬ ‫وهناك صور عديدة للتصادم فهنالك تصادم مرن وآخر غير مرن ‪ ،‬وذلك سوف نتعرف عليه من خلل دراستنا لهذه الوحدة‪.‬‬

‫مخرجات التعلم‬ ‫بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن‪:‬‬ ‫ يتعرف مفهوم الدفع‬

‫ يستنتج العالقة بين الدفع والتغير فى كمية الحركة‪.‬‬

‫ يتعرف التصادم المرن‪.‬‬

‫ يستنتج أن مجموع كميتى الحركة لجسمين قبل التصادم يساوى مجموع كميتى الحركة لنفس الجسمين بعد التصادم‬

‫‪214‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪ Ñ‬الدفع‬

‫‪Impulse‬‬

‫‪ Ñ‬كمية الحركة‬

‫‪Momentum‬‬

‫‪ Ñ‬القوى الدفعية‬

‫‪ Ñ‬التصادم المرن‬

‫‪ Ñ‬تصادم الكرات الملساء‬

‫‪Collision smooth balls‬‬

‫‪Impulsive forces‬‬

‫دروس الوحدة‬ ‫(‪ :)1 - 3‬الدفع‬

‫‪Elastic‬‬

‫األدوات والوسائل‬ ‫‪.Impulse‬‬

‫آلة حاسبة علمية ‪.‬‬

‫(‪:) 2 - 3‬التصادم ‪collision‬‬

‫مخطط تنظيمى للوحدة‬

‫الدفع والتصادم‬

‫كمية الحركة‬

‫الدفع‬

‫التصادم‬

‫العالقة بينهما‬ ‫تصادم مرن‬

‫القوة الدفعية‬

‫تصادم غير مرن‬

‫وحدات القياس‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪215‬‬

‫الدفع‬

‫الوحدة الثالثة‬

‫‪1-3‬‬

‫سوف تتعلم‬

‫ يتعرف مفهوم الدفع‬

‫ يستنتج العالقة بني الدفع‬ ‫والتغري ىف كمية احلركة‬

‫‪Impulse‬‬

‫تمهيد‪ :‬ماذا تالحظ عند‪:‬‬ ‫ قذف كرة فى اتجاه حائط رأسى‪.‬‬‫ تصادم السيارات على الطرق السريعة‪.‬‬‫ تصادم عجالت الطائرات بأرض المطار أثناء الهبوط‪.‬‬‫فى مثل هذه الحاالت تكون دراسة حركة األجسام‬ ‫عملية شاقة للغاية نتيجة تشابك العوامل المؤثرة عليها ولصغر الفترات الزمنية المتناهية‬ ‫‪ .‬وسوف ندرس فى هذا الدرس بعض المعلومات الخاصة بذلك لربط حالة الجسم قبل‬ ‫وبعد حدوث التغير فى متجه سرعته من خالل هذا النشاط‪.‬‬

‫نشاط‬

‫نوع الكرة‬

‫األدوات‪ :‬مسطرة خشبية طويلة يزيد‬ ‫‪........................‬‬ ‫‪ 2‬متر‬ ‫طولها عن متر‪ ،‬مجموعة من الكرات كرة بلياردو‬ ‫المختلفة مثل كرة جولف‪ ،‬كرة تنس ‪،‬‬ ‫‪........................‬‬ ‫‪ 2‬متر‬ ‫كرة تنس‬ ‫كرة بلياردو‪ ،‬كرة من الصلصال‪... ،‬‬ ‫‪........................‬‬ ‫‪ 2‬متر‬ ‫كرة خشبية‬ ‫العمل‪ :‬قم بإسقاط هذه الكرات تبا ًعا‬ ‫‪........................‬‬ ‫‪ 2‬متر‬ ‫كرة جولف‬ ‫من ارتفاع ثابت وليكن ‪ 2‬متر على أرضية‬ ‫‪........................‬‬ ‫‪ 2‬متر‬ ‫غرفة من الرخام أو السيراميك وسجل كرة بولينج‬ ‫‪........................‬‬ ‫‪ 2‬متر‬ ‫كرة طاولة‬ ‫االرتفاع الذى ترتد إليه كل كرة‪.‬‬ ‫‪........................‬‬ ‫‪ 2‬متر‬ ‫المالحظة واالستنتاج‪ :‬هل الحظت كرة صلصال‬ ‫أختالفًا فى االرتفاعات التى ترتد إليها‬ ‫الكرات المختلفة؟‬ ‫هل يمكنك ترتيب الكرات حسب مسافة االرتداد لكل منها ترتي ًبا تنازل ًيا؟‬ ‫يرجع اختالف مسافة االرتداد إلى عدة عوامل منها التغير فى كمية حركتها نتيجة‬ ‫تصادم الكرة باألرض‪.‬‬ ‫ابحث فى شبكة المعلومات الدولية عن كل من الدفع وكمية الحركة‪.‬‬ ‫كرة زجاجية‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫ الدفع ‬

‫‪Impulse‬‬

‫ كمية احلركة ‬

‫‪Momentum‬‬

‫ القوى الدفعية ‬ ‫‪Impulsive forces‬‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫ آلة حاسبة علمية‬

‫‪Scientific calculator‬‬

‫االرتفاع أقصى ارتداد‬ ‫‪ 2‬متر‬

‫‪........................‬‬

‫ا اً‬ ‫أول‪ :‬الدفع‬ ‫إذا أثرت قوة ‪ X‬ثابتة المقدار على جسم خالل فترة زمنية ن فإن دفع هذه القوة‪،‬‬ ‫ونرمز له بالرمز د يعرف بأنه حاصل ضرب متجه القوة فى زمن تأثيرها أى أن‪:‬‬ ‫د = ‪ X‬ن‬

‫‪216‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫عفدلا‬

‫‪3 3‬‬

‫يتضح من هذا التعريف أن الدفع د كمية متجهة لها نفس اتجاه متجه القوة ‪X‬‬

‫ويمكن كتابة العالقة بين القياس الجبرى للدفع د والقياس الجبرى للقوة ‪ X‬كاآلتى‪:‬‬ ‫د = ‪X‬ن‬

‫وحدات قيا�س مقدار الدفع‪:‬‬ ‫من تعريف الدفع نجد أن‪:‬‬ ‫وحدة قياس مقدار الدفع = وحدة قياس مقدار القوة * وحدة قياس الزمن‬ ‫أيضا أن يقاس بحاصل ضرب أى وحدة قوة‬ ‫ففى النظام الدولى للوحدات يقاس مقدار الدفع بوحدة نيوتن ‪ .‬ث ويمكن ً‬ ‫فى أى وحدة زمن‪.‬‬ ‫كما يمكن التعبير عن وحدات قياس مقدار الدفع بطريقة اخري بمالحظة أن‪:‬‬ ‫كجم‪.‬م‪/‬ث ‪ ،‬جم‪.‬سم‪/‬ث ‪... ،‬‬ ‫لذلك نجد أن‪ :‬إذا كانت الكتلة بالكيلو جرام و السرعة متر‪/‬ثانية فإن وحدة مقدار الدفع تكون كجم‪.‬م‪/‬ث وهى‬ ‫نفس الوحدة نيوتن‪.‬ث‬ ‫وعندما تكون الكتلة بالجرام والسرعة سم‪/‬ث فإن وحدة مقدار الدفع تكون جم‪.‬سم‪/‬ث وهى نفس الوحدة داين‪.‬ث‬ ‫مثال‬ ‫عىل تعريف الدفع‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 10‬ثانية ‪ ،‬أوجد دفع القوة على الجسم بوحدة نيوتن ‪ .‬ث‬ ‫‪ 1‬أثرت قوة مقدارها ‪ 25‬ث كجم على جسم لفترة زمنية قدرها‬ ‫الحل‬

‫الدفع = ‪ : X‬ن‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 24٫5 = 10‬نيوتن ‪ .‬ث‬ ‫= ‪* 9٫8 * 25‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 1‬أثرت قوة مقدارها ‪ 1210‬داين على جسم لفترة زمنية ‪ 5 - 10‬ثانية‪ ،‬أوجد دفع القوة على الجسم بوحدة نيوتن ‪ .‬ث‬ ‫مثال‬ ‫إيجاد مقدار الدفع‬ ‫‪ 2‬أثرت القوى ‪ + N 3 - M 4 = 1X‬ع ‪ 2 + M = 2X ،‬ع ‪ - N 4 = 3X ،‬ع على جسم‬ ‫لفترة زمنية قدرها ‪ 5‬ثوان ‪ ،‬أوجد مقدار دفع القوة إذا كان مقدار القوى يقاس بوحدة نيوتن‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪+ 2X + 1X = X‬‬ ‫= (‪ + N 3 - M 4‬ع ) ‪ 2 + M ( +‬ع ) ‪ - N 4( +‬ع )‬ ‫‪3X‬‬

‫= ‪2 + N + M5‬ع ‪،‬‬ ‫‪ a‬د = ‪* X‬ن‬ ‫= ‪ 2 + N + M 5( 5‬ع )‬ ‫(‪2)10( + 2)5( + 2)25‬‬ ‫مقدار الدفع =‬ ‫ = ‪ 30 5‬نيوتن ‪ .‬ث‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪217‬‬

‫عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف�� ‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 2‬أثرت القوى ‪ M 5 - N = 2X ، N 3 + M 2 = 1X‬على جسم لمدة ثانية واحدة‪ ،‬أوجد مقدار‬ ‫دفع القوة على الجسم إذا كان معيار القوة يقاس بوحدة نيوتن‪.‬‬

‫ثانياًا‪ :‬الدفع وكمية الحركة‬ ‫حيث أن دفع قوة ثابتة المقدار ‪ X‬على جسم لفترة زمنية ن يساوى ‪ X‬ن ومن القانون‬ ‫الثانى لنيوتن نجد أن ‪:‬‬ ‫الدفع = ك جـ ‪ :‬ن‬ ‫` الدفع = ك ( ع ‪ -‬ع‪):‬‬ ‫حيث ع‪ ،:‬ع هما القياسان الجبريان لمتجهى السرعة االبتدائية والسرعة بعد زمن ن‬ ‫على الترتيب أى أن الدفع يساوى التغير فى كمية الحركة‪.‬‬ ‫أما إذا كانت القوة متغيرة فإن الدفع يعطى بالتكامل اآلتى ‪:‬‬ ‫الدفع =‬

‫`‬

‫ن‬

‫‪0‬‬

‫ن‬

‫‪0‬‬ ‫ن‬ ‫‪0‬‬

‫ن‬

‫‪0‬‬

‫‪E X‬ن‬

‫‪E X‬ن‬ ‫‪E X‬ن‬

‫=‬ ‫‪0‬‬

‫ن‬

‫=ك‬

‫‪ a‬ع = ع‪ + :‬جـ ن‬ ‫` ع ‪-‬ع‪ = :‬جـ ن‬

‫ك جـ ‪E‬ن‬ ‫ن‬

‫‪0‬‬

‫تذكر اأن‬

‫ن‬

‫‪E‬ع‬ ‫)‪E‬ن‬ ‫(‬ ‫‪E‬ن‬

‫=ك‪E 0‬ع‬ ‫ن‬ ‫=ك[ع] ‪0‬‬

‫‪ EX 0‬ن = ك ( ع ‪ -‬ع‪):‬‬ ‫على وجه العموم الدفع يساوى التغير فى كمية الحركة‬ ‫‪X‬‬

‫‪5‬‬

‫القوة ثابتة المقدار‬

‫‪5 K‬‬

‫‪4‬‬

‫الدفع =‬

‫‪218‬‬

‫‪3‬‬ ‫ن‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫ن‪2‬‬

‫‪X‬‬

‫القوة متغيرة المقدار‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪EX‬ن‬ ‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪5 K‬‬

‫‪4‬‬

‫الدفع =‬

‫‪3‬‬ ‫ن‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫ن‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪EX‬ن‬ ‫كتاب الطالب‬

‫عفدلا‬

‫‪3 3‬‬

‫مثال‬ ‫الشكل المقابل يمثل منحنى القوة ‪ -‬الزمن حيث ‪ ( + 1 = X‬ن ‪ 2)2-‬أوجد ‪:‬‬ ‫أ دفع القوة ‪ X‬خالل الثوانى الثالث األولى ‪.‬‬ ‫ب دفع القوة ‪ X‬فى الثانية الخامسة‪.‬‬

‫الحل‬

‫حيث مقدار القوة ‪ X‬بالنيوتن ‪ ،‬الزمن ن بالثانية‬ ‫‪( + 1 = X‬ن ‪2 )2-‬‬ ‫‪ = X‬ن‪4 - 2‬ن ‪5 +‬‬ ‫أ الدفع خالل الثوانى الثالث األولى‬

‫=‪0‬‬ ‫=‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫= [‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫ن‬

‫‪EX‬ن‬

‫(ن‪4 - 2‬ن ‪ E )5+‬ن‬

‫ن‪2 - 3‬ن‪2‬‬

‫= ‪ 6‬نيوتن ‪ .‬ث‬

‫ب الدفع خالل الثانية الخامسة‬

‫=‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0 1 2 3 4 5‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪5 +‬ن]‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫ق‪E‬ن‬

‫= ‪( 5 4‬ن‪ 4 - 2‬ن ‪ E )5 +‬ن‬ ‫= [‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪22‬‬ ‫= ‪ 3‬نيوتن ‪ .‬ث‬

‫ن‪2 - 3‬ن‪ 5 + 2‬ن]‪5‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪4‬‬

‫الشكل المقابل يمثل منحنى القوة ‪ -‬الزمن أوجد مستخد ًما التكامل ‪.‬‬

‫أ دفع القوة ‪ X‬خالل الثانية األولى‬ ‫ب دفع القوة ‪ X‬خالل الثوانى الخمسة األولى حيث مقدار القوة ‪ X‬بالنيوتن ‪،‬‬ ‫الزمن ن بالثانية ‪.‬‬

‫ن‬

‫‪0 1 2 3 4 5‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫القوى الدفعية‬ ‫تغيرا‬ ‫القوى الدفعية هى قوة كبيرة جدا تؤثر لفترة زمنية صغيرة للغاية وتحدث ً‬ ‫تغيرا يذكر فى موضعه والحركة‬ ‫ً‬ ‫هائال فى كمية حركة الجسم دون أن تحدث ً‬ ‫الناتجة عند تأثير هذه القوى تسمى حركة دفعية كمثال على ذلك كرة البيسبول‬ ‫صغيرا للغاية مع أن متوسط‬ ‫عندما ُتضرب فإن زمن التالمس بين المضرب والكرة‬ ‫ً‬ ‫كبيرا بما يكفى ليغير كمية حركة الكرة دون تغير يذكر فى موضع الكرة‬ ‫القوة المؤثرة على الكرة كبير ً‬ ‫جدا ويكون الدفع ً‬ ‫عند تأثير قوة دفعية على جسم يكون ك ع ‪ . X + 1‬ن = ك ع‪ 2‬حيث ن فترة زمنية صغيرة للغاية‪.‬‬ ‫ك ع‪2‬‬

‫=‬

‫‪ :X‬ن‬

‫‪+‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫ك ع‪1‬‬

‫‪219‬‬

‫عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف�� ‬

‫مثال‬ ‫الدفع و كمية الحركة‬ ‫‪ 4‬جسم ساكن كتلته ‪ 4‬كجم موضوع على مستوى أفقى أملس ‪ ،‬أثرت عليه قوة أفقية مقدارها ‪ 5‬نيوتن لمدة‬ ‫‪ 8‬ثانية‪ .‬أوجد مقدار الدفع على الجسم ومقدار سرعة الجسم بعد ‪ 8‬ثانية‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪ a‬الدفع = ق ‪ .‬ن‬ ‫` الدفع = ‪ 40 = 8 * 5‬نيوتن ‪ .‬ث‬ ‫‪ a‬الدفع = التغير فى كمية الحركة‬ ‫‪ = 40‬ك (ع ‪ -‬ع‪).‬‬ ‫‪( 4 = 40‬ع ‪)0 -‬‬ ‫ع = ‪ 10‬م‪/‬ث‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 49‬ثانية‪ ،‬فغيرت سرعته من ‪3‬م‪/‬ث إلى ‪54‬كم‪/‬س فى‬ ‫‪ 4‬أثرت قوة ثابتة مقدارها ‪ X‬على جسم كتلته ك لمدة‬

‫اتجاه القوة‪ ،‬وكان دفع القوة يساوى ‪ 4٫8‬نيوتن‪ .‬ث فأوجد كتلة الجسم ومقدار القوة بثقل الكجم‪.‬‬

‫مثال‬ ‫التعبري عن الدفع و كمية الحركة باستخدام املتجهات‬ ‫‪ 5‬أثرت قوة ‪ N 7 + M 2 = X‬على جسم كتلته ‪ 5‬كجم لمدة ‪ 10‬ثانية عندما كان متجه سرعته‬ ‫ع = ‪ ، N 2 - M‬أوجد سرعته بعد تأثير القوة إذا كان مقدار القوة بوحدة نيوتن‪ ،‬السرعة بوحدة م‪/‬ث‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪ a‬الدفع = التغير فى كمية الحركة‬ ‫` ‪ : X‬ن = ك ( ع ‪ -‬ع‪) 0‬‬

‫` ‪ (5 = ) N 7 + M 2( 10‬ع ‪ -‬ع‪) 0‬‬

‫` ع ‪ -‬ع‪) N 7 + M 2( 2 = 0‬‬

‫`` ع = ‪N 2 - M + N 14 + M 4‬‬

‫`` ع = ‪N 12 + M 5‬‬

‫` ع = ‪) N 2 - M ( + ) N 7 + M 2( 2‬‬

‫` || ع || =‬

‫‪ 13 = 144 + 25‬م ‪ /‬ث‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 5‬جسم كتلته ‪ 3‬كجم يتحرك بسرعة ع = ‪ ، N 2 - M 5‬أثرت عليه قوة ثابتة لمدة زمنية ن وكان دفع القوة‬ ‫على الجسم يساوى ‪ ، N 9 + M 6‬أوجد سرعة الجسم بعد تأثير القوة إذا كانت السرعة بوحدة م‪/‬ث‪،‬‬ ‫مقدار الدفع بوحدة نيوتن ‪ .‬ث‪.‬‬

‫‪220‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫عفدلا‬

‫اتجاه الحركة‬

‫الحظ أن‬ ‫½ عند سقوط جسم وزنه «و» رأس ًيا على سطح األرض فإن‪:‬‬

‫‪S‬‬

‫‪+‬‬

‫ضغط الجسم على األرض = رد فعل األرض على الجسم = ‪ + X‬و‬

‫‪3 3‬‬

‫‪X‬‬ ‫و‬ ‫‪X‬‬

‫½ عند قذف جسم وزنه « و » رأس ًيا وأصطدامه بسقف حجرة فإن‪:‬‬

‫‪+‬‬

‫اتجاه الحركة‬

‫ضغط الجسم على السقف = رد فعل السقف على الجسم = ‪ - X‬و‬

‫½ عند قذف جسم وزنه « و » أفق ًيا وأصطدامه بحائط رأسى فإن‪:‬‬

‫‪+‬‬

‫‪S‬‬ ‫و‬

‫اتجاه الحركة‬

‫ضغط الجسم على الحائط = رد فعل الحائط على الجسم = ‪X‬‬

‫‪S‬‬

‫حيث ‪ X‬هو مقدار القوة الدفعية فى كل من الحاالت السابقة‬

‫‪X‬‬

‫و‬

‫مثال‬ ‫الحركة الرأسية‬ ‫‪ 6‬سقطت كرة من المطاط كتلتها ‪ 14‬كجم من ارتفاع ‪ 10‬متر عن سطح األرض فارتدت بعد اصطدامها باألرض‬ ‫إلى ارتفاع ‪ 2٫5‬متر ‪ ،‬أوجد الدفع الناتج عن تصادم الكرة على األرض وعين رد فعل األرض على الكرة إذا كان‬ ‫زمن تالمس الكرة مع األرض ‪1‬‬ ‫‪ 10‬ثانية‪.‬‬

‫الحل‬

‫دراسة مرحلة السقوط‬ ‫‪ a‬ع‪ = 2‬ع‪ E 2 + 2.‬ف‬ ‫` ع‪10 * 9٫8 * 2 + 0 = 21‬‬ ‫`ع‪ 14 = 1‬م ‪/‬ث‬ ‫وهى سرعة الكرة قبل مالمستها لألرض مباشرة‪.‬‬

‫الدفع = التغير فى كمية الحركة = ك (ع‪ - 2‬ع‪)1‬‬

‫دراسة مرحلة االرتداد‬ ‫‪ a‬ع‪ = 2‬ع‪ E2 + .2‬ف‬ ‫` ‪ = 0‬ع‪2٫5 * 9٫8 * 2 - 2 2‬‬ ‫` ع‪7 = 2‬م ‪ /‬ث‬ ‫` سرعة االرتداد = ‪7‬م ‪ /‬ث رأسيا إلى أعلى‬

‫= ‪5٫25 = ])14 - ( - 7[ 14‬كجم ‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ a‬الدفع = ‪ . X‬ن‬ ‫` ‪10 * X = 5٫25‬‬

‫ = ‪ 54٫95 = 9٫8 * 14 + 52٫5‬نيوتن‬

‫اتجاه الحركة‬

‫‪+‬‬

‫` ‪ 52٫5 = X‬نيوتن‬

‫رد فعل األرض على الكرة = القوة الدفعية ‪ +‬وزن الكرة‬

‫ع‪0 = 0‬‬ ‫ع=‪0‬‬ ‫‪E‬‬

‫= ‪9٫8 -‬م ‪/‬ت‪2‬‬

‫ف = ‪ 2٫5‬م‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫ع‪2‬‬

‫ف = ‪ 10‬م‬ ‫‪=E‬‬

‫‪9٫8‬م ‪/‬ت‪2‬‬

‫ع‪1‬‬

‫‪221‬‬

‫عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف�� ‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 6‬جسم كتلته ‪ 300‬جم قذف رأس ًيا ألعلى بسرعة ‪ 840‬سم‪/‬ث من نقطة تقع أسفل سقف حجرة بمقدار ‪ 110‬سم‬ ‫فاصطدم بالسقف وارتد إلى أرض الحجرة بعد ‪ 12‬ثانية من االرتداد‪ .‬أوجد دفع السقف للجسم عل ًما بأن ارتفاع‬ ‫السقف ‪ 272٫5‬سم ‪ ،‬وإذا كان زمن تالمس التالمس ‪1‬‬ ‫‪ 10‬ثانية فأوجد القوة الدفعية‪.‬‬

‫تفكير ناقد‪:‬‬

‫كرة من الصلصال كتلتها ‪1‬كجم سقطت من ارتفاع ‪40‬سم على ميزان ضغط وكان زمن الصدمة ‪ 17‬ثانية فأوجد‬ ‫قراءة الميزان عل ًما بأن الكرة لم ترتد بعد الصدمة‪.‬‬

‫مثال‬ ‫الحركة األفقية‬ ‫‪ 7‬كرة كتلتها ‪ 100‬جم تتحرك أفق ًيا بسرعة ‪9‬م ‪ /‬ث‪ .‬أصطدمت بحائط رأسى وارتدت بسرعة قدرها ‪ 7٫2‬كم‪ /‬س فإذا‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 10‬من الثانية فأوجد دفع الحائط للكرة ثم أوجد ضغط الكرة على الحائط‪.‬‬ ‫كان زمن تالمس الكرة مع الحائط‬ ‫الحل‬

‫باعتبار أن اتجاه األرتداد هو اإلتجاه الموجب للحركة‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2 = 18‬م‪/‬ث‬ ‫`ع‪9 - = 1‬م‪/‬ث ‪ ،‬ع‪* 7٫2 = 2‬‬ ‫‪ a‬د = ك (ع‪ - 2‬ع‪)1‬‬ ‫` د = ‪100‬‬ ‫‪0٫11 = ])9 - ( - 2 [ 1000‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ a‬د=‪*X‬ن‬ ‫` ‪10 * X = 0٫11‬‬

‫‪+‬‬ ‫` ‪ 1٫1 = X‬نيوتن‬

‫ع‪9 = 1‬م ‪ /‬ث‬

‫اتجاه الحركة‬ ‫ع‪ 7،2 = 2‬كم ‪ /‬س‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 7‬كرة تنس كتلتها ‪40‬جم تتحرك أفق ًيا بسرعة ‪ 50‬سم ‪ /‬ث أصطدمت بالمضرب فارتدت فى االتجاه المضاد‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 49‬من‬ ‫بسرعة ‪110‬سم‪/‬ث ‪ .‬أوجد مقدار دفع المضرب على الكرة‪ .‬وإذا كان زمن تماس الكرة مع المضرب‬ ‫الثانية فما مقدار قوة دفع المضرب على الكرة؟‬

‫تمــــاريــن ‪1 - 3‬‬

‫اأول ‪ :‬اأختر الإجابة ال�صحيحة من بين الإجابات المعطاة‪:‬‬

‫‪ 1‬إذا أثرت قوة مقدارها ‪ 16‬ث كجم على جسم لمدة ربع ثانية فإن مقدار دفع القوة على الجسم بوحدة نيوتن ‪ .‬ث تساوى‪.‬‬ ‫د ‪64‬‬ ‫ج ‪49‬‬ ‫ب ‪32‬‬ ‫أ ‪4‬‬ ‫‪ 2‬إن كان مقدار دفع قوة ‪ X‬على جسم لمدة ‪ 4 - 10‬ثانية يساوى ‪ 10‬نيوتن ‪ .‬ث فإن مقدار ‪ X‬يساوى‪:‬‬ ‫د ‪ 510‬نيوتن‬ ‫ج ‪ 310‬نيوتن‬ ‫ب ‪ 510‬داين‬ ‫أ ‪ 3 10‬داين‬

‫إذا أثرت القوتان ‪ 7 + N 5 + M = 1X‬ع ‪ 2 - N - M 2 = 2X ،‬ع على جسم لفترة زمنية‬ ‫قدرها ‪ 2‬ثانية فإن مقدار دفع القوى بوحدة نيوتن ‪ .‬ثانية يساوى‪:‬‬ ‫د ‪2 100‬‬ ‫ج ‪2 50‬‬ ‫ب ‪2 10‬‬ ‫أ ‪2 5‬‬

‫‪222‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫عفدلا‬

‫ج ‪20‬‬

‫د ‪50‬‬

‫‪ K‬بالثانية‬

‫‪0 1 2 3 4 5 6 7‬‬

‫‪ X‬بالنيوتن‬

‫‪ 4‬إذا أثرت قوة ثانية المقدار على جسم لفترة زمنية كما هو معطى‬ ‫فى الشكل فإن مقدار الدفع بوحدة نيوتن ‪ .‬ثانية تساوى‪.‬‬ ‫ب ‪12‬‬ ‫أ ‪8‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3 3‬‬

‫‪ 5‬إذا أثرت قوة مقدارها ‪ 90‬نيوتن على جسم كتلته ‪10‬كجم لمدة ‪ 5‬ثوان ‪ ،‬فإن مقدار التغير فى سرعة الجسم فى‬ ‫اتجاه القوة نفسه يساوى‪.‬‬ ‫د ‪ 120‬م‪/‬ث‬ ‫ج ‪90‬م‪/‬ث‬ ‫ب ‪50‬م‪/‬ث‬ ‫أ ‪45‬م‪/‬ث‬

‫ج ‪3000‬‬

‫ثانيا ‪ :‬اجب عن الأ�صئلة الآتية ‪:‬‬

‫د ‪4000‬‬

‫‪ X‬بالنيوتن‬

‫‪ 6‬جسم كتلته ‪ 20‬كجم موضوع على مستوى أفقى أملس فإذا‬ ‫تحرك هذا الجسم تحت تأثير قوة اتجاهها ثابت ويتغير‬ ‫مقدارها مع الزمن كما هو موضح بالشكل فإن مقدار الدفع‬ ‫لهذه القوة بعد ‪ 40‬ثانية بوحدة نيوتن‪ ،‬ثانية يساوى‪:‬‬ ‫ب ‪2000‬‬ ‫أ ‪1000‬‬

‫‪100‬‬

‫‪ K‬بالثانية‬

‫‪40‬‬

‫‪30‬‬

‫‪20‬‬

‫‪10‬‬

‫‪ 7‬أطلقت رصاصة كتلتها ‪20‬جم من بندقية أفقيا‪ ،‬فإذا إستمر مسارها داخل البندقية لمدة ‪ 0٫5‬ثانية وكان مقدار‬ ‫قوة دفع البندقية عليها ‪ 20‬نيوتن أوجد سرعة خروج الرصاصة من فوهة البندقية‪.‬‬ ‫‪ 8‬مدفع سريع الطلقات يطلق الرصاصات رأسيا ألعلى ‪،‬كتلة الواحدة منها ‪500‬جم فإذا كان متوسط قوة دفع الغاز فى‬ ‫إسطوانة المدفع على الرصاصة هو ‪ 250‬نيوتن وتؤثر على الرصاصة لمدة ‪ 0٫2‬ثانية حتى لحظة خروج الرصاصة‬ ‫من فوهة المدفع احسب زمن وصول الرصاصة إلى أقصى ارتفاع مستخدما العالقة بين الدفع وكمية الحركة‪.‬‬ ‫‪ 9‬سقطت كرة من المطاط كتلتها ‪20‬جم من إرتفاع ‪ 6٫4‬متر من سطح األرض فارتدت رأس ًيا إلى أعلى فإذا كان‬ ‫متوسط القوة التى تبذلها األرض على الكرة ‪ 410 * 182‬داين وأن زمن تالمس الكرة باألرض ‪ 0٫02‬من الثانية‬ ‫فأوجد‪.‬‬ ‫ب أقصى إرتفاع وصلت إليه الكرة بعد إرتدادها‬ ‫أ مقدار دفع األرض للكرة‬

‫‪ 10‬تتحرك كرة ملساء كتلتها ‪ 200‬جرام فى خط مستقيم على أرض أفقية ملساء بسرعة ‪10‬م‪/‬ث فإذا إصطدمت‬ ‫الكرة بحائط رأسى أملس وارتدت بسرعة ‪4‬م‪/‬ث أوجد‪:‬‬ ‫أ مقدار دفع الحائط على الكرة‬ ‫ب مقدار قوة دفع الحائط للكرة إذا كان زمن تالمس الكرة على الحائط ‪ 0٫05‬من الثانية‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪22‬‬

‫عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف�� ‬

‫‪ 11‬عربة سكة حديد كتلتها ‪ 10‬طن تسير بسرعة ‪ 18‬كم‪/‬س صدمت حاجز األصطدام وارتدت بسرعة‬ ‫‪ 9‬كم‪ /‬س أوجد مقدار دفع الحاجز للعربة‪.‬‬ ‫‪ 12‬عربة ساكنة كتلتها ‪1‬طن دفعت فى اتجاه حركتها بقوة ‪ 200‬ث كجم لمدة ‪ 5‬ثوان ثم تركت العربة وشأنها‬ ‫فعادت إلى حالة السكون مرة أخرى بعد ‪ 15‬ثانية أوجد مقدار المقاومة بفرض ثبوتها فى الحالتين وكذلك‬ ‫أقصى سرعة وصلتها العربة مستخدما العالقة بين الدفع وكمية الحركة‪.‬‬ ‫‪ 1‬قذفت كرة كتلتها ‪ 1‬كجم رأسيا ألعلى وباتجاه سقف يرتفع عن نقطة القذف مسافة ‪ 360‬سم بسرعة مقدارها‬ ‫‪ 14‬م ‪ /‬ث فإذا إصطدمت الكرة بالسقف وارتدت بسرعة ‪ 10‬م‪/‬ث أوجد مقدار قوة دفع السقف على الكرة إذا‬ ‫كان زمن تالمس الكرة مع السقف‪ 0٫02‬من الثانية‪.‬‬

‫‪ 14‬مدفع سريع الطلقات يطلق ‪ 600‬رصاصة فى الدقيقة ‪ .‬كتلة كل واحدة منها ‪ 39٫2‬جرام بسرعة ‪1260‬كم‪/‬س‬ ‫إحسب قوة رد الفعل المؤثر على المدفع بثقل الكيلو جرام‪.‬‬ ‫‪ 15‬كرة كتلتها ‪ 1500‬جرام سقطت من إرتفاع ‪ 2٫5‬متر على سطح سائل لزج فغاصت فيه بسرعة منتظمة وقطعت‬ ‫مسافة ‪ 70‬سم فى ‪ 0٫2‬من الثانية احسب مقدار دفع السائل على الكرة‪.‬‬

‫‪ 16‬أثرت القوى ‪ + M 3 = 2X ، N - M C = 1X‬ب ‪ N 2 + M C = 3X ، N‬على جسم لمدة‬ ‫‪ 12‬ثانية وكان دفع هذه القوى على الجسم يعطى بالعالقة د = ‪ N 4 + M 2‬أوجد قيمة ‪ ، C‬ب‪.‬‬ ‫‪ 17‬جسم كتلته ‪20‬جم سقط من ارتفاع ‪ 40‬سم عن سطح بركة من الماء فغاص فى الماء وقطع مسافة ‪ 210‬سم‬ ‫خالل ثانية واحدة بعجلة ‪2٫1‬م ‪ /‬ث‪ 2‬أوجد مقدار دفع الماء على الجسم‪.‬‬

‫‪224‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫التصادم‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫‪Collision‬‬

‫‪2-3‬‬

‫مقدمة ‪:‬‬ ‫يعتبر تصادم األجسام تطبي ًقا عمل ًيا لكمية الحركة‪ ،‬فحين يتصادم جسمان فى غياب سوف تتعلم‬ ‫أى مؤثر خارجى‪ ،‬فإن كل جسم سيغير كمية حركة الجسم اآلخر وطبقا لقانون نيوتن‬ ‫الثالث فإن القوتين متساويتان فى المقدار ومتضادتان فى األتجاه ونتيجة لتصادمهما‬ ‫فإن التغير فى حركة الجسمين يبقى ثاب ًتا وهذا ما يعرف بقانون الحفاظ على كمية‬ ‫الحركة‪ .‬وبأعتبار أن التصادم لحظ ًيا «أى أنه استغرق وقتًا متناه ًيا فى الصغر» فإن دفع‬ ‫الجسم األول على الثانى يكون مساو ًيا فى المقدار ومضاد فى االتجاه لدفع الجسم‬ ‫الثانى على األول‪.‬‬ ‫صورا عديدة للتصادم منها التصادم المرن واآلخر غير المرن‪.‬‬ ‫وهناك‬ ‫ً‬

‫اأو اً‬ ‫ل‪ :‬الت�صادم المرن‬ ‫إذا لم يحدث تشوه أو توليد حرارة نتيجة تصادم جسمين (لم يحدث فقد فى طاقة‬ ‫فمثال عندما تصطدم كرة بلياردو متحركة بكرة المصطلحات األساسية‬ ‫الحركة) ‪ ،‬يقال أن هذا التصادم مرن‪ً ،‬‬ ‫ساكنة لها الكتلة نفسها نجد أن الكرة األولى تصبح ساكنة فى حين تتحرك الكرة‬ ‫الثانية بسرعة ابتدائية تساوى سرعة الكرة األولى االبتدائية من هذا المثال ‪ ،‬نالحظ‬ ‫أن كمية الحركة قد أنتقلت كل ًيا من الكرة األولى إلى الكرة الثانية‪.‬‬ ‫‪Elastic Collision‬‬

‫ت�صادم الكرات المل�صاء‪:‬‬ ‫يالحظ أنه خالل عملية التصادم بين األجسام ‪ ،‬أن المجموع األتجاهى لكميات‬ ‫الحركة قبل التصادم وبعده ‪ ،‬يكون متساو ًيا‪.‬‬

‫‪Collision smooth balls‬‬

‫بعد التصادم‬

‫التصادم‬

‫قبل التصادم‬

‫(أ)‬ ‫(ب)‬ ‫(جـ)‬

‫فى الشكل المقابل‪:‬‬ ‫باعتبار أن كتلة الكرة األولى ك‪ 1‬وكتلة الثانية ك‪ 2‬وأن د هو‬ ‫دفع الكرة األولى على الثانية فيكون ‪ -‬د هو دفع الكرة الثانية‬ ‫على األولى‪.‬‬

‫الكرة‬ ‫الثانية‬

‫الكرة‬ ‫األولى‬

‫د‬

‫‪-‬د‬

‫ك‪1‬‬

‫األدوات المستخدمة‬ ‫ آله حاسبة علمية‪.‬‬

‫ برامج رسومية للحاسب‪.‬‬

‫ك‪1‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪225‬‬

‫عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف�� ‬

‫ونفرض أن ع‪ ، 1‬ع‪ 2‬هما متجها سرعة الكرتين قبل التصادم مباشرة ‪،‬‬ ‫التصادم مباشرة‪.‬‬ ‫بالنسبة للكرة األولى‪:‬‬ ‫‪ a‬التغير فى كمية حركة الكرة = الدفع المؤثر عليها‬ ‫` ك ‪ 1‬ع‪ - 1 /‬ك ‪ 1‬ع ‪ - = 1‬د‬

‫‪ a‬المتجهين ع‪ - ، 1‬د يوازيان خط المركزين‬

‫` المتجه ع‪ 1/‬يوازى خط المركزين أيضا‪.‬‬

‫` ك ‪ 2‬ع‪ - 2 /‬ك ‪ 2‬ع ‪ = 2‬د‬

‫‪ a‬المتجهين ع‪ ، 2/‬د يوازيان خط المركزين‬

‫ع‪1‬‬ ‫‪/‬‬

‫اأ�صف اإلى معلوماتك‬ ‫التصادم المباشر تكون فيه‬ ‫السرعتان قبل التصادم مباشرة‬ ‫توازيان خط المركزين عند‬ ‫لحظة التصادم‪.‬‬

‫(‪)1‬‬

‫(ألن التصادم مباشر)‬ ‫ع‪1‬‬

‫بالنسبة للكرة الثانية‪:‬‬

‫‪ a‬التغير فى كمية حركة الكرة = الدفع المؤثر عليها‬

‫‪ ،‬ع‪ 2/‬هما متجها سرعة الكرتين بعد‬

‫(‪)2‬‬

‫‪+‬‬

‫ى‬

‫ع‪2‬‬

‫ك‪1‬‬

‫ع‬

‫(ألن التصادم مباشر)‬

‫قبل التصادم مباشرة‬ ‫ك‪2‬‬

‫‪/‬‬

‫بعد التصادم مباشرة‬ ‫ع‬

‫‪/‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫ك‪2‬‬

‫ك‪1‬‬

‫` المتجه ع‪ 2/‬يوازى خط المركزين أيضا ‪ ،‬بجمع (‪: )2( ، )1‬‬ ‫`‬

‫(ك‪ 1‬ع ‪1‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪ -‬ك‪ 1‬ع‪+ ) 1‬‬

‫(ك‪ 2‬ع ‪2‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪ -‬ك‪ 2‬ع‪0 = ) 2‬‬

‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫` ك‪ 1‬ع ‪ + 1‬ك‪ 2‬ع ‪ = 2‬ك‪ 1‬ع‪ + 1‬ك‪ 2‬ع‪2‬‬ ‫أى أن‪ :‬مجموع كميتى الحركة بعد التصادم مباشرة = مجموع كميتى الحركة قبل التصادم مباشرة وبالتالى فإنه إذا‬ ‫تصادمت كرتان ملساوان فإن مجموع كميتى حركتهما ال يتغير نتيجة للتصادم‪.‬‬

‫ا�صتخدام القيا�صات الجبرية‪:‬‬ ‫يمكن استخدام القياسات الجبرية لمتجهات السرعة والدفع وعلى ذلك فإنه يمكن إعادة صياغة العالقات الثالث‬ ‫السابقة على النحو اآلتى‪:‬‬ ‫ك‪1‬ع‪ - 1/‬ك‪ 1‬ع‪ - = 1‬د‬ ‫ك ‪ 2‬ع‪ - 2 /‬ك ‪ 2‬ع ‪ = 2‬د‬ ‫ك ‪ 1‬ع‪ + 1 /‬ك ‪ 2‬ع‪= 2 /‬‬

‫ك‪ 1‬ع‪ + 1‬ك‪ 2‬ع‪2‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 1‬تتحرك كرتان ملساوان كتلة كل منهما ‪ 200‬جم فى خط مستقيم على مستو أفقى أملس األولى بسرعة‬ ‫‪ 4‬متر ‪ /‬ث والثانية بسرعة ‪ 6‬متر‪/‬ث فى نفس اتجاه األولى فإذا تصادمت الكرتان فعين سرعة كل منهما بعد‬ ‫التصادم مباشرة علما بأن مقدار دفع الكرة الثانية على األولى يساوى ‪ 410 * 5‬داين ‪ .‬ثانية‪.‬‬

‫‪226‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫عف�� ‬ ‫الحل‬

‫الكرة األولى‬

‫‪3 3‬‬

‫الكرة الثانية‬

‫نتخذ متجه وحدة ثابت ى فى اتجاه السرعتين قبل‬ ‫التصادم مباشرة ونعتبره االتجاه الموجب‪.‬‬ ‫قبل‬ ‫‪ 200‬جم‬ ‫‪ 200‬جم‬ ‫التصادم‬ ‫‪ a ،‬دفع الكرة الثانية على الكرة األولى يكون فى ‪ +‬ى‬ ‫االتجاه الموجب‪.‬‬ ‫ع‪ 6 = 2‬متر‪/‬ث‬ ‫ع‪ 4 = 1‬متر‪/‬ث‬ ‫` د = ‪ 410 * 5‬داين ‪ .‬ث‬ ‫‪ ،‬دفع الكرة األولى على الثانية يكون فى االتجاه السالب‪.‬‬ ‫عند‬ ‫` د = ‪ 410 * 5 -‬داين‪.‬ث‬ ‫التصادم‬ ‫د‬‫د‬ ‫بالنسبة للكرة األولى‪:‬‬ ‫` ‪ ( 200 = 410 * 5‬ع‪)400 - 1/‬‬ ‫‪ a‬د = ك‪ ( 1‬ع‪ - 1/‬ع‪)1‬‬ ‫` ع‪ 650 = 1/‬سم‪/‬ث = ‪ 6٫5‬متر‪/‬ث‬ ‫` ‪ = 250‬ع‪400 - 1/‬‬ ‫بالنسبة للكرة الثانية‪:‬‬ ‫` ‪( 200 = 410 * 5 -‬ع‪)600 - 2/‬‬ ‫‪ a‬د = ك‪ ( 2‬ع‪ - 2/‬ع‪)2‬‬ ‫` ع‪ 350 = 2/‬سم‪/‬ث = ‪ 3٫5‬متر‪/‬ث‬ ‫` ‪ = 250 -‬ع‪600 - 2/‬‬ ‫أى أن الكرتين تتحركان بعد التصادم فى نفس اتجاههما ‪ :‬األولى بسرعة ‪ 6٫5‬متر‪/‬ث والثانية بسرعة ‪3٫5‬متر‪/‬ث‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 1‬تتحرك كرتان ملساوان كتلة كل منهما ‪200‬جم فى خط مستقيم واحد على أرض أفقية األولى بسرعة ‪ 5‬متر‪/‬ث‬ ‫والثانية بسرعة ‪ 9‬متر‪/‬ث فى نفس اتجاه األولى‪ .‬فإذا تصادمت الكرتان فعين سرعة كل منهما بعد التصادم‬ ‫مباشرة علما بأن مقد ار دفع الكرة الثانية على األولى يساوى ‪ 510 * 0٫6‬داين ‪ .‬ث‬ ‫مثال‬ ‫(تصادم الكرات)‬ ‫‪ 2‬كرتان كتلتاهما ‪ 100‬جرام ‪ 50 ،‬جرام تتحركان فى خط مستقيم أفقى واحد فى اتجاهين متضادين‪ .‬تصادمت‬ ‫الكرتان عندما كانت سرعة الكرة األولى مقدارها ‪50‬سم‪/‬ث وسرعة الكرة الثانية مقدارها ‪30‬سم‪/‬ث فإذا‬ ‫إرتدت الكرة الثانية عقب التصادم مباشرة بسرعة ‪40‬سم‪/‬ث أوجد مقدار واتجاه سرعة الكرة الثانية بعد‬ ‫التصادم مباشرة ومقدار دفع أى من الكرتين على اآلخرى‪.‬‬ ‫ى‬ ‫الحل‬

‫أوال‪:‬‬ ‫نعتبر أن أتجاه سرعة الكرة األولى قبل التصادم فى اتجاه متجه الوحدة ى‬ ‫‪ a‬مجموع كميتى الحركة قبل التصادم = مجموع كميتى الحركة بعد التصادم‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫` ك‪ 1‬ع‪ + 1‬ك‪ 2‬ع‪ = 2‬ك‪ 1‬ع ‪ + 1‬ك‪ 2‬ع ‪2‬‬ ‫‪ 100 = 30 * 50 - 50 * 100‬ع‪40 * 50 + 1/‬‬

‫ع‪ 15 = 1/‬سم‪/‬ث فى اتجاه متجه الوحدة ى نفسه‬

‫‪ 50‬سم‪/‬ث‬

‫قبل‬ ‫التصادم‬ ‫لحظة‬ ‫التصادم‬ ‫بعد‬ ‫التصادم‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪+‬‬

