ﻤﻬﻮﺭﻳﺔ ﻣﺼﺮ ﺍﻟ ﻌﺮﺑ ﺟ ﻴ ﺔ
ﻭﺯﺍﺭﺓ ﺍﻟﺘـﺮﺑﻴـﺔ ﻭﺍﻟﺘﻌﻠ ﻗﻄﺎﻉ ﺍﻟﻜﺘﺐ
ﻴـﻢ
äÉ`«°VÉ`jôdG ﻟﻠﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺇﻋﺪﺍﺩ ﻭﺗﺄﻟﻴﻒ ﺃ .ﺇﺑﺮﺍﻫﻴــﻢ ﺍﻟﺪﺳﻮﻗـﻰ ﻣﺤﻤﺪ
ﺃ .ﻋﺒـﺪ ﺍﻟﻌﺰﻳـﺰ ﻋﻴﺴـﻰ ﻣﻨـﻮﻥ
ﺩ .ﻧﺒﻴﻞ ﺗﻮﻓﻴﻖ ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﻦ
ﺩ .ﻋﻠـــﻰ ﺃﺣـﻤــﺪ ﻋـﺼــــﺮ
ﻣﺮﺍﺟﻌﺔ ﺩ .ﻭﻟﻴﻢ ﺗــﺎﻭﺿــﺮﻭﺱ ﻋﺒﻴﺪ
٢٠٠٩ - ٢٠٠٨
÷πjó©àdG áæ ﺃ .ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺮﺣﻤﻦ ﻋﺒﺪ ﺍﳌﻨﻌﻢ ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺮﺣﻤﻦ
ﺃ .ﺣﻤﺰﺓ ﻣﺼﻄﻔﻰ ﻣﺤﻤﺪ ﺍﳊﺒﺎﻙ
ﺩ .ﻣﺤﻤﺪ ﻣﺤﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺴﻼﻡ ﺃﺑﻮ ﺭﻳﺔ
ﺩ .ﻋﻴﺪ ﻋﺒﺪ ﺍﻟﻌﺰﻳﺰ ﻓﺘﺢ ﺍﻟﺒﺎﺏ
ﺃ .ﺇﳝـــﺎﻥ ﺳﻴﺪ ﺭﻣــﻀــﺎﻥ ﻣﺤﻤﺪ
á©LGôe ﺃ .ﺩ .ﻣﺤﻤـﺪ ﺃﺣﻤﺪ ﻣﺤﻤﺪ ﺍﻟﻜﺮﺵ
ﺃ .ﻣﺤﻤـﺪ ﺃﺳــﺎﻣــﺔ ﺯﻳـﺪ ﺷـﺮﻳﻒ ﻣﺴﺘﺸﺎﺭ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
iƒHôJ ±GöTGE ﻣﺪﻳﺮ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻄﻮﻳﺮ ﺍﳌﻨﺎﻫﺞ ﻭﺍﳌﻮﺍﺩ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ
πª©dG ≥jôa º«ª°üJh ôJƒ«Ñªc óªMGC ≈Ñ∏°T óªfi êGQO óªfi ¿ÉæM
ﲢﺮﻳﺮ ﻭﺇﺧﺮﺍﺝ
óeÉM ó«°ùdG ó«©°ùdG
ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻄﻮﻳﺮ ﺍﳌﻨﺎﻫﺞ ﻭﺍﳌﻮﺍﺩ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ
äÉjƒàëŸG áªFÉb äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùMh È÷G : k ’hCG
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ :ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ
)(٢٢-١
☜
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ
٢
☜
ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ
٨
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ :ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ
)(٤٠-٢٣
☜
ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
٢٤
☜
ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻟﲔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ
٢٦
☜
ﺍﳊﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﳌﺘﺒﺎﻳﻨﺘﲔ ﺃﻭ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻟﲔ
٣٠
☜
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ
٣٣
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ :ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ
)(٥٤-٤١
☜ ٤٢
☜
ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻮﺟﻬﺔ
☜
ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻮﺟﻬﺔ
٤٤
☜
ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ
٤٦
☜
ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮﻳﻦ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﻭﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ
٤٩
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ :ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ:
)(٨٩-٥٥
☜
ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
٥٦
☜
ﻣﻘﻠﻮﺑﺎﺕ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ
٥٩
☜
ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﺒﻌﺾ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﳋﺎﺻﺔ
٦١
☜
ﺑﻌﺾ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
٦٤
☜
ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
٧٠
☜
ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳊﺎﺩﺓ
٧٣
☜
ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﻷﻯ ﺯﺍﻭﻳﺔ
٧٨
☜
ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻌﻠﻮﻡ ﺇﺣﺪﻯ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻬﺎ
٨١
☜
ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻣﻨﻮﻋﺔ
٨٥
á«∏«∏ëàdG á°Sóæ¡dG : Ék«fÉK
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ :ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ
)(١١٠-٩١
☜
ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ
٩٢
☜
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ
٩٧
☜
ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﲔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﲔ
١٠٣
☜
ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺇﻟﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ
١٠٦
☜
ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﲔ ﻣﻌﻠﻮﻣﲔ
١٠٩
☜
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
١١١
☜
ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ
١٢٣
äÉã∏ãŸG
ÜÉ`°ùMh
È`÷G
: ’hGC
È÷G C π°üØdG äÉaƒØ°üŸG : ∫h’G á«£ÿG á›ÈdG : ≈fÉãdG π°üØdG
: äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùM ájhGõdG ¢SÉ«b ¥ôW : ådÉãdG π°üØdG á«ã∏ãŸG ∫GhódG : ™HGôdG π°üØdG
G
ä
ª`d ` ü ° ` É``aƒ`Ø
∫h’C
ﲤﻬﻴﺪ
G π°
ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻋﺎﺕ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﺍﻟﻤﻬﻤﺔ ﻭﺫﻟﻚ ﻻﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﻓﻰ ﺗﺒﺴﻴﻂ ﻭﺣﻞ ﻣﺸﻜﻼﺕ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﻣﻦ ﻓﺮﻭﻉ
üØd
G
ﺍﻟﻌﻠﻮﻡ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﺳﺒﻴﺔ ﻭﺍﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ ﻭﺍﻟﺼﻨﺎﻋﻴﺔ ﻭﺷﺒﻜﺎﺕ ﺍﻻﺗﺼﺎﻝ ﻭﻭﺿﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻓﻰ ﺻﻮﺭﺓ، Communication Network ﺍﻻﻟﻜﺘﺮﻭﻧﻴﺔ · ﻳﺴﻬﻞ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻌﻬﺎ
ﺍ
ﻷﻫﺪﺍﻑ
ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻧﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ً : ﻗﺎﺩﺭﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ . É¡ª¶fh áaƒØ°üŸG ±ô©àj .1 . á°UÉÿG äÉaƒØ°üŸG ¢†©H ±ô©àj .2 . áaƒØ°üŸG Qhóe ±ô©àj .3 . áaƒØ°üŸG OhóM ±ô©àj .4
ﺍﳌﻮ
ﺿﻮﻋﺎﺕ
. ÚàaƒØ°üe ihÉ°ùJ ±ô©àj .5 . ÚàaƒØ°üe ™ªL ±ô©àj .6 . ≈≤«≤M OóY ≈a áaƒØ°üe Üô°†j .7
äÉaƒØ°üŸG E
. äÉaƒØ°üŸG ™ªL á«∏ªY ¢UGƒN èàæà°ùj .8
äÉaƒØ°üŸG ≈∏Y äÉ«∏ª©dGE
. äÉaƒØ°üŸG Üô°V ±ô©àj .10
. äÉaƒØ°üŸG ìôW ±ô©àj .9 . äÉaƒØ°üŸG Üô°V á«∏ªY ¢UGƒN èàæà°ùj .11 . äÉaƒØ°üŸG ΩGóîà°SÉH á«JÉ«M πFÉ°ùe πëj .12
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
: áaƒØ°üªdG ∞jô©J ô°UÉæ©dG øe áYƒªéªd ádhóL hGC äÉeƒ∏©ªdG º«¶æàd IQƒ°U ≈g áaƒØ°üªdG OóY Oóëjh ø«°Sƒb ø«H ™°VƒJh (á«°SGC Q) IóªYGC h (á«≤aGC ) ±ƒØ°U áÄ«g ≈∏Y ¬Yƒ°Vƒe C OóYh ±ƒØ°üdG . É¡ª¶f hGC Dimensions áaƒØ°üªdG OÉ©HGC IóªY’G C OóYh Ω ihÉ°ùj ±ƒØ°üdG OóY ¿Éc GPÉE a áaƒØ°üªdG ¿GC π«b ¿ ihÉ°ùj IóªY’G . áÑLƒe áë«ë°U OGóYGC ¿ , Ω å«M (¿ ≈a Ω GC ô≤J) ¿ × Ω º¶ædG øe
B ≈≤«Ñ£àdG ∫ÉãªdG òNÉC H ∂dP í°Vƒf ±ƒ°Sh : ≈J’G äÓjOƒªdG øe ø«Yƒf ɪ¡æe πc èàæj (Ü) , (GC ) ¿ÉYôa ¬d äGQÉ«°ùdG êÉàf’E ™æ°üe : ≈∏j ɪc áæ°S ∫ÓN êÉàf’ÉH E ¿É«H ¿hO GPÉE a (2) RGôW , (1) RGôW (٢) ﻃﺮﺍﺯ ١٥٠٠٠
(١) ﻃﺮﺍﺯ ٢٠٠٠٠
(ﻓﺮﻉ )ﺃ
١٢٠٠٠
١٠٠٠٠
(ﻓﺮﻉ )ﺏ
: á«dÉàdG IQƒ°üdÉH ≈Øàμæ°S Iô°üàîe IQƒ°üH á≤HÉ°ùdG äÉfÉ«ÑdG ÖàμJ ≈μdh 15000
20000
12000
10000
(
)
2 × 2 áaƒØ°üe hGC øjOƒªYh ø«Ø°U øe áaƒØ°üe ≈g á≤HÉ°ùdG áaƒØ°ü`ª`dG : Ó k ãªa C ( a 2 * 2 matrix ) ™`°Vƒ`Jh , áaƒØ°üªdG zô°UÉæY { ≈ª°ùJ . áaƒØ°üªdG πNGO OGóY’Gh . ô°üàîªdG êÉàf’G E ¿É«ÑH í°Vƒe ƒg ɪc ( ) πãe ø`«°Sƒ`b ø`«`H áaƒ``Ø°üªdG ô°UÉ`æY
: äɶMÓe
ô°UÉæY ÉeGC , ê , Ü , h πãe É¡d õ«eÎdG hGC áaƒØ°üŸG ᫪°ùàd IÒÑμdG ±hô◊G Ωóîà°ùJ -1 `L , Ü , h πãe IÒ¨°üdG ±hô◊ÉH É¡d õeÒa áaƒØ°üŸG ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٢
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
: IQƒ°üdG ≈∏Y É¡©°Vh øμÁ ¿ * Ω º¶ædG ≈∏Y áaƒØ°üe h âfÉc GPG - 2 ¿ .............. , 3 , 2 , 1 = ´ , Ω............ , 3 , 2 , 1 = ¢U å«M (´ ¢U h )= h
3 ≥ ¿ , 3 ≥ Ω É¡«a ≈àdG ä’É◊G ≈∏Y Éæà°SGQO ô°üà≤J ±ƒ°Sh 3 , 2 , 1 = ´ , 2 , 1 = ¢U å«M (´ ¢Uh) = h áaƒØ°üªdG Oô°ùdÉH ÖàcG
3 × 2 º¶ædG ≈∏Y áaƒØ°üe
(
h 31 h
32
h 21
h 11
h
h
22
12
)
: π◊G =h
1 = ´ , 3 , 2 , 1 = ¢U å«M (´ ¢U Ü) = Ü áaƒØ°üªdG Oô°ùdÉH ÖàcG Ü Ü 12 Ü 13
( )
1 ∫É`ã`e
2 ∫É`ã`e : π◊G
11
1 × 3 º¶ædG ≈∏Y áaƒØ°üe
=Ü
: á°UÉîdG äÉaƒØ°üªdG ¢†©H C øe OóY iGC h óMGh ∞°U øe ¿ƒμàJ ≈àdG áaƒØ°üªdG ≈g : ∞°üdG áaƒØ°üe -1 IóªY’G . ÖLƒe í«ë°U OóY iGC ¿ , 1 = Ω ¿GC iGC ( 1 4 5 ) = h : πãe (∞°U áaƒØ°üe) 3 × 1 º¶ædG ≈∏Y áaƒØ°üe √ògh
2 ×1 º¶ædG ≈∏Y ∞°U áaƒØ°üe √òg
(9 1-) =Ü ∂dòc
OƒªYh ±ƒØ°üdG øe OóY iGC øe ¿ƒμàJ ≈àdG áaƒØ°üªdG ≈g : Oƒª©dG áaƒØ°üe -2 .§≤a óMGh 11 × 3 º¶ædG ≈∏Y OƒªY áaƒØ°üe √òg = ê πãe 3 4
( )
٣
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
OóY ihÉ°ùj ±ƒØ°üdG OóY É¡«a ≈àdG áaƒØ°üªdG ≈g : á©HôªdG áaƒØ°üªdG-3 C ¿ = Ω ¿GC iGC IóªY’G 3 1 2 × 2 º¶ædG ≈∏Y á©Hôe áaƒØ°üe = h áaƒØ°üªdG 7 5 3 ×3 º¶ædG ≈∏Y á©Hôe áaƒØ°üe
( ) ( ) 3 6 9
2 5 8
1 4 7
Ó k ãªa
=Ü áaƒØ°üªdG
É¡d õeôjh QÉØ°UGC Égô°UÉæY ™«ªL ≈àdG áaƒØ°üªdG ≈g : ájôØ°üdG áaƒØ°üªdG-4 ô«¨°U π«£à°ùªH 2 × 2 º¶ædG ≈∏Y ájôØ°U áaƒØ°üe
1 × 3 º¶ædG ≈∏Y ájôØ°U áaƒØ°üe
( ) () 0 0
0 0
0 0 0
=
2*2
πãe
= 1*3
: áaƒØ°üªdG Qhóe
C hGC IóªY’ÉH C ±ƒØ°üdG ÉædóÑà°SG GPEG ¿ × Ω º¶ædG øe h áaƒØ°üe i’C IóªY’G ≈ª°ùJ Ω × ¿ º¶ædG øe áaƒØ°üe ≈∏Y π°üëf ÉæfÉE a Ö«JôàdG ¢ùØæH ±ƒØ°üdÉH óe
h õeôdÉH É¡d õeôjh h áaƒØ°üªdG QhóªH h
=
óe óe
(
h) : ¿ƒμj ∂dP ≈∏Yh
∫É``ã``e
B äÉaƒØ°üªdG øe πc Qhóe óLhGC : á«J’G
( ) 4
3-
1- 2
(
=ê, 5
3-
1
) =Ü ,
(
2 × 3 º¶ædG ≈∏Y áaƒØ°üe
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
)
3 2- 1 5 1- 4
4 1 1- 25 3
=h
( )
: π◊G =
óe
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
h
٤
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
1 × 3 º¶ædG ≈∏Y áaƒØ°üe 2 × 2 º¶ædG ≈∏Y áaƒØ°üe
1 35 2 3-
() ( ) 1- 4
óe
= Ü
=
óe
ê
: ø«àaƒØ°üe ihÉ°ùJ º¶ædG ¢ùØf ɪ¡d ÉàfÉc GPEG §≤ah GPEG ¿ÉàjhÉ°ùàe ɪ¡fGC ø«àaƒØ°üªd ∫É≤j C IôXÉæàªdG ô°UÉæ©dG ¿GC h (OÉ©H’G) C . ájhÉ°ùàe (corresponding positions ) ´É°Vh’G
( (
1 6
2
10 2
6 2
4-
2
6
2
3-
) ( ) ) ( ) 1
= 6 ≠
2 3 k ãªa 5 4- : Ó
2
6
3- 2
¿Éc GPEG ¢U , ¢S øjô«¨àªdG øe πc ᪫b óLhGC
(
12+¢U2
٥
) (
2 6
=
)
øμd
∫É``ã``e
1- 5+¢S 146
: π◊G
C IôXÉæàe ô°UÉæ©dG ∴ . ájhÉ°ùàe ´É°Vh’G
¿ÉàjhÉ°ùàe ¿ÉàaƒØ°üªdG ...
3- = ¢S ∴
2 = 5 + ¢S ∴
8- = ¢U ∴
2 + ¢U2 = 14- ...
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
Ée ¿Éμa ∂«eGô«°ùdG øe ø«Ø∏àîe ø«Yƒf ´ , ¢U , ¢S äÉcô°T çÓK âéàfG
1
C ´ƒædG øe ¥hóæ°U 1000 øY IQÉÑY ¢S ácô°ûdG ¬àéàfG øe ¥hóæ°U 1200 , ∫h’G C ´ƒædG øe ¥hóæ°U 800 øY IQÉÑY ¢U ácô°ûdG ¬àéàfG Éeh ≈fÉãdG ´ƒædG ∫h’G ¥hóæ°U 700 øY IQÉÑY ´ ácô°ûdG ¬àéàfG Éeh ≈fÉãdG ´ƒædG øe ¥hóæ°U 1000 , C ´ƒædG øe . §≤a ∫h’G 2 × 3 º¶ædG øe h áaƒØ°üe IQƒ°U ≈a äÉfÉ«ÑdG √òg ÖàcG ÜÉLÉC a Ωƒ∏©dGh ,äÉ«°VÉjôdG ≈JOÉe ≈a ÜÓW áKÓãd AÉcP QÉÑàNG iôLG
2
C ÖdÉ£dG k GDƒ°S 20 , äÉ«°VÉjôdG ≈a ’ k GDƒ°S 15 ≈∏Y ∫h’G ÜÉLGC h , Ωƒ∏©dG ≈a ’ k GDƒ°S 15 , äÉ«°VÉjôdG ≈a ’ k GDƒ°S 24 ≈∏Y ≈fÉãdG ådÉãdG ÜÉLGC h , Ωƒ∏©dG ≈a ’ . Ωƒ∏©dG ≈a ∫GDƒ°S iGC øY Öéj ºdh , äÉ«°VÉjôdG ≈a ∫GDƒ°S 30 ≈∏Y k hGC 2 × 3 º¶ædG ≈∏Y h øμàdh áaƒØ°üe IQƒ°U ≈a äÉfÉ«ÑdG √òg ÖàcG : ’ ¢ùØf ≈∏Y ê áaƒØ°üªdG ÖàcÉa äÉLQO 5 ∫GDƒ°S πμd É°ü°üîe ¿Éc GPEG : É«fÉK k k . ø«JOɪdG øe πc ≈a º¡æe óMGh πc äÉLQO ø«ÑJ º¶ædG : πªcGC ,
(
¢U
0 6
1-¢S 9 2
)
=Ü,
4- 3 0 9 6 2
( )
= h âfÉc GPEG
3
...... ƒg h áaƒØ°üªdG º¶f G C Oƒ`ª©dGh ≈fÉ`ãdG ∞°ü`dG ≈a ™`≤j iò`dG ô°üæ`©dG Ü Ü áaƒØ°ü`ªdG øe ∫h’G ........ ƒg ...... ƒg 12 h ô°üæ©dGh , ........ ƒg 21Ü ô°üæ©dG ...... = ¢U ,
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
...... = ¢S ¿ÉE a
`L
Ü = h âfÉc GPEG O
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٦
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
3 * 2 º¶ædG ≈∏Y ôcPÉC a
(
0 1
óe
Ü,
1 2 4
7 3 óe
)
=Ü,
12 4 2 3-
3 1 áaƒØ°üªdG ÖàcG 2 1= h âfÉc GPEG 3
( ) ( )
4
5
h óLhGC ºK , Ü , h ø«àaƒØ°üªdG øe Óc º¶f
3 × 3 º¶ædG ≈∏Y ≈àdG ájôØ°üdG áaƒØ°üªdG ÖàcG
(
35 6 1+¢U2
) (
)
3- 1+2¢S 6 4
=
âfÉc GPEG
6
7
¢U , ¢S øe πc º«b óLhÉC a ¿ÉàjhÉ°ùàe ¿ÉàaƒØ°üªdG π©éJ ≈àdG ´ , ¢U , ¢S º«b óLhGC ´ 5 1
(
٧
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
3 2 1+´ 13 4
) ( ,
4 5 1
3 ¢U 3
¢S 14
8
)
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
: äÉaƒØ°üªdG ™ªL : ’hGC áæμªe ¿ƒμJ ™ªédG á«∏ªY ¿ÉE a º¶ædG ¢ùØf ɪ¡d ø«àaƒØ°üe Ü , h âfÉc GPEG øe èJÉf É¡«a ô°üæY πch º¶ædG ¢ùØf É¡d áaƒØ°üe øY IQÉÑY ™ªédG èJÉf ¿ƒμjh . øjôXÉæàªdG øjô°üæ©dG ™ªL
( (
0 10
1 8
0 7 3 3
)
) = h ¿Éc GPEG : Óãªa 1+1- 0 + 3 ( 8+2 7+4- ) = Ü + h ¿Éa
=Ü,
)=
(
ê + ê + ê èJÉf óLhÉa
(
1- 3 2 4-
4 7
3 6
2 5
) = ê ¿Éc GPEG
∫É`ã`e
: π◊G 12 9 6 = 21 18 15
(
) (
4+4+4 7+7+7
3+3+3 6+6+6
2+2+2 5+5+5
) =ê3=ê+ê+ê
: áaƒØ°üe ≈a ≈≤«≤M OóY Üô°V ≈a ≤«≤≈ ﻙM OóY iGC Üô°V π°UÉM ¿Éa ¿*Ω º¶ædG øe ±ƒØ°üe h âfÉc GPG ê áaƒØ°üªdG ≈∏Y π°üëfh ¿*Ω º¶ædG øe h = ﻙê áaƒØ°üªdG ≈g h áaƒØ°üªdG . ≤«≤≈ ﻙëdG Oó©dG ≈a h áaƒØ°üªdG ô°UÉæY øe ô°üæY πc Üô°†H
( ( ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
2 4- 28- 4 612 2 10-
)
=h 2- ,
1- 2 1 4 2- 3 6- 1- 5
) ( ) 3- 6 3 12 6- 9 18- 3- 15
:Ó k ãªa
= h âfÉc GPEG
= h 3 : ¿ÉE a
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٨
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
: ™ªédG á«∏ªY ¢UGƒN ¿GC h ¿ * Ω º¶ædG øe äÉaƒØ°üe çÓK ê , Ü , h ¿GC ¢VôØH
áaƒØ°üe
: ¿ÉE a º¶ædG ¢ùØf øe ájôØ°U ¿ * Ω º¶ædG øe áaƒØ°üe ¿ƒμJ Ü + h : ¥Ó¨f’G áÑ°UÉN ( 1 h + Ü = Ü + h ∫GóH’G á«°UÉN ( 2
( ) ( ) ( ) ( )( 5 1
2 5
2 3 1- 1
=
+
3 2
2 13 1= + 14 2 4
3 1
) : Ók ãªa
(ê + Ü) + h = ê + ( Ü + h ) : èeódG á«°UÉN ( 3
( ) ( ) ( ) = h ¿Éc GPG : Óãªa 1 5 1 12 3 + + (2 3-) [(3- 4 ) (4- 1 )]= ê +( Ü+ h)¿Éa 1 2
5 3-
=ê,
1 13- 4
)
=
(
[( )
+
(
4 7 5- 2 1 2
(
5 3-
4 7 5- 2
1 2
)=
(
2 3 0 5 1 + 0 1 10
)=
0 0 0
=
0 0 0
=
2 3 5 1 1 1-
=
+ h : ≈©ªédG ójÉëªdG á«°UÉN ( 4 0 0 0
0 0 0
0 0 + 0
1 2 4
)( ) ( ) ( ( ) 1 2 4
٩
) (
3 2 7- 5
+
(3-1 1-4 )]+ (4-2 13 ) = (ê + Ü ) + h , 2 4 2 3 + (1- 1 ) (4- 1 ) =
h=h+ 1 2 4
5 3-
2 3 4- 1
=Ü,
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
2 3 5 1 1 1-
)
: a
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
: ≈©ªédG (ô«¶ædG) ¢Sƒμ©ªdG á«°UÉN ( 5 = h + (h-) = ( h-) + h h áaƒØ°üª∏d ≈©ªédG ô«¶ædG ƒg (h -) å«M
(
0 0
0 0
0 0
) ( )( ) 2- 4 32 4- 3 ( 5- 0 1 ) - = ( 5 0 1- ) å«M
2- 4 32 4- 3 + :Ó k ãªa 5 0 15- 0 1
=
: äÉaƒØ°üªdG ìôW - É«fÉK áaƒØ°üªdG ¿ÉE a ¿ * Ω º¶ædG ≈∏Y Ü , h ø«àaƒØ°üªdG øe πc âfÉc GPEG ¢Sƒμ©e ≈g (Ü-) , ¿ * Ω º¶ædG ≈∏Y áaƒØ°üe ê å«M (Ü-) +h = Ü -h = ê . äÉaƒØ°üªdG ™ªL á«∏ª©d áÑ°ùædÉH Ü áaƒØ°üªdG
(
¢U ¢S ∫ ´
(
¢U-Ü ∫ -O
¢S-h ´-`L 1 3 4 23- 1
) (
Ü O
-
) (
) (
h `L
) : a
)
Ü h ¢U- ¢S+ = O `L ∫´5 2 1- 3 = h âfÉc GPEG =Ü, 2 4
=
( ) ( ) ( ) 1- 5 3 12- 0
=ê,
1 ∫É`ã`e
ê 5 + Ü 4 - h 3 áaƒØ°üªdG óLhÉC a 15 6 3- 9 6 12
4- 1216- 8 12 4-
( )
= Ü 4- ∴
2 3 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 12 16 812- 4
5- 25 15 510- 0
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
5 12
=
: π◊G *3=h3
=
1 3 4 23- 1
*4=Ü4,
=
1- 5 3 12- 0
*5=ê5,
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
١٠
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
5- 25 15 510- 0
15 6 4- 123- 9 16- 8 + 6 12 12 45 - 4- 15 25 + 12- 6 15 + 16- 35-8+9 10 - 12 + 6 0 + 4 -12
( ) ( ) ( ) ) ( ( ) +
6 19 4- 12 8 8
(
4 1 13- 1 2 1- 3 0
)
=Ü,
=ê5+Ü4-h3∴
=
=
: âfÉc GPEG 1 3 2 2 0 1=h 2- 3- 4
(
)
2 ∫É`ã`e
Ü 2 = S 3 + h ¿Éc GPEG S áaƒØ°üŸG óLhÉC a
: π◊G Ü 2 = S 3 + h ... (Úaô£∏d h áaƒØ°üª∏d ≈©ª÷G ¢Sƒμ©ŸG áaÉ°VÉH)Ü2+(h-)=S3+h+(h-)∴ Ü 2 + (h-) = S 3 + ( h + h-) ∴ Ü 2 + ( h- ) = S3 + ( 1 ≈a Úaô£dG Üô°†H ) [ Ü2 + (h -)] = S 3 3 1 S 1 [ Ü 2 + (h-) ] = 3 * 3 3 1 S [ Ü 2 + (h-)] = 3
( ١١
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
8 2 26- 2 4 2- 6 0
1- 3- 22- 0 1 2 3 4-
) ( ( +
) )
7 1- 48- 2 5 0 9 4-
= Ü 2 + (h-) ... ,
= ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
7 1- 48- 2 5 0 9 4-
(
0
3
4 35 3 43
=Ü,
1 0
5 3 1- 2
( (
1 2 11- 3 0
)
7 1 3 38 -2 3 3
)
1 3
* =S∴
(
)
=S ∴
)
= h âfÉc GPEG
3 ∫É`ã`e
h = óeS + Ü 2 å«ëH S áaƒØ°üŸG óLhÉC a
: π◊G h = óeS + Ü 2 ... (Ü2- ) + h = 2- 4- 2 2 6- 0
(
1 0
5 3 1- 2
) ( )= 1- 1 5 ( 2 7- 2 ) = +
óe
(
S∴
óe
1- 1 5 = óe(óeS) ∴ 2 7- 2
)
2 5 7- 1 2 1-
( ) ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
S∴
óe
=S∴
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
١٢
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
(
5 4
0 2-
)
=ê,
(
)
3 6
1=Ü, 4
ê - Ü 2 +h : ÉkãdÉK
1- 1 3- 2 3 4-
( )
3- 2 6 4 1 5
( )
=´,
1 1 0
(
4 2 2- 3 5 1
(
)
1 3 = h âfÉc GPEG 1- 2 : ≈JÉC j ɪe Óc óLhÉC a k hGC ê -Ü : É«fÉK Ü+ h : ’ k 1- 5 3 1 = S âfÉc GPEG 2 0 U + W 3 - S 2 : óLhÉC a
( )
=W ,
) ( =Ü,
1 4 1- 6 2- 1
3 5 4
)
= h âfÉc GPEG
1
2
3
Ü 2 = S + h : ádOÉ©ªdG ≥≤ëJ ≈àdG S áaƒØ°üªdG óLhÉC a
(
) (
) (
3 4 Ü h = 1- 2 O `M 4 1- 3 1- 6 =Ü, 1- 5 6 1 3 1 0 0 5 2-
O , `L , Ü , h óLhÉC a ;
(
(
)
(
0 0 1
1 1 =O, 0
0 0 1
0 1 0
) (
1 0 0
2 1 1
) ( =ê,
)
4
5
å«ëH S áaƒØ°üªdG óLhÉC a
Ü4-h3=S
0 1 0
)
1 5 âfÉc GPG 3- 2 4 2 = h âfÉc GPG 7
5 0 0
3 0 1
)
= Ü âfÉc GPG
6
O 3 - S 4 = ê 3 + Ü 2 : ≥≤ëJ ≈àdG S áaƒØ°üªdG óLhÉC a
(
1 1
1 12 3
) = Ü ,(
3 0 1
2 1 5
)
= h âfÉc GPG
7
. øμeGC ¿EG Ü + h , óeÜ + h , Ü + óeh óLhÉC a S óLhÉC a
١٣
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
(
) ( )
Ü G O `M
=
1 5 + óeS âfÉc GPG 8 3- 2 ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
: äÉaƒØ°üªdG Üô°V - Éãk dÉK . áaƒØ°üe ≈a áaƒØ°üe Üô°V á«∏ªY í°Vƒj ≈dÉàdG ∫ÉãªdG á«Hô©dG ø«à¨∏dÉH ôJƒ«ÑªμdG ΩGóîà°SÉH áHÉàμdG º«∏©J õcGôe óMGC ≈a (äGó«°ùdGh ∫ÉLôdG øe) ø«°SQGódG ™jRƒJh `L , Ü , h ∫ƒ°üa áKÓK óLƒj ájõ«∏éf’Gh á«Hô©dG ø«à¨∏dÉH äÉHÉ£îdG OóY áHÉàc ≈a º¡JGQób Ö°ùM ∫ƒ°üØdG √òg ≈a B : ≈J’Éc º¡fÉ«Hh áYÉ°S ≈a ájõ«∏éf’Gh `L 3
Ü 5
h 4
∫ÉLôdG OóY
4
2
3
äGó«°ùdG OóY
: ≈∏j ɪc äÉHÉ£îdG áHÉàc ≈∏Y ø«°SQGódG IQóbh iõ«∏‚G ÜÉ£N ≈HôY ÜÉ£N 2
3
3 2
4 5
h π°üØdG ≈°SQGO IQób Ü π°üØdG ≈°SQGO IQób `L π°üØdG ≈°SQGO IQób
á``«``Hô`©`dG á``¨∏dÉH á`KÓ`ãdG ∫ƒ°üØdG ≈a ∫É`LôdG É¡Ñàμj ≈àdG äÉHÉ£îdG ´ƒªée ÉHÉ£N 47 = 5 * 3 + 4 * 5 + 3 * 4 = k ájõ«∏éf’G á¨∏dÉH áKÓãdG ∫ƒ°üØdG ≈a ∫ÉLôdG É¡Ñàμj ≈àdG äÉHÉ£îdG ´ƒªée ÉHÉ£N 29 = 2 * 3 + 3 * 5 + 2 * 4 = k á``«``Hô`©`dG á¨∏dÉH á`KÓ`ãdG ∫ƒ°üØdG ≈a äGó«°ùdG É¡ÑàμJ ≈àdG äÉHÉ£îdG ´ƒªée ÉHÉ£N 37 = 5 * 4 + 4 * 2 + 3 * 3 = k ájõ«∏éf’G á¨∏dÉH áKÓãdG ∫ƒ°üØdG ≈a äGó«°ùdG É¡ÑàμJ ≈àdG äÉHÉ£îdG ´ƒªée ÉHÉ£N 20 = 2 * 4 + 3 * 2 + 2 * 3 = k B ∫hóédG ≈a ¬«∏Y Éæ∏°üM Ée ¢ü«î∏J øμªjh : ≈J’G äGó«°S ∫ÉLQ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
37
47
á«Hô©dG á¨∏dÉH äÉHÉ£ÿG OóY
20
29
ájõ«∏‚’G á¨∏dÉH äÉHÉ£ÿG OóY ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
١٤
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
≈∏Y ∫ÉãªdG Gòg ≈a É¡«∏Y Éæ∏°üM ≈àdG IÉ£©ªdG äÉfÉ«ÑdG ™«ªL Éæ©°Vh GPEGh B ≈∏Y π°üëf ÉæfÉE a äÉaƒØ°üe IQƒ°U : ≈J’G 2 3 2
3 4 5
( )
= Ü äGQó≤dG áaƒØ°üe ,
(
3 4
(
29 20
5 2
4 3 47 37
) =h OGôa’GC áaƒØ°üe
) = ê èJGƒædG áaƒØ°üeh
ô°UÉæY Üô°V π°UGƒM ™«eÉ› øe âfƒμJ áŒÉædG áaƒØ°üŸG ô°UÉæY ¿GC ßMÓfh C áaƒØ°üŸG ≈Ø°U . (Ü) á«fÉãdG áaƒØ°üŸG IóªYGC ô°UÉæY * (h)¤h’G ≈∏Y É¡H Éæ∏°üM ≈àdG á≤jô£dG ¢ùØæH ±ô©J äÉaƒØ°üŸG Üô°V á«∏ªY ¿EG Üô°V á«∏ªY ¿GC PEG IÉ£©ŸG äÉfÉ«ÑdG ≈àaƒØ°üe øe ܃∏£ŸG êÉàf’G áaƒØ°üe B : ≈J’Éc ºàJ áaƒØ°üe ≈g áaƒØ°üe 2 3 2
3 4 5
( )( 2*3 + 3*5 + 2*4 2*4 + 3*2 + 2*3
(
3 4
5 2
4 3
) = Üh
5*3 + 4*5 + 3*4 5*4 + 4*2 + 3*3
) 29 47 ( 20 37 )
= =
B í°†àj ∫ÉãŸG Gòg øeh : ≈J’G áaƒØ°üŸG IóªYGC OóY ¿Éc GPEG Üô°†∏d Úà∏HÉb ¿ÉfƒμJ Ü , h ¿ÉàaƒØ°üŸG ( 1 C . (Ü ) á«fÉãdG áaƒØ°üŸG ±ƒØ°U OóY ihÉ°ùJ (h) ¤h’G ¿ÉE a ∫ * ¿ º¶ædG øe áaƒØ°üe Ü , ¿ * Ω º¶ædG øe áaƒØ°üe h âfÉc GPEG ( 2 `L ô°üæY iGC h ∫ * Ω º¶ædG øe áaƒØ°üe ê å«M ê = Ü h Üô°†dG π°UÉM ¢U ∞°üdG ô°UÉæY iGC ´ ¢U Üô°†dG π°UGƒM ™ªL øY èàæj ê áaƒØ°üŸG ≈a .. Gô°üæ©H Gô°üæY Ü áaƒØ°üŸG øe ´ Oƒª©dG ô°UÉæY ≈a h áaƒØ°üŸG øe k k
١٥
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
C óMGC ≈a ∫h’G C πëŸG ´ÉH . ∫ÉLôdG ¢ù`HÓ`e ™`«`Ñd ¿Ó``fi , ∫óH 10 ΩÉj’G
1 ∫É`ã`e
Ωƒ«```dG ¢ù`Øf ≈a ≈fÉã`dG π`ëŸG ´ÉHh , ÜQGƒ`÷G øe Ék`LhR 12 , ¿É°üªb 5 Ú∏ëŸG ≈a ™«ÑdG ô©°S ¿Éch , ÜQGƒ÷G øe êGhRGC 5 , ¿É°üªb 10 , ∫óH 8 . ÜQGƒ÷G êhõd äÉ¡«æL 5 , ¢ü«ª≤∏d É¡«æL 30 , ádóÑ∏d É¡«æL 150 ƒg áaƒØ°üŸG óLhGC ºK , 3 * 2 º¶ædG øe áaƒØ°üe IQƒ°U ≈a äÉ©«ÑŸG ÖàcG . πfi πc äÉ©«Ñe øªK á∏ªL ÚÑJ ≈àdG
: π◊G B áaƒØ°üe IQƒ°U ≈∏Y É¡àHÉàc Éæd π¡°ù«d ≈J’Éc ∫hóL ≈a äÉ©«ÑŸG Öàμf h áaƒØ°üŸG øμàdh
(
12 5 5 10
10 8
)
ÜQGƒL ¢ü«ªb
=h∴
ádóH
12
5
10
C πëŸG ∫h’G
5
10
8
≈fÉãdG πëŸG
áaƒØ°üŸG øμàdh áaƒØ°üe IQƒ°U ≈∏Y ¤ÉàdG ∫hó÷G ≈a äÉ©«ÑŸG QÉ©°SGC Öàμfh Ü
¬«æ÷ÉH øªãdG
150 30 5
()
=Ü∴
( ) =(
ádóH
30
¢ü«ªb
5
ÜQGƒ÷G êhR
150 12 5 10 30 =Üh =äÉ©«ÑŸG øªK 5 10 8 5 5 *12 + 30* 5 + 150*10 5 * 5 + 30* 10 + 150* 8 =
( )(
1710 1525
150
) )
C πëŸG äÉ©«Ñe øªK .É¡«æL 1525 ≈fÉãdG πëŸG äÉ©«Ñe øªKh É¡«æL 1710 =∫h’G k k 2 1 3 12- 4
1 0 3
( ) ( =Ü,
2 3 5 14 2
)
= h âfÉc GPEG
2 ∫É`ã`e
. øμeGC ¿EG h Ü , Ü h óLhÉC a
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
١٦
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
: π◊G 2 * 3 º¶ædG øe Ü , 3 * 3 º¶ædG øe h , ( Ü ±ƒØ°U OóY ihÉ°ùj h IóªYGC OóY ¿’C ) Üô°†∏d Úà∏HÉb Ü , h ∴ 2 * 3 º¶ædG øe Ü h = ê Üô°†dG π°UÉMh 2 1 3 12- 4
( )( ( )( 10 5 13 610 10
=
10 13 10
1 0 3
2 3 5 14 2
) )
= Üh
4*1 + 1-*2 + 1*3 610
=
π°UÉM øe 11`L ô°üæ©dG ≈∏Y ∫ƒ°ü◊G á≤jôW ¿GC í°†àj ≥HÉ°ùdG ∫ÉãŸG øeh C ∞°üdG Üô°V π°UGƒM ´ƒª› øe èàæj iòdGh Üô°†dG ≈a h ≈檫dG áaƒØ°üª∏d ∫h’G C Oƒª©dG ô°UÉæY ≈∏Y ∫ƒ°ü◊G øμÁ á≤jô£dG ¢ùØæHh , Ü iô°ù«dG áaƒØ°üŸG øe ∫h’G .. Üô°†dG π°UÉM áaƒØ°üe ô°UÉæY á«≤H ( h ±ƒØ°U OóY ihÉ°ùj ’ Ü IóªYGC OóY ¿’C ) ±ô©e ÒZ h Ü 3 1- 2 0 2 4 3- 6 5
(
1 2 0
) ( =Ü,
2 3 0 12 1
)
=h âfÉc GPEG
3 ∫É`ã`e
h Ü , Ü h øe πc óLhÉC a
: π◊G
( (
6 7 19 9- 13 8 3 3 10 0 8 17
10 10 8 10 4 6
=
3 1- 2 0 2 4 3- 6 5
=
1 2 0
) ( ) (
2 3 0 12 1
1 2 0
)( )(
2 3 0 12 1
3 1- 2 0 2 4 3- 6 5
) )
=Üh
=hÜ
h Ü /= Ü h ¿GC iGC
١٧
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
(Identity matrix) : IóMƒdG áaƒØ°üe 1 ≈≤«≤◊G Oó©dG ihÉ°ùJ ≈°ù«FôdG Égô£b ô°UÉæY ™«ªL ≈àdG á©HôŸG áaƒØ°üŸG õeôfh IóMƒdG áaƒØ°üe ≈ª°ùJ ôØ°U ≈≤«≤◊G Oó©dG ihÉ°ùJ Égô°UÉæY ≈bÉHh I õeôdÉH É¡d :Ó k ãªa 3 * 3 º¶ædG ≈∏Y IóMƒdG áaƒØ°üe
0 0 1
0 1 0
1 0 0
( )
=I
( ) =I, 0 1
2 * 2 º¶ædG ≈∏Y IóMƒdG áaƒØ°üe
1 0
: äÉaƒØ°üªdG Üô°V á«∏ªY ¢UGƒN : á«dÉàdG ¢UGƒÿG êÉàæà°SG øμÁ äÉaƒØ°üŸG Üô°V ∞jô©J øe ( ê Ü )h = ê (Ü h ) : (≥«°ùæàdG) èeódG á«°UÉN (1 : âfÉc GPG : Óãªa
( 2 (1 10 (0 [(21 10 (0 2 1
) ( ) ( ) 34 11 2 = ê(Üh) 5 ) [(0 3 ) (1- 3 )] 37 2 38 1 = = 78 ) (1 5 ) (12 6- ) 1 2 34 1( ) = (êÜ)h 5 ) (0 3 )] 1- 3
3=ê, 5
4 0
13
=Ü,
) ( ) (
37 2 = 78 6
23 9-
1 1-
2 3
)
1 1-
2 =h 3
=
h = h I = Ih ≈Hô°†dG ójÉëŸG á«°UÉN ( 2
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
١٨
ﺍﳉﺒﺮ 1 1 4
(
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
5 3 2 11 0
0 0 1
0 1 0
1 1 4
5 3 = 2 11 0 : É¡©ªL ≈∏Y äÉaƒØ°üŸG Üô°V ™jRƒJ á«°UÉN ( 3
)( (
1 0 0
0 = 0 1
)( )
0 1 0
1 0 0
1 1 4
5 3 2 11 0
)(
)
:Ó k ãªa
êh+Üh=(ê+Ü)h êÜ+êh=ê(Ü+h) : á«dÉàdG äÉaƒØ°üª∏d áÑ°ùædÉH ™jRƒàdG á«°UÉN ≥≤M
(
5 1
12
1- 1 0 22 3
) = ê , ( )= Ü ,( 3 4
1 2
)
4 ∫É`ã`e
=h
: π◊G
( ) ( ) ( ) =ê+Ü 8 5
0 4
3 416- 0 34 8
( ( ( (
1- 16- 217 7 4 310- 2 17 1
3 416- 0 34 8
=
5 1
12
+
3 4
1 2
=
8 5
0 4
1- 1 0 22 3
=
3 4
1 2
1- 1 0 22 3
=Üh
=
5 1
12
1- 1 0 22 3
=ê h
) ( )( ) ) ( )( ) ) ( )( ) ) ( )( ) 4 31- 1= 10- 2- + 6- 217 1 17 7
=(ê+Ü)h
=êh+Üh
êh+Üh=(ê+Ü)h∴
١٩
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
: áXƒë∏e óe
óe
óe
h Ü = (Ü h ) : ÚàaƒØ°üe Üô°V π°UÉM Qhóe
3 1
(
: âfÉc GPEG 3- 1 1 2 0 2 0= h 1- 0 = Ü , 4- 3 óe óe óe h Ü = (Ü h ) ábÓ©dG ≥≤M
5 ∫É`ã`e
( )
)
: π◊G 0 6 5
(
4 2 7
2 4 6
)(
3 = 1
1 16 7 5
(
6 7 5
(
4 2 6
2 4 0
)
=
(
3 2 1 4- 0 3-
2 0
3- 1 0 2 4- 3
)( 4 2 6
2 4 0
) )( ) 0 2 1- 1 1 3 óe
)
=Üh
óe
= ( Ü h)
óe
óe
= h Ü∴
óe
óe
h Ü= ( Ü h) ∴
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٢٠
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
: ∂dP øμeGC ≈àe Üô°†dG π°UÉM óLhGC
(
5 0
)( ) 3 2 3 2 1 (3- 2-)(3- 2- 1- ) 3- 2 0 0
5 3 1- 1
Ü O
1- 5 2 0 1 1-
( )
=W,
(1-2 2-1 ) (2-2 31 ) 2 1 1 (4 3 ) ( 2 ) 1 0 2(0 1- 3 )
1
G `L
= S âfÉc GPEG
2
W S = S W ﻫﻞ، S W , W S : øe Óc óLhGC (1
( ) 3- 1 0 2
3)=ê,
=Ü,
( ) 1 0
(
0 13- 2
=ê,
)
= h âfÉc GPEG
3
ê h Ü , Ü ê h óLhÉC a
. øμeGC ¿EG
2 0
( ) 2 3
=Ü,
(1-3- 21 ) h
= âfÉc GPEG
4
ê h + Ü h = ( ì + Ü ) h ¿G âÑKÉa
( ) 2 3
2 3
( ) 1 1
=W,
2
1 0 2
(
2 2 1- 12 1
) ( =¿,
1 0 3
2 3
= S âfÉc GPEG
5
W - 2 S ᪫b óLhÉC a
2 3 0 12 1
)
= Ω âfÉc GPEG
6
¿ Ω - 2Ω áª«b óLhGC
(
3 4
1- 5 1 1-
)
=ê,
(
1 2 3 1-
)
=Ü,
1- 2 3 1 5 1-
( )
= h ¿Éc GPEG
7
: ≈JÉC j ɇ Óc ≥≤M
Ü=ÜI=(IÜ) Ü
٢١
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
(ê Ü ) h = ê ( Ü h ) G
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
0 21- 3 4 5
1- 1 2 0 1 2
( ) ( ) =ê,
=Ü,
(
1- 1 1 2
3 4
)
= h ¿Éc GPEG
8
: ¿GC ≥≤ëa G
êh+Üh=(ê+Ü)h óe
(
óe
óe
h Ü= (Üh)
Ü
)
1- 2 = h âfÉc GPEG 3 4-
9
=I 2 + h 5 -2h : ¿GC âÑKÉC a : âfÉc GPEG 10
7- 5 25 5- 10 3- 5 8-
(
1 6 4
2 5 3
) ( =Ü,
1 1 1-
)
=h
I 10 = Ü h : ¿GC âÑKÉC a
(
)
5- 8 * 1- = Ü , 3 711
(
0 1
(53 4-2 ) (1-4 3-1 ) *2=
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
(
5 8 1 0
3 7
)
)
= h âfÉc GPEG 11
= Ü h : ¿GC âÑKÉC a
+ S å«M S áaƒØ°üŸG óLhGC 12
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٢٢
G
Èd › á ÿG
á«£
≈fÉ
ãdG π
ﲤﻬﻴﺪ
Òãc á÷É©e ≈a IÒÑc áHƒ©°U ⁄É©dG ≈b’ QÉ«¡fG øe á«fÉãdG á«ŸÉ©dG Üô◊G ó©H äÉC °ûf ≈àdG πcÉ°ûŸG øe øe óH’ ¿Éμa . ádÉ£ÑdG IÌch áYGQõdGh áYÉæ°üdG ≈a ôjƒ£Jh iOÉ°üàbG √òg ≈∏Y Ö∏¨àdG óYÉ°ùJ ≈àdG óYGƒ≤dGh ±QÉ©ŸGh Ωƒ∏©dG øe ´GƒfGC ÉC °ûæJ ¿GC .Qƒ£àdG Gòg ÖcGƒJh πcÉ°ûŸG πcÉ°ûŸG √òg πM ≈a É¡«dG π°UƒàdG ” ≈àdG áaô©ŸG ´GƒfGC ºgGC øe ¿Éch GOɪàYG óªà©J ≈àdGh á«£ÿG á›ÈdG ƒg k GC äÉæjÉÑàŸG πM ≈∏Y É«°SÉ°S k . á«£ÿG ä’OÉ©ŸGh
°üØ
dG
ﺍﻷﻫﺪﺍﻑ
ﺍﳌﻮ
ﺿﻮﻋﺎﺕ
áLQódG äÉæjÉÑàe πME C óMGh Ò¨àe ≈a ¤h’G C áLQódG ä ÉæjÉÑàe πM ¤h’G E É«fÉ«H Údƒ¡› ≈a
ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻧﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ً : ﻗﺎﺩﺭﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ C áLQódG øe äÉæjÉÑàe ¢UGƒN èàæà°ùj .1 ¤h’G . É¡∏M á≤jôWh óMGh ∫ƒ¡› ≈a C áLQódG øe áæjÉÑàe πM áYƒª› Ú©s oj .2 ¤h’G . É«fÉ«H π◊G á≤£æe ójó–h Údƒ¡› ≈a k .3 áLQódG øe ÌcGC hGC ÚàæjÉÑàe πM á≤£æe Oóëj o C .zÉ«fÉ«H { Údƒ¡› ≈a ¤h’G k äÓμ°ûe πM ≈a á«£ÿG á›ÈdG Ωóîà°ùj .4 . á«JÉ«M á«°VÉjQ
hGC ÚàæjÉÑàŸ ÊÉ«ÑdG π◊GE á«°VÉjQ á∏μ°ûe ´ƒ°VƒÃ á°UÉN äÉeƒ∏©e ™°†j .5 äÉfÉ«ÑdG ºLÎjh Ö°SÉæeo ∫hóL ≈a á«JÉ«M C áLQódG øe ÌcGC ≈a ¤h’G á≤£æe Oóëj ºK á«£N äÉæjÉÑàe IQƒ°U ≈a É¡d Údƒ¡› . É«fÉ«H π◊G
á«£ÿG á›ÈdGE ºK , äÉ«KGóM’G ád’óH ±ó¡dG ádGO Ú©oj .6 π◊G áYƒª› ¤EG ≈ªàæJ ≈àdG §≤ædG Oóëj C π◊G ≈£©Jh . ±ó¡dG ádGód πãe’G
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
C áLQódG äÉæjÉÑàe Éæ°SQO ¿GC ≈°SÉ°S’G C º«∏©àdG á∏Môe ≈a Éæd ≥Ñ°S ≈a ¤h’G : πãe óMGh Ò¨àe 1 - ¢S 2 < 5 + ¢S 3 , 1 ≤ 3 + ¢S 2 , 5 > ¢S É¡≤≤ëJ ≈àdG á«≤«≤ëdG (¢S) ô«¨àªdG º«b ™«ªL OÉéjEG √Éæ©e áæjÉÑàªdG πMh : ¿ÉE a 5 > ¢S áæjÉÑàªdG ≈a Óãªa 4^9 = ¢S , 2 = ¢S , 1- = ¢S :ø«M ≈a É¡≤≤ëj É¡æe πc ¿’C áæjÉÑàªdG √òg πM áYƒªée ô°UÉæY øe É¡©«ªL 5 = ¢S
,
5^01 = ¢S
,
9 = ¢S
øμªjh πëdG áYƒªée ô°UÉæY øe â°ù«d ≈¡a ∂dòdh áæjÉÑàªdG √òg ≥≤ëJ ’ C ¢†©H ≈a ≈ª°ùJh ] 5 , ∞ - ] IôàØdÉH πëdG áYƒªée øY ô«Ñ©àdG ióªH ¿É«M’G . πëdG ∞-
2
3
4
5
C §N ≈∏Y É«fÉ«H É¡∏«ãªJh OGóY’G k (1-2) πμ°T ≈a ɪc ∞
(1 -2) πμ°T
(<) øe ôÑcGC øe πc ábÓY ¢UGƒN ≈∏Y óªà©J äÉæjÉÑàªdG √òg πM ¥ôWh : ≈∏j ɪ«a É¡°üî∏fh (>) øe ô¨°UGC h ì ≈a > , < ábÓY ¢UGƒN : ¿ÉE a ì ∋ `M , Ü , h ¿GC ¢VôØH `M + Ü ≤ `M + h ¿ÉE a . < `M å«M
`M Ü ≤ `M h ¿ÉE a
. > `M å«M
`M Ü ≥ `M h ¿ÉE a `M + Ü ≥ `M + h ¿ÉE a
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
. < `M å«M
`M Ü ≥ `M h ¿ÉE a
. > `M å«M
`M Ü ≤ `M h ¿ÉE a
Ü ≤ h ¿Éc GPG
Ü ≥ h ¿Éc GPG
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٢٤
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ì ∋ ¢S å«M 5 - ¢S 3 ≤ 1 - ¢S áæjÉÑàªdG πM áYƒªée É«fÉ«H í°Vh
1 ∫É`ã`e
4- ≤ ¢S2- ⇔ 5 - 1 ≤ ¢S 3 - ¢S ⇔ 5 - ¢S 3 ≤ 1 - ¢S
: π◊G
2 ≥ ¢S ∴
] 2 , ∞ - ] πëdG áYƒªée ¿ƒμJh (2 - 2 ) πμ°T OGóY’G §N É¡∏ãªjh ∞-
1-
0
1
2
∞
3
(2 -2) πμ°T
å«M 5 + ¢S > 5 - ¢S 3 ≥ 1 - ¢S áæjÉÑàªdG πM áYƒªée É«fÉ«H í°Vh
2 ∫É`ã`e
ì ∋ ¢S 10 + ¢S > ¢S 3 ≥ 4 + ¢S ⇔ 5 + ¢S > 5 - ¢S 3 ≥ 1 - ¢S 5 > ¢S ≥ 2
⇔
10 > ¢S 2 ≥ 4 ⇐
] 5 , ∞ -]∩ ] ∞ , 2 ]
⇔
5 > ¢S , ¢S ≥ 2 ⇐
: π◊G
] 5 , 2 ] πëdG áYƒªée ¿ƒμJh ∞-
1
2
3
4
5
6
∞
(3 - 2 ) πμ°T É¡∏ãªjh
(3 -2) πμ°T
٢٥
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
øe ä’OÉ©ª∏d ≈fÉ«ÑdG π«ãªàdG ≈°SÉ°S’G º«∏©àdG á∏Môe ≈a ÉædhÉæJ ¿GC ≥Ñ°S C áLQódG 4 = ¢U + ¢S : πãe Údƒ¡› ≈a ¤h’G π㪟G º«≤à°ùŸG §ÿG •É≤f É¡∏ã“ á«¡àæe ÒZ IÒãc ’ƒ∏M ádOÉ©ŸG √ò¡d ¿Gh ì J ¢U , ì J¢S å«M ( ¢U , ¢S ) áÑJôe êGhRG áÄ«g ≈∏Y ∂dPh ádOÉ©ª∏d ....... (2 , 2 ) , ( 3 , 1 ) , ( 0 , 4 ) , ( 4 , 0 ) πãe ƒg ádOÉ©ŸG √ò¡d ≈fÉ«ÑdG π«ãªàdG ¿Gh √ò¡d ≈fÉ«ÑdG πμ°ûdG º°Sôdh º«≤à°ùe §N ÚLhR ¿ÓãÁ Úà£≤f Ú«©àH ≈Øàμj . ádOÉ©ŸG òNGC øμÁh ( 0 , 4) , , ( 4 , 0 ) πãe ÚÑJôe áë°U øe ócÉC àdGh ≥≤ëà∏d ådÉK ÖJôe êhR (4 -2) πμ°T
. º°SôdG
π«ãªàdG ƒg O `M ¿ƒμ«a (4 - 2 ) πμ°T ≈a ɪc ( 4 , 0 ) = O , ( 0 , 4 ) = `M øμàdh 4 = ¢U + ¢S ádOÉ©ª∏d ≈fÉ«ÑdG øe äÉYƒª› áKÓK ¤EG iƒà°ùŸG Çõéj º«≤à°ùŸG Gòg ¿GC º°SôdG øe ßMÓf : ≈g §≤ædG C áYƒª› ≈gh º«≤à°ùŸG §≤f áYƒª› .1 ≈ª°ùjh ¬àdOÉ©e ≥≤– ≈àdG áÑJôŸG êGhR’G . ió◊G º«≤à°ùŸÉH iƒà°ùe ∞°üf ≈ª°ùJh º«≤à°ùŸG ≈ÑfÉL óMGC ≈∏Y ™≤J ≈àdG iƒà°ùŸG §≤f áYƒª› .2 . 1± õeôdÉH ¬d õeôjh B ÖfÉ÷G ≈∏Y ™≤J ≈àdG iƒà°ùŸG §≤f áYƒª› .3 iƒà°ùe ∞°üf ≈ª°ùJh º«≤à°ùª∏d ôN’G . 2± õeôdÉH ¬d õeôjh ÚàYƒª› ¿ƒμJ º«≤à°ùŸG §≤f áYƒª› GóY ɪ«a iƒà°ùŸG §≤f áYƒª› ¿GC iGC B 1± ɪgóMGC iƒà°ùe ∞°üf ≈ª°ùj É¡æe πc §≤ædG øe Úà∏°üØæe 2± ôN’Gh ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٢٦
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
(<) øe ÈcGC øjÉÑàdG áeÓ©H 4 = ¢U + ¢S ádOÉ©ŸG ≈a (=) áeÓY ÉædóÑà°SG GPGh B : ≈J’Éc ™°VƒdG íÑ°üj iGC (>) øe ô¨°UGC hGC 4 > ¢U + ¢S
,GC
4 < ¢U + ¢S
C áYƒª› ≈g Úà≤HÉ°ùdG ÚàæjÉÑàŸG øe iGC πM áYƒª›h ≈àdG áÑJôŸG êGhR’G 2± ≈a hGC 1± ≈a •É≤ædG áYƒª› ióMEG ≈gh É¡≤≤– (1¢U , 1¢S ) á£≤ædG QÉà`îf πë`dG áYƒª› ≈g ɪ¡«a áYƒª`é`e iGC ójó``ëàdh á`£`≤`ædG QÉà``îf ójóë`àdG á`Yô`°Sh ádƒ`¡°ù∏dh ø`«jƒà°ùª`dG ≈Ø`°üf ó`MGC ¤EG ≈``ª`à`æ`J C á£≤f ≈g ( ¢U , ¢S) . ÚàdÉM ióMEG ÉC °ûæJ Éægh ( 0 , 0 ) π°U’G 1 1 ≈ªàæJ iòdG iƒà°ùŸG ∞°üf ¿ƒμ«a áæjÉÑàŸG ≥≤– ( 1¢U , 1¢S ) á£≤ædG : ’hGC . áæjÉÑàŸG πM áYƒª› ƒg á£≤ædG √òg ¬«dG ’ iòdG iƒà°ùŸG ∞°üf ¿ƒμ«a áæjÉÑàŸG ≥≤– ’ (1¢U , 1¢S ) á£≤ædG : É«fÉK . áæjÉÑàŸG πM áYƒª› ƒg á£≤ædG √òg ¬«dEG ≈ªàæJ
(6 -2) πμ°T
(5 -2) πμ°T
4 < ¢U + ¢S áæjÉÑàŸG πM áYƒª› Ú©àd Óãªa 4 /< ôØ°U ó‚ áæjÉÑàŸG ≈a ( 0 , 0 ) ÖJôŸG êhõdÉH ¢Vƒ©f C á£≤f ¬«dEG ≈ªàæJ ’ iòdG iƒà°ùŸG ∞°üf ≈g áæjÉÑàª∏d π◊G áYƒª› π°U’G ( 5 - 2 ) πμ°T ≈a á∏∏¶ŸG á≤£æŸG É¡∏ãÁh
٢٧
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
4 > ¢U + ¢S áæjÉÑàŸG πM áYƒª› Ú«©àd πãŸÉHh 4 > ôØ°U ... C á£≤f ¬«dEG ≈ªàæJ iòdG iƒà°ùŸG ∞°üf ≈g áæjÉÑàª∏d π◊G áYƒª› ∴ π°U’G ( 6 - 2 ) πμ°T ≈a á∏∏¶ŸG á≤£æŸG É¡∏ãÁh
äɶMÓe øjÉÑàdG áeÓY ™e (=) ábÓY ≈∏Y ¿Óªà°ûJ ’ ɪ¡fGC Úà≤HÉ°ùdG ÚàæjÉÑàŸG ≈a ßMÓj -1 ∂dòd π◊G áYƒª› ¤EG ≈ªàæJ ’ A `M ió◊G º«≤à°ùŸG •É≤f áYƒª› ¿GC ≈æ©j Gògh . ™£≤àe §îH A `L º«≤à°ùŸG º°Sôf áYƒª› ¿GC ≈æ©j Gòg ¿ÉE a øjÉÑàdG áeÓY ™e (=) áeÓY ≈∏Y áæjÉÑàŸG â∏ªà°TG GPG - 2 A `L º«≤à°ùŸG º°Sôj ∂dòd áæjÉÑàŸG πM áYƒª› øª°V A `L ió◊G º«≤à°ùŸG •É≤f B Ú∏μ°ûdG ≈a ɪc ™£≤àe ÒZh π°üàe §îH (8 - 2 ) πμ°T , ( 7 - 2) πμ°T Ú«J’G
(8 -2) πμ°T
(7 -2) πμ°T
B äÉæjÉÑàªdG øe πc πM áYƒªée É«fÉ«H πãe : á«J’G 1 ≥ ¢U : É«fÉK
∫É`ã`e
3 < ¢S : ’hGC 0 > ¢U - ¢S : ÉãdÉK
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٢٨
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
: π◊G 3 < ¢S : ’hGC 3 = ¢S : ∫ ióëdG º«≤à°ùªdG º°Sôf
™£≤àe §îH áæjÉÑàªdG ≥≤ëJ ’ ( 0 , 0 ) ... (9 -2) πμ°T
¬«dG ≈ªàæJ ’ iòdG iƒà°ùªdG ∞°üf ≈g πëdG áYƒªée ∴ C á£≤f (9 - 2 ) πμ°T ≈a á∏∏¶ªdG á≤£æªdG É¡∏ãªjh π°U’G 1 ≥ ¢U : É«fÉK 1 = ¢U : ∫ ióëdG º«≤à°ùªdG º°Sôf π°üàe §îH
(10 -2) πμ°T
áæjÉÑàªdG ≥≤ëJ ( 0 , 0) ...
