دليل المعلم الصف الأول الثانوى by Ybalja

‫الريا�ضيات‬ ‫دليل املعلم‬

‫ال�صف الأول الثانوى‬

‫للريا�ضيات تطبيقات عملية فى مجاالت متعددة منها �إن�شاء الطرق والكبارى وتخطيط المدن و�إعداد‬ ‫خرائطها التى تعتمد على الم�ستقيمات المتوازية و الم�ستقيمات القاطعة لها وفق تنا�سب بين‬ ‫الطول الحقيقى والطول فى الر�سم‪.‬‬ ‫وال�صورة لكوبرى ال�سالم الذى يربط بين �ضفتى قناة ال�سوي�س‬

‫�إعداد‬ ‫�أ‪ /‬عمر ف�ؤاد جاب اهلل‬ ‫�أ‪� /‬سريافيم اليا�س ا�سكندر‬ ‫�أ‪.‬م‪.‬د‪ /‬ع�صام و�صفى روفائيل ‬ ‫�أ‪ /‬كمال يون�س كب�شة‬

‫شركة سقارة للنشر‬ ‫�ش‪ .‬م‪ .‬م‬

‫الطبعــة األولى ‪2014/2013‬‬ ‫رقم اإليــداع ‪2013 / 8001‬‬ ‫الرقم الدولى ‪978 - 977 - 706 - 009 - 2‬‬

‫‪II‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫المحتويات‬ ‫الف�صل الدرا�سى الأول‬ ‫ ‬

‫مقدّمة المعلم‬

‫الوحدة‬ ‫الأوىل‬

‫�أ‪-‬ف‬

‫‪...............................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫الجرب والعالقات والدوال‬

‫‪ 1 -1‬‬

‫حل معادالت الدرجة الثانية في متغير واحد‬

‫‪4‬‬

‫‪ 2 -1‬‬

‫مقدمة عن األعداد المركبة‬

‫‪9‬‬

‫‪ 3 -1‬‬

‫تحديد نوع جذرى المعادلة التربيعية‪.‬‬

‫‪15‬‬

‫‪ 4 -1‬‬

‫العالقة بين جذري معادلة الدرجة الثانية ومعامالت حدودها‪.‬‬

‫‪18‬‬

‫‪ 5 -1‬‬

‫إشارة الدالة‪.‬‬

‫‪21‬‬

‫‪ 6 -1‬‬

‫متباينات الدرجة الثانية فى مجهول واحد‪.‬‬

‫‪25‬‬

‫‪...................................................................................................................................................‬‬

‫‪..................................................................................................................................................................‬‬

‫‪.........................................................................................‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫‪..................................................................................................................................................‬‬

‫التشابه‬

‫‪ 1 - 2‬‬

‫تشابه المضلعات‬

‫‪30‬‬

‫‪ 2 - 2‬‬

‫تشابه المثلثات‪.‬‬

‫‪35‬‬

‫ العالقة بين مساحتى سطحى مضلعين متشابهين‪.‬‬ ‫‪3-2‬‬

‫‪ 4 - 2‬‬

‫تطبيقات التشابه فى الدائرة‪.‬‬

‫‪41‬‬

‫‪......................................................................................................................‬‬

‫‪47‬‬

‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬

‫دليل المعلم ‪ -‬المقدمة‬

‫‪III‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫نظريات التناسب فى املثلث‬

‫‪ 1 - 3‬‬

‫ المستقيمات المتوازية واألجزاء المتناسبة‬

‫‪56‬‬

‫‪ 2 - 3‬‬

‫ منصفا الزاوية واألجزاء المتناسبة‬

‫‪63‬‬

‫‪ 3 - 3‬‬

‫تطبيقات التناسب فى الدائرة‬

‫‪69‬‬

‫الوحدة‬ ‫الرابعة‬

‫‪.................................................................................................................................................‬‬

‫‪..........................................................................................................................................................................‬‬

‫‪........................................................................................................................................................................................‬‬

‫حساب املثلثات‬

‫‪ 1 - 4‬‬

‫الزاوية الموجهة‪.‬‬

‫‪76‬‬

‫‪ 2 - 4‬‬

‫القياس الستينى والقياس الدائرى لزاوية‪.‬‬

‫‪80‬‬

‫‪ 3 - 4‬‬

‫الدوال المثلثية‪.‬‬

‫‪83‬‬

‫‪ 4 - 4‬‬

‫الزاويا المنتسبة‪.‬‬

‫‪87‬‬

‫‪ 5 - 4‬‬

‫التمثيل البيانى للدوال المثلثية‪.‬‬

‫‪93‬‬

‫‪ 6 - 4‬‬

‫إيجاد قياس زاوية بمعلومية إحدى نسبها المثلثية‪.‬‬

‫‪96‬‬

‫‪IV‬‬

‫‪....................................................................................................................................................‬‬

‫‪.....................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪.......................................................................................................................‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫المحتويات‬ ‫الف�صل الدرا�سى الثانى‬ ‫الوحدة‬ ‫الأوىل‬

‫المصفوفات‬

‫‪ 1 -1‬‬

‫تنظيم البيانات في مصفوفات‬

‫‪102‬‬

‫‪ 2 -1‬‬

‫جمع وطرح المصفوفات‬

‫‪108‬‬

‫‪ 3 -1‬‬

‫ضرب المصفوفات‬

‫‪112‬‬

‫‪ 4 -1‬‬

‫المحددات‬

‫‪116‬‬

‫‪ 5 -1‬‬

‫المعكوس الضربى للمصفوفة‬

‫‪121‬‬

‫‪..................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪...................................................................................................................................................................................‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫الربمجة الخطية‬

‫‪ 1 - 2‬‬

‫المتباينات الخطية‬

‫‪128‬‬

‫‪ 2 - 2‬‬

‫حل أنظمة من المتباينات الخطية بيانيًا‬

‫‪132‬‬

‫‪ 3 - 2‬‬

‫البرمجة الخطية والحل األمثل‬

‫‪136‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫‪.....................................................................................................................................................‬‬

‫‪....................................................................................................................................................................................‬‬

‫املتجهات‬

‫‪ 1 - 3‬‬

‫الكميات القياسية والكميات المتجهة‪ ،‬والقطعة المستقيمة الموجهة‬

‫‪142‬‬

‫‪ 2 - 3‬‬

‫المتجهات‬

‫‪145‬‬

‫‪ 3 - 3‬‬

‫العمليات على المتجهات‬

‫‪150‬‬

‫‪ 4 - 3‬‬

‫تطبيقات المتجهات‬

‫‪154‬‬

‫‪..........................................................‬‬

‫دليل المعلم ‪ -‬المقدمة‬

‫‪V‬‬

‫الوحدة‬ ‫الرابعة‬

‫الخط المستقيم‬

‫‪ 1 - 4‬‬

‫تقسيم قطعة مستقيمة‬

‫‪160‬‬

‫‪ 2 - 4‬‬

‫معادلة الخط المستقيم‬

‫‪164‬‬

‫‪ 3 - 4‬‬

‫قياس الزاوية بين مستقيمين‬

‫‪168‬‬

‫‪ 4 - 4‬‬

‫طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم‬

‫‪170‬‬

‫‪ 5 - 4‬‬

‫المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين‬

‫‪172‬‬

‫الوحدة‬ ‫اخلام�سة‬

‫‪...................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪....................................................................................................................‬‬

‫‪.........................................................................................‬‬

‫حساب املثلثات‬

‫‪ 1 - 5‬‬

‫المتطابقات المثلثية‪.‬‬

‫‪176‬‬

‫‪ 2 - 5‬‬

‫حل المعادالت المثلثية‪.‬‬

‫‪180‬‬

‫‪ 3 - 5‬‬

‫حل المثلث القائم الزاوية‪.‬‬

‫‪183‬‬

‫‪ 4 - 5‬‬

‫زوايا االرتفاع وزوايا االنخفاض‬

‫‪186‬‬

‫‪ 5 - 5‬‬

‫القطاع الدائرى‬

‫‪189‬‬

‫‪ 6 - 5‬‬

‫القطعة الدائرية‪.‬‬

‫‪192‬‬

‫‪ 7 - 5‬‬

‫المساحات‪.‬‬

‫‪194‬‬

‫ ‬

‫قائمة المراجع والمواقع االلكترونية‬

‫‪197‬‬

‫ ‬

‫قاموس المصطلحات التربوية والعلمية‬

‫‪198‬‬

‫ ‬

‫خريطة المنهج للفصل الدراسى األول‬

‫‪200‬‬

‫ ‬

‫خريطة المنهج للفصل الدراسى الثانى‬

‫‪204‬‬

‫ ‬

‫نماذج من أساليب التقويم‬

‫‪208‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬

‫‪................................................................................................................................................................‬‬

‫‪......................................................................................................................................................‬‬

‫‪............................................................................................................................................................‬‬

‫‪.......................................................................................................................................................‬‬

‫‪VI‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫بسم اهلل الرحمن الرحيم‬ ‫ّ‬ ‫مقدمة‬ ‫تم إعداده ليكون أداة‬ ‫يسعدنا ونحن نقدم هذا الدليل لمع ّلمى مادة الرياضيات للصف األول الثانوى أن نؤكد أن هذا الدليل قد َّ‬ ‫مساعدة‪ ،‬يستنير بها المع ّلم فى تحسين أدائه‪ ،‬وجعل تدريسه عملية وظيفية‪ ،‬تستند فى المقام األول إلى أسس تربوية سليمة‪ ،‬وفى‬ ‫ضوء نظريات التع ّلم الحديثة بحيث يكون دور المعلم‬ ‫ميسرا لعملية التعلم إلعداد النشء فى عصر العلم والتكنولوجيا‪ ،‬ال ّلذين‬ ‫ً‬ ‫أصبحا من ضرورات الحياة لإلنسان المعاصر‪.‬‬ ‫ومن هذا المنطلق كان من الضرورى بل من المحتم لمع ّلم الرياضيات فهم فلسفة المنهج الذى يعالجه‪ ،‬والذى وضع فى ضوء‬ ‫المناهج المطورة التى تضعها وزارة التربية والتعليم والتى تهتم باآلتى‪:‬‬

‫التأكيد على مبدأ استمرارية التع ُّلم مدى الحياة‪ ،‬من خالل العمل على أن يكتسب الطالب منهجية التفكير العلمى‪ ،‬وأن‬ ‫يمارسوا التع ُّلم الممتزج بالمتعة والتشويق؛ وذلك باالعتماد على تنمية مهارات حل المشكالت‪ ،‬وتنمية مهارات االستنتاج‬ ‫والتعليل‪ ،‬واستخدام أساليب التع ُّلم الذاتى‪ ،‬والعمل التعاونى بروح الفريق‪ ،‬والمناقشة والحوار وتق ُّبل آراء اآلخرين‪ ،‬والموضوعية‬ ‫فى إصدار األحكام‪ ،‬باإلضافة إلى التعريف ببعض األنشطة واإلنجازات الوطنية‪.‬‬

‫رؤى شاملة متماسكة للعالقة بين العلم والتكنولوجيا والمجتمع (‪ )Science, Technology, and Society STS‬تعكس دور‬ ‫تقديم ً‬ ‫ِ‬ ‫للتصرف الواعى والف ّعال حيال استخدام‬ ‫التقدُّ م العلمى فى تنمية المجتمع المحلى‪ ،‬باإلضافة إلى التركيز على ممارسة الطالب‬ ‫ُّ‬ ‫األدوات التكنولوجية‪.‬‬ ‫التركيز على تبصير الطالب بالمفاهيم والمبادئ الرياضية المتع ّلقة باألنشطة الحياتية‪ ،‬وتنمية اتجاهات إيجابية للطالب تُجاه‬ ‫الرياضيات ودراستها‪ ،‬لتقدير إيجابياتها كأداة فاعلة فى الحياة‪.‬‬ ‫تزويد الطالب بثقافة شاملة مبنية على رؤية واضحة داخل اإلطار البيئى الذى يعيشون فيه‪ ،‬من خالل تنمية االتجاهات‬ ‫اإليجابية لحسن استخدام الموارد واإلمكانات المتاحة‪.‬‬ ‫تنمية وتعميق االنتماء للوطن بإظهار دور الدولة فيما تقدّ مه من ِخدْ مات تعود بالخير والنفع فى جميع المناحى الحياتية‪.‬‬

‫الفلسفة التى تم فى ضوئها بناء منهج الرياضيات فى المرحلة الثانوية‪.‬‬ ‫الغاية األساسية من المنهج الجديد هو مساعدة المتعلم على فهم أساسيات الرياضيات التى تساعده على مواصلة تعليمها أو‬ ‫تعلمها‪ ،‬وكذلك على اتخاذ القرارات السليمة‪ ،‬وحل المشكالت فى حياته اليومية‪ ،‬ومساعدته على تحسين فهم العالم ومشاركته‬ ‫المجتمعية بحيث يمنح تعلم الرياضيات‬ ‫ارتياحا ذات ًّيا وقوة للمتعلم تتزايد مع استخدامه للتكنولوجيا الحديثة‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ويعتمد المدخل الجديد فى بناء المنهج الحالى على أساسيات المعرفة الرياضية وتنمية طرائق التّفكير وبناء المهارات‬ ‫العلمية ويبتعد عن التفاصيل والحشو‪ ،‬والتعليم التلقينى الذى يولد إستراتيجيات تعليم تقوم على حفظ الحقائق؛ لذلك يتم اختيار‬ ‫المفاهيم والمبادئ العامة‪ ،‬وأساليب البحث وخطط حل المشكالت وطرائق التفكير األساسية‪ ،‬والتى تسمح للمتعلم باستخدامها‬ ‫فى مواقف الحياة المختلفة‪ ،‬والتركيز على إكساب المتع ّلمين المقدرة على التعلم بأنفسهم‪ ،‬وعلى جمع المعلومات من مصادر‬ ‫متنوعة ومعالجتها واستخدامها عند الحاجة إليها فى دراسة مشكالت ترتبط بحياتهم وبمجتمعهم‪.‬‬

‫وقد راعى المنهج الحالى ما يلى‪:‬‬ ‫((‪(1‬تنمية وحدة المعرفة وتكاملها فى الرياضيات‪ ،‬ودمج المفاهيم والترابط بين كل مجاالت الرياضيات المدرسية‪.‬‬

‫((‪(2‬تزويد المتعلم بما هو وظيفى من معلومات ومفاهيم وخطط لحل المشكالت‪.‬‬

‫((‪(3‬تبنّى مدخل المعايير القومية للتعليم فى مصر والمستويات التعليمية وذلك من خالل‪:‬‬ ‫دليل المعلم ‪ -‬المقدمة‬

‫أ‬

‫أ ) تحديد ما ينبغى على المتعلم أن يتعلمه ولماذا يتعلمه‪.‬‬ ‫ب) تحديد مخرجات التعلم بدقة‪ ،‬وقد ركزت على مايلى‪:‬‬ ‫✍ ✍أن يظل تعلم الرياضيات هدف يسعى المتعلم لتحقيقه طوال حياته‪.‬‬ ‫ومبادرا بدراستها‪.‬‬ ‫محبا للرياضيات‬ ‫ً‬ ‫✍ ✍أن يكون المتعلم ًّ‬ ‫قادرا على العمل منفر ًدا أو ضمن فريق‪.‬‬ ‫✍ ✍أن يكون المتعلم ً‬ ‫✍ ✍أن يكون المتعلم ً‬ ‫ومبتكرا‪.‬‬ ‫ومواظبا‬ ‫ومثابرا‬ ‫نشطا‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫قادرا على التواصل بلغة الرياضيات‪.‬‬ ‫✍ ✍أن يكون المتعلم ً‬

‫((‪(4‬اقتراح أساليب وطرق للتدريس وذلك من خالل كتاب (دليل المعلم)‪.‬‬

‫((‪(5‬اقتراح أنشطة متنوعة تتناسب مع المحتوى ليختار المتعلم النشاط المالئم له‪.‬‬ ‫ومن المهارات التى تم الت�أكيد عليها‪:‬‬ ‫‪qq‬مهارة التعلم الذاتى‪.‬‬ ‫‪qq‬مهارة الدراسة والبحث‪.‬‬ ‫‪qq‬استخدام المراجع والمصادر واالستعانة بالشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت)‪.‬‬ ‫‪qq‬مهارة التفكير بكل مستوياته ومنها‪ :‬التفكير النقدى‪ ،‬اإلبداعى‪...‬‬ ‫‪qq‬مهارة التواصل شفه ًّيا وكتاب ًّيا وإلكترون ًّيا‪.‬‬ ‫‪qq‬مهارة التعامل مع اآلخرين واحترام آرائهم‪.‬‬ ‫‪qq‬مهارة تمثيل المعطيات والبيانات على شكل مخططات ورسوم بيانية ومصفوفات وغيرها‪.‬‬ ‫‪qq‬مهارة استخدام التقنيات اإللكترونية‪.‬‬

‫((‪(6‬احترام الرياضيات واحترام المساهمات اإلنسانية منها على مستوى العالم واألمة والوطن‪ ،‬وتعرف مساهمات وإنجازات‬ ‫العلماء المسلمين والعرب واألجانب‪.‬‬

‫ماذا عن كتاب الطالب؟‬ ‫((‪(1‬يتفق محتوى الكتاب مع جميع األهداف العامة لتدريس الرياضيات واألهداف الخاصة لمقرر الصف األول الثانوى‬ ‫ويحقق المعايير ومؤشراتها لهذا الصف‪ ،‬ويظهر مابين محتوى وحداته من ترابط وتكامل‪.‬‬

‫((‪(2‬استهالل كل وحدة من وحدات الكتاب بافتتاحية تحوى‪:‬‬ ‫✍ ✍تهيئة للتشويق وتكوين دافعية لدى الطالب؛ وذلك الستقراء واستكشاف محتوى الوحدة‪.‬‬ ‫عرضا لدروس الوحدة‪.‬‬ ‫✍✍ ً‬ ‫✍ ✍مخطط تنظيمى للوحدة‪ ،‬لتعرف موضوعاتها والمفاهيم المتضمنة بها وعالقاتها بالمواد األخرى وتطبيقاتها فى الحياة‬ ‫العملية‪.‬‬ ‫((‪(3‬يبدأ كل درس من دروس ّ‬ ‫كل وحدة ببند «فكر وناقش»‪ ،‬ويتناول ً‬ ‫نقاشا حول الفكرة األساسية لمحتوى الدرس‪ ،‬وروعى‬ ‫عرض المادة العلمية من السهل إلى الصعب ومن البسيط إلى المركب‪.‬‬ ‫كل درس من ِّ‬ ‫((‪(4‬ينتهى ُّ‬ ‫كل وحدة ببند «تحقق من فهمك»‪ ،‬ويعرض بعض األسئلة التى تنتقل من االستفهام المباشر إلى التفكير‬ ‫المتعمق‪ .‬والتى قد تربط الرياضيات بالعلوم األخرى‪.‬‬ ‫يتضمن محتوى ِّ‬ ‫كل وحدة مجموعة من المعالم المتميزة‪ ،‬والمرتبطة ارتبا ًطا وثي ًقا بموضوعات الوحدة تتضمن أنشطة‬ ‫((‪َّ (5‬‬ ‫تربوية (تطبيقات حياتية‪ ،‬مسألة للتفكير‪ ،‬تعليل واستنتاج‪ ،‬عمل تعاونى‪ ،‬تفكير ناقد)‪.‬‬ ‫((‪(6‬يتضمن كتاب األنشطة والتدريبات تدريبات متنوعة على كل درس وتنتهى ُّ‬ ‫كل وحدة بتمارين عامة واختبار للوحدة‬

‫ب‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫واختبار تراكمى يشتمل على العديد من األسئلة ويتضمن أسئلة موضوعية‪ ،‬ومقالية بنوعياتها‪ ،‬وذات اإلجابات القصيرة‬ ‫وتتناول الوحدات التى سبق أن درسها الطالب‪ ،‬ويشمل الكتاب اختبارات فى نهاية كل فصل دراسى تم بنائها فى ضوء‬ ‫جداول المواصفات التى تم إعدادها‪ ،‬كما روعى ماطرأ من تحديث وتطوير فى مجال بناء االختبارات التقويمية‪.‬‬

‫تم توظي ُفها بشكل يمكِّن‬ ‫((‪(7‬يتضمن الكتاب األشكال والرسوم التى جاءت مرتبطة ارتبا ًطا وثي ًقا بموضوعات الكتاب‪ ،‬وقد َّ‬ ‫الطالب من إدراك العالقات بين المتغ ِّيرات‪ ،‬من خالل عمليات التفسير والتحليل واالستنتاج‪ ،‬كما روعى دقة األشكال‬ ‫الهندسية والرسوم التوضيحية‪.‬‬

‫دور الدليل للمعلم‬

‫تناولنا ِّ‬ ‫َّ‬ ‫لكل وحدة من الوحدات المقررة على ِحدَ ٍة فى هذا الدليل من حيث األهداف والخطة الزمنية والمعالم والوسائط‬ ‫إن ُ‬ ‫ٍ‬ ‫التعليمية وطرق تدريس المحتوى والتقويم ‪ -‬ليس الهدف منه وضع قيد على المع ِّلم‪ ،‬بحيث نحدُّ من حريته فى تناول ومعالجة‬ ‫ّ‬ ‫كل وحدة أو إلزامه بأسلوب معين‪ ،‬بل هو محاولة من جانبنا نقدِّ مها للمع ّلم‪ ،‬كى تنير له الطريق‬ ‫وتمهد السبيل لتحقيق األهداف‬ ‫ّ‬ ‫المنشودة‪ ،‬فى الوقت الذى نقدّ ر فيه َّ‬ ‫أن لكل مع ِّلم شخصي َت ُه المميزة ومهاراته وإبداعاته الخاصة به‪.‬‬ ‫كيف ت�ستخدم هذا الدليل؟‬ ‫لقد حاولنا أن يكون هذا الدليل واف ًيا بجميع العناصر التى قد تحتاجها لتدريس هذا المقرر وسيكون أمامك صورة من‬ ‫صفحات كتاب الطالب فى كل درس‪ ،‬مما يساعدك على ربط توجيهات الدليل مع ما يراه الطالب فى كتابه‪ ،‬ومما ال شك فيه أن‬ ‫هذا يزيد فائدة الدليل بالنسبة لك‪ ،‬إلى جانب الصورة المصغرة من صفحة كتاب الطالب تتضمن صفحة المعلم العناصر التالية‬ ‫بالنسبة لكل وحدة وكل درس‪.‬‬

‫((‪(1‬مقدمة الوحدة‪ :‬وتشمل الموضوعات والدروس التى تتضمنها الوحدة وأهداف تدريسها مع إشارة لما تحتاج أن تعده قبل‬ ‫البدء فى تدريس الوحدة‪.‬‬ ‫((‪(2‬يبدأ كل درس بخلفية تذكرك بخبرات الطالب السابقة‪ ،‬وموقع الدرس‪ ،‬وما به من مفاهيم ومهارات‪ .‬هذه الخلفية لك أنت‬ ‫وليست بداية الدرس‪.‬‬ ‫((‪(3‬سنجد فى بداية الدرس بعض البيانات المهمة‪ ،‬مثل‬

‫أ ) أهداف الدرس وهى مكتوبة بصورة إجرائية قابلة للمالحظة والقياس‪.‬‬

‫ب) المواد التعليمية المستخدمة وهنا نشير إلى المواد التعليمية التى سوف تستخدمها أثناء الدرس سواء ستقوم أنت‬ ‫بإعدادها أو ستكلف الطالب بإعدادها أو إحضارها‪.‬‬

‫جـ) المفردات الجديدة التى تناولها الدرس وعليك أن تساعد طالبك على فهمها وتعلمها‪.‬‬

‫((‪(4‬استراتيجيات التدريس‪ ،‬ويقدم لك هذا الدليل خطوات تدريس الدرس فى تتابع على النحو التالى‪.‬‬ ‫أ ) التمهيد‪ :‬وذلك من خالل مناقشة العمل التعاونى أو بند "فكر وناقش" الوارد فى بداية الدرس ومن المعروف أن توافر‬ ‫الدافعية فى التعلم لدى الطالب أمر الزم بل وحتمى لضمان حسن سير الدرس وإيجابية الطالب‪ ،‬وبالتالى تتحقق‬ ‫األهداف المنشودة‪ .‬ويجب أال يطغى زمن تهيئة الطالب على الزمن المخصص لباقى أنشطة الدرس‪ ،‬وعادة ال يزيد‬ ‫زمن تهيئة الدرس عن عشر دقائق‪.‬‬ ‫ب ) عرض الدرس‪ :‬بعد التهيئة ‪ -‬وفى ترابط وسالسة ‪ -‬يدخل المعلم إلى خطوات عرض الدرس‪ ،‬فيبدأ فى تنفيذ األنشطة‬ ‫الواردة فى هذا الجزء من الدليل وهى ترتبط ارتبا ًطا وثي ًقا بصفحة كتاب الطالب أو كتاب األنشطة‪ ،‬وأن الربط بين ما‬ ‫يحدث فى مرحلة تهيئة الطالب وبين بداية الدرس أمر مهم جدًّ ا‪ ،‬حتى ال تفقد التهيئة أهميتها ودورها فى نجاح الدرس‪.‬‬

‫جـ ) التقييم والتدريب‪ :‬ويشمل هذا البند جوانب هامة هى "التقييم المستمر" ويشمل إجابات لما ورد فى بند "حاول‬ ‫أن تحل" أو يشمل أسئلة شفهية أو تحريرية خالل عرض الدرس‪ ،‬الجانب اآلخر هو" التقييم و التدريب"‪ ،‬ويشمل‬ ‫هذا البند إجابات ما ورد فى بند "تحقق من فهمك" و الجانب الثالث هو "التقييم"‪ ،‬ويشمل أسئلة شفهية أو تحريرية‬ ‫دليل المعلم ‪ -‬المقدمة‬

‫ج‬

‫تساعدك على التأكد من تحقيق أهداف الدرس‪ ،‬ومدى استفادة طالبك وما تعلموه‪ ،‬وذلك جن ًبا إلى التمارين العامة‬ ‫واالختبارات الواردة فى نهاية كل وحدة بكتاب األنشطة والتدريبات‪.‬‬

‫جـ ) أنشطة إثرائية للطالب المتفوقين‪ :‬يقدم الدليل فى نهاية كل درس أنشطة إثرائية للطالب المتفوقين‪ ،‬ولكن حذار أن‬ ‫تعلن أن هذا النشاط خاص بالطالب المتفوقين وال تقسم الطالب فى الفصل إلى مجموعات وف ًقا لمستوياتهم‪ ،‬فهذا‬ ‫النشاط خاص بالمعلم ليواجه الفروق الفردية بين طالبه‪ ،‬يمكنك أن تستقطع وقتًا فى ذات الدرس للقيام بهذه األنشطة‬ ‫اإلثرائية‪ ،‬وأحيانا يكلف بها الطالب كنشاط خارجى يقومون به بعد الدرس‪ ،‬وقد يعرضون عليك ما أنجزوه فى هذه‬ ‫األنشطة خارج وقت الحصة‪ ،‬أو قد تراجع معهم إنجازاتهم فى بداية الحصة التالية‪ ،‬وقبل التهيئة الجديدة (يتوقف ذلك‬ ‫على نوع تلك األنشطة‪ ،‬وما تحتاجه من زمن لمتابعتها)‪ ،‬ونشير هنا إلى أنه عند تكليف أى طالب بنشاط ما يجب أن‬ ‫تتابع إنجازه فيه‪ ،‬حيث أن عدم توفر ذلك يؤدى إلى تكاسلهم بل وإهمالهم القيام بأى نشاط إثرائى‪.‬‬ ‫والأن عزيزى المعلم كى تقوم بدورك على �أكمل وجه �سوف‪ .‬نتناول عر�ض موجز عن النقاط التالية‪:‬‬ ‫‪qq‬طبيعية مادة الرياضيات وعالقتها بالمواد األخرى‪.‬‬ ‫‪qq‬تنظيم محتوى مادة الرياضيات فى الصف األول الثانوى‪.‬‬ ‫‪qq‬تصنيف أهداف تدريس الرياضيات‪.‬‬ ‫‪qq‬إستراتيجيات عامة للتدريس‪.‬‬ ‫‪qq‬معايير ومؤشرات الصف األول الثانوى‪.‬‬ ‫‪qq‬االتجاهات الحديثة لتعليم الرياضيات‪.‬‬ ‫‪qq‬خصائص النمو لطالب المرحلة الثانوية‪.‬‬ ‫‪qq‬إدارة وتنظيم بنية التعلم النشط‪.‬‬ ‫‪qq‬بناء جدول مواصفات االختبار التحصيلى‪.‬‬

‫طبيعية الرياضيات‬ ‫الرياضيات فى جوهرها ذات طبيعة استداللية‪ ،‬حيث يمكن إشتقاق نتائج صادقة من مقدمات مسلم بصدقها‪ ،‬وذلك عن‬ ‫طريق السير فى خطوات استداللية تحكمها قوانين المنطق‪ ،‬والرياضيات بناء على ذلك تستخدم المنهج االستداللى فى إشتقاق‬ ‫نظرياتها ونتائجها‪ ،‬وبالتالى تعتبر الرياضيات بناء استداللى تتسم قضاياها بالتجريد؛ أى أنها ال تحمل أى معنى‪ ،‬وتكسب معناها‬ ‫من خالل النظام الرياضى الذى تستخدم فيه‪ .‬هذه هى طبيعة الرياضيات كعلم؛ أى كما توصل إليها العلماء‪ ،‬ولكن هناك فرق بين‬ ‫الرياضيات كعلم وكمادة دراسية يقوم مجموعة من المعلمين بتدريسها لمجموعات من المتعلمين فى مراحل تعليم مختلفة‪.‬‬ ‫ونشير هنا إلى الفرق بين الرياضيات كعلم والرياضيات كمادة دراسية‪ ،‬حيث تختلف صورة الرياضيات كعلم عن الرياضيات‬ ‫كمادة دراسية فى طريقة المعالجة وأسلوب العرض والتركيز أو التعقيد فى المادة ذاتها‪ ،‬إال أن طبيعة الرياضيات كعلم ال تختلف‬ ‫عن طبيعتها كمادة دراسية من حيث كونها بناء استداللى‪ ،‬والرياضيات كمادة دراسية تحتوى فى جوهرها المفاهيم األساسية‬ ‫لعلم الرياضيات ولكن بعد تبسيطها حتى تالئم خصائص المتعلم الذى يمر بمرحلة نمو معينة‪ ،‬وتناسب خلفيته الرياضية وعندما‬ ‫يدرس الطالب الرياضيات فإنه ليس من المهم أن يشتق معلومات رياضية جديدة مثلما يفعل العلماء؛ بل يكون االهتمام منص ًبا‬ ‫على اكساب المتعلم كيفية إجراء العمليات االستداللية البسيطة التى يمكن بواسطتها اشتقاق بعض النتائج من معلومات رياضية‬ ‫متاحة لديه‪ .‬كما أن المسلمات فى علم الرياضيات لها طبيعة تجريدية‪ ،‬بينما يجب أن تكون تلك المسلمات فى الرياضيات كمادة‬ ‫دراسية واضحة ومفهومة للمتعلم ومقرونه بأمثلة ملموسة فى البداية قبل التقدم إلى المجرد‪ ،‬ثم الهبوط ثان ًيا إلى الملموس عن‬ ‫طريق التطبيقات على مواقف الحياة العملية ومشكالتها؛ أى أن تعليم المعلومة المجردة يجب أن يمر بثالثة مراحل هى التمهيد‬ ‫والتقديم والتثبيت (ملموس ‪ -‬مجرد ‪ -‬ملموس) ومن المهم أن يفهم المعلم طبيعة الرياضيات‪ ،‬حتى يستفيد من ذلك عند قيامه‬ ‫بمهامه التدريسية داخل حجرة الدراسة‪ ،‬وما تم ذكره ما هو إال خطوط إرشادية عريضة وعامة يجب أن يضعها المعلم فى االعتبار‪،‬‬ ‫حتى يجعل أسلوبه العام فى التدريس يسير وف ًقا لها‪.‬‬

‫د‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫الريا�ضيات والعلوم الأخرى‬ ‫الرياضيات علم حى دائم التطور‪ ،‬تزداد أهميته إلى درجة القول بأن الرياضيات أصبحت مركز التطور الحضارى والتكنولوجي‬ ‫المعاصر والمستقبلى‪ ،‬وذلك ألن تطبيقاتها وأنماطها أصبحت تغطى كل أنواع األنشطة فى العلوم الصلبة والعلوم الناعمة ‪ ..‬فى‬ ‫الفنون واألداب فى سوق العمل ومجاالت الترويح ‪ ...‬فى اإلستراتيجيات العسكرية وقرارات السياسيين وفى اإلنتاج والخدمات‪.‬‬ ‫الرياضيات كانت ومازالت نشا ًطا يعبر عن ثقافة إنسانية تتوسع من داخلها لتحل مشكالت من خارجها‪ ،‬وتكتشف من خالل‬ ‫نمذجه وتجريد مواقف من خارجها عالقات تثريها من داخلها‪ ،‬لم يعد نشاط الرياضيات‬ ‫قاصرا على العدد والشكل اللذين كانا‬ ‫ً‬ ‫مصدرى إلهامها‪ ،‬بل يمتد إلى نشاطها لدراسة العالقات واألنماط وإلى اشتقاق نتائج مع مقدمات‪ ،‬ولم تعد الرياضيات مجرد‬ ‫أرقام ورموز يفهمها قلة من الناس‪ ،‬بل لغة يتواصل بها ويتعامل معها غالبية البشر‪ ،‬ويعمل منطقها على تيسير عمل الحاسبات وبث‬ ‫واستقبال المعلومات والتواصل بها من خالل األلياف الضوئية‪ ،‬تعددت مجاالت وفروع الرياضيات فى بنى مجردة مثل الزمرة‬ ‫(‪ )Group‬والحقل (‪ )Field‬وفضاء المتجه (‪ )Vector space‬لها تمثيالتها فى الفروع المختلفة‪.‬‬

‫ورغم كل التجريدات الرياضية فإن الرياضيات تنصت للطبيعة لترسم بها نماذج ينبثق منها وعنها حلول للمشكالت‬ ‫والرياضيات تتعامل مع المؤكدات ومع االحتماالت والاليقينيات‪ ،‬مع مظاهر استاتيكية وأخرى ديناميكية ‪ ..‬وفوضوية تتعامل‬ ‫مع أشكال مثالية منتظمة وأخرى معقدة‪ ،‬مع أبعاد صحيحة وأخرى كسورية‪ ،‬وتسهم الرياضيات فى حل كثير من المشكالت‬ ‫والتحديات العملية والحياتية‪ ،‬من خالل تمثيلها أو نمذجتها عالقات بلغة الرياضيات ورموزها‪ ،‬يتم حلها ثم إعادة ترجمتها إلى‬ ‫أصولها المادية ‪ ،‬الرياضيات ‪ -‬مث ً‬ ‫ال ‪ -‬تشرح وتفسر لنا ظواهر النمو فى الكائنات الحية وظاهرات التأكل من مواد إشعاعية (والتى‬ ‫تمثلها قوى أسية فى الجبر)‪ ،‬كما أن الرياضيات تقدم لنا نماذج عديدة للتصميمات المعمارية والصناعية‪ ،‬وتنظم لنا عمليات‬ ‫األنشطة الخدمية واإلنتاجية‪ ،‬وتتنبأ لنا بجدوى القيام بمشروعات جديدة‪ ،‬الرياضيات تصف لنا كيف تنساب الموسيقى ونغماتها‬ ‫الجميلة‪ ،‬الرياضيات تمدنا بأشكال هندسية يمكن أن تمثل وحدات التكوين بأشكال زخرفية ومصورات فنية جميلة‬

‫تنظيم محتوى الرياضيات فى الصف األول الثانوى‪:‬‬ ‫يجرى تدريس الرياضيات فى الصف األول الثانوى فى شكل وحدات دراسية موزعة مصفوف ًّيا بين صفوف المرحلة الثانوية‪،‬‬ ‫وبين المجاالت المعروفة‪ :‬األعداد والعمليات عليها‪ ،‬الجبر والعالقات والدوال‪ ،‬الهندسة‪ ،‬وحساب المثلثات‪ .‬ومن ناحية أخرى‬ ‫فإن المحتوى ينمو رأس ًّيا (عبر الصفوف ) وحلزون ًّيا فى كل فرع‪ ،‬ويتوزع أفق ًّيا (فى كل صف) بحيث يتضمن وحدات من فروع‬ ‫مختلفة تعكس‪ -‬إلى حد ما‪ -‬وحدة الفكر الرياضى‪ .‬ويراعى فى جميع الحاالت التناغم الرياضى لمتطلبات الوحدات على‬ ‫اختالف انتماءاتها الفرعية ولخدمة العلوم األخرى ذات الصلة‪.‬‬

‫تصنيف أهداف تدريس الرياضيات‪:‬‬ ‫الرياضيات؟»‬ ‫دائما بالسؤال اآلتى «لماذا نع ِّلم ِّ‬ ‫يواجه المعلم ً‬

‫هناك أكثر من طريقة للتعريف بتصنيف أهداف تعليم الرياضيات‪ ،‬أشهرها تصنيف األهداف إلى‪:‬‬

‫((‪(1‬أهداف معرفية ‪ Cognitive‬تتع ّلق بالمفاهيم والنَّظريات والمهارات العقل َّية المتدرجة والمتنوعة فى تع ُّلم معارف رياض َّية‬ ‫كثقافة عامة أو كإعداد لدراسات تالية فى المراحل التعليمية المتتابعة‪ .‬وهناك ثالثة مستويات معرفية‪ :‬مستوى أدنى‪،‬‬ ‫ِ‬ ‫ويتضمن‬ ‫ويتضمن مجرد تذكُّر المعلومات واستيعابها‪ .‬ومستوى وسيط‪،‬‬ ‫التطبيقات المباشرة لما يتعلمه الطالب من قوانين‬ ‫ّ‬ ‫ّ‬ ‫ونظريات‪ .‬ومستوى أعلى‪ ،‬ويتضمن تنمية مهارات التفكير العليا‪ ،‬وحل المشكالت بما تتطلبه من تحليل وتركيب وتقويم‬ ‫لمسائل وعالقات ومواقف رياضية وتطبيقية‪.‬‬

‫((‪(2‬أهداف وجدان ّية ‪ Affective‬تتع ّلق بتقدير ‪ appreciation‬الرياضيات كعلم ومجال وأسلوب تفكير بشرى‪ ،‬وتقدير الرياضيين‬ ‫وإسهاماتهم‪ ،‬وتكوين ميول واتجاهات إيجابية نحو دراسة الرياضيات‪ ،‬ونحو دورها فى التقدُّ م ونحو أساليبها فى التفكير‬ ‫ودقة لغتها فى االتصال سواء بالرمز أو بالشكل البيانى‪.‬‬

‫دليل المعلم ‪ -‬المقدمة‬

‫ه‬

‫((‪(3‬أهداف نفسحركية ‪ Psychomotor‬يقصد بها تنمية المهارات العملية‪ ،‬مثل اإلنشاءات الهندسية‪ ،‬واستخدام أدوات ذات‬ ‫طابع رياضى هندسى أو حسابى أو حوسبى ( متعلقة بالحاسوب) سواء فى صورة آالت حاسبة ‪ calculators‬أو حواسيب‬ ‫‪ ،computers‬وأن يكتسب الطالب مهارات استخدام التكنولوجيا المتاحة من أجهزة وأقراص مدمجة ‪ CDs‬جاهزة ومناسبة‪.‬‬

‫إستراتيجيات عامة للتدريس‬

‫إستراتيجية التدريس‪ :‬هى خطة تحركات المعلم فى تحقيق أهداف الدرس‪ ،‬مع مالحظة أن الهدف األساسى للتدريس والتعليم‬ ‫هو أن يتعلم الطالب‪ .‬ويقاس نجاح االستراتيجية بمدى كفاءتها فى أن يتع َّلم الطالب ما يراد لهم أن يتعلموه‪ ،‬بغرض مساعدة‬ ‫الطالب فى أن يبنوا بأنفسهم ويكتشفوا المعارف التى يتعلمونها فى ضوء النظرية البنائية ‪ Constructivism‬وتتضمن إستراتيجية‬ ‫التدريس أن يقوم المعلم باآلتى‪:‬‬ ‫‪qq‬التقدُّ م بمشكلة أو سؤال يثير انتباه الطالب (وقد يكون قصة تاريخية)‪.‬‬ ‫‪qq‬إعطاء فرصة للطالب للمناقشة‪.‬‬ ‫‪qq‬توزيع العمل بين أعمال تعاونية فى مجموعات صغيرة تعمل تعاون ًّيا‪ ،‬وأعمال فردية يفكر فيها كل طالب بنفسه‪ ،‬وأعمال‬ ‫جماعية يحدث فيها تفاعالت بين المعلم والطالب وبين الطالب أنفسهم‪.‬‬ ‫‪qq‬فى نهاية كل مناقشة أو عمل تعاونى أو عروض من جانب بعض الطالب يقوم المعلم بتلخيص واضح لما تم مناقشته أو حله‬ ‫متضمنًا األساسيات‪ :‬تعريفات‪ ،‬عالقات‪ ،‬منطوق نظريات لها براهين‪ ،‬إلخ‪.‬‬ ‫فرصا داخل الفصل أو المنزل (واجبات ‪ -‬الكتشاف بعض الخواص أو العالقات بأنفسهم)‪.‬‬ ‫‪qq‬إعطاء الطالب ً‬ ‫‪qq‬تشجيع الطالب على إعطاء حلول أو براهين بديلة‪.‬‬ ‫‪qq‬عند تدريس أى مفهوم أو عالقة بين عدة مفاهيم يعطى المعلم أمثلة‪ ،‬ويطلب إلى الطالب‪ ،‬إعطاء أمثلة تمثل المفهوم أو تح ِّقق‬ ‫العالقة‪ ،‬وأخرى التمثلها والتحققها‪.‬‬ ‫‪qq‬ابتعاد المعلم عن الشرح طوال الوقت وكتابة الحلول جاهزة كاملة على السبورة وطلب نقلها فى الكراسات من دون مناقشة‬ ‫أو محاوالت مسبقة من الطالب‪.‬‬ ‫‪qq‬تنويع السلوكيات (أى طرق التدريس) فى الحصة الواحدة‪.‬‬ ‫‪qq‬الحرص على إعطاء رعاية خاصة فى فترة العمل الفردى أو فى المجموعات التعاونية للطالب بطيئى التعلم أو من هم دون‬ ‫المستوى فى قدراتهم على التعلم‪ ،‬وكذلك الحال بالنسبة إلى الطالب المتفوقين‪.‬‬ ‫‪qq‬تنويع الواجبات سواء داخل الفصل أو فى المنزل مع مراعاة الفروق الفردية‪ -‬ليس من الضرورة أن يحل كل الطالب جميع‬ ‫التمارين فى الكتاب خاصة بالنسبة إلى الطالب «الضعاف»‪ ،‬ف ُيقدَّ م لهم الحد األدنى‪ ،‬و ُيالحظ تقدمهم حتى يصلوا إلى‬ ‫متدرجين فى الواجبات‪.‬‬ ‫مستويات أفضل ِّ‬ ‫‪qq‬تحديد بعض الساعات للمساعدة خارج الفصل فى مكتب المعلم أو فى المكتبة‪.‬‬ ‫‪qq‬مساعدة الطالب على أن يشعر بأنه يمكنه النجاح والتفوق فى هذا المقرر‪.‬‬

‫وسائط تعليمية عامة‬

‫سجلة على أوراق أو شرائط أو أقراص‬ ‫الوسيط التعليمى هو ما َّدة تعليمية مكتوبة أو مرسومة‪ ،‬أو صورة ثابتة أو‬ ‫متحركة ُم َّ‬ ‫ِّ‬ ‫مدمجة (‪ )CDs‬أو مخزنة على كمبيوتر‪.‬‬ ‫وتشمل الوسائط التعليمية األدوات واألجهزة المستخدمة فى عرض واستخدام الموا ِّد التعليم َّية والبرمجيات‪ .‬وقد يكون‬ ‫ٍ‬ ‫التعليمى ملص ًقا أو‬ ‫الوسيط‬ ‫بطاقات كرتونية أو قط ًعا خشب َّية أو بالستيكية أو أجهزة لعرض شفافيات أو صور معتمة أو جهاز سينما‬ ‫ُّ‬ ‫أو حاسو ًبا‪ ،‬وقد تكون موا َّد من الطبيعة أو مصنعة أو نماذج محاكاة ألشكال هندسية أو تجارب معمل َّية‪.‬‬

‫واألصل فى الوسيط التعليمى هو أن يستخدمه الطالب بنفسه ويمارس من خالله عملاً تعليم ًّيا نشي ًطا‪ ،‬ال أن يكتفى بمشاهدته‬ ‫سواء قام المعلم بتشغيله أو كان يعمل آل ًّيا‪ ،‬فالمهم مث ً‬ ‫ال أن يعمل الطالب على الحاسوب ‪ hands on‬الكتشاف عالقة رياضية أو‬ ‫تحقيق صحتها أو تمثيل بيانى ألحد الجداول مستخد ًما برنامج اللوحة الجدولية ‪ spreadsheet‬أو رسم بعض األشكال الهندسية‬ ‫باستخدام سلحفاة برنامج اللوجو (‪.)LOGO‬‬

‫و‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫والمبدأ الذى نرتئيه هنا هو أن التكنولوجيا بصفة خاصة‪ ،‬والوسائط التعليمية المتعددة بصفة عامة‪« ،‬حليفة وليست بديلة‬ ‫للمعلم»‪ -‬بمعنى أن التكنولوجيا أداة يستثمرها المعلم فى تيسير عملية التعلم ال أن تحل محله‪.‬‬

‫معايير ومؤشرات الصف األول الثانوى‬ ‫المجال الأول‪ :‬الجبر والعالقات والدوال‬ ‫المعيار األول‪ :‬يحل معادلة الدرجة الثانية فى مجهول واحد وتطبيقات عليها‪ ،‬ويتعرف األعداد المركبة‪.‬‬

‫المؤشرات‪ :‬يتوقع بعد دراسة هذه الوحدة وكيفية تنفيذ األنشطة فيها أن‪:‬‬ ‫وبيانيا‪.‬‬ ‫✍ ✍يحل معادلة الدرجة الثانية فى متغير واحد جبر ًيا‬ ‫ً‬ ‫✍ ✍يوجد مجموع وحاصل ضرب جذرى معادلة من الدرجة الثانية فى متغير واحد‪.‬‬ ‫✍ ✍يوجد بعض معامالت حدود معادلة من الدرجة الثانية فى متغير واحد بمعلومية أحد الجذرين أو كليهما‪.‬‬ ‫✍ ✍يتعرف المميز لمعادلة الدرجة الثانية فى متغير واحد‪.‬‬ ‫✍ ✍يبحث نوع جذرى معادلة الدرجة الثانية فى متغير واحد بمعلومية معامالت حدودها‪.‬‬ ‫✍ ✍يكون معادلة الدرجة الثانية فى متغير واحد بمعلومية معادلة أخرى من الدرجة الثانية فى متغير واحد‪.‬‬ ‫✍ ✍يبحث إشارة الدالة‪.‬‬ ‫✍ ✍يتعرف مقدمة فى األعداد المركبة (تعريف العدد المركب‪ ،‬قوى العدد ت‪ ،‬كتابة العدد المركب بالصورة‬ ‫الجبرية‪ ،‬تساوى عددين مركبين)‬ ‫✍ ✍يحل متباينات الدرجة الثانية فى مجهول واحد‪.‬‬

‫المعيار الثانى‪ :‬يتعرف المصفوفات والمحددات‪ ،‬وخواصهما‪ ،‬والعمليات عليهما‪ ،‬وتطبيقاتهما‪.‬‬

‫المؤشرات‪ :‬يتوقع بعد دراسة هذه الوحدة وكيفية تنفيذ األنشطة فيها أن‪:‬‬ ‫✍ ✍يتعرف مفهوم المصفوفة ونظمها ( مصفوفة الصف‪ ،‬مصفوفة العمود‪ ،‬المصفوفة المربعة‪ ،‬المصفوفة الصفرية‪،‬‬ ‫المصفوفة القطرية‪ ،‬مصفوفة الوحدة‪ ،‬المصفوفة المتماثلة وشبه المتماثلة )‬ ‫✍ ✍يضرب عدد حقيقى فى مصفوفة‪.‬‬ ‫✍ ✍يتعرف تساوى مصفوفتين‪.‬‬ ‫✍ ✍يوجد مدور المصفوفة‪.‬‬ ‫✍ ✍يجرى عمليات الجمع والطرح والضرب على المصفوفات باستخدام مهارات التفكير الرياضى‪.‬‬ ‫✍ ✍يستنتج خاصيتى العنصر المحايد الجمعى‪ ،‬والعنصر المحايد الضربى لمصفوفة مربعة‪.‬‬ ‫✍ ✍يستخدم الحاسوب‪ ،‬ويحدد إمكانية حل معادالت من الدرجة األولى فى عدد من المجاهيل باستخدام‬ ‫المصفوفات‪.‬‬ ‫✍ ✍يتحقق من صحة حلول بعض المشكالت التى تضمن مصفوفات باستخدام البرمجيات المتاحة‪.‬‬ ‫✍ ✍ينمذج بعض المواقف الحياتية باستخدام المصفوفات‪.‬‬ ‫✍ ✍يوظف استخدام المصفوفات فى مجاالت أخرى مثل‪ :‬الصناعة والطاقة‪.‬‬ ‫✍ ✍يتعرف محدد المصفوفة من الرتبة الثانية‪ ،‬والرتبة الثالثة‪.‬‬ ‫✍ ✍يوجد قيمة المحدد باستخدام عناصر الصفوف واألعمدة‪.‬‬ ‫✍ ✍يوجد قيمة المحدد على الصورة المثلثية‬ ‫✍ ✍يتعرف‪ ،‬ويوجد معكوس المصفوفة المربعة من الرتبة ‪2 * 2‬‬ ‫✍ ✍يحل معادلتين آنيتين باستخدام معكوس المصفوفة‪.‬‬ ‫✍ ✍يحل المعادالت بطريقة كرامر‪.‬‬ ‫✍ ✍يوجد مساحة المثلث باستخدام المحددات‪.‬‬ ‫دليل المعلم ‪ -‬المقدمة‬

‫ز‬

‫المعيار الثالث‪ :‬يتعرف البرمجة الخطية ويحل مشكالت رياضية حياتية عليها‪.‬‬

‫المؤشرات‪ :‬يتوقع بعد دراسة هذه الوحدة وكيفية تنفيذ األنشطة فيها أن‪:‬‬ ‫✍ ✍يستنتج خواص متباينات من الدرجة األولى فى مجهول واحد وطريقة حلها‪.‬‬ ‫بيانيا‪.‬‬ ‫✍ ✍ ُيعين مجموعة حل متباينة من الدرجة األولى فى مجهولين‪ ،‬وتحديد منطقة الحل ًّ‬ ‫بيانيا‪.‬‬ ‫✍ ✍يحدد منطقة حل متباينتين أو أكثر من الدرجة األولى فى مجهولين ًّ‬ ‫✍ ✍يستخدم البرمجة الخطية فى حل مشكالت رياضية حياتية‪.‬‬ ‫✍ ✍يضع معلومات خاصة بموضوع مشكلة رياضية حياتية فى جدول مناسب‪ ،‬ويترجم البيانات لها فى صورة‬ ‫بيانيا‪.‬‬ ‫متباينات خطية‪ ،‬ثم يحدد منطقة الحل ً‬ ‫✍ ✍يعين دالة الهدف بداللة اإلحداثيات‪ ،‬ثم يحدد النقط التى تنتمى إلى مجموعة الحل‪ ،‬ويعطى الحل األمثل لدالة الهدف‪.‬‬

‫المجال الثانى‪ :‬الهند�سة‬ ‫يستكمل دراسة مفاهيم ومهارات متضمنة بالهندسة المستوية‪ ،‬وتطبيقاتها فى مواقف رياضية وحياتية مختلفة‪ .‬ويطبق مبادئ‬ ‫الهندسة التحليلية فى مواقف رياضية وحياتية مختلفة‪.‬‬

‫المعيار األول‪ :‬يتعرف التشابه‪ ،‬ويبرهن نظريات عليه‪ ،‬ويحل تطبيقات رياضية عليه‪.‬‬

‫المؤشرات‪ :‬يتوقع بعد دراسة هذه الوحدة وكيفية تنفيذ األنشطة فيها أن‪:‬‬ ‫✍ ✍يستدعى ما سبق دراسته بالمرحلة اإلعدادية علي موضوع التشابه‪.‬‬ ‫✍ ✍يتعرف تشابه مضلعين‪.‬‬ ‫✍ ✍يتعرف‪ ،‬ويبرهن النظرية التى تنص على‪( :‬إذا تناسبت أطوال األضالع المتناظرة فى مثلثين فإنهما يتشابهان)‬ ‫✍ ✍يتعرف‪ ،‬ويبرهن النظرية التى تنص على‪( :‬النسبة بين مساحتى سطحين مثلثين متشابهين تساوى‪)...‬‬ ‫✍ ✍يتعرف‪ ،‬ويستنتج الحقيقية التى تنص على‪( :‬المضلعان المتشابهان يمكن أن ينقسما إلى‪)...‬‬ ‫✍ ✍يتعرف‪ ،‬ويبرهن النظرية التى تنص على‪( :‬النسبة بين مساحتى سطحى مضلعين متشابهين تساوى‪)...‬‬ ‫✍ ✍يتعرف‪ ،‬ويستنتج التمرين المشهور الذى ينص على‪ (:‬إذا تقاطع المستقيمان الحاويان للوترين فى دائرة فى نقطة‬ ‫فإن‪ )...‬وعكسه‪ ،‬ونتائج عليه‪.‬‬ ‫المعيار الثانى‪ :‬يتعرف ويبرهن نظريات التناسب‪ ،‬ويحل تطبيقات رياضية عليها‪.‬‬

‫المؤشرات‪ :‬يتوقع بعد دراسة هذه الوحدة وكيفية تنفيذ األنشطة فيها أن‪:‬‬ ‫✍ ✍يتعرف‪ ،‬ويبرهن النظرية التى تنص على‪( :‬إذا رسم مستقيم يوازى أحد أضالع المثلث ويقطع الضلعين اآلخرين‬ ‫فإنه‪ )...‬وعكسها‪ ،‬ونتائج عليها‪.‬‬ ‫✍ ✍يتعرف‪ ،‬ويبرهن نظرية تاليس العامة التى تنص على‪( :‬إذا قطع مستقيم عدة مستقيمات متوازية فإن‪ )...‬وحاالت‬ ‫خاصة منها‪.‬‬ ‫✍ ✍يتعرف‪ ،‬ويبرهن النظرية التى تنص على‪( :‬إذا نصفت زاوية رأس مثلث أو الزاوية الخارجة لمثلث عند هذا‬ ‫الرأس‪ )...‬وحاالت خاصة منها‪.‬‬ ‫✍ ✍يوجد قوة نقطة بالنسبة للدائرة (القواطع والمماسات)‬ ‫✍ ✍يستنتج قياسات الزوايا الناتجة من تقاطع األوتار والمماسات فى دائرة‪.‬‬ ‫✍ ✍يحل تطبيقات تشمل إيجاد طول المنصف الداخلى والخارجى‪.‬‬ ‫المعيار الثالث‪ :‬يتعرف المتجهات‪ ،‬والعمليات عليها‪ ،‬ويحل تطبيقات عليها‪.‬‬

‫المؤشرات‪ :‬يتوقع بعد دراسة هذه الوحدة وكيفية تنفيذ األنشطة فيها أن‪:‬‬ ‫✍ ✍يتعرف الكمية القياسية والكمية المتجهة‪ ،‬والقطعة المستقيمة الموجهة‪.‬‬ ‫عبِر عن القطعة المستقيمة الموجهة بداللة طرفيها فى مستوى اإلحداثيات‪.‬‬ ‫✍ ✍ ُي ِّ‬ ‫✍ ✍يتعرف متجه الموضع‬

‫ح‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫✍ ✍يضع متجه الموضع فى الصورة القطبية‬ ‫✍ ✍يوجد معيار المتجه‪ ،‬والمتجه الصفرى‬ ‫✍ ✍يتعرف‪ ،‬ويحل تمارين على تكافؤ متجهين‪.‬‬ ‫✍ ✍يتعرف متجه الوحدة‪.‬‬ ‫✍ ✍ ُيعبر عن المتجه بداللة متجهى الوحدة األساسسيين‪.‬‬ ‫✍ ✍يتعرف توازى متجهين‪ ،‬وتعامد متجهين‪.‬‬ ‫✍ ✍يضرب متجه فى عدد حقيقى‪.‬‬ ‫✍ ✍يجمع متجهين باستخدام قاعدة المثلث ( االحداثيات‪ ،‬طريقة متوازى األضالع)‬ ‫✍ ✍يطرح متجهين‪.‬‬ ‫✍ ✍يثبت بعض النظريات الهندسية باستخدام المتجهات‪.‬‬ ‫✍ ✍يحل تطبيقات فى الهندسة المستوية على المتجهات‬

‫المعيار الرابع‪ :‬يتعرف الخط المستقيم‪ ،‬ويحل تطبيقات عليه‪.‬‬

‫المؤشرات‪ :‬يتوقع بعد دراسة هذه الوحدة وكيفية تنفيذ األنشطة فيها أن‪:‬‬

‫تتم المعالجة بطريقة المتجهات والطريقة الكارتيزية فى ضوء المؤشرات التالية‪:‬‬ ‫✍ ✍يوجد نقطة تقسيم قطعة مستقيمة من الداخل أو الخارج إذا علمت نسبة التقسيم‪.‬‬ ‫✍ ✍يوجد النسبة التى تقسم بها قطعة مستقيمة من الداخل أو الخارج إذا علم نهايتا القطعة المستقيمة‪.‬‬ ‫✍ ✍يتعرف الصور المختلفة لمعادلة الخط المستقيم‪.‬‬ ‫✍ ✍يوجد المعادلة المتجهة‪ ،‬والمعادالت البارامترية‪ ،‬والمعادلة الكارتيزية‬ ‫✍ ✍يوجد الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم‪.‬‬ ‫✍ ✍يوجد معادلة الخط المستقيم بداللة األجزاء المقطوعة من المحاور‪.‬‬ ‫✍ ✍يوجد قياس الزاوية الحادة بين مستقيمين‪.‬‬ ‫✍ ✍يوجد طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم‪.‬‬ ‫✍ ✍يوجد المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين‪.‬‬

‫المجال الثالث‪ :‬ح�ساب المثلثات‬ ‫يطبق أساسيات حساب المثلثات فى مواقف رياضية وحياتية مختلفة‪.‬‬

‫المؤشرات‪ :‬يتوقع بعد دراسة هذه الوحدة وكيفية تنفيذ األنشطة فيها أن‪:‬‬ ‫✍ ✍يتعرف الزاوية الموجهة‪.‬‬ ‫✍ ✍يتعرف الوضع القياسى للزاوية الموجهة‬ ‫✍ ✍يتعرف القياس الموجب والقياس السالب للزاوية الموجهة‬ ‫✍ ✍يتعرف نوع قياس الزاوية (الستينى‪ ،‬الدائرى)‬ ‫✍ ✍يتعرف القياس الدائرى لزاوية مركزية فى دائرة‪.‬‬ ‫✍ ✍يستخدم اآللة الحاسبة فى إجراء العمليات الحسابية الخاصة بالتحويل من القياس الدائرى إلى الستينى‬ ‫والعكس‪.‬‬ ‫✍ ✍يتعرف الدوال المثلثية‬ ‫✍ ✍يحدد إشارات الدوال المثلثية فى اإلرباع األربعة‪.‬‬ ‫✍ ✍يستنتج أن مجموعة الزوايا المتكافئة لها نفس الدوال المثلثية‪.‬‬ ‫✍ ✍يستنتج النسب المثلثية لبعض الزوايا الخاصة‪.‬‬ ‫✍ ✍يتعرف الزوايا المنتسبة (‪.)i ! c270 ،i ! c90 ،i ! c360 ،i ! c180‬‬

‫دليل المعلم ‪ -‬المقدمة‬

‫ط‬

‫✍ ✍يتعرف التمثيل البياني للدوال المثلثية د(س) = جا س‪ ،‬د(س) = جتا (س)‪ ،‬ويستنتج خواص كل منهما‪.‬‬ ‫✍ ✍يتعرف النسب المثلثية للزاوية الحادة‪ ،‬وألى زاوية‪.‬‬ ‫✍ ✍يوجد قياس زاوية معلوم إحدى قيم الدوال المثلثية لها‪.‬‬ ‫✍ ✍يستخدم اآللة الحاسبة فى حساب النسب المثلثية لبعض الزوايا الخاصة‪.‬‬ ‫✍ ✍يستخدم تكنولوجيا المعلومات فى التعرف على التطبيقات المتعددة للمفاهيم األساسية لحساب المثلثات‪.‬‬ ‫✍ ✍ينمذج بعض الظواهر الفيزيائية والحيوية والتى تمثل بدوال مثلثية‪.‬‬

‫المعيار الثانى‪ :‬يستكمل دراسة أساسيات حساب المثلثات‪ ،‬وتطبيقها فى مواقف رياضية وحياتية مختلفة‪.‬‬

‫المؤشرات‪ :‬يتوقع بعد دراسة هذه الوحدة وكيفية تنفيذ األنشطة فيها أن‪:‬‬ ‫✍ ✍يستنتج العالقات األساسية بين الدوال المثلثية‪.‬‬ ‫✍ ✍يثبت صحة متطابقات على الدوال المثلثية‬ ‫✍ ✍يحل معادالت مثلثية بسيطة فى الصورة العامة فى الفترة [‪]c360 ،c0‬‬ ‫✍ ✍يعطى الحل العام للمعادالت المثلثية على الصورة‪:‬‬ ‫‪qq‬جا ‪ C‬س = جتا ب س‬ ‫‪qq‬قا ‪ C‬س = قتا ب س‬ ‫‪qq‬ظا ‪ C‬س = ظتا ب س‬ ‫✍ ✍يحل المثلث قائم الزاوية‬ ‫✍ ✍يحل تطبيقات تشمل زوايا االرتفاع واالنخفاض‬ ‫✍ ✍يتعرف القطاع الدائرى‬ ‫✍ ✍يتعرف القطعة الدائرية‪.‬‬ ‫✍ ✍يتعرف الحل العام للمعادلة المثلثية‪.‬‬ ‫✍ ✍يوجد مساحة المثلث‪ ،‬ومساحة الشكل الرباعى‪ ،‬ومساحة المضلع المنتظم‬ ‫✍ ✍يحل مسائل متنوعة على حساب المثلثات‪.‬‬ ‫✍ ✍يستخدم تكنولوجيا المعلومات فى التعرف على التطبيقات المتعددة للمفاهيم األساسية لحساب المثلثيات‪.‬‬ ‫✍ ✍ينمذج بعض الظواهر الفيزيائية والحيوية والتى تمثل بدوال مثلثية‪.‬‬

‫االتجاهات الحديثة فى تعليم الرياضيات‬ ‫هناك عدة اتجاهات حديثة لتعليم وتعلم الرياضات نورد منها ما يلى‪:‬‬

‫دورا فى معالجة قضايا‬ ‫تعليم الرياضيات من أجل حل مشكالت البيئة والمجتمع‪ :‬ويدعو هذا االتجاه ألن يكون للرياضيات ً‬ ‫ومشكالت المجتمع‪ ،‬وأن ترتبط المعرفة الرياضية بالخبرات الحياتية والبيئية للطالب‪.‬‬

‫تعليم الرياضيات من أجل تنمية انماط التفكير وأسلوب حل المشكالت‪ :‬يعد هذا االتجاه من االتجاهات المفضلة فى تعليم‬ ‫الرياضيات‪ ،‬وقد نبع هذا االتجاه نتيجة للتغير السريع فى المعارف واألساليب التكنولوجية واستخداماتها‪ ،‬ولذا أصبحت المعرفة‬ ‫فى حد ذاتها ليست هى الهدف االسمى بل طرق الحصول عليها‪ ،‬وهو ما يتمثل فى أنماط التفكير المختلفة وأسلوب حل‬ ‫المشكالت والتى يمكن تنميتها من خالل تعليم وتعلم الرياضيات‪.‬‬ ‫تعلم الرياضيات ذات ًيا باستخدام الحاسب اآللى‪ :‬ادى االنفجار المعرفى إلى ظهور الحاجة إلى التعلم الذاتى وظهرت عدة أساليب‬ ‫للتعلم الذاتى من أهمها التعلم بالمراسلة والموديوالت التعلمية وباستخدام الحاسب اآللى‪.‬‬

‫كبيرا من قبل التربويين والباحثيين فى مجال تعليم وتعلم‬ ‫إال أن تعلم الرياضيات باستخدام الحاسب اآللى نال اهتما ًما ً‬ ‫الرياضيات وظهرت العديد من البرامج بالعربية واإلنجليزية لتعليم الرياضيات باستخدام الحاسب اآللى‪.‬‬

‫تعليم الرياضيات من أجل تنمية اإلبداع‪ :‬للرياضيات دور هام فى تنمية اإلبداع لدى المتعلمين لما لها من طبيعة تساعد على ذلك‪،‬‬ ‫ألن الرياضيات بمضمونها تعتمد على إدراك العالقات للوصول إلى النتائج والنظريات وغيرها من اإلبداعات‪ ،‬وجوهر اإلبداع‬

‫ي‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫هو إدراك عالقات جديدة تؤدى إلى تنوع من الحلول للمشكلة الرياضية المطروحة‪ .‬لهذا اعتبر التربويون أن تنمية اإلبداع هدف‬ ‫أساسى من أهداف تعليم الرياضيات‪.‬‬

‫تعليم الرياضيات للفئات الخاصة‪ :‬أدى االهتمام بحاجات المتعلم‪ ،‬وضرورة تعليمه بقدر ما تسمح به استعداداته وقدراته إلى‬ ‫ظهور اتجاه نحو تعليم الرياضيات للفئات الخاصة (بطيئ التعلم ‪ -‬المتفوقون ‪ -‬المعاقين) حيث لكل من هذه الفئات استعداداته‬ ‫وقدراته وإمكاناته‪ ،‬وأصبح من الضرورى تصميم مناهج للرياضيات لكل فئة من هذه الفئات حتى يمكن أن تتعلم كل فئة بقدر ما‬ ‫لديها من خصائص‪.‬‬

‫تأثيرا فى عزل‬ ‫تعليم الرياضيات فى ضوء مفهوم العولمة‪ :‬نتيجة للتقدم الهائل فى تكنولوجيا االتصال‪ ،‬لم يعد للبعد الجغرافى ً‬ ‫الدول عن بعضها البعض‪ ،‬وأصبح العالم كقرية صغيرة متشابكة األطراف‪ ،‬وأصبح للمشكالت وخاصة البيئية صفة العالمية‪،‬‬ ‫حيث لم تعد دولة واحدة بإمكاناتها قادرة على مواجهة هذه المشكالت‪ ،‬وبالتالى لم يعد مبدأ االكتفاء الذاتى‬ ‫صالحا للتطبيق‬ ‫ً‬ ‫عن ظل هذه الظروف فحل محله مبدأ االعتماد المتبادل الذى يدعو إلى إنفتاح دول العالم على بعضها البعض‪ ،‬لنعيش فى سالم‬ ‫عالمى وتعاون مشترك من أجل خير اإلنسان‪ ،‬وهذا ما يؤدى إلى إتساع بيئة اإلنسان من المحلية إلى العالمية‪ .‬وهذا ما يدعو إلى‬ ‫أن تكون مناهج الرياضيات التى يدرسها المتعلم تساعد فى إعداده لذلك‪.‬‬ ‫تعليم الرياضيات باستخدام اإلنترنت‪ :‬اإلنترنت هو منظومة عالمية تربط مجموعة من الحاسبات اآللية بشبكة واحدة واإلنترنت‬ ‫عدة مميزات دفعت التربويين إلى المناداه بضرورة استخدامه وهى‪:‬‬ ‫✍✍الوفرة الهائلة فى مصادر المعلومات ومنها‪ :‬الكتب االلكترونية‪ ،‬الدوريات‪ ،‬قواعد البيانات‪ ،‬الموسوعات‪ ،‬المواقع التعليمية‬ ‫✍✍االتصال غير المباشر وذلك من خالل البريد االلكترونى‪ ،‬والبريد الصوتى‪.‬‬ ‫✍✍االتصال المباشر وذلك من خالل التخاطب الكتابى المباشر‪ ،‬والتخاطب الصوتى والتخاطب بالصوت والصورة‪.‬‬

‫تعليم الرياضيات المزود بالحاسوب‪ :‬يتنوع االستخدام التعليمى للحاسوب من مساعدة الطالب على تعلم القواعد األساسية‬ ‫إلى تعلمهم الستراتيجيات التفكير المعقد‪ ،‬والحاسوب أداة فعالة للطالب المتوسط القدرة‪ ،‬والطالب المعاق وللطالب المتفوق‪،‬‬ ‫وبأتى ذلك من قدرته على التكيف التعليمى لمواجهة االحتياجات المتنوعة للطالب ذوى القدرات المختلفة‪ ،‬وقد أثبتت البحوث‬ ‫أن التعليم المزود بالحاسوب (‪ )CAI‬يوفر الجهد والوقت فى التفكير وفى حل المشكالت‪ ،‬كما أن الحاسوب وسيلة فعالة فى‬ ‫تشخيص وعالج األخطاء الرياضية لدى الطالب‪.‬‬

‫خصائص نمو طالب المرحلة الثانوية‬ ‫على الرغم من إجماع علماء التربية وعلم النفس على أن عملية النمو متداخلة إال أنهم قسموه إلى مراحل تراعى فى كل منها‬ ‫الصفات العامة التى تميز المتوسط العام لألطفال فى تلك الفترة من النمو وذلك كى تسهل دراسة النمو فى كل فترة عمرية‪ ،‬وهذه‬ ‫المراحل رغم تحديد بدايتها ونهايتها إال أنها ليست محددة تحديدً ا‬ ‫واضحا؛ بل أن نهاية كل فترة منها تتداخل مع بداية الفترة التى‬ ‫ً‬ ‫تليها تداخ ً‬ ‫كبيرا من حيث بدايتها ونهايتها‪.‬‬ ‫كبيرا‪ ،‬كما أنها قد تختلف فى األفراد اختال ًفا ً‬ ‫ال ً‬

‫ومعرفة خصائص النمو لطالب المرحلة الثانوية يساعدنا على معرفة حاجاته‪ ،‬وتعرف مدى نمو الطالب بالنسبة لمتوسط‬ ‫اقرانه‪ ،‬ويعيش طالب المرحلة الثانوية فى مرحلة عمرية تسمى مرحلة المراهقة‪ ،‬ويقصد بالمراهقة أنها مرحلة النمو الذى يصل‬ ‫نموا جسم ًّيا واجتماع ًّيا ونفس ًّيا‪ ،‬وتبدأ‬ ‫فيها الطفل إلى مرحلة البلوغ‪ ،‬وعند استخدام مصطلح المراهقة فإن هذا المصطلح يتضمن ًّ‬ ‫مرحلة المراهقة عند البنين فى ثالث عشرة سنة فأكثر تقري ًبا‪ ،‬وتبدأ عند البنات فى سن اثنتى عشرة سنة فأكثر تقري ًبا‪ ،‬يختلف سن‬ ‫بداية المراهقة من مجتمع إلى مجتمع وغال ًبا ما تبدأ مبكرة فى المناطق الحارة عنها فى المناطق الباردة‪ ،‬ومرحلة المراهقة المبكرة‬ ‫التى تبدأ مع بداية البلوغ وتنتهى عند سن ست عشرة أو سبع عشرة سنة‪ ،‬وقد تم تحديد هذا السن بطريقة قسريه تختلف من مجتمع‬ ‫آلخر‪ ،‬وهناك اتفاق على أن تنقسم فترة المراهقة إلى مرحلتين هما‪ ،‬المراهقة المبكرة‪ ،‬المراهقة المتأخرة‪ ،‬وتبدأ مرحلة المراهقة‬ ‫المبكرة مع سن البلوغ وتنتهى فى سن ‪ 16‬أو ‪ 17‬سنة أو عند التحاق المراهق بالصف الثانى أو الثالث الثانوى‪ ،‬أما مرحلة المراهقة‬ ‫المتأخره فتبدأ فى نهاية التعليم الثانوى وتمتد إلى مرحلة التعليم الجامعى‪ ،‬وفى المرحلة األخيرة وهى التى يستعد فيهاالمراهق‬ ‫نضجا وقد تمتد هذه المرحلة إلى ‪ 20‬سنة أو أكثر‪.‬‬ ‫لدخول مرحلة الرشد فيستعد لذلك مهن ًيا ويتعرف بشكل أكثر‬ ‫ً‬ ‫دليل المعلم ‪ -‬المقدمة‬

‫ك‬

‫وتعد فترة المراهقة من أهم فترات حياة اإلنسان بسبب أثارها المباشرة على االتجاهات والسلوك وتتميز هذه الفترة بالنمو‬ ‫الجسمى السريع يصاحبه نمو عقلى ذو معدالت مختلفة مما يؤدى إلى ظهور الحاجة إلى التوافق وإلى ضرورة إرساء اتجاهات‬ ‫جديدة وقيم إجتماعية مغاييرة عن تلك القيم التى اعتاد عليها الفرد قبل أن يمر بمرحلة المراهقة‪.‬‬ ‫النمو الج�سمى‬ ‫تعد «مرحلة المراهقة» طفرة فى النمو الجسمى‪ ،‬فهى مرحلة نمو جسمى سريع‪ ،‬وهذه التغيرات السريعة التى تصاحب النمو‬ ‫الجسمى ومنها الجنسى تجعله غير واثق فى نفسه وفى قدراته واهتماماته‪ ،‬وتكون لدية مشاعر قوية تعكس شعورة بعدم االستقرار‬ ‫ومن أهم المشكالت المصاحبة للنمو الجنسى للمراهق هو ظهور حب الشباب والتهيجات الجلدية للمراهق والمراهقة‪ ،‬وكذلك‬ ‫المعاناه الجسيمة المصاحبة عند المراهقه مثل‪ :‬الصداع‪ ،‬وآالم الظهر ونوبات تغير المزاج واالكتئاب‪.‬‬ ‫النمو الحركى‬ ‫ينتج عن النمو الجسمى السريع ميل الطالب إلى الكسل والخمول ويكون قليل النشاط والحركة ‪ ،‬والمراهقون فى بداية‬ ‫هذه المرحلة يكون توافقة الحركى غير دقيق وتتسم حركاته بعدم االتزان‬ ‫وكثيرا ما يصطدم باألجسام التى تعترضه أو تسقط من‬ ‫ً‬ ‫بين يدية األشياء التى يمسك بها‪ ،‬ومما يساعده على عدم استقراره الحركى تعرضه لنقد الكبار وتعليقاتهم وتحميله العديد من‬ ‫المسئوليات االجتماعية‪ ،‬مما قد يسبب له االرتباك وفقدان االتزان‪.‬‬ ‫وعندما يصل المراهق إلى مرحلة النضج تصبح حركاته أكثر تواف ًقا وانسجا ًما فيزداد نشاطه ويمارس التدريبات فى محاولة‬ ‫إتقان بعض المهارات الحركية التى تحتاج إلى دقة وتأزر حركى‬

‫النمو العقلى المعرفى‬ ‫يختلف الذكاء فى سرعة نموه عن القدرات الطائفية األخرى فنجد أن سرعة نمو الذكاء تبطئ خالل فترة المراهقة أما‬ ‫القدرات العقلية األخرى مثل القدرة اللغوية والقدرة العددية والقدرة المكانية والقدرة الميكانيكية والقدرة الموسيقية تظل فى‬ ‫نموها المضطرد خالل فترة المراهقة وتزداد القدرة على التحصيل فى تلك المرحلة‪ ،‬حيث يميل المراهق إلى القراءة واالطالع‬ ‫والرحالت الخارجية وقراءة القصص والمجالت فى محاولة للبعد عن المناهج الدراسية‪ ،‬ويحاول المراهق التعبير عن ذاته‬ ‫ونقدها عن طريق مذكراته‪ ،‬وكتابه المذكرات الخاصة عالمة من عالمات النمو العقلى والنمو االجتماعى‪ ،‬وقد تكون وسيلة‬ ‫لتفريغ االنفعاالت والهروب من القلق والضيق النفسى‪.‬‬

‫ومع نضج المراهق العقلى وتفاعله مع المجتمع بقيمة الخلقية والدينية ُيكون المراهق لنفسه‬ ‫اتجاها أو فلسفة عامة‪ ،‬وبتفاعله‬ ‫ً‬ ‫مع البيئة التى يعيش فيها قد يصيبه النجاح أو الفشل‪ ،‬وقد يتعرض لصراع بين عقله النامى ومنطقة الجديد وبين ما تلقنه من تعاليم‬ ‫اآلباء فى طفولته‪.‬‬ ‫القدرات والعمليات المعرفية‬ ‫تختلف القدرات عن العمليات المعرفية‪ ،‬فالقدرة هى ما يستطيع الفرد عمله أو القيام به بينما تتعلق العملية المعرفية بما‬ ‫يحدث فى العقل ذاته أو بما يدور فى العقل وهو يستجيب للمتغيرات المختلفة وعليه فإنه يمكن القول بإن القدرة تشمل على‬ ‫العمليات المعرفية وأنواع مثيراتها واألشكال المختلفة الستجاباتها؛ ولذلك فإن القدرة تؤكد على الناحية العقلية البحته مثل‬ ‫القدرات االستقرائية‪ ،‬والعمليات المعرفية التى تعتمد على القدرات العقلية هى اإلنتباه الذى ينمو فى شدته ومستواه وطول مدته‬ ‫يستطيع المراهق استيعاب مشكالت طويلة معقدة فى سهولة ويسر‪ ،‬واإلدراك الذى يتأثر بنمو الفرد الجسمى والعقلى واالنفعالى‬ ‫واإلجتماعى‪ ،‬فينمو من المستوى الحسى المباشر عند الطفل إلى المستوى المعنوى المجرد عند المراهق‪ ،‬وتنمو عملية التذكر‬ ‫وتنمو معها القدرة على الحفظ واالسترجاع والتعرف‪ ،‬والتذكر عند المراهق يعتمد على الفهم واستنتاج العالقات بين العناصر‬ ‫التى يتم تذكرها ويتأثر تذكر الفرد للموضوعات المختلفة بدرجة ميله نحوها واستمتاعه بها وبانفعاالته وخبراته المختلفة وأيضا‬ ‫بنمو القدرة على األنتبا‪.‬‬ ‫أما عملية التفكير فإنها تتأثر عند المراهق بالبيئة المحيطة وبما تضمنه من متغيرات تحفزه إلى الوان مختلفة من االستدالل‬ ‫وحل المشكالت‪ ،‬ويغلب على تفكير المراهق فى أول مرحلة المراهقة نمط التفكير االستنباطى ثم يتطور نمو تفكيره ويتحول‬

‫ل‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫إلى نمط التفكير االستقرائى‪ ،‬تزداد قدرة المراهق على التخيل المجرد المبنى على الصورة اللفظية‪ ،‬كما تظهر القدرة المكانية‬ ‫لدى المراهق فى قدرته على فهم األشكال الهندسية المختلفة وإدراك العالقات المكانية فى سهولة تصور حركات األشكال‬ ‫والمجسمات‪ ،‬أما القدرة العددية فتوضح فى القدرة على إجراء العمليات بسهولة وسرعة‪ ،‬هذا وتتجمع بعض هذه القدرات مع‬ ‫بعضها بنسب مختلفة لتؤلف من ذلك كله قدرات مركبة كالقدرة الرياضية التى تعتمد على القدرات االستقرائية واالستنباطية‬ ‫والمكانية والعددية أو القدرة المنطقية التى تتألف من القدرتين االستنباطية واالستقرائية‪ ،‬وتظل القدرات مطردة فى نموها خالل‬ ‫فترة المراهقة وفترة الرشد‪ ،‬ما عدا قدرة السرعة االدراكية فإنها تضعف فى أواخر مرحلة المراهقة وتظل فى انحدارها حتى‬ ‫الشيخوخة‪.‬‬ ‫النمو الإنفعالى‬ ‫ترتبط انفعاالت الفرد يتغيرات عضوية داخلية بصاحبها مشاعر وجدانية وتغيرات فسيولوجية وكيميائية داخل الجسم‪ ،‬وتؤثر‬ ‫بيئة الفرد فى تلك االنفعاالت‪ ،‬فهى بمثابة متغير لها‪ ،‬وللنمو أثر فى تغير وتطور االستجابات للمثيرات‪ ،‬ولكن المظاهر الداخلية‬ ‫تكون أقرب للثبات واالستقرار منها إلى التغير‪ ،‬وتتسم مرحلة المراهقة أنها عنيفة فى حدة اإلنفعاالت‪ ،‬حيث نجد المراهق دائم‬ ‫الثورة على األوضاع متمر ًدا على الكبار‪ ،‬كثير النقد‪ ،‬ويشعر المراهق بأن األسرة والمدرسة والمجتمع ال تقدر موقفه‪ ،‬وال تحس‬ ‫بإحساسه الجديد‪ ،‬لذا فهو يسعى دون قصد آلن يؤكد نفسه بثورته وتمرده وعناده‪.‬‬ ‫النمو الإجتماعى‬ ‫تميزا‪ ،‬وأكثر إتسا ًعا وشموالً عنه فى مرحلة الطفولة‪ ،‬فينمو الفرد‬ ‫تميز العالقات االجتماعية فى مرحلة المراهقة بإنها أكثر ً‬ ‫تزداد وتتسع افاق عالقاته االجتماعية‪ ،‬وتستمر عملية التطبيع والتنشئة االجتماعية‪ ،‬ومع بداية المرحلة المراهقة تزداد مجاالت‬ ‫النشاط االجتماعى‪ ،‬ويتنوع االتصال الشخصى بالمعلمين والقادة والرفاق وغيرهم‪ ،‬وباتساع دائرة العالقات والتفاعل االجتماعى‬ ‫يتخلص المراهق من بعض جوانب األنانية التى تطبع سلوكه فى مرحلة الطفولة فيحاول أن يأخذ ويعطى ويتعاون مع اآلخرين‬ ‫وأثناء تفاعل المراهق وتعامله مع اآلخرين تتأكد لديه مظاهر الثقة بالنفس وتأكيد الذات‪ ،‬ومحاولته إشعار اآلخرين بأهميته كفرد‬ ‫كثيرا عن نفسه وعن قدراته‬ ‫له كيان مستقل‪ ،‬هذا ما يؤكد ميل المراهق للعناية بمظهره ومالبسه وطريقة حديثة فنجده يتحدث ً‬ ‫وتفوقه وفى مجاالت التحصيل أو فى مجاالت الرياضة‪.‬‬

‫إدراة وتنظيم بيئة التعلم النشط‬ ‫تتمثل اإلدارة الجيدة للمعلم لبيئة التعلم والتى تعتمد على مشاركة الطالب فى التخطيط والتنفيذ للعملية التعليمية عام ً‬ ‫مهما‬ ‫ال ًّ‬ ‫مهما فى تحقيق األهداف التعليمية المنشودة‪.‬‬ ‫على توفير الجهد واالستغالل األمثل لموقف التعليم‪،‬‬ ‫وعنصرا ًّ‬ ‫ً‬

‫دورا‬ ‫ومع ظهور األساليب التربوية الحديثة التى تؤكد على ضرورة أن يكون الطالب هو محور العملية التعليمية وأن يكون له ً‬ ‫إيجاب ًّيا فى العملية التعليمية وبالتالى من المفضل إشتراكه فى إدارة هذه العملية‪ ،‬ومع التأكيد على دور التعلم النشط وهو ما أدى فى‬ ‫جملته إلى إدارة بيئة التعلم بتلك التغيرات التربوية‪ ،‬ومع مراعاة خصائص طالب المرحلة الثانوية‪ ،‬حيث تختلف إدارة بيئة التعلم‬ ‫التى يتمركز فيها التعليم حول المتعلم‪ ،‬أو يقوم بدور فعال ويختلف فى إدارة بيئة التعلم‪ ،‬يتمركز فيها األنشطة حوله مما يسمح‬ ‫له القيام ببعض األعمال اإلدارية داخل الفصل الدراسى‪ ،‬ويتطلب ذلك منح الطالب بعض الحرية فى إدارة بيئة التعلم ذات ًّيا تحت‬ ‫توجية وإشراف المعلم‪ ،‬األمر الذى يتطلب وضع مجموعة من القواعد العامة للتعامل داخل بيئة التعلم يتوفر بها الشروط التالية‪:‬‬ ‫‪qq‬ان تكون متوافقة مع قواعد وسياسات المدرسة وداعمه لها‬ ‫(مثل‪ :‬األهتمام بنظافة المكان ‪ -‬احترام المعلم ‪ -‬احترام اإلدارة المدرسية ‪ -‬احترام الزمالء‪).....‬‬ ‫‪qq‬ان تحدد مجموعة من األسس التى يجب توافرها فى السلوك السوى للطالب‪ ،‬ولن يدعم كل سلوك بمبررات عقالنية‪ ،‬بشكل‬ ‫يبين ضرورة هذا السلوك وفائدته لسير العمل فى الفصل بشكل إيجابى‪.‬‬ ‫‪qq‬ان تكون مقبوله من المعلم والطالب‪ ،‬وهذا يستلزم أن يتعاونا فى وضعها‪.‬‬

‫دليل المعلم ‪ -‬المقدمة‬

‫م‬

‫مكونات �إدارة بيئة التعلم الن�شط‬ ‫حين تكون إدارة بيئة التعلم عملية مشتركة بين المعلم والطالب‪ ،‬فإن هذا يعنى ضرورة إعادة صياغة المعلم ألدواره‪ ،‬حيث‬ ‫يقوم بتعظيم دور المتعلم‪ ،‬وأن يصبح المعلم‬ ‫عضوا فى جماعة أو قائدً ا فى فريق أكثر من كونه المصدر الوحيد للسلطة‪.‬‬ ‫ً‬

‫إن بيئة التعلم النشط قد تكون حجرة الدراسة أو المعلم أو المكتبة أو حجرة الوسائط المتعددة أو غير ذلك‪ ،‬حيث يوجد‬ ‫الطالب مع معلمهم يخططون وينفذون م ًعا عد ًدا من األنشطة التربوية‪ ،‬ومن ثم فإن مكونات بيئة التعلم تتمثل فيما يلى‪:‬‬ ‫‪qq‬التخطيط الجيد لتحديد خطوات وطريقة تنفيذ العملية التعليمية‬ ‫‪qq‬التنظيم المادى للفصل لمجابهة إحتياجات العملية التعليمية‬ ‫‪qq‬تحديد اساليب أو طرق التفاعل بين المعلم والطالب‪.‬‬ ‫‪qq‬تهيئة مناخ الفصل لمجابهة احتياجات الطالب لتحقيق األهداف المنشودة‬ ‫‪qq‬ضبط سلوك الطالب‪.‬‬ ‫‪qq‬استغالل البيئة المحيطة أفضل استغالل إلحداث عملية التعليم ‪ /‬التعلم الجيد‪.‬‬ ‫‪qq‬االستغالل األمثل للوقت لتحقيق اكبر وقت ممكن للتعليم‪.‬‬ ‫تصورا إلدارة فصله بما يضمن له النجاح فى مهمته‪.‬‬ ‫‪qq‬وتحدد هذه المكونات الجوانب التى يجب أن يركز عليها المعلم عند وضعه‬ ‫ً‬

‫ال�سمات والمهارات اللأزمة لإدارة بيئة التعلم الن�شط‬

‫يتطلب نجاح المعلم فى قيادته التربوية لبيئة التعلم النشط إلى توافر مجموعة من السمات والمهارات األساسية وهى كلها‬ ‫الزمة لنجاح المعلم بدرجات متفاوته ومنها‪:‬‬

‫السمات الشخصية‪ :‬وتشمل المبادآه‪ ،‬الثقة بالنفس‪ ،‬والقدرة على اإلبتكار‪ ،‬وتحمل المسئولية‪ ،‬ضبط النفس‪ ،‬الحزم والسرعة فى‬ ‫اختيار البدائل‬

‫المهارات الفنية‪ :‬وهى المعرفة المتخصصة فى فرع من فروع العلم والكفاءة فى استخدام هذا الفرع بما يحقق الهدف المنشود‪،‬‬ ‫وتكتسب هذه المهارات بالدراسة والخبرة والتدريب‬

‫مهارات اجتماعية وتعنى قدرة المعلم على التعامل مع طالبه وتنسيق جهودهم‪ ،‬وخلق روح العمل الجماعى بينهم‪ ،‬وايضا قدرته‬ ‫على االرتفاع والتأيثر ومواجهة المشاكل والتصدى لها بأسلوب ناجح‪.‬‬ ‫تنظيم بيئة التعلم الن�شط‬ ‫تحتاج إدارة بيئة التعلم إلى عناية فائقة من المعلم للتنظيم والتخطيط والترتيب‪ ،‬ويعد الفصل وترتيبه أحد العوامل الرئيسية‬ ‫لنجاح عمل المعلم لتحقيق أهداف التعلم النشط‪ ،‬ولذلك يجب على المعلم أن يراعى عدد من النقاط الهامة وهى‪:‬‬

‫((‪(1‬المرونة‪ :‬وتعد حجر الزاوية فى تنظيم الفصل؛ ألنه مهما نظم المعلم فصله فسوف يتم تعديله عند التطبيق ليناسب احتياجات‬ ‫الطالب واستراتيجيات التدريس المستخدمة‪.‬‬ ‫((‪(2‬نوع االنشطة‪ :‬يجب أن يضع المعلم فى اعتباره أن النشاط الذى سوف يقوم به الطالب هو الذى يحدد شكل الفصل وترتيب‬ ‫مقاعد الطالب وحركاتهم مثل‪ :‬التعلم الفردى ‪ -‬التعلم التعاونى ‪ -‬تعلم األقران وهكذا‬ ‫((‪(3‬تنظيم االثاث والمواد واألدوات‪ :‬تنظيم الفصل للتعلم النشط يعنى تنظيم المكان حتى يمكن للطالب العمل بمفردهم أو‬ ‫فى مجموعات كبيرة‪ ،‬و إن أمكن يستخدم أثا ًثا سهل الحركة حتى يمكن إعادة ترتيبه‪.‬‬ ‫((‪(4‬المصادر التعليمية‪ :‬يجب ان يحتوى جزء من الحجرة على المصادر التعليمية وتكون مناسبة للطالب من حيث المستوى‬ ‫العمرى وتحدى قدراتهم‬

‫((‪(5‬مراعاة الفروق الفردية بين الطالب‪:‬‬

‫ن‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫إدارة وقت التعلم بفاعلية‬

‫أن التخطيط إلدارة الوقت بمثل عام ً‬ ‫مهما فى التعليم داخل الفصل وهنا التخطيط يمر بالخطوات التالية‪:‬‬ ‫ال ًّ‬ ‫✍✍دراسة استطالعية للوقوف على كيفية استغالل الوقت ويدخل فيها دراسة السجالت المختلفة الخاصة بالتدريس واألنشطة‪.‬‬ ‫✍✍تحديد األهداف المستهدفة بدقة‪.‬‬ ‫✍✍تحديد األولويات والمهام الالزم تنفيذها‪.‬‬ ‫✍✍وضع خطة للعمل يحدد فيها الوقت الالزم لكل مهمة من المهام فى ضوء األهداف واألولويات ‪.‬‬ ‫✍✍متابعة تنفيذ الخطة وتقويم األداء‪.‬‬ ‫✍✍تنفيذ هذه الخطة وفق جدول زمن محدد‪.‬‬ ‫✍✍تبنى اساليب وحلول لمواجهة مشكالت الوقت‪.‬‬

‫وتشير هنا إلى أن التخطيط لدرس ما البد أن يرافقه زمن كل مرحلة من مراحل التدريس‪ ،‬وعلى المعلم أن ينجز خطته تب ًعا‬ ‫للزمن المحدد‪ ،‬ولكى يحسن المعلم من إدارة وقته داخل الصف ينبغى عليه أن يقوم باآلتى‪:‬‬ ‫✍✍اإللتزام بوقت الحصة من حيث توقيت بدايتها وتوقيت نهايتها‪.‬‬ ‫✍✍تحليل المشكالت التى يمكن أن تواجه المعلم أثناء الحصة وتستنفذ وقتها واسبابها وكيفية عالجها‪.‬‬ ‫✍✍التخطيط الجيد لدرسة حيث يساعده ذلك على إدارة الفصل بفاعلية واستثمار وقت الحصة‪.‬‬ ‫بناء جدول مواصفات االختبار التحصيلى‬

‫يهدف االختبار التحصيلى إلى تحديد مقدار ما اكتسبه أو تعلمه المتعلم‪ ،‬األمر الذى يسمح بمقارنه مستوى تحصيل الطالب‬ ‫بمستوى تحصيل غيره من الطالب الذين طبق عليهم نفس االختبار ولبناء االختبار التحصيلى عدة خطوات‪:‬‬ ‫‪qq‬تحديد األهداف (النواتج) التى يهدف المقرر إلى تحقيقها‪.‬‬ ‫‪qq‬تحديد محتوى االختبار (أى الموضوعات التى يغطيها االختبار) فى ضوء األهداف التى يسعى االختبار إلى تحقيقها‪ ،‬ومن‬ ‫وسائل تحقيق ذلك عمل جدول ثنائى يطلق عليه جدول المواصفات‪ ،‬وهو جدول ثنائى يتضمن الموضوعات التى يجب‬ ‫ان يغطيها االختبار‪ ،‬واألهداف التعليمية للمقرر الدراسى (نواتج التعلم)‪ ،‬واألهمية النسبية (الوزن النسبى للموضوعات‬ ‫واألهداف)‪ .‬واستخدام جدول المواصفات يزيد من احتمالية تمثيل االختبار للجوانب الهامة للمقرر الدراسى‪ ،‬ونسب تمثيلها‬ ‫لألهداف المنشودة‪ ،‬األمر الذى يرفع من صدق هذا االختبار‪ ،‬كما أن استخدام هذا الجدول يعمل كموجة للمعلم فى اختيار‬ ‫االفكار التى يجب ان يتضمنها االختبار‪.‬‬

‫خطوات إعداد جدول المواصفات‬ ‫‪qq‬تحديد األهداف التعليمية للمقرر الدراسى واألوزان النسبية لكل منها والتى تعكس االهتمام الذى تخطى به فى عملية‬ ‫التدريس‪ ،‬وتكتب أعلى اعمدة جدول المواصفات؛ أى توضع أعلى الجدول‪.‬‬ ‫‪qq‬تحديد موضوعات المقرر الدراسى‪ ،‬ونسبة تمثيل كل منها‪ ،‬ولكى يتسنى للمعلم أو معد االختبار تحديد األوزان النسبية أو‬ ‫نسبة تمثيل موضوعات المقرر الدراسى يمكنه االستعانة بالموجهات التالية‪:‬‬ ‫‪qq‬الزمن المخصص لتدريس كل موضوع من موضوعات المقرر الدراسى‪.‬‬ ‫‪qq‬مدى االهتمام الذى يحظى به الموضوع فى عملية التدريس‪.‬‬ ‫‪qq‬خبرة المعلم الشخصية فى تدريس المقرر الدراسى وتحليل لمحتواه‪.‬‬ ‫‪qq‬االستشارة العلمية‪.‬‬ ‫وبعد تحديد الموضوعات التى يتضمنها المقرر الدراسى‪ ،‬واألوزان النسبية لكل منها تكتب هذه الموضوعات امن ًيا على‬ ‫صنوف الجدول‪ ،‬وينشأ عن تقاطع األعمدة التى تمثل األهداف‪ ،‬والصفوف التى تمثل الموضوعات عدد معين من خاليا‬ ‫(الخانات) التى تحدد وتعكس درجة تمثيل كل موضوع من موضوعات المحتوي فى عالقته بكل هدف من األهداف‪.‬‬ ‫التى تحدد بدورها نسبة األسئلة أو عدد األسئلة التى يجب أن يتضمنها االختبار بالنسبة لكل موضوع من موضوعات المحتوى‬ ‫فى عالقته بكل هدف من األهداف‪ ،‬والوزن النسبى المحدد لكل موضوع من موضوعات المحتوى‪ ،‬ولكل هدف من األهداف فى‬ ‫جدول المواصفات يدل على النسبة المئوية الكلية المخصصة لكل منها بأسئلة االختبار ولتحديد األهمية النسبية لكل خلية من‬ ‫دليل المعلم ‪ -‬المقدمة‬

‫س‬

‫خاليا جدول المواصفات يتم اتباع الخطوات التالية‪:‬‬ ‫‪qq‬يتم تحديد وضع الخلية‪.‬‬ ‫‪qq‬يتم تحديد الصف (الموضوع) الذى يتقاطع مع الخلية‪.‬‬ ‫‪qq‬يتم تحديد النسبة المئوية الكلية للصف‪( ،‬نفترض ان هذه النسبة تساوى ‪)%23‬‬ ‫‪qq‬يتم تحديد النسبة المئوية الكلية للعمود (الهدف) الذى يتقاطع مع الخلية‪.‬‬ ‫‪qq‬يتم تحديد النسبة المئوية الكلية للعمود (نفترض ان هذه النسبة تساوى ‪.)%14‬‬ ‫‪qq‬يتم ضرب قيمة النسبة المئوية للصف (‪ )%23‬فى قيمة النسبة المئوية للعمود (‪)%14‬‬

‫ويمثل الناتج نسبة األسئلة (او عدد األسئلة) التى تمثل الخلية والتى يجب ان يتضمنها االختبار‪ ،‬وفى هذه الحالة‬ ‫تساوى‪ %3.22‬من مجموع مفردات االختبار ككل وإذا‬ ‫افترضا أن المجموع الكلى لعدد مفردات االختبار يساوى ‪ 100‬فإن‬ ‫ً‬ ‫‪ %3.22‬فى هذه الحالة تساوى ‪ 3‬مفردات أو أسئلة تقريبا‪ ،‬وتجدر اإلشارة إلى انه عندما يكون ناتج ضرب قيمة النسبة المئوية‬ ‫لعمود فى قيمة النسبة المئوية للصف المقابل لنقطة تقاطع خلية معينة عدد صحيح وكسر‪ ،‬فإنه يجب جبر هذا الكسر ألقرب رقم‬ ‫صحيح وذلك يعد اتباع قواعد التقريب المعروفة‪.‬‬ ‫وفيما يلى نموذج لجدول مواصفات اختبار تحصيلى لمقرر الرياضيات للفصل الدراسى األول‬

‫�أو ً‬ ‫ال‪ :‬الجبر وح�ساب المثلثات‬ ‫األهداف‪ /‬الموضوعات‬

‫الجبر‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫المجموع‬

‫تذكر‬

‫فهم‬

‫تطبيق‬

‫تحليل‬

‫تركيب‬

‫تقويم‬

‫‪0.06‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪%10‬‬

‫‪0.12‬‬ ‫‪0.08‬‬ ‫‪%20‬‬

‫‪0.24‬‬ ‫‪0.16‬‬ ‫‪%40‬‬

‫‪0.06‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪%10‬‬

‫األهداف‪ /‬الموضوعات‬

‫تذكر‬

‫فهم‬

‫تطبيق‬

‫تحليل‬

‫تركيب‬

‫تقويم‬

‫حساب المثلثات‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2‬‬

‫المجموع‬

‫‪0.06‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪%10‬‬

‫‪%60‬‬ ‫‪%40‬‬ ‫‪%100‬‬

‫المجموع‬ ‫‪5‬‬

‫إذا كان عدد مفردات االختبار هو ‪ 14‬مفردة فيكون عدد المفردات فى كل خلية كما هو موضح في الجدول التالى‬ ‫الجبر‬

‫المجموع‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪14‬‬

‫ثانيا الهند�سة‬ ‫األهداف‪ /‬الموضوعات‬

‫تذكر‬

‫نظريات التناسب‬ ‫المجموع‬

‫‪0.05‬‬ ‫‪%10‬‬

‫التشابه‬

‫‪0.05‬‬

‫فهم‬

‫‪0.1‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪%20‬‬

‫تطبيق‬

‫تحليل‬

‫‪0.2‬‬ ‫‪%40‬‬

‫‪0.05‬‬ ‫‪%10‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.05‬‬

‫تركيب‬

‫تقويم‬

‫‪0.05‬‬ ‫‪%10‬‬

‫‪0.05‬‬

‫المجموع‬ ‫‪%50‬‬

‫‪%50‬‬ ‫‪%100‬‬

‫إذا كان عدد مفردات االختبار هو ‪ 14‬مفردة فيكون عدد المفردات فى كل خلية كما هو موضح في الجدول التالى‬

‫األهداف‪ /‬الموضوعات‬

‫تذكر‬

‫فهم‬

‫تطبيق‬

‫تحليل‬

‫تركيب‬

‫تقويم‬

‫المجموع‬

‫نظريات التناسب‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫التشابه‬

‫المجموع‬

‫ع‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪14‬‬

‫الفصل الدراسى الثانى‬ ‫�أوال الجبر وح�ساب المثلثات‬ ‫األهداف‪ /‬الموضوعات‬

‫تذكر‬

‫حساب المثلثات‬

‫‪0.045‬‬

‫الجبر‬

‫المجموع‬

‫فهم‬

‫تطبيق‬

‫تحليل‬

‫تركيب‬

‫تقويم‬

‫المجموع‬

‫‪0.055‬‬

‫‪0.110‬‬

‫‪0.22‬‬

‫‪0.055‬‬

‫‪%55‬‬

‫‪%10‬‬

‫‪%20‬‬

‫‪%40‬‬

‫‪%10‬‬

‫‪%100‬‬

‫‪0.090‬‬

‫‪0.18‬‬

‫‪0.045‬‬

‫‪%45‬‬

‫إذا كان عدد مفردات االختبار هو ‪ 14‬مفردة فيكون عدد المفردات فى كل خلية كما هو موضح في الجدول التالى‬ ‫األهداف‪ /‬الموضوعات‬

‫تذكر‬

‫فهم‬

‫تطبيق‬

‫تحليل‬

‫تركيب‬

‫تقويم‬

‫المجموع‬

‫حساب المثلثات‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫الجبر‬

‫المجموع‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪14‬‬

‫ثانيا الهند�سة‬ ‫األهداف‪ /‬الموضوعات‬

‫تذكر‬

‫الخط المستقيم‬

‫‪0.05‬‬

‫المتجهات‬ ‫المجموع‬

‫فهم‬

‫تطبيق‬

‫تحليل‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.05‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪%10‬‬

‫‪%20‬‬

‫‪%40‬‬

‫‪0.1‬‬

‫تركيب‬

‫تقويم‬

‫‪0.05‬‬

‫‪%10‬‬

‫المجموع‬

‫‪0.05‬‬

‫‪%50‬‬

‫‪%10‬‬

‫‪%100‬‬

‫‪%50‬‬

‫المتجهات‬

‫الخط المستقيم‬ ‫المجموع‬

‫تذكر‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫فهم‬

‫تطبيق‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬

‫تحليل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تركيب‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تقويم‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المجموع‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪14‬‬

‫ويالحظ أنه بعد تحديد جدول مواصفات االختبار‪ ،‬نكتب مفردات االختبار فى ضوء كل من الموضوع والمستوى المعرفى‬ ‫فى كل خلية من خاليا الجدول مع اختيار أنماط األسئلة المالئمة لقياس هذه المستويات وذلك كما هو موضح باالختبارات‬ ‫المرفقة فى نهاية كل فصل دراسى بكراسة التدريبات واألنشطة‪.‬‬

‫المراجع‪:‬‬ ‫‪qq‬وليم عبيد وآخرون‪ ،‬تربويات الرياضيات‪ ،‬القاهرة‪ ،‬االنجلو المصرية‪ ،2005 ،‬ص ص ‪28 - 7‬‬

‫‪qq‬وليم عبيد‪ ،‬قصة الرياضيات‪ ،‬القاهرة‪ ،‬المكتبة األكاديمية‪ ،‬الطبقة األولى‪ ،2001 ،‬ص ص ‪17 - 15‬‬ ‫‪qq‬محمد أمين المفتى‪ ،‬االتجاهات الحديثة فى تعليم الرياضيات‪ ،‬ورقة مقدمة للمواتمر العلمى السنوى بعنوان "الرياضيات المدرسية معايير ومستويات"‪،‬‬ ‫الجمعية المصرية لتربويات الرياضيات‪ ،‬القاهرة‪2001 ،‬‬ ‫‪qq‬على ماهر خطاب‪ ،‬القياس والتقويم فى العلوم النفسية والتربوية واالجتماعية‪ ،‬الطبعة السابعة‪ ،‬القاهرة‪ ،‬االنجلو المصرية‪2008 ،‬‬

‫دليل المعلم ‪ -‬المقدمة‬

‫ف‬

‫ص‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫الف�صل الدرا�سى الأول‬

‫دليل المعلم ‪ -‬المقدمة‬

‫ق‬

‫‪ĎòĀĿí‬‬

‫‪IóMƒdG‬‬

‫‪1‬‬

‫‪≈dhC’G IóM‬‬ ‫‪MƒdG‬‬

‫ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ‬ ‫ﻭﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬ ‫‪Algebra, relationships and‬‬ ‫‪functions‬‬

‫‪ĽíōĊĿíō õîķŜĬĿíō ĎòĀĿí‬‬ ‫‪Algebra, Relations and‬‬ ‫‪Functions‬‬ ‫أﻫﺪاف اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪:o }gR 5Ǜ 1 ^ f Kf oyc o T^y lf rk 2*yf vp }Z‬‬ ‫ ‪.nhă inh=í nxă } @ {AÐí }h` Y R phin UÐ p@Ú{UÐ pUØn_Y x‬‬ ‫ ‪p@Ú{UÐ Y pUØn_Y îÚ|@ó Ñ} ÉnAí â e Y {@ x‬‬ ‫‪.{AÐí }h` Y R phin UÐ‬‬

‫ ‪pUØn_Y phY d_e= {AÐí }h` Y R phin UÐ p@Ú{UÐ pUØn_Y ë cx‬‬ ‫‪.{AÐí }h` Y R phin UÐ p@Ú{UÐ Y î}BÌ‬‬ ‫ ‪.pUÐØ ÒÚnIÎ r x‬‬

‫ ‪ R phin UÐ p@Ú{UÐ Y pUØn_Y Øí{A ÓĆYn_Y _= {@ x‬‬ ‫‪.neghdT íÌ xÚ| UÐ {AÌ phY d_e= {AÐí }h` Y‬‬

‫ ‪ºoT}eUÐ Ø{_UÐ x}_>) p T}eUÐ ØÐ{LúÐ R pY{bY æ}_ x‬‬ ‫‪îín > ºpx} UÐ ÒÚ [Un= oT}eUÐ Ø{_UÐ p=n T ºÓ î S‬‬

‫ ‪.{AÐí }h` Y R phin UÐ p@Ú{UÐ pUØn_eU ~heeUÐ æ}_ x‬‬

‫‪.( h T}Y xØ{L‬‬

‫ ‪.{AÐí é g Y R phin UÐp@Ú{UÐ Y Ónfxn Y x {AÐí }h` Y R phin UÐ p@Ú{UÐ pUØn_Y îÚ|@ â i r x‬‬ ‫=‪.nwØí{A ÓĆYn_Y phY d_e‬‬

‫ﻣﻘﺪﻣﺔ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻭﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﺟﺒﺮﻳﺎ ﻭﺑﻴﺎﻧﻴﺎ‪ ،‬ﻭﺳﻮﻑ ﻳﺪﺭﺱ ﻓﻲ‬ ‫ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻌﺪ ﺗﻮﺳﻴ ﹰﻌﺎ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ﺡ‪،‬‬ ‫ﻭﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺩﺭﻭﺱ ﺑﻴﺎﻧﻬﺎ ﻛﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻷول‪ :‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻧﻰ‪ :‬ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻋﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ :‬ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭ￯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺮاﺑﻊ‪ :‬ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬﺭ￯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ﻭﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩﻫﺎ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺨﺎﻣﺲ‪ :‬ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺴﺎدس‪ :‬ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻝ ﻭﺍﺣﺪ‪.‬‬ ‫أﻫﺪاف اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬه اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﻳﻜﻮن اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎد ًرا‬ ‫ﻋﻠﻰ أن‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﺟﺒﺮﻳﺎ ﻭﺑﻴﺎﻧﻴﺎ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭ￯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﺑﻌﺾ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ‬ ‫ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ ﺃﻭ ﻛﻠﻴﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺤﺪﺩ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭ￯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‪.‬‬

‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴﺔ‬ ‫‪pUØn_Y Ñ‬‬

‫‪Equation‬‬

‫‪pUØn_eUÐ Ú|@ Ñ‬‬ ‫‪Root of the Equation‬‬

‫‪{ UÐ Yn_Y Ñ‬‬

‫‪pUØn_eUÐ ~heY Ñ‬‬ ‫‪Discriminant of the Equation‬‬

‫‪Coefficient of a Term‬‬

‫‪pUÐØ ÒÚnIÎ Ñ‬‬ ‫‪Sign of a function‬‬

‫‪oT}Y Ø{L Ñ‬‬

‫‪Complex Number‬‬

‫‪ dh > Ø{L Ñ‬‬

‫‪Imaginary Number‬‬

‫‪Ø{_UÐ î S Ñ‬‬

‫‪Powers of a Number‬‬

‫‪pfxn Y Ñ‬‬

‫‪Inequality‬‬

‫دروس اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪.{AÐí }h` Y R phin UÐ p@Ú{UÐ ÓøØn_Y A :(¼ - ¼) ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪.p T}eUÐ ØÐ{LúÐ L pY{bY :(½ - ¼) ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪.ph_h=} UÐ pUØn_eUÐ îÚ|@ â i {x{ > :(¾ - ¼) ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪phin UÐ p@Ú{UÐ pUØn_Y îÚ|@ h= pSĆ_UÐ :(¿ - ¼) ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪.nwØí{A ÓĆYn_Yí‬‬

‫‪.pUÐ{UÐ ÒÚnIÎ :(À - ¼) ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪.{AÐí é g Y R phin UÐ p@Ú{UÐ Ónfxn Y :(Á - ¼) ÜÚ{UÐ‬‬ ‫ا دوات اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫‪phY HÚ sYÐ}= - UË oHnA - Ón_=}Y çÚí - phedL p HnA pUË‬‬ ‫‪: Y phií} cUüÐ SÐ eUÐ _= -‬‬

‫ ‪}k75 y/f }:yk r 2l+lf e #l‬‬

‫‪‬‬

‫‪www.phschool.com‬‬

‫ﻧﺒﺬه ﺗﺎرﻳﺨﻴﺔ‬ ‫‪ YÛÚÐ UÐ H Y = {e Y ngY{ HÐ ph=}L pedT } UÐ‬‬ ‫)‪(ë YjeUÐ Hn _UÐ pahd UÐ }[L R îØĆheUÐ Hn UÐ ë}bUÐ‬‬ ‫‪î|UÐí º«pd=nbeUÐí } UÐ» iÐ fL ënTí º aUÌ î|UÐ =n T R‬‬ ‫‪} _x U|=í ºÓøØn_eUÐ U pdhÉÌ nðS}J hR í‬‬ ‫‪ÐÊð ~@ } UÐ ënT ëÌ {_= } UÐ dL HkY w YÛÚÐ UÐ‬‬ ‫‪ëÐ f_= ph=ÚíúÐ Ón`dUÐ UÎ Ñn cUÐ @}ô‬‬ ‫‪÷ > {Sí .Ñn UÐ Y‬‬ ‫»‪.(algebra) «} UÐ» pedT |BÌ ngfYí «} UÐ‬‬ ‫‪ A UÎ ÒÚnIÎ) Ü ~Y}Un= nhð UnA U ~Y}i î|UÐ w Ú| UÐí‬‬ ‫‪ð‬‬ ‫‪phH{fw ø dA‬‬ ‫‪ YÛÚÐ UÐ í {Sí (phin UÐ p@Ú{UÐ pUØn_Y‬‬ ‫‪éneTÎ pbx}J Y a > UÐ phin UÐ p@Ú{UÐ ÓøØn_Y U‬‬ ‫‪ Yí ºÓøØn_eUÐ = Ñ}_UÐ Êned_UÐ Y }h T ` IÐí . =}eUÐ‬‬ ‫‪.p Un UÐ p@Ú{UÐ ÓøØn_Y = wÐ î|UÐ ênh UÐ }eL w}gIÌ‬‬ ‫‪(ê.ç ¼ÃÁ») eAÌ pxØ}= R }gK iÌ }T|Un= }x{@í‬‬ ‫=_ ‪ UÙ R hx}[eUÐ ëÌ UÎ ngdA }hZx UÐ ýn eUÐ‬‬ ‫‪p_=n eUÐ â e Y Øn xü pbx}J UÎ Ð dÉ > {S h UÐ‬‬ ‫‪.phH{fgUÐ p_=n eUÐí ph=n UÐ‬‬ ‫‪Ú ] UÐ Y Ò}h T p@ÚØ UÎ nhð UnA } UÐ dL Éí {Sí‬‬ ‫‪ Y Yn_ x y ÉÌ ØÐ{LúÐ Y Yn_ x ënT ëÌ {_ R Å{x} UÐí‬‬ ‫‪ÓnR a[eUÐí ºÓnL e eUÐ : Y Ò{x{@ ph nxÚ ÓninhT‬‬ ‫‪.nw}hQí Óng eUÐí‬‬ ‫‪ÒØn_ HÐ R -ÑĆ]UÐ niÊnf=Ì - chdL Ø b_Y YúÐí‬‬ ‫‪phi L}aUÐ px}[eUÐ ph w|UÐ ìÚ [L R ed_UÐ ni{ Y‬‬ ‫‪ê{b UÐ Êó Ð U nghR niÍnedL eA UÐí ºphYĆHüÐ Ú [_UÐí‬‬ ‫‪ó‬‬ ‫‪.n=ð }Qí nðS}I Un_UÐ UÎ pR}_eUÐ LnZYí‬‬

‫ﻣﺨﻄﻂ ﺗﻨﻈﻴﻤﻲ ﻟﻠﻮﺣﺪة‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫اﻟﺠﺒﺮ واﻟﻌﻼﻗﺎت واﻟﺪوال‬

‫ﺑﺤﺚ إﺷﺎرة اﻟﺪاﻟﺔ‬

‫داﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬

‫اﻟﻤﻤﻴﺰ )ب‪C4- 2‬ﺟـ(‬

‫ﻣﻮﺟﺐ‬

‫ﺳﺎﻟﺐ‬

‫اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ‬

‫اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬

‫اﻟﺨﻄﻴﺔ‬

‫ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬

‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬرى‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺠﺬرﻳﻦ‬

‫ﻳﺴﺎوي ﺻﻔﺮ‬

‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻟﺠﺬرﻳﻦ‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬران ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﺟﺬور ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬران‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﺔ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﻳﺎن‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻔﺎن‬

‫ﺗﻜﻮﻳﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬

‫ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ا‪7‬ﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬

‫ﺧﻮاص‬ ‫اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت‬

‫ﺗﺴﺎوى‬ ‫ﻋﺪدﻳﻦ‬ ‫ﻣﺮﻛﺒﻴﻦ‬

‫اﻟﻌﺪدان‬ ‫اﻟﻤﺘﺮاﻓﻘﺎن‬

‫ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ‬

‫زﻣﻦ ﺗﺪرﻳﺲ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪ ١٦‬ﺳﺎﻋﺔ‬

‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت‬ ‫ﻋﺎﻣﺔ‬

‫ﻛﻬﺮﺑﻴﺔ‬ ‫ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ‬

‫اﺳﺘﺨﺪام‬ ‫اﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ‬ ‫ﺑﺮاﻣﺞ ﻟﻠﺤﺎﺳﻮب‬ ‫رﺳﻮﻣﻴﺔ‬

‫ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩﻫﺎ‪.‬‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺃﺧﺮ￯ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‪.‬‬ ‫ﻳﺒﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻓﻲ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺤﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ ﻣﺠﻬﻮﻝ ﻭﺍﺣﺪ‪.‬‬

‫اﻟﻮﺳﺎﺋﻞ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ‪ -‬ﻭﺭﻕ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ ‪ -‬ﺣﺎﺳﺐ ﺁﻟﻰ ‪ -‬ﺑﺮﺍﻣﺞ ﺭﺳﻮﻣﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺪﻫﻨﻰ ‪ -‬ﺍﻟﻤﺤﺎﺿﺮﺓ‪ -‬ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻻﺳﺘﻘﺮﺍﺋﻴﺔ ‪-‬‬ ‫ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻻﺳﺘﻨﺒﺎﻃﻴﺔ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ‪.‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﺘﻲ ﺗﻨﻤﻴﻬﺎ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﻨﺎﻗﺪ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻰ ‪ -‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪-‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﻤﻨﻄﻘﻲ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻹﺑﺪﺍﻋﻰ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ ‫ﺗﺘﻤﺜﻞ ﻓﻲ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺸﻔﻬﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺤﺮﻳﺮﻳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ ﻭﺍﻟﺠﻤﺎﻋﻴﺔ ﻗﺒﻞ ﻭﺃﺛﻨﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ ﻭﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﻀﻤﻨﺔ ﻓﻲ ﺑﻨﺪ "ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ" ﻛﺘﻄﺒﻴﻖ ﻟﻜﻞ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ‪ ،‬ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﺑﻨﺪ "ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ" ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ‬ ‫ﻛﻞ ﺩﺭﺱ ﻭﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﻀﻤﻨﺔ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻮﺣﺪﺓ‬ ‫ﻭﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺮﺍﻛﻤﻰ‪.‬‬

1-1 ‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬

‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬

1-1

Solving Quadratic Equations in One Variable ‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫ﻓﻜﺮ و‬

51. Us6 51.b 0o {Vr Ů.& r 2zS f wV y2 #b Đ- Ogb 61- i \ 6 ..& r 2zS f wV zj b "1.b lf y2 #b Đ- Ogb ..& sb 2zS gb / y2 #b Đ- Ogb lf q 6 1- `b \ 6 f A2O 7j Us6 iĒ r lf b- Of pj ƄƄĿ ! C z&ƄƄĿ = + 5 C : b- Ogb wg7 - (ŀ -.Ob so 5 2zS gcb pzV 5 wcN iĔ) lf b- OfƄƄĿ ! C z&ƄƄĿ = ¶" + 5 + Ł5C : b- Ogb wg7 - (Ł -.Ob so 5 2zS gcb pzV 5 wcN iĔ)Ƅ . b b "1.b lf b- Of wg7 Ŀ = ń + Ł5ł – ł5Ł : b- Ogb V .(ł so 5 2zS gcb pzV 5 wcN iĔ) Equations, relations and functions

%&# 4" #+ 5 6 * 2 3

()*$ 7 8 3 " #$ ' 2 9 9 -8 3

.\cGgb .'b ¶" Ů5 df Of ŮŁ5 df Of C z&

, ! " # M %&!' () *+ . - / 0 1 +- / 2 3 4 5 6 - 7 89 :

; ! 1 !< " = > / ; ! 1 %-

ُ ‫ﺳﺎﺳﻴ‬.‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا‬ ُ ‫ّﺔ‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت واﻟﻌﻼﻗﺎت واﻟﺪوال‬

:lz [y2G Ůwb b ^ yÊ 2 " zj b "1.b b- Of d& 61- i \ 6 ! Ŀ ! CƄƄŮ ǽ Ů ŮC ƄĿ = ¶" + 5 + Ł5C 1 .[gb dzc' :" # .(% wV k¹ _gf `b/ i ^ / ) : go Ŀ = ¶" + 5 + Ł5C b- Ogb 10" is_yr Ůe Ob isj [b e .+ 6 : ! $

Solving Quadratic Equations in One Variable

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬ ()*+ , -. " #+ / 01$ 23

Equation

" #$

Relation

Function

Factor

'$ #$

Coefficient

:() :&A C B # M ( = () DC < E 7 89 F

¶"CŃ-Ł ! =5 CŁ

; G H I JK !H 3 FL 6 ! 

. zÊ j z zj b "1.b b- Of d& 51. Us6 iĒ r

‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

Solving quadratic equation graphically

‫دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬.‫ا‬

; CM! !H N1 O < 

‫ﻣـﺜـﺎل‬

; P 1 P J G Q ! "R 

.d'b '> lf \ËÀ ['¼ h Ů zÊ j z Ŀ = Ņ - 5 + Ł5 : % &' ( 1

; J ! " /S E *T/ 

‫اﻟﺤﻞ‬

:{ Ē P j zÊ j z Ŀ = Ņ - 5 + Ł5 b- Ogb d'b Ņ - 5 + 5 = (5)- z& - b .cb {j z b d_;b h62j Ł

−

" ! - " A - U1 V - - - CMA - !

: &' ( ) *+ , ,- ٠ = ٤ + ‫ﺱ‬٥ + ٢‫ﺱ‬٣ - ٤‫أ ﺱ‬ ٠ = ١ + ٢‫ﺱ‬٦ + ٣‫ﺱ‬٣ - ٥‫ب ﺱ‬ ٠ = ‫ﺱ‬٤ - ٣‫ﺱ‬٣ - ٧‫ﺱ‬٢ ‫ﺟ‬ ٠ = ٥١٢ - ٩‫د ﺱ‬ ‫ ﺫﻛﺮ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﺄﻧﻪ ﻋﻨﺪ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ‬

. - 0 1 - - 0 1 - <&A +- W X

I ;: ! %&! - :Y98 ! - ZC Y< - [ +< \ !

" # : 2 #- / "<! - :- " L

$ %

٠ ! C ‫ ﺣﻴﺚ‬٠ = ‫ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ ﺱ‬+ ٢‫ ﺱ‬C : M /0 1 2134 :‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ‬:* 5 6 * 7 ٠ = ‫ ﺏ ﺱ‬+ ٢‫ﺱ‬C ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ‬:5 8 9; < ‫ = ﺏ‬٢(‫)ﺱ ! ﻝ‬ :‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ‬:/8 = +6 ٠ = ‫ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ ﺱ‬+ ٢‫ﺱ‬ ‫ ﻭﺫﻟﻚ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻻ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ‬:> " 1 > .‫ﺃﻯ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﺮﻕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‬

٨ ‫ ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬٤ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ‬ ٤ ‫ ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬٢ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻷﻧﺸﻄﺔ ﻭﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ‬ .(‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ‬

¢SQódG äGAGôLEG ó«¡ªàdG

‫ﻓﻜﺮ وﻧﺎﻗﺶ‬

‫ ﺛﻢ ﺣﻠﻬﺎ‬،‫ﺭﺍﺟﻊ ﻣﻦ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﺩﺭﺟﺘﻬﺎ‬ :‫ﻭﺃﻋﺮﺽ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

−

‫ " ! ‬ ‫ ' ‪3 )*$ ? 8 3 4" #$‬‬

‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪. b- Ogb d& Nsg#f wo is_ V Ů kz7b 1s'f Pf b .b wk'kf PF [ H[kb zkz7b z .&Ė Nsg#f lzOj‬‬ ‫)‬

‫‪Ņ - 5 + Ł5 = = Ů= = (5) - b .b h62b‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫"‪:{ Ē ^ pb 2J kgb = hzZ ."sj h Ů5 hzZ DO b Đr.‬‬ ‫‪ w;kj‬‬

‫ ‬ ‫)‬

‫‪Ń‬‬‫‪Ņ‬‬

‫‪ł‬‬‫‪Ŀ‬‬

‫‪Ł‬‬‫‪Ń-‬‬

‫‪ŀ‬‬‫‪Ņ-‬‬

‫‪Ŀ‬‬ ‫‪Ņ-‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ń-‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫‪Ŀ‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪ł‬‬ ‫‪Ņ‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪+‬‬ ‫*‬

‫‪ gpkz d?jr Ů.f O gb w .&Ė ts 7gb wV E [kb m0o lzOj‬‬ ‫ ‪.1r #gb d_;b wV g^ wk'kg‬‬ ‫‪1s'f Pf b .b wk'kf PF [ E [kb zkz7b z .&Ė .#j h62b lfr‬‬ ‫ ‪ b- Ogb d& Nsg#f is_ `b0 r Ł = 5 Ůł - = 5 wor kz7b‬‬ ‫‪.{* ,+−}Ƅwo Ŀ = Ņ – 5 + Ł5‬‬

‫ ‬

‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪+‬‬

‫*‬

‫‪*−‬‬ ‫‪+−‬‬ ‫‪D−‬‬ ‫‪E−‬‬ ‫‪F−‬‬

‫?'‪: -. / 0 (1 2 345 M- 7 8 09 (1 ; < = >7‬‬ ‫ ‪Ŀ = Ņ – 5 + Ł5 : b- Ogb‬‬ ‫ '‪Ŀ = (Ł – 5)(ł + 5) :w đ b 1 .[gb dzc‬‬ ‫ ‪ƅĿ = Ł – 5 ƅr ƆƆ Ɔ Ɔ ƅĿ = ł + 5 f‬‬ ‫ ‪{Ł Ůł -} wo d'b Nsg#f Ł = 5 ƅr Ƅƅƅł- = 5 t‬‬

‫ ‪:(1 1@ A B41‬‬ ‫‪Ņ – (ł –) + Ł(ł -) = b- Ogcb lgyĔ U2Gb :ł - = 5 f.kN‬‬ ‫‪(27yĔ U2Gb ) Ŀ = Ņ – ł – ň =ƆƆ ƅ‬‬ ‫‪. b- Ogb \[' ł - = 5‬‬ ‫‪Ņ – (Ł) + Ł(Ł) = b- Ogcb lgyĔ U2Gb : Ł = 5 f.kN‬‬ ‫‪(27yĔ U2Gb ) Ŀ = Ņ – Ł + Ń =ƆƆƄ‬‬ ‫‪. b- Ogb \[' Ł = 5‬‬ ‫‪:Řğ ƩũĪ‬‬

‫ ‪Ņ – 5 + Ł5 = = [ 7b ZđOcb wj z b dz g b wV -‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C−‬‬

‫‪D− +− *− C−‬‬

‫ﺗﺬﻛﺮ‬

‫‪ 4 4 %! # ,C H / I‬‬ ‫ ‪J = × C H /‬‬ ‫ ‪J = # J = C :HL‬‬

‫ﻣ‬

‫أﺿ‬

‫ﻒ إﻟ‬

‫ﻌﻠ‬ ‫ﻮﻣ‬

‫ﻰ‬

‫ﺎﺗﻚ‬

‫ ‪M=# F< 0 O‬‬ ‫‪Vertical line test‬‬

‫‪ %‬‬ ‫ <‪ >1>' 2M4? =# F‬‬ ‫ ‪F4 P M4‬‬

‫½ ‪. .& r G[j wV wk'kgb PG[y w6 2b H+b iĔ ů b - d g ZđOb‬‬ ‫½ ‪. z[z['b - .NĔ Nsg#f so a #gb‬‬ ‫½ ‪]' ŮŅ ŀŃ -] so t.gb‬‬

‫ ‪¹ (5)- 4f2b e.+ 7y b .b lN 2z O cb -‬‬ ‫ ‪.5 b - 2[y½ r Ů= lf Đ.‬‬

‫=* < ‪ 3 ' 1 − : M‬‬

‫ ‬

‫ ‪ % QR‬‬ ‫ <‪ >1>' 2M4? =# F‬‬ ‫ ‪ /# # A M4‬‬

‫>‬

‫ ‪ :51 0 * I‬ﻋﻨﺪ ﺭﺳﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻳﺪﻭ ًّﻳﺎ ﻧﺴﺘﺨﺮﺝ‬ ‫ﻧﻘﺎﻁ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻣﻊ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‪ ،‬ﻓﻨﺤﺼﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺣﻠﻮﻝ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﻟﻠﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﺠﺒﺮﻯ‪.‬‬ ‫ﻭﻧﻼﺣﻆ ﺃﻧﻪ ﻋﻨﺪ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﺮﺳﻮﻣﻴﺔ ﺃﻭ ﺃﺣﺪ‬ ‫ﺑﺮﺍﻣﺞ ﺍﻟﺤﺎﺳﻮﺏ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺣﻞ ﺩﻗﻴﻖ‪.‬‬

‫ﺃﺛﻨﺎﺀ ﻋﺮﺽ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺍﺳﺄﻝ ﻃﻼﺑﻚ‪ :‬ﻛﻴﻒ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻣﻪ ﺗﻤﺜﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﻡ ﻻ? ﻭﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ‬ ‫ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﺮﺃﺳﻰ‪ ،‬ﻭﺫﻛﺮﻫﻢ ﺑﺘﻌﺮﻳﻒ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬ ‫ﻭﻣﺪﺍﻫﺎ‪ ،‬ﻭﺃﻥ ﻣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻫﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﺩﺭﺏ ﻃﻼﺑﻚ ﻋﻠﻰ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﺇﻧﺸﺎﺀ ﺟﺪﻭﻝ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻢ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮﻳﻦ ﺱ‪ ،‬ﺹ‪ ،‬ﻣﻦ ﺧﻼﻝ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻﻔﺤﺔ )‪ (٦‬ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‪.‬‬ ‫‪?@A 7 < B 1 # & 28 C4‬‬ ‫ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺎﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻭﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‪ ،‬ﻭﺃﻥ ﻛﻞ ﻋﻼﻗﺔ‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ‪ :‬ﺹ‪ - ٩ = ٢‬ﺱ‪ ٢‬ﻋﻼﻗﺔ‪ ،‬ﻭﻟﻴﺴﺖ ﺩﺍﻟﺔ‪ ،‬ﺑﻴﻨﻤﺎ‬ ‫ﻟﻴﺴﺖ ﺩﺍﻟﺔ‪ً ،‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺹ = ‪ - ٩‬ﺱ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺤﺪﺩﺓ ﺑﻤﺠﺎﻝ ﻭﻣﺠﺎﻝ ﻣﻘﺎﺑﻞ ﻭﻗﺎﻋﺪﺓ‪.‬‬ ‫ﻭﺗﺼﺒﺢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮﻥ ﺩ)ﺱ( = ‪٠‬‬ ‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ‬ ‫‪?@A D *7& " =- 8 ,6‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﻫﻰ }‪{٢ ،٢-‬؛ ﺃﻯ ﺃﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺟﺬﺭﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘ َّﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺹ = ﺱ‪ ٤ - ٢‬ﺗﻌﺒﺮ ﻋﻦ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﺡ ﻭﻣﺪﺍﻫﺎ ]‪ ]∞ ،٤-‬ﻭ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ‬ ‫ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﺮﺃﺳﻰ ﻟﺒﻴﺎﻥ ﺃﻥ ﻫﺬه ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺩﺍﻟﺔ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﺠﺒﺮﻯ ﺑﻮﺿﻊ ﺃﻯ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ﺱ ﺗﻮﺟﺪ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺣﻴﺪﺓ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ﺹ‪.‬‬

‫& ‪:54 E6 F‬‬ ‫‪ ?GA‬ﺑﺴﻂ ﻛﻞ ﻣﻤﺎﻳﺄﺗﻰ ‪:‬‬ ‫‪¢SQódG ¢VôY‬‬ ‫أ ‪ ٣) ٦‬ﺱ ‪ ٢ -‬ﺹ( ‪٥) ٣ +‬ﺱ ‪ ٤ +‬ﺹ(‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‪ :‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧ ّﻴًﺎ‬ ‫ب ‪٣ ) ٢-‬ﺱ ‪ -‬ﺹ( ‪ ٢) ٢ +‬ﺹ ‪ ٥ +‬ﺱ(‬ ‫ﺑﻴﻦ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﻋﻨﺪ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪C‬ﺱ‪ + ٢‬ﺏ ﺱ ‪ +‬ﺟـ = ‪٠‬‬ ‫ﺟ ‪ ٢ ) ٥‬ﺱ ‪ -‬ﺹ ( ‪ ٤ ) ٣ +‬ﺱ ‪ ٢ +‬ﺹ(‬ ‫ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺘﺒﻊ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ ﻧﻀﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ‪ ?HA ،٠‬ﺣﻞ ﻛﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﻣﺎﻳﺄﺗﻰ ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ‪ ،‬ﺛﻢ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ‪C‬ﺱ‪ + ٢‬ﺏ ﺱ ‪ +‬ﺟـ‪.‬‬ ‫أ ﺱ‪٧ + ٢‬ﺱ ‪٠ = ١٢ +‬‬ ‫ ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﺯﻭﺍﺝ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﺔ )ﺱ‪ ،‬ﺹ( ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫ب ﺱ‪٤ + ٢‬ﺱ ‪٠ = ٥ -‬‬ ‫ﺑﻴﺎﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‪.‬‬ ‫ﺟ ﺱ‪٧ + ٢‬ﺱ ‪٠= ٦ +‬‬ ‫ ﻧﺮﺳﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‪ ،‬ﺛﻢ ﻧﻌﻴﻦ ﻧﻘﺎﻁ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬ ‫ﻣﻊ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ )ﺹ = ‪ ،(٠‬ﻓﺘﻜﻮﻥ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ ﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻫﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪.‬‬ ‫ " <!&‪ :- " L − %‬‬

‫]‬

‫‪:) J KLM 4 E6 0M&‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ‬ ‫‪Z[< *7& " =- 8 ,6‬‬ ‫‪ 2‬ﺑﻮﺿﻊ ﻑ = ‪ ٠‬ﺗﻜﻮﻥ ‪٤٫٩- :‬ﻥ‪٢٫٤٥ + ٢‬ﻥ ‪٠ = ٩٫٨ +‬‬ ‫ﺃﻯ ‪٢ :‬ﻥ‪ - ٢‬ﻥ ‪ ٠ = ٤ -‬ﻭﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﻥ = ‪ ١٫٦٩‬ﺛﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ﺃﻭ ﻥ = ‪) ١٫١٩ -‬ﺍﻟﺰﻣﻦ ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ ﻣﺮﻓﻮﺽ(‬

‫‪º««≤àdGh ÖjQóàdG‬‬ ‫‪\[< ] ^4 ) _ 7& 8 ,6‬‬ ‫‪٢ = ١٣٦ 1‬ﻥ )‪ + ١‬ﻥ(‬ ‫ﺃﻯ‪ :‬ﻥ‪ + ٢‬ﻥ ‪٠ = ٢٧٢ -‬‬ ‫ﻥ = ‪١٦‬‬ ‫ ﺃﻭ ﻥ = ‪ ١٧-‬ﻣﺮﻓﻮﺽ‪.‬‬

‫^‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪7‬‬

‫‪table‬‬

‫‪Mode‬‬

‫‪# 5I‬‬

‫‪ALPHA‬‬

‫‪# 5I‬‬

‫ ‪: zb b (z Wgb wcN HSCb `b/r Ů [ 7b b .b .N Z _j :V 0 W O%I -‬‬ ‫‪6‬‬

‫ ‪% Wgb wcN HSCj -‬‬

‫=‬

‫–‬

‫)‪(x‬‬

‫)‬

‫‪ALPHA‬‬

‫‪+‬‬

‫ ‪HSCj h -4 START? 2 Wb y . wV _j h‬‬

‫ ‪HSCj h 3 hZ2b EnD 2 Wb y pj wV _j h -‬‬ ‫ ‪= HSCj h‬‬

‫=‬

‫‪(x) x2‬‬

‫)‬

‫=‬

‫‪hZ2b _jr Step 2 Wb asF `b/ .O -.'j‬‬

‫ ‪% Wgb e .+ 6 d[k b l_gyr Ů 6 'b wV ar.#b ;j h y -‬‬ ‫‪# 5I Mode 1 ƄƄƄHSCj :$f j2 b lf !r2+cb‬‬

‫‪REPLAY‬‬

‫ ‪.dW6 wb r wcN wb‬‬

‫‪. c f `b/ 27V‬‬ ‫‪Í ? ZđN b - d^ do - :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬ ‫‪.`b/ 27V‬‬ ‫ ‪Í ? Đ- Og a r.b r ZđOb dz g l_gy do -‬‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫)‪x f(x‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-2 -4‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪Ŀ = Ń - Ł5 b- Ogb d& Nsg#f h62b lf ."r h Ů zÊ j z Ń - Ł5 = = ZđOb d f 1‬‬ ‫‪.[`gcOf <Z j ] o .fr pb #f -.&r‬‬ ‫‪Ů b - - Ëi lzÍ V (5)- = = j ^ / r‬‬ ‫‪Í‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫ &‪w b zj b i zkf4b 2 Wb 7‬‬ ‫‪. /2 f ŁŃŬń tr 7½ M N27 zÊ 6 1 Wy0Z [Àc½F :ĖģʞʶŐƽǤģś ƤśƄǤĝ 2‬‬ ‫‪À‬‬ ‫‪:w Ē ^ i ŮU lz ZđOb i gcN‬‬ ‫‪¹ Ů 2 f‬‬ ‫‪¹ ŀňŬŅ tr 7 U z& Ů 2 f‬‬ ‫ ‪¹ U M W 1 wb d? w & Wy0[b pZ2S 7‬‬ ‫‪.Łi ŃŬň – i M = U‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫ _^ &]\ [ = ‪H DXY – H Z‬‬ ‫‪! *DXE = Z , CYXF = [ :A `? & 5‬‬

‫‪Ł‬‬

‫`‪DXY A M 'R45 Łi ŃŬň – i ŁŃŬń = ŀňŬŅƄ‬‬ ‫`‪i – iń =ƆƆƄ ŃƄƄ‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ CYXF‬‬

‫ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺇﻋﻄﺎﺀ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺇﺿﺎﻓﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺣﺮﻛﺔ ﺍﻟﻤﻘﺬﻭﻓﺎﺕ‬ ‫ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﻣﺘﺮﺍ‬ ‫‪ 1‬ﺳﻘﻂ ﺟﺴﻢ ﻣﻦ ﺳﻜﻮﻥ )ﻉ = ‪ (٠‬ﻣﻦ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ‪ً ٤٩٠‬‬ ‫ﻋﻦ ﺳﻄﺢ ﺍﻷﺭﺽ‪ .‬ﺍﺣﺴﺐ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﻥ ﺑﺎﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻰ ﻳﺴﺘﻐﺮﻗﻬﺎ ﺍﻟﺠﺴﻢ ﺣﺘﻰ ﻳﺼﻞ ﺇﻟﻰ ﺳﻄﺢ ﺍﻷﺭﺽ‪،‬‬ ‫ﻣﺘﺮﺍ‪ ،‬ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ‬ ‫ً‬ ‫ﻋﻠﻤﺎ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻑ ﺗﺴﺎﻭﻯ ‪ً ٤٩٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻑ‪ ،‬ﻥ ﻫﻰ ‪ :‬ﻑ = ﻉ ﻥ ‪٤٫٩ +‬ﻥ‬ ‫‪M" NGO = " : 8 ,Q R‬‬ ‫‪ 2‬ﺃﻃﻠﻘﺖ ﻗﺬﻳﻔﺔ ﺭﺃﺳ ًّﻴﺎ ﺇﻟﻰ ﺃﻋﻠﻰ ﺑﺴﺮﻋﺔ ﻉ ﺗﺴﺎﻭﻯ‬ ‫‪ ٢٤٫٥‬ﻣﺘﺮ‪/‬ﺙ‪ .‬ﺍﺣﺴﺐ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﻥ ﺑﺎﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ ،‬ﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ﻣﺘﺮﺍ‪،‬‬ ‫ﺗﺴﺘﻐﺮﻗﻬﺎ ﺍﻟﻘﺬﻳﻔﺔ ﺣﺘﻰ ﺗﺼﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻑ ً‬ ‫ﻋﻠﻤﺎ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻣﺘﺮﺍ‪ً ،‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ﻑ ﺗﺴﺎﻭﻯ ‪ً ٢٩٫٤‬‬ ‫ﻑ‪ ،‬ﻥ ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻑ = ﻉ ﻥ ‪ ٤٫٩ -‬ﻥ‬ ‫‪5 5 ST U S < 9 - 1 N H = " : 8 ,Q R‬‬ ‫&‪V M8 9 - 1 N W = " , M 1 5 6 *%‬‬ ‫‪Y M 2 28‬‬

‫ = < ; ‪: ' & 0= 1 3 .‬‬ ‫‪:w Ē s'kb wcN zgcOb 6 'b bĒ e .+ 6 2: f \ 7b ar.#b lys_ l_gy‬‬ ‫ ‪(z Wgb wcN HSCb `b/r ،(Table) ; S 0= 1 T U- -‬‬

‫‪F R0 5‬‬

‫`‪Ŀ = Ń + iń – ŁiƄ‬‬

‫‪. $] 4' ( 1 5‬‬

‫`‪Ŀ = (Ń – i) (ŀ – i)Ƅ‬‬

‫‪. zj Ń = i r zj ŀ = iƄƄ:H# 8#‬‬

‫‪^_; *DXE‬‬

‫ ‪[b4 M4‬‬

‫‪d? w & wcNĔ ^2'b wV 2g 7 h Ů .& r zj .O 2 f‬‬ ‫‪¹ ŀňŬŅ M W 1 wb d? Wy0[b :A 5 % Ra‬‬‫»‬ ‫ ‪. pZđF K'b lf i s‬‬ ‫‪Ń .O t2* 2f M W 1Đ 8Wj wb -sO h ŮM W 1 w?ZĔ‬‬

‫@‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪:ø«bƒØàªdG ÜÓ£∏d ≈FGôKEG •É°ûf‬‬ ‫ﺳﻜﺎﻥ‪ :‬ﻳﻘﺪﺭ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ﻓﻲ ﺟﻤﻬﻮﺭﻳﺔ ﻣﺼﺮ ﺍﻟﻌﺮﺑﻴﺔ ﺑﻌﺪ‬ ‫ﻋﺎﻡ ‪ ٢٠١٣‬ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪ :‬ﻉ = ﻥ‪١٫٢ + ٢‬ﻥ ‪ ،٩٢ +‬ﺣﻴﺚ ﻉ ﻋﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ﺑﺎﻟﻤﻠﻴﻮﻥ‪) ،‬ﻥ( ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﺑﻌﺪ ﻋﺎﻡ ‪.٢٠١٣‬‬ ‫أ ﻛﻢ ﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ﻋﺎﻡ ‪?٢٠١٣‬‬ ‫ب ﺍﺣﺴﺐ ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ﻋﺎﻡ ‪?٢٠٢٣‬‬ ‫ﺟ ﺍﺣﺴﺐ ﺃﻗﺮﺏ ﻋﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﺒﻠﻎ ﺑﻌﺪﻫﺎ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ‪ ٣٣٥‬ﻣﻠﻴﻮﻧًﺎ‪.‬‬ ‫ ‪ 8 ,Q‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ﻥ = ‪ ، ٠‬ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ‪ ٩٢‬ﻣﻠﻴﻮﻥ‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ﻥ = ‪ ، ١٠‬ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ‪ ٢٠٤‬ﻣﻠﻴﻮﻥ‬ ‫ﺑﻮﺿﻊ ﻉ = ‪ ٣٣٥‬ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ = ‪ ١٥‬ﺳﻨﺔ‬

‫ " ! ‬ ‫ ' ‪3 )*$ ? 8 3 4" #$‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪(G6 lN 1 f ňŬŇ pN W 1 ?kf lf \ 7 f 4WZ z gbrĔ ObĔ t.& wV :ǶŐơģʞʵǤĝ ļģƯǤĭģś ƤśƄǤĝ 2‬‬ ‫‪: ZđOb -.' y zj i m1.Z lf3 .O 2 f‬‬ ‫ ‪ z¹ b N gb‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪¹ U gb (G6 lN \ 7 gb M W 1 i ^ / V Ů pkN .O f‬‬ ‫‪? gb (G7b \ 7 gb d?y w f lzy2;N lzgZ1 2ZĔ ."r V Ů ňŬŇ + iŁŬŃń + ŁiŃŬň- = U‬‬ ‫ﻧﺸﺎط‬

‫‪so qOZsfr GeoGebra d f j2 jĖ _ : wcN lf z 2Ob Scb hN. w b & gb $f 2 b DO e .+ 6 l_gy‬‬ ‫)‪h61 l_gy pbđ* lf w b (/http://www.padowan.dk) so qOZsfr Graph $f j2 rŮ(/http://geogebra.org/coms‬‬ ‫‪. b .b wk'kf‬‬ ‫أ ‪z& - b .b {k'kf h61 l_gy‬‬ ‫ )‪ł + 5Ń + Ł5 = (5‬‬‫‪Ŀ= ł + 5Ń + 5 t Ŀ = (5)- b- Ogb d& Nsg#f ."sj‬‬ ‫‪Pf wk'kgb PF [ E [kb zkz7b z .&Ė lzO ađ* lf `b/r‬‬ ‫&‪ů b- Ogcb đ‬‬ ‫‪Ê is_ b ŀ- Ůł- wor Ů kz7b 1s'f‬‬ ‫&‪ŀ- Ůł- go % wV b- Ogcb iđ‬‬ ‫‪Ë ] ko is_y `b0br‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪Ł‬‬

‫ب ‪ň + 5Ņ - Ł5 = (5) - z& - b .b h62j‬‬ ‫ ‪Ŀ = Ł(ł - 5) is_zV J = c d % 2e‬‬ ‫ ‪ł = 5 b- Ogb d& is_zV Ŀ = ł- 5 x‬‬ ‫‪ł = 5 .kN kz7b 1s'f 8gy wk'kgb 5 1 i .#j h62b lfr‬‬ ‫‪ůx2 #b d'b \ Gy 0or‬‬ ‫‪ł so % wV b- Ogcb 12_f .z&r d& ."sy `b0b‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪=5‬‬

‫‪−3‬‬

‫‪−5‬‬

‫‪−1‬‬

‫اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮ‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻓﻲ ﺣﺼﺔ ﺍﻟﻤﻌﻤﻞ ﻟﻠﺤﺎﺳﺐ ﺍﻵﻟﻰ ﺩﺭﺏ ﻃﻼﺑﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ‬ ‫ﺑﺮﺍﻣﺞ ﺍﻟﺤﺎﺳﻮﺏ ﺍﻟﺮﺳﻮﻣﻴﺔ ﻣﺜﻞ ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ‪ Geogebra‬ﺃﻭ ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ‬ ‫‪ Graph‬ﻓﻰ ﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺫﻟﻚ ﺑﻜﺘﺎﺑﺔ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺨﺼﺺ ﻟﻬﺎ ﻣﻊ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ؛ )ﻭﺫﻟﻚ‬ ‫ﺑﻜﺘﺎﺑﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﺑﺪﺍﻳﺘﻬﺎ ﻭﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ(‪ ،‬ﻣﻊ ﺗﺪﺭﻳﺒﻬﻢ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﺆﺛﺮﺍﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻣﺜﻞ ﺍﻟﺨﻠﻔﻴﺔ ﻭﻟﻮﻥ ﻭﺳﻤﻚ ﻣﺤﺎﻭﺭ‬ ‫ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻭﺣﺠﻢ ﺧﻂ ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺔ ﺇﻟﻰ ﻏﻴﺮ ﺫﻟﻚ‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪−1‬‬

‫ﺟ ‪Ŀ= (5)- PCj h Ń + 5Ł - Ł5 = (5) - z& - b .b h62j‬‬ ‫‪Ŀ = Ń + 5Ł - Ł5 is_zV‬‬ ‫‪e Ob isj [b e .+ 6 .kNr dzc' b b- Ogb m0o d& 10O yr‬‬ ‫‪! -‬‬

‫‪−4‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬

‫ ‪¶"CŃ-Ł‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪CŁ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪D = ,*− = ,C = C A `? & 5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ŀŁ- ! Ł‬‬ ‫`‪= Ń*ŀ* Ń-Ł (Ł-) ! (Ł-) - =5Ƅ‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ*Ł‬‬

‫‪Ł ! Ł =ƆƆƆƆƄƄ‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪ł-‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪−1‬‬

‫= ‪I Ǿ ł- ! ŀ‬‬

‫=* < ‪ 3 ' 1 − : M‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻓﻲ ﺡ‬ ‫ﺑﺎﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ‪ ،‬ﺛﻢ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﻞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‪:‬‬ ‫أ ﺱ‪٠ = ٦ - ٥ + ٢‬‬ ‫ب ‪٢‬ﺱ‪٧ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ٦ +‬‬ ‫ﺟ ‪٤‬ﺱ‪٢٠ + ٢‬ﺱ ‪٠ = ٢٥ +‬‬

‫‪A‬‬

‫&;‪:`M F2‬‬ ‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺑﺄﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﻞ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ‪ ،‬ﻭﻟﻜﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺑﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ﺃﻭ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻭﺣﻴﺪﺓ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻹﻋﺪﺍﺩ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ‪.z‬‬

‫ﻧﺸﺎط‪ :‬اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪:‬‬ ‫ ‬

‫ﻗﺴﻢ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺇﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺎﺕ ﺗﺒ ًﻌﺎ ﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺤﻮﺍﺳﺐ ﺍﻵﻟﻴﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﻌﻤﻞ ﺍﻟﻤﺪﺭﺳﻰ‪ ،‬ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬ ‫ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺑﺤﻴﺚ ﺗﺘﻨﻮﻉ ﻫﺬه ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﻋﺪﺩ‬ ‫ﺣﻼ ﻓﻲ ﺡ‪.‬‬ ‫ﺣﻠﻮﻟﻬﺎ ﺃﻭ ﺃﻥ ﻻﻳﻜﻮﻥ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ًّ‬

‫ ‬

‫ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺣﻞ ﻛﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ‪ ،‬ﺛﻢ ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫ﺍﻟﺠﺒﺮﻯ ﻣﻊ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ‪ ،‬ﻭﻣﻦ ﺛﻢ ﺗﻮﺻﻞ ﻣﻌﻬﻢ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻵﺗﻰ‪:‬‬

‫ﻋﻨﺪ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻓﺈﻧﻪ‪:‬‬ ‫ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻼﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ ،‬ﻭﻳﻌﺒﺮ ﻋﻨﻬﻤﺎ ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ‬ ‫ﺑﻨﻘﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻊ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‪.‬‬

‫_ ‪ :- " L − # M .‬‬

‫`‬

─Р b .b wk'kf i .#kV b .cb {j z b d_;b h61 ┼о`b/ .^ yr ┼о b- Ogb m0o \['┬╜ z[z[& asc& ."s ─Р `b0b . z so I wV b- Ogb d& Nsg#f i V `b0b ┼п G[j x wV kz7b 1s'f PG[y

: H# B5 R U p> A q > R

: ─Р & ─С ."s .& r 2zS f wV zj b "1.b b- Of d& .kN 1s'f PG[y ─Р wk'kgb -┬Ь . kz7b

1s'f 8gy wk'kgb -┬Ы . .& r G[j wV kz7b

)

1s'f PG[y wk'kgb -┬Ъ .lz G[j wV kz7b

)

┼оI wV b- Ogcb d& ├И ."sy─Р z = d'b Nsg#f

тАл я╗ня╗│я╗Мя║Тя║о я╗Ля╗ж я║ля╗Яя╗Ъ я║Ся╗┤я║Оя╗з ┘С┘Ля╗┤я║О я║Ся║Дя╗етАм╪МтАля╗╗я║Чя╗оя║Яя║к я║гя╗ая╗оя╗Э я╗Яя╗ая╗дя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я╗Уя╗▓ я║бтАм .тАля╗гя╗ия║дя╗ия╗░ я║Ня╗Яя║кя║Ня╗Яя║Ф я╗╗я╗│я╗дя║▓ я╗гя║дя╗оя║н я║Ня╗Яя║┤я╗┤я╗ия║Оя║ХтАм

┬Й

)

_ _

┬Й

)

тАля╗│я╗оя║Яя║к я║гя╗Ю я╗ня║гя╗┤я║к я╗Яя╗ая╗дя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я╗ня╗│я╗Мя║Тя║о я╗Ля╗ж я║ля╗Яя╗Ъ я║Ся╗┤я║Оя╗з ┘С┘Ля╗┤я║О я║Ся║Дя╗етАм .тАля║Ня╗Яя╗дя╗ия║дя╗ия╗░ я╗│я╗дя║▓ я╗гя║дя╗оя║н я║Ня╗Яя║┤я╗┤я╗ия║Оя║ХтАм

cJ ,Wd

)

cJ ,Wd

cJ ,;d

)

b- Ogcb i yr 7 f i─С& ."sy ┼оI wV {a} = d'b Nsg#f

b- Ogcb i Wc +f i─С& ├Л ."sy ┼оI wV {e ┼оa} = d'b Nsg#f

тАля║Чя║дя╗Шя╗Ц я╗гя╗ж я╗Уя╗мя╗дя╗ЪтАм Z─СOb wGOy (i + .....+ ┼В + ┼Б + ┼А) zb gb 'z'?b - .N─Ф Msg#f i ^ / :┼Д─▒╟Ф╞Ц╟й ╟в┼й 1 ┼А┼В┼Е y┬╣ r 7f pNsg#f is_y ┼А -.Ob lf . -┬╣ .N h_V (i + ┼А) i┼Б = ┬╢" ┬╣ ┬╣ z┬╣ b f 'z'>

тИТ

:├Ь├У┬гтИПd ├б┬лa├Й┬░VEG ├б┬г┬░├╗fCGяАаяВи тАля╗гя║Ья╗Ю я╗Ыя╗Ю я╗гя╗ж я╗гя╗ия║дя╗ия╗┤я║Оя║Х я║Ня╗Яя║кя╗ня║Ня╗Э я║Ня╗╡я║Чя╗┤я║Ф я║Ся╗┤я║Оя╗з ┘С┘Ля╗┤я║О я║Ся║Оя║│я║Шя║ия║кя║Ня╗б я║Зя║гя║кя╗птАм тАл я║Ыя╗в я║Гя╗ня║Яя║к я╗гя║ая╗дя╗оя╗Ля║Ф я║Ня╗Яя║дя╗Ю я╗Яя╗Ья╗Ю я╗гя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я╗гя╗ия╗мя║ОтАм╪МтАля║Ся║оя║Ня╗гя║Ю я║Ня╗Яя║дя║Оя║│я╗оя║ПтАм ┘а = (тАля╗Ля╗ия║кя╗гя║О я║й)я║▒тАм ┘е + тАля║▒тАм┘г - ┘втАл я║й)я║▒( = я║▒тАм1 ┘б┘ж - тАля║▒тАм┘и + ┘втАля║▒тАм- = (тАл я║й)я║▒тАм2 ┘ж + тАля║▒тАм┘з - ┘втАл я║й)я║▒( = я║▒тАм3

тИТ

2-1

‫ﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬.‫ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻋﻦ ا‬

‫ﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﻪ‬.‫ﻣﻘﺪﻣﺔ ا‬

2-1

Complex Numbers

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

Complex Numbers

2D F* "3# / 01$ 2 G G % 2:= + "3# / 01$ 25 = $ H "3 IJ 2 = + " 3 D #

c I , T T/ A 3 d D - eZY 3 d +_ < A 7 89 :M! ,*1 5 3 dY E=' % f g ! "/ 1 _ , C ,#_ < ! !' Y ' M5+ f 1 .MM& 3 FL ,E +_ E A 5' , +h f 1 #_ < ! ;E T < E <=

Imaginary Number

‫ﻓﻜﺮ‬

+ * C C

* +

b .cb wj z b dz g b : 9' (7p A 0? b .b wk'kf i h62b lf L&đj ŀ +Ł5 = = b- Ogcb is_y Đ `b0 r ů kz7b 1s'f PG[yĐ . z[z[& asc& Ŀ = ŀ + Ł5 .y." Nsg#f wV 2z_W b t1r2Cb lf i ^ 0b . Đ- Ogb lf Mskb 0o d'b - .Nĕb

‫اﻟﻌﺪد اﻟﺘﺨﻴﻠﻰ‬

Imaginary numbers

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

(ŀ-) tr 7y qO 2f t0b -.Ob qj wcz+ b -.Ob U2Oy ŀ- = Ł ƄƄ:H# 8#

‫دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬.‫ا‬

;i 4 ! 6 ! 

< % 5 ł Ů ń - Ů Ł 1s?b wcN w b - .NĔ wg7 r ł ...... 0_or ń

; !& / / L& 4H T EA J! 

! = Ł ł ! = Ł ń

= ł= ń-

r 7 b5

is_y i l_ggb lf dpV Ůlz b 6 lzz[z[& ly-.N ŮC i ^ / :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ .t-.N a g `b/ 27V ? C = C

;#_ H ! 6 !  C

;#_ H JK m= F 5+ NT oH E ! 3 FL 3 4 5 

;E T E A - #_ A - :& 4' A

; <&A +- W X

I ;: ! %&! - :Y98 ! - ZC Y< - [ +< \ !

" # :- " L

$ % ١٤ ‫ ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬٩ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ‬ . ٥ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻷﻧﺸﻄﺔ ﻭﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ‬ .(‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ‬

D E "3

+− *− C−

:() :&A C B # M ( = () DC < E 7 89 F

; +_ H A iA &<! l 

)

:= $ "3

Complex Number

‫و‬

- .NĔ e Kjr “P” zOz Gb - .NĔ e Kj wor Ů- .Nĕb Wc +f gK½ ¹ j 61- i \ 6 - .NĔ e Kj 2z* r “/K” z 7kb 2zRr “K” z 7kb - .NĔ e Kjr “N” 'z'?b ¹ Đ- Of d'b q[ 7y t0b e Kkcb Pz6s ^ ;k¼ y e Kj t i ky 1r “I” z[z['b b- Ogb kcf / r Ů\ 7b e Kkb wV d'cb c Z l_ hb .y." (ŀ-) tr 7y qO 2f w[z[& -.N ."sy Đ / Ů% wV d'cb c Z 2zR pj .#j ŀ- = Ł5 Nsg#f wg7 - .NĔ lf .y." Nsg#f 6 1.b ! 'j 0b ů b- Ogb \['y . ^2gb - .NĔ

ُ ‫ﺳﺎﺳﻴ‬.‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا‬ ُ ‫ّﺔ‬

;N+_ E A 5' Uk R 

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

:- " L − %&!< "

3 ' 1 − : M < *=

‫‪¢SQódG äGAGôLEG‬‬

‫‪:áë«ë°üdG ä iƒb‬‬

‫ ‪:w Ē ^ -.Ocb Wc +gb ts[b lN 2z O b l_gyr Ů p 6 1- `b \ 6 w b 86Ĕ lzj sZ \['y -.Ob‬‬ ‫ ‪ - = * Ł =ƆƆ ł‬‬ ‫ ‪ŀ - =ƆƆ Ł‬‬ ‫ ‪ =ƆƆ ŀ‬‬ ‫ ‪ = * ŀ = * Ń = ń‬‬ ‫ ‪ŀ = ŀ- * ŀ- = Ł * Ł =ƆƆ Ń‬‬

‫‪ó«¡ªàdG‬‬

‫ﻓﻜﺮ وﻧﺎﻗﺶ‪:‬‬ ‫ ‬

‫‪Integer powers of i‬‬

‫ ‪z&ƄƄƄ - = ł + iŃ ƄƄŮƄƄŀ- = Ł + iŃ ƄƄŮƄƄ = ŀ + iŃ ƄƄŮƄƄŀ = iŃ : HL ; 3 5‬‬

‫ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﻰ ﺳﺒﻖ ﻟﻬﻢ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ‪ ،‬ﺛﻢ‬ ‫ﺇﺳﺄﻟﻬﻢ‪ :‬ﻟﻤﺎﺫﺍ ﻳﺴﺘﺤﻴﻞ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ‪ ٠ = ١ + ٢‬ﻓﻰ ﺡ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫^‪: 1s> H7 wV w y gf đ‬‬ ‫‪Ê ."r 1‬‬ ‫‪Ńł‬‬ ‫‪łĿ‬‬ ‫ب ‬ ‫أ ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫ب ‪ - = - * ŀ = ł * ŀĿ(Ń ) =Ńł‬‬ ‫د ‪ - =ł * ŀ =ł * Ń(Ń ) * ŀ =ŀň *iŃ =ŀň + iŃ‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫&;‪:`M F2‬‬ ‫ ‪`M ) 4 G− = " # 2S a1 ]8LI 5 6 b‬‬ ‫ " &‪ :" #‬ﺕ = ! ‪ ١-‬ﻭﻳﻜﺘﻔﻰ ﻋﻨﺪ ﺍﻻﺷﺎﺭﺓ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺗﻜﺘﺐ ﺕ‪٤- = ٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺮﻛﺐ‬

‫‪Complex number‬‬

‫ & ‪z&Ƅ + CƄ 1s?b wcN q ^ l_gy t0b -.Ob so r/ ' %‬‬ ‫&[‪.i z[z‬‬

‫ ‪ 4 41 %s‬‬

‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‪ :‬ا‪.‬ﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫ﺃﻛﺪ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﻛﺘﺎﺑﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ‪ + C‬ﺏ ﺕ‪ ،‬ﺣﻴﺚ ‪ ،C‬ﺏ ﻋﺪﺩﺍﻥ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‪ ،‬ﺕ ﻫﻮ ﺍﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻰ‪ ،‬ﺛﻢ ﺍﺳﺘﻌﺮﺽ ﻣﻌﻬﻢ‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﻄﻂ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻮﺿﺢ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺎﺕ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻﻔﺤﺔ )‪ (١٠‬ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‪.‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫ & ‪r/ ' %‬‬ ‫‪ Ƅ+ƄC‬‬ ‫ ‪wx9 wx9‬‬ ‫ ‪ < 4 41‬‬

‫ ‪ 0/ %‬‬

‫ ‪ 0 R 1 1u %‬‬

‫ ‪ 1 1u v %‬‬ ‫ ‪ & 0Mt %‬‬

‫ ‪ au‬‬

‫ ‪ 0 ' 1 1u %‬‬ ‫‪c & % #d‬‬

‫‪KL‬‬

‫ ‪ < %‬‬ ‫ ‪ 0R> v %‬‬

‫ ‪ s 0R> %‬‬

‫&;‪:`M F2‬‬ ‫ ﺃﻛﺪ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪ ٥ - ! ٢(٥-‬ﻭﻟﻜﻦ )‪٥ = ٢٥ = (٥-‬‬ ‫ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻫﻮ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻰ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻓﻘﻂ‪ .‬ﺑﻴﻨﻤﺎ‬ ‫ﺍﻟﺠﺬﺭﺍﻥ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺎﻥ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪ ٢٥‬ﻫﻤﺎ !‪.٥‬‬ ‫ﻛﺬﻟﻚ‪ ١٥ ! ٥- ٣- :‬ﻭﻟﻜﻦ‬ ‫‪٥- * ٣‬‬‫= ‪٣‬ﺕ‪٥ * ٢‬ﺕ‪ ٣ != ٢‬ﺕ* ! ‪ ٥‬ﺕ‬ ‫= ! ‪ ١٥‬ﺕ‪١٥ ! = ٢‬‬

‫‪i -.N ŮC‬‬

‫"‪. ^2gb -.Ob e Kj lf 4‬‬ ‫‪¹ d_;½ w b - .NĔ Nsg#f wb b d_;b lz yr‬‬

‫ ‪ 1 1u %‬‬

‫‪pq‬‬

‫د ‬

‫‪Ņŀ -‬‬

‫‪ŀň + iŃ‬‬

‫^‪: 1s> H7 wV w y gf đ‬‬ ‫‪Ê ."r 1‬‬ ‫‪ŃŁ + iŃ‬‬ ‫أ ‪ ƄƄƄƄŁŃ‬ب ‪ ƄƄƄƄłņ Ƅ‬ﺟ ‪ ƄƄƄƄŃł - Ƅ‬د ‪ ƄƄƄƄńŀ - Ƅ‬ﻫ ‪ ƄƄƄƄŁň + iŃ Ƅ‬و ‪ Ƅ‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‪ :‬اﻟﻌﺪد اﻟﺘﺨﻴﻠﻰ‪:‬‬

‫ ‬

‫ﺟ ‬

‫أ ‪ŀ - = ŀ - * ŀ = Ł * ņ(Ń ) =łĿ‬‬ ‫ﺟ ‪ - = ł * ŀ = ł * ŀŅ-(Ń ) = Ņŀ -‬‬

‫‪¢SQódG ¢VôY‬‬

‫‪N ǽ i‬‬

‫ ‪ −‬‬

W+_ < A T = " 3 H $3M$

├┤┬к├а┬░├╣┬кdG ┬║┬л┬лтЙд├аdG

54 E6 F & :тАля║┐я╗К я╗Ля╗╝я╗гя║Ф ) ( я╗Уя╗▓ я║Ня╗Яя╗Фя║оя║Ня╗Н я║Ня╗Яя╗дя╗ия║Оя║│я║Р я╗гя╗ж я║Ня╗Яя║ая║кя╗ня╗Э я║Ня╗Яя║Шя║Оя╗Яя╗░тАм тАля╗Ля║кя║йтАм

тАля╗Ля║кя║йтАм

тАля╗Ля║кя║й я╗Пя╗┤я║отАм

тАля╗Ля║кя║йтАм

тАля╗гя║оя╗Ыя║РтАм

тАля║Чя║ия╗┤я╗ая╗░тАм

тАля║гя╗Шя╗┤я╗Шя╗░тАм

тАля╗зя║┤я║Тя╗░тАм

тАля║╗я║дя╗┤я║втАм

-.Ocb {[z['b 4#b C wg7 r ┼о ┬╣ ^2f -┬╣ .N wg7y + C = M z& M -.Ob i V lzz[z[& ly-.N ┼оC i ^ / .M ^2gb -.Ocb {cz+ b 4#b ┼оM ^2gb . z├К cz+ is_y = M -.Ob i V ─┐ = C j ^ / r ┼о z├К [z[& is_y C = M -.Ob i V ─┐ = j ^ / r

тАля╗г┘Ая║Ь┘Ая║О┘ДтАм

c ;d

┼Е┼А = ┼А┼Б┼Д + ┼Б5┼И b- Ogb d& 2 тАл╪зя╗Яя║дя╗ЮтАм

┘б ┘в

% &' I I cC*E тИТd zL5

┘д┘л┘ж

F R0 5

┼Е┼Г - = ┼Б5┼И

Y % &' I 'R45

┼Е┼Г - =╞Ж╞Ж ┼Б5 ┼И ┼Б ┼Е┼Г ┼И =╞Ж╞Ж ╞Ж 5 ┼З┼В ! = ╞Ж ╞Ж 5

r/ ' % & {? &-

тАля║ХтАм┘е + ┘в

A M & 5 b9 bO|5

┘е-

┘б = ┘дтАля║ХтАм ┘и .............. = тАля║ХтАм ┘б┘в .............. = тАля║ХтАм

тАл я║ХтАм- = ┘гтАля║ХтАм ┘з .............. = тАля║ХтАм ┘б┘б .............. = тАля║ХтАм

┘б - = ┘втАля║ХтАм ┘ж .............. = тАля║ХтАм ┘б┘а .............. = тАля║ХтАм

┘б

тАля║ХтАм

┘г + тАля╗етАм┘д

тАля║ХтАм

тАля║ХтАм-

┘в + тАля╗етАм┘д

тАля╗г┘Ая║Ь┘Ая║О┘ДтАм

┬Й

тАл╪зя╗Яя║дя╗ЮтАм

O. 5 ' # A < A?#x9 b/ O. 5 ' # A 4 41 A?#x9 P R'5 ┼А = = ┼Б тАУ 5╞Д╞Д┼о╞Д┼Д = = тАУ 5 ┼Б ┼А = ╞Ж =╞Д╞Д╞Д╞Д╞Д╞Д┼о╞Д┼В =╞Ж╞Ж 5╞Д╞Д╞Д╞Д H# q >? A % &' (15

├┤┬к├а┬░├╣┬кdG ┬║┬л┬лтЙд├аdG :тЙИa├Й┬░VEG ├ЦjQ├│J

:тАля║┐я╗К я╗Уя╗▓ я║Гя║Ся║┤я╗В я║╗я╗оя║ня║У я╗Ыя╗Ю я╗гя╗жтАм

╪М ┘г┘а┘бтАлтАВтАВ я║ХтАм╪МтАВтАВ┘ж┘бтАлтАВя║ХтАм╪МтАВтАВ┘д┘гтАлтАВтАВя║ХтАм╪МтАВтАВ┘г┘дтАлтАВтАВя║ХтАм╪МтАВтАВ┘в┘бтАля║ХтАм ┘г┘г + тАля╗етАм┘д

тАля║Чя║┤я║О┘И┘Й я╗Ля║к╪пя╗│я╗ж я╗гя║оя╗Ыя║Тя╗┤я╗жтАм

┼А- = ┼Б ┼оI ╟╜ = ┼о5 z& + ┼Д = (=┼Б - 5) + = тАУ 5┼Б : b- Ogb i [['┬╜ lz cb = ┼о5 w gzZ ."r 3

тАля║ХтАм тАля║ХтАм

┘б-

: z ─Т ─Р- Ogb lf ─С^ ├К d& 2 ─┐ = ┼Б┼Ж + ┼Б5┼В тАл╪гтАм

.i zcz+ b i 4#b tr 7 r i z[z['b i 4#b tr 7 / H[Vr / i ^2gb i -.Ob tr 7 ┬╝ y E + ┬╢" = + C :H / I (z'> 8_Ob r E = ╞Д╞Д┼о = C :HL

┘б + тАля╗етАм┘д

тАля║ХтАм

─┐ = ┼Б┼Г┼Д + ┼Б5┼Д тАл╪итАм

Equality of two complex numbers

┬Й

тАл = я║ХтАм┘бтАля║ХтАм ┘е .............. = тАля║ХтАм тАл = я║ХтАм┘йтАля║ХтАм

тАля╗ня║┐я║в я╗Яя╗Дя╗╝я║Ся╗Ъ я║Гя╗е я╗Чя╗оя╗п я║Х я╗Яя╗╕я║│я║▓ я║Ня╗Яя║╝я║дя╗┤я║дя║Ф я║Ня╗Яя╗дя╗оя║Яя║Тя║ФтАм тАл я║Зя╗Яя╗░ я║Ня╗Яя╗Шя╗┤я╗втАм┘д тАл я╗Ыя╗ая╗дя║О я║пя║Ня║й я║Ня╗╖я║▒ я║Ся╗дя╗Шя║кя║Ня║нтАм╪МтАля║Чя║Шя╗Ья║оя║н я║Ся║╝я╗Фя║Ф я║йя╗ня║ня╗│я║ФтАм :тАл я╗ня║Ся╗оя║Яя╗к я╗Ля║Оя╗б я╗Уя║Ия╗етАм╪М ┘б ╪М тАля║ХтАм- ╪М ┘б- ╪М тАля║ХтАм ┘д + тАля╗етАм┘д

┼Ж┼Д = ┼А─┐─┐ + ┼Б5┼Г тАля║ЯтАм

┘г

тАл я╗ня╗│я╗дя╗Ья╗ия╗Ъ я║Ня╗╗я║│я║Шя╗Мя║Оя╗зя║ФтАм╪МтАля╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗гя╗К я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я╗Чя╗оя╗п я║Х я║Ня╗Яя║╝я║дя╗┤я║дя║ФтАм :тАля║Ся║Оя╗Яя║ая║кя╗ня╗Э я║Ня╗Яя║Шя║Оя╗Яя╗░ я╗Ля╗ая╗░ я║Гя╗е я║Чя╗Дя╗ая║Р я╗гя╗ж я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я║Зя╗Ыя╗дя║Оя╗Яя╗ктАм

┼Б

тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

┘г .

┼Е┼А = ┼А┼Б┼Д + ┼Б5┼И b- Ogb ┼А┼Б┼Д тАУ ┼Е┼А = ┼А┼Б┼Д тАУ ┼А┼Б┼Д + ┼Б5┼И

тАлтАВтАВя║ХтАм╪МтАВтАВ┘б┘з + тАля╗етАм┘дтАля║ХтАм

:- " L тИТ # M . _

3 ' 1 тИТ : M < *=

‫‪*7& " =- 8 ,6‬‬ ‫‪ 1‬أ ‪١‬‬ ‫ﺟ ﺕ‬ ‫ﻫ ﺕ ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫ ب ﺕ‬ ‫د ﺕ‬ ‫و ‪١-‬‬

‫‪: z Ē Đ- Ogb lf d^ i [['½ lz cb = Ů5 w gzZ ."r 3‬‬ ‫أ )‪ ŀŁ – ń = =Ń + (ŀ + 5Ł‬‬ ‫ب ‪ ŀĿ + ņ = (ŀ + =ł) + ł – 5Ł‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ ا‪.‬ﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬

‫‪Operations on complex numbers‬‬

‫‪: zb b c fĔ `b/ (Bs g^ Ů ^2gb - .NĔ 2B r Pg" .kN Py3s b r Pzg# b r a . Ė = s* e .+ 6 l_gy‬‬

‫‪2‬‬

‫أ ! ‪٣‬ﺕ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫^‪:w y gf d‬‬ ‫‪É $ j 1s> H7 wV ."r 4‬‬

‫ب ! ‪٧‬ﺕ ‬

‫أ )‪( + Ł) + ( Ń – ņ‬‬ ‫ب )‪( Ń – ł) ( ł + Ł‬‬

‫ﺟ ! ‪ ٥٢‬ﺕ‬

‫اﻟﺤﻞ‬

‫أ '‪ 4‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‪ :‬ﺗﺴﺎوى ﻋﺪدﻳﻦ ﻣﺮﻛﺒﻴﻦ‬

‫= )‪ (ŀ + Ń-) + (Ł + ņ‬‬ ‫=‪ ł–ň‬‬

‫ب '‪ 4‬‬

‫= ‪ ŀŁ – ň + Ň – Ņ‬‬ ‫= ‪ŀŁ + ň + Ň – Ņ‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪2?~ @ O ; < = 5‬‬ ‫‪ \ a5‬‬ ‫ ‪C − = ŁV‬‬

‫= )‪F R0 5 + ŀŇ = (ň + Ň -) + (ŀŁ + Ņ‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ + C‬ﺏ ﺕ = ﺟـ ‪ E +‬ﺕ ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫)‪ - C‬ﺟـ( = )‪ - E‬ﺏ(ﺕ‬

‫ﻭﺑﺘﺮﺑﻴﻊ ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ‬

‫‪٢‬‬

‫)ﺣﻴﺚ ﺕ‪(١- = ٢‬‬

‫ ‪ - C) :" e‬ﺟـ(‪ - E) + ٢‬ﺏ(‪٠ = ٢‬‬ ‫ ‪ = C :" e‬ﺟـ ‪ ،‬ﺏ = ‪E‬‬ ‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪*7& " =- 8 ,6‬‬ ‫‪ 3‬أ ﺱ = ‪ ، ٢‬ﺹ = ‪٣-‬‬ ‫ب ﺱ = ‪ ، ٥‬ﺹ = ‪٣‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‪ :‬اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ ا‪.‬ﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﺻﻔﺤﺔ )‪ (١٢‬ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ‬ ‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻹﺑﺪﺍﻝ ﻭﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻊ‬ ‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ‫ً‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻋﻨﺪ ﺟﻤﻊ ﺃﻭ ﺿﺮﺏ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﺃﻧﻪ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﺒﺴﻴﻂ ﻧﺠﻤﻊ ﺍﻷﺟﺰﺍﺀ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻣ ًﻌﺎ ﻭﺍﻷﺟﺰﺍﺀ ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻴﺔ ﻣ ًﻌﺎ‪.‬‬

‫‪pr‬‬

‫= ‪( Ń – ł) ( ł + Ł)ƆƆ‬‬

‫‪Ɔ ƄƄƄƄ‬‬

‫= ‪( Ń – ł) ł + ( Ń – ł) Ł‬‬

‫ ‪) B KLM‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺗﻘﺪﻳﻢ ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫)‪ - C‬ﺟـ(‪ - E)- = ٢‬ﺏ(‬

‫= )‪( + Ł) + ( Ń – ņ‬‬

‫‪2 '9 W 5} @ O ; < = 5‬‬ ‫‪F R0 5Ɔ‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫^‪:w y gf d‬‬ ‫‪É $ j 1s> H7 wV ."r 4‬‬ ‫أ )‪( ň – ņ) – ( ń – ŀŁ‬‬ ‫ب )‪( ł + Ń)( ł – Ń‬‬ ‫ﺟ )‪( Ł + ł)( Ņ – ń‬‬

‫‪KN‬‬

‫ ‪ −‬‬

W+_ < A T = " 3 H $3M$

ôªà°ùªdG º««≤àdG

! lz[V 2 gb ly-.Ob i zg7y – C Ů + C i -.Ob : z& Ůi [V 2 f i -.N ł + Ń Ů ł – Ń ] '

á«aÉ°VEG äÉÑjQóJ

:ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ

.`b/ 27V Í ? zÊ [z[& -¹ .N g ¹ so lz[V 2 gb ly-.Ob Msg#f is_y i 1r2Cb do .`b/ 27V Í ? zÊ [z[& -¹ .N g ¹ so lz[V 2 gb ly-.Ob 2B d> & is_y i 1r2Cb do ‫ﻣـﺜـﺎل‬

: b- Ogb i [[' lz cb = Ů5 w gzZ ."r 5 Ł)( + Ł) = + 5 = ( - Ń +ł

?GHA 7 < *7& " =- 8 ,6 ‫ﺟ‬ ٢٥ ‫ﺕ ب‬٤ + ٥ ‫ أ‬4 ‫ﺕ‬٨ - ٢٧

‫اﻟﺤﻞ‬ Ł

\ a5

-Ń = + 5 = Ń +ł

cVD − +d ; 4' FR0 e5

-ł * ŀ+Ń = + 5 = Ń Ń- ł Ń+ ł

?GWA 7 < B 1 # & 8 ,6 : ‫ ﺏ ﺕ ﻓﺈﻥ‬- C ، ‫ ﺏ ﺕ‬+ C :‫ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩﺍﻥ‬ ٢ ‫ ﺏ ∋ ﺡ‬+ ٢C ‫ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺑﻬﻤﺎ‬،‫ ∋ ﺡ‬C٢ = ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﻤﺎ‬

F R0 5

= + 5 =ƄƄƄƄ ( ŃŁń- ł)ń

A 0/ A?% 8 R- B 0M 5

= + 5 =ƆƆ ƆƄƄƄƄƄ Ńń - łń Ń - = =ƅŮƅ ł = 5 :H# 8# ń ń ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

:w y gf d^ É gzZ 1s> H7 wV ."r 5

?GWA 7 < *7& " =- 8 ,6 5

ŁŅ Ł - ł

‫ب‬

Ń+ł Ł - ń

‫د‬

‫ﺕ‬٤ + ٦ ‫ب‬ ‫ ﺕ‬١٥ + ٧٥ ‫ﺟ‬

٧ ‫د‬ ‫ ﺕ‬٢٦ ٢٩ + ٢٩

( ł) – Ł(Ń) = ( ł + Ń)( ł – Ń)

c 4 4 % q- > d Łń = (ŀ-)ň – ŀŅ = Ł ň – ŀŅ =ƆƆƄ

:‫ﺃﻭﺟﺪ ﻓﻰ ﺃﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ ﻧﺎﺗﺞ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ‬ (‫ﺕ‬٣ - ٢) - (‫ﺕ‬٤ - ٥) ‫أ‬ (‫ﺕ‬٤ - ٣) + (‫ﺕ‬٧ + ٦) ‫ب‬ (‫ﺕ‬٤ + ٣) ‫ﺕ‬٣ ‫ﺟ‬ (‫ﺕ‬٣ + ٧)(‫ﺕ‬٥ - ٤) ‫د‬

‫ﺕ‬٢ - ٣- ‫أ‬

‫اﻟﻌﺪدان اﻟﻤﺘﺮاﻓﻘﺎن‬

Conjugate Numbers

:- " L − # M . _

3 ' 1 − : M < *=

Ņ - Ń Ł -ł -Ł

‫أ‬ ‫ﺟ‬

º««≤àdGh ÖjQóàdG

‫ﻣـﺜـﺎل‬

Ů [cSf z 2p^ 2 - wV x3 s b wcN lz c? f lz fr [f wV 1 gb zc_b w 2p_b 1 z b .: ."r :ĖģśƄǭǕ 6 1 z b .: i gcN ¹ ) 2z f + Ł zj b fr [gb wVr 2z f ł – ń wbrĔ fr [gb wV 1 z b .: j ^ / .(lz fr [gb wV 1 gb 1 z b w .: Msg#f tr 7 zc_b ‫اﻟﺤﻞ‬

.lz fr [gb wV 1 gb 1 z b w .: Msg#f = zc_b w 2p_b 1 z b .: a ( + Ł) + ( ł - ń) =

(ŀ + ł-) + (Ł + ń) = 2z f Ƅ Ł - ņ = ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Gf[< *7& " =- 8 ,6 6 = ‫ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ‬ ‫ ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻷﺧﺮﻯ‬+ ‫ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﻓﻲ ﺇﺣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ‬ + ٤ * ١٧ = ‫ﺕ‬٤ + ٦ ‫ ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬+ ‫ﺕ‬ ‫ﺕ‬+٤ ‫ﺕ‬-٤

tr 7 [cSf z 2p^ 2 - wV t3 s b wcN lz c? f lz fr [f wV 1 gb zc_b w 2p_b 1 z b .: j ^ / 6 .t2*Ĕ fr [gb wV 1 gb 1 z b .: ."r V Ů ŀņ go .& wV 1 gb 1 z b .: j ^r Ů2z f Ń + Ņ

‫ﺍﻷﺧﺮﻯ‬

-Ń

‫ ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻷﺧﺮﻯ‬+ (‫ ﺕ‬+ ٤) = ‫ﺕ‬٤ + ٦

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ŀĿ

( -ŀ) 1s> H7 wV ."r :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ 1

‫ﺕ‬٣ + ٢ = ‫ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻷﺧﺮﻯ‬ ] ^4 ) _ 7& 8 ,6 :‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ‬ ٥ ٢

−

( ‫ ﺕ‬+ ‫ﺕ‬٢ - ١) = ٥[٢(‫ ﺕ‬- ١)] = ١٠(‫ ﺕ‬- ١) ٥ (١ - ‫ﺕ‬٢ - ١) = ‫ ﺕ‬٣٢- = ٥‫ ﺕ‬٣٢- = ٥( ‫ﺕ‬٢ -) =

:ø«bƒØàªdG ÜÓ£∏d ≈FGôKEG •É°ûf ‫ ﻓﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬٠ = ٨ + ٣‫ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ‬ .‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬

äÉÑjQóàdGh á£°ûfC’G ÜÉàc á£°ûfCG º««≤J ?@A 7 < U h1 U h2 $ & $ ÖdÉ£dG AGOCG

ôjó≤àdG

0t :&A " / C 1 U ZY Mu # M 8LY

; T C

, GO

f A 5< v / WY= , C 1 U ZY Mu # M 8LY

j , ,

; T C 0t :&A /& %&!< E L LI

, \

x!1 :&A " / WY= ,U ZY Mu # M 8LY ;eM4 0t Y U ZY Mu 8 LY' %&!< f A 5<1 # M /

, , Z

= 0

;eMu Fy!1 E= 0t Y x!1 :&A " /

, k

: > v / ,U ZY Mu 8 LY' # M D M 5 g

l E

;%&!< "+C E W f A 5<

−

, k ) *B

3-1 ‫ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻮع ﺟﺬرى اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬

‫ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻮع ﺟﺬرى اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬

3-1

Determining the Types of Roots of a Quadratic Equation

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

Determining The Type of the Roots of

" #+ P8 R 3 3S 1 = # T

a Quadratic Equation

6 !' , : ! " # M 7 !< 8 z / 6 - (2 , +_ < A EA T {| C - r.} O << 3 4 - 1 c I , F& ( ! 1

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫اﻟﻤﻤﻴﺰ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

I ǽ ¶" Ů ŮC ŮĿ ! C z&ƄƄƄĿ = ¶" + 5 + Ł5C zOz 2 b b- Ogb 10" ¶"CŃ-Ł - - Ů ¶"CŃ-Ł + - : go CŁ CŁ . ¶"CŃ - Ł 1 .[gb wcN ts 'y ly10#b đ^r

ُ ‫ﺳﺎﺳﻴ‬.‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا‬ ُ ‫ّﺔ‬ P8

Root

. b- Ogb t10" Msj .y.' b e.+ 7yr Ů zOz 2 b b- Ogb 4zgf ¶"CŃ – Ł 1 .[gb wg7y

6 Q

Discriminant

‫ﻣـﺜـﺎل‬

: -. V"% &' A (/ 8 b Z % 1 Ŀ = ŀ + 5Ł - Ł5 ‫ب‬ Ŀ= ņ - 5 + Ł5ń ‫أ‬ Ŀ = łĿ - 5ń + Ł5 - ‫ﺟ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

; F& ( ! 1o !H 8 z R 

:A? b9 Z ? 1 ņ- = ¶" Ů ŀ = Ů ń = C ‫أ‬

‫دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬.‫ا‬

O < - 8

¶"CŃ - Ł = 4zggb ŀŃŀ = (ņ-) ń * Ń - ŀ =ƆƄƄƆƆ Ɔ Ƅ ƄƄ .i Wc +f i z[z[& i 10" ."sy `b0b "sf 4zggb a

ŀ = ¶" Ů Ł- = Ů ŀ = C ‫ب‬

¶" CŃ - = 4zggb Ŀ = ŀ * ŀ * Ń - Ń =ƆƆ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ Ƅ ƆƆƆƆƆ .i yr 7 fr i z[z[& i 10#b i/ Ů 2W> ¹ tr 7y 4zggb a Ł

I ;: ! %&! - :Y98 ! - ZC Y< - [ +< \ !