‫‪ 30‬سم‪/‬ث‬

‫‪ 100‬جم‬

‫‪ 50‬جم‬

‫‪ 40‬سم‪/‬ث‬ ‫‪ 100‬جم‬

‫‪ 50‬جم‬

‫‪227‬‬

‫عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف�� ‬

‫ثان ًيا‪:‬‬ ‫نوجد دفع الكرة األولى على الكرة الثانية‬ ‫دفع الكرة األولى على الكرة الثانية = التغير فى كمية حركة الكرة الثانية‬ ‫د = ك ( ع‪ - 2 /‬ع ‪)2‬‬ ‫د = ‪ 3500 = ))300( - 40( 50‬جم‪ .‬سم‪/‬ث‬ ‫ثان اًيا‪ :‬الت�صادم غير المرن‪:‬‬ ‫يقصد بالتصادم غير المرن ‪ ،‬أن يحدث تشوه أو تتولد حرارة أو تلتحم األجسام ‪ ،‬نتيجة لعملية التصادم (يحدث فقد‬ ‫فى طاقة الحركة)‪.‬‬ ‫وبالرغم من كل هذا فإن كمية الحركة قبل التصادم وبعده‪ ،‬تبقى كما هى دون تغير‪.‬‬ ‫وتكون معادلة األحتفاظ بكمية الحركة على الصورة‪ ( :‬فى حالة إلتحام الكتلتين)‬

‫‪Inelastic collision‬‬

‫ك‪ 1‬ع‪ + 1‬ك‪ 2‬ع‪( = 2‬ك‪+ 1‬‬

‫ك ‪ )2‬ع ‪2‬‬

‫(باستخدام المتجهات)‬

‫(باستخدام القياسات الجبرية)‬ ‫ك‪ 1‬ع‪ + 1‬ك‪ 2‬ع‪( = 2‬ك‪ + 1‬ك‪ )2‬ع‬ ‫ومن األمثلة العملية للتصادم غير المرن تصادم عربات القطار وتصادم المطرقة التى تسقط على وتد يستعمل فى‬ ‫حفر األساس عند البناء‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫تصادم عربات القطار‬ ‫عربة قطار كتلتها ‪ 10‬طن تسير بسرعة ‪ 20‬م‪/‬ث إصطدمت بعربة قطار أخرى ساكنة كتلتها ‪10‬طن فإذا سارت‬ ‫العربتان بعد التصادم مباشرة كجسم واحد إحسب سرعتهما المشتركة حينئذ‬

‫الحل‬

‫نفرض أن كتلة العربة المتحركة ك‪1‬‬

‫‪10000‬كجم وسرعتها ع‪1‬‬

‫ساكنة‬

‫ع‪ 20 = 1‬متر‪/‬ث‬

‫‪ 10‬طن‬

‫فيكون ك‪ 10 = 1‬طن =‬ ‫حيث ‪ :‬ع‪ 20 = 1‬م‪/‬ث‬ ‫وكتلة العربة الساكنة ك‪2‬‬ ‫ك‪ 10 = 2‬طن = ‪ 10000‬كجم وسرعتها ع‪ = 2‬صفر‪.‬‬ ‫نعتبر أن اتجاه سرعة الجسم األول قبل التصادم موجبا وأن السرعة المشتركة للجسمين بعد التصادم مباشرة ع‬ ‫‪ a‬مجموع كميتى الحركة قبل التصادم = مجموع كميتى الحركة بعد التصادم‬ ‫ك‪ 1‬ع‪ + 1‬ك‪ 2‬ع‪( = 2‬ك‪ + 1‬ك‪ )2‬ع‬ ‫‪ * 10000 + 20 * 10000‬صفر = (‪ * )10000 + 10000‬ع‬ ‫` ع = ‪10‬م‪/‬ث فى إتجاه حركة العربة األولى نفسه‬ ‫‪20000 = 200000‬ع‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 2‬عربة قطار كتلتها ‪ 6‬طن تسير بسرعة ‪ 25‬م‪/‬ث إصطدمت بعربة قطار أخرى ساكنة كتلتها ‪ 3‬طن فإذا سارت‬ ‫العربتان بعد التصادم مباشرة كجسم واحد إحسب سرعتها المشتركة حينئذ‪.‬‬

‫‪228‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫عف�� ‬

‫‪3 3‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 4‬تسقط مطرقة من الحديد كتلتها ‪210‬كجم من إرتفاع ‪90‬سم على عمود من أعمدة األساس كتلته ‪140‬كجم‬ ‫فتدفعه فى األرض مسافة ‪ 18‬سم فإذا تحركت المطرقة والعمود كجسم واحد بعد التصادم مباشرة أوجد‬ ‫السرعة المشتركة لهما ثم أوجد بثقل الكيلو جرام متوسط مقاومة األرض بفرض أنها ثابتة‪.‬‬ ‫الحل‬

‫أوال‪ :‬سرعة وصول المطرقة لعمود األساس‬ ‫ع‪ = 2‬ع‪ E 2 + 02‬ف‬ ‫ع‪0٫9 * 9٫8 * 2 = 2‬‬ ‫ع = ‪ 4٫2‬م‪/‬ث‬

‫ثانيا‪ :‬لحظة التصادم‬ ‫ك‪ 1‬ع‪ + 1‬ك‪ 2‬ع‪( = 2‬ك‪ + 1‬ك‪ )2‬ع‬ ‫‪ * 140 + 4٫2 * 210‬صفر = ‪ 350‬ع‬ ‫` ع = ‪ 2٫52‬م‪/‬ث‬

‫المطرقة‬ ‫‪ 90‬سم‬ ‫عمود‬ ‫االساس‬ ‫‪ 18‬سم‬

‫سطح‬ ‫األرض‬

‫ثالثا‪ :‬بعد التصادم‬ ‫الجسمان يكونان جسما واحدا يتحرك بعجلة جـ مسافة ‪0٫18‬م سرعته األبتدائيةع‪ 2٫52 = /‬م‪/‬ث ‪ ،‬سرعته‬ ‫ع‪ = 2‬ع‪ 2 + 02‬جـ ف ` صفر = (‪ * 2 + 2)2٫52‬جـ * ‪0٫18‬‬ ‫النهائية = صفر‬ ‫جـ = ‪ 17٫64 -‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫اليجاد متوسط مقاومة األرض‪:‬‬ ‫(ك‪ + 1‬ك‪ - E )2‬م = ك جـ‬ ‫‪ - 9٫8 * 350‬م = ‪17٫64- * 350‬‬ ‫م = ‪17٫64 * 350 + 9٫8 * 350‬‬ ‫` م = ‪ 980‬ث كجم‬ ‫` م = ‪ 9604‬نيوتن‬

‫حاول أن تحل‬

‫تسقط مطرقة من الحديد كتلتهما ‪ 2٫1‬طن من إرتفاع ‪ 1٫6‬متر على عمود من أعمدة األساس كتلته ‪350‬كجم‬ ‫فتدفعه فى األرض مسافة ‪ 12‬سم فإذا تحركت المطرقة والعمود بعد التصادم كجسم واحد رأس ًيا إلى أسفل‬ ‫أحسب مقدار السرعة المشتركة لهما بعد التصادم ثم إحسب مقدار مقاومة األرض بفرض أنها ثابتة‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪229‬‬

‫عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف�� ‬

‫اأو ًل‪ :‬اأكمل‪:‬‬

‫تمــــاريــن ‪2 - 3‬‬

‫‪ 1‬إذا أثرت قوة ‪ X‬على جسم ثابت الكتلة خالل فترة زمنية ن فإن دفع هذه القوة يساوى‬

‫‪.....................‬‬

‫‪ 2‬إذا أثرت قوة ثابتة على جسم لفترة زمنية متناهية فى الصغر فإن التغير فى كمية حركة الجسم خالل هذه الفترة‬ ‫يساوى ‪.....................‬‬ ‫إذا قيست الكتلة بالكيلو جرام ومقدار السرعة بالمتر ‪/‬ثانية فإن وحدة مقدار الدفع تقاس بـ ‪ .....................‬أو‬

‫‪.....................‬‬

‫‪ 4‬إذا تصادمت كرتان ملساوان وكانت سرعتاهما قبل التصادم مباشرة توازيان خط المركزين عند لحظة التصادم‬ ‫فإن هذا التصادم يسمى ‪.....................‬‬ ‫‪ 5‬إذا تصادمت كرتان ملساوان فإن مجموع كميتى حركتهما قبل التصادم يساوى‬

‫‪.....................‬‬

‫ثانيًا‪ :‬اأختر الإجابة ال�صححية من بين الإجابات المعطاة‪:‬‬ ‫‪ 6‬مقدار الدفع بوحدة (داين ‪.‬ث) الذى تؤثر به قوة على جسم كتلته ‪20‬جم لتغير سرعته من ‪10‬سم‪/‬ث إلى‬ ‫‪18‬سم‪/‬ث فى نفس االتجاه يساوى ‪:‬‬ ‫د ‪560‬‬ ‫ج ‪280‬‬ ‫ب ‪160‬‬ ‫أ ‪80‬‬ ‫‪ 7‬إذا أثرت قوة مقادرها ‪ 8‬نيوتن على جسم ساكن كتلته ‪ 4‬كيلو جرام‪ ،‬فإن السرعة التى يكتسبها الجسم فى نهاية‬ ‫‪ 5‬ثوان من بدأ الحركة يساوى‪:‬‬ ‫د ‪ 40‬م‪/‬ث‬ ‫ج ‪20‬م‪/‬ث‬ ‫ب ‪ 10‬م‪/‬ث‬ ‫أ ‪ 6٫4‬م‪/‬ث‬ ‫‪ 8‬إذا أثرت قوة على جسم كتلته ‪ 700‬جم فغيرت سرعته من ‪ 30‬سم ‪/‬ث إلى ‪ 65‬سم‪/‬ث فى نفس االتجاه وكان‬ ‫زمن تأثيرها ‪ 10‬ثوان فإن مقدار هذه القوة بوحدة ثقل الجرام تساوى ‪:‬‬ ‫د ‪2445‬‬ ‫ج ‪1225‬‬ ‫ب ‪25‬‬ ‫أ ‪2٫5‬‬ ‫‪ 9‬جسم كتلته ‪400‬جم‪ ،‬إثرت عليه قوة فغيرت سرعته من ‪25‬سم‪/‬ث إلى ‪55‬سم ‪/‬ث فى نفس االتجاه أوجد مقدار‬ ‫دفع هذه القوة‪.‬‬ ‫‪ 10‬أثرت قوة على جسم كتلته ‪ 150‬جم يتحرك بسرعة ‪20‬سم‪/‬ث فغيرت اتجاه حركته إلى ‪10‬سم‪/‬ث فى عكس‬ ‫اتجاه حركته األولى ‪ .‬أوجد مقدار دفع هذه القوة على الجسم‪.‬‬ ‫‪ 11‬سقطت كرة كتلتها ‪800‬جم من ارتفاع ‪ 2٫5‬متر على سطح سائل لزج فغاصت فيه بسرعة منتظمة مقدارها‬ ‫‪2‬م‪/‬ث‪ .‬أحسب دفع السائل على الكرة‪.‬‬

‫‪2 0‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫عف�� ‬

‫‪3 3‬‬

‫‪ 12‬تتحرك كرة ملساء كتلتها ‪300‬جم فى خط مستقيم على أرض أفقية بسرعة ‪8‬م‪/‬ث فإذا اصطدمت هذه الكرة‬ ‫بحائط رأسى أملس وارتدت بسرعة ‪5‬م ‪ /‬ث‪ .‬أوجد مقدار دفع الحائط على الكرة ‪ ،‬وإذا كان زمن التالمس‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 20‬من الثانية‪ .‬فما مقدار قوة دفع الحائط للكرة‪.‬‬ ‫الكرة مع الحائط‬ ‫‪ 1‬تتحرك كرتان كتلتاهما ‪ 30‬جرام‪ 90 ،‬جرام فى خط مستقيم على نضد أفقى وفى إتجاهين متضادتين فاصطدمت‬ ‫الكرتان عندما كانت سرعتاهما ‪50‬سم‪/‬ث ‪ ،‬ع سم‪/‬ث على الترتيب وكونا جسما واحدا تحرك بعد التصادم‬ ‫مباشرة بسرعة ‪10‬سم‪/‬ث فى اتجاه الكرة الكبرى احسب مقدار ع واذا كانت مقاومة الحركة للجسم الجديد‬ ‫هى ‪ 300‬داين أوجد المسافة التى يقطعها قبل أن يسكن‬

‫‪ 14‬سقطت مطرقة كتلتها طن واحد من إرتفاع ‪ 4٫9‬متر رأسيا على عمود من أعمدة األساس كتلته ‪400‬كجم‬ ‫فدكته رأسيا فى األرض مسافة ‪10‬سم فاذا تحركت المطرقة والعمود كجسم واحد بعد التصادم مباشرة أوجد‬ ‫سرعتهما المشتركة ثم أوجد مقاومة األرض بفرض ثبوتها بثقل الكيلوجرام‪.‬‬ ‫‪ 15‬إصطدمت كرتان تتحركان فى خط مستقيم أفقى فى إتجاهين متضادين األولى كتلتها ‪5‬كجم وسرعتها ‪40‬سم‪/‬ث‬ ‫والثانية كتلتها ‪6‬كجم وسرعتها ‪50‬سم‪/‬ث فإذا تحركت الكرة األولى فى عكس إتجاه حركتها بسرعة ‪20‬سم‪/‬ث‬ ‫فأثبت أن الكرة الثانية تسكن بعد التصادم مباشرة وما مقدار دفع الكرة الثانية على الكرة األولى‪.‬‬ ‫‪ 16‬كرتان ملساوتان كتلة األولى ‪ 50‬جرام وكتلة الثانية ‪40‬جرام وإزاحة األولى ف‪300 = 1‬ن ‪ M‬وإزاحة‬ ‫جسما‬ ‫الثانية ف‪150 - = 2‬ن ‪ M‬حيث ف مقيسة بالسنتيمتر والزمن بالثانية فإذا تصادمت الكرتان وكونتا‬ ‫ً‬ ‫واحدا عقب التصادم مباشرة احسب السرعة المشتركة لهذا الجسم ثم إحسب قوة التضاغط بين الكرتين إذا‬ ‫كان زمن التصادم ‪ 16‬من الثانية‪.‬‬

‫‪ 17‬تتحرك كرة صغيرة كتلتها ‪30‬جرام فى خط مستقيم بسرعة منتظمة مقدارها ‪ 13‬م‪/‬ث وبعد ‪ 4‬ثوان من مرورها‬ ‫بموضع معين تحركت كرة أخرى كتلتها ‪10‬جرام من هذا الموضع وفى نفس إتجاه حركة الكرة األولى بسرعة‬ ‫إبتدائية ‪4‬م‪/‬ث وبعجلة ‪2‬م‪/‬ث‪ 2‬فإذا كونتا جسما واحدا بعد التصادم مباشرة إحسب السرعة المشتركة للجسم‬ ‫واذا القى هذا الجسم مقاومة ثابتة على المستوى األفقى مقدارها ‪ 4‬ثقل جرام احسب متى يسكن هذا الجسم؟‬ ‫‪ 18‬جسم كتلته ‪ 1‬كجم موضوع على سطح أفقى أملس أثرت عليه قوة مقدارها ‪ 8‬نيوتن لمدة ‪ 12‬ثانية وأثناء إنقطاع‬ ‫تأثير القوة إصطدم هذا الجسم بجسم آخر ساكن كتلته ‪ 2‬كجم فإذا إرتد الجسم األول بسرعة ‪2‬م‪/‬ث أوجد‬ ‫سرعة الجسم الثانى بعد التصادم مباشرة‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪2 1‬‬

‫عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف�� ‬

‫‪ 1‬الدفع‪:‬‬

‫إذا أثرت قوة ‪ X‬على جسم ثابت الكتلة خالل فترة زمنية ن فإن دفع هذه القوة‪،‬‬ ‫ونرمز له بالرمز د يعرف بأنه حاصل ضرب متجه القوة فى زمن تأثيرها أى أن‪ :‬د = ‪ X‬ن‬ ‫‪ 2‬وحدات قياس مقدار الدفع‪:‬‬

‫وحدة قياس مقدار الدفع = وحدة قياس مقدار القوة * وحدة قياس الزمن‬ ‫أيضا أن يقاس بأى وحدة قوة فى وحدة زمن‪.‬‬ ‫ففى النظام الدولى للوحدات يقاس مقدار الدفع بوحدة نيوتن ‪ .‬ث ويمكن ً‬ ‫الدفع وكمية الحركة ‪ :‬الدفع = التغير فى كمية الحركة أى أن ‪ * X‬ن = ك ( ع‪ - 2‬ع‪)1‬‬ ‫منحنى القوة ‪ -‬الزمن‪:‬‬ ‫ن‪2‬‬ ‫يمكن تمثيل الدفع بالمساحة أسفل منحنى القوة ‪ -‬الزمن ويتحدد بالعالقة الدفع = ن ق ‪ E‬ن‬ ‫‪1‬‬

‫‪ 3‬القوى الدفعية‬

‫هائال فى كمية حركة الجسم دون‬ ‫تغيرا ً‬ ‫القوى الدفعية هى قوة كبيرة جدا تؤثر لفترة زمنية صغيرة للغاية وتحدث ً‬ ‫تغيرا يذكر فى موضعه والحركة الناتجة عند تأثير هذه القوى تسمى حركة دفعية كمثال على ذلك كرة‬ ‫أن تحدث ً‬ ‫صغير للغاية مع أن متوسط القوة المؤثرة على الكرة‬ ‫البيسبول عندما ُتضرب فإن زمن التالمس بين المضرب والكرة‬ ‫ً‬ ‫كبيرا بما يكفى ليغير كمية حركة الكرة دون تغير يذكر فى موضع الكرة ‪.‬‬ ‫كبير ً‬ ‫جدا ويكون الدفع ً‬ ‫‪ 4‬التصادم المرن ‪:‬‬

‫اليحدث تشوه أو توليد حرارة نتيجة أصطدام جسمين واليحدث فقد فى طاقة الحركة‬ ‫ك ‪ 1‬ع‪ + 1 /‬ك ‪ 2‬ع‪ = 1 /‬ك ‪ 1‬ع ‪+ 1‬‬

‫ك‪ 2‬ع‪1‬‬

‫أى أن‪ :‬مجموع كميتى الحركة بعد التصادم مباشرة = مجموع كميتى الحركة قبل التصادم مباشرة وبالتالى فإنه إذا‬ ‫تصادمت كرتان ملساوان فإن مجموع كميتى حركتهما ال يتغير نتيجة للتصادم‪.‬‬ ‫ويمكن استخدام القياسات الجبرية علي النحو اآلتى ‪:‬‬ ‫ك‪ 1‬ع‪ + 1‬ك‪ 2‬ع‪2‬‬

‫ك ‪ 1‬ع‪ + 1 /‬ك ‪ 2‬ع‪= 2 /‬‬ ‫ك‪1‬ع‪ - 1/‬ك‪1‬ع‪ - = 1‬د ك‪ 2‬ع‪ - 2‬ك‪ 2‬ع‪ = 2‬د‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫حيث د القياس الجبرى لدفع الكرة الثابتة على األولى ع‪ ، 1‬ع‪ 2‬القياس الجبرى للسرعة قبل التصادمع ‪، 1‬ع ‪2‬‬ ‫السرعة بعد التصادم‪.‬‬ ‫التصادم المباشر ‪ :‬تكون فيه السرعتان قبل التصادم مباشرة توازيان خط المركزين لحظة التصادم‪.‬‬ ‫‪ 5‬التصادم غير المرن‪Inelastic collision :‬‬

‫يقصد بالتصادم غير المرن ‪ ،‬أن يحدث تشوه أو تتولد حرارة أو تلتحم األجسام ‪ ،‬نتيجة لعملية التصادم ويحدث فقد‬ ‫فى طاقة الحركة ويكون‪:‬‬

‫ك‪ 1‬ع‪ + 1‬ك‪ 2‬ع‪( = 2‬ك‪ + 1‬ك‪ )2‬ع‬

‫‪2 2‬‬

‫(باستخدام المتجهات) (حالة اإللتحام)‬ ‫(باستخدام القياسات الجبرية)‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫اأول ‪:‬‬

‫كال من الدفع وكمية الحركة واذكر العالقة بينهما‬ ‫‪ 1‬عرف ً‬

‫كال من التصادم المرن والتصادم غير المرن وأعط ً‬ ‫مثاال لكل منهما‪.‬‬ ‫‪ 2‬عرف ً‬

‫وضح كيف يمكن بواسطة استخدام مفهوم كمية الحركة‪ ،‬األقالل من حوادث المرور‪.‬‬

‫ثانيا‪ :‬اأختر الإجابة ال�صحيحة من بين الإجابات المعطاة‬

‫‪ 4‬إذا قيست الكتلة بالكيلواجرام والسرعة بالمتر‪/‬ث فإن وحدة قياس الدفع تكون ‪:‬‬ ‫د نيوتن‪ .‬متر‪/‬ث‪.‬‬ ‫ج داين‪.‬ث‬ ‫ب نيوتن‪.‬ث‬ ‫أ كيلو جرام‪.‬ث‬ ‫‪ 5‬الدفع هو‪:‬‬

‫أ التغير فى القوة المؤثرة على الجسم‬ ‫ج التغير فى سرعة الجسم‬

‫كال من‪:‬‬ ‫‪ُ 6‬تعرف كمية الحركة بأنها حاصل ضرب ً‬ ‫أ كتلة الجسم وسرعته‬ ‫ج كتلة الجسم وزمن تأثير القوة‬

‫ب فترة تأثير القوة على الجسم‪.‬‬ ‫د التغير فى كمية حركة الجسم‪.‬‬ ‫ب كتلة الجسم وعجلة حركته‬ ‫د كتلة الجسم والمسافة التى قطعها‪.‬‬

‫‪ 7‬إذا أثرت قوة على جسم كتلته ‪300‬جم‪ ،‬فغيرت سرعته من ‪20‬سم‪/‬ث إلى ‪45‬سم‪/‬ث فى نفس اإلتجاه‬ ‫فإن مقدار دفع هذه القوة بالجسم جم ‪ .‬سم ‪/‬ث يساوى‪:‬‬ ‫د ‪610 * 2٫94‬‬ ‫ج ‪510 * 2٫7‬‬ ‫ب ‪310 * 7٫5‬‬ ‫أ ‪210 * 7٫5‬‬ ‫مباشرا بحائط رأسى فأثر‬ ‫‪ 8‬اصطدمت كرة كتلتها ‪ 300‬جم ومتحركة على أرض أفقية بسرعة ‪60‬سم‪/‬ث تصاد ًما‬ ‫ً‬ ‫عليها بدفع مقداره ‪ 48000‬داين ‪ .‬ث فما سرعة ارتداد الكرة من الحائط بوحدة سم‪/‬ث؟‬ ‫د ‪500‬‬ ‫ج ‪220‬‬ ‫ب ‪120‬‬ ‫أ ‪100‬‬ ‫‪ 9‬إذا أثرت القوتان ‪ N 2 + M 3 = 2X ، N 14 - M 2 = 1X‬وكل من ‪ 2X ، 1X‬بوحدة النيوتن‬ ‫على جسم لفترة زمنية مقدارها ‪ 12‬ثانية فإن مقدار دفع القوى بوحدة نيوتن ‪ .‬ثانية يساوى‪:‬‬ ‫د ‪13‬‬ ‫ج ‪9‬‬ ‫ب ‪71‬‬ ‫أ ‪61‬‬ ‫‪2‬‬

‫ثال ًثا ‪ :‬اأجب عن الأ�صئلة الآتية‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 10‬كرة من المطاط كتلتها ‪500‬جم تتحرك أفقيا فى خط مستقيم اصطدمت بحائط رأسى وارتدت بسرعة‬ ‫‪150‬سم‪/‬ث على نفس المستقيم فإذا كان متوسط القوة بينها وبين الحائط ‪10‬ث كجم وزمن التالمس بينهما‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 50‬ثانية فأوجد سرعة الكرة قبل لحظة اصطدامها بالحائط مباشرة‪.‬‬ ‫‪ 11‬سقطت كرة من المطاط كتلتها ‪ 200‬جم من ارتفاع ‪ 3٫6‬مترا عن سطح األرض فارتدت بعد الصدمة إلى ارتفاع‬ ‫‪ 2٫5‬مترا‪ .‬أوجد مقاومة األرض للكرة بثقل الكيلو جرام إذا علم أن زمن الصدمة باألرض ‪ 17‬ثانية‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪2‬‬

‫عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف�� ‬

‫‪ 12‬سقطت كرة من المطاط كتلتها ‪ 1‬كيلو جرام من ارتفاع ‪4٫9‬متر‬ ‫على سطح أرض أفقية صلبة فارتدت إلى أقصى ارتفاع لها وهو ‪ 2٫5‬متر‬ ‫احسب مقدار التغير فى كمية حركتها نتيجة اصطدامها باألرض ‪ ،‬ثم أوجد مقدار‬ ‫رد فعل األرض على الكرة بالنيوتن إذا كان زمن تالمسها باألرض‪ 0٫1‬ثانية‪.‬‬

‫‪ 1‬كرة كتلتها ‪400‬جم تتحرك بسرعة ‪70‬سم‪/‬ث ‪ ،‬صدمت كرة أخرى ساكنة كتلتها ‪800‬جم‪ ،‬فبدأت تتحرك‬ ‫عقب الصدمة مباشرة بسرعة ‪35‬سم‪/‬ث فى نفس اتجاه حركة األولى‪ .‬أثبت أن الكرة األولى تسكن عقب‬ ‫الصدمة ‪ ،‬ثم أوجد قوة الصدمة على أى من الكرتين مقدرة بثقل الجرام إذا كان زمن الصدمة ‪ 17‬ثانية‬

‫‪ 14‬كرتان كتلتاهما ‪100‬جم‪ 50 ،‬جم تتحركان فى خط مستقيم أفقى فى اتجاهين متضادين‪ ،‬تصادمت الكرتان‬ ‫عندما كانت سرعة الكرة األولى مقدارها ‪50‬سم‪/‬ث وسرعة الكرة الثانية مقدارها ‪30‬سم‪/.‬ث‪ ،‬فإذا ارتدت‬ ‫الكرة الثانية عقب التصادم مباشرة بسرعة مقدارها ‪40‬سم‪/‬ث‪ .‬أوجد مقدار واتجاه سرعة الكرة األولى عقب‬ ‫التصادم مباشرة‪ ،‬ثم أوجد مقدار دفع أى من الكرتين لألخرى‪.‬‬ ‫‪ 15‬أطلقت رصاصة كتلتها ‪ 20‬جم بسرعة أفقية مقدارها ‪50٫5‬م‪/‬ث على قطعة خشبية كتلتها ‪2‬كجم موضوعة‬ ‫واحدا أوجد سرعة هذا لجسم بعد التصادم مباشرة‪ ،‬وإذا أرتد‬ ‫جسما‬ ‫على نضد أفقى فاستقرت فيها وكونتا‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫هذا الجسم بسرعة ‪2‬سم‪/‬ث بعد اصطدامه بحاجز ثابت على النضد وعمودى على اتجاه الحركة فاوجد دفع‬ ‫الحاجز على الجسم علما بأن المقاومة الكلية تساوى ‪ 1٫01‬نيوتن وأن الحاجز يبعد ‪24‬سم عن موضع القطعة‬ ‫الخشبية قبل إطالق الرصاصة‪.‬‬ ‫‪ 16‬تسقط مطرقة من الحديد كتلتها ‪ 210‬كجم من ارتفاع ‪ 90‬سم على عمود من أعمدة األساس كتلته ‪140‬كجم‬ ‫فتدفعه فى األرض مسافة ‪18‬سم‪ ،‬فإذا تحركت المطرقة والعمود كجسم واحد بعد التصادم مباشرة فأوجد‬ ‫السرعة المشتركة لهما ثم أوجد بثقل الكيلو جرام متوسط مقاومة األرض بفرض أنها ثابتة‪.‬‬ ‫‪ 17‬يتحرك جسم ‪ C‬كتلته ‪ 10‬جم رأسيا إلى أسفل ‪ ،‬صدم جسم آخر ب كتلته ‪ 4‬جم متحرك رأسيا إلى أعلى عندما‬ ‫كانت سرعة ‪ C‬هى ‪200‬سم‪/‬ث وسرعة ب هى ‪800‬سم‪/‬ث‪ ،‬فارتد الجسم ب رأسيا إلى أسفل بسرعة ‪100‬سم‪/‬ث‬ ‫بينما ارتد ‪ C‬رأسيا إلى أعلى وبعد ‪ 17‬ثانية اصطدم الجسم ‪ C‬بجسم آخر جـ كتلته ‪100‬جم متحرك رأسيا إلى أسفل‬ ‫بسرعة ‪13‬سم‪/‬ث وكونا جسما واحدا‪ .‬أوجد السرعة المشتركة للجسمين ‪ ، C‬جـ بعد التصادم‪.‬‬ ‫‪ C 18‬ب خط أكبر ميل لمستوى مائل أملس طوله ‪ 9٫8‬متر يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ C ،c30‬هى أعلى نقطة‬ ‫فى المستوى ‪ ،‬ب أسفل نقطة فيه‪ .‬وضعت كرة ملساء عند ‪ C‬كتلتها ‪ 700‬جم لتتحرك من سكون على ‪ C‬ب‬ ‫فاصطدمت بحاجز رأسى عمودى أملس عند ب فأثر عليها بدفع مقدارها ‪ 11٫76‬نيوتن‪ .‬ثانية فارتدت الكرة‪.‬‬ ‫احسب أقصى مسافة تصعدها الكرة على ب ‪. C‬‬ ‫لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى‬

‫‪2 4‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪www.sec3mathematics.com.eg‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪ 1‬إذا قذفت جسم رأس ًيا إلى أعلى بسرعة ‪49‬م‪/‬ث‪.‬‬ ‫أوجد زمن وصوله إلى أقصى أرتفاع والمسافة التى وصل اليها‪.‬‬

‫‪ 2‬تتحرك سيارة على طريق مستقيم بسرعة ‪75‬كم‪/‬س‪ .‬فإذا تحركت على الطريق نفسه دراجة بخارية بسرعة‬ ‫‪35‬كم‪/‬س‪ .‬أوجد السرعة النسبية للدراجة بالنسبة للسيارة فى كل من الحالتين‪.‬‬ ‫ثانيا‪ :‬الدراجة تتحرك عكس إتجاه حركة السيارة‪.‬‬ ‫أوال‪ :‬الدراجة تتحرك فى اتجاه السيارة نفسه‬ ‫قطع راكب دراجة ‪30‬كم على طريق مستقيم بسرعة ‪18‬كم‪/‬س ثم عاد على نفس الطريق فقطع ‪20‬كم فى‬ ‫األتجاه المضاد بسرعة ‪15‬كم‪/‬س ‪ .‬أوجد متجه سرعته المتوسطة خالل الرحلة كلها‪.‬‬

‫‪ 4‬تحرك جسيم من السكون بعجلة منتظمة فى اتجاه ثابت فبلغت سرعته ‪36‬كم‪/‬س فى نهاية ‪20‬ثانية‪ .‬أوجد‬ ‫مقدار عجلته بالمتر ‪ /‬ث‪.2‬‬ ‫‪ 5‬إذا كان متجه موضع جسيم يعطى كدالة فى الزمن بالعالقة ‪ :‬ر = (ن‪ )2 + 3‬ى ‪ .‬فأوجد متجهات اإلزاحة‬ ‫والسرعة والعجلة ثم أثبت أن الحركة تكون متسارعة عند أى لحظة زمنية ن > ‪ 0‬متى يكون معيار العجلة‬ ‫مساو ًيا ‪ 12‬وحدة؟‬ ‫‪ 6‬قذف جسيم رأس ًيا إلى أعلى بسرعة ع‪ . 0‬أكتب القانون الذى يعطى سرعته بداللة الزمن ثم استنتج أن معدل‬ ‫تغير كمية حركته بالنسبة للزمن هو متجه ثابت وأوجد معياره‪.‬‬

‫‪ 7‬يتحرك جسيم كتلته الوحدة تحت تأثير القوتين‪ + M 2 = 2X ، N + M C = 1X :‬ب ‪N‬‬ ‫حيث ‪ N ، M‬متجها الوحدة األساسيان‪ ، C ،‬ب ثابتان ‪ ،‬فإذا علم أن متجه إزاحة الجسيم كدالة فى الزمن‬

‫هو ‪ :‬ف = ‪( + M‬ن‪ + 2‬ن) ‪ N‬فأوجد الثابتين ‪ ، C‬ب‪.‬‬

‫صاعدا بعجلة‬ ‫‪ 8‬مصعد بقاعدته ميزان ضغط وقف رجل على الميزان فسجل ‪75‬ث كجم عندما كان المصعد‬ ‫ً‬ ‫منتظمة مقدارها جـ‪ .‬وسجل الميزان ‪60‬ث كجم عندما كان المصعد هابطًا بعجلة منتظمة مقدارها ‪2‬جـ‪ .‬أوجد‬ ‫مقدار كل من العجلة جـ ‪ ،‬كتلة الرجل‪.‬‬

‫‪ 9‬علق جسمان كتلتاهما ‪ 120 ، 125‬جم على الترتيب من طرفى خيط يمر على بكرة صغيرة ملساء ‪ .‬عين عجلة‬ ‫المجموعة والضغط على محور البكرة ‪ ،‬وإذا بدأت المجموعة الحركة من سكون والجسمان فى مستوى أفقى‬ ‫واحد‪ ،‬فما المسافة الرأسية بينهما بعد مرور ثانية واحدة من بدء الحركة؟‬

‫‪ 10‬مستوى مائل خشن طوله ‪ 4٫5‬متر وارتفاعه ‪2٫7‬متر وضع جسم عند قمة المستوى وبدأ الجسم الحركة من‬ ‫السكون‪ .‬أحسب سرعة الجسم عند وصوله إلى قاعدة المستوى والزمن الالزم لذلك حيث معامل األحتكاك = ‪. 12‬‬

‫‪ 11‬سيارة ‪ C‬كتلتها ‪ 4‬طن تتحرك بسرعة منتظمة مقدارها ‪ 5‬م‪/‬ث فى خط مستقيم على مستوى أفقى أملس صدمت‬ ‫سيارة أخرى ب ساكنة كتلتها ‪ 3‬طن وبعد التصادم مباشرة كانت سرعة السيارة ب بالنسبة للسيارة ‪ C‬هى ‪2‬م‪/‬ث‪.‬‬ ‫أوجد مقدار السرعة الفعلية لكل من السيارتين بعد التصادم‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪2 5‬‬

‫الشغل ‪ ،‬القدرة ‪ ،‬الطاقة‬ ‫‪Work , Power & Energy‬‬

‫الوحدة‬

‫‪4‬‬

‫مقدمة الوحدة‬ ‫فى دراستنا للوحدات السابقة وجدنا أنه عندما تؤثر محصلة عدة قوى على جسم فإنه يتحرك بشكل أو بآخر‪ ،‬وإذا تساءلنا اآلن ما الفائدة من‬ ‫حركة وتحريك األجسام؟ تأتى اإلجابة فى شقين؛ أولهما أن اإلنسان بفضوله الدائم يسعى لتفسير الظواهر الطبيعية وأسبابها وما ينتج عنها‪.‬‬ ‫وثانيها أن اإلنسان يريد األستفادة مما أنعم الله عليه وسخره لنا‪ ،‬فهو يريد سيارة تنقله من مكان آلخر ومصابيح كهربائية إلنارة المدن والقرى‬ ‫وغير ذلك‪ ،‬وبالطبع فإن كل ذلك لن يتحقق ما لم نعرف كيف نتحكم باألشياء ونستفيد من حركاتها سوا ًء أكانت أجهزة كهربائية والكترونية أو‬ ‫وسائل مواصالت مختلفة أو أجسام كونية تسبب دوران األرض وتعاقب الليل والنهار‪.‬‬ ‫لذلك سوف ندرس فى هذه الوحدة حركة األجسام فنتعرف على الشغل وكيف نستفيد من تحريك األجسام ثم نتعرف على طاقة الحركة وطاقة‬ ‫الوضع ثم نربط بين هذه الكميات القياسية (غير المتجهة) وحدات قياسها المختلفة والعالقة بينها ونتعرف بعد ذلك على القوى التى تحافظ‬ ‫ً‬ ‫وصوال لمبدأ الشغل والطاقة ثم نتعرف على أبسط اآلالت التى استخدمها األنسان ونقارن بينها بحساب‬ ‫على الطاقة وتلك التى ال تحافظ عليها‬ ‫القدرة الناتجة عن كل واحدة ومردوداتها المختلفة فى الحياة اليومية‪.‬‬

‫أهداف الوحدة‬ ‫بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن‪:‬‬

‫ يتعرف الشغل المبذول بواسطة قوة ووحدات قياس الشغل‪.‬‬ ‫ يتعرف مفهوم القدرة ووحدات قياسها‪.‬‬

‫ يتعرف طاقة حركة الجسيم ووحدات قياسها‪.‬‬ ‫ يتعرف مبدأ الشغل والطاقة‪.‬‬

‫ يتعرف طاقة الوضع ووحدات قياسها وتطبيقاتها‪.‬‬

‫‪236‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪ Ñ‬الشغل‬

‫‪ Ñ‬قوة ثابتة‬

‫‪ Ñ‬كمية قياسية‬ ‫‪ Ñ‬متجه إزاحة‬

‫‪ Ñ‬متجه موضع‬

‫‪ Ñ‬جول‬

‫‪Work‬‬ ‫‪Constant force‬‬ ‫‪Scalar quantaty‬‬ ‫‪Displacement vector‬‬ ‫‪Position vector‬‬

‫‪ Ñ‬قوة متغيرة‬

‫‪Variable force‬‬

‫‪ Ñ‬إرج‬

‫‪the work – energy principle‬‬

‫‪Erg‬‬

‫‪ Ñ‬طاقة الحركة‬

‫‪Kinetic energy‬‬

‫‪ Ñ‬طاقة لوضع‬

‫‪potential energy‬‬

‫‪ Ñ‬التغير في طاقة الوضع‬

‫‪Joule‬‬

‫‪ Ñ‬مبدأ الشغل والطاقة‬ ‫‪ Ñ‬ثبات الطاقة‬ ‫‪ Ñ‬القدرة‬

‫‪ Ñ‬قوة الحصان‬

‫‪Power‬‬ ‫‪Horse power‬‬

‫‪change in potential energy‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫دروس الوحدة‬ ‫(‪ :)1- 4‬الشغل‬

‫آلة حاسبة علمية ‪.‬‬

‫(‪ :)2- 4‬طاقة الحركة‬ ‫(‪ :)3- 4‬طاقة الوضع‬ ‫(‪ :)4- 4‬القدرة‬

‫مخطط تنظيمى للوحدة‬

‫الشغل والقدرة والطاقة‬

‫الشغل‬

‫مبدأ الشغل والطاقة‬ ‫طاقة الحركة‬

‫القدرة‬

‫الطاقة‬ ‫طاقة الوضع‬

‫وحدات القياس‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪237‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫‪1-4‬‬

‫الشغل‬ ‫‪Work‬‬

‫مقدمة‪:‬‬ ‫إن مفهوم الشغل من األمور الهامة فى علم الكيناتيكا (‪ )Kinetic‬ألنه يعتمد على مفاهيم‬ ‫القوة التى وضعها نيوتن فى القوانين الثالثة‪ ،‬ويجدر بالذكر أن الشغل والطاقة كميات‬ ‫خصوصا‬ ‫قياسية وبالتالى فإن التعامل معها سيكون أسهل من استخدام قوانين نيوتن للحركة‬ ‫ً‬ ‫متغيرا كذلك‪.‬‬ ‫متغيرا وبالتالى فإن متجه العجلة سيكون‬ ‫عندما يكون متجه القوة‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫وفى هذا الدرس سوف نوضح مفهوم الشغل الذى هو حلقة الوصل ما بين القوة والطاقة‪.‬‬ ‫والشغل قد يكون ناتجا من قوة ثابتة ‪ Constant force‬أو من قوة متغيرة ‪. Varying force‬‬ ‫كال من النوعين فى هذا الدرس‪.‬‬ ‫وسوف ندرس ً‬

‫سوف تتعلم‬

‫ الشغل املبذول من قوة‬ ‫ثابتة‪.‬‬

‫ بعض احلاالت املختلفة‬ ‫ملتجهى القوة واإلزاحة‪.‬‬ ‫ وحدات قياس الشغل‪.‬‬ ‫ الشغل املبذول من قوة‬ ‫متغرية‪.‬‬

‫ا اً‬ ‫أول‪ :‬ال�شغل المبذول من قوة ثابتة‪:‬‬ ‫باعتبار أن جسما يتحرك فى خط مستقيم تحت تأثير‬ ‫قوة ثابتة ‪ X‬وأنه أنتقل من الموضع ‪ C‬إلى الموضع ب‬ ‫وكان متجه إزاحته ‪ C‬ب = ف كما فى شكل (‪)1‬‬

‫‪Work done by a constant force‬‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫ الشغل‬

‫‪Work‬‬

‫ قوى ثابتة‬

‫‪Constant force‬‬

‫ كمية قياسية‬

‫‪Scalar quantaty‬‬

‫ب‬

‫ف‬

‫‪C‬‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫تعريف‬

‫ متجه إزاحة‬

‫‪Displacement vector‬‬

‫ متجه موضع‬

‫‪X‬‬

‫‪Position vector‬‬

‫ جول‬

‫‪Joule‬‬

‫ إرج‬

‫‪Erg‬‬

‫يعرف الشغل المبذول بواسطة القوة الثابتة ‪ X‬فى تحريك جسم من موضع‬ ‫إبتدائى إلى موضع نهائى ويرمز له بالرمز (ش) على أنه يساوى حاصل الضرب‬ ‫القياسى لمتجه القوة فى متجه اإلزاحة بين الموضعين‬ ‫ش= ‪ : X‬ف‬

‫يتضح إذاً أن الشغل هو كمية قياسية قد تكون موجبة أو سالبة أو مساوية للصفر‬ ‫تبعا التجاه ومقدار كل من المتجهين ‪ ، X‬ف‬ ‫مثال‬ ‫األدوات المستخدمة‬

‫ آلة حاسبة علمية‬

‫‪Scientific calculator‬‬

‫تحرك جسيم على خط مستقيم تحت تأثير القوة ‪ N 8 + M 6 = X‬من‬ ‫النقطة ‪ )4- ، 3 ( C‬إلى النقطة ب (‪ )2 ، 7‬إحسب الشغل المبذول بواسطة هذه القوة‪.‬‬

‫الحل‬

‫متجه األزاحة ف = ‪ C‬ب = ب ‪-‬‬

‫ ف = ‪N 6 + M 4‬‬

‫‪238‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪C‬‬

‫= (‪) N 4 - M 3( - ) N 2 + M 7‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫�� ‬

‫‪4 4‬‬

‫نطبق تعريف الشغل مع مالحظة أن القوة المعطاة ثابتة‬ ‫ش = ‪ :X‬ف‬

‫ش = (‪ 72 = 6 * 8 + 4 * 6 = ) N 6+ M 4( : ) N 8 + M 6‬وحدة قياس شغل‬ ‫حاول أن تحل‬

‫تحرك جسم على خط مستقيم تحت تأثير القوة ‪ N 2 + M 5 = X‬من النقطة ‪ )2 ،5( C‬إلى النقطة ب (‪)1 ، 3‬‬ ‫إحسب الشغل المبذول بواسطة هذه القوة‬

‫بع�ض الحالت المختلفة لمتجهى القوة والإزاحة‬

‫وحيث أنه يمكن إعادة كتابة معادلة تعريف الشغل ش = ‪ : X‬ف بصورة أخرى وهى‬ ‫ش =|| ‪ || || X‬ف || جتا هـ حيث هـ قياس أصغر زاوية بين متجه القوة ‪ X‬ومتجه اإلزاحة ف باعتبارهما‬ ‫خارجين من نقطة واحدة‪.‬‬ ‫ٍ‬ ‫مواز إلتجاه األزاحة أى أن ق ( هـ ) = صفر عندئذ يصبح الشغل‬ ‫أ إذا كانت القوة ثابتة وإتجاهها‬ ‫ش =|| ‪ || || X‬ف || جتا صفر =|| ‪ || || X‬ف ||‬ ‫ويكتب‪:‬‬

‫ش=‪*X‬ف‬

‫وشكل (‪ )2‬يوضح ذلك‬

‫ف‬ ‫‪X‬‬

‫‪X‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫ب إذا كانت القوة ثابتة وإتجاهها يميل على اتجاه األزاحة بزاوية قياسها أقل من ‪ 90‬عندئذ يصبح الشغل‬ ‫ش =|| ‪ || || X‬ف || جتا هـ‬

‫ويكون الشغل فى هذه الحالة يساوى المركبة األفقية للقوة ‪ X‬مضرو ًبا فى المسافة ف‪.‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ X‬جتا هـ‬

