2009 58-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ОБЩИНСКИ КРЪГ - София-град

Общински кръг на LVІІІ Републиканска олимпиада по математика 15 март 2009 година – София

Общински кръг на LVІІІ Републиканска олимпиада по математика 15 март 2009 година – София

4. клас

5. клас

1. Намерете числата А, В и С ако:

1. Дадени

А = 9999 – 999. 3 ;

изразите

m   2009  2008, 2 : 5  2009 : 2 009 000

и

n  3, 43.3, 2  34,3.0, 68 .

В = 109. 9 – 2008: 4

а) Пресметнете стойностите на m и n;

и С = ( 5279. 5 – 5276. 5 ) : 5.

4 точки

б) Намерете числото х, за което е вярно равенството

Кое число трябва да извадим от числото А, за да получим сбора на числата В и С.

са

1, 7.x  m  n .

3 точки

7 точки 2. В 8 ч 20 мин г-н Х потеглил с автобус от автогара А, пристигнал на

2. Рекламно табло с форма на правоъгълник с размери 6 м и 10 м

автогара В и продължил пеша към дома си със скорост 4,5 км/ч, като

трябва да се боядиса в синьо, а табло с форма на квадрат със същата

изминал общо 140,2 км. Ако автобусът изминал разстоянието между

обиколка трябва да се боядиса в зелено. Колко най-малко кутии със синя

автогарите А и В за 2,2 часа, като се движил със средна скорост 62,5 км/ч,

и зелена боя трябва да се купят, ако в една кутия има 3 литра боя и

намерете:

2 кв. м се боядисват с 1 литър боя?

7 точки

а) колко километра г-н Х е изминал пеша;

3 точки

б) в колко часa г-н Х е пристигнал вкъщи.

4 точки

3. Разстоянието между планинско езеро и една хижа е 12 км. Група туристи тръгнали от хижата в 9 ч 45 мин и изминали разстоянието до

така, че четириъгълникът AMCD е успоредник. Периметърът на трапеца е

езерото за 3 часа. а) Ако всеки час те изминавали с 1 км по-малко от предишния, намерете колко километра са изминали през последния час? 4 точки б) Ако туристите почивали на брега на езерото 2 ч 30 мин, в колко часа са тръгнали обратно за хижата?

3. Даден е трапецът ABCD. Върху голямата основа АВ е взета точка М

3 точки

с 20 см по-голям от периметъра на MBC , а лицето на трапеца е с 60 кв. см по-голямо от лицето на MBC . а) Намерете дължините на малката основа и височината на трапеца.

4 точки

б) Намерете лицето на трапеца, ако лицето на MBD е 9 кв. см.

3 точки

Общински кръг на LVІІІ Републиканска олимпиада по математика 15 март 2009 година – София

Общински кръг на LVІІІ Републиканска олимпиада по математика 15 март 2009 година – София

6. клас

7. клас

1. Пресметнете стойността на израза A 

a  x a  2 x  , където 5 2

 1 5 :    2,1: 0,3  7  a , а х е числото, за което е вярно  1  5 :    2 : 0, 25  3 1 3 равенството 3 .1, 2  x  15 17, 25 .

3 4

2.

а) Опростете израза B 

 2.а 

3

.  а 3 

а 5

7 точки 2

и намерете стойността му

при а  0,1 .

3 точки

б) Намерете числото n, за което е вярно равенството n4

 2     7 

n

7 .   2 



2.7 2.29 .

144.7 4

и b и височини към тях ha  4 cm и hb  6 cm. а) Намерете обема на призмата, ако b = 5 cm и лицето на околната 4 точки

б) Намерете лицето на околната повърхнина на призмата, ако обемът й е равен на 180 cm3 .

2. За четириъгълника ABCD е дадено, че BC = CD, ABD  30 и ADC  2.ABC . Симетралата на диагонала BD пресича страната АВ в точка М. а) Докажете, че DM е симетрала на диагонала АС; 4 точки б) Намерете дължината на диагонала АС, ако той дели BD на отсечки с дължини 5 cm и 7 cm.

3 точки

4 точки

3. Основата на права четириъгълна призма е успоредник със страни а

й повърхнина е равно на 175 cm 2 .

1. Дадени са изразите 2 M   a  b 1  2  2a  2b и N  a 2  b 2  a  b . а) Намерете стойностите на изразите М и N, ако а е равно на 1  1 3 2 3 корена на уравнението x  x  2   x  1   x x     0 , а b е  2  2 4 най-малкото число, за което е изпълнено равенството 2 b  3  4 b  3  24 .

4 точки б) Разложете на множители изразите М, N и M – N. 3 точки

3 точки

3. Скоростта на течението на една река е 3 km/h. В 8 ч 45 мин от пристанище А за пристанище В по течението на реката тръгнал сал, а 20 мин по-късно от В за А тръгнала лодка, която се движела със скорост 12 km/h. При срещата им се оказало, че лодката е изминала три пъти поголямо разстояние от сала. а) Намерете разстоянието между двете пристанища и в колко часа лодката и сала са се срещнали.