" # :- " L

$ % ١٧ ‫ ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬١٥ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ‬ ٧ ‫ ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬٦ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻷﻧﺸﻄﺔ ﻭﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ‬ .(‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ‬

¢SQódG äGAGôLEG :ó«ª¡àdG

‫ﻓﻜﺮ وﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻣﻦ ﻋﻨﺪﻙ ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ‬، ‫ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻣﻦ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ .‫ﻃﻼﺑﻚ ﺇﻋﻄﺎﺀ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﺃﺧﺮﻯ ﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﻣﺎﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺒﻨﺪ‬

‫ﻓﻜﺮ‬

gcNr ů% wV .& r 2zS f wV ( zOz 2 b b- Ogb ) zj b "1.b b- Of d& 61- i \ 6 Ů 12_f .z&r đ& Ê r lzc& is_y i f z[z['b pbsc& -.N i b- Ogb d& ađ* lf ¹ ¹ wV zj b "1.b b- Of (asc&) 1r0" -.N - #y `k_gy dpV Ů% wV b- Ogcb d& ."sy Đ r ? pc& ir- % Discriminant

:() :&A C B # M ( = () DC < E 7 89 F

; - 0 1 - <&A +- W X

‫و‬

:- " L − %&!< "

3 ' 1 − : M < *=

‫‪¢SQódG ¢VôY‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‪ :‬اﻟﻤﻤﻴﺰ‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ ﻟﺘﺤﺪﻳﺪ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺩﻭﻥ ﺣﻠﻬﺎ‪ ،‬ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪ ،‬ﻭﻳﻤﻜﻨﻚ ﺗﻮﺳﻴﻊ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻔﻬﻮﻡ ﻛﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ < ‪ ،٠‬ﻛﺎﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ‪.‬‬ ‫ ‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = ‪ ،٠‬ﻛﺎﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ‬ ‫)ﺟﺬﺭ ﻭﺣﻴﺪ ﻣﺘﻜﺮﺭ( ‪.‬‬

‫ ‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ > ‪ ٠‬ﻓﻼ ﺗﻮﺟﺪ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‪ ،‬ﻭﻟﻜﻦ‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻣﺮﻛﺒﺎﻥ‪ .‬ﻟﺬﻟﻚ ﻳﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ ﺑﻤﺜﺎﺑﺔ ﺩﻟﻴﻞ‬ ‫ﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬

‫ ‬

‫ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺗﺴﻤﻰ ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪،‬‬ ‫ﻭﻫﻰ ﻗﻴﻢ ﺱ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻘﻄﻊ ﻋﻨﺪﻫﺎ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻓﻲ ﻧﻘﺎﻁ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‪.‬‬

‫ ‬

‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﻏﻢ ﻣﻦ ﺃﻥ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﺇﻟﻰ ﻋﻮﺍﻣﻞ ﻗﺪ ﺗﻜﻮﻥ‬ ‫ﻫﻰ ﺍﻷﺳﻬﻞ ﻟﺤﻞ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺇﻻ ﺃﻥ‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻳﺤﻞ ﺃﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬

‫&;‪:`M F2‬‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻋﻮﺽ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫ﺑﺸﻜﻞ ﻏﻴﺮ ﺻﺤﻴﺢ‪ ،‬ﻭﺷﺠﻌﻪ ﻋﻠﻰ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ‪ ،C‬ﺏ‪ ،‬ﺟـ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻫﺎﻣﺶ ﺍﻟﻮﺭﻗﺔ؛ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﻌﺪ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻗﺒﻞ ﺍﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ‪.‬‬ ‫ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻜﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ‪+ C‬‬

‫ﺏ ﺕ ﺣﻴﺚ ‪ ،C‬ﺏ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪?G@A 7 < *7& " =- 8 ,6‬‬ ‫أ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ )ﻧﺴﺒﻴﺎﻥ(‬ ‫ب ﺟﺬﺭﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ‪.‬‬ ‫ﺟ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ )ﻏﻴﺮ ﻧﺴﺒﻴﺎﻥ(‬ ‫د ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻣﺮﻛﺒﺎﻥ‬

‫^‪p‬‬

‫ ‪A? b9 Z‬‬

‫ '' ‪x‬‬

‫ ‪ >1>' 5 M0- ' M M<- (7‬‬ ‫)‬

‫ ‪H 4 4 H b‬‬ ‫ < ‪H a‬‬

‫) ‪Ŀ < (¶"CŃ – Ł‬‬

‫ ‪Ŀ = ¶"CŃ – Ł‬‬

‫ ‪ 4 4 b‬‬ ‫ ‪ 7‬‬ ‫‪cH ? R H b d‬‬

‫ ‪Ŀ > ¶"CŃ – Ł‬‬

‫ ‪H 0/ H b‬‬

‫ ‬

‫)‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫)‬

‫ ‬

‫)‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫)‬

‫ ‬

‫)‬

‫ ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪: z Ē zOz 2 b Đ- Ogb lf b- Of d^ t10" Msj lzÍ N 1‬‬ ‫ب ‪ň = Ł5Ń – 5ŀŁ‬‬ ‫أ ‪ŀń – 5 ŀň = Ł5Ņ‬‬ ‫د ‪(ņ – 5)Ł = (ń + 5)5‬‬ ‫ﺟ ‪ń = (Ł – 5) 5‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪.ly10#b ly0o - #yĖ e Ob isj [b e.+ 6 h Ůi ^2f Ŀ = Ł + 5 ł – Ł5Ł b- Ogb t10" i 2‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫‪* = ,+ − = ,* = C‬‬ ‫‪¶"CŃ – Ł = 4zggb a‬‬ ‫‪r = x '' a‬‬

‫‪Ł‬‬

‫` ‪ņ - = ŀŅ – ň = Ł * Ł * Ń – (ł -) = 4zggb‬‬ ‫` ? ‪H 0/ H b‬‬

‫ ‪¶"CŃ- Ł ! - = 5 :; & H 4‬‬ ‫‪CŁ‬‬

‫‪äGOÉ°TQEG‬‬

‫ ‬

‫ﺟ ‪łĿ - = ¶" Ů ń = Ů ŀ- = C‬‬ ‫‪ƆƆƆƆƆƆƆƆ‬‬ ‫‪.i ^2f i 10" ."sy i/ Ů b 6 4zggb a‬‬ ‫" ‪H#‬‬

‫ ‪¶"C - Ł = 4zggb‬‬ ‫‪ňń- = łĿ- * ŀ- * Ń - Łń =ƆƆ Ɔ Ɔ‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪! ł = Ł ņ ! (ł-) - = 5ƆƆ ƄƄƄƄƄƅƅ‬‬ ‫‪Ł* Ł‬‬

‫ ‪+ łŃ : ' % &' b‬‬

‫@‪K‬‬

‫‪ņ‬‬ ‫‪Ń‬‬

‫ ‪- łŃ ƄƄŮ‬‬

‫‪ņ‬‬ ‫‪Ń‬‬

‫‪ ņ‬‬ ‫‪Ń‬‬

‫ ‬

‫ ‪ −‬‬

‫ ‪ 4 E6 I‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ ﺛﻢ ﺣﺪﺩ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ‪:‬‬ ‫ب ﺱ‪٧ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ١٠ +‬‬ ‫أ ﺱ‪٤ + ٢‬ﺱ ‪٠ = ٥ +‬‬ ‫د ‪٣‬ﺱ‪٤ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ١٦ -‬‬ ‫ﺟ ‪٤‬ﺱ‪١٢ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ٩ +‬‬ ‫ ‪*7‬‬ ‫أ ‪ ، ١= C‬ﺏ = ‪ ، ٤‬ﺟـ = ‪٥‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ )ﺏ‪ C ٤ - ٢‬ﺟـ( = ‪٠ > ٥*١ * ٤ - ١٦‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻣﺮﻛﺒﺎﻥ‬ ‫ب ‪ ، ١ = C‬ﺏ = ‪ ،٧-‬ﺟـ = ‪١٠‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ )ﺏ‪C ٤ - ٢‬ﺟـ( = ‪٠ < ١٠ * ١ * ٤ - ٤٩‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪) .‬ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ ﻧﺴﺒﻴﺎﻥ(‬ ‫ﺟ ‪ ، ٤ = C‬ﺏ = ‪ ، ١٢-‬ﺟـ = ‪٩‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ )ﺏ‪ C ٤ - ٢‬ﺟـ( = ‪٠ = ٩ * ٤ ٨ ٤ - ١٤٤‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ‬ ‫د ‪ ، ٣ = C‬ﺏ = ‪ ، ٤-‬ﺟـ = ‪١٦-‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ ) ﺏ‪ C ٤ - ٢‬ﺟـ ( = ‪ ٠ < ١٦- * ٣ * ٤ - ١٦‬ﻳﻮﺟﺪ‬ ‫ﺟﺬﺭﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‬

‫'‪ ! 1 !< 8 z /‬‬ ‫‪ # * " # P8 R 3 3GJ‬‬

‫‪lf a g (Br ?lz[V 2 f ly-.N ^2gb - .NĔ Nsg#f wV zOz 2 b b- Ogb 10" is_y i 1r2Cb do :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬ ‫‪.].kN‬‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪.ly10#b ly0o - #yĖ e Ob isj [b e.+ 6 h Ůi ^2f Ŀ = ń + 5 ŀŀ – Ł5ņ b- Ogb t10" i 2‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪:$ kb '> lf \[' h Ů z[z['b ] hzZ ."r V Ůlzyr 7 f Ŀ = ň + 5 (ŀ – ])Ł + Ł5 b- Ogb 10" i ^ / 3‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫ ‪Ŀ = ¶"CŃ – Ł‬‬ ‫‪Ŀ = ň * ŀ * Ń – Ł(ŀ – ])Ń‬‬ ‫‪Ŀ = łŁ - ]Ň – Ł]Ń‬‬ ‫]‪Ŀ = Ň - ]Ł – Ł‬‬ ‫)] – ‪Ŀ = (Ł + ])(Ń‬‬ ‫] = ‪Ł- = ] r Ń‬‬

‫ ‪Ń = ] f.kN :B 41‬‬ ‫‪Ŀ = ň + 5Ņ + Ł5 : % &' 0u‬‬‫‪ł- Ůł- : go i yr 7 f i 10" pb is_yr‬‬ ‫ ‪Ł- = ] f.kN :B 41‬‬ ‫‪Ŀ = ň + 5Ņ - Ł5 : % &' 0u‬‬‫‪łŮł : go i yr 7 f i 10" pb is_yr‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪.ly10#b ."r h Ů z[z['b ] hzZ ."r V Ůlzyr 7 f Ŀ = ň + 5Ņ – ]ņ + 5 ]Ł – Ł5 b- Ogb 10" i ^ / 3‬‬

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫‪ŁĿĿń‬‬

‫ ‪ < CJJJJ (7 V 5 @} %‬‬ ‫‪ňŃń‬‬

‫‪ŁĿĿņ‬‬

‫‪ňŁĿ‬‬

‫ ‪e Ob‬‬

‫‪ 2z ^ -sp# zgb Ob '?b gKkf es[ :ǶŨƛǤģś ƤśƄǤĝ 1‬‬ ‫‪ p f Z 6 1- {Vr Ů{ sb . _b A 2f 1 G* zNs cb‬‬ ‫‪ j ^ e sNĔ .& wV @+: ŀĿĿĿĿ lz lf i .c b .& wV‬‬ ‫‪: b- Ogb d g r .d [gb ar.#b wV lz f so g^ p# j‬‬ ‫= = ‪-.N d g i z& Ůlz ?gb -.N ňŃń + i ņ,ń - Łi Ł,ń-‬‬ ‫ ‪.ŁĿĿń e N .O sk7b‬‬

‫‪ŁĿŀĿ‬‬

‫‪ŇŃń‬‬

‫‪ŁĿŀŃ‬‬

‫‪űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű‬‬

‫‪ŁĿŁĿ‬‬

‫‪űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű‬‬

‫أ &‪ŁĿŁĿ ŮŁĿŀŃ wf N wV lz ?gb -.N 7‬‬ ‫ب ‪Ńňń = = f.kN i gzZ e Ob isj [b e .+ 6 ."r‬‬ ‫ﺟ‬ ‫>‪?` " 27V ?as[Of PZs b 0o dor ? 2W‬‬ ‫‪¹ y¹ r 7f lz ?gb -.N ( ?y w f‬‬ ‫د ' ‪.q"đN Y2Fr qkf y Zsb zWz^r A2gb 0o 6 ( j2 jĔ ) zbr.b _ ;b e .+ 6‬‬

‫=* < ‪ 3 ' 1 − : M‬‬

‫‪KA‬‬

‫& ‪/‬‬ ‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ‪ ،٠ = ٨ - ٣‬ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻬﻢ‬ ‫ﺃﻥ ﻫﺬه ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺗﻜﻌﻴﺒﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﺎ ﺗﻌﻠﻤﻮه‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﻟﺤﻞ ﻫﺬه ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ‪ ٣ + ١- ،٢-‬ﺕ‪ ٣ -١- ،‬ﺕ‪ ،‬ﻭﺫﻟﻚ‬ ‫ﺩﻭﻥ ﺍﻟﺘﻌﺮﺽ ﺇﻟﻰ ﺭﻣﻮﺯ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬ ‫‪:GZ 7 < B 1 # & 28 54‬‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﺲ ﺑﺎﻟﻀﺮﻭﺭﺓ ً‬ ‫ﺱ‪٣ - ٢‬ﺕ ﺱ ‪ ٠= ٢ -‬ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ ﺕ‪٢ ،‬ﺕ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺮﺍﻓﻘﻴﻦ‪.‬‬ ‫)ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻟﻴﺴﺖ ﺟﻤﻴﻌﻬﺎ‬ ‫ﺃﻋﺪﺍ ًﺩﺍ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ(‪.‬‬ ‫ ‪:?GA 54 E6 = I‬‬ ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪٧‬ﺱ‪١١ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ٥ +‬‬ ‫ﻣﺮﻛﺒﺎﻥ ﺛﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ؛ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻫﺬﻳﻦ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫‪ ، ٧ = C‬ﺏ = ‪ ، ١١-‬ﺟـ = ‪٥‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ )ﺏ‪ C ٤ - ٢‬ﺟـ( = ‪٠ > ١٤٠ - ١٢١ = ٥ * ٧ * ٤ - ١٢١‬‬ ‫ = ‪٠ > ١٩-‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻣﺮﻛﺒﺎﻥ‬

‫‪ a‬ﺱ = ‪-‬ﺏ ! ﺏ‪C٤-٢‬ﺟـ‬ ‫‪C٢‬‬ ‫ = ‪١٩ ! ١١‬ﺕ‬ ‫‪١٤‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺬﺭﺍﻥ ﻫﻤﺎ ‪١٩ + ١١ :‬ﺕ ﺃﻭ ‪١٩ -١١‬ﺕ‬ ‫‪١٤‬‬ ‫‪١٤‬‬ ‫ ‪) J KLM ?HA 54 E6 = I‬‬ ‫‪٧+٤‬ﺕ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ + ٢‬ﺕ ﻫﻮ ﺃﺣﺪ ﺟﺬﺭﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻣﻌﺎﻣﻼﺗﻬﺎ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻫﺬه ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪.‬‬ ‫ ‪*7‬‬ ‫ﺑﺘﺒﺴﻴﻂ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﻳﺼﺒﺢ ‪ ٢ + ٣‬ﺕ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺮﺍﻓﻖ ﻃﺎﻟﻤﺎ ﺃﻥ‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻵﺧﺮ ﻳﻜﻮﻥ‬ ‫ﻣﺮﺍﻓﻖ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻷﻭﻝ ﺣﺘﻰ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ‪ ،‬ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﺿﺮﺑﻬﻤﺎ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ = )‪ ٢ + ٣‬ﺕ( ‪ ٢ - ٣) +‬ﺕ( = ‪٦‬‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺑﻬﻤﺎ = )‪ ٢ + ٣‬ﺕ( ) ‪ ٢ - ٣‬ﺕ( = ‪١٣‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻰ ‪ :‬ﺱ‪٦ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ١٣ +‬‬ ‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪?GZA 7 < *7& " =- 8 ,6‬‬ ‫‪ 2‬ﻙ = ‪ ، ١‬ﻙ = ‪٧-‬‬

‫‪º««≤àdGh ÖjQóàdG‬‬ ‫‪] ^4 ) _ 7& 8 ,6‬‬ ‫أ ‪٢٧٠ ، ٦٧٥‬‬ ‫ب ﻥ = ‪١٢‬‬ ‫ﺟ ﺑﻮﺿﻊ ﺹ = ‪ ٠‬ﺗﻜﻮﻥ ﻥ = ‪ ، ١٨‬ﻥ = ‪ ٢١-‬ﻣﺮﻓﻮﺽ؛‬ ‫ﺃﻯ ﻓﻲ ﻋﺎﻡ ‪ ٢٠٢٣‬ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﻣﻌﻘﻮﻟﺔ؛ ﻷﻥ ﺍﻟﺘﻘﺪﻡ ﺍﻟﻄﺒﻰ‬ ‫ﻣﺴﺘﻤﺮ ﺣﺘﻰ ﻳﺘﻢ ﺍﻟﻘﻀﺎﺀ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺮﺽ‪.‬‬

‫‪ø«bƒØàªdG ÜÓ£∏d á«FGôKEG á£°ûfCG‬‬ ‫‪ 1‬ﺍﺛﺒﺖ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ C‬ﻋﺪﺩ ﻧﺴﺒﻰ ﻓﺈﻥ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪:‬‬ ‫‪ ١٥‬ﺱ‪(C٣ + ١٠) - ٢‬ﺱ ‪ ٠ = C٢ +‬ﻳﻜﻮﻧﺎ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻧﻪ ﻟﺠﻤﻴﻊ ﻗﻴﻢ ﺏ‪ ،‬ﺟـ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ﻳﻜﻮﻥ ﺟﺬﺭﺍ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪٢‬ﺱ‪ - ٢‬ﺏ ﺱ ‪ +‬ﺟـ ﺱ ‪ ٠ = ٢ -‬ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪º««≤àdG‬‬

‫‪ 1‬ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻙ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻞ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪٣‬ﺱ‪٦ - ٢‬ﺱ ‪ +‬ﻙ = ‪ ٠‬ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻓﻲ ﺡ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪:‬‬ ‫‪٦‬ﺱ‪٥ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ٢ -‬‬

‫_ ‪ :- " L − # M .‬‬

‫`‪p‬‬

‫‪4-1‬‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬرى ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫وﻣﻌﺎﻣﻼت ﺣﺪودﻫﺎ‬ ‫‪The Relation Between Two Roots of the Second‬‬ ‫‪Degree Equation and the Coefficients of its Terms‬‬

‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬرى ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ وﻣﻌﺎﻣﻼت ﺣﺪودﻫﺎ‬ ‫‪The Relation Between Two Roots of the Second Degree‬‬ ‫‪Equation and the Coefficients of its Terms‬‬

‫‪4-1‬‬ ‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬ ‫ = ‪ " #+ H P. R U " XY 1‬‬ ‫‪2Z M#$ # J‬‬ ‫ = ‪H P. <V 'W " XY 1‬‬ ‫ ‪ $ # # J " #$ " XY‬‬ ‫‪2 [\ # J " #$‬‬

‫ ‬

‫ﻓﻜﺮ‬

‫و‬

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫‪ł ƄƄŮƄ ŀ go Ŀ = ł + 5Ň – Ł5Ń b- Ogb t10" i hcOj‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł = ł+ŀ‬‬ ‫‪=ł+ŀ‬‬ ‫ ‪A? b9 Z '9‬‬ ‫‪Ł Ł Ł‬‬ ‫ @( ‪ł = ł * ŀ A? b9 z‬‬ ‫‪Ń Ł Ł‬‬ ‫"‪? o-r.& đf Ofr b- Ogb t10‬‬ ‫‪¼ Msg#f lz ZđN ."s do‬‬ ‫"‪? o-r.& đf Ofr b- Ogb t10‬‬ ‫‪¼ 2B d> & lz ZđN ."s do‬‬

‫‪ 89 : , ! 1 !< 8 h > L _ %&!' () # M& *+‬‬‫ ‪ ! 1 !< 8 z <h h > L _ %&! 6 - 7‬‬ ‫ ‪ !< E =' L _ c 8_ , !< " ( <F1 "S‬‬ ‫ ‪; 9 8 %&A I> ! 1‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺠﺬرﻳﻦ وﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺑﻬﻤﺎ‬ ‫‪Sum and product of two roots‬‬

‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا‪.‬ﺳﺎﺳﻴ ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّﺔ‬ ‫ ‪H P8 R U‬‬

‫‪Sum of Two Roots‬‬

‫ ‪H P8 <V 'W‬‬ ‫‪Product of Two Roots‬‬

‫"‪: go Ŀ = ¶" + 5 + Ł5 C zOz 2 b b- Ogb 10‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫ ‪Ů ¶"CŃ- +‬‬‫‪CŁ‬‬

‫‪:i V e = wj b 10#b Ůa = arĔ 10#b i 1 N r‬‬ ‫‪=e+a‬‬

‫ ‬

‫ ‪¶"CŃ-Ł -‬‬‫‪CŁ‬‬

‫‪ -‬‬

‫‪C‬‬

‫‪=ea‬‬

‫) ‪(`b/‬‬

‫"¶‬

‫‪C‬‬

‫) ‪(`b/‬‬

‫‪Ŀ = ¶" + 5 + 5 C zOz 2 b b- Ogb wV ȈǭƽƗ ƄŐʗƯŝ‬‬ ‫ ‪: z Ē Đ 'b wV e aƄŮƄe + a ."r‬‬ ‫ﺟ ‪¶" = C i ^ /‬‬ ‫ب ‪C = j ^ /‬‬ ‫أ ‪ŀ = C i ^ /‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪:() :&A C‬‬ ‫ ‪B # M ( = () DC < E 7 89 F‬‬ ‫ ‪; F& ( ! 1 !< 8 . "S z <h‬‬ ‫ <! ‪; 9 8 %&A : ! 1‬‬ ‫ ! ' ‪; u) ! 1 ' ! &!<1 ! 1‬‬

‫ا‪.‬دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬ ‫ ‬

‫اﻟﺤﻞ‬

‫‪ŀŁ - = ¶"ƄŮƄń = ƄŮƄŁ = C‬‬ ‫ ‪ń - = ń- = - =ƄƆƆ ƄƄƄA? b9 Z '9‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪C‬‬ ‫"¶‬ ‫‪Ņ- =Ɔ ŀŁ‬‬‫ @( ‪Ł =ƆƆ Ɔ Ɔ C =ƆƆ ƆA? b9 z‬‬

‫ ‬ ‫ ‪E 8 . "S - E 8 z <h - O < - 8‬‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪: b- Ogb t10" 2B d> &r Msg#f ."r b- Ogb d& ir- 1‬‬ ‫‪Ŀ = ŀŁ – 5 ń + Ł5Ł‬‬

‫‪KB‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫ ‬

‫‪¢SQódG ¢VôY‬‬ ‫‪ <&A +- W X‬‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺠﺬرﻳﻦ وﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺑﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ I‬‬ ‫ﺇﺳﺄﻝ‪:‬‬ ‫ ! \ <‪;: ! %&! - :Y98 ! - ZC Y< - [ +‬‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﺖ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ‪ -‬ﻓﻤﺎﺫﺍ‬ ‫ﺏ‬‫ ‪ " #‬‬ ‫ﻳﻌﻨﻰ ﺫﻟﻚ? ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫‪ ،‬ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺗﻤﺜﻞ ﺳﺎﻟﺐ ﻧﺎﺗﺞ ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫‪C‬‬ ‫ ‪:- " L‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ‪ ٢‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﺖ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ ﻓﻤﺎﺫﺍ ﻳﻌﻨﻰ ﺫﻟﻚ?‬ ‫ ‪$ %‬‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺗﻤﺜﻞ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻤﻄﻠﻖ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﻣﻞ‬ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ ‪ ١٨‬ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺤﺔ ‪) ٢١‬ﻛﺘﺎﺏ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺱ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻷﻧﺸﻄﺔ( ﻭﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ ‪ ٨‬ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺤﺔ ‪١٠‬‬ ‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬ ‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ(‪.‬‬ ‫‪5^ b 0 & 8 ,6‬‬ ‫‪¢SQódG äGAGôLEG‬‬ ‫أ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ، ١ = C‬ﻓﺈﻥ ﻝ ‪ +‬ﻡ = ‪-‬ﺏ ‪ ،‬ﻝ ﻡ = ﺟـ‬ ‫ب ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺏ = ‪ ، C‬ﻓﺈﻥ ﻝ ‪ +‬ﻡ = ‪١-‬‬ ‫‪ó«¡ªàdG‬‬ ‫ﺟ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ = C‬ﺟـ ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﻝ ﻡ= ‪١‬‬ ‫ﻓﻜﺮ وﻧﺎﻗﺶ‬ ‫‪Gm D *7& " =- 8 ,6‬‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻲ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﻋﻦ ﺍﻟﺴﺆﺍﻟﻴﻦ ﺍﻟﻤﻄﺮﻭﺣﻴﻦ ﻓﻲ ﺑﻨﺪ ‪ 1‬أ ﻝ ‪ +‬ﻡ = ‪ ، ١٢ -‬ﻝ ﻡ = ‪٣-‬‬ ‫"ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ" ﻣﻊ ﻣﺴﺎﻋﺪﺗﻬﻢ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺻﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ‬ ‫ب‬ ‫‪ ، ٢٣‬ﻝ ﻡ = ‪٣‬‬ ‫ﻝ‪+‬ﻡ= ‪٣‬‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﺟ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻰ‪٢ :‬ﺱ‪ + ٢‬ﺱ ‪٠ = ٦ -‬‬

‫‪pa‬‬

‫ ﻝ ‪ +‬ﻡ = ‪ ، ١٢ -‬ﻝ ﻡ = ‪٣-‬‬

‫ ‪ −‬‬

9 M ! ! 8 E 1 CM!

4 E6 0 & тАля║Гя╗ня║Яя║к я╗гя║ая╗дя╗оя╗Й я╗ня║гя║Оя║╗я╗Ю я║┐я║оя║П я║Яя║мя║ня╗п я╗Ыя╗Ю я╗гя╗ж я║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗╗я║ХтАм :тАля║Ня╗Яя║Шя║оя║Ся╗┤я╗Мя╗┤я║Ф я║Ня╗╡я║Чя╗┤я║ФтАм (┘г - тАля║▒тАм┘в)(┘б - тАл( = )я║▒тАм┘д + тАл()я║▒тАм┘б + тАля║▒тАм┘г) 1

]" 3 &$ #$ 8 3 " #$ P8 H %&#

тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

: z ─Т ─Р- Ogb lf d^ t10" 2B d> &r Msg#f ."r b- Ogb d& ir- 1 ─┐ = (┼Б + 5) (┼В тАУ 5┼Б) тАля║ЯтАм ┼В─┐ тАУ 5 ┼Б┼В = ┼Б5 ┼В тАл╪итАм ─┐ = ┼Е тАУ 5 + ┼Б5 ┼Б тАл╪гтАм тАля╗г┘Ая║Ь┘Ая║О┘ДтАм

wV b- Ogb d& h ┼о] gzZ ."r V ┼А tr 7y ─┐ = ] + 5 ┼В - ┼Б5 ┼Б b- Ogb t10" 2B d> & i ^ / 2 . ^2gb - .N─Ф Nsg#f тАл╪зя╗Яя║дя╗ЮтАм

┬╢" ┼Б =╞Ж╞Ж ╞Д] `╞Д╞Д╞Д╞Д╞Д╞Д ┼А = ]┼Б ` ╞Д╞Д╞Д╞Д╞Д╞Д = A? b9 z (@ C * = ,+ тИТ = ,* = C

┘б ┘б 2 + ┘б+тАл я║▒тАм┘б-тАля║▒тАм ┘д - тАля║▒тАм┘г ┘б + тАля║▒тАм┘д 3 {┘ж- ╪М┘в} тИМ тАл я║▒тАм╪М = ┘ж+тАл я║▒тАм┘б-тАля║▒тАм

{┘б ╪М┘б-} тИМ тАл я║гя╗┤я║Ъ я║▒тАм┘в =

тАл( я╗гя╗жтАм┘б┘й) тАля║Ня║│я║Шя╗Мя║оя║╜ я╗гя╗К я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я║Ня╗╖я╗гя║Ья╗ая║Ф я║Ня╗Яя╗оя║Ня║ня║йя║У я╗Уя╗░ я║╗я╗Фя║дя║ФтАм тАл я╗ня║Ня╗Гя╗ая║Р я║Зя╗Яя╗┤я╗мя╗в я║гя╗Ю я╗гя║О я╗ня║ня║й я╗Уя╗▓ я║Ся╗ия║к ┬╗я║гя║Оя╗ня╗Э я║Гя╗етАм╪МтАля╗Ыя║Шя║Оя║П я║Ня╗Яя╗Дя║Оя╗Яя║РтАм .тАля║Чя║дя╗Ю┬л я╗гя╗К я╗гя║Шя║Оя║Ся╗Мя║Ф я║Зя║Яя║Оя║Ся║Оя║Чя╗мя╗втАм

┬╢"C┼Г-┼Б ! - = 5 C┼Б ┼Ж ! ┼В = ┼Б ┼Ж ! ┼В = ┼А┼Е - ┼И ! ┼В =╞Ж╞Ж ╞Д ┼Г

┼Г

┼Г ┼Ж ┼В ┼В ┼Г - ┼Г ╞Д╞Д┼о╞Д ┼Г + ┼Г } wo b- Ogb d& Nsg#f

┼Ж

{

тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм ┼Б . b- Ogb d& h ┼о┬╢" gzZ ."r V ┼З┼В so ─┐ = ┬╢" тАУ 5┼А─┐ + 5┼В b- Ogb t10" 2B d> & i ^ / 2 . b- Ogb d& h ┼о gzZ ."r V ┼В┼Б - so ─┐ = ┼Д - 5 + ┼Б5 ┼Б b- Ogb t10" Msg#f i ^ / 3

тАля╗г┘Ая║Ь┘Ая║О┘ДтАм

:."r V * I╟╜ C z& = C + 5 ┼Б - ┼Б5 b- Ogb 1r0" .& so ( + ┼А) i ^ / 3 2*─Т 10#b тАл╪гтАм C gzZ тАл╪итАм тАл╪зя╗Яя║дя╗ЮтАм

├┤┬к├а┬░├╣┬кdG ┬║┬л┬лтЙд├аdG

?GmA 7 < *7& " =- 8 ,6 тАля║Я┘АтАм- ┘и┘и = тАля║Гя╗п я║Гя╗е я║Я┘АтАм ┘г = ┘г 2 ┘а = ┘и + тАля║▒тАм┘б┘а + ┘втАля║▒тАм┘г : тАля║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я╗ля╗░тАм {┘в- ╪М ┘д┘в } тАля╗ня║гя╗Ю я║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я╗ля╗отАм ┘г - = тАля║ПтАм- 3 ┘г = тАля║Гя╗п я║Гя╗е я║ПтАм ┘в ┘в ┘а = ┘е - тАля║▒тАм┘г + ┘втАля║▒тАм┘в тАля║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я╗ля╗░тАм .{┘б ╪М ┘е┘в } тАля╗ня║гя╗Ю я║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я╗ля╗отАм тАл я║Х( я╗ля╗░ я║Гя║гя║к я║Яя║мя╗ня║н я║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗Яя║ФтАм+ ┘в) = тАл я╗ЭтАмa 4 тАл я╗Уя╗┤я╗Ья╗оя╗е я║Яя║мя║ня╗ля║О я║Ня╗╡я║зя║отАм┘а = тАл я║ПтАм+ тАля║▒тАм┘д - ┘втАля║▒тАм тАля║ХтАм+┘б=тАля╗бтАм тАля╗Э*я╗б=я║ПтАмa ┘е = ┘втАл я║ХтАм- ┘д = (тАл я║ХтАм- ┘в) (тАл я║ХтАм+ ┘в) = тАл` я║ПтАм 4 E6 0 & тАл я║Х я╗ля╗о я║Гя║гя║к я║Яя║мя╗ня║н я║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗Яя║ФтАм┘в + ┘б тАл я║Зя║ля║Н я╗Ыя║Оя╗етАм1 .тАл я╗Уя║Дя╗ня║Яя║ктАм┘а = тАл я║Я┘АтАм+ тАля║▒тАм┘в - ┘втАля║▒тАм тАл╪г я╗Чя╗┤я╗дя║Ф я║Ня╗Яя║ая║мя║н я║Ня╗╡я║зя║о ╪и я╗Чя╗┤я╗дя║Ф я║Я┘АтАм тАл я║Гя╗ня║Яя║к я║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я║Ня╗Яя║Шя║оя║Ся╗┤я╗Мя╗┤я║Ф я║Ся╗дя╗Мя╗ая╗оя╗гя╗┤я║Ф я║Яя║мя║ня║Ня╗ля║О я╗Уя╗▓ я╗Ыя╗ЮтАм2 :тАля╗гя╗дя║О я╗│я║Дя║Чя╗░тАм ┘е- ╪М┘г тАл╪гтАм ┘з ╪М┘д- тАл╪итАм ┘ж- ╪М┘в- тАля║ЯтАм ┘б- ┘в ╪М┘б+ ┘в тАл╪птАм ┘б ┘в ╪М тАл я║ХтАм+ ┘б- тАл┘ИтАм тАля╗лтАм тАл я║ХтАм╪МтАля║ХтАм тАля║ХтАм

C = , *тИТ = , C = C b- Ogb t10" .& so╞Д╞Д + ┼А╞Дa тАл╪гтАм

* = 'U '9 H 4 A? b9 H ╞Д╞Д╞Д

- ┼А = 2*─Т 10#b ╞Д` C = ly10#b 2B d> &╞Дa тАл╪итАм C = ( - ┼А ) ( + ┼А ) `

┼Б =╞Д╞ДC `

C=┼А+┼А ` тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

."r V ─┐ = + 5 ┼Г- ┼Б5 b- Ogb 1r0" .& so ( + ┼Б) i ^ / 4 gzZ тАл╪итАм .2*─Т 10#b тАл╪гтАм

3 ' 1 тИТ : M < *=

тАля║Чя╗Мя╗ая╗втАм

тАля║Чя╗Ья╗оя╗│я╗ж ╪зя╗Яя╗дя╗Мя║О╪пя╗Яя║Ф ╪зя╗Яя║Шя║оя║Ся╗┤я╗Мя╗┤я║Ф я╗гя║Шя╗░ ┘Пя╗Ля╗ая╗в я║Яя║м╪▒╪зя╗ля║ОтАм Forming the quadratic equation whose roots are known

─┐ ! C ┼о─┐ = ┬╢" + 5 + ┼Б5C : & 5 % &' b ' ; ,W H# ┬Г a5 ─┐=

┬╢"

:C % &' I 'R45

+ ┼Б5 `

─┐= ┬╢"

= e a╞Д┼о╞Д

─┐ = e a + 5 (e + a) тАУ ┼Б5

┬╢"

+5(

- = e + a╞Д╞Д┼о╞Д zOz 2 b b- Ogb 10" e ┼оa a

: ;,W b & 5 % &' ` тАля╗г┘Ая║Ь┘Ая║О┘ДтАм

тАл╪зя╗Яя║дя╗ЮтАм

; ,W ' % &' b A7 ─┐ = e a + 5 (e + a) тАУ ┼Б5 : & 5 % &' @ a╞Д ┼о┼А┼Б - = (┼В -) ┼Г = e a ┼о┼А = (┼В -) + ┼Г = e + a a ─┐ = ┼А┼Б тАУ 5 тАУ ┼Б5 : % &' ` тАля╗г┘Ая║Ь┘Ая║О┘ДтАм ┼Г-┼Б- ╞Д╞Д┼о╞Д╞Д ┼Б+┼Б- ╞Д╞Д: o 10" w b zOz 2 b b- Ogb is^ ├Н 5 +┼А -┼Б тАл╪зя╗Яя║дя╗ЮтАм

e ┼оa go b- Ogb 10" l_zb - ┼А * ┼Б+┼Б- =╞Ж╞Ж╞Д╞Д╞Дa V* =╞Д ┼Б ┼Г = -┼А +┼А - + ┼Б ┼Г-┼БV * тИТ = ┼А─┐ ┼Д = + ┼Б * -┼Б =╞Ж╞Ж ╞Д╞Д╞Дe ─┐ = ┼Б - ┼Б =╞Дe + a

┼Г = ┼Б ┼Г - = ┼Б - * ┼Б = e a╞Е┼о╞Е ─┐ = e a + 5 ( e + a ) + ┼Б5 ╞Д╞Д: e ┼о a o 10" w b zOz 2 b b- Ogb a ─┐=┼Г+┼Б5 `

3 тАля║Х я╗ля╗о я║Гя║гя║к я║Яя║мя║ня╗п я╗гя╗Мя║Оя║йя╗Яя║Ф я║Чя║оя║Ся╗┤я╗Мя╗┤я║ФтАм┘з+┘й тАля║ХтАм+┘е тАля║Зя║ля║Н я╗Ыя║Оя╗зя║ЦтАм

тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм ┼В + ┼В ╞Д┼о╞Д ┼В -┼А

тАля║ЯтАм

: py10" zfscOg w y gf d^ wV zOz 2 b b- Ogb is^ ├Н 5 ┼И╞Д┼о╞Д ┼И - тАл╪итАм ┼Д-╞Д┼о╞Д┼В тАл╪гтАм

тИТ

) - ┼Б5

┼В- ┼о┼Г o 10" w b zOz 2 b b- Ogb is^ 4

тАля║ХтАм+┘б

тАл я╗Уя║Дя╗ня║Яя║к я╗ля║м┘З я║Ня╗Яя╗дя╗Мя║Оя║йя╗Яя║ФтАм╪МтАля╗гя╗Мя║Оя╗гя╗╝я║Чя╗мя║О я║Гя╗Ля║кя║Ня║й я║гя╗Шя╗┤я╗Шя╗┤я║ФтАм [┘а=┘е+тАля║▒тАм┘д-┘втАл я║▒тАм: тАл]я║Ня╗╣я║Яя║Оя║Ся║ФтАм

:; & H 4

:- " L тИТ %&!< "

‫ ‪ ]" 3 &$ #$ 8 3 " #$ P8 H %&#‬‬

‫‪ÉgQòL º∏Y ≈àe á«©«HôàdG ádOÉ©ªdG øjƒμJ :º∏©J‬‬

‫ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ ﻝ‪ ،‬ﻡ‬ ‫ﻛﺎﻵﺗﻰ‪) :‬ﺱ ‪ -‬ﻝ()ﺱ ‪ -‬ﻡ( = ‪٠‬‬ ‫ﻭﺑﻔﻚ ﺍﻷﻗﻮﺍﺱ‪ :‬ﺱ‪) - ٢‬ﻝ ‪ +‬ﻡ( ﺱ ‪ +‬ﻝ ﻡ = ‪٠‬‬ ‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪ zOz 2 b a r.b DO zk'kf lf Nsg#f d gy 1r #gb d_;b :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬ ‫ ‪.(Ł ŮĿ) Ů (Ł- ŮĿ) lz G[kb pkf d^ 2gy w b‬‬ ‫ ‪a r.b m0o lf b - d^ .N Z ."r‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ ‬ ‫‪* +‬‬

‫‪iôNCG á«©«HôJ ádOÉ©e á«eƒ∏©ªH á«©«HôJ ádOÉ©e øjƒμJ‬‬

‫‪C‬‬

‫*‬ ‫‪C‬‬ ‫ ‬

‫‪+− *− C−‬‬ ‫‪C−‬‬ ‫‪*−‬‬ ‫‪+−‬‬ ‫‪D−‬‬ ‫‪E−‬‬ ‫‪F−‬‬ ‫‪G−‬‬

‫‪Forming a quadratic equation from the roots of another equation‬‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪ zOz 2 b b- Ogb is_V Ŀ = ŀ – 5 ł – Ł5 Ł b- Ogb t10" e Ůa i ^ / 6‬‬ ‫ ‪.Łe ŮŁa o 10" w b‬‬

‫‪?HOA 7 < *7& " =- 8 ,6‬‬ ‫‪ 5‬أ ﺱ‪٢ + ٢‬ﺱ ‪٠ = ١٥ -‬‬ ‫ب ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻰ‪ :‬ﺱ‪٠= ٢٥ + ٢‬‬ ‫ﺟ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻰ‪ :‬ﺱ‪٠= ٩ + ٢‬‬

‫‪ −‬‬

‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ '& ‪ŀ - = e a Ů ł = ł- -= e + a :ŀ- = ¶" Ůł - = ŮŁ = C ƅA `? & 5 &' %‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł Ł‬‬ ‫ '& ‪e a Ł – Ł(e + a) = Łe + Ła u ŀŁ −= ; W , łŁ = ; + W A `? & 5 5 M' %‬‬ ‫` ‪( ŀŁ -) * Ł – Ł( łŁ ) = e a Ł - Ł( e + a ) = Łe + Ła‬‬ ‫‪ŀł Ń ň‬‬ ‫‪ň‬‬ ‫‪ƄƄ‬‬ ‫= ‪Ń = Ń + Ń =ŀ+ Ń‬‬

‫‪(e a) =ƆƆ ƆƄŁeŁa a‬‬

‫ﻻﺣﻆ أن‬

‫‪Ł‬‬

‫‪; W* − *c; + Wd = *; + *W‬‬

‫` ‪ŀ = Ł( ŀ -) =ƆƆ ƆƄŁeŁa‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪á«aÉ°VEG äÉÑjQóJ‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ‪:‬‬ ‫أ ‪-‬ﺕ‪ ،‬ﺕ‬ ‫]ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‪ :‬ﺱ ‪[٠ = ١ +‬‬ ‫ب ‪ + ١‬ﺕ‪ - ١ ،‬ﺕ ]ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‪ :‬ﺱ‪٢ - ٢‬ﺱ ‪[٠ = ٢ +‬‬ ‫ﺟ ‪ + ٢‬ﺕ ‪ - ٢ ،‬ﺕ‬ ‫]ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‪ :‬ﺱ‪ ٢ ٢ - ٢‬ﺱ ‪[٠ = ٣ +‬‬ ‫د ‪٢‬ﺕ ‪٣- ،‬ﺕ ]ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‪ :‬ﺱ‪ + ٢‬ﺕ ﺱ ‪[٠ = ٦ +‬‬

‫ ‪Ŀ = gp 2B d> & + 5 (ly10#b Msg#f) – Ł5 : zOz 2 b b- Ogb Sz> wV DysO b‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪D % &' I e5‬‬ ‫‪Ŀ = ŀŃ + 5 ŀł‬‬ ‫‪Ń - 5‬‬ ‫` '& ‪Ŀ = Ń + 5 ŀł – Ł5 ŃƄ: 5 M' & 5 %‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪?HGA 7 < B 1 # & 8 ,6‬‬ ‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺗﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫ﺹ = ‪C‬ﺱ‪ + ٢‬ﺏ ﺱ ‪ +‬ﺟـ ﻭﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ﻧﻘﺎﻁ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻛﻞ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺑﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻢ ‪ ،C‬ﺏ‪ ،‬ﺟـ‬ ‫ﻭﺑﺬﻟﻚ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻛﻞ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﻭﻫﻰ‪:‬‬ ‫ﺍﻷﺣﻤﺮ‪ :‬ﺩ)ﺱ( = ﺱ‪٤ - ٢‬‬ ‫ﺍﻷﺯﺭﻕ‪ :‬ﺩ)ﺱ( = ‪) ٣٢‬ﺱ‪(٤ - ٢‬‬ ‫ﺍﻷﺳﻮﺩ‪ :‬ﺩ)ﺱ( = ‪)٢‬ﺱ‪(٤ - ٢‬‬ ‫ﻋﻠ ًﻤﺎ ﺑﺄﻥ ﺟﻤﻴﻊ ﻫﺬه ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺎﺕ ﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ‬ ‫)‪(٠ ،٢) ،(٠ ،٢-‬‬ ‫ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﻋﺮﺽ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻃﻼﺑﻚ‪ ،‬ﺛﻢ‬ ‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺻﺤﺘﻬﺎ‪:‬‬ ‫ﻝ‪ + ٢‬ﻡ‪) = ٢‬ﻝ ‪ +‬ﻡ(‪ ٢ - ٢‬ﻝ ﻡ‬ ‫)ﻝ ‪ -‬ﻡ(‪) = ٢‬ﻝ ‪ +‬ﻡ(‪٤ - ٢‬ﻝ ﻡ‬ ‫‪ ١ ١‬ﻝ‪+‬ﻡ‬ ‫ﻝ ‪ +‬ﻡ = ﻝ ﻡ‬ ‫ﻝ ﻡ ﻝ‪ + ٢‬ﻡ‪) ٢‬ﻝ ‪ +‬ﻡ(‪٢ - ٢‬ﻝ ﻡ‬ ‫‪ = +‬ﻝﻡ =‬ ‫ﻝﻡ‬ ‫ﻡ ﻝ‬ ‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪?HGA 7 < *7& " =- 8 ,6‬‬ ‫‪ 6‬أ ﺱ‪٣ + ٢‬ﺱ ‪ ٠ = ٢ -‬ب ‪٢‬ﺱ ‪١٣ +‬ﺱ ‪٠ = ٢ +‬‬ ‫ﺟ ‪٤‬ﺱ‪٤ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ٣ -‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪rq‬‬

‫)‬

‫‪E‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫‪Ł‬‬ ‫^‪:w Ē ^ pkf d^ 10" w b zOz 2 b Đ- Ogb is‬‬ ‫‪Í Ŀ = ŀ – 5 ł – 5 Ł [ 7b b- Ogb wV 6‬‬ ‫‪e a‬‬ ‫أ ‪ŀ ŀ‬‬ ‫ب‬ ‫ﺟ ‪eaŮe+a‬‬ ‫‪Ů‬‬ ‫‪Ů‬‬

‫‪a‬‬

‫‪e‬‬

‫‪a‬‬

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫‪: o 10" w b zOz 2 b b- Ogb is^ { y gf d^ wV 1‬‬ ‫أ ‪ŃŮł‬‬ ‫‪ł Ń‬‬

‫ب ‪ł Ł- Ů ł ń‬‬

‫ﺟ ‪ Ł -łŮ Ł +ł‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫‪.Łe ŮŁa o 10" w b zOz 2 b b- Ogb is_V‬‬ ‫‪Í Ŀ = ń- 5ł + 5 b- Ogb 10" go e Ůa i ^ / 2‬‬

‫=* < ‪ 3 ' 1 − : M‬‬

‫‪NK‬‬

‫‪º««≤àdGh ÖjQóàdG‬‬ ‫‪] ^4 ) _ 7& 8 ,6‬‬ ‫‪ 1‬أ ‪١٢‬ﺱ‪٢٥ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ١٢ +‬‬ ‫ب ﺱ‪ ٣ ٣ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ٣٠ -‬‬ ‫ﺟ ﻝ ‪ +‬ﻡ = ‪ ، ٣-‬ﻝ ﻡ = ‪ ، ٥‬ﺱ‪٣ + ٢‬ﺱ ‪٠ = ٥ +‬‬ ‫‪ 2‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻰ‪ :‬ﺱ‪١٩ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ٢٥ +‬‬

‫‪:ø«bƒØàªdG ÜÓ£∏d ≈FGôKEG •É°ûf‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ‪ ،‬ﻡ ﺟﺬﺭﻳﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﻴﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪٢‬ﺱ‪٨ - ٢‬ﺱ ‪ ٠ = ٥ +‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ ﻟﻠﻤﻘﺪﺍﺭ‬ ‫‪٢ ٣‬‬ ‫‪٣‬ﻝ‪٢‬ﻡ‪٣ + ٣‬ﻝ ﻡ‬ ‫‪º««≤àdG‬‬

‫‪ 1‬ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺸﺮﻁ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﻴﻜﻮﻥ ﺍﺣﺪ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪:‬‬ ‫‪ C‬ﺱ‪ + ٢‬ﺏ ﺱ ‪ +‬ﺟـ ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺃﻣﺜﺎﻝ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻵﺧﺮ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ ﻡ ﺟﺬﺭﻳﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﻴﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪٣‬ﺱ‪٦ - ٢‬ﺱ ‪ ٠ = ٢ -‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ﻝ ﻡ‬ ‫ﺟﺬﺭﻫﺎ ‪،‬‬ ‫ﻡ‬

‫ﻝ‬

5-1

‫إﺷﺎرة اﻟﺪاﻟﺔ‬

‫إﺷﺎرة اﻟﺪاﻟﺔ‬ Sign of a Function

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

9 YA ( =' : 7 < /' :Y!' f [> ~/1 : L , + - 9 YA ( =' : L + ; L & 5 F ( =' : Y + "t 5 " YA L 89 /' L'

YA c 8_ ,{ M4 h + "t 5 } E : , ;{* M 7 } Y + -

:() :&A C B # M ( = () DC < E 7 89 F ;W 1 f [> R 

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﻓﻜﺮ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ First: The sign of the Constant Function

áàHÉãdG ádGódG IQÉ°TEG :’hCG

.I ǽ 5 d_b ¶" 1 : 8Wj wo (Ŀ ! ¶") ¶" = (5)- z& - b b .b 1 : .- b .b 1 : (Bsy wb b d_;b r

Ŀ > ¶" I ǽ 5 d_b b 6 b .b

Ŀ < ¶"

:H$ '= Z ^Y dG 8 3 " − * 3 2 8 3 " − a

ُ ‫ﺳﺎﺳﻴ‬.‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا‬ ُ ‫ّﺔ‬

Sign of a function

" Z ^Y

Constant Function

* _ "

`a 8 3 "b M[ " Linear Function

` 8 3 "b # J " Quadratic Function

I ǽ 5 d_b "sf b .b

‫دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬.‫ا‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

ņ- = (5)- ‫ب‬

; ! 1o f [> R 

+ - - + - f [>

; <&A +- X

I ;: ! %&! - :Y98 ! - ZC Y< - [ +< \ !

" # :- " L

$ % ٢٤ ‫ ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬٢٢ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ‬ ١٢ ‫ ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬١١ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻷﻧﺸﻄﺔ ﻭﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ‬ .(‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ‬

¢SQódG äGAGôLEG ó«¡ªàdG

‫ﻓﻜﺮ وﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﻣﺆﻛﺪﺍ‬ "‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻲ ﺑﻨﺪ "ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ‬ ً .‫ﻋﻠﻰ ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﻘﺼﻮﺩ ﺑﺈﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬

‫و‬

V2O r Ů zj b "1.b b -r wbrĔ "1.b b .b wj z b dz g b 61- i \ 6 ?a r.b m0o lf d^ 1 : ' `k_gy dpV . b - d^ wk'kgb e Ob d_;b wcN is_ w b (5 a #f) 5 2zS gb hzZ .y.' so b .b 1 : ' -s?[gb :w Ē s'kb wcN - b .b hzZ o.kN Ŀ < (5)t , 0 Ŀ > (5)t , 0 = Ŀ = (5)- au ? R

; f [> R 

5-1

Sign of a Function

:- " L − %&!< "

: z Ē a r.b lf d^ 1 : lzN 1 ń = (5)- ‫أ‬

‫اﻟﺤﻞ‬

I ǽ 5 d_b "sf b .b 1 : ` I ǽ 5 d_b b 6 b .b 1 : `

Ŀ < (5)- a ‫أ‬ Ŀ > (5)- a ‫ب‬ −

‫‪ 3 Z ^Y‬‬

‫‪¢SQódG ¢VôY‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪: b 6‬‬ ‫‪:5 V S F; 9 54 n 0 *0B‬‬ ‫‪ 1‬ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﻳﺘﻘﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺜﻼﺛﻰ ﺍﻟﺒﺴﻴﻂ‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺮﻛﺐ‪ ،‬ﻭﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ‬ ‫ﻣﺠﻬﻮﻝ ﻭﺍﺣﺪ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﻳﺘﻘﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻔﺘﺮﺍﺕ ﺍﻟﻤﻐﻠﻘﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﻔﺘﻮﺣﺔ ﻭﻋﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻭﺍﻻﺗﺤﺎﺩ ﻭﺍﻟﻔﺮﻕ‬ ‫ﻭﺍﻹﻛﻤﺎﻝ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺎﺕ‪.‬‬ ‫‪ 3‬ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﺪﻯ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻟﻤﻬﺎﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺑﺮﺍﻣﺞ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺳﻮﺏ ﻓﻲ ﺭﺳﻢ ﺩﻭﺍﻝ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺍﻟﺪﺭﺟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪.‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‪ :‬إﺷﺎرة اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ‬

‫‪: z Ē a r.b lf d^ 1 : lzN 1‬‬ ‫أ ‪Ł - = (5)-‬‬ ‫‪ł‬‬

‫ب ‪ń = (5)-‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪(á«£îdG ádGódG) ≈dhC’G áLQódG ádGO IQÉ°TEG :Ék«fÉK‬‬ ‫‪Ŀ ! ƄŮƄ¶" + 5 = (5)- wo - b .b .N Z‬‬ ‫‪.- b .b 1 : (Bsy wb b wj z b d_;b r‬‬

‫ ‬

‫)‬

‫ ‬ ‫‪ −‬‬ ‫ ‬

‫‪c d % P I‬‬ ‫ ‬

‫‪ −‬‬ ‫ < ‬

‫'‬

‫ ‪: 4 E6 I‬‬ ‫ﺍﺑﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺘﻴﻦ‪:‬‬ ‫ب‬ ‫أ ﺩ)ﺱ( = ‪٢‬ﺱ ‪٣ -‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ‪٣ - ٦‬ﺱ‬ ‫ ‪*7‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫أ ﺱ = ‪ ٢‬ﺗﺠﻌﻞ ﺩ)ﺱ( = ‪٠‬‬ ‫∞‬

‫ ‪? A‬‬ ‫ ‬

‫‪z& - b .b 1 : lzN 2‬‬

‫‪rr‬‬

‫‪ −‬‬ ‫ ‬

‫‪'−‬‬

‫)‬

‫اﻟﺤﻞ‬

‫‪+‬‬ ‫*‬

‫‪Ł – 5 = (5)-‬‬

‫‪: b .b .N Z‬‬ ‫‪: b .b h61‬‬ ‫‪Ł = 5 i V‬‬ ‫‪Ŀ = (5)- f.kN‬‬ ‫‪Ł - = (5)- i V‬‬ ‫‪Ŀ = 5 f.kN‬‬ ‫ ‪:H# 9 = A‬‬ ‫½ ‪Ł < 5 f.kN "sf b .b‬‬

‫‪C‬‬ ‫ ‪+‬‬

‫‪+− *− C−‬‬ ‫‪C−‬‬ ‫‪*−‬‬ ‫‪+−‬‬

‫* ‪C‬‬

‫½ ‪Ł = 5 f.kN Ŀ = (5)- b .b‬‬ ‫½ ‪Ł > 5 f.kN b 6 b .b‬‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪. zÊ j z `b/ (zBs Pf Ń – 5Ł - = (5)- b .b 1 : lzN 2‬‬

‫‪NO‬‬

‫=* < ‪ 3 ' 1 − : M‬‬

‫‪á«©«HôàdG ádGódG IQÉ°TEG :ÉãdÉK‬‬

‫‪Third: Sign of the Quadratic Function.‬‬

‫‪Ŀ ! C Ů ¶" + 5 + Ł5 C = (5)- z& Ů- zOz 2 b b .b 1 : lzzO b‬‬

‫ ' ‪:H / L J = + + Ł C % &' x‬‬ ‫!‬ ‫‪wV g^ b .b 1 : is_ e > a i A2W r Ůe Ůa i z[z[& i 10" b- Ogcb ."sy qj V Ŀ < ¶" CŃ – Ł Ű" #‬‬ ‫ ‪: z Ē a _:Ĕ‬‬ ‫)‬

‫ ‬

‫;‬

‫ ‬

‫)‬

‫‪W‬‬

‫ ‬

‫;‬

‫‪ ( & P } a < Ŀ * ( & P I ( c d % P I‬‬ ‫ '‬ ‫;‬

‫*‬

‫‪W‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫ ( ‪ ( & P I‬‬

‫‪W‬‬

‫‪'−‬‬

‫*‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪.- b .b 1 : lzN h ł – 5 Ł – 5 = (5)- z& Ů- zÊ j z d f 3‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫‪Ŀ = ł – 5 Ł – Ł5Ƅ: % &' ( 1 5‬‬ ‫‪Ŀ = (ŀ + 5) (ł - 5)ƄƄƄƄƄƄƄƄ‬‬ ‫ ‪ł Ůŀ- : % &' b H 7‬‬

‫ ‪:H# 9 = A‬‬ ‫½ ‪[ł Ůŀ -] – % ǽ 5 f.kN Ŀ < (5)-‬‬ ‫½ ‪] ł Ůŀ – [ ǽ 5 f.kN Ŀ > (5)-‬‬ ‫½ ‪{ł Ůŀ -} ǽ 5 f.kN Ŀ = (5)-‬‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪.- b .b 1 : lzN h Ņ + 5 – Ł5 = (5)- z& Ů- zÊ j z d f 3‬‬

‫‪O‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪ −‬‬ ‫ > ‬

‫‪: zÊ j z `b/ (zBs Pf Ł – 5 = (5)-‬‬

‫‪- - - - - - - - + + + + + +‬‬ ‫∞‬‫‪H− G−‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫ < ‪ ( & P } a‬‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪?HWA 7 < *7& " =- 8 ,6‬‬ ‫‪ 1‬أ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ﺡ‬ ‫ب ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ﺡ‬

‫‪ 2‬ﻧﺨﺘﺎﺭ ﻗﻴﻢ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻓﺘﺮﺓ‪ ،‬ﻭﻧﻌﻮﺽ ﺑﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‪،‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺇﺷﺎﺭﺗﻬﺎ‪.‬‬

‫ ‬

‫‪ −‬‬ ‫ ‬

‫ ( ‪ ( & P I‬‬

‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫& ‪:/‬‬ ‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﻋﻨﺪ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‪ ،‬ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺗﺒﺎﻉ‬ ‫ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﻧﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‪ ،‬ﻭﻧﻘﺴﻢ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻓﺘﺮﺍﺕ ﺣﺴﺐ ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪.‬‬

‫‪Ů‬‬

‫)‬

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﺑﺘﻪ ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ‬ ‫ﺑﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻲ ﺻﻔﺤﺔ )‪ (٢٢‬ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‪.‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‪ :‬إﺷﺎرة داﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ ا‪.‬وﻟﻰ‪:‬‬

‫‪Second: Sign of the Linear Function‬‬ ‫"¶‬ ‫‪Ŀ = (5)- f.kN - = 5‬‬

‫ ‪N‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫)‬

‫ ‬ ‫‪C * + D‬‬

‫‪+‬‬ ‫*‬ ‫‪C‬‬ ‫ ‪+− *− C−‬‬ ‫‪C−‬‬ ‫‪*−‬‬ ‫‪+−‬‬ ‫‪D−‬‬

‫>[ ‪ f‬‬ ‫‪ 3 Z ^Y‬‬

‫‪a _:Ĕ r ŮŁ5 df Of 1 : d f - b .b 1 : is_ r Ů z[z[& 1r0" ."s Đ qj V Ŀ > ¶" CŃ – Ł :i ^ / : ! $‬‬ ‫ ‪.`b/ (Bs zb b‬‬ ‫)‬

‫)‬

‫ ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‪ :‬إﺷﺎرة داﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪?HA = I C4‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﺤﻞ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺑﺎﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻛﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬

‫ ‬

‫ ‪Ŀ > C : j ^ /‬‬ ‫‪I ǽ 5 d_b Ŀ > (5)-‬‬

‫ ‪Ŀ < C : j ^ /‬‬ ‫‪I ǽ 5 d_b Ŀ < (5)-‬‬

‫∞‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫)‬

‫‪.- b .b 1 : lzN h ń + 5Ń – Ł5 = (5)- z& - zÊ j z d f 4‬‬

‫‪F‬‬

‫اﻟﺤﻞ‬

‫‪E‬‬

‫ ‪ń *ŀ * Ń – Ł(Ń-) = (¶" C Ń –Ł ) 4zggb‬‬ ‫‪Ŀ > Ń - = ŁĿ – ŀŅ =ƄƄ‬‬ ‫‪ z[z[& 1r0" pb 8zb Ŀ = ń + 5Ń – Ł5 b- Ogb i V `b0b‬‬ ‫ ‪(Ŀ < Ł5 df Of iĔ) I ǽ 5 d_b "sf b .b 1 :‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪+‬‬ ‫*‬ ‫‪C‬‬ ‫ ‪E‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪D‬‬

‫‪+‬‬

‫*‬

‫‪C‬‬

‫‪.- b .b 1 : lzN h Ń – 5Ł – Ł5 – = (5)- z& Ů- zÊ j z d f 4‬‬ ‫‪:w Ē ^ - b .b 1 : is_ r Ůa tr 7y gpkf d^ l_zbr Ůi yr 7 f i 10" b- Ogcb ."sy qj V Ŀ = ¶" CŃ – Ł :i ^ / : ! $‬‬ ‫½ ‪a = 5 f.kN Ŀ = (5)-‬‬ ‫½ ‪a ! 5 f.kN C 1 : d f‬‬ ‫‪.`b/ (Bs z Ē a _:Ĕ r‬‬ ‫)‬

‫)‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪W‬‬

‫ ‬

‫ ‪Ŀ > C : j ^ /‬‬ ‫)‪Ůa ! 5 d_b Ŀ > (5‬‬‫‪a = 5 f.kNĿ = (5)-‬‬

‫ ‪Ŀ < C : j ^ /‬‬ ‫)‪Ůa ! 5 d_b Ŀ < (5‬‬‫‪a = 5 f.kN Ŀ = (5)-‬‬

‫>‪N‬‬

‫=* < ‪ 3 ' 1 − : M‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪+ ++ - - - - - - - - - - - + ++‬‬

‫ ‪? A‬‬ ‫ ‪f‬‬

‫‪W‬‬

‫‪H‬‬

‫‪O‬‬

‫‪G‬‬

‫ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻤﺎ‪٣ ،١- :‬‬ ‫ ﺩ)ﺱ( = ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪٣ ،١-‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪ : ٢-‬ﺩ)ﺱ( = )‪٠ < (١ + ٢-)(٣ - ٢-‬‬ ‫ﻓﺘﻜﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪ : ٠‬ﺩ)ﺱ( = )‪٠ > (١ + ٠)(٣ - ٠‬‬ ‫ﻓﺘﻜﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪ : ٤‬ﺩ)ﺱ( = )‪٠ < (١ + ٤)(٣ - ٤‬‬ ‫ﻓﺘﻜﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ‬ ‫‪Hf D *7& " =- 8 ,6‬‬ ‫` ﺗﺠﻌﻞ ﺩ)ﺱ( = ‪٠‬‬ ‫‪ 3‬ﺱ‪ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ٦ +‬‬ ‫)ﺱ ‪)(٢ -‬ﺱ ‪ ٠ = (٣ -‬ﺗﺠﻌﻞ ﺩ)ﺱ( = ‪٠‬‬ ‫ﺱ = ‪ ٣ ،٢‬ﺗﺠﻌﻞ ﺩ)ﺱ( = ‪٠‬‬ ‫ ‪? A‬‬

‫ﺍﺧﺘﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻜﻞ ﻓﺘﺮﺓ ﻭﺍﺑﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‪:‬‬ ‫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪ ٠‬ﺩ)ﺱ( = ‪٠ > ٣ - ٠ * ٢‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻓﻲ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ > ‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪ ٢‬ﺩ)ﺱ( =‪٠ < ٣ - ٢ * ٢‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ < ‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ب ﺱ = ‪ ٢‬ﺗﺠﻌﻞ ﺩ)ﺱ( = ‪٠‬‬ ‫ ‪? A‬‬ ‫ ‬

‫‪O‬‬ ‫ ‪+ ++ + + + ++ + + - - - - - - - - -‬‬‫‪O‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪f‬‬

‫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪ ٠‬ﺩ)ﺱ( = ‪٠ < ٠ - ٦‬‬ ‫ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ > ‪٢‬‬ ‫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪٢ ٣‬ﺩ)ﺱ( = ‪٠> ٩ - ٦‬‬ ‫ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ < ‪٢‬‬ ‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪HW 7 < *7& " =- 8 ,6‬‬ ‫‪ 2‬ﺩ)ﺱ( = ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪٢-‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( > ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ < ‪٢-‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( < ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ > ‪٢-‬‬

‫‪H− G−‬‬

‫‪∞-‬‬

‫∞‬

‫ ‬

‫‪+ ++ + + - - - - - + ++ + +‬‬

‫‪f‬‬

‫‪W‬‬

‫‪H‬‬

‫‪∞- G‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪ : ١‬ﺩ)ﺱ( = ‪٠ < ٦ + ١ - ١‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪ : ٢ ١٢‬ﺩ)ﺱ( = ) ‪٠ > (٣ - ٢ ١٢ )(٢ - ٢ ١٢‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪ : ٤‬ﺩ)ﺱ( = )‪٠ < (٣ - ٤)(٢ - ٤‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻓﻲ ﺡ ‪ ،[٣ ،٢] -‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻓﻲ [‪]٣ ،٢-‬‬ ‫‪Hf D *7& " =- 8 ,6‬‬ ‫‪ 4‬ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = ‪٠ > ١٦ - ٤ = ٤- * ١- * ٤ - ٤‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ‪ ٠ = ٢‬ﻓﺘﻜﻮﻥ ﺩ)ﺱ( > ‪٠‬‬ ‫ﻟﺠﻤﻴﻊ ﻗﻴﻢ ﺱ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ ‪? A‬‬ ‫∞‬

‫ ‬

‫‪- --- -- --- -- ---‬‬

‫‪*7& " =- 8 ,6‬‬ ‫‪٤- a 5‬ﺱ‪١٢ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ٩ -‬‬ ‫` ‪٤‬ﺱ‪١٢ + ٢‬ﺱ ‪٠ = ٩ +‬‬ ‫ ﺃﻯ )‪٢‬ﺱ ‪٠ = ٢(٣ +‬‬ ‫‪ ٣‬ﺗﺠﻌﻞ ﺩ)ﺱ( = ‪٠‬‬‫ﺱ= ‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬‫ﺱ = ﺡ ‪ { ٢ }-‬ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺩ)ﺱ( > ‪٠‬‬ ‫ ‪? A‬‬ ‫∞ ‬

‫_ ‪ :- " L − # M .‬‬

‫‪∞-‬‬

‫‪- --- --- -- - -- - -- - -‬‬‫‪٣‬‬‫‪٢‬‬

‫‪∞-‬‬

‫‪rs‬‬

‫‪º««≤àdGh ÖjQóàdG‬‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪] ^4 ) _ 7& 8 ,6‬‬ ‫‪ 1‬أ ﺩ)ﺱ( = ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪.- b .b 1 : lzN h Ů ŀ + 5Ń – Ł5 Ń= (5)- z& - zÊ j z d f 5‬‬

‫‪E‬‬

‫اﻟﺤﻞ‬

‫‪D‬‬

‫ ‪ŀ * Ń * Ń – (Ń-) = (¶" CŃ – ) 4zggb‬‬ ‫‪Ŀ = ŀŅ – ŀŅ =ƆƄƄƄƄƄƄƄƄƄ‬‬ ‫‪.i yr 7 f i 10" pbƄĿ = ŀ + 5Ń – Ł5 Ń b- Ogb i V `b0b‬‬ ‫‪Ŀ = Ł(ŀ – 5Ł) :( 1 5‬‬ ‫‪ŀ = 5 is_ Ŀ = ŀ – 5ŁƄƄ:2z 5‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫ﺩ)ﺱ( < ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ < ‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( > ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ > ‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪Ů ŀŁ ! 5 f.kN Ŀ < (5)-‬‬

‫‪+‬‬ ‫*‬ ‫‪C‬‬ ‫‪+‬‬

‫*‬

‫‪C‬‬

‫‪*− C−‬‬

‫)‪ŀ = 5 f.kN Ŀ = (5‬‬‫‪Ł‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪.- b .b 1 : lzN h ň – 5ŀŁ – Ł5 Ń – = (5)- z& Ů- zÊ j z d f 5‬‬

‫ب ﺩ)ﺱ( = ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪٤‬‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫ﺩ)ﺱ( < ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ <‪٤‬‬

‫‪lzWc +f lzz[z[& ƄƄ2W> = ł- ] + 5 ] - Ł5ŁƄƄ b- Ogb 10" is_y I ǽ 5 hzZ Pzg#b qj 6‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫ ‪ŁŃ+ ]Ň - ] = (ł - ]) * Ł * Ń - (]-) = (¶"CŃ - ) 4zggb‬‬ ‫?‪ 0! x '' H / I A a < A 4 4 % &' b H 7‬‬ ‫= = ]‪ŁŃ+ ]Ň - Ł‬‬ ‫ ‪ P I 10‬‬ ‫ ‪: Ŀ = ŁŃ + ]Ň - Ł]Ƅ % &' x ' H 7‬‬ ‫)‪Ŀ > łŁ- = ňŅ - ŅŃ = ŁŃ * ŀ * Ń - Ł(Ň-‬‬ ‫‪ z[z[& 1r0" pb 8zb‬‬ ‫]‪Ŀ = ŁŃ+ ]Ň - Ł‬‬ ‫ ‪ % &' HL b‬‬ ‫‪?( / gb) I ǽ 5 d_b "sf‬‬ ‫= = ]‪ŁŃ+ ]Ň - Ł‬‬ ‫` ‪ P I‬‬ ‫‪I ǽ 5 d_b "sf‬‬ ‫ ‪2W> = ł- ] + 5 ] - Ł5Ł % &' x ' H 7‬‬ ‫&[‪I ǽ 5 d_b i Wc +f i z[z‬‬ ‫‪Ŀ = ł - ] + 5 ] - Ł5Ł‬‬ ‫` ‪ % &' b‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫ﺩ)ﺱ( > ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ >‪٤‬‬ ‫ﺟ ﺩ)ﺱ( = ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = }‪{٢ ،٢-‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( < ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ∋ [‪]٢ ،٢-‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( > ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ∋ ﺡ ‪[٢ ،٢-] -‬‬

‫‪Ł‬‬

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬

‫د ﺩ)ﺱ( = ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = }‪{١ ،١-‬‬

‫‪: z Ē a r.b lf b - d^ 1 : lzN 1‬‬ ‫أ ‪ł - 5Ł = (5)-‬‬

‫ﺩ)ﺱ( < ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ∋ [‪]١ ،١-‬‬

‫د ‪5 - ŀ = (5)-‬‬

‫‪Ł‬‬

‫ب ‪5 - Ń = (5)-‬‬ ‫ﻫ ‪5 + 5Ń + Ń = (5)-‬‬

‫‪Ł‬‬

‫ﺟ ‪Ń - Ł5 = (5)-‬‬ ‫و ‪Ń + Ł5Ł - 5ł = (5)-‬‬

‫ﺩ)ﺱ( > ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ∋ ﺡ ‪[١ ،١-] -‬‬ ‫@‪N‬‬

‫ﻫ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = ‪٠ = ٤ * ١ * ٤ - ١٦‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪٢-‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫ ﺑﻮﺿﻊ ﺱ = ‪ ٤-‬ﺗﻜﻮﻥ ﺩ)ﺱ( = ‪٠ > ١- * ٦- * ٤-‬‬ ‫` ﺩ)ﺱ( > ‪ ٠‬ﻓﻰ [‪]٣- ، ∞-‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( < ‪ ٠‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ∋ ﺡ ‪{٢-} -‬‬ ‫ ﺑﻮﺿﻊ ﺱ = ‪ ٤-‬ﺗﻜﻮﻥ ﺩ)ﺱ(= ‪٠ < ٢ * ٣- * ١-‬‬ ‫و ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = ‪٠ > ٤ * ٣ * ٤ - ٤‬‬ ‫` ﺩ)ﺱ( < ‪ ٠‬ﻓﻰ [‪]٠ ، ٣-‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ‪ ٠‬ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ﺡ‬ ‫ ﺑﻮﺿﻊ ﺱ = ‪ ١‬ﺗﻜﻮﻥ ﺩ)ﺱ( = ‪٠ > ٤ * ١- * ١‬‬ ‫` ﺩ)ﺱ( > ‪ ٠‬ﻓﻰ [‪]٢ ، ٠‬‬ ‫‪ø«bƒØàªdG ÜÓ£∏d á«FGôKEG á£°ûfCG‬‬ ‫‪ 1‬ﺍﻛﺘﺐ ﻣﻠﺨﺼﺎ ﻣﻦ ﻋﻨﺪﻙ ﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺑﻮﺿﻊ ﺱ = ‪ ٢‬ﺗﻜﻮﻥ ﺩ)ﺱ( = ‪٠ < ٦ * ١ * ٣‬‬ ‫ً‬ ‫` ﺩ)ﺱ( < ‪ ٠‬ﻓﻰ [‪]∞ ، ٢‬‬ ‫ﻓﻲ ﻛﻞ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ :"' -‬ﺍﺑﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ)ﺱ( = )ﺱ‪)(١-‬ﺱ‪)(٢-‬ﺱ‪(٣+‬‬

‫أ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪.‬‬ ‫ب ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‪.‬‬ ‫ﺟ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‪.‬‬

‫‪º««≤àdG‬‬

‫ ‪: = - ) *+ V b6 o78‬‬ ‫‪ 2‬ﻋﻨﺪ ﺑﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺩﻭﺍﻝ ﺃﻋﻠﻰ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻛﻤﺎ‬ ‫أ ﺩ)ﺱ( = ‪٤‬‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ‪ :‬ﺩ)ﺱ( = ﺱ )ﺱ ‪)(٢ -‬ﺱ ‪ (٣ +‬ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫ب ﺩ)ﺱ( = ‪٣‬ﺱ ‪٢ -‬‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩ)ﺱ( = ‪ ٠‬ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻭﻧﺒﺤﺚ‬ ‫ﺟ ﺩ)ﺱ( = ﺱ‪٢ + ٢‬ﺱ ‪٣ -‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﺭﺑﻊ ﻓﺘﺮﺍﺕ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻛﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫د ﺩ)ﺱ( = ﺱ‪٢ - ٢‬ﺱ ‪٣ +‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ﻫ ﺩ)ﺱ( =‪ ٤‬ﺱ‪١٢ - ٢‬ﺱ ‪٩+‬‬ ‫ ‪- - - + + + + + - - - - - + + + ? A‬‬ ‫ ‬

‫ ‪r‬‬

‫∞‬

‫‪H‬‬

‫‪O‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪W−‬‬

‫‪∞−‬‬

6-1 ‫ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮل واﺣﺪ‬

‫ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮل واﺣﺪ‬

6-1

Quadratic Inequalities

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

:á«©«HôàdG äÉæjÉÑàªdG

Quadratic Inequalities

()*$ 7 # T e *+ ' 23

ُ ‫ﺳﺎﺳﻴ‬.‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا‬ ُ ‫ّﺔ‬ e *$

Inequality

:() :&A C B # M ( = () DC < E 7 89 F

G F E D + * C

F− E− D− +− *− C− C− _ *−

ky gb d& Nsg#f ½ C * + D E F

)

; F Q E Y + "R 

I wV Ŀ > Ł - 5 - Ł5

]Ł Ůŀ-[ go

‫ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬

‫دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬.‫ا‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

E Y +

Ŀ < Ņ – 5ń – Ł5 : ky gb d& 1

‫اﻟﺤﻞ‬

: zb b sG+b P j ky gb m0o d'b :{ Ē ^ `b/r ky gb G 2gb zOz 2 b b .b _j :cCd P MO Ņ - 5ń - Ł5 = (5)-ƄƄ

<&A +- W X NA

;: ! %&! - :Y98 ! - ZC Y< - [ +< \ !

" # :- " L

$ % ٢٩ ‫ ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬٢٧ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ‬ ١٣ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻷﻧﺸﻄﺔ ﻭﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﺻﻔﺤﺔ‬ .(‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ‬

¢SQódG äGAGôLEG ó«¡ªàdG

‫ﻓﻜﺮ وﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﺍﺳﺘﻌﺮﺽ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻲ ﺑﻨﺪ "ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ" ﺻﻔﺤﺔ‬ ‫ﻣﺆﻛﺪﺍ ﻣﺘﻰ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ‬ ،‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬٢٧) ً ‫ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺮﺍﺩ‬ .‫ﻣﺘﺼﻼ ﻭﻣﺘﻰ ﻳﻤﻜﻮﻥ ﻣﺘﻘﻄ ًﻌﺎ‬ ،‫ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ‬ ً

‫ﻓﻜﺮ‬

:H# 9 (5 4' (7p A ky gb d& Nsg#f ½ I wV Ŀ < Ł- 5 - Ł5 ]' Ů Ł [ F ]ŀ- Ů '- [Ƅwo

)

‫و‬

m kOf ky gb d& i gcNr Ů.& r asp#f wV wbrĔ "1.b ky f 61- i \ 6 `k_gy dpV Ů 2 V 1s> wcN _ r Ů ky gb m0o \[' w b asp#gb hzZ Pzg" - #y ?.& r asp#f wV zj b "1.b ky f d& :H# " wb b d_;b (Bsf so g^ zOz 2 ky f wo Ŀ < Ł – 5 – Ł5 . ky gb m0p G 2gb zOz 2 b b .b wo Ł – 5 – Ł5 = (5)- gkz

, : Y + # M 7 ( *+ !1 Y + 7 6 - (2

; g ! -

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

:- " L − %&!< "

3 ' 1 − : M < *=

‫‪äGOÉ°TQEG‬‬

‫‪Ů Ņ - 5ń - Ł5 = (5)- z& - b .b 1 : 51.jƄ:c*d P MO‬‬ ‫‪Ŀ = (5)- PBs - .NĔ H* wcN p'BsjrƄƄ‬‬ ‫‪Ŀ = Ņ - 5ń - Ł5ƄƄ‬‬ ‫` )‪Ŀ = (ŀ + 5)(Ņ - 5‬‬ ‫‪ŀ- = 5Ƅ Ů ƄŅ = 5 ƄƄƄƄƄ‬‬

‫ﻗﺒﻞ ﺍﻟﺒﺪﺀ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﻳﺠﺐ ﻣﺮﺍﻋﺎﺓ ﻣﺎ ﻳﻠﻰ‪:‬‬ ‫ ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﻳﺘﻘﻦ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ‬ ‫ﻣﺠﻬﻮﻝ ﻭﺍﺣﺪ ﻭﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ‪.‬‬

‫ ‪J r‬‬

‫‪c d%‬‬

‫‪+++++‬‬

‫' ‬

‫‪F‬‬

‫‪r J‬‬ ‫= ‪r‬‬ ‫‪+++++ −−−−−−‬‬ ‫‪C−‬‬ ‫‪'−‬‬

‫‪Ŀ < Ņ - 5ń - Ł5 ky gb \[' w b 2 Wb -.' :c+d P MO‬‬

‫ ‬

‫ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﻳﺘﻘﻦ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻭﺗﻘﺴﻴﻤﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﻓﺘﺮﺍﺕ‪.‬‬

‫ ‬

‫ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﻳﺘﺪﺭﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻋﻠﻰ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﻔﺘﺮﺍﺕ ﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‪.‬‬

‫ ‬

‫ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﻳﺴﺘﻮﻋﺐ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻭﺍﻻﺗﺤﺎﺩ‬ ‫ﻭﺍﻟﻔﺮﻕ‪ ،‬ﻭﺫﻟﻚ ﻻﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﻓﻰ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﻔﺘﺮﺍﺕ ﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‪.‬‬

‫ ‬

‫ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﺪﻯ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻬﺎﺭﺓ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺑﺮﺍﻣﺞ ﺍﻟﺤﺎﺳﻮﺏ‬ ‫ﻓﻲ ﺭﺳﻢ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻭﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫ﻟﻬﺎ‪.‬‬

‫'‬

‫‪J‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C−‬‬

‫‪'−‬‬

‫‪]' ŮŅ[ F ]ŀ- Ů'-[ :wo ky gb d& Nsg#f is_zV‬‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫^‪: z Ē ky gb lf đ‬‬ ‫‪¹ d& 1‬‬ ‫أ ‪Ŀ < Ň – 5Ł + Ł5‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪.(ł + 5)ł – ŀĿH Ł(ł + 5) : ky gb d& 2‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫‪+‬‬

‫ '& ‪: >? 0 ' 5 M0- ' %‬‬ ‫‪:( I ( 1 5‬‬ ‫ ‪{ŀ - ŮŇ -} : % &' ( '9‬‬

‫ ‪ 4 E6 I‬‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ‪ - ١‬ﺱ < ‪٠‬‬ ‫ ‪*7‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‪ -١ :‬ﺱ =‪٠‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ‪ - ١) :‬ﺱ()‪ + ١‬ﺱ( = ‪٠‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ :‬ﺱ = }‪{١ ،١-‬‬ ‫ﻧﻘﺴﻢ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺇﻟﻰ ﻓﺘﺮﺍﺕ‬ ‫‪O‬‬

‫∞‬

‫‪O‬‬

‫ ‪- - - + + + + - -‬‬‫‪H‬‬

‫‪G‬‬

‫‪O‬‬

‫‪G−‬‬

‫‪∞− H−‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪ ٠ > ٤ - ١ :٢-‬ﻻ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪ ٠ < ٠ - ١ : ٠‬ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪ ٠ > ٤ - ١ : ٢‬ﻻ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻫﻰ [‪]١ ،١-‬‬ ‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪?H\A 7 < *7& " =- 8 ,6‬‬ ‫‪ 1‬أ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻮ ﺡ ‪[٢ ،٤-] -‬‬ ‫ب ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻮ [‪]٤ ،٣-‬‬

‫^‪r‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪(ł + 5)ł – ŀĿ H Ł(ł + 5) a‬‬ ‫` ‪ň – 5ł – ŀĿ H ň + 5Ņ + Ł5‬‬ ‫` ‪Ŀ H Ň + 5ň + Ł5‬‬ ‫‪Ŀ = Ň + 5ň + Ł5‬‬ ‫)‪Ŀ = (ŀ + 5)(Ň + 5‬‬

‫‪Ň + 5ň + Ł5 = (5)- b .b 1 : wb b - .NĔ H* (Bsyr +‬‬ ‫‪c d% P I‬‬ ‫ ‬

‫ ‪ 0‬‬ ‫‪* +‬‬

‫@‪ a‬‬

‫= ‪ 0‬‬

‫@‪ a‬‬

‫ ‪ 0‬‬

‫‪C*− CC−CJ− Y− − G− F− E− D− +− *− C− J C‬‬

‫‪[ŀ - ŮŇ -] : wo ky gb d& Nsg#f :i V `b/ wcNr‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‪ :‬ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﻧﻴﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬ ‫‪٢‬‬

‫ب ‪Ŀ < ŀŁ + 5 + Ł5‬‬

‫‪NB‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪?HmA [ ٨ +‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻮ[ ‪]١- ،٨-‬‬ ‫ ‪:54 E6 = I‬‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ )ﺱ ‪)(٥ +‬ﺱ ‪ G (١ -‬ﺱ ‪٧ +‬‬ ‫ﺱ‪٤ + ٢‬ﺱ ‪ = ٥ -‬ﺱ ‪٧ +‬‬ ‫ﺱ‪٣ + ٢‬ﺱ ‪٠ = ١٢ -‬‬ ‫ﺃﻯ )ﺱ ‪)(٦ +‬ﺱ ‪٠ = (٢ -‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻰ }‪{٢ ،٦-‬‬ ‫‪+ + - - - - - - - - - - + ++‬‬ ‫∞‬

‫‪f‬‬

‫‪W‬‬

‫‪H‬‬

‫‪G‬‬

‫‪@− k− f− W− H− G− O‬‬

‫‪∞−Z−‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪ ٠ < (٢ - ٧-)(٦ + ٧-) : ٧ -‬ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪ ٠ > (٢ - ٠)(٦ + ٠) : ٠‬ﻻ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ‪ ٠ < (٢ - ٤)(٦ + ٤) : ٤‬ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻮ [‪]∞ ،٣] ∪ [٦- ،∞-‬‬ ‫ﺃﻯ ﺡ ‪]٣ ،٦-[ -‬‬

‫ ‪ Fh : Y +‬‬ ‫‪3 0f$ ? 8 3 e *$‬‬

‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪: z Ē ky gb d& 2‬‬ ‫أ ‪ŃŃ G 5ŀŁ + Ł5ń‬‬

‫‪?HmA 7 < *7& " =- 8 ,6‬‬ ‫‪ 2‬أ‬ ‫‪]٢ ، ٢٢‬‬‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻫﻰ‪ :‬ﺡ ‪٥ [ -‬‬ ‫ب‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻫﻰ ]‪[٨- ،١-‬‬

‫ب )‪Ŀ G ŀĿ – (ł + 5)ł + Ł(ł + 5‬‬

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫‪?.& r 2zS f wV zj b "1.b ky fr .& r 2zS f wV zj b "1.b b- Of lz Y2Wb f 1‬‬

‫‪' ZđN f 2‬‬

‫ ‪?.& r 2zS f wV zj b "1.b ky f d' zOz 2 b b .b 1 :‬‬

‫‪(ŀ – 5Ł)Ń >Ł(ŀ + 5) ky gb d& Nsg#f ."r :ĦƥŲǤĝ ƼƖņǕĝ 3‬‬

‫ ( ? ={‬ ‫‪(ŀ – 5Ł)Ń > Ł(ŀ + 5) a‬‬ ‫` ‪10#b 0* `b/r (ŀ – 5Ł)Ł> ŀ + 5‬‬ ‫ ‪lzV2Gcb wOz 2 b‬‬ ‫` ‪Ŀ > ŀ + Ł + 5 + 5Ń-‬‬ ‫` ‪Ŀ > ł + 5 ł-Ɔ‬‬ ‫ ‪:wo ky gb G 2gb b- Ogb‬‬ ‫‪Ŀ = ł + 5ł-Ƅ‬‬ ‫‪{ŀ} wo d'b Nsg#fƄ‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫' ‪- - - c d%‬‬ ‫ ‬

‫‪J‬‬

‫‪++ +‬‬

‫‪C‬‬

‫‪z& - b .b 1 : ' +‬‬ ‫)‪ł + 5 ł- = (5‬‬‫‪]' Ů ŀ[ wo ky gb d& Nsg#f‬‬

‫‪'−‬‬

‫‪º««≤àdGh ÖjQóàdG‬‬

‫‪Ł‬‬

‫ ( ‬ ‫‪(ŀ – 5Ł)Ń > Ł(ŀ + 5) a‬‬ ‫` ‪Ń + 5ŀŅ – Ł5ŀŅ > ŀ + 5Ł +Ł5‬‬ ‫` ‪Ŀ < ł + 5ŀŇ – Ł5ŀń‬‬ ‫ ‪: wo ky gb G 2gb b- Ogb‬‬ ‫` ‪Ŀ = (ŀ – 5)(ŀ – 5ń)ł‬‬ ‫‪{ ŀń Ůŀ} wo d'b Nsg#f‬‬

‫‪] ^4 ) _ 7& 8 ,6‬‬ ‫‪ 1‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻰ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﻘﺪﺍﺭﻳﻦ‪ ،‬ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻰ‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻊ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺭﻣﺰ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺑﺪﻻ ﻣﻦ ﺭﻣﺰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺔ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﻟﺘﺤﺪﻳﺪ ﻓﺘﺮﺍﺕ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‪.‬‬ ‫‪ 3‬ﺣﻞ ﻛﺮﻳﻢ ﺧﻄﺄ ﻷﻧﻪ ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻰ ﻟﻢ‬ ‫ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ !‪.‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ 4‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻠﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻰ‪ :‬ﺱ ‪٩ +‬ﺱ ‪٠ = ٨ +‬‬ ‫)ﺱ ‪)(١ +‬ﺱ ‪٠ > (٨ +‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻫﻰ [‪]٨ ،١-‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪J‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪c d%‬‬ ‫‪'− + + + - - - -- + + +‬‬ ‫'‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪ń‬‬

‫‪z& - b .b 1 : ' +‬‬ ‫)‪ł + 5 ŀŇ - Ł5 ŀń = (5‬‬‫ ‪:H# 9‬‬ ‫‪[ŀ Ů ŀń ] - % wo ky gb d& Nsg#f‬‬

‫‪(ł + 5) ł - ŀĿ > Ł(ł + 5)ƄƄ ky gb d& Nsg#f ."r :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ 4‬‬

‫=* < ‪ 3 ' 1 − : M‬‬

‫‪NC‬‬

‫‪ø«bƒØàªdG ÜÓ£∏d ≈FGôKEG •É°ûf‬‬ ‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻘﺎﻁ ﺗﻨﺘﻤﻰ ﺇﻟﻰ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺣﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺱ‪ - ٢‬ﺱ ‪ ٠ = ٢-‬ﻭﺍﻟﺘﻰ ﻭﺭﺩﺕ ﻓﻲ "ﺑﻨﺪ ﻓﻜﺮ‬ ‫ﻭﻧﺎﻗﺶ" ﻭﻧﻘﺎﻁ ﺍﺧﺮﻯ ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻰ ﺇﻟﻰ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﺤﻞ‪.‬‬ ‫‪º««≤àdG‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬ ‫ﺱ)ﺱ ‪٤ < (٦ +‬ﺱ ‪١٥ +‬‬

‫_ ‪ :- " L − # M .‬‬

‫`‪r‬‬

‫‪-‬‬

‫الهندسة‬

‫الوحدة‬

‫‪2‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪Similarity‬‬

‫التشابه‬ ‫‪Similarity‬‬

‫التشابه‬

‫أهداف الوحدة‬ ‫فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قاد ًرا على‪:‬‬ ‫ يستدعى ما سبق دراسته بالمرحلة اإلعدادية على موضوع التشابه‪ .‬يتعرف ويستنتج الحقيقة التى تنص على‪( :‬المضلعان المتشابهان‬ ‫يمكن أن ينقسما إلى ‪)...‬‬ ‫ يتعرف تشابه مضلعين‪.‬‬ ‫ يتعرف ويبرهن النظرية التى تنص على‪( :‬إذا تناسبت أطوال يتعرف ويبرهن النظرية التى تنص على‪( :‬النسبة بين مساحتى‬ ‫األضالع المتناظرة فى مثلثين فإنهما يتشابهان)‪.‬‬

‫ يتعرف ويبرهن النظرية التى تنص على‪( :‬إذا طابقت زاوية من‬ ‫مثلث زاوية من مثلث آخر‪ ،‬وتناسبت أطوال األضالع التى تحتويها‬ ‫هاتان الزاويتان‪ ،‬كان المثلثان متشابهين)‪.‬‬ ‫ يتعرف ويبرهن النظرية التى تنص على‪( :‬النسبة بين مساحتى‬ ‫سطحى مثلثين متشابهين تساوى ‪)...‬‬

‫مضلعين متشابهين تساوى ‪)...‬‬

‫ يتعرف ويستنتج التمرين المشهور الذى ينص على ‪( :‬إذا تقاطع‬ ‫المستقيمان الحاويان للوترين فى دائرة فى نقطة فإن ‪ )...‬وعكسه‬ ‫ونتائج عليه‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫ مقدمة الوحدة‬

‫سبق للطالب أن درس مفهوم التشابه وارتباطه بمنطق التناسب‪،‬‬ ‫اً‬ ‫مماثل تما ًما للشكل‬ ‫فالشكل المرسوم بمقياس رسم معين يكون‬ ‫األصلى‪ ،‬لكنه يختلف عنه فى المساحة‪.‬‬ ‫وفى هذه الوحدة سوف يستكمل الطالب دراسته لموضوع التشابه‪،‬‬ ‫فيتعرف نظريات تشابه المثلثات ويبرهن صحتها ويستخدمها فى‬ ‫تطبيقات رياضية كالقياس غير المباشر أو فى حل مشكالت حياتية‬ ‫بوضع نموذج رياضى للمشكلة‪ ،‬ثم حله وتفسير النتائج‪.‬‬ ‫وتتضمن هذه الوحدة أربعة دروس هى كاآلتى‪:‬‬ ‫الدرس األول‪ :‬تشابه المضلعات‪.‬‬ ‫الدرس الثانى‪ :‬تشابه المثلثات‪.‬‬ ‫الدرس الثالث‪ :‬العالقة بين مساحتى سطحى مضلعين متشابهين‪.‬‬ ‫الدرس الرابع‪ :‬تطبيقات التشابه فى الدائرة‪.‬‬

‫ أهداف الوحدة‬ ‫فى نهاية هذا الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قاد ًرا‬ ‫على أن‪:‬‬ ‫ يستدعى ما سبق دراسته بالمرحلة اإلعدادية على موضوع‬ ‫التشابه‪.‬‬ ‫ يتعرف تشابه مضلعين‪.‬‬ ‫ يتعرف ويبرهن النظرية التى تنص على‪« :‬إذا تناسبت أطوال‬ ‫األضالع المتناظرة فى مثلثين فإنهما يتشابهان»‪.‬‬ ‫ يتعرف ويبرهن النظرية التى تنص على‪« :‬إذا طابقت زاوية من‬ ‫مثلث زاوية من مثلث آخر‪ ،‬وتناسبت أطوال األضالع التى‬ ‫تحتويها هاتان الزاويتان‪ ،‬كان المثلثان متشابهين»‪.‬‬ ‫ يتعرف ويبرهن النظرية التى تنص على‪« :‬النسبة بين مساحتى‬ ‫سطحى مثلثين متشابهين تساوى ‪.»...........‬‬

‫ نسبة‬ ‫ تناسب‬ ‫ قياس زاوية‬ ‫ طول‬ ‫ مساحة‬ ‫ ضرب تباد لى‬ ‫ طرف‬ ‫ وسط‬ ‫ مضلعات متشابهة‬ ‫ مثلثات متشابهة‬

‫‪Ratio‬‬ ‫‪Proportion‬‬ ‫‪Measure of an Angle‬‬ ‫‪Length‬‬ ‫‪Area‬‬ ‫‪Cross Product‬‬ ‫‪Extreme‬‬ ‫‪Mean‬‬ ‫‪Similar Polygons‬‬ ‫‪Similar Triangles‬‬

‫ أضالع متناظرة‬ ‫ زوايا متطابقة‬ ‫ مضلع منتظم‬ ‫ شكل رباعي‬ ‫ شكل خماسي‬ ‫ بديهية‬ ‫ محيط‬ ‫ مساحة مضلع‬ ‫ وتر‬ ‫ قاطع‬

‫‪Corresponding Sides‬‬ ‫‪Congruent Angles‬‬ ‫‪Regular Polygon‬‬ ‫‪Quadrilateral‬‬ ‫‪Pentagon‬‬ ‫‪Postulate/Axiom‬‬ ‫‪Perimeter‬‬ ‫‪Area of polygon‬‬ ‫‪Chord‬‬ ‫‪Secant‬‬

‫ مماس‬ ‫ قطر‬ ‫ مماس خارجي مشترك‬

‫‪Tangent‬‬ ‫‪Diameter‬‬

‫‪Common External Tangent‬‬

‫ مماس داخلي مشترك‬

‫‪Common Internal Tangent‬‬

‫ دوائر متحدة المركز‬

‫‪Concentric Circles‬‬

‫ نسبة التشابه (معامل التشابه)‬ ‫‪Similarity Ratio‬‬

‫دروس الوحدة‬

‫الدرس (‪ :)1 - 2‬تشابه المضلعات‪.‬‬

‫الدرس (‪ :)2 - 2‬تشابه المثلثات‪.‬‬

‫الدرس (‪ :)3 - 2‬العالقة بين مساحتى سطحى‬ ‫مضلعين متشابهين‪.‬‬

‫الدرس (‪ :)4 - 2‬تطبيقات التشابه فى الدائرة‪.‬‬

‫األدوات المستخدمة‬

‫حاسب آلي ‪ -‬جهاز عرض بيانات ‪ -‬برامج رسومية‬ ‫ ورق مربعات ‪ -‬مرآة مستوية ‪ -‬أدوات قياس ‪ -‬آلة‬‫حاسبة‪.‬‬ ‫نبذه تاريخية‬

‫مخطط تنظيمي للوحدة‬

‫عند البناء على قطعة من األرض نحتاج إلى عمل‬ ‫رسم تخطيطي للمبني‪ ،‬ومن البديهي أنه ال يمكن عمل‬ ‫هذا الرسم الهندسى على قطعة من الورق تطابق قطعة‬

‫األرض‪ ،‬وإنما نلجأ إلى عمل صورة مصغرة تشابه‬ ‫الصورة الطبيعية للمبنى‪ ،‬وذلك باتخاذ مقياس رسم‬ ‫مناسب للحصول على هذا التصغير‪ ،‬وقياسات زوايا‬ ‫على الرسم‪ ،‬بحيث تساوى قياسات نظائرها فى الواقع‪.‬‬ ‫إذا تأملت الشكل الموضح فى بداية الصفحة تالحظ‬ ‫أن الطبيعة مليئة بأشكال تحتوى على أنماط تكرر نفسها‬ ‫بمقاييس مختلفة‪ ،‬ومن أمثلة ذلك أوراق الشجر‪ ،‬ورأس‬ ‫َعرجات ساحل البحر‪ .‬مالحظة هذه‬ ‫زهرة القرنبيط‪ ،‬وت ُّ‬ ‫األنماط المتكررة أدى إلى ظهور هندسة جديدة منذ‬

‫قرابة ‪ 40‬عا ًما‪ ،‬والتي تهتم بدراسة األشكال ذاتية التماثل‬ ‫والتي تتكرر بغير انتظام‪ ،‬وقد أطلق عليها اسم هندسة‬ ‫الفتافيت أو هندسة الكسوريات ‪ fractals‬والتي سوف‬ ‫تدرسها في مراحل تعليمية تالية‪.‬‬

‫التشابه‬ ‫تشابه المضلعات‬

‫مضلعات منتظمة لها‬ ‫نفس عدد األضالع‬

‫تشابه مثلثين‬

‫تشابه مضلعين‬

‫تطابق زاوية‬ ‫وتناسب الضلعان‬

‫زوايا متطابقة‬

‫المحيطان لها‬

‫أضالع متناظرة‬ ‫متناسبة‬ ‫العالقة بين محيطى مضلعين متشابهين‬ ‫العالقة بين مساحتي مضلعين متشابهين‬

‫تطبيقات التشابه‬

‫فى الدائرة‬

‫أوتار‬ ‫متقاطعة‬

‫قياس غير مباشر‬

‫مماس‬ ‫وقاطع‬

‫تطبيقات حياتية وترابطات علمية‬

‫علوم وفضاء‬ ‫بيئه وزراعة‬

‫قواطع للدائرة‬

‫فنون وثقافات عامة‬ ‫جغرافيا وجيولوجيا‬

‫معالم وسياحة‬

‫ يتعرف ويستنتج الحقيقة التى تنص على‪« :‬المضلعان‬ ‫المتشابهان يمكن أن ينقسما إلى ‪.»...........‬‬ ‫ يتعرف ويبرهن النظرية التى تنص على‪« :‬النسبة بين مساحتى‬ ‫مضلعين متشابهين تساوى ‪.»...........‬‬ ‫ يتعرف ويستنتج التمرين المشهور الذى ينص على‪« :‬إذا‬ ‫تقاطع المستقيمان الحاويان للوترين فى دائرة فى نقطة‬ ‫فإن‪ ».....‬وعكسه ونتائج عليه‪.‬‬ ‫ زمن تدريس الوحدة‬ ‫‪ 16‬ساعة‪.‬‬ ‫ مهارات التفكير التي تنميها الوحدة‬

‫التفكير االستداللى ‪ -‬التفكير الناقد ‪ -‬التفكير المنطقى ‪-‬‬

‫حل المشكالت ‪ -‬التفكير اإلبداعى‪.‬‬

‫الوسائل التعليمية المستخدمة‬ ‫سبورة تعليمية ‪ -‬طباشير ملون (أقالم ملونة) ‪ -‬حاسب آلى ‪ -‬جهاز‬ ‫عرض بيانات ‪ -‬برامج رسومية ‪ -‬ورق مربعات ‪ -‬مرآة مستوية ‪-‬‬ ‫أدوات رسم وقياس ‪ -‬آلة حاسبة علمية‪.‬‬ ‫طرق التدريس المقترحة‬

‫التعلم التعاونى ‪ -‬االكتشاف الموجه ‪ -‬الطريقة االستنباطية ‪ -‬العصف‬

‫الذهنى ‪ -‬المناقشة ‪ -‬حل المشكالت‪.‬‬

‫طرق التقييم المقترحة‬

‫أسئلة شفهية وتحريرية فردية وجماعية قبل وأثناء وبعد الدرس أو‬ ‫األنشطة المقترحة ‪ -‬تقييم الوحدة واختبار تراكمى فى نهاية الوحدة‪.‬‬

‫‪‍ 2‬‬ ‫تشابه المضلعات‬ ‫‪Similarity of Polygons‬‬

‫تشابه المضلعات‬

‫‪2‬‬

‫‪Similarity of Polygons‬‬

‫سوف تتعلم‬ ‫ مفهوم التشابه‪.‬‬

‫جـ‬

‫يوضح الشكل المقابل المضلع ‪ C‬ب جـ ‪E‬‬

‫ مقياس الرسم‪.‬‬

‫‪/‬‬

‫وصورته ‪ C‬ب جـ ‪ E‬بتحويل هندسي‪.‬‬

‫ املستطيل الذهبي والنسبة الذهبية‪.‬‬

‫خلفي ة‬

‫و‬

‫فكر‬

‫ تشابه املضلعات‪.‬‬

‫ناقش‬

‫‪/‬‬

‫أ قارن بين قياسات الزوايا المتناظرة‪:‬‬

‫‪ c - Cc ، Cc‬ب ‪c ،‬ب‬ ‫‪c‬جـ ‪c ،‬جـ‪- /‬‬ ‫‪/‬‬

‫سبق أن درس الطالب مفهوم التشابه وعرف أن عندما يكون للمضلعات‬ ‫الشكل نفسه وإن اختلفت فى أطوال أضالعها فإنها تسمى مضلعات‬ ‫متشابهة‪.‬‬ ‫فى هذا الدرس نعمق مفهوم تشابه المضلعات لدى الطالب ليتعرف‬ ‫على أنماط مختلفة من المضلعات المتشابهة‪.‬‬

‫ يتعرف العالقة بني املضلعات املنتظمة التى هلا نفس العدد من األضالع‪.‬‬ ‫ حيل مسائل عىل املضلعات املتشاهبة‪.‬‬

‫ يتعرف املستطيل الذهبى والنسبة الذهبية كنشاط عىل تشابه املضلعات‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪/ /‬‬ ‫‪ /C‬ب‪ /‬ب‪ /‬جـ‪ /‬جـ‬ ‫جـ ‪، EE‬‬ ‫ب أوجد النسبة بين أطوال األضالع المتناظرة ب ‪ ،‬ب جـ ‪،‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ماذا تالحظ؟‬ ‫عندما يكون للمضلعات الشكل نفسه‪ ،‬وإن اختلفت فى أطوال أضالعها‪ ،‬فإنها‬ ‫تسمى مضلعات متشابهة‪.‬‬

‫‪C E‬‬ ‫‪CE‬‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬ ‫ مضلعات متشاهبة‬ ‫ مثلثات متشاهبة‬

‫‪Similar Polygons‬‬

‫الم�شلعان المت�شابهان ‬

‫‪Similar Triangles‬‬

‫ أضالع متناظرة‬ ‫ زاويا متطابقة‬

‫‪Congruent Angles‬‬

‫ مضلع منتظم‬

‫‪Regular Polygon‬‬ ‫‪Quadrilateral‬‬

‫‪Similar polygons‬‬

‫«يتشابه مضلعان لهما نفس العدد من األضالع إذا كانت الزوايا‬ ‫المتناظرة متطابقة وأطوال األضالع المتناظرة متناسبة»‪.‬‬

‫تعريف‬

‫‪Corresponding Sides‬‬

‫ شكل مخايس‬

‫ حيدد متى يتشابه مضلعان‪.‬‬

‫‪/‬‬

‫‪Pentagon‬‬

‫الحظ أن‪:‬‬

‫‪ -1‬فى الشكل الموضح ببند فكر وناقش نجد‪:‬‬ ‫أ الزوايا المتناظرة متطابقة‪c ، C c / /C c :‬ب‪c / /‬ب‬ ‫‪/‬‬ ‫ ‪c‬جـ‪c / /‬جـ ‪Ec / E c ،‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫ب األضالع المتناظرة متناسبة‪:‬‬

‫ حاسب آىل‬

‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪ C‬ب = ب جـ = جـ‪C E = /E /‬‬ ‫ب جـ‬ ‫‪C‬ب‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫‪CE‬‬

‫‪/ /‬‬

‫ولذلك يمكننا القول أن الشكل ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪ /E /‬يشابه الشكل ‪ C‬ب جـ ‪E‬‬ ‫‪ -2‬نستخدم الرمز (‪ )+‬للتعبير عن تشابه مضلعين‪ ،‬ويراعى ترتيب كتابة رؤوسهما‬ ‫المتناظرة حتى يسهل كتابة التناسب بين األضالع المتناظرة‪.‬‬

‫ جهاز عرض بيانات‬ ‫ برامج رسومية‬ ‫ ورق مربعات‬ ‫ أدوات قياس‬ ‫ آلة حاسبة‬

‫‪34‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫مفردات أساسي ة‬

‫مضلعات متشابهة ‪ -‬مثلثات متشابهة ‪ -‬أضالع متناظرة ‪ -‬زوايا‬ ‫متطابقة ‪ -‬مضلع منتظم ‪ -‬شكل رباعى ‪ -‬شكل خماسى ‪ -‬معامل‬ ‫تشابه ‪ -‬مستطيل ذهبى ‪ -‬نسبة ذهبية‪.‬‬

‫المواد التعليمية المستخدمة ‬

‫تشابه ال ضلعات‬

‫إذا كان المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ + E‬المضلع س ص ع ل فإن‪:‬‬ ‫أ ‪c / C c‬س ‪c ،‬ب ‪c /‬ص ‪c ،‬جـ ‪c /‬ع ‪c / E c ،‬ل‬ ‫ب جـ‬ ‫ب ‪C‬ب‬ ‫جـل‪ = E‬ل‪C E‬س = ك (نسبة التشابه)‪ ،‬ك ! ‪0‬‬ ‫سص = صع =‬ ‫ع‬ ‫ويكون معامل تشابه المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ E‬للمضلع س ص ع ل = ك‪،‬‬

‫المناقشة ‪ -‬الطريقة االستنباطية ‪ -‬العصف الذهنى ‪ -‬حل المشكالت‪.‬‬

‫مصادر التعل م‬

‫مـثـال‬

‫فى الشكل المقابل‪ :‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ + E‬المضلع هـ و ز ح‪.‬‬ ‫أ أوجد معامل تشابه المضلع ‪ C‬ب جـ ‪E‬‬

‫ز‬

‫للمضلع هـ و ز ح‪.‬‬ ‫ب أوجد قيم س‪ ،‬ص‪.‬‬

‫جـ‬ ‫س سم‬

‫‪ 15‬سم‬

‫ح‬ ‫‪ 8‬سم‬

‫و‬

‫‪ 6‬سم هـ‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫(ص ‪)2 +‬‬

‫‪ a‬المضلع ‪ C‬ب جـ د ‪ +‬المضلع هـ و ز ح‬ ‫جـ ‪E‬‬

‫‪E‬‬

‫ فيكون‪C :‬هـ و = و ز = ز ح = ح ‪C‬هـ = معامل التشابه‪،‬‬ ‫ب جـ‬

‫ب‬

‫ ‬

‫ ص ‪ = 2 +‬ب جـ = ‪12 = 15‬‬ ‫‪6‬‬ ‫س‬ ‫وز‬ ‫‪8‬‬

‫أ معامل التشابه = ‪3 = 12‬‬ ‫‪2 8‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ب س = ‪ # 32‬س = ‪10‬سم ‪ ،‬ص‪ # 32 = 2 +6‬ص = ‪7‬سم‬ ‫حاول أن تحل‬

‫ب ِّين أ ًّيا من أزواج المضلعات التالية تكون متشابهة‪ ،‬واكتب المضلعات المتشابهة بترتيب الرؤوس المتناظرة‬ ‫وحدد نسبة التشابه‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫سم هـ‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 5‬سم‬ ‫أ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 9‬سم‬ ‫‪ 8‬سم‬ ‫س‬ ‫ل‬

‫‪ 8٫5‬سم‬

‫‪٫6‬‬

‫جـ‬

‫‪ 12‬سم‬ ‫‪E‬‬

‫سم ع‬

‫ل‬

‫د‬

‫ز‬ ‫‪c70 C‬‬

‫‪ 1‬سم‬

‫‪6‬‬

‫‪ 9‬سم‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫ز‬

‫س‬

‫‪ 21‬سم‬

‫‪2‬‬

‫‪ 1‬سم‬

‫جـ‬

‫ص ‪ 6‬سم‬

‫ع‬

‫سب‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫ب ‪ 12‬سم جـ‬

‫‪E‬‬

‫‪ 28‬سم‬

‫س‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪ 9‬سم‬

‫‪0‬‬

‫ج‬

‫ب‬

‫ص‬

‫‪6٫8‬‬

‫‪C‬‬

‫و‬

‫‪ 7٫2‬سم‬

‫‪E‬‬

‫‪ 1‬سم‬

‫كتاب الطالب من صفحة ‪ 34‬إلى صفحة ‪39‬‬ ‫كتاب األنشطة والتدريبات صفحتى ‪21 ،20‬‬ ‫الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت)‪.‬‬

‫‪30‬‬

‫س‬

‫ص‬

‫ع‬

‫ل‬

‫‪1‬‬ ‫و معامل تشابه المضلع س ص ع ل للمضلع ‪ C‬ب جـ ‪ = E‬ك‬

‫الحل‬

‫طرق التدريس المقترحة ‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫‪ 12‬سم‬

‫سبورة تعليمية ‪ -‬طباشير ملون (أقالم ملونة) ‪ -‬حاسب آلى ‪ -‬جهاز‬ ‫عرض بيانات ‪ -‬برامج رسومية ‪ -‬أدوات قياس ‪ -‬ورق رسم‪.‬‬

‫‪E‬‬

‫‪/ /‬‬

‫‪Similarity Ratio‬‬

‫ يوجد معامل التشابه ملضلعني متشاهبني‪.‬‬

‫‪/‬‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫ماذا تستنتج؟‬

‫ نسبة التشابه (معامل التشابه)‬

‫قادرا على أن‪:‬‬ ‫فى نهاية هذا الدرس من المتوقع أن يكون الطالب ً‬

‫‪/‬‬

‫‪Ec ، Ec‬‬

‫ شكل رباعي‬

‫س‬ ‫أهداف الدر ‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫‪c110‬‬ ‫و ‪ 16‬سم‬

‫هـ‬

‫‪35‬‬

‫تاعلضملا هباشت‬ ‫ ‬ ‫فكر‬ ‫هل جميع المربعات متشابهة؟‬

‫هل جميع المعينات متشابهة؟‬

‫هل جميع المستطيالت متشابهة؟‬

‫هل جميع متوازيات األضالع متشابهة؟ فسر إجابتك‪.‬‬

‫الحظ أن‬

‫‪ -1‬لكى يتشابه مضلعان يجب أن يتوافر الشرطان م ًعا‪ ،‬وال‬ ‫يكفي توافر أحدهما دون اآلخر‪.‬‬

‫م‬

‫‪2‬‬

‫المضلع م‪ / 1‬المضلع م‬

‫‪ -2‬المضلعان المتطابقان يكونان متشابهين‪ ،‬وذلك لتوافر شرطا‬ ‫التشابه (المضلع م‪ + 1‬المضلع م‪ )2‬ويكون معامل التشابه لهما‬ ‫ٍ‬ ‫عندئذ مساو ًيا (واحد) ولكن ليس من الضرورى أن يكون‬ ‫المضلعان المتشابهان متطابقين (المضلع م‪ / 3‬المضلع م‪ )4‬كما‬ ‫فى الشكل المقابل‪.‬‬ ‫‪ -3‬المضلعان المشابهان لثالث متشابهان‬ ‫فإذا كان المضلع م‪ + 1‬المضلع م‪،3‬‬ ‫ المضلع م‪ + 2‬المضلع م‬ ‫‪3‬‬ ‫فإن‪ :‬المضلع م‪ + 1‬المضلع م‬ ‫‪2‬‬

‫‪qq‬أكد على طالبك أهمية كتابة رؤوس المضلعات‬ ‫المتناظرة بنفس الترتيب حتى يسهل كتابة التناسب بين‬ ‫األضالع المتناظرة‪.‬‬

‫م‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫م‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪qq‬اعرض مثال ‪ 1‬ص ‪ 35‬وتوصل مع الطالب إلى قيم س‪،‬‬ ‫ص مبد ًيا أهمية استخدام خواص التناسب فى الحل‪،‬‬ ‫اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى حاول أن تحل ‪ 1‬من‬ ‫كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم‪.‬‬

‫المضلع م‪ + 3‬المضلع م‬ ‫‪4‬‬ ‫م‬

‫م‬

‫‪1‬‬

‫م‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ -4‬كل المضلعات المنتظمة التي لها نفس العدد من‬ ‫األضالع تكون متشابهة‪ .‬لماذا؟‬ ‫مـثـال‬ ‫و‬ ‫‪10‬‬

‫‪ 2‬فى الشكل المقابل‪ C9 :‬ب جـ ‪ E9 +‬هـ و‪،‬‬ ‫‪ E‬هـ = ‪8‬سم ‪ ،‬هـ و = ‪9‬سم ‪ ،‬و ‪10 = E‬سم‬ ‫إذا كان محيط ‪ C9‬ب جـ = ‪81‬سم‪.‬‬ ‫أوجد أطوال أضالع ‪ C9‬ب جـ‪.‬‬

‫‪ 9‬سم‬

‫سم‬

‫ب‬

‫الحل‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫‪ C9 a‬ب جـ ‪ E9 +‬هـ و‬

‫‪ C‬ب ب جـ جـ ‪ C C‬ب ‪ +‬ب جـ ‪ +‬جـ ‪ C‬محيط ‪ C 9‬ب جـ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫`‬ ‫‪ E‬هـ هـ و و ‪ E E‬هـ ‪ +‬هـ و ‪ +‬و ‪ E‬محيط ‪ E 9‬هـ و‬ ‫ويكون‪ C :‬ب = ب جـ = جـ ‪81 = C‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪27 10‬‬ ‫‪24 = 81‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪ ، 27 = 3 * 9‬جـ ‪30 = 3 * 10 = C‬سم‬ ‫` ‪ C‬ب = ‪27 * 8‬‬

‫الحظ أن‪:‬‬

‫محيط المضلع م‬

‫(خواص التناسب)‬

‫إذا كان المضلع م‪ + 1‬المضلع م‪ ،2‬فإن محيط المضلع م = نسبة التشابه (معامل التشابه)‬ ‫‪2‬‬

‫‪36‬‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫هـ‬ ‫‪ 8‬سم‬

‫‪C‬‬

‫‪1‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫‪qq‬اطلب إلى طالبك اإلجابة عن األسئلة التالية‪:‬‬ ‫‌ هل‪:‬‬ ‫‪q‬كل مربعين يكونان متشابهين؟‬ ‫‪q‬كل مثلثين متساويا األضالع يكونان متشابهين؟‬ ‫‪q‬كل المثلثات القائمة الزاوية متشابهة؟‬ ‫‪q‬كل دائرتين تكونان متشابهتين؟‬ ‫ناقش إجابات الطالب مع تعزيز اإلجابات الصحيحة‪.‬‬ ‫ ‬

‫ �إجراءات الدر�س‬

‫‌ هل المضلعان المشابهان لثالث متشابهان؟‬

‫التمهيد‬

‫ ‬

‫نموذجا لمضلعين متطابقين ودعهم‬ ‫‪qq‬اعرض على طالبك‬ ‫ً‬ ‫يستنتجوا شرطى تطابقهما وهما‪:‬‬ ‫‪ -1‬أطوال أضالعهما المتناظرة متساوية‪.‬‬ ‫‪ -2‬قياسات زواياهما المتناظرة متساوية‪.‬‬

‫ عر�ض الدر�س‬

‫‌ إذا نظرت إلى صورتك (الفوتوغرافية) هل النسبة بين‬ ‫طول ذراعك إلى طول جسمك فى الصورة تساوى‬ ‫النسبة بينهما فى الحقيقة؟‬ ‫مؤكدا أن النسبة بين‬ ‫‪qq‬ناقش مع طالبك مثال‪ 2‬صـ ‪36‬‬ ‫ً‬ ‫محيطى مضلعين متشابهين تكون مساوية لنسبة‬ ‫تشابهما مستخد ًما فى ذلك خاصية التناسب‪.‬‬ ‫ ‬

‫‪qq‬من خالل مناقشة بند "فكر وناقش" ص ‪ 34‬دع الطالب‬ ‫يستنتجوا أن قياسات الزوايا المتناظرة للمضلعين‬ ‫‪ C‬ب جـ ‪ /C ،E‬ب‪ /‬جـ‪ /E /‬متساوية وأن األضالع‬ ‫المتناظرة لهما ُتكَون التناسب التالى‪:‬‬

‫اطلب من طالبك تفسير إجاباتهم‪.‬‬ ‫‌ هل جميع المضلعات المنتظمة والتى لها نفس العدد‬ ‫من األضالع متشابهة؟‬

‫‪qq‬مستخد ًما إستراتجية العصف الذهنى‪ ،‬اطرح التساؤل‪:‬‬ ‫ماذا تالحظ إذا تغير أحد الشرطين فقط‪:‬‬ ‫‪ -1‬تساوى قياسات الزوايا المتناظرة للمضلعين‪.‬‬ ‫‪ -2‬تناسب أطوال األضالع المتناظرة فى المضلعين‪.‬‬

‫ ‬

‫ومن ذلك استنتج متى يتشابه مضلعان‪ ،‬والتعبير عن ذلك‬ ‫باستخدام رمز التشابه (‪)+‬‬

‫ ‬

‫مجموع المقدمات‬

‫مجموع التوالى = إحدى النسب‬

‫ثم اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند "حاول أن‬ ‫تحل" ‪ 2‬وتابع إجاباتهم‪.‬‬

‫‪/‬‬ ‫‪/ /‬‬ ‫‪/ /‬‬ ‫‪ /‬ب‪ /‬ب‪ /‬جـ‬ ‫‪ C‬ب = ب جـ = جـ ‪ = E C = E‬ك‬ ‫جـ ‪E C E‬‬ ‫‪C‬‬

‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪31‬‬

‫تجنب الخطأ‬ ‫يمكن أن يخطئ الطالب عند إجراء العمليات الحسابية‬ ‫فى أثناء محاولتهم تخطى بعض الخطوات أو إنجاز الحل‬ ‫جدا‪:‬‬ ‫بشكل سريع ًّ‬ ‫‪qq‬وضح لطالبك أن نسبة التشابه تقارن بين أبعاد لها نفس‬ ‫جـ‬ ‫الوحدات ‪ ،‬وأنه إذا كان ‪C‬ب = حيث ب ! ‪0 ! E ،0‬‬

‫تشابه ال ضلعات‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 2‬فى الشكل المقابل‪:‬‬ ‫المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ + E‬المضلع س ص ع ل‬ ‫أ احسب ‪c( X‬س ل ع)‪ ،‬طول ‪E C‬‬ ‫ب إذا كان محيط المضلع ‪ C‬ب جـ ‪19٫5 = E‬سم‬ ‫أوجد محيط المضلع س ص ع ل‪.‬‬

‫‪٫8‬‬

‫‪C‬‬

‫‪c85‬‬

‫‪c70‬‬

‫‪ 8‬سم‬

‫ع‬

‫ب‬

‫‪E‬‬ ‫‪c115‬‬

‫جـ‬

‫‪ 6‬سم‬

‫مـثـال‬

‫عدى مستطيل آخر مشابه له إذا كان‪:‬‬ ‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬مستطيل فيه ‪ C‬ب = ‪5‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪8‬سم‪ ،‬أوجد ُب َ‬ ‫ب معامل التشابه = ‪0٫6‬‬ ‫أ معامل التشابه = ‪1٫4‬‬

‫‪E‬‬

‫الحل‬

‫فإن‪ = E * C :‬ب * جـ‬ ‫أى أن حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين‪.‬‬

‫س‬

‫بفرض أن المستطيل س ص ع ل ‪ +‬المستطيل ‪ C‬ب جـ ‪E‬‬ ‫سص‬

‫صع‬

‫عل‬

‫ل‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫فيكون‪:‬‬ ‫لس‬

‫ب = ب جـ = جـ ‪ = E = E‬معامل التشابه‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫أ عندما يكون معامل التشابه = ‪1٫4‬‬

‫فإذا كان س = ‪ 1‬فإن ‪2‬س = ‪ 5‬ويكون س = ‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 5‬‬

‫‪qq‬من خالل عرض مثال ‪ 3‬دع الطالب يستنتجوا أثر تغير‬ ‫معامل التشابه ك (حيث ك معامل تشابه المضلع م‬ ‫‪1‬‬ ‫للمضلع م‪ .)2‬فى الحاالت التالية‪:‬‬ ‫ك > ‪ > 1 ، 1‬ك > ‪ ، 0‬ك < ‪1‬‬ ‫ ثم اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل‬ ‫‪ 4 ،3‬فى إطار تقسيم الطالب إلى مجموعات عمل‬ ‫ومقارنة حلول هذه المجموعات (عمل تعاونى)‪.‬‬

‫‪ 4‬سم‬

‫س‬

‫ص‬

‫ل‬

‫سص صع‬ ‫ ‪8 = 5‬‬

‫ص‬

‫= ‪1٫4‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫ع‬

‫` س ص = ‪7‬سم ‪ ،‬ص ع = ‪8٫4‬سم‬ ‫الحظ أن المستطيل س ص ع ل هو تكبير للمستطيل ‪ C‬ب جـ ‪E‬‬

‫ب عندما يكون معامل التشابه = ‪0٫6‬‬ ‫سص صع‬ ‫ ‪8 = 5‬‬

‫‪C‬‬

‫= ‪0٫6‬‬

‫` س ص = ‪3‬سم ‪ ،‬ص ع = ‪4٫8‬سم‬ ‫الحظ أن المستطيل س ص ع ل هو تصغير للمستطيل ‪ C‬ب جـ ‪E‬‬

‫معامل الت�شابه لم�شلعين‪ :‬‬

‫ب‬

‫س‬

‫ل‬

‫ص‬

‫ع‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫ ‪Similarity ratio of two polygons‬‬

‫ليكن ك معامل تشابه المضلع م‪ 1‬للمضلع م‬ ‫‪2‬‬ ‫فإن المضلع م‪ 1‬هو تكبير للمضلع م‬ ‫إذا كان‪ :‬ك > ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫فإن المضلع م‪ 1‬هو تصغير للمضلع م‬ ‫ ‪<0‬ك<‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫فإن المضلع م‪ 1‬يطابق المضلع م‬ ‫ ك=‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وبصفة عامة يمكن استخدام معامل التشابه فى حساب أبعاد األشكال المتشابهة‪.‬‬

‫‪37‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫ الربط‬

‫فى الشكل المقابل‪:‬‬ ‫المضلع م‪ 1‬يشابه المضلع م‪ ،3‬المضلع م‪ 2‬يشابه المضلع م‪.3‬‬

‫م‬

‫‪1‬‬

‫أ أوجد معامل تشابه المضلع م‪ 1‬للمضلع م‪ ،3‬معامل تشابه‬ ‫المضلع م‪ 2‬للمضلع م‪.3‬‬

‫م‬

‫‪2‬‬

‫ب هل المضلع م‪ + 1‬المضلع م‪ 2‬؟ ولماذا؟ وإذا كان المضلع‬ ‫ٍ‬ ‫عندئذ‪.‬‬ ‫م‪ + 1‬المضلع م‪ 2‬فأوجد معامل التشابه‬

‫م‬

‫‪3‬‬

‫الحل‬ ‫أ معامل تشابه المضلع م للمضلع م = ‪1 = 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 6 3‬‬ ‫معامل تشابه المضلع م للمضلع م = ‪3 = 9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 6 3‬‬

‫ب ‪ a‬المضلع م‪ + 1‬المضلع م‪ ، 3‬المضلع م‪ + 2‬المضلع م‬ ‫` المضلع م‪ + 1‬المضلع م‬ ‫‪2‬‬ ‫ويكون معامل تشابه المضلع م للمضلع م = ‪1 = 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 9 2‬‬

‫‪3‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫عدى ومساحة صورة أخرى مشابهة لها إذا كان معامل‬ ‫صورة مستطيلة الشكل بعداها ‪10‬سم‪15 ،‬سم‪ ،‬أوجد ُب َ‬ ‫التشابه ‪.2٫4‬‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫ز‬ ‫هـ‬ ‫من شبكة المثلثات المتطابقة بالشكل أوجد‬ ‫معامل التشابه‪ ،‬واذكر هل يؤدى إلى (تكبير ‪-‬‬ ‫و‬ ‫‪E‬‬ ‫ع‬ ‫تصغير ‪ -‬تطابق) لكل من‪:‬‬ ‫ل‬ ‫أ ‪ 9‬ل م ن ‪ C 9 +‬جـ ب‬ ‫‪C‬‬ ‫ب ‪ 9‬ل م ن ‪ 9 +‬ع س ص‬ ‫ج ‪ E C 9‬و ‪ 9 +‬ل م ن‬

‫غ‬

‫ر‬ ‫فة نوم‬

‫‌ يستخدم التشابه فى تطبيقات حياتية أهمها مقياس‬ ‫الرسم (معامل التشابه) الذى يستخدم فى عمل‬ ‫خرائط ورسوم هندسية بمقاييس مصغرة لألشكال‬ ‫الطول فى الرسم‬ ‫الحقيقة‪ ،‬حيث مقياس الرسم =‬ ‫الطول الحقيقى‬ ‫مع مالحظة التأكيد على‪:‬‬ ‫ ‬ ‫نسبة التشابه تقارن بين أبعاد لها نفس الوحدة‪ ،‬بينما‬ ‫ ‬ ‫مقياس الرسم يمكن أن يكون بوحدات مختلفة‪،‬‬ ‫فمثلاً يمكن أن يكون ‪1‬سم لكل متر‪1 ،‬سم لكل‬ ‫‪ 100‬متر‪ .......،‬وهكذا‪.‬‬ ‫‪ 1.75‬سم ‪ 0.5‬سم ‪ 1.25‬سم‬ ‫‪qq‬اطلب إلى الطالب حساب‬ ‫حمام ‪ 1‬سم‬ ‫مساحة غرفة المعيشة فى‬ ‫إحدى الوحدات السكنية‬ ‫مطبخ ‪ 1‬سم‬ ‫المبينة فى الرسم المقابل‬ ‫‪ 2‬سم‬ ‫(مقياس الرسم هو ‪1‬سم‬ ‫غرفة معيشة‬ ‫لكل ‪2‬متر‪).‬‬

‫د ‪ 9‬هـ ز ‪ 9 + C‬جـ ب ‪C‬‬

‫ه ‪ 9‬س ص ع ‪ 9 +‬ب جـ ‪C‬‬

‫ن‬

‫م‬

‫جـ‬

‫نشاط‬

‫النسبة الذهبية‬

‫‪The Golden Ratio‬‬

‫انتشرت حديثًا شاشات عرض ألجهزة الحاسب اآللى والتليفزيون بمقاسات‬ ‫بدال من ‪ 3 : 4‬وقد القت ً‬ ‫نسبة طولها إلى عرضها يقترب من ‪ً 9 : 16‬‬ ‫قبوال أكثر‬ ‫لما توفره من راحه للعين أثناء الرؤية فتقترب بذلك من المستطيل الذهبي‪.‬‬

‫‪38‬‬

‫‪32‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫ب‬

‫تاعلضملا هباشت‬ ‫تشابه ال ضلعات‬

‫ ‬

‫المستطيل الذهبي‪:‬‬ ‫هو مستطيل يمكن تقسيمه إلى مربع ومستطيل آخر مشابه للمستطيل‬ ‫األصلى‪ ،‬بشرط أن يكون طوله أصغر من ضعف عرضه‪ ،‬وتسمى النسبة‬ ‫بين طول المستطيل الذهبي إلى عرضه بالنسبة الذهبية‪.‬‬

‫‪36 = 2٫4 * 15‬سم‪ ،‬ومساحتها ‪ 864‬سم‪.2‬‬ ‫‌ أ ‪ 34‬تصغير ب ‪ 32‬تكبير ‍ج ‪ 1‬تطابق ‬ ‫د ‪ 54‬تكبير ‍ه ‪ 12‬تصغير‬

‫إليجاد النسبة الذهبية نعتبر أن طول المستطيل الذهبي ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هو (س) وعرضه (‪ )1‬من وحدات الطول‬ ‫وبرسم المربع ‪ C‬و هـ ‪ E‬يكون‪:‬‬ ‫المستطيل ‪ C‬ب جـ ‪ + E‬المستطل هـ و ب جـ‬

‫‪1‬‬

‫وبحل المعادلة التربيعية نجد أن‪:‬‬ ‫س = ‪ ، 5 + 1‬س = ‪0 < 5 - 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س‪1-‬‬ ‫ ‪1٫618‬‬‫‪C‬‬ ‫و س‬ ‫ب‬ ‫إذًا النسبة الذهبية هى ‪ 1 : 1٫618‬تقري ًبا‪.‬‬ ‫وقد استخدم بعض الفنانين المستطيل الذهبي فى أعمالهم الفنية‪ ،‬ومن بينهم الفنان الشهير ليوناردو دا فينشي‬ ‫(‪1519 - 1452‬م) صاحب لوحة «الموناليزا» أو «الجيوكاندا» كما وضع فيبوناتشي (‪1250 - 1170‬م) متتابعة‬ ‫األعداد الشهيرة‪... ، 13 ، 8 ، 5 ، 3 ، 2 ، 1 ، 1 :‬‬ ‫والتي حدها األول ‪ ،1‬وحدها الثاني ‪ ،1‬وأى حد آخر يساوي مجموع الحدين السابقين له‪.‬‬ ‫أ أكمل المتتابعة إلى عشرة حدود بنفس النمط‪.‬‬ ‫ب قارن بين كل من النسب ‪ ............. ، 13 ، 8 ، 5‬بالنسبة الذهبية‪ .‬ماذا تالحظ؟‬ ‫مرفوض‬

‫‪8 5 3‬‬

‫حاول أن تحل‬ ‫أ إذا كان بعدا مستطيل ‪7٫42‬سم‪12 ،‬سم فهل هذا المستطيل يقترب من المستطيل الذهبي؟‬

‫ب ما طول مستطيل ذهبي عرضه يساوي ‪5‬سم ألقرب سنتيمتر؟‬ ‫ج ما عرض مستطيل ذهبي طوله ‪194‬سم ألقرب سنتيمتر؟‬ ‫د هل جميع المستطيالت الذهبية متشابهة؟ فسر إجابتك‪.‬‬

‫ب ‪ 8‬سم ‍ج ‪ 120‬سم د نعم‬

‫ ‬

‫ التدريب والتقييم‬ ‫� اً‬ ‫أول‪ :‬تحقق من فهمك‬ ‫ناقش طالبك كيف يمكنهم تقديرارتفاع كل من الشجرة ‪-‬‬ ‫المصباح ‪ -‬المبنى ‪ ...‬فى إطار مقياس الرسم‪ ،‬مع تنمية قدراتهم‬

‫على التقدير من خالل مصورات ومجسمات أخرى‪.‬‬

‫تحقق من فهمك‬

‫هـ‬

‫ثان ًيا‪ :‬التقييم‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫ص سم‬

‫‪ 2‬سم‬

‫‪6‬‬

‫‪2.‬‬

‫سم‬ ‫‪39‬‬

‫ب‬

‫س‪c‬‬

‫ح‬ ‫‪ 5‬سم‬

‫تطبيقات حياتية فى الشكل المقابل‪ :‬إذا كان‬ ‫طول الرجل ‪1٫8‬متر قدر ارتفاع كل من‪:‬‬ ‫الشجرة ‪ -‬المصباح ‪ -‬المبنى ‪ -‬السيارة ثم بين كيف‬ ‫تتحقق من صحة تقديرك‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫ل‬

‫‪1‬‬ ‫س‬ ‫ب ب جـ‬ ‫‪C‬هـ و = و ب ‪= 1 #‬‬ ‫س‪1-‬‬ ‫` س‪ - 2‬س ‪ = 1 -‬صفر‬

‫سم‬

‫جـ‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫‌ أ نعم‪12 :‬‬ ‫‪ 1٫617 - 7٫42‬وهي تقترب من النسبة الذهبية‪.‬‬

‫جـ‬

‫‪c50‬‬

‫و‬

‫‪ 7.5‬سم‬

‫ز‬

‫‌ إذا كان المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ + E‬المضلع هـ و ز ح‬ ‫‌ نشاط‪ :‬وضح لطالبك مفهوم النسبة الذهبية والمستطيل‬ ‫فأوجد‪:‬‬ ‫الذهبى وأهمية الرياضيات فى الفنون واطلب‬ ‫أ‬ ‫ معامل تشابه المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ E‬للمضلع هـ و ز ح‪.‬‬ ‫إلى الطالب البحث من خالل الشبكة العنكبوتية ‬ ‫ب‬ ‫ القيمة العددية لكل من س‪ ،‬ص‪ ،‬ل‪.‬‬ ‫(اإلنترنت) عن تطبيقات أخرى على النسبة الذهبية ‬ ‫والمستطيل الذهبى‪ .‬واطلب إليهم حل ما ورد فى بند‬ ‫‌ مستطيل بعداه ‪12‬سم‪8 ،‬سم‪ .‬أوجد محيط ومساحة‬ ‫حاول أن تحل ‪ 5‬ص ‪ 39‬وتابع إجاباتهم‪.‬‬ ‫مستطيل آخر مشابه له إذا كان‪ :‬معامل التشابه‪.2‬‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬

‫‌ أ المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ + E‬المضلع ل س ص ع‪ ،‬ك = ‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ب المربع ‪ C‬ب جـ ‪ + E‬المربع هـ و ز س‪ ،‬ك = ‪5‬‬ ‫ ‬ ‫‪8‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫‍ج ‬ ‫د ‬

‫المستطيالن غير متشابهين‪.‬‬ ‫ز و هـ س‪ ،‬ك = ‪3‬‬ ‫‪ C‬ب جـ ‪+ E‬‬ ‫‪4‬‬

‫‌ أ ‪ c(X‬س ل ع) = ‪ 3.6 = E C ، c90‬سم‬ ‫ب محيط المضلع س ص ع ل = ‪= 86 * 19٫5‬‬ ‫ ‬ ‫‪26‬سم‪.‬‬ ‫‌ بعدا الصورة األخرى‪24 = 2٫4 * 10 :‬سم‬

‫‌ علبة على شكل مستطيل ذهبى طوله ‪19٫4‬سم‪.‬‬ ‫احسب عرض هذه العلبة بالسنتيمترات‪.‬‬ ‫‌ مستطيالن متشابهان‪ ،‬بعدا األول ‪5‬سم‪4 ،‬سم‪ ،‬ومحيط‬ ‫الثانى ‪90‬سم‪ .‬أوجد طول المستطيل الثانى ومساحته‪.‬‬

‫إجابات التقييم‬

‫‌ أ ‪ 25‬ب س = ‪ ،50‬ص = ‪ ،3‬ل = ‪6٫5‬‬ ‫‌ المحيط = ‪80‬سم‪ ،‬المساحة = ‪384‬سم‪2‬‬ ‫‌ عرض العلبة = ‪19٫4‬‬ ‫‪12 - 1٫618‬سم‬

‫‌ طول المستطيل الثانى = ‪25‬سم‪،‬‬ ‫مساحته = ‪500‬سم‪.2‬‬ ‫ ‬

‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪33‬‬

‫التقدير‬

‫ممتاز‬

‫‪ 10‬درجات‬

‫جيد جدًّ ا‬ ‫‪ 8‬درجات‬

‫جيد‬

‫‪ 7‬درجات‬

‫مقبول‬

‫‪ 5‬درجات‬

‫�أداء الطالب‬

‫ينفذ الطالب خطوات النشاط بدقة ويحصل على نتائج‬ ‫دقيقة‪.‬‬ ‫ينفذ الطالب خطوات النشاط بدقة‪ ،‬ولكنه يحتاج‬ ‫لمساعدة طفيفة من المعلم للحصول على نتائج دقيقة‬ ‫ينفذ الطالب خطوات النشاط‪ ،‬ولكنه يحصل على‬ ‫بعض النتائج الخطأ‪.‬‬ ‫يحاول الطالب بمساعدة المعلم تنفيذ خطوات النشاط‬ ‫ويحصل على بعض النتائج‪ ،‬ولكن بعضها خطأ‪.‬‬

‫ال يستطيع تنفيذ خطوات النشاط ويحتاج إلى‬ ‫ضعيف‬ ‫أقل من ‪ 5‬درجات المساعدة والتوجيه من قبل المعلم‪.‬‬

‫‪34‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫‪‬‬

‫‪ 6‬ﺍﻟﻤﻀﻠﻌﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺔ‪ .‬ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ ﻟﻠﺮﻣﺰ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻡ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‪.‬‬ ‫�‪c‬‬

‫��‬

‫��‪c‬‬

‫� ��‬

‫��‪c‬‬ ‫�� ‬

‫سلم تقييم النشاط‬

‫��‪c‬‬

‫� ��‬

‫�‪c‬‬

‫��‬

‫��‬ ‫��‪c‬‬

‫�‪c‬‬ ‫�� ‬

‫‪‬‬

‫‪ 7‬ﻋﻠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﺫﻫﺒﻰ ﻃﻮﻟﻪ ‪١٦٫٢‬ﺳﻢ‪ .‬ﺍﺣﺴﺐ ﻋﺮﺽ ﺍﻟﻌﻠﺒﺔ ﻷﻗﺮﺏ ﺳﻨﺘﻴﻤﺘﺮ‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 8‬ﻣﺴﺘﻄﻴﻼﻥ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺎﻥ ُﺑﻌﺪﺍ ﺍﻷﻭﻝ ‪٨‬ﺳﻢ‪١٢ ،‬ﺳﻢ‪ ،‬ﻭﻣﺤﻴﻂ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ‪٢٠٠‬ﺳﻢ‪ .‬ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ﻭﻣﺴﺎﺣﺘﻪ‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻧﺸﺎط‬

‫‪ 9‬ﻫﻨﺪﺳﺔ ��ﺔ‪ :‬ﻳﻮﺿﺢ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻣﺨﻄﻄًﺎ‬ ‫ﻹﺣﺪﻯ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﺴﻜﻨﻴﺔ ﺑﻤﻘﻴﺎﺱ ﺭﺳﻢ ‪ ١٥٠ : ١‬ﺃﻭﺟﺪ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫أ ﺃﺑﻌﺎﺩ ﺣﺠﺮﺓ ﺍﻻﺳﺘﻘﺒﺎﻝ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ب ﺃﺑﻌﺎﺩ ﺣﺠﺮﺓ ﺍﻟﻨﻮﻡ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺟ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺣﺠﺮﺓ ﺍﻟﻤﻌﻴﺸﺔ‪.‬‬ ‫د ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺴﻜﻨﻴﺔ‪.‬‬

‫‪‬‬

‫�� ‬

‫تقيم أنشطة كتاب األنشطة والتدريبات‬ ‫نشاط‬ ‫اطلب إلى طالبك القيام بالنشاط الموضح صفحة (‪ )21‬من‬ ‫كتاب األنشطة والتدريبات مع متابعة أعمالهم‪.‬‬

‫�‬

‫�� ‬

‫اطلب من طالبك حل تمارين مختاره من كراسة األنشطة‬ ‫صفحة ‪ 21 ،20‬وتابع حلولهم واطلب إليهم عرض األفكار‬ ‫المختلفة لحل بعضها‪.‬‬

‫�‬

‫�� ‪�� − �� M‬‬

‫�� ‬

‫ً‬ ‫ثالثا‪ :‬التدريب‬

‫�‬

‫�‬ ‫�‬

‫��‬

‫‌ هندسة مدنية‪ :‬قام بيت خبرة هندسي بتصميم نموذج‬ ‫(ماكيت) لمبنى مكون من ‪ 10‬طوابق متكررة ارتفاع‬ ‫الطابق الواحد ‪ 3٫2‬متر‪ ،‬وطابق أرضى ارتفاعه ‪ 5‬أمتار‬ ‫فكان ارتفاع المبنى فى النموذج ‪74‬سم‪ .‬أوجد معامل‬ ‫تشابه النموذج مع األصل‪ .‬وإذا كان ارتفاع مدخل البناية‬ ‫فى النموذج هو ‪ 6‬سم‪ ،‬كم يكون ارتفاعه األصلى‪.‬‬

‫‪ 5‬ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﻡ‪ + ١‬ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﻡ‪ + ٢‬ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﻡ‪.٣‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺗﺸﺎﺑﻪ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﻡ‪ ،١‬ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﻡ‪ ٢‬ﻟﻠﻤﻀﻠﻊ ﻡ‪.٣‬‬ ‫ب‬ ‫أ‬

‫� ��‬

‫أنشطة إثرائية للطالب المتفوقين‪:‬‬ ‫‌ هندسة إحداثية‪ :‬فى مستوى إحداثي متعامد ارسم‬ ‫الشكل ‪ C‬ب جـ ‪ E‬حيث ‪ ،)0 ،1-( C‬ب (‪،)0 ،2‬‬ ‫جـ (‪ )3 ،1-( E ،)3 ،2‬وإذا كان س (‪ ،)0 ،4‬ل (‪)0 ،9‬‬ ‫عين إحداثي النقط ص‪ ،‬ع التي تجعل الشكل ‪ C‬ب جـ‪E ‬‬ ‫يشابه الشكل س ص ع ل قارن إجابتك مع زمالئك‪.‬‬

‫�� ‬

‫�� ‬ ‫��‬

‫�‪��M‬‬

‫�� ‬

‫��‬

‫تشابه المثلثات‬

‫‪2‬‬

‫تشابه المثلثات‬

‫‪Similarity of Triangles‬‬

‫سوف تتعلم‬

‫و‬

‫فكر‬

‫ حاالت تشابه املثلثات‪.‬‬

‫ خصائص الع ود املرسوم من‬ ‫رأس القائ ة عىل الوتر ىف املثلث‬ ‫القائم الزاوية‪.‬‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬ ‫ بدهيية‬

‫‪‍ 2‬‬

‫‪Postulate/Axiom‬‬

‫‪Similarity of Triangles‬‬

‫ناقش‬ ‫الش‬

‫طلب أحد ملوك الفراعنة إلى‬ ‫الرياضى طاليس (‪ 600‬ق‪.‬م)‬ ‫أن يوجد ارتفاع الهرم األكبر‪،‬‬ ‫ارتفاع الهرم‬ ‫ولم تكن هناك أجهزة أو آالت‬ ‫العصا‬ ‫أو طريقة إليجاد ارتفاع‬ ‫ظل العصا‬ ‫الهرم مباشرة‪.‬‬ ‫طول ظل الهرم‬ ‫ثبت طاليس عصا رأس ًيا‬ ‫وبدأ يقيس ظل العصا ويقارنه بطول العصا نفسها إلى أن جاء وقت وجد فيه أن‬ ‫طول ظل العصا يساوي الطول الحقيقى للعصا نفسها‪ .‬فقام بقياس طول ظل الهرم‪،‬‬ ‫وكان هو ارتفاع الهرم نفسه‪.‬‬ ‫شعة‬

‫أ‬

‫إذا طلب منك قياس ارتفاع سارية العلم باستخدام عصا وشريط مدرج فهل تنتظر‬ ‫حتى يصبح طول ظل العصا مساو ًيا لطول العصا نفسها أو يمكنك قياس ارتفاع‬ ‫فسر إجابتك‪.‬‬ ‫سارية العلم فى أي وقت من يوم مشمس؟ ِّ‬ ‫جـ‬

‫عمل تعاونى‬ ‫‪ -1‬ارسم ‪ C 9‬ب جـ الذي فيه‪:‬‬ ‫‪c( X ،c50 = )Cc(X‬ب) = ‪ C ،c70‬ب = ‪4‬سم‬

‫األدوات والوسائل‬

‫‪c50‬‬

‫‪ -2‬ارسم ‪ E 9‬هـ و الذي فيه‪:‬‬ ‫‪c( X ،c50 = )Ec(X‬هـ) = ‪ E ،c70‬هـ = ‪5‬سم‬

‫ حاسب آىل‬

‫‪c70‬‬

‫‪ 4‬سم‬

‫‪C‬‬

‫ جهاز عرض بيانات‬

‫مس‬

‫ ورق مربعات‬

‫‪-4‬‬

‫ مرآة مستوية‬

‫ أدوات قياس‬ ‫ آلة حاسبة‬

‫ب‬

‫ يتعرف مسلمة التشابه «إذا طابقت زاويتان ىف مثلث نظائرمها ىف مثلث آخر‬ ‫كان املثلثان متشاهبان»‪ ،‬وحيل متارين عليها‪.‬‬

‫‪ C‬جـ ب جـ ‪ C‬ب‬ ‫استخدم اآللة الحاسبة إليجاد النسب ‪ E‬و = هـ و = ‪ E‬هـ‬ ‫ماذا تستنتج عن هذين المثلثين؟‬ ‫هل النسب متساوية؟‬

‫ يتعرف خصائص العمود املرسوم من رأس القائمة إىل الوتر ىف املثلث‬ ‫القائم الزاوية‪.‬‬ ‫ يتعرف ويربهن النظرية التى تنص عىل‪:‬‬ ‫«إذا طابقت زاوية من مثلث زاوية من مثلث آخر‪ ،‬وتناسبت أطوال‬ ‫األضالع التى حتتوهيا هاتان الزاويتان‪ ،‬كان املثلثان متشاهبني»‪.‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫ حيل متارين وتطبيقات رياضية عىل حاالت تشابه املثلثات‪.‬‬

‫تشابه ال ثلثات‬

‫ يستخدم تشابه املثلثات ىف القياس غري املبارش‪.‬‬

‫)‪postulate (or axiom‬‬

‫مسلمة‬

‫إذا طابقت زاويتان فى مثلث نظائرهما فى مثلث آخر كان المثلثان متشابهين‪.‬‬

‫فى الشكل المقابل‪:‬‬ ‫إذا كان ‪ c ، E c / C c‬ب ‪ c /‬هـ‬ ‫فإن ‪ C 9‬ب جـ ‪ E 9 +‬هـ و‬

‫مفردات أساسي ة‬

‫و‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫بديهية (مسلمة) ‪ -‬تشابه مثلثين ‪ -‬زوايا متطابقة ‪ -‬أضالع متناظرة‪.‬‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫ب ِّين أ ًّيا من أزواج المثلثات التالية تكون متشابهة‪ .‬اكتب المثلثات المتشابهة بترتيب الرؤوس المتناظرة‪.‬‬ ‫ب س‬ ‫‪E‬‬ ‫ع‬ ‫ل‬ ‫أ‬ ‫‪c25‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪c45‬‬

‫‪c55 c80‬‬

‫‪c55‬‬

‫جـ هـ‬

‫ج‬ ‫‪C‬‬

‫‪c65‬‬

‫‪c75 c65‬‬

‫‪C‬‬

‫هـ‬

‫و‬

‫ب‬

‫‪c70‬‬ ‫‪C‬‬

‫ص‬

‫ب ع‬

‫سبورة تعليمية ‪ -‬طباشير ملون (أقالم ملونة) ‪ -‬أدوات رسم وقياس ‪-‬‬ ‫حاسب آلى ‪ -‬برامج رسومية ‪ -‬جهاز عرض بيانات‪.‬‬

‫تعلم تعاونى ‪ -‬اكتشاف موجه ‪ -‬طريقة استنباطية ‪ -‬عرض ومناقشة ‪-‬‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫المواد التعليمية المستخدمة ‬ ‫طرق التدريس المقترحة ‬

‫جـ‬

‫ع‬ ‫و‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫ن‬

‫هـ‬ ‫ص‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫و‬

‫د‬

‫‪c25‬‬

‫م‬

‫‪c30‬‬

‫ب‬

‫ه‬

‫ص‬

‫س‬

‫جـ‬

‫ تناسبت أطوال األضالع املتناظرة ىف مثلثني‪.‬‬

‫قادرا على أن‪:‬‬ ‫فى نهاية هذا الدرس من المتوقع أن يكون الطالب ً‬

‫قارن نتائجك مع نتائج المجموعات األخرى واكتب مالحظاتك‪.‬‬

‫‪40‬‬

‫سبق تقديم مفهوم تطابق المثلثات وعرف الطالب حاالت تطابق‬ ‫المثلثين‪ ،‬وفى هذا الدرس نوجه الطالب إلى اكتشاف ماذا يحدث إذا‪:‬‬ ‫ تطابقت الزوايا املتناظرة ىف مثلثني أو بعضها واختلفت أطوال‬ ‫أضالعهام املتناظرة‪.‬‬

‫س‬ ‫أهداف الدر ‬

‫‪ -3‬أوجد بالقياس ألقرب ملليمتر أطوال كل من‪ C :‬جـ ‪ ،‬ب جـ ‪ E ،‬و ‪ ،‬هـ و‬

‫ برامج رسومية‬

‫خلفي ة‬

‫‪c70‬‬

‫س‬

‫الحظ أن‬

‫‪ -1‬المثلثان المتساويا األضالع متشابهان‪( .‬كما فى ه )‬

‫حل مشكالت‪.‬‬

‫مصادر التعل م‬

‫كتاب الطالب من صفحة ‪ 40‬إلى صفحة ‪49‬‬ ‫كتاب األنشطة والتدريبات من صفحة ‪ 22‬إلى صفحة ‪25‬‬ ‫الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت)‪.‬‬

‫‪ -2‬يتشابه المثلثان متساويا الساقين إذا ساوى قياس إحدى زاويتى القاعدة فى أحدهما قياس إحدى زاويتى‬ ‫القاعدة فى المثلث اآلخر‪( :‬كما فى و )‪.‬‬ ‫‪ -3‬يتشابه المثلثان القائما الزاوية إذا ساوى قياس إحدى الزاويتين الحادتين فى أحدهما قياس إحدى الزاويتين‬ ‫الحادتين فى المثلث اآلخر (كما فى ب )‪.‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪41‬‬

‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪35‬‬

‫ �إجراءات الدر�س‬

‫مـثـال‬

‫فى المثلث ‪ C‬ب جـ‪ C ∈ E ،‬ب ‪ ،‬هـ ∈ ‪ C‬جـ حيث ‪ E‬هـ ‪ //‬ب جـ ‪،‬‬ ‫ب ‪1٫2 = E‬سم ‪ C ،‬هـ = ‪3‬سم ‪ C ،‬جـ = ‪4‬سم ‪ E ،‬هـ = ‪4٫2‬سم‪.‬‬ ‫أ أثبت أن ‪ E C 9‬هـ ‪ C 9 +‬ب جـ‬ ‫ب أوجد طول كل من‪ ، E C :‬ب جـ‬

‫التمهيد‬

‫الحل‬

‫‪3‬‬

‫أ ‪ E a‬هـ ‪ //‬ب جـ ‪ C ،‬ب قاطع لهما‪.‬‬ ‫` ‪ E C c‬هـ ‪ C c /‬ب جـ‬ ‫فى المثلثين ‪ E C‬هـ ‪ C ،‬ب جـ‬ ‫‪ E Cc a‬هـ ‪ Cc /‬ب جـ‬ ‫‪ C Ec‬هـ ‪c /‬ب ‪ C‬جـ‬ ‫` ‪ E C 9‬هـ ‪ C 9 +‬ب جـ‬

‫سم‬

‫‪ 4٫2‬سم‬

‫سم‬

‫‪2‬‬

‫‪1٫‬‬

‫(برهانًا)‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫(زاوية مشتركة فى المثلثين)‬ ‫(مسلمة التشابه)‬

‫ب ‪ E C 9 a‬هـ ‪ C 9 +‬ب جـ‬ ‫‪E‬‬

‫‪ E‬هـ‬

‫` ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ = ب جـ ويكون‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫هـ‬

‫‪EC‬‬

‫ عر�ض الدر�س‬

‫‪4٫2 3‬‬ ‫‪ = 4 = 1٫2 + E C‬ب جـ‬

‫‪ 5‬سم‬

‫‪E‬‬

‫هـ‬

‫(‪4‬س – ‪ )5‬سم‬

‫ب‬

‫(س ‪ )4 +‬سم‬

‫(‪2‬س ‪ )3 +‬سم‬

‫‪C‬‬

‫جـ‬

‫(س ‪ )5 +‬سم‬

‫هـ‬

‫نتائج هامة‬ ‫نتيجة ‪1‬‬

‫إذا رسم مستقيم يوازى أحد أضالع مثلث ويقطع الضلعين اآلخرين أو المستقيمين الحاملين‬ ‫لهما فإن المثلث الناتج يشابه المثلث األصلى‪.‬‬

‫‪42‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫‪qq‬ناقش طالبك فى الشروط الواجب توافرها لتشابه‪:‬‬ ‫ أ مثلثان متساويا الساقين‪.‬‬ ‫ ب مثلثان قائما الزاوية‪.‬‬

‫تشابه ال ثلثات‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬ ‫‌ أ ‪ C9‬ب جـ ‪ E9 +‬هـ و‬ ‫ب ‪9‬س ص ع ‪9 +‬ن ل م‬ ‫ ‬ ‫‍ج المثلثان غير متشابهين‪.‬‬ ‫ ‬ ‫د‬ ‫ ‪ C9‬جـ هـ ‪9 +‬ب ‪ E‬هـ‬ ‫ ‬ ‫(إجابات متعددة)‬ ‫‍ه ‪ C9‬ب جـ ‪ E9 +‬هـ و ‬ ‫ ‬ ‫و‬ ‫ ‪9‬جـ ‪ C‬ب ‪9 +‬س ص ع أو‪ 9‬س ع ص‬ ‫ ‬ ‫ب س = ‪11‬سم‬

‫‌ أ (‪ E C9‬س ‪ C9 +‬ب ص)‪،‬‬ ‫(‪ C9‬س هـ ‪ C9 +‬ص جـ)‪،‬‬ ‫ ‬ ‫(‪ E C9‬هـ ‪ C9 +‬ب جـ)‬ ‫ ‬

‫‪36‬‬

‫‪C‬‬

‫اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ‪3 ،2‬‬ ‫من كتاب الطالب مع متابعة حلولهم‪.‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫‪E‬‬ ‫‪ 3‬سم‬

‫‪qq‬وضح لطالبك مسلمة التشابه صـ‪ 41‬واطلب إليهم حل‬ ‫حاول أن تحل ‪1‬‬ ‫موضحا لماذا تتشابه جميع المثلثات‬ ‫ً‬ ‫متساوية األضالع‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 2‬فى كل من األشكال التالية‪ ،‬أثبت أن ‪ C9‬ب جـ ‪ E C9 +‬هـ ثم أوجد قيمة س‪.‬‬ ‫ب جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫أ‬

‫‪ 2‬سم‬

‫‪qq‬اطلب إليهم تغير طول ‪ E‬هـ إلى أطوال مختلفة‬ ‫صحيحا‪.‬‬ ‫ومالحظة هل يظل استنتاجهم السابق‬ ‫ً‬

‫‪ 3 ، )1٫2 + E C(3 = E C 4‬ب جـ = ‪4٫2 * 4‬‬ ‫‪4٫2 * 4‬‬ ‫ = ‪3 = 3٫6 + E C3‬‬ ‫ ‪3٫6 = E C‬سم ب جـ = ‪5٫6‬سم‬

‫‪ 4‬سم‬

‫‪qq‬اطلب إلى طالبك تنفيذ العمل التعاونى الموضح صفحة‬ ‫‪ 40‬من كتاب الطالب وتحقق من صحة استنتاجهم‪.‬‬

‫‌ أ س = ‪2٫5‬س م‬

‫هـ‬

‫‪1‬‬

‫‪E‬‬

‫سم‬

‫ناقش طالبك فى ظاهرة اختالف طول ظل شخص يبتعد‬ ‫عن قاعدة عمود إنارة مضاء ليلاً ‪ ،‬وكيف ينمذج هذا‬ ‫الموقف هندس ًيا‪ .‬أو كيفية تكون صورة جسم فى آلة‬ ‫التصوير أو خزانة ذات الثقب واستنتاج العالقات بين‬ ‫العناصر المتناظرة للمثلثات التى يمكن رسمها‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬

‫جـ‬ ‫ب‬

‫هـ‬

‫جـ‬

‫إذا كان ‪ E‬هـ ‪ //‬ب جـ ويقطع ‪ C‬ب ‪ C ،‬جـ فى ‪ ،E‬هـ على الترتيب كما فى األشكال الثالثة السابقة‪:‬‬ ‫فإن‪ E C 9 :‬هـ ‪ C 9 +‬ب جـ‪.‬‬ ‫مـثـال‬

‫‪ 2‬فى الشكل المقابل‪ C :‬ب جـ مثلث‪ C ∈ E ،‬ب ‪ ،‬رسم ‪ E‬هـ ‪ //‬ب جـ‬

‫‪C‬‬

‫ويقطع ‪ C‬جـ فى هـ‪ E ،‬و ‪ C //‬جـ ويقطع ب جـ فى و‪.‬‬ ‫برهن أن‪ E C 9 :‬هـ ‪ E 9 +‬ب و‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫الحل‬

‫` ‪ E C9‬هـ ‪ C9 +‬ب جـ‬ ‫‪ E a‬هـ ‪ //‬ب جـ‬ ‫` ‪ E 9‬ب و ‪ C9 +‬ب جـ‬ ‫‪ E a‬و ‪ C //‬جـ‬ ‫من (‪ )2( ،)1‬ينتج أن‪ E C 9 :‬هـ ‪ E 9 +‬ب و‬

‫(‪)1‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫(وهو المطلوب)‬ ‫ب‬

‫و‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪C‬‬

‫فى الشكل المقابل‪ C :‬ب جـ مثلث‪ C ∈ E ،‬ب ‪ ،‬رسم ‪ E‬هـ ‪ //‬ب جـ ويقطع‬ ‫‪ C‬جـ فى هـ‪ ،‬رسم ‪ C‬س يقطع ‪ E‬هـ ‪ ،‬ب جـ فى س‪ ،‬ص على الترتيب‪.‬‬ ‫أ اذكر ثالثة أزواج من المثلثات المتشابهة‪.‬‬ ‫‪ E‬س س هـ ‪ E‬هـ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ب أثبت أن‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ب ص ص جـ‬

‫نتيجة ‪2‬‬

‫ب جـ‬

‫جـ‬

‫س‬

‫‪E‬‬

‫ب‬

‫هـ‬ ‫ص‬

‫جـ‬

‫إذا رسم من رأس القائمة فى المثلث القائم الزاوية عمود على الوتر انقسم المثلث إلى مثلثين‬ ‫متشابهين‪ ،‬وكالهما يشابه المثلث األصلى‪.‬‬

‫فى الشكل المقابل‪ C :‬ب جـ مثلث قائم الزاوية فى ‪ = E C ، C‬ب جـ‬

‫‪ E 9‬ب ‪ C 9 ،C‬ب جـ فيهما‬ ‫‪ E C c(X‬ب) = ‪ c( X‬جـ ‪ C‬ب) = ‪ c ، c90‬ب مشتركة فى المثلثين‪.‬‬ ‫(مسلمة التشابه) (‪)1‬‬ ‫` ‪ E 9‬ب ‪ C 9 + C‬ب جـ‬ ‫(‪)2‬‬ ‫وبالمثل ‪ C E 9‬جـ ‪ C 9 +‬ب جـ‬ ‫ب‬ ‫‪ a‬المثلثان المشابهان لثالث متشابهان‬ ‫` ‪ E9‬ب ‪ C E9 + C‬جـ ‪ C9 +‬ب جـ‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫‪43‬‬

‫تاثلثملا هباشت‬

‫تجنب الخطأ‬ ‫‪qq‬قد يخطئ الطالب فى كتابة أسماء المثلثات المتشابهة‪.‬‬

‫مـثـال‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث قائم الزاوية فى ‪، C‬‬

‫‪EC‬‬

‫= ب جـ أثبت أن ‪ C E‬وسط متناسب بين ‪ E‬ب‪ E ،‬جـ‪.‬‬

‫الحل‬

‫‪C‬‬

‫المعطيات‪ :‬فى ‪ C9‬ب جـ‪ = E C ،c90 = )Cc( X :‬ب جـ‬

‫المطلوب‪ :‬إثبات أن (‪ E = 2)CE‬ب * ‪ E‬جـ‬ ‫البرهان‪ :‬فى ‪ C9‬ب جـ‬ ‫ ‪ = E C ،c90 = )Cc( X a‬ب جـ‬ ‫ ` ‪ E 9‬ب ‪ C E 9 + C‬جـ‬ ‫‪E‬‬

‫ ويكون‪C E :‬جـ =‬

‫‪E‬ب‬ ‫‪CE‬‬

‫ب‬

‫(نتيجة)‬

‫‪qq‬نبه طالبك إلى أهمية كتابة عناصر المثلثين المتناظرة‬ ‫بنفس الترتيب‪.‬‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫‪qq‬وضح لطالبك خصائص العمود المرسوم من رأس‬ ‫القائمة إلى الوتر فى المثلث القائم الزاوية من خالل‬ ‫عرض نتيجة‪ 2‬صـ‪ ،43‬ومناقشة مثال ‪ 4 ،3‬صـ ‪.44‬‬

‫أى أن (‪ E = 2)CE‬ب * ‪ E‬جـ‬

‫حاول أن تحل‬

‫فى كل من األشكال التالية أوجد قيمة س العددية‪:‬‬ ‫ب‬

‫أ‬

‫ب‬

‫‪ 4‬سم‬

‫س سم‬ ‫‪ 18‬سم‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫هـ‬

‫(‪2‬‬

‫س‪+‬‬

‫‪ 6‬سم‬

‫‪ 8‬سم جـ‬

‫‪)1‬‬

‫سم‬

‫جـ‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫‪E‬‬

‫اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل‪ 5 ،4‬من‬ ‫كتاب الطالب مع متابعة حلولهم‪.‬‬

‫مـثـال‬ ‫‪C‬‬

‫فى الشكل المقابل ‪ C‬ب جـ مثلث قائم الزاوية فى ‪،C‬‬ ‫‪EC‬‬

‫= ب جـ أثبت أن‪:‬‬

‫أ (‪ C‬ب)‪ = 2‬ب جـ * ب ‪E‬‬

‫ب (‪ C‬جـ)‪ = 2‬جـ ب * جـ ‪E‬‬

‫جـ‬

‫الحل‬

‫` ‪C‬جـبب =‬

‫ب‪E‬‬ ‫ب‪C‬‬

‫ب جـ‬

‫جـ ‪C‬‬

‫‪44‬‬

‫م‬

‫أض‬

‫عل‬

‫ف إل‬

‫(نتيجة)‬

‫ويكون‪ C( :‬جـ)‪ = 2‬جـ ب * جـ ‪E‬‬

‫وم‬

‫ى‬

‫تشابه ال ثلثات‬

‫حاول أن تحل‬

‫أوجد قيمة س‪ ،‬ص العددية فى أبسط صورة (األبعاد مقدرة بالسنتيمترات)‬ ‫ب جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫أ‬ ‫‪3‬‬ ‫س‬

‫ب‬

‫‪4‬‬

‫و‬

‫‪E‬‬

‫س‬

‫ص‬

‫جـ‬

‫‪9‬‬

‫‪E‬‬

‫هـ‬

‫‪6 3‬‬

‫القيا�س غير المبا�شر ‬

‫‪Indirect measarement‬‬

‫فى بعض الحاالت يصعب قياس مسافة أو ارتفاع معين مباشرة‪ ،‬وفي هذه الحالة يمكنك استخدام تشابه المثلثات‬ ‫إليجاد هذا القياس بطريقة غير مباشرة‪.‬‬ ‫إحدى الطرق تستخدم خاصية انعكاس الضوء فى المرآة المستوية‪ ،‬كما فى المثال التالى‪.‬‬ ‫مـثـال‬

‫‪C‬‬

‫زاوية‬ ‫االنعكاس ‪E‬‬

‫زاوية‬ ‫السقوط‬

‫‪6‬م‬

‫جـ‬

‫هـ‬

‫‪ 1٫2‬م‬

‫الحل‬

‫مترا‪ ،‬قياس زاوية السقوط = ‪ci‬‬ ‫بفرض أن ارتفاع الشجرة س ً‬ ‫` قياس زاوية االنعكاس = ‪ci‬‬ ‫فى المثلثين ‪ C‬ب جـ‪ E ،‬هـ جـ‬ ‫‪c( X‬ب) = ‪c( X‬جـ) = ‪c90‬‬ ‫‪ Cc( X‬جـ ب) = ‪ Ec( X‬جـ هـ) = (‪c)i - 90‬‬ ‫‪ C‬ب ب جـ‬ ‫` ‪ C 9‬ب جـ ‪ E 9 +‬هـ جـ ويكون‪ E :‬هـ = هـ جـ‬ ‫س‬ ‫‪6‬‬ ‫` ‪1٫2 = 1٫5‬‬

‫‪C‬‬

‫سم‬

‫ويكون س = ‪ 7٫5‬متر‬

‫مترا‪.‬‬ ‫أي أن ارتفاع الشجرة يساوي ‪ً 7٫5‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪E‬‬

‫‪ci ci‬‬ ‫ب‬

‫` س = ‪12‬سم‬ ‫` س = ‪4‬سم‬

‫‌ أ س‪ )9 + 4(4 = 2‬‬ ‫ص = ‪ )4 + 9(9‬‬ ‫ ‬

‫س = ‪13 2‬سم‪،‬‬ ‫س = ‪13 3‬سم‬

‫ب (‪ = 2) 6 3‬س(س ‪)3 +‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫س ‪3 +‬س ‪0 = 54 -‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫(س ‪()6 -‬س ‪0 = )9 +‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫ص = ‪ 6 * 3‬‬ ‫ ‬

‫س = ‪6‬سم‪،‬‬ ‫ص = ‪ 2 3‬سم‬

‫تجنب الخطأ‬ ‫‪qq‬قد يخطئ الطالب فى حل معادلة الدرجة الثانية‪.‬‬ ‫ذكر الطالب بإمكانية حل معادالت الدرجة الثانية‬ ‫بالتحليل إن أمكن أو باستخدام القانون العام‬ ‫‪2‬‬ ‫س = ‪-‬ب ‪ +‬ب ‪ C4 -‬جـ بعد وضع المعادلة على الصورة‬ ‫‪C2‬‬ ‫‪C‬س‪ + 2‬ب س ‪ +‬جـ = ‪0 ! C ،0‬‬

‫‪ 1٫5‬م‬

‫فيزياء‪ :‬أراد يوسف أن يعرف ارتفاع إحدى األشجار‬ ‫فوضع مرآة على مسافة ‪ 6‬أمتار من قاعدة الشجرة‪ ،‬ثم‬ ‫تحرك إلى الخلف حتى استطاع أن يرى قمة الشجرة فى‬ ‫سم‬ ‫وسط المرآة ‪ -‬عند هذه النقطة كان يوسف قد تحرك‬ ‫بعيدا عن المرآة مسافة ‪ 1٫2‬متر وكانت عيناه على‬ ‫ً‬ ‫ارتفاع ‪ 1٫5‬متر فوق سطح األرض‪ .‬فإذا كانت قدماه‬ ‫ب‬ ‫والمرآة وقاعدة الشجرة على استقامة واحدة أوجد‬ ‫علما بأن قياس زاوية السقوط = قياس زاوية االنعكاس‪.‬‬ ‫ارتفاع الشجرة‪ً .‬‬

‫ ‬ ‫ب ‪2(4‬س ‪36 = )1 +‬‬

‫ ‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫ص‬

‫ ‬ ‫‌ أ س‪144 = 8 * 18 = 2‬‬

‫اتك‬

‫تعد النتائج التى تم إثبات‬ ‫صحتها فى مثالى ‪ 4 ،3‬برهانًا‬ ‫لنظرية أقليدس التى سبق لك‬ ‫دراستها فى المرحلة اإلعدادية‪.‬‬

‫ويكون‪ C( :‬ب)‪ = 2‬ب جـ * ب ‪E‬‬

‫ ‪ C9 ،‬جـ ‪ 9 + E‬ب جـ ‪C‬‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫` ‪ C‬جـ =‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫فى ‪ C9‬ب جـ‪:‬‬ ‫‪ = E C ،c90 = )Cc( X a‬ب جـ‬ ‫(نتيجة)‬ ‫` ‪ C 9‬ب ‪ 9 + E‬جـ ب ‪C‬‬

‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬

‫‪6‬م‬

‫جـ‬

‫‪ 1٫5‬م‬

‫‪ 1٫2‬م هـ‬

‫ الربط‬ ‫‪qq‬يمكن الربط بين الرياضيات والفيزياء فى القياس‬ ‫غير المباشر من خالل تذكير الطالب بخاصية‬ ‫انعكاس الضوء على سطح مرآة مستوية فيكون‪:‬‬ ‫قياس زاوية السقوط = قياس زاوية االنعكاس‬

‫‪45‬‬

‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪37‬‬

‫أوجد المسافة س فى كل من الحاالت اآلتية‪:‬‬ ‫ب‬ ‫مترا‬ ‫س ً‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫مترا‬ ‫‪ً 1‬‬

‫س متر‬

‫ ‬

‫‪ 6‬متر‬

‫‪0‬‬

‫لنصر‬

‫رع ا‬

‫شا‬

‫مترا‬ ‫‪ً 6‬‬

‫إذا تناسبت أطوال األضالع المتناظرة فى مثلثين فإنهما يتشابهان‪.‬‬

‫المعطيات‪ :‬المثلثان ‪ C‬ب جـ ‪ E ،‬هـ و فيهما ‪ EC‬هـ =‬ ‫المطلوب ‪ C 9 :‬ب جـ ‪ E 9 +‬هـ و‬ ‫ب‬

‫مترا‬ ‫` س = ‪ً 18٫5‬‬

‫ارع الم‬ ‫ش‬

‫‪ 6040‬‬ ‫د س =‬ ‫‪+ 40 80‬‬

‫نظرية‪1‬‬

‫س متر‬

‫ستقبل‬

‫ ‬

‫‪ 80‬متر‬

‫‪ 4‬متر‬ ‫‪0‬‬ ‫ال‬

‫‪ 40‬‬ ‫‍ج س =‬ ‫‪8 6‬‬

‫د‬

‫جالء‬

‫ ‬

‫‪ 16‬‬ ‫ب س =‬ ‫‪5 4‬‬

‫مترا‬ ‫‪ً 125‬‬

‫مترا‬ ‫‪ً 3‬‬ ‫شارع الحرية‬

‫‪ 40‬متر‬

‫مترا‬ ‫‪ً 8‬‬

‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬

‫‌ ‬

‫مترا‬ ‫‪ً 4‬‬ ‫مترا‬ ‫‪ً 12‬‬ ‫شارع‬

‫ج‬

‫اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ‪ 6‬من‬ ‫كتاب الطالب مع متابعة حلولهم‪.‬‬ ‫‪ 125‬‬ ‫أ س =‬ ‫‪1 1٫48‬‬

‫س مترا‬

‫أ‬ ‫‪ 148‬سم‬

‫‪qq‬وضح لطالبك أهمية استخدام التشابه فى تطبيقات‬ ‫حياتية مثل قياس مسافة أو ارتفاع معين بطرق غير‬ ‫مباشرة‪ ،‬كما فى مثال ‪ 5‬ص ‪ 45‬من كتاب الطالب‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫ب جـ جـ ‪C‬‬ ‫=‬ ‫هـ و و ‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫البرهان ‪ :‬عين س ∈ ‪ C‬ب حيث ‪ C‬س = ‪ E‬هـ ‪،‬‬

‫ارسم س ص ‪ //‬ب جـ ويقطع ‪ C‬جـ فى ص‪.‬‬

‫مترا‬ ‫` س = ‪ً 12٫8‬‬

‫‪ a‬س ص ‪ //‬ب جـ‬

‫مترا‬ ‫` س = ‪ً 30‬‬

‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫ويكون ‪= C‬‬ ‫‪C‬س سص ص‪C‬‬ ‫‪ C a‬س = ‪ E‬هـ‬

‫ب‬

‫ب جـ‬

‫هـ‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫ً‬ ‫(عمال)‬

‫جـ ‪C‬‬

‫ب جـ‬ ‫ب‬ ‫=‬ ‫` ‪= C‬‬ ‫‪ E‬هـ س ص ص ‪C‬‬ ‫ب‬ ‫ب جـ جـ ‪C‬‬ ‫‪ EC a‬هـ = هـ و =‬ ‫و‪E‬‬

‫مترا‬ ‫` س = ‪ً 32‬‬

‫و‬

‫(نتيجة (‪))1‬‬

‫` ‪ C 9‬ب جـ ‪ C 9 +‬س ص‬

‫س‬

‫ (‪)1‬‬

‫(معطيات) (‪)2‬‬

‫من (‪ )2( ،)1‬ينتج أن‪ :‬س ص = هـ و ‪ ،‬ص ‪ = C‬و ‪E‬‬

‫‪qq‬باستخدام شفافيات أوبرنامج باور بوينت ‪ PPT‬قدم‬ ‫لطالبك صور من مثلثات أطوال أضالعها المتناظرة‬ ‫متناسبة‪ .‬وبتحريك هذه الشافيات أو الشرائح‬ ‫واستخدام طريقة االكتشاف الموجه توصل مع طالبك‬ ‫إلى نص نظرية ‪ 1‬التالي‪« :‬إذا تناسبت أطوال األضالع‬ ‫المتناظرة فى مثلثين فإنهما متشابهان»‪.‬‬

‫‪46‬‬

‫(برهانا)‬

‫(وهو المطلوب)‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫تشابه ال ثلثات‬

‫مـثـال‬

‫فى الشكل المقابل‪ :‬ب‪ ،‬ص‪ ،‬جـ على استقامة واحدة‪ .‬أثبت أن‪:‬‬

‫‪٫5‬‬

‫ب‬

‫سم‬

‫‪18‬‬

‫سم‬

‫‪ 12‬سم‬

‫الحل‬

‫ص‬

‫أ فى المثلثين ‪ C‬ب جـ‪ ،‬س ب ص نجد أن‪:‬‬

‫‪ 18‬سم‬

‫‪ C‬ب = ‪ ، 4 = 12‬ب جـ = ‪4 = 6 + 18‬‬ ‫بص‬ ‫‪18‬‬ ‫‪3‬‬ ‫سب ‪3 9‬‬ ‫‪ C‬جـ = ‪4 = 18‬‬ ‫س ص ‪3 13٫5‬‬ ‫ب ب جـ‬ ‫جـ‬ ‫ويكون ‪C‬س ب = ب ص = ‪C‬س ص أى أن األضالع المتناظرة متناسبة‬ ‫‪C‬‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ‪ 7‬من‬ ‫كتاب الطالب مع متابعة حلولهم‪.‬‬ ‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬

‫ب جـ جـ هـ‬ ‫ب جـ هـ‬ ‫‌ ‪ = C a‬ب جـ `‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ب جـ هـ ب‬ ‫ب ‪ E‬هـ ب‬ ‫ ‬ ‫=‬ ‫= ب جـ `‬ ‫‪a‬‬ ‫ ‬ ‫ب‪E‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫ب جـ جـ هـ هـ ب‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫من (‪` )2( ،)1‬‬ ‫ ‬ ‫‪C‬ب ب‪E‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫` ‪9‬ب جـ هـ = ‪ C E9‬ب‬ ‫ ‬

‫ويكون‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪c(X‬جـ ب هـ) = ‪ E Cc(X‬ب) ‬ ‫‪c(X‬ب هـ جـ) = ‪ Ec(X‬ب ‪) C‬‬

‫‪38‬‬

‫(‪)1‬‬ ‫(‪)2‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫‪6‬‬

‫سم‬

‫جـ‬

‫` ‪ C 9‬ب جـ ‪ 9 +‬س ب ص‬ ‫ب ‪ C 9 a‬ب جـ ‪ 9 +‬س ب ص‬

‫` ‪ C c( X‬ب جـ) = ‪ c( X‬س ب ص)‬

‫أي أن‪ :‬ب جـ ينصف ‪ C c‬ب س‬

‫ب‪E‬‬

‫في الشكل المقابل‪ C :‬ب ∩ جـ ‪{ = E‬هـ} حيث ‪C‬جـ هـ = ‪ E‬هـ ‪C ،‬جـ هـ = ‪ E‬هـ أثبت أن‬ ‫هـ‬

‫الحل‬ ‫جـ هـ‬ ‫ب هـ‬ ‫‪ C‬هـ‬ ‫‪ C‬هـ‬ ‫` ب هـ = ‪ E‬هـ‬ ‫‪ a‬جـ هـ = ‪ E‬هـ‬ ‫جـ هـ‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫ب‪E‬‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫` ب ‪ E = E‬هـ‬ ‫‪ a‬جـ هـ = ‪ E‬هـ‬ ‫من (‪ )2( ،)1‬ينتج أن‪ C :‬هـ = جـ هـ = جـ ‪C‬‬ ‫ب هـ ‪ E‬هـ ‪ E‬ب‬ ‫أي أن ‪ C 9‬هـ جـ ‪ 9 +‬ب هـ ‪E‬‬

‫ب هـ‬

‫جـ‬

‫‪ C‬جـ ‪ //‬ب ‪E‬‬

‫هـ‬

‫(من خواص التناسب) (‪)1‬‬ ‫(من خواص التناسب) (‪)2‬‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫` ‪ C c(X‬جـ هـ) = ‪ c(X‬ب ‪ E‬هـ)‬

‫‪C‬‬

‫وهما فى وضع تناظر بالنسبة للقاطع جـ هـ‬

‫` ‪ C‬جـ ‪//‬‬

‫ب‪E‬‬ ‫‪C‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬شكل رباعي‪ ،‬هـ ∈ ب ‪ E‬حيث‪:‬‬ ‫‪C‬ب‬

‫` ‪// E C‬ب جـ‬ ‫` ‪ C‬ب ‪//‬جـ هـ‬

‫‪13‬‬

‫أ ‪ C9‬ب جـ ‪9 +‬س ب ص‬ ‫ب ب جـ ينصف ‪ Cc‬ب س‬

‫‪9‬‬

‫س‬

‫سم‬

‫‪qq‬ناقش مع طالبك برهان النظرية وتأكد من فهمهم‬ ‫للنظرية من خالل مناقشة مثال ‪ 7 ،6‬صفحة ‪.47‬‬

‫(تطابق األضالع الثالثة لنظائرها فى اآلخر)‬

‫ويكون ‪ C 9‬س ص ‪ E 9 /‬هـ و‬ ‫` ‪ E 9‬هـ و ‪ C 9 +‬س ص‬ ‫‪ C 9 a‬ب جـ ‪ C 9 +‬س ص‬ ‫` ‪ C 9‬ب جـ ‪ E 9 +‬هـ و‬

‫ تعلم تعاونى‬

‫= ب ‬

‫ص‬

‫=‬

‫جـ هـ ب ‪E‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ C E‬ب جـ ‪C E‬‬ ‫أ ‪ // E C‬ب جـ‬

‫هـ ب‬

‫= ب جـ أثبت أن‪:‬‬

‫ب‬

‫ب ‪ C‬ب ‪ //‬جـ هـ‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫هـ‬ ‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫‪47‬‬

‫تاثلثملا هباشت‬

‫نظرية ‪2‬‬

‫إذا طابقت زاوية من مثلث زاوية من مثلث آخر‪ ،‬وتناسبت أطوال األضالع التي تحتويها هاتان‬ ‫الزاويتان‪ ،‬كان المثلثان متشابهين‪.‬‬

‫‪ C‬جـ‬ ‫‪C‬ب‬ ‫المعطيات‪ E ، E c / C c :‬هـ = ‪ E‬و‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫المطلوب‪ C 9 :‬ب جـ ‪ E 9 +‬هـ و‬ ‫البرهان‪ :‬خذ س ∈ ‪ C‬ب حيث ‪ C‬س = ‪ E‬هـ‬ ‫وارسم س ص ‪ //‬ب جـ‬ ‫ب‬ ‫ويقطع ‪ C‬جـ فى ص‬

‫س‬

‫‪ a‬س ص ‪ //‬ب جـ‬

‫ص‬

‫ ‬

‫ص ‪ = 1 +‬س ‪ 3 -‬‬

‫ ‬

‫`ص=‪4‬‬ ‫‪E‬‬

‫‌‬

‫و‬

‫هـ‬

‫‪ E‬هـ‬ ‫جـ = س‪ 12 = 4 +6‬‬ ‫ويكون‪ :‬ب‬

‫`س=‪8‬‬

‫جـ‬

‫‪C‬‬

‫ ` ‪ C 9‬ب جـ ‪ C9 +‬س ص (نتيجة) (‪)1‬‬

‫‪ C‬جـ‬ ‫‪C‬ب‬ ‫ ويكون ‪ C‬س = ‪ C‬ص‬

‫‪ C‬جـ‬ ‫ب‬ ‫‪ EC a‬هـ =‬ ‫‪E‬و‬ ‫‪ C‬ب ‪ C‬جـ‬ ‫` س = ‪ E‬و ويكون ‪ C‬ص = ‪ E‬و‬ ‫‪C‬‬

‫(معطى) ‪ C ،‬س = ‪ E‬هـ (عمال)‬

‫` ‪ C 9‬س ص ‪ E 9 /‬هـ و (ضلعان وازوية محصورة)‬

‫ ويكون ‪ C 9‬س ص ‪ E 9 +‬هـ و ‬ ‫من (‪ )2( ،)1‬ينتج أن‪ C 9 :‬ب جـ ‪ E 9 +‬هـ و‬

‫ب‬

‫(‪)2‬‬

‫وهو المطلوب‪.‬‬

‫مـثـال‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث‪ C ،‬ب = ‪8‬سم ‪ C ،‬جـ = ‪10‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪12‬سم ‪ ،‬هـ ∈ ‪ C‬ب حيث ‪ C‬هـ = ‪2‬سم ‪ ∈ E ،‬ب جـ‬

‫ ‬

‫حيث ب ‪4 = E‬سم‪.‬‬ ‫أ برهن أن ‪ 9‬ب ‪ E‬هـ ‪ 9 +‬ب ‪ C‬جـ واستنتج طول ‪ E‬هـ ‪.‬‬ ‫ب برهن أن الشكل ‪ C‬جـ ‪ E‬هـ رباعى دائرى‪.‬‬ ‫الحل‬

‫من (‪ 9 ` )2( ،)1‬ب ‪ E‬هـ ‪ 9 +‬ب ‪ C‬جـ‬

‫من التشابه ‪ E‬هـ = ‪1‬‬ ‫‪ C‬جـ ‪2‬‬

‫‪48‬‬

‫سم‬

‫‪2‬‬

‫هـ‬

‫سم‬

‫‪10‬‬

‫‪6‬‬

‫(‪)2‬‬

‫ب‬

‫‪ 4‬سم‬

‫‪E‬‬

‫(نظرية)‬

‫ ` ‪ E‬هـ = ‪ C 12‬جـ ‪ E ،‬هـ = ‪5 = 10 * 12‬سم‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫‪ C a‬ب = ‪8‬سم ‪ C ،‬هـ = ‪2‬سم ` ب هـ = ‪6‬سم‬ ‫أ المثلثان ب ‪ E‬هـ ‪ ،‬ب ‪ C‬جـ فيهما‪:‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫‪ Ec‬ب هـ ‪ Cc /‬ب جـ‬ ‫‪ ،‬ب ‪ ، 1 = 4 = E‬ب هـ = ‪1 = 6‬‬ ‫ب جـ ‪2 12‬‬ ‫‪2 8‬‬ ‫ب‪C‬‬ ‫ب ‪ E‬ب هـ‬ ‫` ب ‪ = C‬ب جـ‬

‫ ‬

‫سم‬

‫‪ 8‬سم‬

‫جـ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪qq‬اطلب إلى طالبك حل تمرين ‪ 12 ،11 ،10‬من كراسة‬ ‫األنشطة والتدريبات صفحة ‪ 24‬وتابع حلولهم‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪qq‬اعرض لطالبك نظرية (‪ )2‬وبرهانها صـ‪ 48‬وناقش معهم‬ ‫حل مثالى ‪9 ،8‬‬ ‫مذكرا لهم بخواص الشكل الرباعى ‬ ‫ً‬ ‫الدائرى‪.‬‬ ‫ ‬

‫س‬

‫جـ‬

‫هـ‬

‫ص‬

‫و‬

‫‪ C9 a‬ب جـ ‪ E9 +‬هـ و‬ ‫` ‪c‬ب ‪c /‬هـ‬ ‫‪ C‬ب ب جـ‬ ‫‪ E‬هـ = هـ و‬ ‫‪ a‬ب س = ‪ 12‬ب جـ‪،‬‬ ‫ هـ ص = ‪ 12‬هـ و‬ ‫‪C‬ب بس‬ ‫` ‪ C‬هـ = هـ ص‬

‫‪C‬ب بس‬ ‫‪c a‬ب ‪c /‬هـ‪ C ،‬هـ = هـ ص‬

‫` ‪ C9‬ب س ‪ E9 +‬هـ ص ‬ ‫من التشابه ينتج أن‪:‬‬ ‫‪C‬ب بس ‪C‬س‬ ‫‪ E‬هـ = هـ ص = ‪ E‬ص‬

‫ص‬ ‫` ‪ C‬س * ‪ E‬هـ = ‪ C‬ب * ‪ E‬‬

‫(المطلوب فى ‪)C‬‬

‫(المطلوب فى ب)‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ‪9 ،8‬‬ ‫ التدريب والتقييم‬ ‫من كتاب الطالب مع متابعة حلولهم‪.‬‬ ‫اً‬ ‫أول‪ :‬حل تحقق من فهمك‪:‬‬ ‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬ ‫أ ‪ E C9 a‬هـ ‪ C9 +‬جـ ب ‬ ‫ ‬ ‫(نظرية ‪)2‬‬ ‫‌ أ ‪ C9‬هـ ‪9 + E‬ب هـ جـ ‬ ‫` س = ‪75‬‬ ‫‪ E‬هـ‬ ‫‪EC‬‬ ‫` ب جـ = ‪1٫5‬كم‬ ‫جـ = ‪ 13‬‬ ‫جـ ب =‬ ‫`‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫ب ‪ a‬ب هـ = ‪ ، 1 = 2‬ب ‪1 = 3 = E‬‬ ‫ ‬ ‫ب جـ ‪3 9‬‬ ‫ب‪3 6 C‬‬ ‫ ‬ ‫ب ‪ C a‬ب = ‪ C‬جـ ‪ = E C ،‬ب جـ‬ ‫`ص=‪3‬‬ ‫` ‪9‬ب ‪ E‬هـ ‪9 +‬ب جـ ‪ C‬‬ ‫ ‬ ‫‪ EC‬ب‪E‬‬ ‫=‬ ‫` ‪ E C9‬ب ‪9 +‬جـ ‪ ،C E‬ويكون‪:‬‬ ‫ ‬ ‫جـ ‪C E E‬‬ ‫ج ‪ C = E C‬هـ = ‪1‬‬ ‫‍‬ ‫ ‬ ‫س‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫مترا‬ ‫‪12٫8‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫`‬ ‫ ‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫‪8 5‬‬ ‫` ‪ E C9‬هـ ‪ C9 +‬ب جـ‬ ‫ ‬ ‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪39‬‬

‫تشابه ال ثلثات‬

‫ثان ًيا‪ :‬التقييم‬

‫‪E‬‬

‫‌ فى الشكل المقابل‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫سم‬

‫ ‬

‫` ‪C‬جـجـب =‬

‫ ‬

‫(س ‪ )4 +‬سم‬

‫‪C‬‬

‫جـ ‪E‬‬

‫(‪)2‬‬

‫(نظرية)‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫هـ‬

‫تحقق من فهمك‬ ‫فى كل من األشكال التالية أوجد قيمةس‪.‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫أ‬ ‫‪C‬‬

‫‪ 0٫‬كم ‪E‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 0٫6‬كم‬

‫‪ 0‬كم‬

‫‪٫8‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪0٫‬‬

‫كم‬

‫هـ‬

‫ب‬

‫جـ‬ ‫س‬

‫‪ 1٫2‬كم‬

‫‪C‬‬

‫كم‬

‫ب‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪8‬‬

‫سم‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫ب احسب طول ب جـ‬ ‫إجابات التقييم‪:‬‬ ‫‌ ‪7٫4‬سم‬

‫‌ أ ‪ 6 = E C‬سم‪ ،‬ب ‪ 3 2 = E‬سم‬ ‫ب ‪ 7٫5‬سم‬ ‫ ‬ ‫‌ من تشابه المثلثين ‪ C‬ب جـ‪ ،‬ب ‪ E‬جـ‬ ‫‪ Cc(X‬جـ ب) = ‪c(X‬ب جـ ‪c90 = )E‬‬ ‫ ‬ ‫ويكون ب جـ = ‪6‬سم‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫ثالثا‪ :‬التدريب‬

‫اطلب من طالبك حل تمارين مختارة من كراسة األنشطة‬ ‫والتدريبات صفحات ‪ 23 ،22 ،21‬وتابع حلولهم‪.‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫س متر‬

‫‪ 8‬متر‬

‫‪E‬‬

‫‪ 5‬متر‬

‫جـ‬

‫‪49‬‬

‫تقيم أنشطة كتاب األنشطة والتدريبات‬ ‫‪C‬‬ ‫نشاط‬ ‫اطلب إلى طالبك القيام بالنشاط الموضح صفحة (‪ )25‬من‬ ‫كتاب األنشطة والتدريبات مع متابعة أعمالهم‪.‬‬

‫أ أثبت أن‪ C9 :‬ب جـ ‪9 +‬ب ‪ E‬جـ‪.‬‬

‫‪40‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫‪ C‬ب جـ‪ E ،‬هـ و مثلثان متشابهان‪ ،‬س منتصف ب جـ ‪ ،‬ص منتصف هـ و أثبت أن‪:‬‬ ‫ب ‪ C‬س * ‪ E‬هـ = ‪ C‬ب * ‪ E‬ص‬ ‫أ ‪ C9‬ب س ‪ E9 +‬هـ ص‬

‫‪E‬‬

‫فى جـ‪ ،E ،‬ب جـ = ‪4‬‬ ‫ب‪5 C‬‬

‫ ‬

‫‪ 6‬سم‬

‫م‬

‫هـ (‬

‫ص‪+‬‬

‫‪)1‬‬

‫سم‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ C‬جـ يقطع الدائرة‬

‫ ‬

‫‪ 7‬سم‬

‫(‪)1‬‬

‫‪ C‬جـ‬ ‫من (‪ )2( ،)1‬ينتج أن ‪ C 9‬جـ ‪ 9 + E‬ب جـ ‪C‬‬

‫‪10‬‬

‫ ‬

‫جـ‬

‫الحل‬

‫سم‬

‫‪ C‬ب قطعة مستقيمة‬ ‫مماسة للدائرة‪،‬‬

‫ب ‪ 2‬سم هـ‬

‫المثلثان ‪ C‬ب جـ‪ C E ،‬جـ فيهما ‪c‬جـ مشتركة‬ ‫‪ C( a‬جـ)‪ = 2‬جـ ‪ * E‬جـ ب‬

‫ب إذا كان ‪ C‬هـ = ‪12‬سم‪،‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫هـ ب = ‪3‬سم ‪ ،‬أوجد طول ب جـ‬ ‫‌ فى الشكل المقابل‪:‬‬

‫‪ 3‬سم‬ ‫‪ c75‬هـ‬ ‫س‪c‬‬ ‫‪ 4‬سم ‪٫5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫س‬ ‫م ب‬

‫‪E‬‬

‫‪9‬‬

‫سم‬

‫‪E‬‬

‫‪3‬‬ ‫)س‬

‫مـثـال‬

‫أ إذا كان ب جـ = ‪ 4‬سم‪،‬‬ ‫جـ ‪2 = E‬سم‪.‬‬ ‫‪ ، E C‬ب ‪.E‬‬

‫‪6‬‬

‫سم‬

‫(‬ ‫س‪-‬‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث‪ ∈ E ،‬ب جـ حيث(‪ C‬جـ)‪ = 2‬جـ ‪ * E‬جـ ب أثبت أن‪ C 9 :‬جـ ‪ 9 + E‬ب جـ ‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫ أوجد طول كل من‪:‬‬

‫ ‬

‫‪E‬‬

‫ب‬

‫ثم أوجد طول الوتر جـ ‪. E‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫هـ‬

‫‪4‬‬

‫مفسرا إجابتك‪.‬‬ ‫فى كل من األشكال التالية أوجد قيمة الرمز المستخدم فى القياس‬ ‫ً‬ ‫ج‬ ‫جـ ب‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫أ‬ ‫ص سم‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫أثبت أن‪:‬‬ ‫‪ E C9‬هـ ‪9 +‬جـ ب هـ‬

‫سم‬

‫‪ 3‬سم‬

‫ ‬

‫‪ C‬ب ∩ جـ ‪{ = E‬هـ}‬

‫‪C‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫جـ‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 3‬سم‬

‫‌ فى الشكل المقابل‪:‬‬

‫` ‪c(X‬ب ‪ E‬هـ) = ‪c(X‬ب ‪ C‬جـ)‬ ‫أيضا ‪c‬ب ‪ E‬هـ ‪c /‬ب ‪ C‬جـ‬ ‫ب من التشابه ً‬ ‫‪c a‬ب ‪ E‬هـ خارجة عن الشكل الرباعى ‪ C‬جـ ‪ E‬هـ ` الشكل ‪ C‬جـ ‪ E‬هـ رباعى دائرى‪.‬‬

‫سلم تقييم النشاط‬ ‫التقدير‬

‫ممتاز‬

‫‪ 10‬درجات‬

‫جيد جدًّ ا‬ ‫‪ 8‬درجات‬

‫جيد‬

‫‪ 7‬درجات‬

‫مقبول‬

‫‪ 5‬درجات‬

‫�أداء الطالب‬

‫ينفذ الطالب خطوات النشاط بدقة‪ ،‬ويحصل على‬ ‫نتائج دقيقة‪.‬‬ ‫ينفذ الطالب خطوات النشاط بدقة‪ ،‬ولكنه يحتاج‬ ‫لمساعدة طفيفة من المعلم للحصول على نتائج دقيقة‬ ‫ينفذ الطالب خطوات النشاط‪ ،‬ولكنه يحصل على‬ ‫بعض النتائج الخطأ‪.‬‬ ‫يحاول الطالب بمساعدة المعلم تنفيذ خطوات النشاط‬ ‫ويحصل على بعض النتائج‪ ،‬ولكن بعضها خطأ‪.‬‬

‫ال يستطيع تنفيذ خطوات النشاط‪ ،‬ويحتاج إلى‬ ‫ضعيف‬ ‫أقل من ‪ 5‬درجات المساعدة والتوجيه من قبل المعلم‪.‬‬

‫‪‍ 2‬‬

‫العالقة بين مساحتي سطحى مضلعين متشابهين‬

‫‪2‬‬

‫‪The Relation Between the Area of two Similar Polygons‬‬

‫سوف تتعلم‬ ‫ العالقة بني حميطى مضلعني‬ ‫متشاهبني ومعامل (نسبة) التشابه‪.‬‬

‫ العالقة بني مساحتى سطحى‬ ‫مضلعني متشاهبني ومعامل (نسبة)‬ ‫التشابه‪.‬‬

‫فكر‬

‫و‬

‫ناقش‬

‫‪The Relation Between The Area Of Two‬‬

‫‪C‬‬

‫‪Similar Polygons‬‬

‫س‬

‫على ورق مربعات رسم كل من المثلثين‬ ‫‪ C‬ب جـ ‪ ،‬س ص جـ‪.‬‬ ‫ب‬

‫جـ‬

‫ص‬

‫‪ -1‬بين لماذا يكون‪:‬‬ ‫ٍ‬ ‫عندئذ‪.‬‬ ‫‪ 9‬س ص جـ ‪ C9 +‬ب جـ؟ أوجد معامل التشابه‬

‫‪ -2‬احسب النسبة بين مساحة المثلث س ص جـ إلى مساحة المثلث األصلى ‪ C‬ب جـ‬ ‫‪ -3‬عين نقطة أخرى مثل ‪ C ∈ E‬جـ ‪ ،‬ثم ارسم ‪ C // /E E‬ب ويقطع ب جـ فى ‪E‬‬

‫‪/‬‬

‫لتحصل على المثلث ‪ /E E‬جـ‪ ،‬هل ‪ /E E 9‬جـ ‪ 9 +‬س ص جـ؟‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬ ‫ حميط‬

‫‪ -4‬أكمل الجدول التالي‪:‬‬ ‫المثلثات‬

‫معامل‬ ‫التشابه‬

‫‪ 9‬س ص جـ ‪ C9 +‬ب جـ‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪Perimeter‬‬

‫ مساحة‬

‫‪Area‬‬

‫ مساحة مضلع‬

‫‪Area of a Polygon‬‬

‫ أضالع متناظرة‬

‫‪Corresponding Sides‬‬

‫‪ /E E 9‬جـ ‪ C 9 +‬ب جـ‬

‫النسبة بين مساحة المثلث األول‬ ‫مساحة‬ ‫مساحة‬ ‫إلى مساحة المثلث الثاني‬ ‫المثلث األول المثلث الثاني‬

‫‪4‬‬

‫‪1= 4‬‬ ‫‪9 36‬‬

‫‪36‬‬

‫‪ 9‬س ص جـ ‪ /E E 9 +‬جـ‬

‫‪-5‬‬

‫ماذا تعنى النسب التي حصلت عليها مقارنة بمعامل التشابه (نسبة التشابه)؟‬

‫ا اً‬ ‫أول‪ :‬الن�شبة بين م�شاحتي �شطحى مثلثين مت�شابهين‪:‬‬ ‫األدوات والوسائل‬

‫النسبة بين مساحتى سطحى مثلثين متشابهين تساوى مربع النسبة‬ ‫بين طولى أى ضلعين متناظرين فيهما‪.‬‬

‫نظرية‬ ‫‪3‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫ حاسب آيل‬

‫ جهاز عرض بيانات‬ ‫ برامج رسومية‬ ‫ ورق مربعات‬ ‫ آلة حاسبة‬

‫ب‬

‫هـ‬

‫جـ‬

‫س‬

‫ص‬

‫و‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫‪2‬‬

‫الحظ‬

‫ ‪ E‬ص = هـ و حيث ‪ E‬ص ∩ هـ و = {ص}‬ ‫‪ C 9 a‬ب جـ ‪ E 9 +‬هـ و‬ ‫` ‪c(X‬ب) = ‪c(X‬هـ)‪ C ،‬ب = ب جـ = جـ ‪C‬‬ ‫هـ و‬ ‫‪ E‬هـ‬

‫ فى المثلثين ‪ C‬ب س‪ E ،‬هـ ص‪:‬‬

‫(مسلمة التشابه)‬

‫ ويكون‪ C :‬ب = ‪ C‬س‬ ‫‪ E‬هـ ‪ E‬ص‬

‫المواد التعليمية المستخدمة ‬

‫(‪)2‬‬

‫ ‪ C9(W‬ب جـ) = ‪ 12‬ب جـ * ‪ C‬س = ب جـ * ‪ C‬س‬ ‫‪ E9(W‬هـ و) ‪ 1‬هـ و * ‪ C‬ص هـ و ‪ E‬ص‬ ‫‪2‬‬

‫ بالتعويض من (‪ )2( ،)1‬ينتج أن‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب جـ ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‪ C9(W‬ب جـ) = ‪ C‬ب * ‪ C‬ب = ‪ C l‬ب‬ ‫هـ ‪ l = b‬هـ و ‪ l = b‬وجـ‪ b CE‬وهو المطلوب ‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ E9(W‬هـ و) ‪ E‬هـ ‪ E‬هـ‬

‫الحظ أن‪ C9(W :‬ب جـ) = ‪ C l‬ب ‪ C ، 2b‬ب = ‪ C‬س‬ ‫‪ E‬هـ ‪ E‬ص‬ ‫‪ E‬هـ‬ ‫‪ E9(W‬هـ و)‬ ‫‪ C9(W‬ب جـ)‬ ‫ فيكون‪:‬‬ ‫‪ E9(W‬هـ و)‬

‫=‪C l‬س‬ ‫ص‪b‬‬ ‫‪E‬‬

‫طرق التدريس المقترحة ‬

‫‪2‬‬

‫تعلم تعاونى ‪ -‬اكتشاف موجه ‪ -‬عرض ومناقشة ‪ -‬حل مشكالت‪..‬‬

‫أى أن النسبة بين مساحتى سطحى مثلثين متشابهين تساوى مربع النسبة بين ارتفاعين متناظرين فيهما‪.‬‬ ‫تفكير نافد‪:‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -1‬إذا كان ‪ C9‬ب جـ ‪ E9 +‬هـ و‪ ،‬ل منتصف ب جـ ‪ ،‬م منتصف هـ و ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ C9(W‬ب جـ)‬ ‫=‪C l‬ل ‪ b‬؟‬ ‫هل‬ ‫‪ E9(W‬هـ و)‬ ‫‪E‬م‬

‫فسر إجابتك واكتب استنتاجك‪.‬‬

‫ب‬

‫‪ -2‬إذا كان ‪ C 9‬ب جـ ‪ E 9 +‬هـ و‪،‬‬

‫هـ‬

‫جـ‬

‫ل‬

‫مصادر التعل م‬

‫و‬

‫م‬ ‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ C‬ن ينصف ‪ Cc‬ويقطع ب جـ فى ن‪،‬‬ ‫‪ E‬ع ينصف ‪ Ec‬ويقطع هـ و فى ع‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ C9(W‬ب جـ)‬ ‫= ‪C l‬ن ‪ b‬؟‬ ‫هل‬ ‫‪ E9(W‬هـ و)‬ ‫‪E‬ع‬

‫هـ‬ ‫ب‬

‫فسر إجابتك واكتب استنتاجك‪.‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫ يتعرف ويربهن النظرية التى تنص عىل‪:‬‬ ‫«النسبة بني مساحتى سطحى مثلثني متشاهبني تساوى مربع النسبة بني‬ ‫طوىل أى ضلعني متناظرين فيهام»‪.‬‬

‫محيط ‪ -‬مساحة ‪ -‬مساحة مضلع ‪ -‬أضالع متناظرة‪.‬‬

‫ ‪c(X‬س) = ‪c(X‬ص) = ‪c(X ، c90‬ب) = ‪c(X‬هـ)‬

‫` ‪ C9‬ب س ‪ E9 +‬هـ ص‬

‫قادرا على أن‪:‬‬ ‫فى نهاية هذا الدرس من المتوقع أن يكون الطالب ً‬

‫مفردات أساسي ة‬

‫(‪)1‬‬

‫و‪E‬‬

‫س‬ ‫أهداف الدر ‬

‫ حيل متارين وتطبيقات حياتية تتضمن مساحات األشكال املتشاهبة وحتديد‬ ‫املساحة احلقيقية ملنطقة ما ىف خريطة إذا علم مقياس رسم اخلريطة‪.‬‬

‫الرمز ‪ W‬يعبر عن مساحة‬ ‫سطح المضلع‬

‫البرهان‪ :‬ارسم ‪ C‬س = ب جـ حيث ‪ C‬س ∩ ب جـ = {س}‪،‬‬

‫يمكن بمعرفة مقياس رسم خريطة أن تحدد المسافات الحقيقية بين‬ ‫موقعين عليها بمعرفة البعد بينهما على الخريطة‪ ،‬ثم حساب البعد‬ ‫الحقيقي المناظر‪ .‬فهل يمكن بمعرفة مساحة منطقة محددة على‬ ‫خريطة حساب مساحتها الحقيقية? هذا ما نوضحة فى هذا الدرس‪.‬‬

‫ يتعرف ويربهن النظرية التى تنص عىل‪:‬‬ ‫«النسبة بني مساحتى سطحى مضلعني متشاهبني تساوى مربع النسبة بني‬ ‫طوىل أى ضلعني متناظرين فيهام»‪.‬‬

‫العالقة بين مساحتي سطحى مضلعين متشابهين‬ ‫ب جـ ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫المطلوب‪ C9(W :‬ب جـ) = ‪ C l‬ب‬ ‫هـ ‪ l = b‬هـ و ‪ l = b‬وجـ‪b CE‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ E9(W‬هـ و)‬

‫خلفي ة‬

‫ يتعرف ويستنتج احلقيقة التى تنص عىل‪:‬‬ ‫«النسبة بني مساحتى سطحى مضلعني متشاهبني تساوى مربع النسبة بني‬ ‫طوىل أى ضلعني متناظرين فيهام»‪.‬‬

‫المعطيات‪ C 9 :‬ب جـ ‪ E 9 +‬هـ و‬

‫‪50‬‬

‫العالقة بين مساحتى سطحى مضلعين متشابهين‬

‫ن‬

‫ع‬

‫و‬

‫كتاب الطالب من صفحة ‪ 50‬إلى صفحة ‪57‬‬ ‫كتاب األنشطة والتدريبات والتدريبات صفحتي ‪27 ،26‬‬ ‫الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت)‪.‬‬

‫جـ‬

‫‪51‬‬

‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪41‬‬

‫ �إجراءات الدر�س‬

‫مـثـال‬

‫التمهيد‬

‫‪C‬‬

‫فى الشكل المقابل‪ C :‬ب جـ مثلث‪ C ∈ E ،‬ب‬ ‫حيث ‪E EC‬ب = ‪ E ، 34‬هـ ‪ //‬ب جـ ويقطع ‪ C‬جـ فى هـ‪.‬‬

‫‪qq‬اعرض على طالبك المشكلة التالية‪:‬‬ ‫ يستهلك نقاش ‪2‬جالون من الطالء لدهان حائط على‬ ‫شكل مستطيل‪ .‬إذا أراد العامل دهان حائط آخر على‬ ‫شكل مستطيل بعداه ضعف بعدى المستطيل األول‪،‬‬ ‫وبنفس المواصفات‪ .‬كم يستهلك العامل من الطالء؟‬

‫‪E‬‬

‫إذا كانت مساحة ‪ C 9‬ب جـ =‪784‬سم‪ .2‬أوجد‪:‬‬ ‫أ مساحة ‪ E C 9‬هـ‪ .‬ب مساحة شبه المنحرف ‪ E‬ب جـ هـ‪.‬‬

‫(نتيجة)‬ ‫‪2‬‬

‫(نظرية)‬

‫‪C 9(W‬‬ ‫` ‪ E C 9(W‬هـ) = ‪9 * 784‬‬ ‫‪144 = 49‬سم‬ ‫‪ E784‬هـ) = ‪` 37 j‬‬ ‫ ويكون‬ ‫ ‪ a‬مساحة شبه المنحرف ‪ E‬ب جـ هـ = مساحة ‪ C 9‬ب جـ ‪ -‬مساحة ‪ E C 9‬هـ‬ ‫‪2‬‬ ‫ ` مساحة شبه المنحرف ‪ E‬ب جـ هـ = ‪640 = 144 - 784‬سم‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪qq‬استقبل إجابات الطالب واترك فرصة للمداخالت والتعليق‪.‬‬

‫في الشكل المقابل‪:‬‬

‫ب هـ منصف ‪ C c‬ب ‪E‬‬

‫ عر�ض الدر�س‬

‫‪2‬‬

‫ب‬

‫‪qq‬اطلب إلى طالبك تنفيذ ما رد فى بند فكر وناقش صـ‪50‬‬ ‫ومقارنة النسبة بين مساحتى كل مثلثين ومعامل تشابهما‬ ‫وسجل مالحظاتهم ودعهم يكتشفوا أن النسبة بين‬ ‫مساحتى سطحى مثلثين متشابهين كالنسبة بين مربع‬ ‫نسبة تشابهما‪ ،‬وهذا ما توضحة نظرية (‪)3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ 8‬سم‬

‫‪ C 9(W ،‬ب جـ) = ‪ 48‬سم‬ ‫أوجد‪ 9(W :‬هـ ب ‪)E‬‬

‫‪12‬‬

‫سم‬

‫جـ‬

‫‪ 10‬سم‬

‫سم هـ‬

‫‪E‬‬

‫مـثـال‬

‫‪ 2‬النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين هي ‪ 9 : 4‬فإذا كان محيط المثلث األكبر ‪90‬سم‬ ‫أوجد محيط المثلث األصغر‪.‬‬ ‫الحل‬

‫بفرض أن ‪ C 9‬ب جـ ‪E 9 +‬هـ و ‬

‫‪2‬‬ ‫` ‪ C9(W‬ب جـ) = ‪ C l‬ب ‪ 4 = b‬ويكون ‪ C‬ب = ‪2‬‬ ‫‪ E‬هـ ‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ E9(W‬هـ و)‬ ‫‪ E‬هـ‬ ‫‪ a‬محيط ‪ C 9‬ب جـ = ‪ C‬ب‬ ‫هـ = ‪ 1 < 23‬‬ ‫محيط ‪ E 9‬هـ و‬ ‫‪E‬‬

‫` محيط ‪ C 9‬ب جـ < محيط ‪E 9‬هـ و‬ ‫محيط (‪9‬‬ ‫ويكون‬ ‫‪ C90‬ب جـ) = ‪ ` 23‬محيط ‪ C 9‬ب جـ = ‪60‬سم‬

‫‪qq‬اعرض لطالبك نص نظرية (‪ )3‬وناقش معهم كيفية‬ ‫استنباط برهانها‪.‬‬ ‫‪qq‬اطلب إلى طالبك التحقق من صحة العالقات التالية‪:‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫الحل‬

‫فى ‪ E C9‬جـ‪ E a :‬هـ ‪ //‬ب جـ‬

‫ ` ‪ E C 9‬هـ ‪ C 9 +‬ب جـ‬ ‫‪ E C 9(W‬هـ)‬ ‫‪EC‬‬ ‫ب‪b‬‬ ‫جـ) = ‪l‬‬ ‫ `‬ ‫‪ C 9(W‬ب‬ ‫‪C‬‬

‫هـ‬

‫‪52‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫ ‪ -1‬النسبة بين مساحتى مثلثين متشابهين تساوى مربع‬ ‫‪qq‬ناقش مع طالبك األمثلة الموضحة ص ‪ 52‬من كتاب‬ ‫النسبة بين ارتفاعين متناظرين فيهما‪.‬‬ ‫الطالب ثم اطلب إليهم حل ما ورد فى بند حاول أن‬ ‫ ‪ -2‬النسبة بين مساحتى مثلثين متشابهين تساوى مربع‬ ‫تحل مع متابعة إجاباتهم وتصحيح ما ورد من أخطاء‬ ‫النسبة بين طولى متوسطين متناظرين فيهما‪.‬‬ ‫فردية فى حينها‪.‬‬ ‫نشاط للفائقين‬ ‫‪C‬‬ ‫إذا علمت أن‬ ‫إجابات حاول أن تحل‬ ‫‪1‬‬ ‫مـ(‪ C9‬ب جـ) = ‪ C 2‬ب * ب جـ * جا ب‬ ‫‌ فى ‪ C99‬ب جـ‪ E ،‬ب هـ‬ ‫أثبت صحة النظرية السابقة‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫‪ Cc(X‬ب جـ) = ‪ Ec(X‬ب هـ)‪،‬‬ ‫ ‬ ‫نالحظ أن‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫س‬ ‫إذا كان‪:‬‬ ‫‪ C‬ب = ‪ ، 4 = 8‬جـ ب = ‪4 = 12‬‬ ‫ ‬ ‫‪ E‬ب ‪ 5 10‬هـ ب ‪5 15‬‬ ‫ ‬ ‫‪ C9‬ب جـ ‪9 +‬س ص ع‬ ‫ص‬ ‫` ‪ C9‬ب جـ ‪ E9 +‬ب هـ‬ ‫ ‬ ‫ع‬ ‫ب‬ ‫فإن‪:‬‬ ‫ ‬ ‫جـ‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪ C‬ب ب جـ‬ ‫` مـ (‪ C9‬ب جـ) = ( ‪) 5‬‬ ‫ ‬ ‫‪c‬ب ‪c /‬ص‪ ،‬س ص = ص ع = نسبة التشابه‬ ‫ ‬ ‫مـ (‪ E9‬ب هـ)‬ ‫ ‬

‫` مـ (‪ C9‬ب جـ) = ‪ C 12‬ب * ب جـ جا ب‬ ‫مـ (‪9‬س ص ع) ‪ 12‬س ص * ص ع جا ص‬

‫ ‬

‫سص*صع‬ ‫‪C‬ب ‪2‬‬ ‫= ( س ص ) ‬

‫= ‪ C‬ب * ب جـ ‬

‫ ‬

‫‪42‬‬

‫(ألن جا ب = جا ص)‬

‫(األضالع المتناظرة متناسبة)‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫ ‬

‫‪48‬‬ ‫= ‪16‬‬ ‫مـ (‪ E9‬ب هـ) ‪25‬‬ ‫` مـ (‪ E9‬ب هـ) = ‪* 25‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪75 = 4816‬سم‬

‫يهباشتم نيعلضم ىحطس ىتحاسم نيب ةقالعلا‬ ‫العالقة بين مساحتي سطحى مضلعين متشابهين‬

‫‪qq‬وضح لطالبك أن الشكل المرسوم بمقياس رسم معين‬ ‫يكون مماثلاً تما ًما للشكل األصلى‪ ،‬لكنه يختلف معه‬ ‫فى المساحة‪ ،‬أى أنه يكون مشاب ًها له‪ ،‬بذلك نجد‪:‬‬

‫حاول أن تحل‬ ‫‪C 2‬ب جـ‪ E ،‬هـ و مثلثان متشابهان ‪ C9(W ،‬ب جـ) = ‪3‬‬ ‫‪ E9(W‬هـ و) ‪4‬‬

‫أ إذا كان محيط المثلث األصغر ‪ 3 45‬سم‪ .‬أوجد محيط المثلث األكبر‪.‬‬ ‫ب إذا كان هـ و = ‪28‬سم أوجد طول ب جـ ‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫مـثـال‬

‫ ‬

‫‪10‬كيلومترا‪.‬‬ ‫إذا كان كل ‪ 1‬سم على الخريطة يمثل‬ ‫ً‬ ‫أوجد المساحة الحقيقية التي يمثلها المثلث ‪ C‬ب جـ ألقرب‬ ‫‪2‬‬ ‫كيلو متر مربع إذا كان ‪ C9(W‬ب جـ) = ‪6٫4‬سم‬

‫المساحة الحقيقة‬

‫ب‬

‫ ‬

‫الحل‬

‫مقياس الرسم = معامل التشابه =‬

‫‪1‬‬

‫‪510 * 10‬‬

‫جـ‬

‫مساحة ‪C9‬ب جـ = مربع معامل التشابه‬

‫المساحة الحقيقية‬ ‫‪6٫4‬‬ ‫المساحة الحقيقية‬

‫= ‪` 510 1* 10 j‬‬

‫‪2‬‬

‫هـ‬

‫المساحة الحقيقة = ‪ 510 * 510 * 10 * 10 * 6٫4‬سم‬ ‫ ‪640 -‬كم‬

‫‪E‬‬

‫‪2‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫أ فى الخريطة المبينة أعاله احسب مساحة المثلث ‪ E‬هـ و بالسنتيمترات المربعة واستخدامها فى‬ ‫تقدير المساحة الحقيقية التي يمثلها ألقرب كيلو مربع‪.‬‬ ‫ب باستخدام إحدى خرائط جمهورية مصر العربية احسب مساحة شبه جزيرة سيناء ألقرب مائة كيلو‬ ‫متر مربع ‪ -‬قارن إجابتك مع زمالئك‪.‬‬ ‫‪The ratio between the area of two similar polygons‬‬

‫عمل تعاونى‬

‫جـ‬

‫اعمل مع زميل لك لبحث إمكانية تقسيم المضلعين المتشابهين‬ ‫إلى نفس العدد من المثلثات التي يشابه كل منها نظيره‪.‬‬

‫التدريب‬

‫جـ‬

‫‪ -1‬ارسم مضلعات متشابهة كما فى شكل (‪ ،)1‬شكل (‪.)2‬‬

‫‪-2‬‬

‫فى شكل (‪ )1‬ارسم ‪ C‬جـ ‪ .‬ماذا تالحظ؟‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫وبمعرفة مقياس رسم خريطة يمكن تعين المساحة‬ ‫الحقيقة ألى منطقة عليها بعد تحديد مساحتها على الرسم‪.‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪/‬‬

‫ب‬

‫= مربع مقياس الرسم‬

‫‪qq‬ناقش مع طالبك مثال ‪ 3‬الموضح فى صفحة ‪ 53‬واطلب‬ ‫إليهم الدخول إلى برنامج ‪ Google Earth‬وتحديد‬ ‫المساحات لبعض المناطق الجغرافية‪ :‬دول ‪ -‬بحيرات‬ ‫ جزر‪ ...‬وحساب مساحتها مع مالحظة أن مقياس رسم‬‫الخريطة يتغير وفق تصغير أو تكبير الخريطة‪ ،‬إال أن‬ ‫المساحة الحقيقية لنفس المنطقة تكون ثابتة‪.‬‬

‫و‬

‫ثانياًا الن�شبة بين م�شاحتى �شطحى م�شلعين مت�شابهين‬

‫المساحة فى الرسم‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫اطلب إلى طالبك حل تمارين مختارة من كراسة‬ ‫التدريبات صـ‪.26‬‬

‫‪C‬‬

‫‪53‬‬

‫تعلم تعاونى‬

‫‌ أ ‪ C9 a‬ب جـ ‪ E9 +‬هـ و‬ ‫مـ (‪ C9‬ب جـ) = ‪3‬‬ ‫ ‬ ‫مـ (‪ E9‬هـ و) ‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫` محيط (‪ C9‬ب جـ) = ‪1 < 2‬‬ ‫ ‬ ‫محيط (‪ E9‬هـ و)‬ ‫` محيط (‪ C9‬ب جـ) < محيط (‪ E9‬هـ و)‬ ‫ ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 45‬‬ ‫ ‬ ‫محيط (‪ E9‬هـ و) = ‪2‬‬ ‫` محيط (‪ E9‬هـ و) = ‪ 90‬سم‬ ‫ ‬ ‫ب جـ ‪3‬‬ ‫ب‬ ‫ ‬ ‫ ‪ a‬هـ و = ‪28‬سم‪ ،‬هـ و = ‪2‬‬

‫‪qq‬من خالل ما ورد فى بند تعلم تعاونى صـ ‪ 53‬وضح‬ ‫للطالب الحقيقة التالية‪:‬‬ ‫ المضلعان المتشابهان يمكن أن ينقسما إلى نفس العدد‬ ‫من المثلثات التى يشابه كل منها نظيره‪.‬‬ ‫موضحا‬ ‫‪qq‬انتقل إلى نظرية (‪ )4‬وناقش الطالب فى برهانها‬ ‫ً‬ ‫الخواص التالية‪:‬‬ ‫‪ C‬ب ‪ C( 2‬ب)‬ ‫مجموع المقدمات‬ ‫‪/ = )/‬‬ ‫= إحدى النسب‪/ ( ،‬‬ ‫(‪ C‬ب )‬ ‫‪ C‬ب‬ ‫مجموع التوالى‬ ‫‪2‬‬

‫ ‬

‫‪2 /‬‬

‫ لتذكرة الطالب بها واستخدامها فى برهان النظرية‪.‬‬ ‫التقييم الم�ستمر‬

‫ ب جـ = ‪ 3 14‬سم‬ ‫ ‬ ‫اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ص ‪55‬‬ ‫تجنب الخطأ‬ ‫قد اليدرك الطالب أن النسبة بين محيطى مثلثين متشابهين كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم‪.‬‬ ‫إجابات حاول أن تحل‪4‬‬ ‫كالنسبة بين أطوال األضالع المتناظرة لهما‪.‬‬ ‫مـ (المضلع ‪ C‬ب جـ ‪)E‬‬ ‫وضح لطالبك إنه إذا كان‪ C 9‬ب جـ ‪ E 9 +‬هـ و‬ ‫‌ أ ‬ ‫‪، 19 = / / / /‬‬ ‫مـ (المضلع ‪ C‬ب جـ ‪) E‬‬ ‫فإن ‪ C‬ب = ب جـ = جـ ‪ C = C‬ب ‪ +‬ب جـ ‪ +‬جـ ‪C‬‬ ‫‪E‬هـ هـ و ‪ E‬و ‪ E‬هـ ‪ +‬هـ و ‪ +‬و ‪E‬‬ ‫محيط المضلع ‪ C‬ب جـ ‪1 = E‬‬ ‫ ‬ ‫محيط ‪ C9‬ب جـ‬ ‫محيط المضلع ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪3 /E /‬‬ ‫ ‬ ‫محيط ‪ E9‬هـ و‬ ‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪43‬‬

‫ب ‪ C‬ب = ‪ ، 2‬محيط المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هـ = ‪2‬‬ ‫‪ /C‬ب‪ 5 /‬محيط المضلع ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪ /E /‬هـ‪5 /‬‬

