CONTENIDO TRIGONOMETRÍA ●● Sistema de medidas angulares I ●● Sistema de medidas angulares II ●● Aplicación de sistemas angulares ●● Teorema de pitagoras ●● Razones trigonometricas I ●● Razones trigonometricas II
BIOLOGÍA ●● Biología ●● Ser vivo ●● Ecología ●● Ciclos biogeoquímicos ●● Biocenosis ●● Biomas
ÁLGEBRA ●● Potenciación I ●● Potenciación II ●● Ecuaciones Exponenciales ●● Expresiones Algebraicas ●● Términos Semejantes ●● Multiplicación Algebraica I ●● Multiplicación Algebraica II
QUÍMICA ●● El método científico ●● Materia: Concepto y propiedades generales ●● Propiedades particulares de la materia ●● Estados y cambios de estado de la materia ●● Fenómenos físicos y químicos de la materia ●● Clasificación de la materia: sustancias
ARITMÉTICA ●● Cálculos Básicos I ●● Cálculos Básicos II ●● Numeración I ●● Numeración II ●● Numeración III ●● Conjuntos I ●● Conjuntos II
FÍSICA ●● Historia de la Física ●● Método científico ●● Magnitudes físicas I ●● Magnitudes físicas II ●● Magnitudes físicas vectoriales I ●● Magnitudes físicas vectoriales II ●● Magnitudes físicas vectoriales III
GEOMETRÍA ●● Nociones Generales de Geometría Clásica Euclidiana ●● Lineas ●● Posiciones Relativas entre dos Rectas ●● Punto de Corte entre Rectas ●● Segmento de Recta ●● Operaciones con Segmentos ●● Ejercicios de Reforzamiento RAZONAMIENTO MATEMÁTICO ●● Lógica Recreativa I ●● Lógica Recreativa II ●● Habilidad Operativa ●● Resolución de Ecuaciones ●● Planteo de Ecuaciones ●● Planteo de Ecuaciones
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ÁLGEBRA NOTA REVISIÓN BIMESTRAL
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Potenciación I Es aquella operación matemática en la cual dados dos números “a” (base) y otro entero positivo “n” (exponente), se define “p” como la potencia enésima de “a”. Exponente an = P
Base
Potencia
Ejemplos: 34 = 81 * Base : 3 * Exponente : 4 * Potencia : 81
(5)0 = 1
(1/2)0 = 1
(-8)0 = 1
( 3)0 = 1
* Base : 5 * Exponente : 3 * Potencia : 125
a . a . a . ... . a . a = an “n” factores Ejemplos: (5)(5)(5) ... (5) = (5)20 20 factores (m)(m)(m) ... (m) = (m)15 15 factores Así también, tenemos: 410 = (4)(4)(4) ... (4) 10 factores a33 = (a)(a)(a) ... (a) 33 factores
Exponente Cero a0 = 1 ⇔ a ≠ 0
POTENCIA DE UN PRODUCTO (ab)m = am . bm
Teoremas
Demostración:
M U LT I P L I C A C I Ó N D E POTENCIAS DE IGUAL BASE
Se tiene: (ab)m = (ab)(ab)(ab) ... (ab) “m” factores
am . an = am+n
53 = 125
Exponente Natural
60
Ejemplos:
Demostración: Se tiene: am . an = (a . a . a . ... . a) (aaa ... a) “m” factores “n” factores
Asociando los factores iguales: (ab)m = (aaa ... a) (bbb ... b) “m” factores “m” factores Representando como potencia: (ab)m = am . bm Ejemplos:
Contando el total de factores: am . an = (a . a . a . ... . a . a) “m + n” factores
(5a)4 = 54 . a4
Expresando como potencia: am . an = am+n
Pero también:
(3 . 8)a = 3a . 8a
35 . p5 = (3p)5
Ejemplos: * 35 . 33 = 35+3
73 . 53 = (7 . 5)3
* m12 . m5 = m12+5
POTENCIA DE POTENCIA
a
4
* 6 . 6 = 6
a+4
Pero también: mm+2 mm . m2 2a+7 = 22 . 27
(am)n = amn
Demostración: Se tiene: (am)n = am . am . am . ... am “n” factores Por la multiplicación de potencias de igual base: “n” factores m n (a ) = am+m+m+...+m
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COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS de donde:
(am)n = amn
Ejemplos: (a3)4 = a3(4) = a12 5 n
(m ) = m
Ejemplo: (-4)3 = (-4)(-4)(-4) = -64
Principales Potencias
5n
POTENCIAS DE DOS
Pero también:
m4p = (m4)p
21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32
LEY DE SIGNOS
POTENCIAS DE TRES
a6 = a3(2) = (a3)2
(Exponente par) 1.
(+)par = + Base positiva
(+5) = (+5)(+5)(+5)(+5) = +625 (Exponente par)
53 = 125 54 = 625
71 = 7 72 = 49
73 = 343
(Exponente impar) (+)
impar
=+
Base positiva Ejemplo: (+6)3 = (+6)(+6)(+6) = +216 (Exponente impar) (-)
impar
3
2 2
1. Calcula: 5 + 2 + (2 )
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = +81
=-
Base negativa
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Resolución: Expresamos como potencia: 34 - 2 6 81 - 64 17 4. Calcula: (-23)2 + (-22)3 Resolución: Exponente par 3 2
* (-2 ) = +(23)2 Exponente impar 2 3
* (-2 ) = -(22)3 reemplazando: +(23)2 - (22)3
0
Ejemplo:
3. Reduce: (3)(3)(3)(3) - (2)(2)(2)(2)(2)(2) 4 factores 6 factores
POTENCIAS DE SIETE
(-)par = + Base negativa
4.
34 = 81 35 = 243 36 = 729
51 = 5 52 = 25
4
3.
31 = 3 32 = 9 33 = 27
POTENCIAS DE CINCO
Ejemplo:
2.
26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512 210 = 1024
reemplazando: (2)(2)(2) ... (2) - (23)2 6 factores ↓ ↓ 6 2 - 26 64 - 64 0 (cero)
Resolución: * 50 = 1 → exponente cero * 23 = 8 → exponente natural * (22)2 = 24 → potencia de potencia reemplazando: 50 + 2 3 + 2 4 ↓ ↓ ↓ 1 + 8 + 16 25 2. Reduce: (2)(2)(2) ... (2) - (23)2 6 factores Resolución: * (2)(2) ... (2) = 26 → exponente natural 6 factores * (23)2 = 26 → potencia de potencia
por potencia de potencia: 26 - 2 6 64 - 64 0 (cero) 5. Un cubo mágico tiene tres capas con tres líneas de tres cubos cada una. ¿Cuántos cubos tiene en total? Resolución: 3 capas 3 líneas 3 cubos De la figura: * Cada fila tiene 3 cubos, entonces en tres filas habrá 3(3) = 9 cubos. * Cada capa tiene 9 cubos, entonces en tres capas habrá 3(9) = 27 cubos. De donde se tiene: (3)(3)(3) = 33 = 27 cubos
61
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COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
8) Calcula: (-3)4 + (-4)3 + (4)(3)
Nivel I 1) Calcula: 25 + 24 + 23
a) 50 d) 56
b) 52 e) 58
a) 4 d) 10 c) 54
2) Calcula: 26 + 62 + 2(-6)
a) 86 d) 92
b) 88 e) 94
c) 0
4) Calcula: (2)(2) ... (2) + (-3)5 8 factores
a) 11 d) 17
b) 13 e) 19
c) 15
5) Calcula: 34 + (-3)(-4) + (-4)3
a) 23 d) 29
b) 25 e) 31
c) 27
a) 13 d) 7
b) 11 e) 5
c) 9
7) Calcula: 30 + 31 + 32 + 33
a) 36 d) 42
62
b) 38 e) 44
9) Calcula: (-2)6 + (-6)2 - 34 a) 11 d) 17
b) 13 e) 19
c) 15
10) Calcula: (-5)3 - (-11)2 + 33 a) 31 d) 25
b) 29 e) 23
c) 27
Nivel II 11) Calcula: (-4)2 + (-3)3 + (-2)4 a) 5 d) 11
b) 7 e) 13
c) 9
12) Calcula: (-8)2 + (-2)5 + (-3)3 a) 3 d) 9
b) 5 e) 11
c) 40
a) 3 d) 9
b) 5 e) 11
a) 3 d) 81
c) 7
c) 7
b) 9 e) 243
c) 27
16) Calcula: (2)(2) ... (2) + (-6)3 8 factores a) 36 d) 48
13) Calcula: (-1)6 + 24 - 32 - 40
6) Calcula: (-2)8 + (-3)5
c) 8
c) 90
3) Calcula: (2)(2) ... (2) - 43 6 factores a) -4 b) -2 d) 2 e) 4
b) 6 e) 12
15) Calcula: {25 + (-3)3 + 41}2
b) 40 e) 52
17) Calcula: (-11)2 - (-9)2 - (-7)2 a) -9 b) -7 c) -5 d) -3 e) -1 18) Calcula: 34 + (-2)5 - 72 a) -2 b) -1 d) 2 e) 1
b) 21 e) 24
c) 0
19) Calcula: (33 - 25)2 + (52 - 33)2 a) 25 d) 31
b) 27 e) 33
c) 29
20) Calcula: {(-7)2 - (34 - 62)}2 a) 2 d) 16
b) 4 e) 25
14) Calcula: 72 - 62 + 52 - 42 a) 20 d) 23
c) 44
c) 22
1ERO DE SECUNDARIA
c) 9
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COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
28) Calcula: 62 + 26 + 32 + 23 - 112 Nivel III
a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5
21) Calcula: (-5)3 + (-4)2 + (-3)1 + (-2)0 a) -111 b) -112 c) -113 d) -114 e) -115
29) Calcula: (3 + 2)2(1) + (4 + 1)(4-1) + (3 - 1)(3+1) a) 156 d) 168
b) 160 e) 170
c) 166
22) Calcula: {(-4)2 + (-2)4 + (-3)3 + 50}2 a) 4 d) 36
b) 16 e) 49
c) 25
30) Calcula: (52 + 42 - 23)2 (23 + 32 - 42)10 a) 16 d) 128
23) Calcula: -(-3)2 + (-4)3 - (-2)4 a) -87 b) -88 c) -89 d) -90 e) -91
b) 23 e) 26
c) 24
25) Calcula: 23 + 34 - 52 - 43 a) -2 b) -1 d) 1 e) 2
c) 0
c) 64
¿Sabes contar hasta un googol?
24) Calcula: (-3)4 + (-4)3 - (-5)0 a) 22 d) 25
b) 32 e) 256
n o Pero
¿Dirías que cien es un número grande? ¿Qué dirías de mil? ¿Y de un millón? Estos números pueden parecer grandes… hasta que descubras al Googol. hagas lo que hagas,¡ no intentes contar hasta
un Googol!
26) Calcula: 22 + 23 + 24 + (-3)3 a) -1 d) 2
b) 0 e) 3
c) 1
27) Calcula: 53 - (32 + 33 + 34) a) 22 d) 25
b) 24 e) 20
1ERO DE SECUNDARIA
c) 23
63
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Potenciación II Exponente Negativo n
3.3.3.3.3 35 = = 32 3 3.3.3 3 3 factores
n
siendo: a ≠ 0 Ejemplos:
5-1 =
Nota
7 factores 2
() 1 3
3-2 =
3
5 factores
(1a ) =(a1 )
a-n =
3
( 14) = 41 = 641
Ejemplos:
=
1 1 = 51 5
POTENCIA DE UN COCIENTE
Teoremas DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE am = am-n an
m
() a b
-2
( 15) = 5 = 25
am = m b
2
-5
( ) =m 1 m
Demostración:
5
“m” factores Asociando convenientemente: “m” factores
“m” factores
1. Calcula:
m
( ) = ba .. ba .. ba .. ...... .. ab .. ab .. ab a b
am a . a . a . ... a . a = an a . a . a . ... a . a “n” factores
m
() a b
am a . a . a . ... a . a . a . ... a . a = a . a . a . ... a . a an
=
am bm
Nota
“n” factores Expresando los factores que quedan: am = a . a . a . ... a . a an “m - n” factores m
l.q.q.d
m
( 1a)
1 = am
210 * 27 = 210-7 = 23 (propiedad) 39 * 36 = 39-6 = 33 (propiedad) l.q.q.d
Reemplazando: 210 + 27 ↓ 23 + 8 + 35
Ejemplos: 5 32 25 2 = 5= 3 243 3
()
210 39 + 27 36
Resolución:
“m” factores Expresando como potencia:
Reduciendo factores comunes: (m > n) “m” factores
64
Ejemplo:
m
Se tiene:
a = am-n an
= an
( ba) =( ba)( ba)( ba) ... ( ba)
Demostración:
a potencia:
()
2.2.2.2.2.2.2 2 = = 23 2.2.2.2 24 4 factores
1 9
-n
1 a
7
2. Calcula:
39 36 ↓ 33 27
↓
-2
(13) + 5
0
+
1ERO DE SECUNDARIA
25 23
ÁLGEBRA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
-2
*
(13) = 3
2
Asociando: 26 . 36 = 20 . 30 = (1)(1) = 1 26 36
Reemplazando: -2
25 23 ↓ ↓ + 1 + 22 + 1 + 4 14 + 50 +
↓ 32 9
3. Calcula:
-2
-1
0
(14) +(13) +(12)
Resolución: Aplicando exponente negativo: -2
() 1 4 ↓ 42 16
4. Calcula:
-1
()
1 + 3 ↓ + 31 + 3 20
+ + +
(2)(2)(2) ... (2)(2) (2)(2)(2) ... (2)(2)
212-8 + 310-8 + 48-8
5. Reduce:
2
↓ + 40 + 1
4
2 3
3 2
2
4
2+4
()() ()
=
c) 32
a) 35 d) 38
b) 36 e) 39
-3
a) 5 d) 11
b) 7 e) 13
c) 37
-4
c) 9
6
()
1ERO DE SECUNDARIA
a) 27 d) 33
b) 29 e) 35
b) 256 e) 16
c) 512
-4
-3
( ) ( ) + (16)
a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
7) Calcula: 4-1 + 2-1 + 1-1 + 4-1 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
8) Efectúa: -4 1 1 + 2 4
c) 3
-2
( ) ( ) +1
4) Efectúa: 216 314 412 + + 214 312 410
a) 128 d) 64
6) Efectúa: -5 1 1 2 4
6
2 3
( ) ( ) - (12)
Resolución: 2 2 2 = 3 3 3 Reemplazando:
3) Reduce: -2 1 1 4 3
()()() 2 3
16 factores a) 8 b) 16 d) 64 e) 128
2) Efectúa: 315 213 + +1 312 210
212 310 48 + 8 + 8 8 2 3 4
↓ + 32 + 9 26
1) Reduce: 20 factores
0
Aplicando división de potencias de igual base:
↓ 24 16
5) Reduce: (23)4 - (26)2 + (21)9
Nivel I
() 1 2 ↓ 1 1
Resolución:
6
26 . 36 36 26
25 = 22 → propiedad 23
(13)
3 2
Aplicando potencia de un cociente:
→ exponente negativo
* 50 = 1→ exponente cero *
6
()() 2 3
Resolución:
a) 16 d) 128
b) 32 e) 256
0
c) 64
9) Reduce: 60 + 4-1 + 2-1 + 2-2 c) 31
a) 1 d) 8
b) 2 e) 16
c) 4
65
ÁLGEBRA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 10) Calcula: a) 2 d) 16
28 82 b) 4 e) 32
c) 8
b) 5 e) 11
c) 7
12) Efectúa: 218 - 416 814 + 214 413 812 b) 4 e) 32
12 factores
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14) Efectúa: 20 factores (-5)(-5) ... (-5) (-5)(-5) ... (-5) 18 factores c) 125
15) Efectúa: (32)3 + (24)2 - (33)2 a) 16 d) 128 16) Calcula: 72 a) 3 d) 24
66
6
c) 4
b) 32 e) 256
1 9
-3
b) -1 e) 3
0
c) 0
19) Efectúa: (22)(22) ... (22) - (25)2 + 50 5 factores b) 0 e) 5
c) 1
c) 8
15 factores
b) 25 e) 250
a) 1 d) 2
a) -1 d) 2
13) Reduce: 17 factores 18 factores (2)(2) ... (2) (3)(3)(3) ... (3) (2)(2) ... (2) (3)(3)(3) ... (3)
a) -25 d) -125
b) 2 e) 64
c) 64
20) Calcula: (22)3 - (23)2 + (22)3 (23)2 a) -2 b) -1 d) 1 e) 2
c) 0
1 (4-1 + + 2-1 + 1)3 4 b) 8 e) 125
22) Efectúa: 1 -1 1 + 6 5
c) 27
-8
-3
-1
-3 3
{( ) ( ) - (13) } b) 8 e) 125
c) 27
23) Reduce: 1 -3 1 -3 1 + + 4 2 3
b) 9 e) 36
a) 3 d) 4
b) 4 e) 1024
c) 8
25) Efectúa: (23)(23) ... (23) - (22)(22) ... (22) + 23 6 factores 9 factores a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
26) Efectúa: 37 210 2 -4 33 24 a) 0 d) 4
b) 1 e) 8
c) 2
27) Reduce: 1 -4 1 -3 2 1 -2 1 + + 1 - 21+ + 3 2 3 4
-3
{( ) ( ) } { ( ) ( )} a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14
-2
-2 10
b) 9 e) 5
a) 20 d) 26
b) 21 e) 210
c) 23
29) Calcula: 1 -2 1 -2 1 1 -6 + + 3 4 6 2
-2
( ) {( ) ( ) ( ) } a) 4 d) 81
b) 9 e) 625
30) Reduce: 1 -2 1 -2 1 + + 4 5 6
c) 16
-2
-4 2
{( ) ( ) ( ) - (13) }
-2 1/2
{( ) ( ) ( ) }
(12) + (16)
-2 10
{( ) ( ) ( ) - (17) }
21) Reduce:
a) 1 d) 64
a) 20 d) 64
28) Calcula: 1 -2 1 -2 1 + + 3 4 5
Nivel III
a) 1 d) 64
-2
{( ) ( ) - (17) }
( ) ( ) + (27)
11) Calcula: ((-1)3)2 + (22)2 - 32 - 50
a) 2 d) 16
a) 1 d) 8 18) Reduce: 1 3
Nivel II
a) 3 d) 9
24) Reduce: 1 -2 1 + 5 5
17) Calcula: ((32 - 23)2)4
a) 4 d) 9
b) 8 e) 81
c) 2
c) 18
1ERO DE SECUNDARIA
c) 16
4
ÁLGEBRA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Ecuaciones Exponenciales Son aquellas ecuaciones en donde la incógnita aparece formando parte del exponente.
Ejemplos: 5x = 125
;
Aplicando la propiedad “potencia de potencia”, tenemos: 3x = 34(5) ⇒ 3x = 320
812x+1 = 9x-1
• Observa que en ambos casos la incógnita aparace en el exponente de ambas igualdades.
Teore “Si se tiene la igualdad de dos potencias de la misma base, entonces necesariamente sus exponentes tienen que ser iguales”.
Aplicando el teorema, tenemos: 3x = 320 ⇒ x = 20 Bases iguales 3. Resuelve: 5x = (25)6(625)3
Ejemplos: 2
3 = 3
Debemos expresar 25 y 625 como potencias de base (5). 5x = (52)6 (54)3 potencias de igual base Aplicando la propiedad “potencia de potencia”, tenemos: 5x = 512 . 512
⇒ x=2
5x-1 = 56 ⇒ x = 7
por la propiedad “multiplicación de bases iguales”, se tiene: 5x = 524 ⇒ x = 24 Bases iguales
1. Resuelve: 2x = 256 Resolución:
Debemos expresar 256 como una potencia de base (2). 2x = 256 ⇒ 2x = 28 Aplicando el teorema, tenemos: 2x = 2 8 ⇒ x = 8 Bases iguales
2. Resuelve: 3x = (81)5
1ERO DE SECUNDARIA
5. En el distrito de San Miguel se detecta una bacteria que tiene la propiedad de dividirse en dos cada día que pasa. Si se ha detectado la presencia de 8192 bacterias, ¿cuántos días han transcurrido desde que apareció? Resolución: 1.er día →
→ 1 bact.
2º día →
→ 2 bact.
3.er día →
→ 4 bact.
Resolución:
ax = ay ⇒ x = y siendo: a ∈ R+ - {1}
x
Debemos expresar 81 como una potencia de base (3). 3x = (81)5 ⇒ 3x = (34)5
4. Resuelve: 9x-1 = 3x+1
xº día →
→ 8192 bact.
De la figura:
1.er día → 1 bact. = 20 2º día → 2 bact. = 21 3.er día → 4 bact. = 22 : : xº día → 8192 bact. = 2x-1 De donde: 2x-1 = 8192 ⇒ 2x-1 = 213 x - 1 = 13 ⇒ x = 14
\ han transcurrido 14 días.
Resolución:
Debemos expresar 9 como una potencia de (3). 9x-1 = 3x+1 ⇒ (32)x-1 = 3x+1 Aplicando la propiedad “potencia de potencia”: 32x-2 = 3x+1 ⇒ 2x - 2 = x + 1 Bases iguales x=3
Sugerencia Para resolver los ejercicios de este capítulo se recomienda lograr en ambos miembros bases iguales.
67
ÁLGEBRA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
*
21) Determina el valor de “x” si ambas figuras tienen la misma área.
Nivel II
Nivel I Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales.
11) 3x = (3)(9)(27)
1) 2x = 128
x = _____
x = _____
3) 4x = 256
x = _____ x
4) 5 = 625 x = _____
5) 6x = 216
x = _____
x = _____
17) 2x-3 = 64 7) 3 = (81)
3
x = _____
x = _____ x
8) 4 = (64)
18) 3x+1 = 243
5
x = _____
x = _____
x = _____
x = _____
68
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
24) Resuelve: 2x+1 . 4x = 2x+3 . 8x+5
25) Resuelve: 22x+3 . 4x+2 = 8x+1 a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5
x = _____
a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5
20) 22x = (16)5
10) 6x = (36)6
x m 4c
8xcm
26) Resuelve: 24x+1 . 42x+1 = 83x+2
19) 4x-2 = (64)3
9) 5x = (625)4
2xcm
a) -20 b) -19 c) -18 d) -17 e) -16
x = _____ x
1024
23) Resuelve: 4x . 4x+1 = 2x+3 . 2x+5
16) 6x = (6)5 (36)3
A
22) Se tiene una caja de volumen 4096 cm 3 y de dimensiones que se muestran en la figura. Determina la altura de la caja.
x = _____
x = _____
6) 2x = (8)5
4x
x = _____
15) 2x = (4)3 (8)2
A
14) 5x = (25)3 (125)2
x = _____
13) 4x = (16)3 (4)
22x+1
512
12) 2x = (4)(8)(64)
2) 3x = 343
x = _____
x = _____
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
ÁLGEBRA - I BIMESTRE
27) Resuelve: 32x+3 . 94x+1 = 276x-1 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
28) Resuelve: 23x+1 . 4x+1 . 2x+3 = 128x-1 a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
29) Resuelve: 2x+8 = 8x+2 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
30) Resuelve: 4x-3 = 8x-5 a) 1 d) 16
b) 4 e) 25
1ERO DE SECUNDARIA
c) 9
¿Qué tan grande es un Millón? La palabra “millón” significa un millar de miles. Un millón se representa con el siguiente número 1 000 000 que con ayuda de los exponentes, abreviadamente se escribe 106. Si deseas percibir las dimensiones verdaderas de un millón, imagina lo siguiente: • Caminando un millón de pasos en una misma dirección, te alejarías 600 kilómetros. De Lima a Trujillo hay un millón de pasos aproximadamente. • Un millón de hombres alineados en una sola fila, hombro con hombro, se extenderían 250 km.