‫‪X‬‬

‫هـ‬

‫‪ X‬جتا هـ‬

‫هـ‬

‫هـ‬ ‫ف‬

‫‪X‬‬

‫شكل (‪)3‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫هـ‬ ‫ف‬

‫‪239‬‬

‫�� ‬

‫ج إذا كانت القوة ثابتة وإتجاهها عمودى على إتجاه األزاحة أى أن ‪( X‬هـ) = ‪ c90‬عندئذ يصبح الشغل‬ ‫ش =|| ‪ || || X‬ف || جتا ‪ = 90‬صفر‬ ‫وشكل (‪ )4‬يوضح ذلك‪.‬‬

‫و‬

‫فالسيارة المتحركة افقي ًا وزنها ال يقوم بأى شغل في مسار الحركة‬

‫د اذا كانت القوة ثابتة وإتجاهها يميل على إتجاه األزاحة بزاوية قياسها أكبر من ‪ c 90‬عندئذ يصبح الشغل‬ ‫ش =|| ‪ || || X‬ف || جتا (‪ - 180‬هـ)‬

‫ويكون الشغل سالبا ويسمى مقاو ًما ومثال ذلك الشغل الذى تبذله قوة المقاومة أو قوة األحتكاك‪.‬‬ ‫مثال‬

‫تحرك جسيم على خط مستقيم تحت تأثير القوة ‪ N 3 - M 5 = X‬من النقطة ‪ )0 ،1( C‬إلى النقطة‬ ‫ب (‪ )3 ،3‬حيث ينسب التحليل إلى مجموعة محاور ديكارتية متعامدة وس ‪ ،‬وص ‪ .‬عين الشغل المبذول‬

‫الحل‬

‫يبين شكل (‪ )5‬موضع كل من النقطتين ‪ ، C‬ب بالنسبة للمحاور‪.‬‬ ‫لحساب متجه اإلزاحة ف ‪:‬‬ ‫ف = وب ‪-‬‬

‫`‬

‫و‪C‬‬

‫ف = (‪N )0 - 3( + M )1 - 3‬‬

‫‪ a‬ش‬

‫=‪N 3+ M 2‬‬

‫= ‪: X‬ف‬

‫= (‪) N 3 + M 2(:) N 3- M 5‬‬

‫ب‬

‫ف‬

‫(قاعدة طرح المتجهات)‬ ‫س‬

‫(تعريف الشغل)‬

‫‪C1 2 3‬‬

‫ص‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫= ‪ 1 = )3( * )3-( + 2 * 5‬وحدة قياس شغل‪.‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 2‬يتحرك جسيم تحت تأثير القوتين ‪ N + M 5 = 2X ، N 3 - M 2 = 1X‬من النقطة ‪ )1 ،2( C‬إلى النقطة‬ ‫ب (‪ )0 ،3‬حيث ‪ N ، M‬متجها الوحدة األساسية‪ .‬احسب الشغل المبذول‪.‬‬

‫تفكير ناقد‪:‬‬

‫أثبت أنه إذا حدث للجسم إزاحتان متتاليتان تحت تأثير قوة ما‪ ،‬فإن الشغل المبذول خالل اإلزاحة المحصلة يساوى‬ ‫مجموع الشغلين خالل كل من اإلزاحتين‪.‬‬

‫‪240‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�� ‬

‫‪4 4‬‬

‫مثال‬ ‫أثرت القوة ‪ N 5 + M 3 = X‬على جسم فحركته من النقطة ‪ )4 ،2( C‬على خط مستقيم إلى النقطة ب (‪)3 ،5‬‬ ‫ثم إلى النقطة جـ (‪ )2- ،8‬إحسب الشغل بواسطة هذه القوة خالل كل من األزاحتين ثم حقق أن مجموع‬ ‫الشغلين يساوى الشغل المبذول خالل األزاحة المحصلة‪.‬‬

‫الحل‬

‫ً‬ ‫أوال‪ :‬متجه األزاحة األولى ‪ C‬ب = ب ‪-‬‬

‫‪C‬‬

‫= (‪)1- ،3( = )4 ،2( - )3 ،5‬‬

‫ص‬

‫الشغل المبذول خالل األزاحة األولى‬ ‫ش‪ : X = 1‬ف‪) N - M 3( : ) N 5 + M 3( = 1‬‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫ش‪ 4 = 5 - 9 = 1‬وحدة قياس شغل‬

‫متجه األزاحة الثانية ب جـ = جـ ‪ -‬ب = (‪)5- ،3( = )3 ،5( - )2- ،8‬‬

‫الشغل المبذول خالل األزاحة الثانية‬

‫ش‪ : X = 2‬ف‪) N 5 - M 3(:) N 5 + M 3( = 2‬‬

‫س‪1 2 3 4 5 6 7 8 9‬‬

‫جـ‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬‫‪2-‬‬

‫ش‪ 16- = 25 -9 = 2‬وحدة قياس شغل‬

‫الشغل المحصل = مجموع الشغلين‬ ‫ش = ش‪ + 1‬ش‪ 12- = 16 - 4 = 2‬وحدة قياس شغل‬ ‫ثانيا‪ :‬األزاحة المحصلة ‪ C‬جـ = جـ ‪-‬‬

‫‪C‬‬

‫= (‪)6- ، 6 ( = )4 ، 2( - )2- ، 8‬‬

‫` الشغل خالل األزاحة المحصلة‬ ‫ش = ‪ : X‬ف = (‪) N 6- ، M 6( : ) N 5 + M 3‬‬ ‫ش = ‪ 12- = 30 -18‬وحدة قياس الشغل‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 3‬أثرت القوة ‪ N 7 - M 5 = X‬على جسم فحركته من النقطة ‪ )1- ،5( C‬على خط مستقيم إلى النقطة‬ ‫ب (‪ )3 ،1-‬ثم إلى النقطة جـ (‪ )6 ،4‬إحسب الشغل بواسطة هذه القوة خالل كل من األزاحتين ثم حقق أن‬ ‫مجموع الشغلين يساوى الشغل المبذول خالل األزاحة المحصلة‪.‬‬

‫تعبير شفهى‪ :‬إذا تحرك جسيم على خط مستقيم من موضع ما ثم عاد إلى نفس هذا الموضع تحت تأثير نفس القوة‬ ‫فما مقدار الشغل المبذول خالل هذا المسار؟‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪24‬‬

‫�� ‬

‫مثال‬ ‫أثرت قوة ‪ N 3 + M 2 = X‬على جسيم فكان متجه موضع الجسيم عند لحظة‬ ‫زمنية ن تتعين من العالقة‪ :‬ر (ن)= (ن ‪( + M )5 +‬ن‪ N )4 + 2‬حيث ‪N ، M‬‬ ‫متجها الوحدة األساسيين‪ ،‬احسب الشغل المبذول من القوة من ن = ‪ 1‬إلى ن = ‪5‬‬

‫الحل‬

‫`‬

‫ف‬

‫‪ a‬ش‬

‫‪C‬‬ ‫ال يتوقف الشغل على المسار‬

‫الموضع ‪ C‬إلى الموضع ب بل‬

‫ر‪0‬‬

‫= (‪N 24 + M 4 = ) N + M ( - ) N 25 + M 5‬‬

‫` ش‬

‫ب ف‬

‫الذى يسلكه الجسم من‬

‫اإلزاحة الحادثة من ن = ‪ 1‬إلى ن = ‪ 5‬هى‬ ‫ف = ر‪- 5‬‬

‫لحظ اأن‬

‫يتوقف على اإلزاحة ‪ C‬ب‬

‫(من تعريف الشغل)‬

‫= ‪ : X‬ف‬

‫= (‪ 80 = 72 + 8 =)24 ، 4( : )3 ، 2‬وحدة شغل‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 4‬إذا كان متجه موضع جسيم يعطى كدالة فى الزمن بالعالقة‪ :‬ر (ن) = (ن ‪( + M )4 +‬ن‪ N )3 + 2‬حيث‬ ‫‪ N ، M‬متجها الوحدة األساسية‪ .‬أثرت على الجسم قوة ‪N 2 + M 3 = X‬‬ ‫أحسب الشغل المبذول من القوة ‪ X‬من ن = ‪ 1‬إلى ن = ‪3‬‬

‫وحدات قيا�ض ال�شغل‪:‬‬

‫من تعريف الشغل نستنتج ان‪:‬‬ ‫وحدة قياس الشغل = وحدة قياس مقدار القوة * وحدة قياس اإلزاحة‬

‫ومن وحدات قيا�ض ال�شغل‪:‬‬ ‫‪ a‬الجول‪ :‬يعرف الجول بأن مقدار الشغل الذى تبذله قوة مقدارها نيوتن واحد في تحريك جسم ما مسافة متر‬ ‫واحد ‪.‬‬ ‫فإذا أخذنا|| ‪ 1 = || X‬نيوتن ‪ || ،‬ف || = ‪ 1‬متر فإن‪:‬‬

‫الجول = ‪ 1‬نيوتن * ‪ 1‬متر أى الجول = نيوتن ‪ .‬متر‬ ‫الجول هو الوحدة الدولية لقياس الشغل‬

‫‪ a‬اإلرج‪ :‬يعرف اإلرج على أنه مقدار الشغل الذى تبذله قوة مقدارها داين واحد فى تحريك جسم ما مسافة‬ ‫سنتيمتر واحد‪.‬‬ ‫فإذا أخذنا|| ‪ 1 =|| X‬داين ‪ ||،‬ف || = ‪ 1‬سم فإن‪:‬‬

‫اإلرج = ‪ 1‬داين * ‪1‬سم أى اإلرج = داين ‪ .‬سم‬

‫‪242‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�� ‬

‫‪4 4‬‬

‫‪ a‬ث كجم‪.‬متر‪ :‬هو مقدار الشغل الذى تبذله قوة مقدارها ‪ 1‬ث كجم فى تحريك جسم ما مسافة متر واحد‪.‬‬ ‫فإذا أخذنا|| ‪ 1 = || X‬ث كجم ‪ || :‬ف || = ‪ 1‬متر فإن ث كجم‪ .‬متر = ‪ 1‬ث كجم * ‪ 1‬متر‬ ‫ويمكن التحويل بين وحدات الشغل على النحو اآلتى‪:‬‬ ‫‪ 1‬جول = ‪ 1‬نيوتن * ‪ 1‬متر‬

‫‪ 1‬ث كجم‪ .‬متر = ‪ 1‬ث كجم * ‪ 1‬متر‬

‫= ‪ 510‬داين * ‪100‬سم‬

‫= ‪ 9٫8‬نيوتن ‪ .‬متر‬

‫= ‪ 710‬داين * سم‬

‫ث كجم‪.‬متر = ‪ 9٫8‬جول‬

‫جول = ‪ 710‬إرج‬

‫مثال‬ ‫يتحرك جسيم على خط مستقيم وكانت تؤثر عليه قوة مقاومة تساوى فى المقدار ‪ 100‬نيوتن‪ .‬أحسب الشغل‬ ‫الذى تبذله هذه القوة خالل أزاحة معيارها ‪ 300‬متر‪.‬‬

‫الحل‬

‫بما أن القوة هى مقاومة‪ .‬إذن فهى تعمل عكس اتجاه متجه اإلزاحة‪ ،‬وإذا كان ى متجه وحدة فى اتجاه اإلزاحة‪،‬‬ ‫فإنه يمكن التعبير عن كل من اإلزاحة والقوة بالقياسات الجبرية‪.‬‬ ‫ف =ف ى ‪ X -= X ،‬ى‬

‫فى حالتنا‪:‬‬

‫من شكل (‪)6‬‬

‫ف‬ ‫ش‬

‫ى‬

‫= ‪ 300 +‬متر ‪ 100 = X ،‬نيوتن‬ ‫=‪ X -‬ف‬ ‫= (‪)300( * )100-‬‬ ‫= ‪ 410 * 3-‬نيوتن ‪ .‬متر‬ ‫= ‪ 410 * 3-‬جول‬

‫ف‬

‫‪X‬‬

‫(شكل ‪)6‬‬

‫مثال‬ ‫شغل الوزن ورد الفعل العمودى واألحتكاك‬ ‫ينزلق جسم كتلته ‪10‬كجم مسافة ‪ 6‬متر على مستو خشن معامل األحتكاك الحركى بينهما ‪ 0٫2‬ويميل هذا‬ ‫كال من‪:‬‬ ‫المستوى على األفقى بزاوية قياسها ‪ .c30‬أوجد بوحدة ث كجم‪.‬متر الشغل الذى تبذله ً‬ ‫ً‬ ‫أوال‪ :‬قوة وزن الجسم ثانيا‪ :‬رد فعل المستوى ثال ًثا‪ :‬قوة األحتكاك‬ ‫‪‬‬

‫الحل‬

‫ً‬ ‫أوال‪ :‬الشغل المبذول من قوة الوزن‬ ‫وزن الجسم (و) = ك ‪E‬‬ ‫` و = ‪ 98 = 9٫8 * 10‬نيوتن‬

‫‪S‬‬

‫‪c30‬‬

‫و‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪c30‬‬

‫‪243‬‬

‫�� ‬

‫‪ a‬الزاوية المحصورة بين و ‪ ،‬ف تساوى ‪c60‬‬ ‫ومن تعريف الشغل‪:‬‬ ‫ش = و * ف جتا ‪c60‬‬ ‫` ش = ‪ 294 = 12 * 6 * 98‬جول = ‪ 30‬ث كجم‪ .‬متر‬

‫حل آخر‪:‬‬

‫يمكن إيجاد مركبة الوزن التى تعمل فى نفس اتجاه اإلزاحة ويكون الشغل المبذول ش = ك ‪ E‬جا هـ * ف‬ ‫` ش = ‪ 294 = 6 * 12 * 9٫8 * 10‬جول = ‪ 30‬ث كجم‪ .‬متر‬

‫ثان ًيا‪:‬‬

‫‪ a‬قوة رد فعل المستوى (‪ )S‬تكون دائ ًما عمودية على المستوى الذى يتحرك عليه الجسم لذا تكون الزاوية‬ ‫بين ‪ ، S‬ف مساوية ‪.c90‬‬ ‫` شغل رد فعل المستوى ش = صفر ‪.‬‬

‫ثال ًثا‪ :‬الشغل المبذول من قوة األحتكاك‪:‬‬ ‫نعلم أن قوة األحتكاك الحركى ‪ = ‬مك (حيث مك معامل األحتكاك الحركى)‬ ‫` ‪ * 9٫8 * 10 * 0٫2 = ‬جتا ‪ 3 49 = c 30‬نيوتن‬ ‫‪ a‬الشغل المبذول من المقاومة ش = ‪ * -‬ف‬ ‫` ش = ‪ 3 294 - = 6 * 3 49 -‬جول = ‪ 3 30 -‬ث كجم‪.‬متر‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 98‬ضد مقاومات تعادل ‪ 10‬ث كجم لكل‬ ‫منحدرا يميل على األفقى بزاوية جيبها‬ ‫سيارة كتلتها ‪ 6‬طن تصعد‬ ‫ً‬

‫طن من الكتلة فاكتسبت سرعة ‪ 54‬كم ‪ /‬س خالل ‪ 30‬ثانية ‪ ،‬فإذا بدأت السيارة حركتها من السكون فأحسب‬ ‫بالجول مقدار الشغل المبذول من‪:‬‬ ‫ً‬ ‫ثان ًيا‪ :‬قوة المقاومة‬ ‫أوال‪ :‬قوة محرك السيارة‬ ‫ثال ًثا‪ :‬وزن السيارة‬

‫ثان اًيا‪ :‬ال�شغل المبذول من قوة متغيرة‬ ‫سبق أن استخدمنا مفهوم الشغل فى التعامل مع الحركة ‪ -‬عندما تكون القوة منتظمة ويمكن توضيح ذلك من خالل‬ ‫المثال التالى‪:‬‬

‫‪Work done by a varying force‬‬

‫‪X‬‬

‫مثال توضيحى‪:‬‬

‫‪15‬‬

‫باعتبار أن قوة ثابتة مقدارها ‪ 10‬نيوتن تؤثر على جسم ليتحرك‬ ‫من ‪ C‬إلى ب كما هو موضح فى شكل (‪)8‬‬ ‫وبالتالى تكون االزاحة من ‪ C‬إلى ب = ‪ 20‬متر ولتمثيل ذلك‬ ‫بيان ًيا نرسم محور القوة ومحور اإلزاحة كما هو مبين فى‬ ‫الشكل وبالتالى تكون القوة ممثلة على مستقيم أفقى يوازى‬ ‫محور اإلزاحة ف‪.‬‬

‫‪244‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬

‫الشغل‬ ‫ف‬

‫‪25‬‬

‫ب‬

‫‪20‬‬

‫‪15‬‬

‫‪10‬‬

‫شكل (‪)8‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪C‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫�� ‬

‫الشغل = ‪ X‬ف = ‪ 200 = )5-25( 10‬جول‬

‫وهو عبارة عن المساحة أسفل المنحنى وتمثل بمساحة المستطيل الذى عرضه‬ ‫‪ 10‬نيوتن وطوله ‪ 20‬متر‪.‬‬ ‫أما حالة أن تكون القوة متغيرة خالل اإلزاحة كما هو موضح فى شكل (‪)9‬‬ ‫فتكون المساحة تحت المنحنى تتحدد من العالقة‪:‬‬ ‫ش=‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫‪4 4‬‬ ‫‪X‬‬

‫ف‬

‫‪EX‬ف‬

‫ب‬

‫وفى هذه الحالة نأخذ إزاحة صغيرة قدرها‪9‬ف حتى تكون القوة المؤثرة لهذه‬ ‫اإلزاحة منتظمة ويكون الشغل المبذول عندها يعطى بالعالقة‪:‬‬

‫‪9‬ف‬

‫شكل (‪)9‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ 9‬ش = ‪ X‬ف ‪9‬ف‬

‫وإذا قسمنا منحى القوة إلى إجزاء صغيرة وحسبنا الشغل المبذول خالل كل جزء وأوجدنا مجموعهم ‪ ،‬فإنه يمكن‬ ‫التعبير عن ذلك بالعالقة‪:‬‬ ‫ب‬ ‫‪ X‬ف‪9‬ف‬ ‫ش=‬ ‫‪C‬‬

‫وعندما تكون اإلزاحة‪9‬س أصغر ما يمكن (أى تؤول إلى الصفر) لكى نحصل على قيم أدق فى المعادلة السابقة‬ ‫فإن المعادلة السابقة تتحول إلى ‪:‬‬ ‫ب‬ ‫ش=‪X C‬ف ‪ E‬ف‬ ‫وهذه هى الصورة العامة للشغل (الحظ أن‪ X :‬ف = ‪ X‬جتا‪( i‬تمثل مركبة القوة فى اتجاه اإلزاحة)‬ ‫ش=‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪X‬ف‬

‫‪E‬ف‬

‫مثال‬ ‫شكل (‪ )8‬يوضح تأثير قوة متغيرة على جسم احسب‬ ‫الشغل المبذول باإلرج بواسطة هذه القوة فى الحاالت‬ ‫اآلتية‪:‬‬

‫ً‬ ‫أوال‪ :‬عندما يتحرك الجسم من ف = ‪ 0‬إلى ف = ‪8‬‬

‫ثان ًيا‪ :‬عندما يتحرك الجسم من ف = ‪ 8‬إلى ف = ‪12‬‬

‫ثال ًثا‪ :‬عندما يتحرك الجسم من ف = ‪ 0‬إلى ف = ‪12‬‬

‫‪X‬‬

‫‪12‬‬

‫‪C‬‬

‫‪8‬‬

‫‪E‬‬ ‫ف ‪12‬‬

‫هـ‬

‫‪10‬‬

‫جـ‬

‫‪4‬‬

‫ب‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫و‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬‫‪8-‬‬

‫شكل (‪)10‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪24‬‬

‫�� ‬ ‫الحل‬

‫ً‬ ‫أوال‪ :‬ش ‪= 1‬‬

‫‪0‬‬

‫ثان ًيا‪ :‬ش‪= 2‬‬

‫‪8‬‬

‫ثال ًثا‪ :‬ش‪= 3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪8‬‬

‫‪ E X‬ف = المساحة تحت المنحنى من ف = ‪ 0‬إلى ف = ‪8‬‬

‫‪12‬‬

‫‪ E X‬ف = ‪ -‬المساحة تحت المنحى من ف = ‪ 8‬إلى ف = ‪12‬‬

‫= مساحة سطح ‪ 9‬و ‪ C‬ب = ‪ 48 = 12 * 8 * 12‬جول‬

‫= ‪-‬مساحة سطح‪ 9‬ب جـ ‪ 12 - = 6 * 4 * 12 = E‬جول‬ ‫‪12‬‬

‫‪ E X‬ف = المساحة تحت المنحنى =‬

‫‪0‬‬

‫‪8‬‬

‫= مساحة سطح‪9‬و ‪ C‬ب ‪ -‬مساحة سطح‪9‬ب جـ ‪E‬‬

‫‪ E X‬ف‬

‫‪8+‬‬

‫‪12‬‬

‫‪E X‬ف‬

‫= ‪ 36 = 6 * 4 * 12 - 12 * 8 * 12‬جول‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 6‬الشكل المقابل يوضح تأثير قوة متغيرة على جسم احسب الشغل‬ ‫الكلى المبذول بواسطة هذه القوة فى الحاالت اآلتية‪:‬‬ ‫ً‬ ‫أوال‪ :‬من ف = ‪ 0‬إلى ف = ‪10‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬من ف = ‪ 8‬إلى ف = ‪14‬‬

‫‪ X‬بالنيوتن‬

‫ف بالمتر‬

‫‪2 4 6 8 10 12 14‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫و‬

‫شكل (‪)11‬‬

‫مثال‬

‫أثرت قوة متغيرة ‪( X‬مقيسة بالنيوتن) على جسم حيث ‪3 = X‬ف‪ .4 - 2‬أوجد الشغل المبذول من هذه القوة فى‬ ‫الفترة من ف = ‪ 2‬متر إلى ف = ‪ 5‬متر؟‬

‫الحل‬

‫‪ 3 = X a‬ف‪ ، 4- 2‬ش =‬ ‫` ش =‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪EX‬ف‬

‫(‪3‬ف‪ E )4 - 2‬ف = [ف‪3‬‬

‫‪4 -‬ف]‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫` ش = [(‪ 105 = ])8 - 8( - )20 - 125‬جول‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 7‬أثرت قوة متغيرة ‪( X‬مقاسة بالداين) على جسيم حيث ‪ X‬تعطى بالعالقة‪:‬‬ ‫‪4 = X‬ف‪2 - 3‬ف ‪ . 1+‬أوجد الشغل المبذول من هذه القوة فى الفترة من ف = ‪ 0‬إلى ف = ‪4‬‬

‫‪246‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�� ‬

‫‪4 4‬‬

‫تمــــاريــن ‪1 - 4‬‬

‫ا اً‬ ‫أول‪ :‬اإختر الإجابة ال�شحيحة من بين الإجابات المعطاة‪:‬‬ ‫إذا تحرك جسم فى خط مستقيم من نقطة األصل إلى النقطة ‪ )2، 3 ( C‬تحت تأثير القوة ‪N 5 - M 3 = X‬‬

‫فإن الشغل المبذول بواسطة هذه القوة = ‪ .....................‬وحدة شغل ‪.‬‬ ‫ج صفر‬ ‫ب ‪1-‬‬ ‫أ ‪4-‬‬

‫د ‪1‬‬

‫‪ 2‬إذا تحرك جسم فى خط مستقيم من النقطة ‪ )2 ،3-( C‬إلى النقطة ب (‪ )3- ،5‬تحت تأثير القوة‬ ‫‪ N 8 + M 5 = X‬فإن الشغل المبذول بواسطة هذه القوة = ‪ .....................‬وحدة شغل‬ ‫د ‪80‬‬ ‫ج ‪40‬‬ ‫ب ‪40-‬‬ ‫أ صفر‬ ‫‪ X‬بالنيوتن‬

‫‪ 3‬الشكل المقابل يوضح تأثير قوة (‪ )X‬على جسم يتحرك مسافة (ف) فإن‬ ‫الشغل المبذول بواسطة هذه القوة ليتحرك الجسم من ف = ‪ 0‬إلى ف = ‪6‬‬ ‫متر يساوى ‪ .....................‬جول‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ج‬ ‫د‬

‫‪1 2 3 4 5 6‬‬

‫ف بالمتر‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫و‬

‫‪ 4‬الشغل المبذول فى رفع كتلة مقدارها ‪ 200‬جرام موضوعة على سطح األرض مسافة ‪ 10‬أمتار عن سطح األرض‬ ‫يساوى ‪.....................‬جول‬ ‫د ‪29٫4‬‬ ‫ج ‪19٫6‬‬ ‫ب ‪9٫8‬‬ ‫أ صفر‬ ‫إذا تحرك جسم فى خط مستقيم وكانت تؤثر عليه قوة مقاومة تساوى فى المقدار ‪ 400‬نيوتن فإن الشغل‬ ‫المبذول بواسطة هذه القوة خالل إزاحة ف حيث || ف ||= ‪ 350‬متر يساوى ‪ ......‬جول‬ ‫د ‪410 * 14‬‬ ‫ج ‪410 * 7‬‬ ‫ب ‪410 * 7-‬‬ ‫أ ‪410 * 14-‬‬

‫ثانيا‪ :‬اأكمل‪:‬‬

‫‪ 6‬رجل يتسوق فى متجر (سوبر ماركت) يدفع عربة تسوق بقوة مقدارها ‪ 35‬نيوتن تميل هذه القوة على األفقى‬ ‫بزاوية قياسها ‪ c25‬لتتحرك العربة مسافة ‪ 50‬متر فإن الشغل المبذول بواسطة الرجل = ‪ .....................‬إرج‬ ‫‪ 7‬الشغل المبذول فى تحريك كتلة مقدارها ‪ 600‬جرام مسافة ‪ 4‬أمتار بعجلة مقدارها ‪ 20‬سم ‪ /‬ث‪ 2‬يساوى‬ ‫‪ .....................‬إرج‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪247‬‬

‫�� ‬

‫الشكل المقابل يوضح قوة مقدارها ‪ 16‬نيوتن تميل على األفقى بزاوية قياسها‬ ‫‪ c25‬تؤثر على جسم كتلته ‪ 2٫5‬كجم ليتحرك على نضد أفقى أملس مسافة‬ ‫‪ 220‬سم فإن‪:‬‬ ‫أ الشغل المبذول بواسطة القوة = ‪ ............................‬جول‬ ‫ب الشغل المبذول بواسطة رد فعل النضد = ‪ ............................‬جول‬ ‫ج الشغل المبذول بواسطة وزن الجسم = ‪............................‬جول‬

‫‪S‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪c25‬‬

‫و‬

‫د الشغل الكلى بواسطة القوى المؤثرة على الجسم = ‪............................‬جول‬

‫ثالثا‪ :‬اأجب عن الأ�سئلة الآتية‪:‬‬ ‫تحرك جسيم فى خط مستقيم تحت تأثير القوة ‪ N 3 - M 6 = X‬من التعويض ‪ )2 ، 1-( C‬إلى النقطة ب‬ ‫(‪ )4 ، 3‬حيث ‪ N ، M‬متجها الوحدة األساسيان إحسب الشغل المبذول بواسطة هذه القوة‪.‬‬

‫‪ 1‬أثرت القوى ‪ N - M 3 = 3X ، N 4 - M 2 = 2X ، N 3 + M 4 = 1X‬على جسم فانتقل من النقطة‬ ‫‪ )3 ، 2( C‬إلى النقطة ب ( ‪ )4 ، 4‬أحسب الشغل المبذول من محصلة هذه القوى خالل األزاحة ‪ C‬ب‬

‫يتحرك جسم كتلته ‪1‬كجم ومتجه إزاحته ف = (‪3‬ن‪3( + M )2‬ن‪ + 2‬ن) ‪ N‬ما هى القوة المحركة احسب‬ ‫الشغل المبذول من القوة المحركة خالل ‪ 5‬ثوان من بدء الحركة علما بأن ف مقيسة بالمتر ‪ X ،‬بالنيوتن ‪ ،‬ن‬ ‫بالثانية‪.‬‬

‫‪ 1‬متجه موضع جسيم كتلته ‪ 3‬كجم يعطى كدالة فى الزمن بالعالقة ‪3( = S‬ن‪4( + M )2 + 2‬ن‪ N )3+ 2‬حي ث‬ ‫‪ N ، M‬متجها وحدة متعامدان فى المستوى أثبت أن الجسيم يتحرك تحت تأثير قوة ثابتة ثم إحسب‬ ‫الشغل المبذول من هذه القوة من ن = ‪ 1‬إلى ن = ‪5‬‬ ‫‪ 1‬عربة ترام ساكنة شدت بحبل يصنع مع شريط الترام زاوية قياسها ‪ c60‬فإذا كانت قوة الشد ‪500‬ث‪ .‬كجم‬ ‫وتحركت العربة بعجلة ‪5‬سم‪/‬ث‪ 2‬لمدة ‪ 30‬ثانية احسب الشغل الذى بذلته قوة الشد‪.‬‬

‫‪ 1‬عامل بناء كتلته ‪70‬كجم يحمل على كتفه كمية من الطوب‬ ‫صاعدا أعلى سلم إرتفاع قمته عن سطح األرض ‪12‬‬ ‫ً‬ ‫متر فإذا بذل شغال قدره ‪ 11760‬جول حتى بلوغه قمة السلم أوجد كتلة الطوب‪.‬‬

‫‪ 1‬أثرت قوة على جسم ساكن كتلته ‪50‬كجم فاكسبته عجلة منتظمة ‪0٫7‬م‪/‬ث‪ 2‬فإذا كان الشغل المبذول بواسطة‬ ‫هذه القوة يساوى ‪350‬ث ‪ .‬كجم ‪ .‬متر أوجد المسافة التى تحركها الجسم‪.‬‬ ‫‪ 1‬قذف حجر كتلته ‪ 4‬كجم رأسيا ألعلى من على سطح األرض فإذا كان الشغل المبذول ليصل إلى أقصى إرتفاع‬ ‫‪ 1176‬جول أوجد أقصى إرتفاع وصل إليه الحجر‪.‬‬ ‫‪ 1‬أحسب بالجول مقدار الشغل الالزم بذله لرفع ‪ 5‬متر مكعب من الماء ألرتفاع ‪ 10‬أمتار‪.‬‬

‫‪11‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫��‬

‫‪4� �4‬‬

‫سيدة تدفع أمامها عربة بها طفل من حالة سكون علي طريق أفقى بقوة قدرها ‪ 2‬ثكجم وتميل على األفقى‬ ‫ألسفل بزاوية قياسها ‪ c60‬ضد مقاومات قدرها ‪ 0٫95‬ث كجم‪ ،‬فإذا كانت كتلة العربة والطفل ‪ 18‬كجم‬ ‫فأوجد بثقل كجم‪.‬متر مقدار الشغل المبذول خالل دقيقة واحدة من ‪:‬‬ ‫ب قوة السيدة‬ ‫أ وزن العربة والطفل‬

‫ج مقاومة الطريق‪.‬‬

‫قطار كتلته ‪ 200‬طن يصعد منحدرا يميل على األفقى بزاوية جيبها ‪1‬‬ ‫‪ 100‬بسرعة ثابتة فإذا كان الشغل المبذول‬ ‫من آالت القطار يساوى ‪510 * 15‬ث‪.‬كجم متر حتى وصل إلى أعلى المنحدر والشغل المبذول ضد المقاومات‬ ‫‪510 * 5‬ث‪.‬كجم متر أوجد‪:‬‬ ‫ثانيا‪ :‬المقاومة لكل طن من كتلة القطار‬ ‫أوال‪ :‬طول المنحدر‬

‫‪ 11‬سيارة كتلتها ‪ 4‬طن تصعد منحدرا يميل على األفقى بزاوية جيبها ‪1‬‬ ‫‪ 100‬ضد مقاومات تعادل ‪5‬ث‪.‬كجم لكل طن‬ ‫من كتلة القطار فاكتسبت سرعة ‪54‬كم‪/‬س خالل ‪ 12‬دقيقة فإذا بدأت السيارة حركتها من السكون احسب‬ ‫بالجول الشغل المبذول من‪:‬‬ ‫ثانيا‪ :‬قوة المقاومة‬ ‫أوال‪ :‬قوة محرك السيارة‬ ‫رابعا‪ :‬ضد وزن السيارة‬ ‫ثالثا‪ :‬من وزن السيارة‬

‫‪ 1‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم تحت تأثير القوة ‪(X‬نيوتن) حيث ‪ 0٫4 = X‬ف ‪ ،‬ف مقاسة بالمتر ‪ .‬أحسب‬ ‫الشغل المبذول من القوة ‪ X‬عندما يتحرك الجسيم من ‪:‬‬ ‫أ ف = ‪ 0‬حتى ف = ‪10‬‬ ‫ب ف = ‪ 1‬حتى ف = ‪5‬‬

‫‪ 11‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم تحت تأثير القوة ‪(X‬نيوتن) حيث ‪ = X‬جا ‪ 2‬ف حيث ف مقاسة بالمتر‪،‬‬ ‫أحسب الشغل المبذول من القوة ‪ X‬عندما يتحرك الجسيم من ‪:‬‬ ‫أ ف = ‪ 0‬حتى ف = ‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب ف = ‪ r-‬حتى ف = ‪r‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ج ف = ‪ r‬حتى ف = ‪r3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪11‬‬

‫طاقة الحركة‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫‪2-4‬‬

‫‪Kinetic energy‬‬

‫تمهيد‬

‫سوف تتعلم‬

‫ طاقة احلركة‬

‫ وحدات قياس طاقة احلركة‬ ‫ مبدأ الشغل والطاقة‬

‫فى الدرس السابق علم ًنا بأن القوة هى المسبب األساسى للحركة‪ ،‬وفى هذا الدرس‬ ‫سوف ندرس المصدر الذى تستمد منه القوة فى تحريك األجسام وهذا المصدر هو‬ ‫الطاقة وبالتالى يمكن تعريف الطاقة بأنها مقياس قدرة الجسم على بذل شغل‪.‬‬ ‫وتظهر الطاقة فى حياتنا العملية فى عدة صور منها الطاقة الميكانيكية والطاقة‬ ‫الحرارية والطاقة الكهربائية والطاقة الضوئية ‪ ....‬ألخ‬ ‫وسوف ندرس من هذه الصور الطاقة الميكانيكية المتمثلة فى حركة األجسام وهى‬ ‫نوعان طاقة الحركة وطاقة الوضع‪.‬‬ ‫طاقة الحركة‬ ‫طاقة حركة جسم هى الطاقة التى يكتسبها الجسم بفضل سرعته وتقدر عند لحظة ما‬ ‫بنصف حاصل ضرب كتلة هذا الجسم فى مربع سرعته عند هذه اللحظة ويرمز لها‬ ‫بالرمز ط‪.‬‬ ‫فإذا كانت ك كتلة الجسيم‪ ،‬ع متجه سرعته‪ ،‬ع القياس الجبرى لهذا المتجه فإن‪:‬‬

‫‪Kinetic energy‬‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫ طاقة احلركة‬

‫‪Kinetic energy‬‬

‫ط = ‪ 1‬ك|| ع ||‪1 = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ك ع‪2‬‬

‫(‪)1‬‬

‫وبما أن|| ع ||‪ = 2‬ع ⊙ ع ‪ ،‬فإنه يمكن التعبير عن طاقة الحركة كاآلتى‪:‬‬ ‫ط = ‪ 12‬ك ( ع ‪ :‬ع )‬

‫(‪)2‬‬

‫يتضح من التعريف أن طاقة حركة الجسيم هى كمية قياسية غير سالبة‪ ،‬وتنعدم فقط‬ ‫عندما ينعدم متجه السرعة‪ .‬كما يبين التعريف أن طاقة حركة الجسيم قد تتغير من‬ ‫لحظة زمنية ألخرى أثناء حركته تب ًعا لمقدار سرعته‪.‬‬ ‫األدوات المستخدمة‬

‫ آلة حاسبة علمية‬

‫وحدات قيا�ض طاقة الحركة‪:‬‬

‫حيث أن الشغل هو صورة من صور الطاقة فإن ‪:‬‬ ‫وحدة قياس طاقة الحركة = وحدة قياس الشغل‬

‫ً‬ ‫فمثال ‪ ،‬إذا قيست الكتلة بالكيلوجرام والسرعة بالمتر‪ /‬ثانية فإن‪:‬‬

‫‪2 0‬‬

‫متر‬ ‫متر متر‬ ‫كجم‬ ‫=‬ ‫*‬ ‫وحدة قياس طاقة الحركة = كجم *‬ ‫ث‪2‬‬ ‫ث ث‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫* متر = نيوتن‪ .‬متر‬ ‫كتاب الطالب‬

‫ك�� ةقا ‬

‫وإذا قيست الكتلة بالجرام والسرعة بالسنتيمتر ‪ /‬ثانية فإن‪:‬‬ ‫سم‬ ‫سم‬ ‫*‬ ‫وحدة قياس طاقة الحركة = جم *‬ ‫ث‬ ‫ث‬

‫= جم *‬

‫سم‬

‫ث‪2‬‬

‫‪4 4‬‬

‫* سم = داين * سم = إرج‬

‫مثال‬ ‫يتحرك جسم كتلته ‪100‬جم بسرعة ع = ‪ N 12 + M 5‬حيث ‪ N ، M‬متجها وحدة متعامدين ومقدار‬ ‫السرعة مقيس بوحدة سم‪/‬ث‪ ،‬احسب طاقة حركة هذا الجسم أوال‪ :‬باألرج ثانيا‪ :‬بالجول‬ ‫الحل‬

‫نوجد معيار السرعة ع = ‪N 12 + M 5‬‬

‫|| ع || = ‪13 = 2 12 + 25‬سم‪/‬ث‬

‫`|| ع ||‪169 =2‬‬

‫أوال‪ :‬طاقة حركة الجسم = ‪ 12‬ك || ع ||‪ 8450 = 169 * 100 * 12 =2‬إرج‬ ‫‪8450‬‬ ‫ثانيا‪ :‬طاقة الحركة =‬ ‫‪710‬‬

‫= ‪ 4-10 * 8٫45‬جول‬

‫حاول أن تحل‬

‫يتحرك جسم كتلته ‪ 200‬جرام بسرعة ع = ‪ N 80 - M 60‬حيث ‪ N ، M‬متجها وحدة متعامدين ومقدار‬ ‫السرعة مقيس بوحدة سم‪/‬ث احسب طاقة حركة هذا الجسم‬ ‫ثانيا‪ :‬بالجول‪.‬‬ ‫أوال‪ :‬باألرج‬ ‫مثال‬ ‫قذف جسم كتلته ‪1‬كجم رأس ًيا إلى أعلى بسرعة ‪49‬م‪/‬ث‪ ،‬أوجد‬ ‫أ طاقة حركة الجسم بعد ‪ 6‬ثانية من قذفه‬ ‫ب طاقة حركة الجسم عندما يصبح على ارتفاع ‪ 102٫9‬متر من نقطة القذف‬ ‫الحل‬

‫` ع = ‪9٫8- = 6 * 9٫8 - 49‬م‪/‬ث‬ ‫أ ‪ a‬ع = ع‪ E + 0‬ن‬ ‫` الجسم يكون هابطًا بسرعة مقدارها ‪ 9٫8‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫ط = ‪ 12‬ك ع‪ 48٫02 = 2)9٫8(*1* 12 = 2‬چول‬

‫ب ‪a‬ع‪ = 2‬ع‪ E 2 + 02‬ف‬ ‫` ع‪384٫16 = 2‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫`ع‪102٫9 * 9٫8 * 2 - 2)49 ( = 2‬‬ ‫ ط = ‪ 12‬ك ع‪ 192٫08 = 384٫16 * 1* 12 = 2‬چول‬

‫‪ 2‬سقط جسم كتلته ‪500‬جم رأس ًيا إلى أسفل من أرتفاع ‪ 78٫4‬متر عن سطح األرض‪ ،‬أوجد ‪:‬‬ ‫أ طاقة حركة الجسم بعد ‪ 2‬ثانية من سقوطه‬ ‫ب طاقة حركة الجسم لحظة مالمسته لسطح األرض‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪2‬‬

‫�� ‬

‫مثال‬ ‫قذف جسم كتلته ‪ 200‬جم بسرعة ‪280‬سم‪/‬ث على خط أكبر ميل لمستوى مائل أملس يميل على األفقى‬ ‫بزاوية جيبها ‪1‬‬ ‫‪ 140‬وألعلى المستوى ‪ ،‬أوجد طاقة حركة هذا الجسم بوحدة اإلرج فى كل ممايأتى‪:‬‬ ‫أ بعد نصف دقيقة من قذفه‪.‬‬ ‫ب عندما يكون على بعد ‪ 24٫5‬متر من نقطة قذفه‪.‬‬

‫الحل‬

‫معادلة حركة الجسم المتحرك‬ ‫ك جـ = ‪ -‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫= ‪ 7- = 1 * 980 -‬سم‪/‬ث‪2‬‬ ‫` جـ‬ ‫‪140‬‬ ‫أ ع‬

‫ب‬

‫‪S‬‬

‫هـ‬

‫= ع‪ + 0‬جـ ن‬

‫ع‬

‫= ‪ 70 = 30 * 7 - 280‬سم‪/‬ث‬

‫ع‪2‬‬

‫= ع‪ 2 + 20‬جـ ف‬ ‫= (‪44100 = 2450 * 7 * 2 - 2)280‬‬ ‫= ! ‪ 210‬سم‪/‬ث‬ ‫= ‪ 12‬ك ع‪ 410 * 441 = 2)210( * 200 * 12 = 2‬إرج‬

‫ك‪E‬جتاهـ‬

‫ط = ‪ 12‬ك ع‪ 410 * 49 = 2)70( *200 * 12 = 2‬إرج‬ ‫ع‪2‬‬

‫ع‬ ‫ط‬

‫م‬ ‫هـ‬

‫ك‪E‬‬ ‫جاهـ‬

‫ك‪E‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 20‬أبطل محركها ووقفت بعد أن قطعت‬ ‫‪ 3‬سيارة كتلتها ‪ 1‬طن تصعد منحدرا يميل على األفقى بزاوية جيبها‬ ‫مسافة ‪ 20‬مترا من لحظة إبطال المحرك فإذا كان قوة مقاومة المنحدر ‪ 15‬وزن السيارة إحسب طاقة حركة‬

‫السيارة بوحدة الجول‪.‬‬

‫مبداأ ال�شغل والطاقة‪:‬‬ ‫إذا كانت ‪ X‬ثابتة ‪:‬‬ ‫جسما كتلته (ك) يتحرك مسافة (ف) تحت تأثير‬ ‫باعتبار أن‬ ‫ً‬ ‫محصلة القوى (‪ )X‬بحيث تتغير سرعته من (ع‪ )1‬إلى (ع )‬ ‫‪X 2‬‬ ‫فيكون‪ :‬الشغل المبذول بواسطة محصلة هذه‪:‬‬ ‫ش=‪*X‬ف‬

‫‪Principle of work and energy‬‬

‫ع‪2‬‬

‫اتجاه الحركة‬ ‫‪X‬‬

‫ع‪1‬‬

‫ف‬ ‫شكل (‪)1‬‬

‫‪ a‬ع‪ = 2‬ع‪ 2 + 20‬جـ ف وباعتبار أن ع‪ ، 1‬ع‪ 2‬هما السرعتان األبتدائية والنهائية على الترتيب‬ ‫` ع‪ - 22‬ع‪ 2 = 12‬جـ ف بضرب طرفى العالقة فى ‪ 12‬ك‬ ‫‪ 12‬ك ( ع‪ - 22‬ع‪ = )12‬ك جـ ف‬

‫‪2 2‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫ك�� ةقا ‬

‫‪4 4‬‬

‫` ‪ 12‬ك ( ع‪ - 22‬ع‪ = ) 12‬ق ‪ .‬ف حيث ‪ X‬قوة ثابتة المقدار‬ ‫` التغير فى طاقة الحركة يساوى الشغل المبذول‬ ‫إذا كانت ‪ X‬قوة متغيرة ‪،‬‬ ‫‪ a‬ط = ‪ 1‬ك ع‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫`‬

‫‪E‬ع‬ ‫‪E‬‬ ‫(ط) = ك ع‬ ‫‪E‬ن‬ ‫‪E‬ن‬ ‫‪E‬ف‬ ‫‪E‬‬ ‫(ط) = ‪X‬‬ ‫‪E‬ن‬ ‫‪E‬ن‬ ‫ط‬

‫‪E‬‬

‫‪E‬ن‬ ‫ف‬

‫` ط‪ ( E 0‬طح) = ف‪E X 0‬ف‬ ‫` التغير فى طاقة الحركة = الشغل المبذول‬

‫(ط) = ك جـ ع‬

‫أى أن ط ‪ -‬ط‪ = 0‬ش‬

‫تعبر العالقة األخيرة عن مبدأ الشغل والطاقة والذى ينص على اآلتى‪:‬‬

‫«التغير فى طاقة حركة الجسيم عند انتقاله من موضع ابتدائى إلى موضع نهائى يساوى الشغل المبذول بواسطة القوة‬ ‫المؤثرة عليه خالل اإلزاحة بين هذين الموضعين»‪.‬‬ ‫ويالحظ أنه عند استخدام العالقات السابقة يجب أن تكون وحدات قياس طاقة الحركة هى نفسها وحدات قياس‬ ‫الشغل‪.‬‬

