SUMA DE VECTORES
2 SUMA DE VECTORES COMPOSICION DE TRASLACIONES
Palabras Preliminares “La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles”. Rene Descartes (1596-1650) Matemática, ciencia que estudiamos desde nuestros inicios, desde que comenzamos las sumas y restas, y que nos ha acompañado durante nuestros largos años de preparación académica. Esta variada ciencia nos convoca hoy a estudiar e investigar la Suma de Vectores y la Composición de Traslaciones. Un tema complejo, pero a la vez muy práctico, y que además, añade nuevos aprendizajes y conocimientos a nuestras mentes. Por esto, están invitados a aprender e informarse de este tema. Muchas Gracias. Ricardo
Catalina
Martín
Miguel
Rodrigo
Chandia
Flores
Hidalgo
Martínez
Vilches
Flores
Flores
SUMA DE VECTORES COMPOSICION DE TRASLACIONES
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Índice Palabras Preliminares Página 3 Prólogo Pág. 5 Abstract Pág. 6 Historia Pág. 7 Suma de Vectores: Definición Pág. 9 Forma Triangular Pág. 9 Forma Paralelogramo Pág. 11 Forma Analítica Pág. 14 Composición de Traslaciones: Definición Pág. 16 Desarrollo Pág. 17 Ejercicios: Ejercicios Propuestos: Pág. 19 Ejercicios Resueltos: Pág. 23 Epílogo Pág. 30. 4 SUMA DE VECTORES COMPOSICION DE TRASLACIONES
Prólogo Los Vectores se introdujeron en la física como cantidades que se necesitan para representar ciertas variables cuyas características no pueden ser mediante números reales debido a que sus propiedades no se reflejan en el álgebra de los números reales. Como un ejemplo sencillo tenemos el problema de ubicar la posición final de un objeto que se desplaza en un plano una cierta distancia, digamos a 10 metros de un punto inicial. La posición final no queda terminada debido a que el objeto puede estar en cualquier punto alrededor de un círculo de 10 metros de radio con centro en el punto inicial. Para que la posición final del objeto quede terminada necesitamos Otra cantidad aparte de la longitud del desplazamiento,
la dirección. Estas dos magnitudes son necesarias para la determinación para la posición final del objeto y muestra la necesitada del empleo de los vectores. Si en este ejemplo agregamos la información de que, después del primer desplazamiento el objeto se mueve, digamos 15 metros más en otra dirección y queremos determinar la posición final, nos daremos cuenta de que requeríamos para efectuar la suma, no la regla para sumar números reales, sino la regla de la Suma de Vectores. En este trabajo además de la suma de vectores, observaremos la Composición de Traslaciones. Repasaremos la historia de ambas, explicaremos como se realizan y mostraremos algunos ejemplos. 5
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Abstract Vectors have been introduced in physic as quantifies that are needed to represent certain variables whose characteristics can’t be by real numbers because his property do not get reflected in the algebra of real numbers. As a simple example we have a problem of put the final position of an object that moves a certain distance in the plane, let’s say at 10 meters of the starting point. Final position doesn’t get finished because the object can be in any other point in the range of a circle of 10 meters of radio with center on the starting point. To make the final position of the object get finish we need another quantify apart of the length of the move,
the direction. These two magnitudes are necessary to determinate the final position of the object and the sample we need. If in this example we add the information that after the first move the object moves 15 meters plus in another direction and we want to determinate the final position , we will realize that we don’t need the real numbers addition, we need the vectors addition rule. In this word we work in the addition of vectors and the Composition of Translations. We explain both themes, we review the history and we show some examples.
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Historia La Historia de los Vectores se remonta el año 1843, cuando el matemático William Rowan Hamilton descubrió un nuevo sistema de números que venía a extender el sistema de los números complejos. Así como todo numero complejo es de la forma (a+bi), un cuaternión es una expresión de la forma (a+bi+cj+dk) donde (a, b, c, d) son números reales e (i, j, k) son objetos que satisfacen ciertas reglas bien definidas. Los cuaternios encontraron pronto aplicaciones físicas interesantes pero no resultaban fáciles de manejar. Los físicos Gibbs y Heaviside a fines del siglo XIX decidieron facilitar la aplicación de los cuaternios de Hamilton tomando de ellos solamente la parte no real, (bi + cj + dk).
William R. Hamilton
Josiah Willard Gibbs
Resultaba así un objeto matemático que Gibbs lo llamó un vector. 7
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Rene Descartes, el “padre de la geometría analítica” junto a Pierre Fermat. La geometría analítica permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. Físicos y matemáticos siguieron construyendo la historia del vector. Vino después las operaciones con vectores como la suma o la resta y luego se ocuparon estos para realizar traslaciones en el plano cartesiano.
