Faktor
Matematikk for ungdomstrinnet
Faktor Komponenter på 8.–10. trinn: Grunnbok Oppgavebok/Alternativ oppgavebok Lærerens bok Ressurshefte Nettsted (faktor.cdu.no)
Bokmål
Tilleggskomponenter: Fordypningshefte Eksamensforberedende hefte Regelhefte Digital versjon av grunnbøkene (tavlebok) Til øving av grunnleggende ferdigheter: Temahefter Faktorama (nettsted)
– med løsningsforslag Eksamensforberedende hefte
ISBN 978-82-02-40551-9
ISBN 978-82-02-40551-9
9 788202 405519 www.cdu.no
Faktor Eksamensforberedende hefte Espen Hjardar • Jan-Erik Pedersen Matematikk for ungdomstrinnet
Bokmål
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner
Cappelen Damms matematikkverk for ungdomstrinnet
Faktor Eksamensforberedende hefte
# Cappelen Damm AS, Oslo 2013 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av a˚ndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til a˚ndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Faktor følger læreplanene for Kunnskapsløftet i faget matematikk og er lagd til bruk pa˚ grunnskolens ungdomstrinn. Illustratør: Line Jerner Omslagsdesign: Line Jerner Omslagsillustrasjon: Line Jerner Grafisk formgiving: Jakob Thyness Ombrekking: AIT Oslo AS Sats og repro: AIT Oslo AS Forlagsredaktør: Espen Skovdahl Trykking/innbinding: Livonia Print SIA, Latvia 2013 Utgave 2 Opplag 1 ISBN 978-82-02-40551-9
www.cdu.no http://faktor.cdu.no
Fotografier: Fotografier GVPress: # SPL s. 19, # alessandro villa s. 23, # NASA/SPL s. 24, # Gary Crabbe s. 37, # Nils-Johan Norenlind s. 29, # Science photo library s. 35 Samfoto: # Per Eide s. 11, # Annelise Jackbo s. 34 Scanpix: # PoodlesRock/Corbis s. 6, # Alberto Garcia/Corbis s. 16, # 2000 Credit: Topham/PA s. 24, # Reuters/Corbis s. 33
Innledning Dette heftet inneholder repetisjonsoppgaver fra Faktor 1–3 i tre kategorier og en samlet oppsummering av lærestoffet fra 8. til 10. trinn. Innenfor hver kategori er det ogsa˚ tatt med et utvalg av tidligere eksamensoppgaver og oppgaver med fullstendige løsningsforslag. Kategori 1 Oppgaver som gir trening i det grunnleggende lærestoffet Kategori 2 Sammensatte og varierte oppgaver Kategori 3 Oppgaver som byr pa˚ større utfordringer Digitale oppgaver Oppgaver der du kan bruke pc er merket med dette symbolet: Heftet kan brukes til repetisjon, eksamensforberedelse og som oppslagsverk over emner som har blitt behandlet pa˚ ungdomstrinnet.