69
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
ÁLGEBRA - I BIMESTRE
Expresiones Algebraicas Términos Algebraicos I. CONSTANTE
Todo aquello que no cambia. Ejemplos:
El número de días en una semana. El número de departamentos del Perú. Las dimensiones de esta hoja. El número de dedos en tu mano. Generalmente las constantes se representan con números. Así, los días de la semana son 7 y las dimensiones de esta hoja son 210 x 297 mm. II. VARIABLE
Todo aquello que cambia o varía. Ejemplos:
El número de personas en el Perú. La cantidad de estrellas en el universo. El tiempo. La temperatura.
Generalmente las variables se representan con letras.
Así, el número de personas en el Perú se puede representar mediante la letra “x”, indicando de esta manera que es una cantidad que cambia con el transcurso del tiempo.
Importante En la naturaleza existen muchos ejemplos de variable. La presión atmosférica y el tiempo medidos por el barómetro y el reloj de arena, mostrados en la figura, son algunos de éstos.
70
E x i s t e n constantes que suelen representarse con letras, una de éstas es el número π (pi del alfabeto griego). Aparece espontáneamente y en los lugares más inesperados. Por ejemplo, la probabilidad de que dos enteros positivos cualesquiera sean primos entre sí es 6/π2. El valor aproximado de π es 3,14; pero, en realidad, la expansión decimal es infinita y no sigue ninguna pauta conocida. En 1949 John von Neumann utilizó la computadora electrónica ENIAC para calcular las primeras 2037 cifras decimales de π. En 1986 David M. Bailey extrajo 29 360 000 cifras en un Cray–2 de la Nasa. En 1989 el matemático Gregory Chudnovsky utilizó dos supercomputadoras para calcular más de mil millones de dígitos. Con 39 cifras basta para calcular la longitud de una circunferencia que abarque todo el universo con un error menor que el radio de un átomo de hidrógeno. ¿Por qué entonces calcular pi con tantas cifras? La respuesta es sencilla: una computadora, como toda máquina, debe ser probada en su potencia y contra posibles defectos antes de comenzar a funcionar.
1ERO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Ten en cuenta
Albert Einstein, físico y matemático, publicó en 1916 la Teoría general de la relatividad. En ella demostró que la velocidad de la luz (300000 km/s en el vacío) es la única constante en el universo, es decir, mientras todo cambia, la velocidad de la luz, representada por la letra c, permanece invariable.
Una constante también se considera término algebraico. Ejemplo: -1 7 ; ; 2 son términos 2 algebraico Generalmente las variables tienen números escritos en la parte superior derecha, éstos reciben el nombre de exponentes.
Ejemplo:
4x
Exponente
7
Los exponentes de las variables deben ser siempre números racionales.
III. TÉRMINO ALGEBRAICO Es una expresión matemática que une a las constantes y a las variables mediante la operación de multiplicación. Ejemplos: Multipliquemos la constante 7 con la variable x, así: 7x Esta expresión matemática se llama Término Algebraico. Partes de un Término Algebraico Un término posee generalmente 2 partes: Parte Constante. Parte Variable.
Ejemplo:
2x 3
Número Racional
5x –2
Número Racional
3
Número Racional
-3
Número Racional
7x 4
3x 4
6x
3
Número Irracional
Luego, la última expresión no es un término algebraico.
Un término algebraico puede tener más de una variable.
Ejemplo: 7x3y4
Nivel I 1) R e l a c i o n a l a s s i g u i e n t e s proposiciones con su respectiva constante. a) La cantidad de meses de un año. b) Los colores del semáforo. c) Días de la semana. d) Las vocales. ( ( ( (
) ) ) )
7 5 12 3
2) Representa mediante términos algebraicos las siguientes proposiciones: a) La edad de una persona. _______ b) El doble del número de personas en el mundo. _______ c) El triple del número de pasajeros que suben a un autobús. _______ d) Menos el doble de la altura de un árbol. _______ 3) Completa el siguiente cuadro: Término Parte Algebraico Constante
Parte Variable
3x x 5x3
Ejemplos:
5
x7y4
Parte Parte Constante Variable
1ERO DE SECUNDARIA
-2x2y x3yz2
71
ÁLGEBRA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 4) ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. L o s n ú m e r o s s o n constantes. II. Las variables se representan con números. III. 5 es una variable. a) I y III b) Sólo II c) Sólo I
d) Sólo III e) Ninguna
5) Utilizando términos algebraicos representa las siguientes proposiciones: a) Dos veces el número de postulantes a la universidad. __________ b) Cinco veces el dinero que gasté. __________
13) Se busca un término algebraico donde la parte constante sea el doble del exponente de su parte variable. De los siguientes, ¿cuál cumple con la condición?
9) Encierra en un círculo los términos algebraicos. ¿Cuántos son? 2x2 3x1/2 7x 2 4x0,3 3x9 2x-2 2x-1/2 -2x3 -12x7 3x 3 a) 3 d) 8
b) 4 e) 7
a) 4x3 d) 12y8
c) 5
x2; 2x2 ; _ _ _ _ _ _ _ _ _ s o n términos semejantes. 3x 3 ; –2x 3 ; _______ son términos semejantes.
a) 15 d) 14
7x5; 5x7 ; _________ son términos semejantes.
d) Menos ocho veces el área de un cuadrado. __________
5x2y; –2xy2; _______ son términos semejantes.
11) Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
7) ¿Cuántas constantes enteras existen desde el 4 hasta el 10 inclusive?
a) 2; 3 y 7 son constantes. ( ) b) J; W y T son variables. ( ) c) En el término algebraico: 2x3, la parte constante es 2 y la parte variable es x3. ( ) d) 4x 5 y 7x 5 son términos semejantes. ( )
a) 5 d) 7
b) 3 e) 6
c) 4
8) Según el abecedario, ¿cuántas variables existen desde la “E” hasta la “K” inclusive? a) 10 d) 6
72
b) 7 e) 4
c) 5
12) Los términos 16xy3b-1; 10xy11, presentan la misma parte literal, el valor de “b” es: a) 8 d) 7
b) 6 e) 5
c) 4
c) 16
a) El número de días del mes de agosto. b) El número de estaciones del año. c) La cantidad de campanadas de un reloj al mediodía. d) La cantidad de sentidos en el ser humano.
Nivel II 6) Encierra con un círculo las constantes y con un triángulo las variables en 2 ; 4 ; α ; 7 ; y ; 1.
b) 17 e) 18
15) R e l a c i o n a l a s s i g u i e n t e s relaciones con su respectiva constante.
–3y5x2; 2x2y5; ______ son términos semejantes. 3xy; 7xy ; ________ son términos semejantes.
c) 10z4
14) ¿Cuántos términos algebraicos con parte variable x2w5 existen, tal que su parte constante sea un número par de una cifra? Da por respuesta aquel término donde la suma de su parte constante con los exponentes de la parte variable sea máxima.
10) Indica en los siguientes casos, ¿cuáles son términos semejantes? Coloca sí o no.
c) Menos tres veces el número de colegios del Perú. __________
b) 8w5 e) 14m7
( ( ( (
) ) ) )
12 5 4 31
16) S e t i e n e l o s s i g u i e n t e s conjuntos: B A 2. .x2 3. .x4 .x7 7.
Al unir con una flecha un elemento del conjunto A con algún elemento del conjunto B, ¿cuántos términos algebraicos puedes formar? a) 6 d) 10
b) 7 e) 12
1ERO DE SECUNDARIA
c) 9
ÁLGEBRA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 17) Los términos: -36x4yb; -2xay3, tienen el mismo exponente en sus variables “x” e “y”, respectivamente. Encuentra el valor de “2b + 3a”. a) 20 d) 21
b) 22 e) 25
c) 18
2b-3
9
18) Los términos 14x y, 7x y, presentan la misma parte literal, el valor de “b” es: a) 4 d) 8
b) 6 e) 9
c) 5
19) Dados 6xayb-5; -3x8ya+1, donde el exponente de “x” en el primer término excede en 2 unidades al exponente de “x” del segundo término y los exponentes de “y” en ambos términos son iguales. ¿Cuál será el valor de “ab”? a) 80 d) 150
b) 100 e) 160
c) 120
20) Dados 3xm+6yn-9; -3x9y4, donde el exponente de “y” del primer término excede en 3 unidades al exponente de “y” en el segundo término y los exponentes de “x” en ambos términos son iguales. ¿Cuál será el valor de “2m - n”? a) 80 d) 150
b) 100 e) 160
c) 120
Nivel III 21) Si Claudia divide una hoja de cuaderno en dos partes, luego junta los pedazos y los corta en dos. Este procedimiento lo realiza varias veces ¿cuántas veces realizó esta operación si en el último corte obtuvo 256 pedazos de papel?
23) Determina “ab” en los siguientes términos de parte literal idéntica: ax3a+1y7 ; by3b+1x10 a) 2 d) 6
b) 3 e) 12
c) 5
a) 4 d) 7
24) En el siguiente cuadro, determina cuántos términos son racionales enteros. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
29) Si se cumple la siguiente identidad: mxm+1 + nya+1 ≡ 3xb+1 + 5yn+3 determina “mn - ba”.
3x-1
4x3
5x1/2
6x1/3
-2x-2
8x13
7x8
-1/2x-2
5x4
b) 5 e) 8
c) 6
30) Si la suma de todos los exponentes de los siguientes términos es 16. T1 = ax2a-1 T2 = 2bx4b+5 T3 = 5x6 determina: coef(T1) + coef(T2) + coef(T3) a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
25) Reduce los siguientes términos: ax a+2 + bx b+3 - 5x 4 + cx c-1 si todos los exponentes son iguales. a) 2x4 d) 5x4
b) 3x4 e) 8x4
c) 4x4
26) Si todos los términos se reducen a uno sólo mxn-1 + 3x5 - nx2n+3, calcula “mn”. a) 3 d) 18
b) 6 e) 21
c) 12
27) Se desea que todos los términos se reduzcan a uno solo. T1 = 2mxm+2 T2 = 3nxn-1 T3 = mnx3 determina: m + n n m a) 17/4 d) 15/4
b) 11/4 e) 13/4
c) 9/4
22) Dados los términos: -3xa-1y5 ; 10x5-ay-b+7 28) Si se cumple la siguiente si sus partes literales son idénticas, identidad: determina “ab”. ax5 + bx2a+1 ≡ cxb-1 determina el valor de “c”. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8
1ERO DE SECUNDARIA
e) 10
73
ÁLGEBRA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Términos Semejantes Son aquellos términos algebraicos que tienen la misma parte literal, siendo sus coeficientes valores arbitrarios. Ejemplos: 4 5 x ; 2x5 5 son términos semejantes porque tienen la misma parte literal 3x5 ; -8x5 ;
Operaciones con Términos Semejantes ADICIÓN Se suman sus coeficientes y se conserva su parte literal. 3x2 + 5x2 = (3 + 5)x2 = 8x2 + SUSTRACCIÓN Se restan sus coeficientes y se conserva su parte literal. 10m3 - 4m3 = (10 - 4)m3 = 6m3 -
Observación Si en una reducción de términos semejantes los coeficientes no se pueden operar, se deben dejar expresados. Ejemplo: ax3 + 4x3 = (a + 4)x3 + mp - 10p3 = (m - 10)p3
misma parte literal, es decir: 6xn+1 semejantes 3x4 1. Determina el valor de “m” si ambos términos son semejantes: T1 = 4x2m-1; T2 = 1/3xm+6 Resolución:
Por ser términos semejantes su parte literal debe ser idéntica en ambos términos: 1 4x2m-1 semejantes xm+6 3
De donde sus exponentes tienen que ser iguales, así tenemos: 2m - 1 = m + 6 ⇒ m=7 2. Determina “a” y “ b” si ambos términos son semejantes: T1 = 5xa-1y6; T2 = -10x7yb+2 Resolución: Siendo términos semejantes ambas partes literales deben ser idénticas: 5xa-1y6 semejantes -10x7yb+2
De donde los exponentes de la variable correspondiente tiene que ser iguales, así tenemos: exponente de “x” a - 1 = 7 ⇒ a = 8 exponente de “y” b+2=6 ⇒ b=4 3. Determina “n” en la siguiente identidad: 6xn+1 + 3x4 ≡ 9x4
3
-
74
De donde sus exponentes tienen que ser iguales: n+1=4 ⇒ n=3
4. Reduce los siguientes términos semejantes: 7xm+3 + mx13 + 3x13. Resolución: Como deben ser términos semejantes, su parte literal es idéntica, así tenemos: 7xm+3 semejantes mx13
Entonces sus exponentes tienen que ser iguales: m + 3 = 13 ⇒ m = 10
Ahora reemplazando para reducir los términos: 7x13 + 10x13 + 3x13 = 20x3 5. En la siguiente adición, determina el valor de “m”: axa+b + bxb+c + cxa+c = mx6 Resolución:
Se observa que hubo reducción entonces todos son términos semejantes, luego tenemos las siguientes igualdades: a+b=6 b + c = 6 a + b + c = 9 a+c=6
Resolución:
reemplazando en la identidad: ax6 + bx6 + cx6 ≡ mx6 (a + b + c)x6 ≡ mx6
Como se ha producido una reducción de términos, éstos tienen que haber sido semejantes, entonces tienen la
de donde: m = a + b + c m=9
1ERO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Nivel I *
Reduce los siguientes términos semejantes.
*
1) 3x2 + 5x2 + 7x2 5
5
2) -9m - 11m - 13m 3
3
3) 4x - 11x + 5x
5
3
4) 5m - 6a + 7m + 11a 5
5
5) -5x + 8x - 2x
5
6) 6mx + 5xm
17) 4xm-1 + 7x5 ≡ 11x5 18) 5x2m-1 + 8xm+12 ≡ mx25 19) 12x
2m+1
11
+ 7x ≡ 19x
Nivel III *
Reduce los siguientes términos semejantes.
21) 3xm+2 + mx5
10) -23xy + 32xy Nivel II
22) 7x2m+1 - mx7
11) Determina el valor de “m” si ambos términos son semejantes: T1 = 7x3m-1y5, T2 = -x8y5
23) 3mxm-2 + (m + 1)x3
13) Determina el valor de “m” y “n” si ambos términos son semejantes: T1 = 8x4m+1y5, T2 = -3x9yn-2 14) Determina el valor de “m” y “n” si ambos términos son semejantes: T1 = 5x2m+3y3n-1, T2 = x7y8 15) Determina el valor de “mn” si ambos términos son semejantes: T1 = 4x5m-2ym+2n, T2 = x3y5
1ERO DE SECUNDARIA
b) 2 e) 5
c) 3
a) 14x3 b) 12x3 d) -12x3 e) -8x3
c) 8m3
c) 8x3
29) Siendo: A = 2mxm+2 . y3m+n B = 3nx3n-2 . y4m-8 términos semejantes, calcula A - B y señale su coeficiente. a) 28 d) 20
24) Reduce: 3(2m3)2 - 5(-m2)3 a) 11m3 b) m3 d) -11m3 e) 17m6
28) Reduce los siguientes términos semejantes: nxm-1 + mxn+1 + mnx3
m+6
20) 4x3m-2 - 3xm+4 ≡ x2m+1
9) 3(-4m) - 5(-3m)
12) Determina el valor de “m” si ambos términos son semejantes: T1 = 8x2m-1y4, T2 = 1/2x5ym+1
a) 1 d) 4
16) 3xm + 5x3 ≡ 8xm
7) 5x3p - 2px3 + 3x3p 8) 2(-3x) + 3(4(-2x))
Determina el valor de “m” en cada una de las siguientes identidades:
27) Determina el valor de “m” en la siguiente identidad: 3mx2m+3 + mxm+7 ≡ 16x3m-1
30)
b) 18 e) N.A.
c) 10
Siendo: A(x, y) = mxm+3y2m+n B(x, y) = nx2n-1y3m+1 términos semejantes, da su suma. a) 6x5y7 b) 8x7y5 c) 9x7y5 d) 5x5y7 e) 10x5y7
25) Dados los términos semejantes: T1 = 3x5m-1y5, T2 = 2x14y7n-2 determina “m + n”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 26) Reduce los términos semejantes: T1 = 2x3m+1y4, T2 = mnx10y5n-1. a) 5x10y4 d) -4x10y4 10 4 b) 4x y e) x10y4 10 4 c) 3x y
75
ÁLGEBRA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Multiplicación Algebraica Saberes Previos
Monomio
Resolución:
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE BASES IGUALES
Es aquel polinomio constituido por un sólo término.
Según lo enunciado, tenemos: (-4x3y6)(3x5y5) = mxa-1yb+3
m
n
a .a =a
* 33 . 32 = 33+2 = 35 7
6
* 5 . 5 = 5
7+6
=5
(a . b) = a . b
-5x y
parte literal
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS
POTENCIA DE UN PRODUCTO m
exponentes 3 4
coeficiente
13
n
signo
m+n
n
* (2x)4 = 24x4 = 16x4
Para multiplicar monomios, primero se multiplican los coeficientes y luego se efectuan sus partes literales, así tenemos: (3x3y4)(-5x6y2) aplicando la propiedad conmutativa: (3)(-5)(x3)(x6)(y4)(y2)
* (3m)5 = 35m5 = 243m5
x3+6
-15
POTENCIA DE POTENCIA
de donde:
y4+2
-15x9y6
* (34)5 = 34(5) = 320
3. Multiplica (-3x4y7)2 (-2x3y4)3 Resolución: Determinemos cada paréntesis: (-3x4y7)2 = 9x8y14 (-2x3y4)3 = -8x9y12 reemplazando: (9x8y14) (-8x9y12)
de donde obtenemos: -72x17y26 1. Multiplica los siguientes monomios: A = -5x3y7 y B = -4x3y4
* (x3)6 = x3(6) = x18
Ley de Signos
Resolución:
A) MULTIPLICACIÓN (+)(+) = (+) → (+5)(+6) = +30 (-)(-) = (+) → (-7)(-4) = +28 (+)(-) = (-) → (+4)(-3) = -12 (-)(+) = (-) → (-5)(+9) = - 45
Efectuando: AB = (-5x3y7)(-4x3y4) por propiedad conmutativa: AB = (-5)(-4)(x3)(x3)(y7)(y4) de donde:
B) POTENCIACIÓN
AB = 20x6y11
2
(+) = (+) → (+4) = +16 (-)par = (+) → (-3)4 = +81 (+)impar = (+) → (+5)3 = +125 (-)impar = (-) → (-6)3 = -216
76
identificando: a-1=8 ⇒ a=9 b + 3 = 11 ⇒ b = 8 m = -12 \ a+b+m=5
por la propiedad conmutativa: (9)(-8)(x8)(x9)(y14)(y12)
(am)n = amn
par
efectuando el primer miembro de la identidad: -12x8y11 ≡ mxa-1yb+3
2. Al multiplicar los siguientes monomios (-4x 3 y 6 ); (3x 5 y 5 ) se obtuvo como producto mxa-1yb+3. Determina “a + b + m”.
4. Al multiplicar los monomios ( - 3 x a+1y 5) ; ( 4 x 5y b-1) , se obtuvo como producto mx2a-3y2b. Determina “ab + m”. Resolución: Según lo enunciado: (-3xa+1y5)(4x5yb-1) ≡ mx2a-3y2b efectuando el primer miembro de la identidad: -12xa+6yb+4 ≡ mx2a-3y2b identificando: 2a - 3 = a + 6 ⇒ a = 9 2b = b + 4 ⇒ b=4 m = -12 \ ab + m = 9(4) - 12 = 24
1ERO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Nivel I *
Multiplica los siguientes términos:
1) (-2x4) (3x6) 2) (4x5) (6x7)
14) Efectúa: (-2x3y4)(-3x5y3)(-4x2y5)(-x4y2) a) 12x14y14 b) 24x14y14 c) 24x12y12
d) 12x12y12 e) 6x10y14
15) Efectúa: (-3x4y2)(-5x7y5)(6x8y6)
3) (8x8) (5x10) 4) (-6x12) (3x20)
a) 90x19y10 d) -90x19y13 19 13 b) 90x y e) 90x20y13 c) -90x19y12
5) (-8x2y4) (-5x6y3) 6) (7x6y5) (-4x8y12) 7) (-6x9y10) (-2x8y12) 8) (-10x7z2y3) (-8x8z5) 9) (15x8y20z15) (-4x6y10z4) 4 8 10
5 9
10) (-12x y z ) (-5x y ) Nivel II 11) Multiplica: (2x2y3z4)(3x3y4z5) a) 6x6y7z9 b) 6x5y12z9 c) 6x5y8z9
d) 6x5y7z9 e) 6x6y8z10
12) Multiplica: (-2x5y3)(-3y4z3)(-5x4z2) a) 30x9y7z6 d) -30x8y8z5 9 7 5 b) -30x y z e) 30x6y8z5 c) 30x8y8z6 13) Multiplica: (-4m5n3)(3m3p4)(-2n6p5) a) 24m5n9p9 d) 12m5n9p9 b) 24m8n9p4 e) 12m8n9p9 c) 24m8n9p9
1ERO DE SECUNDARIA
16) Efectúa: (4x5y3)(-2x4y6)(-7x8y6) a) 56x9y15 d) -56x20y15 b) 56x17y15 e) 56x17y14 c) -56x18y12 17) Efectúa: (8x7y2)(6x4y3)(5) a) 48x11y4 b) 240x11y6 c) 240x11y5
d) 30x11y e) 240x10y5
18) Efectúa: (-5x4y3)(4x2y6)(2x8y5) a) 40x6y9 b) -40x6y10 c) -40x14y14
d) 40x14y14 e) 8x14y14
19) Efectúa: (-8x5z5)(-4x3y5)(2x2z4y2) a) 64x5z10 b) 64x10z9 c) 32x10z9
Nivel III 20) Efectúa: (-10x8z6)(6x4y3)(-2x2y7) a) 120x12z6 d) -120x12z6 b) 120x14z6 e) -20x14z6y9 14 6 10 c) 120x z y 21) Efectúa: (-4x3y6)2 (-3x2y5)3 a) -48x8y5 d) -432x10y20 6 10 b) -64x y e) -432x12y25 c) -432x12y27 22) Efectúa: (-5x4z2)2 (2x5z4)4 a) 400x23z10 b) 400x28z15 c) 400x28z16
d) 400x28z12 e) 400x28z20
23) Efectúa: (-8x5y3z2)2 (2x6y4)2 a) 256x10y7 d) 128x10y15 b) 256x16y20 e) 128x22y14z5 c) 256x22y14z4 24) Efectúa: (3x5y2)3 (4x6y4z2)3 a) 432x22y5 b) 432x6z6 c) 432x30y
d) 1728x33y18 e) 1728x33y18z6
d) 64x10y7 e) 64x10z9y7
77
ÁLGEBRA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
25) Sabiendo que: m= xa; n = xb ∧ x2 = (mbna)c, halla (abc).
a) 1 d) -2
b) 2 e) 0
c) -1
26) Si: P = 4xay2b ∧ Q = 5xbya, entonces “P . Q” es: a 2b
a) 20x y b) 20xbya c) xayb d) 20xa+by2(a+b) e) 20xa+bya+2b
a) 6x2 d) x2
b) 3x3 e) 21x3
c) 2x2
29) Halla “n” si: (xn-4)3 . (x4n)2 = x4 (xn-2)4 . x6n a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
30) Calcula “2m + n” si: (x3+m) (y7-n) = x5y2 (x3-n) (y6+n)
27) Al resolver: (4x3y)3 (-2xy3) ≡ mxayb, halla m + a2 + 3b. a) -10 b) -28 d) 46 e) -22
28) Simplifica: 4 (256x5)(6561x11)
a) 5 d) 11
b) 7 e) 21/2
c) 9
c) 28
45) Calcular: -7 + [(-10) ÷ (-2) - {3 - (2 - 8)}] Los matemáticos alejandrinosa)Herón y Diofanto continuaron con -8 b) -9 c) -10 la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro La aritmética de d) -11 e) -12 Diofanto es de mayor nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al-jabr que significa reducción, es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático Al-Jwarizmi escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.