‫تفكير ناقد‪:‬‬

‫أثبت أنه إذا بدأ جسيم حركته من موضع ما ثم عاد إلى نفس الموضع‪ ،‬فإن طاقة حركته النهائية تساوى طاقة حركته‬ ‫االبتدائية ‪ ،‬ثم استنتج من ذلك أنه فى حركة المقذوف الرأسى تحت تأثير الجاذبية األرضية الثابتة تكون سرعة‬ ‫المقذوف أثناء مرحلة الصعود عند نقطة ما تساوى سرعته أثناء مرحلة الهبوط عند النقطة نفسها‪.‬‬ ‫مثال‬

‫اطلقت رصاصة كتلتها ‪200‬جم بسرعة ‪400‬متر‪/‬ث على حاجز سميك فاستقرت فيه على عمق ‪20‬سم‪ ،‬أوجد‬ ‫مقدار قوة مقاومة مادة الحاجز لحركة الرصاصة باعتبار هذه القوة ثابتة‪.‬‬ ‫الحل‬

‫ليكن ‪ C‬موضع دخول الرصاصة إلى داخل الحاجز ‪ ،‬ب الموضع الذى‬ ‫مقدرة بوحدة الداين لدينا ‪ C‬ب = ‪ 20‬سم‪،‬‬ ‫أستقرت فيه‪ ،‬م قوة المقاومة َّ‬ ‫بما أن قوة المقاومة تعمل فى عكس اتجاه االزاحة‪.‬‬

‫‪20‬سم‬

‫ب‬

‫فإن الشغل الذي تبذله هذه القوة يكون سال ًبا ويحسب كاآلتى‪:‬‬ ‫ش = ‪ C-‬ب * م = ‪20 -‬م‬

‫ف‬ ‫شكل (‪)6‬‬

‫م‬

‫طاقة حركة الرصاصة عند الدخول إلى الحاجز ‪:‬‬ ‫ط = ‪ 1110 * 1٫6 = 2)100 * 400( * 200 * 12‬إرج‬ ‫(الحظ تحويل السرعة إلى وحدة سم‪/‬ث)‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫�� ‬

‫طاقة حركة الرصاصة عند الموضع ب ‪ :‬طب = صفر ألن الرصاصة ساكنة فى هذا الموضع‪.‬‬ ‫التغير فى طاقة حركة الرصاصة ‪ :‬ط ب ‪ -‬ط‪ 1110 * 1٫6- = C‬ارج‬ ‫‪ a‬طب ‪ -‬ط‪ = C‬ش‬ ‫` ‪20- = 1110 * 1٫6 -‬م‬ ‫` م=‬

‫‪1110* 1٫6-‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪20-‬‬

‫= ‪ 910 * 8‬داين‬

‫‪ 4‬أطلقت رصاصة على هدف سمكه ‪9‬سم وخرجت من جانبه األخر بنصف سرعتها التى دخلت بها‪ .‬فما هو أقل‬ ‫سمك الزم لهدف من نفس المادة حتى ال تخرج منه نفس الرصاصة لو أطلقت عليه بسرعتها السابقة نفسها‪.‬‬ ‫مثال‬

‫ترك جسم كتلته ‪20‬كجم ليهبط على خط أكبر ميل لمستو يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ . c30‬أوجد سرعة‬ ‫الجسم بعد أن يكون قد قطع مسافة ‪ 5‬أمتار على المستوى باستخدام مبدأ الشغل والطاقة‪.‬‬ ‫الحل‬

‫القوة الوحيدة التى تبذل شغال هى مركبة قوة الوزن الموازية لخط أكبر‬ ‫ميل الذى تحدث عليه الحركة‪ ،‬وتكون هذه القوة موجهة ألسفل المستوى‬ ‫ومقدارها ك ‪ E‬جا ‪ 30‬حيث ك كتلة الجسم‪ E ،‬مقدار عجلة الجاذبية األرضية‬ ‫‪c30‬‬ ‫شكل (‪.)7‬‬ ‫شكل (‪)7‬‬ ‫الشغل الذى تبذله هذه القوة أثناء االزاحة المعطاة‪:‬‬ ‫ش = (ك ‪ E‬جا ‪ * ) c30‬ف‬ ‫= (‪ 490 = 5 * ) 12 * 9٫8 * 20‬جول‬ ‫‪ a‬التغير فى طاقة الحركة = الشغل المبذول‬ ‫` ‪ 12‬ك ع‪ - 2‬صفر = ش‬ ‫` ‪ * 20 * 12‬ع‪490 = 2‬‬ ‫` ع‪49 = 2‬‬ ‫` ع = ‪ 7‬متر ‪ /‬ث وهى سرعة الجسم بعد أن يكون قد قطع ‪ 5‬أمتار من موقعة االبتدائى‪.‬‬

‫ى‬

‫ك د حا ‪c30‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫قذف جسم كتلته ‪2‬كجم بسرعة ‪ 3‬متر‪/‬ث إلى أسفل على خط أكبر ميل لمستوى أملس طوله ‪ 10‬أمتار وأرتفاعه‬ ‫‪ 2‬متر أوجد طاقة حركة هذا الجسم عند وصوله إلى قاعدة المستوى‪.‬‬ ‫مثال‬

‫وضع جسم كتلته ‪300‬جم عند قمة مستوى مائل ارتفاعه ‪1‬متر‪ .‬أحسب السرعة التى يصل بها هذا الجسم إلى‬ ‫قاعدة المستوى علما بأن مقدار الشغل الذى بذلته قوة مقاومة المستوى للحركة يساوى ‪1٫59‬جول‪.‬‬

‫‪2 4‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪4 4‬‬

‫ك�� ةقا ‬ ‫الحل‬

‫مقيسا بالمتر ‪ ،‬هـ قياس زاوية ميله على األفقي‪ ،‬تؤثر‬ ‫ليكن ف طول المستوى‬ ‫ً‬ ‫على الجسم قوتان توازيان اتجاه الحركة؛ مركبة الوزن‪ ،‬وتعمل فى خط أكبر ميل‬ ‫ألسفل ومقدارها ك ‪ E‬جا هـ وقوة مقاومة المستوى لحركة الجسم عليه وتعمل فى‬ ‫خط أكبر ميل ألعلى وليكن مقدارها م‪.‬‬

‫م‬ ‫‪ 1‬متر‬

‫ك ‪ E‬جا ‪c30‬‬

‫شكل (‪)8‬‬

‫هـ‬

‫الشغل المبذول أثناء حركة الجسم من قمة المستوى حتى قاعدته‪:‬‬ ‫ش = (ك ‪ E‬جا هـ ‪ -‬م) * ف‬ ‫‪1‬‬ ‫ = (‪ - * 9٫8 * 0٫3‬م) * ف = ‪ - 9٫8 * 0٫3‬م ف‬ ‫ف‬

‫ولكن م ف = ‪ 1٫59‬جول هو الشغل الذى بذلته قوة المقاومة‪.‬‬ ‫` ش = ‪ 1٫35 = 1٫59 - 9٫8 * 0٫3‬جول‬ ‫` ط ‪ -‬ط‪ = :‬ش‬ ‫` ‪ 0٫3 * 12‬ع‪ - 2‬صفر = ‪1٫35‬‬ ‫` ع = ‪ 3‬متر ‪/‬ث‬ ‫` ع‪9 = 2‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 6‬وضع جسم كتلته ‪ 200‬جرام عند قمة مستوى مائل إرتفاعه ‪ 3‬أمتار‪ .‬إحسب السرعة التى يصل بها هذا الجسم‬ ‫إلى قاعدة المستوى علما بأن مقدار الشغل الذى بذلته قوة مقاومة المستوى للحركة ‪ 4٫48‬جول‪.‬‬ ‫مثال‬

‫جسم كتلته ‪ 1‬كجم يتحرك بسرعة ثابتة مقدارها ‪12‬م‪/‬ث‪ ،‬أثرت عليه قوة مقاومة فى اتجاه مضاد التجاه حركته‬ ‫مقدارها ‪6‬س‪( 2‬نيوتن) حيث س المسافة التى يقطعها الجسم تحت تأثير المقاومة (بالمتر)‪.‬‬ ‫أ أوجد الشغل الذى تبذله المقاومة عندما س = ‪ 4‬ب أوجد سرعة الجسم وطاقة حركته عندما س = ‪2‬‬ ‫الحل‬

‫‪4‬‬

‫أ ش =‪E X 0‬س‬ ‫‪4‬‬ ‫ ‪6‬س‪ E 2‬س = [‪2 -‬س‪4 ] 3‬‬‫=‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪ 128 -‬جول‬

‫ب ‪ a‬التغير فى طاقة الحركة = الشغل المبذول‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 12‬ك (ع‪ - 2‬ع‪ E X 0 = )20‬س‬ ‫‪ ( 1* 12‬ع‪= )144 - 2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6 -‬س‪E 2‬س‬

‫‪( 12‬ع‪)144 - 2‬‬

‫= [ ‪2 -‬س‪3‬‬

‫ع‪2‬‬

‫= ‪112‬‬

‫‪( 12‬ع‪)144 - 2‬‬

‫ع‬

‫= ‪16-‬‬

‫]‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫= ‪ 7 4‬م‪/‬ث‬

‫ط = ‪ 12‬ك ع‪ 56 = 112 * 1 * 12 = 2‬جول‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪2‬‬

‫�� ‬

‫تمــــاريــن ‪2 - 4‬‬

‫ا اً‬ ‫أول‪ :‬اأكمل ‪:‬‬ ‫طاقة حركة قذيفة كتلتها ‪ 13‬كجم وتتحرك بسرعة ‪ 300‬متر‪/‬ث يساوى ‪ ...................‬جول‪.‬‬

‫‪ 2‬طاقة حركة جسم كتلته ‪ 40‬جرام يتحرك بسرعة ‪20‬متر‪/‬ث يساوى ‪ ...................‬جول‬

‫‪ 3‬سيارة كتلتها ‪ 1٫5‬طن وطاقة حركتها ‪ 168750‬جول فإن سرعة السيارة ‪ ...................‬م‪/‬ث‬

‫‪ 4‬جسم كتلته ‪ 200‬جرام يتحرك بسرعة ع = ‪ N 40 + M 30‬حيث ‪ N ، M‬متجها وحدة متعامدان‬ ‫ومقدار السرعة مقيس بوحدة سم‪/‬ث فإن طاقة حركة هذا الجسم = ‪ ...................‬إرج‬ ‫‪N، M‬‬

‫جسم يتحرك بسرعة ع = ‪ N 100 + M 50‬حيث ع مقيس بوحدة سم‪/‬ث ‪،‬‬ ‫متجها وحدة متعامدان فى إتجاهى وس ‪ ،‬وص وكانت طاقة حركة هذا الجسم تساوى ‪ 3٫9‬جول فإن‬ ‫كتلة الجسم = ‪ ..................‬جرام‪.‬‬

‫‪ 6‬إذا ترك جسم كتلته ‪ 30‬جرام ليسقط من إرتفاع ‪ 10‬أمتار من سطح األرض فإن طاقة حركة هذا الجسم =‬ ‫جول عندما يكون وشك اإلرتطام باألرض‪.‬‬

‫‪...................‬‬

‫ثان ًيا‪:‬‬

‫‪ 7‬إصطدمت رصاصة كتلتها ‪ 32‬جرام وسرعتها ‪ 400‬م‪/‬ث بقالب خشبى فسكنت بعد أن قطعت داخل القالب‬ ‫مسافة ‪5‬سم إحسب الزمن الذى تستغرقه الرصاصة داخل القالب (مستخدما مبدأ الشغل والطاقة)‪.‬‬ ‫‪ 8‬أطلقت رصاصة كتلتها ‪25‬جم بسرعة أفقية على قطعة خشبية كتلتها ‪1٫35‬كجم موضوعة على نضد أفقى‬ ‫واحدآ تحرك مسافة ‪10‬سم نتيجة للتصادم‪ .‬احسب سرعة انطالق الرصاصة‬ ‫خشن فاستقرت فيها وكونتا جسما‬ ‫ً‬ ‫مستخد ًما مبدأ الشغل والطاقة إذا كان معامل االحتكاك الحركى بين قطعة الخشب والنضد يساوى ‪. 14‬‬

‫‪ 9‬قوة مقدارها ‪ 12‬نيوتن ثابتة األتجاه تقوم ببذل شغل على جسم تحرك فإذا كانت إزاحته تعطى بالعالقة‬ ‫ف = ‪ N 4 - M 3‬حيث ف بالمتر إحسب قياس الزاوية بين ‪ ، X‬ف إذا كان التغير فى طاقة الحركة‬ ‫للجسم‪.‬‬ ‫أوال‪ :‬يساوى ‪ 30‬جول‬ ‫ثانيا‪ :‬يساوى ‪ 30-‬جول‬

‫‪ 0‬الشكل المقابل يوضح تأثير مركبة قوة فى األتجاه الموجب إتجاه لمحور السينات على جسم كتلته ‪2‬كجم‬ ‫فإذا كانت سرعة الجسم عند س = ‪ 0‬يساوى ‪ 4‬م‪/‬ث‬ ‫أوال‪ :‬أوجد التغير فى طاقة حركة بين س = ‪ ، 0‬س = ‪ 5‬متر‪.‬‬

‫‪2 6‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪4 4‬‬

‫ك�� ةقا ‬

‫ثانيا‪ :‬احسب مقدار طاقة حركة الجسم عند س = ‪3‬‬

‫ص‬ ‫ق (نيوتن)‬

‫ثالثا‪ :‬عند أى قيمة لـ س يكون مقدار طاقة الحركة ‪ 8‬جول‬ ‫ترك جسم كتلته ‪ 200‬جرام ليتحرك من سكون من قمة مستوى أملس طوله‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 10‬أوجد طاقة حركة هذا الجسم‬ ‫‪ 25‬متر ويميل على األفقى بزاوية جيبها‬ ‫عندما يصل إلى قاعدة المستوى‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫س‬

‫ف (متر) ‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2 3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬‫‪2‬‬‫‪3-‬‬

‫‪ 2‬قذف جسيم كتلته ‪ 5‬كجم على خط أكبر ميل لمستوى أملس يميل على‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ، 10‬وألعلى بسرعة ‪ 4‬متر‪/‬ث‪ .‬إحسب التغير الذى‬ ‫األفقى بزاوية جيبها‬ ‫يطرأ على طاقة حركة هذا الجسيم بعد إنقضاء ثانية واحدة على لحظة قذفه ثم عندما يعود إلى موضع القذف‪.‬‬ ‫‪ 3‬مستوى مائل خشن طوله ‪ 20‬متر وإرتفاعه ‪ 5‬أمتار أوجد أصغر سرعة يقذف بها جسم من أسفل نقطة فى‬ ‫المستوى المائل وفى اتجاه خط أكبر للمستوى لكى يصل بالكاد إلى أعلى نقطة فى المستوى علما بأن الجسم‬ ‫يالقى مقاومات تساوى ‪ 14‬وزنه‪.‬‬ ‫‪ 4‬أطلقت قذيفة مدفع بسرعة ع = ‪ N 360 + M 105‬حيث ‪ N ، M‬متجها وحدة متعامدان ومقدار‬ ‫السرعة مقاس بوحدة م‪/‬ث‪ ،‬فإذا كانت طاقة الحركة للقذيفة تساوى ‪ 610*1٫125‬جول فأوجد كتلة القذيفة‬ ‫بالكيلو جرام‪.‬‬

‫يتحرك جسم كتلته ‪2‬كجم تحت تأثير القوى ‪2 = 2X ، N 2 + M = 1X‬‬ ‫= ‪ N 5 + M 3‬مقدرة كل منها بالنيوتن حيث ‪ N ، M‬متجها وحدة متعامدين فإذا كان متجه األزاحة‬ ‫كدالة فى الزمن يعطى بالعالقة ف = ‪ C‬ن‪ - M 2‬ب (ن‪ - 2‬ن) ‪ N‬ومعيار األزاحة بالمتر أوجد‪:‬‬ ‫‪3X , N + M‬‬

‫ً‬ ‫اوال‪ :‬قيمة كل من الثابتين ‪ ، C‬ب‬

‫ثان ًيا‪ :‬الشغل المبذول من هذه القوة بعد ‪ 2‬ثانية من بدء الحركة‬

‫ثال ًثا‪ :‬طاقة الحركة فى نهاية زمن قدره ‪ 2‬ثانية‬

‫‪ 6‬أطلقت رصاصة أفق ًيا بسرعة ‪ 540‬كم‪/‬س على قطعة من الخشب فاستقرت فيها على عمق ‪ 20‬سم‪ ،‬فإذا أطلقت‬ ‫نفس الرصاصة بنفس السرعة على هدف ثابت من نفس نوع الخشب سمكه ‪15‬سم‪ ،‬فما هى السرعة التى‬ ‫تخرج بها الرصاصة من الهدف بفرض ثبوت المقاومة‪.‬‬ ‫‪ 7‬هدف رأسى مكون من طبقتين من معدنين مختلفين‪ ،‬سمك األول ‪7‬سم وسمك الثانى ‪14‬سم فإذا أطلقت‬ ‫رصاصتان متساويتان فى الكتلة فى إتجاهين متضادين وعموديين على الهدف وبسرعة واحدة فأخترقت‬ ‫الرصاصة األولى الطبقة األولى وسكنت فى الثانية بعد أن غاصت فيها مسافة ‪5‬سم وأخترقت الرصاصة الثانية‬ ‫الطبقة الثانية وأستقرت فى الطبقة األولى بعد أن غاصت مسافة ‪ 1‬سم أوجد النسبة بين مقاومة المعدنين‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪2 7‬‬

‫�� ‬

‫‪ 8‬كرتان ملساويتان كتلتاهما ‪100‬جرام‪200 ،‬جرام تتحركان فى خط مستقيم فى إتجاهين متضادتان تصادمت‬ ‫الكرتان عندما كانت سرعتاهما ‪8‬م‪/‬ث ‪12 ،‬م‪/‬ث على الترتيب فإذا إرتدت الكرة األولى بعد التصادم مباشرة‬ ‫بسرعة ‪2‬م‪/‬ث إحسب طاقة الحركة المفقودة نتيجة التصادم بالجول‪.‬‬ ‫‪ 9‬سقطت كرة كتلتها ‪ 100‬جرام من إرتفاع ‪ 3٫6‬متر على أرض أفقية فاصطدمت بها وأرتدت رأسيا إلى أعلى فإذا‬ ‫بلغ النقص فى طاقة حركة الكرة نتيجة إصطدامها باألرض ‪ 1٫96‬جول‪ .‬احسب المسافة التى إرتدتها الكرة‬ ‫عقب تصادمها باألرض ‪.‬‬ ‫‪ 20‬سقط جسم مطاطى من السكون من قمة برج فبلغت كمية حركته قبل التصادم مباشرة ‪1092‬جم ‪ .‬متر‪/‬ث ‪،‬‬ ‫طاقة حركته ‪1014‬ث جم‪ .‬متر احسب كتلة هذا الجسم وارتفاع البرج وإذا إرتد الجسم بعد إصطدامه باألرض‬ ‫مسافة ‪ 4٫9‬متر فأوجد مقدار دفع األرض للجسم‪.‬‬ ‫‪ 2‬سقطة جسم (‪ )C‬كتلته ‪ 1٫8‬كجم من السكون من أرتفاع ما عن سطح األرض ‪ ،‬وفى نفس اللحظة قذف جسم‬ ‫جسما‬ ‫(ب) كتلته ‪1٫14‬كجم رأس ًيا من سطح األرض ألعلى بسرعة ‪49‬م‪/‬ث ليصطدم بالجسم (‪ )C‬ويكونا م ًعا‬ ‫ً‬ ‫واحدا‪ ،‬إذا علم أن سرعة الجسم (‪ )C‬قبل التصادم مباشرة ‪28‬م‪/‬ث فاحسب‪:‬‬ ‫ً‬

‫ً‬ ‫اوال‪ :‬السرعة المشتركة للجسمين بعد التصادم مباشرة‪.‬‬

‫ثان ًيا‪ :‬طاقة الحركة المفقودة بالتصادم ‪ .‬ثال ًثا‪ :‬الدفع الواقع على الجسم (‪)C‬‬

‫‪ 22‬سقطت مطرقة كتلتها ‪800‬كجم من أرتفاع ‪6٫4‬متر رأس ًيا على عمود من أعمدة األساس كتلته ‪ 320‬كجم‬ ‫فتدكه رأس ًيا فى األرض لمسافة ‪10‬سم‪ .‬أوجد ‪:‬‬

‫ً‬ ‫اوال‪ :‬السرعة المشتركة للمطرقة والجسم بعد التصادم مباشرة‪.‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬طاقة الحركة المفقودة نتيجة للتصادم ‪.‬‬

‫ثال ًثا‪ :‬مقاومة األرض للجسم مقدرة بثقل الكيلو جرام‪.‬‬

‫‪2 8‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫طاقة الوضع‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫‪Potential energy‬‬

‫‪3-4‬‬

‫تمهيد‪:‬‬ ‫لقد درست فيما سبق طاقة الجسم المرتبطة بحركته‪ ،‬والتي تسمى بطاقة الحركة‪ ،‬سوف تتعلم‬ ‫ طاقة الوضع‪.‬‬ ‫وفي هذا الدرس سوف ندرس طاقة وضع الجسم التي ترتبط بمكان وجوده‪ ،‬ويمكن‬ ‫ العالقة بني الشغل والتغري‬ ‫تعريف عدة أنواع من طاقة الوضع بحيث يرتبط كل نوع بقوة ما‪ ،‬وتعد طاقة وضع‬ ‫يف طاقة الوضع‪.‬‬ ‫جذب األرض لألجسام من أكثر طاقات الوضع شيو ًعا‪.‬‬ ‫ مبدأ الشغل والطاقة – ثبات‬ ‫الطاقة‪.‬‬

‫تعلم‬

‫ طاقة وضع جسم تؤثر عليه‬ ‫قوة متغرية‪.‬‬

‫طاقة الو�شع‬ ‫عندما يتحرك جسيم على خط مستقيم تحت تأثير قوة ثابتة توازى هذا الخط فإن‬ ‫الوضع‬ ‫الوضع‬ ‫الوضع‬ ‫طاقة وضع الجسيم طو عند لحظة ما هى الشغل‬ ‫الثابت‬ ‫االبتدائى‬ ‫النهائى‬ ‫المبذول بواسطة القوة المؤثرة لجسيم لو أنها حركته‬ ‫و‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫المصطلحات األساسية‬ ‫من موضعه إلى موضع أخر ثابت على الخط المستقيم‬ ‫ طاقة الوضع ‪potential energy‬‬ ‫‪ C‬ب كما فى الشكل المجاور‪.‬‬ ‫‪potential energy‬‬

‫إذا كانت القوة ‪ X‬توازى ‪ C‬ب وكانت (و) هى الموضع الثابت ‪ ، C ،‬ب وضعين‬ ‫مختلفين للجسم على هذا الخط فإن ‪:‬‬ ‫طاقة الوضع عند ‪ C : X = CV‬و ‪ ،‬طاقة الوضع عند ‪V‬ب = ‪ : X‬ب و ‪،‬‬ ‫وباستخدام الرمز ∙‬ ‫‪ N‬للتعبير عن طاقة الوضع نجد أن ‪:‬‬

‫ التغري يف طاقة الوضع‬

‫‪change in potential energy‬‬

‫ مبدأ الشغل والطاقة‬ ‫‪the work – energy principle‬‬ ‫ ثبات الطاقة‬

‫‪ a‬طاقة الوضع عند (و) = ‪ 0‬ألن طاقة الوضع عند و = ‪ = 0 : X‬صفر‬ ‫‪a‬‬

‫باعتبار أن ‪ ، C‬ب هما الموضعان االبتدائى والنهائى للجسم المتحرك ‪N ،CN ،‬ب‬

‫هما طاقتى الوضع عند ‪ ، C‬ب علي الترتيب فإن ‪:‬‬

‫‪V‬ب ‪ : X ( = CV-‬ب و ) ‪ C : X ( -‬و )‬

‫= ‪ (: X‬ب و ‪ C -‬و )= ( ‪ : X‬ب‪) C‬‬ ‫=‪C : X -‬ب‬

‫ولكن ‪ C : X :‬ب = ش‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫‪2‬‬

‫من‬

‫‪2‬‬

‫‪V‬ب ‪- = CV-‬ش‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫ آله حاسبة علمية‪.‬‬

‫ برامج رسومية للحاسب‪.‬‬

‫‪2 9‬‬

‫�� ‬

‫أى أن‪ :‬التغير في طاقة وضع الجسم عند إنتقاله من موضع ابتدائى إلى موضع نهائى يساوى سالب الشغل المبذول‬ ‫بواسطة القوة خالل الحركة‪.‬‬ ‫بقاء الطاقة‬ ‫إذا أنتقل جسم من موضع ‪ C‬إلى موضع آخر ب دون أن يالقى أى مقاومة فإن مجموع طاقتى الحركة والوضع عند ‪C‬‬ ‫يساوى مجموع طاقتى الحركة والوضع عند ب ‪.‬‬ ‫من مبدأ الشغل والطاقة نجد أن طب ‪ -‬ط‪ = C‬ش‬

‫ومن العالقة السابقة التى تربط الشغل بطاقة الوضع نجد أن‪:‬‬ ‫‪V‬ب ‪ - = CV -‬ش‬ ‫`‬ ‫`‬

‫ط ب ‪ -‬ط‪C‬‬

‫طب ‪V +‬ب‬

‫= ‪V[ -‬ب ‪]CV -‬‬

‫= ط‪CV + C‬‬

‫مجموع طاقتى الحركة والوضع يظل ثاب ًتا أثناء الحركة‬ ‫وحدات قياس طاقة الوضع‪ :‬من تعريف طاقة الوضع نجد أن وحدات قياسها هى نفسها وحدات قياس الشغل‬ ‫وطاقة الحركة‬ ‫مثال‬ ‫أثرت القوة ‪ N 2 + M 6 = X‬على جسم فحركته من الموضع ‪ C‬إلى الموضع ب فى زمن ‪ 2‬ثانية‪ ،‬وكان متجه‬ ‫الموضع للجسم يعطى بالعالقة ‪3( = S :‬ن‪2 ( + M )2 + 2‬ن‪ N)1+ 2‬احسب التغير فى طاقة الوضع للجسم‬ ‫حيث معيار ‪ X‬مقيس بالنيوتن‪ ،‬معيار‪ S‬بالمتر ‪ ،‬ن بالثانية‪.‬‬

‫الحل‬

‫‪a‬‬

‫ف‬

‫= ‪0S - S‬‬

‫= (‪3‬ن‪2( + M )2 + 2‬ن‪) N + M 2( - N )1+ 2‬‬

‫= ‪3‬ن‪2 + M 2‬ن‪ C = N 2‬ب‬

‫` التغير في طاقة الوضع = ‪ : X‬ب ‪ C : X ( - = C‬ب )‬ ‫= ‪3( :)2 ،6( -‬ن‪2 ، 2‬ن‪)2‬‬

‫= ‪ 18( -‬ن‪4 + 2‬ن‪22 - = )2‬ن‪2‬‬

‫= ‪ 88 - = 4 * 22-‬جول‬ ‫حاول أن تحل‬

‫أثرت القوة ‪ N 5 + M 4 = X‬على جسم فحركته من الموضع ‪ C‬إلى الموضع ب فى زمن ‪ 2‬ثانية ‪ ،‬وكان متجه‬ ‫الموضع للجسيم يعطى كدالة فى الزمن بالعالقة ‪2( = S‬ن‪4 ( + M )3+ 2‬ن ‪ . N )1+‬احسب التغير فى طاقة‬ ‫الوضع للجسيم حيث معيار ‪ X‬مقيس بالنيوتن ‪ ،‬معيار ‪ S‬بالمتر ‪ ،‬ن بالثانية‪.‬‬

‫‪260‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫ك�� ‬

‫‪4 4‬‬

‫مثال‬ ‫جسم كتلته ‪ 300‬جم موضوع على ارتفاع ‪ 10‬أمتار من سطح األرض‪ ،‬أوجد طاقة وضع الجسم‪ ،‬وإذا سقط‬ ‫الجسم رأس ًيا فأوجد مجموع طاقتى الحركة والوضع للجسم عند أى لحظة أثناء سقوطه‪ .‬ثم أوجد طاقة حركته‬ ‫عندما يكون علي ارتفاع ‪ 3‬متر عن سطح األرض‪.‬‬

‫الحل‬

‫طاقة وضع الجسم عند ‪:C‬‬ ‫طاقة وضع الجسم عند ‪ = C‬ك ‪ * E‬ل‬ ‫= ‪ 29٫4 = 10 * 9٫8 * 0٫3‬جول‬ ‫‪ 10‬متر‬ ‫` طاقة حركته = صفر‬ ‫‪ a‬الجسم ساكن عند ‪C‬‬ ‫= ‪ 29٫4‬جول‬ ‫` ط‪CV + C‬‬ ‫‪ a‬مجموع طاقتى الحركة والوضع يظل ثاب ًتا أثناء الحركة‬ ‫` مجموع طاقتى الحركة والوضع للجسم عن أى لحظة أثناء سقوطه = ‪ 29٫4‬جول‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪ 3‬متر‬

‫طاقة الحركة وطاقة الوضع عند ب‪:‬‬ ‫` طاقة وضع الجسم = ك‪ * E‬ل‬ ‫= ‪ 8٫82 = 3 * 9٫8 * 0٫3‬جول‬ ‫= ط ‪CV + C‬‬ ‫‪ a‬طب ‪V +‬ب‬ ‫` طب = ‪ 20٫58 = 8٫82 - 29٫4‬جول‬ ‫= ‪29٫4‬‬ ‫` طب ‪8٫82 +‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 2‬سقط جسيم كتلته ‪ 100‬جم من ارتفاع ‪ 4‬متر عن سطح األرض ‪ .‬أوجد مجموع طاقتى الحركة والوضع للجسم‬ ‫واحد من سطح األرض‪.‬‬ ‫متر‬ ‫ً‬ ‫عند أى لحظة أثناء سقوطه‪ ،‬ثم أوجد طاقة حركته عندما يكون على ارتفاع ً‬ ‫مثال‬

‫جسم كتلته ‪3‬كجم موضوع عند ‪ C‬أعلى نقطة من مستوى مائل أملس طوله ‪ 20‬متر ويميل على األفقى بزاوية‬ ‫قياسها ‪ .c30‬احسب طاقة وضع الجسم ‪ ،‬وإذا هبط الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ‪ .‬أحسب سرعة‬ ‫الجسم لحظة وصوله إلى أسفل نقطة فى المستوى ‪.‬‬

‫الحل‬

‫طاقة الحركة الجسم عند ب‪:‬‬ ‫=ك‪*E‬ل‬ ‫‪CV‬‬ ‫= ‪ 20 ( 9٫8 * 3‬جا ‪)c30‬‬ ‫= ‪ 294‬جول‬ ‫ط‪ 294 = 294 + 0 = CV + C‬جول‬

‫‪C‬‬

‫ل‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬ ‫مت ًرا‬

‫ك‪E‬‬

‫جاهـ‬

‫‪c30‬‬

‫( ألن الجسم ساكن عند ‪)C‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪26‬‬

‫ب‬

‫�� ‬

‫طاقة الحركة وطاقة الوضع عند ب‪:‬‬ ‫= ‪ 294‬جول‬ ‫طب ‪V +‬ب‬ ‫‪ 12‬ك ع‪0 + 2‬‬

‫‪2 * 294 2‬‬ ‫`ع =‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪294‬‬ ‫= ‪196‬‬

‫` ‪ *3 * 12‬ع‪2994 = 2‬‬ ‫` ع = ‪ 14‬متر‪/‬ث‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ ،C 3‬ب نقطتان علي خط أكبر ميل فى مستوى مائل خشن بحيث ب أسفل ‪ ، C‬بدأ جسم كتتله ‪ 500‬جم الحركة من‬ ‫واحدا وسرعة الجسم عندما يصل إلى ب تساوى‬ ‫مترا‬ ‫ً‬ ‫السكون من نقطة ‪ ، C‬فإذا كانت المسافة الرأسية تساوى ً‬ ‫‪4‬م‪/‬ث‪ .‬أوجد بالجول ‪:‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬الشغل المبذول من المقاومات‬ ‫أوالً‪ :‬طاقة الوضع المفقودة‬ ‫مثال‬ ‫جسما كتلته ‪ 4‬جم يتدلى رأس ًيا وبتذبذب‬ ‫بندول بسيط يتكون من قضيب خفيف طوله ‪80‬سم ويحمل فى طرفه‬ ‫ً‬ ‫فى زاوية قياسها ‪ . c120‬أوجد ‪:‬‬ ‫أوالً‪ :‬زيادة طاقة الوضع في نهاية المسار عنها في منتصف المسار‬ ‫ثان ًيا‪ :‬سرعة الجسم عند منتصف المسار‪.‬‬ ‫الحل‬

‫من هندسة الشكل‪:‬‬ ‫الكتلة تتحرك فى قوس دائرى مركزه النقطة م ونصف قطره = ‪ 80‬سم‪.‬‬ ‫‪ Cc(X a‬م جـ) = ‪c120‬‬ ‫` ‪ Cc (X‬م ‪c60 = )E‬‬ ‫‪ a‬المثلث ‪ C‬و م ثالثينى ستينى‬ ‫` م و = ‪ 40‬سم ‪ ،‬ب و = ‪ 40‬سم‬

‫زيادة طاقة الوضع عند ‪ C‬عنها عن ب‪:‬‬ ‫‪V - C V‬ب = ك‪ E‬ل‪ - 1‬ك‪ E‬ل‪ = 2‬ك‪( E‬ل‪ - 1‬ل‪ = )2‬ك‪ * E‬ب و‬ ‫= ‪ 156800 = 40 * 980 * 4‬إرج‬ ‫إليجاد سرعة الجسم عند منتصف المسار‪:‬‬ ‫من مبدأ ثبات الطاقة طب ‪V +‬ب = ط‪CV + C‬‬ ‫` ‪* 4 * 12‬ع‪156800 + 0 = 0 + 2‬‬ ‫` ع = ‪ 280‬سم‪/‬ث‬ ‫` ع‪78400 = 2‬‬

‫‪262‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪c60‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ك‪E‬‬

‫‪c30‬‬

‫م‬ ‫و‬

‫ب‬

‫كتاب الطالب‬

‫جـ‬

‫ك�� ‬

‫‪C‬‬

‫ف‬

‫ك‪E‬‬

‫م‬

‫هـ‬

‫ب‬

‫ع‬

‫جـ‬

‫‪ 12‬ك (ع‪ - 2‬ع‪ = )02‬ك ‪ E‬جا هـ * ف ‪ -‬م * ف‬

‫‪ 12‬ك (ع‪ - 2‬ع‪ = )02‬ك ‪ C * E‬ب ‪ -‬م * ف‬

‫التغير في طاقة الوضع‬

‫ع‪0‬‬

‫ج‬

‫‪ 12‬ك (ع‪ - 2‬ع‪ ( = )02‬ك ‪ E‬جا هـ ‪ -‬م ) * ف‬

‫‪motion on rouph inclined plane‬‬

‫اهـ‬

‫الحركة على م�شتوى مائل خ�شن‬ ‫إذا هبط جسم على مستوى مائل خشن تحت تأثير وزنه فقط من الموضع‬ ‫‪ C‬إلى الموضع جـ‬ ‫فإن التغير في طاقة الوضع = التغير في طاقة الحركة ‪ +‬الشغل المبذول‬ ‫ضد المقاومات‪.‬‬ ‫اإلثبات‪:‬‬ ‫نفرض أن المسافة التي تحركها الجسم على المستوى (ف)‬ ‫فتكون المسافة الرأسية ‪ C‬ب التي هبطها الجسم ‪C‬ب = ف جا هـ‬ ‫التغير في طاقة الحركة من ‪ C‬إلى ب =‬ ‫الشغل المبذول بواسطة ( ك ‪ E‬جا هـ – م)‬

‫‪4 4‬‬

‫ك‪C*E‬ب‬

‫= ‪ 12‬ك (ع‪ - 2‬ع‪ + )02‬م * ف‬

‫= التغير في طاقة الحركة ‪ +‬الشغل المبذول ضد المقاومات‪.‬‬

‫الحظ أن‪ :‬يمكن تعميم القاعدة السابقة سواء كانت الحركة رأسية أو على مستوى مائل كاآلتي‪:‬‬ ‫إذا سقط أو قذف جسم رأس ًّيا في وسط به مقاومة أو هبط على مستوى مائل خشن فإن‪:‬‬

‫التغير فى طاقة الوضع = التغير في طاقة الحركة ‪ +‬الشغل ضد المقاومات‪.‬‬

‫مثال‬

‫في الشكل المقابل مكعب من الخشب عند ‪C‬‬

‫‪ 4‬متر‬

‫الحركة عىل مستوى خشن‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫كتلته ‪ 2‬كيلو جرام‪ ،‬ينزلق على سطح (كما هو‬ ‫مبين بالشكل) حيث ‪ C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ E‬سطحان‬ ‫أملسان‪ .‬السطح األفقي ب جـ خشن‪ ،‬طوله ‪ 30‬متر‪ ،‬معامل االحتكاك الحركى له ‪ 15‬فإذا بدأ مكعب الخشب‬ ‫الحركة من سكون وهو على ارتفاع ‪ 4‬متر‪ ،‬على أي مسافة على ب جـ يسكن مكعب الخشب؟‬ ‫جـ‬

‫‪ 30‬متر‬

‫ب‬

‫الحل‬

‫المكعب ينزلق على القوس ‪ C‬ب‬

‫وتب ًعا لمبدأ ثبات الطاقة‬

‫ط‪ = C V + C‬ط ب ‪ V +‬ب‬

‫صفر ‪ = 4 * 9٫8 * 2 +‬طب ‪ +‬صفر‬ ‫` طب = ‪ 78٫4‬جول‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪263‬‬

‫�� ‬

‫وحيث إن المكعب يتحرك على المستوى ب جـ خشن‪.‬‬

‫التغير في طاقة وضع الجسم = التغير في طاقة الحركة ‪ +‬الشغل ضد المقاومات‬ ‫= (‪ + )78٫4- 0‬مك ر * ف‬ ‫صفر‬ ‫` ف = ‪ 20‬متر‬ ‫‪ * 2 * 9٫8 * 15‬ف = ‪78,4‬‬

‫ن‬ ‫مك‬

‫و‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 4‬تهبط عربة من السكون أسفل منحدر‪ ،‬ولما قطعت مسافة ‪ 180‬متر‪ ،‬وجد أنها هبطت مسافة ‪ 10‬متر‪ ،‬فإذا علم‬ ‫أن ‪ 34‬طاقة الوضع فقدت نظير التغلب على المقاومات ضد الحركة‪ ،‬وأن هذه المقاومات ظلت ثابتة طوال‬ ‫حركة العربة‪ ،‬فأوجد سرعة العربة بعد قطعها مسافة ‪ 180‬متر السابقة‪.‬‬

‫تمــــاريــن ‪3 - 4‬‬

‫ا اً‬ ‫أول‪ :‬اأكمل‪:‬‬

‫سقط جسم كتلته ‪0٫2‬كجم من أرتفاع ‪ 5‬أمتار عن سطح األرض ‪.‬‬ ‫أ طاقة وضع الجسم لحظة سقوطه = ‪............................‬جول‬ ‫ب طاقة حركة الجسم لحظة سقوطه = ‪............................‬جول‬

‫ج مجموع طاقتى الحركة والوضع لحظة وصوله لسطح األرض = ‪............................‬جول‬ ‫‪ 2‬جسم كتلته ‪ 350‬كجم على ارتفاع ‪ 20‬متر من سطح األرض‪ ،‬فإن طاقة وضع الجسم = ‪ ............................‬جول‪.‬‬

‫‪ 3‬طائرة عمودية وزنها ‪ 3500‬ث كجم تهبط رأس ًّيا ألسفل من ارتفاع ‪ 250‬متر إلى ارتفاع ‪ 150‬متر من سطح‬ ‫األرض فإن مقدار الفقد في طاقة وضعها = ‪ ............................‬جول‪.‬‬ ‫‪ 4‬جسم وزنه ‪ 2‬ث كجم صعد مسافة ‪ 200‬سم على خط أكبر ميل لمستوى أملس يميل على األفقي بزاوية قياسها‬ ‫‪ ،c30‬فإن الزيادة في طاقة وضعه = ‪ ............................‬جول‬ ‫وضع جسم عن قمة مستو مائل أملس أرتفاعه ‪90‬سم فإن سرعته عندما يصل إلى قاعدة المستوى =‬ ‫متر‪/‬ث‬

‫‪............................‬‬

‫‪ 6‬يتحرك جسم من الموضع ‪ )3 ،2( C‬إلى الموضع ب (‪ )6 ،7‬تحت تأثير القوة ‪ N 4 + M 3 = X‬فإن التغير‬ ‫في طاقة وضع الجسم = ‪ ............................‬جول؛ حيث ف بالسنتيمتر‪ X ،‬مقاسة بالداين‪.‬‬ ‫‪ 7‬أثرت قوة ‪ N 5 + M 4 = X‬على جسم فحركته من الموضع ‪ C‬إلى الموضع ب في زمن ‪ 2‬ثانية‪ ،‬وكان متجه‬ ‫الموضع للجسم يعطى كدالة في الزمن بالعالقة = ‪ 2(= S‬ن‪ 4( + M )3+ 2‬ن‪ N )1+‬فإن التغير في طاقة‬ ‫الوضع للجسم = ‪ ......‬جول؛ حيث ‪ X‬بالنيوتن‪ || S || ،‬بالمتر ‪ ،‬ن بالثانية‬

‫‪264‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫ك�� ‬

‫‪4 4‬‬

‫اأجب عن الأ�شئلة الآتية‪:‬‬

‫‪ 8‬جسم كتلته ‪ 300‬جرام موضوع على ارتفاع ‪ 10‬أمتار من سطح األرض‪ ،‬أوجد طاقة وضع الجسم‪ ،‬وإذا سقط‬ ‫الجسم رأس َّيا‪ ،‬فأوجد طاقة حركته عندما يكون على ارتفاع ‪ 3‬متر من سطح األرض‪.‬‬ ‫مترا عن سطح األرض‪ ،‬احسب التغير في‬ ‫‪ 9‬قذف جسم كتلته ‪ 140‬جرام رأس ًّيا ألعلى من قمة برج ارتفاعه ‪ً 25‬‬ ‫مقدرا بالجول‪.‬‬ ‫طاقة حركة الجسم من لحظة قذفه حتى وصوله إلى سطح األرض‬ ‫ً‬

‫متر‪/‬ثانية أوجد مجموع طاقتى الحركة والوضع بعد‬ ‫‪ 0‬قذف جسم كتلته ‪ 2‬كجم رأس ًيا إلى أعلى بسرعة ‪ً 70‬‬ ‫‪ 5‬ثوان ‪ ،‬وإذا كانت طاقة حركته بعد زمن ما هو ‪ 125٫44‬جول فأوجد هذا الزمن وأوجد طاقة وضعه عندئذ‪.‬‬ ‫جسم كتلته ‪ 100‬جم سقط من ارتفاع ‪ 5‬أمتار على أرض رخوة فغاص فيها ‪ 20‬سم أوجد ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫أوال‪ :‬مقدار ما فقد من طاقة الوضع بالجول قبل لحظة اصطدامه باألرض مباشرة‪.‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬متوسط مقاومة األرض بثقل الكيلو جرام‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫مترا ‪ .‬أحسب‬ ‫‪ 2‬تحرك رجل كتلته ‪ 72‬كيلو جراما‬ ‫ً‬ ‫صاعدا طري ًقا يميل علي األفقى بزاوية جيبها ‪ 6‬فقطع ‪ً 120‬‬ ‫التغير فى طاقة وضع الرجل‬

‫ٍ‬ ‫مستو مائل أرتفاعه ‪ 2‬متر إلى قاعدة‬ ‫‪ 3‬احسب السرعة التى يصل بها جسم كتتله ‪300‬جم موضوع عند قمة‬ ‫المستوى إذا كان مقدار الشغل المبذول ضد المقاومة يساوى ‪ 2٫13‬جول‪.‬‬

‫‪ ، C 4‬ب نقطتان على خط أكبر ميل لمستوى مائل خشن بحيث ب أسفل ‪ ، C‬بدأ جسم كتلته ‪ 500‬جم الحركة من‬ ‫واحدا وسرعة الجسم عندما يصل إلى ب تساوى‬ ‫مترا‬ ‫ً‬ ‫السكون من نقطة‪ ، C‬فإذا كانت المسافة الرأسية تساوى ً‬ ‫‪4‬م‪/‬ث‪ .‬أوجد بالجول ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫اوال‪ :‬طاقة الوضع المفقودة‪.‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬الشغل المبذول من المقاومات ‪.‬‬

‫فى الشكل المجاور ‪ :‬بندول بسيط طول خيطه ‪130‬سم‪ ،‬يبدأ البندول الحركة من‬ ‫‪5‬‬ ‫‪. 12‬‬ ‫حرا ليتذبذب فى زاوية قياسها ‪2‬هـ حيث طا هـ =‬ ‫السكون من النقطة ‪ C‬ويتحرك ً‬ ‫أوجد سرعة الكرة عند منتصف المسار‪.‬‬