Fra venstre: Lotte, Hanna, Simen, Herman, Martin, Platon og Sara
Lykke til med arbeidet! Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen
Innledning 3
Innhold Repetisjonsoppgaver Faktor 1–3 Kategori 1.................................. 6 Kategori 2.................................. 16 Kategori 3.................................. 29 Digitale oppgaver ..................... 43 Fasit ............................................... 51
Innhold
Oppsummering Faktor 1–3
4
Tall og algebra ............................. 79 Naturlige tall ............................. 79 Partall og oddetall .................... 79 Primtall og sammensatte tall ... 79 Faktorisering.............................. 79 Desimaltall................................. 80 De fire regneartene .................. 80 Potenser .................................... 80 Tall pa˚ standardform og pa˚ utvidet form ......................... 81 Kvadrattall ................................. 81 Kvadratrot ................................. 81 Trekanttall ................................. 81 Negative tall.............................. 82 Regning med fortegnstall......... 82 Romertall ................................... 82 Totallssystemet ......................... 83 Brøk ........................................... 83 Uekte brøk og blandet tall....... 83 Utviding og forkorting av brøk.. 84 Addisjon og subtraksjon av brøker .............................. 84 Brøk og desimaltall ................... 84 Brøk og multiplikasjon.............. 85 Brøk og divisjon........................ 85 Forhold ...................................... 85 Prosent ...................................... 85
Sammenhengen mellom prosent, brøk og desimaltall....................... 85 Prosenten av et tall .................. 86 ˚ finne prosenten..................... 86 A Promille ..................................... 86 Utregning av talluttrykk ........... 86 Bokstavuttrykk........................... 86 Sette inn tall i bokstavuttrykk .. 87 Regning med bokstavuttrykk ... 87 Bokstavuttrykk og parenteser .. 87 Multiplikasjon av to parentesuttrykk .................... 88 Kvadratsetningene .................... 88 Faktorisering.............................. 88 Sammentrekking av brøkuttrykk med ett ledd i nevner ................................ 88 Sammentrekking av brøkuttrykk med flere ledd i nevner........................ 89 Likninger og ulikheter.................. 89 Løsing av likninger ................... 89 Regneregler for likninger.......... 90 ˚ sette prøve pa˚ likninger........ 90 A Kvadratiske likninger................. 91 Likninger med brøk .................. 91 Grafisk løsing av likninger ........ 91 Likninger med to ukjente......... 92 Ulikheter .................................... 93 Omforming av formler.............. 94 Økomomi ....................................... 94 Merverdiavgift ........................... 94 Rabatt ........................................ 94 Rente ......................................... 94 Avbetaling ................................. 95 Lønn .......................................... 95 Skatt .......................................... 95
Seriela˚n...................................... 95 Annuitetsla˚n .............................. 95 Forsikringer ............................... 95 Budsjett og regnskap ............... 95 Geometri........................................ 96 Linjer og punkter ...................... 96 Vinkler ....................................... 96 Konstruksjon ............................. 97 Trekanter ................................... 98 Firkanter .................................... 98 Sirkelen...................................... 99 Vinkelsummen i mangekanter.. 99 Regulær mangekant ................. 99 Figurer og mønstre................... 99 Det gylne snitt og det gylne rektangel .................. 100 Pytagoras-setningen ............... 100 Spesielle trekanter og Pytagoras-setningen .......... 100 Formlikhet ............................... 101 Kongruens ............................... 102 Kongruensavbildninger........... 102 Perspektivtegning med ett eller to forsvinningspunkter ........... 104 Ma˚ling og enheter ...................... 104 Omkretsen og arealet til mangekanter.................. 104 Omkretsen og arealet til en sirkel.......................... 105 Enheter for lengde.................. 105 Ma˚lestokk ................................ 105 Enheter for areal ..................... 106 Enheter for volum................... 106 Vei, fart og tid......................... 106