4 точки б) Ако след срещата лодката пристигнала в А, направила почивка от 20 мин и отпътувала обратно за В, намерете в колко часа и на какво разстояние от В, тя е настигнала сала.

3 точки

Общински кръг на LVІІІ Републиканска олимпиада по математика 15 март 2009 година – София

Общински кръг на LVІІІ Републиканска олимпиада по математика 15 март 2009 година – София

8. клас

8. клас

1. а)

Числото –1 е корен на уравнението 4a 2 x 2  4 x  4a  5  0 ,

където а е параметър. Намерете другия корен на уравнението.

1. а)

Числото –1 е корен на уравнението 4a 2 x 2  4 x  4a  5  0 ,

където а е параметър. Намерете другия корен на уравнението.

3 точки б) Ако x1 и x2 са корените на уравнението x 2  6 x 11  0 , намерете стойността на израза 11  6 x1  11  6 x2 .

4 точки

2. Даден е трапецът ABCD (AB  CD), за който АВ = 2CD. Точка М е

  средата на АВ, а точка F е такава, че МF  2 AD .

3 точки

б) Ако точка N е средата на отсечката ВF и лицето на триъгълника DNF е 20 cm2, намерете лицето на трапеца ABСD.

4 точки

a bc  ac   a bc 3. Даден е изразът A     2 :   2  .   b  a b  bc   b  c a a bc за всички допустими стойности на a  c b

променливите;

4 точки

б) Намерете стойността на А, ако a  3.7 , b  48 и 2

c  35 .

б) Ако x1 и x2 са корените на уравнението x 2  6 x 11  0 , намерете стойността на израза 11  6 x1  11  6 x2 .

4 точки

2. Даден е трапецът ABCD (AB  CD), за който АВ = 2CD. Точка М е

  средата на АВ, а точка F е такава, че МF  2 AD .

а) Докажете, че точка С е медицентърът на BDF;

а) Докажете, че A 

3 точки

3 точки

а) Докажете, че точка С е медицентърът на BDF;

3 точки

б) Ако точка N е средата на отсечката ВF и лицето на триъгълника DNF е 20 cm2, намерете лицето на трапеца ABСD.

4 точки

a bc  ac   a bc 3. Даден е изразът A     2 :   2  .   b  a b  bc   b  c a а) Докажете, че A 

a bc за всички допустими стойности на a  c b

променливите;

4 точки

б) Намерете стойността на А, ако a  3.7 , b  48 и 2

c  35 .

3 точки

Общински кръг на LVІІІ Републиканска олимпиада по математика 15 март 2009 година – София

Общински кръг на LVІІІ Републиканска олимпиада по математика 15 март 2009 година – София

9. клас

10. клас

1. Решете уравненията:

 8 5 x 15 а) 3 x 2   :  x 2  2 x  4  2 ;  x x x6 б)

3 точки

x4  6x2  7  0 1. Решете системата 4 x  9 и проверете дали числото x x2 3

5 x 2  10 x 1  x 2  2 x  7 .

4 точки

a

1

3 4  34 1 2

3 3

1 4

 4 35  1 е решение на системата.

7 точки

2. Даден е триъгълник АВС (АС < ВС). В триъгълника е вписана окръжност с център О, която се допира до страните му АВ, ВС и АС съответно в точките М, N и Р. Ъглополовящата на АСВ пресича

2.

а) Намерете най-голямата и най-малката стойности на функцията

y  3 x 2  2 x  4 , когато х се изменя в интервала 1; 1 .

страната АВ в точка L. Ако ML = 1 cm, CP = 3 cm и LN  AC, намерете: а) дължините на страните на АВС;

5 точки

б) отношението CO : OL .

2 точки

4 точки б) Намерете

стойностите

на

неравенството 3 x 2  2 x  a 2  4a 

параметъра

а,

за

които

10  0 е изпълнено за всички 3

стойности на х от интервала 1; 1 .

3 точки

3. Дадено е уравнението mx 4  2m 1 x 2  m  2  0 . Намерете стойностите на параметъра m, за които уравнението: а) има два различни реални корена;

3. Дадено 3 точки

б) има четири различни реални корена x1 , x2 , x3 и x4 , за които е изпълнено, че x  x2  x3  x4  6 x1 x2 x3 x4 .

4 1

4

4

4

2

2

2

2

4 точки

е

уравнението

m  1 4 x2  m21 x2  3m 1  0 .

Намерете стойностите на параметъра m, за които уравнението: а) има решение;

4 точки

б) има точно един неотрицателен корен.

3 точки

Общински кръг на LVІІІ Републиканска олимпиада по математика 15 март 2009 година – София

Общински кръг на LVІІІ Републиканска олимпиада по математика 15 март 2009 година – София

11. клас

12. клас

1. Сборът на три различни числа е 21. Намерете тези числа, ако те са едновременно: а) последователни членове на геометрична прогресия и съответно първи, десети и двадесет и осми член на аритметична прогресия; 3 точки

1.

а) Пресметнете стойността на израза A5

log 0,2

1 2

 log

2





3 1  log

2





6 2 .