‫ ‬

‫‪-3‬‬

‫تفسيرا لذلك؟‬ ‫فى شكل (‪ )2‬إرسم ‪ . E C‬ماذا تالحظ؟ هل تجد‬ ‫ً‬

‫الحظ أن‬

‫محيط المضلع األول‬ ‫‍ج ‪a‬‬ ‫ ‬ ‫محيط المضلع الثانى‬ ‫` مساحة المضلع األول = ‪1‬‬ ‫ ‬ ‫مساحة المضلع الثانى ‪16‬‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫فى المثلثين ‪ C‬ب‪ /‬جـ‪ C ،/‬ب جـ‬

‫د ‪ a‬المضلع األول ‪ +‬المضلع الثانى‬

‫` محيط المضلع األول = ‪3 = 12‬‬ ‫محيط المضلع الثانى ‪4 16‬‬ ‫` ‪9 = 2) 3 ( = 1W‬‬ ‫حيث ‪W < 1W‬‬ ‫‪ 16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 2W‬‬ ‫‪9 135‬‬ ‫ ‪16 = 2W‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ويكون ‪ 240 = 16 *9135 = 2W‬سم‬

‫موضحا‬ ‫ناقش طالبك فى مثال ‪ 4‬ومثال‪ 5‬صفحتى ‪56 ،55‬‬ ‫ً‬ ‫للطالب أن‪:‬‬ ‫فإن‪ :‬س ص = ‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ب‬ ‫إذا كان‪ :‬س ص = ‪ C 4‬‬ ‫‪C‬ب ‪4‬‬ ‫وهذا اليعنى أن س ص = ‪ C ،3‬ب = ‪ 4‬ولكن النسبة بينهما ‪4 :3‬‬ ‫حيث ك ! ‪0‬‬ ‫ويمكن كتابة س ص = ‪3‬ك‪ C ،‬ب = ‪4‬ك ‬

‫اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ص ‪56‬‬ ‫مع متابعة إجاباتهم‪.‬‬ ‫إجابات حاول أن تحل‬ ‫‌ مساحة المزرعة األولى ‪25 = 2) 5 ( = 1W‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مساحة المزرعة الثانية ‪W‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪W- W‬‬ ‫خواص التناسب‬ ‫` ‪ 9 -925 = 2 W1‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫` ‪16 = 32‬‬ ‫ ‬ ‫‪9 2W‬‬

‫مساحة المزرعة الثانية = ‪ 18‬فدا ًنا‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ومساحة المزرعة األولى = ‪ 50 = 18 + 32‬فدانًا‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪qq‬يهدف مثال ‪ 6‬ومثال ‪ 7‬صفحتى ‪ 57 ،56‬إلى تنمية قدرات‬ ‫الطالب على البرهان‪.‬‬

‫‪44‬‬

‫جـ‬ ‫ب‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫وهكذا‪.‬‬

‫‪/‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬

‫هـ‬

‫جـ‬

‫هـ‬

‫‪/‬‬

‫جـ‬

‫‪/‬‬

‫مالحظة‪ :‬الحقيقة السابقة صحيحة مهما كان عدد األضالع‬ ‫فى المضلعين المتشابهين‪( ،‬المضلعان المتشابهان لهما نفس‬ ‫العدد من األضالع) فإذا كان عدد أضالع المضلع = ن ضل ًعا‬ ‫فإن عدد المثلثات التى يمكن أن ينقسم إليها المضلع (عن طريق أقطاره المشتركة فى نفس الرأس) = ن ‪ 2 -‬مثلثًا‪.‬‬ ‫ب‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫النسبة بين مساحتى سطحى مضلعين متشابهين تساوى مربع النسبة بين طولى أى ضلعين‬ ‫متناظرين فيهما‪.‬‬

‫نظرية‬ ‫‪4‬‬

‫‪/‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬

‫هـ‬

‫جـ‬ ‫ب‬

‫جـ‬

‫‪/‬‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫‪/‬‬

‫هـ‬

‫‪/‬‬

‫المعطيات‪ :‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هـ ‪ +‬المضلع ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪ /E /‬هـ‬ ‫‪C‬ب ‪2‬‬ ‫‪( W‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هـ)‬ ‫= ‪ /C l‬ب‪b /‬‬ ‫المطلوب‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫‪/‬‬

‫‪( W‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هـ )‬

‫‪/‬‬ ‫البرهان‪ :‬من ‪ C ، C‬نرسم ‪ C‬جـ ‪ /C ، E C ،‬جـ‪E /C ، /‬‬

‫‪/‬‬

‫‪/‬‬ ‫‪ a‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هـ ‪ +‬المضلع ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪ /E /‬هـ‬ ‫` فهما ينقسمان إلى نفس العدد من المثلثات‪ ،‬كل يشابه نظيره (حقيقة)‪ .‬ويكون‪:‬‬

‫جـ ‪2 E‬‬ ‫ب جـ ‪2‬‬ ‫‪ E C9(W‬هـ)‬ ‫‪ C9(W‬جـ ‪)E‬‬ ‫‪ C 9(W‬ب جـ)‬ ‫‪ l = / / /‬جـ‪ ، b /E /‬‬ ‫‪ l = / / /‬ب‪ /‬جـ‪ ، b /‬‬ ‫ ‬ ‫‪ /E /C9(W‬هـ‪)/‬‬ ‫‪ C9(W‬جـ ‪) E‬‬ ‫‪ C 9(W‬ب جـ )‬ ‫ب جـ‬ ‫هـ‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬ب‬ ‫(من تشابه المضلعين)‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪/‬‬ ‫ب‪ /‬جـ‪ /‬جـ‪ /E /E /‬هـ‪ /C /‬ب‬

‫‪54‬‬

‫= ‪ /E l‬هـ‪b /‬‬ ‫‪ E‬هـ‬

‫‪2‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫العالقة بين مساحتي سطحى مضلعين متشابهين‬

‫‪ E C9(W‬هـ)‬ ‫‪ C9(W‬جـ ‪)E‬‬ ‫‪ C9(W‬ب جـ)‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫`‬ ‫‪ /C9(W‬ب‪ /‬جـ‪ /C9(W )/‬جـ‪ /E /C9(W )/E /‬هـ‪)/‬‬

‫= ‪ /C l‬ب‪b /‬‬ ‫‪C‬ب‬

‫‪2‬‬

‫ ومن خواص التناسب‬

‫‪ C9(W‬ب جـ) ‪ C9(W +‬جـ ‪ E C9(W + )E‬هـ)‬

‫ ‬

‫التقويم الم�ستمر (الربط بالزراعة)‪:‬‬

‫هـ‬

‫‪/‬‬

‫(نتيجة)‬

‫حقيقة‪ :‬المضلعان المتشابهان يمكن أن ينقسما إلى نفس‬ ‫العدد من المثلثات التي يشابه كل منها نظيره‪.‬‬

‫‪ a‬مساحة المضلع األول = ‪ 25‬سم‬ ‫‪2‬‬ ‫` مساحة المضلع الثانى = ‪ 400‬سم‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫فيكون ب‪ /‬جـ‪ // /‬ب جـ‬ ‫` ‪ C 9‬ب‪ /‬جـ‪ C 9 + /‬ب جـ‬ ‫وبالمثل ‪ C c( X‬هـ‪c(X = )/E /‬هـ)‬ ‫` هـ‪ // /E /‬هـ ‪ E‬ويكون ‪ C 9‬هـ‪ C 9 + /E /‬هـ ‪E‬‬

‫‪2‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫‪/‬‬

‫‪ C c(X‬ب‪ /‬جـ‪c(X = )/‬ب) من تشابه المضلعين‬

‫= ‪، 14‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬ب‬ ‫= ‪ /C l‬ب‪b /‬‬

‫‪2‬‬

‫مالحظة‬

‫‪ /C9(W‬ب‪ /‬جـ‪ C9(W + )/‬جـ ‪ E C9(W + ) E‬هـ )‬ ‫‪C‬ب ‪2‬‬ ‫‪( W‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هـ)‬ ‫= ‪ b / / l‬وهو المطلوب‬ ‫ ويكون‪:‬‬ ‫‪ C‬ب‬ ‫‪( W‬المضلع ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪ /E /‬هـ‪)/‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫‪ C‬ب ‪ C( 2‬ب)‬ ‫‪ /C l‬ب‪ /C( = b /‬ب )‬

‫‪2‬‬

‫‪2 /‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫أ إذا كان المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ + E‬المضلع ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪C ،/E /‬‬ ‫كل من‪:‬‬ ‫ب‪ 13 = /‬فاكتب ما يساويه ٌّ‬ ‫‪ /C‬ب‬ ‫محيط المضلع ‪ C‬ب جـ ‪E‬‬ ‫‪( W‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪)E‬‬ ‫‪ ، / / / /‬‬ ‫محيط المضلع ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪E /‬‬ ‫‪( W‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪) E‬‬

‫‪/‬‬

‫ب إذا كان المضلعان ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هـ‪ /C ،‬ب‪ /‬جـ‪ /E /‬هـ‪ /‬متشابهان والنسبة بين مساحتي سطحيهما ‪25 : 4‬‬ ‫محيط المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هـ‬ ‫فاكتب ما يساويه كل من‪ C/ :‬ب‪ ، /‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪ C‬ب‬ ‫محيط المضلع ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪ /E /‬هـ‬ ‫ج إذا كانت النسبة بين محيطى مضلعين متشابهين ‪ ،4 : 1‬مساحة المضلع األول ‪25‬سم‪. 2‬أوجد مساحة‬ ‫المضلع الثاني‪.‬‬ ‫د إذا كان طوال ضلعين متناظرين فى مضلعين متشابهين هما ‪12‬سم‪16 ،‬سم‪ ،‬وكانت مساحة المضلع‬ ‫األصغر = ‪135‬سم‪ .2‬فإوجد مساحة المضلع األكبر‪.‬‬ ‫مـثـال‬

‫‪ C‬ب جـ ‪ ،E‬س ص ع ل مضلعان متشابهان فيهما‪ ، c40 = )Cc(X :‬س ص = ‪ C 34‬ب ‪ ،‬جـ ‪16 = E‬سم‪.‬‬ ‫احسب‪ً :‬‬ ‫أوال‪c(X :‬س) ثان ًيا‪ :‬طول ع ل ثالثًا‪(W :‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪( W : )E‬المضلع س ص ع ل)‬

‫الحل‬

‫‪ a‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ + E‬المضلع س ص ع ل‬ ‫` ‪c(X = )Cc(X‬س) فيكون ‪c(X‬س) = ‪( c40‬المطلوب ً‬ ‫أوال)‬ ‫` ‪C‬ب = ‪4‬‬ ‫‪ a‬س ص = ‪ C 34‬ب‬ ‫سص ‪3‬‬ ‫‪ C‬ب جـ ‪E‬‬ ‫ من تشابه المضلعين نجد ً‬ ‫أيضا س ص = ع ل‬ ‫‪16‬‬ ‫` ‪ = 43‬ع ل فيكون ع ل = ‪12 = 164* 3‬سم‬

‫(من خواص التناسب)‬

‫(المطلوب ثان ًيا)‬

‫الحظ أن‬

‫ ‪(W‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪( W : )E‬المضلع س ص ع ل) = (‪ C‬ب)‪( : 2‬س ص)‬ ‫‪2‬‬ ‫ = ‪16‬ك‪9 : 2‬ك‬ ‫ ‪( 9 : 16‬المطلوب ثالثًا)‬ ‫‪2‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪ C‬ب = ‪4‬ك‬ ‫س ص = ‪3‬ك‬ ‫ك!‪0‬‬

‫‪55‬‬

‫يهباشتم نيعلضم ىحطس ىتحاسم نيب ةقالعلا‬

‫ ‬

‫مـثـال‬

‫ ‬

‫النسبة بين محيطي مضلعين متشابهين ‪ .4 : 3‬إذا كان مجموع مساحتي سطحيهما ‪225‬سم‪ 2‬فأوجد مساحة‬ ‫كل منهما‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪ a‬النسبة بين محيطي مضلعين متشابهين = ‪4 : 3‬‬ ‫` النسبة بين طولى ضلعين متناظرين فيهما = ‪4 : 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ بفرض أن مساحة المضلع األول = ‪9‬س سم‪ ، 2‬مساحة المضلع الثاني = ‪16‬س سم‬ ‫‪9 = 16225‬‬ ‫` ‪9‬س ‪16 +‬س = ‪ 225‬ويكون س =‬ ‫‪+9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫` مساحة المضلع األول = ‪ 81 = 9 * 9‬سم‬ ‫‪2‬‬ ‫` مساحة المضلع الثاني = ‪ 144 = 9 * 16‬سم‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫مـثـال‬

‫‪ C‬ب جـ ‪ ،E‬س ص ع ل مضلعان متشابهان‪ .‬تقاطع قُطرى األول فى م وتقاطع قُطرى الثاني فى ن‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أثبت أن ‪(W‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪(W : )E‬المضلع س ص ع ل) = (م جـ)‪( : 2‬ن ع)‬ ‫الحل‬

‫(حقيقة)‬

‫(لماذا)‬ ‫(‪)1‬‬

‫ب جـ م جـ‬ ‫ ويكون ص ع = ن ع‬ ‫‪( W‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪)E‬‬ ‫`‬ ‫‪( W‬المضلع س ص ع ل)‬

‫= ‪l‬ص ع‪b‬‬ ‫ب جـ‬

‫م‬

‫(‪)2‬‬

‫ل‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ص‬ ‫جـ‬

‫ من (‪ )2( ،)1‬نستنتج أن‪:‬‬ ‫ ‪( W‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪(W : )E‬المضلع س ص ع ل) = (م جـ)‪( : 2‬ن ع)‬

‫‪56‬‬

‫‪E‬‬

‫ب‬

‫‪ a‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ + E‬المضلع س ص ع ل‬ ‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫س‬

‫ ‬ ‫ع‬

‫‪2‬‬

‫ب‬ ‫‪13‬‬

‫‪C‬‬

‫` مـ(المضلع ل)‪ :‬مـ(المضلع م)‪ :‬مـ (المضلع ن)‬ ‫‪2‬‬ ‫= (‪)12( :2)13( :2)5‬‬

‫مـ (المضلع ل) = ‪100‬سم‪2‬‬ ‫‪169‬‬ ‫مـ (المضلع م) = ‪* 100‬‬ ‫= ‪720‬سم‪2‬‬ ‫‪25‬‬ ‫مـ (المضلع ن) = ‪* 100‬‬ ‫‪576 = 14425‬سم‪2‬‬ ‫م‬

‫‪qq‬ناقش الطالب فى خطوات البرهان المنطقى واستخدام‬ ‫أسلوب حل المشكالت والذى يشمل‪ :‬فهم المشكلة ‪-‬‬ ‫ ‬ ‫التخطيط ‪ -‬الحل ‪ -‬التحقق من صحة الحل‪.‬‬

‫ ‬

‫اطلب إلى الطالب حل ما ورد فى بند حاول أن تحل رقمى‬ ‫ ‬ ‫‪ 7 ،6‬ص ‪ 57‬مع متابعة إجاباتهم‪.‬‬ ‫إجابات حاول أن تحل‬

‫س‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫م‬

‫جـ‬ ‫ص‬

‫ ‬

‫` ‪ E9‬م جـ ‪9 +‬ل ن ع ‬ ‫مـ (المضلع ‪ C‬ب جـ ‪)E‬‬

‫ ‬

‫‪ E9 a‬م جـ ‪9 +‬ل ن ع‬

‫ ‬

‫ل ‬

‫‪E‬‬

‫‌ ‪ a‬المضلع ‪ C‬ب‪ ‬جـ‪E ‬‬

‫مـ (المضلع س ص ع ل)‬ ‫‪E‬م‬

‫ع‬

‫فى الشكل أمامك‪:‬‬ ‫م ‪ ∩ C‬م ب ∩ م جـ = {م}‪،‬‬

‫س‬

‫س ∈ م ‪ ، C‬ص ∈ م ب‪،‬‬

‫التقويم الم�ستمر‬

‫م جـ‬

‫جـ‬

‫مـ (المضلع ل) = ‪ ، 25‬مـ (المضلع ل) = ‪25‬‬ ‫مـ (المضلع م) ‪ 169‬مـ (المضلع ن) ‪144‬‬

‫ن�شاط �إثرائى‬

‫ ‬

‫سم‬

‫‪ 12‬سم‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫يشابه المضلع‬ ‫سصعل‬

‫وهو المطلوب‬

‫‪ 5‬سم‬

‫حاول أن تحل‬

‫ن‬

‫= ( ل‪ E‬من ) ‬ ‫مـ (المضلع س ص ع ل)‬

‫‌ المضلعات المتشابهة ل‪،‬‬ ‫م‪ ،‬ن منشأة على األضالع‬ ‫‪ C‬ب ‪،‬ب جـ‪ C ،‬جـ ‪،‬‬

‫الربط مع الزراعة‪ :‬مزرعتان على شكل مضلعين متشابهين‪ ،‬النسبة بين طولى ضلعين متناظرين فيهما‬ ‫‪ ، 3 : 5‬إذا كان الفرق بين مساحتيهما ‪ 32‬فدانًا‪ ،‬فأوجد مساحة كل منهما‪.‬‬

‫‪ a‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ + E‬المضلع س ص ع ل‬ ‫` ‪ C 9‬ب جـ ‪ 9 +‬س ص ع‬ ‫‪ E 9 ،‬ب جـ ‪ 9 +‬ل ص ع‬ ‫` ‪ 9‬م ب جـ ‪ 9 +‬ن ص ع‬

‫من (‪ )2( ،)1‬ينتج أن‪:‬‬ ‫مـ (المضلع ‪ C‬ب جـ ‪)E‬‬

‫جـ ‪E‬‬

‫لن = نع = عل ‬

‫‪E‬‬ ‫جـ ) ‬ ‫=( لع‬ ‫‪2‬‬

‫ص‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫ع ∈ م جـ‬ ‫حيث س ص ‪ C //‬ب ‪،‬‬ ‫س ع ‪ //‬جـ ‪ ،‬م س = ‪3‬‬ ‫‪C‬‬ ‫م‪5 C‬‬

‫‪C‬‬

‫أ بين أزواج المثلثات المتشابهة‪ ،‬واذكر سبب‬ ‫تشابه كل مثلثين‪.‬‬

‫ب إذا كان ‪ C‬ب = ‪25‬سم‪ ،‬س ع = ‪9‬سم‪ ،‬ع ص = ‪12‬سم‪.‬‬ ‫ع ‬ ‫‪L‬‬ ‫ما قياس ‪c‬س ع ص؟‬ ‫ ‬ ‫‍ج تحقق من صحة النظرية بحساب مساحة‬ ‫حقيقة ‬ ‫‪9‬س ع ص ‪ C 9 ،‬جـ ب‪ ،‬ومقارنة النسبة بين‬ ‫(‪)1‬‬ ‫مساحتي سطحيهما‪.‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪45‬‬

‫العالقة بين مساحتي سطحى مضلعين متشابهين‬

‫مثال إضافى للطالب الفائقين‬ ‫مربعان أحدهما مرسوم داخل‬ ‫‪H‬‬ ‫دائرة واآلخر مرسوم خارج‬ ‫نفس الدائرة أثبت أن النسبة بين‬ ‫مساحتيهما تساوى ‪1‬‬ ‫ع‬ ‫‪2‬‬ ‫ب‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫بفرض أن طول نصف قطر الدائرة = ‪H‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ C‬ب = ‪ ،H2‬س ص = ‪2 H‬‬ ‫‪ a‬جميع المربعات متشابهة‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬

‫س‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪E‬‬ ‫ص‬

‫‪ C‬ب جـ ‪ ،E‬س ص ع ل مضلعان متشابهان فإذا كانت م منتصف ب جـ ‪ ،‬ن منتصف ص ع فأثبت أن‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(W‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪(W : )E‬المضلع س ص ع ل) = (م ‪( : 2)E‬ن ل)‬ ‫مـثـال‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث قائم الزاوية فى ب‪ ،‬فإذا كانت ‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪ C ،‬جـ أضالع متناظرة لثالثة مضلعات متشابهة‬ ‫منشأة على أضالع المثلث ‪ C‬ب جـ و هى على الترتيب‪ :‬المضلع ‪ ،M‬المضلع ‪ ،N‬المضلع ع‪.‬‬ ‫فأثبت أن ‪(W‬المضلع ‪(W + )M‬المضلع ‪(W = )N‬المضلع ع)‬ ‫الحل‬

‫ل‬

‫‪ a‬المضلع ‪ + M‬المضلع ع‬

‫‪( W‬المضلع ‪ C( )M‬ب)‬ ‫` ‪( W‬المضلع ع) = (‪ C‬جـ)‬

‫‪2‬‬

‫جـ‬

‫‪2‬‬

‫ =‬ ‫‪c(X a‬ب) = ‪c90‬‬

‫(‪ C‬ب)‪( + 2‬ب جـ)‬ ‫(‪ C‬جـ)‬

‫‪2‬‬

‫‪M‬‬

‫‪2‬‬

‫ب‬

‫المضلع‬

‫جـ‬

‫‪N‬‬

‫ (‪)1‬‬

‫‪2‬‬

‫(‪ C‬ب)‪( + 2‬ب جـ)‪ C( = 2‬جـ)‬

‫‪( W‬المضلع ‪)M‬‬

‫‪2‬‬

‫‪O‬‬

‫المضلع‬

‫‪( W‬المضلع ‪( )N‬ب جـ)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ a‬المضلع ‪ + N‬المضلع ع ` ‪( W‬المضلع ع) = (‪ C‬جـ)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( W‬المضلع ‪( W )M‬المضلع ‪)N‬‬ ‫(‪ C‬ب)‪( 2‬ب جـ)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( W a‬المضلع ‪( W + )O‬المضلع ‪ C( = )O‬جـ)‪ C( + 2‬جـ)‬

‫ (‪)2‬‬

‫‪( W‬المضلع ‪)N‬‬

‫من (‪ )2( ،)1‬ينتج أن‬ ‫‪( W +‬المضلع ع) = ‪1‬‬ ‫‪( W‬المضلع ع)‬ ‫ويكون ‪(W‬المضلع ‪(W + )M‬المضلع ‪(W = )N‬المضلع ع)‬

‫مـ (المضلع س ص ع ل) = ( س ص )‪1 = 2H 2 = 2‬‬ ‫‪2 2H 4‬‬ ‫‪C‬ب‬ ‫مـ (المضلع ‪ C‬ب جـ ‪)E‬‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫المضلع‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث قائم الزاوية فى ‪ ،C‬فيه ‪ C‬ب = ‪5‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪ 13‬سم‪ ،‬حيث ‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪ C ،‬جـ أضالع متناظرة‬ ‫لثالثة مضلعات متشابهة ل‪ ،‬م‪ ،‬ن منشأة على أضالع المثلث ‪ C‬ب جـ من الخارج على الترتيب‪.‬‬ ‫فإذا كانت مساحة سطح المضلع ل تساوى ‪100‬سم‪ 2‬أوجد مساحة سطح كل من المضلعين م‪ ،‬ن‪.‬‬

‫تحقق من فهمك‬ ‫فى الشكل المقابل‪ C :‬ب جـ ‪ E‬متوازى أضالع‪،‬‬

‫ التدريب والتقييم‬

‫هـ‬

‫(خواص متوازى األضالع)‬ ‫` ‪ E9‬جـ و‪9 +‬هـ ‪ E C‬‬

‫‌ ‪C a‬هـ ب = ‪ 32‬‬ ‫هـ‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫هـ‬

‫أثبت أن ‪ E 9‬جـ و ‪ 9 +‬هـ ‪E C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪ E 9( W‬جـ و)‬ ‫‪ 2‬أوجد‬ ‫‪ 9( W‬هـ ‪)E C‬‬

‫و‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪57‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫هـ‬

‫و‬

‫ب‬

‫‪ C 3‬هـ‬ ‫‪ C‬هـ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪C‬ب‬ ‫‪ C‬هـ ‪ +‬هـ ب‬

‫‪ E9 a‬جـ و‪9 +‬هـ ‪ C ، E C‬ب = ‪ E‬جـ‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫هـ ∈ ‪ C‬ب حيث ‪C‬هـ ب = ‪ E ، 32‬هـ ∩ جـ ب = {و}‬

‫�أولاً‪ :‬تحقق من فهمك‬ ‫‌ فى ‪ E9‬جـ و‪9 ،‬هـ ‪E C‬‬ ‫‪c(X‬جـ ‪ E‬و) =‬ ‫ ‬ ‫= ‪ Cc(X‬هـ ‪ )E‬تبادل‬ ‫ ‬ ‫‪c(X‬جـ) = ‪)Cc(X‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫‪E‬‬

‫` مـ (‪ E9‬جـ و) = ( ‪ E‬جـ )‪ C ( = 2‬ب )‪25 = 2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ C‬هـ‬ ‫هـ ‪C‬‬ ‫مـ (‪9‬هـ ‪)E C‬‬

‫جـ ‌ فى الشكل المرسوم‪ C :‬ب قطر فى الدائرة م‪،‬‬ ‫‪ C " E‬ب ‪ C ∉ E،‬ب‬

‫جـ‬

‫‪ E ،‬جـ مماس للدائرة‬ ‫عند جـ‪.‬‬ ‫ ‬

‫إذا كان ‪ C‬ب = ‪5‬سم‪،‬‬

‫ ‬

‫‪ C‬جـ = ‪4‬سم أوجد‪:‬‬ ‫أ مـ (‪ E9‬ب جـ) ‬ ‫مـ (‪ C E9‬جـ)‬

‫ ‬

‫‪ 4‬سم‬ ‫‪ 5‬سم‬

‫‪E‬‬

‫ب‬

‫م‬

‫‪C‬‬

‫ب مـ (‪ C9‬ب جـ)‬ ‫مـ (‪ C E9‬جـ)‬

‫إجابات التقييم‬

‫ثانيا‪ :‬التقييم‬

‫‌ مثلثان متشابهان مساحتيهما ‪120‬سم‪270 ،2‬سم‪2‬‬ ‫أوجد معامل تشابهما‪.‬‬

‫‌ ‪ 23‬‬

‫ ‌ ‪490‬سم‪250 ،2‬سم‪2‬‬

‫‪7 9‬‬ ‫‌ ‪16 ، 16‬‬ ‫‌ إذا كانت النسبة بين محيطى مضلعين متشابهين ‪5 :7‬‬ ‫ً‬ ‫ثالثا‪ :‬التدريب‬

‫ومجموع مساحتى سطحيهما ‪740‬سم‪ .2‬فأوجد مساحة‬ ‫سطح كل منهما‪.‬‬

‫‪46‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫اطلب من طالبك حل تمارين مختارة من كراسة األنشطة‬ ‫والتدريبات صفحة ‪ 27 ،26‬وتابع حلولهم‪.‬‬

‫‪‍ 2‬‬ ‫تطبيقات التشابه فى الدائرة‬

‫‪2‬‬

‫‪Applications of Similarity in the circle‬‬

‫سوف تتعلم‬ ‫ العالقة بني وترين متقاطعني ىف‬ ‫دائرة‪.‬‬

‫ العالقة بني قاطعني لدائرة من نقطة‬ ‫خارجها‪.‬‬ ‫ العالقة بني طول مماس وطوىل‬ ‫جزأي قاطع لدائرة مرسومني من‬ ‫نقطة خارجها‪.‬‬

‫ ن ذجة وحل مشكالت وتطبيقات‬ ‫حياتية باستخدام تشابه املضلعات‬ ‫ىف الدائرة‪.‬‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬ ‫ وتر‬

‫‪Chord‬‬

‫ قاطع‬

‫‪Secant‬‬

‫ مماس‬

‫‪Tangent‬‬

‫ قطر‬

‫‪Diameter‬‬

‫ مماس خارجى مشرتك‬

‫‪Common External Tangent‬‬

‫فكر و‬

‫ناقش‬

‫‪C‬‬

‫جـ‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫هـ‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫جـ‬ ‫ب‬

‫‪C‬‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫× فى شكل (‪ :)1‬هل توجد عالقة بين هـ ‪ * C‬هـ ب ‪ ،‬هـ جـ * هـ ‪E‬؟‬ ‫× فى شكل (‪ :)2‬هل توجد عالقة بين ‪ C‬هـ * ‪E C‬‬

‫‪ C ،‬جـ * ‪ C‬ب؟‬

‫× فى شكل (‪ :)3‬هل توجد عالقة بين ‪ C * E C‬جـ ‪ C( ،‬ب)‪ 2‬؟‬

‫تمرين مشهور‬

‫إذا تقاطع المستقيمان الحاويان للوترين ‪ C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ E‬لدائرة فى نقطة هـ فإن‪:‬‬ ‫هـ ‪ * C‬هـ ب = هـ جـ * هـ ‪E‬‬ ‫‪C‬‬

‫ مماس داخىل مشرتك‬

‫جـ‬ ‫هـ‬

‫ دوائر متحدة املركز‬

‫‪Concentric Circles‬‬

‫‪Applications of Similarity in The Cricle‬‬

‫فى كل من األشكال اآلتية مثلثان متشابهان‪ .‬اكتب المثلثين بترتيب تطابق زواياهما‬ ‫واستنتج تناسب األضالع المتناظرة‪.‬‬

‫‪Common Internal Tangent‬‬

‫‪E‬‬

‫ب‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫هـ‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫الستنتاج ذلك‪:‬‬

‫× فى كل من الشكلين أثبت أن المثلثين هـ ‪ ،E C‬هـ جـ ب متشابهان فيكون‪:‬‬ ‫هـ ‪E‬‬ ‫هـ ‪C‬‬ ‫ هـ جـ = هـ ب‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫خلفي ة‬

‫سبق للطالب دراسة عالقات رياضية بين أوتار الدائرة ومستقيمات‬ ‫(أو قطع مستقيمة) مرسومة بشروط معينة‪ ،‬كما درس العالقات بين‬ ‫زوايا فى الدائرة وأقواسها‪ .‬وفى هذا الدرس نعمق مفهوم التشابه لدى‬ ‫الطالب بتطبيقات هندسية وحياتية فى إطار دراسته لهندسة الدائرة‪.‬‬

‫س‬ ‫أهداف الدر ‬

‫قادرا على أن‪:‬‬ ‫فى نهاية هذا الدرس من المتوقع أن يكون الطالب ً‬

‫ يتعرف ويستنتج العالقة بني وترين متقاطعني ىف دائرة‪.‬‬

‫ يتعرف ويستنتج العالقة بني قاطعني لدائرة من نقطة خارجها‪.‬‬

‫× ارسم ‪ ، E C‬ب جـ‬

‫‪58‬‬

‫تطبيقات التشابه فى الدائرة‬

‫` هـ ‪ * C‬هـ ب = هـ جـ * هـ ‪E‬‬

‫ يتعرف العالقة بني طول مماس وجزأى قاطع لدائرة مرسومني من نقطة‬ ‫خارجها‪.‬‬

‫ ينمذج وحيل مشكالت وتطبيقات حياتية باستخدام تشابه املضلعات ىف‬ ‫الدائرة‪.‬‬

‫مفردات أساسي ة‬

‫وتر ‪ -‬قاطع ‪ -‬مماس ‪ -‬قطر ‪ -‬مماس خارجى مشترك ‪ -‬مماس داخلى‬ ‫مشترك ‪ -‬دوائر متحدة المركز‪.‬‬

‫المواد التعليمية المستخدمة ‬

‫سبورة تعليمية ‪ -‬طباشير ملون (أقالم ملونة) ‪ -‬حاسب آلى ‪ -‬برامج‬ ‫رسومية ‪ -‬جهاز عرض بيانات‪.‬‬

‫طرق التدريس المقترحة ‬

‫تعلم تعاونى ‪ -‬اكتشاف موجه ‪ -‬طريقة استنباطية ‪ -‬عرض ومناقشة ‪-‬‬ ‫حل مشكالت‪.‬‬

‫مصادر التعل م‬

‫كتاب الطالب من صفحة ‪ 58‬إلى صفحة ‪66‬‬ ‫كتاب األنشطة والتدريبات من صفحة ‪ 28‬إلى صفحة ‪31‬‬ ‫الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت)‪.‬‬

‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪47‬‬

‫تطبيقات التشابه لى الدائرة‬

‫ �إجراءات الدر�س‬

‫جـ‬

‫مـثـال‬

‫‪ 9‬سم‬

‫‪qq‬راجع مع طالبك مفهوم كل من الزاوية المحيطية‪،‬‬ ‫والزاوية المركزية وقياس القوس‪ ،‬واطلب إلى طالبك‬ ‫تحديد متى يكون الشكل الرباعى دائر ًّيا‪ ،‬والعالقة‬ ‫بين قياس الزاوية الخارجة لشكل رباعى دائرى وقياس‬ ‫الزاوية المقابلة لها‪.‬‬

‫أوجد طول هـ ب‬

‫هـ‬

‫هـ‬ ‫‪C‬‬

‫الحل‬ ‫‪ a‬هـ ‪4 = C‬‬ ‫هـ ب ‪3‬‬

‫‪ 4‬سم‬

‫التمهيد‬

‫فى الشكل المقابل‪ C :‬ب ∩ جـ ‪{ = E‬هـ}‬

‫وإذا كان هـ ‪C‬ب = ‪ ، 43‬هـ جـ = ‪9‬سم ‪ ،‬هـ ‪4 = E‬سم‬

‫ب‬ ‫‪E‬‬

‫` هـ ‪4 = C‬ك ‪ ،‬هـ ب = ‪3‬ك حيث ك ! ‪0‬‬ ‫(تمرين مشهور)‬

‫‪ C a‬ب ∩ جـ ‪{ = E‬هـ} ` هـ ‪ * C‬هـ ب = هـ جـ * هـ ‪E‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫فيكون‪4 :‬ك * ‪3‬ك = ‪4 * 9‬‬ ‫‪12‬ك‪36 = 2‬‬ ‫ك‪3 = 2‬‬ ‫ك = ‪ ، 3‬هـ ب = ‪ 3 3‬سم‬

‫حاول أن تحل‬

‫أوجد قيمة س فى كل من األشكال اآلتية (األطوال مقدرة بالسنتيمترات)‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫‪E‬‬ ‫أ‬ ‫‪C‬‬

‫ عر�ض الدر�س‬

‫جـ‬

‫اطلب إلى طالبك تنفيذ ما ورد فى بند فكر وناقش فى‬ ‫إطار مجموعات عمل (عمل تعاونى) واستقبال إجابات‬ ‫كل مجموعة على حدة من خالل متحدث عن المجموعة‪،‬‬ ‫واترك الفرصة للمداخالت والتعليق من باقى المجموعات‪.‬‬ ‫وضح للطالب العالقة بين أجزاء أى وترين متقاطعين‬ ‫ودعهم يستنتجوا ما جاء بالتمرين المشهور صـ‪58‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫هـ‬

‫س‬

‫‪6‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫ب‬

‫‪8‬‬ ‫‪2‬س ‪3‬س‬ ‫‪ 3 C‬هـ‬

‫جـ‬

‫‪5‬‬

‫ب‬

‫‪-1‬‬

‫جـ‬

‫‪9‬‬

‫س‬

‫‪4‬‬

‫هـ س‬

‫مـثـال‬

‫‪ 2‬فى الشكل المقابل‪ C :‬ب ∩ جـ ‪{ = E‬هـ} ‪ C ،‬ب = ‪5‬سم‪،‬‬ ‫جـ ‪9 = E‬سم ‪ ،‬هـ ‪3 = E‬سم‪ .‬أوجد طول ب هـ‬

‫هـ‬

‫‪ 3‬سم ‪E‬‬

‫الحل‬

‫ب‬

‫بفرض أن ب هـ = س سم‪.‬‬ ‫‪ C a‬ب ∩ جـ ‪{ = E‬هـ} ` هـ ب * هـ ‪ = C‬هـ ‪ * E‬هـ جـ (تمرين مشهور)‬ ‫فيكون‪ :‬س (س ‪)9 + 3( 3 = )5 +‬‬ ‫ س‪5 + 2‬س ‪ = 36 -‬صفر‬ ‫(س ‪( )4 -‬س ‪ = )9 +‬صفر‬ ‫` س = ‪ ، 4‬س = ‪ 9-‬مرفوض‬ ‫` طول ب هـ = ‪4‬سم‪.‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫‪E‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫‪ 9‬سم‬

‫‪ 5‬سم‬

‫‪C‬‬

‫‪59‬‬

‫اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل (‪،)1‬‬ ‫‌ أ ‪ C a‬ب ∩ جـ ‪{ = E‬هـ}‬ ‫(‪ )2‬من كتاب الطالب ص ‪ ،59‬ص‪ 60‬مع متابعة حلولهم‪.‬‬ ‫` هـ ب * هـ ‪ = C‬هـ ‪ * E‬هـ جـ‬ ‫ ‬ ‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬ ‫` س = ‪4٫6‬سم‬ ‫‪ + 5(5‬س) = ‪ 12 * 4‬‬ ‫ ‬

‫‌ فى الدائرة المعطاة‪ C a :‬ب ∩ جـ ‪{ = E‬هـ}‬ ‫ب ‪ a‬جـ ب ∩ هـ ‪}C{ = E‬‬ ‫ ‬ ‫` ‪ C‬ب * ‪ C‬جـ = ‪ C * E C‬هـ‬ ‫ ‬ ‫` ‪ C‬هـ * هـ ب = جـ هـ * هـ ‪E‬‬ ‫ ‬ ‫س * ‪3‬س = ‪ 9 * 3‬‬ ‫ ‬ ‫`س=‪9‬‬ ‫س‬ ‫أ ‪ 2=6*3‬‬ ‫ ‬ ‫‍ج ` ‪ E‬هـ ∩ جـ ب = {‪}C‬‬ ‫ ‬ ‫`س=‪2‬‬ ‫ب ‪2‬س * ‪3‬س = ‪ 24‬‬ ‫ ‬ ‫‪ C‬ب * ‪ C‬جـ = ‪ C‬هـ * ‪E C‬‬ ‫ ‬ ‫س(س ‪6 * 2 = )5 +‬‬ ‫ ‬ ‫‍ج (‪ - 15‬س) * س = ‪4 * 9‬‬ ‫ ‬ ‫س‪5 + 2‬س ‪ = 12 -‬صفر‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫` س ‪15 -‬س ‪0 = 36 +‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫(س ‪()3 -‬س ‪0 = )12 -‬‬ ‫` س = ‪ ، 3‬س = ‪12‬‬

‫ ‬

‫س = ‪12- * 1 * 4 - 25 ! 5-‬‬

‫ ‬

‫= ‪73 ! 5-‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫‪48‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬‫‪73‬‬ ‫ ‪ ∈ 1٫77‬ح‬‫`س=‬ ‫‪2‬‬ ‫ س = ‪ ∉ 73 - 5-‬ح‬ ‫‪2‬‬

‫`س=‪3‬‬

‫ةرئادلا ىف هباشتلا تاقيبطت‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 2‬أوجد قيمة س فى كل من األشكال اآلتية‬ ‫هـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪5‬‬

‫ب‬

‫س‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫ب‬

‫س‬

‫ج‬

‫‪C‬‬

‫س‬

‫(األطوال مقدرة بالسنتيمترات)‬ ‫‪C‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫س ب‬ ‫هـ‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫جـ‬

‫‪5‬‬

‫جـ‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫إذا رسم من نقطة خارج دائرة قاطع ومماس‪ ،‬فإن حاصل ضرب طول القاطع فى طول جزئه‬ ‫الخارجي يساوي مربع طول المماس‪.‬‬

‫نتيجة‬ ‫‪1‬‬

‫فى الشكل المقابل‪ :‬هـ ‪ C‬مماس للدائرة‬ ‫هـ جـ يقطع الدائرة ‪ ،E‬جـ‬ ‫` (هـ ‪ = 2)C‬هـ ‪ * E‬هـ جـ‬

‫‪qq‬استنتج مع طالبك العالقة بين طول المماس وجزأى‬ ‫قاطع لدائرة مرسومين من نقطة خارجها (نتيجة‪ 1‬ص ‪)60‬‬ ‫وناقش معهم مثال ‪3‬‬

‫‪C‬‬

‫جـ‬

‫مـثـال‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫فى الشكل المقابل‪ :‬هـ ‪ C‬مماس للدائرة‪،‬‬

‫‪C‬‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫هـ جـ يقطع الدائرة فى ‪ ،E‬جـ على الترتيب‪.‬‬ ‫حيث هـ ‪4 = E‬سم ‪ ،‬جـ ‪5 = E‬سم ‪ ،‬أوجد طول هـ ‪C‬‬

‫‪ 5‬سم‬

‫جـ‬

‫الحل‬

‫‪ 4‬سم‬

‫‪E‬‬

‫هـ‬

‫اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ‪ 3‬من‬ ‫كتاب الطالب ص ‪ 60‬وتابع حلولهم‪.‬‬

‫‪ a‬هـ ‪ C‬مماس‪ ،‬هـ جـ قاطع للدائرة‬ ‫` (هـ ‪ = 2)C‬هـ ‪ * E‬هـ جـ (نتيجة)‬ ‫(هـ ‪36 = )5 + 4(4 = 2)C‬‬ ‫` هـ ‪6 = C‬سم‬ ‫حاول أن تحل‬

‫فى كل من األشكال التالية هـ ‪ C‬مماس للدائرة‪ .‬أوجد قيم س‪ ،‬ص‪ ،‬ع العددية (األطوال مقدرة بالسنتيمترات)‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫‪E‬‬ ‫أ‬ ‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫س‬

‫‪60‬‬

‫‪12‬‬

‫ب ص هـ‬

‫‪4‬‬ ‫و ‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫س‬

‫ع‬

‫‪8‬‬

‫جـ‬

‫‪8‬‬

‫جـ‬

‫ب ‪ 5‬هـ‬

‫‪5‬ب‬

‫هـ‬

‫جـ‬

‫ز‬

‫‪C‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫عكس تمرين مشهور‬

‫الحظ أن‪:‬‬

‫جـ‬

‫‪C‬‬

‫× هل ‪ 9‬هـ ‪ 9 + E C‬هـ جـ ب؟ لماذا؟‬

‫اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ‪5 ،4‬‬ ‫صفحتى ‪ 62 ،61‬كتاب الطالب وتابع حلولهم‪.‬‬

‫‪E‬‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫ب‬

‫× هل ‪ c( X = )C c( X‬جـ)؟ لماذا؟‬ ‫فسر إجابتك‪.‬‬ ‫× هل النقط ‪ ،E ،C‬ب‪ ،‬جـ تقع على دائرة واحدة؟ ِّ‬

‫هـ‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫مـثـال‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث فيه ‪ C‬ب = ‪15‬سم‪ C ،‬جـ = ‪12‬سم‪ C ∈E .‬ب حيث ‪4 = E C‬سم‪ ،‬هـ ∈ ‪ C‬جـ حيث ‪ C‬جـ = ‪5‬سم‪.‬‬ ‫أثبت أن الشكل ‪ E‬ب جـ هـ رباعي دائرى‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫سم‬

‫‪ 5‬سم‬

‫الحل‬

‫‪2‬‬

‫هـ‬

‫ب‬

‫‪ 1‬سم‬

‫‪ C * E C a‬ب = ‪،60 = 15 * 4‬‬ ‫ ‪ C‬هـ * ‪ C‬جـ = ‪60 = 12 * 5‬‬ ‫` ‪ C * E C‬ب = ‪ C‬هـ * ‪ C‬جـ‬ ‫‪ a‬ب ‪ ∩ E‬جـ هـ = {‪ C * E C ، }C‬ب = ‪ C‬هـ * ‪ C‬جـ‬ ‫` النقط ‪ ،E‬ب جـ‪ ،‬هـ تقع على دائرة واحدة‬ ‫ ويكون الشكل ‪ E‬ب جـ هـ رباع ًيا دائر ًيا‬

‫‪15‬‬

‫سم‬

‫‪4‬‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫(عكس تمرين مشهور)‬

‫حاول أن تحل‬

‫سم‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2٫‬‬

‫سم‬

‫‪20‬‬ ‫سم‬

‫‪3‬‬ ‫سم‬

‫‪E‬‬

‫سم‬

‫‪ 5‬سم‬

‫‪ 4‬سم‬

‫إذا كان (هـ ‪ = 2)C‬هـ ب * هـ جـ‬ ‫فإن هـ ‪ C‬تمس الدائرة المارة بالنقط ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪4‬‬

‫نتيجة‬ ‫‪2‬‬

‫ب‬

‫‪4٫‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫سم‬

‫جـ‬

‫‪10‬‬

‫‪E‬‬

‫‪ 2٫4‬سم‬

‫هـ‬

‫سم‬

‫‪10‬‬

‫سم‬

‫‪ 3٫6‬سم‬

‫‪5‬‬

‫أي من األشكال التالية تقع النقط ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ‪ E ،‬على دائرة واحدة؟ فسر إجابتك‪.‬‬ ‫فى ٍّ‬ ‫هـ‬ ‫ج‬ ‫ب ‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫أ‬

‫هـ‬

‫‪C‬‬

‫هـ‬

‫جـ‬ ‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‌ أ ‬ ‫ب ‬ ‫ ‬ ‫ ‍‬ ‫ج‬ ‫ ‬

‫س = ‪ 65‬‬ ‫ص = ‪12‬‬ ‫س = ‪ ، 12‬ع = ‪10‬‬

‫التقويم الم�ستمر‬

‫إذا تقاطع المستقيمان الحاويان للقطعتين ‪ C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ E‬فى نقطة هـ (مختلفة عن ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ‪)E ،‬‬ ‫وكان هـ ‪ * C‬هـ ب = هـ جـ * هـ ‪ E‬فإن ‪ :‬النقط ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ‪ E ،‬تقع على دائرة واحدة‪.‬‬ ‫هـ ‪ * C‬هـ ب = هـ جـ * هـ ‪E‬‬ ‫هـ ‪E‬‬ ‫هـ ‪C‬‬ ‫فيكون هـ جـ = هـ ب‬

‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬

‫ناقش مع طالبك عكس التمرين المشهور صـ‪ 61‬مستخد ًما‬ ‫نظريات التشابه فى استنتاج أن النقط ‪ ،E ،C‬ب‪ ،‬جـ تقع‬ ‫على دائرة واحدة مع توظيف نتيجة ‪ 2‬فى حل التمارين‪.‬‬

‫تطبيقات التشابه لى الدائرة‬

‫جـ‬

‫تجنب الخطأ‬ ‫‪qq‬قد يخطئ الطالب فى اختيار جزء القاطع عند حل‬ ‫تمارين على تقاطع قاطعين لدائرة فى نقطة خارجها‪.‬‬ ‫نبه الطالب إلى أن جزء القاطع المختار فى عملية‬ ‫الضرب هو جزء القاطع الخارج عن الدائرة‪.‬‬

‫جـ‬

‫‪61‬‬

‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬ ‫‌ أ ‪ C a‬ب ∩ جـ ‪{ = E‬هـ}‪،‬‬ ‫‪ C‬هـ * هـ ب = ‪100 = 20 * 5‬‬ ‫ ‬ ‫جـ هـ * هـ ‪100 = 10 * 10 = E‬‬ ‫ ‬ ‫` ‪ C‬هـ * هـ ب = جـ هـ * هـ ‪E‬‬ ‫ ‬ ‫` النقط ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ‪ E ،‬تقع على دائرة واحدة‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ب ‪ C a‬ب ∩ جـ ‪{ = E‬هـ}‪،‬‬ ‫ ‬ ‫ هـ ‪ * E‬هـ جـ = ‪9 * 4‬‬ ‫ ‬ ‫ هـ ب * هـ ‪12 * 3 = C‬‬ ‫ ‬ ‫` هـ ‪ * E‬هـ جـ = هـ ب * هـ ‪C‬‬ ‫ ‬ ‫` النقط ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ‪ E ،‬على دائرة واحدة‪.‬‬ ‫ ‬

‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪49‬‬

‫‍ج ‪ C a‬ب ∩ جـ ‪{ = E‬هـ}‪،‬‬ ‫ ‬ ‫ هـ ب * هـ ‪21٫6 = 6 * 3٫6 = C‬‬ ‫ ‬ ‫ هـ ‪ * E‬هـ جـ = ‪20٫16 = 7٫2 * 2٫8‬‬ ‫ ‬ ‫` النقط ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ‪ E ،‬ال تقع على دائرة واحدة‬ ‫ ‬

‫مـثـال‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث فيه ‪ C‬ب = ‪8‬سم‪ C ،‬جـ = ‪4‬سم‪ C ∈ E ،‬جـ ‪ C ∉ E ،‬جـ حيث جـ ‪12 = E‬سم‪.‬‬ ‫أثبت أن ‪ C‬ب تمس الدائرة المارة بالنقط ب‪ ،‬جـ‪E ،‬‬ ‫الحل‬

‫‪ C a‬جـ * ‪64 = )12 + 4( 4 = E C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ C( ،‬ب)‪64 = 2)8( = 2‬‬ ‫` (‪ C‬ب)‪ C = 2‬جـ * ‪E C‬‬ ‫` ‪ C‬ب تمس الدائرة المارة بالنقط ب‪ ،‬جـ‪ E ،‬عند النقطة ب‪.‬‬

‫‌ أ ‪ C a‬جـ * ‪ C( ،36 = 9 * 4 = E C‬ب)‪36 = 2‬‬ ‫` النقط ب‪ ،‬جـ‪ E ،‬تمر بها دائرة واحدة‪.‬‬ ‫ ‬

‫سم‬ ‫‪6‬‬

‫‪50‬‬

‫‪٫4‬‬

‫‪6‬‬ ‫سم‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪ 9‬سم‬

‫‪ 6‬سم‬

‫ب‬

‫تطبيقات حياتية‪ :‬الربط مع الجيولوجيا‪ :‬فى إحدى‬ ‫المناطق الساحلية توجد طبقة أرضية على شكل قوس‬ ‫طبيعي‪ .‬وجد الجيولوجيون أنه قوس دائرة كما فى الشكل‬ ‫المقابل‪ .‬أوجد طول نصف قطر دائرة القوس‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫الحل‬

‫مترا‬ ‫بفرض أن طول نصف قطر دائرة القوس = ‪ً H‬‬ ‫‪ C a‬ب ‪ ،‬جـ ‪ E‬وتران متقاطعان فى هـ‬ ‫` هـ ‪ * C‬هـ ب = هـ جـ * هـ ‪E‬‬ ‫ ‪)9 - H2( * 9 = 27 * 27‬‬ ‫‪81 = 9 - H2‬‬ ‫ ‪45 = H‬‬ ‫مترا‪.‬‬ ‫أي أن طول نصف قطر دائرة القوس يساوي ‪ً 45‬‬

‫‪ 9‬متر‬

‫جـ‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫‪7‬‬ ‫سم‬

‫‪ 5‬سم‬

‫اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ‪ 6‬من‬ ‫كتاب الطالب ص ‪ 63‬وتابع حلولهم‪.‬‬

‫‪E‬‬

‫‪6‬‬ ‫سم‬

‫‪ 4‬سم‬

‫التقويم الم�ستمر‬

‫م‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫‪ 8‬سم‬

‫مـثـال‬

‫‪qq‬ناقش مع طالبك ما ورد من أمثلة باستخدام إستراتيجية‬ ‫حل المشكالت واتباع خطوات حل المشكلة وهى‬ ‫(افهم ‪ -‬خطط ‪ -‬حل ‪ -‬تحقق)‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫جـ‬

‫ج‬

‫‪E‬‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫‪qq‬يهدف مثال ‪ 6‬ص ‪ ،62‬نشاط ص ‪ 63‬من كتاب الطالب‬ ‫إلى تنمية إدراك الطالب ألهمية موضوع التشابه فى حل‬ ‫العديد من المشكالت والمواقف الحياتية ‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫جـ‬

‫ الربط‬

‫‪6‬‬

‫‪E‬‬

‫أ‬

‫‪62‬‬

‫نموذجا‬ ‫‌ نمذج‪ :‬ضع‬ ‫ً‬ ‫رياض ًّيا للمشكلة‪،‬‬ ‫باعتبار أن قوس النفق‬ ‫هو قوس من الدائرة م‬

‫‪ 4‬سم جـ‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫سم‬

‫مماسا للدائرة المارة بالنقط ب‪ ،‬جـ‪E ،‬‬ ‫أي من األشكال اآلتية يكون ‪ C‬ب‬ ‫ً‬ ‫فى ٍّ‬

‫‍ج فى المثلث ‪ C‬ب جـ القائم الزاوية فى ب‬ ‫ ‬ ‫‪ C‬جـ = ‪10‬سم (فيثاغورث)‬ ‫ ‬ ‫‪3٫6 = 6٫4 - 10 = E C‬سم‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ C( a‬ب) = ‪ C ،36‬جـ * ‪36 = 10 * 3.6 = E C‬‬ ‫ ‬ ‫` (‪ C‬ب)‪ C * E C = 2‬جـ وتكون النقط ب‪ ،‬جـ‪E ،‬‬ ‫ ‬ ‫تنتمى لدائرة واحدة‪.‬‬

‫هـ‬

‫سم‬

‫حاول أن تحل‬

‫ب ‪ C * E C a‬جـ = ‪،78 = 13 * 6‬‬ ‫ ‬ ‫ (‪ C‬ب)‪81 = 2)9( = 2‬‬ ‫ ‬ ‫` النقط ب‪ ،‬جـ‪ E ،‬ال تقع على دائرة واحدة‬ ‫ ‬

‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬

‫‪8‬‬

‫ب‬

‫‪ 54‬متر‬

‫جـ‬ ‫‪C‬‬

‫‪ 54‬هـ‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫م‬

‫‪54‬‬ ‫‪2‬‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫حل‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪ C a‬ب ∩ جـ ‪{ = E‬هـ}‪،‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫` جـ هـ * هـ ‪ C = E‬ب * ب هـ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ a‬م ‪ = E‬الوتر ‪ C‬ب‬ ‫` ‪ C‬هـ = هـ ب = ‪6‬سم‬ ‫ ‬ ‫ويكون هـ ‪4 - H2 = E‬‬ ‫ ‬ ‫بالتعويض فى (‪)1‬‬ ‫ ‬ ‫` ‪6٫5 = H 6 * 6 = )4 - H2( 4‬‬ ‫ ‬ ‫مترا‬ ‫ ‬ ‫فسر‪ :‬طول نصف قطر دائرة النفق = ‪ً 6٫5‬‬ ‫تحقق ‪36 = )2٫5 * 6٫5( * 4 ، 36 = 6 * 6‬‬ ‫ ‬ ‫اإلجابة صحيحة‪.‬‬ ‫ ‬

‫ةرئادلا ىف هباشتلا تاقيبطت‬

‫حل‪:‬‬

‫تطبيقات التشابه لى الدائرة‬

‫نشاط‬

‫أ ‪ a‬جـ ‪ ، C‬جـ ‪ E‬يقطعان الدائرة م فى ب ‪ ، C ،‬و ‪E ،‬‬ ‫` جـ ب * جـ ‪ = C‬جـ و * جـ ‪E‬‬ ‫ ‬ ‫ = ‪144 = )7 + 9( 9‬‬ ‫ ‬

‫خط أفق القمر من‬ ‫خط بصر أبوللو ‪8‬‬

‫الربط بالفضاء‪ :‬مركبة الفضاء أبوللو ‪ 8‬هى أول مركبة فضائية حملت إنسانًا‬ ‫إلى مدار القمر‪.‬‬ ‫إذا علمت أن خط البصر من أبوللو ‪ 8‬إلى أفق القمر يكون خطًّا مماس ًّيا‪،‬‬ ‫وحلقت المركبة فى مدار دائرى بمتوسط ارتفاع ‪180‬كم عن سطح القمر‪.‬‬ ‫علما بأن طول نصف قطر القمر‬ ‫احسب المسافة من المركبة إلى أفق القمر ً‬ ‫‪1740‬كم تقري ًبا‪.‬‬

‫أبوللو ‪8‬‬

‫الحل‬

‫يمكن نمذجة المسألة فى شكل دائرة مركزها م حيث تمثل ‪ C‬ب خط‬ ‫أبوللو ‪8‬‬ ‫البصر من أبوللو ‪ 8‬إلى أفق القمر فيكون‪:‬‬ ‫‪ C‬ب هو المسافة من المركبة إلى أفق القمر‪.‬‬ ‫(متوسط ارتفاع المركبة عن سطح القمر)‬ ‫‪ C‬جـ = ‪180‬كم‬ ‫جـ ‪ 3480 = 1740 * 2 = E‬كم (طول قطر القمر)‬ ‫‪3660 = 180 + 3480 = E C‬كم‬ ‫ويكون‪ C( :‬ب)‪ C = 2‬جـ * ‪( E C‬المماس وأجزاء القاطع)‬ ‫ = ‪658800 = 3660 * 180‬‬ ‫‪ C‬ب ‪812 -‬كم‬ ‫أي أن المسافة من المركبة إلى أفق القمر تساوى ‪812‬كم تقري ًبا‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ب‬ ‫جـ‬

‫م‬

‫‪E‬‬

‫ب ‪( a‬جـ هـ)‪ = 2‬جـ ب * جـ ‪ ، C‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫الربط مع هندسة الطرق‪ :‬يتم شق األنفاق الدائرية لتسهيل حركة المركبات وتجنب اختناقات المرور‪:‬‬ ‫ما طول نصف قطر دائرة النفق الموضح بالشكل المقابل إذا كان ارتفاع‬ ‫أمتارا‪.‬‬ ‫القوس فوق منتصف النفق يساوي ‪ً 4‬‬

‫‪4‬م‬ ‫‪ 12‬م‬

‫تحقق من فهمك‬ ‫الربط بالصناعة‪ :‬يرتكز سلم طوله ‪ 4‬أمتار على أرضية أفقية خشنة‪،‬‬ ‫وبطرفه اآلخر على خزان على هيئة نصف كرة‪ ،‬كما فى الشكل‬ ‫المقابل‪ .‬إذا كان بعد نهاية السلم السفلى عن قاعدة الخزان ‪ 2‬متر‪،‬‬ ‫فأوجد طول نصف قطر كرة الخزان‪.‬‬

‫متار‬

‫‪4‬أ‬

‫‪ 2 C‬متر جـ‬

‫‪E‬‬

‫‪63‬‬

‫مثال إضافى للطلبة المتفوقين‬

‫‪9‬‬

‫سم‬

‫جـ‬

‫‪7‬‬

‫سم‬

‫‪E‬‬

‫هـ‬

‫ن‬

‫م‬

‫` جـ هـ تمس الدائرة المارة بالنقطة ‪ ،E‬هـ‪ ، ‬و‬

‫� اً‬ ‫أول‪ :‬حل تحقق من فهمك‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫و‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫جـ ب * جـ ‪ = C‬جـ و * جـ ‪E‬‬ ‫` (جـ هـ)‪ = 2‬جـ و * جـ ‪E‬‬

‫ التدريب والتقييم‬

‫ب‬

‫‪ a‬جـ هـ تمس الدائرة ن فى هـ‬ ‫` (جـ هـ)‪ = 2‬جـ ب * جـ ‪144 = C‬‬ ‫ ويكون جـ هـ = ‪12‬سم‪.‬‬

‫نمذج‪ :‬باعتبار أن الخط األفقى المار بقاعدة السلم ‪ C‬قاط ًعا‬ ‫للدائرة التى تمثل مقط ًعا رأس ًّيا فى الخزان (دائرة عظمى فى‬ ‫الكرة‪ ،‬جـ ‪ E‬قطر فيها)‪ ،‬السلم ‪ C‬ب يمثله القطعة المماسة ‪ C‬ب‬ ‫حل‬ ‫ ‬ ‫‪ C a‬ب قطعة مماسة‪ C ،‬جـ قاطع للدائرة‬ ‫‪2‬‬ ‫` ‪ C‬جـ * ‪ C( = E C‬ب)‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫`‪3=H‬‬ ‫‪ )4( = )H2 + 2(2‬‬ ‫ ‬ ‫فسر‪ :‬طول نصف قطر كرة الخزان = ‪ 3‬أمتار‬ ‫تحقق‪ C( :‬ب)‪16 = 2)4( = 2‬‬ ‫ ‬ ‫‪ * E C‬جـ ‪16 = )3 * 2 + 2(2 = E‬‬ ‫` اإلجابة صحيحة‬ ‫ ‬ ‫ثان ًيا التقييم‬

‫‪C‬‬

‫أ أوجد طول جـ هـ ‬

‫‪4‬‬

‫ب أثبت أن جـ هـ تمس الدائرة المارة بالنقط ‪ ،E‬هـ‪ ،‬و‬

‫هـ‬

‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪E‬‬

‫س‬

‫‌ أوجد قيمة س فى كل من األشكال اآلتية‪:‬‬ ‫دائرتان م‪ ،‬ن متقاطعتان فى ‪ ،C‬ب‪ .‬جـ ∈ ‪ C‬ب ‪ ،‬جـ ∉ ‪ C‬ب ‪،‬‬ ‫(األطوال مقدرة بالسنتيمترات)‬ ‫ ‬ ‫جـ هـ تمس الدائرة ن فى هـ‪ ،‬جـ ‪ E‬يقطع الدائرة م فى و‪،‬‬ ‫جـ‬ ‫أ‬ ‫‪ E‬على الترتيب حيث جـ و = ‪9‬سم‪ ،‬و ‪7 = E‬سم‬ ‫‪ 3‬ب‬

‫‪5‬‬

‫‪C‬‬

‫‪51‬‬

‫ب‬

‫س‬ ‫‪ 8‬سم‬

‫‪C‬‬

‫نشاط‬

‫‪5‬‬

‫مغير البعد‬

‫م‬

‫‪3‬‬

‫هـ‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫‌ أوجد طول نصف قطر الدائرة م فى كل من األشكال‬ ‫(األطوال مقدرة بالسنتيمترات)‪.‬‬ ‫اآلتية ‬

‫أ‬

‫‪E‬‬

‫ب‬

‫م‬

‫‪C‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪15‬‬

‫ب جـ‬ ‫ب‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫‪ C/‬ب‪ ، /‬ب‪ /‬جـ‪ /C /E ، / / ، /‬ماذا تالحظ؟‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫س‬

‫هل المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ + E‬المضلع ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪/E /‬؟‬

‫‪C‬‬

‫و‬

‫كال من التحويالت الهندسية (االنعكاس ‪ -‬االنتقال ‪ -‬الدوران) هى ت ََساوى قياس‪ ،‬ألن الشكل‬ ‫سبق وعلمت أن ًّ‬ ‫وصورته متطابقان‪ ،‬فيكون للزوايا المتناظرة نفس القياسات ولألضالع المتناظرة نفس األطوال‪.‬‬ ‫تحويال هندس ًّيا آخر‪ ،‬فيكون للزوايا المتناظرة نفس القياس‪ ،‬كما أن أطوال األضالع‬ ‫الشكل السابق يوضح‬ ‫ً‬ ‫المتناظرة متناسبة ويعرف بمغير البعد‪.‬‬

‫ مغير البعد‬

‫لتكن (و) نقطة ثابتة فى المستوى‪ ،‬ك ∈ ح‬ ‫مغير البعد (و‪ ،‬ك)‪ :‬مركزه (و) ومعامله (ك)‪ ،‬هو تحويل هندسي يحول كل نقطة ‪ C‬فى المستوى إلى‬ ‫نقطة آخرى ‪ /C‬فى نفس المستوى‪ ،‬حيث‬ ‫تذكر‬

‫‪C‬‬

‫جـ‬ ‫هـ‬ ‫‪2‬‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫‪ -2‬أوجد النسبة بين أطوال األضالع المتناظرة‬

‫‪-3‬‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫*‬

‫‪25‬‬

‫ب‬

‫قد تستخدم البرامج الرسومية للحاسب اآللى فتقوم بتكبير أو تصغير بعض الوثائق أو الصور بالحجم المطلوب‬ ‫لوضعها فى المكان المناسب‪.‬‬ ‫ص‬ ‫يوضح الشكل المقابل ‪ C‬ب جـ ‪ E‬وصورته ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪ /E /‬بتحويل هندسي‪.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫جـ‬ ‫‪ -1‬قارن بين قياسات الزوايا المتناظرة‪:‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪c - /Cc ، Cc‬ب ‪c ،‬ب‬ ‫‪/‬‬ ‫‪c‬جـ ‪c ،‬جـ‪ Ec ، Ec - /‬ماذا تستنتج؟‬

‫تعريف‬ ‫ ‬

‫جـ‬

‫م‬

‫‪Homothetic Transformation‬‬

‫ونرمز له بالرمز‬

‫|ك| = ك ‪ ،‬ك > ‪0‬‬ ‫|ك| = ‪ -‬ك ‪ ،‬ك < ‪0‬‬

‫و ‪| = /C‬ك| * و ‪C‬‬

‫‪W‬‬

‫(‪ )/C( = )C‬ويقرأ‪ /C :‬صورة النقطة ‪ C‬بمغير بعد مركزه نقطة و‪ ،‬ومعامله ك‪.‬‬

‫(و‪ ،‬ك)‬

‫مالحظة هامة‬

‫بفرض أن النقطتين و‪ C ،‬فى المستوى ورسمنا و ‪ C‬فإن‪:‬‬ ‫ك>‪1‬‬

‫ب‬

‫‪<0‬ك<‪1‬‬

‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‌ دائرة م طول نصف قطرها ‪5‬سم‪ C ،‬نقطة خارجها‬ ‫بحيث ‪ C‬م = ‪13‬سم‪ C .‬ب يقطع الدائرة فى ب‪ ،‬جـ‬ ‫على الترتيب‪ E C ،‬مماس للدائرة فى ‪ E‬إذا كان‬ ‫ب جـ = ‪7‬سم‪ ،‬أوجد طول كل من ‪ C‬ب ‪E C ،‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫و‬

‫‪ ∈ /C‬و ‪ ∉ /C ، C‬و ‪C‬‬

‫‪64‬‬

‫ك<‪0‬‬

‫‪ ∈ /C‬و ‪C‬‬

‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ C ∈ /C‬و ‪ C ∉ /C ،‬و‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫تطبيقات التشابه لى الدائرة‬

‫فكر‬

‫× إذا كان‪:‬‬

‫‪W‬‬

‫(و‪)2 ،‬‬

‫( ‪ ، )/C( = ) C‬‬

‫‪W‬‬

‫(و‪)2 ،‬‬

‫حدد م ِ‬ ‫وض َع النقطتين ‪ ،/C‬ب‬ ‫(ب) = (ب‪َ ِّ )/‬‬

‫‪/‬‬

‫ هل ‪ /C‬ب‪ C // /‬ب ؟ فسر إجابتك‪.‬‬

‫إجابات التقييم‬

‫‪ 2‬إذا كان ‪( W ،)/C( = ) C ( W‬ب) = (ب )‬ ‫‪/‬‬

‫(و‪ ،‬ك)‬

‫‌ أ ‪2‬س م‬

‫أ‬ ‫‪ 40‬س م‬ ‫‌ ‪3‬‬

‫ب ‪ 2 8‬سم‬ ‫ب ‪4.75‬سم‬

‫‌ أ ‪ C‬ب = ‪9‬سم ‪12 = E C ،‬سم‬ ‫ً‬ ‫ثالثا‪ :‬التدريب‬

‫اطلب إلى طالبك حل تمارين مختارة من كراسة‬ ‫التدريبات من صفحة ‪ 28‬إلى صفحة ‪.31‬‬

‫‪C‬‬

‫(و‪ ،‬ك)‬

‫فإن‪ /C :‬ب‪ /‬صورة ‪ C‬ب‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫ويكون‪ :‬فى ‪ 9‬و ‪ /C‬ب‪ 9 ، /‬و ‪ C‬ب‬

‫‪C‬‬

‫و ‪ = C‬و ب = ك ‪c ،‬ب مشتركة‬ ‫‪C‬‬ ‫` ‪ 9‬و ‪ /C‬ب‪ 9 = /‬و ‪ C‬ب‬ ‫ومن ذلك نستنتج أن‪:‬‬ ‫و‬

‫وب‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫‪/‬‬ ‫ً ‪ /‬ب‪ /‬و ‪ /‬و ب‬ ‫أوال‪ C :‬ب = و ‪ = C‬و ب = ك ثان ًيا‪ /C :‬ب‪ C // /‬ب‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫ُمغ ِّير البعد ُيحافظ على‪:‬‬

‫و‬

‫ب االستقامة والبينية‪.‬‬ ‫د التوازي‪.‬‬

‫أ النسب بين األبعاد‪.‬‬ ‫ج قياس الزوايا‪.‬‬ ‫الطول فى الصورة‬ ‫الحظ أن‪| :‬معامل مغير البعد ك| =‬ ‫الطول فى األصل‬

‫تصغيرا بمغ ِّير ُبعد مركزه النقطة و؟‬ ‫تكبيرا أو‬ ‫تُبين األشكال اآلتية متى يكون ُمغ ِّير البعد‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫ب‬ ‫أ ‪ C‬ب =ك=‪2‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪/‬‬

‫ب ‪ C‬ب =ك= ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C‬ب‬

‫‪/‬‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫‪/‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫ب‬

‫و‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫‪/‬‬

‫جـ‬

‫‪/‬‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫و‬

‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫الشكل ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪ /E /‬هو تكبير للشكل ‪ C‬ب جـ ‪E‬‬

‫بمعامل ك = ‪ 2‬ويكون‪:‬‬ ‫‪ /C‬ب‪ C 2 = /‬ب ‪ ،‬ب‪ /‬جـ‪ 2 = /‬ب جـ‬ ‫جـ‪ 2 = /E /‬جـ ‪C E 2 = /C /E , E‬‬

‫المثلث ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪ /‬هو تصغير للمثلث ‪ C‬ب جـ‬ ‫بمعامل ك = ‪ 12‬ويكون‪:‬‬ ‫‪ /C‬ب‪ C 12 = /‬ب ‪ ،‬ب‪ /‬جـ‪ 12 = /‬ب جـ‬ ‫جـ‪ 12 = /C /‬جـ ‪C‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪52‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫‪65‬‬

‫ةرئادلا ىف هباشتلا تاقيبطت‬

‫ ن�شاط الوحدة‬

‫جـ‬

‫ج فى الشكل المقابل ك = ‪0 < 12 -‬‬

‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫فيكون ‪ C ∈ /C‬و ‪ C ∉ /C ،‬و ‪،‬‬

‫ ب‪ ∈ /‬ب و ‪ ،‬ب‪ ∉ /‬ب و‬

‫ب‬

‫ جـ‪ ∈ /‬جـ و ‪ ،‬جـ‪ ∉ /‬جـ و‬

‫و‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫جـ‬

‫‪/‬‬

‫حيث ‪ /C‬ب‪ C | 12 -| = /‬ب = ‪ C 12‬ب‬

‫ ب‪ /‬جـ‪ | 12 -| = /‬ب جـ = ‪ 12‬ب جـ‬

‫‪C‬‬

‫ جـ‪ | 12 -| = /C /‬جـ ‪ 12 = C‬جـ ‪C‬‬

‫ص‬

‫س‬

‫اكتشف‬

‫من شبكة المثلثات المتطابقة بالشكل المقابل اكتشف‬ ‫مركز ومعامل ُمغ ِّير البعد الذى يجعل‪:‬‬ ‫أ ‪ C 9‬ب جـ صورة ‪ E C 9‬هـ‬ ‫ب ‪ 9‬م ع ل صورة ‪ C 9‬هـ ‪E‬‬ ‫ج ‪ C 9‬س ص صورة ‪ C 9‬ب جـ‬

‫ن‬

‫د ‪ 9‬م ع ل صورة ‪ C 9‬ص س‬ ‫ه ‪ C 9‬هـ ‪ E‬صورة ‪ C 9‬ص س‬

‫م‬

‫‪ C 2‬ب جـ ‪ E‬مستطيل بعداه ‪ 3 ،2‬من وحدات الطول‪.‬‬ ‫أ أوجد بعدى ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪ /E /‬صورة المستطيل ‪ C‬ب جـ ‪ E‬بمغ ِّير ُبعد معامله ك‪.‬‬ ‫ب احسب النسبة‬

‫‪( W‬المستطيل ‪ C‬ب جـ ‪)E‬‬

‫جـ‬

‫ل‬

‫ماذا تالحظ؟‬

‫ب‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫‪3‬‬

‫لعلك الحظت أن ‪ :‬مساحة صورة الشكل بمغير بعد معامله ك = ك‪ * 2‬مساحة الشكل األصلى‪.‬‬ ‫فإذا كانت مساحة سطح مضلع ‪245‬سم‪ .2‬فأوجد معامل مغ ِّير البعد الذى َيجعل مساحة صورة المضلع‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ج ‪180‬سم‬ ‫ب ‪5‬سم‬ ‫أ ‪980‬سم‬

‫‪Pantograph‬‬ ‫اصنع بنفسك أداة مغير البعد‬ ‫األدوات‪ 4 :‬مساطر مدرجة ‪ -‬مثقاب ‪ -‬مسامير محواة ‪ -‬قلم ‪ -‬سن مدبب‪.‬‬ ‫الخطوات‪ -1 :‬اثقب المساطر عند تدريجها وث ِّبت المسامير المحواة‬ ‫ والسن المدبب والقلم كما فى الشكل‪.‬‬ ‫‪ -2‬اجعل ‪ C‬ب = ك‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ -3‬حرك الطرف ‪ E‬على األصل فيرسم لك الطرف هـ‬ ‫ صورته بمغ ِّير ُبعد معامله ك‪.‬‬ ‫جـ‬

‫‪66‬‬

‫اطلب إلى طالبك القيام بالنشاط الموضح من صفحة ‪64‬‬ ‫من كتاب الطالب ويهدف إلى تعرف مغير البعد وخواصه‬ ‫تصغيرا‪.‬‬ ‫تكبيرا أو‬ ‫وحتى يكون‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫إجابات النشاط‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫و‬

‫ع‬

‫‪( W‬المستطيل ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪)/E /‬‬

‫مغير البعد‪:‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫جـ‬ ‫ب‬ ‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫الصورة‬

‫‪C‬‬

‫األصل‬

‫مركز‬ ‫التثبيت‬

‫ ‬

‫ب ن‪1 ،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د و‪1 - ،‬‬ ‫‪2‬‬

‫‌ أ ‪ 12 ،C‬‬

‫‍ج ‪ 2- ،C‬‬ ‫‍ه ‪1- ،C‬‬

‫ب ك‬

‫‌ أ ‪2‬ك‪3 ،‬ك ‬

‫‪2‬‬

‫ب ‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫‌ أ ‪ 2‬‬

‫ج ‪6‬‬ ‫‍‬ ‫‪7‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫الربط بالتكنولوجيا‬ ‫ملخص الوحدة‬

‫الم�شلعان المت�شابهان ‬

‫‪Two Similar Polygons‬‬

‫يتشابه مضلعان لهما نفس العدد من األضالع إذا كانت الزوايا المتناظرة متطابقة وأطوال األضالع المتناظرة‬ ‫متناسبة‬

‫ن�شبة الت�شابه (معامل الت�شابه) ‬

‫‪Similarity Ratio‬‬

‫إذا كان المضلع ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪ + /E /‬المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ E‬يكون ك معامل تشابه المضلع ‪ /C‬ب‪ /‬جـ‪ /E /‬للمضلع ‪ C‬ب جـ ‪E‬‬ ‫‪/ /‬‬ ‫‪/ /‬‬ ‫‪ /C‬ب‪ /‬ب‪ /‬جـ‪ /‬جـ‬ ‫= ب جـ =‬ ‫حيث‬ ‫جـ ‪ = E C = EE‬ك ‪ ،‬ك ! ‪0‬‬ ‫‪EC‬‬ ‫‪C‬ب‬

‫النسبة بين محيطى مضلعين متشابهين تساوى معامل تشابهما‬

‫الم�شتطيل الذهبى‬

‫‪Golden Rectangle‬‬

‫مستطيل يمكن تقسيمه إلى مربع ومستطيل آخر مشابه له بشرط أن يكون طوله أصغر من ضعفى عرضه‪.‬‬

‫الن�شبة الذهبية ‬

‫‪Golden Ratio‬‬

‫النسبة بين طول المستطيل الذهبى إلى عرضه وتساوى تقري ًبا ‪1 : 1٫618‬‬

‫مسلمة‪ :‬قضية أو عبارة رياضية يسلم بصحتها دون برهان ويستنتج منها حقائق تتعلق بالنظام‪ ،‬مثل‪:‬‬ ‫«إذا طابقت زاويتان فى مثلث نظائرها فى مثلث آخر كان المثلثان متشابهين»‪.‬‬ ‫نتيجة (‪ :)1‬إذا رسم مستقيم يوازى أحد أضالع مثلث ويقطع الضلعين اآلخرين أو المستقمين الحاملين لهما فإن‬ ‫المثلث الناتج يشابه المثلث األصلى‪.‬‬

‫بين لطالبك كيف يمكنهم إنشاء مضلع (مثلث) يشابه‬ ‫المضلع (المثلث) األصلى باستخدام مغير بعد معامله ‪2٫5‬‬ ‫ومركزه أحد رؤوس المضلع‪ .‬وذلك باتباع ما يلي‪:‬‬ ‫‪qq‬استخدم برنامج (‪ )Dynamic Geometry‬لرسم‬ ‫المضلع (المثلث) ثم اختر من قائمة ‪ Edit‬أمر‬ ‫‪ numberical edit‬ثم اكتب ‪ 2٫5‬فى مكان ما خارج‬ ‫المضلع (المثلث)‪.‬‬ ‫‪qq‬أنشيء تمد ًدا للمضلع‪ .‬باختيار أحد رؤوس المضلع‬ ‫كمركز للتكبير‪ ،‬ومغير البعد ‪.2٫5‬‬ ‫جـ‬

‫نتيجة (‪ :)2‬إذا رسم من رأس القائمة فى المثلث القائم الزاوية عمود على الوتر انقسم المثلث إلى مثلثين‪،‬‬ ‫وكالهما يشابه المثلث األصلى‪.‬‬ ‫نظرية ‪:1‬إذا تناسبت األضالع المتناظرة فى مثلثين فإنهما يتشابهان‪.‬‬

‫نظرية ‪ :2‬إذا طابقت زاوية من مثلث زاوية من مثلث آخر‪ ،‬وتناسبت أطوال األضالع التي تحتويها هاتان‬ ‫الزاويتان كان المثلثان متشابهين‪.‬‬

‫العالقة بين م�شاحتى �شطحى م�شلعين مت�شابهين ‬

‫‪C‬‬ ‫ب‬

‫‪2.5‬‬

‫جـ‬

‫‪C‬‬ ‫ب‬

‫‪The relation between the area of two similar polygons‬‬

‫نظرية ‪ :3‬النسبة بين مساحتى سطحين مثلثين متشابهين تساوى مربع النسبة بين طولى أى ضلعين متناظرين فيهما‪.‬‬ ‫حقيقة‪ :‬المضلعان المتشابهان يمكن أن ينقسما إلى نفس العدد من المثلثات التي يشابه كل منها نظيره‪.‬‬ ‫نظرية ‪ :4‬النسبة بين مساحتى سطحى مضلعين متشابهين تساوى مربع النسبة بين طولى أى ضلعين متناظرين فيهما‪.‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫وبذلك تكون قد حصلت على تكبير للمضلع (المثلث)‬ ‫األصلى‪.‬‬

‫‪67‬‬

‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪53‬‬

‫‪-‬‬

‫الهندسة‬

‫الوحدة الثالثة‬

‫نظريات التناسب فى‬ ‫المثلث‬ ‫‪The Triangle‬‬ ‫‪Proportionality Thearems‬‬

‫الوحدة‬

‫‪3‬‬

‫نظريات التناسب فى المثلث‬ ‫‪The Triangle Proportionality Theorems‬‬ ‫معبد حتشبسوت باألقصر‬

‫أهداف الوحدة‬ ‫فى نهاية الوحدة يكون الطالب قاد ًرا على أن‪:‬‬

‫ يتعرف ويبرهن النظرية التى تنص على‪( :‬إذا رسم مستقيم ‬ ‫يوازى أحد أضالع المثلث ويقطع الضلعين اآلخرين فإنه ‬ ‫يقسمهما إلى قطع أطوالها متناسبة) وعكسها‪ ،‬ونتائج عليها‪.‬‬

‫الدرس الثانى‪ :‬منصفا الزاوية واألجزاء المتناسبة‪.‬‬ ‫الدرس الثالثك تطبيقات التناسب فى الدائرة‪.‬‬ ‫ أهداف الوحدة‬ ‫فى نهاية هذه الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قاد ًرا‬ ‫على أن‪:‬‬ ‫ يتعرف ويبرهن النظرية التى تنص على‪(" :‬إذا رسم مستقيم‬ ‫يوازى أحد أضالع المثلث ويقطع الضلعين اآلخرين‬ ‫فإنه‪ )...‬وعكسها‪ ،‬ونتائج عليها‪.‬‬ ‫ يتعرف ويبرهن نظرية تاليس العامة التى تنص على‪( :‬إذا قطع‬ ‫مستقيم عدة مستقيمات متوازية فإن‪ )..‬وحاالت خاصة منها‪.‬‬ ‫ يتعرف ويبرهن النظرية التى تنص على ‪( :‬إذا نصفت زاوية‬ ‫رأس مثلث أو الزاوية الخارجة لمثلث عند هذا الرأس‪)...‬‬ ‫وحاالت خاصة منها‪.‬‬ ‫ يوجد قوة نقطة بالنسبة لدائرة (القواطع والمماسات)‪.‬‬

‫اآلخرين) وحاالت خاصة منها‪ .‬‬

‫ يتعرف ويبرهن نظرية تاليس العامة التى تنص على‪( :‬إذا قطع يوجد قوة نقطة بالنسبة لدائرة (القواطع والمماسات)‪.‬‬

‫على القاطع اآلخر‪ ).‬وحاالت خاصة منها‪.‬‬

‫الدرس األول‪ :‬المستقيمات المتوازية واألجزاء المتناسبة‪.‬‬

‫جزأين النسبة بين طوليهما تساوى النسبة بين طولى الضلعين ‬

‫مستقيمان عدة مستقيمات متوازية فإن أطوال القطع الناتجة يستنتج قياسات الزوايا الناتجة من تقاطع األوتار والمماسات ‬ ‫على أحد القاطعين تكون متناسبة مع أطوال القطع الناتجة ‬ ‫فى دائرة‪.‬‬

‫ يتعرف ويبرهن النظرية التى تنص على‪( :‬إذا نصفت زاوية ‬

‫ مقدمة الوحدة‬ ‫سبق أن درس الطالب مفهوم التناسب وخواصه ومغير البعد‬ ‫وخواصه‪.‬‬ ‫وفى هذه الوحدة سوف يستكمل الطالب دراسته لموضوع التناسب‪،‬‬ ‫حيث يدرس نظريات التناسب فى المثلث ويستخدمها فى تطبيقات‬ ‫حياتية‪ ،‬وسوف يدرس قوة نقطة بالنسبة لدائرة وقياسات الزوايا‬ ‫الناتجة من تقاطع األوتار والمماسات فى الدائرة‪ ،‬باإلضافة إلى‬ ‫تطبيقات تشمل إيجاد طول المنصف الداخلى والخارجى لزاوية‬ ‫معينة‪ ،‬وذلك من خالل ثالثة دروس كاآلتى‪:‬‬

‫قسم المنصف قاعدة المثلث من الداخل أو الخارج إلى ‬

‫رأس مثلث أو الزاوية الخارجة للمثلث عند هذا الرأس‪ ،‬‬

‫ يحل تطبيقات تشمل إيجاد طول المنصف الداخلى ‬ ‫والخارجى‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫ نسبة ‬ ‫ تناسب ‬ ‫ يوازي ‬

‫‪Ratio‬‬ ‫‪Proportion‬‬ ‫‪Parallel‬‬

‫ نقطة تنصيف ‬ ‫ متوسط ‬ ‫ قاطع ‬

‫‪Midpoint‬‬ ‫‪Median‬‬ ‫‪Transversal‬‬

‫ منصف ‬ ‫ منصف داخلى‬

‫‪Bisector‬‬

‫‪Interior Bisector‬‬

‫ منصف خارجى‬ ‫‪Exterior Bisector‬‬

‫ عمودى على ‬

‫‪Perpendicular‬‬

‫كوبرى السالم (قناة السويس)‬

‫دروس الوحدة‬

‫الدرس (‪ :)1 - 3‬المستقيمات المتوازية ‬ ‫واألجزاء المتناسبة‪.‬‬

‫الدرس (‪ :)2 - 3‬منصفا الزاوية واألجزاء ‬ ‫المتناسبة‪.‬‬

‫الدرس (‪ :)3 - 3‬تطبيقات التناسب فى الدائرة‪.‬‬ ‫األدوات المستخدمة‬ ‫أدوات هندسية للرسم والقياس ‪ -‬حاسب آلى ‪-‬‬

‫برامج رسومية ‪ -‬جهاز عرض بيانات ‪ -‬ورق مربعات‬ ‫ خيوط ‪ -‬مقص‬‫نبذه تاريخية‬

‫الرياضيات نشاط فكرى ممتع يجعل الذهن متفتحا‪ ،‬‬ ‫ً‬ ‫صحوا‪ ،‬وتُسهم فى حل كثير من المشكالت ‬ ‫والعقل ‬ ‫ً‬ ‫والتحديات العملية والعلمية والحياتية ‪ ،‬من خالل تمثيلها ‬ ‫أو نمذجتها بعالقات بلغة الرياضيات ورموزها؛ ليتم ‬ ‫حلها‪ ،‬ثم إعادتها إلى أصولها المادية‪.‬‬

‫فطن قدماء المصريين لذلك فأقاموا المعابد واألهرامات ‬ ‫وفق خطوط مستقيمة بعضها متوازى واآلخر قاطع لها‪ ،‬كما ‬ ‫حرثوا األراضى الزراعية فى خطوط مستقيمة متوازية‪ ،‬‬ ‫وقد أخذ اإلغريق الهندسة عن المصريين القدماء ‬ ‫ً‬ ‫متكامال ‬ ‫فوضع إقليدس (‪ 300‬ق‪.‬م) نظاما هندس ًّيا ‬ ‫عرف بالهندسة اإلقليدية وتقوم على مسلمات خمس‪ ،‬‬ ‫أهمها‪ :‬مسلمة التوازى وهى‪":‬من نقطة خارج مستقيم ‬ ‫يمكن رسم مستقيم واحد فقط يمر بتلك النقطة ويوازى ‬ ‫مستقيما معلو ًما"‪ .‬و ُت ْعني الهندسة اإلقليدية باألشكال ‬ ‫ً‬ ‫المستوية (المثلثات ‪ -‬المضلعات ‪ -‬الدوائر) واألشكال ‬ ‫ثالثية األبعاد‪ ،‬كما أن لها تطبيقات عملية فى مجاالت ‬ ‫متعددة منها إنشاء الطرق والكبارى وتخطيط المدن ‬ ‫وإعداد خرائطها التى تعتمد على توازى المستقيمات و ‬ ‫المستقيمات القاطعة لها وفق تناسب بين الطول الحقيقى ‬ ‫والطول فى الرسم (مقياس الرسم)‪.‬‬

‫مخطط تنظيمي للوحدة‬

‫ يستنتج قياسات الزوايا الناتجة من تقاطع األوتار والمماسات‬ ‫فى دائرة‪.‬‬ ‫ يحل تطبيقات تشمل إيجاد طول المنصف الداخلى‬ ‫والخارجى‪.‬‬

‫نظريات التناسب‬ ‫التناسب فى‬ ‫المثلث‬

‫نظرية تاليس‬ ‫العامة‬

‫مستقيم يوازى‬ ‫أحد أضالع مثلث‬ ‫المنصف الداخلى‬ ‫والمنصف الخارجى‬ ‫لزاوية مثلث‬

‫التناسب فى‬ ‫الدائرة‬

‫قياس القوس‬ ‫وطول القوس‬

‫طول المماس‬ ‫وجزآى القاطع‬

‫القاطع والمماس‬ ‫وقياسات الزوايا‬

‫قوة نقطة‬ ‫بالنسبة لدائرة‬

‫تطبيقات حياتية وترابطات علمية‬

‫فنون وثقافات عامة‬

‫قياسات غير مباشرة‬

‫جغرافيا وجيولوجيا‬

‫علوم وفضاء‬

‫ زمن تدريس الوحدة‬ ‫‪ 12‬ساعة‪.‬‬ ‫ مهارات التفكير التي تنميها الوحدة‬

‫التفكير االستداللى ‪ -‬التفكير المنطقى ‪ -‬التفكير الهندسى ‪-‬‬ ‫التفكير الناقد ‪ -‬حل المشكالت ‪ -‬التفكير اإلبداعى‪.‬‬

‫بيئة وزراعة‬

‫الوسائل التعليمية المستخدمة‬ ‫سبورة تعليمية ‪ -‬طباشير ملون (أقالم ملونة) ‪ -‬حاسب آلى ‪ -‬جهاز‬ ‫عرض بيانات ‪ -‬برامج رسومية ‪ -‬ورق مربعات ‪ -‬أدوات رسم‬ ‫وقياس ‪ -‬آلة حاسبة علمية‪.‬‬ ‫طرق التدريس المقترحة‬ ‫تعلم تعاونى ‪ -‬تعلم باالكتشاف الموجه ‪ -‬الطريقة االستنباطية ‪-‬‬ ‫العصف الذهنى ‪ -‬المناقشة ‪ -‬حل المشكالت‪.‬‬ ‫طرق التقييم المقترحة‬ ‫أسئلة شفهية وتحريرية فردية وجماعية قبل وأثناء وبعد الدرس‬ ‫واألنشطة المقترحة ‪ -‬تمارين عامة على الوحدة ‪ -‬اختبار الوحدة‬ ‫‪ -‬اختبار تراكمى فى نهاية الوحدة‪.‬‬

‫‪‍ 3‬‬ ‫المستقيمات المتوازية واألجزاء المتناسبة‬

‫المستقيمات المتوازية واألجزاء المتناسبة‬

‫‪3‬‬

‫‪Parallel Lines and Proportional Parts‬‬

‫سوف تتعلم‬ ‫ خصائص املستقيم املوازى ألى‬ ‫ضلع من أضالع مثلث‪.‬‬ ‫ استخدام التناسب ىف حساب‬ ‫أطوال وبرهنة عالقات لقطع‬ ‫مستقيمة ناجتة عن قواطع‬ ‫ملستقيامت متوازية‪.‬‬

‫خلفي ة‬

‫ نمذجة وحل مشكالت حياتية‬ ‫تتضمن املستقيامت املتوازية‬ ‫وقواطعها‪.‬‬

‫سبق أن درس الطالب مفهوم المستقيمات المتوازية ومفهوم‬ ‫التناسب ومفهوم التشابه‪ ،‬واآلن سوف يدرس خصائص المستقيم‬ ‫الموازى ألى ضلع من أضالع مثلث واستخدام التناسب فى برهنة‬ ‫بعض النظريات‪.‬‬

‫فكر‬

‫و‬

‫ناقش‬

‫‪C‬‬

‫‪ -1‬ارسم المثلث ‪ C‬ب جـ‪ ،‬عين نقطة ‪ C ∈ E‬ب‬ ‫ثم ارسم ‪ E‬هـ ‪ //‬ب جـ ويقطع ‪ C‬جـ فى هـ‪.‬‬

‫‪ -2‬أوجد بالقياس طول كل من‪:‬‬ ‫‪ E ، E C‬ب ‪ C ،‬هـ ‪ ،‬هـ جـ‬

‫‪-3‬‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪ C E C‬هـ‬ ‫هـ جـ وقارن بينهما‪ .‬ماذا تالحظ؟‬ ‫احسب النسبتين ب ‪،‬‬ ‫‪E‬‬

‫إذا تغير موقع ‪ E‬هـ محافظًا على توازيه مع ب جـ ‪.‬‬ ‫‪ C E C‬هـ‬ ‫هـ جـ ؟ ماذا نستنتج؟‬ ‫هل تتغير العالقة بين ب ‪،‬‬ ‫‪E‬‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬ ‫ يوازى‬

‫‪Parallel‬‬

‫ منتصف‬

‫‪Midpoint‬‬

‫ متوسط‬

‫‪Median‬‬

‫ قاطع‬

‫س‬ ‫أهداف الدر ‬

‫نظرية‬ ‫‪1‬‬

‫‪Transversal‬‬

‫إذا رسم مستقيم يوازى أحد أضالع المثلث ويقطع الضلعين‬ ‫اآلخرين فإنه يقسمهما إلى قطع أطوالها متناسبة‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫المعطيات‪ C :‬ب جـ مثلث‪ E ،‬هـ ‪ //‬ب جـ‬ ‫‪ C E C‬هـ‬ ‫المطلوب ‪ E :‬ب = هـ جـ‬ ‫البرهان ‪ E a :‬هـ ‪ //‬ب جـ‬

‫ ` ‪ C9‬ب جـ ‪ E C9 +‬هـ (مسلمة التشابه)‬ ‫ب جـ‬ ‫ ويكون‪ C = C :‬هـ (‪)1‬‬ ‫‪C EC‬‬

‫قادرا على أن‪:‬‬ ‫فى نهاية هذا الدرس من المتوقع أن يكون الطالب ً‬

‫ ‪ C ∈ E a‬ب ‪ ،‬هـ ∈ ‪ C‬جـ‬

‫ حيدد خصائص املستقيم املوازى ألى ضلع من أضالع املثلث‪.‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫ يستخدم التناسب ىف حساب أطوال وبرهنة عالقات لقطع مستقيمة‬ ‫ناجتة عن قواطع ملستقيامت متوازية‪.‬‬

‫ أدوات هندسية للرسم والقياس‪.‬‬ ‫ حاسب آىل‪.‬‬

‫ برامج رسومية‪.‬‬

‫ جهاز عرض بيانات‪.‬‬

‫ ينمذج مشكالت حياتية تتضمن املستقيامت املتوازية وقواطعها‪.‬‬

‫مفردات أساسي ة‬

‫‪70‬‬

‫توازى ‪ -‬منصف ‪ -‬متوسط ‪ -‬قاطع‪.‬‬

‫المواد التعليمية المستخدمة ‬

‫ ` ‪ C‬ب = ‪ E + E C‬ب ‪ C ،‬جـ = ‪ C‬هـ ‪ +‬هـ جـ‬ ‫ من (‪ )2( ،)1‬ينتج أن‪:‬‬

‫‪E‬‬

‫هـ‬ ‫جـ‬

‫ب‬

‫(‪)2‬‬

‫ ‪ E + E C‬ب = ‪ C‬هـ ‪ +‬هـ جـ‬ ‫‪ C‬هـ‬ ‫‪EC‬‬ ‫‪ E E C‬ب ‪ C‬هـ هـ جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫ ويكون‪:‬‬ ‫‪ C E C E C‬هـ ‪ C‬هـ‬ ‫هـ جـ‬ ‫ب‬ ‫ ‪+1= E +1‬‬ ‫‪EC‬‬ ‫‪ C‬هـ‬ ‫‪ E‬ب هـ جـ‬ ‫=‬ ‫ `‬ ‫‪EC‬‬ ‫‪ C‬هـ‬ ‫هـ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ ومن خواص التناسب نجد أن‪ :‬ب = هـ جـ (وهو المطلوب)‬ ‫‪E‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫هذه النظرية‪.‬‬

‫سبورة تعليمية ‪ -‬طباشير ملون (أقالم ملونة) ‪ -‬أدوات هندسية للرسم‬ ‫والقياس ‪ -‬حاسب آلى ‪ -‬برامج رسومية ‪ -‬جهاز عرض بيانات‪.‬‬

‫طرق التدريس المقترحة ‬

‫هـ‬

‫ عر�ض الدر�س‬ ‫تعلم‬

‫المناقشة ‪ -‬العصف الذهنى ‪ -‬الطريقة االستداللية ‪ -‬حل المشكالت‪qq .‬اطلب إلى طالبك استنتاج برهان للنظرية (‪ )1‬الموضحة‬ ‫فى ص ‪ 72‬من كتاب الطالب‪ ،‬ثم اطلب إلى متطوع‬ ‫س‬ ‫مكان التدري ‬ ‫عرض البرهان على السبورة وتصحيح ما يرد من أخطاء‬ ‫الفصل الدراسى‪.‬‬ ‫وتعزيز اإلجابات الصحيحة‪.‬‬

‫مصادر التعل م‬

‫‪qq‬ناقش مع طالبك مثال (‪ )1‬ص ‪ 71‬من كتاب الطالب‪ ،‬ثم‬ ‫كتاب الطالب من صفحة ‪ 70‬إلى صفحة ‪78‬‬ ‫اطلب إليهم حل ماورد فى بند حاول أن تحل مع متابعة‬ ‫كتاب األنشطة والتدريبات من صفحة ‪ 38‬إلى صفحة ‪40‬‬ ‫إجاباتهم‪.‬‬ ‫‪ -‬الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت)‪.‬‬

‫ �إجراءات الدر�س‬ ‫تمهيد‪ :‬فكر وناق�ش‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫إجابات حاول أن تحل صفحة (‪)71‬‬ ‫س‪2-‬‬ ‫‌ أ ‪ 53 = 6‬‬ ‫س = ‪12‬‬

‫ ‬

‫ب س‬ ‫ ‬

‫‪2‬‬

‫‪ 10‬‬ ‫‪30 = 24‬‬ ‫س‪4+‬‬ ‫‪ 15‬‬ ‫‪= 3‬س‬

‫س‪ ، 8 = 2‬س = ‪2 2‬‬

‫يهدف ما ورد فى بند فكر وناقش إلى أن يستنتج الطالب‬ ‫أنه إذا رسم مستقيم يوازى أحد أضالع المثلث ويقطع‬ ‫س‪4 + 2‬س ‪0 = 45 -‬‬ ‫‍ج ‬ ‫الضلعين اآلخرين فإنه يقسمهما إلى قطع أطوالها متناسبة‪ .‬‬ ‫(س ‪( )5 -‬س ‪ 0 = )9 +‬س = ‪5‬‬ ‫تابع عمل الطالب فى البنود ‪ 3 ،2 ،1‬مؤكدا على ما تتضمنه ‬

‫‪56‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫بسانتملا ءازجألاو ةيزاوتملا تاميقتسملا‬ ‫المستقيمات المتوازية واألجلا المتناسلة‬

‫ ` ‪ E + E C‬ب = ‪ C‬هـ ‪ +‬هـ جـ‬ ‫هـ جـ‬ ‫‪E‬ب‬

‫‪ C‬هـ‬ ‫‪EC‬‬ ‫الحظ أن‪ E a :‬ب = هـ جـ‬

‫‪ C‬ب ‪ C‬جـ‬ ‫أي أن‪ E :‬ب = هـ جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪16‬‬

‫سم‬

‫مـثـال‬ ‫س‬

‫ص‬

‫‪12‬‬

‫سم‬

‫فى الشكل المقابل‪ :‬س ص ‪ //‬ب جـ ‪ C ،‬س = ‪16‬سم‪ ،‬ب س = ‪12‬سم‪.‬‬ ‫أ إذا كان ‪ C‬ص = ‪24‬سم‪ ،‬أوجد ص جـ‪.‬‬ ‫ب إذا كان جـ ص = ‪21‬سم‪ ،‬أوجد ‪ C‬جـ‪.‬‬

‫ب‬

‫الحل‬ ‫‪C‬ص‬ ‫‪C‬س‬ ‫أ‬ ‫‪ a‬س ص ‪ //‬ب جـ ` س ب = ص جـ‬ ‫‪24‬‬ ‫ويكون‪16 :‬‬ ‫` ص جـ = ‪* 12‬‬ ‫‪18 = 2416‬سم‪.‬‬ ‫=‬ ‫‪ 12‬ص جـ‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫‪C‬ب‬ ‫ب‬ ‫‪ a‬س ص ‪ //‬ب جـ ` ب س = جـ ص‬ ‫ويكون‪ C = 12 + 16 :‬جـ ` ‪ C‬جـ = ‪* 28‬‬ ‫‪49 = 2112‬سم‪.‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪12‬‬

‫جـ‬

‫حاول أن تحل‬

‫فى كل من األشكال التالية‪ E :‬هـ ‪ //‬ب جـ ‪ .‬أوجد قيمة س العددية (األطوال مقدرة بالسنتيمترات)‬ ‫ب‬ ‫جـ ج ‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫أ‬ ‫‪E‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫هـ‬

‫‪5‬‬

‫ب‬

‫س‬ ‫‪2-‬‬

‫‪10‬‬

‫هـ‬ ‫‪20‬‬

‫جـ‬

‫س‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪24‬‬

‫‪E‬‬

‫س‬

‫‪E‬‬ ‫‪15‬‬

‫ب‬

‫جـ ‪ 3‬هـ‬

‫ب‬

‫س‪4+‬‬

‫إذا رسم مستقيم خارج مثلث ‪ C‬ب جـ يوازى ضل ًعا من أضالع المثلث‪ ،‬وليكن ب جـ ‪ ،‬ويقطع‬

‫نتيجة‬

‫‪ C‬ب ‪ C ،‬جـ فى ‪ ،E‬هـ على الترتيب فإن‪C :‬بب‪C = E‬جـجـهـ (كما فى الشكل)‪.‬‬ ‫هـ‬

‫‪C‬‬

‫بتطبيق خواص التناسب نستنتج أن‪:‬‬

‫‪E‬‬

‫‪ C‬هـ‬ ‫‪ C‬هـ‬ ‫‪EC‬‬ ‫‪EC‬‬ ‫‪ C‬ب = ‪ C‬جـ ‪ ،‬ب ‪ = E‬جـ هـ‬

‫‪C‬‬ ‫جـ‬

‫ب‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫‪71‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫اسأل طالبك ماذا يحدث إذا رسم مستقيم خارج المثلث‬ ‫أ ب جـ يوازى ضل ًعا من أضالعه ويقطع المستقيمين‬ ‫الحاملين لضلعيه اآلخرين فى نقطتين مختلفتين‪ .‬اطلب‬ ‫إليهم تمثيل ذلك بالرسم وكتابة استنتاجاتهم‪ ،‬وناقش هذه‬ ‫االستنتاجات مؤكدا على ما هو صحيح منها‬ ‫ومستبعدا‬ ‫ً‬ ‫االستنتاجات األخرى‪،‬‬ ‫ومؤكدا على منطوق النتيجة الواردة‬ ‫ً‬ ‫على نظرية (‪ ،)1‬ومستعي ًنا بما ورد فى ص ‪ 71‬من كتاب‬ ‫الطالب‪.‬‬ ‫ناقش مثال (‪ )2‬ص ‪ 72‬ثم أطلب إلى طالبك حل ما ورد فى‬ ‫بند حاول أن تحل مع متابعة حلولهم‪.‬‬ ‫التقييم الم�ستمر‬

‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬ ‫‌ أ ‪ C a‬هـ ∩ جـ ‪{ = E‬ب}‪ C ،‬جـ ‪ //‬هـ ‪E‬‬ ‫ب جـ‬ ‫ ` ‪ C‬ب = ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫فى الشكل المقابل‪ :‬جـ هـ ∩ ب ‪ ،}C{ = E‬س ∈ ‪E C‬‬

‫جـ‬

‫ص ∈ ‪ C‬هـ حيث س ص ‪ //‬ب جـ ‪ //‬هـ ‪. E‬‬ ‫فإذا كان ‪ C‬ب = ‪6‬سم‪ C ،‬جـ = ‪5‬سم‪12 = E C ،‬سم‪ ،‬هـ ص = ‪4‬سم‪.‬‬

‫ب‬

‫أوجد طول كل من ‪ C‬هـ ‪ E ،‬س ‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪ a‬هـ ‪ // E‬ب جـ‬

‫‪ ،‬جـ هـ ∩ ب ‪}C{ = E‬‬ ‫‪ C 12‬هـ‬ ‫ويكون‪5 = 6 :‬‬

‫‪ a‬س ص ‪ //‬هـ ‪E‬‬ ‫‪12 10‬‬ ‫ ويكون =‬ ‫‪E 4‬س‬

‫هـ‬ ‫‪EC‬‬ ‫` ‪= C‬‬ ‫هـ ص ‪ E‬س‬ ‫` ‪ E‬س = ‪4٫8‬سم‬

‫‪ C E C‬هـ‬ ‫` ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ‬

‫فى ‪ C 9‬هـ ‪:E‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪12‬‬

‫سم‬

‫م ‪C‬‬ ‫س‬

‫ص‬

‫‪4‬‬

‫‪E‬‬ ‫س‬

‫سم هـ‬

‫` ‪ C‬هـ = ‪10‬سم‬

‫حاول أن تحل‬

‫فى الشكل المقابل‪ E :‬هـ ‪ C //‬جـ ‪ C ،‬هـ ∩ جـ ‪{ = E‬ب}‬ ‫أ إذا كان‪ C :‬ب = ‪8‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪9‬سم‪ ،‬ب هـ = ‪12‬سم‪.‬‬ ‫أوجد طول ب ‪. E‬‬ ‫ب إذا كان‪ C :‬ب = ‪6‬سم‪ ،‬ب هـ = ‪9‬سم‪ ،‬جـ ‪18 = E‬سم‪.‬‬

‫هـ‬

‫جـ‬ ‫ب‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫أوجد طول ب جـ ‪.‬‬

‫عكس‬ ‫نظرية‬ ‫‪1‬‬

‫إذا قطع مستقيم ضلعين من أضالع مثلث‪ ،‬وقسمهما إلى قطع أطوالها متناسبة فإنه يوازى‬ ‫الضلع الثالث‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪E‬‬ ‫ب‬

‫هـ‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬

‫هـ‬

‫جـ‬

‫ب‬ ‫جـ‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫‪ C‬هـ‬ ‫‪EC‬‬ ‫فى األشكال الثالثة السابقة‪ C :‬ب جـ مثلث‪ E ،‬هـ يقطع ‪ C‬ب فى ‪ C ،E‬جـ فى هـ‪ .‬وكان ‪ E‬ب = هـ جـ‬ ‫ فإن ‪ E‬هـ ‪ //‬ب جـ‬

‫تفكير منطقى‪ :‬هل ‪ E C9‬هـ ‪ C9 +‬ب جـ؟ ولماذا؟‬

‫ اكتب برهانًا لعكس النظرية‪.‬‬

‫‪72‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫‪-‬‬

‫هل ‪ E Cc‬هـ ‪c /‬ب ؟ فسر إجابتك‪.‬‬

‫ب هـ‬ ‫ب‪E‬‬ ‫ ‪9 = 8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ب‪E‬‬ ‫ب‪ 13٫5 = E‬سم‬

‫ب ‪ C a‬هـ ∩ جـ ‪{ = E‬ب}‪ C ،‬جـ ‪ //‬هـ ‪E‬‬

‫` ب جـ = ب ‪C‬‬ ‫هـ‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫ ب جـ = ‪6‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪C‬‬

‫ ‬ ‫ب جـ = ‪ 7٫2‬سم‬ ‫ ‬ ‫اسأل طالبك‪ ..‬هل عكس النظرية التى درستها صحيح‬ ‫دائما؟ ما منطوق عكس النظرية فى هذه الحالة؟ (دع‬ ‫ً‬ ‫طالبك يكتشفوا ذلك بالرسم والقياس)‪ ،‬ثم أكد على‬ ‫المنطوق الصحيح لعكس النظرية‬ ‫موضحا ذلك بالبرهان‪.‬‬ ‫ً‬ ‫وفيمايلى برهان عكس النظرية‪،‬‬ ‫فى الشكل المقابل‬ ‫‪ C = E C a‬هـ‬

‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪ E‬ب هـ جـ‬ ‫` ‪ C = E C‬هـ خواص التناسب‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫‪C‬ب‬ ‫ب‬ ‫‪ Cc a‬مشتركة فى المثلثين ‪ EC‬هـ‪ C ،‬ب جـ‬ ‫` ‪ E C 9‬هـ ‪ C9 +‬ب جـ‬ ‫ويكون ‪ E Cc( X‬هـ) = ‪ Cc( X‬ب جـ)‬

‫هـ‬ ‫جـ‬

‫وهما زاويتان فى وضع تناظر بالنسبة للقاطع ‪ C‬ب‬

‫(وهو المطلوب)‬ ‫` ‪ E‬هـ ‪ //‬ب جـ ‬ ‫ويمكنك إثبات صحة عكس النظرية فى الحالتين األخريين‬

‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪57‬‬

‫المستقيمات المتوازية واألجلا المتناسلة‬

‫ناقش مع طالبك مثال (‪ ،)3‬مثال (‪ )4‬صفحة ‪ 73‬من كتاب‬ ‫الطالب‪ ،‬ثم أطلب إليهم حل ماورد فى بند حاول أن تحل‬ ‫رقمى (‪.)4( ،)3‬‬

‫مـثـال‬

‫‪EC‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪E‬ب‬ ‫‪EC‬‬ ‫`‬ ‫‪E‬ب‬

‫‍ج ‪ 37 = E C‬‬

‫` ‪E‬هـ ‪ //‬ب جـ‬

‫‪ C = E C a‬هـ‬ ‫جـ ‬ ‫هـ‬

‫‪ 6‬سم‬

‫‪ C‬هـ = ‪7 = 42‬‬ ‫هـ جـ ‪6 24‬‬

‫‌ فى ‪ C 9‬ب ‪:E‬‬ ‫ ‪ a‬هـ م ‪E C //‬‬

‫ (‪)1‬‬

‫‪C‬‬ ‫هـ‬ ‫ب‬

‫ ‪ a‬م و ‪ //‬جـ ‪E‬‬ ‫بو بم‬ ‫ (‪)2‬‬ ‫ ` و جـ =‬ ‫م‪E‬‬ ‫ب هـ ب و‬ ‫ ‬ ‫من (‪ )2( ،)1‬ينتج أن هـ ‪ = C‬و جـ‬

‫ ‬

‫فى ‪ C 9‬ب جـ‪:‬‬

‫ ‬

‫` هـ و ‪ C //‬جـ‬

‫‪ 1‬سم‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬س‬

‫م‬

‫‪0‬‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫‪C‬‬

‫هـ‬

‫‪ 28‬سم ‪ 20 E‬سم ب‬

‫‪8‬‬

‫‪ 3‬سم‬

‫‪6‬‬

‫سم‬

‫ب‬

‫‪ 4‬سم‬

‫‪C‬‬

‫مـثـال‬

‫رسم ص ع ‪ //‬جـ ‪ E‬ويقطع ‪ E C‬فى ع‪ .‬أثبت أن س ع ‪ //‬ب ‪. E‬‬

‫‪C‬‬

‫الحل‬

‫فى ‪ C 9‬ب جـ‪:‬‬

‫‪ a‬س ص ‪ //‬ب جـ‬

‫‪C‬ص‬ ‫‪C‬س‬ ‫` س ب = ص جـ‬

‫‪C‬ع‬ ‫س‬ ‫‪= Ca‬‬ ‫سب ع‪E‬‬

‫` س ع ‪ //‬ب ‪E‬‬

‫فى ‪ E C 9‬جـ‪:‬‬ ‫‪C‬ص‬ ‫‪C‬ع‬ ‫‪ a‬ص ع ‪ //‬جـ ‪E‬‬ ‫` ع ‪ = E‬ص جـ‬ ‫‪C‬ع‬ ‫س‬ ‫من (‪ )2( ،)1‬نستنتج أن‪= C :‬‬ ‫سب ع‪E‬‬ ‫فى ‪ C 9‬ب ‪:E‬‬

‫‪E‬‬

‫(‪)1‬‬

‫ع‬

‫س‬

‫(‪)2‬‬

‫ص‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫‪73‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫و‬

‫جـ‬

‫تفكير منطقى‪ :‬فى بند تفكير منطقى تناولنا خطوات‬ ‫حل المشكلة (افهم ‪ -‬خطط ‪ -‬حل ‪ -‬تحقق) كما تناولنا‬ ‫مخططًا للبرهان يسمى بالمخطط التسلسلى وهو مخطط‬ ‫جديد على الطالب‪ ،‬ولكنه يسهم فى تنمية التفكير‬ ‫المنطقى لديهم‪.‬‬ ‫ناقش هذا البند مع طالبك‪ ،‬ثم اترك لهم حل ماورد فى بند‬ ‫حاول أن تحل رقم (‪ )5‬باستخدام المخطط التسلسلى‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬شكل رباعى تقاطع قطراه فى م‪ .‬رسم م هـ ‪ E C //‬ويقطع ‪ C‬ب فى هـ‪ ،‬رسم م و ‪//‬جـ ‪E‬‬

‫ويقطع ب جـ فى و‪ .‬أثبت أن‪ :‬هـ و ‪ C //‬جـ‬

‫تفكير منطقى‪ :‬إذا كان هـ‪ ،‬و‪ ،‬س ‪ ،‬ص منتصفات األضالع ‪ C‬ب ‪ ،‬ب جـ ‪،‬‬ ‫جـ ‪ C E ، E‬فى الشكل الرباعى ‪ C‬ب جـ ‪.E‬‬ ‫هل الشكل هـ و س ص متوازى أضالع؟‬ ‫افهم‪ :‬ما المطلوب ؟ متى يكون الشكل متوازى أضالع؟‬

‫‪ C9‬ب ‪E‬‬

‫‪9‬جـ ب ‪E‬‬

‫هـ منتصف ‪ C‬ب‬

‫هـ ص ‪ //‬ب ‪E‬‬

‫ص منتصف ‪E C‬‬

‫هـ ص = ‪ 12‬ب ‪E‬‬

‫و منتصف ب جـ‬

‫و س ‪ //‬ب ‪E‬‬

‫س منتصف جـ ‪E‬‬

‫و س = ‪ 12‬ب ‪E‬‬

‫س‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫ص‬ ‫و‬

‫‪C‬‬

‫خطط‪ :‬كون مثلثات برسم ب ‪ E‬التي تقسم الشكل إلى مثلثين‪.‬‬

‫هـ‬ ‫ب‬

‫هـ ص ‪ //‬و س‬

‫هـ ص = وس‬

‫الشكل هـ و س ص‬ ‫متوازى أضالع‬

‫حل‪ :‬اكتب العبارات الرياضية المناسبة للبرهان ومبرراتها‪.‬‬ ‫فسر إجابتك‪.‬‬ ‫تحقق‪ :‬ابحث هل هـ و ‪ //‬س ص ؟ ِّ‬

‫‪C‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫فى الشكل المقابل‪ C :‬ب جـ مثلث‪ C ∈ E ،‬جـ ‪،‬‬ ‫‪ E‬هـ ‪ C //‬ب ‪ E ،‬و ‪ C //‬هـ‬ ‫ارسم مخططًا يوضح كيفية إثبات أن (جـ هـ)‪ = 2‬جـ و * جـ ب‪.‬‬

‫‪E‬‬

‫هـ‬

‫ب‬

‫و‬

‫جـ‬

‫مـثـال‬ ‫جـ‬

‫تحديد المواقع‪ :‬لتحديد الموقع جـ‪ ،‬قام المساحون بالقياس‬ ‫وإعداد المخطط المقابل‪.‬‬ ‫أوجد ُبعد الموقع جـ عن الموقع ‪C‬‬ ‫الحل‬

‫‪ C‬ب = ب ‪ ، E‬جـ ‪ = E‬ب ‪ C ` E‬ب ‪ //‬جـ ‪E‬‬

‫‪ C a‬جـ ∩ ب ‪{ = E‬هـ} ‪ C ،‬ب ‪ //‬جـ ‪E‬‬ ‫هـ ‪ C‬هـ ب‬ ‫ويكون ‪45 = 60‬‬ ‫` =‬ ‫‪ C‬جـ ‪105 + 45‬‬ ‫‪ C‬جـ ب ‪E‬‬ ‫` ‪ C‬جـ = ‪ 200 = 15045* 60‬متر‪.‬‬

‫‪74‬‬

‫‪58‬‬

‫هـ‬

‫ج‬

‫جـ‬

‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬شكل رباعى فيه س ∈ ‪ C‬ب ‪ ،‬ص ∈ ‪ C‬جـ حيث س ص ‪ //‬ب جـ ‪،‬‬

‫ب هـ ب و‬ ‫ ‪ a‬هـ ‪ = C‬و جـ‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫م‬

‫ب‬

‫` ‪E‬هـ اليوازى ب جـ‬

‫م‬

‫‪9‬س‬

‫‪E‬‬

‫` ‪E‬هـ ‪ //‬ب جـ‬

‫‪E‬ب‬

‫‪6‬‬ ‫سم‬

‫‪ 3‬فى كل من األشكال التالية حدد ما إذا كان ‪ E‬هـ ‪ //‬ب جـ أم ال‪.‬‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫أ‬

‫‪ C‬هـ = ‪3 = 6‬‬ ‫هـ جـ ‪7 14‬‬

‫‪E‬ب‬

‫ب هـ ب م‬ ‫ ` هـ =‬ ‫م‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫فى ‪ 9‬ب جـ ‪:E‬‬ ‫ ‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 24‬سم‬

‫ ‬

‫‪E‬ب‬ ‫هـ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫! هـ جـ ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪C‬ب‬

‫(نظرية فيثاغورث)‬

‫‪ 42‬سم‬

‫ ‬

‫ب ‪7 = 28 = E C‬‬ ‫ ‬ ‫‪5 20‬‬

‫جـ‬

‫ب ‪ E C9 a‬هـ ‪ C9 +‬ب جـ (لماذا) ` ‪ E = E C‬هـ = ‪1‬‬ ‫‪ C‬ب ب جـ ‪3‬‬ ‫ويكون ‪1 = 5‬‬ ‫ ` ب جـ = ‪15‬سم‬ ‫ب جـ ‪3‬‬

‫‪ C‬هـ = ‪3 = 9‬‬ ‫هـ جـ ‪5 15‬‬

‫‪ E‬ب ‪5 10‬‬ ‫‪ C‬هـ‬ ‫‪EC‬‬ ‫ ‬ ‫‪ E a‬ب = هـ جـ‬

‫‪3 = 16 - 25‬سم‬ ‫= ‪ C ، 1 = 3‬هـ = ‪1 = 4‬‬ ‫هـ جـ ‪2 8‬‬ ‫‪2 6‬‬ ‫هـ‬ ‫= ‪C‬هـ جـ ويكون ‪ E‬هـ ‪ //‬ب جـ ‪.‬‬

‫‪ 5‬سم‬

‫هـ‬

‫‪8‬‬

‫سم‬

‫ب‬

‫الحل‬

‫أ ‪ a‬المثلث ‪ E C‬هـ قائم الزاوية فى ‪C‬‬

‫`‪=EC‬‬

‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬ ‫‌ أ ‪ 3 = 6 = E C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪ 3‬فى الشكل المقابل‪ C :‬ب جـ مثلث قائم الزاوية فى ‪C‬‬ ‫ب أوجد طول ب جـ ‪.‬‬ ‫أ أثبت أن‪ E :‬هـ ‪ //‬ب جـ ‪.‬‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫سم‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫نهر‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬

‫‪ 45‬م‬ ‫‪ 60‬م‬

‫هـ‬

‫‪ 105‬م‬

‫‪E‬‬

‫بسانتملا ءازجألاو ةيزاوتملا تاميقتسملا‬ ‫المستقيمات المتوازية واألجلا المتناسلة‬

‫حاول أن تحل‬

‫مكافحة التلوث‪ :‬قام فريق مكافحة التلوث بتحديد‬ ‫موقع بقعة زيت على أحد الشواطى كما فى الشكل‬ ‫المقابل‪ .‬احسب طول بقعة الزيت‪.‬‬

‫فكر‬

‫و‬

‫جـ‬

‫ناقش‬

‫‪ 33‬م‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫‪qq‬ناقش مع طالبك ما ورد فى بند فكر وناقش ص ‪75‬‬ ‫من كتاب الطالب‪ ،‬وهو موقف حياتى يمكن نمذجته‬ ‫باستنتاج نظرية تاليس العامة‪.‬‬

‫‪1‬م‬

‫‪30‬‬

‫‪E‬‬

‫هـ‬

‫‪3‬م‬

‫‪9‬‬

‫تعلم‪ :‬نظرية تالي�س العامة‬

‫لعلك الحظت إمكانية استخدام توازى مستقيم ألحد أضالع‬ ‫مثلث فى تطبيقات حياتية كثيرة‪.‬‬ ‫يوضح الشكل المقابل بوابة أحد المشاتل الزراعية‪ ،‬وهى مكونه‬ ‫من قطع خشبية متوازية وأخرى قاطعة لها‪.‬‬ ‫هل توجد عالقة بين أطوال أجزاء قواطع هذه القطع المتوازية؟‬

‫‪qq‬اطلب إلى طالبك تنفيذ البنود ‪ 2 ،1‬بند فكر وناقش مع‬ ‫متابعة إجاباتهم وتأكيد مضمون نظرية تاليس‪.‬‬

‫نمذجة‬

‫نموذجا رياض ًّيا للمشكلة)كما يلى‪:‬‬ ‫لبحث وجود عالقة أم ال‪ .‬نمذج المشكلة (ضع‬ ‫ً‬ ‫‪ -1‬ارسم المستقيمات ل‪ // 1‬ل‪ // 2‬ل‪ // 3‬ل‪ ،4‬م‪ ،‬م‪ /‬قاطعان لها‬ ‫فى ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ‪ ،/C ، E ،‬ب‪ ،/‬جـ‪ /E ،/‬على الترتيب‬ ‫كما بالشكل المقابل‪.‬‬ ‫‪ -2‬قس أطوال القطع المستقيمة وقارن النسب التالية‪:‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪ /C‬ب‪ ، /‬ب‪ /‬جـ‪ ، /‬جـجـ‪ C/ ، /EE /‬جـ‪ ، /‬‬ ‫ب‬

‫ب جـ‬

‫‪C‬‬

‫جـ‬

‫م‬

‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬

‫ل‬ ‫‪3‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪E‬‬

‫ماذا نستنتج؟‬

‫نظرية تاليس العامة‬ ‫نظرية‬ ‫‪2‬‬

‫ل‬ ‫‪2‬‬

‫جـ‬

‫‪.........................‬‬

‫ل‬

‫‪1‬‬

‫ل‬

‫‪4‬‬

‫‪Talis' Theorem‬‬

‫إذا قطع مستقيمان عدة مستقيمات متوازية‪ ،‬فإن أطوال القطع الناتجة على أحد القاطعين‬ ‫تكون متناسبة مع أطوال القطع الناتجة على القاطع اآلخر‪.‬‬

‫المعطيات‪ :‬ل‪ // 1‬ل‪ // 2‬ل‪ // 3‬ل‪ ، 4‬م‪ ،‬م‪ /‬قاطعان لها‬

‫المطلوب ‪ C :‬ب ‪ :‬ب جـ ‪ :‬جـ ‪ /C = E‬ب‪ : /‬ب‪ /‬جـ‪ : /‬جـ‪E /‬‬

‫م‬ ‫‪/‬‬

‫البرهان ‪ :‬ارسم ‪ C‬و ‪ //‬م‪ ، /‬ويقطع ل‪ 2‬فى هـ ‪ ،‬ل‪ 3‬فى و‪،‬‬ ‫ ب ص ‪ //‬م‪ ،/‬ويقطع ل‪ 3‬فى س‪ ،‬ل‪ 4‬فى ص‪.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫ ‪ // /C C a‬هـ ب‪ C ، /‬هـ ‪ /C //‬ب‬ ‫‪/‬‬ ‫ ` ‪ C‬هـ ب‪ /C /‬متوازى أضالع ويكون‪ C :‬هـ = ‪ /C‬ب‬

‫ب‬ ‫جـ‬ ‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫س‬ ‫ص‬

‫م‬

‫‪/‬‬

‫‪/‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ب‬

‫هـ‬

‫‪/‬‬

‫و‬

‫جـ‬

‫‪/‬‬

‫‪E‬‬

‫‪ C 9‬حـ هـ‬

‫‪ C 9‬ب جـ‬

‫‪ E‬هـ ‪ C //‬ب‬

‫ل‬

‫‪3‬‬

‫ل‬

‫‪4‬‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫إجابات «حاول أن تحل» ‪7‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫أ ‪ C‬حـ = ‪ C‬جـ ‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫جـ هـ = ‪ C‬جـ‬ ‫جـ و ‪ E‬جـ‬ ‫جـ ‪ = C‬جـ ب‬ ‫جـ ‪ E‬جـ هـ‬

‫أ ‪3‬س ‪2 +‬‬ ‫‪ 15‬‬ ‫ ‪ 2‬س ‪12 = 4 +‬‬ ‫ ‬ ‫جـ هـ = جـ ب‬ ‫‪5‬‬ ‫جـ و جـ هـ‬ ‫ص = ‪ 4‬‬ ‫ ‬ ‫‪11‬‬

‫(جـ هـ) = جـ و ‪ .‬جـ ب‬ ‫ب س‪ 95 = 1 +6‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬

‫الربط بالواقع‬ ‫‪10‬‬ ‫ص‬ ‫‪ 6 = 5‬‬ ‫مثال رقم (‪ )5‬هو تطبيق حياتى يتناول تحديد المواقع‪ ،‬‬ ‫ناقش هذا المثال مع طالبك؛ ثم اطلب إليهم حل ما ورد فى‬ ‫ج ‪4‬س‪1-‬‬ ‫‍‬ ‫‪3‬س ‬ ‫ ‪3‬س ‪2 = 2 -‬س‬ ‫بند حاول أن تحل رقم (‪ )6‬ص ‪75‬‬ ‫التقييم الم�ستمر‬

‫ب ‬

‫‪ C‬حـ‬ ‫جـ ب‬ ‫‪/ /‬‬ ‫‪E C‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪ /C‬ب‬

‫جـ ‪ E‬جـ ‪E‬‬ ‫‪/ /‬‬ ‫د ‬ ‫‍ج ب ‪ = E‬ب ‪ E/ /‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫ب‬ ‫‍ه ‪ .. = / / = / /C‬إجابات متعددة‪.‬‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫‪ C‬ب‬

‫حاول أن تحل (‪)8‬‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫‪ E‬و ‪ C //‬هـ‬

‫ل‬

‫‪75‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫إجابة حاول أن تحل (‪)5‬‬

‫ل‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪/‬‬

‫‪qq‬ناقش مع طالبك برهان نظرية تاليس العامة واألمثلة‬ ‫الواردة عليها ص ‪ ،75‬ص ‪ 76‬ثم اطلب إليهم حل ماورد‬ ‫فى بند حاول أن تحل أرقام ‪9 ،8 ،7‬‬

‫ ‬

‫= ‪ /C‬جـ‬ ‫‪/‬‬ ‫جـ‪ /‬ب‬ ‫= ‪EC‬‬ ‫‪C‬ب‬ ‫‪/‬‬

‫‪ 10‬س ‪ 12 = 20 +‬س ‪8 +‬‬ ‫س=‪6‬‬ ‫ص = ‪55‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 5‬س ‪54 = 5 +‬‬ ‫‪9.8 = 49‬‬ ‫س= ‪5‬‬

‫ص = ‪25‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 9‬س ‪8 = 6 -‬س ‪2 -‬‬ ‫س=‪4‬‬

‫إجابة حاول أن تحل (‪)6‬‬ ‫فى ‪ C 9‬حـ ‪:E‬‬ ‫‪ a‬ب هـ ‪ //‬جـ ‪E‬‬

‫` ‪ C‬ب = ‪ C‬هـ‬ ‫ب جـ هـ ‪E‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ب = ‪ 39‬‬ ‫‪33‬‬ ‫` ‪ C‬ب = ‪ 110 = 10 *3 33‬متر‬ ‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪59‬‬

‫نظرية تالي�س الخا�صة‬

‫بالمثل‪ :‬هـ و = ب‪ /‬جـ‪ ، /‬ب س = ب‪ /‬جـ‪ ، /‬س ص = جـ‪E /‬‬

‫اسأل طالبك إذا كانت أطوال القطع الناتجة على أحد‬ ‫القاطعين (لمستقيمات متوازية) ماذا تالحظ على أطوال‬ ‫أجزاء القاطع اآلخر؟‬ ‫اطلب إليهم كتابة استنتاجهم وناقش هذه االستنتاجات‬ ‫مؤكدا على ما هو صحيح منها واستبعاد االستنتاجات‬ ‫ً‬ ‫ومؤكدا على تساوى أجزاء القاطع اآلخر عندئذٍ‬ ‫اآلخرى‪،‬‬ ‫ً‬ ‫ناقش طالبك فى مثال ‪ 7‬صـ‪ 77‬واطلب إليهم حل ما ورد‬ ‫فى بند حاول أن تحل ‪9‬‬ ‫التقييم الم�ستمر‬

‫ب ‪ // E C‬ب هـ ‪ //‬جـ و‬ ‫‪E‬هـ = هـ و = وم‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫ ` س ‪3 = 3 -‬س ‪1 +‬‬ ‫س‪3 - 2‬س ‪0 = 4 -‬‬ ‫ ‬ ‫(س ‪( )4 -‬س ‪0 = )1 +‬‬ ‫ ‬ ‫س = ‪ 4‬أو س = ‪ 1 -‬مرفوض‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 2‬ص ‪13 = 1 -‬‬ ‫ ‬

‫فى ‪ C9‬جـ و‪:‬‬ ‫‪ C‬هـ‬ ‫‪C‬ب‬ ‫‪ a‬ب هـ ‪ //‬جـ و‬ ‫` ب جـ = هـ و‬ ‫‪/‬‬ ‫‪ C‬ب ب جـ‬ ‫‪ /C‬ب‬ ‫‪C‬ب‬ ‫‪/‬‬ ‫ويكون‪ :‬ب جـ = ب‪ /‬جـ‪ /C ، /‬ب‪ = /‬ب‪ /‬جـ‬

‫بالمثل ‪9‬ب ‪ E‬ص‪:‬‬ ‫ب جـ ب‪ /‬جـ‪ /‬ب جـ‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫`‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/ ،‬‬ ‫‪/‬‬ ‫جـ ‪ E‬جـ‪ E /‬ب جـ جـ ‪E‬‬

‫‍ج ‪ C‬ب ‪ //‬جـ ‪ // E‬هـ و ‪ C ،‬م = ‪ E‬و‬ ‫ ` ب م = جـ هـ‬ ‫س=‪4‬‬ ‫‪ 4‬س ‪ 2 = 1 -‬س ‪ 7 +‬‬ ‫ ‬ ‫ب م = ‪15 = 1 - 4 * 4‬‬ ‫ ‬ ‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬‫ص‬ ‫ص = ‪14‬‬ ‫‪ 3 = 2‬‬ ‫ ‬

‫(إبدال الوسطين) (‪)2‬‬

‫‪/‬‬

‫من (‪ )2( ،)1‬ينتج أن‪:‬‬ ‫‪ C‬ب ب جـ‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪ /C‬ب‪ /‬ب‪ /‬جـ‪ /‬جـ‪E /‬‬ ‫‪/ /‬‬ ‫` ‪ C‬ب ‪ :‬ب جـ ‪ :‬جـ ‪ /C = E‬ب‪ : /‬ب‪ /‬جـ‪ : /‬جـ ‪E‬‬ ‫‪/‬‬

‫وهو المطلوب‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫اكتب ما تساويه كل من النسب التالية مستخد ًما الشكل السابق‪:‬‬ ‫أ ‪ C‬جـ ب ‪ C‬جـ ج ب ‪ E‬د‬ ‫جـ ‪E‬‬

‫‪CE‬‬

‫جـ ب‬

‫مـثـال‬

‫الحل‬

‫ب‬

‫‪ C a‬ب ‪ //‬جـ ‪ // E‬هـ و ‪ //‬س ص‬ ‫‪ C‬جـ جـ هـ‬ ‫=‬ ‫`‬ ‫ب‪E E‬و‬ ‫‪20‬‬ ‫‪28‬‬ ‫=‬ ‫ب ‪15 E‬‬

‫هـ س‬ ‫= وص‬ ‫هـ س‬ ‫= ‪33‬‬

‫‪/‬‬

‫ه ‪C‬ب‬ ‫‪E C‬‬ ‫ب‪ /‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪ /C‬ب‬ ‫‪C‬‬

‫‪ 28‬سم‬

‫‪C‬‬

‫فى الشكل المقابل‪ C :‬ب ‪ //‬جـ ‪ // E‬هـ و ‪ //‬س ص ‪،‬‬ ‫‪ C‬جـ = ‪28‬سم‪ ،‬جـ هـ = ‪20‬سم‪ E ،‬و = ‪15‬سم‪ ،‬و ص = ‪33‬سم‪.‬‬ ‫أوجد طول كل من‪ :‬ب ‪ ، E‬هـ س‬

‫جـ‬

‫‪ 20‬سم‬

‫‪/‬‬

‫هـ‬

‫‪ 15 E‬سم و‬

‫س‬ ‫‪ 33‬سم‬

‫ص‬

‫` ب ‪21 = E‬سم ‪ ،‬هـ س = ‪44‬سم‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫فى كل من األشكال التالية‪ ،‬المستقيمات الحمراء تقطع مستقيمات متوازية‪ .‬احسب قيم س‪ ،‬ص العددية‬ ‫(األطوال مقدرة بالسنتيمترات)‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫‪3‬س‬ ‫‪12‬‬ ‫‪15‬‬

‫ص‬

‫س‬

‫‪5+‬‬

‫‪3‬س ‪2 2 +‬س ‪4 +‬‬

‫‪76‬‬

‫ص=‪7‬‬

‫(إبدال الوسطين) (‪)1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪5‬‬

‫ص‬

‫س‪1+‬‬

‫إجابات حاول أن تحل (‪)9‬‬ ‫أ ‪ C‬ب ‪ //‬هـ ‪ ، E‬ب هـ = هـ جـ‬ ‫ ` ‪E = EC‬جـ‬ ‫س=‪4‬‬ ‫‪ 2‬س ‪ 3 = 3 +‬س ‪ 1 -‬‬ ‫ ‬ ‫ص=‪3‬‬ ‫‪ 2‬ص ‪ 1 + 4 * 3 = 7 +‬‬ ‫ ‬

‫‪/‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪2‬س‬

‫‪4‬س ‪1 -‬‬

‫‪3‬س ‪2 -‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫أن يعطى صراحة أن أطوال القطع على أحد القاطعين‬ ‫متساوية (أو استنتاج ذلك)‪ ،‬وبالتالى تكون أطوال القطع‬ ‫الناتجة على القاطع اآلخر متساوية‪ .‬أما إذا لم يعطى ذلك‬ ‫فى المسألة أو لم يتمكن من استنتاجة فيطبق نظرية تاليس‬ ‫العامة‪.‬‬ ‫الربط بالصناعة‪ :‬مثال رقم ‪ 8‬ص ‪ 78‬هو تطبيق حياتى يربط‬ ‫الموضوع بالصناعة‪ .‬ناقش هذا المثال مع طالبك ثم اطلب‬ ‫إليهم حل ماورد فى بند "حاول أن تحل رقم (‪")10‬‬ ‫التقييم الم�ستمر‬

‫إجابات «حاول ان تحل» ‪10‬‬ ‫التقييم الم�ستمر‬ ‫أ ‪ C‬هـ ‪ //‬ب و ‪ //‬جـ س‪ E // ،‬ص‬ ‫إجابات «فكر» ص ‪ :77‬نعم‪ ،‬إجابات متنوعة‪.‬‬ ‫(كل منهما عمودى على ‪) E C‬‬ ‫ ‬ ‫‪qq‬تابع قياسات طالبك للتحقق من صحة إجابتك‪.‬‬ ‫‪ ، E C‬ص هـ قاطعان لها‪.‬‬ ‫ ‬ ‫تجنب الخطأ‬ ‫ ` هـ ص = ‪E C‬‬ ‫هـ ص = ‪12‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫هـ و‬ ‫‪5‬‬ ‫‪C‬ب‬ ‫قد يطبق بعض الطالب نظرية تاليس الخاصة بالرغم من‬ ‫مترا‬ ‫ ‬ ‫` هـ ص = ‪ً 4٫8‬‬ ‫عدم تضمن المسألة أن أطوال القطع الناتجة على أحد‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫جـ ‪3 = E‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ،‬‬ ‫= ‪ 5‬‬ ‫ ‬ ‫القاطعين متساوية‪.‬‬ ‫‪5 180‬‬ ‫‪C‬ب‬ ‫` جـ ‪ 108 = E‬سم‬ ‫أكد على طالبك أنه لتطبيق نظرية تاليس الخاصة يجب ‬

‫‪60‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫بسانتملا ءازجألاو ةيزاوتملا تاميقتسملا‬ ‫المستقيمات المتوازية واألجلا المتناسلة‬

‫حاالت خاصة‬

‫م‬

‫‪ -1‬إذا تقاطع المستقيمان م ‪ ،‬م‪ /‬فى النقطة ‪C‬‬ ‫‪C‬ب ‪C‬ب‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫وكان‪ :‬ب ب ‪ //‬جـ جـ ‪ ،‬فإن‪ C :‬جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫‪/‬‬ ‫‪C‬ب ‪C‬ب‬ ‫=‬ ‫كان‪:‬‬ ‫إذا‬ ‫وبالعكس‪:‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪ C‬جـ ‪ C‬جـ‬

‫ فإن‪ :‬ب ب‪ // /‬جـ جـ‬

‫جـ‬

‫‪/‬‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫(‪)3 - 5( + 2)2 - 5‬‬ ‫‪C‬ب‬ ‫‪2‬‬ ‫األولى‪ :‬البعد بين نقطتين‪ :‬ب جـ = (‪)5 - 9( + 2)5 - 11‬‬ ‫= ‪1 = 13‬‬ ‫ ‬ ‫‪2 13‬‬

‫‪C‬‬ ‫ب‬

‫م‬

‫‪/‬‬

‫‪2‬‬

‫م‬

‫نظرية تالي�س الخا�صة‬

‫‪ -2‬إذا كانت أطوال القطع الناتجة على أحد القاطعين متساوية فإن‬ ‫أطوال القطع الناتجة على القاطع اآلخر تكون متساوية كذلك‪.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫فى الشكل المقابل ل‪ // 1‬ل‪ // 2‬ل‪ // 3‬ل‪ ،4‬قطعها المستقيمان م‪ ،‬م‬ ‫‪/ /‬‬ ‫وكان‪ C :‬ب = ب جـ = جـ ‪ E‬فإن‪ /C :‬ب‪ = /‬ب‪ /‬جـ‪ = /‬جـ ‪E‬‬

‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫ل‬

‫‪1‬‬

‫‪/‬‬

‫جـ‬

‫‪/‬‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫‪/‬‬

‫‪E‬‬

‫ل‬ ‫‪2‬‬ ‫ل‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫الثانية‪ C :‬ب = ‪1 = E C‬‬ ‫ب جـ ‪E‬هـ ‪2‬‬

‫ل‬ ‫‪4‬‬

‫مـثـال‬

‫فى الشكل المقابل أوجد القيمة العددية لكل من س‪ ،‬ص‪.‬‬

‫الحل‬

‫‪ C a‬ب ‪ //‬جـ ‪ // E‬هـ و ‪ ،‬ب ‪ E = E‬و‬ ‫` ‪ C‬جـ = جـ هـ ‬ ‫ ويكون‪2 :‬س ‪ = 3 -‬س ‪ ` 2 +‬س = ‪5‬‬ ‫‪ a‬ب ‪ E = E‬و ‪ ،‬س = ‪ ` 5‬ص ‪1 + 5 = 3 +‬‬

‫‪2‬س ‪3 -‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫جـ‬

‫‪/‬‬

‫ب يمكن إيجاد ‪ C‬ب‬ ‫جـ بثالثة طرق‬ ‫ب‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫`ص=‪3‬‬

‫س‪2+‬‬

‫ص‪3+‬‬

‫‪E‬‬

‫و‬

‫الثالثة‪ C :‬ب = هـ و = ‪1‬‬ ‫ب جـ و جـ ‪2‬‬

‫هـ‬ ‫س‪1+‬‬

‫جـ‬

‫و‬

‫(‪)9 ،11‬‬ ‫ب (‪)5 ،5‬‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫‪)3 ،2( C‬‬

‫إحدى الطرق لإلجابة واألخريين للتحقيق‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫فى كل مما يأتى أوجد قيمة س‪ ،‬ص العددية‪( .‬األطوال مقدرة بالسنتيمترات)‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫‪E‬‬ ‫أ‬ ‫‪2 C‬‬ ‫ب ‪2‬ص ‪ 7 +‬هـ‬

‫‪3‬‬

‫س‬ ‫‪1-‬‬

‫‪3‬س ‪1 +‬‬

‫جـ‬ ‫‪C‬‬

‫س‪3 - 2‬‬

‫ب‬

‫و‬

‫‪3‬س ‪2 1 +‬ص ‪1 -‬‬

‫جـ‬

‫م‬

‫ب‬

‫ص‪4-‬‬

‫‪ 1‬م‬ ‫س‪-‬‬ ‫‪E 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫و‬

‫فكر‬ ‫‪C‬‬ ‫ب‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫مـثـال‬ ‫جـ‬

‫الحل‬

‫و‬

‫هـ‬

‫‪ 12‬متر‬

‫‪ 80‬سم‬

‫‪E‬‬

‫ ` ‪ // E C‬ب هـ ‪ //‬جـ و‬

‫‪ ،E a‬هـ ‪ ،‬و مساقط النقط ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ على األفقى‬ ‫‪ C‬جـ ‪ E‬و‬ ‫‪ // E C a‬ب هـ ‪ //‬جـ و ‪ C ،‬جـ ‪ E ،‬و قاطعان لها ` ‪ C‬ب = ‪ E‬هـ‬ ‫ ويكون‪ C :‬جـ = ‪0٫8 + 12‬‬ ‫‪1٫2‬‬ ‫‪0٫8‬‬ ‫‪12٫8 * 1٫2‬‬ ‫مترا‬ ‫مترا‬ ‫` ‪ C‬جـ = ‪ً 19٫2 = 0٫8‬‬ ‫ ` ‪ C‬جـ ‪ً 19 -‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫أ الربط باإلنشاءات‪:‬‬ ‫ص‬

‫س‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫و‬

‫ب‬

‫هـ‬

‫ب تفكير ناقد‬

‫ص‬

‫جـ (‪)9 ،11‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬

‫ب (‪)5 ،5‬‬

‫‪C‬‬

‫إذا كان ‪ C‬ب = ‪180‬سم‪ ،‬هـ و = ‪2‬متر‬ ‫‪ C‬ب ‪ :‬ب جـ ‪ :‬جـ ‪3 : 4 : 5 = E‬‬ ‫أوجد طول كل من هـ ص ‪ ،‬جـ ‪E‬‬

‫س‬

‫‪10‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫(‪C )3 ،2‬‬

‫‪2‬‬

‫و‬

‫أوجد من الشكل ‪C‬ببجـ بعدة طرق مختلفة‪،‬‬ ‫كلما أمكنك ذلك‪ .‬هل حصلت على نفس الناتج؟‬

‫تحقق من فهمك‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬ ‫ف‬

‫‪ 2.4‬متر‬

‫حل مشكالت‪ C :‬ب سلم طوله ‪ 4٫1‬أمتار يستند بطرفه العلوى ‪ C‬على‬ ‫حائط رأسى وبطرفه السفلى ب على أرض أفقية خشنة‪ .‬إذا كان بعد‬ ‫الطرف السفلى عن الحائط ‪90‬سم‪ .‬فاحسب المسافة التى يصعدها رجل‬ ‫على السلم ليصبح على ارتفاع ‪2٫4‬متر من األرض‪.‬‬

‫‪78‬‬

‫أ ‬

‫س‬

‫‪6‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫‌ فى كل من األشكال التالية أوجد قيمة س‪ ،‬ص العددية‪:‬‬

‫‪2‬ص ‪5 -‬‬ ‫ب‬

‫ب‬

‫التقييم‪:‬‬

‫ ‬

‫الربط بالصناعة‪ :‬تنقل عبوات األسمدة من إنتاج أحد‬ ‫المصانع بانزالقها عبر أنبوب مائل لتحملها السيارات إلى‬ ‫مراكز التوزيع كما فى الشكل المقابل‪.‬‬ ‫فإذا كانت ‪ ،E‬هـ ‪ ،‬و مساقط النقط ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ على األفقى‬ ‫‪12‬مترا‬ ‫بنفس الترتيب‪ C ،‬ب = ‪1٫2‬م‪ E ،‬هـ = ‪80‬سم ‪ ،‬هـ و =‬ ‫ً‬ ‫أوجد طول األنبوب ألقرب متر‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫ف ‪240‬‬ ‫‪400 = 410‬‬ ‫ف = ‪ 6 * 41‬ف = ‪ 2٫46‬متر‬

‫‪ 3‬متر‬

‫‪77‬‬

‫‪400‬‬

‫أراد يوسف تقسيم شريط من الورق إلى ‪ 3‬أجزاء متساوية‬ ‫فى الطول‪ ،‬فقام بوضعها على صفحة كراسته كما بالشكل‬ ‫المقابل وحدد نقطتى التقسيم ‪ ،C‬ب‪.‬‬ ‫صحيحا؟ فسر إجابتك‪.‬‬ ‫هل تقسيم يوسف للشريط‬ ‫ً‬ ‫استخدم أدواتك الهندسية لتتحقق من صحة إجابتك‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫س‪+‬‬

‫‪3‬‬

‫ب ‬

‫‪C‬‬

‫‪3‬‬

‫‪10‬‬

‫‪E‬‬

‫ص‬

‫‪15‬‬

‫‪8‬‬

‫س‪-‬‬

‫‪1‬‬

‫هـ‬

‫‪2‬ص‬

‫‪4‬‬

‫س‪+‬‬

‫ب ‪3‬ص‪+‬‬

‫‪8‬‬

‫‌ فى الشكل المقابل‪ C :‬ب ∩ جـ ‪{ = E‬هـ}‪،‬‬ ‫‪ 6‬سم‬ ‫هـ جـ = ‪6‬سم‪،‬‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪5‬‬ ‫هـ ‪15 = C‬سم‪،‬‬ ‫هـ‬ ‫‪ 1‬سم‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س‬ ‫م‬ ‫هـ ب = ‪25‬سم‪،‬‬ ‫‪E‬‬ ‫هـ ‪10 = E‬سم‬

‫‪1‬‬

‫جـ‬

‫‪0‬‬ ‫‪ 1‬سم‬

‫س‬

‫‪3+‬‬

‫‪E‬‬

‫هـ‬

‫‪C‬‬

‫‪ 3‬جـ‬

‫‪2‬س‬

‫‪7+‬‬

‫هـ‬

‫ التدريب والتقييم‬ ‫ً‬ ‫أوال‪ :‬حل تحقق من فهمك‬ ‫‪ C‬ب = ‪410‬سم ب جـ = ‪ 90‬سم‬ ‫من فيثاغورث ‪ C‬جـ = ‪40‬سم‬

‫ب‬

‫مـ (‪ C9‬هـ جـ)‬ ‫أثبت أن‪ C :‬ب ‪ C //‬ب ثم أوجد‬ ‫مـ (‪9‬ب هـ ‪)E‬‬

‫إجابات التقييم‬

‫‌ أ س = ‪ ،9‬ص = ‪ 4‬‬

‫ب س = ‪ ،5‬ص = ‪4‬‬

‫مـ (‪ C9‬هـ جـ) ‪9 2 3‬‬ ‫‌ مـ (‪9‬ب هـ ‪25 = ) 5 ( = )E‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪61‬‬

‫�� ‬

‫نشاط إثرائى للطالب المتفوقين‬ ‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬متوازى أضالع هـ ∈ ب جـ‪ ،‬هـ ∉ ب جـ رسم‬ ‫‪ C‬هـ فقطع جـ ‪ E‬فى و‪ ،‬ورسم جـ س ‪ //‬هـ ‪ C‬فقطع‬

‫‪ C‬ب فى س‬ ‫‪ C‬س جـ و‬ ‫أثبت أن‪ :‬س ب =‬

‫‪ 5‬ﺱ ﺹ ∩ ﻉ ﻝ = }ﻡ{‪ ،‬ﺣﻴﺚ ﺱ ﻉ ‪ //‬ﻝ ﺹ ‪ ،‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺱ ﻡ = ‪٩‬ﺳﻢ‪ ،‬ﺹ ﻡ = ‪١٥‬ﺳﻢ‪ ،‬ﻉ ﻝ = ‪ ٣٦‬ﺳﻢ‪.‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﻉ ﻡ ‪.‬‬ ‫‪ 6‬ﻟﻜﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ‪ :‬ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻭﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ‪:‬‬ ‫أ ‪ ، ٤ = E C‬ﺏ ‪ ، ٨ = E‬ﺟـ ﻫـ = ‪ C ، ٦‬ﻫـ = ﺱ‪.‬‬ ‫ب ‪ C‬ﻫـ = ﺱ ‪ ،‬ﻫـ ﺟـ = ‪ = E C ، ٥‬ﺱ ‪ E ، ٢ -‬ﺏ = ‪.٣‬‬ ‫ﺟ ‪ C‬ﺏ = ‪ ، ٢١‬ﺏ ﻭ = ‪ ، ٨‬ﻭ ﺟـ = ‪ = E C ، ٦‬ﺱ‪.‬‬ ‫د ‪ = E C‬ﺱ ‪ ،‬ﺏ ﻭ = ﺱ ‪ E٢ ، ٥ +‬ﺏ = ‪٣‬ﻭ ﺟـ = ‪.١٢‬‬

‫��‬

‫‪C‬‬

‫إجابة النشاط‪:‬‬ ‫‪ a‬س جـ ‪ C //‬هـ‬ ‫‪ C‬س هـ جـ‬ ‫(‪)1‬‬ ‫=‬ ‫`‬ ‫سب‬

‫جـ ب‬

‫‪ // E C a‬ب جـ‬ ‫جـ و جـ هـ‬ ‫=‬ ‫`‬ ‫و‪E‬‬ ‫‪EC‬‬

‫(‪)2‬‬

‫� �� ‬

‫�‬ ‫�‬ ‫�‬

‫��‬

‫�� ‬

‫��‬

‫�� ‬

‫‪C‬‬

‫��‬

‫�� ‬

‫��‬

‫�‬

‫�� ‬

‫�‬

‫أ‬

‫و‪E‬‬

‫ب �‬

‫�‬

‫��‬

‫�� ‬

‫‪C‬‬

‫‪ 8‬ﺱ ﺹ ﻉ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ ﺱ ﺹ = ‪١٤‬ﺳﻢ‪ ،‬ﺱ ﻉ = ‪٢١‬ﺳﻢ‪ ،‬ﻝ ∋ ﺱ ﺹ ﺑﺤﻴﺚ ﺱ ﻝ = ‪٥٫٦‬ﺳﻢ‪،‬‬

‫‪C‬‬

‫ﻡ ∋ ﺱ ﻉ ﺣﻴﺚ ﺱ ﻡ = ‪٨٫٤‬ﺳﻢ‪ .‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﻝ ﻡ ‪ //‬ﺹ ﻉ‬

‫‪E‬‬

‫س‬ ‫ب‬

‫��‬

‫ﺟ‬

‫��‬

‫‪E‬‬

‫�‬

‫‪ 7‬ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬ﺣﺪﺩ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺱ ﺹ ‪ //‬ﺏ ﺟـ‬ ‫��‬

‫‪C‬‬

‫��‬

‫‪ 9‬ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ C‬ﺏ ﺟـ‪ C ∋ E ،‬ﺏ ‪ ،‬ﻫـ ∋ ‪ C‬ﺟـ ‪ C٥ ،‬ﻫـ = ‪ ٤‬ﻫـ ﺟـ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ١٠ = E C‬ﺳﻢ‪ E ،‬ﺏ = ‪٨‬ﺳﻢ‪ .‬ﺣﺪﺩ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ E‬ﻫـ ‪ //‬ﺏ ﺟـ ‪ .‬ﻓﺴﺮ ﺇﺟﺎﺑﺘﻚ‪.‬‬

‫و‬ ‫جـ‬

‫‪ C 10‬ﺏ ﺟـ ‪ E‬ﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻗﻄﺮﺍه ﻓﻰ ﻫـ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ C‬ﻫـ = ‪٦‬ﺳﻢ‪ ،‬ﺏ ﻫـ = ‪١٣‬ﺳﻢ‪ ،‬ﻫـ ﻭ = ‪١٠‬ﺳﻢ‪،‬‬ ‫ﻫـ ‪٧٫٨ = E‬ﺳﻢ‪ .‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ C‬ﺏ ﺟـ ‪ E‬ﺷﺒﻪ ﻣﻨﺤﺮﻑ‪.‬‬

‫هـ‬

‫‪ 11‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﻰ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻓﻰ ﻣﺜﻠﺚ ﻳﻮﺍﺯﻯ ﺿﻠﻌﻪ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪ ،‬ﻭﻃﻮﻟﻬﺎ ﻳﺴﺎﻭﻯ‬ ‫ﻧﺼﻒ ﻃﻮﻝ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻀﻠﻊ‪.‬‬ ‫‪ C 12‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ‪ C ∋ E ،‬ﺏ ﺣﻴﺚ ‪ E ٢ = E C٣‬ﺏ‪ ،‬ﻫـ ∋ ‪ C‬ﺟـ ﺣﻴﺚ ‪ ٥‬ﺟـ ﻫـ = ‪ C ٣‬ﺟـ‪ ،‬ﺭﺳﻢ ‪ C‬ﺱ ﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ‬

‫ﻓﻰ ﺱ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ C‬ﻭ = ‪٨‬ﺳﻢ‪ C ،‬ﺱ = ‪٢٠‬ﺳﻢ‪ ،‬ﺣﻴﺚ ﻭ ∋ ‪ C‬ﺱ ‪ .‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻂ ‪ ،E‬ﻭ‪ ،‬ﻫـ ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﻘﺎﻣﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ‪.‬‬

‫‪ = E C a‬ب جـ (خواص متوازى األضالع)‬

‫ﻫـ‬ ‫ﺏ‪E‬‬ ‫‪ C 13‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ‪ ∋ E ،‬ﺏ ﺟـ ‪ ،‬ﺑﺤﻴﺚ‬ ‫ﺟـ = ‪ ، ٣٤‬ﻫـ ∋ ‪ ، E C‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ ، ٣٧ = E C‬ﺭﺳﻢ ﺟـ ﻫـ ﻓﻘﻄﻊ ‪ C‬ﺏ ﻓﻰ ﺱ‪،‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﺭﺳﻢ ‪ E‬ﺹ ‪ //‬ﺟـ ﺱ ﻓﻘﻄﻊ ‪ C‬ﺏ ﻓﻰ ﺹ‪ .‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ C‬ﺱ = ﺏ ﺹ‪.‬‬

‫جـ و جـ هـ‬ ‫= ب جـ (‪)3‬‬ ‫`‬ ‫و‪E‬‬ ‫من (‪ )3( ،)1‬ينتج أن‬ ‫‪ C‬س جـ و‬ ‫=‬ ‫`‬ ‫وهو المطلوب‪.‬‬ ‫سب و‪E‬‬

‫‪ C 14‬ﺏ ﺟـ ‪ E‬ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻗﻄﺮﺍه ﻓﻰ ﻡ‪ .‬ﻫـ ﻣﻨﺘﺼﻒ ‪ C‬ﻡ ‪ ،‬ﻭ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻡ ﺟـ ‪ .‬ﺭﺳﻢ ‪ E‬ﻫـ ﻳﻘﻄﻊ ‪ C‬ﺏ ﻓﻰ ﺱ‪،‬‬ ‫ﻭﺭﺳﻢ ‪ E‬ﻭ ﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﺹ‪ .‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪ :‬ﺱ ﺹ ‪ C //‬ﺟـ ‪.‬‬

‫ً‬ ‫ثالثا‪ :‬التدريب‪:‬‬

‫اطلب من طالبك حل تمارين مختارة من كراسة األنشطة‬ ‫والتدريبات من صفحة ‪ 38‬إلى صفحة ‪ 40‬مع متابعة‬ ‫حلولهم‪.‬‬

‫��‬

‫�� ‪�� − �� M‬‬

‫‪ 15‬ﺍﻛﺘﺐ ﻣﺎ ﺗﺴﺎﻭﻳﻪ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺴﺘﺨﺪ ًﻣﺎ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‪:‬‬ ‫ب ‪ C‬ﺟـ‬ ‫ﺏ ﺟـ = ﻫـ ﻭ‬

‫أ ‪ C‬ﺏ = ‪ E‬ﻫـ‬ ‫ﺏ ﺟـ‬

‫‪................‬‬

‫ﺟ‬

‫ﻡ‪C‬‬

‫=‬

‫�‬

‫ﻡ‪E‬‬

‫‪C‬ﺏ‬ ‫ﻫ ﻡﺏ‬ ‫=‬ ‫‪ C‬ﺏ ‪ E‬ﻫـ‬ ‫ز ﺏ ﺟـ ﻫـ ﻭ‬ ‫ﻡ ﺏ = ‪................‬‬ ‫‪................‬‬ ‫‪................‬‬

‫د‬

‫‪ C‬ﺟـ‬

‫و‬

‫ﻡ ﺟـ‬

‫‪C‬ﺏ‬

‫=‬ ‫=‬

‫‪C‬‬

‫‪................‬‬

‫‪E‬‬

‫�‬

‫‪ E‬ﻫـ‬ ‫ﻡﻭ‬

‫‪ C‬ﺟـ‬ ‫ح ‪ E‬ﻭ ‪ C‬ﺟـ‬ ‫ﻡ ﻭ = ‪................‬‬

‫��‬

‫‪................‬‬

‫�‬

‫‪ 16‬ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬ﺍﺣﺴﺐ ﻗﻴﻢ ﺱ‪ ،‬ﺹ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ )ﺍﻷﻃﻮﺍﻝ ﻣﻘﺪﺭﺓ ﺑﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺮﺍﺕ(‬ ‫�‬ ‫ﺟ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫�‬

‫��‬

‫�‬

‫��‬

‫�‬

‫�‪�+‬‬

‫�‬

‫�‪�−‬‬

‫�‪�+‬‬

‫�‪�−‬‬

‫��‬ ‫�‬

‫��‬

‫�‪�+‬‬

‫‪:�� 17‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪ C‬ﺏ ∩ ﺟـ ‪} = E‬ﻡ{‪ ،‬ﻫـ ∋ ﻡ ﺏ ‪،‬‬

‫�‬

‫‪C‬‬

‫ﻭ ∋ ﻡ ‪ C ، E‬ﺟـ ‪ //‬ﻭ ﻫـ ‪ E //‬ﺏ‬

‫ﺃﻭﺟﺪ‪:‬‬

‫��‬

‫أ ﻃﻮﻝ ﻡ ﻭ‬

‫��‬

‫�‬

‫��‬

‫�‬ ‫��‬

‫�‬

‫ب ﻃﻮﻝ ‪ C‬ﻡ‬

‫‪ C 18‬ﺏ ∩ ﺟـ ‪} = E‬ﻫـ{ ‪ ،‬ﺱ ∋ ‪ C‬ﺏ ‪ ،‬ﺹ ∋ ﺟـ ‪ ، E‬ﻭﻛﺎﻥ ﺱ ﺹ ‪ //‬ﺏ ‪ C // E‬ﺟـ‬

‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪ C :‬ﺱ * ﻫـ ‪ = E‬ﺟـ ﺹ * ﻫـ ﺏ‬ ‫‪ 19‬ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬ﺍﺣﺴﺐ ﻗﻴﻢ ﺱ‪ ،‬ﺹ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ‪:‬‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫أ‬ ‫�‬

‫�‪�−‬‬

‫�‪�+‬‬

‫ﺟ‬

‫‪�+‬‬

‫�� ‪� −‬‬

‫��‬

‫�� ‪� −‬‬

‫�‬ ‫�‬

‫�‪�+‬‬ ‫�� ‪� +‬‬

‫‪E‬‬

‫�‬

‫‪�+‬‬

‫‪�−‬‬

‫�‬

‫�� ‪� −‬‬

‫��‬

‫‪ C 20‬ﺏ ﺟـ ‪ E‬ﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﻓﻴﻪ ‪ C‬ﺏ ‪ //‬ﺟـ ‪ ، E‬ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻗﻄﺮﺍه ﻓﻰ ﻡ‪ ،‬ﻧﺼﻒ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻫـ‪،‬‬ ‫ﻭﺭﺳﻢ ﻫـ ﻭ ‪ //‬ﺏ ‪ ، C‬ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ‪ E‬ﻓﻰ ﺱ ‪ C ،‬ﺟـ ﻓﻰ ﺹ ‪ E C ،‬ﻓﻰ ﻭ‪.‬‬ ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫أ ﻫـ ﺹ = ‪ C ١٢‬ﺏ‪.‬‬

‫��‬

‫‪62‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫�� ‪�� −‬‬

‫�� ‪� −‬‬

‫ب ‪C‬ﺹ ﺏﺱ‬ ‫ﺟـ ﻡ =‬ ‫‪E‬ﻡ‬

‫�‬

‫‪�−‬‬

‫‪‍ 3‬‬

‫منصفا الزاوية واألجزاء المتناسبة‬

‫‪3‬‬

‫‪Angle Bisectors and Proportional Parts‬‬

‫‪Angle Biesectors and Proportional Parts‬‬

‫سوف تتعلم‬

‫عمل تعاونى‬ ‫‪ -1‬ارسم المثلث ‪ C‬ب جـ‪ ،‬وإرسم ‪ E C‬ليقطع ب جـ فى ‪.E‬‬

‫ خصائص منصفات زوايا املثلث‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫ استخدام التناسب ىف حساب‬ ‫أطوال القطع املستقيمة الناجتة عن‬ ‫تنصيف زاوية ىف مثلث‪.‬‬

‫كال من ب ‪ ، E‬جـ ‪ C ، E‬ب ‪ C ،‬جـ ‪.‬‬ ‫‪ -2‬قس ًّ‬

‫ نمذجة وحل مشكالت حياتية‬ ‫تتضمن منصفات زوايا املثلث‪.‬‬

‫ب‪E‬‬ ‫جـ ‪ ،‬ب ‪ C‬وقارن بينهما‪.‬‬ ‫‪ -3‬احسب كل من النسبتين‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫ماذا تستنتج؟‬ ‫ب‬

‫‪ -4‬كرر العمل السابق عدة مرات‪.‬‬ ‫هل يتحقق استنتاجك؟ عبر عن استنتاجك بلغتك‪.‬‬

‫من�صف زاوية مثلث‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫‪Bisector of an Angle of a Triangle‬‬ ‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬

‫إذا نصفت زاوية رأس مثلث أو الزاوية الخارجة للمثلث‬ ‫عند هذا الرأس‪ ،‬قسم المنصف قاعدة المثلث من الداخل‬ ‫أو الخارج إلى جزآين النسبة بين طوليهما تساوى النسبة بين‬ ‫طولى الضلعين اآلخرين‬

‫نظرية‬ ‫‪3‬‬

‫هـ‬

‫شكل (أ)‬

‫‪C‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫شكل (ب)‬

‫‪3‬‬

‫ب‬

‫ منصف خارجى‬ ‫ عمودى‬

‫‪Exterior Bisector‬‬ ‫‪Perpendicular‬‬

‫و‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫قادرا على أن‪:‬‬ ‫فى نهاية هذا الدرس من المتوقع أن يكون الطالب ً‬

‫األدوات والوسائل‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫ أدوات هندسية للرسم ‪.‬‬

‫ حاسب آىل وبرامج رسومية‪.‬‬ ‫ جهاز عرض بيانات‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫البرهان ‪ :‬ارسم جـ هـ ‪ E C //‬ويقطع ب ‪ C‬فى هـ‪ .‬اتبع المخطط التالى واكتب‬ ‫البرهان‪.‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫درس الطالب خصائص المستقيم الموازى ألى ضلع من أضالع‬ ‫مثلث واستخدم التناسب فى برهنة بعض النظريات وحساب‬ ‫أطوال األجزاء المتناسبة‪ ،‬واآلن سوف يدرس خصائص منصفات‬ ‫زوايا المثلث وكيفية استخدام التناسب فى حساب أطوال القطع‬ ‫المستقيمة الناتجة من تنصيف زاوية فى مثلث‪.‬‬

‫أهداف الدرس ‬

‫‪1‬‬

‫المعطيات‪ C :‬ب جـ مثلث‪ E C ،‬ينصف ‪c‬ب ‪ C‬جـ‬ ‫(من الداخل فى شكل ‪ ، C‬من الخارج فى شكل ب)‪.‬‬ ‫ب‪C E‬ب‬ ‫المطلوب ‪ :‬جـ = جـ‬ ‫‪E‬‬

‫ منصف داخىل‬

‫‪Interior Bisector‬‬

‫‪2 C‬‬

‫هـ‬

‫‪4‬‬

‫ منصف‬

‫‪Bisector‬‬

‫خلفية ‬

‫‪79‬‬

‫ حيدد خصائص منصفات زوايا املثلث‪.‬‬ ‫ يستخدم التناسب ىف حساب أطوال القطع املستقيمة الناجتة من تنصيف‬ ‫زاوية ىف مثلث‪.‬‬ ‫ يوجد طول كل من املنصف الداخىل واملنصف اخلارجى لزاوية رأس‬ ‫املثلث‪.‬‬ ‫ ينمذج وحيل مشكالت حياتية تتضمن منصفات زوايا املثلث وأطوال‬ ‫القطع املستقيمة الناجتة عن تنصيف زاوية ىف مثلث‪.‬‬

‫مفردات أساسية ‬

‫منصف ‪ -‬منصف داخلى ‪ -‬منصف خارجى ‪ -‬متعامد‪.‬‬

‫المواد التعليمية المستخدمة ‬

‫سبورة تعليمية ‪ -‬طباشير ملون (أقالم ملونة) أدوات هندسية للرسم‬ ‫والقياس ‪ -‬حاسب آلى ‪ -‬برامج رسومية ‪ -‬جهاز عرض بيانات‪.‬‬

‫طرق التدريس المقترحة ‬

‫المناقشة ‪ -‬العصف الذهنى ‪ -‬الطريقة االستداللية ‪ -‬حل المشكالت‪.‬‬

‫مكان التدريس ‬ ‫الفصل الدراسى‪.‬‬

‫مصادر التعلم ‬

‫ كتاب الطالب من صفحة ‪ 79‬إلى صفحة ‪. 85‬‬‫ كتاب األنشطة والتدريبات صفحة ‪ ،39‬صفحة ‪.40‬‬‫‪ -‬الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت)‪.‬‬

‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪63‬‬

‫ �إجراءات الدر�س‬

‫‪ E C‬منصف ‪C c‬‬ ‫جـ هـ ‪E C //‬‬

‫التمهيد‬

‫‪( 2c = 3c‬تناظر)‬

‫‪ C‬هـ ‪ C /‬جـ‬

‫ب‪C E‬ب‬ ‫‪ E‬جـ = ‪ C‬جـ‬

‫اطلب إلى طالبك تنفيذ ما ورد فى بند عمل تعاونى والذى‬ ‫يهدف إلى أن يستنتج الطالب أنه إذا رسم منصف زاوية‬ ‫رأس مثلث قسم المنصف قاعدة المثلث إلى جزأين النسبة‬ ‫بينهما تساوى النسبة بين طول الضلعين اآلخرين‪.‬‬ ‫تابع عمل الطالب فى البنود األربعة‬ ‫مؤكدا على ما تتضمنه‬ ‫ً‬ ‫نظرية ‪.3‬‬

‫ب‪C E‬ب‬ ‫‪ E‬جـ = ‪ C‬جـ‬

‫مـثـال‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث فيه ‪ C‬ب = ‪8‬سم ‪ C ،‬جـ = ‪6‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪7‬سم ‪ ،‬رسم ‪ E C‬ينصف ‪c‬ب ‪ C‬جـ ويقطع ب جـ‬ ‫فى ‪ .E‬أوجد طول كل من ب ‪ E ، E‬جـ‬ ‫الحل‬ ‫ب‪C E‬ب‬ ‫‪ E C a‬ينصف ‪ c‬ب ‪ C‬جـ‬ ‫` ‪ E‬جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫` ب‪4 = 8 = E‬‬ ‫‪ C a‬ب = ‪8‬سم‪ C ،‬جـ = ‪6‬سم‬ ‫‪ E‬جـ ‪3 6‬‬ ‫‪ a‬ب جـ = ب ‪ E + E‬جـ = ‪7‬سم ` ب ‪4 = E‬‬ ‫‪-7‬ب‪3 E‬‬ ‫(ضرب تبادلى)‬ ‫ ‪3‬ب ‪ 4 - 28 = E‬ب ‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫(نظرية)‬

‫‪E‬‬

‫‪ 7‬سم‬

‫حاول أن تحل‬

‫فى كل من األشكال التالية أوجد قيمة س العددية (األطوال مقدرة بالسنتيمترات)‬ ‫ج‬ ‫ب ‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫أ‬ ‫‪15‬‬

‫‪qq‬اطلب إلى طالبك استنتاج برهان للنظرية (‪ )3‬الموضحة‬ ‫فى صفحة ‪ 81‬من كتاب الطالب‪ ،‬ثم اطلب إلى متطوع‬ ‫عرض البرهان على السبورة وتصحيح ما يرد من أخطاء‬ ‫وتعزيز اإلجابات الصحيحة‪.‬‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫س‪4+‬‬

‫س‬

‫‪7‬‬

‫‪1+‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫‪5‬‬

‫‪ 4‬جـ‬

‫س‬

‫‪E‬‬

‫مـثـال‬

‫ب‬

‫الحل‬

‫فى ‪ C 9‬ب جـ‬ ‫ب‬ ‫‪EC‬‬ ‫‪ a‬ب ‪ E‬ينصف ‪c‬ب ` ‪= C‬‬ ‫ب جـ ‪ E‬جـ‬ ‫` ‪ C‬ب = ‪7 = 14‬‬ ‫ب جـ ‪9 18‬‬ ‫‪ a‬محيط ‪ C 9‬ب جـ = ‪80‬سم‪ C ،‬جـ = ‪32 = 18 + 14‬سم‬

‫‪ 14 C‬سم ‪E‬‬

‫‪ 18‬سم‬

‫جـ‬

‫` ‪ C‬ب ‪ +‬ب جـ = ‪48 = 32 - 80‬سم‬

‫‪80‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫ ` ‪ C‬ب = ‪3‬م‪ C ،‬جـ = ‪5‬م حيث م ! ‪0‬‬ ‫ ` ب جـ = ‪4‬م (فيثاغورث)‬

‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬ ‫‌ أ فى ‪ C 9‬ب جـ ‪ E C a‬ينصف‪C c‬‬ ‫س‪1+‬‬ ‫ب‪ E‬ب‪C‬‬ ‫ ` ‪ E‬جـ = ‪ C‬جـ ` ‪5‬‬

‫س‪1+‬‬

‫‪9‬‬

‫‪5‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث‪ .‬رسم ب ‪ E‬ينصف ‪c‬ب ‪ ،‬ويقطع ‪ C‬جـ فى ‪ ،E‬حيث ‪14 = EC‬سم‪ E ،‬جـ = ‪18‬سم‪ .‬إذا كان‬ ‫محيط ‪ C 9‬ب جـ = ‪80‬سم‪ ،‬فأوجد طول كل من‪ :‬ب جـ ‪ C ،‬جـ ‪.‬‬

‫‪qq‬ناقش مع طالبك مثال (‪ ،)1‬مثال (‪ )2‬من كتاب الطالب‬ ‫ثم اطلب إليهم حل ما ورد فى بند حاول أن تحل (‪،)1‬‬ ‫(‪ )2‬مع متابعة إجاباتهم وتصحيح ما يرد بها من أخطاء‪.‬‬ ‫التقييم الم�ستمر‬

‫‪ 6‬سم‬

‫‪8‬‬ ‫سم‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫ ‪7‬ب ‪ ` 28 = E‬ب ‪4 = E‬سم ‪ ،‬جـ ‪3 = E‬سم‬

‫ عر�ض الدر�س‬

‫‪ 15‬ويكون س = ‪9‬‬ ‫= ‪9‬‬

‫ب فى ‪ C 9‬ب جـ ‪ a‬ب ‪ E‬ينصف‪ c‬ب‬

‫ ‬

‫‪2c / 1c‬‬ ‫‪( 4c / 1c‬تبادل)‬

‫‪4c / 3c‬‬

‫جـ ‪ E‬جـ ب‬ ‫=‬ ‫ `‬ ‫ب‪C‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫س‪ 1+‬س‪4+‬‬ ‫` ‪ 8 = 5‬ويكون س = ‪4‬‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪16 = 64‬‬ ‫ويكون م = ‪4‬‬

‫ ` ‪ 9‬محيط ‪ C‬ب جـ = ‪ 3‬م ‪4 +‬م ‪4 +‬م = ‪ 12‬م‬ ‫ = ‪192 = 16 * 12‬سم‬ ‫ ‬ ‫تبريرا لما ورد فى بند مالحظة هامة‬ ‫‪qq‬اطلب إلى طالبك‬ ‫ً‬ ‫وناقش معهم ما ورد فى بند تفكير ناقد ويهدف إلى‬ ‫تعميق فهمهم لما ورد فى هذه المالحظات‬

‫‍ج‬ ‫ ‬ ‫ فى ‪ C 9‬ب جـ ‪ E C a‬ينصف‪ C c‬الخارجة التقييم الم�ستمر‬ ‫ ` ب ‪ = E‬ب ‪ ` C‬سس‪ 75 = 4 +‬ويكون س = ‪ 10‬إجابات تفكير ناقد‪:‬‬ ‫‪ E‬جـ ‪ C‬جـ‬ ‫‌ ‪ E C a‬ينصف ‪C c‬‬

‫‪C‬ب‬ ‫ب‪E‬‬ ‫ ` ‪ C‬جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫‪24 3‬‬ ‫ويكون =‬ ‫ ‬ ‫‪ E 5‬جـ‬ ‫ ` ‪ E‬جـ = ‪ 40‬سم‪،‬‬

‫ ‬

‫‪qq‬كلما كبر ‪ C‬جـ فإن النقطة ‪ E‬تقترب من النقطة ب‪.‬‬ ‫‪qq‬عندما ‪ C‬هـ = ‪ C‬جـ فإن النقطة ‪ E‬تنصف ب جـ ويكون‬ ‫‪ C‬هـ ‪//‬ب جـ‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪ 24‬سم‬

‫‪qq‬عندما ‪ C‬جـ > ‪ C‬ب يكون ‪ E‬جـ > ‪ E‬ب‪ ،‬هـ ∉ ب جـ‬ ‫‪E‬‬

‫ب جـ = ‪ 64‬سم‬

‫ ‪C a‬ب = ‪3‬‬ ‫‪ C‬جـ ‪5‬‬

‫‪64‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫جـ‬

‫‪qq‬ناقش مع طالبك مثال (‪ ،)3‬صفحة ‪ 81‬ثم اطلب إليهم‬ ‫حل ما ورد فى بند حاول أن تحل (‪ ،)3‬صفحة ‪ 82‬من‬ ‫كتاب الطالب وتابع حلولهم‪.‬‬

‫بسانتملا ءازجألاو ثلثملا ىف ةيوازلا افصنم‬ ‫منصفا اللاوية واألجلا المتناسلة‬

‫‪C a‬ب = ‪7‬‬ ‫ب جـ ‪9‬‬ ‫ويكون ‪16 = 48‬‬ ‫ب جـ ‪9‬‬

‫` ‪ C‬ب ‪ +‬ب جـ = ‪9 + 7‬‬ ‫ب جـ‬ ‫‪9‬‬

‫تجنب الخطأ‬ ‫قد يخلط الطالب بين كل من المنصف الداخلى والمنصف‬ ‫الخارجى لزاوية رأس مثلث‪.‬‬ ‫أكد على طالبك‬ ‫موضحا باألمثلة أن المنصف الداخلى‬ ‫ً‬ ‫لزاوية رأس المثلث يقطع الضلع المقابل لها فى نقطة‪،‬‬ ‫أما المنصف الخارجى لهذه الزاوية فإنه يقطع امتداد هذا‬ ‫الضلع (وليس الضلع نفسه) فى نقطة‪.‬‬

‫(خواص التناسب)‬

‫` ب جـ = ‪27‬سم ‪ C ،‬ب = ‪21‬سم‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث قائم الزاوية فى ب‪ .‬رسم ‪ E C‬ينصف ‪ ،Cc‬ويقطع ب جـ فى ‪.E‬‬ ‫إذا كان طول ب ‪24 = E‬سم‪ ،‬ب ‪ C : C‬جـ = ‪ 5 : 3‬فأوجد محيط ‪ C 9‬ب جـ‪.‬‬ ‫هامة‬ ‫مالحظة َّ‬

‫‪ -1‬فى المثلث ‪ C‬ب جـ حيث ‪ C‬ب ! ‪ C‬جـ‪:‬‬

‫و‬

‫‪C‬‬

‫إذا كان ‪ E C‬ينصف ‪c‬ب ‪ C‬جـ‪،‬‬ ‫‪ C‬هـ ينصف الزاوية الخارجة للمثلث عند ‪.C‬‬ ‫ب هـ ب ‪C‬‬ ‫ب‪ E‬ب‪C‬‬ ‫فإن‪ E :‬جـ = ‪ C‬جـ ‪ ،‬هـ جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫ب ‪ E‬ب هـ‬ ‫و يكون ‪ E‬جـ = هـ جـ‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫هـ‬

‫أى أن ب جـ تنقسم من الداخل فى ‪ E‬ومن الخارج فى هـ بنسبة واحدة‬ ‫ويكون المنصفين ‪ C ، E C‬هـ متعامدين ‪( .‬لماذا)؟‬

‫‪ -2‬إذا كان ‪ C‬ب > ‪ C‬جـ‪ ،‬قطع منصف ‪ Cc‬الضلع ب جـ فى ‪ E‬حيث ب ‪ E > E‬جـ‪ ،‬أما منصف الزاوية الخارجة‬ ‫عند ‪ C‬فيقطع ب جـ فى هـ حيث ب هـ > هـ جـ‪.‬‬ ‫تفكير ناقد‬ ‫× كلما كبر ‪ C‬جـ ماذا يحدث للنقطة ‪E‬؟‬

‫ٍ‬ ‫عندئذ؟‬ ‫× إذا كان ‪ C‬جـ = ‪ C‬ب أين تقع النقطة ‪E‬؟ وما وضع ‪ C‬هـ بالنسبة إلى ب جـ‬ ‫ٍ‬ ‫عندئذ؟ قارن إجابتك مع زمالئك‪.‬‬ ‫× عندما يصبح ‪ C‬جـ > ‪ C‬ب ما العالقة بين ‪ E‬جـ‪ E ،‬ب؟ وأين تقع هـ‬ ‫مـثـال‬

‫‪ C 3‬ب جـ مثلث فيه ‪ C‬ب = ‪6‬سم‪ C ،‬جـ = ‪4‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪5‬سم‪ .‬رسم ‪ E C‬ينصف ‪ Cc‬ويقطع ب جـ فى ‪،E‬‬ ‫ورسم ‪ C‬هـ ينصف ‪ Cc‬الخارجة ويقطع ب جـ فى هـ‪ .‬احسب طول ‪ E‬هـ ‪.‬‬ ‫و‬

‫الحل‬

‫‪C‬‬

‫‪ E C a‬ينصف ‪ C ،Cc‬هـ ينصف ‪ Cc‬الخارجة‬ ‫ب ‪ E‬ب هـ ب ‪C‬‬ ‫ أي أن‪ E :‬جـ = هـ جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫` ب ‪ = E‬ب هـ = ‪3 = 6‬‬ ‫‪ E‬جـ هـ جـ ‪2 4‬‬ ‫‪ a‬ب جـ = ب ‪ E + E‬جـ = ‪ ، 5‬ب هـ ‪ -‬هـ جـ = ب جـ = ‪5‬‬

‫‪ 4‬سم‬

‫` ‪ ،E‬هـ تقسمان ب جـ من الداخل ومن الخارج بنفس النسبة‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫جـ‬

‫هـ‬

‫سم‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫‪ 5‬سم‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫إجابات «حاول أن تحل»‪:‬‬ ‫‌ أ ‪ E C a‬ينصف ‪،C c‬‬ ‫‪ C‬هـ ينصف ‪ C c‬الخارجة‬ ‫ ‬ ‫سم‬ ‫‪6‬‬ ‫ ‬ ‫` ‪ ،E‬هـ تقسمان جـ ب‬ ‫جـ‬ ‫من الداخل ومن الخارج‬ ‫ ‬ ‫بنفس النسبة‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪81‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫ب ‪ E + E‬جـ = ‪2 + 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ E‬جـ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب هـ ‪ -‬هـ جـ = ‪2 - 3‬‬ ‫ هـ جـ = ‪ ` 2‬هـ جـ = ‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هـ جـ‬ ‫ويكون ‪ E‬هـ = ‪ E‬جـ ‪ +‬جـ هـ ‪ E‬هـ = ‪12 = 10 + 2‬سم‬ ‫‪5‬‬

‫‪E‬‬

‫ ‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ C 3‬ب جـ مثلث فيه ‪ C‬ب = ‪3‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪7‬سم‪ ،‬جـ ‪6 = C‬سم‪ .‬رسم ‪ E C‬ينصف ‪ ،C c‬ويقطع ب جـ فى ‪،E‬‬ ‫ورسم ‪ C‬هـ ينصف ‪ C c‬الخارجة ويقطع جـ ب فى هـ‪.‬‬ ‫أ أثبت أن ‪ C‬ب متوسط فى المثلث ‪ C‬جـ هـ‪.‬‬ ‫ب أوجد النسبة بين مساحة المثلث ‪ E C‬هـ‪ ،‬و مساحة المثلث ‪ C‬جـ هـ‪.‬‬

‫اإيجاد طول المن�صف الداخلى والمن�صف الخارجى لزاوية راأ�س مثلث‪.‬‬ ‫تمرين‬ ‫مشهور‬

‫إذا كان ‪ E C‬ينصف ‪ C c‬في ‪ C 9‬ب جـ من الداخل ويقطع ب جـ فى ‪E‬‬

‫فإن‪ C = E C :‬ب * ‪ C‬جـ ‪ -‬ب ‪ E * E‬جـ‬

‫المعطيات‪ C :‬ب جـ مثلث‪ E C ،‬ينصف ‪c‬ب ‪ C‬جـ من الداخل‪ ∩ E C ،‬ب جـ = {‪}E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫المطلوب‪ C = 2)E C( :‬ب * ‪ C‬جـ ‪ -‬ب ‪ E * E‬جـ‬ ‫البرهان ‪ :‬ارسم دائرة تمر برؤوس المثلث ‪ C‬ب جـ‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫‪E‬‬ ‫ وتقطع ‪ E C‬في هـ‪ ،‬ارسم ب هـ‬ ‫‪ C E C‬جـ‬ ‫ فيكون‪ C9 :‬جـ ‪ C9 + E‬هـ ب (لماذا)؟‪ C ،‬ب = ‪ C‬هـ‬ ‫ ` ‪ C * E C‬هـ = ‪ C‬ب * ‪ C‬جـ‬ ‫هـ‬ ‫ ‪ E + E C( * E C‬هـ) = ‪ C‬ب * ‪ C‬جـ‬ ‫تذكر‬ ‫ (‪ C = 2)E C‬ب * ‪ C‬جـ ‪ E * E C -‬هـ‬ ‫‪ E * E C‬هـ = ب ‪ E * E‬جـ‬ ‫ (‪ C = 2)E C‬ب * ‪ C‬جـ ‪ -‬ب ‪ E * E‬جـ‬ ‫ أي أن‪ C = E C :‬ب * ‪ C‬جـ ‪ -‬ب ‪ E * E‬جـ‬ ‫مـثـال‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث فيه ‪ C‬ب = ‪27‬سم‪ C ،‬جـ = ‪15‬سم‪ .‬رسم ‪ E C‬ينصف ‪ Cc‬ويقطع ب جـ فى ‪.E‬‬ ‫إذا كان ب ‪18 = E‬سم احسب طول ‪. E C‬‬

‫الحل‬

‫‪E‬‬

‫‪ C = E C a‬ب * ‪ C‬جـ ‪ -‬ب ‪ E * E‬جـ‬

‫‪82‬‬

‫` ‪ 15 = 225 = 10 * 18 - 15 * 27 = E C‬سم‬

‫ب‬

‫‪ 18‬سم‬

‫‪ 15‬سم‬

‫‪ E C a‬ينصف ‪c‬ب ‪ C‬جـ‬ ‫ويكون ‪27 = 18‬‬ ‫جـ ‪15‬‬

‫ب‪C E‬ب‬ ‫` ‪ E‬جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫` ‪ E‬جـ = ‪10‬سم‬

‫‪27‬‬

‫سم‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫‪ 3‬سم‬

‫ب‬

‫هـ‬

‫أى أن‪ :‬جـ ‪ = E‬جـ هـ = ‪ C‬جـ = ‪2 = 6‬‬ ‫‪ E‬ب هـ ب ‪ C‬ب ‪1 3‬‬

‫ ‪ a‬جـ هـ ‪ :‬هـ ب = ‪1 : 2‬‬ ‫` جـ ب = هـ ب‬ ‫ ‬ ‫ويكون ‪ C‬ب متوسط للمثلث ‪ C‬جـ هـ‪.‬‬ ‫ ‬

‫من خواص التناسب نجد‬

‫ جـ = ‪ E ` 52‬جـ = ‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ب ‪ a‬جـ ‪ ، 21 = E‬جـ ب = جـ ‪ E + E‬ب = ‪7‬‬

‫‪E‬ب‬ ‫‪7‬‬ ‫‪E‬ب‬ ‫‪+‬‬ ‫‪E‬‬ ‫جـ‬ ‫= ‪E! 3‬ب= ‪7‬‬ ‫‪1+2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫` ‪E‬ب = ‪E ! 1‬ب ‪1‬‬ ‫ويكون طول هـ ‪ = E‬ب هـ ‪ +‬ب ‪28 = 7 + 7 = E‬‬ ‫‪3 3‬‬

‫‪ ،‬طول جـ هـ = ‪ 14‬سم‬

‫ ‪E a‬هـ ⊂ جـ هـ‪ ،‬المثلثين ‪ E C‬هـ‪ C ،‬جـ هـ لهما‬ ‫نفس االرتفاع‪.‬‬ ‫‪ E C9( W‬هـ)‬ ‫‪ E‬هـ‬ ‫ ` ‪ C9( W‬جـ هـ) = جـ هـ‬ ‫ = ‪2 = 14 ÷ 28‬‬ ‫ ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫إيجاد طول المنصف الداخلى والمنصف الخارجى لزاوية‬ ‫رأس مثلث‪.‬‬ ‫‪qq‬ناقش مع طالبك التمرين المشهور صـ‪ 82‬من كتاب‬ ‫الطالب‬ ‫موضحا كيفية إيجاد طول المنصف الداخلى‬ ‫ً‬ ‫لزاوية رأس المثلث مستعي ًنا بالمثال ‪ 4‬فى نفس الصفحة‪.‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪65‬‬

‫منصفا اللاوية واألجلا المتناسلة‬

‫‪qq‬اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل رقم‬ ‫‪ 4‬مع متابعة إجاباتهم‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬ ‫فى كل من األشكال التالية (األبعاد مقدرة بالسنتيمترات) احسب قيمة س وطول ‪E C‬‬

‫أ‬

‫التقيم الم�ستمر‬

‫‪ 16‬سم ‪ 73 2 = E C ،‬سم‬ ‫س= ‪3‬‬ ‫‪ 15‬سم ‪ 32 3 = E C ،‬سم‬ ‫س= ‪2‬‬ ‫‪ 54‬سم ‪ 37 2 = E C ،‬سم‬ ‫س= ‪7‬‬

‫جـ‬

‫‪4‬‬

‫‪E‬‬

‫س‬

‫‪6‬‬

‫جـ‬

‫‪C‬‬

‫جـ‬

‫هـ‬

‫حاول أن تحل‬

‫فى كل من األشكال التالية (األبعاد مقدرة بالسنتيمترات) احسب قيمة س‪ ،‬وطول ‪ C‬هـ‬

‫ب‬

‫أ‬

‫المعطيات‪ E C :‬منصف داخلى‪،‬‬ ‫ ‬ ‫‪ C‬هـ منصف خارجى‬ ‫هـ‬ ‫ب‬ ‫‪ E‬جـ‬ ‫لزاوية ‪ C‬فى ‪ C 9‬ب جـ ‪.‬‬ ‫ ‬ ‫المطلوب‪C( :‬هـ)‪ = 2‬ب هـ * هـ جـ ‪ C -‬ب * ‪ C‬جـ‬ ‫البرهان‪ E C a :‬منصف داخلى‪ C ،‬هـ منصف خارجى‬ ‫لزاوية‪ C‬فى ‪ C9‬ب جـ‪.‬‬ ‫ب ‪ C‬ب ‪ E‬ب هـ‬ ‫ ` ‪ C = E C‬هـ ‪ C ،‬جـ = ‪E‬جـ = هـ جـ‬ ‫ويكون ب ‪ * E‬هـ جـ = ب هـ * ‪ E‬جـ (‪)1‬‬ ‫ ‬ ‫فى ‪ E C 9‬هـ القائم الزاوية فى ‪C‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪ C‬هـ) = ( هـ ‪)E C( - ) E‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫= (ب هـ ‪ -‬ب ‪( )E‬هـ جـ ‪ E +‬جـ) ‪)E C( -‬‬ ‫ ‬ ‫= ب هـ * هـ جـ ‪ +‬ب هـ * ‪ E‬جـ ‪ -‬ب ‪ * E‬هـ جـ‬ ‫ ‬ ‫ ب ‪ E * E‬جـ ‪)2( 2) E C ( -‬‬‫ ‬ ‫من (‪ )2( ، )1‬ينتج أن ‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪ C‬هـ)‪ = 2‬ب هـ * هـ جـ ‪ -‬ب ‪ E * E‬جـ (‪)E C‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪ C = )E C‬ب * ‪ C‬جـ ‪ -‬ب ‪ E * E‬جـ (تمرين مشهور)‬ ‫ ‬ ‫(‪ C‬هـ)‪ = 2‬ب هـ * هـ جـ ‪ C -‬ب * ‪ C‬جـ وهو المطلوب‬ ‫ ‬ ‫‪qq‬أطلب إلى طالبك حل ماورد فى بند حاول أن تحل رقم‬ ‫(‪ )5‬مع متابعة إجاباتهم‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫هـ‬

‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪E‬‬

‫مـثـال‬

‫‪6‬‬

‫جـ‬

‫(س ‪)1 +‬‬

‫هـ‬

‫‪C‬‬

‫فى الشكل المقابل‪ E C :‬متوسط فى ‪ C 9‬ب جـ‬ ‫‪ E‬س ينصف ‪ E Cc‬ب‪ .‬ويقطع ‪ C‬ب فى س‪.‬‬ ‫أثبت أن‪ :‬س ص ‪ //‬ب جـ ‪.‬‬

‫ب‬

‫الحل‬

‫فى ‪ E C9‬ب‪ E a :‬س ينصف ‪ E Cc‬ب‬ ‫فى ‪ E C9‬جـ‪ E a :‬ص ينصف ‪ E Cc‬جـ‬ ‫فى ‪ C9‬ب جـ‪ E C a :‬متوسط‬ ‫من (‪)3( ،)2( ،)1‬‬

‫ص‬

‫س‬

‫‪ E‬ص ينصف ‪ E Cc‬جـ ويقطع ‪ C‬جـ فى ص‪.‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬س‬ ‫‪EC‬‬ ‫` ‪E‬ب = سب‬ ‫‪C‬ص‬ ‫‪EC‬‬ ‫` ‪ E‬جـ = ص جـ‬

‫` ‪ E‬ب = ‪ E‬جـ‬

‫‪C‬ص‬ ‫‪C‬س‬ ‫س ب = ص جـ‬

‫جـ‬

‫(‪)1‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫(‪)3‬‬

‫ويكون س ص ‪ //‬ب جـ ‪.‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪83‬‬

‫‪qq‬ناقش مع الطالب مثال (‪ )5‬صـ‪ 83‬وإطلب إليهم حل بند‬ ‫حاول أن تحل (‪ )6‬صـ ‪ 84‬من كتاب الطالب وتابع حلولهم‪.‬‬ ‫التقيم الم�ستمر‬

‫إجابات حاول أن تحل‬ ‫‌ أ فى ‪ C 9‬ب جـ‪ :‬جـ هـ ينصف ‪c‬جـ‬

‫ ` ب هـ = ب جـ = ‪1 = 6‬‬ ‫جـ ‪2 12 C‬‬ ‫هـ ‪C‬‬ ‫فى ‪ C 9‬ب جـ جـ و = ‪1 = 4‬‬ ‫ ‬ ‫و‪2 8 C‬‬ ‫ ‪ a‬جـ و = ب هـ = ‪1‬‬ ‫هـ ‪2 C‬‬ ‫و‪C‬‬

‫ ` هـ و ‪//‬ب جـ‬ ‫ب فى ‪ C 9‬ب ‪ :E‬ب هـ ينصف‪ c‬ب‬ ‫‪ C‬هـ‬ ‫ب‬ ‫ ` ‪= C‬‬ ‫ب ‪ E‬هـ‪E‬‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫‪66‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪6‬‬

‫‪E‬‬

‫‪9‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫س‬

‫ويقطع ب جـ فى هـ‪ .‬فإن‪ C :‬هـ = ب هـ * هـ جـ ‪ C -‬ب * ‪ C‬جـ‬

‫‪qq‬وضح لطالبك أنه إليجاد طول المنصف الخارجى‬ ‫لزاوية رأس مثلث تستخدم ما ورد فى بند الحظ أن صـ‬ ‫‪ ،83‬ويمكنك تقديم البرهان التالى ألثبات صحة هذه‬ ‫العالقة‪:‬‬

‫إجابات حاول أن تحل‬ ‫‌ أ س = ‪7‬سم ‪ C ،‬هـ = ‪ 21 2‬سم‬ ‫ب س =‪ 8‬سم ‪ C ،‬هـ = ‪ 10 3‬سم‬ ‫ ‬

‫‪C‬‬ ‫‪5‬‬

‫الحظ أن‪ :‬فى الشكل المقابل‪ C :‬هـ ينصف ‪ c‬ب ‪ C‬جـ من الخارج‬

‫(‬

‫ ‬

‫‪E‬‬

‫س‪+‬‬

‫‍ج ‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫ج‬

‫‪)5‬‬

‫ ‬

‫س‬

‫‪4‬‬

‫ب‬

‫إجابات حاول أن تحل‬ ‫‌ أ ‬ ‫ب ‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪7‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫(‪)1‬‬

‫فى ‪ E C 9‬جـ ‪ E‬و ينصف ‪ E C c‬جـ‬ ‫و‬ ‫‪ = E C‬و‪ C‬جـ ‬

‫‪E‬جـ‬

‫(‪)2‬‬

‫بسانتملا ءازجألاو ثلثملا ىف ةيوازلا افصنم‬

‫ويمكنك تقديم البرهان التالى لهذه الحقيقة‪:‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫فى كل من األشكال التالية أثبت أن‪ :‬هـ و ‪ //‬ب جـ‬

‫أ‬

‫‪C‬‬

‫‪8‬‬

‫سم‬

‫هـ‬ ‫ب‬

‫و‬

‫‪ 6‬سم‬

‫‪4‬‬

‫ب‬

‫فى ‪ C 9‬ب ‪ a :E‬ب هـ ينصف‪ c‬ب‬

‫‪C‬‬ ‫هـ‬

‫سم‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫‪C‬‬ ‫ ‬ ‫` ‪= C‬‬

‫و‬

‫ب‬ ‫ب‪E‬‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫تفكير منطقى‬

‫فى الشكل المقابل‪ ∈E :‬ب جـ ‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‪E‬‬ ‫كيف يمكن رسم جـ هـ يقطع ب ‪ C‬فى هـ لحساب النسبة جـ ؟‬ ‫‪E‬‬

‫إذا كان ب ‪ = E‬ب ‪C‬‬ ‫جـ ماذا نستنتج؟‬ ‫‪ E‬جـ ‪C‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫حاالت خا�صة‬

‫ب هـ ب ‪C‬‬ ‫وإذا كان هـ ∈ ب جـ ‪ ،‬هـ ∉ ب جـ ‪ ،‬حيث هـ جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫فإن‪ C :‬هـ ينصف ‪ Cc‬الخارجة عن المثلث ‪ C‬ب جـ‬

‫ ويعرف هذا بعكس النظرية السابقة‪.‬‬

‫ب‬ ‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪ C‬جـ‬ ‫ب‬ ‫‪= C‬‬ ‫ب ‪ E‬جـ ‪E‬‬ ‫ب‬ ‫ب‪E‬‬ ‫ ‬ ‫` ‪= C‬‬ ‫‪ C‬جـ ‪E‬جـ‬

‫و‬

‫وبإبدال الوسطين‬

‫هـ‬

‫جـ‬ ‫‪C‬‬

‫‪ -2‬فى الشكل المقابل‪:‬‬

‫هـ‬

‫حقيقة‪ :‬منصفات زوايا المثلث تتقاطع فى نقطة واحدة‪.‬‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫مـثـال‬

‫الحل‬ ‫فى ‪ C 9‬ب جـ‪ C :‬ب = ‪3 = 18‬‬ ‫‪ C‬جـ ‪2 12‬‬ ‫جـ ‪ = E‬ب جـ ‪ -‬ب ‪6 = 9 - 15 = E‬سم‬ ‫` ب‪3 = 9 = E‬‬ ‫‪ E‬جـ ‪2 6‬‬ ‫ب‪ E‬ب‪C‬‬ ‫‪ E C‬ينصف ‪c‬ب ‪ C‬جـ‬ ‫‪ E a‬جـ = ‪ C‬جـ‬

‫‪C‬‬ ‫‪18‬‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫ ‪ C a‬ب = ‪ ،E C‬ب ‪ E = E‬جـ‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫جـ ب‬ ‫‪)1( 23 = 12‬‬ ‫ب ‪18 = C‬‬ ‫فى ‪ C 9‬جـ ‪E‬‬

‫‪E‬‬ ‫جـ‬

‫هـ‬

‫و‬

‫‪12‬‬

‫(‪)3‬‬

‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬ ‫‌ فى ‪ C 9‬ب جـ‪:‬‬

‫سم‬

‫‪E‬جـ‬

‫هـ‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫ب‬ ‫` ‪ EC = C‬‬

‫‪12‬‬

‫جـ‬

‫` ‪ E C‬ينصف‪C c‬‬

‫أى أن منصفات زوايا المثلث تتقاطع جميعها فى نقطة‬ ‫واحدة‪.‬‬ ‫‪qq‬ناقش مع طالبك ما ورد فى مثال ‪ 6‬صـ‪ 84‬ومثال ‪ 7‬صـ‪85‬‬ ‫واطلب إليهم حل ما ورد فى بند حاول أن تحل رقم ‪8 ،7‬‬ ‫صفحة ‪ 85‬من كتاب الطالب مع متابعة حلولهم‪.‬‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث فيه ‪ C‬ب = ‪18‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪15‬سم‪ C ،‬جـ = ‪12‬سم‪ ∈ E ،‬ب جـ ‪ ،‬حيث ب ‪9 = E‬سم‬ ‫رسم ‪ C‬هـ = ‪ E C‬فقطع ب جـ فى هـ ‪ .‬أثبت أن ‪ E C‬ينصف ‪c‬ب ‪ C‬جـ ثم أوجد طول جـ هـ ‪.‬‬

‫ ‬

‫‪ C‬هـ‬ ‫جـ‬ ‫` ‪= C‬‬ ‫جـ ‪ E‬هـ ‪E‬‬

‫ (‪)2‬‬

‫من (‪ )2( ،)1‬ينتج أن‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫ب هـ ‪ ،‬جـ هـ منصفا زاويتا ب‪ ،‬جـ‬ ‫يتقاطعا فى نقطة هـ ∈ ‪ . E C‬ماذا تستنتج؟‬

‫ب‪E‬‬

‫فى ‪C 9‬جـ ‪: E‬‬

‫‪ a‬جـ هـ ينصف‪ c‬جـ‬

‫‪C‬‬

‫‪ -1‬فى ‪ C 9‬ب جـ‪:‬‬ ‫ب‪ E‬ب‪C‬‬ ‫إذا كان ‪ ∈ E‬ب جـ ‪ ،‬حيث ‪ E‬جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫فإن‪ E C :‬ينصف ‪ c‬ب ‪ C‬جـ‬

‫‪84‬‬

‫هـ‬ ‫هـ‪E‬‬

‫(‪)1‬‬

‫‪C‬و‬ ‫‪ C‬هـ‬ ‫ ‬ ‫من (‪ ` )3( ،)2( ،)1‬هـ ‪ = E‬و جـ‬ ‫ ‬ ‫‪ a‬هـ و ‪ //‬جـ ‪E‬‬ ‫‪ E‬هـ جـ و‬ ‫‪C‬و‬ ‫‪ C‬هـ‬ ‫` هـ =‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫فى ‪ E C 9‬هـ ‪ a‬هـ ‪ = E‬و جـ‬ ‫و‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫` ‪ E‬هـ = ‪2‬‬ ‫ ‪ C 2 a‬هـ = ‪ 3‬هـ ‬ ‫‪E‬‬ ‫هـ ‪3 C‬‬ ‫ ‬ ‫` هـ و ‪ E //‬جـ‬ ‫جـ و‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫` و = ‪ 3‬‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫` ‪ E‬جـ ⊂ ب جـ ‬ ‫ ‬ ‫` هـ و ‪//‬ب جـ‬ ‫جـ و جـ ب‬ ‫=‬ ‫أن‬ ‫ينتج‬ ‫(‪)2‬‬ ‫(‪،)1‬‬ ‫من‬ ‫ ‬ ‫ب‪C‬‬ ‫و‪C‬‬ ‫تفكير منطقى‪ :‬فى بند تفكير منطقى ناقش ما توصل‬ ‫جـ و جـ ب‬ ‫إليه طالبك من استنتاجات‬ ‫‪ a‬و =‬ ‫فى ‪ C 9‬ب جـ ‬ ‫مؤكدا على ما هو صحيح ‬ ‫ً‬ ‫ب‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫فيها واستبعاد االستننتاجات األخرى ومن خالل أسلوب‬ ‫االكتشاف الموجه ساعد طالبك على اكتشاف ما ورد فى‬ ‫‌ فى ‪ 9‬و ب هـ‪:‬‬ ‫بند حاالت خاصة‪.‬‬ ‫اطلب من طالبك استخدام األدوات الهندسية فى إدراك ‬ ‫‪ a‬م ن ‪ //‬ب هـ‬ ‫العالقة بين منصفات زوايا المثلث من الداخل ودعهم‬ ‫ون‬ ‫وم‬ ‫=‬ ‫`‬ ‫ ‬ ‫م ب ن هـ‬ ‫يستنتجوا ما ورد فى بند حقيقة صفحة ‪.84‬‬ ‫بإبدال الوسطين ينتج أن‪:‬‬ ‫ ‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫‪ 18‬سم‬