C á£≤f ¬«dG ≈ªàæJ iòdG iƒà°ùªdG ∞°üf ∪ ∫≈g πëdG áYƒªée ∴ π°U’G (10 - 2 ) πμ°T ≈a á∏∏¶ªdG á≤£æªdG É¡∏ãªjh 0 > ¢U - ¢S : ÉãdÉK ™£≤àe §îH 0 = ¢U - ¢S : ∫ ióëdG º«≤à°ùªdG º°Sôf ٢
٠
ﺱ
٢
٠
ﺹ
áæjÉÑàªdG ≥≤ëJ ’ (0 , 1 ) á£≤ædG ... iòdG iƒà°ùªdG ∞°üf πëdG áYƒªée ∴ á£≤ædG √òg ¬«dG ≈ªàæJ ’ (11 - 2) πμ°T ≈a á∏∏¶ªdG á≤£æªdG É¡∏ãªjh (11 -2) πμ°T
٢٩
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
،
١
ﺹ < ﺟـ١ ﺏ+ ﺱ١ h Ú`àæjÉÑ`àª∏d ≈fÉ`«ÑdG π◊G
،
٢
ﺹ < ﺟـ٢ ﺏ+ ﺱ٢ h
C áYƒª`› øY IQÉÑY ≈a ) É©e ÚàæjÉÑàŸG øe Óc ≥≤– ≈àdG áÑJôŸG êGhR’G ÚàæjÉÑàŸG øe πμd π◊G ≈àYƒª› ™WÉ≤J ≈æ©j äÉYƒªéŸG á¨∏H Gògh ( óMGh âbh . ∂dòd : á«J’G äGƒ£ÿG ™Ñàf ÚàæjÉÑàŸ ≈fÉ«ÑdG π◊G OÉéj’ C áæjÉÑàŸG πM áYƒªéŸ á∏㪟G S á≤£æŸG π∏¶f - 1 . ¤h’G 1 . á«fÉãdG áæjÉÑàŸG πM áYƒªéŸ á∏㪟G 2S á≤£æŸG π∏¶f - 2 å«M É©e ÚàæjÉÑàŸG ∫ƒ∏M áYƒª› ≈g π«∏¶àdG øe S ácΰûŸG á≤£æŸG-3 2S ∩1S=S
1 ≥ ¢S , 1 < ¢U 2 + ¢S ÚàæjÉÑàŸG πM
1 ∫É`ã`e
: π◊G 1 = ¢U 2 + ¢S : 1∫ ió◊G º«≤à°ùŸG º°Sôf (™£≤àe §N )
٣ ١-
١ ٠
ﺱ ﺹ
áæjÉÑàŸG ≥≤– ’ ( 0 , 0 ) iƒà°ùŸG ∞°üf 1¢S π◊G áYƒª› ∴ C á£≤f ¬«a ™≤J ’ iòdG π°U’G (12 -2) πμ°T ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
1 = ¢S : 2∫ ió◊G º«≤à°ùŸG º°Sôf ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٣٠
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
áæjÉÑàŸG ≥≤– ( 0 , 0 ) ... C á£≤f ¬«dG ≈ªàæJ iòdG iƒà°ùŸG ∞°üf ∪ ∫ = ¢S π◊G áYƒª› ∴ π°U’G 2 2 . ƒg É©e ÚàæjÉÑàŸG πM áYƒª› ∴
2 ∫É`ã`e (12 - 2 ) πμ°T ≈a í°VGh ƒg ɪc 2S ∩ 1S = S B äÉæjÉÑàŸG πM áYƒª› óLhGC : É«fÉ«H á«J’G 4 > ¢U + ¢S 2 , 3 > ¢U + ¢S , 0 ≤ ¢U , 0 ≤ ¢S
: π◊G ájó◊G äɪ«≤à°ùŸG º°Sôf 0 ≤ ¢S áæjÉÑàŸG πM áYhƒª› 1 S Oóëf , 0 = ¢S : 1∫ 0 ≤ ¢U áæjÉÑàŸG πM áYƒª› 2 S Oóëf , 0 = ¢U : 2∫ , (™£≤àe §N ) 3 = ¢U + ¢S : 3∫ , 3 > ¢U + ¢S áæjÉÑàŸG πM áYƒª› 3 S Oóëfh (™£≤àe §N ) 4 = ¢U + ¢S 2 : 4∫ , 4 > ¢U + ¢S 2 áæjÉÑàŸG πM áYƒª› 4 S Oóëfh S äÉæjÉÑàŸG πM áYƒª› ¿ƒμ«a ( 13 - 2 ) πμ°T ≈a á∏∏¶ŸG á≤£æŸG É¡∏ãÁh 4S ∩ 3S ∩ 2S ∩ 1S = S å«M
(13 -2) πμ°T
٣١
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
C äÉæjÉÑàŸG πM áYƒª› É«fÉ«H πãe : ì ∋ ¢S å«M IÎa IQƒ°U ≈∏Y É¡ÑàcGh á«J’G
1
١ ≥ ٣ + ﺱ٢ G 2+ ¢S 3 Ü ١٠ < 2٣ > ٣ - ﺱ٢ > ٢ `L ٢+<ﺱ٢-ﺱ٣≤٨+ﺱ
O
٧ + ﺱ٣ > ٣ + > ﺱ١ - ﺱ٢ `g C äÉæjÉÑàŸG πM áYƒª› É«fÉ«H πãe 2 ì ∋ ¢U , ¢S å«M á«J’G 4 - ¢U 2 < ¢S
G
٣ > ¢U + ¢S Ü 1≥
¢U - ¢S ٢ 2 ٣
`L
C äÉæjÉÑàŸG êGhRGC øe πc πM áYƒª› É«fÉ«H óLhGC 3 : á«J’G ٣ > ¢U , 1 ≤ ¢S
G
1 < ¢U - ¢S , ¢S < ¢U Ü 1- ≥ ¢S ٣ + ¢U , 6 + ¢S 2 ≤ ¢U
`L
1 + ¢S > ¢U , 15 ≤ ¢U 5 + ¢S ٣
O
C äÉæjÉÑàŸG øe πc πM áYƒª› óLhGC 4 : É«fÉ«H á«J’G ٣ ≤ ¢U 2 + ¢S , 2 ≥ ¢U , 0 < ¢S
G
0 ≤ ¢U + ¢S , 6 > ¢U - ¢S٣ , 0 ≤ ¢U Ü
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
1 > ¢U - ¢S , 2 ≤ ¢U + ¢S 4 , 4 < ¢U 4 + ¢S
`L
4 < ¢U 2 + ¢S , ٣ + ¢S < ¢U , 0 ≤ ¢U , 0 ≤ ¢S
O
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٣٢
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
≈g hGC , á∏μ°ûe πM ≈a QGôb π°†aGC AÉ£Y’ ájƒb á∏«°Sh ≈g á«£ÿG á›ÈdG C π◊G (¢U Ω + ¢S ∫) á«£N ádGO IQƒ°U ≈∏Y ¬©°Vh øμÁ Ú©e ±óg ≥«≤ëàd πãe’G ≈∏Y ™°VƒJ ≈àdGh áMÉàŸG äÉ«fÉμe’Gh Oƒ«≤dG Aƒ°V ≈a ∂dPh ±ó¡dG ádGO ≈ª°ùJ . πª©dG ΩɶæH ≈ª°ùj Éà Oó– á«£N äÉæjÉÑàe IQƒ°U ádGód ᪫b ø°ùMGC ≥≤–h äÉæjÉÑàŸG √òg πM áYƒª› øe ᪫b OÉéjÉH ∂dPh . ±ó¡dG áMÉàŸG äÉ«fÉμe’Gh Oƒ«≤dG πã“ ≈àdG á«£ÿG äÉæjÉÑàª∏d π◊G áYƒª› ¿GC ¢VôØæd ( 14 - 2) πμ°T ≈a áë°VƒŸG O `L Ü GC ≈YÉHôdG πμ°ûdÉH IOóëŸG á≤£æŸÉH ≈£©J É¡d : ≈g ±ó¡dG ádGO ¿Gh π◊G AÉ°†ØH ≈ª°ùJh (1) ....................... ¢U Ω + ¢S ∫ = V (V) ádGó∏d ᪫b ô¨°UGC hGC ᪫b ÈcGC Ú«©J ܃∏£ŸGh . äÉæjÉÑàª∏d π◊G áYƒª› ¤EG ≈ªàæJ á£≤f óæY ∂dPh 0 øe §bÉ°ùdG Oƒª©dG ∫ƒW ... (1) º«≤à°ùŸG ≈∏Yh á£≤ædG 1V1
* 2Ω + 2∫ ƒg ÚàHÉK Ω , ∫ ... , (V) ±ó¡dG ádGO ᪫b ¿ÉE a . Oƒª©dG ∫ƒW ≈∏Y ∞bƒàJ (1) º«≤à°ùŸG ádOÉ©e ¿GC ÉfQƒ°üJ GPÉE a C á≤£æH ô“ ±ó¡dG ádGód á∏㪟G π°U’G (14 -2) πμ°T
0 = V ádÉ◊G √òg ≈a iGC V ádGó∏d áÑLƒŸG ᪫≤dG GC ô≤j |V| *
٣٣
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
¢ShDhôH ôÁ ≈àM ≈∏Y’C ¬°ùØæd ÉjRGƒe º«≤à°ùŸG ∑ôëàj ôØ°üdG øY V IOÉjõdh ᪫b ô¨°UGC h ᪫b ÈcGC ±É°ûàcG øμÁ ¬fÉa äÉ«fÉμe’G äÉæjÉÑàe π◊ π㪟G ™∏°†ŸG . ™∏°†ŸG ¢ShDhQ º«b ÚH øe (V) Oó©∏d (O) óæY ¿ƒμJ ᪫b ÈcGC h (Ü) óæY ¿ƒμJ ᪫b ô¨°UGC ¿GC ßMÓjh C ≈∏Y IóMh 90 è``àæj ™`æ°üe É`ë`HQ ≥≤ëjh Ú`Ø∏àî`e Ú`Yƒf øe ô`ãc’G C ´ƒædG øe Ió`Mh πc ≈a øe IóMh πc ≈a ÉëHQh äÉ¡«æL 5 √Qób ∫h’G
1 ∫É`ã`e
C ´ƒædG øe ´ÉÑj Ée ¿Éc GPÉa äÉ¡«æL 7 √Qób ≈fÉãdG ´ƒædG π≤j ’ ∫h’G Öéj ≈àdG äGóMƒdG OóY óLhÉC a . ≈fÉãdG ´ƒædG øe ´ÉÑj Ée ∞©°V øY . øμ‡ íHQ ÈcGC ™æ°üŸG ≥≤ëj ≈μd ´ƒf πc øe É¡LÉàfG
: π◊G : á«dÉàdG äGƒ£ÿG ≈a π◊G ¢üî∏àj . ∫hóL ≈a äÉeƒ∏©ŸG ÖJôJ .1 . á«£ÿG äÉæjÉÑàŸG øe áYƒª› ¤G äÉfÉ«ÑdG ºLÎJ .2 . äÉ«KGóM’G ád’óH ±ó¡dG ádGO Ú©J .3 . äÉæjÉÑàŸG √òg πM áYƒª› óLƒfh É«fÉ«H á«£ÿG äÉæjÉÑàŸG πã“ .4 C π◊G ≈£©Jh π◊G áYƒª› ¤EG ≈ªàæJ ≈àdG §≤ædG Ú©f .5 ≈∏Yh ±ó¡dG ádGód πãe’G B : ≈J’Éc π◊G ¿ƒμj ∂dP ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ﺍﳊﺪ ﺍﻷﻗﺼﻰ ٩٠
ﺹ
ﺱ
ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﳌﻨﺘﺠﺔ
ﺹ٧+ﺱ٥
٧
٥
ﺍﻟﺮﺑﺢ ¿GC í°VGh , 0 ≤ ¢U , 0 ≤ ¢S 90 ≥ ¢U + ¢S
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٣٤
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
C ´ƒædG øe áYÉÑŸG äGóMƒdG OóY . . π≤J ’ ∫h’G . ≈fÉãdG ´ƒædG øe áYÉÑŸG äGóMƒdG OóY ∞©°V øY ¢U 2 ≤ ¢S ∴ 0 = ¢S : 1∫ 0 = ¢U : 2∫ 90 = ¢U + ¢S : 3∫ ٩٠ ٠
٠ ٩٠
ﺱ ﺹ
٤٠ ٠ ﺱ¢U 2 = ¢S = ∫ 4 ٢٠ ٠ ﺹ ¢U 7 + ¢S 5 = V ±ó¡dG ádGO (15 -2) πμ°T
(30 , 60 ) `L
510 = 30 * 7 + 60 * 5 =(`LV)
(0 , 90 ) Ü 450 = 0 + 90 * 5 = (ÜV)
(0,0)h 0 = (hV)
: ≈g íHQ ÈcGC ≥≤ëàd èàæJ ≈àdG äGóMƒdG OóY ∴ C ´ƒædG øe IóMh 30 ≈fÉãdG ´ƒædG øeh , IóMh 60 ∫h’G GPÉE a ÚJOÉe øe ¿ƒμàJ Égò«eÓàd IÒ£a Ëó≤J ¢SQGóŸG ióMEG äQôb C ≈∏Y äGóMh 6 ò«ª∏J πμd IÒ£ØdG ≈a ôaƒàj ¿GC ܃∏£ŸG ¿Éc øe πb’G
2 ∫É`ã`e
C ≈∏Y IóMh 12 , GC ÚeÉà«a IóMh ¿GC Éæ°VÎaG GPGh . Ü ÚeÉà«a øe πb’G C IOÉŸG øe áæ«©e ¿Rh áKÓK GC ÚeÉà«a øe IóMh §°SƒàŸG ≈a ≈£©J ¤h’G ≈£©J á«fÉãdG IOÉŸG øe ¿RƒdG IóMh ¢ùØf ¿Gh Ü ÚeÉà«a øe äGóMh GPGh Ü ÚeÉà«a øe äGóMh ™HQGC , GC ÚeÉà«a øe äGóMh áKÓK §°SƒàŸG ≈a C IOÉŸG øe ¿RƒdG IóMh ô©°S ¿GC º∏Y ¢ùØf ô©°Sh ¢Thôb 5 ihÉ°ùj ¤h’G ÚJOÉŸG øe πc ¿Rh ƒg ɪa ; ¢Thôb 10 ihÉ°ùj á«fÉãdG IOÉŸG øe IóMƒdG C ó◊G øª°†fh áÑLh ¢üNQGC ≈∏Y π°üëf ≈μd GPG äÉæ«eÉà«ØdG øe ≈fO’G . ΩGôL 30 ihÉ°ùJ ¿RƒdG IóMh âfÉc
٣٥
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
: π◊G ﺍﳌﺎﺩﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺍﳌﺎﺩﺓ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﻧﻰ ﻣﻦ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﻔﻴﺘﺎﻣﻴﻨﺎﺕ ٦
٣
١
ﻓﻴﺘﺎﻣﲔ ﺃ
١٢
٤
٣
ﻓﻴﺘﺎﻣﲔ ﺏ
١٠
٥
ﺳﻌﺮ ﻭﺣﺪﺓ ﺍﻟﻮﺯﻥ
¿RƒdG äGóMh OóY ¿GC ¢VôØf C IOÉŸG ≈a ¢S = ¤h’G ¢U = á«fÉãdG IOÉŸG≈a , ¿GC í°VGhh 0 ≤ ¢U (16 -2) πμ°T
12 ≤ ¢U 4 + ¢S 3
,
, 0 ≤ ¢S
6 ≤ ¢U 3 + ¢S ,
¢U 10 + ¢S 5 = Q ±ó¡dG ádGO ¿GC h 0 = ¢U : 2∫ ٤
٠
ﺱ
٠
٣
ﺹ
12 = ¢U 4 + ¢S 3 : 4∫
٦
٠
ﺱ
٠
٢
ﺹ
,
6 = ¢U 3 + ¢S : 3∫
( 6 , 12 ) Ü
(3 , 0 ) `L
5
0 = ¢S : 1∫
5
( 0 , 6 ) GC
¢Tôb 30 = 0 + 6 * 5 =h[V ] ¢Tôb 24 =
12 6 * 10 + 5 * 5 = Ü ] V] 5
¢Tôb 30 = 0 * 10 + 0 * 5 =`L ] V] ¿Rh ¿ƒ`μjh ¢Tôb 24 ihÉ``°ùj Ü ó`æY øμ`ª`j Ée ¢ü``NQGC ¿ƒμj áÑ`LƒdG øª`K ∴ ΩGôL 72 = 30 * ΩGôL 36 = 30 * ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
6 5
12 C IOÉŸG = ¤h’G 5
= á«fÉãdG IOÉŸG ¿Rhh ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٣٦
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ôμ°ùdG øe ºéc 120 , ≥«bódG øe ºéc 72 ¬jód iƒ∏◊G êÉàf’ ™æ°üe C ´ƒædG øe IóMƒdG êÉà– iƒ∏◊G øe ÚYƒf èàæjh øe ºéc 4 ¤EG ∫h’G
3 ∫É`ã`e
´ƒædG øe IóMGh IóMh êÉàfG êÉàëj ɪc . ôμ°ùdG øe ºéc 12 , ≥«bódG IóMƒdG íHQ ≠∏Ñj ɪc ôμ°ùdG øe ºéc 8 , ≥«bódG øe ºéc 8 ¤EG ≈fÉãdG C ´ƒædG øe IóMGƒdG ≈g ɪa , É¡«æL 45 ≈fÉãdG ´ƒædG øe h É¡«æL 25 ∫h’G ≈a á«≤ÑàŸG ᫪μdG Éeh øμ‡ íHQ ≈°übGC ≥«≤ëàd É¡LÉàfG ÖLGƒdG ᫪μdG . ádÉ◊G √òg ≈a ôμ°ùdGh ≥«bódG øe ™æ°üŸG
: π◊G
C ´ƒædG áMÉàŸG ᫪μdG ≈fÉãdG ´ƒædG ∫h’G 72 120
8 8 45
4 12 25
≥«bódG ôμ°ùdG íHôdG
C ´ƒædG äGóMh OóY ¿GC ¢VôØf ¢S = ∫h’G ¢U = ≈fÉãdG ´ƒædG , , . ≤ ¢U , . ≤ ¢S ∴ (1) ....................... 72 ≥ ¢U 8 + ¢S 4 (2)....................... 120 ≥ ¢U 8 + ¢S 12 0 = ¢S : 1∫ 0 = ¢U : 2∫ 72 = ¢U 8 + ¢S 4 : 3∫ ١٨
٠
ﺱ
٠
٩
ﺹ
(17 -2) πμ°T
٣٧
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
( 9 , 0 ) `L
( 6 , 6) Ü
١٠
٠
ﺱ
٠
١٥
ﺹ
120 = ¢U 8 + ¢S 12 : 4∫
( 0 , 10) GC
(0 , 0) h
¢U 45 + ¢S 25 = Q ±ó¡dG ádGO ôØ°U = ]h V] ¬«æL 250 = 0 + 10 * 25 = ] h V] ¬«æL 420 = 6 * 45 + 6 * 25 = ]Ü V] ¢Tôb 405 = 9 * 45 + 0 * 25 = ]`L V] OóY ¿ƒμj ∂dòHh íHQ ÈcGC ™æ°üŸG ≥≤ëj Ü á£≤ædG óæY ¿GC ≥Ñ°S ɇ í°†àjh C ´ƒædG øe áéàæŸG äGóMƒdG 6 = ∫h’G 6 = ≈fÉãdG ´ƒædG øe áéàæŸG äGóMƒdG OóY , (1) áæjÉÑàŸG ≈a ¢†jƒ©àdÉH ≥«bódG øe ádÉ◊G √òg ≈a á«≤ÑàŸG ᫪μdG ójóëàd Å°T ≥«bódG øe ≈≤Ñàj ’ (2)
72 ≥ 72
72 ≥ 6 * 8 + 6 * 4
áæjÉÑàŸG ≈a ¢†jƒ©àdÉH ôμ°ùdG øe á«≤ÑàŸG ᫪μdG ójóëàd Å°T ôμ°ùdG øe ≈≤Ñàj ’
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
120 ≥ 120
120 ≥ 6 * 8 + 6 * 12
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٣٨
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
B äÉæjÉÑàŸG πM áYƒª› ÚY 1 : É«fÉ«H É©e á«J’G 140 ≥ ¢U + ¢S 2 , 100 ≥ ¢U + ¢S , 0 ≤ ¢U , 0 ≤ ¢S øμÁ Ée ÈcGC (∫) π©Œ ≈àdG ( ¢U , ¢S ) º«b π◊G áYƒª› øe óLhGC ºK ¢U 4 + ¢S 6 = ∫ å«M B äÉæjÉÑàŸG πM áYƒª› ÚY 2 : É«fÉ«H É©e á«J’G 16 ≥ ¢U2 + ¢S 3 , 7 ≥ ¢U 3 + ¢S , 0 ≤ ¢U , 0 ≤ ¢S øμÁ Ée ÈcGC (V) π©Œ ≈àdG ( ¢U , ¢S ) º«b π◊G áYƒª› øe óLhGC ºK ¢U 50 + ¢S 30 = V å«M ´ƒædG πª©d Ωõ∏jh ÜÉ«ãdG øe ÚYƒf èàæj IõgÉ÷G ¢ùHÓŸG πª©d Ò¨°U ™æ°üe C Îe ≈fÉãdG ´ƒædG πª©d Ωõ∏jh , ø£≤dG øe óMGh Îeh ôjô◊G øe ¿GÎe ∫h’G
3
QÉàeGC 8 , ôjô◊G øe QÉàeGC 7 ™æ°üŸG iód ¿Éch ø£≤dG øe ¿GÎeh ôjô◊G øe C ´ƒædG øe ܃ãdG ™«H øªK ¿Éc GPÉE a . ø£≤dG øe ™«H øªKh äÉ¡«æL 10 ∫h’G C OóY ɪa , äÉ¡«æL 8 ≈fÉãdG ´ƒædG øe ܃ãdG É¡éàæj ¿GC Öéj ≈àdG ÜGƒK’G ó©H ™æ°üŸG ≈a ≈≤Ñàj πg ? øμ‡ πNO ÈcGC ≈∏Y π°üë«d ´ƒf πc øe ™æ°üŸG . ø£≤dG hGC ôjô◊G øe Å°T êÉàf’G Gòg øe §«∏N øe áfƒμª`dG ∂FÉÑ°ùdG øe ø`«Ø∏`àî`e ø`«`Yƒf πª`©H ™æ°ü`e Ωƒ`≤`j C ´ƒædG ¿ƒμàj å«ëH ô`gõdGh ójó◊G ÚJóMh , ójó◊G øe ÚJóMh øe ∫h’G
4
øe äGóMh çÓKh ójóë`dG øe IóMh øe ≈fÉãdG ´ƒædG ¿ƒμàjh ôgõdG øe ôgõdG øeh ºéc 10 ójó◊G øe ™æ°üŸG ≈a áMÉàŸG ᫪μdG âfÉc GPÉE a , ôgõdG C ´ƒædG øe áμ«Ñ°ùdG ™«H ô©°S ¿Éch ºéc 18 áμ«Ñ°ùdG ™«H ô©°Sh É¡«æL 15 ∫h’G ´ƒf πc øe ™æ°üŸG É¡éàæj ≈àdG ∂FÉÑ°ùdG OóY ɪa , ¬«æL 10 ≈fÉãdG ´ƒædG øe ? øμ‡ πNO ÈcGC ≥≤ë«d
٣٩
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﳉﺒﺮ
ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
C ¿Éà«FGòZ ¿Éà©∏°S á«fÉãdGh iQGôM ô©°S 3 ≈£©Jh ÚeÉà«a äGóMh 5 É¡H ¤h’G
5
IóMh 25 ܃∏£ŸG ¿Éc GPÉE a , iQGôM ô©°S 6 ≈£©Jh ÚeÉà«a ¿ÉJóMh É¡H C ≈∏Y iQGôM ô©°S 39 , πb’G C ≈∏Y ÚeÉà«a øe IóMƒdG ô©°S ¿Éch πb’G C á©∏°ùdG ≈g ɪa ¢Thôb 8 á«fÉãdG á©∏°ùdG øe IóMƒdG ô©°Sh ¢Thôb 6 ¤h’G ? áØ∏μJ πbÉC H ܃∏£ŸG ≥«≤ëàd Úà©∏°ùdG øe πc øe ÉgDhGô°T ÖLGƒdG ᫪μdG C ¢TQh ióMEG èàæJ B iOÉ°üàbG ôN’Gh ôNÉa ɪgóMGC ÖJÉμŸG øe ÚYƒf çÉK’G øe ÖàμŸG êÉàfG ¿Éc GPÉE a , Ü , GC äÉæ«cÉŸG øe ÚYƒf 𫨰ûJ Ωõ∏j ɪ¡æe πch
6
IóŸ (Ü) áæ«cÉŸGh , äÉYÉ°S çÓK IóŸ (GC ) áæ«cÉŸG 𫨰ûJ ≈°†à≤j ôNÉØdG ´ƒædG áæ«cÉŸGh , ÚàYÉ°S IóŸ (GC ) áæ«cÉŸG 𫨰ûJ ≈°†à≤j iOÉ°üàb’G ´ƒædGh ÚàYÉ°S ≈a É¡«æL 12 , ôNÉØdG ÖàμŸG ≈a É¡«æL 20 íHôj ™æ°üŸGh äÉYÉ°S çÓK IóŸ (Ü) ≈àM ´ƒf πc øe ™æ°üŸG É¡éàæj ≈àdG ÖJÉμŸG OóY óLhÉC a ; iOÉ°üàb’G ÖàμŸG . Ωƒj πc áYÉ°S 15 øe ÌcGC πª©j ’ ™æ°üŸG ¿ÉC H ɪ∏Y øμ‡ íHQ ÈcGC ≥≤ëj
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٤٠
W
G
õd G h j á
¥ô b « É ¢S
ﲤﻬﻴﺪ
ådÉ
ãdG π
°üØ
dG
∫GhódG ¿ƒª∏°ùŸG äÉ«°VÉjôdG Aɪ∏Y Ωób C áà°ùdG á«ã∏ãŸG É¡eGóîà°SGh (ÉàX , Éàb , Éb , ÉX , ÉàL , ÉL ) á«°SÉ°S’G OóY êÉàfÉE H (Ω929 ΩÉY ≈aƒàŸG ) ≈fÉ£ÑdG ΩÉbh äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùM πFÉ°ùe πM ≈a h 2ÉX + 1 = h Éb , h ÉL =h ÉX øª°†àJ ≈àdGh á«ã∏ãŸG äÉbÓ©dG øe h ÉàL äÉ«°VÉjôdG Ωƒ∏Y Qƒ£àd ÒÑμdG QhódG äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùM º∏©d ¿Éc óbh C áMÉ°ùe ÜÉ°ùM πãe á«∏ª©dG äÉ≤«Ñ£àdG ≈a ôKGC øe ¬d ¿Éc ɪc ∂∏ØdGh ≈°VGQ’G äÉYÉØJQ’G ÜÉ°ùMh , ¿ƒ°ü◊G AÉæHh ïdG ..............h
ﺍ
ﻷﻫﺪﺍﻑ
ﺍﳌﻮ ﺿﻮﻋﺎﺕ á¡LƒŸG ájhGõdG E ájhGõ∏d
≈°SÉ«≤dG
ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻧﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ً : ﻗﺎﺩﺭﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ . á¡LƒŸG ájhGõdG ±ô©àj .1 . á¡LƒŸG ájhGõ∏d ÖLƒŸG ¢SÉ«≤dG ±ô©àj .2
™°VƒdGE - ≈æ«à°ùdG ) ájhGõdG ¢SÉ«b ´ƒf ±ô©j .3 á¡LƒŸG . (iôFGódG
ájhGõdG ¢SÉ«b äGóMhE ≈a ájõcôe ájhGõd iôFGódG ¢SÉ«≤dG ±ô©àj .4 . IôFGO
øjôjó≤àdG ÚH ábÓ©dGE á«HÉ°ù◊G äÉ«∏ª©dG AGôLEG ≈a áÑ°SÉ◊G Ωóîà°ùj .5 ≈æ«à°ùdGh iôFGódG ¤EG iôFGódG ¢SÉ«≤dG øe πjƒëàdÉH á°UÉÿG . ¢ùμ©dGh ≈æ«à°ùdG
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻮﺟﻬﺔ C º«∏©àdG ≈a Éæà°SGQO AÉæKGC Éæd ≥Ñ°S OÉ–G É¡fGC ≈∏Y ájhGõdG ∞jô©J ≈°SÉ°S’G ájhGõdG É©∏°V ɪg ¿ÉYÉ©°ûdGh ájhGõdG ¢SGC ôH ≈ª°ùJ IóMGh ájGóH á£≤f ɪ¡d ÚYÉ©°T B áÑdÉ°S hGC áÑLƒe É¡fƒc å«M øe É¡°SÉ«b hGC ájhGõdG √ÉŒ’ ¢Vô©àdG ¿hO ∂dPh ¿’Gh . ÖdÉ°ùdG hGC ÖLƒŸG É¡°SÉ«bh ájhGõdG √ÉŒ’ ¢Vô©àæ°S : ≈∏Y π°üëf ÉæfÉE a ájhGõ∏d ÚfƒμŸG ÚYÉ©°ûdG Ö«JôJ Éæ«YGQ GPÉE a C ô°üæ©dG å«M ( Ü h , hh ) ÖJôŸG êhõdG ∫h’G Üh ≈fÉãdG ô°üæ©dGh ≈FGóàH’G ™∏°†dG hh ájhGõdG ¢SGC Q h á£≤f , ≈FÉ¡ædG ™∏°†dG (1 -3) πμ°T
C ô°üæ©dG å«M ( hh , Ü h ) ÖJôŸG êhõdG ɪæ«H ≈FGóàH’G ™∏°†dG Ü h ∫h’G . ájhGõdG ¢SGC Q h á£≤f , ≈FÉ¡ædG ™∏°†dG hh ≈fÉãdG ô°üæ©dGh ¿ÉE ``a É`ª¡`æ«H õ«`«`ª``à∏dh ( hh , Ü h ) ≠ ( Ü h , hh ) ¿GC Éæ``g ß``MÓ`jh á¡LƒŸG hh Ü ≈ª°ùJ ( hh , Ü h ) ɪæ«H á¡LƒŸG Üh h
≈ª°ùj ( Ü h , hh )
á¡LƒŸG ájhGõdG ∞jô©J ɪ¡d ájhGõdG É©∏°V ɪg ÚYÉ©°T øe ÖJôe êhR É¡fÉC H á¡LƒŸG ájhGõdG ±ô©J ájhGõdG ¢SGC Q ≈g IóMGh ájGóH á£≤f
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٤٢
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
: á¡LƒŸG ájhGõ∏d ÖLƒŸG ¢SÉ«≤dG ÖLƒe ¢SÉ«b á¡Lƒe ájhGõd ¿ƒμj ¤EG ≈FGóàH’G ™∏°†dG øe √ÉŒ’G ¿Éc GPEG ≈Hô≤Y ácôM √ÉŒG ó°V ≈FÉ¡ædG ™∏°†dG . áYÉ°ùdG : (2 - 3) πμ°T ≈a Óãªa
(2 -3) πμ°T
˚90 = ( `L h h
) ¥ ,˚30 = ( Ü h h
)¥
: á¡LƒŸG ájhGõ∏d ÖdÉ°ùdG ¢SÉ«≤dG ≈FGóàH’G ™∏°†dG øe √ÉéJ’G ¿Éc GPG ÖdÉ°S ¢SÉ«b á¡Lƒe ájhGõd ¿ƒμj . áYÉ°ùdG ≈Hô≤Y ácôM √ÉéJG ™e ≈FÉ¡ædG ™∏°†dG ≈dEG
(3 -3) πμ°T
˚135 - = ( ﻙh h
٤٣
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
) ¥ ,˚60 - = (O h h
) ¥ : ( 3 - 3) πμ°T ≈a Óãªa
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻮﺟﻬﺔ ¿Éc GPEG ≈°SÉ«b ™°Vh ≈a ájhGõdG ¿ƒμJ C á£≤f ƒg É¡°SGC Q óeÉ©àe ≈KGóMEG Ωɶæd π°U’G ¢Sh ƒg ≈FGóàH’G É¡©∏°Vh (4 -3) πμ°T
äɶMÓe (h h Ü ) á¡LƒŸG ájhGõdG ¢SÉ«b ≠ (Ü h h ) á¡LƒŸG ájhGõdG ¢SÉ«b
.1
C Ö`Lƒ`e ɪ`gGó`MEG ¿É`°SÉ«b ≈°SÉ`«≤dG ™`°VƒdG ≈`a á¡`Lƒe ájhGR πμd ÖdÉ`°S ô`N’Gh
.2
ْ٣٦٠ =Ú°SÉ«≤∏d iOó©dG ´ƒªéŸG ¿GC ßMÓjh ْ٣٣٠ hGC ْ٣٠= (Ü h h ≈°SÉ«≤dG É¡©°Vh ≈a (Ü h h
)¥
) á¡LƒŸG ájhGõ∏d ≈FÉ¡ædG ™∏°†dG Üh Éæ°Vôa GPEG
.3
:™bh GPEG ¬fÉE a C ™HôdG ≈a ™≤J ájhGõdG ¿GC ∫É≤j ¢Uh , ¢Sh ÚH Üh ( GC ∫h’G ≈fÉãdG ™HôdG ≈a ™≤J ájhGõdG ¿GC ∫É≤j ¢Sh n , ¢Uh ÚH Üh ( Ü ådÉãdG ™HôdG ≈a ™≤J ájhGõdG ¿GC ∫É≤j ¢Uh n , ¢Sh n ÚH Üh ( `L ™HGôdG ™HôdG ≈a ™≤J ájhGõdG ¿GC ∫É≤j ¢Sh , ¢Uh n ÚH Üh ( O
(O)
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
(`L) (5 -3) πμ°T
(Ü)
(GC )
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٤٤
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
C äÉ°SÉ«≤dG ÖàcG : (1 πμ°ûdÉH áæ«ÑŸG á¡LƒŸG ÉjGhõdG øe πμd iôN’G (1) ÖjQóJ óJJ B : ≈J’G
(6 -3) πμ°T
: É¡°SÉ«b ≈àdG ÉjGhõdG ¬«a ™≤J iòdG ™HôdG ôcPGC r 60-
٤٥
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
,
r 135 -
,
r 120
,
: (2 (2) ÖjQóJ óJJ
r 60
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ C C C É°SÉ°S k G Èà©J É¡«∏Y ≥Øàeh áàHÉK iôNG ájhGR OƒLh ≈¨Ñæj ájhGR iG ¢SÉ«≤d äGôe OóY ƒg ájhGR iGC ¢SÉ«b ¿ƒμjh ( ÉjGhõdG ¢SÉ«b IóMh ) ≈ª°ùJ ¢SÉ«≤∏d ÜÉàμdG Gòg ≈a ∫hÉæàf ±ƒ°Sh á≤HÉ°ùdG ¢SÉ«≤dG IóMh ≈∏Y ájhGõdG √òg AGƒàMG : ɪg ÉjGhõdG ¢SÉ«b äGóMh øe ÚYƒf
k hGC : ≈æ«à°ùdG ¢SÉ«≤dG : ’ C º«∏©àdG á∏Môe ≈a ¬«∏Y Éæaô©J ¿GC ≥Ñ°S iòdG ¢SÉ«≤dG ƒgh ∂dPh ≈°SÉ°S’G . á∏≤æŸG ΩGóîà°SÉH C ≈a ájhÉ°ùàe É°Sƒb r ٣٦٠ ¤EG IôFGódG É檰ùb ÉæfGC ƒg ¢SÉ«≤dG Gòg ≈a ¢SÉ°S’Gh k C √òg øe ¢Sƒb ≈àjÉ¡æH ÉgÉ©∏°V ôÁ ájõcôe ájhGR iGC ¿ƒμJ ¬«∏Yh ∫ƒ£dG ¢SGƒb’G
˚١ õeôdÉH É¡d õeôj IóMGh áLQO É¡°SÉ«b ¿EG ∫É≤j á≤«bó∏dh َ١õeôdÉH É¡d õeôjh á≤«bódG ≈g iôNGC AGõLGC áLQó∏d ¿GC Éæª∏Y ɪc 1k õeôdÉH É¡d õeôjh á«fÉãdG ≈g iôNGC AGõLGC
˚ k 60 = 1n , n 60 = ١ ¿GC º∏©fh ˚٦٣ n 17 k 25 IQƒ°üdÉH ÖàμJ á«fÉK 25h á≤«bO17h áLQO٦٣ É¡°SÉ«b ≈àdG ájGhõdÉa
äɶMÓe : ≈°SÉ«≤dG ™°VƒdG ≈a `g ájhGR i’C C ™HôdG ≈a ™≤J É¡fÉE a . ∫h’G
˚90 > `g > ˚0 ¿Éc GPEG - 1
. ≈fÉãdG ™HôdG ≈a ™≤J É¡fÉE a
˚180 > `g > ˚90 ¿Éc GPEG
. ådÉãdG ™HôdG ≈a ™≤J É¡fÉE a
˚270 > `g > ˚180 ¿Éc GPEG
. ™HGôdG ™HôdG ≈a ™≤J É¡fÉE a
˚360 > `g > ˚270 ¿Éc GPEG
≈FÉ¡ædG ´É©°ûdG ¿Éc GPEG áÄaÉμàe É¡fGC ≈°SÉ«≤dG ™°VƒdG ≈a ÉjGhR Ió©d ∫É≤j - 2 (7 - 3 ) πμ°T ≈a ɪc ∂dPh , óMGh É©«ªL É¡d k ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٤٦
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
(7 -3) πμ°T `g =
(1
) ¥
`g = ( 1
)¥
˚360 - `g = ( 2
)¥
˚360 + `g = ( 2
)¥
˚360 * 2- `g = ( 3 ) ¥ ˚360 * 2+ `g = ( 3 ) ¥ ·············˚٣٦٠ X٣ ± ˚٣٠ ،˚٣٦٠ X ٢ ± ˚٣٠ ، ˚٣٦٠ ± ˚٣٠ É¡JÉ°SÉ«b ≈àdG ájhGõdG Óãe ˚٣٠ É¡°SÉ«b ≈àdG ájhGõdG ÅaÉμJ É¡©«ªL W ∋ ¿ å«M ,˚٣٦٠ X ﻥ± ˚٣٠ ،
: iôFGódG ¢SÉ«≤dG : É«fÉK ájhGõdG √ô°ü– iòdG IôFGódG øe ¢Sƒ≤dG ∫ƒW ≈∏Y ¢SÉ«≤dG Gòg óªà©j . IôFGódG ô£b ∞°üf ∫ƒW ≈∏Yh ájõcôŸG : á«°Sóæg á≤«≤M : ó«¡“
∫ƒWh ájõcôe ájhGR …GC ¢Sƒb ∫ƒW ÚH áÑ°ùædG õcôŸG IóëàŸG ôFGhódG ≈a ≈àdG ájhGõdG ¢SÉ«b ≈∏Y ∞bƒàj âHÉK QGó≤e ihÉ°ùJ IôXÉæŸG É¡JôFGO ô£b ∞°üf . ¢Sƒ≤dG Gòg ô°ü– : ∂dP äÉÑK’h ∑=
n Ün h
,∑=
Üh
nÜΩ nhΩ ÜΩ=hΩ
nhΩ hΩ
âHÉK QGó≤e = (8 -3) πμ°T
٤٧
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
Üh hΩ
=n
Ün h
∴
Üh
=
n Ün h nhΩ
∴
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
iôFGódG ¢SÉ«≤dÉH ≈ª°ùj ájhGõdG ¢SÉ«≤d ôNBG ÉHƒ∏°S GC ∂dP ôÑà©j Gò¡dh k .ájhGõ∏d
∞jô©J IôFGO ≈a ájõcôe ájhGõd iôFGódG ¢SÉ«≤dG ájhGõdG √òg √ô°ü– iòdG ¢Sƒ≤dG ∫ƒW IôFGódG √òg ô£b ∞°üf ∫ƒW
=
A`g õeôdÉH ¬d õeôjh
(≥f) õeôdÉH ô£≤dG ∞°üf ∫ƒ£dh (∫) õeôdÉH ¢Sƒ≤dG ∫ƒ£d ÉfõeQ GPÉE a ≥f A`g = ∫
É¡æeh
∫ ≥f
=A `g
¿ÉE a
ájô£b ∞°üædG ájhGõdG ≈ª°ùJ ôjó≤àdG øe ´ƒædG Gò¡d ÉjGhõdG ¢SÉ«b IóMhh : ≈∏j ɪc ±ô©Jh
∞jô©J ô°ü– ≈àdG IôFGódG ≈a ájõcôŸG ájhGõdG ≈g ájô£b ∞°üædG ájhGõdG . IôFGódG √òg ô£b ∞°üf ∫ƒW ihÉ°ùj ¬dƒW É°Sƒb k IôFGódG ≈a ájõcôªdG ájhGõdG ≈g x ٣ É¡°SÉ«b ≈àdG ájhGõdG ¿ƒμJ Gòg ≈∏Yh √òg ô£b ∞°üf ∫ƒW ∫ÉãeGC áKÓK ihÉ°ùj ¬dƒW IôFGódG √òg øe É°Sƒb ô°üëJ ≈àdGh k . IôFGódG
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٤٨
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮﻳﻦ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﻭﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ : ¿ÉE a IóMƒdG ihÉ°ùj* IôFGódG ô£b ∞°üf ∫ƒW ¿Éc GPEG . É¡°Sƒb ∫ƒW ihÉ°ùj ( iôFGódG ôjó≤àdÉH ) ájõcôŸG ájhGõdG ¢SÉ«b - 1 • 2 É¡°Sƒb ∫ƒW ¿ƒμj ˚360 ihÉ°ùj ≈æ«à°ùdG É¡°SÉ«b ≈àdG ájõcôŸG ájhGõdG - 2 A • 2 ihÉ°ùj iôFGódG É¡°SÉ«b iGC A
A
˚57 n 16 k 20 ⋍ ˚57^273 = ˚180 = ١ , ˚180 = A• É¡æeh ˚360 = • 2 - 3 • • 22 A A 0^0175 ⋍ = ١, ⋍ • å«M ˚180 7 A ôjó≤àdÉH É¡°SÉ«bh `g iôFGódG ôjó≤àdÉH É¡°SÉ«b ájhGR Éæjód âfÉc GPÉE a : ¿ÉE a ˚¢S ≈æ«à°ùdG • A ˚180 *˚¢S = `g ˚180 A • * `g =˚¢S
A
`g = r ¢S • ˚180
hGC
á¶MÓe ≈æ«à°ùdG É¡°SÉ«b OÉéjG øμÁ ¬fÉE a • ád’óH Ée ájhGõd iôFGódG ¢SÉ«≤dG º∏p Yo GPEG ˚180 ƒgh äÉLQódG øe ¬jhÉ°ùJ Éà • øY ¢†jƒ©àdÉH ∂dPh 7 A ˚157 n 30 = ˚157^5 = ˚315 = ˚180 * 7 = • : Óãªa 8 2
8
A
. á≤«bO Üôb’C ájhGõdG √ò¡d ≈æ«à°ùdG ¢SÉ«≤dG óLhGC , 2^5 É¡°SÉ«b ájhGR
1 ∫É`ã`e
: π◊G ˚143^24 ⋍ n
˚180 •
* 2^5 = A2^5
14 ⋍ 60 * 0^24 = ˚0^240 A
˚143 n 14 ⋍ 2^5 ∴ IóMƒdG IôFGO ≈ª°ùJ IôFGódG √òg *
٤٩
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
˚60 n 12 ˚30 : ≈JÉC j ɇ Óc iôFGódG ôjó≤àdG ∫ƒM :ÖjQóJ óJJ • * ˚¢S = A `g ∵ ˚180
A
................ = `g ∴
˚30 = ¢S óæY ∴
A
................ = `g ∴
˚60^2 = ˚60 n
12 = ¢S óæY ∴
C ΩGóîà°SÉH ∂dPh ´ô°SGC h π¡°SGC IQƒ°üH á«HÉ°ù◊G äÉ«∏ª©dG AGôLEG øμÁ ád’G áÑ°SÉ◊G
á¶MÓe B ΩGóîà°SG óæY ΩÉbQGC á©HQGC ¤EG á°TÉ°ûdG ≈∏Y œÉædG Öjô≤àH ≈Øàμj áÑ°SÉ◊G ád’G . ∂dP ÒZ Ö∏£j ⁄Ée ájô°ûY
. A 2^5 É¡°SÉ«b ájhGõd ≈æ«à°ùdG ôjó≤àdG ÜÉ°ùM ≈a Ö«÷G áÑ°SÉM Ωóîà°SG
2 ∫É`ã`e
: π◊G ˚180 * 2^5 = ¢S ¿ÉE a ≈æ«à°ùdG ¢SÉ«≤dG ƒg ¢S ¿Éc GPEG •
B Ö«JÎdÉH í«JÉØŸG ≈∏Y §¨°†f 𫨰ûàdG ìÉàØe ≈∏Y §¨°†dG ó©H á¡L øe ≈J’G . QÉ°ù«dG 2
.
5
*
˚143 n 18 ⋍ A2^5 ∴
1
8
0
÷
∏
=
inv
˚ﻭﻭﻭ
˚143 n 18 á°TÉ°ûdG ≈∏Y ô¡¶j
ÉHô≤e ájhGõdG √ò¡d iôFGódG ¢SÉ«≤dG óLhGC , ˚108 n 14 k 42 É¡°SÉ«b ájhGR k . Újô°ûY ÚªbQ ¤EG œÉædG
3 ∫É`ã`e
: π◊G
• A A ˚180* r ¢S = `g ¿ÉE a ≈æ«à°ùdG ¢SÉ«≤dG ƒg `g ¿Éc GPEG
B Ö«JÎdÉH í«JÉØŸG ≈∏Y §¨°†f 𫨰ûàdG ìÉàØe ≈∏Y §¨°†dG ó©H á¡L øe ≈J’G . QÉ°ù«dG
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٥٠
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ 1
0
ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ˚ﻭﻭﻭ
8
1 A
4
˚ﻭﻭﻭ
4
1^89 = ˚108 n 14 k 42
2
˚ﻭﻭﻭ
*
∏
÷
1
8
0
=
1^889231647 á°TÉ°ûdG ≈∏Y ô¡¶j
ô°ü– ≈àdG ájõcôŸG ájhGõ∏d ≈æ«à°ùdGh iôFGódG Ú°SÉ«≤dG øe Óc óLhGC . º°S 2^5 Égô£b ∞°üf ∫ƒW IôFGO øe º°S 7^9 ¬dƒW É°Sƒb k A
3^16 =
4 ∫É`ã`e
: π◊G
7^9 ∫ = = A`g 2^5 ≥f
B ᣰSGƒHh ˚181 n 3 k 17 ⋍ A3^16 ó‚ (2) ∫Éãe ≈a ɪc áÑ°SÉ◊G ád’G √ô°ü– ≈àdG IôFGódG ¢Sƒb ∫ƒW óLhGC , º°S 10 Égô£b ∞°üf ∫ƒW IôFGO
5 ∫É`ã`e
. óMGh iô°ûY ºbQ ¤EG œÉædG ÉHô≤e ˚25 n 46 k 59 É¡°SÉ«b ájõcôe ájhGR k
: π◊G ≥f * A`g = ∫ ∴ º°S 4^5 = ∫ ∴
٥١
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
∫ A = `g ≥f
10 ≈a œÉædG Üô°†f ºK (2) ∫ÉãŸÉH ɪc A`g óLƒf
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
B : ≈J’Éc É¡JÉ°SÉ«b ≈àdG ÉjGhõdG ¬«a ™≤J iòdG ™HôdG OóM 1 ˚89 n 50
Ü
˚132 n 13 G
˚150 -
O
˚360 * 2 + ˚120
h
˚300- `g
˚840-
ì
˚1380 R
•4
ﻯ
˚210 n
20 `L
•5 8
•
C πμd áÄaÉμe ÖdÉ°S É¡°SÉ«b iôN’Gh ÖLƒe É¡JÉ°SÉ«b ɪgóMGC ÚàjhGR óLhGC 2 : ≈J’Éc É¡JÉ°SÉ«b ≈àdG ÉjGhõdG øe ájhGR ˚159
Ü
˚10
˚25-
O
˚410 `L
•
h
˚835 - `g
•7 4
ì
•4-
ﻯ
R • 2 3 • - • 3
G
B : ≈J’Éc É¡JÉ°SÉ«b ≈àdG ÉjGhõ∏d iôFGódG ¢SÉ«≤dG • ád’óH óLhGC 3 ˚1 `L
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
˚300 Ü
˚225 G
˚210- `g
˚135- O
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٥٢
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
B Üôb’C ÜGƒ÷G ÉHô≤e ≈J’Éc É¡JÉ°SÉ«b ≈àdG ÉjGhõ∏d iôFGódG ¢SÉ«≤dG óLhGC 4 k : Iô°ûY øe AõL ˚67 n 22 `L
˚135 Ü ˚172 n
10 k
˚240
57 `g
˚115 n
G
40 k 10 O
B ÉjGhõ∏d ≈æ«à°ùdG ¢SÉ«≤dG óLhGC : á«J’G A
3^41 `g
A
1^35 O
A
2^27 `L
A
0^49 Ü
A
5
• 16
5
G
Óc óLhGC , (∫) ¬dƒW É°Sƒb ô°ü– (≥f) Égô£b ∞°üf IôFGO ≈a ájõcôe ájhGR 6 k B ä’É◊G ≈a ájhGõdG √ò¡d ≈æ«à°ùdGh iôFGódG Ú°SÉ«≤dG øe : á«J’G º°S 4 = ∫ , º°S 2 = ≥f G º°S 5 = ∫ , º°S 4 = ≥f Ü º°S 15 = ∫ , º°S 6 = ≥f `L
óLhGC , (∫) ¬dƒW É°Sƒb ô°ü– (≥f) Égô£b ∞°üf IôFGO ≈a `g ájõcôe ájhGR 7 k B ä’É◊G ≈a ¢Sƒ≤dG ∫ƒW : á«J’G A
• ١ = `g , º°S 5 = ≥f G ٣
˚110 = `g , º°S 7 = ≥f Ü ˚82 n 10 k 25 = `g , º°S 22 = ≥f `L ˚125 n 15 k 20 = `g , º°S 20 = ≥f O
٥٣
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
ájhGõdG ¢SÉ«b óLhGC , r 50 = ( Ü
A •2
ájhGõdG ¢SÉ«b óLhGC (
3
)=(Ü
) ¥ , r 60 = (h ) ¥ ¬«a `L Ü h å∏ãªdG 8 . iôFGódG ôjó≤àdÉH áãdÉãdG
) ¥ , r 30 = ( h
) ¥ ¬«a `L Ü h å∏ãªdG 9
. iôFGódGh ≈æ«à°ùdG øjôjó≤àdÉH áãdÉãdG A øjôjó≤àdÉH ø«àjhGõdG ¢SÉ«b óLhGC ( • ) ɪ¡æ«H ¥ôØdG ¿Éà∏eÉμàe ¿ÉàjhGR 10 3 . iôFGódGh ≈æ«à°ùdG
A øjôjó≤àdÉH ɪ¡°SÉ«b óLhGC ( • ) ɪ¡æ«H ¥ôØdGh r 70 ɪ¡Yƒªée ¿ÉàjhGR 11 5 . iôFGódGh ≈æ«à°ùdG
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٥٤
G
á
`d ª ã ` ∏ ã «`
G d ó h ∫G ﲤﻬﻴﺪ
ΩÉY ≈aƒàŸG ) Éah ƒHGC ∫ɪYGC âfÉc
™HGô
dG π
∫GhódG ´ƒ°Vƒe á°UÉîHh äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùM ≈a GóL k á©aÉf (Ω998 á°†¡ædG IÎa ∫ÓN É¡∏c ÉHQhGC äÈY É¡fGC áLQód , É¡æ«H ábÓ©dGh á«ã∏ãŸG
°üØ
dG
á«ã∏ãŸG ∫GhódG º«b OÉéj’E IójóL á«°VÉjQ ∫hGóL OGóYÉE H ΩÉb ∂dòc , ¿GC ¤EG ∫hGó÷G √òg äôªà°SG óbh , ∫GhódG √ò¡d ÉjGhõdG äÉ°SÉ«b hGC øY É°VƒY Ö«÷G áÑ°SÉM âØ°ûàcGC k . á«°VÉjôdG ∫hGó÷G
ﺍﳌﻮ ﺿ ﻮ ﻋ ﺎﺕ á«ã∏ãŸG ∫GhódG E
E
á«ã∏ãŸG ∫GhódG äÉHƒ∏≤e C á«°SÉ°S’G ÉjGhõdG ¢†©Ñd á«ã∏ãŸG ∫GhódG á°UÉÿG á«ã∏ãŸG ∫GhódG ¢UGƒN ¢†©H ∫Ghó∏d ≈fÉ«ÑdG π«ãªàdG á«ã∏ãŸG IOÉ◊G ájhGõ∏d á«ã∏ãŸG ∫GhódG i’C á«ã∏ãŸG ∫GhódG OÉéjG ájhGR º«b ióMGE Ωƒ∏©e ájhGR ¢SÉ«b É¡d á«ã∏ãŸG ∫GhódG
E E E E E E
ﺍ ﻷﻫﺪﺍﻑ ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻧﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ً : ﻗﺎﺩﺭﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ C ∫GhódG ±ô©àj .1 , ÉàM , ÉM ) ájhGõ∏d á«°SÉ°S’G . ( ÉW C ≈a á«ã∏ãŸG ∫GhódG äGQÉ°TEG ±ô©àj .2 ´ÉHQ’G C . á©HQ’G ¢ùØf É¡d áÄaÉμàŸG ÉjGhõdG áYƒª› ¿GC ±ô©j .3 . á«ã∏ãŸG ∫GhódG C á«ã∏ãŸG ∫GhódG äÉHƒ∏≤e ±ô©àj .4 . á«°SÉ°S’G .á°UÉÿG ÉjGhõdG ¢†©Ñd á«ã∏ãŸG ∫GhódG èàæà°ùj .5 C á«ã∏ãŸG ∫Ghó∏d á«fÉ«ÑdG ∫Éμ°T’G ±ô©àj .6 C .á«°SÉ°S’G B Ωóîà°ùj .7 ∫GhódG OÉéjEG ≈a áÑ°SÉ◊G ád’G .á«ã∏ãŸG . á«ã∏ãŸG ∫GhódG ≈∏Y πFÉ°ùŸG øe ójõe πëj .8
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﻟﻨﻔﺮﺽ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ) hﻭ ﺏ( ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ،ﺏ ) ﺱ ،ﺹ ( Jﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ، ﻕ)
hﻭ ﺏ( = ﻫـ ﻧﺮﺳﻢ ﺏ ﺟـ nﻭﺱ
ﻭﻳﻘﻄﻌﻪ ﻓﻰ ﺟـ ﺣﻴﺚ ﻭ ﺟـ = ﺱ ﻭﻧﺮﺳﻢ ﺏ ﺩ nﻭ ﺹ ﻭﻳﻘﻄﻌﻪ ﻓﻰ ﺩ ﺣﻴﺚ ﻭﺩ = ﺹ ﻭﻧﻼﺣﻆ ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﺃﻧﻪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺘﻐﻴﺮ ﻫـ ﺑﺎﻟﺰﻳـﺎﺩﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻔـﺘﺮﺓ [ ] ˚٩٠ ، ˚٠ ﻳﺘﻐـﻴﺮ ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻭ ﺟـ ﺑﺎﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ، ﻭ ﺩ ﺑﺎﻟﺰﻳﺎﺩﺓ · ﺃﻯ ﺃﻥ ﺇﺣـﺪﺍﺛﻴـﺎﺕ ﻧﻘـﻄﺔ ﺏ ﺗﺘـﻮﻗﻒ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ
Ió```YÉ````b ﻷﻯ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻭﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﻳﻘﻄﻊ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ ) ﺱ ،ﺹ ( · ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ ﻓﺈﻥ : ﺟﻴﺐ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ = ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﺼﺎﺩﻯ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ﺏ
ﻭﺗﻜﺘﺐ ﺣﺎ ﻫـ = ﺹ
ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎﻡ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ= ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﺴﻴﻨﻰ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ﺏ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﺼﺎﺩﻯ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ﺏ ﻇﻞ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺔ ﻫـ = ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﺴﻴﻨﻰ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ﺏ
ﻭﺗﻜﺘﺐ ﺟﺘﺎ ﻫـ = ﺱ ﻭﺗﻜـﺘﺐ ﻇﺎ ﻫـ = ﺹ ﺱ
ﻭﺗﺴﻤﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺑﺎﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ·
٥٦
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
äɶMÓe -١ﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺘﻌﺎﺭﻳﻒ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺇﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ ) ﺱ ،ﺹ( ﺣﻴﺚ ﺱ + ٢ﺹ١ = ٢ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ،ﺱ ،ﺹ Jﺡ
- ٢ﺇﺫﺍ ﻭﻗـﻊ ﻭﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻷﻭﻝ ﻓﺈﻥ ﻫـ J [ ، ٠ﻁ ] ﻭﺗـﻜـﻮﻥ ﺱ < ، ٠ ٢
ﺹ<٠
ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﺗﻜﻮﻥ ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ·
- ٣ﺇﺫﺍ ﻭﻗـﻊ ﻭﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ﻓﺈﻥ ﻫـ J [ ﻁ ،ﻁ ] ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺱ> ، ٠ﺹ <٠ ٢
ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﻓﻘﻂ ً ﻣﻮﺟﺒﺎ ·
- ٤ﺇﺫﺍ ﻭﻗﻊ ﻭﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﻓﺈﻥ ﻫـ J [ ﻁ ٣ ،ﻁ ] ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺱ > ، ٠ﺹ > ٠ ٢
ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻈﻞ ﻓﻘﻂ ً ﻣﻮﺟﺒﺎ ·
- ٥ﺇﺫﺍ ﻭﻗﻊ ﻭﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﻓﺈﻥ ﻫـ ٣ [ Jﻁ ٢ ،ﻁ ] ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺱ < ، ٠ ٢
ﺹ>٠ ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﻳﻜﻮﻥ ﺟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ ﻓﻘﻂ ﻣﻮﺟﺒﺎ· ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
٥٧
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
- ٦ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺔ ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ · - ٧ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺣﺎ ) ﻫـ ٢ +ﻥ ﻁ ( = ﺣﺎ ﻫـ = ﺹ ﺣﺘﺎ ) ﻫـ ٢ +ﻥ ﻁ ( = ﺣﺘﺎ ﻫـ = ﺱ ﺹ ﻇﺎ ) ﻫـ ٢ +ﻥ ﻁ ( = ﻃﺎ ﻫـ = ﺱ ﺣﻴﺚ ﻥ Jﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ،ﺱ ≠ ٠ ﺗﺗﺪﺭﻳﺐ :ﺍﻛﺘﺐ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ : ﻇﺎ ˚١٠٠
1 ∫É`ã`e
،
،
ﺣﺘﺎ ˚٣٠
ﺣﺎ ˚٨٩ َ٥٥
،
•5 ﺣﺘﺎ 4
،
ﻃﺎ ˚٨٦٩
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ hﻭﺏ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ،ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ hﻭﺏ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﺏ ﻫﻰ : 1 ﺛﺎﻟﺜﺎ ) :ﺱ - ،ﺱ( ﺛﺎﻧﻴﺎ ، 2 ) :ﺹ( ﺃﻭﻻ(١- ، ٠) : ﺣﻴﺚ ﺱ ،ﺹ Jﺡ
+
: π◊G 1ً ﺃﻭﻻ :ﺣﺘﺎ hﻭ^ ﺏ = ، ٠ﺣﺎ hﻭ^ ﺏ = ، ١-ﻃﺎ hﻭ^ﺏ = 0 ٣ 1 ً = ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺹ = -١ 2 4 ٣ 1 ،ﻃﺎ hﻭ^ﺏ = ٣ = ^ﺏ ﻭ h ﺣﺎ ، Eﺣﺘﺎ hﻭ^ﺏ = 2 2 1 ً ٢ﺱ١ = ٢ ﺛﺎﻟﺜﺎ :ﺱ + ٢ﺱ١ = ٢ ﺱ= ٢ ّ ّ 2 ١ ﺡ ﺱJ ﺣﻴﺚ + Eﺱ= ٢ ١١ Eﺏ =) ( ٢ ، ٢ ١ﺟﺎ hﻭ^ﺏ = ٢
٥٨
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
،
= ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻑ
١ Eﺣﺘﺎ hﻭ^ﺏ = ٢ ﻇﺎ hﻭ^ﺏ = ١-
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
Ió```YÉ````b ﻷﻯ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻭﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﻳﻘﻄﻊ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ ) ﺱ ،ﺹ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ ﻓﺈﻥ : 1 Ü á£≤æ∏d ≈æ«°ùdG ≈KGóM’G = E
1 ﻭﺗﻜﺘﺐ ﻗﺎ ﻫـ = ¢S
1 ﻗﺎﻃﻊ ﺗﻤﺎﻡ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ = Ü á£≤æ∏d iOÉ°üdG ≈KGóM’G E Ü á£≤æ∏d ≈æ«°ùdG ≈KGóM’G ﻇﻞ ﺗﻤﺎﻡ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ = E Ü á£≤æ∏d iOÉ°üdG ≈KGóM’G E
1 ﻭﺗﻜﺘﺐ ﻗﺘﺎ ﻫـ = ¢U
ﻗﺎﻃﻊ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ
¢S ﻭﺗﻜﺘﺐ ﻇﺘﺎ ﻫـ = ¢U
äɶMÓe ﺗﻜﻮﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻣﻘﻠﻮﺑﺎﺕ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻫﻰ ﻧﻔﺲ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺬﻯ ﺗﻘﻊ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺗﻠﺨﻴﺺ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺟﻤﻴﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻰ: ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻘﻊ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻘﻊ ﻓﻴﻬﺎ ﻗﻴﺎﺱ ﺟﺎ ،ﻗﺘﺎ ﺟﺘﺎ ،ﻗﺎ ﻇﺎ ،ﻇﺘﺎ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺇﺷﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ
ﺍﻷﻭﻝ
[ ] • ، ˚٠
+
+
+
ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
• [ 2
،ﻁ ]
+
-
-
ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
[ ﻁ ] •3 ،
-
-
+
ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
[ ٢ ، •3ﻁ ]
-
+
-
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
2
2
2
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
٥٩
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
1
ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ : G `L `g R
Üﺣﺘﺎ ˚٢٠٠
ﺣﺎ ˚١٦٥ •5 ﻇﺎ 4 ﺣﺘﺎ •3 4 ﻗﺎ ˚٢٧٥
Oﺣﺘﺎ ˚٣١٠ • hﻇﺘﺎ 4 ìﻗﺎ ˚٣٠٠
• ﻇﺎ ˚٧٥٠ •11 ﻙ ﺣﺎ 4 2
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ
iﻗﺘﺎ ˚١٢٠٠
hﻭﺏ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ،ﺃﻭﺟﺪ ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ
ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ hﻭﺏ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﺏ ﻫﻰ : ٣ ،ﺹ( ) G 2 ) Üﺱ (٠٫٦ -، - ) `Lﺱ ،ﺱ ( (٠ ، ١-) O ﺣﻴﺚ ﺱ ،ﺹ Jﺡ
٦٠
+
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
-١ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻨﻄﺒﻖ ﺏ ﻋﻠﻰ ١hﻓﺈﻥ ﻕ
ﻫـ = ٠
،ﺱ=،١ﺹ=٠ ﺣﺎ ، ٠ = ˚٠ﺣﺘﺎ ، ١ = ˚٠ 0 ﻃﺎ = ˚٠ 1
=٠
- ٢ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻨﻄﺒﻖ ﺏ ﻋﻠﻰ h
ﻓﺈﻥ ﻕ )
ﻫـ
٢
ﻫـ( = ˚٩٠
،ﺱ = ، ٠ﺹ = ، ١ﺣﺎ ، ········ = ˚٩٠ﺣﺘﺎ ········ = ˚٩٠ 1
ﻇﺎ ) 0 = ˚٩٠ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻑ( - ٣ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻨﻄﺒﻖ ﺏ ﻋﻠﻰ ٣hﻓﺈﻥ ﻕ )ﻫـ^( = ، ˚١٨٠ﺱ = ، ١-ﺹ = ، ٠ Eﺣﺎ ، ········ = ˚١٨٠ﺣﺘﺎ ، ········ = ˚١٨٠ﻃﺎ ········ = ˚١٨٠ - ٤ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻨﻄﺒﻖ ﺏ ﻋﻠﻰ ٤hﻓﺈﻥ ﻕ )ﻫـ^( = ، ˚270ﺱ = ، ٠ﺹ = ، ١- Eﺣﺎ ، ········ = ˚٢٧٠ﺣﺘﺎ ، ········ = ˚270ﻃﺎ ········ = ˚270 - ٥ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ˚٣٦٠ﻫﻰ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻜﺎﻓﺌﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ˚٠
Eﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ٠ 0 ﺣﺎ ، ٠ = ˚٣٦٠ﺣﺘﺎ ، ١ = ˚٣٦٠ﻃﺎ 1 = ˚٣٦٠
1
1 = ﻭﺏ 2 - ٦ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻕ )ﻫـ^( = ، ˚٣٠ﻓﺈﻥ ﺹ = 2 ٣ 1 ٢ ٢ ﺱ = )ﻭﺏ( ) -ﻭﺟـ( = 2 = 4 - ١ ٣ ١ ،ﻃﺎ = ˚٣٠ Eﺣﺎ ، 21 =˚٣٠ﺣﺘﺎ = ˚٣٠ 2 ٣
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
٦١
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
- ٧ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻕ )ﻫـ^( = ، ˚٤٥ﻓﺈﻥ ﺱ = ﺹ ﻭﻣﻦ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺙ ﺱ + ٢ﺹ١ = ٢ ٢ ٢ﺱ = ّ ١
ﺱ1 = ٢
2
١ Eﺱ=ﺹ= ٢
ﺣﺎ ، ········ = ˚٤٥ﺣﺘﺎ ، ········ = ˚٤٥ﻃﺎ ········ = ˚٤٥ 1 - ٨ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻕ )ﻫـ^( = ، ˚٦٠ﻓﺈﻥ ﺱ = 2
٣ ،ﺹ= 2
1 ﻭﺏ = 2
Eﺣﺎ ، ········ = ˚٦٠ﺣﺘﺎ ، ········ = ˚٦٠ﻃﺎ ········ = ˚٦٠ ﻭﻧﻠﺨﺺ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ :
ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ˚٣٦٠ ، ٠ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﺟﺎ
2 ∫É`ã`e
: π◊G
ﺟﺘﺎ
١
ﻇﺎ
٠
١ ٢ ٣ 2
١ ٢ ١ ٢
٣ 2 1١ 2٢
١ ٣
١
٣
١
٠
١-
٠
١-
٠
ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻑ
٠
ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻑ
ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺎ ˚٣٠ﺣﺘﺎ + ˚٦٠ﺣﺎ - ˚٩٠ﻃﺎ ˚٤٥
1 1 1 ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ = 4 = ١-١ + 2 X 2
3 ∫É`ã`e
: π◊G
٠
˚٣٠
˚٤٥
˚٦٠
˚٩٠
˚١٨٠
˚٢٧٠
ﺣﺘﺎ + ˚٦٠ ٢ﺣﺘﺎ - ˚٣٠ ٢ﺣﺘﺎ ˚٢٧٠ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺱ ﻗﺎ = ˚٦٠ ﺣﺎ ˚٦٠ﻃﺘﺎ - ˚٣٠ﺣﺘﺎ ˚٠ ٢
ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ
٢
ﺣﺘﺎ + ˚٦٠ﺣﺘﺎ - ˚٣٠ﺣﺘﺎ ˚٢٧٠ ﺱ ﻗﺎ = ˚٦٠ ﺣﺎ ˚٦٠ﻃﺘﺎ - ˚٣٠ﺣﺘﺎ ˚٠
٣ 1 ) ) + ٢( 2 2 ﺱ=٢X ٣ ١-٣ X 2
(٠ - ٢
٦٢
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
١ ٤ ١- ٣ 2 +
=
٣ ٤
=E٢ﺱ=١
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
1
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﺛﺒﺖ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ : G
ﺣﺘﺎ ٢ = ˚٦٠ﺣﺘﺎ١ - ˚٣٠ ٢
Üﺣﺎ ٢ = ˚٩٠ﺣﺎ ˚٤٥ﺣﺘﺎ ˚٤٥ ٢ﻇﺎ ˚٣٠ `Lﻇﺎ = ˚٦٠ - ١ﻇﺎ˚٣٠ 2 Oﺣﺘﺎ = ˚٩٠ﺣﺘﺎ - ˚٤٥ ٢ﺣﺎ˚٤٥ ٢ 2
ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ : G
ﺣﺘﺎ 2 + ˚٩٠ﺣﺘﺎ ٣ + ˚١٨٠ﺣﺘﺎ ٤ - ˚٢٧٠ﺣﺘﺎ ˚٦٠
ﺣﺘﺎ + ˚٦٠ 2ﺣﺘﺎ˚٣٠ 2 Ü ﻗﺎ ˚٣٠ﻃﺎ ˚٣٠ `Lﺣﺘﺎ ˚٩٠ﻗﺘﺎ + ˚٣٠ﻗﺎ ˚٤٥ 2ﺣﺎ - ˚٣٠ﺣﺘﺎ ˚٢٧٠ﺣﺎ ˚١٨٠
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
٦٣
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
Úà∏dG ÚàeÉààŸG ÚàjhGõ∏d á«ã∏ãŸG ∫GhódG : ’hGC (`g - ˚90 ) , `g ɪ¡°SÉ«b
ﻧﺮﺳﻢ ﺯﺍﻭﻳﺔ hﻭﺏ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﺤﻴﺚ ﻕ ) hﻭﺏ( = ﻫـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ ) ﺱ ،ﺹ( ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻭﻧﺮﺳـﻢ ﺯﺍﻭﻳـﺔ hﻭﺏَ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟـﻘـﻴﺎﺳﻰ ﺑﺤﻴـﺚ ﻕ ) hﻭ ﺏ( = - ˚٩٠ﻫـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺹ( ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ َ ﺱَ ، ﺏ) َ eﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ﻭﺟـ ﺏ ،ﻭ ﺟـَ ﺏَ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎﻥ ﻟﻤﺎﺫﺍ ؟ ﺱ=ﺹ ﺹ= ﺱ َ ، َ E Eﺣﺎ ) -˚٩٠ﻫـ( = ﺣﺘﺎ ﻫـ ،ﺣﺘﺎ ) -˚٩٠ﻫـ( = ﺣﺎ ﻫـ ،ﻃﺎ ) - ˚٩٠ﻫـ( = ﻇﺘﺎ ﻫـ ﻭﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺑﺎﻗﻰ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ : ¿GC iGC
ﺣﺎ ) - ˚٩٠ﻫـ ( = ﺣﺘﺎ ﻫـ
ﻗﺘﺎ ) - ˚٩٠ﻫـ ( = ﻗﺎ ﻫـ
ﺣﺘﺎ ) - ˚٩٠ﻫـ ( = ﺣﺎ ﻫـ
ﻗﺎ ) - ˚٩٠ﻫـ ( = ﻗﺘﺎ ﻫـ
ﻃﺎ ) - ˚٩٠ﻫـ( = ﻇﺘﺎ ﻫـ
ﻇﺘﺎ ) - ˚٩٠ﻫـ ( = ﻇﺎ ﻫـ
( `g + ˚90) , `g ɪ¡°SÉ«b Úà∏dG ÚàjhGõ∏d á«ã∏ãŸG ∫GhódG : É«fÉK
ﻳﺘﺮﻙ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻻﺗﻴﺔ ﺑﺎﺗﺒﺎﻉ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ : ﺣـﺎ ) + ˚٩٠ﻫـ ( = ﺣﺘﺎ ﻫـ
٦٤
ﻗـﺘﺎ ) + ˚٩٠ﻫـ ( = ﻗﺎ ﻫـ
ﺣـﺘﺎ ) +˚٩٠ﻫـ ( = -ﺣﺎ ﻫـ
ﻗـﺎ ) + ˚٩٠ﻫـ ( = -ﻗﺘﺎ ﻫـ
ﻃـﺎ ) +˚٩٠ﻫـ ( = -ﻇﺘﺎ ﻫـ
ﻇﺘﺎ ) + ˚٩٠ﻫـ ( = -ﻇﺎ ﻫـ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
∫É`ã`e
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ > ˚٠ﺱ > ˚٩٠ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻟـ )ﺱ( ﺗﻜﻮﻥ ً ﺣﻼ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ : ﺃ( ﻗﺎ ) ﺱ = (˚١٥ -ﻗﺘﺎ ˚٤٣ ﺏ ( ﻇﺘﺎ )ﺱ = (˚٥ +ﻇﺎ ) ٣ﺱ (˚٢٥ +
ﺍﻟﺤﻞ :
ﺃ ( ﻗﺎ ) ﺱ = ( ˚١٥ -ﻗﺘﺎ ˚٤٣ Eﺱ ˚٩٠ = ˚٤٣ + ˚١٥ -
Eﺱ = ˚٦٢
ﺏ ( ﻇﺘﺎ ) ﺱ = (˚٥ +ﻇﺎ ) ٣ﺱ (˚٢٥ + Eﺱ ٣ +˚٥ +ﺱ ˚٩٠ = ˚٢٥ +
á¶MÓe
Eﺱ = ˚١٥
ﺗﻮﺟﺪ ﺣﻠﻮﻝ ﺃﺧﺮﻯ ﻓﻤﺜﻼ ﺱ = ˚٦٠ﺣﻞ ﺁﺧﺮ ﻟﻠﺠﺰء ﺏ
`g - , `g ɪ¡°SÉ«b Úà∏dG ÚàjhGõ∏d á«ã∏ãŸG ∫GhódG : ÉãdÉK
ﻧﺮﺳـﻢ
hﻭﺏ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﺤﻴﺚ ﻕ)
hﻭﺏ( = ﻫـ ،ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ
ﻭﺏ ﻓﻰ ﻭﺿـﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ ) ﺱ ،ﺹ ( ﻭﻧﺮﺳـﻢ ﺯﺍﻭﻳﺔ َ h ﻭﺏ ( = -ﻫـ ،ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋـﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ َ h
ﺍﻟـﻘـﻴﺎﺳﻰ ﺑﺤﻴـﺚ ﻕ)
ﺹ( ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﺍﻟﻨﻘـﻄـﺔ َ )ﺱ َ ، ﺏ َ ∆∆ eﻭﺟـ ﺏ ،ﻭﺟـ ﺏَ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﻴﻦ )ﻟﻤﺎﺫﺍ؟( ﺹ = -ﺹ ﺱَ ، Eﺱ= َ ﺹ = -ﺹ = -ﺟﺎ ﻫـ Eﺣﺎ ) -ﻫـ( = َ ﻗﺘﺎ ) -ﻫـ( =
1 ¢U n
=
1¢U
= -ﻗﺘﺎ ﻫـ ،
ﺟﺘﺎ ) -ﻫـ( = ﺱَ ،ﺱ = ﺟﺘﺎ ﻫـ ﻗﺎ ) -ﻫـ( = ﻇﺎ ) -ﻫـ(
1 ¢S
¢U = ¢S
ﻇﺘﺎ ) -ﻫـ (
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
n
= n
1 ¢S
= ﻗﺎ ﻫـ
¢U-
= - = ¢Sﻇﺎ ﻫـ
n ¢S n = ¢U
n
¢S
= - = ¢U-ﻇﺘﺎ ﻫـ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
٦٥
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
á¶MÓe
ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ)-ﻫـ(ﺗﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ٢ﻥ ﻁ -ﻫـ ﺣﻴﺚ ﻥ WJ Eﺣﺎ)٢ﻥ ﻁ -ﻫـ(= -ﺣﺎ ﻫـ ،ﺣﺘﺎ)٢ﻥ ﻁ -ﻫـ(= ﺣﺘﺎ ﻫـ ،ﻃﺎ)٢ﻥ ﻁ -ﻫـ(= -ﻃﺎ ﻫـ `g - 180 , `g ɪ¡°SÉ«b Úà∏dG Úà∏eÉμàŸG ÚàjhGõ∏d á«ã∏ãŸG ∫GhódG : É©HGQ
ﻧﺮﺳﻢ hﻭﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﺤﻴﺚ ﻕ ) hﻭﺏ ( = ﻫـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ ) ﺱ ،ﺹ ( ﻭﻧﺮﺳﻢ
hﻭﺏ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﺤﻴﺚ َ
ﻕ ) hﻭﺏ( = -˚١٨٠ﻫـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺹ( ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ َ ﺱَ ، ﺏ) َ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﺏ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﻴﻦ )ﻟﻤﺎﺫﺍ؟( ´´ eﻭﺟـ ﺏ ،ﻭ ﺟـَ َ ﺹ ﺱ=-ﺱ،ﺹ= َ َ E Eﺣﺎ ) - ˚١٨٠ﻫـ (= ﺹَ = ﺹ = ﺟﺎ ﻫـ 1
1
1
1
ﺱ = -ﺱ = -ﺣﺘﺎ ﻫـ ﻗﺘﺎ) -˚١٨٠ﻫـ( = = ¢U = ¢Uﻗﺘﺎ ﻫـ ،ﺟﺘﺎ) -˚١٨٠ﻫـ( = َ n ¢U
¢U
ﻗﺎ ) -˚١٨٠ﻫـ( = - =¢S -= ¢Sﻗﺎ ﻫـ ،ﻇﺎ ) - ˚١٨٠ﻫـ( = - = ¢S- =n ¢Sﻇﺎ ﻫـ n n ¢S
¢S
ﻇﺘﺎ ) - ˚١٨٠ﻫـ( = - = ¢U - = n ¢Uﻇﺘﺎ ﻫـ n `g+ ˚180 , `g ɪ¡°SÉ«b ÚàjhGR i’C á«ã∏ãŸG ∫GhódG : É°ùeÉN
ﻳﺘﺮﻙ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺑﺎﺗﺒﺎﻉ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ :
٦٦
ﺣـﺎ ) + ˚١٨٠ﻫـ ( = -ﺣﺎ ﻫـ
ﻗﺘﺎ ) + ˚١٨٠ﻫـ( = -ﻗﺘﺎ ﻫـ
ﺣﺘﺎ ) + ˚١٨٠ﻫـ ( = -ﺣﺘﺎ ﻫـ
ﻗـﺎ ) + ˚١٨٠ﻫـ( = -ﻗﺎ ﻫـ
ﻃـﺎ ) + ˚١٨٠ﻫـ( = ﻃﺎ ﻫـ
ﻇﺘﺎ ) + ˚١٨٠ﻫـ( = ﻇﺘﺎ ﻫـ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
1 ∫É`ã`e
ﺃﻭﺟـﺪ ﻗـﻴﻤﺔ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ : ﺃ ( ﺣﺘﺎ ˚١٥٠
ﺏ ( ﻃﺎ ˚٢٢٥
ﺩ ( ﻃﺎ ) ˚(٣٠٠-
ﻫـ( ﻃﺘﺎ )(˚١٢٠ -
ﺟـ ( ﺣﺎ ) (˚٣٠- •7-
ﻭ( ﺣﺎ ) ( 4
ﺍﻟﺤﻞ : ﺃ ( ﺣﺘﺎ = ˚١٥٠ﺣﺘﺎ ) - = ( ˚٣٠ - ˚١٨٠ﺣﺘﺎ ٣ - = ˚٣٠ ٢
ﺏ ( ﻃﺎ = ˚٢٢٥ﻃﺎ ) = ( ˚٤٥ + ˚١٨٠ﻃﺎ ١ = ˚٤٥ ﺟـ( ﺣﺎ ) - = (˚٣٠-ﺣﺎ ١ - = ˚٣٠ ٢
ﺩ ( ﻃﺎ ) - = (˚٣٠٠-ﻃﺎ - = ˚٣٠٠ﻃﺎ ) -)- = (˚٦٠ -˚٣٦٠ﻃﺎ ٣ = (˚٦٠ ١ ﻫـ ( ﻃﺘﺎ) - =(˚١٢٠-ﻃﺘﺎ - =˚١٢٠ﻃﺘﺎ ) -)- =(˚٦٠-˚١٨٠ﻃﺘﺎ = (˚٦٠ ٣ ﻭ ( ﺣﺎ) - =(•7-ﺣﺎ -= • 7ﺣﺎ - =˚٣١٥ﺣﺎ) -)- =(˚٤٥-˚٣٦٠ﺣﺎ ١ = (˚٤٥ 4 ٢ 4
2 ∫É`ã`e
ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺎ ˚١٢٠ﺣﺘﺎ ) +(˚١٥٠-ﺣﺘﺎ ˚٦٠٠ﺣﺎ ˚٣٣٠
ﺍﻟﺤﻞ : ٣ ﺣﺎ = ˚١٢٠ﺣﺎ ) = (˚٦٠ - ˚١٨٠ﺣﺎ ٢ = ˚٦٠ ٣ ﺣﺘﺎ ) = (˚١٥٠-ﺣﺘﺎ = ˚١٥٠ﺣﺘﺎ ) - = ( ˚٣٠ -˚١٨٠ﺣﺘﺎ - = ˚٣٠ ٢
ﺣﺘﺎ = ˚٦٠٠ﺣﺘﺎ ) = ( ˚٢٤٠ + ˚٣٦٠ﺣﺘﺎ = ˚٢٤٠ﺣﺘﺎ ) = ( ˚٦٠ + ˚١٨٠ ﺣﺘﺎ ١ - = ˚٦٠٢ ﺣﺎ = ˚٣٣٠ﺣﺎ ) = (˚٣٠ - ˚٣٦٠ﺣﺎ ) - = (˚٣٠-ﺣﺎ ١ - = ˚٣٠ ٢ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ = ١ - = ١ + ٣- = ( ١ -) ( ١ - ) + ( ٣ - ) ٣ ٢ ٢ ٤ ٤ ٢ ٢ ٢
3 ∫É`ã`e
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ٢ﺣﺘﺎ ﻫـ ، ٠ = ١ +ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻫـ ﺣﻴﺚ > ˚٠ﻫـ > ˚٣٦٠
ﺍﻟﺤﻞ : ٢ eﺣﺘﺎ ﻫـ ٠ = ١ + ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
Eﺣﺘﺎ ﻫـ = ١ - ٢ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
