20 Maneras de transformar un cubo

20_ Maneras de transformar un cubo. c

Ricardo Franco Medina _1ª ed. - Bogotá, Colombia. 168 p. 14.5 x 14.5 cm. 2016.

ISBN = 978-958-46-9433-1 Todos los derechos reservados_ primera edición, Septiembrre de 2016

20_ Maneras de transformar un cubo.

Redacción y estilo Ricardo Franco Medina.

Fotografía Omar Niño Guzmán.

Concepto y diagramación.

Scatola_Studio.

Impresión Impresión colombiana.

20_ Maneras de transformar

un cubo

P

Agradecimientos Introducción

P

07

Parte

El cubo

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_geometría del cubo_> Dualidad

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_octaedro_

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Cuboctaedro

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_tetaedro_>

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Otros cuerpos inscritos en el cubo

P

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Segunda Parte

1_Reemplazo de 4 caras del Cubo por tijeras rectas _

19

2_Cubo Mosso: articulación elástica en el extremo de cada barra_

27

3_Hexaedro a partir de un poliedro desplegable_

35

4_Cubo transformable a partir del sistema articulado de tijeras anguladas_

42

5_Hexaedro Deslizable _

48

P

6_Cubo móvil a partir de tijeras con angulación espacial_

15_Cubo Rubik_

P

55

7_Hexaedro plegable a partir de láminas movilizadas por tijeras rectas _

63

8_Cubo-octaedro transformable a partir de caras móviles_

71 P

9_Hexaedro armable a partir de 6 pirámides móviles _

79 P

10_Hexaedro plegable a partir de láminas articuladas_

P

16_ Cubo-octaedro móvil a partir de articulaciones intermedias y en el extremo_ 17_ Cubo a partir de formas rebanadas y movilizadas mediante articulaciones intermedias _ 18_Hexaedro transformable a partir de tijeras anguladas _

123 P

131 P

139 P

146 P

87 P

11_Cubo serpiente-Sherman _

93 P

19_Cubo a partir de cruces articuladas_

12_Cubo de la Nasa_

99 P

20_Cubo Jitterbug_

13_Alteración al Cubo de la Nasa_

107 P

14_Cubo móvil tajado_

115

153 P

160 P

_Referencias_

166 P

_CV_

167 P

agradecimientos_ Parte

Al absoluto, al eterno femenino A mi madre, Yadira Medina quien me dio las herramientas para valerme por mi mismo. A María Claudia Villate por su clase de morfología estructural, allá en el inicio del siglo XXI. A Jessica Betancur por ser la mujer a quien amo, quien despierta y sueña a mi lado cada día.

Al maestro Diken Castro por su apoyo y oportunidad de enseñar Arquitectura, a la Universidad de Bogotá Jorge Tadeo Lozano, al Programa de Arquitectura por permitirme crecer y aprender cada día. A Juan Matus, a Carlos Castaneda, A Borgés y a Nietzsche por llevarme a contemplar el infinito, a todos a quienes amen la geometría y sienten la magia de los números.

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introducción_ Este libro presenta llanamente 20 maneras de trans-formar un cubo, 20 construcciones móviles realizadas con diversos sistemas articulados, en su mayoría son modelos construidos por el autor y algunos juguetes recolectados en diversos viajes y lugares.

Estos 20 cubos son en realidad 20 estructuras adaptables, caracterizadas por su capacidad de cambiar de forma.

Las estructuras adaptables además de generar respuestas a múltiples condicionantes técnicas facilita la transportabilidad de la edificación, la readecuación integral de la forma para nuevos usos y posibilidad de cambio deconfiguración y expansión en el tiempo. La adaptabilidad lograda a partir del movimiento estructural garantiza la posibilidad de responder de manera simultánea a requerimientos exteriores, interiores y constructivos; permitiendo que el sistema desarrolle una mayor capacidad de respuesta funcional. (Franco 2010).

Hace más de 20 años, un profesor de mi escuela de arquitectura realizó un par de preguntas que todavía resuenan en mi cabeza: ¿Qué caminos y posturas tomará la arquitectura en el siglo XXI? ¿Cómo será la arquitectura del siglo XXI? La hizó cuando estaba por concluir el milenio y nuestra generación iba a ser una de las primeras en graduarse despues del año 2000.