‫ ` ب و ينصف ‪ c‬ب‬

‫ ‬

‫و ن = ن هـ ‬ ‫وم‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫مب‬

‫و‬ ‫م‬ ‫ب‬

‫جـ‬

‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬

‫ن‬ ‫هـ‬

‫(‪)1‬‬

‫‪67‬‬

‫منصفا اللاوية واألجلا المتناسلة‬

‫ ‪ a‬نقطة تماس دائرتين يقع على خط المركزين‬ ‫ ` ‪ ∈ C‬م ن ويكون م ب = م ‪ ،C‬ن هـ = ن ‪ C‬‬ ‫وم‬ ‫م‪C‬‬ ‫من (‪ )2( ،)1‬ينتج أن‪ :‬و ن =‬ ‫ن‬ ‫‪C‬‬

‫ ‬

‫(‪)2‬‬

‫‪ C a‬هـ = ‪ E C‬ويقطع ب جـ فى هـ‬ ‫ب هـ ‪ C‬ب‬ ‫` ‪ C‬هـ ينصف ‪ Cc‬الخارجة عن ‪ C 9‬ب جـ ويكون هـ جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫‪ + 15‬جـ هـ‬ ‫‪ 18‬جـ هـ = ‪30‬سم‬ ‫‪ a‬ب هـ = ب جـ ‪ +‬جـ هـ ` جـ هـ = ‪12‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬شكل رباعى فيه ‪ C‬ب = ‪18‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪12‬سم‪ .‬هـ ∈ ‪ E C‬بحيث ‪ C 2‬هـ = ‪ 3‬هـ ‪E‬‬

‫رسم هـ و ‪ E //‬جـ فقطع ‪ C‬جـ فى و‪ .‬أثبت أن ب و ينصف ‪ Cc‬ب جـ‪.‬‬

‫ ` و ‪ C‬ينصف‪ c‬م و ن‬

‫مـثـال‬

‫‪ C‬ب قطر فى دائرة‪ C ،‬جـ وتر فيها‪ .‬رسم جـ ‪ E‬مماس للدائرة عند جـ فقطع ‪ C‬ب فى ‪.E‬‬

‫ التدريب والتقييم‬ ‫أوالً‪ :‬إجابات تحقق من فهمك‬ ‫فى ‪ C 9‬ب هـ‪ C a :‬ب = ب هـ‪c( X ،‬ب) = ‪c90‬‬ ‫ ` ‪c( X‬ب ‪ C‬هـ) = ‪)1( 45c‬‬ ‫ ‪c( X‬ب ‪c 90 = )E C‬خواص المستطيل‬ ‫ ‬ ‫ ` ‪ CEc( X‬س) = ‪)2( c45‬‬ ‫ من (‪ )2( ،)1‬ينتج أن‬ ‫ ‬ ‫ ‪c( X‬ب ‪ C‬س) = ‪ CEc( X‬س) = ‪c45‬‬ ‫ ‬

‫‪ E‬ب ‪ E‬جـ‬ ‫هـ أثبت أن‪:‬‬ ‫إذا كانت هـ ∈ ‪ C‬ب بحيث ب هـ = جـ‬

‫‪ C‬هـ‬ ‫ب ‪CE‬‬ ‫‪ E‬ب = ب هـ‬

‫أ ‪ C‬جـ ينصف الزاوية الخارجة للمثلث جـ ‪ E‬هـ عند جـ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫‪ E‬ب ‪ E‬جـ‬ ‫‪ a‬ب هـ = جـ هـ‬

‫(‪)1‬‬

‫جـ‬

‫` جـ ب ينصف ‪ c‬جـ فى ‪ E 9‬جـ هـ‪.‬‬ ‫‪ C a‬ب قطر فى الدائرة‬ ‫` ‪ Cc( X‬جـ ب) = ‪c90‬‬

‫ويكون جـ ‪ = C‬جـ ب‬

‫‪E‬‬

‫ب‬

‫‪ a‬جـ ب ينصف ‪c‬جـ فى ‪ C 9‬ب جـ‬ ‫` جـ ‪ C‬منصف للزاوية الخارجة عند جـ‬ ‫‪ E‬جـ‬ ‫‪CE‬‬ ‫ويكون ‪ C‬هـ = جـ هـ‬

‫من (‪)2( ،)1‬‬

‫‪E‬ب‬ ‫‪CE‬‬ ‫ينتج أن‪ C :‬هـ = ب هـ‬

‫(منصفا الزاوية متعامدان)‬ ‫(‪)2‬‬ ‫‪ C‬هـ‬ ‫‪CE‬‬ ‫` ‪ C‬هـ = ب هـ‬

‫(وهو المطلوب ً‬ ‫أول)‬ ‫(وهو المطلوب ثان ًيا)‬

‫حاول أن تحل‬

‫دائرتان م‪ ،‬ن متماستان من الخارج فى ‪ .C‬رسم مستقيم يوازى م ن فقطع الدائرة م فى ب‪ ،‬جـ ‪ ،‬والدائرة ن‬ ‫فى ‪ ،E‬هـ على الترتيب‪ .‬فإذا تقاطع ب م ‪ ،‬هـ ن فى النقطة و‪ .‬أثبت أن ‪ C‬و ينصف ‪c‬م و ن‪.‬‬

‫تحقق من فهمك‬ ‫حل مشكالت‪ :‬يبين الشكل المقابل تقسي ًما لقطعة أرض مستطيلة الشكل‬ ‫إلى أربعة أقسام مختلفة بالمستقيمين ب ‪ C ، E‬هـ ‪ ،‬حيث هـ ∈ ب جـ ‪،‬‬ ‫ب ‪ C ∩ E‬هـ = {س}‪.‬‬ ‫مترا‪.‬‬ ‫فإذا كان ‪ C‬ب = ب هـ =‬ ‫‪42‬مترا‪ً 56 = E C ،‬‬ ‫ً‬ ‫احسب مساحة القطعة ‪ C‬ب س باألمتار المربعة و طول ‪ C‬س‬

‫` ‪ C‬س ينصف ‪ Cc‬فى ‪ C9‬ب ‪E‬‬ ‫ ‬ ‫ ويكون‪ :‬ب س = ‪3 = 42‬‬ ‫ ‬ ‫س ‪4 56 E‬‬ ‫بس‬ ‫= ‪ 4 +3 3‬خواص التناسب‬ ‫ `‬ ‫بس‪+‬س‪E‬‬ ‫ ` بس = ‪3‬‬ ‫ب‪7 E‬‬ ‫ ويكون ‪C9( W‬ب س) = ‪3‬‬ ‫ ‬ ‫‪C9( W‬ب ‪7 )E‬‬

‫هـ‬

‫‪C‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬ ‫س‬

‫ب‬

‫هـ‬

‫جـ‬

‫‪85‬‬

‫إذا كان‪4 :‬ب ‪ E 3 = E‬جـ‪ C ،‬ب = ‪18‬سم‬ ‫ ‬ ‫أوجد طول ‪ C‬جـ ‪.‬‬ ‫�إجابات التقييم‬

‫(المثلثان لهما نفس االرتفاع)‬ ‫ ‬ ‫‌ أ س = ‪10‬‬ ‫ب من هندسة الشكل ` جـ ع ينصف ‪ c‬جـ‬ ‫ ‬ ‫` م (‪C9‬ب س) = ‪ 504 = 56 * 42 * 12 * 37‬متر مربع‪.‬‬ ‫الخارجة فيكون جـ ل منصف داخلى للزاوية جـ‬ ‫التقييم‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫ل‬ ‫‪C‬‬ ‫` ل ب = جـ ب ‬ ‫ ‬ ‫`س=‪5‬‬ ‫‌ فى كل من األشكال التالية‪ ،‬أوجد قيمة س‬ ‫(األطوال مقدرة بالسنتيمترات)‬ ‫‌ ‪ C‬جـ = ‪ 24‬سم‬

‫‌ ‬

‫ب‬

‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫ل‬

‫س‪+‬‬

‫و‬ ‫س‪3-‬‬

‫‪E‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫س‬

‫‪8‬‬

‫‪C‬‬

‫هـ‬

‫ع‬

‫‪10‬‬

‫هـ‬

‫‪12‬‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬ ‫هـ‬ ‫ب‬

‫‪E‬‬

‫جـ ‪E‬‬

‫جـ‬

‫فى الشكل المقابل‪ ∈ E :‬ب جـ‪ ,‬هـ ∈ ‪ ، E C‬ب هـ‬ ‫ينصف ‪c‬ب‪ ،‬ب هـ ينصف ‪c‬جـ ‪.‬‬

‫‪68‬‬

‫نشاط إثرائى للطالب المتفوقين‪:‬‬ ‫‌ أ ب جـ مثلث قائم الزاوية فى ‪ ،C‬فيه ب ‪ C > C‬جـ رسم‬ ‫‪ = E C‬ب جـ ‪ C ،‬هـ ينصف‪ ،Cc‬ويقطع ب جـ‬ ‫فى هـ‬ ‫ب هـ‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫أثبت أن‪ :‬هـ جـ =‬ ‫ ‬ ‫‪.‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫ً‬ ‫ثالثا‪ :‬التدريب‬

‫اطلب من طالبك حل تمارين مختارة من كراسة األنشطة‬ ‫والتدريبات من صفحتى ‪ 42 ،41‬مع متابعة حلولهم‪.‬‬

‫‪‍ 3‬‬

‫تطبيقات التناسب فى الدائرة‬

‫‪3‬‬

‫‪Applications of Proportionality in the Circle‬‬

‫سوف تتعلم‬ ‫ إجياد قوة نقطة بالنسلة لدائرة‪.‬‬

‫ حتديد موقع نقطة بالنسلة لدائرة‪.‬‬ ‫ إجياد قياسات اللوايا الناجتة من‬ ‫تقاطع األوتار واملامسات ىف‬ ‫الدائرة‪.‬‬

‫ نمذجة وحل تطليقات تشمل إجياد‬ ‫طول املنصف الداخىل واخلارجى‬ ‫للاوية‪.‬‬

‫فكر‬

‫و‬

‫‪Applications of Proportionality in the‬‬

‫ناقش‬

‫كيف يمكن إنشاء قطعة مستقيمة يكون طولها ل وسطًا متناس ًبا بين طولين س‪ ،‬ص‬ ‫لقطعتين معلومتين؟‬ ‫فى كل من الشكلين التاليين ‪ C‬ب = س ‪C ،‬جـ = ص ‪ = E C ،‬ل‬ ‫‪E‬‬

‫‪E‬‬ ‫م‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫ب‬ ‫ص‬

‫س‬

‫‪C‬‬

‫س‬

‫م‬

‫ص‬

‫جـ‬

‫‪EC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ E C 9 a‬ب ‪ C9 +‬جـ ‪( E‬لماذا؟)‬ ‫` ‪ C = E C‬جـ‬ ‫ل‬ ‫س‬ ‫ويكون ل = ص ‪ ،‬ل‪ = 2‬س * ص أى أن ل وسط متناسب بين س‪ ،‬ص‬

‫ب‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬ ‫ قوة نقطة‬

‫‪Power of a point‬‬

‫ دائرة‬

‫‪Circle‬‬

‫ وتر‬

‫‪Chord‬‬

‫ مماس‬

‫‪Tangent‬‬

‫ قاطع‬

‫‪Secant‬‬

‫ قطر‬

‫‪Diameter‬‬

‫ دوائر متحدة املركل‬

‫عمل تعاونى‬ ‫أنشئ قط ًعا مستقيمة أطوالها ‪24 ، 15 ، 3‬‬

‫قارن رسمك مع زمالئك وتحقق من صحة إجابتك مستخد ًما اآللة الحاسبة والقياس‪.‬‬

‫أو ًال‪ :‬قوة نقطة بالنسبة لدائرة‬

‫‪Power of a point‬‬

‫‪Concentric Circles‬‬

‫ مماس خارجى مشرتك‬

‫‪Common External Tangent‬‬

‫تعريف‬

‫ مماس داخىل مشرتك‬

‫‪Common Internal Tangent‬‬

‫قوة النقطة ‪ C‬بالنسبة للدائرة م التى طول نصف قطرها ‪ H‬هو‬ ‫‪2‬‬ ‫العدد الحقيقى ‪X‬م(‪ )C‬حيث‪X :‬م(‪ C( = )C‬م)‪H - 2‬‬

‫هامة‬ ‫مالحظات َّ‬ ‫األدوات والوسائل‬

‫‪86‬‬

‫‪H‬‬

‫مالحظة ‪1‬‬

‫ أدوات هندسية للرسم والقياس‬

‫يمكن التنبؤ بموقع نقطة ‪ C‬بالنسبة للدائرة م‬ ‫فإذا كان‪X :‬م ( ‪ 0 > ) C‬فإن ‪ C‬تقع خارج الدائرة‪.‬‬ ‫ ‪X‬م ( ‪ 0 = ) C‬فإن ‪ C‬تقع على الدائرة‪.‬‬ ‫ ‪X‬م ( ‪ 0 < ) C‬فإن ‪ C‬تقع داخل الدائرة‪.‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫تطبيقات التناسب فى الدائرة‬

‫‪C‬‬

‫م‬

‫‪Circle‬‬

‫خلفي ة‬

‫درس الطالب عالقات رياضية بين أوتار الدائرة ومستقيمات (أو قطع‬ ‫مستقيمة) مرسومة بشروط معينة‪ ،‬واآلن سوف يدرس عالقات رياضية‬ ‫جديدة فى الدائرة مثل قوة نقطة بالنسبة لدائرة‪ ،‬وقياسات الزوايا الناتجة‬ ‫من تقاطع األوتار والمماسات فى الدائرة‪ ،‬باإلضافة إلى تطبيقات‬ ‫تشمل إيجاد طول المنصف الداخلى والخارجى لزاوية معينة‪.‬‬

‫س‬ ‫أهداف الدر ‬

‫قادرا على أن‪:‬‬ ‫فى نهاية الدرس من المتوقع أن يكون الطالب ً‬

‫ يوجد قوة نقطة بالنسبة لدائرة‪.‬‬

‫ حيدد موقع نقطة بالنسبة لدائرة‪.‬‬

‫ يوجد قياسات الزوايا الناجتة من تقاطع األوتار واملامسات ىف الدائرة‪.‬‬ ‫ ينمذج وحيل تطبيقات تشمل تطبيقات التناسب ىف الدائرة‪.‬‬

‫مفردات أساسي ة‬

‫قوة نقطة ‪ -‬دائرة ‪ -‬وتر ‪ -‬مماس ‪ -‬قاطع ‪ -‬قطر ‪ -‬دوائر متحدة‬ ‫المركز ‪ -‬مماس خارجى مشترك ‪ -‬مماس داخلى مشترك‪.‬‬

‫المواد التعليمية المستخدمة ‬

‫سبورة تعليمية ‪ -‬طباشير ملون (أقالم ملونة) ‪ -‬حاسب آلى ‪ -‬برامج‬ ‫رسومية ‪ -‬جهاز عرض بيانات‪.‬‬

‫طرق التدريس المقترحة ‬

‫تعلم تعاونى ‪ -‬اكتشاف موجه ‪ -‬طريقة استنباطية ‪ -‬عرض ومناقشة‬ ‫‪ -‬حل مشكالت‪.‬‬

‫س‬ ‫مكان التدري ‬ ‫الفصل الدراسى‪.‬‬

‫مصادر التعل م‬

‫كتاب الطالب من صفحة ‪ 86‬إلى صفحة ‪92‬‬ ‫كتاب األنشطة والتدريبات صفحتى ‪44 ،43‬‬ ‫الشبكة الدولية للمعلومات (األنترنت)‬

‫ �إجراءات الدر�س‬ ‫التمهيد‪ :‬فكر وناق�ش‬

‫يهدف ما ورد فى بند فكر وناقش إلى أن يدرك الطالب‬ ‫المفهوم الهندسى لبعض خصائص التناسب‪ ،‬مثل الوسط‬ ‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪69‬‬

‫تطليقات التناسب لى الدائرة‬

‫المتناسب بين طولين س‪ ،‬ص لقطعتين مستقيمتين‬ ‫معلومتين‪ .‬تابع عمل الطالب وصحح ما يرد من أخطاء‬ ‫وعزز اإلجابات الصحيحة‪.‬‬

‫مـثـال‬

‫كل من النقط ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ بالنسبة للدائرة م التى طول نصف قطرها ‪5‬سم إذا كان‪:‬‬ ‫حدد موقع ٍّ‬ ‫ِّ‬ ‫‪X‬م ( ‪X ، 11 = ) C‬م (ب) = صفر ‪X ،‬م (جـ) = ‪ ،16-‬ثم احسب بعد كل نقطة عن مركز الدائرة‪.‬‬

‫الحل‬

‫` ‪ C‬تقع خارج الدائرة‬ ‫‪X a‬م ( ‪0 > 11 = ) C‬‬ ‫‪X a‬م ( ‪ C( = ) C‬م)‪ C( = 11 ` 2H - 2‬م)‪25 - 2‬‬ ‫` ب تقع على الدائرة‬ ‫‪X a‬م (ب) = صفر‬ ‫` جـ تقع داخل الدائرة‬ ‫‪X a‬م (جـ) = ‪16-‬‬ ‫‪X a‬م (جـ) = (جـ م)‪( = 16- ` 2H - 2‬جـ م)‪25 - 2‬‬

‫ عر�ض الدر�س‬ ‫وضح للطالب مفهوم قوة النقطة أ بالنسبة للدائرة م كعدد‬ ‫حقيقى ويرمز له بالرمز ‪X‬م(‪ )C‬حيث ‪X‬م(‪ C( = )C‬م)‪ - 2‬نق‬ ‫واستخدامه لتحديد موقع نقطة بالنسبة للدائرة‪ ،‬ثم ناقش‬ ‫مع طالبك مثال (‪ ،)1‬صفحة ‪ 87‬من كتاب الطالب‬ ‫موضحا‬ ‫ً‬ ‫مايلى‪:‬‬ ‫إذا كان ‪X‬م( ‪0 > ) C‬‬ ‫فإن ‪ C‬تقع خارج الدائرة‬ ‫فإن ‪ C‬تقع على الدائرة‬ ‫‪X‬م( ‪0 < ) C‬‬ ‫ ‬ ‫فإن ‪ C‬تقع داخل الدائرة‬ ‫‪X‬م( ‪0 < ) C‬‬ ‫ ‬ ‫‪qq‬اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل رقم‪:‬‬ ‫(‪ )1‬صفحة ‪ 87‬وتابع حلولهم مع تصحيح ما يرد بها من‬ ‫أخطاء فردية وتعزيز اإلجابات الصحيحة‪.‬‬

‫كل من النقط ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ بالنسبة للدائرة ن التى طول نصف قطرها ‪3‬سم‪ ،‬ثم احسب بعد كل نقطة‬ ‫حدد موقع ٍّ‬ ‫ِّ‬ ‫عن مركز الدائرة فى كل من الحاالت اآلتية‪:‬‬ ‫ب ‪X‬ن ( ب ) = صفر ج ‪X‬ن ( جـ ) = ‪4-‬‬ ‫أ ‪X‬ن ( ‪15 = ) C‬‬ ‫مالحظة ‪2‬‬ ‫إذا وقعت النقطة ‪ C‬خارج الدائرة م فإن‪X :‬م( ‪ C( = ) C‬م)‪H - 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪H‬‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫‪H‬‬

‫م‬

‫جـ‬

‫مالحظة ‪3‬‬ ‫إذا وقعت النقطة ‪ C‬داخل الدائرة م فإن‪X :‬م( ‪ C( = ) C‬م)‪H - 2‬‬

‫‪2‬‬

‫ = (‪ C‬م ‪ C()H -‬م ‪)H +‬‬ ‫ = ‪ C - H ( -‬م)(‪ C‬م ‪)H +‬‬ ‫ = ‪ C -‬ب * ‪ C‬جـ‬

‫وبصفة عامة‬

‫ب‬

‫‪ C‬خارج الدائرة م‬ ‫ب‬

‫جـ‬

‫‪/‬‬

‫جـ‬

‫م‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫‪/‬‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫م‬

‫‪C‬‬

‫‪C-H‬م‬

‫‪H‬‬

‫جـ‬

‫‪ C‬داخل الدائرة م‬

‫‪E‬‬

‫التقيم الم�ستمر‬

‫‪C‬‬ ‫جـ‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫‪2‬‬

‫‪X‬م( ‪ C - = ) C‬ب * ‪ C‬جـ = ‪ C -‬ب‪ C * /‬جـ‬

‫‪/‬‬

‫‪87‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫مـثـال‬

‫الدائرة م طول نصف قطرها ‪31‬سم‪ .‬النقطة ‪ C‬تبعد عن مركزها ‪23‬سم‪ ،‬رسم الوتر ب جـ حيث ‪ ∈ C‬ب جـ ‪،‬‬ ‫‪ C‬ب = ‪ C 3‬جـ احسب‪:‬‬ ‫ب بعد الوتر ب جـ عن مركز الدائرة‪.‬‬ ‫أ طول الوتر ب جـ‬ ‫الحل‬

‫فى الدائرة م‪:‬‬ ‫` ‪ C‬تقع داخل الدائرة ويكون‬ ‫أ ‪31 = H a‬سم‪ C ،‬م = ‪23‬سم‪ ∈ C ،‬ب جـ‬ ‫ ‪X‬م( ‪ C( = ) C‬م)‪ C - = 2H - 2‬ب * ‪ C‬جـ‬ ‫ (‪ C3- = 2)31( - 2)23‬جـ * ‪ C‬جـ ` ‪ C‬جـ = ‪12‬سم‬ ‫` طول الوتر ب جـ = ‪ C 4‬جـ = ‪48 = 4 * 12‬سم‬

‫م‬

‫ب‬ ‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫جـ‬

‫ب بفرض أن بعد الوتر عن مركز الدائرة = م ‪ E‬حيث م ‪ = E‬ب جـ‬ ‫` ‪ E‬منتصف ب جـ ويكون ب ‪24 = E‬سم‬ ‫‪ a‬م ‪ = E‬ب جـ‬ ‫` م ‪19٫6 - 385 = E‬سم‬ ‫` (م ‪385 = 2)24( - 2)31( = 2)E‬‬

‫ب ‪X‬ن (‪ = )C‬صفر‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪2‬‬

‫الدائرة ن طول نصف قطرها ‪8‬سم‪ .‬النقطة ب تبعد ‪12‬سم عن مركز الدائرة‪ ،‬رسم مستقيم يمر بالنقطة ب‬ ‫ويقطع الدائرة فى نقطتين جـ‪ ،E ،‬حيث جـ ب = جـ ‪ ،E‬احسب طول الوتر جـ ‪ E‬وبعده عن النقطة ن‪.‬‬ ‫مـثـال‬

‫‪ 3‬دائرتان م‪ ،‬ن متقاطعتان فى ‪ ، C‬ب‪ .‬جـ ∈ ب ‪ ، C‬جـ ∉ ب ‪ ، C‬رسم جـ ‪ E‬فقطع الدائرة م فى ‪ ،E‬هـ حيث‬ ‫جـ ‪9 = E‬سم‪ E ،‬هـ = ‪7‬سم‪ ،‬ورسم جـ و يمس الدائرة ن عند و‪.‬‬ ‫أ أثبت أن ‪( X‬جـ) = ‪( X‬جـ)‪.‬‬ ‫ب إذا كان ‪ C‬ب = ‪10‬سم‪ .‬أوجد طول كل من ‪ C‬جـ ‪ ،‬جـ و ‪.‬‬ ‫م‬

‫الحل‬

‫‪9‬‬ ‫سم‬

‫و‬

‫ب ‪ C a‬ب = ‪10‬سم‬ ‫` ‪X‬ن(جـ) = جـ ‪( C‬جـ ‪( = )10 + C‬جـ و)‪144 = 2‬‬ ‫` جـ ‪8 = C‬سم‬ ‫‪( a‬جـ ‪ 10 + 2)C‬جـ ‪144 = C‬‬ ‫` جـ و = ‪12‬سم‬ ‫‪( a‬جـ و)‪144 = 2‬‬ ‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪7‬‬

‫أ ‪ a‬جـ تقع خارج الدائرة م‪ ،‬جـ هـ ‪ ،‬جـ ب قاطعان للدائرة م‪.‬‬ ‫` ‪X‬م(جـ) = جـ ‪ * E‬جـ هـ = جـ ‪ * C‬جـ ب (‪)1‬‬ ‫‪ a‬جـ تقع خارج الدائرة ن‪ ،‬جـ ب قاطع‪ ،‬جـ و مماس لها‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫` ‪X‬ن(جـ) = جـ ‪ * C‬جـ ب = (جـ و)‬ ‫` ‪X‬م(جـ) = ‪X‬ن(جـ) = ‪144 = 16 * 9‬‬ ‫ من (‪)2( ،)1‬‬

‫‪88‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫ن‬

‫جـ‬

‫سم‬

‫الحل‬ ‫أ ‪X‬ن(‪C( = )C‬ن) ‪ -‬نق‬ ‫‪C( = 15‬ن)‪9 - 2‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪ C‬ن) = ‪24‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪C‬ن=‪6 2‬‬ ‫ ` مجموعة النقط هى دائرة مركزها النقطة ن‪ ،‬وطول‬ ‫نصف قطرها ‪ 6 2‬سم‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪70‬‬

‫‪E‬‬

‫قم ‪C‬‬

‫ = (‪ C‬م ‪ C( )H -‬م ‪)H +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ = ‪ C‬ب * ‪ C‬جـ = (‪)E C‬‬ ‫` طول المماس المرسوم من النقطة ‪ C‬للدائرة م = ‪X‬م(‪)C‬‬

‫‪X‬م( ‪ C = ) C‬ب * ‪ C‬جـ = ‪ C‬ب‪ C * /‬جـ‪)E C( = /‬‬

‫‍ج ‪X‬ن (‪4- = )C‬‬

‫` جـ م = ‪3‬سم‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪2‬‬

‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬ ‫ ‬ ‫أ ‪X‬ن (‪ C ` 0 > 15 = )C‬تقع خارج الدائرة ن‬ ‫ب‬ ‫ ‪X‬ن (ب) = ‪ ` 0‬ب تقع على الدائرة ن‬ ‫ ‬ ‫‍ج ‪X‬ن (جـ) = ‪ ` 4-‬جـ تقع داخل الدائرة ن‬ ‫ ‬ ‫‪ C‬هـ = ‪ 6 2‬سم ‪ ،‬ب ن = ‪ 3‬سم‪ ،‬جـ ن = ‪ 5‬سم‬ ‫مثال إضافى‬ ‫ما مجموعة النقاط التى لها نفس قوة النقطة ‪ C‬بالنسبة‬ ‫للدائرة ن التى طول نصف قطرها ‪3‬سم فى الحاالت اآلتية‪:‬‬ ‫أ ‪X‬ن (‪15 = )C‬‬

‫` ‪ C‬م = ‪6‬سم‬ ‫` ب م = ‪5‬سم‬

‫م‬

‫ن‬ ‫ب‬

‫هـ‬

‫ةرئادلا ىف بسانتلا تاقيبطت‬ ‫تطليقات التناسب لى الدائرة‬

‫التقييم المستمر‬

‫هامة‬ ‫مالحظة َّ‬

‫تسمى مجموعة النقاط التى لها نفس القوة بالنسبة لدائرتين مختلفتين بالمحور األساسى للدائرتين‪.‬‬ ‫فإذا كان ‪X‬م ( ‪X = ) C‬ن( ‪ ) C‬فإن ‪ C‬تقع على المحور األساسى للدائرتين م‪ ،‬ن‪.‬‬ ‫صفرا‬ ‫صفرا ‪X ،‬م (ب) = ‪X‬ن(ب) = ً‬ ‫فى المثال السابق الحظ أن‪X :‬م(جـ) = ‪X‬ن(جـ) ‪X ،‬م ( ‪X = ) C‬ن( ‪ً = ) C‬‬ ‫` ‪ C‬ب محور أساسى للدائرتين م‪ ،‬ن‪.‬‬

‫إجابات حاول أن تحل‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 3‬الدائرتان م‪ ،‬ن متماستان من الخارج فى ‪ C ،C‬ب مماس مشترك للدائرتين م‪ ،‬ن‪ ،‬ب جـ يقطع الدائرة م فى‬ ‫جـ‪ ،E ،‬ب هـ يقطع الدائرة ن فى هـ‪ ،‬و على الترتيب‪.‬‬ ‫أ أثبت أن‪ C :‬ب محور أساسى للدائرتين م‪ ،‬ن‬ ‫ب إذا كان ‪( X‬ب) = ‪ ، 36‬ب جـ = ‪4‬سم ‪ ،‬هـ و = ‪9‬سم‪ .‬أوجد طول كل من جـ ‪ C ، E‬ب ‪ ،‬ب هـ ‪.‬‬ ‫م‬

‫ثانيًا‪ :‬القاطع والمماس وقياسات الزوايا‬ ‫‪E‬‬

‫سبق ودرست‪:‬‬ ‫‪ -1‬إذا تقاطع قاطعان داخل دائرة فإن قياس زاوية تقاطعهما يساوى نصف‬ ‫مجموع قياسى القوس المقابل لهذه الزاوية والقوس المقابل للزاوية التى‬ ‫تقابلها بالرأس‪.‬‬ ‫فى الشكل المقابل‪ C :‬ب ∩ جـ ‪{ = E‬هـ}‬

‫‪C‬‬

‫هـ‬ ‫جـ‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬ ‫هـ‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫فى كل من األشكال اآلتية‪ :‬أوجد قيمة الرمز المستخدم فى القياس‪.‬‬ ‫ب‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫أ‬ ‫‪C‬‬

‫‪c110‬‬

‫جـ‬ ‫‪c60‬‬

‫ب‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫س‪c‬‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬ ‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫‪c45‬‬

‫ب‬

‫‪c47‬‬

‫‪C‬‬

‫جـ‬ ‫ب‬

‫ه‬

‫و‬ ‫ب‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫ع‪c‬‬

‫‪C‬‬

‫‪c56‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪c120‬‬

‫‪C‬‬ ‫ص‪c‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪2‬‬ ‫‪ 80‬‬ ‫(ب جـ) = ‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬

‫هـ‬ ‫ن‬

‫ب جـ = ‪ = 10 2‬جـ ‪E‬‬

‫` جـ هـ = ‪ 10‬سم‬ ‫ن هـ = جـ ‪ E‬‬ ‫(ن هـ)‪54 = 2)10 ( - 2)8( = 2‬‬ ‫ن هـ = ‪ 6 3‬سم‪.‬‬

‫‪c165‬‬

‫‪c150‬‬

‫هـ‬

‫‪c115‬‬

‫‪E‬‬

‫ص‪c‬‬

‫‪c70‬‬

‫س‪c‬‬

‫ج‬

‫ب‬

‫ ‬

‫ب‬

‫فإن‪ C c( X :‬هـ جـ) = ‪ C ( X[ 12‬جـ ) ‪ E( X +‬ب)]‬ ‫‪ -2‬إذا تقاطع قاطعان خارج دائرة فإن قياس زاوية تقاطعهما يساوى‬ ‫نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين المقابلين لها‪.‬‬ ‫فى الشكل المقابل‪ C :‬ب ∩ جـ ‪{ = E‬هـ}‬ ‫فإن‪ C c( X :‬هـ جـ) = ‪ C ( X[ 12‬جـ ) ‪ E( X -‬ب)]‬

‫‌ ن ب > نق‬ ‫` ب تقع خارج الدائرة‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫قن (ب) = (ب ن) ‪ -‬نق‬ ‫ ‬ ‫ = ب جـ * ب ‪E‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪( 2 = )8( - )12‬ب جـ)‬ ‫ ‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫‪c50‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪c160‬‬

‫ع‪c‬‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫‪89‬‬

‫‪qq‬وضح للطالب أنه عندما تتساوى قوة نقطة بالنسبة‬ ‫لدائرتين مختلفتين فإن هذه النقطة تقع على مستقيم‬ ‫يسمى بالمحور األساسى للدائرتين فإذا كان‬ ‫قم (‪ = )C‬قن (‪ ، )C‬قم (ب) = قن (ب)‬ ‫فإن ‪ C‬ب هو محور أساسى للدائرتين م‪ ،‬ن‬

‫ب ‪X‬ن (‪C( = )C‬ن)‪ - 2‬نق‬ ‫ ` النقط تقع على الدائرة ن‪ ،‬وتكون مجموعة النقط اطلب من طالبك حل ما ورد فى حاول أن تحل ‪ 3‬ص ‪90‬‬ ‫من كتاب الطالب وتابع إجاباتهم‪.‬‬ ‫المطلوبة هى دائرة مطابقة للدائرة ن‪.‬‬ ‫إجابة حاول أن تحل‬ ‫‍ج ‪X‬ن (‪ C( = )C‬ن)‪4 - = 9 - 2‬‬ ‫ ‬ ‫(‪ C‬ن)‪ C ! 5 = 2‬ن = ‪5‬‬ ‫‌ أ ‪ a‬قم (ب) = (‪ C‬ب)‪ = 2‬ب جـ * ب ‪E‬‬ ‫ ‬ ‫قن (ب) = (‪ C‬ب)‪ = 2‬ب هـ * ب و‬ ‫مجموعة النقط هى دائرة مركزها ن وطول نصف ‬ ‫قطرها ‪3 < 5‬‬ ‫ب‬ ‫ ` قم (ب) = قن (ب) (‪)1‬‬ ‫‪ 4‬سم‬ ‫أى أن مجموعة النقط هى دائرة تقع داخل الدائرة ن‬ ‫ ‬ ‫جـ‬ ‫هـ‬ ‫قم (‪ = )C‬قن(‪ = )C‬صفر (‪)2‬‬ ‫ ‬ ‫ولها نفس المركز‪.‬‬ ‫‪ C‬ن‬ ‫م‬ ‫‪E‬‬ ‫من (‪)2( ،)1‬‬ ‫‪qq‬ناقش مع طالبك مثال (‪ )2‬صـ‪ 88‬من كتاب الطالب‪ ،‬ثم ‬ ‫و‬ ‫اطلب إليهم حل بند حاول أن تحل (‪.)2‬‬ ‫` ‪ C‬ب محور أساسى للدائرتين م‪ ،‬ن‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫‪9‬‬

‫سم‬

‫ب ‪ a‬قم (ب) = ‪36‬‬ ‫` ب جـ * ب ‪( = E‬ب ‪ = 2)C‬ب هـ * ب و = ‪36‬‬ ‫ ‬ ‫ويكون‪ * 4 :‬ب ‪36 = E‬‬ ‫ ‬ ‫` ب ‪ 9 = E‬سم أى أن جـ ‪5 = E‬سم‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫` ب ‪6 = C‬سم‬ ‫(ب ‪ 36 = )C‬‬ ‫ ‬ ‫` ب هـ = ‪4‬سم‪.‬‬ ‫ب هـ * ‪ 36 = 9‬‬ ‫ ‬

‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪71‬‬

‫‪qq‬راجع مع طالبك العالقة بين قياس الزاوية المركزية‬ ‫وقياس الزاوية المحيطية التى لها نفس القوس واطلب‬ ‫إليهم استنتاج قياس الزاوية الناتجة من تقاطع قاطعين‬ ‫للدائرة فى نقطة‪:‬‬ ‫ أوال‪ :‬داخل الدائرة‪.‬‬ ‫ ثان ًيا‪ :‬خارج الدائرة‪.‬‬ ‫مؤكدا على ماهو صحيح منها‬ ‫‪qq‬ناقش هذه االستنتاجات‬ ‫ً‬ ‫واستبعاد االستنتاجات األخرى‪.‬‬

‫ا�صتنتاج قيا�س الزاوية الناتجة من تقاطع قاطع ومما�س (اأو مما�صين) لدائرة‪.‬‬ ‫تمرين‬ ‫مشهور‬

‫القاطع والمماس (أو المماسان) لدائرة المتقاطعان خارج الدائرة‪ ،‬يكون قياس زاوية تقاطعهما‬ ‫مساو ًيا نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين المقابلين لها‪.‬‬

‫البرهان‬

‫الحالة الثانية‪ :‬تقاطع مماسين لدائرة‪.‬‬

‫الحالة األولى‪ :‬تقاطع القاطع والمماس لدائرة‪.‬‬ ‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫جـ‬ ‫ب‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫‪ E c a‬جـ ب خارجة عن ‪ C9‬ب جـ‬ ‫` ‪c(X = )Cc(X‬ب جـ ‪c(X - )E‬جـ ب ‪)C‬‬ ‫ = ‪ (X 12‬ب ‪ (X 12 - ) E‬ب جـ )‬

‫‪ E c a‬جـ ب خارجة عن ‪ C9‬ب جـ‬ ‫` ‪c(X = )Cc(X‬ب جـ ‪c(X - )E‬جـ ب ‪)C‬‬ ‫ = ‪ (X 12‬ب س جـ ) ‪ (X 12 -‬ب جـ )‬

‫ = ‪ (X[ 12‬ب ‪ (X - ) E‬ب جـ )]‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫‪E‬‬

‫س‬

‫ = ‪ (X[ 12‬ب س جـ ) ‪ (X -‬ب جـ )]‬

‫حاول أن تحل‬

‫مستعي ًنا بمعطيات الشكل‪ ،‬أوجد قيمة الرمز المستخدم فى القياس‪.‬‬ ‫ب‬ ‫‪E‬‬ ‫أ‬

‫اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل رقم (‪)4‬‬ ‫صفحة ‪ ،90‬رقم (‪ )5‬صفحة ‪ 91‬وتابع حلولهم‪.‬‬ ‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬ ‫‌ أ س = ‪ 85‬‬ ‫ب ص = ‪70‬‬ ‫الربط باألقمار الصناعية‪ :‬يدور قمر صناعى فى مدار‪ ،‬محافظًا فى أثناء دورانه على ارتفاع ثابت فوق‬ ‫منطقة خط االستواء‪ ،‬وتستطيع آلة التصوير به رصد قوس طوله ‪6011‬كم على سطح األرض‪ .‬إذا كان قياس‬ ‫هذا القوس ‪ .c54‬فأوجد‪:‬‬ ‫د س = ‪ 35‬‬ ‫‍ج ع = ‪ 95‬‬ ‫ ‬ ‫أ قياس زاوية آلة التصوير الموضوعة على القمر الصناعى‪.‬‬ ‫ب طول نصف قطر األرض عند دائرة خط االستواء‪.‬‬ ‫و ع = ‪60‬‬ ‫‍ه ص = ‪ 150‬‬ ‫ ‬ ‫‪qq‬اطلب إلى طالبك استنتاج قياس الزاوية الناتجة من‬ ‫‪90‬‬ ‫تقاطع قاطع ومماس (أو مماسين) لدائرة وتوصل‬ ‫معهم إلى نص التمرين المشهور الوارد فى ص ‪ 90‬من‬ ‫كتاب الطالب‪ ،‬واطلب إلى متطوع عرض البرهان على التقييم الم�ستمر‬ ‫السبورة وتصحيح ما يرد من أخطاء وتعزيز اإلجابات إجابات حاول أن تحل‪:‬‬ ‫الصحيحة‪.‬‬ ‫‌ ‪ ( X[ 12 = )Cc( X‬ب س جـ ‪ ( X -‬ب جـ )]‬ ‫‪c154‬‬

‫‪c70‬‬

‫ب‬

‫(س ‪c)7 +‬‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫ج‬

‫‪c145‬‬

‫ص‪c‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪c70‬‬

‫س‪c‬‬

‫‪c50‬‬

‫جـ‬

‫ص‪c‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪c25‬‬

‫ع‪c‬‬

‫‪C‬‬

‫مـثـال‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوى‬

‫التقييم الم�ستمر‬

‫اطلب إلى طالبك حل ماورد فى حاول أن تحل (‪ )5‬ص ‪90‬‬ ‫من كتاب الطالب وتابع حلولهم‪.‬‬ ‫إجابات حاول أن تحل‪:‬‬ ‫‌ أ س = ‪ 35‬‬ ‫ب ص = ‪110‬‬ ‫‍ج س = ‪ ، 100‬ص = ‪ ، 65‬ع = ‪40‬‬ ‫ ‬

‫‪ ( X = 2 * c40‬ب س جـ ) ‪ ( X + c360 -‬ب س جـ )‬

‫` ‪ ( X‬ب س جـ ) = ‪c220 = c 40 + c180‬‬

‫‪9 * r * 2 * 220‬‬ ‫` طول القوس ب جـ األكبر = ‪360‬‬ ‫ ‬

‫‌ أ ‪ a‬قم(‪144 = )C‬‬

‫تجنب الخطأ‪ :‬قد يخطئ الطالب فى تحديد أقواس الزوايا‬ ‫ ‬ ‫وقياساتها راجع مع طالبك كيفية تعيين قوس زاوية وكيفية‬ ‫ ‬ ‫حساب قياسه‪.‬‬ ‫ب ‬ ‫الربط باألقمار الصناعية‪ :‬يعرض مثال (‪ )4‬تطبي ًقا حيات ًيا ‬ ‫لربط الموضوع باألقمار الصناعية ‪ -‬ناقش هذا المثال مع‬ ‫ ‬ ‫طالبك‪ ،‬ثم اطلب إليهم حل ماورد فى بند حاول أن تحل رقم‬ ‫ ‬ ‫‪.7 ,6‬‬ ‫ ‬

‫‪72‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف األول الثانوي‬

‫= ‪19٫75 - r11‬سم‬

‫` طول المماس = قم (‪)C‬‬ ‫ = ‪ 12‬سم‬ ‫فى ‪ C 9‬ب م يكون‪:‬‬ ‫‪ C‬م = ‪15‬س م‬ ‫` ‪ C‬س * ‪144 = 15‬‬ ‫` ‪ C‬س = ‪ 9٫6‬سم‬

‫(فيثاغورث)‬

‫ةرئادلا ىف بسانتلا تاقيبطت‬ ‫تطليقات التناسب لى الدائرة‬

‫الحل‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫نمذجة المشكلة‪ :‬باعتبار الدائرة م هى دائرة خط االستواء يكون‬ ‫‪ (X‬ب جـ ) = ‪ ،c54‬وطول ب جـ = ‪6011‬كم‪.‬‬ ‫أ ‪ a‬قياس الدائرة = ‪ c360‬‬

‫جـ‬

‫م‬

‫` ‪ (X‬ب ‪ E‬جـ ) = ‪c306 = c54 - c360‬‬ ‫ويكون ‪ (X[ 12 = )Cc(X‬ب ‪ E‬جـ ) ‪ (X -‬ب جـ )]‬

‫‪E‬‬

‫ = ‪c126 = )c54 - c306( 12‬‬

‫ب فى الدائرة يتناسب طول القوس مع قياسه‬ ‫‪c54 = 6011‬‬ ‫‪c360 H * r * 2‬‬ ‫` طول نصف قطر األرض عند خط االستواء ‪6378 -‬كم‪.‬‬ ‫ ` ‪6377٫87 = H‬كم‬

‫تذكر‬ ‫قياس القوس‬ ‫طول القوس‬ ‫=‬ ‫محيط دائرته قياس الدائرة‬

‫حاول أن تحل‬

‫جـ‬

‫تدور بكرة عند محور م بواسطة سير يمر على بكرة صغيرة عند ‪.C‬‬ ‫فإذا كان قياس الزاوية بين جزئى السير ‪ .c40‬فأوجد طول ب جـ‬ ‫علما بأن طول نصف قطر البكرة الكبرى ‪9‬سم‪.‬‬ ‫األكبر‪ً ،‬‬ ‫فى الشكل المقابل‪ :‬دائرة م طول نصف قطرها ‪9‬سم‪ C ،‬ب ‪ C ،‬جـ‬ ‫مماسان للدائرة عند ب‪ ،‬جـ‪ C .‬م يقطع الدائرة فى ‪ ،E‬ب جـ في س‬ ‫رسم ب ‪ E‬فقطع ‪ C‬جـ فى هـ‪ .‬إذا كان ‪X‬م( ‪ 144 = ) C‬أوجد‪:‬‬

‫م‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬ ‫هـ‬

‫أ طول ‪ C‬ب‬ ‫ب طول ‪ C‬س ‪.‬‬

‫س‬

‫ثان ًيا‪ :‬التقييم ‪:‬‬ ‫‌ حدد موقع النقطة ‪ C‬بالنسبة لدائرة م طول نصف‬ ‫قطرها ‪6‬سم‪ ،‬حيث‪:‬‬ ‫ ‬ ‫أ قم (‪18 = )C‬‬ ‫ب‬ ‫ قم (‪12 - = )C‬‬ ‫ ‬ ‫‍ج قم (‪ = )C‬صفر‪.‬‬ ‫ ‬ ‫د قم (‪36 - = )C‬‬ ‫ ‬ ‫‌ مستعينًا بمعطيات الشكل أوجد قيمة س‪:‬‬ ‫‪E‬‬

‫م‬

‫‪C‬‬

‫جـ‬

‫(‪3‬س ‪+‬‬

‫‪c170‬‬

‫‪c)5‬‬

‫هـ‬ ‫‪c70‬‬

‫تحقق من فهمك‬ ‫حل مشكالت‪ :‬يبين الشكل المقابل مخططًا لحديقة على شكل‬ ‫دائرة‪ .‬أنشئ ممرين للمشاة أحدهما خارج الحديقة يمسها فى النقطة‬ ‫ب واآلخر يقطع الحديقة فى نقطتى جـ‪ E ،‬ويتقاطع الممران عند ‪.C‬‬ ‫إذا كان ‪X‬م( ‪ C ،100 = ) C‬جـ = ‪ 5‬أمتار‪.‬‬ ‫أوجد طول كل من ‪ C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ، E‬ثم أوجد ‪(X‬ب ‪.)E‬‬

‫ب‬

‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫‪C‬‬

‫جـ‬ ‫‪c120‬‬

‫(س ‪+‬‬

‫‪c)10‬‬

‫ب‬ ‫‪c56‬‬

‫‪c57‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ 5‬أمتار جـ‬

‫‪E‬‬

‫‪91‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫ التدريب والتقييم‬ ‫أوالً‪ :‬إجابات تحقق من فهمك‪:‬‬

‫‌ أ ‬ ‫ب ‬ ‫ ‬ ‫‍ج ‬ ‫ ‬ ‫د‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫خارج الدائرة ‪.‬‬ ‫داخل الدائرة‪.‬‬ ‫على الدائرة‪.‬‬ ‫تنطبق على مركز الدائرة‪.‬‬

‫‌ أ س = ‪30‬‬ ‫ب ‪40‬‬ ‫ ‬

‫‪ a‬قم(‪100 = )C‬‬ ‫` ‪ C‬ب = ‪ 10‬أمتار‬

‫ثال ًثا‪:‬التدريب‬

‫‪ C a‬جـ = ‪5‬‬ ‫` ‪ + 5( 5 = 100‬جـ ‪)E‬‬ ‫` جـ ‪ 15 = E‬متر‬

‫�إجابات التقييم‪:‬‬

‫اطلب إلى طالبك حل بعض التمارين الواردة بكراسة‬ ‫األنشطة والتدريبات مع متابعة حلولهم‪.‬‬

‫‪ ( X [ 12 = )Cc( X‬ب ‪ (X - ) E‬ب جـ )]‬ ‫‪ (X = 2 * c57 a‬ب ‪c56 - ) E‬‬

‫` ‪ (X‬ب ‪c170 = c56 + c 114 = ) E‬‬

‫دليل المعلم ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪73‬‬

IóMƒdG

õîüŀüńĿí ïîĔă

á©HGôdG IóMƒddG

Trigonometry

‫أﻫﺪاف اﻟﻮﺣﺪة‬ :o }gR 5Ǜ 1 ^ f Kf oyc o T^y lf rk 2*yf vp Z

.pg@ eUÐ pxíÐ~UÐ æ}_ x

º(i ! c¾Á») º(i ! c¼Ã») p feUÐ nxÐí~UÐ æ}_ x .(i ! c½Â») º(i ! cÄ»)

.pg@ eUÐ pxíÐ~dU HnhbUÐ UÐ æ}_ x

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‬ Trigonometry

:ÒÚ [UÐ dL ph d eUÐ ÓøØn_edU ên_UÐ UÐ ]_x .pg@ eUÐ pxíÐ~dU oUn UÐ ÜnhbUÐí o@ eUÐ ÜnhbUÐ æ}_ x .(î}ýÐ{UÐí fh UÐ) x}x{b Un= nxÐí~UÐ ÜnhS â i æ}_ x Ü Ñ n @ = ÜC n@ ½ ½

Ü Ñ n K = ÜC nK

.Ò}ýÐØ R px~T}eUÐ nxÐí~dU î}ýÐ{UÐ ÜnhbUÐ æ}_ x Ü Ñ n S = ÜC nS ½ .ngU ph d eUÐ o fUÐ hS î{AÎ ê d_Y pxíÐÛ ÜnhS {@ x pÉn UÐ ph=n UÐ Ónhde_UÐ ÊÐ}@Î R p Hn UÐ pUùÐ ê{ x s f xí êne UÐ oh@í oh UÐ éÐí{U inh UÐ h e UÐ æ}_ x . c_UÐí fh UÐ ÜnhbUÐ UÎ î}ýÐ{UÐ ÜnhbUÐ Y x Un= .negfY T ÞÐ B . ph d eUÐ éÐí{UÐ æ}_ x ph d eUÐ o fUÐ Ñn A R phed_UÐ p Hn UÐ pUùÐ ê{ x .p_=ÚúÐ ân=ÚúÐ R ph d eUÐ éÐí{UÐ ÓÐÚnIÎ Ø{ x .pÉn UÐ nxÐí~UÐ _ U .ph d eUÐ éÐí{UÐ ai ngU pþRnc eUÐ nxÐí~UÐ pL e Y ëÌ s f x éÐíØ ngd e> UÐí ph>nh UÐí phýnx~haUÐ }wÐ ^UÐ _= Õ|efx .pxíÐÛ îúí ÒØn UÐ pxíÐ~dU ph d eUÐ o fUÐ æ}_ x .ph d Y .pÉn UÐ nxÐí~UÐ _ U ph d eUÐ o fUÐ s f x Ónbh ] UÐ dL æ}_ UÐ R ÓnY d_eUÐ nh@ U fc> ê{ x .Ón d eUÐ Ñn U phHnHúÐ hwnaedU ÒØ{_ eUÐ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴﺔ‬ Secant Cotangent Circular Function

JnS Ñ êne> K Ñ px}ýÐØ pUÐØ Ñ

Related Angles p feUÐ nxíÐ~UÐ

ph d Y pUÐØ Ñ Trigonometric Function Sine

oh@ Ñ

Tangent

êne> oh@ Ñ K Ñ

Cosecant

êne> JnS Ñ

Cosine

o@ Y ÜnhS Ñ Positive Measure

oUnH ÜnhS Ñ Negative Measure Equivalent Angle pþRncY pxíÐÛ Quadrant Angle

ph_=Ú pxíÐÛ Ñ

Degree Measure

fh H ÜnhS Ñ

Radian Measure

î}ýÐØ ÜnhS Ñ

Directed Angle

pg@ Y pxíÐÛ Ñ

(ënxØÐÚ) px}]S [i pxíÐÛ Ñ Radian Standard Position HnhS í

‫ﻣﻘﺪﻣﺔ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ ﻭﻓﻲ ﻫﺬﻩ‬ ￯‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺳﻮﻑ ﻳﺪﺭﺱ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮ‬ ‫ ﻛﻤﺎ ﺳﻴﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺒﻌﺾ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬،‫ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ‬ :‫ ﻭﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺳﺘﺔ ﺩﺭﻭﺱ ﻭﻫﻰ‬،‫ﻭﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺧﻮﺍﺹ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ‬ .‫ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬:‫اﻟﺪرس اﻷول‬ .‫ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ ﻭﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮ￯ ﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬:‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ .‫ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬:‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ .‫ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﻨﺘﺴﺒﺔ‬:‫اﻟﺪرس اﻟﺮاﺑﻊ‬ .‫ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﻟﻠﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬:‫اﻟﺪرس اﻟﺨﺎﻣﺲ‬ .‫ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺇﺣﺪ￯ ﻧﺴﺒﻬﺎ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬:‫اﻟﺪرس اﻟﺴﺎدس‬ ‫أﻫﺪاف اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬا اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﻳﻜﻮن اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎد ًرا‬ :‫ﻋﻠﻰ أن‬ . ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ .‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻭﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ .(￯‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻮﻉ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺑﺎﻟﺘﻘﺪﻳﺮﻳﻦ ) ﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ ﻭﺍﻟﺪﺍﺋﺮ‬ .‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮ￯ ﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻣﺮﻛﺰﻳﺔ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻓﻰ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺔ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ‬ .‫ﺑﺎﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮ￯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ‬ . ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻷﺭﺑﺎﻉ ﺍﻷﺭﺑﻌﺔ‬ .‫ ﻳﺤﺪﺩ ﺇﺷﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ .‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺃﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺔ ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫دروس اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪.pg@ eUÐ pxíÐ~UÐ :(¼ - ¿) ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪.pxíÐ~U î}ýÐ{UÐ ÜnhbUÐí fh UÐ ÜnhbUÐ :(½ - ¿) ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪.ph d eUÐ éÐí{UÐ :(¾ - ¿) ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪.p feUÐ nxíÐ~UÐ :(¿ - ¿) ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪.ph d eUÐ éÐí{dU inh UÐ h e UÐ :(À - ¿) ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪ng i î{AÎ phY d_e= pxíÐÛ ÜnhS Øn xÎ :(Á - ¿) ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪.ph d eUÐ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ا دوات اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫ ‪- wb 6 & - O 2f Y1r - zgcN 6 & b‬‬ ‫ ‪.wj z h61 $f 2‬‬

‫ﻧﺒﺬه ﺗﺎرﻳﺨﻴﺔ‬

‫ﻣﺨﻄﻂ ﺗﻨﻈﻴﻤﻲ ﻟﻠﻮﺣﺪة‬

‫‪ºÓnh nx}UÐ dL âí}R {AÌ w Ón d eUÐ Ñn A‬‬ ‫‪nxÐíÛ ÓnHnhS h= pÉn UÐ Ón=n Un= x gR‬‬ ‫‪ e d_UÐ Ð|w jZi {Sí . LĆ Ì éÐ JÌí rd eUÐ‬‬ ‫‪Ón=n = d_ x nehR nÉ [B pex{bUÐ Ónh nx}UÐ‬‬

‫‪ dYj x neU x{bUÐ ën iüÐ ng= wÐ UÐ daUÐ dL‬‬ ‫‪}ebUÐí eZUÐ pT}A Y ë cUÐ R ì{wnZxí‬‬ ‫‪.oTÐ cUÐí ê fUÐí‬‬

‫‪ w H ]UÐ x{UÐ }h[i =}_UÐ nx}UÐ {_xí‬‬ ‫‪. daUÐ L Ón d eUÐ Ñn A [R Y éíÌ‬‬ ‫‪ÓnYne wÐ Y h[i Ón d eUÐ Ñn U ënTí‬‬

‫‪ Un_UÐ aÉí {S ( ^UÐ) ÖĆ]ÉÐ ëÌ }T|xí ºÑ}_UÐ‬‬ ‫‪ë}bUÐ R (êÄÄÃ - Ä¿») in@Û UÐ nR UÐ =Ì =}_UÐ‬‬

‫‪éĆK Y Ù BjY ÖĆ]ÉøÐ Ð|wí ºîØĆheUÐ }In_UÐ‬‬

‫ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت‬

‫اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬

‫اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ‬

‫إﺷﺎرات اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﻓﻲ ا رﺑﺎع ا رﺑﻌﺔ‬

‫ﻟﻠﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎس اﻟﻤﻮﺟﺐ‬

‫اﻟﻘﻴﺎس اﻟﺴﺘﻴﻨﻲ‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫اﻟﻘﻴﺎس اﻟﺴﺎﻟﺐ‬ ‫اﻟﻨﺴﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫اﻟﻨﺴﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﻟﻠﺰاوﻳﺔ اﻟﺨﺎﺻﺔ‬

‫ ي زاوﻳﺔ‬

‫‪‬‬

‫اﻟﻘﻴﺎس اﻟﺪاﺋﺮى‬

‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻓﺰﻳﺎﺋﻴﺔ وﺣﻴﺎﺗﻴﺔ‬

‫اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﻤﻨﺘﺴﺒﺔ‬

‫ﺗﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت‬

‫اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪوال‬

‫)‪(i ! cŀŇĿ‬‬ ‫)‪(i ! cłŅĿ‬‬

‫)‪(i ! cňĿ‬‬ ‫)‪(i ! cŁņĿ‬‬

‫اﻟﺠﻴﺐ وﺟﻴﺐ اﻟﺘﻤﺎم‬

‫‪ Y r_ feUÐ Ê \UÐ }hH p h i ë c > UÐ ên @úÐ‬‬ ‫‪.pehb Y à ]B R eZUÐ‬‬

‫‪‬‬

‫‪Ñn A R Ò{x{L ÓnRn Î Ñ}_dU ëÌ neT‬‬

‫‪.}h cUÐ n\xÌ nghUÎ Ð Rn Ìí ºpegeUÐ ÓnY d_eUÐ ë h=}`UÐ |BÌ gfLí (Ò}cUÐ y]H UÎ p i) îí}cUÐí î eUÐ Ón d eUÐ‬‬ ‫‪ wnHí ºphde_UÐí phed_UÐ æÚn_eUÐ I R >nbh ]> q ÉÌí ºph nx}UÐ Ôn =úÐ Y {x{_UÐ nðfe\ Y Ón d eUÐ Ñn A y ÉÌ A‬‬ ‫‪.ÚnwØÛøÐí ê{b UÐ pd L RØ R‬‬

‫‪‬‬

‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ ﻭﻷ￯ ﺯﺍﻭﻳﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﺒﻌﺾ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﻨﺘﺴﺒﺔ ‪، i ! c , i ! c‬‬ ‫ ‪ i ! c ، i ! c‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻌﻠﻮﻡ ﺇﺣﺪ￯ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﺪﺍﻟﺘﻰ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﻭﺟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ ﻭﻳﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫ﺧﻮﺍﺹ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻓﻰ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﻟﺒﻌﺾ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﻨﻤﺬﺝ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻈﻮﺍﻫﺮ ﺍﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ ﻭﺍﻟﺤﻴﻮﻳﺔ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺗﻤﺜﻞ ﺩﻭﺍﻝ‬ ‫ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺗﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩﺓ ﻟﻠﻤﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‪.‬‬

‫زﻣﻦ ﺗﺪرﻳﺲ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪ ١٢‬ﺳﺎﻋﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﻮﺳﺎﺋﻞ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺭﺳﻮﻣﻴﺔ ‪ -‬ﺟﻬﺎﺯ ﻛﻤﺒﻴﻮﺗﺮ ‪ -‬ﺑﺮﺍﻣﺞ‬ ‫ﺭﺳﻮﻣﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ‪ -‬ﺍﻟﻤﺤﺎﺿﺮﺓ ‪ -‬ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻻﺳﺘﻘﺮﺍﺋﻴﺔ ‪-‬‬ ‫ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻻﺳﺘﻨﺒﺎﻃﻴﺔ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ‪.‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﺘﻲ ﺗﻨﻤﻴﻬﺎ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﻨﺎﻗﺪ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻻﺳﺘﺪﻻﻟﻰ ‪-‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻰ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻹﺑﺪﺍﻋﻰ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ ‫ﺗﺘﻤﺜﻞ ﻓﻰ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺸﻔﻬﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺤﺮﻳﺮﻳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ ﻭﺍﻟﺠﻤﺎﻋﻴﺔ ﻭﺃﻧﺸﻄﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ ﻭﺃﺳﺌﻠﺔ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ‪ ،‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‪،‬‬ ‫ﻭﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻓﻰ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‪،‬‬ ‫ﻭﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺮﺍﻛﻤﻰ‪.‬‬

1-4

тАл╪зя╗Яя║░╪з┘Ия╗│я║Ф ╪зя╗Яя╗дя╗оя║Яя╗мя║ФтАм

тАля╗зя║Оя╗Чя║╢тАм

тАл┘ИтАм

тАля║│я╗о┘Б я║Чя║Шя╗Мя╗ая╗втАм

тАля╗Уя╗Ья║отАм

.asGb wV yr 7 f 6sZ ┬╣ ┼В┼Е─┐ wb 2 .b hz7[ wcN .g Oy wkz 7b 5 z[b i gcN :i V wb b r p6 zZ is_y 5 sZ─Ф m0o .& w y pk i 2gy o OcB w b y4^2gb yr 4b -┬Ъ (c┼А) .& r "1(/1) 4f2b qb 4f2 r ┼о [zZ- wg7y pkf d^ ├И ┼о 4" ┬╣ ┼Е─┐ wb "1.b h7[k -┬Ы (//1) 4f2b qb 4f2 r ┼о zj wg7y pkf d^ ├И ┼о 4" ┬╣ ┼Е─┐ wb [zZ.b h7[k -┬Ь ┬╣ ┼Е─┐ = ┬╝ ┼А ┼о ┬╝ ┼Е─┐ = c┼А :

" #

! " # C

" # !

$% " # C &

$% 0 1 4 ( ) 5 " 4 )% 0 " 4 $% 0 1 !50 6 $% 0 1 (# & 7& -!0 89 7 :

*+ ,!0 1 2 $3&

M" #$ % & '( ) *+ $ - ./& 0 1 2) 3 M/ 451 ./& $6 # 0 3 M 72 8 1 72 9: .; ,< = > $6 # 0/ .1 " ? ) * @A ,3+ B C D $ -

├бjhG├╡тИПd тЙИ├ж┬л├а┬░├╣dG ┬вS├Й┬лтЙдdG

Degree Measure System

Directed Angle

$% 0 1 2 $3&

- ' wo yr 4b i wcN V2O i `b \ 6 . .& r y . G[j gpb lzzN O: .┬л ┬╗ G[kb wg7 es62gb d_;b {V ┬╢" ┼о C i N O;b r (┬╢" Cc) = ┬╢" F C :i t . ┬╢" C `b0^ _ r

тАл╪зя╗Яя║░╪з┘Ия╗│я║Ф ╪зя╗Яя╗дя╗оя║Яя╗мя║ФтАм

1-4

Directed Angle

тАл╪зя╗Яя║░╪з┘Ия╗│я║Ф ╪зя╗Яя╗дя╗оя║Яя╗мя║ФтАм

тАля║Чя╗Мя╗ая╗втАм

┘П тАл╪зя╗Яя╗дя║╝я╗Дя╗ая║дя║О╪к ╪з"я║│я║Оя║│я╗┤тАм ┘П тАл┘Ся║ФтАм

Degree Measure

! " #

Directed angle

$% & '

Standard Position

# (

Positive measure

)% & " #

Negative measure

) " #

Equivalent Angle

*+ ,& '

Quadrantal Angle

-./ '

l_gy qj V yr 4cb lzjs_gb lzN O;b z 2 kzN 1 / z& ( r ┼о C r ) 2gb !r4b d_: wcN gp ^ ┼о yr 4cb w . ─Р PcCb so C r ar─Ф 2?kOb p6 1 { b yr 4cb w pkb PcCb so r wj b 2?kOb .(┼А) d_;b g^ r G[j

:F- ./& 2) H G 3 M F I F- ?H J# %B 72 9: $ .; > $6 K 0 L $MB 8 'J яА│ >.1 " ? N $6 K 0 8 'J яА│

тАл╪з"╪п┘И╪з╪к ┘И╪зя╗Яя╗оя║│я║Оя║Ля╗ЮтАм

> $6 K 0/ 3 O 7 " 36 K 7 " 8 'J яА│ >.A =P JOK N $6 K 0 ?H B ) Q яА│

C r w pkb PcCb ┼о r w . ─Р PcCb i ^ / f .(┼Б) d_: wV g^ ( C r ┼о r ) 0 .kN _ V тИТ

>< M'B D R %B S; IJK 0 & #T ) Q яА│

тАл( я╗гя╗ж я╗Ыя║Шя║Оя║П я║Ня╗Яя╗Дя║Оя╗Яя║Р я╗ня║┐я║втАм┘й┘ж) тАля║Ся║Оя╗Яя║╕я╗Ья╗Ю я║Ня╗Яя╗дя║оя║│я╗оя╗б я║╗я╗Фя║дя║ФтАм :тАля╗Яя╗Дя╗╝я║Ся╗Ъ я║Гя╗етАм :тАл я╗ня║Гя╗етАмC тАл тИк я║П я║Я┘А = я║П я║Я┘А тИк я║ПтАмC тАля║ПтАм .C тАля║Я┘А я║ПтАмc тАл я║П я║Я┘А я╗ля╗░ я╗зя╗Фя║┤я╗мя║ОтАмCc

тАля╗Ля╗дя╗Ю я║Чя╗Мя║О┘Ия╗зя╗▓тАм тАля╗Чя║┤я╗в я║Ня╗Яя╗Дя╗╝я║П я║Зя╗Яя╗░ я╗гя║ая╗дя╗оя╗Ля║Шя╗┤я╗ж я╗ня║Ня╗Гя╗ая║Р я║Зя╗Яя╗░ я║Ня╗Яя╗дя║ая╗дя╗оя╗Ля║ФтАм тАл я║Зя╗Яя╗░ я║йя║ня║Яя║Оя║Х я╗ня║йя╗Чя║Оя║Ля╗Ц я╗ня║Ня╗Гя╗ая║Р я║Зя╗Яя╗░тАмc┘д┘г┘л┘з тАля║Ня╗╖я╗ня╗Яя╗░ я║Чя║дя╗оя╗│я╗ЮтАм .тАл я║Зя╗Яя╗░ я║йя║ня║Яя║Оя║Х я╗ня║Гя║Яя║░я║Ня║Ля╗мя║ОтАмc┘в┘и┘О ┘ж┘Л ┘г┘ж тАля║Ня╗Яя╗дя║ая╗дя╗оя╗Ля║Ф я║Ня╗Яя║Ья║Оя╗зя╗┤я║Ф я║Чя║дя╗оя╗│я╗ЮтАм

┬Й

7 H - 36 B 7 H - .U J1 7 H - .1 H ? - $6 B D > S; IB D - 3 1

> #/& 51 = V

I > WH U# - . 'J @/'J

" # >.1 2 X M

c┘д┘г + c┘а┘л┘з = c┘д┘г┘л┘з :&'( ) * + , -. c┘д┘г + ┘О ┘ж┘а * ┘а┘л┘з = c┘д┘г ┘О ┘д┘в = ┘ж + ┘г┘ж = c┘в┘и ┘О ┘ж┘Л ┘г┘ж тАля╗Ля╗ия║к я║Чя║дя╗оя╗│я╗ЮтАм c┘в┘и + ┘ж┘а ┘ж┘а * ┘ж┘а c┘в┘и┘л┘б┘б = тАЙ тАЙ тАЙ тАЙ

$ % *MY . Z *MY %B 3 M [ J\ ] *MY . Z ] *MY %B 5 2 J MW [ J\ > ^ J P B /'#/ I5W

┬вSQ├│dG ├дGAG├┤LEGяАаяВи ├│┬л┬б┬к├аdG

┬вSQ├│dG ┬вV├┤YяАаяВи

тАля╗Уя╗Ья║о ┘Ия╗зя║Оя╗Чя║╢тАм тАл ╪зя╗Яя║░╪з┘Ия╗│я║Ф ╪зя╗Яя╗дя╗оя║Яя╗мя║ФтАм:тАл я║ля╗Ыя║о я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я║Ся║Дя╗зя╗к я╗Чя║к я║Чя╗в я║йя║ня║Ня║│я║Ф я║Чя╗Мя╗ая╗втАм:┬лтАля╗Уя╗░ я║Ся╗ия║к ┬╗я╗Уя╗Ья║о я╗ня╗зя║Оя╗Чя║╢тАм тАля╗ня║┐я║в я╗Яя╗Дя╗╝я║Ся╗Ъ я║Ня╗Яя╗Фя║оя╗Х я║Ся╗┤я╗ж я╗гя╗Фя╗мя╗оя╗б я║Ня╗Яя║░я║Ня╗ня╗│я║Ф я║Ня╗Яя╗дя╗оя║Яя╗мя║ФтАм .тАля╗Ыя║░я╗ня║Э я╗гя║оя║Чя║Р я╗ня╗Чя╗┤я║Оя║▒ я║Ня╗Яя║░я║Ня╗ня╗│я║Ф я║Ня╗Яя╗дя╗оя║Яя╗мя║Ф я╗Ыя╗Мя║кя║й я║гя╗Шя╗┤я╗Шя╗░тАм

┬Й

тАля║Ня╗Яя║░я║Ня╗ня╗│я║Ф я╗Ля╗ая╗░ я║Гя╗зя╗мя║О я║Ня║Чя║дя║Оя║й я║╖я╗Мя║Оя╗Ля╗┤я╗ж я╗Яя╗мя╗дя║О я╗зя╗Шя╗Дя║Ф я║Ся║кя║Ня╗│я║Ф я╗ня║Ня║гя║кя║УтАм тАл я╗гя║┤я║Шя╗Мя╗┤ ┘Ля╗ия║ОтАм.тАля╗ля╗░ я║ня║Гя║▒ я║Ня╗Яя║░я║Ня╗ня╗│я║Ф я╗ня║Ня╗Яя║╕я╗Мя║Оя╗Ля╗┤я╗ж я╗ля╗дя║О я║┐я╗ая╗Мя║О я║Ня╗Яя║░я║Ня╗ня╗│я║ФтАм

тИТ

‫ ‪ $6 # 0‬‬ ‫ ‪ $% 1‬‬

‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫ =‪ M-; =$ , =K L@+ L1 )M/1 N O K $ 2‬‬ ‫ ‪ K P 0‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫‪:ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬

‫‪.` " 27V‬‬ ‫½ ‪Í ?( C r Ů r ) = ( r Ů C r ) do‬‬

‫‪á¡LƒªdG ájhGõ∏d ≈°SÉ«≤dG ™°VƒdG‬‬

‫‪Standard position of the directed angle‬‬ ‫‪Q‬‬

‫ _‪ G[j so yr 4b m0o 5 1 i ^ / w6 zZ PBr wV yr 4b is‬‬ ‫ ‪ 4#b wcN P[y w . Đ pOcBr Ů.f O f w .& e Kj wV d>Ĕ‬‬ ‫ ‪. kz7b 1s'gb "sgb‬‬

‫ ‬

‫‪.` " 27V‬‬ ‫‪Í ?w6 z[b PBsb wV p"sgb r Cc do‬‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫ ‪R‬‬

‫‪RQ‬‬

‫‪ȈǭƽƗ ƄŐʗƯŝ‬‬

‫‪. ` " 27V‬‬ ‫‪º¹‬‬ ‫ ‪Í ?w6 z[b pOBr {V p"sf yr 3 lN 2 Oy zb b 2gb ! r3Ĕ lf x‬‬ ‫أ ) "¶ ‪( E ¶" Ů C‬‬

‫ب ) ‪( ¶o r Ů C r‬‬

‫ﺟ ) ‪( C r Ů ¶o r‬‬

‫د ) ‪( 3r Ů Cr‬‬

‫ﻫ )‪( 3r Ů r‬‬

‫و ) ‪( r Ů Cr‬‬

‫‪Q‬‬ ‫ ‬

‫‪O‬‬ ‫‪K‬‬

‫‪E‬‬

‫ ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫ ‪R‬‬

‫‪RQ‬‬

‫‪.` " 27V‬‬ ‫‪Í ?w6 z[b pOBr wV zb b p"sgb y r4b t 1‬‬ ‫أ‬

‫‪Q‬‬

‫ ‬

‫ب‬

‫‪Q‬‬

‫ ‬

‫ ‪R‬‬

‫ﺟ‬ ‫‪ ƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄ‬د‬ ‫‪Q‬‬

‫‪RQ‬‬

‫ ‬

‫ ‪R‬‬

‫‪RQ‬‬

‫‪Q‬‬

‫ ‬

‫ ‪R‬‬

‫‪RQ‬‬

‫ ‪R‬‬

‫‪RQ‬‬

‫@ ‬

‫?! > ‪ /7 < 3 − ) M‬‬

‫اﻟﻘﻴﺎس اﻟﻤﻮﺟﺐ واﻟﻘﻴﺎس اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻠﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‪:‬‬ ‫‪Positive and negative measures of a directed angle‬‬

‫(' ‪Ů r { pkb PcCb wb C r { . Đ PcCb lf m # Đ i ^ / ¹ "sf p"sgb yr 4b 5 zZ is_y‬‬ ‫‪. N 7b 1 [N ^2& m # 8_N wV‬‬ ‫(' & ‪{ pkb PcCb wb C r { . Đ PcCb lf m # Đ i ^ / ¹ b 6 p"sgb yr 4b 5 zZ is_y‬‬ ‫‪. N 7b 1 [N ^2& m # 8Wj so Ů r‬‬

‫‪ ./ 0 3 +‬‬

‫‪ -+‬‬

‫ ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ ,‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3‬‬

‫"‪0‬‬

‫‪) 21‬‬ ‫ ‪' ! " #‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬

‫ ‬

‫‪9‬‬

‫‪" #‬‬

‫‪ ./‬‬

‫ ‬

‫ ‪$%‬‬

‫‪3‬‬

‫* )‬

‫‪ + ,

- +‬‬

‫‪ +‬‬

‫ ‬

‫‪ #‬‬

‫" ‬

‫ ‪' ! " #‬‬

‫‪C‬‬

‫ '‬

‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬

‫ ‬

‫ '‬

‫ ‪$%‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫ & ‬

‫‪: z Ē a _:Ĕ lf d_: d^ wV pzb 1 ;gb i p"sgb yr 4b 5 zZ ."r 1‬‬ ‫‪ ƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄ‬ﺟ‬ ‫ب‬ ‫‪i‬‬ ‫‪c55‬‬

‫أ‬ ‫‪c44‬‬

‫‪ ƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄ‬د‬

‫‪i‬‬

‫‪c 56‬‬

‫‪c &4‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫اﻟﺤﻞ‬

‫; ‪c578 , M-; <20 => = ? * @A B2=>1 C‬‬ ‫ب ‪cłŁņ = cłł – cłŅĿ = i‬‬ ‫أ ‪cłĿń - = (cńń – cłŅĿ) - = i‬‬ ‫ﺟ ‪cŁłń = cŀŁń – cłŅĿ = i‬‬

‫د ‪cŁŁŅ - = (cŀłŃ – cłŅĿ) - = i‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫أ‬ ‫ &‪c‬‬

‫‪ ƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄ‬د‬

‫ ‬

‫‪:óeÉ©àªdG ≈KGóME’G iƒà°ùªdG ≈a ájhGõdG ™bƒe‬‬

‫‪c47‬‬

‫ ‬

‫‪Angle's position in the orthogonal coordinate plane‬‬ ‫‪cD8‬‬

‫ ‪ ; H " / < G " /‬‬ ‫‪c8‬‬

‫‪/012 3 4 67 8 9 ) , -.‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﺛﻨﺎﺀ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺃﻧﻪ ﻻﺑﺪ ﻣﻦ ﺗﻮﻓﺮ ﻋﻨﺼﺮﻳﻦ‬ ‫ﺣﺘﻰ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ‪ ،‬ﺃﻭﻟﻬﺎ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ‬ ‫ﺑﺪﺍﻳﺔ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ﺍﻻﺑﺘﺪﺍﺋﻲ ﻫﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ‪ ،‬ﻭﺛﺎﻧﻴﻬﺎ ﺃﻥ‬ ‫ﻳﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‪ ،‬ﻭﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻫﻰ‪ :‬ﺏ‪ ،E ،‬ﻭ‪.‬‬ ‫‪/012 3 4 *3) " ;( , -.‬‬ ‫‪ 1‬ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻫﻰ ﺟـ ﻓﻘﻂ؛ ﻷﻧﻬﺎ ﺗﺤﻘﻖ ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‪.‬‬ ‫)@?> ‪:<M‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﻗﺒﻞ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ ‫ﺃﻥ ﺗﺤﺪﺩ ﺍﺗﺠﺎﻫﻬﺎ ‪ ،‬ﻫﻞ ﻫﻰ ﻓﻰ ﻋﻜﺲ ﺍﺗﺠﺎه ﺣﺮﻛﺔ‬ ‫ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ﻟﻴﻜﻮﻥ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻣﻮﺟ ًﺒﺎ ﺃﻭ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ‬ ‫ﺍﺗﺠﺎه ﺣﺮﻛﺔ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ﻟﻴﻜﻮﻥ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺳﺎﻟ ًﺒﺎ‪ ،‬ﺛﻢ‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻌﺪ ﺫﻟﻚ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﺑﻴﻦ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻧﻪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻘﺴﻢ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺇﻟﻰ ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺃﺭﺑﺎﻉ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺑﺪﺀ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻣﻦ ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻻﺑﺘﺪﺍﺋﻰ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭ ﺱ‪ ،‬ﻭﺃﻥ‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺄﺧﻮﺫًﺍ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﻋﻜﺲ ﺣﺮﻛﺔ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ‪.‬‬

‫ ‬

‫‪c 4‬‬

‫½ ‪wV g^ M 1 O 1 wb .f O gb w .&Ė ts 7gb h7[y‬‬ ‫ ‪.d [gb d_;b‬‬

‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪/0A2 3 4 *3) " ;( , -.‬‬

‫‪: z Ē a _:Ĕ lf d_: d^ wV pzb 1 ;gb (r) p"sgb yr 4b 5 zZ ."r 2‬‬ ‫ ‬ ‫‪ ƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄ‬ﺟ‬ ‫ب‬

‫‪/012 3 4 5 ' # ) , -.‬‬ ‫ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﻃﺎﻟﻤﺎ ﻭﺿﻌﺖ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ‬ ‫ﺯﻭﺝ ﻣﺮﺗﺐ ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﺨﻀﻊ ﻟﺨﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﺰﻭﺝ ﺍﻟﻤﺮﺗﺐ‬ ‫ﺑﻤﻌﻨﻰ ﺃﻥ ) ﻭ ‪ ، C‬ﻭ ﺏ ( ! ) ﻭ ﺏ ‪ ،‬ﻭ ‪( C‬‬ ‫ﻷﻧﻪ ﻻﺑﺪ ﻭﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻭ ‪ C‬ﻫﻮ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻻﺑﺘﺪﺍﺋﻲ‬ ‫ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ‪ ،‬ﻭ ﺏ ﻫﻮ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ‪.‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﻣﺘﻰ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺿﻊ‬ ‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﺑﺎﻷﻣﺜﻠﺔ ﻭﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﻛﺘﺎﺏ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻲ‬ ‫ً‬ ‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‪.‬‬

‫‪c F8‬‬

‫ ‪I H " / " / " /‬‬

‫‪2‬‬ ‫ ‬

‫أ ‪ c٣٣٩‬ب ‪ c٢٧٠-‬ﺟ ‪ c٢٤٥‬د ‪c٣٠٤-‬‬

‫' ‪6B C D 6E ( F G5 H,II G J5‬‬ ‫ ?‪6 3 4 > M K L 6E ( , M‬‬ ‫‪N/002 ,/0A2‬‬

‫‪c&E8‬‬

‫; ‬

‫ ‪ −‬‬

‫) ‪ .1 2 X M − @/'# X‬‬

‫

‬

$% 1

ôªà°ùªdG º««≤àdG

{ pkb pOcB i V (i) so "sgb p6 zZ { b r {6 z[b PBsb {V p"sgb r C c j ^ / ½ :M 1Ĕ .& {V P[y i l_gy r Q i

; H " /

cňĿ > i > cĿ

" / " /

cŁņĿ > i > cŀŇĿ

I H " /

cŀŇĿ > i > cňĿ

< G " /

cłŅĿ > i > cŁņĿ

@ / b 'b m0o wV yr 4b wg7 z .&Ė t1s'f .& wcN r w pkb PcCb PZr / ½ . zO 1 y r3 wo cłŅĿ ŮcŁņĿ ŮcŀŇĿ ŮcňĿ ŮcĿ p 6 zZ w b y r4b is_ V , Quadrantal angle ‫ﻣـﺜـﺎل‬

: w Ē ^ p 6 zZ w b y r4b lf d^ qzV P[ t0b P 2b lzN 2 cŁņĿ ‫ ﻫ‬ƅƅƅcŁňń ‫ د‬ƅƅƅcŀłń ‫ ﺟ‬ƅƅƅcŁŀņ ‫ ب‬ƅƅƅcŃŇ ‫أ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

cňĿ > cŃŇ > cĿ ‫أ‬ cŁņĿ > cŁŀņ > cŀŇĿ ‫ب‬

.arĔ P 2b wV P[ wpV . b b P 2b wV P[ wpV

cŀŇĿ > cŀłń > cňĿ ‫ﺟ‬ cłŅĿ > cŁňń > cŁņĿ ‫د‬ . zO 1 yr 3 cŁņĿ ‫ﻫ‬

.wj b P 2b wV P[ wpV .P 2b P 2b wV P[ wpV

/002 3 4 *3) " ;( , -. # c٩٠ > c٨٨ > c٠ ‫ أ‬3 .‫ﻓﻬﻰ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻷﻭﻝ‬ # c١٨٠ > c١٥٢ > c٩٠ ‫ب‬ .‫ﻓﻬﻰ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬ .‫ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺭﺑﻌﻴﺔ‬# c١٨٠ ‫ﺟ‬ # c٣٦٠ > c٣٠٠ > c٢٧٠ ‫د‬ .‫ﻓﻬﻰ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬ # c٢٧٠ > c١٩٦ > c١٨٠ ‫ﻫ‬ .‫ﻓﻬﻰ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬ :OÉ°TQEG

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

: w Ē ^ p 6 zZ w b y r4b lf d^ qzV P[ t0b P 2b lzN 3 cŀňŅ ‫ ﻫ‬ƅƅƅcłĿĿ ‫ د‬ƅƅƅcŀŇĿ ‫ ﺟ‬ƅƅƅcŀńŁ ‫ ب‬ƅƅƅcŇŇ ‫أ‬ :Ƕƪũıǩ

p"sf yr 4b "sgb 5 z[b so (ci) i ^ / ½ (cłŅĿ – ci) xr 7y pb b 7b 5 z[b i V p"sf yr 4b b 7b 5 z[b so (ci –) i ^ / r ½ (cłŅĿ+ ci –) xr 7y pb "sgb 5 z[b i V

/7 < 3 − ) M > !?

‫( ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﻋﻨﺪ ﺇﻳﺠﺎﺩ‬٩٩) ‫ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺻﻔﺤﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻬﺎ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﻌﺪﺩﻯ ﻟﻠﻘﻴﺎﺳﻴﻦ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻭﺍﻟﺴﺎﻟﺐ‬:‫ﻓﺈﻥ‬ + |‫ ﺃﻯ |ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻣﺎ‬c٣٦٠ = ‫ ﻭﺫﻟﻚ ﺣﺘﻰ‬، c٣٦٠ = |‫|ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻨﻔﺲ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ .‫ﻳﺘﺤﻘﻖ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻪ‬ : $

‫أﺿ‬

‫ﻒ إﻟ‬

‫ﻰ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫ﻣ‬

‫ﻌﻠ‬ ‫ﻮﻣﺎ‬

.cŁņń p6 zZ yr 4b b 7b 5 z[b lzN 3

‫ﺗﻚ‬

L1 - M= =@- B2=>1

‫اﻟﺤﻞ‬

) , ) 2= L@* @-

cŇń – = cłŅĿ – cŁņń = (cŁņń) yr 4cb b 7b 5 z[b cłŅĿ = cŇń + cŁņń =ƆƆ Ɔ|cŇń –| + |cŁņń|ƆƆ ƆƄ:S@-T

c578 , $ 2=

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

cŁŀĿ ‫ﺟ‬

cłŀń ‫د‬

:w Ē ^ p 6 zZ { b yr 4cb b 7b 5 z[b lzN 4 cŁņĿ ‫ب‬ cłŁ ‫أ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

cŁłń- yr 4cb "sgb 5 z[b lzN 4 ‫اﻟﺤﻞ‬

cŀŁń = cŁłń – cłŅĿ = (cŁłń –) yr 4cb "sgb 5 z[b cłŅĿ = cŀŁń + cŁłń =ƆƆ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ|cŀŁń| + |cŁłń–| :S@-T ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

: z Ē y r4b lf yr 3 d_b "sgb 5 z[b lzN 5 cłŁĿ– ‫د‬ cňĿ– ‫ﺟ‬ cŀŁŅ– ‫ب‬ cńŁ– ‫أ‬ .w6 z[b PBsb {V yr 4b m0o h61 cŀńĿ p6 zZ yr 4 =2[b w NĐ .& 1r.y :ǶŐơģʞʵǤĝ ļģƯǤĭģś ƤśƄǤĝ 6

áÄaÉμàªdG ÉjGhõdG

Equivalent angles

?L&đ / f .d_: d_b w6 z[b PBsb wV (i) p"sgb yr 4b -.&r z Ē a _:Ĕ df Q

. r w pkb PcCb 8Wj gpb pOf fs62gb yr 4b r (i) yr 4b i L&đj (Ń) Ů(ł) Ů(Ł) a _:Ĕ wV .i V _ f cłŅĿ + i Ů i i yr 4b : &

.w6 z[b PBsb wV i p6 zZ w b yr 4b : .i V _ f cłŅĿ * Ł + i Ů i i yr 4b : 5 i V _ f cłŅĿ – i = (i – cłŅĿ)– Ů i i yr 4b : 6 −

ABB

/PQQ2 3 4 *3) " ;( , -. c٣٢٨- ‫ أ‬4 c٩٠- ‫ب‬ c٤٥- ‫د‬ c١٥٠- ‫ﺟ‬ /PQQ2 3 4 *3) " ;( , -. c٣٠٨ ‫ أ‬5 c٢٣٤ ‫ب‬ c٤٠ ‫د‬ c٢٧٠ ‫ﺟ‬ c١٨٠ > c١٥٠ > c٩٠ 6 .‫ﻟﺬﻟﻚ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

:‫اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺔ‬ ‫ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺔ ﺃﻋﻂ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻣﻦ ﻋﻨﺪﻙ ﻟﺘﺤﺪﻳﺪ‬ ‫ ﻭﻳﻤﻜﻨﻚ‬،‫( ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ‬i) ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ :‫ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ : E R. S :‫ﻋﻴﻦ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺬﻯ ﺗﻘﻊ ﻓﻴﻪ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﺎﺗﻬﺎ ﻛﺎﻵﺗﻲ‬ c٦٣٠- ‫ د‬c٩٣٠ ‫ ﺟ‬c٤٩٥ ‫ ب‬c٤٢٠ ‫أ‬ : , -C ‫ﺟ‬ ‫ب‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫أ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻷﻭﻝ‬

−

$6 # 0 $% 1

c٩٠ ‫د ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺭﺑﻌﻴﺔ؛ ﻷﻧﻬﺎ ﺗﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ‬ ‫( ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﻣﻔﺘﻮﺣﺔ ﻟﺘﻌﻄﻰ‬٥) ‫ﻓﻰ ﻣﺜﺎﻝ‬ ‫ ﻭﺍﻟﺘﻰ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻲ‬،‫ﺍﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺌﺔ‬ .‫ﻟﻜﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻣﺸﺘﺮﻛًﺎ ﻣﻊ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ‬

: Y % ,; SZ* =1 : p 6 zZ w b y r4b Pzg" i V w6 z[b PBsb wV i p6 zZ p"sf yr 3 h61 .kN N ǽ i z& cłŅĿ * i ! iƄr Ƅ.....r ƄcłŅĿ * ł ! iƄr ƄcłŅĿ * Ł ! iƄr ƄcłŅĿ * ŀ ! i . [( 1 O wg7 r Ůw pkb PcCb 8Wj pb is_y ‫ﻣـﺜـﺎل‬

lz yr 4b lf d_b w pkb PcCb wV lz ^2 ;f b 6 5 z[ t2*Ĕ r "sf 5 z[ go .& lz yr 3 ."r 5 :lz z Ē cŁłĿ – ‫ب‬ cŀŁĿ ‫أ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

ôªà°ùªdG º««≤àdG

/PQP2 3 4 *3) " ;( , -. c٣٢٠- ،c٤٠٠ ‫ أ‬7 c٢١٠- ،c٥١٠ ‫ب‬ c٦٠٠ ،c١٢٠ ‫د‬ c٤٨٥- ،c٢٣٥ ‫ﺟ‬ c٥٤٠- ،c١٨٠ ‫ﻫ‬ :‫ ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﺒﺪﺍﺋﻞ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﺸﺮﻁ‬8 ‫ ﻣﺎ ﻋﺪﺍ ﺭﻗﻢ )ﺟـ( ﻻ‬N ∋ ‫ ﺣﻴﺚ ﻥ‬،‫ﻥ‬c٣٦٠ ! i .‫ﻳﺤﻘﻖ ﺫﻟﻚ ﺍﻟﺸﺮﻁ‬

c578 ( \ cŃŇĿ =ƆƆ Ɔ cłŅĿ + cŀŁĿ : "sf 5 z[ yr 3 ‫أ‬ c578 X/M cŁŃĿ– = cłŅĿ - cŀŁĿ : b 6 5 z[ yr 3

. ."r i y r4b m0o DO 2^/ ? b 6 5 z[ t2* r Ů "sf 5 z[ t2* y r3 ."s do :Ƅǔƾ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

: z Ē y r4b lf d_b w pkb PcCb wV lz ^2 ;f b 6 5 z[ t2*Ĕ r "sf 5 z[ go .& lz yr 3 ."r 7 cŀŇĿ- ‫ ﻫ‬Ɔ ƆƄƄƄƄcŁŃĿ– ‫ د‬ƄƄƄƄƄcŀŁń – ‫ ﺟ‬ƄƄƄƄƄƄcŀńĿ ‫ ب‬ƄƄƄƄƄƄcŃĿ ‫أ‬ : "Ė .N f w6 z[b PBsb {V cņń yr 4cb V _f zb b y r4b 6 zZ Pzg" :ĦƥŲǤĝ ƼƖņǕĝ 8 cŃłń ‫د‬ cŁŇń ‫ﺟ‬ cŅŃń- ‫ب‬ cŁŇń- ‫أ‬

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ :w Ē ^ p 6 zZ { b y r4b lf yr 3 d^ qzV P[ t0b P 2b lzN 1 cłňĿ ‫ ﻫ‬ƆƄƄƄƄƄcŀŅŅ ‫ د‬ƆƄƄƄƄƄƄcńņĿ ‫ ﺟ‬ƄƄƄƄƄƄcłŁń ‫ ب‬ƄƄƄƄƄƄcńŅ ‫أ‬

º««≤àdGh ÖjQóàdG H 7E T U 3) , -. ‫ أ ﺍﻷﻭﻝ ب ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﺟ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬1 ‫د ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ﻫ ﺍﻷﻭﻝ‬ c٢٣٥- ‫ ﺟ‬c١٤٦- ‫ ب‬c٣١٧- ‫ أ‬2 c٤٨- ‫ ﻫ‬c٢٧٠- ‫د‬ c١٣٥ ‫ ﺟ‬c١٤٥ ‫ ب‬c٣٠٤ ‫ أ‬3 c٢٧٠ ‫ ﻫ‬c٢١٠ ‫ د‬

cŀłĿ = cłŅĿ + cŁłĿ– : "sf 5 z[ yr 3 ‫ب‬ cńňĿ– = cłŅĿ - cŁłĿ– : b 6 5 z[ yr 3

c578 ( \ c578 X/M

:w Ē ^ p 6 zZ w b y r4b lf yr 3 d_b b 7b 6 z[b .& lzN 2 cłŀŁ ‫ ﻫ‬ƄƄƄƄƄƄc ňĿ ‫ د‬ƆƄƄƄƄƄƄcŀŁń ‫ ﺟ‬ƄƄƄƄƄƄcŁŀŃ ‫ ب‬ƄƄƄƄƄƄcŃł ‫أ‬ : z Ē y r4b lf yr 3 d_b "sf 5 zZ 2S> lzN 3 cŃńĿ- ‫ ﻫ‬ƆƄƄƄƄƄcňłĿ ‫ د‬Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ ƄƄƄƄcŃňń ‫ ﺟ‬Ɔ ƄƄƄƄƄcŁŀń- ‫ ب‬ƆƄƄƄƄƄcńŅ- ‫أ‬

ABA

/7 < 3 − ) M > !?

$% 1

:h62b `b/ 'Bsf Ůw6 z[b PBsb wV z Ē y r4b lf đ^ Ê PB 5 ¹ cłŀń- ‫ ﻫ‬ƄƄƄƄƄƄcŀŀĿ- ‫ د‬ƄƄƄƄƄƄcŇĿ - ‫ ﺟ‬ƄƄƄƄƄƄcŀŃĿ ‫ ب‬ƄƄƄƄƄƄcłŁ ‫أ‬ : z Ē y r4b lf yr 3 d_b b 7b 6 z[b .& lzN 6 cňĿ ‫ﺟ‬ cŀłŅ ‫ب‬ cŇł ‫أ‬

:‫ﻣﻼﺣﻈﺎت ﻋﻠﻰ ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﻛﺮاﺳﺔ اﻟﺘﺪرﻳﺒﺎت‬

........................................

‫( ﺇﺟﺎﺑﺔ ﻛﺮﻳﻢ ﺧﻄﺄ؛ ﻷﻧﻪ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ‬١٠) ‫ﻓﻰ ﻣﺴﺄﻟﺔ ﺭﻗﻢ‬ ‫ ﻟﻜﻦ ﺇﺟﺎﺑﺔ‬،‫ﻥ‬c١٨٠ ! i :‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺌﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ‬ ‫ﺯﻳﺎﺩ ﺻﺤﻴﺤﺔ؛ ﻷﻧﻪ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺌﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ‬ .‫ﻥ‬c٣٦٠ ! i

........................................

Q O

c٣٠- ‫ﺟ‬ c٨١٥ ‫و‬

c١٢٥ ‫ ب‬c٤٦٠ ‫أ‬ c٦١٢ ‫ ﻫ‬c٤٢٠ ‫د‬

, -C

c٢٣٥- ،c٤٨٥ ‫ب‬ c٣٠٠- ،c٦٠ ‫د‬ c٩٥- ،c٢٦٥ ‫و‬

c٢٦٠- ،c١٠٠ ‫أ‬ c٣٩٠- ،c٣٣٠ ‫ﺟ‬ c٢٥٢- ،c١٠٨ ‫ﻫ‬

K E

X Q

........................................

cňŅŃ ‫ﻫ‬ ........................................

cŁŅŃ ‫د‬ ........................................

: z Ē yr 4b lf yr 3 d_b "sf 5 zZ 2S> lzN 7 cłŀń- ‫ﺟ‬ cŁŀņ- ‫ب‬ cŀŇł- ‫أ‬

cńņĿ- ‫د‬

º««≤àdG

‫ ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺃﺧﺮﻯ‬،‫ﺃﻭﺟﺪ ﺃﺻﻐﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺑﻘﻴﺎﺱ ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ﺑﻘﻴﺎﺱ ﺳﺎﻟﺐ ﺗﺸﺘﺮﻙ ﻣﻊ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﻟﻜﻞ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻤﺎ‬ :‫ﻳﺄﺗﻰ‬

........................................

cŀĿņĿ ‫و‬

2 O z Ē 2gb ! r3Ĕ lf y¹ :d [gb d_;b wV 8 ? / gb ?w6 z[b pOBr wV p"sf yr 3 lN ( ¶" r Ů 3 r ) ‫ب‬

( E r Ů Cr ) ‫أ‬

( E r Ů ¶o r ) ‫د‬

( ¶" C Ů C ) ‫ﺟ‬

( 3r Ů r ) ‫و‬

( 3 r Ů Er ) ‫ﻫ‬

űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

w6 z[b PBsb wV yr 4b m0o h61 cŁĿĿ p6 zZ yr 4 ObĔ 3 p" wcN 3 g#b w NĐ .& 1r.y 9 Pf i ^2 ; b 6 5 z[ t2* yr 3r "sf 5 z[ yr 3 2S> 5 zZ ^ :ĦƥŲǤĝ ƼƖņǕĝ 10 (cŀłń-) yr 4cb w pkb PcCb

C /. W V O W cŁŁń = cłŅĿ+ cŀłń- = "sf 5 z[ yr 3 2S> cŃń = cŀŇĿ+ cŀłń- = "sf 5 z[ yr 3 2S> cŃňń- = cłŅĿ - cŀłń- =Ƅ b 6 5 z[ yr 3 2S> cłŀń- = cŀŇĿ - cŀłń- =Ƅ b 6 5 z[ yr 3 2S> .` " 27V ? (z'> lz "Ė t űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

.1 2 X M − @/'# X )

/7 < 3 − /7! CMD > !?

‫‪2-4‬‬

‫اﻟﻘﻴﺎس اﻟﺴﺘﻴﻨﻰ واﻟﻘﻴﺎس اﻟﺪاﺋﺮى ﻟﺰاوﻳﺔ‬

‫‪2-4‬‬

‫‪Degree Measure and Radian Measure‬‬

‫‪Degree Measure and Radian Measure of an Angle‬‬

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﻓﻜﺮ‬

‫ &‪ 1 G 7 " 4 2 $3‬‬ ‫ ‪8 !5 " 4 I. #J-‬‬ ‫ ‪ G 7 " 4‬‬

‫‪of an Angle‬‬

‫ ? ‪ K G H L " # I H NO 3‬‬

‫ ‬

‫و‬

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫‪ "1.b i r Ůi s r \ Z-r "1- wb h7[ky wkz 7b 5 z[b i gcN i \ 6‬‬ ‫ ‪. zj ŅĿ = .& sb [zZ.b i r Ů [zZ- ŅĿ = .& sb‬‬ ‫‪? yr 4cb t2* 6 zZ ."s do‬‬

‫اﻟﻘﻴﺎس اﻟﺪاﺋﺮى‬

‫‪Radian Measure‬‬ ‫ ‬

‫‪5‬‬

‫‪ 0 .1 " $' $6 # 0 3 M 72) F- 451‬‬ ‫ ‪ _ 7 " = 'J 72 9: UJ > S; IJ#‬‬ ‫ ‪ I ) a Z UJ @A , F ) MH U 0 .:‬‬ ‫‪ 0\ # 0 7 H , : MH I L /'B < _ ) %B 7 H‬‬ ‫ ) ‪>7 " 9$ F‬‬

‫ﻋﻤﻞ ﺗﻌﺎوﻧﻰ‬

‫ ‪ ! " #‬‬

‫‪Degree Measure‬‬

‫ ‪ G H " #‬‬

‫‪Radian Measure‬‬

‫ ' ‪ M#‬‬

‫‪Radian Angle‬‬

‫‪ ł C asF Ł Ł C asF ŀ ŀ C asF‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ ‪:‬‬ ‫‪łC e‬‬ ‫‪ŁC e‬‬ ‫‪ŀC e‬‬

‫ ‬

‫ ‪ g^ 4^2gb .' gb 2 r.b lf Nsg#f h61 -‬‬ ‫‪.d [gb d_;b wV‬‬ ‫ ‪ y4^2f yr 3 t 5sZ asF lz 7kb ."r -‬‬ ‫‪?L&đ / f - 2J kgb p 2 - 2GZ X?j asFr‬‬ ‫;^‪ p 2 - 2GZ X?j asFr Ů y4^2f yr 3 t 5sZ asF lz 7kb ]0‬‬ ‫‪. ¹ 1 .[f‬‬ ‫ ‪tr 7 2J kgb‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪5C‬‬

‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا"ﺳﺎﺳﻴ ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّﺔ‬

‫ ‬

‫&‬

‫‪ł‬‬

‫‪&C‬‬

‫_‬

‫‪ C‬‬

‫= ‪. 1 .[f‬‬

‫‪. yr 4cb t2 .b 5 z[b so b 1 .[gb 0or‬‬

‫‪:F- ./& 2) H‬‬ ‫;‪G 3 M F I F- ?H J# %B 72 9: $ .‬‬

‫ا"دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬

‫‪ yr 4b m0o m2?' t0b 5s[b asF‬‬ ‫ ‪= 2 - wV y4^2f yr 4b t2 .b 5 z[b‬‬ ‫‪ 2 .b m0o 2GZ X?j asF‬‬ ‫‪(Ei) 4f2b pb 4f2yr‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫‪E‬‬

‫ ‪= i :i V a qbsF 2 .b‬‬

‫‪> _ .U JO R1 " R Hb' cJUJO ‬‬

‫‪a‬‬

‫‪= HƅŮƄH * Ei = a‬‬

‫ ‪> _ 7 " 0\ K‬‬

‫‪ABF‬‬

‫‪H‬‬

‫‪i‬‬

‫‪H‬‬

‫‪:i $ k 7j Xy2O b lf‬‬

‫‪ $J D : MH I L /'B < _ ) %B 7 H I 6 ‬‬

‫<‬

‫‪H‬‬

‫‪> 0\ K 0/ _ 7 " 8 'J ‬‬

‫ ‬

‫ ‪ y4^2gb yr 4b 5 zZ so Ei i ^ /‬‬ ‫‪lf 6sZ‬‬ ‫‪¹ d [ H o2GZ X?j asF 2 .b‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪E‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫ ‬ ‫‪> F ) 2 MH D - _ ) 7 H - .U J1 7 H‬‬

‫ ‬ ‫‪> #/& 51 = V‬‬

‫‪ I‬‬

‫)ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ = ‪ ٦٠‬ﺩﻗﻴﻘﺔ‪ ،‬ﺍﻟﺪﻗﻴﻘﺔ = ‪ ٦٠‬ﺛﺎﻧﻴﺔ( ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ‬ ‫ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻛﺴﺮ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺩﻗﺎﺋﻖ ﻭﺛﻮﺍﻥ‪ ،‬ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ ﺻﺤﻴﺢ‪ ،‬ﺃﻯ ﺗﺤﻮﻳﻞ ﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ‬ ‫ﻭﺍﻟﺜﻮﺍﻧﻰ ﺇﻟﻰ ﺃﺟﺰﺍﺀ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ‪.‬‬

‫ ' ‪>. 'J @/'J - .U:9 ' - WH U# - ( 5# d‬‬

‫‪¢SQódG ¢VôY‬‬

‫ ‪ " #‬‬

‫‪iôFGódG ¢SÉ«≤dG :º∏©J‬‬ ‫‪≈fhÉ©J πªY‬‬

‫ ‪>.1 2 X M‬‬

‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﻋﻤﻞ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﺑﺪﺍﻳﺔ ﺻﻔﺤﺔ‬ ‫ ‪$ %‬‬ ‫)‪ (١٠٢‬ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺃﻋﻤﺎﻟﻬﻢ‪ ،‬ﺛﻢ ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪E‬‬ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ ‪ ١٠٢‬ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺤﺔ ‪ ١٠٥‬ﻛﺘﺎﺏ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻳﺔ ‪i‬‬ ‫ﺍﻷﻧﺸﻄﺔ ﻭﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ ‪ ٥٢‬ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺤﺔ ‪٥٤‬‬ ‫‪/PQV2 3 4 5 ' # ) , -.‬‬ ‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ(‪.‬‬ ‫ﻧﻌﻢ ﺗﺰﺩﺍﺩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻳﺔ ﺑﺎﺯﺩﻳﺎﺩ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻮﺱ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻬﺎ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪﺓ‪.‬‬ ‫‪¢SQódG äGAGôLEG‬‬ ‫‪ E‬ﻝ‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺃﻥ‪= i :‬‬ ‫‪H‬‬

‫اﻟﺘﻤﻬﻴﺪ‬

‫‪E‬‬

‫ﻓﻜﺮ وﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ ‬

‫‪ H ،‬ﺛﺎﺑﺖ ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻓﻴﻜﻮﻥ‪ ∝Ei‬ﻝ‬

‫ﺃﻱ‪ i‬ﺗﺘﻨﺎﺳﺐ ﺗﻨﺎﺳ ًﺒﺎ ﻃﺮﺩ ًّﻳﺎ ﻣﻊ ﻝ‪ ،‬ﻭﻟﻜﻦ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻋﺪﺩ ﻣﻦ‬

‫ﺍﺑﺪﺃ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺑﺄﻥ ﺗﻮﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﻭﺃﺟﺰﺍﺋﻬﺎ ﺍﻟﺪﻭﺍﺋﺮ ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰ‪ ،‬ﻓﻴﻜﻮﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺛﺎﺑﺖ ﻋﻨﺪ‬ ‫ﻛﻮﺣﺪﺓ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‪ ،‬ﻭﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ = ‪ .c٩٠‬ﺃﻯ ﺩﺍﺋﺮﺓ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻰ ﻋﻤﻞ ﺗﻌﺎﻭﻧﻰ‪.‬‬

‫ ‬

‫ ‪ −‬‬

0 _ 7 " .U JO 7 " 1 G 7 " 4 !5 " 4

‫ ﺃﻋﻂ ﻃﻼﺑﻚ ﻧﺒﺬﺓ ﻋﻦ ﺍﻟﺮﺍﺩﻳﺎﻥ ﻭﺫﻟﻚ‬:" , W :‫ﻛﺎﻵﺗﻰ‬ ‫ﺃﻭﻝ ﻣﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ "ﺍﻟﺮﺍﺩﻳﺎﻥ" ﻫﻮ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻰ ﺍﻟﺒﺮﻳﻄﺎﻧﻰ‬ ،‫ ﻛﻮﺣﺪﺓ ﻟﻠﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ‬،‫ﻡ‬١٧١٤ ‫ﺭﻭﺟﺰ ﻛﻮﺗﺶ ﻋﺎﻡ‬ ‫ ﻛﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻪ‬،‫ﻭﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻓﻰ ﺍﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﺎﺕ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺀ ﺃﻣﺮ ﺷﺎﺋﻊ ﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﻣﺜﻞ ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ .......،‫ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺰﺍﻭﻯ‬

Ů y2GZ X?kb yr 4b {o x2 .b 5 z[b wV y r4b 5 zZ .&rr .(i y- 1) t2 - .& r 2[yr (Eŀ) 4f2b pb 4f2yr

Q H

Radian angle /MA h`% i 2I *2A k /`TM ' P/ '( ./= 'K P/ lmK /MA h`; <2I n ,

V = i

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

.` " 27V Í ? pb d [gb 5s[b asF Pf 6 k y y4^2f yr 4b t2 .b 5 z[b do :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

y4^2gb yr 4b 5 zZ i ^ / 5s[b asF ly2;N lzgZ1 2ZĔ ."r .h6 Ň o2GZ X?j asF 2 - 4 rń tr 7y qc [ w b ŀŁ ‫اﻟﺤﻞ‬

: 2- <2I o@p _ a ,; Ɔ rŀŁń = EiƄŮ C* F = H L+ r 2

H * Ei =ƆƆ a

Ň * rŀŁń =ƆƆ aƄƄƄ

h6ŀĿŬŃņ - a `

:is_zV

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

ôªà°ùªdG º««≤àdG

/PQX2 3 4 *3) " ;( , -. ‫ﺳﻢ‬٧٫٩ ‫ أ‬1 ‫ﺳﻢ‬٨٫٤ ‫ب‬ ‫ﺳﻢ‬٢١٫٩ ‫ﺟ‬ ôªà°ùªdG º««≤àdG

/PQY2 Z *3) " ;( , -. ‫ ﺣﻴﺚ ﻳﺘﻨﺎﻭﻝ‬،‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬2 ‫( ﺍﻟﺘﻰ ﻳﺴﺘﺨﺪﻣﻬﺎ‬c٦٠ ،c٤٥ ،c٣٠) ‫ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ‬ ‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺑﻜﺜﺮﺓ ﻟﻠﺘﺤﻮﻳﻞ ﻣﻦ ﺭﺍﺩﻳﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﺃﻭ‬ .‫ ﺣﻴﺚ ﺗﺘﻜﺮﺭ ﻓﻰ ﺍﻷﺭﺑﺎﻉ ﺍﻷﺭﺑﻌﺔ‬،‫ﺍﻟﻌﻜﺲ‬

. 2;N lf 4" 2ZĔ $ kb ¹ 2[f z Ē 2 r.b lf d^ wV fscOgb yr 4b 2?'y t0b 5s[b asF ."r 1 ‫ﺟ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ r C* 7 C* F

:ájhGõd iôFGódG ¢SÉ«≤dGh ≈æ«à°ùdG ¢SÉ«≤dG ø«H ábÓ©dG Relation between degree measure and radian measure of an angle ‫أﺿ‬

‫ﻒ إﻟ‬

‫ﻰ‬

H r Ł p6sZ asF is_y cłŅĿ wkz 7b p6 zZ w b y4^2gb yr 4b :

P/ /MA h`; <2I . eW P/ \( P 02 , P 02 P/ V =,M

P 02 P/ V ( . %@ , / - cłŅĿ V _y / / - (i y- 1) rŁ : \( E cńņ ¼ ŀņ ¹ Ńń - cŀŇĿ r = (i y- 1) ŀƆƆ Ɔ

cŀŇĿ V _y (i y- 1) rƄ : E

:i V 5 À wkz 7b p6 zZr i t2 .b p6 zZ yr 3 ky.b i ^ / E i = c5 r cŀŇĿ

ABQ

/7 < 3 − ) M > !?

‫أﺿ‬

‫ﻒ إﻟ‬

‫ﻰ‬

‫ﻣ‬

‫ﻌﻠ‬

‫ﻮﻣﺎ‬

‫ﺗﻚ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

@- /c P 0 2M Grad V /> K

. r bĐ. t2 - 5 zZ wb cłĿ as& 5

@A L1 FBB ,M =@- ,= ? * @A K Q , i, d; . eW ? 02 2 + O f^g : \( V /> , V / , Q

= FBB

º««≤àdGh ÖjQóàdG .‫ ﻭﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻷﻭﻝ‬c٤٥ ‫ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ‬1

. p6sZ 5 zZ tr 7y 2 .b y4^2gb yr 4b 5 zZ : C M

‫ﻣ‬

‫ﻌﻠ‬

‫ﻮﻣﺎ‬

‫ﺗﻚ‬

H 7E T U 3) , -.

C* 4

ôªà°ùªdG º««≤àdG

/PQY2 3 4 *3) " ;( , -. c٤٠َ ٦ً ٢٦ ‫ أ‬3 c٩٠َ ٤٠ً ٢٤ ‫ب‬ c٢٢٩َ ٥٠ً ٢٢ ‫د‬ c١١٧َ ٢٧ً ٢٣ ‫ﺟ‬

rņ

i r

r * cłĿ E Ņ = cŀŇĿ = iƆ Ɔ ƆƄƄƄ

c cA;B

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

o.& > +b y r4b DO 6 zZ d gy d [gb d_;b 2 "1.b ^ 2*Ē r ( 2 .b !1 *) i y- 2b ½^ e f c [gb d_;b y r3 6 zZ ^ .( 2 .b d* -) . pb 2J kf yr 3 5 zZ d^

c &8 c 54 c 48

cD8

rE 7 r4 6 r6

c78 6 r c64 7 c58 c8 r& c578

c F8

‫اﻟﺤﻞ‬

i c5 = ƄƄƄP 2` _ a ,; V W 2T r cŀŇĿ

c&E8

‫ﻣـﺜـﺎل‬

c558 c5 4 c588

.wkz 6 5 zZ wb EŀŬŁ yr 4b 5 zZ as& 6

‫اﻟﺤﻞ‬

cŀŇĿ * ŀŬŁ = c5ƆƆƄƅ r

cŅŇ ¼ Ńń ¹ ŀŇ = ŅŇŬņńŃňłńŃŁ = c5ƆƆƄƅ

: 2T% + Z* T b _ a ,M

Math

c,,, 68° 45'' 17.77'' ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

: zj 2ZĔ $ kb ¹ 2[f wkz z6 5 zZ wb zb b y r4b 6 zZ as& 3 E

ŀŬĿń- ‫د‬

ŁŬĿń ‫ﺟ‬

ŀŬŅ ‫ب‬

ĿŬņ ‫أ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

t2 - 1 7f wV A1Ĕ as& 1r.y wN k> 2gZ :ĖģƠƽǤģś ƤśƄǤĝ 7 Tc y A1Ĕ 2GZ X?j asF i ^ / Ů N 6 ł d^ cf ^ 1r."r V .h^ łŅĿĿ A1Ĕ (G6 lN 2g[b .O r h^ ŅŃĿĿ ¹ y2[ .2 fscz^ 2ZĔ $ kb ¹ 2[f .& r N 6 ađ* 2g[b pOG[y w b V 7gb −

.1 2 X M − @/'# X )

ABP

1 G 7 " 4 !5 " 4

º««≤àdG

‫اﻟﺤﻞ‬

:2g[b ^2'b t2 .b 1 7gb d [gb d_;b lz y C

C ¶" + ¶" e = C eƄƄ2g[b 1 7f 2 - 2GZ X?j asF a

h^ ŀĿ ĿĿĿ = łŅĿĿ + ŅŃĿĿ = C e ` r Ł = y4^2f yr 3 d [y 0or Ů N 6 ł wV ( cf ^ 1r-) t2 .b 1 7gb PG[y 2g[b a rŁ = y4^2f yr 3 d [y 0or Ů .& sb N 7b wV 2 .b Hz'f ŀ qbsF 6sZ PG[y 2g[b ` ¹ ł ł H * Ei = a ŀĿ ĿĿĿ * rłŁ = a

: 2- <2I o@p _ a ,; : rłŁ = Ei ,C. 8 888 = H L+ r 2

h^ ŁĿňŃŃ - a wV yr 4b m0o h61 .cŁĿĿ p6 zZ yr 4 ObĔ 3 p" wcN 3 g#b w NĐ .& 1r.y :ǶŐơģʞʱ ļģƯǤğ 8 .t2 .b 2y.[ b p6 zZ ."r r w6 z[b PBsb ‫اﻟﺤﻞ‬

.r G[kb {V lzOF [ fr .f O f w .& ts 7f ;jĖ ly1s'f h61 : z& rC p"sf yr 4 1r.y Nđb i A2W

c&88

. cŁĿĿ = ( r C c) XƄis_zVƄ ( r Ů C r ) = ( r C) c cŁņĿ > cŁĿĿ > cŀŇĿ a . b b P 2b {V P[y yr 4cb w pkb PcCb `

łŬŃň -

r * ŁĿĿ

ŀŇĿ

= cŁĿĿƄƄ

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

ŀŬŃ q 2 - 2GZ X?j asF 5sZ d_: wcN 1 7f wV ]2' 9 s_6 NĐ :ǶŐơģʞʵǤĝ ļģƯǤĭģś ƤśƄǤĝ 4 .5s[b 0o asF 2;N lf 4" 2ZĔ ."r cŇĿ Nđb i 1r- yr 3r 2 f

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ .w6 z[b PBsb wV yr 4b m0o h61 cłŀń – p6 zZ yr 4 b =2Z 1r.y :ǶưģŏƛǤĝ 1

ABE

/7 < 3 − ) M > !?

cńĿ = (¶"C c)Y i ^

z' ¶" C 2 sb h61 Ů h6 ŁŃ qbsF 2 - wV 2GZ C :ǶƒŻŏǭǤģś ƤśƄǤĝ 19 űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű .lzy2;N lzzgZ1 2ZĔ $ kb ¹ 2[f ¶" C 2S>Ĕ 5s[b asF ."r 0o asF i ^ / \ Z- ŀĿ ađ* \ Z.b 2[N U2F wcN G[j pOG[ w b V 7gb h^ :ńģƾģƑǩ 20 ?h6 Ņ 2[Ob űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

X?j asF i ^ / V Ů N 6 Ņ d^ cf ^ 1r- t2 - 1 7f wV A1Ĕ as& 1r.y wN k> 2gZ :Ǔǣƾ 21 . N 7b wV 2 fscz_b q N26 ."r V Ůh^ ňĿĿĿ A1Ĕ 4^2f lN m1 7f 2GZ űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

:d [gb d_;b wV :ǶƒŻŏǭǤģś ƤśƄǤĝ 22

c78

.h6 ŀŁ = C ŮcŅĿ = ( C¶" c) X Ůe 2 .cb i 6 gf ¶" C Ů C . ¶" 2 ^Ĕ 5s[b asF (z'> -.N 2ZĔ ."r

:äÉÑjQóàdGh á£°ûfC’G ÜÉàc øjQÉªJ ≈∏Y äÉ¶MÓe

r٤ = ‫ ﺗﻮﺟﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻳﺔ ﻟﻠﻘﻮﺱ‬19 ٩ ‫ﺳﻢ‬r١٦ = ١٢ * r٩٤ = ‫ ﺟـ‬C ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻮﺱ‬

c٦٠ ‫ ﺩﻗﺎﺋﻖ ﺗﻤﺜﻞ‬١٠ 20 r ٦٠ = ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻮﺱ‬ ‫ ﺳﻢ‬r٢ = ٦ * ١٨٠ r = r٢ = ‫ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻳﺔ‬21 ٦ ٣ r٣٠٠٠ = ٩٠٠٠ * r ٣ = ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻮﺱ‬ ‫ﺳﻢ‬٦ = ١٢ * ١٢ = H 22 c١٢٠ = ‫) ﺏ ﺟـ ( ﺍﻷﺻﻐﺮ‬X c٢٤٠ = ‫) ﺏ ﺟـ ( ﺍﻷﻛﺒﺮ‬X ‫ ﺳﻢ‬٢٥ - ٦ * r * c٢٤٠ = ‫) ﺏ ﺟـ ( ﺍﻷﻛﺒﺮ‬X c١٨٠ c٦٠ = ٤ * c١٥ ‫ أ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬23 r = r٦٠ = ‫ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﺮﺍﺩﻳﺎﻥ‬ ٣ c١٨٠ c١٢٠ = c١٨٠ * ٢ = ‫ب ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﺪﺭﺟﺎﺕ‬ ٣

c١٢٠ ‫ ﺳﺎﻋﺎﺕ‬٨ = c١٥ =‫ﺍﻟﺰﻣﻦ‬

űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

lf 1 pkb k Zsb .y.' b z7g;b br4gb e.+ 7 :řǩƇǤģś ƤśƄǤĝ 23 Ů p 4" r N 7b 1 pJĖ !1.f (G6 wcN H[7y t0b dKb asF ađ* . N 6 d_b cŀń a.Og =2[b wcN 1r.y dKb i ^ / V . N 6 Ń 1r2f .O pkN dKb 1r.y w b i y- 2b yr 4b 5 zZ ."r ‫أ‬ űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

‫ ﻛﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﻮﻗﺖ ﻳﺴﺘﻐﺮﻕ ﻋﻘﺮﺏ ﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ ﻟﻴﺪﻭﺭ ﺯﺍﻭﻳﺔ‬-١ ?r٢٫٤ ‫ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ‬ ‫ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺴﺎﺣﺔ‬-٢ [ ‫ ﻡ ﺏ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬C ‫ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬ K C ٢ ‫ﺳﻢ‬٣٢ ١٤ ‫ﻓﻰ ﻡ ﺗﺴﺎﻭﻯ‬ .‫ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﺤﻴﻂ ﺍﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﻤﻈﻠﻞ ﻷﻗﺮﺏ ﺭﻗﻤﻴﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ‬

?i y- 1 rłŁ p6 zZ yr 4 dKb 1r.y N 6 h^ .O ‫ب‬

V & wcN dKb i 1r- qOk?y t0b 5s[b asF r bĐ. ."r Ůh6 ŁŃ o2GZ X?j asF br4f ‫ﺟ‬ űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű . N 6 ŀĿ 1r2f .O =2[b "sgb m # Đ Pf .&sb 2 .b w6 z[b PBsb wV rł p6 zZ yr 3 Pk?y hz[ 7f :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ 24 .hz[ 7gb 0o b- Of ."r . kz7b 1s'gb

űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

‫ ﺳﺎﻋﺎﺕ‬١٠ ‫ﺟ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﺑﻌﺪ‬ c١٥٠ = ١٠ * c١٥ = ‫ ﺳﻢ‬r ٢٠ = ٢٤ * r *c١٥٠ = ‫ﻝ‬ c١٨٠ 24 ٣ =r ٣ ‫ﻡ = ﻇﺎ‬ ‫ ﺟـ‬+ ‫ ﺹ = ﻡ ﺱ‬:‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫ ﺱ‬٣ =‫ﺹ‬

−

3-4

â&#x20AC;ŤŘ§ďť&#x;ďşŞŮ&#x2C6;Ř§Ů&#x201E; Ř§ďť&#x;ďť¤ďş&#x153;ďť ďş&#x153;ďť´ďş&#x201D;â&#x20AC;Ź

3-4

Trigonometric Functions

â&#x20AC;Ťďť§ďş&#x17D;ďť&#x2014;ďşśâ&#x20AC;Ź

â&#x20AC;ŤŮ&#x2C6;â&#x20AC;Ź

â&#x20AC;ŤďşłďťŽŮ ďş&#x2014;ďş&#x2DC;ďť&#x152;ďť ďť˘â&#x20AC;Ź

â&#x20AC;Ťďť&#x201C;ďť&#x153;ďşŽâ&#x20AC;Ź

. - 'b yr 4cb z6 6Ä&#x201D; z c gb 7kb 61- i \ 6 :.#j {V yr 4b h [b Âś" C9 wVr C

>i 0/ 1 1 / K 8 'J ď&#x20AC;ł >i 0/ / K /"B 8 'J ď&#x20AC;ł > / K 2 (Z 8 'J ď&#x20AC;ł

:Ĺ&#x2DC;Ä&#x; ĆŠĹŠÄŞ

?( / gb) qp ; f Âś" EĆ&#x201E;ĹŽĆ&#x201E;Âś" r ÂśoĆ&#x201E;ĹŽĆ&#x201E;Âś" C c gb r Âśo C ? / gbĆ&#x201E;Âś" " = E = = :is_y q ; b lfr Âś" Âś" r Âś" C

Ů? â&#x20AC;ŤŘ§ďť&#x;ďť¤ďşźďť&#x201E;ďť ďş¤ďş&#x17D;ŘŞ Ř§"ďşłďş&#x17D;ďşłďť´â&#x20AC;Ź Ů? â&#x20AC;ŤŮ&#x2018;ďş&#x201D;â&#x20AC;Ź Trigonometric Function & H Sine Cosine Tangent Cosecant Secant Cotangent

) % 2 R ) % <S 2 R (I # (I # 2 R <S

. p7Wj yr 4b 2zS / Ä? 2zS Ä? 7j - 'b yr 4cb z c gb 7kb :

h6 H o2GZ X?j asF 2 - P 1 -= s L@Z -Â&#x203A; i = (Âś" r Ec) X : z&

L #+ ?I H - Xj - L #+ 3 6 - 3 6 - ' 2 D - / B ) >L #+ Xj - ?I H -

> #/& 51 = V

I >. 'J @/'J - .U:9 ' - WH U# - ( 5# d '

" # >.1 2 X M

$ % *MY . Z *MY %B 3 M [ J\ ] *MY . Z ]] *MY %B 5 2 J MW [ J\

.(â&#x20AC;Ťďş?ďť&#x;ďş¸ďş&#x2019;ďť&#x153;ďş&#x201D; ďş?ďť&#x;ďşŞďťďť&#x;ďť´ďş&#x201D; ďť&#x;ďť ďť¤ďť&#x152;ďť ďťŽďťŁďş&#x17D;ďş&#x2022; )ďş?ďťšďť§ďş&#x2DC;ďşŽďť§ďş&#x2013;â&#x20AC;Ź

Â˘SQĂłdG Ă¤GAGĂ´LEGď&#x20AC; ď&#x201A;¨ ĂłÂŤÂĄÂŞĂ dG Â˘ĂťbĂ&#x2030;fh Ă´Îźa

lN 2 N -= s '( -Â&#x161; . Wc +f 7j Ä&#x2018; Âś" " .` " 27V ? 7kb m0o tr 7 do + ?$ k 7 / f +

> Y h 0 i'5 / K 8 'J ď&#x20AC;ł

â&#x20AC;ŤďşŤďť&#x203A;ďşŽ ďť&#x192;ďťźďş&#x2018;ďť&#x161; ďş&#x2018;ďş&#x17D;ďť&#x;ďť¨ďş´ďş? ďş?ďť&#x;ďť¤ďş&#x153;ďť ďş&#x153;ďť´ďş&#x201D; ďť&#x;ďť ďş°ďş?ďťďťłďş&#x201D; ďş?ďť&#x;ďş¤ďş&#x17D;ďşŠďş&#x201C; ďť&#x201C;ďť° ďş?ďť&#x;ďť¤ďş&#x153;ďť ďş&#x161;â&#x20AC;Ź .â&#x20AC;Ťďş?ďť&#x;ďť&#x2DC;ďş&#x17D;ďş&#x2039;ďť˘ ďş?ďť&#x;ďş°ďş?ďťďťłďş&#x201D;â&#x20AC;Ź

1 U- 0 7 V W

C d [gb Âś" = 1r #gb = Âś" J

< = < _ ) g& 8 'J ď&#x20AC;ł

0 7 / TO

C d [gb = 2 sb =Ć&#x201E;Âś" " Âś" C Âś" 1r #gb = 2 sb =Ć&#x2020; Âś" " Âś" C

9: .; <) * 0/ / # 3OU 3 M 72) F- 451 @A e9: /"B / # 72 8 1 72 > / B ) # H ) a P 5OJU# 0 L fJO :F- ./& 2) H G 3 M F I F- ?H J# %B 72 9: $ .;

K7 K G H 0 7 0 7 . 4&

Â&#x2030;

.1 2 X M â&#x2C6;&#x2019; @/'# X )

E Âś" = i " H a wb (Âś" r Ec) X - -4y f.kNr ae = a " i V

â&#x20AC;ŤŘ§"ŘŻŮ&#x2C6;Ř§ŘŞ Ů&#x2C6;Ř§ďť&#x;ďťŽďşłďş&#x17D;ďş&#x2039;ďť&#x17E;â&#x20AC;Ź

ĹŽ p yr 3 5 zZ 2zS 2zS yr 4b z c gb 7kb . z c gb a r.b U2Oy f 0or

â&#x2C6;&#x2019;

Q ,8

Q ,

8 , −

8 ,

− ,8 E U Q

asFr d>Ĕ G[j o4^2f w b 2 .b wg7 .f O f w .& e Kj t wV . .&sb 2 . a sFĔ .&r tr 7y o2GZ X?j Ů(Ŀ Ůŀ-) Ů(Ŀ Ůŀ) C lz G[kb {V kz7b 1s'f PG[ .&sb 2 - + .(ŀ- ŮĿ) E Ů(ŀ ŮĿ) ¶" lz G[kb {V - ?b 1s'f PG[ r :i V .&sb 2 - wcN G[j t z .& go (= Ů5) i ^ / + .[ŀ Ůŀ-] ǽ =ƄŮƄ[ŀ Ůŀ-] ǽ 5 f 2w H@( /x; ŀ = Ł= + Ł5 z&

‫ﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺰاوﻳﺔ‬7‫اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ا‬

The basic trigonometric functions of an angle

i p6 zZr (= Ů5) G[kb {V .&sb 2 - PG[y w pkb pOcBr w6 z[b PBsb {V p"sf yr 3 tĔ

: z Ē a r.b Xy2O l_gy G[kcb wkz7b w .&Ė Ƅ=ƄiƄ yr 4b e g z" - Q ,

5 = i "

G[kcb t- ?b w .&Ė Ƅ=ƄiƄ yr 4b z" -

= = i "

" z& i Ƅ=Ƅi J i "

Ŀ ! i "

G[kcb t- ?b w .&Ė G[kcb wkz7b w .&Ė Ƅ=ƄiƄ yr 4b dJ = Ŀ ! 5 z& : 5 Ƅ=Ƅi J

(i " Ůi ")ƄƄ 1s?b .&sb 2 - wcN G[j tĔ (= Ů5) 2gb !r4b _y :Řğ ƩũĪ .&sb 2 - PfƄiƄ p6 zZ qp"sf yr 4b w pkb PcCb PF [ G[j wo ` Ńń Ů łń j ¶" G[kb d; . eW

:äGOÉ°TQEG

‫ﺳﺎﺳﻴﺔ‬7‫ﻣﻘﻠﻮﺑﺎت اﻟﺪوال ا‬

‫ﺃﻳﻀﺎ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻣﻘﻠﻮﺑﺎﺕ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ً ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ‬/P2 :‫ﻛﺎﻵﺗﻰ‬ ١ = i‫ ﻇﺎ‬، ١ = i‫ ﺟﺘﺎ‬، ١ = i‫ﺟﺎ‬

i p6 zZr (= Ů5) G[kb wV .&sb 2 - PG[y w pkb pOcBr w6 z[b PBsb {V p"sf yr 3 tĔ Q , i

Ŀ ! 5 z&

Ŀ ! = z&

Ƅ=Ƅ 5 =ƆƆ Ɔ Ƅi Z

: i yr 4b e g PF Z -

ŀ Ƅ=Ƅ = =ƆƆ Ƅi Z ŀ 5 Ƅ=Ƅ = =Ƅi J i J

i "

Ŀ ! = z&

AB@

: z Ē a r.b ."s : i yr 4b PF Z -

i "

: i yr 4b e g dJ -

/7 < 3 − ) M > !?

‫إﺷﺎرات اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

The signs of The Trigonometric Functions E

'; H " /

cD8

cU&E8

cD8

Ŀ>5

c F8

Q ,

c F8

Ŀ<=

cU&E8

< G " / Ŀ<5

Ŀ<=

wj b P 2b wV P[y w pkb PcCb

.arĔ P 2b wV P[y yr 4cb w pkb PcCb

wZ r lz "sf i js_ p sc[fr z#b b - `b0b

w pkb pOcB w b yr 4cb z c gb a r.b d^ `b0b

. b 6 a r.b E

c F8

" / " /

Ł cD8

Ŀ>5

"sf is_ r

I H " /

Ł cD8

Ŀ<5

c F8

Ŀ>=

Q ,

Ŀ>=

Q ,

c&E8

c&E8U

b b P 2b wV P[y yr 4cb w pkb PcCb

P 2b P 2b wV P[y yr 4cb w pkb PcCb

wZ r Ůlz "sf i js_ p sc[fr dKb b - `b0b

Ůlz "sf i js_ p sc[fr e g b z" b - `b0b

. b 6 a r.b

. b 6 a r.b wZ r

:w Ē ar.#b wV pOzg" z c gb a r.b 1 : @z+c l_gyr

@H H= < ?

u , u A , A ,

+ A , + < . r

+ u , u + A , rł

$@( "- P/ t @A

i@( "- m " / $% " #

] rŁ ƄŮ Ŀ[

arĔ

]rƄŮƄ rŁ [

wj b

] rŁł ƄŮ r[

b b

]rŁƄŮƄ rŁł [

P 2b ‫ﻣـﺜـﺎل‬

(cłĿ-) Z ‫د‬

cŅńĿ " ‫ﺟ‬

: z Ē z c gb 7kb lf d^ 1 : lzN 1 cłŀń J ‫ب‬ cŀłĿ " ‫أ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

"sf cŀłĿ " `

‫ﺍﻋﺮﺽ ﻋﻠﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻭﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬ :‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻛﺎﻵﺗﻲ‬ ‫ ﻫﻰ ﻧﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻰ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﻦ ﺃﺿﻼﻉ‬: S S 9 ? .‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ ﻓﺈﺫﺍ‬،‫ ﻓﺘﻌﺮﻑ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬: S S ،‫ ﺗﻤﺜﻞ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺣﺎﺩﺓ ﻓﻰ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬i‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻟﺴﺖ ﺗﻌﺮﻑ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺍﻟﻮﺗﺮ ﻭﺍﻟﻀﻠﻊ‬ ‫ ﻳﺒﻴﻦ‬: "‫ ﻭﻓﻰ ﺑﻨﺪ "ﻻﺣﻆ ﺃﻥ‬،‫ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻭﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‬ ‫ ﺑﻴﻦ‬.‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﻧﻬﺎ ﻋﻼﻗﺔ‬ ..‫ ﻛﻤﺘﻐﻴﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﻟﻪ‬i‫ ﺣﺎ‬، ‫ﻛﻤﺘﻐﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻞ‬i ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬

Ń = i JƅŮƅ Ń = i "ƅŮƅ ł = i " : \( ł ń ń The reciprocals of the basic trigonmetric functions

¢SQódG ¢VôY

‫داﺋﺮة اﻟﻮﺣﺪة‬

The unit circle

wj b P 2b {V P[ cŀłĿ p6 zZ w b yr 4b ‫أ‬ −

AB;

i ‫ﻇﺘﺎ‬

i ‫ﻗﺎ‬

i ‫ﻗﺘﺎ‬

١ = ‫ﻭﺃﻧﻪ ﺑﻮﺟﻪ ﻋﺎﻡ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ * ﻣﻘﻠﻮﺏ ﻫﺬه ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬ ،‫ ﺇﺫﺍ ُﻋﺮﻓﺖ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻖ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬/V2 ‫ﺣﻴﺚ ﻳﺴﻤﺢ ﺑﺘﺤﺪﻳﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻟﺘﺸﻤﻞ ﺃﻯ ﻋﺪﺩ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻭﻋﺎﺩﺓ ﻣﺎ ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻰ ﻫﺬه ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺃﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫﻰ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﺍﻷﺻﻞ ﻭﻳﻘﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻻﺑﺘﺪﺍﺋﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ‬ ‫ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ‬،‫ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‬ ‫ ﺹ( ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻌﺮﻑ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬،‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻋﻨﺪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ )ﺱ‬ :‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ‬ ‫ﺹ‬ ٠! ‫ ﺱ‬، ‫= ﺱ‬i‫ ﻃﺎ‬، ‫ = ﺹ‬i‫ ﺣﺎ‬، ‫ = ﺱ‬i ‫ﺟﺘﺎ‬ ١

٠ !‫ ﺹ‬، ‫ = ﺹ‬i‫ ﻗﺘﺎ‬، ٠ !‫ ﺱ‬، ‫ = ﺱ‬i‫ﻗﺎ‬ ‫ﺱ‬

٠! ‫ ﺹ‬، ‫ = ﺹ‬i ‫ﻇﺘﺎ‬ ‫ﻭﻻﺑﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﻋﻠﻰ ﻫﺬه ﺍﻟﺸﺮﻭﻁ ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮﻥ ﻫﺬه‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﻣﻌﺮﻓﺔ‬ : 5 ' # ) ،١< i‫ ﻫﻞ ﺑﺎﻟﻀﺮﻭﺭﺓ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﻗﺎ‬:‫ ﺍﺳﺄﻝ ﻃﻼﺑﻚ‬ .‫? ﻓﺴﺮ ﺇﺟﺎﺑﺘﻚ‬١<i ‫ﻗﺘﺎ‬ 5 ' # ) , -. [١ ،١-] ‫ ﻫﻮ‬i ‫ ﺟﺘﺎ‬، i ‫ﻣﺪﻯ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺟﺎ‬ ]١ ،١-[ - ‫ ﻫﻮ ﺡ‬i ‫ ﻗﺎ‬، i ‫ﻣﺪﻯ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻗﺘﺎ‬

−

/ # 7

:‫ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻛﺎﻵﺗﻰ‬ i ‫ ﻗﺘﺎ‬،i ‫ﻗﺎ‬ i ‫ ﺟﺘﺎ‬،i ‫ﺟﺎ‬ − − ∞− P− − − + + P + + + + Q

∞

. "sf (cłĿ-) Z `

‫ ﻗﺴﻢ ﻃﻼﺏ ﻓﺼﻠﻚ ﺇﻟﻰ ﺃﺭﺑﻊ ﻣﺠﻤﻮﻋﺎﺕ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‬1 ‫ﻭﺃﻋﻂ ﻛﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺭﺳﻢ ﻳﻮﺿﺢ ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ‬ ‫ ﻭﺍﻃﻠﺐ‬،‫ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻓﻰ ﺃﺣﺪ ﺍﻷﺭﺑﺎﻉ ﺍﻷﺭﺑﻌﺔ‬ ‫ ﺛﻢ‬،‫ﺇﻟﻴﻬﻢ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺮﺑﻊ‬ ‫ﺑﺪﻝ ﻫﺬه ﺍﻟﺮﺳﻮﻣﺎﺕ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻣﻴﻊ ﺣﺘﻰ ﺗﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ‬ ِّ ‫ﺇﺗﻘﺎﻥ ﻃﻼﺑﻚ ﻟﻤﻬﺎﺭﺓ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺇﺷﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ .‫ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ ‫ ﺃﻋﻂ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻋﺪﺩﻳﺔ ﻟﺪﻭﺍﻝ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻭﺍﻃﻠﺐ‬2 . ‫ﺇﻟﻴﻬﻢ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ‬3 .‫ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

.i p6 zZr G[kb wV .&sb 2 - PG[y w pkb pOcBr w6 z[b pOBr wV r C c j ^ / 2 :wo G[kb z .& i ^ / r C yr 4cb z6 6Ĕ z c gb 7kb ."r (5 Ů5-) ‫ﺟ‬ (= Ů ŀ ) ‫ب‬ (ŀ- ŮĿ) ‫أ‬ Ł

(U2Of 2zR)

.‫ب ﻣﻮﺟﺒﺔ‬ .‫د ﺳﺎﻟﺒﺔ‬ ‫ﺟـ‬

‫ﺏ‬

‫ﺃ‬

‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

٥ ١٣ ١٢١٣ ٥١٢ ١٣ ٥ ١٢ ٥ ٥ ١٣

٤٥ ٣ ٥ ٤٣ ٥٤ ٥ ٣ ٣٤

١٢ ١٣ ٥ ١٣ ١٢ ٥ ١٣ ١٢ ١٣ ٥ ٥ ١٢

i‫ﺟﺎ‬

‫اﻟﺤﻞ‬ ŀ- = i JƅŮƄŀ- = i "ƅŮƄĿ = i " ‫أ‬ Ŀ

P 2b P 2b wV i z&Ƅ i = ( r C c) X i A2Wj (= Ů5) go G[kb wz .& i r

ń - = i " = = a Ŀ < i " z&ƄƄƄi " = 5ƄŮƄ ŀł

Q ,

Ł ŀ = Ł` ńŀ = Ł = + Ł5 a ŀł j + i " ` ŀŁ - = i "ƅr ƅ ŀŁ = i "ƅƅ ŀŃŃ = i Ł " ` Łń Ł ŀł ŀł ŀŅň ŀŅň - ŀ = i " ` ŀŁ - = i F Ɔ Ɔ ƅ?( / gb) ŀŁ = i " ń ŀł

/7 < 3 − ) M > !?

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

. .&sb 2 - {V w6 z[b pOBr {V yr 3 i z& i J Ůi " ."r Ńń = i " ŮcŀŇĿ > i > cňĿ j ^ / 2 ‫ﻣـﺜـﺎل‬

wV .&sb 2 - PG[y w pkb pOcB r Ůw6 z[b PBsb wV fs62gb r i p6 zZ w b yr 4b j ^ / 4 Q .i yr 4cb z c gb 7kb Pzg" ."r V .( Ńń Ů łń -) G[kb 6

4 , 4 −

i‫ﺟﺘﺎ‬

i‫ﻃﺎ‬

‫اﻟﺤﻞ‬ Ń - = Ń = i JƅŮƅ ł - = ł- = i "ƅŮƅ Ń = i " ł ń ń ń łł - = ł- = i JƅŮƅ ń - = ń =ƆƆ i ZƅŮƅ ń = i Z Ń Ń ł Ń ł‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

pOcB r Ůw6 z[b PBsb wV fs62gb i p6 zZ w b yr 4cb z c gb 7kb Pzg" ."r 3 : z& G[kb wV .&sb 2 - PG[y w pkb

i‫ﻗﺘﺎ‬

ń ŮŀŁƆ-) ‫ﺟ‬ ( ŀł ŀł

i‫ﻗﺎ‬

( Ńń Ɔ- Ů łń ) ‫ب‬

The trigonometric functions of some special angles

Q ,8

i‫ﻇﺘﺎ‬ 5

: äGOÉ°TQEG

C &

8 , −

: ‫ ﺹ( ﺗﻌﻨﻰ ﺃﻥ‬،‫ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ )ﺱ‬ ‫ﺹ‬ i‫ ﺱ = ﻇﺎ‬، i‫ ﺹ = ﺟﺎ‬،i ‫ﺱ = ﺟﺘﺎ‬ ‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ‬ ‫ ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‬٤‫ ﺃ‬، ٣‫ ﺃ‬، ٢‫ ﺃ‬، ١‫ﻭﻣﻘﻠﻮﺑﺎﺕ ﻫﺬه ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﻟﻠﻨﻘﺎﻁ ﺃ‬ .‫ﺑﻴﻨﻬﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ‬

Ŀ< =ƄƄƄŮƄƄƄĿ < 5 z&

ŀ = 5ƄL+ r 2 ƅŮƄ P 02 P/ V ŀ = Ł= + Ł5 ‫ب‬ Ł ŀ = ŀ - ŀ = Ł=ƆƆƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄ is_zV ŀ = Ł= + Ł` ŀ j Ł Ł Ł (AsV2f) Ŀ > ŀ - = =ƆƆ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ ƆƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄŮƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄĿ < ŀ = = ` Ł Ł ŀ = i JƅŮƅ ŀ = i "ƅŮ Ƅ ŀ = i " ` Ł Ł Ŀ < 5ƄiĔƄƄ ŀ = 5 ` ŀ = Ł5Ł ` ŀ = Ł(5) + Ł(5-) ‫ﺟ‬ Ł ŀ ƅ - = =ƆƆ ƄƄƄƄƄŮƄƄ ŀ = 5 ` Ł Ł ŀ ŀ- = i JƄƄƄŮƄƄƄ = i "ƄƄƄŮƄƄƄ ŀ - = i " :is_yr Ł Ł ń - = i " i ^r %łŅĿ > i > %ŁņĿ j ^ / 3 i p6 zZ w b yr 4cb z6 6Ĕ z c gb 7kb Pzg" ."r ŀł Q ‫اﻟﺤﻞ‬

:*3) " ;( , -. .‫ أ ﺳﺎﻟﺒﺔ‬1 .‫ﺟ ﺳﺎﻟﺒﺔ‬ ٤٣٣ = i‫ ﻇﺎ‬، ٥ = i‫ ﺟﺘﺎ‬3

: z Ē z c gb 7kb lf d^ 1 : lzN 1 cņŃĿ " ‫ب‬ cŁŀĿ " ‫أ‬

cłĿĿ - J ‫ﺟ‬

cŀŁłĿ " ‫د‬

ôªà°ùªdG º««≤àdG

P 2b P 2b {V P[ (cłĿ-) p6 zZ w b yr 4b ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

≈fhÉ©àdG º∏©àdG

i ‫ ﻗﺘﺎ‬،i ‫ﻗﺎ‬

P 2b P 2b {V P[ cłŀń p6 zZ w b yr 4b ‫ب‬ cŁňĿ = cłŅĿ - cŅńĿ p6 zZ yr 3 wV _ cŅńĿ p6 zZ w b yr 4b ‫ﺟ‬ . "sf cŅńĿ " ` P 2b P 2b {V P[ cŅńĿ p6 zZ w b yr 4b ` cłłĿ = cłŅĿ +c łĿ - p6 zZ yr 3 V _ (cłĿ-) p6 zZ w b yr 4b ‫د‬ b 6 cłŀń J `

8 , − 6C U Q

Q ,

8 ,

ń ‫أ‬ ( ŀŁ ŀł Ů ŀł )

‫اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﺒﻌﺾ اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﺨﺎﺻﺔ‬

E [kb {V z .&Ė t1s'f .&sb 2 - OGZ : -= s '( .(ŀ- ŮĿ)ŃC Ů(Ŀ Ůŀ-)łC Ů(ŀ ŮĿ)ŁC Ů(Ŀ Ůŀ)ŀC t0b r Ůw6 z[b pOBr {V r C p"sgb yr 4b 5 zZ i j ^r . {V .&sb 2 - r w pkb pOcB PG[y

k (Ŀ Ůŀ) : \(ƅcłŅĿ = i ƅr ƄcĿ =ƄiƄ j ^ / :! Ů2W> = cłŅĿ " = cĿ "ƄŮƄŀ = cłŅĿ " = cĿ "ƄƄ: 2 2W> = cłŅĿ J = cĿ JƆƆ Ƅ ƅ

(ŀ ŮĿ) : \( Ƅƅ rŁ Ƅ=ƄcňĿƄ=ƄiƄ j ^ / : @k ; g (U2Of 2zR)ƄƄƄƄƄƄƄ ŀĿ Ƅ=Ƅ JƅŮƄƄƄŀ = cňĿ "ƄƄƄŮƄƄƄ2W> = cňĿ "ƄƄƄƄ

(Ŀ Ůŀ-) : \( Ƅƅ rƄ= cŀŇĿ = iƄ j ^ / : kH g 2W> = cŀŇĿ JƅŮƄ2W> = cŀŇĿ "ƅŮƄƄƄƄŀ- = cŀŇĿ "ƆƆ ƆƄƄƄ

−

]

.1 2 X M − @/'# X )

AAB

‫ ‬

‫ ‪ 7‬‬

‫ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺄﻥ‪:‬‬

‫ ‪rł Ƅ= cŁņĿ =ƄiƄd; . eW :‬‬ ‫‪(ŀ- ŮĿ) : \( Ƅƅ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ‬‬‫>‪(U2Of 2zR)ƄƄƄ 2W‬‬ ‫‪= cŁņĿ JƄƄƄŮƄƄƄŀ- = cŁņĿ "ƄƄƄŮƄƄƄƄĿ = cŁņĿ "ƆƆƆƆƆƄƄƄƄƄƄ‬‬

‫‪) ١٠ ، ٠ = ٠١ ، ١ = ١١‬ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻑ(‬ ‫ﺩﺍﺋﻤﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ‪ ،‬ﻣﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﻟﻠﺰﻭﺍﻳﺎ‬ ‫ ﺍﺭﺑﻂ ً‬ ‫‪r٣ ، r ، r ، ٠‬‬ ‫ﻼ‪c٢٧٠ ،c١٨٠ ،c٩٠ ،٠ :‬‬ ‫ﻓﻤﺜ ً‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪cŃń ŮcŅĿ ŮcłĿ y r4b 6 z[b z c gb a r.b $ k 6 r d_: d_b G[kb wz .& -.& zb b a _:Ĕ {V 4‬‬ ‫‪Q‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺗﺪﺭﻳﺐ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺈﻋﻄﺎﺋﻬﻢ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺌﺔ‪.‬‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺰﻭﺝ ﺍﻟﻤﺮﺗﺐ )ﺱ ‪ ،‬ﺹ(‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ‪ c٣٠‬ﻭﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ‪.c٦٠‬‬

‫ ‬

‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ ﻃﻮﻝ‬ ‫ﺍﻟﻮﺗﺮ ﻣﺴﺎﻭ ًﻳﺎ ﻟﻠﻮﺣﺪﺓ‪ ،‬ﺛﻢ ﻭﺿﺢ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﺏ )ﺱ‪ ،‬ﺹ( ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ‪ c٤٥‬ﺗﺼﺒﺢ‬ ‫ﺏ ) ‪( ١ ، ١‬‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪Ł‬‬

‫‪c58‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫ ‬

‫‪5‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫ ‬ ‫‪C‬‬

‫ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﺜﻼﺛﻴﻨﻰ‬ ‫ﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ‪ ،‬ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻃﻮﻟﻰ ﺿﻠﻌﻰ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ‬ ‫ﺑﺎﻋﺘﺒﺎﺭ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻮﺗﺮ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻭﺣﺪﺓ ﺍﻟﻄﻮﻝ‪.‬‬

‫‪Q‬‬

‫‪Q‬‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫‪C‬‬

‫‪c78‬‬ ‫ ‬ ‫‪Ł‬‬

‫&‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫‪c64‬‬ ‫ ‬

‫&‬

‫ ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫‪r‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫‪ł " = cłĿ " cŅĿ " - cłĿ " cŅĿ " :i 6 'b bĒ e .+ 6 ir. 5‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪ŀ = cŅĿ "ƄŮƄ ł = cŅĿ "ƄŮƄ ł = cłĿ "ƄŮƄ ŀ = cłĿ "ƄƄ C M‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫` ‪ŀ = ŀ - ł = ŀ * ŀ - ł * ł =ƆƆ lgyĔ U2Gb‬‬ ‫‪Ł Ń Ń Ł Ł Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ =cŃń "ƅŮƄcŃń =ƆƆƆ ƆƆƆƆƆ r a‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ = Ł` ŀ j = cŃń Ł " = r Ł " =Ɔ 27yĔ ƆU2Gb ƆƆƄ‬‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫ ‬

‫ & ‬

‫‪.i yr 7 f i V2Gb `ƄƄ & , lf‬‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪cŃń Ł " cŁņĿ " + cŅĿ Z cĿ " - cŅĿ Ł " cłĿ " ł : gzZ ."r 5‬‬ ‫‪ł‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫^‪: zb b yr 7 gb lf d‬‬ ‫ >' ‪Ê‬‬

‫‪٣ ٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻃﺎ‪ = c٦٠ ٢‬ﻇﺎ ‪ * c٦٠‬ﻇﺎ ‪) =c ٦٠‬ﻃﺎ‪(c٦٠‬‬

‫‪r Ł‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫ب‬ ‫" ‪Ń " - Ń " = Ł‬‬

‫‪r‬‬

‫أ ‪cŀŇĿ " = cňĿ Ł "Ł - ŀ‬‬

‫‪AAA‬‬

‫?! > ‪ /7 < 3 − ) M‬‬

‫‪5‬‬

‫ ﺃﻋﻂ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﺑﺴﻴﻄﺔ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ‪ i‬ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻳﻘﻄﻊ‬ ‫ﻁ‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ (C٣ ،C٢‬ﺣﻴﺚ ‪. ٢ > i>٠‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ C‬ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺎ‪ -i ٢‬ﻃﺎ‪i٢‬‬ ‫) > ‪:6E R.‬‬ ‫ (‪: 5 -‬‬ ‫ب‬ ‫أ ﺟﺎ ‪ + c٣٠‬ﺟﺘﺎ ‪ c٦٠‬ﻇﺎ‪ + c٠‬ﻇﺎ ‪ + c٤٥‬ﻇﺎ ‪c١٨٠‬‬ ‫ﺟ ﺟﺎ ‪ c٣٠‬ﺟﺘﺎ ‪ - c٤٥‬ﺟﺘﺎ ‪ c٣٠‬ﺟﺎ ‪c٤٥‬‬ ‫د ﻃﺎ‪ -c ٦٠ ٢‬ﻗﺎ‪ + c٦٠ ٢‬ﺟﺎ ‪c٩٠‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺑﺄﻥ ‪:‬‬

‫أ ﻛﻞ ﻃﺮﻑ = ‪ ١-‬ب ﻛﻞ ﻃﺮﻑ = ﺻﻔﺮ‪.‬‬

‫) ‪: 5 ' #‬‬ ‫ﻇﺎ‪ ، ٠ > i‬ﻗﺘﺎ ‪٠ <i‬‬ ‫‪r٣ = r* ١٣٥ =(i) X‬‬ ‫‪١٨٠‬‬

‫‪ i‬ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٤‬‬

‫‪º««≤àdGh ÖjQóàdG‬‬

‫‪H 7E T U 3) , -.‬‬ ‫أ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ = ‪ ٢ - ١‬ﺟﺎ ‪١- = ١ * ٢ - ١ = c٩٠‬‬ ‫ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ = ﺟﺘﺎ ‪١- = c١٨٠‬‬ ‫ب ﺟﺘﺎ ‪ ،٠ = r‬ﺣﺘﺎ‪ - r ٢‬ﺣﺎ‪٠ = r ٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪º««≤àdG‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻤﺎﻳﺄﺗﻰ‪:‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ 1‬ﻃﺎ‪ ٢ + c٣٠ ٢‬ﺣﺎ‪] c٤٥ ٢‬ﺍﻟﺠﻮﺍﺏ ‪[ ٤٣ :‬‬

‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪:*3) " ;( , -.‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪ 4‬ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ = ‪( ١ ) (١-) + ٢ * ١ - ٢ ٢ * ١٢ * ٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ = ‪١١ - = ١ - ٢- ٣ * ١ * ٣‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤ ٢‬‬

‫) (‬

‫ ‬

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬

‫‪٢‬‬

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪٣ = ٣ ، ٢ = ١ ، ٣ = ١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪ŀ‬‬‫‪Ł = i " Ů Ł = i " i ^r Ů{6 z[b PBsb {V fs62f i p6 zZ w b yr 4b j ^ / :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ 6‬‬ ‫‪.`b/ (Br ?cŁŃĿ = i is_y i l_ggb lf do‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ٣ 2‬ﻇﺎ ‪ ٢ -c٤٥‬ﺟﺎ ‪c ٦٠‬ﺣﺘﺎ ‪] c٣٠‬ﺍﻟﺠﻮﺍﺏ ‪[ ٣٢ :‬‬

4-4 ‫اﻟﺰاوﻳﺎ اﻟﻤﻨﺘﺴﺒﺔ‬

‫اﻟﺰاوﻳﺎ اﻟﻤﻨﺘﺴﺒﺔ‬

Related Angles

0/ $+ /"B 1 1 / # 3 M 72) F- 451 #\ , Y f 0 i'5 e9: @ H 6 - ,i $aJ# .; 72 8 1 , ' 2 l 2 .; e9: <2 (Z m* i ! c , i ! c 0/ / # 72 9: i ! c , i ! c

‫و‬

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﻓﻜﺮ‬

. pz .& 2^/ r Ů - ?b 1s'f as& 5 _OjĐ G[kb 1s> / G[kb lzÍ N ?w6 z[b PBsb {V / r C c do ?/ r C c 5 zZ f

(i - c١٨٠) ،

i -

i ! A;B ,i I! 1

G[kb 1s> (/= Ů/5) / -= s L1 - ?b 1s'f as& 5 _OjĐ (=Ů5) =- = /= Ů 5- = /5 is_zV

0 7 I. #J- i − cQ B ,i I! 1 0 7 I. #J- i ! c B ,i I! 1 0 7 I. #J-

i ! F@B ,i I! 1

! 0 ZH - 2 - <[ :K/ ] b !% = a % x

‫ى زاوﻳﺘﻴﻦ ﻗﻴﺎﺳﻴﻬﻤﺎ‬7 ‫ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬-

Q ,

i −c F8

UQ ,U

0 7 I. #J-

. q> s* wcN V2O r 5 _OjĐ 61- i \ 6 PBsb {V r C p"sgb yr 4b d [gb d_;b lz y G[kb {V .&sb 2 - PG[y w pkb pOcBr w6 z[b cňĿ > i > cĿ z& i p6 zZ .(= Ů5)

b !# = a # x b !S = a I x

ُ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا"ﺳﺎﺳﻴ‬ ُ ‫ّﺔ‬ Related Angles

X ! 5! & X ! '

:i V `b0b i ZƆƆ Ɔ Ɔ =ƆƆ (i - cŀŇĿ) ZƆƆ ŮƄi "ƆƆ Ɔ Ɔ =ƆƆ (i - cŀŇĿ) " i Z - =ƆƆ Ɔ (i - cŀŇĿ) ZƆƆ ŮƆ Ɔi " - =Ɔ(i - cŀŇĿ) " i J - = (i - cŀŇĿ) JƆƆ ƆŮƆƄi J - =ƆƆ Ɔ(i - cŀŇĿ) J

ŀ - = cŅĿ " - = (cŅĿ - cŀŇĿ) " = cŀŁĿ " :^H=( k Ł ŀ =ƆƆ ƆcŃń "ƆƆ Ɔ =ƆƆ (cŃń - cŀŇĿ) " =ƆƆ cŀłń " Ł ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

:F- ./& 2) H G 3 M F I F- ?H J# %B 72 9: $ .;

cŀńĿ "ƄƄŮ cŀŁĿ "ƄƄŮ

cŀłń J ."r 1

‫ا"دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬

cŀŇĿ = (i - cŀŇĿ) + iƄƄƄ:Řğ ƩũĪ

. Z, %1 OƄƄi - cŀŇĿƄŮ i lz yr 4b i a [y Msg#f r gpz6 zZ lz Y2Wb i yr 3 go : Z, %= .h s[b lf (z'> -¹ .N tr 7y gpz6 zZ

> / B ) - 5OJUB D

> #/& 51 = V

I >.U:9 ' - WH U# - ( 5# d '

" # >.1 2 X M

$ % *MY . Z *MY %B 3 M [ J\ ] *MY . Z ] *MY %B 5 2 J MW [ J\

.(‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ‬

¢SQódG äGAGôLEG ó«¡ªàdG

‫ﻓﻜﺮ وﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﺫﻛﺮ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﺨﻮﺍﺹ ﺍﻻﻧﻌﻜﺎﺱ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ‬ ‫ ﻭﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻭﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬،‫ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ‬ .‫ﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ‬

.i ! c ,i RJ 0/ / K R Hb' 6  .i - c ,i RJ 0/ / K R Hb' 6  .i ! c ,i RJ 0/ / K R Hb' 6  .i ! c ,i RJ 0/ / K R Hb' 6  . / K n) 'K i'5 L ' Xo 6 

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

Q ,

4-4

Related Angles

.1 2 X M − @/'# X )

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

−

AAF

‫ ‬

‫ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﺴﺒﺔ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ‬ ‫ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪Z‬‬

‫‪Q‬‬

‫ ‬

‫‪PA‬‬

‫‪−c‬‬

‫‪i‬‬

‫ ‬

‫‪K‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪Z‬‬

‫]‬

‫ ‬

‫]‬

‫‪Z‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪cPA‬‬

‫‪i+‬‬

‫‪Z‬‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫]‬

‫‪K‬‬

‫‪i‬‬

‫‪Q‬‬ ‫^‪X‬‬

‫‪−c‬‬

‫‪Z‬‬

‫]‬

‫‪Z‬‬

‫]‬

‫ ‪ 5! 1‬‬

‫ ‪ -‬اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ‪7‬ى زاوﻳﺘﻴﻦ ﻗﻴﺎﺳﻴﻬﻤﺎ‬

‫‪،‬‬

‫‪i‬‬

‫)‪(i + c١٨٠‬‬

‫(' ‪: >; -= s‬‬ ‫ ‪wV 5 _OjĐ (= Ů5) G[kb 1s> (/= Ů/5)/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪=Ɔ- = = Ů5Ɔ- = 5 is_zV rƄd>Ĕ G[j‬‬ ‫‪:i V `b0b‬‬

‫‪Q‬‬ ‫ ‪ Q ,‬‬

‫ ‬

‫‪i +c F8‬‬ ‫‪i‬‬

‫ ‬

‫‪U‬‬

‫ ‬

‫‪U‬‬

‫" )‪i Z - =ƆƆ (i + cŀŇĿ) ZƄƄƄŮƄƄƄi " - =Ƅ(i + cŀŇĿ‬‬

‫‪i‬‬

‫ @ _ ‪T ( F‬‬

‫ ‪T ( F T ,‬‬

‫ @ _ ‪T ( F‬‬

‫ ? ‪T ` 5 T 9‬‬

‫ ? ‪" ` 5 T 9‬‬

‫ ? ‪$` 5 G, T 9‬‬

‫ ‪ UQ ,U‬‬

‫" )‪i Z - =ƆƆƆƆ (i + cŀŇĿ) ZƄƄƄŮƆƆƆƄƄi " - = Ɔ(i + cŀŇĿ‬‬

‫‪Q‬‬

‫‪U‬‬

‫‪i JƆƆƆƆƆ = (i + cŀŇĿ) JƄƄƄŮƆƆƄƄƄi JƆƆƆƆƆƆ =ƆƆƆ (i + cŀŇĿ) J‬‬

‫‪k‬‬ ‫(=‪:^H‬‬ ‫" ‪= cŁŀĿ‬‬ ‫" ‪= cŁŁń‬‬ ‫‪= cŁŃĿ J‬‬

‫" )‪ŀ - = cłĿ " - = (cłĿ + cŀŇĿ‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫" )‪ŀ - = cŃń " - = (cŃń + cŀŇĿ‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ł = cŅĿ JƆƆƆƆƆƆ = (cŅĿ + cŀŇĿ) J‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫) ‪:G‬‬ ‫ ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‪ i‬ﺃﺣﻴﺎﻧﺎ ﺑﺎﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺮﺟﻌﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ ‪ i ! c‬ﺃﻭ ‪ i ! c‬ﻭﺗﻌﺮﻑ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺮﺟﻌﻴﺔ‬ ‫ﺑﺄﻧﻬﺎ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ ﺍﻟﻤﺤﺼﻮﺭﺓ ﺑﻴﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‬ ‫ﻭﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ‪.‬‬ ‫ ﺩﺭﺏ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺈﻋﻄﺎﺋﻬﻢ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻭﺍﻃﻠﺐ‬ ‫ﺇﻟﻴﻬﻢ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﺴﺒﺔ‪.‬‬ ‫) > ‪:6E R.‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﺴﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫أ ‪c١٣٠‬‬

‫ب ‪c٢١٠‬‬

‫ﺟ ‪c٣١٥‬‬

‫د ‪r١١‬‬ ‫‪٦‬‬

‫ﻫ ‪r١٣‬‬ ‫‪٦‬‬

‫و ‪r٢-‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪¢SQódG ¢VôY‬‬ ‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪/PPX2 , /PPV2 6 3 4 *3) " ;( , -.‬‬ ‫‪ 1‬ﻇﺎ ‪ = c١٣٥‬ﻇﺎ )‪ - = (c٤٥+ c١٨٠‬ﻇﺎ ‪١- = c٤٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺟﺎ ‪ = c١٢٠‬ﺟﺎ )‪ = (c٦٠+ c١٨٠‬ﺟﺎ ‪٢ = c٦٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪ = ١٥٠‬ﺟﺘﺎ )‪- = (٣٠ - ١٨٠‬ﺟﺘﺎ ‪٢ - = c٣٠‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪١‬‬ ‫ﺟﺎ ‪ = c٢٢٥‬ﺟﺎ )‪- = (c٤٥+ c١٨٠‬ﺟﺎ ‪- = c٤٥‬‬ ‫‪٣٢‬‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪ = c٢١٠‬ﺟﺘﺎ )‪ - = (٣٠ + c١٨٠‬ﺟﺘﺎ ‪٢ - =c ٣٠‬‬

‫ ‬

‫ ‪ −‬‬

‫(' ‪: -= s‬‬ ‫ ‪(= Ů5) G[kb 1s> (/= Ů/5)/‬‬ ‫ ‪=Ɔ- = = Ů 5 = 5 is_zV kz7b 1s'f as& 5 _OjĐ‬‬ ‫‪:i V `b0b‬‬ ‫‪/‬‬

‫ ‪ Q ,‬‬

‫ ‬

‫‪/‬‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫‪i‬‬

‫ ‬ ‫‪i −c578‬‬

‫ ‬

‫‪U‬‬

‫" )‪i Z - =ƆƆƆƆ (i - cłŅĿ) ZƄƄŮƄƄi " - =Ƅ(i - cłŅĿ‬‬

‫ ‪ UQ ,U‬‬

‫" )‪i ZƆƆƆƆ =ƆƆƆƆƆƆ (i - cłŅĿ) ZƄƄŮƆƆƆƄi "ƆƆƆƆ = Ɔ(i - cłŅĿ‬‬

‫ ‬

‫‪U‬‬

‫‪Q‬‬

‫‪U‬‬

‫‪i J - = (i - cłŅĿ) JƅŮƆƆƆƄƄi J - =ƆƆƆ (i - cłŅĿ) J‬‬

‫‪k‬‬ ‫(=‪:^H‬‬ ‫" ‪= cłłĿ‬‬ ‫" ‪= cłŀń‬‬

‫" )‪ŀ -Ƅ=Ɔ cłĿ " - = (cłĿ - cłŅĿ‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫" )‪ŀ Ƅ= cŃń "ƆƆƆƆ = (cŃń - cłŅĿ‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫ﻻﺣﻆ أن‬ ‫ < =‪ i− @H H‬‬ ‫‪ @H H= < $,t; K‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫ ‪ i − c578‬‬

‫‪cłĿĿ JƄŮƄcłłĿ JƄŮƄcłŀń ZƄŮƄcłŀń " :."r 3‬‬

‫‪.cŅňĿ "ƄŮƄ(cłĿ-) JƄƄŮƄƄ(cŅĿ-) "ƄƄŮƄƄ(cŃń-) " - #y `k_gy Xz^ :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬

‫‪AAQ‬‬

‫?! > ‪ /7 < 3 − ) M‬‬

‫‪/PPa2 3 4 5 ' # ) , -.‬‬ ‫ﺟﺎ )‪ - = (c٤٥ - c٣٦٠‬ﺟﺎ ‪١ - =c٤٥‬‬ ‫‪٢ ١‬‬ ‫ﺟﺘﺎ ) ‪ = (c٦٠ - c٣٦٠‬ﺟﺘﺎ ‪=c ٦٠‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫ﻇﺎ )‪ - = (c٣٠ - c٣٦٠‬ﻇﺎ ‪٣ - = ٣٠‬‬ ‫ﺟﺎ ‪ =c ٦٩٠‬ﺟﺎ ) ‪ = (c ٣٣٠ +c ٣٦٠‬ﺟﺎ ‪c٣٣٠‬‬ ‫ﺟﺎ ‪ =c ٣٣٠‬ﺟﺎ )‪ - = (c ٣٠ -c ٣٦٠‬ﺟﺎ ‪١ - =c ٣٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪/PPY2 3 4 *3) " ;( , -.‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺣﺪﺓ ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ‬ ‫‪:/Y2 *3) " ;( ?, 6E‬‬

‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰاوﻳﺘﻴﻦ‪(i-c٩٠)، i‬‬ ‫‪C‬‬

‫ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺃﻥ ﺗﺒﺪﺃ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﻛﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻧﺠﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺏ‬

‫‪c0Q‬‬

‫‪ 3‬ﺟﺎ ‪ = c٣١٥‬ﺟﺎ )‪- = (c٤٥- c٣٦٠‬ﺟﺎ ‪١ - = c٤٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻗﺘﺎ ‪٢ - =c ٣١٥‬‬ ‫‪١‬‬‫ﻇﺎ ‪ = c٣٣٠‬ﻇﺎ )‪ - = (c٣٠ - c٣٦٠‬ﻇﺎ ‪٣ =c ٣٠‬‬ ‫ﻇﺎ ‪ = c٣٠٠‬ﻇﺎ )‪ - = (c٦٠- c٣٦٠‬ﻇﺎ ‪٣ - =c ٦٠‬‬

‫ ‪ -‬اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ‪7‬ى زاوﻳﺘﻴﻦ ﻗﻴﺎﺳﻴﻬﻤﺎ‬

‫‪i‬‬

‫‪(i - c٣٦٠) ،‬‬

‫‪Q‬‬

‫‪i+‬‬

‫ﻗﺎ ‪ =c ٦٠٠‬ﻗﺎ )‪(c٢٤٠ +c ٣٦٠‬‬ ‫ﻗﺎ ‪ = c٢٤٠‬ﻗﺎ )‪ - = (٦٠+ c١٨٠‬ﻗﺎ ‪٢- = ٦٠‬‬ ‫ﻇﺘﺎ ‪ = c٢٢٥‬ﻇﺘﺎ ) ‪ = (c ٤٥ + c١٨٠‬ﻇﺘﺎ ‪١ = c٤٥‬‬

‫‪.cŁŁń JƄŮƄcŅĿĿ ZƄŮƄcŁŀĿ "ƄŮƄcŁŁń " ."r 2‬‬

‫ﺏ‬

‫ﺣﺎ‪ C = i‬ﺟـ ‪ ،‬ﺟﺘﺎ )‪ C = ( i-c٩٠‬ﺟـ ‪،‬‬ ‫‪C‬‬

‫ﻭﺑﻤﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﺘﻴﻦ ﻧﺠﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺟﺘﺎ )‪ = ( i-c٩٠‬ﺣﺎ‪ i‬ﻭﺑﺎﻟﻤﺜﻞ‬ ‫ﻇﺎ )‪ = ( i-c٩٠‬ﻇﺘﺎ‪i‬‬ ‫ﻗﺎ )‪ = ( i-c٩٠‬ﻗﺘﺎ‪i‬‬

‫‪C‬‬

‫‪K‬‬

‫‪i‬‬

‫‪b-‬‬

5OJU# 0

i‫ ( = ﻗﺎ‬i-c٩٠) ‫ﻗﺘﺎ‬ i‫ ( = ﻇﺎ‬i-c٩٠) ‫ﻇﺘﺎ‬ .‫ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺑﺎﻗﻰ ﺍﻟﻨﺴﺐ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

1 .[gb gzZ ."r 6 'b qbĒ e .+ 6 ir. 1 cŁŃĿ J cňłĿ " + (cłĿĿ-) " cŀńĿ " ‫اﻟﺤﻞ‬

ôªà°ùªdG º««≤àdG

١١٥ ‫ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﺻﻔﺤﺔ‬ ٤ = i‫ ( = ﺣﺎ‬i- c٩٠) ‫ﺟﺘﺎ‬ ٥

Ł - = cłĿ "- = ŀ = ŀ = cŅĿ J = cŅĿ J ł

٥ = i‫( = ﻗﺎ‬i - c٩٠ ) ‫ﻗﺘﺎ‬ ٣

١١٥ ‫ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﺻﻔﺤﺔ‬ ١ = i‫ ( = ﺣﺘﺎ‬i + c٩٠) ‫ﺟﺎ‬ ٣ ٢

٣ ٤ - = ٢ = i‫( = ﻗﺘﺎ‬i + c٩٠ ) ‫ﻗﺎ‬

ŀ = cłĿ " = (cłĿ - cŀŇĿ) " = Ł ŀ = cŅĿ " = (cłŅĿ + cłĿĿ-) " = Ł ŀ = cŁŀĿ " = (cłŅĿ * Ł - cňłĿ) " = Ł

cŀńĿ "

(cłĿĿ-) " cňłĿ "

(cłĿ + cŀŇĿ) " = cŁŀĿ " is_ r (cŅĿ + cŀŇĿ) J = ŀ * ( ł -) + ŀ * ŀ = Ł Ł Ł ł ŀ -= ŀ - ŀ = Ń Ł Ń

cŁŃĿ J

1 .[gb

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

ŀ- = (cŁŃĿ-) " cŀńĿ " + (cłĿ-) " cŅĿĿ " i 4

(i - cňĿ) ، UQ ,U U H

Q ,

i − cD8 i

‫ى زاوﻳﺘﻴﻦ ﻗﻴﺎﺳﻴﻬﻤﺎ‬7 ‫ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬-

.r o4^2f 2 - lf 4" 1r #gb d_;b lz y ¹ X?j asF 2 .b w6 z[b PBsb wV fs62fƄi p6 zZ w b yr 4b .HƄ o2GZ :/ ¶" r Ů C r lz c gb \ G lf / / 5 = =ƄƄŮƄƄ= = 5ƄƄƄƄƄƄƄƄ: >; (i -cňĿ)ƄŮ i lz yr 4cb z c gb a r.b Pzg" ! k 6 l_gy `b0b

i Z =ƆƆ (i - cňĿ) ZƅŮƄi " =Ƅ(i - cňĿ) " i Z =ƆƆƆƆ (i - cňĿ) ZƅŮƆƆƆƄi " = Ɔ(i - cňĿ) " i J = (i - cňĿ) JƅŮƆƆƄi J =ƆƆƆ (i - cňĿ) J ‫ﻣـﺜـﺎل‬

( Ńń Ů łń ) G[kb w pkb pOcB 2gyr Ůw6 z[b PBsb wV i p6 zZ w b yr 4b j ^ / 1 (i - cňĿ) JƅŮƄ(i - cňĿ) "ƄƄ : z c gb a r.b ."r V −

.1 2 X M − @/'# X )

AAP

5! 1

‫اﻟﺤﻞ‬ ł = (i - cňĿ) "Ƅ` ń Ń = (i - cňĿ) JƄ` ł

i " = (i - cňĿ) "Ƅa i J = (i - cňĿ) JƄa ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

(i - cňĿ) ZƄŮ (i - cňĿ) " ."r \ 7b a gb wV 5

(i + cňĿ) ، UQ ,U U i

‫ى زاوﻳﺘﻴﻦ ﻗﻴﺎﺳﻴﻬﻤﺎ‬7 ‫ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬- ¶" rƄŮƄr /¶" / ƄL@H H= S MM L1

Q Q ,

=- = /5ƅŮƅ5 = /=

(θ + cňĿ) Ů ilz yr 4cb z c gb a r.b Pzg" ! k 6 l_gy `b/ lfr :w Ē ^ i Z =ƆƆ Ɔ Ɔ (i + cňĿ) ZƅŮƄi " =Ƅ(i + cňĿ) "

i Z- =ƆƆ Ɔ (i + cňĿ) ZƅŮƆƆ Ƅi "- = Ɔ(i + cňĿ) " i J- = (i + cňĿ) JƅŮƆƆƄi J- =ƆƆ (i + cňĿ) J ‫ﻣـﺜـﺎل‬

( Ł ł Ł Ů ŀł ) G[kb w pkb pOcB 2gy w6 z[b PBsb wV i p6 zZ w b yr 4b j ^ / 2 (i + cňĿ) ZƄŮƄ(i + cňĿ) J z c gb a r.b ."r ‫اﻟﺤﻞ‬

ŀ Ń - = Ł Ł - = (i + cňĿ) J ` ł = (i + cňĿ) Z `

i J - = (i + cňĿ) J a i Z = (i + cňĿ) Z a ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

(i + cňĿ) Z Ů (i + cňĿ) "Ƅ:."r \ 7b a gb wV 6

AAE

E R. 9 ) : ‫ﻛﻼ ﻣﻤﺎﻳﺄﺗﻰ‬ ًّ ‫ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﻘﻖ‬i ‫ﺃﻭﺟﺪ ﺇﺣﺪﻯ ﻗﻴﻢ ﺯﺍﻭﻳﺔ‬ (c١٠ - i٢ ) ‫( = ﻗﺎ‬c٢٥ + i) ‫ ﻗﺘﺎ‬/P2 ( i+c٩٠ ) ‫( = ﻇﺎ‬c٣٠ - i) ‫ ﻇﺘﺎ‬/V2 i‫= ﺣﺎ‬i ‫ ﺟﺘﺎ‬/X2 (c٣٠ +i ٣ ) ‫( = ﺟﺘﺎ‬c٢٠ + i) ‫ ﺟﺎ‬/Y2 : , -C c١٠/Y2 c٤٥ /X2 c١٥/V2 c٢٥ /P2

/7 < 3 − ) M > !?

: 5 ' # ) :‫ﺃﻭﺟﺪ ﺃﺻﻐﺮ ﻗﻴﺎﺱ ﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ‬ ٠ = ٣ - i‫ ﻃﺎ‬، ٠ = ٣ +i ‫ ﺟﺎ‬٢ : ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻥ‬ ٣ ٠ < ٣ = i‫ ﻃﺎ‬، ٠ > ٢ -= i‫ﺣﺎ‬ ‫ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬i c‫ﻟﺬﻟﻚ ﻓﺈﻥ ﻗﻴﺎﺱ‬ c٢٤٠ =c ٦٠ + c١٨٠ =(i c) X ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ‬ ‫( ﻣﻦ‬١١٦) ‫( ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬i- c٢٧٠) ، i .‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬

−

5OJU# 0

ôªà°ùªdG º««≤àdG

*3) " ;( , -. ٣ - = i‫( = ﻇﺘﺎ‬i - c٢٧٠)‫ ﻇﺎ‬7 ٣ ٢ ٣ = i‫( = ﻗﺎ‬i - c٢٧٠)‫ﻗﺘﺎ‬ ،‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ‬ ‫( ﻣﻦ‬١١٦) ‫( ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬i + ٢٧٠)،ci .‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬

(i - cŁņĿ)

i Z - =ƆƆ (i - cŁņĿ) ZƅŮƄi " - =Ƅ(i - cŁņĿ) "

‫ى ﻟﺰاوﻳﺘﻴﻦ ﻗﻴﺎﺳﻴﻬﻤﺎ‬7 ‫ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬-

lz yr 4cb z c gb a r.b Pzg" ! k 6 l_gy `b0b :w Ē ^ (i - cŁņĿ) Ůi

Q ,

i Z - =ƆƆ Ɔ Ɔ (i - cŁņĿ) ZƅŮƆƆ Ƅi " - =Ɔ Ɔ(i - cŁņĿ) "

UQ ,U U

i JƆƆ = (i - cŁņĿ) JƆƆ Ɔ Ɔ ŮƆ Ƅi JƆƆ Ɔ =ƆƆ (i - cŁņĿ) J

‫ﻣـﺜـﺎل‬

ł ."r V ( ŀŁ Ů Ł ) G[kb w pkb pOcB 2gy w6 z[b PBsb wV fs62gb i p6 zZ w b yr 4b j ^ / 3 (i -À ŁņĿ) JƄƄŮƄ(i -À ŁņĿ) " : z c gb a r.b ‫اﻟﺤﻞ‬ ŀ - = Ł - = (i - cŁņĿ) " ` Ł Ń ŀ = Ł = (i - cŁņĿ) JƄ` ł ł Ł

i " - = (i - cŁņĿ) "Ƅa i JƆƄ = (i - cŁņĿ) JƄa ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

/PPA2 3 4 *3) " ;( , -. ٢ - = i‫ ﻃﺎ‬- = ( i+c ٢٧٠ ) ‫ ﻇﺘﺎ‬8

(i - cŁņĿ) Z Ů(i - cŁņĿ) J ."r \ 7b a gb wV 7

(i + cŁņĿ) Q

‫ى زاوﻳﺘﻴﻦ ﻗﻴﺎﺳﻴﻬﻤﺎ‬7 ‫ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬- ¶" r Ůr /¶" / :lz c gb \ G lf

Q ,

(i + cŁņĿ) Ů i lz yr 4cb z c gb a r.b Pzg" ! k 6 l_gy `b0b :w Ē ^ i Z - =ƆƆ (i + cŁņĿ) ZƄŮƄi " - =Ƅ(i + cŁņĿ) " i ZƆƆ Ɔ Ɔ =ƆƆ Ɔ (i + cŁņĿ) ZƄŮƆ ƆƄi "ƆƆ Ɔ = Ɔ(i + cŁņĿ) " ƆƆƆƆƆƆƆ

Q , U

i J - = (i + cŁņĿ) JƄŮƆƆƄi J - =ƆƆ (i + cŁņĿ) J ‫ﻣـﺜـﺎل‬

ń a r.b ."r V ( Łł Ů ł ) G[kb w pkb pOcB 2gy w6 z[b PBsb wV i p6 zZ w b yr 4b j ^ / 4 (i + cŁņĿ) ZƅƄŮƅƄ(i + cŁņĿ) " : z c gb

: ‫ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻫﻮ‬ ‫ ﺣﻴﺚ ﻥ ∋ ﺹ‬r‫ ﻥ‬٢ + r٣٥ ‫ ﺃﻭ‬r‫ ﻥ‬٢ + r ٣

‫ﺟـ‬ ‫ ﻥ ﺣﻴﺚ ﻥ ∋ ﺹ‬r ٢ + r ٢ =i!i r ‫ ﻥ‬٢ + r ٢ = i ٦ : ‫ﺃﻯ‬ r = i ‫ ﺃﻯ‬ r ‫ ﻥ‬١٣ + ١٢ r ‫ ﻥ‬٢ +r ٢ = i ٤ ‫ﺃﻭ‬ r ‫ ﻥ‬١٢ + r ٨ = i 10 i‫ ﺣﺘﺎ‬- = (i - r ٢ ) ‫ ﻷﻥ ﺟﺎ‬،‫ﺇﺟﺎﺑﺔ ﺯﻳﺎﺩ ﺧﻄﺄ‬ i‫( = ﺣﺘﺎ‬i - r ٢ ) ‫ﻭﺍﻟﺼﻮﺍﺏ ﻫﻮ ﺟﺎ‬

¶" rƄŮƄr /¶" / L@H H= S MM L1

: ôªà°ùªdG º««≤àdG

٢ - = i‫ ﻗﺎ‬- ( i+ c٢٧٠ ) ‫ﻗﺘﺎ‬ r =i٢!i٤ ‫ أ‬9 ٢ r r ١٢ = i ‫ ﺃﻯ‬، ٢ = i ٦ ‫ﺇﻣﺎ‬ r = i ‫ ﺃﻯ‬، r = i ٢ ‫ﺃﻭ‬ ٤ ٢ r r ‫ﻥ‬٢ + r ٤ ‫ ﺃﻭ‬r ‫ﻥ‬٢ + ١٢ : [ *3 ١ = i‫ ﺃﻯ ﺟﺘﺎ‬٤ = (i - r ) ‫ب ﺟﺎ‬ ٢ ٥ ٢

.1 2 X M − @/'# X )

−

5! 1

º««≤àdGh ÖjQóàdG

‫اﻟﺤﻞ‬

ł -= łƆ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ = Ł

(i + cŁņĿ) " `

i " - = (i + cŁņĿ) " a

(i + cŁņĿ) Z `

i ZƆƆ Ƅ= (i + cŁņĿ) Z a

‫ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

.(i + cŁņĿ) ZƅŮƄ(i + cŁņĿ) J ."r \ 7b a gb wV 8

(b ÉàX =a ÉX ,b Éàb =a Éb ,b ÉàL =a ÉL) :IQƒ°üdG ≈∏Y ≈àdG á«ã∏ãªdG ä’OÉ©ª∏d ΩÉ©dG πëdG General solution of trigonometric equations as the form [tan(a) = cot(b), sec(a) = cscb(b), sin(a) = cos(b)]

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫و‬

‫ﻓﻜﺮ‬

Ůb " = a " i V (cňĿ gpz6 zZ Msg#f t ) lz f f lz yr 3 6 zZ go b Ůa i ^ / qj 61- i \ 6 cŀń " = i " j ^ / V i - & i yr 3 b Ůa z&cňĿ = b + a i V `b/ lfr b J = a J Ůb Z = a Z ? OZs gb i yr 3 hzZ wo gV

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ r

Ł =b+a

Ł =b- a

:i V (lz f f lz yr 3 6 zZ b Ůa z&) b " = a " i ^ / - b - rŁ = a : \( y e L1 (b - rŁ ) " = a " ½ b + rŁ = a

: \( y e L1

(b + rŁ ) " = a " ½

: \( rŁ W N ǽ I@0 irŁ ( \ :d gb Ů(N ǽ i z&)

irŁ + rŁ = b ! a \(

b " = a "ƆƆ 1 %+

Ů(N ǽ i z&) r (ŀ + iŁ) ! bƄƄŮ r i ! a Ł

irŁ + rŁ = b ! a \(

b Z = a ZƄ 1 %+

r =b+a Ł

rł = b + a Ł

: i V (lz f f lz yr 3 6 zZ b Ůa z&) b J = a J i ^ / - b- r (b - rŁ ) J = a J ½ Ł = a : \( y e L1 b - rŁł = a : \( y e L1

(b - rŁł ) J = a J ½

: \( rŁł , rŁ L@ W Nǽ I@0 rŁ ( \ Ů(N ǽ i z&) r i ! bƄƄŮƄƄ r Ł (ŀ + iŁ) ! a

AA@

ir + rŁ = b + a \(

b J = a JƄ 1 %+

/7 < 3 − ) M > !?

‫ﻣـﺜـﺎل‬

i " = i Ł " : b- Ogb d& 5 ‫اﻟﺤﻞ‬

i " = i Ł "ƄƄ: V =

V = h / M L1

(N ǽ i)ƄƄƄirŁ + rŁ = i ! iŁƄƄƄƄƄ

irŁ + rŁ = iłƄƄ: Ɔ ƆƄƄƄirŁ + rŁ = i +iŁƆƆ ƄƄƄ 1W ir Łł + rŅ = iƄƄƄƄƄƄ

5 + L@(/M =,-

irŁ + rŁ = iƄƄ: Ɔ Ɔ ƄƄƄirŁ + rŁ = i - iŁƆƆ Ɔ ƄƄƄ & ƄirŁ + rŁ ƄƄr ƄƄir Łł + rŅ Ƅ:so b- Ogb d& ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

: z Ē Đ- Ogb lf d_b e Ob d'b ."r 9 i " = i ń " ‫ﺟ‬

ŀ = (i - rŁ ) "Ł ‫ب‬

i Ł " = i Ń " ‫أ‬

( Ł - i) " gzZ - #y - y3r hy2^ lf hcOgb cF zB y2b [ 7f t.& wV :ĦƥŲǤĝ ƼƖņǕĝ 10 .`b/ 27V Í ? 'z'> q " gpy V

V O W [(i - rŁ ) -] "ƆƆ Ɔ = ( rŁ - i) " r (i - Ł ) "- =ƆƆ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ i " = (i " -) - =ƆƆ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ

C /. W ( rŁ - i + rŁ) "ƆƆ Ɔ = ( rŁ - i) " (i + rȊ Ł ) "ƆƆ Ɔ Ɔ =ƆƆ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ i " - =ƆƆ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ Ɔ

i‫ ﻭﺑﻘﺴﻤﺔ ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﺟﺘﺎ‬i‫ = ﺟﺘﺎ‬i ‫ ﺟﺎ‬a ‫أ‬ {r ٤ } ‫ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻫﻰ‬، ١ = i‫ﺗﻜﻮﻥ ﻇﺎ‬ r = i + i ` i‫ = ﺟﺘﺎ‬i‫ ` ﺟﺎ‬:‫ﺣﻞ ﺁﺧﺮ‬ ٢ r = i ` ٤ r =i٢` r =i+ r +i ‫ب‬ ٢ ٢ ٢ {r ٦ } ‫` ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻫﻰ‬ ١ = i‫` ﺟﺎ‬ ١ = i‫ ﺟﺎ‬٢ ‫ﺟ‬ ٢ {r ٦ } ‫` ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻫﻰ‬ ١ = (i - r ) ‫ ﺟﺘﺎ‬: ‫ﺣﻞ ﺁﺧﺮ‬ ٢ ٢ r ‫( = ﺟﺘﺎ‬i - r ) ‫` ﺟﺘﺎ‬ ٣ ٢ r r ‫ ﻭﻫﻨﺎﻙ ﺣﻠﻮﻝ ﺁﺧﺮﻯ‬r ٦ = i ‫ ﺃﻯ ﺃﻥ‬٣ = i - ٢ ` º««≤àdG ‫ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻳﻤﺮ‬i ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ :‫( ﻓﺄﻭﺟﺪ‬٤- ،٣) ‫ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ‬

(i + r٣٥ ) ‫ ﻇﺎ‬،(i - r٣٥ ) ‫ ﺟﺎ‬،(i + r ٣ ) ‫ﺟﺘﺎ‬

:ø«bƒØàªdG ÜÓ£∏d ≈FGôKEG •É°ûf ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺿﻊ‬ ‫ﻛﻼ ﻣﻦ‬ ًّ ‫ ﻓﺄﻭﺟﺪ‬،‫ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻳﻘﻄﻊ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ‬ :‫( ﻟﻜﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ‬i - c٢٧٠) ‫ ﻇﺎ‬،(i + c٩٠) ‫ ﺟﺘﺎ‬،(i - c٩٠) ‫ﺟﺎ‬ ٢ ٢ ( ٢ ، ٢ -)‫ب ﺏ‬

٨ ، ١٥ )‫أ ﺏ‬ ( ١٧ ١٧

( ٣٥ - ، ٤٥ )‫د ﺏ‬

٣ ( ١٢ - ، ٢ )‫ﺟ ﺏ‬

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ŀ = (i - rŁ ) "Ł ‫ﺟ‬

: z Ē Đ- Ogb lf d^ \[' w b r ] rŁ ŮĿ[ ǽ θ z& θ hzZ Pzg" ."r ‫ب‬ i Z = ( r Ŀ= i " - i " ‫أ‬ Ņ - i) Z

−

AA;

−

5-4 ‫اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

5-4

Graphing Trigonometric Functions ‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

Graphing Trigonometric Functions

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

: C M z2* e ! ! ) a H f / $V g e ! ! 2b! ) % H f / $V g

72 9: p; L #J 3 6 3 a .J ) 3 M 72) F- 451 3 a .J ) .U*UB @12 M \ ./& MO5B <2 8 'J 8 1 > e9$ M O5 q f i' ./& 8 'J L #J 3 6

ُ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا"ﺳﺎﺳﻴ‬ ُ ‫ّﺔ‬

Cosine Function

2b! ) % H

Maximum Value

c #

Minimum Value

dV #

:F- ./& 2) H G 3 M F I F- ?H J# %B 72 9: $ .; >< M'B <r; N 3 s ) @1  >3 s ) q t cJUJO 

rŁ

rŀŀ Ņ

rň Ņ

rņ Ņ

rń Ņ

rł Ņ

r Ņ

ĿŬń

i "

.qF [j Pzg" dz>s wk'kgb h61 ‫ا"دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬

. z .&Ė _ : wcN pzcN c?& w b E [kb Pzg" lzN .qF [j Pzg" dz>s wk'kgb h61 dg^

& /

& Q

_ ) & / `& .

>LuJ 3 6 ) q t cJUJO 

r&− r5−U&

r−

r−U&

rU&

r5U&

−

U &− Q

3 6 3 s .J 4/'J+ .J _ 0 M " 5MJ i' XQ 

?` " 27V Í .wk'kgb 0pb t2S>½ hzZ r wgKN½ hzZ -s"r K&Đ do

> vY # H - .#w& # H - L #+ 3 6 ) - 3 6 )

> B 12 cB - + 5#\ - B 12 51 = V - #/& 51 = V

I - bIW# X= - 8 WJ\n - WH U# - . 'J @/'J >[ 1 * #/' 51 * L fJ1 x 2 J

" # >.1 2 X M

$ % *MY . Z *MY %B 3 M [ J\ yY 5 2 J MW [ J\

.(‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ‬

¢SQódG äGAGôLEG

:‫ ﻓﻜﺮ وﻧﺎﻗﺶ‬:‫ﺗﻤﻬﻴﺪ‬ ‫ﺑﻴﻦ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﻣﺪﻯ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﺎﺕ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﺼﻮﺗﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻷﺟﻬﺰﺓ‬ ‫ ﻭﺣﺮﻛﺔ ﺍﻟﺨﻔﺎﻓﻴﺶ ﻓﻰ‬،‫ ﻭﻧﻘﻞ ﺍﻟﻤﻮﺟﺎﺕ ﻋﺒﺮ ﺍﻷﺛﻴﺮ‬،‫ﺍﻟﻄﺒﻴﺔ‬ .‫ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺣﺮﻛﺔ ﺍﻟﻐﻮﺍﺻﺎﺕ ﻓﻰ ﺃﻋﻤﺎﻕ ﺍﻟﻤﻴﺎه‬،‫ﺍﻟﻈﻼﻡ‬

‫ﻋﻤﻞ ﺗﻌﺎوﻧﻰ‬ :` đf3 Pf ] 2 :Đ wb b ar.#b dg^

.\ 7b ar.#b wV -s"sgb hz[cb wOg#b 5s_Ogb hzZ f.+ 7f 2* Đr." ;j

>< M'B <r; N LuJ 3 6 ) @1 

>LuJ

‫ﻓﻜﺮ‬

Ö«édG ádGód ≈fÉ«ÑdG π«ãªàdG

Represent sine function graphically

) a H

Sine Function

‫و‬

--2 wcN z s?b YsV "sgb .g O 2= <2I g^ . "sgb asF wV Xc + zb N 2= <2I pf.+ 7 r Ůw Gb 2ys? b wV e.+ 7 2= <2I Y gN wV dgOy 1 - 1 3 p#^ > sSb "sgb m0o dz g .kNr. Gz'gb ] đf3r j hZ e g b z"r z#b b - = s* U2O b zj z GG+g : zb b zjr O b a gNĔ

.1 2 X M − @/'# X )

/7 < 3 − ) M > !?

‫‪¢SQódG ¢VôY‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﺧﻮاص داﻟﺔ اﻟﺠﻴﺐ‬

‫‪Properties of the sine function‬‬

‫‪:i V i " = (i)- z& - b .b wV‬‬ ‫‪[ŀ Ůŀ -] o .fr Ů ]' Ů' -[ so z#b b - a #f +‬‬ ‫‪1 7zb r lzgzb wb [rŁŮĿ] 2 Wb wV wk'kgb & 3 l_gy qj t rŁ 1r- / y1r- b - z#b b - +‬‬ ‫‪. 0_or ... Ů .&r rŅ Ů .&r rŃ Ů .&r rŁ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪Nǽi‬‬ ‫‪ri Ł + Ł = i E [kb .kN .' r ŀ tr 7 z#b b .b wgKOb gz[b +‬‬ ‫‪rł‬‬ ‫‪N ǽ i ri Ł + Ł = i E [kb .kN .' r ŀ -tr 7 z#b b .b t2S?b gz[b +‬‬

‫‪ΩÉªàdG Ö«Lh Ö«édG ≈àdGód ≈fÉ«ÑdG π«ãªàdG :º∏©J‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺑﻨﺪ ﻋﻤﻞ ﺗﻌﺎﻭﻧﻰ ﺻﻔﺤﺘﻰ )‪(١٢٠) ،(١١٩‬‬

‫ﻋﻤﻞ ﺗﻌﺎوﻧﻰ‪:‬‬

‫‪ΩÉªàdG Ö«L ádGód ≈fÉ«ÑdG π«ãªàdG‬‬

‫ً‬ ‫ﺟﺪﻭﻻ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﻴﻦ‪ ،‬ﻭﺿﻊ ﺑﻪ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬ ‫ﺃﻧﺸﺊ‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ‪ i‬ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ]‪ ،[r٢ ،٠‬ﻭﻗﺴﻢ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺎﺕ‪ ،‬ﺍﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺎﺕ ﺇﻛﻤﺎﻝ ﺟﺪﻭﻝ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ‪ ،‬ﻭﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺎﺕ ﺍﻷﺧﺮﻯ ﺇﻛﻤﺎﻝ ﺩﺍﻟﺔ ﺟﻴﺐ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ‪ ،‬ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺭﺳﻢ ﻧﻘﺎﻁ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﻋﻠﻰ ﻭﺭﻕ ﺭﺳﻢ‬ ‫ﺑﻴﺎﻧﻰ ﻭﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺧﻮﺍﺹ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ‪ ،‬ﺍﻟﻤﺪﻯ‪،‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻌﻈﻤﻰ‪ ،‬ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺼﻐﺮﻯ ﻣﻊ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺃﻭﺟﻪ ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ‬ ‫ﻭﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺑﻴﻦ ﺩﺍﻟﺘﻰ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﻭﺟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ‪.‬‬

‫‪Represent cosine function graphically‬‬

‫ﻋﻤﻞ ﺗﻌﺎوﻧﻰ‬ ‫ ^‪:` đf3 Pf ] 2 :Đ wb b ar.#b dg‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪Ņ‬‬

‫" ‪i‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪ĿŬŇ‬‬

‫‪rń‬‬ ‫‪Ņ‬‬

‫‪rł‬‬ ‫‪Ņ‬‬

‫‪rņ‬‬ ‫‪Ņ‬‬

‫‪r‬‬

‫‪rň‬‬ ‫‪Ņ‬‬

‫‪rŀŀ‬‬ ‫‪Ņ‬‬

‫ ‪.qF [j Pzg" dz>s wk'kgb h61‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫"‪.\ 7b ar.#b wV -s"sgb hz[cb wOg#b 5s_Ogb hzZ f¹ .+ 7f 2* Đr.‬‬ ‫ ‪ ;j‬‬ ‫ ‪. z .&Ė _ : wcN pzcN c?&¼ w b E [kb Pzg" lzN‬‬ ‫ ^‪.qF [j Pzg" dz>s wk'kgb h61 dg‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫ ‬ ‫&‪r‬‬

‫&‪r5U‬‬

‫‪r‬‬

‫‪Q‬‬

‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫ ‬

‫&‪rU‬‬

‫‪U‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫‪ −‬‬

‫ ‬

‫‪U‬‬

‫&‪r−U‬‬

‫ﺧﻮاص داﻟﺔ ﺟﻴﺐ اﻟﺘﻤﺎم‬

‫‪r−‬‬

‫&‪r&− r5−U‬‬

‫‪Properties of cosine function‬‬

‫‪:i V i " = (i)- z& - b .b {V‬‬ ‫‪[ŀ Ůŀ-] o .fr Ů ]' Ů'-[ so e g b z" b - a #f +‬‬

‫‪/PVV2 3 4 *3) " ;( , -.‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﺴﻔﻴﻨﺔ ﺩﺧﻮﻝ ﺍﻟﻤﻴﻨﺎﺀ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻥ ∋ ]‪ [١٢ ،٠‬ﺑﺎﻟﺴﺎﻋﺎﺕ‪.‬‬

‫‪1 7zb r lzgzb wb [rŁ ŮĿ] 2 Wb wV wk'kgb & 3 l_gy qj t ŮrŁ 1r- / y1r- e g b z" b - +‬‬ ‫‪. 0_or ... Ů .&r rŅ Ů .&r rŃ Ů .&r rŁ‬‬

‫‪AFB‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪´É°ùJG‬‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﺍﻟﺘﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺩ)ﺱ( = ‪ C‬ﺟﺎ ﺏ‬ ‫ﻭﺩﺍﻟﺔ ﺟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ ﺍﻟﺘﻰ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺩ)ﺱ( = ‪ C‬ﺟﺘﺎ ﺏ‬ ‫ﻟﻬﺎ ﺍﻟﺨﻮﺍﺹ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪r٢‬‬ ‫ﺳﻌﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻫﻰ |‪ |C‬ﻭﻃﻮﻝ ﺩﻭﺭﺗﻬﺎ |ﺏ|‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺹ = ‪ ٢‬ﺟﺎ‪ i٣‬ﻓﺈﻥ‬ ‫ﺍﻟﺴﻌﺔ |‪ ٢ = |٢‬ﻭﻃﻮﻝ ﺍﻟﺪﻭﺭﺓ = ‪، r٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺹ = ‪ ١٢‬ﺟﺘﺎ‪i٤‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺴﻌﺔ = ‪ ، ١‬ﻃﻮﻝ ﺍﻟﺪﻭﺭﺓ = ‪r‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬

‫ ‪T 5 KIM E R. S‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻔﻴ ﺎﺀ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﺳﻘﻄﺖ ﺣﺸﺮﺓ ﻓﻰ ﺷﺒﻜﺔ ﺍﻟﻌﻨﻜﺒﻮﺕ ﻓﺈﻧﻬﺎ‬ ‫ﺗﻬﺘﺰ ﺑﺘﺮﺩﺩ ﻳﺒﻠﻎ ‪ ١٠‬ﻫﻴﺮﺗﺰ )ﺃﻯ ‪ ١٠‬ﺩﻭﺭﺍﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪﺓ(‪.‬‬ ‫أ ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺩﻭﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‪.‬‬ ‫ب ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺳﻌﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﻭﺣﺪﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ‪ .‬ﻓﺎﻛﺘﺐ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﻛﺪﺍﻟﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺹ ﻓﻰ ﺍﻟﺰﻣﻦ ﻥ‬ ‫ﻭﻣﺜﻠﻬﺎ ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ‪.‬‬

‫‪ k‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪rŁ‬‬

‫ ‪:*3‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪ a‬ﻃﻮﻝ ﺍﻟﺪﻭﺭﺓ = ﺍﻟﺘﺮﺩﺩ‬ ‫` ﻃﻮﻝ ﺍﻟﺪﻭﺭﺓ = ‪١‬‬ ‫‪ ٠٫١ = ١٠‬ﺛﺎﻧﻴﺔ‬ ‫‪r٢‬‬ ‫‪ a‬ﻃﻮﻝ ﺍﻟﺪﻭﺭﺓ = |ﺏ|‬ ‫‪r٢‬‬ ‫‪r٢‬‬ ‫` ﺏ = ‪٠٫١‬‬ ‫` ‪| = ٠٫١‬ﺏ|‬

‫` ﺏ = ‪r٢٠‬‬

‫‪ a‬ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ‬ ‫ﺹ = ‪ C‬ﺟﺎﺏ‪i‬‬ ‫‪VQ = K , P = C T+ d ,‬‬ ‫` ﺹ = ‪١‬ﺟﺎ‪r٢٠‬ﻥ‬ ‫ ﺹ = ‪١‬ﺟﺎ‪r٢٠‬ﻥ‬

‫ ‪ / # / . 5 X #J‬‬ ‫ ! < ‪ 7‬‬

‫‪´É°ùJEG‬‬

‫‪Nǽi‬‬

‫‪ri Ł! = i E [kb .kN .' rŀtr 7 e g b z" b .b wgKOb gz[b +‬‬

‫‪N ǽ i irŁ ! r = i E [kb .kN .' r ŀ - tr 7 e g b z" b .b t2S?b gz[b +‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪.gb ^2& #z j O¹ W 2f m zgb ts 7f i ^ / kzgb wb as*.b lW7b t.&Ė l_gy :ĖģʞʶŐƽǤģś ƤśƄǤĝ 1‬‬ ‫‪ ZđOcb PC+ eszb `b/ wV 10#b r .gb ^2& j ^r Ů1 f ŀĿ lN m zgb \gN d[y Đ z' Ů10#b r‬‬ ‫‪ 7& e Kkb O¹ N 7b dzcb X? kf .O wC[ky t0b lf4b so i z& ŀĿ + c(i ŀń) " Ņ = U‬‬ ‫ ‪. f¹ g 1 f ŀĿ kzgb wV m zgb \gN pzV Tc y w b 2gb -.N ."r . N 6 ŁŃ ¶ Zsb‬‬ ‫ ‪.eszb k 10#b r .gb ^2& 2zS Pf m zgb \gN 2zS y Xz^ lz y zÊ j z ¹GG+f h61‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫ ‪wo 1 fĔ (U) m zgb \gNr N 7b (i) lf4b lz ZđOb‬‬ ‫‪ 8 + c 4 7 = z : A^ L1‬‬ ‫‪ 8 = ŀĿ + Ŀ " Ņ = ŀĿ + c(Ŀ * ŀń) " Ņ = U 8 = 1 %+‬‬ ‫‪ŀĿ + c(Ņ * ŀń) " Ņ = U 7 = 1 %+‬‬

‫‪ / 1‬‬ ‫‪k z‬‬ ‫‪ 7‬‬ ‫‪ 6‬‬ ‫& ‬ ‫‪ 8‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪7‬‬

‫= ‪ 7 = ŀĿ + cňĿ " Ņ‬‬

‫‪ 8 = ŀĿ + cŀŇĿ " Ņ = ŀĿ + c(ŀŁ * ŀń) " Ņ = U & = 1 %+‬‬ ‫‪6 = ŀĿ + cŁņĿ " Ņ = ŀĿ + c(ŀŇ * ŀń) " Ņ = U F = 1 %+‬‬

‫ب ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺴﻌﺔ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﻭﺣﺪﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻓﺎﻛﺘﺐ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﺟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﻣﻮﺟﺎﺕ ﺍﻟﺼﻮﺕ‬ ‫ﻭﻣﺜﻠﻬﺎ ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ‪.‬‬

‫‪ F‬‬

‫& ‬

‫‪7‬‬

‫ ‬

‫ ‪ŁŃ ŀŇ ŀŁ Ņ Ŀ ? + ,‬‬ ‫‪ŀĿ Ń ŀĿ ŀŅ ŀĿ

1G z‬‬ ‫‪

1 8 { ZM l @= S=+ : >; < > L1‬‬ ‫‪ + * &6 , & , 8 = 1 %+‬‬

‫‪º««≤àdGh ÖjQóàdG‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪º««≤àdG‬‬

‫‪? kzgb wb as*.b kzW7b pzV PzG 7 w b eszb ađ* N 7b -.N ."r \ 7b a gb {V 1‬‬

‫ﻛﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ‬ ‫‪ 1‬ﻣﺜﻞ ًّ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﺮﺳﻮﻣﻴﺔ ﺃﻭ ﺃﺣﺪ ﺑﺮﺍﻣﺞ ﺍﻟﺤﺎﺳﻮﺏ ﺍﻟﺮﺳﻮﻣﻴﺔ‪.‬‬

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫‪[rŁ ŮĿ] ǽ 5 z&ƄƄƄƄƄƄƄƄ5 "ł = =ƄƄ b .b wk'kf h61 1‬‬ ‫‪[rŁ ŮĿ] ǽ 5 z&ƆƆ ƄƄƄƄƄƄƄ5 "Ł = =ƄƄ b .b wk'kf h61 2‬‬

‫?! > ‪ /7 < 3 − ) M‬‬

‫أ ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺩﻭﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺮﺩﺩﻫﺎ ‪ ٢٠‬ﻫﻴﺮﺗﺰ‪.‬‬

‫‪6‬‬ ‫&‬

‫‪ 8 = ŀĿ + cłŅĿ " Ņ = ŀĿ + c(ŁŃ * ŀń) " Ņ = U &6 = 1 %+‬‬ ‫ * ‪ +‬‬ ‫‪&6‬‬

‫ ‪ : e I‬ﻳﻤﻜﻦ ﺣﻞ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ﻛﺘﻄﺒﻴﻖ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﻄﻴﻊ ﺍﻹﻧﺴﺎﻥ ﺃﻥ ﻳﺴﻤﻊ ﺃﺻﻮﺍﺗﺎ ﻳﺘﺮﺍﻭﺡ ﺗﺮﺩﺩﻫﺎ ﻣﻦ ‪٢٠‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ‪ ٢٠٠٠٠‬ﻫﻴﺮﺗﺰ‪.‬‬

‫‪AFA‬‬

‫ب ﺹ = ‪ ٣‬ﺟﺎ‪i‬‬ ‫أ ﺹ = ‪٤‬ﺟﺘﺎ‪i‬‬ ‫ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ‪ :‬ﻣﺪﻯ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻭﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﻈﻤﻰ ﻭﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﺼﻐﺮﻯ ﻟﻜﻞ ﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬

‫'‪T 5 KIM 6E R. U g‬‬ ‫ﺍﺑﺤﺎﺭ‪ :‬ﺗﺘﺤﺮﻙ ﻣﺮﻛﺐ ﻓﻰ ﺍﻟﺒﺤﺮ ﻓﺘﺮﺗﻔﻊ ﻭﺗﻨﺨﻔﺾ ﻣﻊ ﺣﺮﻛﺔ‬ ‫ﺍﻷﻣﻮﺍﺝ‪ ،‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﺃﻋﻠﻰ ﻭﺃﻗﻞ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻟﻬﺎ ﻫﻮ‬ ‫‪٣٢‬ﺳﻢ‪ ،‬ﻭﺗﻜﻮﻥ ﻣﺴﺘﻘﺮﺓ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮﻥ ﻓﻰ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻰ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﻈﻤﻰ ﻭﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺮﻯ ﻟﻠﻤﻮﺟﺔ‪ .‬ﺃﻭﺟﺪ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺘﻴﻦ ﺍﻟﻌﻈﻤﻰ ﻭﺍﻟﺼﻐﺮﻯ ﻟﻠﻤﻮﺟﺔ‪.‬‬ ‫‪hP^− D i% ,P^ 6 e : , -C j‬‬

‫) ‪ .1 2 X M − @/'# X‬‬

‫] ‬

6-4

‫إﻳﺠﺎد ﻗﻴﺎس زاوﻳﺔ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ إﺣﺪى ﻧﺴﺒﻬﺎ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ Finding the Measure of an Angle Given the value

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫و‬

‫إﻳﺠﺎد ﻗﻴﺎس زاوﻳﺔ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ إﺣﺪى ﻧﺴﺒﻬﺎ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

6-4

of one of its Trigonometric Ratios

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﻓﻜﺮ‬

Ůi yr 4b zfscOg = gzZ - #y l_gy qj V i " = = j ^ / qj gcN ? i gzZ - #y `k_gy dpV = gzZ wGO f.kNr

Finding the Measure of an Angle Given the

H & - . ' " # H NO &

value of one of its Functions

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

= " = i \( i " = = d; . eW ŀ == j ^r "sf - & yr 3 i j ^ / ^H=( k Ł cłĿ = ŀŁ ŀ- " = i 1s?b ZđOb m0o ) ( ŀ-

‫ﻣـﺜـﺎل‬

0 B /'# / B ) # H ) a Z M \ 3 M 72) F- 451 # H ) a Z .: OI' /#' 72 1 72 9: .; >i > OI' Y f e9: 8 '+ , / B ) B /'# i 0

ُ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا"ﺳﺎﺳﻴ‬ ُ ‫ّﺔ‬

:w y gf đ^ Ê \[' w b r cłŅĿ > i > cĿ z& i ."r 1 (ŀŬŅŁĿŃ -) ŀ- J ‫ب‬ ĿŬŅłŁń ŀ- " ‫أ‬

& H Trigonometric Function

‫اﻟﺤﻞ‬

Ŀ < yr 4b z" a ‫أ‬ .wj b r arĔ P 2b wV P[ yr 4b `

SHIFT

: Z* T b _ a * sin = 0 . 6 3 2 5 c,,, cłň ¼ ŀŃ ¹ Ņ = i :arĔ P 2b c ŀŃĿ ¼ Ńń ¹ ńŃ = cłň ¼ ŀŃ ¹ Ņ – cŀŇĿ = i :wj b P 2b

:F- ./& 2) H G 3 M F I F- ?H J# %B 72 9: $ .; > / B ) B /'# D 7 H 6 > D 1 H ) a Z 3/MJ+ + = " 5M+ X*

-1

‫ا"دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬

Ŀ > yr 4b e g dJ a ‫ب‬

:P 2b r wj b P 2b wV P[ yr 4b `

SHIFT

/ B )

: Z* T b _ a * tan x = 1 . 6 2 0 4 c,,, cŀŃŇ ¼ ŀň ¹ ŀŁ = cłŀ ¼ ŃĿ ¹ ŃŇ – cŀŇĿ = i :wj b P 2b -1

-1

−

AFF

> #/& 51 = V

¢SQódG ¢VôY

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫ ﻓﺈﻥ‬i‫ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻧﻪ ﺑﺼﻮﺭﺓ ﻋﺎﻣﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺹ = ﺟﺎ‬ ‫ﺹ ﻭﻫﻜﺬﺍ‬١-‫ﺹ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺗﻜﻮﻥ ﺹ = ﺟﺘﺎ‬١-‫ = ﺟﺎ‬i .‫ﻭﺗﻌﺮﻑ ﻫﺬه ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺑﺎﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ‬

‫ ﻣﻦ‬١٢٢ ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻓﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬ .‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬

I > bIW# X= - #/' 51 * L fJ1 x 2 J

" # >.1 2 X M

$ %

ôªà°ùªdG º««≤àdG

*MY . Z *MY %B 3 M [ J\ *MY . Z *MY %B 5 2 J MW [ J\

.(‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ‬

¢SQódG äGAGôLEG

*3) " ;( , -. ó«¡ªàdG c٥١َ ٢١ً ٩ ،c٥١َ ٣٨ً ٥١ ‫ أ‬1 c٢٩٢َ ٥٧ً ٢ ،c١١٢َ ٥٧ً ٢ ‫ب‬ ¢ûbÉfh ôμa ١ ‫ﺟ‬ c١٥١َ ٣٦ً ٥٣ ،c٢٨َ ٢٣ً ١ ٢ = c٣٠‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺑﻤﺜﺎﻝ ﻋﺪﺩﻯ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﺟﺎ‬ ‫ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﻛﺘﺎﺑﺔ‬،c٣٠ = ١٢ ١-‫ﻳﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﺟﺎ‬ ‫ﺗﻌﺒﻴﺮﺍﺕ ﺭﻳﺎﺿﻴﺔ ﻣﻜﺎﻓﺌﺔ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺮ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ )ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ‬ ‫ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ( ﺩﺭﺏ ﻃﻼﺑﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻓﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﻳﺎ ﻣﻌﻠﻮﻡ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬ ..‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻬﺎ‬

−

/ # $5O =Z B /'# D 7 H ) a Z $ 5 7 O & - . ' " # H h O

º««≤àdGh ÖjQóàdG

cłŁŇ ¼ ŀň ¹ ŀŁ = cłŀ ¼ ŃĿ ¹ ŃŇ – cłŅĿ = i :P 2b P 2b

H 7E T U 3) , -.