٦٧
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
Eﻫـ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ﺃﻭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ eﺣﺘﺎ ) - ˚١٨٠ﻯ ( = -ﺣﺘﺎ ﻯ ،ﺣﺘﺎ ) + ˚١٨٠ﻯ ( = -ﺣﺘﺎ ﻯ Eﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ )ﻯ( ﺍﻟﺘﻰ ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎﻣﻬﺎ = ١٢ﻫﻰ ˚٦٠ Eﻫـ = - ˚١٨٠ﻯ = ˚١٢٠ = ˚٦٠ - ˚١٨٠ ﺃ ،ﻫـ = + ˚١٨٠ﻯ = ˚٢٤٠ = ˚٦٠ + ˚١٨٠ (`g - ˚270 ) , `g ɪ¡°SÉ«b ÚàjhGR i’C á«ã∏ãŸG ∫GhódG : É°SOÉ°S k
ﻧﺮﺳﻢ
hﻭﺏ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺑﺤﻴﺚ ﻕ ) hﻭﺏ ( = ﻫـ
ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ ) ﺱ ،ﺹ ( ﻭﺏ( = - ˚٢٧٠ﻫـ ﺍﻭﺏ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺑﺤﻴﺚ ﻕ ) َ h ﻭﻧﺮﺳﻢ ﺯﺍﻭﻳﺔ َ ﺹ( ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ َ ﺱَ ، ﺏ) َ ﺏ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﻴﻦ ´´ ﻭﺣـ ﺏ ،ﻭ ﺟـَ َ Eﺱَ = -ﺹ ،
ﺹَ = -ﺱ
Eﺣﺘﺎ ) - ˚٢٧٠ﻫـ( = -ﺣﺎ ﻫـ ، ﺣﺎ ) - ˚٢٧٠ﻫـ ( = -ﺣﺘﺎ ﻫـ ¢S ¢S- ¢U n ﻇﺎ ) - ˚٢٧٠ﻫـ( = ¢U = ¢U-= ¢S n `g ÉàM = = `g ÉMﻇﺘﺎ ﻫـ
ﻭﻫﻜﺬﺍ ﻧﺠﺪ ﺃﻥ ﻗﺎ ) - ˚٢٧٠ﻫـ ( = -ﻗﺘﺎ ﻫـ ﻗﺘﺎ ) - ˚٢٧٠ﻫـ ( = -ﻗﺎ ﻫـ ﻇﺘﺎ ) - ˚٢٧٠ﻫـ ( = ﻇﺎ ﻫـ (`g + ˚270 ) , `g ɪ¡°SÉ«b ÚàjhGR i’C á«ã∏ãŸG ∫GhódG : É©k HÉ°S
ﻳﺘﺮﻙ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺑﺎﺗﺒﺎﻉ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ
٦٨
ﺣـﺎ ) + ˚٢٧٠ﻫـ ( = -ﺣﺘﺎ ﻫـ
،
ﻗﺘﺎ ) + ˚٢٧٠ﻫـ ( = -ﻗﺎ ﻫـ
ﺣﺘﺎ ) + ˚٢٧٠ﻫـ ( = ﺣﺎ ﻫـ
،
ﻗـﺎ ) + ˚٢٧٠ﻫـ ( = ﻗﺘﺎ ﻫـ
ﻇـﺎ ) + ˚٢٧٠ﻫـ ( = -ﻇﺘﺎ ﻫـ
،
ﻇﺘﺎ ) + ˚٢٧٠ﻫـ ( = -ﻇﺎ ﻫـ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
: IOÉM ájhGR ¢SÉ«≤d ≈JÉC j Ée πªcGC
1
.......... ÉàM = ˚67 ÉM G .......... Éb = ˚25 Éàb Ü ......... ÉX = ˚45 ÉàX `L : ≈JÉC j ɇ πc ≈a ÓM ¿ƒμJ (¢S) `d ᪫b óLhGC ˚90 > ¢S > 0 âfÉc GPEG 2 (˚10 - ¢S 2 ) Éb = ( ˚25 + ¢S ) Éàb G ( ¢S + 90 ) ÉX = ( ˚30 - ¢S ) ÉàX Ü ( ˚30 + ¢S 3 ) ÉàL = ( ˚20 + ¢S ) ÉL `L (˚52 n 10 + ¢S ) ÉàX = ( ˚18 n 24 + ¢S ) ÉX O
٦٩
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
ﻳﻮﺿﺢ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ً ﻛﺜﻴﺮﺍ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﻮﺍﺹ ﺍﻟﺘﻰ ﻻ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺇﺩﺭﺍﻛﻬﺎ ﺑﺴﻬﻮﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ ﻟﻬﺬﻩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﻛﻤﺎ ﻳﻔﻴﺪﻧﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﺪﺙ ﻟﻠﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﺒﺮ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺃﻭ ﺗﺼﻐﺮ ﻛﻤﺎ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻠﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻭﺳﻨﻜﺘﻔﻰ ﻓﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﺮﺣﻠﺔ ﺑﺘﻤﺜﻴﻞ ﺩﺍﻟﺘﻰ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﻭﺟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ : : Ö«÷G ádGO : ’hGC
ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺹ = ﺣﺎ ﺱ > ˚٠ ،ﺱ > ˚٣٦٠ ﺱ ˚٣٠ ˚٠
˚٣٦٠ ˚٣٣٠ ˚٣٠٠ ˚٢٧٠ ˚٢٤٠ ˚٢١٠ ˚١٨٠ ˚١٥٠ ˚١٢٠ ˚٩٠ ˚٦٠
ﺹ ٠٫٨٧ ˚٠٫٥ ٠
١
٠٫٥ ٠٫٨٧
٠
ﺣﺎﻫـ ﺣﻴﺚ :
ﺣﺎ ﻫـ ﺣﻴﺚ :
> ˚٠ﻫـ > ˚٩٠
> ˚٩٠ﻫـ > ˚١٨٠
ﻣﻦ
ﺗﺒﺪﺃ ﻣﻦ ١ﻭﺗﺼﻐﺮ
ﺗﺒﺪﺃ
ﺍﻟﺼﻔﺮ ﻭﺗﻜﺒﺮ ﺣﺘﻰ
ﺣﺘﻰ ﺗﺼﻞ ﺇﻟﻰ
ﺗﺼﻞ ﺇﻟﻰ ١
ﺻﻔﺮ
٧٠
ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
٠٫٨٧- ٠٫٥-
١-
٠٫٥- ٠٫٨٧-
٠
ﺣﺎ ﻫـ ﺣﻴﺚ : ﺣﺎ ﻫـ ﺣﻴﺚ : ˚٢٧٠ﻫـ > ˚٣٦٠ >˚١٨٠ﻫـ> ˚٢٧٠ ﺗﺒﺪﺃ ﻣﻦ ١-ﻭﺗﻜﺒﺮ ﺗﺒﺪﺃ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﻭﺗﺄﺧﺬ ﻗﻴﻤﺎ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﺣﺘﻰ ﺗﻌﻮﺩ ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺮ ﺣﺘﻰ ﺗﺼﻞ ﺇﻟﻰ١-
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
ﻭﻗﺪ ﻋﻠﻤﻨﺎ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ﻫـ ٢+ﻥ ﻁ ﺣﻴﺚ ﻥ WJﻣﻜﺎﻓﺌﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ﻫـ ﺃﻯ ﺇﻧﻨﺎ ﺇﺫﺍ ﺃﺿﻔﻨﺎ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺩﻭﺭﺍﺕ ﻛﺎﻣﻠﺔ ﺃﻭ ﻃﺮﺣﻨﺎ ﻣﻨﻬﺎ ﺩﻭﺭﺍﺕ ﻛﺎﻣﻠﺔ ﻓﺈﻥ ﺫﻟﻚ ﻻ ﻳﻐﻴﺮ ﻣﻦ ﻗﻴﻢ ﺩﻭﺍﻟﻬﺎ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﺬﻟﻚ ﻓﺈﻧﻪ ﺑﻌﺪ ﺭﺳﻤﻨﺎ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﺹ= ﺣﺎ ﺱ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ] [˚٣٦٠،˚٠ ﻓﺈﻧﻪ ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻬﻞ ﻋﻠﻴﻨﺎ ﺭﺳﻢ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﻰ ﺃﻯ ﻓﺘﺮﺓ ﻣﻬﻤﺎ ﺍﻣﺘﺪﺕ ﺑﺎﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺘﻜﺮﺍﺭ ﺭﺳﻢ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻛﻞ ﻓﺘﺮﺓ ﻃﻮﻟﻬﺎ ٢ﻁ ﻭﻟﻬﺬﺍ ﺗﺴﻤﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﺩﻭﺭﻳﺔ ·
: ΩɪàdG Ö«÷G ádGO : É«fÉK
ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺹ = ﺣﺘﺎ ﺱ > ˚٠ ،ﺱ > ˚٣٦٠ ﺱ ˚٣٦٠ ˚٣٣٠ ˚٣٠٠ ˚٢٧٠ ˚٢٤٠ ˚٢١٠ ˚١٨٠ ˚١٥٠ ˚١٢٠ ˚٩٠ ˚٦٠ ˚٣٠ ˚٠ ﺹ ٠٫٥ ٠٫٨٧ ١
٠
٠٫٨٧- ٠٫٥-
١-
٠٫٥- ٠٫٨٧-
٠
٠٫٨٧ ٠٫٥
ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻨﺘﻤﻰ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻫـ
> ˚٠ﻫـ > ˚٩٠ > ˚٩٠ﻫـ > ˚١٨٠ >˚١٨٠ﻫـ >˚٢٧٠ >˚٢٧٠ﻫـ > ˚٣٦٠
ﺗﺒﺪﺃ ..... ..... ..... .....
١ ﺣﺘﺎ ﺗﻨﺘﻬﻰ ..... ..... ..... .....
eﺣﺘﺎ ﺱ= ﺣﺘﺎ)ﺱ ٢+ﻥ ﻁ(ﺣﻴﺚ ﻥWJ
ﻓﺈﻥ ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻬﻞ ﺭﺳﻢ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﻰ ﺃﻯ ﻓﺘﺮﺓ ﻣﻬﻤﺎ ﺍﻣﺘﺪﺕ ﺑﺎﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺘﻜﺮﺍﺭ ﺭﺳﻢ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻛﻞ ﻓﺘﺮﺓ ﻃﻮﻟﻬﺎ ٢ﻁ ﻭﻟﻬﺬﺍ ﻓﻬﻰ ﺗﺴﻤﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﺩﻭﺭﻳﺔ ﺃﻳﻀﺎ ﻣﺜﻞ ﺣﺎ ﺱ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
٧١
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
1
ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ :
`Lﻗﺎ ˚١٢٠
Gﺣﺎ ˚٢٢٥
Ü
ﻃﺎ ˚٩٦٠
Oﺣﺘﺎ ˚٤٥٠
`g
٥ﻁ ﻗﺘﺎ ٣
h
Rﺣﺎ ) (˚٢١٠ -
ì
ﺣﺘﺎ ) (˚٩٠٠ -
• ﻗﺎ ) ٣٢ -ﻁ (
ﻃﺎ ) (˚٦٠-
iﻗﺘﺎ ) (˚٩٤٥ - 2
ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ : Gﺣﺘﺎ ˚٢١٠ﺣﺎ - ˚٥١٠ﺣﺎ ˚٣٣٠ﺣﺘﺎ ) (˚٣٣٠ - Üﺣﺎ ˚١٥٠ﺣﺘﺎ ) + (˚٦٠-ﺣﺎ ˚٣٠٠ﺣﺎ ) (˚١٢٠ -
٢ `Lﻇﺎ ˚٢٢٥ﺣﺘﺎ - ˚١٢٠ﻗﺘﺎ ) (˚٣٠٠ -ﺣﺎ ˚٢٤٠ Oﺣﺘﺎ + ˚١٢٠ﻃﺎ + ˚٢٢٥ﻗﺘﺎ + ˚٣٣٠ﺣﺘﺎ ˚٤٢٠ `gﺣﺎ ˚٩٦٠ﺣﺘﺎ - ˚١٠٥٠ﺣﺘﺎ ) (˚٤٨٠ -ﺣﺎ ˚٢١٠ hﺣﺎ ˚٤٢٠ﻃﺎ + ˚٣٣٠ﺣﺘﺎ ) (˚١٢٠ -ﻗﺘﺎ ˚٢١٠ 3
ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻋﻠﻤﺎ > ˚٠ﺱ > : ˚٣٦٠ G
ﻃﺎ ﺱ ٠ = ١ +
٢ `Lﺣﺎ ﺱ ٠ = ١ + 4
٧٢
Üﻗﺎ ﺱ ٠ = ٢ - ٢ Oﺣﺎ ﺱ ٠ = ٣ -
ﺍﺭﺳﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ] ٢ ، ٠ﻁ Gﺩ )ﺱ( = ﺣﺎ ٢ﺱ
Üﺩ )ﺱ( = ﺣﺘﺎ ٢ﺱ
`Lﺩ )ﺱ( = ٢ﺣﺎ ﺱ
Oﺩ )ﺱ( = ٢ﺣﺘﺎ ﺱ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﺜﻠﺚ hﺏ ﺟـ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺟـ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺟـ ﻭﻫﻮ hﺏ ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻮﺗﺮ ﺃﻣﺎ ﺍﻟﻀﻠﻌﺎﻥ ﺍﻵﺧﺮﺍﻥ ﻓﺈﻧﻬﻤﺎ ﻳﺴﻤﻴﺎﻥ ﺗﺒﻌﺎ ﻷﻯ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺍﻷﺧﺮﺗﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺮﻧﺎ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺏ ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻓﺈﻥ hﺟـ ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ،ﺏ ﺟـ ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ،ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺮﻧﺎ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ hﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻓﺈﻥ hﺟـ ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ،ﺏ ﺟـ ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ·
ﻧﺮﺳﻢ
hﻭﺏ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ،ﺑﺤﻴﺚ ﻕ ) hﻭﺏ( = ﻫـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ
ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﺏ ) ﺱ ،ﺹ( ﺗﺄﺧﺬ ﻧﻘﻄﺔ ﻝ Jﻭﺏ ﻭﻧﺮﺳﻢ ﻝ ﻡ nﻭﺱ eﺏ ﺟـ / /ﻝ ﻡ ،ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻭ ﺏ ﺟـ ﻳﺸﺎﺑﻪ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻭ ﻝ ﻡ ﻭﺏ ﻭ ﺟـ ﺏ ﺟـ = ﻭﻝ Eﻭﻡ= ﻝﻡ ﺱ= ﺹ = ١ ﻭﻡ ﻝﻡ ﻭﻝ ﻝﻡ ﻭﻡ Eﺱ = ﻭ ﻝ ،ﺹ = ﻭ ﻝ ﺃﻯ ﺃﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭ ﻡ ﻝ ﻳﻜﻮﻥ : ﻭﻡ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ، ﺣﺘﺎ ﻫـ = ﻭ ﻝ = ﺍﻟﻮﺗﺮ ﻝﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ = ﺍﻟﻮﺗﺮ ﺣﺎ ﻫـ = ﻭ ﻝ ﻝﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻭﻝ ﻝﻡ ﺹ = = X = ﻭﻡ ،ﻃﺎ ﻫـ = ﺱ ﻭﻝ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ﻭﻝ ﺍﻟﻮﺗﺮ ١ = ﻫـ ﻗﺎ E ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ e ،ﻗﺎ ﻫـ = ﺟﺘﺎ ﻫـ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ﺍﻟﻮﺗﺮ = ﻫـ ﻃﺘﺎ ، ﻭﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻗﺘﺎ ﻫـ = ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ
ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﻓﻰ ﺃﻯ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻛﺎﻵﺗﻰ : ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
٧٣
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
Ió```YÉ````b ﺣﺎ ﺏ =
hﺟـ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ = hﺏ ﻃﻮﻝ ﻭﺗﺮ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ
h
ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺏ ﺟـ = ﺣﺘﺎ ﺏ = ﻃﻮﻝ ﻭﺗﺮ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ hﺏ
ﻃﺎ ﺏ =
ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ hﺟـ = ﺏ ﺟـ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ
á¶MÓe ﻳﻘﺼﺪ ﺑﺎﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﺣﺎ ﺏ ﺃﻯ ﺟﻴﺐ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺭﺃﺳﻬﺎ ﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ hﺏ ﺟـ
1 ∫É`ã`e
hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺏ ﻭﻃﻮﻝ hﺏ = ٨ﺳﻢ h ،ﺟـ = ١٧ﺳﻢ ،ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ، hﺟـ
ﺍﻟﺤﻞ :
) ﺏ ﺟـ( h) = ٢ﺟـ( h) - ٢ﺏ(٢٢٥ = ٦٤ - ٢٨٩ = ٢ Eﺏ ﺟـ = ١٥ ١٧ ﻗﺘﺎ ١٥ = h ﻗﺎ ١٧ = h ٨ ﻃﺘﺎ ٨ = h ١٥ ١٥ ﺣﺘﺎ ﺟـ = ١٧
ﻃﺎ ﺟـ = ········ ﺟﺎ ﺟـ = ········
2 ∫É`ã`e
١٥ Eﺟﺎ ١٧ = h ٨ ﺣﺘﺎ ١٧ = h ١٥ ﻃﺎ ٨ = h ٨ ﺣﺎ ﺟـ = ١٧
ﻗﺘﺎ ﺟـ = ········ ﻇﺘﺎ ﺟـ = ········
hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ hﺏ = hﺟـ = ١٣ﺳﻢ ، ﺏ ﺟـ = ١٠ﺳﻢ ،ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ : ﺃﻭﻻ :ﺣﺎ ﺏ ،ﻃﺎ ﺟـ ،ﻗﺎ ﺏ ،ﻗﺘﺎ ﺟـ ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﺣﺘﺎ ﺏ ﺣﺘﺎ ﺟـ +ﺣﺎ ﺏ ﺣﺎ ﺟـ = ١
٧٤
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻟﺤﻞ :
ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻷﻯ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻻﺑﺪ ﺃﻥ ﺗﻮﺿﻊ ﻓﻰ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋـﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻟﺬﻟـﻚ ﻧﺮﺳـﻢ hﺩ nﺏ ﺟـ ﺑﺤﻴﺚ hﺩ Bﺏ ﺟـ = }ﺩ{ ﻭﻣﻦ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺙ hﺩ = )١٢ = ٢(٥) - ٢(١٣ ١٣ ١٢ ١٣ ١٢ = ﺟـ ﻗﺘﺎ ، = ﺏ ﻗﺎ ، ٥ ﺃﻭﻻ :ﺣﺎ ﺏ = ، ١٣ﻃﺎ ﺟـ = ٥ ١٢
ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ = ﺟﺘﺎ ﺏ ﺟﺘﺎ ﺟـ +ﺟﺎ ﺏ ﺟﺎ ﺟـ ١٤٤ ٢٥ ١٢ ١ = ١٦٩ + ١٦٩ = ١٣ X ١٢ + ٥ X ٥ ١٣ ١٣ ١٣
3 ∫É`ã`e
٥ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ، hﺟـ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺣﺎﺩﺗﻴﻦ ﻣﻮﺟﺒﺘﻴﻦ ﻭﻛﺎﻥ ﻗﺎ ، ٥٤ = hﻃﺘﺎ ﺟـ = ٢١
ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ :ﺃﻭﻻ :ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ , hﺟـ ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺣﺎ hﺣﺘﺎ ﺟـ +ﺣﺘﺎ hﺣﺎ ﺟـ ﺍﻟﺤﻞ :
ﺃﻭﻻ :ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺯﺍﻭﻳﺔ hﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ hﻝ ﻡ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﻝ ﺍﻟﺸﻜﻞ
hﻡ ٥ = ﻗﺎ h = hﻝ ٤
ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺮﻧﺎ ﺃﻥ hﻡ = ٥ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻃﻮﻟﻴﺔ h ،ﻝ= ٤ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻃﻮﻟﻴﺔ ﻓﺈﻥ ﻝ ﻡ = ٣ﻣﻦ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﻄﻮﻟﻴﺔ ٣ Eﺣﺎ ٥ = h
٤ ،ﺣﺘﺎ ٥ = h
..... .....
..... .....
ﻗﺎ = h
،ﻗﺘﺎ = h
٣ ،ﻃﺎ ٤ = h
،ﻇﺘﺎ = h
..... .....
ﻧﺮﺳﻢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺱ ﺹ ﺟـ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺹ ﺍﻟﺸﻜﻞ ٥
ﺟـ ﺹ
ﻇﺘﺎ ﺟـ = = ١٢ﺹ ﺱ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺟـ ﺹ = ٥ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻃﻮﻟﻴﺔ ، ﺹ ﺱ= ١٢ﻭﺣﺪﺓ ﻃﻮﻟﻴﺔ ﻓﺈﻥ ﺱ ﺟـ = ١٣ﻭﺣﺪﺓ ﻣﻦ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﻄﻮﻟﻴﺔ ٥ ١٢ ﺣﺎ ﺟـ = ، ١٣ﺣﺘﺎ ﺟـ = ١٣
١٢ ،ﻇﺎ ﺟـ = ٥
..... .....
..... .....
ﻗﺘﺎ ﺟـ =
..... .....
،ﻗﺎ ﺟـ =
،ﻇﺘﺎ = h
ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ = ﺣﺎ hﺣﺘﺎ ﺟـ +ﺣﺘﺎ hﺣﺎ ﺟـ ٦٣ ٤٨ + ١٥ = = ١٢ X ٤ + ٥ X ٣ ٦٥ = ٦٥ ١٣ ٥ ١٣ ٥ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
٧٥
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
1
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﻓﻰ ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ :
ﺣﺎ ، hﺣﺎ ﺟـ ،ﺣﺎ ﺩ ،ﺣﺎ ﻭ ،ﺣﺎ ﻝ ،ﺣﺎ ﻥ ،ﺣﺎ ﺡ
G
Üﺣﺘﺎ ، hﺣﺘﺎ ﺟـ ،ﺣﺘﺎ ﺩ ،ﺣﺘﺎ ﻝ ،ﺣﺘﺎ ﻥ ،ﺣﺘﺎ ﺡ `Lﻇﺎ ، hﻇﺎ ﺟـ ،ﻇﺎ ﺩ ،ﻇﺎ ﻭ ،ﻇﺎ ﻝ ،ﻇﺎ ﻥ ،ﻇﺎ ﺡ 2
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﺃﻭﺟﺪ : ﺃﻭﻻ :ﻗﻴﻢ ﺍﻟــﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺏ ،ﺟـ 1 ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﻃﺎ) ﺏ hﺩ ( ﺣﺘﺎ) ﺩ ﺟـ = (h 4 ﻃﺎ) ﺟـ hﺩ( +ﻃﺎ) ﺏ hﺩ( 7 = ﺛﺎﻟﺜﺎ :ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ: 2 ﻃﺎ) ﺟـ hﺩ( -ﻃﺎ) ﺏ hﺩ(
3
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺟـ ،ﺟـ ﺩ h nﺏ ﻋﺒﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺏ h ،ﻣﺴﺘﺨﺪﻣﺎ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ hﺏ ﺟـ ﻣﺮﺓ ﻭﺃﺿـﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ hﺩ ﺟـ ﻣﺮﺓ ﺛﺎﻧﻴﺔ ﻭﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺟـ ﺩ ﺏ ﻣﺮﺓ ﺛﺎﻟﺜﺔ
٧٦
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ 4
ﻓﻰ ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ،ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ :
G
ﻗﺎ ، hﺟﺘﺎ ﺟـ ،ﻃﺘﺎ ﺟـ ،ﻗﺘﺎ ﺩ ،ﻇﺎ ﻭ ،ﻗﺎ ﻭ ،ﻗﺘﺎ ﺹ ،ﺟﺘﺎ ﻉ ،ﻇﺎ ﺹ ،ﺟﺎ ﻉ
Üﻗﺎ ٢ﺟـ ﻃﺘﺎ ﻭ
`Lﺣﺘﺎ ﻉ ﻃﺎ ﻭ
Oﻃﺎ ﻉ +ﻃﺘﺎ ﺩ 5
`g
ﻗﺎ ﻉ ﻗﺘﺎh ٢
hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ h ،ﺩ nﺏ ﺟـ ﻗﻄﻌﻪ ﻓﻰ ﺩ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ hﺏ = ١٣ﺳﻢ h ،ﺟـ = ٢٠ﺳﻢ ،ﺟـ ﺩ = ١٦ﺳﻢ ، ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺎ ﺏ ،ﺣﺘﺎ ﺟـ ،ﻗﺎ )
ﺩ hﺟـ( ،ﻇﺎ )
ﺏ hﺩ( ،ﻗﺘﺎ )
ﺩ hﺟـ ( ،
ﻃﺘﺎ ﺟـ 6
hﺏ ﺟـ ﺩ ﺷﺒﻪ ﻣﻨﺤﺮﻑ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻴﻪ hﺩ / /ﺏ ﺟـ h ،ﺩ = ٦ﺳﻢ ،ﺩ ﺟـ = ٥ﺳﻢ ،ﺏ ﺟـ = ١٢ﺳﻢ ،ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ﺃﻭﻻ :ﺣﺎ ٢ﺏ +ﺣﺘﺎ ٢ﺟـ = ١
ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﻗﺘﺎ ٢ﺏ -ﻃﺘﺎ ٢ﺏ = ١
7
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ٩ﻃﺎ ٠ = ٤٠ -hﺣﻴﺚ hﺯﺍﻭﻳﺔ ﺣﺎﺩﺓ ﻣﻮﺟﺒﺔ،ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ h
8
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺣـ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺣﺎﺩﺓ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻭﻛﺎﻥ ﺣﺎ ﺟـ = ٠٫٨ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺟـ
9
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ٢٤ﻗﺘﺎ ﻫـ ٠ =٢٥ -ﺣﻴﺚ > ˚٠ﻫـ > ˚٩٠ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺎ ﻫـ -ﻃﺎ ﻫـ
h 10ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺏ ﻭﻛﺎﻥ ﺣﺎ ﺟـ = ٠٫٦ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺎ hﺣﺘﺎ ﺟـ +ﺣﺘﺎ hﺣﺎ ﺟـ 11ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ، hﺏ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺣﺎﺩﺗﻴﻦ ﻣﻮﺟﺒﺘﻴﻦ ﻭﻛﺎﻥ ٥ﻃﺎ ،٠ =١٢- hﺣﺎ ﺏ ﻗﺎ ﺏ٠ = ١٥- ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ : ﺃﻭﻻ :ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ، hﺏ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﻇﺎ hﻇﺎ ﺏ ﺛﺎﻧﻴﺎ ٨ :ﻗﺎ ﺏ ٥ -ﻗﺎ h ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
٧٧
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻷﻯ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﺮﺳﻢ ﻓﻤﺜﻼ ﻻ ﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ٤٠ﻧﺮﺳﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ hﻭﺏ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﺤﻴﺚ ﻕ ) hﻭ ﺏ( = ˚٤٠ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺏ ) ﺱ ،ﺹ ( ﻧﻌﻴـﻦ ) ﺱ ،ﺹ( ﻓﻴﻜﻮﻥ ﺣﺘﺎ = ˚٤٠ﺱ = ، ٠٫٧ﺣــﺎ = ˚٤٠ ¢U
ﺹ = ، ٠٫٦ﻃﺎ ٠٫٨٥ = ¢S = ˚٤٠ ﻭﻳﺘﻀﺢ ﻟﻨﺎ ﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺗﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻰ ﺩﻗﺔ ﻛﺒﻴﺮﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻛﻤﺎ ﺃﻧﻬﺎ ﺗﻌﻄﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻭﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﻓﻰ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺗﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﻛﺴﻮﺭ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ،ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻷﻯ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻬﻤﺎ ﻛﺎﻧﺖ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ Sin
ﻭﺗﻌﻨﻰ ﺟﻴﺐ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭﺍﻟﺬﻯ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ﺣﺎ
Cosﻭﺗﻌﻨﻰ ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎﻡ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭﺍﻟﺬﻯ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ﺣﺘﺎ Tanﻭﺗﻌﻨﻰ ﻇﻞ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭﺍﻟﺬﻯ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ﻃﺎ ﻭﻭﻭﻭﻭ ﻭﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻛﺴﻮﺭ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﻣﻦ ﺩﻗﺎﺋﻖ ﻭﺛﻮﺍﻧﻰ ﺇﻟﻰ ﻛﺴﺮ ﻣﻦ ﻋﺸﺮﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ
1 ∫É`ã`e
ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻵﺗﻴﺔ : )˚١٢٠ َ١٧ (٢
)˚٤٠ (١
)١٫٢ (٣
ء
ﺍﻟﺤﻞ :
)(١ﺑﻌﺪ ﺗﺸﻐﻴﻞ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺍﻵﺗﻰ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ 0.6427879
ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ
Sin
0
4
ﺇﺑﺪﺃ
Eﺣﺎ ٠٫٦٤٢٨ _ ˚٤٠
٧٨
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻗﺘﺎ ˚٤٠ﺑﻌﺪ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺣﺎ ˚٤٠ﺍﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ 1.5557
×1/
ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ
ﻗﺘﺎ ١٫٥٥٥٧ _ ˚٤٠
ﻭﻹﻳﺠﺎﺩ ﺣﺘﺎ ˚٤٠ﺍﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺍﻵﺗﻰ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ· Eﺣﺘﺎ ٠٫٧٦٦ _ ˚٤٠
Cos
0
ﺍﺑﺪﺃ
4
ﻭﻻﻳﺠﺎﺩ ﻗﺎ ˚٤٠ﺍﺿﻐﻂ ﺑﻌﺪ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺣﺘﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ
×1/
Eﻗﺎ ١٫٣٠٥٤ _ ٤٠ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻃﺎ ˚٤٠ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺍﻵﺗﻰ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ Tan
Eﻃﺎ ٠٫٨٣٩ _ ˚٤٠
4
0
ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻃﺘﺎ ˚٤٠ﺍﺿﻐﻂ ﺑﻌﺪ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻃﺎ ˚٤٠ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ
ﺇﺑﺪﺃ
×1/
Eﻃﺘﺎ ١٫١٩١٨ _ ˚٤٠ )(٢ﻗﻴﻢ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ˚١٢٠ َ١٧ﻧﻮﺟﺪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﻛﺎﻵﺗﻰ: ﺑﻌﺪ ﺗﺸﻐﻴﻞ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺍﻵﺗﻰ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ 120.2833ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ 0....
7
0....
1
0
1
2
ﺍﺑﺪﺃ
ﺛﻢ ﺍﺣﻔﻆ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﺬﺍﻛﺮﺓ ﺑﺎﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ M+ﺃﻭ Min ﻻﺳﺘﺮﺟﺎﻋﻪ ﻋﻨﺪ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺑﻘﻴﺔ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺟﺎ = ˚١٢٠ َ١٧ﺣﺎ ˚١٢٠ ٢٨٣٣ﺍﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﺎﺡ Sinﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ 0.8635 Eﺟﺎ ٠٫٨٦٣٥ = ˚١٢٠ َ١٧ﺛﻢ ﻣﻔﺘﺎﺡ
×1/
Eﻗﺘﺎ ١٫١٥٨ = ˚١٢٠ َ١٧
ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺟﺘﺎ ˚١٢٠ َ١٧ﺍﺳﺘﺪﻉ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﺣﻔﻈﻪ ﺑﺎﻟﺬﺍﻛﺮﺓ ﺑﺎﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ MRﺛﻢ ﻣﻔﺘﺎﺡ Cos ﺗﻈﻬﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺘﺎ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺛﻢ ﻣﻔﺘﺎﺡ
×1/
ﺗﻈﻬﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺎ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ
Eﺣﺘﺎ ٠٫٥٠٤٣ - = ˚١٢٠ َ١٧ﻻﺣﻆ ﺇﺷﺎﺭﺓ ) (-ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ Eﻗﺎ ١٫٩٨٣ - = ˚١٢٠َ١٧ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
٧٩
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
Eﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻇﺎ ١٫٧١٢٤ - = ˚١٢٠َ١٧ﺭﺍﻋﻰ ﻣﻔﺘﺎﺡ ﻃﺎ ﻫﻮ Tan A
- ٣ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ١٫٢ﻧﻮﺟﺪ ﺃﻭﻻ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﺪﺭﺟﺎﺕ A
˚٦٨٫٧٢٧٦ = ٥٧٫٢٧٣ ١٫٢ - ١٫٢ ﺣﺎ ٠٫٩٣١٩ = ˚٦٨٫٧٢٧٦
ﻗﺘﺎ ١٫٠٧٣١ = ˚٦٨٫٧٢٧٦
ﺣﺘﺎ ٠٫٣٦٢٨ = ˚٦٨٫٧٢٧٦
ﻗﺘﺎ ٢٫٧٥٦٣ = ˚٦٨٫٧٢٧٦
ﻃﺎ ٢٫٥٦٨٥ = ˚٦٨٫٧٢٧٦
ﻗﺘﺎ ٠٫٣٨٩٣ = ˚٦٨٫٧٢٧٦
á¶MÓe ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺎﺕ ﺑﻬﺎ ﻣﻔﺘﺎﺡ ﻟﻠﺘﺤﻮﻳﻞ ﻣﻦ ﻭﺣﺪﺓ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺑﺎﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺑﺎﻟﺮﺍﺩﻳﺎﻥ )ﻭﻫﻰ ﻭﺣﺪﺓ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ( ﻭﻳﻜﺘﻔﻰ ﻋﻨﺪﺋﺬ ﻭﺿﻊ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ ﻋﻠﻰ ) (RADﻓﺘﻜﻮﻥ ﺍﻵﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﺛﻢ ﺍﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ Sin :
2
0
1
ﻓﻴﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ A Eﺣﺎ ١٫٢
_ ٠٫٩٣٢٠
ﻭﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﺑﻘﻴﺔ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻟﻴﺲ ﺑﻬﺎ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﻓﻴﺠﺐ ﺃﻭﻻ ﺗﺤﻮﻳﻞ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﺇﻟﻰ ﻗﻴﺎﺱ ﺳﺘﻴﻨﻰ ﻛﻤﺎ ﺗﻘﺪﻡ
٨٠
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
ﺳﻨﺠﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ Tan ، Cos ، Sinﻣﻄﺒﻮﻋﺎ ﺑﺎﻟﻠﻮﻥ ﺍﻷﺣﻤﺮ ١-
١-
١-
ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ tan -1 , Cos -1 , Sin -1ﻭﻫﺬﺍ ﻳﻌﻨﻰ ﺣﺎ ،ﺣﺘﺎ ،ﻃﺎ ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺗﺴﻤﻰ ﺑﺎﻟﺪﻭﺍﻝ ١-
ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺪﻭﺍﻝ ﺣﺎ ،ﺣﺘﺎ ،ﻃﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺣﻴﺚ ﺣﺎ 1 ﺑﻴﻦ ˚١٨٠ ، ˚٠ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﻴﺒﻬﺎ ﻳﺴﺎﻭﻯ 2
1ﺗﻌﻨﻰ ﺍﻟﻘـﻴـﺎﺱ ﺍﻟـﻤﺤـﺼﻮﺭ 2
١-
ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ :ﺣﺎ ﻫـ = ٠٫٦٤٢٨
ﻓﺈﻥ ﻫـ = ﺣﺎ
ﺣﺘﺎ ﻫـ = ٠٫٢٥٣٧
ﻓﺈﻥ ﻫـ = ﺣﺘﺎ
١-
١-
ﻓﺈﻥ ﻫـ = ﻃﺎ
ﻃﺎ ﻫـ = ١٫٤٣٢٥
)(٠٫٦٤٢٨ )(٠٫٢٥٣٧ ) (١٫٤٣٢٥
á¶MÓe ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺃﻯ ﺷﺊ ﻣﻜﺘـﻮﺏ ﺑﺎﻷﺣـﻤﺮ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﻻﺑﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﻀﻐﻂ INVﻗﺒﻞ ﺍﻟﻀـﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ﻛﻤﺎ ﺳﻴﺘﻀﺢ ﺫﻟﻚ ﻣﻦ
ﺃﻭﻻ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﺎﺡ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ :
1 ∫É`ã`e
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻗﺘﺎ ٢٫٧١٨٨ = hﺃﻭﺟﺪ ﻕ ) (hﻷﻗﺮﺏ ﺩﻗﻴﻘﺔ ﺣﻴﺚ ˚٩٠ > h > ˚٠
ﺍﻟﺤﻞ :
ﻗﺘﺎ ٢٫٧١٨٨ = hﻧﻮﺟﺪ ﺃﻭﻻ ﺟﻴﺐ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﻛﺎﻵﺗﻰ : ﺑﻌﺪ ﺗﺸﻐﻴﻞ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺍﻵﺗﻰ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ 0.3678093
ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ
×1/
8
8
1
7
.
2
ﻧﺒﺪﺃ
ﺛﻢ ﻧﻮﺟﺪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﻀﻐﻂ ﺑﻌﺪ ﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ 21.580576
ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ inv
Sin
ﻧﺒﺪﺃ
ﻭﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﻭﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ ﻭﺍﻟﺜﻮﺍﻧﻰ ﻧﻀﻐﻂ ﺑﻌﺪ ﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
٨١
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
׳ 50״ 21˚ 34ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ inv
ﻧﺒﺪﺃ
0...
ﻓﻴﻜﻮﻥ ﻕ ) ˚٢١ ٣٥ = (hﻷﻗﺮﺏ ﺩﻗﻴﻘﺔ ﻻﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺧﻄﻮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﺍﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ׳ 50״ 21˚ 34ﻳﻈﻬﺮ 0... Eﻕ)
2 ∫É`ã`e
inv Sin inv
8
×1/
8
7
1
.
2
ﻧﺒﺪﺃ
˚٢١ ٣٥ = (h
ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ : (١ﺣﺎ ﺱ = ٠٫٣٣٢٤ - ( ٢ﻗﺎ ﺱ = ٢٫٥٧١٩-ﻋﻠﻤﺎ ﺑﺄﻥ > ˚٠ﺱ > ˚٣٦٠
ﺍﻟﺤﻞ :
( ١ﺣﺎ ﺱ = > ˚٠ ، ٠٫٣٣٢٤ -ﺱ > ˚٣٦٠ Eﺱ ﺗﻘﻊ ﺇﻣﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺃﻭ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﻭﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺣﺎ ) + ١٨٠ﻯ( = -ﺣﺎ ﻯ ،ﺣﺎ ) - ٣٦٠ﻯ( = -ﺣﺎ ﻯ ﻧﻮﺟﺪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ ﻯ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﻴﺒﻬﺎ = ٠٫٣٣٢٤ﻛﻤﺎ ﺳﺒﻖ ׳ 52״19˚ 24
ﻳﻈﻬﺮ 0...
inv Sin inv
4
2
3
3
.ﻧﺒﺪﺃ
ﻯ = ˚١٩ َ٢٥ Eﺱ = ˚١٩٩ َ٢٥ = ˚١٩ َ٢٥ + ˚١٨٠ ﺃ ،ﺱ = ˚٣٤٠ َ٣٥ = ˚١٩ َ٢٥ - ˚٣٦٠ ( ٢ﻗﺎ ﺱ = ٢. ٥٧١٩-ﻛﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﻯ = ˚٦٧ َ٧ Eﺱ = ˚١١٢ َ٥٣ = ˚٦٧ َ٧ - ˚١٨٠ ﺃ ،ﺱ = ˚٢٤٧ َ٧ = ˚٦٧ َ٧ + ˚١٨٠
٨٢
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
1
ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻵﺗﻴﺔ : ˚١١٢ َ١٠ Ü
˚٥٤ G A ٣٫٦ `L 2
ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻋﻠﻤﺎ ﺑﺄﻥ > ˚٠ﺱ > ˚٣٦٠ G
3
O
•3 7
ﻃﺎ ﺱ = ١٫٠٨٩٩
Ü
ﻗﺘﺎ ﺱ = ١٫٢٥٧٦-
`L
ﺣﺘﺎ ﺱ =٠٫٧٣٤٩ -
ﺃﻛﻤﻞ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻰ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ
ﺣﺎ
ﺣﺘﺎ
ﻃﺎ
ﻗﺘﺎ
ﻗﺎ
ﻇﺘﺎ
˚٥٧ ٢٠ ˚٢١٥ ١١ ˚١٤٩ ١٠ ٢٫٣
ﺀ
+ ـ
١٫٤٢٣٩ ٩٣٢٥ ـ
١٫٥٩١١ ١٫٨٣٢١
٠٫٥٧٣٢ ٠٫٦٨١٧
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ـ
ـ ـ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
٨٣
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
) (١ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ )ﻫـ( ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ :
ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﺣﺎ ﻫـ = ﺍﻟﻮﺗﺮ
ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﻃﺎ ﻫـ = ﺍﺎﻭﺭ
ﺍﺎﻭﺭ ﺣﺘﺎ ﻫـ = ﺍﻟﻮﺗﺮ
ﺹ
) ( ٢ﺇﺷﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺬﻯ ﺗﻘﻊ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ
ﺣﺎ ﻫـ ،ﻗﺘﺎﻫـ ﺍﻟﻜﻞ + + ﺱ ﺱَ ﺟﺘﺎﻫـ ،ﻗﺎﻫـ ﻃﺎﻫـ ،ﻃﺘﺎﻫـ + + ﺹَ
) ( ٣ﺃ ( ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜـﻠﺜـﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ ٢+ﻥ ﻁ ﺣﻴﺚ ﻥ W Jﻫﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ ﺏ ( ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ) -ﻫـ ( ﻫﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ )ﻫـ( ﻣﻊ ﻣﺮﺍﻋﺎﺓ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻥ ) -ﻫـ ( ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﺟـ ( ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ) - ˚١٨٠ﻫـ( ﻫﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ )ﻫـ(ﻣﻊ ﻣﺮﺍﻋﺎﺓ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺇﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻥ ) - ˚١٨٠ﻫـ ( ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ﺩ ( ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ) + ˚١٨٠ﻫـ ( ﻫﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ )ﻫـ(ﻣﻊ ﻣﺮﺍﻋﺎﺓ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺇﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻥ ) + ˚١٨٠ﻫـ ( ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﻫـ ( ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ) - ˚٣٦٠ﻫـ ( ﻫﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ )ﻫـ(ﻣﻊ ﻣﺮﺍﻋﺎﺓ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺇﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻥ ) - ˚٣٦٠ﻫـ ( ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ (٤ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ، hﺏ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻣﺘﺘﺎﻣﺘﻴﻦ ﻓﺈﻥ ﺏ= h-˚٩٠ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ) + ˚٩٠ﻫـ ( ﺣﺎ ) + ˚٩٠ﻫـ ( = ﺣﺘﺎ ﻫـ Eﺣﺎ = hﺣﺘﺎ ﺏ = ﺣﺘﺎ ) (h - ˚٩٠ ﺣﺘﺎ ) + ˚٩٠ﻫـ( = -ﺣﺎ ﻫـ ﺣﺘﺎ = hﺣﺎ ﺏ = ﺣﺎ ) (h - ˚٩٠ ﻇﺎ) + ˚٩٠ﻫـ( = -ﻇﺘﺎ ﻫـ ﻃﺎ = hﻃﺘﺎ ﺏ = ﻃﺘﺎ) (h - ˚٩٠ (٥ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ) - ˚٢٧٠ﻫـ ( ﺣﺎ ) - ˚٢٧٠ﻫـ ( = -ﺣﺘﺎ ﻫـ ﺣﺘﺎ ) - ˚٢٧٠ﻫـ ( = -ﺣﺎ ﻫـ ﻇﺎ ) - ˚٢٧٠ﻫـ ( = ﻇﺘﺎ ﻫـ
٨٤
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ) + ˚٢٧٠ﻫـ ( ﺣﺎ ) + ˚٢٧٠ﻫـ( = -ﺣﺘﺎ ﻫـ ﺣﺘﺎ ) + ˚٢٧٠ﻫـ( = ﺣﺎ ﻫـ ﻇﺎ ) + ˚٢٧٠ﻫـ( = -ﻇﺘﺎ ﻫـ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
: áYƒæàe á∏ãeGC 1 ∫É`ã`e
8 ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﺣﺎ = h 17
ﺣﻴﺚ ٧ ، ˚١٨٠ > h > ˚٩٠ﻃﺎ ﺏ ٠ = ٢٤ -ﺣـﻴﺚ
> ˚١٨٠ﺏ >˚٢٧٠
ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ، hﺏ ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻃﺘﺎ ) (h + ˚١٨٠ ،ﻗﺎ ) - ˚١٨٠ﺏ( ﺍﻟﺤﻞ :
˚١٨٠ > h > ˚٩٠ e h Eﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ - ˚١٨٠ = h Eﻫـ ﺣﻴﺚ ﻫـ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺣﺎﺩﺓ 17 8 = h ﻗﺘﺎ ، 8 Eﺣﺎ = hﺣﺎ ) -˚١٨٠ﻫـ (= ﺣﺎ ﻫـ = 17 1715= h ﻗﺎ ، ﺣﺘﺎ = hﺟﺘﺎ) -˚١٨٠ﻫـ (= -ﺣﺘﺎ ﻫـ = 15 17 8 15 ،ﻃﺎ = h ﻃﺎ = hﻇﺎ) -˚١٨٠ﻫـ (= -ﻃﺎ ﻫـ = 15 8 ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ﺇﺫﺍ ﺭﺳﻤﺖ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻭﺭﻭﻋﻴﺖ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺬﻯ ﺗﻘﻊ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ 24 ٧eﻃﺎ ﺏ = ٢٤ Eﻃﺎ ﺏ = 7 > ˚١٨٠ eﺏ > ˚٢٧٠
h
eﺏ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ 2572524= ﺏ ﻗﺎ ، = ﺏ ﺣﺘﺎ = ﺏ ﻗﺘﺎ ، 7 25 24 ﺣﺎ ﺏ = 25 7 24 = ﺏ ﻃﺘﺎ ، 24 ﻃﺎ ﺏ = 7 15ﻃﺘﺎ ) = (h + ˚١٨٠ﻃﺘﺎ = h 7 25 25 ﻗﺎ ) - ˚١٨٠ﺏ ( = -ﻗﺎ ﺏ = 7 = ( 7 - ) - ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
Ü
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
٨٥
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
2 ∫É`ã`e
4 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻗﺎ ١٣ = hﺣﻴﺚ ، ˚٣٦٠ > h > ˚٢٧٠ﻃﺎ ﺏ = 3 ٥
ﺣﻴﺚ ﺏ ﻗﻴﺎﺱ
ﺃﻛﺒﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ،ﺃﻭﺟﺪ :ﺃﻭﻻ :ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺎ ) (h - ˚١٨٠ﻗﺘﺎ ) + ˚١٨٠ﺏ ( ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺟـ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ ﺟـ = ﺣﺎ ˚١٥٠ﺣﺎ ) -ﺏ ( -ﺣﺘﺎ ) ˚١٨٠
(hﻃﺎ ˚٢٢٥ﺣﻴﺚ > ˚٠ﺟـ > ˚٩٠ﺍﻟﺤﻞ :
˚٣٦٠ > h > ˚٢٧٠ e
) Eﺃ( ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
eﻃﺎ ﺏ = 4 3 )ﺏ( ﺃﻛﺒﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ
) Eﺏ( ﺗﻘﻊ ﺇﻣﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻭ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ) Eﺏ( ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
125 5 ﺃﻭﻻ :ﺣﺎ) =(h-˚١٨٠ﺣﺎ ، 13 =hﻗﺘﺎ ) +˚١٨٠ﺏ(= -ﻗﺘﺎ ﺏ= =( -) - 3 3 3 ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺣﺎ ) -ﺏ (= -ﺣﺎ ﺏ= ، = ( 3 - ) -ﺣﺎ =˚١٥٠ﺣﺎ )(˚٣٠ - ˚١٨٠ 5 5 = ﺣﺎ 1 = ˚٣٠ 2 5 ،ﻃﺎ = ˚٢٢٥ﻃﺎ )=(˚٤٥ + ˚١٨٠ﻃﺎ ˚٤٥ ﺣﺘﺎ ) - = (h - ˚١٨٠ﺣﺘﺎ - = h 13 =١ ﺣﺎ ﺟـ = ﺣﺎ ˚١٥٠ﺣﺎ ) -ﺏ( -ﺣﺘﺎ ) ( h - ˚١٨٠ﻃﺎ ˚٢٢٥ 3 1 X = 5 2
89 50 + 39 5 3 5 = = + )= ١ X( -130 130 13 10 13
ﻭﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﻕ ) ﺟـ ( = ˚٤٣ َ١٢
٨٦
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
3 ∫É`ã`e
4 • ﺣﻴﺚ ] 2 ، ٠ [ J h ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ )5 =(h + ٩٠ ٥ﻇﺎﺏ ٠ =١٢ +ﺣﻴﺚ ﺏ ﻗﻴﺎﺱ ﺃﺻﻐﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ: ﺃﻭﻻ :ﺣﺎ ﺱ = ﺣﺘﺎ ) (h - ˚٢٧٠ﺣﺎ ) - ˚٩٠ﺏ ( -ﻇﺎ ) + ˚٢٧٠ﺏ ( ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺣﺘﺎ ﺱ = ﺣﺎ ) ( h + ˚٩٠ﻇﺎ ) - ˚٢٧٠ﺏ ( ﻇﺎ˚٦٠ ٢ ﺣﻴﺚ ﺱ [ ٢ ، ٠ﻁ ]
ﺍﻟﺤﻞ :
˚٩٠ > h > ˚٠ e 3 Eﺣﺎ = h 5
h Eﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻷﻭﻝ
4 ،ﺣﺘﺎ 5 = h
> ˚٩٠ eﺏ > ˚١٨٠ Eﺏ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ 125= ﺏ ﻇﺎ ، ﺣﺘﺎ ﺏ = 5 13 3ﺃﻭﻻ :ﺣﺘﺎ ) - = ( h - ˚٢٧٠ﺣﺎ 5 = h 5ﺣﺎ ) - ˚٩٠ﺏ ( = ﺣﺘﺎ ﺏ = 13 5 5= 12 ﻇﺎ ) + ˚٢٧٠ﺏ ( = -ﻇﺘﺎ ﺏ = 12 - 3295 3 5 5= = X 156 12 13 12 13 Eﺣﺎ ﺱ = 5 Eﺱ = ˚١٩٠ َ٤٣
ﺃﻭ ﺱ = ˚٣٤٩ َ١٧
4 ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺣﺎ ) = ( h + ˚٩٠ﺣﺘﺎ 5 = h 5ﻇﺎ ) - ˚٢٧٠ﺏ ( = ﻇﺘﺎ ﺏ = 12 5- 4 ١- = ٢(٣ )X X Eﺣﺘﺎ ﺱ = 12 5 Eﺱ = ˚١٨٠ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
٨٧
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
1
ﺃﻛﻤﻞ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻰ : ﺍﻷﻭﻝ ﺣﺎ ﻫـ
ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٣ ٥
ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
2425
2
941 1
1 2
ﺣﺘﺎ ﻫـ ﻃﺎ ﻫـ
ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
512
2
1213
15 8
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ١٥ﻃﺎ ٠ = ٨ + hﻭﻛﺎﻥ ˚١٨٠ > h > ˚٩٠ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ، hﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ٢ﺣﺎ hﺣﺘﺎ ، hﻗﺎ ) (h + ˚١٠٨٠
3
5 ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﻃـﺎ ﻫـ = 3ﺣـﻴـﺚ ﻫـ ﺃﺻـﻐـﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟـﺒﺔ ،ﻃﺎ ﻯ = 12 4 ﺣﻴﺚ > ˚١٨٠ﻯ> ، ˚٢٧٠ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻫـ ،ﻯ ،ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺎ ﻫـ ﺣﺘﺎ ﻯ -ﺣﺘﺎ ﻫـ ﺣﺎ ﻯ
4
3 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ٢٥ﺣﺘﺎ ﺟـ ٠ = ٧ +ﺣﻴﺚ ﺟـ ﺃﺻﻐﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ،ﻃﺎ ﺏ = 4 ﺣﻴﺚ > ˚١٨٠ﺏ > ˚٢٧٠
5
ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ :ﺃﻭﻻ :ﺣﺘﺎ ﺟـ ﺣﺘﺎ ﺏ +ﺣﺎ ﺟـ ﺣﺎ ﺏ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ ﻫـ = ٣ ٥ Gﺣﺘﺎ ) - ˚١٨٠ﻫـ (
Ü ÉX + `L ÉW ﺛﺎﻧﻴﺎ : Ü ÉW `L ÉW - 1
ﺣﻴﺚ > ˚٩٠ﻫـ > ˚١٨٠ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ :
٨٨
Ü
ﻃﺎ ) + ˚١٨٠ﻫـ (
`L
ﻗﺘﺎ ) -ﻫـ (
O
ﻇﺘﺎ ) - ˚٣٦٠ﻫـ (
`g
ﺣﺎ ) - ˚٩٠ﻫـ (
h
ﺣﺎ ) - ˚٢٧٠ﻫـ (
R
ﺣﺘﺎ ) + ˚٩٠ﻫـ( ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ -ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ 6
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ٢٥ﺣﺎ ﺏ ٠ = ٢٤ +ﺣﻴﺚ > ˚١٨٠ﺏ > ٥ ، ˚٢٧٠ﻃﺎ ﺟـ ، ٠ = ١٢ +ﺣﻴﺚ ﺟـ ﺃﻛﺒﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﺃﻭﺟﺪ : ﺣﺎ ) + ˚١٨٠ﺏ ( +ﺣﺘﺎ ) - ˚١٨٠ﺟـ ( ﻗﺘﺎ ) + ˚١٨٠ﺏ ( ﻃﺘﺎ ) - ˚٩٠ﺟـ ( -ﻗﺎ ) + ˚٣٦٠ﺏ ( ﻃﺎ ) - ˚٣٦٠ﺟـ ( ﻗﺘﺎ ) + ˚٩٠ﺏ ( ﻃﺘﺎ ) + ˚٢٧٠ﺟـ ( ﻇﺎ ) - ˚٢٧٠ﺏ ( ﻗﺘﺎ ) + ˚٢٧٠ﺟـ (
7
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ ٢ﻫـ = ﺣﺘﺎ ﻫـ ﺣﻴﺚ > ˚٠ﻫـ > ˚٩٠ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ :
˚135 ÉX + ( `g - ˚180 ) 2Éb (`g 2 - ˚180 ) 2ÉM ( `g + ˚180 ) ÉM 8
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ٢٢٥ﻃﺎ ٢ﺟـ ٠ = ٦٤ -ﺣﻴﺚ > ˚٩٠ﺟـ > ˚١٨٠ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ : (`L - ˚360 ) ÉàX 4 + (`L - ) Éb5 ˚210 ÉL 2 + (˚360 - `L ) ÉM17
9
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ 3 = hﺣﻴﺚ , ˚١٨٠ > h > ˚٩٠ﺣﺘﺎ ﺏ = 5 5 13 ، ]˚٣٦٠ﺣﺎ ﺟـ = ﺣﺎ ) ( h - ˚١٨٠ﺣﺘﺎ ) ﺏ ( ˚١٨٠ -ﺣﺘﺎ ، h
ﺣﻴﺚ ﺏ ، ˚٢٧٠[ J
ﺃﻭﺟﺪ ﺟـ ﻷﻗﺮﺏ ﺩﻗﻴﻘﺔ ﺣﻴﺚ > ˚٠ﺟـ > ˚٩٠ 10ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ ﻫـ = ﺣﺎ ) ( ˚٦٠ -ﻃﺘﺎ + ˚١٢٠ﺣﺘﺎ ˚٣٠٠ﺣﺎ > ˚٠ ، ˚٧٥٠ﻫـ > ˚٣٦٠ ،ﺃﻭﺟﺪ > ﻫـ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
٨٩
á«∏«∏ë
àdG á°Só
æ¡dG
: É«fÉK
: ¢ùeÉÿG π°üØdG º«≤à°ùŸG §ÿG
`dG
`î § G d ` ª ≤`à°ù
º`«`
¢ùe
ﲤﻬﻴﺪ
: ¢SQO ¿GC ÖdÉ£∏d ≥Ñ°S
ÉÿG π
°üØd
Úà£≤ædÉH Qɪ`dG ≈`°SGC ôdG Ò`Z (Ω) º«`≤à°ùŸG π«`e OÉé`jEG á«`Ø«c (1 ¢U -2¢U =Ω : ƒg ( ¢U , ¢S) = Ü , ( ¢U , ¢S ) = h 1 2 2 1 1 ¢S-2¢S 1 AõL äGOÉ°üdG Qƒfi øe ™£≤jh (Ω) ¬∏«e ɪ«≤à°ùe É `£N πã“ `L + ¢S Ω = ¢U ádOÉ©ŸG ( 2 k k (`L , 0 ) á£≤ædÉH ôÁ iGC (`L) ¬dƒW . ôØ°üdG ihÉ°ùj ¬∏«e ¿ÉE a äÉæ«°ùdG QƒëŸ RGƒe º«≤à°ùŸG §ÿG ¿Éc GPEG ( 3 . ±ô©e ÒZ ¿ƒμj ¬∏«e ¿ÉE a äGOÉ°üdG QƒëŸ RGƒe º«≤à°ùŸG §ÿG ¿Éc GPEG ( 4 º«≤à°ùŸG §ÿG øμj ⁄ GPEG ( 5 {٠} - ì∋Ω ¬∏«e ¿ÉE a äÉ«KGóM’G iQƒfi øe i’C ÉjRGƒe k . ÚjRGƒàŸG Úª«≤à°ùŸG ÚH ábÓ©dG (6 . øjóeÉ©àŸG Úª«≤à°ùŸG ÚH ábÓ©dG ( 7 .᪫≤à°ùe á©£b ∞°üàæe äÉ«KGóMEG(8 . Úà£≤f øY ó©ÑdG ( 9
ﺍﳌﻮﺿﻮﻋﺎﺕ
E E Úª«≤à°ùe ÚH ájhGõdGE §N ¤GE á£≤f øe Oƒª©dG ∫ƒWE ᪫≤à°ùe á©£b º«°ù≤J º«≤à°ùŸG §ÿG
º«≤à°ùe
º«≤à°ùª∏d
áeÉ©dG
E
ádOÉ©ŸG
Úª«≤à°ùe ™WÉ≤J á£≤æH QÉŸG Úeƒ∏©e
ﺍﻷﻫﺪﺍﻑ ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻧﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ً : ﻗﺎﺩﺭﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ πNGódG øe ᪫≤à°ùe á©£b º«°ù≤J á£≤f óLƒH .1 . º«°ù≤àdG áÑ°ùf âªp ∏Yo GPEG êQÉÿG hGC á©£b á£≤f É¡H º°ù≤J ≈àdG áÑ°ùædG óLƒj .2 º∏Yo GPEG , êQÉÿG hGC πNGódG øe ᪫≤à°ùe . ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG ÉàjÉ¡f á£≤fh π«ŸG á«eƒ∏©Ã º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLƒj .3 . ¬«∏Y . º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©Ÿ áØ∏àîŸG Qƒ°üdG ±ô©àj .4 . Úª«≤à°ùe ÚH ájhGõdG Ö°ùëj .5 ≈∏Y á£≤f øe Ωƒ°SôŸG Oƒª©dG ∫ƒW Ö°ùëj .6 . Ωƒ∏©e º«≤à°ùe
G
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
(Ü , h Úà£≤ædG ÚH ™≤J `L ) : πNGódG øe º«°ù≤àdG ¿Éc GPEG - ’hGC h ∫ `L ∆ ~ `L O Ü ∆ ∵ 1
¢U - ¢U 1¢S - ¢S `L h ¢U-2¢U = ¢S-2¢S = Ü `L ∴ Ω ¢S - ¢S 1 ¢S-2¢S = 2Ω ∴
1
(1¢S - ¢S ) 2Ω = ( ¢S - 2¢S ) 1Ω ∴ 1 1
¢S 2Ω + 2¢S 1Ω = (2Ω + 1Ω) ¢S ∴
¢S 2Ω + 2¢S1Ω = ¢S ∴ Ω+1Ω 2
: πãŸÉH
¢U 2Ω + 2¢U1Ω = ¢U Ω+1Ω 2
1
: ¿GC ôcòJ
: ¿ÉE a Ü h ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG ∞°üàæe (¢U , ¢S ) = `L á£≤ædG âfÉc GPEG 2
¢U+1¢U = ¢U 2
¢S+1¢S = ¢S 2
,
2
(Ü h ∌ `L , Ü h ∋ `L ) êQÉÿG øe º«°ù≤àdG ¿Éc GPEG : É«fÉK k Ü O `L ∆ ~ h ∫ `L ∆ ∵
`L h ¢U - ¢U ¢S - ¢S 1 = = ∴ Ü `L ¢U -¢U ¢S -¢S 2 2
1
¢S - ¢S ¢S -¢S = 2
1
Ω Ω ∴ 2 1
(1¢S - ¢S ) 2Ω = (2¢S - ¢S) 1Ω ∴ 1
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
¢S2Ω - 2¢S 1Ω = ( 2Ω - 1Ω ) ¢S ∴
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٩٢
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ 1
¢S 2Ω - 2¢S1Ω = ¢S ∴ Ω Ω 2 -1
¢U 2Ω - 2¢U1Ω 1 = ¢U Ω Ω 2 1
: πãŸÉH
( ¢U , ¢S ) á£≤ædG ≈g `L ∴ å«M Ü ¤EG h øe áaÉ°ùŸG ™HQ ≈a ™≤J ≈àdG `L á£≤ædG äÉ«KGóMG óLhGC (2 , ٣ ) = Ü , ( 4 , 7 ) = h
1 ∫É`ã`e
: π◊G ( ¢U , ¢S ) = `L á£≤ædG ¿GC ¢VôØf 6 = 7 * 3 + 3* 1 = ¢S 4 7 = 4 * 3 + 2* 1 = ¢U 4 2 ( 7 2
, 6 ) = ( ¢U , ¢S ) = `L ∴
, h Ü ∋ `L å`«``M `L á````£```≤``æ`dG ó````LhGC ihÉ°ùj Ü øY Égó©H ≈àdGh h Ü ∌ `L , h øY Égó©H ∫ÉãeGC áKÓK
2 ∫É`ã`e
( 5 , 2 ) = Ü , ( 2 , 7-) = h ¿Éc GPEG
: π◊G ( ¢U , ¢S ) = `L ¿GC ¢VôØf 23- 2* 1- (7-)* 3 = ¢S ∴ 2 = 1-3 5 * 1- 2 * 3 1 = ¢U , 1-3 2 = 1 23( 2 , 2 ) á£≤ædG ≈g `L ∴ iQƒfi ™e É¡©WÉ≤J ≈à£≤f øe πμH Ü h É¡H º°ù≤æJ ≈àdG áÑ°ùædG óLhGC
3 ∫É`ã`e
(5 , 2-) = Ü , ( 2- , 3 ) = h ¿Éc GPEG äÉ«KGóM’G E
٩٣
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
: π◊G á£≤f ( 0 , ¢S ) = `L ¿GC ¢VôØf : ’hGC . äÉæ«°ùdG Qƒfi ™e Ü h ™WÉ≤J (2-) * 2Ω + 5 * 1Ω =0∴ Ω + Ω 2 1 (2Ω 2-) + 1Ω 5 = 0 ∴ Ω2 = 1Ω5 2 = 1Ω Ω 5 2
1
∴
á£≤f ( ¢U , 0 ) = O ¿GC ¢VôØf : É«fÉK . äGOÉ°üdG Qƒfi ™e Ü h ™WÉ≤J (2-) * 2Ω + 3 * 1Ω =0∴ Ω + 1Ω 2 0 = 2Ω2 - 1Ω3 ∴ 2
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
Ω2 = 1Ω3 2 = 1Ω Ω 3 2
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
∴
٩٤
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
AGõLGC á©HQGC ¤EG Üh ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG º°ù≤J ≈àdG §≤ædG äÉ«KGó`MEG ó`LhGC 1 . ( 6 , 2- ) Ü , (3- , 8 ) = h : å«M ájhÉ°ùàe óLhGC ( 0 , 6- ) = O , ( 3 3 , 3- ) = `L , ( 3 3 , 3 ) = Ü , ( 0 , 6 ) = h §≤ædG 2 : å«ëH ¥ , ¿ , Ω §≤ædG ↔ `L ¿ 3 = `L Ü 4 , `L Ü∋ ¿ Ü
↔
Ü h 2 = Ω h 3 , Üh ∋ Ω G O ¥ 4 = ¥ `L 5 , O↔ `L ∋ ¥ `L
(1-,1-) =h á£≤ædG øe áaÉ°ùŸG ¢ùªN óæY ™≤J ≈àdG `L á£≤ædG äÉ«KGóMEG óLhGC 3 ( 4 , 9) =Ü ¤EG ↔
, Üh ∋ `L á£≤ædG äÉ«KGóMEG óLhÉC a , (3 , 2- ) Ü , (4- , 3 ) = h âfÉc GPEG 4 : ¿Éc GPEG Ü `L 3 = `L h 5 Ü
Ü `L = `L h 2 G
Ü h 3 = `L h 5 O
Ü `L 5 = `L h 3 `L
:âfÉc GPEG , `L á£≤ædG äÉ«KGóMEG óLhÉC a (2 , 5- ) =Ü ,( 4 , 3 ) = h âfÉc GPEG 5 Ü `L 2 = `L h 3 , Ü h ∋ `L G 5 = `L h 3 , Ü á£≤ædG iƒëjh G á£≤ædG ¬°SGC Q iòdG ´É©°û∏d ≈ªàæJ `L Ü . Ü `L á£≤ædG É¡H º°ù≤J ≈àdG áÑ°ùædG óLhÉC a , ( 3 , 2- ) = Ü , (2- , 3 ) = h âfÉc GPEG 6
←h ∋ `L .º«°ù≤àdG ´ƒf ÚH , (7- , 8 ) `L âfÉc GPEG , Ü h ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG Ü ٩٥
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
Ék`°ShDhQ ( 3¢U , 3¢S ) = `L , ( 2¢U , 2¢S ) = Ü , ( 1¢U , 1¢S ) = h â`fÉ`c GPEG . ᣰSƒàŸG ¬Jɪ«≤à°ùe ≈bÓJ á£≤f ≈KGóMEG óLhÉC a , `L Ü h å`∏`ãª`∏d
7
É¡H º°ù`≤æJ ≈àdG á`Ñ°ùædG óLhÉC a ( 1 , 3- ) = Ü , ( 2 , 5 ) = h âfÉc GPEG
8
Éæ«Ñe äÉ«KGóM’G E iQƒfi ™e É¡©WÉ≤J ≈à£≤f øe πμH Ü h ᪫≤à°ùŸG á©`£≤dG . º«°ù≤àdG ´ƒf äÉ«KGóM’G E iQƒfi ™e Ü h ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG ™WÉ≤J ≈à£≤f O , `L âfÉc GPEG
9
´ƒf Éæ«Ñe Üh ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG Ü , `L øe πc É¡H º°ù≤J ≈àdG áÑ°ùædG óLhÉC a , . (2 , 3- ) = Ü , ( 7 , 5-) = h ¿ÉC H ɪ∏Y , º«°ù≤àdG k áeÉ≤à°SG ≈∏Y ™≤J ( 16 , 3- ) `L , ( 2- , 3 ) = Ü , ( 4 , 1 ) = h §≤ædG ¿GC âÑKG 10 : óLhGC ºK , IóMGh . º«°ù≤àdG ´ƒf Éæk «Ñe , `L Ü áª«≤à°ùŸG á©£≤dG G É¡H º°ù≤J ≈àdG áÑ°ùædG G . º«°ù≤àdG ´ƒf Éæk «Ñe , h `L ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG Ü É¡H º°ù≤J ≈àdG áÑ°ùædG Ü . º«°ù≤àdG ´ƒf Éæk «Ñe , Ü h ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG `L É¡H º°ù≤J ≈àdG áÑ°ùædG `L ( 4 , 2- ) = `L , ( 2 , 5- ) = Ü , ( 1- , 3 ) = h ¬«a ´Ó°VGC iRGƒàe O `L Ü h 11 . O á£≤ædG ≈KGóMEG óLhGC .