Descartes y Fermat
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Suma de Vectores La Suma de Vectores se define como el proceso de combinar dos o más vectores en un vector equivalente. La Suma de Vectores es posible de realizar en dos formas: de una forma Gráfica (Forma de Paralelogramo o en Forma de Triángulo). O en forma Analítica (Algebraica).
Forma Triangular: Se realiza trasladando el
vector A, hasta hacer coincidir su inicio con el final del vector B. Luego se forma el vector resultante cuyo punto inicial coincida con el punto inicial del vector A y el final de este vector resultante sea el final del vector B.
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Paso 0
En el primer paso se procede a trasladar el Vector A, hasta el comienzo de Vector B, siguiendo las reglas de la traslaci贸n. Paso 1
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Entre el inicio del Vector A’ y el fin del Vector B, se traza el Vector C, que es nuestro Vector Resultante. Así la Suma de Vectores de la Forma Triangular queda resuelta. Paso 2
Link explicativo: https://www.youtube.com/watch?v=GP-hUEFjK1Q
Forma Paralelogramo: Se realiza trasladando el vector A hasta hacer coincidir el inicio de este vector con el inicio del vector B. Luego se traza una recta paralela al vector A (A’), y que coincida su inicio con el final del vector B. Luego se realiza lo mismo con el vector B, trasladándolo y creando una recta paralela (B’) que tenga como inicio el final del vector A. Finalmente trazamos nuestro vector resultante desde la intersección del inicio de los vectores A y B, hasta la intersección del final del los vectores A’ y B’. 11 SUMA DE VECTORES COMPOSICION DE TRASLACIONES
Paso 0
En el primer paso se procede a trasladar el comienzo del Vector A, hasta el comienzo de Vector B, siguiendo las reglas de la traslaci贸n. Paso 1
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Luego, se trazan rectas paralelas al Vector A y B, generando A’ y B’ respectivamente. Paso 2
Finalmente, se traza el Vector Resultante entre la intercesión de los vectores A y B, hasta la intercesión de los vectores A’ y B’. Paso 3
Link explicativo: https://www.youtube.com/watch?v=KVpdNASafO 13 U SUMA DE VECTORES COMPOSICION DE TRASLACIONES
Forma Analítica: Consiste en sumar los vectores pero ya no de forma gráfica, sino de forma numérica. Esto se logra sumando los componentes de los vectores involucrados. Componentes de un vector: Se llaman componentes de un vector a las proyecciones del vector sobre los ejes coordinados. O dicho en otras palabras, a los desplazamientos que hay que realizar para moverse desde el origen del vector hasta su extremo. Los componentes de un vector se obtienen de la siguiente manera:
Dados los puntos P (2,1) y Q (4,4) el vector V corresponde a: V= (4-2, 4-1) Luego esto se resuelve obteniendo que los componentes del vector V son: V= (2,3)
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Dados los puntos A (2,-4) y B (4,-1), calculo los componentes del vector: Vector= (4-2, -1+4) Vector= (2,3) Paso 1
Dados los puntos C (-1,2) y D (-4,4), calculo los componentes del vector: Vector 2= (-4+1, 4-2) Vector 2= (-3,2) Paso 2
Paso 3 Finalmente sumo los componentes de ambos vectores (x+x, y+y): Vector 1= (2,3) Vector 2= (-3,2) Vector resultante: (2+-3, 3+2) = (-1,5) 15 SUMA DE VECTORES COMPOSICION DE TRASLACIONES
Composición de Traslaciones La Composición de Traslaciones se define como el proceso que consiste en aplicar a unos puntos una traslación y a continuación a los transformados aplicar una nueva traslación. Por tanto podemos combinar dos traslaciones. La primera nos proporcionará los puntos A' y la segunda transformará los A' en los A''. Estas dos o más traslaciones, serán equivalentes a trasladar la figura inicial con la suma de todos los vectores.
