Vectores en el
plano cartesiano
Índice Capítulos:
Contenido
I. Presentación .
Abstract
Introducción .
Motivación.
Uso .
Motivación.
Partes de un vector.
¿Qué es un vector?
Tipos de Vectores
II. Historia del plano cartesiano. III. Vectores.
IV. Conocimientos en practica. V. Finalización
Ubicación de vectores en el plano cartesiano.
Ejercicios .
Conclusión
ABSTRACT The vectors are very important in the area of the maths, like in the area of the physical sciences. Going back a littlle in the history of this very important mathematic instrument, the vectors were created from a segments called Quaternions what had reals and imaginary points, because they didn`t have defined measures to do mathematics and physicals exercises. The scientists did many observations and deductions to meet the final element called “vector�. The vectors weren`t the invent to represent speed and movement. Besides they were used to expand the mathematics and algebra world.
Besides in the next articles, we won’t just talk about the vectors, but also we talk about the physical space where they are, the Cartesian plane, what we used in many areas of the science to meet coordinals and the meteorology. RenÊ Descartes invented the Cartesian plane, who his famous speech about the method, he exposed his great discovery , the Cartesian plane. To final, the vectors were a great discovery for the mathematics and science.
Introducción Ahora nos introduciremos en el mundo de las matemáticas y nos adentraremos dentro de un lugar extraño, sin cálculos, lleno de letras y figuras. Este lugar es el de los vectores, un mundo tan amplio que no se puede describir en una sola palabra, conoceremos la historia y la importancia de ellos para la historia de las matemáticas. Los vectores no solo están en el área de las matemáticas sino también en el de las ciencias, específicamente en la Física, donde solo indican fuerzas de magnitud, en cambio en las matemáticas los vectores se ubican en un lugar especifico llamado plano cartesiano. Ahora comenzaremos nuestro viaje rumbo al maravilloso mundo de los vectores.
“La felicidad es la máxima aspiración del hombre, hacia la que apuntan todos los vectores de su conducta, pero si queremos conseguirla, debemos buscarla. Además, la felicidad no supone un hallazgo, sino que a través de su recorrido” -Enrique Rojas.
Historia del plano cartesiano René Descartes fue el creador del plano cartesiano. Nació en el año 1596 en la cuidad de Haye, Francia, se educó en el colegio Jesuita de la Fléche desde 1604 hasta 1612. En 1637 creó su famoso discurso del método, donde proponía una duda metódica, que sometiese todos los conocimientos de la época.
Es el creador de la famosa frase: “Pienso, luego existo”. En 1650 muere en Estocolmo, Suecia.
¿Qué lo habrá motivado a crearlo? René Descartes quería encontrar un punto de partida sobre el cual edificar todo el conocimiento. Esto sucedió el 10 de noviembre de 1619, mientras observaba distraídamente dentro de su habitación el vuelo de una mosca, que al observarla se dio cuenta de que la posición de la mosca se podía representar con números, que indicaría las
distancias que hay entre cada una de las paredes y el suelo de la habitación, donde el punto de origen sería la mosca y el plano seria la habitación. Así fue como comenzó lo que llegó a ser una de las mejores ideas matemáticas de todos los tiempos.
Uso del plano cartesiano El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto, estas rectas se llaman puntos ortogonales. La recta horizontal es llamada “eje de las abscisas” (x), y la vertical, “eje de las ordenadas” o (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de “origen”.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y)
驴C贸mo localizarlos?
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1.- Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
Abscisa
Negativo
Positivo
2. Desde donde se localiza el valor de x, se
cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas. Ordenada
Positivo
Negativo
Historia de los vectores Los vectores fueron originados del “cuaternión”, que es un número complejo que puede expresarse como un conjunto, el cual estaba formado por una parte real y una imaginaria. A lo largo del tiempo fueron apareciendo problemas en el empleo de los cuaterniones, aseguró Lord Kelvin, pero él estaba equivocado ya que no sabía que al utilizar la parte real y la imaginaria se manejaban al mismo tiempo, esto originó que muchos científicos se dieran cuen-
ta de que muchos de estos problemas se podían manejar analizando cada una de sus partes por separado, originando así el “análisis vectorial”, el cual se los debemos al físico norteamericano Gibbs.