3 точки

б) Намерете двойките числа (х; у), за които е изпълнено равенството log 3 5

x2 y 1

 log 5 3

x 2  y 2 5 y3

.

4 точки

б) първи, десети и двадесет и осми член на аритметична и геометрична прогресия.

4 точки

2. Членовете на геометричната прогресия a1 , a2 ,..., an ,... са различни

2. Всички ръбове на правилната триъгълна призма ABCA1 B1C1 имат дължина 1. Точките М и N са средите съответно на ръбовете АВ и CC1 . Намерете:

положителни числа.

а) дължината на отсечката МN и косинуса на ъгъла между правите

а) Ако със S n е означен сборът на първите n члена на дадената прогресия, докажете, че за всяко естествето число n е в сила

Sn S  Sn равенството  2n ; S 2 n  Sn S3 n  S 2 n

MN и BA1 ;

3 точки

б) разстоянието от точка A1 до равнината  B1 MN  .

3 точки 1

1 1 1 1    ...   t . a1 a2 a3 an

4 точки

а) Намерете най-малката стойност на функцията;

3. а) Ако   90  k и   30  k k   , докажете, че 3 точки

б) Намерете стойността на израза tg 54  tg 3  tg13  tg 23  ...  tg163  tg173 .

3 точки

б) За кои стойности на параметъра а уравнението 1

tg   tg 60     tg 120    3 tg 3 .

1

3. Дадена е функцията f  x   2 x  23   x 12 .

б) Намерете произведението a1 .a2 .a3 ...an , ако a1  a2  a3  ...  an  p и

4 точки

4 точки

1

2 x  23   x  12  a има единствено решение?

4 точки

УКАЗАНИЯ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ

4. клас 1.

Намерете числата А, В и С ако: А = 9999 – 999. 3 ;

В = 109. 9 – 2008: 4 и С = ( 5279. 5 – 5276. 5) : 5.

Кое число трябва да извадим от числото А, за да получим сбора на числата В и С.

7 точки За намерено: A  7002 B  479 C 3 А – (В + С) = 6520

1,5 точки 1,5 точки 2 точки 2 точки

2. Рекламно табло с форма на правоъгълник с размери 6 м и 10 м трябва да се боядиса в синьо, а табло с форма на квадрат със същата обиколка трябва да се боядиса в зелено. Колко най-малко кутии със синя и зелена боя трябва да се купят, ако в една кутия има 3 литра боя и 2 кв. м се боядисват с 1 литър боя?

7 точки

За намерено: Лице на правоъгълника 60 кв. м

1 точка

30 литра синя боя са необходими

1 точка

10 кутии синя боя трябва да се купят

1 точка

Страната на квадрата – 8 м

2 точки

Лице на квадрата 64 кв. м и 32 л зелена боя

1 точка

Най-малко 11 кутии със зелена боя трябва да се купят

1 точка

3. Разстоянието между планинско езеро и една хижа е 12 км. Група туристи тръгнали от хижата в 9 ч 45 мин и изминали разстоянието до езерото за 3 часа. а) Ако всеки час те изминавали с 1 км по-малко от предишния, намерете колко километра са изминали през последния час?

4 точки

б) Ако туристите почивали на брега на езерото 2 ч 30 мин, в колко часа са тръгнали обратно за хижата?

3 точки

а) Съобразено и намерено 12 – 2 – 1 = 9 км или 12 + 2 + 1 = 15 км Намерено, че през последния час са изминали 3 км. б) Пристигнали на езерото в 12 ч 45 мин Тръгнали от езерото в 15 ч 15 мин

2 точки 2 точки 1 точка 2 точки

5. клас 1. Дадени са изразите m   2009  2008, 2 : 5  2009 : 2 009 000 и

n  3, 43.3, 2  34, 3.0, 68 . а) Пресметнете стойностите на m и n;

4 точки

б) Намерете числото х, за което е вярно равенството 1, 7. x  m  n .

3 точки

За намерено: а) m = 0,159 2 точки n = 34,3 2 точки б) 1,7.x =34,459 1 точка x = 34,459 : 1,7 = 20,27 .

2 точки Забележка: Ако в б) работи вярно с грешно намерени m и n, задачата да се оценява, както е посочено.

2. В 8 ч 20 мин г-н Х потеглил с автобус от автогара А, пристигнал на автогара В и продължил пеша към дома си със скорост 4,5 км/ч, като изминал общо 140,2 км. Ако автобусът изминал разстоянието между автогарите А и В за 2,2 часа, като се движил със средна скорост 62,5 км/ч, намерете: а) колко километра г-н Х е изминал пеша;

3 точки

б) в колко часa г-н Х е пристигнал вкъщи.

4 точки

Намерено: а) 137,5 км е разстоянието между двете автогари 2,7 км е вървял пеша б) Времето, през което е вървял пеша, е 2,7 : 4,5 = 0,6 ч Общото време е 2,2 + 0,6 = 2,8 ч = 2 ч 48 мин Г-н Х е пристигнал вкъщи в 11 ч 8 мин

2 точки 1 точка 2 точки 1 точка 1 точка

3. Даден е трапецът ABCD. Върху голямата основа АВ е взета точка М така, че четириъгълникът AMCD е успоредник. Периметърът на трапеца е с 20 см по-голям от периметъра на  MBC , а лицето на трапеца е с 60 кв. см по-голямо от лицето на  MBC .