Volumet og arealet av overflaten til en sylinder.... 107 Volumet til en pyramide ........ 107 Volumet til en kjegle .............. 107 Volumet og arealet av overflaten til en kule ......... 108 Masse....................................... 108 Massetetthet ........................... 108 Statistikk...................................... 109 Frekvens og relativ frekvens... 109 Gjennomsnitt .......................... 109 Median .................................... 110 Typetall.................................... 110 Variasjonsbredde..................... 110 Søylediagram .......................... 110 Stolpediagram......................... 111 Linjediagram ........................... 111 Sektordiagram......................... 112 Sannsynlighet.............................. 112 Kombinatorikk......................... 112 Sannsynlighet.......................... 113 Sannsynlighet ved flere utfall 113 Sannsynlighet bestemt ved forsøk .......................... 113 Funksjoner................................... 114 Koordinatsystem ..................... 114 Koordinater ............................. 114 Funksjon.................................. 114 Grafen til en funksjon............. 115 Lineære funksjoner ................. 116 Kvadratiske funksjoner............ 116 Proporsjonale størrelser.......... 117 Omvendt proporsjonale størrelser............................. 117
Romgeometri og massetetthet................................ 107 Volumet og arealet av overflaten til et prisme ......107
Innhold 5
Repetisjonsoppgaver Faktor 1–3 Kategori 1
Repetisjonsoppgaver kategori 1
101
6
Rund av tallene til e´n desimal. a) 3,39 b) 2,05 c) 0,15
d) 5,94
e) 0,04
102
Skriv tallene pa˚ vanlig ma˚te. a) 5 1000 + 3 100 + 7 10 + 4 1 b) 9 1000 + 3 100 + 8 1 c) 8 1000 + 2 10 + 9 1 d) 5 10 000 + 3 1000 + 9 100 + 4 10 + 3 1
103
Den britiske vitenskapsmannen Isaac Newton er blant annet er kjent for teorien om tyngdekraften og oppdagelsen av at hvitt lys er satt sammen av mange farger. Han ble født i 1642 og døde i 1727. Hvor gammel ble Isaac Newton?
Newton kom blant annet fram til loven om tyngdekraften.
104
Gjør om til brøk. Skriv brøkene sa˚ enkelt som mulig. a) 0,5 c) 0,80 e) 0,24 b) 0,6 d) 0,55 f) 0,12
105
Formelen for arealet A til et rektangel med lengde a og bredde b er A = a b.
b
a
Regn ut arealet na˚r a) a = 8 cm og b = 5 cm
b) a = 12 cm og b = 8,5 cm
106
a) Konstruer ABC na˚r AB = 6 cm, A = 90 og AC = 4,5 cm. b) Regn ut lengden til BC. c) Regn ut omkretsen til trekanten. d) Regn ut arealet til trekanten.
107
En dørmatte har form som en sirkel med radius 80 cm. a) Regn ut omkretsen til matten. b) Regn ut arealet til matten.
108
Hvor mange prosent er a) 50 kr av 100 kr b) 30 kg av 200 kg c) 8 dm av 25 dm
109
Løs likningene og sett prøve pa˚ svaret. a) 3x – 2 = 10 c) 4x + 1 = 2x + 9 b) 5x – 1 = 4x + 2 d) 2(x – 1) = 6
Repetisjonsoppgaver kategori 1 7
Repetisjonsoppgaver kategori 1 8
110
En firkantet eske har lengden 20 cm, bredden 12 cm og høyden 6 cm. a) Regn ut volumet til esken. b) Regn ut arealet av overflaten til esken.
111
Regn ut uten a˚ bruke kalkulator. a) 7,3 + 0,44 c) 4 2,4 e) 32 : 2 b) 5,6 – 0,73 d) 42 : 3 f) 5,7 4,9
g) 3 : 1,5 h) 12,8 : 64
112
En vanntank har form som en sylinder. Radien i grunnflaten er 50 cm, og høyden er 120 cm. a) Hvor mange desimeter er 50 cm? b) Hvor mange desimeter er 120 cm? c) Hvor mange liter (kubikkdesimeter) rommer tanken?
113
Sara undersøkte hvilken farge de bilene som kjørte forbi pa˚ veien i løpet av en time, hadde. Her ser du resultatet av undersøkelsen: Farge
Antall
Gra˚
8
Rød
2
Sort
4
Bla˚
3
Andre farger
3
Sum Vis fordelingen av fargene i et a) søylediagram b) sektordiagram
20
Oppsummering Faktor 1–3 Tall og algebra Naturlige tall Naturlige tall er hele tall som er større enn 0. 1
2 3
4 5
6
...
Vi kan skrive naturlige tall pa˚ utvidet form. 1234 = 1 1000 + 2 100 + 3 10 + 4 1
Partall og oddetall Partall er hele tall som er delelige med 2. 2
4 6
8 10 ...
