Reflexión “Una transformación en la naturaleza”
Índice 3 5 16
Presentación
4
Abstract
7
Sustento teórico
Historia
Ejercicios resueltos
19 22
Solucionario
Ejercicios propuestos
Presentación En la naturaleza se ven regularmente transformaciones isométricas de las que ni siquiera nos damos cuenta “¿Has visto en el agua un árbol reflejado?” o “¿una persona frente a un espejo?” bueno, esas son reflexiones en nuestra vida cotidiana. El logo de la cruz roja en chile es un ejemplo de reflexión y simetría axial, no te habías dado cuenta siendo que a menudo lo ves. La reflexión en geometría es una transformación isométrica ,es decir, que mueve una figura sin cambiar su tamaño ni su forma; esta es cuando una figura se invierte sobre un segmento llamado “eje de reflexión” y se crea una imagen de espejo, además tiene relación con los conceptos simetría axial y simetría central.
¿Sabías que… La estrella de mar presenta 5 ejes de reflexión?
Abstract The reflection is motivated by the former Egyptians to measure agrarian lands and in the construction of pyramids and monuments; it was then when Mileto based on this to initiate the demonstrative geometry using the elements of isometric transformations. Euclid based on the ideas of Mileto created his book " The elements " in which there are expositions on geometry and isometric transformations. The reflection in geometry is an isometric transformation, that moves a figure without changing either its size or its form; this one is when a figure is invested on a so called segment " axis of reflection " and it creates an image of mirror.
The elements necessary for the reflection are: axis of reflection, figure, rule and compass
You knew that ‌ The painting of Da Vinci is an example of symmetry?
Historia
El termino “Isometria”, tiene un significado que
Esas son las verdaderas raices de
viene de dos raicez griegas “Iso”, que es medidas
las transformaciones isometricas.
invariables mientras que “metria” viene de metron que significa medidas invariables.
Crea nuevos conocimientos a partir de otros ya existentes por
Los origenes de las transformasiones isometricas
medio de cadenas deductivas de
viene de hace aproximadamente unos tres mil
razonamiento logico.
años a. C.
Esta geometria,denominada
En el Antiguo Egipto, las personas de esa época
geometria isometrica, se apoya en
necesitaban medir predios agrarios y en la
lo que anecdoticamente se conoce
construcción de pirámides y monumentos.
como el 5º postulado de Euclides:
Hace 6 siglos a.C. el matemático Tales de Mileto inició la geometría demostrativa empleando los elementos de transformaciones isométricas.
“por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y solo una paralela a ella”
“Los elementos” fue una obra creada por un geómetro y matemático llamado Euclides, griego del siglo 3 a.C. en la que reune, clasifica y sistematiza todos los conocimientos de geometria y de transformaciones isométricas. Euclides, usando un razonamiento deductivo parte de conceptos básicos primarios no demostrables tales como punto, recta,plano y espacios, que son el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas y a su vez, esto serviran demostrar otros teoremas.
Fragmento de los Elementos de Euclides, escrito en papiro, hallado en el yacimiento de Oxirrinco, Egipto.
Sustento te贸rico
Transformación isométrica: es una transformación geométrica en la que se mantiene la medida de los lados y de los ángulos de la figura inicial. Reflexión: es una transformación isométrica en la que una figura se invierte sobre un eje o punto de tal modo que su imagen sea la imagen de espejo del original (preimagen). Reflexión respecto de un eje: es el reflejo de una figura tomando como referencia un eje. Eje de reflexión: Una línea a mitad entre una figura (pre imagen) y su imagen reflejada. Reflexión respecto de un punto: es el reflejo de una figura tomando como referencia un solo punto. Punto de reflexión: la simetría central, se realiza respecto a un punto que se conoce como punto de simetría. Pre imagen: Una figura geométrica que ha cambiado (por alguna transformación isométrica) para producir otra figura. Imagen: Es una figura que queda después de haber sido sometida a una transformación isométrica.