78
1ERO DE SECUNDARIA
ARITMÉTICA NOTA REVISIÓN BIMESTRAL
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Cálculos Básicos I Historia:
CÁLCULOS BÁSICOS CIENCIA
Operaciones combinadas con números racionales.
Resolución de ecuaciones de primer grado.
Objetivos CIENCIA
Adiestrar en el cálculo y en el razonamiento matemático, y resolver ecuaciones de primer grado.
1. OPERACIONES COMBINADAS Ejemplo:
Ejemplo:
• 8 + (-7) + 15 ÷ (-3) 1
+
• 9 x (-5) + 28 ÷ (-7)
=-4
(- 5)
- 45
Ejemplo:
= - 49
Ejemplo:
• (128 ÷ 8)x(24 ÷ 8 )+(18 x 15)-33 = 16
-4
+
x
3
• 27 ÷ 24 + 32 - 30 + 16 x 2
+ 270 - 27
23 + 9 - 1 + 32
+ 270 - 27 =291
48
Se considera que la aritmética es casi contemporánea del hombre a quien la necesidad obligó a contar, primero con los dedos de las manos, base sin duda del sistema decimal que hoy prevalece, luego con ábacos y posteriormente usando símbolos, cuyo origen se remonta unos 3 mil años a.C., en la aritmética comercial sumeria y en la geometría caldea utilizada en mediciones agrarias. En la medida que las relaciones de producción evolucionaban, se plantearon nuevos problemas que implicaban nuevos métodos de solución. Así se pudo prever las crecidas del río Nilo y por tanto establecer los periodos favorables del año para la siembra y la recolección. Por otro lado, el problema de medir tierras cultivables hizo que los egipcios fueran los primeros matemáticos.
17
+ 31 = 48
Ejemplo: • (16 x 5) ÷ (30 ÷ 3 ) + (25 x 3) ÷ (75 ÷ 5 ) - 22 80
÷
10
+
8
1ERO DE SECUNDARIA
75 +
÷ 5
15
-4 -4 =9
80
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
5.
Entérate: La Aritmética, que etimológicamente proviene de la voz griega aritmós, que significa número, es parte de la matemática que estudia los conceptos y correspondientes métodos de cálculo. Los griegos distinguían en realidad, entre la Aritmética, que era más o menos la Teoría de Números, y la Logística, que era algo así como una aritmética aplicada o técnicas de cálculo. 2. POTENCIACIÓN an = a x a x a x .... x a n factores a ≠ 0; n ∈ Z+
(ab)n = an x bn Ejemplo:
Ejemplo:
• (2 x 3)2 = 22 x 33 = 36 6.
n
n a = a b bn
a xa =a m
1.
n
m+n
Ejemplo: • 32 x 33 = 32+3 = 35 = 243 am = am-n an
2.
Ejemplo: • 3.
23 = 23-1 = 22 = 4 21
1 a-n = n a Ejemplo: • 3-1 =
4.
1 3
(am)n = am.n Ejemplo: • (23)2 = 23.2 = 26 = 64
1ERO DE SECUNDARIA
Si x 5
= 4 , calcula ‘‘x’’. 10
Resolución En aspa:
Ejemplo: •
3
3 = 33 = 27 4 43 64
3. FACTORIZACIÓN DE NÚMEROS
Si
x+5 = 3 , calcula ‘‘x’’. x-3
Resolución
Si n(n+1) = 90, calcula n si n ∈ Z+.
90 45 15 5 1
2 3 3 5
9 10
x +5 = 3(x - 3) x +5 = 3x - 9 14 = 2x 7 = x
Ejemplo: Será: 9 x 10 Luego: n = 9
Si al triple de la edad que tengo le restas mi edad, tendrías 60. ¿Qué edad tuve hace 7 años? Resolución
Ejemplo: Si 210 es el producto de 3 números consecutivos, calcula el menor.
2 3 5 7
6
Edad :x Triple de la edad : 3x Le restas mi edad : 3x - x Tendrías 60 : 3x - x = 60 Luego: 2x = 60 x = 30
Resolución 210 105 35 7 1
10x = 20 x=2
Ejemplo:
En aspa:
Ejemplo:
Resolución Propiedades
4. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Será: 5 x 6 x 7 El menor será 5
∴ Hace 7 años tuve: 30-7=23 años Ejemplo: Tres números enteros positivos consecutivos suman 90. Calcula el mayor. Resolución Sean los números x - 1 ; x ; x + 1 cuya suma es: x - 1 + x + x + 1 = 90 3x = 90 x = 30 ∴ El mayor es: 30 + 1 = 31
81
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Ejemplo:
6) Calcula:
¿A qué es igual?
E = ( 16 ÷ 2) - (35 ÷33) +1
16 ÷ 2) - (35 ÷33) +1
E=(
1)
(2 ÷ 2) - (35-3) +1 1
- (32) + 1
1
- 9 +1
-7 Ejemplo: 3 ? 1+1/8
¿A qué es igual 8 ÷
2)
3 1 9 8
= 8 ÷ = 8 ÷ 249
Luego: 8 ÷ 24 = 9
8 24 9
8 1 = 24 9
A = -15 +((18 - 16)+ 19) - 3 (15 - 4) B = - 91 - (16 - 17 - 17) -2 (-18), halla A + B.
3)
= 72 24 = 3
M = -35 -5 (8 - 16) +(16 - 19) + 26 N = 45 - 35 (17 - 23) - (15 + 16), halla M - N. d) 198 e) 196
Si: A = - 25 - 17 - 5(6 - 7) - 3 (-5) B = - 15 +19 - 6(8 - 7) - 2 (-3), halla A x B. a) 88 b) - 88 c) 22
4)
d) - 69 e) - 8
Si:
a) -194 b) - 196 c) - 198
Resolución 3 9 8
Si:
a) 69 b) - 27 c) - 64
- 8 +1
8 ÷
a) - 7 b) 9 c) - 8
Nivel I
Resolución
d) - 26 e) - 22
d) - 9 e) 7
7) Calcula: 5 - 7 (- 2) - (3 - 4) ÷ (- 1 ) - (-5) a) 23 b) - 23 c) 22
d) - 26 e) - 22
8) Efectúa: (- 7) (17) - (15 - 14) - 2 (13 - 5) a) 136 b) - 22 c) - 136
d) - 88 e) 88
9) Halla el valor de ‘‘x’’ en cada caso: I. 5x + 3 = 6x - 9 II. 2x - 17 = 3 (x + 5) III. 5(x - 7) - 4(x - 3)= 6 a) I. -9 ; II. 22 ; III. 39 b) I. 6 ; II. 32 ; III. 19 c) I. 12 ; II. - 32 ; III. 29 d) I. 9 ; II. 22 ; III. 19 e) I. 12 ; II. 32 ; III. - 29
Si: M = 4 - 15 + 19 - 2 (16 - 23) N = - 19 - 35 - 3 (5 - 7) - (- 8), halla M x N. a) 880 b) - 22 c) - 880
d) - 88 e) 88
5) Calcula: -(-2 ) - (-3) (-5) - (-30) ÷ (-2) a) 28 b) - 27 c) - 64
82
- 2 (3 - 5) - (-2) (- 7 + 9) - (-1)
d) - 28 e) 39
10) Halla el valor de ‘‘x’’ en cada caso: I. 8x - 11 = 7x + 19 II. 3x - 16 = 4(x - 16) III. 2(x - 13) - 3(x - 5) = 11 a) I. 8 ; II. 32 ; III. 44 b) I. 30 ; II. 48 ; III. - 22 c) I. 30 ; II. 48 ; III. 22 d) I. 8 ; II. 32 ; III. - 44 e) I. - 8 ; II. 64 ; III. 33
1ERO DE SECUNDARIA
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS Nivel II 11) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda. 3
I.
64 = 16
(
)
II. 212 = 212/6
(
)
III. 16 = 2 (
)
IV.
6 4
4
81 = 81
(
)
a) VVFF d) FFVV b) VFFF e) VVVV c) FVVV 12)
13)
16) Relaciona correctamente. I. 2 A. (-50)2 - (-2) II. -1 B. (-1)0 - 1 (-1) III. 3 C. -( -1)0 a) IA ; IIB ; IIIC b) IC ; IIA ; IIIB c) IC ; IIB ; IIIA d) IB ; IIA ; IIIC e) IB ; IIC ; IIIA 17)
a) IA ; IIB ; IIIC b) IB ; IIA ; IIIC c) IC ;IIA ; IIIB d) IC ; IIB ; IIIA e) IA ; IIC ; IIIB
Si: 3 M = 8 x (- 6)2 - (-5)3 (3) y N = (-2)3 x (-2)2 - (-3)3 (3)2 - 4, halla M - N. a) - 684 b) 524 c) - 240
d) 694 e) 240
Si: 3 A= 125 - 64 (-2)3 - (-5)3 y B = - 144 - 121 x(-3)3 - (-3)2 (-2)2, halla A + B. a) 441 d) 444 b) 442 e) 445 c) 443
Relaciona correctamente. I. 1 A. 5(-1) - (-6) II. 2 B. -(-5)0 - (- 4) III. 3 C. ( -1)0 - (- 1)
18) Halla A + B si:
A = 8 + (-7) + 15 ÷ (-3)
B = (24÷8)x(160÷10)+(18x15)-33
a) 304 d) 432 b) 287 e) 329 c) 300 2 3 3 1 19) Calcula: 3 x 3 ÷ 3 x 3 1 0 0 3 x3 3 x 32 a) 33 d) 34 2 b) 3 e) 35 c) 36
14) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda. 53 x 5 2 54 x 5 9 20) Calcula: 0 1 ÷ 8 3 I. 960 = 2 (320) + 1 (320) 5 x5 5 x5 II. 480 = 20(20 + 4) III. 14400 = 122 x 102 a) 52 d) 51 3 b) 5 e) 50 a) FFF d) VVV 4 c) 5 b) FVF e) VFF c) VFV 15) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda. I. 560 = 2 0 x (20 + 7) ( ) II. 22500 = 52 x 102 ( ) III. 250 = 4(50) + 1 (50) ( ) a) FVF d) VVV b) FFV e) FVV c) VVF 1ERO DE SECUNDARIA
Nivel III
21) Si:
63 x 69 67 x 611 ÷ 8 9 A = 67 x 6 3 6 x6
y
B = 69 x 6-7 ÷ 68 x 6- 8, halla A/B. a) 65 b) 6-1 c) 6
d) 6-3 e) 60
22) Halla ‘‘n’’ si: n n 3n = 82 + 4 6 5 a) 120 d) 126 b) 122 e) 128 c) 124 23) L a s u m a d e 3 n ú m e r o s consecutivos pares es igual a 78. Halla el número mayor. a) 22 d) 28 b) 24 e) 30 c) 26 24) Si la suma de 3 números consecutivos impares es igual a 69, halla el número mayor. a) 25 d) 21 b) 27 e) 23 c) 29 25) L a s u m a d e 3 n ú m e r o s consecutivos es igual a 18. Halla el número mayor. a) 5 d) 8 b) 7 e) 9 c) 4
83
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
26) Si un alumno puede resolver 48 problemas en una hora, ¿cuántos problemas resolverá en 35 minutos? a) 25 d) 28 b) 26 e) 30 c) 27 27) Calcula el 40% del 25% del 10% de 70 000. a) 500 d)700 b) 100 e)120 c) 150
28) ¿Qué porcentaje de 30 000 es 7500? a) 10% d) 25% b) 15% e) 50% c) 30%
29) ¿Qué porcentaje de 45 000 es 9 000? a) 10% d) 25% b) 15% e) 30% c) 20%
30) El producto de dos números impares positivos consecutivos es 323. Halla el menor. a) 17 d) 23 b) 13 e) 21 c) 19
84
1ERO DE SECUNDARIA
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Cálculos Básicos II Ejemplo: Operaciones combinadas CIENCIA
¿A qué es igual (-1)(-3)+(-3)3(-2)-[(-3)(-5) ÷ (15)]?
Factorización de ecuaciones Resolución Resolución de ecuaciones
(-1)(-3) + (-3)3 (-2) - (-3)(-5) ÷ (15) (+3) + (-27)(-2) - (+15) ÷ (15) (3) + (54) (1)
OBJETIVO Adquirir habilidad operativa simplificando operaciones aritméticas y sobre todo en resolución de ecuaciones de primer grado.
OPERACIONES COMBINADAS 1. LEY DE SIGNOS ( + ) ( - ) ( + ) ( - )
= = = =
+ +
División (+) =+ (+)
( - ) = (+)
(+) = ( - )
( - ) =+ ( - )
En operaciones de adición y sustracción el signo depende del número mayor.
1ERO DE SECUNDARIA
1
56 Ejemplo: Calcula A: A =(-3)2÷(3)-
81x(-2)2+18÷(3- (.3))
Resolución (9) ÷ (3) - 3 x (4) + 18 ÷ (6) (3)
Multiplicación ( + ) ( + ) ( - ) ( - )
-
57
-
12
-9
+
+
3
La invención de los números data de los albores de la humanidad, de allí que el profesor Puig Adam de la Real Academia Española de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales dijera que ‘‘la Matemática es tan vieja como el instinto de propiedad, es decir, tan antigua como el hombre’’. Y agregara: ‘‘Éste se sintió matemático en cuanto el afán de retener lo suyo lo llevó a contar sus rebaños y a medir sus tierras’’. Pero, ¿cómo contaban sus ovejas, sus bueyes o sus caballos? Pues por medio de guijarros (piedras), que iban colocando en un recipiente de barro, uno por cada animal que hacían entrar en el redil . He aquí como se manifestaba su instinto de propiedad. También, y con el mismo fin, solían hacer marcas en los árboles.
3
-6
FACTORIZACIÓN DE NÚMEROS Factoriza 316. 316 2 158 2 79 79 1 ∴ 316 = 2 x 2 x 79
85
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Factoriza 325.
Resolución
325 5 65 5 13 13 1
441 3 147 3 49 7 7 7 1
∴ 325 = 5 x 5 x 13 Ejemplo:
Resolución En (1) : MCM : 2 x 3 x 5 = 30
9
15x + 10x + 6x = 62 30 31x = 62 30
72
x = 60
Luego : 72 x (7 + 2) ∴ K=7
ECUACIONES
Si n(n + 2) = 143, n ∈ Z+, calcula “n”.
Ejemplo: Resolución Cinco números consecutivos suman 175. Calcula el mayor.
Factorizamos 143 143 11 13 13 1
∴ 143 = 11 x 13
x + y = 60
Resolución Sean los números: n - 2; n - 1, n, n + 1, n + 2 sumando n-2+n-1+n+n+1+n+2 = 175 5n = 175 n = 35
Luego : n = 11 Ejemplo: El producto de 2 enteros positivos que se diferencian en 3 es 208. Calcular el mayor.
∴ el mayor es : 35 + 2 = 37
Dos números suman 304 y su diferencia es 26. Calcula el mayor.
n(n + 3) = 208
Resolución
Factorizando : 208 2 104 2 52 2 26 2 13 13 1
16
Luego : 13 x 16. ∴ el mayor es 16 Ejemplo: Si K2(K + 2) = 441, calcula K.
86
1 11
Nivel I
Ejemplo: Resolución
En (2) : (en aspa) 13(y + 1) = 2(y + 7) 13y + 13 = 2y + 14 11y = 1 1 y= 11 ∴ x + y = 60 + 1 11
Los números son n y n + 26. Luego : n + n + 26 = 304 2n = 278 n = 139 ∴ el mayor es : 139 + 26 = 162 Ejemplo: Calcula x + y si: 1)
x x x + + = 62 2 3 5
2) y + 1 = y + 7 2 13
1) Halla A + B si: A = 8 + (-7) + 15 ÷ (-3) B = (24 ÷ 8) x (160 ÷ 10) + (18 x 15) - 33 a) 304 b) 287 c) 300 d) 432 e) 329 2) Halla P + Q si: P = 9 x -5 + 28 ÷ -7 Q = (800 ÷ 10) ÷ (30 ÷ 3) + 75 ÷ 15 - 22 a) 40 b) -40 c) -49 d) 49 e) 9 3) Efectúa: 6 15 6 3 x x ÷ 25 21 5 21 a) 1/5 d) 2/3
b) 2/5 e) 6/5
1ERO DE SECUNDARIA
c) 3/2
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
4) ¿A qué es igual? 12 15 5 6 x x x 6 6 20 7 a) 15/14 b) 7/14 d) 5/7 e) 16/15
c) 2/7
5) Calcula los 4/5 de los 10/27 de 810. a) 80 d) 180
b) 100 e) 240
c) 120
6) Calcula los 9/11 de los 4 8/9 de los 25/16 de 64. a) 100 d) 400
b) 200 e) 500
c) 300
c) 8b
8) Reduce: -2(3x-4)-3(4x - 5) + 4(5x - 6) a) 2x - 1 b) 2x + 1 c) -2x - 1 d) -2x + 1 e) 2x 9) Reduce: b) 3 e) 9
c) 5
10) Reduce: 4(x + 16) + 9(x + 4) - 13x a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
32 - 5m 5m - 20 = 3 3
a) -1 d) 2
b) 0 e) 3
c) 1
x 1 x 1 x 1 1 x - - + = - + 3 3 4 4 5 5 6 6 a) 0 d) 5
c) 6
Nivel II 11) Calcula x si: 2x . 19 - 2x = 2x - 11 2 2 a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 6
1ERO DE SECUNDARIA
19) Si se sabe que la suma de 3 números enteros consecutivos es igual a 30, halla el número mayor. a) 9 d) 11
13) Resuelve:
b) 1 e) 4
c) 2
b) 10 e) 7
c) 8
20) L a s u m a d e 3 n ú m e r o s consecutivos es igual a 18. Halla el número mayor. a) 5 d) 8
b) 7 e) 9
c) 4
Nivel III 14) Calcula el valor de “a” en :
a) -1 d) -2
b) 0 e) 2
c) 1
15) Calcula x si: 5 3 2 x + x = 70 x 9 5 5 a) 45 b) 90 c) 135 d) 180 e) 225 16) Resuelve:
2(x+2)+3(x+3)+6(x+6)- 11x a) 1 d) 7
4m .
2a 3 5a 2 3a 6a 6 5 = - + + + 7 4 9 7 4 13 13 9
7) Efectúa: 2(a - b) + 4(a + b) - 6(a - b) 8(a + b) a) -4a b) -8b d) 4a e) -8a
12) Calcula m si:
d) x = 30 e) x = 60
17) Halla un número cuyo cuadrado disminuido en 119 es igual a 25. a) 6 d) 12
b) 8 e) 5
c) 10
18) ¿Cuál es el número cuyo cuadrado aumentado en 30 es igual a 430? a) 10 d) 15
b) 20 e) 30
a) 22 d) 28
b) 24 e) 30
c) 26
22) Si la suma de 3 números impares consecutivos es igual a 69, halla el número mayor. a) 25 d) 21
b) 27 e) 23
c) 29
23) Si la suma de 2 números es 38 y su diferencia 12, halla el número menor.
2 x x+ = 26 3 5
a) x = 18 b) x = 20 c) x = 24
21) La suma de 3 números pares consecutivos es igual a 78. Halla el número mayor.
c) 5
a) 7 d) 13
b) 18 e) 15
c) 17
24) Si la diferencia de 2 números es 26 y la suma de ellos es 42, halla el menor. a) 8 d) 7
b) 6 e) 9
c) 10
25) Halla “P + Q” si : P = 4 + (.7) + 15 ÷ 5 x 2 Q = (32 ÷ 2) x (150 ÷ 15) + (12 + 32) a) 181 d) 177
b) 3 e) 160
c) 184
87
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
26) Halla A + B si : 4(5 - B) = 2(5 - B) + 19 96(3 - A) = 48(3 - A) + 24 a) -2 d) 3
27) Halla y si: a) -21 d) 31
b) 4 e) -6
c) -3
3(4 - y) 7(5 - y) = 5 12 b) 21 c) -41 e) -31
28) Si “n” es entero positivo y además n(n + 3) = 108, calcula “n”. a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
29) Si al comprar una docena de cuadernos me regalan un cuaderno, ¿cuántas docenas he comprado si recibo 338 cuadernos? a) 24 d) 23
b) 26 e) 25
c) 27
30) Se compra cierto número de pulseras por S/. 225. Sabiendo que el número de pulseras compradas es numéricamente igual al precio de una pulsera en soles, ¿cuántas pulseras se ha comprado? a) 15 d) 30
88
b) 5 e) 10
c) 25
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
Numeración I NUMERACIÓN I
Sistema de Numeración
Número – Numeral – Cifra
Conjunto de reglas que permiten formar, expresar y representar números. Base
Sistemas de Numeración
Es un entero positivo mayor que la unidad que indica la cantidad de unidades que formará una unidad del orden inmediato superior.
Sistema Decimal
Lectura y Escritura
Valor Absoluto Valor Relativo
OBJETIVO Formar, representar y expresar los números del sistema decimal.
Definición Numeración es la parte de la aritmética que estudia la formación, representación y expresión de los números.
BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN POSICIONAL
Lectura y escritura de números enteros positivos del sistema decimal SISTEMA DECIMAL
NUMERAL Es la representación de un número mediante el uso de símbolos.
Es aquel sistema que emplea base 10, y se le llama también sistema décuplo. Según la historia, el 10 se debe a los dedos de las manos. Este sistema emplea, al representar sus números, las cifras del 0 al 9. Del 1 al 9 se les llama «cifras significativas», mientras al 0 (cero) se le llama «cifra auxiliar».
Ejemplo:
Conceptos Previos
Se puede representar por: 4 ; IV; III, etcétera.
NÚMERO
CIFRA
Ente matemático que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza.
Símbolos que convencionalmente se utilizarán en la representación de los numerales. 0; 1; 2; 3; ...
1ERO DE SECUNDARIA
89
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS PRINCIPIOS FUNDAMENTALES 1. Al escribir un número, la posición de cada cifra se llama «orden» y éstas, de derecha a izquierda, se denominan unidades, decenas, centenas, millares, decenas de millar, etc. Ejemplo: 4 3 5 7 2 9 0 1.er orden : unidades (u) 2.° orden : decenas (d) 3.er orden : centenas (c) 4.° orden : millares (m) 5.° orden : decenas de millar (dm) 6.° orden : centenas de millar (cm) 7.° orden : millones (M) 2. El numeral del sistema decimal de cada grupo de 3 cifras de derecha a izquierda se llama clase y de cada grupo de 6 cifras se llama periodo. El periodo comprende 2 clases que se llaman clase de unidades y clase de millares. 3. Lectura : a. Menos o igual a 6 cifras : Se lee: 23 veintitrés unidades. Ejemplo 1: Ejemplo 2:
7234
siete mil doscientas treinta y cuatro unidades.
Ejemplo 3:
625300
seiscientos veinticinco mil trescientas unidades.
b. Más de 6 cifras : Se les agrupa de 6 en 6, cada grupo se lee como lo anteriormente indicado seguido del nombre del periodo correspondiente. PERIODO TRILLONES
PERIODO BILLONES
PERIODO MILLONES
PERIODO UNIDADES
clase clase clase clase clase clase millares unidades millares unidades millares unidades c d u c d u c d u c d u c d u c d u 2 5 3 2 5 4 2 5 7 6 8 3 9 6 7 8 0 3 2 0 3 2 5 6 4 3 7 6 7 5 6 9 2 0 3 5 9 3 6 0 0 2 4 0 2 6 5 2 3 4 5 2 3 8 4 3 2 5 7 0 0 0 0 0 7 2 0 3 0 0 0 3 4 5 4 3 2 5 6
90
Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aun así a veces se suprimían los corrrespondientes a las potencias de 10.
Ejemplo 4: Se lee: 25 veinticinco unidades 325 trescientas veinticinco unidades 4257 4 mil 257 unidades 68396 68 mil 396 unidades 780320 780 mil 320 unidades 3256437 3 millones 256 mil 437 unidades 67569203 67 millones 569 mil 203 unidades 593600240 593 millones 600 mil 240 unidades 2652345238 2 mil 652 millones 345 mil 238 unidades 43257000007 43 mil 257 millones 7 unidades 20300034543256 20 billones 300 mil 34 millones 543 mil 256 unidades
1ERO DE SECUNDARIA
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS Ejemplo 5: ¿Cómo se denomina el orden del 5 de los numerales indicados en el esquema? TRILLONES
BILLONES
MILLONES
UNIDADES
clase clase clase clase clase clase clase clase millares unidades millares unidades millares unidades millares unidades c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u 5 3 2 5 0 2 4 3 4 3 5 0 0 0 0 2 1 5 3 0 2 8 3 3 4 4 3 4 0 4 5 3 2 1 1 1 2 6 2 3 4 3 2 4 5 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 Se lee : 5 3 2 → centena 5 0 2 4 3 → decena de millar 4 3 5 0 0 0 0 2 1 → millón 5 3 0 2 8 3 3 4 4 3 4 0 → centena de millar de millón 4 5 3 2 1 1 1 2 6 2 3 4 3 2 4 → decena de billón 5 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 → centena de millar de trillón
Es el valor que tiene la cifra por la posición que ocupa.
Ejemplo 7: Periodos Escribe
millones
unidades
1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5 0
Indica el VA y VR de las cifras que se .
4 3 2 VA=3
VR=30
5 6 2 7 4 VA=2
VR=200
2 1 3 4 6 7 VA=1
VR=10000
4 0 7 5 6 9 6 3 VA=7 VR=700000
1ERO DE SECUNDARIA
}
Luego : 180000 000003 000050 un espacio libre }
indican por un
180 mil billones 3 millones 50 unidades billones
Ejemplo 6:
}
VALOR RELATIVO DE UNA CIFRA (VR)
}
Es el valor que representa la cifra.
}
4. Escritura: Se efectúa rápidamente un esquema con los periodos mencionados, dentro del cual se anotan las cifras en grupos de a 6, completando con ceros a la izquierda si faltan. Cada 6 cifras se deja un espacio en blanco.
}
VALOR ABSOLUTO DE UNA CIFRA (VA)
Ejemplo 8: Escribe
4372 trillones 120 mil millones 174 unidades.
trillones
billones
millones
unidades
4 3 7 2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 7 4 Luego : 4372 000000 120000 000174
91
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
7) La cifra de mayor orden del numeral 54310034979 es:
Nivel I 1) Completa, ¿cuántas cifras significativas tienen los numerales siguientes?
347 ....... cifras significativas 450 ....... cifras significativas 258008 ....... cifras significativas 2) La suma de las cifras significativas impares de 620431005 es:
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
3) ¿Cuántas cifras significativas tienen los siguientes numerales?
854 ...... cifras significativas 18010 ....... cifras significativas 2180001....... cifras significativas 4) La suma de las cifras significativas pares de 857418 es:
a) 20 b) 15 c) 12
d) 10 e) 9
5) La cifra de mayor orden del numeral 725409068.
a) 9 b) 8 c) 7
a) 5 b) 8 c) 9
92
d) 1 e) 0
a) 4 b) 3 c) 1
d) 9 e) 5
8) La cifra de mayor orden del numeral 145349678.
a) 8 b) 5 c) 4
a) 3 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
a) 5 b) 6 c) 8
Nivel II
d) 10 e) 12
a) 9 b) 12 c) 13
d) 14 e) 7
a) 10 b) 9 c) 8
d) 7 e) 6
13) ¿En cuánto excede la cifra de menor orden a la cifra de mayor orden, en el numeral 236025?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
d) 0 e) 10
a) 10 b) 90 c) 16
d) 25 e) 40
a) 5 b) 4 c) 3
d) 6 e) 8
18) ¿En cuánto excede la cifra de mayor orden a la cifra de menor orden en el numeral 84361034?
12) Indica la suma de las 2 cifras de menor orden de 3720570.
a) 9 b) 18 c) 81
17) ¿En cuánto excede la cifra de mayor orden a la cifra de menor orden en el numeral 5436416131?
11) Indica la suma de las 2 cifras de mayor orden de 773254.
d) 3 e) 4
16) El producto entre la cifra de mayor orden y la mayor cifra del numeral 502805 es:
10) Indica la suma de las 2 cifras de menor orden de 54310371.
a) 5 b) 6 c) 7
15) El producto de las 2 cifras de mayor orden del mayor numeral de 4 cifras es:
d) 3 e) 1
9) Indica la suma de cifras de mayor y menor orden en 3614754310.
d) 6 e) 5
6) La cifra de mayor orden del numeral 12340028965.
14) ¿En cuánto excede la cifra de mayor orden a la cifra de menor orden en el numeral 70250?
a) 8 b) 6 c) 5
d) 4 e) 1
19) El producto de las 2 cifras de mayor orden del mayor numeral de 3 cifras diferentes es:
a) 81 b) 72 c) 64
d) 50 e) 90
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 20) El producto que se obtiene de la cifra de mayor orden y la mayor cifra del numeral 5436701 es:
27) Indica la suma de las cifras del mayor numeral de 5 cifras distintas.
a) 20 d) 18 b) 25 e) 35 c) 30 Nivel III
a) 36 d) 30 b) 34 e) 45 c) 35
21) Indica la suma de las cifras del mayor numeral de 4 cifras distintas.
28) Indica la suma de las cifras del menor numeral de 4 cifras significativas distintas.
a) 26 d) 29 b) 27 e) 30 c) 28
22) Indica la suma de las cifras del menor numeral de 4 cifras distintas.
a) 1 d)4 b) 2 e) 6 c) 3
23) Escribe el menor numeral impar de 4 cifras diferentes e indica la suma de ellas.
a) 2 d) 8 b) 3 e) 6 c) 4
24) Escribe el menor número de 5 cifras diferentes significativas. Da como respuesta la cifra de orden de centenas.
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
a) 30 d) 8 b) 20 e) 6 c) 10
29) Escribe el mayor numeral de 5 cifras cuyo producto de cifras es cero. La suma de sus cifras es:
a) 0 d) 36 b) 45 e) 28 c) 24
30) Escribe el mayor numeral de 5 cifras cuyo producto de cifras es 7. La suma de sus cifras de mayor orden es:
a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 9
a) 1 d) 4 b) 2 e) 8 c) 3
25) Escribe el mayor número de 5 cifras. Da como respuesta la cifra de decenas.
a) 9 d) 6 b) 8 e) 5 c) 7
26) Escribe el mayor numeral de 5 cifras diferentes. Da como respuesta la cifra de centenas.
a) 9 d) 6 b) 8 e) 5 c) 7
1ERO DE SECUNDARIA
93
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
Numeración II NUMERACIÓN II Sistema de Numeración Representación de un número en una base Descomposición Polinómica
OBJETIVO Representar correctamente los números y efectuar la descomposición polinómica de los mismos.
Escenas de la vida cotidiana plasmadas en una obra Posiblemente la maza del rey Narmer sea el primer testimonio numérico en la historia egipcia. En su parte inferior aparecen algunos animales con símbolos numéricos bajo ellos. Así, al toro le acompañan las figuras de cuatro renacuajos, mientras que bajo una cabra se muestran cuatro figuras como las anteriores junto a los dedos flexionados, un hombre extendiendo los brazos y dos flores de loto. En otras palabras y tras el examen anterior de los símbolos numéricos, 400 000 toros y 1 422 000 cabras. De igual modo, en una estatua del rey Jasejem encontrada en Hierakómpolis han de describirse los 47 209 enemigos muertos por el
94
El Taj Mahal fue construido en 1631 por el emperador de Mughal El sistema corriente de notación numérica que es utilizado hoy en casi todo el mundo es la numeración arábiga. Este sistema fue desarrollado primero por los hindúes hacia el siglo III a.C. En aquella época, los guarismos 1, 4 y 6 se escribían de forma casi igual a los que hoy se usan. La numeración hindú pasó al mundo árabe alrededor del siglo VII u VIII d.C. La primera referencia escrita del uso de este tipo de numeración en Europa data del año 976. Cuadro de Numeración Romana 1
I
5
V
10
X
50
L
100
C
500
D
1000
M
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
1. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN BASE
CIFRAS QUE SE USAN 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, .......................,10 0, 1, 2, 3, .........................,11
2. REPRESENTACIÓN DE UN NÚMERO EN UNA BASE
En base 2 la máxima cifra es 1. En base 3 la máxima cifra es 2. En base 4 la máxima cifra es 3.
...
Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Septenario Octonario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal
El primer sistema de numeración es el binario y emplea base 2. En base 2 se usan 2 cifras: 0 y 1 En base 3 se usan 3 cifras: 0; 1y2 En base 4 se usan 4 cifras: 0; 1; 2 y 3. ...
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Observación
NOMBRE DEL SISTEMA
En base 11 se conviene el cambio: (10) = α En base 12 se conviene el cambio: (11) = β para que se les observe que tienen 1 sola cifra.
CIFRAS (BASE) Ejemplo: • 4325 (7) CONSIDERACIÓN 1. Para enteros, la primera cifra de la izquierda no puede ser cero. 2. Cada cifra siempre será MENOR que la base como se observará: el 4, el 3, el 2 y el 5 son menores que el 7. 3. Cuando la base es 10, no se indica. Es decir: 324 ó 324(10) es lo mismo 4. La lectura se hace uno a uno mencionando la base finalmente, excepto cuando la base no es 10. 235(8) se lee 2; 3; 5 en base ocho 12(12) se lee 1; 2 en base doce
3. REPRESENTACIÓN LITERAL DE NÚMEROS EN UNA BASE Numeral de
Representación
1 cifra
a
2 cifras
ab (n)
3 cifras
abc
4 cifras
abcd
1ERO DE SECUNDARIA
Los orígenes empíricos de la matemática egipcia la despojaron de las fantasías de la magia. La rigurosa experiencia como fuente de la Aritmética puede comprobarse en el documento matemático más antiguo que se posee: el papiro descubierto por Rhind en el siglo XIX, que el escriba Ahmes (A’h-mose) copió, en 1650 a. C., de una obra anterior. Este papiro, llamado de Rhind o Ahmes, figura en el Museo Británico.
(x)
mnp(r) abcd(n)
95
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS CONSIDERACIONES 1. La primera letra no puede tomar valor cero. 2. Cada letra representa a una cifra. 3. Letras iguales son las mismas cifras. 4. Cada paréntesis es una cifra. Ejemplo: • ¿Que números puede tomar a ? Puede ser: 1; 2; ....... 9 • ¿Que números puede tomar a(5)? Puede ser: 1; 2; ....... 4
• ¿Qué condición debe cumplirse para que a2 (5)sea un numeral correctamente escrito? La única condición es que: a<5 y a≠0 • En el numeral: 2(n-2)3n(9) ¿puede n ser 1?
Descompón polinómicamente los numerales indicados. Ejemplo 1: 3 4 5 6 = 3(10)3 + 4(10)2 + 5(10) + 6(1) 103 102 10 1
Resolución: Si n=1, entonces el numeral sería 2(-1)31(9), lo cual es incorrecto. Las cifras deben ser positivas. Luego "n" no puede ser 1; "n" puede ser del número 2 al 8.
Ejemplo 2: 3
0 2 (7) = 3(7)2 + 0(7) + 2(1)
72
7
1
¡Por qué "a" es cifra significativa! • ¿Cuántos números hay de la forma ab(3)? Pueden ser: 10(3); 11 (3); 12 (3); 20(3); 21(3); 22(3) . Son en total 6 números. • En la escritura, 2a4 (7)¿cuántas cifras tiene y qué valores puede tomar "a"? * Tiene 3 cifras. * "a" puede ser: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 • ¿Cuántas cifras tiene n(n+1)(n+2)? Tiene 3 cifras. • ¿Cuántas cifras tiene? 5(n-1)6(n+2)(12) Tiene 4 cifras. • En el numeral a(a+3)2(7) , ¿cuántos valores puede tomar a? Resolución: a (a+3) 2(7) 1 4 2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 No Luego "a" toma 3 valores: 1; 2 ó 3
96
• ¿Cuántos números hay de la forma a(a - 4)3(12)? Resolución: a (a-4) 3(12) 4 0 3 5 1 3 6 2 3 7 3 3 8 4 3 9 5 3 α 6 3 β 7 3 ∴ Son 8 números.
Ejemplo 3: 6 2 1 1 4(9) = 6(9)4 + 2(9)3 + 1(9)2 + 1(9) + 4(1) 4 3 2 9 9 9 9 1 Ejemplo 4: 2 a 3 b (5) = 2(5)3 + a(5)2 + 3(5) + b(1) 53 52 5 1 Ejemplo 5: a n3
a b(n) = a(n)3 + b(n)2 + a(n) + b(1) n2 n 1 b
4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Es la suma indicada del valor relativo de cada cifra.
a
b
n3 n2
c
d
(n)
n 1
valor posicional
= a(n)3+b(n)2+c(n)+d(1) D.P.
1ERO DE SECUNDARIA
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Nivel I
1) De los enunciados, indica el o los numerales mal escritos.
I. 28(3)
II. 126(5)
III. 1111(9)
IV. 961(11)
a) IV
d) III y II
b) I y II
e) III
c) II y IV
I. 104(3)
II. 999(9)
III. 456(7)
IV. 1088(9)
a) IV y I
c) IV
I. ab2(8)
II. (10)(11)7(20) d) 8 y 5 e) 3 y 4
c) 8 y 3
1ERO DE SECUNDARIA
II. 34567(8)
d) 3 y 4 e) 3 y 6
5) Indica qué números están mal escritos.
a) 4 y 5 b) 4 y 6 c) 3 y 6
d) 3 y 5 e) 5 y 5
9) De los enunciados, indica los numerales que están escritos correctamente. I. 777(6)
II. 12α(12)
III. aba(b+1) , b>a>0
III. 41(41)
a) II y I b) I c) III
d) II y III e) I y III
a) I y II b) II y III c) III
d) I y III e) II
6) De los enunciados, indica los números mal escritos.
10) De los enunciados, indica los numerales mal escritos.
I. c34(6) (c > 6)
II. 483(9)
I. 89(10)
III. 12345(4)
II. 5(12)
III. 33(33)
a) 3 y 3 b) 3 y 5
I. 68(b-1)4(9)
II. 806(9)
e) III y IV
a) 4 y 6 b) 4 y 8 c) 6 y 8
3) ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos?
II. 7(16)(13)6(20)
8) Si los números están bien escritos, indica cuántas cifras tienen:
I. 104(3)
d) I y II
b) II y III
I. 4(12)8(13)
2) Indica el o los numerales mal escritos de los siguientes enunciados:
4) ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos?
a) II b) I c) II y III
d) I y II e) I y III
6) Indica cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos.
I. ab2(8)
II. (10)(11)84(13)
a) 4 y 8 b) 3 y 8 c) 3 y 4
d) 3 y 3 e) 4 y 4
(13)
(17)
a) I y II b) III c) II
d) I e) Ninguno
Nivel II 11) ¿Cuántas cifras tienen los siguientes numerales correctamente escritos?
I. 1212(12)
II. (n+1)8α(15)
a) 4 y 6 b) 4 y 3 c) 3 y 3
d) 4 y 5 e) 3 y 5
97
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 18) ¿Cuánto suman todos los posibles 12) Indica el número de crifras de los valores de "m"? siguientes números bien escritos. 72m13(8) I. 2p(2p)
II. 12(12)(14)(18) a) 3 y 3 b) 4 y 4 c) 3 y 4
d) 4 y 5 e) 5 y 3
a) 21 b) 25 c) 23
d) 28 e) 26
19) Halla la suma de todos los posibles valores de "d". 13) ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos? 45d6(7)
I. ab34(8)
II. 7xy(9)
III. 12(ab)ab(11)
a) 28 b) 20 c) 21
d) 25 e) 23
24) Si a > 1 y los siguientes números están bien escritos, halla "a + b + c + d ". 2a(b) ; b3(c) ; 3c2(d) ; d1(6) a) 14 d) 11 b) 12 e) 10 c) 16 25) Halla el valor de "a" si: a7(8) = a3(9) a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 26) Halla el valor de "b" si: b3(6) = b4(5) a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 27) Halla el valor de "y" si: 31(y) + 23(y) = 54(6) a) 2 d) 8 b) 4 e) 10 c) 6
Nivel III
20) Si los numerales están bien 14) Indica qué números están mal escritos, calcula n + p. escritos. 23(n) ; n25(5) ; pp(2) I. 348 (12)
II. 776(7)
III. abc(1)
a) I y II b) II c) III
d) I y II e) II y III
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
21) Si los numerales están bien escritos, calcula a + b. 15) Indica si los siguientes enunciados 13(a) ; a23(b) ; bb(6) son verdaderos (V) o falsos (F). a) 7 d) 11 I. E l p r i m e r s i s t e m a d e b) 10 e) 9 numeración se llama unario. c) 8 II. En base 7 se usan 7 cifras. 22) Los numerales a, b yc son III. El sistema vigesimal tiene base impares, además: 20. a) VVV d) FVF 35(a) ; a6(c) ; c84(b) b) VFF e) FFF c) FVV están correctamente escritos. 16) Halla la suma de todos los posibles Calcula a + b + c. valores de "x" en el numeral. a) 28 d) 25 2xx(6) b) 27 e) 24 c) 26 a) 11 d) 14 23) Halla los valores de a, b, c y d b) 12 e) 15 si los siguientes números están c) 13 bien escritos. Da como respuesta 17) Halla la suma de todos los posibles la suma de ellos. valores de "n" en el numeral. a1(b) ; b1(d) ; 2d3(c) ; c1(5) 24(n) ; nn(9) a) 1 d) 4 a) 23 d) 26 b) 10 e) 6 b) 24 e) 27 c) 7 c) 25
98
28) Halla el valor de "z" si: 21(z) + 35(z) = 36 a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6 29) Halla el valor de "a".
I. a6(7) = 41
II. 1a1(4) = 25
a) 5 y 3 d) 4 y 3 b) 5 y 2 e) 4 y 2 c) 5 y 4 30) Indica si es verdadero (V) o falso (F).
I. 21(7) = 33(8)
II. 68(9) > 71(8)
III. 33(5) < 19(19)
a) VVF b) FVV c) FFV
d) VVV e) FFF
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
Numeración III CAMBIO DE BASE CIENCIA
SISTEMA HINDÚ ÁRABE
De (n) a (10)
De (10) a n
De (n) a (m)
Objetivo
Representar un mismo número en distintos sistemas de numeración
Cambio de Base
Ejemplo 2:
1. DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE 10
Convierte a base 10 45(6)
Se efectúa por “Descomposición Polínómica”. Ejemplo 1: Convierte al sistema decimal 123(4). 2
123(4) = 1 x 4 + 2 x 4 + 3 = 16 + 8 + 3 = 27 Entonces : 123(4) = 27
1ERO DE SECUNDARIA
45(6) = 4 x 6 + 5 = 24 + 5 = 29 Entonces : 45(6) = 29 Ejemplo 3: Convierte a base 10 102(3) 102(3) = 1 x 32 + 0 x 3 + 2 = 9 + 0 + 2 = 11 Entonces : 102(3) = 11
En el año 773 llegó a Bagdad una caravana procedente de la India. Entre los regalos suntuosos que había para el califa Al-Mansur estaba el manuscrito llamado Siddhanta, en el que se escondía un fabuloso tesoro: era un tratado de astronomía con sus tablas y las diez cifras con las que actualmente contamos, incluida la cifra del cero: eka, dva, traya, chatur, pañcha, shat, sapta, ashat, nava y shunya que quiere decir “vacío” y se notaba por un pequeño redondel. Los árabes lo tradujeron por sifr que los latinos tradujeron por zephirum y de ahí el cero. SFR sirvió para llamar a todos los números: CIFRA.
99
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS También podemos usar el método de RUFFINI. Convierte al sistema decimal. Ejemplo 4: Esquema: 3
2 12 14
4 3
1 56 57
3 228 231
∴ 231
425 3 12 12 005 3 2
3 141 12 21 21 0
Ejemplo 10: 3 47 3 17 15 2
3 15 15 0
3 5 3 2
Si ab(7) = 24(7), calcula a + b. 3 1
425 = 120202(3) 3. DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE DIFERENTE DE 10 Ejemplo 8:
Ejemplo 5:
Expresa 210(5) en base 4.