Oddetall er hele tall som ikke er delelige med 2. 1
3 5
7 9
11
...
Primtall og sammensatte tall Primtall er naturlige tall som bare er delelige med 1 og seg selv. 2
3 5
7 11 13
17 ...
Sammensatte tall kan skrives som et produkt av naturlige tall som er større enn 1. 42 = 2 3 7
Faktorisering Na˚r vi faktoriserer et tall, skriver vi tallet som et produkt med flere faktorer. 24 = 3 8
24 = 4 6
24 = 2 12
Primtallsfaktorisering: 24 = 2 2 2 3
Alle faktorene er primtall
Oppsummering 79
Desimaltall Et desimaltall besta˚r av et helt tall og desimaler. Tallet 64,32 har to desimaler. Den plassen et siffer har i et tall, er avgjørende for verdien til sifferet.
6 4,3 2
TIERE
ENERE
TIDELER HUNDREDELER
De fire regneartene Addisjon Ledd + ledd = sum
Subtraksjon Ledd – ledd = differanse
Multiplikasjon Faktor . faktor = produkt
Divisjon Dividend : divisor = kvotient
Potenser Na˚r vi multipliserer tall eller variabler som er like store, kan vi skrive dem som en potens.
Oppsummering
5 5 5 5 5 5 = 56 x x x = x3
80
Na˚r vi multipliserer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir summen av eksponentene i de potensene vi multipliserer. 23 24 = 23 + 4 = 27 x3 x2 = x3 + 2 = x5 Na˚r vi dividerer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir eksponenten i telleren minus eksponenten i nevneren. 56 : 52 =
56 = 56 -- 2 = 54 52
x6 : x2 =
x6 = x 6 -- 2 = x 4 x2
Tall pa˚ standardform og pa˚ utvidet form Vi kan skrive naturlige tall og desimaltall pa˚ standardform. 250 000
=
Vanlig form
0,0025
2,5 105 Standardform
=
Vanlig form
2,5 10 3 Standardform
Vi kan skrive naturlige tall og desimaltall pa˚ utvidet form. 24 537 = 2 10 000 + 4 1000 + 5 100 + 3 10 + 7 1 = 2 104 + 4 103 + 5 102 + 3 101 + 7 100 385,39 = 3 100 + 8 10 + 5 1 + 3 0,1 + 9 0,01 = 3 102 + 8 101 + 5 100 + 3 10 1 + 9 10 2
Kvadrattall Hvis x er et helt tall, kaller vi x 2 et kvadrattall. 5 5 = 52 = 25 25 er et kvadrattall.
Kvadratrot Kvadratroten av et tall x er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir tallet x. pffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5 = 25
Trekanttall Vi fa˚r trekanttall ved a˚ summere naturlige tall fortløpende fra 1 og oppover. 1+2=3 1+2+3=6
3 er et trekanttall 6 er et trekanttall
Oppsummering 81
Negative tall Negative tall er alle tall som er mindre enn 0. –4
–3
–2
–1
Negative tall
0
1
2
3
4
Positive tall
Regning med fortegnstall ˚ legge til et negativt tall er det samme som a˚ trekke fra det tilsvarende A positive tallet. 10 + ð--7Þ = 10 -- 7 = 3 ˚ trekke fra et negativt tall er det samme som a˚ legge til det tilsvarende A positive tallet. 10 -- ð--7Þ = 10 + 7 = 17 Na˚r vi multipliserer eller dividerer et positivt tall og et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 ð--5Þ = --125 25 : ð--5Þ ¼ --5 Na˚r vi multipliserer eller dividerer to negative tall, blir svaret et positivt tall. --25 ð--5Þ = 125
Oppsummering
--25 : ð--5Þ = 5
82
Romertall I romertallsystemet bruker vi bokstaver som symboler for tall. I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
Na˚r et mindre romertall sta˚r foran et større tall, trekker vi det minste tallet fra det største. Na˚r det største tallet sta˚r først, skal du addere tallene. Vi plasserer aldri romertallene V, L eller D foran et tegn med høyere verdi.