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٩٦
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
: ¿GC Ωƒ∏©ŸG øe
Ú«©àd Ωõ∏j ¬fGC iôf Gòg øe ÚàØ∏àfl Úà£≤f ¿ , ¥ âfÉc GPEG k . ¿ÉWô°T ÉeÉJ Éæ««©J º«≤à°ùŸG §ÿG k º«≤à°ùe §N óLƒj ¬fÉE a , iƒà°ùŸG ≈a :º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©Ÿ áØ∏àîŸG Qƒ°üdG õeôdÉH ¬d õeôj §ÿG Gòg . ɪ¡H QÉe ó«Mh ↔ . ¿ ¥ á£≤ædÉH ôÁ iòdG º«≤à°ùŸG k ∫ ¿Éc GPEG : ∂dòc ¥ , ɪ«≤à°ùe É£N k : ƒg (Ω) ¬∏«eh (1¢U ,1¢S ) ∑ , ∫ §î∏d ≈ªàæJ ’ iƒà°ùŸG ≈a á£≤f ¢U - ¢U á£≤ædÉH ôÁ ó«Mh º«≤à°ùe §N óLƒj ¬fÉE a 1 =Ω ¢S ¢S 1 . ∫ º«≤à°ùŸG §ÿG iRGƒjh ¥ (1) ............
(1¢S - ¢S ) Ω = 1¢U - ¢U
: ¿Éc (2¢U , 2¢S ) iôNGC á£≤æH º«≤à°ùŸG Gòg ôe GPEGh ¢U - ¢U
(2) ......... (1¢S - ¢S ) 1 ¢S - 2¢S = 1¢U - ¢U 1 2 : IQƒ°üdG ≈∏Y É¡àHÉàc øμÁh (3) .............
¢U - ¢U ¢U - 2¢U = 1 ¢S - ¢S ¢S - 2¢S 1 1
1
. ¬«∏Y Úà£≤f á«eƒ∏©Ã º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©e ≈gh : ¿GC ôcòJ
(4) ........................
`L + ¢S Ω = ¢U ∴
ájOGóY’G E á∏MôŸÉH É¡à°SGQO ≥Ñ°S º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©Ÿ IQƒ°üdG √ògh
٩٧
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
øe ´ƒ£≤ŸG Aõ÷G ∫ƒWh ( Ω ) ¬∏«e á`«eƒ∏`©ª`H º«≤à°ùŸG §`î`dG ádOÉ©e ≈g √ògh ¿ÉE a äÉ«KGóM’G E iQƒfi øe Ü , h øjAõL º«≤à°ùŸG ™£b GPEGh (`L) äGOÉ°üdG Qƒfi Ü- Ü -¢U = : ≈g (3) ádOÉ©ŸG íÑ°üJh ( Ü , 0 ) , (0 , h ) Úà£≤ædÉH ôÁ º«≤à°ùŸG h 0 -¢S ( Ü h ≈∏Y ᪰ù≤dÉH )
Ü h = ¢U h + ¢S Ü iGC
(5).............
1= Ü+ h ∴
¢U
¢S
. øjQƒëŸG øe ÚYƒ£≤ŸG ÚFõ÷G ád’óH º«≤à°ùŸG ádOÉ©e ≈ª°ùJh (1¢U , 1¢S ) á£≤ædÉH ôÁ Ée º«≤à°ùe π«e `g ¿GC ¢VôØH O `g = 1¢U - ¢U : ≈g ¬àdOÉ©e ¿Éa E O ¢S ¢S 1
ﺹ
( ﺏ، ٠ )
¢S `g - ¢S `g = 1¢U O - ¢U O
1
ﺱﹶ
(٠ ، h ) ﺹﹶ
ﺱ
0 = 1¢U O + 1¢S `g - ¢U O - ¢S `g ∴ : IQƒ°üdG ≈∏Y É¡àHÉàc øμÁh
(1¢U O - 1¢S `g ) - = `L å«M
0 = `L + ¢U Ü + ¢S h
. º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©Ÿ áeÉ©dG IQƒ°üdG ≈gh
áeÉg äɶMÓe ≈g ( ∫ , 0 ) á£≤ædÉH ôÁh äÉæ«°ùdG Qƒfi iRGƒj iòdG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e ( 1 . ∫ = ¢U ≈g ( 0 , ∑ ) á£≤ædÉH ôÁh äGOÉ°üdG Qƒfi iRGƒj iòdG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e ( 2 . ∑ = ¢S C á£≤æH ôÁ iòdG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e ( 3 . ¢S Ω = ¢U ≈g ( 0 , 0 )h π°U’G h- ¢S πeÉ©e = ƒg 0 = `L + ¢U Ü + ¢S h º«≤à°ùŸG π«e ( 4 Ü ¢U πeÉ©e : ¿GC ôcòJ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٩٨
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
º«≤à°ùŸG iRGƒjh ( 2 , 2- ) = ¥ á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©e óLhGC
1 ∫É`ã`e
0 = 3 + ¢S 4 - ¢U
: π◊G 4=
(4-)- ¢S πeÉ©e = ¢U πeÉ©e = Ωƒ∏©ŸG º«≤à°ùŸG π«e G : IQƒ°üdG ≈∏Y áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG ( 1¢S - ¢S ) Ω = 1¢U - ¢U
10 = ¢S 4 - ¢U ⇐
( 2 + ¢S ) 4 = 2 - ¢U
.(1- , 4 ) = ¿ , ( 3 , 2 ) =¥ Úà£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©e óLhGC
3- ¢U 3- 1= 2 - ¢S ∴ 2- 4 (2 - ¢S ) 2- = 3 - ¢U ∴
2 ∫É`ã`e
: π◊G
¢U - 2¢U 1¢U - ¢U 1 = ¢S - ¢S ∵ ¢S ¢S 1 2 1 2- =
3- ¢U 2 - ¢S
∴
7 = ¢S 2 + ¢U ∴ º«≤à°ùe ≈∏Y iOƒªYh (2,2-) =¥ á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©e óLhGC
3 ∫É`ã`e
4- ¬∏«e 1 = ܃∏£ŸG º«≤à°ùŸG π«e ∴ 4
: π◊G 4- = iOƒª©dG π«ŸG ∵ (1- = 2Ω 1Ω å«M ) : ≈g ܃∏£ŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e ∴ (1¢S - ¢S ) Ω = 1¢U - ¢U ( 2 + ¢S ) 1 = 2- ¢U ∴ 4 . = 10 - ¢S - ¢U 4 : ádOÉ©ŸG ∴
٩٩
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
∞jô©J ájhGR äÉæ«°ùdG QƒëŸ ÖLƒŸG √ÉŒ’G ™e ™æ°üj iòdG º«≤à°ùŸG π«e `g ÉX = Ω : ≈g `g É¡°SÉ«b ↔
(2¢U , 2¢S ) = Ü , ( 1¢U , 1¢S ) = h å«M Üh É¡©æ°üj ≈àdG áÑLƒŸG ájhGõdG ¢SÉ«b `g ↔
äÉæ«°ùdG QƒëŸ ÖLƒŸG √ÉŒ’G ™e Ü h ¢U - 2¢U ↔ = Üh π«e ¢S - 2¢S 1
1
`L ≈a ájhGõdG ºFÉ≤dG `L Ü h ∆ ≈a ¢U - 2¢U `L Ü = = `g ÉX ¿GC ó‚ ¢S ¢S h `L 1 2
1
↔ `g ÉX = Üh π«e ∴
áÑLƒe ájhGR ™æ°üjh ( 3- , 2 ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©e óLhGC r 135 É¡°SÉ«b äÉæ«°ùdG QƒëŸ ÖLƒŸG √ÉŒ’G ™e
∫É`ã`e
: π◊G 1- = r 135 ÉX = º«≤à°ùŸG §ÿG π«e (1¢S - ¢S ) Ω = 1¢U - ¢U IQƒ°üdG ≈∏Y º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©e ∴ (2 - ¢S ) 1- = 3 + ¢U 0 = 1 + ¢S + ¢U
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
١٠٠
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
:≈JÉC j ɇ πc ≈a Úàæ«ÑŸG Úà£≤ædÉH ô“ ≈àdG äɪ«≤à°ùŸG øe πc ádOÉ©e óLhGC 1 (Ü , 0 ) , ( 0 , h) Ü
(4,6),(1,3) G
(2- , 1 ) , ( 1 , 1 ) O
( 3 , 5 ) , ( 3 , 2 ) `L
1 = ¬∏«eh ( 3 , 2 ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC G
2
( 3 , 1- ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC Ü . äÉæ«°ùdG Qƒfi ÉjRGƒeh k iòdG º«≤à°ùŸG ≈∏Y iOƒª©dGh ( 3 , 1 ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC 3 . 3 ¬∏«e 2 Gòg ¿Éc GPEGh , 2 = Ω ¬∏«eh ( 3- , 2) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC 4 . Ü , h óLhÉC a , (Ü , 5 ) , ( 7 , h ) Úà£≤ædÉH ôÁ º«≤à°ùŸG äÉ«KGóMEG ≈g Ée . ( 0 , h ) á£≤ædÉH QÉŸGh , Ω ¬∏«e iòdG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC 5 ? äGOÉ°üdG Qƒfi ™e §ÿG Gòg ™WÉ≤J á£≤f ™e ™æ°üj iòdGh , ÖdÉ°S ¬∏«eh ( 5 , 1 ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC 6 . á©Hôe äGóMh ô°ûY ¬àMÉ°ùe Ékã∏ãe äÉ«KGóM’G E iQƒfi (1- , 0 ) , ( 1 , 1 ) Úà£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG ≈∏Y (3 , 2 ) á£≤ædG ™≤J πg 7 .IóMGh áeÉ≤à°SG ≈∏Y ™≤J ( 1 , 2 ) , ( 8 , 5 ) , (5 , 4 ) , (2 , 3 )§≤ædG ¿GC âÑKG 8 º¶àæe ¢Só°ùe R `g O `L Ü h πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a 9 C á£≤f h √õcôeh , ∫ ¬©∏°V ∫ƒW Ωɶæd π°U’G . ≈KGóMEG . ¢Só°ùŸG ¢ShDhQ äÉ«KGóMEG ÚY G
١٠١
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
´Ó``°``VGC ø``e Ék``©∏°V É¡æe π``c iƒ``ë``j ≈``à``dG äɪ«≤à°ùŸG ä’OÉ``©``e ó```LhGC Ü .¢Só°ùŸG (Ü) ≈a ᫪«≤à°ùŸG •ƒ£ÿG øe πc π«e óLhGC `L ↔
↔
↔
↔
. R O , `g h , O Ü , `L h ᫪«≤à°ùŸG •ƒ£ÿG øe §N πc π«e óLhGC O áÑLƒe ájhGR ™æ°üjh ( 1 , 4 ) á£≤ædÉH ôÁ iòdG º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©e óLhGC 10 C ™eA( •2 )É¡°SÉ«b . äÉæ«°ùdG QƒëŸ ÖLƒŸG √ÉŒ’G 3
™e 5 + ¢S = ¢U 2 º«≤à°ùŸG §ÿG É¡©æ°üj ≈àdG áÑLƒŸG ájhGõdG ¢SÉ«b ÚY u 11 . äÉæ«°ùdG QƒëŸ ÖLƒŸG √ÉŒ’G
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
١٠٢
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
Ió```YÉ````b 2
Ω ,1Ω ÉªgÓ«e ¿Gò∏dG ¿Éª«≤à°ùŸG
¿ÉE a i É¡°SÉ«b ájhGR ɪ¡æ«H ¿Gô°üëjh B ábÓ©dG øe Ú©àJ i : á«J’G Ω - Ω ( 2Ω Ω+1 1) ± = i ÉX 2 1 `g ÉX = Ω , `g ÉX = 1Ω : ¿EG å«M 2 2 1 . áeOÉb á«°SGQO äGƒæ°S ≈a IóYÉ≤dG √òg ¿ÉgôH ¢SQój ±ƒ°S . = 1 + ¢U 2 - ¢S : 1∫ Úª«≤à°ùŸG ÚH ájhGõdG ¢SÉ«b óLhGC
1 ∫É`ã`e
. = 2 + ¢U 3 + ¢S : 2∫
: π◊G Ω - 1Ω 1- = Ω , 1 = Ω ∵ ± = `g ÉX , Ω Ω+ 1 3 2 2 1 2 1 1 1 3 + 2 ± = `g ÉX ∴ 1 -1 2
6
r 135 = `g
1±= ﺃﻭ
r 45 = `g ∴
¬dƒW AõL äGOÉ°üdG Qƒfi øe ™£≤jh 2 ¬∏«e iòdG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC 3 2 ¬àdOÉ©e iòdG º«≤à°ùŸGh º«≤à°ùŸG Gòg ÚH ájhGõdG ¢SÉ«b óLhGC ºK , 2
2 ∫É`ã`e
(? ßMÓJ GPÉe ) . =5 -¢U 6 -¢S
: π◊G 2 + ¢S 2 = ¢U ∴ `L + ¢S Ω = ¢U ∵ 3 `g Úª«≤à°ùŸG ÚH ájhGõdG ¿GC ¢VôØHh , 0 =6-¢S2-¢U3 ≈g º«≤à°ùŸG ádOÉ©e ∴
١٠٣
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ 1 2 - 3 3 3 ± = `g ÉX ∴ 11 ± = 2 +1 9
r 164
n 44
k 42 = `g
hGC
r 15
n 15 k 18 = `g ∴
¢U - ¢S 2 , 0 = 8 - ¢U ∑ + ¢S Úª«≤à°ùŸG ÚH ájhGõdG ¢SÉ«b ¿Éc GPEG
3 ∫É`ã`e
• ihÉ°ùj , 0 = 5 + 4
. ∑ ᪫b óLhÉC a
: π◊G 2 = 2Ω , 1- = 1Ω ∵ ∑
Ω- Ω
( 2Ω Ω+1 1 ) ± = `g ÉX ∴ 2 1 (
21-
∑
1-
∑ )±= -1
3- = ﺃﻭ ﻙ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
• ÉX ∴ 4 1 3 =∴ﻙ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
١٠٤
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
B äɪ«≤à°ùŸG øe πc ádOÉ©e óLhGC 1 : á«J’G ,1) Úà£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG §î∏d ÉjRGƒe (3 , 2) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG G k .(4 , 2) , (3 + ¢U 3 + ¢S 2 º«≤à°ùŸG §ÿG ≈∏Y ÉjOƒªY ( 3 , 1 ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG Ü k 0=4 0 = 13 - ¢U 3 + ¢S 2 º«≤à°ùŸG iRGƒjh ( 2 , 1 ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG `L 0=15-¢U 6 +¢S 4 º«≤à°ùŸG ≈∏Y iOƒªYh (2 , 1) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG O : ≈∏j ɪ«a äɪ«≤à°ùŸG øe êhR πc ÚH ájhGõdG óLhGC 2 3 - ¢U 1 = : ∫ 2 + ¢S n 2
,
. = 5 - ¢U + ¢S 2 : ∫
. = 3 - ¢U - ¢S 4 : n ∫
,
0 = 5 + ¢U 2 + ¢S : ∫ Ü
G
¬«a (3 , 1- ) = `L , (8 , 7 ) Ü , (3 , 2 ) = h §≤ædG ¬°ShDhQ iòdG å∏ãŸG πg 3 ? áLôØæe ΩGC IOÉM `L Ü h ájhGR å```«M , `L ó`æY á``jhGõ`dG º`FÉ`b `L Ü h å`∏ãª`dG π©`é`J ≈àdG ¢U á`ª`«b ó`LhGC 4 . (¢U , 1 ) = `L , ( 7 , 5 ) = Ü , ( 3 , 2 ) = h .(5 , 2 )= `L , ( 3 ,1- ) =Ü, ( 3 , 2 ) =h ¿Éc GPEG `L Ü h å∏ãŸG ÉjGhR óLhGC 5 §``ÿG ™e 10 3 ihÉ`°ùj É¡`eÉ`ª`J Ö«``L á`jhGR ™æ°üj ∫ º«≤à°ùª`dG §``ÿG ¿É``c GPEG 6 10 º`«≤`à`°ùª`dG §ÿG ádOÉ©e ó``LhGC ? ∫ º«≤à°ùŸG §ÿG π«e ƒg ɪa , . = 5 + ¢U - ¢S 3 : ∫n . (2- , 1 ) á£≤ædÉH ôÁ ¿Éc GPEG ∫ º«≤à°ùŸG
١٠٥
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
0 = `L + ¢U Ü + ¢S h : Ωƒ∏©ŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e ¿GC ¢VôØf . ∫ ƒg ( n ¢U , n ¢S ) = • øY ó©oH ô°übGC ¿GC h ÉjRGƒe • á£≤ædÉH ôÁ ôNBG ɪ«≤à°ùe º°Sôf k k Ωƒ∏©ŸG º«≤à°ùŸG 0 = n `L + ¢U Ü + ¢S h : ≈g ¬àdOÉ©e ¿ƒμàa hÜ = `g ÉX = Ωƒ∏©ŸG º«≤à°ùŸG π«e ∵ `L `L`L - `L n Ü = Ü +n Ü = ¿ h - ¥ h = ¿ ¥ ∵ n `L - `L = ¿ ¥ ∴ (1) ................. Ü
`g ÉàL ¿ ¥ = ( Oƒª©dG ∫ƒW ) ∫ = ك¥ ∴
(2) ................
(2) ≈a (1) øe ¢†jƒ©àdÉH `L - n `L = 2 Ü+2h
Ü-
- `L * n `L - `L = `g ÉàL n `L Ü =∫∴ Ü Ü+ h ( 2Ü + 2h ) ∫ = `L - n `L ∴
2
2
(2Ü + 2h ) ∫ + `L = `L ∴ n 0 = `L + ¢U Ü+¢S h º«≤à°ùŸG ≈∏Y ™≤J (n ¢U , n ¢S ) á£≤ædG ∵ (3) ..................
(4) ...............
0 = `L + n ¢U Ü + n ¢S h ∴
: (4) ≈a (3) øe ¢†jƒ©àdÉH 0 = (2Ü +2 h ) ∫ + `L + ¢U n Ü + ¢S n h∴ ( `L + ¢U Ü + ¢S h) n n =∫∴ 2 2 Ü+ h
(5)...............
| `L + ¢U Ü + ¢S h| n n 2 2 Ü+ h
=∫∴
º«≤à°ùŸG øY (¢U ,¢S) • á£≤ædG ó©H ábÓ©dG √òg πã“h 0 = `L + ¢U Ü + ¢S h ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
١٠٦
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
§``î`dG ¤EG ( 5 , 4) = á``£`≤`ædG ø``e Ωƒ°Sôª`dG Oƒ`ª``©dG ∫ƒ`W ó``LhGC 0 = 10-¢U 3+¢S 4 º``«`≤`à°ù`ª`dG
1 ∫É`ã`e
: π◊G ( 3 = Ü , 4 = h , 5 = ¢U , 4 =¢S ) ∫ƒW IóMh 4^2 = 215 =
| `L + ¢U Ü + ¢S h| n n 2 2 Ü+ h
|10 - 5 * 3 + 4* 4| 9 +16
=Oƒª©dG ∫ƒW ∵ =Oƒª©dG ∫ƒW ∴
º«≤à°ùŸG §ÿG ≈∏Y ( 1 , 1 ) á£≤ædG øe Ωƒ°SôŸG Oƒª©dG ∫ƒW óLhGC ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0) Úà£≤ædG ÚH π°UGƒdG
2 ∫É`ã`e
: π◊G 1- = ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) Úà£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG π«e ∵ ¢U 1 - ¢S = 1- : ≈g º«≤à°ùŸG Gòg ádOÉ©e ∴ 0 = 1 - ¢U + ¢S : É¡æeh 0 =1-¢U+¢S º«≤à°ùŸG ≈∏Y ( 1 , 1 ) á£≤ædG øe Ωƒ°SôŸG Oƒª©dG ∫ƒW ∴ ∫ƒW IóMh
1 2
=
| 1-1 +1| 1 +1
= Oƒª©dG ∫ƒW
`£`ÿG ≈∏Y ( `L , h ) á``£`≤`ædG øe Ωƒ°SôŸG Oƒ`ª©dG ∫ƒ`W ¿É``c GPEG . `L ᪫b óLhÉC a . 13 ihÉ°ùj 0= 5+¢U 3+¢S2 º«`≤à°ùª`dG | 5 + `L3 + 1* 2 | 9+4
3 ∫É`ã`e
: π◊G = 13 ∵
| `L 3 + 7 | = 13 ∴ 13- = `L 3 + 7 20= `L 3
١٠٧
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
,GC ,GC
13 = `L 3 + 7 ∴ 2 = `L ∴
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
¤EG ¥ á£≤ædG øe Ωƒ°SôŸG Oƒª©dG ∫ƒW óLhÉC a , ( 1 , 2 ) = ¥ âfÉc GPEG 1 0 = 30 - ¢U 4 + ¢S 3 º«≤à°ùŸG §ÿG ´Ó°VGC øe `L Ü ™∏°†dG ≈∏Y h á£≤ædG øe Ωƒ°SôŸG Oƒª©dG ∫ƒW óLhGC 2 . ( 5 , 4 ) = `L , ( 0 , 2- ) = Ü , ( 3 , 1 ) = h å«M , `L Ü h å∏ãŸG ( 4 , 3 ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG §ÿG øY ( 2 , 1- ) á£≤ædG ó©oH óLhGC 3 3- ¬∏«eh 2
( 3- , 2 ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG §ÿG øY (2- , 1 ) á£≤ædG ó©H óLhGC 4 . äÉ«KGóM’G E iQƒfi øe πc ™e ájhÉ°ùàe ÉjGhR ™æ°üj iòdGh §ÿG øe ÖfÉ÷G ¢ùØf ≈∏Y ¿É©≤J ( 3 , 2- ) , ( 4 , 1 ) ¿Éà£≤ædG πg 5 ? ÚàØ∏àfl ÚÑfÉL ≈∏Y ΩGC 0 = 3 + ¢U - ¢S 2 º«≤à°ùŸG , ( 0 , 2 ) = O , ( 2 , 1- ) = `L , ( 6 , 4 ) = Ü , ( 4 , 3 ) = h âfÉc GPEG 6 `L øe Úeƒ°SôŸG øjOƒª©dG ™WÉ≤J Éà£≤f O , `L å«M , O `L ∫ƒW óLhÉC a n n n n ↔ . Ü h º«≤à°ùŸG §ÿG ≈∏Y O ,
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
١٠٨
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
äɪ«≤à°ùŸG øe ≈FÉ¡f ’ OóY É¡H ôÁ ¿GC øμÁ áeƒ∏©e á£≤f iGC ∵ . Úª«≤à°ùŸG ™WÉ≤f á£≤æH IQÉŸG äɪ«≤à°ùŸG ™«ªL πã“ ≈àdG ádOÉ©ŸG ∴
: ≈g 0 = 2`L + ¢U 2Ü + ¢S 2 h , 0 = 1`L + ¢U 1Ü +¢S 1h , ì ∋ Ω , 0 =( 2`L + ¢U 2Ü +¢S h ) ﻝ+ ( 1`L +¢U 1Ü +¢S h) Ω 2 1 (1) ì∋∫ , ≈fÉãdG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e èàæJ 0 = Ω ádÉM ≈Øa C º«≤à°ùŸG ádOÉ©e èàæJ 0 = ∫ ádÉM ≈ah . ∫h’G ±ÓN ™WÉ≤àdG á£≤æH ôÁ º«≤à°ùe iGC ádOÉ©e èàæàa 0 ≠ ∫ , 0 ≠ Ω ádÉM ≈a ÉeGC C Úª«≤à°ùŸG : IQƒ°üdG ≈∏Y (1) ádOÉ©ŸG ™°Vh ádÉ◊G √òg ≈a øμÁh Ú«∏°U’G
0 = ( 2`L + ¢U 2Ü +¢S h ) ﻙ+ 1`L + ¢U 1Ü+¢S h
(2)
١
2
:Úª«≤à°ùŸG ™WÉ≤J á£≤æHh ( 0 , 1- ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC
0 = 4 + ¢U 3 - ¢S 2
,
∫É`ã`e
0 = 5 - ¢U 2 + ¢S
: π◊G ٠= ٤ + ﺹ٣ - ﺱ٢ ، ٠= ٥ - ﺹ٢ + ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﺱ (٠ ، ١- ) ، ( ٢ ، ١ ) ( ﺛﻢ ﺇﻳﺠـﺎﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ٢ ، ١ ) ﻭﻫﻰ
: ôNBG πM Úeƒ∏©ŸG Úª«≤à°ùŸG ™WÉ≤J á£≤æH QÉŸG º«≤à°ùª∏d áeÉ©dG ádOÉ©ŸG ∵ : ≈g ɪ¡aÓîH 0 = ( 4 + ¢U 3 - ¢S 2 ) ك+ 5 - ¢U 2 + ¢S . ¬àdOÉ©e ≥≤– ≈¡a ∴ ١٠٩
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
º«≤à°ùŸG Gòg ≈∏Y ™≤J ( 0 , 1- ) ∵ , ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ- ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
0 = ( 4 + 0- 2- ) ك+ 5- 0 + 1- ∴ 3=∴ك
0=ك2+6-∴
0 = ( 4 + ¢U 3 - ¢S 2 ) 3 + 5 - ¢U 2 + ¢S ∴ 0 = 12 + ¢U 9 - ¢S 6 + 5 - ¢U 2 + ¢S ⇐ 0 = 7 + ¢U 7 - ¢S 7 ⇐ 0 = 1 + ¢U - ¢S ⇐
, ¿GóeÉ©àe 0 = 5 + ¢U + ¢S 4 , 0 = 14 + ¢U 4 - ¢S : Úª«≤à°ùŸG ¿GC âÑKG 1 : óLhGC ºK . ɪ¡©WÉ≤J á£≤f G . ( 1 , 2 ) á£≤ædGh ™WÉ≤àdG á£≤æH ôÁ iòdG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e Ü •hô°ûdG É≤k ≤fi Ú«dÉJ Úª«≤à°ùe πc ™WÉ≤J á£≤æH QÉŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC 2 :IÉ£©ŸG . ( 1 , 3 ) á£≤ædGh
0 = 7 - ¢U 3 + ¢S , 0 = 7 - ¢U 2 + ¢S 3 G
. ≈fÉãdG º«≤à°ùŸG ≈∏Y Ék``jOƒªY 1 = ¢U 2 + ¢S , 5 = ¢U - ¢S 5 Ü C á£≤fh 0 = 3 - ¢U 3 + ¢S 4 , . π°U’G
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
2 = ¢U + ¢S 2 `L
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
١١٠
êPɪ`f äGQÉ`Ñ`à`N’G : ’hGC äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùMh È÷G
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
) (١ﺃﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ : ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ ، hﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻈﻢ ﻡ Xﻥ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻣﻦ ﺃ ٢ -ﺏ ﺗﻜﻮﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻈﻢ ............. ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻨﻘﻂ ﺃ) ، ( ٠ ، ٨ﺏ) ، (٣ ، ٢ﺟـ) ( ٧ ، ٠ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻣﻌﺎ : ﺱ ، ٠Mﺹ٢ ، ٠Mﺱ+ﺹ ، ٧Mﺱ٢+ﺹ ٨M ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ .......ﻫﻰ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻬﺪﻑ ٣ =Vﺱ ٧ +ﺹ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ. ﺟـ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻇﺎ 3 = hﺣﻴﺚ [ J hﻁ ] •3 ،ﻓﺈﻥ ﺣﺘﺎ ) ........... = ( h + ˚٢٧٠ 4 2 ﺩ ( ﺃﺻﻐﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻣﻜﺎﻓﺌﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ) (˚٨٤٠ -ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ............. ﻭﺗﻘﻊ ﻓﻰﺍﻟﺮﺑﻊ ............. ﺑﻴﺎﻧﻴـﺎ : ) (٢ﺃ ( ﻋﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ً ﺱ، ٠Mﺹ،٠Mﺱ+ﺹ ٢،٥ Mﺱ+ﺹ٨ M 1- 3 1 2 ،ﺏ= ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ = h 2 53 5 ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ hﺏ = I
) (
) (
ﺟـ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ٢٥ﺣﺎ ٧ = hﺣﻴﺚ hﺃﻛﺒﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ١٢ ،ﻇﺎ ﺏ ٠ = ٥ - ﺣﻴﺚ ) > ˚١٨٠ﺏ > (˚٢٧٠ﻭﻛﺎﻥ : ﺣﺎ ﺟـ = ﺣﺎ) (h-˚١٨٠ﺣﺘﺎ) -˚٩٠ﺏ( 1 -ﺣﺘﺎ) (h +˚٣٦٠ﺣﺘﺎ) +˚١٨٠ﺏ( 6 ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺟـ ﺣﻴﺚ >˚٠ﺟـ > ˚٣٦٠
١١٢
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
) (٣ﺃ ( ﺗﺸﺘﺮﻯ ﺃﺳﺮﺓ ﻧﻮﻉ ﻣﻦ ﺍﻟﻠﺤﻢ ﻳﺤﺘﻮﻯ ﻋﻠﻰ ٪ ٩٠ﻣﻦ ﺍﻟﻠﺤﻢ ﻏﻴﺮ ﺍﻟﺪﻫﻨﻰ ٪ ١٠ ، ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻫﻦ ﺑﺴﻌﺮ ٣٠ﺟﻨﻴﻬﺎ ﻟﻠﻜﻴﻠﻮ ﺟﺮﺍﻡ ﻭﻧﻮﻉ ﺁﺧﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻠﺤﻢ ﻳﺤﺘﻮﻯ ﻋﻠﻰ ٪٧٠ ﻣﻦ ﺍﻟﻠﺤﻢ ﻏﻴﺮ ﺩﻫﻨﻰ ٪٣٠ ،ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻫﻦ ﺑﺴﻌﺮ ٢١ﺟﻨﻴﻬﺎ ﻟﻠﻜﻴﻠﻮ ﺟﺮﺍﻡ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﺣﺘﻴﺎﺟﺎﺕ ﺍﻷﺳﺮﺓ ﺍﻷﺳﺒﻮﻋﻴﺔ ﻫﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ٦ﻛﻴﻠﻮ ﺟﺮﺍﻣﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻠﺤﻢ ﻏﻴﺮ ﺍﻟﺪﻫﻨﻰ ٢ ،ﻛﻴﻠﻮ ﺟﺮﺍﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻫﻦ ،ﺃﻭﺟﺪ ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻟﻠﺤﻢ ﻣﻦ ﻛﻼ ﺍﻟﻨﻮﻋﻴﻦ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺸﺘﺮﻳﻬﺎ ﺍﻷﺳﺮﺓ ﺃﺳﺒﻮﻋﻴﺎ ﺣﺘﻰ ﺗﻜﻮﻥ ﺗﻜﺎﻟﻴﻒ ﺍﻟﺸﺮﺍء ﺃﻗﻞ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ · ﺏ ( ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : ٢ﺣﺎ٢ﺱ = ﺣﺎ ﺱ ﺣﻴﺚ ﺱ ٢ ، ٠ ] Jﻁ ]
) ( ) (
) (٤ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ = h
١ ٣-
٥ ٢
٢
،ﺏ=
ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ) + hﺏ (ﻣﺪ = hﻣﺪ +ﺏ
٤
٣ ١-
ﻣﺪ
ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻇﺘﺎ ) ﺱ = (˚٥ -ﻇﺎ ) ٣ﺱ (˚٣٥ +ﺣﻴﺚ > ˚٠ﺱ > ˚٩٠ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺘﺎ ٢١ﺱ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
١١٣
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
) (١ﺍﺧﺘﺮ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﺳﻴﻦ : ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ hﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻈﻢ ، ٣ X ٢ﺏ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻈﻢ .............ﻓﺈﻥ hﺏ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻈﻢ ١ X ٢ )٢X٣
ﺃ،
ﺃ،
٣X٢
٣X١
ﺃ،
(١X٣
ﺏ ( ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ .............ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ٢ﺱ ٣ +ﺹ٦ Μ ))(٥- ، ٤-
) (٣- ، ٢
ﺃ،
ﺃ،
)(٥،٤
ﺃ،
)(( ٠، ٠
ﺟـ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ ﺱ = ﺣﺘﺎ ﺹ ﻓﺈﻥ ﺣﺎ ) ﺱ +ﺹ ( = ............. » ﺣﻴﺚ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺱ ،ﺹ ﻗﻴﺎﺳﻰ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺣﺎﺩﺗﻴﻦ ٢ (١ ﺃ، ١ﺃ،) ﺻﻔﺮ ﺃ، ٢ ﺩ ( ﻓﻰ hΔﺏ ﺟـ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺏ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ 1 = hﻓﺈﻥ ﻇﺎ ) + ˚٩٠ﺟـ ( 2 = ............. ١١ ( ٣ ﺃ، ﺃ، ٣ ) ٣ﺃ، ٣ ) (٢ﺃ ( ﻋﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻣﻌﺎ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ : ﺱ٠M
،ﺹ ٢ ، ٠ Mﺱ +ﺹ ، ١٠ N
ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ = h
٢ﺱ ٣ +ﺹ ١٨ N
) ( ) ( 2 3 5 1
،ﺏ=
2- 5 3 1-
ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ hﺏ = I ١٣ ﺟـ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ٥ﻇﺎ ٠ = ١٢ - hﺣﻴﺚ hﺃﻛﺒﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ٨ ،ﻗﺎ ﺏ ٠ = ١٧ - ﺣﻴﺚ ﺏ ٢ ، •3 [ Jﻁ ] ﻭﻛﺎﻥ : 2 ﻇﺎ ) (h - ˚١٨٠ﻇﺎ ) - ˚٣٦٠ﺏ( ﻇﺘﺎ ﺟـ = ٨ﻗﺎ ) + ˚١٨٠ﺏ ( ٥ -ﻗﺎ h ﺃﻭﺟﺪ ﺟـ ﺣﻴﺚ > ˚٠ﺟـ > ˚٣٦٠
١١٤
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
) (٣ﺃ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ = h
) ( ) ) ( 1 3
،ﺏ=
5 2
1
1-
4
2
1
3
ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺱ ﺣﻴﺚ : 3
2
(
3
ﻣﺪ h - S ٢ﺏ = 3- 1 2-
ﺏ ( ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﺮﻛﺰﻳﺔ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ٥ﺳﻢ ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻗﻮﺳﺎ ﻃﻮﻟﻪ ١٠ﺳﻢ ،ﺃﻭﺟﺪ ﻛﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﻦ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﻭﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ ﻟﻬﺬﻩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ) (٤ﺃ ( ﻳﺮﻏﺐ ﻣﺰﺍﺭﻉ ﻓﻰ ﺗﺮﺑﻴﺔ ﺩﺟﺎﺝ ﻭﺑﻂ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﺍﻟﺬﻯ ﺳﻴﺮﺑﻰ ﻓﻴﻪ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻄﻴﻮﺭ ﻻ ﻳﺘﺴﻊ ﺇﻻ ﻟﺜﻼﺛﻤﺎﺋﺔ ﻓﻘﻂ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻴﻮﺭ ﻭﻫﻮ ﻳﺮﻯ ﺃﻻ ﻳﻘﻞ ﺍﻟﺪﺟﺎﺝ ﻋﻦ ﺿﻌﻒ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺒﻂ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺑﺤﻪ ﻓﻰ ﻛﻞ ﺩﺟﺎﺟﺔ ﺟﻨﻴﻬﺎ ً ﻭﺍﺣﺪﺍ ﻭﻓﻰ ﻛﻞ ﺑﻄﺔ ﺟﻨﻴﻬﻴﻦ . ﺃﻭﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﻣﺎ ﻳﺮﺑﻴﻪ ﺍﻟﻤﺰﺍﺭﻉ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻧﻮﻉ ﺣﺘﻰ ﻳﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺃﻛﺒﺮ ﺭﺑﺢ ﻣﻤﻜﻦ ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ = h
3 5
١٣ ،ﺣﺘﺎ ﺏ = ٥ﺣﻴﺚ ، hﺏ ﻗﻴﺎﺳﺎ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺣﺎﺩﺗﺎﻥ ،
ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ٤ :ﻇﺎ hﻇﺎ ) ٥ + (˚٣١٥ -ﻗﺎ ﺏ ﻗﺘﺎ˚٥٨٥ ٢
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
١١٥
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
) (١ﺃﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ :
) () (
ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ
4
1
3
1
1-
1
¢S 3-
= Iﻓﺈﻥ ﺱ = .........
ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻨﻘﻂ ، ( ٠ ، ٣٫٥ ) hﺏ ) ، ( ٣ ، ٢ﺟـ ) (٤ ، ٠ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻣﻌﺎ ﺱ،٠Mﺹ٢ ، ٠Mﺱ+ﺹ ، ٧Nﺱ٢+ﺹ ٨N ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ........ﻫﻰ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻬﺪﻑ ﻝ = ٦ﺱ ١٠ +ﺹ ﺍﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ 4 ﺟـ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺣﺘﺎ ) 5 = (˚٢٧٠ - h
• ﺣﻴﺚ 2 [ Jh
،ﻁ]
ﻓﺈﻥ ٥ﺣﺎ ......... = h ﺩ ( ﺣﺘﺎ + ˚٦٠ ٢ﺣﺎ......... = ˚٦٠ ٢ ) (٢ﺃ ( ﻋﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻣﻌﺎ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ : ،ﺹ< ، ١ﺱ+ﺹ ، ٤ M
ﺱ<١
ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ = h
٢ﺱ+ﺹ٦ M
) ( ) ( 1- 2
5 3-
،ﺏ=
16
4
2-
ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺱ ﺣﻴﺚ : -h٢ﺱ=ﺏ
ﻣﺪ
ﺟـ ( ﺑﺪﻭﻥ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ : ﺣﺘﺎ ˚٥٧٠ﺣﺘﺎ - ˚٣٣٠ﺣﺘﺎ ) (˚٢٤٠ -ﺣﺎ ) (˚١٥٠ - ) (٣ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ : =h
)
(
1
2
1-
3
1
5
،ﺏ=
ﻓﺈﺛﺒﺖ ﺃﻥ ) hﺏ (ﻣﺪ = ﺏﻣﺪ h
١١٦
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
2 11- 1 3 4
) (
ﻣﺪ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ٥ :ﺣﺘﺎ ٠ = ٣ + h ٧ﻇﺎ ﺏ = ٢٤
ﺣﻴﺚ hﺃﺻﻐﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ، ﺣﻴﺚ > ˚١٨٠ﺏ > ˚٢٧٠
ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ :ﺣﺘﺎ hﺣﺘﺎ ﺏ +ﺣﺎ hﺣﺎ ﺏ ) (٤ﺃ ( ﻳﻨﺘﺞ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻤﺼﺎﻧﻊ ﻧﻮﻋﻴﻦ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺪﺭﺟﺎﺕ ﻣﺴﺘﺨﺪﻣﺎ ﻓﻰ ﺫﻟﻚ ﻣﺎﻛﻴﻨﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺇﺣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻷﻭﻝ ﻳﻘﺘﻀﻰ ﺗﺸﻐﻴﻞ ﺍﻟﻤﺎﻛﻴﻨﺔ hﻟﻤﺪﺓ ﺳﺎﻋﺘﻴﻦ ﻭﺗﺸﻐﻴﻞ ﺍﻟﻤﺎﻛﻴﻨﺔ ﺏ ﻟﻤﺪﺓ ﺃﺭﺑﻊ ﺳﺎﻋﺎﺕ ﺑﻴﻨﻤﺎ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺇﺣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺭﺍﺟﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ﻳﻘﺘﻀﻰ ﺗﺸﻐﻴﻞ ﺍﻟﻤﺎﻛﻴﻨﺔ hﻟﻤﺪﺓ ﺃﺭﺑﻊ ﺳﺎﻋﺎﺕ ﻭﺗﺸﻐﻴﻞ ﺍﻟﻤﺎﻛﻴﻨﺔ ﺏ ﻟﻤﺪﺓ ﺳﺎﻋﺘﻴﻦ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﺼﻨﻊ ﻻ ﻳﻌﻤﻞ ﺍﻛﺜﺮ ﻣﻦ ١٨ﺳﺎﻋﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﻭﻛﺎﻥ ﺭﺑﺢ ﺍﻟﻤﺼﻨﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺭﺍﺟﺔ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻷﻭﻝ ٢٥ﺟﻨﻴﻬﺎ ﻭﺭﺑﺢ ﺍﻟﺪﺭﺍﺟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ٢٠ﺟﻨﻴﻬﺎ ،ﻓﻤﺎ ﻫﻰ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺪﺭﺍﺟﺎﺕ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻨﺒﻐﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺼﻨﻊ ﺇﻧﺘﺎﺟﻬﺎ ﻳﻮﻣﻴﺎ ﺣﺘﻰ ﻳﺤﻘﻖ ﺃﻛﺒﺮ ﺭﺑﺢ ؟ 4 ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ ﻫـ = 5
ﺣﻴﺚ > ˚٩٠ﻫـ > ˚١٨٠
ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ :ﺣﺎ ) - ˚٩٠ﻫـ ( ﺣﺎ ) + ˚١٨٠ﻫـ ( ﺣﺘﺎ - ˚٣٦٠ ) ٢ﻫـ (
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
١١٧
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
: É«fÉK á«∏«∏ëàdG á°Sóæ¡dG
١١٨
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
) (١ﺃﻛﻤﻞ :
ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺹ -ﺱ = ٣ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ٢ﻙ ﺹ ) +ﻙ ( ٣ -ﺱ ٠ = ٧ - ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ ﻓﺈﻥ ﻙ = ............. ﺏ ( ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٤ ، ٢-ﻭﻳﻮﺍﺯﻯ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻫﻰ ............. ﺟـ ( ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ)(٦ ، ٤ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺹ= ٢-ﻳﺴﺎﻭﻯ ........... ﺩ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻣﻴﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻝ = ١ﺻﻔﺮ ﻭﻣﻴﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻝ ٢ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻑ ﻓﺈﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﻳﺴﺎﻭﻯ ............. ) (٢ﺃ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻝ : ١ﺱ ٢ +ﺹ ، ٠ = ٥ + ﻝ : ٢ﺱ ٣ +ﺹ ٠ = ١ - ﺏ ( ﺃﻭﺟـﺪ ﻣـﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘـﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ٢ﺱ ٣ +ﺹ = ٥ - ، ٠ﺱ ٣ +ﺹ = ، ٧ﻭﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٤ ، ٢ ) (٣ﻣﺜﻠﺚ hﺏ ﺟـ ﻓﻴﻪ ، ( ٧ ، ٥ ) = hﺏ = ) ، ( ٥ ، ١ﺟـ = ) ، ( ٢ ، ٤ﺃﻭﺟﺪ : ﺃ ( ﺇﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺩ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ ﺏ ﺟـ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ ٢ : ١ ﺏ ( ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ h :ﺩ nﺏ ﺟـ ﺟـ ( ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ h :ﺩ = ﺏ ﺟـ ﺩ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ hﺏ ﺟـ ) (٤ﺃ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ : ﺱ -ﺹ ، ٠ = ١ +ﺱ ٢ -ﺹ ، ٠ = ٣ +ﻭﻣﻴﻠﻪ = ٣ ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ، ( ٣ ، ٢ ) = hﺏ = ) ، ( ٦ ، ٦ﺟـ = ) ( ١ ، ١٠ﺭﺅﻭﺱ ﻟﻤﺜﻠﺚ ،ﻓﺄﻭﺟﺪ : ( ١ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ hﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺏ ﺟـ ( ٢ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ﺩ ﻋﻤﻮﺩﻳﺎ ﻋﻠﻰ ﺏ ﺟـ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
١١٩
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
) (١ﺍﺧﺘﺮ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﺳﻴﻦ : ﺃ ( ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﺱ ، ٠ = ٥ -ﺹ ٠ = ٣ +ﻫﻮ ............. ﺃ،
) ˚٤٥
˚٩٠
ﺃ،
˚١٢٠ﺃ،
(˚١٥٠
ﺏ ( ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺴﺎﻗﻂ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ ) ( ٠ ، ٠ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ٣ﺱ ٤ -ﺹ 8(٢ ١٫٦ﺃ، ﺃ، ٠ = ٨ﻳﺴﺎﻭﻯ ) ......ﺻﻔﺮ ﺃ،5 ﺟـ ( ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) (٤ ،٢-ﻭﻳﻮﺍﺯﻯ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻫﻰ......... ﺃ،
) ﺹ=٤
ﺃ،
ﺹ=ﺱ
ﺹ= -ﺱ
ﺩ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ) ﻙ J ( ٢ ،ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻙ ﺱ ٥ -ﺹ = ١٥ ﺃ،
)٥
٥-
ﺃ،
٥±
ﺃ،
ﺃ،
ﺱ = ( ٢-
ﻓﺈﻥ ﻙ = ............
( ٢٥
) (٢ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ، ( ٣ ، ٠ ) = hﺏ = ) ( ١ ، ٢-ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺟـ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ hﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﺑﻨﺴﺒﺔ ١ : ٢ﺣﻴﺚ ﺟـ Jﺏ ، hﺟـ ‡ hﺏ ﺏ ( ﺍﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ) (٣- ، ٤ﻭﻳﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ A
•3 4
ﻣﻊ ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ،ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻫﺬﺍ
ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ٢ﺱ ٣ +ﺹ ٠ = ٥ - ) (٣ﺃ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻂ ) ( ٢- ، ٠ﻭﻣﻴﻠﻪ = ١ ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ hﺏ ﺟـ ﻣـﺜـﻠـﺚ ﺭﺅﻭﺳـﻪ ، ( ٠ ، ٠ ) = hﺏ = ) ، ( ٠ ، ١ ﺟـ = ) (٣ ، ٢ﻓﺄﻭﺟﺪ : ( ١ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ hﻋﻠﻰ ﺏ ﺟـ (٢ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ hﺏ h ،ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺏ ﺟـ ) (٤ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ، ( ٩ ، ٧ ) = hﺏ = ) ( ٣ ، ٣ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻘﺴﻢ ﺑﻬﺎ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ hﺏ ﻣﺒﻴﻨﺎ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ · ﺏ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ : ٢ﺱ +ﺹ = ، ٥ﺱ ٥ +ﺹ = ١٦ ﻭﻋﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺱ -ﺹ = ٨
١٢٠
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
) (١ﺃﻛﻤﻞ :
ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ) ، ٢) ،(٤- ، ٣ﻙ( ﻳﻮﺍﺯﻯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ٢ﺹ- ﺱ= ٦ﻓﺈﻥ ﻙ = ......... ﺏ ( ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ˚١٣٥ﻣﻊ ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﺟﺰء ﻃﻮﻟﻪ ٤ﻫﻰ ......... A ﺟـ ( ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ •2ﻣﻊ ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮﺭ
ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻭﻳﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ ﻫﻰ .........