? 6 'b bĒ e .+ 6 d'b '> lf \[' b `k_gy do ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

١٠ = i ‫ ﺟﺎ‬: ‫ ﺣﻴﺚ‬،‫ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ﻫﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ‬1 ١٦

(ŁŬŀĿłŅ -) ŀ- Z ‫ﺟ‬

c٣٨ َ ٤٠ً ٥٦ = (i) ‫ﻟﺬﻟﻚ ﻓﺈﻥ‬

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ k

c٧ َ ١٠ً ١١ = (i)

1 k 8

٨ ٦٥ = i‫ ﺟﺎ‬: ‫ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ﻫﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﺣﻴﺚ‬2

‫ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﻛﺮﻳﻢ ﺻﺤﻴﺤﺔ؛ ﻷﻧﻪ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﻃﻊ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ‬3 .‫ﻭﻫﻰ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ‬

:w y gf đ^ Ê \[' w b r cłŅĿ > i > Ŀ z& i ."r 1 (ŁŬłŅŀń -) ŀ- J ‫ب‬ ĿŬŅŁĿń ŀ- " ‫أ‬

i ^ / V Ů ObĔ ky.f wV \c&4 b Ob ."s :ǶŐơģʞʵǤĝ ļģƯǤĭģś ƤśƄǤĝ 1 ^ V .1r #gb d_;b wV g^ 2 f ¹ ŀŅ pbsFr 1 f ŀĿ Ocb t.& M W 1 yr 4b m0o gzZ ."r h i yr 4b gzZ - #yĖ pf .+ 6 l_gy z c f b .Xb lf 4" 2ZĔű "1.b qbsF 1.'kf dW6 q 1 z7 hy2^ H py :ńĝʹģŐƒ 2 Pf Pk?y 1.'kgb i ^ / V Ů1 f Ň qN W 1 r 2 f Ņń .wkz 7b 2y.[ b i ."r . i p6 zZ yr 3 w[VĔ

_ 74

pbsF c+j 27_j % y2b 7 :ĦƥŲǤĝ ƼƖņǕĝ 3 asF i ^ / V Ů1r #gb d_;b 0* z' Ů 2 f ¹ ŁĿ 2 f ¹ ŀł d gb 4#b r Ů1 f ņ pkf w6 2b 4#b Pf d gb 4#b pOk?y w b yr 4b wo i j ^r .wkz 7b 2y.[ b i ."r V .w[VĔ

_ 5 _E

٣ = ‫ ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺍﻟﺮﺃﺳﻰ‬،‫ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻃﻮﻝ‬٤ = ‫ ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺍﻷﻓﻘﻰ‬4 ‫ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻃﻮﻝ‬

/=+ W ŀł ŀ- Z = i `ƅ ŀł = i Z a ņ ņ cńņ ¼ Łń ¹ ŀŅ = i `

‫ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻈﻞ‬ ٣ = i‫ﻇﺎ‬ ٤

c٣٦َ ٥٢ً ١٢ = (i)

5 & 8

º««≤àdG

AFQ

‫ﻳﻤﺜﻞ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻣﻨﺤﺪﺭ ﻳﻤﻴﻞ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ‬ ‫ ﺍﻛﺘﺐ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﻹﻳﺠﺎﺩ‬،ci ‫ﺑﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ ﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮ ﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﻫﺬه ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬i ‫ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ‬ .‫ﺑﺎﻟﺘﻘﺪﻳﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ‬ i

X Pa

:ø«bƒØàªdG ÜÓ£∏d ≈FGôKEG •É°ûf ‫ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﺴﻠﻢ‬،‫ ﺃﻣﺘﺎﺭ ﻳﺴﺘﻨﺪ ﻋﻠﻰ ﺟﺪﺍﺭ‬٥ ‫ﺳﻠﻢ ﻃﻮﻟﻪ‬ ‫ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺑﺎﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ‬.‫ ﺃﻣﺘﺎﺭ‬٣ ‫ﻣﻦ ﺳﻄﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻫﻮ‬ .‫ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻴﻞ ﺍﻟﺴﻠﻢ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻓﻘﻰ‬

C /. W ŀł ŀ- Z = i `ƅ ŀł = i Z a ņ ņ cłŁ ¼ łŃ ¹ ŃŃ = i `

.1 2 X M − @/'# X )

C 5

lz d? gz[ 7f OGZ d gy 1r #gb d_;b :ŻǈģŏǤĝ ƄŐǔƽņǤĝ 4 lz 1s?'gb yr 4b 5 zZ ."r (ł Ůņ) Ů(Ŀ Ůł)C lz G[kb . kz7b 1s'fr C

7 E

/7 < 3 − ) M > !?

≈fÉãdG ≈°SGQódG π°üØdG

IóMƒdG

ĎòĀĿí

≈dhC’G IóM MƒdG

õîĳŎĴĜńĿí Matrices

‫أﻫﺪاف اﻟﻮﺣﺪة‬ ˄o }gR 5Ǜ 1 ^ f Kf oyc o T^y lf rk 2*yf vp Z e\ > UÐ ÓĆcZeUÐ _= é dA p É Y b x

pAn eUÐ Ónh Y} UÐ êÐ{ Hn= ÓnR a[Y

ÓnR a[eUÐ êÐ{ Hn= ph>nh UÐ ÓĆcZeUÐ _= Õ|efx

î}BÌ Óøn Y R ÓnR a[eUÐ êÐ{ HÐ K x

p Un UÐ p >}UÐí phin UÐ p >}UÐ Y pR a[eUÐ Ø{ Y æ}_ x

ph d eUÐ ÒÚ [UÐ dL Ø{ eUÐ pehS {@ x ½ × ½ p >}UÐ Y p_=}eUÐ pR a[eUÐ Ü c_Y {@ x

pR a[eUÐ Ü c_Y êÐ{ Hn= h hiË h UØn_Y x

}YÐ}T pbx}]= ÓøØn_eUÐ x

ÓÐØ{ eUÐ êÐ{ Hn= rd eUÐ pAn Y {@ x

nge^ií pR a[eUÐ ê gaY æ}_ x [UÐ pR a[Y pÉn UÐ ÓnR a[eUÐ _= æ}_ x pR a[eUÐ p_=}eUÐ pR a[eUÐ Ø e_UÐ pR a[Y Ò{A UÐ pR a[Y px}]bUÐ pR a[eUÐ px}a[UÐ

pd?ne eUÐ Ií pd?ne eUÐ pR a[eUÐ

pR a[Y R nhð bhbA ÐØð {L Ñ}\x

Ø{ Y Ñ

phin UÐ p >}UÐ Ø{ Y Ñ Second order determinant

p Un UÐ p >}UÐ Ø{ Y Ñ Third order determinant

ÓĆYn_eUÐ pR a[Y Ñ Coefficient matrix

pR a[edU =} Ü c_Y Ñ Inverse matrix

q=Ð UÐ pR a[Y Ñ Constant matrix

ÓnR a[eUÐ e@ Ñ Adding matrices

ÓnR a[eUÐ Ö}J Ñ Subtracting matrices

ÓnR a[eUÐ Ñ} Ñ Multiplying matrices

pR a[eUÐ Úí{Y Ñ Transpose of matrix

Matrices

h R a[Y îín > æ}_ x

pR a[eUÐ Úí{Y {@ x ÓnR a[eUÐ dL Ñ}\UÐí Ö}]UÐí e UÐ ÓnhdeL î} x ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴﺔ‬

Determinant

‫ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬

pd?ne Y pR a[Y Ñ

p R a[Y Ñ

Matrix

Symmetric matrix

pd?ne Y I pR a[Y Ñ

Skew-symmetric matrix

Ò{A UÐ pR a[Y Ñ

Identity matrix

phR a[Y pUØn_Y Ñ Matrix equation

ÓÐ}h` eUÐ pR a[Y Ñ Variable matrix

}[fL Ñ

Element Row matrix

[UÐ pR a[Y Ñ Ø e_UÐ pR a[Y Ñ

Column matrix Square matrix

p_=}Y pR a[Y Ñ

Zero matrix px}aÉ pR a[Y

pxín Y ÓnR a[Y Ñ Equal matrices

‫ﻣﻘﺪﻣﺔ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ ﻭﺍﻵﻥ ﺳﻮﻑ‬،‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺗﻨﻈﻴﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻓﻰ ﺟﺪﺍﻭﻝ‬ ‫ﻳﺪﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺃﺧﺮ￯ ﻟﺘﻨﻈﻴﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬ ‫ ﻭﺟﻤﻊ ﻭﻃﺮﺡ ﻭﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬،‫ﻭﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ‬ ‫ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺤﺪﺩ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﺮﺑﻌﺔ ﻭﺣﻞ ﺃﻧﻈﻤﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫ ﺛﻢ ﻳﺪﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ‬،‫ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻛﺮﺍﻣﺮ‬ ،‫ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﻪ ﻭﺣﻞ ﺍﻧﻈﻤﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬ :‫ﻭﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺧﻤﺴﺔ ﺩﺭﻭﺱ ﻫﻰ ﻛﺎﻵﺗﻲ‬ .‫ ﺗﻨﻈﻴﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻓﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬:‫اﻟﺪرس اﻷول‬ .‫ ﺟﻤﻊ ﻭﻃﺮﺡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬:‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ .‫ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬:‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ .‫ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ‬:‫اﻟﺪرس اﻟﺮاﺑﻊ‬ .‫ ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬:‫اﻟﺪرس اﻟﺨﺎﻣﺲ‬ ‫أﻫﺪاف اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬا اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﻳﻜﻮن اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎد ًرا‬ :‫ﻋﻠﻰ أن‬ .‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻭﻧﻈﻤﻬﺎ‬ ‫ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ‬- ‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ )ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﺼﻒ‬ - ‫ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﺼﻔﺮﻳﺔ‬- ‫ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺔ‬- ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬- ‫ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬- ‫ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﺔ‬ .(‫ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺷﺒﻪ ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ‬- ‫ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ‬ .‫ ﺑﻀﺮﺏ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻓﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ‬ .‫ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺗﺴﺎﻭ￯ ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ‬

‫دروس اﻟﻮﺣﺪة‬

‫‪ ÓnR a[Y R Óninh UÐ h^f> ¼ - ¼ ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪ ÓnR a[eUÐ Ö}Jí e@ ½ - ¼ ÜÚ{UÐ‬‬

‫‪ ÓnR a[eUÐ Ñ} ¾ - ¼ ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪ ÓÐØ{ eUÐ ¿ - ¼ ÜÚ{UÐ‬‬

‫‪ pR a[edU =}\UÐ Ü c_eUÐ À - ¼ ÜÚ{UÐ‬‬

‫ا دوات اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬

‫‪- Excel h TøÐ sYni}= phedL p HnA pUË‬‬ ‫@‪ }> h eT Ûng‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻧﺒﺬه ﺗﺎرﻳﺨﻴﺔ‬

‫‪ qdeZR º} n UÐ ni}[L R ngYÐ{ HÐ }Z iÐ UÐ ph nx}UÐ hwnaeUÐ Y wí ºpR a[Y pedT e@ w ÓnR a[eUÐ‬‬ ‫‪ UÙí ºnw}hQí afUÐ dLí âne @øÐí ºØn[ SøÐí Ên[AøÐ ê dL R ng>nYÐ{ HÐ { fR ºpR}_eUÐ âí}R Y {x{_UÐ‬‬ ‫‪ nw}T|> g x ÒÚ [UÐ ì|g= Óninh UÐ h^f>í º cZUÐ pdh] Y éíÐ{@ ÒÚ É R ngi~ >í ºÓninh UÐ ß}_> ngiú‬‬ ‫‪ } UÐ â}R R pÉnBí Ónh nx}UÐ dL R nYă nw ÐÚíØ ÓnR a[edU ëÌ neT ºnghdL Ónhde_UÐ ÊÐ}@Îí ngfh= piÚnbeUÐí‬‬ ‫‪ð‬‬ ‫‪ ê¼ÃÄÀ - ¼Ã½¼ dhT Un_UÐ w ngY{ HÐí ÓnR a[eUÐ Aø Y éíÌí º ] UÐ‬‬

‫ﻣﺨﻄﻂ ﺗﻨﻈﻴﻤﻲ ﻟﻠﻮﺣﺪة‬

‫اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬ ‫ﺗﻨﻈﻴﻢ اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺼﻔﻮﻓﺎت‬

‫اﻟﻤﺤﺪدات‬

‫اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬

‫اﻳﺠﺎد ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫ﺗﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت‬

‫ﺟﻤﻊ وﻃﺮح اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬

‫ﺿﺮب اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬

‫ﺧﻮاص ﺟﻤﻊ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬

‫ﺧﻮاص ﺿﺮب اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬

‫ﻣﺤﺪد اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﺣﻞ أﻧﻈﻤﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻛﺮاﻣﺮ‬

‫ﺿﺮب ﻋﺪد ﺑﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫ﺑﻌﺾ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬

‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﻴﺔ‬

‫ﻣﺪور ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب‬ ‫ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ‬

‫اﻟﻤﻌﻜﻮس اﻟﻀﺮﺑﻲ‬ ‫ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬

‫اﻟﺨﺎﺻﺔ‬ ‫ﺣﺪود اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺪﻭﺭ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺠﺮ￯ ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻭﺍﻟﻄﺮﺡ ﻭﺍﻟﻀﺮﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺣﻠﻮﻝ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺘﻀﻤﻦ‬ ‫ﻣﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺎﺣﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﻨﻤﺬﺝ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺍﻟﺤﻴﺎﺗﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻳﻮﻇﻒ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻓﻰ ﻣﺠﺎﻻﺕ ﺃﺧﺮ￯‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﺤﺪﺩ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻭﺍﻟﺮﺗﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ ‪.٢ * ٢‬‬ ‫ﻳﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺁﻧﻴﺘﻴﻦ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻛﺮﺍﻣﺮ‪.‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ‪.‬‬

‫ﺣﻞ ﻧﻈﺎم ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬

‫زﻣﻦ ﺗﺪرﻳﺲ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪ ١٠‬ﺳﺎﻋﺎﺕ‬ ‫اﻟﻮﺳﺎﺋﻞ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ ‪ -‬ﻃﺒﺎﺷﻴﺮ ﻣﻠﻮﻥ ‪ -‬ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ‪-‬‬ ‫ﺃﻟﻮﺍﻥ ﺭﺻﺎﺹ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ ‪-‬‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﺘﻲ ﺗﻨﻤﻴﻬﺎ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﻨﺎﻗﺪ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻰ ‪ -‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪-‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﻤﻨﻄﻘﻲ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻹﺑﺪﺍﻋﻰ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ ‫ﺗﺘﻤﺜﻞ ﻓﻰ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺸﻔﻬﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺤﺮﻳﺮﻳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ ﻭﺍﻟﺠﻤﺎﻋﻴﺔ ﻗﺒﻞ ﻭﺃﺛﻨﺎﺀ‬ ‫ﻭﺑﻌﺪ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﻭﺍﻷﻧﺸﻄﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ ﻭﺳﻠﻢ ﺍﻟﺘﻘﻴﻴﻢ ﺍﻟﺨﺎﺹ ﺑﻜﻞ ﻣﻨﻬﺎ‪،‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﻜﺎﻟﻴﻒ ﺍﻟﺠﻤﺎﻋﻴﺔ ﻭﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ ﻭﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺮﺍﻛﻤﻰ‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‪.‬‬

1-1 ‫ﺗﻨﻈﻴﻢ اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﻣﺼﻔﻮﻓﺎت‬

1-1

Organizing data in Matrices ‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﻓﻜﺮ و‬ ǶưģŏƛǤģś ƤśƄǤĝ

q isy4Wzc b : : js_f DO ! jĖ Pk?f - Ů¶" Ů Ů : ;b lf z7z 1 4" Ń $ ky Ůe 7Z Ɔł Ɗ{b b s'kb wcN lf OGZ ŀłń Ů lf OGZ ņń zÊ fsy $ ky Ƌ - lf OGZƆŁŀń Ů ¶" lf OGZ ŀńĿ Ů Ů¶" lf OGZ ŁŀĿ Ů lf OGZ ŀŅŇ Ů lf OGZ ŀĿĿ z¹ fsy $ ky Ƌ- lf OGZ ŁŇŁ ŮƄ¶" lf OGZ ŀŃŃ Ů lf OGZ ŀĿĿ Ů lf OGZ ŇĿ zÊ fsy $ ky Ƌ- lf OGZ ŅŃ m0o wcN {or Ů pkz j1 [gb r fscOgb m0o 2^0 O?b lf qj (B r Ɗq7Wj %2Gy ¹Đ 6 ] ko iĒ r 1s?b ? pkf - W 6Đ r pczc' l_gy w & j z b m0o z 2 l_gy Xz^ lf kk_gy ar." 1s> {V j z b ^ kk_gy qj V a 7b 0o lN "ėb Ů%sBrr N27 Wc +gb 4"Ĕ lf đ b e 7ZĔ lf h7Z d^ q# ky f V2Of Ƌ Wc +gb 4"Ĕ lf đ b e 7ZĔ ! j lz j1 [gb kb dp7y g^

‫ﺗﻨﻈﻴﻢ اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﺎت‬ Organizing data in Matrices

? + , 7 # 1 8 + , 7 90 + , # − 0 7 + , 7 : − / %0 + , # − + , 7 − , + , 7 ;<= + , # − M@

+ , 7 A =# 5 6 + , 7 )3427 + , 7 B )3427 BC2+ , # $ + , # D E@ @ /=* FG

H IJ , =( L+ M N.$ O M PA/ IQ R B + , % S =T2 M N.2 UQ @ I PA=

! "

ُ ‫ﺳﺎﺳﻴ‬3‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا‬ ُ ‫ّﺔ‬ + , #

Matrix

-.*

Element Row matrix

+ , #

Column matrix

/ %0 + , # 0 # + , #

Square matrix

,1 + , #

Zero matrix Equal matrix

‫ﻗﺎﺩﺭﺍ‬ ً ‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ :‫ﻋﻠﻰ ﺃﻥ‬ B + , 7 L.0# /=W 

2# + , #

Symmetric matrix

)342# + , #

)342# 5 6 + , #

+ , # − 0 # + , #: 1 8 + , 7 90 H 02 

Łŀń

ŀńĿ

ŀłń

ņń

ŁŇŁ

ŁŀĿ

ŀŅŇ

ŀĿĿ

ŅŃ

ŀŃŃ

ŀĿĿ

ŇĿ

Skew symmetric matrix

‫دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬3‫ا‬ ! "# $ % & '( %)*

−

+ , 7 − , + , 7 − / %0 + , # − B;<= + , # − M@ B + , 7 A =# =(  B )3427 5 6 + , 7 )3427 + , 7 /=W  BI 2+ , # 2 L2# /=W 

¢SQódG äGAGôLEG

+ , # X E@ @ /=* FY 

:‫اﻟﺘﻤﻬﻴﺪ‬

# # $ % &

‫ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﺘﺮﻛﻴﺰ ﻟﻌﻤﻞ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻟﻜﻞ ﺍﻟﻤﻮﺍﻗﻊ ﺍﻟﺘﻰ ﺳﺒﻖ‬+ , # - / %0 + , # - + , # - .* - + , # ‫ ﺃﻥ ﺭﺃﻭﺍ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣﻌﺮﻭﺿﺔ ﻓﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ‬- )3 %2# + , # - 2# + , # - ,1 + , # - 0 # B )3 %2# 5 6 + , # - ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻔﻮﻑ ﻭﺍﻷﻋﻤﺪﺓ )ﻣﺜﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﻣﻮﺍﻋﻴﺪ ﺍﻷﺗﻮﺑﻴﺴﺎﺕ‬ .(...... ‫ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺍﻻﻣﺘﺤﺎﻧﺎﺕ‬- ‫ﺗﻘﺎﺭﻳﺮ ﺍﻟﺼﺤﻒ ﺍﻟﻴﻮﻣﻴﺔ‬ & '( ) ) *( +)

‫ﻓﻜﺮ وﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﻣﻮﺿﺤﺎ‬ «‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ‬ ً ‫ ﻭﺗﺤﺪﻳﺪ‬،‫ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﻓﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ‬ .‫ﻧﻈﻢ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻭﻋﺪﺩ ﻋﻨﺎﺻﺮﻫﺎ‬ 45 %267 89 $ 9 : ‫ ﻧﻌﻢ؛ ﻧﺒﺪﻝ ﺍﻟﺼﻔﻮﻑ ﺑﺎﻷﻋﻤﺪﺓ ﻭﺍﻷﻋﻤﺪﺓ ﺑﺎﻟﺼﻔﻮﻑ‬-١ .٣ * ٤ ‫ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ‬ .‫ ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‬-٣ ١٠٠ ‫؛‬١٣٥ -٢

& '( - %)* - I )# 6 I - % )02 <A B - Z "# - $ %

,%( ) -. ( /%I BL 02 M)02 - L.[\ 0 - ]^ .% - 6 % _ 0

-. ( 1 2& L A= ,

*( 3& ١٣ ‫ ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬٤ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ‬ ٣ ‫ ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬٢ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻷﻧﺸﻄﺔ ﻭﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ‬ .(‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ‬

−

+ , # L+ M N.$

¢SQódG ¢VôY

‫ ﺗﻨﻈﻴﻢ اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﺎت‬:‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫ﺃﻛﺪ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ‬ ‫ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻭﻋﻨﺎﺻﺮﻫﺎ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﻋﻨﺼﺮ ﻳﻘﻊ ﻓﻰ‬ ‫ ﻭﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﻓﻬﻢ ﻃﻼﺑﻚ ﻟﺬﻟﻚ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ‬،‫ﺻﻒ ﻭﻋﻤﻮﺩ ﻣﻌﻴﻦ‬ ‫( ﻣﻦ‬٦) ‫ﺣﻞ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ« ﺑﺪﺍﻳﺔ ﺻﻔﺤﺔ‬ .‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‬ ôªà°ùªdG º««≤àdG

QER S H . 9 TSU 1 , $ 9 : ٣ ، ٥ ‫ب‬

٢*٣ ‫أ‬

‫ ﺍﻟﺘﻰ‬C ‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫ﺍﻧﺘﻘﻞ ﺇﻟﻰ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬ ً : ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻈﻢ ﻡ * ﻥ ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ‬ ، ‫ ﻡ‬،...... ،٣ ،٢ ،١ = ‫ ﺱ ﺹ( ﺣﻴﺚ ﺹ‬C) = C ‫ ﻥ‬،...... ،٣ ،٢ ،١ = ‫ ﺱ‬، ‫ﺃﻥ ﺩﺭﺍﺳﺘﻨﺎ ﺳﻮﻑ ﺗﻘﺘﺼﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﻰ‬.‫ﻭﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ‬ ‫ ﻭﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻﻔﺤﺔ‬،٣ H ‫ ﻥ‬،٣ H ‫ﻓﻴﻬﺎ ﻡ‬ ‫ ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺣﻞ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ‬،‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬٦) .‫»ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ« ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬه ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‬ ôªà°ùªdG º««≤àdG

QER S H . V 4TSU 1 ,7 89 9 : C ٢١C ١١C ‫ﺏ‬ b ١١ l ‫ ب‬f ٣١C C C p = C ‫ أ‬2 ١٢ ‫ﺏ‬ ٣٢ ٢٢ ١٢ C C C ٢٣ ١٣ ٣٣

+ , # E+ M N.$

d gb r Ů z 2 b wcN - Ů ¶" Ů Ů 4"Ĕ lf arĔ h7[b ! j {o arĔ X?b - .NĔ i hcOj k^ / V ! j {o b b X?b w b - .NĔ `b0^r Ů z 2 b 8Wk {j b h7[b ! j {o {j b X?b { b - .NĔ Ɗ{ Ē ^ 1 ? * 2 ^ 1s? \ 7b ar.#b w b fscOgb ^ PzG 7j kj V Ů z 2 b 8Wk b b h7[b ¹ d* - - .NĔ wg7 g^ ȿ 6+ 3&ȿ 1s?b m0o wg7 r ȿ 6+ 3) %H 8<ȿ lz6s[b

FA@ FCF EG

A@B FAB AGG

AD@ AEC ABB

?@ ABB CB

+)* +)* +)* +)* I9 % >

Ń * ł hKkb wcN VsW?f pb a [y 0b Ů .gN O 1 r UsW> đ pb VsW?gb m0or Ɗi L&đj g^ Ů .gNĔ -.N h Đr UsW?b -.N 2^0 z& ƛŃ * ł VsW?f 1 ? *Đ r Ɯ Ƌ 2?kN ŀŁ = Ń* ł ɤ VsW?gb 2> kN -.N ¹

:1J Ƌ` " 27V ?t2* VsW?f 1s> wcN pOBrr Ů b 7gb j z z 2 b t2* [y2F ] ko do - -sgOb r {j b X?b {V 2?kOb fr ?{j b -sgOb r arĔ X?b {V 2?kOb f Ů [ 7b VsW?gb lf - ?arĔ ł * Ł VsW?f 1s> wcN qzV kgC gb fscOgb ^ l_gy ].kN lf ¹Đ f ^ :K+( & L# -

hKk r Ůlz6sZ lz 1s?'f .gN r UsW> {V ƛ- .N r 2zS fƜ 2> kOb lf -.Ob z 2 wo VsW?gb e .+ 6 - N VsW?gb wb 4f2yr ŮwkOf / VsW?gb {V PZsgb is_y z' VsW?gb {V 2> kOb ƋƋƋƋ Ů = Ů5 Ů¶" Ů ŮC 2zS?b Ur2'b VsW?gb 2> kObr ƋƋƋƋ ŮN ŮM Ů! Ů D ŮC 2z _b Ur2'b wcN q ^ kk_gy qj V M -sgOb r N X?b {V P[y x0b C VsW?gb d* - 2?kOb lN 2z O b j-1 / CƄ 1s?b M=

O )6 Ƌ +)* r =3 {V P[y ŁłC `b0^r Ů +)* =3 {V P[y ŁŀC 2?kOb P E

ń Ń ŀŁŁ

‫ﻋﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺎﺭﻳﺎﺕ‬

٥ ٨ ١٠

٢٠ ٣٥ ٤١

١٠ ١٦ ١٨

: & < 39 e 2[ rƜ i * e Mskb lf r i * e 2b lf r i * e hKkb wcN is_ -¹ sgN i Ů ÊW> e lf js_gb VsW?gb Ƌ "sf 'z'> - .N i Ůe z& Ůi wV

Ɗwcy f lN "ėb

ń ŀ Ł ł ņ ń

?ŀŁD ŮŁŀD gzZ f ‫ب‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

= D VsW?gb e.+ 6 1 ?D VsW?gb hKj f ‫أ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﺗﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬

Representing Matrcies

Ɗ 1s?b wcN C VsW?gb ^ l_gy qj V i * e hKkb wcN VsW?f C j ^ / e ŮƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋ Ůł ŮŁ Ů ŀ ɤ =ƄƄŮƛM =CƜ ɤ C i ŮƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋƋ Ůł ŮŁ Ů ŀ ɤƆ MƆƆƆƆƄƄƄ ł H i Ů ł H e pzV w b Đ 'b wcN k 6 1- 2? [ Us6r ‫ﻣـﺜـﺎل‬

Ɗ z Ē VsW?gb 2> kN Pzg" ^ 1 ł ŮŁ Ůŀ ɤ MƄƄŮƆƆƆƄƄŁ Ů ŀ ɤ = Ů ƛM =CƜ = C ‫أ‬ ŀ ɤ MƄƄŮƄł ŮŁ Ů ŀ ɤ = Ů ƛ Ɯ = D ‫ب‬ M =

ŀ* ł hKkb wcN VsW?f

Ů ƛM =¶"Ɯ ɤ ! ‫ﺟ‬

=D ‫ب‬ ŀł ŀŀ ŀŁ

ł * Ł hKkb wcN VsW?f

łŀ łŁ

C C

Łŀ ŁŁ

C C

ŀŀ ŀŁ

C C

‫اﻟﺤﻞ‬

C C

=C ‫أ‬ ɤ ! ‫ﺟ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫أ‬

٨‫؛‬٣*٣ ‫ب‬

= C Ɗ VsW?gb wV

C 4f2b qb 4f2yr ł -sgOb r ŀ X?b {V P[y E %38*

Ł * Ł hKkb wcN VsW?f

‫ﺳﻤﻴﺮ‬ ‫ﺣﺎﺯﻡ‬ ‫ﻛﺮﻳﻢ‬

L L A= , − O M F 2

ôªà°ùªdG º««≤àdG ‫ﻋﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﺘﺴﺪﻳﺪﺍﺕ‬

ŀŁ ł

C 4f2b qb 4f2yr Ł -sgOb r Ł X?b {V P[y A− %38* łŀ

A−

Ł Ł-

Ł Ůŀ ɤ MƄƄŮƆƆƆƆƄƄŁ Ů ŀ ɤ =

‫ﻋﺪﺩ‬ ‫ﺍﻷﻫﺪﺍﻑ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﺗﻨﻈﻴﻢ اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﻣﺼﻔﻮﻓﺎت‬

Organizing Data in Matrices

‫( ﻫﻮ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺣﻴﺎﺗﻲ ﻧﺎﻗﺶ ﻫﺬﺍ‬٧) ‫( ﺻﻔﺤﺔ‬٢) ‫ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺭﻗﻢ‬ ‫ ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺇﻋﻄﺎﺀ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻣﻦ ﻋﻨﺪﻫﻢ‬،‫ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬.‫ﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﺃﺧﺮﻯ ﻣﺸﺎﺑﻬﺔ‬ .‫ﻣﻨﻬﻢ ﻣﻊ ﺗﻌﺰﻳﺰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﻋﺮﺿﻮﺍ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻣﺘﻤﻴﺰﺓ‬ Q?R S H 4TSU 1 ,7 $ 9 :

=3 > =3 =3

L L A= , − M)0% /

Ɗ z Ē VsW?gb 2> kN Pzg" ^ 2 ł ŮŁ Ůŀ ɤ M ŮłŮ Ł Ů ŀ ɤ = ŮƛM =CƜ ɤƆƆƆƆƆ C ‫أ‬ ŀ ɤ M ŮŁ Ů ŀ ɤ = Ůƛ Ɯ ɤ ‫ب‬ = 5

−

+ , # E+ M N.$

‫ﻣـﺜـﺎل‬

% [\

F#+(&

% YH

ŀŅ

ŀŁ

H ] %6

ŀņ

ŀł

^%[) > &

ŀń

ŀŀ

_)# ` 6

qzk#b 1 O6Ĕ d [gb ar.#b lz y ǓǣǭņƑǨǤģś ƤśƄǤĝ 2 {V Wc +f e #& đ ; yr.j 7b lf M sj đ b Ƌ 4o #b "sb hN Gf .& 1 O6Ĕ is_ i wcN Ů VsW?f {V j z b m0o hKj ‫أ‬ Ƌ yÊ .N ? 2f Ƌ VsW?gb hKj -.& ‫ب‬ ? C 2?kOb gzZ f ‫ﺟ‬ Łł

2z ^ H6s f 2zS> qzczV `g6 ŀń ŀŀ ņ ) 2V 1r.> ŀŅ ŀŁ Ň wc[f t2 g" ŀņ ŀł ň

‫اﻟﺤﻞ‬

‫أ‬

ł * ł hKkb wcN VsW?gb i V 0b .gN ł ŮUsW> ł ] ko ‫ب‬ ŀł wor Ł -sgOb r ł X?b -s"sgb wo C 2?kOb gzZ ‫ﺟ‬ Łł

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

y1 f {V lz NĐ đ 3 #j Ů 61.gb c7b 2^ \y2V 1.f .>1 3 Ɗ{b b s'kb wcN j _V as?Wb t1rƋU .o ńƄƄŮƄƄ .y.7 ŁĿƄƄŮƄ y1 f ŀĿ Ob Ɗ2zg6 ƋU .o ŇƄƄŮƄƄ .y.7 łńƄƄŮƄƄƄ 1 f ŀŅ Ob Ɗe3 & ƋU .o ŀĿƄƄŮƄƄ .y.7 ŃŀƄƄŮƆƆƄƄ 1 f ŀŇ Ob Ɗhy2^ ƋU .oĔ -.Ob O¹ yÊ .N ? ¹ z 2 lz Nđb g6 2 i wcN VsW?f wV j z b hKj ‫أ‬ ?łŁC gzZ f Ů VsW?gb hKj -.& ‫ب‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

N 7b Ƣ r scz_b -.N

‫ﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬+‫ﺗﻨﻈﻴﻢ اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت ا‬ łĿ

]đp 6Đ

Łń

! jĐ

ŁĿ ŀń ŀĿ

Ƌ N 6 Ƣ r scz_b Z Gb 5 [ i l_gy ǶǈģƥǤģś ƤśƄǤĝ 3 DO b ]đp 6Đ r Z Gb ! j d [gb wj z b h62b lz y Ƌd [gb {j z b h62b j z d g VsW?f ^ Ƌar.b

äÉ£HGôJ ‫ ﻭﻳﺘﻨﺎﻭﻝ‬،‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬٧) ‫ﺍﻧﺘﻘﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻔﺤﺔ‬ ‫»ﺗﻨﻈﻴﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﯩﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ« ﻭﻫﻮ‬ :‫ ﻭﻳﻤﻜﻨﻚ ﻋﺮﺽ ﻣﺎ ﻳﻠﻰ ﻋﻠﻰ ﻃﻼﺑﻚ‬،‫ﻣﺜﺎﻝ ﻳﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﻟﻮﺍﻗﻊ‬ ،‫ ﺟﻮﻝ‬٦١٠ * ٣٫٦ ‫ﺍﻟﻜﻴﻠﻮﻭﺍﺕ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ ﻓﻰ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ﻳﺴﺎﻭﻯ‬ ‫ﻭﺍﻟﺠﻮﻝ ﻭﺣﺪﺓ ﻗﻴﺎﺱ ﺳﻤﻴﺖ ﺑﺎﺳﻢ ﻋﺎﻟﻢ ﺍﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺀ ﺍﻟﺒﺮﻳﻄﺎﻧﻲ‬ ‫ ﻭﺍﻟﺬﻯ ﻗﺎﻡ ﺑﺘﻄﻮﻳﺮ‬،(‫ﻡ‬١٨٨٩ - ‫ﻡ‬١٨١٨) ‫ﺟﻴﻤﺲ ﺟﻮﻝ‬ ‫ ﺃﻥ ﺍﻟﺴﻌﺮﺍﺕ ﺍﻟﺤﺮﺍﺭﻳﺔ ﺗﺸﺘﻖ ﻣﻦ‬:‫ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺗﻨﺺ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺟﻬﺪﺍ ﻛﻴﻤﻴﺎﺋ ًّﻴﺎ ﺃﻭ‬ ً ‫ﺍﻟﺠﻬﺪ ﺑﻐﺾ ﺍﻟﻨﻈﺮ ﻋﻦ ﺷﻜﻠﻪ ﺳﻮﺍﺀ ﻛﺎﻥ‬ ‫ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻳﺘﺬﻛﺮﻭﺍ ﺃﻥ‬،‫ﻣﻴﻜﺎﻧﻴﻜ ًّﻴﺎ ﺃﻭ ﻛﻬﺮﺑﺎﺋ ًّﻴﺎ‬ ‫ ﻭﺃﺷﺮ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺍﻟﺒﻠﺪﺍﻥ‬٣٦٠٠٠٠٠ .‫ ﺗﺴﺎﻭﻱ‬٦١٠ * ٣٫٦ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻫﻮ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻧﻔﺴﻪ ﻟﻠﺒﻠﺪﺍﻥ‬ ‫ ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﻳﻀﻊ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻢ‬،‫ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ‬ ‫ ﻭﺃﺻﺒ ًﻌﺎ ﺁﺧﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻠﺪ‬،‫ﺃﺣﺪ ﺃﺻﺎﺑﻌﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻠﺪ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ‬ .‫ﻧﻔﺴﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻟﻤﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ‬

ń Ŀ

br.b

]đp 6Đ

! jĐ

ňŬń ň Łń

ňŬń ŀł ŀň

¶" br.b

ôªà°ùªdG º««≤àdG

L L A= , − O M F 2

:QCR S H % 2 U $ 9 : ‫ﺍﺩﺧﻞ ﺻ ًّﻔﺎ‬ ‫ﺟﺪﻳﺪﺍ ﻟﻜﻞ ﺩﻭﻟﺔ ﺇﺿﺎﻓﻴﺔ‬ ً :QCR S H TSU 1 , $ 9 : ‫ ﺩﻭﻟﺔ ﺏ ﺩﻭﻟﺔ ﺟـ‬C ‫ﺩﻭﻟﺔ‬ ‫ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ‬4 ١٩ ١٣ ٩٫٥ b ٢٥ l ٩ ٩٫٥ ‫ﺍﻻﺳﺘﻬﻼﻙ‬

‫اﻟﺤﻞ‬ ƛ Ɯ brƛ Ɯ brƛ¶"Ɯ br-

d gy -sgN d^r Ů br- d gy VsW?gb wV X> d^ i A2V Ƌh62b lf hz[b $ k 6 Ƌ]đp 6Đ r ! jĖ ts 7f ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ ?t2* ar- V B j z b dz g b VsW?gb dy.O `k_gy Xz^

‫ ﺑﻬﺎ ﺟـ ﻣﻦ‬E * ‫ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻈﻢ ﺟـ‬5 ‫ ﺑﻴﻨﻤﺎ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻋﻠﻰ‬،‫ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﻤﺪﺓ‬E ،‫ﺍﻟﺼﻔﻮﻑ‬ .‫ ﺟـ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﻤﺪﺓ‬،‫ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻔﻮﻑ‬E ‫ * ﺟـ ﺑﻬﺎ‬E ‫ﺍﻟﻨﻈﻢ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ƌ .gNĔ r UsW?cb ¹j skN PB Ůł* Ł VsW?f 1s> wV \ 7b a gb wV j z b ^ .N 4 Ł * ł hKkb wcN w b VsW?gb r Ůł * Ł hKkb wcN w b VsW?gb lz Y2Wb (Br 5

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﺑﻌﺾ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت اﻟﺨﺎﺻﺔ‬

Some special Matrices

Ł łb l ‫أ‬ ŀ- Ń Ɗd f .gNĔ -.N tr 7y pzV UsW?b -.N w b VsW?gb wo : *9%) 6+ 3) ƛŁ * Ł hKkb wcN O 2f VsW?fƜ

á°UÉîdG äÉaƒØ°üªdG ¢†©H

ƛŇƄŅƄŃƄŁƜ Ɗd f .gNĔ lf -.N t r .& r X> wcN ts ' w b VsW?gb wo :=3 6+ 3& ‫ب‬ ƛŃ * ŀ hKkb wcN X> VsW?fƜ Ł

f ń- p Ɗd f UsW?b lf -.N t r Ů.& r -sgN wcN ts ' w b VsW?gb wo : +)* 6+ 3& ‫ﺟ‬ ŀ ƛŀ * ł hKkb wcN -sgN VsW?fƜ is_ Đ r O 2f is_ .Zr 1 W> o2> kN Pzg" is_ w b VsW?gb wo : .% 3 6+ 3) ‫د‬ Ɗ VsW?gb ¹đ gV Ŀ VsW?f b Ŀ l ƄŮŁ * ŀ hKkb wcN y2W> VsW?f ƛĿƄĿƜƄŮŀ * ŀ hKkb wcN y2W> VsW?f ƛĿƜ Ŀ Ŀ y2W?b VsW?gcb 4f2yr ŮŁ * Ł hKkb {cN y2W> VsW?f b Ŀ Ŀ l ƄŮŀ * ŁhKkb wcN y2W> 2zS> dzG 7g

ôªà°ùªdG º««≤àdG

Ůis_zV w7z 2b 2G[b 2> kN .N f Ů1 W> o2> kN Pzg" O 2f VsW?f wo : .%M 6+ 3) ‫ﻫ‬ Ɗ VsW?gb ¹đ gV 2W?cb 2y Sf dZĔ wcN o.& ¹ Ŀ

ƛł * ł hKkb wcN y2GZ VsW?fƜ f Ŀ Ł

Ŀ ŀĿ

ŀ Ŀ Ŀ

4f2yr Ů.& sb y¹ r 7f w7z 2b 2G[b 2> kN d^ pzV is_y Ů y2GZ VsW?f wo :X ,+ 6+ 3& ‫و‬ Ɗ VsW?gb lf d^ đ gV Ƌ I 4f2b pb Ŀ

Ƌ .&r VsW?f {oƄ f Ŀ ŀ

Ŀ ŀ Ŀ

ŀ Ŀ Ŀ

Ŀ ŀ

p ƄƄŮƄ b ŀ Ŀ l ƄƄŮƄƛŀƜ

−

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﺻﻔﺤﺔ‬ ‫ ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﻋﺮﺽ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻣﻦ‬،‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬٨) .‫ﻋﻨﺪﻫﻢ ﻟﻜﻞ ﻣﻨﻬﺎ‬

QaR S H TSU 1 , $ 9 : ٢ * ٢ ‫ أ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬6 ٤ * ١ ‫ب ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺻﻒ‬ ١ * ٣ ‫ﺟ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻤﻮﺩ‬ ٢ * ٢ ‫د ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺻﻔﻮﻳﺔ‬ −

+ , # L+ M N.$ + , # E+ M N.$

٢ * ٢ ‫ﻫ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻗﻄﺮﻳﺔ‬ ٢ * ٢ ‫و ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻗﻄﺮﻳﺔ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ƌ pgKjr VsW?f d^ Msj ^ 6 ł

٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠

‫ﺟ‬

ƛņƄńƄłƄŀƜ ‫ب‬

ń Ŀ Ŀ ‫و‬ b l ŀ Ŀ

Ŀ ŀ ‫ﻫ‬ b l ł Ŀ

fŃp

p 7

ŀ b ŀl Ł Ŀ

ł * ł hKkb wcN y2W?b VsW?gb ^ 7

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺘﻰ ﺗﺘﺴﺎﻭﻯ ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﺎﻥ ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﺎﻟﻤﺜﺎﻝ‬ ‫ ﺃﻋﻂ ﺍﻣﺜﻠﺔ‬،‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬٩) ‫( ﺻﻔﺤﺔ‬٤) ‫ﺭﻗﻢ‬ ‫ﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﻴﻦ ﻭﺃﻣﺜﻠﻪ ﺃﺧﺮﻯ ﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ‬ .‫ ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﺮﺽ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻣﻦ ﻋﻨﺪﻫﻢ‬،‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﻴﻦ‬

VsW?gb {V m2zKkb y¹ r 7f C VsW?gb {V 2?kN d^ i ^r ŮhKkb 8Wj wcN j ^ / D ŮC i VsW?f tr 7 ƋM d_br = d_bƄƄM = D = M =C :1 b D ‫ﻣـﺜـﺎل‬

e f8 - > < )V d (. (& % g

Ŀ Ł ŀ Ł ŀ l Ů b l i VsW?gb ‫أ‬ Ŀ ń ŀń ŀ-

X%l 8) %H 8* , !P( m _ k , . (. 1 d2).n Q +)* =3 %H 8<R )V8& T\ 6

)"%H 8< f8 - )V 1 1 (. (& 1 (6+ 3)

CÉ£îdG ÖæéJ

ń ŀ Ŀ

ł Ņ Ł

f Ŀ ņ ŀ p =f Ŀ ņ ŀ p

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ł- Ŀ

‫اﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت اﻟﻤﺘﺴﺎوﻳﺔ ﻓﻲ ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ Ƌ= Ů5 w gzZ ."r VƄ b

Ń ŀŇ + =

Łń ł

êÓ©∏d äÉMôà≤e

l =b

Ń ŀŇ+ =

Ń ŀŁ + =ł Łń ł

‫ﻣـﺜـﺎل‬

ń-5Ł l Ɗi ^ / 5 ł

l=b

‫اﻟﺤﻞ‬ Ń ń-5 Ł l ŀŁ+ = ł ł

L L A= , − O M F 2

Ɗ _jr yr 7 f 2J k gb 2> kOb is_zV Ůi yr 7 f lz VsW?gb i z& ŀŇ + = ɤ ŀŁ + =ł Ů Łń = ń - 5 Ł ŀŁ - ŀŇ ɤ = -=ł Ů ń - Łń ɤƆƆƆƄƄ5 Ł ł ɤƆƄƄƄƄ= Ů ŁĿ ɤƆƆƆƄƄ5 Ł ŀĿ ɤƆƆƆƆƄƄƄ5 ł ɤ = ŮŀĿ ɤ 5 so d'b

ôªà°ùªdG º««≤àdG

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ łŇ ńŇ + 5 l i ^ / 9 ńl = b =ł ł ŀĿ-=Ń M Ů= Ů5 lf d^ hzZ ."r VƄƄƄƛŀĿ-ƄƄŃƄƄň-Ɯ ɤ ƛM - 5ƄƄ= + 5ƄƄ5łƜ i ^ / ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ 10

= Ů5 w gzZ ."r VƄƄƄƄ b

- C -Ł + - C

- Ů¶" Ů ŮC hzZ ."r V b ł- ň l = ń ņ

+ C Ɗi hcN / ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ 11 ¶" + + C

‫ﺿﺮب ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻓﻲ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ‬

Multipling a Real Number by a Matrix

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

:1 b {[z['b -.Ob `b/ {V VsW?gb 2> kN lf 2?kN d^ 2B wkOy VsW?f {V {[z[& -.N 2B d^r i * e hKkb 8Wj wcN C ] ɤ ! VsW?f {o i * e hKkb wcN C VsW?f {V ] {[z[& -.N 2B d> & Ƌ] {[z['b -.Ob {V ¹ r2Cf C VsW?gb {V qb 2J kgb 2?kOb tr 7y M = ¶" pzV 2?kN i ŮƋƋƋƋƋ ŮŁ Ůŀ ɤ M Ů e ŮƋƋƋƋƋ ŮŁ Ůŀɤ = z&ƄƄƄM = C ] ɤ M = ¶" :b Řğ ƩũĪ b

ôªà°ùªdG º««≤àdG

QABR S H TSU 1 , $ 9 : ١٣ = ‫؛ ﻉ‬١ = ‫؛ ﺹ‬٣ = ‫ ﺱ‬10 ٢ = ‫؛ ﺹ‬٣٠ = ‫ ﺱ‬9 ٤ = E ‫؛‬٢- = ‫؛ ﺟـ‬٦ = ‫؛ ﺏ‬٣ = C 11

= ] 5 ] = 5 l= b l ] a ] M ] a M

ŀ Ń Ł-ƄP O )6 b Ł- Ň- l = b ŀ * Ł- Ń * Ł- l = b l ŀ- ń Ł ŀĿŀ- * Ł- ń * Ł‫ﻣـﺜـﺎل‬

e.+ 6 Ƌ 2gb X?jr 2f r2;f d^ lg PV2b y2 zV _b t.& HG+ 6 ? - y4b .O r2;f d^ lg - #yĖ wb b ar.#b wV 1 O6Ĕ ' Đ

% [\ c,

% YH c,

qzk#b lf ŀŬńĿ

qzk#b lf ĿŬņń

# T& \ d[ +\

qzk#b lf ŀŬņń

qzk#b lf ĿŬŇń

U%9 % 3< +\

qzk#b lf ŀŬňĿ

qzk#b lf ĿŬňĿ

+c & % 3< +\

−

‫د‬

ĿŬŁ ł ŀ ĿŬņńŃ o ń ŀ o = C i ^ / ‫ أ‬8 Ƌ` " 27V ?D = C doƄ d Ł- ĿŬń = DƄƄƄƄƄŮƄ d ŁŁ Ń łŃ ł l = NƄƄƄƄƄŮƆƆƆƆƆƆ b l = M j ^ / ‫ب‬ Ƌ ` " 27V ?N = M doƄƄƄƄƄ b

‫ﺃﻯ ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ‬ ٌّ ‫ ﻗﺪ ﻻﻳﺴﺘﻄﻴﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺗﺤﺪﻳﺪ‬:X M .‫ﻫﻤﺎ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺘﺎﻥ‬

QaR S H TSU 1 , $ 9 : .‫ أ ﻧﻌﻢ؛ ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﻌﻨﺎﺻﺮ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﺓ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ‬8 .‫ب ﻻ؛ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻨﺼﺮﺍﻥ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺍﻥ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﻴﻦ‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻓﻰ ﺣﻞ‬ ‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ‬٩) ‫( ﺍﻟﻮﺍﺭﺩ ﺻﻔﺤﺔ‬٥) ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﺎﻟﻤﺜﺎﻝ‬ ‫ ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺣﻞ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ‬،‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ .(١٠) ‫ﺗﺤﻞ« ﺻﻔﺤﺔ‬

Ł ł- ŀ = b Ł 5 ŀ l ‫ب‬ l ń Ņ ŀ= Ņ ŀ= ŀŁ ŀ ‫ﺟ‬ b l ŀ- ł Ů b ŀ- 5 l i VsW?gb

@ = N , D− = j \ k: F 6 k:

e . (& X%l 8()

‫ﺍﺷﺮﺡ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﻋﻨﺪ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﺎﻥ‬ ‫ ﻓﻴﺠﺐ ﺃﻥ ﻧﻘﺎﺭﻥ ﻛﻞ ﺯﻭﺝ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻨﺎﺻﺮ‬،‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﻴﻦ ﺃﻡ ﻻ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻠﺔ ﻓﻰ ﻛﻠﺘﺎ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ ﻭﺍﻟﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﺃﻧﻪ ﺣﺘﻰ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻭﺍﺣﺪﺍ ﻓﺈﻥ‬ ‫ﻋﻨﺼﺮﺍ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ ﻛﻞ ﺃﺯﻭﺍﺝ ﺍﻟﻌﻨﺎﺻﺮ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺇﻻ‬ ً ً .‫ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺘﺎﻥ ﺗﻜﻮﻧﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﻴﻦ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﺗﺴﺎوى ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ‬

Equality of two Matrices

ø«àaƒØ°üe ihÉ°ùJ

‫أ‬

Ŀ Ŀ b l ‫د‬ Ŀ Ŀ

L L A= , − O M F 2

+ , # E+ M N.$

ŁŬŁń ŀŬŀŁń ŁŬŅŁń ŀŬŁņń ŁŬŇń ŀŬłń

ŀŬńĿ * ŀŬń ĿŬņń * ŀŬń

ŀŬņń * ŀŬń ĿŬŇń * ŀŬń

ŀŬňĿ * ŀŬń ĿŬňĿ * ŀŬń

ŀŬńĿ

ĿŬņń

ŀŬņń

ĿŬŇń

ŀŬňĿ

ĿŬňĿ

ŀŬń

l cb s^ lg Ůqzk#b lf ŀŬŀŁń 2zS?b h#'b lf l cb s^ lg ( ?y Us6 lf a [ 2 b 2z?N s^ lg ( ?y Us6r Ůqzk#b lf ŁŬŁń 2z _b h#'b lf ŮŁŬŅŁń 2z _b h#'b lf a [ 2 b s^ lg r Ůqzk#b lf ŀŬŁņń 2zS?b h#'b lg r Ůqzk#b lfŀŬłń 2zS?b h#'b lf s#j gb 2z?N s^ lg ( ?y Us6r Ƌqzk#b lf ŁŬŇń 2z _b h#'b lf s#j gb s^

= C i ^ / 12

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﻣﺪور اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬

Transpose of a Matrix

d?'j kj V z 2 b 8Wk UsW?b .gNĔ r .gNĔ UsW?b kb. 6 / i * e hKkb wcN C VsW?f x {V C = .fƛ.fCƜ i Xy2O b lf (C yr .f C 4f2b pb 4f2yr ŮC VsW?gb 1r.f wg7 r Ůe * i hKkb wcN VsW?f wcN ‫ﻣـﺜـﺎل‬

Ɗ z Ē VsW?gb lf d^ 1r.f ."r 7 b

Ń ł‫ﺟ‬ l ŀ- Ł ɤ !

Ł ŀ-

ŀń

ƛŅƄƄŁ-ƄƄŀƜ ɤ ‫ب‬

ŀ ł

‫أ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

F * D f8 > < 6+ 3&

f ŀń

ŀ Ł ŀ-

p ɤƆƆƄ.f C ‫أ‬

ŀ .f ‫ب‬ f Ł- p =

A * D f8 > < +)< 6+ 3&

Ņ Ł b ŀ-

F * F f8 > < *9%& 6+ 3&

‫ﺃﻛﺪ ﻟﻄﻼﺏ ﺃﻥ ﺿﺮﺏ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻓﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻳﻌﻨﻲ ﺿﺮﺏ‬ ،‫ﻛﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻓﻰ ﺫﻟﻚ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬١٠) ‫( ﺻﻔﺤﺔ‬٦) ‫ﺛﻢ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻌﻬﻢ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ‬ .‫ﻭﻫﻮ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺣﻴﺎﺗﻲ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

ŀĿ ŀŁ- ŀń ņ ŀĿ- ŁĿ ł ŀ Ł-

Cń-Ƅ."r V

áaƒØ°üe ≈a »≤«≤M OóY Üô°V

‫اﻟﺤﻞ‬

ł- l .f ɤƆƆƆ ! ‫ﺟ‬ Ń

ôªà°ùªdG º««≤àdG

QAAR S H TSU 1 , $ 9 : ١٠ ١٢- ١٥ ٥٠- ٦٠ ٧٥= f ٣٥- ٥٠ ١٠٠- p f ٧ ١٠- ٢٠ p ٥- = C٥- 12 ٣ ١ ٢١٥- ٥- ١٠ áaƒØ°üªdG Qhóe ‫ ﺇﺫﺍ ﺍﺳﺘﺒﺪﻟﻨﺎ‬،‫ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻈﻢ ﻡ * ﻥ‬C ‫ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻧﻪ ﻓﻰ ﺃﻯ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ‬

،‫ﺍﻟﺼﻔﻮﻑ ﺑﺎﻷﻋﻤﺪﺓ ﻭﺍﻷﻋﻤﺪﺓ ﺑﺎﻟﺼﻔﻮﻑ ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ ﻭﺗﺴﻤﻰ ﻣﺪﻭﺭ‬،‫ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻈﻢ ﻥ * ﻡ‬ C = ‫ ﻣﺪ( ﻣﺪ‬C) ‫ ﻣﺪ ﻭﺇﻥ‬C ‫ ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‬C ‫ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ á∏KÉªàªdG ¬Ñ°Th á∏KÉªàªdG áaƒØ°üªdG

‫ ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﺴﻤﻰ‬،‫ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬C ‫ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ ﻭﺗﺴﻤﻰ ﺷﺒﻪ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺇﺫًﺍ‬،‫ ﻣﺪ‬C = C ‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺇﺫًﺍ ﻭﻓﻘﻂ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﻣﺪ‬ C- = C ‫ﻭﻓﻘﻂ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬

L L A= , − O M F 2

ôªà°ùªdG º««≤àdG

QAFR S H TSU 1 , $ 9 :

á∏KÉªàªdG ¬Ñ°Th á∏KÉªàªdG äÉaƒØ°üªdG

Symmetric and Semi Symmetric Matrices

j ^ / H[Vr / c g f q : wg7 r .fC = C j ^ / H[Vr / c g f wg7 pj V O 2f VsW?f C j ^ / .f C- = C

١ ١ ١

C = f ٥ ٣ ١ p = ‫ ﻣﺪ‬C 13

‫ﻣـﺜـﺎل‬ ? c g f q : e c g f f

Ŀ ŀ ŀ-

ŀĿ ł

f łĿ

ŀ Ŀ ł-

ŀł Ŀ

Ŀ ŀŀ

ŀ Ŀ ł-

Ŀ ŀŀ

ŀ-

p = .f

f ł ŀ-

- = f ł Ŀ

Ŀ ŀŀ

ŀ ł ń

ŀń Ņ

ŀ ŀ ŀ-

p ɤ

º««≤àdGh ÖjQóàdG

p * ŀ- = .f

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

p = C VsW?gb do 13

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬

Ŀ ł

M ŀ

Ł Ŀ l =b Ŀ =

ŀŀ Ł

ł ŀ

ńŁ Ŀ ŀŁ

5 l ‫ب‬ Ŀ

Ŀ ŀ

Ŀ ł l =b ŀ Ł

5 l Ł

‫أ‬

Ɗ c g f q : py r c g f z Ē VsW?gb lf yÊ lz 2 Ŀ ń Ł

‫ب‬

f Ņ ń

ŀŁ Ņ

ŀ ŀŃ

−

_)V6 d& o SU $ 9 : 1 2

٣= ‫ ﻉ‬،٣ = ‫ ﺹ‬،٢ = ‫ ب ﺱ‬٣ = ‫أ ﺱ‬ .‫ ب ﺷﺒﻪ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ‬.‫أ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ‬

É«LƒdƒæμàdÉH §HôdG •É°ûf

Ɗw y gf d^ {V M Ů= Ů5 lf d^ gzZ ."r 1 b

٦ ٥ ١

‫اﻟﺤﻞ‬

c g f q : VsW?gb is_ V .f D - ɤ is_zV - = .f `

? c g f q : e c g f f

‫ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ‬C ‫` ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬

p ɤ VsW?gb do 8

p ‫أ‬

TSU 1 , $ 9 : ‫ ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‬14 ‫ ﻣﺒﻴﻌﺎﺕ ﺍﻟﺴﻮﺑﺮ ﻣﺎﺭﻛﺖ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻧﻮﻉ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ‬15 . ‫ﺍﻻﺳﺎﺑﻴﻊ ﺍﻹﺭﺑﻌﺔ‬ ‫ ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‬16 ‫ ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‬17

−

+ , # L+ M N.$

U r8 U ÖdÉ£dG AGOCG

ôjó≤àdG

T3S. ,`8& + M& +" & w9 x M + . S SH $ 9 : > < T3S. ,`8& + M& +" & w9 x M + . e *) d& M 9 X < )9 S SH $ 9 : > < T3S. ,`8& + M& +" & w9 x M + . e M s*9 V9 d2 $ 9 : > < > < T3S. ,`8& + M& +" & w9 x M + . eX < ) s*9 z (S. X *(& M V9 $ 9 :

t ()&

`8& + M& +" & q 8U x M I M( .n e` +( X < ) z (S.

‫ﻧﺸﺎط‬

$ [ f8U 6 %(2 m c '(# ģŐŮǍǤǍŏǔņǤģś ƤśƄǤĝ (Excel) zjr2 _bĖ ar .#b $f j2 : & '( ) $

ar .#b $f j2 {V pb *- h y z& Ů pczc' r pB2Nr j z b hzKk b zjr2 _bĖ ar .#b e.+ 6 - #y r es62b dgN {V pf .+ 6 `k_gy `b/ .O Ů VsW?gb d f .gN r UsW> {V zjr2 _bĖ Ƌ 7'b

$ AB

+ 2 9 p qY I s*9 d& j\ & %9+ $ * [& ((& I 9 # G P $ & %

$ C

$ ?

+[ &

M+[# I9 %

M+[#

M+8

ŀŇ łŁ ńŇ ņŁ ŀŇ ņņ łŁ ŃĿ

Łņ łŅ ńŃ ŇĿ ŁĿ Ńŀ łĿ łŇ

łĿ ŃŇ ŅŁ ņń ŁŃ łŅ ŀŇ łń

łŃ ŃŁ ŅĿ ņĿ Łń ŅĿ ŁŁ Ńń

%2# j.t %2& o X 9t 1 [ b u +6

‫ﻣـﺜـﺎل‬

Pc7b lf q Oz f ^1 f 2 s6 2y.f Pg" ǵƃģŭņǤģś ƤśƄǤĝ 10 {V pgKjr Ů zb f Pz 6 O 1 {V e 2" scz_b z 0Sb Ƌ zjr2 _bĖ ar .#b $f j2 {V j z b d*- Ůd [gb ar.#b Ů arĔ Ms 6Ĕ Oz gb B -sgOb r Mskcb A -sgOb e.+ 6 - Ms 6Ĕ Oz gb D -sgOb r Ůwj b Ms 6Ĕ Oz gb C -sgOb r ƋP 2b Ms 6Ĕ Oz gb E -sgOb r b b

$ @

M+8 $ * [& =H T\ b+S. c 6 T\ b+(SU O

= *{

b+(SU , ,$ [ d& O ,

( ,DB ) > < D7 ' * [) $ & % + 2 < T )U

$ @ d& T

eb r d& M+[# 6

έ˰˰ϛ˰˰γ

Εϳί

Δϧϭέϛϣ

ϕϳϗΩ

ϩΩΑί

ϥΎΑϟ΍ ϯΎη

ϝϭϓ

T ). , p qY * d& ` ej. $ * [& > =3

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

º««≤àdG

: ( Tp ) T, _9PI > : x I ١ ٥- ٢ ‫ ﺃﻭﺟﺪ‬b ٤ ١- ٣ l = C ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬1

C٢ ‫ ﻫ‬٣٢C ‫ د‬٣١C ‫ ﺟ‬٢٢C ‫ ب‬١١C ‫أ‬ ٢ * ٢ ‫أ ﺍﻛﺘﺐ ﻣﻦ ﻋﻨﺪﻙ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﺮﺑﻌﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻈﻢ‬ ٠ C ٠ ١?C ‫ ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ‬b ١ l = b ١ l ‫ب ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬ ٣ ٣ ‫ﻣﺪ‬

Ƌ VsW?f {V pgzKk r zjr2 _bĖ ar .#b {V j z b hzKk lz i1 Z 14 Ƌ zjr2 _bĖ ar .#b {V .gNĔ r UsW?b đ*.f Pzf #f - #y `k_gy ƛsumƜ 2fĕb `f .+ 6 .kN 15 ?Pzf #gb m0o d g / f = sum (F1:F8) Sz?b a *- Ň wb ŀ lf UsW?b đ*.f Pzf #f - #y `k_gy zjr2 _bĖ ar .#b e .+ 6 ` " '> lf \[' r Ů51.b 0o {V p 61- { b d 7gb t.& 2 * 16 Ƌƛ(EXCEL) $f j2 e .+ 6 `k_gyƜ ŮwkOf / p .gN 2> kN Pzf #f is_ z z& j z e .+ 6 VsW?f ;j ǶũǍņƽǩ ǶǤĦƑǩ 17 \[' r Ů zjr2 _bĖ ar .#b $f j2 wcN VsW?gb j z d*- Ů Cy wkOf pb pVsW> 2> kN Pzf #fr ¹ ƋUsW?b r .gNĔ lf d^ Pzf #f wkO / f 27V h Ů pzcN c?& w b Pzf #gb '> lf

− M

á£°ûfC’G á°SGôc á£°ûfCG º««≤J

? pzcN c?& w b $ kcb ]2z7W f Ů-sgN d^ 2> kN Pg" ‫ب‬ ......................................................................................................................................................................................................................

(3) áëØ°U (3) •É°ûf

U r8 U

.` " 27V ?wkOf / j z j-r4 i l_gy pzcN c?& w b $ kb do .X> d^ 2> kN Pg" ‫ﺟ‬ űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

Ń Ń = b ŀl i ^ / D ŮC lf d^ gzZ ."r 5 ł l ŀ + ł ŀ - CŁ

b ŀņ

ÖdÉ£dG AGOCG

ôjó≤àdG

. U I& ,`8& + M& +" & w9 x M + . e + M) % (

t ()& y

`82 ,`8& + M& +" & 9 x M + . . ( *) T[ d& ` +( X < ) z (S. + M) % ( n: ,`8& + M& +" & x M S. , *) T[ d& ` +U X < ) z (S. ` % ( . U X % )9 x M I M( . n _ q\ e + M) ,`8& + M& +" & x M I M( . n e *) T[ d& ` +( X < ) z (S.

$ C

z& b ŀ- EŁ l = Ů b ł- Ł l = C i ^ / 6 Ń ŀŃ ¶oł .¶o Ů E lf d^ gzZ ."r V

Ł-

$ AB

. U I& ,`8& + M& +" & w9 x M + . e *) d& F 9 ` +(9 + M) % (

f ł ń

Ŀ ł ń-

ł ŁŃ-

p = Ů f łŀ-

Ŀ ŀ ń

ŀ Ł Ń

p = C j ^ / 7

Cł- ƄƄŮƄƄ Ł+ CƄƄŮƄƄ - CƄƄŮƄƄ + CƄ."r

Ů5 - = = = 5Ci hcN / C VsW?gb ^ {ł ŮŁ Ůŀ }ǽ = Ů5 d_b (= 5C) = C j ^ / :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ 8 .f C ."r h űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

$ ?

+[ & $ @

‫ﻧﺸﺎط‬

pVsW> 2> kN Pzf #fr ŮwkOf / p .gN 2> kN Pzf #f is_ z z& j z e .+ 6 VsW?f ;j w b Pzf #gb '> lf \[' r zjr2 _bĖ ar .#b $f j2 wcN VsW?gb j z d*- .wkOf pb 8zb . .gNĔ Pzf #f wkO / f 27V h Ů pzcN c?& űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

= *{ $ @ d& T

L L A= , − O M F 2

− M

2-1 тАля║Яя╗дя╗К ┘Ия╗Гя║о╪н ╪зя╗Яя╗дя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║О╪ктАм

2-1

Adding and subtracting Matrices

тАля║│я╗о┘Б я║Чя║Шя╗Мя╗ая╗втАм

тАля╗Ля╗дя╗Ю я║Чя╗Мя║О┘Ия╗зя╗░тАм

3 . 1(I

8 FBAA FBAF FBAD

╞Лar.#b {V k6 d^ {V 1s^0cb lzz 7'b lzG6sb "1- Msg#f ."r тАл ╪гтАм-┬Ъ ╞Лar.#b {V k6 d^ {V j─Чb lzz 7'b lzG6sb "1- Msg#f ."r тАл╪итАм

1s^0cb escOb - f "1.b { 7'b H6sb d g VsW?f ^ тАл ╪гтАм-┬Ы ╞Л p .gN r pVsW>r VsW?gcb ┬╣j skN PB ╞Л j─Ц r ? VsW?gb hKj f тАл╪итАм 1s^0cb zB y2b "1.b w 7'b H6sb d g VsW?f ^ тАл ╪гтАм-┬Ь ╞Л p .gN r pVsW>r VsW?gcb ┬╣j skN PB ╞Л j─Ц r ? VsW?gb hKj f тАл╪итАм

┘П тАля║│я║Оя║│я╗┤тАм3тАл╪зя╗Яя╗дя║╝я╗Дя╗ая║дя║О╪к ╪зтАм ┘П тАл┘Ся║ФтАм

Adding matrices

. /0 . 1(I

╞Л VsW?gb Pg#b [y2F R z?b o 2 E gj t r ┼о` K&─Сf e.+ 6 - ┬Ю

тАля║Яя╗дя╗К ╪зя╗Яя╗дя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║О╪ктАм

+ , % 90 + , # L+ M N.$ , O M PA/ 5 6 Q )3 %2# + , % I f$ L2# , + , % A =# 1 T B + , % g I h%( PA= H IJ B )3 %2#

! "

Subtracting matrices

:IQ L)* A/ ^ j O M I f IQ h^ 2% k# PA= \[ ' L+

┼о╞Ы┼Б╞Ь lzb 7b {V p ^ w b VsW?gb r ╞Ы┼А╞Ь hZ1 a 7b lN ` " @'W - ┬Э 1s^0cb lzz 7'b lzG6sb "1- Msg#f d g b VsW?f ^ ┼о╞Ы┼В╞Ь ? VsW?gb hKj f ┼о p .gN r pVsW>r VsW?gcb ┬╣j skN PB ╞Л j─Ц r

Adding Matrices

Adding and Subtracting Matrices

3 . /0

╞К{b b ar.#b {V fscOgb e.+ 6 ╞Л `b dzf3 Pf dgN ─Ц─г╞Ы┼й─к─г┼Ы ╞д┼Ы╞Д╟д─Э $ >9 S F#+ $ { . + < | : +\k | : +\k ┼Г┼Д┼Ж ┼Д─┐┼Б ┼Г┼Б─┐ ┼Г┼Б┼З ┼Г┼Е─┐ ┼Д─┐┼А ┼Г┼Б┼А ┼Г┼Б┼Д ┼Г┼Е┼В ┼Д─┐┼В ┼Г┼Б┼Е ┼Г┼Б┼И

тАля║Яя╗дя╗К ┘Ия╗Гя║о╪н ╪зя╗Яя╗дя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║О╪ктАм

тАля║Чя╗Мя╗ая╗втАм

B + , 7 h%l яА│ тАл╪п┘И╪з╪к ┘И╪зя╗Яя╗оя║│я║Оя║Ля╗ЮтАм3тАл╪зтАм * + * , * -

B + , 7 hm n U "2.2 яА│ B + , 7 g M яА│

╞Л .y." fscOf wcN d?'j w_b ┼о VsW?f %2Gj r Pg#j i j z& .y2j ╞Л 2J k gb 2> kOb Pg" ┼оPg#b VsW?f wcN d?' b wcN Cy VsW?f wo + C 1}6 ┼оi * e hKkb wcN lz VsW?f D ┼оC j ^ / :1 ^ ┬╣ ╞Л ┼оC {V ly2J k gb ly2?kOb Msg#f so pzV 2?kN d^ is_yr i * e hKkb ! "#$ % тИТ & '(

# # $ % & )

+ , % g I - + , % h%(

& '( ) ) *( +) QGтИТFR d& ~# тАля║Ня╗Гя╗ая║Р я║Зя╗Яя╗░ я║Ня╗Яя╗Дя╗╝я║П я║Ня╗╗я║гя║Шя╗Фя║Оя╗Е я║Ся║Оя╗Яя║кя║ня║Яя║Оя║Х я║Ня╗Яя║Шя╗░ я║гя╗Шя╗Шя╗мя║О я╗Ыя╗ЮтАм .тАля╗гя╗ж я║Ня╗Яя║мя╗Ыя╗оя║н я╗ня║Ня╗╣я╗зя║Оя║Щ я╗Уя╗░ я╗гя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║Оя║Х я╗гя╗ия╗Фя║╝я╗ая║ФтАм QGR L (┘б) тАля╗Чя║к я╗│я║дя║Шя║Оя║Э я║Ня╗Яя╗Дя╗╝я║П я║Зя╗Яя╗░ я║Чя╗Мя║оя╗С я║Ня╗Яя║╝я╗ая║Ф я║Ся╗┤я╗ж я║Зя║Яя║Оя║Ся║Ф я║Ня╗Яя║┤я║Жя║Ня╗Э я║ня╗Чя╗втАм тАля╗ня║Ня╗Яя╗дя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║Оя║Х я║Ня╗Яя║Шя╗░ я║Чя╗в я║Чя╗Ья╗оя╗│я╗ия╗мя║О я╗Ля╗ия║к я║Ня╗╣я║Яя║Оя║Ся║Ф я╗Ля╗ж я║Ня╗Яя║┤я║Жя║Ня╗Яя╗┤я╗ж я║ня╗Чя╗дя╗░тАм тАл я║Ня╗Гя╗ая║Р я║Зя╗Яя╗┤я╗мя╗в я║Чя║кя╗ня╗│я╗ж я╗Ыя╗┤я╗Фя╗┤я║Ф я║Ня╗Яя║Шя╗оя║╗я╗Ю я╗╣я║Яя║Оя║Ся║Оя║Х я║Ня╗Яя║┤я║Жя║Ня╗Э я║ня╗Чя╗втАм╪М┘г ╪М┘в тАл я║Ыя╗в я║Ня╗Гя╗ая║Р я║Зя╗Яя╗┤я╗мя╗в я╗гя╗Шя║Оя║ня╗зя║Ф я║Ня╗Яя║кя║ня║Яя║Оя║Х я║Ня╗Яя║Шя╗░ я╗Чя║Оя╗гя╗оя║Н я║Ся║ая╗дя╗Мя╗мя║О я╗Уя╗░тАм╪М(┘б) .тАл я║Ся║Оя╗Яя║кя║ня║Яя║Оя║Х я╗Уя╗░ я╗Ыя╗ая║Шя║О я║Ня╗Яя╗дя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║Шя╗┤я╗жтАм╪М(┘б) тАля║Ня╗Яя║┤я║Жя║Ня╗Э я║ня╗Чя╗втАм

B - %)* - I )# 6 I - % )02 <A

┬вSQ├│dG ┬вV├┤YяАаяВи

┬вSQ├│dG ├дGAG├┤LEGяАаяВи

├д├Йa╞Т├Ш┬░├╝┬кdG тДв┬кL :┬║тИП┬йJ

├│┬л┬б┬к├аdG

,%( ) -. ( /%I L 02 M)02 - ]^ .% - 6 % _ 0

-. ( 1 2& L A= ,

*( 3& d o,1 L p o,1 k# O M F 2 o,1 A=2 M] F 2 ;q 2 ! : # )0%) = f ]

тАл я╗ня║Гя╗Ыя║к я╗Ля╗ая╗░ я║Гя╗зя╗к я╗Яя║ая╗дя╗КтАм╪МтАля╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗гя╗К я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я║Яя╗дя╗К я║Ня╗Яя╗дя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║Оя║ХтАм ┬╗fh├Й┬йJ ╧А┬кY тАл я║П я╗ля╗░ я╗гя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║ФтАм+ C тАл я║П я╗Ля╗ая╗░ я║Ня╗Яя╗ия╗Ия╗в я╗б * я╗е я╗Уя║Ия╗етАм╪МC тАля╗гя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║Шя╗┤я╗жтАм (тАля║Чя║Дя╗Ыя║к я╗гя╗ж я║Чя║мя╗Ыя║о я║Ня╗Яя╗Дя╗╝я║П я╗Яя╗дя╗Фя╗мя╗оя╗б я║Ня╗Яя╗дя║Шя╗оя║│я╗В )я║Ня╗Яя╗оя║│я╗В я║Ня╗Яя║дя║┤я║Оя║Ся╗░тАм тАл я╗ня╗│я╗Ья╗оя╗е я╗Ыя╗Ю я╗Ля╗ия║╝я║о я╗Уя╗┤я╗мя║О я╗ля╗о я╗гя║ая╗дя╗оя╗ЙтАм╪МтАля║Гя╗│я╗Ая║О я╗Ля╗ая╗░ я║Ня╗Яя╗ия╗Ия╗в я╗б * я╗етАм ┘Л QAR L >6 .тАл я║ПтАм╪МC тАля║Ня╗Яя╗Мя╗ия║╝я║оя╗│я╗ж я║Ня╗Яя╗дя║Шя╗ия║Оя╗Зя║оя╗│я╗ж я╗Уя╗░тАм тАля╗ня║┐я║в я╗Яя╗Дя╗╝я║Ся╗Ъ я║Гя╗е я╗Ля╗ая╗┤я╗мя╗в я║Зя╗│я║ая║Оя║й я╗гя║ая╗дя╗оя╗Й я║Ня╗Яя╗оя║│я╗Дя╗┤я╗ж я║Ня╗Яя║дя║┤я║Оя║Ся╗┤я╗┤я╗жтАм тАля╗│я╗дя╗Ья╗ия╗Ъ я║Гя╗е я║Чя╗Дя╗ая║Р я║Зя╗Яя╗░ я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я║Яя╗дя╗К я╗гя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║Шя╗┤я╗ж я╗Яя╗мя╗дя║О я║Гя║Ся╗Мя║Оя║йтАм тАля╗б я╗ня╗Ыя║мя╗Яя╗ЪтАм┘в┘а┘б┘г тАл я║Зя╗Яя╗░ я║│я╗ия║ФтАм┘в┘а┘б┘а тАля╗Яя╗ая║мя╗Ыя╗оя║н я╗Яя╗Ья╗Ю я║│я╗ия║Ф я╗гя╗ж я║│я╗ия║ФтАм тАл я╗Яя╗Ья╗░ я╗│я╗╝я║гя╗Ия╗оя║Н я║Ня╗Яя╗дя║╕я║Оя╗Ыя╗Ю я║Ня╗Яя║Шя╗░ я╗│я╗дя╗Ья╗ж я║Гя╗е я╗│я╗оя║Ня║Яя╗мя╗оя╗ля║ОтАм╪МтАля╗гя║ия║Шя╗ая╗Фя║ФтАм тАля╗Яя╗║я╗зя║Оя║ЩтАм .тАля║Гя║Ыя╗ия║Оя║А я║Ня╗Яя║дя╗ЮтАм тИТ

+ , % g I h%( 6 1(I# /67

ôªà°ùªdG º««≤àdG

‫ﻣـﺜـﺎل‬

QA@R S H TSU 1 , $ 9 :

Ł Ŀ ƋD + C Ɗ."r V b Ł- ņ l ɤ Ů b ł ŀ- l = C i ^ / 1 Ń- ŀ ‫اﻟﺤﻞ‬

٨- ٢.‫ ﺟـ ﻏﻴﺮ ﻣﻤﻜﻦ‬+ C ‫ ب‬b ٨- ٥ l = ‫ ﺏ‬+ C ‫أ‬

1 ‫ ﻭﺩﻉ ﻃﻼﺑﻚ ﻳﺴﺘﻨﺘﺠﻮﺍ‬،‫ﺍﻧﺘﻘﻞ ﺇﻟﻰ ﺧﻮﺍﺹ ﺟﻤﻊ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬ ‫( ﻣﻦ‬١٥) ‫ﺧﻮﺍﺹ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬ .‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬

Ł- ņ + b Ł Ŀ l ɤ + C b l ł ŀŃ- ŀ ƛŁ-Ɯ +Ł ņ + Ŀ ɤƆƄ ƛŃ-Ɯ + ł ŀ + ŀĿ ņ b l ɤƄ ŀ- Ŀ

Q ,C d< s.+*( 9R QX%l 8() %H 8* I)c9R QF 9R

Ɗl_f i { y gf ¹đ^ ."r b ņ l ɤ ¶" Ů b ņ- Ł l ɤ Ů b ŀ- Ń- l = C j ^ / 1 ņ- łŃ ŀ- Ň ¶" + C ‫ب‬ + C ‫أ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﺧﻮاص ﺟﻤﻊ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬

Properties of Adding Matrices

i r i * e hKkb lf VsW?f đ ! Ů Ů C A2Wj

Ɗi V hKkb 8Wj wcN y2W> VsW?f

i * e hKkb wcN VsW?f is_ + C ǅıƴŠĬĝ ǶŐƜģų -

‫ ﺏ ﻳﻌﻨﻰ ﺇﺿﺎﻓﺔ‬،C ‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﻃﺮﺡ ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ‬ ‫ ﺩﻉ ﻃﻼﺑﻚ‬.C ‫ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﺠﻤﻌﻰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺏ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺠﻮﺍ ﺃﻥ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻄﺮﺡ ﻟﻴﺴﺖ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺇﺑﺪﺍﻟﻴﺔ ﺃﻭ ﺩﺍﻣﺠﺔ‬ .‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬١٦) ‫ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬

Ł * Ł hKkb wcN VsW?f b Ł

ņ ɤ ŮŁ * Ł hKkb wcN VsW?f l b Ŀ ŁŃ Ņ Ł Ł ņ Ł * Ł hKkb wcN VsW?f b l=b l+b ł ł ŁĿ Ł-

Ł ł

ŀ- l = C j \ k: Ŀ

ŀ- l = + CƄƄƄ 1}6 Ŀ

C + ɤ + C ǡĝŻśĬĝ ǶŐƜģų Ņ ɤ Ů ŀ- ł = C i ^ / :1J l b l ł ŁĿ Ń

C + ɤ + CƄƄ1 d [6Ƅ b ń

ƛ! + Ɯ + C ɤ ! + ƛ + CƜ ŬǩŻǤĝ ǶŐƜģų -

C=C+ ł

QAER S H TSU 1 , $ 9 :

ň- Ň

+ CƄ ȈƯǨŭǤĝ ŻšģŨǨǤĝ ǶŐƜģų Ŀ Ŀ ł Ł ŀ

٤- ١ ١ ٢ b ٣- l ٤ + b l ٣ + b ١- l٢ ٢ ٦٣ ٠ ٥ ٣١١ ٤ ٣ ٤ ٢٦١٢١٢b l= b l+b l + b ٢- l = ٢٤٠ ١٨٦٢٨ ١٢ ٦ ١٠

Ł ń ń- Ŀ

ň- Ň

= C + ƛC-Ɯ ɤ ƛC-Ɯ + CƄ ȋƯǨŭǤĝ ƄŐƪŏǤĝ ƏǍǔƯǨǤĝ ǶŐƜģų - C VsW?gcb wOg#b 2zKkb ƛC-Ɯ z&

ł - = b Ł- ń- ł- l ,Ƅ Ŀ l b ń Ŀ ŁŁ Ŀ

Ŀ Ŀ

ł P l O )6 Ł

Ŀ = b Ł- ń- ł- l + Ł ń l b ń Ŀ ŁĿ ń- Ŀ

− M

º««≤àdGh ÖjQóàdG _)V6 d& o SU $ 9 :

٤ ٥- ٣l ١- ٧- ٤- = (‫ﺏ‬-) + (C-) = (‫ ﺏ‬+ C)-

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

VsW?f ! z& ƛ -Ɯ + C ɤ - C ɤ ! VsW?gb i V i * e hKkb wcN ŮC lz VsW?gb lf d^ j ^ / Ƌ VsW?gb Pg" zcgOb 7kb VsW?gcb 5s_Of wo ƛ -Ɯ Ů i * e hKkb {cN

b = - 5 - C l = b =- 5- l + b C l = b = 5 l - b C l :OP )6 E ¶" E ¶" a - E M - ¶" a M a- M‫ﻣـﺜـﺎل‬

ƋC - ! - C i b Ł ň ń l ɤ Ů b ŀŀ Ń- ņ l = C j ^ / 2 ŀ- ń Ņ ł- ņ- Ň ŀŀ ŀb ŀŀŀ b

QFR

Ńń Ń ń-

ņ l b Ņ ņ- l + b Ņb

Ł łŁ łňŁ-

ň ņň ņŀł ŀŁ-

ń ɤƆƆC - l Ň ń ɤƆƆƆƆƆ l Ň Ł- l ɤƆƆƆƆƆ Ł

‫اﻟﺤﻞ‬ ŀŀ Ń- ņ Ł ň ń l ɤ - C l-b ŀ- ń Ņ ł- ņ- Ň ŀŀ Ń- ņ ɤƆƆƆƆƆ b Ł- ň- ń- l + b l ŀ- ń Ņ ł ņ Ňň ŀł- Ł ɤƆƆƆƆƆ QAR b l Ń- Ł- Łb

ƛ zb . 7zb VsW?gb %2F zcgNƜ C - ! - C :1 ,P QFR ,QAR d& ? #f - VsW?gb %2F zcgN do Ƅǔƾ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

!ń + D ł - CŁ VsW?gb ."r b Ł- ŀ- Ņ l ɤ ! Ů b ł Ń ŀ- l ɤ Ů b ŀ- ń Ł l = C j ^ / 3 ń Ł- ň

Ņ Ń- ł ‫اﻟﺤﻞ‬ ń * Ł Ł * Ł l = b ŀ- ń Ł l Ł ɤƆƆƆƆƆƆƆ CŁ Ń- * Ł ł * Ł Ņ Ń- ł Ń * ł ŀ-* ł l = b ł Ń ŀ- l ł = ł ń Ł- ň Ł- * ł ň * ł ł ɤ łb ň- ŀŁl ŀń- Ņ ŁņłĿ = Ł- * ń ŀ- * ń Ņ * ń = Ł- ŀ- Ņ ń ɤ !ń ŀĿńb l b l b l ŁĿ Łń ŀńŃ * ń ń * ń ł- * ń Ń ń łłĿ + ň- ŀŁ- ł + Ł- ŀĿ Ń ɤ ! ń + ł - C ŁƄ` b ŀĿ- ńl b l b l ŁĿ Łń ŀńŀń- Ņ ŁņŀŁ Ň- Ņ Ń

ń ł-

ŀĿ Ń = ŀ- * Ł b Łl b ŀŁ Ň- Ņ Ņ*Ł ň ŀŁ ł- = ł * ł b l b ŀń Ņ- Łņ ń*ł

٣ ٢- ١١ l + b ٣- ٢- l = (‫ﺏ‬-) + (C-) ١- ٢- ٠ ٠ ٥- ٤b

‫ﻃﺮح اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬

٤ ٥- ٣٥ ٣ l = b ٤l - = ١- ٧- ٤١ ٧ ٤ b

f Ń ń- Ņ p = f Ń ń- Ņ p + f Ŀ Ŀ Ŀ p = f Ŀ Ŀ Ŀ p + f Ń ń- Ņ p :OP )6

= ‫ﺝ‬٤ + ‫ﺏ‬٣ - C٢ 2

ƛ! + DƜ + C ɤ ! + ƛD + CƜƄ1 d [6Ƅ b Ń Ł l ɤ ! Ů b ń Ņ l ɤ Ů b ŀ- ł l = C i ^ / :1J ł- ŀĿ Ń ł Ł-

ôªà°ùªdG º««≤àdG

٢ ٣ ٢ ٢ ١ b ١- ١- l = b ١l - b ٣l =C-‫ﺏ‬ ١ ٣- ٤٠ ٥ ٤ ١ ٢ ٠ C-‫ﺏ!ﺏ‬-C ٢ ١ ٣ ٢ ٣١[ b ١ ٢ ٠ l + b ٠ ٥ ٤ l ]- = (‫ ﺏ‬+ C)- ‫ب‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

äÉaƒØ°üªdG ìôW º∏©J

٧- ٦ ٢ ٥ ٢b l ‫أ‬ f ٥ ٥- p ‫ب‬ ٣- ٣ ١٠ ٠ ٣ =‫ﺏ‬-C ‫أ‬ ٢ ١ ١ ٢ ١ ٣ ٢ ٣b l=b l - b ١l ١- ٣ ٤ ١ ٢ ٠ ٠ ٥ ٤

łņ = ŀĿ - ň - Ł- ń- ŀŁ - ŀĿ łĿ + ł+ Ń ɤƆƄƄƄƄƄƄ b Łŀ- ņl b l ŀņ Łł łŅŁĿ + ŀń - ŀŁ Łń + Ņ + Ň- ŀń - Łņ - Ņ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

!Ń + Dł - CŁ VsW?gb ."r V b ł- ŀ l ɤ ! Ů b Ń ŀ- l ɤ Ů b ŀ- Ł l = C i ^ / 2

L L A= , − M)0% /

Ł- Ņ

ń ł-

! "#$ % − & '(

6 1(I# /67

É«LƒdƒæμàdÉH §HôdG •É°ûf ‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬

١٧ ‫ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺹ‬ ‫ ﻭﻟﻜﻦ ﻳﺆﺛﺮ‬،‫ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻻﻳﺆﺛﺮ ﻋﻠﻰ ﺟﻤﻊ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬3 .‫ﻋﻠﻰ ﻃﺮﺡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬

Ɗw y gf d^ gzZ ."r 1

Ń łŀ- ń Ł Ł

p-f

ł- ł Ń Ŀ Ł ń

ŀ b Ł-

p ‫ب‬ Ł Ł

b łŀ

Ł ł

Ń- l ŀ +b ŀ ŀ-

ŀ l b ŀĿ ɤ Ů Ŀ

ƛ -Ɯ + ƛC-Ɯ ɤ ƛ + CƜ - i lf \[' ‫ب‬

ł Ŀ

ł ń

Ł l ň

‫أ‬

Ł l Ń = C j ^ / 2

?L&đ / f Ƌ C - Ů - C ."r ‫أ‬ ‫ﻧﺸﺎط‬

wg7 6 'b bĒ wcN Ů VsW?gb %2F r Pg#b 6 'b bĒ e .+ 6 `k_gy ģŐŮǍǤǍŏǔņǤģś ƤśƄǤĝ as& Ɵ Ơ 5 sZ PC 6 'b ĐĒ DO Ů2zS f e .+ 6 VsW?gb ‫ﺗﺬﻛﺮ‬ d*. i #y Ů VsW?gcb hz[b a *- d Z Ů VsW?gb (zBs b 2zS gb d2). B , A 1 %\qU > < )V V,%I V*) VsW?gb hKj F × D f8 -

Ɵ Ņŀ

ň Ń

Ł ņ

Ơ ɤ ƟBƠ

Ɵ ŀŃ

Ł ń

ł Ņ

Ơ ɤ ƟAƠ

B VsW?gcb h ŮA VsW?gcb sG+b d^ 2" Ůlz VsW?f Pg"r a *-Ė so m j- (Bsgb (z Wgb P

A 6+ 3& 6+ 3& 6 {m

6+ 3) f m

B 6+ 3&

MATRX

ENTER

=3 6 m

ENTER

=3 6 m

ENTER

3 2

ENTER

(-)

7 Qhome screenR

> : "q

$ 2ND

B , A I)c ƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄ$Ƅ

ENTER

d (6+ 3) M+)c& [# S J %*U !+#

MATRX

ENTER

2 ENTER

ENTER

(-)

ENTER

2ND

QUIT

MATRX

ENTER

QUIT

MATRX

[A] + [b] [[7 1 1 5] [3 9 -1]]

ƟƭƠ - ƟƮƠ ŮƟƭƠ + ƟƮƠ Ɗ- #yĖ 6 'b bĒ e.+ 6 ƊiĒ r -

ŀł Ň ńņ ŀŀ Ń Ň- Ņ ŀń-

Ơ Ɵ ɤ ƟƮƠƆƆŮ

ņ ŃŀĿ- ňŅ- ņ-

ń Ń Ņ

ɤ ƟƭƠ ‫ب‬

ŀŬŃ- ŀŬŀ Ƌŀ ĿŬŅ ĿŬŇ ŀŬņ-

ŁŬŀ

łŬŇ

ɤ ƟƮƠƄŮƄ ĿŬŇ- ŀŬń ɤ ƟƭƠ ‫أ‬ ŀŬň ŀŬŃ-

Ƌ` " 27V ? VsW?gb %2F .kNr ? VsW?gb Pg" .kN $ kb wcN 2 y VsW?gb z 2 {V 2zzS b do -

− M

•É°ûædG º««≤J ÖdÉ£dG AGOC’G

ôjó≤àdG

r (! <r ,f o J O M S=T2 t ()& s k* O t + , % g I Q h%( $ AB B o o1 (p g M% <r ,f 5 o 5 Z O M S=T2 y u 2o 5.f , + , % g I Q h%( r (! $ C Bg M% s k* (v , ,I <=* % @ M o J O M S=T2 5.f + , % g I Q h%t o o1 $ ? Bg M% s k* (v <=* % u 2o o J S =T2 O M o +[ & g I Q h%( r (! <=* % u 2o 5.f $ @ Bg M% s k* (! + , % o J S =T2 O M h M2 Z = *{ B5 ( 2 <=* %) u 2o $ @ d& T

−

+ , % g I h%(

(4) áëØ°U (2) •É°ûf

U r8 U

‫ﺟﻤﻊ وﻃﺮح اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬

2-1

Adding and subtracting Matrices

ÖdÉ£dG AGOCG

ôjó≤àdG

* .2# @ M$ k* j& 2%# @$ O M O2f t ()& j B U S )0 L+ + , %) $ AB @ M$ 90 k* j= ( @$ O M O2f j U S )0 L+ + , %

90 k* @$ M)0% <=* % O M O2f j U S )0 L+ + , % @ M$

k* @$ j M)0% k# < <=* % O M O2f B U S )0 L+ + , % @ M$ 90

$ C

CŁ] ŮCŀ] : z Ē VsW?gb lf đ^ Ê ."r V ŀ- = Ł] Ů Ł = ŀ] j ^r b ŀ- Ŀ Ł- l = C i ^ / 1

wV 7b 2^/ Pf Ůl_f i z Ē zcgOb $ j ."r V f + .f C ‫ﺟ‬

$ @

,F )M% @2 2 wo O M h M2 Z = *{ BM)0% ^ k# 5 ( 2 <=* %) u 2o $ @ d& T

(

Ń Ňņ Ŀ ń- Ņ-

+C ‫ب‬

Ń- Ł-

ł- Ń

Ŀ ņl = C i ^ / 2 = Ů b ńń ņ Ń

zcgOb 2" 10O b & +C ‫أ‬ Ł- Ń-

M + N - M ł VsW?gb ."r V f Ł ł- p = M Ů f Ł- Ŀ p = N Ů f Ņ ł p =M i ^ / 3 Ņ

ł - CŁ = M : z' M VsW?gb ."r V f

Ł Ņ- Ł Ņ- Ň Ń Ŀ ŀĿ- Ń p = Ů f Ň Ń- Ł Ń- Ň ŀĿ ŀŁ Ņ

p =C :i ^ / 4

$ ?

+[ &

: b- Ogb \[' w b E Ů¶" Ů Ů hzZ ."r : ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ 5 b

¶" Ń - E ł = ł Ł l b l b l Ł- ¶" Ŀ Ņ

: i h Ů hKkb 8Wj gpb ŮC lz VsW?f ].kN lf 2 * : ǶũǍņƽǩ ǶǤĦƑǩ 6 .f

- .fC = .f ( - C) ‫ﺟ‬

+ .fC = .f ( + C) ‫ب‬

( -) + C = - C ‫أ‬

‫ﻧﺸﺎط‬

. VsW?gb %2F r Pg" e .+ 6 pc& l_gy ].kN lf z z& b 7f ^ 1 .t2*Ĕ escOb wV VsW?gb [z G j2 jėb zbr.b _ ;b wcN r z61.gb ` _f wV ' 2

:‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ‬ −

١ ٢ b ١- ٢ l b l، = C ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬ ٥ ١٤- ٣ ‫ﻣﺪ‬

‫ ﺏ‬- C٥ ، ‫ﺏ‬٣ + ‫ﻣﺪ‬C٢ ‫ﻓﺄﻭﺟﺪ‬

á£°ûfC’G á°SGôc á£°ûfCG º««≤J (4) áëØ°U (1) •É°ûf

U r8 U ÖdÉ£dG AGOCG

ôjó≤àdG

S =T2 ') kf% <= ( x # O M O2f t ()& B + , % g I Q h%( $ AB O M h M2 M)0% k# M <=* % y g I Q h%( S =T2 ') kf% x # 2 $ C B + , % h M2 L2 M)0% k# <=* # O M u 2o g I Q h%( S =T2 ') kf% x # 2 $ ? B + , % L2 M)0% k# < <=* # O M u 2o +[ & h%( S =T2 ') kf% x # 2 h M2 $ @ + , % g I Q u 2o x % 2 O M h M2 Z = *{ B5 ( 2 <=* %) $ @ d& T

L L A= , − O M F 2

‫‪3-1‬‬ ‫ﺿﺮب اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬

‫ﺿﺮب اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬

‫‪3-1‬‬

‫‪Matrix Multiplication‬‬

‫‪Multiplying matrices‬‬

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﻋﻤﻞ ﺗﻌﺎوﻧﻰ‬

‫ "! &‬ ‫ ( ' "! &‬ ‫ ‪&)* # !" +, $ %#‬‬

‫ <)‪$ [ '(# e_ T &t I& T‬‬ ‫‪:T9 ) c 6‬‬ ‫ ‪ "r ?ƛŀƜ 0Sb "r lg f -‬‬ ‫‪ŀĿĿ‬‬ ‫‪ńĿ‬‬ ‫< ‪ < [) $ [ +‬‬ ‫ ‪?ƛłƜ 0Sb "r ?ƛŁƜ 0Sb‬‬ ‫ ‪ -‬أ ‪? đ b "sb lf N gb .&sb Pzg" lg Msg#f f‬‬ ‫ب ‪Ƌ "Ė - #yĖ ar.#b j z f.+ 6 Xz^ (Br‬‬ ‫ )‪$ V 8c 9 [ + d‬‬

‫ ‬ ‫‪, + , # L+ M N.$ , + , % S ',# O M PA/‬‬ ‫ (‪F M)02 H PA= \[ E+ , + , % g I h%‬‬ ‫ ‪B + , %‬‬

‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا‪3‬ﺳﺎﺳﻴ ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّﺔ‬ ‫ "! ‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬

‫ " ! ‬

‫ ‪ # $ %#‬‬ ‫‪Transpose of matrix‬‬

‫ [ [ [ ‬ ‫‪QDR QFR QAR‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ŁŬņń łŬńĿ‬‬ ‫‪ņń‬‬

‫ ‪ -‬أ ^ ‪Ƌ N f "r d^ lg d g b ł * ŀ VsW?f‬‬ ‫ب ^ ‪Ƌ N gb "sb -.N d g b ŀ * ł VsW?f‬‬ ‫ﺟ ‪ 2" X>sb 2?kN Ů -sgN ŮX> gc_b e.+ 6 ǶśģņǔǤĝ‬‬ ‫ ‪ Pz w b pzk#b -.N - #yĖ pzcN c?& w b VsW?gb e .+ 6‬‬ ‫ ‪Ƌ đ b "sb y2z V _b p‬‬ ‫ ‪ VsW?gb lf X> d^ 2> kN 2B Ů VsW?gb 2C es[j {_b :1J‬‬ ‫ ‪Ƌ 2Cb d> s& Pg" h Ů zj b VsW?gb lf -sgN d^ 2> kN {V wbrĔ‬‬ ‫‪Ŀ ń = Ů Ł Ŀ = C Ɗ 2B d> & - #yĖ P‬‬ ‫‪O )6‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪f ł- Ł- p‬‬ ‫‪ŀ ŀ‬‬‫‪Ń ŀ‬‬

‫^ ‪:IQ L)* A/‬‬ ‫‪j O M I f IQ h^ 2% k# PA= \[ ' L+‬‬

‫‪ 2Cb d> & Pg#j h ŀŁ wV ŁŀC 2Cj h Ůŀŀ wV ŀŀC 2Cj‬‬

‫‪B + , 7 FY ‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪ń‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫?‬

‫‪Ł- ɤ ƛŀ-Ɯ * Ł+ ń * ƛĿƜƄƄƄƄ f‬‬

‫‪p = b ŀ ŀ- l f ł- Ł- p‬‬

‫‪B + , 7 FG n U "2.2 ‬‬

‫ا‪3‬دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬ ‫ ‬

‫& ‪ # # $ %‬‬

‫ ‪ {Z Pf p7Wj sG+b 12^ ƋarĔ -sgOb r arĔ X?b {V 2?kOb so $ kb‬‬ ‫ ‪Ƌ .gNĔ r UsW?b‬‬ ‫‪Ŀ‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ŀ‬‬ ‫‪Ł‬‬‫‪ŀ‬‬

‫‪Ń‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪ł‬‬‫‪Ń‬‬

‫‪ń‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪p = b ŀ ŀ- l f ł- Ł- p‬‬

‫ ‪B + , # A =# - + , % F‬‬

‫‪p‬‬

‫ )‪ & '( ) ) *( +‬‬

‫ ‬

‫‪f‬‬

‫‪? Ł-‬‬

‫‪Ł Ł‬‬‫‪Ŀ ń‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪? p= b‬‬ ‫‪ŀ ŀ-‬‬

‫‪Ł ɤ ƛŀƜƛŁƜ + ƛĿƜƛĿƜƄƄƄƄ f‬‬ ‫‪ņ-ɤ ƛŀ-Ɯƛł-Ɯ + ƛńƜƛŁ-ƜƄƄƄƄ f‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫ ‪Bn 1A I Q - %)* - I )# 6 I - % )02 <A‬‬

‫‪ ,%( ) -. ( /%I‬‬ ‫ ‪BL 02 M)02 - L.[\ 0 - ]^ .% - 6 % _ 0‬‬

‫&‪-. ( 1 2‬‬ ‫ ‪L A= ,‬‬

‫&‪ *( 3‬‬ ‫ ‪ o,1 L p c o,1 k# O M F 2‬‬ ‫ ‪Ba o,1 L p b o,1 k# A=2 M] F 2‬‬

‫‪¢SQódG äGAGôLEG‬‬ ‫‪ó«¡ªàdG‬‬ ‫‪»fhÉ©J πªY‬‬

‫ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻘﻴﺎﻡ ﺑﺎﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﻓﻰ‬ ‫ﺻﻔﺤﺔ )‪ (١٨‬ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‪.‬‬ ‫ ‪ :Q RF L‬ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺛﻤﻦ‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻋﻦ ﺑﻴﻊ ﻛﻞ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﻐﺬﺍﺀ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﻮﺟﺒﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ‪.‬‬ ‫ ‪ :QDR L‬ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺗﺴﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫‪ ،C‬ﻭﺗﺴﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺏ‪ ،‬ﻭﻳﻤﻜﻨﻬﻢ ﺍﻟﺮﺟﻮﻉ ﺇﻟﻰ‬

‫ ‬

‫ ‪ −‬‬

‫ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺤﺮﻭﻑ ‪ ،C‬ﺏ‪ .‬ﻭﺷﺠﻌﻬﻢ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﻜﻠﻰ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺤﺮﻭﻑ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫ﺍﻟﻌﻨﺎﺻﺮ‪ .‬ﺑﻌﺪ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ‪ ،‬ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺗﻌﻤﻴﻢ ﻫﺬه‬ ‫ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻓﻰ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‪ .‬ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ‬ ‫ﻃﻼﺑﻚ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺿﺮﺏ ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ ﻣﺘﺒ ًﻌﺎ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪QDR ,QFR ,QAR +8[ > *U T)< $ 9 :‬‬ ‫‪ ١٧٥ 1‬ﺟﻨﻴﻪ؛‪ ٢٧٥‬ﺟﻨﻴ ًﻬﺎ‪ ١٥٠ ،‬ﺟﻨﻴ ًﻬﺎ‬ ‫‪ 2‬أ ‪ ٦٠٠‬ﺟﻨﻴ ًﻬﺎ‬ ‫ب ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ؛ﻛﻤﺜﺎﻝ‪ :‬ﺍﺿﺮﺏ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻮﺟﺒﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺎﻋﺔ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻭﺟﺒﺔ ﻓﻰ ﺛﻤﻦ ﺍﻟﻮﺟﺒﺔ‪ ،‬ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻉ‪.‬‬ ‫‪ 3‬أ )‪(٢ ٢٫٧٥ ٣٫٥٠‬‬ ‫ﻭﺟﺒﻪ )‪(١‬‬ ‫ب ﻭﺟﺒﻪ )‪p (٢‬‬ ‫ﻭﺟﺒﻪ )‪(٣‬‬ ‫ ‬

‫‪٥٠‬‬ ‫‪١٠٠‬‬ ‫‪٧٥‬‬

‫‪f‬‬

‫ﺟ ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‪.‬‬

‫ﺃﺷﺮ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻫﺎﺗﻴﻦ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ‬ ‫ﺍﻷﺑﻌﺎﺩ‪ ،‬ﺍﺟﻌﻠﻬﻢ ﻳﻘﻮﻣﻮﺍ ﺑﺘﻐﻄﻴﺔ ﻛﻞ ﺍﻟﺼﻔﻮﻑ ﻭﺍﻷﻋﻤﺪﺓ ﺇﻻ‬ ‫ﺗﻠﻚ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻌﻤﻠﻮﻥ ﺑﻬﺎ ﻓﻰ ﻛﻞ ﺧﻄﻮﺓ‪ ،‬ﻭﺳﻮﻑ ﻳﺴﺎﻋﺪﻫﻢ ﻫﺬﺍ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺗﺠﻨﺐ ﺍﻟﺨﻄﺄ‪ ،‬ﻭﻋﺪﻡ ﺍﻟﺨﻠﻂ ﺑﻴﻦ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‪.‬‬

‫ ‪ + , % F‬‬ ‫ ! ‬

‫‪Ł‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪Ł Ł-‬‬

‫‪Ŀ ń‬‬ ‫‪f ? ņ- p = b ŀ ŀ- l f ł- Ł- p‬‬ ‫‪ŀ‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪Ł Ł-‬‬

‫‪Ƅ f ł- ņ- p = b Ŀ ń l f ł- Ł- p‬‬

‫‪Ń‬‬

‫ ‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ŀ ŀ-‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪ł-ɤ ƛŀƜƛł-Ɯ + ƛĿƜƛŁ-Ɯ‬‬

‫‪Ł Ŀ‬‬ ‫‪ł- Ł‬‬‫‪Ń ŀ‬‬

‫‪ń‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪Ł Ł‬‬‫‪ł- ņ‬‬‫?‬

‫‪Ł Ŀ‬‬ ‫‪ł- Ł‬‬‫‪Ń ŀ‬‬

‫‪p=b Ŀ ń l f‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪p = b ŀ ŀ- l f‬‬ ‫‪ŀ ɤƛŀ-ƜƛŃƜ + ƛńƜƛŀƜ‬‬ ‫ ‬ ‫>‪Ƌ jscgb .gNĔ r UsW?cb "/sgj X‬‬ ‫ ‪-‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ ‪ -‬أ ‪? 2Cb VsW?f hKj fr Ů\ 7b a gb {V zc>Ĕ VsW?gb hKj f‬‬ ‫ب ‪? zc>Ĕ VsW?gb hKk 2Cb VsW?f hKj i1 [j Xz^ ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫‪≈©ª°ùdG º∏©àdG‬‬

‫‪p‬‬

‫‪f‬‬

‫‪ŀ ŀ-‬‬

‫ﺿﺮب اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬

‫‪ŃɤƛŀƜƛŃƜ+ƛĿƜƛŀƜ‬‬

‫‪Ł Ł‬‬‫‪ł- ņ‬‬‫‪Ń ŀ‬‬

‫‪f‬‬

‫‪Multiplying matrices‬‬

‫‪ -.N i ^ / H[Vr / lz VsW?f 2B `k_gy‬‬ ‫ ‪ UsW> -.N tr 7y wbrĔ VsW?gb .gN‬‬ ‫ ‪ wcN C VsW?gb 2B .kNr Ů zj b VsW?gb‬‬ ‫ ‪ i V a * i hKkb wcN VsW?gb i * e hKkb‬‬ ‫ ‪:OP )6 a * e hKkb wcN D C VsW?gb so $ kb‬‬

‫‪ VsW?f‬‬

‫‪C VsW?f‬‬ ‫‪Ł ŀ-‬‬

‫‪f Ń- ł p UsW> ł‬‬ ‫‪ń‬‬

‫>‪i W‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪i -sgN‬‬

‫‪ń Ń- ł‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪ň Ň ņ‬‬

‫‪b‬‬

‫‪ .gN ł‬‬

‫&( ‪1 .‬‬ ‫ ‪D * D % 6+ 3& f‬‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪ƋĐ e b & d^ {V V2Of C 2Cb d> & VsW?f j ^ / f -.& 1‬‬ ‫أ ‪Ł * Ń hKkb lf VsW?gb r ŮŃ * ł hKkb wcN C VsW?gb j ^ /‬‬ ‫ب ‪Ł * ń hKkb lf VsW?gb r Ůł * ń hKkb wcN C VsW?gb j ^ /‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫أ ‪ Ů VsW?gb UsW> -.N tr 7y C VsW?gb .gN -.N i g‬‬ ‫‪Ł * ł hKkb wcN is_ r V2Of C 2Cb d> & VsW?f i V‬‬ ‫ب ‪ Ů VsW?gb UsW> -.N tr 7yĐ C VsW?gb .gN -.N i g‬‬

‫‪ ƆƆƆƄƄƋƄƄƄƄC‬‬ ‫‪Ń*ł‬‬

‫&( ‪1 .‬‬ ‫‪F*D‬‬

‫‪Ł*Ń‬‬

‫‪ CƄƆƆƆƆƆƆƆƆƄɤ‬‬

‫‪Ł*ł‬‬

‫‪Ƌ V2Of 2zR C 2Cb d> & VsW?f i V‬‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫ ‪Ƌ 7b 'Bsf Đ e b & d^ {V V2Of‬‬ ‫‪C 2Cb d> & VsW?f j ^ / f -.& 1‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫أ ‪ł * Ł hKkb wcN VsW?gb r ŮŁ * ł hKkb lf C VsW?gb j ^ /‬‬ ‫ب ‪ł * ŀ hKkb wcN VsW?gb r ł * ŀ hKkb lf C VsW?gb j ^ /‬‬ ‫‪ f N W? r Ů V2Of 2zR C gkz V2Of C is_ i l_ggb lf qj (C y VsW?gb 2B Xy2O lf‬‬ ‫ ‪ƋhKkb 8Wj {V yr 7 i r w & C tr 7 1r2Cb 7zb C i V lz V2Of C Ů C lf d^ j ^ /‬‬ ‫‪- - $% + − . M ! *0‬‬

‫‪ 1‬‬

‫ﺍﺧﺘﺮ ﻋﺸﺮﺓ ﻃﻼﺏ ﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﻌﻨﺎﺻﺮ ﺍﻟﻌﺸﺮﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ‪،‬‬ ‫ﺍﺫﻛﺮ ﻟﻜﻞ ﻃﺎﻟﺐ ﺍﻟﺮﻗﻢ ﻭﺍﻟﻌﻨﺼﺮ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﺜﻠﻪ‪ ،‬ﺍﺟﻌﻞ ﺍﻟﻄﻼﺏ‬ ‫ﻳﻘﻔﻮﺍ ﻓﻰ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻓﻰ ﺷﻜﻞ ﺷﺒﻜﻪ ﺣﺴﺐ ﺗﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ﺭﻗﻢ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻢ ﺑﺎﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺘﻴﻦ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺒﻨﺪ‪،‬‬ ‫ﺍﺟﻌﻞ ﺑﺎﻗﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻳﻘﻔﻮﺍ ﺣﻮﻟﻬﻢ ﻟﻜﻰ ﻳﺴﺘﻄﻴﻌﻮﺍ ﺭﺅﻳﺔ‬ ‫ﺗﻄﻮﺭ ﺗﺮﺗﻴﺒﻬﻢ ﻓﻰ ﻛﻞ ﺧﻄﻮﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ‪ .‬ﻗﻢ ﺑﻜﻞ ﺧﻄﻮﺓ‬ ‫ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺒﻨﺪ‪ ،‬ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﻟﻄﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻛﻞ ﺯﻭﺝ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺃﻥ‬ ‫ﻳﺤﺴﺐ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺍﻟﺨﺎﺹ ﺑﻪ‪ .‬ﺍﻛﺘﺐ ﻛﻞ ﺧﻄﻮﺓ ﻭﻧﺎﺗﺠﻬﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﺣﺴﺒﻬﺎ ﺍﻟﻄﻼﺏ‪.‬‬ ‫‪> *U T)< d& Q@R ,QGR +8[ $ 9 :‬‬ ‫‪ 4‬ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‬ ‫‪ 5‬أ ‪٢ * ٢ ،٢ * ٣‬؛ ‪٢ * ٣‬‬ ‫ب ﻋﺪﺩ ﺻﻔﻮﻑ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻫﻰ ﻋﺪﺩ ﺻﻔﻮﻑ‬ ‫ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪ ،‬ﻭﻋﺪﺩ ﺃﻋﻤﺪﺓ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ‬ ‫ﻫﻲ ﻋﺪﺩ ﺃﻋﻤﺪﺓ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ ،‬ﻭﻧﻼﺣﻆ‬ ‫ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺃﻋﻤﺪﺓ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻋﺪﺩ‬ ‫ﺻﻔﻮﻑ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺣﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﺇﺟﺮﺍﺀ‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ‪.‬‬

‫‪¢SQódG ¢VôY‬‬ ‫‪äÉaƒØ°üªdG Üô°V :º∏©J‬‬

‫ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺿﺮﺏ ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ ﺇﺫًﺍ ﻭﻓﻘﻂ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩ‬ ‫ﺃﻋﻤﺪﺓ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻋﺪﺩ ﺻﻔﻮﻑ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪،‬‬ ‫ﻭﻋﻨﺪ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ‪ C‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻈﻢ ﻡ * ﻥ ﺑﺎﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺏ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﻨﻈﻢ ﻥ * ﻝ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻫﻮ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ‪ C‬ﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻈﻢ ﻡ * ﻝ‬ ‫ﻭﺃﻥ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻟﻴﺴﺖ ﺇﺑﺪﺍﻟﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪QAaR S H TSU 1 , $ 9 :‬‬ ‫‪ 1‬أ ﻣﻌﺮﻓﺔ‪ ،‬ﻭﺗﻜﻮﻥ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻨﻈﻢ ‪٣ * ٣‬‬ ‫ب ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ‪.‬‬ ‫ ‪ * +(& M‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﺨﻄﺊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻨﺪ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ‪ ،‬ﻭﺫﻟﻚ‬ ‫ﺃﺛﻨﺎﺀ ﻣﺤﺎﻭﻟﺘﻬﻢ ﺗﺨﻄﻰ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ‪ ،‬ﺃﻭ ﺇﻧﺠﺎﺯ ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫ﺟﺪﺍ‪.‬‬ ‫ﺑﺸﻜﻞ ﺳﺮﻳﻊ ًّ‬ ‫‪L L A= , − M)0% /‬‬

‫` ‬

‫& (‪zP* $ ,%‬‬ ‫ ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺃﻥ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻋﻤﻠﻴﺔ‬ ‫ﻣﻌﻘﺪﺓ‪ ،‬ﻭﺗﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ‪ ،‬ﺷﺠﻌﻬﻢ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻞ ﺑﺪﻗﺔ ﻭﺣﺬﺭ‪ ،‬ﺍﻗﺘﺮﺡ ﻋﻠﻴﻬﻢ ﺃﻥ ﻳﻘﻮﻡ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻢ‬ ‫ﺑﻜﺘﺎﺑﺔ ﻛﻞ ﻧﺎﺗﺞ‪ ،‬ﺛﻢ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﻋﻠﻤﻴﺔ ﺍﻟﺠﻤﻊ‪ ،‬ﻷﻥ ﻫﺬﺍ‬ ‫ﺃﻓﻀﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﺫﻫﻨ ًّﻴﺎ‪.‬‬ ‫ ‬

‫ﺍﺭﺳﻢ ﺃﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﺿﺮﺑﻬﺎ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ﻻﻳﻤﻜﻦ ﺿﺮﺑﻬﺎ ﻓﻰ ﺑﻌﻀﻬﺎ ﺍﻟﺒﻌﺾ‪ ،‬ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ‬ ‫ﺻﻴﺎﻏﺔ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺃﻭ ﺍﻟﺠﻤﻞ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﺪ ﺗﺴﺎﻋﺪﻫﻢ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺗﺬﻛﺮ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺿﺮﺏ ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﻗﺎﺑﻠﻴﺘﻬﻤﺎ‬ ‫ﺇﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ﺿﺮﺑﻬﻤﺎ‪.‬‬

‫ ‬

‫ﺍﺩﻉ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺇﻟﻰ ﻣﺤﺎﻭﻟﺔ ﺿﺮﺏ ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﺘﻴﻦ‬ ‫ﻟﻠﻀﺮﺏ ﻓﻰ ﺑﻌﻀﻬﻤﺎ‪ ،‬ﻭﺩﻋﻬﻢ ﻳﺼﻔﻮﺍ ﻣﺎﺫﺍ ﻳﺤﺪﺙ ﻋﻨﺪ‬ ‫ﺇﺟﺮﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ‪.‬‬

‫ ‬

‫ﺃﻛﺪ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﻣﻌﺮﻓﺘﻬﻢ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺘﺎﻥ‬ ‫ﺗﺼﻠﺤﺎﻥ ﻷﻥ ﻳﺘﻢ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﺃﻡ ﻻ‪ ،‬ﺳﻴﻮﻓﺮ ﻋﻠﻴﻬﻢ‬ ‫ﺍﻟﻜﺜﻴﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻮﻗﺖ‪.‬‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫‪Ł ŀ- ŀ‬‬

‫‪p ɤ ƄƄŮƄƄ f ł Ŀ ŀ- p = C i ^ / 2‬‬ ‫‪Ŀ‬‬

‫اﻟﺤﻞ‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪Ń‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪ń‬‬

‫‪Ŀ ŀ‬‬ ‫‪ŀ Ń‬‬ ‫‪ŀ- Ŀ‬‬

‫‪?L&đ / f ƋC Ů C lf đ‬‬ ‫‪Ê ^ ."r V f‬‬

‫‪ ƛ UsW> -.N tr 7y C .gN -.N iĔƜ V2Of D C i V ł * ł hKkb wcN Ůł * ł hKkb wcN C a‬‬ ‫‪ł * ł hKkb wcN 2Cb d> & VsW?f is_ r‬‬

‫ ‬

‫‪ŀ Ł‬‬ ‫‪Ł ŀ- ŀ‬‬ ‫‪Ń ł p f ł Ŀ ŀ- p ɤ C‬‬ ‫‪Ń ŀ Ŀ‬‬ ‫‪Ŀ ń‬‬ ‫‪ń * Ł + ł * ƛŀ-Ɯ + Ł * ŀ‬‬ ‫‪ń * ł + ł *ƄĿƆƆƄ +Ɔ Ł * ŀ- p ɤƆƆƆƆƆƄƄ‬‬ ‫‪ń * Ń + ł *ƆƆƆƆƆƆƆŀƄ +Ɔ Ł * Ŀ‬‬

‫ ‬

‫‪Ŀ‬‬ ‫‪f ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬‫‪ƛŀ-Ɯ * Ł + ŀ * ƛŀ-Ɯ + Ŀ *Ƅ ŀ Ŀ * Ł + Ń * ƛŀ-Ɯ + ŀ *ƆƄŀ‬‬ ‫‪ƛŀ-Ɯ * ł + ŀ * ƆƆƆƆƆĿƆƆƆƆƆ + Ŀ *ƆƆŀ- Ŀ* ŀ + Ń *ƆƆƄĿƄ + ŀ * ŀ‬‬‫‪ƛŀ-Ɯ * Ń + ŀ *ƆƆƆƆƆƆƆŀ ƆƆƆƆƆ+ Ŀ *ƆƆƆĿ Ŀ* Ń + Ń *ƆƄŀƄ + ŀ *ƆƆ ĿƆƆƆ‬‬

‫‪ł- ł- ň‬‬

‫‪f ł- ŀ- ŀł p = f‬‬ ‫‪ł- Ń Łł‬‬

‫‪ is_ r ƛC UsW> -.N tr 7y .gN -.N iĔƜ V2Of C i V ł * ł hKkb wcN C ł * ł hKkb wcN Ƅa‬‬ ‫‪ł * ł hKkb wcN 2Cb d> & VsW?f‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪Ŀ‬‬

‫‪Ł ŀ- ŀ‬‬

‫ ‪f ł Ŀ ŀ- p f ŀ Ń ł p = C‬‬ ‫‪Ń ŀ Ŀ‬‬ ‫‪ŀ- Ŀ ń‬‬ ‫‪ŀ* Ŀ + Ŀ * ŀ + ŀ- * Ł Ŀ *ƆƆƆƄĿƄ+ ŀ- * ŀ + ŀ * Ł‬‬ ‫‪ŀ * Ŀ + Ŀ * Ń + ŀ- * ł Ŀ * ƄŀƄ+ ŀ- * Ń + ŀ * ł p ɤƆƆƄƄ‬‬ ‫‪ŀ * Ŀ + Ŀ * Ŀ + ŀ- * ń Ŀ * ƛŀ-Ɯ + ŀ- * Ŀ + ŀ * ń‬‬

‫ ‬

‫‪Ń * ĿƆƆƆ + ł * ŀ + Ł * Ł‬‬

‫‪ņ Ł- ŀ‬‬

‫‪Ń * ŀ- + ł * Ŀ + Ł * ń‬‬

‫‪Ņ ń- ń‬‬

‫‪f ŁŁ ł- ŀ- p = f Ń * ŀƆƆƆƆ + ł * Ń + Ł * ł‬‬

‫ ‪e U S = +) s*9 6 $ 6+ 3) %{ '(# d2).ƄƄ C ! C 1 ,P‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫ ‪/ 8‬‬

‫‪ 6%g‬‬ ‫‪%.% 9‬‬ ‫‪ŁŇ‬‬

‫‪ 6%g‬‬ ‫‪d.%.% 9‬‬ ‫‪ŅŃ‬‬

‫‪ Z-2Sb ky.g Y- kV ł z& z6 ^2: t.b ǶũģŐƑǤģś ƤśƄǤĝ 3‬‬ ‫ ‬ ‫‪X%" j ^ / V ŮY.kV d^ {V Wc +gb U2Sb -.N d [gb ar.#b lz y‬‬ ‫‪ňń‬‬ ‫‪łń‬‬ ‫ ‪XL L V2Scbr Ů p¹ zk" ŁńĿ .& r 2y26 wcN ts ' w b V2Scb zfszb 2"Ĕ‬‬ ‫‪ŇĿ‬‬ ‫‪ŁĿ‬‬ ‫ ) ‪ #‬‬ ‫ ‪Ƌ p¹ zk" ŅĿĿ % k#cbr Ů p¹ zk" ŃńĿ ly2y26 wcN xs ' w b‬‬ ‫أ ^ ‪ƋU2Sb 1 O6 VsW?f ^ h ŮY- kV đ b {V Wc +gb U2Sb -.N d g VsW?f‬‬ ‫ب ^ ‪Ƌ pcS: h U2Sb Pzg" i A2V wcN Ů ^2;cb {fszb d*.b d g VsW?f‬‬ ‫ﺟ ‪? pcS: h U2Sb Pzg" i A2V wcN ^2;cb wfszb d*.b f‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫أ ‪: UJ \ C !%Y < 6+ 3& x(2‬‬ ‫ ‪>UJ \ D !%Y *# 6+ 3& x(2U‬‬

‫ ‬

‫ ‪:> ( L T, _9PI > : x I‬‬

‫ﺍﺷﺘﺮﻯ ﻛﺮﻳﻢ ﻣﻦ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻤﻜﺘﺒﺎﺕ ‪ ١٠‬ﺃﺳﻄﻮﻧﺎﺕ ﻣﺪﻣﺠﺔ‪،‬‬ ‫‪ ٦‬ﺃﻗﻼﻡ ﺟﺎﻓﺔ‪ ٤ ،‬ﺃﻗﻼﻡ ﺭﺻﺎﺹ‪ ،‬ﻭﺍﺷﺘﺮﻯ ﺯﻣﻴﻠﻪ ﺳﺎﻣﻰ ‪١٨‬‬ ‫ﺃﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﻣﺪﻣﺠﺔ‪ ١٥ ،‬ﻗﻠﻢ ﺟﺎﻑ‪ ٣ ،‬ﺃﻗﻼﻡ ﺭﺻﺎﺹ ﻣﻦ ﻧﻔﺲ‬ ‫ﺍﻷﻧﻮﺍﻉ ﺍﻟﺘﻰ ﺍﺷﺘﺮﺍﻫﺎ ﻛﺮﻳﻢ‪ ،‬ﻭﻛﺎﻥ ﺳﻌﺮ ﺍﻟﺒﻴﻊ ﻫﻮ ﺟﻨﻴﻬﺎﻥ‬ ‫ﻟﻸﺳﻄﻮﺍﻧﻪ ﺍﻟﻤﺪﻣﺠﺔ‪ ١٫٥٠ ،‬ﻣﻦ ﺍﻟﺠﻨﻴﻪ ﻟﻠﻘﻠﻢ ﺍﻟﺠﺎﻑ‪٠٫٧٥ ،‬‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺠﻨﻴﻪ ﻟﻠﻘﻠﻢ ﺍﻟﺮﺻﺎﺹ‪.‬‬ ‫أ ﺍﻛﺘﺐ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﻣﺸﺘﺮﻳﺎﺕ ﻛﺮﻳﻢ ﻭﺳﺎﻣﻰ‪ ،‬ﺛﻢ‬ ‫ﺍﻛﺘﺐ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺗﻮﺿﺢ ﺃﺳﻌﺎﺭ ﻛﻞ ﺳﻠﻌﺔ ﺛﻢ ﺷﺮﺍﺅﻫﺎ‪.‬‬

‫ ‬

‫‪ŀń‬‬

‫‪Ň ŅŃ ŁŇ‬‬

‫‪ŀń ŇĿ ŁĿ‬‬ ‫‪ŁńĿ‬‬ ‫ = ‪f ŃńĿ p‬‬ ‫‪ŅĿĿ‬‬

‫ ‪ VsW?gb {V .gNĔ -.Ob y¹ r 7f C VsW?gb {V UsW?b -.N is_y z' lz VsW?gb k ^ .Z 8 ,P‬‬ ‫ ‪Ƌƛ¶"Ɯ Ůƛ Ɯ ly.k b {V scGgb - #y Ů 2Cb zcgN 2" l_gy w & Ů‬‬

‫‪23‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫ﺃﺳﻄﻮﻧﺎﺕ ﻣﺪﻣﺠﺔ ﺃﻗﻼﻡ ﺟﺎﻑ ﺃﻗﻼﻡ ﺭﺻﺎﺹ‬

‫ﻛﺮﻳﻢ‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪l‬‬ ‫ﺳﺎﻣﻲ‬ ‫‪٨‬‬

‫‪٦‬‬ ‫‪٥‬‬

‫ﺳﻌﺮ ﺍﻻﺳﻄﻮﺍﻧﻪ‬

‫‪٢‬‬ ‫‪١٫٥٠‬‬ ‫‪٠٫٧٥‬‬

‫ﺳﻌﺮ ﺍﻟﻘﻠﻢ ﺍﻟﺠﺎﻑ‬ ‫ﺳﻌﺮ ﺍﻟﻘﻠﻢ ﺍﻟﺮﺻﺎﺹ‬

‫‪p‬‬

‫‪٤‬‬ ‫‪b ٣‬‬

‫‪،‬‬

‫‪f‬‬

‫‪٣٢‬‬ ‫ب ‪٤ ٦ ١٠‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l=b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪٢٥٫٧٥‬‬ ‫‪٣ ٥ ٨‬‬

‫ﺟ ﻣﺎ ﺩﻓﻌﺔ ﻛﺮﻳﻢ ﻫﻮ ‪ ٣٢‬ﺟﻨﻴ ًﻬﺎ‪ ،‬ﻭﻣﺎ ﺩﻓﻌﻪ ﺳﺎﻣﻰ ﻫﻮ‬ ‫‪ ٢٥٫٧٥‬ﺟﻨﻴﻪ‪.‬‬ ‫‪Üô°†dG á«∏ªY ¢UGƒN‬‬

‫ﺍﻧﺘﻘﻞ ﺇﻟﻰ ﺧﻮﺍﺹ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻭﺩﻉ ﻃﻼﺑﻚ ﻳﺴﺘﻨﺘﺠﻮﺍ‬ ‫ﺃﻳﻀﺎ ﻳﺴﺘﻨﺘﺠﻮﺍ ﻣﺪﻭﺭ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ‬ ‫ب ﺍﻛﺘﺐ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺗﻮﺿﺢ ﺍﻟﻤﺒﺎﻟﻎ ﺍﻟﺘﻰ ﺩﻓﻌﻬﺎ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻫﺬه ﺍﻟﺨﻮﺍﺹ‪ ،‬ﻭﺩﻋﻬﻢ ً‬ ‫ﻛﺮﻳﻢ ﻭﺳﺎﻣﻰ ﺛﻤ ًﻨﺎ ﻟﻤﺸﺘﺮﻭﺍﺗﻬﻢ‪.‬‬ ‫ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ‪ ،‬ﺗﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎﺕ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﻊ ﺗﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﻣﺎ ﻳﺮﺩ ﻣﻦ ﺃﺧﻄﺎﺀ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﻓﻰ ﺣﻴﻨﻬﺎ‪ ،‬ﺛﻢ ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﻫﺬه‬ ‫ﺟ ﻣﺎ ﺍﻟﻤﺒﻠﻎ ﺍﻟﺬﻯ ﺩﻓﻌﻪ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻛﺮﻳﻢ ﻭﺳﺎﻣﻰ ﺛﻤ ًﻨﺎ‬ ‫ﺍﻟﺨﻮﺍﺹ ﺑﻜﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻓﻰ ﻣﻜﺎﻥ ﻇﺎﻫﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ‪.‬‬ ‫ﻟﻤﺸﺘﺮﺍﻭﺍﺗﻬﻢ?‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪Ň‬‬ ‫‪ŁĿ‬‬

‫‪f ŁĿ ňń łń p ɤƆƆƆƄC‬‬

‫‪%)( ) ( $ 9 :‬‬ ‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫ ‪K 8‬‬

+ , % F !

º««≤àdGh ÖjQóàdG _)V6 d& o SU $ 9 : ‫أ ﻣﻌﺮﻓﺔ‬ ‫ب ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ‬ º««≤àdG

: ( Tp ) T, _9PI > : x I

ŁńĿ

Ň ŅŃ ŁŇ

f ŃńĿ p f ŁĿ ňń łń p = D C VsW?gb {o ^2;cb wfszb d*.b VsW?f f

ŀń ŇĿ ŁĿ ŅĿĿ ŃĿŅĿĿ ŅĿĿ * Ň + ŃńĿ * ŅŃ + ŁńĿ * ŁŇ ŅłńĿĿ p = f ŅĿĿ * ŁĿ + ŃńĿ * ňń + ŁńĿ * łń p ɤƄƄ ńĿĿĿĿ ŅĿĿ * ŀń + ŃńĿ * ŇĿ + ŁńĿ * ŁĿ

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

Ɗi ^ / 1

ŬǩŻǤĝ ǶŐƜģų -

ƛ! Ɯ C ɤ ! ƛ CƜ

Ŀ ŀ zcgN do ?L&đ / f Ƌƛ! Ɯ C Ů! ƛ CƜ ."r f Ł ł p ɤ ! Ů b ŀ Ŀ Ł l = Ů b Ł- ŀ l = C Ł- ŀ ŀ ŀ ł ŀ- Ł ? #f - VsW?gb 2B

.&sb VsW?f {o I z&

C = CƆI = I C

.&sb VsW?f {o I z& ! C + C ɤ ƛ! + ƜC ! + ! C ɤ ! ƛ + CƜ b

ȈśƄƠǤĝ ŻšģŨǨǤĝ ǶŐƜģų -

C =CI= IC Ɗi lo2 V b ł- Ł l = C i ^ / 1J ń ŀ-

ƋģǭƯǨŮ Ȉǣư ńģƾǍƽƛǨǤĝ ļƄơ ƮʞʲǍŝ ǶŐƜģų - ŀ = C i ^ / 1J l ł

ŀ ł ɤ ! Ů b Ł- ŀ l ɤ Ů Ł l b Ń ń Ŀ łŃ

!C + C ɤ ƛ! + ƜC ‫ أ‬:1 j[ :

‫ﻣﺪور ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ‬

Transpose of the product of two matrices

C ɤ .fƛ CƜ Ɗ zb b z> +b ! k 6 l_gy VsW?gb 2B Xy2O r VsW?gb 1r.f Xy2O lf

.f .f

Ł ŀ-

C ɤ .f ƛ CƜ Ɗi ƄƄƄŮ f ŀ- ŀ p ɤ Ů b ŀ- Ł ŀ l = C j ^ / 1J

.f .f

ł Ń

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ hKj ."r V V2Of j ^ / r ŮĐ e { y gf d^ wV V2Of C 2Cb d> & VsW?f j ^ / f -.& Ɗ # kb VsW?gb ł * Ł hKkb wcN VsW?gb r Ůŀ * ł hKkb wcN C VsW?gb ‫أ‬ Ł * Ł hKkb wcN VsW?gb r Ůł * ł hKkb wcN C VsW?gb ‫ب‬

‫ ﻡ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ‬، ‫ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﺮﺑﻌﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻈﻢ ﻥ * ﻥ‬C ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬ :‫ﻣﻮﺟﺐ ﻓﺈﻥ‬ ‫ﻡ‬ ‫ﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺮﺍﺕ ﻭﻫﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻈﻢ‬......... C * C * C * C = C :‫ﻥ * ﻥ ﻭﺍﻵﻥ‬ ٢ ١ ٤ ٣ ٢ C ، C ، C ‫ ﻓﺄﻭﺟﺪ‬b ١ ٠ l = C :‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬ .‫ﻥ ﺣﻴﺚ ﻥ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ‬C ‫ﺛﻢ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ‬

! k 6 l_gy ƊlzWy2O cb f3đb Er2;b \[' A 2 V Pf Ů VsW?gb 2Br Pg" w zcgN Xy2O lf Ɗ zb b = s+b

C! + C = C ƛ! + Ɯ ‫ب‬

:ø«bƒØàªdG ÜÓ£∏d »FGôKEG •É°ûf

‫ﺧﻮاص ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿﺮب اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬

Properties of Matrix Multiplication

?‫ ﻻ ﻭﺟﻮﺩ ﻟﻪ‬C ‫ﻟﻤﺎﺫﺍ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺏ‬

‫ ﺩ ﺝ‬، ‫ﺃﻭﺟﺪ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺝ ﺩ‬ ?‫ ﻓﺴﺮ ﻟﻤﺎﺫﺍ‬،‫ﺇﺫ ﻟﻢ ﻳﻜﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻣﻮﺟﻮ ًﺩﺍ‬

qzk" ŀńŃŀĿĿ = ńĿĿĿĿ + ŅłńĿĿ + ŃĿŅĿĿ ɤ ^2;cb wfszb d*.b ‫ﺟ‬

٣ ٢ ٣ b ١- l = ‫ ﺏ‬، ٢ ١- = C 1 f p ٢ ٠ ١ ٠ ١ ٢٢ ٠ ١ f ٠ ١ p = ‫ ﺩ‬، b ٢- ١ ٣ l = ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺝ‬2 ٢- ١-

‫ب‬

L L A= , − O M F 2

- - $% + − . M ! *0

4-1 ‫اﻟﻤﺤﺪدات‬

4-1

Determinants ‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﻓﻜﺮ و‬

? O 2gb VsW?gb f - ł * ł hKkb lfr ŮŁ * Ł hKkb lf O 2f VsW?f ^ - -.'f i V b ń Ł l = C Ɗ z& Ł * Ł hKkb lf O 2f VsW?f j ^ / - ņ ŀ Ɗ{ Ē ^ U2Ogb -.Ob so C VsW?gb ň = ń - ŀŃ = ń * ŀ- ņ * Ł = |C| ? zb b VsW?gb lf d^ -.'f f b

ń ł ɤ !ƄƄŮƄƄ Ł b l Ń ŀ ł-

‫اﻟﻤﺤﺪدات‬

Determinants

ŀ ɤ l ł

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

% %M

¶" - - = > p% %M

: ;# B5 8%9 & & 8%9

MH I8 B ;# C J + & # 0 ? M5

ُ ‫ﺳﺎﺳﻴ‬3‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا‬ ُ ‫ّﺔ‬ 8%9

! "

Second order determinant

: ;# 8%9 Third order determinant

= | C| - ¶"

8%< -= > M? Principle or leading diagonal

8%< (@ M? Other diagonal

A# B # Coefficient matrix

‫دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬3‫ا‬ &

Ɗwcy gf -.'f d^ gzZ ."r 1 ‫ ﺟ‬ƅ ń Ŀ ‫ب‬ƅ ń Ń ‫أ‬ ł ņ ņ ł

&4 5 6 $ 7$

‫أ‬ ń * ł - ņ * Ń ɤƄ ņ ł ŀł = ŀń - ŁŇ ɤƆƆ ƆƄƄƄƄƄƄƄ

:IQ L)* A/ ^ j O M I f IQ h^ 2% k# PA= \[ ' L+ B $ k# 0 7 + , 7 /=z =(  B $ k# 0 7 + , 7 /=z =(  B ) 7 + , 7 /=z =(  B /=o7 S =T2 w) 7 # =( 

‫اﻟﺤﻞ‬ ń Ŀ ń * ņ - ł * Ŀ ɤƄ ł ņ ‫ب‬ łń - = łń - Ŀ ɤƆƆ ƆƄƄƄƄƄƄƄ

H IJ , 0 % + , % , + , % O M PA/ / t ! j= '%$ 0 % + , % /=o# / t p , O M M)02 B 0 % + , %) L y P f0%

: 8%9

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫ د‬ƅ Ŀ ŀ ŀ Ŀ

C %D* 5 E =# 8 FG & 8%<

Determinant

w7z 2b 2G[b t2?kN 2B d> & tr 7y zj b 2b -.'f gzZ i L&đjr Ƌ2*Ē 2G[b t2?kN 2B d> & qkf &r2Gf ¹

Ŀ ŀ ņ Ł

Determinants

: ;# B5 8%9 &

Ɗ z& Ł * Ł hKkb wcN O 2f VsW?f C j ^ / 2b -.'g wg7yr |C|4f2b qb 4f2y C VsW?gb -.'f i V b l = C - ¶" Ɗ{ Ē ^ U2Ogb -.Ob sor Ů zj b

‫اﻟﻤﺤﺪدات‬

B # @ M M8 Z/ 07 k# S N W 

−

# # $ % & L {A M^ - $ /=o# - $ /=o# - /=o#

5 %26 $ 9 : B |# 0% + , # - /=o%) U M^ - /=o%) .‫ ﻫﻲ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩ ﺻﻔﻮﻓﻬﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻋﺪﺩ ﺃﻋﻤﺪﺗﻬﺎ‬1 & '( ) ) *( +) .‫ ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‬2 BE M A }A - %)* - I )# 6 I - % )02 <A ١٨ = |‫ |ﺝ‬، ٢- = |‫ |ﺏ‬3

¢SQódG ¢VôY

,%( ) -. ( /%I B ]^ .% - 6 % _ 0

äGOóëªdG :º∏©J

-. ( 1 2&

‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ‬٢٢) ‫ﻧﺎﻗﺶ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻﻔﺤﺔ‬ ‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﺎﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ‬ (٢٣) ،(٢٢) ‫ﺻﻔﺤﺘﻰ‬

*( 3&

ôªà°ùªdG º««≤àdG

L A= , e o,1 L p o,1 k# O M F 2 Bd o,1 L p a o,1 k# A=2 M] F 2

QFDR S H 4TSU 1 ,7 89 $ 9 : ¢SQódG äGAGôLEG ‫ب‬ ٧- ‫ أ‬1 ٢٠¢ûbÉfh ôμa ٢ ‫ ﺏ‬- ‫ ﺟـ‬C ‫ﺟ‬ ‫ ﻭﺗﺎﺑﻊ‬،«‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻃﻼﺑﻚ ﻋﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻤﻄﺮﻭﺣﺔ ﻣﻊ ﺗﺼﺤﻴﺢ ﻣﺎ ﻳﺮﺩ‬ :‫ﻣﻦ ﺃﺧﻄﺎﺀ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﻓﻰ ﺣﻴﻨﻬﺎ‬

−

/=o% 8%<

:áãdÉãdG áLQódG Oóëe

‫ ﻳﺴﻤﻰ‬٣ * ٣ ‫ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻣﺤﺪﺩ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻈﻢ‬ ‫ ﺛﻢ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ‬،‫ﺑﻤﺤﺪﺩ ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ (٢٥) ‫ﻗﻴﻤﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﺎﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩ ﺻﻔﺤﺔ‬ .‫ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬

‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺃﻯ ﻣﺤﺪﺩ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ‬ ‫ ﻭﻫﺬﺍ ﻣﺎ ﻳﺘﻄﻠﺐ ﺗﺤﺪﻳﺪ‬،‫ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺃﻯ ﺻﻒ ﺃﻭ ﺃﻯ ﻋﻤﻮﺩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﺍﻷﺻﻐﺮ ﺍﻟﻤﻨﺎﻇﺮ ﻷﻯ ﻋﻨﺼﺮ ﻓﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﻊ‬ :‫ﺍﺗﺒﺎﻉ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻹﺷﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

Ŀ ŀ ‫د‬ Ŀ*Ł-ņ*ŀ= ņ Ł ń = Ł - ņ ɤƆƆƆƆƆƄƄƄƄƄƄ

Ŀ ŀ ‫ﺟ‬ Ŀ*Ŀ-ŀ*ŀ= ŀ Ŀ ŀ = Ŀ - ŀ ɤƆƆƆƆƆƄƄƄƄƄƄ

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ɗ zb b -.'gb lf d^ gzZ ."r 1 C ¶"

Third order ¶& Ɗi V r ¶o E %

C ‫ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﺍﻷﺻﻐﺮ ﺍﻟﻤﻨﺎﻇﺮ ﻟﻠﻌﻨﺼﺮ‬ ‫ﻭ ﻫـ‬ ‫ﻫـ‬+‫ﻭ‬ (١-) ‫ﺑﺎﻟﻘﺎﻋﺪﺓ‬ ‫( ﻣﻦ‬٢٥) ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻﻔﺤﺔ‬ .‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻟﺘﻮﺿﻴﺢ ﺫﻟﻚ‬

Ń Ŀ ŀ- ń

‫ﺟ‬

ń Ł ŀ- ŀ

‫ب‬

- b b 2b -.'f gzZ - #yĖr Ů b b 2b -.'f ł * ł hKkb wcN VsW?gb -.'f wg7y 3 ¶& C ¶o - ¶& + r - - r ¶o C = r ¶o E % E 3 % 3 E % 3

ƛ¶o 3 - % - Ɯ ¶& + ƛr 3 - E - Ɯ - ƛr % - E ¶oƜC ɤƆƆƄƄƄƄƄƄƄƄƄ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ń

Ł ŀŀ Ń Ņ Ł

Ɗ i V ŀ Ń ł -.'gb gzZ - #yĖ 2 Ń ł Ł ŀ-

ŀ ł Ņ ŀ-

ń+

Ł-

ń ŀ Ņ

ņ=

Ł ņ Ń ł Ł ŀ-

ƛŃ * ƛŀ-Ɯ - Ł * ł Ɯ ń + ƛŀ * ƛŀ-Ɯ - Ņ * łƜ Ł- ƛŀ* Ł - Ņ * Ń Ɯ ņ ɤƆƆƆƄƄƄƄƄƄ ŀĿ * ń + ŀň * Ł - ŁŁ * ņ ɤƆƆƆƄƄƄƄƄƄ ŀŅŅ = ńĿ + łŇ - ŀńŃ ɤƆƆƆƄƄƄƄƄƄ

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫اﻟﻤﺤﺪد ا&ﺻﻐﺮ اﻟﻤﻨﺎﻇﺮ &ى ﻋﻨﺼﺮ ﻓﻲ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ‬

C C łł łŁ

z& ł * ł hKkb wcN VsW?f wo C VsW?gb j ^ / C ŁŀC ŀŀC C łŀ sor ơ C ơ4f2b qb 4f2y C 2?kOcb 2J kgb 2S>Ĕ -.'gb :1}6Ƅ f łŁC ŁŁC ŀŁC p = C C ŀŀ ŀŀ Łł ŁŁ

Łł

łŀ

Łŀ

f łŁC ŁŁC C łł

C Łł

C C p C ŀł ŀŀ ŀŁ

- - $% + − . M ! *0

:á«ã∏ãªdG áaƒØ°üªdG Oóëe łŁ łł ŁŁ łł łŀ łł

:T ) 9

C C

ŀŁ

C C

ŀŁ

C C

Łŀ

ŀł

Łł

C C sor ơŁŀCơ4f2b qb 4f2y ŁŀC 2?kOcb 2J kgb 2S>Ĕ -.'gb ½

C C sor ơłŀCơ4f2b qb 4f2y łŀC 2?kOcb 2J kgb 2S>Ĕ -.'gb ½ C C sor ơŀŁCơ4f2b qb 4f2y ŀŁC 2?kOcb 2J kgb 2S>Ĕ -.'gb ½

: [U% d& $ S& >" $ S) q" I ) , q2" ǶǩģǮ ńģƪũıǩ

Ɗ 1s?b wcN ł* ł hKkb wcN O 2f VsW?f C j ^ / - łŀ

łł

Łŀ

Ɗ z& ơCơ 4f2b qb 4f2y C -.'fr Ů f łŁC ŁŁ Łł

C C

ŀŁ ŀł

C C

łŀ

C+

łŁ łł

C C

ŀŁ ŀł

C C

łŀ

C-

łŁ łł

ŁŁ Łł

C C

C C C

ŁŁ Łł

ŀŀ ŀŁ ŀł

C C p= C

C C

ŀŀ

C = |C|

|łŀC| łŀC + |ŁŀC| ŁŀC - |ŀŀC| ŀŀC = Ů z 2 b wcN ƋƋƋ Ů+ Ů- Ů+ 1 :Ė ¹Zs 7f qb 2J kgb 2S>Ĕ -.'gb {V 2?kN d^ k 2B kj L&Đ - Ɗ .N [b lzO ¶orC 2?kOcb 2J kgb 2S>Ĕ -.'gb 1 : r ¶o+ r ƛŀ-Ɯ 1 : 8Wj wo ơ¶o r CơƄX u:

O )6 b 6 wor Ł + ŀ ƛŀ-Ɯ 1 : 8Wj wo ơŁŀCơƄX u: P "sf wor ł + ŀ ƛŀ-Ɯ 1 : 8Wj wo ơłŀCơƄ X u: .kN i OF [ y ly0cb -sgOb r ŮX?b w 1 Pg#j f 2?kOb 2J kf 2S> -.'f x 1 : .y.' b t2* 1 O Ɗ2?kOb 0o Ƌ [ +& 1 :Ė j ^ y t lz 2b Msg#f i ^ / V ½

+ - +

Ƌ [ # 1 :Ė j ^ .y %6 lz 2b Msg#f i ^ / ½ + - + - + - Ɗw Ē ^ is_ 2S>Ĕ -.'gcb 1 :Ė .N Z i ,P + - +

ôªà°ùªdG º««≤àdG

eQFER S H TSU 1 , $ 9 : ٦ = ٢ - * ٣ * ١- ‫ أ‬3 ‫ب‬ ‫ﺻﻔﺮﺍ‬ ً = ٠ * ٤ * ٣-

ŀł

Ɗ{ Ē ^ŀŀC 2?kOb wcN lzOF [ gb -sgOb r X?b U0' -.'gb 0o wcN kc?& 8 : ,n

ôªà°ùªdG º««≤àdG

‫ﺃﻛﺪ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻫﻰ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺟﻤﻴﻊ‬ ‫ ﻭﺃﻥ ﻗﻴﻤﺔ‬،‫ﻋﻨﺎﺻﺮﻫﺎ ﺗﺤﺖ ﺍﻟﻘﻄﺮ ﺍﻟﺮﺋﻴﺲ )ﺃﻭ ﻓﻮﻗﻪ( ﺃﺻﻔﺎﺭ‬ ‫ﻣﺤﺪﺩ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻋﻨﺎﺻﺮ‬ ‫( ﻣﻦ‬٢٥) ‫ ﺍﺳﺘﻌﻦ ﺑﺎﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﺻﻔﺤﺔ‬،‫ﻗﻄﺮﻫﺎ ﺍﻟﺮﺋﻴﺴﻰ‬ .‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻟﺘﻮﺿﻴﺢ ﺫﻟﻚ‬ * +(& M ‫ﻗﺪ ﻳﺨﻄﺊ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻓﻰ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺇﺷﺎﺭﺍﺕ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﻣﻦ‬ .‫ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ zP* $ ,%( & ‫ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻣﺤﺪﺩ ﻣﺪﻭﻥ ﺑﻪ ﺇﺷﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻌﻨﺎﺻﺮ ﻟﻼﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﻪ‬ + - + - + - :‫ﺃﺛﻨﺎﺀ ﻓﻚ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﻭﺫﻟﻚ ﻛﺎﻵﺗﻰ‬

Minor determinant corresponding to any element of a matrix

łł

QF@R S H 4TSU 1 ,7 89 $ 9 : ٩٨- = (٤ - ١٨)٧- ‫ أ‬2 ٢٤ = (١٢-)٢- ‫ب‬ ‫( = ﺻﻔﺮ‬٦ - ٦)١- ‫ د‬٥٤ = (٩-)٤ - (٦)٣ ‫ﺟ‬

‫أ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﻣﺤﺪد اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬

determinant

‫ﺗﺘﻌﻴﻦ‬

Ƌ 6 kf 1 : l_br t2S?b p -.'fr ƛ-sgN r Ɯ X> t 2> kN bĐ. -.'gb `V l_gy -

L L A= , − M)0% /

−

8%<

:äGOóëªdG ΩGóîà°SÉH å∏ãªdG áMÉ°ùe OÉéjEG ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ł

Ƌ{j b -sgOb 2> kN e .+ 6 ń Ŀ Ń -.'gb gzZ - #yĖ 3 ŀ- Ł- ņ

Ɗis_zV z 2 b wcN - Ů + Ů - wo {j b -sgOb 2> kOb 2J kgb 2S>Ĕ -.'gb 1 : 1 ,P ł ń

‫ﻓﻜﺮة ﻣﻔﻴﺪة ﻟﻠﺤﻞ‬

ŀ Ń

ƛŀŁ - ńƜ Ł + Ŀ + ƛłń - Ń-Ɯ Ł- ɤƆƆƆƄ ŅŃ = ŀŃ - ņŇ ɤƆƆƄ

'(# 9 S) _6 _82). %[\ ` 6 +)< =H ^ H d& d2)& < `() > < _ +3, T V ( e [# 8) X um q *9

ł- Ŀ Ł Ń ŀ- ń ł Ŀ Ł-

ƛŁ-Ɯ - ŀ- ņ Ŀ + ŀ- ņ Ł- ɤ -.'gb

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ɗwcy gf -.'f d^ gzZ ."r 2 Ŀ Ń ł ŀ ł- Ł Ł- Ŀ ń

‫د‬

ņ ł Łń Ń Ŀ ł- Ŀ Ŀ

‫ﺟ‬

ń ŀ Ņ

‫ب‬

ņ ŀĿ ł Ŀ Ń

Ɗd f 1 W> ƛqZsV r Ɯ w7z 2b 2G[b ' w b o2> kN Pzg" VsW?f wo z c gb VsW?gb Ŀ

Ŀ ŀ-

Ł ŀ- ń

ł Ł f Ŀ Ń- Ł p Ů f ń Ń Ŀ p Ů b Ń Ŀ l

Ƌw7z 2b o2GZ 2> kN 2B d> & tr 7y z c gb VsW?gb -.'f gzZ :1 ,P Ŀ Ŀ

C C ŁłC łł

C C C=

łł ŁŁ ŀŀ

ŁŁ

:1 ^

C C C ŀł ŀŀ ŀŁ

: =3 %H 8< '(# 9 S) _ _ k 1 "%[ C C C ɤ ƛĿ * ŁŀC - łŁC * ŁŁC Ɯ ŀŀC =

łŁ ŁŁ ŀŀ

Ŀ C

ŁŁ

łł

Łł

C C

ŀŀ

C ɤ -.'gb

‫ﻣـﺜـﺎل‬

ł Ł ŀ ń ł- Ŀ Ņ Ŀ Ŀ

ôªà°ùªdG º«≤àdG

QF?R ,QFER S H TSU 1 , $ 9 : ١ ٢- ٢-

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﻣﺤﺪد اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

Determinant of triangular Matrix

‫أ‬

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻓﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﺖ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺭﻭﺅﺳﻪ ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ‬ (٢٧) ،(٢٦) ‫ﺑﺎﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﺻﻔﺤﺘﻰ‬

((١٣)١ + (١-)٢ + (٢-)٢-) ١٢ = ١ ١ ٣ ١٢ 4 ١ ٣ ٤١ ١ ‫ ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬٧ ٢ = (١٥) ٢ = ١ ٣ ١[(٢٢)١ + (٢)٣ - (٤-)١-] ١٢ = ١ ١ ٥ ١٢ 5 ١ ٥ ٣ ‫ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬١٠ = [٢٢ + ٦ - ٤] ١٢

-.'gb gzZ f 4

º∏©J

‫اﻟﺤﻞ‬

Ɗis_zV z c f VsW?f -.'f so -.'gb 1 ,P ŀŇ- = Ņ * ł - * ŀ ɤ -.'gb

- - $% + − . M ! *0

d +Vc& >6 M' $n *) )f T, -١ ‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ﻟﺤﻞ ﺃﻧﻈﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻟﻴﻦ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻃﺮﻳﻘﺔ‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺧﻄﻮﺍﺕ‬.«‫ﺗﺴﻤﻰ »ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻛﺮﺍﻣﺮ‬ ‫( ﻣﻦ‬٢٨) ،(٢٧) ‫ﺍﻟﺤﻞ ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬ .‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻭﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﺎﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ɗwcy gf -.'f d^ gzZ ."r 3 ń Ń Ŀ

Ł łŃ Ŀ Ŀ Ŀ

ń Ł ŀŃ- ł Ŀ Ł- Ŀ Ŀ

‫ب‬

‫أ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫إﻳﺠﺎد ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﺤﺪدات‬

ôeGôc á≤jô£H á«£îdG ä’OÉ©ªdG øe ΩÉ¶f πM

Finding area of a triangle by using Determinants

´É°ùJG

Ɗw Ē ^ c gb 5r 1 z .& zfscOg Ů c gb (G6 & 7f - #yĖ -.'gb e .+ 6 `k_gy Ɗ z& ơWơ woƄƛr Ů¶oƜ M ŮƛE Ů¶"Ɯ = Ůƛ ŮCƜ 5 Ɗq6r 1 t0b c gb (G6 & 7f ŀ C ŀ - ¶" ŀ r ¶o

‫ﺗﺬﻛﺮ‬ e [ +) W ) >8*U |W|

ŀ =W Ł

‫ﻣـﺜـﺎل‬

ƛń Ůł-Ɯ ŮƛŃ ŮŁƜ Ů ƛł- Ůŀ-Ɯ q6r 1 z .& t0b c gb (G6 & 7f -.'gb f¹ .+ 7f ."r 5 N

Q@ ,D−R M

@ G D F A

− A− @− G− D− F− A− A− F− F QD− ,A−R D−

‫اﻟﺤﻞ‬

QG ,FR N

A F

Ń Ł ń ł-

ŀ ł- ŀŀ Ń Ł ŀ ń łŀ Ń ŀŀ ń

ŀ =W Ł

Ơ ŀŁ ɤƆƆƄƄ

ƟƛŀŁ + ŀĿƜ ŀ + ƛł + ŁƜ ł + ƛń - ŃƜ ŀ-Ơ ŀŁ ɤƆƆƆƆƆƆƆƄ

O 2f .&r ŀň ɤ ƛŁŁ + ŀń + ŀƜ ŀŁ ɤƆƆƆƆƆƆƆƄ

ŀ+

ŀ Ł ƛł-Ɯ ŀ ł-

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

ƛł ŮŃ-Ɯ ¶" Ůƛŀ ŮłƜ ŮƛŁ- ŮŁ-ƜC qzV t0b ¶" C c gb (G6 & 7f -.'gb f¹ .+ 7f ."r 4 N

QF ,D−R G− D− F− A−

E Q@ ,DR @ G D F QF ,BR A

‫ﻣـﺜـﺎل‬

ts 7gb wcN H[j đ z .& j ^ / ǶƒŻŏǭǤģś ƤśƄǤĝ 6 Ů1 fĔ z .&Ė j ^r ƛŁ Ůł-Ɯ Ůƛń ŮłƜ ƛŁ ŮĿƜ {o w .&Ė ƋH[kb `c q6r 1 t0b c gb (G6 & 7f ."r V

‫ ﻓﺈﻥ‬،‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺤﺪﺩ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻼﺕ ﻻﻳﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺼﻔﺮ‬ ،‫ﻭﺣﻴﺪﺍ ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩه ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻛﺮﺍﻣﺮ‬ ‫ﺣﻼ‬ ًّ ‫ﻟﻠﻨﻈﺎﻡ‬ ً ‫ ﻓﺈﻣﺎ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﻠﻨﻈﺎﻡ‬،‫ﺻﻔﺮﺍ‬ ‫ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ‬ ً .‫ﻋﺪﺩ ﻻﻧﻬﺎﺋﻰ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ ﺃﻭ ﻟﻴﺲ ﻟﻪ ﺣﻞ‬ ‫ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﺑﻔﺤﺺ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺍﻟﺨﻄﻴﺘﻴﻦ‬ ‫ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﻴﻞ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻷﻭﻝ ﻫﻮ ﻧﻔﺴﻪ ﻣﻴﻞ ﺍﻟﺨﻂ‬،‫ﻟﻠﻨﻈﺎﻡ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ )ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺨﻄﻴﻦ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ( ﻓﻬﺬﺍ ﻳﻌﻨﻰ ﺃﻥ ﻟﻠﻨﻈﺎﻡ ﻋﺪﺩ‬ .‫ﻻﻧﻬﺎﺋﻰ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬ ‫ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﺍﻟﺨﻄﻴﺘﺎﻥ ﻳﻤﺜﻼﻥ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺨﻂ ﻓﺈﻧﻪ‬ .‫ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﻻﻧﻬﺎﺋﻰ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ‬

A F D G

−

/=o% 8%<

ôªà°ùªdG º««≤àdG

QFCR S H TSU 1 , 9 : ١ = ‫ﺹ‬٣ - ‫ﺱ‬٢ ، ٠ = ‫ﺹ‬٢ + ‫ ﺱ‬6 ٢ ١ ٠ ! ٧- = ٤ - ٣- = ٣- ٢ = 9

٢ ٠ ٢ = ٢- = ٣ ١ = ‫ ﺱ‬9 = ‫ﺱ‬ ٧ ٧٧9 ٠ ١ ١- = ١ = ١ ٢ = ‫ ﺹ‬9 = ‫ﺹ‬ ٧ ٧٧9 ٢ ١{ ٧ ، ٧ } = ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ‬

:T " c& P >6 M' $n *) )f T, -٢ ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﻧﻈﺎﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﻓﻰ ﺛﻼﺛﺔ‬ ‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺗﺒﺎﻉ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﺒﻌﺔ‬ ،‫ﻣﺠﺎﻫﻴﻞ‬ ً ‫ﻓﻰ ﺣﻞ ﻧﻈﺎﻡ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺧﻄﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻟﻴﻦ ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﻤﺎ ﻭﺭﺩ‬ ‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬٢٩) ،(٢٨) ‫ﻓﻰ ﺻﻔﺤﺘﻰ‬

ŀ ŀ ŀ N C

ŀ ŀ

Ł ń

ƛł-Ɯ +

ŀ ŀ

Ł Ł

ł-

‫اﻟﺤﻞ‬ ŀ ɤƄW Ł

Ơ ŀŁ ɤƆƆ Ɔ Ɔ Ɔ ƆƄ Ơ

A F D G @

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﺣﻞ ﻧﻈﺎم ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻛﺮاﻣﺮ‬

Solving a system of linear equations by Cramer's method

ø«dƒ¡ée »a á«£îdG ä’OÉ©ªdG áª¶fCG πM -

Solving a system of Linear equations in two unknowns

Ɗ{ Ē ^ lzbsp#f {V zG+b Đ- Ogb lf e Kj ky.b i ^ / e ɤƄ= Ƅ+Ɔ Ɔ5 CƆ Ɔ i ɤƆƆƄ= EƄ+ 5 ¶" C b E l đf Ogb VsW?g wg7 e Kkb z 2 .O lzbsp#gb đf Of o2> kN w b VsW?gb i V ¶" đf Ogb VsW?f -.'f gzZ j ^ / V Ů zG+b Đ- Ogb gKj d'b -.'gb e .+ 6 `k_gyr C -.'gb gzZ j ^ / r Ů .z&r Ê đ& e Kkcb i V Ů 2W> tr 7yĐ ƛ b- 2[yƜ 9 4f2b qb 4f2yr ¹ ¹

E ¶"

Ƌd& qb 8zb r asc'b lf w pjĐ -.N e Kkcb is_y i f V Ů 2W> ¹ {j b -sgOb is_ = asp#gb đf Ofr Ů9 -.'gcb arĔ -sgOb i s_ 5 asp#gb wcf Of i L&đj r Í Í Ƌ9 -.'gcb .O 9 -.'gb lf qzcN d?'jr Ůƛ5 b- 2[yƜ 59 4f2b qb 4f2jr 5 asp#gb -.'f e wg7y E i

Ƌi Ů e s b ƛ5 đf OfƜ arĔ -sgOb 2> kN 2zzS 9 -.'gb lf qzcN d?'jr Ůƛ= b- 2[yƜ =9 4f2b qb 4f2jr = asp#gb -.'f e C wg7y g^ i ¶"

e ¶" - iC

¶" -EC

e i E

Ƌi Ůe s b ƛ= đf OfƜ {j b -sgOb 2> kN 2zzS .O Ɗso e Kkb d& i VƄ Ů ȇ!9 i A2Wj :1J

C ¶"

= = 9 ɤ =ƆƆ ƆƄ 9

i - E e = E ¶"-EC E

¶"

e i

= 59 ɤ 5ƆƆ ƆƄ 9

C ¶"

- - $% + − . M ! *0

١- ١ ٢

،١٢ = ١ ٧ ١ = ‫ ﺹ‬9 ،٣٦ = ١ ٢ ٧ = ‫ ﺱ‬9 ١ ١٠ ٣

‫ﻣـﺜـﺎل‬

Ƌ2f 2^ [y2G lz z Ē lz b- Ogb e Kj d& 7 Ł ɤ = + 5Ł Ń- ɤ = ł - 5

١ ١- ١٠ ٢ ١ ١ ٢٤ = ٧ ٢ ١ = ‫ ﻉ‬9 ١٠ ١- ٣

‫ﺹ‬9 ٣٦ ‫ ﺱ‬9 ،١ = ١٢ ١٢ = 9 = ‫ ﺹ‬، ٣ = ١٢ = 9 = ‫ ﺱ‬ ‫ﻉ‬9 ٢ = ٢٤ ١٢ = 9 = ‫ ﻉ‬

º««≤àdGh ÖjQóàdG _)V6 d& o SU $ 9 : ٣ = ‫ ﻉ‬،٢ = ‫ ﺹ‬،١- = ‫ أ ﺱ‬1 {(٣ ،٢ ،١-)} = ‫ﻓﻴﻜﻮﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ‬ ١ = ‫ ﻉ‬،٠ = ‫ ﺹ‬،١ = ‫ب ﺱ‬ {(٠ ،١- ،٠)} = ‫ﻓﻴﻜﻮﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ‬

‫اﻟﺤﻞ‬ ŀ Ŀ !ņ = Ņ + ŀ = ƛł- * ŁƜ - ƛŀ * ŀƜ ɤ ł- Ł = 9 Ɗi z& ŀ 1+2 6

:o SU ƛ✓Ɯ

Ł Ń- ƛ ŀĿ ņ Ɯł - ņ Ń- ɤƆƆƆƆƆƆƆƄƄ ŁŇņ ƄƄ

Ł = Ņ + Ń- = ƛł- * ŁƜ - ƛŀ * Ń-Ɯ = ņ ņ ņ ŀĿ = Ň + Ł = ƛŃ- * Ł-Ɯ - ƛŁ * ŀ = ņ ņ ņ

ŀĿ + ƛ Ł Ɯ Ł ņ ņ

ƛ✓Ɯ

ł- Ńŀ Ł

9 ɤ 5 9

Ń- ŀ Ł Ł

9 ɤ = 9

Ł Ɲƛ ŀĿ ņ Ů ņ Ɯƞ ɤ d'b Nsg#f

Ł Ł ɤƆƆƆƆƆƄƄŁƄƄƄƄ

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ɗ2f 2^ [y2G lz z Ē lz b- Ogb e Kj d& 6 ŀɤ = ł - 5 Ł Ŀ ɤ = Ł + 5

π«gÉée áKÓK »a á«£îdG ä’OÉ©ªdG áª¶fCG πM -

Solving systems of Linear equations in three unknowns

] ɤ M ł¶" + = ł + 5 łC

: UJ \ T " c& P 6 M' $n *) d& f 8. 1 \ k: i ɤ M Ł¶" + = Ł + 5 ŁC e ɤ M ŀ¶" + = ŀ + 5 ŀC :1+2. d +Vc& 6 d ( M d ( *& f , 6 8 *6 ) )& .%M9 ` }6 ŀ

¶" ŀ

¶" ł

đf Ogb -.'f ɤ ¶" C ɤƆƆƆƆƆƆ 9 Ł Ł Ł ŀ

¶" ŀ e

5 asp#gb -.'f ɤ ¶" i = 59 Ł Ł ] Ůi Ůe s b ƛ5 đf OfƜ arĔ -sgOb 2> kN 2zzS qzcN d?'j ł¶" ł ] C ==9 C C ł e ŀ ŀC M asp#gb -.'f ɤ i C ɤƄM 9 Ł Ł ] Ůi Ůe s b ƛM đf OfƜ b b -sgOb 2> kN 2zzS qzcN d?'j ] ł łC ŀ

¶" e

= asp#gb -.'f ɤ ¶" i Ł ] Ůi Ůe s b ƛ= đf OfƜ {j b -sgOb 2> kN 2zzS qzcN d?'j ¶" ] ł

−

Ƌd [gb d_;b lz gb c gb & 7f -.'gb f¹ .+ 7f ."r 5

١- ١ ١ ٠ ! ١٢ = ١ ٢ ١ = 9 7 ١ ١- ٣ ١- ٢ ١

P 2f 2 f Ń ŀŁ = ƛń-ŁƜ ł - Ŀ - Ŀ ŀŁ ɤƆƆ Ɔ Ɔ Ɔ ƆƄ

@− G− D− F− A− A− F− D− G− @−

ôªà°ùªdG º««≤àdG

QFaR S H TSU 1 , $ 9 :

@ G D F A

Ł Ŀ ń ł Ł łŀ ń Ŀ ŀ Ł

L L A= , − O M F 2

ŀ Ł

.‫ ﺟﻨﻴ ًﻬﺎ‬٢٠ ‫ ﻭﺛﻤﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ‬،‫ ﺟﻨﻴ ًﻬﺎ‬١٥ ‫ ﺛﻤﻦ ﺍﻟﻜﺸﻜﻮﻝ‬2

9 ɤ M Ů =9 ɤ = Ů 59 ɤ 5ƄƊi V Ů2W> ! 9 i A2V / iĒ r 9 9 9

‫ﻣـﺜـﺎل‬

Ŀ ɤ MŁ +ƆƆ =ƆƆƆ +ƆƆƆƆ 5

‫اﻟﺤﻞ‬ ŀ ł ŀŀ- Ł- ł ɤƆƆƆƄ 9 Ł ŀ ŀ

ƛŁ+ ł-Ɯ ŀ + ƛŀ-ŅƜ ł- ƛŀ+ Ń-Ɯ ŀ- = ŀł- = ŀ - ŀń - ł = ł- ɤ ƛŀ * ŀ- Ł * ŀ-Ɯ ŀ =

ŀ Ŀ ŀŀ- ŀ ł Ł Ŀ ŀ

ł ńŀ ƛ Ńŀł Ɯ - ƛ ŀł ƜŁ+ƛ ŀł Ɯ ł ƛ✓Ɯ ŀ ɤƆƆƆƆƆƄƄŀƄƄƄƄ

ń- ɤ ƛŀ- ŅƜ ŀ- =

ŀ ł Ŀ ŀ- Ł- ŀ Ł ŀ Ŀ

= 59

Ń ɤ ƛł * ŀ - ŀ * ŀ-Ɯ ŀ- =

Ŀ ł ŀŀ Ł- ł Ŀ ŀ ŀ

= M9

= =9

Ń-

ł Ɯł + ƛ ń Ɯ- Ŀ ƛ ŀł Ɯ + ƛ ŀł ŀł ƛ✓Ɯ Ŀ = ĿƄƄƄƄƄƄƄ

ƛ✓Ɯ

ł = ł- = =9 ɤ =ƆƄƄ Ů ŀł ŀł- 9

ń = ń- = 59 ɤ 5Ƅ` Ů ŀł ŀł- 9

Ń = M9 ɤ MƆƆƆƄƄ ŀł- 9 ł ń Ń Ɲƛ ŀł Ů ŀł Ů ŀł Ɯƞ ɤ d'b Nsg#f

ł ń Ŀ ƛ Ńŀł ƜŁ + ŀł + ŀł ŀ Ŀ ɤƆƆƆƆƆƄƄĿƄƄƄƄ

ŀĿ ɤ M + = - 5ł

º««≤àdG

Ƌ2f 2^ [y2G zb b zG+b Đ- Ogb e Kj d& 8 ŀ ɤƆ M - = Ł - 5ł Ŀ ɤƆ M + = ł + 5 -

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ɗ2f 2^ [y2F e .+ 6 zb b zG+b Đ- Ogb e Kj d& 7 ņ ɤ M + = Ł + 5 Ł ɤ M - = + 5

: UJ $n *) d& f T\ T, _9PI > : x I ١- = ‫ﺹ‬٥ - ‫ﺱ‬٣ 1 ٣ = ‫ﺹ‬٦ + ‫ﺱ‬ ٢ = ‫ ﻉ‬- ‫ ﺹ‬- ‫ﺱ‬٢ 2 ١ = ‫ ﻉ‬- ‫ ﺹ‬+ ‫ﺱ‬٣ ٣ = ‫ﻉ‬٦ + ‫ﺹ‬٢ + ‫ﺱ‬-

ø«bƒØàªdG ÜÓ£∏d ≈FGôKEG •É°ûf $P2r) T,

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ Ƌ2f 2^ [y2G z Ē Đ- Ogb gKj lf d^ d& 1 ŀ- ɤ M - =ƆƆ + 5 Ł ‫ب‬ ŀ ɤ M Ń + =ƆƆƆ - 5 Ł ł ɤ M Ł + =ł - 5 ń

ņ ɤ Mń + = ł -ƆƆƆ 5 Ł ‫أ‬ ŀŀ ɤ MŁ + = Ń +ƆƆ 5 ł ŀŅ ɤ Mņ +ƆƆƆ =Ł - 5ƆƆƆƆƆƆ

Ń r lzbs_;^ hy2^ t2 : r Ů pzk" Ňń Tc g lz ^ r dz^ ;^ ł t- V t2 : ǓǣǭņƑǨǤģś ƤśƄǤĝ 2 ¹ Ƌ _b r as_;_b lf d^ 2O6 - #yĖ 2f 2^ [y2F e.+ 6 Ƌ qzk" ŀŀĿ Tc g p7Wj M sjĔ lf ^

− M

٠ ١ ٢‫ﺱ‬ ١= ‫ﺱ‬ ، = ‫ﻙ‬ ، f٨p f ١- ١ ٢ p = X ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬ f‫ﺹ‬p ١ ٢ ١ ‫ﻉ‬ ١

.‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻛﺮﺍﻣﺮ ﻟﺤﻞ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ ﺱ = ﻙ‬X

á£°ûfC’G á°SGôc á£°ûfCG º««≤J (7) áëØ°U •É°ûf

U r8 U

‫ﻧﺸﺎط‬ Ń ņ ń ŀŀ Łń Ņ Łŀ ńŁ ņ

-.'gb gzZ - #yĖ 6

M ly-sgOb j12^r -.'gcb đ b .gNĔ k ^ kj L&Đ ½ .lzbrĔ lz gb ^ 2> kN đ d^ 2 N y2GZ ¹FsG* h61 ½ H* d^ lf # kb -r.'b is_ V G[kgb hp6Ĕ dW6 wb p# gb hp6Ĕ r ]s_Wgb wV -¹ r.& wo wb p# gb `c gkz Ů "sf 2J kgb o-r.& is_ . b 6 is_ wcN

Łŀ* Ņ * ņ - ńŁ * ŀŀ * ń -Ɔ ņ * Łń* Ń - ńŁ*Ņ* Ń + ņ * ŀŀ * ņ + Łŀ* Łń * ń = -.'gb ŇŇŁ - ŁŇŅĿ - ņĿĿ - ŀŁŃŇ + ńłň + ŁŅŁń =ƆƆƆƆƄ łĿ- =ƆƆƆƆƆƄ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

:q gzZ - #y r wcy gf -.'f d^ `V wV [ 7b [y2Gb e.+ 6 Łł ł ŀł ńł ņ łĿ ņĿ ň łň

=9 ‫ب‬

ņ ń ł ŀł ň ŀŀ ŀň ŀņ ŀń

=9 ‫أ‬

ł- Ń- ł łŀ- ņ Ł Ł ň- ń

=9 ‫د‬

ŀ Ł- ŀ ł Ł ŀ ł Ń Ņ

=9 ‫ﺟ‬

. `# j j1 [fr - Ogb [y2Gb -.'f d^ gzZ - #y ` " '> lf .^ űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

ÖdÉ£dG AGOCG

ôjó≤àdG

~+ L+ 0% @ M O M S=T2 t ()& B o o1 "{ 2 L)* o /=o% $ AB M)0% k# , ,I <=* % O M S=T2 y o /=o% ~+ L+ 0% @ M $ C B o o1 "{ 2 L)* ~+ L+ 0% @ M O M S=T2 o o1 "{ 2 L)* o /=o% $ ? BM)0% k# < <=* % L+ 0% @ M S =T2 O M o +[ & < <=* # L p u 2o 5.f , /=o% ~+ $ @ "{ 2 L)* o @ M \[ M', M)0% k# B o o1 0% @ M S =T2 O M h M2 Z = *{ 5 ( 2 <=* %) u 2o , /=o% ~+ L+ $ @ d& T BM)0% ^ k#

− M

−

5-1 тАл╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗Ья╗о╪│ ╪зя╗Яя╗Ая║оя║Ся╗░ я╗Яя╗ая╗дя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║ФтАм

тАл╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗Ья╗о╪│ ╪зя╗Яя╗Ая║оя║Ся╗░ я╗Яя╗ая╗дя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║ФтАм

5-1

Multiplicative Inverse of a Matrix

Inverse Matrix

тАля║│я╗о┘Б я║Чя║Шя╗Мя╗ая╗втАм

тАля╗Ля╗дя╗Ю я║Чя╗Мя║О┘Ия╗зя╗░тАм

╞Ы ┼Е┼Б ┼Д-┼Г ╞Ь ╞Ы ─┐┼А ┼А─┐ ╞Ь

╞Ы ┼Б ┼А ╞Ь ╞Ы ┼В ┼А- ╞Ь

B * MN. k# + , 7 L Y P f07 =( яА│ B + , 7 P f0# S =T2 C2 MU C2 / 0# k# S N W яА│

# # $ % & - + , # / 0# - <= + , # - + , %) L P f0# Bq + , # - ┬А2% + , #

╞Ы ─┐┼А ┼А─┐ ╞Ь ╞Ы ┼Е┼Б ┼Д┼Г ╞Ь

тАл╪гтАм

5 M6 5 -7 87 9 1 : ;&' ( + ,-7 9 < =

╞Ы ┼В ┼А- ╞Ь ╞Ы ┼Б ┼А ╞Ь

╞Л╞Ы┼В╞Ь hZ1 .k b lN ` " {V o 2 E gj x X> - ┬Э ? ╞Ы┼В╞Ь ┼о ╞Ы┼А╞Ь ly.k b lN ` " H 2 Xz^ ┼╗╟И─г┼а ╞Д┼Р╟Ф╞╜┼Э -┬Ю

тАля║Чя║мя╗Ыя║отАм

:IQ L)* A/ ^ j O M I f IQ h^ 2% k# PA= \[ ' L+

тАл╪итАм

╞Л╞Ы┼А╞Ь hZ1 .k b lN ` " {V o 2 E gj t X> - ┬Ы ╞К 2B d> & d^ ."r - ┬Ь ┼Д ┼В ┼Д ┼В ┼Д- ┼Б ┼Д- ┼Б тАл╪итАм тАл╪гтАм

/ t p , + , % L)* )%0 , + , % S ',# O M PA/ P f0% / t p , M)02 H IJ , 0 # + , # /=o# B + , %) L y

! "

╞К 2B d> & d^ ."r - ┬Ъ

&' ( )* + ,-( ./ * 012 34

:┘в * ┘в тАл╪зя╗Яя╗дя╗Мя╗Ья╗о╪│ ╪зя╗Яя╗Ая║оя║Ся╗▓ я╗Яя╗ая╗дя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║ФтАм

тИТ !" # $ I % #& ' M) * + , -. */ * +! ) "$ 0 % 0 1 23 тИТ4 8+ 9 ; 7 6 7!

5 < 5 " = >?@ AB C " = 5 8" = * % ; 9 DE < @ " +!

тАля║Чя╗Мя╗ая╗втАм

wcN gpkf d^r ┼оC i O 2f i VsW?f ky.b i ^ / ╞Ы .&sb VsW?f ╞╡╞Ь╞Д╞╡ = C ╔д C╞Д╞Кi ^r ┼Б * ┼Б hKkb C VsW?gcb z┬╣ 2B 6s_Of wg7 VsW?gb i V ┬╣ ╞Л VsW?gcb z├К 2B 6s_Of C VsW?gb wg7 `b0^r ┬╣

┘П тАля║│я║Оя║│я╗┤тАм3тАл╪зя╗Яя╗дя║╝я╗Дя╗ая║дя║О╪к ╪зтАм ┘П тАл┘Ся║ФтАм &' ( => + ,-7 Multiplicative inverse of a matrix Identity matrix Matrix equation

Constant matrix

B= &' 7

pzb 4f2j kj V z├К 2B 6s_Of C VsW?gcb i ^ / ├К I = C ┼А-C = ┼А-C C╞Д╞Д╞К z& ┼А-C 4f2b Us6r z├К 2B 6s_Of pb 8zb VsW?gb DO ├К wcN VsW?gb j ^ / f ! k 6 wV wcy f ].N 7y 0o - #y zWz^r ┼о ─Р e z├К 2B 6s_Of pb ┼Б * ┼Б hKkb ├К ╞Л."r i 5s_Ogb

тАл╪п┘И╪з╪к ┘И╪зя╗Яя╗оя║│я║Оя║Ля╗ЮтАм3тАл╪зтАм & C4 &D : & E

╞Ы ╞Ь

╞Ы -┬╣ s"sf╞Ь ┬╣V2Of is_y C VsW?gcb { 2Cb 5s_Ogb i V E ┬╢" = C j ^ / ─┐ ! 9 = C -.'f is_y f.kN ╞Кi V─┐ ! 9 = C -.'f i r ┼оC VsW?gcb { 2Cb 5s_Ogb {o ┼А-C VsW?gb i A2W r

& '( ) ) *( +) B %)* - I )# 6 I - % )02 <A

,%( ) -. ( /%I - L 02 M)02 - L.[\ 0 - ]^ .% - 6 % _ 0 B |f]%

-. ( 1 2& L A= ,

*( 3& B` o,1 L p ` o,1 k# O M F 2 Be o,1 L p c o,1 k# A=2 M] F 2

┬вSQ├│dG ├дGAG├┤LEGяАаяВи ├│┬л┬б┬к├аdG

& ' 7 & -7 @A ( &' 7

╞Ы C- ┬╢"E- ╞Ь 9┼А =

┼А-

C тИТ ! "#

тАля║Ня╗Гя╗ая║Р я║Зя╗Яя╗░ я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я║Гя╗е я╗│я║╝я╗Фя╗оя║Н я╗гя║О я║Чя╗Мя╗ая╗дя╗о┘З я╗Ля╗ж я║Ня╗Яя╗дя╗Мя╗Ья╗оя║▒тАм тАл я║Ыя╗в я║Ня╗Гя╗ая║РтАм╪МтАл я╗ня║Гя╗е я╗│я╗Мя║оя╗Уя╗оя║Н я╗ля║мя║Н я║Ня╗Яя╗дя╗Мя╗Ья╗оя║▒тАм╪МтАля║Ня╗Яя╗Ая║оя║Ся╗░ я╗Яя╗╕я╗Ля║кя║Ня║йтАм .тАля║Зя╗Яя╗┤я╗мя╗в я║Гя╗е я╗│я║ия╗дя╗ия╗оя║Н я╗гя║Оя║ля║Н я╗│я╗Мя╗ия╗░ я╗гя╗Мя╗Ья╗оя║▒ я║Ня╗Яя╗дя║╝я╗Фя╗оя╗Уя║ФтАм

? : &' 7

Variable matrix

┬Й

L L A= , тИТ M)0% /

&' C =#G + ,-

»fhÉ©J πªY ‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫ﺗﺬﻛﺮ‬ ;F G ! 9 ; 9 DE 5s_Ogb 0o ."r h { 2B 5s_Of C VsW?gcb i Ŀ ŀŁ- Ň : H 9 0 !I J " = 6 7! C

5 5 0 +! #!=$ 0 " K1 L </ M # 0 !) -C #& '

Ŀ ŀ-

= C -.'f

C VsW?gcb qj x Ŀ ! 9 ` Ƌ z¹ 2B 6s_Of ¹

Ɯ = ƛ ŀ-Ŀ Ł-Ň- Ɯ ƛ

Ŀ ŀŀŁ Ń-

ŀ = - E Ł ¶"-

Ɯ 9ŀ =

ŀ-

C Ƅ

ƛĿ Ɯ

Ɯ VsW?gcb dO# { b C hzZ ."r 2

‫اﻟﺤﻞ‬

Ƌ 2W> tr 7y VsW?gb -.'f is_y f.kN z¹ 2B 6s_Of pb 8zb VsW?gb ¹ ¹

f.kN t C Ň 2W> ɤ Ł * Ň - ŁC t 2W> ɤ ŀŅ - ŁC ƛĿ = ŀŅ - ŁC b- Ogb 10" gorƜ Ń- ŮŃ go C ¶b i gzZ ."s i/ Ƌ{ 2B 5s_Of pb 8zb GOgb VsW?gb iđO# Ƌ z¹ 2B 6s_Of GOgb VsW?gcb is_y ƝŃ ŮŃ -ƞ - I ǽ C f.kN ` ¹

2W> ɤ

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ň 5 Ƌ{ 2B 5s_Of pb 8zb 5 Ń VsW?gb dO# { b 5 hzZ ."r 3

‫ﻣـﺜـﺎل‬ M = ŀ- M i V

ƛ ŀC

ŀ Ŀ

Ɯ ƛ =

ŀĿ

C-

ŀ 5 Ŀ

ŀ ŀ =

ŀ ŀ- Ŀ C

Ŀ ! ŀ- =

٠ ١ ‫ب‬ l ١ ٠

− M

٠ ١ l ‫أ‬ ١ ٠

‫ ﻋﻨﺪ ﺿﺮﺏ ﻛﻞ ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ ﻛﺎﻥ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻫﻮ‬4 b

٠ ١ l ‫ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ١ ٠

‫ ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻣﺘﻌﺪﺩﺓ‬5

¢SQódG ¢VôY

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

áaƒØ°üª∏d ≈Hô°†dG ¢Sƒμ©ªdG :º∏©J

،‫ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬ ‫ﺛﻢ ﺳﺎﻋﺪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﻓﻬﻢ ﻣﻌﻨﻰ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻦ‬ ‫ ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻰ‬I = M C ‫ﻃﺮﻳﻖ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ‬ «‫( ﻣﻦ »ﻋﻤﻞ ﺗﻌﺎﻭﻧﻰ‬C)٤ ‫ﺍﻟﺒﻨﺪ‬

ô«Ø°ûàdG

2W: `Wb VsW?gb 5s_Of e.+ 6 Ƌ b 62b 2zW; b w 2Cb p6s_Ofr qVsW?f t e .+ 6 `k_gy Ƌ N¹ -s"sgb e Z1Ĕ ( ? b ŀ * Ł hKkb wcN VsW?g^ ȿ\y2V {Vȿ b 62b _j Ɗ b 62b ŀń A ŀŅ E ŀņ I ŀŇ M ŀň Q ŁĿ U Łŀ Y

Ň - ň / ŀĿ 1 ŀŀ 3 ŀŁ 5 ŀł 9 ŀŃ =

ŀ Ł ł Ń ń Ņ ņ

ƛ Ɯ ƛ Ɯ ƛ Ɯ

ŁŇ ŁĿ ŁĿ \y ŀĿ 2V ŁŇ {V Łŀ

< @

! % )

VsW?f e.+ 7 r VsW?gb 2B e.+ 7 f.kN Ɗ VsW?gb m0o ( ? Us6 b 62b i V Ł Ņ ɤ 1 d f

ƛŀ ŁƜ ŀņŅ ƛ Ɯ ƛ ŀŃĿ ńĿ Ɯ ƛ ŅŇ Ɯ ŁŀĿ ņņ

<4@

Ɗ{ Ē ^ o- #y l_gy ŀ-1 2zW; b VsW?f Řğ ƩũĪ

Ł Ņ = 9 Ů Ł Ņ ɤ 1 a ŀ Ł ŀ Ł ŀ- ŀŁ ŀ ŀ ŀ= Ł= 1 is_zV Ņ Ł- Ł ł ŀ-

Ŀ!Ł=Ń-Ņ=

Ɯ ƛ

PzG 7 r ƛŀƜ .k b {V VsW?gb wcN d?' ƛŁƜ .k b {V VsW?gb lf d^ {V ŀ-1 VsW?gb 2B .kNr Ƌ 2W;b `V

ƛ Łŀ

5 =ŀ- i V = 5 ɤ i ^ / 4 = Ŀ

‫ﻧﺸﺎط‬

] a e i ¶o r x

ƛ ŀ-C ŀĿ Ɯ = M j ^ / 3

Cryptography

ŁŁ Łł ŁŃ Łń ŁŅ Łņ ŁŇ

.‫ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬

‫اﻟﺤﻞ‬

ŀ ŀ= M` ŀ-

Ŀ ! = 5 i gcN ¹

٦ ٥ ‫ب‬ ٦ ٥ l b l ‫ أ‬1 ٢ ٤ ٢ ٤ ٠ ١ ‫ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬b ١ ٠ l ‫ ﻋﻨﺪ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬2 b

‫ﻣـﺜـﺎل‬

ƛ ŁC

*U T)< $ 9 :

Ƌm."r h zÊ 2B 6s_Of VsW?gcb i V Ê Ń ł = C i ^ / 1 ń ńƋ` " 27V ?{ 2B 5s_Of ł ł- ɤ VsW?gcb do 2

Ƌ zÊ 2B 6s_Of ¹

‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﻋﻤﻞ ﺗﻌﺎﻭﻧﻰ« ﻣﻊ‬ .‫ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

O + ? <P, 1 ! " < @ ,</@ R ,E !"