Totallssystemet I totallssystemet bruker vi bare sifrene 0 og 1. Plassverdiene i dette tallsystemet er potenser av 2 (1, 2, 4, 8, osv.).
11011 16 (24)
8 (23)
4 (22)
2 (21)
1 (20)
Tallet 11011 i totallssystemet er 11011 = 1 24 + 1 23 + 0 22 + 1 2 + 1 1 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27 i titallssystemet.
Brøk En brøk besta˚r av teller, nevner og brøkstrek. Brøkstreken er det samme som divisjonstegn.
3 4
Teller Brøkstrek Nevner
Hvis telleren og nevneren er like store, er brøken lik 1. 5 =1 5
Uekte brøk og blandet tall 3 2
=
1
1 2
Uekte brøk Blandet tall
Oppsummering 83
Utviding og forkorting av brøk Na˚r vi utvider en brøk, multipliserer vi telleren og nevneren med det samme tallet. 1 1 3 3 = = 5 5 3 15 Na˚r vi forkorter en brøk, dividerer vi telleren og nevneren med det samme tallet. 4 4:4 1 = = 16 16 : 4 4
Addisjon og subtraksjon av brøker Na˚r vi skal addere eller subtrahere to eller flere brøker som har like nevnere, legger vi sammen tellerne og beholder nevneren. 7 5 7 -- 5 2 -- = = 9 9 9 9 Hvis brøkene ikke har lik nevner, ma˚ vi først finne fellesnevner. 2 1 2 4 1 3 8 3 8 + 3 11 + = + = + = = 3 4 3 4 4 3 12 12 12 12
Brøk og desimaltall
Oppsummering
En brøk kan skrives som desimaltall. Da dividerer vi telleren med nevneren.
84
3 = 3 : 5 = 0,6 5 Alle desimaltall kan skrives som en brøk med nevneren 10, 100, 1000 osv. 0,12 =
12 100
Mange brøker kan ikke skrives som et eksakt desimaltall. Da runder vi av til ønsket antall desimaler. 2 = 0,6666 . . . 0,67 3
Brøk og multiplikasjon Vi multipliserer et helt tall med en brøk ved a˚ multiplisere det hele tallet med telleren. 4
2 4 2 8 2 = = =2 3 3 3 3
Vi multipliserer to eller flere brøker med hverandre ved a˚ multiplisere telleren med telleren og nevneren med nevneren. 1 2 1 2 2 = = 3 3 3 3 9
Brøk og divisjon Vi dividerer en brøk med en brøk ved a˚ multiplisere med den omvendte brøken. 4 1 4 2 8 : = = 9 2 9 1 9
4:
2 4 3 12 = = =6 3 1 2 2
Forhold Forholdet mellom to tall finner vi ved a˚ dividere tallene med hverandre. Forholdet mellom 5 og 25 er 5 : 25 =
1 =1:5 5
Prosent Prosent betyr hundredeler. 5%=
5 100
Sammenhengen mellom prosent, brøk og desimaltall 5% =
5 = 0,05 100
Prosent Brøk
Desimaltall
Oppsummering 85
Prosenten av et tall Na˚r vi skal regne ut prosenten av et tall, gjør vi om prosenten til desimaltall og multipliserer med tallet. 5 % av 500 kr er 0,05 500 kr = 25 kr
˚ finne prosenten A Vi finner ut hvor mange prosent 40 kr er av 250 kr slik: 40 kr = 0,16 250 kr 0,16 =
16 100
Det betyr at 0,16 = 16 % 40 kr er 16 % av 250 kr
Promille Promille betyr tusendeler. Vi regner med promille pa˚ samme ma˚te som vi regner med prosent. 5‰=
5 = 0,005 1000
5 ‰ av 12 000 kr er 0,005 12 000 kr = 60 kr