а) Намерете дължините на малката основа и височината на трапеца.

4 точки

б) Намерете лицето на трапеца, ако лицето на MBD е 9 кв. см.

3 точки

Намерено: а) AM = CD = 10 cм S AMCD  60 кв. см; а.h = 60; h = 6 см MB.h б) І начин: S MBD  ; 2 MB.h S MBC   S MBD  S MBC  9 кв. см и 2

2 точки 2 точки

a

D b А

С b

h a

M

В

S ABCD  60  9  69 кв. см MB.h ІІ начин: S MBD   MB  3 см и АВ = АМ + МВ = 13 см.

2 S ABCD  69 кв. см

3 точки 2 точки 1 точка

6. клас 1. Пресметнете стойността на израза A   1 5 :    2, 1 : 0, 3  7  a ,  1 5 :    2 : 0, 25  3

а

х

е

a x a  2 x  , където 5 2

числото,

за

което

е

вярно

1 3 3 .1, 2  x  15  17, 25 .

3 4

равенството

7 точки

Намерено: 2 точки a  4 x  2,5 3 точки A  0, 2 .

2 точки Забележка: Ако вярно намира стойността на А, работейки с грешни стойности на а и х, да се присъждат предвидените точки.

2. а)

Опростете израза B 

 2.а 

3

.  а 3 

а 5

2

и намерете стойността му при а  0, 1 .

3 точки n4

2 б) Намерете числото n, за което е вярно равенството   7 

n

7 .   2 



2.7 2.29 .

144.7 4

4 точки а) За опростяване на израза до B  8a 2 За намиране, че при а = –0,1 B = 0,08

2 точки 1 точка n4n

2 б) За опростяване на всяка от страните на равенството до    7  Намиране n = 5

2    – по 1,5 точки  7  1 точка 6

3. Основата на права четириъгълна призма е успоредник със страни а и b и височини към тях ha  4 cm и hb  6 cm. а) Намерете обема на призмата, ако b = 5 cm и лицето на околната u повърхнина е равно на 175 cm2.

4 точки

б) Намерете лицето на околната повърхнина на призмата, ако обемът u е равен на 180 cm3.

3 точки

Намерено: а) лицето на основата В = 30 cm2 а = 7,5 cm периметъра на основата Р = 25 cm височината на призмата h = 7 cm обема на призмата V  210 cm3 б) От V  a.ha .h  180  a.h.4  a.h  45 cm2 От V  b.hb .h  180  b.h.6  b.h  30 cm2 S =150 cm2

1 точка 1 точка 0,5 точки 1 точка 0,5 точки 1 точка 1 точка 1 точка

7. клас 1. Дадени са изразите M  a  b  1  2  2a  2b и N  a 2  b 2  a  b . а) Намерете стойностите на изразите М и N, ако а е равно на корена на 1  1 3 2 3 уравнението x  x  2  x  1   x  x     0 , а b е най-малкото число, за   2  2 4 2

което е изпълнено равенството 2 b  3  4 b  3  24 . б) Разложете на множители изразите М, N и M – N. Намерено:

4 точки 3 точки

а) а = х = 0

1,5 точки

b = –1

1,5 точки

M = 0 и N = –2

1 точка

б) M   a  b 1 a  b  1

1 точка

N  a  b a  b 1

1 точка

M  N  a  b 1 2b  1

1 точка

2. За четириъгълника ABCD е дадено, че BC = CD, ABD  30 и ADC  2.ABC . Симетралата на диагонала BD пресича страната АВ в точка М. а) Докажете, че DM е симетрала на диагонала АС; 4 точки б) Намерете дължината на диагонала АС, ако той дели BD на отсечки с дължини 5 cm и 7 cm.

3 точки а) Доказано, че: C  sBD и MB = MD 1 точка 1 точка MDC  ABC  ADM 1 точка DMC  CMB  AMD  60  AMD CMD  AD  CD, AM  CM  DM е симетрала на АС.

1 точка б) Намерено, че: А 1 OK  DK  2,5 cm 1 точка 2 AK = BK = 7 cm AC = 2.AO = 9 cm

D 30

С K

O 30

В

M 1 точка 1 точка

3. Скоростта на течението на една река е 3 km/h. В 8 ч 45 мин от пристанище А за пристанище В по течението на реката тръгнал сал, а 20 мин по-късно от В за А тръгнала лодка, която се движела със скорост 12 km/h. При срещата им се оказало, че лодката е изминала три пъти по-голямо разстояние от сала. а) Намерете разстоянието между двете пристанища и в колко часа лодката и сала са се срещнали.

4 точки б) Ако след срещата лодката пристигнала в А, направила почивка от 20 мин и отпътувала обратно за В, намерете в колко часа и на какво разстояние от В, тя е настигнала сала.