‫‪ 6‬حلقة كتلتها ‪ 12‬كجم‪ ،‬تنزلق على عمود أسطواني رأسي خشن‪ ،‬فإذا كانت سرعتها ‪6٫3‬‬ ‫متر‪/‬ث بعد أن قطعت مسافة ‪ 4٫8‬متر من بدء حركتها باستخدام مبدأ الشغل والطاقة‪،‬‬ ‫احسب الشغل المبذول من المقاومة أثناء الحركة‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫م‬

‫هـ هـ‬ ‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪26‬‬

‫جـ‬

‫القدرة‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫‪4-4‬‬ ‫سوف تتعلم‬

‫‪Power‬‬

‫فكر و‬

‫ القدرة‪.‬‬

‫ناقش‬

‫شغال قدره‬ ‫شغال قدره ‪ 200‬ثقل كجم‪.‬متر فى ‪ 4‬دقائق وبذلت آلة أخرى ً‬ ‫إذا بذلت آلة ً‬ ‫‪ 100‬ثقل كجم‪.‬متر فى دقيقة واحدة‪.‬‬ ‫فأى من اآللتين أقدر (آكفأ) من األخرى؟‬ ‫شغال أكثر‪.‬‬ ‫قد يبدو لك أن اآللة األولى هى األقدر من اآللة الثانية ألنها بذلت ً‬ ‫‪ 50 = 200‬ثقل كجم‪.‬متروما بذلته‬ ‫ولكن ما بذلته اآللة األولى فى الدقيقة الواحدة = ‪4‬‬ ‫اآللة الثانية ‪1‬فى الدقيقة الواحدة = ‪ 100‬ثقل كجم‪.‬متر من ذلك نستنتج أنه لقياس قدرة‬ ‫آلة البد من معرفة ما تبذله هذه اآللة من شغل فى وحدة الزمن‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫ القدرة‬

‫ احلصان‬

‫‪Power‬‬ ‫‪Horse power‬‬

‫تعريف‬

‫القدرة ‪ :‬هى المعدل الزمنى لبذل شغل‬

‫أيضا كاآلتى‪:‬‬ ‫ويصاغ هذا التعريف ً‬ ‫«القدرة هى الشغل المبذول فى وحدة الزمن»‬ ‫القدرة = ‪)Q( E‬‬ ‫‪E‬ن‬ ‫وحيث أن ‪ : X = Q‬ف‬ ‫` القدرة = ‪ : X ( E‬ف )‬ ‫‪E‬ن‬

‫وإذا كانت القوة ‪ X‬ثابتة فإن‬ ‫‪E‬ف‬

‫القدرة = ‪E : X‬ن‬

‫= ‪ : X‬ع = ‪ X‬ع جتا هـ‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫ آله حاسبة علمية‪.‬‬

‫‪266‬‬

‫وإذا كانت ع لها نفس اتجاه القوة ‪ X‬فإن القدرة = ‪ X‬ع‬

‫من ذلك نجد أن القدرة كمية قياسية تتعين عند كل لحظة زمنية بمعلومية ق‪ ،‬ع وتحدد‬ ‫قيمتها بالمعدل الزمنى لبذل الشغل عند هذه اللحظة ‪.‬‬ ‫الحظ أن القدرة تتعين لحظ ًيا (عند لحظة معينة) خالفًا للشغل الذى يحسب دائ ًما بين‬ ‫لحظتين زمنيتين‪.‬‬ ‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫��‬

‫‪4 4‬‬

‫القدرة المتوسطة‪:‬‬ ‫شغال قدرة ‪ Q‬خالل فترة زمنية ‪9‬ن = ن‪ - 2‬ن‪ 1‬فإن‪:‬‬ ‫إذا بذلت القوة ً‬ ‫‪Q‬‬

‫‪Q‬‬

‫=‬ ‫القدرة المتوسطة =‬ ‫‪9‬ن‬ ‫ن‪ - 2‬ن‪1‬‬

‫استخدام التكامل فى إيجاد الشغل‬ ‫‪ a‬القدرة = ‪، )Q( E‬‬

‫`‪=Q‬‬

‫‪E‬ن‬

‫ن‪1‬‬

‫ن‪2‬‬

‫(القدرة ) ‪ E‬ن‬

‫القدرة المتغيرة وأقصى قدرة‬ ‫عند ثبوت مقدار القوة ‪ X‬فإن مقدار القدرة يتغير طرد ًيا مع مقدار سرعة الجسم ع ويكون ‪ X‬ثابت التغير حيث‬ ‫القدرة ع عند ثبوت ‪X‬‬ ‫القدرة = ‪ X‬ع‬ ‫وكلما تغير مقدار السرعة تغير مقدار القدرة ونحصل على أقصى قدرة عند ما تصبح السرعة أقصى مايمكن ويطلق‬ ‫على القدرة فى هذه الحالة قدرة اآللة (بوجه عام)‬

‫وحدات قيا�ض القدرة‪:‬‬

‫بما أن القدرة تساوى المعدل الزمنى لبذل الشغل‪.‬‬

‫وحدة قياس الشغل‬

‫` وحدة قياس القدرة = وحدة قياس الزمن = وحدة قياس القوة * وحدة قياس السرعة‬

‫ومن وحدات قياس القدرة ‪ :‬الوات (نيوتن‪ .‬م‪/‬ث)‪ ،‬ث كجم ‪.‬م‪/‬ث ‪ -‬ارج ‪/‬ث‪ ،‬الحصان‬

‫‪ a‬النيوتن ‪ -‬متر‪/‬ثانية (نيوتن ‪ .‬متر‪/‬ث)‪ :‬يعرف النيوتن ‪ -‬متر‪/‬ثانية على أنه قدرة قوة تبذل شغال بمعدل زمنى‬ ‫ثابت مقداره نيوتن ‪ -‬متر واحد فى كل ثانية‪.‬‬ ‫ويطلق أيضا على وحدة النيوتن ‪ -‬متر ‪ /‬ثانية (جول ‪/‬ثانية) إسم «الوات»‬ ‫‪ a‬ثقل كيلوجرام ‪ .‬متر‪/‬ثانية (ث‪ .‬كجم‪ .‬متر‪/‬ث)‪ :‬يعرف ثقل كيلوجرام‪ .‬متر‪/‬ثانية على أنه قدرة قوة تبذل‬ ‫شغال بمعدل زمنى ثابت مقداره كيلو جرام ‪ -‬متر واحد فى كل ثانية‪.‬‬ ‫‪ a‬اإلرج‪/‬ثانية (إرج‪/‬ث)‪ :‬يعرف اإلرج‪/‬ثانية على أنه قدرة قوة تبذل شغال بمعدل زمني ثابت مقداره إرجا‬ ‫واحدا فى كل ثانية‪.‬‬ ‫شغال قدره ‪ 75‬ث كجم‪ .‬م كل ثانية‪.‬‬ ‫‪ a‬الحصان‪ :‬يعرف الحصان على أنه قدرة اآللة التى تبذل ً‬

‫فيمايلى قواعد التحويل بين مختلف وحدات القدرة‪.‬‬ ‫½ ‪ 1‬ث كجم‪ .‬متر‪/‬ث = ‪ 9٫8‬نيوتن‪ .‬متر‪/‬ث‬ ‫½ ‪ 1‬نيوتن‪ .‬متر‪/‬ث = ‪ 1‬وات = ‪ 710‬إرج‪/‬ث‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪267‬‬

‫�� ‬

‫كما أن هناك وحدات أخرى للقدرة مثل الكيلو وات والحصان‪.‬‬ ‫‪ 1 a‬كيلو وات = ‪ 1000‬وات = ‪ 1000‬نيوتن‪ .‬متر‪/‬ث = ‪ 1010‬إرج‪/‬ث‬ ‫‪ 1 a‬حصان = ‪ 75‬ث كجم‪ .‬متر‪/‬ث‬ ‫= ‪ 9٫8 * 75‬نيوتن‪ .‬متر‪/‬ث‬ ‫= ‪ 735‬نيوتن‪ .‬متر‪/‬ث ( وات)‬ ‫= ‪ 0٫735‬كيلو وات‬ ‫مثال‬ ‫شخص كتلته‪ 50‬كجم يصعد سلم برج إرتفاع البرج ‪ 441‬متر فى زمن قدره ‪ 15‬دقيقة إحسب القدرة المتوسطه‬ ‫له بوحدة الوات‪.‬‬ ‫الحل‬

‫القوه (‪)X‬‬

‫= ك ‪ 490 = 9٫8 * 50 = E‬نيوتن‬

‫المسافة‬ ‫‪ 0٫49 = 60441‬م‪/‬ث‬ ‫=‬ ‫سرعة الرجل المتوسطة =‬ ‫‪*15‬‬ ‫الزمن‬

‫القدرة المتوسطة = القوة * السرعة = ‪ * X‬ع = ‪ 240٫1 =0٫49 * 490‬وات‬ ‫حاول أن تحل‬

‫محرك طائرة يعطى قوة مقدارها ‪ 410 * 32٫2‬نيوتن عندما تكون سرعة الطائرة ‪ 900‬كم‪/‬س إحسب قدرة‬ ‫المحرك بالحصان‬ ‫مثال‬ ‫سيارة كتلتها ‪ 2‬طن تتحرك على طريق أفقى بسرعة منتظمة مقدارها ‪ 108‬كم‪/‬س ضد مقاومات تعادل‬ ‫‪ 15‬ث‪.‬كجم لكل طن من الكتلة إحسب قدرة آلتها بالحصان‪.‬‬ ‫الحل‬

‫الجسم يتحرك بسرعة منتظمة «تبعا للقانون األول لنيوتن فتكون ‪ 30 = 2 * 15 = J = X‬ثقل كيلوجرام‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 30 = 18‬م‪/‬ث‬ ‫سرعة السيارة = ‪* 108‬‬ ‫` القدرة = ‪ * X‬ع = ‪ 900 = 30 * 30‬ث كجم‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫‪ 12 = 900‬حصان‬ ‫` القدرة = ‪75‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 2‬شاحنة كتلتها ‪ 6‬طن تتحرك على طريق أفقى بسرعة منتظمة مقدارها ‪ 54‬كم‪/‬س عندما تكون قدرة محركها‬ ‫‪ 30‬حصان ‪ ،‬احسب مقاومة الطريق بثقل الكيلوجرام لكل طن من الكتلة‪.‬‬

‫‪268‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪4 4‬‬

‫��‬

‫مثال‬ ‫سيارة كتلتها ‪ 9‬طن تصعد منحدرا يميل على األفقى بزاوية جيبها ‪1‬‬ ‫‪ 125‬بأقصى سرعة مقدارها ‪ 45‬كم‪/‬س ضد‬ ‫مقاومات تعادل ‪ 20‬ثقل كيلوجرام لكل طن من الكتلة ‪ ،‬إحسب قدرة محركها بالحصان‬ ‫الحل‬

‫الحركة ألعلى المستوى‬ ‫معادلة الحركة ‪X‬‬

‫ات‬

‫‪X‬‬

‫= م ‪ +‬ك ‪ E‬جا هـ‬ ‫= ‪1 * 9٫8 * 310 * 9 + 9٫8 * 9 * 20‬‬ ‫‪ 125‬نيوتن‬ ‫= ‪ 252‬ث‪.‬كجم‬

‫ع‬

‫‪5‬‬ ‫‪ 25‬م‪/‬ث‬ ‫= ‪2 = 18 * 45‬‬

‫‪X‬‬

‫أقصى سرعة تصعد بها السيارة على المنحدر‬

‫جا‬

‫‪S‬‬

‫‪X‬‬

‫ك‪E‬جتاهـ‬

‫هـ‬

‫م‬ ‫هـ‬

‫ها‬ ‫لح‬

‫ك‪E‬‬

‫ركة‬

‫جاهـ‬

‫ك‪E‬‬

‫‪25 * 252‬‬ ‫‪ 42 = 2‬حصان‬ ‫` أقصى قدرة للسيارة = ‪ * X‬ع =‬ ‫‪75‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 3‬فى المثال السابق إذا هبطت السيارة بعد ذلك على نفس المستوى بعد تحميلها ببضائع كتلتها ‪ 3‬طن‪ ،‬أحسب‬ ‫أقصى سرعةللهبوط بالكم‪/‬س علما بأن المقاومة عن كل طن من الكتلة لم تتغير ‪.‬‬

‫منتظما (ثاب ًتا) فإن ‪:‬‬ ‫الحظ أن‪ :‬اذا كان معدل بذل الشغل‬ ‫ً‬ ‫مثال‬

‫الشغل‬ ‫القوة * المسافة‬ ‫=‬ ‫القدرة =‬ ‫الزمن‬ ‫الزمن‬

‫عامل وظيفته تحميل صناديق على شاحنة كتلة الصندوق الواحد ‪ 30‬كجم فاذا كان إرتفاع الشاحنة ‪ ٫9‬متر احسب‬ ‫عدد الصناديق التى يستطيع العامل تحميلها فى زمن قدره ‪ 1‬دقيقة اذا كانت قدرته المتوسطة تساوى ‪ 0٫6‬حصان‪.‬‬ ‫الحل‬

‫الشغل الكلى عدد الصناديق * الشغل الالزم لتحميل صندوق واحد‬ ‫=‬ ‫القدرة =‬ ‫الزمن‬ ‫الزمن‬

‫القدرة * الزمن‬ ‫` عدد الصناديق الالزم تحميلها فى زمن قدرة ‪ 1‬دقيقة =‬ ‫الشغل للصندوق الواحد‬ ‫‪735 * 0٫6‬‬ ‫= ‪ 53 = 0٫9 * 9٫8 * 30‬صندوق لكل ثانية‬ ‫عدد الصناديق‬

‫عدد الصناديق‬

‫= ‪ 100 = 60 * 53‬صندوق لكل دقيقة‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪269‬‬

‫�� ‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 4‬فى المثال السابق احسب عدد الصناديق اذا كانت قدرة العامل ‪ 352٫8‬وات‬ ‫مثال‬ ‫قطار كتلته ‪ 200‬طن يصعد منحدرا يميل على األفقى بزاوية جيبها ‪1‬‬ ‫‪ 200‬بسرعة منتظمة مقدارها ‪27‬كم‪/‬س‬ ‫ً‬ ‫ضد مقاومات للحركة موازية التجاه خط أكبر ميل للمستوى بمعدل ‪ 18‬ثقل كجم لكل طن من الكتلة‪ .‬فما‬ ‫قدرة القاطرة بالحصان؟ وإذا هبط القطار على المنحدر بنفس السرعة فكم تكون قدرة القاطرة فى هذه الحالة‬ ‫بفرض ثبوث مقاومات الحركة فى الحالتين؟‬ ‫الحل‬

‫ً‬ ‫أوال‪:‬‬

‫`‬

‫‪a‬‬ ‫`‬ ‫‪a‬‬ ‫`‬

‫قوة‬

‫عندما يكون القطار صاعدً ا المنحدر‪:‬‬ ‫نتخذ متجه وحدة ى في اتجاه الحركة أى إلى أعلى المستوى‬ ‫مقاومات الحركة = ‪ 3600 = 18 * 200‬ثقل كجم‬ ‫‪1‬‬ ‫مركبة وزن القطار في اتجاه المستوى = ‪200 * 1000 * 200‬‬ ‫ = ‪ 1000‬ثقل كجم‬ ‫القطار يصعد بسرعة منتظمة‬ ‫قوة المحرك = المقاومات ‪ +‬مركبة الوزن = ‪ 4600 = 1000 + 3600‬ثقل كجم‬ ‫= ‪1X‬ع حيث ‪ 1X‬قوة المحرك ‪ ،‬ع السرعة‬ ‫القدرة‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪ 18 * 27 * 4600‬ثقل كجم ‪ .‬متر‪/‬ث‬ ‫القدرة‬ ‫‪1 5‬‬ ‫‪ 460 = 75‬حصان‬ ‫= ‪* 18 * 27 * 4600‬‬

‫ال‬ ‫مح‬

‫ى‬

‫رك‬

‫ا‬

‫لمق‬

‫ا‬ ‫وما‬

‫ت‬ ‫‪ +‬مر‬

‫كبة‬

‫هـ‬

‫ال‬ ‫وزن‬

‫ثان ًيا‪ :‬عندما يكون القطار هاب ًطا المنحدر‪:‬‬ ‫وم‬ ‫نتخذ متجه وحدة ى فى اتجاه الحركة أى إلى أسفل المستوى‬ ‫ات‬ ‫ق‬ ‫‪ a‬القطار يهبط بسرعة منتظمة‬ ‫وة ال‬ ‫م‬ ‫ح‬ ‫ر‬ ‫ك‬ ‫` قوة المحرك ‪ +‬مركبة الوزن = المقاومات‬ ‫‪ +‬مر‬ ‫ك‬ ‫ب‬ ‫ة‬ ‫ال‬ ‫` قوة المحرك ‪3600 = 1000 +‬‬ ‫هـ وزن‬ ‫` قوة المحرك = ‪ 2600‬ثقل كجم‬ ‫حيث ‪ 2X‬قوة المحرك ‪ ،‬ع السرعة ( ألنها لم تتغير)‬ ‫‪ a‬القدرة = ‪2X‬ع‬ ‫‪1 5‬‬ ‫‪ 260 = 75‬حصان‬ ‫` القدرة = ‪* 18 * 27 * 2600‬‬ ‫ال‬ ‫مقا‬

‫ى‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪1‬‬ ‫قاطرة كتلتها ‪ 28‬طن تجر عربة كتلتها ‪ 56‬طن بعجلة ثابتة أسفل منحدريميل على األفقى بزاوية جيبها ‪100‬‬

‫ولما بلغت قدرة محركها ‪ 84‬حصان أصبحت سرعتها ‪ 21‬م‪/‬ث احسب عجلة الحركة اذا علمأن المقاومة‬ ‫‪ 10‬ث كجم لكل طن من الكتلة‬

‫‪270‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫��‬

‫‪4 4‬‬

‫مثال‬ ‫يتحرك جسيم كتلته ‪1‬كجم تحت تأثير القوة ‪ N 4 + M 3 = X‬بحيث كانت إزاحته ف كدالة فى الزمن‬ ‫تعطى بالعالقة ف = ‪ 3‬ن‪ 6 + M 2‬ن ‪ N‬حيث ‪ N ، M‬متجها وحدة متعامدين أوجد الشغل المبذول من‬ ‫القوة ثم أوجد القدرة عندما ن = ‪ 2‬ثانية إذا كانت ق مقيسة بالنيوتن‪ ،‬ف مقيسه بالمتر‪ ،‬ن بالثانية ‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪ ⊙ X=Q a‬ف‬ ‫` ‪3 (⊙ )4 ،3 ( = Q‬ن‪6 ، 2‬ن) = ‪9‬ن‪ 24 + 2‬ن‬ ‫‪E‬‬

‫‪ a‬القدرة =‬ ‫عندما ن = ‪ 2‬ثانية‬ ‫‪E‬ن‬

‫(ش)‬

‫` القدرة = ‪ 18‬ن ‪24 +‬‬ ‫القدرة = ‪ 60‬چول‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 6‬أثرت قوة ثابتة ‪ X‬على جسيم بحيث كان متجه إزاحته يعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة‬ ‫ف = (‪3‬ن‪+ 2‬ن) ‪ 4 - M‬ن ‪ N‬حيث ‪ N ، M‬متجها وحدة متعامدين ‪ .‬أوجد ‪ X‬إذا كانت قدرة القوة‬ ‫علما‬ ‫‪ X‬تساوى ‪ 75‬إرج‪/‬ث عندما ن = ‪ 4‬ثانية‪ ،‬وكانت قدرة القوة ‪ X‬تساوى ‪ 165‬إرج‪/‬ث عندما ن = ‪ 9‬ثانية ً‬ ‫بأن ف مقيسة بالسنتيمتر ‪ X ،‬مقيسة بوحدة اإلرج‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫مقاسا بالثوانى يساوى (‪9‬ن‪4 + 2‬ن) فأوجد الشغل المبذول من اآللة خالل الثوانى‬ ‫إذا كانت قدرة آلة عند أى زمن ن ً‬ ‫الثالث األولى ثم أوجد الشغل المبذول خالل الثانية الرابعة‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪E‬ش‬ ‫‪ a‬القدرة =‬ ‫‪E‬ن‬

‫ن‪2‬‬

‫` ‪ = Q‬ن‪( 1‬القدرة ) ‪ E‬ن‬ ‫‪3‬‬ ‫( ‪9‬ن‪4 + 2‬ن) ‪ E‬ن‬ ‫الشغل المبذول خالل الثوانى الثالث األولى = ‪0‬‬ ‫= [‪3‬ن‪2 + 3‬ن‪3 ]2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪ 99‬وحدة شغل‬

‫الشغل المبذول خالل الثانية الرابعة‬

‫‪4‬‬

‫= ‪9 ( 3‬ن‪4 + 2‬ن) ‪ E‬ن‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= [ ‪3‬ن ‪2 +‬ن ] ‪3‬‬ ‫= ‪ 125‬وحدة شغل‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪27‬‬

‫�� ‬

‫مثال‬ ‫أوجد الزمن الذى تستغرقه سيارة كتلتها ‪ 1200‬كجم لتصل سرعتها إلى ‪ 126‬كم‪/‬س من السكون إذا كانت قدرة‬ ‫المحرك ثابتة وتساوى ‪ 125‬حصان‪.‬‬

‫الحل‬

‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫`‬ ‫`‬

‫ن‬

‫` ‪=Q‬‬

‫ن‬

‫‪( 0 = Q‬القدرة ) ‪ E‬ن‬ ‫‪ 735 * 125 = Q‬ن‬ ‫` ‪ 12‬ك ( ع‪ - 2‬ع‪ 735 * 125 = )20‬ن‬ ‫الشغل = التغير فى طاقة الحركة‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 735 * 125 = )0 - 2 ) 18‬ن‬ ‫‪* 126 ( ( 1200 * 12‬‬ ‫` ن=‪8‬ث‬ ‫‪ 735 * 125 = 1000 * 735‬ن‬ ‫‪0‬‬

‫( ‪ E )735 * 125‬ن‬

‫حاول أن تحل‬

‫شغال بمعدل يعطى خالل الفترة الزمنيةن∈ [ ‪]5 ،0‬بالعالقة ‪ 144‬ن ‪ 26 -‬ن‪ ، 2‬وإذا‬ ‫‪ 7‬إذا كانت قوة محرك سيارة تبذل ً‬ ‫كانت كتلة السيارة ‪ 980‬كجم وسرعتها فى نهاية الثانية الثالثة ‪90‬كم‪/‬س فأوجد سرعتها فى نهاية الثانية الرابعة‪.‬‬

‫تمــــاريــن ‪4 - 4‬‬ ‫اأكمل‬

‫جسيم يتحرك تحت تأثير قوة ‪ N 4 +M 3 = X‬بحيث كانت إزاحته ف = ن ‪ ( +M‬ن‪ + 2‬ن) ص فإن‬ ‫قدرة القوة ‪ X‬عند اللحظة ن = ‪ 3‬ثانية تساوى ‪ ................................‬داين‪ .‬سم‪/‬ث حيث‪ X‬بالداين ‪،‬ف بالسنتيمتر‪.‬‬

‫‪ 2‬قطار كتلته ‪375‬طن وقدرة محركه ‪ 625‬حصان يتحرك على أرض أفقية بأقصى سرعة ك وقدرها ‪ 90‬كم‪/‬س فإن‬ ‫المقاومة التى يالقيها عن كل طن من كتلة القطار = ‪ ................................‬ث كجم‬ ‫‪ 3‬تتحرك سيارة كتلتها ‪ 4‬طن وقدرة محركها ‪ 10‬حصان فى خط مستقيم علي أرض أفقية فكانت أقصى سرعة لها‬ ‫‪75‬كم‪/‬س فإن مقدار مقاومة الطريق لحركة السيارة = ‪................................‬ث كجم‬ ‫‪ 4‬قطار كتلته ‪ 108‬طن يتحرك بسرعة منتظمة على طريق أفقى بسرعة ‪ 30‬كم‪/‬ساعة فإذا كانت المقاومات‬ ‫تعادل ‪ 10٫5‬ثقل كجم لكل طن من كتلته فأوجد قدره القاطرة بالحصان عندئذ‪.‬‬

‫قطار قدرة آلته ‪ 504‬حصان وكتلته ‪ 216‬طن يتحرك على طريق أفقى بأقصى سرعة له ضد مقاومات تعادل‬ ‫‪ 5‬ثقل كجم لكل طن من الكتلة ‪ ،‬أوجد أقصى سرعة له بالكيلو متر‪/‬ساعة‬

‫‪ 6‬يتحرك منطاد تحت تأثير مقاومة تتناسب مع مربع سرعته‪ ،‬فإذا كانت المقاومة تعادل ‪ 800‬ثقل كجم عندما‬ ‫كانت سرعته ‪ 20‬كم‪/‬ساعة وكانت قدرة المنطاد ‪ 200‬حصان عندما يتحرك بأقصى سرعة له‪ .‬فأوجد هذه‬ ‫السرعة بالكم‪/‬ساعة‬

‫‪272‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫��‬

‫‪4 4‬‬

‫‪ 7‬تتحرك سيارةكتلتها ‪ 1500‬كجم وقدرة محركها ‪ 120‬حصان على طريق مستقيم أفقى بأقصى سرعة وقدرها ‪72‬‬ ‫منحدرا يميل على األفقى بزاوية‬ ‫كم‪/‬س‪ .‬ما هى أقصى سرعة يمكن لهذه السيارة أن تصعد بها طري ًقا مستقيما‬ ‫ً‬ ‫جيبها ‪ 1‬عل ًما بأن المقاومة واحده على الطريقين؟‬

‫‪10‬‬

‫‪ 8‬سيارة كتلتها ‪ 3‬طن تسير على طريق أفقى بسرعة منتظمة قدرها ‪ 37٫5‬كم‪/‬ساعة وعندما وصلت إلى قمة‬ ‫منحدر يميل على األفقى بزاوية جيبها ‪ ٫03‬أوقف السائق المحرك وتحركت السيارة أسفل المنحدر بسرعتها‬ ‫السابقة نفسها فإذا كانت مقاومة المنحدر ‪ 23‬مقاومة الطريق األفقى فأوجد‪:‬‬ ‫ثانيا‪ :‬قدرة محرك السيارة على الطريق األفقى‪.‬‬ ‫أوال‪ :‬مقاومة المنحدر بثقل الكيلو جرام‪.‬‬

‫منحدرا يميل على األفقى بزاوية‬ ‫‪ 9‬تحركت سيارة كتلتها ‪ 6‬طن‪ .‬بأقصى سرعة وقدرها ‪ 27‬كم‪/‬س صاعدة طري ًقا‬ ‫ً‬ ‫جيبها ‪1‬‬ ‫‪ ، 10‬عادت السيارة وهبطت على الطريق نفسه بأقصى سرعة لها وقدرها ‪ 135‬كم‪/‬س‪ .‬عين مقدار قوة‬ ‫مقاومة الطريق للحركة بفرض أنه لم يتغير طوال الوقت ثم أوجد قدرة محرك السيارة‪.‬‬

‫‪ 0‬طائرة قدرة محركها ‪ 1350‬حصانًا عندما تتحرك أفق ًيا بسرعة ثابتة قدرها ‪ 270‬كم‪/‬س أوجد مقاومة الهواء لحركة‬ ‫الطائرة عندئذ‪ .‬وإذا كانت مقاومة الهواء تتناسب مع مربع سرعتها‪ ،‬أوجد قدرة المحرك عندما يسير أفق ًيا بسرعة‬ ‫ثابتة قدرها ‪ 180‬كم‪/‬ساعة‪.‬‬ ‫قطارا بأقصى سرعة وقدرها ‪ 72‬كم‪/‬س على أرض أفقية ‪ .‬إحسب المقاومة لحركة‬ ‫تجر قاطرة قدرة آلتها ‪ 400‬حصان ً‬ ‫منحدرا يميل على‬ ‫القطار‪ ،‬إذا كانت كتلة القطار والقاطرة م ًعا ‪ 200‬طن‪ ،‬أوجد أقصى سرعة يصعد بها القطار طري ًقا‬ ‫ً‬ ‫األفقى بزاوية جيبها ‪1‬‬ ‫‪ 200‬على فرض أن مقاومة الطريق للحركة لم تتغير‪.‬‬

‫‪ 2‬راكب دراجةكتلته مع دراجته ‪ 80‬كجم‪ ،‬وأكبر قدره له ‪ 45‬حصان فإذا كانت أقصى سرعة له على طريق أفقى‬ ‫منحدرا يميل على األفقى بزاوية‬ ‫هى ‪ 18‬كم‪/‬ساعة‪ ،‬فاحسب مقاومة الطريق بثقل كجم‪ ،‬واذا علم أنه صعد‬ ‫ً‬ ‫جيبها ‪3‬‬ ‫‪ 40‬بأقصى سرعة له فإحسب هذه السرعة بالكم‪/‬ساعة‪.‬‬

‫‪ 3‬عربة نقل كتلتها ‪ 5‬طن تتحرك على طريق أفقى بسرعة منتظمة قدرها ‪ 144‬كم‪/‬س‪ ،‬عندما كانت قدرة آلتها ‪120‬‬ ‫حصان ‪ .‬أوجد مقاومة الطريق لكل طن من الكتلة بثقل كجم‪ ،‬وإذا كانت المقاومة تتناسب مع السرعة‪ ،‬فأوجد قدرة‬ ‫المحرك بالحصان عندما تصعد العربة منحدرا يميل على األفقى بزاوية جيبها ‪3‬‬ ‫‪ 200‬بسرعة منتظمة قدرها ‪ 96‬كم‪/‬س‬ ‫ً‬ ‫‪ 4‬هبطت شاحنة كتلتها ‪ 2‬طن على طريق منحدر يميل على األفقى بزاوية جيبها ‪1‬‬ ‫‪ 100‬من موقع ( أ ) الى موقع‬ ‫(ب) بأقصى سرعة وقدرها ‪ 90‬كم‪/‬س‪ .‬إحسب قدرة محرك السيارة إذا علمت أن مقاومة الطريق لحركتها‬ ‫تقدر بنسبة ‪ ٪13‬من وزن السيارة‪ ،‬حملت السيارة عند وصولها إلى الموقع (ب) شحنة كتلتها ‪ 12‬طن ثم تحركت‬ ‫صاعدة الطريق الى موقع ( أ ) بأقصى سرعة‪ ،‬أوجد هذه السرعة إذا ظلت المقاومة على نفس نسبتها من الوزن‪.‬‬

‫قطار كتلته (ك) طن يتحرك على طريق أفقى بأقصى سرعة له وقدرها ‪ 60‬كم‪/‬س‪ .‬فصلت منه العربة األخيرة‬ ‫وكتلتها ‪ 15‬طن‪ ،‬فزادت أقصى سرعة له بمقدار ‪ 7٫5‬كم‪/‬س‪ .‬أوجد قدرة اآللة بالحصان‪ .‬وكذلك كتلة القطار‪،‬‬ ‫علما بأن المقاومة تساوى ‪ 9‬ثقل كجم عن كل طن من الكتلة‪.‬‬ ‫ً‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪273‬‬

‫�� ‬

‫‪ 6‬جسيم يتحرك تحت تأثير القوة ‪ N 4 + M 3= X‬وكان متجه إزاحته ف يعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة‬ ‫ف = ن ‪ 12 ( + M‬ن‪ + 2‬ن ) ‪ ، N‬أوجد إذا كانت ‪ X‬مقيسة بالنيوتن‪ ،‬ف بالمتر‪ ،‬ن بالثانية‪.‬‬ ‫ب متوسط القدرة خالل الثوانى الثالث األولى‬ ‫أ الشغل المبذول خالل الثوانى الثالث األولى‬ ‫ج قدرة القوة ‪ X‬عند ن = ‪ 3‬ث‬

‫‪ 7‬يتحرك جسيم كتلته الوحدة تحت تأثير قوة ‪2= X‬ن‪5 + M 1-‬ن‪ N 2+‬بحيث كان متجه إزاحته يعطى‬ ‫كدالة فى الزمن بالعالقة ف =( ‪3‬ن‪ + 2‬ن) ‪ 4 + M‬ن ‪ ، N‬أوجد إذا كانت ‪ X‬مقيسة بالنيوتن‪ ،‬ف بالمتر‪ ،‬ن‬ ‫بالثانية‪.‬‬ ‫أ الشغل المبذول خالل الثوانى الثالثة والرابعة والخامسة‬ ‫ب القدرة المتوسطة خالل الثوانى الثالثة والرابعة والخامسة‪.‬‬ ‫ج قدرة القوة عند ن = ‪ 5‬ث‬

‫‪ 8‬جسم كتلته ‪ 3‬كجم يتحرك تحت تأثير قوة ‪ X‬وكان متجه موضع الجسم عند أى لحظة زمنية ن يعطى بالعالقة‬ ‫س (ن)= ن‪+ M 3‬ن‪ N 2‬حيث س مقيسة بالمتر‪ X ،‬بالنيوتن‪ ،‬ن بالثانية ‪ .‬أوجد ‪:‬‬ ‫ب أوجد قدرة القوة ‪ X‬بداللة الزمن ن‪.‬‬ ‫أ القوة المؤثرة ‪ X‬بداللة ن‪.‬‬ ‫ج أوجد الشغل المبذول من القوة ‪ X‬خالل الفترة الزمنية ‪ H0‬ن ‪2 H‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 20‬ن‪ )2‬حيث ن الزمن بالثوانى ‪ ،‬ن∈ [‪ ]120 ،0‬أوجد ‪:‬‬ ‫‪ 9‬إذا كانت قدرة آلة (بالحصان) تساوى ( ‪6‬ن ‪-‬‬ ‫ب الشغل المبذول خالل الفترة الزمنية [‪.]30 ،0‬‬ ‫أ قدرة اآللة عندما ن = ‪ 90‬ث‪.‬‬

‫ج أقصى قدرة لآللة ‪.‬‬

‫‪ 20‬جسم كتلته ‪ 5‬كجم يتحرك تحت تأثير قوة ‪ X‬بحيث كان متجه موضعه عند الزمن ن يعطى بالعالقة س (ن)‬ ‫= ن ‪+ M‬ن‪ N 2‬إذا كانت ‪ X‬مقيسة بالنيوتن‪ ،‬س بالمتر ‪ .‬فأوجد ‪:‬‬ ‫ مستخد ًما التكامل الشغل المبذول من القوة ‪ X‬فى الفترة الزمنية [‪. ]2 ،0‬‬‫‪ 2‬جسم كتلته ‪ 3‬كجم يتحرك تحت تأثير قوة ‪ X‬بحيث كان متجه سرعته ع يعطى بالعالقة‬ ‫ع = ( ‪ - 1‬جا ‪ 2‬ن ) ‪ + 1- ( + M‬جتا ‪ 2‬ن ) ‪ N‬إذا كانت ‪ X‬مقيسة بالنيوتن ‪ ،‬ع بوحدة م‪/‬ث فأوجد‪:‬‬ ‫ب طاقة الحركة ط عند الزمن ن‪.‬‬ ‫أ القوة ‪ X‬بداللة الزمن ن‪.‬‬ ‫ج أثبت أن معدل تغير طح يساوى القدرة الناتجة عن القوة ‪. X‬‬

‫‪274‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ح‬

‫كتاب الطالب‬

‫قذف جسيم كتلته ‪200‬جم إلى أعلى مستوى أملس يميل على األفقى‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 49‬وفى اتجاه خط اكبر ميل بسرعة ‪30‬سم‪/‬ث‪ .‬أحسب‬ ‫بزاوية جيبها‬ ‫التغير الذى يطرأ على طاقة وضع هذا الجسيم عندما تصبح سرعته ‪18‬سم‪/‬ث‪.‬‬

‫‪ 2‬أثرت قوة مقدارها ‪ 48‬ث جم على جسم ساكن موضوع على مستوى أفقى لفترة زمنية ما‪ ،‬فاكتسب الجسم‬ ‫فى نهايتها طاقة حركة قدرها ‪ 18900‬ث جم‪.‬سم وبلغت كمية حركته عندئذ ‪ 176400‬جم‪.‬سم‪/‬ث ‪ ،‬ثم رفعت‬ ‫القوة فعاد الجسم إلى السكون مرة أخرى بعد أن قطع مسافة ‪ 10٫5‬متر من لحظة رفع القوة‪ .‬أوجد كتلة الجسم‬ ‫ومقدار مقاومة المستوى لحركته بغرض ثبوتها‪ .‬كذلك أوجد زمن تأثير القوة‪.‬‬ ‫‪ 3‬سيارة كتلتها ‪ 1800‬كجم تسير على طريق أفقى بسرعة ثابتة قدرها ‪ 54‬كم‪/‬س‪ ،‬فإذا كان مقدار المقاومة‬ ‫لحركة السيارة يعادل ‪ 0٫25‬من وزن السيارة فأوجد قدرة اآللة فقى هذه الحالة بالحصان‪.‬‬

‫‪ 4‬تسقط مطرقة كتلتها طن واحد مسافة ‪ 4٫9‬متر رأس ًيا على جسم حديدى كتلته ‪ 400‬كجم فتدكه رأس ًيا فى‬ ‫األرض لمسافة ‪ 10‬سم عين السرعة المشتركة للمطرقة والجسم بعد االصطدام مباشرة ‪ .‬عين طاقة الحركة‬ ‫المفقودة بالتصادم ومقدار مقاومة األرض بفرض ثبوتها‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 98‬قذف عليه جسم كتلته ‪ 2‬كجم فى اتجاه خط أكبر ميل‬ ‫مستوى مائل أملس يميل على األفقى بزاوية جيبها‬ ‫للمستوى وإلى أعلى بسرعة ‪1٫4‬م‪/‬ث ‪ .‬أحسب الشغل المبذول من الوزن حتى يسكن لحظ ًيا‪.‬‬

‫‪ 6‬يتحرك جسم كتلته ‪2‬كجم تحت تأثير قوة ثابتة ‪ X‬حيث ‪ N 8 +M 4 = X‬حيث ‪ X‬مقيسة بالنيوتن‪ ،‬فإذا‬ ‫بدأ الجسم حركته من السكون من نقطة متجه الموضع عندها ‪ ، N 5 + M 2‬فأوجد متجه موضع الجسم بعد‬ ‫أيضا مقدار الشغل الذى بذلته هذه القوة خالل هذه الفترة الزمنية‪ ،‬وأوجد القدرة المتولدة عندما‬ ‫‪ 3‬ثوان‪ ،‬وأوجد ً‬ ‫ن = ‪ 3‬ت‪.‬‬

‫‪ 7‬راكب دراجة كتلته هو والدراجة ‪ 98‬كجم يتحرك على أرض أفقية خشنة من السكون فبلغت سرعته أقصى‬ ‫قيمة لها وقدرها ‪ 7٫5‬م‪/‬ث بعد زمن قدره دقيقة واحدة‪ .‬وعندما أوقف حركة قدميه على بدالة الدراجة سكنت‬ ‫مترا أحسب أقصى قدرة لهذه الرجل خالل هذه الرحلة بالحصان‪.‬‬ ‫الدراجة بعد أن قطعت مسافة قدرها ‪ً 15‬‬ ‫مترا‪ .‬فإذا‬ ‫‪ 8‬يهبط جسم كتلته ‪ 60‬كجم من السكون على خط أكبر ميل لمستوى مائل طوله ‪ً 20‬‬ ‫مترا وارتفاعه ‪ً 12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫بدأ الجسم الحركة من أعلى نقطة فى المستوى وكان معامل األحتكاك بين الجسم والمستوى ‪ 16‬فأوجد طاقة‬ ‫حركة الجسم عندما يصل إلى قاعدة المستوى‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 24‬وأثرت عليه قوة فى اتجاه‬ ‫‪ 9‬وضع جسم كتلته ‪ 5‬كجم على مستوى مائل خشن يميل على األفقى بزاوية ظلها‬ ‫خط أكبر ميل للمستوى فحركته ألعلى المستوى بسرعة منتظمة مسافة ‪75‬سم فإذا كان معامل االحتكاك بين‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 12‬فأوجد ‪:‬‬ ‫الجسم والمستوى هو‬ ‫أ مقدار الشغل المبذول ضد مقاومة المستوى‪.‬‬ ‫ب مقدار الشغل المبذول من القوة‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪27‬‬

‫�� ‬

‫شغال بمعدل ثابت قدره ‪ 5‬كيلو وات وكتلة السيارة ‪ 1200‬كجم فإذا كانت السيارة تسير فى‬ ‫‪ 0‬محرك سيارة تبذل ً‬ ‫طريق أفقى ضد مقاومة ثابتة مقدارها ‪ 325‬نيوتن فأوجد ‪:‬‬ ‫أ مقدار عجلة حركة السيارة عندما تكون سرعتها ‪8‬م‪/‬ث‪.‬‬ ‫ب أقصى سرعة للسيارة‪.‬‬ ‫تتحرك سيارة كتلتها ‪ 5‬طن بسرعة منتظمة مقدارها ‪ 36‬كم‪/‬س صاعدة طريق منحدر يميل على األفقى بزاوية‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 40‬ضد مقاومة تعادل ‪ ٪2٫5‬من وزن السيارة‪ .‬أوجد قدرة محرك السيارة عندئذ بالحصان‪ ،‬وإذا زادت‬ ‫جيبها‬ ‫قدرة المحرك فجأة إلى ‪ 50‬حصانًا فأوجد مقدار عجلة السيارة بعدها مباشرة‪.‬‬

‫‪ 2‬يتحرك قطار بسرعة ثابتة قدرها ‪ 72‬كم‪/‬س ‪ ،‬فصلت العربة األخيرة وكتلتها ‪16‬طن فزادت سرعة القطار إلى ‪96‬‬ ‫علما بأن القطار يالقى مقاومة ثابتة‬ ‫كم‪/‬س‪ .‬إذا كانت قدرة آالت القطار ثابتة فأوجد قدرة اآللة وكتلة القطار ً‬ ‫قدرها ‪6‬ث كجم لكل طن من الكتلة المتحركة‪.‬‬

‫‪ 3‬جسيم يتحرك فى خط مستقيم تحت تأثير قوة متغيرة ‪ X‬حيث ‪ 15 = X‬س ( نيوتن ) حيث س بالمتر هو بعد‬ ‫الجسيم عن نقطة أصل ثابتة على خط المستقيم ‪ ،‬أوجد الشغل المبذول من ‪ X‬فى كل من الحاالت اآلتية ‪:‬‬ ‫أ عندما يتحرك الجسيم من س = ‪ 0‬حتى س = ‪.10‬‬ ‫ب عندما يتحرك الجسيم من س =‪ 1‬حتى س = ‪.5‬‬ ‫‪ 24‬س‬ ‫‪ 4‬سقط جسم كتلته ‪ 1‬كجم من السكون رأس ًيا إلى أسفل تحت تأثير عجلة الجاذبية ضد مقاومات قدرها ‪25‬‬ ‫( نيوتن) حيث س بعد الجسم عن نقطة السقوط بالمتر عند أى لحظة ‪ .‬أوجد الشغل المبذول من الجسم ضد‬ ‫المقاومة منذ لحظة السقوط حتى يقطع مسافة ‪ 10‬متر أسفل نقطة السقوط وأوجد سرعته عند هذه اللحظة‪.‬‬

‫قوة ثابتة مقدارها ق تميل على األفقى بزاوية ظلها تجر سيارة معطلة كتلتها ‪ 1400‬كجم بسرعة منتظمة قدرها‬ ‫‪ 22٫5‬م‪/‬ث على طريق أفقى خشن معامل االحتكاك بين الطريق والسيارة ‪0٫3‬أوجد ‪:‬‬ ‫أ قدرة القوة فى هذه الحالة‪.‬‬ ‫ب الشغل المبذول من القوة لتحريك السيارة لمدة دقيقة واحدة‪.‬‬ ‫لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى‬

‫‪276‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪www.sec3mathematics.com.eg‬‬

‫كتاب الطالب‬

‫�ختب��ت ع�م ‬

‫اأول‪ :‬ال�شتاتيكا‬ ‫الختبار الأول‬ ‫اجب عن ال�شوؤال الآتى‪:‬‬

‫السؤال األول‪ :‬اختر االجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة‬ ‫اذا كانت ‪ i‬هى قياس الزاوية بين قوة االحتكاك النهائى ورد الفعل المحصل فإن معامل االحتكاك السكونى‬ ‫يساوى‪:‬‬ ‫د ظتا ‪i‬‬ ‫ج جتا ‪i‬‬ ‫ب جا ‪i‬‬ ‫أ ظا ‪i‬‬

‫‪ 2‬الشكل المقابل يمثل قضيب فى حالة اتزان فإن ‪= X‬‬ ‫ب ‪ 16‬نيوتن‬ ‫أ ‪ 28‬نيوتن‬ ‫د ‪ 4‬نيوتن‬ ‫ج ‪ 2‬نيوتن‬

‫‪ 12‬نيوتن ‪X‬‬ ‫‪2‬م‬

‫‪ 20‬نيوتن‬ ‫‪4‬م‬

‫‪2‬م‬

‫‪ 3‬قوة ‪ N 5 - M 3 = X‬تؤثر فى النقطة ‪ )1 ، 1-( C‬فإن عزم القوة ‪ X‬بالنسبة لنقطة االصل يساوى‪:‬‬ ‫أ ‪ 2-‬ع‬