Transitando ya en el siglo XXI, se puede evidenciar que en algunas partes del mundo estamos construyendo las edificaciones como hace un siglo y estamos enseñando en nuestras escuelas de Arquitectura lo mismo que hace cien años. Algunos me responderán: no hay nada nuevo bajo el sol*, para excusar la falta de carácter y de compromiso con el espíritu del tiempo.

Este libro no busca dar respuestas a este par de preguntas, busca ofrecer un camino, una posibilidad al diseño, a la arquitectura de ser móvil, flexible, adaptable. * (Libro del Eclesiastés), 7

Nota aclaratoria.

Si bien, en el mundo no hay un sistema de clasificación unificado que ordene y agrupe los diversos sistemas móviles y/o adaptables, ya que los criterios cambian según el autor, los elementos del sistema y el campo de desarrollo y aplicación de la investigación. En este libro seguiremos la clasificación propuesta por (Franco y Torres 2006) en el libro: Estructuras Adaptables, clasificación que se establece con base en el tipo de articulación y movimiento del sistema, el grado de libertad, la generación y control de movimiento del mismo.

De acuerdo a esta clasificación los sistemas móviles se clasifican en: Articulaciones en el extremo, articulaciones intermedias, mixto, arcos, óvalos y círculos móviles, izados, superficies deslizables, láminas articuladas.

Proyección cubo_ 8

EL CUBO -Está compuesto por (6) seis caras cuadradas iguales, unidas de tres (3) -Posee 8 vértices y 12 aristas. En cada uno de los vértices hay (3) tres aristas -Para calcular el área de un cubo, se debe primero calcular el área de una cara y luego multiplicar por 6

El cubo o hexaedro regular es un poliedro compuesto de seis caras cuadradas iguales, unidas de a tres que contienen un volumen. El hexaedro cumple con la condición de sólido platónico (lados y ángulos iguales), de paralelepípedo (pues todas sus caras son iguales y paralelas dos a dos) y a su vez de prisma recto, (cuya base es el cuadrado y la altura es equivalente a la longitud de la arista).

El cubo, al igual que todos los sólidos platónicos, cumple el Teorema de poliedros de Euler: C+V= A+12, pues tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas, reemplazando tenemos: (8+6=12+2).

-Para calcular el volumen de un cubo se debe multiplicar la longitud de una arista por si misma 3 veces -La longitud de la diagonal de una cara cuadrada es igual al lado del cuadrado multiplicado por raíz de dos.

Estas son algunas propiedades y características del hexaedro regular: 9

GEOMETRÍA DEL CUBO Fue Buckminster Fuller en su libro Sinergetics quien propusó medir los cuerpos regulares a partir de una constante mínima, sus indagaciones dieron como resultado que: el octaedro, el cubo, el cuboctaedro, y el dodecaedro rómbico tienen al tetraedro como unidad volumétrica de medida. Con el hexaedro regular es factible, tal como lo planteó Fuller medir su volumen a partir de una unidad volumétrica mínima: el tetraedro. Al interior del cubo es posible inscribir un tetaedro regular, para realizarlo se procede a trazar una diagonal en cada una de sus caras. En el centro aparecerá el tetaedro regular y 4 tetaedros irregulares, que agrupados conforman medio octaedro regular de cara igual al tetaedro regular.

Octaedro

Cuboctaedro

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Cubo

Dodecaedro rómbico

otros dos tetaredros, recapitulemos que el volumen del cubo equivale a 3 tetraedros. La pareja dual de tetraedros forma la estrella octángula de Kepler. El octaedro está en el medio de los tetraedros y es común a ambos. Recordemos que los dos tetraedros están contenidos en el cubo y que el octaedro es dual del cubo. Es así como tetraedro, cubo y octaedro están relaciona-

Según la contabilidad tetraédrica de Fuller el volumen del cubo es equivalente a un tetraedro regular y medio octaedro (el octaedro son 4 tetraedros). Es decir el volumen del cubo es 3 tetradedros 1+4/2= 3.