C # +

‫اﻟﺤﻞ‬

Ł = Ŀ * Ň - Ł- * ŀ- = Ł- Ň

. ME 0 B9 N? < # 0 !) 0 +! C AH M

−

Ɯ = C j ^ / 1

Řĭĝǌ

Ņ Ł

Ɯ ɤ 1 VsW?gb r VsW?gb 2B e .+ 6 o2W:r ȿ e OF d61 ȿ b 61 ^ -

Ƌƛ].kN lf 2zW; VsW?f e.+ 6 Ɯ VsW?gb 2B e .+ 6 o2W:r ].kN lf b 61 ^ -

‫ﺍﻛﺘﺐ ﻫﺬه ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ ﻭﺩﻭﻥ ﻛﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ‬ .‫ﺫﺍﺕ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ‬

ƛ ]] Ɯ = ƛ =5 Ɯ ƛ ŀ

ŀC ŁC

Ɗi kB2V / r

ƛ ]] Ɯ ɤ ! Ů ƛ =5 Ɯ = M Ů ƛ ŀ

ŀC ŁC

Ɯ=C

Ɗ{ Ē ^ .& r zVsW?f b- Of 1s> wcN gp ^ l_gy lz b- Ogb i V

! ɤ M C

− ! "#

‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ‬١-C ‫ ﻓﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ‬M ‫ﺃﻳﻀﺎ‬ ً ‫ ﻣﻴﺰ‬،I = M C ‫ﺃﻧﻪ ﻻﻳﻤﻜﻦ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺃﻯ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ ﻫﻰ ﻣﻌﻜﻮﺱ‬ .‫ﺿﺮﺑﻰ ﻟﻸﺧﺮﻯ ﺑﻤﺠﺮﺩ ﺍﻟﻨﻈﺮ‬ ™«°SƒJ

Ɗ{ Ē ^ lz zG* lz b- Of lf e Kj ky.b i ^ / ] ɤ = Ł + 5 ŁC ] ɤ =ŀ + 5ŀC ŀ Ɗ zb b 1s?b wcN gp ^ l_gy qj V

Ƌ s b VsW?f {o ! Ůdzo #gb VsW?f {o M Ů đf Ogb VsW?f {o C z&

٥- ٢ l ٥ ٣ ٠ ١ l=b b l ٣ ١١ ٠ ٢ ١

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ آﻧﻴﺘﻴﻦ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﻌﻜﻮس اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ Solving two simultaneous equations by using Inverse Matrix

‫ﺷﺠﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﻜﺸﺎﻑ ﻣﺎﺫﺍ ﻳﺤﺪﺙ ﻋﻨﺪ ﺿﺮﺏ‬

‫ ﻣﺎﺫﺍ ﻳﺤﺪﺙ ﻋﻨﺪ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ‬،‫ﺍﺳﺄﻟﻬﻢ‬ ‫ﺟﻴﺪﺍ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ً ‫ ﺩﻋﻬﻢ ﻳﻨﻈﺮﻭﺍ‬،‫ﺑﺎﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ‬ ‫ ﺃﻛﺪ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺍﻷﻣﺎﻛﻦ ﺑﻴﻦ‬،‫ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫ ﺟـ ﻭﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ‬،‫ ﺩ ﻭﻟﻜﻦ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺃﻣﺎﻛﻦ ﺏ‬،C

١ ٠ b l ‫ ﻓﻰ‬٢ * ٢ ‫ﻣﺼﻔﻮﻑ‬ ٠ ١

−

‫ ‪ + , %) L y P f0%‬‬ ‫ ‪&' C =#G + ,-‬‬

‫ﺍﻟﺮﻏﻢ ﺃﻥ ﺏ‪ ،‬ﺟـ ﺗﺘﺒﺎﺩﻻﻥ ﺍﻹﺷﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ‬

‫‪Ŀ!ŀ ŁC - Ł ŀC = 9 2/‬‬ ‫‪Ŀ ! C -.'f ; 9 DE$‬‬ ‫ ‪Ɗ{ Ē ^ ! ɤ M C b- Ogb d& - #y l_ggb lf ; 7‬‬ ‫‪ŀ‬‬‫‪ŀ‬‬‫@" ‪< C 0 0 1 ! I‬‬ ‫‪ ! C ɤ ƛMCƜ C ƅ‬‬ ‫‪ŀ‬‬‫‪ŀ‬‬‫@‪< OI * A‬‬ ‫` ‪ ! C = M ƛC CƜ‬‬ ‫‪ŀ‬‬‫@ !‪<C " T 7‬‬ ‫‪ ! C ɤ ƄM IƄ ƅ‬‬

‫ ‬

‫‪ −‬‬

‫`‬

‫‪ŀ-‬‬

‫‪! C ɤ ƅ M‬‬

‫‪ƋŁ] Ů ŀ] Ů Ł Ů ŁC Ů ŀ Ů ŀC y-.Ob s b bĐ. = Ů 5 lzbsp#gb - #y kk_gy qj (C y 0p r‬‬

‫ ‪e . [ .%M‬‬ ‫ ﺍﺳﺄﻝ ﺍﻟﻄﻼﺏ‪ :‬ﻣﺎ ﺃﺳﺮﻉ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻟﺘﺤﺪﻳﺪ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ‪ ٢ * ٢‬ﻟﻬﺎ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺃﻡ ﻻ?‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪Ɗ VsW?gb e .+ 6 lz zb b lz zjĒ lz b- Ogb e Kj d& 4‬‬ ‫‪ł ɤ Ɔ = + 5 Ł‬‬ ‫‪ń ɤ = Ł + 5ł‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫ ‬

‫ _ ‪z& ! ɤ M C zVsW?gb b- Ogb‬‬

‫‪Ɯ=C‬‬

‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪ƛ ńł Ɯ ɤ ! Ů ƛ =5 Ɯ = M Ů ƛ Łŀ‬‬

‫| |‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ‬‬

‫ ‬

‫‪= 9 = C -.'f‬‬

‫ ‬

‫ ‪:;/ U %$Ƅ ! C = M ] so d'b is_yr z¹ 2B 6s_Of‬‬ ‫‪C VsW?gcb is_zV‬‬ ‫‪¹‬‬

‫= ‪Ŀ ! ŀ- = Ń - ł‬‬

‫‪ŀ-‬‬

‫ ‬

‫ ‪ŀ ɤ = Ů ŀ ɤ 5 i t‬‬

‫ ‬

‫‪Ɲƛŀ ŮŀƜƞ d'b Nsg#f‬‬

‫ ‬

‫‪ŀ-‬‬

‫‪ƛ ł-Ł ŀ-Ł Ɯ = ƛ Ł-ł Ł-ŀ Ɯ ŀ-ŀ = ƛ Ł-ł Ł-ŀ Ɯ 9ŀ = C‬‬ ‫` ‪ƛ ŀŀ Ɯ = ƛ ńł Ɯ ƛ ł-Ł ŀ-Ł Ɯ = ƛ =5 Ɯ = M‬‬

‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺃﻥ ﻳﻘﺘﺮﺣﻮﺍ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺗﺴﺎﻋﺪﻫﻢ ﻋﻠﻰ ﺫﻛﺮ‬ ‫ﻫﺬه ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ‪.‬‬

‫ ‪ń ƛŀƜŁ + ƛŀƜ łƅ: I‬‬ ‫‪ƛ✓Ɯƅƅń ɤ ƄƅńƄƅƅƅ‬‬ ‫ ‬ ‫‪ł ŀ + ƛŀƜ Ł ƅƅ‬‬ ‫ ‬ ‫‪ƛ✓Ɯƅƅł ɤ ƄƅłƄƅƅƅ‬‬ ‫ ‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ‪ C‬ﺩ ‪ -‬ﺏ ﺟـ‪ ،‬ﻭﻭﺿﺢ ﺃﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ C‬ﺩ ‪ -‬ﺏ ﺟـ = ‪٠‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ C‬ﺩ = ﺏ ﺟـ‪ ،‬ﺷﺠﻌﻬﻢ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻖ ﻛﺘﺎﺑﺔ‬ ‫ﻣﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﺗﻔﻰ ﺑﻬﺬﺍ ﺍﻟﻮﺻﻒ‪.‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪Ƌ VsW?gb e .+ 6 zb b zG+b Đ- Ogb lf e Kj d^ d& 5‬‬ ‫أ ‪Ł ɤ = ņ + 5 ł‬‬ ‫‪ ŀ ɤ =ń + 5 Ł‬‬

‫‪QDAR S H TSU 1 , $ 9 :‬‬

‫‪ƛ` " '> lf \[' Ɯ‬‬

‫‪٠ ٤٥‬‬ ‫‪٠ ٤ ١ ١‬‬ ‫‪٢ ٣- p = b ٢ ٣- l ٥ = -C ` ٠ ! ٥ = 9 1‬‬ ‫‪٥ ٥‬‬

‫ب ‪Ŀ = ń - = ł + 5‬‬ ‫‪ƛ` " '> lf \[' Ɯ‬‬ ‫‪ = ń - Ň ɤ 5 Ł‬‬

‫ ‪ − M‬‬

‫‪$$‬‬

‫‪f‬‬

‫‪ 2‬ﻻ؛ ‪ = 9‬ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺻﻔﺮﺍ‬ ‫‪ 3‬ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺿﺮﺑ ًّﻴﺎ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ً = 9‬‬ ‫ﺱ‪٩‬‬

‫ﺻﻔﺮﺍ‬ ‫` ‪ ٤‬ﺱ = ﺻﻔﺮ ` ﺱ‪ً = ٣٦ - ٢‬‬ ‫` ﺱ = !‪٦‬‬ ‫‪=9 4‬ﺱﺹ!‪٠‬‬ ‫ﺹ ﺱﺹ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬‫ﻓﻴﻜﻮﻥ ﺏ = ﺱ ﺹ ‪ ٠ l‬ﺱ ‪٠ = b‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪l‬ﺱ‬

‫‪١‬‬

‫‪١‬‬ ‫ﺹ‬

‫‪b‬‬

‫‪•É°ûf‬‬

‫ﺃﻛﺪ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻥ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻟﻴﺲ ﺇﺑﺪﺍﻟ ًّﻴﺎ ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﻏﻢ‬ ‫ﻛﻼ ﻣﻨﻬﺎ ﻣﻌﻜﻮﺱ‬ ‫ﻣﻦ ﺫﻟﻚ ﻓﺈﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻭﺟﺪ ﻫﻨﺎﻙ ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﺎﻥ‪ًّ ،‬‬ ‫ﺍﻷﺧﺮﻯ‪ ،‬ﻓﺈﻧﻪ ﻟﻴﺲ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻬﻢ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﺃﺛﻨﺎﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ‬ ‫ﻣﻌﻜﻮﺳﺎ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ‪ ،‬ﻭﺿﺢ ﺃﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ‬ ‫ً‬ ‫ﺿﺮﻳ ًّﺒﺎ ﻓﻠﻦ ﻳﺘﻤﻜﻦ ﺃﺣﺪ ﻣﻦ ﻓﻚ ﺷﻔﺮﺓ ﺍﻟﺮﺳﺎﻟﺔ‪ ،‬ﺣﺘﻰ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﺃﻣﻜﻦ ﺗﺸﻔﻴﺮﻫﺎ‪ ،‬ﻭﻗﺪ ﻳﻮﺍﺟﻪ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﻳﺴﺘﺨﺪﻣﻮﻥ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﺘﺒﺎﺩﻟﻰ ﺻﻌﻮﺑﺔ ﻓﻰ ﻓﻬﻢ ﻫﺬﺍ؛ ﻟﺬﻟﻚ ﺍﻗﺘﺮﺡ ﻋﻠﻴﻬﻢ‬ ‫ﺃﻥ ﻳﺤﺎﻭﻟﻮﺍ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﻣﻌﻜﻮﺱ‪ ،‬ﺣﺘﻰ ﻳﺮﻭﺍ‬ ‫ﺑﺄﻧﻔﺴﻬﻢ ﻣﺎ ﻳﺤﺪﺙ‪.‬‬

‫ ‪L L A= , − O M F 2‬‬

‫` ‬

U r8 $ 9 : ‫ﻣـﺜـﺎل‬

Ů _cb wbr.b 2o [b A2Of wb hy2fr t.o o/ ļģņǔǤĝ ƞƄƯǩ 5 k¹ g OV-r z+y1 ^ Ńr zgcN ^ ń _gb t.& lf t.o 2 : V ^ ŀĿ Ů zgcN ^ ń _gb 8Wj lf hy2f 2 : r Ů pzk" ŀŁĿ Tc f pb ¹ 8Wj pb zgcOb _b j ^ / V Ů pzk" ŀńĿ Tc f pb ¹ kg OV-r Ů z+y1 ¹ - #y {V VsW?gb e.+ 6 Ůlg b 8Wj pb z+y1 b _b `b0^r Ůlg b Ƌw+y1 b _b r wgcOb _b lf d^ 2O6

١ ١٦ ١٢ ١ l ‫ ﺃﻡ‬b l ‫ ﻃﻊ‬b l ‫ ﺳﻞ‬b l ‫ ﺃﺭ‬1 ٢٤ ١٨ ٢٣ ١٠

:E$J $ H b

‫اﻟﺤﻞ‬

ŀŁĿ ŀńĿ

Ɗis_zV w+y1 b _b lg = ŮwgcOb _b lg 5 i A2Wj ŀńĿ ɤ = ŀĿ + 5 ń Ů ŀŁĿ ɤƆƆƆƆ = Ń + 5 ń 5 Ń ń = = Ƅ Ɗis_zV ! ɤ M C Ɗ 1s?b wcN zVsW?gb b- Ogb is_j ŀĿ ń

Ɯ ƛ Ɯƛ

ƛ Ɯ Łŀń ŀ Ņ

ŀ ł ŀŅ

Ŀ ! łĿ = ŁĿ - ńĿ = =

ƛ Ń-ń

ŀĿ ń-

| | Ń ń ŀĿ ń

= 9 z& 9 = C -.'f ."sj

ŀ-

ƛ Ɯ Ņ

ŀŁĿ ƛńƜŃ + ƛŁĿƜń : I ƛ✓ƜƅŀŁĿ ɤƄƅŀŁĿƄƅƅ ŀńĿ ƛńƜŀĿ + ƛŁĿƜń ƅ ƛ✓ƜƅŀńĿ ɤƄƅŀńĿƄƅƅ

Ɯ łĿŀ = C z& C w 2B 5s_Of pb C VsW?gb ` Ł- ŀ ŀń ł = M is_zV ƛ ŁĿń Ɯ = ƛ ŀŁĿ ŀ ŀŀńĿ Ɯ ŀ-

٢ ٦ l = A + , % S =T2 ١ ٢

ń ɤ = Ů ŁĿ ɤ 5 Ɗi t pzk" ŁĿ wgcOb _b lg is_zV ¹ Ƌ pzk" ń w+y1 b _b lg r

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

p [y.> 2 : r Ů pzk" ŀŃĿ Tc g Ů. 4b lf h#^ Ł Ů\zZ.b lf h#^ Ň df 2 : ǓǣǭņƑǨǤģś ƤśƄǤĝ 6 ¹ {V VsW?gb e.+ 6 Ů pzk" ŀņĿ Tc g Ů. 4b lf f 2" scz^ ł Ů\zZ.b lf f 2" scz^ Ń hy1 ¹ ƋlzNskb đ^ lf .& sb e 2" scz_b 2O6 - #y

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ Ń Ł ƋC VsW?gb ."r V Iɤ C Ů b ŀ ł l ɤ i ^ / 1 Ł- Ł Ł- Ń VsW?gb ."r V b ņ Ŀ l ɤ C Ů b ł ŀ- l ɤƆƆƆƆ C i ^ / 2

٥٤ ١٣٢ ١١٨ ٢٦ lb lb lb l ٢٦ ٥٠ ٤٧ ١٢

.‫ ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‬2 ‫ ﺍﻧﺘﻘﻞ ﺇﻟﻰ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺃﻧﻴﺘﻴﻦ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻌﻜﻮﺱ‬ ‫ ﻭﻧﺎﻗﺶ ﺧﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺤﻞ ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﻤﺎ ﻭﺭﺩ‬،‫ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫ ﺛﻢ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ‬،‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬٣٣) ،(٣٢) ‫ﺻﻔﺤﺘﻰ‬ ،‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬٣٤) ‫ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬ ‫ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺇﻋﻄﺎﺀ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻣﻦ ﻋﻨﺪﻫﻢ ﻟﻤﻮﺍﻗﻒ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ‬ ‫ﺗﺘﻀﻤﻦ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺧﻄﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻟﻴﻦ ﻳﻤﻜﻦ ﺣﻠﻬﺎ‬ .‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬

Ń gpkz Y2Wb r ŮŀĿ gpNsg#f ly-.N ."r Ů VsW?gb e .+ 6 ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ 3

ôªà°ùªdG º««≤àdG

− ! "#

QDDR S H TSU 1 , $ 9 : {(١- ،٣)} = ‫ أ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ‬5 {(٢ ،١-)} = ‫ب ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ‬

٢- ٢

،٠ ! ٤ =9 ، b ٣ ١- l = C 2

١ ٢ ١ ٢

٣ ٤ ١ ٤

٢ ٣

p = b ٢ ١ l ١٤ = ١-C

٤ b ٢- l ١-C = ‫ ﺏ‬C ١-C ٧ ٠ ٤ b ٢- l ١-C = ‫ ﺏ‬I ٧ ٠ b

٢- ٤ l ٢ ٣ l=b f ٧ ٠ ٣ ١

١ ٢ ١ ٢

٣ ٤ ١ ٤

QDGR S H TSU 1 , $ 9 : ‫ ﻭﺛﻤﻦ ﻛﻴﻠﻮ ﺟﺮﺍﻡ‬،‫ ﺟﻨﻴ ًﻬﺎ‬٥٠ ‫ ﺛﻤﻦ ﻛﻴﻠﻮ ﺟﺮﺍﻡ ﺍﻟﺰﺑﺪ‬6 .‫ ﺟﻨﻴﻬﺎﺕ‬٥ ‫ﺍﻟﺪﻗﻴﻖ‬

º««≤àdGh ÖjQóàdG _)V6 d& o SU $ 9 : :‫ ﻓﻴﻜﻮﻥ‬١-‫ ﻫﻲ ﺏ‬C ‫ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬1 ٠ ! ١٠ - = ١٢ - ٢ = 9

p=‫ﺏ‬

٣ ،٧ :‫ ﺍﻟﻌﺪﺩﺍﻥ ﻫﻤﺎ‬3

٢ ٥ ١٥

١ ١٠ - ٤- ١ ١ = ١-‫ﺕ‬ ٣ p b ٣- l ١٠٢ ١٠

º««≤àdG

‫ ﺣﺪﺩ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻟﻬﺎ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺿﺮﺑﻰ ﺃﻡ‬1 :‫ ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻬﺎ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺃﻭﺟﺪه‬،‫ﻻ‬ b

٣ ١ ٣ ١ l = ‫ ﺏ‬، b l=C ٦ ٢ ٤ ٢-

−

+ , %) L y P f0% !" # $%

٢ b ١- l = ‫ ﺏ‬، b ٦ ٥ l =C ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬2 ١ ١ ٢ ٣

e.+ 6 Ů(ŀ Ůł) Ů(ń Ůŀ) lz G[kb 2gy ¶& = 5 C + = q b- Of t0b hz[ 7gb H+b :ǶƒŻŏǭǤģś ƤśƄǤĝ 7 . ¶& ŮC lz b gzZ - #yĖ VsW?gb űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

‫ ﺏ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻗﻄﺮﻳﺔ‬C ١-‫ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺏ‬

b١-C - I (١ - ‫ﺱ‬l ‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻞ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬3

:‫ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺿﺮﺑ ًﻴﺎ ﺣﻴﺚ‬

pzk" ńŅ Tc g y4b lf 2 b ń r ly4k b lf 2 b ¹ ¹ ŁŃ y1 + " 1- \ 6 t2 ;y :ǵģŐŨǤģś ƤśƄǤĝ 8 Tc g y4b lf 2 b ŀĿ Ůly4k b lf 2 b ¹ ŀŇ t2* y1 + " 1- \ 6 t2 ;y gkz Ůq " 1- lysg b gcN / Ů y4b 2 br ly4k b 2 b lf d^ lg - #y wV VsW?gb e.+ 6 Ůq " 1- lysg b pzk" Ņņ ¹ . y4b r ly4k b lf zNskb 8Wj i f.+ 7y gpj űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

٠ ١ ٠ ٢ b l = I ،b l =C ١ ٠ ١ ٠

- #yĖ VsW?gb e.+ 6 Ů(Ň ŮŃ) Ů (Ŀ ŮŁ) lz G[kb 5 + Ł5C = = wk'kgb 2gy :ǶƒŻŏǭǤģś ƤśƄǤĝ 9 . ŮC lz b űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

ø«bƒØàªdG ÜÓ£∏d »FGôKEG •É°ûf

e .+ 6 .ŀł so 2S>Ĕ -.Ob XOBr 2 ^Ĕ -.Ob Msg#fr Ł so ly-.N lz Y2Wb X?j :ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ 10 .ly-.Ob ."r VsW?gb űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺗﺸﻔﻴﺮ ﺍﻻﺳﻢ ﺍﻷﻭﻝ ﻟﻬﻢ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ‬ ‫ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺤﺮﻭﻑ ﺍﻟﻬﺠﺎﺋﻴﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻮﺩ ﻋﻠﻰ ﺻﻔﺤﺎﺕ‬ ‫ ﺇﺫﺍ ﻟﻢ ﻳﻜﻦ‬. ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻭﻛﺘﺎﺑﺔ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﺸﻔﺮﺓ ﺭ‬ ‫ ﺍﻃﻠﺐ‬،‫ﻣﻤﺜﻼ ﺑﻌﺪﺩ ﺯﻭﺟﻰ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﺮﻭﻑ‬ ‫ﺍﺳﻢ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ً .‫ﺇﻟﻴﻪ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺤﺮﻑ ﻉ ﻛﺤﺮﻑ ﻣﻜﻤﻞ ﻟﻼﺳﻢ‬

‫ﻧﺸﺎط‬

. VsW?gb e .+ 6 pc& h Ů zG+b Đ- Ogb lf e Kj lys_ wb pc& ! 'y ].kN lf b 7f ^ űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

á£°ûfC’G á°SGôc á£°ûfCG º««≤J

(9) áëØ°U

U r8 U ÖdÉ£dG AGOCG

ôjó≤àdG

')o ,<= ( @ M x % O M O2f | t ()& B + , % S =T2 o o1 $ AB j x % O M O2f M)0 k# M <=* % ')o , <= ( @ M S =T2 o o1 | j B + , % ')o , x # M)0% <=* % O M O2f + , % S =T2 B o o1 | j

2 O M o M)0% k# < <=* % B + , % S =T2 ') x #

+[ &

$ C

$ ? $ @

L p u 2o , x % 2 O M h M2 Z = *{ B ( 2 <=* % $ @ d& T

L L A= , − O M F 2

− M

IóMƒdG

ĎòĀĿí

á«fÉãdG IóMƒdGG

ôŔĤĈĿí ôĀŃĎòĿí

-INEAR 1ROGRAMING

‫ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ‬

‫أﻫﺪاف اﻟﻮﺣﺪة‬

˄o }gR 5Ǜ 1 ^ f Kf oyc o T^y lf rk 2*yf vp }Z

ph>nhA ph nxÚ ÓĆcZY A R ph] UÐ p Y} UÐ ê{ x h e> Y {AÐí é g Y R UíúÐ p@Ú{UÐ Y Ónfxn Y x

nhă inh= UÐ

R ph>nhA ph nxÚ pdcZY â e= pÉnB ÓnY d_Y \x Ónfxn Y ÒÚ É R ngU Óninh UÐ @} xí ºoHnfY éí{@

{x{ >í hU g Y R UíúÐ p@Ú{UÐ Y Ónfxn Y x

nhă inh= UÐ pb]fY Ø{ x ? ºph]B

nhă inh= UÐ pb]fY

bfUÐ {x{ > Y ºÓnh?Ð{AüÐ pUø{= æ{gUÐ pUÐØ h_x pUÐ{U YúÐ UÐ Ên]LÎí º UÐ pL e Y UÎ e f> UÐ

Linear programing

nhă inh= ph] UÐ Ónfxn eUÐ Y ên^i x

ph] UÐ Ónfxn eUÐ pe^iÌ dL ph>nhA ýn Y x

æ{gUÐ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴﺔ‬ Feasible region Graph Linear programing Constrains Optimize

UÐ pb]fY Ñ inh= HÚ Ñ ph]B p Y}= Ñ Ø hbUÐ Ñ YúÐ UÐ Ñ

Linear Inequality Boundary line Dashed boundary line Solid boundary line Linear Inequality in two unknowns System of linear inequalities

ph]B pfxn Y Ñ î{A hb Y Ñ bfY î{A hb Y Ñ [ Y î{A hb Y Ñ hU g Y R ph]B pfxn Y Ñ ph] UÐ Ónfxn eUÐ ên^i Ñ

‫ﻣﻘﺪﻣﺔ اﻟﻮﺣﺪة‬ M !"! M #$ # % & '( )!* '( ' $ +,- '( M . / 0 , !2!23 3!34 3 56 , !7 8 !9 : ! !& ! % '( !M; : < 3 !M; % ) 56 , !7 8 !9 !M; =8 6>6 ?>@ A B , # !C ! 2! MC ?>@ D $ :FCG & '- H !M; :? $ H !7 8 !9 !M; =8 :F8 D H D $ 3 !M; % ) :I D

‫أﻫﺪاف اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬا اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﻳﻜﻮن اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎد ًرا‬ :‫ﻋﻠﻰ أن‬ ‫ ﻳﺤﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻝ ﻭﺍﺣﺪ ﻣﻊ ﺗﻤﺜﻴﻞ‬ .‫ﺍﻟﺤﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ‬ ‫ ﻳﺤﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻟﻴﻦ ﻭﺗﺤﺪﻳﺪ‬ .‫ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ‬ .‫ ﻳﺤﻞ ﻧﻈﺎ ﹰﻣﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ‬ .‫ ﻳﺤﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﻧﻈﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ‬ .‫ ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﻓﻰ ﺣﻞ ﻣﺸﻜﻼﺕ ﺭﻳﺎﺿﻴﺔ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ‬ ‫ ﻳﻀﻊ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﺧﺎﺻﺔ ﺑﻤﻮﺿﻮﻉ ﻣﺸﻜﻠﺔ ﺭﻳﺎﺿﻴﺔ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﻓﻰ‬ ‫ ﻭﻳﺘﺮﺟﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻟﻬﺎ ﻓﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ‬،‫ﺟﺪﻭﻝ ﻣﻨﺎﺳﺐ‬ .‫ ﺛﻢ ﻳﺤﺪﺩ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ‬،‫ﺧﻄﻴﺔ‬ ‫ ﻣﻊ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﺘﻰ‬،‫ ﻳﻌﻴﻦ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻬﺪﻑ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬ .‫ ﻭﺇﻋﻄﺎﺀ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻷﻣﺜﻞ ﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻬﺪﻑ‬،‫ﺗﻨﺘﻤﻰ ﺇﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ‬

‫دروس اﻟﻮﺣﺪة‬

ph] UÐ Ónfxn eUÐ ¼ - ½ ÜÚ{UÐ Ónfxn eUÐ Y pe^iÌ A ½ - ½ ÜÚ{UÐ

nhă inh= ph] UÐ UÐí ph] UÐ p Y} UÐ ¾ - ½ ÜÚ{UÐ

YúÐ ‫دروس اﻟﻮﺣﺪة‬

‫زﻣﻦ ﺗﺪرﻳﺲ اﻟﻮﺣﺪة‬ .‫ ﺳﺎﻋﺎﺕ‬٦

¼» * ¼» Ónh?Ð{AÎ pc I ÞnÉÚ ëÐ UÌ êĆSÌ Ón_=}Y çÚí phií} cUüÐ SÐ eUÐ _= www.phschool.com Y

‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﺘﻲ ﺗﻨﻤﻴﻬﺎ اﻟﻮﺣﺪة‬

‫ﻣﻘﺪﻣﺔ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﻣﺨﻄﻂ ﺗﻨﻈﻴﻤﻰ ﻟﻠﻮﺣﺪة‬

− ':!:3 )!. − !J ) '( '# 9K )!. − L )!. H >.M

‫اﻟﻮﺳﺎﺋﻞ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ N − ! :# N − : )!O I − ! !:" < / − Q R >L − !( O − ' S ( T)# U − !8 !9

‫اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫ﺣﻞ ﻧﻈﺎم‬ ‫اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎت‬ ‫اﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧ ّﻴًﺎ‬

‫ﺣﻞ ﻧﻈﺎم ﻣﻦ أﻛﺜﺮ‬ ‫ﻣﻦ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺘﻴﻦ‬ ‫ﺧﻄﻴﺘﻴﻦ‬

‫ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ ا وﻟﻰ ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺠﻬﻮﻟﻴﻦ‬

‫ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ ا وﻟﻰ ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺠﻬﻮل واﺣﺪ‬

‫ﺣﻞ ﻧﻈﺎم ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺘﻴﻦ‬ ‫ﺧﻄﻴﺘﻴﻦ ﺑﻴﺎﻧ ّﻴًﺎ‬

‫اﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺘﺮﺑﻴﺔ‬

‫اﻟﺮﺑﻂ‬

‫اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ‬

‫ﺑﺎﻟﻬﻨﺪﺳﺔ‬ ‫اﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺤﻴﺎة‬

‫اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ و اﻟﺤﻞ ا ﻣﺜﻞ‬

H "9) S ‫اﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺰراﻋﺔ‬

‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ - !I V 2 )M - ' -, W4" - ML - )O T)" H >.M - '8 " 5:" ‫ﻃﺮق اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ X 6 F( L !# % ) ) )3 ! M :Y $ '( D C , .9 Q ; 5!!2 5: ) 2 MM8$ "9 '( ' & ) @V < @ ) !# % W! . H< 8

‫اﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻤﺴﺘﻬﻠﻚ‬

‫اﻟﺮﺑﻂ ﺑﺈدارة ا ﻋﻤﺎل‬ ‫اﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺼﻨﺎﻋﺔ‬

Øn xÎ UÎ nY pdcZY íÌ pUj Y hd > îØkx nY{fL \ > ëÌ o x º ]B }h _ U î}`É íÌ e^L pehS ne=Ú ilR ph] UÐ Ónfxn eUÐ Y pL e eU >Ð}h` Y p Y} UÐ Ónchfc> êÐ{ Hn= UÐ dL é [ UÐ nffcex

ph] UÐ ph] UÐ p Y} UÐ ÓĆcZY Ó}gK {bR ºnhă xÚn>í ØÐ}RÌ Ón >}e= d_ > ÓĆcZY U p@n dU p h fT Yí ºphin UÐ pheUn_UÐ Ñ} UÐ Ênf?Ì p d eUÐ ÓÐ bUÐ ĢÚ č ÓĆcZeUÐ ì|w Y A R Ð deL x|UÐ én YÌ pYnL p`h[U É > î|UÐ George Dantzig sx~ iÐØ ngd U pbx}J ß}L Y ph] UÐ p Y} UÐ ÓĆcZeU ph] UÐ p Y} dUí ،Simplex method cd e UÐ e > ÒÚn UÐí pLnf[UÐ Y Óøn eUÐ T R ng>nbh ]> ðĆ eR ºnw}hQí ºp [UÐí ºpLÐÚ~UÐí ºqS UÐ ÒÚÐØÎí p Y} UÐ êÐ{ HÐ éneLúÐ ÒÚÐØÎ R Ön fUÐ od] x hb > íÌ ceY y=Ú [SÌ hb U UÙí ºph] UÐ d_ i æ H Ò{A UÐ ì|w Rí ºÐ|cwí pfceY padc> SÌ hU g Y e\ > UÐ ph] UÐ p Y} UÐ ýn Y A ç}J

pad Y ph>nhA SÐ Y R ng>nbh ]>í º bR

‫‪1-2‬‬ ‫اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺨﻄﻴﺔ‬

‫اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺨﻄﻴﺔ‬

‫‪1-2‬‬

‫‪Linear Inequalities‬‬

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫‪Linear Inequalities‬‬

‫ﻋﻤﻞ ﺗﻌﺎوﻧﻰ‬

‫ ‪c e $‬‬ ‫‪H !7 8 !9 f !Dg , ? b‬‬ ‫ ‪e $‬‬ ‫‪ f 2M h ,d b c‬‬ ‫‪H !7 8 !9‬‬

‫‪ & 7‬‬ ‫ ‪ iG ,H ,< ,>j L># M‬‬ ‫ ‪'( ? % '( !M; l‬‬ ‫ ‪k ,‬‬ ‫‪'( !M; 0 ,- '( , m ,N ,U‬‬ ‫ ‪ !M; 56 ,o ':# " ) & ? %‬‬ ‫(' ‪H !7 8 !9 :!D C ! !& ! %‬‬

‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴ ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّﺔ‬ ‫ @‪ !M‬‬

‫‪Linear inequality‬‬

‫ ‪HZ 5!2 /‬‬

‫‪Boundary line‬‬

‫ ‪HaM2 Z 5!2 /‬‬ ‫‪Dashed boundary line‬‬

‫ ‪H 4 Z 5!2 /‬‬ ‫‪Solid boundary line‬‬

‫ @‪ ? b c !M‬‬ ‫‪Linear inequality in one unknown‬‬

‫ @‪d b c !M‬‬ ‫‪Linear inequality in two unknowns‬‬

‫) ‪*8‬‬ ‫‪: ':# L‬‬ ‫(' ‪k M . aL ,- 8‬‬ ‫‪H !7 8 !9 f D , ? b c e $ p ‬‬

‫ ‪[_ * [_ !6 ` . O‬‬ ‫ ‪H "9) S‬‬

‫‪H !7 8 !9 f 2M h a d b c e $ p ‬‬ ‫‪Hd b c !M@ MC !C ! q / p ‬‬

‫ ‪"? G[kb fȿ Ob Ob `b dzf3 Pf ] 2 :Đ‬‬

‫ ‪:‬‬ ‫ '‪Ƌ c 6Ĕ lf l_gf -.N dZ %2G w .&Ė ts 7gb wcN G[j PBsf .y.‬‬ ‫‪? ! " #‬‬ ‫½ ‪ wcN G[j ƛ Ɯ Nđb 1 +y‬‬ ‫ ‪ pgcOyĐr Ůw .&Ė ts 7gb‬‬ ‫ ‪ Ůƛ y26 G[jƜ 2*Ē Nđb‬‬ ‫ ‪' ( #) / +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫&( ?‬‫‪ -¹ .N pzz .& lf d^ is_yr‬‬ ‫) ! ‪, .‬‬ ‫>'‪ń wb ń- lf 'z‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪4 − , 6‬‬ ‫½ ‪ dg; c 6 ƛ Ɯ Nđb a 7y‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫ ‪+0) * +‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫ ‪ Ůȿlf 2 ^ ȿ r ȿlf dZ ȿ gc_b‬‬ ‫ ' ?‬ ‫‪ a 6 d^ lN ƛ Ɯ Nđb z#yr‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪ƋȿĐȿ r ȿhOjȿ ¶ H[V‬‬ ‫½ ‪Ƌ y27b G[kb ƛ Ɯ Nđb wg7y½ gkz &r2Ggb c 6Ĕ -.N ƛ Ɯ Nđb d#7y‬‬ ‫½ ‪Ƌ Ocb lf .& r bs" cg_ b go1 r- i Nđb a- y‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫ ‪' ( #) * +‬‬

‫ ‬

‫&( ?‬‫) ! ‪, .‬‬

‫‪?$%&! " #‬‬ ‫ ‪ Ů bs#b 3sWy t0b so c 6Ĕ lf dZ -¹ .N q&2G G[kb -.'y t0b Nđb‬‬ ‫‪Ƌ2 Wb Nđb so Ů Đs" đ ar 3sWy t0b Nđb r‬‬

‫ا دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬

‫ ‪HQ R >L‬‬

‫ ‪ * :‬‬

‫ ‬

‫^‪? y27b G[kb PBsf .y.' b q&2Gb ! ' Đ 6 h‬‬

‫ ‪ .y.' b Ů p&2Gb ! ' w b c 6Ĕ -.N gV Ů 2z ^ "1. ¹JsK'f k^ /‬‬ ‫ ‪Ƌ c fĔ 'Bsf ` " 27V‬‬ ‫‪? y27b G[kb PBsf‬‬ ‫‪¹‬‬

‫ ‬

‫^‪? y27b G[kb PBsf .y.' wV ky gb ].N 7 Xz‬‬

‫ ‪Ƌ Ocb m0o wV 3sW b z#z 2 6 %2 Z‬‬

‫ &( )‪ 9 9‬‬

‫]^‬

‫ ) ‪Z 8 D ? $ W4 − !J‬‬

‫ @‪Z 5!2 / - aM2 Z 5!2 / - Z 5!2 / - !M‬‬ ‫ ‪H ! % '( !M@ - ? % '( !M@ - 4‬‬

‫ﺇﻟﻲ ﺇﺛﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﻭﻗﺪﺡ ﺍﻟﺬﻫﻦ ﻭﺍﺑﺘﻜﺎﺭ ﺍﻷﻓﻜﺎﺭ ﻭﺗﺒﻨﻴﻬﺎ‬ ‫ ;‪ ; ; %‬‬ ‫ﻭﺍﻗﺘﺮﺍﺡ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩﺓ‪ ،‬ﻭﻧﺸﻴﺮ ﻫﻨﺎ ﺇﻟﻰ ﻗﻮﺍﻋﺪ ﺍﻟﻌﺼﻒ‬ ‫ ‪ - ' S ( T)# U - : )!O I - ! !:" < /‬ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ ﻭﻫﻰ‪:‬‬ ‫‪HQ R >L - ! :# N - !( O‬‬ ‫‪ q‬ﻳﻨﺒﻐﻰ ﻗﺒﻮﻝ ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻷﻓﻜﺎﺭ ﻣﻊ ﻋﺪﻡ ﺗﻮﺟﻴﻪ ﺃﻯ ﻧﻘﺪ ﺇﺯﺍﺀ‬ ‫ﺃﻯ ﺍﻗﺘﺮﺍﺡ‪.‬‬ ‫‪ ( <; =>8 @(I‬‬ ‫ ")‪- >.M - ' -, W4" - ML - )O T‬‬

‫‪q‬‬

‫ ‪=>8 B‬‬

‫ﻳﻨﺒﻐﻰ ﺗﺸﺠﻴﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻟﻜﻰ ﻳﺒﻨﻮﺍ ﻋﻠﻰ ﺁﺭﺍﺀ ﺯﻣﻼﺀﻫﻢ ﻭﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻻ ﻳﺘﻢ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﺳﺘﺨﺮﺍﺝ ﺃﻳﺔ ﻓﻜﺮه ﺗﺎﺑﻌﺔ ﻟﺸﺨﺺ ﺑﻌﻴﻨﻪ‪.‬‬

‫‪q‬‬

‫ ‪1 8 C‬‬

‫ﺍﺳﺘﺨﺮﺍﺝ ﺍﻷﻓﻜﺎﺭ ﻭﺍﻻﺭﺍﺀ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺼﺎﻣﺘﻴﻦ ﻭﻣﻦ ﺛﻢ‬ ‫ﺗﻌﺰﻳﺰﺍ ﺇﻳﺠﺎﺑ ًّﻴﺎ‪.‬‬ ‫ﺇﻋﻄﺎﺀﻫﻢ‬ ‫ً‬

‫‪q‬‬

‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ ‪ ٣٨‬ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺤﺔ ‪٤٢‬‬ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻷﻧﺸﻄﺔ ﻭﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ ‪ ١٦‬ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺤﺔ ‪١٧‬‬ ‫ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ(‪.‬‬

‫ﻧﻮﻋﻴﺔ ﺍﻷﻓﻜﺎﺭ ﺃﻗﻞ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻣﻦ ﻛﻤﻴﺘﻬﺎ‪ ،‬ﻏﻴﺮ ﺃﻥ ﺫﻟﻚ ﻻ‬ ‫ﻳﻌﻔﻲ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﻣﺤﺎﻭﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺑﺈﺑﺪﺍﻋﻴﺔ‪.‬‬

‫‪≈fhÉ©J πªY‬‬

‫ "‪H'8 " 5:‬‬ ‫ ‪H' 4‬‬

‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺗﻨﻔﻴﺬ ﺍﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻﻔﺤﺔ‬ ‫‪¢SQódG äGAGôLEG‬‬ ‫)‪ (٣٨‬ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ ﻭﻧﻼﺣﻆ ﺃﻧﻪ‬ ‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﻋﻤﻞ ﻋﺼﻒ ﺫﻫﻨﻰ ﻟﻤﻮﺍﻗﻒ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺍﻷﻭﻝ‪ ،‬ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻥ ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻘﻮﻡ‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻨﻬﺎ ﻓﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﺑﺘﺨﻤﻴﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻟﺴﺮﻳﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻲ ﻟﺘﺴﺠﻴﻞ ﻛﻞ‬ ‫ﻭﻧﺸﻴﺮ ﻫﻨﺎ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻲ ﻫﻮ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﻳﻬﺪﻑ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﺘﻢ ﺣﺬﻓﻬﺎ ﻓﻰ ﻛﻞ ﺗﺨﻤﻴﻦ‪.‬‬

‫]\[‬

‫ ) ‪Z 8 D ? $ W4 − !J‬‬

‫ ;‪ !M‬‬ ‫ ;‪ !M‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺪرﺟﺔ ا وﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮل واﺣﺪ‬ ‫‪Solving linear inequalitues in one unknown‬‬

‫‪ Nsg#f wcN XZs y ky gb d& i ]2^0jr Ů.& r 2zS f wV wbrĔ "1.b lf ky gb d& 61- i \ 6‬‬ ‫ ‪Ɗ zb b ly b ZđN = s* wcN XZs y g^ ŮDysO b‬‬ ‫‪s £D McdhG* gEÊ< 8*¢1‬‬ ‫‪Ŀ < ¶" d_b Ƅ ¶" + G ¶" + C BDE‬‬ ‫‪ G C B # JK ½ :BDE F ǽ GH ,I ,C B # JK‬‬ ‫ ‪Ŀ < ¶" d_bƅ ¶" G ¶" C ƅƅƅƅƅƅ‬‬ ‫ﻻﺣﻆ‬ ‫‪( T RE U> ; V2 # JK‬‬ ‫ ‪Ŀ > ¶" d_bƅ ¶" H ¶" C ƅƅƅƅƅƅ‬‬ ‫ ‪+ W;! ' ;> X2DE‬‬ ‫ \;‪F7 R Z [ Z%‬‬ ‫ ‪V98 ;# ] J Z‬‬ ‫ <‪L ,‬‬

‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ«‬ ‫ﺻﻔﺤﺔ )‪ (٣٩‬ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‪.‬‬ ‫‪4 O6 _&- +_! B) ` Q HK‬‬ ‫‪ 1‬أ ‪٣‬ﺱ ‪٢ G ٥ +‬‬ ‫‪4' E(M ' ^ F(MQ6‬‬ ‫‪٣‬ﺱ ‪٥ - ٢ G ٥ - ٥ +‬‬ ‫ ‬ ‫‪4 RE ' E(M I(SQ6‬‬ ‫‪٣‬ﺱ ‪٣ - G‬‬ ‫ﺱ ‪ ١- G‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = ]‪]∞ ،١-‬‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪Ɗ- .NĔ H* wcN d'b d f h % ǽ 5 z& lz zb b lz ky gb lf d^ d& Nsg#f ."r 1‬‬ ‫ب ‪5 + ŀŃ H Ł + 5 ł > 5 + Ņ‬‬ ‫ ‬ ‫أ ‪5 Ņ < ň - 5ł‬‬ ‫ ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪L' E(M ' + 4*N − O6 E PDQ‬‬

‫ب ‪Ɗ{ Ē ^ lz ky f wb ky gb h7[j‬‬ ‫ ‪Ł + 5 ł > 5 + Ņ ƊwbrĔ ky gb‬‬ ‫ ‪5 - 5 ł > Ł - Ņ ` ƅ‬‬ ‫ ‪Ł < 5 `ƅ ƅ‬‬ ‫‪]' ŮŁƟ ɤ d'b Nsg#f‬‬

‫ ‬

‫‪ −‬‬

‫‪^−‬‬

‫‪q‬‬

‫ﻧﺎﻗﺶ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﻀﻤﻨﺔ ﻓﻰ ﺻﻔﺤﺔ )‪ (٣٩‬ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ‬ ‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺗﻬﺪﻑ ﺇﻟﻰ ﻣﺮﺍﺟﻌﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻝ ﻭﺍﺣﺪ‪.‬‬

‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪Ŀ< ¶" d_bƄ ¶" + H ¶" + C BDE‬‬ ‫½ ‪ H C B # JK‬‬ ‫ ‪Ŀ< ¶" d_bƅ ¶" H ¶" C ƅƅƅƅƅƅ‬‬ ‫ ‪Ŀ> ¶" d_bƅ ¶" G ¶" C ƅƅƅƅƅƅ‬‬

‫أ ‪ 5 Ņ < ň - 5ł‬‬ ‫ ` ‪5Ņ - ň + 5 Ņ < 5Ņ - ň + ň - 5 ł‬‬ ‫‪4 ŀł − RE ' E(M I(SQ6‬‬ ‫ ` ‪ ň < 5 ł-‬‬ ‫ ‪ł- > 5 ƅ‬‬ ‫‪]ł- r '- Ɵ ɤ d'b Nsg#f‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪q‬‬

‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺇﻋﻄﺎﺀ ﻣﺜﺎﻝ ﻳﻮﺿﺢ ﺫﻟﻚ‪.‬‬

‫‪N−‬‬

‫ ‪5 + ŀŃ H Ł + 5ł Ɗ zj b ky gb‬‬ ‫ ‪Ł - ŀŃ H 5 - 5ł `Ƅ‬‬ ‫ ‪Ņ H 5 `ƅƅ‬‬ ‫‪ƟŅ Ů'-Ɵ ɤ d'b Nsg#f‬‬

‫∞‬

‫‪N‬‬

‫ب ‪>٢‬ﺱ‪٥>١-‬‬

‫‪ƟŅ ŮŁƟ ɤ ƟŅ Ů'-Ɵ E Ơ' ŮŁƟ ɤ d'b Nsg#f‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪^r‬‬

‫∞‬

‫‪R2 ! +;Z Q HK‬‬ ‫‪ -٢‬ﺍﺧﺘﻴﺮ ﻋﻤﻞ ﺍﻟﻄﻼﺏ‪.‬‬ ‫‪ -٣‬ﺳﺆﺍﻟﻴﻦ؛ ﻫﻞ ﺱ ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ ‪ ?٩‬ﻧﻌﻢ‪ ،‬ﻫﻞ ﺹ ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ ‪?٩‬‬ ‫ﻧﻌﻢ‪ ،‬ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﻫﻰ )‪(١٠ ،١٠‬‬ ‫‪ -٥‬ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺗﺨﻤﻴﻨﺎﺕ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﻭﺍﺣﺪ‪.‬‬ ‫‪ -٦‬ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ؛ ﺍﺧﺘﺒﺮ ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻃﻼﺑﻚ‪.‬‬

‫‪¢SQódG ¢VôY‬‬

‫ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺪرﺟﺔ ا وﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮل واﺣﺪ‬ ‫‪q‬‬

‫ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺨﻮﺍﺹ ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻰ‬ ‫ﻋﺎﺭﺿﺎ ﻟﻬﺬه ﺍﻟﺨﻮﺍﺹ ﻋﻠﻰ ﺷﻔﺎﻓﻴﺔ‪،‬‬ ‫ﻣﺠﻬﻮﻝ ﻭﺍﺣﺪ‬ ‫ً‬ ‫ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﺎﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩ ﺻﻔﺤﺔ )‪ (٣٩‬ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﺫﻟﻚ ﺑﺎﻷﻣﺜﻠﺔ؛ ﻭﻭﺿﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ‬ ‫ً‬ ‫ﻭﺍﺣﺪ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻛﻤﺎ ﺩﺭﺱ ﻣﺴﺒ ًﻘﺎ‪،‬‬ ‫ﻭﺃﻳﻀﺎ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ً‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻫﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺡ‪،‬‬ ‫ﻭﺫﻟﻚ ﻛﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ«‪.‬‬

‫‪4 E PaQ6‬‬

‫‪ > ١ + ٢‬ﺱ ‪١+ ٥ > ١ + ١ -‬‬ ‫‪ > ٣‬ﺱ > ‪ ٦‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = [‪]٦ ,٣‬‬

‫‪Ɗ- .NĔ H* wcN zÊ j z d'b Nsg#f d fr % wV z Ē ky gb d& 1‬‬ ‫ﺟ ‪ņ + 5 H Ł + 5 ł > 5 Ł + ł‬‬ ‫ب ‪ ń > ŀ - 5 > Ł‬‬ ‫أ ‪ Ł G ń + 5ł‬‬ ‫ ‬ ‫& ‪'8 D ' 4 − M s‬‬

‫^‬

‫ ‬

‫‪ −‬‬

‫‪∞−‬‬

‫‪N‬‬

‫^‬

‫ ‬

‫‪ −‬‬

‫‪∞−‬‬

‫ﺟ ‪٢ + ٣‬ﺱ > ‪٣‬ﺱ ‪ H ٢ +‬ﺱ ‪٧ +‬‬ ‫ﻧﻘﺴﻢ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺇﻟﻰ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺘﻴﻦ ﻛﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪4' E(M ' * F(MQ6‬‬ ‫‪٢ + ٣‬ﺱ > ‪٣‬ﺱ ‪٢ +‬‬ ‫‪٢ + ٣‬ﺱ ‪٢ -‬ﺱ > ‪٣‬ﺱ ‪٢ -‬ﺱ ‪٢ +‬‬ ‫‪4' E(M ' F(MQ6‬‬ ‫‪>٣‬ﺱ‪٢+‬‬ ‫‪>٢-٣‬ﺱ‪٢-٢+‬‬ ‫‪ > ١‬ﺱ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = [‪]∞ ،١‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫‪4' E(M ' * F(MQ6‬‬ ‫‪٣‬ﺱ ‪ H ٢ +‬ﺱ ‪٧ +‬‬ ‫‪٣‬ﺱ ‪ -‬ﺱ ‪ H ٢ +‬ﺱ ‪ -‬ﺱ ‪٧ +‬‬ ‫‪4' E(M ' F(MQ6‬‬ ‫‪٢‬ﺱ ‪٧ H ٢ +‬‬ ‫ ‬ ‫‪4 RE I(S Q6‬‬ ‫‪٢‬ﺱ ‪٥ H‬‬ ‫ﺱ ‪ ٥٢ H‬ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﺤﻞ = [‪[ ٥٢ ،∞-‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ‬ ‫= [‪[ ٥٢ ،١[ = [ ٥٢ ،∞-[ ∩ ]∞ ،١‬‬ ‫∞‬

‫‪N‬‬

‫ ! "‪'8 D ' 4 − 5:‬‬

‫^‬

‫ ‬

‫‪ −‬‬

‫‪∞−‬‬

‫‪[\r‬‬

‫ ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺪرﺟﺔ ا وﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻟﻴﻦ‬:‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺪرﺟﺔ ا وﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻟﻴﻦ‬ Solving linear inequalities in two unknowns

so gpkz Y2Wb r Ůlzbsp#f wV wbrĔ "1.b lf zG+b b- Ogb q ; lzbsp#f wV wbrĔ "1.b lf ky gb wo Ł + 5 Ł ɤ = Ů zG* ky f wo Ł + 5 Ł < = Ɗđ gV tr 7 b 4f1 PBr lf ¹Đ. ky gb 4f1 PBr Ƌ p G 2f zG* b- Of

+ * < /

[Gkgb (Bsf Ł + 5 Ł < = ky gcb wj z b dz g b Ƌd [gb d_;b wV ccKgb

+ * = /

Ů ky gb \[' jscgb [Gkgb wV G[j d^ Řğ ƩũıŠǌ [Gkgb .& so Ł + 5 Ł ɤ = hz[ 7gcb wj z b dz g b r Đ qj wcN a.zb PG[ f d_; hz[ 7gb h61 .Zr Ůd'cb c ggb i V H r G4f2b wcN ky gb s & / f Ƌ ky gb \['y 0 .kNr ky gb \[' 6 t.'b hz[ 7gb wcN OZ sb E [kb Ƌđ? f Ê G* hz[ 7gb dz g is_y ¹

− − − − −

− −

− / e

‫ﻣـﺜـﺎل‬

ł + 5 Ł > = Ɗ ky gb d& Nsg#f zÊ j z d f 2 ‫اﻟﺤﻞ‬

‫ﻻﺣﻆ‬

.% ; 1 <> . _ 1 < ; LF .% "C2 L4 6 j ( Q .% ; F<2 Z%;\ − 2 \ R Z i<! R . _ 1 < ; (7k .% "C2 R; ! L4 6 j ( Q [ j (>

+ * = /

− − − − −

ł + 5 Ł ɤ = t.'b hz[ 7gb h61 :4 6 c%M hz[ 7gb H[j Řğ ƩũĪǌ / ky gcb đ& 7zb t.'b Ê t.'b hz[ 7gb h62y 0b Ƌ O¹ G[ f *

Ł- ŀŀ- ŀ

* /

Ŀ ł

t.& 1 +j :4 6 c%M w j " .& wV H[kb − / AsOjr es62gb H+b e / V ŮlgyĔ U2Gb wV p j #b iscj ky gb \[' hb / r Ůƛd'b Nsg#fƜ j #b 0o iscj ky gb G[kb m0o [[& Ƌd'b Nsg#f so is_yr 2*Ē − −

Z 8 D ? $ W4 − !J )

!M;

Ƌqz j " .& wcN P[ d Ůt.'b hz[ 7gb wcN P[ Đ w b r ƛĿ ŮĿƜ G[kb 2 * 4 - U> ; 6 ł + 5 Ł > = ? 44 , 6 M Ŀ 4I %-6 ł > Ŀ :d<_ Nsg#f z& ŮƛĿ ŮĿƜ G[kb wcN ts ' w b [Gkgb dcJ ƋƛĿ ŮĿƜ G[kb qzb wg k t0b ts 7gb X?j wo d'b ƛł ŮŁƜ G[kb i wj z b dz g b lz y 4 - U> ; 6 ł + 5 Ł > = Ƌd'b [Gkf wV P[ ? 44 , 6 M ł Ƌ(z'> d'b i/ ƛ s>Ɯ ņ > ł

‫ﻣـﺜـﺎل‬

ŀĿ H = ń Ƥ 5Ł Ɗ ky gb d& Nsg#f zÊ j z d f 3

‫اﻟﺤﻞ‬

− − − − − `

−

− / e

ŀƤ

= /^− *

−

ƋƛaƜ t.'b hz[ 7gb zÊ j z d gj :4 6 c%M ƋƛH ly b ZđN iĔƜ d? f H+ ŀĿ ɤ = ń Ƥ 5 Ł * Ŀ Ł ŀ ń Ŀ

ŁƤ

Ɗhz[ 7gb PBs t.'b hz[ 7gb h61 `k_gy ¶" + 5 e ɤ = Ɗ 1s?b wcN ŀĿ ɤ = ń Ƥ 5 Ł Ƌ - ?b 1s'f lf MsG[gb 4#b ¶" Ůdzgb e z& Ł Ƥ 5 Łń ɤ = ` ŀĿ + 5 Ł Ƥ ɤ = ń Ƥ :B% E

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

z Ē ky gb lf d_b d'b Nsg#f zÊ j z d f 2 ń Ƥ 5 ń > = ‫ب‬ Ņ G = Ƥ 5 Ł ‫أ‬

'8 D ' 4 − M s &

ôªà°ùªdG º««≤àdG

«‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ‬ .‫ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‬،(٤١) ‫ﺻﻔﺤﺔ‬ 4 6 _&- o+_! B ` p Q HK ٢٥ H ‫ﺹ‬٧٫٥ + ‫ﺱ‬٦٫٢٥ 2

Ƌt.'b hz[ 7gb w j " .& wcN P[ w b r ƛĿŮĿƜ G[kb 2 * :4 6 c%M 4 - U> ; 6 ŀĿ H = ń Ƥ 5 Ł ? 44 , 6 M<U Q b% 26 ŀĿ H ƛĿƜ ń Ƥ ƛĿƜ Ł 4I %-6 ŀĿ H Ŀ G[kb qzV P[ t0b ts 7gb X?j wo d'b Nsg#f z& ŮƛĿ ŮĿƜ G[kb wcN ts ' w b [Gkgb isb Ƌa t.'b hz[ 7gb H[j Nsg#f F ƛĿ ŮĿƜ

Ł > 5 Ł Ƥ = ‫ﺟ‬

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻰ‬ ‫( ﻣﻦ‬٤١) ،(٤٠) ‫ﻣﺠﻬﻮﻟﻴﻦ ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﺎﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﺻﻔﺤﻰ‬ .‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ :aM U\! ‫ ﺭﺑﻤﺎ ﻻ ﻳﺴﺘﻄﻴﻊ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺗﺬﻛﺮ ﻣﺘﻰ‬:c 8 l M7) .‫ ﻭﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﺤﺪﻯ ﺍﻟﻤﺘﺼﻞ‬،‫ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﺤﺪﻯ ﺍﻟﻤﺘﻘﻄﻊ‬ ‫ ﺍﺭﺑﻂ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﺤﺪﻯ ﺍﻟﻤﺘﻘﻄﻊ ﺑﺎﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬:mh ( < ‫ﺍﻟﻤﻔﺘﻮﺣﺔ ﻋﻨﺪ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻝ‬ ‫ ﻭﺍﺭﺑﻂ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﺤﺪﻯ ﺍﻟﻤﺘﺼﻞ‬،‫ﻭﺍﺣﺪ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ﺑﺎﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻤﻐﻠﻘﺔ ﻋﻨﺪ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻰ‬ .‫ﻣﺠﻬﻮﻝ ﻭﺍﺣﺪ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ،‫ ﺍﺳﺄﻝ ﺍﻟﻄﻼﺏ‬4 6 ` W; RE : W R Z n h ‫ﻟﻤﺎﺫﺍ ﺗﻢ ﻭﺿﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺤﺪﻯ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﻴﻞ ﻭﺍﻟﺠﺰﺀ‬ ?‫ﺍﻟﻤﻘﻄﻮﻉ ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻳﺘﻮﺻﻞ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺃﻥ ﻭﺿﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺤﺪﻯ ﻋﻠﻰ‬ .‫ﻫﺬه ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﻳﺠﻌﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻬﻞ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺤﺪﻯ ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ‬ ‫ ﻧﻈﻒ ﻣﻜﺎﻥ ﻭﺍﺳﻊ ﻣﻦ‬:R#(_ 1 . J IhM ‫ﻛﺒﻴﺮﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ‬ ً ‫ﺣﺠﺮه ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ﺛﻢ ﺍﺻﻨﻊ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺇﺣﺪﺍﺛ ًّﻴﺎ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺨﻴﻂ ﺃﻭ ﺍﻟﺸﺮﺍﺋﻂ ﺍﻟﻤﻠﻮﻧﺔ؛ ﻭﺟﻪ ﺍﻟﻄﻼﺏ‬ ‫ﻟﻠﺘﺤﺮﻙ ﻧﺤﻮ ﺍﻟﻤﻨﺎﻃﻖ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﻋﻨﺪ ﺫﻛﺮ‬ ‫ ﺱ‬G ‫ ﺹ‬،١ > ‫ ﺱ‬،٣ G ‫ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺑﺴﻴﻄﺔ ﻣﺜﻞ ﺹ‬

* * − ^ − − − − ^− N− q/

‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ‬٤٢) ‫( ﺻﻔﺤﺔ‬٤) ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺭﻗﻢ‬ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ‬،‫ ﻭﻫﻮ ﻣﺜﺎﻝ ﻳﺸﻤﻞ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺣﻴﺎﺗﻲ‬،‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ‫ﻟﻤﺎﺫﺍ ﺗﻈﻬﺮ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ‬ ‫ ﻭﺑﺎﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻳﺘﻮﺻﻞ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺇﻟﻰ ﺃﻧﻪ ﻋﺪﺩ‬،‫ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﻓﻘﻂ‬ Z 8 D ? $ W4 − !J )

[^_

!M;

.‫ﺍﻛﺘﺐ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻮﻗﻒ‬ ‫ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﻓﻰ ﺃﻋﻤﺎﻝ‬١٠ ‫ﻫﻞ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﺣﺼﻠﻮﺍ ﻋﻠﻰ‬ ‫ ﺩﺭﺟﺔ ﻓﻰ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺸﻬﺮ ﻳﺨﻀﻌﻮﻥ ﻟﺸﺮﻭﻁ‬١٨ ،‫ﺍﻟﺴﻨﺔ‬ .‫ﺣﻀﻮﺭ ﻫﺬه ﺍﻟﺪﻭﺭﺓ? ﻓﺴﺮ ﺇﺟﺎﺑﺘﻚ‬

‫اﻟﺤﻞ‬

ôjó≤àdG

< 49 !D C M@ M T)" 9 K 3R 23 ! !& uJ 3!3R

$ ;

< 49 !D C M@ M T)" 23 ! !& u!J C o!:# "4 L . , 3!3R H 9 K 3R < 49 !D C M@ M T)" 23 ! < # / v" w 3 o . , 3!3R H 9 K 3R w 3 o . , !D C M@ M T)" H 9 K 3R 23 ! <)! & < # /

41\ Q6 R2 % `%&

(2) áëØ°U (1) •É°ûf ÖdÉ£dG AGOCG

N ^

y H H

H H8 u

( C;_

H8 H8 t

e.N e 12Z `j A2 V Ɗr M @% ! ǶŐˋģŐũ ńģǇŐʗƥŝ 4 R2 %9 `%E wj -s7b asWb r @g'b 2;b p¹ zk" ŃŇ lf 2 ^ U2> ,[ UH N % Ů 4z#b i sz'b [y.& wb ` c Nr j ` c&2b e3đb ?Msj d^ lf m 2: `k_gy f¹ 2" scz^ h^

Ƌ@g'b lf o 2: `k_gy w b f 2" scz_b -.N ɤ 5 i A2Wj b : (Z Ƌwj -s7b asWb lf o 2: `k_gy w b f 2" scz_b -.N ɤ = ƅƅ Ƌƛh62b wb 2Kj Ɯ 2;cb w?ZĔ .'b H wj -s7b asWb 2: lg + @g'b 2: lg :FQ8 ŃŇ H = ŀŅ + 5 Ň : # ƋƛH ly b ZđN iĔƜ d? f hz[ 7f H+ d gyr ŮŃŇ ɤ = ŀŅ + 5 Ň t.'b hz[ 7gb h61 Ƌ ?g'gb lf b 6 zg^ 2: `k_gyĐ qj z& Ůw .&Ė ts 7gb lf H[V arĔ P 2b e.+ 6

á£°ûfC’G á°SGôc á£°ûfCG º««≤J U xU 1 <! 1 9

‫ﻣـﺜـﺎل‬

s; [ UH t %

m2O6 2*Ē Mskb r Ůqzk" ŅŬŁń m2O6 arĔ Mskb Ůdz^ ;_b lf lzNsj _f Pz ǓǣǭņƑǨǤģś ƤśƄǤĝ 2 -.N h_V Ů p¹ zk" Łń lf 2 ^ PV.y Đ z' Ůdz^ ;_b m0o lf DO 2: .g& - 1 / V Ůqzk" ņŬń ?Msj d^ lf o 2: qk_gy w b dz^ ;_b

Z 8 D ? $ W4 − !J )

[^[

‫ﺍﻟﻜﻴﻠﻮﺟﺮﺍﻣﺎﺕ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﻤﺺ ﻭﺍﻟﻔﻮﻝ ﺍﻟﺴﻮﺩﺍﻧﻰ‬ .‫ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﻮﺟﺒﺔ‬

º««≤àdGh ÖjQóàdG :];[E ' d<_! Q HK .‫ ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‬،‫ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬1

ôjó≤àdG

!8 ! 3 G ; M a!M / $ ; q / a! % o: & , 5 ) <X .9 H8 H 3!3R k G ; ! I < # / 9 M a!M / y H H ':# ? 43 5 ) !8 ! 3 H8 t H< M" q / : 3!34 ? :3 < 49 !8 ! 3 G ; M a!M /

H '( X M@ o o8 V` , 5 ) 2 H8 u H q / v"9 ; 5:" <)! & < # / 9 M a!M / `% < q / , 5 ) !8 ! 3 G H8 ^ H 3!3R < 49 < M" !8 ! 3 G ; M a!M / V " P Ho! < # / : w 3 H8 ^ ' +0)

* /

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬

U xU 1 <! 1 9 ÖdÉ£dG AGOCG

Ŀ ł

hz[ 7gb H+b ' e YsV [Gkgb dcK 6 do Ů zÊ j z Ł - 5 Łń G = ky gb d gj f.kN ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ 1 ?`b/ gcN Xz^ ?Ł - 5 Łń ɤ =

H8 ^

(32) áëØ°U (2) •É°ûf

Ņ Ŀ

ƛĿ ŮĿƜ G[kb 2 * ? ŃŇ H ƛĿƜ ŀŅ + ƛĿƜ Ň ƛ s>Ɯ ŃŇ H ƅƅĿ ƋƛĿ ŮĿƜ G[kb ts ' w b [Gkgb isb * wcN Ů k_ggb asc'b d^ wj z b dz g b (Bsy ^ N u t O Ů@g'b lf h#^ Ł 2; gZ / a gb dz 6 1\ Q s;_ asWb lf h#^ Ł lf 2 ^ 2: `k_gyĐ qj V ?a gb 0pb d& wj -s7b asWb lf h#^ŀ Ů@g& h#^ Ł do iĒ r Ƌwj -s7b

`% <

, !D C M@ T)# M a!M / V " P Ho! < # / : w 3 H8 ^ ' +0)

Ł Ł

N ^ q * /

٢٥ H ‫ ﺹ‬٧٫٥ + ‫ ﺱ‬٦٫٢٥ 2 *

º««≤àdG

:‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ :‫ﻣﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ١ ١ + ‫ﺱ‬٢- < ‫أ ﺹ‬ ١G‫ﺹ‬-‫ ﺱ‬٢ ‫ب‬ ' 0%& ; IhM Rv ( K U x2 ‫ﻗﺮﺭ ﺍﻷﺳﺘﺎﺫ ﻣﺤﺐ ﻣﻌﻠﻢ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻋﻤﻞ ﺩﻭﺭﺓ ﻣﻜﺜﻔﺔ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﻳﻘﻞ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺩﺭﺟﺎﺗﻬﻢ ﻓﻰ ﻛﻞ‬ .‫ ﺩﺭﺟﺔ‬٣٠ ‫ﻣﻦ ﺃﻋﻤﺎﻝ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﻭﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺸﻬﺮ ﻋﻦ‬

'8 D ' 4 − 5:" !

‫‪2-2‬‬

‫ﺣﻞ أﻧﻈﻤﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴّﺎ‬

‫ﺣﻞ أﻧﻈﻤﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧ ّﻴًﺎ‬

‫‪Solving Systems of Linear Inequalities Graphically‬‬

‫‪Solving Systems Of Linear‬‬ ‫‪Inequalities By Graphing‬‬

‫‪ & 7‬‬ ‫ ‪ !M; M‬‬ ‫ ‪0 ,- '( , ! % F( ? % '( ' $‬‬ ‫ "‪ ! MC !M; =8 M 5:‬‬ ‫ &‪H !7 8 !9 )D‬‬

‫) ‪*8‬‬

‫‪2-2‬‬ ‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﻋﻤﻞ ﺗﻌﺎوﻧﻰ‬ ‫ ‪Ƌ`b dzf3 Pf dgN‬‬ ‫ ‪ isbr Ů.f O f w .& ts 7f wV Ł G 5 ky gb d& Nsg#f zÊ j z d f‬‬ ‫‪Ƌ2W>Ĕ iscb d'b [Gkf‬‬ ‫ ‪ w .&Ė ts 7gb 8Wj wV ŀ- > = ky gb d& Nsg#f zÊ j z dÍ f‬‬ ‫ ‪Ƌ2C*Ĕ iscb d'b [Gkf isb h Ů.f O gb‬‬ ‫ &‪Ƌ O¹ f 2C*Ĕ r 2W>Ĕ lzjscb pzV d* . w b [Gkgb -.‬‬ ‫ ‪?ƛłƜ .k wV p -.& w b [Gkgb d g / f‬‬ ‫ * ‪Ƌ` " 27V Ƌ O¹ f lz ky gcb đ& pkf d^ d gy Wc +f H[j đ 2‬‬ ‫ ‬ ‫‪Ê‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ ‪ !My z =8‬‬ ‫‪H !7 8 !9‬‬ ‫ ‪ =8 {# !C ! q /‬‬ ‫ ‪H !My z‬‬

‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴ ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّﺔ‬

‫ﻧﻈﺎم اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺨﻄﻴﺔ‬

‫ ½_‪ !r4b is_yr Ů zG+b ky gb lf f¹ Kj O¹ f 2 ^ r i zG* i ky f is‬‬ ‫‪Ƌq ky f Pzg" \[& / e Kkb 0pb đ& ƛ‬‬ ‫ ‪¹ ŀ= Ůŀ5Ɯ 2gb‬‬

‫ ‪ !M@ =8‬‬ ‫‪System of linear inequalities‬‬

‫ ‪ f 2M‬‬

‫‪Feasible region‬‬

‫ ‪Hx !9 5‬‬

‫‪Graph‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪: ':# L‬‬ ‫(' ‪k M . aL ,- 8‬‬ ‫‪H !7 8 !9 !My z k =8 p ‬‬

‫‪H !My z =8 {# !C ! q / p ‬‬

‫ &( )‪ 9 9‬‬ ‫‪Z F@ - F8 !9 5 - 3 2M - !M@ =8‬‬ ‫ ‪H 4 Z F@ - 4‬‬

‫‪ lf »e Kj e .+ 6 .f O f w .& ts 7f M 1 lf P 1 d^ X>r `k_gy 1‬‬ ‫ ‪Ƌ zG+b ky gb‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫ ‪ hZ1 -.& Ůd [gb d_;b lf‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‪ Nsg#f d gy t0b P 2b‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫ *‬ ‫ *‬ ‫&‪w y gf e Kj d^ d‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫ ‬

‫أ ‪Ŀ < =ƅŮƄĿ < 5‬‬

‫ ‬

‫ب ‪Ŀ > =ƅŮ Ŀ < 5Ƅ‬‬

‫ ‬

‫ﺟ ‪Ŀ < =ƅŮ Ŀ > 5‬‬

‫ ‬

‫د ‪Ŀ > =ƅŮ Ŀ > 5Ƅ‬‬

‫‪/‬‬

‫ا دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬ ‫ ‪Hx !9 5 S‬‬ ‫ ‪HQ R‬‬

‫‪/‬‬ ‫*‬

‫ ‬

‫‪/‬‬ ‫ ‬

‫*‬

‫‪q‬‬

‫‪/‬‬

‫‪q‬‬

‫*‬

‫ ‬

‫*‬

‫‪ q‬‬

‫‪q‬‬

‫‪/‬‬

‫& ‪'8 D ' 4 − M s‬‬

‫^‪t‬‬

‫ ;‪ ; ; %‬‬ ‫ ‪ - ' S ( T)# U - : )!O I - ! !:" < /‬ﻝ ‪١٥ H‬ﺳﻢ‪ ،‬ﻉ ‪١٢ H‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺩﻉ ﻃﻼﺑﻚ ﻳﻔﻬﻤﻮﺍ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫‪HQ R - !8 !9 - ! :# N - !( O‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻴﺎﺗﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻟﻬﺎ ﺣﻠﻮﻝ ﻣﺘﻌﺪﺩﺓ ﻳﻤﻜﻦ ﻧﻤﺬﺟﺘﻬﺎ ﺑﻨﻈﺎﻡ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ ( <; =>8 @(I‬‬ ‫ ")‪»fhÉ©J πªY - >./ - ' -, W4" - ML - )O T‬‬

‫ "‪H'8 " 5:‬‬ ‫ﺍﻋﻤﻞ ﻣﻊ ﺯﻣﻴﻞ ﻟﻚ‪ .‬ﺍﺳﺘﻜﺸﻒ ﻣﺎﺫﺍ ﻳﺤﺪﺙ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ﻟﻠﺨﻄﻮﻁ ﺃﻭ ﻟﻠﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ ‪=>8 B‬‬ ‫ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻲ‪.‬‬ ‫ ‪H' 4‬‬ ‫‪ -١‬ﻫﻞ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺭﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﻌﻄﻰ? ﺩﻋﻢ‬ ‫ ‪1 8 C‬‬ ‫ﻛﻞ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﺑﺮﺳﻢ ﺃﻭ ﺑﺘﻮﺿﻴﺢ‪.‬‬ ‫& ‪t} 3 R ' ` t^ 3 R M s‬‬ ‫أ ﻧﻘﻄﺔ‪ .‬ب ﺧﻂ‪ .‬ﺟ ﻣﻨﻄﻘﺔ‪ .‬د ﻻﻳﻮﺟﺪ ﺗﻘﺎﻃﻊ‪.‬‬ ‫& ‪[] 3 R MM8$ s‬‬ ‫‪ -٢‬ﻫﻞ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺭﺳﻢ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺘﻴﻦ ﺧﻄﻴﺘﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﻌﻄﻰ? ﺩﻋﻢ‬ ‫ ‪Hi~8) 8K j :" : ! . M‬‬ ‫ﻛﻞ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﺑﺮﺳﻢ ﺃﻭ ﺗﻮﺿﻴﺢ‪.‬‬ ‫‪¢SQódG äGAGôLEG‬‬ ‫أ ﻧﻘﻄﺔ‪ .‬ب ﺧﻂ‪ .‬ﺟ ﻣﻨﻄﻘﺔ‪ .‬د ﻻﻳﻮﺟﺪ ﺗﻘﺎﻃﻊ‪.‬‬ ‫‪ -٣‬ﻟﺨﺺ ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎﺗﻚ ﻟﻤﺎ ﺳﺒﻖ‪ .‬ﻗﺎﺭﻥ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻌﺎﺕ‬ ‫‪ó«¡ªàdG‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺨﻄﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﻘﺎﻃﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ‬ ‫ﺍﺩﻉ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻻﻗﺘﺮﺍﺡ ﺃﻗﻞ ﻃﻮﻝ ﻭﺃﻗﻞ ﻋﺮﺽ ﻟﻈﺮﻑ ﺧﻄﺎﺏ‬ ‫ﻟﻠﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺘﻴﻦ ﺧﻄﻴﺘﻴﻦ‪ .‬ﻣﺎﺫﺍ ﺗﻼﺣﻆ?‬ ‫ﻳﻌﺘﻘﺪﻭﻥ ﺃﻥ ﻫﻴﺌﺔ ﺍﻟﺒﺮﻳﺪ ﺳﻮﻑ ﺗﺴﻤﺢ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻪ ﻓﻰ‬ ‫ﺇﺭﺳﺎﻝ ﺍﻟﺨﻄﺎﺑﺎﺕ ﺍﻛﺘﺐ ﺍﻗﺘﺮﺍﺣﺎﺕ ﻃﻼﺑﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺒﻮﺭﺓ‪ -٤ ،‬ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻷﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺧﻄﻴﻦ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‪.‬‬ ‫ﺛﻢ ﻟﺨﺺ ﻣﻘﺘﺮﺍﺣﺎﺗﻬﻢ ﺑﻜﺘﺎﺑﺔ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺘﻴﻦ ﺧﻄﻴﺘﻴﻦ ﻣﺜﻞ‬

‫\^[‬

‫ ) ‪Z 8 D ? $ W4 − !J‬‬

‫ ‪ !7 8 !9 !M; =8‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫أ ﻻ‬ ‫ﺟ ﻧﻌﻢ‬

‫‪2‬‬

‫ﺣﻞ ﻧﻈﺎم ﻣﻦ اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧ ّﻴًﺎ‬ ‫‪Solving a system of liner inequalitues graphically‬‬

‫&‪Ƌe Kkb 0o ky f \[' w b 2gb ! r3Ĕ Pzg" - #y wkOy zG+b ky gb e Kj d‬‬ ‫‪ lf .& r d^ d& [Gkf ƛdzcK Ɯ lysc h y e Kkcb Êđ& d_; w b ƛ 2gb ! r3Ĕ Ɯ E [kb Pzg" .y.' b‬‬ ‫ ‪ [Gkf wo ky gb Pzg" d& \F kf lz ^2 ;gb [Gkgb is_ V Ů.& r w .& ts 7f wV ky gb‬‬ ‫&‪e Kkb 0o d‬‬

‫ب ﻧﻌﻢ‬ ‫د ﻧﻌﻢ‬

‫‪/‬‬

‫*‬

‫‪q‬‬

‫*‬

‫‪q‬‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪ŀ- > 5ł + =ƅƅƅƅŮƅƅŅ + 5 Ł G =Ƅ Ɗ zÊ j z wb b zG+b ky gb e Kj d& 1‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫‪/‬‬

‫‪q‬‬

‫ ‪Ƌd'b [Gkf isbr Ů zÊ j z e Kkb wV ky f d^ d& Nsg#f dÍ f :4 6 c%M‬‬ ‫ ; >‪Ņ + 5 Ł G = :R U‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪ M N‬‬ ‫‪4+C F76ƅƅƅŅ + 5 Ł ɤ = t.'b hz[ 7gb h62j‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫*‬ ‫‪/‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪Ŀ‬‬ ‫‪Ņ‬‬

‫‪ł‬‬‫‪Ŀ‬‬

‫* ‪Ŀ‬‬ ‫‪ŀ- /‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪ŀ‬‬‫‪Ł‬‬

‫^‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪Ł‬‬‫‪Ł‬‬

‫ ‪ ky gb \[' Đ ƛĿ ŮĿƜ G[kb‬‬ ‫` ‪ qzV P[ Đ t0b ts 7gb X?j wo ŀM d'b Nsg#f‬‬ ‫‪a F d>Ĕ G[j‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫ ; >‪ŀ- > 5 ł + = : 2 W U‬‬ ‫‪4iM< F76 Ƅƅƅŀ- ɤ 5 ł + = t.'b hz[ 7gb h62j‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫‪Ł‬‬‫‪ń‬‬

‫*‬ ‫ ‬

‫‪/‬‬

‫‪q‬‬

‫‪ 3‬ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ؛ﻛﻤﺜﺎﻝ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﺗﻘﺎﻃﻌﺖ ﺍﻟﺨﻄﻮﻁ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪﻳﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ‬ ‫ﺗﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻰ ﻣﻨﻄﻘﺔ‪ ،‬ﺇﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻟﻢ ﺗﺘﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﺨﻄﻮﻁ ﺍﻟﺤﺪﻳﺔ‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﺗﺘﻘﺎﻃﻊ‬ ‫ﻓﻰ ﻣﻨﻄﻘﺔ ً‬ ‫ﺃﻭﻻ‪ ،‬ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺨﻄﻮﻁ ﺍﻟﺠﺪﻳﺔ ﻫﻰ‬ ‫ﻧﻔﺴﻬﺎ؛ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺗﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻰ‬ ‫ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺃﻭ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺃﻭ ﻻ ﺗﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻰ ﺃﻳﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ 4‬ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻫﻰ‪ :‬ﻧﻘﻄﺔ‪ ،‬ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‪ ،‬ﻻﻳﻮﺟﺪ‬ ‫ﺗﻘﺎﻃﻊ‪ ،‬ﻭﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻰ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻟﻠﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ‪.‬‬

‫‪M E M‬‬

‫ ‬

‫*‬

‫‪q‬‬

‫‪N− ^− − − − −‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪ M‬‬ ‫‪^−‬‬ ‫‪Ȳ‬‬ ‫‪N−‬‬ ‫ ‬

‫ ‪ ky gb \[' ĐƛĿ ŮĿƜ G[kb‬‬ ‫` ‪Ƌd>Ĕ G[j qzV P[ Đ t0b ts 7gb X?j wo Ł M d'b Nsg#f‬‬ ‫ ‪ pzV d* . w b [Gkgb wor Ůe Kkb ky f d& \F kf lz ^2 ;gb [Gkgb -.& :4 6 c%M‬‬ ‫ ‪M E ŀM wo O¹ f lz ky gcb d'b Nsg#f is_zV Ůe Kkb d& [Gkf d g w b r Ůi sbĔ‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫!_<‪ \[' b r Ů1 * G[j pf .+ 6 l_gy 0b ůe Kkb d& [Gkf wb wg k ƛŁ ŮŃ-Ɯ G[kb i L&Đ :d‬‬ ‫‪Ɗlz ky gb c^ wV ƛŁ ŮŃ-Ɯ G[kb ƛ= Ů5Ɯ lN DysO b d'b '> lf‬‬ ‫= ‪ŀ- > 5 ł +‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪Ņ + 5 Ł‬‬ ‫= ‪ G‬‬ ‫?‬ ‫?‬ ‫‪ŀ- > ƛŃ-Ɯ ł + Ł‬‬ ‫ ‬ ‫‪Ņ + ƛŃ -ƜŁ G Ł‬‬ ‫‪ƛ s> Ɯ ŀ- > ŀĿ‬‬‫ ‬ ‫‪ƛ s>Ɯ Ł‬‬ ‫‪ - G Ł‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪/‬‬ ‫*‬

‫ ) ‪Z 8 D ? $ W4 − !J‬‬

‫‪/‬‬

‫‪/‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪tt‬‬

‫‪/‬‬

‫‪q‬‬

‫*‬

‫‪q‬‬

‫*‬

‫‪q‬‬

‫*‬ ‫‪/‬‬

‫‪q‬‬

‫‪/‬‬

‫‪q‬‬

‫‪/‬‬

‫‪q‬‬

‫‪ -٥‬ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ﻷﻛﺜﺮ ‪ 5‬ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻫﻲ‪ :‬ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‪ ،‬ﺷﻌﺎﻉ‪،‬‬ ‫ﻣﻦ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺘﻴﻦ ﺧﻄﻴﺘﻴﻦ‪.‬‬ ‫ﻣﻨﻄﻘﺔ‪ ،‬ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻤﻜﻦ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻜﻦ ﺇﻻ ﺗﻜﻮﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺗﻘﺎﻃﻌﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﺩﻉ ﻃﻼﺑﻚ ﻳﻌﻤﻠﻮﺍ ﻓﻰ ﺃﺯﻭﺍﺝ ﺃﻭ ﻓﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺎﺕ ﺻﻐﻴﺮﺓ ‪ q‬ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﻡ ﺑﺎﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ ﻓﻰ ﺑﺪﺍﻳﺔ‬ ‫ﺗﻌﺎﻭﻧ ًّﻴﺎ‪ ،‬ﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮﻥ ﺃﺣﺪﻫﻢ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺠﻞ‪ ،‬ﺭﺑﻤﺎ ﻳﺮﺳﻢ‬ ‫ﺻﻔﺤﺔ )‪ (٤٣‬ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﻋﻤﻠﻬﻢ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺑﺼﻮﺭﺓ ﻓﺮﺩﻳﺔ‪ ،‬ﻭﻟﻜﻦ ﺩﻉ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻳﺘﻨﺎﻗﺸﻮﺍ‬ ‫‪ q‬ﺗﻌﻠﻢ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻃﺮﻗًﺎ ﻣﺘﻌﺪﺩﺓ ﻟﺤﻞ ﻧﻈﺎﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﻗﺒﻞ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ ﻋﻦ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﻭﺍﻻﺗﻔﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ )ﻣﺜﻞ ﺍﻟﺤﺬﻑ ﻭﺍﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻭﺍﻟﺤﻞ ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ( ﻭﻓﻰ‬ ‫‪:R2 ! +;Z Q HK‬‬ ‫ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺳﻮﻑ ﻳﺘﻌﻠﻢ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺣﻞ ﻧﻈﺎﻡ ﻣﻦ‬ ‫ب‬ ‫‪ 1‬أ ﻧﻌﻢ‬ ‫ﻧﻌﻢ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻮﺿﻴﺢ‪:‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫ﻗﺒﻞ ﺃﻥ ﺗﻄﺮﺡ ﻋﻠﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺭﻗﻢ )‪ (١‬ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ‬ ‫* ﺗﺤﻞ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﻭﺻﻒ ﻣﺎ ﻳﻠﻰ‪:‬‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫) _‪( C 8%‬‬ ‫‪ q‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟـ ﺱ = ‪٠‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪/‬‬

‫‪q‬‬

‫ﺟ ﻻ‬

‫‪q‬‬

‫‪/‬‬

‫‪q‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟـ ﺹ = ‪٠‬‬

‫) _‪( U 8%‬‬

‫د ﻧﻌﻢ )ﻳﺮﺳﻢ ﺧﻄﺎﻥ‬ ‫ ‪ :z{ h! `a9‬ﻫﻞ ﺍﻟﻨﻘﻂ ﺍﻟﻮﺍﻗﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮﺭﻯ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬ ‫ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ(‬ ‫ﺟﺰﺀ ﻣﻦ ﺃﻯ ﺭﺑﻊ؟ ‪.3‬‬ ‫ﺗﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﻓﻬﻢ ﻃﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﺣﻞ ﻧﻈﺎﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫ﺣﻼ ﻟﻬﺬه ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﻣ ًﻌﺎ‪.‬‬ ‫ﻳﻌﻨﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻨﻘﻂ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻤﺜﻞ ًّ‬ ‫ ! "‪'8 D ' 4 − 5:‬‬

‫^^[‬

! 8 !9 !M; =8

¢SQódG ¢VôY

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

ŀ- 5 > =ƅŮƄŀń G =ń + 5 ł Ɗ zÊ j z w Ē e Kkb d& 2

:‫ ﺣﻞ ﻧﻈﺎم ﻣﻦ اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧ ّﻴًﺎ‬:‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

5Ņ G = ŃƅƊ zÊ j z wb b zG+b ky gb e Kj d& 2 Ņ- H =Ł + 5 ł-ƅ ‫اﻟﺤﻞ‬

Ƌd'b [Gkf isbr Ů zÊ j z e Kkb wV ky f d^ d& Nsg#f dÍ f :4 6 c%M

N ^

5 Ņ G = Ń ƊR U> ; 4+C F76ƅƅ5Ņ ɤ = Ń t.'b hz[ 7gb h62j

ŁłȲ

^− − − − − − − − − Ȳ ^− N−

Ł ł

* /

Ŀ Ŀ

e .+ 6 2 +y 0b ůt.'b hz[ 7gb wcN P[ ƛĿ ŮĿƜ G[kb ƛŁ Ůł-Ɯ l_ br t.'b hz[ 7gb w j " t.& wcN t2* G[j ƛł-Ɯ Ņ G ƛŁƜ Ń Ɗis_zVƅƅƆ ƅ 4I %-6ƅŀŁ- G Ňƅx Ƅƅƅƅ P[y t0b ts 7gb X?j wo r ŮŀM d'b Nsg#f is_zV a F ƛŁ Ůł-Ɯ G[kb qzV ŀ

Ņ- H = Ł + 5 ł - : 2 W U> ;

4+C F76ƅŅ- ɤ =Ł- 5ł- t.'b hz[ 7gb h62j

ŁŅ

Ł Ŀ

Ƌe Kkb d& [Gkf d g w b r Ůe Kkb ky f d& \F kf lz ^2 ;gb [Gkgb -.'j :4 6 c%M Ƌd_;b wV g^ lz jscgb lz [Gkgb lz ^2 ;f [Gkf ."s Đr Ůi y3 s f Ła Ůŀa lzg[ 7gb i L&đjr z ɤ O¹ f lz ky gb d& Nsg#f `

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

5 H =Ɔ ƄƄƊ zÊ j z wb b zG+b ky gb e Kj d& ."r 3 ŀ + 5 G =ƅ ƅƅ

‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ‬٤٤) ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻﻔﺤﺔ‬ ‫ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ‬،‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ً .‫ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﻧﻘﻄﺔ ﻟﻠﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﺤﻞ‬

4 6 ` W RE ‫ ﻛﻴﻒ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺨﻄﻮﻁ‬:]QhI `a9 ?‫ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺔ ﺑﺪﻭﻥ ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻳﺘﻮﺻﻞ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺇﻟﻰ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﺨﻄﻮﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﻴﻞ ﻭﺍﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﻤﻘﻄﻮﻉ ﻣﻦ‬ ،‫ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻓﻨﺠﺪ ﺃﻥ ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻴﻞ‬ .‫ﻭﻟﻜﻦ ﻫﻨﺎﻙ ﺇﺟﺰﺍﺀ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻣﻘﻄﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ‬ ‫ﻭﺿﺢ ﻛﻴﻒ ﺍﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﻟﻴﺲ ﻟﻪ‬ ‫ ﺣﻴﺚ ﻻﺗﻮﺟﺪ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺸﺘﺮﻛﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﻨﻄﻘﺘﻰ ﺣﻞ ﻛﻞ‬،‫ﺣﻞ‬ .‫ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ‬

Ŀ * ł- /

ky gb \[' Đ ƛĿ ŮĿƜ G[kb a F ƛĿ ŮĿƜ G[kb qzV P[ Đ t0b ts 7gb X?j wo r ŮŁM d'b Nsg#f `

‫ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺨﻄﻮﺍﺕ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ .‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﺑﻤﺜﺎﻝ‬ ‫ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻟﻴﻦ ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ‬ ً

'8 D ' 4 − M s &

ôªà°ùªdG º««≤àdG

«‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ‬ .‫( ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‬٤٥) ‫ﺻﻔﺤﺔ‬ :4 ^6 _&- +_! B) ` Q HK / 2 1

‫ﻣـﺜـﺎل‬

ŇĿ lN 2zK'b asF d[yĐ i #y Ůd_;b czG 7f 2zK& dgN j sz& w 2f .y2y ǵģŐŨǤģś ƤśƄǤĝ 3 ? 2zK'cb k_ggb - O Ĕ gV Ƌ1 f łŀĿ lN pGz'f .y4yĐ i r Ů 2 f ¹ ‫اﻟﺤﻞ‬

Ƌ 2zK'b asF ɤ = Ƌ 2zK'b A2N ɤ 5 : (Z 1 f łŀĿ lN .y4yĐ Hz'gb Ƌ 2 f ŇĿ lN d[yĐ asGb :FQ8 ¹ łŀĿ H = Ł + 5 Łƅ ŇĿ G =ƅƅ ŇĿ G = Ɗ zG+b ky gb e Kj d'b łŀĿ H = Ł + 5 Ł Ɗwb b M `k_gy

:R U> ; ŇĿ G = 4#b asFr dzgb e.+ 6 - ?b 1s'f lf MsG[gb ` t.'b hz[ 7gb h62b ŇĿ ɤ = ` * ƛd? f t.'b hz[ 7gb Ɯ Ł ŀ Ŀ * ŇĿ ŇĿ ŇĿ /

2 % _ c( n Q)

( ; Q `%M

: 2 W U> ; łŀĿ H =Ł + 5 Ł NsG[gb 4"Ĕ e.+ 6 z .&Ė t1s'f lf Ɗt.'b hz[ 7gb h62b łŀĿ ɤ =Ł + 5 Ł ƛd? f t.'b hz[ 7gb Ɯ ŀĿ ŀńń Ŀ * ŀŃń Ŀ ŀńń /

ƛŁĿ ŮŁĿƜ G[kb 2 * łŀĿ H =Ł + 5 Ł ? łŀĿ H ƛŁĿƜŁ + ƛŁĿƜŁ ƛ s>Ɯ łŀĿ H ŇĿ t0b ts 7gb X?j wo ŁM d'b Nsg#f a F ƛŁĿ ŮŁĿƜ G[kb qzV P[ Ł

N ( ; Q b(

ƛŁĿ ŮŁĿƜ G[kb 2 * ŇĿ G = ?

ƛ G*ƜƅŇĿ G ŁĿ t0b ts 7gb X?j wo ŀM d'b Nsg#f a F ƛŁĿ ŮŁĿƜ G[kb qzV P[ Đ ŀ

Ƌh62b 'Bsgb r ^2 ;gb [Gkgb wV H[kb Nsg#f wor ŁM EŀM ɤM d'b Nsg#f

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ɗ\ 7b a gb lf ?e Kkb 0pb đ& h^ Ƌ 2zK'cb ƛA2Ob r asGcbƜ k_gf - O đ HN 4 Ê ?w .&Ė ts 7gb lf H[V arĔ P 2b wV d'b [Gkf (zBs h / gb 5

Z 8 D ? $ W4 − !J )

− − − − − − q − /

− − − − − q − /

* ^

‫( ﻭﻫﻮ ﻣﺜﺎﻝ ﺗﻄﺒﻴﻘﻰ ﻭﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻰ ﻃﺮﻳﻘﺔ‬٣) ‫ﺍﻧﺘﻘﻞ ﺇﻟﻰ ﻣﺜﺎﻝ‬ :‫ﺑﺪﻳﻠﺔ ﻟﻠﺤﻞ‬ ‫ﻭﺿﺢ ﺣﻞ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ‬ ‫ ﺷﺒﻜﺔ‬،‫ ﺍﺭﺳﻢ ﻋﻠﻰ ﺷﻔﺎﻓﻴﺔ‬،‫ﺟﻬﺎﺯ ﺍﻟﻌﺮﺽ ﻓﻮﻕ ﺭﺃﺳﻰ‬ ‫ ﺑﺎﻟﻠﻮﻥ‬٨٠ G ‫ ﻭﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺹ‬،‫ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺑﺎﻟﻠﻮﻥ ﺍﻷﺳﻮﺩ‬ ‫ ﺍﺭﺳﻢ ﺷﺒﻜﺔ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬،‫ ﻋﻠﻰ ﺷﻔﺎﻓﻴﺔ ﺃﺧﺮﻯ‬،‫ﺍﻻﺣﻤﺮ‬ ‫ ﺑﺎﻟﻠﻮﻥ‬٣١٠H ‫ﺹ‬٢ + ‫ﺱ‬٢ ‫ ﻭﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬،‫ﺑﺎﻟﻠﻮﻥ ﺍﻷﺳﻮﺩ‬ ‫ ﺛﻢ ﺍﻋﺮﺿﻬﻤﺎ‬،‫ ﺍﻋﺮﺽ ﻛﻞ ﺷﻔﺎﻓﻴﺔ ﺑﺼﻮﺭﺓ ﻣﻨﻔﺼﻠﺔ‬،‫ﺍﻷﺯﺭﻕ‬ ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺪﺍﺧﻞ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﻠﻮﻧﻴﻦ ﺍﻷﺣﻤﺮ‬،‫ﻣﺘﺪﺍﺧﻠﻴﻦ‬ .‫ﻭﺍﻷﺯﺭﻕ ﺗﻤﺜﻞ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﺤﻞ‬ Z 8 D ? $ W4 − !J )

[^t [^t

!7 8 !9 !M; =8 ! 8 !9 !M; =8

º««≤àdG

:' 0%& ; IhM v ( K Mx2) .‫ ﺍﻛﺘﺐ ﻧﻈﺎ ًﻣﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﻟﻴﺲ ﻟﻪ ﺣﻞ‬1 ‫ ﺍﻛﺘﺐ ﻧﻈﺎ ًﻣﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﻳﻜﻮﻥ ﺣﻠﻪ ﺧﻄًّﺎ‬2 .‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ‬ ً

á£°ûfC’G á°SGôc á£°ûfCG º««≤J (4) áëØ°U •É°ûf

U xU 1 <! 1 9 ÖdÉ£dG AGOCG

ôjó≤àdG

!:# / M . $ ; 7 = 3 56 , 3!3R < 49 H8 H 3!3R > k / 9 . ! I < # / M w 3 3 56 , 3!3R < 49 !:# k = H 3!3R > k / 9 . < # / M w 3 k = 3 l H 3!3R > k , 3!3R < 49 !:# k

y H H

‫ﻣـﺜـﺎل‬

- zZ r k V Ůwc [b q"sb KV 'g zjsN2Wb 1 Ē 1 y4b c&2 t- Vr eđ6 e Z ǵģŐŨǤģś ƤśƄǤĝ 4 .y4 Đr Ů N 6 ł lN d[ Đ eszb wV d> s f s'j wcN 1 z7cb eđ6 - zZ 2 V j ^ / V Ů 1 z7b .y4 Đr lz N 6 lN d[ Đ eszb wV d> s f s'j wcN 1 z7cb t- V - zZ 2 V j ^r Ů N 6 ņ lN zG* ky f e Kj ^ Ƌ N 6 Ň lN .y4yĐ zÊ fsy gpzc^ - zZ lf3 wb g" i ^r Ů N 6 Ņ lN Ƌe Kkb 0o d& [Gkf zÊ j z d f h ŮXZsgb 0o d gy ‫اﻟﺤﻞ‬

. E c 0 Z 9 Z

:‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﻧﻈﺎﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ‬ ١- H ‫ ﺱ‬، ١- H ‫ ﺹ‬1 ٢ G ‫ ﺱ‬، ‫ﺱ‬٣ > ‫ ﺹ‬2 ١ G ‫ ﺹ‬، ٥ H ‫ ﺹ‬+ ‫ ﺱ‬3

Ƌ N 6 ņ lN .y4yĐr N 6 ł lN d[yĐ d> s f s'j wcN 1 z7cb eđ6 - zZ N 6 -.N :rh9K Ƌņ H 5 H ł Ɗis_zV 1 z7cb eđ6 - zZ N 6 -.N wo 5 i A2Wj / lz N 6 lN d[ Đ 1 z7cb t- V - zZ N 6 -.N :. E t u N 6 -.N wo = i A2Wj Ƌ N 6 Ņ lN .y4 Đr N Ņ H = H Ł Ɗis_zV 1 z7cb t- V - zV ^ Ɗis_zV N 6 Ň lN .y4yĐ zÊ fsy gpzc^ - zZ lf3 wb g" Ň H = + 5 Ů zÊ j z đ b ky gb lf d^ d& Nsg#f d f * ?e Kkcb đ& d gy e Kkb d& [Gkf wV 2f !r3 t Ê ^ N u t rh9K c 0 Z 9 Z Ɗ k_ggb asc'b lf Ƌeđ6Ė - zZ N 6 Ņ Ůt- Wb - zZ i N 6 Ƌeđ6Ė - zZ N 6 ń Ůt- Wb - zZ N 6 ł Ƌeđ6Ė - zZ N 6 Ń Ůt- Wb - zZ N 6 ł Ƌeđ6Ė - zZ N 6 ł Ůt- Wb - zZ N 6 ń

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ i ^ / V Ů 2;cb k¹ g p¹ zk" ŃŇ lf 2 ^ PV- .y2y Đr Ů2zf 7gb lf lzNsj 2: 1 #j .y2y řǭǨǤģś ƤśƄǤĝ Ůwj b Mskb lf dZĔ wcN .& r f¹ 2" scz^r ŮarĔ Mskb lf dZĔ wcN f 2" scz^ ł ! 'y 1 #kb ¹ so arĔ Mskb lf .& sb e 2" scz_b lg i gcN / ŮMsj d_b k¹ g 1 #kb qOV.z6 t0b Tc gb gV ? pzk" Ň so wj b Mskb lf .& sb e 2" scz_b lg r Ů pzk" Ņ ƋXZsgb 0o X?y zG+b ky gb lf f¹ Kj ^ ‫أ‬ Ƌ k_ggb asc'b (zBs b e Kkb 0o zÊ j z d f ‫ب‬ Ƌe Kkb 0pb đ& is_ G[j h6 Ê Í ‫ﺟ‬ Ƌe Kkb 0pb đ& is_ Đ G[j h6 Ê Í ‫د‬

'8 D ' 4 − M s &

H8 t

H H8 u

/ 9 . <)! & < # / M w 3 `% < l k , 3!3R < 49 !:# H8 ^ k = 3 H 3!3R > k w 3 , / 9 & M a!M / V " P Ho! < # / : H8 ^ ' +0)

ôªà°ùªdG º««≤àdG

«‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ‬ ‫( ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‬٤٦) ‫ﺻﻔﺤﺔ‬ 4 N6 _&- o+_! B ` p Q HK ‫ﻣﺘﺮﺍ؛‬ ً ٢٠ ‫ﻣﺘﺮﺍ؛‬ ً ٨٠ * ‫ﻣﺘﺮﺍ‬ ً ٢٠ ‫ ﻛﻤﺜﺎﻝ؛‬3 ً ١٢٠ * ‫ﻣﺘﺮﺍ‬ .‫ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻟﻬﺎ ﻋﺪﺩ ﻻﻧﻬﺎﺋﻰ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬.‫ﻣﺘﺮﺍ‬ ً ٨٥ * ‫ﻣﺘﺮﺍ‬ ً ٧٠ .‫ ﻻﻥ ﺍﻟﻄﻮﻝ ﻭﺍﻟﻌﺮﺽ ﻻﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻧﺎ ﺳﺎﻟﺒﻴﻦ‬4 ‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬٤٧) ‫( ﺻﻔﺤﺔ‬٤) ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ‬ ‫ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺇﻋﻄﺎﺀ‬- ‫ﻭﺍﻟﺤﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ‬ .‫ﺣﻠﻮﻝ ﻏﻴﺮ ﻣﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﻣﻊ ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺮ‬

º««≤àdGh ÖjQóàdG

R2 W |%U ( 9

];[E ' d<_! Q HK ٣٣ H ‫ﺹ‬٠٫٥٥ + ‫ﺱ‬٠٫٦ ‫أ‬ ١٢ G ‫ﺹ‬ ٩G‫ﺱ‬ / ‫ب‬ u (٢٠ ،٢٠) :‫ﺟ ﻛﻤﺜﺎﻝ‬ N (٢٥ ،٤٠) :‫د ﻛﻤﺜﺎﻝ‬ =*

'8 D ' 4 − 5:" !

^ N u t * ` |%U ( 9

3-2

â&#x20AC;ŤŘ§ďť&#x;ďş&#x2019;ďşŽďťŁďş ďş&#x201D; Ř§ďť&#x;ďş¨ďť&#x201E;ďť´ďş&#x201D; Ů&#x2C6;Ř§ďť&#x;ďş¤ďť&#x17E; Ř§ ďťŁďş&#x153;ďť&#x17E;â&#x20AC;Ź

â&#x20AC;ŤďşłďťŽŮ ďş&#x2014;ďş&#x2DC;ďť&#x152;ďť ďť˘â&#x20AC;Ź

â&#x20AC;Ťďť&#x2039;ďť¤ďť&#x17E; ďş&#x2014;ďť&#x152;ďş&#x17D;Ů&#x2C6;ďť§ďť°â&#x20AC;Ź j r ĹŽ Zsb DO b WzJr `zcN A2N qj A2 V Ć&#x2039;dgOb 0pb q?z?+ `k_gy t0b Zsb f 2_W hzKk wcN ].N 7 b zB y2b e .+ 6 `k_gy Ć&#x2039;hzc7b 1 2[b / + r ]2z_W Ć&#x160;`b dzf3 Pf dgN wC[ w b Y2Gb g Z ^ â&#x20AC;ŤÂ&#x161; ŘŁâ&#x20AC;Ź Ć&#x2039;Ms 6Ä&#x201D; aÄ&#x2018;* ` Zr p Ć&#x2039;Y2F 2;N lN .y4 Ä? z' ` g Z hKj â&#x20AC;ŤŘ¨â&#x20AC;Ź Ć&#x2039;wB gb Ms 6Ä&#x2022;b zĂ&#x160; ?+: gys[ dgN Â&#x203A; Âš Ć&#x2039;Ć&#x203A;Ĺ&#x20AC;Ć&#x153; hZ1 .k b wV p -.& w b Y2Gcb Âš Zr -.& â&#x20AC;ŤŘŁâ&#x20AC;Ź ? Zsb DO WzJr wV dgOcb Âš 6 kf m 2 t0b Zsb f â&#x20AC;ŤŘ¨â&#x20AC;Ź ?`br." wV qkN MÄ&#x2018;ZÄ&#x2013; e.N r qkN MÄ&#x2018;ZÄ&#x2013; `k_gy t0b f Ć&#x160;<Z j â&#x20AC;Ťďş&#x;â&#x20AC;Ź

â&#x20AC;Ťďş&#x2014;ďť&#x152;ďť ďť˘â&#x20AC;Ź

â&#x20AC;ŤŘ§ďť&#x;ďş&#x2019;ďşŽďťŁďş ďş&#x201D; Ř§ďť&#x;ďş¨ďť&#x201E;ďť´ďş&#x201D;â&#x20AC;Ź

Linear programing and Optimization

!2 ' =" !2 Â&#x2020;` H !" 2M J Z)*4 c !My bÂ&#x2021; ; H q /z v"9 :.M 9 R @ :" Â&#x2C6;)C ? c !C ! !J < R c 8 ! Â&#x2C6;)C a f 2M h !M@ : 0 Â&#x2030; h a , !7 8 !9 H D $

Ů? â&#x20AC;ŤŘ§ďť&#x;ďť¤ďşźďť&#x201E;ďť ďş¤ďş&#x17D;ŘŞ Ř§ ďşłďş&#x17D;ďşłďť´â&#x20AC;Ź Ů? â&#x20AC;ŤŮ&#x2018;ďş&#x201D;â&#x20AC;Ź !M@ b)9

linear programing

!7 8 !9 !M; =8 ! !& M , '( !M; % ) ; ! !& 0 ,- '( H q / v"9

*8 )

Â&#x192; Â&#x192; Â&#x201E;Â&#x2026;

Unbounded

D $ f

Optimize

#f2 b wg7 zcgN e .+ 6 mÄ&#x2018;N &r2Ggb d f c 6 lN "Ä&#x2013; `k_gy .Linear programing zG+b $f j2 b ^ so q e z[b #y dgN ar i V zG+b #f2 b d 7f d'br Ć&#x160;lf is_ yr ĹŽ b 7gcb wG+b wgKN gzZ 7'b 6 1.b d'f c_;gb qzb U.p f worĆ&#x153; U.pb b - Â&#x161; Ć&#x160; 1s?b wcN is_ zG* b - wor ĹŽĆ&#x203A;t2S> gzZ r Ć&#x2039; OÂš f 2W?b i yr 7yÄ? i z[z[& i -.N ĹŽC z& = + 5 C É¤ S

& 7

Constrains Bounded

Linear Programing

â&#x20AC;ŤŘ§ďť&#x;ďş&#x2019;ďşŽďťŁďş ďş&#x201D; Ř§ďť&#x;ďş¨ďť&#x201E;ďť´ďş&#x201D; Ů&#x2C6;Ř§ďť&#x;ďş¤ďť&#x17E; Ř§ ďťŁďş&#x153;ďť&#x17E;â&#x20AC;Ź

3-2

Linear programing and Optimization

: ':# L k M . aL 8 '(

H !" 2M J Z)*4 !2 ' =" !2 ď&#x20AC;ł â&#x20AC;ŤŘ§ ŘŻŮ&#x2C6;Ř§ŘŞ Ů&#x2C6;Ř§ďť&#x;ďťŽďşłďş&#x17D;ďş&#x2039;ďť&#x17E;â&#x20AC;Ź H'8 !9 5 S HQ R

zG* ky f 1s> wV wor ĹŽ b 7gb Oz F pB2W w b -sz[b Nsg#f Â&#x203A; Ć&#x2039; b 7gb 2zS g h_' w b df sOcb zj.b r zcOb -r.'b d g ly2zS g

H q /z v"9 c !My bÂ&#x2021; ; / ď&#x20AC;ł a ? c !C ! !J :.M 9 R @ :" 5 Â&#x2039; ď&#x20AC;ł H D $ : 0 Â&#x2030; h , 8 ! Â&#x2C6;)C

9 9) (&

i l_gy Ä? f.kN 2zS gb wcN b 7gcb wgcOb PZ sb pB2Wy w b -sz[b Â&#x153; Ć&#x2039; b 6 gÂš zZ 2zS gb m0o 0*

Z 8 D ? $ W4 â&#x2C6;&#x2019; !J )

H D - 3 )!Â&#x2026; - 3 - !L - !M@ % )9

; ; %; H "9) S - ! :# N - : )!O I - ! :" < /

( <; =>8 @(I

D $ 3 !M; % )

â&#x20AC;ŤďťŁŮ&#x20AC;ďş&#x153;Ů&#x20AC;ďş&#x17D;Ů&#x201E;â&#x20AC;Ź

wgKN gzZ =Ĺ + 5Ĺ&#x201A; É¤ S b .b gzZ dO# w b = ĹŽ5 w gzZ ."r zG+b #f2 b e .+ 6 1 Ĺ&#x201A; G =Ć&#x2026;ĹŽĆ&#x201E;Ĺ&#x2021; H = + 5Ć&#x2026;ĹŽĆ&#x201E;Äż G =Ć&#x2026;ĹŽĆ&#x201E;Äż G 5 Ć&#x160;-sz[b ' t2S> gzZ h / O C t 4t , 6 u N ^ GH 4 , 6

- >.M - ' -, W4" - ML - )O T)" H'8 " 5:"

â&#x20AC;ŤŘ§ďť&#x;ďş¤ďť&#x17E;â&#x20AC;Ź

Ć&#x203A; zĂ&#x160; j z ky gb d fĆ&#x153; -sz[b h61 :4 6 c%M Ć&#x2039;d'b [Gkf 5r 1 z .& ."r :4 6 c%M Ć&#x160;wo d'b [Gkf 5r 1 i L&Ä&#x2018;j d_;b lf Ć&#x203A;Ĺ&#x201A; ĹŽÄżĆ&#x153; Âś" ĹŽĆ&#x203A;Ĺ&#x201A; ĹŽĹ&#x201E; Ć&#x153; ĹŽĆ&#x203A;Ĺ&#x2021; ĹŽÄżĆ&#x153;C 5 1 d^ .kN = Ĺ + 5 Ĺ&#x201A; É¤ S b .b gzZ ."r :4 6 c%M Ć&#x160;wb b ar.#b is_j

=>8 B

Ć&#x203A;Ĺ&#x2021; ĹŽÄżĆ&#x153; C Ĺ&#x2021; Äż Ĺ&#x20AC;Ĺ&#x2026; Ć&#x203A;Ĺ&#x2021;Ć&#x153; Ĺ + Ć&#x203A;ÄżĆ&#x153; Ĺ&#x201A; Ĺ&#x201A; Ĺ&#x201E; Ć&#x203A;Ĺ&#x201A; ĹŽĹ&#x201E;Ć&#x153; Ĺ Ĺ&#x20AC; Ć&#x203A;Ĺ&#x201A;Ć&#x153; Ĺ + Ć&#x203A;Ĺ&#x201E;Ć&#x153; Ĺ&#x201A; R;nZ ; 0 $ Ć&#x203A;Ĺ&#x201A; ĹŽÄżĆ&#x153; Âś" Ĺ&#x201A; Äż Ĺ&#x2026; Ć&#x203A;Ĺ&#x201A;Ć&#x153; Ĺ + Ć&#x203A;ÄżĆ&#x153; Ĺ&#x201A; .(T- ; 0 $ .kN is_ r Ĺ&#x2026; tr 7 b .cb t2S?b gz[b r ĹŽĆ&#x203A;Ĺ&#x201A; ĹŽĹ&#x201E;Ć&#x153; G[kb .kN is_ r Ĺ Ĺ&#x20AC; tr 7 b .cb wgKOb gz[b Ć&#x203A;Ĺ&#x201A; ĹŽÄżĆ&#x153; G[kb ?d'b [Gkf 5r 1 .& .kN U.pb b .b t2S?b r wgKOb gz[b \[' / gb Ć&#x201E;Ç&#x201D;Ćž / Ć&#x160;a 7 b 0o " U2O b O C t 4t , 6 Äż É¤ =Ĺ + 5Ĺ&#x201A; i .#kV =Ĺ + 5Ĺ&#x201A; É¤ S U.pb b - wV Äż É¤ S PCj Â&#x161; u Ć&#x2039;Ć&#x203A;Ĺ&#x201A;- ĹŽĹ Ć&#x153; G[kb r ĹŽd>Ä&#x201D; G[k 2gy gÂš z[ 7f d g N ^ hz[ 7gb 0pb y3 sfr d'b [Gkf PG[ gz[ 7f .N g61 / Â&#x203A; 4 ,^6 Ć&#x160;i V d>Ä&#x201D; G[k 1 gb GH I Ć&#x203A;Ĺ&#x201A; ĹŽÄżĆ&#x153; Âś" G[kb 2gy gz[ 7gb m0o ar 4 , 6 * Ĺ&#x2026; É¤ S Ć&#x2026;t Ć&#x2026; Ĺ&#x2026; É¤ =Ĺ + 5Ĺ&#x201A;Ć&#x2026; q b- Of is_ r ^ N u t â&#x2C6;&#x2019; 1 gb wj b hz[ 7gb wb wg k w b H[kb Pzg" .kN S gzZ Â&#x153; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; wb d?j w & .y 4 b wV S 2g 7 r ĹŽĹ&#x20AC;Ĺ&#x2026; tr 7 Ć&#x203A;Ĺ&#x2021; ĹŽÄżĆ&#x153; C G[kb Ĺ Ĺ&#x20AC; É¤ Ĺ&#x201A; * Ĺ + Ĺ&#x201E; * Ĺ&#x201A; É¤ S i .#kV ĹŽ Ć&#x203A;Ĺ&#x201A; ĹŽĹ&#x201E;Ć&#x153; G[kb 1 gb r e Kkb d& [Gkf PG[y H* 2* gz[b `b0^r ĹŽd'b [Gkf 5r 1 .& wor Ć&#x203A;Ĺ&#x201A; ĹŽÄżĆ&#x153; G[kb .kN Ĺ&#x2026; É¤ U.pb b .b t2S?b gz[b i V `b0b Ć&#x2039; Cy d'b [Gkf 5r 1 .& wor Ć&#x203A;Ĺ&#x201A; ĹŽĹ&#x201E;Ć&#x153; G[kb .kN Ĺ Ĺ&#x20AC; É¤ U.pb b .b wgKOb Âš 5r 1 .kN i [[' gpj V ĹŽU.pb b .b ."r i t2S?b gz[b r wgKOb gz[b Ĺ&#x2DC;Ä&#x; ĹŹĹ&#x2020;Ĺ?Ĺ&#x2020;Ć&#x2018;Ĺ Ç&#x2020;ÄžĆ&#x2019; ÄŁÇ¨ÇŠ [ b H[j .kN r b 7gb -szZ Nsg#f d_; w b ky gcb k_ggb asc'b [Gkf Hz'y t0b PcCgb Ć&#x2039; k_ggb asc'b [Gkf .' w b gz[ 7gb

H t 3 R ' ` t] 3 R M s & H\_ 3 R ' ` [r 3 R MM8$ s & Hi~8) 8K j :" : ! . M

4 ,^6

^ N u t

S ; 0

/ + *

'8 D ' 4 â&#x2C6;&#x2019; M s &

H' 4

1 8 C

M<U

Â˘SQĂłdG Ă¤GAGĂ´LEGď&#x20AC; ď&#x201A;¨ ĂłÂŤÂĄÂŞĂ dG

:â&#x20AC;Ťďş?ďť&#x2039;ďşŽďş˝ ďť&#x2039;ďť ďť° ďť&#x192;ďťźďş&#x2018;ďť&#x161; ďťŁďş&#x17D; ďťłďť ďť°â&#x20AC;Ź â&#x20AC;Ťďťłďşźďť&#x2019; ďťŁďşŞďťłďşŽ ďş&#x2021;ďşŁďşŞďťŻ ďş§ďť&#x201E;ďťŽďť ďş?ďť&#x;ďť&#x201E;ďť´ďşŽďş?ďťĽ ďş&#x192;ďť&#x2014;ďşźďť° ďşŁďş ďť˘ ďťŁďş´ďť¤ďťŽďşĄâ&#x20AC;Ź :â&#x20AC;Ťďş&#x2018;ďťŞ ďť&#x;ďş¤ďş ďşŽďş&#x201C; ďş?ďťˇďťŁďş&#x2DC;ďť&#x152;ďş&#x201D; ďş&#x2018;ďş&#x17D;ďşłďş&#x2DC;ďş¨ďşŞďş?ďťĄ ďş?ďť&#x;ďşźďť´ďť?ďş&#x201D;â&#x20AC;Ź â&#x20AC;Ťďşłďť˘â&#x20AC;ŹŮŁŮ§ŮĽ H â&#x20AC;Ť ďť&#x2018;â&#x20AC;Ź+ â&#x20AC;Ť ďť&#x2030;â&#x20AC;Ź+ â&#x20AC;Ťďť?â&#x20AC;Ź ?â&#x20AC;Ťďş?ďşłďş&#x201E;ďť? ďť&#x192;ďťźďş&#x2018;ďť&#x161; ďťŁďş&#x17D;ďşŤďş? ďş&#x2014;ďť&#x152;ďť¨ďť° ďťŤďşŹŮ&#x2021; ďş?ďť&#x;ďşźďť´ďť?ďş&#x201D;â&#x20AC;Ź Z 8 D ? $ W4 â&#x2C6;&#x2019; !J )

[^Â

D $ 3 !M; % )

»fhÉ©J πªY

‫ ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻟﻤﻬﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ‬،‫ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ‬ .‫ ﺍﻟﺘﻨﻈﻴﻢ‬- ‫ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻹﺩﺍﺭﺓ‬- ‫ ﺍﻟﻮﻗﺖ‬:‫ﺑﺎﻟﻌﻤﻞ ﻣﺜﻞ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ɗ-sz[b ' = + 5 ɤ S b .cb t2 _b gz[b r t2S?b gz[b lf đ^ ."r zG+b #f2 b e .+ 6 1 Ê / Ň + 5- H =ƅŮƄŁ- 5 ŁG =ƅŮƄĿG =ƅŮƄĿ G 5 u N = Ů5 w gzZ ."r :+Q <; + x ' 2 ^ Ƌt2S> gzZ = ń + 5 Ł ɤ S b .b gzZ dO# w b

4 6 108 ` 9 : |%U ‫ﻗﺪ ﻻ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﺪﻯ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻭﻗ ًﺘﺎ‬ ‫ﻣﺘﺎﺣﺎ ﻟﻠﻘﻴﺎﻡ ﺑﻮﻇﻴﻔﺔ‬ ً ‫ ﺍﻗﺘﺮﺡ ﻋﻠﻴﻬﻢ‬،‫ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻮﻗﺖ ﻭﺫﻟﻚ ﻟﻮﺟﻮﺩ ﻣﺴﺌﻮﻟﻴﺎﺕ ﺃﺧﺮﻯ‬ .‫ﻋﻤﻞ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻟﺸﺨﺺ ﺗﺨﻴﻠﻰ‬

d'b wb as>sb r z z& c_;f d'b 1 2Z dCV wb as>sb lf k_g zB y1 [y2F zG+b #f2 b Er2; e 4 bĐ Pf ŮlzOf Mr2;gb ( 1 wcN r Wc_ dZ \z[' d f lzOf U.o \z[' b ‫؛‬Optimization d fĔ Ɗađ* lf `b/ \z[' l_gyr Ů 6 1.b d'f c_;gb r Ys7b r ! jĖ zb -szZr ky gb lf e Kj 1s> wV pOBrr -sz[b wcN U2O b r Ů 2zS gb .y.' b c_;gb r XZsgb dzc' Ƌ zG+b Ƌƛ zG* b - worƜ 6 1.b PBsf c_;gb wV q[z[' - 2gb U.pb b - ^ Ƌ zÊ j z zG+b ky gb e Kj dz g Ƌd'b [Gkf 5r 1 .y.' Ƌ b 7gb wV scGgcb O¹ t2S?b gz[b r wgKOb gz[b 2 +j h ŮU.pb b - wV 5r 2b z .& AsOj

‫ اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬:‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫ ﺭﺑﻤﺎ ﻳﺘﺴﺎﺀﻝ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻋﻦ ﺗﻔﺴﻴﺮ‬4 6 108 ` W; RE .‫ﻳﻮﺿﺢ ﻟﻤﺎﺫﺍ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻌﻈﻤﻰ ﻭﺍﻟﺼﻐﺮﻯ ﻋﻨﺪ ﺍﻟﺮﺅﻭﺱ‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬،‫ﻭﻟﻺﺟﺎﺑﺔ ﻋﻦ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ ﻭﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ‬،‫ﺹ ﻟﻘﻴﻢ ﺭ ﻋﻨﺪ ﺍﻟﺮﺅﻭﺱ‬٢ + ‫ﺱ‬٣ = ‫ﺭ‬ / .‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻮﺿﺢ ﺍﻟﻘﻴﻮﺩ‬

‫اﻟﺤﻞ‬ RC0 _ ~2 W |%U

ńĿ =ł + 5Ń

‫ ﻛﻞ ﺍﻟﻨﻘﻂ ﺍﻟﺘﻲ‬B) h2 ‫ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻘﻴﻮﺩ ﺗﻘﻊ ﺑﻴﻦ ﺃﻗﺼﻲ‬ * ‫ ﻭﺍﻟﻠﺬﺍﻥ‬،‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ‬ ^ N u t ‫ﻳﻤﺮﺍﻥ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ﺍﻟﻠﺘﻴﻦ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬ .(٣ ،٠) ‫ ﻭﻗﻴﻤﺔ ﺻﻐﺮﻯ‬،(٣ ،٥) ‫ﻋﻨﺪﻫﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻈﻤﻰ‬

= ł

ôªà°ùªdG º««≤àdG

«‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ‬ .‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‬٥٠) ‫ﺻﻔﺤﺔ‬ 4٥٠6 _&- +_! B) ` Q HK ٨ ‫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﻈﻤﻰ‬،‫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺮﻯ ﺻﻔﺮ‬1 (٠ ،٣) 2

‫ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬:‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ‬٥٠) ‫ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﺗﺒﺎﻉ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﻤﻮﺿﺤﻪ ﺻﻔﺤﺔ‬ ‫( ﻣﻮﺿﺤﺎ‬٥٠) ‫ ﺛﻢ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻌﻬﻢ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩ ﺻﻔﺤﺔ‬،‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ .‫ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻫﺬه ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ‬ ôªà°ùªdG º««≤àdG

«‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ‬ .‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‬٥١) ‫ﺻﻔﺤﺔ‬ L4٥١6 _&- +_! B ` Q HK

D $ 3 !M; % )

= ł + 5 Ń ɤ S Ɗl_gy f dZ 2;b lg Ɗwor [ _j GH

Ƌd [gb d_;b (Bsf so g^ zÊ j z ky gb e Kj d gj

Ɗ{or d'b [Gkf 5r 1 -.'j Ƌƛłń ŮŀńƜ ¶" Ůƛłń ŮłĿƜ ŮƛŁĿ ŮłĿƜ C

C *

l_gf lg dZ .y.' b U.pb b - wV 5r 2b z .& AsOj Ɗ{b b ar.#b (Bsf so g^ Ů 2;cb S ; 0

ŀŇĿ ŁŁń ŀŅń

/ + * / * M<U ƛŁĿƜ ł + ƛłĿƜ Ń ŁĿ łĿ ƛŁĿ ŮłĿƜ C ƛłńƜ ł + ƛłĿƜ Ń łń łĿ ƛłń ŮłĿƜ ƛłńƜ ł + ƛŀńƜ Ń łń ŀń ƛłń ŮŀńƜ ¶"

2;b lg b k_gf gzZ dZ $ 2;b lg is_zb ƛ Ɯ Mskb lf _g6 łń Ůƛ Ɯ Mskb lf _g6 ŀń 2: ] g6Ĕ d'f & > wcN #y Ƌl_gy f dZ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

ŮC lzWc +f lzNsj lf 2 ^Ĕ wcN zÊ Ns 6 ¹ Đr- ŁĿ wj.Ogb ĕb 2zS> Pk?f $ ky ǶưģŏƛǤģś ƤśƄǤĝ 3 Mskb lf M y f i ^r Ůqzk" ŀĿĿ so ƛ Ɯ Mskb lf q' 1r p¹ zk" ŇĿ so ƛ Ɯ Mskb lf q' 1 i ^ / V Ů 2 ^ Pk?gb \['zb Msj d^ lf zb r.b -.N ."r Ƌ{j b Mskb lf M y f a f đ lN d[yĐ arĔ Ƌl_gf ( 1 ‫ﻣـﺜـﺎل‬

/ y0RĔ lf lzNsj a WFĔ y0RĔ Pk?f $ ky ǶŨƛǤģś ƤśƄǤĝ 3 Ůƛ Ɯ lzf zV lf lz .&r wcN ts 'y arĔ Mskb i ^ / V Ů > * W> sf lzf zV lf .&r ł wcN ts 'y wj b Mskb r ƛ Ɯ lzf zV lf .&r ł Ůƛ Ɯ lzf zV lf .&r ŀŁĿ dZĔ wcN q 0R wV ! 'y dWGb i ^ / r Ůƛ Ɯ lzf zV lf lz .&rr Ůƛ Ɯ zg_b gV Ů pzk" Ń ƛ Ɯ Mskb Wc_ r Ů pzk" ń ƛ Ɯ Mskb Wc_ j ^r ƛ Ɯ lzf zV lf .&r ŀĿĿ ? k_gf Wc_ dZ q 0R wV dWGb q" 'y f \z[' b lzNskb lf d^ lf o 2: " sb R2 _

' i Z ' i Z

‫اﻟﺤﻞ‬

~2 W |%U

ŀŁĿ

= ł

5 Ł

lzf zV

ŀĿĿ

= Ł

5 ł

lzf zV

pzk" Ń

pzk" ń

Xzb _ b

'8 D ' 4 − 5:" !

` |%U

"UC

% '

[

[^}

Z 8 D ? $ W4 − !J )

= so ƛ Ɯ Mskb lf ] g6Ĕ -.N Ů5 so ƛ Ɯ Mskb lf ] g6Ĕ -.N Ɗi A2Wj ` |%U ƛ Mskb lf ¹^ g6 t2 ;y Us6Ɯ Ŀ G 5 is_yr 5 ƛ Mskb lf ¹^ g6 t2 ;y Us6Ɯ Ŀ G =ƅ Ń l (x '; ƛdZĔ wcN _g6 ńĿ ! 'y soƜ ń Ŀ G = + 5ƅ ƛ Mskb lf _g6 łĿ lf 2 ^ e .+ 6 qk_gyĐƜ łĿ H5ƅ ƛ Mskb lf _g6 łń lf 2 ^ e .+ 6 qk_gyĐƜ łń H =ƅ

lf lzNsj y2' b Đs^ gb a 'f .& Pz y ǡģǨưĭĝ ǵƃĝźĞ 2 ńĿ lN d'gb & > lf cGb d[ Đr Ů ŮC zpGgb ] g6Ĕ 2 ^ r Ůƛ Ɯ Mskb lf _g6 łĿ lf 2 ^ e.+ 7yĐ qj g^ Ů _g6 ƛ Ɯ Mskb lf _g7b 2: lg i gcN / V Ůƛ Ɯ Mskb lf _g6 łń lf lzNskb lf d^ lf _g6 h^ Ů pzk" ł so ƛ Ɯ Mskb lfr Ů pzk" Ń so ? 2;cb l_gf lg dZ \z[' b pf .+ 6 #y Ů

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬

^ N u

Real life applications of linear ٍ programing

¢SQódG ¢VôY

t u N ^

5 arĔ Mskb lf Pc7b -.N Ɗi A2Wj Ɗis_yr = wj b Mskb lf Pc7b -.Nr Ŀ G =ƅƅŮƅĿ G 5 ŀŁĿ G = ł + 5 Ł ŀĿĿ G = Ł + 5 ł

'8 D ' 4 − M s &

Ƌd [gb d_;b (Bsf so g^ zG+b ky gb e Kj d gj

.‫ ﺩﻭﻻﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬١٥ ،‫ ﺩﻭﺍﻟﻴﺐ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻷﻭﻝ‬٥ ‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ‬٥١) ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩ ﺻﻔﺤﺔ‬ .‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻭﻫﻮ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺣﻴﺎﺗﻲ ﻳﺸﻤﻞ ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻤﺴﺘﻬﻠﻚ‬

Ɗ{o d'b [Gkf 5r 1 ƋƛńĿ ŮĿƜ ¶" ŮƛłŁ ŮŀŁƜ ŮƛĿ ŮŅĿƜ C

ôªà°ùªdG º««≤àdG

M<U z .& AsOj ƛĿ ŮŅĿƜ C b - wV 5r 2b ƛłŁƜ Ń + ƛŀŁƜ ń łŁ ŀŁ ƛłŁ ŮŀŁƜ dZ .y.' b U.pb Ɗ k_gf Wc_ ƛńĿƜ Ń + ƛĿƜ ń ńĿ Ŀ ƛńĿ ŮĿƜ ¶"

«‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ‬ .‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‬٥٣) ‫ﺻﻔﺤﺔ‬

łŁ so wj b Mskb lf y0RĔ -.Nr ŀŁ so arĔ Mskb lf y0RĔ -.N Ů .kN l_gy f dZ Wc_ b is_

4^^6 _&- +_! B) ` Q HK ،‫ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻠﻌﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬٣ ‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻮﺍﺟﺐ ﺷﺮﺍﺅﻫﺎ ﻫﻰ‬ .‫ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻠﻌﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬٥

= Ń + 5 ń ɤ Sƅ Ɗl_gy f dZ Wc_ b wo U.pb b -

u ^ GH4^ , 6 I 4 , 6 4 ,N 6 * C u

S ; 0

łĿĿ U ; & ! +0) $

/ + *^

ƛĿƜ Ń + ƛŅĿƜ ń

ŀŇŇ ŁĿĿ

/ * Ŀ ŅĿ

‫ﻣـﺜـﺎل‬

es[y h a gOb .& qOzg# es[y Msj d^r ! ?b _gb lf lzNsj Pk?f $ ky ǓǣǭņƑǨǤģś ƤśƄǤĝ 4 Pzg# b N 6 łr ŮarĔ Mskb lf .&sb Pzg# b lz N 6 arĔ df Ob Y2S 7y Ƌi o.b 2* df N arĔ Mskb lf .&sb i o.b N 7b X?jr N 6 wj b df Ob Y2S 7y gkz Ůwj b Mskb lf .&sb gkz Ů dZĔ wcN zÊ fsy N 6 Ņ dgOy arĔ df Ob i ^ / V Ůwj b Mskb lf .&sb i o.b lz N 6r lf d^ lf .&r d^ wV p¹ zk" ńĿ so Pk?gb ( 1 i ^r Ů2 ^Ĕ wcN zÊ fsy N 6 Ņ wj b df Ob dgOy ?l_gf ( 1 2 ^ \['zb lzNskb đ^ lf zÊ fsy Pk?gb p# ky i #y w b .&sb -.N gV ŮlzNskb

•É°ûf

‫اﻟﺤﻞ‬ X U\ Q Q( B Z 9 i ;\ Z 9 % Z * ` |%U ńĿ Ł ŀ ŀŁ

5 arĔ Mskb lf .&sb -.N i A2Wj

= wj b Mskb lf .&sb -.Nr

/ R2 W |%U

Ŀ G = Ů Ŀ G 5 B% E

ńĿ

Ņ G =ł + 5 Ł

ŀŁ H = Ń + 5 ł Ƅt ƅƅ Ņ H =Ł + 5ŀ ŀŁ

= ńĿ + 5 ńĿ ɤ S l_gy f 2 ^ ( 2b : [

Z 8 D ? $ W4 − !J )

‫( ﻣﻦ‬٥٤) ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻﻔﺤﺔ‬ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻭﻳﺘﻨﺎﻭﻝ ﻭﺟﻮﺩ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ‬ ‫ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺃﺣﺪ ﺃﺿﻼﻉ ﻣﻨﻄﻘﻪ ﻳﻮﺍﺯﻯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ .‫ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻬﺪﻑ‬

‫ﺗﺎﺑﻊ ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻃﻼﺑﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻤﻄﺮﻭﺣﺔ ﻣﻊ‬ .‫ﺗﺼﺤﻴﺢ ﻣﺎ ﻳﺮﺩ ﻣﻦ ﺃﺧﻄﺎﺀ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﻓﻰ ﺣﻴﻨﻬﺎ‬

º««≤àdGh ÖjQóàdG :];[E ' d<_! Q HK .‫ﻛﺠﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻤﺎﺩ ﺏ‬٢ ،C ‫ﻛﺠﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻤﺎﺩ‬٣

D $ 3 !M; % )

S ; 0 /^ +* ^

l_gf ( 1 2 ^ $ / 4 , 6 E 4 , 6 C q * 4 , 6 I

M<U

ŀĿĿ ŀńĿ ŁĿĿ

ƛŁƜ ńĿ + ƛĿƜńĿ ƛĿƜ Ŀ + ƛłƜńĿ ƛĿƜ Ŀ + ƛŃƜńĿ

Ł Ŀ Ŀ

Ŀ ł Ń

4 , 6 C 4 , 6 I

ŀńĿ

ƛńĿƜ ł + ƛĿƜĿ

4 , 6 E

º««≤àdG

4 , 6 GH

ƛĿ ŮŃƜ G[kb .kN qzk" ŁĿĿ ɤ l_gf ( 1 2 ^ `

4 , 6 GH *

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

w6 lzf zV lf .&r ń p r y1 2& 2O6 ł wbrĔ wGO i z 0R i Oc6 ǓǣǭņƑǨǤģś ƤśƄǤĝ 4 yÊ 1 2& 2O6 łŅ so scGgb i ^ / V Ƌ{6 lzf zV lf i .&r pb r y1 2& 2O6 Ņ wGO zj b r ¹ lfr pzk" Ņ wbrĔ Oc7b lf .&sb 2O6 i A2W r ŮdZĔ wcN w6 lzf zV lf .&r Łń ŮdZĔ wcN ? k_gf Wc_ dZ scGgb \z[' b lz Oc7b lf d^ lf o 2: " sb zg_b gV Ů pzk" Ň zj b

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ Ů 2 zkb lf .&r ŀŅ dZĔ wcN e.+ 6 / q Nr14f zNsj lz7' l_gy qj M1 4f ."r ǶưĝʹʾǤģś ƤśƄǤĝ 'Bsf Ů - g7b lf i Nsj Y s6Ĕ wV ."sy Ƌ.& sb E 2z[cb .zg7 b zcgN wV W6sWb lf .&r ň Ɗ{b b ar.#b wV pkf d^ Wc_ r p ys 'f r (H % # + &

r (H % # + % Z &9%&

( U

ŀ ł

Ń Ł

¹:2Z ŀņĿ ¹:2Z ŀńĿ

;

2 zkb .&r lf wV _b -.Ob 2zVs lf M1 4gb i k_g Ů ly- g7b $y4f lf Wc_ dZ ."r Ƌq Nr14f zNsj lz7' b W6sWb r

: +v ; + IhM R K I) ‫ ﺹ ﺍﻟﺘﻰ‬،‫ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺘﻲ ﺱ‬1 :‫ ﺹ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﺗﺤﺖ ﺍﻟﻘﻴﻮﺩ‬- ‫ﺱ‬٢ = S ‫ﺗﺠﻌﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬ ٢- G ‫ ﺱ‬،‫ﺱ‬٢- H ‫ ﺹ‬،١ G ‫ﺹ‬ ‫ ﺟﺎﻟﻮﻧًﺎ ﻣﻦ‬٢٥ ‫ ﻗﺮﺭﺕ ﺃﻧﻚ ﺳﻮﻑ ﺗﺤﺘﺎﺝ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ‬2 ٥ ‫ ﻣﻨﻬﻢ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ‬،‫ ﻹﻋﺎﺩﺓ ﺩﻫﺎﻥ ﻣﻨﺰﻟﻚ‬،‫ﺍﻟﺪﻫﺎﻥ‬ ‫ ﺟﺎﻟﻮﻧﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ‬١٠‫ ﻭ‬،‫ﺟﺎﻟﻮﻧﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻠﻮﻥ ﺍﻷﺯﺭﻕ‬ ‫ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺛﻤﻦ ﺍﻟﺠﺎﻟﻮﻥ ﻣﻦ ﺍﻟﻠﻮﻥ‬،‫ﻣﻦ ﺍﻟﻠﻮﻥ ﺍﻷﺑﻴﺾ‬ ٥٠ ‫ ﻭﺛﻤﻦ ﺍﻟﺠﺎﻟﻮﻥ ﻣﻦ ﺍﻟﻠﻮﻥ ﺍﻷﺑﻴﺾ‬،‫ﺟﻨﻴ ًﻬﺎ‬٣٥ ‫ﺍﻷﺯﺭﻕ‬ ‫ ﻓﻤﺎ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺠﺎﻟﻮﻧﺎﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺷﺮﺍﺅﻫﺎ ﻣﻦ‬،‫ﺟﻨﻴ ًﻬﺎ‬ ?‫ﻛﻞ ﻧﻮﻉ ﻟﺘﻜﻮﻥ ﺟﻤﻠﺔ ﻣﺸﺘﺮﻭﺍﺗﻚ ﺃﻗﻞ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ‬

'8 D ' 4 − M s &

Z 8 D ? $ W4 − !J )

[^]

D $ 3 !M; % )

' 0%& ; IhM RE PK U x2 ،‫ﺗﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﻭﺳﻴﻠﺔ ﻓﻌﺎﻟﺔ ﻓﻰ ﺇﺩﺍﺭﺓ ﺍﻷﻋﻤﺎﻝ‬ ‫ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ )ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ( ﺧﻄﻂ‬ ‫ﻟﻤﺸﺮﻭﻉ ﻻﺩﺍﺭﺓ ﺍﻷﻋﻤﺎﻝ ﻣﺜﻞ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻌﺾ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻫﺬﺍ‬ ‫ﻛﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻜﺎﻟﻴﻒ ﻭﺍﻷﺭﺑﺎﺡ ﺍﻟﻤﺘﻮﻗﻌﺔ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ‬ ًّ ‫ ﺣﺪﺩ‬،‫ﺍﻟﺪﺭﺱ‬ .‫ﻷﻗﺼﻰ ﺭﺑﺢ ﻣﻤﻜﻦ‬



á£°ûfC’G á°SGôc á£°ûfCG º««≤J

‫ﻧﺸﺎط‬

t .kN U.pb b - gzZ 2zS do Ůd'b [Gkf MđB .& t3 sy U.pb b - d gy t0b hz[ 7gb i ^ / ?PcCb 0o wcN G[j %r2Ggb a 7b lN " h w Ē a gb P ‫ﻣـﺜـﺎل‬

Ɗ zb b -sz[b ' =Ņ + 5ł ɤ S b .cb k_gf gzZ w?Z ."r 5 Ň H =Ł + 5ƅŮƄŅ H = + 5ŁƅŮƄń H = + 5ƅŮƄĿ G =ƅŮƄĿ G 5 ‫اﻟﺤﻞ‬

Ŀ ɤ = Ɗ ŁaƄŮƄĿ ɤ 5 Ɗ ŀa h62j /

4 , 6 GH

a , k

(6) áëØ°U (1) •É°ûf

4 , 6 C

U xU 1 <! 1 9

ń ɤ = + 5 Ɗ ła

Ņ ɤ = + 5Ł Ɗ Ńa

Ň ɤ =Ł + 5 Ɗ ńa

Ń ? / gb ƛ ŀĿ ł Ů ł Ɯ Ɗ z& e Kkb d& Nsg#f d g ¶" C r wo d_;b jscgb [Gkgb

ÖdÉ£dG AGOCG

ôjó≤àdG

S ; 0

/N + *

Ŀ + ł * ł

$ ;

"9 $ V % '( < ! :D M . H< 3

ŁŃ

ŀĿ * Ņ + Ń * ł ł ł Ń * Ņ + Ŀ * ł

ŀĿ ł

Ń ł

y H H

F2( ! % '( < ! :D M . H "9 $ V %

F2( ? % '( < ! :D M . H "9 $ V %

ŁŃ

: ; V % 6>6 '( < ! :D M . H "9 $

¶" Ů lz G[kb .kN [[' ŁŃ ɤ U.pb b .b wgKOb gz[b Řğ ƩũĪ

?L&đ / f Ů ¶" X? kf .kN U.pb b - gzZ ."r

Ƌ` " 27V ? 'z'> zb b 1 Ob do E [j Pzg" .kN P[ wpV e Kkb d& [Gkf wV lz G[j .kN ƛt2S?b r Ɯ wgKOb gz[b OZr / ƚ Ƌƙ gpkz c> sb gz[ 7gb OG[b

−

`% < H8 ^

V % Z '( :D 9 & M a!M / V " P H "9 $ H8 ^ ' +0)

(6) áëØ°U (2) •É°ûf

U xU 1 <! 1 9 ÖdÉ£dG AGOCG

ôjó≤àdG

2M D / M . ! !2 3 0 . !7 8 !9 3 H : Z)*4 ' =" 2M D / M . < # / w 3 o . ,0 . !7 8 !9 3 H : Z)*4 ' =" ! !2 % K ! I . o . , / 9 . < # / M w 3 . !7 8 !9 3 2M D H : Z)*4 ' =" ! !2 3 0 9 & / 9 . <)! & < # / M w 3 9 & !7 8 !9 3 2M !D C H : Z)*4 ' =" ! !2 3C 0

$ ; H8

E z+b .y2yr ŮwkGZ 9 gZ lf 1 f Ņ Ůi _b 9 gZ lf 1 f ŀĿ lzF z+b .& t.b :řǭǨǤģś ƤśƄǤĝ 5 lf .& r 2 f wb ! 'y 8 đgb lf arĔ Mskb Ůqy.b 2V s gb - sgb lf 8 đgb lf lzNsj dz?W lf 2 f Ł wb wj b Mskb ! 'y gkz Ů pzk" ł m1.Z ' 1 ¹ \['yr ŮlG[b lf .& r 2 fr Ůi _b d^ lf pcz?W qzcN #y w b zg_b f . pzk" Ń 1.Z ' 1 ¹ \['yr ŮlG[b lf .& r 2 fr i _b űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű ?l_gf ( 1 2 ^ E z+b \['y w & Msj űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

arĔ Mskb Pzk? ! 'y Ů,Wkb Đ lf lzNsj z[z6sgb ĐĒ Pj ?f .& $ ky :ȈǇŐƒǍǨǤģś ƤśƄǤĝ 6 Ň Ů5 'kb lf .&r ŀń {j b Mskb Pzk? ! 'yr Ůd_zkb lf .&r Ń Ů5 'kb lf .&r Łń wb .&r łŁ Ů5 'kb lf .&r ňń e yĔ .& wV Pk?gb wV & gb zg_b j ^ / V Ůd_zkb lf .&r ŃŇ {j b Mskb lf bĒ wV q' 1r p¹ zk" ŅĿ so arĔ Mskb lf bĒ wV Pk?gb ( 1 i ^r Ůd_zkb lf ?l_gf ( 1 2 ^ \['y w & Msj d^ lf Pk?gb p# ky i #y w b ĐĒ -.N gV Ů p¹ zk" űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

y H H H8 t

H H8 u

`% < H8 ^

ňĿ Ů( 6 ŀŅĿĿ d[kb `b/ .lz' 7b d[kb yÊ s" 27" & z7b ^2: t.& f Z :ǶũģŐƑǤģś ƤśƄǤĝ 7 ¹ Mskb lf & gb 2 Gb -.N i ^r ŮC 2 Gb lf lzNsj % gb i ^r Ů Wc_ dZ O fĔ lf kÊ F C Mskb lf 2 Gcb cf ^ bsg'b j ^r Ů 2 F ň Mskb lf & gb 2 Gb -.Nr Ů 2 F ŀŁ ŮC Ů O fĔ lf kÊ F ŀń Ů@+: ŀĿĿ Mskb lf 2 Gcb cf _b bsg'b r Ů O fĔ lf i kF Ņ Ů@+: ŁĿĿ d^ lf 2 F h_V Ůqzk" ŀńĿ ĿĿĿ so Mskb lfr Ůqzk" łŁĿ ĿĿĿ so C Mskb lf 2 Gb 1 #y i ^r ? o1 # 6 ^2;cb l_gy Msj űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

‫أﻧﺸﻄﺔ‬

¹ ^ r ( j2 jĖ ) fscOgcb zbr.b _ ;b r z61.gb ` _f wb P"1 8 f .+ 6 (Bsy Đ f : zb b Đ #gb lf d^ wV zG+b #f2 b zcgOb s' ‫د‬ Zsb 1 - ‫ﺟ‬ N k?b ‫ب‬ - ? ZĐ ‫أ‬ űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

w 3 o s :M - X M a!M / V " P Ho! < # / : H8 ^ ' +0)

b - ^ . zÊ j z d'b [Gkf d f h Ů zG* ky f P 1 ^ pc& cG y ].kN lf b 7f ^ 9 .lz gz[b lz o ."r h Ůt2S> gzZ r ŮwgKN gzZ pb is_y w f -.&r Ů` b 7gb U.pb űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű űűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűűű

−

[^r

M<U

Ƌ` " 27V Í ?U.pb b - d gy t0b hz[ 7gb t3 sy ¶" hz[ 7gb do

H8 t H8 u

'8 D ' 4 − 5:" !

‫‪-‬‬

‫‪ ôēĊňŌĿí‬‬ ‫‪ôŔŀŔŀĄøĿí‬‬

‫‪IóMƒdG‬‬

‫‪3‬‬

‫‪áãdÉãdG IóM‬‬ ‫‪MƒdGG‬‬

‫‪õîŌĀøńĿí‬‬ ‫‪Vectors‬‬

‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬ ‫‪Vectors‬‬

‫أﻫﺪاف اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪˄}gR 5Ǜ 1 ^ f Kf oyc o T^y lf rk 2*yf vp }Z‬‬ ‫ ‪ hg Y {Yn_>í hg Y îÛÐ > æ}_ x pehb eUÐ p_]bUÐí pg eUÐ phecUÐí phHnhbUÐ phecUÐ æ}_ x‬‬ ‫‪ Ónh?Ð{AüÐ î Y R nghR}J pUø{= ngfL } _xí ºpg@ eUÐ‬‬ ‫ ‪ ph ]bUÐ ÒÚ [UÐ R _\xí eUÐ Y æ}_ x‬‬ ‫ ‪ î}a[UÐ eUÐí º eUÐ Únh_Y {@ x‬‬

‫ ‪ bhbA Ø{L R Y Ñ}\x‬‬ ‫ ‪ Ónh?Ð{AüÐ rd eUÐ Ò{LnS êÐ{ Hn= hg Y e x‬‬ ‫‪ hg Y Ö}]x âĆ úÐ îÛÐ Y pbx}J‬‬

‫ ‪ hg Y kRnc> dL xÚne> xí æ}_ x‬‬

‫ ‪ Óng eUÐ êÐ{ Hn= phH{fgUÐ Ónx}^fUÐ _= q x‬‬

‫ ‪ Óng eUÐ dL px eUÐ pH{fgUÐ R Ónbh ]> x Ò{A UÐ g Y pUø{= eUÐ L } _xí Ò{A UÐ Y æ}_ x‬‬ ‫‪ hhHnHúÐ‬‬

‫ﻣﻘﺪﻣﺔ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﻓﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻧﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻧﻮﻋﻴﻦ ﻣﻦ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ﻛﺜﻴﺮﺍ ﻓﻰ ﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‪ ،‬ﻓﻬﻨﺎﻙ ﻛﻤﻴﺎﺕ ﻻ ﻳﺤﺘﺎﺝ ﻭﺻﻔﻬﺎ ﺇﻻ‬ ‫ﺗﻈﻬﺮ ﹰ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻣﻌﺮﻓﺔﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﻭﺗﻌﺮﻑ ﺑﺎﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‬ ‫ﻣﺜﻞ ﺍﻟﻄﻮﻝ‪ ،‬ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‪ ،‬ﺍﻟﺰﻣﻦ‪ ،‬ﺩﺭﺟﺔ ﺍﻟﺤﺮﺍﺭﺓ‪ ،‬ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﻭﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ‪،‬‬ ‫ﻭﻛﻤﻴﺎﺕ ﺃﺧﺮ￯ ﻻﻳﻜﻔﻰ ﻟﻮﺻﻔﻬﺎ ﻣﺠﺮﺩ ﺫﻛﺮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬ￯ ﻳﺪﻝ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ‪ ،‬ﺑﻞ ﺗﺘﺤﺪﺩ ﺑﻤﻘﺪﺍﺭ ﻭﺍﺗﺠﺎﻩ‪ ،‬ﻭﺗﻌﺮﻑ ﺑﺎﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‪ ،‬ﻓﺴﺮﻋﺔ‬ ‫ﺟﺴﻢ ﻣﺘﺤﺮﻙ ﻟﻬﺎ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ )ﻛﻴﻠﻮﻣﺘﺮﺍﺕ‬ ‫ﻣﺜﻼ( ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﺍﻟﺠﺴﻢ ﺍﻟﻤﺘﺤﺮﻙ ﻓﻰ ﻭﺣﺪﺓ ﺍﻟﺰﻣﻦ )ﺳﺎﻋﺔ ﹰ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﻣﺜﻼ(‬

‫ﺃﻳﻀﺎ ﺍﺗﺠﺎﻩ‪ ،‬ﻭﻫﻮ ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﺬ￯ ﻳﺘﺤﺮﻙ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺠﺴﻢ‪.‬‬ ‫ﻭﻟﻬﺎ ﹰ‬ ‫ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻳﺪﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻛﻤﻔﻬﻮﻡ ﺭﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﺃﻭﻻ‪ ،‬ﺛﻢ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﻭﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻧﻴﻜﺎ ﻭﺍﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺀ‪.‬‬ ‫ﻭﺗﺘﻀﻤﻦ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺩﺭﻭﺱ ﻫﻰ ﻛﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬

‫اﻟﺪرس اﻷول‪ :‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻭﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﻭﺍﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻧﻰ‪ :‬ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ :‬ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺮاﺑﻊ‪ :‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‪.‬‬ ‫أﻫﺪاف اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬا اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﻳﻜﻮن اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎد ًرا‬ ‫ﻋﻠﻰ أن‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻭﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‪ ،‬ﻭﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‪ ،‬ﻭﻳﻌﺒﺮ ﻋﻨﻬﺎ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻃﺮﻓﻴﻬﺎ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮ￯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻮﺿﻊ ﻭﻳﻀﻌﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻘﻄﺒﻴﺔ‪.‬‬

‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴﺔ‬ ‫‪ phHnhS pheT Ñ‬‬

‫‪Scalar Quantities‬‬

‫‪ o>}Y ÕíÛ Ñ‬‬

‫‪ pg Y pheT Ñ‬‬

‫‪Vector Quantities‬‬

‫‪ pbd]Y pehS Ñ‬‬

‫‪Absolute value‬‬

‫‪Vector‬‬

‫‪ Y Únh_Y Ñ‬‬

‫‪Norm‬‬

‫‪ Y Ñ‬‬ ‫‪ pRn Y Ñ‬‬ ‫‪ pAÐÛÎ Ñ‬‬ ‫‪ Y Y Ñ‬‬

‫‪Distance‬‬ ‫‪Displacement‬‬ ‫‪Position Vector‬‬

‫‪ ÿRncY Y Ñ‬‬ ‫‪Ó‬‬ ‫‪ ng eUÐ e@ Ñ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ d eUÐ Ò{LnS Ñ‬‬

‫‪Orderd Pair‬‬

‫‪â Ć úÐ îÛÐ Y Ò{LnS Ñ‬‬ ‫‪Ó‬‬ ‫‪ ng eUÐ Ö}J Ñ‬‬

‫‪The triangle Rule‬‬

‫‪Subtracting Vectors‬‬

‫‪ î bUÐ pd[ Y pd[ Y Ò S Ñ‬‬ ‫‪Resultant Force‬‬

‫‪Equivalent Vector‬‬ ‫‪Adding vectors‬‬

‫‪Parallelogram Rule‬‬

‫‪ ph i pL}H Ñ‬‬

‫‪Relative Velocity‬‬

‫دروس اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪ ºpg eUÐ ÓnhecUÐí ºphHnhbUÐ ÓnhecUÐ ¼ - ¾ ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪ pg@ eUÐ pehb eUÐ p_]bUÐí‬‬ ‫‪ Óng eUÐ ½ - ¾ ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪ Óng eUÐ dL Ónhde_UÐ ¾ - ¾ ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪ Óng eUÐ dL Ónbh ]> ¿ - ¾ ÜÚ{UÐ‬‬ ‫ا دوات اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫& ‪ Y1r - zfs61 $f 2 - j z A2N 3 p" - wb 6‬‬ ‫‪- a [ - Esz* - 5 z[b r h62cb z6.ko r- - O 2f‬‬ ‫‪Ƌh61 8z -‬‬

‫ﻧﺒﺬه ﺗﺎرﻳﺨﻴﺔ‬ ‫‪ {bR ºphdhd UÐ pH{fgdU UíúÐ pf dUÐ Ñ}_UÐ í‬‬ ‫‪ neT ºphH{fgUÐ ÓĆcZeUÐ _= A R } UÐ Ð Y{ HÐ‬‬ ‫‪ q=n? ê{bR px} UÐ ÓøØn_eUÐ A R pH{fgUÐ Ð Y{ HÐ‬‬ ‫‪ð‬‬ ‫»»‪ ÓøØn_eUÐ _ U phH{fw ø dA êÄ‬‬ ‫= ‪- Ã¾À Ò}S‬‬ ‫‪õ‬‬ ‫‪ pH{fgUÐí } UÐ h= >naUkY R î{fcUÐ =Ú neT‬‬

‫ﻣﺨﻄﻂ ﺗﻨﻈﻴﻤﻰ ﻟﻠﻮﺣﺪة‬

‫اﻟﻜﻤﻴﺎت‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺔ‬

‫ﻗﻴﺎﺳﻴﺔ‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ Y T wnH }ZL =n UÐ ë}bUÐ pxÐ{= Yí‬‬ ‫‪Rene ÓÚncxØ hfxÚí º ê¼ÁÁÀ - ¼Á»¼ Fermat ÓnY}hR‬‬ ‫‪ px} UÐ ç}]UÐ h > R ê¼ÁÀ» - ¼ÀÄÁ Descartes‬‬

‫‪ px eUÐ pH{fgUÐ ëÌ UÎ ÐØð nf HÐ phH{fgUÐ ÓĆcZeUÐ U‬‬ ‫‪ pUø{= H{fw cI îÌ R Ê I T L Ð} _R ºëÐ{_= ngU‬‬ ‫‪ pRn ün= Þ ºÜ x~Y}Un= negU Ð~YÚ x}h` Y hU J‬‬ ‫‪ UÌ neY º cZUÐ ng h x UÐ p =n UÐ ÓnhecUÐ _= UÎ‬‬ ‫‪ ph?Ð{AüÐ phdhd UÐ pH{fgUn= æ}L Ð ð{x{@ n=ð ? pH{fgUÐ‬‬ ‫‪ ng É pfw}=í ýnb UÐí Ónx}^fUÐ àn f Hø qaKí UÐí‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻫﻨﺪﺳ ّﻴًﺎ‬

‫اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت‬

‫ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬

‫زوج ﻣﺮﺗﺐ‬

‫ﻣﻮﺟﻬﺔ‬

‫ﺗﺴﺎوى‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ‬

‫ﺟﺒﺮ ّﻳًﺎ‬

‫ﺟﻤﻊ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ‬

‫ﻃﺮح‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ‬

‫ﻣﺘﺠﻬﺎ اﻟﻮﺣﺪة‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﻄﺒﻴﺔ‬

‫ا‪8‬ﺳﺎﺳﻴﻴﻦ‬

‫ﺿﺮب ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫ﺑﻌﺪد ﺣﻘﻴﻘﻰ‬

‫ﺗﻮازى‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ‬

‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت‬

‫ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ‬

‫ﺗﻌﺎﻣﺪ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ‬

‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻌﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ‪ ،‬ﻭﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺼﻔﺮ￯‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻭﻳﺤﻞ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻋﻠﻰ ﺗﻜﺎﻓﺆ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺗﻮﺍﺯ￯ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﻭﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ‪.‬‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺎ ﻓﻰ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻰ‪.‬‬ ‫ﻳﻀﺮﺏ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﻳﺠﻤﻊ ﻭﻳﻄﺮﺡ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫)ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ( ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻣﺘﻮﺍﺯ￯ ﺍﻷﺿﻼﻉ‪.‬‬ ‫ﻳﺜﺒﺖ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻨﻈﺮﻳﺎﺕ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻳﺤﻞ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻣﻊ‬ ‫ﺃﻧﺸﻄﺔ ﺗﺘﻀﻤﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ‪ ،‬ﻣﺜﻞ ﺗﻮﺍﺯﻥ ﺍﻟﻘﻮ￯ ﻭﺍﻟﺴﺮﻋﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‪.‬‬

‫ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ‬

‫=‪ dL Ò{Ln eUÐ YÐ _UÐ Y qinT neT ºî} @ Ñ dHl‬‬ ‫‪Newton > hi p]HÐ = Ync UÐí na UÐ edL Ú gK‬‬ ‫ ½¿‪ º ê¼Â¼Á - ¼Á¿Á Leibinz ~hf hUí ê¼Â½Â - ¼Á‬‬ ‫‪ Óng eUÐ hd U ê¼Ä»¾ - ¼Ã¾Ä Gibbs @ Únc =Ðí‬‬ ‫‪ Øn_=Ì p?Ć? R‬‬

‫ﺑﺮاﻫﻴﻦ‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺎت‬

‫ﺣﻞ‬ ‫ﻣﺸﻜﻼت‬

‫ﻣﺤﺼﻠﺔ‬ ‫ﻗﻮى‬

‫اﺗﺰان‬ ‫ﻗﻮى‬

‫اﻟﺴﺮﻋﺔ‬ ‫اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬

‫زﻣﻦ ﺗﺪرﻳﺲ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪ ١٢‬ﺳﺎﻋﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﻮﺳﺎﺋﻞ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫ﺳﺒﻮﺭﺓ ﺗﻌﻠﻴﻤﻴﺔ ‪ -‬ﻃﺒﺎﺷﻴﺮ ﻣﻠﻮﻥ)ﺃﻗﻼﻡ ﻣﻠﻮﻧﺔ( ‪ -‬ﺣﺎﺳﺐ ﺁﻟﻰ ‪ -‬ﺟﻬﺎﺯ‬ ‫ﻋﺮﺽ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ‪ -‬ﺑﺮﺍﻣﺞ ﺭﺳﻮﻣﻴﺔ ‪ -‬ﻭﺭﻕ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ ‪ -‬ﺃﺩﻭﺍﺕ ﺭﺳﻢ‬ ‫ﻭﻗﻴﺎﺱ ‪ -‬ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ ‪ -‬ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻻﺳﺘﻨﺒﺎﻃﻴﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺮﺽ‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪ -‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪.‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﺘﻲ ﺗﻨﻤﻴﻬﺎ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻻﺳﺘﺪﻻﻟﻰ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﻤﻨﻄﻘﻰ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﻨﺎﻗﺪ ‪ -‬ﺣﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻹﺑﺪﺍﻋﻰ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ ‫ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺷﻔﻬﻴﺔ ﻭﺗﺤﺮﻳﺮﻳﺔ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﻭﺟﻤﺎﻋﻴﺔ ﻗﺒﻞ ﻭﻓﻰ ﺃﺛﻨﺎﺀ ﻭﺑﻌﺪ ﺍﻟﺪﺭﺱ‬ ‫ﻭﺍﻷﻧﺸﻄﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ ﻭﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻋﺎﻣﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫ﻭﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺮﺍﻛﻤﻰ‪.‬‬

1-3

тАл ┘И╪зя╗Яя╗Шя╗Дя╗Мя║ФтАм╪МтАл╪зя╗Яя╗Ья╗дя╗┤я║О╪к ╪зя╗Яя╗Шя╗┤я║Оя║│я╗┤я║Ф ┘И╪зя╗Яя╗Ья╗дя╗┤я║О╪к ╪зя╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя║ФтАм тАл╪зя╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗дя║Ф ╪зя╗Яя╗дя╗оя║Яя╗мя║ФтАм Scalars, Vectors and Directed Line Segment

тАля║│я╗о┘Б я║Чя║Шя╗Мя╗ая╗втАм

gHw┬РH asGb d f p gzZ lN 2 Oy t0b -.Ob V2Of wb ─Р pW>r ! 'y ─Р zg^ ] ko zg^ ."s qj 2zR ╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л i _7b -.Nr V _b r c _b r h#'b r & 7gb r N26 V2OgV ┼о p gzZ wcN a.y t0b -.Ob 2^/ -2#f pW>sb wW_y ─Р t2* ^2'V ╞Л Cy ┬╣ % y2b m # .y.' #y d i 2zGb ^2'b z┬╣ V ^ 8zb % y2b qzcN o2z Xc +y h7" wcN 2 gb s[b r ┼о o # r 1 .[f 5 [ ┬╣ / % y2b ┬╣ ┬╣ ╞Л zg_b lf lzNsj e f kj .#j 0_or ╞Л Cy po # d ┼о 7'V o1 .[g 8zb ┬╣

тАл╪зя╗Яя╗Ья╗дя╗┤я║О╪к ╪зя╗Яя╗Шя╗┤я║Оя║│я╗┤я║ФтАм

Scalar quantities

╞Л╞Л╞Л & 7gb r asGb d f H[V o1 .[f V2Og f┬╣ g -.' zg^ wo Vector quantities

тАл╪зя╗Яя╗Ья╗дя╗┤я║О╪к ╪зя╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя║ФтАм

╞Л╞Л╞Л s[b r N27b d f po # r o1 .[f V2Og f┬╣ g -.' zg^ wo

3? @ A ! B 067C 3?

тАл┘ИтАм

Scalars, Vectors and Directed Line Segment

01 C 3 7;C DM F 0G) "* D) 0" >

3 7;C HM I. J D7 K: ?7C 01 C

01 ) 3 7;) DM2 L M < 01 ) 3 7;) DM K: ?) NO (P 7;C Q R$

S D7 9 $ J . 7;3 N: 7 W ' M *# X$ YU $ ,9" 6B 7 W * ) : D) F@ 7;3 N: M [* \ S D7 F : 7 W = 6B $ F : 7 W * ) : D) NG? W 9 $ 3? S) ^4 F 0G) ' M _ * `" N: M [* \ S D) = 6B , 3 7;) DM2 I U UB* 0673 3? 01 3 3 7;3 DM , J D 3, 7;3 N:

3 7;) DM2 S. TUD7 7;C Q 0 : I W , 01 ) NO (P ┘П тАл╪зя╗Яя╗дя║╝я╗Дя╗ая║дя║О╪к ╪з я║│я║Оя║│я╗┤тАм ┘П тАл┘Ся║ФтАм

Scalar quantity

тАля╗зя║Оя╗Чя║╢тАм

тАл╪зя╗Яя╗Ья╗дя╗┤я║О╪к ╪зя╗Яя╗Шя╗┤я║Оя║│я╗┤я║Ф ┘И╪зя╗Яя╗Ья╗дя╗┤я║О╪к ╪зя╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя║Ф ┘И╪зя╗Яя╗Шя╗Дя╗Мя║ФтАм тАл╪зя╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗дя║Ф ╪зя╗Яя╗дя╗оя║Яя╗мя║ФтАм

1-3

2 34

5 067) 348 967)

тАля╗Уя╗Ья║отАм

Vector quantity

2zR h ┬╣Z2: 1 f ┼В V 7f C G[kb lf h7" ]2' / ┬╣ ╞Л┬╢" G[kb .kN XZs r ─Р g: 1 f ┼Г 1 6r qo # ?q ^2& k h7#b pOGZ w b V 7gb h^ ┬╜

Distance

: ;)

Displacement

( /<

Direction

= >

w b G[kb wor C G[kb lN h7#b .O is_y h^ ┬╜ ? ^2'b pkf .

! " !#$

тАл╪з ╪п┘И╪з╪к ┘И╪зя╗Яя╗оя║│я║Оя║Ля╗ЮтАм

┼Ш─Я ╞й┼й─к

╞ЛC + ┬╢" r ┬╢" + C $ j wor z6 zZ zg^ wo Distance ┬╜

:X$ N . *# 2 c ' M X ? X$ H2 73 S) * `" 0 N:

!" #$

m # wVr H[V y pkb r y . b w G[j lz V 7gb wor Displacement ┬╜ po # r ┬╢" C o1 .[f .y.' e4cy & 3─Ц X>sb i t ┼о┬╢" wb C lf .& r ┬╢" wb C lf

%& ' (

067C 3? 3? @ 3 ! яА│

) * +) , , - . / 01

5 "* D) 0" > 8 01 C 3 7;C DM J D7 яА│

╞ЛlzOf m # wV NsG[gb V 7gb wor p# f zg^ ┬╣ / тИТ

K: ?7C 01 C 3 7;C HM J D7 яА│ Q R$ 01 ) 3 7;) DM K: ?) 01 ) 3 7;) DM2 dM! яА│ NO (P 7;C

┬вSQ├│dG ├дGAG├┤LEGяАаяВи ├│┬л┬б┬к├аdG

тАля║Ня╗Гя╗ая║Р я║Зя╗Яя╗░ я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я║гя║╝я║о я║Ся╗Мя║╛ я╗ня║гя║кя║Ня║Х я║Ня╗Яя╗Шя╗┤я║Оя║▒ я╗Яя╗Ья╗дя╗┤я║Оя║ХтАм тАля╗Уя╗┤я║░я╗│я║Оя║Ля╗┤я║Ф я╗ня╗гя║дя║Оя╗ня╗Яя║Ф я║Чя║╝я╗ия╗┤я╗Фя╗мя║О я║Зя╗Яя╗░ я╗Ыя╗дя╗┤я║Оя║Х я║Чя║Шя║дя║кя║й я║Чя╗дя║О ┘Ля╗гя║ОтАм тАл я╗ня║Гя║зя║оя╗п я╗╗я╗│я╗Ья╗Фя╗░тАм╪МтАля║Ся╗дя╗Мя║оя╗Уя║Ф я║Ня╗Яя╗Мя║кя║й я║Ня╗Яя║мя╗п я╗│я╗Мя║Тя║о я╗Ля╗ж я╗Чя╗┤я╗дя║Шя╗мя║ОтАм тАля╗Яя╗оя║╗я╗Фя╗мя║О я╗гя║ая║оя║й я║ля╗Ыя║о я║Ня╗Яя╗Мя║кя║й я║Ня╗Яя║кя║Ня╗Э я╗Ля╗ая╗░ я╗Чя╗┤я╗дя║Шя╗мя║О я╗ня╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗гя╗Мя╗мя╗втАм .тАля╗гя╗Фя╗мя╗оя╗б я║Ня╗Яя╗Ья╗дя╗┤я║Оя║Х я║Ня╗Яя╗Шя╗┤я║Оя║│я╗┤я║Ф я╗ня║Ня╗Яя╗Ья╗дя╗┤я║Оя║Х я║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя║ФтАм

┬Й

┬вSQ├│dG ┬вV├┤YяАаяВи

NO (P 7;C Q 0 : I W , 3 7;) DM2 S. eD яА│

% %$ & ' ( /< - : ;) - 01 ) 3 7;) DM2 - 067) 34 - 2 34 = 6B - * D) -

!( ) ' !" #$ - 5 ) Ff2$8 X ) g UI - 3 DB [* U - ) * +) , - N & ' ( - D, ) h* - , - . / 01

* +, ! I f?M3 ^( - W 7 W M - g U3 - D

тАля╗Уя╗Ья║о ┘Ия╗зя║Оя╗Чя║╢тАм

+, ! . /

тАля╗│я╗мя║кя╗С ┬╗я║Ся╗ия║к я╗Уя╗Ья║о я╗ня╗зя║Оя╗Чя║╢┬л я║Зя╗Яя╗░ я║Ня╗Яя║Шя╗дя╗┤я╗┤я║░ я║Ся╗┤я╗ж я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Оя╗Уя║ФтАм тАл я║Гя╗гя║О я║Ня╗╣я║пя║Ня║гя║ФтАм╪МтАл я║гя╗┤я║Ъ я║Чя╗Мя║к я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Оя╗Уя║Ф я╗Ыя╗дя╗┤я║Ф я╗Чя╗┤я║Оя║│я╗┤я║ФтАм╪МтАля╗ня║Ня╗╣я║пя║Ня║гя║ФтАм .тАля╗Уя╗мя╗░ я╗Ыя╗дя╗┤я║Ф я╗гя║Шя║ая╗мя║Ф я╗│я╗ая║░я╗б я╗Яя║Шя║дя║кя╗│я║кя╗│я╗мя║О я╗гя╗Шя║кя║Ня║ня╗ля║О я╗ня║Ня║Чя║ая║Оя╗ля╗мя║О я╗г ┘Ля╗Мя║ОтАм

N * ^ G

0 ) ' 1 i jG\ N < jG\ S) ' M k 74 l jG\ N < i jG\ S) U * 7 MM k 74

тИТ

01 3 3 7;3 DM 0673 3? 3? 01 3 3 7;3 DM , 0673 3? 3?

‫ اﻻﺗﺠﺎه‬:‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫ ﻣﻦ‬٥٩‫ﺃﻛﺪ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﻋﻠﻰ ﻣﺎ ﻳﻠﻰ ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺻـ‬ .‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ .‫ﺍﺗﺠﺎﻫﺎ‬ ‫ ﻛﻞ ﺷﻌﺎﻉ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﻳﻌﻴﻦ‬ ً

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ 0% J

Direction

‫اﻻﺗﺠﺎه‬

Ɗd [gb d_;b wWV Ů o # lzOy ts 7gb wV M O: d^ - ¹

C cJK

‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ﻓﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﺤﻤﻠﻬﻤﺎ‬ .‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﺍﺣﺪ ﺃﻭ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ‬

Ů 2Sb m # -.'y /5 r ŮY2;b m # -.'y 5 r

c K c L

cML

‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺤﺪﺍﻥ ﻓﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺘﻀﺎﺩﺍﻥ ﻓﻰ‬ ،‫ﺍﻻﺗﺠﺎه ﻳﺤﻤﻠﻬﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﺍﺣﺪ ﺃﻭ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ‬ .‫ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ ﺻﺤﻴﺢ‬

- 'b & 3Ė r V 7gb 7& :H; * H/I = 1 -sOy h ¶" G[kb wb C G[kb lf h7" ]2' y f.kN Ƌ G[kb wb

Ƌ sk#b m # -.'y /= r Ůa g;b m # -.'y = r

Ɗlf d^ o-.'y w b o # Đ f

? E r Ů ¶" r Ů r Ů C r

Ɗi V C ǽ ¶o Ů E ¶" // C i ^ / - Ƌ.& r hz[ 7f gpcg'yr m # Đ 8Wj gpb ¶o Ů C ¶o ½

Ƌi y3 s f i gz[ 7f gpcg'yr m # Đ 8Wj gpb ¶"E Ů C ¶o ½

Ƌ.& r hz[ 7f gpcg'yr ly- C f lzo # wV ¶o Ů C ¶o ½

Ƌi y3 s f i gz[ 7f gpcg'yr ly- C f lzo # wV E ¶" Ů C ¶o ½ Řĥƾ Ƕǩģư Ƕƽƛśǌ

ôªà°ùªdG º««≤àdG

:HQ5 .$ 6 & ; C ‫ ﺳﻢ‬١٤ = ٤ + ٤ + ٦ = ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬1 ‫ ﺏ‬C ‫ﺳﻢ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه‬٦ = ‫ﺍﻹﺯﺍﺣﺔ‬ .‫ أ ﻣﺘﻀﺎﺩﺍﻥ ﻓﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎه‬2 .‫ب ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ﻓﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎه‬ .‫ﺟ ﻣﺘﺤﺪﺍﻥ ﻓﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎه‬ .‫د ﻣﺘﻀﺎﺩﺍﻥ ﻓﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎه‬ .‫ﻫ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ﻓﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎه‬ .‫و ﻣﺘﺤﺪﺍﻥ ﻓﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎه‬

‫اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ ‫ ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬٦٢ ،٦١ ،٦٠ ‫ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬ :‫ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﻣﺎ ﻳﻠﻰ‬ ‫ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻫﻰ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻟﻬﺎ ﻧﻘﻄﺔ‬ .‫ ﺍﺗﺠﺎه‬، ‫ ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ‬،‫ﺑﺪﺍﻳﺔ‬

Ůi y3 s f i gz[ 7f r .& r hz[ 7f gpcg'y m # Đ wV i - C gb r m # Đ wV i .' gb i N O;b ½ Ƌ(z'> 8_Ob r Ƌi y3 s f i gz[ 7f r .& r hz[ 7f gpcg'y i l_gy Đ m # Đ wV i Wc +gb i N O;b ½ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ƌ = 5 ǽ M Ů E ¶" ǽ r Ů C ǽ ¶o r m # Đ wV ly.' f w y gf d^ wV i N O;b i ^ / f lz Ƌm # Đ wWc +f r m # Đ wV ly- C f ¶o Ů E ¶" ‫ﺟ‬ = 5 Ů C ‫ب‬ r E Ů C ‫أ‬

Ů = 5 t3 sy Đ gpkf d^r i y3 s f E ¶" Ů C :H; * H/I = 2

= M Ů 5 M ‫و‬

5 M Ů r ¶" ‫ﻫ‬

5 M Ů = M ‫د‬

N N * ^ G − ' M k 74

The Directed Line Segment C

M*9 , !G C

M*9 , 8

‫اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ lz o t.& j-.& / C r C V2F go ŮC i G[kb y pj G[j is_ b t2*Ĕ r Ů OG[cb y . G[j is_ b lz G[kb so m # gz[ 7gb OG[cb ( ?y i `b/ wcN 2 y qj V Ů pb wo q y . G[j is_ r OG[b m0o dg'y t0b M O;b m # Ƌ OG[cb y . b G[j 8Wj wo G[kb r C y . G[j is_ b C G[kb j-.& / V p"sf gz[ 7f OGZ pj OG[b m0o X?j kj V Ů p y pj Ƌ C 4f2b pb 4f2yr wb C lf

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫و‬

‫ﻓﻜﺮ‬

Ƌ` " 27V ? C / C do ? C / C do ½

‫ﻣﻌﻴﺎﺭ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻫﻮ ﻃﻮﻟﻬﺎ ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ‬ ||..............|| ‫ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‬

? / gbr ? m # Đ wV i - C f e i Wc +f C Ů C do ½

23 45 6 , , 89 M*9 6 , , !; M*9 8 * )M< =# : 8 * )M*

C ‫ ﺏ ﺃﻭ ﺏ‬C ‫ﻭﻧﻼﺣﻆ ﺃﻧﻪ ﻟﻠﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬

.‫ ﺏ‬C = || C ‫ ﺏ || = || ﺏ‬C || ‫ﻳﻜﻮﻥ‬ ‫ ﺗﺘﻜﺎﻓﻰﺀ ﺍﻟﻘﻄﻌﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﻮﺟﺘﻬﺎﻥ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ‬ .‫ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭ ﻭﻧﻔﺲ ﺍﻻﺗﺠﺎه‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

ƋH[kb m0o pkzO w b p"sgb gz[ 7gb PG[b d^ ^ Ƌts 7gb wV H[j đ ¶" Ů ŮC 3

Ƌơơ C ơơ 4f2b qb 4f2yr C asF so C ) : 8 * )M* )

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ٢

C ɤ ơơ C ơơ ɤ ơơ C ơơ .$ ? @

. A BC . 8 . * . )M* D / 5 :E 8 E * E )M< F /5 23 45@ + 96 ) + 9 8

−

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ١

N N * ^ G − D3 ^ #

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ٣

01 3 3 7;3 DM , 0673 3? 3?

:‫ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ‬

m 2GZ PF [ dzG 7f E ¶" C :H; * H/I = 1 Ɗis_zV E C ǽ ¶o Ƌ e wV Ůqyr 7yr E C // ¶" Ů qyr 7yr E ¶" // C E e ɤ e ɤ ¶" e ɤ C e

ôªà°ùªdG º««≤àdG

‫ﻣـﺜـﺎل‬

¶" E V _ C `

¶" E m # 8Wj so C m # r ơơ ¶" E ơơ ɤ ơơ C ơơ a ‫أ‬

¶" e V _ e C `

¶" e m # 8Wj so e C m # r ơơ ¶" e ơơ ɤ ơơ e C ơơ a ‫ب‬

e V _ Đ C e `

e m # lN Xc +f C e m # r ơơ e ơơ ɤ ơơ C e ơơ a ‫ﺟ‬

¶" V _ Đ ¶o C `

¶" m # 8Wj so ¶o C m # r ơơ ¶" ơơ ! ơơ ¶o C ơơ a ‫د‬

‫ ﺟـ ﺏ‬،‫ﺏ ﺟـ‬

C ‫ ﺟـ‬، ‫ ﺟـ‬C

V 4 :@6$

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

E e

Ƌe wV m 2GZ PF [ MđB t3 s f E ¶" C 4 V Ɗ V _ w b r ƛ ."r i Ɯ p"sgb gz[ 7gb PG[b 2^/ :@6$ ‫ د‬ƅƄƄƅ ¶" ‫ ﺟ‬ƅƄƄƅ E ¶" ‫ ب‬ƅƄƄƅ C ‫أ‬

‫ ﻫ‬ƅƄƄƅ e C

Ɗ V _ f 2zR zb b p"sgb gz[ 7gb PG[b is_ / gb lz : V 9 W ¶" E ƄŮƄ C ‫ب‬ ¶" C ƄŮƄ e C ‫أ‬

e E ƄŮƄ e ‫ﺟ‬

ȈǇƥŏǩ ƄŐǔƽŝ

?$ k 7 / f E ¶" V _ C i ^ / -

? C V _ pkf d^r ts 7gb wV pg61 l_gy w b p"sgb gz[ 7gb PG[b -.N f -

‫ ﺟ ﺍﺧﺘﻼﻑ ﺍﻻﺗﺠﺎه‬، ‫أ ﺍﺧﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭ ب‬

:! ) =W ! R = 8 * ZM* 2 a E Ů ¶o ¶" h61 h ƛŃ Ůŀ-ƜE Ůƛł- ŮŀƜ¶" Ůƛł ŮŁƜ Ůƛŀ ŮŁ-ƜC H[kb lzN .f O f w .& ts 7f wV

(٣ ،٣-) = S ،(٢ ،٦)‫ ﻝ‬،(٠ ،٢) ‫ ﻫـ‬5

Ƌa Ů¶o lf d^ wz .& ."r Ƌ C V _ gpkf d^

DM( [ 45 ‫ ﻗﺪ ﻳﺨﻄﺊ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻓﻰ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ .‫ﺍﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺔ ﻓﻰ ﻧﻈﺎﻡ ﺇﺣﺪﺍﺛﻰ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ‬

N N * ^ G − ' M k 74

‫اﻟﺤﻞ‬

S ,X−T E

SX ,M−T

S ,MT

− M− X− 6 X−

M− −

S − ,XT

‫ ﻓﻴﻜﻮﻥ‬، E‫ ﺏ ﺗﻜﺎﻓﺊ ﺟـ‬C ‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬

، E‫ ﺟـ‬// ‫ ﺏ‬C ‫ ﺃﻯ ﺃﻥ‬،‫ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﻭﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭ‬

Ƌ C asF ɤ ơơ C ơơ ɤ ơơ ¶o ¶" ơơ Ů C // ¶o ¶" :.$ R$

gpb C Ů ¶o ¶" is_ i #y C V _ ¶o ¶" h62b Ƌ1 zOgb 8Wjr Ům # Đ 8Wj

‫د‬ : V 9 W

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫أ‬ ‫ب‬ C ‫ ﺗﻜﺎﻓﻰ ﺏ‬E ‫ﺟـ‬ E C ‫ﺟ ﺏ ﺟـ ﺗﻜﺎﻓﻰ‬

‫ ﺟـ‬E ‫ ﺏ ﺗﻜﺎﻓﻰ‬C

‫ ﺗﻜﺎﻓﻰ ﺏ ﻡ‬E ‫ﻫ ﻡ‬

:Y9$ ? @ Ƌ C V _ E ¶" is_ z' ƛđ f ¹ E ¶" Ɯ ¶" G[kb lf pg61 l_gy .z&r p"sf gz[ 7f OGZ ."s

‫ ﻡ ﺗﻜﺎﻓﻰ ﻡ ﺟـ‬C

? C V _ r pg61 l_gy p"sf gz[ 7f OGZ h^ ts 7gb wV ¶" G[j lf -

C‫ ﺏ‬، ‫ﺏ‬C

ƛ ŀŁ = ¶o ¶" dzf ɤ C dzfƜ C // ¶o ¶" h62j ½

= ‫ ﺏ‬C ‫ ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺫﻟﻚ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﻴﻞ‬E ‫ ﺏ = ﺟـ‬C

Ů1 "2Wb e .+ 6 C asF ɤ ¶o ¶" asF -.'j ½ i .#kV Ů z6 2b r z[VĔ O 2gb -.N 7' r ƛŅ ŮłƜ a Ɗi .#kV a E h62j d gb Ƌƛŀ- ŮńƜ ¶o

.‫ ﻭﻋﺪﺩ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﻄﻮﻝ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻣﺘﺴﺎﻭ ًﻳﺎ‬E‫ﻣﻴﻞ ﺟـ‬

¶" G[kb 1 N r gz[ 7gb PG[b a sF r Ů gz[ 7gb t3 s wcN LV 'y a [ jĐ i z& Řğ ƩũĪ S − , T ɤ ƛŀ - ł- ŮƛŁ-Ɯ - ŀƜ a [ jĐ C G[kb 1s>

S − , T a [ jĐ C 1s> wo ¶o ¶" i .#j C V _ ¶o ¶" h62b ` ƛŀ- ŮńƜ ɤ ƛS −T + ł Ů + ŁƜ ɤ ¶o w .& is_yr Ƅ C V _ S r dO# w b S G[kb wz .& lzN : * 9@ U !( % ; ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ů E a Ů ¶o ¶" h61 h ƛń ŮŁƜE Ůƛł- ŮńƜ ¶" ŮƛŅ ŮŁ-Ɯ Ůƛł ŮŁƜC H[kb lzN .f O f w .& ts 7f wV 5 ƋS Ů a Ů ¶o lf d^ wz .& ."r r Ů C V _ pkf d^ S r

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ C P

¶" C ɤ C qzV c f ¶" C :H; * H/I =

Ƌ 5 M V _ = ‫ﺟ‬ M 5 ‫ﺟ‬ = M ‫و‬

z 2 b wcN C ¶" Ů ¶" Ů C W?kf M Ů= Ů5 ? 'z'> zb b 1 Ob t :V@6$

Ƌ = M V _ = 5 ‫ب‬

Ƌơơ = M ơơ ɤ ơơ = 5 ơơ ‫أ‬

Ɗlf đ^ V _ w b r ƛ ."r i Ɯ p"sgb gz[ 7gb PG[b ^ : V 9 W Ê 5 ‫أ‬ M C ‫ب‬ = 5 ‫ﻫ‬

= ¶" ‫د‬

−

º««≤àdGh ÖjQóàdG V \ 8 E ]*Q5 & ; C :@6$ ‫ أ ﺻﻮﺍﺏ ب ﺧﻄﺄ ﺟ ﺧﻄﺄ‬1 ‫ ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‬2 0 * V 9 W ‫ ﺣﻴﺚ‬، ‫ﺍﺭﺳﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﺱ ﺹ ﺗﻜﺎﻓﺊ ﻉ ﻝ‬ .‫ ﺃﻭﺟﺪ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﻲ ﺹ‬.(١- ،١-)‫ ﺱ‬،(٥ ،١)‫ ﻝ‬،(١ ،٤)‫ﻉ‬ [, ! : ^V W ‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻤﺘﻀﻤﻨﺔ ﻓﻰ ﻛﺘﺎﺏ‬ .‫ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‬،‫ﺍﻷﻧﺸﻄﺔ ﻭﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ‬ −

2-3

â&#x20AC;ŤŘ§ďť&#x;ďť¤ďş&#x2DC;ďş ďťŹďş&#x17D;ŘŞâ&#x20AC;Ź

2-3

Vectors â&#x20AC;ŤďťŁďť&#x2DC;ďşŞďťŁďş&#x201D;â&#x20AC;Ź

â&#x20AC;ŤďşłďťŽŮ ďş&#x2014;ďş&#x2DC;ďť&#x152;ďť ďť˘â&#x20AC;Ź

Vectors

) D) M ! H C 967) # t< 7;) Q ^\ M ! U;! , ) D7) NO (<

SO , T C

UM [* Q 967) H

* `" N: , 01 3 3 7;3 DM ' M *# X$ YU p U1 p !" 9673 F 0G) N . J D7 , 97 *# ' M ^3?7; S 067) ) DB / B NI g N . J D7 p U1 S 067) H31

! " !#$ :X$ N . *# 2 c ' M X ? X$ H2 73 S) * `" 0 N:

7;) Q ^\ M %< U;! , ) D) M ! H C 967) 1 ď&#x20AC;ł ) D7) NO (< UM [* Q 967) S. eD ď&#x20AC;ł 967) * D) 1 ď&#x20AC;ł G 967C I. J D7 ď&#x20AC;ł

I. J D7 967) * D) # t< G 967C S * A ^( s067) {: ?B F 0G) 9 .

NO6

Â&#x2014; 8&Âą* gÂ Â?Â&#x153;G gd {Â&#x153;Gc+ gHÂ˘Â&#x2013;Â&#x2021;H gÂ Â?Â&#x153;G Â&#x2C6; 9Â˘Â&#x2122;G* Â nhH

Position Vector

c e1 s067) Hy N ( # . Q 967) kz N067) W , 967) S. TUD7 s W [ (

)M* # :H_` M* G ; ) M* Za Y4 2 ) M* 8 , 896 H_` M*9 8 , !; = 8 *

s067) / B Uv s067) ) DB Uv

S ,Mâ&#x2C6;&#x2019;T

S ,LT C

Ů? â&#x20AC;ŤŘ§ďť&#x;ďť¤ďşźďť&#x201E;ďť ďş¤ďş&#x17D;ŘŞ Ř§ ďşłďş&#x17D;ďşłďť´â&#x20AC;Ź Ů? â&#x20AC;ŤŮ&#x2018;ďş&#x201D;â&#x20AC;Ź

Vector

5 067) 348 967)

Position Vector Orderd Pair

H ) 967) 'B ) w /

Absolute Value

M) 3 2

Norm

967) * D)

Equivalent Vectors K: ?7) 067) Addition of vector Multiplication

067C Hy kz

Polar Form

UM2 [* \

Unit Vector

[ ( 967)

Magnitude

* )

S â&#x2C6;&#x2019; , T

N ( # . Q 93 2 ku ď&#x20AC;ł s [ ( N067) W , 967) S. eD ď&#x20AC;ł s067) / B Uv # r ď&#x20AC;ł s067) ) DB Uv # r ď&#x20AC;ł p !" N ( # . Q 067) ^ 3 ď&#x20AC;ł c

% %$ & ' - 967) * D) - M) 3 2 - 'B ) w / - H ) 967) - 967) * ) - [ ( 967) - UM2 [* \ - 067) H31 - d: ?) 967)

!( ) ' D, ) * h* - 5 ) Ff2$8 X ) g UI - 3 DB [* U U ( & -

* +, ! I f?M3 ^( - N!"` D - W 7 W M - M2 !3

0 ) ' 1 ln jG\ N < im jG\ S) ' M k 74 o jG\ N < jG\ S) U * 7 MM k 74 5x 7 P 8 ) D3 ?UM

N N * ^ G â&#x2C6;&#x2019; D3 ^ #

ĹŽĆ&#x203A;Ĺ&#x201A; ĹŽĹ&#x201E;Ć&#x153; C :H; * H/I = 1 Ć&#x160;is_zV Ć&#x203A;Ĺ&#x192; ĹŽĹ -Ć&#x153; Âś" ĹŽĆ&#x203A;Ĺ&#x201A;- ĹŽĹ&#x192;Ć&#x153; C G[kb PBsgb q# f so C r Â˝ 2J kyr ĹŽr d>Ä&#x201D; G[kb 7kb _yr Ć&#x2039;Ć&#x203A;Ĺ&#x201A; ĹŽĹ&#x201E;Ć&#x153; 2gb !r4b Ć&#x2039;Ć&#x203A;Ĺ&#x201A; ĹŽĹ&#x201E;Ć&#x153; É¤ C r

Ć&#x203A;Ĺ&#x201A;- ĹŽĹ&#x192;Ć&#x153; É¤ r z& ĹŽd>Ä&#x201D; G[kb 7kb G[kb PBsgb q# f r Â˝ Ć&#x203A;Ĺ&#x192; ĹŽĹ -Ć&#x153; É¤ Âś" r i g^ kk_gy qj V Ć&#x203A;rĆ&#x153; y . b G[j 8Wj pb PBsgb p# f d^ iÄ&#x201D; 2Kj Âš ÇśĆŞĹŠÄąÇŠ 0_or 4f2b r PBsgb q# gbr C 4f2b C r PBsgb q# gb 4f2j i Ć&#x2039;Ć&#x203A;Ĺ&#x192; ĹŽĹ -Ć&#x153; É¤ Âś" Ć&#x201E;Ć&#x201E;ĹŽĆ&#x201E;Ć&#x201E;Ć&#x203A;Ĺ&#x201A;- ĹŽĹ&#x192;Ć&#x153; É¤ Ć&#x201E;Ć&#x201E;ĹŽĆ&#x201E;Ć&#x201E;Ć&#x203A;Ĺ&#x201A; ĹŽĹ&#x201E;Ć&#x153; É¤ C Ć&#x160;is_y `b0 r Ć&#x2039;q# gcb c ggb gz[ 7gb OG[b asF so ÇŹĹĹ&#x2020;Ç¨Ç¤Ä? Ć&#x192;ÄŁĹ?ĆŻÇŠ Ć&#x203A;= ĹŽ5Ć&#x153; É¤ S :. A Bb Ĺ

â&#x20AC;Ťďş&#x2014;ďť&#x152;ďşŽďťłďť&#x2019;â&#x20AC;Ź Ů¤

â&#x20AC;ŤďťŁŮ&#x20AC;ďş&#x153;Ů&#x20AC;ďş&#x17D;Ů&#x201E;â&#x20AC;Ź

N ( # . Q 967) kz 9 N !| ^ 37

X 067) q: ?7 N7) # r ď&#x20AC;ł p e1 s067) H3t ď&#x20AC;ł

ts 7gb wV C G[kb PBsf lzzO l_gy !r4b V2Og .f O gb w .&Ä&#x2013; z& ĹŽ pb 2J kgb Ć&#x203A;= ĹŽ5Ć&#x153; 2gb w .&Ä&#x2013; ts 7gb wV G[j d_b i Ć&#x2039;r d>Ä&#x201D; G[kb 7kb .z&r PBsf

N N * ^ G â&#x2C6;&#x2019; ' M k 74

= + Ĺ 5 É¤ ĆĄĆĄ S ĆĄĆĄ :.b

┬вSQ├│dG ├дGAG├┤LEGяАаяВи

тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

pkf d_b PBsgb q# f ."r V ╞Ы┼В- ┼о┼Б-╞Ь┬╢" ┼о╞Ы─┐ ┼о┼Д╞Ь ┼о╞Ы┼А- ┼о┼Б╞ЬC j ^ / .f O gb w .&─Ц ts 7gb wV 1 ╞Лw .&─Ц ts 7gb wV qb c ggb p"sgb gz[ 7gb OG[b h61 r ┼оr d>─Ф G[kb 7kb C

тАля╗зя║Оя╗Чя║╢тАм

cJK

"sgb m # ─Р Pf i p6 zZ yr 3 Pk?y C r q# gb d [gb d_;b wV ╞К{cy g^ qkN 2z O b l_gzV ╞Л╞б╞б C r ╞б╞б tr 7y m1 zOf i g^ kz7b 1s'gb 2Y4 GM* l 1 ; " )56

╞Ыi ┼о╞б╞б C r ╞б╞б╞Ь ╔д C r ╞К go .f O gb w .&─Ц ts 7gb wV C G[kb z .& is_yr

i " ╞б╞б C r ╞б╞б

= 5 = i J is_yr

i " ╞б╞б C r ╞б╞б ╔д =╞Е┼о╞Еi " ╞б╞б C r ╞б╞б ╔д 5

i " ╞б╞б C r ╞б╞б

тАля╗г┘Ая║Ь┘Ая║О┘ДтАм

7kb C G[kb PBsf q# gb z G[b 1s?b ."r ╞Л╞Ы ┼В ┼Е ┼о┼Е╞ЬC j ^ / .f O f w .& ts 7f wV 2 ╞Лr d>─Ф G[kb тАл╪зя╗Яя║дя╗ЮтАм

Si ,JT C

C r ╞б ╞б

┼А┼Б = ┼Б╞Ы ┼В ┼Е╞Ь + ┼Б╞Ы┼Е╞Ь = C r asF ╔д ╞б╞б C r ╞б╞б `╞Е

] r ┼о ─┐[ ╟╜ i╞Е ┼В

╞б╞б

┼Б

╞Ы ┼В ┼Е ┼о┼Е╞Ь ╔д C r a

= = ┼В┼Е ┼Е = 5 = i J ┼о ╞Д

тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

?.f O f w .& ts 7f wV ╞Ы─┐ ┼о─┐╞Ьr d>─Ф G[kb PBsgb q# f f ╞Д╟Ф╞╛

─┐ t2W?b q# gb ╞Ы─┐ ┼о─┐╞Ь ╔д r U2Oy :R 1 Y4 ╞Лm # ─Р lzOf 2zR t2W?b q# gb r ┼о─┐ ╔д ╞б╞б ─┐ ╞б╞б ╔д ╞б╞б r ╞б╞б is_yr ╞Е╞Е

тИТ

-.O .f O gb w .&─Ц ts 7gb wV C dz g kk_gy ┬╗ 2zR w b r y3 s gb p"sgb gz[ 7gb PG[b lf q kf ╞Л i r PBsgb q# f o .& is_yr ┼о C pkf d^ V _y

S , T .