3 точки а) Съставен модел на движението от тръгването до срещата Намерен часът на срещата 10 ч 5 мин и разстоянието между пристанищата А и В 16 km б) Съставен модел на движението от срещата до настигането Намерен часът на настигането 11 ч 9 мин и разстоянието от В до настигането 8,8 km

2 точки 1 точка 1 точка 2 точки 0,5 точки 0,5 точки

8. клас 1.

а) Числото –1 е корен на уравнението 4a 2 x 2  4 x  4a  5  0 , където а е

параметър. Намерете другия корен на уравнението.

3 точки

б) Ако x1 и x2 са корените на уравнението x 2  6 x 11  0 , намерете стойността на израза 11  6 x1  11  6 x2 .

4 точки

Намерено: а) 4a 2  4a  1  0 a  0,5 другият корен на уравнението x2  3

1 точка 1 точка 1 точка

б) x1,2  3  20

1 точка

І начин: 11  6x1  x12 и 11  6x2  x2 2 1 точка ІІ начин:

29  6 20  29  6 20 

 11  6 x1  11  6 x2  x1  x2 

1 точка 





 3  20  20  3  2 20  4 5

1 точка 

20  3  20  3  2 20  4 5

2

20  3 





2

20  3 

2 точки

1 точка 2. Даден е трапецът ABCD (AB  CD), за който АВ = 2CD. Точка М е средата на АВ,

  а точка F е такава, че МF  2 AD . а) Докажете, че точка С е медицентърът на BDF;

3 точки

б) Ако точка N е средата на отсечката ВF и лицето на триъгълника DNF е 20 2

cm , намерете лицето на трапеца ABСD.

4 точки

а) Доказано, че C  MF и MC  CF .

1 точка

І начин: Доказано, че MF пресича BD в О – среда на BD и CF : CO  2 :1 . ІІ начин: Ако DC  BF  Q , доказано, че Q е среда на ВF и DC : CQ  2 :1 1 точка 3 б) Ако AM  MB  CD  x , то DN  x .

1 точка 2 Нека FH  DN  H  DN  и CT  AB T  AB  . От 1 точка MTC CHF  FH  CT  h 3 S DNF  xh  20 cm 2 1 точка 4 1 3 S ABCD   x  2 x  h  xh  2S DNF  40 cm 2 1 точка 2 2

1 точка 1 точка 1 точка F

С

D

N Q

О

А

В

M

a bc  ac   a bc 3. Даден е изразът A     2   2 .  :   b  a b  bc   b  c a а) Докажете,

че

A

a  bc a cb

за

всички

допустими

стойности

4 точки

променливите; б) Намерете стойността на А, ако a  3.7  , b  48 и c  35 .

2

а) За представяне на изразите във всяка от скобите във вида b  a  b  c a  b  c  a b  c   2 ab b  c  a  b  c  б) Намерено: a  7 3, b  4 3, c  9 3 1 A 6

на

3 точки

по 2 точки

2 точки 1 точка

УКАЗАНИЯ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ 8. клас 1.

а) Числото –1 е корен на уравнението 4a 2 x 2  4 x  4a  5  0 , където а е

параметър. Намерете другия корен на уравнението.

3 точки

б) Ако x1 и x2 са корените на уравнението x 2  6 x 11  0 , намерете стойността на израза 11  6 x1  11  6 x2 .

4 точки

Намерено: а) 4a 2  4a  1  0 a  0,5 другият корен на уравнението x2  3

1 точка 1 точка 1 точка

б) x1,2  3  20

1 точка

І начин: 11  6x1  x12 и 11  6x2  x2 2 1 точка ІІ начин:

29  6 20  29  6 20 

 11  6 x1  11  6 x2  x1  x2 

1 точка 





 3  20  20  3  2 20  4 5

1 точка 

20  3  20  3  2 20  4 5

2

20  3 





2

20  3 

2 точки

1 точка 2. Даден е трапецът ABCD (AB  CD), за който АВ = 2CD. Точка М е средата на АВ,

  а точка F е такава, че МF  2 AD . а) Докажете, че точка С е медицентърът на BDF;

3 точки

б) Ако точка N е средата на отсечката ВF и лицето на триъгълника DNF е 20 cm2, намерете лицето на трапеца ABСD.

4 точки

а) Доказано, че C  MF и MC  CF . І начин: Доказано, че MF пресича BD в О – среда на BD и CF : CO  2 :1 . ІІ начин: Ако DC  BF  Q , доказано, че Q е среда на ВF и DC : CQ  2 :1 1 точка 3 б) Ако AM  MB  CD  x , то DN  x .

1 точка 2 Нека FH  DN  H  DN  и CT  AB T  AB  . От

1 точка 1 точка 1 точка 1 точка

MTC CHF  FH  CT  h 3 S DNF  xh  20 cm 2 4 1 3 S ABCD   x  2 x  h  xh  2S DNF  40 cm 2 2 2

F

1 точка

С

D

1 точка

N Q

О

1 точка А

M

В

a bc  ac   a bc 3. Даден е изразът A     2 :   2  .   b  a b  bc   b  c a а) Докажете,

че

A

a  bc a cb

за

всички

допустими

стойности

на

4 точки

променливите; б) Намерете стойността на А, ако a  3.7  , b  48 и c  35 .