La otra manera de inscribir un tetraedro en un cubo es reemplazando todas las caras por diagonales en forma de cruz (X). Al reemplazar todas las caras por diagonales en forma de cruz se hallará dos tetraedros que se cruzan en el espacio, (en realidad son una pajera dual* de tetraedros) y seis tetaredros irregulares que sumados conforman un tetraedro de lado igual a los 11

DUALIDAD_ La dualidad es una relación de semejanza entre dos sólidos y se origina en su relación numérica de aristas y caras. Si tomamos un sólido regular cualquiera podemos construir su dual ubicando sus vértices en los puntos medios de las caras del poliedro original, conservando siempre el mismo número de aristas.

Estrella octángula

Así el tetraedro es dual de sí mismo, el cubo es dual del octaedro y el octaedro es dual del cubo, ya que las seis caras del primero corresponden a las seis aristas del segundo y viceversa. Todo poliedro posee un dual.

(Franco 2010)

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Cubo

Octaedro

6 Caras

6 Vértices

8 Vértices

8 Caras

Octaedro_

cuboctaedro_

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octaedro_ regular de segunda frecuencia es 8 veces mayor que el tetraedro pequeño (2x4=8), ya que el volumen de la figura depende de estas dos variables.

De esta manera se puede concluir que si el tetaredro inicial de segunda frecuencia tiene 8 veces el volumen del tetraedro pequeño, y éste está compuesto por cuatro de ellos, el volumen del octaedro que se localiza en el centro es de cuatro tetraedros (8-4=4) Estas son algunas características del octaedro:

Según la contabilidad tetraédrica de (Fuller 1975) el octaedro está compuesto por 4 tetraedros regulares. Vamos a analizar como llegó a esta conclusión. Un tetraedro regular de segunda frecuencia (como se muestra en la figura) lo componen (4) cuatro tetraedros pequeños y un octaedro justo en el centro. En este modelo tanto el octaedro, como los cuatro tetraedros pequeños poseen aristas de la mitad de longitud del tetraedro regular de segunda frecuencia.

Cuando se procede a comparar el tetaredro regular de segunda frecuencia con uno de los tetraedros pequeños, resulta que la altura del tetraedro incicial (h) es el doble y el área de la base (a) es cuatro veces mayor, por lo tanto el volumen del tetaredro

- Está compuesto por 8 caras triangulares iguales, unidas de a 4.

- Posee 6 vértices y 12 aristas. En cada uno de los vértices hay 4 aristas

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cuboctaedro_ origina la familia de sólidos denominada Arquimedianos, poliedros uniformes con caras regulares. Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son un grupo de poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos. Todos los sólidos de Arquímedes son de vértices uniformes. Existen 13 sólidos arquimedianos de caras encontradas en un vértice común y su configuración se expresa así, por ejemplo: Cubo Truncado (4, 3) significa que los polígonos de lados cuadrado y triangular se encuentran en un vértice común, es decir se conforma un Cuboctaedro. (Franco 2010)

A partir de la truncación total de un cubo o un octaedro llegaremos al cuboctaedro.

Fuller denomino a este sólido como: vector de equilibriio, como su nombre lo indica, es el único sólido regular en la que todos sus vectores son iguales, estos incluyen sus diagonales internas, así como sus aristas.

Fue Fuller quien descubrio la simetría del octaedro en 1917 y lo llamó vector en equlibrio en 1940. El cuboctaedro está compuesto por 8 tetraedros y 6 medios octaedros, es decir 20 tetraedros, 8+6(4/2) = 20.

La Truncación es un proceso de substracción y consiste en recortar todas las esquinas del sólido, la truncación de los sólidos platónicos 15

Truncaciรณn mรกxima del Cubo 4,3 (Cuboctaedro)_

Truncaciรณn del cubo (8, 3)_

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tetraedro_ El tetraedro es la figura más estable en la tecera dimesión, hasta ahora lo hemos hallado inscrito al interior del cubo, del octaedro, y del cuboctaedro. Es la figura fundamental con la cual se pueden construir otros poliedros regulares en la tercera dimensión.

- El tetraedro está compuesto por (4) cuatro caras triangulares iguales, unidas de a tres (3).