M X

MтИТ XтИТ 6

g`Dc┬Уh┬ЩG* jc┬Яnh┬ЩG*

J L

Eequivalent Vectors

PGZ i .O wb d>r w & C lf ]2' g┬╣ 7" i A2Wkb d g C i V ╞ЛwcN wb .&r ┼В ┼оlzgzb wb .&r ┼Г ╞Л wb C lf h7#b & 3 q# f

J h

:.C R$

╞Ы┼В ┼о┼Г╞Ь ╔д i r ╔д ╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л ╔д╞Ж╞Ж╞Д ┬╢o E ╞Д ╔д╞Ж╞Ж C

╞ЛasF .&r ┼Д = ┼Б╞Ы┼В╞Ь + ┼Б╞Ы┼Г╞Ь ╔д ╞б╞б i r ╞б╞б ╔д ╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л ╔д ╞б╞б ┬╢o E ╞б╞б ╔д ╞б╞б C ╞б╞б╞Д:. /,6 тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

:H; * H/I = 3 G[j wb 7kb ┬╢" G[kcb PBsgb q# f lzN тАл╪гтАм ╞Лm1 zOf ."r h ┼оr d>─Ф

V _y w b p# gb Nsg#f 2> kN Pzg" -.& тАл╪итАм ╞Л ┬╢" r pkf d^

! r3─Ф Nsg#f 2> kO p# gb E 1 K&─Р `cOb l_gy `b/ wcNr ┼Б% ╟╜ ╞Ы= ┼о5╞Ь z& ╞Ы= ┼о5╞Ь 2gb ╞Кwcy g^ p# gb Xy2O тАля║Чя╗Мя║оя╗│я╗ТтАм ┘е

= 5 8 c E ) e 6 Z 4 = c Z f c 4 _ c :& 84 d 2& 84 M

тАл╪гя║┐тАм

тАля╗Т ╪ея╗ЯтАм

тАля╗░тАм

e H_ Q k 9 f * f =5 /,! M f k ; . W f :$ *56

тАля╗гтАм

тАля╗Мя╗атАм

тАля╗оя╗гя║ОтАм

тАля║Чя╗ЪтАм

╞Кd f ╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л S ╞Д┼о╞Д X ╞Д┼о╞Д i ╞Д┼о╞Д ┬╢f 3sf2b .& p# gcb 4f2y 0_or ╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л╞Л ╞Ы┼Д ┼о─┐╞Ь ╔д X ╞Е┼о╞Е╞Ы┼Б ┼о┼Ж-╞Ь ╔д i ╞Е┼о╞Е╞Ы┼В ┼о┼Б╞Ь ╔д ┬╢f Adding two Vectors Algebraically ┼Б

тАля║Яя╗дя╗К я╗гя║ая╗мя╗┤я╗ж я║Яя║Тя║оя╗│┘Ля║ОтАм

% ╟╜ ╞Ы┼Б= ┼о┼Б5╞Ь ╔д ╞Е┼о╞Д┼Б% ╟╜ ╞Ы┼А= ┼о┼А5╞Ь ╔д ┼Б

% ╟╜ ╞Ы┼Б= + ┼А= ┼о┼Б5 + ┼А5╞Ь ╔д +

╞ДH/

:. /,

V ╞Ы┼Д ┼о┼З╞Ь ╔д ╞Ы┼Ж + ┼Б- ┼о┼Д + ┼В╞Ь ╔д ╞Ы┼Ж ┼о┼Д╞Ь + ╞Ы┼Б- ┼о┼В╞Ь :g^

┬вSQ├│dG ┬вV├┤YяАаяВи тАл я║Гя╗Ыя║к я╗Ля╗ая╗░тАм┘ж┘з ╪М┘ж┘ж ╪М┘ж┘е ╪М┘ж┘д ╪М┘ж┘г тАля╗гя║┤я║Шя╗Мя╗┤ ┘Ля╗ия║О я║Ся╗дя║О я╗ня║ня║й я╗Уя╗░ я║╗я╗Фя║дя║Оя║ХтАм :тАля╗гя║О я╗│я╗ая╗░тАм тАл┬Й я╗гя║Шя║ая╗к я║Ня╗Яя╗дя╗оя║┐я╗К я╗Яя╗ия╗Шя╗Дя║Ф я╗гя╗Мя╗ая╗оя╗гя║Ф я║Ся║Оя╗Яя╗ия║┤я║Тя║Ф я╗Яя╗ия╗Шя╗Дя║Ф я║Ня╗╖я║╗я╗Ю я╗ля╗отАм тАля║Ня╗Яя╗Шя╗Дя╗Мя║Ф я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗Шя╗┤я╗дя║Ф я║Ня╗Яя╗дя╗оя║Яя╗мя║Ф я║Ня╗Яя║Шя╗░ я║Ся║кя║Ня╗│я║Шя╗мя║О я╗зя╗Шя╗Дя║Ф я║Ня╗╖я║╗я╗ЮтАм .тАля╗ня╗зя╗мя║Оя╗│я║Шя╗мя║О я║Ня╗Яя╗ия╗Шя╗Дя║Ф я║Ня╗Яя╗дя╗Мя╗ая╗оя╗гя║ФтАм (тАля╗зя╗Ия║оя║Н я╗╖я╗е я╗гя║Шя║ая╗мя║Оя║Х я║Ня╗Яя╗дя╗оя║┐я╗К я╗Яя╗мя║О я╗зя╗Фя║▓ я╗зя╗Шя╗Дя║Ф я║Ня╗Яя║Тя║кя║Ня╗│я║Ф )я╗нтАм ┘Л тАля╗нтАм тАл )я╗Ля╗ая╗░ я║│я║Тя╗┤я╗Ю я║Ня╗Яя╗дя║Ья║Оя╗Э( я║Ся║Оя╗Яя║оя╗гя║░тАмC тАля╗Яя║мя║Н я╗зя║оя╗гя║░ я╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя╗к я║Ня╗Яя╗дя╗оя║┐я╗К я╗нтАм . C тАл┬Й я╗Яя╗ая║Шя╗Мя║Тя╗┤я║о я╗Ля╗ж я╗гя║Шя║ая╗к я║Ня╗Яя╗дя╗оя║┐я╗К я╗Уя╗░ я║Ня╗Яя║╝я╗оя║ня║У я║Ня╗Яя╗Шя╗Дя║Тя╗┤я║Ф я╗Уя║Ия╗зя╗ктАм тАля╗│я║ая║Р я║гя║┤я║Оя║П я╗гя╗Мя╗┤я║Оя║н я║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗к я╗ня╗Чя╗┤я║Оя║▒ я║Ня╗Яя║░я║Ня╗ня╗│я║Ф я║Ня╗Яя║Шя╗░ я╗│я║╝я╗ия╗Мя╗мя║ОтАм тАля╗ля║мя║Н я║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗к я╗гя╗К я║Ня╗╗я║Чя║ая║О┘З я║Ня╗Яя╗дя╗оя║Яя║Р я╗Яя╗дя║дя╗оя║н я║Ня╗Яя║┤я╗┤я╗ия║Оя║ХтАм тАл )я╗Ля╗ая╗░ я║│я║Тя╗┤я╗Ю я║Ня╗Яя╗дя║Ья║Оя╗Э( я║Ся║Оя╗Яя║╝я╗оя║ня║УтАмC тАля╗ня╗│я╗Ья║Шя║Р я║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗к я╗нтАм

0673

┬Й

╞Ы r┼В ┼о┼А┼Б╞Ь ╔д C r `╞Е c ┼Е─┐ = _ ┼В i ┼А- J ╔д i `

╞Л C r q# gcb z G[b 1s?b ."r ╞Ы┼З ┼о ┼В ┼З╞Ь ╔д C r i ^ / тАл ╪гтАм2 ┬╢" G[j {z .& ."r V ┼оr d>─Ф G[kb 7kb ┬╢" G[kb PBsf q# f ╞Ы r┼Г┼В ┼о ┼Б ┼А┼Б╞Ь ╔д ┬╢" r i ^ / тАл╪итАм

тАл я╗ля╗Ю я╗│я╗дя╗Ья╗ж я║Чя╗Мя╗┤я╗ж я╗гя╗оя║┐я╗К я╗зя╗Шя╗Дя║Ф я╗гя╗Мя╗ая╗оя╗б я║Зя║гя║кя║Ня║Ыя╗┤я╗┤я╗мя║ОтАм... тАля║Ня║│я║Дя╗Э я╗Гя╗╝я║Ся╗ЪтАм тАл я╗ня╗ля╗Ю я╗Яя╗Ья╗Ю я╗зя╗Шя╗Дя║Ф я╗ня║┐я╗К я╗ня║гя╗┤я║к я║Ся║Оя╗Яя╗ия║┤я║Тя║ФтАм╪МтАля╗Уя╗░ я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗п я║Ня╗╗я║гя║кя║Ня║Ыя╗░тАм ?тАля╗Яя╗ия╗Шя╗Дя║Ф я║Ня╗╖я║╗я╗Ю я╗Уя╗░ я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗п я║Ня╗╣я║гя║кя║Ня║Ыя╗░ я║Ня╗Яя╗дя║Шя╗Мя║Оя╗гя║ктАм

┬И 9┬в┬ЩG* ┬аnh┬ЩG g┬дd┬Б┬РG* ,4┬в }G*

Polar form of position Vector

тАля╗Уя╗Ья║отАм

po # r h6┼Г o1 zOf ┼о C r p"sf gz[ 7f OGZ H; * H/I E G, ╞Л kz7b 1s'gb "sgb m # ─Р Pf c┼Е─┐ p6 zZ yr 3 Pk?y ts 7f wV r d>─Ф G[kb 7kb C G[kb PBsgb q# f - #y l_gy Xz^ ?.f O f w .&

SO , T

тАл┘ИтАм

├│┬л┬б┬к├аdG

(i ╪М|| C ||) = C = C тАл я╗нтАм:тАля║Ня╗Яя╗Шя╗Дя║Тя╗┤я║Ф я╗Ыя║Оя╗╡я║Чя╗▓тАм .тАл я║Ся║Оя╗Яя╗Шя╗┤я║Оя║▒ я║Ня╗Яя║кя║Ня║Ля║оя╗птАмi тАля║гя╗┤я║ЪтАм :тАл я╗Уя╗░ я║Ня╗Яя╗дя║┤я║Шя╗оя╗п я║Ня╗╣я║гя║кя║Ня║Ыя╗░ я║Ня╗Яя╗дя║Шя╗Мя║Оя╗гя║к я╗ля╗дя║ОтАмC тАля╗ня╗│я╗Ья╗оя╗е я║Зя║гя║кя║Ня║Ыя╗┤я╗▓ я║Ня╗Яя╗ия╗Шя╗Дя║ФтАм тАля║╣тАм тАл = я║▒тАмi тАл( я╗Ыя║мя╗Яя╗Ъ я╗Зя║ОтАмi тАл || я║Яя║ОтАмC тАл || я╗нтАм╪Мi тАл || я║Яя║Шя║ОтАмC тАл)|| я╗нтАм тАл┬Й я║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя║Оя╗е я║Ня╗Яя╗дя║Шя╗Ья║Оя╗Уя║Мя║Оя╗е я╗ля╗дя║О я║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя║Оя╗е я║Ня╗Яя╗ая║мя║Ня╗е я╗Яя╗мя╗дя║О я╗зя╗Фя║▓тАм тАл я╗ня║Гя╗е я╗ля╗ия║Оя╗Щ я╗Ля║к ┘Ля║йя║Н я╗Пя╗┤я║о я╗гя╗ия║Шя╗к я╗гя╗жтАм╪МтАля║Ня╗Яя╗дя╗Мя╗┤я║Оя║н я╗ня╗зя╗Фя║▓ я║Ня╗╗я║Чя║ая║О┘ЗтАм .тАля║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя║Оя║Х я║Ня╗Яя║Шя╗░ я║Чя╗Ья║Оя╗Уя║К я╗гя║Шя║ая╗к я╗гя║ОтАм тАл я╗гя╗К я╗Ля╗дя╗ая╗┤я║Ф я║Ня╗Яя║ая╗дя╗К я╗ня║Ня╗Яя╗Ая║оя║П я╗Уя╗░тАм┘втАл┬Й я╗Ля╗ия║Оя║╗я║о я║Ня╗Яя╗дя║ая╗дя╗оя╗Ля║Ф я║бтАм .тАля╗Ля║кя║й я║гя╗Шя╗┤я╗Шя╗▓ я╗ня║Ня╗Яя╗дя╗Мя║оя╗Уя║Шя╗┤я╗ж я╗Ля╗ая╗┤я╗мя║О я║Чя║┤я╗дя╗░ я╗гя║Шя║ая╗мя║Оя║ХтАм (┘гтАл я║ПтАм+ ┘вC ╪М┘бтАл я║ПтАм+ ┘бC) = (┘втАл я║ПтАм╪М┘бтАл )я║ПтАм+ (┘вC ╪М ┘бC) = тАл я║ПтАм+ C (┘вCтАл я╗ЩтАм╪М┘бCтАл( = )я╗ЩтАм┘вC ╪М┘бC) тАл = я╗ЩтАмC тАля╗ЩтАм ├┤┬к├а┬░├╣┬кdG ┬║┬л┬лтЙд├аdG

HQ5 .$ 6 & ; C (┘а ╪М┘е) = тАл я╗н я║П = я║ПтАм╪М(┘б- ╪М┘в) = C = C тАл я╗нтАм1 (┘г- ╪М┘в-) = тАля╗н я║Я┘А = я║Я┘АтАм

N N * ^ G тИТ ' M k 74

тИТ

0673

١٦ = ٢(٨) + ٢( ٣ ٨) = || C ‫أ || ﻭ‬ O

(٨ ، ٣ ٨) C

c K

g¤GchG* 8*¢tG* nG* g¤ GK C

. /,ƅƅŁ% ǽ Ů

. /,ƄƅŁ% ǽ Ů

*w+(±* g¤ 8c1

¶" + + C = ¶" + ƛ + C Ɯ ɤ ƛ ¶" + Ɯ + C

. /, Ł% ǽ ¶" Ů Ů

oHwG* K&* ¤ nhG* g¤ 8c1

:p ƄƄƄŁ% ǽ ƛĿ ŮĿƜ ɤ r ."sy Ł% ǽ

wMcq G* y } G* 2¢/K g¤ 8c1

H/ :p

jc 6¢ G* yD*¢- g¤ 8c1

¶" = Ƅ.b Ƅ ¶" + C = + C . A BCƄŁ% ǽ ¶" Ů Ů C H/

xqG* g¤ 8c1

١ = ٨ = ‫ = ﺹ‬i ‫ﻇﺎ‬ ٣ ٣ ٨ ‫ﺱ‬ c٣٠ = i

C +

C + r

= r + Ł

( r ،١٦) = C ‫ﻭ‬

% ǽ +

= +

% ǽ ƛ=- Ů5-Ɯ ɤ

Ł C - ."sy % ǽ ƛ= Ů5Ɯ C

C + ƛ C -Ɯ ɤ r

(‫ ﺹ‬،‫ب ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻭ ﺟـ = )ﺱ‬ i ‫ ﺹ = ||ﻭ ﺟـ|| ﺟﺎ‬، i ‫` ﺱ = ||ﻭ ﺟـ|| ﺟﺘﺎ‬ c١٣٥ ‫ * ﺟﺎ‬٢ ١٢ = ‫ ﺹ‬، c١٣٥ ‫ * ﺟﺘﺎ‬٢ ١٢ = ‫ ﺱ‬ ١ ١٢ = ٢ * ٢ ١٢= ،١٢- = ١- * ٢ ١٢= ٢ (١٢ ،١٢-) = ‫ﻭ ﺟـ‬

ɤ ƛ

% ǽ ƛ= ] Ů5 ]Ɯ ɤ ƛ= Ů5Ɯ ] ɤ

‫ﺿﺮب ﻣﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻰ‬

]

Ɗ % ǽ ]ƄH/ 6ƄŮƄŁ% ǽ ƛ= Ů5Ɯ ɤ

ƄH/

g¤GchG* 8*¢tG* fy ~G* g¤ GK V ] + C ] ɤ ƛ + C Ɯ] :. /,Ɔ Ƅƅ % ǽ ] H/ ƅŮŁ% ǽ Ů C H/ :@6$ C

] +

] ɤ C ƛŁ] + ŀ]Ɯ :. /, Ƅ% ǽ Ł] Ůŀ] H/ ƅŮ ƄƄƄƄŁ% ǽ

M5¢hG* g¤ 8c1

H/ : V 9 W

]Ɯŀ] ɤ C ƛŁ] ŀ]Ɯ :. /, ƅ% ǽ Ł] Ůŀ] H/ ƅŮ Ƅƅƅ % ǽ

oHwG* K&* ¤ nhG* g¤ 8c1

% ǽ ] H/ ƅŮ ƅ Ł% ǽ Ů C H/ (z'> 8_Ob r = C :.b ƅƅ ] ɤ C ] . A BC

xqG* g¤ 8c1

ƛŁ= ŮŁ5Ɯ ɤ i V _y ƛŀ= Ů ŀ5Ɯ ɤ ¶f i ^ / Řğ ƩũĪ Ƌƛ 2gb ! r3Ĕ tr 7 z> *Ɯ Ł= ɤ ŀ= ŮŁ5 ɤ ŀ5 Ɗi Vƅ Ƌi yr 7 f i Ů ¶f lzp# gb i 0 .kN as[jrƅ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

٢٩ = || ‫ﺏ‬- || ، (٢ ،٥) = ‫أ ﻭ ﺟـ = ﺟـ‬

(٥- ،٢) = ‫ﺏ‬- ، (١٢- ،٤) = C ٢ ‫أ‬ ، (٧ ،٣-) = ‫ ﺟـ‬١٢

ƛł ŮŃƜ ɤ Ů ƛŁ- ŮŅƜ ɤ C i ^ / 3 ł - CŁ ."r ‫أ‬

Ů C bĐ. ƛń ŮŀŀƜ ɤ ¶" lN 2 N ‫ب‬

‫اﻟﺤﻞ‬

.‫ ﻣﻘﺪﺭﺓ ﺑﺎﻟﺘﻘﺪﻳﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ‬i ‫( ﺣﻴﺚ‬i ،|| ‫ﺏ = )|| ﺏ‬

ƛł ŮŃƜł - ƛŁ- ŮŅƜ Ł = ł - CŁ ‫أ‬ ƛŀł- ŮĿƜ ɤ ƛň- ŮŀŁ-Ɯ + ƛŃ- ŮŀŁƜ ɤ ƆƆƅƅƅ

% ǽ Ł] Ůŀ] z&ƅ Ł] + C ŀ] ɤ ¶" i A2W ƄƄ ‫ب‬ ƛł ŮŃƜŁ] + ƛŁ- ŮŅƜ ŀ] ɤ ƅƅƅƅƄƄ ƛŁ]ł + ŀ]Ł- ŮŁ]Ń + ŀ]ŅƜ ɤ ƛŁ]ł + Ł]ŃƜ + ƛŀ]Ł - ŀ]ŅƜ ɤ ƅƅƅƅƄƄ

−

‫ ﻥ ﻡ‬، ‫ب ﻭ ﺟـ ﻳﻜﺎﻓﺊ ﻝ ﻉ‬ 0673

:.$ m , E G5 E 6 R6 5 _ E 6 SMTƅƅƅń = Ł]ł + ŀ]Ł-ƄƄƄŮƄƄSXTƅƅƅŀŀ = Ł]Ń + ŀ]Ņ Ł + C ŀŁ = ¶" ` Ł = Ł]ƄŮƄ ŀŁ = ŀ] :.$ !49 SMT ,SXT E ' ) HQ;

(١٥- ،٦) = ‫ ﺟـ‬- ‫ ﺏ‬+ C ‫ ﺏ‬٤ + C = ‫ب ﺟـ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

ƛŀŃ ŮŅ-Ɯ ɤ ¶" Ůƛń ŮŁ-Ɯ ɤ ŮƛŅ- ŮŁƜ ɤ C i ^ / 4 ¶" - + C ƄŮƄ ¶" ŀŁ ƄŮƄ - ƄŮƄ CŁ Ɗ."r ‫أ‬ Ƌ Ů C bĐ. ¶" lN 2 N ‫ب‬

IóMƒdG ¬éàe

2l! 3 ) Y4 # :‫ﻣﺘﺠﺔ اﻟﻮﺣﺪة‬

Unit Vector

2 ¤¤ 6c 6&±* ,w0¢G* £ nhH gG±w+ nh G* < y¤d hG* O

M SK ,XT X

SK ,XT = M

M X

N SX ,KT X

SX ,KT = N

* )M* # : N =% %` l! Y4 ½ l! # ) 6 H_` M*9 #n!G = 8 2& ' 1 Q [ 3 45@ # 8# 45 6

2Z 4 o, )5 E 2 e o, )5 E

ƛ= Ů5Ɯ ɤ ¶f . A BC ƛ = ŮĿƜƄ+ƆƄƛĿ Ů5Ɯ ɤ ¶f Ɔ ƆƄ ` ƛŀ ŮĿƜ =Ƅ+ ƛĿ ŮŀƜ 5 ɤƆƆ ƆƄƄƄ N =Ƅ+ M 5 ɤƆƆ ƄƄƄ Ł = + Ł5 ɤ ơơ ¶f ơơ :. /,6

ôªà°ùªdG º««≤àdG

:HQ5 .$ 6 & ; C ٥ = || ‫ || ﻣـ‬، N ٤ + M ٣- = ‫ أ ﻣـ‬5 ١٣ = || ‫ || ﻥ‬، N ١٢ - M ٥ = ‫ب ﻥ‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ٦

* )M* # : M =% %` l! Y4 ½ l! # ) 6 H_` M*9 #n!G = 8 2& Q [ 3 45@ # 8# 45 6

H^ ;6 ‫ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ‬،(١ ،٠) = N ‫ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﺳﺎﺳﻰ‬ .‫ﻭﺻﻒ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ‬

V ƛŇ ŮŅ-Ɯ ɤ ƛŃ- ŮłƜŁ-ƄŮ ƄƅƛĿ Ů ĿƜ ɤ ƛĿ Ů ĿƜŃƆƅ ŮƄƛ ňŁ ŮŁƜ ɤ ƛň ŮŃƜ ŀŁ ƅŮƅƛŀń- ŮŅƜ ɤ ƛń- ŮŁƜł :g^

:DM( [ 45 ‫ﻗﺪ ﻳﺨﻄﺊ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻓﻰ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻮﺿﻊ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ‬ .‫ ﺹ( ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺇﺣﺪﺍﺛﻰ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ‬،‫ﺏ)ﺱ‬ ‫ ﺹ‬١‫ = ﻇﺎ ﺱ ﻭﻳﻜﻮﻥ‬i ، ٢‫ ﺹ‬، ٢‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻥ || ﻭ ﺏ || = ﺱ‬

‫ﺃﻛﺪ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻫﻮ ﻣﺘﺠﻪ ﻣﻌﻴﺎﺭه ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﺃﻥ‬ ‫ ﻫﻮ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ‬M ‫ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﺳﺎﺳﻰ‬ ‫ﻣﺒﺪﺅﻫﺎ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ ﻭﻣﻌﻴﺎﺭﻫﺎ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﺍﺗﺠﺎﻫﺎ ﻫﻮ ﺍﻻﺗﺠﺎه‬ ‫ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻭﻳﻌﺒﺮ ﻋﻨﻪ ﺑﺎﻟﺰﻭﺝ ﺍﻟﻤﺮﺗﺐ‬ .(٠ ،١) = M ‫( ﻓﻴﻜﻮﻥ‬٠ ،١)

C -Ɯ + C

Multiplying a vectore by a real number Ł

Ê I±* g¤ 8c1

‫ﻣـﺜـﺎل‬

ƛ łŁ - ŮĿƜ ɤ M ‫د‬

Ɗlzz6 6Ĕ .&sb wp# f bĐ. zb b p# gb lf d^ lN 2 N 4 ƛĿ Ůń-Ɯ ɤ a ‫ﺟ‬ ƛł- ŮŃƜ ɤ i ‫ب‬ ƛņ ŮŁƜ ɤ ¶f ‫أ‬ N

N N * ^ G − D3 ^ #

ł- M Ń= i ‫ب‬ ‫د‬ N łŁ = M

N N * ^ G − ' M k 74

‫اﻟﺤﻞ‬

‫أ‬ ń- = a ‫ﺟ‬

N ņ + M Ł = ¶f M

٧ ٣ = || ‫ || ﻝ‬، N ٦ - M ٣- = ‫ﻝ‬ ٧ = || ‫ || ﻉ‬، M ٧- = ‫ﻉ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ɗm1 zOf ."r h lzz6 6Ĕ .&sb wp# f bĐ. zb b p# gb lf d^ lN 2 N 5 ƛĿ Ůņ-Ɯ ɤ M ‫د‬ ƛŅ- Ůł-Ɯ ɤ a ‫ﺟ‬ ƛŀŁ- ŮńƜ ɤ i ‫ب‬ ƛŃ Ůł-Ɯ ɤ ¶f ‫أ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

N ٦٠- = ‫ﻑ‬ N ٣ ١٥ + M ١٥- = ( r٢ ،c٣٠) = X

Ɗlf d^ lN 2 Oy t0b q# gb lzz6 6Ĕ .&sb wp# f bĐ. ."r 5 ƋY2;b m # wV N 6 d^ h^ ňĿ PG[ 1 z7b gK kgb N27b ‫أ‬ ƋY2;b a g: cłĿ m # wV y- f G[j wV 2 l szj ńĿ o1 .[f sZ ‫ب‬ O

‫اﻟﺤﻞ‬ N0A qK

O K 9 L E5

c K

ƛ= Ů5Ɯ ɤ ¶" r GOgb s[cb PBsgb q# f i A2W ‫ب‬ Ů ł Łń = cłĿ " ńĿ ɤ 5 ` Łń = cłĿ " ńĿ ɤ = ƆŮ N Łń + M ł Łń = ¶"

c JwHc -K ¤ nhH L5*¢lzy2W> 2zR lzp# f i Ů ¶f H/ ƛŁ= Ů Ł5Ɯ ɤ i Ů ƛŀ= Ůŀ5Ɯ ɤ ¶f p

6 N O

i // ¶f . A BC -

. NN

= ŀ= 5 = ŀ5 Ů Łi J ɤ ŀi J :.b ƅ (z'> 8_Ob r 2W> ɤ ŀ= Ł5 - Ł= ŀ5 . /,6ƅ Ł

−

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺷﺮﻁ ﺗﻮﺍﺯﻯ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﻭﺷﺮﻁ ﺗﻌﺎﻣﺪﻫﻤﺎ‬ .‫ ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬٦٩ ،٦٨ ‫ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﺻـ‬ ôªà°ùªdG º««≤àdG

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ɗlf d^ lN 2 Oy t0b q# gb lzz6 6Ĕ .&sb wp# f bĐ. ."r 6 Ƌ sk#b m # wV h6ŅĿ V 7f h7" & 3 ‫أ‬ Ƌ 2Sb a g: cŅĿ m # wV hz7" wcN 2 h#^ łĿ o1 .[f sZ ‫ب‬

Perpendicular and Parallel Vectors

‫ أ‬6 ‫ب‬

‫ﺗﻮازى ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ وﺗﻌﺎﻣﺪﻫﻤﺎ‬

Ƌƛ= Ů5Ɯ ɤ r 1 z7b N27b PBsgb q# f i A2W ‫أ‬ Ŀ ɤ =ƄŮƄňĿ ɤ 5 ` M ňĿ = Ƅ

‫ﺟ‬ ‫د‬

‫ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ‬ (٩- ،٦) = ‫ ﺏ‬، (٦ ،٤-) = C 7 ‫ = ﺻﻔﺮ‬٦ * ٦ - ٩- * ٤- a ‫ ﺏ‬// C ` (٢ ،٣) = ‫ ﺟـ‬، (٩- ،٦) = ‫ ﺏ‬a ‫( = ﺻﻔﺮ‬٢ * ٩-) + ٣ * ٦ ‫` ﺏ = ﺟـ‬ (٦ ،٤-) = C ، (٢ ،٣) = ‫ ﺟـ‬ ‫ = ﺻﻔﺮ‬٦ * ٢ + ٤- * ٣ a C = ‫` ﺟـ‬

0673

:‫ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺿﺮب ﻣﺘﺠﻪ ﻓﻰ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻫﻨﺪﺳﻴًﺎ‬

i = ¶f . A BC - ŀ- = Łi J * ŀi J : .b ƅ

ŀ- = Ł 5 * ŀ 5 Ł ŀ (z'> 8_Ob r Ŀ = Ł= ŀ= + Ł5 ŀ5 . /,6ƅ

. =

ƛŇ Ů Ɯ ɤ ¶" Ů ƛł ŮJ−Ɯ ɤ Ů ƛŃ ŮMƜ ɤ C . A BC Řğ ƩũĪ Ƌ 2W> ɤ ŀŁ + ŀŁ- = ł * Ń + J− * M ƊiĔƅ = C :.b Ƅ ¹ Ƌ 2W> ɤ ŀŅ -Ɔ ŀŅ = Ń * - Ň * M ƊiĔƅ ¶" // C ƅƅ ¹ Ƌ 2W> ɤ ŁŃ +Ɔ ŁŃ- = Ň * ł + * J −Ɔ ƊiĔƅ ¶" = ƅƅ ¹ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

ôªà°ùªdG º««≤àdG

Ɗ f.kN ] gzZ ."r V ƛŃ- Ů]Ɯ ɤ Ů ƛń ŮŁƜ ɤ C i ^ / 6 Ƌ = C ‫ب‬ Ƌ // C ‫أ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

2W> ɤ ] * ń - Ń- * Ł Ɗso t3 s b E2: i V // C f.kN ‫أ‬ ¹ Ň - ɤ ] Ɗis_yr 2W> ɤ ]ń - Ň- ` ń - * ń + ] * Ł Ɗso .f O b E2: i V = C ‫ب‬ 2W> ɤ Ń ¹ ŀĿ ɤ ] Ɗis_yr 2W> ɤ ŁĿ - ]Ł ` ¹ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

C = ¶" Ů ¶" = Ů // C Ɗi ƛŁ ŮłƜ ɤ ¶" Ůƛň- ŮŅƜ ɤ ŮƛŅ ŮŃ-Ɯ ɤ C i ^ / 7

%ǽ ] Ůƛ= Ů5Ɯ ɤ ¶f . A BC Řğ ƩũĪ ƛ= ] Ů5 ]Ɯ ɤ ƛ= Ů5Ɯ ] ɤ ¶f ] :.b Ƅƅ ¶f ] ƢƢ ¶f :.b ƅĿ! ] Ůt2W> 2zR q# f ¶f . A BC6

ơơ ¶f ơơ Ŀ ơ]ơɤ ơơ ¶f ]ơơ :. /,6 Ŀ < ] d_b ¶f m # 8Wj so ¶f ] m # p Ŀ > ] d_b ¶f m # 8_N so ¶f ] m #

‫ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﻋﻨﺪ ﺿﺮﺏ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻓﻰ ﻣﺘﺠﻪ‬ ،‫ﻏﻴﺮ ﺻﻔﺮﻯ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻫﻮ ﻣﺘﺠﻪ ﻳﻮﺍﺯﻯ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻷﺻﻠﻰ‬ ‫ﻭﻳﻜﻮﻥ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﺗﺠﺎﻫﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻰ ﻣﻮﺟ ًﺒﺎ‬ .‫ﻭﻓﻰ ﻋﻜﺲ ﺍﺗﺠﺎﻫﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻰ ﺳﺎﻟ ًﺒﺎ‬

:HQ5 .$ 6 & ; C V 8 :@6$ ‫ﺟ‬ ‫ب‬ ‫ ﻣـ‬- ‫ ﻥ‬٣- ‫ ﻣـ‬٣ ‫أ‬ ‫ ﻥ‬٢ ‫ ﻣـ و‬٣- ‫ ﻥ ﻫ‬٣ ‫د‬ ‫ ﻥ‬٥- ‫ ﻥ ط‬٢- ‫ ﻣـ ح‬٢- ‫ز‬ : V 9 W ‫ ﻣـ‬٣ = ‫ ﺏ‬C ‫ ﻣـ‬٣- = C ‫ﺏ‬ ‫ ﻣـ‬٣ = ( ‫ ﻣـ‬٣-)- = C ‫ ﺏ‬-

N N * ^ G − ' M k 74

−

‫ ‪ 0673‬‬

‫‪V‬‬ ‫ ^‪:g‬‬ ‫‪ƛŁ ŮŃƜ ɤ ƛŀ ŮŁƜŁ = ¶f Ł = C :.b ƅƛŀ ŮŁƜ ɤ ¶f . A BC‬‬ ‫‪ƛł ŮŅƜ ɤ ƛŀ ŮŁƜł = ¶f ł = ƅƅƅ‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ƛŀ- ŮŁ-Ɯ ɤ ƛŀ ŮŁƜ- ɤƆ ¶f - = ¶" ƅƅƅ‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ƛ łŁ - Ůł-Ɯ ɤ ƛŀ ŮŁƜ łŁ - = ¶f łŁ - = E ƅƅƅ‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪Ƌ`b/ (Bsy d [gb d_;b r‬‬

‫‪º««≤àdGh ÖjQóàdG‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪\ 8 E ]*Q5 & ; C :@6$‬‬

‫‪O‬‬

‫‪E‬‬

‫=‪−‬‬

‫ ‬

‫‪ M‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫=‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫=‬ ‫‪ M‬‬

‫ ‬

‫‪N‬‬

‫‪6‬‬

‫‪، M ٤- = C‬‬

‫=‬ ‫‪ −‬‬

‫‪O‬‬

‫‪N‬‬

‫‪ ،‬ﺏ = ‪، N ٣-‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪Ƌ [ G f MđB y3 s gb c [gb _ ;b 8‬‬ ‫‪ bĐ. zb b p"sgb gz[ 7gb PG[b lf d^ lN 2 N :V@6$‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪i Ů ¶f lzp# gb‬‬ ‫ﺟ "¶ ‪¶o‬‬ ‫ب "¶ ‬ ‫أ ‪ C‬‬ ‫و ‪¶o E‬‬ ‫د "¶‬ ‫ﻫ ‪C‬‬ ‫ح ‪¶o E‬‬ ‫ز ‪a E‬‬ ‫ط ‪C a‬‬

‫ ‬

‫‪E‬‬ ‫ ‬

‫‪ ،‬ﺟـ = ‪، N ٥ + M ٤‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ #‬‬

‫ ‬

‫‪U‬‬ ‫ ‬

‫‪، N ٥= E ،‬‬

‫‪C‬‬

‫‪Ƌ zÊ 6.ko `b/ 27Vr C - = C i $ k 6 : V 9 W‬‬

‫‪ ،‬ﻫـ = ‪، N ٢ + M ٥-‬‬

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬

‫‪، N ٣+ M ٣= S ،‬‬

‫‪Ƌ.f O gb w .&Ė ts 7gb wV p# gb DO b đz g wb b d_;b lz y‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ ^ ^‪Ƌlzz6 6Ĕ .&sb wp# f bĐ. q# f d‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪a‬‬

‫"¶‬

‫‪¶o‬‬

‫]‬

‫‪S‬‬

‫‪C‬‬ ‫ ‬

‫‪MK‬‬

‫‪XJ‬‬

‫‪XM‬‬

‫‪i‬‬

‫ ‬

‫‪ ،‬ﻝ =‪M ٥‬‬

‫‪J‬‬

‫ ‬

‫‪E‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ ،‬ﻙ =‪، N ٥- M ٧‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬

‫ ‬

‫‪6‬‬ ‫‪O M‬‬

‫‪N‬‬

‫ ‬

‫‪N‬‬

‫‪º««≤àdG :É«k fÉK‬‬

‫‪ 1‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‪:‬‬ ‫‪(٥ ،٢-) = C ، (٢ ،٣) = C‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫ﺟـ = )‪(٣- ،١‬‬ ‫ﻛﻼ ﻣﻦ‪:‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ًّ‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ‪ C‬ﺏ ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫ب‬ ‫أ ‪ C ٢‬‬ ‫‪ - C‬ﺟـ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻥ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﺏ ‪ C‬ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫ﺟ ‪ ٢‬ﺏ ‪ ٣ +‬ﺟـ د ‪ - C‬ﺏ ‪ +‬ﺟـ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ -‬ﻥ ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪) = C‬ﺱ‪ ،(٢ ،‬ﺏ = )‪ ،٣-‬ﺹ( ﻭﻛﺎﻥ‬ ‫‪ + C‬ﺏ = ﺟـ ﺣﻴﺚ‪:‬‬ ‫ﺟـ = )‪ (٥ ،٠‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺘﻰ ﺱ‪ ،‬ﺹ‪.‬‬ ‫ ‪ −‬‬

‫‪ 3‬ﺃﻭﺟﺪ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻣﺘﺠﻬﻰ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺬﻯ‬ ‫ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﻛﻞ ﻣﻦ‪:‬‬ ‫أ ﺇﺯﺍﺣﺔ ﺟﺴﻢ ﻣﺴﺎﻓﺔ ‪١٢‬ﺳﻢ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﻳﺼﻨﻊ ‪c٤٥‬‬ ‫ﻣﻊ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‪.‬‬ ‫ب ﻗﻮﺓ ﻣﻘﺪﺍﺭﻫﺎ ‪ ١٠‬ﻧﻴﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻠﻰ ﺟﺴﻢ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه‬ ‫ﻳﺼﻨﻊ ‪ c٣٠‬ﺷﻤﺎﻝ ﺍﻟﻐﺮﺏ‪.‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ÖjQóàdG :ÉãdÉK‬‬

‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻣﺨﺘﺎﺭﺓ ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻷﻧﺸﻄﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﺻﻔﺤﺔ ‪.٢٩ ،٢٨‬‬

‫‪N N * ^ G − D3 ^ #‬‬

‫‪ o‬‬

3-3

тАл╪зя╗Яя╗Мя╗дя╗ая╗┤я║О╪к я╗Ля╗ая╗░ ╪зя╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя║О╪ктАм

3-3 тАля║│я╗о┘Б я║Чя║Шя╗Мя╗ая╗втАм

Adding vectors geomitricaly

N !| ^ 37 067C Hy |

тАля╗зя║Оя╗Чя║╢тАм

s067) H3┬А ~ C [ . 2

N U ^ 37 067C } I | 01 ) 3 7;) DM2 S. TUD7 0 : M H C N067) W ,

тАл я║Яя╗дя╗К ╪зя╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя║О╪к я╗ля╗ия║кя║│я╗┤┘Ля║ОтАм:тАл╪г┘И ┘Ля╗╗тАм

H3┬А f / 7) [ . 2 s067)

6 O

Triangle Rule of Adding two vectors

┘П тАл╪зя╗Яя╗дя║╝я╗Дя╗ая║дя║О╪к ╪з я║│я║Оя║│я╗┤тАм ┘П тАл┘Ся║ФтАм

067C Hy

. +

067C } I

Subtraction of vectors

~ C [ . 2 Triangle Rule

f / 7) [ . 2 Parallelogram Rule

Operations on Vectors

тАля╗Уя╗Ья║отАм

╞К z& i q# gb d g ╞Ы┼Д ┼о┼А╞Ь ╔д i ┼о ╞Ы┼Б- ┼о┼Г╞Ь ╔д ┬╢f ╞Л i + ┬╢f qyr 7y f ^ ╞Л ┬╢" C qc g t0b q# gb ^ ?$ k 7 / f ?L&─С / f

тАл┘ИтАм

┬╢" ┼о ┬╢f q# gb d g C j ^ /

Addition of vectors

тАл╪зя╗Яя╗Мя╗дя╗ая╗┤я║О╪к я╗Ля╗ая╗░ ╪зя╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя║О╪ктАм

Operations on Vectors

┬Э┬д┬ЯnhH ┬И┬ЩnG l┬Цk┬ЩG* ,w<cE

i q# gb d g ┬╢" ┼о ┬╢f q# gb d g C . A BC

wo r ┬╢f q# gcb y pkb G[j G[kb p ╞Л i q# gcb y . b G[j p7Wj gz[ 7gb OG[b qc g i + ┬╢f q# gb :.b ┬╢" C p"sgb

┬╢" C = ┬╢" + C

:X$ N . *# 2 c ' M X ? X$ H2 73 S) * `" 0 N:

t ╞Д╞Е╞Е ┬╢" C = i + ┬╢f :.C R$

c !" ┬Б ┬В ^ 3 067C H3t яА│

тАля╗г┘Ая║Ь┘Ая║О┘ДтАм

N !" * #$ D, ) h*

╞Л kzgb lf !r2+cb ┬╣─Р g: 2 f ┼Г─┐─┐ h ┼о ┬╣Z2: 2 f ┼В─┐─┐ kzW6 PG[ 1 ╞Л kzgb lf p"r2* w & kzW7b & 3 7& тАл╪зя╗Яя║дя╗ЮтАм

╞Л2 f ┼А─┐─┐ d g h6 ┼А d^ 1 N ╞К 6 kf h61 5 z[f 0* j -┬Ъ ╞Л2 f ┼Г─┐─┐ d g h6 ┼Г ┼о2 f ┼В─┐─┐ d g h6┼В ` ╞Е is_zV ┼о z6.kpb ` r- f┬╣ .+ 7f h62b 5 z[g c&2b 1 7f h61 -┬Ы ╞Л ┬╢" + C = ┬╢" C & 3─Ц q# f

,H 3 967) 01 3 3 7;3 DM ' M *# X$ YU N: S 067) ) DB / B NI g N ( # . N: 967) k

c !" 0 3 0673 N . 3D * J * `"

! " !#$

a : Z─СO Z─СOb m0o U2O r

тАл╪з ╪п┘И╪з╪к ┘И╪зя╗Яя╗оя║│я║Оя║Ля╗ЮтАм

^┬Г ;C ^( Q s067) H3┬А ~ C [ . 2 F ┬Д7; яА│ ^┬Г ;C ^( Q f / 7) [ . 2 F ┬Д7; яА│ c !" ┬Б ┬В ^ 3 s067) } M яА│ S) ^4 N O (< H C 967) W , 01 ) 3 7;) DM2 S. eD яА│ 0 : I

N N * ^ G тИТ ' M k 74

% %$ & ' ┬вSQ├│dG ┬вV├┤YяАаяВи

/ 7) [ . 2 - ~ 3 [ . 2 - S 067) } I - S 067) H31 f

├╕┬л┬б├й├аe тДв┬к├йd ├етИП├г┬кdG I├│Y├Йb :┬║тИП┬йJ

!( ) '

тАл я╗гя╗ж я╗Ыя║Шя║Оя║П я║Ня╗Яя╗Дя║Оя╗Яя║Р я╗Уя╗░ я╗Ля║оя║╜ я╗Чя║Оя╗Ля║кя║УтАм┘з┘бтАл "! я║Ня║│я║Шя╗Мя╗ж я║Ся╗дя║О я╗ня║ня║й я╗Уя╗░ я║╗┘АтАм#$ - 5 ) Ff2$8 X ) g UI - 3 DB [* U тАля╗гя║Жя╗Ыя║кя║Н я╗Ля╗ая╗░ я║Гя╗е я╗ля║м┘З я║Ня╗Яя╗Шя║Оя╗Ля║кя║У я║Чя╗Мя║оя╗СтАм тАля║Ня╗Яя╗дя║Ья╗ая║Ъ я╗Яя║ая╗дя╗К я╗гя║Шя║ая╗мя╗┤я╗жтАм , - . / 01 - ) * +) , - N & ' ( ,

┘Л C тАля║Ся╗Мя╗╝я╗Чя║Ф я║╖я║Оя╗Э я╗ня╗╗ я║Чя╗Мя║Шя╗дя║к я╗Ля╗ая╗░ я║Ня║зя║Шя╗┤я║Оя║н я║Ня╗Яя╗ия╗Шя╗Дя║Ф я║Ня╗╗я║Ся║Шя║кя║Ня║Ля╗┤я║ФтАм * +, ! I тАл( я╗ля╗о я╗гя║Ья║Оя╗Э я║Чя╗Дя║Тя╗┤я╗Шя╗░ я╗│я╗оя║┐я║в я╗Ыя╗┤я╗Фя╗┤я║Ф я║Ня║│я║Шя║ия║кя║Ня╗бтАм┘б) тАля║Ня╗Яя╗дя║Ья║Оя╗Э я║ня╗Чя╗втАм f?M) ^( - W 7 W M - M2 !3 - [ j3 тАля╗гя╗Шя╗┤я║Оя║▒ я║Ня╗Яя║оя║│я╗в я╗Уя╗░ я║Ня╗Яя║Шя╗дя║Ья╗┤я╗Ю я║Ня╗Яя╗мя╗ия║кя║│я╗░ я╗Яя╗ая╗дя║Шя║ая╗мя║Оя║Х я╗ня║Ня║│я║Шя║ия║кя║Ня╗бтАм 0 ) ' 1 .тАля╗Чя║Оя╗Ля║кя║У я║Ня╗Яя╗дя║Ья╗ая║Ъ я╗Ля╗дя╗а ┘С┘Ля╗┤я║О я╗Яя║ая╗дя╗К я║Ня╗Яя╗дя║Шя║ая╗мя║Оя║ХтАм l jG\ N < l jG\ S) ' M k 74 тАля╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗ля║мя║Н я║Ня╗Яя╗дя║Ья║Оя╗Э я╗гя╗К я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я║Ыя╗в я║Ня╗Гя╗ая║Р я║Зя╗Яя╗┤я╗мя╗в я║гя╗Ю я║Ня╗Яя║┤я║Жя║Ня╗Э я║Ня╗Яя╗оя║Ня║ня║йтАм m jG\ N < mn jG\ S) U * 7 MM k 74 .тАля╗Уя╗░ я║Ся╗ия║к ┬╗я║гя║Оя╗ня╗Э я║Гя╗е я║Чя║дя╗Ю┬л я╗Яя║Шя║Дя╗Ыя╗┤я║к я╗Уя╗мя╗дя╗мя╗в я╗Яя╗дя║О я╗ня║ня║й я╗Уя╗░ я╗ля║мя║Н я║Ня╗Яя╗дя║Ья║Оя╗ЭтАм

├┤┬к├а┬░├╣┬кdG ┬║┬л┬лтЙд├аdG

┬вSQ├│dG ├дGAG├┤LEGяАаяВи

HQ5 .$ 6 & ; C ├│┬л┬б┬к├аdG :0% * 1 i C тАля╗Ыя╗втАм┘д┘а тАля╗Ыя╗Ю я║Ня║│я╗в я╗│я╗дя║Ья╗ЮтАм тАля╗Уя╗Ья║о ┘Ия╗зя║Оя╗Чя║╢тАм тАля║│я╗втАм┘г тАл я║Я┘А я║П я╗│я╗дя║Ья╗ая╗мя║ОтАм╪МтАля║│я╗втАм┘в тАл я║Я┘А я╗│я╗дя║Ья╗ая╗мя║ОтАмC тАля╗зя║оя║│я╗втАм тАля╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗гя╗К я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я╗гя║О я╗ня║ня║й я╗Уя╗░ я║Ся╗ия║к ┬╗я╗Уя╗Ья║о я╗ня╗зя║Оя╗Чя║╢┬л я╗ня╗│я╗мя║кя╗С я║Зя╗Яя╗░тАм c┘б┘в┘а тАля╗ня╗Чя╗┤я║Оя║▒ я║Ня╗Яя║░я║Ня╗ня╗│я║Ф я║Ся╗┤я╗ия╗мя╗дя║ОтАм тАля║Ня║│я║Шя╗ия║Шя║Оя║Э я║Ня╗Яя╗Дя╗╝я║П я╗Яя╗Шя║Оя╗Ля║кя║У я║Ня╗Яя╗дя║Ья╗ая║Ъ я╗Яя║ая╗дя╗К я╗гя║Шя║ая╗мя╗┤я╗ж я║Чя║Оя║Ся╗К я║Зя║Яя║Оя║Ся║Оя║ХтАм ┘д┘л┘и = тАл я║Я┘АтАмC .тАля╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я╗гя╗К я║Чя║╝я║дя╗┤я║в я╗гя║О я╗│я║оя║й я╗гя╗ж я║Гя║зя╗Дя║Оя║А я╗Уя║оя║йя╗│я║Ф я╗Уя╗░ я║гя╗┤я╗ия╗мя║ОтАм тАля╗Ыя╗втАм┘б┘й┘в = ┘д┘а * ┘д┘л┘и = тАля║Ня╗Яя╗дя║┤я║Оя╗Уя║Ф я║Ня╗Яя╗дя╗Шя╗Дя╗оя╗Ля║ФтАм .тАл я║╖я╗дя║Оя╗Э я║Ня╗Яя╗Ря║оя║ПтАмc┘г┘й тАля╗Уя╗░ я║Ня║Чя║ая║О┘ЗтАм тИТ

0673 N . 3D

‫ ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ‬٧٢‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻣﻦ ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ ﺻـ‬ "‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ "ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ‬ .‫ﻓﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ‬

, 8

, !G I

Ƌ 2Sb a g: cŅĿ m # wV h^ ŀŁĿ V 7f h 2Sb m # wV h^ ŇĿ V 7f C PZsgb lf k& : ^2' 1 Ƌ C & 3Ė m # r 1 .[f ."r Ƌ PZsgb wb c>r i wb

/ ! ; ; C C ‫ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬C = ‫ ﺍﻷﻳﻤﻦ‬1 C ‫ ﺟـ‬+ (‫ ﺏ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬C ) = ‫ = ﺍﻷﻳﺴﺮ‬٠ = ( ‫ ﺟـ‬C -) + ( ‫ ﺟـ‬C ) =

ǶǩģǮ ńģƪũıǩ

;j ƛ gp c?'f - #y Ɯ gpOg" l_gy i Ů ¶f lzp# f t - d_;b wV g^ i Ů ¶f lzp# gcb lz V _fr lzb f lzp# f Ƌd [gb

. + C

SMT

E ‫ ﺟـ‬+ ‫ = ﺏ ﺟـ‬E ‫ ﺏ‬: E ‫ﺏ ﺟـ‬9 ‫ﻓﻰ‬

¶o C = ¶o E + E ¶" + ¶" + C Ɗ ¶o E ¶" C d_;b wV -

SXT

Ŀ = C ¶" + ¶" + C Ɗ ¶" C 9 wV -

−

0673 N . 3D

¤ nhH nG Ê 9&±* L5*¢hH ,w<cE

Parallelorgram Rule of Adding two vectors

ôªà°ùªdG º««≤àdG

Ɗ zb b 1 Ob '> $ k 6 Ƅǔƾ

ƛ p# gb Pg" zcgOb .y 'gb 2?kOb Ɯ Ŀ = C C = C + C - C q# gcb wOg#b 5s_Ogb so C ` C - = C i t

E 84 Z 4 Pga$ R l!c < ‫ ﺩﻉ ﻃﻼﺑﻚ ﻳﺴﺘﻨﺘﺠﻮﺍ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻟﺠﻤﻊ‬ .«‫ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﺛﻢ ﺩﻋﻬﻢ ﻳﻌﻮﺩﻭﺍ ﺇﻟﻰ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﻓﻜﺮ‬

:HQ5 .$ 6 & ; C C V 2 :@6$ E C ٣ = ‫ ﺏ ﺟـ‬a E C //‫` ﺏ ﺟـ‬ E C ٣ = ‫ ﺏ ﺟـ‬ ‫ ﺷﺒﻪ ﻣﻨﺤﺮﻑ‬E ‫ ﺏ ﺟـ‬C ‫` ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ : V 9 W ‫ ﺟـ‬E + E C = ‫ ﺟـ‬C : E ‫ ﺟـ‬C9 ‫ﻓﻰ‬

¶" Ů ŮC H[kb j ^ / 'z'> lzp# f Pg#b a : .N Z - Ƌ.& r hz[ 7f wb wg k ¶" C = ¶" + C is_y c [gb đ b a _:Ĕ wWV

‫ ﻫـ‬E + E ‫ ﺟـ‬+ (‫ ﺏ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬C ) = ‫ ﺍﻷﻳﻤﻦ‬2 ‫ ﻫـ‬E + E ‫ ﺟـ‬+ ‫ ﺟـ‬C = ‫ ﻫـ = ﺍﻷﻳﺴﺮ‬C = ‫ ﻫـ‬E + E C =

‫ﻳﻌﺪﺍ‬ ً ‫ ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬٧٤ ،٧٣ ‫( ﺻﻔﺤﺔ‬٣) ،(٢) ‫ﺍﻟﻤﺜﺎﻟﻴﻦ‬ ،‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﺣﻠﻬﻤﺎ‬،‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﻥ ﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﺟﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬ .‫ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺗﻘﺪﻳﻢ ﺣﻠﻮﻝ ﺃﺧﺮﻯ ﻟﻬﻤﺎ‬

. +

p# gcb i t Ů i q# gb d g E C Ů ¶f q# gb d g C i ^ / MđBĔ t3 s f dg_j i + ¶f - #yėV Ů y . b G[j 8Wj i Ů ¶f

ƛ? / gbƜ Ƌ ¶" V _ E C is_ V ¶" C m2GZ h62jr E ¶" C E C + C = i + ¶f `

¶" C = E C + C

Ɗi t ¶" C = ¶" + C ɤ Ƅ

Ƌlzp# f Pg#b MđBĔ t3 s f .N [ .N [b m0o U2O r

Ɗ zb b 1 Ob '> $ k 6 Ƅǔƾ ¶f Ƅ + i Ƅ ɤ i Ƅ + ¶f -

E X? kf ¶o j ^ / E C 9wV -

¶o C Ł = E C + C Ɗi V

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫اﻟﺤﻞ‬

SXT SMT

E + ¶" C = ¶"E + C Ɗi E ¶" C wN 1 d_: t wV 2

¶" + ¶" C = C Ɗ ¶" C 9 wV ¶" + E = ¶"E Ɔ Ɗ ¶" E 9 wV

Ɗi $ ky SMT , SXT lf

2S=) 4 /) T 2S=) 4 !, Q _ T

ȇ + E + ¶" C ɤƆƄƅƅ E + ¶" C ɤƆƄƅƅ

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫ ﺏ ﺟـ‬+ E C = E ‫ ﺏ‬+ ‫ ﺟـ‬C

Ɗ i E C ł = ¶" qzV wN 1 d_: E ¶" C 2 Ƌ E C Ń = E + ¶" C ‫ب‬ ƋU2'kf q : E ¶" C ‫أ‬

EC ٤= EC ٣+ EC

‫ﻣـﺜـﺎل‬

Ɗi Ƌts 7gb 8Wj wV G[j i Ƌe wV m 2GZ PF [ MđB t3 s f - ¶" C 3 Ŀ = e ¶" Ł+ E C + C ‫أ‬ Ei + i = ¶" i + Ci ‫ب‬

N N * ^ G − D3 ^ #

¶" + Ɔ E + ¶" + ¶" C = ¶"E + C 2S !; _ T ¶" + ¶" + E + ¶" C ɤƆƄƅƅ 2Sm ! _ T ƛ ¶" + ¶" Ɯ + ƛ E + ¶" C Ɯ ɤƆƄƅƅ

SMT ,SXT Z 4;

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

ôªà°ùªdG º««≤àdG

‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻋﺰﺯ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ً .‫ﻭﺻﺤﺢ ﻣﺎ ﻳﺮﺩ ﻣﻦ ﺃﺧﻄﺎﺀ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﻓﻰ ﺣﻴﻨﻬﺎ‬

ƛh6ń ɤ ¶" C Ɯ 2G7gb ¶" C asF 8Z - h62b 5 z[f * h62b wV asGb ɤ & 3Ė 1 zOf - Ƌ2 f ńĿĿ = ŀĿĿ * ń ɤƅƅƅƅ Ƌ "1- 2ZĔ cńł - ƛ Ńł Ɯ ŀ- F ɤ i Ɗ & 3Ė m # - ƋY2;b a g: cńł m # wV 2 f ńĿĿ V 7f o1 ' G[j lN .O kzW7b `

N N * ^ G − ' M k 74

‫‪3‬‬

‫اﻟﺤﻞ‬

‫‪.‬‬

‫أ ‪SXT ¶" C = E C + C a‬‬ ‫‪2SC U = U TƅƅSMT‬‬ ‫‪C ¶" = e ¶" Ł‬‬

‫< ‪2Pga` R l!c‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪U‬‬

‫ ‪ i $ ky SMT Ů SXT Pg#‬‬

‫ ‬

‫‪= e ¶" Ł + E C + C‬‬ ‫‪Ŀ = C ¶" + ¶" C a‬‬

‫` ‪Ŀ = e ¶" Ł + E C + C‬‬

‫‪¶" C X? kf e a Ɗ¶" C i 9 wV‬‬ ‫‪E X? kf e a ƊE i 9 wV‬‬

‫` ‪ e i Ł = ¶" i + C i‬‬ ‫` ‪ e i Ł = E i + i‬‬

‫‪C ¶" + ¶" C‬‬

‫ب ‪e i h61‬‬

‫ ‬

‫‪ #‬‬

‫ ‬

‫‪2S T‬‬ ‫‪2S T‬‬

‫‪Ƌ E i + i = ¶" i + C i Ɗi $ ky S T Ů S T lf‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫` ‪ C‬ﺏ ‪ C +‬ﺟـ =‪ C ٢‬ﻫـ‬ ‫` ‪ C‬ﺏ ‪ E + E C +‬ﻫـ = ‪ C ٢‬ﻫـ‬ ‫‪:DM( [ 45‬‬ ‫ ﻗﺪ ﻳﺨﻄﺊ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻰ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ‬ ‫ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻟﺠﻤﻊ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻟﻮﺿﻊ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻷﺳﻬﻢ ﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ﺗﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﺧﻄﺄ‪.‬‬ ‫ ‬

‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺭﺳﻢ ﺻﻮﺭﺓ ﺗﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻭﺍﻟﺘﺄﻛﺪ‬ ‫ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺍﺗﺠﺎﻫﺎﺕ ﺍﻷﺳﻬﻢ ﻗﺒﻞ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ‪.‬‬

‫‪É¡d ≈°Sóæ¡dG π«ãªàdGh äÉ¡éàªdG ìôW‬‬

‫ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻃﺮﺡ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ ﻫﻰ ﻧﻔﺴﻬﺎ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺇﺿﺎﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﺠﻤﻌﻰ ﻟﻠﻤﺘﺠﻪ‪.‬‬ ‫ﻣﺆﻛﺪﺍ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ‪.‬‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺻـ‪٧٢‬‬ ‫ً‬ ‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻃﺮﺡ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻣﺘﺠﻬﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻮﺿﻊ ﻟﻄﺮﻓﻴﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﺳﺘﻌﻦ ﺑﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺻﻔﺤﺔ ‪ ٧٥ ،٧٤‬ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ‫ﻟﺘﻮﺿﻴﺢ ﺫﻟﻚ‪.‬‬ ‫‪ôªà°ùªdG ºjƒ≤àdG‬‬

‫‪HQ5 .$ 6 & ; C‬‬ ‫‪ 4‬أ ‪ C‬ﺏ = ﺏ ‪(٢ ،٨) = (٢- ،١) - (٠ ،٩) = C -‬‬ ‫‪ E‬ﺟـ = ﺟـ ‪(٢ ،٨) = (٢ ،٠) - (٤ ،٨) = E -‬‬ ‫` ‪ C‬ﺏ = ‪ E‬ﺟـ ‪،‬ﻭﻳﻜﻮﻥ ‪ C‬ﺏ ‪ E //‬ﺟـ ‪ C،‬ﺏ = ‪ E‬ﺟـ‬ ‫ب ﺏ ﺟـ = ﺟـ ‪ -‬ﺏ =‬

‫ ‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪Ɗd [gb d_;b ¶" C 9 wV‬‬ ‫‪ ƛ ¶" C -Ɯ + C = ¶" C - C‬‬ ‫ ‪ C¶" + C ɤ ƅ‬‬ ‫ ‪ C + C¶" ɤ ƅ‬‬ ‫ ‪ ¶" ɤ ƅ‬‬

‫‪.C R$‬‬

‫ ‬

‫‪2Sf M o, )5Tƅƅ‬‬ ‫‪2S=) 4 /) Tƅƅ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪2S !; Tƅƅ‬‬

‫ ‬

‫` ‪ C‬ﺏ ‪ E + E C +‬ﻫـ = ‪ C‬ﺏ ‪ C +‬ﺟـ‬ ‫‪ a‬ﺏ ﻫـ = ﻫـ ﺟـ‬

‫ﺛﺎﻧﻴًﺎ‪ :‬ﻃﺮح اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ﻫﻨﺪﺳﻴًﺎ‬

‫‪. −‬‬

‫ﻓﻰ ‪ E C9‬ﺟـ ‪ E + E C :‬ﺟـ = ‪ C‬ﺟـ‬

‫‪¶o C Ł = ¶"E + E C + C Ɗi ¶" X? kf ¶o qzV MđB t3 s f E ¶" C 3‬‬ ‫‪Subtracting Vectors geometricaly‬‬

‫ ‬

‫‪2Sp ^ l!c <Tƅƅ‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‬

‫‪ ¶" = ¶" C - C‬‬

‫ ‪i q# gb d g ¶" C Ů ¶f q# gb d g C t9 A Bb‬‬ ‫ ‪¶f - i d g ¶" i g^ i - ¶f d g ¶" :.b‬‬

‫*‪ c ¤Dy G 9¢ G* £ nhH gG±w+ f C g /¢ G* g ¤ h { G* g G* < y¤d hG‬‬ ‫‪ƋƛŁ= ŮŁ5Ɯ Ů ƛŀ= Ůŀ5Ɯ C t9 A BC‬‬ ‫‪2Sf M l!c < E T‬‬ ‫ ‪C r - r = C :.b‬‬ ‫&‪Ƌ z 2 b wcN C Ů lz G[kcb PBsf wp# f C r Ů r z‬‬ ‫`‬

‫‪= C‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‬

‫‪N‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪O‬‬

‫ ‪C -‬‬

‫‪ȫ‬‬ ‫‪= C Ɗi V ƛń ŮŁƜ Ů ƛŀ- ŮņƜ C j ^ / ıŊǨƾ‬‬

‫ ‪l‬‬

‫ ‬

‫‪O‬‬

‫‪N‬‬

‫ ‪C -‬‬

‫ ‪ƛŅ Ůń-Ɯ ɤ ƛŀ- ŮņƜ - ƛń ŮŁƜ ɤ‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫ = )‪(٤ ،١-) = (٠ ،٩) - (٤ ،٨‬‬ ‫‪ C a‬ﺏ = )‪ = ٤ * ٢ + ١- * ٨ ` (٢ ،٨‬ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺏ ﺟـ = )‪ C ` (٤ ،١-‬ﺏ = ﺏ ﺟـ‬ ‫‪ C a : V 9 W‬ﺏ = ‪ E‬ﺟـ‬ ‫` ‪ C‬ﺏ ‪ E //‬ﺟـ ‪ C ،‬ﺏ = ‪ E‬ﺟـ‬ ‫` ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ C‬ﺏ ﺟـ ‪ E‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺃﺿﻼﻉ‬ ‫‪ C a‬ﺏ = ﺏ ﺟـ‬ ‫` ‪ C‬ﺏ = ﺏ ﺟـ ﻭﻳﻜﻮﻥ ‪ C‬ﺏ ﺟـ ‪ E‬ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‬ ‫|| ‪ C‬ﺏ || = )‪١٧ ٢ = ٦٨ = ٢(٢) + ٢(٨‬‬ ‫||ﺏ ﺟـ|| = ‪١٧ = ٢(٤) + ٢ ١‬‬ ‫` ﻣﺤﻴﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ‪ C‬ﺏ ﺟـ ‪= E‬‬ ‫)‪ ١٧ ٦ = ٢ * ( ١٧ + ١٧ ٢‬ﻭﺣﺪﺓ ﻃﻮﻝ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ‪ C‬ﺏ ﺟـ ‪= E‬‬ ‫‪ ٣٤ = ١٧ * ١٧ ٢‬ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺴﺎﺣﺔ‬

0673 N . 3D 0673 N . 3D

º««≤àdGh ÖjQóàdG V \ 8 E ]*Q5 & ; C :@6$

‫ﻣـﺜـﺎل‬

ƋE G[j wz .& ."r ƛŃ ŮŃƜ ¶" Ů ƛŀ ŮņƜ Ů ƛŀ- ŮŁ ƜC z& MđB t3 s f E ¶" C 4 ‫اﻟﺤﻞ‬

¶" ɤ E C Ů ¶" // E C a - ¶" + C = E ` - ¶" = C - E is_yr ƛŁ Ůŀ-Ɯ go E G[j z .& ` ƛŁ Ůŀ-Ɯ ɤ ƛŀ Ůņ Ɯ - ƛŃ ŮŃƜ + ƛŀ- ŮŁƜ ɤ E i t ¶" = E C `

E C = E ‫ ﻫـ‬+ ‫ ﻫـ‬C = ‫ ﻫـ‬E C9 ‫ﻓﻰ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫ ﺏ‬C = E ‫ ﻫـ‬a (١)

ƋƛŁ ŮĿƜ E ŮƛŃ ŮŇƜ¶" ŮƛĿ ŮňƜ ŮƛŁ- Ůŀ-ƜC qzV wN 1 d_: E ¶" C 4 Ƌ ¶" = C ‫ب‬ Ƌ ¶" E = C ‫ أ‬ƅ:.$ tGW$

E C = ‫ ﺏ‬C + ‫ ﻫـ‬C `

‫ﻣـﺜـﺎل‬

Ƌ C ¶" = i i C ń + ¶" ł = C Ł - i ł Ɗi ^ / 5 ‫اﻟﺤﻞ‬

E C = E ‫ ﺟـ‬+ ‫ ﺟـ‬C : E ‫ ﺟـ‬C9 ‫ﻓﻰ‬

2SE M C M aCT

C Ł + C ń + ¶" ł = i ł

2S& 84 =) 4 /) T

C Ł - C ń + ¶" ł = i ł

2Sf M cT

‫ ﻭ‬C = E ‫ ﺟـ‬a (٢)

Ƌ C ¶" = i `

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

E C = ‫ ﻭ‬C + ‫ ﺟـ‬C `

Ƌ C ¶" = ¶f i C - ¶" Ł = C ł + ¶f Ł Ɗi ^ / 5

‫( ﻳﻨﺘﺞ ﺃﻥ‬٢) ،(١) ‫ﻣﻦ‬

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬

E C ٢ = ‫ ﻭ‬C + ‫ ﻫـ‬C + ‫ ﺟـ‬C + ‫ ﺏ‬C

0 * : V 9 W ،‫ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺃﺿﻼﻉ‬E ‫ ﺏ ﺟـ‬C ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬1 N ٤ + M ٢ = ‫ﺏ ﺟـ‬

Ƌ E C Ł = r C + ¶o C + ¶" C + C

N N * ^ G − ' M k 74

C ‫ ﺏ‬- ‫ﺟـ ﺏ‬٢ = ‫ ﺏ‬C ٣ + ‫ ﻣـ‬٢ 5

.‫ ﻡ‬،‫ﺃﻭﺟﺪ ﻝ‬

C ‫ ﺏ‬- ‫ ﺏ‬C ٣ - ‫ﺟـ ﺏ‬٢ = ‫ ﻣـ‬٢

، ‫ ﺟـ‬C ‫ ﻫـ ﻣﻨﺘﺼﻒ‬،‫ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺏ ﺟـ‬E ،‫ ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ‬C 2 :‫ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ‬، ‫ ﺏ‬C ‫ﻭ ﻣﻨﺘﺼﻒ‬

C ‫ ﺏ‬- C ‫ ﺏ‬٣ + ‫ﺟـ ﺏ‬٢ = C ‫ ﺟـ‬٢ = C ‫ ﺏ‬٢ + ‫ﺟـ ﺏ‬٢ =

(‫)ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬

‫ ﻫـ ﻭ‬٣ = ‫ ﻫـ ﺏ‬+ ‫ ﺟـ ﻭ‬:‫ﺛﺎﻟ ًﺜﺎ‬ [, ! : ^V W ‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻣﺨﺘﺎﺭﺓ ﻣﻦ ﻛﺮﺍﺳﺔ ﺍﻷﻧﺸﻄﺔ‬ .‫ ﻭﺗﺎﺑﻊ ﺣﻠﻮﻟﻬﻢ‬٣١ ،٣٠ ‫ﻭﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺔ‬

Ɗi ŮhK kf w6 .6 E ¶" C :H; * H/I =

N (‫ ﻡ‬+ ‫ )ﻝ‬+ M (‫ ﻡ‬- ‫ = )ﻝ‬E C

ً E C = ‫ ﻫـ‬C + ‫ ﻭ‬C :‫ﺃﻭﻻ‬ ‫ ﺟـ ﺏ‬١٢ = ‫ ﻫـ‬C - ‫ ﻭ‬C :‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ‬

ł + ¶" ł = i ł

C ¶" ł ɤ ƛ C + ¶" Ɯ ł = i ł

N N * ^ G − D3 ^ #

C ‫ ﺟـ‬٢ = ‫` ﻣـ‬

‫‪4-3‬‬

‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت‬

‫‪4-3‬‬

‫‪Applications on Vectos‬‬ ‫أو ًﻻ‪ :‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ‬

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫‪Application on Vectors‬‬

‫ ‪ 3D 067C F 7‬‬ ‫‪ ! D, UO< Q 0 .‬‬ ‫ |! ‬ ‫ (^ ‪ !| Q !" UMB‬‬ ‫ ‪ 067C F 7 , 7;C‬‬ ‫ (^ ‪I. @ : UMB‬‬ ‫ ‪: # tP 067C‬‬ ‫ ‪ 2 [ .‬‬ ‫ ‪ X @B‬‬ ‫ ‪ U;! .‬‬

‫ ‬ ‫ ‪ 3D 0673 " G3 ' M *# X$ YU‬‬ ‫‪ @ G !0 UM7 D, * J X - 0 .‬‬ ‫ ‪ 0673‬‬

‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴ ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّﺔ‬ ‫ ‪ [ 2‬‬

‫‪Resultant Force‬‬

‫ ‪ X/ B‬‬

‫‪ ! " !#$‬‬

‫‪Equilibrium of Forces‬‬

‫ ‪ U; .‬‬

‫‪Relative Velocity‬‬

‫ﻓﻜﺮ‬

‫و‬

‫‪Geometric Applications‬‬

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫‪ƊE ¶" C wN 2b d_;b wV‬‬ ‫ ‪ ¶" E = C i ^ / -‬‬ ‫ ‪? ¶" E Ů C lz ZđOb f ¶" E łŁ = C i ^ / -‬‬ ‫‪?$k 7 / f‬‬

‫‪Ŀ ! ] Ů ¶" E ] ɤ C :. A BC Řğ ƩũĪ‬‬ ‫ ‬ ‫‪E ¶" // C :.b Ƅ‬‬ ‫‪ pzcN zcgOb r p# gb e .+ 6 l_gy `b/ wcNr‬‬ ‫‪Ɗwcy g^ z6.kpb ZđOb r y2Kkb DO wV‬‬

‫ ‬ ‫‪C‬‬

‫ ‬ ‫‪E‬‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪ d_;b wV iđ [ f i OcB t3 s r tr 7 / Ɗi p# gb e .+ 6 1‬‬ ‫ ‪ƋMđB t3 s f d_;b i ^ wN 2b‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫‪:X$ N . *# 2‬‬ ‫‪c ' M X ? X$ H2 73 S) * `" 0 N:‬‬

‫ ‬

‫ )‪ƊE ¶" C d_;b wV :& M‬‬ ‫ ‪ ¶"E ɤ C Ů ¶" E // C Ƅ‬‬ ‫ ‪E C // ¶" : M‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪¶" C h61 Ƅ : . # G‬‬ ‫‪ƅƅ ¶" E // C Ů ¶" E ɤ C a‬‬ ‫` ‪¶" E = C‬‬ ‫‪2SZ 4 o, )5T‬‬ ‫ ‬ ‫‪¶" + C = ¶" C Ɗ ¶" C 9 wV ƅ‬‬ ‫‪2SZ 4 o, )5T‬‬ ‫ ‬ ‫‪¶"E +Ɔ E C = ¶" C Ɗ ¶"Ɔ E C 9 wV ƅ‬‬ ‫‪¶" E = C a‬‬ ‫ ‬ ‫‪E C // ¶" is_yrƅ E C = ¶" `Ƅ‬‬ ‫` ‪ƋMđB t3 s f E ¶" C d_;b‬‬

‫‪ ! D, j\ UO< Q 0 . 3D 067C F 7; ‬‬ ‫ |! ‬ ‫‪ 067C F 7 , !" UMB ^r ‬‬ ‫‪X @B − 2 [ . ^3MB @ : UMB ^3MB MM $ F ‬‬ ‫ ‪ U;! . −‬‬

‫ ' & ‪ % %$‬‬

‫‪li‬‬

‫‪ U; . - X/ B - j) [ 2‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫ ' ) (! ‬ ‫ ‪: D%‬‬ ‫ ‪ !" #$ - 5 ) Ff2$8 X ) g UI - 3 DB [* U‬ﻣﺎ ﺍﻟﻨﻈﺮﻳﺎﺕ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺳﺒﻖ ﻟﻚ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ ﻭﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ‬ ‫ ‪ , - . / 01 - ) * +) , - N & ' ( ,‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﺜﻠﺚ? ﻭﻣﺎ ﺍﻟﻨﻈﺮﻳﺎﺕ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺳﺒﻖ ﻟﻚ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ‬ ‫‪ * +, ! I‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺑﺎﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴﺔ?‬ ‫ ‪ M2 !3 - f?M3 ^( - W 7 W M‬‬

‫ ‪0 ) ' 1‬‬ ‫ ?‪ jG\ N < li jG\ S) N * 3 k 7‬‬ ‫‪m jG\ N < m jG\ S) U * 7 MM k 74‬‬ ‫ ‪ 5x 7 P 8 ) D3 ?UM‬‬

‫ ‬

‫ﻣﻦ ﻭﺟﻬﺔ ﻧﻈﺮﻙ ‪ ..‬ﺃﻯ ﺍﻟﻨﻈﺮﻳﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﺒﻨﺪ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻳﻤﻜﻨﻚ‬ ‫ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺻﺤﺘﻬﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ? ﻭﻟﻤﺎﺫﺍ?‬

‫ ‬

‫ﻧﺎﻗﺶ ﺇﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻭﺍﻗﺒﻞ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬

‫‪:º∏©J‬‬

‫‪¢SQódG äGAGôLEG‬‬ ‫‪ó«¡ªàdG‬‬

‫أو ًﻟﺎ اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‬

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺑﺮﻫﻨﺔ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﻨﻈﺮﻳﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻀﻤﻨﺔ‬ ‫ﻓﻰ ﺻﻔﺤﺘﻰ ‪ ٧٧ ،٧٦‬ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‪ ،‬ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ‬ ‫ﻓﻜﺮ وﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﺘﺴﺎﺅﻻﺕ ﺍﻟﻤﻄﺮﻭﺣﺔ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ« ﺗﻘﺪﻳﻢ ﺑﺮﺍﻫﻴﻦ ﺃﺧﺮﻯ ﻟﻬﺬه ﺍﻟﻨﻈﺮﻳﺎﺕ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﺻـ‪ ٧٦‬ﺛﻢ ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ‬ ‫ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻰ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺻﺤﺔ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻨﻈﺮﻳﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻰ ﺳﺒﻖ ﻟﻬﻢ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ‪.‬‬

‫ ‬

‫ ‪ −‬‬

0673 N . UMB

S T

0673 N . UMB

E ‫ ﺏ‬١٢ = ‫ ﺹ ﻉ‬، ‫ ﺹ ﻉ‬// ‫ﺱ ﻝ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

S T ,S T E V M T ‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺱ ﺹ ﻉ ﻝ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺃﺿﻼﻉ‬ S@6$ ‫ﻣﺤﻴﻂ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺱ ﺹ ﻉ ﻝ‬ (‫ ﺹ ﻉ‬+ ‫)ﺱ ﺹ‬٢ = (E ‫ ﺏ‬١٢ + ‫ﺟـ‬C ١٢ ) ٢ = E ‫ ﺏ‬+ ‫ ﺟـ‬C = S V 9 W M T E C٢ = ‫` ﺏ ﺟـ‬

‫ ﺏ ﺟـ‬١٢ = E C ‫أ‬

Ƌ b b PcCb t3 s c f wV lzOcB wW? kf lz fs62gb gz[ 7gb OG[b Ɗi p# gb e .+ 6 2 ‫اﻟﺤﻞ‬

¶" C X? kf ¶o Ů C X? kf E Ɗ ¶" C 9 wV :& M)

¶" // ¶oE : M C ŀŁ ɤƆ E C Ů C ŀŁ = E C ` C X? kf E a :. # G ¶" C ŀŁ = ¶o C Ů ¶" C ŀŁ ɤ ¶o C ` ¶" C X? kf ¶o a

¶" C + C = ¶" Ɗ ¶" C 9 wV Ƅ

2SZ 4 o, )5T ¶o C + C E = ¶o E Ɗ ¶o E C 9 wV Ƅ SMT Ƌƛ ¶" C + C Ɯ ŀŁ = ¶" C ŀŁ + C ŀŁ ɤ ƅ Ɗi $ ky SMT ,SXT lf ŀ scGgb sor ¶" // ¶oE ` ¶" Ł = ¶o E ¶" asF ŀŁ = ¶oE asF is_zVƅ ơơ ¶" ơơ ŀŁ ɤ ơơ ¶o E ơơ Řğ ƩũĪ

SXT

2SZ 4 o, )5T

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ƌ z 2 b wcN C E Ů E ¶" Ů ¶" Ů C MđBĔ W? kf a M = 5 ƋwN 1 d_: E ¶" C 1 Ɗi p# gb e .+ 6 Ƌqy2GZ wbsF Msg#f tr 7y E ¶" C d_;b Hz'f ‫ ب‬ƋMđB t3 s f a M = 5 d_;b ‫أ‬

‫ﺏ ﺟـ‬// E C a ‫ ﻣـ‬٢ = E C ٢ = ‫` ﺏ ﺟـ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

Ƌ2*Ē gpkf d^ X?ky MđBĔ t3 s f t2GZ Ɗi p# gb e .+ 6 3

‫ ﻣـ‬٢ + ‫ ﺏ ﺟـ = ﻥ‬+ ‫ ﺏ‬C = ‫ ﺟـ‬C ‫ ﺟـ‬C + C E = ‫ ﺟـ‬E ‫ ﻣـ‬٢ + ‫ ﻥ‬+ ‫ ﻣـ‬- =

‫اﻟﺤﻞ‬

E e = e `

‫ ﻣـ‬+ ‫ = ﻥ‬ ‫ ﻥ‬+ ‫ ﻣـ‬- = ‫ ﺏ‬C + C E = ‫ ﺏ‬E ‫ ﻣـ‬- ‫ = ﻥ‬

E Xz?k G[j e i A2Wj :. # G 6 H )

Ɗis_zV ¶" e Ů e C lzp# gb h61 ƅƅ e + C = e C Ɗe C 9 wV ƅƅ 2SZ 4 o, )5T ¶"E + E e = ¶" e Ɗe E ¶" 9 wV ƅƅ V c E e = e a ƅƅ 2SPga` R E T ¶" E = C Ů g ¶" e = e C ` ƅƅ Ƌe G[j wV i ^2 ; r m # Đ 8Wj gpb ¶" e Ů e C i z&r ƅƅ .& r f [ 6 wcN ¶" Ů e Ů C i t Ůhz[ 7gb 8Wj wcN P[y gpkf d^` ƅƅ Ƌ¹đgN E X? kf eƅŮƄ ¶" C X? kf e ` ƅơơ ¶" e ơơ ɤ ơơ e C ơơ a ƅƅ Ƌƛ scGgb sorƜ 2*Ē gpkf d^ X?ky E Ů ¶" C i 2G[b ` ƅƅ 2SZ 4 o, )5T

N N * ^ G − ' M k 74

‫ ﻣﻌﻴﻦ ﻳﺠﺐ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻧﻪ‬E ‫ﺏ ﺟـ‬C ‫ ﻹﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬3 ‫ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺃﺿﻼﻉ ﻗﻄﺮﺍه ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ‬ :‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻛﺎﻵﺗﻰ‬

ôªà°ùªdG º««≤àdG

:HQ5 .$ 6 & ; C 1

ً E ‫ ﺏ = ﺟـ‬C ‫ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ‬:‫ﺃﻭﻻ‬

E ‫ ﺟـ = ﺏ‬C ‫ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ‬:‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ‬

E P

‫ ﺟـ‬C ‫ﺍﺭﺳﻢ‬ ‫ ﺏ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬C = ‫ ﺟـ‬C : ‫ ﺏ ﺟـ‬C9 ‫ﻓﻰ‬ (‫ ﺏ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ‬C ) ١٢ = ‫ﺱ ﺹ‬ SXT SMT

‫ ﺟـ‬C ١٢ = ‫ ﺟـ‬C ١٢ = ‫ ﻝ ﻉ‬: ‫ ﺟـ‬E C9 ‫ﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻓﻰ‬ ‫ ﺟـ‬C ١٢ = ‫( ﺱ ﺹ = ﻝ ﻉ‬٢) ،(١) ‫ﻣﻦ‬

S T

‫ ﺟـ‬C ١٢ = ‫ ﺱ ﺹ‬، ‫ ﻝ ﻉ‬// ‫` ﺱ ﺹ‬ ١ E ‫ ﺏ‬٢ = ‫ﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻳﻜﻮﻥ ﺱ ﻝ = ﺹ ﻉ‬

N N * ^ G − D3 ^ #

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ů ¶" // E C ŮU2'kf q :E ¶" C :H; * H/I = 2

i = C Ů ¶" ŀŁ = E C

Ɗlf d^ lN i Ů W bĐ. 2 N ‫أ‬

E Ů ¶" E Ů ¶" C Ů ¶" Ƌ .& r f [ 6 wcN P[ Ů5 ŮE H[kb i Ů¶" C ŀ ɤ 5 C z& ¶" C ǽ5 j ^ / ‫ب‬ ł

‫ﻣـﺜـﺎل‬

Ƌ wV yr 4b h Z c f 5r 1 wo ƛł- ŮŁƜ¶" ŮƛŁ- Ůŀ-Ɯ ŮƛŃ ŮŀƜ C H[kb i p# gb e .+ 6 4 ‫اﻟﺤﻞ‬

¶" - = ¶"

ƛŀ Ůł-Ɯ ɤ ƛł- ŮŁƜ - ƛŁ- Ůŀ-Ɯ ɤ ƅƅ cňĿ ɤ ƛ cƜXƅƅŮƄƄ ¶" = C `

Ɗ¶" C c gb wV Ůƅƅƅƅ C - = C ƛŅ- ŮŁ-Ɯ ɤ ƛŃ ŮŀƜ - ƛŁ- Ůŀ-Ɯ ɤ 2W> ɤ ŀ * ƛŅ-Ɯ + ƛł-Ɯ * ƛŁ-Ɯ a Ƌ wV yr 4b h Z ¶" C c gb `

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

lzOf 5r 1 wo ƛŁ ŮŁƜE Ůƛł- ŮŃ-Ɯ¶" Ůƛŀ- ŮŀƜ ŮƛŃ ŮłƜ C H[kb i p# gb e .+ 6 3

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ & 7fr E G[j wz .& p# gb e .+ 6 ."r V ƛŃ ŮĿƜ¶" Ůƛŀ- ŮłƜ ŮƛŁ ŮŇƜ C j ^ / ŮP 2f E ¶" C ƋP 2gb (G6

‫ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ‬:‫ﺛﺎﻧﻴًﺎ‬

Physical Applications

(١) ‫ﻧﺸﺎط‬

w ;* O_f wcN Y2;b m # l szj Ņ o1 .[f sZ 2 / - p"sf gz[ 7f OG[ h62b wcN l szj ł d^ d g i j2 * r / ? s[b m0o d gy t0b q# gb asF f Ů .& r 2 gz k6 pbsF ¹ ¹ f Ƌ O_gb wcN Y2;b m # l szj ł o1 .[f zV B sZ 2 ?0 .kN h7#b wcN 2 gb s[b 1 .[f ?h62b wcN s[b m0o d g w b p"sgb gz[ 7gb OG[b asF fr

E5 9 J = X E5 9 J = X E5 9 = M E5 9 22222 =

−

º««≤àdGh ÖjQóàdG V \ 8 E ]*Q5 & ; C :@6$ ‫ ﻣﺮﺑﻊ‬E ‫ﺏ ﺟـ‬C a ‫ ﻭﻳﺴﺎﻭﻳﻪ‬E‫ ﺟـ‬// C‫` ﺏ‬ E‫ = ﺟـ‬C‫ﺃﻯ ﺃﻥ ﺏ‬ (‫ ﺹ‬،‫)ﺱ‬E ‫ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ‬ ‫ ﺏ‬- C = C‫` ﺏ‬ (١- ،٣) - (٢ ،٨) = SXT (٣ ،٥) = (٤ ،٠) - (‫ ﺹ‬،‫ = )ﺱ‬E‫ﺟـ‬ SMT (٤ - ‫ ﺹ‬،‫ = )ﺱ‬ ٧ = ‫ ﺹ‬، ٥ = ‫( ` ﺱ‬٢) ،(١) ‫ﻣﻦ‬ (٧ ،٥)E ‫` ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﻰ‬ ٢ ٢ || C‫( = || ﺏ‬C‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ = )ﺏ‬ .‫ ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬٣٤ = ٩ + ٢٥ = º««≤àdG É«k fÉK

(‫ ﺏ‬،٤-) = ‫( ﻥ‬٣ ،C) = ‫ ﻡ‬،(٢- ،٧) = ‫ﻝ‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬

:‫ ﺏ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬،C ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺘﻰ‬ ٠= ‫ ﻥ‬+ ‫ ﻡ‬+ ‫أ ﻝ‬ N ٥- ‫ ﻥ‬+ ‫ ﻡ‬+ ‫ﻝ‬

k ÖjQóàdG ÉãdÉK

0673 N . UMB

2O; .Z l;* w[V .Cj (G6 wcN ^ `y2' b ` br 'f .kN - Ƌ] _ &Đ s[ U2O f wor _b ^2'b .Ckb (G6 fr [g Ɗ2 ^Ĕ is_ lz s[b t V Ů.Ckb (G6 wcN _b ]2' / ?] _ &Đ sZ e _b `y2' b 2 gb s[b

Z ' l < j / l <

‫اﻟﻘﻮة اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ‬

Resultant Force

ƋƋƋ + ŁY + ŀY = Y z& h7#b wcN 2 gb ƛ c?'gb s[b r Ɯ

:=GI( [)/ = c l WF R * 1Q ' 4, :\ B = c6 ƋY2;b m # wV .&r q# f t 2 N ( )

R J = X

t ň = t ł + t Ņ = ŁY + ŀY = Y is_zV

R = M

R L = X ŀ

R − = A

‫أﺿ‬

‫ﻒ إﻟ‬

‫ﻰ‬

‫ﻣ‬

‫ﻌﻠ‬

‫ﻮﻣﺎ‬

‫ﺗﻚ‬

l * & ! 6 E5 9 − E, ' S0 uT U 4 H*W 2S04A uT U / H*W

Y s[ q_y2' br 'f .kN _b wcN 2 gb ts[b c?'f - #yĖ ( )

.&r q# f t 2 N l szj ł ] _ &Đ sZ 1 .[f i ^r l szj ń o1 .[f Ƌ _b ^2& m # wV t ń = ŀY ƊPV.b sZ ` t ł - = ¶^ Ɗ] _ &Đ sZ Ƅ t Ł = t ł - t ń = ¶^ + ŀY = Y is_yr Ƅ Ƌ _b ^2& m # wV dgO r Ůl szj Ł ɤ Y :.C R$

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ɗw y gf d^ wV Y 2 gb ts[b c?'f ."r 4 ‫ب‬ ‫أ‬ E5 9 hK

E5 9 hK

04A u K

04A u K 04A u XL

‫ﺟ‬

‫د‬

04A u K 04A u XL

04A u LK

04A u XKK

ƋY2;b m # wV dgO r Ůl szj ň ɤ Y :.C R$

‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻣﺨﺘﺎﺭﺓ ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻷﻧﺸﻄﺔ‬ .‫ ﻭﺗﺎﺑﻊ ﺣﻠﻮﻟﻬﻢ‬٣٤ ،٣٣ ،٣٢ ‫ﻭﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺎﺕ‬

‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ‬

Y ts[b c?'g zcgOb m0o $ j U2Oyr Ů p# gb Pg" zcgOb h7" wcN 2 gb ts[b PC+

‫ب‬

‫( اﻟﻘﻮة اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ‬١) ‫ﻧﺸﺎط‬ ‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺍﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ‬ ‫ ﻣﺜﻞ ﺇﻳﺠﺎﺩ‬،‫ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻓﻰ ﺣﻠﻬﺎ‬ ‫ ﺗﻮﺍﺯﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻮﻯ‬،‫ﺍﻟﻘﻮﺓ ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻢ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺔ ﺍﻟﻤﺘﻼﻗﻴﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻭﺍﻟﻤﺆﺛﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺟﺴﻢ‬ .... ‫ ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻭﻫﻜﺬﺍ‬،‫ﻣﺘﻤﺎﺳﻚ‬ ‫ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ‬ ‫)ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ( ﺃﻭ ﻣﻜﺘﺒﺔ ﺍﻟﻤﺪﺭﺳﺔ ﻓﻰ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ‬ ‫ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ ﺃﺧﺮﻯ ﺧﻼﻑ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻢ ﻋﺮﺿﻬﺎ ﻓﻰ ﻛﺘﺎﺏ‬ .‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻭﻛﺘﺎﺑﺔ ﺗﻘﺮﻳﺮ ﻋﻦ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ‬ ٧٦ ‫ ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻣﻦ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﺼﻔﺤﺎﺕ ﻣﻦ‬ .‫ ﻭﺍﻹﺟﺎﺑﻪ ﻋﻦ ﻛﻞ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻤﻄﺮﻭﺣﺔ‬٧٩ ‫ﺇﻟﻰ‬

N N * ^ G − ' M k 74

−

0673 N . UMB

ôªà°ùªdG º««≤àdG

:HQ5 .$ 6 & ; C

G[j wV N ń - M = łY ƅŮƄ N ņ + M = ŁY ƅŮƄ N + M Ł = ŀY Ɗts[b 2 / - Ƌ y- f Ƌƛl szkb q6 [f ts[b Ɯ ts[b m0o c?'f m # r 1 .[f 7& O

‫ ﻯ‬١٠ = ‫ ﻯ‬٣٠ - ‫ ﻯ‬٤٠ = X ‫أ‬ ‫ ﺙ ﻛﺠﻢ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﺣﺮﻛﺔ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ‬١٠ = X

٠ = ‫ ﻯ‬٧٠ - ‫ ﻯ‬٧٠ = X ‫ب‬ ‫ ﻯ‬٣٢ = ‫ ﻯ‬٣ - ‫ ﻯ‬٢٠ + ‫ ﻯ‬١٥ = X ‫ﺟ‬

‫اﻟﺤﻞ‬

X N

N ƛń - ņ + ŀƜ + M ƛŀ + ŀ + ŁƜ ɤ Y `

N ł+ M Ń ɤ Ƅ

Ƌcłņ - ƛ łŃ Ɯ ŀ- F ɤ i Ɗ c?'gb m #

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ƌ y- f G[j wV 2 N + M ń = łY ƅŮƄ N + M C = ŁY ƅŮƄ N ł + M Ł = ŀY Ɗts[b 5 Ɗ Y ts[b 0o c?'f j ^ / ŮC w gzZ ."r ƋĿ = Y ‫ب‬ Ŀ ɤ .& r G[j wV zZđ f tsZ .N c?'f i wkOf f Ƅǔƾ

٧- = C ! ٠ = C + ٧

(٢) ‫ﻧﺸﺎط‬

٦- = ‫ ! ﺏ‬٢- = ‫ ﺏ‬+ ٤ ٢- = C ! ٥ = C + ٧ ٤- = ‫ !ﺏ‬٠ = ‫ ﺏ‬+ ٤

‫اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬

Relative Velocity

ƛCƜ 1 z7b ^2& m # 8Wj wV ]2' ƛ Ɯ t2* 1 z6 N26 K&Đr ƛCƜ ^2' f 1 z6 wV `6sc" k ^2& m # 8_N wV ƛ Ɯ 1 z7b ^2' / f Ƌ zc>Ĕ p N26 lf dZ ƛ Ɯ 1 z7b N26 i 2O; `j V Ƌ zc>Ĕ p N26 lf 2 ^ ƛ Ɯ 1 z7b N26 i 2O; `j V ƛCƜ 1 z7b r. y w b N27b wo Ů C M 4f2b pb 4f2yr ƛCƜ 2* h7" wb 7kb ƛ Ɯ h7#b z 7kb N27b Řğ ƩũĪ Ƌis_6 b & wV ƛCƜ h7#b 2 N / p ¹^2' f ƛ Ɯ h7#b Ƌ zcOWb 1 z7b N26 M Ů zcOWb C 1 z7b N26 C M :. A Bb C

:.b

M - M = C M

? C M wkO / f Ƅǔƾ

−

á«Ñ°ùædG áYô°ùdG (2) •É°ûf

.‫ ﺑﺎﻋﺘﺒﺎﺭ ﻯ ﻣﺘﺠﻪ ﻭﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﺗﺠﺎه ﺣﺮﻛﺔ ﺍﻟﺪﺭﺍﺟﺔ‬6 V ! 6 3 45 = . A Q 5 ! 6 l :@6$ ‫ ﻯ‬K = ‫ﻉ ﺩ‬

‫أ‬

Ƌ N Ł - M ń = Y

:‫ ﻓﺈﻥ‬N ٢ - M ٥ = X ‫أ ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ٠ = X ‫ب ﻋﻨﺪﻣﺎ‬

‫ ﻯ‬٥٠ = ‫ ﻯ‬٥٠ - ‫ ﻯ‬١٠٠ = X ‫د‬ ‫ ﺙ ﻛﺠﻢ ﺭﺃﺳ ًّﻴﺎ ﻷﺳﻔﻞ‬٥٠ = X

:‫ﻓﺈﻥ‬

ƅƅl szj ń = ŁƛłƜ + ŁƛŃƜ ɤ ơơ Y ơơɤ c?'gb 1 .[f

‫ ﺙ ﻛﺠﻢ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎه ﻗﻮﺓ ﺍﻟﺸﺪ‬٣٢ = X

N (‫ ﺏ‬+ ١ + ٣) + M (٥ + C + ٢) = X N (‫ ﺏ‬- ٤) + M (C + ٧) = X

Y + ŁY + ŀY = Y ts[b c?'f a

0673 N . UMB

‫ ﻯ‬qK = ‫ﻉﺱ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

N27 \y2Gb 8Wj wcN ƛ Ɯ 1 z7b ]2' r 5Ƣ h^ ņĿ N27 hz[ 7f [y2F wcN ƛCƜ 1 z6 ]2' 5 Ɗ f.kN ƛ Ɯ 1 z7b wb 7kb ƛCƜ 1 z7b N26 ."r Ƌ5Ƣh^ňĿ Ƌ.& r m # wV i 1 z7b ]2' ‫أ‬ Ƌly- C f lzo # wV i 1 z7b ]2' ‫ب‬

‫ ﻯ‬٤٠ = ‫ﻉ ﺩ‬

‫ ﻯ‬٩٠ = ‫ﻉ ﺱ‬

‫اﻟﺤﻞ‬

C 1 z7b N26 m # 8Wj wV .&r q# f t 1 N

‫ ﻯ‬٥٠ = ‫ ﻯ‬٤٠ - ‫ ﻯ‬٩٠ = ‫ ﻉ ﺩ‬- ‫ﻉ ﺱ ﺩ = ﻉ ﺱ‬

R hK

‫ﺱ‬/‫ﻛﻢ‬٥٠ ‫ﺃﻯ ﺃﻥ ﺭﺍﻛﺐ ﺍﻟﺪﺭﺍﺟﺔ ﻳﺸﻌﺮ ﺃﻥ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﺗﺘﺤﺮﻙ ﻧﺤﻮه ﺑﺴﺮﻋﺔ‬

t ňĿ = M M - CM =

S qK = ‫ﻉ‬

Ɗly- C f lzo # wV i ^2' i 1 z7b ‫ب‬

‫ﻯ‬

t ņĿ = C M

R qK−

t ňĿ - = M

M - CM =

t ŀŅĿ ɤ ƛ t ňĿ -Ɯ - t ņĿ ɤ Ƅƅ

Ƌ5Ƣh^ŀŅĿ N27 ms'j ]2' C 1 z7b i 2O;y ƛ Ɯ 1 z7b ^ 1 i t

‫ ﻯ‬٩٠ = ‫ﻉ ﺱ‬ ‫ ﻯ‬١٣٠ - = ‫ ﻉ ﺩ‬- ‫ﻉ ﺱ ﺩ = ﻉ ﺱ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

wcN 5Ƣh^ŃĿ N27 y1 + " 1- ^2' / Ƌ5Ƣh^ňĿ N27 hz[ 7f \y2F wcN 1 z6 ]2' 6 Ƌm # Đ 8Wj wV i ^2' y f.kN 1 z7b wb 7kb y1 + b " 1.b N26 ."r V Ƌ\y2Gb 8Wj

‫ﺱ‬/‫ﻛﻢ‬١٣٠ ‫ﺃﻯ ﺃﻥ ﺭﺍﻛﺐ ﺍﻟﺪﺭﺍﺟﺔ ﻳﺸﻌﺮ ﺃﻥ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﻳﺘﺤﺮﻙ ﺑﺴﺮﻋﺔ‬

t ŁĿ = t ňĿ - t ņĿ ɤ Ƅƅ

Ƌ5Ƣh^ŁĿ N27 ms'j ]2' C 1 z7b i 2O;y ƛ Ɯ 1 z7b ^ 1 i t

R hK

‫ ﻯ‬٤٠ = ‫ﻉ ﺩ‬

t ņĿ = C M

R qK

E,' e E # 45 = . A Q 5 ! 6 l : V 9 W S K = ‫ﻉ‬

Ɗ.& r m # wV i ^2' i 1 z7b ‫أ‬

N N * ^ G − D3 ^ #

N N * ^ G − ' M k 74

‫‪-‬‬

‫‪IóMƒdG‬‬

‫‪ ôēĊňŌĿí‬‬ ‫‪ôŔŀŔŀĄøĿí‬‬

‫‪4‬‬

‫ ‬ ‫‪łŔĸøĔńĿí ĢĈĿí‬‬ ‫‪Straight Line‬‬

‫ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫أﻫﺪاف اﻟﻮﺣﺪة‬

‫‪Straight Line‬‬

‫‪˄o }gR 5Ǜ 1 ^ f Kf oyc o T^y lf rk 2*yf vp Z‬‬ ‫ ‪ hb eUÐ UÐ pUØn_eU pYn_UÐ ÒÚ [UÐ {@ x íÌ BÐ{UÐ Y pehb Y p_]S h b> p]bi h?Ð{AÎ {@ x‬‬ ‫‪ h b UÐ p i qedL ÐÙÎ ÕÚn UÐ‬‬

‫ ‪ Y pL ]beUÐ ÊÐ~@úÐ pUø{= hb eUÐ UÐ pUØn_Y {@ x‬‬

‫ ‪ Y íÌ BÐ{UÐ Y pehb Y p_]S ng= bf> UÐ p fUÐ {@ x‬‬ ‫‪ h b UÐ p]bi Ónh?Ð{AÎ dL ÐÙÎ ÕÚn UÐ‬‬

‫‪ Ónh?Ð{AüÐ îÚ Y‬‬ ‫ ‪ hehb Y h= ÒØn UÐ pxíÐ~UÐ ÜnhS {@ x‬‬

‫ ‪ hb eUÐ UÐ pUØn_eU pad eUÐ Ú [UÐ æ}_ x‬‬

‫ ‪ hb Y B UÎ p]bi Y ê H}eUÐ Ø e_UÐ é J {@ x‬‬

‫ ‪ hehb Y Jnb> p]bf= ÚneUÐ hb edU pYn_UÐ pUØn_eUÐ {@ x pUØn_eUÐí ºpx} YÐÚn UÐ ÓøØn_eUÐí pg eUÐ pUØn_eUÐ {@ x‬‬ ‫‪ hb eUÐ dU px~h>ÚncUÐ‬‬

‫ﻣﻘﺪﻣﺔ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﺳﺒﻖ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻣﻴﻠﻪ ﻭﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪ ،‬ﻭﺳﻮﻑ ﻳﺪﺭﺱ ﻓﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‬ ‫ﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﻭﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻜﺎﺭﺗﻴﺰﻳﺔ ﻭﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺧﻤﺴﺔ ﺩﺭﻭﺱ ﻛﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻷول‪ :‬ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻧﻰ‪ :‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺨﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ :‬ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺮاﺑﻊ‪ :‬ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ إﻟﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺨﺎﻣﺲ‪ :‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻤﻴﻦ‪.‬‬ ‫أﻫﺪاف اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬا اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﻳﻜﻮن اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎد ًرا‬ ‫ﻋﻠﻰ أن‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ ﺃﻭ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻋﻠﻤﺖ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ ﺑﻬﺎ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ ﺃﻭ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻢ ﻧﻬﺎﻳﺘﺎ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺔ‪ ،‬ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﺎﺭﺗﻴﺰﻳﺔ ﻟﻠﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺍﻷﺟﺰﺍﺀ ﺍﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ ﻣﻦ‬

‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴﺔ‬ ‫‪ h b> p]bi Ñ‬‬ ‫‪ hb Y ìn >Ð Y Ñ‬‬ ‫‪ pg Y pUØn_Y Ñ‬‬ ‫‪ px} YÐÚn= pUØn_Y Ñ‬‬

‫‪point of division‬‬ ‫‪direction vector of Straight line direction‬‬ ‫‪Vector equation‬‬ ‫‪parametric Equation‬‬

‫‪p x~h>ÚnT pUØn_Y Ñ‬‬ ‫‪p YnL pUØn_Y Ñ‬‬ ‫‪ hehb Y h= pxíÐÛ Ñ‬‬ ‫‪Ø eL é J Ñ‬‬

‫‪Cartesian Equation‬‬ ‫‪General Equation‬‬ ‫‪Angle between two straight lines‬‬ ‫ ‪Length of perpendicular‬‬

‫دروس اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪ pehb Y p_]S h b> ¼ - ¿ ÜÚ{UÐ‬‬

‫‪ hb eUÐ UÐ pUØn_Y ½ - ¿ ÜÚ{UÐ‬‬

‫‪ hehb Y h= pxíÐ~UÐ ÜnhS ¾ - ¿ ÜÚ{UÐ‬‬

‫‪ B UÎ p]bi Y ê H}eUÐ Ø e_UÐ é J ¿ - ¿ ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪ hb Y‬‬ ‫‪ p]bf= ÚneUÐ hb edU pYn_UÐ pUØn_eUÐ À - ¿ ÜÚ{UÐ‬‬ ‫>‪ hehb Y Jnb‬‬

‫ا دوات اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫ ‪Ƌwj z h61 $f 2 - wb 6 & - zgcN 6 & b‬‬

‫ﻧﺒﺬه ﺗﺎرﻳﺨﻴﺔ‬ ‫>_{ ‪ Ónh nx}dU phHnHúÐ âí}aUÐ {AÌ phdhd UÐ pH{fgUÐ‬‬

‫ﻣﺨﻄﻂ ﺗﻨﻈﻴﻤﻲ ﻟﻠﻮﺣﺪة‬

‫‪ ph nx}UÐ ê d_UÐ ^_Y pHÐÚØ {fL p`Un= phewÌ Y ngU neU‬‬ ‫‪ dL Ó{LnH {bUí ºphfb UÐ ê d_UÐí phýnx~haUÐ Ónbh ] UÐí‬‬

‫ﻣﺤﻮﺭ￯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺇﻟﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻮﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‪.‬‬

‫اﻟﺨﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫‪ >}>í ºrx{ UÐ }[_UÐ R phH{fgUÐ ÉÐ Bí Ên\aUÐ pHÐÚØ‬‬ ‫=‪ Ú [UÐ }h a> R ÜnHúÐ } _ô> ngiÎ rhA º{x{@ w nY c‬‬ ‫‪ }> h ecUÐ dL R‬‬ ‫‪ð‬‬ ‫‪ pH{fgUÐ pHÐÚ{U ĆB{Y‬‬ ‫‪ phdhd UÐ pH{fgUÐ } _>í‬‬ ‫‪ ëÎ rhA ºpx} UÐ pH{fgUÐí pT} UÐ pH{fw phd na UÐ‬‬ ‫‪ pÉnBí phH{fgUÐ éncIúÐ pHÐÚ{= > phd na UÐ pH{fgUÐ‬‬

‫ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻗﻄﻌﺔ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ‬

‫اﻟﺼﻮر اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‬ ‫ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬

‫إﻳﺠﺎد ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد‬ ‫اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫إﻟﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‪.‬‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‬ ‫ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ‬

‫ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج‬

‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ‬

‫ﻣﺘﺠﻪ اﺗﺠﺎه ﻣﺘﺠﻪ اﺗﺠﺎه‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫اﻟﻌﻤﻮدى‬

‫زﻣﻦ ﺗﺪرﻳﺲ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪ ١٢‬ﺳﺎﻋﺔ‬

‫ﻳﺤﺼﺮان ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ زاوﻳﺔ ﺣﺎدة‬

‫‪ UÙí ºphH{fgUÐ ngÉÐ B rhA Y Ö ] UÐí Ónhf feUÐ‬‬ ‫= ] ‪ ên^fUÐ Êned_UÐ }c =Ð {Sí º Ync UÐí na UÐ Ñn A h‬‬ ‫‪ Ú Y h_Jnb Yí x{Yn_ Y xÚ Y Y ë ceUÐ ?Ð{AüÐ‬‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﺒﺎرﻣﺘﺮﻳﺔ‬ ‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻜﺎرﺗﻴﺰﻳﺔ‬

‫‪ L }h _ UÐ cex ]HÐ = î|UÐí ÓÐØn[UÐ Ú Yí Ónfh UÐ‬‬ ‫‪ êÐ{ Hn=í Þ ºÜ hhbhbA xØ{_= î eUÐ R p]bi T‬‬ ‫‪ px{hdSüÐ pH{fgUÐ ÞÐ B p É Ón ?Ð cYÐ ?Ð{AüÐ ên^fUÐ‬‬ ‫‪ nwÚn Ln= px} @ ÓøØn_e= Ónhf feUÐí Ónehb eUÐ L Ð} _Y‬‬ ‫‪ð‬‬ ‫‪ h= pSĆ_UÐ c > àí}Z= è} > pYnL bfU ÓÐÚn Y‬‬ ‫ ‪ Y }h cUÐ phdhd UÐ pH{fgUÐ Ó} x {bUí º Þ ºÜ‬‬ ‫‪ Y qinT neT ºpad eUÐ Ónh nx}UÐ âí}R R Ón Un_eUÐ‬‬ ‫‪ ngfh= Yn_ UÐí nwÚ ]> YÐ L‬‬

‫أﻧﺸﻄﺔ وﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺨﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫ﻣﻴﻞ اﻟﺨﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻓﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﻓﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‬ ‫ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬ ‫ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻇﻞ اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت‬

‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﺘﻲ ﺗﻨﻤﻴﻬﺎ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﻨﺎﻗﺪ ‪ -‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﻤﻨﻄﻘﻰ‪.‬‬

‫ﺗﻜﻮﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺨﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ اﻟﻤﻴﻞ وﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﺗﻘﻌﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫اﻟﻤﻴﻞ واﻟﺠﺰء اﻟﻤﻘﻄﻮع ﻣﻦ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬ ‫اﻟﺠﺰءان اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺎن ﻣﻦ ﻣﺤﻮرى‬ ‫ا‪.‬ﺣﺪاﺛﻴﺎت‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬

‫اﻟﻮﺳﺎﺋﻞ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺭﺳﻮﻣﻴﺔ ‪ -‬ﻭﺭﻕ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ‪ -‬ﺣﺎﺳﺐ‬ ‫ﺁﻟﻰ ‪ -‬ﺑﺮﺍﻣﺞ ﺭﺳﻮﻣﻴﺔ ‪ -‬ﻭﺭﻕ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺎﺿﺮﺓ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻻﺳﺘﺪﻻﻟﻴﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ ‪-‬‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ ‫ﺗﺘﻤﺜﻞ ﻓﻰ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺸﻔﻬﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺤﺮﻳﺮﻳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ ﻭﺍﻟﺠﻤﺎﻋﻴﺔ ﻗﺒﻞ ﻭﺃﺛﻨﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﺤﺼﺔ ‪-‬ﻭﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ "ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ" ﻛﺘﻄﺒﻴﻖ ﻟﻜﻞ ﻣﺜﺎﻝ‬ ‫ﻭﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ"ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ "ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻛﻞ ﺩﺭﺱ ﻭﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ‬ ‫ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻛﻞ ﻭﺣﺪﺓ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺗﺮﺍﻛﻤﻰ‪.‬‬

1-4

‫ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫و‬

‫ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬

1-4

Division of a line segment

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﻓﻜﺮ‬

Dividing line segment

! " #$ % &', - ./$ )* + #$ % &', - ./$

- #y `k_gy dpV Ů gz[ 7f OGZ X? kf G[j wz .& - #y 61- i \ 6 ?hz7[ b 7j gcN / !1 +b r d* .b lf gz[ 7f OGZ hz7[ G[j wz .&

% &', & 0 12

g ¤ H gd { + gH¢ H g ¤ h {H g E { - £hG* g G* £¤.*w0(* 2cnM(* N±K&*

" #$%

Coordinates of the point of division of a line segment ,

C , ŀ

"3 4 ! " #$ ',&$ 5M7 % &'( 8*0 94 : M ; % &'( 8*" < 8*" => ?@ ,% &', & ? B " 2 )* C #$ 4 ! " #$ .D,$ ',&$ 5M7 4 ',&$ 5M7 & 0 D 2 / E G 4 F 8*" B " H .D, # ,' M I J ',& 5M' , . % K2 % &',

¶" G[kb i V C ǽ ¶"

1*wG* H {¤ hG* -

a Ɗ Ła 7k d* .b lf C h7[ ŀ Ł ŀ

a ¶" C a Ł a ɤ ¶" is_zV Ŀ < ŀa

ُ ‫ﺳﺎﺳﻴ‬3‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا‬ ُ ‫ّﺔ‬ ! " #$ % &'(

¶" Ů ¶" C lz p"sgb lz OG[cb is_yr

Internal Division

¶" * Ła ɤ ¶" C * ŀa Ɗi t Ům # Ĕ 8Wj

)* + #$ % &'(

ƛ= Ů5Ɯ¶" ŮƛŁ= ŮŁ5Ɯ Ůƛŀ= Ůŀ5ƜC

External Division

Ů C r p"sgb gz[ 7gb PG[b c ggb p# gb wo S Ů ŁS Ů ŀS

Ratio of Division

% &', &

Ƌ.f O f w .& e Kkb d>Ĕ G[j r z& Ů z 2 b wcN ¶" r Ů r

( ¶" r - r Ɯ Ła ɤ ƛ C r - ¶" r Ɯ ŀa Ɗ p# gb %2F e .+ 6 r ( S - ŁS Ɯ Ła ɤ ƛ ŀS - S Ɯ ŀa

S Ła - ŁS Ła ɤ ŀS ŀa - S ŀa

Py3s b

S Ła + ŀS ŀa ɤ S Ła + S ŀa

S Ła + ŀS ŀa ɤ ƛŁa + ŀaƜƆ S

is_zV

Ł Ł

g nh G* g ¤ }Gc+ £ {-K

S Ła + ŀS ŀa ɤ S a + ŀa Ł

&'( ) '*

‫دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬3‫ا‬

:94 ? *0 7 F : M 9 M 94 N7 , #$ 8*" => . ?@

J .D,O P I )* + #$ 4 ! " #$ ',&$ 5M7 %&' 

J B " H P I )* + #$ 4 ! " #$ ',&$ 5M7 %&' 

Ɗi t

J% &', Q 0"R ',&$ 5M7 S %&'T( ?, &T "3  −

¢SQódG äGAGôLEG :ó«¡ªJ ¢ûbÉfh ôμa

J% &', & - )* C #$ % &'( - ! " #$ % &'(

"/'0123( " 3 $41( . 53( J

:>?@ &'$( 'A3? B 38

" + + - . #/

: C 63( D( >

" 163( 78&'1( 9 I

C ٢ :٣ = ‫ ﺏ ﺟـ‬:‫ ﺏ‬C ‫ ﻭﺗﻜﺘﺐ‬٣٢ = ‫ﺏﺏﺟـ‬

J?T>= 5 - U7 T - V W 5

.‫ ﺏ ﺟـ‬٣ = ‫ ﺏ‬C ٢ : E1 12

78&'1( /

‫ ﺏ ﺟـ ﻳﻌﻤﻼﻥ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻻﺗﺠﺎه‬، ‫ ﺏ‬C

? *" /

C O

‫ ﺏ ﺟـ‬٣ = ‫ ﺏ‬C ٢ : ٢ = ‫ ﺟـ ﺏ‬، ٣ = ‫ ﺏ‬C : F 1 1+ G 38 I8 H ٥ C ‫ ﺟـ‬٥ ‫ ﺟـ‬C

:>?@ ; 261( J5 BCKM( M 5? B 38 ،‫ ﺟـ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ‬C ‫ ﺟـ ﻓﺈﻥ ﺏ ﺗﻘﺴﻢ‬C ∋ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺏ‬q .‫ ﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ‬C ‫ ﺏ ﻓﺈﻥ ﺟـ ﺗﻘﺴﻢ‬C ∌ ‫ ﺟـ‬، ‫ ﺏ‬C ∋ ‫ﺟـ‬ .‫ ﺗﻘﺴﻢﺏ ﺟـ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ‬C ‫ ∌ﺏ ﺟـ ﻓﺈﻥ‬C،‫ ∋ ﺟـ ﺏ‬C‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬

;$41( &. </ J X Y/Z ? 2 Y/Z #$ : M [ ,E J \ Y/Z *", MU [ ,E J]^ , H _ $ 5 " M U

−

',&$ 5M7 % &'(

> Q/ тАл( я╗ня║Ня╗Яя╗дя╗Дя╗ая╗оя║П я║Зя╗│я║ая║Оя║й я║Зя║гя║кя║Ня║Ыя╗┤я╗░тАм┘в ╪М┘е) тАл я║Я┘АтАм╪М(┘б- ╪М┘г) C тАля║Зя║ля║Н я╗Ыя║Оя╗зя║ЦтАм . тАл я║П я║Я┘АтАм┘г = тАл я║ПтАмC ┘в тАл я║Я┘А я║гя╗┤я║ЪтАмC тАля╗зя╗Шя╗Дя║Ф я║П я║Ня╗Яя║Шя╗░ я║Чя╗Шя║┤я╗втАм : R( тАл я║П я║Я┘А я╗Уя║Ия╗етАм┘г = тАл я║ПтАмC ┘в a ( тАл я║ПтАм- тАл ) я║Я┘АтАм┘г = ( C - тАл ) я║ПтАм┘втАВ - AS13( T I U'V W

',&$ 5M7 % &'(

тАля╗г┘Ая║Ь┘Ая║О┘ДтАм

┼Б ╞К ┼В 7k d* .b lf C h7[ w b ┬╢" G[kb wz .& ."r V ╞Ы┼Г ┼о┼В -╞Ь ┼о╞Ы┼А - ┼о┼Б╞Ь C j ^ / 1 p# gb Sz?b тАл╪зя╗Яя║дя╗ЮтАм

╞Ы= ┼о5╞Ь ┬╢" A2W ╞Ы┼А- ┼о┼Б╞Ь C a ┼Б ╞К ┼В ╔д ┼Аa ╞К ┼Бa

S ┼Бa + ┼АS ┼Аa ╔д S a a + ┼Аa ┼Б

(┼А┼Б ┼о┼И-╞Ь + ╞Ы┼Б- ┼о┼Г╞Ь ╔д (┼Г ┼о┼В-╞Ь┼В + ╞Ы┼А- ┼о┼Б╞Ь┼Б ╔д S ` (┼Б ┼о┼А-╞Ь ╔д (┼А─┐ ┼о┼Д-╞Ь ┼Д ╔д ┼Д ┼В + ┼Б (┼Б ┼о┼А-╞Ь go ┬╢" G[kb z .& `

(┼Г ┼о┼В-╞Ь ╔д ┼БS `

╞Ы┼Г ┼о┼В-╞Ь a ╞Ж ╞Д┼о ╞Ы┼А- ┼о┼Б╞Ь ╔д ┼АS ` ┼Б

g┬д.*w0(┬▒* g┬К┬д }G* (┼Б= ┼Бa+ ┼А= ┼Аa ┼о┼Б5 ┼Бa + ┼А5 ┼Аa╞Ь (┼Б= ┼о┼Б5╞Ь┼Бa + ╞Ы┼А= ┼о┼А5╞Ь┼Аa ╔д ╔д ╞Ы= ┼о5╞Ь a + ┼Аa a + ┼Аa ┼Б ┼Б

тАл я║ПтАм┘г - тАл я║Я┘АтАм┘г = C ┘в - тАл я║ПтАм┘в

b┼Б

тАл я║Я┘АтАм┘г + C ┘в = тАл я║ПтАм┘е

P ,NтИТ

╞Кi $ ky pkfr тАля╗г┘Ая║Ь┘Ая║О┘ДтАм

╞Л z .&─Ц Sz?b e .+ 6 \ 7b a gb d& 2

, !

(┘в ╪М┘е)┘г + (┘б- ╪М┘г)┘в =тАЙ тАлтАВ я║ПтАм ┘е ( ┘д┘е ╪М ┘в┘б ┘е ) = (тАл я║╣тАм╪МтАлтАВтАВтАВтАВ= )я║▒тАм

= ┼Бa + ┼А= ┼Аa ┼Б5 ┼Бa + ┼А5 ┼Аa ┼о l ╔д ╞Ы= ┼о 5╞Ь a + ┼Аa a + ┼Аa ┼Б ┼Б

тАл╪зя╗Яя║дя╗ЮтАм

(┼Б ┼о┼А-╞Ь ╔д _ ┼Г * ┼В + ┼А- * ┼Б ┼о ┼В- * ┼В + ┼Б * ┼Б i ╔д ╞Ы= ┼о5╞Ь ┼В + ┼Б ┼В + ┼Б

тИТ , C

тАля║гя║О┘И┘Д ╪г┘Ж я║Чя║дя╗ЮтАм

┼В ╞К ┼А 7k d* .b lf C h7[ w b ┬╢" G[kb {z .& ."r V ╞Ы┼Е- ┼о┼З╞Ь ┼о╞Ы┼Б ┼о┼Г╞Ь C j ^ / 1

p4ctG* ┬ЭH ┬Ъ {┬д┬РhG* ┬Ы

is_ wb b r ─┐ > ┼Бa z& ┼Аa ╞К ┼Бa 7k !1 +b lf C h7[ ┬╢" i V C ╟╛ ┬╢"┼о C ╟╜ ┬╢" j ^ / ┼А ╞К`b/ (Bs zb b a _:─Ф r ┼оi─Р g & ] ko is_yr ┼о b 6 t2*─Ф r "sf ┼Бa r ┼Аa lz gz[b t.&

├б┬б├й├а┬кdG ├б┬и┬л┬░├╝dG :┬║тИП┬йJ

>$V "AS13( "X <( Y '01+ G 38 Z BCKM( M :>( 1( 5R (

C ╟╛ ┬╢"┼о C ╟╜ ┬╢" , !

S ┘в тАл я╗ЭтАм+ ┘бS ┘бтАля╗ЭтАм = ┘вS тАВтАВ тАл я╗ЭтАм+ ┘бтАля╗ЭтАм ┘в (┘в ╪М┘е) ┘г + (┘б- ╪М┘г) ┘в ( ┘д┘е ╪М ┘в┘б ) = = ┘вS тАВтАВ ┘е ┘г+┘в :O├Й┬░TQEG

>$V ; 261( 5 W F 1 1+[ \ % "68 I ] V B 38 :>( 1( 5R ( тАл я║ПтАм┘бтАля╗ЭтАм тАля║Я┘АтАм тАля║Я┘АтАм тАля╗ЭтАм тАля╗ЭтАм : \ тАВтАВ ┘втАля║Я┘А я║П = я╗ЭтАмC ┘в ┘б S C S тАл я║Я┘А я║ПтАм. ┘втАля║Я┘А = я╗ЭтАмC . ┘бтАля╗ЭтАм S

( тАл я╗н я║Я┘АтАм- тАл ) я╗н я║ПтАм┘втАл ( = я╗ЭтАмC тАл я╗нтАм- тАл ) я╗н я║Я┘АтАм┘бтАля╗ЭтАм ( S - ┘вS ) ┘втАл ( = я╗ЭтАм┘бS - S ) ┘бтАлтАВтАВя╗ЭтАм ┘в

S ┘втАл я╗ЭтАм+ ┘бS ┘бтАл( = я╗ЭтАм┘втАл я╗ЭтАм+ ┘бтАл )я╗ЭтАмS тАВтАВтАВ

┘в

S ┘втАл я╗ЭтАм+ ┘б S ┘б тАля╗ЭтАм = S ` тАл я╗ЭтАм+ ┘бтАля╗ЭтАм ┘в

тАля╗ня║┐я║в я╗Яя╗Дя╗╝я║Ся╗Ъ я║Гя╗е я╗зя║┤я║Тя║Ф я║Ня╗Яя║Шя╗Шя║┤я╗┤я╗в я║Чя╗Ья╗оя╗е я╗гя╗ж я║Ня╗Яя║кя║Ня║зя╗Ю я║Зя║ля║НтАм тАля╗ЭтАм тАля╗ЭтАм ┘а > ┘втАл я╗ня╗гя╗ж я║Ня╗Яя║ия║Оя║ня║Э я║Зя║ля║Н я╗Ыя║Оя╗е я╗ЭтАм╪М┘а < ┘втАля╗Ыя║Оя╗е я╗ЭтАм ┘б

┼Б

┘в

тАля╗нтАм

┘б

? ? *" / тИТ % 5 0

C ╟╛ ┬╢"┼о C ╟╜ ┬╢" , C

S ┼А N

, , C

┼Б

? ? *" / тИТ : M [ ,E

┼А

, !

êQÉîdG øe º«°ù≤àdG ≈∏Y :á«aÉ°VEG á∏ãeCG

‫ﻣـﺜـﺎل‬

ƋŃ Ɗ ń 7k !1 +b lf C h7[ w b ¶" G[kb wz .& ."r V ƛŀ- ŮŀƜ ŮƛĿ ŮŁƜ C j ^ / 3 e ,

O P

ƛŀ - ŮŀƜ ɤ ŁS ŮƛĿ ŮŁƜ ɤ ŀS a a b 6 t Ŀ > ŀa Ń - Ɗ ń ɤ ŀa Ɗ Ł a ŮƄ

^8541( C

− ,

S Ła + ŀS ŀa ɤ S Ů a + ŀa Ł (ŀ - ŮŀƜ ń + ƛĿ ŮŁƜŃ ɤ S ` ń + Ń ƛń - Ůł -Ɯ ɤ ƛń Ƥ Ŀ Ůń + Ň -Ɯ ɤ S

5 6$( " 8 ( "X <(

_8`51( C F 2b1( _3S( C

O P

− ,

: F& 0( G/ ; 261( 3( I

:" c ' d "X <( _ ŀ- * ń + Ŀ * Ń Ů ŀ* ń + Ł * Ńi ɤ ƛ= Ů5Ɯ ń + Ńń + Ń (ń- Ůł-Ɯ ɤƅƅƅ

‫ ﺟـ ﺏ‬٣ = ‫ﺟـ‬C ٢-

ƛŁ= ŮŁ5Ɯ Ůƛŀ= Ůŀ5Ɯ C z& C X? kf ¶" j ^ / Řğ ƩũĪ is_yr ƛđ f aƜ ɤ a ɤ ŀa Ɗi V ¹ Ł

(ń- Ůł-Ɯ go ¶" G[j z .& ` e ,

‫ ﺏ‬C k ‫( ﻭﻛﺎﻧﺖ ﺟـ‬٢ ،٥) ‫ ﺏ‬،(١- ،٣) C ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬ .‫ ﺟـ ﺏ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﻰ ﺟـ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ‬٣ = ‫ ﺟـ‬C ٢ ‫ﺑﺤﻴﺚ‬

‫اﻟﺤﻞ‬ C

+ "AS13( "X <( ƅ ŁS Ł ŀS ɤ Ƅ S Ƅ , C = + = 5 + 5 " c ' d "X <( a Ł ŀ Ů Ł ŀ k ɤ ƛ= Ů5Ɯ Ł Ł

( ‫ ﺟـ‬- ‫ ) ﺏ‬٣ = ( C - ‫ ) ﺟـ‬٢

C ٢ - ‫ ﺏ‬٣ = ‫ ﺟـ‬:\

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

= Ů5 lf đ^ ."r ƛ= ŮŀƜ ŮƛŃ Ů5Ɯ C z& C X? kf ƛŃ ŮŁƜ ¶" i ^ / 2 Ê

(١- ،٣) ٢- (٢ ،٥) ٣ = ‫ ﺟـ‬

¤ { hG* gd {I 2cnM(* cN¤Ic.

Finding the ratio of Division

Ɗi ^r ŀa Ɗ Ła 7k C h7[ ¶" G[kb j ^ / a Ƌd* .b lf hz7[ b i ^ Ŀ < Ła hz7[ b 7j -

(٨ ،٩) = ‫ ﺟـ‬

Ƌ!1 +b lf hz7[ b i ^ Ŀ > Ła hz7[ b 7j - a

: "AS13( "X <( Y '01+ C

‫ﻣـﺜـﺎل‬

t1s'f Pf C PF [ H[j lf d_ C p h7[k w b 7kb ."r V ƛŀ - ŮŁƜ ŮƛŁ ŮńƜ C j ^ / 4 Ƌhz7[ b G[j wz .& ."r h Ů b & d^ wV hz7[ b Msj k¹ z f Ů z .&Ė

−

(‫ ﺹ‬،١)

(٤ ،٢) !

(٨ ،٩) = (٢ ،٥) ٣ + (١- ،٣) ٢- =

:ôªà°ùªdG º««≤àdG (٤ ،‫)ﺱ‬

|١ | < |٢ | KM$( M :ôªà°ùªdG º««≤àdG

: R? - C !

: g < 1( 5 W . S8d ٣=‫`ﺱ‬ ٤=‫`ﺹ‬

S ٣ + ١S ٢= S ٣ + ٢-

١+‫ﺱ‬ ٢ =٢ ‫ﺹ‬+‫ﺱ‬ ٢ =٤

(٠ ،٥) =

(٦- ،٨) + (٢ ،٤)٣ = S ١+٣

(٣- ،٥-) =

(٣ ،٤) - (١- ،٢-)٣ = S ١-٣

:> f8&'? : 5 ? hC ; 261( "b2 . S8 ' V Z BCKM( M ‫ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺣﻞ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﻟﻄﺮﻳﻘﺔ‬q .‫ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺔ ﻭﻣﻄﺎﺑﻘﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻣﻊ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﺔ‬ ‫ﻝ‬ ٢ k º«°ù≤àdG áÑ°ùf OÉéjE’ :ÉãdÉK

‫ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ‬٠ < ‫ﻝ‬ ١

: ‫ﻝ‬ ‫ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ‬٠ > ٢‫ﻝ‬ ١ ١

‫ ﻣﻊ ﻝ‬٢‫ﻭﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺍﻷﺧﻄﺎﺀ ﺍﻟﺸﺎﺋﻌﺔ ﻟﺪﻯ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﻝ‬ .‫ﺑﺈﺣﺪﻯ ﻋﻼﻣﺎﺕ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ‬

‫ ﻓﻰ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ‬٢‫ = ﻝ‬١‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻝ‬ :‫ﻓﺈﻥ‬

S + ١S = S ٢ ‫ﺹ‬ + ‫ﺹ‬ ‫ﺱ‬+ ‫ﺱ‬ ( ٢ ٢ ١ ، ٢ ٢ ١ ) = (‫ ﺹ‬،‫ )ﺱ‬:‫ﺃﻯ‬ ٢

−

',&$ 5M7 % &'( ',&$ 5M7 % &'(

º««≤àdGh ÖjQóàdG

‫اﻟﺤﻞ‬

B3A G/ o6R? "C ! (٠ ،١) 1 (٢- ،١) ،(٣- ،٢) 2

H (Ŀ Ů5Ɯ ¶" G[kb {V C PG[y kz7b 1s'f i A2Wj :[

P N

,O C

− ,

:¢SQódG º««≤J

‫ ﻭﻛﺎﻧﺖ‬١:٢ ‫ ﺏ ﺑﻨﺴﺒﺔ‬C ‫( ﺗﻘﺴﻢ‬٤ ،٤) ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ‬1 . ‫( ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﻰ ﺏ‬٨ ،٧) C

P N

− − N P O i − − , − N− E P−

‫( ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﺘﻰ‬٢- ،٤) ‫ ﺏ‬،(٣ ،٢-) C ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬2 ‫ﻳﻘﺴﻢ ﺑﻬﺎ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ .‫ ﺏ ﻣﺒﻴ ًﻨﺎ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ ﻭﺃﻭﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬C

! N P O i

− − − − N− P−

= Ła + ŀ= ŀa a ¶" ɤ = Ɗis_zV Ła ɤ ¶"C z& a + ŀa ŀ Ł a - aŁ (ŀ-Ɯ a + ƛŁƜ ŀa Ł ŀ ɤ Ł ɤ Ŀ ` a + ŀa a + ŀa Ł Ł a Ł Ł ; 261( "b2 ŀ ɤ a ` Ła ɤ ŀaŁ ` ŀ a Ŀ < Ła a ŀ Ɗ Ł 7k d* .b lf hz7[ b ` ŀ 5 Ła + ŀ5 ŀa Ł * Ł + ń * ŀ Ł k go ¶" z .& ` aĿ Ů Ł + ŀ k t aĿ Ů a + ŀa Ł

(Ŀ ŮłƜ go ¶" G[j z .& is_yr

E G[kb {V - ?b 1s'f PG[y hz[ 7gb : H c

ƛ= ŮĿƜ go E G[kb wz .& i A2Wj 5 Ła + ŀ5 ŀa a E C ɤ 5Ɔ Ƅis_zV Ła ɤ E z& ŀ a + ŀa Ł Ł * Ła + ń * ŀa ɤ Ŀ ` a + ŀa Ł a ; 261( "b2 ńŁ - ɤ Ła ` ań- ɤ Ła Ł ` ŀ ŀ a Ł Ɗ ń 7j !1 +b lf hz7[ b ` Ŀ > Ła a ŀ ŀ- * ń + Ł * Ła Ů Ŀk t ƛ= ŮĿƜ go E G[j z .& ń + Ł(ł- ŮĿƜ go E z .& ` Ł

Ů z .&Ė t1s'g C p h7[k w b 7kb - #yĖ p# gb 1s?b e.+ 6 \ 7b a gb wV Ƅǔƾ Ƌhz7[ b G[j wz .& ."r h ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

G W5#13( KM$( > U D ‫( ﻫﻰ‬١- ،٣) ‫ ﺟـ‬،(١- ،٢-) ‫ ﺏ‬،(٢ ،١-) C ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ‬ .‫ﺭﺅﻭﺱ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻭﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ‬

G[kb C p h7[k w b 7kb ."r V ŮƛĿ Ů5Ɯ ¶" z& C ǽ ¶" ŮƛŅ ŮŇƜ Ůƛł ŮŃ -Ɯ C j ^ / 3 Ƌ5 gzZ ."r h Ůhz7[ b Msj k¹ z f ¶"

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ Ł Ɗ ŀ 7k d* .b lf C h7[ w b ¶" G[kb wz .& ."r V ƛŅ ŮłƜ Ůƛł - ŮĿƜ C j ^ / 1 ŮƛŅ - ŮńƜC z& ky.gb wb ky.gb lf p[y2F wV ^1 d[j 1 z6 ]2' ǶƾģƑǨǤģś ƤśƄǤĝ 2 Ɗ j ^ / 1 z7b go.kN WZs w b lz G[kb z .& ."r Ƌ o2z6 k lz 2f WZs r ƛĿ Ůŀ -Ɯ Ƌ G[kb p" lf \y2Gb w c wV WZs ‫ب‬ Ƌ\y2Gb X? kf wV WZs ‫أ‬

á£°ûfC’G á°SGôc á£°ûfCG º««≤J

? ? *" / − : M [ ,E

(2) áëØ°U (1) •É°ûf

U D ( ;

6? ;$+ ÖdÉ£dG AGOCG

ôjó≤àdG

c* I T , ( M! : M W 5 I 3H YZ #$ ;'Y, / E d Y YZ

` 13/ - !&. e

c* I T , ( M! : M W 5 ;'Y, / E d ( e :5 "7 #M , Y YZ J I 3H YZ #$ ) ,Y eTM , T , ( M! : M W 5 J I 3H YZ #$ ;'Y, ;c" & g5

q'! ' !

) ,Y eTM , T , ( M! : M W 5 J I 3H YZ #$ ;'Y, c" & g5

5b6/

- !&. r

' ! - !&. s

‫ ﺱ‬٢ ‫ ﻝ‬+ ١‫ ﺱ‬١‫ﻝ‬ =‫ﺱ‬ ‫ﻡ ﻡ‬ ٢ +١

‫ﺱ‬- ٢‫ﻝ‬ ٠ = ٢‫ ﺱ‬٢‫ ﻝ‬+ ١‫ ﺱ‬١‫ ﻝ‬5 ‫ = ﺱ‬١‫ ﻝ‬A / ٢ ‫ﻡ ﺹ‬+ ‫ﻡ ﺹ‬ ( ٢ ٢‫ ﻡ‬+ ١‫ ﻡ‬١ ،٠) = ; 261( "M6 5 1 ٢ ١

k Q3( G 38 "l K3( mnAC

- !&. O

, T , ( M! W : M N M,& h g 4 Je 3 , c" & ) ,Y - !&. O G/ W

: P Q/ > ‫ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻘﺴﻢ ﺑﻬﺎ ﻣﺤﻮﺭ‬١‫ﻝ‬:٢‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻝ‬ ،(١‫ ﺹ‬،١‫ )ﺱ‬C ‫ ﺏ ﺣﻴﺚ‬C ‫ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬ :‫ ﻓﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‬٠ = ‫( ﻧﻀﻊ ﺱ‬٢‫ ﺹ‬،٢‫ﺏ )ﺱ‬

ôªà°ùªdG º««≤àdG

R? - C ! F& 0( G/ ; 261(

? ? *" / − % 5 0

٢ :١ = ١‫ ﻝ‬: ٢‫ ﻝ‬4 ١٦- = ‫ﺱ‬٥

2-4

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺨﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

2-4

Equation of the straight line ‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫و‬

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﻓﻜﺮ‬

Ɗwor hz[ 7gb H+cb f Ob b- Ogb 61- i \ 6 Ƌhz[ 7f H+ zÊ j z p c fr Ŀ! ƛ O¹ f gođ^Ɯ ŮC z& Ŀ ɤ ¶" + = + 5 C : 3 612/ Mq % Q3? " ( 1( - WK4( G/ \ G C H ł ɤ = ‫ﺟ‬ ŀ + 5 ɤ= ‫ب‬ ń ɤ =Ł - 5ł ‫أ‬ = 5 ŀ ŀ ɤ - ‫و‬ Ł ɤ + = ‫ﻫ‬ Ŀ ɤ Ł - 5 ‫د‬ Ł

(Ŀ Ů ¶" - Ɯ G[kb 2gyr

Ŀ ɤ ¶"+ = Ɗi V Ŀ ! Ů Ŀ ɤ C i ^ / - kz7b 1s'gb t3 sf hz[ 7f b- Of wor ¶" ɤ = : \ ( ¶" ŮĿƜ G[kb 2gyr

Ŀ ɤ = + 5C Ɗi V Ŀ ɤ ¶" i ^ / - Ƌd>Ĕ G[k 2gy hz[ 7f b- Of wor

F+ 0 5O $ 5 c* 0 1 J% ',&O % ',&O F+ 0 5$ 0 1 #$ M'O n l3 $ 5 I J# * YO

ُ ‫ﺳﺎﺳﻴ‬3‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا‬ ُ ‫ّﺔ‬ % ',&$ i j eD,$ vector direction of Straight line

.D,$ 0 5$

Vector equation

k$ * I 0 5$

" #$% I e $ $ 5 I % ',& FC 0 5$ 8*0 94 : M ; 8*" < 8*" => ?@ , 0 * Y$ #$ Q M' nlD E ,% ',& FC 0 5 l (* M c* .D, c* J% ',& FC 0 5 / ,C * 8*"

&'( ) '*

Parametric equation Cartisian equation l (* E 0 5$

$ 0 5$

General equation

:94 ? *0 7 F : M 9 M 94 N7 , #$ 8*" => . ?@

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

y¹ 3 sf is_y py r Ů - ?b 1s'gb y3 sf is_y z Ē gz[ 7gb lf t 1 PF [ b E [j z .& ."r h Ůd>Ĕ G[k 2gy py r Ů kz7b 1s'gb Ƌƛ ."r i Ɯ z .&Ė t1s'f Pf Ŀ ɤ =ł + 5 ‫ب‬ Ŀ ɤ ł + 5Ł ‫أ‬ Ŀ ɤ ń Ƥ = ‫د‬ ŀŁ ɤ =ł + 5Ł ‫ﺟ‬

Equation of the straight line

% ',&O F+ 0 5$ 0 1 D,$ $ 5$ M' $ 5 I Je i j

wg7 Of 2W?b i yr 7yĐ ŮC z& Ŀ ɤ ¶" + = + 5 C b- Ogb Řğ ƩũĪ Ƌhz[ 7gb H+b b- Ogb f Ob 1s?b Ŀ ɤ ¶"+ 5 C Ɗi V Ŀ ! C Ů Ŀ ɤ i ^ / - - ?b 1s'gb t3 sf hz[ 7f b- Of wor ¶" - ɤ 5 : \

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺨﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬3‫ا‬ Scientific calculator

Je i j eD,$ $ 5$ M' $ 5 I % ',&O F+ 0 5$ p,T,&  J% ',&O F+ 0 5O $ 5 c* q < 5, 

J# * YO #$ M'O n l3 $ 5 I % ',&O F+ 0 5$ "3 

a Ǿ Y Ůts 7gb wV G[j Y Ů g¹ z[ 7f ÊG* a i ^ / ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ

" + + - . #/

9 ?a hz[ 7gb H+b t3 s r Y G[kb 2g w b gz[ 7gb -.N h_V

−

‫ ﺛﻢ ﺩﺭﺏ ﻃﻼﺑﻚ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬،‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ ﻭﺍﻟﺘﻰ‬،‫ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻤﺜﻞ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ‬ ‫ﺗﻨﻄﺒﻖ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻟﺸﺮﻭﻁ ﻭﺗﻨﻄﺒﻖ ﺍﻟﺸﺮﻭﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ .‫ ﻭ ﻓﻘﻂ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ‬،‫ ﺩ‬،‫ ﺟـ‬،C ‫ﺃﻛﺪ ﻛﺬﻟﻚ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺒﻨﺪ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ .(٣) ،(٢) ،(١) ‫ﻓﻰ ﺿﻮﺀ ﺍﻟﺸﺮﻭﻁ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﺒﻨﻮﺩ‬

0 5$ - ,$ * I 0 5$ - .D,$ 0 5$ - % ',&$ i D( eD,$ J $ 0 5$ - l (* E

"/'0123( " 3 $41( . 53( J? I % * r* -

" 163( 78&'1( 9 I J sMU - ?T>= 5 - U7 T - V W 5

78&'1( / J? *" /

¢SQódG ¢VôY

;$41( &. </

ôªà°ùªdG º««≤àdG MU [ ,E Xt Y/Z ? 2 X Y/Z #$ ? *" [ ,M

R? - C ! ٣ (٠ ، ٢ -) ‫ ﻧﻘﻂ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ‬،‫ أ ﻳﻮﺍﺯﻯ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ‬1 .‫ب ﻳﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ‬ (٦ ،٠) ،(٤ ،٠) ‫ﺟ ﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮﺭﻯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ‬ (٥ ،٠) ‫د ﻳﻮﺍﺯﻯ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻭﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻫﻰ‬ ‫ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ )ﻋﺪﺩ‬:'W #? ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ‬ ‫ﻻﻧﻬﺎﺋﻰ( ﻭﻟﻜﻦ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﻭﺍﺣﺪﺍ ﻓﻘﻂ ﻳﻮﺍﺯﻯ‬ ً ً .‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻡ ﻝ‬

J\a Y/Z ? 2 \ Y/Z *",

J]^ , H _ $ 5 " M U

¢SQódG äGAGôLEG ó«¡ªàdG

.‫ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺳﻮه ﻣﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ :¢ûbÉfh ôμa

:‫ﺃﻛﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﺄﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻫﻰ‬ ‫ ﺏ ﻻﻳﺴﺎﻭﻳﺎ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﻣ ًﻌﺎ ﻭﺇﻻ‬،C ‫ ﺣﻴﺚ‬٠ = ‫ ﺟـ‬+ ‫ ﺏ ﺹ‬+ ‫ ﺱ‬C ‫ ﻻ ﺗﻤﺜﻞ‬٠ = ‫ﺍﺧﺘﻔﺖ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺮﺍﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﺃﺻﺒﺤﺖ ﺟـ‬ −

% ',& FC 0 5$

:º«≤à°ùªdG §îdG π«e

‫ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻤﺎ ﺩﺭﺳﻮه ﻋﻦ ﻣﻴﻞ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﻤﺎ ﺗﻘﺘﻀﻴﻪ‬ ‫ ﻭﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺒﻨﺪ ﻣﻴﻞ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬،‫ﺍﻟﻀﺮﻭﺭﺓ‬ ‫ ﺛﻢ ﺍﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﻋﻠﻰ ﺗﻮﺍﺯﻯ ﻭﺗﻌﺎﻣﺪ‬،‫ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻌﻠﻮﻣﺘﻴﻦ‬ ‫ ﻭﻓﻰ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺐ ﺍﻟﻤﻌﻄﻰ ﻧﻮﺟﺪ ﻣﻴﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬،‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ‬ :‫ﻟﻜﻞ ﺯﻭﺝ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﻓﺘﻜﻮﻥ ﻛﺎﻵﺗﻰ‬ ٥ = ‫ ﻡ‬، ١ = ‫ ﻡ‬، ١ = ‫ ﻡ‬، ٤- = ‫ﻡ‬ ٥ ١ ٤ ٤ ٢ ٣ ٢ ٢ ، 8` 51/ 3 612/ '/ 41/ 3 612/

: B(n( ٣‫ = ﻡ‬٢‫ﻡ‬ ١ - = ٤ ‫ * ﻡ‬١‫ﻡ‬

‫ ﻻﺣﻆ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺰﻭﺝ ﺍﻟﻤﺮﺗﺐ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﺜﻞ ﺑﻨﻘﻄﺔ‬:. & ‫ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﻭﺻﻴﻐﺔ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻜﺘﺐ‬ ‫ ﻭﻟﻜﻨﻪ ﻳﺨﻀﻊ ﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻓﻰ‬،‫ﻋﻠﻲ ﺻﻮﺭﺓ ﺯﻭﺝ ﻣﺮﺗﺐ‬ ‫( ﻓﻴﻜﺘﺐ ﺑﻌﺪﺓ‬٤ ،٣) = ‫ﻓﻤﺜﻼ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻯ‬ ً ٠ ! ‫ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ ﻭﻣﻦ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺿﺮﺏ ﺑﺴﻂ‬، ٤٣ ‫ﺻﻮﺭ ﻣﻨﻬﺎ‬ ٠ ! ‫ﻭﻣﻘﺎﻡ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﻓﻰ ﺃﻯ ﻋﺪﺩ ﻙ‬

% ',& FC 0 5$

¤ h { G* tG* ¤H G[j d f i F2: fÊ k¹ zO hz[ 7gb H+b lzzO b e4cy qj V2N i \ 6 1 gb ƛeƜ hz[ 7gb H+b dzf i gcN g^ Ůhz[ 7gb H+b dzf Ů fscOf

Slope of a straight line , −

−

= - Ł= tr 7y ƛŁ= ŮŁ5Ɯ Ů ƛŀ= Ůŀ5Ɯ lz G[kb 5 - Ł5

e ɤ ŀe Ƅi VƄ Ła ƢƢ ŀa (ɏ Ƕƪũıǩ Ł Ƌ(z'> `b/ 8_Nr Ůlzyr 7 f i js_y gpzczf i V i gz[ 7f t3 s / Z \ ƅƅ ŀ- ɤ Łe * ŀe i V Ła = ŀa (ɐ)

Ƌ(z'> `b/ 8_Nr ŀ- ɤ ly.f O gb lzgz[ 7gb wczf 2B d> & Z \ ƅ

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

py r y¹ 3 s f gz[ 7gb m0o lf yÊ lz r Ů zb b H[kb lf !r3 d_ 1 gb hz[ 7gb H+b dzf ."r 2 Ɗ.f O f (ŀ- ŮŁƜ Ů ƛĿ ŮŃƜ ‫ب‬ ƛń ŮŁ-Ɯ Ů ƛŀ ŮłƜ ‫أ‬ (ł Ůŀ-Ɯ Ů ƛŁ- Ůń-Ɯ ‫د‬ ƛł- ŮłƜ Ů ƛŀ- ŮņƜ ‫ﺟ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﻣﺘﺠﻪ اﺗﺠﺎه اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

Direction vector of a straight line

ZS1/ >328 ; 612/ F% >$V "A!5/ "3 612/ "4M6C Z$ Q3? G 38 \ #t u ZS1/ ; 6123( F0$( m S?

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

Ƌhz[ 7gb H+cb m # p# f C ¶" Ů ¶" Ů C ƅƅa ǽ ¶" Ů ŮC U 6 (

H hz[ 7gcb m # q# f ƛŀ ŮŁƜ ɤ t :K Q3 Ƌhz[ 7gb 0pb m # q# f ƋƋƋŮƛ ŀŁ ŮŀƜ Ůƛŀ- ŮŁ-Ɯ ŮƛŁ ŮŃƜ p# gb lf đ^ Ê ƅ

hz[ 7gcb m # q# f ƛ ŮCƜ ɤ t Y V Z!5C ? / gb Ƌhz[ 7gb 8Wkb m # q# f ƝĿƞ Ƥ % ǽ ] z& t ]

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ?hz[ 7gb 8Wkb m # q# f is_y w y gf t V hz[ 7gb m # q# f ƛł- ŮŁƜ ɤ t i ^ / 3

Ƌƛł- ŮŁ-Ɯ Ƌƛň- ŮŅƜ

‫ب‬ ‫د‬

Ƌƛł ŮŁ -Ɯ ‫أ‬ Ƌƛł ŮŁƜ ‫ﺟ‬

? ? *" / − : M [ ,E

ôªà°ùªdG º««≤àdG

R? - C ! ‫ د‬، ‫ أ‬:‫ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻫﻰ‬2 G ¡cn-±* nhHK ¤ < g I g¤H¢ + ¤ h { G* gG2c H

:‫ ﻯ ﺃﻯ ﺃﻥ‬// S ‫ ﻕ‬: KM$( M

Ƌa hz[ 7gb H+b wcN P[ i G[j A2Wj

lz p"sgb lz gz[ 7gb lz OG[b iđ ggb i p# gb go Y Ů S i r Ƌts 7gb wV G[j t r z& Ů z 2 b wcN Y r Ů i r t ] ɤ Y - S ɤ i Y i z' ƝĿƞ Ƥ % ǽ ] -.N ."sy Ůi/ t ] + Y ɤ S

‫ﻣـﺜـﺎل‬

ƋƛŁ ŮŀƜ qb m # Đ q# fr ƛł- ŮŁƜ G[kb 2gy t0b hz[ 7gcb p# gb b- Ogb ^ 1 ‫اﻟﺤﻞ‬

(Ł ŮŀƜ ɤ t

‫ ﻙ ﻯ‬+ ‫ = ﻕ‬S

Ůƅ ƛł- ŮŁƜ Y G[kb 2gy hz[ 7gb i A2W

k; 6123( "(. 43( "AS13( U&5<( ƅ

(‫ ﺏ‬،C) ‫ ﻙ‬+ (١‫ ﺹ‬،١‫ = )ﺱ‬S

t ] + Y ɤ S a

ƋƛŁ ŮŀƜ] + ƛł -ŮŁƜ ɤ S wo hz[ 7gcb p# gb b- Ogb `

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

ƋƛńŮŁƜ qb m # Đ q# fr ƛłŮŃ -Ɯ G[kb 2gy t0b hz[ 7gcb p# gb b- Ogb ^ 4

ôªà°ùªdG º««≤àdG

gMyhH*4cdG* g¤ ¤ 6¢G* j±2c G* cN¤Ic.

The parametric equations ,

t ] + Y ɤ S wo p# gb b- Ogb S

Ů.f O f w .& e Kkb 7kb ƛ= Ů5Ɯ S Ů ƛŀ= Ůŀ5Ɯ Y ƛ ŮCƜ ɤ t i ^r Ůd>Ĕ G[j r

, 9

: R? (٥ ،٢) ‫ ﻙ‬+ (٣ ،٤-) = ‫ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﻫﻰ ﺭ‬3

ƛ Ů C Ɯ ] + ƛŀ= Ů ŀ5Ɯ ɤ ƛ= Ů 5Ɯ {o hz[ 7gb b- Of ] + ŀ= ɤ =ƅƅŮƅC ] + ŀ5 ɤ 5 Ɗi $ ky pkfr (ŀ= Ůŀ5Ɯ G[kb 1 gb hz[ 7gb H+cb i zGz6sb i b- Ogb gor ƋƝĿƞ Ƥ % ǽ ] z& Ƌqb m # q# f ƛ ŮCƜ ɤ t q# gb r

−

Ɗi V wb b r

Ƌqb m # q# f t q# gb r ŮY G[kb 1 gb a hz[ 7gb H+cb p# gb b- Ogb 1s?b m0o wg7

‫ ﻙ ﻯ‬+ ‫ ﻭ ﻥ = ﻭ ﻕ‬

‫ ﻛﺄﺯﻭﺍﺝ‬S ، ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻕ‬ .‫ ﻯ ﻛﻤﺘﺠﻪ ﺍﺗﺠﺎه‬،‫ﻣﺮﺗﺒﺔ‬

g nh G* g ¤ }G* N±K&*

Ůqb m # q# f t q# gb r ŮY G[kb 1 gb hz[ 7gb H+b b- Of lzzO b

‫ ﻕ ﻥ = ﻙ ﻯ‬ {٠} = ‫ﺣﻴﺚ ﻙ ∋ ﺡ‬ : 'S - AS13( T I Y5A#/ Y '01+ C ‫ ﻭ ﻕ = ﻙ ﻯ‬- ‫ ﻭ ﻥ‬ :‫ﺣﻴﺚ‬

Vector form

? ? *" / − % 5 0

% ',& FC 0 5$

:" - b8&'? :‫ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬ (٢ ،١) = ‫ ﻯ‬،(٣ ،٢-) ‫أ ﻕ‬ (٤- ،٣) = ‫ ﻯ‬،(٠ ،٠) ‫ب ﻕ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

Ƌƛł ŮŁƜ qb m # q# fr ƛł- ŮŃƜ G[kb 2gy t0b hz[ 7gcb ƛlz y2 f 1 b Ɯ lz zGz6sb lz b- Ogb ^ 2 ‫اﻟﺤﻞ‬

(ł ŮŁƜ ɤ t ƅƅŮƄa hz[ 7gcb ǽ ƛł- ŮŃƜ Y i A2W ƛł ŮŁƜ] + ƛł -ŮŃƜ ɤ ƛ= Ů5Ɯ wo a hz[ 7gcb p# gb b- Ogb ` ] ł + ł- ɤ =ƅŮƅ] Ł + Ń ɤ 5 i b- Ogb is_ r ƅ

"AS13( U&5<(

18 1/ & b( 1(. 43(

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

?‫ ﻣﺎ ﻣﻼﺣﻈﺘﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‬: KM( h+

ƋƛŃ Ůŀ-Ɯ so qb m # Đ q# fr ƛń ŮĿƜ G[kb 2gy t0b hz[7gcb lz y2 f 1 b lz b- Ogb ^ 5

N gMz¤-4c G* gG2c G* ckGc.

Cartesian Equation

] + ŀ= ɤ =ƅŮƄC ] + ŀ5 ɤ 5 Ɗlz y2 f 1 b lz b- Ogb lf ] U0'

= - = ŀ ɤ Ɗi t 5 - 5 C ŀ = - = ɤ e Ɗ 1s?b wcN ( ? b- Ogb i V 5 - 5 ŀ

:ôªà°ùªdG º««≤àdG

5 - 5 = - = ɤ ŀ ƅƊ b- Ogb wcN d?'j C

: R? - C ! ‫ ﻙ‬٤ + ٥ = ‫ ﺹ‬،‫ﻙ‬- = ‫ ﺱ‬:‫ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻳﺘﻴﻦ ﻫﻤﺎ‬4

ƛhz[ 7gb dzf so e z&Ɯ e ɤ PBs r C

‫ﻣـﺜـﺎل‬

(ŀ- ŮŁƜ qb m # Đ q# fr ƛŃ-ŮłƜ G[kb 2gy t0b hz[ 7gb H+cb y4z 1 _b b- Ogb ."r 3

= Y ; 6123( /

kZ ( >31 ? "M6 Z$ / " /5$43C ; 6123( "(. 4/

P − = ,N = , ŀŁ = Y GV ^8541( C kG M+5( t = G M( t

k"/ 4( U&5<(

‫اﻟﺤﻞ‬ ŀ- ɤ e Ł = - = ŀ ɤ e 5 - 5 ŀ (Ń-Ɯ - = ŀ ɤ Ł ł - 5 ł + 5 - ɤ Ň + =Ł

‫ﺹ‬-‫ﺹ‬ :‫ ﻓﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻜﺎﺭﺗﻴﺰﻳﺔ‬:. & ‫ﺱ‬-‫ﺱ‬ ١ (١‫ ﺱ‬- ‫ = ﻡ )ﺱ‬١‫ ﺹ‬- ‫ﺹ‬ ‫ ﻡ ﺱ‬- ‫ = ﻡ ﺱ‬١‫ ﺹ‬- ‫ﺹ‬ ١ (١‫ ﻡ ﺱ‬- ١‫ )ﺹ‬+ ‫` ﺹ = ﻡ ﺱ‬ (١‫ ﻡ ﺱ‬- ١‫ ﺟـ ﺣﻴﺚ ﺟـ = )ﺹ‬+ ‫ ﺹ = ﻡ ﺱ‬: \

‫= ﻡ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ‬

Ŀ ɤ ń + = Ł + 5 ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

m # Đ Pf cŃń p6 zZ yr 3 Pk?yr ƛŃ- ŮłƜ G[kb 2gy t0b hz[ 7gb H+cb y4z 1 _b b- Ogb ."r 6 Ƌ kz7b 1s'gb "sgb ‫أﺿ‬ ‫ﻣ‬ ‫ﻒ إﻟ‬ ‫ﻰ‬ ‫ﻌﻠ‬ hz[ 7gb H+cb y4z 1 _b Đ- Ogb r p# gb Đ- Ogb ."r ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ ‫ﻮﻣﺎ‬ ‫ﺗﻚ‬ Ɗ z Ē Đ 'b wV ƛ ŮCƜ ɤ t qb m # Đ q# fr ƛŀ= Ůŀ5Ɯ G[kb 1 gb \n( ; 6123( m S? ZS1/ H Ƌ - ?b 1s'f t3 sy hz[ 7gb i ^ / :[ "M6 ( tv "M6 C 38 5* ,

5* Z$ /

? ? *" / − : M [ ,E

The perependicular direction vector of a straight line

‫ﻣﺘﺠﻪ اﺗﺠﺎه اﻟﻌﻤﻮدى ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫ ﻥ ﻓﺈﻥ‬،‫ﺇﺫﺍ ﻣﺮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺑﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻌﻠﻮﻣﺘﻴﻦ ﻕ‬ ‫ ﻭﺑﺬﻟﻚ‬،‫ ﻕ ( ﻫﻮ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﻯ = ) ﻥ‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻝ ﺗﻜﻮﻥ‬ ( ‫ ﻕ‬- ‫ﻙ) ﻥ‬+ ‫ﺭ = ﻕ‬ (١‫ ﺹ‬- ٢‫ ﺹ‬،١‫ ﺱ‬- ٢‫ ﻙ )ﺱ‬+ (١‫ ﺹ‬،١‫ ﺹ( = )ﺱ‬،‫ )ﺱ‬:\

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

w b p# gb c N lf yÊ ƅhz[ 7f m # q# f ƛ ŮCƜ ɤ t wcN t-sgOb m # q# f is_y ƝĿƞ - % ǽ ] z& ƛC- Ů Ɯ ] 1s?b wcN Ƌ t q# gb S

c N lf yÊ hz[ 7f H* wcN yÊ -sgN ƛ ŮCƜ ɤ i 8_Ob r

m # q# f is_y ƝĿƞ - % ǽ ] z& ƛC- Ů Ɯ ] 1s?b wcN w b p# gb Ƌhz[ 7gb H ƋƋƋ ŮƛŅ ŮŃ-Ɯ Ůƛł- ŮŁƜ Ůƛł ŮŁ-Ɯ so qb t-sgOb m # q# f i V hz[ 7gcb m # q# f ƛŁ ŮłƜ ɤ t i ^ / :KQ3

‫ﻭﻫﻰ ﺻﻴﻐﺔ ﺃﺧﺮﻯ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻘﻄﻊ‬ .‫( ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ‬١‫ ﻡ ﺱ‬- ١‫ﺟﺰﺀﺍ ﻃﻮﻝ )ﺹ‬ ً

Ƌ kz7b 1s'f t3 sy hz[ 7gb i ^ / : H c Ƌd>Ĕ G[k 2gy hz[ 7gb i ^ / : HQ( c

, = \

‫ ﺹ‬- ‫ ﺹ‬١‫ ﺱ‬- ‫ﺱ‬ ‫ﺹ‬ - ٢‫ = ﺹ‬١‫ ﺱ‬- ٢‫ = ﺱ‬:‫ﻭﺑﺤﺬﻑ ﻙ ﻓﺈﻥ‬ ١ ‫ﺹ‬- ‫ﺹ‬ ‫ﺹ‬-‫ﺹ‬ ‫ﺹ‬-‫ﺹ‬ ‫ = ﻡ‬١ ‫ ﺱ‬- ‫ \ ﺱ‬١ ‫ ﺱ‬- ٢‫ = ﺱ‬١ ‫ ﺱ‬- ‫ \ = ﺱ‬ ١ ١ ٢ ١

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ɗq# gb .N hz[ 7gb wcN y¹ -sgN zb b p# gb Pzg" i V hz[ 7gcb m # q# f ƛŀ Ů ŀŁ Ɯ ɤ t i ^ / 7 (Ł- ŮŃƜ ‫د‬ ƛ ŀŁ - Ůŀ-Ɯ ‫ﺟ‬ ƛŀ- ŮŁƜ ‫ب‬ ƛ ŀŁ - ŮŀƜ ‫أ‬

ôªà°ùªdG º««≤àdG

‫ﻣـﺜـﺎل‬

: R? - C ! ٠=٧-‫ﺹ‬-‫ ﺱ‬5 :'W #? "C ! ‫ ﺱ = ﺱ‬،(١ ،٠) ‫ ﻙ‬+ (٠ ،١‫ ﺭ = )ﺱ‬:‫ﻻ‬ ً ‫ﺃﻭ‬ ١

Ɗ."r V qzcN t-sgN ƛŁ Ůŀ -Ɯ q# gb r ƛń Ůł -Ɯ Y G[kb 2gy t0b hz[ 7gb i ^ / 4 Ƌhz[ 7gcb y4z 1 _b b- Ogb ‫ب‬ Ƌhz[ 7gcb p# gb b- Ogb ‫أ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

ƋƛŁ Ůŀ-Ɯ q# gb wcN t-sgN ƛń Ůł-Ɯ Y G[kb 1 gb hz[ 7gb a ‫أ‬

(ŀ ŮŁƜ ɤ t so hz[ 7gb m # q# f `

t ] + Y ɤ S Ɗwo hz[ 7gcb p# gb b- Ogb a

(ŀ ŮŁƜ] + ƛń Ůł-Ɯ ɤ S `

ɤ e Ɗwo ƛŀ= Ůŀ5Ɯ G[kb 2gyr e qczf t0b hz[ 7gb b- Of a ‫ب‬ ŀ= - = 5 - 5 ŀ

ń - = ɤ ŀ ` ł + 5 Ł ŀĿ Ƥ = Ł ɤ ł + 5 ` Ƌhz[ 7gcb y4z 1 _b b- Ogb {o Ŀ ɤ ŀł + = Ł Ƥ 5 is_ r

k O ,N− "M6 ( >c ' ŀŁ = Y GV ^8541( C

Ƌlz y2 f 1 b lz b- Ogb lf ] U0' `b/r Ůhz[ 7gb 8Wkb y4z 1 _b b- Ogb ."r Ƅǔƾ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ɗ."r V ƛŁ Ůŀ -Ɯ ɤ t q# gb wcN y¹ -sgN ƛł - ŮŁƜ X G[kb 1 gb hz[ 7gb i ^ / 8 Ƌhz[ 7gcb lz y2 f 1 b lz b- Ogb ‫ب‬ Ƌhz[ 7gcb p# gb b- Ogb ‫أ‬ Ƌhz[ 7gcb y4z 1 _b b- Ogb ‫ﺟ‬ −

‫=ﻡ‬

‫ﺏ‬ C

‫ ﺹ = ﺹ‬،(٠ ،١) ‫ ﻙ‬+ (١‫ ﺹ‬،٠) = ‫ ﺭ‬:‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ‬ ‫ﺱ ﺣﻴﺚ‬

‫ﺏ‬ C

= ‫ ﺹ‬،(‫ ﺏ‬،C) ‫ ﺭ = ﻙ‬:‫ﺛﺎﻟ ًﺜﺎ‬

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ .‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬٩٢) ‫ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬ −

% ',& FC 0 5$ % ',& FC 0 5$

ôªà°ùªdG º««≤àdG

: R? - C ! ‫ ﻣﺎﻋﺪﺍ ﺟـ‬6 : ' C "C ! ٥-‫ ﺹ‬٣+‫ﺱ‬ ٠ = ١٣ + ‫ ﺹ‬٢ - ‫ ﻭﻣﻨﻬﺎ ﺱ‬١ = ٢

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ اﻟﺠﺰءﻳﻦ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﻴﻦ ﻣﻦ ﻣﺤﻮرى ا ﺣﺪاﺛﻴﺎت‬

The Equation of the straight line in terms of the two intercepts parts from the two axes

+ 5 e ɤ = Ɗwo qbsF - ?b 1s'f lf 4" PG[yr ƛeƜ qczf t0b hz[ 7gb b- Of i hcOj C 63( D( G/ (? / gbƜ - ɤ e Ɗso ƛ ŮĿƜ ŮƛĿŮCƜ lz G[kb 1 gb hz[ 7gb dzf i .#j

e ,C C

: R? "C !

e ɤ ŀ= - = 5 - 5

"M6 3( " /5$43C ; 6123( "(. 4/

_I 61( U 6 >c ' GV ^8541( C

- ɤ Ŀ - = - 5 C

G M+5( t = G M( t

C + 5 - ɤ = C

C >$V G M( "326C

C ɤ = C + 5 =

ŀ ɤ +

(١ ،٢) ‫ ﻙ‬+ (٣- ،٢) = ‫ ﺭ‬7 ‫ ﻙ‬+ ٣- = ‫ ﺹ‬، ‫ ﻙ‬٢ + ٢ = ‫ ﺱ‬ ٠ = ٨ - ‫ ﺹ‬٢ - ‫ ﺃﻯ ﺱ‬

Ŀ ɤ ŀŁ Ƥ = Ń + 5 ł Ɗhz[ 7gb ly1s'gb lf lzNsG[gb ly 4#b wbsF ."r 5 =

ŀ ɤ +

‫اﻟﺤﻞ‬

1s?b wcN b- Ogb PBs =

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

ŀń ɤ = ł Ƥ 5 ń Ɗhz[ 7gb ly1s'gb lf lzNsG[gb ly 4#b wbsF ."r 9

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ Ɗ z Ē Đ 'b wV hz[ 7gcb f Ob b- Ogb ."r ƋƛŃ - ŮĿƜ ŮƛĿ ŮłƜ lz G[kb wV z .&Ė t1s'f PG[y ‫أ‬ Ŀ ɤ ņ + = ł Ƥ 5 Ł hz[ 7gb t3 syr ƛŀ ŮłƜ G[kb 2gy ‫ب‬ (ł- ŮŁƜ qb m # Đ q# fr ƛŀ - ŮĿƜ G[kb 2gy ‫ﺟ‬

ôªà°ùªdG º««≤àdG

: R? "C ! ٥- ،٣ 8

(? / gbƜƅŀ ɤ ł + Ń ` z 2 b wcN ł ŮŃ go t- ?b r wkz7b ly1s'gb lf lzNsG[gb ly 4#b ĐsF `

º««≤àdGh ÖjQóàdG B3A G/ o6R? - C ! ٠ = ١٢ - ‫ ﺹ‬٣ - ‫ ﺱ‬٤ ‫أ‬ ٠=٣-‫ﺹ‬٣-‫ﺱ‬٢ ‫ب‬ ٠=٢+‫ﺹ‬٢+‫ﺱ‬٣ ‫ﺟ‬ º««≤àdG

‫ ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ‬1 (٠ ،٤) C ‫ ﺏ ﺣﻴﺚ‬C ‫( ﻭﺍﻟﻤﺘﺠﻪ‬١- ،٥) ‫ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ﻕ‬ .‫( ﻣﺘﺠﻪ ﺍﺗﺠﺎه ﻟﻪ‬١ - ،٣) ‫ﺏ‬ ‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ‬2 (٠ ،٥-) ،(٣ ،٠) ٢ ‫ ﻭﻳﻘﻄﻊ‬٣ ‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻣﻴﻠﻪ‬3 .‫ ﻭﺣﺪﺍﺕ‬٤ ‫ﺟﺰﺀﺍ ﻣﻮﺟ ًﺒﺎ ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻳﺴﺎﻭﻯ‬ ً :G W5#13( KM$( " "MD ‫ ﺏ ﺑﻨﺴﺒﺔ‬C ‫ ﺟـ ﺗﻘﺴﻢ‬،(٢- ،١-) ‫ ﺏ‬،(٤ ،٤-) C ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ‬٢ : ١ (٣ ،٢) ‫ﺟـ ﻭﺍﻟﻨﻘﻄﺔ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

٢+‫ ﺹ‬٢-‫ﺱ‬ ١ = ٢

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺠﺰﺃﻳﻦ ﺍﻟﻤﻘﻄﻮﻋﻴﻦ ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﻤﺎ‬ .‫ ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬٩٣ ‫ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬

? ? *" / − % 5 0

? ? *" / − : M [ ,E

3-4

‫ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬

3-4

Measure of the angle between two straight lines

‫ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﺤﺎدة ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬

‫ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

uI c0 w l 8 7 0 1 Ju ',&$

Measure of the acute angle between two straight lines Ła Ůŀa lzgz[ 7gb lz - 'b yr 4b 5 zZ ¶o j ^ /

Ɗi V Łe Ůŀe gođzf ly0cb

" #$%

z Ē gz[ 7gb ! r3 lf !r3 d^ lz - 'b yr 4b 5 zZ ."r 1 Ŀ ɤ ń + = ņ + 5ƅŮƄĿ ɤ ŀŀ Ƥ = Ń Ƥ 5 ł

# v , # ',& # I 7s5 : M 8*0 94 ; : M 8*" < 8*" => x@ ,# "$ 5, # ',&

J# ',& # I c0 Y l 8 7 0 D 2 / E

e - e

| |

ŀ ɤ ¶o Jƅ ŀ- ! Łeŀe z& e Ł e + ŀ Ł ŀ

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺗﺬﻛﺮ‬

; 6123( F0( / e = ! + + C C− \ 28

Ɗlzgz[ 7gb lf d^ dzf ."sj ‫أ‬ v ; 6123( / łŃ ɤ ł ɤ ƛ eƜ Ń- ŀ > Q( ; 6123( /

5 6( "X t

ŀ ɤ

ŀņ ɤ ƛŁeƜ

| | ɤ ¶o J

e - ŀe Ł e e + ŀ Ł ŀ

( ŀņ -Ɯ - ł Ń ɤ ¶o J ( ŀņ -Ɯ ł + ŀ

| | || |

Y , Y >13 W GV ^8541( C

Ń + Łŀ ŁŇ ɤ ł - ŁŇ ŁŇ

Ń ŀ + ł ņ Ń ɤ Ƅƅ ł - ŀ ŁŇ

cŃń ɤ ¶o Ƅ Ɗ z Ē Đ 'b wV Ła Ůŀa lzgz[ 7gb lz ZđOb 2^/ ȈǭƽƗ ƄŐʗƯŝ Ƌ 2W> tr 7y gpkz yr 4b dJ i ^ / ‫أ‬ ¹ ƋU2Of 2zR gpkz yr 4b dJ i ^ / ‫ب‬ Ƌ ‫ ب‬Ů ‫ أ‬wV Łe Ůŀe lz ZđOb 2^/ V Łe wj b dzfr ŀe arĔ dzf i ^ / ‫ﺟـ‬

ُ ‫ﺳﺎﺳﻴ‬3‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا‬ ُ ‫ّﺔ‬ u ',&$ uI v Anagle between two straight lines

&'( ) '* :94 ? *0 7 F : M 9 M 94 N7 , #$ 8*" => . ?@ Ju ',&$ uI c0 w l 8 7 "3 

" + + - . #/

‫دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬3‫ا‬

J# ',&$ # I v

Scientific calculator

−

"/'0123( " 3 $41( . 53( J

" 163( 78&'1( 9 I ‫ ﻡ‬- ١‫ﻡ‬ = c٩٠ ‫ﻓﺘﻜﻮﻥ ﻃﺎ‬ c٩٠ = ‫ﻫـ‬ ‫ﻡ ﻡ‬+١ ٢ ١ ‫ﻡ ﻡ‬+١ ٢ ١ = c٩٠ ‫` ﻇﺘﺎ‬ ‫ ﻡ‬- ١‫ﻡ‬ ٢ ٢

١- = ٢ ‫ ﻡ‬١ ‫ﻡ‬ '/ 41/ 3 6123(

٠ = ١ + ٢ ‫ * ﻡ‬١‫ﻡ‬

:(٩٦) ‫ ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻓﻰ ﺑﺪﺍﻳﺔ ﺻﻔﺤﺔ‬:_ +5? ‫ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺧﺎﺭﺟﺔ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬١‫ﻫـ‬ ‫ ﻫـ‬- ١‫ ﻭﻣﻨﻬﺎ ﻫـ = ﻫـ‬، ‫ ﻫـ‬+ ٢‫ = ﻫـ‬١‫ﻫـ‬ ٢ (٢‫ ﻫـ‬- ١‫ﻃﺎﻫـ = ﻃﺎ )ﻫـ‬ ‫ ﻃﺎﻫـ‬- ١‫ﻃﺎﻫـ‬ = ‫ ﻃﺎﻫـ‬١‫ ﻃﺎﻫـ‬+ ١ ٢ ‫ ﻡ‬- ١‫ﻡ‬ ٢ = ‫ﻡ ﻡ‬+١ ٢ ١ ٢

‫ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﻣﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺘﺠﻬﻴﻦ‬ .‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ‬

J sMU - U7 T - V W 5

78&'1( / ? *" /

;$41( &. </ X` Y/Z ? 2 X Y/Z #$ : M [ ,E \\ Y/Z ? 2 \b Y/Z *", MU [ ,E ]^ , H _ $ 5 " M U

¢SQódG äGAGôLEG ó«¡ªàdG

‫ ﻭﺷﺮﻁ ﺗﻌﺎﻣﺪ‬،‫ﺭﺍﺟﻊ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺷﺮﻁ ﺗﻮﺍﺯﻯ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬ .‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﺫﻟﻚ ﺑﺎﻷﻣﺜﻠﺔ‬ ،‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬ ً

‫ ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﺤﺎدة ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬:‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺃﻥ ﺗﻮﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺑﺄﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬ ‫ﻡ‬- ‫ﻡ‬

| ‫ﻡ‬٢ ‫ ﻡ‬+١ ١ | = i ‫ ﻓﺘﻜﻮﻥ ﻃﺎ‬c٠ = ‫ﻫـ‬ ٢ ١ ٠ = ٢‫ ﻡ‬- ١‫ ﻡ‬Z \ (‫ )ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ‬٢‫ = ﻡ‬١‫ \ ﻡ‬

−

# ',&$ # I l 8 7 # ',&$ # I l 8 7

١٠ ٢ = ‫ ﺟـ‬C ، ١٠ ٢ = ‫ ﺏ‬C 2 C ‫ ﺟـ ﺣﺎ‬C * ‫ ﺏ‬C ١٢ =(‫ ﺏ ﺟـ‬C 9) ‫ﻡ‬

‫ ﺳﻢ‬١٦ - c٥٣َ ٧ً ٤٩ ‫ ﺣﺎ‬٤٠ * ١٢ =

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ɗ z Ē gz[ 7gb ! r3 lf !r3 d^ lz - 'b yr 4b 5 zZ ."r 1 ƋƛŁ ŮŀƜ] + ƛń ŮĿƜ ɤ S ƅŮƄƛŀ- ŮłƜ] + ƛŁ- ŮĿƜ ɤ S ‫أ‬ Ń ɤ = + 5ŁƅŮƄł ɤ =Ł ‫ﺟ‬ Ŀ ɤ ŀ + =ł Ƥ 5ƅŮƄĿ ɤ ł + =Ł + 5 ‫ب‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

º««≤àdGh ÖjQóàdG

ŮlzZ 7b tr 7 f c gb i ƛł ŮŅƜ ¶" Ůƛŀ- ŮŁƜ Ůƛń ŮĿƜ C qzV c f ¶" C ǶƒŻŏǭǤģś ƤśƄǤĝ 2 ƋC yr 3 5 zZ ."r h ‫اﻟﺤﻞ‬

5 6( "X t

Ł(ŀ= - Ł=Ɯ + Ł(ŀ5 - Ł5Ɯ ɤ lz G[j lz .O b ŀĿ Ł ɤ Ł((ŀ-Ɯ - ńƜ + Ł(Ł - ĿƜ ɤ Cƅƅ ŀĿ Ł ɤ Ƅ Ł(ł - ńƜ + Ł(Ņ - ĿƜ ɤ ¶" Cƅƅ Ł Ń ɤ Ƅ Ł(ł - ŀ-Ɯ + Ł(Ņ - ŁƜ ɤ ¶" ƅ ¶" C ɤ C iĔ ůlzZ 7b tr 7 f c gb Ł ƛ¶" CƜ + Łƛ CƜ > Łƛ¶" Ɯ i L&đj - & C c i t ł- ɤ (ŀ-Ɯ - ń ɤ e C / Ł - Ŀ ŀ

B3A G/ o6R? - C ! ٤ = ‫ ﻃﺎ ﻫـ‬، ١ = ‫ ﻡ‬، ١ - = ‫ ﻡ‬1 ٣ ٢ ٢ ٢ ١ c٥٣ َ ٧ ً ٤٩ = (‫ﻫـ‬c)X

٣ = ‫ ﻃﺎ ﻫـ‬،١- = ٢‫ ﻡ‬، ١٢ = ١‫ ﻡ‬2

‫ﻻﺣﻆ‬ "8 y( 5 W Y '01+ ' V W . S8 > G 3 612/ G C [ fS8 $Q3( "$% . "8 ` − U. "8 y( J5 '8'R? "! # / − "3z W

c٧١ َ ٣٣ ً ٥٤ = (‫ﻫـ‬c)X

٠= ٨ + ‫ ﺹ‬٣ - ‫ ﺱ‬، ٠ = ٧ + ‫ ﺹ‬+ ‫ ﺱ‬٢ ‫ب‬

(٥- ،٥) ‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ‬3 .‫ﻭﻳﻜﻮﻥ ﻋﻤﻮﺩ ًّﻳﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ (١- ،٣) ‫ ﻙ‬+ ،(٤ ،٢-) = ‫ﺭ‬ :G 6z #( KM$( >z c U D (٦ ،١) ‫ ﺏ‬،(٢- ،٣) C ‫ ﺏ ﺣﻴﺚ‬C ‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺤﻮﺭ‬1 {e = s − N + :"C ![ | ‫( ﻫﻰ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻤﺎﺭﺓ‬٤- ،٥) ‫ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﻡ‬2 ،(٧- ،١) ‫ ﺏ‬،(١- ،١) C ‫ ﺏ ﺟـ ﺣﻴﺚ‬C ‫ﺑﺮﺅﻭﺱ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬ .C ‫ ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ‬،(٠ ،٢) ‫ﺟـ‬ {O = ! Y = Y = C Y :"C !}(| e = s + N + P − :>* C' V 33( "(. 4/

Y , Y >13 W GV ^8541( C "b+ R( Y '01+ C

cńł ¼ ņ ¹ Ńň ɤ ƛC cƜY

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ Ƌƛł ŮŅƜ] + ƛŀ Ůł-Ɯ ɤ S Ůƛŀ ŮŁ-Ɯ] + ƛĿ ŮŁƜ ɤ t lzgz[ 7gb lz 1s?'gb - 'b yr 4b 5 zZ ."r 1 lz G[kb 1 gb hz[ 7gb rƄ Ŀ ɤ ł + =Ł - 5 hz[ 7gb lz 1s?'gb - 'b yr 4b 5 zZ ."r 2 Ƌƛŀ ŮŁƜ Ůƛŀ- ŮŃƜ C yr 3 5 zZ ."r Ƌƛŀ- ŮŁ-Ɯ¶" Ůƛŀ ŮłƜ ŮƛŁ ŮĿƜ C qzV c f ¶" C 3

? ? *" / − : M [ ,E

¢SQódG ¢VôY :ôªà°ùªdG º««≤àdG

:>A# b4? "C ! ‫ﺻﻔﺮﺍ‬ ً = ‫أ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻃﺎ ﻫـ‬ ‫ ﺃﻯ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ‬c‫ﻫـ( = ﺻﻔﺮ‬c)X ‫ﻓﺈﻥ‬ (‫ب ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻃﺎ ﻫـ )ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻑ‬ ‫ ﺃﻯ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ‬c٩٠ =(‫ﻫـ‬c)X ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫ = ﻡ‬١‫ﺟ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﻓﺈﻥ ﻡ‬ ١- = ٢‫ ﻡ‬،١‫ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ﻓﺈﻥ ﻡ‬ ٢

: R? "C ! ،٧ + = ‫ ﻃﺎ ﻫـ‬، ٢ = ٢‫ ﻡ‬، ١٣ - = ١‫ أ ﻡ‬1 c٨١ َ ٥٢ ً ١٢ = (‫ﻫـ‬c)X ، ١٧ + = ‫ ﻃﺎ ﻫـ‬، ١٣ = ٢‫ ﻡ‬، ١٢ - = ١‫ب ﻡ‬ c٨ َ ٧ ً ٤٨ = (‫ﻫـ‬c)X ،٢ = ‫ ﻃﺎ ﻫـ‬، ٢- = ٢‫ ﻡ‬،٠ = ١‫ﺟ ﻡ‬ c٦٣ َ ٢٦ ً ٦ = (‫ﻫـ‬c)X

Ƌlzy2;N lzgZ1 2ZĔ ¶" c gb (G6 & 7f ."r \ 7b a gb wV 2

٦ = ‫ ﺹ‬٢ - ‫ ﺱ‬، ٠ = ٦ - ‫ ﺹ‬٣ + ‫ ﺱ‬٢ ‫ﺟ‬ (٠ ،٤-) ‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ‬2 (٥ ،٢-) ‫ ﻙ‬+ (١ ،١) = ‫ﻭﻳﻮﺍﺯﻯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺭ‬

º««≤àdG

‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻛﻞ ﺯﻭﺝ ﻣﻦ ﺃﺯﻭﺍﺝ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ‬1 :‫ﺍﻵﺗﻴﺔ‬ ،(٢- ،١) ‫ ﻙ‬+ (٣- ،٢-) = ‫أ ﺭ‬ (٣ ،٢) ‫ ﻙ‬+ (٠ ،٣) = ‫ﺭ‬

ŀ - ɤ ł - ń ɤ e ł Ņ - Ŀ Ł e - ŀe Ł ɤ ¶o J e e + ŀ Ł ŀ ( ŀł -Ɯ - łŃ ł ɤ ŀ ɤ C J ( ł -Ɯ (ł-Ɯ + ŀ

¶" C /

5 6( "X t

? ? *" / − % 5 0

‫‪4-4‬‬

‫ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ إﻟﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ إﻟﻰ‬ ‫ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫‪4-4‬‬

‫‪The length of the perpendicular from a point to a straight line‬‬

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ ‪#$ - O 0 5 I 0 12‬‬ ‫ '‪J% ',&$ F! y2 $ 5$ M‬‬

‫إﻳﺠﺎد ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ إﻟﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫‪The length of the perpendicular from a point to a straight line‬‬

‫ ‪ ,‬‬

‫ ‪t0b hz[ 7gcb wg k Đ ƛŀ= Ůŀ5Ɯ G[kb j ^ /‬‬ ‫‪Ŀ ɤ ¶" + = + 5 C q b- Of‬‬ ‫‪ hz[ 7gb wb G[kb m0o lf es62gb ƛaƜ -sgOb asF i V‬‬

‫‪" #$%‬‬

‫‪|¶" + = + 5 C| ɤ a Ɗ ZđOb lf -.' y‬‬ ‫‪ŀ‬‬

‫ ; ‪,# ,$ 5$ # ,M' # I @ & 0 D 2 / E : M 8*0 94‬‬ ‫ < ("*‪ M' #$ - 0 5 I 8*" => ?@ 8‬‬ ‫_‪J% ',& FC ? 2 ]% ',& FC ? 2 ? ,T(h‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫ ‪+‬‬

‫ ‬

‫ ‪+‬‬

‫! ‬

‫=‪e‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪ + ŁC‬‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا‪3‬ﺳﺎﺳﻴ ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّﺔ‬ ‫ ‪0‬‬

‫‪Perpendicular‬‬

‫ !‪% ',&$ F‬‬

‫ *' ) ('& ‬

‫‪Straight Line‬‬

‫‪hz[ 7gb H+b wb ƛ ń- ŮŃ Ɯ G[kb lf es62gb -sgOb asF ."r 1‬‬ ‫‪Ƌƛł ŮŃƜ] + ƛŁ ŮĿƜ ɤ S‬‬ ‫ ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪:94 ? *0 7‬‬ ‫@? ‪F : M 9 M 94 N7 , #$ 8*" => .‬‬ ‫‪J% ',&$ F! y2 $ 5$ M' #$ - O 0 5 I "3 ‬‬

‫‪" + + - . #/‬‬

‫ا‪3‬دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬ ‫ ‬

‫‪J% ',&$ F! - 0 I‬‬

‫‪Scientific calculator‬‬

‫ (‪"/'0123( " 3 $41( . 53‬‬

‫‪(ł ŮŃƜ ] + ƛŁ ŮĿƜ ɤ ƛ= Ů5Ɯ i A2Wj‬‬ ‫` ‪ "AS13( "(. 43$( 1 M+5( 1(. 43( ]ł + Ł ɤ =ƅŮƄ] Ń ɤ 5‬‬ ‫‪Ł - = 5‬‬ ‫‪~ )nRC‬‬ ‫ ‬ ‫‪ł ɤ Ń‬‬ ‫ ‪G M+5( t = G M( t‬‬ ‫ ‬ ‫‪Ň Ƥ =Ń ɤ 5ł‬‬

‫‪ Ŀ ɤ Ň + =Ń Ƥ 5ł‬‬ ‫|‪ơ¶" + ŀ= + ŀ5 C‬‬

‫ ‬

‫‪.534( 5I 5 W "X t‬‬

‫ ‬

‫‪ ɤ a‬‬

‫ ‬

‫ ‪ń- ɤ ŀ=ƄŮƄŃ ɤ ŀ5ƄŮƄŇ ɤ ¶"ƄŮƄŃ- ɤ ƄŮƄł ɤ C ƊDysO b‬‬

‫ ‬

‫‪ ɤ a‬‬ ‫|‪ |Ň + ń - * Ń - Ń * ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫ ‬

‫‪|ŃĿ| ɤ |Ň + ŁĿ + ŀŁ| ɤƆƄ‬‬ ‫‪ asF .&r Ň ɤ ŃĿ‬‬ ‫ ‪ń ɤ‬‬

‫‪ + ŁC‬‬

‫‪ Ł‬‬

‫ ‬

‫ (‪"8y ?& ( "(. 43‬‬

‫‪Ń + ł‬‬

‫‪ŀŅ+ ň‬‬

‫‪Łń‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪Ɗhz[ 7gb wb ƛń- ŮŁƜ G[kb lf es62gb -sgOb asF ."r 1‬‬ ‫‪Ƌƛń ŮŀŁƜ] + ƛĿ Ůŀ-Ɯ ɤ S‬‬ ‫ ‬

‫ ‪ 5I $ r* -‬‬

‫ ‪X‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪" 163( 78&'1( 9 I‬‬ ‫ ‪J sMU - ?T>= 5 - V W 5‬‬

‫‪78&'1( /‬‬ ‫ ‪? *" /‬‬

‫‪;$41( &. </‬‬ ‫‪XX Y/Z ? 2 X Y/Z #$ : M [ ,E‬‬ ‫‪\ Y/Z ? 2 \t Y/Z #$ *", MU [ ,E‬‬ ‫ ‪]^ , H _ $ 5 " M U‬‬

‫‪¢SQódG äGAGôLEG‬‬

‫ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻨﻘﻄﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺟﺎﻧﺐ ﻭﺍﺣﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‪،‬‬ ‫ﻭﺇﻥ ﺍﺧﺘﻠﻔﺎ ﻓﻰ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻨﻘﻄﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺟﺎﻧﺒﻰ ﺍﻟﺨﻂ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‪.‬‬ ‫ > ‪ : 5$R/ Q/‬ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺃﻥ ﺗﻮﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺃﻧﻪ ﻋﻨﺪ‬ ‫ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺔ ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﻴﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪( ٣٤ -‬‬ ‫ﻭﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ )‪ (٢ ،٠‬ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻡ=‬

‫ﺹ‪-‬ﺹ‬ ‫ﺱ‪-‬ﺱ‬ ‫‪١‬‬

‫‪١‬‬

‫)ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺍﻟﻤﻴﻞ ﻭﻧﻘﻄﺔ(‬

‫‪¢SQódG ¢VôY‬‬

‫‪ó«¡ªàdG‬‬

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎﺭﺝ ‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻷﺩﻭﺍﺕ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ ! ‪: R? - C‬‬ ‫ﻓﻰ ﺭﺳﻤﻪ‪.‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‪:‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺃﻥ ﺗﻨﺼﺢ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺄﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ )ﺱ‪ ،١‬ﺹ‪،(١‬‬ ‫)ﺱ‪ ،٢‬ﺹ‪ (٢‬ﺇﺣﺪﺍﺛ ًّﻴﺎ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﺤﻮﻯ‬ ‫ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ C‬ﺱ ‪ +‬ﺏ ﺹ ‪ +‬ﺟـ = ‪ ٠‬ﻭﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭﺍﻥ‬ ‫‪ C‬ﺱ‪ + ١‬ﺏ ﺹ‪ + ١‬ﺟـ‪ C ،‬ﺱ‪ + ٢‬ﺏ ﺹ‪ + ٢‬ﺟـ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ‬

‫ ` ‬

‫ ‪ −‬‬

‫ﺱ‪ ١+‬ﺹ‬ ‫‪ 1‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺔ ﻫﻰ‪٥ = ١٢ :‬‬ ‫‪٥‬ﺱ ‪ ١٢ -‬ﺹ ‪٠ = ٥ -‬‬ ‫‪٧٥‬‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ = ‪١٣‬‬

‫‪% ',&$ F! ? 2 M' #$ - 0 5 I‬‬ ‫‪% ',&$ F! ? 2 M' #$ - 0 5 I‬‬

‫‪Ɗ z Ē Đ 'b wV e hz[ 7gb wb C G[kb lf es62gb -sgOb asF ^ ȈǭƽƗ ƄŐʗƯŝ 2‬‬ ‫أ ‪ Ŀ ɤ ¶" + = + 5C Ɗ eƅŮƄƄƛĿ Ů ĿƜ C‬‬ ‫ ‬ ‫ﺟ ‪Ŀ ɤ 5 Ɗ eƅŮƄƛŀ= Ůŀ5Ɯ CƄ‬‬ ‫ ‬ ‫ب ‪ Ŀ ɤ = Ɗ eƅŮƄƛŀ= Ůŀ5Ɯ C‬‬ ‫ ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫ ‬

‫‪ wb ƛŁ- ŮŅƜ C G[kb lf es62gb -sgOb asF ."r Ű C 63( D( 2‬‬ ‫ ‪ (G6 & 7f ."r h ŮƛĿ ŮŀƜ ¶" ŮƛŃ ŮŃƜ lz G[kb 1 gb hz[ 7gb‬‬ ‫ ‪Ƌ¶" C c gb‬‬ ‫ ‬

‫اﻟﺤﻞ‬ ‫=‪= - Ł‬‬ ‫‪ ɤ e‬‬ ‫‪5 - Ł5‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪ 3( "X t‬‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫! ‬

‫‪ N P O i‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫‪(Ń ŮŃƜ Ů ƛĿ ŮŀƜ ¶" a‬‬ ‫‪Ń ɤ Ŀ - Ń ɤ e `ƄƄƄ‬‬ ‫ ‬ ‫‪ł ŀ - Ń‬‬ ‫= ‪= -‬‬ ‫‪ ɤ eƄƄƄ‬‬ ‫ ‬ ‫‪5 - 5‬‬ ‫‪Ŀ -= Ń‬‬ ‫ ‪ ɤ‬‬ ‫‪ƄƄƄ‬‬ ‫ ‬ ‫‪ŀ - 5 ł‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫ ‬

‫‪ e , , P ,P G 1M6 ( C ^8541( C‬‬

‫ ‬

‫‪Z $V "M6 3( " /5$43C ; 6123( "(. 4/‬‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ Ŀ ɤ Ń Ƥ =ł Ƥ 5ŃƄƊis_zV‬‬ ‫ ‬

‫‪O‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ − −‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪N−‬‬ ‫‪P−‬‬

‫‪ 13‬ﻙ = ‪ ،٢‬ﺹ = ‪٣-‬‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺏ ﺟـ‪ ٢ :‬ﺱ ‪ +‬ﺹ ‪٠ = ٨ -‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪ ɤ aƄƄƄ‬‬

‫|‪ơ¶" + ŀ= + ŀ5 C‬‬ ‫‪ + ŁC‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪Ń = Y GV ^8541( C‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫ (‪"8y ?& ( "(. 43‬‬

‫‪.534( 5I 5 W "X t‬‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‪ ¶" C c gcb .N Z ¶" 1 N‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪(ŀ= - Ł=Ɯ + Ł(ŀ5 - Ł5Ɯ ɤ ¶" a‬‬ ‫ ‪ .&r ń ɤ Ł(Ŀ - ŃƜ + Ł(ŀ - ŃƜ ɤ‬‬

‫ ‬

‫‪ $Q3( " 2/ 5 W "X tƅƅM W 1Đ * .N [b asF ŀŁ ɤ ¶" C c gb (G6 & 7f‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫ ‬ ‫‪ O 2f .&r ŀł ɤ ŁŅ‬‬ ‫‪ń * ń * Ł ɤƆƅƅƅƅƅƅƅ‬‬

‫ ‬

‫ﻃﻮﻝ ‪ ، ٥ ٢ = E C‬ﻃﻮﻝ ﺏ ﺟـ = ‪٥‬‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ‪ C‬ﻋﻠﻰ ﺏ ﺟـ = ‪٣‬‬

‫‪Ŀ ɤ Ń - =ł - 5Ń Ɗ hz[ 7gb wb ƛŁ- ŮŅƜ C G[kb lf es62gb -sgOb asF is_zV‬‬ ‫‪ŀ ɤ |Ń - Ņ + ŁŃ| ɤ |Ń - Ł - * ł - Ņ * Ń| ɤ a Ɗ so‬‬ ‫‪ń‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Łń‬‬ ‫‪ł + ŁŃ‬‬

‫ ‪asF .&r ń‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫‪:"MD v "+ > G8& 3? >$V - l K/‬‬ ‫‪ 11‬ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ ﻧﻮﺟﺪ ﺇﺣﺪﺍﺛﯩﻰ ‪ E‬ﻭﻫﻰ )‪(٦ ،٠‬‬ ‫ﻭﻧﻮﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺏ ﺟـ‪ ٤ :‬ﺱ ‪ ٣ -‬ﺹ ‪٠ = ١ +‬‬ ‫ﻭ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ‪ E‬ﻋﻠﻰ ﺏ ﺟـ ﻳﺴﺎﻭﻯ‪١٧ :‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻭﻧﻮﺟﺪ ﻃﻮﻝﺏ ﺟـ ﻓﺘﻜﻮﻥ ‪ ٥‬ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻃﻮﻝ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ = ‪ ١٧‬ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺴﺎﺣﺔ‬

‫‪G 1M6 G C '4b( 5 W "X tƅƅ‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺷﺒﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﺮﻑ = ‪+ ٥ ٢) ١٢‬‬

‫‪ e , , P ,P G 1M6 ( C ^8541( Cƅƅ‬‬

‫‪٥‬‬ ‫‪٣ *( ٥‬‬ ‫‪٥‬‬

‫ = ‪ ٤٫٥‬ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺴﺎﺣﺔ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪º««≤àdGh ÖjQóàdG‬‬

‫‪(Ŀ ŮŃƜ Ůƛł- ŮĿƜ lz G[kb 1 gb hz[ 7gb H+b wb ƛŁ ŮńƜ G[kb lf es62gb -sgOb asF ."r 3‬‬

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫‪ wj b \y2Gb 1 7frƄĿ ɤ ņ Ƥ = Ń Ƥ 5 łƄ b- Ogb qc g arĔ \y2Gb 1 7f i 1r # f i [y2F ǅ˅Ʀ 1‬‬ ‫ ‪Ŀ ɤ ŀŀ + = Ń Ƥ 5 łƄ b- Ogb qc g‬‬ ‫ ‪Ƌ gpkz .O 2?Z ."r h Ůi y3 s f lz[y2Gb i‬‬

‫‪XX‬‬

‫‪? ? *" / − : M [ ,E‬‬

‫‪ 1‬ﺃﻭﺟﺪ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ (٢- ،٧‬ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﺮ‬ ‫| ‪{ :"C !d‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ )‪(٣ ،٢) ،(١- ،٥‬‬ ‫‪ 2‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺭ = )‪ + (١ ،١‬ﻙ )‪ (٥ ،١٢‬ﻳﻤﺲ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ )‪ (١- ،٤‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ‬ ‫| ‪{N :"C !d‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‪.‬‬

‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫ ! ‪>A# b4? - C‬‬ ‫‪2‬‬

‫| ﺟـ|‬ ‫أ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ =‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ + ٢C‬ﺏ‬ ‫|ﺹ |‬ ‫ب ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ = ‪ | = ١ ١‬ﺹ‪|١‬‬ ‫|ﺱ |‬ ‫ﺟ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ = ‪| = ١ ١‬ﺱ‪|١‬‬

‫‪ 3‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ‪ ،(١- ،٣) C :‬ﺏ )‪،(٢ ،٥-‬‬ ‫ﺟـ )‪ (١ ،٦) E ،(٤ ،٢-‬ﻫﻰ ﺭﺅﻭﺱ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﺿﻼﻉ ﺛﻢ‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺤﻪ‬

‫ ! ‪ R? - C‬‬ ‫‪ 3‬ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‪ ٣ :‬ﺱ ‪ ٤ -‬ﺹ ‪٠ = ١٢ -‬‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ = ‪١‬‬

‫‪º««≤àdGh ÖjQóàdG‬‬

‫ ‪ :G W5#13( KM$( >z c U D‬ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻦ ﺱ ‪ +‬ﺹ = ‪،٤‬‬ ‫ﺱ ‪ -‬ﺹ = ‪ ٢‬ﻭﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﺇﻟﻴﻪ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻭﺣﺪﺓ ﻃﻮﻝ ﻭﺍﺣﺪﺓ‬ ‫| (}! ‪{e = O− P − N ,e = − :"C‬‬

‫ ! ‪B3A G/ o6R? - C‬‬ ‫ﻡ‪ ، ٣٤ = ١‬ﻡ‪ ٣٤ = ٢‬ﻡ‪ = ١‬ﻡ‪ ٢‬ﺃﻯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ‬

‫ﺑﻮﺿﻊ ﺹ = ‪ ٠‬ﻓﻰ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻷﻭﻝ ﺱ = ‪٧‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪(٠ ، ١٢‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‪٣ :‬ﺱ ‪ ٤ -‬ﺹ ‪٠ = ١١ +‬‬ ‫‪٣٫٦ = ١٨‬‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ = ‪٥‬‬

‫‪? ? *" / − % 5 0‬‬

‫ ` ‬

‫‪5-4‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر‬ ‫ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬

‫‪General equation of the straight line passing through the point of‬‬

‫‪5-4‬‬

‫‪intersection of two lines‬‬

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﻓﻜﺮ‬

‫ ‪ 0 5O $ 5 c* 0 12 / E‬‬ ‫ ‪NI '( M'TI * O % ',&O F+‬‬ ‫‪u ',&$‬‬

‫و‬

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

‫‪lzy3 s f 2zR lzgz[ 7f PF [ G[j {z .& - #y zWz^ 61- i \ 6‬‬ ‫‪ Ŀ ɤ Ł¶"+ = Ł + 5 ŁC ŮĿ ɤ ŀ¶"+ = ŀ + 5 ŀC‬‬ ‫‪?lz[ 7b lzgz[ 7gb PF [ G[k 2g gz[ 7f .N b- Of - #y `k_gy dpV‬‬

‫‪" #$%‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ ; ‪% ',& FC 0 5 $ 5 c* ^ *0 94 z‬‬ ‫‪8*" < , 5F $ / & h [ ,C 94 ^ = |3 + } [ + 8 C‬‬ ‫@? >= "*‪J# ',&$ NI '( M'TI * % ',& FC $ 5 0 5 8‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﻌﻠﻮﻣﻴﻦ‬

‫‪General equation of the straight line passing through the point of intersection of two given lines‬‬

‫‪Ƌ gz[ 7gb lf w pjĐ -.N p 2gy i l_gy fscOf G[j t a‬‬ ‫` ‪Ƌlzgz[ 7gb PF [ G[k 1 gb gz[ 7gb Pzg" d g w b b- Ogb‬‬

‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا‪3‬ﺳﺎﺳﻴ ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّﺔ‬

‫‪Ɗwo 2W> ɤ Ł ¶" + = Ł + 5 ŁCƄƄŮƄƄ2W> ɤ ŀ ¶" + = ŀ + 5 ŀC‬‬

‫ '‪u ',&$ NI '( M‬‬

‫‪ %ǽ a Ů Iǽ eƄŮƄ2W> ɤ ƛŁ¶" + = Ł + 5 ŁCƜ a + ƛ ŀ¶" + = ŀ + 5 ŀCƜ e‬‬

‫‪intersection point of two straight‬‬

‫ *' ) ('& ‬

‫‪lines‬‬

‫ ‪ $ 0 5$‬‬

‫‪Ƌwj b hz[ 7gb b- Of $ k 2W> ɤƄeƄƄ b & wWV‬‬

‫‪General Equation‬‬

‫‪ƋarĔ hz[ 7gb b- Of $ k 2W> ɤ aƄƄƄ b & wV‬‬

‫‪:94 ? *0 7‬‬ ‫@? ‪F : M 9 M 94 N7 , #$ 8*" => .‬‬

‫ ‪ PF [ b G[k 2gy hz[ 7f t b- Of $ k V 2W> ! a Ů 2W> ! e b & wV f‬‬

‫‪Ju ',&$ NI '( M'TI * O % ',&O F+ 0 5O $ 5 c* "3 ‬‬

‫*‪Ɗ 1s?b wcN ƛŀƜ b- Ogb PBr b 'b m0o wV l_gyr Ůlzzc>Ĕ lzgz[ 7gb Uđ‬‬ ‫ ‬

‫‪" + + - . #/‬‬

‫‪2W> ɤ ƛŁ¶"+=Ł + 5ŁCƜ ] + ŀ¶"+ =ŀ + 5 ŀC‬‬

‫ ‬

‫ا‪3‬دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫ ‬

‫ '‪# ',&$ NI '( M‬‬

‫‪Scientific calculator‬‬

‫‪Ɗlzgz[ 7gb PF [ G[k r ƛŃ ŮŁ -Ɯ C G[kb 1 gb hz[ 7gb b- Of ."r 2‬‬ ‫ ‪Ŀ ɤ Ń + = ł Ƥ 5 ŁƅŮƄĿ ɤ ń Ƥ = Ł + 5‬‬

‫ (‪"/'0123( " 3 $41( . 53‬‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪" 163( 78&'1( 9 I‬‬ ‫ ‪J sMU - U7 T - V W 5‬‬

‫‪78&'1( /‬‬ ‫ ‪? *" /‬‬

‫‪ ٢‬ﺹ‪٢-‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺗﻜﻮﻥ‪= :‬‬ ‫‪ ٣‬ﺱ ‪١ -‬‬‫‪٢‬ﺱ‪٣+‬ﺹ‪٠=٨-‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪;$41( &. </‬‬

‫ﻓﺘﻜﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻰ‪:‬‬

‫ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‬ ‫ﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﻭﺇﻳﺠﺎﺩ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‪.‬‬

‫‪ MU [ ,E a Y/Z ? 2 Y/Z #$ : M [ ,E‬‬ ‫ ‪]^ , H _ $ 5 " M U - \` Y/Z *",‬‬

‫‪¢SQódG ¢VôY‬‬

‫‪¢SQódG äGAGôLEG‬‬

‫‪:ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫ ! ‪: R? - C‬‬ ‫‪ó«¡ªàdG‬‬ ‫‪ 1‬ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪(٣ ،٠‬‬ ‫‪ q‬ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺁﻧﻴﺘﻴﻦ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻫﻰ‪ :‬ﺱ ‪ -‬ﺹ ‪٠ = ٣ -‬‬ ‫ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻟﻴﻦ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺳﺒﻖ ﻟﻬﻢ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺮﺣﻠﺔ‬ ‫‪ : Q/‬ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻜﺎﺭﺗﻴﺰﻳﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻹﻋﺪﺍﺩﻳﺔ ﻭﺫﻛﺮﻫﻢ ﺑﺄﻥ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‪ ،‬ﺛﻢ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﺑﺤﻠﻬﻤﺎ ﺟﺒﺮ ًّﻳﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻓﻰ ﻣﺜﺎﻝ ﺹ ‪.٩٨‬‬ ‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪q‬‬

‫ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺑﺄﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬ ‫ ! ‪ R? "C‬‬ ‫ﺱ ‪٢ +‬ﺹ ‪ ٢ ،٠ = ٥ -‬ﺱ ‪ ٣ -‬ﺹ ‪ ، ٠ = ٤ +‬ﻓﺘﻜﻮﻥ ﻫﻰ‬ ‫‪ 2‬ﻡ‪ ، ١٤ = ١‬ﻡ‪ ٤- = ٢‬ﺃﻯ ﺃﻥ ﻡ‪ * ١‬ﻡ‪١- = ٢‬‬ ‫)‪ ،(٢ ،١‬ﻭﺑﺬﻟﻚ ﺗﻮﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ‬ ‫ﺑﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻌﻠﻮﻣﺘﻴﻦ ﻛﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻫﻰ )‪(٣ ،٢-‬‬ ‫ﺹ‪ - ٢‬ﺹ ‪ ١‬ﺹ ‪ -‬ﺹ‬ ‫‪١‬‬ ‫=‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻫﻰ‪ :‬ﺱ ‪ ٢ +‬ﺹ ‪٠ = ٤ -‬‬ ‫ﺱ‪-‬ﺱ‬ ‫ﺱ‪ - ٢‬ﺱ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪ `a‬‬

‫ ‪ −‬‬

# ',&$ NI '( M'TI * % ',& $ 5 0 5 # ',&$ NI '( M'TI * % ',& $ 5 0 5

º««≤àdGh ÖjQóàdG B3A G/ o6R? "C ! ٠=٤+‫ﺹ‬٣-‫ﺱ‬٢ 1 ‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ‬١- = ٢‫ * ﻡ‬١‫ ﻡ‬، ٢٣ = ٢‫ ﻡ‬، ٣٢ - = ١‫ ﻡ‬2 (٢ ،١) ‫ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻫﻰ‬3 ٠=١+‫ﺹ‬-‫ ﺱ‬4 ١٣ ٨ 5 ٢ ‫ ﺳﻢ‬٣ 6 ٥

•É°ûædG º««≤J

‫اﻟﺤﻞ‬

"/ 4( "(. 43( Ŀ ɤ ƛ¶"+ = Ł + 5 ŁCƜ ] + ¶"+ = ŀ + 5 ŀC G 3 6123( "(. 4/ GV ^8541( C P = , − = GV ^8541( C F 2b1( C ~ "3 W GV ^8541( C > "(. 43( > I IC F 2b1( C s ÷ "(. 43( > I "326C

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

(ŀ- ŮŁƜ C G[kb 1 gb hz[ 7gb b- Of ."r 1 Ŀ ɤ ł Ƥ = Ƥ 5 ńƅŮƄĿ ɤ ł + = + 5ņ Ɗlzgz[ 7gb PF [ G[k r ‫ﻣـﺜـﺎل‬

Ɗ."r h Ů.f O b wcN i OF [ f ƛł ŮŁ-Ɯ ] + ƛŁ ŮŀƜ ɤ S Ů Ŀ ɤ Ń + =ł Ƥ 5Ł lzgz[ 7gb i 3 Ƌ gpOF [ G[j ‫اﻟﺤﻞ‬

kG 3 6123( /

(١٠٠) ‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﻋﻤﻞ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻﻔﺤﺔ‬ ‫ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‬

Ŀ ɤ ƛŃ + = ł Ƥ 5 Ł Ɯ ] + ń Ƥ = Ł + 5 Ŀ ɤ ƛŃ + Ń×ł Ƥ Ł -×ŁƜ ] + ń Ƥ Ń ɢ Ł + Ł ŀ ɤ ]ƄƄt ƄƄĿ ɤ ]ŀŁ Ƥ ŀ ŀŁ ŀ + ń Ƥ = Ł + 5 Ŀ ɤ ƛ Ń + = ł Ƥ 5 Ł Ɯ ŀŁ Ŀ ɤ Ń + = ł Ƥ 5 Ł + ŅĿ Ƥ = ŁŃ + 5 ŀŁ Ŀ ɤ ńŅ Ƥ = Łŀ + 5 ŀŃ Ŀ ɤ Ň - = ł + 5 Ł

kG 3 612/ '/ 4? U

ł ɤ eƄŮƄ Ł ɤ Ł łŁ - ɤ ŁŁ ł ł- ɤ ŀe

ŀ - ɤ łŁ - * Łł ɤ Łe * ŀe `

ŀ ɤ Łe * ŀe a Ƌ.f O b wcN i OF [ f i gz[ 7gb ` Ƌ zj b b- Ogcb y4z 1 _b b- Ogb ."sj Ůlzgz[ 7gb PF [ G[j - #yĖ ‫أ‬

U D ( ;

6? ;$+

(ł ŮŁ-Ɯ ] + ƛŁ ŮŀƜ ɤ ƛ= Ů5Ɯ a

Ł - = ŀ - 5 ł ɤ Ł- ` Ń + =Ł- ɤ ł Ƥ 5ł F 2b1( C Ŀ ɤ ņ Ƥ =Ł + 5ł G 1(. 43( RC Ŀ ɤ ņ Ƥ =Ł + 5łƄŮĿ ɤ Ń + =ł Ƥ 5Ł Ł ɤ = Ů ŀ ɤ 5 ` (Ł ŮŀƜ wo ly.f O gb lzgz[ 7gb PF [ G[j is_ r

k~ C Q( )nRC kG M +5( t = G M( t

ÖdÉ£dG AGOCG

ôjó≤àdG

I 32 ? e Y eT$ [ M$ > $ E : M "3

` 13/

~ M Y YZ I 32 ? Y ,eT$ [ M$ > $ E : M "3 M %~5 Y YZ I 32 ? Y eT$ [ M$ > $ E : M "3 % 5 #$ ' /I c" & I #M M Y YZ I 32 ? Y ,eT$ [ M$ > $ E : M "3

- !&. e

q'! ' ! - !&. r

? ? *" / − : M [ ,E

' ! - !&. s

5b6/

% 5 #$ c E c" & I #M M Y YZ

- !&. O

) ,Y eT$ [ M$ > $ 0 D 2 : M N M,& h

g 4

J% 5 7 #$ e 3 , c" &

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

i .f O f Ŀ ɤ ń + = + 5Ń Ů Ŀ ɤ ŀŃ + =Ń Ƥ 5 lzgz[ 7gb i 2 Ƌƛŀ ŮŁƜ G[kb r PF [ b G[k 1 gb hz[ 7gb b- Ofr gpOF [ G[j ."r h

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ƋƛŁ ŮłƜ ] + ƛĿ ŮŁ-Ɯ ɤ S ƊŁa ŮĿ ɤ ņ - =Ł + 5ł Ɗŀa i ^ / Ɗ."r V a hz[ 7gcb y4z 1 _b b- Ogb 1 Ł a Ůŀa i gz[ 7gb lz yr 4b 5 zZ 2 Ł ƋŁa Ůŀa lzgz[ 7gb PF [ G[j 3 (Ń ŮłƜ G[kb r lzgz[ 7gb PF [ G[k 2gy t0b hz[ 7gb b- Of 4 Ŀ ɤ ň- =Ń - 5ł q b- Of t0b hz[ 7gb H+b wb lzgz[ 7gb PF [ G[j lf es62gb -sgOb asF 5 Ƌ kz7b 1s'fr Ła Ůŀa lzgz[ 7gb -.'gb c gb (G6 & 7f 6

- !&. O G/ W

º««≤àdG

‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ‬1 ١ = ‫ ﺹ‬٣ + ‫ ﺱ‬٢ ،٤ = ‫ ﺹ‬٢ + ‫ﺱ‬٣ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬ { − = >* "C !d | (١- ،١) ‫ﻭﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ‬ :‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬2 ‫ ﻭﻳﻜﻮﻥ‬٠ = ٤ - ‫ ﺹ‬- ‫ ﺱ‬٢ ، ٠ = ٥ + ‫ ﺹ‬٣ - ‫ﺱ‬ ٠ = ١ + ‫ ﺹ‬٢ - ‫ ﺱ‬:‫ﻣﻮﺍﺯ ًّﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ {e = + e − O :"C !d | :G W5#13( KM$( >z c U D :‫ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬ ‫ ﻭﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ‬٥ = ‫ ﺹ‬+ ‫ ﺱ‬٣٢ ،٤ = ‫ ﺹ‬٣ - ‫ ﺱ‬٥ .‫( ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻭﺣﺪﺓ ﻃﻮﻝ ﻭﺍﺣﺪﺓ‬٥- ،٦) ‫ﺇﻟﻴﻪ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ‬ {NP = O + , P = N + P :"C !d |

‫ﻧﺸﺎط‬ U 8y!

/ C

O P N

i− O− P− N− − − − − " #+ ! N− P−

N P O

‫أﺿ‬

‫ﻒ إﻟ‬

‫ﻰ‬

‫ﻣ‬

‫ﻌﻠ‬

‫ﻮﻣﺎ‬

‫ﺗﻚ‬

"V + W U' >* U'64( \ 2? >* , Rb( G#2( 3( k"V + ( \ RC / 1/ H rO \ 28 \ Rb( \ 28 \ b( 3( hC 3$V H k 1/ iee

lz f Ůt2' b dzgb g7[f zOz 2 _ : C 63( D( G b8 ƛł ŮŅ-Ɯ 2y4#b r ƛń ŮŃƜ kzgb Ɗlf d^ z .& pzcN Ƌƛł- ŮŁ-Ɯ ¶" kzW7b r

:'! Ƌ kzW7b r kzgb lz t2' b dzgb V 7gb 1 j ^ / C V 7gb PGZ wV kzW7b q Z2S 6 t0b lf4b 2 Ƌ .[N ŁĿ p N26 wz .& ."r h Ů kz7b 1s'g ¶" p h7[k w b 7kb 3 Ƌhz7[ b G[j Ƌhz[ 7f H* wV ]2' j ^ / kzW7b 1 7f b- Of 4 Ƌ kzW7b r 2y4#b lz V 7f 2?Z 5 ¶" C Ů C lz 1s?'gb yr 4b 5 zZ 6 ¶" C c gb (G6 & 7f 7 ģŐŮǍǤǍŏǔŝ

Ƌƛ j2 jĖ Ɯ fscOgcb zbr.b _ ;b lO 6 8 Ƌ y2' b lW7b r j sgcb y2' b &đgb fđ7b y2?gb zpb pf.[ w b f.+b lN ' ‫أ‬ ? / gb ? y2' b &đgb wV dgOb dCW do

? ? *" / − % 5 0

Ƌ pOZ sf -.&r Ů z 2Ob 2?f y1spg# y2' b j sgb ho -.& ‫ب‬

−

‫‪IóMƒdG‬‬

‫‪5‬‬

‫‪á°ùeÉîdG Ió‬‬ ‫‪óMƒddG‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫‪Trigonometry‬‬

‫ ‬ ‫‪õîüŀüńĿí ïîĔă‬‬ ‫‪Trigonometry‬‬

‫أﻫﺪاف اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪˄o }gR 5Ǜ 1 ^ f Kf oyc o T^y lf rk 2*yf vp Z‬‬ ‫ ‪ ph d eUÐ éÐí{UÐ h= phHnHúÐ ÓnSĆ_UÐ s f x‬‬ ‫ ‪ ph d eUÐ éÐí{UÐ dL Ónb=n] Y p É q x‬‬

‫ ‪ pAn Yí Ln=}UÐ cZUÐ pAn Yí rd eUÐ pAn Y {@ x‬‬ ‫‪ ^ feUÐ d\eUÐ‬‬

‫ ‪Ò} aUÐ R pYn_UÐ ÒÚ [UÐ R p]h = ph d Y ÓøØn_Y x‬‬ ‫]»‪]r½ º‬‬

‫ ‪ Ón d eUÐ Ñn A dL pL f Y ýn Y x‬‬ ‫ ‪ Ónbh ] UÐ dL æ}_ UÐ R ÓnY d_eUÐ nh@ U fc> ê{ x‬‬ ‫‪ Ón d eUÐ Ñn U phHnHúÐ hwnaedU ÒØ{_ eUÐ‬‬

‫ ‪ ph d eUÐ pUØn_edU ên_UÐ UÐ æ}_ x‬‬

‫ ‪ éÐí{= e> UÐí px h UÐí phýnx~haUÐ }wÐ ^UÐ _= Õ|efx‬‬

‫ ‪ pxíÐ~UÐ ýnbUÐ rd eUÐ x‬‬ ‫ ‪ ßna iøÐí âna>ÚøÐ nxÐíÛ eZ> Ónbh ]> x‬‬ ‫ ‪ An Y Øn xÎ phahTí î}ýÐ{UÐ ân]bUÐ æ}_ x‬‬

‫‪ ph d Y‬‬ ‫ ‪ UùÐ oHn UÐ sYÐ} U p]ZiÌ ê{ x‬‬

‫ ‪ ng An Y Øn xÎ phahTí px}ýÐ{UÐ p_]bUÐ æ}_ x‬‬

‫ﻣﻘﺪﻣﺔ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻭﻭﺣﺪﺍﺕ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ﺑﺎﻟﺘﻘﺪﻳﺮﻳﻦ‬ ‫ﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ ﻭﺍﻟﺪﺍﺋﺮ￯ ﺛﻢ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻮ￯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪﺍﻟﺘﻰ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﻭﺟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ‪،‬‬ ‫ﻭﺳﻮﻑ ﻳﺪﺭﺱ ﻓﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‪،‬‬ ‫ﻭﺣﻞ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﻋﻠﻴﻪ‪ ،‬ﺛﻢ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﻭﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ ﻭﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭﺗﺘﻀﻤﻦ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺳﺒﻌﺔ ﺩﺭﻭﺱ ﺑﻴﺎﻧﻬﺎ ﻛﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻷول‪ :‬ﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻧﻰ‪ :‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ :‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺮاﺑﻊ‪ :‬ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ‪ ،‬ﻭﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻻﻧﺨﻔﺎﺽ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺨﺎﻣﺲ‪ :‬ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮ￯‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺴﺎدس‪ :‬ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرس اﻟﺴﺎﺑﻊ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺎﺕ‬ ‫أﻫﺪاف اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬا اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﻳﻜﻮن اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎد ًرا‬ ‫ﻋﻠﻰ أن‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﺜﺒﺖ ﺻﺤﺔ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ ‬ﻳﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ ﺑﺴﻴﻄﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ]‪ [r٢ ،٠‬ﻓﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻌﻄﻰ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ‪:‬‬

‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴﺔ‬ ‫‪ ph d Y pb=n] Y Ñ‬‬

‫‪Trigonometric identitie‬‬

‫‪ ßna iÐ pxíÐÛ Ñ‬‬

‫‪p h d Y pUØn_Y Ñ‬‬

‫‪Trigonometric equation‬‬

‫‪î‬‬ ‫‪ }ýÐØ ân]S Ñ‬‬

‫‪Circular sector‬‬

‫‪ âna>ÚÐ pxíÐÛ Ñ‬‬

‫‪Angle of elevation‬‬

‫‪ px}ýÐØ p_]S Ñ‬‬

‫‪Circular Segment‬‬

‫‪Angle of depression‬‬

‫دروس اﻟﻮﺣﺪة‬

‫‪ ph d eUÐ Ónb=n] eUÐ ¼ - À ÜÚ{UÐ‬‬

‫‪ ph d eUÐ ÓøØn_eUÐ A ½ - À ÜÚ{UÐ‬‬

‫‪ pxíÐ~UÐ ýnbUÐ rd eUÐ A ¾ - À ÜÚ{UÐ‬‬

‫‪ ßna iøÐí âna>ÚøÐ nxÐíÛ eZ> Ónbh ]> ¿ - À ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪ î}ýÐ{UÐ ân]bUÐ À - À ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪ px}ýÐ{UÐ p_]bUÐ Á - À ÜÚ{UÐ‬‬

‫‪ º Ln=}UÐ cZUÐ pAn Y ºrd eUÐ pAn Y Â - À ÜÚ{UÐ‬‬ ‫‪ ^ feUÐ d\eUÐ pAn Y‬‬

‫ﺟﺎ ‪C‬ﺱ = ﺟﺘﺎ ﺏ ﺱ‬

‫ا دوات اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫ ‪ j2 jĐ d? f wb 6 & - O 2f Y1r - zgcN 6 & b‬‬ ‫ ‪ zfs61 $f 2‬‬‫ﻧﺒﺬه ﺗﺎرﻳﺨﻴﺔ‬

‫‪ dL âí}R {AÌ w Ón d eUÐ Ñn A‬‬ ‫‪ eHÐ Y y Ðí w neT â}R Ð|wí ºÓnh nx}UÐ‬‬ ‫‪ rhA Y rd eUn= pÉn UÐ Ón=n Un= d_ x‬‬ ‫‪ ëÌ hBÚkeUÐ _= }T|xí LĆ Ìí ìnxÐíÛ‬‬ ‫‪ éíÌ w H ]UÐ x{UÐ }h[i =}_UÐ nx}UÐ‬‬ ‫‪ neT º daUÐ L Ón d eUÐ Ñn A [R Y‬‬ ‫‪ ØĆheUÐ S Á»» hUnJ ëÌ ë BÚkeUÐ }T|x‬‬ ‫>_}‪ ÜnhS Y ce> nY{fLºÓn d eUÐ Ñn U ß‬‬ ‫‪ K é J h= piÚnbeUÐ x}J L ê}gUÐ âna>ÚÐ‬‬ ‫‪ qS UÐ ai R dK é Jí phHÌÚ n[L‬‬

‫ﻣﺨﻄﻂ ﺗﻨﻈﻴﻤﻲ ﻟﻠﻮﺣﺪة‬ ‫ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت‬

‫ﺣﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ‬

‫اﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻰ ﻓﺘﺮة‬

‫ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺿﻠﻊ‬ ‫وزاوﻳﺔ‬

‫ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺿﻠﻌﻴﻦ‬

‫اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫زاوﻳﺎ اﻻرﺗﻔﺎع‬

‫زاوﻳﺎ اﻻﻧﺨﻔﺎض‬

‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫اﺳﺘﺨﺪام‬

‫‪ Y h[i Ón d eUÐ Ñn U ënT {bUí‬‬ ‫‪ ^UÐ ÖĆ]ÉÐ ëÌ }T|xí Ñ}_UÐ ÓnYne wÐ‬‬ ‫‪ R in@Û UÐ nR UÐ =Ì =}_UÐ Un_UÐ aÉí {S‬‬ ‫‪ Ù BjY ÖĆ]ÉøÐ Ð|wí îØĆheUÐ }In_UÐ ë}bUÐ‬‬ ‫‪ Ê \UÐ }hH p h i ë c > UÐ ºên @úÐ éĆK Y‬‬ ‫‪ pehb Y à ]B R eZUÐ Y r_ feUÐ‬‬

‫اﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ‬

‫اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى‬

‫اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﻳﺔ‬

‫اﻟﻤﺜﻠﺚ‬

‫اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ‬

‫اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ‬

‫‪ |BÌ gfLí º Ò}cUÐ y]H UÎ p i îí}cUÐ íÌ îö }ôó cUÐí î eUÐ Ón d eUÐ Ñn A R Ò{x{L ÓnRn Î Ñ}_dU ëÌ neT‬‬ ‫‪ ºph nx}UÐ Ôn =úÐ Y {x{_UÐ R nðfe\ Y Ón d eUÐ Ñn A y ÉÌ A º}h cUÐ n\xÌ Ð Rn Ìí pYngUÐ ÓnY d_eUÐ ë h=}`UÐ‬‬ ‫‪ð‬‬ ‫‪ ÒÚn\ UÐí ê{b UÐ pd L RØ R UÙ wnHí phde_UÐí phed_UÐ AnfeUÐ I R >nbh ]> q ÉÌí‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻗﺎ ‪C‬ﺱ = ﻗﺘﺎ ﺏ ﺱ‬

‫ﻇﺎ ‪C‬ﺱ = ﻇﺘﺎ ﺏ ﺱ‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺤﻞ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺤﻞ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺗﺸﻤﻞ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﻭﺍﻻﻧﺨﻔﺎﺽ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮ￯ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‪ ،‬ﻭﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻰ‪ ،‬ﻣﺴﺎﺣﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻨﺘﻈﻢ‪.‬‬ ‫ﻳﺤﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺗﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩﺓ ﻟﻠﻤﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻳﻨﻤﺬﺝ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻈﻮﺍﻫﺮ ﺍﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ ﻭﺍﻟﺤﻴﻮﻳﺔ ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺗﻤﺜﻞ ﺑﺪﻭﺍﻝ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺃﻧﺸﻄﺔ ﻟﺒﺮﺍﻣﺞ ﺍﻟﺤﺎﺳﺐ ﺍﻵﻟﻰ‪.‬‬

‫زﻣﻦ ﺗﺪرﻳﺲ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪ ١٢‬ﺳﺎﻋﺔ‬ ‫اﻟﻮﺳﺎﺋﻞ اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ‪ -‬ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺭﺳﻮﻣﻴﺔ ‪ -‬ﻭﺭﻕ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ ‪-‬‬ ‫ﺣﺎﺳﺐ ﺁﻟﻰ ‪ -‬ﺑﺮﺍﻣﺞ ﺭﺳﻮﻣﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﺪرﻳﺲ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺎﺿﺮﺓ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻻﺳﺘﺪﻻﻟﻴﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ‪-‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ‪.‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﺘﻲ ﺗﻨﻤﻴﻬﺎ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﻨﺎﻗﺪ ‪ -‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻰ ‪ -‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪-‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺍﻟﻤﻨﻄﻘﻰ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق اﻟﺘﻘﻴﻴﻢ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ‬ ‫ﺗﺘﻤﺜﻞ ﻓﻰ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺸﻔﻬﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺤﺮﻳﺮﻳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ ﻭﺍﻟﺠﻤﺎﻋﻴﺔ ﻗﺒﻞ ﻭﺃﺛﻨﺎﺀ‬ ‫ﻭﺑﻌﺪ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﻀﻤﻨﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‪ ،‬ﻭﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‪ ،‬ﻭﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺮﺍﻛﻤﻰ‪.‬‬

1-5 â&#x20AC;ŤŘ§ďť&#x;ďť¤ďş&#x2DC;ďť&#x201E;ďş&#x17D;ďş&#x2018;ďť&#x2DC;ďş&#x17D;ŘŞ Ř§ďť&#x;ďť¤ďş&#x153;ďť ďş&#x153;ďť´ďş&#x201D;â&#x20AC;Ź

1-5

Trigonometric Identities â&#x20AC;ŤŘ§ďť&#x;ďť&#x152;ďťźďť&#x2014;ďş&#x17D;ŘŞ Ř§ ďşłďş&#x17D;ďşłďť´ďş&#x201D; ďş&#x2018;ďť´ďťŚ Ř§ďť&#x;ďşŞŮ&#x2C6;Ř§Ů&#x201E; Ř§ďť&#x;ďť¤ďş&#x153;ďť ďş&#x153;ďť´ďş&#x201D;â&#x20AC;Ź

â&#x20AC;ŤďşłďťŽŮ ďş&#x2014;ďş&#x2DC;ďť&#x152;ďť ďť˘â&#x20AC;Ź

Basic Relations Among Trigonometric Functions

â&#x20AC;Ťďť§ďş&#x17D;ďť&#x2014;ďşśâ&#x20AC;Ź

â&#x20AC;ŤŘ§ďť&#x;ďť¤ďş&#x2DC;ďť&#x201E;ďş&#x17D;ďş&#x2018;ďť&#x2DC;ďş&#x17D;ŘŞ Ř§ďť&#x;ďť¤ďş&#x153;ďť ďş&#x153;ďť´ďş&#x201D;â&#x20AC;Ź Trigonometric identities

' ( #$ M&( ) *+" ' ( #( F - .