3
ﺩ ( ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ : ¢S 2
+
¢U 5
= ١ﻳﺼﻨﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮﺭﻯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ.......ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ
) (٢ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ : • ﺱ +ﻙ ﺹ ٣ ، ٠ = ٦ -ﺱ ٢ -ﺹ ٠ = ٥ +ﻳﺴﺎﻭﻯ 4
A
ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻙ
ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ، ( ٣ ، ٠ ) = hﺏ = ) ( ١ ، ٢- ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺟـ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ hﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﺑﻨﺴﺒﺔ ١ : ٢ﺣﻴﺚ ﺟـ hJﺏ ، ﺟـ ‡ hﺏ ) (٣ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ، ( ٨ ، ١ ) = hﺏ = ) ، ( ٧ ، ٦ﺟـ = ) ، ( ١ ، ١١ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻰ hﺏ h ،ﺟـ ﺏ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ( ٤ ، ٢ ) = hﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘـﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ = ) ، ( ٠ ، ٢-ﻭﻣﻴﻠﻪ =
5 6
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺟـ = ) ( ٥ ، ٤ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ hﺏ ﺟـ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
١٢١
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
) (٤ﺃ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌـﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨـﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٣ ، ٢ﻭﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ٢ﺱ ٣ +ﺹ ٠ = ٨ - ﺏ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ : ٢ﺱ +ﺹ = ، ٢ﺱ +ﺹ = ٠ﻭﻳﻮﺍﺯﻯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺱ ٢ +ﺹ = ١٨
١٢٢
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
`jQ
ELG ` É É`H ä G d à ` É`ª
ø h G ’
ä
GQ
``à N É`Ñ
ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ
) (٣ﺃ ( ٢ X ٣
)
ﺏ(٩
(
1 3 )2 1- (٤ )h (٥
ﻣﺪ
=
ﺟـ ( ٩ , w
2 4
) ( 3 13- 2
ﺏ
ﻣﺪ
=
)3 ، ٢ ± (٧ 2 )٤ ، ٥ ، ٢ (٨
) (١ﺃﻭﻻ :
(
)(٢
) ( 4 5
2 6
ﺛﺎﻧﻴﺎ :
6 5 15- 84 19-
) (
)(٧
1 6
2 2
6 2
،
+ hﺏ ﻏﻴﺮ ﻣﻤﻜﻨﺔ
١٢٤
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
1 2 6
)(٨
ً ﺛﺎﻟﺜﺎ :
4- 114 19- 2
132-
ﺩ = ٢- 5 3 2 3 3 4 4 1 3 2 4
1 5 4 5 4
) )
) ( ) ( ) ( ) )(٦
6 2 2
) (
) (
) ، ١ = h (٤ﺏ = ، ٢-ﺟـ = ، ٥-
)(٥
4 3 1
2- 12 6
)(٣
19- 22 0 7 11- 1811 6- 21
1 2 7 0
5 -h 1-Ü
ﺩ( ٤- , ٤
) ( 1 12
2 7
(
( (
2- `L 3+O
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ
) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 15- 5
) (١ﺃ(
ﺏ(
) ( 6 2
3 11)=W S (٢ 5- 15 WS≠SW 18- 10 ) h (٣ﺝ ﺏ = 27- 15 )(٥
7- 311- 6-
3 11
)(٦
93-
ﺟـ ( ﻻ ﻳﻤﻜﻦ
=SW
2 0 2
5 0 1-
(
)
) ( 7- 214 12
ﺏhﺝ= 1 0 3
1 132- 6 1- 5
ﺩ ( ﻻ ﻳﻤﻜﻦ
(
)(١٢
) ( 11 52 3
ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ
ﺃ
ﺏ
ﺟـ
ﺩ
ﻫـ
ﻭ
ﺯ
ﺡ
ﻁ
ﻯ
١
ﺛﺎﻧﻰ
ﺃﻭﻝ
ﺛﺎﻟﺚ
ﺛﺎﻟﺚ
ﺃﻭﻝ
ﺛﺎﻧﻰ
ﺭﺍﺑﻊ
ﺛﺎﻟﺚ
ﺛﺎﻧﻰ
ﺭﺍﺑﻊ
٢
٣٧٠ﹾ ٣٥٠-ﹾ
٥١٩ﹾ ٢٠١-ﹾ
٥٠ﹾ ٣١٠-ﹾ
٣٣٥ﹾ ٣٨٥-ﹾ
٢٤٥ﹾ ١١٥ﹾ
٣ﻁ -ﻁ
٣
•5 4
•5 3
•5 180
•5 4
•5 6
٤
٤٫٢
٢٫٤
١٫٢
٢
٣
٥
١٥ﹶ ٥٦ﹾ
٤ﹶ ٢٨ﹾ
٦
ﺀ ﺀ ٢٫٥ ١٫٢٥ ٢ ٣٢ﹶ ١١٤ﹾ ٣٥ﹶ ٧١ﹾ ١٠ﹶ ١٤٣ﹾ
٧
8ﻁ •15 4 3 4ﻁ • -4 3
53ﻁ ٢ﻁ 7ﻁ ٢-ﻁ3
١ﹶ ١٣٠ﹾ ١٩ﹶ ٧٧ﹾ ١٨ﹶ ١٩٥ﹾ ﺀ
٥٫٢
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
١٣٫٥
٣١٫٦
٤٣٫٨
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
١٢٥
ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ
)+ ، + ، + ، + ، + ، + ، - ، + ، + ، - ، + (١ 3 ﺣﺘﺎ ﻫـ = 2
1 ) (٢ﺃ ( ﺣﺎ ﻫـ = 2 ﺏ ( ﺣﺎ ﻫـ = ٠٫٦- ﺟـ ( ﺣﺎ ﻫـ = -
ﻃﺎ ﻫـ =
3 3 ﻃﺎ ﻫـ = 4 -ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ
ﺣﺘﺎ ﻫـ = ٠٫٨ ١
١
2
ﺩ ( ﺣﺎ ﻫـ = ٠
ﺣﺘﺎ ﻫـ = 2
ﻃﺎ ﻫـ = -١
ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ
ﺣﺘﺎ ﻫـ = ١-
ﻃﺎ ﻫـ = ٠
ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ
1 ﺏ( 2
) (٢ﺃ ( ·
) (١ﺃ( ˚٢٣
ﺃ
ﺏ ( ˚١٠
ﺏ
ﺟـ
٣
٢-
٠
٢
٠
١
٠
١-
٣
١٣٥ﹾ ٣١٥ﹾ
٤٥ﹾ ٣١٥ﹾ
٢١٠ﹾ ٣٣٠ﹾ
٦٠ﹾ ٣٠٠ﹾ
١
-
١
)ﺟـ( ˚٤٥
ﺟـ ( ˚١٠
ﺩ
2
ﺟـ( ١
)ﺏ(˚٦٥
) (٢ﺃ (˚٢٥
ﻫـ -
٢
3 ١-
ﺩ ( ˚٩ َ٤٣
ﻭ
ﺯ
ﺡ
ﻁ
٣ -
1 2
١-
٢-
) (١ﺃ ( 12 13
5 ، 13
60 ، 61
11 ، 61
7 ، 25
24 ، 25
ﺏ( 5 13
12 ، 13
11 ، 61
60 ، 61
24 ، 25
7 ، 25
3، 5
١٢٦
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
ﻯ ٢
1 2
4، 5
ﺟـ ( 60 ، 5 ، 12 11 12 5
١
ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ
4 ، 24 ، 7 ، 11 ، 3 7 24 60 ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ ) (٢ﺃﻭﻻ :ﺣﺎ ﺏ = ، 12ﺣﺘﺎ ﺏ = ، 5ﻃﺎ ﺏ = 12 5 13 13 3 4 ﺣﺎ ﺟـ = ، 5ﺣﺘﺎ ﺟـ = 5
ﺟـ ﺩ hﺩ = ﺏ ﺟـ hﺟـ ﺟـ ﺩ ﺏﺩ = ﺏ ﺟـ hﺟـ ﺟـ ﺩ ﺏﺩ ﺏﺩ ﺩ ﺟـ
hﺟـ ) (٣ﺣﺎ ﺏ = ﺣﺘﺎ = h hﺏ ﺏ ﺟـ = ﺣﺘﺎ ﺏ = ﺣﺎ = h hﺏ hﺩ hﺟـ = = ﻃﺎ ﺏ = ﺏ ﺟـ ﺏ ﺟـ ﺟـ ﺩ ﺏ ﺟـ = = ﻃﺎ ﺃ = hﺩ hﺟـ =
) (٤ﺃ ( ، ٥
13 ، 12
٢
، ٢ ، 5
5 12
13 12
،
ﺟـ ( 2 5
ﺏ(٣ 12 )، 13 (٥
4 ،ﻃﺎ ﺟـ = 3
4 5
،
13 12
5 4
،
25 ، 24
،
ﺩ ( 17 24 4 3
،
ﻫـ( 5 6
4 3 ،
40 ) (٧ﺣﺎ ﺃ = 41
9 ،ﺣﺘﺎ ﺃ = 41
40 ،ﻃﺎ ﺃ = 9
ﻭﺍﻟﻤﻘﻠﻮﺑﺎﺕ
4 ) (٨ﺣﺎ ﺟـ = 5
3 ،ﺣﺘﺎ ﺟـ = 5
4 ،ﻃﺎ ﺟـ = 3
ﻭﺍﻟﻤﻘﻠﻮﺑﺎﺕ
1 )7 (٩
24 ، 25
24 7
،
7 25
)١ (١٠
12 ) (١١ﺃﻭﻻ :ﺣﺎ ﺃ = 13
5 ،ﺣﺘﺎ ﺃ = 13
12 ،ﻃﺎ ﺃ = 5
ﻭﺍﻟﻤﻘﻠﻮﺑﺎﺕ
15 ﺣﺎ ﺏ = 17
8 ،ﺣﺘﺎ ﺏ = 17
15 ،ﻃﺎ ﺏ = 8
ﻭﺍﻟﻤﻘﻠﻮﺑﺎﺕ
ﺛﺎﻧﻴﺎ 9 : 8
) (٢ﺃ ( ْ٤٧ َ٢٨ ﺏ ( ْ٢٣٢ َ٤٠
،
َ٢٨
،
َ٢٠
ْ٢٢٧ ْ٣٠٧
ﺟـ ( ْ١٣٧ َ١٧
،
َ٤٣
ْ٢٢٢
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
١٢٧
ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
ﺣﺘﺎ
ﺣﺎ
ﻗﺘﺎ
ﻃﺎ
ﻇﺘﺎ
ﻗﺎ
ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ٢٠ﹶ ˚٥٧
٠٫٨٤١٨
٠٫٥٣٩٧
١٫٥٥٩٧
١٫١٨٧٩
١٫٨٥٢٧
٠٫٦٤١٢
١١ﹶ ˚٢١٥
٠٫٥٧٦٢-
٠٫٨١٧٣ -
٠٫٧٠٥
١٫٧٣٥٥ -
١٫٢٢٣٥ -
١٫٤١٨٥
١٠ﹶ ˚١٤٩
٠٫٥١٢٥
٠٫٨٥٨٧ -
٠٫٥٩٦٩ -
١٫٩٥١١
١٫١٦٤٦ -
١٫٦٧٥٣
٠٫٩٠٩٦
٠٫٤١٥٤ -
٢٫١٨٩٧ -
١٫٠٩٩٣
٢٫٤٠٧٢ -
٠٫٤٥٦٧ -
٠٫٧٤٦٣
٠٫٦٦٥٦ -
١٫١٢١٣ -
١٫٣٣٩٩
١٫٥٠٢٤ -
٠٫٨٩١٨ -
٠٫٥٧٤٧
٠٫٨١٨٣
٠٫٧٠٢٢٣
١٫٧٤
١٫٢٢٢
١٫٤٢٣٩
٠٫٦٨٢ -
٠٫٧٣١٤-
٠٫٩٣٢٥
١٫٤٦٦٣ -
١٫٣٦٧٣ -
١٫٠٧٢٤
٠٫٦٢٨٥
٠٫٧٧٧٩ -
ـ ٠٫٨٠٧٩
١٫٥٩١١
١٫٢٨٥٥ -
١٫٢٣٧٨ -
٠٫٨٣٧٩ -
٠٫٥٤٥٨
١٫٥٣٥ -
١٫١٩٣٥ -
١٫٨٣٢١
ـ ٠٫٦٥١٥
٠٫٥٨٣٢
٠٫٨١٩٤ -
٠٫٦٩٩٥ -
١٫٧٤٤٦
ـ ١٫٢٢٠٤
١٫٤٢٩٥ -
٠٫٦٨١٧
٠٫٧٣١٦ -
ـ ٠٫٩٣١٨
١٫٤٦٦٩
١٫٣٦٦٨ -
١٫٠٧٣٢ -
٧ﻁ ١١
ﺀ
٢٫٣
ﺀ
٥ﹶ ˚٣٥ ˚٢٢٣ ٤ﹶ ˚١٤١ ٥ﹶ ˚٣٠٣ ٢ﹶ ˚١٤٥ ١ﹶ ˚١٣٧
ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺬﻯ ﺗﻘﻊ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
ﺣﺎ ﻫـ
٣ ٥
٥ ١٣
2425
2
ﺣﺘﺎ ﻫـ
٤ ٥
1213
725
1 2
ﻃﺎ ﻫـ
٣ ٤
512
24 7
٨ ) (٢ﺣﺎ ﺃ = ١٧ ٢ﺣﺎ ﺃ ﺣﺘﺎ ﺃ = ٣ ) (٣ﺣﺎ ﻫـ = ٥ ٥ ﺣﺎ ﻯ = - ١٣ ﺣﺎ ﻫـ ﺣﺘﺎ ﻯ -
١٢٨
ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ 3
ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
2425 817
3
15 8
ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
1
2425
941
2 1 2 1
1213
40 41
512
940
١٥ ٨ ،ﻃﺎ ﺃ = - ،ﺣﺘﺎ ﺃ = - ١٧ ١٥ ١٧ ٢٤٠ ،ﻗﺎ ) ﺃ = ( ْ١٠٨٠ +ﻗﺎ ﺃ = - ١٥ ٢٨٩ ٤ ٣ ﻭﺍﻟﻤﻘﻠﻮﺑﺎﺕ ،ﻃﺎ ﻫـ = - ،ﺣﺘﺎ ﻫـ = - ٥ ٤ ١٢ ٥ ﻭﺍﻟﻤﻘﻠﻮﺑﺎﺕ ،ﻃﺎ ﻯ = ،ﺣﺘﺎ ﻯ = - ١٣ ١٢ ١٦ ﺣﺘﺎ ﻫـ ﺣﺎ ﻯ = - ٦٥
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
ﻭﺍﻟﻤﻘﻠﻮﺑﺎﺕ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ ٣)ﺛﺎﻧﻴﺎ ( ٤ ٤ ٤٤ ٥ﻭ( ( ﻫـ ( ﺩ ٥ ٥ ٣ ﺟـ ( ٣ ٨ ٥ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ = - ٧ﻫـ = ٣٠ ﺟـ ( ْ ٩ ٢
٤٤))(٤ﺃﻭﻻ ( ١٢٥ ٣٤ ﺏ( ٤ ) (٥ﺃ ( ٥ ١٥٥ ٢١٦ ﺏ( ) (٦ﺃ( ١٤ ٣٢٥ ١١ )(٨ ٤٢ ْ٤٨ ٣٥ (١٠
ْ١٠ ٨٣ ( ٩ ْ١٣١ ٢٥
،
٣- ١١ ()،( ٣ ،٣)، ، ))(١ ٤ ٢ ٢
١٥ ١ ، ٤ ٢
(
) (٢ﺃ ( ﻡ = ) ( ٣ ٢- ، ٨
ﺃ،
ﻡ=)(٣ ٢،٤
ﺏ( ﻕ = ) ( ٣ ٣ ، ٥
ﺃ،
ﻕ = ) ٣ ، ١١ -
٣ ٥ ١٣ ( ﺃ، ، ﺟـ ( ﻕ = ) - ٢ ٣
(٣
ﻕ = ) ( ٣ ١٥ ، ٩
) (٣ﺟـ = ) ( ٠ ، ١ ٥- ٤ ، ) (٤ﺃ ( ﺟـ = ) ٣ ٣
( ﺃ ،ﺟـ = ) ( ١١ - ، ٨
١١ ١١ ١١- ٩ ، ( ﺃ ،ﺟـ = ) ، ﺏ ( ﺟـ = ) ٤٢ ٤٢ ٨ ٨ ٣ ١ ، ﺟـ ( ﺟـ = ) - ٨ ٨
٢٧ ١٩ ، ( ﺃ ،ﺟـ = ) - ٢ ٢
٤١ ١ ( ﺃ ،ﺟـ = ) - ، ٦ ﺩ ( ﺟـ = ) ، ٠ ٥ ٥ ١٦ ١، ) (٥ﺃ( ﺟـ = ) ٥ ٥ ١١ ﺏ ( ﺟـ = ) ، ٢ - ٤
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
( (
(
(
( ﺃ ،ﺟـ = ) ( ١- ، ١٧ -
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
١٢٩
ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ ) (٦ﺟـ ﺗﻘﺴﻢ ﺃ ﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﺑﻨﺴﺒﺔ ، ٢ : ١ﺃﻯ ﺑﺤﻴﺚ ٢ﺃ ﺟـ = ﺏ ﺟـ )(٧
ﺱ + ١ﺱ + ٢ﺱ ٣
٣
ﺹ + ١ﺹ + ٢ﺹ ، ٣
٣
) (٨ﺟـ ﺗﻘﺴﻢ ﺃ ﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﺑﻨﺴﺒﺔ ١ : ٢ ﺩ ﺗﻘﺴﻢ ﺃ ﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ ٣ : ٥ ) (٩ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﻓﻰ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ ﻝ : ١ﻝ= ٢ ) (١٠ﻡ
ﺃﺏ
=ﻡ
ﺏ ﺟـ
=ﻡ
ﺟـ ﺃ
٧ ٢
،ﺩ ﺗﻘﺴﻢ ﺃ ﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﺑﻨﺴﺒﺔ ٣ : ٥
=٣-
) (١١ﺩ ) (١ ، ٦
) (١ﺃ ( ﺱ -ﺹ ٠ = ٢ -
ﺏ(ﺏﺱ+ﺃﺹ=ﺃﺏ
) (٢ﺹ = ﺱ ١ +
) ٢ (٣ﺱ ٣ +ﺹ ٠ = ١١ -
) ٢(٤ﺱ -ﺹ ٠ = ٧ -
،
ﺃ=،٧ﺏ=٣ ) (٦ﺹ = ٥ -ﺱ ١٠ +
) (٥ﺹ = ﻡ ) ﺱ -ﺃ ( - ، ٠ ) ،ﺃ ﻡ (
٣ﻝ ﻝ ٣ﻝ ﻝ ، ( ،ﺟـ = ) ، ) (٩ﺃ( ﺃ = ) ﻝ ، ( ٠ ،ﺏ = ) ٢ ٢ ٢ ٢ ٣ﻝ ﻝ ٣ﻝ ﻝ ، (،ﺯ=) ، ﻫـ = ) ٢ ٢ ٢ ٢
↔
ﺏ(ﺃﺏ٣ :ﺱ+ﺹ-
) (٧ﻧﻌﻢ (،ﺩ=)-ﻝ،(٠،
(
٣ﻝ = ، ٠ﺏ ﺟـ :ﺹ =
↔
ﺟـ ﺩ ٣ :ﺱ -ﺹ ٣ +ﻝ = ٠
↔
ﺩ ﻫـ :ﺱ +ﺹ +
↔ ٣ﻝ ﻫـ ﺯ :ﺹ = - ٢ ﺟـ ( ، ٣ -ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻑ ،
١٣٠
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
٣ﻝ=٠ ،ﺯﺃ:
٣ﺱ-ﺹ-
٣ﻝ=٠
، ٣ - ، ٣ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻑ ٣ ، ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ ) (١٠ﺃ ( -
1
٣
،
1
٣
- , ٠٫٣ ،
1
٣
٣ ٥ﻝ ﻝ ٣ ٢ﻝﻝ()، ، ﻝ () ، ، ﺏ( ) ٣ ٦ ٣ ٦ ٣ ٢ﻝ ٥ﻝ٣ ٣ -،ﻝ( ﻝ()، -، ) ٦ ٦ ٦ ٣ ٤ﻝ ٣ ٢ﻝ ﻝ ( ﺃ ،ﻕ = ) ، ﺟـ ( ﻕ = ) ٣ ٣ ٣ ٧ﻝ ٣ ﻝ( ، ﺃﻭ ﻥ = ) ٢ ٢
) (١ﺃ ( ﺱ -ﺹ ٠ = ١ +
) (٢ﺃ ( ﻫـ = ْ٩٠
ﺏ ( ﻫـ = ْ٧٨
)(٣
)(٢ )٢ (٤
ﺃ ْ١٠٢ ،
)ْ٥٦ ، ْ٣٤ ، ْ٩٠ (٥
) ٢ (٣ﺣﺎﺩﺓ ٤ ٤ ،ﺱ ٣ -ﺹ ٠ = ١٠ - )(٦ ٣
) (١ﻕ ﻕ = ٤
ﻝ ٣ ٣ﻝ ( ،ﻥ = ) ، ١٤
٣ ٢
ﻝ(
ﺩ(٣ﺱ٢-ﺹ٠ ١+
)٥ (٤
١٣
-،
،
ﺏ(٣ﺱ٢-ﺹ٠=٣+
ﺟـ ( ٢ﺱ ٣ +ﺹ ٠ = ٨ -
1
،
٥ﻝ٣ ﻝ()، ٦ ٣
٣ ٦
ﻝ(
3
٦١
) (٥ﻋﻠﻰ ﺟﺎﻧﺒﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ
)(٦
1
٥
) (١ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ) ، ( ٣ ، ٢-ﺱ ٢ +ﺹ ٠ = ٤ - ) (٢ﺃ ( ﺱ ٢ +ﺹ ٠ = ٥ -
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
ﺏ (ﺱ ٢ -ﺹ = ١
ﺟـ ( ٢ﺱ ٣ +ﺹ = ٠
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
١٣١
ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ
: äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùMh È÷G : ’hGC
ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻷﻭﻝ : ) (١ﺃ ( ﻡ Xﻥ
3ﺟـ ( 5
ﺏ()(٠،٨
ﺩ ( ، ْ٢٤٠ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
ﺃْ١٧٧ َ٤٢ ، ) (٢ﺟـ ( ْ٢ َ١٨ ) (٣ﺃ ( ﻻ ﺷﺊ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻷﻭﻝ ٨ 4 ،ﻛﺠﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ 7 ﺃ˚١٥٠ ، ˚٣٠ ﺃ، ﺏ ( ْ٠ﺃ˚١٨٠ ، ) (٤ﺏ ( ١-ﺣﻴﺚ ﺱ = ْ٦٠
ﺃ،
٢ ٢
ﺣﻴﺚ ﺱ = ˚١٥
ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ : ) (١ﺃ ( ١ X ٣ ) (٢ﺟـ( َ٣٨ ) (٣ﺃ(
4 0 9
ﺏ()(٥،٤ ﺃَ٣٨ ،
˚٤١
ﺩ(
ﺟـ ( ١
1-
٣
ْ٢٢١
5 2 10
) (
ﺏ ( ﻫـ = ٢
) (٤ﺃ ( ٢٠٠ﺩﺟﺎﺟﺔ ﻭ ١٠٠ﺑﻄﺔ
ء
ﺃ ،ﺱ = َ٣٥
˚١١٤
ﺏ ( ٢٩
ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ : ) (١ﺃ ( ٥ ) (٢ﺏ (
ﺏ()(٣،٢
) ( 10- 5 12 10-
3) (٣ﺏ ( 5
) (٤ﺃ ( ٣ﺩﺭﺍﺟﺎﺕ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻧﻮﻉ
١٣٢
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
ﺟـ ( ٣
ﺩ(١
ﺟـ ( ١-
21 ﺏ ( 25
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ : á«∏«∏ëàdG á°Sóæ¡dG : É«fÉK
ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻷﻭﻝ : ﺏ(ﺹ=٤
) (١ﺃ ( ٣-
ﺟـ ( ٨
ﺩ ( ˚٩٠
) (٢ﺃ ( ˚٤٥ﺃ˚١٣٥ ،
ﺏ ( ٤ﺹ -ﺱ ٠ = ١٤ -
) (٣ﺃ ( ) ( ٤ ، ٢
ﺩ ( ٩ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ
) (٤ﺃ ( ﺹ ٣ -ﺱ ٠ = ١ + ﺏ ( ١٢ﺹ -ﺱ ٠ = ٣٤ -
١٠ﺹ ٨ -ﺱ ٠ = ٢٩ +
ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ : ﺏ ( ١٫٦
) (١ﺃ ( ˚٩٠ ) (٢ﺃ ( ) ( ١- ، ٢ -
ﺟـ ( ﺱ = ٢ -
ﺏ ( (١ﺹ +ﺱ ٠ = ١ -
) (٣ﺃ( ﺹ -ﺱ ٠ = ٢ + ) (٤ﺃ ( ١ : ٣ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ
ﺏ((١
١٠ ٣ ١٠
ﺩ (٥ ± ˚٧٨ َ٤١ (٢
ﺃ˚١٠١ َ١٩ ،
˚٤٥ (٢
ﺏ(ﺹ-ﺱ٠=٢-
ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ : 9) (١ﺃ( 2
ﺏ(ﺹ=-ﺱ٤+
ﺟـ ( ﺹ = ٣ -ﺱ 1 ﺃ5 - ،
) (٢ﺃ ( ﻙ = ٥
) (٣ﺃ ( ٥ (١ﺹ +ﺱ ٠ = ٤١ - ﺏ ( (١
4
٦١
) (٤ﺃ ( ٢ﺹ = ٣ﺱ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ
ﺩ ( ٥ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ ﺏ ( ) (٥ ، ٢ ١٠ (٢ﺹ ٧ +ﺱ ٠ = ٨٧ - ٢ ( ٢ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ ﺏ(٢ﺹ+ﺱ٠=٢+
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ
١٣٣
ﻤﻬﻮﺭﻳﺔ ﻣﺼﺮ ﺍﻟ ﻌﺮﺑ ﺟ ﻴ ﺔ
ﻭﺯﺍﺭﺓ ﺍﻟﺘـﺮﺑﻴـﺔ ﻭﺍﻟﺘﻌﻠ ﻗﻄﺎﻉ ﺍﻟﻜﺘﺐ
ﻴـﻢ
äÉ`«°VÉ`jôdG ﻟﻠﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﯽ
ﺇﻋﺪﺍﺩ ﻭﺗﺄﻟﻴﻒ ﺩ .ﻧﺒﻴﻞ ﺗﻮﻓﻴﻖ ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﻦ
ﺩ .ﻋﻠـــﻰ ﺃﺣـﻤــﺪ ﻋـﺼــــﺮ
ﺃ .ﺇﺑﺮﺍﻫﻴــﻢ ﺍﻟﺪﺳﻮﻗـﻰ ﻣﺤﻤﺪ
ﺃ .ﻋﺒـﺪ ﺍﻟﻌﺰﻳـﺰ ﻋﻴﺴـﻰ ﻣﻨـﻮﻥ
٢٠٠٩ - ٢٠٠٨
÷πjó©àdG áæ ﺃ .ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺮﺣﻤﻦ ﻋﺒﺪ ﺍﳌﻨﻌﻢ ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺮﺣﻤﻦ
ﺃ .ﻣــﺤــﻤــﺪ ﻣـــﺄﻣـــﻮﻥ ﻫــــﺎﺭﻭﻥ
ﺩ .ﻣﺤﻤﺪ ﻣﺤﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺴﻼﻡ ﺃﺑﻮ ﺭﻳﺔ
ﺩ .ﺃﺣﻤﺪ ﺧﻠﻴﻔﺔ ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺴﻤﻴﻊ ﺧﻠﻴﻔﺔ
á©LGôe ﺃ.ﺩ .ﻣﺤﻤـﺪ ﺃﺣﻤﺪ ﻣﺤﻤﺪ ﺍﻟﻜﺮﺵ ﺃ .ﻣﺤﻤـﺪ ﺃﺳــﺎﻣــﺔ ﺯﻳـﺪ ﺷـﺮﻳﻒ ﻣﺴﺘﺸﺎﺭ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
iƒHôJ ±GöTGE
ﻣﺪﻳﺮ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻄﻮﻳﺮ ﺍﳌﻨﺎﻫﺞ ﻭﺍﳌﻮﺍﺩ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ
πª©dG ≥jôa º«ª°üJh ôJƒ«Ñªc óªMGC ≈Ñ∏°T óªfi ¿Éª«∏°S óªfi ΩÉ°üY óeÉM ó«°ùdG ó«©°ùdG
ﲢﺮﻳﺮ ﻭﺇﺧﺮﺍﺝ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻄﻮﻳﺮ ﺍﳌﻨﺎﻫﺞ ﻭﺍﳌﻮﺍﺩ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ
äÉjƒàëŸG áªFÉb äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùMh È÷G : k ’hCG
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ :ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
)(٣٢-١
☜
ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
٢
☜
ﺑﺤﺚ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ
٦
☜
ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﻣﻌﺎﻣﻼﺗﻬﺎ
١٤
☜
ﺗﻜﻮﻳﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻌﻄﺎﺓ
١٩
☜
ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ ﺍﳉﺒﺮﻯ
٢٦
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ :ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
)(٥٠-٣٣
☜
ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
٣٤
☜
ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ
٣٦
☜
ﺣﻞ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ
٤٠
☜
ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﻭﺍﻻﻧﺨﻔﺎﺽ
٤١
☜
ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ
٤٣
☜
ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ
٤٧
á``°``Só``æ``¡``dG :É```k«```fÉ```K
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ :ﻧﻈﺮﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻓﻰ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ
)(٦٦-٥٣
☜
ﻧﻈﺮﻳﺔ )(١
٥٤
☜
ﻋﻜﺲ ﻧﻈﺮﻳﺔ )(١
٥٥
☜
ﻧﻈﺮﻳﺔ ) (٢ﺗﺎﻟﻴﺲ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ
٥٨
☜
ﻧﻈﺮﻳﺔ )(٣
٦٢
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ :ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ
)(٩٧-٦٧
☜
ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ) ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻭﺗﻌﺎﺭﻳﻒ (
٦٨
☜
ﺗﺸﺎﺑﻪ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
٧٢
☜
ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﲔ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻰ ﻣﻀﻠﻌﲔ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﲔ
٩٠
☜
ﲤﺮﻳﻦ ﻣﺸﻬﻮﺭ ﻭﻋﻜﺴﻪ
٩٣
☜
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
٩٩
☜
ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ
١٠٥
’k hGC È÷G h ÜÉ°ùM äÉã∏ãŸG
C π°üØdG ∫h’G
±Gó`g’C G ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻧﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎﺩﺭﹰﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ:
✍ ﻳﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﺟﺒﺮﻳﹰﺎ ﻭﺑﻴﺎﻧ ﹰﻴﺎ . ✍ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ . ✍ ﻳﻮﺟﺪ ﺑﻌﺾ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﲟﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺃﺣﺪ ﺍﳉﺬﺭﻳﻦ ﺃﻭ ﻛﻼﻳﻬﻤﺎ . ✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﳌﻤﻴﺰ ﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ . ✍ ﻳﺒﺤﺚ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﲟﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩﻫﺎ . ✍ ﻳﻜ ﱡﻮﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﲟﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﺧﺮﻯ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ. ✍ ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ ﺍﳉﺒﺮﻯ .
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
: IQƒ°üdG ≈∏Y ≈àdGh óMGh ∫ƒ¡› ≈a á«fÉãdG áLQódG ádOÉ©e πM á«Ø«c Éæ°SQO . z ôØ°U ≠ h , á«≤«≤M OGóYGC `L , Ü , h å«M { ôØ°U = `L + ¢S Ü + 2¢S h . ¿GQòL óLƒj ádOÉ©ŸG √òg π㟠¬fGC Éæª∏Yh : Úà≤jô£dG …óMÉE H øjQò÷G øjòg πãe OÉéjEG øμÁ ∞«c Éæª∏©J ó≤dh : ájÒ÷G á≤jô£dG • ¢†jƒ©àdÉH hGC Éæk μ‡ ∂dP ¿Éc ¿EG `L + ¢S Ü + 2¢S h QGó≤ŸG π«∏ëàH ÉeEG
ﺟـh ٤ - 2 ﺏ± ﺏ- = ¢S : ¿ƒfÉ≤dG ≈a Iô°TÉÑe h٢
. ≥∏£ŸG óë∏d `L , ¢S πeÉ©Ÿ Ü , 2¢S πeÉ©Ÿ õeôJ h å«M : á«fÉ«ÑdG á≤jô£dG • óLƒf ºK `L + ¢S Ü + 2¢Sh = (¢S)O å«M O á«©«HÎdG ádGódG º°Sôf É¡«ah .äÉæ«°ùdG Qƒfi ™e ádGódG ≈æëæe ™WÉ≤J ≈à£≤æd Ú«æ«°ùdG Ú«KGóM’G E ≈a á«fÉãdG áLQódG ádOÉ©e iQòL ´ƒf øY åëÑdG ¤EG ±ó¡J Iójó÷G Éæà°SGQOh .á«≤«≤◊G É¡JÓeÉ©eh øjQò÷G øjòg ÚH ábÓ©dG OÉéjEGh óMGh ∫ƒ¡› ádOÉ©e OÉéjEG á«Ø«c ¢SQóf GÒN k GC h ÉgGQòL º∏Y ≈àe ádOÉ©e øjƒμJ ∂dòch Gòg ºàîfh . áæ«©e äÉbÓ©H iôNGC áeƒ∏©e ádOÉ©e iQòL ™e ¿É£ÑJôj ÉgGQòL C ¢†©H ≈£©f ≈∏j ɪ«ah . O ádGódG IQÉ°TEG á°SGQóH ´ƒ°VƒŸG »àM ᣫ°ùÑdG á∏ãe’G .¬à°SGQO ≥Ñ°S Ée ™Lΰùf 0 = 3- ¢S 5 + 2¢S 2 ádOÉ©ŸG iQòL óLhGC
1 ∫Éãe
: π◊G
( 3 + ¢S ) ( 1- ¢S2 ) ihÉ°ùj ¬fGC ó‚ 3- ¢S 5 + 2¢S2 QGó≤ŸG π«∏ëàH . = ( 3 + ¢S ) ( 1- ¢S2 ) ÉeóæYh 1 3- , ɪg ádOÉ©ŸG GQòL∴ 2
(1 ) O , ( 3-) O , (
1 ) O óLhGC 3 - ¢S 5 + 2¢S 2 = ( ¢S )O ¢VôØH : ≥«∏©J 2
? ßMÓJ GPÉe
3-( ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
1 1 1 )5+( )2=( )O 2 4 2 ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٢
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
0=3-2
1 2
+
1 2
=(
1 2
) O ...
0 = 3- 15- 18 =3 - (3-) 5 + 2( 3-) 2 = ( 3- )O ∂dòc . ≠ 4 = 3 - 5 + 2 = (1) O ɪæ«H
á¶MÓe 1
, 0 = (3-)O = ( 2 ) O (1) ,ôØ°U ≠ (1) O ɪæ«H , 0= (¢S) O ádOÉ©ŸG GQòL ɪg 3- = ¢S ,
1 2
= ¢S ∂dòc
. = (¢S) O ádOÉ©ª∏d GQòL ¢ù«d 1 = ¢S å«M k 1 (¢S) O ɪæ«H ,( 2 -¢S) ≈∏Y ∂dòch (3 +¢S) ≈∏Y ᪰ù≤dG πÑ≤j (¢S) O QGó≤ŸG (2) .∂°ùØæH ∂dP øe ócÉC àdG ∫hÉM . (1-¢S) ≈∏Y ᪰ù≤dG πÑ≤J ’
: ¿ÉE a . = `L + ¢S Ü + 2¢S h : ádOÉ©ŸG iQòL óMGC Ω = ¢S âfÉc GPEG (3) 0 = (Ω) O `L + ¢S Ü + 2¢S h QGó≤ŸG πeGƒY óMGC (Ω -¢S)
❑ ❑
2 :1 ÖjQóJ : óLhGC , 12- ¢S 4 - ¢S = (¢S) O ¿Éc GPEG :1 2
0=12 -¢S 4- ¢S ádOÉ©ŸG iQòL (1) (6-) O , (6) O , (2-) O , (2) O , (1-) O , (1) O (2) : π◊G 12 - ¢S 4 - 2¢S QGó≤ŸG π∏ëf 0 = 12 - ¢S 4 - 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL OÉéj’E ....... = ¢S hGC
πªcGC . (2 +¢S) (6 - ¢S) ihÉ°ùj ¬fGC ó‚ ...... = ¢S ɪg øjQò÷G ¿ÉE a ºK øeh
......................................... ? ßMÓJ GPÉe
٣
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
.................. = ( 1 ) O .................. = (1-) O .................. = ( 2 ) O .................. = (2-) O .................. = ( 6 ) O .................. = (6-) O ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
? ßMÓJ GPÉe .... ádOÉ©ŸG iQòL óLhGC . = 9+ ¢S6- 2¢S : âfÉc GPEG
: π◊G
2 ∫É`ã`e
3 = ¢S D 0 = 3 - ¢S ∴ 0 = 2( 3-¢S ) 3 ɪ¡æe πc ᪫bh ¿ÉjhÉ°ùàe ¿É«≤«≤M ádOÉ©ŸG iQòL ¿GC ßMÓf 0 = 7 - ¢S h + 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 1- =¢S âfÉc GPEG B Qò÷G óLhGC .ôN’G
3 ∫É`ã`e
: π◊G
0 = (1-) O ¿ÉE a ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 1-= ¢S å«M 6- = h É¡æeh 0= 7- (1-) h + 2( 1-) ∴ 0 = 7 - ¢S 6- 2¢S : ≈g ádOÉ©ŸG 1- = ¢S hGC 7 = ¢S É¡æeh 0 = ( 1+ ¢S ) ( 7 -¢S) B Qò÷G 7 = ôN’G
0 = 1 + ¢S Ü + 2¢S h ádOÉ©ª∏d øjQòL 1 = ¢S ,
: 2 ÖjQóJ
1 = ¢S âfÉc GPEG 2
Ü , h : óLhGC : π◊G
0=(
1 1 ) O ← ádOÉ©ª∏d QòL = ¢S 2 2 1 1 0=1+Ü +h ∴ 2 4
(1) ...................
0 = 4 + Ü2 + h
0 = ( 1 ) O ← ádOÉ©ª∏d ôNGC QòL 1 = ¢S , 0 = 1 + Ü + h ...
(2) ...................
:¿GC èàæj (2) , (1) ÚàdOÉ©ŸG πëHh ...................... : πªcGC ...... = Ü ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
,
...... = h ...
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٤
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
B ä’OÉ©ŸG πM : á«J’G 0 =5 + ¢S 8 - 2¢S 3 0 = 1 + ¢S 3 + 2¢S 0 =1 + ¢S 3 + 2¢S 2
O `g h
1
0 = 8 + ¢S 6 - 2¢S G 0 = 6 - ¢S 5 + 2¢S Ü 0 = 7 + ¢S 9 - 2¢S2 `L
GPÉe .ádOÉ©e πc iQòL Üô°V π°UÉMh ´ƒª› óLhGC á≤HÉ°ùdG πFÉ°ùŸG ≈a 2 ? èàæà°ùJ B Qò÷Gh h ᪫b óLhGC 3 : ¿GC º∏Y GPEG ôN’G 0 = 2 - ¢S h + 2¢S
ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 2- = ¢S
0 = 9 - ¢S h + 2¢S
ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 3 = ¢S Ü
0 = 4 - ¢S h + 2¢S
ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 2 = ¢S `L
0 = 3 + ¢S 7 - 2¢Sh
ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 12 = ¢S O
0 = h + ¢S 5 - 2¢S
ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 6 = ¢S `g
G
0 = h + ¢S 5 - 2¢S h
ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 2 = ¢S h
0 = 42 - ¢S h + 2¢Sh
ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 6 = ¢S R : ¿GC º∏Y GPEG Ü , h óLhGC 4 3 -, 3 2 2
0 = 9 - ¢S Ü + 2¢S h
ádOÉ©ŸG GQòL ɪg
0 =1 + Ü+ ¢S Ü + 2¢S h
ádOÉ©ŸG GQòL ɪg
0 = Ü + ¢S h + 2¢S
ádOÉ©ŸG GQòL ɪg
3 , 2-
`L
0 = Ü + ¢S h + 2¢S
ádOÉ©ŸG GQòL ɪg
3- , 5
O
0 =Ü + ¢S h + 2¢S
ádOÉ©ŸG GQòL ɪg
5- ,5
`g
ádOÉ©ŸG GQòL ɪg 2 - 3 , 2 + 3
h
0 =1 + Ü - ¢S Ü + 2¢Sh
٥
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
G
3,2 Ü
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
IOó©àe ´Gƒ``fGC ∑Éæg øμdh , ¿GQòL á«©«HÎdG ádOÉ©ª∏d ¿GC í°†àj ≥Ñ°S ɇ C ∫ÓN øe í°†àJ ±ƒ°S øjQò÷G øjò¡d : á«dÉàdG á∏ãe’G 2
0 = 3 - ¢S 2 - ¢S2: ádOÉ©ŸG πM 1 ∫É`ã`e k hGC [ 3 , 2-] J¢S Gòîàe É«fÉ«H : É«fÉK ÉjÈL : ’ k k k hGC : iÈ÷G π◊G : ’ ≈a ¢†jƒ©àdG ¤EG ÉC é∏f ∂dòd ¬∏«∏– Qò©àj 3 -¢S 2 - 2¢S2 ≈KÓãdG QGó≤ŸG : ¿ƒfÉ≤dG
ﺟـh ٤ - 2 ﺏ± ﺏ- = ¢S h٢
3- = `L ,
2- = Ü ,
2 = h å«M
(3-) * 2 * 4 - 2 (2- ) ± (2-) 2*2 24 + 4 ± 2 4 7 ±1 2
=
(7 ± 1 ) 2 4
{
=
7 -1 2
7 2± 2
=
4
،
7 +1 2
28 ± 2 4
= ¢S∴ = =
} = ∴ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ
: ≈fÉ«ÑdG π◊G : É«fÉK k 2 C 3 - ¢S 2 - ¢S2 = (¢S ) O ¿G ¢VôØf 9 = 3 - 4 + 8 = 3 - 2 * 2 + 4 * 2 = ( 2- ) O 1 = 3 - 2 + 2 = 3 - 1 * 2 + 1 * 2 = ( 1-) O , 3- = 3 - 2 - 2 = ( 1 ) O , 3- = ( 0 ) O πãŸÉHh 9 = 3 - 6 - 18 = ( 3 ) O , 1 = 3 - 4 - 8 = ( 2 ) O , 1 1 1 3 -=3-1=( )O 2
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
2
2
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٦
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
B ∫hó÷G ≈a á≤HÉ°ùdG èFÉàædG ÖJôJh : ≈J’G ٣
٢
١
٩
١
٣-
1 2
٣
1 2
-
٠
١-
٢-
¢S
٣-
١
٩
( ¢S ) O = ¢U
ﺹ C πã“ ºK §≤æH áÑJôŸG êGhR’G ٩
π°üfh ≈JQÉμjódG iƒà°ùŸG ≈a
٨
πμ°ûdG ≈a ɪc ≈æëæà ɡæ«H
٧
≈fÉ«ÑdG π«ãªàdG ƒg ¿ƒμ«a ¤ÉàdG :å«M O ádGó∏d
٦ ٥
3 -¢S 2 - 2¢S2 = ( ¢S ) O
٤
:ádOÉ©ŸG GQòL OÉéj’h E 2 §≤f óLƒf 0 = 3 -¢S 2 - ¢S2 Qƒfi ™e O ádGódG ≈æëæe ™WÉ≤J , ( 0 , 1^8 ) : É`góéæa äÉ``æ«°ùdG ( 0 , 0^8- )
٣ ٢ ١ َﺱ
٣-
٢-
١-
١-
٠
١
٣
٢
٢-
ﺱ0^8- , 1^8 ɪg ádOÉ©ŸG GQòL ∴ ÉÑjô≤J k {٠٫٨− ،١٫٨ }=π◊G áYƒª› ¿GC iGC
٣َﺹ . = 9 + ¢S 12 - 2¢S 4 : ádOÉ©ŸG πM
2 ∫É`ã`e
: π◊G {
٧
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
3 } = π◊G áYƒª› ∴ 2
0 = 2( 3 - ¢S 2 ) ∴ 3 = ¢S ∴ 2
π«∏ëàdÉH
0 = 3 - ¢S 2 ∴ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
:¿GC ÉfóLƒd ¿ƒfÉ≤dG Éæeóîà°SG ÉæfGC ƒdh
ﺹ
٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١
َﺱ
٢- ١-
٠
١
٢
ﺟـh ٤ - 2 ﺏ± ﺏ= ¢S h٢ 9 * 4 * 4 - 144 ± 12 = 8 0 ± 12 144 - 144 ± 12 = = 8 8
ﺱ
٣
3 2
=
12 8
=
3 = ɪ¡æe πch ¿ÉjhÉ°ùàe ádOÉ©ŸG iQòL ¿GC iGC 2
َﺹ
ó‚ ÉæfÉE a 9 + ¢S12 - 2¢S 4 = ( ¢S) O å«M O ádGó∏d ≈fÉ«ÑdG πμ°ûdG É檰SQ GPEGh 3 . πμ°ûdG ≈a ɪc ( 0 , ) á£≤ædG óæY ádGódG ≈æëæe ¢ùÁ äÉæ«°ùdG Qƒfi ¿GC 2
ﺹ
0 = 5 + ¢S 2 - 2¢S : ádOÉ©ŸG πM
١٤
C áYƒª› ≈a á«≤«≤◊G OGóY’G : π◊G
١٢ ١٠
: å«M ¿ƒfÉ≤dG Ωóîà°ùf π«∏ëàdG Qò©àd 5 = `L ,
٨ ٦
20 - 4 ± 2
٢ ٣-
2
ﺱ ٢-
١-
2- = Ü , 1 = h
ﺟـh ٤ - 2 ﺏ± ﺏ- = ¢S h٢
٤
َﺱ
3 ∫É`ã`e
٠
١
٢
16 - ± 2
٣
2
َﺹ
= =
É«≤«≤M GOóY ¢ù«d 16- ¿GC å«Mh k k á«≤«≤M QhòL É¡d ¢ù«d ádOÉ©ŸG ∴ ì ≈a
∅ = π◊G áYƒª› ∴
Qƒfi ¿GC ó‚ ÉæfÉE a 5 + ¢S 2 - 2¢S = ( ¢S ) O ádGó∏d ≈fÉ«ÑdG πμ°ûdG É檰SQ GPEGh . ≥HÉ°ùdG πμ°ûdG ≈a ɪc á£≤f iGC ≈a ádGódG ≈æëæe ™e ∑ΰûj ’ äÉæ«°ùdG ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٨
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
:á«©«HÎdG ádOÉ©ŸG π◊ ¿ƒfÉ≤dG ΩGóîà°SG óæY ¬fEG ÉæjGC Q ≥Ñ°S ɇ 2 , ﺟـh ٤ - ﺏ+ ﺏ- ɪg øjQòL ≈∏Y π°üëf ÉæfGC 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h h٢ ﺟـh ٤ - 2 ﺏ− ﺏ− QGó≤ŸG ≈ª°ùjh , `Lh 4 - 2Ü QGó≤ŸG ≈∏Y iƒàëj øjQò÷G Óch h٢ 2 C ¬JQÉ°TEG ¿’ ∂dòc ≈ª°Sh , 0 = `L + ¢S Ü + ¢S h : ádOÉ©ŸG õ«ªÃ `Lh 4 - 2Ü : ≈g ä’ÉM çÓK ÚH ¥ôØf å«M øjQò÷G ´ƒf Éæd õ«“
C ádÉ◊G ôØ°U < `L h 4 - 2Ü iGC ÖLƒe õ«ªŸG : ¤h’G á«©«HÎdG ádOÉ©ª∏d ¿ƒμj ¤ÉàdÉHh É«≤«≤M GOó` k `Y , `L h 4 - 2Ü ¿ƒμj ádÉ◊G √òg ≈a k (1) ∫ÉãŸG ≈a ɪc ¿ÉØ∏àfl ¿É«≤«≤M ¿GQòL å```«M O á``````dGó`dG ≈``æëæe ™````£≤j äÉ``````æ«°ùdG Qƒ``````fi ¿GC á```dÉ```◊G √ò``g ≈`a É``k``°†jGC ß`MÓ`fh .á«©«HÎdG ádOÉ©ŸG GQòL ɪg Ú«æ«°ùdG ɪgÉ«KGóMG Úà£≤f ≈a `L + ¢S Ü + 2¢S h = (¢S)O ôØ°U = `L h 4 - 2Ü iGC kGôØ°U ihÉ°ùj õ«ªŸG : á«fÉãdG ádÉ◊G Ú«≤«≤M á«©«HÎdG ádOÉ©ŸG GQòL ¿ƒμj ¤ÉàdÉHh , 0 = `L h 4 - 2Ü ¿ƒμj ádÉ◊G √òg ≈a ÜG2
= ɪ¡æe πch ÚjhÉ°ùàe
: O á``````dGó`dG ≈``æëæe ¢ùÁ äÉ``````æ«°ùdG Qƒ````fi ¿GC á```dÉ```◊G √ò`g ≈`a ß`MÓ`f ƒg ≈æ«°ùdG É¡«KGóMEG ≈àdG ( 0 ,
Ü-
h2
) á£≤ædG ≈a `L + ¢S Ü + 2¢S h = ( ¢S )O å```«M .(2) ∫Éãe ≈a ɪc á«©«HÎdG ádOÉ©ª∏d QôμŸG Qò÷G ôØ°U > `L h 4 - 2Ü iGC ÖdÉ°S õ«ªŸG : áãdÉãdG ádÉ◊G
’ á«©«HÎdG ádOÉ©ŸG ¿ÉE a ¤ÉàdÉHh É«≤«≤M GOóY ¢ù«d , `L h 4 - 2Ü ¿ƒμj ádÉ◊G √òg ≈a k . á«≤«≤M ∫ƒ∏M hGC QhòL É¡d ¿ƒμj å```«M O á``````dGó`dG ≈``æëæe ™e ∑ΰûj ’ äÉ``````æ«°ùdG Qƒ````fi ¿GC á```dÉ```◊G √ò`g ≈`a ß`MÓ`fh .¬°ùÁ ’h ¬©£≤j ’ iGC á£≤f iGC ≈a `L + ¢S Ü + 2¢S h = ( ¢S )O
٩
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
á¶MÓe GOk GóYGC 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h á«©«HÎdG ádOÉ©ŸG ≈a `L , Ü , h äÓeÉ©ŸG âfÉc GPEG(1) k .Ú«Ñ°ùf Ú«≤«≤M ¿GQò÷G ¿Éc ÓeÉc É©Hôe õ«ªŸG ¿Éch á«Ñ°ùf k
0 = 3 -¢S- 2¢S2 ádOÉ©ŸÉa
¿EG å«Mh , πeÉc ™Hôe 25 = 24 + 1 = ( 3- ) * 2 * 4 - 2(1-) ihÉ°ùj Égõ«‡ 3 , 1- ɪg Ú«Ñ°ùf ¿GOóY ÉgGQòéa á«Ñ°ùf OGóYGC äÓeÉ©ŸG 2
2
. πeÉc ™Hôe 36 = 28 + 8 = (7-) * 4 - ( 2 2-) = Égõ«ªªa , 0 = 7 - ¢S2 2 - 2¢S ádOÉ©ŸG øeh GOóY ¢ù«d 2 2- ƒgh ¢S πeÉ©e ¿’C Ú«Ñ°ùf ÒZ Ú«≤«≤M ÉgGQòéa ∂dP ™eh k ɪgóéàa ¿ƒfÉ≤dG ΩGóîà°SÉH øjQò÷G OÉéjÉE H ∂dP øe ≥≤ëàdG øμÁh É«Ñ°ùf 3-2
, 3+ 2
2 C ÚàdÉ`◊G øe 0=`L +¢S Ü + ¢S h á`«©«HÎdG á`dOÉ©ŸG ¿GC èàæà°ùf á«fÉãdGh ¤h’G õ````````«ªŸG ¿É````c GPEG ( á```«≤«``≤M QhòL É```¡d ¿ƒ````μj iGC ) ì ≈``a π```M É```¡d ¿ƒ`````μj
ôØ°U ≤ `L h 4 - 2Ü ôØ°U = `L âfÉc GPEG (2) ¿GC èàæj π«∏ëàdÉHh 0 = ¢S Ü+ 2¢Sh IQƒ°üdG ≈∏Y á«©«HÎdG ádOÉ©ŸG òÄæ«M íÑ°üJ Ü= ¢S hGC 0 = ¢S : ¿GC èàæà°ùf É¡æeh 0 =(Ü+¢S h) ¢S Ü-
h
h
B ôØ°üdG ɪg ¿É«≤«≤M ¿GQòL á«©«HÎdG ádOÉ©ª∏d ¿ƒμJ ádÉ◊G √òg ≈a ¬fGC iGC ôN’Gh 2
0 = ( 5 - ¢S 3 ) ¢S íÑ°üJ π«∏ëàdÉH 0 = ¢S 5 - ¢S 3 ádOÉ©ŸG : Óãªa
( 5 , 0 ) ɪg ÉgGQòL ¿ƒμ«a 3
ôØ°U = Ü âfÉc GPEG (3)
`L-
h C h =2¢S iGh 0 = `L + 2¢S IQƒ°üdG ≈∏Y á«©«HÎdG ádOÉ©ŸG òÄæ«M íÑ°üJ • `L-
h
± = ¢S iGC ,
¿ƒμj ’ ( É©e E ¢ùØf ɪ¡d `L , h ¿Éc GPÉE a• k ¿ÉÑdÉ°S hGC É©e k ¿ÉÑLƒe )IQÉ°T’G 0 = 4 + 2¢S ádOÉ©ŸG πãe á«≤«≤M ∫ƒ∏M ádOÉ©ª∏d ádÉ◊G √òg ≈a á«©«HÎdG ádOÉ©ª∏d ¿ƒμj IQÉ°T’G E ≈a ¿ÉØ∏àfl `L , h ¿Éc GPEG• B ≈©ªL ¢Sƒμ©e ɪ¡æe πc ¿É«≤«≤M ¿ÓM 0= 9 - 2¢S 4 ádOÉ©ŸG πãe ôNÓd 32 ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
,
3 2
ɪg ÉgGQòL
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
١٠
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
B ä’OÉ©ŸG øe πμd øjQò÷G ´ƒf åëHG : É¡∏M ¿hO á«J’G 0 = 4 + ¢S 10 + 2¢S 3 (1) 0 = 5 + ¢S 4 - 2¢S 3 (1) 0 = 49 + ¢S 28 - 2¢S 4 (1)
4 ∫É`ã`e
: π◊G 4 = `L , 10 = Ü , 3 = h (1) `L h 4 - 2Ü = õ«ªŸG ∴ ( áÑLƒe ᫪c iGC ) 0 < 52 = 48 - 100 = 4 * 3 * 4 - 2( 10) = .¿ÉØ∏àfl ¿É«≤«≤M ¿GQò÷G ∴ 5 = `L , 4- = Ü , 3 = h (2) `L h 4 - 2Ü = õ«ªŸG ∴ ( áÑdÉ°S ᫪c iGC ) 0 > 44- = 60 - 16 = . ádOÉ©ŸG √ò¡d á«≤«≤M QhòL óLƒJ ’ ∴ 49 = `L , 28- = Ü , 4 = h (3) `L h 4 - 2Ü = õ«ªŸG ∴ 49 * 4 * 4 - 2( 28-) = ôØ°U = 784 - 784 = . ¿ÉjhÉ°ùàe ¿É«≤«≤M ¿GQò÷G ∴ : ádOÉ©ŸG iQòL ¿GC âÑKÉa Ú«Ñ°ùf øjOóY Ü , h ¿Éc GPEG ¿É«Ñ°ùf 0 = Ü + ¢S ( Ü+ h) + 2¢S h
5 ∫É`ã`e
: π◊G Ü * h * 4 - 2( Ü + h ) = õ«ªŸG Üh4-2Ü+Üh2+2h= 2 Ü+Üh2-2h= .πeÉc ™Hôe 0 ≤ 2 ( Ü - h )= . πeÉc ™Hôe õ«ªŸGh á«Ñ°ùf OGóYGC äÓeÉ©ŸG ... . ¿É«Ñ°ùf ¿GOóY ádOÉ©ŸG GQòL ∴ ᪫b óLhÉC a ¿ÉjhÉ°ùàe 0 = 9 + ¢S 6 - ∑ 7 + ¢S ∑ 2 - 2¢S ádOÉ©ŸG GQòL ¿Éc GPEG . øjQò÷G óLhGC ºK á«≤«≤◊G ∑
١١
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
6 ∫É`ã`e
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
: π◊G : áeÉ©dG IQƒ°üdG ≈∏Y ádOÉ©ŸG ™°†f 0 = 9 + ∑ 7 + ¢S 6 - ¢S ∑ 2 - 2¢S ∴ (1) ... 0 = (9 + ∑ 7) + ¢S ( 6 + ∑ 2 ) - 2¢S ∴ (9 + ∑ 7) * 1 * 4 - 2( 6 + ∑ 2 ) = õ«ªŸG ∴ 36 -∑ 28 - 36 + ∑ 24 + 2∑ 4 = ∑ 4 - 2∑ 4 = ôØ°U = õ«ªŸG ∴ ¿ÉjhÉ°ùàe ádOÉ©ŸG GQòL ... 0 = ( 1-∑ ) ∑ 4 iGC 0 = ∑ 4 - 2∑ 4 ∴ 1=∑ ﺃﻭ ٠=∑∴ : IQƒ°üdG ≈∏Y ádOÉ©ŸG íÑ°üJ 0 = ∑ øY ( 1 ) ≈a ¢†jƒ©àdÉHh 0 = 9 + ¢S 6 - 2¢S 3 = ¢S iGC 0 = 2( 3 - ¢S ) iGC 3 = ɪ¡æe πch ÚjhÉ°ùàe ¿GQò÷G ¿ƒμj 0 = ∑ óæY ∴ : IQƒ°üdG ≈∏Y ádOÉ©ŸG íÑ°üJ 1 = ∑ øY ( 1 ) ≈a ¢†jƒ©àdÉHh 0 = 16 + ¢S 8 - 2¢S 4 = ¢S iGC 0 = 2( 4 - ¢S ) iGC 4 = ɪ¡æe πch ÚjhÉ°ùàe ¿GQò÷G ¿ƒμj 1 = ∑ óæY ∴
7 ∫É`ã`e
: ádOÉ©ª∏d ¿ƒμj ’ ôØ°üdG GóY á«≤«≤◊G h º«b ™«ª÷ ¬fGC âÑKG á«≤«≤M QhòL 0 = 2h + ¢S h 2 - 2¢S ( 1 + 2h )
: π◊G 2
h * ( 1 + 2 h ) 4 - 2( h 2 - ) = õ«ªŸG
h 4 - = 2h 4 - 4 h 4 - 2 h 4 = . ôØ°üdG GóY á«≤«≤◊G h º«b ™«ª÷ áÑdÉ°S ᫪c ( 4h 4 - ) õ«ªŸG ¿GC å«Mh 4
. ôØ°üdG GóY á«≤«≤◊G h º«b ™«ª÷ ádOÉ©ª∏d á«≤«≤M QhòL óLƒJ ’ ∴ √ògh ôØ°U = 2¢S IQƒ°üdG ≈∏Y ádOÉ©ŸG íÑ°üJ ôØ°U = h âfÉc GPEG ¬fGC ßM’ C ádOÉ©ŸG ôØ°U = ɪ¡æe πc ¿ÉjhÉ°ùàe ¿É«≤«≤M ¿GQòL É¡d IÒN’G
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
١٢
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
B ä’OÉ©ŸG øe πμd øjQò÷G ´ƒf åëHG • : É¡∏M ¿hO á«J’G 0 = 5 + ¢S 3 - 2¢S
2
0 = 2 + ¢S 4 - 2¢S
1
0 = 1 + ¢S 14 - 2¢S 49
4
7 = ( 1 - ¢S ) ¢S
3
0 = ( 6 - ¢S ) ¢S - ( 11 - ¢S )
6
0 = 7 - ¢S 3 + 2¢S2
5
{1- ,1}/J ¢S å«M 3 = 1- ¢S +1+ ¢S 8
0 = 3 + ( 1 + ¢S )
7
6 + ¢S = 2¢S 2
9
2
(1≠¢S å«M)
¢S
2
4 =1- ¢S - ¢S
10
(4-¢S)(3-¢S)2 =(7-¢S)(1-¢S)
12
1 = ¢S 5 + 2¢S4 11
. ¿ ᪫b óLhÉC a ÚjhÉ°ùàe 0 = ¿ 4 + ¢S 5 + 2¢S2 : ádOÉ©ŸG GQòL ¿Éc GPEG 13 ÚjhÉ°ùàe 0 = ∑ + ¢S6 - 2¢S3 : ádOÉ©ŸG iQòL π©Œ ≈àdG ∑ ᪫b óLhGC
14
ÚjhÉ°ùàe 0 = 3+ ¢S Ω7 + 2¢S75 : ádOÉ©ŸG iQòL π©Œ ≈àdG Ω áª«b óLhGC 15 . ¿ ᪫b óLhÉC a . ÚjhÉ°ùàe 0 = 5+ ¢S ¿ + 2¢S2 : ádOÉ©ŸG GQòL ¿Éc GPEG 16 : ádOÉ©ŸG iQòL ¿ÉE a ≈Ñ°ùf OóY Ω ¿Éc GPEG ¬fGC âÑKG 17 .Ú«Ñ°ùf øjOóY ¿Éfƒμj 0 = Ω 3 + ¢S (3+Ω)5 + 2¢S25 : ádOÉ©ŸG GQòL ¿ƒμj Úà«≤«≤◊G Ü , h º«b ™«ª÷ ¬fGC âÑKG 18 . Ú«≤«≤M 5 = ( Ü - ¢S ) ( h - ¢S )
١٣
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
(1) 0
≠h
0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h : ádOÉ©ŸG iQóL ɪg Ω , ∫ ¿GC ¢VôØf
,
(2)
.=
`L
h
Ü
+ ¢S
h
+ 2¢S : ≈∏Y π°üëf ÉæfÉE a h ≈∏Y ᪰ù≤dÉH
: ¿ÉE a (2) ádOÉ©ŸG ≥HÉ£J ≈àdGh (1) ádOÉ©ª∏d ¿GQòL ɪg Ω , ∫ å«Mh `L
( Ω - ¢S ) ( ∫ -¢S ) = Ω ∫ + ¢S ( Ω + ∫ ) - 2¢S = (Ω+∫)-=
Ü
h
`L
h
h
+ ¢S
+ ¢S
Ü
h
Ü
h
2
+ ¢S
+ 2¢S ∴
: ¿GC èàæj Úaô£dG ≈a áØ∏àîŸG ¢S iƒb äÓeÉ©e áfQÉ≤Ãh Ü
h
- = Ω + ∫ É¡æeh `L
h
=Ω∫,
¿ÉE a . = `L + ¢S Ü + 2¢S h : ádOÉ©ŸG iQòL ɪg Ω , ∫ ¿Éc GPEG ¬fGC iGC `L ≥∏£ŸG ó◊G 2¢S πeÉ©e
h
=Ω∫
= øjQò÷G Üô°V π°UÉM ,
Ü-
, ¢S πeÉ©e-
2¢S πeÉ©e
h
=Ω+∫
= øjQò÷G ´ƒª› : ¿GC iGC
: ≈∏j ɪc iôNGC á≤jô£H É¡«∏Y ∫ƒ°ü◊G øμÁ á≤HÉ°ùdG áé«àædG ¿ÉE a 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h : ádOÉ©ª∏d øjQòL Ω , ∫ ¿Éc GPEG ¬fGC º∏©f ﺟـh ٤ - 2 ﺏ+ ﺏh٢ ﺟـh ٤ - 2 ﺏ− ﺏh٢ ﺟـh ٤ - 2 ﺏ− ﺏh٢
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
+
ﺟـh ٤ - 2 ﺏ+ ﺏh٢
=∫ =Ω
= Ω + ∫ : ¿ÉE a ºK øeh
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
١٤
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
Ü-
Ü 2-
= h
[
ﺟـh ٤ - 2 ﺏ− ﺏh٢
][ `L
h
ﺟـh ٤ - 2 ﺏ+ ﺏ-
] = Ω * ∫ ∂dòc
h٢
=
( `L h 4 - 2Ü) - 2Ü 2
=Ω+∫
h2
h4
= : ¿GC iGC
≥∏£ŸG ó◊G 2¢S πeÉ©e
=Ω∫
¢S πeÉ©e-
,
=Ω+∫
2¢S πeÉ©e
. á≤HÉ°ùdG áé«àædG ¢ùØf ≈gh
: áé«àf 0 ≠ h å«M
0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h : ádOÉ©ŸG iQòL Ω , ∫ ¿Éc GPEG ♦ h ≈∏Y ᪰ù≤dÉH
: ¿GC º∏©f Éææμd
0= `L
h
= Ω∫,
`L
h
+ ¢S Ü-
h
Ü
h
2
+ ¢S
=Ω+∫
0 = Ω ∫ + ¢S ( Ω + ∫ ) - 2¢S : ≈∏j ɪc (1) ádOÉ©ŸG áHÉàc øμÁ Gòg ≈∏Yh 2
0 = øjQò÷G Üô°V π°UÉM + ¢S ( øjQò÷G ´ƒª› ) - ¢S : iGC . á≤HÉ°ùdG IQƒ°üdÉH ÉgGQòL º∏Y GPEG ádOÉ©e iGC øjƒμJ ÉææμÁ ∂dòHh 0 = (Ω - ¢S) (∫ -¢S) : IQƒ°üdG ≈∏Y Ω , ∫ ÉgGQòL ≈àdG ádOÉ©ŸG áHÉàc øμÁ ɪc : ádOÉ©ŸG iQòL Üô°V π°UÉMh ´ƒª› óLhGC 0 = 12 + ¢S 7 - 2¢S
1 ∫É`ã`e : π◊G
12 = `L ,
١٥
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
7- = Ü ,
1=h
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ `L
Ü-
12 = h = øjQò÷G Üô°V π°UÉM ,
7 = h = øjQò÷G ´ƒª›
: 1 ÖjQóJ .ɪ¡jQòL Üô°V π°UÉMh ´ƒª› óLhGC ºK , ≥HÉ°ùdG ∫ÉãŸG ≈a ádOÉ©ŸG πM .≥HÉ°ùdG ∫ÉãŸÉH ¬«∏Y π°ü– Ée ¿QÉb
: 2 ÖjQóJ {5 ,2} /J¢S å«M
2 + ¢S2 2 - ¢S 7 2
= ,
2 + ¢S 5 - ¢S 5 2
: ádOÉ©ŸG iQòL Üô°V π°UÉMh ´ƒª› óLhGC
6= ≈g ádOÉ©ŸG : 0=( 0=
7 2 35 4
- ¢S) (
ôNBG πM 5 2
- ¢S)
+ ¢S 6 - 2¢S iGC
0 = 35 + ¢S 24 - 2¢S 4
2 ∫É`ã`e
ɪgGQòL á«fÉãdG áLQódG øe ádOÉ©e ¿ƒc
35 4
=
7 2
*
5 2
7 2
+
5 2
: π◊G = øjQò÷G ´ƒª›
= øjQò÷G Üô°V π°UÉM
: ≈g ádOÉ©ŸG ∴ 0 = ɪ¡Hô°V π°UÉM + ¢S ( øjQò÷G ´ƒª› ) - 2¢S 35 0= + ¢S 6 - 2¢S 4
0 = 35 + ¢S 24 - 2¢S 4
: 3 ÖjQóJ 3 - 2 , 3 + 2 ÉgGQòL á«fÉãdG áLQódG øe ádOÉ©e ¿ƒc
: π◊G 3 -2 =Ω,
3 +2 =∫
: ¢VôØf
............. = Ω + ∫ ∴ ................. = Ω ∫ 0 = Ω ∫ + ¢S ( Ω + ∫ ) - 2¢S : ≈g ádOÉ©ŸG ∴ ...................................... : iGC
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
١٦
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
: ádOÉ©ŸG iQòL óMGC π©Œ ≈àdG h ᪫b óLhGC 2
B Qòé∏d ≈©ª÷G ¢Sƒμ©ŸG ∞©°V 0 = 8 - ¢S h + ¢S .ôN’G
3 ∫É`ã`e : π◊G
∫ = øjQò÷G óMGC ¢VôØf
B Qò÷G ∴ ∫ 2- = ôN’G
8- = ( ∫2- ) ∫ = øjQò÷G Üô°V π°UÉM ∴ 8- = 2∫ 22±=∫ ( ∫2- ) + ∫ = øjQò÷G ´ƒª› 2±=h∴
∫ = h É¡æeh
h- = ∫- =
B ä’OÉ©ŸG øe πμd øjQò÷G Üô°V π°UÉMh øjQò÷G ´ƒª› óLhGC : á«J’G 0 = 3 - 2¢S 0 = 3 + ¢S 2 - 2¢S 5 ¢S 4 = 5 + 2¢S 3
1
0 = 5 - ¢S 3+ 2¢S2 G 0 = 4 - 2¢S3 `L 0 = 1 - ¢S 11 + 2¢S30 `g
Ü O h
0 = ( 5 - ¢S 2 ) ( 2 + ¢S3 ) R { ٦- ، ٢ } /J ¢S å«M
4 - ¢S 3 1 + ¢S 4 6 + ¢S = 2 - ¢S
ì
{ ٢- ، ٢ } /J ¢S å«M
3=
1 1 2+ ¢S + 2 - ¢S
•
{ ٣- ، ٢ } /J ¢S å«M
1+ ¢S3 2 - ¢S =
3 - ¢S 2 + ¢S 3 + ¢S + 2 - ¢S
i
6- , 6 `L 7,7 h
: ÉgGQòL ≈àdGh á«fÉãdG áLQódG ádOÉ©e ¿ƒc 2 9 , 6- Ü 5 , 7- G 3 , 2 ﺏ-, h O ` ﺏg h
(Ü+h),(Ü-h) ì
١٧
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
2
3
(5 2-7),(5 2+7) R
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
( 1 + 2 h - ) ,( 1 + 2 h ) • h
h
( Ü -1 ) ,( Ü + 1 ) i Ü +h Ü -h
,
Ü -h Ü +h
∑
: π©Œ ≈àdG h ᪫b óLhGC 3 ≈©ª÷G ¢Sƒμ©ŸG ƒg 0 = 7 -¢S ( 2 + h ) + 2¢S2 ádOÉ©ŸG iQòL óMGC G B Qòé∏d .ôN’G ≈Hô°†dG ¢Sƒμ©ŸG ƒg 0 = 1 + 2 h +¢S 7 + 2¢Sh 2 ádOÉ©ŸG iQòL óMGC Ü B Qòé∏d .ôN’G B Qò÷G ∞©°V 0 = 2 + h+ ¢S h - 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC `L .ôN’G B Qò÷G ∫ÉãeGC á©HQGC 0 = 4 - h2+ ¢S h - 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC O .ôN’G 3 ihÉ°ùj 0 = 4- ¢S (3- h)+ 2¢S (2-h) ádOÉ©ŸG iQòL ´ƒª› `g 4-ihÉ°ùj 0 = 4 - ¢S(3-h)+ 2¢S (2-h) ádOÉ©ŸG iQòL Üô°V π°UÉM h B ≈∏Y ójõj 0 = 8 + ¢S h - 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC R 2 QGó≤à ôN’G B ∞©°V ≈∏Y ójõj 0 = 21 + ¢S h - 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC ì QGó≤à ôN’G . óMGh B ≈©ª÷G ¢Sƒμ©ŸG ≈∏Y ójõj 0 = 3- ¢S h - 2¢S4 ádOÉ©ŸG iQòL óMGC • ôNÓd . óMGh QGó≤à B ≈Hô°†dG ¢Sƒμ©ŸG ≈∏Y ójõj 0 = 3 +¢Sh- 2¢S2 ádOÉ©ŸG iQòL óMGC i ôNÓd .óMGh QGó≤Ã
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
١٨
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
ÚH ábÓY óLƒJ å«ëH IÉ£©e ádOÉ©e ∫ÓN øe ádOÉ©e øjƒμJ á«Ø«c ¢SQóf ±ƒ°S .IÉ£©ŸG ádOÉ©ŸG iQòLh áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG iQòL : Óãªa
. Ω , ∫ ɪg 0 = 10 + ¢S 7 + 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL ¿GC º∏Y GPEG 4 + Ω , 4 + ∫ ÉgGQòL ≈àdG ádOÉ©ŸG óLhGC
: π◊G . §≤a ¥ôW çÓK ôcòf ±ƒ°Sh , ∫ÉãŸG Gòg π◊ ¥ôW IóY óLƒJ C á≤jô£dG : ¤h’G ∫ƒ°ü◊G øμÁ ºK øeh , IÉ£©ŸG ádOÉ©ŸG iQòL OÉéjEG ≈a á≤jô£dG √òg ¢üî∏àJh .É¡æjƒμJ ܃∏£ŸG ádOÉ©ŸG ¿ƒμf ºK áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG iQòL ≈∏Y : å«M IÉ£©ŸG ádOÉ©ŸG ¿GQòL ɪg 5- , 2- ¿GC øe ócÉC àdG π¡°ùdG øe : å«M h , `g ɪg áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG GQòL , 5- = Ω , 2- = ∫ 2 = 4 + 2- = 4 + ∫ = `g 1- = 4 + 5- = 4 + Ω = h , 2- = (1-) 2 = h `g , 1 = 1 - 2 = h + `g ∴ 0 = 2 - ¢S - 2¢S : ≈g ádOÉ©ŸG ∴ : á«fÉãdG á≤jô£dG áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG GQòL h , `g ¿GC ¢VôØf 4 + Ω = h , 4 + ∫ = `g ∴ 8+Ω+∫=
4+ Ω + 4+∫ = h + `g ∴
.IÉ£©ŸG ádOÉ©ŸG øe 7- = Ω + ∫ øμdh
١٩
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
1 = 8 + 7- = h + `g ∴ 16+ ( Ω + ∫ ) 4 + Ω ∫ = ( 4 + Ω ) ( 4 + ∫ ) = h `g , IÉ£©ŸG ádOÉ©ŸG øe 10 = Ω ∫ øμdh 2- = 16 + 28 - 10 = h `g ∴ 0 = 2-¢S - 2¢S : ≈g áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG ∴ : áãdÉãdG á≤jô£dG áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG GQòL ɪg h , `g ¿GC ¢VôØf 4 + Ω = h , 4 + ∫ = `g ∴ , 4-h=Ω,
4 - `g = ∫ ∴
0 = 10 + ¢S 7 + 2¢S : ádOÉ©ŸG iQòL óMGC ∫ øμdh , 0 = 10 + ∫ 7 + 2∫ ∴ 4 - `g = ∫ øY ¢†jƒ©àdÉHh 0 = 10 + ( 4- `g ) 7 + 2( 4 -`g ) ∴ 0 = 10 + 28 - `g 7 + 16 + `g 8 - 2 `g 0 = 2 - `g - 2 `g 0 = 2 - ¢S - 2¢S ádOÉ©ŸG QòL `g :¿GC iGC 0 = 2 - ¢S - 2¢S : ≈g áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG ¿ƒμJ ∂dòHh ≈àdG á≤jô£dÉH πëj ɉEGh çÓãdG ¥ô£dÉH πëj ¿GC ÖdÉ£dG øe ܃∏£ŸG ¢ù«d ) ( ¬Ñ°SÉæJ . Ω , ∫ ɪg 0 = 10 - ¢S + 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL ¿GC º∏Y GPEG 1 1 , ɪg ÉgGQòL ≈àdG ádOÉ©ŸG óLhGC Ω
∫
1 ∫É`ã`e
: π◊G
.áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG GQòL h , `g ¿GC ¢VôØf (1) ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
1 = ∫ É¡æeh , `g
1 = `g ∴ ∫
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٢٠
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
0 = 10 - ¢S + 2¢S ádOÉ©ª∏d QòL ∫ øμdh (2) 0 = 2`g 10 - `g + 1 iGC
0 = 10 - ∫ + 2∫ ∴ (2) ≈a (1) øe ¢†jƒ©àdÉH 1
1
0 = 10 - ( `g ) + 2( `g ) ∴ 0 = 1 - ¢S - 2¢S 10 : ≈g áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG ∴
: 1 ÖjQóJ ∫ÉãeGC áKÓK ihÉ°ùj É¡jQòL øe QòL πc ≈àdGh á«fÉãdG áLQódG ádOÉ©e óLhGC 0 = 20 - ¢S 4 - 2¢S : ádOÉ©ŸG iQòL øe √Ò¶f
: π◊G
áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ª∏d ¿GQòL h , `g ¢VôØH IÉ£©ŸG ádOÉ©ŸG GQòL Ω , ∫ , `g ∫3 = `g ∴ 3 = ∫ É¡æeh 0 = 20 - ¢S 4 - 2¢S ádOÉ©ŸG QòL ∫ øμdh
πªcG
............................
