vectores en el plano cartesiano

Vectores en el plano cartesiano

www.matematicascocochi.com Autores: Felipe Aburto/Roberto Saavedra/Crist贸bal Carrasco/ Jes煤s Arias

Julio

2015

Vectores en el plano cartesiano

Vectores en el plano cartesiano Introducción al tema, breve história y personajes importantes

Explicaciones, datos, ejercicios desarrollados y explicados (Links de video incluido) Ejercicios para practicar y conclusión

Solucionario se vende por separado.

Abstract The vectors were created as a means to describe the location of something, are created with the purpose of gathering algebra to geometry and working in the Cartesian plane to make it more orderly use after this came the need to use to add, get length and subtract. A vector is an element which forms a vector space and geometry is used to decrypt your measurements. It is used in the translations to represent the movement of the figure.

Autores: Felipe Aburto/Roberto Saavedra/Cristóbal Carrasco/ Jesús Arias

- 2-

2015

Matemáticas

Vectores en el plano cartesiano

Sumario

2

1

Hamilton y David Hilbert fueron unos famosos matemáticos que aportaron en la utilización y descubrimiento de vectores, para lograr proporciones correctas y equilibradas. ¿Qué te parece?

las obras de arte de Maurits Escher

creadas gracias a los vectores, son un claro ejemplo de aplicación de vectores donde se observa la traslación de los objetos lo que les da su aspecto tridimensional.

3 Ejercicios en el plano cartesiano y de traslación, los cuales son explicados y desarrollados, para que luego tú puedas realizar algunos ejercicios.

4 también podrás apreciar unos videos explicativos en:

Autores: Felipe Aburto/Roberto Saavedra/Cristóbal Carrasco/ Jesús Arias

- 3-

2015

¿Por qué fueron creados los vectores?

Los vectores fueron creados para poder tener un medio para lograr una forma de describir donde estamos, aparecieron luego del plano cartesiano Vectores en el plano cartesiano por la razón de tratar de juntar el álgebra con la geometría.

¿Sabías que?

Los vectores se usan mucho en la vida cotidiana. En la construcción de puentes colgantes, los vectores sirven para determinar la fuerza del viento y la resistencia de los cables. A través de los vectores se recrean sismos y tornados para poder estudiarlos, sirven para ubicar objetos en algún lugar del espacio y su posición además de choques automovilísticos donde se necesita saber quién fue el causante de tal accidente.

Autores: Felipe Aburto/Roberto Saavedra/Cristóbal Carrasco/ Jesús Arias

- 4-

2015

Grandes matemáticos

Cuando fueron creados los Vectores en el plano cartesiano

vectores surgió la necesidad de poder utilizarlos de diferentes formas tales como: suma, producto escalar y vectorial esto fue aportado por 3 científicos que podrás ver a continuación

El primer aporte fue otorgado por Hilbert y dice que un vector es un elemento que conforma un espacio vectorial el cual tiene una longitud la cual deseamos saber, por lo tanto necesitamos a un llamado operador norma que ayuda a determinar la longitud del vector y finalmente se utiliza geometría para descifrar las medidas longitudinales de los vectores.

Luego se buscó la forma de calcular vectores, a través de la geometría estos métodos fueron entregados por el Alemán Grassman en 1844 y consistían en la suma y el producto vectorial.

Esto fue comprobado y analizado por Hamilton quien desarrolla lo mismo que Grassman pero con cálculos algebraicos los cuales coinciden perfectamente.

Autores: Felipe Aburto/Roberto Saavedra/Cristóbal Carrasco/ Jesús Arias

- 5-

2015

Vectores Representan propiedades del movimiento de un cuerpo.

Los vectores lo podemos apreciar a traces de las trasformaciones isométricas. En breves palabras son Vectores en el plano cartesiano los movimientos que hacen los cuerpos desde un lugar a otro. Estos son utilizados únicamente en la traslación, que es el movimiento de una figura sobre un vector donde no cambia su forma ni su tamaño, solo cambia su ubicación Los vectores están compuestos por los siguientes elementos:

 Dirección: es el lugar donde se dirige la recta que contiene el vector o cualquier recta paralela (horizontal, vertical y oblicua)  Sentido: se representa con AB es la distancia que va desde A hacia B (derecha, izquierda, diagonal y hexagonal)

 Modulo: es la longitud del segmento AB, siempre es un número positivo, es lo que mide desde el origen al extremo.