Paso a paso perpendicular a un segmento dado con un punto fuera de ella es necesario aprenderla para realizar las reflexiones respecto a un eje 1.-Trazar una línea
2.-Dibujar un punto fuera de la línea
3.-Con un compás realizar una circunferencia desde el punto cortando la línea, realizando dos puntos
4.-Desde los puntos nuevos, hacer una circunferencia que sea a más de la mitad del punto inicial, realizarlo con los dos puntos nuevos 5.-Se une el punto inicial con el nuevo hecho
Paso a paso (Reflexión con un eje afuera de la figura) 1.-Dibuja una figura cualquiera y un segmento fuera de la figura, el cual será el “eje de reflexión”
2.-Traza perpendiculares desde cada uno de los vértices de la figura, cortando al eje de reflexión. Así se hace con todos los vértices de la figura
3.- Medir con el compás desde cada uno de los vértices hasta el eje de reflexión, luego colocar la medidas para cortar perpendiculares hechas(al hacer las perpendiculares, queda un punto que será el punto primo a cada uno de los vértices, no es necesario medir con el compás 4.- Finalmente se unen todos los puntos en orden alfabético para no confundirse
Paso a paso (Reflexión con un eje adentro de la figura) 1.-Dibuja una figura cualquiera y un segmento dentro de la figura, el cual será el “eje de reflexión”
2.-Traza perpendiculares desde cada uno de los vértices de la figura, cortando al eje de reflexión. Así se hace con todos los vértices de la figura
3.- Medir con el compás desde cada uno de los vértices hasta el eje de reflexión, luego colocar la medidas para cortar perpendiculares hechas(al hacer las perpendiculares, queda un punto que será el punto primo a cada uno de los vértices, no es necesario medir con el compás) 4.- Finalmente se unen todos los puntos en orden alfabético para no confundirse
Paso a paso (Reflexión con un eje al borde de la figura) 1.-Dibuja un figura cualquiera y al borde de ella un segmento, el cual será el “eje de reflexión”
2.- Traza perpendiculares desde cada uno de los vértices de la figura, cortando al eje de reflexión. Así se hace con todos los vértices de la figura
3.-Medir con el compás desde cada uno de los vértices hasta el eje de reflexión, luego colocar las medidas para cortar las perpendiculares hechas(al hacer las perpendiculares, queda un punto que será el punto primo a cada uno de los vértices, no es necesario medir con el compás) 4.-Finalmente se unen todos los puntos en orden alfabético para no confundirse
Paso a paso (Reflexi贸n con un punto afuera de la figura) 1.-Dibuja una figura
2.-Dibuja un punto donde quieras pero fuera de la figura
3.- Traza una linea desde cada uno de los vertices hasta el punto y prolongalas
4.-Mide con un comp谩s desde cada vertice hasta el punto marcado, luego con esa misma distancia marca la linea prolongada,haz lo mismo con todos los vertices 5.-Unir todos los puntos
Paso a paso (Reflexión con un punto al borde de la figura) 1.-Dibuja una figura
2.-Dibuja un punto al borde de figura
3.-Une cada vértice con el punto y prolonga la línea
4.-Mide con un compás desde cada vértice hasta el punto marcado, luego con esa misma distancia marca la línea prolongada, haz lo mismo con todos los vértices 5.-Une todos los puntos
Paso a paso (Reflexi贸n con un punto adentro de la figura) 1.-Dibuja una figura
2.-Dibuja un punto dentro de la figura
3.-Une cada vertice de la figura con el punto marcado y prolongalo
4.-Mide con el compas la distancia entre cada vertice y el punto,uego con esa misma distancia, corta la linea prolongada, haz lo mismo con todos los vertices. 5.-Une todos los vertices
Ejercicios resueltos
1.-Refleja la siente figura con un punto afuera de la figura
https://www.youtube.com/watch?v=gZZ2NmZ3dQc 2.-Refleja la siguiente figura con un punto al borde de la figura
https://www.youtube.com/watch?v=2O4PBto3eus 3.-Refleja la siguiente figura con un punto adentro de la figura
https://www.youtube.com/watch?v=ThlNqOYME6g 4.-Refleja la siguiente figura con un eje afuera de la figura
https://www.youtube.com/watch?v=G6rNn54YKw4
5.-Refleja la siguiente figura con un eje al borde de la figura
5.-Refleja la siguiente figura con un eje en la figura
https://www.youtube.com/watch?v=Z4jeukIjMxs 6.-Refleja la siguiente figura con un eje adentro de la figura
https://www.youtube.com/watch?v=BbGxuKozCFQ
Ejercicios propuestos
1.- ¿Cuál de estas transformaciones isométricas es reflexión? a)
b)
c)
d)
2.-Dibuja una reflexión con respecto al eje dado: a)
b)
c)
3.-La flecha se refleja sobre la línea negra. En cuál de las siguientes opciones se muestra correctamente la flecha después de la reflexión?
a)
b)
c)
d)
4.-Identifica a qu茅 tipo de reflexi贸n corresponden las siguientes reflexiones: a)
b)
c)
5.-Identifica el nombre de los siguientes elementos: a)
b)
c)
d)
Soluciona rio 1.- Letra c 2.-
3.- Letra a 4.- a) Reflexión con un eje al borde de la figura b) Reflexión con un punto adentro de la figura c) Reflexión con un eje fuera de la figura 5.- a) Eje de reflexión b) Punto de simetría o reflexión c) Preimagen d) Imagen
Ahora ya ves que en la naturaleza hay muchas transformaciones isométricas como lo hemos presentado en el caso de la reflexión, hemos reforzado conocimientos sobre la historia y el uso de la reflexión en geometría, puesto que durante muchos años esta fue usada como instrumento y satisfaciendo necesidades de antiguos hombres no solo matemáticos sino que también físicos, explicando este espectro en la naturaleza como el reflejo de alguien en el agua, en un espejo, en un vidrio, etc. Si interpretamos todo lo descrito anteriormente podemos deducir que a pesar de años, décadas, siglos, podemos ver que no fue un trabajo muy sencillo pero que en sí, valió la pena, ya que por la reflexión se han podido resolver problemas y dudas en cuanto a lo que nos rodea.
Todos somos mentes pequeñas que van agrandando y podemos llegar a ser como Aristóteles. Pues esta investigación es solo el inicio de una pequeña parte de la historia que a pesar de ser matemática es asombroso.
¿Sabías que….. Las pirámides fueron construidas a base de la simetría axial y reflexión ?
Autor: Escarlet Plaza Escritor: Rocío Troncoso Miss Marcela Ramírez Editor: Sofía Gómez Lucero Toro