- Posee 4 vértices y 6 aristas. En cada uno de los vértices hay (3) tres aristas

Fuller definió al tetraedro como una forma de paquete de energía, un modelo vectorial básico y a su vez como el sistema estructural fundamental del Universo: toda la estructuración definible del Universo está en coordenadas tetraédricas en incrementos de números racionales del tetraedro. (Fuller 1975). El cubo de Metatron es una poderosa imagen geométrica que evidencia como la energía fluye a través de la estrella dual de tetraedros.

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otros cuerpos inscritos en el cubo_ A su vez en el cubo hay otro poliedro inscrito, si trazamos diagonales desde cada vértice hacia el centro del cubo hallaremos 6 pirámides de base cuadrada. Con estás seis pirámides de base cuadrada es posible configurar un hexaedro regular. En el desarrollo de este libro podremos apreciar como a través del movimiento de los elementos que componen los diversos sistemas móviles cúbicos, se van a conformar otras figuras geométricas como: tetraedros, octaedros, pirámides de base cuadrada y cubo-octaedros, ya que estas 4 figuras tienen nua relación matemática, formal, geométrica espacial y sígnica.

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Segunda Parte

Trans-formaciรณn 1

Reemplazo de 4 caras del Cubo por tijeras rectas.

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En este sistema móvil las caras del cubo han sido reemplazadas por tijeras rectas. Se han reemplazado 4 caras laterales del hexaedro, ya que si remplazaramos las 6 caras (incluidas tapa superior e inferior) cerraríamos el sistema.

Si cerramos el sistema, lo que hayamos son dos tetareadros duales y por lo tanto, el sistema no se movería.

Las tijeras rectas están compuestas por elementos rígidos unidos por una articulación central sobre las barras, esta articulación no impide la continuidad estructural del elemento recto.

20

La base poligonal de 4 lados permite agrupar módulos de tijeras rectas en tres direcciones, estos módulos agrupados tienen la característica de llenar completamente el espacio.

La unión de módulos se realiza entre las articulaciones correspondientes a los vértices de las caras laterales de cada cubo.

Este sistema cuenta con un grado de libertad, esto quiere decir que basta la unión de dos puntos para rigidizar el sistema.

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Trans-formaciรณn 2

Cubo Mosso: articulaciรณn elรกstica en el extremo de cada barra rectas

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En 1970 el artista plástico Leonardo Mossso presentó su estructura cinética con unión elástica, transformable y comprimible: Cubo Mosso. Este sistema móvil gracias a la articulación elástica y sus múltiples grados de libertad puede pasar de configurar un cubo a conformar una pirámide de base cuadrada, un tetraedro, un cuadrado o un triángulo.

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1.

El sistema de barras con articulaciones en los extremos estรก conformado por piezas rectas o barras que conforman un esqueleto sustentante cuyas articulaciones y apoyos se encuentran ubicados exclusivamente en los extremos de las barras o piezas rectas.

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Trans-formaciรณn 3

Hexaedro a partir de un poliedro desplegable

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Este sistema asimismo se basa en un sistema de barras con articulaciones en los extremos, la diferencia con el anterior sistema radica en la articulación, en el anterior sistema (Cubo Mosso) la unión era elástica, en este sistema (poliedro desplegable) la unión es rigida y posee una geometría específica con el objeto de ordenar el movimiento de las barras o elementos rectos. El proceso básico de construcción de este sistema se basa en los siguientes principios generativos: - La base estructural se obtiene a partir de reemplazar las aristas y vértices de un poliedro por barras y articulaciones respectivamente.

1.

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- Por medio de transformaciones geométricas en las uniones se genera la plegabilidad del sistema, es recomendable estabilizar el plegado por medio de un elemento guía para que el sistema posea solo un grado de libertad, de lo contrario el sistema tendrá más de uno y será complejo su control.

- A partir de la agrupación de uno o varios tipos de módulo base se pueden generar sistemas lineales, mallas o sistemas espaciales. (Franco & Torres 2006).

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Trans-formaciรณn 4

Cubo transformable a partir del sistema articulado de tijeras anguladas

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La característica primordial de este sistema es la generación de angulación en los elementos rígidos que conforman el sistema, esta angulación diseñada y patentada por Hobberman en 1991, permite ampliar las características de movilidad y las posibilidades espaciales del sistema. Este sistema de tijeras anguladas posibilita la construcción de diversos poliedros desplegables, entre estos el cubo, por ejemplo, el hexaedro se generan a partir de 3 polígonos plegables que se cruzan en el espacio.