¿Cuál fue la motivación? Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) sintió la necesidad de implementar la concepción de álgebra de una forma más general, que le permitiera describir las entidades geométricas simbólicamente. Es decir, el álgebra como estaba constituida no decía nada de las construcciones geométricas de una figura, en síntesis buscaba un sistema que sirviera como un método práctico a la hora de analizar, interpretar y modelar la naturaleza, el cual permitiera expresar una situación, ángulos y movimientos. Por otro lado, las primeras huellas de un tratamiento vectorial
lo encontramos a principios del siglo XVII, cuando la física exigió a la matemática la descripción cuantitativa del movimiento. En ese momento primaba la tradición explicativa aristotélica, y no se contaba con un aparato analítico para describir un fenómeno tan sencillo como la velocidad.
¿Que es un vector? El vector es un concepto que proviene de la física, en la que se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Mientras que la magnitud escalar se expresa con un número (por ejemplo, la masa de un cuerpo, el volumen, la capacidad de un depósito, la temperatura), en la vectorial se necesita además la dirección y el Por ejemplo, cuando nos resentido. ferimos a un movimiento, no basta con indicar el desplazamiento (módulo), sino también la dirección y el sentido del movimiento.
Con este concepto podemos describir en fĂsica la velocidad, la aceleraciĂłn y la fuerza. Un vector fijo del plano es un segmento cuyos extremos estĂĄn dados en un orden (segmento orientado). Se representa como AB (con una flecha en la parte superior) siendo A y B los extremos. Los puntos en que comienza y termina el vector se llaman origen y extremo, respectivamente.
Partes de un vector Modulo o Magnitud: Es la longitud del vector, es decir, es la distancia entre el inicio (cola) y el termino (punta de flecha) y se denota en la forma
Dirección: Es la orientación o el ángulo que forma la recta que contiene al vector con el eje ”X”.
Sentido: Está indicado por la punta (flecha del vector) e indica hacia donde se dirige .
Tipos de vectores Ahora vamos a ver los distintos tipos de vectores:
1.- VECTORES EQUIPOLENTES: Cuando dos vectores tienen el mismo módulo, dirección y sentido se dice que son equipolentes. ¿Qué quiere decir? Que miden igual, se encuentran en líneas paralelas y apuntan hacia el mismo lado.
2.-VECTORES LIBRES: El conjunto de los vectores equipolentes recibe el nombre de vectores libres. Es decir, que un vector libre es el grupo de vectores que cuentan con el mismo modulo, dirección y sentido.
3.-VECTORES FIJOS: un vector fijo es el representante de un vector libre. Es decir que estos serán iguales sólo si tienen igual módulo, dirección, sentido y si cuentan con el mismo punto inicial.
4.-VECTORES LIGADOS: son aquellos vectores equipolentes que se encuentran en la misma recta. Así, esta clase de vectores tendrán la igual dirección, módulo, sentido y además formarán parte de la misma recta.
5.-VECTORES OPUESTOS: cuando dos vectores tienen la misma dirección, el mismo módulo pero distinto sentido reciben el nombre de vectores opuestos.
6.-VECTORES UNITARIOS: son vectores de módulo uno. Si se quiere obtener un vector unitario con la misma dirección y sentido, a partir del vector dado, se debe dividir a este último por su módulo.
7.-VECTORES CONCURRENTES: si dos vectores tienen el mismo origen se los denomina vectores concurrentes
ÂżComo ubicar los vectores en el plano cartesiano?
1.- Para localizar la abscisa o valor de “x�, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el 0.