Oppsummering
Utregning av talluttrykk
86
Na˚r det er flere regnearter i et talluttrykk, regner vi i denne rekkefølgen: 1 2 3
parenteser multiplikasjon og divisjon addisjon og subtraksjon
5 + 3 (4 + 2) = 5 + 3 6 = 5 + 18 = 23
Bokstavuttrykk Regneuttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstaven sta˚r da i stedet for et hvilket som helst tall. Bokstaven kaller vi en variabel. A = g h O = 2a + 2b
Sette inn tall i bokstavuttrykk Vi finner verdien av et bokstavuttrykk ved a˚ sette inn tall for variablene og regne ut uttrykket som et talluttrykk. Hvis vi setter a = 4 og b = 6 inn i bokstavuttrykket 2a + 2b fa˚r vi: 2a + 2b = 2 4 + 2 6 = 8 + 12 = 20
Regning med bokstavuttrykk Na˚r vi regner med bokstavuttrykk, kan vi bare trekke sammen ledd som har den samme variabelen. Hvis vi skal multiplisere eller dividere ulike bokstavledd med hverandre, multipliserer eller dividerer vi tall med tall og bokstavledd med bokstavledd. 5a + 3b + 2a -- 2b = 7a + b 3x 5y = 15xy 3a2 2a3 = 6a5 4x 7 : 2x 3 = 2x 4
Bokstavuttrykk og parenteser Na˚r vi løser opp en parentes med plusstegn foran, endrer vi ikke fortegnene inne i parentesen. 4x + ð2x + 3Þ = 4x + 2x + 3 = 6x + 3 Vi løser opp en parentes med minustegn foran ved a˚ endre fortegnene pa˚ alle leddene inne i parentesen. 6x -- ð3x -- yÞ = 6x -- 3x + y = 3x + y Hvis det sta˚r et tall eller et bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi tallet eller bokstavuttrykket med alle leddene inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, ma˚ vi bytte fortegn pa˚ alle leddene inne i parentesen. 2xð5 + 7Þ = 2x 5 + 2x 7 = 10x + 14x = 24x --2xð5 -- 7Þ = --2x 5 -- 2x ð--7Þ = --10x + 14x = 4x
Oppsummering 87
Multiplikasjon av to parentesuttrykk Na˚r vi multipliserer to parentesuttrykk med hverandre, multipliserer vi hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. ða + 2Þ ð2a -- 3Þ = a 2a + a ð -- 3Þ + 2 2a + 2 ð -- 3Þ = 2a2 -- 3a + 4a -- 6 = 2a2 + a -- 6
Kvadratsetningene Første kvadratsetning: Andre kvadratsetning: Tredje kvadratsetning:
ða + bÞ2 = a2 + 2ab + b2 ða -- bÞ2 = a2 -- 2ab + b2 ða + bÞða -- bÞ = a2 -- b2
Faktorisering Vi kan faktorisere variabeluttrykk. Tallene skrives da som produkt av primtallsfaktorer. 15x 2 y = 3 5 x x y Vi faktoriserer før vi forkorter en brøk. 4x 2 y 2 2 x x y 2x = = 6xy 2 3 x y 3 Vi kan bruke tredje kvadratsetning til a˚ faktorisere en differanse mellom to kvadrater. Da bruker vi setningen slik:
Oppsummering
a2 -- b2 = ða + bÞða -- bÞ
88
Sammentrekking av brøkuttrykk med ett ledd i nevner Vi kan trekke sammen brøkuttrykk som inneholder bokstavuttrykk. 3 5 2 + -= 4x 6x 3x 3 3 5 2 2 4 + -= 4x 3 6x 2 3x 4 9 10 8 + -= 12x 12x 12x 11 12x
Fellesnevner er 12x.