¡Gran promoción!

Aproveche, promoción valido solo por 10 días, lleve un cuadro de Maurits Escher por tan solo $500.000, un clásico ejemplar del pintor neerlandés, que ha sido capaz de unir las matemáticas con el arte para lograr la perfección.

Autores: Felipe Aburto/Roberto Saavedra/Cristóbal Carrasco/ Jesús Arias

- 6-

2015

Aplicación de vectores

Vectores en el plano cartesiano

A continuación podrás ver la aplicación y utilidad de los vectores en un ejemplo cotidiano.

Yerbas Buenas

Avenida Argentina A

B

Va desde avenida Argentina a Yerbas Buenas trazando una línea recta desde A hacia B y una cuadra mide 125 metros aproximadamente luego ordenaremos estos datos en : Dirección: Horizontal Sentido: desde A (izquierda) hacia B (derecha)

Esto puede servir para ver el tráfico y la dirección en la que se dirigen los automóviles.

Traslación

Modulo: es la amplitud de una cuadra o calle la que mide 125 metros

Es el movimiento de una figura sobre un vector donde no cambia ni su forma ni su tamaño, lo único que cambia es la ubicación. Es la única trasformación isométrica donde se usan vectores.

Aquí se muestra claramente el cambio de ubicación del triángulo, donde no cambia ni su forma ni tamaño.

A

B

Autores: Felipe Aburto/Roberto Saavedra/Cristóbal Carrasco/ Jesús Arias

- 7-

2015

Plano Cartesiano

Vectores en el plano cartesiano

1 Está formado por dos rectas paralelas una

Las coordenadas: se forman asociando un valor del eje de X ha Y, luego esto indica que un punto cual quiera se puede ubicar en cualquier lugar del plano cartesiano tomando las coordenadas del lugar donde se ubique.

2

horizontal y otra vertical que se cortan en cierto 1 1 punto, la horizontal es llamada eje de abscisas y es 1 representada por (X) y la vertical se llama eje de 1 ¡ ordenadas y se representa con la (Y) y el puto 1 donde se cortan es llamado origen. Su propósito es describir la ubicación de los puntos los que se representan como coordenadas.

¿Cómo localizar puntos en el plano cartesiano?

1. Para localizar a X, se encuentran dos unidas y si es a la derecha es positiva y si es a la izquierda es negativa, a partir del punto de origen que es cero 2. Desde donde se encuentra el valor de X se cuentan las unidades que corresponden hacia arriba si es positiva y hacia abajo si es negativa.

De esta forma se puede ubicar cualquier punto dadas ambas coordenadas correctamente.

Autores: Felipe Aburto/Roberto Saavedra/Cristóbal Carrasco/ Jesús Arias

- 8-

2015

Vectores en el plano cartesiano Vectores en el plano cartesiano

El vector en el plano cartesiano provoca una transformación que permite cambiar de posición a los objetos dentro de él según las coordenadas que estos tengan.

Por ejemplo, para hacer que el vector haga una traslación (-2,-4) sobre el punto anterior debemos realizar el siguiente procedimiento 1. Nos ubicamos en el punto al cual se realizara la traslación 2. Realizamos un movimiento horizontal las veces que lo indique la primera coordenada hacia la derecha, si la primera es (X) es positiva o hacia la izquierda si es negativa 3. Luego avanzamos de forma vertical las veces que lo pida la segunda coordenada, hacia arriba si la segunda coordenada es positiva o abajo si es negativa En este caso si hacemos la traslación de (-2,-4) al punto K= (4,5), el nuevo punto quedara finalmente ubicado en (2,1)=M.

Autores: Felipe Aburto/Roberto Saavedra/Cristóbal Carrasco/ Jesús Arias

- 9-

2015

RESTA DE VECTORES: Para restar vectores, se toman los valores del eje X Vectores enpodras el planoobservar cartesiano un para restarlos a los valores del eje Y. A continuación ejemplo.