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Trans-formaciรณn 5 Hexaedro Deslizable.

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Este sistema se compone bĂĄsicamente de un poliedro base (en este caso el cubo) sobre el cual se desliza otro cubo mediado por un mecanismo guĂ­a. Estos poliedros simulan en su movimiento el proceso de despliegue de un telescopio. Este sistema posee un grado de libertad, su control de movimiento se puede dar por fijaciĂłn de los apoyos y/o topes de movimiento.

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Trans-formaciรณn 6

Cubo mรณvil a partir de tijeras con angulaciรณn espacial

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La característica fundamental de este sistema móvil consiste en la generación de un ángulo en cada una de las uniones del sistema. La diferencia con el sistema de tijeras anguladas radica en que la angulación espacial se ubica en un plano diferente al movimiento de los elementos rectos. La presencia de un ángulo entre las barras o elementos rectos provee altura a un sistema originalmente plano, ampliando las posibilidades espaciales y estructurales del sistema. Este sistema lo desarrollamos con Leonel Torres en nuestra tesis de grado: La adpatabilidad a partir de la movilidad estructural, en la Universidad Nacional de Colombia.

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El sistema de tijeras de angulación espacial puede generar poliedros móviles (para este ejemplo el cubo), siguiendo el principio de reemplazar cada vértice por uniones anguladas y lados por barras articuladas. El movimiento de este cubo origina la estrella octángula de Kepler (dos tetaredros que se cruzan en el espacio)

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Trans-formaciรณn 7

Hexaedro plegable a partir de lรกminas movilizadas por tijeras rectas

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Este cubo plegable lo conforman 8 paneles cuadrados, los cuales están articulados en un punto intermedio del panel y además están sujetos a un sistema móvil complementario de tijeras rectas, resultando un conjunto móvil de más de un grado de libertad.

La movilidad de este cubo se produce gracias a la articulación intermedia y a los rombos deformables de las tijeras rectas que contienen a los paneles.

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Trans-formaciรณn 8

Cubo-octaedro transformable a partir de caras mรณviles

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Este cubo es desplegado gracias a sus caras móviles. La característica de este sistema es que cada cara del cubo ha sido reemplazada por un par de paneles cuadrados, los cuales están articulados en todo el centro de la figura y luego han sido unidos a otros pares por medio de una unión articulada en sus vértices. El movimiento de las caras del cubo da como resultado un cubo-octaedro.

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Trans-formaciรณn 9

Hexaedro armable a partir de 6 pirรกmides mรณviles

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RENDER Sí trazamos diagonales desde cada vértice del cubo hacia el centro de la figura hallaremos 6 pirámides de base cuadrada. En este modelo las 6 pirámides se encuentran articuladas en los vértices de cada base, todas ellas describen un movimiento rotacional, con este sistema móvil es posible configurar el cubo de dos maneras diferentes, en la primera configuración todas las pirámides rotan y se agrupan al interior de la figura cúbica, llenando completamente el espacio.

En la segunda ordenación, el giro de cada pirámide móvil es inverso (ya no hacia el interior, sino al exterior de la figura cúbica), de esta manera es posible configurar un cubo estelado (en esta nueva figura el cubo se halla al interior y cada cara del cubo se ha reemplazado por una pirámide de base cuadrada).

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Trans-formaciรณn 10

Hexaedro plegable a partir de lรกminas articuladas

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Es la forma más conocida de configurar un cubo se trata del desarrollo en una superficie plana del cubo, que también es posible construir con el sistema de láminas articuladas. Hay once formas de desarrollar un cubo desde una superficie plana, las seis primeras quizás un poco obvias, pero las últimas cinco sin duda son más creativas. En este ejemplo hemos reemplazado cada cara del cubo por una lámina que está articulada a otra(s) con el objeto de re-configurar el cubo.

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Trans-formaciรณn 11

Cubo serpiente-Sherman

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Se trata de una invención que comprende una serie de bloques móviles en forma de cubo con un elemento elástico que los atraviesa y los une. La disposición comprende veintisiete sub-unidades cúbicas conectadas por una hilo flexible que no se ve a simple vista. Las formas cúbicas están provistas de orificios por los que pasa el hilo elástico, esta perforación permite el movimiento y rotación de las sub-unidades. La banda elástica está sujeta de manera fija al extremo de los bloques con el fin de mantener unidas las subunidades.