Esquema:
210(5) = 2 x 52 + 1 x 51 + 0 = 2 x 25 + 5 = 55
1 13 1
2 13 15
10 195 205
55 4 15 12 3
∴ 205 2. DE BASE 10 A BASE DIFERENTE DE 10
Convierte 327 a base 4.
4 20 20 0
4 5 4 1
Ejemplo 7: Convierte 425 a base 3.
100
Ejemplo 9:
Si 2p3q (6) = 2435 (6), calcula p 2 + q 2. p = 4, q = 5 ⇒ p2 + q2 = 42 + 52 ∴ p2 + q2 = 41
Ejemplo 12: Si 12 (x) = 43 (y) , ¿cómo es x respecto de a y? Como 12 < 43 ⇒ x > y
Si 301(n) = 15(m), ¿cómo es n respecto de m? Como 301 > 15 ⇒ n < m
213(6) = 2 x 62 + 1 x 61 + 3 = 2 x 36 + 6 + 3 = 81 81 5 31 30 1
4 1
327 = 11013(4)
Ejemplo 11:
Ejemplo 13:
Expresa 213(6) en base 5.
Ejemplo 6:
4 81 8 1
4 3
210(5) = 55 = 313(4)
Este método es denominado “Divisiones Sucesivas”.
327 32 007 4 3
4 13 12 1
a=2 y b=4 ∴ a+b=6
5 16 15 1
5 3
213(6) = 81 = 311(5)
Observaciones 1. Si ⇒ 2. Si ∧
ab(n) = xy(n) a=x;b=y ab(n) = pq(m) ab > pq ⇒ n < m
Nivel I 1) Relaciona ambas columnas adecuadamente. I. 23(5) II. 15(7) III. 33(4)
( ) 15 ( ) 13 ( ) 12
a) III, I y II b) I, II y III
d) II, III y I e) III, II y I
c) I, III y II
1ERO DE SECUNDARIA
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 2) Relaciona ambas columnas adecuadamente. I. 32(4) II. 43(5) III. 23(4)
( ) 23 ( ) 14 ( ) 11
a) II, III y I b) I, II y III c) II, I y III
d) I, III y II e) III, II y I
3) Convierte a base 10.
I. 123(6)
II. 234(5)
a) 50 y 70 b) 51 y 70 c) 51 y 69
d) 69 y 51 e) 70 y 50
4) Convierte a base 10.
I. 234(6)
II. 342(5)
a) 94 y 97 b) 97 y 94 c) 93 y 98
d) 94 y 98 e) 93 y 96
7) Convierte a base 10. 123(5) a) 42 d) 35
b) 40 e) 39
16) Convierte 18 a base 9. c) 38
8) Convierte a base 10.
II. 321(5)
a) 56 y 80 b) 78 y 86 c) 58 y 79
d) 58 y 86 e) 95 y 74
9) Convierte al sistema decimal 10010(2). b) 16 e) 19
c) 17
b) 192 e) 195
c) 193
Nivel II
5) Convierte a base 5.
I. 239
II. 347
a) 1221(5) y 2322(5) b) 1321(5) y 2112(5) c) 1424(5) y 2342(5) d) 1321(5) y 2342(5) e) 1424(5) y 1342(5) 6) Convierte a base 4 los números:
I. 304
II. 207
a) 3033(4) y 1030(4) b) 10300(4) y 3033(4) c) 1030(4) y 303(4) d) 10310(4) y 3131(4) e) 3031(4) y 10311(4)
1ERO DE SECUNDARIA
11) Convierte al sistema decimal 11111(3). a) 121 d) 118
b) 120 e) 117
c) 119
12) Convierte al sistema decimal 12α(12). a) 158 d) 188
b) 168 e) 198
c) 178
b) 32 e) 35
c) 33
14) Convierte a base 10: α12(11)
15) Convierte a base 10: 345(6) b) 137 e) 140
c) 138
b) 124 e) 154
a) 1010 b) 101 d) α1 e) αα
c) 134
c) 1α
19) Convierte 7 a base 7. b) 11 e) 14
c) 12
20) Convierte 9 a base 9. a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
Nivel II 21) Convierte: 123(4) a base 7 a) 34 d) 40
b) 35 e) 41
c) 36
22) Convierte: 203(7) a base 6 b) 235 e) 253
c) 245
23) Convierte: 14α(12) a base 13 a) 124 d) 127
a) 1223 b) 1213 c) 1023 d) 1003 e) 1113
a) 136 d) 139
c) 18
18) Convierte 120 a base 11.
a) 225 d) 255
13) Convierte a base 10. 11111(2) a) 31 d) 34
a) 104 d) 144
a) 10 d) 13
10) Convierte al sistema decimal 235(9). a) 191 d) 194
b) 21 e) 22
17) Convierte 100 a base 8.
I. 213(5)
a) 15 d) 18
a) 20 d) 81
b) 125 e) 128
c) 126
24) Convierte: 523(7) a base 9 a) 301 d) 331
b) 311 e) 341
c) 321
101
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
25) Convierte: x(x + 2) (x + 1)4 al sistema octonario. a) 338 d) 408
b) 328 e) 308
c) 368
26) Si a(4a)(2a)7 = bc9 , halla “b”. a) 8 d) 4
b) 7 e) 3
c) 6
27) Halla “b”, si: 3(2b)6 = 4b5 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
28) Halla “x + y” a partir de: 1xy4n = n316 a) 2 d) 8
b) 6 e) 4
c) 7
29) Calcula “a + b” si se cumple: 451n = 3ab7 a) 4 d) 10
b) 12 e) 5
c) 11
30) Si 301(7) = mnp(5), calcula:
E=
(m + 1)(n + 1)(p + 1) mxnxp
a) 3 d) 3/4
102
b) 2 e) 6
c) 3/2
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
Conjuntos I CONJUNTOS CIENCIA
Elementos
Determinación de conjuntos
Cardinalidad
Conjuntos numéricos
Objetivos
Tener la idea clara de conjunto y elementos que le pertenecen, así como los elementos de los conjuntos numéricos.
1. IDEA DE CONJUNTO Se entiende como una colección de objetos bien definidos, llamados elementos y pueden ser concretos o abstractos. Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C, ..., etc. Sus elementos van separados con comas(,) o punto y coma (;) o bien indicando una propiedad común de ellos.
GEORGE CANTOR (1845 - 1918) Matemático alemán nacido en San Petersburgo (ahora Leningrado, Rusia) y fallecido en Halle. Ya en la escuela, Cantor mostró talento por las matemáticas, haciendo posteriormente de ellas su profesión, obteniendo el puesto de profesor en la Universidad de Halle en 1872. En 1874, Cantor empezó a introducir conceptos extraños de lo infinito, estableciendo que para tratar el infinito se debe establecer correpondencia entre dos series, más aún, esta correspondencia debe ser biunívoca. De este modo se puede razonar que la cantidad de números pares es igual a la de los números naturales, diferenciando entre la aritmética de lo infinito y la aritmética familiar de los números finitos. Cantor construyó una estructura lógica completa, en la cual se postulaba que una serie completa de números transfinitos, representaba diferentes órdenes de infinitos. Así la definición de Cantor de número real identifica a este último con una sucesión convergente de números racionales.
Ejemplo: • Si llamamos « B» al conjunto de vocales, entonces:
B = {a, e, i, o, u}
• Si llamamos Z+ al conjunto de los enteros positivos, entonces:
Z+ = {1, 2, 3, 4,...}
• Si llamamos «M» al conjunto de los números naturales pares menores que 12 y mayores que cero.
M = {2, 4, 6, 8, 10}
1ERO DE SECUNDARIA
103
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 2. CONJUNTOS NUMÉRICOS 2.1 Naturales (N)
N = {0; 1; 2; 3; ..}
Ejemplo 4: • Sea A = {m, e, m, i, n} Entonces: n(A) = 4
ARITMÉTICA - I BIMESTRE denotaremos con el símbolo «∈» y en el caso de no pertenecer «∉» Ejemplo 6: A
2.2 Enteros (Z)
Z-= {-1, -2, -3, -4, -5,...} «enteros negativos». Z = Z- ∪ {0} ∪ Z+ Z+= {2; 3; 4; 5; ...} «enteros positivos». 3. CARDINAL DE UN CONJUNTO Es el número de elementos diferentes que posee un conjunto finito.
4.1 Por Extensión Cuando sus elementos están indicados explícitamente, es decir, se mencionan en forma completa los elementos del conjunto. Ejemplo:
• Sea A = {a; e; i; o; u}, entonces n(A) = 5.
A = {7; 8; 9; 10; 11} • Se lee «A» es el conjunto cuyos elementos son 7; 8; 9; 10 y 11. 4.2 Por Comprensión
Ejemplo 2: • Sea C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, entonces n(C) = 7. Que se lee: El cardinal de «C» es 7.
Cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a los elementos de dicho conjunto. Así por ejemplo, del ejercicio anterior.
• Sea W = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13}, entonces n(W) = 7. Que se lee: El cardinal de «W» es 7.
104
8
A= {1; 2; 3; 4; 5} B= {2; 4; 6; 8} ∈ B 2 _____ 1 _____ ∈ A 4 _____ ∈ A 6 _____ ∉ A
8 _____ ∉ A 3 _____ ∉ B 2 ____ ∈ A 3 _____ ∈ A
Ejemplo 7: R
S a c e
g
b d
h i
f
R= {a; b; c; d; e; f} S= {b; d; g; h; i} ∈ R a _____ h _____ ∉ R d _____ ∈ S i _____ ∉ R
g _____ ∉ R i _____ ∈ S ∉ S f _____ c _____ ∈ S
Ejemplo:
Ejemplo 3:
6
2 4
5
• Sea B = {4; 4; 3; 3} Entonces: n(B) = 2
Ejemplo 1:
Que se lee: El cardinal de «A» es 5.
1 3
Ejemplo 5:
4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
B
A = {x/x ∈ N; 6 < x < 12}
• Se lee: «A» es el conjunto cuyos elementos «x», son los valores de tal que «x» es un número natural y además es mayor que 6 pero menor que 12. 4.3 Relación de pertenencia Si un elemento está en un conjunto o forma parte de él, diremos que «pertenece» a dicho conjunto y lo
1ERO DE SECUNDARIA
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
8) ¿Cuántos elementos posee A = {m, a, m,á, m, a}?
Nivel I 1) ¿Cuántos elementos posee A = {x/x ∈ Z ∧ -3 < x < 6}? a) 7 d) 10
b) 8 e) 11
c) 9
2) ¿Cuántos elementos posee A = {x + 3/x ∈ Z ∧ 1 < x < 5}? a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
3) ¿Cuántos elementos posee A = {x - 8/x ∈ Z ∧ 3 < x < 8}? a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
4) ¿Cuántos elementos posee A = {2x+1/x ∈ Z ∧ -2 < x < 4}? a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
5) ¿Cuántos elementos distintos posee A = {x2/x ∈ Z ∧ -4 < x < 4}? a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
6) ¿Cuántos elementos posee A = {x2/x ∈ Z ∧ 2 < x ≤ 6}? a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
7) ¿Cuántos elementos distintos posee A = {x2 - 1/x ∈ Z ∧ -1 < x < 5}? a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
1ERO DE SECUNDARIA
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
9) ¿Cuántos elementos posee A = {p, e, r, i, q, u, i, t, o}? a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
10) El cardinal de A = {m, a, n, i, c, i, t, o} es: a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
11) El cardinal de B = {2, 3, 4, 5, 3, 7, 2, 9} es: b) 6 e) 9
c) 7
b) 7 e) 10
c) 8
b) 6 e) 9
c) 7
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 7
b) 4 e) 7
c) 5
18) El cardinal de M={(x+1)2/x ∈ Z ∧ -1 < x + 2 < 3} es: b) 3 e) 6
c) 4
19) El cardinal de A = {2 + 2; 8/4; 4} después de efectuar es: b) 2 e) 5
c) 3
20) El cardinal de B = {42; 2 x 8; 16 - 0} después de operar es: a) 1 d) 4
14) El cardinal de B = {t, o, d, o} es:
b) 6 e) 9
17) El cardinal de A = {x2/x ∈ Z ∧ -3 ≤ x ≤ 3} es:
a) 1 d) 4
13) El cardinal de A = {l, a, t, e, l, e} es: a) 5 d) 8
a) 5 d) 8
a) 2 d) 5
12) El cardinal de A = {a, r, i, t, m, é, t, i, c, a} es: a) 6 d) 9
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 16) El cardinal de B = {x/x ∈ Z ∧ -4 ≤ x ≤ 4} es:
a) 3 d) 6
Nivel II
a) 5 d) 8
15) El cardinal de L = {a, a, b, b, c, c, d} es:
b) 2 e) 5
c) 3
c) 4
105
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
27) En el gráfico: A
Nivel III 21) Calcula «n(A) + n(B)» si se tiene: A = {x/x ∈ Z ; 1 ≤ x < 8} B = {x/x ∈ Z ; 2 < x ≤ 9} a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 22) Calcula «n(B) + n(D)» si se tiene: B = {k; a; r; i; n; a} D = {l; a; u; r; a} a) 8 b) 10 c) 12 d) 9 e) 11 23) Si A = {x + 1/ x ∈ Z; 4 ≤ x < 15}, ¿cuántos elementos múltiplos de 3 posee A? a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5 24) Si B = {x + 2/ x ∈ Z; 3 < x < 12}, ¿cuántos elementos múltiplos de 4 posee B? a) 1 b) 0 c) 2 d) 4 e) 5
a
26) En el gráfico: A 3 4
2 5
d
c
e
b
calcula n(B - A). a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
28) En el gráfico: A
1
3
calcula n(B). a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
29) En el gráfico: A a b c
B 2
4
B f
d e
g
calcula n(A) x n(B). a) 10 d) 20
b) 12 e) 24
c) 6
30 A
25) Si A = {x + 1/ x ∈ Z; 4 < x < 12} y B = {x + 2/ x ∈ Z; 2 < x < 6}, ¿cuántos elementos tiene A U B? a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
B
1 2
C
B 3
4 5
6 7
8 9
calcula n(A) + n(B) + n(C). a) 7 d) 10
b) 8 e) 12
c) 9
B 6
calcula n(A). a) 3 d) 6
106
b) 4 e) 7
c) 5
1ERO DE SECUNDARIA
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Conjuntos II Dado: A = {4; 5}, entonces:
RELACIONES CONJUNTISTAS
Conjunto potencia
Pertenencia - inclusión
Objetivos
Donde ∅ es el conjunto vacío o nulo.
Identificar un elemento de un conjunto. Identificar un subconjunto de un conjunto. Cuantificar o contar subconjuntos de un conjunto.
1. RELACIONES CONJUNTISTAS 1.1 Pertenencia Dado A = {4; 3} se dice que: 4 ∈ A
3∈A
Elemento a conjunto
{a} ∈ A b ∈ A
Se lee: «A» está incluido en «B», si y sólo si, para cualquier «x» que pertenece a «A», éste también pertenece a «B».
1ERO DE SECUNDARIA
Ejemplo 2: • Sea A = {a, b; c}, indica V(verdadero) o F (falso).
A⊂B↔∀x∈A→x∈B
«A» está incluido en «B». «A» está contenido en «B». «A» es subconjunto de «B».
• Sea A = {2; 3; 4}, entonces es cierto que: {2} ⊂ A {3} ⊂ A {4} ⊂ A {2;3} ⊂ A {2;4} ⊂ A {3;4} ⊂ A {2;3;4} ⊂ A
5∉A
1.2 Inclusión de Conjuntos
Ejemplo 1:
∅ ⊂A
¡No lo hagas de otra forma!
⇒ Además: «A ⊂ B»
{4} ⊂ A {5} ⊂ A {4;5} ⊂ A También: ∅ ⊂ A
⇒ «B ⊃ A»
«B» incluye a «A». «B» contiene a «A». «B» es un conjunto a conjunto superconjunto de «A».
{a; c} ⊂ A ∅ ∈ A
Resolución {a} ∈ A, es falso. b ∈ A, es verdadero. {a, c} ⊂ A, es verdadero. ∅ ∈ A, es falso.
107
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Ejemplo 3:
Resolución
• Sea A = {3; 5; 7}, indica si es verdadero (V) o falso (F). {3} ⊂ A ∅ ⊂ A {5; 7} ⊂ A {3; 7} ∈ A Resolución {3} ⊂ A es verdadero. {5, 7} ⊂ A es verdadero. ∅ ⊂ A es verdadero. {3, 7} ∈ A es falso. Ejemplo 4: • También se definen conjuntos del tipo: A = {{2}; 2; 3}, donde los elementos distintos son {2}, 2 y el 3; pues su cardinal es n(A) = 3 y es cierto que: {2} ∈ A 2 ∈ A 3 ∈ A ∅ ⊂A También:
{{2}} ⊂ A {2} ⊂ A {3} ⊂ A
{{2}; 2} ⊂ A {{2}; 3} ⊂ A {2; 3} ⊂ A {{2}; 2; 3} ⊂ A
• Si B = {2; 3; {4}}, indica V(verdadero) o F (falso). {4} ⊂ B {2; 3} ⊂ B
Resolución {3} ∈ B, es falso. {2} ⊂ B, es verdadero. {4} ⊂ B, es falso. {2; 3} ⊂ B, es verdadero. Ejemplo 6: • Si A = {3; 5; {3;5}}, indica V(verdadero) o F (falso). ∅ ⊂ A {3; {3;5}} ⊂ A {5} ∈ A 3 ∈ A {3;5} ∈ A {3;5} ⊂ A
108
Conclusión Todo elemento pertenece al conjunto. Todo grupo de elementos encerrados con llaves está incluido en el conjunto.
1.3 Subconjuntos de un Conjunto Ejemplo 2: • Sea A = {2; 3; 4}, indica todos sus subconjuntos. Resolución Los subconjuntos son: {2}; {3}; {4}, {2;3} {2; 4}; {3; 4}; {2; 3; 4}; ∅ Ejemplo 2:
Ejemplo 5:
{3} ∈ B {2} ⊂ B
∅ ⊂ A es vedadero. {5} ∈ A es falso. {3; 5} ∈ A es verdadero. {3; 5} ⊂ A es verdadero. {3; {3; 5}} ⊂ A es verdadero. 3 ∈ A es verdadero.
• Sea B = {a, m, a, n, d, a}, señala todos sus subconjuntos.
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
PROPIEDAD: Si A tiene «n» elementos distintos, entonces tiene 2n subconjuntos de los cuales 2n - 1 son subconjuntos propios. Son subconjuntos propios todos los subconjunt os excepto el mismo conjunto. Ejemplo 1: • ¿Cuántos subconjuntos posee A = {3; 4}? Resolución n(A) = 2 # subconjuntos: 22 = 4 Ejemplo 2: • ¿Cuántos subconjuntos posee A = {a, e, i, o, u}? Resolución n(A) = 5 luego # subconjuntos: 25 = 32 Ejemplo 3: • ¿Cuántos subconjuntos tiene A = {x/x ∈ Z ∧ 2 ≤ x <6 }? Resolución A = {2; 3; 4; 5} n(A) = 4 luego # subconjuntos: 24 = 16 Ejemplo 4: • ¿Cuántos subconjuntos tiene A = {a, m, a, n, d, a}?