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Paso 0
Trasladamos nuestro triangulo ABC según el vector D, obteniendo A’B’C’. Paso 1 17 SUMA DE VECTORES COMPOSICION DE TRASLACIONES
Trasladamos nuestro triangulo A’B’C’ según el vector E, obteniendo nuestra figura final A’’B’’C’’. Este se encuentra en A’’: (0,0) B’’ (-1,-2) y C’’ (1,-2). Paso 2 Si sumamos los vectores D y E, podemos ver que el punto A se trasladaría a la coordenada (0,0) al igual que el punto A’’ (que realizo las dos traslaciones en el ejercicio anterior) Paso B 18 SUMA DE VECTORES COMPOSICION DE TRASLACIONES
Ejercicios Propuestos 1.- Realiza la suma de los siguientes vectores en todas las formas vistas:
a)
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b)
c)
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2.- Calcula los componentes de cada vector y luego sĂşmalos. Vector AB: Vector CD: Vector EF: Vector GH:
A: (4,-5) C: (8,3) E: (-3,5) G: (15,-3)
B: (-2,-1) D: (2,-5) F: (-8,0) H: (8,8)
a) Vector AB + Vector EF b) Vector CD + Vector GH c) Vector AB + Vector CD + Vector GH d) Vector AB + Vector CD + Vector EF + Vector GH
3.- Observa la figura y realiza las actividades:
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a) Determina las coordenadas de los puntos del triángulo (A, B y C). b) Traslada el triángulo ABC según el vector D, y determina las coordenadas de sus puntos (A’, B’ y C’). c) Traslada el triángulo A’B’C según el vector E, y determinar las coordenadas de sus puntos (A’’, B’’ y C’’’). d) Determina el vector que traslada directamente al triangulo ABC hasta el vector A’’B’’C’’.
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Ejercicios Resueltos 1.- Realiza la suma de los siguientes vectores en todas las formas vistas: a)
A: (5,4) R: (9,-6) V: (5+9, 4+-6) V: (14,-2)
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b)
A: (-5,-7) R: (10,0) V: (-5+10, -7+0) V: (5,-7)
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c)
A: (7,-4) R: (2,6) V: (7+2, -4+6) V: (9,2)
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2.- Calcula los componentes de cada vector y luego súmalos. Vector AB: Vector CD: Vector EF: Vector GH:
A: (4,-5) C: (8,3) E: (-3,5) G: (15,-3)
B: (-2,-1) D: (2,-5) F: (-8,0) H: (8,8)
a) Vector AB + Vector EF Vector AB: (-2-4, -1+5) Vector EF: (-8+3, 0-5) Vector AB: (-6,4) Vector EF: (-5, -5) Vector AB + Vector EF: (-6+-5, 4+-5) Vector AB + Vector EF: (-11,-1)
b) Vector CD + Vector GH Vector CD: (2-8, -5-3) Vector CD: (-6,-8)
Vector GH: (8-15, 8+3) Vector GH: (-7, 11)
Vector CD + Vector GH: (-6+-7, -8+11) Vector CD + Vector GH: (-13,3)
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c) Vector AB + Vector CD + Vector GH Vector AB + Vector CD + Vector GH: (-6+-6+-7, 4+-8+11) Vector AB + Vector CD + Vector GH: (-19, 7)
d) Vector AB + Vector CD + Vector EF + Vector GH Vector AB + Vector CD + Vector EF + Vector GH: (-6+-6+-5+-7, 4+-8+-5+11) Vector AB + Vector CD + Vector EF + Vector GH: (-24, 2)
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3.- Observa la figura y realiza las actividades:
a)
Determina las coordenadas de los puntos del triángulo (A, B y C). A: 3,4 B: 1,2 C: 3,2
b)
Traslada el triángulo ABC según el vector D, y determina las coordenadas de sus puntos (A’, B’ y C’). A’: 1,1 B’: -1,-1 C’: 1,-1
c)
Traslada el triángulo A’B’C según el vector E, y determinar las coordenadas de sus puntos (A’’, B’’ y C’’’). A’’: -1,3 B’’: -3,1 C’’: -1,1 28 SUMA DE VECTORES COMPOSICION DE TRASLACIONES
d) Determina el vector que traslada directamente al triangulo ABC hasta el vector A’’B’’C’’. V: -4,-1.
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Epílogo
Con estas palabras ponemos fin a este trabajo, donde nos remontamos a mediado del siglo XIX para conocer el nacimiento del vector. De ahí en adelante, los vectores fueron usados no solo para las matemáticas, sino también para la física y otras ramas de la ciencia. Aprendimos los múltiples usos que tiene los vectores. En esta oportunidad los utilizamos para componer traslaciones y además los sumamos. Agregamos nueva materia y nuevos conocimientos para nosotros. Traspasamos las típicas barreras que se imponen en la matemática para aprender algo de historia sobre los vectores, y escuchar nombres de destacados físicos y matemáticos, como Rene Descartes, William Rowan Hamilton y Josiah Willard Gibbs. Podemos concluir que los vectores son más que una línea que se ubica en el plano cartesiano, es una infinidad de posibilidades, desde una traslación en matemática hasta algún uso en la física. Muchas Gracias 30 SUMA DE VECTORES COMPOSICION DE TRASLACIONES