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Trans-formaciรณn 12 Cubo de la Nasa

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Este cubo transformable y sus alteraciones morfológicas son producto de la investigación desarrollada por Alan L. Britt para la NASA (Administración Nacional de la Aeronáutica y del Espacio) en el Estudio de Morfología en la Escuela de Arquitectura del Instituto Pratt en New York en 1997 y las estudios de Haresh Lalvani sobre topología y transformación simétrica a mediados de la década de 1970. (Rivas 2015).

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El cubo de la Nasa se construye a partir de dos marcos rigidos (que son las bases superior en inferior del cubo) y 16 barras articuladas en los extremos (estas barras articuladas de 2 reemplazan las 4 aristas sobrantes del cubo, adicional a esto se han tratazado 4 diagonales articuladas) todo este conjunto conforma un esqueleto portante con un solo grado de libertad.

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Trans-formaciรณn 13 Alteraciรณn al Cubo de la Nasa

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En este modelo se ha reemplazado cada vĂŠrtice por una articulaciĂłn a donde llegan tres barras de diversas direcciones, asimismo cada arista del cubo de ha dividido en dos fracciones articuladas. Este sistema de acuerdo a nuestra clasificaciĂłn es un sistema de barras con articulaciones en los extremos conformado por piezas rectas o barras que conforman un esqueleto portante cuyas articulaciones se encuentran ubicados exclusivamente en los extremos de las barras o piezas rectas.

1.

Esta alteración al cubo de la nasa al poseer múltiples grados de libertad es muy flexible, en su despliegue puede configurar diversas formas, destacamos: la pareja dual de tetratedros (la estrella octángula de Kepler), cubos de menor tamaño y diversos paralepípedos.

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Trans-formaciรณn 14

Cubo mรณvil tajado

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Para esta maqueta hemos seccionado el cubo en diversas tajadas (operación similar a la de tajar un pan), cada sección cuadrada está articulada en el centro de la figura por medio de una barra que une a cada una. Esta articulación central permite la rotación independiente de cada sección, lo que origina que el sistema posea múltiples grados de libertad.

Básicamente, el movimiento de las piezas origina formas rotacionales y superficies de doble curvatura.

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Trans-formaciรณn 15

Cubo Rubik

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Quizás el más famoso de los cubo trans-formables, diseñado por el escultor y profesor de arquitectura Erno Rubik, en 1974. El cubo Rubik es considerado el puzzle más popular del mundo. Ha vendido más de 360 millones de cubos en todo el mundo. Fue llamado originalmente por su creador “cubo mágico”, Rubik obtuvó en su país la patente: HU170062, en 1980 llegó a una acuerdo comercial con Ideal Toy Corp. para vender su invención a nivel internacional. Ese mismo año ganó en Alemania el premio a mejor juguete del año, en la categoria de rompecabezas.

El cubo Rubik clásico, es un rompecabezas tridimensional, en el que cada una de sus seis caras está fraccionada en nueve secciones (3x3), si contamos las piezas de un cubo clásico contaríamos 26 piezas móviles (visibles) que se articulan entre sí gracias al mecanismo central, que yace oculto dentro del cubo. Un cubo Rubik clásico, presenta seis colores: blanco, rojo, azul, naranja, verde y amarillo (uno para cada cara). El mecanismo central del cubo permite girar a cada cara independientemente, mezclando así los colores. El reto del cubo después de haber mezcaldo los colores consiste en que cada cara debe volver a conformar un solo color.

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Trans-formaciรณn 16

Cubo-octaedro mรณvil a partir de articulaciones intermedias y en el extremo.