Resolución
Resolución
Simplificando B = {a, m, n, d} Los subconjuntos son:
Simplificando: A = {a, m, n, d} n(A) = 4 # subconjuntos: 24 = 16
{a}; {m}; {n}, {d}; {a, m} {a, n};.........; {a, m, n, d}; ∅ Ejemplo 3: • Dado P = {m}, señala todos sus subconjuntos. Resolución Los subconjuntos son: {m}; ∅
Ejemplo 5: • ¿Cuántos subconjuntos propios tiene A = {a, m, a, n, d, a}? Resolución Simplificando: A = {a, m, n, d} n(A) = 4 # subconjuntos propios: 24 - 1 = 15
1ERO DE SECUNDARIA
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Nivel I 1) Dado el conjunto: A = {2, 4; 6; 8} Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. i) 4 ∈ A ( ) iii) 6 ∈ A ( ) ii) 10 ∈ A ( ) iv) {8}∈ A ( ) a) VVFF b) VFFV c) VFVF d) VFFF e) FFFF 2) Dado el conjunto: A = {2; 3; 5; 9} Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. i) 4 ∉ B ( ) iii) 5 ∉ B ( ) ii) {3}∈ A ( ) iv) 9 ∉ B ( )
5) Dado el conjunto: M = {1; {2}; {3}; 4} ¿Cuántas proposiciones son falsas? i) {1} ⊂ M ( ) ii) 4 ∈ M ( ) iii) {{2}} ⊂ M ( ) iv) {{2}; {3}} ∈ M ( )
a) 1 d) 4
a) VVVF b) FVVF c) VFFV d) FFVV e) VFFF 4) Dado el conjunto: B = {a; 2; {b}; 3} Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. i) {a} ∈ B ( ) iii) b ∈ B ( ) ii) 2 ∈ B ( ) iv) {3} ∈ B ( ) a) VVFF b) VFFV c) FVVF d) FVVV e) FVFF
1ERO DE SECUNDARIA
c) 3
6) Dado el conjunto: N = {1; 2; {2}; {2; 3}} ¿Cuántas proposiciones son falsas? i) {1} ⊂ N ( ) ii) {3} ⊂ N ( ) iii) {2; 3} ∈ N ( ) iv) {1; {2}} ∈ N ( ) v) 2 ∈ N ( ) a) 4 d) 1
a) VFVV b) VFFV c) VFFF d) FVVV e) FFVV 3) Dado el conjunto: A = {a; φ; {a, b}; c} Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. i) a ∈ A ( ) iii) {φ} ∈ A( ) ii) b ∈ A( ) iv) c ∉ A ( )
b) 2 e) 5
b) 3 e) 0
c) 2
7) Dado el conjunto: A = {7; 8; 10; 15} Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. i) 7 ∈ A ( ) ii) 9 ∈ A ( ) iii) {10} ∈ A ( ) iv) {15} ∈ A ( ) a) VVFF b) VFFV c) VVFV d) VFFF e) FFFF
8) Dado el conjunto: B = {1; 3; 5; 7} Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. i) 3 ∈ B ( ) iii) 7 ∈ B ( ) ii) 6 ∈ B ( ) iv) 2 ∈ B ( ) a) VFVV b) VFFV c) VFFF d) FVVV e) FFVV
9) Dado el conjunto: A = {5; {7}; 9; 12} Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. i) {7} ∈ A ( ) iii) 5 ∉ A ( ) ii){9} ∈ A ( ) iv) 12 ∈ A ( ) a) VVVF b) FVVF c) VFFV d) FFVV e) VVFF
10) Dado el conjunto: B = {3; {6}; 9; 15} Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. i) {3} ∈ B ( ) iii){6} ∈ B ( ) ii) {15} ∈ B ( ) iv) 9 ∈ B ( ) a) VVFF b) VFFV c) FVVF d) FVVV e) FFVV Nivel II 11) Dado el conjunto: M = {a; {b}; {m}; p} ¿Cuántas proposiciones son falsas? i) {b} ⊂ M ( ) ii) b ∈ M ( ) iii) {{m}} ⊂ M ( ) iv) {{b}; {m}} ∈ M ( ) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12) Dado el conjunto: N = {1; {3}; {5}; 7} ¿Cuántas proposiciones son falsas? i) {3} ⊂ N ( ) ii) 3 ∈ N ( ) iii) {{3}} ⊂ N ( ) iv) {{5}; 7} ⊂ N ( ) v) 3 ∈ N ( ) a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
109
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 13) Dado: A = {5; {7}; 9; {12}} Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. i) {5} ∈ A ( ) ii) {7} ∉ A ( ) iii) {9} ⊂ A ( ) iv) {5; {7}} ⊂ A ( ) a) FFVV b) FVVV c) VVFF d) FVVF e) VFFV 14) Dado: Z = {4; 6; {8}: {10}} Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. i) 4 ∈ Z ( ) ii) {8} ∈ Z ( ) iii) {{10}} ⊂ Z ( ) iv) {4; {8}} ⊂ Z ( ) a) FFFV b) VVVV c) VVFF d) VVVF e) FFVV 15) ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 5 elementos? a) 15 b) 10 c) 30 d) 32 e) 64
16) ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 6 elementos? a) 32 b) 40 c) 64 d) 50 e) 54 17) Si un conjunto tiene 7 elementos, ¿cuántos subconjuntos tiene? a) 100 b) 64 c) 128 d) 92 e) 112
ARITMÉTICA - I BIMESTRE
19) ¿Cuántos subconjuntos tiene cada 24) ¿Cuántos subconjuntos tiene A = {{3}; 3; {3; 2}; 2}? uno de los siguientes conjuntos? A = {c; o; l; e; g; i; o} B = {t; r; i; l; c; e} a) 32 b) 16 c) 8 d) 4 e) 2 a) 128 y 64 d) 32 y 64 b) 64 y 64 e) 128 y 32 25) Halla «n(A) + n(B)» si se tiene: c) 64 y 128 A = {x/x ∈ Z; 2 < x < 9} B = {x/x ∈ Z; 3 < x < 8} Nivel III 20) ¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos? P = {e, x, i, t, o} Q = {v; i; s; i; o; n} a) 32 y 64 d) 64 y 32 b) 32 y 120 e) 64 y 64 c) 32 y 32 21) ¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos? A = {e; u; c; l; i; d; e; s} B = {g; a; u; s} a) 128 y 64 d) 32 y 64 b) 64 y 64 e) 128 y 32 c) 128 y 16 22) ¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos? P = {a; m; i; g; o} Q = {d; i; o; s} a) 32 y 64 d) 64 y 32 b) 32 y 100 e) 32 y 16 c) 32 y 32
23) Dado el conjunto: P = {j; o; r; g; e} ¿cuántos subconjuntos propios tiene «P»? a) 64 b) 128 c) 32 d) 31 e) 52
a) 10 d) 16
b) 12 e) 18
26) ¿Cuántos subconjuntos propios tiene B = {p, a, r, a, c, a, s}? a) 128 d) 63
b) 127 e) 31
c) 64
27) ¿Cuántos subconjuntos tiene A = {x/ x ∈ Z ∧ 4 < x < 64}? a) 64 d) 31
b) 63 e) 16
c) 32
28) ¿Cuántos subconjuntos tiene A = {x/ x ∈ Z ∧ -2<x< 30}? a) 64 d) 63
b) 32 e) 31
c) 16
29) ¿Cuántos subconjuntos tiene A = {x2/ x ∈ Z ∧ - 6 ≤ x ≤ 6}? a) 128 d) 63
b) 127 e) 32
c) 64
30) ¿Cuántos subconjuntos tiene A = {x2/ x ∈ Z ∧ - 5 < x < 5}? a) 64 d) 31
b) 63 e) 16
18) Si un conjunto tiene 4 elementos, ¿cuántos subconjuntos tiene? a) 4 b) 12 c) 14 d) 16 e) 20
110
c) 14
1ERO DE SECUNDARIA
c) 32
GEOMETRÍA NOTA REVISIÓN BIMESTRAL
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Nociones Generales de Geometría Clásica Euclidiana En nuestro alrededor, tanto en la naturaleza como en las más diversas construcciones humanas, se despliega un maravilloso universo de formas y estructuras regidas por el orden y la lógica. Muy pocas cosas surgen o se desarrollan sin orden. Al contrario, bien en su esencia interna o bien en su apariencia exterior, todo en nuestro entorno respira armonía y sentido. La naturaleza puede ser caprichosa, pero en ningún modo es ilógica o inconsistente. Ahora bien, si todo lo que nos rodea tiene una determinada forma, y si toda forma tiene un orden lógico en su estructura, ¿no resulta razonable desear aprender sobre todo esto? ¿Verdad que te darías el trabajo de cavar un inmenso hoyo siempre y cuando supieras que al final del mismo encontrarás un valiosísimo tesoro?
Pues bien, la ciencia que se encarga del estudio de las relaciones, proporciones, medidas y propiedades de las formas que estructuran nuestro entorno es la Geometría. Etimológicamente hablando, Geometría proviene de dos palabras griegas: Geo : Tierra Metría : Medida
112
Por consiguiente, “la medida de la tierra” fue el humilde origen de la Geometría. Sí, de acuerdo con la mayoría de versiones, la Geometría tuvo sus inicios en Egipto, debido a la constante necesidad del hombre de medir sus tierras regularmente, ya que el río Nilo, al desbordarse, barría con las señales que indicaban los límites de los terrenos de cada persona. Sin embargo, el hombre, desde tiempos remotos, no sólo se preocupó por medir las tierras. Su afán de erigir edificaciones descomunales también contribuyó al rápido desarrollo de la Geometría, pues tuvo que diseñar figuras adecuadas para que su trabajo no fuese en vano. Si bien es cierto que el origen empírico de la Geometría ocurrió en Egipto, debe considerarse a Grecia como su verdadera patria pues aquí se erige la Geometría como ciencia. Es en Grecia donde se reemplaza la observación y la experiencia cotidianas por las deducciones racionales a partir de axiomas y postulados que se concibieron por un agudo proceso lógico. Veamos a continuación una breve reseña histórica de uno de los principales sabios griegos de la antigüedad quien, con su valioso aporte, contribuyó a elevar a la Geometría al grado de ciencia.
Pitágoras f u e e l discípulo más sobresaliente de la Escuela Jónica, quien luego fundó la Escuela Pitagórica, cuyo lema era: “Los números rigen al mundo”. Esta escuela se caracterizó por dividir el saber científico en cuatro ramas: Aritmética, Geometría, Música y Astronomía. En cuanto a Pitágoras debemos decir que su figura ha llegado a nosotros llena de mitos y leyendas. Sin embargo, nadie cuestiona que su más grande aporte a la ciencia geométrica es el teorema que
Teorema de Pitágoras
c
a
b En todo triángulo rectángulo, se cumple: a2 + b2 = c2
1ERO DE SECUNDARIA
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
División Fundamental de la Geometría Importante La Geometría que estudiaremos en secundaria es la Geometría Euclidiana y, sólo si la analizamos a cabalidad, veremos claramente el armonioso desarrollo lógico que presenta. Más importante aún, habremos puesto bases sólidas para el estudio de otras geometrías mucho más complejas, pero a la vez, mucho más importantes que, entre otras cosas, buscan ansiosamente una respuesta matemática, es decir, una respuesta perfecta a las cuestiones relacionadas con la forma y origen del universo.
Para un mejor estudio, tal como lo hizo Euclides en la antigüedad, dividiremos a la Geometría en: Geometría Plana Geometría del Espacio 1. GEOMETRÍA PLANA Llamada también Planimetría. Se encarga del estudio de todas las figuras planas, como por ejemplo: el triángulo, el rectángulo, la circunferencia, etc.
R
2. GEOMETRÍA DEL ESPACIO Llamada también Estereometría. Se encarga del estudio de los sólidos geométricos, como por ejemplo: la pirámide, el cubo, la esfera, etc.
R
OTRAS GEOMETRÍAS MÁS COMPLEJAS
Ningún edificio grande podría sostenerse sin un fundamento, ¿verdad? De manera similar, no podemos pretender alcanzar grandes conocimientos matemáticos sin haber estudiado la Geometría Euclidiana.
Geometría Analítica
Geometría Fractal
Geometría Algorítmica
Geometría Elíptica
Geometría Diferencial
Geometría Hiperbólica
Geometría Descriptiva
Geometría Riemanniana
APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA Tan importante es el conocimiento geométrico que hoy su estudio se hace necesario para las diversas profesiones y disciplinas existentes, como por ejemplo: Arquitectura, Ingeniería, Física, Química, Bellas Artes, Diseño Gráfico, Diseño Industrial, Astronomía, Telecomunicaciones, etc. Por consiguiente, la Geometría es una pieza básica para comprender la realidad. De allí que algunos consideran que la Geometría es el lazarillo de todas las demás ciencias.
1ERO DE SECUNDARIA
113
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
1) Calcula (a+5).
L1
b) 3 e) 5
c) 4
a) 8 d) 10
b) 4 e) 5
x
3
4 3 a) 8 d) 9
b) 10 e) 5 2
c) 7
a) 8 d) 15
2n b) 9 e) 18
c) 12
b) 4 e) 8
c) 5 2
a
5
a) 10 d) 6
114
2x+2
a) 1 d) 2
L1 15
b) 9 e) 8
3
c) 2
L1
6
n–1
a) 6 d) 8
10
b) 9 e) 12
L2 L3 c) 5
b) 3 e) 4
2
L2
12
L3 c) 12
a) 1 d) 2
b) 5 e) 3
4
a) 3 d) 5
L2
9 b) 4 e) 8
L3 c) 6
12) Halla x + y si L1 // L2 // L3.
L1
x
L2
3
L3 c) 4
L1
a
a
L3 c) 5
4
3y
11) Halla “a” si L1 // L2 // L3.
L2
8) Calcula “y” si L1 // L2 // L3.
4) Halla “a”. 3
b) 5 e) 6
L1
2
4
6
5 3
a) 5 d) 6
L3
Nivel II
12
L2
L3
3) Halla “a”.
a
30
10) Calcula n + 3 si L1 // L2 // L3.
L2
7) Halla “x” si L1 // L2 // L3. 8
a) 4 d) 3
L1
9
8
5
c) 3
L1
3
5a
16
6) Si L1 // L2 // L3, halla “n”.
2) Halla “x”.
1
10
8
L3
a
2 a) 1 d) 6
b
L2
5
9) Calcula a + 2 si L1 // L2 // L3.
5) Calcula “b” si L1 // L2 // L3.
Nivel I
a) 10 d) 20
8 6
b) 12 e) 24
1ERO DE SECUNDARIA
16 y
L1 L2
L3
c) 16
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 13) Halla (a + 3) si L1 // L2 // L3. a
a) 4 d) 12
L1
8
9
18) Aplicando el teorema de Pitágoras, halla el valor de x.
2a b) 6 e) 9
7
L2 L3
2
L1
3
2
4
n
6
m
a) 20 d) 12
8
x
b) 18 e) 24
L2 L3
a) 2 d) 5
a) 6 d) 4
b) 3 e) 5
c) 2
n2 = n
Observación:
10
3x
c) 8
14) Halla n + m si L1 // L2 // L3.
23) Calcula “x”.
b) 3 e) 6
c) 4
24) Halla “a”. 5a
19) Aplicando el teorema de Pitágoras, halla el valor de x.
6
8
7
c) 21 x
a) 6 d) 4
b) 10 e) 2
c) 3
23 15) Halla a + b si a - b = 16 m. 3 5
L1
b a
a) 32 m b) 42 m d) 72 m e) 64 m
L2 L3
a) 3 d) 6
b) 4 e) 2
c) 5
x+2
3
10
4
a) 3 d) 6
b) 2 e) 8
15
a) 12 d) 8
b) 10 e) 14
2a
c) 6
17) Calcula el perímetro del triángulo del problema anterior.
a) 20 d) 23
b) 32 e) 30
2
5
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
a) 3 d) 5
1ERO DE SECUNDARIA
b) 3 e) 6
15
20
2n+1
a
4 a) 2 d) 1
c) 5
27) Halla “a2”.
5
b) 3 e) 2
c) 3
22) Halla “n”.
c) 40
c) 4
x
1
3
b) 2 e) 6
26) Halla “x”.
21) Halla “a”. x
a) 1 d) 8
c) 5
Nivel III
17
6
2a+4
20) Halla x.
c) 48 m
16) Aplicando el teorema de Pitágoras, halla el valor de x.
25) Halla “a”.
c) 4
a) 35 d) 24
b) 32 e) 40
c) 30
115
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
28) Calcula “b”. 3
2 b
a) 13 d) 13
b) 5 e) 15
c) 10
29) Halla (n + 3). 2 5
n
4
a) 2 d) 6
b) 3 e) 5
c) 4
30) Aplicando el teorema de Tales, indique la medida del segmento AB si BC = 10, EF = 15, DE = 3 y además L1 // L2 // L3. A
D
B
C
a) 3 d) 2
116
E
L2
F b) 5 e) 6
L1
L3 c) 10
1ERO DE SECUNDARIA
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Líneas 1. LÍNEA RECTA
5. RAYO
7. SEGMENTO DE RECTA
Es aquel conjunto de puntos que se extiende en un sólo sentido de forma ilimitada.
Es aquella porción de línea recta que tiene un punto de origen y que se extiende en un solo sentido de forma ilimitada.
Es aquella porción de línea recta que tiene punto de origen y punto final.
L
O
2. LÍNEA CURVA Es aquella que no tiene segmento recto alguno, por pequeño que se suponga. M
A
origen
Línea recta L.
Segmento AB.
Rayo: OA
6. SEMIRRECTA Es aquella porción de línea recta que no tiene punto de origen pero se extiende en un sólo sentido de forma ilimitada.
A
A B
B
A
B
Semirrecta: AB
3. LÍNEA QUEBRADA Línea quebrada o poligonal es la que se compone de dos o más segmentos rectilíneos.
2) Halla el perímetro de la figura mostrada.
Nivel I 4. LÍNEA MIXTA Se conforma de manera intercalada de segmentos curvilíneos y rectilíneos.
1) Del gráfico, calcula x si la línea tiene una longitud igual a (40 + 2π) cm.
6m 8m
2p
x
6m 8m
x
a) (2p + 10) m b) (4p + 20) m c) 12p m
d) 24p m e) 32p m
a) 10 cm b) 2 cm c) 2p cm d) 5 cm e) 20 cm
1ERO DE SECUNDARIA
117
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 3) E s c r i b a e l n o m b r e q u e corresponde a las siguientes líneas.
a) ................
b) ................
c) ................
d) ................
a) 10 km b) 12 km c) 11 km d) 15 km e) 13 km
2
3
C 1 D 1
3
G
A b) 11 e) 13
I. 6m
a) 6 m b) 30 m c) 15 m d) 25 m e) 60 m II. 6m
6m a) 6 m b) 12 m c) 18 m d) 24 m e) 30 m
b)
( ) Segmento
c)
( ) Rayo
d)
( ) Semirrecta
a)
( ) Triángulo curvilíneo
b) ( ) Triángulo esférico
P ( ) Recta
II. R
S ( ) Rayo
III. A
B ( ) Semirrecta
V. M
( ) Línea recta
11) Relacione correctamente ambas columnas.
I. O
IV.
a)
Nivel II
x
c) 12
5) Calcule la longitud de las siguientes líneas, quebrada y mixta.
118
a) 6 m b) 18 m c) 9 m d) 15 m e) 7 m
10) Relacione correctamente ambas columnas.
C
8) Relacione correctamente ambas columnas.
E 1 F
a) 3 d) 14
B
A
7) D e l g r á f i c o , c a l c u l a x s i el perímetro del triángulo equilátero es 18 m.
4) Calcule la longitud total de la línea quebrada A B C D E F G. B
6) La distancia de A a B es 5 km y de B a C es 8 km. Calcula la distancia de A a C.
( ) Línea quebrada N ( ) Segmento
9) Relacione correctamente ambas columnas. a)
( ) Línea mixta
b)
( ) Línea quebrada
c)
( ) Línea recta
d)
( ) Línea curva
c)
( ) Triángulo rectilíneo
d)
( ) Triángulo mixtilíneo
12) Mencione la longitud de una línea quebrada si con ésta podemos formar un cuadrado de lado igual a 2 m. a) 2 m2 b) 2 cm c) 2 m d) 2 km e) 8 m 13) Con una cuerda de 60 cm se puede construir un hexágono de lados iguales. ¿Cuánto mide un lado? a) 10 cm b) 60 cm c) 15 cm d) 18 cm e) 20 cm 14) Con una cuerda de 12 m se puede construir un triángulo de ................ de perímetro. a) 12 cm b) 24 cm c) 7 cm d) 26 cm e) 18 cm
1ERO DE SECUNDARIA
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 15) Si la línea horizontal PQ mide 64 cm, calcula el lado del cuadrado formado con dicha línea.
23) Calcula el perímetro de la figura sombreada. 1cm 1cm
a) 64 cm b) 32 cm c) 16 cm d) 8 cm e) 4 cm 16) Si la línea horizontal PQ mide 36 cm, calcule el lado del triángulo equilátero que se puede formar. a) 3 cm b) 6 cm c) 36 cm d) 12 cm e) 18 cm 17) Si Carlitos y Danielito parten al mismo tiempo de su casa y llegan al mismo tiempo al colegio siguiendo caminos diferentes, entonces podemos decir: I. Carlitos es más veloz que Danielito. II. Danielito escogió el camino más corto. III. Carlitos y Danielito tienen la misma velocidad. IV. El camino de Carlitos es una línea recta y el de Danielito es una línea mixta. Carlitos
a) 26 cm b) 28 cm c) 30 cm d) 32 cm e) 34 cm Nivel III 21) Calcula el perímetro de la figura sombreada: 1cm 1cm
a) 28 cm b) 32 cm c) 30 cm d) 36 cm e) 24 cm 22) Para enrollar un hilo en un tubo cilíndrico se dieron 450 vueltas. Calcula la longitud del hilo si el tubo tiene 4 cm de perímetro en su sección recta. a) 10 m b) 12 m c) 16 m d) 18 m e) 20 m 23) Una soga se enrolla en un prisma cuadrangular de base cuadrada de lado 2 cm. Halla la longitud de la soga si da 1200 vueltas alrededor del prisma.
colegio
Danielito
18) Mencione la longitud de una línea mixta, si está formada a partir de una circunferencia de 12 m de longitud.
a) 100 m b) 120 m c) 60 m d) 96 m e) 84 m 24) Calcula el largo de la pared mostrada si cada ladrillo tiene 25 cm de largo y entre ladrillo y ladrillo hay una junta de 3 cm.
a) 3 cm b) 6 cm c) 12 cm d) 5 m e) 25 cm
1ERO DE SECUNDARIA
a) 7 m d) 6 m
b) 8 m e) 12 m
c) 10 m
26) En una edificación se construyen 20 vigas de 3 m cada una y 60 columnas de 2,10 m cada una. ¿Cuántos metros lineales de concreto se han empleado? a) 120 m b) 140 m c) 152 m d) 186 m e) 164 m
27) Con 2 bolsas de cemento se pueden construir 3 metros de vereda. ¿Cuál es la longitud de una vereda si se han empleado 100 bolsas de cemento? a) 100 m b) 120 m c) 150 m d) 130 m e) 180 m 28) Una viga peraltada posee 6 varillas de fierro de 4 m cada una. ¿Cuántas varillas de fierro de 8 m cada una se necesitan para construir 30 vigas? a) 90 d) 120
b) 80 e) 180
c) 60
29) Calcula el perímetro de una puerta de 2,30 m de alto y 1,20 m de ancho. a) 5 m d) 9 m
b) 6 m e) 4 m
c) 7 m
30) Halla el perímetro de una ventana de 1,5 m de largo y 0,80 m de ancho.
a) 6 m b) 12 c) 24 m d) 12 m e) 12 km 22) Menciona la longitud de una línea quebrada si con ésta se puede formar un pentágono regular de lados iguales a 3 cm.
25) Calcula el perímetro de una mesa rectangular de 2 m de largo y 1 m de ancho.
x
a) 3,2 m b) 4,5 m c) 4,2 m d) 5,4 m e) 4,6 m
a) 2,00 m b) 1,50 m c) 1,93 m d) 1,80 m e) 4,00 m
119
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Posiciones Relativas entre dos rectas • Veamos la siguiente narración sobre el comportamiento de dos rectas en el plano.
Danielito y Carlitos deciden caminar exactamente por dos veredas opuestas de una gran avenida recta y del mismo ancho. ¿Llegarán a encontrarse en algún momento si los niños continúan caminando tal como lo decidieron?
Matemáticamente tenemos lo siguiente: A. RECTAS PARALELAS Son aquellas rectas que no tienen punto en común y son coplanares.
L2
Propiedades 1. REFLEXIVA L1 // L2
Av. La Marina
⇒ L1 ∩ L2 = ∅
Danielito
B. RECTAS SECANTES
• E v i d e n t e m e n t e q u e n o , comprobando que ambos niños han caminado sobre r e c t a s paralelas, éstas son rectas que no se encuentran o nunca se intersecan. En cambio, ¿qué sucedería si los niños caminan sobre líneas tal como indica la figura?
Son aquellas rectas que sólo tienen un punto en común y son coplanares.
lito
Ve m o s p u e s q u e a m b o s s e encuentran en algún momento, ello quiere decir que las líneas rectas se cortan o intersecan. A estas líneas rectas se les llama rectas secantes.
⇒
L1 // L2 L1 // L2
L4
s
nie
Si
A
ito arl
C Da
Si una recta L1 es paralela a otra recta L2, entonces la recta L2 es paralela a la recta L1.
L3
Notación
120
Línea Oblicua hacia la derecha
L4
Carlitos
Q
L1
Notación
A
L3
Euclides
⇒ L3 ∩ L4 = A Las rectas secantes pueden ser perpendiculares o no. L2
L1
Línea Recta Vertical
M
Línea Recta Horizontal
Uno de los postulados más famosos d e l a Geometría Euclidiana es: “Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una y sólo una recta paralela a la primera”.
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
2. TRANSITIVA Si un recta L1 es paralela a una recta L2 y ésta a su vez es paralela a otra recta L3, entonces la primera recta L1 será paralela a la última L3. Si
L1 // L2
y
L2 // L3
⇒
L1 // L3
L1
L2
Nivel I 1) C o m p l e t a l o s s i g u i e n t e s enunciados:
3) En el rectángulo ABCD, señale verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona. B
C
A
D
a) Dos rectas que se intersecan se llaman .......................... . b) Dos rectas que no se cortan se llaman rectas ................ .