`g = ∫ øY ¢†jƒ©àdÉH 3
.......................... : ¿GC èàæj ............................................ : ≈g áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG ∴
: 2 ÖjQóJ √Ò¶f ∞°üf ihÉ°ùj É¡jQòL øe QòL πc ≈àdGh á«fÉãdG áLQódG ádOÉ©e óLhGC 0 = 7 + ¢S 12 - 2¢S4 : ádOÉ©ŸG iQòL øe
: π◊G
.IÉ£©ŸG ádOÉ©ŸG GQòL ɪg Ω , ∫ , áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG GQòL h , `g .................. = ∫ É¡æeh , ................. = `g ∴ 0 = 7 + ¢S 12 - 2¢S 4 :ádOÉ©ŸG iQòL óMGC ∫ øμdh .........................................∴ ....................... = ∫ øY ¢†jƒ©àdÉH .........................................∴ ......................................... = áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG ºK øeh
٢١
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
™Hôe ihÉ°ùj É¡jQòL øe QòL πc ≈àdGh á«fÉãdG áLQódG ádOÉ©e óLhGC 0 = 5 - ¢S 3 + 2¢S : ádOÉ©ŸG iQòL øe √Ò¶f
2 ∫É`ã`e
: π◊G
0 = 5 - ¢S 3 + 2¢S áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG GQòL Ω , ∫ ¿GC ¢VôØH . áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG GQòL h , `g ¢VôØHh 0 = 5 - ¢S 3 + 2¢S ádOÉ©ŸG QòL ∫ å«Mh , `g ± = ∫ É¡æeh ,2∫ = `g ∴ 0 = 5 - ∫ 3 + 2∫ ∴
`g = ∫ øY ¢†jƒ©àdÉHh ,
0 = 5 - `g 3 + 2( `g ) ∴ Úaô£dG ™«HÎHh `g - 5 = `g 3 ∴ 0 = 25 + `g 19 - 2 `g É¡æeh 2`g + `g 10 - 25 = `g 9 0 = 25 + ¢S 19 - 2¢S : ≈g áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG ¿ÉE a ºK øeh ¥ôØdG ihÉ°ùj 0 =`L +¢S 2 - 2¢S3 : ádOÉ©ŸG iQòL ÚH ¥ôØdG ¿Éc GPEG 0 =232 - `L48 + 2`L 9 ¿GC âÑKG 0 = 3 + ¢S `L - 2¢S2 : ádOÉ©ŸG iQòL ÚH
3 ∫É`ã`e
: π◊G
(1) (2)
ádOÉ©ŸG GQòL Ω , ∫ ¿GC ¢VôØH ádOÉ©ŸG GQòL h , `g , `L 2 =Ω∫, =Ω+∫ 3 3 = h `g , 2
Úaô£dG ™«HÎH ™HôŸG ∫ɪcÉH
3
`L = h + `g , 2
( h - `g ) = Ω - ∫ : øμdh h `g 2 - 2h + 2`g = Ω ∫ 2 - 2Ω + 2∫
h `g 2 - h `g 2 - 2( h + `g ) = Ω ∫2 - Ω ∫ 2 - 2( Ω + ∫ ) ∴ h `g 4 - 2( h + `g ) = Ω ∫ 4 - 2( Ω + ∫ ) 36 * Úaô£dG Üô°†H
2`L
`L4
4
6- 4 = 3 - 9 216 - 2`L 9 = `L 48 - 16
ôØ°U = 232 - `M 48 + 2`L 9 ∴
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٢٢
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
0 = 10 - ¢S 6 - 2¢S : ádOÉ©ŸG GQòL Ω , ∫ ¿GC º∏Y GPEG 1 : ÉgGQòL ≈àdG ádOÉ©ŸG óLhGC 3-Ω,3-∫ 2 , 2 Ω3 ∫3 3 + 2Ω 2 , 3 + 2∫ 2
2+Ω,2+∫ h
Ü O
1 , Ω
h
2
1 ∫
`L
Ω , 2∫ `g
: ádOÉ©ŸG iQòL ÚH ¥ôØdG ¿Éc GPEG 2 .`L ᪫b óLhGC
11 ƒg 6
`L = 1 + ¢S 7 - 2¢S 6
: ádOÉ©ŸG iQòL ÚH ¥ôØdG ¿Éc GPEG 3 0 = `L 2 + ¢S `L + 2¢S : ádOÉ©ŸG iQòL Üô°V π°UÉM ∞©°V ihÉ°ùj .`L ᪫b óLhGC 0 = `L + ¢S h + 2¢S
٢٣
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
`L + ¢S Ü + 2¢S h = (¢S) O :å«M O ádGódG : ¿Éc GPEG §≤ah GPEG 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h ádOÉ©ŸG iQòL óMGC Ω (1) 0 = (Ω) O (G) `L + ¢S Ü + 2¢S h QGó≤ŸG πeGƒY óMGC ( Ω - ¢S ) (Ü) 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h ádOÉ©ŸG iQòL ´ƒf ≈∏Y ±ô©àdG (2) 0 < `L h 4 - 2Ü iGC ÖLƒe õ«ªŸG (GC ) .¿ÉØ∏àfl ¿É«≤«≤M ¿GQòL á«©«HÎdG ádOÉ©ª∏d ¿ƒμj 0 = `L h 4 - 2Ü iGC ôØ°U ihÉ°ùj õ«ªŸG (Ü) . ¿ÉjhÉ°ùàe ¿É«≤«≤M á«©«HÎdG ádOÉ©ŸG GQòL ¿ƒμj 0 > `L h 4 - 2Ü iGC ÖdÉ°S õ«ªŸG (`L) . á«≤«≤M ∫ƒ∏M hGC QhòL á«©«HÎdG ádOÉ©ª∏d ¿ƒμj ’ : ¿ÉE a 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h : ádOÉ©ª∏d GQòL Ω , ∫ ¢VôØf (3) ¢S πeÉ©e 2¢S πeÉ©e
=
≥∏£ŸG ó◊G 2¢S πeÉ©e
Ü-
h =
`L
h
= Ω + ∫ (G) = Ω ∫ (Ü)
Ω ∫ 2 - 2( Ω + ∫ ) = 2Ω + 2∫ (`L) Ω ∫ 4 - 2( Ω + ∫ ) = 2(Ω-∫) (O) : ≈g Ω , ∫ ÉgGQòL ≈àdGh á«fÉãdG áLQódG ádOÉ©e (4) hGC 0 = ( Ω - ¢S ) ( ∫ - ¢S ) 0 = øjQò÷G Üô°V π°UÉM + ¢S ( øjQò÷G ´ƒª› ) -2¢S 0 = Ω ∫ + ¢S ( Ω + ∫ ) - 2¢S
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٢٤
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
: ÉgGQòL ≈àdGh á«fÉãdG áLQódG ádOÉ©e ¿ƒc 1 6 , 7- Ü 4- ,2 G ( 2 + 1- ) , ( 2 - 1- ) O
( 3 - 1 ) , ( 3 + 1 ) `L
:ÉgGQòL ≈àdG ádOÉ©ŸG óLhGC 0 = 5- ¢S3 + 2¢S 2 : ádOÉ©ŸG iQòL Ω , ∫ ¿Éc GPEG 2 Ω , 2∫ Ü
4-Ω , 4 - ∫ G
1 + 2∫- , 1 + 2Ω-
O
2 + 2Ω , 2 + 2∫ `L
∫-Ω,Ω-∫
h
2
Ω ∫ , ∫ Ω
`g
: ¿GC º∏Y GPEG `L ᪫b óLhGC 3 0 = `L + ¢S 6 - 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 0 = 21 + ¢S `L - 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 0 = `L+¢S10 -2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC .2 QGó≤à B Qò÷G ∞©°V 0 = `L + ¢S 3 + 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC .ôN’G 3 : 2 áÑ°ùæc 0 = 6 + ¢S `L - 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL ÚH áÑ°ùædG
B Qò÷G ™Hôe .ôN’G B ∞©°V ≈∏Y ójõj 1 QGó≤à ôN’G B Qò÷G ™Hôe øY π≤j ôN’G
✿ ✿ ✿ ✿ ✿
B Qò÷G ∞©°V 0 = Ü + ¢S h + 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC ¿Éc GPEG 4 óMGC ¿Éch . ôN’G B Qò÷G ∫ÉãeGC áKÓK 0 = `L + ¢S h + 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL `L : Ü óLhGC . ôN’G 3 : 2 áÑ°ùæc 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h : ádOÉ©ŸG iQòL ÚH áÑ°ùædG âfÉc GPEG 5 2 Ü 6 = `L h 25 : ¿GC âÑKGC ihÉ°ùj 0 ≠ h å«M 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h :ádOÉ©ŸG iQòL ÚH ¥ôØdG ¿Éc GPEG 6 2 Ü 2 h 4 = ( `L h 4 - 2Ü ) 2`L : ¿GC âÑKGC . ≈Hô°†dG ɪ¡«°Sƒμ©e ´ƒª› ∞©°V :ádOÉ©ŸG GQòL ¿Éch Ω , ∫ ɪg 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h :ádOÉ©ŸG GQòL ¿Éc GPEG 7 ☺ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺍﳌﺘﻤﻴﺰ
٢٥
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
2 . ( ¿ + Ω ) , ( ¿ + ∫ ) ɪg 0 = n `L + ¢S Ü n + ¢S hn 2 2 2 ( n `L hn 4 - 2Ü n ) h = ( `L h 4 - Ü ) hn : ¿GC âÑKG
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
`L + ¢S Ü + 2¢S h = (¢S)O á``dGódG IQÉ```°TEG á````°SGQóH ´ƒ`°VƒŸG Gò`g º``àîf ? (¢S)O QGó≤ŸG IQÉ°TÉE H ≈æ©f GPÉe øμdh ì ∋ `L , Ü , h å«M : ≈∏j Ée (¢S) O IQÉ°TÉE H ≈æ©f ÉæfEG : QGó≤ŸG π©Œ ≈àdG ¢S º«b ≈g Ée iGC ? 0 < (¢S)O ¿ƒμJ ≈àe (GC ) ?ÉÑLƒe `L + ¢S Ü + 2¢Sh k
: QGó≤ŸG π©Œ ≈àdG ¢S º«b ≈g Ée iGC
? 0= (¢S)O ¿ƒμJ ≈àe (Ü)
? ôØ°ü∏d ÉjhÉ°ùe `L + ¢S Ü + 2¢Sh k : QGó≤ŸG π©Œ ≈àdG ¢S º«b ≈g Ée iGC ? 0 > (¢S)O ¿ƒμJ ≈àe (`L) ?ÉÑdÉ°S `L + ¢S Ü + 2¢Sh k
.á≤HÉ°ùdG çÓãdG ä’É◊G ≈a O ádGódG ∫É› Ú«©J : ôNBG ≈æ©Ãh ì É¡dÉ› ádGO `L + ¢S Ü + 2¢Sh = (¢S) O ¢VôØf k hGC : ¿ÉE a 0 = Ü = h âfÉc GPEG : ’ `L IQÉ````°TEG ¢ùØf ≈g O IQÉ````°TEG ¿ÉE ``a ádÉ``````◊G √òg ≈`ah `L = (¢S)O ì ∋ ¢S π```μd áàHÉK ádGO ≈ª°ùJh `L = (¢S)O ¿’C âfÉc GPEG ɪæ«H , áÑLƒe ɪFGO O IQÉ°TEG ¿ÉE a 3 = (¢S) O âfÉc GPEG : Ó k ãªa k . áÑdÉ°S ɪFGO O IQÉ°TEG ¿ÉE a 5- = (¢S) O k
: ¿ÉE a 0 ≠ Ü , 0 = h âfÉc GPEG : É«fÉK k C áLQódG øe ádGO íÑ°üJ (¢S)O ¿ÉE a Gòg ≈∏Yh `L + ¢S Ü = (¢S)O :øμdh , ¤h’G (
`L + ¢S ) Ü = `L + ¢S Ü = (¢S)O Ü `L= ¢S âfÉc GPÉE a Ü
, 0 = (¢S)O ¿ÉE a
`L< ¢S ÉeóæYh Ü .Ü IQÉ°T’E áØdÉfl ¿ƒμJ O IQÉ°TEG ¿ÉE a `L- > ¢S ÉeóæYh Ü
.Ü IQÉ°TEG πãe ¿ƒμJ O IQÉ°TEG ¿ÉE a
B ∫hó÷G ≈a ∂dP ¢ü«î∏J øμÁh : ≈J’G
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٢٦
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ `L-
∞-
∞+
Ü
ﺗﺨﺎﻟﻒ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ
ﺻﻔﺮ
ﻣﺜﻞ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ
(ﺩ )ﺱ
É«fÉ«H ∂dP πãe ì ∋ ¢S : 4 + ¢S2 = (¢S)O QGó≤ŸG IQÉ°TEG ÚY k
: π◊G
ﺹ ١٢ ١٠ ٨ ٤ ٢ َ ﺱ٤-
٢٢-
٣-
١-
٠
١
٣
٢
٤ ﺱ
٢-
٦َﺹ
( 2 + ¢S ) 2 = 4 + ¢S2 = (¢S)O 0 = (¢S) O ¿ÉE a 2- = ¢S óæYh 0< 2 +¢S ¿Éc GPEG áÑLƒe O IQÉ°TEG ¿ƒμJh 2- < ¢S iGC 0> 2 +¢S :¿Éc GPEG áÑdÉ°S O IQÉ°TEG ¿ƒμJh 2- > ¢S iGC : ¿ƒμJ O IQÉ°TEG ¿GC ó‚ ≥Ñ°S ɇ
.º°SôdÉH ∂dP ¿É«H ™e 6 + ¢S 3- = (¢S)O ádGódG IQÉ°TEG ÚY
٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ١-
٠ ١ﺹ
٢٧
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
2 ∫É`ã`e
: π◊G
َﺹ ٧
٢-
1 ∫É`ã`e
2- < ¢S ÉeóæY áÑLƒe 2- > ¢S ÉeóæY áÑdÉ°S 2- = ¢S ÉeóæY 0 = (¢S) O ¿ƒμJh .∂dP í°Vƒj QhÉéŸG ≈fÉ«ÑdG º°SôdGh
٤-
َﺱ ٣-
ﺱ
١
٢
٣
٤
ﺱ
( 2- ¢S ) 3- = (¢S) O 2 = ¢S ÉeóæY 0 = (¢S) O 2 < ¢S ← 0 < 2 - ¢S ÉeóæY (?) ÖdÉ°S QGó≤e (¢S)O ¿ÉE a É¡æeh 2 > ¢S ← . > 2 - ¢S óæYh (?) ÖLƒe QGó≤e (¢S) O ¿ÉE a 2 > ¢S ÉeóæY áÑLƒe ¿ƒμJ O IQÉ°TEG :¿GC iGC 2 < ¢S ÉeóæY áÑdÉ°S h 2= ¢S ÉeóæY
0 =(¢S) O ¿ƒμJh
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
0 ≠ h âfÉc GPEG : ÉkãdÉK C ∫hÉæàf `L + ¢S Ü + 2¢S h QGó≤ŸG IQÉ°TEG ¿’G C ¢†©H ≈£©f ≈∏j ɪ«ah : á«ë«°VƒàdG á∏ãe’G
٠ ≠ h å«M
3 + ¢S 4 - 2¢S = (¢S)O ádGódG ≈æëæe º°SQG
[ 4 , 0 ] IÎØdG ≈a
O ádGódG IQÉ°TEG ÚY º°SôdG øeh
1 ∫É`ã`e
: π◊G
: ¿GC ßMÓf º°SôdG øe ôXÉæJ ≈àdG O ádGó∏d º«b IóY óLƒf ádGódG √òg º°Sôd ﺹ
٤ ٣
٧ ٦ ٥ ٤
٣ ٠
٢ ١-
١ ٠
٠ ٣
ﺱ (ﺩ)ﺱ
٣
[ 3 , 1 ] - ì ∋ ¢S ÉeóæY 0 < (¢S)O (1)
٢ ١
ﺱ
{ 3 , 1 } ∋ ¢S ÉeóæY 0 = (¢S)O (2) ] 3 , 1 [ ∋ ¢S ÉeóæY 0 > (¢S)O (3) ÖLƒe QGó≤e 2¢S πeÉ©e ¿GC h , 0 = 3+ ¢S4 - 2¢S ádOÉ©ŸG GQòL ɪg 3 , 1 ¿GC ßM’ َ ﺱ٣-
٢-
١-
٠
١
٣
٢
٤
َﺹ
[ 7 , 1 ] IÎØdG ≈a 15 - ¢S 8+ 2¢S- = (¢S)O ádGódG ≈æëæe º°SQG ? ßMÓJ GPÉe . O ádGódG IQÉ°TEG ÚH º°SôdG øeh
2 ∫É`ã`e
: π◊G ٧ ٨-
ﺹ ٢ َﺱ
٤-
٠
٢٢٤٦٨-
١٠َﺹ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٢
٤
٦
٨
ﺱ
٦ ٣-
٥ ٠
٤ ١
٣ ٠
٢ ٣-
١ ٨-
ﺱ (ﺩ)ﺱ
áÑLƒe ¿ƒμJ O IQÉ°TEG : ¿GC ßMÓf º°SôdG øe ، ] 5 , 3 [ ∋ ¢S ÉeóæY 0 = (¢S)O ¿ƒμJh ، [ 5 , 3 ] - ì ∋ ¢S ÉeóæY áÑdÉ°Sh { 5 , 3 } ∋ ¢S ÉeóæY 5 , 3 ɪg 0 = (¢S) O ádOÉ©ŸG GQòL .( ÖdÉ°S QGó≤e iGC ) ôØ°üdG øe ô¨°UGC 2¢S πeÉ©e
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٢٨
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
º°SôdG ≈∏Y ∂dP ¿É«H ™e 2 + ¢S2 + 2¢S = (¢S)O ádGódG IQÉ°TEG ÚY 3 ∫É`ã`e ?ßMÓJ GPÉe [ 2 , 4- ] IÎØdG ≈a ádGódG √òg ≈æëæŸ
: π◊G
ﺹ
QhòL É¡d ¢ù«d 0 = 2 + ¢S2 + 2¢S ádOÉ©ŸG (1
١٢
.á«≤«≤M
١٠ ٨ ٦ ٤ ٢ َ ﺱ٤-
٣-
٢-
١-
٠
٢َﺹ
١
٢
ﺱ
٣
. ÖLƒe 2¢S πeÉ©e (2 ¬∏ªcÉC H ™≤j ≈æëæŸG ¿GC ó‚ º°SôdG øe (3 √òg IQÉ°TEG ¿ƒμàa äÉæ«°ùdG Qƒfi ≈∏YGC .áÑLƒe ɪFGO ádGódG k
2 10
1 5
0 2
11
22
35
410
¢S (¢S)O
C øe (4 B á≤«≤◊G ≈∏Y π°üëf á¡HÉ°ûe iôNGC á∏ãeGC h á≤HÉ°ùdG á∏ãe’G :á«J’G
: á≤«≤M ¿ƒμJ `L + ¢S Ü + 2¢S h = (¢S)O ádGódG IQÉ°TEG ¿ÉE a ì ∋ ¢S πμd ♦ . = `L + ¢S Ü + 2¢S h ádOÉ©ŸG GQò``L ¿Éc GPEG ’EG h πeÉ©ŸG IQÉ°TEG πãe .øjQò÷G ÚH ¢S â©bhh ÚjhÉ°ùàe ÒZh Ú«≤«≤M
. = `L + ¢S Ü + 2¢S h ádOÉ©ŸG GQòL ¿Éc GPEG ¬fGC èàæà°ùf á≤HÉ°ùdG á≤«≤◊G øe :¿ƒμJ `L + ¢S Ü + 2¢S h QGó≤ŸG IQÉ°TEG ¿ÉE a ∫ < Ω å«M Ω , ∫ ɪg [ Ω , ∫ ] - ì ∋ ¢S âfÉc GPEG h IQÉ°TEG πãe ] Ω , ∫ [ ∋ ¢S âfÉc GPEG h IQÉ°TEG ∞dÉîJh { Ω , ∫ } ∋ ¢S âfÉc GPEG GôØ°U ihÉ°ùj QGó≤ŸGh k ٢٩
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
∞+
→
ﺍﳉﺒــﺮ
ﻡ
ﻝ
↓ ﺻﻔﺮ
ﻣﺜﻞ ﺇﺷﺎﺭﺓ h
←
↓ ﺻﻔﺮ
ﻣﺨﺎﻟﻔﺔ ﻹﺷﺎﺭﺓ h
∞−
ﻣﺜﻞ ﺇﺷﺎﺭﺓ h
: 1 ÖjQóJ 1 + ¢S 2 - 2¢S = (¢S)O : ádGódG IQÉ°TEG ÚY
: π◊G
)ɪg 0 = 1 + ¢S 2 - 2¢S ádOÉ©ŸG GQòL (1 .................... = ¢S ﺹ ٥
٤
٣
٢
١ ﺱَ
ﺱ ٤
٣
٢
١
١-
٠
٢-
٣-
٤-
١-
٢-
٣ﺹَ
)ÖLƒe 2¢S πeÉ©e (2 )≈g 1 + ¢S 2 - 2¢S = (¢S)O ádGódG IQÉ°TEG (3 .................... ¢S ÉeóæY áÑLƒe (GC ........... = ¢S ÉeóæY ôØ°U = (¢S)O (Ü
٣٠
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
: 2 ÖjQóJ 10 - ¢S 3 - 2¢S = (¢S)O : ádGódG IQÉ°TEG ÚY
: π◊G
ɪg 0 = 10 - ¢S 3 - 2¢S ádOÉ©ŸG GQòL (1) ....... = ¢S hGC ....... = ¢S . (ÖLƒe) ôØ°üdG øe ÈcGC 2¢S πeÉ©e (2) ≈g 10 - ¢S 3 - 2¢S = (¢S)O ádGódG IQÉ°TEG (3) ........... ∋ ¢S ÉeóæY
áÑLƒe (GC
........... ∋ ¢S ÉeóæY
áÑdÉ°S (Ü
........... ∋ ¢S ÉeóæY ôØ°U = (¢S)O (Ü
: 3 ÖjQóJ B ∫GhódG øe πc IQÉ°TEG ÚYպ :º°SôdG ≈∏Y ∂dP ¿É«H ™e á«J’G 1 - ¢S + 2¢S- = (¢S)O (GC ) 7- ¢S 5 + 2¢S2 = (¢S)O (Ü) 8- ¢S 7 + 2¢S3 = (¢S)O (`L) 4 + ¢S 4 - 2¢S = (¢S)O (O) 25 - 2¢S - ¢S 10 = (¢S)O (`g)
٣١
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
1- ≤ ¢S ÉeóæY
1 + ¢S
1- > ¢S ÉeóæY
1 - ¢S-
} = (¢S)O (h)
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ
ﺍﳉﺒــﺮ
ì ∋ `L , Ü , h : `L + ¢S Ü + 2¢S h :QGó≤ŸG IQÉ°TEG Ú«©àd k hGC : ¿ÉE a 0 = Ü = h âfÉc GPEG : ’ `L IQÉ°TEG ¢ùØf ≈g (¢S)O IQÉ°TEG 0 ≠ Ü , 0 =h ¿Éc GPEG : É«fÉK k : ¿ƒμJ `L + ¢S Ü = (¢S)O IQÉ°TEG ¿ÉE a `LÜ
< ¢S ÉeóæY `LÜ `LÜ
Ü IQÉ°TEG πãe •
> ¢S ÉeóæY
Ü IQÉ°TEG ∞dÉîJ •
= ¢S ÉeóæY
0 = (¢S)O ¿ƒμJ • 0 ≠ h âfÉc GPEG : ÉkãdÉK
: ádOÉ©ŸG iQòL óLƒf , `L + ¢S Ü + 2¢S h = (¢S)O IQÉ°TEG Ú«©àd 0=`L +¢S Ü+2¢S h ádÉ◊G √òg ≈ah ∫ < Ω å«M Ω , ∫ πãe ÚØ∏àflh Ú«≤«≤M ¿GQò÷G ¿Éc GPEG (1) : ≈g `L + ¢S Ü + 2¢S h IQÉ°TEG ¿ƒμJ ] Ω , ∫ ] - ì ∋ ¢S âfÉc GPEG h IQÉ°TEG πãe ✪ ] Ω , ∫ [ ∋ ¢S âfÉc GPEG h IQÉ°TEG ∞dÉîJ ✪ { Ω , ∫ } ∋ ¢S ÉeóæY ôØ°U ihÉ°ùJ (¢S)O ✪ π``ãe ¿ƒ``μJ `L + ¢S Ü + 2¢S h IQÉ```°TEG ¿ÉE ```a Ú«∏«îJ ¿GQò``÷G ¿É````c GPEG (2) ` ì ∋ ¢S πμd h IQÉ``````°TEG : ¿ÉE a Ó k ãe ∫ ihÉ°ùj É¡æe πc øμ«dh ÚjhÉ°ùàe ¿GQò÷G ¿Éc GPEG (3) : ¿ƒμJ `L + ¢S Ü + 2¢S h IQÉ°TEG
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
∫ ≠ ¢S ÉeóæY
h IQÉ°TEG πãe ✪
∫ = ¢S ÉeóæY
GôØ°U ihÉ°ùj QGó≤ŸG ✪ k ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٣٢
⋲fÉãdG π°üØdG
±Gó`g’C G ﻓﻰ ﻧﻬــﺎﻳﺔ ﺩﺭﺍﺳــﺔ ﻫـﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼـﻞ ﻧﺘﻮﻗــﻊ ﺃﻥ ﻳﻜــﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗــﺎﺩﺭﹰﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ:
✍ ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ . ✍ ﻳﺜﺒﺖ ﺻﺤﺔ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ . ✍ ﻳﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ . ✍ ﻳﺤﻞ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ . ✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﻭﺍﻻﻧﺨﻔﺎﺽ . ✍ ﻳﺤﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﻭﺍﻻﻧﺨﻔﺎﺽ . ✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ . ✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ . ✍ ﻳﺤـﻞ ﻣﺴــﺎﺋﻞ ﻣﺘﻨﻮﻋـــﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻄــﺎﻉ ﺍﻟــﺪﺍﺋﺮﻯ ﻭﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳـــﺔ.
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
k hGC : å«ëH ≈°SÉ«≤dG É¡©°Vh ≈a Ü hh øμàd - ’ (¢U , ¢S) Ü á£≤f ≈a IóMƒdG IôFGO ≈FÉ¡ædG É¡©∏°V ™£≤j `g = ( Ü h h ) ¥ (1) ... 1 = 2¢S + 2¢U : ¿ƒμ«a 1 = `g 2ÉàM + `g 2ÉM ∴
: ¿ƒμj 2¢S ≈∏Y (1) ádOÉ©ŸG ᪰ù≤H - É«fÉK k 1
2
¢S
1 `g ÉX
¢U
2
¢S
`g 2Éb = `g 2ÉW+1 ⇐ `g 2Éb = 1 + `g 2ÉW∴
1 2
=1+
2
2
¢U
=
2
¢S
¢U
+ 1 :¿ƒμj 2¢U ≈∏Y (1) ádOÉ©ŸG ᪰ù≤H - ÉkãdÉK `g 2Éàb = `g 2ÉàX + 1∴ 1
= `g ÉàX ,
`g ÉàM
= `g Éb ,
1 `g ÉM
=`g Éàb : ¿GC º∏©f - É©HGQ k
1 = `g ÉàW `g ÉW , 1 = `g Éb `g ÉàM , 1 = `gÉàb `g ÉM ∴ 2 = 2(¢S ÉàM - ¢S ÉM) + 2( ¢S ÉàM + ¢S ÉM) : ¿GC âÑKG
1 ∫É`ã`e
: π◊G
C ±ô£dG (¢S ÉàM - ¢S ÉM) + 2( ¢S ÉàM + ¢S ÉM) = øÁ’G ¢S ÉàM ¢S ÉL 2 - ¢S 2ÉàM +¢S 2ÉM +¢S ÉàM ¢S ÉL 2 +¢S 2ÉàM +¢S 2ÉM = C ±ô£dG = 2 = 1 + 1 = ç.•.`g ô°ùj’G 2
`g 2Éàb `g 2Éb = `g 2Éàb + `g 2Éb :¿GC âÑKG 1 `g ÉM 2
+
1 `g ÉàM 2
C ±ô£dG = `g Éàb `g Éb = .ô°ùj’G 2
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
2
2 ∫É`ã`e
: π◊G
C ±ô£dG = `g 2Éàb + `g 2Éb = øÁ’G 1 `g 2ÉM `g 2ÉàM
=
`g 2ÉàM + `g 2ÉM `g 2ÉM `g 2ÉàM
=
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٣٤
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
B äÉ≤HÉ£àŸG áë°U âÑKG : á«J’G
¢S Éàb ¢S Éb = ¢S ÉàW + ¢S ÉW 1 1 - ¢S 2ÉàM 2 = ¢S 2ÉM 2 - 1 = ¢S 4ÉM - ¢S 4ÉàM 2 ¢S 2ÉW ¢S 2ÉM + ¢S 2ÉM = ¢S 2ÉW 3 2
`L ÉW = 2
2
`L ÉW - `L Éb = 2
1
¢S ÉàW + 1
-
2
1
¢U ÉàW + 1
2
`L ÉW + 1 2
`L ÉàW + 1 2
4
2
4
`L ÉàM - `L ÉàM `L ÉM - `L ÉM
4 5
= ¢S 2ÉM - ¢U 2ÉM = ¢U 2ÉàM - ¢S 2ÉàM 6 `g ÉàM `g ÉM 2 =
`g ÉàW 2 2
`g ÉàW + 1
7
2 h ÉàM - 1 = h ÉW ( h - r 90 ) ÉM h ÉM 8
1- `g 2ÉàM 2 = 1=
٣٥
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
(¢S + r 180 ) ÉW ¢S Éàb ¢S Éb
+
2
`g ÉW - 1 2
`g ÉW + 1
(¢S - r 90 ) ÉM ¢S ÉM ¢S ÉW
9 10
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
k hGC :ôcòJ : á«ã∏ãŸG ∫Ghó∏d äGQÉ°T’G E IóYÉb - ’ • C ™HôdG ≈a (1) . áÑLƒe á«ã∏ãŸG ∫GhódG ™«ªL ] 2 ، ٠ [ ∫h’G • .áÑdÉ°S ∫GhódG á«≤Hh ÚÑLƒe Éàb , ÉM ] • ، 2 [ ≈fÉãdG ™HôdG ≈a (2) .áÑdÉ°S ∫GhódG á«≤Hh ÚÑLƒe ÉàX, ÉX ] •3 ، • [ ådÉãdG ™HôdG ≈a (3) 2 [ ™HGôdG ™HôdG ≈a (4) .áÑdÉ°S ∫GhódG á«≤Hh ÚÑLƒe Éb , ÉàM ] •٢ ، •3 2
: ÖjQóJ B ä’É◊G ≈a ájhGõdG ¢SÉ«b É¡«dEG ≈ªàæj ≈àdG äGÎØdG hGC IÎØdG OóM : á«J’G 0 < `g ÉX (3) 0 > `g ÉàM (2) 0 < `g ÉM (1) 0 < `g ÉM , 0> `g ÉàM (6) 0< `g ÉàM , 0< `g ÉM (5) 0 > `g Éàb (4) 0 < `g ÉàM , 0> `g ÉM (8) 0 > `g ÉM , 0> `g ÉàM (7) B äGƒ£ÿG ™Ñàf , ¢U = ¢S ÉM πãe á«ã∏ãe ádOÉ©e iGC π◊ - É«fÉK : á«J’G k C ™HôdG ≈a ™≤J `g å«M |¢U| = `g ÉM ≥≤– ≈àdG `g óLƒf (1) . ∫h’G : ≈a ™≤J ¢S âfÉc GPÉE a , ¢S ¬«a ™≤j iòdG ™HôdG Oóëf (2) C ™HôdG ✺ `g = ¢S : ¿ÉE a ∫h’G `g - r 180 = ¢S : ¿ÉE a ≈fÉãdG ™HôdG
✺
`g + r 180 = ¢S : ¿ÉE a ådÉãdG ™HôdG
✺
`g - r 360 = ¢S : ¿ÉE a ™HGôdG ™HôdG
✺
¢S ÉM , ¢S º«b óLhGC ]•2 , 0[ ∋ ¢S å«M
2 = ¢S ÉàM ¿Éc GPEG 2
: π◊G
1 ∫É`ã`e
2 = ¢S ÉàM ∵ 2 C ™HôdG ≈a ™≤J ájhGR ¢SÉ«b ¢S∴ ™HGôdG ™HôdG hGC ∫h’G 0<
2 = `g ÉàM å«M 2
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
`g - r 360 hGC r `g = ¢S∵ r 45 = `g ∴ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٣٦
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ 2 r 45 = ¢S = ¢S ÉM , 2 2 - = ¢S ÉM , r 315 = r 45 - r 360 = ¢S 2
¢S ÉàM , ¢S º«b óLhGC ] •2 , 0 [ ∋ ¢S å«M
C ™HôdG ≈a ¢S∴ ∫h’G ™HGôdG ™HôdG ≈a ¢S∴
0^57- = ¢S ÉM ¿Éc GPEG
: π◊G
2 ∫É`ã`e
0> 0^57 - = ¢S ÉM ∵ ™HGôdG ™HôdG hGC ådÉãdG ™HôdG ≈a ™≤J ájhGR ¢SÉ«b ¢S∴ `g - r 360 , `g + r 180 = ¢S r 34 n 45 = `g
D
0^57 = `g ÉM å«M
0^8216 - = ¢S ÉàM ,
r 214 n 45 = r 34 n 45 + r 180 = ¢S∴
0^8216 = ¢S ÉàM ,
r 325 n 15 = r 34 n 45 - r 360 = ¢S hGC
0 = ¢S ÉàM 2 + ¢S 2ÉàM 3 ádOÉ©ŸG πM
] • , 0 [ ∋ ¢S å«M
: π◊G
3 ∫É`ã`e
0 = ¢S ÉàM 2 + ¢S 2ÉàM 3 ∵ 0 = ( 2 + ¢S ÉàM 3 ) ¢S ÉàM r
270 , r 90 = ¢S
(1) á°Vƒaôe r 270 = ¢S ᪫bh , r 90 = ¢S ∴
0 = ¢S ÉàM ∴ ] • , 0 [ ∋ ¢S ∵ 0 = 2 + ¢S ÉàM 3 hGC 2 - = ¢S ÉàM ∴ 3
ådÉãdG hGC ≈fÉãdG ™HôdG ≈a ™≤J ¢S∴ §≤a ≈fÉãdG ™HôdG ≈a ™≤J ¢S ∴ r 48
(2)
n 11 = `g r 131
] • , 0 [ ∋ ¢S ∵
2 = `g ÉàL ¢VôØf 3
n 49 = r 48 n 11 - r 180 = ¢S
{ r 131 n 49 , r 90 } ≈g π◊G áYƒª› ¿ƒμJ (2) h (1) øe
٣٧
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
] •2 , 0 [ ∋ ¢S å«M 0 = 1 + ¢S ÉM ( 2 + 1 )- ¢S 2ÉM 2 ádOÉ©ŸG πM
: π◊G
4 ∫É`ã`e
0 = 1 + ¢S ÉM ( 2 + 1 ) - ¢S 2ÉM 2 0 = ( 1 - ¢S ÉL) ( 1- ¢S ÉM 2 ) ∴ 1 = ¢S ÉL É¡æeh 2
0 = ( 1 - ¢S ÉM 2 ) ∴
C ™HôdG ≈a ™≤J ¢S∵ ≈fÉãdG hGC ∫h’G r 135 r 90
= ¢S ∴
1 = ¢S ÉM É¡æeh
hGC r 45 = ¢S ∴
0 = 1- ¢S ÉM hGC
{ r 135 , r 90 , r 45 } ≈g π◊G áYƒª› ¿ƒμJh
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٣٨
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
B ä’OÉ©ŸG øe πc πM áYƒª› óLhGC : ] •2 , 0 ] ∋ ¢S å«M á«J’G 0 = 1 + ¢S ÉL 2 1 0 = 1 - ¢S ÉW 2 0 = 3 + ¢S ÉàM 2 3 0 = ¢S ÉàM2 - ¢S ÉM 4 0 = ¢S ÉàM ¢S ÉM 5 0 = 2 - ¢S ÉM 3 + ¢S 2ÉM 2 6 0 = 3 - ¢S ÉàM 5 - ¢S 2ÉàM 2 7 0 = ¢S ÉàM - ¢S 2ÉàM 8 0 = ( 1 - `g 2ÉàM ) `g ÉM 9 0 = 1 - ¢S ÉW - ¢S 2ÉW 2 10 0 = ¢S 2ÉàM - ¢S 2ÉM 11 0 = 3 + ¢S ÉM 8 + ¢S 2ÉM 4 12 0 = 3 + ¢S ÉàM ( 3 + 2 ) - ¢S 2ÉàM 2 13 0 = 3 - ¢S ÉM ( 3 - 1 ) 2+ ¢S 2ÉM 4 14
٣٩
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
∫GƒWGC ≈gh , áà°ùdG å∏ãŸG ô°UÉæY øe ∫ƒ¡éŸG OÉéjEG å∏ãŸG πM øe Oƒ°ü≤ŸG .áKÓãdG √ÉjGhR äÉ°SÉ«bh , áKÓãdG ¬YÓ°VGC ™∏°V ∫ƒW hGC ¬«a Ú©∏°V ’ƒW ÉeEG áaô©e øe óH’ ájhGõdG ºFÉ≤dG å∏ãŸG π◊ .áªFÉ≤dG ÒZ ájhGR ¢SÉ«bh óMGh : ¿Éc GPEG å∏ãŸG πM , Ü ≈a ájhGõdG ºFÉb å∏ãe `L Ü h r 52 n 30 = (`L
∫É`ã`e
k hGC ) ) ¥ ,º°S 16^7 = Ü h (’
º°S 10^3 = `L Ü ,º°S 8^9 = Ü h (É«fÉK) k
: π◊G
k hGC ) n 30 = r 52 n 30 - r 90 = (h ) ¥ (’
r 37
r 37 r 37
`L Ü
n 30 ÉW = Ü h
n 30 ÉW Ü h = `L Ü∴
B : ≈J’Éc Ö«÷G áÑ°SÉM ᣰSGƒH ∂dP ÜÉ°ùM øμÁh , r 37 n 30 ÉW 16^7 = 16^7 ≈a Üô°†f ºK ≥Ñ°S ɪc r 37 n 30 ÉW óLƒf Üh
=`L h ∴ , r 52 n 30 ÉM =
ْ ٥٢ َ٣٠ ﺣﺎ
k hGC . ç . • . `g ’
Üh `L h
`L h
, r 52 n 30 Éàb = , º°S 12^8 = `L Ü∴ Üh
zÖ«÷G áÑ°SÉM ΩGóîà°SÉH{ º°S 21^05 = r 52 n 30 Éàb 16^7 = `L h∴ 8^9
10^3
=
r 40 r 49
Üh
`Lf
= `L ÉW (É«fÉK) k
n 50 = (`L
n 10 = r 40 n 50 - 90 = (h
Üh ْ ٤٠ َ٥٠ ﺣﺎ
) ¥∴ )¥∴
= `L h∴ r 40 n 50 ÉM =
Üh `L h
r 40 n 50 Éàb Ü h = `Lh
º°S 13^6 = r 40
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
n 50 Éàb * 8^9= `L h ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٤٠
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
¢VÉØîf’Gh ´ÉØJQ’G ÉjGhR á«∏ªY äÉ≤«Ñ£J C ¢†©H äÉYÉØJQG ÜÉ°ùM å∏ãŸG πM ≈∏Y á«∏ª©dG äÉ≤«Ñ£àdG øe , ΩÉ°ùL’G √òg øe Òãc ≈ah , ÚgÉŒEG iGC ÚH ÉjGhõdGh ΩÉ°ùL’G ÚH äÉaÉ°ùŸG ∂dòch ɪgh ɪ¡ª¡a Öéj ¿ÉeÉg ¿GÒÑ©J óLƒj ä’É◊G . ¢VÉØîf’G ájhGRh ´ÉØJQ’G ájhGR iƒà°ùe ø``e ≈``∏``YGC º°ùL ¤EG ¢üî°T ô¶f GPEG C ô¶ædG ≈a ɪc Óãe áfòÄe hGC êô``H áª≤c ≈≤a’G Ü óæY ó°UGôdG Ú``Y âfÉc GPÉE ```a ,πHÉ≤ŸG πμ°ûdG `L Ü ,ó°UGôdG ÚY ¬àjGóH ≈≤aGC ´É©°T ƒg hÜ ¿ÉE a `L êÈdG áªb Oƒ°UôŸG º°ù÷Gh ájhGR ≈g `L Üh ¿GC òFóæY ∫É≤j , Oƒ°UôŸG º°ù÷ÉH GQÉe k Ú©dG ¬àjGóH ´É©°T ƒg .êÈdG áªb ´ÉØJQG iƒà°ùe πØ°SGC Oƒ°UôŸG º°ù÷G ¿Éc GPEG É``eGC `L Ü h
¿ÉE `a πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a ɪc ô¶ædG . º°ù÷G ¢VÉØîfG ájhGR ≈ª°ùJ
∞jô©J C ´É©°ûdG OÉ–G ≈g ¢VÉØîf’G hGC ´ÉØJQ’G á``jhGR ™e ó°UGôdG øe ≈≤a’G .Oƒ°UôŸG º°ù÷ÉH GQÉe k ó°UGôdG øe ÇOÉÑdG ´É©°ûdG C í£°S ≈∏Y á£≤f øe º∏Y ájQÉ°S IóYÉb øe GkÎe 20 ó©H ≈∏Y ¢``VQ’G Ö°ùMG r 25 n 20 É¡YÉØJQG ájhGR ¢SÉ«b ¿GC óLƒa ,ájQÉ°ùdG áªb ¢üî°T ó°UQ .º∏©dG ájQÉ°S áªb ´ÉØJQG r 25 n r 25
٤١
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
n
20 ÉW =
Üh
1 ∫É`ã`e : π◊G
20
20 ÉW 20 = Ü h ∴ Îe 9^47 = ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
: ¬«a iòdGh `L ≈a ájhGõdG ºFÉ≤dG `L Ü h å∏ãŸG πM 1 º°S 4 = `L h , r 40 = (h º°S 10 = `L Ü , r 56 n 25 = (Ü
)¥(G) )¥ (Ü)
º°S 10 = `L h , º°S 4 = `L Ü (`L) º°S 3 = `L Ü , º°S 7 = Ü h (O ) ¢SÉ«b Ö°ùMG . º°S 10 ¬JóYÉbh º°S 7 ¬«bÉ°S øe πc ∫ƒW ÚbÉ°ùdG ihÉ°ùàe å∏ãe . √ÉjGhR r 22 n
C í£°S ≈∏Y π«Á Qóëæe ≥jôW ≈a ¢üî°T Ò°ùj 15 É¡°SÉ«b ájhGõH ¢VQ’G C í£°S øY ¬YÉØJQG QGó≤e ɪa . ºc 1 áaÉ°ùe QÉ°S GPÉE a ? ¢VQ’G
C ≈∏Y IQÉ«°S ¢VÉØîfG ájhGR â°ù«b GkÎe 50 ¬YÉØJQG êôH áªb øe äóLƒa ¢VQ’G
2
3
4
? êÈdG IóYÉb øY IQÉ«°ùdG ó©H QGó≤e ɪa , r 27 n 15 É¡YÉØJQG ájhGR ¢SÉ«b ¿GC óLƒa Îe 1000 ´É```ØJQG ≈∏Y IôFÉ``W ¢üî°T ó``°UQ
5
. IôFÉ£dG øY ó°UGôdG ó©H óLhGC , r 25 n 17 C ≈∏Y ÓX ≈≤∏oj Îe 6 ¬YÉØJQG ¥ÈdG IóªYGC øe OƒªY ɪa , Îe 4 ¬dƒW ¢VQ’G . òFóæY ¢ùª°ûdG ´ÉØJQG ájhGR ¢SÉ«b óLhGC , º°S 10 ¬dƒW Ü h ôJƒdG É¡«a º°SQ , º°S 8 Égô£b ∞°üf ∫ƒW IôFGO . iÈμdG á©£≤dG ≈a áeƒ°SôŸG á«£«ëŸG ájhGõdG ¢SÉ«b
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
6
7
٤٢
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
í°Vƒe ƒg ɪc Ü Ω , h Ω øjô£≤dG ≈Ø°üf Ω IôFGódG ≈a É檰SQ GPEG ɪ¡æe πc ÚFõL ¤EG ɪ¡H º°ù≤æj IôFGódG í£°S ¿ÉE a , πHÉ≤ŸG πμ°ûdÉH .iôFGO ´É£b ≈ª°ùj á``jGhR Ü Ω h ÜΩh
≈ª°ùJh ,ô¨°UGC iôFGO ´É£b ≈ª°ùj Ü `L h Ω Aõ÷Éa
C ´É``£≤dG ≈ª°ùJh ÈcGC ´É£≤H ≈ª°ùj Ü O h Ω Aõ÷Gh , ô¨°U’G C ´É£≤dG ájhGõH á°ùμ©æŸG . Èc’G
∞jô©J ≈Ø°üfh , IôFGódG øe ¢Sƒ≤H Ohófi IôFGO í£°S øe AõL ƒg :iôFGódG ´É£≤dG .¢Sƒ≤dG Gòg ≈aô£H øjQÉŸG øjô£≤dG zÖdÉ£dG ¬«a øëàÁ ’ ¿ÉgÈdG { : iôFGódG ´É£≤dG áMÉ°ùe OÉéjEG ∫ƒWh IóMh ≥f = ¬JôFGO ∞°üf ∫ƒW iòdG Ü h Ω ´É£≤dG áMÉ°ùe OÉéjEG : ܃∏£ŸG . IóMh ∫ = Üh ¬°Sƒb C øe (¿) OóY ¤EG Üh ¢Sƒ≤dG º°ù≤f ájhÉ°ùàŸG ΩÉ°ùb’G OóY ≈∏Y π°üëf ∂dòH ∑ , .... , `g , x , `L §≤ædG ≈a ∫ƒ£dG ¿ƒμJh (Ü ∑ Ω, .... ,x`L Ω, `LhΩ) á≤HÉ£àŸG äÉã∏ãŸG øe (¿) ´ = ´ÉØJQ’G Gòg øμ«dh ájhÉ°ùàe äÉã∏ãŸG √òg äÉYÉØJQG .πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a ɪc IóMh 1
´ * `L h 2 =( `L h Ω Δ )í£°S áMÉ°ùe ... 1 1 ´ * ( ¿ * `L h ) 2 =¿ * ´ * `L h * 2 = äÉã∏ãŸG 샣°S äÉMÉ°ùe ´ƒª›... ´ * ( ∑ ....... x `L h ô°ùμæŸG §ÿG ∫ƒW )
1 2
=
É¡°†©H øe ÜÎ≤J Ü ..... ,x ,`M ,h§≤ædG ¿ÉE a GóL k IÒÑc IOÉjR ¿ äOGR GPÉE a §ÿG ∫ƒW ÜÎ≤jh , ´É£≤dG áMÉ°ùe øe äÉã∏ãŸG 샣°S äÉMÉ°ùe ´ƒª› ÜÎ≤J òFóæYh ∞°üf ∫ƒW øe ´ ´ÉØJQ’G ÜÎ≤jh , Ü h ¢Sƒ≤dG ∫ƒW øe Ü ..... ,x ,`M ,h ô°ùμæŸG
٤٣
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
: íÑ°üj ∂dòHh , IôFGódG ô£b . IôFGódG ô£b ∞°üf ∫ƒW * Ü h ¢Sƒ≤dG ∫ƒW * ≥f ∫
1 2
= ´É£≤dG áMÉ°ùe 1 2
=
. ájô£b ∞°üf ájhGR A`g = ´É£≤dG ájhGõd iôFGódG ¢SÉ«≤dG ¿GC Éæ°Vôa GPEGh ≥f A`g = ∫ ¿ÉE a 1 2 ≥f A`g = iôFGódG ´É£≤dG áMÉ°ùe ... 2
: áé«àf r ¢S r 360
=
A`g •2
øμdh
A`g •2
=
A
2
1 2
≥f `g
=
2
≥f •
IôFGódG í£°S áMÉ°ùe * r 2
¢S
r 360
iôFGódG ´É£≤dG áMÉ°ùe IôFGódG í£°S áMÉ°ùe
= ´É£≤dG áMÉ°ùe ...
¢S ≥f • r =
r 360
á¶MÓe
: ≈g iôFGódG ´É£≤dG áMÉ°ùe ÚfGƒb ¿ƒμJ ∂dP ≈∏Yh ≥f ∫
1 2
= iôFGódG ´É£≤dG áMÉ°ùe 2
≥f A`g
IôFGódG í£°S áMÉ°ùe * IôFGódG í£°S áMÉ°ùe *
A`g •2
r ¢S
r 360
1 2
= = =
´É£≤dG IôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒW = ≥f , ´É£≤dG ¢Sƒb ∫ƒW = ∫ å«M , ´É£≤dG ájhGõd iôFGódG ¢SÉ«≤dG = A`g .´É£≤dG ájhGõd ≈æ«à°ùdG ¢SÉ«≤dG = ¢S
r
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٤٤
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
º°S 6 ¬JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒWh r 40 ¬àjhGR ¢SÉ«b iôFGO ´É£b áMÉ°ùe óLhGC ٣٫١٤ _ ﻁ r 36 * 3^14 * 40 = 2≥f • *
r 360
r ¢S
r 360
1 ∫É`ã`e
: π◊G = ´É£≤dG áMÉ°ùe
º°S 12^56 =¬àMÉ°ùe
2
ô£b ∞°üf ∫ƒW Ö°ùMG , º°S 7 ¬£«fih 2º°S 3 ¬ë£°S áMÉ°ùe iôFGO ´É£b . ≈æ«à°ùdG h iôFGódG Ú°SÉ«≤dG ÓμH ájõcôŸG ¬àjhGR ¢SÉ«bh ¬JôFGO
2 ∫É`ã`e
1 6 = ≥f ∫ ... 3 = ≥f ∫ 2 : π◊G (2) ≥f 2 - 7 = ∫ ... 7 = ∫ + ≥f 2 6 = ( ≥f 2 - 7) ≥f (2) , (1) øe 0 = 6 + ≥f 7- 2≥f 2 ... 6 = 2≥f2 - ≥f7 :¿ÓM ádÉC °ùª∏d 2 ,GC 3 = ≥f 0 = ( 2 - ≥f ) ( 3 - ≥f 2 ) ... 2 3 k hGC 4 = ∫ ¿ÉE a = ≥f ÉeóæY : ’ 2 A 8 8 = ∫ = A`g . . r 152 n 47 _ °180 * = ¢S∴ . 3 ≥f r • 3
(1)
3 = ∫ ¿ÉE a °180 n 56 _ * 3 = ¢S∴
r 85
•
r
2
2 = ≥f ÉeóæY : É«fÉK k A 3 = A`g 2
C ihÉ°ùàe å∏ãe `L Üh iôFGO ¢Sƒb º°SQ ,º°S 10 ¬©∏°V ∫ƒW ´Ó°V’G `g , x ≈a `L h, Üh Ú©∏°†dG ™£≤jh , h ≈a `L Ü ™∏°†dG ¢ùÁh h √õcôe Qƒ°üëŸG í£°ùdG áMÉ°ùe ™HôŸG Ϊ«àæ°ùdG øe Iô°ûY øe AõL Üôb’C óLhGC
3 ∫É`ã`e
ﻫـx ¢Sƒ≤dG , `L Ü ÚH ( πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a á∏∏¶ŸG á≤£æŸG áMÉ°ùe ≈gh ) áHƒ∏£ŸG áMÉ°ùŸG : π◊G `g h x h ´É£≤dG áMÉ°ùe - `L Ü h å∏ãŸG í£°S áMÉ°ùe =
h
: å∏ãŸG í£°S áMÉ°ùe OÉéj’E º°S 8^66 = r 60 ÉM 10 = r 60 ÉM Ü h = h h 2
º°S 43^3 = 8^66 * 10 * 1 = h h * `L Ü 1 = å∏ãŸG í£°S áMÉ°ùe 2
r 60 = ¢S
2
º°S 8^66 = h h = ≥f : ´É£≤dG áMÉ°ùe OÉéj’E ¢S r 2 º°S 39^27 _ 2(8^66) * • * 60 = 2≥f • * r = ´É£≤dG áMÉ°ùe ...