2

а) За представяне на изразите във всяка от скобите във вида b  a  b  c a  b  c  a b  c   2 ab b  c  a  b  c  б) Намерено: a  7 3, b  4 3, c  9 3 1 A 6

3 точки

по 2 точки

2 точки 1 точка

9. клас 1. Решете уравненията:

 8 5 x  15 а) 3  x 2   :  x 2  2 x  4  2 ;  x x  x 6 б)

3 точки

5 x 2  10 x  1  x 2  2 x  7 .

4 точки

а) Дефиниционното множество на уравнението е x  0, 3,  2 . Уравнението е еквивалентно на

3 x  2 x 2  2 x  4 x  x 2  2 x  4



5 x  3   x  3 x  2

0,5 точки 1 точка

4 и x2  3 .

1 точка 3 4 3 не е допустима стойност и не е решение. Единствено решение е x1   .

0,5 точки 3 б) Полагаме x 2  2 x  t . Уравнението добива вида 5t 1  7  t .

1 точка 2 След повдигане на квадрат получаваме уравнението t 19t  48  0 1 точка с корени t1  3 и t2  16 . Чрез непосредствена проверка се установява, че 3 е решение, а 16 не

3 x 2  5 x 12  0 . Корените на последното уравнение са x1  

е решение на ирационалното уравнение 5t 1  7  t .

1 точка 2 Корените на даденото уравнение намираме от x  2 x  3  0 , т.е. x1  3, x2  1 . 1 точка 2. Даден е триъгълник АВС (АС < ВС). В триъгълника е вписана окръжност с център О, която се допира до страните му АВ, ВС и АС съответно в точките М, N и Р.

Ъглополовящата на АСВ пресича страната АВ в точка L. Ако ML = 1 cm, CP = 3 cm и LN  AC, намерете: а) дължините на страните на АВС;

5 точки

б) отношението CO : OL .

2 точки

а) От свойство на ъглополовящата и теорема на Талес AL AC CN следва, че   1 точка LB BC BN Въведени неизвестните АМ = АР = х и ВМ = BN = y и x 1 x  3  y 1 y  3 получена системата  2 точки x 1 3  y 1 y 2x  y  3  0 xy  2 y  3  0



y  2x  3 2 x2  x  3  0

С 3

3

N

P O

x

А

x

М1 L

.

y

В

y–1

1 точка

От последното уравнение следва, че x1  1 (не е решение) и x2  1, 5 . Следователно АВ = 7,5 cm, BC = 9 cm, AC = 4,5 cm.

1 точка б) АО е ъглополовяща в ACL. 1 точка CO CA 4,5 9    . Следователно 1 точка OL AL 2,5 5 3. Дадено е уравнението mx 4  2m  1 x 2  m  2  0 . Намерете стойностите на параметъра m, за които уравнението: а) има два различни реални корена;

3 точки

б) има четири различни реални корена x1 , x2 , x3 и x4 , за които е изпълнено, че x1 4  x 2 4  x 3 4  x 4 4  6 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 .

4 точки

а) Полагаме x 2  y и получаваме уравнението my 2  2m 1 y  m  2  0 . При m = 0 уравнението има вида x 2  2  0 и x1,2   2 , т.е. m = 0 е решение. При D = 0 и y1,2  

1 точка

b 1  0 , т.е. m   уравнението има два различни реални корена.

2a 4

1 точка При y1 y2  0 

m2  0  m  0; 2 уравнението има два различни реални корена. m

1 точка

D  0, m  0

б)

Уравнението

има

четири

различни

реални

корена,

ако

y1 y2  0



y1  y2  0

m

1 4

 1  m2  0  m   ; 0  2;   .  4  m 2m  1 0 m

От

x1,2   y1

1 точка

x3,4   y2

и

следва,

че

x12  x2 2  y1

и

x32  x4 2  y2

и

x14  x2 4  x34  x44  6 x12 x2 2 x32 x42  2  y12  y2 2   6 y12 y22  y12  y2 2  3 y12 y22

1 точка

 2m 1  m  2  m2 Следователно  2  3  ,  m   m  m

1 точка

Откъдето получаваме m1  1 (не е решение) и m2  11 (решение)

1 точка.

2

2

10. клас

1. Решете

3

a

3 3

системата

и

проверете

дали

числото

1

3 4  34 1 2

x4  6 x2  7  0 4x 9 x x2

1 4

 4 35  1 е решение на системата.

7 точки

Намерени:



 

решения на първото неравенство x  ;  7 

решения на второто неравенство x  ; 2  3 ;





7;   ;



решенията на системата x  ;  7  3 ;

1,5 точки 1,5 точки 1 точка

Забележка: Ако числото 3 не е включено в решенията на системата, да се отнемат 0,5 точки.

1 2 1   1   34 134 1 3 4 3 4 1        4 a 1 1  3 3 1   3 4 3  1  2 4 3 ;    1  34  1 3 4 3 4  1     

2 точки

2 4 3   4 48   4 49   7  а не е решение на системата.

2.