‫ب ‪ 2‬ع‬

‫ج ‪ 8‬ع‬

‫د ‪ 8-‬ع‬

‫‪ 4‬قوتان تكونان ازدواج‪ ،‬مقدار احدهما ‪ 15‬نيوتن وعزم االزدواج المحصل منهما ‪ 45‬نيوتن ‪ .‬سم فإن البعد العمودى‬ ‫بينهما يساوى‬ ‫د ‪30‬سم‬ ‫ج ‪3‬سم‬ ‫ب ‪60‬سم‬ ‫أ ‪675‬سم‬ ‫اذا اتزنت مجموعة من القوى المستوية فإن مجموع عزومها حول أى نقطة فى المستوى يساوى‪:‬‬ ‫أ ثابت غير صفرى‬

‫ب صفر‬

‫ج محصلة هذه القوى‬

‫د الواحد الصحيح‬

‫‪ 6‬مركز ثقل جسمين ماديين كتلة كل منهما ‪ 3‬نيوتن‪ 6 ،‬نيوتن والمسافة بينهما ‪15‬سم يبعد عن الجسيم ‪ 3‬نيوتن‬ ‫مسافة ‪ ..........‬سم‬ ‫د ‪9‬‬ ‫ج ‪7٫5‬‬ ‫ب ‪10‬‬ ‫أ ‪5‬‬ ‫ثانيا ‪ :‬اأجب عن ثالثة اأ�شئلة مما ياأتى‪:‬‬

‫السؤال الثانى‬ ‫الشكل المقابل يوضح شداد ‪ C‬ب يؤثر على عمود مائل جـ ‪. E‬‬ ‫اوجد معيار عزم قوة الشد بالنسبة للنقطة ‪E‬‬ ‫‪ 2‬وضع جسم وزنه (و) على مستوى خشن يميل على االفقى بزاوية‬ ‫قياسها (هـ) فإذا كان قياس زاوية االحتكاك هو (ل) فاوجد‬ ‫مقدار واتجاه القوة تجعل الجسم على وشك الحركة الى اعلى‪.‬‬

‫جـ‬

‫‪220‬‬

‫‪1‬متر‬

‫نيوتن‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪30‬سم‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪2‬متر‬

‫‪277‬‬

‫�ختب��ت ع�م ‬

‫السؤال الثالث‬ ‫قوتان متوازيتان وفى نفس االتجاه مقدارهما ‪ 15 ، 10‬نيوتن تؤثران فى نقطتين ‪ ، C‬ب حيث ‪ C‬ب = ‪75‬سم‪ .‬اوجد‬ ‫محصلة القوتين‪.‬‬

‫‪C 2‬ب جـ مثلث متساوى الساقين فيه ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ = ‪13‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪10‬سم اثرت قوى مقاديرها ‪ 65 ،X ،65‬نيوتن فى‬ ‫‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪ ،‬جـ ‪ C‬على الترتيب فإذا كانت مجموعة القوى تكافئ ازدواج فما قيمة ‪ X‬ومعيار عزم االزدواج‬

‫السؤال الرابع‬

‫‪ C‬ب قضيب رفيع خفيف طوله ‪ 2‬ل معلق فى مستوى رأسى من طرفيه ‪ ، C‬ب بخطين يميالن على الرأسى بزاويتين‬ ‫‪ °60 ،°30‬على الترتيب‪ .‬علق فى القضيب الثقالن ‪ 8 ، 2‬نيوتن على بعد من ‪ C‬يساوى ‪ 15‬ل‪ 65 ،‬ل‪.‬‬ ‫اوجد فى وضع التوازن مقدار الشد فى الخيطين وقياس زاوية ميل القضيب على االفقى‪.‬‬

‫‪ C 2‬ب جـ مثلث متساوى االضالع طول ضلعه ‪10‬سم اثرت االوزان ‪ 9 ، 6 ، 3‬نيوتن فى رؤوسه ‪ .‬عين موضع مركز‬ ‫ع‬ ‫ثقل المجموعة‪.‬‬ ‫هـ‬

‫السؤال الخامس‬

‫فى الشكل المقابل‬ ‫قوة ‪ 6 25‬نيوتن تؤثر فى هـ م ‪ .‬اوجد مركبات عزم‬ ‫القوة بالنسبة لمحاور االحداثيات‪.‬‬

‫ب‬ ‫م‬ ‫ص‬

‫‪ 10‬سم‬

‫‪C‬‬

‫و‬ ‫‪E‬‬

‫‪ 10‬سم‬

‫س‬

‫‪ 2‬صفيحة رقيقة منتظمة الكثافة على شكل مستطيل ‪ C‬ب جـ‪ E‬فيه ‪C‬ب = ‪5‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪ 12‬سم ‪ ،‬هـ∈ ‪ E C‬بحيث‬ ‫‪C‬هـ= ‪5‬سم‪ .‬ثنى المثلث ‪ C‬ب هـ حول الضلع ب هـ حتى انطبق ‪ C‬ب على ب جـ تما ًما‪ .‬عين موضع مركز ثقل‬ ‫الصفيحة بعد ثنيها بالنسبة الى جـ ب ‪ ،‬جـ‪E‬‬

‫الختبار الثانى‬ ‫اأول‪ :‬اجب عن ال�شوؤال الآتى‪:‬‬

‫السؤال األول‪ :‬اختر االجابة الصحيحة من بين االجابات المعطاة‬ ‫يؤثر على الجسم ازدواجان‪ ،‬األول مقدار احدى قوتيه ‪20‬ث كجم وذراع العزم ‪ 12‬متر واتجاه دورانه فى عكس‬ ‫اتجاه دوران عقارب الساعة والثانى مقدار احدى قوتيه ‪30‬ث كجم وذراع العزم ‪ 1‬متر واتجاه دورانه فى اتجاه‬ ‫دوران عقارب الساعة فإن االزدواج المحصل يساوى ‪:‬‬ ‫أ ‪ 20‬ث كجم‪ .‬م واتجاه دورانه فى اتجاه دوران عقارب الساعة‬ ‫ب ‪20‬كجم‪.‬م واتجاه دورانه فى عكس اتجاه دوران عقارب الساعة‬

‫‪278‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫اختبارات عامة‬

‫ج ‪40‬ث كجم‪.‬م واتجاه دورانه فى اتجاه دوران عقارب الساعة‪.‬‬ ‫د ‪40‬ث كجم‪.‬م واتجاه دورانه فى اتجاه عكس دوران عقارب الساعة‪.‬‬

‫زاوية االحتكاك هى‪:‬‬ ‫أ الزاوية المحصورة بين رد الفعل العمودى ورد الفعل المحصل‪.‬‬ ‫ب النسبة بين قوة االحتكاك النهائى ورد الفعل العمودى‪.‬‬ ‫ج النسبة بين معامل االحتكاك السكونى ومعامل االحتكاك الحركى‪.‬‬ ‫د الزاوية المحصورة بين قوة االحتكاك النهائى ورد الفعل المحصل‪.‬‬

‫الشكل المقابل يوضح تأثير قوة مقدارها ‪ X‬على طرف قضيب‪ .‬قياس‬ ‫الزاوية ‪ i‬التى تولد اكبر عزم حول نقطة ب هو‪:‬‬ ‫ب ‪°90‬‬ ‫أ ‪°0‬‬ ‫د ‪°30‬‬ ‫ج ‪°45‬‬

‫‪X‬‬

‫‪i‬‬

‫ب‬

‫قوتان متوازيتان ومتضادان فى االتجاه مقدار احدهما ‪ 7‬نيوتن ومقدار محصلتهما ‪ 10‬نيوتن فإن مقدار القوة‬ ‫االخرى يساوى‪.‬‬ ‫د ‪ 6‬نيوتن‬ ‫ج ‪ 27‬نيوتن‬ ‫ب ‪ 17‬نيوتن‬ ‫أ ‪ 3‬نيوتن‬ ‫فى الشكل المقابل‪:‬‬ ‫اذا كانت ل هى زاوية االحتكاك بين االرض والقضيب‬ ‫فإن ظا هـ ‪ .‬ظا ل =‬ ‫ب ‪1‬‬ ‫أ ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د ‪3‬‬ ‫ج ‪1‬‬

‫ب‬

‫‪S‬ب‬

‫‪S‬‬

‫‪C‬‬

‫تؤثر الكتلة ‪ 5‬كجم فى النقطة (‪ ) 1- ، 2‬وتؤثر الكتلة ‪ 7‬كجم فى‬ ‫النقطة (‪ ) 2 ، 1‬فإن مركز ثقل الكتلتين يؤثر فى النقطة‪....‬‬ ‫ب‬ ‫ج (‪) 13 ، 19‬‬ ‫‪) 34 ، 17‬‬ ‫أ (‪)9 ، 17‬‬ ‫( ‪12‬‬

‫ث�ن ًي� ‪ :‬اأجب عن ثالثة ا�سئلة مم�ي�أتى ‪:‬‬

‫هـ‬

‫م‪S‬‬ ‫‪C‬‬

‫و‬

‫د‬ ‫‪) 14 ، 19‬‬ ‫( ‪12‬‬

‫السؤال الثانى‬ ‫اذا كانت القوة ‪ 3 + N - M 5 = X‬ع تؤثر في نقطة ‪ )1 ، 2 ، 1-( C‬اوجد‪:‬‬ ‫اً‬ ‫أوال‪ :‬عزم القوة ‪ X‬بالنسبة لنقطة االصل‪.‬‬ ‫ثان اًيا‪ :‬طول العمود المرسوم من نقطة االصل على خط عمل ‪. X‬‬

‫برهن أن‪ :‬اذا وضع جسم على مستوى مائل خشن وكان الجسم على وشك االنزالق فإن قياس زاوية االحتكاك‬ ‫يساوى قياس زاوية ميل المستوى على االفقى‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪79‬‬

‫�ختب��ت ع�م ‬

‫السؤال الثالث‬ ‫وضعت ثالثة اجسام أوزانها ‪ 11 ، 7 ، 5‬ث كجم على قضيب خفيف كما بالشكل‪ .‬عين نقطة تعليق على‬ ‫القضيب بحيث يظل القضيب أفق ًّيا‪.‬‬ ‫‪ C 2‬ب جـ ‪ E‬مستطيل فيه ‪ C‬ب = ‪6‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪8‬سم‪ ،‬هـ∈ ب جـ ‪ ،‬و∈ ‪ E C‬بحيث ب هـ = ‪ E‬و = ‪6‬سم اثرت‬ ‫قوى مقاديرها ‪ X ، X ، 7 ، 7 ،5 ، 5‬ث كجم فى اتجاهات ‪ C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ، E‬ب جـ ‪ ، C E‬هـ ‪ ، C‬و جـ ‪ ،‬على‬ ‫الترتيب فإذا كانت المجموعة تكافئ ازدواج معيار عزمه ‪10‬ث كجم‪ .‬سم فى اتجاه جـ ب ‪ E C‬اوجد ‪.X‬‬ ‫السؤال الرابع‬ ‫فى الشكل المقابل ترتكز احدى نهايتى سلم منتظم وزنه (و) على حائط‬ ‫‪i‬‬ ‫رأسى أملس وترتكز النهاية االخرى على أرض خشنة تميل على األفقى‬ ‫بزاوية قياسها (هـ) ألعلى فإذا كان السلم على وشك االنزالق وهو فى‬ ‫ب‬ ‫هـ‬ ‫مستوى رأسى عمودى على خط تقاطع الحائط مع االرض‪ .‬اثبت أن السلم‬ ‫يميل على الرأسى بزاوية قياسها ف حيث ظا ‪ ( i 2 = i‬ى ‪ -‬هـ) حيث ى‬ ‫و‬ ‫زاوية االحتكاك‬ ‫‪ 2‬ثنى قضيب منتظم ‪ C‬جـ طوله ‪ 15‬ل من نقطة ب حيث ‪ C‬ب = ‪5‬ل بحيث ‪ C c( X‬ب جـ) = ‪ °90‬وعلق القضيب‬ ‫من الطرف ‪ C‬تعلي ًقا حرا‪ .‬فإثبت أن ب جـ يميل على االفقى بزاوية ‪ i‬حيث ظا ‪4 = i‬‬ ‫ً‬ ‫‪5‬‬ ‫‪C‬‬

‫السؤال الخامس‬

‫فى الشكل المقابل‪:‬‬ ‫اذا كان عزم القوة ‪ X‬العمودية على ذراع الدوران بالنسبة لنقطة ‪ C‬يساوى‬ ‫‪ 620‬نيوتن‪ .‬سم ‪ .‬اوجد ‪X‬‬

‫‪C 2‬ب جـ مثلث متساوى االضالع طول ضلعه ‪20‬سم‪ ،‬م نقطة تقاطع‬ ‫متوسطاته ‪ E‬نقطة منتصف ب جـ ‪ ،‬ثبت كتل مقاديرها ‪،75 ،30 ، 15‬‬ ‫‪ 45 ،45‬فى النقط ‪ ، C‬ب ‪ ، E ،‬جـ ‪ ،‬م على الترتيب ‪ .‬عين مركز ثقل هذه‬ ‫المجموعة ‪ .‬واذا رفعت الكتلة الموجودة عند ب فأين يقع مركز ثقل‬ ‫المجموعة المتبقية‬

‫‪X‬‬ ‫‪c60‬‬

‫‪ 30‬سم‬

‫‪ 3‬سم‬

‫‪A‬‬

‫الختبار الثالث‬

‫اأو اً‬ ‫ل‪ :‬اجب عن ال�شوؤال الآتى‪:‬‬

‫السؤال األول‪ :‬اكمل ما يأتى‬ ‫مقدار اقل قوة افقية ‪ X‬الزمة التزان جسم كتلته ‪15‬ث كجم على حائط رأسي خشن‬ ‫معامل االحتكاك السكونى بينه وبين الجسم يساوى ‪ 15‬يساوى‪ ..........................‬ث كجم‬

‫‪280‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫‪15‬‬ ‫كجم‬

‫كتاب الطالب‬

‫‪X‬‬

‫�ختب��ت ع�م ‬

‫‪ 2‬قوة مقدارها ‪ 70‬نيوتن تؤثر فى ‪ C‬ب حيث ‪ C‬ب جـ ‪ E‬مربع طول ضلعه ‪10‬سم فإن معيار عزم القوة بالنسبة‬ ‫لمركز المربع يساوى ‪..........................‬‬ ‫‪ 3‬اذا كانت ‪// 1X‬‬

‫‪2X‬‬

‫‪،‬‬

‫‪1X‬‬

‫= ‪ 5 4 =|| 2X ||، N 2 - M‬وحدة فإن ‪= X‬‬

‫‪ 4‬فى الشكل المقابل‪ :‬عزم االزدواج الناتج من القوتين ‪ 50 ، 50‬يساوى‬

‫‪.................‬‬

‫‪ 50‬نيوتن‬

‫عندما يوضع قضيب داخل إناء كروى أملس فإنه يتزن عندما يمر خط عمل‬ ‫الوزن‪.................‬‬

‫‪ 6‬مركز ثقل الصفيحة المنتظمة المثلثة الشكل يقع عند‬

‫‪..........................‬‬

‫‪ 60‬سم‬

‫‪..........................‬‬

‫‪ 50‬نيوتن‬

‫ثان اًيا‪ :‬اأجب عن ثالثة ا�شئلة مماياأتى ‪:‬‬

‫السؤال الثانى‬

‫وضع جسم وزنه ‪ 64‬نيوتن على مستوى افقى خشن معامل االحتكاك بينهما يساوى ‪ . 34‬اثرت على الجسم قوة‬ ‫مقدارها ‪ 40‬نيوتن وتميل على األفقى بزاوية قياسها‪ .i‬فإذا كان الجسم على وشك الحركة فما قيمة‪i‬‬ ‫‪ 2‬فى الشكل المقابل اوجد عزم القوة ‪ 200‬نيوتن بالنسبة لنقطة و‬ ‫و‬ ‫السؤال الثالث‬ ‫‪ 40‬سم‬ ‫أ ‪ C‬ب قضيب غير منتظم طوله ‪ 1‬متر يرتكز فى وضع افقى على‬ ‫حاملين عند جـ ‪ E ،‬حيث ‪ C‬جـ = ‪20‬سم‪ ،‬ب ‪10 = E‬سم‪ .‬اذا كان ‪ 200‬نيوتن‬ ‫‪c30‬‬ ‫اكبر ثقل يمكن تعليقه من نقطة ‪ C‬أو من نقطة ب دون أن يختل‬ ‫توازن القضيب هو ‪ 4 ، 5‬ث كجم على الترتيب‪ .‬اوجد وزن القضيب ونقطة تأثيره‪.‬‬

‫‪ 60‬سم‬

‫‪ C 2‬ب جـ ‪ E‬هـ و مسدس منتظم طول ضلعه ‪10‬سم‪ .‬اثرت قوى مقاديرها ‪ 3 ،1 ،6 ،4 ،5 ،2‬نيوتن فى ‪ C‬ب ‪ ،‬جـ ب ‪،‬‬ ‫جـ ‪ ، E‬هـ ‪ ، E‬هـ و ‪ C ،‬و على الترتيب‪ .‬اوجد مقدار واتجاه القوة التى يجب أن تؤثر فى مركز المسدس حتى‬ ‫تؤول المجموعة الى ازدواج ثم عين عزمه‬

‫السؤال الرابع‬

‫‪ C‬ب قضيب منتظم وزنه (و) يرتكز بأحدى طرفيه أ على أرض أفقية ملساء وبطرفه اآلخر ب على مستوى أملس‬ ‫يميل على االفقى بزاوية قياسها يساوى ضعف قياس زاوية ميل القضيب على االفقى فى وضع االتزان‪ .‬حفظ‬ ‫توازن القضيب بواسطة خيط مربوط إحدى طرفيه فى طرف القضيب المستند على األرض األفقية والطرف‬ ‫اآلخر للخيط فى نقطة على خط تقاطع المستوى المائل مع المستوى االفقى اوجد مقدار الشد فى الخيط وردى‬ ‫الفعل عند طرفى القضيب عندما يميل القضيب على االفقى بزاوية قياسها ‪.°30‬‬

‫‪ 2‬صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مربع ضلعه ل ‪ .‬هـ ‪ ،‬و ‪ .‬ن منتصفات االضالع ‪ C‬ب ‪ ، E C ،‬ب جـ على‬ ‫الترتيب ثنى المثلث ‪ C‬هـ و حول الضلع هـ و بحيث انطبقت ‪ C‬على مركز المربع ى‪ .‬وثنى المثلث ب هـ ن‬ ‫على الضلع هـ ن بحيث انطبق الرأس ب على مركز المربع ى‪ .‬عين مركز ثقل الصفيحة فى وضعها الجديد ‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪28‬‬

‫�ختب��ت ع�م ‬

‫السؤال الخامس‬

‫فى الشكل المقابل اوجد مجموع عزوم القوى بالنسبة للنقطة و‬ ‫‪ 2‬اوجد مركز ثقل التوزيع اآلتى‪:‬‬ ‫و‪20 = 1‬نيوتن يؤثر فى (‪ ، )1 ،2‬و‪ 15 = 2‬نيوتن‬ ‫يؤثر فى (‪ ) 1 ، 3-‬و‪ 25 =3‬نيوتن يؤثر فى (‪)1- ،1‬‬

‫ع‬

‫‪12‬سم‬ ‫‪ 15‬نيوتن‬

‫ص‬

‫‪8‬سم‬ ‫‪6‬سم‬

‫و‬

‫‪ 30‬نيوتن‬

‫س‬

‫الختبار الرابع‬ ‫اأو اً‬ ‫ل‪ :‬اأجب عن ال�شوؤال الآتى‪:‬‬

‫السؤال األول‪ :‬اختر االجابة الصحيحة من بين االجابات المعطاة‬ ‫معامل االحتكاك يتوقف على ‪:‬‬ ‫ب شكل الجسمين‬ ‫أ مساحة سطح التالمس بين الجسمين‬ ‫ج طبيعة السطحين‬

‫د كل ما سبق‬

‫‪ 2‬الشكل المقابل يمثل قضيب منتظم يرتكز على حامل عند منتصفه‪ .‬وضع‬ ‫عليه جسم كما بالشكل أى من القوى اآلتية تحدث توازن للقضيب‬

‫‪ 10‬سم‬

‫‪ 20‬نيوتن‬

‫أ قوة مقدارها ‪ 10‬نيوتن العلى تؤثر على بعد ‪20‬سم على يمين منتصف القضيب‬ ‫ب قوة مقدارها ‪ 10‬نيوتن السفل تؤثر على بعد ‪20‬سم على يمين منتصف القضيب‬ ‫ج قوة مقدارها ‪ 30‬نيوتن العلى تؤثر على بعد ‪5‬سم على يسار منتصف القضيب‬ ‫د قوة مقدارها ‪ 30‬نيوتن السفل تؤثر على بعد ‪5‬سم على يسار منتصف القضيب‬

‫‪ 3‬اثرت قوة ‪ X = X‬س ‪X + M‬ص ‪X + N‬ع ع فى نقطة ‪ C‬متجة موضعها بالنسبة لنقطة االصل هو‬ ‫‪C‬س ‪C+ M‬ص ‪C+ N‬ع ع فإنه مركبة عزم ‪ X‬حول محور س هى ‪:‬‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫‪X‬ص* ‪C‬ع ‪X +‬ع * ‪C‬ص‬ ‫‪X‬س*‪C‬ع ‪X-‬ع *‪C‬س‬ ‫ج‬

‫د‬

‫‪ X‬س*‪C‬ص ‪X+‬ص*‪C‬س‬

‫‪ 4‬عزم االزدواج المقابل يساوى‪:‬‬ ‫أ ‪ 800‬نيوتن ‪ .‬سم‬ ‫ج ‪ 3 400‬نيوتن ‪ .‬سم‬

‫‪X‬ص* ‪C‬ص ‪X +‬ع * ‪C‬ع‬

‫‪ 10‬نيوتن‬

‫ب ‪ 800‬نيوتن ‪.‬سم‬

‫‪c60‬‬

‫د ‪ 3 400‬نيوتن‪.‬سم‬ ‫‪ 10‬نيوتن‬

‫‪282‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�ختب��ت ع�م ‬

‫فى الشكل المقابل‬ ‫اذا كان القضيب على وشك االنزالق فإن‬ ‫ر‪....... =2‬‬ ‫ر‪....... = 1‬‬ ‫أ و‬ ‫ج‬ ‫‪ 3‬و‬

‫ر‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ل‬

‫ب ‪ 12‬و‬ ‫د‬

‫ر‪1‬‬

‫ل‬

‫‪ 3‬و‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬ل‬

‫‪c60‬‬

‫ر‪2‬‬

‫م‬

‫و‬

‫ص‬

‫‪ 6‬مركز ثقل الصفيحة المظللة فى الشكل المقابل هو‪:‬‬ ‫ب (‪) 3 ،4‬‬ ‫أ (‪)4 ، 3‬‬ ‫ج (‪)8 ، 6‬‬

‫‪ 8‬سم‬

‫د (‪)6 ،8‬‬

‫س‬

‫ثان اًيا‪ :‬اأجب عن ثالثة ا�شئلة مماياأتى ‪:‬‬

‫‪ 6‬سم‬

‫السؤال الثانى‪:‬‬ ‫وضع جسم وزنه ‪16‬ث كجم على مستوى يميل على االفقى بزاوية قياسها ‪ °30‬ومعامل االحتكاك بينه وبين‬ ‫الجسم يساوى ‪ ، 1‬اثرت على الجسم قوة تعمل فى خط اكبر ميل للمستوى والعلى مقدارها ‪ 10‬نيوتن فإذا‬ ‫‪3‬‬ ‫كان الجسم متزنًا عين قوة األحتكاك وبين ما اذا كان الجسم على وشك الحركة أم ال؟‬ ‫‪ 2‬فى الشكل المقابل‪ :‬ثالث قوى مستوية تؤثر فى‬ ‫قضيب ‪ C‬ب ‪ .‬اوجد القياسات الجبرية لمجموع‬ ‫عزوم القوى بالنسبة لكل من النقطتين ‪ ، C‬ب‬

‫السؤال الثالث‪:‬‬

‫‪ 250‬نيوتن‬

‫‪2‬سم‬ ‫‪ 200‬نيوتن‬

‫‪ 150‬نيوتن‬

‫‪5 4‬‬ ‫ب ‪3‬‬

‫‪40 c30‬سم‬

‫‪C‬‬ ‫‪50‬سم‬

‫‪60‬سم‬

‫قضيب منتظم طوله ‪ 4‬متر يرتكز على نقطة ارتكاز عند منتصفه علق ثقالن ‪ 3 ، 4‬ث كجم فى احدى نصفيه‬ ‫وعلى بعد ‪ 1٫5 ، 1‬متر من منتصفه على الترتيب وعلق ثقالن ‪ ، 5‬و فى النصف اآلخر وعلى بعد ‪ 2 ، 12‬متر من‬ ‫منتصفه على الترتيب‪ .‬فإذا اتزن القضيب فما قيمة و ‪.‬‬

‫‪ C 2‬ب جـ صفيحة منتظمة على شكل مثلث متساوى االضالع طول ضلعه ‪ 3 30‬سم ووزنها ‪ 50‬ث جم‪ .‬علقت‬ ‫الصفيحة من مسمار افقى من ثقب بالقرب من الرأس ‪ C‬فاتزنت رأس ًيا ‪ .‬اثر على الصفيحة ازدواج عمودى‬ ‫على مستوى الصفيحة فاتزنت الصفيحة فى وضع يكون فيه ‪ C‬ب أفق ًّيا‪ .‬اوجد عزم االزدواج المؤثر ورد فعل‬ ‫المسمار‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪283‬‬

‫�ختب��ت ع�م ‬

‫السؤال الرابع‪:‬‬ ‫‪ C‬ب قضيب منتظم طرفه ‪ C‬مثبت فى مفصل فى حائط رأسى وطرفه االخر ب مربوط بأحد طرفى‬ ‫خيط وربط الطرف االخر للخيط فى نقطة فى المستوي االفقي المار بالمفصل بحيث يميل كل من‬ ‫القضيب والخيط على االفقى بنفس الزاوية ‪ i‬فإذا كان (و) وزن القضيب ‪ .‬بين أن رد فعل المفصل عند‬ ‫‪ C‬يساوى ‪4‬و ‪ + 8‬قتا‪. i 2‬‬ ‫‪ C 2‬ب جـ ‪ E‬مربع طول ضلعه ‪20‬سم ‪ ،‬وضعت أربع كتل متساوية فى المقدار عند رؤوسه‪:‬‬ ‫أوال‪ :‬عين مركز ثقل المجموعة‬ ‫ثان ًيا‪ :‬اذا رفعت الكتلة الموجودة عند أحد رؤوسه فاين يقع مركز ثقل المجموعة المتبقية‬

‫السؤال الخامس‪:‬‬

‫‪ C‬ب جـ صفيحة مثلثة الشكل متساوية االضالع كتلتها ‪ 3‬كجم‪ ،‬م مركز ثقلها‬ ‫وضعت كتل مقاديرها ‪ 11 ،2 ،2‬كجم الرؤس ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ على الترتيب برهن أن‬ ‫مركز ثقل المجموعة يقع عند نقطة منتصف م جـ‬ ‫‪ 2‬فى الشكل المقابل تؤثر قوة مقدارها ‪ 50‬نيوتن فى نقطة ‪ C‬اوجد عزم القوة‬ ‫بالنسبة للنقطة و‪.‬‬

‫ع‬ ‫‪C‬‬ ‫‪10‬متر‬

‫‪ 50‬نيوتن‬

‫و‬

‫ص ‪6‬متر‬

‫‪8‬متر‬

‫الختبار اخلام�س‬

‫س‬

‫اأو اً‬ ‫ل‪ :‬اجب عن ال�شوؤال الآتى‬

‫السؤال األول‪ :‬اكمل ما يأتى‪:‬‬ ‫معامل االحتكاك السكونى هو النسبة بين ‪.........................‬‬

‫‪ 2‬اذا اثرت القوة ‪ 5 + N - M 2 = X‬ع فى النقطة ‪ , C‬متجه موضعها ‪ 3 - M‬ع فإن عزم ‪ X‬بالنسبة للنقطة‬ ‫ب‪ ,‬متجه موضعها ‪ 3 + N‬ع يساوى ‪.........................‬‬ ‫‪ 3‬قوتان متوازيتان متحدتا االتجاه مقدار احدهما ضعف مقدار االخرى ومقدار محصلتهما ‪ 31‬نيوتن فإن مقدار‬ ‫اصغرهما يساوى ‪.........................‬‬ ‫‪ 4‬اذا كونت القوتان ‪ - M 3 = 2X ، N 5 + M C = 1X‬ب ‪ N‬ازدواج فإن ‪ + C‬ب =‬

‫‪.........................‬‬

‫الشرط الالزم والكافى التزان مجموعة من القوى المستوية هو‬ ‫حرا على الخط المستقيم الرأسى المار بـ ‪.........................‬‬ ‫‪ 6‬يقع مركز ثقل الجسم الجاسئ المعلق تعلي ًقا ً‬ ‫‪.........................‬‬

‫‪284‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�ختب��ت ع�م ‬ ‫ثان اًيا ‪ :‬اأجب عن ثالثة اأ�شئلة مما ياأتى ‪:‬‬

‫السؤال الثانى‪:‬‬ ‫وضع جسم وزنه ‪ 50‬نيوتن على مستوى مائل خشن يميل على االفقى بزاوية قياسها ‪ i‬فإذا كان اقل واكبر قوة‬ ‫موازية لخط اكبر ميل وتجعل الجسم متزنا على المستوى هما ‪ 40 ، 10‬نيوتن على الترتيب‪ .‬اوجد معامل‬ ‫‪X‬‬ ‫االحتكاك وقياس زاوية ميل المستوى على االفقى‬ ‫‪c30‬‬

‫‪ 2‬الشكل المقابل يوضح القوة ‪ X‬الالزمة لنزع مسمار عند ب ‪ .‬اذا كان معيار‬ ‫عزم القوة حول نقطة ‪ C‬الالزمة لنزع المسمار يساوى ‪ 200‬نيوتن‪ .‬سم اوجد‬ ‫معيار القوة ‪.X‬‬

‫السؤال الثالث‬ ‫اذا كانت محصلة ثالث قوى تؤثر على القضيب ‪ C‬ب مهمل‬ ‫الوزن فى الشكل المقابل هى ‪ 13٫6‬ث كجم وتؤثر ألعلى فى‬ ‫نقطة تبعد ‪ 3‬متر على يمين ‪ . C‬اوجد مقدار واتجاه ونقطة تأثير‬ ‫القوة الثالثة‪0‬‬

‫‪ 5‬سم‬ ‫‪ 40‬سم‬ ‫‪C‬‬

‫‪ 20‬ث كجم‬

‫ب‬

‫ب‬ ‫‪ 18‬ث كجم‬

‫‪ 3٫4‬متر‬

‫‪ 0٫6‬متر‬

‫‪C‬‬

‫‪ 10‬سم‬

‫‪ C 2‬ب جـ ‪ E‬مستطيل فيه ‪ C‬ب = ‪12‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪9‬سم‪ ،‬م∈ ب جـ بحيث ب م = ‪4‬سم‪ .‬اثرت قوى مقاديرها‬ ‫‪ 18 ، 2X ،26 ، 10 8 ،1X‬نيوتن فى االتجاهات ب ‪ C ، C‬م ‪،‬‬ ‫مجموعة القوى متزنة فاوجد قيمتى ‪.2X ، 1X‬‬

‫م‪E‬‬

‫‪ E ،‬جـ ‪،‬‬

‫‪CE‬‬

‫على الترتيب فإذا كانت‬

‫السؤال الرابع‬ ‫‪ C‬ب سلم منتظم طوله ‪ 5‬متر ووزنه ‪ 20‬ث كجم‪ .‬يستند بطرفه ‪ C‬على حائط رأسى املس وبطرفه ب على ارض‬ ‫افقية خشنة معامل االحتكاك بينهما ‪ 14‬وكان الطرف ب على بعد ‪ 3‬متر من الحائط‪ .‬اثبت أن السلم ال يمكن‬ ‫أن يتزن فى هذه الحالة‪ .‬ثم اوجد اصغر وزن لجسم معامل االحتكاك بينه وبين االرض ‪ 15‬بحيث اذا وضع عند‬ ‫الطرف ب للسلم يمنعه من االنزالق‪.‬‬ ‫‪ 2‬سلك منتظم طوله ‪100‬سم ثنى على هيئة خمسة اضالع من مسدس منتظم ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هـ و بدأ من نقطة ‪ . C‬عين‬ ‫حرا من طرفه ‪ . C‬فعين قياس زاوية ميل ‪ C‬ب على‬ ‫بعد مركز ثقله عن مركز المسدس‪ .‬واذا علق السلك تعلي ًقا ً‬ ‫الرأس فى وضع االتزان‪.‬‬

‫السؤال الخامس‬ ‫‪ C‬ب قضيب منتظم طوله ‪ 2‬متر ووزنه ‪ 5‬نيوتن‪ ،‬جـ ‪ E ،‬نقطتى تثليثه من جهة ‪ C‬علق اوزان مقدارها‬ ‫‪ 4 ، 3 ،2 ، 1‬نيوتن فى النقط ‪ ، C‬جـ ‪ ، E ،‬ب على الترتيب عين مركز ثقل المجموعة‪.‬‬ ‫‪ 2‬قوتان ‪ M 2 - N = 2X ، N - M 2= 1X‬تؤثران فى النقطتين ‪ ، )1 ،1(C‬ب( ‪ )4- ،0‬على الترتيب أوجد‬ ‫عزم المجموعة حول أى نقطة فى المستوى ‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪28‬‬

‫�ختب��ت ع�م ‬

‫ثان اًيا‪ :‬الديناميكا‬ ‫الختبار ال�شاد�س‬ ‫اأو اً‬ ‫ل‪ :‬اجب عن ال�شوؤال الآتى‬ ‫ال�شوؤال الأول‪ :‬اكمل ما ياأتى‪:‬‬

‫كمية حركة جسم كتلته ‪ 700‬جرام يتحرك فى خط مستقيم مبتدئا بسرعة مقدارها ‪15‬م‪/‬ث وبعجلة منتظمة‬ ‫‪ 2٫5‬م‪/‬ث‪ 2‬فى نفس إتجاه سرعته اإلبتدائية بعد مرور ‪12‬ث من بدء الحركة يساوي ‪...................‬كجم‪.‬م‪/‬ث‬

‫‪ 2‬جسم كتلته الوحدة يتحرك تحت تأثير القوة ‪ + M )3 + C( = X‬ب ‪ N‬فإذا كان متجه إزاحته‬ ‫ف = ن‪2 1 + M 2‬‬ ‫ن ‪ N‬فإن ‪ ، ................... = C‬ب = ‪...................‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫إذا وقف طفل كتلته ‪ 35‬كيلو جرام على ميزان ضغط فى داخل مصعد متحرك ألسفل بعجلة مقدارها ‪1٫4‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫فإن قراءة الميزان = ‪...................‬ث ‪.‬كجم‬

‫‪ 4‬الشكل المقابل يوضح العالقة بين القوة ‪ X‬التى يؤثر بها طفل أفقيا على‬ ‫صندوق كتلته ‪10‬كجم ليتحرك على سطح أملس مع مركبة المسافة التى‬ ‫يقطعها الصندوق فى إتجاه س‪ ،‬فإن الشغل المبذول بواسطة ‪ X‬على‬ ‫الصندوق من س = ‪ 0‬إلى س = ‪ 8‬يساوى ‪ .................‬الشغل المبذول بواسطة ‪X‬‬ ‫على الصندوق من س = ‪ 8‬إلى س = ‪.12‬‬

‫‪( X‬نيوتن)‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س (متر) ‪10 12‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 10‬فإن المسافة‬ ‫قذف جسم أفقيا بسرعة ‪2٫8‬م‪/‬ث على مستوى أفقى خشن معامل األحتكاك بينه وبين الجسم‬ ‫التى يقطعها الجسم على المستوي قبل أن يسكن يساوى ‪ .................‬متر‬ ‫ك‬ ‫‪ 6‬فى الشكل المقابل البكرة صغيرة ملساء والمستوى أملس فإذا تحركت‬ ‫المجموعة من السكون فإن مقدار عجلة حركة المجموعة = ‪.................‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫‪3‬ك‬

‫ثان اًيا‪ :‬اأجب عن ثالثة اأ�شئلة فقط مما ياأتى‬ ‫ال�شوؤال الثانى‪:‬‬

‫قاطرة كتلتها ‪ 30‬طن بدأت الحركة من السكون على مستوى أفقى بعجلة منتظمة ضد مقاومات ‪1‬‬ ‫‪ 100‬من وزنها‬ ‫وعندما بلغت سرعتها ‪90‬كم‪/‬س أصبحت قدرتها ‪ 441‬كيلو وات ‪ .‬أوجد ‪:‬‬ ‫أ قوة آالت القاطرة بثقل الكيلو جرام‪.‬‬ ‫ب مقدار العجلة المنتظمة‬

‫‪ 2‬أثرت قوة مقدارها ‪ 20‬نيوتن ويصنع إتجاهها زاوية حادة جيبها ‪ 35‬مع الرأسى إلى أسفل على جسم كتلته ‪2‬كجم‬ ‫موضوع على نضد أفقى أملس أوجد عجلة الجسم الناشئة عن هذا التأثير وكذلك مقدار رد الفعل العمودى‬ ‫للنضد‪.‬‬

‫‪286‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�ختب��ت ع�م ‬ ‫ال�شوؤال الثالث‪:‬‬

‫جسمان كتلتاهما ‪ 40‬جرام‪ 60 ،‬جرام يتحركان فى خط مستقيم واحد على نضد أفقى سرعة كل منهما‬ ‫‪50‬سم‪/‬ث‪30 ،‬سم‪.‬ث على الترتيب فإذا تحرك الجسمان بعد التصادم مباشرة كجسم واحد أوجد سرعتهما‬ ‫المشتركة حينئذ اذا كان الجسمان يسيران فى اتجاهين متضادين ثم إحسب مقدار قوة التضاغط بين الجسمين‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 49‬من الثانية‬ ‫بثقل الجرام اذا كان زمن التصادم‬

‫‪ 2‬صخرة كتلتها ‪20‬كجم تتحرك على مستوي أفقى خشن بسرعة ‪ 8‬م‪/‬ث وتوقفت نتيجة األحتكاك وكان معامل‬ ‫األحتكاك الحركى بين الصخرة والسطح ‪ 15‬إحسب الشغل الناتج عن االحتكاك حتى تتوقف الصخرة‪.‬‬

‫ال�شوؤال الرابع‪:‬‬

‫خيط خفيف غير مرن يمر على بكرة ملساء ويتدلى من أحد طرفيه ميزان زنبركى كتلته ‪ 150‬جرام ومعلق به‬ ‫جسما كتلته ‪250‬جرام ويتدلى من الطرف اآلخر للخيط جسم كتلته ‪ 600‬جرام فإذا بدأت المجموعة الحركة‬ ‫من السكون أوجد الشد فى الخيط بثقل الجرام وقراءة الميزان بثقل الجرام‬ ‫‪ 2‬حقيبة كتلتها ‪5‬كجم تتزلق على مستوى يميل على األفقى بزاوية ‪ °24‬ألسفل مسافة ‪ 1٫5‬متر فإذا كان معامل‬ ‫األحتكاك = ‪31‬‬ ‫‪ 100‬إحسب الشغل المبذول بواسطة كل من األحتكاك ‪ ،‬الوزن‪ ،‬رد الفعل وإذا كانت سرعة‬ ‫الحقيبة ‪2٫2‬م‪/‬ث إحسب سرعتها بعد مسافة ‪ 1٫5‬متر‪.‬‬

‫ال�شوؤال الخام�س‪:‬‬

‫وضع جسم عند قمة مستوى مائل أملس طوله ‪ 40‬مترا وارتفاعه ‪ 10‬أمتار أوجد سرعته عند قاعدة المستوى‪.‬‬ ‫وإذا كان المستوى خشنا وكانت المقاومة لحركته ‪ 15‬وزن الجسم أوجد سرعته عند قاعدة المستوى «مستخد ًما‬ ‫مبدأ ثبات الطاقة»‬

‫‪ 2‬جسم كتلته ‪16‬كجم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت جـ = (‪3‬ن‪8 - 2‬ن) ى حيث ى متجه الوحدة‬ ‫فى اتجاه الحركة اذا كان معيار ف بوحدة المتر‪ ،‬ن بالثانية أوجد التغير فى كمية الحركة للجسم فى فترات‬ ‫االزمنة االتية ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫ثان ًيا‪]8 ، 5[ :‬‬ ‫أوال‪ 2[ :‬و ‪]4‬‬

‫الختبار ال�شابع‬ ‫اأو اً‬ ‫ل‪ :‬اجب عن ال�شوؤال الآتى‬ ‫ال�شوؤال الأول‪ :‬اكمل ما ياأتى‪:‬‬

‫اذا تحرك جسم كتلته الوحدة فى خط مستقيم بحيث كانت عجلة حركة الجسم تعطى بالعالقة‬ ‫جـ = ‪4‬ن ‪ 2 +‬حيث مقاسة بوحدة م‪/‬ث‪ ،2‬ن بالثانية فان التغير فى كمية حركة الجسم فى الفترة الزمنية [‪]6 ،2‬‬ ‫يساوى ‪ .............................‬كجم م‪/‬ث‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪287‬‬

‫�ختب��ت ع�م ‬

‫‪ 2‬قذف جسم كتلته ‪ 500‬جرام رأسيا ألعلى من نقطة على سطح األرض‪ ،‬سرعته ‪14٫7‬م‪/‬ث فإن طاقة وضعه بعد‬ ‫مرور ثانية واحدة من قذيفة = ‪ .............................‬جول‬ ‫‪ 3‬يتحرك جسم بسرعة منتظمة فى خط مستقيم تحت تأثير القوة ‪ +M 6 = 2X، N 3 - M C 2 = X‬ب ‪، N‬‬ ‫‪ N 5 + M C = X‬فإن ‪ ،............................. = C‬ب = ‪.............................‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 4‬فى الشكل المقابل المستوى أملس والبكرة ملساء‪ ،‬عند تحريك هذه المجموعة‬ ‫فإن عجلة المجموعة = ‪ .............................‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫ك‬

‫ك‬ ‫‪c30‬‬

‫اذا كان الشغل المبذول من القوة ‪ = X‬م ‪ N 4 + M‬خالل إزاحة نقطة تأثيرها‬

‫ف = ‪( + M 3-‬م ‪ N )1+‬يساوى ‪ 0٫05‬جول ‪ || ،‬ف || بالسم حيث م ثابت فإن قيمة م =‬ ‫‪ 6‬علق جسم فى خطاف ميزان زنبركى مثبت بسقف وصعد يتحرك رأسيا إلى أعلى فكان الوزن الظاهري للجسم‬ ‫ضعف الوزن الحقيقى فإن عجلة الحركة جـ = ‪.............................‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫‪.............................‬‬

‫اأجب عن ثالثة اأ�شئلة فقط مما ياأتى‬ ‫ال�شوؤال الثانى‪:‬‬

‫صعد رجل وزنه ‪72‬ث‪.‬كجم طريقا يميل على األفقى بزاوية جيبها ‪ 14‬فقطع ‪ 100‬متر إحسب التغير فى طاقة‬ ‫وضع الرجل‬

‫‪ 2‬قاطرة كتلتها ‪ 30‬طن وقوة آالتها ‪ 56‬ثقل طن تجر عد ًدا من العربات التى كتلة كل منها ‪10‬طن لتصعد‬ ‫منحدرا‬ ‫ً‬ ‫يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ c30‬بعجلة منتظمة ‪49‬سم‪/‬ث‪ 2‬فإذا كانت المقاومة لحركة القاطرة والعربات‬ ‫‪10‬ث كجم لكل طن من الكتلة المتحركة فما هو عدد العربات؟‬ ‫ال�شوؤال الثالث‪:‬‬

‫عامل بمصنع يدفع صندوق كتلته ‪30‬كجم مسافة قدرها ‪4٫5‬متر بسرعة ثابتة على سطح أفقى فإذا كان معامل‬ ‫األحتكاك بين الصندوق والسطح ‪ 14‬إحسب الشغل المبذول بواسطة العامل على الصندوق ثم احسب الشغل‬ ‫المبذول بواسطة رد الفعل‪.‬‬

‫‪ 2‬وضع جسم كتلته ‪35‬جرام على نضد أفقى أملس وربط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء مثبتة فى حافة‬ ‫النضد ويحمل طرفه اآلخر جسما كتلته ‪ 14‬جرام رأسيا أوجد‬ ‫أوال‪ :‬العجلة المشتركة للمجموعة والشد فى الخيط وكذلك الضغط على محور البكرة بوحدة الثقل جرام‬ ‫ثانيا‪:‬إذا قطع الخيط بعد ‪ 1 12‬ثانية من بدء الحركة أوجد المسافة التى قطعها كل من الجسمين بعد ‪ 12‬ثانية من‬ ‫لحظة قطع الخيط‬