2.– Desde donde se localiza el valor de “x”, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo si son negativas, formando el punto “A”, de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas. Repetimos el mismo paso para ubicar el punto “B”. 3.– Finalmente se unen ambos puntos y forman un segmento llamado “vector”.
Ahora, A ejercitar!!! 1.-Ubica un vector en las coordenadas (-1,3) del punto “A” y (-3,2) del punto B. https://www.dropbox.com/s/kxixp643kmss5ea/ Mi%20pel%C3%ADcula.mp4?dl=0
Paso 0: observar las coordenadas dadas en el ejercicio, punto “A” (-1,3) y las del punto “B” (-3,2) Paso 1: vamos a ubicar las coordenadas del punto “A” , trazaremos puntos ortogonales verticalmente hacia arriba desde el la coordenada (–1) hasta llegar aproximadamente a la en frente de la coordenada (3) Paso 2: vamos a hacer exactamente los mismo con la coordenada (3), trazando puntos ortogonales, pero ahora horizontalmente hasta llegar a un punto donde se intersecten los dos puntos ortoganles, de la coordenada (-1) y (3)
˿
Paso 3: en el punto donde se intersectan los puntos ortogonales dibujaremos un circulo marcando justo la intersección y al lado de ella ubicaremos la letra “A”
Paso 4: ahora ubicaremos el punto “B” haciendo exactamente lo mismo que hicimos al unbicvar el punto “A”, desde la coordenada (-3) trazaremos puntos ortogonales verticalmente hacia arriba y con la coordenada (2) trazaremos puntos ortogonales horizontalmente hacia la izquierda hasta intersectarse con los puntgos de la coordenada (-3) Paso 5: en el punto donde se intersectan dibujaremos un punto y al lado anotaremos la letra ”B” Paso 6: ya teniendo los punto “A” y “B” ubicadas trazaremos un segmento con forma de flecha que unirá esos puntos , donde el punto “A” es la cabeza y el punto “B” la cola, ese segmento se llama vector.
2.-Si tengo en el plano cartesiano un vector con un punto “A” (2,1) y un punto “B”(4,3)¿Cuáles serían sus componentes? https://www.dropbox.com/s/z41lcwx7yxxuy9m/ lol.mp4?dl=0
3.– Si tengo un vector A en las coordenadas (4,3).Entonces ¿Cuál será su magnitud? https://www.dropbox.com/s/ahjqqcwwy5y3vpq/ Cata.mp4?dl=0
4.- ¿Cómo comprobar que dos vectores son equipolentes? https://www.dropbox.com/s/szcvzas6nlm235k/ Vectores%20equipolentes.mp4?dl=0
5.– Comparación de vectores: distinto sentido https://www.dropbox.com/s/vhoq45e6zum357e/ Comparacion%20entre%20dos%20vectores%20 (distinto%20sentido).mp4?dl=0 6.– Comparación de vectores: distinta magnitud https://www.dropbox.com/s/dcuztsha8nek9vo/ comparacion%20de%20vectores%20con%20distinta% 20magnitud%20.mp4?dl=0
Conclusión: Como aprendimos recientemente, los vectores son sumamente importantes en el mundo de las matemáticas, tanto como en el de la física. Como habíamos mencionado, los vectores no solo se crearon para representar velocidad o movimiento, sino que también sirvió para ampliar todo el mundo de la algebra en las matemáticas. Además en los artículos anteriores, no solo se basaban en los vectores, sino que también en el espacio físico en que se encuentran, que es el plano cartesiano, este plano sirve para todas las áreas de la ciencia, desde ubicar coordenadas hasta poder dar un estudio mas efectivo del tiempo meteorológico.
Agregando a lo dicho precedentemente, podemos concluir que el descubrimiento de los vectores fue un gran hito hist贸rico que marc贸 toda la vida de las matem谩ticas y de las ciencias.