r
2
٤٥
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
r 360
r 360
º°S 4 _ 4^03 = 39^27 - 43^3 = áHƒ∏£ŸG áMÉ°ùŸG ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
¬àMÉ°ùe Ö°ùMG °135 ¬àjhGR ¢SÉ«bh º°S 10 ¬JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒW iôFGO ´É£b
1
.(3^14 _ •)
, º°S 7^3 ¬JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒWh º°S 24 ¬°Sƒb ∫ƒW iôFGO ´É£b áMÉ°ùe óLhGC
2
.≈æ«à°ùdGh iôFGódG Ú°SÉ«≤dG ÓμH ¬àjhGR ¢SÉ«b óLhGC ºK A áMÉ°ùe Ö°ùMG . º°S11 ¬°Sƒb ∫ƒWh 2^2 ájõcôŸG ¬àjhGR ¢SÉ«b iôFGO ´É£b
3
.´É£≤dG Üôb’C Ö°ùMG . º°S 3^5 ¬°Sƒb ∫ƒWh °30 ájõcôŸG ¬àjhGR ¢SÉ«b iôFGO ´É£b ´É£≤dG áMÉ°ùe 2º°S A ∞°üf ∫ƒW Ö°ùMG . 0^5 ájõcôŸG ¬àjhGR ¢SÉ«bh 2º°S 25 ¬àMÉ°ùe iôFGO ´É£b . ¬°Sƒb ∫ƒWh , ¬JôFGO ô£b
4
¢SÉ«bh ¬àMÉ°ùe óLhGC , º°S 7 ¬JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒWh º°S 28 ¬£«fi iôFGO ´É£b . ≈æ«à°ùdGh iôFGódG Ú°SÉ«≤dG ÓμH ájõcôŸG ¬àjhGR
6
, ¬JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒW Ö°ùMG . 2º°S 8 ¬àMÉ°ùeh º°S 12 ¬£«fi iôFGO ´É£b . ≈æ«à°ùdGh iôFGódG Ú°SÉ«≤dG ÓμH ájõcôŸG ¬àjhGR ¢SÉ«bh
7
å∏㟠¢ShDhQ ≈g ÉgõcGôeh , º°S 5 É¡æe πc ô£b ∞°üf ∫ƒW ôFGhO áKÓK C ihÉ°ùàe √òg ÚH Qƒ°üëŸG í£°ùdG áMÉ°ùe óLhGC , º°S 10 ¬©∏°V ∫ƒWh ´Ó°V’G . ôFGhódG
8
º°SQ , º°S 6 = `L Ü , º°S 4 = Üh ¬«a , Ü ≈a ájhGõdG ºFÉb å∏ãe `L Üh óLhGC . O ≈a `Lh ™£≤jh , Ü óæY `L Ü ¢ùÁh h Égõcôe IôFGO øe ¢Sƒb `L Ü ÚH Qƒ°üëŸG í£°ùdG áMÉ°ùe ™HôŸG Ϊ«àæ°ùdG øe Iô°ûY øe AõL Üôb’C xÜ . , O `M ,
9
5
, Üh â``ª°SQ º°S 13 = Ωh , º°S 5 É```gô£b ∞```°üf ∫ƒ`W Ω Iô```FGO êQÉ``N á````£≤f h 10 ÚH Qƒ°üëŸG í£°ùdG áMÉ°ùe 2º°S Üôb’C óLhGC . `L , Ü ≈a IôFGó``∏d ¿Éà°Sɇ `Lh C ¢Sƒ≤dGh Ú°SɪŸG . .`L͡Ü ô¨°U’G
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٤٦
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
¿ÉE a , πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a ɪc ÜhôJƒdG Ω IôFGódG ≈a É檰SQ GPEG á©£b ≈ª°ùj ɪ¡æe πc ÚFõL ¤EG ôJƒdG Gò¡H º°ù≤æj IôFGódG í£°S ≈ª°ùJ ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG ¢Sƒb ô°ü– ≈àdG ájõcôŸG ájhGõdGh , ájôFGO ,Ü `Lh iô``¨°üdG á``©£≤dG á``jhGR ≈g Ü Ω h ¿ÉE a á``©£≤dG á``jhGR . Üxh iÈμdG á©£≤dG ájhGR ≈g á°ùμ©æŸG Ü Ω h `L `g ¿ÉE a ,{`g} = ÜhB `Lx å«ëH , Ü h ôJƒdG ≈∏Y iOƒªY ô£b `L x ¿Éc GPEGh . Ü `L h iô¨°üdG á©£≤dG ´ÉØJQG ƒg
∞jô©J . ¢Sƒ≤dG ∂dP ≈àjÉ¡æH GQÉe É¡«a ¢Sƒ≤H Ohófi IôFGódG í£°S øe AõL ≈g : ájôFGódG á©£≤dG k GôJhh k
øY IQÉÑY ƒg Ü `L h iô¨°üdG á©£≤dG í£°S ¿GC ≥HÉ°ùdG πμ°ûdG øe í°†àj . Ü h Ω å∏ãŸG í£°Sh Ü `L h Ω ´É£≤dG í£°S ÚH ¥ôØdG :ɪ¡æ«H IQƒ°üëŸG ájhGõdGh Ú©∏°V á«eƒ∏©Ã å∏ãŸG í£°S áMÉ°ùe πμ°ûdG ≈a ɪc `L Ü n xh º°Sôf , (Ü
) ¥ , `L Ü , Üh ¬«a Ωƒ∏©e `L Ü h Δ .πHÉ≤ŸG x h * `L Ü 1 = (`L Ü h Δ ) Ω E 2 xh Ü ÉM Üh= xh E Ü ÉM = øμdh Üh (1) ≈a ¢†jƒ©àdÉHh 1 Ü ÉM `L Ü . Ü h = (`L Ü hΔ ) Ω E 2 å∏ãe i’C áë«ë°U IóYÉ≤dG √ògh
áé«àf ɪ¡æ«H IQƒ°üëŸG ájhGõdG Ö«L * ¬«a Ú©∏°V iGC ¤ƒW Üô°V π°UÉM ∞°üf = å∏ãŸG í£°S áMÉ°ùe
`L ÉM Ü `L * `L h
٤٧
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
1 2
1
1
2
2
= Ü ÉM `L Ü * Üh = hÉM `L h* hÜ
= (`L ÜhΔ ) Ω ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
: ájôFGódG á©£≤dG í£°S áMÉ°ùe OÉéjEG .ÜhΩ Δ áMÉ°ùe - Ü `LhΩ ´É£≤dG áMÉ°ùe = ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe 1
- 2≥f A`g
1
( `g ÉM - A`g ) 2≥f
1
`g ÉM 2≥f
2
2 2
= =
:äɶMÓe ÉæfÉE a ≥HÉ°ùdG πμ°ûdG ≈a ɪc Üxh iÈμdG á©£≤dG áMÉ°ùe ܃∏£e ¿Éc GPEG (1) i = øμàdh á°ùμ©æŸG Ü Ω h ≈g iÈμdG á©£≤dG ájhGR ¢SÉ«b ¿GC ßMÓf ÜhΩ å∏ãŸG í£°S áMÉ°ùe + ÜxhΩ ´É£≤dG áMÉ°ùe = iÈμdG á©£≤dG áMÉ°ùe ¿GC h (1)
`g ÉM 2≥f
1 2
A
+ 2≥f i
1 2
=
i ÉM - = ( i - ° 360 ) ÉM = `g ÉM E A
i -° 360 = `g e (1) ≈a ¢†jƒ©àdÉH
A
( i ÉM - i ) 2≥f 1 = i ÉM 2≥f 1 -2≥f i 1 = iÈμdG á©£≤dG áMÉ°ùe E 2 2 2 áMÉ°ùe øe iô¨°üdG á©£≤dG áMÉ°ùe ìô£H iÈμdG á©£≤dG áMÉ°ùe OÉéjEG øμÁ (2) IôFGódG í£°S
A
( `g ÉM - `g ) 2≥f
1 2
= ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe (3)
É¡JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒW ≥f å«M A
á©£≤dG ájhGõd iôFGódG ¢SÉ«≤dG ≈g `g ¢SÉ«bh , º°S 10 Égô£b ∞°üf ∫ƒW ≈àdG ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe óLhGC °120 É¡àjhGR
1 ∫É`ã`e : π◊G
0^866 = °120 ÉM = `g ÉM ,
•2 3
A
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
º°S 61^42 _ ( 0^866 -
•2 3
) 100 *
180 1
( `g ÉM - `g ) 2≥f 2
•
= 2 1 2
* °120 = A`g
= á©£≤dG áMÉ°ùe = á©£≤dG áMÉ°ùe ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٤٨
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
GPÉE a , IôFGódG ≈∏Y ¿Éà£≤f Ü , h , º°S 10 Égô£b ∞°üf ∫ƒW Ω IôFGO C ¢Sƒ≤dG ∫ƒW ¿Éc áMÉ°ùe 2º°S Üôb’C óLhGC . º°S 14 ihÉ°ùj Ü h ô¨°U’G Ü h ÉgôJh ≈àdG iÈμdG á©£≤dG ﻯ ﻡ ﻫـ
A
A
2 ∫É`ã`e : π◊G
∫
4^883 = A`g - • 2 = i , 1^4 = = ≥f = A`g 10 A 180 0^9854 - = i ÉM , °279^7753 _ * 4^883 = i
A
ﺏ
A
2
( iÉM - i ) ≥f
h
2
1 2
14
•
= iÈμdG á©£≤dG áMÉ°ùe
º°S 293 _ ( 0^985 + 4^883 ) 100 *
1
=
2
óLhGC ,º°S 17 ɪ¡jõcôe ÚH ó©ÑdGh º°S 15 , 8 ɪ¡jô£b ≈Ø°üf ’ƒW ¿ÉJôFGO .ÚJôFGódG ÚH ácΰûŸG á≤£æŸG áMÉ°ùe h
. ∑ΰûŸG ôJƒdG Ü h
٨
ﻥ
: π◊G
ﺳﻢ
ﺳﻢ
١٥
ﺟـ
x
3 ∫É`ã`e
ﻡ
¿GC í°†àj πHÉ≤ŸG πμ°ûdG øe áMÉ°ùe = ÚJôFGódG ÚH IQƒ°üëŸG á≤£æŸG áMÉ°ùe
ﺏ
áMÉ°ùe + Ω IôFGódG ≈a Ü `L h ájôFGódG á©£≤dG ¿ IôFGódG ≈a Üxh ájôFGódG á©£≤dG ¬«a ¿ h Ω ∆ (¿ Ω) = 2(17) = 289 = 225 + 64 = 2(¿ h) + 2(h Ω)
2
˚ 90 = (h 8 17
= (Ω ¿h
) ÉM ,
15 17
)¥E
=¿ Ω h
ÉM
, ˚123^8550 = (¿ ﻡh ) ¥ 2 = ( Ü ﻡh ) ¥ πμ°ûdG á°Sóæg øe ˚56^1450 = ( Ω ¿ h
•
A ˚180 * ˚123^855 = `g ,
º°S 8 = ≥f 1
º°S 42^599 _ ( `g ÉM- A`g) 2≥f
2
•
A ˚180 * 56^145 = `g , 2
º°S 16^815 _ (`g ÉM -A`g ) 2≥f 2
٤٩
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
2
2
)¥
,Ü `L h á©£≤dG ≈a
=Ü `Lh ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe
º°S 15 = ≥f 1
) ¥ 2 = (Ü ﻥh
Üxh á©£≤dG ≈a
= Üxh ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe E
º°S 59^4 _ 16^815 + 42^599 = ácΰûŸG á≤£æŸG áMÉ°ùe E ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
¢SÉ«bh º°S 10 É¡JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒW ≈àdG ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe óLhGC
1
°135 É¡àjhGR ¢SÉ«bh º°S 12 É¡JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒW ≈àdG ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe óLhGC A
2
2^2 É¡àjhGR
É¡YÉØJQGh º°S 8 É¡JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒW ≈àdG ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe óLhGC
3
. º°S 4 º°S 18 É¡JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒW ≈àdG iÈμdG ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe óLhGC . ™Hôe Ϊ«àæ°S Üôb’C œÉædG ÉHô≤e , º°S 24 ÉgôJh ∫ƒWh k áMÉ°ùe Ö°ùMG . º°S 12 ¬dƒW ôJh º°S 10 Égô£b ∞°üf ∫ƒW IôFGO ≈a º°SQ .iÈμdG á©£≤dG
4
5
Ωƒ°Sôe º°S 8 = `L Ü , º°S 6 = Üh ¬«a Ü ≈a ájhGõdG ºFÉb å∏ãe `L Üh ≈àdGiô¨°üdG çÓãdG ™£≤dG áMÉ°ùe ™Hôe Ϊ«àæ°S Üôb’C óLhGC .IôFGO πNGO . å∏ãŸG ´Ó°VGC ÉgQÉJhGC
6
º°S 10 É```gô£b ∞°üf ∫ƒW ≈``àdG Iô``FGó`dG ≈a ¿É```jhÉ`````°ùàe ¿Gô`Jh `Lh , Üh πc áMÉ°ùe Iô°ûY øe AõL Üôb’C óLhÉC a °50 = (`L hÜ )¥ ¿É``c GPÉE ````a . IôFGódG É¡«dEG ⪰ù≤fG ≈àdG ≥WÉæŸG
7
õcôà ɪgGóMEG ô“h º°S 6 É¡æe πc ô£b ∞°üf ∫ƒW ¿ÉàjhÉ°ùàe ¿ÉJôFGO B .ɪ¡æ«H ácΰûŸG á≤£æŸG áMÉ°ùe óLhGC . iôN’G
8
óLhGC , º°S 10 ɪ¡jõcôe ÚH ó©ÑdGh º°S 8 , 6 ɪ¡jô£b ≈Ø°üf ’ƒW ¿ÉJôFGO .Iô°ûY øe AõL Üôb’C ÚJôFGódG ÚH ∑ΰûŸG áMÉ°ùŸG
9
ÚH áÑ°ùædG ¿GC âÑKGC , °120 É¡°SÉ«b ájõcôe ájhGR πHÉ≤j IôFGO ≈a ôJh Üh 10 ihÉ°ùJ Ü h ôJƒdÉH IôFGódG í£°S ɪ¡«dEG º°ù≤æj øjò∏dG ÚFõ÷G ≈àMÉ°ùe 3 3 + •8 : 3 3 - • 4 ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٥٠
É«fÉK k á°Sóæ¡dG
ådÉãdG π°üØdG
±Gó`g’C G ﻓﻰ ﻧﻬــﺎﻳﺔ ﺩﺭﺍﺳــﺔ ﻫـﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼـﻞ ﻧﺘﻮﻗــﻊ ﺃﻥ ﻳﻜــﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗــﺎﺩﺭﹰﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ:
✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ ) (١ﻭﻧﺘﺎﺋﺠﻬﺎ . ✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻋﻜﺲ ﻧﻈﺮﻳﺔ ). (١ ✍ ﻳﺤﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ ) (١ﻭﻋﻜﺴﻬﺎ . ✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ ) (٢ﺗﺎﻟﻴﺲ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻭﺣﺎﻻﺗﻬﺎ ﺍﳋﺎﺻﺔ . ✍ ﻳﺤﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺗﺎﻟﻴﺲ . ✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ ). (٣ ✍ ﻳﺤﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ ). (٣
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
: (1) ájô¶f B Ú©∏°†dG ™£≤jh å∏ãŸG ´Ó°VGC óMGC iRGƒj º«≤à°ùe º°SQ GPEG ¬fÉE a øjôN’G .áÑ°SÉæàe É¡dGƒWGC ™£b ¤EG É¡ª°ù≤j ﻓﻔﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ hﺏ ﺟـ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ xﻫـ / /ﺏ ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ hﺏ ﻓﻰ h، xﺟـ ﻓﻰ ﻫـ xh fx
ﻓﺈﻥ :
=
hﻫـ ﻫـ ﺟـ
ﻭﻣﻦ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ : hﺟـ `g h
)(1
hﺏ xh
=
)(2
hﺏ xf
= `L `g
hﺟـ
(1) áé«àf ﺇﺫﺍ ﺭﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺧﺎﺭﺝ ﻣﺜﻠﺚ hﺏ ﺟـ ﻳﻮﺍﺯﻯ ً ﺿﻠﻌﺎ ﻣﻦ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻭﻟﻴﻜﻦ ﺏ ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ hﺏ h ،ﺟـ ﻓﻰ ، xﻫـ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ :
hﺟـ
hﺏ
ﻓﺈﻥ `g `L = xÜ : ﻭﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ : xh hﺏ
٥٤
=
hﻫـ `L h
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
،
`g h xh = `g `L xÜ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
: (1) ájô¶f ¢ùμY áÑ°SÉæàe É¡dGƒWGC ™£b ¤EG ɪ¡ª°ùbh å∏ãe ´Ó°VGC øe Ú©∏°V º«≤à°ùe ™£b GPEG ådÉãdG ™∏°†dG iRGƒj ¬fÉE a ﻓﻔﻰ ∆hﺏ ﺟـ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ xﻫـ ﻳﻘﻄﻊ hﺏ ﻓﻰ h، xﺟـ ﻓﻰ ﻫـ xh
hﻫـ
ﻭﻛﺎﻥ `L `g = Üx
ﻓﺈﻥ :ﺩ ﻫـ / /ﺏ ﺟـ x
x
x
1 ∫É`ã`e
hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ hJx،ﺏ ،ﺭﺳﻢxﻫـ / /ﺏ ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ hﺟـ ﻓﻰ ﻫـ ,ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ٢٫٤ = xhﺳﻢ x،ﺏ = ٣٫٦ﺳﻢ ،ﻫـ ﺟـ = ٤٫٨ﺳﻢ ،ﻓﺎﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ hﻫـ
ﺍﻟﺤﻞ :
h
٢٫٤
)ﻧﻈﺮﻳﺔ(
x
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺳﻢ
hﻫـ
٤٫٨ X ٢٫٤ = ٣٫٦
= ٣٫٢ﺳﻢ
٫٦
h ٣٫٦ﻫـ = ٣٫٢ = ٤٫٨ X ٢٫٤ﺳﻢ
i ٤٫٨
٣ ﺳﻢ
hﻫـ xh = xﺏ ﻫـ ﺟـ h ٢٫٤ﻫـ = ٤٫٨ ٣٫٦
ﺳﻢ
xﻫـ / /ﺏ ﺟـ
ﺟـ
ﺏ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٥٥
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
2 ∫É`ã`e
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞh:ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ hJ x ،ﺏ ،ﻫـ hJﺟـ ٣ = xh ،ﺳﻢ x ،ﺏ = ٢ﺳﻢ h،ﻫـ = ٤٫٥ﺳﻢ ،
h
ﻫـ ﺟـ = ٣ﺳﻢ ،ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥx :ﻫـ / /ﺏ ﺟـ ٤٫٥
ﺳﻢ
ﺍﻟﺤﻞ :
ﺳﻢ
٣
٣ xh = ٥ ∴ hﺏ ٣ ٤٫٥ ih = = ∴ ٥ ٧٫٥ hﺟـ ih xh = hﺟـ ∵ hﺏ
x ٢
٣
ﺳﻢ
i ﺳﻢ
ﺏ
ﺟـ
∴ xﻫـ / /ﺏ ﺟـ
3 ∫É`ã`e
h
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ xﻫـ h / /ﺟـ h ،ﻫـ ﻳﻘﻄﻊ xﺟـ ﻓﻰ ﺏ ،ﺏ ٣ = xﺳﻢ ،ﺏ ﺟـ = ٥ﺳﻢ ، hﻫـ = ١٢ﺳﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺏ ﻫـ
ﺍﻟﺤﻞ :
x
٣ﺳﻢ
∵ xﻫـ h / /ﺟـ ﺏ ﺟـ ∴ﺏ x ﺏ ﺟـ +ﺏ xﺏ + hﺏ ﻫـ = ∴ ﺏ ﻫـ ﺏx
٥ﺳﻢ
ﺟـ
ﺏh
= ﺏ ﻫـ
i
8 ١٢ = ﺏ ﻫـ 3
36 ∴ ﺏ ﻫـ = 8
4 ∫É`ã`e
∴ ﺏ ﻫـ = ٤٫٥ﺳﻢ
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ : hﺏ ﺟـ xﺷــﻜﻞ ﺭﺑـــﺎﻋﻰ ،ﺹ Jﺏ xﺭﺳــﻢ ﺹ ﺱ hx/ /ﻓﻘﻄﻊ hﺏ ﻓﻰ ﺱ ﻭﺭﺳﻢ ﺹ ﻉ x/ /ﺟـ ﻓﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻉ ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﺱ ﻉ h / /ﺟـ
ﺍﻟﺤﻞ :ﻓﻰ ∆hﺏx
ﺹ ﺱ hx / /
E
x/ /ﺟـ
E
،ﻓﻰ ∆ ﺏxﺟـ ﺹ ﻉ
ﺏﺱ ﺏﺹ ﺏ = hﺏ x ﺏﻉ ﺏﺹ = ﺏ ﺟـ ﺏ x
ﺃﻛﻤﻞ ﺍﻟﺤﻞ ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠
٥٦
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
١
١
h 1ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ Jx،ﺏ ﺟـ ﺑﺤﻴﺚ ﺏ ٣ =xﺏ ﺟـ ،ﻫـ xhJﺑﺤﻴﺚ hﻫـ = ، xh ٣ﺭﺳـــﻢ ﺟـ ﻫـ ﻓﻘﻄﻊ hﺏ ﻓﻰ ﺱ ،ﻭﺭﺳﻢxﺹ / /ﺟـ ﺱ ﻓﻘﻄﻊ hﺏ ﻓﻰ ﺹ ،ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ h :ﺱ = ﺏ ﺹ h 2ﺏ ﺟـ ﻣﺜــﻠـﺚ ،ﻓﻴــﻪ hﺏ = ٤ﺳـﻢ ،ﺟـ ٥ = hﺳـﻢ h Jx،ﺏ ،ﺣـﻴﺚ ﺏ ٢٫٤ =xﺳﻢ ، ﻫـ h Jﺟـ ﺣﻴﺚ hﻫـ = ٢ﺳﻢ ،ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ x :ﻫـ / /ﺏ ﺟـ 3ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤــﺎﺕ ﺏ ﺟـ ،ﺏ ١ﺟـ ، ١ﺏ ٢ﺟـ ٢ﻣــﺘـﻮﺍﺯﻳــﺔ ،ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻧﺖ hﺏ = hﺏ٢ = ٢ﺳـﻢ ، hﺟـ = ٣ﺳﻢ ،ﺏ ﺏ ٤ = ١ﺳﻢ ،ﺍﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﻣﻦ hﺟـ ، ٢ﺟـ ﺟـ ﺏ
١
٤
١
ﺳﻢ
ﺳﻢ
٣ﺳﻢ
ﺟـ
٢
ﺳﻢ
٢٫٥
ﺳﻢ
٢
ﺟـ
٢
ﺏ
٢
١
4ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ : xﻫـ / /ﺏ ﻭ x ،ﻭ / /ﺏ ﺟـ ٣ =hxﺳﻢ h ،ﻫـ = ١٫٥ﺳﻢ ،
x
ﺏ ٤ = xﺳﻢ ﺍﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻫـ ﻭ ،ﻭ ﺟـ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٥٧
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
: (2) ájô¶f óMGC ≈∏Y áŒÉædG ™£≤dG ∫GƒWGC ¿ÉE a ájRGƒàe äɪ«≤à°ùe IóY ¿Éª«≤à°ùe ™£b GPEG B ™WÉ≤dG ≈∏Y áŒÉædG ™£≤dG ∫GƒWGC ™e áÑ°SÉæàe ¿ƒμJ Ú©WÉ≤dG .ôN’G ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ
١
//ﻝ
٢
//ﻝ
/ /ﻝ
٣
٤
،ﻡ َ ،ﻡ ﻗﺎﻃﻌﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ : ﻓﺈﻥ :
hﺏ
ﺏ ﺟـ
hﺟـ
xﺟـ
َ nh
َ َ
nﺟـَ
nﺟـَ
ﺏ= ﺏ ﺟـ
= h
= x
= .....
á°UÉN ä’ÉM ) (١ﺇﺫﺍ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻡ َ ،ﻡ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ h hﺏ َ
hﺏ
= ﺏ / /ﺟـ ﺟـَ ،ﻓﺈﻥ : ﻭﻛﺎﻥ ﺏ َ hﺟـَ hﺟـ ﻡ
ﻭﺑﺎﻟﻌﻜﺲ : ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ :
hﺏ hﺟـَ
=
ﺏ
ﺟـ
hﺏ َ hﺟـ
h ﺟـَ
ﻓﺈﻥ ﺏ َ ﺏ / /ﺟـ ﺟـَ ) (٢ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ
َﻡ
ﺏ َ
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻋﻞ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻓﺈﻥ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﺎﻃﻊ ﺍﻵﺧﺮ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻛﺬﻟﻚ · )ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺳﺒﻖ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ ﻓﻰ ﻣﺮﺣﻠﺔ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻢ ﺍﻷﺳﺎﺳﻰ(
٥٨
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
ﻓﻔﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ : ﻝ
١
//ﻝ
//ﻝ
٢
٣
/ /ﻝ
٤
ﻭﻗﻄﻌﻬﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻡ َ ،ﻡ ﻭﻛﺎﻥ h :ﺏ = ﺏ ﺟـ = ﺟـ x ﺏ= َ ﻓﺈﻥ َ َh : ﺏ ﺟـَ = ﺟـَ َx
: 1 ÖjQóJ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ : hﺱ / /ﺏ ﺹ / /ﺟـ ﻉ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻷﻃﻮﺍﻝ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻉ ﺹ h ،ﺏ
ﺍﻟﺤﻞ: heﺱ / /ﺏ ﺹ / /ﺟـ ﻉ ﻭh
E
ﻭﺱ
=
hﺏ
= ﻉﺹ
: 2 ÖjQóJ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ : ﻝ ﺱ / /ﻡ ﻫـ / /ﻯ ﻙ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻷﻃﻮﺍﻝ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻫـ ﺱ ،ﻥ ﻙ ﻝ ٨
ﺳﻢ ﻡ
ﺍﻟﺤﻞ:
ﻯ ١٢ﺳﻢ
eﻝ ﺱ / /ﻡ ﻫـ / /ﻯ ﻙ E
ﻥ ﻫـ ﻥﻡ
=
ﻫـ ﺱ
=
ﻥﻙ
ﺱ ؟
ﻫـ
ﺳﻢ ﻥ ١٠
١٥
ﺳﻢ
؟
ﻙ
ﻭﺃﻛﻤﻞ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٥٩
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
: 3 ÖjQóJ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ :
َﻙ
ﻝ ١
ﻝ ،١ﻝ ، ٢ﻝ ، ٣ﻝ ٤ﺃﺭﺑﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ
ﻝ
ﻙ َﻕ
٢
ﻕ ﻭ
ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺔ ، ٣٫٥ = V Uﺳﻢ ،
ﻝ
٣٫٣ = V Rﺳﻢ ،
٣
ﺭ
َﺭ
٢ = َV َUﺳﻢ ،ﻙ ١٫٣ = Rﺳﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻷﻃﻮﺍﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ َ َRﺭ َ ،ﻙ َR
٦٠
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﻝ
٤
ﻉ
َﻉ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
1
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
hﺏ ﺟـxﺷﻜﻞ ﺭﺑـﺎﻋﻰ ﻓﻴـﻪ hﺏ / /ﺟـ ، xﺏ ﺟـ = ١٢ﺳـﻢ ،ﻫـ xhJﺑﺤـﻴﺚ hﻫـ = ٣ ﺳﻢ ،ﻫـ ٦ =xﺳﻢ ،ﺭﺳﻢ ﻫـ ﻯ x/ /ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻯ ،ﺍﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ﺏ ﻯ
2
hﺏ ﺟـxﺷﻜﻞ ﺭﺑـﺎﻋﻰ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻗﻄﺮﺍﻩ hﺟـ ،ﺏ xﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻫـ ،ﺭﺳﻢ ﻫـ ﻯ / /ﺟـ ﺏ ﻭﻳﻘﻄﻊ hﺏ ﻓﻰ ﻯ ،ﻭﺭﺳﻢ ﻫـ ﻕ / /ﺟـ xﻭﻳﻘﻄﻊ xhﻓﻰ ﻕ ،ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﻯ ﻕ / /ﺏ x
3
hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ،ﻡ ﻣﻨﺼﻒ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﺮﺿﺖ ﻧﻘﻄﺔ ﻕ ﻋﻠﻰ hﻡ ،ﺭﺳﻢ ﻕ ﻫـ h / /ﺏ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻫـ ،ﻭﺭﺳﻢ ﻕ ﻯ h / /ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻯ ،ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﻡ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻫـ ﻯ ،ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻕ ﻣﻠﺘﻘﻰ ﻣﺘﻮﺳﻄﺎﺕ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ hﺏ ﺟـ ﻓﺎﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﺏ ﻫـ = ﻫـ ﻯ = ﻯ ﺟـ =
4
1 3
ﺏ ﺟـ
ﺭ hﻁ ﺏ ﺷﺒﻪ ﻣﻨﺤﺮﻑ ﻓﻴﻪ ﺭ / / hﺏ ﻁ ،ﻡ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺭﺏ ،ﺭﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ﻡ ،ﻳﻮﺍﺯﻯ ﺏ ﻁ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﻘﻄﺮ hﺏ ﻓﻰ ﻥ ،ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﻘﻄﺮ ﺭ ﻁ ﻓﻰ ﻫـ ،ﻭﺍﻟﻀﻠﻊ hﻁ ﻓﻰ ﻕ ) (hﺑﻴﻦ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻂ ﻥ ،ﻫـ ،ﻕ ﻣﻨﺘﺼﻔﺎﺕ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ hﺏ ،ﺭ ﻁ h ،ﻁ )ﺏ( ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﻡ ﻕ =
5
1 2
) ﺭ + hﺏ ﻁ (
x
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ: ﻫـ / / xﺏ ﺟـ x،ﺏ / /ﺟـh ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ) :ﻭ ﺏ ( = ٢ﻭ X hﻭ ﻫـ
6
hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻌﻪ ١٠ﺳﻢ ،ﻡ ،ﻥ ،ﻕ ﻣﻨﺘﺼﻔﺎﺕ ﺍﻷﺿﻼﻉ hﺏ ، hﺟـ ،ﺏ ﺟـ ،ﺭﺳﻢ ﻣﻦ ﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻥ ﻙ ﻳﻮﺍﺯﻯ ﺟـ ﻡ ﻭﻳﻼﻗﻰ ﻕ ﻡ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻙ ،ﺍﺛـﺒـﺖ ﺃﻥ : ﻙ ﺏ nﺏ ﺟـ
7
hﺏ ﺟـ xﺷﺒﻪ ﻣﻨﺤﺮﻑ ﻓﻴﻪ / / xhﺏ ﺟـ ،ﻧﺼﻔﺖ hﺏ ﻓﻰ ﻁ ﻭﺭﺳﻢ ﻁ ﻡ / /ﺏ ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ xfﻓﻰ ﻫـ h ،ﺟـ ﻓﻰ ﻥ ،ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ً ﺃﻭﻻ :ﻫـ ﻡ =
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
1 2
ﺏ ﺟـ
ً ﺛﺎﻧﻴﺎ
ﻯh ﻯx = : ﻫـ ﺏ kﺟـ
ﺣﻴﺚ ﻯ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ hﺟـ ،ﺏ x ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٦١
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
: (3) ájô¶f ¢SGC ôdG Gòg óæY å∏ãª∏d áLQÉÿG ájhGõdG hGC å∏ãe ¢SGC Q ájhGR âØ°üf GPEG ɪ¡«dƒW ÚH áÑ°ùædG ÚFõL ¤EG êQÉÿG hGC πNGódG øe å∏ãŸG IóYÉb ∞°üæŸG º°ùb B Ú©∏°†dG ¤ƒW ÚH áÑ°ùædG ihÉ°ùJ .å∏ãª∏d øjôN’G ﻫـ
x
ﺷﻜﻞ ) ﺏ(
ﺷﻜﻞ ) (h
x
ﺍﻟﻤﻌﻄﻴﺎﺕ h :ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ xh ،ﻳﻨﺼﻒٍ ﺏ hﺟـ ﻓﻰ ﺷﻜﻞ )ﺃ( ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ ،ﻭﻓﻰ ﺷﻜﻞ )ﺏ( ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ∩ xh ،ﺏ ﺟـ = }{x ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ:
ﺏx hﺏ = xﺟـ hﺟـ
ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ :ﻧﺮﺳﻢ ﺟـ ﻭ xh / / eﻕ ) = (١ﻕ ٍ) (٣ﺑﺎﻟﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎﻟﺘﺒﺎﺩﻝ ،ﻕ ٍ) = (٢ﻕ ٍ) (٤ ﻣﻌﻄﻴﺎﺕ e ،ﻕ ٍ) = (١ﻕ ٍ) (٢ Eﻕ ٍ) = (٣ﻕ ٍ) (٤ h Eﻭ = hﺟـ e،
ﺏx xﺟـ
=
hﺏ hﻭ
ﻣﻦ ) (١ﻭ )E (٢
٦٢
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
)(١ ) ﻷﻥ ﺟـ ﻭ (hx / / ﺏx xﺟـ
=
hﺏ hﺟـ
)(٢
) ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ (
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
áeÉg äɶMÓe ☜) (١ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ hﺏ ﺟـ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ xhﻳﻨﺼﻒ ٍ
ﺏ hﺟـ
hﻫـ ﻳﻨﺼﻒ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﻋﻨﺪ hﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ hﺏ ﺏx = hﺟـ xﺟـ
،
ﺏ ﻫـ
ﻫـ ﺟـ =
hﺏ hﺟـ
ﺏ ﻫـ ﺏx = ﻫـ ﺟـ xﺟـ
ﺃﻯ ﺃﻥ ﺏ ﺟـ ﺗﻨﻘﺴﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ ﻓﻰ x ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﻓﻰ ﻫـ ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻭﻫﻰ:
hﺏ hﺟـ
ﻭﻳﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺼﻔﻴﻦh ، xhﻫـ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ ☜) h´ (٢ﺏ ﺟـ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ h > f hﺟـ ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻓﺈﻥ :ﺏx < xﺟـ ﺃﻯ ﺗﻜﻮﻥ xﺃﻗﺮﺏ ﺇﻟﻰ ﺟـ ﻣﻨﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺏ ﻭﻳﻜﻮﻥ hﻫـ ً ﻗﺎﻃﻌﺎ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻫـ ،ﻭﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ hﺟـ < hﺏ ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻓﺈﻥ x :ﺟـ < xﺏ ﻭﻳﻜﻮﻥ hﻫـ ً ﻗﺎﻃﻌﺎ ﺟـ ﺏ ﻓﻰ ﻫـ
☜) (٣ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ hﺏ ﺟـ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ hﺏ = hﺟـ ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ،ﻓﺈﻥxﺗﻜﻮﻥ ﻣﻨﺘﺼﻒ ً ﻣﻮﺍﺯﻳﺎ ﻟﻠﻘﺎﻋﺪﺓ ﺏ ﺟـ ﺏ ﺟـ ﻭﻳﻜﻮﻥ hﻫـ x
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٦٣
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
1 ∫É`ã`e
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ hﺏ = ٥ﺳﻢ h ،ﺟـ = ٣ﺳﻢ ،ﺏ ﺟـ = ٧٫٢ﺳﻢ xh ،ﻳﻨﺼﻒ ﺏ hﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ h ، xﻫـ ﻳﻨﺼﻒ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﻋﻨﺪ h ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻫـ ،ﺍﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ﻫـx
ﺍﻟﺤﻞ :
ﻭ
xh eﻳﻨﺼﻒ ﺏx x Eﺟـ
=
ﺏh hﺟـ
ﺏx
٥ ٣
x Eﺟـ = e
ﺏ hﺟـ
ﺏx+xﺟـ ٣+٥ xﺟـ = ٣ ﺏ ﺟـ
x Eﺟـ =
٨ ٣
Eﺟـ = x
٣ X ٧٫٢ ٨
ﺏ ﻫـ
Eﻫـ ﺟـ =
E
٧٫٢
h eﻫـ ﻳﻨﺼﻒ ٍ
= ٢٫٧ﺳﻢ ﺏ ﻫـ
hﺏ hﺟـ
ﺏ ﻫـ -ﻫـ ﺟـ ٣ - ٥ ﻫـ ﺟـ = ٣
Eﻫـ ﺟـ =
٧٫٢ ء ﺟـ
=
٢ ٣
٨ ٣
Eﻫـ ﺟـ =
٥ ٣
Eﻫـ ﺟـ =
٢ ٣
ﺏ ﺟـ
Eﺟـ ﻫـ =
٣ X ٧٫٢ ٢
ﺟـ hﻭ
= ١٠٫٨ﺳﻢ
x Eﻫـ = xﺟـ +ﺟـ ﻫـ = ١٣٫٥ = ١٠٫٨ + ٢٫٧ﺳﻢ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ hﺏ ﺟـ
ﻭ
) (١ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ Jxﺏ ﺟـ ﺑﺤﻴﺚ
ﺏx xﺟـ
=
hﺏ hﺟـ
ﻓﺈﻥ xhﻳﻨﺼﻒ
hfﺟـ
x
ﺏ ﻫـ
) (٢ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻫـ Jﺟـ ﺏ ،ﻫـ /Jﺏ ﺟـ ﺑﺤﻴﺚ ﻫـ ﺟـ = ﻓﺈﻥ hﻫـ ﻳﻨﺼﻒ
٦٤
hﺏ hﺟـ
hfﻭ ) ﻭﻫﻰ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﺔ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻋﻨﺪ ( h
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
: 1 ÖjQóJ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ h :ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ hﺏ = ٦ﺳﻢ hﺟـ = ٩ﺳﻢ ،ﺏ ﺟـ = ١٠٫٥ﺳﻢ Jxﺏ ﺟـ ﺣﻴﺚ ﺏ ٤٫٢ =xﺳﻢ
٤٫٢ﺳﻢ ١٠٫٥ﺳﻢ
ﺭﺳﻢ ﺏ ﻫـ xhnﻭﻳﻘﻄﻊ hﺟـ ﻓﻰ ﻥ ﺍﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ﻥ ﺟـ
ﺍﻟﺤﻞ : ∵ xﺟـ = ..... hﺏ hﺟـ
=
٦ ٩
=
٢ ٣
،ﺏ .... = x xﺟـ
ﻓﻰ ΄ hﺏ ﺟـ : hﺏ hﺟـ
= .....
∴ xhﻳﻨﺼﻒ
.....
ﻓﻰ ΄ hﺏ ﻥ : h eﻫـ nﺏ ﻥ h ،ﻫـ ..... ∴ hﺏ = .....ﺳﻢ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﻥ ﺟـ = .....ﺳﻢ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٦٥
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
: 2 ÖjQóJ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ : hxﻣﺘﻮﺳﻂ ﻓﻰ ∆hﺏ ﺟـ ،ﻧﺼﻔﺖ
xhﺏ ﺑﻤﻨﺼﻒ
ﻗﻄﻊ hﺏ ﻓﻰ ﺱ ،ﻭﺭﺳﻢ ﺱ ﺹ / /ﺏ ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ hﺟـ ﻓﻰ ﺹ xhﺟـ
ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥx :ﺹ ﻳﻨﺼﻒ
x
ﺍﻟﺤﻞ: ﻓﻰ ΄ xhﺏ : hﺱ
eﺏﺱ=
x eﺱ ﻳﻨﺼﻒ
xhﺏ
xh ﺏx
)(١
ﻓﻰ ΄ hﺏ ﺟـ :ﺱ ﺹ / /ﺏ ﺟـ E
hﺱ ﺱﺏ
=
hﺹ ﺹ ﺟـ
)(٢
ﻣﻦ ) (٢) ، (١ﻭﺑﻤﺮﺍﻋﺎﺓ ﺃﻥ ﺏx = xﺟـ
1
ﻭﺃﻛﻤﻞ ﺍﻟﺤﻞ
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ: hﺏ ﺟـ ﻓﻴﻪ hxﻳﻨﺼﻒ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﻋﻨﺪ ، hﻭﻳﻘﻄﻊ ﺟـ ﺏ ﻓﻰ xﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ hﺏ = ٦ﺳﻢ h ،ﺟـ = ٨ﺳﻢ ،ﺏ ﺟـ = ٥ﺳﻢ ،ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺏ x
2
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ : xﺟـ ﻗﻄﺮ ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ،ﻡ Jﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ،ﻡ ﺟـ ﻳﻨﺼﻒ ﺏ ﺟـ ﺏ x ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﺟـ= h xh
3
ﺏﻡh x
hﺏ ﺟـxﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﻓﻴﻪ hﺏ = ٦ﺳﻢ ،ﺏ ﺟـ = ٩ﺳﻢ ، hﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ xﻓﻰ ﻫـ
ﺟـ ٦ =xﺳﻢ ٤ = xh ،ﺳﻢ h ،ﻫـ ﻳﻨﺼﻒ ﺏ ﻫـ ً ً )ﺛﺎﻧﻴﺎ( ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﺟـ ﻫـ ﻳﻨﺼﻒ )ﺃﻭﻻ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻫـ x
4
hﺏ ﺟـxﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﻓﻴﻪ hﺏ = ﺏx = xh ، xﺟـ h ،ﻫـ ﻳﻨﺼﻒ x ،ﻭ ﻳﻨﺼﻒ
٦٦
ﺏ ﺟـ x
ﺏ xhﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ xﻓﻰ ﻫـ
ﺏ xﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻭ ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﻫـ ﻭ x/ /ﺟـ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
™HGôdG π°üØdG
±Gó`g’C G ﻓﻰ ﻧﻬــﺎﻳﺔ ﺩﺭﺍﺳــﺔ ﻫـﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼـﻞ ﻧﺘﻮﻗــﻊ ﺃﻥ ﻳﻜــﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗــﺎﺩﺭﹰﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ:
✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺷﺮﻃﻰ ﺗﻄﺎﺑﻖ ﻣﻀﻠﻌﲔ . ✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺷﺮﻃﻰ ﺗﺸﺎﺑﻪ ﻣﻀﻠﻌﲔ . ✍ ﻳﺤﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺗﺸﺎﺑﻪ ﻣﻀﻠﻌﲔ . ✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ ) (١ﻭﻧﺘﺎﺋﺠﻬﺎ . ✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ ). (٢ ✍ ﻳﺤﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ ). (٢ ✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ ). (٣ ✍ ﻳﺤﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ ).(٣ ✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ ).(٤ ✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﲔ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻰ ﻣﻀﻠﻌﲔ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﲔ. ✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ ) (٥ﻭﻳﺤﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻋﻠﻴﻬﺎ. ✍ ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻧﻈﺮﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ﻓﻰ ﺣﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻋﺎﻣﺔ.
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
: ∞jQÉ©Jh º«gÉØe ≥≤– GPEG §≤ah GPEG ¥ÉÑ£f’G ΩÉ“ 2Ω , 1Ω ¿É©∏°†ŸG ≥HÉ£àj ¬fGC ≥Ñ°S ɪ«a Éæ°SQO (1) B ¿ÉWô°ûdG . É©e k ¿É«J’G k hGC .ájhÉ°ùàe IôXÉæàŸG ɪ¡YÓ°VGC ∫GƒWGC : ’ .ájhÉ°ùàe IôXÉæàŸG ɪgÉjGhR äÉ°SÉ«b : É«fÉK k Ω ` 1Ω Öàμf ádÉ◊G √òg ≈ah 2 ΩÉ“ ≥Ñ£æj 1Ω ™∏°†ŸG í£°S ¿GC 2Ω , 1Ω Ú©∏°†ŸG ≥HÉ£àd áeÉ¡dG èFÉàædG øeh : ¿GC ∂dP øY èàæjh 2Ω ™∏°†ŸG í£°S ≈∏Y ¥ÉÑ£f’G 2
Ω ™∏°†ŸG í£°S áMÉ°ùe = 1Ω ™∏°†ŸG í£°S áMÉ°ùe ¿É¡HÉ°ûàŸG ¿É©∏°†ŸG (2) :¬fGC ≥Ñ°S ɪ«a Éæ°SQO
:1 ∞jô©J C øe Oó©dG ¢ùØf ɪ¡d ) Ú©∏°†Ÿ ∫É≤j ¿ÉWô°ûdG ≥≤– GPEG ¿É¡HÉ°ûàe ɪ¡fEG ( ´Ó°V’G B : É©e k ¿É«J’G k hGC ) .ájhÉ°ùàe IôXÉæàŸG ɪgÉjGhR äÉ°SÉ«b (’ .áÑ°SÉæàe IôXÉæàŸG ɪ¡YÓ°VGC ∫GƒWGC (É«fÉK) k
áeÉg äɶMÓe . IôXÉæàŸG ¢ShDhôdG Ö«JÎH Ú¡HÉ°ûàŸG Ú©∏°†ŸG Öàμf (1) : ¿ÉE a Ω ∫ ´ ¢U ¢S ™∏°†ŸG ~ `g x `L Üh ™∏°†ŸG ¿Éc GPÉE a ¢S ↔ h iGC ¢S ¢SGC ôdG ôXÉæJ h ¢SGC ôdG ¢U ↔ Ü iGC
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
¢U ¢SGC ôdG ôXÉæJ Ü ¢SGC ôdG ,
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٦٨
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
Gòμgh ... ´ ↔ `L iGC ´ ¢SGC ôdG ôXÉæJ `L ¢SGC ôdG , , Ö«JÎdG ¢ùØæH IôXÉæàŸG ¢ShDhôdG Öàμf ôXÉæàdG ¢ùØæH Ú©∏°†ŸG áHÉàμdh :Ó k ãªa .áØ∏àfl ¥ô£H Ú©∏°†ŸG áHÉàc Ö«JÎdG Gòg πªY ó©H øμÁh Ω ∫ ´ ¢U ¢S ™∏°†ŸG ~ `gx `L Üh ™∏°†ŸG ¢S Ω ∫ ´ ¢U ™∏°†ŸG ~ h`gx`L Ü ™∏°†ŸG hGC ... Gòμgh ..... ™∏°†ŸG ~ ..... ™∏°†ŸG hGC : ¿GC èàæà°ùf ÉæfÉE a Ú©∏°†e ¬HÉ°ûJ GPEG (2) .ájhÉ°ùàe IôXÉæàŸG ɪgÉjGhR äÉ°SÉ«b • .áÑ°SÉæàe IôXÉæàŸG ɪ¡YÓ°VGC ∫GƒWGC • ≈a ɪc h `g x ~ `L Ü h ¿Éc GPEG : Ó k ãªa : ¿GC èàæà°ùf ÉæfÉE a πHÉ≤ŸG πμ°ûdG (h
) ¥ = ( ...
) ¥ , ( ...
) ¥ = (Ü
)¥,(x
k hGC )¥=(h )¥:’ ..... ﺏ ﺟـ ﺏh = = : É«fÉK xh ..... `g x k
¿hO ɪgGóMGC ôaGƒJ ≈Øμj ’h É©e k ÚWô°ûdG ôaGƒJ Öéj ¿É©∏°†e ¬HÉ°ûàj ≈μd (3) B .ôN’G
ﺳﻢ٢
ﺳﻢ٢ ﺳﻢ٢
g
u
s
w
¿QÉb πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a • ≥≤ëàJ πg ôcPGC h Ú©ŸGh ™HôŸG ÚH ? ’ ΩGC É©e k ¿Éà«°UÉÿG :Ú¡HÉ°ûàe ¿Éfƒμj ¿É≤HÉ£àŸG ¿É©∏°†ŸG (4) ≥HÉ£J ∞jô©àH Éæ«©à°ùe ∂dP ô°ùa .Ú©∏°†e :πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈Øa ∫ ´ ¢U ¢S ™∏°†ŸG ` O `L Üh™∏°†ŸG ¿Éc GPEG ( ¢S
٦٩
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
¿QÉb πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a • ôcPGC h π«£à°ùŸGh ™HôŸG ÚH ɪ¡jGC h ≥≤ëàJ Úà«°UÉÿG iGC . ≥≤ëàJ ⁄
)¥=(h
k hGC ) : ¿ÉE a )¥(’
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
........ , ( ... ....
)¥=(Ü
....
ﺏ ﺟـ
)¥
ﺏh
1 = .... = .... = ´ ¢U= ¢U¢S (É«fÉK ) k ............ ™∏°†ŸG ~ O `L Ü GC ™∏°†ŸG E ,Ú≤HÉ£àe ¿É¡HÉ°ûàŸG ¿É©∏°†ŸG øμj ¿GC iQhô°†dG øe ¢ù«d ¬fGC á¶MÓe Öéjh .∂dP π∏Y :¿É¡HÉ°ûàe ådÉãd ¿É¡HÉ°ûŸG ¿É©∏°†ŸG (5) , 2Ω ™∏°†ŸG
~ 1Ω ™∏°†ŸG ¿Éch
Ω , 2Ω , 1Ω äÉ©∏°†e áKÓK Éæjód ¿Éc GPÉE a •
3
Ω ™∏°†ŸG ~ 2Ω ™∏°†ŸGh
3
3
Ω ™∏°†ŸG ~ 1Ω ™∏°†ŸG : ¿ÉE a
.¬HÉ°ûàdG ∞jô©J ΩGóîà°SÉH ∂dP ≈∏Y áægÈdG ∂æμÁ OóY ¢ùØf ɪ¡d Úª¶àæe Ú©∏°†e iGC (6) C . Ú¡HÉ°ûàe ¿Éfƒμj ´Ó°V’G hGC Úª¶àæe Ú°Só°ùe áfQÉ≤à ∂dP ô°ùa . Úª¶àæe Ú°ùªfl
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٧٠
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ:
h
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ∆hﺏ ﺟـ ~ ∆ ﻕ ﻙ ﻝ ﻭﺃﻃﻮﺍﻝ
ﻕ
ﺏ
١٢
ﻫـ ٤ﺳﻢ
ﺏ
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ :
h
ﺍﻟﻤﻀﻠﻊhﺏ ﺟـ ~xﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺱ ﺹ ﻉ ﻝ
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ : ﻭﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻷﻃﻮﺍﻝ ﺍﻟﻤﺒﻴﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺃﻭﺟﺪ : ﻃﻮﻝ ﻫـ ، xﻃﻮﻝ ﻫـ h
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
٢١
ﻝ ﺟـ
ﺏ ٥ﺳﻢ
ﺟـ ٤
ﺳﻢ ﻫـ
x
٧ﺳﻢ
ﺏ ٩ﺳﻢ
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ∆ ﺟـ ﺏh
~
∆ ﺟـ ﻫـ ، x
١٨ﺳﻢ
١٤ﺳﻢ
ﺳﻢ
ﺃﻭﺟﺪ:
h
x ﻉ
ﺹ
ﻃﻮﻝ ﺱ ﺹ ،ﻃﻮﻝ ﻉ ﻝ ،ﻃﻮﻝ ﺱ ﻝ
١٥ﺳﻢ
ﺱ
ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻷﻃﻮﺍﻝ ﺍﻟﻤﺒﻴﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ
٥
ﺳﻢ
٦ xﺳﻢ
ﺟـ ﻫـ
4
١٢ﺳﻢ
ﺳﻢ
/ /ﺏ ﺟـ ،ﻭﻣﻦ ﺍﻷﻃﻮﺍﻝ
ﺍﻟﻤﺒﻴﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺏ ،xﻭﻃﻮﻝ
3
ﺟـ
ﺟـ
∆ xhﻫـ ~ ∆hﺏ ﺟـ ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥxﻫـ
١٤
2
ﻙ
ﻝ
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ :
ﺳﻢ
ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺱ ،ﺹ
١٥
ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻣﺒﻴﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ
١٠
ﺳﻢ
ﺳﻢ
1
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
h
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٧١
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
:âfÉc GPEG ¿É©∏°†ŸG ¬HÉ°ûàj ¬fGC ≥Ñ°S ɪ«a Éæë°VhGC k hGC ) . ájhÉ°ùàe ɪgÉjGhR äÉ°SÉ«b (’ . áÑ°SÉæàe IôXÉæàŸG ɪ¡YÓ°VGC ∫GƒWGC (É«fÉK) k . ¿É©∏°†ŸG ¬HÉ°ûàj ≈μd É©e k ¿ÉWô°ûdG ≥≤ëàj ¿GC óH’h
≥≤– GPEG iGC , ¿ÉeRÓàe ÚWô°ûdG øjòg ¿GC ≈∏j ɪ«a iÔ°ùa äÉã∏ãŸG ≈a ÉeGC B •ô°ûdG ≥≤– Úã∏ãe iGC ≈a ɪgGóMEG ¢Vô©f ±ƒ°ùa . Ú¡HÉ°ûàe ¿Éã∏ãŸG ¿ƒμjh ôN’G B äÉjô¶ædG ≈a ∂dP . äÉã∏ãŸG ¬HÉ°ûJ ä’ÉM ≈ª°ùJ ≈àdGh , á«J’G
(1) ájô¶f B å∏ãŸG ≈a ÉgôFɶf äÉ°SÉ«b Úã∏ãe ó``MGC É``jGhR äÉ°SÉ«b ähÉ°S GPEG Úã∏ãŸG ¿Éc ô``N’G .Ú¡HÉ°ûàe h x ﺹ ﻭ
ﺱ
ﻫـ ﺏ
ﺟـ
(1) áé«àf øe Ú``à``jhGR ≈°SÉ«b ɪgóMGC øe Ú``à``jhGR ¢SÉ«b ihÉ°S GPEG ¿Éã∏ãŸG ¬HÉ°ûàj h
ء ﺟـ
X ﺏ
B .ôN’G
ﻭ
: πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a
X ﻫـ
, (`L xﻭ ﺟـh
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
) ¥ = (h =
ﻫـ ﻭ ﺏ ﺟـ
=
)¥ ﻫـx fh
D
، (h ) ( = ﻕx ) ﻕ (ﻕ ) ﻫـ( = ﻕ ) ﺏ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
٧٢
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
á°UÉN ä’ÉM h
C ÉjhÉ°ùàŸG ¿Éã∏ãŸG (1) . ¿É¡HÉ°ûàe ´Ó°V’G
x ﻭ
ﺟـ
GPEG ÚbÉ°ùdG ÉjhÉ°ùàŸG ¿Éã∏ãŸG ¬HÉ°ûàj (2) IóYÉ≤dG ≈àjhGR ióMEG ¢SÉ«b ihÉ°S
ﻫـ
f
IóYÉ≤dG ≈àjhGR óMGC ¢SÉ«b ɪgóMG ≈a x
B ≈a . πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a ɪc ôN’G
ﺟـ ﻭ
ﻫـ
GPEG ájGhõdG ɪFÉ≤dG ¿Éã∏ãŸG ¬HÉ°ûàj ( 3 ) ÚàjOÉ◊G ÚàjhGR ióMEG ¢SÉ«b ihÉ°S
f
h
B ≈a ÚàjhGõdG ióMEG ¢SÉ«b ɪgGóMEG ≈a ɪc ôN’G . πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a
áeÉg áXƒë∏e h
:πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈Øa . IôXÉæàŸG ɪ¡°ShDhQ Ö«JÎH Úã∏ãŸG áHÉàc Ωõ∏j ﻭ f
(ﺏ( = ﻕ ) ﻫـ x
ﺟـ
، (x ) ( = ﻕh
∗
ﻫـ
) ﻕ: ¿Éc GPEG )ﻕ
ﻫـ ﻭx ∆ ~ ﺏ ﺟـh∆
C ∫GƒWGC Ö°SÉæJ Öàμf ¿GC øμÁh º°SôdG ¤EG ´ƒLôdG ¿hO IôXÉæàŸG ´Ó°V’G B : ≈J’Éc hﺟـ
ﺏ ﺟـ
fh
= = ﻫـ ﻭ E xﻭ ﻫـx
(2) áé«àf º°ù≤fG ôJƒdG ≈∏Y OƒªY ájhGõdG ºFÉ≤dG å∏ãŸG ‘ áªFÉ≤dG ¢SGC Q øe º°SQ GPEG C å∏ãŸG ¬HÉ°ûj ɪgÓch Ú¡HÉ°ûàe Úã∏ãe ¤EG å∏ãŸG . ≈∏°U’G
٧٣
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ- ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ : ∆ hﺏ ﺟـ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ n xh , hﺏ ﺟـ ﻓﺈﻥ x∆ :ﺏ h∆ ~ hﺏ ﺟـ ~ ∆ hxﺟـ ﻭﻳﺘﺮﻙ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺫﻟﻚ
h
ﻭﻣﻦ ﺫﻟﻚ ﻧﺠﺪ ﺃﻥ : ∆ xﺏ h ∆ ~ hﺏ ﺟـ E
ﺏ
x
ﺟـ
xﺏ ﺏh = ﺏ ﺟـ hﺏ
) Eﺏ = ٢(hﺏ Xxﺏ ﺟـ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺗﺤﻘﻖ ﺃﻥ : ٢ x = (xh)،ﺟـ x Xﺏ )ﺟـ = ٢(hﺟـ Xxﺟـ ﺏ X hx ،ﺏ ﺟـ = hﺏ h Xﺟـ ﻡ ﻝ ﻥ ﻣﺜﻠﺚ ،ﻫـ Jﻡ ﻝ ﺭﺳﻢ ﻫـ ﻙ / /ﻝ ﻥ ﻓﻘﻄﻊ ﻡ ﻥ ﻓﻰ ﻙ ،ﻧﺼﻔﺖ gﻥ ﻓﻰ
1 ∫É`ã`e
ﺹ ،ﻭﺭﺳﻢ ﻡ ﺹ ﻓﻘﻄﻊ ﻫـ ﻙ ﻓﻰ ﺱ ﻭﻗﻄﻊ ﻝ ﻙ ﻓﻰ ﻉ ,ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ً ﺃﻭﻻ :ﺱ ﻙ Xﺹ ﻉ = ﺱ ﻉ Xﺹ ﻝ ﺱﻉ
ﻡﺱ
ً ﺛﺎﻧﻴﺎ : ً ﺛﺎﻟﺜﺎ :ﺱ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻫـ ﻙ ﺹﻉ
=
ﻡﺹ
ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ : eﺱﻙ //ﻝﺹ ∆ Eﺱﻙﻉ~∆ ﺹ ﻝ ﻉ E
ﺱﻙ ﺹﻝ
=
ﺱﻉ ﺹﻉ
)(١
eﺱﻙXﺹﻉ=ﺱﻉXﺹﻝ
ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ً ﺃﻭﻻ
ﻓﻰ ∆ ﻡ ﺹ ﻥ : Eﺱﻙ
//ﺹﻥ
∆ Eﻡﺱﻙ~∆ﻡ ﺹ ﻥ
٧٤
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
E
ﺱﻙ ﺹﻥ
=
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ ﻡﺱ
)(٢
ﻡﺹ
ﻣﻦ )، (٢) ، (١ E
ﺱﻉ ﺹﻉ
=
∵
ﺹﻝ=ﺹﻥ
ﻡﺱ
ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ً ﺛﺎﻧﻴﺎ
ﻡﺹ
ً ﺛﺎﻟﺜﺎ :ﻳﺘﺮﻙ ﺍﻹﺛﺒﺎﺕ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ h ، hﺏ = ٢٠ﺳﻢ h ،ﺟـ = ١٥ﺳﻢ nxh ،ﺏ ﺟـ
2 ∫É`ã`e
hﺟـ ، xﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ hﻫـ ،ﻫـ x
،ﺟــ ﻫـ ﻳﻨﺼﻒ ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ :
)ﺏ ﺟـ(h)= ٢ﺏ(h) + ٢ﺟـ(
٢
= )٦٢٥ = ٢(١٥) + ٢(٢٠ Eﺏ ﺟـ = ٢٥ = ٦٢٥ﺳﻢ n x h eﺏ ﺟـ ) eﺟـ = ٢(hﺟـ X xﺟـ ﺏ = ٢(١٥) Eﺟـ٢٥ X x Eﺟـ=x
١٥ X ١٥ ٢٥
x
= ٩ﺳﻢ
)١٤٤ = ٢(٩) - ٢(١٥) = ٢(xh
Eﺃﻯ hء = ١٢ = ١٤٤ﺳﻢ
ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ hﺟـ،x eﺟـ ﻫـ ﻳﻨﺼﻒ E E
ﺟـ h
=
ﺟـ x ٩ + ١٥ ٩
٢٤ ٩
Eﻫـ=x
hﺟـ x
hﻫـ
ﺃﻯ ﺃﻥ
ﻫـ x
٩
ﻫـ x
hﻫـ +ﻫـ x
= =
١٥
=
hﻫـ
ﻫـ x hﻫـ
ﺃﻯ ﺃﻥ
ﻫـ x
١٢ X ٣ ٨
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
١ ٢
= ٤ﺳﻢ
٨ ٣
=
١٢ ﻫـ x
- ١٢ = ih ،
١ ٢
١ ٢
٧ = ٤ﺳﻢ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٧٥
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
1 2 3
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻓﻰ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ ، ْ ٤٣ ، ْ ٧٢ﻭﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻓﻰ ﻣﺜﻠﺚ ﺁﺧﺮ ْ ٦٥، ْ ٧٢ﻓﻬﻞ ﻳﺘﺸﺎﺑﻪ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﻥ؟ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺱ ﺇﺣﺪﻯ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻪ ﺍﻟﺤﺎﺩﺗﻴﻦ ْ ٣٨ﻭﻣﺜﻠﺚ ﺁﺧﺮ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺱ ﺇﺣﺪﻯ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻪ ﺍﻟﺤﺎﺩﺗﻴﻦ ْ ٥٢ﻓﻬﻞ ﻳﺘﺸﺎﺑﻪ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﻥ ؟
f x
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ : ﻫـ
/ / hxﺟـ ﺏ ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ) h∆ (١ﻫـ ∆ ~xﺏ ﻫـ ﺟـ
h
) h (٢ﻫـ Xﻫـ ﺟـ =xﻫـ Xﻫـ ﺏ
ﺟـ
ﻫـ
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ : ﻕ) ﻫـ( = ٍ ٍ ﻕ) ﺟـ( h ،ﻫـ = ١٤ﺳﻢ ،ﻫـ ١٢ =xﺳﻢ ، ﺟـ ﺏ = ١٥ﺳﻢ x،ﺏ = ٤ﺳﻢ ,ﺃﻭﺟﺪ h :ﺟـ h، x h ،ﺏ f
١٤
١٢
ﺳﻢ
4
ﺟـ ﺳﻢ
٤ﺳﻢ
h
x
5
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ : hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ n x h ، hﺏ ﺟـ hﺏ = ٦ﺳﻢ h ،ﺟـ = ٨ﺳﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺏx ، xﺟـ xh ،
6
ﻙ ﻝ ﻯ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ ﻯ ﻙ = ﻝ ﻙ ،ﻫـ Jﻝ ﻯ ،ﻫـ ﻡ nﻝ ﻙ ،ﻫـ ﻥ nﻙ ﻯ
ﺳﻢ
٨
٦
ﺳﻢ
ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﻯ ﻥ Xﻫـ ﻡ = ﻫـ ﻥ Xﻝ ﻡ 7
hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ,ﺭﺳﻢ ﺏ ﻫـ nﺏ ﺟـ ﻓﻘﻄﻊ ﺟـ hﻓﻰ ﻫـ ،ﺛﻢ ﺭﺳﻤﺖ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻗﻄﺮﻫﺎ ﺏ hﻓﻘﻄﻌﺖ ﺏ ﻫـ ﻓﻰ ﺱ ﻭﻗﻄﻌﺖ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﺹ ւ
8
ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ∆ hﺹ ﺟـ ~ ∆ ﻫـ ﺱ h
ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ: xﻫـ ﻭ ﻣﺜﻠﺚ ،ﻕ ) ﻭ( = ﻕ )
ﺩ ﺱ ﺹ(
x،ﺱ = ﺹ ﻭ = ٣ﺳﻢ x،ﺹ = ٥ﺳﻢ ،
٢ﺳﻢ
ւ
ﻣﺎ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃ ﺱ ﺏ ﺹ ؟ ٥ ﺳﻢ
٣ ﺳﻢ
ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺱ ﻫـ
٧٦
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ 9
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ :ﻝ/ / ١ﻝ h ، ٢ﺏ Bﺟـ B xﻫـ ﻭ = } ﻡ { ◇ ◇
ﺍﺫﻛﺮ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﺯﻭﺍﺝ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﺔ hﺟـ
ﺏ =x
ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ :
hﻫـ ﺟـ ﻫـ ﺏﻭ = xﻭ
h 10ﺏ ﺟـ xﺷﻜﻞ ﺭﺑــﺎﻋﻰ ،ﻧﺼﻔﺖ ﺯﺍﻭﻳـﺔ ﺏ ﺑﻤﻨﺼﻒ ﻗﻄﻊ hﺟـ ﻓﻰ ﻫـ ،ﻭﺭﺳﻢ ﻫـ ﻭ / /ﺟـ xﻓﻘﻄـﻊ xhﻓﻰ ﻭ ،ﻓﺈﺫﺍ ﻛــﺎﻥ hﺏ = ٩ﺳﻢ ،ﺏ ﺟـ = ٦ﺳﻢ ، ﻫـ ﻭ = ٢٫٤ﺳﻢ ،ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺟـ x h 11ﺏ ﺟـ xﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ h ،ﺟـ Bﺏ} =xﻫـ{ ،ﺏ B hﺟـ} =xﻭ{ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ h ∆ (١) :ﺏ ﻫـ ~ ∆ xﺟـ ﻫـ ،ﻭﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ h :ﻫـ Xﻫـ ﺟـ = ﺏ ﻫـ Xﻫـ x ) ∆ (٢ﻭ xﺏ ~ ∆ ﻭ hﺟـ ﻭﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ :ﻭ X hﻭ ﺏ = ﻭ X xﻭ ﺟـ h 12ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ،ﺏ xﻣﻤﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻋﻨﺪ ﺏ ﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ hﺟـ ﻓﻰ ، xﺃﺛﺒﺖ
ﺃﻥ~ fhx ∆ :
∆ xﺟـ ﺏ ،ﻭﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ )xﺏ ( x X xh = ٢ﺟـ
( َx) ، ( x) 13ﺩﺍﺋﺮﺗﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺘﺎﻥ ﻓﻰ ، hﺏ ،ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ) (xﻋﻨﺪ ﺏ ﻳﻘﻄﻊ ) (َxﻓﻰ ﻫـ ،ﻭﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ) (َxﻋﻨﺪ ﺏ ﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ) (xﻓﻰ ﺟـ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ) h ∆ ( ١ﺏ ﺟـ ~ ∆ hﻫـ ﺏ ) h) ( ٢ﺏ( h = ٢ﺟـ hXﻫـ ٢
) ) ( ٣ﺏ ﺟـ(= ٢ )ﺏ ﺟـ(
hﺟـ hﻫـ
14ﻓﻰ ﺷﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ :ﺭ ﻕ nﻙ ﻕ ،ﻙ ﻕ nﻥ ﻙ ﻥ ﻡ nﻙ ﺭ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ﻡﻕXﺭﻕ=ﻡﻙXﻕﻙ 15ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ : ﻭ ﺭxﻫـ ﻣﺮﺑﻊ ،
ﺟـ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ :
x hΔ (1ﺭ ~ Δﺭ ﺟـ ﻭ xhΔ (2ﺭ ~ Δﻭ ﻫـ ﺏ X xh (3ﻫـ ﺏ = xﺭ Xﻭ ﻫـ x) (4ﺭ( X xh = ٢ﻫـ ﺏ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٧٧
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
á«fÉãdG ádÉ◊G
(2) ájô¶f
∫GƒWGC âÑ°SÉæJh ôNBG å∏ãe øe ájhGR ¢SÉ«b å∏ãe øe ájhGR ¢SÉ«b ihÉ°S GPEG C . ¿É¡HÉ°ûàj Úã∏ãŸG ¿ÉE a ÚàjhGõdG ÚJÉg iƒà– ≈àdG ´Ó°V’G h x ﺹ
ﺱ
ﻫـ ﺏ
ﻭ
ﺟـ
ﺍﻟﻤﻌﻄﻴﺎﺕ :ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﻥ hﺏ ﺟــ x ،ﻫـ ﻭ ﻓﻴﻬﻤﺎ : ﻕ ) = (hﻕ )
ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ h Δ :ﺏ ﺟـ ~
، (x
hﺏ xﻫـ
=
hﺟـ xﻭ
x Δﻫـ ﻭ
ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ :ﻧﺄﺧﺬ ﺱ hJﺏ ،ﺹ hJﺟـ ﺑﺤﻴﺚ hﺱ =xﻫـ h ،ﺹ =xﻭ h Δ Eﺱ ﺹ ` Δﺩ ﻫـ ﻭ ) ﺿﻠﻌﺎﻥ ﻭﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﺤﺼﻮﺭﺓ (
)(١
ﻓﻬﻤﺎ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺎﻥ ﺃﻯ hΔﺱ ﺹ ~ x Δﻫـ ﻭ ∴
hﺏ
xﻫـ =
hﺟـ xﻭ
h ،ﺱ = xﻫـ h ،ﺹ = xﻭ
∴ﻕ) hﺱ ﺹ(= ﻕ )
hﺏ ﺟـ( ،ﻕ ) hﺹ ﺱ( = ﻕ ) hﺟـ ﺏ(
ﻓﻴﻜﻮﻥ h Δﺱ ﺹ h Δ ،ﺏ ﺟـ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺎﻥ ﻟﺘﺴﺎﻭﻯ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﻭﺍﻳﺎﻫﻤﺎ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﺓ
hΔﺱﺹ~
h Δﺏ ﺟـ
ﻣﻦ ) (٢) ، (١ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ h Δﺏ ﺟـ ~
٧٨
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
)(٢ x Δﻫـ ﻭ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
äÉ≤«Ñ£J ) h (١ﺟـ x Bﻫـ = }ﺏ{ h ،ﺏ = xﺏ = ٥ﺳﻢ ،ﻫـ ﺏ = ﺟـ ﺏ = ٣ﺳﻢ ٤ = xh ،ﺳﻢ ﺃﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ﺟـ ﻫـ
: IôμØdG h Δﺏ Δ ~ xﺟـ ﺏ ﻫـ
)ﻟﻤﺎﺫﺍ ؟(
ﺍﻛﺘﺐ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻟﺘﺴﺘﻄﻴﻊ ﺣﺴﺎﺏ ﻃﻮﻝ ﺟـ ﻫـ ﻭﺍﻟﺠﻮﺍﺏ :ﺟـ ﻫـ = ٢٫٤ﺳﻢ ) Δ (٢ﻭ ﻙ ﻥ ﻓﻴﻪ ﻡ Jﻭ ﻥ ، ﻭﻡ = ٤ﺳﻢ ،ﻡ ﻥ = ٥ﺳﻢ ، ﻭﻙ = ٦ﺳﻢ ،ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ւ
Δﻭﻡ ﻙ ~ Δﻭ ﻙ ﻥ
ւ
ﻭ ﻙ ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﺔ ﻋﻦ Δﻡ ﻙ ﻥ
: IôμØdG ﻟﻠﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ﻭ ﻡ ﻙ ،ﻭ ﻙ ﻥ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﺸﺘﺮﻛﺔ Eﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺗﻨﺎﺳﺐ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﺘﻮﻳﻬﺎ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ . ﻫﻞ Δﻭ ﻡ ﻙ ~ Δﻭ ﻙ ﻥ
)ﻭﻟﻤﺎﺫﺍ ؟(
ﻛﻴﻒ ﻧﺜﺒﺖ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ) (٢؟
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٧٩
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
1
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺏ ﺟـ Bﺩ ﻫـ = }ﺃ{ h ،ﺏ = ٢٫٨ﺳﻢ h ،ﺩ = ٢٫١ﺳﻢ h ،ﺟـ = ٧٫٢ﺳﻢ ، hﻫـ = ٩٫٦ﺳﻢ ،ﺏ ﺩ = ٣٫٥ﺳﻢ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ռ
h Δﺏ ﺩ ~ h Δﺟـ ﻫـ ،ﻭﺃﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ﺟـ ﻫـ
ռ
ﺇﺫﺍ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺟـ ﺩ ،ﻫـ ﺏ ﻓﻰ ﻙ ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ xh Δﺟـ ~
h Δﺏ ﻫـ ,ﻭﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ :
x Δﻙ ﻫـ ~ Δﺏ ﻙ ﺟـ 2
hﺏ ﺟـ Δﻓﻴـﻪ hﺏ = ١٠ﺳﻢ h ،ﺟـ = ٨ﺳﻢ ،ﺏ ﺟـ = ١٢ﺳﻢ ،ﻫـ h Jﺏ ﺑﺤﻴﺚ hﻫـ = ٤ﺳﻢ Jx ،ﺏ ﺟـ ﺑﺤﻴﺚ xﺟـ = ٧ﺳﻢ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ :
3
ռ
Δﺏ xﻫـ ~
ռ
ﺍﻟﺸﻜﻞ hﺟـ ﺩ ﻫـ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﺩﺍﺋﺮﻯ
Δﺏ hﺟـ :ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﻃﻮﻝ ﻫـ x
ﺍﻟﻤـﺜـﻠـﺚ ﺱ ﺹ ﻉ ﻓﻴــﻪ ﺱ ﺹ = ١٦ﺳﻢ ،ﺹ ﻉ = ٢٤ﺳﻢ ،ﻉ ﺱ = ٢٠ﺳــﻢ Jx،ﺱ ﻉ ﺣﻴﺚ ﻉ ١٥ = xﺳﻢ ،ﻫـ Jﺹ ﻉ ﺣﻴﺚ ﻉ ﻫـ = ١٢٫٥ﺳﻢ
ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ x Δ :ﻉ ﻫـ ~ 4
hﺏ ﺟـ x ،ﻫـ ﻭ ﻣﺜﻠﺜﺎﻥ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺎﻥ h ،ﺱ x ،ﺹ ﻣﺘﻮﺳﻄﺎﻥ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺍﻥ ﻓﻴﻬﻤﺎ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ :
5
hﺱ xﺹ
=
hﺟـ xﻭ
hﺏ ﺟـ xﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﻣﺮﺳـﻮﻡ ﺩﺍﺧـﻞ ﺩﺍﺋــﺮﺓ ﺗﻘــﺎﻃﻊ ﻗﻄﺮﺍﻩhﺟـ ،ﺏ xﻓﻰ ﻫـ , ﻓﺈﺫﺍ ﻛــﺎﻥ :
٨٠
Δﺹ ﻉ ﺱ ﻭﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ xﻫـ
ﺏh xﺟـ
=
hﺟـ xﺏ
ռ
hΔﺏ ﻫـ ~
x Δﺏ ﺟـ
ռ
ﺏ ﺩ ﻳﻨﺼﻒ
hﺏ ﺟـ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺃ ﺛﺒﺖ ﺃﻥ :
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
áãdÉãdG ádÉ◊G
(3) ájô¶f C ∫GƒWGC âÑ°SÉæJ GPEG . ¿É¡HÉ°ûàj ɪ¡fÉE a Úã∏ãe ≈a IôXÉæàŸG ´Ó°V’G x
ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ h Δﺏ ﺟـ x Δ ،ﻫـ ﻭ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ :
hﺏ ﺏ ﺟـ xﻫـ = ﻫـ ﻭ
=
h
ﺱ
ﻭ
ﻫـ
ﺹ
ﺟـ h ﻭx ﺏ
ﻓﺈﻥ h Δ :ﺏ ﺟـ ~ x Δﻫـ ﻭ ﺟـh hﺏ ﺏ ﺟـ = = ﻭx xﻫـ ﻫـ ﻭ
)¥
D
) ¥ = (h
ﺟـ
, (x
) ¥ = (Ü ) ¥
, (`g
) ¥ = (`L
, (h
)¥
äÉ≤«Ñ£J ) (١ﻓﻰﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ: xﻥ / /ﻭ ﻫـ x،ﻫـ nﻫـ ﻭ ، ﻡ xJﻫـ x ،ﻭ = ١٠ﺳﻢ ، ﻭ ﻫـ = ٨ﺳﻢ x ،ﻡ = ٤ﺳﻢ xﻥ = ٣ﺳﻢ ،ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ :
xΔﻥﻡ~
Δﻫـ xﻭ
: IôμØdG x eﻥ / /ﻭ ﻫـ
Eﻕ) ﻡxﻥ(=ﻕ)
ﻫـ ( = ْ ٩٠
ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺱ :ﻓﻰ x Δﻥ ﻡ :ﻡ ﻥ = ٥ﺳﻢ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٨١
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
ﻓﻰ Δﻫـ xﻭ x :ﻫـ = ٦ﺳﻢ ، ً ً ﺗﻨﺎﺯﻟﻴﺎ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳﺎ ﺃﻭ ﺛﻢ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ xﻥ ﻡ ،ﻫـ xﻭ ، xﻥ = ٣ﺳﻢ
x ،ﻡ = ٤ﺳﻢ
،ﻡ ﻥ = ٥ﺳﻢ