‫‪288‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�ختب��ت ع�م ‬ ‫ال�شوؤال الرابع‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 70‬ضد‬ ‫هبطت عربة سكة حديد كتلتها ‪ 20‬طن من السكون على منحدر يصنع مع األفقي زاوية جيبها‬ ‫مقاومات مقدارها ‪ 14‬ث كجم لكل طن من الكتلة فوصلت إلى أسفل المنحدر بعد أن قطعت مسافة ‪ 350‬متر‬ ‫عليه وعند أسفل المنحدر أصطدمت بعربة أخرى ساكنة ومساوية لها فى الكتلة فسارت العربتان معا كجسم‬ ‫واحد على طريق أفقى فإذا سكنت العربتان بعد دقيقة واحدة من لحظة تصادمهما أوجد المسافة األفقية التى‬ ‫تحركتها العربتان معا‪.‬‬ ‫‪ 2‬يتحرك منطاد رأسيا ألعلى وعندما كان على إرتفاع ‪ 40٫4‬مترا عن سطح األرض سقط منه جسم كتلته ‪ 5‬كجم‬ ‫فإذا كانت طاقة حركة الجسم لحظة إصطدامه باألرض تساوى ‪ 2940‬جول وبفرض إهمال مقاومة الهواء إحسب‬ ‫أوال‪ :‬سرعة المنطاد لحظة سقوط الجسم‬ ‫ثانيا‪ :‬المسافة التى قطعها الجسم من لحظة سقوطه حتى لحظة انتظامه‬

‫ال�شوؤال الخام�س‪:‬‬

‫تحركت سيارة كتلتها ‪ 3‬طن بأقصى سرعة ومقدارها ‪27‬كم ‪/‬س صاعدة من منحدرا يميل على األفقى بزاوية‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 30‬ثم عادت السيارة وهبطت على نفس المنحدر بأقصى سرعة وقدرها ‪72‬كم‪/‬س أوجه المقاومة بغرض‬ ‫جيبها‬ ‫ثبوتها ثم إحسب قدرة السيارة بالحصان‬ ‫‪ 2‬بندول بسيط مكون من خيط طوله ‪1 12‬متر ثبت طرفه العلوى وحمل طرفه األسفل جسما كتلته ‪ 500‬جرام‬ ‫ويتدلى رأسيا فإذا شد الجسم بقوة أفقية إلى أن أصبح مائال على الرأس بزاوية ‪ °60‬أوجد‪:‬‬ ‫ثانيا‪ :‬الشغل الذى بذلته القوة بالجول‬ ‫أوال‪ :‬التغير فى طاقة وضع الجسم بالجول‬ ‫ثالثا‪ :‬سرعة الجسم عند منتصف المسار إذا أزيلت القوة األفقية وترك الجسم ليتذبذب‪.‬‬

‫الختبار الثامن‬ ‫اأو اً‬ ‫ل‪ :‬اجب عن ال�شوؤال الآتى‬ ‫ال�شوؤال الأول‪ :‬اكمل ما ياأتى‪:‬‬

‫فى لحظة ما كانت كمية حركة جسم ‪112‬كجم‪.‬م‪/‬ث وطاقة حركته ‪80‬ث كجم‪.‬م فإن كتلة الجسم= ‪........‬كجم‪،‬‬ ‫سرعته = ‪........‬م‪/‬ث عندئذ‬

‫‪ 2‬جسم كتلته ‪ 300‬جرام يتحرك فى خط مستقيم متجه إزاحته (ن‪ + 2‬ن ‪ )1+‬ى حيث|| ف ||‬ ‫بالسم‪ ،‬ن بالثانية فان معيار القوة المؤثرة عليه = ‪.......................‬داين‬

‫‪ 3‬جسم وزنه الحقيقى ‪28‬نيوتن‪ ،‬وزنه الظاهرى ‪ 32‬نيوتن كما يعينه ميزان زنبركى داخل مصعد‪ ،‬يتحرك بتقصير‬ ‫منتظم‪ ،‬فإن إتجاه الحركة يكون‪ .......................‬وإتجاه العجلة يكون ‪.......................‬‬ ‫‪ 4‬المسافة الرأسية بين جسمين مربوطين فى نهاية خيط خفيف يمر على بكرة ملساء مثبتة ويتدليان رأسيا هى‬ ‫‪ 100‬سم بعد ‪ 2‬ثانية من بدء الحركة فإن سرعة كل منهما حينئذ = ‪.......................‬سم‪/‬ث‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪ 2٫5‬متر‬

‫فى الشكل المقابل مستوى مائل أملس طوله ‪ 20‬متر وإرتفاعه ‪ 2٫5‬متر وضع‬

‫‪0‬‬

‫‪ 2‬متر‬

‫‪289‬‬

‫�ختب��ت ع�م ‬ ‫جسم عند قمة المستوي وترك يهبط على المستوى فإنه يصل إلى قاعدة المستوى بسرعة = ‪.......................‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫‪ 6‬قذف جسم كتلته ‪ 200‬جرام رأسيا إلى أعلى بسرعة ‪ 49‬متر‪/‬ث فإن طاقة وضعه عند أقصى إرتفاع يصل إليه‬ ‫الجسم = ‪.......................‬جول‬ ‫ثانيا‪ :‬اأجب عن ثالثة اأ�شئلة فقط مما ياأتى‬ ‫‪2‬ك‬ ‫جاه‬ ‫ات‬ ‫الح‬

‫الح‬

‫ركة‬

‫الشكل المقابل ثالث كتل ك‪ ،‬ك‬ ‫‪3 ،‬ك تتحرك من أعلى ألسفل من‬ ‫السكون (بفرض أهمال مقاومة الهواء‬ ‫واالحتكاك)‬ ‫أوال‪ :‬أى من الكتل الثالث تصل لألرض‬ ‫بأكبر سرعة‪.‬‬ ‫ثانيا‪ :‬أى من الكتل الثالث تبذل شغال‬ ‫أكثر للوصول إلى األرض‪.‬‬

‫جاه‬ ‫ات‬

‫ال�شوؤال الثانى‪:‬‬

‫ك‬

‫أ‬

‫ك‬

‫ب‬

‫ج‬

‫‪ 2‬أثرت قوة ‪5‬ث ‪.‬كجم فى كتلة ‪196‬كجم متحركة فى خط مستقيم أفقى فى اتجاه القوة فقطعت مسافة ‪2٫8‬متر‬ ‫احسب مقدار زيادة طاقة الحركة للجسم بالجول‪ ،‬وإذا كانت طاقة حركة الجسم فى نهاية المسافة ‪141٫12‬‬ ‫جول احسب السرعة االبتدائية للجسم‪.‬‬ ‫ال�شوؤال الثالث‪:‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪ 17‬ثم ربط بخيط يمر‬ ‫جسم كتلته ‪170‬جرام موضوع على مستوى مائل خشن يميل على األفقى بزاوية جيبها‬

‫على بكرة ملساء عند قمة المستوى ويتدلى من الطرف الخالص للخيط ثقل ما‪ ،‬فإذا كان أقل ثقل يلزم تعليقه‬ ‫من هذا الطرف للخيط لحفظ توازن الجسم على المستوى هو ‪ 70‬ثقل جرام أوجد مقاومة المستوي بثقل‬ ‫الجرام وإذا علق من الطرف الخالص للخيط ثقل قدرة ‪ 194‬جرام أوجد عجلة المجموعة بفرض ثبوت المقاومة‬ ‫فى الحالتين‬ ‫‪ 2‬سيارة قدرة آالتها ثابتة وأقصى سرعة لها عند صعودها منحدر ما هى ‪54‬كم‪/‬س وأقصى سرعة لها عند هبوطها‬ ‫نفس المنحدر هى ‪108‬كم‪/‬س أوجد أقصي سرعة تتحرك بها على مستوي أفقى علما بأن مقاومة الطريقة‬ ‫لحركة السيارة ثابتة فى الحاالت الثالث‬ ‫ال�شوؤال الرابع‪:‬‬

‫كرة كتلتها ‪ 200‬جرام تتحرك سرعة ‪7‬م‪/‬ث إصطدمت بكرة ساكنة كتلتها ‪ 300‬جرام وتحركتا معا كجم واحد‬ ‫أ أوجد السرعة المشتركة لها بعد التصادم مباشرة ب طاقة الحركة المفقودة بالتصادم‬ ‫ج المسافة التى يسكن بعدها الجسم اذا القي مقاومة ‪ 200‬ث ‪ .‬جرام‬

‫‪290‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�ختب��ت ع�م ‬

‫‪ 2‬الشكل المقابل ‪ X‬تؤثر على سيارة أطفال كتلتها ‪ 2‬كجم تسير فى خط‬ ‫مستقيم موازى لمحور السينات مركبة س تتغير بتغير القوة كما فى الشكل‬ ‫احسب الشغل المبذول بواسطة القوة عند‪:‬‬ ‫ب س = ‪3‬متر إلى س = ‪4‬متر‬ ‫أ س = ‪ 0‬إلى س = ‪3‬متر‬ ‫ج س = ‪4‬متر إلى س = ‪7‬متر‬

‫ال�شوؤال الخام�س‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1-‬‬

‫‪2-‬‬

‫د س = ‪ 7‬متر إلى س = ‪2‬متر‬

‫يتحرك جسم متغير الكتلة فى خط مستقيم وكانت كتلته عند أى لحظة زمنية ن هى ك = (‪4‬ن ‪ )1+‬جرام وكان‬ ‫متجه ازاحته يعطى بالعالقة ف = (ن‪ 2‬ـ‪2‬ن) ى ‪ ،‬ن بالثانية‪ ||،‬ف || بالسنتيمتر أوجد كمية حركته فى‬ ‫الفترة الزمنية [‪]5 ، 3‬‬

‫‪ 2‬لتعيين مقدار عجلة الجاذبية فى مكان ما علق جسم كتلته ‪1٫5‬كجم فى خطاف ميزان زنبركى مثبت فى سقف‬ ‫مصعد فسجلت قراءة الميزان ‪ 16 ، 5‬نيوتن عندما كان صاعدا بعجلة جـ م‪/‬ث‪ 2‬وسجل ‪ 12٫75‬نيوتن عندما‬ ‫كان هابطا بعجلة جـ م‪/‬ث‪ 2‬احسب عجلة الجاذبية فى ذلك المكان وكذلك عجلة حركة المصعد‪.‬‬

‫الختبار التا�شع‬

‫اأو اً‬ ‫ل‪ :‬اجب عن ال�شوؤال الآتى‬ ‫ال�شوؤال الأول‪ :‬اكمل ما ياأتى‪:‬‬

‫يتحرك جسم كتلته ‪ 5‬وحدات كتلة تحت تأثير قوة ‪( + M )1 + C( = X‬ب ‪ N )2 -‬وكان متجه إزاحته‬ ‫= ن‪2 1 ( + M 2‬‬ ‫ن ‪3 +‬ن) ‪ N‬فإن ‪ ، .................. = C‬ب = ‪..................‬‬ ‫عند أى لحظة يعطى بالعالقة ف‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 2‬فى الشكل المقابل مستوى أفقى أملس فإن الضغط على البكرة = ‪ ..................‬ث‪.‬جم‬

‫‪800‬‬

‫‪200‬‬

‫‪ 3‬رصاصة كتلتها ‪98‬جرام تتحرك أفقيا بسرعة ‪720‬كم‪/‬س غاصت فى حاجز‬ ‫رأسى مسافة ‪10‬سم قبل أن تسكن‪ ،‬فإن متوسط مقاومة الحاجز = ‪..................‬ث كجم‬

‫‪ 4‬سفينة كتلتها ‪ 441‬طن تتحرك بسرعة ‪72‬كم‪/‬س فإن طاقة حركتها = ‪..................‬كيلووات ‪ .‬ساعة‬

‫آلة تبذل شغال قدرة ‪15000‬كيلوجرامتر خالل ‪ 10‬ثوان يساوى فإن قدرة اآللة بالحصان تساوى‬

‫‪..................‬‬

‫‪ 6‬قوة مقدارها ‪ 80‬نيوتن تعمل فى إتجاه ‪ °30‬شمال الشرق فإن الشغل المبذول بواسطة القوة خالل إزاحة معيارها‬ ‫‪ 40‬متر نحو الشمال يساوى ‪..................‬جول‬ ‫ثانيا‪ :‬اأجب عن ثالثة اأ�شئلة فقط مما ياأتى‬ ‫ال�شوؤال الثانى‪:‬‬

‫يتحرك راكب دراجة على طريق أفقى خشن بعجلة منتظمة فتغيرت طاقة حركته بمقدار ‪107800‬جول خالل‬ ‫‪ 12‬كيلومتر ثم أوقف الراكب حركة ساقيه فقطع ‪100‬متر فقدت خاللها طاقة الحركة بمقدار ‪7840‬جول أوجد‬ ‫بثقل الكيلوجرام كال من المقاومات والقوة‪.‬‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪29‬‬

‫�ختب��ت ع�م ‬

‫‪ 2‬كفتا ميزان كتلة كل منهما ‪35‬جم متصلتان بخيط خفيف غير مرن يمر على بكرة صغيرة ملساء وضع فى‬ ‫إحدى الكفتين جسم كتلته ‪280‬جرام وفى الكفة الثانية جسم كتلته ك جرام فإذا هبطت الكفة التى بها الكتلة‬ ‫‪280‬جرام مسافة ‪560‬سم من السكون فى ‪ 2‬ثانية أوجد‪:‬‬ ‫ثانيا‪ :‬الشد فى الخيط وكذلك قيمة ك‬ ‫أوال‪ :‬عجلة حركة المجموعة‬ ‫ثالثا‪ :‬الضغط على كل من الكفتين‬

‫ال�شوؤال الثالث‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 14‬من وزنها وبعد ‪10‬‬ ‫قذفت كرة كتلتها ‪200‬جرام بسرعة ‪21‬متر‪/‬ث على مستوى أفقى ضد مقاومات تعادل‬

‫ثوان صدمت كرة أخري مساوية لها فى الكتلة تتحرك بسرعة ‪ 7‬متر‪/‬ث فى االتجاه المضاد فإذا تحركت‬ ‫الكرتان معا كجسم واحد بعد التصادم إحسب‬ ‫ثانيا‪ :‬دفع كل من الكرتين على األخرى‬ ‫أوال‪ :‬السرعة المشركة للكرتين بعد التصادم‬ ‫ثالثا‪ :‬طاقة الحركة المفقودة بالتصادم‬

‫‪ 2‬تنتقل الصناديق فى أحد المصانع بانزالقها على مستوى مائل ينتهى بمستوي أفقى فاذا كان طول المستوي‬ ‫المائل ‪40‬متر وزاوية ميله على األفقى ‪ °30‬والمقاومة لكل من المستويين تعادل ‪ 15‬وزن الجسم أوجد سرعة‬ ‫الصندوق عند نهاية المسار بفرض أن سرعته ال تتغير بانتقاله إلى المستوى األفقى اذا كان طول الجزء األفقى‬ ‫‪ 10‬أمتار‬

‫ال�شوؤال الرابع‪:‬‬

‫أثرت قوة قدرها ‪12٫6‬نيوتن على جسم ساكن موضوع على مستوي أفقى لفترة زمنية فاكتسب الجسم فى‬ ‫نهايتها طاقة حركة قدرها ‪9‬ث كجم‪.‬متر‪ ،‬بلغت كمية حركته عندئذ ‪42‬كجم‪.‬متر‪/‬ث ثم رفعت القوة فعاد‬ ‫الجسم إلى السكون مرة أخرى بعد أن قطع مسافة ‪ 21‬متر من لحظة رفع القوة أوجد كتلة الجسم ومقاومة‬ ‫المستوى لحركة الجسم بالنيوتن بفرض ثبوتها ثم أوجد زمن تأثير القوة‪.‬‬

‫‪ 2‬علق جسم فى ميزان زنبركى مثبت فى سقف مصعد فسجل القراءة ‪80‬ث‪.‬كجم عندما كان المصعد صاعدا‬ ‫صاعدا بتقصير منتظم مقداره جـ‬ ‫بعجلة منتظمة جـ متر‪/‬ث‪ 2‬وسجل القراءة ‪60‬ث‪ .‬كجم عندما كان المصعد‬ ‫ً‬ ‫متر‪/‬ث‪ 2‬أوجد كتلة الجسم وقيمة جـ‪.‬‬

‫ال�شوؤال الخام�س‪:‬‬

‫قاطرة قدرة محركها ‪ 1080‬حصانا وكتلتها ‪ 50‬طن تجر قطار كتلة ‪ 130‬طن على مستوي أفقى خشن بعجلة‬ ‫‪49‬سم‪/‬ث‪ 2‬فإذا كانت مقاومة الهواء واالحتكاك تعادل ‪10‬ث‪ .‬كجم عن كل طن من الكتلة أحسب أقصي‬ ‫سرعة يقطعها القطار بالكيلومتر‪ /‬ساعة‪.‬‬ ‫‪ 2‬عامل يدفع عربة كتلتها ‪20‬كجم لتصعد مستوى يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ °25‬ألعلى بقوة مقدارها‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 10‬والعربة تتحرك مسافة ‪3٫8‬متر احسب الشغل‬ ‫‪ 140‬نيوتن فإذا كان معامل األحتكاك بين المستوي والعربة‬ ‫الكلى المبذول على العربة‪ ،‬إذا تحركت العربة أسفل المستوى من سكون إحسب سرعة العربة عندما تكون‬ ‫على مسافة ‪ 3٫8‬على المستوى‬

‫‪292‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫�ختب��ت ع�م ‬

‫الختبار العا�شر‬ ‫اأو اً‬ ‫ل‪ :‬اجب عن ال�شوؤال الآتى‬ ‫ال�شوؤال الأول‪ :‬اكمل ما ياأتى‪:‬‬

‫يجذب حصان كتلة خشبية على أرض أفقية بقوة مقدارها ‪100‬ث كجم وتميل على األفقى ألعلى بزاوية قياسها‬ ‫‪ °30‬فإذا تحركت الكتلة بسرعة منتظمة فإن مقدار مقاومة األرض لحركتها = ‪..................‬ث كجم‬

‫‪ 2‬إذا أثرت قوة ثابتة مقدارها ‪5‬ث‪.‬كجم على جسم ساكن كتلته ‪49‬كجم لمدة ‪ 3‬ثوانى فإن سرعة الجسم فى نهاية‬ ‫هذه المدة = ‪..................‬م‪/‬ث‬ ‫‪ 3‬فى الشكل المقابل ‪3‬ك‪3 ،‬ك كتلتان معلقتان من طرفى خيط يمر على بكرة صغيرة ملساء ومعلق‬ ‫باحدى الكتلتين كتلة إضافية ك وتركت المجموعة للحركة من السكون فإن سرعة المجموعة بعد‬ ‫‪ 2‬ثانية = ‪..................‬سم‪/‬ث‬

‫‪3‬ك‬ ‫ك‬

‫‪3‬ك‬

‫‪ 4‬قذيفة كتلتها ‪ 45‬جرام تتحرك بسرعة منتظمة مقدارها ‪1440‬كم‪/‬س فإن طاقة حركتها = ‪..................‬جول‬ ‫آلة تبذل شغال بمعدل منتظم = ‪18000‬ث‪.‬كجم‪ .‬متر كل دقيقة فإن قدرة اآللة = ‪..................‬حصان‬

‫‪ 6‬تتحرك كرة كتلتها ‪300‬جرام أفقيا إصدمت بحائط رأسى عندما كانت سرعتها ‪60‬متر‪/‬ث فإذا إرتدت بعد أن‬ ‫فقدت ‪ 23‬مقدار سرعتها فإن التغير فى كمية حركتها نتيجة إصطدامها بالحائط= ‪..................‬جرام‪.‬سم‪/‬ث‬

‫ثانيا‪ :‬اأجب عن ثالثة اأ�شئلة فقط مما ياأتى‬ ‫ال�شوؤال الثانى‪:‬‬

‫يتحرك جسم كتلته كيلو جرام تحت تأثير القوى ‪ = 1X‬ب ‪، N + M 2 = 2X ، N 2 + M‬‬ ‫‪ N C + M 3- = 3X‬حيث ‪ N ، M‬متجها وحدة متعامدين ‪ || 3X ||،|| 2X ||،|| 1X ||،‬مقيسة‬ ‫بالنيوتن ‪ ، C ،‬ب ثابتان فإذا كان متجه األزاحة ف = ن‪2( + M 2‬ن‪ - 2‬ن) ‪ N‬حيث ف بالمتر ‪ ،‬ن بالثانية‬ ‫أوال‪ :‬أوجد قيمة الثابتين ‪ ، C‬ب ثانيا‪ :‬احسب الشغل المبذول من محصلة القوى المذكورة خالل الثوانى‬ ‫العشر األولى من حركة الجسم‬

‫‪ 2‬فى الشكل المقابل كتلتان ‪40‬جرام‪30 ،‬جرام مربوطتان فى نهايتى خيط‬ ‫خفيف يمر على بكرة صغيرة ملساء مثبتة عند قمة مستويين أملسين‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪c30‬‬ ‫‪c30‬‬ ‫متقابلين مائلين على األفقى بزاوية قياسها ‪ °30‬كما هو مبين بالشكل‬ ‫حفظت المجموعة فى حالة إتزان عندما كان الجسمان على خط أفقى‬ ‫واحد وجزءا الخيط مشدودين فإذا تركت المجموعة تتحرك من سكون أوجد عجلة الحركة والمسافة الرأسية‬ ‫بين الجسمين بعد ثانية واحدة من بدء الحركة‪.‬‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪293‬‬

‫�ختب��ت ع�م ‬ ‫ال�شوؤال الثالث‪:‬‬

‫تتحرك قاطرة أفقيا تحت تأثير مقاومة تتناسب مع مربع سرعتها وكانت هذه المقاومة تساوى ‪450‬ث‪.‬كجم‬ ‫عندما كانت سرعة القاطرة ‪30‬كم‪/‬س إحسب أقصى سرعة للقاطرة اذا كانت قدرة محركها ‪ 400‬حصان‬

‫‪ 2‬درع وقائى مصنوع من طبقيتن ملتحمتين منتظمتى السمك من الحديد والنحاس فإذا كان سمك الحديد ‪1‬سم‬ ‫وسمك النحاس ‪3‬سم وكان الدرع فى مستوى رأسى عندما أطلقت عليه رصاصتان متساويتين فى الكتلة فى‬ ‫إتجاهين متضادتين وعموديين على مستوى الدرع وبسرعة واحدة فأخترقت األولى الحديد وسكنت بعد أن‬ ‫دخلت فى النحاس ‪ 54‬سم‪ ،‬بينما أخترقت الثانية النحاس وسكنت بعد أن دخلت فى الحديد ‪ 34‬سم أثبت أن‬ ‫مقاومة الحديد = ‪ 7‬أمثال مقاومة النحاس‪.‬‬ ‫ال�شوؤال الرابع‪:‬‬

‫عند عمل أساس احدى العمارات أستخدمت مطرقة كتلتها ‪ 480‬كيلو جرام لستقط رأسيا من ارتفاع ‪2٫5‬متر‬ ‫على عمود أساس خرسانى كتلته ‪120‬كيلوجرام فيكونان جسما واحدا يغوص فى األرض مسافة ‪ 24‬سم أوجد‬ ‫أوال‪ :‬السرعة المشتركة للمطرقة والعمود بعد التصادم مباشرة‪.‬‬ ‫ثالثا‪ :‬متوسط مقاومة سطح األرض للمطرقة والعمود‬ ‫ثانيا‪ :‬دفع المطرقة لألسطوانة‬ ‫‪ 2‬جسم موضوع عند أعلى نقطة من منحدر إرتفاعه ‪125‬سم ويميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ °30‬تحرك الجسم‬ ‫فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ألسفل ضد مقاومة ثابتة تقدر بربع وزنه إحسب سرعة وصول الجسم إلى‬ ‫أسفل نقطة للمستوى وما هى السرعة التى يقذف بها الجسم من أسفل نقطة فى االتجاه المضاد حتى يصل‬ ‫بالكاد إلى قمته‪.‬‬

‫ال�شوؤال الخام�س‪:‬‬

‫جسم كتلته ‪42‬جرام موضوع على مستوى خشن شد بحبل يميل على األفقى بزاوية جا‪ 45 1-‬فإذا كانت قوة‬ ‫الشد فى الحبل ‪10‬ث جرام قد بذلت شغال قدرة ‪84‬ث‪ .‬جم ‪ .‬سم خالل ‪ 2‬ثانية من بدء الحركة أوجد‬ ‫أوال ‪ :‬عجلة حركة الجسم ثانيا‪ :‬النسبة بين مقاومة المستوى ورد الفعل العمودى‬

‫‪ 2‬وقف طفل على ميزان ضغط داخل مصعد متحركا ألعلى بعجلة ‪1٫96‬م‪/‬ث‪ 2‬فسجل الميزان ‪24‬ث‪.‬كجم‪.‬‬ ‫أوجد وزن الطفل‪ ،‬واذا هبط المصعد ألسفل بنفس العجلة أوجد قراءة الميزان فى هذه الحالة‪.‬‬

‫‪294‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫اجابات التمارين‬

‫اأو ًال‪ :‬اال�ستاتيكا‪ :‬الوحدة االأولى ‪ :‬االحتكاك‬ ‫اإجابات تمارين (‪)1 - 1‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬

‫‪ 1‬الملساء‬ ‫األحتكاك ‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬رد الفعل العمودية‬ ‫على وشك الحركة ‬ ‫ رد الفعل العمودى‬ ‫رد الفعل المحصل ‬ ‫ ‪2‬‬ ‫‪ 18‬ث كجم ‬ ‫ ‬ ‫‪3‬‬ ‫ر = ‪ , 56‬م = ‪ 70٫86 1 0٫75‬ث كجم‬ ‫‪ 13 = X‬ث جم ‪ ,‬م = ‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الجسم يكون على وشك الحركة‬ ‫ر = وزن الصندوق = ‪ 40‬ث كجم‬ ‫‪ 15 = X‬نيوتن ‪ 9 =  ,‬نيوتن‬

‫اإجابات تمارين (‪)2 - 1‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 5‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬

‫‪ ✔ 1‬‬ ‫‪ ✔ 1‬‬ ‫✕ ‬ ‫ ‪ C‬‬ ‫ ✕ ‬ ‫✔ ‬ ‫‪ 9 1‬نيوتن ‪ 32‬نيوتن‬ ‫‪ C‬‬ ‫الجسم على وشك الحركة‬ ‫االحتكاك غير نهائى ‪ 5 ،‬ث كجم‬ ‫هـ = ل ‪ ،‬ر = و‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 25٫0453‬نيوتن ‬ ‫َ‬

‫ هـ ‪ ، c30‬م = ‪ 3‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪✕ 1‬‬ ‫ ‪C‬‬

‫ ‪ 19‬ث كجم‬

‫ ‪ 3 4 = X ، 1‬ث كجم ‪ 3 2 ،‬ث كجم‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ ‪ 3 53‬ث كجم ‪ 3 3 ،‬ث كجم‬ ‫‪ 11‬ظا‪3 1-‬‬ ‫‪ = X 1‬و * جا (هـ ‪ +‬ل)‬ ‫ ‬ ‫‪4‬‬

‫اإجابات التمارين العامة‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬ب ‬ ‫أ ‬ ‫الجسم ال يكون على وشك الحركة‪.‬‬ ‫أ ‪ 3 15‬ث كجم ب َر = ‪ 3 30‬ث كجم‬ ‫ ‪ 10‬ث كجم‬ ‫‪ 12‬‬ ‫ح > مركبة الوزن يكون الجسم متزن ‬ ‫‪ 1٫2 = X‬نيوتن‬ ‫جـ‬

‫الوحدة الثانية ‪( :‬العزوم)‬ ‫اإجابات تمارين (‪)1 - 2‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬

‫‪ 20 1‬ع‬

‫‪5 40 1‬‬ ‫‪ 400‬‬ ‫القوة تمر بهذه النقطة‬ ‫بعد النقطة عن خط عمل القوة‬ ‫ أ ل جا ‪i‬‬ ‫ ب ‬ ‫‪ 35‬‬ ‫‪ 1‬ل = ‪ ، 7-‬م = ‪13‬‬ ‫‪C // X‬ب ‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫خط عمل المحصلة يوازى المستقيم المار ‬ ‫بالنقطتين (‪)4 ،6( ، )1 ،2‬‬ ‫‪ 149٫7689‬نيوتن‪ .‬متر‬ ‫أ ‪ 1200-‬نيوتن ‪.‬سم ب ‪ 1175٫877-‬نيوتن‪ .‬سم‬ ‫جـ ‪ 2 600‬نيوتن‪ .‬سم‬ ‫( ‪ ) 28 ، 46 -‬نيوتن‬

‫اإجابات تمارين (‪)2 - 2‬‬

‫ أ ‪ 5 + N 9 + M 11-‬ع‬

‫ب ‪ 11-‬س ‪ 5 +‬ص ‪ 7 -‬ع ‪3٫73 ،‬‬ ‫ ‬ ‫ل = ‪3‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 120 1‬ص ‪ 480 +‬ع‬ ‫‪ 120- 1‬س ‪ 60 +‬ع ‬ ‫‪ 7 = X 5‬س‬

‫‪27‬‬ ‫ ب = ‪ ، 3-‬طول العمود = ‬ ‫‪14‬‬ ‫ ع = ‪ ، 1‬س = ‪1‬‬ ‫ ‪ 480‬ص ‪ 360 +‬ع ‬ ‫‪1328٫43 1‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪ 150‬‬

‫اإجابات التمارين العامة‬

‫ ‪ 18٫199‬نيوتن‬ ‫‪ 56- 1‬س ‪ 28 -‬ص ‪ 28 +‬ع‬ ‫‪ 11‬نيوتن ‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 28- 1‬ع‬ ‫ ك = ‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 7- 5‬‬ ‫ع‬ ‫ ‪ 3260٫77-‬نيوتن‪ .‬م‬ ‫ محصلة القوة تمر بالنقطة جـ‬ ‫ ‪ 2 200‬نيوتن‪ .‬م‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1 5‬‬

‫اختبارات عامة‬

‫اإجابات االختبار التراكمى‬

‫ ‪5‬‬ ‫ ‪1 , 2 , 2-‬‬ ‫‪3 3 3‬‬ ‫ ‪4‬‬

‫ ‪ 1‬متر‬ ‫و = ‪ 15‬نيوتن‬ ‫س = ‪ 56‬سم ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 100‬ث كجم‬ ‫ أ ‪ 100‬ث كجم ‬ ‫‪ 124‬ث كجم‬ ‫ب ‪ 160‬ث كجم ‬ ‫ اً‬ ‫أول‪ :‬ش = ‪ 100‬ث جم‬ ‫ر = ‪ 300‬ث جم‬ ‫ ‬ ‫ثانياًا‪ :‬و = ‪ 200‬ث جم‬ ‫ س تقع بين ‪40‬سم‪60 ،‬سم‬ ‫أكبر قيمة للشد عند ‪ 12 = C‬ث‪.‬جم‬ ‫وأقل قيمة = ‪7‬ث‪.‬جم‬ ‫أكبر قيمة للشد عند ب = ‪ 15‬ث‪.‬جم‬ ‫وأقل قيمة = ‪ 10‬ث‪.‬جم‬ ‫ ‪ 15‬نيوتن يبعد عن ‪ 56 C‬سم‬ ‫ أكبر مسافة من ‪ C‬هى ‪ 33‬كم ورد الفعل عند ‪ ،C‬ب ‬ ‫علي الترتيب ‪ 60‬ث‪ .‬كجم ‪ 40 /‬ث‪ .‬كجم‬ ‫ ‪ N 12 - M 9- = 3X‬‬ ‫‪ N 8 - M 6- = 4X‬‬

‫‪ 10‬جتا ‪ i‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ (‪ ) r3 ،2‬‬ ‫‪ 8‬جا ‪ 70‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ (‪ )6- ،7 ،4-‬‬ ‫جـ ‪80-‬‬ ‫ أ ‪ 130-‬ب ‪ 30-‬‬ ‫ ‬ ‫‪3 75‬‬‫ ‪ 2‬نيوتن ‪ .‬م ‪ 6485٫19 1‬نيوتن ‪ .‬سم ‬ ‫ أقل قيمة للقوة ‪ X‬يكون عند ‪ 90 = σ‬هي ‪ 20‬نيوتن ‪1‬‬ ‫الوحدة الثالثة‪ :‬القوى المتوازية‬ ‫ ‬ ‫تمارين اإجابات (‪)1 - 3‬‬ ‫ ‬ ‫ أ‬ ‫ أ ‬ ‫ د ‬ ‫ ‬ ‫ أ‬ ‫ ‪ 26‬نيوتن ‪ 8٫5‬سم‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ب‬ ‫ ‪ 38‬نيوتن ‪ 22٫5‬سم‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫جـ‬ ‫ ‪ 26‬نيوتن ‪ 18٫75‬سم‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ب‬ ‫ ‪ 14‬نيوتن‬ ‫ ‪ 8‬نيوتن‬ ‫ ‬ ‫جـ ‪ 12٫75‬نيوتن‬ ‫ ‬ ‫ أ‬ ‫ ‪ 35‬نيوتن ‪ 40‬سم‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 20 = 1‬نيوتن ح = ‪14‬‬ ‫ ‬ ‫ب ‪X‬‬ ‫ ‬ ‫اإجابات تمارين عامة‬ ‫ أ‬ ‫‪ 2٫5‬سم عند ‪C‬‬ ‫ ‪ 14‬نيوتن ‬ ‫ ‬ ‫ب‬ ‫ ‪ 105‬سم‬ ‫ ‪ 21‬سم‬ ‫ ‪ 3‬نيوتن‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫جـ‬ ‫ عزم المحصلة حول نفس النقطة‬ ‫ ‪ 12‬سم‬ ‫ ‪ 2‬نيوتن‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‪ 26‬سم‬ ‫ ‪ 4‬متر‬ ‫ ‬ ‫‪ 27‬سم‬ ‫ ‬ ‫ أولاً‪ 100 :‬نيوتن والبعد بين خط عمل النيوتن ‪ 100‬سم‬ ‫ ‪ 20‬نيوتن ‪12‬سم‬ ‫ ‬ ‫‪ 30‬سم‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ ثانياًا‪ 400 :‬نيوتن والبعد عن خط عمل النيوتن ‪25‬سم‬ ‫ ‪ 6٫5‬نيوتن‬ ‫ ‪ 1‬متر ‬ ‫ ‪ 58‬‬ ‫‪ 8‬نيوتن ‪ 32‬سم‬ ‫ ‬ ‫ مقدار المحصلة = ‪ 32‬نيوتن وتعمل رأس ًيا ألعلى‬ ‫ ‪3 67‬سم‬ ‫‪ 53‬متر من نقطة ‪C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪12 ،2 ،4‬‬ ‫اإجابات تمارين (‪)2 - 3‬‬ ‫ اولاً‪30 :‬سم عن أ ‬ ‫س = ‪28‬سم‬ ‫ ‪ 11‬نيوتن ‪ ,‬‬ ‫ ثانياًا‪ 80 = X :‬ث‪.‬كجم‬ ‫‪ 17 = X‬نيوتن‬ ‫ك = ‪ 10‬نيوتن ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ وزن القضيب = ‪ 90‬ث جم والبعد بين الحاملين ‬ ‫ س = ‪4‬سم‬ ‫‪22‬سم‬ ‫‪ 15 = X‬نيوتن‬ ‫ك = ‪ 10‬نيوتن ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬اً‬ ‫‪ 70‬نيوتن‬ ‫أول‪ 10 :‬نيوتن ‬ ‫ ر‪ 14٫25 = 2‬كجم ر‪ 48٫75 = 1‬كجم‬ ‫ ثانياًا‪ 100 :‬نيوتن‬ ‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫اختبارات عامة‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬االتزان العام‬ ‫تمارين اإجابات (‪)1 - 4‬‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ ‬

‫ ✗‬

‫ ✔ ‬ ‫ ✗ ‬ ‫✗ ‬ ‫ينعدم متجه مجموع القوى ‬ ‫ينعدم عزم المجموعة بالنسبة لنقطة واحدة ‬ ‫عمود ًيا على القضيب‬ ‫‪ 2‬نيوتن‬ ‫ر = ‪ 65‬‬ ‫ش = ‪ 5‬نيوتن ‬ ‫ ‬ ‫ل = ‪c60 '15 ''19‬‬ ‫ش = ‪ 4‬نيوتن ‬ ‫ ‬ ‫ر = ‪7 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‪12‬‬ ‫ش = ‪ ، 80‬ر‪ ، 128 = 1‬ر‪80 = 2‬‬

‫ ر‪ ، 12 = 2‬م = ‪ ، 3‬رد فعل األرض ‪3 12‬‬ ‫‪2‬‬

‫ اً‬ ‫أول‪ :‬ش = ‪ 65‬ث كجم‬

‫ ثانياًا‪ :‬ش = ‪ 85‬ث كجم‬ ‫ م = ‪ 13‬‬ ‫‪ 10‬نيوتن ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ اً‬ ‫ثانياًا‪ 14 :‬نيوتن‬ ‫أول‪ 70 :‬نيوتن ‬ ‫ إثبات‬

‫تمارين عامة‬

‫ ‪ 80‬سم من الطرف ب‬ ‫ ‪ 34‬نيوتن‬ ‫ م = ‪5‬‬ ‫‪ 110 = X‬ث كجم‬ ‫ ‬ ‫‪8‬‬ ‫ ‪ 20 = X‬ث كجم ر‪ 12٫5 = 2‬ث كجم‬ ‫ إثبات‬ ‫ ‪8‬‬ ‫ هـ = ‪2‬ل ‬ ‫‪ 11‬‬ ‫ ر‪ 5 = 2‬ث كجم‬ ‫ ‪ 2٫5 = X‬ث كجم‬

‫حل االختبار التراكمى‬

‫ س = ‪c138 '35 ''26‬‬ ‫ ش = ‪ 3 30‬ف جم ‪ 300 = X‬ث جم‬ ‫ش‪ 10 = 2‬نيوتن‬ ‫ ش = ‪ 24‬نيوتن ‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ ‬

‫و = ‪ 18٫9‬نيوتن‬ ‫هـ = ‪ c22‬‬ ‫ ‬ ‫ر‪ 3 10 = 1‬ث‪ .‬جم ‪ ،‬ر‪ 3 20 = 2‬ث‪ .‬جم‬ ‫ش‪12 = 2‬نيوتن ‪ ،‬ش‪ 16 = 1‬نيوتن‬ ‫ ظا هـ = ‪2‬‬ ‫ = ‪ 1‬و ‬ ‫‪ X‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪ 18 = X‬ث ‪ .‬كجم‬ ‫إثبات‬ ‫‪13‬‬ ‫‪ 4 = X‬ث ‪ .‬كجم ر‪ 3 = 1‬ث ‪.‬كجم‬ ‫‪ 15‬ث‪.‬كجم‬ ‫ر‪2 = 2‬‬

‫الوحدة الخام�سة‪ :‬االزدواج‬ ‫اإجابات تمارين (‪)1 - 5‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪ 1‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ د‬ ‫ ب ‬ ‫ د ‬ ‫ د ‬ ‫ ب‬ ‫ د ‬ ‫ ب ‬ ‫جـ ‬ ‫أ ‪ 160‬نيوتن ‪ .‬سم ب ‪ 2 240‬نيوتن ‪ .‬سم‬ ‫جـ ‪ 3 100‬نيوتن‪ .‬سم‬ ‫د ‪ 3 120‬نيوتن‪ .‬سم‬ ‫هـ ‪ 520‬نيوتن‪ .‬سم‬ ‫أ ‪ 100‬نيوتن سم ب ‪ 100‬نيوتن ‪ .‬سم‬ ‫‪ 10‬وحدات عزم‬ ‫‪ ، 5- = C‬ب = ‪ ، 2‬ل = ‪10‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪ 6 ،6‬راسين القوتان هما ‪6 ، 6‬‬ ‫‪ 40 = X‬نيوتن‬ ‫ش = ‪ 3 12‬نيوتن ر = ‪ 3 12‬نيوتن‬ ‫‪ c30‬أ‪c150 ،‬‬ ‫القوتان ‪ 2 30 ، 2 30‬نيوتن أحدهما تعمل فى ‬ ‫اتجاه ب ‪ E‬واألخرى في اتجاه ‪E‬ب‬

‫اإجابات تمارين (‪)2 - 5‬‬

‫ج ‪ 10‬نيوتن ‪ 0‬متر‬ ‫ أ تكافىء إزدوا ‬ ‫ب ال تكافىء إزدواج‬ ‫ ‬ ‫جـ ال تكافىء إزدواج‬ ‫ ‬ ‫‪ 15‬نيوتن ‪ 0‬م‬‫د المجموعة تكافىء إزدواج ‬ ‫ ‬ ‫هـ تكافىء إزدواج ‪ 17‬ث ‪ .‬كجم ‪ .‬متر‬ ‫ ‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫اختبارات عامة‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫و ال تكافىء إزدواج‬ ‫ز تكافىء إزدواج ‪ 16‬نيوتن ‪ 0‬سم‬ ‫ح ال تكافىء إزدواج‬ ‫ط المجموعة تكافىء إزدواج = ‪ 3 75‬نيوتن ‪ 0‬سم‬ ‫‪ 9‬نيوتن ‪ .‬سم ‬ ‫‪ 98‬ث ‪ .‬كجم ‪ 0‬سم‬ ‫معيار عزم األزدواج = ‪ 300‬ث جم ‪ 0‬سم ويعمل فى ‬ ‫االتجاه ‪ C‬ب جـ د ‬ ‫القوتان هما ‪ 6 ،6‬ث جم‬ ‫‪ 3 175‬ث كجم ‪ 0‬سم‬ ‫القوتان هما ‪ 17٫5 ، 17٫5‬ث كجم تؤثران عند ب ‪ E ،‬‬ ‫‪ 400‬نيوتن‪.‬‬ ‫ ‪ 3 300‬نيوتن‪ .‬سم‬ ‫‪ 1134‬نيوتن‪ .‬سم ‬ ‫‪ 516‬ث كجم‪ .‬سم ‪ 3 54 1‬ث جم‪ .‬سم‬ ‫ ‪ 200 = X‬نيوتن‬ ‫‪ 4800‬نيوتن ‪ .‬سم ‬

‫‪ 12‬ع ‬‫ ‬

‫ ‪ 15 = X‬نيوتن‪ ،‬ك = ‪ 5‬نيوتن‬

‫اإجابة اأختبار تراكمى‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ ‪ C‬‬ ‫جـ ‬ ‫ ‪E‬‬ ‫‪ C‬‬ ‫‪ 10 = X‬نيوتن ‬ ‫م = ‪ ، 4‬ل = ‪ 6-‬‬ ‫‪ 54‬نيوتن ‪ 0‬سم‬‫‪ 8 = 2X‬نيوتن ‬ ‫ك = ‪ ، 2-‬‬ ‫ ‬

‫ ب‬ ‫ك = ‪ 10‬نيوتن‬ ‫ جـ = ‪ 0‬ب = ‪1‬‬ ‫‪ 16 = 1X‬نيوتن‬ ‫ل = ‪3‬‬

‫الوحدة ال�ساد�سة ا�ستاتيكا (مركز الثقل)‬ ‫اإجابات تمارين (‪)1 - 6‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫اإجابات تمارين عامة‬

‫أ ‪ 2000‬نيوتن ‪ 0‬سم‬ ‫ب‬ ‫جـ صفر‬ ‫ ‪ 1000‬نيوتن ‪ 0‬سم ‬ ‫ ‬ ‫أ ‪ 70‬نيوتن ‪ .‬سم‬ ‫ب ‪ 3 40‬نيوتن ‪ 0‬سم‬ ‫د ‪c61 ' 3 = i‬‬ ‫جـ ‪ c30 = i‬‬ ‫ألسفل‬ ‫وزن القضيب = ‪ 100‬نيوتن ‬ ‫ ‬ ‫ألعلى‬ ‫رد فعل المسمار = ‪ 100‬نيوتن ‬ ‫ج‪ = C‬ججـ = ج‪ 220 = E‬ث ‪ .‬جم ‪ .‬سم‬ ‫ب ‪ 176‬نيوتن ‪ 0‬متر‬ ‫ ‪ 200‬نيوتن ‪ 0‬سم ‬ ‫ ‬ ‫أ‬ ‫جـ ‪ 650‬نيوتن ‬ ‫‪ 800‬نيوتن ‪ 0‬متر‬‫ ‪ 700‬نيوتن ‪ 0‬متر‬‫= ‪ )5 - 3 ( 300‬نيوتن ‪ 0‬متر‬ ‫‪ 120‬ث كجم ‪ 0‬متر‬ ‫|| ج || = ‪ 11‬وحدة جرام‬ ‫ = ‪ , 5‬ب = ‪ 3‬‬ ‫‪ C‬‬ ‫‪ 34 11‬وحدة طول‬ ‫البعد العمودى بين القوتين = ‪34‬‬

‫‪ 1‬ج‪ = C‬جب = ججـ = ‪8‬ع ‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫✕‬ ‫✔ ‬ ‫ ✕ ‬ ‫✔ ‬ ‫‪✔ 1‬‬ ‫✔ ‬ ‫‪3‬سم من ‪ C‬‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫ ( ‪)2 , 13‬‬ ‫‪ ) 16‬‬ ‫ أ ‬ ‫ (‪3 ،5‬‬