а) Намерете

най-голямата

и

най-малката

1 точка

стойности

на

функцията

y  3 x 2  2 x  4 , когато х се изменя в интервала 1; 1 . б) Намерете

стойностите

3 x 2  2 x  a 2  4a 

на

параметъра

а,

4 точки за

които

неравенството

10  0 е изпълнено за всички стойности на х от интервала 3

1; 1 .

3 точки

а) Намерени: абсцисата на върха на параболата x0  

b 1  ; 2a 3

1 точка

1 11 най-голямата стойност на функцията в интервала 1; 1 ymax  y     ;  3  3

1 точка

най-малката стойност на функцията в интервала 1; 1 ymin  y 1  9 .

2 точки

б) За всяко x  1; 1 e изпълнено, че y  ymax   3x 2  2 x  a 2  4a 

11 .

3

10 2  0  y  a 2  4a  ; 3 3

1 точка 1 точка

Последното неравенство ще е вярно за всяко x  1; 1 , ако 2 11 a 2  4a     a  ; 1  3;   .

3 3

3. Дадено е уравнението m  1 4

 x 2

1 точка 1 x 2

 m2

 3m  1  0 . Намерете стойностите

на параметъра m, за които уравнението: а) има решение;

4 точки

б) има точно един неотрицателен корен.

3 точки

 x 2

а) Полагаме 2

 t , t  0;1 . Следователно търсим стойностите на параметъра, за които

уравнението m  1 t 2  2mt  3m 1  0 има решение в интервала 0; 1 .

1 точка

1 сл. При m = –1, уравнението има единствен корен t = 2, т.е. m  1 .

0,5 точки

 1 3 1 .

2 сл. Уравнението има корени t1 и t2 , такива, че 0  t1  t2  1  m  ;  3 2 

1 точка

 1 3 сл. Уравнението има корени t1 и t2 , точно един от които е в интервала 0; 1  m  0;  .  3  1 точка 4 сл. Непосредствено проверяваме, че при m 

1 и m  0 уравнението има корен в 3

 3 1 интервала 0; 1 , т.е. търсените стойности на параметъра са m  0; .

2  

0,5 точки

Забележка: Ако е разгледано само D  0 , да се дава 1 точка, ако е разгледано и t1 , t2 положителни, да се дава още 1 точка. б) Уравнението x  2  a при a  0 има корени x1  a  2 и x2  a  2 , като точно един от тях е неотрицателен при

 1 a  2 . Следователно на t  0;   4 

съответства един

1  неотрицателен и един отрицателен корен, а на t   ; 1 – два отрицателни корена, т.е.  4  търсим стойностите на параметъра m, за които уравнението m  1 t 2  2mt  3m 1  0 има

 1 точно един корен в интервала 0;  .  4 

1 точка

 1 1 сл. Уравнението има два корена t1 и t2 , точно един от които е в интервала 0;    4   1 15  1 15 m   ;  . Непосредствено се проверява, че m  не е решение, а m  е решение.  3 41 3 41 1 точка

 1 2 сл. Уравнението има един двоен корен в интервала 0;  . Проверява се, че в този случай  4  няма решение.

 1 15  Окончателно m   ;  .  3 41

1 точка

11. клас 1. Сборът на три различни числа е 21. Намерете тези числа, ако те са едновременно: а) последователни членове на геометрична прогресия и съответно първи, десети и двадесет и осми член на аритметична прогресия;

3 точки

б) първи, десети и двадесет и осми член на аритметична и геометрична прогресия.

4 точки

Нека числата са а, a + 9d и a + 27d. ( d  0 ) a  a  9d  a  27 d  21 а) а и d са решения на системата .

2 a  9d   a a  27d 

2 точки

1 Решения на системата ( d  0 ) са d  , a  3 и числата са 3, 6 и 12.

3 б) Ако частното на геометричната прогресия е q q  1 ,

1 точка е

изпълнено,

че

a  9d  aq 9

. a  27d  aq 27 a  a  9d  a  27 d  21

1 точка

От първите две уравнения получаваме a  q 9 1  9d и a  q 27 1  27 d . Като разделим

q 27 1  3. q 9 1 От тук намираме q9  2 . почленно следва, че

1 точка

1 точка 7 7 Тогава a  9d  2a  a  3d и от последното уравнение намираме d  , a   .

9 3 7 14 56 Следователно числата са  , , .

1 точка 3 3 3 2. Членовете на геометричната прогресия a1 , a2 ,..., an ,... са различни положителни числа. а) Ако със S n е означен сборът на първите n члена на дадената прогресия, докажете, че за всяко естествето число n е в сила равенството

Sn S  Sn  2n ; S2 n  Sn S 3 n  S 2 n 3 точки

б) Намерете произведението a1 .a2 .a3 ...an , ако a1  a2  a3  ...  an  p и

1 1 1 1    ...   t . a1 a2 a3 an

4 точки

а) За изразени S n , S2 n , S3 n

1 точка

За доказване на тъждеството

2 точки nn1

б) a1 .a2 .a3 ...an  a1n .q12...n1  a1n .q

2

.