L3
3. Si dos rectas son paralelas, entonces los ángulos que forman con una secante serán iguales en medida. L1
L2
c) Según el postulado de Euclides, por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una ............ ..................... .
2) D e f i n a c a d a u n o d e l o s enunciados: a) Línea Recta
β
α
L3
Si L1 // L2 ⇒ a = b
______________________ ______________________ b) Rectas Perpendiculares ______________________ ______________________
L3 L1
c) Rectas Paralelas
L2
______________________ ______________________ d) Rectas Secantes
Si
L1 ⊥ L3
______________________ ______________________
y
L2 ⊥ L3
e) Rectas Coplanares
⇒
L1
// L2
1ERO DE SECUNDARIA
______________________ ______________________
I. BC es paralelo a AD. II. AB es paralelo a CD. III. AB es secante a BC. IV. CD es paralelo a BC.
( ( ( (
) ) ) )
4) Del gráfico mostrado, indique cuántas rectas secantes hay. a) 5 b) 6 c) 10 d) 15 e) 9 5) Del ejercicio anterior, ¿cuántos puntos de intersección existen? a) 5 d) 15
b) 6 e) 9
c) 10
6) Calcula cuántas rectas paralelas se pueden trazar por un punto exterior a una recta dada. a) 1 b) 2 d) Infinitos
c) 3 e) Ninguno
7) S e g ú n l a G e o m e t r í a n o Euclidiana, ¿cuántas rectas paralelas se pueden trazar por un punto exterior a una recta dada? a) 1 b) 2 d) Infinitos
c) 3 e) Ninguno
121
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 8) De acuerdo a la pregunta 3, indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. E x i s t e s ó l o u n p a r d e segmentos paralelos. ( ) II. E x i s t e n d o s p a r e s d e segmentos paralelos. ( ) III. AB y BC tienen un solo punto en común. ( ) IV. “C” es el punto de ntersección de BC y CD. ( ) 9) ¿Cuántas líneas rectas son necesarias para formar un triángulo?
Nivel II 15) Escribe el significado de las 11) Relaciona correctamente los datos siguientes representaciones: de ambas columnas. a) L3 ⊥ L4 a) ( ) Rectas perpendicu ______________________ lares b) P
c)
P
(
) “P” es el pie de las perpendiculares
(
) Rectas paralelas
d) A ( ) Rectas secantes
b) L1 ∩ L2 = ∅ ______________________ c) L2 // L3 ______________________ d) L1 ∩ L2 = A ______________________
12) Las huellas dejadas por las ruedas de un auto que viaja en línea recta, nos dan la idea de: a) 1 d) 4
b) 2 c) 3 e) Infinitas
10) De acuerdo a la figura, relaciona correctamente las afirmaciones de ambas columnas. B
N
C
a) Rectas oblicuas b) Rectas cruzadas c) Rectas paralelas d) Rectas secantes e) Rectas coplanares
I. AB y CD ( II. BC y CD ( III. AB ∩ CD ( IV. BC ∩ AN (
D ) Rectas secantes ) Rectas paralelas )N )∅
II. OA : rayo OA III. L1 // L2 : L1 es paralelo a L2 IV. L1 ⊥ L2 : L1 es perpendicular a L2 V. Si L1 // L2 y L2 // L3 a) b) c)
⇒ L1 // L3 I y II I y III I, II y III
d) Todas e) Ninguna
14) Representa con símbolos lo que se menciona a continuación. a) La recta L1 es perpendicular a la recta L2. b) La recta L3 es paralela a la recta L4. c) El punto “B” es la intersección de las rectas L5 y L6.
122
L1 L2 L3 L4
13) De las siguientes notaciones, indique las correctas. I. AB : segmento AB
A
16) De la figura: L1 // L2 ; L2 // L3 ∧ L3 // L4 ¿Cuántos pares de rectas paralelas y cuántos pares de rectas secantes hay?
a) 6 y 4 b) 6 y 3 c) 6 y 2 d) 3 y 3 e) 3 y 2 17) En la figura, α ≠ β. Indique verdadero (V) o falso (F) sobre lo que a continuación se menciona. L1
L2
L3
α
α
b
L4
L1 y L2 son paralelas. L1, L2 y L3 son paralelas. L2 y L3 son paralelas. L2 y L3 son no paralelas. a) VVVV b) VFFV c) VFFF d) FVVF e) FFFF
1ERO DE SECUNDARIA
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 18) Del problema anterior, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. α = 45º II. α ≠ 45º ⇔ L2 ⊥ L3 III. L1 // L2 // L3
L1
20) En un plano, si dos rectas son perpendiculares a una tercera, entonces estas dos rectas son: a) Iguales b) Perpendiculares c) Secantes d) Paralelas e) No se sabe Nivel III
a) VFFVF b) FVFVF c) VFFFF
b) Si α ≠ β ⇒ L1 // L2 c) Si L1 // L2 ⇒ α ≠ β d) Si L1 // L2 ⇒ α > β
25) Del gráfico del problema anterior, es correcto que:
e) Si α = β ⇒ L1 // L2
I. Las avenidas Faucett, Rafael Escardó, Silva Ochoa, Jorge Dintilhac y Universitaria son paralelas. ( ) II. Las avenidas Venezuela y Universitaria son secantes. ( ) III. L a s a v e n i d a s B r a s i l y Universitaria son paralelas. ( )
23) Del problema anterior si
d) VVVFV e) VFVFV
L1 // L2, entonces: a) α < β b) α = 2β c) β < α d) α = β e) b = 2a
24) Según el croquis de algunas calles principales del distrito de San Miguel y Magdalena, indica verdadero (V) o falso (F) según coresponda.
a) VVF b) VVV c) FVF d) FFF e) VFV
I. La Av. Venezuela es paralela a una porción de la Av. La Marina. ( )
Rectas paralelas
Un ive rsi tar ia
Av. E . Fau ce
tt
21) Indique dos ejemplos de rectas paralelas y rectas secantes que puedas hallar en tu aula de clases (grafícalas).
b
a) Si α = β ⇒ L1 ⊥ L2
19) Del problema anterior, indique lo correcto.
a) I y II b) I y III c) Sólo II d) Sólo I e) Sólo III
L2
α
a) VVV b) VFF c) FFF d) FFV e) FVV
I. Hay dos pares de rectas paralelas. II. β ≤ 90º III. L1 // L2
II. La Av. Faucett y la Av. Universitaria son paralelas. ( ) III. La Av. Dintilhac es paralela a la Av. Silva Ochoa. ( ) IV. La Av. Brasil y la Av. Escobedo son no paralelas. ( ) V. La Av. Pershing y la Av. Brasil son perpendiculares. ( )
22) Indica la relación correcta.
U.N.M.S.M
Av. Ra
Rectas secantes
Av.
fael
Esc ardó
Av. Venezuela
Ovalo
A v . La Marina hac intil ge D Av. Jor
hoa Oc ilva Av .S
do
e ob
sc
.E .G V A
1ERO DE SECUNDARIA
sil
ra
.B Av
Av .P er
sh
in
g
123
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Av. Co lm
Av .T ac
na
26) Según el gráfico mostrado, indica la afirmación correcta.
Av. Wil son
Av. Al fonso Ugarte
ena
Av. Quilca
Av. Uru gu
ay
Av. Boli via
28) Del gráfico anterior, indica lo falso. a) La Av. Tacna es secante a la Av. Colmena. b) La Av. Uruguay es secante a la Av. Quilca. c) La Av. Alfonso Ugarte es paralela a la Av. Wilson. d) L a A v. U r u g u a y e s perpendicular a la Av. Colmena. e) La Av. Wilson es secante a la Av. Quilca. 29) Si L1 // L2, entonces indica lo verdadero. ∅
a) La Av. Colmena es paralela a la Av Tacna. b) La Av. Alfonso Ugarte es secante a la Av. Wilson. c) La Av. Uruguay es paralela a la Av. Bolivia. d) La Av. Uruguay es paralela a la Av. Wilson. e) La Av. Quilca es perpendicular a la Av. Bolivia. 27) Del gráfico anterior, indica lo correcto. a) La Av. Quilca es paralela a la Av. Wilson. b) La Av. Colmena es paralela a la Av. Tacna. c) La Av. Tacna es paralela a la Av. Quilca. d) La Av. Quilca es paralela a la Av. Bolivia. e) L a A v. C o l m e n a e s perpendicular a la Av. Alfonso Ugarte.
124
β ψ γ
θ ζ
α ω
L1 L2
a) θ = Ø b) α + ω = 180° c) α + γ = 180° d) α = ω e) α + θ = 180° 30) Del problema anterior indica lo falso. a) θ = b b) α = q c) α = γ d) ω = a e) q + Ø = 180°
La palabra fractal fue usada por primera vez hace menos de 20 años por el matemático polaco Benoit Mandelbrot en su trabajo La geometría fractal de la naturaleza. Derivó la palabra del verbo latín fractus, que significa “romper en fragmentos irregulares”. Los fractales son figuras geométricas al igual que los triángulos y los rectángulos, pero con unas propiedades especiales que los distinguen de éstos. Primero, son muy complejos a cualquier tamaño. Tienen autosimilitud, es decir, que pueden dividirse en partes que son copias reducidas del total. Uno de los usos más populares es en la música, donde ésta es acompañada de imágenes fractales.
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
Puntos de corte entre rectas En un día de paseo al campo, los alumnos del primer año observaron una gran cantidad de fibras rectas y delgadas de hilo de una telaraña, uno de ellos exclamó: “¡Averigüemos la cantidad de fibras!” y todos con gran entusiasmo y cuidado empezaron a contarlos, uno, dos, tres, .... 499, 500 (quinientas) fibras. Luego de un breve silencio, Jaime, el más inquieto del grupo, hace la siguiente pregunta: “Si la araña cruza todas las fibras, ¿cuántos puntos de cruce como mínimo y cuántos como máximo se obtendrá?” ... Al instante respondieron todos, como mínimo se obtendrá un punto de cruce y como máximo, la respuesta fue variada, unos decían 500, otros 800, otros 1000 y hubo más números diferentes como respuesta. Al no ponerse de acuerdo, acudieron al profesor de geometría y le plantearon el problema. El profesor pidió silencio para resolver el dilema y dijo lo siguiente: “Si cada fibra nos representa una recta, entonces tendremos 500 rectas secantes. Resolvamos el problema de manera gradual”.
2 rectas 1
1 3 rectas
2
se cortan en 1 punto ⇒ Podemos escribirlo como 2x1 =1 2 se cortan en 3 puntos ⇒ Podemos escribirlo como 3 3x2 =3 2
1 2 3 4 rectas se cortan en 6 puntos ⇒ Podemos escribirlo como 4 5 4x3 6 =6 2
500 x 499 500 rectas = 124 750 2 ¡Qué cantidad tan grande! Exclamaron contentos los alumnos por la acertada respuesta de su profesor, y siguieron indagando más cosas. Veamos uno de ellos.
Ptolomeo I Rey de Egipto, mandó llamar a Euclides y le exigió un camino más sencillo y corto para aprender y entender la Geometría. Euclides le contestó: “Mi estimado rey de Egipto, no existe camino privilegiado alguno para los reyes, para todos es el mismo” (igual de complicado). ¡Así que, mi estimado Rey, póngase a estudiar los postulados y axiomas!
Si se tiene 3 rectas secantes y 4 rectas paralelas, ¿cuántos puntos de corte como máximo se obtendrán? Sin mayores esfuerzos los alumnos dicen: * 1 recta secante corta a las 4 paralelas en 4 puntos, esto quiere decir que: * 3 rectas secantes cortarán a las 4 paralelas en 3 x 4 = 12 puntos. Las 3 rectas secantes se cortarán entre sí en:
3x2 = 3 puntos 2
∴ El número de puntos de corte será: 12 + 3 = 15
1ERO DE SECUNDARIA
125
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Nivel I 1) Halla el número máximo de puntos de corte de seis rectas secantes.
a) 12 d) 17
b) 13 e) 6
a) 19 d) 25
b) 21 e) 17
a) 4 d) 27
b) 28 e) 64
c) 82
4) Indica el número de puntos de corte. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 11
a) 10 d) 13
126
8) ¿En cuántos puntos de corte cortarán cuatro rectas paralelas a tres rectas secantes? a) 10 d) 16
b) 12 e) 18
c) 14
9) En la figura, indica el número de puntos de corte.
b) 11 e) 17
c) 12
10) ¿Cuántos puntos de corte hay? a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15
11) Calcula el número máximo de puntos de corte entre 2 rectas paralelas y 3 rectas secantes. b) 7 e) 9
c) 5
12) Halla el máximo número de puntos de corte entre 3 rectas secantes y 2 rectas paralelas. a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
13) Halla el máximo número de puntos de corte entre 3 rectas secantes y 3 rectas paralelas.
a) 10 b) 11 c) 20 d) 13 e) 15
5) Indica el número de puntos de corte.
a) 8 b) 6 c) 4 d) 3 e) 10
Nivel II
a) 6 d) 4
7) ¿En cuántos puntos de corte cortarán dos rectas secantes a las cuatro paralelas mostradas?
c) 23
3) Halla el máximo número de puntos de corte de 8 rectas secantes.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 1
c) 15
2) Halla el número máximo de puntos de corte de siete rectas secantes.
6) ¿En cuántos puntos de corte cortará una recta secante a las cuatro paralelas mostradas?
a) 10 d) 15
b) 12 e) 18
c) 9
14) ¿En cuántos puntos cortará una secante a diez rectas paralelas? a) 8 d) 12
b) 10 e) 13
c) 11
15) Halla el mínimo número de puntos de corte entre seis rectas secantes. a) 6 d) 2
b) 5 e) 1
c) 3
16) Halla el número máximo de puntos de corte de 3 rectas secantes. a) 3 d) 6
b) 4 e) 2
1ERO DE SECUNDARIA
c) 5
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 17) Halla el número máximo de puntos de corte de 4 rectas secantes. a) 2 d) 8
b) 4 e) 3
c) 6
18) Halla el número máximo de puntos de corte de 5 rectas secantes. a) 4 d) 10
b) 6 e) 12
c) 8
19) Halla el máximo número de puntos de corte de 20 rectas secantes. a) 170 d) 17
b) 19 e) 180
21) ¿En cuántos puntos cortará una recta secante a 3 paralelas? c) 3
22) ¿En cuántos puntos cortarán dos rectas secantes a 3 paralelas? a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
b) 21 e) 27
c) 23
24) Halla el máximo número de puntos de corte entre 5 rectas secantes y 5 paralelas. a) 35 d) 39
b) 37 e) 31
c) 7
26) ¿Cuántos puntos de corte hay en la figura mostrada? a) 20 b) 10 c) 15 d) 16 e) 24
a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 14 28) ¿Cuántos puntos de corte hay en la figura mostrada? a) 16 b) 17 c) 20 d) 18 e) 19 29) ¿Cuántos puntos de corte hay?
c) 6
23) Halla el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes y dos paralelas. a) 19 d) 25
b) 4 e) 6
27) ¿Cuántos puntos de corte hay en la figura mostrada?
20) Halla el máximo número de puntos de corte de “n” rectas secantes. n(n-1) 2 a) n b) n(n+1) c) 2 2 2 d) n2 e) n-1 2 2
b) 2 e) 5
a) 3 d) 5
c) 190
Nivel III
a) 1 d) 4
25) ¿Cuántos puntos de corte hay en la figura mostrada?
a) 26 d) 29
b) 27 e) 30
c) 28
30) ¿Cuántos puntos de corte hay?
a) 18 d) 24
b) 20 e) 25
c) 22
c) 33
1ERO DE SECUNDARIA
127
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Segmento de Recta En el capítulo III estudiamos a las líneas rectas y vimos que el segmento es una de estas líneas. Recordemos que el segmento es una porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos. P
L
Q
En la figura anterior, tomamos “P” y “Q” de la recta L. A esta porción de recta limitada por los puntos en mención se le llama segmento PQ o segmento QP.
Notación de un Segmento
B 3m I. mAB = 3 m
Debemos recalcar que todas las mediciones lineales que se dan en nuestra vida cotidiana no son más que una operación de medir segmentos. Así por ejemplo, si queremos medir el borde de una pizarra rectangular, la altura de una casa o el ancho de una puerta, como se muestra: 4m
C
M 1,8m
MN : segmento MN o NM : segmento NM
La longitud de un segmento es un número positivo que representa a su medida y suele representarse de dos maneras. Para esto pongamos el siguiente ejemplo: Si el segmento AB tiene una longitud de 3 m, entonces:
128
B
D
N
Longitud de un Segmento
Arquímedes
II. AB = 3 m
A
A todo segmento suele representarse escribiendo los dos puntos asignados a sus extremos con una pequeña rayita sobre ellos, así: M
A
N P
1m
Q
decimos entonces: mAB = mDC = 4m o AB = DC = 4m mMN = 1,8m o MN = 8m
(287 - 212 a.C.) S i n discusión, f u e e l matemático griego más genial que vivió en Siracusa. Su padre fue el astrónomo Fidias. Se atribuyen a Arquímedes numerosos inventos, entre ellos el “tornillo sin fin” destinado a traer agua del subsuelo en Egipto. Participó en la defensa de Siracusa. La originalidad de Arquímedes lo convirtió, junto a Platón, en la flor innata del genio griego. Descubrió las propiedades del número π y las enunció en el libro Medida del círculo. 310 < p < 310 S e a71n t i c i p ó a 70 Newton 2000 años, pues descubrió los conceptos y principios básicos del Cálculo Integral. Murió asesinado por un soldado romano en la cárcel mientras resolvía un problema.
PQ = 1m o mPQ = 1m
1ERO DE SECUNDARIA
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Punto Medio de un Segmento Es el punto que divide al segmento en dos segmentos parciales de igual longitud o medida. Veamos la figura: A
M
3) Se construye el segmento PQ, siendo el punto de intersección de éste con EF el punto medio buscado.
“M” es el punto medio del segmento AB si:
Se traslada longitudes de segmentos midiendo con el compás el segmento dado, y luego dibujando en el lugar deseado.
mAM = mMB o AM = MB Se dice también que el punto “M” biseca al segmento AB.
Ubicación del Punto Medio de un segmento mediante la Regla no Graduada y el Compás Si queremos ubicar el punto medio de un segmento mediante este método, sigamos los siguientes pasos: 1) Con una regla no graduada se dibuja un segmento de una longitud cualquiera, tal como muestra la figura. E
Francois Viete
Nota
B
Ejemplo: Ubica el punto medio del segmento AB. I)
B
A
II)
P A
B Q
III)
P
F
2) Haciendo centro con un compás en el punto “E” y con cualquier longitud (*) dibujamos una pequeña curva sobre y debajo del segmento. Luego se sigue el mismo procedimiento tomando como centro el punto F. P
E
M A
Recuerda
(Fontenay–le–Comte, 1540–París, 1603). M a t e m á t i c o f r a n c é s . Fu e miembro del Parlamento de Bretaña (1573 - 1582) y después consejero privado de las cortes de Enrique III y de Enrique IV. Conocedor de Diofanto y Cardano, estableció las reglas para la extracción de raíces y dio a la trigonometría su forma definitiva en Canon mathematicus (1570). Se dedicó asimismo al estudio de los fundamentos del Álgebra, con la publicación, en 1591, de In artem analyticam isagoge, en el cual introdujo un sistema de notación que hacía uso de letras en las fórmulas algebraicas. Se ocupó finalmente de diversas cuestiones geométricas, como la trigonometría plana y esférica.
B
Q Haciendo uso de una regla graduada o el compás, comprueba que el punto M es el punto medio del segmento AB.
F
Q (*) La longitud a tomar debe ser algo mayor que la mitad del segmento EF.
1ERO DE SECUNDARIA
Nota El segmento PQ es perpendicular al segmento AB. Además, a toda recta que pase por PQ se le llama mediatriz del segmento AB.
129
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Nivel I 1) Completa de manera adecuada las siguientes oraciones: a) E l s e g m e n t o e s u n a __________ de recta limitada por ________ puntos llamados ____________. b) La longitud de un _________ es un __________ positivo. c) El ________ medio divide al segmento en ________ iguales 2) Relaciona correctamente los datos de ambas columnas. a) Segmento AB b) Medida del segmento AB c) Recta AB d) Semirrecta AB
( (
) AB ( ) AB (
) AB ) AB
3) Indica el número de segmentos que hay en la figura. a) 1 b) 2 A c) 3 d) 4 D e) 5
B C
4) De acuerdo a la figura anterior, indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se enuncia. a) mAB = mCD ( ) b) B C es la notación del segmento BC. ( ) c) BC indica la medida del segmento BC. ( ) d) La longitud de un segmento es un número mayor que cero. ( ) 5) M e n c i o n a e l n ú m e r o d e segmentos que se pueden formar con los puntos A, B y C. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
B
A
B
C
a) 1 d) 5
b) 2 e) 6
C c) 3
7 M
d) PA = 2PB e) PB = 2PA
a) QA < QB b) QB < PB c) QA = 2QB d) QA = QB e) 2QA = QB Nivel II 11) Indica el número máximo de segmentos que se pueden formar con los tres puntos de la figura.
B
8) Mediante el método de la regla y el compás ubica el punto medio de un segmento y comprueba la certeza haciendo uso del compás como instrumento de comparación.
130
a) PA < PB b) PA > PB c) PA = PB
D
7) Si “M” es el punto medio del segmento AB, entonces las medidas de AB y AM, respectivamente son: a) 7 y 1 b) 7 y 7 c) 14 y 7 A d) 7 y -14 e) -7 y -14
C
A
10) Del problema anterior, ubica al azar otro punto Q de la mediatriz e indica la relación correcta.
6) ¿Cuántos segmentos se pueden formar con los puntos A, B, C y D? A
9) Por el método de la regla y el compás, construye la mediatriz del segmento AB y ubica al azar un punto “P” de ella. Haciendo uso del compás, ¿qué puedes decir de las medidas de los segmentos PA y PB? B
a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 4
B
A
C
12) Indica el número máximo de segmentos que se obtiene al unir los cuatro puntos mostrados. a) 2 b) 4 c) 6 d) 3 e) 7
A
D
1ERO DE SECUNDARIA
B
C
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 13) Por el método de la regla y el compás, construye un triángulo y trace las mediatrices de sus lados. Indica en cuántos puntos se cortan. a) En uno b) En tres c) En cuatro d) En dos e) En ningún punto 14) ¿Cuántos segmentos se pueden obtener con tres puntos no colineales? a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
15) Por el método de la regla y el compás, trace la mediatriz de la cuerda AB. ¿Qué observa de esta recta? A B O
a) No pasa por el centro. b) Pasa por el centro. c) A veces pasa. d) Sin precisar. e) Todas se cumplen.