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Este modelo estรก configurado por barras rectas con articulaciones intermedias y en el extremo. Para la construcciรณn de este objeto, las caras del cubo se han reemplazado por rombos deformarbles y el centro del cubo es atravesado por cuatro barras diagonales con la finalidad de brindarle al cubo-octaedro un grado de libertad. Este sistema fue desarrollado por el arquitecto Santiago (Calatrava 1981) en sus tesis doctoral: Sobre la plegabilidad de entramados

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Trans-formaciรณn 17

Cubo a partir de formas rebanadas y movilizadas mediante articulaciones

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Este prototipo tiene un principio semejante al cubo tajado, ya que su origen provine de las formas rebanadas. La diferencia entre el cubo tajado y este nuevo sistema radica en que para movilizar el conjunto estructural se han articulado las formas rebanadas (cuadrados) en varios puntos intermedios, cinco para ser especĂ­ficos. Este cruce de artĂ­culaciones origina en las bases superior e inferior una serie de celdas (rombos deformables), las cuales permiten el movimiento del sistema, otorgandole un grado de libertad.

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Trans-formaciรณn 18

Hexaedro transformable a partir de tijeras anguladas

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La característica primordial de este juguete es la generación de angulación en los elementos rígidos que conforman el sistema y sobre estos la superposición de 4 pirámides por cada lado del cubo. Recordemos que la tijera angulada fue diseñada y patentada por Hobberman, este juguete es una derivación del sistema de Hobberman.

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En este juguete cada vértice recibe tres tijeras anguldas y cada lado del cubo ha sido reemplazdo por una cruz articulada en el centro, adicional a esto se han montado 4 pirámides desarrolladas de tal manera que en un primer estado de la figura se configura un octaedro, un estado intermedio forme un cubo y en un último estadio se conforme la pareja dual de tetraedros (la estrella octángula de Kepler).

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Trans-formaciรณn 19

Cubo a partir de cruces articuladas

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Este juguete es quizás el sistema móvil más complejo que hasta el momento hayamos presentado. Se trata de un objeto con un sistema móvil donde se superponen elementos en su pliegue y despliegue. En este juguete las caras del cubo han sido reemplezadas cruces rigidas, y sobre estas se han superpuesto 6 casquetes esféfricos, los 6 casquetes esféricos se unen mediante una unión angulada a otras 12 cruces rigidas (en azul). La particularidad del juguete radica en que esas 12 cruces azules se unen a otras 8 piezas triangulares (moradas) en un nivel inferior, superponiendose los elementos articulados en el despliegue de la figura.

Los poliedros que podemos observar en las transformaciones de este juguete son: el cubo, el octaedro, y pirรกmides de base cuadrada.

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Trans-formaciรณn 20

Cubo Jitterbug

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Jitterbug es el nombre que le dio (Fuller 1975) a las transformaciones de un cubo-octaedro articulado. Recordemos que el cubo-octaedro surge a partir de la truncación total del cubo o del octaedro. Las formas geométricas que podemos ver en las mutaciones del JITTERBUG son: icosaedro, el octaedro, tetraedro, dipirámide de base triangular y pirámide de base cuadrada. Para la construcción de este sistema hemos empleado el sistema de articulaciones en el extremo de las barras, con una unión flexible, unión que permite más grados de libertad. Al igual que el cubo-octaedro móvil de barras rectas con articulaciones intermedias y en el extremo, la figura cúbica está presente de forma virtual en este prototipo.

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Referencias (Calatrava 1981) Saniago Calatrava Valls.

Tesis doctoral: Sobre la plegabilidad de entramados. Zúrich: Escuela Politécnica Federal de Zúrich, 1981.

(Villate 2008) María Claudia Villate. Estructuras no convencionales en arquitectura.

Bogotá: Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Artes, 2008.

(Franco & Torres 2006) Ricardo Franco y Leonel Torres. Estructuras adaptables.

Bogotá: Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Artes, 2006.

(Franco 2009) Ricardo Franco. Artículo: Estructuras adaptables. Bogotá: Revista de Arquitectura, vol. 11, 2009, pp. 108-119 Universidad Católica de Colombia, 2009 (Franco 2010) Ricardo Franco et al. Hacia una arquitectura móvil. Bogotá: Fundación Universidad de Bogotá Jorge Tadeo Lozano, 2010.

(Fuller 1975) Richard Buckminster Fuller.

Synergetics: Explorations in the Geometry of Thinking. New York: MacMillan Publishng, 1975 (Rivas 2015) Esther Rivas Adrover. Estructuras Desplegables. Barcelona: Promopress Editions, 2015.

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