â&#x20AC;ŤŮ&#x2C6;â&#x20AC;Ź

â&#x20AC;Ťďť&#x201C;ďť&#x153;ďşŽâ&#x20AC;Ź

' " #$ M&" /0 12

DO arÄ&#x201D; w6 .b d?Wb wV 61- i \ 6 m0o wVr ĹŽ zj z b pfs61r z c gb a r.b = s* `b/r ĹŻ z c gb [ G gb e.+ 7 Us6 .&sb Ć&#x2039; z c gb Ä?- Ogb d&r 2y- [gb Hz7 b

pOcBr w6 z[b PBsb wV p"sgb r Cc i gcNr .&sb 2 - 61- i \ 6r ĹŽi É¤ Ć&#x203A; r Cc)X z& Ć&#x203A;= ĹŽ5Ć&#x153; G[j wV .&sb 2 - PG[y r w pkb ? z c gb a r.b lz z6 6Ä&#x201D; ZÄ&#x2018;Ob DO ! k 6 `k_gy dpV Ć&#x203A;i " ĹŽi "Ć&#x153;

â&#x20AC;Ťďş&#x2014;ďť&#x152;ďť ďť˘ Ř§ďť&#x;ďť¤ďş&#x2DC;ďť&#x201E;ďş&#x17D;ďş&#x2018;ďť&#x2DC;ďş&#x17D;ŘŞ Ů&#x2C6;Ř§ďť&#x;ďť¤ďť&#x152;ďş&#x17D;ŘŻďťťŘŞ Ř§ďť&#x;ďť¤ďş&#x153;ďť ďş&#x153;ďť´ďş&#x201D;â&#x20AC;Ź

!" Ů? â&#x20AC;ŤŘ§ďť&#x;ďť¤ďşźďť&#x201E;ďť ďş¤ďş&#x17D;ŘŞ Ř§'ďşłďş&#x17D;ďşłďť´â&#x20AC;Ź Ů? â&#x20AC;ŤŮ&#x2018;ďş&#x201D;â&#x20AC;Ź Equation

Identity

#$ M&"

Trigonometric Identities and Equations

3 456 $ #" 3 78 9: ; M < = 783 56 >? ,) & ; A ; B >& 3 )

!& C $ D E # F - . F G$ #$ M& 783 ' C ! H/ D 5I #$ M& $

d^ q U2OĂ&#x20AC; yÂ˝ t0b r z[z['b 2zS gb hzZ Pzg#b 'z'> yr 7 f wo : M

Ć&#x2039; yr 7 gb wV2F lf U2F Ć&#x2039; z[z['b i hzZ Pzg#b 'z'> [ G fĆ&#x201E;Ć&#x201E;i " É¤ Ć&#x203A;i - rĹ Ć&#x153; " :

# $ % :9: > 8 L K ; M 9 M 9: NL & O" 783 56 * >?

yr 7 gb m0o \[' w b z[z['b - .NÄ&#x201D; DO b 'z'> yr 7 f wo :

Ć&#x2039; p[['y Ä? t0b 2*Ä&#x2019; DO cb 'z'> 2zRr ]r Ĺ ĹŽÄż] Ç˝ iĆ&#x201E;Ć&#x201E;ĹŽĆ&#x201E; Ĺ&#x20AC;Ĺ = i " : ]rĹ ĹŽÄżĆ 2 Wb wb wg k w b r b- Ogb m0o \[' w b i hzZ : Ć&#x2039;H[V rĹ&#x2026;Ĺ&#x201E; ĹŽ rĹ&#x2026; wo

â&#x20AC;ŤŘ§'ŘŻŮ&#x2C6;Ř§ŘŞ Ů&#x2C6;Ř§ďť&#x;ďťŽďşłďş&#x17D;ďş&#x2039;ďť&#x17E;â&#x20AC;Ź

' ( #( F- ď&#x20AC;ł

Scientific calculator

' " #$ M&" /0 R ď&#x20AC;ł

â&#x20AC;ŤďşŁďş&#x17D;Ů&#x2C6;Ů&#x201E; ŘŁŮ&#x2020; ďş&#x2014;ďş¤ďť&#x17E;â&#x20AC;Ź

Ć&#x2039; [ G f d g py r b- Of d g z Ä&#x2019; ZÄ&#x2018;Ob lf t 1 Ĺ&#x201A; i J - = (i + rĹ&#x201A; Ć&#x153; J â&#x20AC;ŤŘ¨â&#x20AC;Ź = i " â&#x20AC;ŤŘŁâ&#x20AC;Ź Ĺ i " É¤ Ć&#x203A;i - rĆ&#x153; " â&#x20AC;ŤŘŻâ&#x20AC;Ź

' ( #$ M&( P&Q&- ď&#x20AC;ł

& & ' ( )

Ĺ Ĺ&#x20AC; Ć&#x2020;- = i J â&#x20AC;Ťďş&#x;â&#x20AC;Ź Ĺ&#x201A;

â&#x2C6;&#x2019;

' !" - -&" - #$ M&"

) * + ! -

" 8 P" $ - > ; - " 8 -

.( /0# 1(I '>Q65 ! - SL Q - T F !

/0# 3) '> U ; / H !" - > 83 H +

4! # 5) /+0 > 2 /+0 O" > 83 V &M WX /+0 83& MS V &I

Â˘SQĂłdG Ă¤GAGĂ´LEGď&#x20AC; ď&#x201A;¨ ĂłÂŤÂĄÂŞĂ dG Â˘ĂťbĂ&#x2030;fh Ă´Îźa

â&#x20AC;Ťďşďş?ďş&#x;ďť&#x160; ďťŁďť&#x160; ďť&#x192;ďťźďş&#x2018;ďť&#x161; ďş?ďť&#x;ďşŞďťďş?ďť? ďş?ďť&#x;ďť¤ďş&#x153;ďť ďş&#x153;ďť´ďş&#x201D; ďş?ďťˇďşłďş&#x17D;ďşłďť´ďş&#x201D; ďťďťŁďť&#x2DC;ďť ďťŽďş&#x2018;ďş&#x17D;ďş&#x2022; ďťŤďşŹŮ&#x2021;â&#x20AC;Ź â&#x20AC;Ťďş?ďť&#x;ďşŞďťďş?ďť? ďťďş?ďť&#x;ďť&#x152;ďťźďť&#x2014;ďş&#x201D; ďş&#x2018;ďť´ďťŚ ďť&#x203A;ďť&#x17E; ďşŠďş?ďť&#x;ďş&#x201D; ďťŁďş&#x153;ďť ďş&#x153;ďť´ďş&#x201D; ďş&#x192;ďşłďş&#x17D;ďşłďť´ďş&#x201D; ďťďťŁďť&#x2DC;ďť ďťŽďş? ďťŤďşŹŮ&#x2021;â&#x20AC;Ź .â&#x20AC;Ťďş?ďť&#x;ďşŞďş?ďť&#x;ďş&#x201D;â&#x20AC;Ź

â&#x2C6;&#x2019;

‫ &‪ #$ M‬‬ ‫ &‪ #$ M‬‬

‫اﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ا ﺳﺎﺳﻴﺔ‬

‫ ‪Ɗi gcNr p sc[fr z6 6Ĕ z c gb a r.b 61- i \ 6 -‬‬

‫‪Basic Trigonometric Identities‬‬

‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻣﻊ ﺇﻋﻄﺎﺀ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﺗﻮﺿﺢ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪ ɤƆƆƆ i JƄƄŮƄ iŀ Z = i "ƄƄŮƄ i Z‬‬ ‫" ‪= i‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫" ‪= i JƄƄŮƄ i " ɤƆƆƆƆƆƆi ZƄƄŮƄ i‬‬ ‫‪= i Z‬‬ ‫‪i J‬‬

‫‪i J‬‬

‫ ‪ ,‬‬

‫ ‪:6 ) 6 0 7! ! 8‬‬

‫ ‬ ‫ ‪ ,‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪i " ɤ ƛi - r‬‬ ‫" ‪Ł Ɯ "ƄƄŮƄƄi " ɤ ƛi - Ł Ɯ‬‬ ‫‪r Ɯ J‬‬ ‫‪i Z ɤƆƆƆƆƆƛi - r‬‬ ‫‪Ɯ ZƄƄŮƆƄƄ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ J ɤ ƛ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‬‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪i J ɤƆƆƆƆƛi - r‬‬ ‫‪Ł Ɯ JƄƄŮƆƆƆƄƄi Z ɤƆƆƆƛi - Ł Ɯ Z‬‬

‫ ) ‪Ɗi-ƄŮƄiƄ6 0 7 M‬‬ ‫ ‪: 9 93; 6) <.‬‬ ‫½ ‪(i-Ɯ " ɤ 5 Ů i " ɤ 5‬‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫‪C‬‬

‫‪i‬‬

‫ ‬

‫‪ 1‬أ‬ ‫ب‬ ‫ﺟ‬ ‫د‬

‫ ‬

‫‪i‬‬

‫ﻣ‬

‫ﻌﻠ‬

‫‪ i−‬‬

‫أ‬ ‫ﺿﻒ‬

‫ﻮﻣ‬

‫إﻟﻰ‬

‫ﺎﺗﻚ‬

‫‪6 0 7 ' M ) H +L‬‬ ‫‪8 ' M θ− ,θ‬‬ ‫ ‪ # & , 0 ( D 7‬‬ ‫ ‪PK.Q H& # RS H‬‬

‫ ‪ − ,‬‬

‫ ? > = ‪:‬‬

‫‪H‬‬

‫‪MD‬‬

‫‪:9TL 8 . ' DU‬‬

‫ ‪ i − cNO‬‬

‫)‪r ¶" / Ů C r :6 ! K ML 6‬‬ ‫ ‪ = ɤ /5 Ů5 ɤ /= :‬‬

‫ ‪ ,‬‬

‫½ = ‪(i-Ɯ " ɤ =- Ů i " ɤ‬‬

‫ ‬

‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬

‫" ‪i " ɤ ƛ i-Ɯ "ƄƄƄŮƄƄƄi " - = (i-Ɯ‬‬ ‫‪i Z ɤƄƄƛi-Ɯ ZƆƆƄƄƄŮƆƄƄƄi Z - = (i-Ɯ Z‬‬ ‫‪i J - ɤƆƄƛi-Ɯ JƆƆƄƄƄŮƄƄƄi J - = (i-Ɯ J‬‬

‫ ) ‪:@#-A ' M‬‬ ‫ !‪: B .- B(C 6) 4‬‬ ‫‪i D = ƄƄŮ i D = 6F G0- ƄƄ Ƅŀ = Ł= + Ł5‬‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‪ ,‬‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫‪C‬‬

‫‪i‬‬

‫ = ‪ŀ = i Ł " + i Ł " ƄƄ:‬‬

‫ ‪: = Ł H!F I H (I +‬‬ ‫‪ŀ Ł= Ł5‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪5 = Ł5 + Ł5‬‬ ‫ ‪ƄƊ J‬‬

‫‪i Ł Z ɤ i Ł J + ŀ‬‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪äGOÉ°TQEG‬‬

‫ ‪: = Ł= H!F I H (I +‬‬ ‫=‪Ł‬‬ ‫‪Ł5‬‬ ‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫=‪= = Ł= + Ł‬‬

‫ ‬

‫ ‪i Ł Z ɤ i Ł J + ŀ Ƅ: J‬‬

‫‪> > 83 H + − ; M V &I‬‬

‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺇﻋﻄﺎﺀ ﺑﻌﺾ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻮﺿﺢ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻣﻊ ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ ﻣﻨﻬﻢ ﻭﺗﺼﺤﻴﺢ ﻣﺎ ﻳﺮﺩ ﺑﻬﺎ ﻣﻦ ﺃﺧﻄﺎﺀ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﻓﻰ ﺣﻴﻨﻬﺎ‪.‬‬

‫ ‬

‫ ‪: > M VW‬‬ ‫ﺟﺎ ‪ * i‬ﺟﺘﺎ ‪،١ = i‬‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪ * i‬ﻗﺎ ‪١ = i‬‬ ‫ﻇﺎ ‪ * i‬ﻇﺘﺎ ‪ ١ = i‬ﻭﻫﻜﺬﺍ ‪.....‬‬ ‫ ‪: J‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ * ﻣﻘﻠﻮﺏ ﻫﺬه ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ = ‪١‬‬ ‫[‪ 0 7! ! X+Y > I (Z‬‬ ‫‪ (i ! r٢٣ ) ،(i + r‬ﺍﻟﺘﻰ ﺳﺒﻖ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺼﻞ‬ ‫)‪٢‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻷﻭﻝ‪.‬‬

‫ !‪6 I- M‬‬ ‫ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺃﻥ ﺗﻮﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺍﻟﻔﺎﺋﻘﻴﻦ ﺃﻥ ﺟﺘﺎ)‪ = (i-‬ﺟﺘﺎ ‪i‬‬ ‫ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﺣﻴﺚ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ‪ ،‬ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻬﺬه ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬ ‫ً‬ ‫ﻛﺎﻥ ﺟﺎ)‪- = (i-‬ﺟﺎ ‪ i‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﻭﻳﻜﻮﻥ‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ ﺣﻮﻝ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ‪.‬‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﺎﻫﺎ‬ ‫ً‬ ‫ ‬

‫ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﺟﺎ‪ +i ٢‬ﺟﺘﺎ‪١ = i ٢‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻵﺗﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺟﺎ‪ - ١ = i ٢‬ﺟﺘﺎ‪ ،i ٢‬ﺟﺘﺎ‪ - ١ = i ٢‬ﺟﺎ‪i ٢‬‬

‫ ‬

‫ﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ‪ + ١ :‬ﻇﺎ‪ = i ٢‬ﻗﺎ‪ i ٢‬ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻗﺎ‪ - i ٢‬ﻇﺎ‪ ،١ = i ٢‬ﻇﺎ‪ - i ٢‬ﻗﺎ‪١- = i ٢‬‬

‫ ‪> > 83 H + − Y ! H‬‬

‫ ‬

:i D ,i D Q Ů = i \ , = i \ 6F( X i " i "

i " i "

= i J ` ƄƄƄƄƄƄƄƄƄŮƄƄƄƄƄƄƄƄƄ

= i J `

:á«ã∏ãªdG ôjOÉ≤ªdG §«°ùÑJ Ƌ z6 6Ĕ z c gb [ G gb e .+ 6 `b/r Ů 1s> H7 wV pOBr so z c gb 2y- [gb Hz7 -s?[gb ‫ﻣـﺜـﺎل‬

:B#-S F+ H ^ Z 1

i " i " Ł – Ł(i " + i "Ɯ

‫ﻻﺣﻆ أن‬

‫اﻟﺤﻞ‬

i` D = ` i D = i D × i D

i " i " Ł – Ł(i " + i "Ɯ ‫أ‬

-I_ > ƄƄi " i " Ł – i " i " Ł + i Ł " + i Ł " ɤ 1 .[gb Ł F +X ƆƆƆƆƆƆ ƅƅ i " + i Ł " ɤƆƆƆƄƄƄƄ :@#-A M ) K XM ƄƄƄ ŀ ɤƆƆƆƄƄƄƄ Ɗwb b d_;b 'Bsgb zfs62b $f 2 b .& e .+ 6 $ kb lf \[' b l_gyr

i Ł J + ŀ ƄƄƊ 1s> H7 {V ^ i Ł J + ŀ

‫ﺍﻟﻤﻘﺼﻮﺩ ﺑﺘﺒﺴﻴﻂ ﺍﻟﻤﻘﺎﺩﻳﺮ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﺃﺑﺴﻂ‬ ‫ﺻﻮﺭﺓ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻃﺮﻕ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﻭﺍﻻﺧﺘﺼﺎﺭ‬ ‫ﻭﺍﻟﺪﻣﺞ ﻭﺍﻹﺑﺪﺍﻝ ﻭﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻊ ﻭﻏﻴﺮﻫﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﻮﺍﺹ‬ ‫ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ‬

‫ﺇﺫﺍ ﺗﻌﺬﺭﺕ ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺒﺴﻴﻂ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺗﺤﻮﻳﻞ‬ .‫ ﺛﻢ ﺍﻻﺧﺘﺼﺎﺭ ﻭﺍﻟﺘﺒﺴﻴﻂ‬i ‫ ﺟﺘﺎ‬،i ‫ﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺟﺎ‬

‫ﻟﻠﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺗﺒﺴﻴﻂ ﺍﻟﻤﻘﺎﺩﻳﺮ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻳﻤﻜﻦ ﺭﺳﻤﻬﺎ ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ‬ ‫ﻣﺴﺘﺨﺪ ًﻣﺎ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﺒﺮﺍﻣﺞ ﺍﻟﺮﺳﻮﻣﻴﺔ ﻭﺫﻟﻚ ﻟﻠﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ‬ .‫ﺇﺟﺎﺑﺘﻚ‬

:9TL 8 . ' DU

‫اﻟﺤﻞ‬ i Ł J + ŀ ƆƆƆƆƆƆ:#

i Ł J + ŀ

١ = i ٢‫ ﻇﺎ‬- i ٢‫أ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ = ﻗﺎ‬

i Ł Z ɤ 1 .[gb Ƅ:@#-A M ) K XM i Ł Z ŀ ŀ _ ɤƆƆƆƆƆƆƆƆƆƆƆƆƄƄƄƄ i Ł " i Ł " i Ł " i Ł J ɤ Ł = i " ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ɗ$ kb '> lf \[' h 1s> H7 wV z Ē 2y- [gb lf đ^ PB 2 r (i - Ł ) " (i -rŁƜ "

‫ب‬ (i - rŁ Ɯ Z ƛi - r Ł Ɯ "

‫ﺟ‬

i Ł J

ŀ - i Ł " ‫أ‬

١ = i ‫ = ﺟﺎ‬i ‫ * ﻗﺘﺎ‬i ‫ب ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ = ﺟﺎ‬ i ‫ﺟﺎ‬ ١ = i ‫ﺟ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ = ﺟﺘﺎ‬ i ‫ﺟﺘﺎ‬

−

‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ‬١٠٤) ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﺪﺍﻳﺔ ﺻﻔﺤﺔ‬ .‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻟﻴﺘﻌﺮﻑ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

#$ M&

: a 8 ) H ("b 9.

‫اﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

trigonometric identities

0 + ) d (M 6 L T 6 eX ! ) M ) TS ' XfU YF i " i "Ł = i Ł " : ! TS g F 6) K T !

` r`−

ra− `

r−

r− `

r `

ra `

`−

:6 6) 93 H X 93; 4&( i " i " Ł ɤ ƛ5ƜSƄƄŮƄƄi Ł " ɤ ƛ5Ɯ-

# H X 93; 9)h Ƌ [ G f 7zb ZđOb m0o i V `b0b Ůƛ5ƜS ! ƛ5Ɯ- J ůlz b .b \ G e.N .#j ` r`−

ra− `

r−

r− `

r `

`−

‫ﺗﺬﻛﺮ‬ = i` D + i ` D

ra `

Ɗis_ V 2W> ɤ i PBs `b/r y2 " `b/ lf \[' b l_gyr Ƌlz yr 7 f 2zR lz b .b i V `b0b Ŀ = (ĿƜ1 Ů ŀ = (ĿƜ i " i " Ł = i Ł " : 0 + H Y i " i " Ł ɤ ƛ5ƜSƄƄŮ i Ł " ɤ ƛ5Ɯ- PBs

ƛ5ƜS ɤ ƛ5Ɯ- J ůlz b .b wk'kf \ G d_;cb wj z b dz g b lf .#j Ƌ [ G f yr 7 gb m0o is_ `b0 r ‫ﻣـﺜـﺎل‬

i` D − = i ` D i` D − = i ` D

i " + ŀ =

i " i " - ŀ

: M TS eXf 3 ‫اﻟﺤﻞ‬

i "-ŀ i " - ŀ

(+0_ $(M = i " + ŀ =

i " i " - ŀ

ɤƆƆƆƆƄ6 0_ $(M

(i " - ŀ)(i " + ŀ) ɤƆƆƆƆƆƆƆƆƆƆƆƄƄƄƄƄ i " - ŀ

i ‫ ﺟﺎ‬+ ١ * i ٢‫ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ = ﺟﺘﺎ‬ i ‫ ﺟﺎ‬+ ١ i ‫ ﺟﺎ‬- ١ (i ‫ ﺟﺎ‬+ ١) i ٢‫( = ﺟﺘﺎ‬i ‫ ﺟﺎ‬+ ١) i ٢‫ = ﺟﺘﺎ‬ i ٢‫ﺟﺘﺎ‬ i ٢‫ ﺟﺎ‬- ١ i ‫ ﺟﺎ‬+ ١ = :‫ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﺗﺒﺪﺃ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ ﻛﺎﻵﺗﻰ‬ i ‫ ﺟﺎ‬- ١ * (i ‫ ﺟﺎ‬+ ١) = ‫ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ‬ i ‫ ﺟﺎ‬- ١ i ٢‫ = ﺟﺘﺎ‬i ٢‫ ﺟﺎ‬- ١ = i ‫ ﺟﺎ‬- ١ i ‫ ﺟﺎ‬- ١

‫ﻣـﺜـﺎل‬

i I i I = i \ + i \ : M TS eXf 4

ôªà°ùªdG º«≤àdG

‫اﻟﺤﻞ‬

i J + i J ɤƆƆƆƆƄ6 0_ $(M

i Ł " + i Ł " i " i "

i " i " i " + i " ɤƆƆƆƆƆƆƄƄƄƄƄƄ

=ƆƆƆƄƄƄƄƄƄƄ

(+0_ $(M = i Z i Z ɤƆƄƄƄƄƄƄƄ

ŀ i " i "

: Oc T S 9TL 8 . ' DU i ٢‫ * ﺟﺎ‬i ٤‫ * ﺟﺘﺎ‬i ٢‫ * ﺟﺎ‬i ٢‫ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ = ﺟﺘﺎ‬3 i ‫ﺟﺎ‬ i ٢‫ﺟﺎ‬ i ‫ﺟﺘﺎ‬ i ٤‫ = ﺟﺘﺎ‬ ٢

[

> > 83 H + − ; M V &I

−

‫ &‪ #$ M‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫)‪(i Ł " - ŀ)(i Ł " - ŀ‬‬ ‫‪: M TS eXf 3‬‬ ‫‪i Ł J‬‬

‫‪º««≤àdGh ÖjQóàdG‬‬ ‫ ‪i Ń " ɤ‬‬

‫‪:∂ª¡a øe ≥≤ëJ äÉHÉLEG‬‬ ‫‪ 1‬ﺏ‪ ،‬ﺟـ‪E ،‬‬ ‫ﺟﺎ ‪ i‬ﺟﺘﺎ ‪i‬‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫‪Ł‬‬ ‫ ‪ŀ - i Ł "Ł = i Ł J - ŀ : M TS eXf‬‬

‫‪5‬‬

‫‪i J + ŀ‬‬

‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪i Ł J - ŀ‬‬ ‫ ‪ ɤƄƄ6 0_ $(M‬‬ ‫‪i Ł J + ŀ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫‪ŀ ɤƆƆ ƄƄƄƄƄƄƄ‬‬ ‫ ‪= i J‬‬‫‪Ł‬‬

‫ ‬

‫‪-ŀ‬‬

‫ ‪i D ,i D H U 90-T‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫‪i Z‬‬

‫‪ŀ‬‬

‫" ‪i Ł‬‬ ‫" ‪i Ł‬‬

‫" ‪iŁ‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫" ‪i‬‬ ‫‬‫" ‪i Ł‬‬

‫ ‬

‫‪ ɤƆƆ Ɔ Ɔ ƆƄƄƄƄƄƄ‬‬

‫ ‬

‫‪(i " - ŀ) - i " ɤƆƆ Ɔ Ɔ ƆƄƄƄƄƄƄ‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫= ‪(+0_ $(M = ŀ - i Ł "Ł‬‬ ‫‪?a gcb t2* asc& ."s do Ƅǔƾ‬‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪Ɗ z Ē [ G gb lf d^ '> 4‬‬ ‫أ‬

‫‪i Ł J + ŀ‬‬

‫‪+ŀ‬‬

‫‪Ł‬‬

‫ﺟ ‪= (i J - i ZƜ‬‬

‫ب ‪i J‬‬ ‫‪ŀ = i J +‬‬ ‫‪i Z i Z‬‬

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬

‫‪º««≤àdG‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫‪Ł‬‬

‫ﺟ ‪i " Ł - ŀ‬‬

‫ب ‪ŀ - i " Ł‬‬

‫د ‪i " i "Ł + ŀ‬‬

‫‪:B#-S F+ H Lk (0 6) Z lW‬‬

‫‪: Lk ' M TS eXf 2‬‬ ‫أ‬

‫‪i J‬‬ ‫" ‪i " i‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪i Z i Z‬‬ ‫‪i J‬‬

‫ب‬

‫=‪ŀ‬‬

‫" ‪i ł " - i ł " ił " + i ł‬‬ ‫‪+‬‬ ‫" ‪i " - i‬‬ ‫" ‪i " + i‬‬

‫=‪Ł‬‬

‫‪1‬‬ ‫ ‬

‫‪ -‬ﺟﺘﺎ‪٢‬‬

‫= ‪ - ١‬ﺟﺎ ‪ - i‬ﺟﺘﺎ ‪ + ١ + i‬ﺟﺎ ‪ - i‬ﺟﺘﺎ ‪i‬‬ ‫= ‪ = ٢‬ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ‪.‬‬

‫‪i " - ŀ‬‬ ‫‪i " + ŀ‬‬

‫‪:hM* Dj R; Z 1‬‬ ‫" ‪Ɗtr 7 i Ł " + i Ł‬‬ ‫أ ‪ŀ‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ + i‬ﺟﺎ ‪ i‬ﺟﺘﺎ ‪(i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ب )ﺟﺘﺎ ‪ + i‬ﺟﺎ ‪i‬‬ ‫ﺟﺘﺎ‬ ‫ﺟﺎ‬ ‫‪i +i‬‬ ‫)ﺟﺎ ‪ - i‬ﺟﺘﺎ ‪)(i‬ﺟﺎ‪ + i ٢‬ﺟﺘﺎ‪ + i ٢‬ﺟﺎ ‪ i‬ﺟﺘﺎ ‪(i‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺟﺎ ‪ - i‬ﺟﺘﺎ ‪i‬‬ ‫()ﺟﺎ‪٢‬‬

‫‪Ł‬‬

‫ ‪i Ł J ɤ‬‬

‫‪١‬‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪i‬‬

‫*‬

‫‪١‬‬ ‫ﺟﺎ ‪i‬‬

‫ = ﺟﺘﺎ ‪ + i‬ﺟﺎ ‪١ = i‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫" ‪i‬‬ ‫* " ‪i Ł " - i Ł " ɤƆƆ i Ł‬‬

‫" ‪i Ł‬‬

‫‪i Ł J‬‬

‫أ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ =‬

‫ﺟﺎ ‪i‬‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪i‬‬

‫‪+‬‬

‫ﺟﺎ ‪i‬‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪i‬‬

‫أ ﺟﺘﺎ ‪ * i‬ﻗﺎ ‪i‬‬

‫ب ‪ + ١‬ﻇﺘﺎ ‪(i - ٩٠) ٢‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫ﺟ ﺟﺎ ‪ + i‬ﻇﺎ ‪ + i‬ﺟﺘﺎ ‪i‬‬ ‫د ﺟﺎ ‪ i‬ﺟﺘﺎ ‪) i‬ﻇﺎ ‪ + i‬ﻇﺘﺎ ‪(i‬‬ ‫ﻫ ﺟﺘﺎ ‪ + (i - r٢) ٢‬ﺟﺘﺎ ‪(i - r ) ٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﻋﻨﺪ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺻﺤﺔ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﺑﺄﻥ ﻳﺒﺪﺃ ﺑﺎﻟﻄﺮﻑ‬ ‫ﺍﻷﻛﺒﺮ ﻟﺘﺒﺴﻴﻄﻪ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﺻﻐﺮ‪.‬‬ ‫‪ n 8 ("b 9.‬‬ ‫ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ = ‪) - ١‬ﻗﺘﺎ‪ - ٢ * (١ - i ٢‬ﻗﺘﺎ‪i ٢‬‬ ‫ﻗﺘﺎ‪i ٢‬‬ ‫ﻗﺘﺎ‪i ٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ - ٢‬ﺟﺎ ‪ ٢ i‬ﺟﺘﺎ‪١ - i ٢‬‬ ‫=‬ ‫ =‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﺟﺎ ‪i‬‬ ‫‪ôªà°ùªdG º«≤àdG‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪: Oo T S 9TL 8 . ' DU‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺟﺘﺎ‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ 4‬أ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ = ﻗﺘﺎ‪ = ٢ = i ٢‬ﻇﺘﺎ‪i ٢‬‬ ‫ﻗﺎ ‪ i‬ﺟﺎ ‪i‬‬ ‫= ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ‬

‫‪٢‬‬

‫‪ 2‬ﺃﺛﺒﺖ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ‪:‬‬ ‫أ ﺟﺎ‪ + i ٢‬ﺟﺎ‪ i ٢‬ﻇﺎ‪ = i ٢‬ﻇﺎ‪i ٢‬‬ ‫ب ﺟﺘﺎ ‪ + i‬ﺟﺎ ‪ i‬ﻇﺎ ‪ = i‬ﻗﺎ ‪i‬‬ ‫ﺟ ﻗﺎ‪ + i ٢‬ﻗﺘﺎ‪ = i ٢‬ﻗﺎ‪ i ٢‬ﻗﺘﺎ‪i ٢‬‬

‫ ; ‪:6 C M! H WU U‬‬ ‫ﺿﻊ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ﺍﻵﺗﻰ ﻓﻰ ﺃﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ‪:‬‬ ‫ﺟﺎ ) ‪ (i + r٢٣‬ﻗﺎ )‪(i - r٢‬‬

‫ﺟﺘﺎ ‪i‬‬ ‫ﺟﺎ ‪i‬‬

‫ﺟﺎ‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪+ ii‬‬ ‫ب ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ =‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫*‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪ i‬ﺟﺎ ‪i‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ = ﺟﺎ‪ + i ٢‬ﺟﺘﺎ‪١ = i ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﺟﺎ ‪ - ١) ٢ i‬ﺟﺎ ‪(i‬‬ ‫(=‬ ‫‬‫ﺟ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ = )‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ - ١‬ﺟﺎ ‪i‬‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪ i‬ﺟﺘﺎ ‪i‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ - ١‬ﺟﺎ ‪i‬‬ ‫)‪ - ١‬ﺟﺎ ‪(i‬‬ ‫ =‬ ‫ =‬ ‫)‪ - ١‬ﺟﺎ ‪ + ١)(i‬ﺟﺘﺎ ‪ + ١ (i‬ﺟﺘﺎ ‪i‬‬ ‫ ‪> > 83 H + − Y ! H‬‬

‫[ ‬

2-5 ‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

2-5

Solving Trigonometric Equations

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

( C ! ) ! H\ ]2

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

^rX , ^ _`+ a C !( H

‫و‬

Solving Trigonometric Equations

‫ﻓﻜﺮ‬

y2 "Ɯ zj b "1.b r wbrĔ "1.b lf y2 #b Đ- Ogb d& k61- i \ 6 [ G gb j O 6Đ `b/r z c gb Đ- Ogb d'j Us6 51.b 0o wVr Ůƛ zÊ j z r ? z c gb Đ- Ogb d&r y2 #b Đ- Ogb d& lz q ; ."sy dpV Ů z6 6Ĕ ‫ﻋﻤﻞ ﺗﻌﺎوﻧﻰ‬

ُ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا'ﺳﺎﺳﻴ‬ ُ ‫ّﺔ‬ " !" Trigonometric equation General solution

) H

L&Đr ŀŁ ɤ = b .b r i " ɤ = z c gb b .b h61 wV ` đf3 .& Pf ]2 : ^2 ;gb gpOF [ H[j Ƌ ^2 ;gb gpOF [ E [j L&Đr ŀŁ = Ł= Ůi " ɤ ŀ= b .b wk'kf h61 -

?]rŁ ŮĿƠ {V ŀŁ = i " b- Ogcb đ& h^ - Ê ¹ ?wj z b d_;b {V ŀŁ = i " b- Ogcb t2* Đsc& ."s do i .#j z& ŀŁ = i " b- Ogb d& d gy wb b wj z b d_;b d?'j r Ł- r rŁ V B r ŮƠrŁ ŮĿ]ǽ i f.kN rłń Ů rł go iđ& pb b- Ogb

Ƌ b- Ogcb t2* asc& wcN

!" 9: b O" B C ! H C ! H c S ! 3 L & ,H B" d !. B" * R I E2 ": ,d !& B" >? _ M! _ &+ ;- O" >e * C 3 ! 3A ? ,f >6 d !& B" '783 56 cQ g& " 56 /

# $ %

r`−

ra− `

r−

‫ا'دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬

r− `

r `

ra `

' ( C ! ) ! H\ 3A 

" 8

General solution of the trigonometric equations ‫ﻣـﺜـﺎل‬

ł = i \ ‫ﺟ‬

:9: > 8 L K ; M 9 M 9: NL & O" 783 56 * >?

: Lk 'Q 6) 93 g 9T D 1 Ł ŀ = i D ‫أ‬ ‫ب‬ Ł Ł = i D

:_8 h >& ( C ! ) ! H\ 3A  b &i = a i , b &L = a L ,b &A = a A '_ M!" _`? a ( !( Hk 

& & ' ( )

> > 83 H + − ; M V &I

) H - " !"

) * + ! -

" 8 P" $ - > ; - " 8 -

.( /0# 1(I '> !& Y !& - >Q65 ! - SL Q - T F !

/0# 3) '> U ; / H" !" - > 83 H +

4! # 5) l /+0 > 2 /+0 O" > 83 V &M Wl /+0 83& MS V &I 'mR & n o " ! 3 M S

‫ﻓﻰ ﺍﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺇﻋﻄﺎﺀ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﺃﺧﺮﻯ‬ ‫ﺗﺘﻄﻠﺐ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺭﺳﻢ‬ :‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺎﺕ ﻭﻳﻤﻜﻨﻚ ﺇﻋﻄﺎﺀ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﺃﺧﺮﻯ ﻛﺎﻵﺗﻰ‬ ١ = i ‫ ﺟﺘﺎ‬، ١ = i ‫ ﻇﺎ‬، ١ = i ‫ﺟﺎ‬ ٢ ٢ ٢ .‫ﺛﻢ ﺗﻄﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﻞ ﻓﻰ ﻓﺘﺮﺍﺕ ﻣﺤﺪﺩﺓ‬ −

‫ ‪ C ! H‬‬

‫‪: O T S 9TL 8 . ' DU‬‬

‫اﻟﺤﻞ‬ ‫أ ‪ŀ = i " a‬‬ ‫‪Ł‬‬

‫ ‬

‫‪r‬‬

‫`‪Ņ =i‬‬

‫‪r iŁ + r‬‬ ‫ ‪Ņ ƄƄƄ so b- Ogcb e Ob d'b i t‬‬

‫ ‬

‫‪N ǽ i ŮƄƄƄr iŁ+ r + r‬‬ ‫ ‪Ņ -ƄƄƄr‬‬

‫ `‬

‫ ‬

‫`‪r‬‬

‫` ‪ra‬‬

‫ ‬ ‫‪Opn‬‬ ‫‪r‬‬

‫ ‬

‫` ‪r−‬‬

‫` ‪r‬‬

‫‪1‬‬

‫‪r−‬‬

‫‪r`−‬‬

‫` ‪ra−‬‬

‫‪ −‬‬

‫ ‬ ‫ ‪`−‬‬

‫‪Ł‬‬ ‫`‪r =i‬‬ ‫ب‬ ‫‪Ń‬‬ ‫‪Ł = i D a‬‬ ‫‪N ǽ i ƄƄƄŮƄƄ r‬‬ ‫!‬ ‫‪r‬‬ ‫ ‪ iŁ so b- Ogcb e Ob d'b i t‬‬ ‫ ‬ ‫‪Ń‬‬

‫ب ‪٢‬ﺟﺎ‪ - i ٢‬ﺟﺎ ‪٠ = i‬‬ ‫ﺟﺎ ‪٢) i‬ﺟﺎ ‪٠ = (١ - i‬‬ ‫ﺃﻣﺎ ﺟﺎ ‪ ، ٠ = i‬ﺟﺎ ‪١ = i‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢ + r‬ﻥ‪٢ + r٦٥ ،r‬ﻥ‪r‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻫﻮ‪ r :‬ﻥ ‪٦ ،‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫ ‪Opq‬‬

‫ ‬

‫`‪r‬‬

‫` ‪ra‬‬

‫‪r‬‬

‫` ‪r−‬‬

‫` ‪r‬‬

‫‪r−‬‬

‫` ‪ra−‬‬

‫‪r`−‬‬

‫ ‬

‫`‪r =i‬‬ ‫ﺟ ‪ł = i \ a‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫‪N ǽ iƄƄƄŮƄƄ ir + r‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪ł ƄƄ so b- Ogcb e Ob d'b i t‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪: Lk 'Q 6) 93 g 9T D 1‬‬ ‫‪ł‬‬

‫أ‬ ‫‪Ł = i D‬‬

‫ﺟ ﺟﺎ ‪ ٢ ) i‬ﺟﺘﺎ ‪٠ = (١ - i‬‬

‫‪ł‬‬

‫ب ‪ŀ = i DŁ‬‬

‫أ ﺟﺘﺎ ‪) i‬ﺟﺘﺎ‪٠ = (١ - i‬‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪ ٠ = i‬ﺃﻭ ﺟﺘﺎ ‪١ = i‬‬ ‫‪ + r‬ﻥ‪٢ ، r‬ﻥ‪ r‬ﺣﻴﺚ ﻥ ∋ ‪.N‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻫﻮ ‪٢‬‬

‫ﺟ‬ ‫\ ‪Ł = i‬‬

‫ﺃﻣﺎ ﺟﺎ ‪ ، ٠ = i‬ﺟﺎ ‪١ = i‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٢ + r‬ﻥ‪٢ + ٨ ،r‬ﻥ‪r‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻫﻮ‪ r :‬ﻥ ‪٤ ،‬‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪ł‬‬ ‫‪i D Ł = i D i D : ! g 9T D 2‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫‪ł‬‬

‫" ‪Ŀ = i " Ł - i " i‬‬

‫‪ )U‬‬

‫ ‬

‫‪ł‬‬

‫" ‪Ŀ ɤƄƄƛ Ł - i "Ɯ i‬‬ ‫‪ł‬‬ ‫ ‪Ŀ = Ł - i " r‬‬

‫" ‪Ŀ = i‬‬

‫‪ł‬‬

‫" ‪Ł ɤƄ ƄƄi‬‬

‫‪ ŮƄĿ ɤƄi Ƅ‬‬

‫ ‪ ! g 9T‬‬

‫‪ X‬‬

‫‪z& r i ɤƄi‬‬

‫‪r ɤ ƄƄƄiƄƄ‬‬ ‫‪Ņ‬‬ ‫ ‪N ǽ i‬‬

‫‪z& riŁ + r‬‬ ‫‪Ņ ! ɤ ƄƄƄiƄƄ‬‬

‫ ‪N ǽ i‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫ﻓﻰ ﻣﺜﺎﻝ )‪ (١‬ﻻﺣﻆ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺍﻷﺧﻄﺎﺀ ﺍﻟﺸﺎﺋﻌﺔ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺗﺒﺴﻴﻂ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ‪ ،‬ﻓﻔﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪:‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺟﺎ ‪ i‬ﺟﺘﺎ ‪ ٢ = i‬ﺟﺎ ‪ i‬ﻻ ﻳﺠﻮﺯ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺟﺎ ‪ i‬ﻷﻧﻬﺎ‬

‫ﻓﻤﺜﻼ ﺟﺎ ‪ ٠ = i‬ﻟﻬﺎ ﻗﻴﻢ ﻣﺘﻌﺪﺩﺓ ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫ﻗﺪ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺼﻔﺮ ً‬

‫‪ = i‬ﻥ‪ ،r‬ﺣﻴﺚ ﻥ ∋ ‪ .N‬ﻭﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﻳﻮﺿﺢ ﺫﻟﻚ‪.‬‬ ‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪: I ( 3 L DU‬‬ ‫ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻣﺜﻠﻬﺎ ﻣﺜﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ﻗﺪ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﻬﺎ ﺣﻠﻮﻝ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻭﻗﺪ ﻻ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﻬﺎ‬ ‫ﺣﻠﻮﻝ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‪ ،‬ﻭﻣﻦ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ‬ ‫ﺣﻠﻮﻝ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ :‬ﺟﺎ ‪ ، ٣ = i‬ﻗﺎ ‪١ = i‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪hM* ^Y L‬‬ ‫ ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ ﺃﻧﻪ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻢ ﺯﺍﻭﻳﺔ ‪٠‬‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ :‬ﺟﺎ‪ = i‬ﺟﺘﺎ ‪ c١٥‬ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫‪ c٩٠ = c١٥ + i‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪c٧٥ = i‬‬ ‫ﺃﻭ ‪ c٩٠ = c١٥ - i‬ﺃﻯ ﺃﻥ ‪c١٠٥ = i‬‬ ‫ ‬

‫ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ∋ i‬ﺡ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻫﻮ‪:‬‬ ‫‪ c٣٦٠ + c٧٥‬ﻥ ﺃﻭ ‪ c٣٦٠ + c١٠٥‬ﻥ‬ ‫ ‪Pr H 8-!T 6) HC d Q F D-0 s J‬‬

‫‪äGOÉ°TQEG‬‬

‫ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺇﻧﻪ ﻋﻨﺪ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻘﺎﻃﻊ‬ ‫ﻭﻗﺎﻃﻊ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ ﻭﺍﻟﻈﻞ ﻭﻇﻞ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ‪ ،‬ﺗﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ ﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﺒﺮﺍﻣﺞ ﺍﻟﺮﺳﻮﻣﻴﺔ‬ ‫ﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﻣﻄﺎﺑﻘﺘﻬﺎ ﻣﻊ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻠﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﺻﺤﺘﻪ‪.‬‬ ‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻥ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻇﺎ ‪ = a‬ﻇﺘﺎ ‪ ، b‬ﻳﺨﺘﻠﻒ ﻋﻦ‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺟﺎ ‪ = a‬ﺟﺘﺎ ‪ ،b‬ﻗﺎ ‪ = a‬ﻗﺘﺎ ‪ b‬ﻣﻊ ﺍﻟﺘﺄﻛﻴﺪ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺷﺮﻭﻁ ﺍﻟﺤﻞ‪.‬‬

‫ ‪> > 83 H + − Y ! H‬‬

‫ ‪ Z‬‬

C ! H

Ƌ b- Ogb d& lf 4" d gy wb b wj z b d_;b r ¹

r`−

ra− `

r−

r− `

r `

ra `

Ƌ c f `b/ (Br ? z[z[& asc& pb z c gb Đ- Ogb Pzg" i 1r2Cb do ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ŀ = i " - i " i " Ł ƆƆ ‫ﺟ‬

cŀŇĿ > i > cĿƄƄƄ j ^ / ƄƄƄƄĿ = i " ŀŁ - i " i " Ɗ b- Ogb d& 3 ‫اﻟﺤﻞ‬ 9 !T Ŀ = ( ŀŁ - i "Ɯi " ŀ = i "ƄƄƄƄƄƄr Ŀ = i " Ł cŀńĿƄƄƄƄƄƄr ƄƄƄƄƄƄcłĿ = iƄƄƄƄƄƄr

cňĿ = i

cŀńĿƄƄƄƄƄr ƆƆƄƄƄƄcňĿƄƄƄƄr ƄƄƄƄƄcłĿƄ:H% 9. ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ɗ z Ē Đ- Ogb lf d^ d& Nsg#f ."r V cłŅĿ H i > cĿ j ^ / 3 Ŀ = i " i " ł – i Ł " Ń ‫ب‬ Ŀ = i " ł + i " i " Ł ‫أ‬

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ Ƌ i y- 2b z Ē Đ- Ogb lf d_b e Ob d'b ."r 4 Ŀ = ł - i " Ł ‫ﺟ‬

i Ł " ɤ i " ‫ب‬

ŀ = i J ‫أ‬

> > 83 H + − ; M V &I

١ = i ‫ ﻇﺎ‬i ‫ ﻭﻛﺎﻧﺖ ﺟﺘﺎ‬c٣٦٠ > i > c٩٠ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬2 ٢ :‫ ﺗﺴﺎﻭﻯ‬i ‫ﻓﺈﻥ‬

c١٥٠ ‫ب‬ c٢٤٠ ‫د‬

c١٢٠ ‫أ‬ c٢١٠ ‫ﺟ‬

‫ ﻓﺈﻥ‬c٣٦٠ > i > c٩٠ ‫ ﺣﻴﺚ‬i ‫ = ﺟﺘﺎ‬i ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺟﺎ‬3 :‫ ﺗﺴﺎﻭﻯ‬i c٢٢٥ ‫ب‬ c١٣٥ ‫أ‬ c٣٠٠ ‫ﺟ‬ c٣١٥ ‫د‬

[r٢ ،r ،٠] ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

6 I- M! H WU U ; [r٢ ،c٠] ∋ a ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬ :‫ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ a ‫ = ﺟﺎ‬a ‫ﻇﺎ‬

9TL 8 . ' DU r ‫ أ‬1 N ∋ ‫ ﻥ‬، r٣٢ + r + ٣ - ‫ﻥ ﺃﻭ‬r٢ + r ٣ ‫ب‬ N ∋ ‫ ﻥ‬، r ٣ ! ‫ﻥ‬r٢ ‫ﺟ‬ N ∋ ‫ ﻥ‬، ‫ﻥ‬r + r ٦ ٠ = (٣ + i‫ﺟﺎ‬٢) i ‫ أ ﺟﺘﺎ‬2 c٢٧٠ ،c٩٠ = i ` ٠ = i ‫ ﺟﺘﺎ‬: ‫ﺇﻣﺎ‬ ٣- = i ‫ ﺟﺎ‬٢ ٣ - = i ‫ﺟﺎ‬ ٢ ‫ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﺣﻠﻮﻝ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ {c٢٧٠ ،c٩٠} ‫` ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ‬ ٠ = (i ‫ﺟﺘﺎ‬٣ - i ‫ ﺟﺎ‬٤) i ‫ب ﺟﺎ‬ ١٨٠ ، ٠ = i ‫ ﺃﻱ‬٠ = i ‫ﺟﺎ‬ i ‫ ﺟﺘﺎ‬٣ = i ‫ ﺟﺎ‬٤ : ‫ﺃﻭ‬ ٣ = i ‫` ﻇﺎ‬ ٣ = i ‫ﺟﺎ‬ ٤ ٤ i ‫ﺟﺘﺎ‬ c٢١٦َ ٥٢ً ١٢ = i ، c٣٦َ ٥٢ً ١٢ = i :‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻫﻰ‬ {c٢١٦َ ٥٢ً ١٢ ،c٣٦َ ٥٢ً ١٢ ،١٨٠ ،٠}

º««≤àdGh ÖjQóàdG :> d 6) K TL ' DU

‫أ‬ r ‫ﻥ‬٢ + r ٤ ‫ب‬ N ∋ ‫ ﻥ‬، ‫ ﻥ‬r٢ + r ٢ =i!i٢ r = i ‫ ﺃﻭ‬r = i ‫ ﺃﻯ‬r = i ٣ ٢ ٦ ٢ r r ‫ﻥ‬٢ + r ٢ ‫ ﺃﻭ‬r ‫ﻥ‬٢ + ٦ :-% g 9T

٣ ‫ﺟ‬ i ‫ ﺃﻭ‬r ٣ = i ‫ ﺃﻯ‬٢ = i ‫ﺟﺎ‬ r r ‫ﻥ‬٢+r + r ٣ - ‫ ﺃﻭ‬r ‫ﻥ‬٢ + ٣ :‫ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻫﻮ‬ N∋‫ﻥ‬ º««≤àdG :B M ' Dj 6 6) T T5 Dj ( "

‫ ﻓﺈﻥ‬٠ = ١ - i ‫ ﺟﺎ‬٢ ‫ ﻭﻛﺎﻥ‬r > i > r ٢ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬1 :‫( ﺗﺴﺎﻭﻯ‬ic)X r ‫ب‬ r ‫أ‬ ٣ ٦ r٥ ‫د‬ r٢ ‫ﺟ‬ ٦ ٣ −

3-5 ‫ﺣﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ‬

‫ﺣﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ‬

Solving the Right angled triangle

!" ? n $ 0 Q - p c q Ye # b 9: VrM s

>? . I *Q" ur : 1r1 9 . 9 & v , e # q > 2 D E w An *B 4 0 Q B 2 >Q! b H ,b 'HL > ur 3 : I 6 63 : O I T ? . O" 3$C

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

:9: > 8 L K ; M 9 M 9: NL & O" 783 56 * >?

& & ' ( )

‫اﻟﺤﻞ‬

Ɗ MD c X D- Ƅ:Q

C ¶" ɤ ¶" J a

4& aN

Solution of a tringle

b ( H

: -30 X& T k g * & cłŁ ¼ ŀĿ ¹ ŀņ ɤ ƛ¶" c) XƆ Ɔ ƆƄ

Shift

Tan-1

Ans

c,,,

'> !& Y !& - SL Q - T F !

/0# 3) > 83 H +

4! # 5) /+0 > 2 y /+0 O" > 83 V &M WW /+0 > 2 Wy /+0 O" 83& MS V &I 'mR & n o " ! 3 M S

¢SQódG äGAGôLEG ¢ûbÉfh ôμa

> > 83 H + − Y ! H

–

c,,,

łň = cłŁ ¼ ŀĿ ¹ ŀņ " a ¶" C

c,,,

: C c X D- cńņ ¼ Ńň ¹ Ńł = cłŁ ¼ ŀĿ ¹ ŀņ – cňĿ = (C c) X Ɗw Ē ^ 6 'b e .+ 6 l_ggb lf r

.( /0# 1(I

ُ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا'ﺳﺎﺳﻴ‬ ُ ‫ّﺔ‬

ĿŬŅŁňĿłŁŁńŇŀ - łň ŅŁ ɤ ¶" J `

4& c`

.‫ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺘﺴﺎﻭﻯ ﻃﻮﻻ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻓﻴﻪ‬

" ! $ q Ye # b ( H 3 2 7 L c r : 3 : I '_ \ 4 v

‫ﻣـﺜـﺎل‬

) * + ! -

" ! $ q Ye # b ( H 'x! z I

P4&c` = MD ,4& aN = C s t? H 0 7 4C MD C u! 9. 1

b " H

،‫ﺭﺍﺟﻊ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﻭﺻ ًﻔﺎ‬ ‫ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺛﻢ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻪ‬ .‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺗﻴﻦ ﻭﺃﻃﻮﺍﻝ ﺃﺿﻼﻋﻪ‬

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﻓﻜﺮ‬

'x! C I cQ" Y E2 q Ye # b ( Hk 

' v 7 L N I cQ" Y E2 q Ye # b ( Hk 

‫و‬

wkOy c gb d&r Ů đ b m y r3r đ b qNđB wo 2> kN 6 c gcb i hcOj f V2Of e4cy qj V yr 4b h Z c gb i ^ / r Ů 7b m2> kN 6 zZ - #y Ƌlz - 'b qz yr 3 t.& 5 zZr qNđB .& asF r qzV lzOcB wbsF

# $ %

3-5

Solving the Right Angled Triangle

‫ا'دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬

c,,,

¶" C :8-I D- Ƅ: f C ɤ ¶" " a ¶" C −

‫ ‬

‫ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻨﺴﺐ ﺑﻴﻦ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﺇﺣﺪﻯ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻪ ﺍﻟﺤﺎﺩﺗﻴﻦ ‪.c٤٥ ،c٦٠ ،c٣٠‬‬

‫ ‬

‫ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺙ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺃﺿﻼﻋﻪ‬

‫ ‪ q Ye # b H‬‬

‫=‬

‫)‬

‫‪ ɤ ¶" CƄƄis_zV‬‬

‫‪c,,,‬‬

‫‪7‬‬

‫‪łň‬‬

‫" ‪cłŁ ŀĿ ŀņ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪c,,,‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪c,,,‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪sin‬‬

‫÷‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪$‬‬

‫‪h6 ņłŬŁŃńŇŀŀŁŃ -‬‬

‫‪Ƅǔƾ‬‬

‫½ ‪Ƌ ."r i a r.b m0o 2^/ ? ¶" C asF - #y pG 6 s PzG 7 t2* z c f a r- ."s do‬‬ ‫½ ‪Ƌ`b/ `k_f i d'b sG* ^ ? ¶" C asF - #yĖ 1sR zV y2Kk j O 6Đ `k_gy do‬‬ ‫½ ‪? / gb ? z c gb a r.b t.& e .+ 6 e ¶" C asF - #yĖ 1sR zV y2Kj e .+ 6 dCW gpy‬‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪Ɗ lz z Ē lz b 'b wV wV yr 4b h [b ¶" C c gb d& 1‬‬ ‫ب "¶ ‪h6 ŀł ɤ ¶" CƄŮƄh6 ń ɤ‬‬ ‫أ ‪ h6 ŀŁ ɤ ¶" ƄŮƄh6 Ň ɤ C‬‬

‫‪äGOÉ°TQEG‬‬ ‫ ‬

‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﺍﻳﺎه ﻷﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻓﻰ ﻫﺬه ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻋﺪﺩ‬ ‫ﻻﻧﻬﺎﺋﻰ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﺔ‪.‬‬

‫ ‬

‫ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺨﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ ﺃﺣﺪ‬ ‫ﻗﻄﺮﺍ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ‪.‬‬ ‫ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ً‬

‫ ‬

‫ﺩﺭﺏ ﻃﻼﺑﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﻻﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻟﻶﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﻮﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺃﻭ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺘﻪ‪.‬‬

‫ ‬

‫ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﻘﻮﺍﻋﺪ ﺍﻟﺘﻘﺮﻳﺐ ﺇﻟﻰ ﺃﻗﺮﺏ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﺃﻭ‬ ‫ﻟﻌﺪﺩ ﻣﺤﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ‪.‬‬

‫ ‬

‫ﺫﻛﺮ ﻃﻼﺑﻚ ﺑﺎﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺮﺑﻂ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﺍﻳﺎ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻣﻊ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺃﺿﻼﻋﻪ‪ ،‬ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ‬ ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻨﺎﺳﺒﺔ ﻣﻨﻬﺎ‪.‬‬

‫ ‬

‫ﺳﻮﺍﺀ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻟﻢ ﺗﺬﻛﺮ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻋﺪﺩ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﺘﻘﺮﻳﺐ‬ ‫ً‬ ‫ﺻﺤﻴﺤﺔ ﺃﻭ ﻋﺸﺮﻳﺔ‪ ،‬ﺗﻘﺮﺏ ﺣﺘﻰ ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻋﺸﺮﻳﺔ‪.‬‬

‫‪ájhGR ¢SÉ«bh ™∏°V ∫ƒW ¬æe º∏Y GPEG ájhGõdG ºFÉ≤dG å∏ãªdG πM‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪Ƌlzy2;N lzgZ2b $ kb ¹ 2[f Ůh6 ŀŅ ɤ C ŮcŅŁ ɤ ƛ ¶" c) X z& Ů wV yr 4b h [b ¶" C c gb d& 2‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫ ‪ƊƛC c) X D-‬‬ ‫‪cŁŇ = cŅŁ – cňĿ = (C c) X‬‬ ‫ ‪: ¶" 8-I D-‬‬ ‫‪ŀŅ‬‬ ‫‪ C ɤ ¶" JƄa‬‬ ‫ "¶ ‪is_zVƄ ¶" = cŅŁ J : J ƄƄƄƄ‬‬ ‫ ‬

‫ "¶ * ‪ŀŅ = cŅŁ J‬‬

‫ ‬

‫ "¶ ‪ h6 ŇŬńŀ - ŇŬńĿņłńĿňĿņ = ŀŅ ɤ‬‬ ‫‪cŅŁ J‬‬ ‫ ‪: ¶" C 8-I D-‬‬ ‫‪ŀŅ‬‬ ‫ ‬ ‫‪= cŅŁ " : J ƄƄƄƄ C ɤ ¶" "Ƅa‬‬ ‫‪¶" C‬‬

‫‪C‬‬ ‫?‬ ‫?‬

‫‪4& c‬‬

‫ ‬

‫?‬

‫`‪cc‬‬

‫‪MD‬‬

‫‪¶" C‬‬

‫‪ŀŅ = cŅŁ " ɢ ¶" C‬‬ ‫‪ h6 ŀŇŬŀŁ - ŀŇŬŀŁŀŀŁĿŇŀ = ŀŅ ɤ ¶" C‬‬ ‫" ‪cŅŁ‬‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪Ɗlz z Ē lz b 'b wV wV yr 4b h [b ¶" C c gb d& 2‬‬ ‫ب ‪cńł /ŀŁ = (C c) XƄŮƄh6 ŁŅ ɤ ¶" C‬‬ ‫أ ‪cłŃ ɤ ƛ ¶" c) XƄŮƄh6 Ň ɤ C‬‬ ‫‪> > 83 H + − ; M V &I‬‬

‫‪ôªà°ùe º««≤J‬‬ ‫‪:ôμa :óæH‬‬

‫‪ 1‬ﻧﻌﻢ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻹﻳﺠﺎﺩ‬ ‫ﻃﻮﻝ ‪ C‬ﺟـ ﺑﺎﺳﺘﺜﻨﺎﺀ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻈﻞ ﻭﻇﻞ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﻧﻌﻢ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺙ ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ C‬ﺟـ = )‪(٣٩) + ٢(٦٢‬‬ ‫‪ 3‬ﻧﻔﻀﻞ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺙ ﻷﻧﻪ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺤﺘﻤﻞ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺇﺣﺪﻯ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ ﺧﻄﺄ ﺃﻭ ﻟﻴﺴﺖ‬ ‫ﺑﺎﻟﺪﻗﺔ ﺍﻟﻜﺎﻓﻴﺔ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻟﻠﺘﻘﺮﻳﺐ‪.‬‬

‫‪ Zy‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪ W‬‬

q Ye # b H

٣٦ َ ٤٨ = (Cc)X ‫ب‬

ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ

Ƌ ` " 27V ?lz - 'b qz yr 3 zfscOg yr 4b h [b c gb d& l_gy do

‫ ﺏ‬C = ٥٣َ ١٢ ‫ﺟﺎ‬ ٢٦

‫ﻣـﺜـﺎل‬

ŮcŀŀĿ p6 zZ y4^2f yr 3 d [y 2 r pzV h61 Ůh6 ņ o2GZ X?j asF 2 - ǶƒŻŏǭǤģś ƤśƄǤĝ 3 Ƌ y2;N e Z1 đ 2ZĔ 2 sb 0o asF 7&

‫ﺳﻢ‬٢٠٫٨٢ - ‫ ﺏ‬C

‫اﻟﺤﻞ‬

C = E e h62j :9 93; H

‫ﺳﻢ‬١٥٫٧ - ‫ﺏ ﺟـ‬

C R5 Y) M :B(C -" 6)

cńń = Ł _ cŀŀĿ = (E e C c) X

cnn

: q T S I ( 3 L ' DU .‫ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺫﻟﻚ ﻷﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﻛﺒﻴﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﺔ‬ ١٢ = ٣٧ ‫ ﺟﺘﺎ‬3 H٢ ٦ ‫ﺳﻢ‬٧٫٥١ - ٣٧ ‫ = ﺟﺘﺎ‬H

: 0 7 4C e E C u! H E C 8-I D-

^ R0( L 6)

º««≤àdG

:‫ ﺏ ﺟـ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺏ ﻭﺍﻟﺬﻯ ﻓﻴﻪ‬C ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬1 ‫ﺳﻢ‬١٥٫٤ = ‫ ﺏ ﺟـ‬، ‫ﺳﻢ‬١٢٫٦ = ‫أ ﺏ ﺟـ‬ ‫ﺳﻢ‬٣٥ = ‫ ﺟـ‬C ، ‫ﺳﻢ‬٢١ = ‫ب ﺏ ﺟـ‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ g

caq

, d (MI C , g %7Z() B(C 9 93; 6 X0 ǶƒŻŏǭǤģś ƤśƄǤĝ 3 PB(C (MI R5 8-I D h caq = (C c) X ,4& ` = MDC Z [= P6 0(;F 6 I# (I_

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ yr 4b h Z c gb i Ůh6 ŁňŬň ɤ M 5 Ůh6 ŁņŬŅ ɤ M = Ůh6 ŀŀŬń ɤ = 5 qzV c f M = 5 1 5 yr 3 5 zZ ."r h Ů= wV asF 7& cŀĿŇ p6 zZ y4^2f yr 3 d [y 2 r pzV h61 Ůh6 Ņ o2GZ X?j asF 2 - ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ 2 Ƌlzy2;N lzgZ1 2ZĔ $ kb ¹ 2[f 2 sb 0o

−

.‫ ﻃﻮﻝ ﺏ ﺟـ‬، ‫ ﺟـ‬C ‫ ﻃﻮﻝ‬:Q

‫( ﻣﻦ‬١١٥) ،(١١٤) ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻓﻰ ﺻﻔﺤﺘﻰ‬ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺣﻞ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ‬ .‫( ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‬٣) ،(٢) ‫ﺗﺤﻞ ﺃﺭﻗﺎﻡ‬ : c T S 9TL 8 . DU .‫ﺳﻢ‬١٤٫٤٢٢٢ ،c٥٦َ ١٨ً ٣٦ ،c٣٣َ ٤١ً ٢٤ ‫أ‬

‫ﺳﻢ‬١٢ ،c٢٢َ ٣٧ً ١٢ ،c٦٧َ ٢٢ً ٤٩ ‫ب‬ c٥٦ = (Cc)X ‫أ‬ ‫ﺳﻢ‬١٤٫٣١ - ‫ ﺟـ‬C ` ‫ﺳﻢ‬١١٫٨٦ - ‫` ﺏ ﺟـ‬

‫ ﺏ ﺟـ‬C ‫ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬: f ‫ ﺟـ‬C ‫ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ﺏ ﻋﻠﻰ‬: f

‫ﺳﻢ‬٣٦ = ‫ ﺟـ‬C ، E٠٫٤١٥ = (‫ﺟـ‬c)X ‫ب‬ 6 C M! H WU U ; ،‫ﺳﻢ‬٢٠ = ‫ ﺟـ‬C ‫ ﻓﻴﻪ‬،‫ ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺏ‬C :‫ ﺃﻭﺟﺪ‬c٣٠ = (‫ﺟـ‬c)X

h6 ŀŀŬŃŅŇ - ŀŀŬŃŅŇŀŁŇŅŁ = ńŬņłŃĿŅŃłŀɢŁ ɤ C : J MD

:‫ ﺏ ﺟـ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺏ ﻭﺍﻟﺬﻯ ﻓﻴﻪ‬C ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬2 ‫ﺳﻢ‬١٥٫٤ = ‫ ﺏ ﺟـ‬، E٠٫٧٤٣ = (Cc)X ‫أ‬

E C * Ł ɤ C : C 8-I 0U

‫ ﻡ‬C = c٥٤ ‫ ﺟﺎ‬2 ٦

‫ﺳﻢ‬٤٫٨٥ - c٥٤ ‫ ﺟﺎ‬٦ = ‫ ﻡ‬C .‫ ﺳﻢ‬٩٫٧١ = ‫ ﺏ‬C

Ɗ 6 M&- (W 9S . = 6 (M (W 9S . h6 ńŬņłŃĿŅŃłŀ - cńń " ɢ ņ = E CƆƆƆƄƄƄƄƄƄƄƄ

º««≤àdGh ÖjQóàdG :> d 6) K TL ' DU c٦٧َ ٢٢ً ٤٩ 1

EC e C = (E e CƜ " E C =c ńń " : J ņ

> > 83 H + − Y ! H

٨ = c٣٤ ‫ﺟﺎ‬ ‫ ﺟـ‬C ٨ ‫ = ﺏ ﺟـ‬c٣٤ ‫ﻇﺎ‬

4-5 тАл╪▓┘И╪зя╗│я║О ╪зя╗╗╪▒я║Чя╗Фя║О╪╣ ┘И╪▓┘И╪зя╗│я║О ╪зя╗╗я╗зя║ия╗Фя║О╪╢тАм

4-5

Angles of Elevation and Angles of Depression

тАля║│я╗о┘Б я║Чя║Шя╗Мя╗ая╗втАм

тАля╗зя║Оя╗Чя║╢тАм

'F +{ C u +.8C v ) *+" q Ye # b ( ) 3{& u +.8C v O g&. He -" H\ 'F +{ C

тАл┘ИтАм

Angel of Elevation and Depression

тАля╗Уя╗Ья║отАм

fscOf V 7f pkN .O j r A1─Ф (G6 lN qj/ f M W 1 ."s i `k_gy do ?qj/ gb m0o asGb wcOWb 5 z[b es[ i ir-

тАл╪▓┘И╪зя╗│я║О ╪зя╗╗╪▒я║Чя╗Фя║О╪╣ ┘И╪зя╗╗я╗зя║ия╗Фя║О╪╢тАм

тАля║Чя╗Мя╗ая╗втАм

Angles of Elevation and Angles of Depression

u +.8 v

Angle of Elevation

F +{ v Angle of Depression

(

S 6 F

6 F

w L#Q 0 y H _ w ;

S ( C

dW6 - G[j C @+: .>1 / r -┬Ы i V C w[V─Ф m2Kj ts 7f lf wg7 - C ┼о C lz yr 4b ts 7gb lN - A W+j yr 3 ╞ЛC @+;b 2Kkb w[V─Ф

тАл╪з'╪п┘И╪з╪к ┘И╪зя╗Яя╗оя║│я║Оя║Ля╗ЮтАм

E H _ ({Y J- +)

* z C

┘П тАл╪зя╗Яя╗дя║╝я╗Дя╗ая║дя║О╪к ╪з'я║│я║Оя║│я╗┤тАм ┘П тАл┘Ся║ФтАм

тАл╪▓┘И╪зя╗│я║О ╪зя╗╗╪▒я║Чя╗Фя║О╪╣ ┘И╪▓┘И╪зя╗│я║О ╪зя╗╗я╗зя║ия╗Фя║О╪╢тАм

y 0

H _ ({Y J- +) MD

wcN ┬╢" G[j C @+: .>1 / -┬Ъ i V C w[V─Ф m2Kj ts 7f lf wg7 ┬╢" C ┼о C lz yr 4b ts 7gb lN ┬╢" M W 1 yr 3 ╞ЛC @+;b 2Kkb w[V─Ф

H _ w ;

6 F C S ( S

z * _ 0 y F 4+ 6 9S

( 6

w x

:9 93; H -┬Ь M W 1 yr 3 wo C ┬╢" c ┬╜ ╞ЛC .kN @+;cb 7kb isb b A W+j yr 3 wo C E c ┬╜ wVr isb cb 7kb C .kN @+;b b = | ╞Кis_y b 'b m0o

> > 83 H + тИТ ; M V &I

783 56 &! q Ye # b H 78 >? ; M < ' q Ye # b H > #K M. mF +{ C u +.8C vo

# $ % :9: > 8 L K ; M 9 M 9: NL & O" 56 * >? 'F +{ C u +.8C v ) *+" |83 яА│

'F +{ C u +.8C v x$ Lr! x яА│ u +.8C v O g&. He -" H\ q Ye # b ( )3{&- яА│ 'F +{ C

& & ' ( ) F +{ v - u +.8 v

) * + ! -

.( /0# 1(I '>Q65 ! - SL Q - T F !

/0# 3) > 83 H +

4! # 5) [ /+0 > 2 /+0 O" > 83 V &M W /+0 O" MS V &I 'mR & n o " ! 3 M S

┬вSQ├│dG ├дGAG├┤LEGяАаяВи ├│┬л┬б┬к├аdG ┬в├╗b├Йfh ├┤╬╝a

тАля╗зя║Оя╗Чя║╢ я╗гя╗К я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я╗Ыя╗┤я╗Фя╗┤я║Ф я║Зя╗│я║ая║Оя║й я║Ня║ня║Чя╗Фя║Оя╗Й я╗гя║Мя║мя╗зя║Ф я╗Ля╗ж я║│я╗Дя║втАм .тАля║Ня╗╖я║ня║╜ я╗ня║ля╗Яя╗Ъ я╗Ля╗ия║кя╗гя║О я╗зя║Тя║Шя╗Мя║к я╗Ля╗ия╗мя║О я╗гя║┤я║Оя╗Уя║Ф я╗гя║дя║кя║йя║УтАм ┬вV├Й├Ш├оfтАЩGh ┬┤├Й├ШJQтАЩG ├ЙjGhR :┬║тИП┬йJ

тАля╗ня║┐я║в я║Гя╗е я║пя║Ня╗ня╗│я║Ф я║Ня╗╗я║ня║Чя╗Фя║Оя╗Й я║Гя╗н я║Ня╗╗я╗зя║ия╗Фя║Оя║╜ я╗ля╗░ я║Ня║Чя║дя║Оя║й я║Ня╗Яя║╕я╗Мя║Оя╗ЙтАм .тАля╗гя║Оя║ня║Н я║Ся║Оя╗Яя║ая║┤я╗в я║Ня╗Яя╗дя║оя║╗я╗оя║йтАм ┘Л┘С тАля║Ня╗╖я╗Уя╗Шя╗░ я║Зя╗Яя╗░ я║Ня╗Яя║╕я╗Мя║Оя╗Й я║Ня╗Яя║Тя║Оя║йя║Й я╗гя╗ж я║Ня╗Яя║оя║Ня║╗я║ктАм тАл( я╗гя╗ж я║Чя╗Мя╗ая╗в я╗ня║┐я║в я╗Яя╗Дя╗╝я║Ся╗Ъ я║Гя╗е я╗Чя╗┤я║Оя║▒ я║пя║Ня╗ня╗│я║ФтАм┘г) тАля╗Уя╗░ я║Ня╗Яя║Тя╗ия║ктАм тАля║Ня╗╗я║ня║Чя╗Фя║Оя╗Й = я╗Чя╗┤я║Оя║▒ я║пя║Ня╗ня╗│я║Ф я║Ня╗╗я╗зя║ия╗Фя║Оя║╜тАм тИТ

F +{ C v u +.8C v

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫ﺩﺭﺏ ﻃﻼﺑﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺑﻨﻈﺎﻡ ﺍﻟﺮﺍﺩﻳﺎﻥ‬ ‫ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ﺩﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﺇﻟﻰ ﺩﺭﺟﺎﺕ‬

| b

Ƌ yr 7 gb y r4b ! r3 ^ : f

‫ﻣـﺜـﺎل‬

c`o ac

( )cO

‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺯﺍﻭﻳﺔ‬ ،‫( ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ‬٦) ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﺜﺎﻝ‬ ً ‫ ﻭﻧﺎﻗﺶ ﻃﻼﺑﻚ ﻫﻞ ﺗﻮﺟﺪ ﺩﻭﺍﻝ ﺃﺧﺮﻯ ﻏﻴﺮ‬،‫ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﺸﻤﺲ‬ :‫ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻈﻞ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ ﻭﺃﻯ‬- ‫ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﺸﻤﺲ‬ .‫ﻣﻦ ﻫﺬه ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﻳﻔﻀﻠﻪ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻭﻟﻤﺎﺫﺍ‬

9 93; H 1 z& lf ƛaƜ ŮƛiƜ ŮƛbƜ ŮƛcƜ yr 3 d^ Msj -.& :Q ƋC .kN .> 2cb 7kb A W'j e M W 1 yr 3 pjs^

c`o ac

A W+j yr 3 5 zZ i ."r 2 f ŅĿ qN W 1 !2 gZ lf 5 ¹ tr 7 !2 b .N [ 1 gb w[VĔ ts 7gb wV PZ r h7" Ƌ2 f 2ZĔ !2 b .N Z lN h7#b .O ."r ƋcŁŇ ¼ łŅ ‫اﻟﺤﻞ‬

C !2 b gZ wo C i A2Wj

C ¶" ɤƄƄƄƄƄƄƄƄ¶" J ŅĿ ¶" ɤƆƆ Ɔ ƄƄƄƄcŁŇ ¼ łŅ J

h7#b A W+j yr 3 wo ¶" C E c is_ V ƛ¶" C Ec) X ɤ ƛ¶"c) X Ɗi V `b0b :9{ R0( L

:cO = C 6F G0-

2 f ŀŁń - ŀŁńŬŁŁňŅŅ =

ôªà°ùªdG º««≤àdG

:9TL 8 . ' DU

ŅĿ

ŅĿ = cŁŇ ¼ łŅ J ɢ ¶"

ɤƆƄƄƄƄƄƄƄƄ¶"

cŁŇ ¼ łŅ J

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

ƋcŅł so pB W+j yr 3 i ."sV ŮA1Ĕ (G6 wcN G[j h^ ŁŬńŅ qN W 1 d " gZ lf @+: .>1 2 Ƌ.> 2b r G[kb lz 2 f 2ZĔ V 7gb ."r ‫ﻣـﺜـﺎل‬

١٨٠ = i ‫ ﻇﺎ‬3 ٣٠٠ E

i y- 2b ."r Ů2 f ŃŬŇ qbsF A1Ĕ wcN đJ w[cy 2 f ņŬŁ qb sF 1 j -sgN 6 Ê Ƌ0 .kN 8g;b M W 1 yr 3 5 zZ ‫اﻟﺤﻞ‬

g qp`

٠٫٥٤ = (i)X MD

Ů-sgOb dJ asF so ¶" i r Ů C 1 jĖ -sgN gZ wo C G[j i A2Wj 8g;b M W 1 yr 3 i g |po

4 C

ŀŬń = ņŬŁ ŃŬŇ = i J `

cńŅ ¹ ŀŇ ¼ łŅ = (ic) XƄƄ E

ĿŬňŇŁņňłņŁłŁ -

cŀŇĿ

ôªà°ùªdG º««≤àdG ‫ﻡ‬١٠٠

‫ﺟـ‬

:9TL 8 . ' DU

c٤٥

‫ﺏ‬

:‫ ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬1 ‫ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ‬c ‫ﺯﺍﻭﻳﺔ‬ .‫ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﻧﺨﻔﺎﺽ‬b ‫ﺯﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ‬a ‫ﺯﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﻧﺨﻔﺎﺽ‬i ‫ﺯﺍﻭﻳﺔ‬ cc = bc ، ic = ac

‫ﺏ‬C = c٣٠ ‫ﻇﺎ‬ ‫ ﺏ ﺟـ‬+ ١٠٠

‫ ﺏ ﺟـ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ‬C ‫ﻓﻰ‬ ‫ ﺏ = ﺏ ﺟـ‬C ‫ﺏ‬C = c٣٠١ ‫ﻇﺎ‬ ‫ ﺏ ﺟـ‬+ ١٠٠

c٣٠ ‫ ﺏ ﻇﺎ‬C + c٣٠ ‫ ﻇﺎ‬١٠ = ‫ ﺏ‬C ٣٠ ‫ ﻇﺎ‬١٠٠ = (c٣٠ ‫ ﻇﺎ‬- ١) = ‫ ﺏ‬C

‫( ﻣﻦ‬١١٧) ‫( ﺻﻔﺤﺔ ﺑﺼﻔﺤﺔ‬٥) ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺭﻗﻢ‬ ‫ ﺛﻢ ﺍﻋﺮﺽ ﻋﻠﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻣﺸﺎﺑﻬﺔ ﻟﻬﺬﺍ‬،‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ .‫ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﻣﻦ ﻋﻨﺪﻙ‬

‫ﻡ‬١٣٧ - c٣٠ ‫ ﻇﺎ‬١٠٠ = ‫ ﺏ‬C c٣٠ ‫ ﻇﺎ‬- ١

: o T 5 9TL 8 . ' DU ٢٫٥٦ ‫ = ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬c٦٣ ‫ ﺟﺎ‬2

‫ ﻣﺘﺮ‬٣ =

> > 83 H + − Y ! H

* cńŅ ¹ ŀŇ ¼ łŅ = 0 ( / ; w L# 0 y `

? c٣٥

C ¶" ɤ ¶" J a

−

٢٫٥٦ = ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﻭﺍﻟﺮﺍﺻﺪ‬ c٦٣ ‫ﺟﺎ‬

F +{ C v u +.8C v

Ƕƪũıǩ

Ɗw Ē ^ "1.b o- #y ir- 2: f i y- 2b i - #yĖ 6 'b bĒ e .+ 6 l_gy Mode 4 (Rad :4) Ɗ(Radian) e Kj wcN 6 'b bĒ zp -

Shift

r Math 0.982793732

Shift

tan

Ɗ(Data) j z b a *- -

(tan-1)

Ɗ(call outputs) $ skb N. 6 - ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

.N Z lN 2 f łĿĿ .O y 1 Z A W+j yr 3 7zZ 2' b (G6 lf 2 f ŀŇĿ pN W 1 2+> gZ lf 3 ?i y- 2b A W+jĐ yr 3 5 zZ 1 .[f gV Ů 2+?b

‫اﻟﺤﻞ‬

C ( ) nO

cao

ńĿ = E Ƅ` cłŇ J

cao

cnn

ƊE C 9 wV ńĿ = cłŇ JƄa E 2 f ŅŃ -Ɔ ƆƄE Ƅ`

ńĿ ɤ ¶" Ƅ` 2 f łń cńń J 2 f Łň = łń – ŅŃ ɤƆƆ Ɔ E ¶"Ƅ`

ńĿ ¶" = cńń JƄa

¶" Ƥ E ɤƆƆ Ɔ Ɔ E ¶"Ƅa ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

c٢٥ ‫ ﺟﺎ‬٥٠ = ‫ ﺃﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﺒﺮﺝ‬1 ١٠٠٠ = ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬2 c٢٥َ ١٧ ‫ﻇﺎ‬

2+?b .N Z lf .& r M O: wcN 2' b wV lz kzW6 L&Đr Ů 2 f ńĿ pN W 1 2+> wcN @+: XZr 7 ¹ Ƌ 2 f 2ZĔ lz kzW7b lz .O b ."r cńń Ůc łŇ go."sV Ů gpzB W+j w yr 3 5 Zr

cnn

:∂ª¡a øe ≥≤ëJ äÉHÉLEG

‫ ﻣﺘﺮ‬٢١ -

‫ﻣـﺜـﺎل‬

E ¶" so lz kzW7b lz .O b i r Ů C so 2+?b M W 1 i A2Wj

º««≤àdGh ÖjQóàdG

‫ ﻣﺘﺮ‬٢١١٧ - ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ٨٠٠ = ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬3 c٢٥َ ١٧ ‫ﻇﺎ‬

‫ ﻣﺘﺮ‬١٨٧٣ -

- Gkgb s'j w[V ts 7f wV .> 2b 1 6 gb r ,cłĿ wo f - Gkf M W 1 yr 3 5 zZ i .> 1 .o : 4 ¹ Ƌ2 f 2ZĔ - Gkgb M W 1 ."r Pc|n wo M W 1Đ yr 3 5 zZ i .o : 2 f ŀĿĿĿ V 7f

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ."r Ƌ cŁń p6 zZ i ."sV Ů!2 gZ M W 1 yr 3 .>1 Ů !2 N Z lf 2 f ńĿ .O wcN @+: X[y 1 Ƌ2 f 2ZĔ !2 b M W 1 lz V 7gb ."r Ƌ cŁń ¼ ŀņ pN W 1 yr 3 5 zZ i ."sV Ů2 f ŀĿĿĿ M W 1 wcN 2 F @+: .>1 2 Ƌ 2 Gb lN .> 2b yr 3 5 zZ i ."sV ŮA1Ĕ (G6 lN 2 f ŇĿĿ M W 1 wcN 2 F A1Ĕ (G6 wcN XZ r @+: .>1 3 Ƌ 2 Gb r @+;b lz V 7gb ."r ƋcŁń ¼ ŀņ pN W 1

[

º««≤àdG

‫ ﺷﺎﻫﺪ ﺭﺟﻞ ﺃﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻗﻤﺔ ﺗﻞ ﻫﻰ‬1 ‫ ﻭﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻨﻪ ﻭﺑﻴﻦ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺘﻞ‬c٣٢َ ١٥ .‫ ﻣﺘﺮ ﻓﻤﺎ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﺘﻞ ﻷﻗﺮﺏ ﻣﺘﺮ‬٥٠٠

> > 83 H + − ; M V &I

‫ ﻣﺘﺮ ﻗﻴﺴﺖ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﻧﺨﻔﺎﺽ‬٧٠ ‫ ﻣﻦ ﻗﻤﺔ ﺑﺮﺝ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻪ‬2 ‫ ﻓﻤﺎ ﺑﻌﺪ‬.c٢٧َ ٢٥ ‫ﺳﻴﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻓﻮﺟﺪﺕ‬ .‫ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﻗﻤﺔ ﺍﻟﺒﺮﺝ ﻷﻗﺮﺏ ﻣﺘﺮ‬ ‫ﻣﺘﺮﺍ ﻭﻛﺎﻥ ﻃﻮﻝ ﻇﻠﻪ‬ ً ٢٠ ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻣﻨﺰﻝ ﻳﺴﺎﻭﻯ‬3 ‫ﻣﺘﺮﺍ ﺃﻭﺟﺪ ﺑﺎﻟﺮﺍﺩﻳﺎﻥ ﺯﺍﻭﻳﺔ‬ ً ١٢ ‫ﻓﻰ ﻭﻗﺖ ﻣﺎ ﻳﺴﺎﻭﻯ‬ .‫ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﺸﻤﺲ ﻓﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻮﻗﺖ‬ ‫ ﺭﺻﺪﺕ ﻃﺎﺋﺮﺓ ﻋﻤﻮﺩﻳﺔ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ ﺍﻷﺭﺽ‬4 ‫ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ‬،c٢٥ ‫ﻓﻮﺟﺪﺕ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﻧﺨﻔﺎﺿﻬﺎ‬ ‫ ﻓﻤﺎ‬.‫ ﻣﺘﺮ‬٦٠٠ ‫ﻋﻦ ﻣﺴﻘﻂ ﺍﻟﻄﺎﺋﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ ﺍﻷﺭﺽ‬ ?‫ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻄﺎﺋﺮﺓ‬ :6 C M! H WU U ; ‫ ﻣﺘﺮ ﻣﻦ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺑﺮﺝ ﻋﻠﻰ ﻗﻤﺔ‬١٠٠ ‫ﻳﻘﻒ ﺷﺨﺺ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ‬ ‫ﺳﺎﺭﻳﺔ ﻋﻠﻢ ﻓﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﻗﻴﺎﺳﻰ ﺯﺍﻭﻳﺘﻰ ﻗﻤﺔ ﺍﻟﺴﺎﺭﻳﺔ ﻭﻗﺎﻋﺪﺓ‬ ‫ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﺴﺎﺭﻳﺔ‬c٤٣ ،c٤٦ ‫ﺍﻟﺴﺎﺭﻳﺔ‬ .‫ﻷﻗﺮﺏ ﻣﺘﺮ‬

−

5-5 ‫اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى‬

‫اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى‬

Circular Sector

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

H i

!" > = !. *0 p > = !. _ e 3 78 9: ; M ? _ e 3 $ c&Lr e 3 u M# ' e 3 u M# -"

g (}S_ w M

wb 2 .b i g7[y e Ů C e 1r #gb d_;b wWV M G[b r " C e 2S>Ĕ M G[b Ůlzy2 - lzN GZ M G[b yr 4 eC c wg7 r Ƌ E Ce 2 ^Ĕ Ƌ2 ^Ĕ M G[b yr 4 7_Okgb eCc Ů2S>Ĕ

) * + ! -

e 3 u M# -" ]2

ُ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا'ﺳﺎﺳﻴ‬ ُ ‫ّﺔ‬ e u ML

Circular Sector

:ƣģƖŠ

' e 3 u M# -" 3A 

e u ML

e 3 u M# ) *+"

iôFGódG ´É£≤dG áMÉ°ùe

Area of the Circular sector

' e 3 u M# h = !& 

& & ' ( )

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﻓﻜﺮ‬

-r.'f 2 .b (G6 lf 4" so :J(C w M

Ƌ5sZr ly2GZ wW?k

E (XZ_ w M

# $ % :9: > 8 L K ; M 9 M 9: NL & O" 783 56 * >?

‫و‬

:J(C w M

2 - lf ƛaƜ 5sZ asF lz ZđOb 61- i \ 6 y4^2gb yr 4b 5 zZr ƛHƜ o2GZ X?j asF ƋH * Ei ɤ a Ɗi gcNr ƛiƜ 5s[b 0pb c [gb 2 .b (G6 lf 4#b 0o & 7f - #y `k_gy dpV ?d [gb d_;b wV dcKgb

‫ا'دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬

Ɗ [ G gb 2 r.b lf -¹ .N d g tscOb d_;b 'Bsgb a _:Ĕ ? 2 .b 2GZ X?j asF - y3 lN $ j y2 .b N G[b & 7f - y3 do - ?t2 .b M G[b yr 3 5 zZ - y3 lN $ j y2 .b N G[b & 7f - y3 do - e w pkb PcCb \ Gky i wb M G[b yr 3 5 zZ wV - y4b 2g 6 / - ?M G[b & 7f is_ i PZs / gV C e w . Đ PcCb wcN

.( /0# 1(I - > !& Y !& - >Q65 ! - SL Q - T F ! ' rMS H - C3& # M

/0# 3) > 83 H +

4! # 5) XX /+0 > 2 X /+0 O" > 83 V &M W /+0 83& MS V &I 'mR & n o " ! 3 M S

¢SQódG äGAGôLEG ó«¡ªàdG ¢ûbÉfh ôμa

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﻓﻜﺮ ﻭﻧﺎﻗﺶ« ﺻﻔﺤﺔ‬ ‫ ﻭﻭﺿﺢ ﺃﻥ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ‬،‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬١١٩) ‫ ﻭﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ‬c١٨٠ > i > c٠ ‫ﺍﻷﺻﻐﺮ ﻣﺤﺪﺩﺓ ﺑﺎﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬ c٣٦٠ > ٠ > c١٨٠ ‫ﺍﻷﻛﺒﺮ ﻣﺤﺪﺩﺓ ﺑﺎﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬

5-5

Circular Sector

> > 83 H + − Y ! H

Scientific Calculator

−

‫ ‪ e 3 u M#‬‬

‫ﺗﻌﻠﻢ‬

‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﻋﻤﻞ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻﻔﺤﺔ )‪ (١٢١‬ﻣﻦ‬ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‪.‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻗﻴﺎس زاوﻳﺘﻪ اﻟﻤﺮﻛﺰﻳﺔ وﻃﻮل ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ‬

‫)‪Ƌ rŁ J +0 07Z( d 0 y I B(C . +) 6) ~7D 9 0 w M . +‬‬

‫)‪: Y + K + U ;Y 6‬‬ ‫‪= M G[b & 7f‬‬ ‫‪ 2 .b & 7f‬‬

‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫ ‪ ɤƆƆ ƄM G[b & 7f i t‬‬

‫‪:U ;Y ! & ' DU‬‬ ‫‪ -١‬ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺛﺎﺑﺖ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻻ ﺗﺘﻐﻴﺮ ﻣﺴﺎﺣﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ‪.‬‬ ‫‪ -٢‬ﺗﺰﺩﺍﺩ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ ﺑﺎﺯﺩﻳﺎﺩ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺘﻪ‬ ‫ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻳﺔ‪.‬‬ ‫‪ -٣‬ﻓﻰ ﻫﺬه ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﺑﺄﻧﻪ ﺃﺻﺒﺢ‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻫﻰ ﻗﻄﺎﻉ ﺩﺍﺋﺮﻯ ﺯﺍﻭﻳﺘﻪ ‪.r٢‬‬

‫‪g‬‬

‫ ‬

‫‪H‬‬

‫‪E‬‬

‫‪i‬‬ ‫‪rŁ‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ 2 .b & 7f * i‬‬ ‫‪rŁ‬‬

‫‪8‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪i ŁH ŀŁ = ŁH r * i ɤƆƆ Ɔ ƄƄƄƄƄƄƄ‬‬ ‫‪rŁ‬‬

‫‪E‬‬

‫ ‬

‫‪i ŁH ŀŁ ɤ t2 .b M G[b & 7f‬‬

‫‪E‬‬

‫ ‪ ƛq 2 - 2GZ X?j asF H ŮM G[b yr 3 i z&Ɯ‬‬

‫‪ `b/ (Br ? yÊ 2 - N¹ GZ 2 .b 2 O do ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫‪E‬‬

‫‪ŀŬŁq yr 3 5 zZr h6 ŀĿ q 2 - 2GZ X?j asF t0b t2 .b M G[b & 7f ."r 1‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪i ŁH ŀŁ ɤ t2 .b M G[b & 7f‬‬ ‫ ‬ ‫‪: - } S‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪h6 ŅĿ = ŀŬŁ * Ł(ŀĿ) ŀŁ ɤƆƆ ƆƄ‬‬ ‫ ‪ ƊEŀŬŁ = Ei ŮŀĿ = H 6F G0-‬‬ ‫‪E‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪Ƌ q yr 3 5 zZ i y- 2b ."r Ů h6 ŀń q 2 - 2GZ X?j asFr Łh6 ŁņĿ q & 7f t2 - M GZ 1‬‬

‫‪:' D# s 0 y )-! J(C w M . +) 0U : f‬‬ ‫‪M G[b & 7f‬‬

‫‪= q 2 - q & 7f a‬‬

‫‪ŀ‬‬ ‫‪i * ŁH Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Hr‬‬

‫‪E‬‬

‫ﺗﺬﻛﺮ‬

‫ ‪HY + 6 I‬‬ ‫ ‪:H% J(C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪c5 = i ƄƆƆ Ƅl_brƄƄ‬‬ ‫‪cłŅĿ rŁ‬‬ ‫` ‪ 2 .b & 7f * c5 ɤ M G[b & 7f‬‬ ‫‪cłŅĿ‬‬

‫‪c5 Ei‬‬ ‫=‬ ‫‪cŀŇĿ r‬‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫ﻣﺆﻛﺪﺍ‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ‬ ‫ً‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ‪ i‬ﺑﺎﻟﺘﻘﺪﻳﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ )ﺍﻟﺮﺍﺩﻳﺎﻥ(‪.‬‬

‫‪ Ƌ P 2f 2 gz k6 2ZĔ q & 7f ."r ŮcŀŁĿ q yr 3 5 zZr h6 ŀŅ q 2 - 2GZ X?j asF t2 - M GZ 2‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬

‫‪c5‬‬ ‫ ‪ ɤ M G[b & 7fƄƄƄƄƄ‬‬ ‫‪: - } S‬‬ ‫‪cłŅĿ‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪Ł‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ŀŁĿ‬‬ ‫* ‪h6 ŁŅŇ - (ŀŅ) r‬‬ ‫ ‪ ɤƆƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄ:cŀŁĿ =c5Ů ŀŅ = H 6F G0-‬‬ ‫‪cłŅĿ‬‬ ‫*‪Hr‬‬

‫‪> > 83 H + − ; M V &I‬‬

‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪ I ( 3 L‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻗﻄﺎﻉ ﺩﺍﺋﺮﻯ ﺯﺍﻭﻳﺘﻪ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻳﺔ ‪ r٢‬ﻭﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﺗﻪ ‪.H‬‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﺻﻔﺤﺔ )‪ (١٢١) ،(١٢٠‬ﻣﻦ‬ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺣﻞ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ‬ ‫ﺗﺤﻞ« ﺭﻗﻤﻰ ‪ ٣ ،٢ ،١‬ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‪.‬‬ ‫‪ôªà°ùªdG º««≤àdG‬‬

‫‪9TL 8 . ' DU‬‬ ‫‪ 1‬ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ = ‪i H ١٢‬‬

‫‪E‬‬

‫ ‪i * ٢٢٥ * ١٢ = ٢٧٠‬‬

‫‪E‬‬

‫` ﻫـ ‪٢٫٤ = E‬‬

‫‪E‬‬

‫‪c٦٠‬‬ ‫‪ 2‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ = ‪ ٢(١٢) ٨ * c٣٦٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ = ‪٧٥٫٤‬ﺳﻢ‬ ‫‪ + ١٢ * ٢ = ٥٥ 3‬ﻝ‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ = ‪١٢ * ٣١ * ٢‬‬ ‫ = ‪١٨٦‬ﺳﻢ‬

‫ [ ‬

‫‪٢‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪H i‬‬

‫` ﻝ = ‪٣١‬ﺳﻢ‬

‫‪Ł‬‬

‫ ‪ X‬‬

‫ ‪ e 3 u M#‬‬

‫‪º««≤àdGh ÖjQóàdG‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪ Ƌ.& r t2;N hZ1 2ZĔ q & 7f ."r h6 ŀŁ q 2 - 2GZ X?j asFr cŅĿ q yr 3 5 zZ t2 - M GZ 2‬‬ ‫ﺗﺬﻛﺮ‬

‫‪s&-I 8-I )-! J(C w M . +) 0U: f‬‬

‫ ‬

‫‪ 0 y 9 0 J? - 8-I‬‬

‫‪E Ł‬‬ ‫‪i H ŀŁ ɤ t2 .b M G[b & 7f : 4! L‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪H a ŀŁ = H * ŁH ŀŁ ɤƆƆƄ‬‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫)(‪B(C H i d& I 07Z‬‬ ‫‪ T 0 H %(MI R5 8-I‬‬ ‫)‪: I 6‬‬ ‫‪H × Ei = 8‬‬

‫‪a‬‬

‫‪( H = Ei :6F G0- > [ ƄƄƄƄƄƄ‬‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

‫‪Ƌh6 Ň q 2 - 2GZ X?j asFr Ůh6 ŁŇ tr 7y qGz'f t2 - M GZ & 7f ."r 3‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣ‬

‫ ‪:F +X‬‬

‫ ‬

‫أﺿ‬

‫ﻌﻠ‬

‫)‪ŁŇ ɤ a + H ŁƄƄJ :8 + H ` = w M F T‬‬ ‫ ‪ Ɗh6 Ň = H 6F G0-‬‬

‫ﻒ إﻟ‬

‫ﻮﻣ‬

‫ﻰ‬

‫ﺎﺗﻚ‬

‫)‪8-I J? w M F T‬‬ ‫‪(MI R5 8-I 8 s&-I‬‬ ‫ ‪: I 6) T 0 H sL(C‬‬

‫‪ŁŇ ɤ a + Ň * ŁƄƄƄƄ‬‬ ‫‪h6 ŀŁ = ŀŅ – ŁŇ ɤ aƄƄƄƄ‬‬

‫‪H a ŀŁ = w M . +) : - } S‬‬

‫‪H‬‬

‫‪Ł‬‬

‫‪g‬‬

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

‫‪ lz V 7gb ."r V Ůh^ ŅłŇĿ o2GZ X?j asF 2 - so s 6Đ H* i gcN / ģŐƾĝʽƴŭǤģś ƤśƄǤĝ 3‬‬ ‫‪ƋA1Ĕ 4^2f .kN cłĿ p6 zZ yr 3 d [y gpkz d> sb 5s[b i ^ / s 6Ĕ H* wcN lz ky.f‬‬

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫‪Ɗ z Ē a _:Ĕ lf d_: d^ wV dcKgb 4#b & 7f r bĐ. ."r 1‬‬ ‫ﺟ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫‪4& c‬‬

‫‪ XX‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫ب ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﻤﻈﻠﻞ =‬

‫ = ‪r٩ * ١٤ - ٣٦ * r ١٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ = ‪ r٤٫٥ = r٤٫٥ - r٩‬ﺳﻢ‬

‫‪H‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4& o‬‬

‫أ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﻤﻈﻠﻞ = ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ ‪ -‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ‬ ‫ = ‪٦٤ * r * ١٤ - ٦٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ = ‪ r١٦ - ٦٤‬ﺳﻢ‬

‫)‪8 + H` = w M F T‬‬

‫ ‪:4& o = H ,4& ` = 8 :6F G0-‬‬ ‫‪h6 ŃŇ = Ň *ŀŁ * ŀŁ ɤ M G[b & 7f‬‬ ‫ ‬

‫‪4& a‬‬

‫‪:> d 6) K TL ' DU‬‬

‫‪4& a‬‬

‫د‬ ‫‪4& q‬‬

‫‪4& c‬‬

‫‪4& n‬‬ ‫‪ccO‬‬ ‫` &‪4‬‬

‫ﺟ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﻤﻈﻠﻞ =‬ ‫ = ‪r٣٦ * ١٤ - ٤٩ * r * ١٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ = ‪ r٣٫٢٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪c٦٠‬‬ ‫‪c٦٠‬‬ ‫د ‪٤ * r * c٣٦٠ - ٢٥ * r * c٣٦٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ r ١ = (٤ - ٢٥) r‬ﺳﻢ‬

‫‪٦‬‬ ‫‪:º««≤àdG‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪ : F #7 F ( 1‬ﺣﻮﺽ ﺯﻫﻮﺭ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ ‪١٥٤‬ﺳﻢ‪ .٢‬ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﻄﺎﻉ ﺩﺍﺋﺮﻯ ﻓﻴﻬﺎ‬ ‫ﻣﺘﺮﺍ‪.‬‬ ‫ﻣﺰﺭﻭﻉ ﺑﺎﻟﻴﺎﺳﻤﻴﻦ ﻃﻮﻝ ﻗﻮﺳﻪ ‪ً ١١‬‬ ‫‪ 2‬ﻗﻄﺎﻉ ﺩﺍﺋﺮﻯ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ‪٨١٫٩٩‬ﺳﻢ‪ ٢‬ﻭﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﺗﻪ ‪٦‬ﺳﻢ‪ .‬ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ ﻭﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻪ‪.‬‬ ‫‪ 3‬ﻗﻄﺎﻉ ﺩﺍﺋﺮﻯ ﻣﺤﻴﻄﻪ ‪٢٤‬ﺳﻢ ﻭﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ‪٣٦‬ﺳﻢ‪ .٢‬ﺃﻭﺟﺪ‬ ‫ﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺩﺍﺋﺮﺗﻪ ﻭﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺘﻪ ﺑﺎﻟﻘﻴﺎﺳﻴﻦ‬ ‫ﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ ﻭﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ‪.‬‬ ‫ ; ‪6 C M! H WU U‬‬ ‫ﺛﻼﺛﺔ ﺩﻭﺍﺋﺮ ﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ‪٦‬ﺳﻢ ﻭﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ﻫﻰ‬ ‫ﺭﺅﻭﺱ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻌﻪ ‪١٢‬ﺳﻢ‪.‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺴﻄﺢ ﺍﻟﻤﺤﺼﻮﺭﺓ ﺑﻴﻦ ﻫﺬه ﺍﻟﺪﻭﺍﺋﺮ ﻷﻗﺮﺏ‬ ‫ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻋﺸﺮﻳﺔ‪.‬‬ ‫‪:U ;Y DU‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ٦٢٫٣٥٣٨‬ﺳﻢ‪٣‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ = ‪ ١٨٫٨٤٩٦‬ﺳﻢ‪٢‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ = ‪٥٦٫٥٤٨٧ - ٦٢٫٣٥٣٨‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ = ‪٥٫٨٠٥١‬ﺳﻢ‬ ‫ ‪> > 83 H + − Y ! H‬‬

‫ [ ‬

6-5 тАл╪зя╗Яя╗Шя╗Дя╗Мя║Ф ╪зя╗Яя║к╪зя║Ля║оя╗│я║ФтАм

тАл╪зя╗Яя╗Шя╗Дя╗Мя║Ф ╪зя╗Яя║к╪зя║Ля║оя╗│я║ФтАм

6-5

Circular Segment

тАля║│я╗о┘Б я║Чя║Шя╗Мя╗ая╗втАм

тАл╪зя╗Яя╗Шя╗Дя╗Мя║Ф ╪зя╗Яя║к╪зя║Ля║оя╗│я║ФтАм

e 3 !M# e 3 !M# -" ]2

тАля║Чя╗Мя╗ая╗втАм

`b/ w y pk 1 f 2 rr pzV 5s[ -r.'f 2 .b (G6 lf 4" wo 0(C M

╞Л5s[b E

J(X3 M

g MD

J(}5 M C

wg7 lz 2 - lz OGZ wb 2 .b h7[y C 2 sb ┼о E C t2 _b OG[b r ┬╢" C J(}5 M

gkz J(}5 M 0 7 e Cc wg7 r ╞ЛJ(X3 M 0 7 7_Okgb e Cc

:├бj├┤FG├│dG ├б┬й┬гтЙдdG ├бM├Й┬░├╣e O├Й├йjEG

┘П тАл╪зя╗Яя╗дя║╝я╗Дя╗ая║дя║О╪к ╪з'я║│я║Оя║│я╗┤тАм ┘П тАл┘Ся║ФтАм

тАля║Чя║мя╗Ыя║отАм Circular Segment

e !ML

w ├Ч H ┼А┼Б = u! . +) :u . i M = i D H H H H

i D H = w

= u! . +) i D H * H *

Scientific Calculator

┼А ┼Б

!" _ e 3 sM O" wqA c : Y e 3 u M# ; M 78 9: < 783 56 >? 783 = ,7 L O ML >+ Q 3/" ' e 3 !M#

# $ %

тАл╪з'╪п┘И╪з╪к ┘И╪зя╗Яя╗оя║│я║Оя║Ля╗ЮтАм

Circular Segment

┬╢" C t2S?b OG[b & 7f C e c gb (G6 & 7f - C e 2S>─Ф M G[b & 7f ╔д i " H * H * ┼А┼Б - Ei ┼БH ┼А┼Б =

:9: > 8 L K ; M 9 M 9: NL & O" 783 56 * >? ' e 3 !M# = ! яА│

e 3 !M# -" 3A яА│

& & ' ( )

(i " - Ei)┼БH ┼А┼Б ╔д y2 .b OG[b & 7f ╞Л OG[b yr 3 5 zZ so i ┼о p 2 - 2GZ X?j asF H z&

e !ML

?t2S?b OG[b & 7f zfscOg t2 _b OG[b & 7f - #y `k_gy do ╞Д╟Ф╞╛

╞Л`b/ (Br

> > 83 H + тИТ ; M V &I

) * + ! -

.( /0# 1(I ' rMS H - >Q65 ! - SL Q - T F !

/0# 3) > 83 H +

4! # 5) Xy /+0 > 2 Xl /+0 O" > 83 V &M 'WZ /+0 O" MS V &I 'mR & n o " ! 3 M S

┬вSQ├│dG ├дGAG├┤LEGяАаяВи ├│┬л┬б┬к├аdG

тАля║ля╗Ыя║о я╗Гя╗╝я║Ся╗Ъ я║Ся╗Ья╗┤я╗Фя╗┤я║Ф я║Ня║│я║Шя║ия║кя║Ня╗б я║йя║Ня╗Яя║Ф я║Ня╗Яя║ая╗┤я║Р я╗╣я╗│я║ая║Оя║й я║Ня║ня║Чя╗Фя║Оя╗ЙтАм .тАл я╗б я║П я╗ня╗гя╗ж я║Ыя╗в я║Зя╗│я║ая║Оя║й я╗гя║┤я║Оя║гя║Ф я╗ля║мя║Н я║Ня╗Яя╗дя║Ья╗ая║ЪтАмC тАля║Ня╗Яя╗дя║Ья╗ая║ЪтАм

┬Й

╪МтАля╗ня║┐я║в я╗Яя╗ая╗Дя╗╝я║П я║Ся║Дя╗зя╗к я╗Ля╗ия║к я║Зя╗│я║ая║Оя║й я╗гя║┤я║Оя║гя║Ф я║Ня╗Яя╗Шя╗Дя╗Мя║Ф я║Ня╗Яя║кя║Ня║Ля║оя╗│я║ФтАм тАля╗│я╗ия║Тя╗Ря╗░ я╗гя╗Мя║оя╗Уя║Ф я╗Ыя╗Ю я╗гя╗ж я║пя║Ня╗ня╗│я║Шя╗мя║О я║Ня╗Яя╗дя║оя╗Ыя║░я╗│я║Ф я║Ся╗Ья╗Ю я╗гя╗жтАм тАля║Ня╗Яя║Шя╗Шя║кя╗│я║оя╗│я╗ж я║Ня╗Яя║кя║Ня║Ля║оя╗п я╗ня║Ня╗Яя║┤я╗┤я╗ия╗░ я╗ня╗Ыя║мя╗Яя╗Ъ я╗ня╗Гя╗оя╗Э я╗зя║╝я╗Т я╗Чя╗Дя║отАм .тАля║йя║Ня║Ля║оя║Чя╗мя║ОтАм

┬Й

тИТ

e 3 !M#

٦ = (‫ ﻡ ﺟـ‬Cc) ‫ﺟﺎ‬ ٠٫٦ = ١٠

‫ﻣـﺜـﺎل‬

PcŀńĿ p yr 3 5 zZ Ůh6 Ň p 2 - 2GZ X?j asF w b y2 .b OG[b & 7f ."r 1

c٧٣َ ٤٤ً ٢٣ = (‫ ﻡ ﺏ‬Cc)X

‫اﻟﺤﻞ‬ rń -

c٢٨٦َ ١٥ً ٣٧ = ‫ ﻡ ﺏ( ﺍﻟﻤﻨﻌﻜﺴﺔ‬Cc)X Ł

J(X3 M . +)

(i " - Ei) ŁH ŀŁ ɤ y2 .b OG[b & 7f

h6 ŅņŬņņńŇ - (cŀńĿ " Ƥ rń ) ŅŃ * ŀŁ ɤ y2 .b OG[b & 7f

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

$ kb ¹ 2[f EŁŬŁ p yr 3 5 zZ Ůh6 ŀĿ p 2 - 2GZ X?j asF w b y2 .b OG[b & 7f ."r 1 Ƌlzy2;N lzgZ1 2ZĔ ‫ﻣـﺜـﺎل‬

& 7f ."r Ƌt2*Ĕ 4^2g gpkf d^ 2g r Ůh6 ŀŁ gpkf d^ 2GZ X?j asF i [ G f i 2 - 2 Ƌ gpkz ^2 ;gb [Gkgb

º««≤àdGh ÖjQóàdG

4& `

:∂ª¡a øe ≥≤ëJ äÉHÉLEG

‫اﻟﺤﻞ‬ C

٦٠ = ‫ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻳﺔ ﻟﻠﻘﻄﻌﺔ‬1 r * (٦٠ ‫ ﺟﺎ‬- ١٨٠٦٠ ) ٦٤ * ١٢ = ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ٢ ‫ ﺳﻢ‬٥٫٨ =

z& & 7gb wV lz yr 7 f lz OGZ wb dcKgb 4#b h7[zV ¶" C h62j Ƌh6 ŀŁ pkf d^ 2GZ X?jr cňĿ pkf d_b y4^2gb yr 4b y2 .b OG[b & 7f * Ł ɤƆƆƄdcKgb 4#b & 7f (i " -Ei) ŁH ŀŁ * Ł ɤƄƄƄƄƄƄƄƄ Ł h6 ŇŁŬŀň - ĿŬņń * ŀŃŃ = ( Łr " - Łr ) ŀŃŃ ɤƄƄƄƄƄƄƄƄ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

2 gz k6 ŀŁ o2 r asF w b t2 _b y2 .b OG[b & 7f ."r 2 ¹ ƋP 2f 2 gz k6 2ZĔ $ kb ¹ 2[f 2 gz k6 Ł pN W 1 r

‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬

4& `

M w L#

7& Ƌ1 f Ň qbsF 2 r 2 .b wV h61 Ů1 f Ň o2GZ X?j asF 2 - d_: wcN 1so3 As& Ǭŏʞʲ 1 Ƌ.& r t2;N hZ1 2ZĔ t2S?b y2 .b OG[b & 7f c f G6 s 4" O 1 wb h7½Z Ů1 f Ń o2GZ X?j asF 2 - d_: wcN M14cb As& Ƕưĝʹʺ 2 lzgZ1 2ZĔ t2S?b y2 .b PG[b t.& & 7f 7& Ƌ 2 .b wcN q6r 1 P[ MđBĔ tr 7 f Ƌ lzy2;N

r * c١٢٠ (c١٢٠ ‫ ﺟﺎ‬- c١٨٠ )١٦ * ١٢ = ‫ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ‬2 ٢ ‫ﺳﻢ‬٩٫٨٣ =

−

º««≤àdG

ôªà°ùªdG º««≤àdG

:(3 DU = J(X3 0(C M . +) PJ(}5 0(C M . +) − B(C VM& . +) ‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ‬١٢٤) ‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﺻﻔﺤﺔ‬ «‫ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺛﻢ ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺣﻞ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ »ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ‬ .‫( ﻣﻦ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‬٢) ،(١) ‫ﺭﻗﻤﻰ‬

:6 C M! H WU U ; ‫ﺳﻢ ﻭﺗﻤﺮ ﻛﻞ‬٦ ‫ﺩﺍﺋﺮﺗﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﺎﻥ ﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ‬ .‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‬.‫ﻣﻨﻬﺎ ﺑﻤﺮﻛﺰ ﺍﻷﺧﺮﻯ‬ •É°ûædG áHÉLEG

‫ = ﺿﻌﻒ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ‬Z( ; MY . +) .‫ﺍﻟﺼﻐﺮﻯ ﻹﺣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ‬ c١٢٠ = 0(C M 0 y ٢ ‫ﺳﻢ‬٢٢٫١١١١ = 6 M J .U . +) ٢ ‫ﺳﻢ‬٤٤٫٢٢٢٢ = Z( ; M . +) ‫ﺏ‬

ôªà°ùªdG º««≤àdG

:9TL 8 . ' DU (E٢٫٢ ‫ ﺟﺎ‬- E٢٫٢) ١٠٠ * ١٢ = ‫ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ‬1 ٢ ‫ ﺳﻢ‬٦٩٫٥٧٥٢ =

‫ﻡ‬ ‫ ﺳﻢ‬٨ ‫ﺟـ‬ ‫ ﺳﻢ‬٢ E

cŀŇĿ cŀńĿ " ɤ i "

(c٢٨٦َ ١٥ً ٣٧ ‫ ﺟﺎ‬- r * c٢٨٦َ ١٥ً ٣٧ ) ١٠٠ * ١٢ = c١٨٠ ٢ ‫ﺳﻢ‬٢٩٨ -

‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﻄﻌﺔ ﺩﺍﺋﺮﻳﺔ ﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺩﺍﺋﺮﺗﻬﺎ‬1 .c٦٠ ‫ﺳﻢ ﻭﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻳﺔ ﺗﺴﺎﻭﻯ‬٢٠ ‫ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻮﺭﻕ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻗﻄﻌﺔ ﺩﺍﺋﺮﻳﺔ ﻃﻮﻝ ﻗﻮﺳﻬﺎ‬2 ‫ ﺍﺣﺴﺐ‬.‫ﺳﻢ‬١٢ ‫ﺳﻢ ﻭﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺩﺍﺋﺮﺗﻬﺎ‬٦٠ .‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﻄﻌﺔ ﺍﻟﻮﺭﻕ‬ ‫ﺳﻢ‬١٠ ‫ ﺩﺍﺋﺮﺗﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﺎﻥ ﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ‬3 ‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﻨﻄﻘﺔ‬.‫ﻭﺗﻤﺮ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﺑﻤﺮﻛﺰ ﺍﻷﺧﺮﻯ‬ .‫ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‬

r * cŀńĿ ɤƆƆ Ɔ Ɔ Ei

> > 83 H + − Y ! H

‫ ﺳﻢ‬٦

‫ ﻣﻦ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬2 = ‫ * ﺟـ ﺏ‬C ‫ﺟـ‬ (E ‫ ﺟـ‬- H٢) * E ‫ﺟـ‬ (٢ - H٢)٢ = ٦ * ٦ C ‫ﺳﻢ‬١٠ = H J(}5 M 0 y

7-5 ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت‬

‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت‬

7-5

Areas

‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﻧﺎﻗﺶ‬

b ( -" > $ HMS -" Y}&Q( N g( -"

‫ﻓﻜﺮ‬

Areas

:å∏ãªdG áMÉ°ùe

The Area of a Triangle

‫و‬

Ɗw Ē ^ -.' q & 7f i gcNr c gb & 7f 61- i \ 6 M W 1Đ * .N [b asF ŀŁ ɤ c gb & 7f

:# 93; H E C ɢ ¶" ŀŁ ɤ c gb & 7f

MD E ? yr 4b !2Wkgb c gb r yr 4b h [b c gb wcN ZđOb m0o \ Gk do Ƅǔƾ

ُ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا'ﺳﺎﺳﻴ‬ ُ ‫ّﺔ‬

The Area of a tringle in terms of the lengths of two sides and the included angle Y}&Q" N g"

regular polygon

‫ﺗﻌﻠﻢ‬ C

:9 93; 6) E " C = E CƄƄ: J ƄƄ C ɤ " :u! . +) - I 6) E C *Ƅ¶" ŀŁ ɤ c gb & 7f " C * ¶" * ŀŁ ɤƆƆ ƆƄƄƄ

‫ا'دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬

Ɗlf d^ zfscOg c gb & 7f ."r ȈǭƽƗ ƄŐʗƯŝ C c Ů¶" C Ů C ‫ب‬

¶"c Ů ¶" Ů C ¶" ‫أ‬

#$ - H >? b sM -" 8 ; M < = 783 56 >? $ MT d!$ -" D 5I

_8 / q O ! > I " ! $ b -" 783 c ML > I " ! $ > $ HMS -" D 5I , *Q $ ' *Q $ _8 / q

# $ % :9: > 8 L K ; M 9 M 9: NL & O" 783 56 * >? 'b ( -" 3A 

Scientific calculator

: Y + g F sD- Ƌ gpkz 1s?'gb yr 4b z" * lzOcB wbsF 2B d> & X?j ɤ c gb & 7f

'> $ HMS -" 3A  'Y}&Q( N g( -" 3A 

& & ' ( )

> > 83 H + − ; M V &I

Y}&Q" N g"

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻃﻮﻟﻰ ﺿﻠﻌﻴﻦ‬ .‫ﻣﻮﺿﺤﺎ ﻛﻔﻴﺔ ﺇﺛﺒﺎﺗﻪ‬ ،‫ﻭﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺤﺼﻮﺭﺓ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‬ ً :‫ﻓﻰ ﺗﻌﺒﻴﺮ ﺷﻔﻬﻰ‬ ‫ * ﺟـ ﺏ ﺟﺎ ﺟـ‬C ‫ * ﺟـ‬١٢ = u! . +) C ‫ ﺟـ ﺟﺎ‬C * ‫ ﺏ‬C * ١٢ = ١٢٧ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻌﻤﻴﻢ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺻـ‬ ‫ ﺛﻢ‬،‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬١٢٨) ‫ﻧﺎﻗﺶ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻﻔﺤﺔ‬ ‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻴﻬﻢ ﺣﻞ ﻣﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺑﻨﺪ ﺣﺎﻭﻝ ﺃﻥ ﺗﺤﻞ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ‬ .‫ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‬

) * + ! -

.( /0# 1(I ' rMS H - >Q65 ! - SL Q - T F !

/0# 3) > 83 H +

4! # 5) XZ /+0 > 2 XW /+0 O" > 83 V &M /+0 > 2 W[ /+0 O" 83& MS V &I 'mR & n o " ! 3 M S

¢SQódG äGAGôLEG

ôªà°ùªdG º««≤àdG

ó«¡ªàdG

:9TL 8 . ' DU

¢ûbÉfh ôμa

٢‫ﺳﻢ‬١٥٦٫٨٢ = ‫ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬1

‫ﻭﺿﺢ ﻟﻄﻼﺑﻚ ﺃﻧﻪ ﻋﻨﺪ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﻭﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﻓﺈﻥ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﻳﻜﻮﻥ‬ .‫ﺃﻳﻀﺎ‬ ً ‫ﺻﺤﻴﺤﺎ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻤﻨﻔﺮﺝ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ً −

‫ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻊ ﻃﻼﺑﻚ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻰ‬ .‫( ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬١٢٧) ‫ﻣﺴﺘﻌﻴ ًﻨﺎ ﺑﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻰ ﺻﻔﺤﺔ‬ : (3 Y H ‫ﻻ ﺗﺘﻐﻴﺮ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻰ ﺇﺫﺍ ﺍﺳﺘﺒﺪﻟﻨﺎ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ :‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ ﺑﺎﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻨﻔﺮﺟﺔ ﺍﻟﻤﻜﻤﻠﺔ ﻟﻬﺎ ﻷﻥ‬ (‫ ﻫـ‬- c١٨٠) ‫ = ﺟﺎ‬i ‫ﺟﺎ‬

lzgZ1 2ZĔ $ kb ¹ 2[f cŃŇ = (Cc)X Ůh6 ŀŁ ɤ ¶" C Ů h6 ň ɤ C t0b ¶" C c gb & 7f ."r 1 Ƌlzy2;N ‫اﻟﺤﻞ‬

C " ¶"C * C * ŀŁ ɤ ¶" C c gb & 7f

Sin

:9 93; H Ɲeƞ ɤ E E ¶" C qzV wN 1 d_: E ¶" C

Ƌly2G[b lz 1s?'gb yr 4b wo i Ů E = r ¶" Ů E = ¶o C

E ¶"9 + E C9 & 7f ɤ wN 2b d_;b & 7f

‫ﺳﻢ‬٦٢٤٫٢ - ‫ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻰ‬2 C

ÜóëªdG ≈YÉHôdG πμ°ûdG áMÉ°ùe OÉéjEG

º¶àæªdG ™∏°†ªdG áMÉ°ùe OÉéjEG

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

:9TL 8 . DU ٢

$ kb 2[f c Ņł ɤ ƛ c)X Ů h6 ŁŁ = C Ůh6 ŀŅ ɤ ¶" qzV t0b ¶" C c gb & 7f ."r 1 Ƌ y2;N e Z1 đ 2ZĔ The Area of a Convex Quadrilateral

ôªà°ùªdG º««≤àdG

cŃŇ = (Cc)X Ů4& ŀŁ ɤ ¶" C Ů 4& ň ɤ C 6F G0- Ł h6 ŃĿŬŀł - ŃŇ " * ŀŁ * ň * ŀŁ ɤ ¶" C c gb & 7f

r ¶" * E ŀŁ Ƅ+ƄƄ¶o C * E ŀŁ ɤ ƄƄƄƄƄƄƄƄ

(i " e ¶" + i " e C) E ŀŁ ɤƆƆƆƄƄƄƛr ¶" + ¶o C) E ŀŁ ɤ ƄƄƄƄƄƄƄƄ

i " * ¶" C * E ŀŁ ɤ ƛe ¶" + e C) i " * E ŀŁ ɤ ƄƄƄƄƄƄƄƄ

Ɗwo gpkz 1s?'gb yr 4b r qy2GZ wbsF zfscOg wN 2b d_;b & 7f is_y g F sD- gpkz 1s?'gb yr 4b z" * qy2GZ wbsF 2B d> & ŀŁ ɤ wN 2b d_;b & 7f Ƌ` " 27V ? pb cg_gb yr 4b i yr 4b kb. 6 / wN 2b d_;b & 7f 2zS do Ƅǔƾ

‫ﻉ‬ ‫ﺟـ‬

E ‫ﺱ‬

‫ﺏ‬

‫ﻭﺿﺢ ﻟﻠﻄﻼﺏ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ﺟﻤﻴﻊ ﺃﺿﻼﻋﻪ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ‬ ‫ﺍﻟﻄﻮﻝ ﻭﺟﻤﻴﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎه ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻭﻳﺘﻜﻮﻥ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻋﺪﺩ ﺃﺿﻼﻋﻪ )ﻥ( ﻣﻦ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﺣﻴﺚ ﺗﻜﻮﻥ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺱ‬ c٣٦٠ = ‫ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ‬

‫ﻣـﺜـﺎل‬

cŅŇ gpkz 1s?'gb yr 4b 5 zZr h6 ŀŅ Ůh6 ŀŁ qy2GZ ĐsF t0b wN 2b d_;b & 7f ."r 2 ƋP 2f 2 gz k6 2ZĔ $ kb 2[f ‫اﻟﺤﻞ‬

:H% . + } S gpkz 1s?'gb yr 4b z" * qy2GZ wbsF 2B d> & ŀŁ ɤ wN 2b d_;b & 7f

‫ﻥ‬

c١٨٠ ‫ ﻥ = ﻥ‬٢ = (E C ‫ ﺏ‬c) X ‫ﻭﻳﻜﻮﻥ‬ ôªà°ùªdG º««≤àdG

:Hd x ( X L ' DU :‫ﻧﻌﻮﺽ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ‬ r ١ ٢ ‫ ﻥ ﺱ * ﻇﺘﺎ ﻥ‬٤ = 4{ Y 93; . +) ٣ = ‫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻥ‬1 ٢

ƆƆƆƆƆ

‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ɗlf ¹đ^ & 7f \ 7b isj [b e .+ 6 7& ŻǈģŠ ƄŐǔƽŝ 3 h6 ŀĿ m2GZ asF P 2f ‫أ‬ ?L&đ / f - h6 ŀŁƄƄŮƄƄh6 Ň qy2GZ ĐsF lzOf ‫ب‬

º¶àæªdG ™∏°†ªdG áMÉ°ùe OÉéjEG

The area of a regular polygon

Ƌ qOcB asFr qNđB -.N ŮhK kf PcCf d gy : 93x

(ŀƜ d_: lf m/s* gb c gb .& d gy : ` 93x ?ƛ / gbƜƄƄƄ riŁ ɤ ƛ¶"C c) X a

93x

` 93x

r EC i JƄ*ƄE ɤ E CƄƄƄ J ƄƄƄ E = i J `

ƛPcCgb PcB asF 5 z&ƜƄƄƄ ri J 5 ŀŁ ɤƆƆ ƆƄE C ŀ ŀ ŀ i J 5 Ł * 5 Ł = E C *Ɔ ¶" Ł ɤ c gb & 7f

٤ = ‫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻥ‬2 ٢ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ = ﺱ‬

ŀ Ł i J * 5 Ń ɤƆƆ Ɔ Ɔ Ɔ ƄƄ

ɤ 5 qOcB asFr i qNđB -.N t0b PcCgb & 7f ŀ Ł i J * 5 i Ń

‫ ﺱ‬٣ ٣٢ = ‫ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺴﺪﺍﺳﻰ ﺍﻟﻤﻨﺘﻈﻢ‬3

‫ﻣـﺜـﺎل‬

Ƌlzy2;N lzgZ1 2ZĔ $ kb ¹ 2[f h6 Ņ qOcB asF t0b hK kgb wj g b d_;b & 7f ."r 3

h6 Ňň - cŅŇ " * ŀŅ * ŀŁ * ŀŁ = Ɔ ƆwN 2b d_;b & 7f `

cŀŁŁ gpkz 1s?'gb yr 4b 5 zZr h6 ŃŅ Ůh6 łŁ qy2GZ ĐsF t0b wN 2b d_;b & 7f ."r 2 Ƌ.& r t2;N hZ1 2ZĔ $ kb 2[f

٣ ‫ ﺱ‬٤ = ٣ * ٢‫ * ﺱ‬١٤ = ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬

−

> > 83 H + − Y ! H

> > 83 H + − ; M V &I

‫اﻟﺤﻞ‬ ŀ i J * 5 i Ń ɤ hK kgb d_;b & 7f

- } S :4& c = ,o = 6F G0-

ȴŀŇĿ ŀ Ł Ň J * (Ņ) * Ň * Ń ɤ & 7gb ƄƄƄƄƄ ŀ h6 ŀņłŬŇ - ȴŁŁŬń J * ņŁ ɤƆƄƄƄƄƄƄƄƄƄƄ

ȈǭƽƗ ƄŐʗƯŝ

hK kgb 5.7gb

9TL 8 . ' DU = ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺨﻤﺎﺳﻰ ﺍﻟﻤﻨﺘﻈﻢ‬ c١٨٠ ‫ ﻇﺘﺎ‬٢(١٦) * ٥ * ١ = ٥ ٤ ٢ ‫ﺳﻢ‬٤٤٠٫٤٤٢ =

Ɗlf d^ & 7f ."r \ 7b isj [b Sz> e .+ 6 P 2gb MđBĔ tr 7 gb c gb ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬

Ƌ y2;N e Z1 đ 2ZĔ $ kb 2[f h6 ŀŅ qOcB asF t0b hK kgb w6 g+b d_;b & 7f ."r 4 ‫ﻧﺸﺎط‬ http://www.keycurriculum.com/products/sketchpad PZsgb lf qczg' r SKETCHEXCHANGE wj #gb (GSP) $f j2 e.+ 6

p & 7fr o y r3 6 zZr pNđB a sF - #y r Wc +gb z6.kpb a _:Ĕ h62b $f j2 b 0o e.+ 7y Ɗw Ē P j q & 7f - #y r wN 1 d_: h62b đ gV p? ?* - #y r y2 #b a r.b h61 wV e.+ 7y g^ ¹

U ; (١٢٨) ‫ﺍﻃﻠﺐ ﺇﻟﻰ ﻃﻼﺑﻚ ﺍﻟﻘﻴﺎﻡ ﺑﺎﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢ ﺻﻔﺤﺔ‬ .‫ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻣﻊ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻬﻢ‬

Ƌ1r #gb d_;b wV g^ $f j2 b ( Wj -

U ;Y 4 L 4!&

qg61 .y2j t0b d_;b W> 1 +j js[yĔ wcN HSCb - Ƌh62b wcN d_;b E [j -.'j 5r gb HSCb r -2#g zÊ [c d_;b 3sf1 _j

js[yĔ wcN HSCb - Ƌd_;b E [j .y.'

r d_;b wcN Wc +gb z6.kpb đys' b 2"Ė 6 kgb 1 z *Đ l_gy

js[yĔ wcN HSCb - Ƌm- O 2zzS

Ƌ d_;b wV O: r gz[ 7f r gz[ 7f PGZ h61 l_gy

js[yĔ wcN HSCb -

Pf ƛƋƋƋ Ů yr 3 5 zZ ŮPcB asF Ů & 7f ŮHz'fƜ scGgb 5 z[b Msj 1 +j (Measure) ys b lf - Ƌd_;b 1 s# 5 zZ d^ j z ^

.(Help) ys b e.+ 6 t2* zcgN r 2 ^ r- wcN U2O cb -

−

º««≤àdG

:‫ ﺏ ﺟـ ﺣﻴﺚ‬C ‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ‬1 ،‫ﺳﻢ‬١٢ = ‫ ﺏ ﺟـ‬،‫ﺳﻢ‬٨ = ‫ ﺏ‬C ‫أ‬ c٩٠ = (‫ﺏ‬c) X ‫ﺳﻢ‬٨٫٤ = ‫ ﺟـ‬C ،‫ﺳﻢ‬٦٫٢ = ‫ ﺏ‬C ‫ب‬

ÖdÉ£dG AGOCG

ôjó≤àdG

Pe & > H / L3$ U SQ Mp ; M 5+Q ' # L

y ) ' D# O

&/ cQM L3$ U SQ Mp ; M 5+Q ' # L Pe & > / Y ! O" + +I _3 -

D D

> H / cQM U SQ Mp ; M 5+Q ' M{ Pe &Q d!$

U SQ Mp 5 +Q. Y ! _3 - $ ; M / ' Mp *g!$ OM Pe &Q d!$ > H /

' D# o ' D# q

8-X ) ' D# n

> 2 &/ U SQ Mp 5 +Q. N M&- C R W 'Y ! H L O" c A & _3 - ' D# n 6) 9I

nN T S H M; _ & (Z H!F {. ) ‫ ﻭﺟﻪ ﻧﻈﺮ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺇﻟﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻭ‬ ‫ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻪ ﺃﻭ ﻃﻮﻝ ﻗﻄﺮه ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ﻣﻦ‬ .‫ﺧﻼﻝ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﻨﺎﺳﺒﺔ‬

c٣٤ = (Cc) X :6 C M! U ;

:‫ ﺍﻟﺬﻯ ﻓﻴﻪ‬E ‫ ﺏ ﺟـ‬C ‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻰ‬2 ‫ ﻭﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ‬.c٦٤ ،‫ﺳﻢ‬٣٢ = E ‫ ﺏ‬،‫ﺳﻢ‬٢٤ = ‫ ﺟـ‬C .‫ﻗﻄﺮﻳﻪ‬

‫ ﺏ ﺟـ ﺍﻟﺬﻯ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺃﺿﻼﻋﻪ‬C ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ﺡ‬٢ ‫ ﻭﻣﺤﻴﻄﻪ ﻫﻮ‬/‫ ﺟـ‬،/‫ ﺏ‬،/C

:‫ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻨﺘﻈﻤﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ‬3

:‫ ﻓﺘﻜﻮﻥ‬/‫ ﺟـ‬+ /‫ ﺏ‬+ /C = ‫ﺡ‬٢ /

.‫ﺳﻢ‬٩ ‫أ ﺷﻜﻞ ﺫﻭ ﺳﺒﻌﺔ ﺃﺿﻼﻉ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻌﻪ‬ .‫ﺳﻢ‬٦ ‫ب ﺷﻜﻞ ﺫﻭ ﺗﺴﻌﺔ ﺃﺿﻼﻉ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻌﻪ‬ :6 C M! H WU U ; ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻌﻪ‬ ٢ ‫ ﺳﻢ‬٣ ١٥٠ ‫ ﻭﻣﺴﺎﺣﺘﻪ‬،‫ﺳﻢ‬١٠

‫ ﺟـ‬+ /‫ ﺏ‬+ /C = ‫ ﺡ‬ ٢

I 6) ( ‫ ﺟـ‬- ‫ ﺏ ()ﺡ‬- ‫ ()ﺡ‬C - ‫ = ﺡ)ﺡ‬u! . +) /

( % - - ?% $( 0 −

[

‫ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺍﻟﻤﺮﺍﺟﻊ ﻭﺍﻟﻤﻮﺍﻗﻊ ﺍﻻﻟﻜﺘﺮﻭﻧﻴﺔ‬

John J . Bradiy and other, Algebra, U.S.A, prentice Hall, Zolo Eleanor Beoher and other, Advanced Algebra, U.S.A Prentice Hall, 2010 Sandra Argtielles Daire and others, Geometry U.S.A, prentice Hall, 2010 Randall I . Charles and others, Math, Corse 3 . U.S.A, prentice Hall, 2010 J.F Talgert and H.H.Heng, Additional Mathematics, FiFth Edition, 1992, Longman S'ingapore publishers (Ptc) limited. S.Rayner, General Mathemematics, Revision and Practice, Second edition, 1992, oxford university press. Edward D. Gaughan and others, Algebra, Second course 1982, Scott Foresman. Mizrahi Sullivan, Mathematics, sixth edition, 1996, John wiley and sone, Inc. Ernest F. Haeussler, Jr. and others, Introductory mathematical Analysis, Eleventh Edition, 2005, pearson, prentice Hall. G.N YAkovlEv, High school mathematics, Part1, 1982, Mir Publishers, moscow. G.N. YakovLEV, High school mathematics, part2, 1982, Mir pablishers Moscow.

‫ اﻟﻤﻮاﻗﻊ ا ﻟﻜﺘﺮوﻧﻴﺔ‬:‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ‬ (/http: // geogebra. org/com) (/http: www.pedowan. dk) (http:// www. phschool.com) www. NCTM. org http://www. key curriculum. com / products/ sketchpad

١٩٧

−

â&#x20AC;Ťďť&#x2014;ďş&#x17D;ďťŁďťŽďşą ďş?ďť&#x;ďť¤ďşźďť&#x201E;ďť ďş¤ďş&#x17D;ďş&#x2022; ďş?ďť&#x;ďş&#x2DC;ďşŽďş&#x2018;ďťŽďťłďş&#x201D; ďťďş?ďť&#x;ďť&#x152;ďť ďť¤ďť´ďş&#x201D;â&#x20AC;Ź Maximum Value

â&#x2C6;ŤhCâ&#x20AC;&#x2122;G ÂťÂ°SGQĂłdG Ď&#x20AC;Â°ĂźĂ&#x2DC;dG

V YK $ G ď&#x20AC;ł

Inequality

$ L ! ď&#x20AC;ł

Corresponding Sides

Perpendicular

*! ! ď&#x20AC;ł

function Signal

Median

F- ! ď&#x20AC;ł

Postulate(Axiom

Similar Triangles Perimeter Area

$[ \ ! ! ď&#x20AC;ł

Root

$ ^! ď&#x20AC;ł

Sine

S _! $ ^! ď&#x20AC;ł

Similar Polygons

$[ \ ! _! ď&#x20AC;ł

Regular Polygon

Y ! S _! ď&#x20AC;ł

$ )*+ ď&#x20AC;ł ,- . ď&#x20AC;ł %/0 ď&#x20AC;ł , 0 ď&#x20AC;ł 1 2 , 0 ď&#x20AC;ł

Cosine

3 ď&#x20AC;ł

Circle

$ ď&#x20AC;ł

Function

Equation

$ ! ď&#x20AC;ł

Sine Function

Coefficient

! ! ď&#x20AC;ł

Quadratic Function

U ` ď&#x20AC;ł

Constant Function

Tangent

$ % &' ď&#x20AC;ł

Proportion

F ] ď&#x20AC;ł

Area of Polygons

! " # ď&#x20AC;ł

, 4 $ ď&#x20AC;ł 5$ $0%* $ 6 $

+ . $ ď&#x20AC;ł $ + 7 $ ď&#x20AC;ł

Common External Tangent

ab\! V0% ; U ` ď&#x20AC;ł

Cosine Function

18 , 0 $ ď&#x20AC;ł

Common Internal Tangent

ab\! Q; U ` ď&#x20AC;ł

Linear Function

59 $0%* $ 6 $ M; $ ď&#x20AC;ł

Discriminant

< ` ď&#x20AC;ł

Midpoint

! ď&#x20AC;ł

Bisector

! ď&#x20AC;ł

Exterior Bisector

J0% ; ! ď&#x20AC;ł

Interior Bisector

Q; ! ď&#x20AC;ł

Ratio

$L^ ď&#x20AC;ł

Chord

. ď&#x20AC;ł

Mean

F- ď&#x20AC;ł

Standard Position Parallel

V- G S ď&#x20AC;ł T@ ď&#x20AC;ł

â&#x2030;&#x2C6;fĂ&#x2030;ĂŁdG ÂťÂ°SGQĂłdG Ď&#x20AC;Â°ĂźĂ&#x2DC;dG Direction Displacement Optimize Other diagonal Principle or leading diagonal Constrains

c d ď&#x20AC;ł

$ @' ď&#x20AC;ł ! e ď&#x20AC;ł *? ;f MA ď&#x20AC;ł *? V^ 3 MA ď&#x20AC;ł A ď&#x20AC;ł

$ ! $ ď&#x20AC;ł

Trigonometric Function

<= > *? ! 3 ď&#x20AC;ł

Concentric Circles

+% $ @ ď&#x20AC;ł

Quarterly Angle Congruent Angles

$A+ M ! @ ď&#x20AC;ł

Equivalent Angle

$BC D! $ @ ď&#x20AC;ł $E0 ! $ @ ď&#x20AC;ł

Directed Angle

5F %6 $ MG $ @ ď&#x20AC;ł

Radian Pentagon

H I D& ď&#x20AC;ł

Quadrilateral

JK +% D& ď&#x20AC;ł

Cross Product

9 L. MN ď&#x20AC;ł

Extreme

O I ď&#x20AC;ł

Length

I ď&#x20AC;ł ď&#x20AC;ł

Tangent

1 2 ď&#x20AC;ł

Cotangent

! K ď&#x20AC;ł

Factor Imaginary Number Complex Number

Q R *K ď&#x20AC;ł ,= ! *K ď&#x20AC;ł

Relation

$G K ď&#x20AC;ł

Secant

SI G ď&#x20AC;ł

$ M; $g + ď&#x20AC;ł

Cosecant

h% i j! ^A. ď&#x20AC;ł

1 2 SI G ď&#x20AC;ł

External Division

Diameter

; * j! ^A. ď&#x20AC;ł

MG ď&#x20AC;ł

Internal Division

Power of a Point

kT A F@ . ď&#x20AC;ł

$MA G ď&#x20AC;ł

Equilibrium of forces

Measure Radian

El > Sm ď&#x20AC;ł

T 3 U G ď&#x20AC;ł

Addition of vector

Measure of an Angle

Addition of vectors

El > Sm ď&#x20AC;ł

linear Programing

Adding matrices Triangle solve Straight Line Graph

$ @ U G ď&#x20AC;ł

Negative Measure

C n > Sm ď&#x20AC;ł

, - U G ď&#x20AC;ł

Degree Measure

o > ď&#x20AC;ł

V - U G ď&#x20AC;ł

Positive Measure

,0 ! U G ď&#x20AC;ł

Minimum Value

T WX $ G ď&#x20AC;ł

A ^! F; ď&#x20AC;ł p + -% ď&#x20AC;ł

â&#x2C6;&#x2019;

ŮĄŮŠŮ¨

$C n ! ď&#x20AC;ł

Variable Matrix

wW > $C n ! ď&#x20AC;ł ! > $C n ! ď&#x20AC;ł

Coefficient Matrix

* $C n ! ď&#x20AC;ł

Identity Matrix Semi Symmetric Matrix

$ 78 ! zL& $C n ! ď&#x20AC;ł

Angle of Elevation Angle of Depression Anagle between Two Straight lines Orderd Pair

Symmetric Matrix

$ 78 ! $C n ! ď&#x20AC;ł

Multiplication

Square Matrix

$ + ! $C n ! ď&#x20AC;ł

Matrix Multiplication

$ ! ď&#x20AC;ł

Parometric Equation

$ b! % + $ ! ď&#x20AC;ł $! K $ ! ď&#x20AC;ł

General Equation

$ < .% = $ ! ď&#x20AC;ł

Cartisian Equation

$El ! $ ! ď&#x20AC;ł

Vector Equation Trigonometric Equation

$ ! $ ! ď&#x20AC;ł $ C n ! $ ! ď&#x20AC;ł

Matrix Equation

Norm Magnitude

System of linear Inequalities Intersection Point of two straight lines

Perpendicular

K ď&#x20AC;ł

Element

v K ď&#x20AC;ł

Unbounded Triangle Rule Parallelogram Rule

o > *K G ď&#x20AC;ł " T@ ! *K G ď&#x20AC;ł

zl ! %

! ď&#x20AC;ł

Resultant Force

k$ ] G ď&#x20AC;ł

% *A! ď&#x20AC;ł

Absolute Value

$A M! $ G ď&#x20AC;ł

Scalar

$ - G $ = ď&#x20AC;ł

$ M; L ! 1 Y ď&#x20AC;ł s A ^! SI A. $MA ď&#x20AC;ł

Linear Inequality Linear inequality in one unknown Linear inequality in two unknowns

$ M; $ L ! ď&#x20AC;ł * Eg y $ M; $ L ! ď&#x20AC;ł s Eg y $ M; $ L ! ď&#x20AC;ł

Vector

5$El ! $ =6 zl ! ď&#x20AC;ł

Vector

5$El ! $ =6 zl ! ď&#x20AC;ł A ^! c d zl ! ď&#x20AC;ł

equivalent Vector

{C D! zl ! ď&#x20AC;ł

Position Vector

S ! zl ! ď&#x20AC;ł

Unit Vector Identitie Determinant Second Order Determinant Third Order Determinant Bounded Transpose of Matrix Distance Boundary line Solid boundary line Dashed Boundary line Equal Matrix Matrix Constant Matrix Raw Matrix

â&#x2C6;&#x2019;

*] wx ď&#x20AC;ł

$ 3 $ MG ď&#x20AC;ł

vector of Straight line Direction

ŮĄŮŠŮŠ

C n > u I ď&#x20AC;ł

Circular Segment

^A $L^ ď&#x20AC;ł

ratio of Division

Subtracting Matrices

El > u I ď&#x20AC;ł

T 3 " MG ď&#x20AC;ł

e $AM ! ď&#x20AC;ł

Feasible Region

Subtraction of Vectors

MN ď&#x20AC;ł C n > MN ď&#x20AC;ł

Circul Sector

$C n > V+N U D ! ď&#x20AC;ł

Inverse Matrix

,. ! h @ ď&#x20AC;ł $ LMG % X ď&#x20AC;ł

Polar Form

Equation

s A ^! s+ $ @ ď&#x20AC;ł k$ L^ $Kt ď&#x20AC;ł

$ nX $C n ! ď&#x20AC;ł

Y ! S _! ď&#x20AC;ł

q nr $ @ ď&#x20AC;ł

Relative Velocity

Zero Matrix

Regular Polygon

" n.% $ @ ď&#x20AC;ł

* zl ! ď&#x20AC;ł $A+ M ! ď&#x20AC;ł *] ď&#x20AC;ł $ $0%* *] ď&#x20AC;ł $ $0%* j! *] ď&#x20AC;ł *] ď&#x20AC;ł $C n ! % *! ď&#x20AC;ł $C ^! ď&#x20AC;ł kT* A ^! ď&#x20AC;ł k ! * A ^! ď&#x20AC;ł kFA ! * A ^! ď&#x20AC;ł $ ^ ! C n ! ď&#x20AC;ł $C n ! ď&#x20AC;ł |+ $C n ! ď&#x20AC;ł $C n ! ď&#x20AC;ł

‫ﺧﺮﻳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ ﻟﻠﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﻣﺨﺮﺟﺎﺕ ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬

‫ﺍﻟﺠ‪ ‬ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﻭﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬

‫ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ‬

‫‪q‬‬

‫‪٢٠٠‬‬

‫ﺍﳴﻮﺿﻮﻋﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(١ - ١‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ‬ ‫ ? ! ‪k } + } L0 * W ! VC $ $0%* $‬‬ ‫ ‪ VC $ $0%* j! $ ! T%/0~ M X " l! *0‬ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‪.‬‬ ‫! ‪k* W‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٢ - ١‬ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻋﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ ‪ W ! VC $ $0%* j! $ ! * ! ! + *0‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‪.‬‬ ‫ * ‪k E = # j %/l * # $ ! +‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٣ - ١‬ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭ￯‬ ‫ ‪k* W ! VC $ $0%* $ < O‬‬ ‫ ‪ $ ! + * W ! VC $ $0%* $ ! T%/0 " o?L‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫! ! * ‪k‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٤ - ١‬ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬﺭﻱ‬ ‫ ‪T ;# $ ! $ ! + * W ! VC $ $0%* $ ! F D‬‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻭﻣﻌﺎﻣﻼﺕ‬ ‫!‪k* W ! VC $ $0%* j‬‬ ‫ﺣﺪﻭﺩﻫﺎ‪.‬‬ ‫ ‪kT Ll % *A % &' o?L‬‬ ‫ ‪ T G ,,= * .6 $L= *K VC $!*A! O‬ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٥ - ١‬ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‪.‬‬ ‫ ‪ k5j L= ! j *K T ^. ,$ Ll % + ,= * $+ = ,‬ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٦ - ١‬ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ‬ ‫ ? ! ‪k* El! VC $ $0%* j! L‬‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪.‬‬

‫ ^ *‪ _ z+ \. : − kz+ \ " ! V K $ *K $ + z - % L- ! VK‬‬ ‫ ‪kj

_! z+ \. O‬‬ ‫ ‪k z+ \. : −‬‬ ‫ ‪j + $G : − I# |L- . '6 :V K . V $ Y j L O‬‬ ‫ " ‪k5F E+ \ E C j ! VC‬‬ ‫!^ ‪V?M- J‬‬ ‫ ‪o ! j! $ @ |A+ I '6 :V K . V $ Y j L O‬‬ ‫!_

‪kj E+ \ ! j‬‬ ‫@ ‪F . E ?. V " I# |L- . , ; o ! j! $‬‬ ‫ ‪VC z+ \ A LM. : −‬‬ ‫ < ‪k5j E+ \ ! F F = ,F‬‬ ‫ * ‪k 3‬‬ ‫ ‪V ^! j + $L^ 6 :V K . V $ Y j L O‬‬ ‫‪5kkk T ^. j E+ \ ! j ! V?M‬‬‫ ‪F E+ \ F _ 6 :V K . V $A A? ^ O‬‬ ‫ ‪5kkk V ' ^A F# jD‬‬ ‫ ‪V ^! j + $L^ 6 :V K . V $ Y j L O‬‬ ‫!_

‪5kkk T ^. j E+ \ ! j‬‬ ‫ ‪SI A. '6 : V K T/ % E\ j ^ O‬‬ ‫ ^ ‪z^DK 5kkk F C $MA VC 3 VC j . F ? F A‬‬ ‫ ‪kz K 3‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫ﺧﺮﻳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ ﻟﻠﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬

‫ﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺲ‬‫ﺍﺳ‬

‫ﺍﳴﻔﺎﻫﻴﻢ‬

$ ? $ En\ $ B- JC . − V * − $\G − *? ! ! − $ %/0 − $ ! U%* 7# LG $ K l $ n − $ 3 A - $A M − ? −T Ll % *A % &' − $ < ! F# " * + JC $ _ $ B- V − $ I L - $A M − V r. *K − ,= ! *K $ B- /= , ! D LM = " ?. $ L ! − * T G JC " EC j! A?." * + JC % VC $ _ $ B- U% = $ E % L ; * $! j % j! = kV = % L ; *

$ K 0 $ C $ ?. $ En& $ B-# − z0 O \ = − V $M\ # U%* * + 7# LG V / − $ I L - $A M % L ; *

A. − $ A k D\ − $\G − k * $ E JC V = .

٢٠١

−

− I − $ @ U G − ,- . − $L^ F- − O I − V L. M − $ ^! $E+ \ ! ! − $E+ \ ! _! − S _! − $A+ M ! @ − ! " # J- ; D& − JK +% D& − Y ! − S _! $ ^! − F ?! − $ E *+ − U ! − MG − U ! − SI G − . a \! J ; U ! − a \! J0% ; <= *? ! 3 −

‫ﺧﺮﻳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ ﻟﻠﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬

‫ﻣﺨﺮﺟﺎﺕ ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻓﻰ ﺍﳴﺜﻠﺚ‬

‫‪q‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳴﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪٢٠٢‬‬

‫ﺍﳴﻮﺿﻮﻋﺎﺕ‬

‫ ‪ A ^ :5 − 6 U%* T@ A ^! -% '6 :V K . V $ Y j L O‬‬ ‫‪$L- <0 $ @ , E^DK 5kkk z C j ;f j

_ SMA o " # * #‬‬ ‫ ‪k E K 3‬‬ ‫ *‪$ < n ! :5 − 6 U%‬‬ ‫ ‪$L- <0 SMG '6 : V K . V $! . $ Y j L O‬‬ ‫!^ ‪k E ! $X ; 5kkk F C $ @ ! A ^! *K A‬‬ ‫ *‪,- A LM. :5 − 6 U%‬‬ ‫ ‪ 3 * VC U#% $ @ |n '6 :V K . V $ Y j L O‬‬ ‫! ‪ 5kkk U# / * K o $0% r $ < # o‬‬ ‫; ‪k E ! $X‬‬ ‫ ‪k5 - SI A 6 3 * $L^ + $MA G *0‬‬ ‫ ^ ‪VC - % . SI A. j! $l. < - G‬‬ ‫ ‪k 3‬‬ ‫ ? ‪kV0% r V ; * I l ' \. A LM.‬‬

‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻭﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻮﻉ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺑﺎﻟﺘﻘﺪﻳﺮﻳﻦ )ﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ ﻭﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ(‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺎ ﻣﺮﻛﺰﻳﺔ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻓﻰ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺔ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ‪.‬‬ ‫ﻳﺤﺪﺩ ﺇﺷﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻷﺭﺑﺎﻉ ﺍﻷﺭﺑﻌﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺔ ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ ﻭﻷﻯ ﺯﺍﻭﻳﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﺒﻌﺾ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(١ - ٤‬ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٢ - ٤‬ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻗﻴﺎﺱ‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٣ - ٤‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٤ - ٤‬ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٥ - ٤‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ‬ ‫ﻟﻠﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬

‫ ‪ ! c 6 ,5i ! c 6 ,5i ! c 6 $L^ < O‬ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٦ - ٤‬ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ‬ ‫‪,5i ! c 6 ,5i‬‬ ‫ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻌﻠﻮﻡ ﺇﺣﺪﻯ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﻭﺟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ‪ ،‬ﻭﻳﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫ﺧﻮﺍﺹ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻓﻰ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﺒﻌﺾ‬ ‫ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﻨﻤﺬﺝ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻈﻮﺍﻫﺮ ﺍﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ ﻭﺍﻟﺤﻴﺎﺗﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺗﻤﺜﻠﻬﺎ ﺩﻭﺍﻝ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺗﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩﺓ‬ ‫ﻟﻠﻤﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‪.‬‬ ‫ ‪ −‬‬

‫ﺧﺮﻳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ ﻟﻠﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬

‫ﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺲ‬‫ﺍﺳ‬

‫ﺍﳴﻔﺎﻫﻴﻢ‬

$ K 0 $ C $ ?. $ En& $ B-# z0 O \ = + . − V . . . $MA − @ − ,- . − $L^ $M\ U%* * + 7# LG V / − $ I L - $A M − ! − ! − SI G − F- ! − k D\ − $\G − T K − J0% ; ! − V ; − * V K $! K j % . − $ A V K $ E VC V = . % L ; − * % L ; *

$ ? $ En\ $ B- JC . ? −V / − $\G $M\ # $ K l $ n $A M − $ 3 A - $A M − kV − $ I L - $ B-# , ?. F# $ B-# V % $ B- , EC j! A?. $ E % L ; * V K j % . VC kV = % L ; , *

٢٠٣

−

$ @ − T 3 U G − V - U G 5F %6 $ MG $ @ − $E0 ! U G − ,0 ! U G − V- G S − − $

+% $ @ − $BC D! $ @ − , − 1 . , 0 − , 0 − $ ! $ $ − 1 . − SI G − 1 . SI G − $ ^DK $ ! $ − $ 3

‫ﺧﺮﻳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ ﻟﻠﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬

‫ﻣﺨﺮﺟﺎﺕ ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(١ - ١‬ﺗﻨﻈﻴﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻓﻲ‬

‫‪q‬‬

‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻭﻧﻈﻤﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ )ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﺼﻒ ‪ -‬ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ‪ -‬ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﺼﻔﺮﻳﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻘﻄﺮﻳﺔ ‪ -‬ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ‪ -‬ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻭﺷﺒﻪ ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ(‪.‬‬ ‫ﻳﻀﺮﺏ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻓﻲ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ ‪ -‬ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺪﻭﺭ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬ ‫ﻳﺠﺮﻯ ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻭﺍﻟﻄﺮﺡ ﻭﺍﻟﻀﺮﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺣﻠﻮﻝ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺘﻀﻤﻦ ﻣﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ‬ ‫ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺎﺣﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﻨﻤﺬﺝ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺍﻟﺤﻴﺎﺗﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻳﻮﻇﻒ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻓﻲ ﻣﺠﺎﻻﺕ ﺍﺧﺮﻯ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﺤﺪﺩ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻭﺍﻟﺮﺗﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ ‪.٢ × ٢‬‬ ‫ﻳﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺍﻧﻴﺘﻴﻦ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻛﺮﺍﻣﺮ‪.‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ‪.‬‬

‫‪q‬‬

‫ ? ! ‪k } + ? . S! * El! JC V $0%* j! L‬‬ ‫ ? ! ‪k } + ? $AM ! * *?. j El! JC V $0%* j! L‬‬ ‫ ? ‪k } + $ Mr L j! 1 Y‬‬ ‫ ? !^ ‪k$ Mr L $ Y # V K$ . 3‬‬ ‫ ^ ‪k$ . $ % D\! JC $ Mr $l! L 1*r‬‬ ‫ _‪,,- ! *0 JC $ . $ % $ D\! " + $X ; ! ! S‬‬ ‫ ‪k } + ? $AM ! *? 7 ,$ M; L ! % X JC E L 0‬‬ ‫

‪$K l! V ' V . J FA * *?. S! , 7 * $ *+ O*E $ j‬‬ ‫ ? ‪kO*E $ * ! ? MK' ,‬‬

‫‪q‬‬

‫ ‪,$ - A D : − ,$E0 $ A ^ $ MA $El $ D $ - A $ D O‬‬ ‫ ‪k 7 * T ^! JC E C I $ *+ E K L‬‬ ‫ ‪$ A ^ $ MA ,$El D‬‬ ‫ ‪k$ LMA % JC z _ S zl ! O‬‬ ‫ ‪k$E0‬‬

‫‪q‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫ﺍﳴﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬

‫‪q‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬

‫ﺍﻟ‪‬ﻣﺠﺔ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫ﺍﳴﺘﺠﻬﺎﺕ‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪٢٠٤‬‬

‫ﺍﳴﻮﺿﻮﻋﺎﺕ‬

‫ﻣﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٢ - ١‬ﺟﻤﻊ ﻭﻃﺮﺡ‬ ‫ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٣ - ١‬ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٤ - ١‬ﺍﻟﻤﺤﺪﺩﺍﺕ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٥ - ١‬ﺍﻟﻤﻌﻜﻮﺱ ﺍﻟﻀﺮﺑﻲ‬ ‫ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‬

‫ ‪k$ Mr L : −‬‬ ‫ ‪ L j!$ Y # : −‬‬ ‫ ‪k } + $ Mr‬‬ ‫ ‪ ? $ Mr $l! L : −‬‬ ‫ ! ‪k‬‬

‫ ‪kT n zl ,zl %

! *0‬‬ ‫ ‪kj El ! C D. V K j % . ? O‬‬ ‫ ‪V K : − kj

- - * JEl ! $ *+ zl jK L * zl ! O‬‬ ‫ ‪kj El ! *! . j El ! T@ . O‬‬ ‫ ‪k El‬‬ ‫ _ ‪kJA A *K JC zl ! M‬‬ ‫ ‪k El A LM. : −‬‬ ‫ ‪T@ ! $A I − 7 * 6 o *K G 1 *r - + j El ! S l‬‬ ‫ "‪kj El ! u M − 5‬‬ ‫ ‪k El 1 *r - + $ -* E Y + |L‬‬ ‫ ? ‪k El V K $ ^ $-* E JC A LM.‬‬

‫ ‪k El : −‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫ﺧﺮﻳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ ﻟﻠﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬

‫ﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺲ‬‫ﺍﺳ‬

‫ﺍﳴﻔﺎﻫﻴﻢ‬

$ ? $ En\ $ B- JC . − $\G − & L q * + 7# LG $ K l $ n − V − V / D\ - $ A $M\ U%* D , E ! D+ r

A * % L ; $ n $ K l k * $ E JC V = % L ;

$C n ! − K − $C n ! − $ + ! $C n ! − $C n ! − $ ^ ! C n ! − $ nX $C n ! zL& $C n ! − $ 7 ! $C n ! − $C n ! − $ C n ! $ ! − $ 7 ! S 0 − |+ $C n ! − W − C n u I − C n $C n % *! − C n M *?! − $ $0%* *?! − *?! − − ! $C n ! − $ $0%* $C n V+ U D !

$ ? $ En\ $ B- JC . − $\G − & L q * + 7# LG $ K l $ n − $ I L - $A M − V / k D\ − V - $ A $M\ U%* D , E ! D+ r

A * % L ; $ n $ K l k * $ E JC V = % L ;

A ^! − T* A ^! − $ M; $ L ! ! T* A ^! − FA ! T* 1 Y − j El! JC $ M; $ L ! − -% − ? $AM ! − $ Mr L ? − A − $ M; $l! + − J + !

$ K 0 $ C $ ?. $ En& $ B-# − $ I L - $A M − V $M\ U%* * + 7# LG − $\G q − V / * V K $! K j % . $ A k D\ kV = % L ; * % L ;

− 5$El ! $ =6 zl ! − $ - G $ = h @ − S ! zl ! − $ @' − $C ^! zl ! %

! − $A M! $ G − ,. ! − El S 0 − {C D! zl ! − T@ ! *K G − o *K G − M $ ?!6 $ ?! G − " 5T A

٢٠٥

−

‫ﺧﺮﻳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ ﻟﻠﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬

‫ﻣﺨﺮﺟﺎﺕ ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻓﻰ ﺍﳴﺜﻠﺚ‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬

‫ ‪k$ A ^! $ MG Â. : − | K ' h% r # ; * j! $ A ^! $ MG Â. $MA *0‬‬ ‫ ^‪k Â $L‬‬ ‫ ‪Fr $ ! : −‬‬ ‫ ‪k A ^ h% r j! # ; * j! $ A ^! $ MG E+ Â. V $L^ *0‬‬ ‫' ‪k$ A ^ $ MA E K‬‬ ‫ ‪j + $ < U G : −‬‬ ‫ ‪k A ^ Fr $ $n r % O‬‬ ‫!^ ‪kj A‬‬ ‫ ‪$ ,$ ! % L $El $ *0‬‬ ‫ ‪1 - I : −‬‬ ‫ ‪k A ^ Fr $ < .% D‬‬ ‫!‪k A ^! F; V ' $MA j‬‬ ‫ ‪k A ^ Fr $ $! % *0‬‬ ‫ ‪Fr $! $ : − T% ?! j! $K MA <0 $ *+ A ^ Fr $ ! *0‬‬ ‫ ^ ‪kj A ^! SI A. $MA + % A‬‬ ‫ * ‪k 7‬‬ ‫ ‪kj A ^! j + ? $ < U G *0‬‬ ‫ ‪k A ^! F; V ' $MA j! 1 - I *0‬‬ ‫ ‪kj A ^! SI A. $MA + % A ^ $! $ *0‬‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(١ - ٥‬ﺍﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻳﺜﺒﺖ ﺻﺤﺔ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٢ - ٥‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ ? ! ! ‪ n VC $! % VC $M ^+ $‬‬ ‫ ‪ r ,‬‬ ‫ ‪: % V K $ 1 ? VM‬‬ ‫×‬ ‫×‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳴﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪٢٠٦‬‬

‫ﺍﳴﻮﺿﻮﻋﺎﺕ‬

‫ﺟﺎ ‪C‬ﺱ = ﺟﺘﺎ ﺏ ﺱ‬

‫ﻗﺎ ‪C‬ﺱ = ﻗﺘﺎ ﺏ ﺱ‬

‫× ﻇﺎ ‪C‬ﺱ = ﻇﺘﺎ ﺏ ﺱ‬ ‫ ‪k$ $ 1 ? O‬‬ ‫ ? ‪ o‬ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺤﻞ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺗﺸﻤﻞ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﻭﺍﻹﻧﺨﻔﺎﺽ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ * ‪k E ^! l ' $ n = $ 3‬‬ ‫ ‪ *0‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‪ ،‬ﻭﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻰ‪ ،‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺘﻈﻢ‪.‬‬ ‫ﻳﺤﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺗﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ ﺍﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩﺓ‬ ‫ﻟﻠﻤﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻳﻨﻤﺬﺝ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻈﻮﺍﻫﺮ ﺍﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ ﻭﺍﻟﺤﻴﻮﻳﺔ ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺗﻤﺜﻞ ﺑﺪﻭﺍﻝ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻧﺶ‪V f ,- ? ! L $I‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٣ - ٥‬ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ‬

‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٤ - ٥‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺗﺸﻤﻞ ﺯﻭﺍﻳﺎ‬

‫ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﻭﺍﻻﻧﺨﻔﺎﺽ‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٥ - ٥‬ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮ￯‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٦ - ٥‬ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )‪ :(٧ - ٥‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‪،‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻰ‪ ،‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ‬

‫ﺍﻟﻤﻨﺘﻈﻢ‪.‬‬

‫ﺧﺮﻳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ ﻟﻠﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫ﺍﳴﻔﺎﻫﻴﻢ‬

‫ﺍﺳ‪‬ﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺲ‬

‫ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬

‫ ‪$ ? $ En\ $ B- VC . $A M − $\G − ? A ^! c l. zl ! − ^A. $MA‬‬ ‫‪ 7# LG $ K l $ n − V / − $ * - − $ !% + $ ! − $El ! $ ! −‬‬ ‫! ‪k D\ $ @ − $! K $ ! − $ < .% = $‬‬ ‫ ? ‪ " % $ B- − $‬‬ ‫‪ K I − j A ^! j +‬‬ ‫‪$ B- ! D LM = " ?. F#‬‬ ‫ ‪ = $ E VC" EC j! A?." %‬‬ ‫ ‪ = $ E VC $! j % U%‬‬ ‫ * ; ‪kV = . % L ; * % L‬‬

‫ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ ‪ -‬ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ ‪ -‬ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﺿﺮﺓ ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ‬

‫ﺗﺘﻤﺜﻞ ﻓﻰ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺸﻔﻬﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺤﺮﻳﺮﻳﺔ‬

‫ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ‪ -‬ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﻧﺨﻔﺎﺽ ‪ -‬ﻗﻄﺎﻉ ﺩﺍﺋﺮ￯ ﺍﻻﺳﺘﺪﻻﻟﻴﺔ ‪ -‬ﺍﻟﻌﺼﻒ ﺍﻟﺬﻫﻨﻰ‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﻠﻢ ﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ ﻭﺍﻟﺠﻤﺎﻋﻴﺔ ﻗﺒﻞ ﻭﺃﺛﻨﺎﺀ ﻭﺑﻌﺪ‬

‫‪ -‬ﻗﻄﻌﺔ ﺩﺍﺋﺮﻳﺔ ‪-‬‬

‫ﺍﻟﺘﻌﺎﻭﻧﻰ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺱ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﻀﻤﻨﺔ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‪ ،‬ﻭﺍﺧﺘﺒﺎﺭ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‪ ،‬ﻭﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺮﺍﻛﻤﻰ‪.‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪٢٠٧‬‬

â&#x20AC;Ťďť§ďť¤ďş&#x17D;ďşŤďş? ďťŁďťŚ ďş&#x192;ďşłďş&#x17D;ďť&#x;ďť´ďş? ďş?ďť&#x;ďş&#x2DC;ďť&#x2DC;ďťŽďťłďť˘â&#x20AC;Ź

(â&#x20AC;Ť)Ř§ďť&#x;ďş ďş&#x2019;ďşŽâ&#x20AC;Ź

(â&#x20AC;ŤŘ§ďťťďş§ďş&#x2DC;ďş&#x2019;ďş&#x17D;Řą Ř§ Ů&#x2C6;Ů&#x201E; )ďť&#x201C;ďşźďť&#x17E; ŘŻŘąŘ§ďşłďť° ŘŁŮ&#x2C6;Ů&#x201E;â&#x20AC;Ź k G :ÂťJCĂ&#x2030;j Ă&#x2030;e Ď&#x20AC;ÂŞcCG :â&#x20AC;&#x2122;hC kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk VÂ&#x20AC; u VC Â&#x2122; = Â?5Â&#x17D; + U6 $ $K l! 1 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk VÂ&#x20AC; â&#x2C6;&#x2019; Â? , + Â? Â&#x20AC; %/0 V $

+ $ 2 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk â&#x2C6;&#x2039; U !* K $L0 ! F D. U Â? â&#x2C6;&#x2019; Â? = 5U6 o $ * 3 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk Â&#x20AC; U 0Â? = 5U6 o $ * T*! 4

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk T ^ 5ic6 X FÂ&#x2030;C , Â&#x2DC; r Â?, rÂ&#x153; â&#x2C6;&#x2039; i

ŮŁ

Â?

= i 0 F = Â&#x2020;' 5

:ĂĄÂŤJBâ&#x20AC;&#x2122;G ĂĄâ&#x2C6;?Ă&#x201E;Â°SCâ&#x20AC;&#x2122;G Ă¸Y Ă&#x2013;LCG :Ă&#x2030;ÂŤk fĂ&#x2030;K k % X F^+# VC 5 Â&#x17D;Â? â&#x2C6;&#x2019; Â&#x17D;Â?6 â&#x2C6;&#x2019; 5 Â&#x2022; â&#x2C6;&#x2019; Â?Â?6 * S â&#x20AC;ŤŘŁâ&#x20AC;Ź

i + i G *0 Â&#x17E;C , cÂ&#x2018;Â&#x2019; > i > cÂ&#x2019; o Â&#x2019;= Â? â&#x2C6;&#x2019; i G Â? F = Â&#x2020;' â&#x20AC;ŤŘ¨â&#x20AC;Ź $ T%/0 M X T ^ Â&#x2019; = Â?C Â? + U 5Â&#x2122; + C6 â&#x2C6;&#x2019; Â?U $ T%/0 " l! l. V C $ G *0 # â&#x20AC;ŤŘŁâ&#x20AC;Ź

Â&#x2019; = Â?C + U CÂ&#x2022; â&#x2C6;&#x2019; Â?UÂ?

i Â? 0 = i Â? 0 $ 1 ? *0 # â&#x20AC;ŤŘ¨â&#x20AC;Ź Â&#x2019; G Â&#x17D;Â? â&#x2C6;&#x2019; UÂ? + Â?U $ L $K l! *0 # â&#x20AC;ŤŘŁâ&#x20AC;Ź

} *0 Â&#x17E;C 5Â?â&#x2C6;&#x2019; , ŮĽ 6 $MA + V3 E E V V- A S VC $ @ i | = Â&#x2020;' â&#x20AC;ŤŘ¨â&#x20AC;Ź :j! = k5i â&#x2C6;&#x2019; cÂ&#x17D;Â&#x201D;Â&#x2019;6 G ,5i + r 6 Â?

M G Â&#x152;. +Â&#x; A! $ $K l! *0 # 7 ,F n r! F A A Â? = 5U â&#x2C6;&#x2019; Â&#x201C;6U $ T%/0 F# |L7# â&#x20AC;ŤŘŁâ&#x20AC;Ź kj \K j G%

$ T%/0 j + Â n T ^ Â&#x2019; = ÂĄ0 + UÂ? â&#x2C6;&#x2019; Â?UÂ? $ T%/0 j + Â n F = Â&#x2020;' â&#x20AC;ŤŘ¨â&#x20AC;Ź Â&#x2019; = Â?Â?Â? â&#x2C6;&#x2019; ÂĄ0 Â&#x2122;Â&#x201D; + Â?ÂĄ0Â&#x2018; F# |L7Â&#x17E;C Â&#x2019; = Â? + U ÂĄ0 â&#x2C6;&#x2019; Â?UÂ?

â&#x2C6;&#x2019;

Ů˘Ů Ů¨

â&#x20AC;Ťďť§ďť¤ďş&#x17D;ďşŤďş? ďťŁďťŚ ďş&#x192;ďşłďş&#x17D;ďť&#x;ďť´ďş? ďş?ďť&#x;ďş&#x2DC;ďť&#x2DC;ďťŽďťłďť˘â&#x20AC;Ź

(â&#x20AC;Ť)Ř§ďť&#x;ďťŹďť¨ďşŞďşłďş&#x201D;â&#x20AC;Ź

(â&#x20AC;ŤŘ§ďťťďş§ďş&#x2DC;ďş&#x2019;ďş&#x17D;Řą Ř§ďť&#x;ďş&#x153;ďş&#x17D;ďť§ďť° )ďť&#x201C;ďşźďť&#x17E; ŘŻŘąŘ§ďşłďť° ŘŁŮ&#x2C6;Ů&#x201E;â&#x20AC;Ź k G :ÂťJCĂ&#x2030;j Ă&#x2030;e Ď&#x20AC;ÂŞcCG :â&#x20AC;&#x2122;hC

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk F D. j

I A * # V K $l. SMA I# FÂ&#x2030;C $ @ ! A ^! *K F A ^! SMG Â&#x2020;' 1 L= S _ $ ^! FÂ&#x2030;C ,Â? -Â&#x2122;Â&#x2019; T ^. WX S _ $ ^! Â? : Â? E M ?! j + $L^ F E+ \ ! F _! 2 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk ^. C

: + A D\ VC 3

CM EM kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk c E C FÂ&#x2030;C = F = Â&#x2020;' C ÂĄ0 E ÂĄ0

kkkkkkkkkkkkkkkkkkk

: + A D\ JC 4 =

EC ME

FÂ&#x2030;C â&#x20AC;Ť ďťŤŮ&#x20AC; (( ďş? ďş&#x;Ů&#x20AC;â&#x20AC;ŹE : F = Â&#x2020;'

ĂĄÂŤJBâ&#x20AC;&#x2122;G ĂĄâ&#x2C6;?Ă&#x201E;Â°SCâ&#x20AC;&#x2122;G Ă¸Y Ă&#x2013;LCG : Ă&#x2030;kÂŤfĂ&#x2030;K : + A D\ VC â&#x20AC;ŤŘŁâ&#x20AC;Ź

,5E M Cc6 â&#x20AC;Ť ďş? ďťŤŮ&#x20AC;â&#x20AC;Ź,ÂĄ0 M = M C C

5ÂĄ0 M Ec6 â&#x20AC;Ť ďş? ďťâ&#x20AC;Ź:F# |L7# k â&#x20AC;Ť ďş&#x;Ů&#x20AC;â&#x20AC;ŹC (( â&#x20AC;ŤďťŤŮ&#x20AC; ďťâ&#x20AC;Ź

F = Â&#x2020;Â&#x2030;C , . V K Â? -Â&#x201C;Â&#x2122; ,Â? -Â&#x17D;Â&#x2019;Â&#x2019; E ?M- V ^! F E+ \ ! F ! â&#x20AC;ŤŘ¨â&#x20AC;Ź kV F ?! *0 # k -Â&#x201C;Â&#x2019; F ?!

k -Â&#x2122; = ÂĄ0 ÂĄÂ&#x20AC; , -Â? = ÂĄÂ&#x20AC; C , -Â&#x201C; = M E , -Â? = E C o ?+ â&#x20AC;Ť ďş&#x;Ů&#x20AC;â&#x20AC;ŹC â&#x2C6;&#x2039; ÂĄÂ&#x20AC; , â&#x20AC;Ť ďş?â&#x20AC;ŹC â&#x2C6;&#x2039; E ,o ! ÂĄ0 M C â&#x20AC;ŤŘŁâ&#x20AC;Ź

k â&#x20AC;Ť ďťŤŮ&#x20AC; (( ďş? ďş&#x;Ů&#x20AC;â&#x20AC;ŹE :F# |L7# E

: + A D\ VC â&#x20AC;ŤŘ¨â&#x20AC;Ź k, . V K ÂĄ0 ,C VC 3 * SI G â&#x20AC;Ť ďş&#x;Ů&#x20AC;â&#x20AC;ŹE ,M * K U ! â&#x20AC;Ť ďş?â&#x20AC;ŹE

,M ÂĄ0 E9 + C M E9 :F# |L7#

â&#x20AC;Ť ďş?â&#x20AC;ŹE I *0 # k -Â? = ÂĄ0 C , -Â&#x2122; = C E F = Â&#x2020;' Â&#x2013;U Â&#x2013;" "U E" F = Â&#x2020;Â&#x2030;C E â&#x20AC;Ť ďť&#x2030;â&#x20AC;Ź-% , â&#x20AC;Ť â&#x2C6;&#x2039; ďşą ďşšâ&#x20AC;ŹE ,o ! " Â&#x2013; U 7 = , = "U Â&#x2013;" Â&#x2013;E E"

:F# |L7#

kE " U 9 U Â˘ + . V 3 * U ! â&#x20AC;Ť ďť&#x2030; ďşšâ&#x20AC;Ź: Â&#x; 7 " U Â&#x2013;9 + E " Â&#x2013;9 : C

: + A D\ VC 8

, -Â&#x2122; = U C F = o ?+ â&#x20AC;Ť ďş?â&#x20AC;ŹC â&#x2C6;&#x2039; U z C o ! ÂĄ0 M C

: -Â? = ÂĄ0 Â&#x2013; , -Â? = Â&#x2013; C F = o ?+ â&#x20AC;Ť ďş&#x;Ů&#x20AC;â&#x20AC;ŹC â&#x2C6;&#x2039; Â&#x2013; , -Â&#x201C; = M U kT 3 VK +% Â&#x2013; ÂĄ0 M U D\ : M ÂĄ0 C9 + Â&#x2013; U C9 F# |L7# : kÂ&#x2013; ÂĄ0 M U S _ ÂŁM- $ ^! *0 # Â? -Â&#x201D; = 5Â&#x2013; U C961 | = Â&#x2020;' :

Ů˘Ů ŮŠ

â&#x2C6;&#x2019;

‫ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﻦ ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬

(‫)اﻟﺠﺒﺮ‬

(‫اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﺜﺎﻟﺚ )ﻓﺼﻞ دراﺳﻰ ﺛﺎﻧﻰ‬ k G :IÉ£©ªdG äÉHÉLE’G ø«H øe áë«ë°üdG áHÉLE’G ôàNG :’hC :V $? ? % L F C , Y n V K F C n ! M , C | = ' 1 C+M=M+C ‫د‬

M *! C = *!5M C6 ‫ﺟ‬

C−M=M−C ‫ب‬

CM=MC ‫أ‬

:j .f j L $K l! V ' V . V $MA 2 :V G U − , − < + U 5 , −6 ‫ﺟ‬

5 , 6 ‫د‬

5 , −6 ‫ب‬

5 , 6 ‫أ‬

U T ^. ,U F C b l = b l b l F = ' 3

5 , 6 ‫ﺟ‬

5 , 6 ‫د‬

5 , 6 ‫ب‬

5 , 6 ‫أ‬

: V 5¡ + 6 ¡ 0 % *A % X F^+# 4

i 0 ‫ﺟ‬

i 0 ‫د‬

‫ب‬

− ‫أ‬

:T ^ c E- G $ @ E + F ? - , - ٣ c MG I T/ VK + D\ $ ^! 5 - ‫د‬

- ٢٥ ‫ﺟ‬

- ‫ب‬

- ٣ ‫أ‬

:á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :É«k fÉK

b − l * = b − l + M :F = ' M $C n *0 # ‫أ‬ − − = i 0 + i + i 0 :$A+ M $?X |L7# i 0

‫ب‬

k *? 1 *r - + 5 , −6 ,5 , 6 ,5 , −6 z- ¢% T/ o $ ^! *0 # ‫أ‬ r , n VC =

i − $ $K l! *0 #

‫ب‬

− − k*! M = M − C o M $C n *0 C b − l = M , b − l = C | = ' ‫أ‬

kc E @ U G , - E. 3 MG I V $ 3 * $ MA $ ^! *0 # ‫ب‬ *K G jK % ^ * + *0 # kc | DC ,q% V K % - q nr $ @ |^ G ! zK n.% h + $ G j! ‫أ‬

k ! M G . + A! h L E 0 c%*G " j! * = VC ?+% A? ,j n r! j K j! = V K * S ! ‫ب‬ " j! " L ! jK A " j! " L ! F = C E 0 c%*G V " j! * = VC ?+% kjD ! £+% L=# S A? V " = j! E0 ' ,l V * *K *0 C kV

−

٢١٠

â&#x20AC;Ťďť§ďť¤ďş&#x17D;ďşŤďş? ďťŁďťŚ ďş&#x192;ďşłďş&#x17D;ďť&#x;ďť´ďş? ďş?ďť&#x;ďş&#x2DC;ďť&#x2DC;ďťŽďťłďť˘â&#x20AC;Ź

(â&#x20AC;Ť)Ř§ďť&#x;ďťŹďť¨ďşŞďşłďş&#x201D;â&#x20AC;Ź

(â&#x20AC;ŤŘ§ďťťďş§ďş&#x2DC;ďş&#x2019;ďş&#x17D;Řą Ř§ďť&#x;ďşŽŘ§ďş&#x2018;ďť&#x160; )ďť&#x201C;ďşźďť&#x17E; ŘŻŘąŘ§ďşłďť° ďş&#x203A;ďş&#x17D;ďť§ďť°â&#x20AC;Ź k G :â&#x2030;&#x2C6;JCĂ&#x2030;j Ă&#x2030;e Ď&#x20AC;ÂŞcCG :â&#x20AC;&#x2122;hC

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

= â&#x20AC;Ť Â? ďş?â&#x20AC;Ź+ C FÂ&#x2030;C N Â? + M = â&#x20AC;Ť ďş?â&#x20AC;Ź, N Â? â&#x2C6;&#x2019; M Â&#x2122; = C F = Â&#x2020;' 1

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

= 1 FÂ&#x2030;C || C ||1 = || C Â?â&#x2C6;&#x2019;|| F = Â&#x2020;' 2

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk = â&#x20AC;Ť ďş?â&#x20AC;ŹFÂ&#x2030;C 5Â&#x2122;â&#x2C6;&#x2019; ,Â?6 = â&#x20AC;Ť ďş?â&#x20AC;ŹC ,5Â?â&#x2C6;&#x2019; ,Â?6 = C F = Â&#x2020;' 3 o M- VG . $MA VÂ&#x20AC; 1 ,ÂĄ0 M C o VC F- ! E C F = Â&#x2020;' 4 :FÂ&#x2030;C 5Â?â&#x2C6;&#x2019; ,Â?â&#x2C6;&#x2019;6ÂĄ0 ,5Â? ,Â?6M ,5Â&#x201D; ,Â&#x2019;6C kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk VÂ&#x20AC; E $MA V 7 * ' â&#x20AC;ŤŘŁâ&#x20AC;Ź kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk VÂ&#x20AC; 1 $MA V 7 * ' â&#x20AC;ŤŘ¨â&#x20AC;Ź :ĂĄÂŤJBâ&#x20AC;&#x2122;G ĂĄâ&#x2C6;?Ă&#x201E;Â°SCâ&#x20AC;&#x2122;G Ă¸Y Ă&#x2013;LCG :Ă&#x2030;ÂŤk fĂ&#x2030;K kE ÂĄ0 M C " T@ U Â˘% VÂ&#x20AC; 5Â? ,Â?â&#x2C6;&#x2019;6ÂĄ0 ,5Â&#x2019; ,Â&#x2122;6M ,5Â&#x2122; ,Â&#x201C;6C FA | = Â&#x2020;' â&#x20AC;ŤŘŁâ&#x20AC;Ź

kE $MA V 7 * ' *0 #

â&#x20AC;Ť ďş&#x;Ů&#x20AC; = Â? ďşą ďşšâ&#x20AC;ŹE + E C F# |L7# k â&#x20AC;Ť Â&#x2013; ! ďş? ďş&#x;Ů&#x20AC;â&#x20AC;Ź, â&#x20AC;Ť ďş?â&#x20AC;ŹC ! U ,VK +% D& E ÂĄ0 M C â&#x20AC;ŤŘ¨â&#x20AC;Ź â&#x20AC;Ť ďş&#x;Ů&#x20AC; = ďťŤŮ&#x20AC; ďş?â&#x20AC;ŹC o ÂĄÂ&#x20AC; $MA V 7 * ' *0 Â&#x17E;C 5Â&#x2019; ,Â&#x2122;6ÂĄ0 ,5Â? ,Â&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;6M ,5Â&#x17D;â&#x2C6;&#x2019; ,Â?6C | = Â&#x2020;' â&#x20AC;ŤŘŁâ&#x20AC;Ź

j MA + % A ^ V K T K ,5Â? ,Â?6 $MA + T/ A ^ Fr $ ! *0 # â&#x20AC;ŤŘ¨â&#x20AC;Ź k5Â&#x2022; ,Â?6 ,5Â&#x17D; ,Â?â&#x2C6;&#x2019;6 A ^ , A ^ /Â&#x20AC; j + $ < U G *0 # 7 k5Â? ,Â&#x2019;6 $MA + Â&#x17D; z ! T/ A ^ Fr $ ! *0 # â&#x20AC;ŤŘŁâ&#x20AC;Ź Â?

Â&#x2019;= Â? â&#x2C6;&#x2019; Â&#x2013;Â? + U k1 $ G *0 Â&#x17E;C ,Â&#x2122; T ^ Â&#x2019; = Â&#x201C; + Â&#x2013;Â&#x17D;Â? â&#x2C6;&#x2019; UÂ? A ^ V ' 5Â?â&#x2C6;&#x2019; ,16 $MA j! 1 - I F = Â&#x2020;' â&#x20AC;ŤŘ¨â&#x20AC;Ź :F = Â&#x2020;' a $ G *0 Â&#x17E;C Â&#x2019; = Â&#x2022; + Â&#x2013; a â&#x2C6;&#x2019; UÂ? A ^ ! Â&#x20AC; Â?1 ,Â? = Â&#x2013;Â? + U A ^ ! Â&#x20AC; Â&#x17D;1 F = Â&#x2020;' â&#x20AC;ŤŘŁâ&#x20AC;Ź Â&#x; kF *! ! F A ^ : Â&#x; 7 kF @ ! F A ^ :Â&#x201A; # k ^ % ?! Â&#x2019;= Â&#x2122; + Â&#x2013;Â? â&#x2C6;&#x2019; UÂ? ,Â&#x2019;= Â&#x2022; â&#x2C6;&#x2019; Â&#x2013;Â? + UÂ? j A ^ j + % ? $ ^ *0 # â&#x20AC;ŤŘ¨â&#x20AC;Ź

Ů˘ŮĄŮĄ

â&#x2C6;&#x2019;

‫ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﻦ ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬ ! V K ,z A M M zC ! V K < = kz A # z C D . 1 E! 1 !# E + ? V K M M <n k E0 $ G

A. V K < = q k 3 ^ $ n = , S! , M ! . $ n = * *?. q kFAC 3 ^ ΩÉ¡ªdG ¬Ñ°ûJ ≈àdG á«ªjƒ≤àdG á£°ûfC’G Ωób :∫ÓN øe ∂dPh ,á«eƒ«dG , !" # $% &'() *+ %-".+ M( 0 # 1+

:234 5! 6 7 K VC $ ^ %* $M\ ¥ $E+ \ ! $M\ # 1 *r - q k

A k * = . JC $ A $M\ 1 *r - q E ' h ? V $ % n $ n $ 0 $ /W *A. q k K * = M M :∫ÓN øe ∂dPh ,º««≤àdG äÉ«∏ªY »a ÖdÉW πc ∑ô°TCG

k E K# q K V K M M S l\. kO * A?. JC $=% \ V K M M S l\.

‫ﺗﻘﻴﻴﻢ أداء اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻓﻰ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‬ :¬H ¥ƒKƒe º««≤J ΩÉ¶f ôjƒ£Jh AÉ°ûfE’ äÉ¡«LƒJ k ^! $ K z+ 7 !

A. 1 Y M. \ ' F' }*0 $L- ! ,V $ / ! ,

A # + EY. * + $ C 0 T ;# # EY. ,z+ M z^n |G VC , E ^?. EL l. $X C u . F# kj

! V . G ! T ^ $? X x # a E 0 + j 3 !@ T* # j + S_ k ! ! L

A h % ; * K * n! F D. *G V :å«ëH ∂aGógCG ≥≤ëj iòdG º««≤àdG êPƒªf ΩGóîà°SG

M , E !*r - V M $ 0 ! j! T ?! * . Y K' VC E ! * n ^. V 3 * k $ K $K - V ' $C + , ! l! JC $ l * = . , M j! kT ;# l! JC M M j ^? * *?. k$- ! $

G 3 E K O%

A Y j! .

A $K ! ¤ , -# 1 *r - q JC $ E. D!' E C F M M C C . q k _C + £ ^ 0

‫اﺳﺘﻄﻼع رأى اﻟﻄﺎﻟﺐ‬ k - ^ ' . V $ r n-# 5 6 $! K S $ % L j! % LK D @ A- ! B

;<" >9?

;<" =9!

8 '9

k ! VC ¦ ? ! D\+ 1*A.# k 3 ^ j! = VC *K ^ V ' h $ . ? G S 0 JC *3 C E $ Yn 3 ^ EC# 3 ^ Y ! S M -# 3 ^ JC * *0 l . - , l. _C# § $- % j! $ E^+ U L + M X# Y ! C T* $ ! F# *A K#

? ? * $ _n " ! k n z+ F# _n. § K \! X k E C |!*r - ,$-%* h% ; E -% ! V $M\ L+ $ 3 G , = −

٢١٢

тАля╗зя╗дя║Оя║ля║Э я╗гя╗ж я║Гя║│я║Оя╗Яя╗┤я║Р я║Ня╗Яя║Шя╗Шя╗оя╗│я╗втАм :тАля║Чя╗Шя╗┤я╗┤я╗в ╪░╪зя║Чя╗░ я╗Яя╗Мя╗дя╗Ю ╪зя╗Яя╗Фя║оя╗│я╗ЦтАм ...................................................................................................................................................... :тАля║Гя║│я╗дя║Оя║А я║Ня╗Яя╗Фя║оя╗│я╗ЦтАм | = ┬Ж' 5┬П6 *A , % L V K C . | = ┬Ж' ┬Д K l 5┬Щ6 *A FK# 7 ,$ % L j! % LK = ┬Я* 0 # G ┬Ж' 3 ! x V . 51 ┬к6 1*r - , C . ┬В | = ┬Ж' 5┬О6 *A , ! }* V ' C . ┬В | = ┬Ж' 5┬Р6 *A , ! ┬л* V ' C . k┬Д K l X D * $+ l - U ┬з k G /┬А V K LM . ┬В % L | = J3! H I DE "! H I DE "! H I * F DE "! DE "! C '9

! G * F ! G kkkkkk $K l ┬Г _K# 1┬к

┬О

┬Р

┬П

┬Щ

k E+ j n D 1 E <l #

1┬к

┬О

┬Р

┬П

┬Щ

$ E j! q W ┬Я* 0 EC

1┬к

┬О

┬Р

┬П

┬Щ

$ E ┬Я* 0 EC

1┬к

┬О

┬Р

┬П

┬Щ

k ; % DC j! = V ' ┬Я* 0 -

1┬к

┬О

┬Р

┬П

┬Щ

k$& \ % DC T / $ 0 % $ /W. !*G

1┬к

┬О

┬Р

┬П

┬Щ

l. . T/ < El. JC .

1┬к

┬О

┬Р

┬П

┬Щ

k + ^ 1 j! E. n D. A -

1┬к

┬О

┬Р

┬П

┬Щ

k$K l V K ┬А% DC# K

1┬к

┬О

┬Р

┬П

┬Щ

k$0 ? * K L E_ + S! ┬А n.

............................................................................................................................... | . , C S! ; j!

тАля║│я║ая╗Ю я╗Ля╗дя╗Ю ╪зя╗Яя╗Фя║оя╗│я╗ЦтАм :D-HK L % V ' X ┬Я ! n ┬Г _K# K X 7 , ?n 1 G%# , E+ n = V $ E ,┬м % l┬з K C D k$ E @ l ┬Е * n! E.*0 , -# # ┬а I T# =┬Ж k E+ n = V $ E VK 0 D-HK N%O PQ

%$%

M- +

тАл╪зя╗Яя║Шя╗Шя╗┤я╗┤я╗в ╪зя╗Яя║м╪зя║Чя╗░ я╗Яя╗ая╗Дя║Оя╗Яя║РтАм

:тАля║Ня╗Яя╗дя╗мя╗дя║ФтАм RST U V? ;%< %O W X+Y

?z . T/ ! ? E ' $0 JC | = V ! ?┬Д K #*+ = ?z ┬н . | T/ ! R6Z%O .-HI P\) *+ C '9 # ! !3O ]^ k /┬А ┬Г 0' V K % G k JC ┬Г*L LG |MM┬д ; ┬Я | =

┘в┘б┘г

тИТ

тАл╪п╪з╪бтАм/тАл╪пя╗Яя╗┤я╗Ю я╗гя╗ая╗Т ╪зтАм : + B"_ 5! NY `E 6J B P\- ab X _% B"%9 NK !3O ]^ 5%c+!

&M M1+? ;%<

Z9% N'< 5! XZI

? $ 3 G T ? ^n. $+ = $?? ! $ < ! L0 $?? ! % L ; *K# *K V K K U G $ + 1 -% D&#($-* ┬А U # $ ^= *K#(% ^= $ \K % ^= $ B! ,^ , L- . ,,^ *A.(V AK M ^ ┬Г ' L0 1 S! ; * F+ M ┬Г A S! ; * F+ C Wl S! ; * F+ , M S! ; * F+ JC A! + $A ! 1 -%(% X " \! $ _n! 3 ^! $ _ ' 3 - S! X $ *! ! C K ┬Г ! *3 C ┬г . тИТ

┘в┘б┘д

тАля╗зя╗дя║Оя║ля║Э я╗гя╗ж я║Гя║│я║Оя╗Яя╗┤я║Р я║Ня╗Яя║Шя╗Шя╗оя╗│я╗втАм тАля║зя║Тя║о╪зя║Чя╗░ я╗Уя╗▓ ╪зя╗Яя║оя╗│я║Оя║┐я╗┤я║О╪ктАм : $- % l! JC EA A?. * %# V O *┬А

: E _C# ┬з V

: E K j j! * <! V ' h # V % E!

: E! *r - S M -# E A.# V % E! : JC E K | V ┬оC D

тАл╪п╪з╪б я╗Уя╗▓ я║гя╗Ю ╪зя╗Яя╗дя║┤я║Оя║Ля╗ЮтАм/тАля║Чя╗Шя╗┤я╗┤я╗в ╪зтАм

d G0 >9?

:X M N%O < ? P\- ab X _% B"%9 NK !3O ]^ d G0 =9! *E $E

........................

k$ + $ ┬Ю^ # A

........................

kV + -% # # *0 T# U%*

........................

k$X r z. % LK z A M+ * *0 j! $ ┬Ю^ ┬к F# S M ^

........................

k M ! a % ' EC S M ^

........................

kz K $+ 0┬Е ,l T/ ┬Ч^ a % ' EC S M ^ FM4

........................

k$ ┬Ю^ ? ,^ $Mr % r

........................

k$? ? $+ 0┬Е %*A NG

........................

! $ lE ! C

........................

k$ AM ! $ Y ! $A M+ ? q

........................

k$? ?X $A M+ ,^?

........................

k * ┬Я K ! ,$? ?X $ ! = $ l+ $+ 0┬Е VM D.A)

........................

k$+ 0┬Е $ A ! j! A?

........................

k$ ┬Ю^ ? T ;# G┬Я I M l S U)

........................

k$ ┬Ю^ $ ? ┬Я * - EY

........................

k┬Нn + $A7 EY

........................

k$ ┬Ю^ ? $BI ; ┬В ?! aH4 C . Z9)

┘в┘б┘е

тИТ

k E

k ? T ;# A ! G I $+ 0 T l $? * = X S! j ! A z ! = ? $ 0 J k$G* C $+ 0 + $ + , ^? D

T k$ Y l ! $A M+ ? , D 1 Y $+ 0 + z

K F D E K ! %* $+ 0 k$L , A $M M . r % V $ B r * * ?. S k ! r

M ^ z+ * *?. + $ k$

^ S

M ^ L $x X K' S

M ^ *l % U% * k$

+ $ ^ # A k$?

‫ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﻦ ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬ NJ f% NG :ôªà°ùªdG º««≤àdG

................................................................ :M- +

: ? _? NY <

@ ! F = ' ++ k * 0 F = ' +

LA! F = '

M V ' $0 ?+ − k LM + G x k kª

−

− − − −

− − −g −h −i − j − − − −

− − − g − h − i − j − − − −

− − − g − h

٢١٦

‫ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﻦ ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬ =G3% :ôªà°ùªdG º««≤àdG

? T ;# G I T $ 0 l + | G 1 $0 ? *r ^ * K *K ^ , M + ! L E!* X E r ^ Y

W % DC# 1 ? $ + l ' G j ; ! EY f S ! u l + 1 Y ,

. +

n a%* % E + $C

! E Y

................................................................ :M- +

: ? _? NY < @ ! F = ' ++ k * 0 F = ' + LA! F = '

M V ' $0 ?+ − k LM + G x k kª − − − −

− − −g −h −i − j − − − −

− − − g − h − i − j − − − −

− − − g − h

٢١٧

−

‫ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﻦ ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬ * 9+ Z9+ :ôªà°ùªdG º««≤àdG

@ <B &

$AC

! 1*

K E

Y ! LX E Y $ + l '

! E Y $ B# u M E!* *E r ^ + D j ;f % 1 ? j ; *K ^ n z0 JC j ; S!

1 Y + 3 ^

J K % *G E Y

................................................................ :M- +

: ? _? NY < @ ! F = ' ++ k * 0 F = ' + LA! F = '

M V ' $0 ?+ − k LM + G x k kª − − − −

− − −g −h −i − j − − − −

− − − g − h − i − j − − − −

− − − g − h −

٢١٨

‫ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﻦ ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬ á¶MÓªdG ∫ÓN øe iOôØdG º«≤àdG

%J B $K

........................ ........................ ........................

k % E + $C ! EY

........................ ........................ ........................

k n a%*

........................ ........................ ........................

k ? $L- $Mr % r

........................ ........................ ........................

k$G*+ 3 ^ ? N%9 C B O

........................ ........................ ........................

k$ Y ! $A M+

........................ ........................ ........................

k$C Y +

........................ ........................ ........................

k *? |G JC 1*A

........................ ........................ ........................

k x + j ;f S!

........................ ........................ ........................

k$ 0 ' $ K n+ |G 1*r ^

........................ ........................ ........................

k$0 ? * K *K ^ , M

........................ ........................ ........................

kK_ ? .

........................ ........................ ........................

k$ B- z 0 + % L

........................ ........................ ........................

ka ^ z 0 V+ l '

........................ ........................ ........................

kj ;f *K ^ H%

........................ ........................ ........................

kT ;# G I M l

........................ ........................ ........................

kj ;f % DC# 1*r ^ 1 ?

........................ ........................ ........................

k *A $ / 1*r ^

........................ ........................ ........................

kT ; A $L- ? f 1*r ^ 8H? %

........................ ........................ ........................

k + ! LX EY

........................ ........................ ........................

! $ lE ! C

........................ ........................ ........................

k$+ l $ ? * - EY

........................ ........................ ........................

kz ! , M F# F z K $?X j! *=

٢١٩

−

? ! A 0% % L ; 0% $\G J C $=% \ $ < L0 n $C x U \ JC $ + D V

3 ^

................................................................ :M- +

: ? _? NY < @ ! F = ' ++ k * 0 F = ' + LA! F = '

M V ' $0 ?+ − k LM + G x k kª − − − −

− − −g −h −i − j − − − −

− − − g − h − i − j − − − −

− − − g − h −

٢٢٠

‫ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ ﻟﺘﻘﻴﻴﻢ ﻣﺸﺮﻭﻉ ﻣﺎ ﻣﻘﺪﻡ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ ﻃﺎﻟﺐ ﻭﺍﺣﺪ ﺃﻭ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻃﻼﺏ ﺷﻔﻬ ًّﻴﺎ ﺃﻭ‬ ‫ﻛﺘﺎﺑﺔ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻃﺮﻕ ﻧﺎﺟﺤﺔ ﻟﺘﻘﺪﻳﻢ ﺃﻯ ﻣﺎﺩﺓ‪ ،‬ﻭﻣﻦ ﺍﻟﻤﻔﻴﺪ ﺃﻥ ﻳﻘﺪﻡ ﻟﻠﻄﻼﺏ‬ ‫ﻹﺭﺷﺎﺩﻫﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﺨﻄﻴﻂ ﻷﻯ ﻣﺸﺮﻭﻉ ﻓﻲ ﻓﻦ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺃﻭ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﺏ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‪ ،‬ﺃﻭ ﺗﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﺠﺪﺍﻭﻝ‬ ‫ﻭﺍﻟﺮﺳﻮﻡ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ‪ ،‬ﺃﻭ ﻋﺮﻭﺽ ﺣﺎﺳﻮﺑﻴﺔ‪ ،‬ﺃﻭ ﻣﺴﺮﺣﻴﺎﺕ ﻫﺰﻟﻴﺔ ﻗﺼﻴﺮﺓ‪ ،‬ﺃﻭ ﺃﻯ ﻣﺸﺮﻭﻉ ﺑﺤﺜﻰ ﺳﻮﺍﺀ ﺃﻛﺎﻥ ﺷﻔﻬ ًّﻴﺎ ﺃﻡ‬ ‫ﻣﻜﺘﻮ ًﺑﺎ‪.‬‬ ‫ ‪............................................................................................................................................... :M M (, M‬‬ ‫ \ "‪............................................................................................................................................... :‬‬ ‫ ‪l H(%‬‬ ‫ ‪k* 0 D\+ % ! En! q‬‬ ‫ ‪ku + $ % DC S! X‬‬ ‫ ‪kT ;# ! S! F+‬‬ ‫ ‪k _?.‬‬ ‫ ‪ M Mr. z K V_A T/ |G EY‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪k"*L! # ( X#‬‬ ‫ ‪k Y ? + +‬‬

‫< ‪: ? _? NY‬‬ ‫! @ ‬ ‫‪F = ' ++‬‬ ‫ ‬ ‫‪k * 0 F = ' +‬‬ ‫ ‬ ‫!‪ LA‬‬ ‫' = ‪F‬‬ ‫‪ M V ' $0 ?+ −‬‬ ‫‪k LM + G x k kª‬‬

‫ < * !‪k" A - j‬‬ ‫‪k + D! A.‬‬ ‫ _ ‪j‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪k$!*r ^ =/‬‬ ‫ ‪kM M $K l! E+ |n = V 1 E S @ . EY‬‬ ‫ ‪*$K( -".+‬‬ ‫ ‪V 1 En $C ! EY‬‬ ‫! ‪k$ . ; _! $!*A! j _ : Y‬‬ ‫ ^ ‪k,- |G VC $0 ? * K $ L ($

^ 3 - 1*r‬‬ ‫ ‪k K - j! ,- + A FL_ u + D‬‬ ‫ ‪k" + 1 j! * <! $ B- jK , l‬‬ ‫ ‪ EY‬‬ ‫ ‪k 3 ^ ? j

+ l ' E0 .‬‬ ‫! ‬ ‫ ‬ ‫ ‪k$!*r ^ % =/‬‬

‫ ‪ −‬‬

‫‪٢٢١‬‬

‫ﻧﻤﺎﺫﺝ ﻣﻦ ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻘﻮﻳﻢ‬ ÖdÉ£dG RÉéfG ∞∏e º««≤J C =G3!

5%c+!

"ZM! a"+A%

:X M 5! kT ? ^n. k% L ; %

! k ! j! " M G kz ! x u n! - V K k$ _ ' 3 - + |l K *G $ ^ -% # % X :C ^ -H ]! NQ "+ <39

kT ;# n+ $G K E 3 ^! k l! j! l! j! = + $G K E 3 ^! :T ;# K ! S! X $G S l+ # M + # ,jn + # ,1 + # $? + $G K E 3 ^! k C Wl + # ¬ % + # $ K 0 - %* + # L kS0 ! # £? ! V < ! ,0 # G % L ;

K \! :, M j! . k, M K D\ =

−

٢٢٢