‫جـ‬ ‫‪ ) 3 32 ، 13‬‬ ‫ ( ‪2‬‬ ‫هـ (‪)6 ،5‬‬

‫ ‬ ‫✔‬ ‫ ✔ ‬

‫ ✔‬ ‫ ✕‬

‫ ( ‪)2 , 94‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪) 52 ، 37‬‬ ‫ ( ‪20 , 2‬‬ ‫ب (‪)6 ،44‬‬ ‫د‬ ‫‪)10 ، 130‬‬ ‫ ( ‪3‬‬

‫و (صفر‪ 3 ،‬ل)‬ ‫ ‬ ‫‪5‬‬ ‫ باعتبار أن طول ضلع المسدس = ‪ 2‬ل‬ ‫ ‪49‬سم عن طرف ‪C‬‬ ‫ ‪12‬سم عن ‪C‬‬ ‫ مركز ثقل المجموعة يقع عند منتصف م جـ ‬ ‫ ‪c11 '19‬‬ ‫‪ 1‬مركز الثقل هو (‪c28 '4 ،)3 ،4٫8‬‬ ‫‪)6 , 152‬‬ ‫‪ 19‬ل ‪ 12 ،‬ل) ‬ ‫ ( ‪15‬‬ ‫ ( ‪30‬‬

‫اإجابات تمارين (‪)2 - 6‬‬

‫ نقطة التعليق‬

‫كز الثقل ‬ ‫ مر ‬ ‫ نقطة منتصفه‬ ‫ مركزها الهندسى (نقطة تقاطع القطرين)‬ ‫كتاب الطالب‬

‫اختبارات عامة‬

‫ طا‪ 58 1-‬‬

‫ خط هذا المحور‬ ‫ مركز الدائرة‬ ‫‪ 1‬مركزها الهندسى‬

‫ متوسطات المثلث ‬ ‫هذا المستوى ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ثانيًا الديناميكا‬ ‫كز الكرة ‬ ‫ مر ‬ ‫الوحدة االأولى ‪ :‬الدوال المتجهه‬ ‫ منتصف محورها‬ ‫تمارين الدر�س (‪)1 - 1‬‬ ‫ اً‬ ‫أول‪ :‬يقع فى مركز المربع‬ ‫ جـ‬ ‫ جـ ‬ ‫ أ ‬ ‫ د‬ ‫ثانياًا‪ :‬يقع عند (‪ )50 ، 50‬من ‪C‬‬ ‫ جـ‬ ‫ د ‬ ‫ د ‬ ‫ ‪2٫5 = 27٫5 - 30‬سم من مركز ثقل القرص األصلى‬ ‫(‪)6( # )2‬‬ ‫ (‪ )5( # )1‬‬ ‫ مركز ثقل الجزء المتبقى هو (‪3 8 ،6‬‬ ‫)‬ ‫ (‪)4( # )3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ يبعد ‪7‬سم عند ‪E‬‬ ‫ (‪ )1‬سالبة ‪ -‬الجسم يتباطأ‬ ‫ اً‬ ‫أول‪ :‬ويبعد عن مركز المسدس مسافه ‪ 3 2‬سم (‪ )2‬موجبة ‪ -‬الجسم يتحرك يتسارع‬ ‫ثانياًا‪c54 '11 :‬‬ ‫ (‪ )3‬موجبة ‪ -‬الجسم يتباطأ‬ ‫ ‪1‬‬ ‫‪ )1( 1‬موجبة ‪ -‬الجسم يتحرك بتسارع‬ ‫‪2‬‬ ‫( ‪ ، ) 123 , 141‬طا هـ = ‪41‬‬ ‫ (‪ )2‬سالبة‪ -‬الجسم يتحرك بتباطؤ‬ ‫‪47‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫(‪ )3٫76 ،3٫76‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫اإجابات تمارين عامة‬

‫ ‬

‫‪13 1‬‬ ‫‪12‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ب ‬ ‫جـ ‬ ‫ ‪ E‬‬ ‫‪ C‬‬ ‫سم = ‪ 23‬سم ‬ ‫‪3٫2‬سم‪2٫08 ،‬سم‬ ‫‪13 57‬سم عن نقطة ب‬ ‫‪ 7 5‬سم‬ ‫( ‪337 ،) 9 , 7‬‬ ‫‪14 14 8‬‬ ‫‪7‬سم‬ ‫إحداثى مركز الثقل (‪ ، )2٫4 ،7‬طا هـ = ‪12‬‬ ‫‪35‬‬ ‫ ك = ‪200‬جم‬ ‫‪ )25 ، 130‬‬ ‫( ‪ 3‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫طا هـ = ‪ 29‬‬ ‫ طا هـ = ‪24‬‬ ‫‪ 25‬‬ ‫ ‬ ‫‪25‬‬ ‫طا هـ = ‪31‬‬ ‫مركز الثقل يقع عند نقطة هـ‬ ‫‪ 20‬سم‪ 20 ،‬سم‬ ‫طا هـ = ‪355‬‬ ‫‪ ، )8 ، 710‬‬ ‫‪324‬‬ ‫( ‪81‬‬

‫ ‬

‫ ‪ C‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫صم = ‪ 1‬سم‬

‫‪14‬‬

‫ (‪)3- ، 2-‬‬

‫ ‪E‬‬

‫ ‬

‫ ‪24‬سم‬

‫ (‪ )3‬موجبة ‪ -‬الجسم يتحرك بتسارع‬ ‫ ‪6‬‬‫ أ ‪ ، 1 -‬‬ ‫‪ ،‬‬ ‫ب ‪ 3 - ، 4‬‬ ‫ ‬ ‫جـ ` ‪ -‬ف ∈ [‪]2 ، 8-‬‬ ‫ ‬ ‫‪ - 2‬س‪2‬‬ ‫ أ ع = ! ك ‪C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪4 -‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫ب ! ك‬

‫‪1‬‬ ‫‪r‬‬‫جـ‬ ‫ ن‪ 2 + 4 ( = 1‬م ‪ * )r‬ك‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r7‬‬ ‫ ن‪ 2 + 6 ( = 2‬م ‪ * )r‬ك‬ ‫ك‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ جـ = ‪2‬‬ ‫‪ 15‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫ ‪8‬‬ ‫ ! ‪ ، 5‬صفر‬ ‫ أ ‪-‬‬ ‫س‪ 52‬ب ‪ 64-‬وحدة عجلة‬

‫‪9‬س‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪ ،‬‬

‫تمارين الدر�س (‪)2 - 1‬‬ ‫ جـ ‬ ‫ د ‬ ‫ د ‬

‫‪ 18‬وجدة عجلة‬

‫ د‬ ‫ د ‬ ‫ ب ‬ ‫‪ 26٫1 1‬متر‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫ ب ‬

‫ د‬ ‫ أ‬

‫اختبارات عامة‬

‫ `ع = ن‪6 - 2‬ن ‪2 +‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫‪6‬كجم‪.‬م‪/‬ث‬ ‫أ ‪24-‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫ب ‪72-‬كجم‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫جـ ‪48-‬كم ‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫أ ‪162‬كجم‪.‬م‪/‬ث‬ ‫ب ‪54‬جم‪ .‬م‪/‬ث‬ ‫أ‬ ‫ ‪576‬جم‪.‬م‪/‬ث ‬ ‫ ‬

‫` س = ‪ 13‬ن‪3 - 3‬ن‪2 + 2‬ن ‪ ،‬س (‪ 163- = )8‬‬ ‫‪ 32‬م‪/‬ث‬ ‫ ن = ‪ 2‬‬ ‫ ‬ ‫‪ ،‬اقصي سرعة = ‪3‬‬ ‫ ع = ! ‪ 2‬م‪/‬ث‬ ‫ س= ! ‪ 2 4‬متر‬ ‫ ع = ! ‪7‬م‪/‬ث‬

‫ ‬

‫تمارين عامة‬

‫اإجابات تمارين (‪)2-2‬‬

‫س = ‪ 133-‬م أو س = ‪4‬م‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ د ‬

‫ ج ـ‬ ‫د ‬ ‫ أ‬ ‫ جـ ‬ ‫أ ‬ ‫‪4‬كم‪/‬ث‪2‬‬ ‫‪ ،‬‬ ‫ ‪4-‬سم‪/‬ث ‬ ‫ ‬ ‫ س ( ‪1- = ) r2‬‬ ‫‪ 6‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫‪ ،‬‬ ‫ ‪ 6-‬م‪/‬ث ‬ ‫أ ‬ ‫جـ ` ع تتزايد فى الفترة ] ‪[∞، 2‬‬ ‫ ع تتناقص فى الفترة ] ‪[2 ، 0‬‬ ‫د ‪ 28‬متر‬ ‫ ‬

‫ ‪6-‬م‪/‬ث ‪ ،‬‬ ‫ ‬ ‫ جـ (‪ 6- = )0‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫جـ (‪ 6 = )2‬م‪/‬ث ‪ 2‬‬ ‫‪ 11‬متر‬ ‫ س (‪6 = )1‬‬ ‫ ‪43٫4‬متر‬

‫ ‬ ‫ب‬ ‫ ب ‪ ،‬د ‬ ‫ ‪3042‬جم‪.‬م‪/‬ث‬ ‫ ‪ 20‬م‪/‬ث ‬ ‫ ‪160000‬جم‪.‬سم‪/‬ث‬ ‫‪ 10٫5 1‬كجم ‪.‬م‪/‬ث ‬ ‫‪9٫3‬م‪/‬ث ‬ ‫ ‬ ‫ ‪410*105‬كجم‪.‬م‪/‬ث‬ ‫ أ ‪29٫4‬كجم‪.‬م‪/‬ث‬ ‫ب ‪39٫2‬كجم‪.‬م‪/‬ث‬ ‫ ‬ ‫جـ ‪39٫2‬كجم‪.‬م‪/‬ث‬ ‫ ‬

‫‪11‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪10‬م‪/‬ث‬

‫الوحدة الثانية ‪ :‬قوانين نيوتن للحركة‬ ‫اإجابات تمارين (‪)1-2‬‬ ‫ جـ ‬

‫ جـ‬

‫‪ 26‬متر‬ ‫‪4‬‬

‫‪ ،‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ب ‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫ب‬ ‫جـ ‬ ‫= ‪ 40‬نيوتن ك = ‪ 120‬نيوتن‬ ‫ ‬ ‫ أ ‪X‬‬ ‫ب ‪ 80 =X‬نيوتن‬ ‫جـ ‪ 25 =X‬نيوتن ‪ ,‬ك= ‪ 49‬نيوتن‬ ‫د ‪ 40 =X‬نيوتن‬ ‫ب ‪ 45‬نيوتن‬ ‫ ‪ 84‬نيوتن ‬ ‫أ ‬ ‫جـ ‪ 28‬نيوتن ‪ 22 ,‬نيوتن‬ ‫د ‪ 18 =X‬نيوتن‬ ‫ ‪ 16 23‬ث كجم‬ ‫‪ 48‬ث ‪ .‬كجم ‬ ‫ ‬ ‫ ‪140‬كم‪/‬س‬ ‫ ‪180‬كم‪/‬س ‬ ‫ ‬ ‫ ‪6‬كم‪/‬س‬ ‫ ‪1٫875‬ث كم ‬ ‫ ‪ 7‬عربات‬ ‫ ` م‪ 40 = 2‬ث كجم ‬ ‫ ‪1000‬ث كجم‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ د‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ أ ‬

‫اإجابات تمارين (‪)3-2‬‬ ‫ د‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ب صفر‬

‫ ‬ ‫‪ 1‬‬

‫ ب ‬

‫ د ‬

‫ جـ‬

‫ ج ـ‬ ‫جـ ‬ ‫جـ جـ‬ ‫شكل (‪ 118 =X )27‬نيوتن‬ ‫شكل (‪ 10 =X )28‬نيوتن‬ ‫شكل (‪ 131 )29‬نيوتن شكل (‪20 )30‬كجم‬ ‫ ‬ ‫شكل (‪ 8 )31‬كجم شكل (‪4 )32‬كجم‬ ‫ ‬ ‫ شكل (‪5 - )33‬م‪/‬ث‪ , 2‬شكل (‪ 1 - )34‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫شكل (‪4٫8 )35‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫ جـ = ‪30‬سم‪/‬ث ‪2‬‬ ‫ ‪ 980‬نيوتن‬ ‫كتاب الطالب‬

‫اختبارات عامة‬

‫ ‪367٫5‬سم‪/‬ث‬ ‫ ‪62٫5‬ث كجم ‬ ‫ ‪800‬م = نيوتن لكل طن من الكتلة ‪ ,‬ن = ‪ 25‬ث‬ ‫ ‪ 1292٫5‬ث‪ .‬كجم‬ ‫‪59‬ث كجم ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‪2 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 6 + N 2 + M 3( 12 1‬ع )‬ ‫ م‪/‬ث‪2‬‬

‫‪ 0٫8‬ثقل طن ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‪ 29‬نيوتن ‬ ‫‪2‬‬

‫ أ = ‪6‬‬ ‫ أ = ‪ 1‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬

‫‪ ,‬‬ ‫‪ ,‬‬

‫ثانيا‪ 47 :‬نيوتن‬ ‫ ‬ ‫أول‪ 1 :‬ى‬ ‫ ‪ 170‬داين‬ ‫‪ 600‬داين ‬ ‫ ‬ ‫م = (‪8‬ن‪10+ 2‬ن ‪ )2+‬ى ‬ ‫ب(‪1٫5 = )2‬م‬ ‫ع(‪2 = )2‬م‪/‬ث ‬ ‫جـ ‪4 G‬‬ ‫ ‪ 410‬ث كجم‬ ‫‪ 3 15‬‬ ‫‪ 160‬داين‬ ‫‪ 402‬ث كجم‬

‫تمارين (‪)4-2‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪ 60‬‬ ‫‪ 42 ، 35‬‬ ‫أ ‪ 80‬ث ‪ .‬كجم ‬ ‫جـ ‪ 77٫6‬ث‪ .‬كجم‬ ‫أ‬ ‫ ‪ 40‬جرام ‬ ‫ ‬ ‫جـ ‪ 100‬جم‬ ‫‪1٫4‬م‪/‬ث‪ 2‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪ 108‬ث كجم ‬ ‫ ك= ‪ 14‬جم ‪,‬‬ ‫‪ 1٫4‬م‪/‬ن ألعلى‬

‫تمارين (‪)5-2‬‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ب = ‪ , 3‬‬ ‫ب= ‪9-‬‬

‫جـ= ‪1‬‬

‫‪ 112 ،420‬‬

‫ ‬

‫ ‪72‬‬

‫‪ ,‬‬

‫ب ‪ 76٫4‬ث‪ .‬كجم‬

‫ ‬

‫ب ‪ 245‬جرام‬

‫ ‪ 15‬ث‪ .‬كجم‬ ‫ ‪ ,‬صفر‬ ‫ر= ‪ 15‬جم‬

‫ب ‪9٫8‬م‪/‬ث‬

‫أ ‪ 2٫45‬وألعلى ‬ ‫جـ ‪ 3‬‬ ‫ب ‪ 2٫94‬جـ ‪14٫4‬‬ ‫‪ 49‬وألسفل ‬ ‫أ ‪75‬‬ ‫ جـ‬ ‫ جـ ‬ ‫ جـ ‬ ‫أ ‬ ‫ ‪2٫12‬م‪/‬ث‪8 , 2‬ث‪.‬كجم‬

‫ جـ = ‪5٫1‬م‪/‬ث‪ 3 , 2‬ث‪.‬كجم‬

‫ ‬

‫ ‪1 * 8٫3-‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪9 ٫2‬‬

‫‪ 1‬نن‪1 = 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ م‪/‬ث‪2‬‬

‫ ‪ 2‬ث‪.‬كجم‬

‫تمارين (‪)6-2‬‬ ‫ ‬

‫أ‬

‫‪2‬‬

‫ب ‪ 12‬‬

‫ ‪ 27‬‬

‫جـ ‪ 14‬‬

‫د ‪ ٫7 -‬هـ ‪ ٫ 35 -‬و ‪٫33 -‬‬ ‫ ‬ ‫ز ‪ ٫ 27 -‬ح ‪ 8٫6‬كجم‬ ‫ ‬ ‫ مح=‪1‬‬

‫أ ‪19٫8‬نيوتن ‬

‫ ‬ ‫ ‪ 14‬‬

‫تمارين (‪)7-2‬‬

‫ ‬

‫ب ‪ 11٫8‬نيوتن‬ ‫ ‪1٫08‬‬

‫االكمال‬ ‫جـ ‪2‬‬ ‫ أ صفر ب ‪ 3‬‬ ‫جـ صفر د ‪39٫2‬‬ ‫ب ‪ 9٫8‬‬ ‫ أ ‪ 4٫9‬‬ ‫د ‪360‬‬ ‫جـ ‪ 960‬‬ ‫ب ‪ 480‬‬ ‫ أ ‪ 140‬‬ ‫د ‪7٫35‬‬ ‫جـ ‪ 4٫9‬‬ ‫ب ‪ 83‬ك ‬ ‫ أ ‪ 13‬د ‬ ‫و ‪1٫25‬‬ ‫هـ ‪ 12‬‬ ‫ ‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫‪ 2 10‬‬ ‫‪ 10‬‬ ‫ أ ‪ E 72‬‬ ‫ ‪7‬‬ ‫ ‪7‬‬ ‫هـ ‪E 47‬‬ ‫د ‪ E 72‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪ 25٫2‬‬ ‫ب ‬ ‫ أ ‪ 3٫5‬‬ ‫جـ ‪3 25٫2‬‬ ‫ ‬ ‫ث‬ ‫ أ ‪280‬سم‪ /‬‬ ‫ ‪2٫45‬م‪/‬ث‪ 73٫5 ، 2‬نيوتن ‪ 1٫96 ،‬متر‬ ‫‪ 1‬ن = ‪ 47‬ث‬ ‫ ‬ ‫ ‪ 32‬‬ ‫ ‪ 70‬سم‪/‬ن‪ 780 2‬ث جم‬ ‫ ‪420‬كم‬

‫ ‪ 4٫2‬م‪/‬ث‪19٫6 ،‬كجم ‬ ‫ ‬ ‫ ‪22٫68‬كجم ‪ 274٫98 ،‬نيوتن‬ ‫ ‪180‬سم‪/‬ث‪2‬‬ ‫ ‪ 72000‬داين ‪ 2 72000 ،‬داين‬ ‫ ‪ 2 1٫47‬نيوتن‬ ‫ ‬ ‫ ‪2‬ث ‬ ‫ ‪ 10 70‬سم‪/‬ث ‪50 ،‬سم‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1‬‬

‫اختبارات عامة‬

‫تمارين عامة‬

‫اسئلة االكمال‬ ‫ب‬ ‫‪ 200‬‬ ‫ أ ‪ 40‬‬ ‫ ‪49‬‬ ‫ ‪352٫8‬‬ ‫ ‪ 34‬‬ ‫ ‪ 37٫5‬‬ ‫ ‪9٫8‬‬ ‫ ‪ 15‬‬ ‫ ‪ 28‬‬ ‫ ‪ 80‬ث كجم‬ ‫ ‪11٫2‬كجم م‪/‬ث ‬ ‫‪ 400‬جم‬ ‫ ‬ ‫‪468‬ث ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ ‪3‬‬ ‫ ‪٫49‬م‪/‬ث ‪ ٫931 ،‬نيوتن‬ ‫ ‪ ٫637‬نيوتن ‪70 ،‬سم‬ ‫ ‪ 6‬كجم‬ ‫‪ 175‬جم ‪7 ،‬م ‬ ‫ ‪3‬‬ ‫ جـ = ‪1٫96‬م ‪ /‬ث‪ ` 2‬ن = ‪ 2‬ث‬ ‫ ‪٫6‬م‪/‬ث‪ 2٫392 ، 2‬نيوتن‬ ‫` ن = ‪ 3‬ث‬ ‫ `ع = ‬

‫‪ ، 4995‬‬

‫ع = ‬

‫الوحدة الثالثة ‪ :‬الدفع والت�سادم‬ ‫اإجابات تمارين (‪)1 - 3‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪ 41‬‬ ‫‪5‬‬

‫ ب‬

‫ ‬ ‫ب‬ ‫ جـ ‬ ‫أ ‬ ‫ ‪500‬م‪/‬ث‬ ‫ جـ ‬ ‫أ ‬ ‫ ‪250‬سم‬ ‫‪ 500‬ثانية ‬ ‫‪49‬‬ ‫‪2٫8‬كم‪.‬م‪/‬ث ‪ 56 ،‬نيوتن‬ ‫‪ 310 * 75‬نيوتن ‬ ‫م = ‪ 50‬ث كجم ‪ ،‬ع = ‪ 7٫35‬م‪/‬ث‬ ‫ ‪11٫75‬ث‪.‬كجم‬ ‫‪ 1060‬ث‪.‬كجم ‬ ‫‪ 310 * 525‬جرام‪ .‬سم‪/‬ث‬‫أ = ‪ ، 12‬ب= ‪7‬‬

‫اإجابات تمارين (‪)2 - 3‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‪ 310 * 12‬جرام‪ .‬سم‪/‬ث‬ ‫ ‪ 510 *4-‬داين ‪ .‬ثانية‬

‫ ‪2٫5‬ث‪ .‬جرا م‬ ‫‪ 4500 1‬جرام‪ .‬سم‪/‬ث ‬ ‫ ‪ 78‬نيوتن ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 20‬سم‬ ‫ ‪ 3‬فى اتجاه مضاد لحركتها ‪9 ،‬‬ ‫ ‪7‬م‪/‬ث «السرعة المشتركة» ‪ ،‬م = ‪36400‬ث‪.‬كجم‬ ‫ ‪100‬سم‪/‬ث ‪ 60000 ،‬نيوتن‬ ‫ ‪3‬كجم‪ .‬م‪/‬ث ‬ ‫‪ 69‬م‪/‬ث ‪ ،‬ن = ‪ 17٫6‬ثانية‬ ‫ ‪4‬‬ ‫ ‪3‬م‪/‬ث‬

‫اإجابات التمارين العامة‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ أ = ‪ ، 2-‬ب= ‪1‬‬ ‫ ‪ 7‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫ ‪ 70 ،‬كجم ‬ ‫ ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4٫2 1‬م‪/‬ث ‪ ،‬ن = ‪2 7‬ث‬ ‫ ‪ 14‬م‪/‬ث فى األتجاه المضاد‬

‫الوحدة الرابعة ‪ :‬ال�سغل‬ ‫اإجابات تمارين (‪)1 - 4‬‬

‫ دفع هذه القوة على الجسم‪.‬‬ ‫د = ‪ * X‬ن ‬ ‫كيلو جرام ‪ .‬م ‪ /‬ث أو نيوتن * ثانية‬ ‫التصادم المباشر‬ ‫ ‬ ‫مجموع كمية حركتهما بعد التصادم‬ ‫ ‬ ‫ ‪10‬م‪/‬ث‬ ‫‪160‬وداين ‪.‬ث ‬

‫‪1‬‬

‫ د‬ ‫ب ‬ ‫ أ‬ ‫أ ‬ ‫‪242‬سم ‪ /‬ث فى اتجاه مضاد‬ ‫‪4٫16‬ث‪.‬كجم‬ ‫‪16٫8‬كجم ‪ .‬م‪/‬ث ‪ 177٫8 ،‬نيوتن‬ ‫‪ 100‬ث‪ .‬جرام‬ ‫‪15‬سم‪/‬ث فى نفس األتجاه ‪ 3500 ،‬جرام ‪ .‬سم‪/‬ث‬ ‫‪ 12‬م‪/‬ث ‪ 4٫242 ،‬نيوتن ‪ .‬ث‬ ‫ ‪10‬سم‪/‬ث‬ ‫‪ 980‬ث‪.‬كجم ‬ ‫ف= ‪ 5‬متر ‬

‫اإجابات االختبار التراكمى‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ أ ‬

‫ ب‬

‫ د ‬

‫ ‪ 20‬متر‬

‫ جـ‬ ‫ ‪ 310 *48‬إرج ‬ ‫جـ صفر‬

‫ أ‬ ‫ب ‬ ‫ ‪ 1586‬إرج ‬ ‫أ ‬ ‫ب صفر ‬ ‫أ ‪ 31٫9‬جول ‬ ‫د ‪ 31٫9‬جول‬ ‫‪ 16 1‬وحدة شغل‬ ‫‪ 18‬وحدة شغل ‬

‫كتاب الطالب‬

‫اختبارات عامة‬

‫اإجابات تمارين (‪)3 - 4‬‬

‫ ‪ 481 30‬جول‬ ‫ب صفر جـ ‪ 9٫8‬جول‬ ‫ أ ‪ 9٫8‬جول ‬ ‫ ‪ 3600 ، N 24 + N 18 = X‬وحدة قياس شغل‬ ‫‪6‬‬ ‫ ‪ 19٫6‬‬ ‫ ‪ 10* 3٫4‬‬ ‫ ‪ 686‬‬ ‫ ‪30‬كجم‬ ‫‪ 55125‬جول ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‪72‬‬ ‫‪ 27‬إرج ‬ ‫ ‬ ‫ ‪ 4٫2‬‬ ‫ ‪ 30‬متر‬ ‫ف = ‪ 98‬متر ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‪ 34٫3‬جول‬ ‫‪ 20٫58‬جول ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‪ 410 * 49‬جول‬ ‫ (‪ )1‬صفر (‪ 480٫2 )2‬جول (‪ 456٫19- )3‬جول ‪ 4900 1‬جول ‪ 6‬ثوان ‪ 4774٫56‬جول‬ ‫ ‪ 4٫9‬جول ‪ 2٫6‬ث ‪ .‬كجم‬ ‫ ‪ = X‬م ‪ 2000 +‬ث‪ .‬كجم ‪ 500‬متر‬ ‫ ‪ 5‬م‪/‬ث‬ ‫‪ 14112‬جول ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ = ‪ 5‬ث‪.‬كجم‬ ‫ ‪ 4‬جول ‪ 0٫9‬جول ‪ 140‬سم‪/‬ث‬ ‫‪ 582300 1‬جول ‪ 44100-‬جول ‪ 88200-‬جول‬ ‫ ‪ 13٫5975‬جول‬ ‫ ‪ 88200‬جول‬ ‫ أ ‪ 12600‬وحدة شغل ب ‪ 28333 13‬وحدة شغل اإجابات تمارين (‪)4 - 4‬‬ ‫ ‪ 5‬ث كجم‬ ‫ ‪ 31‬داين‪.‬سم‪/‬ث ‬ ‫ ك ‪ H E‬وحدة شغل‬ ‫‪ ٫53‬جول ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‪ 126‬حصان ‬ ‫‪ 36‬ث كجم ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫اإجابات تمارين (‪)2 - 4‬‬ ‫ ‪510*2٫5‬‬ ‫ ‪ 30‬كم‪/‬س‬ ‫‪ 126‬كم‪/‬س ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‪ 15‬‬ ‫ ‪ 8 15000‬‬ ‫ ‪ 187٫5‬حصان‬ ‫‪ 54‬كم‪/‬س ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‪2٫94‬‬ ‫ ‪ 6240‬‬ ‫ م = ‪ 900‬ث كجم القدرة ‪ 150‬حصان‬ ‫ ‪ 70‬سم‪/‬ث ‬ ‫‪ 4000‬ثانية ‬ ‫ ‪ 1‬‬ ‫ ‪ 43٫2‬م‪/‬ث‬ ‫‪ 1‬القدرة = ‪ 400‬حصان ‬ ‫ب = ‪%120‬‬ ‫أ = ‪ %60‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪ 80‬حصان‬ ‫‪ 12‬كم‪/‬س ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 113‬‬ ‫‪ 8٫875- 1‬جول ‪ 13٫125‬جول س = ‪24‬‬ ‫‪432‬‬ ‫ ‪ 80‬حصان ‪ 7‬كم‪/‬س‬ ‫ ‪ 17٫199 -‬جول صفر‬ ‫ ‪ 4٫9‬جول ‬ ‫ ‪ 270‬حصان‬ ‫ ك = ‪ 16‬كجم‬ ‫ ‪ 14‬م‪/‬ث ‬ ‫ب‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‪ 13‬وات‬ ‫ ‪ 39‬جول ‬ ‫ أ ‬ ‫ اوال ‪ :‬أ = ‪ ، 2‬ب = ‪ 2-‬ثان ًيا‪ 68 :‬جول‬ ‫جـ‬ ‫ ‪ 19‬وات‬ ‫ ‬ ‫ ثال ًثا‪ 72 :‬جول‬ ‫ب‬ ‫ ‪ 374‬وات‬ ‫ أ ‪ 1122‬جول ‬ ‫ ‪ 32‬‬ ‫ع = ‪ 75‬م‪/‬ث ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫جـ‬ ‫ القدرة = ‪ 647‬وات‬ ‫ طاقة الحركة المفقودة = ‪ 12٫5 = 5٫1 - 17٫6‬جول ‬ ‫ أ ‪ 18‬ن ‪ N 6 + M‬ب ‪ 54‬ن‪ 12 + 3‬ن‬ ‫ ‪ 1٫6‬متر‬ ‫جـ ‪ 240‬وات‬ ‫‪ 0٫06 1‬كجم ‪ 16٫9‬متر ‪ 1٫68‬كجم‪ .‬متر ‪/‬ث ‬ ‫ب ‪ 2250‬ث كجم‪ .‬م‬ ‫ أ ‪ 135‬حصان ‬ ‫ ً‬ ‫اوال‪ :‬ع‪ 2 = /‬متر ‪/‬ث‬ ‫جـ ‪ 180‬حصان‬ ‫ ثان ًيا ‪ 837٫9 :‬جول ثال ًثا‪ 34٫2 :‬كجم‪.‬متر ‪/‬ث ‬ ‫‪ 400 1‬جول‬ ‫ اوال‪8 :‬م‪/‬ث‬ ‫ ‬

‫ثان ًيا‪ 14336 :‬جول ‬

‫ثال ًثا‪ 37691 37 :‬ث كجم‬

‫ أ ‪ ( 6- = X‬جتا ‪ 2‬ن ‪ ،‬جا ‪ 2‬ن)‬ ‫ب ‪ ( 3 - 92‬جتا ‪ 2‬ن ‪ +‬جا ‪ 2‬ن)‬ ‫ ‬ ‫جـ ‪ ( 6 -‬جتا ‪ 2‬ن ‪ -‬جا ‪ 2‬ن)‬ ‫ ‬ ‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1‬‬

‫اختبارات عامة‬

‫اإجابات تمارين عامة على الوحدة الرابعة‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫االختبار الثانى‬ ‫ال�سوؤال االأول‬

‫‪ 57600‬إرج‬ ‫م = ‪ 18‬ث جم ك = ‪ 840‬جم ن = ‪ 6‬ث‬ ‫ ب‬ ‫ ب ‬ ‫ أ ‬ ‫ أ ‬ ‫‪ 90‬حصان‬ ‫ ب‬ ‫ ب ‬ ‫ع = ‪7‬م‪/‬ث ‪ 13720‬جول ‪ 36400‬ث كجم ال�سوؤال الثانى‬ ‫‪194‬‬ ‫‪ 1٫96- =Q‬جول ‬ ‫ ‪ 9‬ع ‬‫ ‬ ‫ ‪N 8 + M 7‬‬ ‫‪35‬‬ ‫|| ‪ 180 N 23 + M‬جول القدرة = ‪ 120‬وات‬ ‫ال�سوؤال الثالث‬ ‫ ‪ 5292‬جول‬ ‫‪ 2‬حصان ‬ ‫ ‬ ‫ ‪ 2 46‬ث‪.‬كجم‬ ‫ ‬ ‫ ‪9‬سم ‬ ‫‪ 14٫7‬جول ‪ 24٫99‬جول‬ ‫ال�سوؤال الرابع‬ ‫‪ 200‬م‪/‬ث‬ ‫جـ = ‪ 14‬م‪/‬ث‪ 2‬ع = ‬ ‫‪13‬‬ ‫ ب جـ يميل على األفقى بزاوية ظلها ‪ 45‬‬ ‫ثانيا‪ :‬جـ = ‪ 49‬م‪/‬ث‪2‬‬ ‫‪ 100‬حصان ‬ ‫ً‬ ‫‪200‬‬ ‫اوال‪3 :‬‬ ‫ال�سوؤال الخام�س‬ ‫‪ 102٫4‬حصان‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪65‬‬ ‫اً‬ ‫ثانيا‪ 3 3 20 :‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 7‬‬ ‫ أول ‪ 7 :‬‬ ‫ب ‪ 2٫4‬جول‬ ‫ ‪ 10‬جول ‬ ‫أ ‬ ‫ع = ‪10‬م‪/‬ث ‪ 48‬جول‬ ‫االختبار الثالث‬

‫ ‪ 6 ( 25 = X‬جتا ‪ 2‬ن ‪ 20 + M‬هـ ‪4‬ن ‪) N‬‬ ‫‪r 2‬‬ ‫‪ ) 107‬جول‬ ‫ ‪ 40‬هـ ‪ r 2‬وات ‬ ‫( ‪ 5‬هـ ‪10 -‬‬

‫االختبار االول‬ ‫ال�سوؤال االأول‬ ‫ د‬ ‫ ب ‬

‫ال�سوؤال الثانى‬

‫ ب ‬

‫ ‬ ‫ب‬ ‫ ب‬

‫ ‪ 25‬ى‬

‫‪ 50‬نيوتن‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ال�سوؤال الرابع‬ ‫س‪ 5 =1‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 52 ، 35‬‬ ‫ (‪6‬‬

‫‪ 500‬‬‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫تبعد عن أ مسافة ‪45‬سم‬ ‫‪ 600‬نيوتن‪.‬سم‬

‫س‪5 = 2‬‬

‫‪250‬‬ ‫ ‬

‫‪407‬‬ ‫‪) 245‬‬ ‫ ( ‪8 ، 72‬‬

‫‪1‬‬

‫ و جا(هـ ‪ +‬ل)‬

‫‪ 3‬‬ ‫‪)3‬‬

‫ال�سوؤال الخام�س‬

‫ ‬ ‫ ‪ 75‬‬ ‫ ‪ )2- ،1( 4‬‬ ‫ ! ‬ ‫ بمركز الكرة ‬ ‫ نقطة تقاطع المتوسطات‬

‫ال�سوؤال الثانى‬

‫ ‪ 175٫4‬نيوتن‪.‬م ‬

‫ال�سوؤال الثالث‬

‫ جـ‬

‫ال�سوؤال االأول‬

‫ ‬

‫هـ = ‪c12٫8‬‬

‫صفر‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫ ‬

‫‪c20٫61‬‬ ‫ ‬

‫ال�سوؤال الثالث‬ ‫‪70‬سم ‬ ‫ ‬

‫ ‪6392٫3‬‬ ‫و= ‪ 2‬نيوتن ‬

‫ال�سوؤال الرابع‬ ‫ رب = ‪ 12‬و ‬

‫ ‪ 350‬نيوتن‪ .‬سم‬ ‫ ‪ 3000‬نيوتن ‪.‬سم‬

‫ال�سوؤال الخام�س‬

‫رأ = ‪ 34‬و ‬

‫ ‪ 3 35‬نيوتن‪.‬سم‬ ‫س = ‪ 3‬و‬ ‫‪4‬‬

‫ مركز الثقل هو ( ‪) 16 ، 13‬‬

‫االختبار الرابع‬ ‫ال�سوؤال االأول‬ ‫ جـ ‬ ‫ د ‬

‫ ب ‬ ‫ أ‬

‫ ب ‬

‫ د‬ ‫كتاب الطالب‬

‫اختبارات عامة‬

‫االختبار ال�ساد�س‬

‫ال�سوؤال الثانى‬

‫ ليس على وشك الحركة‬ ‫ (‪ ) 3 15000 - 30800-‬نيوتن ‪.‬سم‬ ‫ ‪ 21700‬نيوتن‪.‬سم‬

‫ال�سوؤال الثالث‬

‫‪3‬ث كجم ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ال�سوؤال الرابع‬

‫ ‬

‫(‪)10 ،10‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ال�سوؤال الخام�س‬

‫ال�سوؤال االأول‬ ‫ ‪21‬‬

‫أ = ‪1-‬‬ ‫ ‬

‫ ‪ 3 750‬ث جم‪.‬سم‬ ‫‪20‬‬ ‫‪) 20‬‬ ‫مركز الثقل هو ( ‪3 ، 3‬‬

‫ ‪ N 150+ M 200‬‬

‫ال�سوؤال االأول‬

‫ قوة االحتكاك النهائى ورد الفعل العمودى‬

‫ ‪ + N 17 - M 11-‬ع‬

‫ ‪2‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪ 13‬‬ ‫ أ ينعدم متجه مجموع القوى‬ ‫ب ينعدم عزم المجموعة بالنسبة لنقطة واحدة‬ ‫ ‬ ‫ بنقطة التعليق‬

‫ال�سوؤال الثانى‬

‫ ‪ 35‬‬

‫ ‬

‫ ‪ 5٫4‬نيوتن‬

‫ال�سوؤال الثالث‬

‫ المؤثرة السفل مقدارها ‪ 32‬ث كج م‬ ‫ ‪24 =1X‬‬ ‫ ‪2 4 = 2X‬‬

‫ال�سوؤال الرابع‬

‫ ‪ 12٫5‬ث كجم ‬

‫ال�سوؤال الخام�س‬

‫ مركز الثقل هو (‪)0 ، 8‬‬ ‫ ‪ 11-‬‬ ‫ع‬

‫‪30‬ث كجم ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 39٫2‬متر ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‪c55٫7‬‬

‫‪ 2٫5‬تقريبا‬

‫ ‪ 20‬جول‬ ‫ ‪7٫35‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫ال�سوؤال الثانى‬

‫ ‪1800‬ث‪.‬كجم ‬ ‫‪6‬م‪/‬ث‪ 2‬‬ ‫ ‬

‫ال�سوؤال الثالث‬

‫االختبار الخام�س‬

‫ ‬

‫ب = ‪1‬‬

‫ ‪2‬سم‪/‬ث ‬

‫ ‪ 640-‬جول‬

‫‪ ,‬‬

‫ال�سوؤال الرابع‬

‫ ‪ 480‬ث جرام ‪ ,‬‬ ‫‪ 20٫8‬جول ‬‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‪,‬‬ ‫صفر ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ال�سوؤال الخام�س‬

‫جـ = ‪٫49‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫‪ 35٫6‬نيوتن‬

‫‪ 96 = X‬ث ‪ .‬جرام‬

‫‪ 300‬ث ‪ .‬جرام‬ ‫‪ 30‬جول‬ ‫ع = ‪8٫44‬م‪/‬ث‬

‫ ع = ‪14‬م‪ /‬‬ ‫ث‬ ‫ ‪ 5 2٫8‬م‪/‬ث‬ ‫ م‪ 128 = 1‬كجم‪.‬م‪/‬ث ‪ ،‬م‪ 3696 = 2‬كجم‪.‬م‪/‬ث‬

‫االختبار ال�سابع‬ ‫ال�سوؤال االأول‬ ‫ ‪64‬كجم‪.‬م‪/‬ث ‬ ‫ ‬ ‫أ = ‪20‬‬ ‫ ‬ ‫‪2٫45‬م‪/‬ث‪ 2‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‪9٫8‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫ال�سوؤال الثاني‬

‫‪ 17640‬جول ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫ ‪ 24٫01‬جول‬ ‫ب = ‪20‬‬ ‫ م = ‪1‬‬

‫ ‪7‬عربات‬

‫‪1‬‬

‫اختبارات عامة‬

‫االختبار التا�سع‬ ‫ال�سوؤال االأول‬

‫ال�سوؤال الثالث‬

‫ صفر‬ ‫ أولاً‪ 2 10 = V :‬ث‪ .‬جم ‬

‫ال�سوؤال الرابع‬

‫ثانيا‪ :‬ف = ‪332٫5‬سم‬

‫ب= ‪7‬‬ ‫ ‬ ‫ أ = ‪ 9‬‬ ‫ م = ‪2000‬ث‪.‬كجم‬ ‫‪160‬ث‪ .‬جرام ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‪24٫5‬كيلو وات‪/‬ساعة‬ ‫ ‪8‬‬ ‫‪ 15‬حصان‬ ‫‪ 20‬حصان ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ المسافة المطلوبة = ‪79٫6 = 40٫4 + 2 * 19٫6‬متر‬

‫ال�سوؤال الخام�س‬

‫ ‪ 32‬حصان‬ ‫ أولاً‪ 36٫75 :‬جول ‬ ‫ ثالثا‪ 30 70 :‬سم‪/‬ث‬

‫ثانيا‪ 11٫025 :‬جول‬

‫االختبار الثامن‬ ‫ال�سوؤال االأول‬

‫ ‪ 600‬داين‬ ‫ ‪50‬سم‪/‬ث‬ ‫ ‪ 240٫1‬جول‬

‫ك = ‪ 8‬كجم ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ألسفل ‪ ،‬ألعلى ‬ ‫ ‬ ‫‪ 7‬م‪/‬ث‬ ‫ ‬

‫ال�سوؤال الثانى‬ ‫ ‬

‫ال�سوؤال الثانى‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪10‬ث ‪ .‬جرام ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‪20‬م‪/‬ث ‬

‫ال�سوؤال الرابع‬ ‫ ‬

‫أ‬

‫ ‪280‬سم‪/‬ث ‬

‫ ‪ 4‬جول ‬ ‫ أ ‬ ‫ ‪ 20‬جول ‬ ‫جـ ‬ ‫ ‬

‫ال�سوؤال الخام�س‬

‫‪280‬سم‪/‬ث‪ 2‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ك= ‪ 140‬جرام‬

‫ ‬

‫الصاعدة ر‪ 180=2‬ث ‪ .‬جرام‬

‫ال�سوؤال الثالث‬ ‫ أولاً‪14 :‬م‪/‬ث ‬ ‫ ع = ‪14‬م‪/‬ث‬

‫‪280‬سم‪/‬ث‬

‫ ‬

‫‪ 21‬م‪/‬ث ‬ ‫ ع = ‪5‬‬

‫ ‬

‫ن = ‪ 5‬ثانية‬

‫جـ = ‪1٫4‬م‪/‬ث‪ 2‬‬

‫ال�سوؤال الخام�س‬ ‫ف = ‪100‬سم‬ ‫ب صفر‬ ‫د صفر‬

‫ش= ‪225‬ث ‪ .‬جرام‬

‫الهابطة ر‪200 =1‬ث‪ .‬جرام‬

‫ال�سوؤال الرابع‬

‫ ‪ 137٫2‬جول ‪ 15 ،‬م‪/‬ث‬

‫ال�سوؤال الثالث‬

‫‪30 = 8 + 22 = X‬ث‪ .‬كجم‬

‫ ‬

‫ ‪3‬ك تصل لألرض بأكبر سرعه‬ ‫ك العمودية تبذل شغال أكثر‬

‫ م = ‪ 8‬ث كجم‬

‫‪ 21‬كجم‪.‬م‪/‬ث‬ ‫ثانيا‪10 :‬‬

‫م = ‪ 4٫2‬نيوتن‬ ‫ك = ‪70‬كجم‬

‫ ع = ‪27‬كم‪/‬س‬

‫ الشغل الكلى = ‪ 14٫7‬جول‬ ‫ ع = ‪3٫35‬م‪/‬ث‬

‫ ‪ 68‬جرام‪.‬سم‪/‬ث‬

‫ ‬

‫‪9٫75 = E‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫جـ = ‪1٫25‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫الصف الثالث الثانوى‬

‫كتاب الطالب‬

‫اختبارات عامة‬

‫االختبار العا�سر‬ ‫ال�سوؤال االأول‬ ‫ ‪ 3‬م‪/‬ث‬

‫ ‪ 3 50‬ث‪.‬كجم ‬

‫ ‪3600‬جول‬

‫ ع = ‪280‬سم‪/‬ث ‬

‫ ‪ 4‬حصان ‬

‫ ‪120000-‬جم‪.‬سم‪/‬ث‬

‫ال�سوؤال الثانى‬ ‫ ‬

‫‪1 = C‬‬

‫ أولاً‪ :‬ب = ‪ 3‬‬

‫ثانيا‪ 960 :‬جول‬

‫ جـ = ‪70‬سم‪/‬ث‪ ، 2‬المسافة الرأسية = ‪35‬سم‬

‫ال�سوؤال الثالث‬

‫ ‪39‬كم‪/‬س ‬

‫ال�سوؤال الرابع‬

‫ ‪5٫6‬م‪ /‬‬ ‫ث‬ ‫ ‪12٫25‬م‪ /‬‬ ‫ث‬

‫ال�سوؤال الخام�س‬

‫ ‬ ‫‪ ،‬‬

‫أ جـ = ‪7‬سم‪/‬ث‪ 2‬‬

‫ ‬ ‫ك =‪20‬كجم ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫م = ‪4600‬ث‪/‬كجم‬

‫ب ‪57‬‬ ‫‪ 340‬‬ ‫‪ ،‬ر = ‪16‬ث‪ .‬كجم‬

‫كتاب الرياضيات التطبيقية‬

‫‪1‬‬