x ,ﻫـ = ٦ﺳﻢ
،ﻫـ ﻭ = ٨ﺳﻢ
،ﻭ ١٠ = xﺳﻢ
ﻧﻮﺟﺪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ
ﻫﻞ x Δﻥ ﻡ ~
Δﻫـ xﻭ ،ﻭﻟﻤﺎﺫﺍ ؟
) (٢ﻓﻰﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ: hﺏ ﺟـ xﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﻓﻴﻪ :ﺏ ﺟـ = ٢٧ﺳﻢ hﺏ = ﺟـ ١٢ = xﺳﻢ ٨ = xh ،ﺳﻢ ، hﺟـ = ١٨ﺳﻢ .ﺃﺛﺒﺖ ﺃ ﻥ :
Δﺏ hﺟـ ~
xh Δﺟـ
ռ
ﺟـ hﻳﻨﺼﻒ
ռ
ﺇ ﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺏ hB xﺟـ = } ﻫـ {
ռ
ﻓﺄﺣﺴﺐ
ﺏ ﺟـ x
ﺏi ﻗﻴﻤﺔ ﻫـ x
: IôμØdG
ﺍﺗﺒﻊ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻓﻰ ) (١ﻹﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ Δﺏ hﺟـ ~ ﻭﻣﻦ ﺫﻟﻚ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ :ﻕ ) ﻭﻳﺘﺮﻙ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ
ﺏi ﻫـ x
ﺏ ﺟـ = ( hﻕ ) =
x hΔﺟـ hﺟـ ( x
٩ ٤
) (٣ﻓﻰﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ: ﻝ
ﺱ ﺹ ﻉ ﻝ ﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﻣﺤﺪﺏ ﻓﻴﻪ :
ﺱ
ﺱ ﺹ = ٣٠ﺳﻢ ،ﺹ ﻉ = ٣٦ﺳﻢ ، ﻉ ﻝ = ١٦ﺳﻢ ،ﻝ ﺱ = ٢٠ﺳﻢ ،ﺱ ﻉ = ٢٤ﺳﻢ ռ
ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ Δ :ﺱ ﺹ ﻉ ~ Δﻝ ﺱ ﻉ
ռ
ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺘﺴﺎﻭﻯ ﻗﻴﺎﺳﺎﺗﻬﺎ
ﻉ
ﺹ
٨٢
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
ﻭ hﺏ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴـﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴـﺎﻗﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻭ = hﻭﺏ ،ﻫـ ﻣﻨﺘﺼـﻒ hﺏ ،ﺃﺧﺬﺕ ﻡ Jﻭ ، hﻥ Jﻭ ﺏ ﺑﺤﻴﺚ h ٤ :ﻡ Xﺏ ﻥ = )hﺏ( ، ٢ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ :
1 ∫É`ã`e
h ∆ (1ﻫـ ﻡ ~ ∆ ﺏ ﻥ ﻫـ ﻭﺑﻴﻦ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﺎﺗﻬﺎ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ h ∆ (2ﻫـ ﻡ ~ ∆ ﻫـ ﻥ ﻡ ﻭﺑﻴﻦ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﺎﺗﻬﺎ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ (3ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﻫـ ﻫﻰ ﻣﻠﺘﻘﻰ ﺍﻟﻤﻨﺼﻔﻴﻦ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ
hﻡ ﻥ ،
ﺏﻥﻡ
ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ :
)h ٤ e (١ﻡ Xﺏ ﻥ = )hﺏ( ) hﺏ( ﻡXﺏﻥ= ٤ hﻫـ hﻡ = ﺏ ﻫـ ﺏ ﻥ
hE E
٢
٢
= ) hﻫـ( h = ٢ﻫـ Xﻫـ ﺏ
ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ hﻫـ ﻡ ،ﺏ ﻥ ﻫـ ﻕ) hﻡ
=(hﻕ)
،ﺏ ﻫـ =
٠٠٠٠٠ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﻄﻴﺎﺕ
ﺏ(
hﻫـ ﺏﻥ
٠٠٠٠٠ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ
h Δ Eﻫـ ﻡ ~ Δﺏ ﻥ ﻫـ ﻭﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ :ﻕ) hﻫـ ﻡ(= ﻕ) ,ﻕ ) hﻡ ﻫـ ( = ﻕ ) ﻭﻳﻜﻮﻥ
hﻫـ
ﺏ ﻥ=
) e (٢ﻕ )
ﺏ ﻥ ﻫـ( ) ﻳﻘﺎﺑﻼﻥ ﺍﻟﻀﻠﻌﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ hﻡ ،ﺏ (i
ﺏ ﻫـ ﻥ ( ) ﻳﻘﺎﺑﻼﻥ ﺍﻟﻀﻠﻌﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ، ihﺏ ﻥ (
ﻡh ﻫـ ﻡ = ﻥ ﻫـ ﻫـ ﺏ
ﻡ ﻫـ ﻥ ( = ﻕ )
ﻫـ hﻡ (
ﻻﻥ ﻛﻼ ﻣﻦ ﻫﺎﺗﻴﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻦ ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻜﻤﻠﺔ ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )(١ ﻫـ ﻡ ﻡh = hﻫـ ﻥ ﻫـ
) ﻷﻥ hﻫـ = ﺏ ﻫـ (
ﻣﻦ ﻫﺬﺍ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ hΔﻫـ ﻡ ~ Δﻫـ ﻥ ﻡ ﻭﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ :ﻕ) ﻫـ ﻡ ﻥ ( = ﻕ )
hﻡ ﻫـ (
) ﻳﻘﺎﺑﻼﻥ ﺍﻟﻀﻠﻌﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻫـ ﻥ h ،ﻫـ ( ،ﻕ)
ﻫـ ﻥ ﻡ ( = ﻕ )
hﻫـ ﻡ (
) ﻳﻘﺎﺑﻼﻥ ﺍﻟﻀﻠﻌﻴﻦ ﻫـ ﻡ h ،ﻡ (
) (٣ﻳﺘﺮﻙ ﻹﺛﺒﺎﺕ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٨٣
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
hﺏ ﻭ ﺟـ ﻣﻌﻴﻦ ﺭﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﺮﺃﺱ hﻭﻳﻘﻄﻊ ﻭﺏ ،ﻭ ﺟـ ﻓﻰ ﻡ ،ﻥ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ :
2 ∫É`ã`e
Δ (1ﺃ ﺏ ﻡ ~ Δﻥ ﺟـ ، hﻭﺃﻥ ﺏ ﻡ Xﺟـ ﻥ = ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺛﺎﺑﺘﺎ (2ﺇﺫﺍ ﻓﺮﺿﻨﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻰ ﺃﻥ ﻕ ) ﺏ ﻭ ﺟـ ( = ْ٦٠ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ﺏ ﻡ Xﺟـ ﻥ = )ﺏ ﺟـ( ٢ﻭﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﺫﻟﻚ ﺃﻥ Δﺏ ﻡ ﺟـ ~ Δﺟـ ﺏ ﻥ (3ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺏ ﻥ ∩ ﺟـ ﻡ = }ﻯ{ ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻭ ﺏ ﻯ ﺟـ ﺗﻘﻊ ﺭﺅﻭﺳﻪ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ،ﻭﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺗﻤﺲ ﺍﻟﻀﻠﻌﻴﻦ hﺏ h ،ﺟـ ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ :
) (١ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ h Δﺏ ﻡ ~ Δﻥ ﺟـ h ﻕ) ﺏ hﻡ( = ﻕ ) ﺟـ ﻥ (hﺑﺎﻟﺘﻨﺎﻇﺮ ، ﻕ) ﺏ ﻡ = (hﻕ ) ﺟـ hﻥ( ﺑﺎﻟﺘﻨﺎﻇﺮ hΔ Eﺏ ﻡ ~ Δﻥ ﺟـ h )ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ( E
hﺏ ﺏﻡ = ﻥ ﺟـ ﺟـh
،
ﻭﻣﻨﻬﺎ
ﺏ ﻡ Xﺟـ ﻥ = hﺏ hXﺟـ = ) hﺏ((١) ٢ Eﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺏ ﻡ Xﺟـ ﻥ = ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺛﺎﺑﺘﺎ ) ( ٢ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻓﻴﻬﺎ ﻕ ) ﺏ ﻭ ﺟـ ( = ْ٦٠ )(١ h Δﺏ ﺟـ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻭﺗﺼﻴﺮ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺏ ﻡ Xﺟـ ﻥ = ) ﺏ ﺟـ(
٢
ﺏﻡ
)(٢ ﺏ ﺟـ
، ﻭﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ :ﺏ ﺟـ = ﻥ ﺟـ eﻕ ) ﻡ ﺏ ﺟـ ( = ﻕ ) ﻥ ﺟـ ﺏ ( = ْ ١٢٠ ) ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ( Δ Eﺏ ﻡ ﺟـ ~ Δﺟـ ﺏ ﻥ ) ( ٣ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻭ ﺏ ﻯ ﺟـ : ﻣﻦ ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻧﺠﺪ ﺃﻥ :ﻕ ) ﺟـ ﺏ ﻥ ( = ﻕ ) ﺟـ ﻡ ﺏ ( ﻕ ) ﺏ ﺟـ ﻡ ( = ﻕ ) ﺏ ﻥ ﺟـ ( ﻭﻳﻜﻮﻥ ﻕ ) ﺏ ﻯ ﺟـ ( = ] - ْ ١٨٠ﻕ ) ﺟـ ﺏ ﻥ( +ﻕ ) ﺏ ﺟـ ﻡ([ = - ْ١٨٠ﻕ ]) ﺟـ ﺏ ﻥ( +ﻕ ) ﺏ ﺟـ ﻡ([ = ﻕ ) ﺟـ ﺏ ﻡ( = ْ١٢٠ Eﻕ ) ﺏ ﻯ ﺟـ ( +ﻕ ) ﺏ ﻭ ﺟـ ( = ْ ١٨٠ Eﺍﻟﺸﻜﻞ ﻭ ﺏ ﻯ ﺟـ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﺩﺍﺋﺮﻯ eﻕ ) hﺏ ﺟـ( = ﻕ ) ﻭ( = ْ٦٠ Eﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﻴﺔ ﻋﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻭ ﺏ ﻯ ﺟـ ﺗﻤﺲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ hﺏ ﻋﻨﺪ ﺏ ﻭﺗﻤﺲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ hﺟـ ﻋﻨﺪ ﺟـ
٨٤
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
1
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ :ﺏ ﺟـ Bﺩ ﻫـ = }ﻭ{ hﺏ =٦ﺳﻢ ،ﺏ ﺟـ = ١٢ﺳﻢ h ،ﺟـ = ٨ﺳـﻢ ،ﻭ ﺟـ = ٣ﺳﻢ ، ﺏ ٤٫٥ = xﺳﻢ x ،ﻭ = ٦ﺳﻢ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ռ ռ
2
h Δﺏ ﺟـ ~ x Δﺏ ﻭ Δﻫـ ﻭ ﺟـ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ :ﻝ ﻡ ﻥ ﻣﺜﻠﺚ ، ﻫـ ،ﻙ Jﻡ ﻥ ،ﻯ Jﻝ ﻥ ،ﻝ ﻡ = ١٢ﺳﻢ ﻡ ﻫـ = ٨ﺳﻢ ،ﻫـ ﻯ = ٦ﺳﻢ ، ﻫـ ﻙ = ٤ﺳﻢ ،ﻙ ﻯ = ٤٫٥ﺳﻢ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﻯ ﻙ / /ﻝ ﻫـ ،ﻫـ ﻯ / /ﻡ ﻝ ﺛﻢ ﺍﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ﻥ ﻙ
3
hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ، x ،ﻫـ ،ﻭ ﻣﻨﺘﺼﻔﺎﺕ hﺏ ،ﺏ ﺟـ ،ﺟـ hﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ: Δﻫـ ﻭ hΔ ~ xﺏ ﺟـ
4
5
ﺱ ﺹ ﻉ ﻣﺜﻠﺚ J x ,ﺱ ﺹ ﺑﺤﻴﺚ ﻛﺎﻥ :
ﻉ xﺱﻉ xﺹ = ﻉ ﺹ
ռ
Δﺹﻉ Δ ~xﺹﺱﻉ
ռ
ﻉ ﺹ ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻤﺮ ﺑﺮﺅﻭﺱ Δﺱ ﻉ x
،
ﻉﺹ ﺱﺹ ﻉ = xﺱﻉ
ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ :
ﻫـ ﻭ ﻯ ﻣﺜﻠﺚ Jx ،ﻭ ﻯ ﺑﺤﻴﺚ ) xﻫـ( = ٢ﻭ x X xﻯ ،ﻭﻫـ Xﻫـ = xﻭ X xﻫـ ﻯ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ Δ (١) :ﻭ ﻫـ Δ ~ xﻫـ ﻯ x ) (٢ﻫـ n xﻭ ﻯ
6
) (٣ﻕ ) xh
hﺏ ﺟـ xﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ،ﻫـ h Jﺟـ ﺑﺤﻴﺚ h :ﺟـ = ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﺟـ / / xﺏh
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺏ ﻫـ ﻫـh
ﻭ ﻫـ ﻯ ( = ْ ٩٠ ﺟـx
h ,ﺟـ =
hﺏ ﻫـ h
/ / x h ،ﺏ ﻫـ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٨٥
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ 7
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ : hﺏ ﺟـ xﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺃﺿﻼﻉ ،ﻭ x Jﺟـ ﺭﺳﻢ ﺏ ﻭ ﻓﻘﻄﻊ hﺟـ ﻓﻰ ﻫـ ،ﻭﻗﻄﻊ xhﻓﻰ ﻯ ، ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ռ ռ
8
h Δﻫـ ﻯ ~
Δﺟـ ﻫـ ﺏ
)ﻫـ ﺏ( = ٢ﻫـ ﻭ Xﻫـ ﻯ
hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ . hﺭﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎ ) ﻝ ( ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﺮﺃﺱh ﻭﺭﺳﻢ ﺏ ﻫـ ،ﺟـ xﻋﻤﻮﺩﻳﺎﻥ ﻋﻠﻰ )ﻝ( ﻳﻘﻄﻌﺎﻧﻪ ﻓﻰ ﻫـ x ،ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ռ ռ
9
hΔﻫـ ﺏ ~ Δﺟـ hx ifXih X x hﺟـ x
) hﺏ(
٢
= ) hﺟـ(
٢
ﺱ ﺹ ﻉ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴــﺎﻭﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ ،ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ،ﻡ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻮﺱ ﺍﻷﺻﻐﺮ ﺱ͡ﻉ ،ﺱ ﻡ Bﺹ ﻉ = } ،{ xﺱ ﻉ Bﻡ ﺹ = }ﻫـ{ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ռ ռ
Δﺱ ﺹ ﻫـ ~
Δﺹﺩﺱ
)ﺱ ﺹ( = ٢ﺱ ﻫـ Xﺹ x
10ﻥ ﻕ ﻙ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﻙ ،ﻙ ﻫـ nﻥ ﻕ ﻭﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻫـ .ﺭﺳﻤﺖ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ﻫـ ﻭﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ﻙ ﻫـ ﻓﻘﻄﻌﺖ ﻥ ﻙ ،ﻕ ﻙ ﻓﻰ ، xﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ· ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ: ռ
ﺍﻟﻨﻘﻂ ، xﻫـ ،ﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﻘﺎﻣﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ
ռ
Δﻙ ﻥ ﻕ ~ Δﻙ ﻯ xﻭﺑﻴﻦ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻥ xﻕ ﻯ ﺩﺍﺋﺮﻯ
ռ
ﻥ ﻫـ Xﻫـ ﻕ =
) xﻯ( ٤
٢
َ ، (x) 11 ) (xﺩﺍﺋﺮﺗﺎﻥ ﻣﺮﻛﺰﻫﻤﺎ ﻭ َ ،ﻭ ﻭﻃﻮﻻ ﻧﺼﻔﻰ ﻗﻄﺮﻳﻬﻤﺎ ﻧﻖ َ ، ﻧﻖ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺘﺎﻥ ﻓﻰ ،hﺏ َ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ)(x)،(x (1ﺭﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ hﻭﻳﻮﺍﺯﻯ ﺧﻂ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻳﻦ ﻭ َﻭ ﻭﻳﻘﻄﻊ َ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ)(x)،(x ﻓﻰ ﺟـ x ،ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ،ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﺏ ﺟـ ،ﺏ xﻗﻄﺮﺍﻥ ﻓﻰ
٨٦
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
(2ﺭﺳـﻢ ﻣﻦ hﻣﺴﺘﻘﻴﻤــﺎ ﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ) (xﻓـﻰ ﻯ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﺪﺍﺋـﺮﺓ َ ) (xﻓﻰ ﻕ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ :
Δﻯﺏﻕ~
Δﺟـ ﺏ ﺩ
Δ ،ﺏ ﺟـ ﻯ ~
Δﺏﺩﻕ
12ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ: hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ )ﻭ( ﻭﻓﻴﻪ ﺏ ﺟـ < hﺏ h ،ﻭ ﺗﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻫـ ،ﺏ xﻗﻄﺮ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ﺭﺳﻢ hﻥ nﺏ xﻭﻳﻘﻄﻌﻬـﺎ ﻓﻰ ﻥ ،ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻡ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ) h Δ (١ﺏ ﻥ ~ h Δﺏ ﻫـ ) Δ (٢ﻡ ﺏ hﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻭﻳﺸﺎﺑﻪ hΔﺏ ﺟـ ﺛﻢ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻨﻬﺎ ﺃﻥ : )ﺏ = ٢(hﺏ ﺟـ Xﺏ ﻡ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٨٧
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
(4) ájô¶f iGC ≈dƒW ø«H áÑ°ùædG ™Hôe ihÉ°ùJ ø«¡HÉ°ûàe ø«ã∏ãe ≈룰S ≈àMÉ°ùe ø«H áÑ°ùædG . ɪ¡«a øjôXÉæàe ø«©∏°V
ﺍﻟﻤﻌﻄﻴﺎﺕ h Δ :ﺏ ﺟـ ~ ﻡ ) h Δﺏ ﺟـ (
x Δﻫـ ﻭ ٢
hﺏ
ﺏ ﺟـ
٢
ﺟـ h
ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ :ﻡ ) x Δﻫـ ﻭ ( = ) xﻫـ ( = ) ﻫـ ﻭ ( = ) ﻭ ( x
٢
ﺍﻟﻌﻤﻞ :ﻧﺮﺳﻢ hﻝ nﺏ ﺟـ ,ﻭﺗﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻝ x ،ﻡ nﻫـ ﻭ ,ﻭﺗﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻡ ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ hΔ :ﺏ ﺟـ ~ x Δﻫـ ﻭ Eﻕ ) ﺏ ( = ﻕ ) ﻫـ ( hﺏ
x ،ﻫـ =
ﺏ ﺟـ ﺟـ h ﻫـ ﻭ = ﻭx
،
)(١
eﻕ ) ﻝ ( = ﻕ ) ﻡ ( = ْ٩٠ h Δ Eﺏ ﻝ ~ x Δﻫـ ﻡ hﻝ hﺏ = xﻡ x Eﻫـ ﻡ ) h Δﺏ ﺟـ ( ﻡ ) x Δﻫـ ﻭ ( =
) ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﺘﺸﺎﺑﻪ ( )(٢
١ﺏ ﺟـ hXﻝ ٢ ١ﻫـ ﻭ x Xﻡ ٢
ﺏ ﺟـ = ﻫـ ﻭ
X
hﻝ xﻡ
ﻭﻣﻦ ) (٢) ، (١ﻳﻨﺘﺞ ﺃﻥ : ﻡ ) h Δﺏ ﺟـ (
ﻡ ) x Δﻫـ ﻭ (=
ﺏ ﺟـ ﺏ ﺟـ ﻫـ ﻭ X ﻫـ ﻭ
ﺏ ﺟـ
٢
hﺏ
٢
ﺟـ h
= ) ﻫـ ﻭ ( = ) xﻫـ ( = ) ﻭ ( x
٢
) ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ (
٨٨
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
≥«Ñ£J ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ: hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ،ﺱ hJﺏ ،ﺱ ﺹ / /ﺏ ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ hﺟـ ﻓﻰ ﺹ h Δ Eﺱ ﺹ ~ h Δﺏ ﺟـ hﺱ ١ = ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ hﺏ ٣ ﻡ ) h Δﺱ ﺹ( ﻓﺈﻥ :ﻡ ) h Δﺏ ﺟـ( =
١ ٩
١ ٣
) (= ٢
ﻭﺇﺫﺍ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺱ ﺟـ ،ﺏ ﺹ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻫـ ﻓﺈﻥ Δﺱ ﻫـ ﺹ ~ Δﺟـ ﻫـ ﺏ ﻭﻳﻜﻮﻥ
ﺱﺹ ﺏ ﺟـ
=
ﻡ ) Δﺱ ﻫـ ﺹ(
١ ٣
) ﻟﻤﺎﺫﺍ؟( ١ ٩
١
Eﻡ ) Δﺟـ ﻫـ ﺏ( = ) = ٢( ٣
1
h Δﺏ ﺟـ ~ x Δﻫـ ﻭ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ h Δﺏ ﺟـ ﺗﺴﺎﻭﻯ ٩ﺃﻣﺜﺎﻝ ﻣﺴﺎﺣـﺔ ﺳﻄﺢ x Δﻫـ ﻭ ،ﻭﻛﺎﻥ xﻫـ = ٥ﺳﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ hﺏ
2
ﺑﺮﻫﻦ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﻴﻦ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﻣﺮﺑﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ : ً ﺃﻭﻻ :ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻓﻴﻬﻤﺎ
ً ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﻃﻮﻟﻰ ﻣﺘﻮﺳﻄﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻓﻴﻬﻤﺎ
3
hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺏ ﺭﺳﻤﺖ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺍﻷﺿﻼﻉ hﺏ ، xﺏ ﺟـ
4
ﻫـ h ،ﺟـ ﻭ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﻡ ) hΔﺏ + (xﻡ ) Δﺏ ﺟـ ﻫـ( = ﻡ ) hΔﺟـ ﻭ( hﺏ ،ﺟـ xﻭﺗـــﺮﺍﻥ ﻏـــﻴﺮ ﻣﺘﻘـﺎﻃﻌـﻴﻦ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ،ﻓــﺈﺫﺍ ﻛـــﺎﻥ hﺏ Bﺟـ }= xﻫـ{ hﺟـ = ٣ﺏ x
5
ﻡ ) Δﻫـ ﺏ (x ﻓــﺄﻭﺟـﺪ: ﻡ ) Δﻫـ hﺟـ(
ﺱ ﺹ ﻉ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ
ﺱﺹ ﺱﻉ
=
٩ ٧
,ﺭﺳﻤﺖ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻤﺎﺭﺓ ﺑﺮﺅﻭﺳﻪ ﻣﻦ ﺱ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻬﺬﻩ
ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻓﻘﻄﻊ ﺹ ﻉ ﻓﻰ ﻫـ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﻡ ) Δﺱ ﺹ ﻉ( ﻡ ) Δﺱ ﺹ ﻫـ(
=
٣٢ ٨١ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٨٩
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
á≤«≤M ¿GC øμÁ ¿É¡HÉ°ûàŸG ¿É©∏°†ŸG øe Oó©dG ¢ùØf ¤EG ɪ°ù≤æj É¡æe πc ¬HÉ°ûj ≈àdG äÉã∏ãŸG √Ò¶f
ﻓﻔﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ : ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ hﺏ ﺟـ ﺩ ﻫـ ~ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ َ َh ﺏ ﺟـَ َﺩ ﻫـَ ﻭﻣﻦ ﺃ ﻯ ﺭﺃﺳﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻣﺜﻞ ﺟـ ،ﺟـَ ﺇﺫﺍ ﺭﺳﻤﻨﺎ ﺟـ ، hﺟـ ﻫـ ،ﺟـَ ،َhﺟـَ ﻫـَ ﻓﺈﻥ ﻛﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻀﻠﻌﻴﻦ ﻳﻨﻘﺴﻢ ﺇﻟﻰ ﺛﻼﺛﺔ ﻣﺜﻠﺜﺎﺕ ﺣﻴﺚ h Δ :ﺏ ﺟـ ~ َ h Δ َﺏ ﺟـَ h Δ ،ﺟـ ﻫـ ~ َh Δﺟـَ ﻫـَ Δ ،ﻫـ ﺟـ Δ ~ xﻫـَ ﺟـَ َx ﻭﺍﻟﺤﻘﻴﻘـﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘـﺔ ﻣﻬﻤﺎ ﻛـﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻀﻠـﻌﻴﻦ )ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻀﻠـﻌﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺸـﺎﺑﻬﻴﻦ ﻟﻬﻤــﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﻷﺿـﻼﻉ( ﻭﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜـﺎﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﺗﻨﻘﺴـﻢ ﺇﻟﻴﻬــﺎ ﻛﻞ ﻣﻀﻠـﻊ = ﻥ ٢-ﺣﻴﺚ ﻥ ﻋﺪﺩ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﻭﻳﻜﻮﻥ : ﻡ ) h Δﺏ ﺟـ ( َﺏ ﺟـَ ( ﻡ)َ hΔ ﻡ ) Δﻫـ ﺟـ = ( x ﻡ )Δﻫـَ ﺟـَ (َx hﻫـ ﺏ ﺟـ = e َ َhﻫـَ ﺏ ﺟـَ
ﺏ ﺟـ
= ) َﺏ ﺟـ (
،
ﻡ ) h Δﺟـ ﻫـ(
٢
،ﻡ ) َh Δﺟـ ﻫـ ( = )
َ
) ﻫـ ( x
َ َ
hﻫـ َhﻫـَ
(
٢
٢
ﻫـَََx ﻫـ x = ﻫـَََx
ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻓﻰ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ : ﻡ ) ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ hﺏ ﺟـ xﻫـ( َﺏ ﺟـَ َxﻫـَ ( ﻡ ) ﺍﻟﻤﻀﻠﻊَ h
٩٠
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
=
ﺏ ﺟـ ) َ ﺏ ﺟـَ
(
٢
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
B ájô¶ædG áHÉàc ÉææμÁh : á«J’G
(5) ájô¶f iGC ¤ƒW ÚH áÑ°ùædG ™Hôe ihÉ°ùJ Ú¡HÉ°ûàe Ú©∏°†e ≈룰S ≈àMÉ°ùe ÚH áÑ°ùædG . ɪ¡«a øjôXÉæàe Ú©∏°V
1
ﻣﻀﻠﻌﺎﻥ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺎﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻰ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻓﻴﻬﻤﺎ ٢:١ﻓﻤﺎ ﻫﻰ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻴﻬﻤﺎ ؟ ﻭﻣﺎ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺤﻴﻄﻴﻬﻤﺎ؟
2
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻰ ﻣﻀﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﻴﻦ ٩:٤ﻓﻤﺎ ﻫﻰ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻰ ﺃﻯ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻓﻴﻬﻤﺎ ؟ ﻭﻣﺎ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺤﻴﻄﻴﻬﻤﺎ ؟
3
ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺤﻴﻄﻰ ﻣﻀﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﻴﻦ ٤:٣ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻷﻭﻝ ٤٥ﺳﻢ ٢ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
4
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻃﻮﻝ ﺃﺣﺪ ﺃﺿﻼﻉ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺤﻪ ١٩٦ﺳﻢ ٢ﻫﻮ ٤ﺳﻢ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺣﻴﺚ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻨﺎﻇﺮ ٨ﺳﻢ
5
ﻣﻀﻠﻌﺎﻥ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺎﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻰ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻓﻴﻬﻤﺎ ٣ :٢ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻴﻬﻤﺎ ١٤٣ﺳﻢ ٢ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ
6
ﺳﺪﺍﺳﻴﺎﻥ ﻣﻨﺘﻈﻤﺎﻥ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻭﺍﻵﺧﺮ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺧﺎﺭﺝ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ،ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻴﻬﻤﺎ
7
ﺑﺮﻫﻦ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻰ ﻣﻀﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﻴﻦ ﻣﺮﺳﻮﻣﻴﻦ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺗﻴﻦ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﻣﺮﺑﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻰ ﻗﻄﺮﻯ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ
8
hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ hﺭﺳﻢ n x hﺏ ﺟـ ﻓﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ , xﺭﺳﻢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺎ ﺍﻷﺿﻼﻉ hﺏ ﻫـ ،ﺟـ hﻭ ﺧﺎﺭﺝ h Δﺏ ﺟـ ،ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ً ﺃﻭﻻ :ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻰ xhﺏ ﻫـ ~ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻰ ﺟـ h xﻭ ً ﺛﺎﻧﻴﺎ :
ﻡ ) ﺍﻟﺸﻜﻞ x hﺏ ﻫـ( ﻡ ) ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺟـ h xﻭ (
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
=
ﺏx ﺟـ x
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٩١
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ 9
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺱ ﺹ ﻉ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺱ ،ﺭﺳﻢ ﺱ ﻫـ nﺹ ﻉ ﻓﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻫـ ،ﺛﻢ ﺭﺳﻢ ﻋﻠﻰ ﺱ ﺹ ،ﺹ ﻉ ,ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺎﻥ ﺱ ﺹ ﻝ ﻡ ،ﺱ ﻉ ﻥ ﻯ ﺧﺎﺭﺝ Δﺱ ﺹ ﻉ ،ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻀﻠـﻊ ﺱ ﻡ ﻝ ﺹ ﻫـ ~ ﺍﻟﻤﻀﻠـﻊ ﻉ ﻥ ﻯ ﺱ ﻫـ ,ﻭﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﺹ ﻉ = ١٠ﺳﻢ ، ﺱ ﻉ = ٨ﺳﻢ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻰ ﺍﻟﻤﻀﻠﻌﻴﻦ
h 10ﺏ ﺟـ xﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﺩﺍﺋﺮﻯ ،ﺃﺧﺬﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﻫـ ﻋﻠﻰ ﺏ hﺣﻴﺚ ﻫـ /Jﺏ ، h hﻫـ
=xh
ﺟـ x ﺟـ ﺏ
،ﻭﺭﺳﻢ ﻫـ ﻭ / /ﺏ ﺟـ ﻓﻘﻄﻊ ﺟـ xﻓﻰ ﻭ
ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ً ﺃﻭﻻ :ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃ ﻫـ ﻭ ~ xﺍﻟﺸﻜﻞ ﺟـ hxﺏ ً ﺛﺎﻧﻴﺎ
ﻡ ) ﺍﻟﺸﻜﻞ hﻫـ ﻭ (x : ﻡ ) ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺟـ h xﺏ (
ﺏx
=) ﺟـ ( x
٢
h
11ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ : hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ، h ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺱ ~ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺹ ~ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﻉ ﺣﻴﺚ
w
s f
hﺏ h ،ﺟـ ،ﺏ ﺟـ ﺃﺿﻼﻋﺎ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺓ
ﺟـ u
ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ﻡ ) ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺱ ( +ﻡ ) ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺹ ( = ﻡ ) ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﻉ (
٩٢
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
“: Qƒ¡°ûe øjô ﺇﺫﺍ ﺗﻘـﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤـﺎﻥ ﺍﻟﺤﺎﻭﻳـﺎﻥ ﻟﻠﻮﺗﺮﻳﻦ hﺏ ،ﺟـ ﺩ ﻟﺪﺍﺋـﺮﺓ ﻓﻰ ﻧﻘﻄـﺔ ﻡ ﻓـﺈﻥ : ﻡ X hﻡ ﺏ = ﻡ ﺟـ Xﻡ x
x ﻡ
h
ﻫـ ﺟـ
ﺏ
ﺍﻟﻤﻌﻄﻴﺎﺕ h :ﺏ ،ﺟـ ﺩ ﻭﺗﺮﺍﻥ ﻭﻛﺎﻥ hﺏ Bﺟـ } = xﻡ { ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ :ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ hﻡ Xﻡ ﺏ = ﺟـ ﻡ Xﻡ x ﺍﻟﻌﻤﻞ :ﻧﺮﺳﻢ ، xhﺏ ﺟـ ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ hΔ Δ :ﻡ ، xﺟـ ﻡ ﺏ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺎﻥ ٠٠٠٠ﻟﻤﺎﺫﺍ ؟ E
hﻡ
ﺟـ ﻡ =
xh ﻡx = ﻡ ﺏ ﺏ ﺟـ
Eﻣﻦ ﺍﻟﻨﺴﺒﺘﻴﻦ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ hﻡ Xﻡ ﺏ = ﺟـ ﻡ Xﻡ x ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ
ﻣﻼﺣﻈﺔ :ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻓﻰ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ
: Qƒ¡°ûe øjô“ ¢ùμY ﺇﺫﺍ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺍﻟﺤﺎﻭﻳﺎﻥ ﻟﻠﻘﻄﻌﺘﻴﻦ hﺏ ،ﺟـ ﺩ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻡ )ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻋﻦ ، hﺏ , ﺟـ (x ,ﻭﻛﺎﻥ ﻡ X hﻡ ﺏ = ﻡ ﺟـ Xﻡ xﻓﺈﻥ ، h :ﺏ ،ﺟـ x ,ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٩٣
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
(1) áé«àf ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻡ ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎﺭﺝ ﺩﺍﺋﺮﺓ ،ﻡ ﺟـ ﻳﻤﺲ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻓﻰ ﺟـ ،ﻡ ﺏ ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ، hﺏ ﻓﺈﻥ: ) ﻡ ﺟـ( = ٢ﻡ X hﻡ ﺏ ﺟـ
ﻡ h
ﺏ
äÉ≤«Ñ£J ) (١ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ hﺏ Bﺟـ } = xﻫـ{ ﻓﺄﻛﻤﻞ ً ﺃﻭﻻ :ﻫـ X hﻫـ ﺏ = ٠٠٠٠
h
x ﻫـ
ً ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ hﻫـ = ٤ﺳﻢ ،ﻫـ ﺏ = ٣ﺳﻢ ،ﻫـ ﺟـ = ٢ﺳﻢ
ﺏ ﺟـ
ﻓﺈﻥ ﻫـ ٠٠٠٠ = x ً ﺛﺎﻟﺜﺎ :ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ hﺏ = ٣٨ﺳﻢ ،ﻫـ ﺏ = ٢٠ﺳﻢ ،ﻫـ ﺟـ = ٢٤ﺳﻢ ﻓﺈﻥ ﻫـ ٠٠٠٠= h
،ﻫـ ٠٠٠٠ = x
) (٢ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ : ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺟـ ﺏ Bﻫـ {h} = x
h
ﻓﺄﻛﻤﻞ : ً ﺃﻭﻻ h :ﺏ h Xﺟـ = ٠٠٠٠ ً ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ hﺏ = ٣ﺳﻢ ،ﺏ ﺟـ = ٥ﺳﻢ ، ٢ = xhﺳﻢ
ﺏ x
ﺟـ
ﻫـ
ﻓﺄﻥ x :ﻫـ = ٠٠٠٠
ً ﺛﺎﻟﺜﺎ :ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ hﺟـ = ٦ﺳﻢ h ،ﺏ = ٢ﺳﻢ h ،ﻫـ = ٦ﺳﻢ ﻓﺈﻥ ٠٠٠٠ = xh
٩٤
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
) (٣ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ : hﺏ ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ h ,ﺩ ﻗﺎﻃﻌﺔ ﻟﻬﺎ ﻓﺄﻛﻤﻞ : ً ﺃﻭﻻ h :ﺟـ h Xﺩ = ٠٠٠٠ ً ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺃ ﺩ = ٨ﺳﻢ h ،ﺟـ = ٢ﺳﻢ
h
ﺏ
ﻓﺈﻥ hﺏ = ٠٠٠٠ ً ﺛﺎﻟﺜﺎ :ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ hﺏ = ٦ﺳﻢ h ،ﺩ = ٩ﺳﻢ ﻓﺈﻥ hﺟـ = ٠٠٠٠ ً ﺭﺍﺑﻌﺎ :ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ hﺟـ = ﺟـ ﺩ h ،ﺏ = ٢ ٣
x
ﻓﺈﻥ hﺟـ =٠٠٠٠
1 ∫É`ã`e
ﺩﺍﺋﺮﺗﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ ﻓﻰ ، hﺏ ﺭﺳﻢ ﻣﻤﺎﺱ ﻣﺸﺘﺮﻙ ﻳﻤﺴﺎﻧﻬﻤﺎ ﻓﻰ ﺱ ،ﺹ ﻓﺈﻥ ﻛـﺎﻥ hﺏ Bﺱ ﺹ = }ﺟـ{ ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺟـ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺱ ﺹ
ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ : e
ﺟـ ﺱ ﻣﻤﺎﺳﺔ ،ﺟـ ﺏ ﻗﺎﻃﻌﺔ
) Eﺟـ ﺱ( = ٢ﺟـ X hﺟـ ﺏ
ﺹ
ﺟـ h
ﺱ
ﻭﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ )ﺟـ ﺹ( = ٢ﺟـ X hﺟـ ﺏ ) Eﺟـ ﺱ() = ٢ﺟـ ﺹ(
٢
ﺏ
ﺟـ ﺱ = ﺟـ ﺹ ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٩٥
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ
1
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺱ hﺹ ﺯﺍﻭﻳـﺔ ،ﺃﺧـﺬﺕ ﺍﻟﻨﻘﻄﺘــﺎﻥ ﺏ ،ﺟـ ﻋﻠــﻰ hﺱ ﺑﺤـﻴﺚ hﺏ = ٢٨ﻣﻢ ،ﺏ ﺟـ = ٤٤ﻣﻢ ﻭﺃﺧﺬﺕ ﺍﻟﻨﻘﻄﺘﺎﻥ ، xﻫـ ﻋﻠﻰ hﺹ ﺑﺤﻴﺚ ٢١ = xhﻣﻢ x ،ﻫـ = ٧٥ﻣﻢ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ h Δ :ﺏ ﺩ ~ h Δﻫـ ﺟـ ,ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺏ ٣٥ = xﻣﻢ ،ﻓﺄﺣﺴﺐ ﺟـ ﻫـ
2
ﺍﺭﺳﻢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ hﺏ ﺟـ ﺑﺤﻴﺚ h :ﺏ = ٦٠ﻣﻢ h ،ﺟـ = ٤٠ﻣﻢ ،ﺏ ﺟـ = ٤٥ﻣﻢ ، ﺃﺧﺬﺕ ﻧﻘﻄﺔ h J xﺏ ﺑﺤﻴﺚ ١٦ = xhﻣﻢ ،ﻫـ h Jﺟـ ﺑﺤﻴﺚ hﻫـ = ٢٤ﻣﻢ ) (١ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ h Δ :ﺩ ﻫـ ~ h Δﺟـ ﺏ ﻭﺍﺣﺴﺐ xﻫـ )(٢ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥx :ﻫـ Bﺏ ﺟـ = }ﻥ{ ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ x Δﻥ ﺏ ~ Δﺟـ ﻥ ﻫـ ﻭﺃﺣﺴﺐ ﻫـ ﻥ، ﻥ ﺟـ
3
hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ xh ،ﻳﻨﺼﻒ
ﺏ hﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ xﻭﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ
ﻓﻰ ﻡ ،ﺭﺳﻢ ﺍﻟﻮﺗﺮ ﻡ ﺟـ ,ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ) (١ﻳﻮﺟﺪ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻣﺜﻠﺜﺎﻥ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻳﺸﺎﺑﻪ x Δﻡ ﺟـ )) (٢ﻡ ﺟـ( = ٢ﻡ X xﻡ h 4
hﺏ ﻭﺗﺮ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ﻭ ،ﻯ ﻣﻨﺘﺼﻒ hﺏ ،ﻡ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ,ﺃﻧﺸﻰء ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ، hﻡ ﻭﺗﻤﺲ hﺏ ﻓﻰ , hﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻯ ﻡ ﻳﻘﻄﻊ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻓﻰ ﺟـ ,ﻡ ) (١ﺍﻛﺘﺐ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺮﺑﻂ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﻯ ، hﻯ ﺟـ ،ﻯ ﻡ ) (٢ﻗﺎﺭﻥ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ﻯ ﺏ ﺟـ ،ﻯ ﻡ ﺏ ) ﺇ ﺭﺷﺎﺩ :ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺒﺪﺍﻝ ﻯ hﺑﺎﻟﻘﻄﻌﺔ ﻯ ﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )( (١
5
hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ،ﺭﺳﻢ hﻫـ nﺏ ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻫـ xh ،ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ x ،ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗـﺎﻥ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﺘـﺎﻥ ﻟﻠﻤﺜﻠﻴﻦ hﺏ ﺟـ h ،ﻫـ xﺗﺘﻘﺎﻃﻌـﺎﻥ ﻓﻰ ، hﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘـﻴﻢ hﻡ ﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻥ ) (١ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﻥ ﻫـ Xﻥ = xﻥ ﺏ Xﻥ ﺟـ ) (٢ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ x :ﻫـ x Xﻥ = ) xﺏ(
٩٦
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
٢
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ 6
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺩﺍﺋﺮﺗﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺘﺎﻥ ﻓﻰ ، hﺏ ،ﻡ h Jﺏ (1ﺭﺳﻢ ﻣﻦ ﻡ ﻗﻄﻌﺘﺎﻥ ﻡ ﺟـ ،ﻡ xﻣﻤﺎﺳﺘﺎﻥ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ ،ﻗﺎﺭﻥ ﺑﻴﻦ ﻡ ﺟـ ،ﻡ x (2ﺇﺫﺍ ﺭﺳﻢ ﻣﻦ ﻡ ﻗﺎﻃﻌﻴﻦ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ ﻓﻘﻄﻊ ﺍﻷﻭﻝ ﺇﺣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ ﻓﻰ ﻕ ،ﻙ ،ﻭﻗﻄﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻷﺧﺮﻯ ﻓﻰ َﻕ َ ،ﻙ ,ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻕ ﻙ َﻙ َﻕ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﺩﺍﺋﺮﻯ
7
hﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ،ﺭﺳﻢ ﻣﻨﺼﻒ
hﻭﺃﺧﺬﺕ ﻋﻠﻴﻪ ﻧﻘﻄﺔ ﻡ ﺑﺤﻴﺚ ) hﻡ( h= ٢ﺏ hXﺟـ
(1ﺑﻴﻦ ﺃﻥ h Δﺟـ ﻡ ~ h Δﻡ ﺏ (2ﻣﺎ ﻫﻮ ﻣﻤﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻤﺎﺭﺓ ﺑﺮﺅﻭﺱ h Δﻡ ﺏ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﻡ ،ﻭﻣﺎ ﻫﻮ ﻣﻤﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻤﺎﺭﺓ ﺑﺮﺅﻭﺱ h Δﻡ ﺟـ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﻡ 8
hﺏ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ,ﺭﺳﻢ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ hﺱ ،ﺏ ﺹ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻭﻓﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ، ﻭﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻋﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ hﺏ ،ﺃﺧﺬﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﻡ ﻋﻠﻰ hﺱ ،ﻭﻧﻘﻄﺔ ﻡَ ﻋﻠﻰ ﺏ ﺹ ، ﻭﻧﻘﻄﺔ ﻕ ﻋﻠﻰ hﺏ ﺑﺤﻴﺚ hﻡ Xﺏ ﻡَ = ﻕ X hﻕ ﺏ (1ﺃﺛﺒﺖ ﺃ ﻥ Δﻡ hﻕ ~ Δﻕ ﺏ َﻡ ﻭﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﺫﻟﻚ ﺃﻥ Δﻡ ﻕ َﻡ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ (2ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻫـ ﻣﺴﻘﻂ ﻕ ﻋﻠﻰ ﻡ َﻡ ,ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ Δﺃ ﻫـ ﺏ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ
9
ﺟـ hﺏ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ hﺏ .ﺭﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴـﻢ ﻳﻤـﺮ ﺑـﺎﻟﺮﺃﺱ ﺟـ ﻳﻘﻄﻊ hﺏ ﻓﻰ ﻡ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﺔ ﻋﻦ Δﺟـ hﺏ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻙ (1ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ Δﺟـ hﻙ ~ Δﺟـ ﻡ h
)ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻜﻮﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﻡ hJﺏ ،ﻡ h /Jﺏ (
(2ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ )ﺣـ ﺏ( = ٢ﺟـ ﻙ Xﺟـ ﻡ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
٩٧
ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
ﺃﻭﻻ ﹰ :ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
C QÉÑàN’G ∫h’G ﺃﺟﺐ ﻋﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ :
) (١ﺃ ( ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺸﺮﻁ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﻜﻰ ﻳﻜﻮﻥ ﺃﺣﺪ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : hﺱ + ٢ﺏ ﺱ +ﺟـ = ٠ ً ﺃﻭﻻ :ﺿﻌﻒ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻵﺧﺮ ً ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﻳﺰﻳﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻵﺧﺮ ﺑﻤﻘﺪﺍﺭ ٣ ﺏ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ ،ﻡ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٢ :ﺱ٣ + ٢ﺱ ٠ = ٥ +ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ :ﻝ ،٣+ ٢ﻡ٣ + ٢ ) (٢ﺃ ( ﺑﻴﻦ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٢ :ﺱ ٣ + ٢ﺱ ٠ = ٧ + ﺏ( ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ : ﺩ)ﺱ( = -ﺱ ٤ + ٢ﺱ ٥ + ﺛﻢ ﺍﺭﺳﻢ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ] [ ٦ ، ٢- ) (٣ﺃ( ﻣﻦ ﻗﻤﺔ ﻓﻨـﺎﺭ ﺍﺭﺗﻔـﺎﻋﻪ ١٠٠ﻣﺘﺮ ﺭﺻﺪ ﻗﺎﺭﺏ ﻓﻮﺟﺪ ﺃﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﻧﺨﻔﺎﺿﻪ ، ْ ٢٠ َ١٠ﺃﻭﺟﺪ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﻘﺎﺭﺏ ﻋﻦ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻔﻨﺎﺭ٠ ﺏ( ﻗﻄﺎﻉ ﺩﺍﺋﺮﻯ ﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺩﺍﺋﺮﺗﻪ ٢٠ﺳﻢ ،ﻭﻣﺴﺎﺡ[ ﺳﻄﺤﻪ ٣٠٠ﺳﻢ، ٢ ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﻗﻮﺱ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ،ﻭﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺘﻪ ﺑﻜﻼ ﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮﻳﻦ ﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ ﻭﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﺟـ( ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ :
١٠٠
+ ١ﻇﺘﺎ ٢ﺟـ + ١ﻇﺎ ٢ﺟـ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
= ﻇﺘﺎ ﺟـ ٢
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
ﺃﻭﻻ ﹰ :ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ ≈fÉãdG QÉÑàN’G ﺃﺟﺐ ﻋﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ : ) (١ﺃ ( ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ : ﺩ)ﺱ( = ٢ﺱ ٣ - ٢ﺱ ٥ - ﺏ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ ،ﻡ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٢ :ﺱ ٣ - ٢ﺱ ٠ = ١ - ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ : ❐ ﻝ + ٢ﻡ ❐ ﻝ ٢ﻡ
٢
٢
❐ ﻝ -ﻡ ❐ ﻝ + ٣ﻡ
٣
) (٢ﺃ ( ﺑﻴﻦ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :ﺱ +
9 ¢S
=٦
ﺏ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٨ :ﺱ - ٢ﺏ ﺱ ٠ = ٣ + ﺗﺴﺎﻭﻯ ٣ : ٢
ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺏ
) (٣ﺃ( ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ٨ﻣﺘﺮ ﻣﻦ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺷﺠﺮﺓ ﻭﺟﺪ ﺃﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻗﻤﺔ ﺍﻟﺸﺠﺮﺓ ، ْ ١٧ﺃﻭﺟﺪ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﺸﺠﺮﺓ٠ ﺏ( ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ :
٢ﻇﺘﺎ ﺟـ + ١ﻇﺘﺎ ٢ﺟـ
= ٢ﺣﺎ ﺟـ ﺣﺘﺎ ﺟـ
ﺟـ( hﺏ h ،ﺟـ ﻭﺗـﺮﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳـﺎ ﺍﻟﻄـﻮﻝ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻡ ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ٣ ٦ﺳﻢ ، ﻕ) ﺏ hﺟـ( = ، ْ ٦٠ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺠﺰء ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻤﺤﺼﻮﺭﺓ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻮﺗﺮﻳﻦ ﻭﺍﻟﻘﻮﺱ ﺍﻷﺻﻐﺮ ﺏ͡ﺟـ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ١٠١
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
ådÉãdG QÉÑàN’G
ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺃﻭﻻ ﹰ :ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺃﺟﺐ ﻋﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ : ) (١ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ ،ﻡ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : ٢ﺱ ٣ + ٢ﺱ ٠ = ٧ - ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ )ﻝ ) ، ٢(٢ +ﻡ (٢ +
٢
ﺏ( ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺏ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻞ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : ﺱ ) - ٢ﺏ (٢+ﺱ ٥ +ﺏ ٠ = ٢ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : ﺱ ٣ - ٢ﺏ ﺱ +ﺏ٠ = ٢ ) (٢ﺃ ( ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ : ﺩ)ﺱ( = ﺱ ٤ + ٢ﺱ ٥ +ﺛﻢ ﺍﺭﺳﻢ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ][ ٢ ، ٦- ﺏ( ﺑﻴﻦ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٢ :ﺱ = ١ +
٥ ﺱ٣-
) (٣ﺃ( ﺳﻠﻢ ﻳﺴﺘﻨﺪ ﺑﺄﺣﺪ ﻃﺮﻓﻴﻪ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺋﻂ ﺭﺃﺳﻰ ﻭﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻵﺧﺮ ﻋﻠﻰ ﺃﺭﺽ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﻭﻳﺒﻌﺪ ﻃﺮﻓﻪ ﺍﻟﺴﻔﻠﻰ ﻋﻦ ﺍﻟﺤﺎﺋﻂ ﺑﻤﻘﺪﺍﺭ ١٫٢ﻣﺘﺮ ،ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻴﻞ ﺍﻟﺴﻠﻢ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ، ْ ٦٩ َ٥٠ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﺴﻠﻢ٠ ﺏ( ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﻇﺎ h ٢ﺣﺎ + h ٢ﺣﺘﺎ ٢ + h ٢ﺣﺎ = h ٢ﻗﺎh ٢ ﺟـ( hﺏ ﻭﺗﺮ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻃﻮﻟﻪ ١٠ﺳﻢ ﻳﻘﺎﺑﻞ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﺮﻛﺰﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ْ ٦٠ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻜﺒﺮﻯ ﺍﻟﺘﻰ ﻭﺗﺮﻫﺎ hﺏ
١٠٢
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
ﺛﺎﻧ ﹰﻴﺎ :ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ
C QÉÑàN’G ∫h’G ﺃﺟﺐ ﻋﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ :
) (١ﺃ ( ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﺇﺫﺍ ﻧﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺭﺃﺱ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺴﻢ ﺍﻟﻤﻨﺼﻒ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ ﺇﻟﻰ ﺟﺰﺋﻴﻦ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻴﻬﻤﺎ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻰ ﺍﻟﻀﻠﻌﻴﻦ ﺍﻵﺧﺮﻳﻦ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﺏ( ﻝ ﻡ ﻥ ﻣﺜﻠﺚ ،ﻙ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻡ ﻥ ،ﻡ ﺱ ﻳﻨﺼﻒ
ﻝ ﻡ ﻥ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﻝ ﻙ ﻓﻰ ﺱ ،
ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﻡ ﻝ Xﺱ ﻙ = ﻙ ﻥ Xﻝ ﺱ
) h (٢ﺏ ﺟـ xﺷـﻜﻞ ﺭﺑــﺎﻋﻰ ﻓﻴـــﻪhﺏ = ﻃـﻮﻝ ﺍﻟﻘﻄـــﺮ ﺏ = xh ، xﺟـ h ، xﺱ ﻳﻨﺼـﻒ )
ﺏ (x hﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ xﻓﻰ ﺱ x ،ﺹ ﻳﻨﺼﻒ )
ﺏ xﺟـ ( ﻭﻳﻘﻄـﻊ
ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﺹ ،ﺃﺛـﺒﺖ ﺃﻥ ﺱ ﺹ x / /ﺟـ
) h (٣ﺏ ﺟـ ﻣﺜــﻠــﺚ ﻓﻴﻪ hﺏ = ٨ﺳﻢ h ،ﺟـ = ٦ﺳﻢ hJx ،ﺏ ﺣــﻴـﺚ ٣ = xhﺳﻢ ،ﻫـ h Jﺟـ ﺣﻴﺚ ﻫـ ﺟـ = ٢ﺳﻢ ً ﺃﻭﻻ :ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ xh Δﻫـ ﻳﺸﺎﺑﻪ h Δﺟـ ﺏ ً ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺃﻭﺟﺪ ) x h Δﻫـ ( :
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
) ﺍﻟﺸﻜﻞ xﺏ ﺟـ ﻫـ (
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ١٠٣
ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ
ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ
ﺛﺎﻧ ﹰﻴﺎ :ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ
≈fÉãdG QÉÑàN’G ﺃﺟﺐ ﻋﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ :
) h (١ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎﺭﺝ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ )ﻭ( ،ﻭﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ﻧﻖ h ,ﻭ ﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻓﻰ ﺏ ﺣﻴﺚ ﺏ ﻣﻨﺘﺼﻒ hﻭ ﺭﺳﻢ ﻣﻦ hﻗﺎﻃﻊ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻡ َ ،ﻡ ،ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺏَ ، hﻡ َ hXﻡ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻣﻘﺪﺍﺭ ً ﺛﺎﺑﺘﺎ ,ﺇﺫﺍ ﺭﺳﻢ ﻣﻦ hﻋﻤﻮﺩ ﻋﻠﻰ hﻭ ﻓﻘﻄﻊ ﺏ ﻡ ،ﺏ َﻡ ، ﻓﻰ ﻕ َ ،ﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ :ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻕ َﻕ ﻡ َﻡ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﺩﺍﺋﺮﻯ ﺱ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺹ ﻉ ﻓﻰ ﻝ ﻭﻳﻘﻄﻊ
) (٢ﺱ ﺹ ﻉ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ،ﺱ ﻝ ﻳﻨﺼﻒ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻓﻰ ﻥ ،ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ : ﺃ(Δﺱﺹﻥ~Δﺱﻝﻉ ﺏ( ﺱ ﺹ Xﺱ ﻉ -ﺹ ﻝ Xﻝ ﻉ = )ﻝ ﺱ(
٢
)h (٣ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﺏ ﺟـ ﺣﻴﺚ ) ﺏ ﺟـ < hﺏ ( ) ,ﻭ( ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﺔ ﻋﻨﻪ hﻫـ nﺏ ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻫـ ,ﺭﺳﻢ ﺍﻟﻘﻄﺮ ﺏ xﻓﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ )ﻭ( ﻭﺭﺳﻢ hﻯ nﺏ xﻭﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻯ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻥ ﺃ ( ﻗﺎﺭﻥ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ hﺏ ﻯ ،ﺏ hﻫـ ﺏ(ﺃﺛﺒـﺖ ﺃﻥ Δﻥ ﺏ hﻣﺘﺴــﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴــﺎﻗﻴﻦ ﻭﻳﺸــﺎﺑــﻪ hΔﺏ ﺟـ ﻭﺍﺳﺘﻨﺘـﺞ ﺃﻥ ) :ﺏ = ٢(hﺏ ﺟـ Xﺏ ﻥ ﺟـ( ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻤﺮ ﺑﺮﺅﻭﺱ h Δﺟـ ﻥ ﻋﻨﺪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ h؟ ) ﺇﺭﺷﺎﺩ :ﺍﺭﺳﻢ (xh
١٠٤
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
äÉHÉL’E G
ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ
ﲤﺎﺭﻳﻦ ١-١ ) (١ﺃ ( ﺱ{ ٤ ، ٢ } J ٧ ﺟـ( ﺱ} J ٢
ﺏ( ﺱ{ ١ ، ٦- } J ٥ ﺩ( ﺱ، ١ } J ٣
{١،
ﻭ( ﺱ{ ١ - ، ١- } J
ﻫـ( ﺱ{ ١- } J )(٢ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ
{ ٢
h
ﺏ
٦
٥-
٨
٦-
ﺟـ
x ٨ ٣ ٥ ٣
١ ٢ ٧ ٢
٤
ﻫـ
ﻭ
٢-
١٫٥-
١-
١ ٢
)(٤) ،(٣ ﺭﻗﻢ
h
ﺏ
ﺟـ
x
ﻫـ
ﻭ
ﺯ
ﻗﻴﻤﺔh
١
ﺻﻔﺮ
ﺻﻔﺮ
٢
٦-
٢
١
ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻵﺧﺮ
١
٣-
٢-
٣
١-
١ ٢
٧-
)(٥ h h
٤
ﺏ
٠
ﺏ ١ ١١ ٥١١
ﺟـ
x
ﻫـ
ﻭ
١-
٦-
٠
١
٦-
١٥-
٥-
٦-
ﲤﺎﺭﻳﻦ ٢-١ (1ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ
(7ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ
٢٥ (13ﻥ = # ٣٢
(2ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ
(8ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ
(14ﻙ = ٣
(3ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ
(9ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻧﺴﺒﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ
٣٠ (15ﻡ = # ٧
(4ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ
(10ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ
(16ﻥ= ١٠ ٣ #
(5ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ
(11ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ
(6ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ
(12ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ
١٠٦
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ
ﲤﺎﺭﻳﻦ ٣-١ )(١ h ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ
٣٢ ٥٢
ﺏ
ﺟـ
ﺻﻔﺮ
ﺻﻔﺮ
٣-
٤٣
) (٢ﺃ( ﺱ٣ + ٢ﺱ ٠ = ٣٥ -
x
ﻫـ
ﻭ
ﺱ
٢ ٥ ٣ ٥
١١٣٠ ١٣٠
٤ ٣ ٥ ٣
١١ ٦ ٥٣
w ٣٥٢-
ﻫـ( fhﺱ) + ٢ﺏ (٢ h - ٢ﺱ = fh
(fﺱ٣- ٢ﺱ ٠ = ٥٤ -
ﻭ( ﺱ ١٤ = ٢٩+ ٢ﺱ
ﺟـ( ﺱ٣٦ = ٢
ﺯ( ﺏ ٢ﺱ ٢- ٢ﺏ ٢ﺱ +ﺏ١ = ٢
ﺩ( ٢ﺱ ١٣ - ٢ﺱ ٠ = ٢ +
ﺡ( ﺱ ٢ = ١ + ٣ﺱ h +
٢
ﻁ( ) - ٢ hﺏ ( ٢ﺱ - ٢ h)٢ - ٢ﺏ ( ٢ﺱ - ٢ h +ﺏ٠ = ٢ ﻯ( ) h
٢
-ﺏ ( ٢ﺱh) ٢ - ٢
) (٣ﺃ( ٢ = h
٢
+ﺏ ( ٢ﺱ h +
٢
ﺏ٠ = ٢ﻭ(٣ = h
ﺏ(١ = h
ﺯ( ٦ = hﺃﻭ ٦-
٣ﺟـ( ٦ = hﺃﻭ ٢ ٥ ﺩ( ١٠ = hﺃﻭ ٢ ٩ ﻫـ(= h ٤
١٩ﺡ( ١٠ = hﺃﻭ ٢
ﻁ( ٤ = h ﻯ(٧ = h
ﲤﺎﺭﻳﻦ ٤-١ ) (١ﺃ( ﺱ ١٠- ٢ﺱ ٠= ٦ +
ﺩ( ٤٥ﺱ ١٨ + ٢ﺱ ٠ = ٢ -
ﺏ( ﺱ٠ = ١٩ - ٢
ﻫـ( ﺱ ٥٦ - ٢ﺱ ٠ = ١٠٠ +
ﺟـ( ١٠ﺱ ٦ + ٢ﺱ ٠ = ١ -
ﻭ ( ﺱ ١١٨ - ٢ﺱ ٠ = ٧٤٥ +
) (٢ﺟـ = ٤
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
٨) (٣ﺟـ = ﺻﻔﺮ ﺃﻭ ٣
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ١٠٧
ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ
ﲤﺎﺭﻳﻦ ٥-١ ) (١ﺃ( ﺱ ٢ + ٢ﺱ = ٨
ﺝ( ﺱ ٢ = ٢ﺱ ٢ +
ﺏ( ﺱ + ٢ﺱ = ٤٢
ﺩ( ﺱ ٢ + ٢ﺱ = ١
) (٢ﺃ( ٢ﺱ ١٩ + ٢ﺱ ٠= ٣٩ +
ﺝ( ٤ﺱ ٤٥ = ٩٩ + ٢ﺱ
ﺏ( ٤ﺱ ٢٩ = ٢٥ + ٢ﺱ
ﺩ( ٤ﺱ ٢١ + ٢ﺱ = ٠ ﺩ( ﺟـ = ٢
) (٣ﺃ( ﺟـ = ٢٧-ﺃﻭ ٨ ١٩ ﺏ( ﺟـ = ١٠ﺃﻭ - ٢
ﻫـ( ﺟـ = ٥ #
ﺟـ( ﺟـ = ١٢١ﺃﻭ ٥٦- ) (٤ﺏ :ﺟـ = ٢٧ : ٣٢
ﲤﺎﺭﻳﻦ ٢-٢ { ْ ٣٣٠ ، ْ ٢١ } (1
{ ْ ٢٧٠ ، ْ ٩٠ ، ْ ٠ } (8
{ ْ ٢٢٥ ، ْ ٤٥ } (2 { ْ ٣٢٠ ، ْ ١٥٠ } (3
{ ْ ١٨٠ ، ْ٠ } (9 { ْ ١٢٣ َ ٢٦ ، ْ ٢٢٥ ، ْ ١٥٤ َ ٢٦ ، ْ ٤٥ } (10
{ ْ ٢٤٣ َ ٢٦ ، ْ ٦٣ َ ٢٦ } (4
{ ْ ٣١٥ ، ْ ٢٢٥ ، ْ ١٣٥ ، ْ ٤٥ } (11
{ ْ ٢٧٠ ، ْ ١٨٠ ، ْ ٩٠ ، ْ ٠} (5
{ ْ ٣٣٠ ، ْ ٢١٠ }(12
{ ْ ١٥٠ ، ْ ٣٠ } (6
{ ْ ٣٣٠ ، ْ ٣٠ ، ْ ١ }(13
{ ْ ٢٤٠ ، ْ ١٢٠ } (7
{ ْ ١٣٥ ، ْ ٩٠ ، ْ ٤٥ }(14
ﲤﺎﺭﻳﻦ ٣-٢ -١ﺃ( ﻕ ٍ)
ﺏ ( = ٥٠
ْ
،ﺏ ﺟـ = ٣٫٤
ﺏ( ﻕ ٍ) ٣٣ َ ٣٥ = ( h
h ،ﺏ = ١٨٫١
ْ
h ،ﺟـ = ١٤٫٩
ﺟـ( ﻕ ٍ) ٢١ َ٤٨ = ( h
ْ
،ﻕ ) ﺏ ( = ٦٨ َ ١٢
ْ
h ،ﺏ = ١٠٫٨
ﺩ ( ﻕ ٍ) ٢٥ َ ٢٣ = ( h
ْ
،ﻕ ) ﺏ ( = ٦٤ َ ٣٧
ْ
h ،ﺏ = ٦٫٣
)٢٥ ، ْ ٤٤ َ ٢٥ (٢ )٣٨ َ٤١ (٣
ْ
) ٢٣٤١٫٤ (٦ﻣﺘﺮ
١٠٨
h ،ﺏ = ٥٫٢٢
َ
٩١ َ ١٠ ، ْ ٤٤
ْ
) ٣٧٨٫٦ (٤ﻣﺘﺮ )٥٦ َ ١٩ (٧
) ٩٦٫٤ (٥ﻣﺘﺮ
ْ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ
ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ
ﲤﺎﺭﻳﻦ ٤-٢ )١١٧٫٧٥ (١ )٨٧٫٦ (٢ )٢٧٫٥ (٣ )١٢٫٢٥ (٤ ) (٥ﻧﻖ = ١٠ ) ٤٩ (٦ﺳﻢ
،ﻝ=٥ ٢،
٢
) (٧ﻧﻖ = ٢ ، ٤
x
١١٤ َ ٣٥ ، x
،ﻫـ = ٤ ، ١
ْ
x
)٤٫٠٥ (٨ ) ٤٫١ (٩ﺳﻢ
٢
ﲤﺎﺭﻳﻦ ٥-٢ )٨٤٫٥ (١ )١٠٠٫١٦ (٢ )٣٩٫٥ (٣ )٩٤٢ (٤ )٢٩٧٫٥ (٥ )٣٩ ، ١١ ، ٤ (٦ )٧٥٫٢ ، ٧٥٫٢ ، ١٦٣٫٧ (٧ )٤٤٫٢ (٨ )٢٦٫٦ (٩ ) ٣٠٫٦ (١٠ﺳﻢ
٢
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ١٠٩
ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ -ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ
ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ
ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻷﻭﻝ -١ﺃ( ً ﺃﻭﻻ h٩ :ﺟـ = ٢ﺏ
ً ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺏ h ٤ + ٢ h٩ = ٢ﺟـ
٢
ﺏ( ٤ﺱ ١٣ - ٢ﺱ ٠ = ٢٨ + -٢ﺃ( ﻟﻴﺲ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺏ( ﻝ = ، ٣٠ﻫـ = ١٫٥
-٣ﺃ( ٢٧٢٫٣
x
ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ -١ﺃ( ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ
}
ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ > ١-ﺱ >
٥ ٢ ٥
ﺻﻔﺮ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ [ ٢ ، ١- ] J
ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ، ١- ] - P J
١ ﺏ( ً ﺃﻭﻻ ٣ ٤ : -٢ﺃ( ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ
ً ﺛﺎﻧﻴﺎ:
-٣ﺃ( ٢٫٤ﻣﺘﺮ
ﺟـ( ٦٨٫٦٢
٥ ٢
١ ٤
[
ً ﺛﺎﻟﺜﺎ:
٥
١٧ ٢
ً ﺭﺍﺑﻌﺎ ٥ ٨ :
ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ -١ﺃ(
١٧ ٩
)ﺏ( ٢ # ، ٤ #
ﺏ( ٢ ، ١-
-٢ﺏ( ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ً ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ -٣ﺃ( ٣٫٥ﻣﺘﺮ
١١٠
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ -ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ً ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ ﺏ( ٣٠٥
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