Ej: vector A = (-2,5) Vector B = (3,-1) Para restar estos vectores, se toman los valores de X y se restan, los valores de Y, se restan, el resultado son los valores del vector resultante.

Ej: (-2 – 3, 5 - (-1)) = (-5,6)

1-

(5,8) – (-2,6)

2- (7,3) – (4,-2)

3- (2,-4) – (3,1) 4- (9,4) – (8,2)

5- (8,9) – (2,4)

Autores: Felipe Aburto/Roberto Saavedra/Cristóbal Carrasco/ Jesús Arias

6- (3,4) – (5,7)

- 10 -

2015

Suma de vectores en el plano cartesiano

Video aquí https://www.youtube.com/watch?v=EW

Vectores en el plano cartesiano eit5fLz6M&feature=youtube_gdata_play er

B

= (3,-3)

Primero tenemos dos vectores los cuales son: B y C los cuales al sumarse nos darán una coordenada que se puede apreciar en el desarrollo matemático del ejercicio que está en la orilla del plano.

De cada extremo de los vectores B y C de los cuales saldrán dos nuevos vectores que se encontraran en la coordenada resultante.

C = (5,4)

B - c = (3,-3)-(5,4) = D = (7,1)

Ejercicios 1) (2,-4) + (3,1)

Autores: Felipe Aburto/Roberto Saavedra/Cristóbal Carrasco/ Jesús Arias

2) (2,3)+ (-3,2)

- 11 -

2015

Componentes de un vector Vectores en el plano cartesiano

Links de videos: 1) https://www.youtube.com/watch?v=NAqu _Oz5hxQ&feature=youtube_gdata_player

Primero ponemos un vector desde el origen el cual equivale a su coordenada en este caso (3,3) y para saber cuál es su equivalencia se realiza el método del componente rectangular y se trazan dos líneas horizontales una horizontal y otra vertical de tal modo que se forme un Angulo de 90° luego se traza una línea la de color rojo, la que corresponde al componente X (vector x), mientras que lo que esta con verde es el componente Y los que al ser sumados corresponden a la igualdad del vector.

2) https://www.youtube.com/watch?v=nCX0 2QFr3hI&feature=youtube_gdata_player

Para llevar el vector al origen lo que se hace es que al vector libre le restas su origen al extremo y lo ubicas.

Autores: Felipe Aburto/Roberto Saavedra/Cristóbal Carrasco/ Jesús Arias

- 12 -

2015

Ejercicios

no hay nada más fácil

Vectores en el plano cartesiano

Considera los vectores de la siguiente cuadrícula.

1.

Determina los componentes de los vectores

Según la cuadrícula anterior, escribe parejas de vectores 2.

Equivalentes

3.

con igual magnitud, pero distinta dirección

4.

con igual dirección y sentido, pero distinta magnitud.

5.

con distinta dirección, sentido y magnitud.

6.

con igual magnitud y distinto sentido.

Autores: Felipe Aburto/Roberto Saavedra/Cristóbal Carrasco/ Jesús Arias

- 13 -

2015

Conclusión   

Vectores en el plano cartesiano

Bueno en este trabajo llegamos a la conclusión que para poder obtener estos datos muchos científicos tuvieron que trabajar y reunir información para lograr lo que hemos podido apreciar. También aprendimos la utilidad de los vectores los cuales son la base de la construcción y que ayudan a darle estabilidad a un puente por ejemplo.

Apreciamos la utilidad de los vectores en grandes obras de arte los cuales se desarrollaron debido a traslación de las figuras. Observamos y explicamos las partes del plano cartesiano las cuales fueron trabajadas con vectores y en lo sustancial se pudieron apreciar los elementos y componentes en el vector con sus respectivas formulas y utilidades.

Autores: Felipe Aburto/Roberto Saavedra/Cristóbal Carrasco/ Jesús Arias

- 14 -

2015

Vectores en el plano cartesiano

Autores: Felipe Aburto/Roberto Saavedra/Crist贸bal Carrasco/ Jes煤s Arias

- 15 -

2015