1 точка

q n 1 p q n 1 q 1 a1 p q 1 1  1 q n 1 1 qn t  t a1  q 1 q n1 a1 1 1 q

a1

1 точка

След почленно деление получаваме a12 .q n1 

p . t

nn1  p Следователно a12 n .q nn1    и a1 .a2 .a3 ...an  a1n .q 2   t  n

3. а) Ако

  90  k

и

  30  k

1 точка pn . tn

k    ,

tg   tg 60    tg 120     3 tg 3 .

1 точка

докажете,

че

3 точки

б) Намерете стойността на израза tg 54 tg 3  tg 13  tg 23  ...  tg 163  tg 173 .

а) tg   tg 60     tg 120    tg  

 tg   

4 точки

sin 180  2   cos 60    cos 120   

2sin 2 sin  4sin 2    cos 180  2   cos 60 cos  1 2 cos 2

sin   2 sin  cos 2  4sin 2 cos  sin   sin 3  sin   2sin 3  2sin    3tg 3 cos   2cos  cos 2 cos   cos 3  cos 

3 точки б) Прилагаме тъждеството от подточка а):

tg 3  tg 63 tg123  3tg 9 tg13  tg 73  tg133  3tg 39 ...........

tg 53 tg113 tg173  3 tg159

1 точка

Тогава tg 54  tg 3  tg13  tg 23  ...  tg163  tg173   3 tg 54  tg 9  tg 69  tg129  tg 39  tg 99  tg159 

1 точка

 9 tg 54  tg 27  tg117 

1 точка

 9 tg 54  tg 27 cotg 27  9 tg 54

sin 2 27 cos 2 27 sin 54 2cos 54 9   18 sin 27 cos 27 cos 54 sin 54 1 точка

12. клас 1.

а) Пресметнете стойността на израза A5

log0 ,2

1 2

 log

2





3  1  log

2





6 2 .

3 точки

б) Намерете двойките числа (х; у), за които е изпълнено равенството

log 3 5

x2 y 1

 log 5 3 log 0,2

а) За намерено 5 и log

2





1 2

3 1  log

б) log 3 5

x2 y 1

x 2  y 2  5 y3

.

4 точки

2 2



1 точка



6 2 3

 log 5 3

x 2  y 2 5 y 3

 log 3 5

2 точки x2 y 1

 x 2  y 2 5 y 3

 log3 5



x  2 y 1   x 2  y 2  5 y  3 Но

1 точка

x  2 y  1  0 и  x 2  y 2  5 y  3  0 . Следователно уравнението е еквивалентно на

системата

x  2 y 1  0 x2  y 2  5 y  3  0

1 точка

.

1 2  За намерени решенията на системата 3; 1 и  ;  .  3 3 

2 точки

2. Всички ръбове на правилната триъгълна призма ABCA1 B1C1 имат дължина 1. Точките М и N са средите съответно на ръбовете АВ и CC1 . Намерете: а) дължината на отсечката MN и косинуса на ъгъла между правите MN и BA1 ; 3 точки б) разстоянието от точка A1 до равнината  B1 MN  .

4 точки

A1

C1

1 точка

P

N

1 точка

А

а) От правоъгълния MNC  MN  MC 2  NC 2  1 PMN    BA1 ; MN    , където MP  BA1

B1 C

 M B

MP 

1 2 A1B  , PN  1 и от MNP по косинусова теорема намираме, че 2 2

cos  

1 2 2



2 4

1 точка A1

б) Ако A1 H   B1MN  , H   B1 MN  и

C1

NQ   ABB1  , Q   ABB1  , то

N B1

1 1 VMNB1 A1  S MNB1 . A1H  S A1 B1M .NQ 3 3

1 точка

A1M  MB1  B1 N , MN  A1B1  1

1 точка

 MNB1  A1B1M  A1 H  NQ

1 точка

CC1   ABB1   NQ  CM 

А

C M B

3 2

1 точка 1

1

3. Дадена е функцията f  x   2 x  23   x  12 .

3 точки

а) Намерете най-малката стойност на функцията; 1

1

б) За кои стойности на параметъра а уравнението 2 x  23   x  12  a има единствено решение?

4 точки

а) Дефиниционното множество на функцията е x  1;   .

1

2 1 3 x  16  2 3 2 1 1   3 2 . f  x  2 x  2 .2   x 1  2 3 2 3 6 x 1 /



1 точка



4

23 28 f /  x  0   x  1   x  6 1 .

3 3 1 6

1 точка

  28  28  Следователно при x  1; 6 1 функцията намалява, а при x   6 1;   , тя расте.    3 3  

Следователно най-малката стойност на функцията е при x 

28 1 и е равна на 36

 28  8 f  6 1   .  3  27

б) Като използваме изследването на функцията от подточка а) и

1 точка

lim f  x   lim

x 

x 

3  2     , f 1  0 x 1 1 6  x  1 

1 точка

можем да заключим, че графиката на функцията y

ще изглежда приблизително, както е показано на чертежа:

Следователно уравнението f  x   a ще има

28 36 1

O 8  27

1 точка

х

единствено решение при a  0;   и а 

8 .

27

1 точка 1 точка