18) R e l a c i o n a c o r r e c t a m e n t e las informaciones de ambas columnas. a) PQ
(
) Pie de la oblicua
b) mPQ
(
) Vector PQ
c)
(
) Medida del segmento PQ
d)
(
) Pie de la perpendicular
23) Halla las medidas de MN y NP, de acuerdo a la figura. 12 M
19) Indica el número de segmentos que hay en la figura. a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 13
N 18
P
a) 12 y 24 b) 12 y 12 c) 24 y 24 d) 6 y 12 e) F. D. 24) Mediante el método de la regla y el compás, ubica “M” y “N” sabiendo que son los puntos medios de AB y BC, respectivamente. B
C
A
Nivel III 20) Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: PQ es la notación del segmento PQ. ( ) mPQ indica la medida del segmento PQ. ( ) El segmento tiene un número limitado de puntos. ( )
25) D e a c u e r d o a l p r o b l e m a anterior, usando solamente el compás como instrumento de comparación, ¿qué puedes decir de las medidas de MN y AC? a) MN = AC 1 AC 3 1 c) MN = AC 2 b) MN =
d) MN = 2AC e) MN = 3AC
16) Utilizando el criterio anterior, dibuja una circunferencia y ubica su centro.
17) Completa de manera adecuada lo que a continuación se menciona. a) Si “M” es un punto que biseca al segmento, entonces lo _______ en partes iguales. b) Con tres puntos colineales se puede obtener _________ segmentos. c) Dos puntos cualesquiera determinan una ________.
1ERO DE SECUNDARIA
21) Indica el número de segmentos en la figura. D
B A a) 1 d) 4
E
C b) 2 e) 5
A
B
c) 3
22) ¿Cuántos segmentos se pueden formar con los puntos A, B, C y D? a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
26) Utilizando compás y regla, determina el punto medio del segmento AB.
27) Utilizando compás y regla determina el punto medio del segmento PQ. Q
D A
B
C
P
131
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
28) Calcula el máximo valor entero que puede tomar el segmento AC. a) 5 b) 12 5 c) 17 d) 15 e) 16 A
B 12 C
29) Calcula el mínimo valor entero que puede tomar el segmento PQ. a) 3 b) 2 c) 5 d) 1 e) 4 Q
P 9 R
13
30) Calcula el máximo valor entero que puede tomar x + y. a) 26 b) 28 10 c) 30 d) 25 e) 27
132
x y 18
El ADN (la huella digital de las criaturas vivientes) tiene la forma de una larga escalera que se tuerce como un espiral. Si todo el ADN de una de tus células se desempacara y se estirara tendría aproximadamente 180cm. Debido a que tú tienes más o menos cinco trillones de células (5x1018) en tu cuerpo, la longitud total del ADN empacado en ellas sería al estirarse 30 veces la distancia de ida y vuelta al Sol. Este ADN, desempacado y estirado constituiría un segmento pues tiene dos extremos y una longitud.
1ERO DE SECUNDARIA
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Operaciones con Segmentos Queridos amigos, operar con segmentos es fácil y sencillo, de manera que no tendremos dificultad en resolver problemas referentes a este tema. Dos son las operaciones básicas que trataremos: la suma de segmentos y la resta de segmentos. Éstas se basan en un principio sencillo llamado el postulado de la reunión y que se menciona de la manera siguiente: “El total es igual a la suma de las partes”. Este postulado podemos explicarlo con el siguiente ejemplo: Carlitos se dirige a la casa de Fabiola distante 5 km, para luego recorrer 3 km más hacia la casa de Danielito, tal como indica la figura.
3 km
5 km C
F
Carlitos recorrió entonces : 5 km + 3 km = 8 km
Pero notemos que:
D
5 km es la longitud de CF 3 km es la longitud de FD 8 km es la longitud de CD
Entonces: CF + FD = CD
Notamos pues que la suma de las partes (CF y FD) es igual al total (CD).
De manera similar e intuitiva notamos que si a CD le quitamos o restamos FD, nos quedamos con CF; esto es:
Euclides En tiempo de Ptolomeo I, el gran matemático griego Euclides fundó y creó en Alejandría (siglo IV a.C.) la geometría que lleva su nombre, cuyos principios han servido de base durante dos mil años a la Geometría.
CD - FD = CF
Practiquemos un poco, tomando en cuenta la siguiente figura: 3 km A
Interesante
7 km
2 km B
C
D
AB + BC =
AC
=
AC + CD =
....................
=
..................
BC + CD =
....................
=
..................
AC – BC =
AB
AD – CD =
....................
=
..................
BD – CD =
....................
=
..................
1ERO DE SECUNDARIA
=
5 km
3 km
Einstein dijo: Restringir n u e s t r o s conocimientos a un pequeño grupo de personas debilita el espíritu filosófico de un pueblo y lo conduce a una pobreza espiritual.
133
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Nivel I 1) De acuerdo a la figura, indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona. A B a) AB ∪ BC = AC b) AB ∩ BC = AC c) AB ∩ BC = B d) AB + BC = AC
C ( ( ( (
) ) ) )
2) De acuerdo a la figura, calcula BC si AD = 10, AC = 8 y BD = 6. A
B
a) 2 d) 8
C
b) 4 e) 10
D
A
B
C
D c) 5
D c) 3
5) Relaciona de manera adecuada lo que a continuación se menciona. El postulado de la reunión, indica que el ............ es igual a la suma de las ................ . Dos segmentos son ................. si tienen la misma longitud. Si AB > PQ, entonces la expresión AB ÷ PQ es mayor que ............... .
134
A a) 5 d) 8
B
C b) 4 e) 17
x+10 Q
R
b) 20 e) 6
c) 10
ω
M
a) 2 d) 8
B
b) 4 e) 10
A a) 12 d) 3
x+4 B
x+5 C
b) 2 e) 4
R
b) 10 e) F. D.
13) R e l a c i o n a adecuada:
de
( ( (
) MB - MA = 5 ) AM = MB ) AM > MB
x50+10 A
x50 B
a) 5 d) 0
b) 10 e) F. D.
* * * *
CB < BA CB > BA CB – BA = 10 CB = BA
D c) 6
11) Del problema anterior, halla el valor de CD – BC. b) 2 e) 5
manera
M B a+1 a b) A M B a+5 a c) A M B
Nivel II
a) 1 d) 4
c) 15
C c) x
50
15) Del problema anterior, indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que se menciona.
c) 6
10) Halla el valor del menor segmento determinado si AD = 21. x+3
Q
14) De acuerdo a la figura, halla el valor de BC – AB.
9) Calcula el valor de ‘‘ω’’ en la siguiente figura si AB = 12.
A
x+10
x P
a) A
D
8) Halla el valor de ‘‘x’’ si PR = 30.
a) 8 d) 15
12) De la figura, encuentra el valor de QR – PQ.
a) 5 d) 20
c) 6
ω
C b) 2 e) 5
c) 3
7) Halla el valor de BC si AD = 12, AC = 10 y BD = 9.
P
b) 3 e) 8
B
b) 2 e) 1,5
x
4) Halla el valor de mB C si AB = 14, BD = 18 y C es punto medio de AD. A a) 1 d) 4
a) 1 d) 0,5
c) 6
3) Halla mB C, si AB = 10, BD = 24 y C es punto medio de AD. a) 2 d) 7
6) Si A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos, halla el valor de BC cuando AC = BD = 3 y AD = 5.
c) 3
1ERO DE SECUNDARIA
( ( ( (
) ) ) )
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 16) De acuerdo a la figura, indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona. P
Q
R
PQ + QR = PR PR – QR = PQ PQ ∪ QR = PR PR ∩ PQ = PQ
( ( ( (
) ) ) )
17) De la figura, indica el valor de BC. 12 A
B
C
D
10 15 a) 3 d) 9
b) 5 e) 4
18) De la figura, halla la longitud del menor segmento si AC = 10. x+3
A
B
a) 2 d) 3,5
C
b) 2,5 e) 4
c) 3
19) Halla el valor de la longitud del menor segmento si AD = 27. x–1 A
x B
a) 9 d) 6
b) 8 e) 5
D c) 7
20) Calcula la mínima distancia entre los puntos ‘‘A’’ y ‘‘D’’. 3+x A
2+x B
C
5–2x b) 10 c) 7 D e) Imposible
a) 5 d) 8
Nivel III 21) Calcula la mínima distancia entre los puntos ‘‘A’’ y ‘‘D’’. B
a) 10 d) 20
7–2x
x+5
x+3 A
b) 15 e) 12
C
( ( ( (
) ) ) )
x
x+7 A a) 0 d) 2
B
C
b) 5 e) F. D.
x+10
c) 7
x+5
A
B
a) x b) AB – BM c) AB d) BM ∪ MC
9–x M
( ( ( (
28) En la figura, calcula MN si M es punto medio de AB y N es punto medio de BC. Además AB = 10m y BC = 18 m. A
M
B
N
C
a) 13 m b) 14 m c) 12 m d) 15 m e) 16 m 29) Según la figura, calcula PQ siendo P y Q puntos medios de AB y BC, respectivamente. Además AB = 16m y BC = 20m.
23) Encuentra el valor de AB – BC.
30) H a l l a P Q s i e n d o P y Q puntos medios de AB y BC, respectivamente, y además AC = 32m. A
C ) ) ) )
A B C a) 14 m b) 16 m c) 19 m d) 18 m e) 20 m
12 5 2 BC
P
B
Q
C
a) 16 m b) 18 m c) 12 m d) 14 m e) 10 m
25) Halla AM si M es punto medio de BC y AB = 14m, BC = 18m. A
x+1 C
AB = BC BC – AB = 2 AD = 15 AD ∩ BC = BC
24) De acuerdo a la figura, relaciona correctamente los datos de ambas columnas.
c) 7
x
22) Del problema anterior, indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona.
B
M
C
a) 18 m b) 20 m c) 23 m d) 25 m e) 28 m 26) Calcula PM si M es punto medio de QR, PQ = 8m y QR = 24m. P
Q
M
R
a) 18 m b) 12 m c) 16 m d) 20 m e) 24 m 27) Halla AM si AM = BM, BC = 15m y AC = 27m A M B C a) 8 m b) 12 m c) 6 m d) 10 m e) 4 m
Si hay un parásito que sin duda pone los pelos de punta tan sólo con la idea de poder albergarlo en el interior es la tenia. La tenia o solitaria es un parásito intestinal que llega a alcanzar los 10 metros de longitud y vive solo en el interior del intestino delgado y grueso del individuo. Imagínate un gusano así adherido a las paredes de tu intestino.
D c) 5
1ERO DE SECUNDARIA
135
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Ejercicios de Reforzamiento 4) Indica las figuras geométricas convexas.
Nivel I 1) Completa de manera adecuada lo que a continuación se menciona. Una figura geométrica es un conjunto de ___________. En una ____________ recta todos sus puntos siguen una misma dirección. La planimetría, llamada también ____________, estudia las figuras geométricas en el plano. 2) Indica verdadero (V) o falso (F) en los siguientes enunciados: Tales de Mileto fue discípulo de Pitágoras. ( ) Dos rectas secantes se cortan en dos puntos. ( ) La intersección de dos rectas paralelas es nula. ( ) La circunferencia es una figura geométrica no convexa. ( ) 3) Relaciona de manera conveniente los datos de ambas columnas. A) Línea ( quebrada
)
B) Figura no ( convexa
)
C) Rectas ( paralelas
)
D) Rayo
)
(
a) CDBA b) DCAB c) ABCD d) CDAB e) CADB
136
8) En la figura, θ ≠ ∅. Indique la alternativa incorrecta. L1
a) b) c)
L2
L3
d) e) f) θ
a) a, c y d b) b y e c) d y f d) Todas e) b, d y e
A
5) Para el cuadrado ABCD, señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda. B
C
B
θ
∅
L4
a) L1 // L2 b) L1 ∩ L4 = A c) L2 // L3 d) L2 ∩ L4 = B e) L2 // L1 9) ¿Cuántos puntos de corte hay?
A
D
BC es paralelo a AD CD es paralelo a BC AB es paralelo a CD AB es secante a BC
( ( ( (
) ) ) )
6) Del problema anterior, escriba verdadero (V) o falso (F). a) BC // AB b) BC ∩ AB = C c) AB ∩ CD = ∅ d) AB ⊥ BC
( ( ( (
) ) ) )
7) Indica el número de puntos de corte en la siguiente figura. a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) 14
a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 10) Calcula el máximo número de puntos de corte entre doce rectas paralelas y dos rectas secantes. a) 24 d) 21
b) 23 e) 50
c) 25
Nivel II 11) Completa de manera adecuada lo que a continuación se menciona: Si un punto biseca a un segmento, entonces lo _____________ en partes iguales. Dos segmentos se intersecan en ______________ punto. La distancia más corta entre ____________ es la longitud del segmento que los une.
1ERO DE SECUNDARIA
GEOMETRÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 12) En la figura, AC – AB = 6. Halla mBC. A
B
a) 6 d) 24
C
b) 3 e) 4
c) 12
3–x3
12+x3
B
a) 15 d) 36
b) 12 e) 18
C c) 3
14) Del problema anterior, si x = 1, halla AC – BC. a) 12 d) 11
a) 40 m b) 44 m c) 48 m d) 64 m e) 60 m
b) 13 e) 10
c) 15
15) Relaciona correctamente ambas columnas. a)
(
) Rayo
b)
(
) Línea quebrada
c)
(
d)
(
) Línea curva ) Segmento
16) Ubica el punto medio del segmento PQ utilizando la regla y el compás. P
Q
a)
(
) triángulo
b)
(
) línea curva
(
) figura convexa
c)
d) ( ) figura no convexa
M P b) 12 e) 10
B c) 4
18) Del problema anterior, indica el valor de 2 mPB. a) 16 d) 10
b) 24 e) 8
c) 20
1ERO DE SECUNDARIA
b) 10 e) 12
21) Indica el máximo número de puntos de corte entre 5 rectas secantes. a) 10 d) 40
b) 20 e) 5
c) 30
22) Calcula B C si AD = 12, AC = 10 y BD = 9. A a) 7 d) 6
B b) 5 e) 8
C D c) 4
23) Las regiones que se muestran son equivalentes. Halle el valor de “x”.
c) 14
26) Halla x. 4
a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 5
3
2x+1
27) Halla x. x
a) 11 b) 13 c) 14 3 d) 12 e) 15
12 4
Nivel III
28) Calcula (a + 2) si L1 // L2 // L3. a) 4 b) 5 c) 7 d) 6 e) 8
a
L1
2
8
L2
a
L3
29) Calcula x + 3 si L1 // L2 // L3. a) 2 b) 5 c) 4 d) 6 e) 8
L1 L2
3
1 x+1
9
L3
30) Halla a si L1 // AC. B
17) Si ‘‘P’’ es punto medio de AB, halla mAP. 12+x 8–x A a) 8 d) 6
25) Del problema anterior, calcula mAC. a) 8 d) 16
20) Relaciona de manera adecuada los datos de ambas columnas.
13) Calcula mAC. A
19) Halla el perímetro de un cuadrado de lado 15 m.
a+1
25m2
x 3
a) 25 m b) 25 m c) 25 m d) 50 m2 e) 80 m2
A a) 4 d) 7
B b) 6 e) 12
L1
4
3
2
24) Si AB = BC, halla el valor de ‘‘x’’. 4+x 12 – x
8
A a) 6 d) 4
C b) 5 e) 8
c) 7
C c) 8
137
RAZ.MATEMÁTICO NOTA REVISIÓN BIMESTRAL
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
Lógica Recreativa I (Cerillas - Relación de Tiempo)
Objetivos Despertar y ejercitar el ingenio y destreza visual.
Ejemplo 1: Se ha construido una casa utilizando 10 cerillas. Cambia en ella la posición de dos cerillas, de tal forma que la casa aparezca de otro costado.
Po t e n c i a r l a h a b i l i d a d intelectual. Afianzar el desarrollo de la imaginación, la creatividad y el ingenio.
Resolución: Cambio
Quedaría
Hallaremos en este tema ejercicios muy interesantes en los cuales tendrás que aplicar tu habilidad y destreza visual, usando conocimientos elementales de la geometría y la aritmética, aunque en algunos tu ingenio e imaginación. Encontrarás ejercicios de diferente nivel, desde los básicos hasta los complicados. Emplearás tu creatividad hasta desarrollar tu habilidad analítica y esto te ayudará a desarrollar tu pensamiento creativo mediante el empleo de nuevos enfoques ingeniosos.
Ejemplo 2: Retirando once cerillas, deja seis.
Resolución:
Cerillas Hallaremos ejercicios de interés que para resolverlos aplicarás tu destreza visual y habilidad mental; cambiando de posición, colocando o quitando cerillas según la conveniencia del ejercicio.
1ERO DE SECUNDARIA
Quito once cerillas
139
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS Ejemplo 3:
El culpable del reto
Una balanza, compuesta por nueve cerillas se halla en un estado de desequilibrio. Es preciso cambiar la posición de cinco cerillas, de tal forma que la balanza quede en equilibrio.
Resolución: Cambio
Quedaría 1 2
3
5
1
3
4
2 4
5
Ejemplo 4: Como se ve, las ocho cerillas forman en este caso catorce cuadrados. Retira dos cerillas y deja solo tres cuadrados.
Resolución: Quito 2 cerillas
Relación de Tiempo Para el desarrollo de este tipo de ejercicios se sugiere utilizar la recta numérica comparando los números con los días; así: 1. RECTA NUMÉRICA
–3
140
Anteayer
Ayer
–2
–1
Pasado Hoy Mañana Mañana 0
1
2
3
Fermat nació en los albores del siglo XVII, en 1601 en Beaumont, un pueblo al suroeste de Francia. Su padre era un rico comerciante de pieles, lo que le permitió realizar sus estudios de leyes en la Universidad de Toulouse, donde nunca destacó en Matemáticas. No publicó en su vida ningún libro sobre matemáticas. De hecho llegó a escribir a Pascal: “No quiero que aparezca mi nombre en ninguno de los trabajos considerados dignos de exposición pública”. Pero Fermat tenía la pasión por los números. Y ello en parte gracias al libro de un matemático que vivió 1300 años antes que él. Este libro era la edición de la Aritmética de Diofanto. La Aritmética constaba de 13 libros de los cuales sólo seis sobrevivieron a la destrucción de la gran biblioteca de Alejandría, primero por los cristianos y luego por los musulmanes. En 1621 aparece en Francia una traducción al latín de estos seis libros, realizada por Bachet, otro aficionado a los acertijos matemáticos. Este libro se convertiría en el libro de cabecera de Fermat durante muchos años. En él, Diofanto propone más de cien problemas numéricos y da brillantes soluciones a todos ellos. Algunos tienen que ver con las ternas pitagóricas, es decir, las ternas de números enteros que verifican X2 + Y2 = Z2 Fermat intuye que el exponente 2 es una frontera matemática para este tipo de ecuaciones con números enteros y postula, en una de las anotaciones a la Aritmética, su famoso reto. Desde este momento las mejores mentes matemáticas de 3 siglos no van a poder sustraerse a la tentación de intentar encontrar esa maravillosa demostración de la que habla Fermat. Euler lo demostró para n = 3 y n = 4. Dirichlet y Legendre para n=5 Lamé para n = 7. Kummer para todos los primos menores que 100 salvo para n = 37, 59 y 67. Sophie Germain....
1ERO DE SECUNDARIA
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Ejemplo 7:
Ejemplo 5: S í , Fa r i d , e n u n momento te daré la respuesta.
Aarom, puedes decirme, ¿qué día será el ayer de pasado mañana si el ayer de mañana es jueves?
Sabiendo que el mañana del anteayer del ayer de mañana era martes, ¿qué día será el anteayer del mañana de pasado mañana? Dato : +1 – 2 – 1 + 1 <> martes – 1 <> martes Piden : –2 + 1 + 2 = +1 Martes Miércoles Jueves
–2
Después de aquella conversación, Aarom hizo lo siguiente: Resolución: Considerando la siguiente analogía: Anteayer
Ayer
Hoy
–2
–1
0
Ahora el dato:
ayer de mañana <> jueves
–1
Curiosidades
2
¿Cuáles son los números que faltan?
+1
0 <> jueves
3 4 5 6 7 8 9 10
Luego piden :
El ayer de pasado mañana
–1
2 1 (Piden)
0
Rpta.: Jueves
Pasado Mañana Mañana 1
–1 (Dato)
+2
52 63 94 46
+1 (Dato) (Piden) jueves viernes
–2
–1
0
1
2
Después de resolver, Aarom le responde a Farid que ese día será el viernes. Rpta.: Viernes Ejemplo 5: Si hoy es domingo, ¿qué día será el ayer de pasado mañana de hace dos días? Resolución: Dato :
Desafío La figura representa una copa con una cereza adentro. Se trata de obtener, moviendo sólo dos fósforos, una copa igual a la original pero con la cereza afuera.
0 <> domingo
Piden :
–1 + 2 – 2 = – 1 sábado domingo –2
–1 0 (Piden) (Dato)
1ERO DE SECUNDARIA
1
2 Rpta.: Sábado
141
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Nivel I 1) Retirando cinco palitos de fósforo deja uno.
Las siguientes igualdades formadas con palitos de fósforo son incorrectas. ¿Cuántos cerillos debes mover como mínimo para que expresen igualdades correctas? 4)
2) Quita tres palitos de fósforo, de tal manera que queden sólo tres cuadrados.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5)
3) Quita cuatro palitos de fósforo de la figura, de tal manera que queden sólo cinco cuadrados del mismo tamaño.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Dado el siguiente gráfico obtenido con 12 palitos de fósforo, se pide:
8) ¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar para formar tres cuadrados? a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5
9) ¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar para formar tres cuadrados? a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5
10) ¿Cuántos fósforos como mínimo debes mover para que en total se formen 5 cuadrados? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
Nivel II 6) Quita dos palitos para obtener tres cuadrados del mismo tamaño.
7) Quita dos palitos para obtener tres cuadrados del mismo tamaño.
142
11) El ayer de ayer fue jueves. ¿Qué día será el mañana de mañana? a) domingo b) lunes c) sábado d) martes e) miércoles
1ERO DE SECUNDARIA
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 12) Si hoy es lunes, ¿qué día será el mañana de hace dos días? a) domingo b) lunes c) jueves
d) sábado e) viernes
13) Si el anteayer de ayer de mañana de pasado mañana es sábado, ¿qué día fue anteayer de ayer? a) miércoles b) martes c) sábado
d) jueves e) viernes
14) Si el pasado mañana de ayer es jueves, ¿qué día será el mañana de anteayer? a) martes b) miércoles c) jueves
d) viernes e) lunes
19) Si hoy es miércoles, ¿ qué día será el pasado mañana de dentro de tres días? a) martes b) domingo c) lunes
23) En la siguiente figura, cambia de posición a dos palitos para obtener cinco cuadrados iguales.
d) miércoles e) jueves
20) Si el anteayer de mañana de pasado mañana es viernes, ¿ qué día fue ayer? a) miércoles b) lunes c) sábado
d) jueves e) martes
Nivel III
24) Debes quitar el mínimo de palitos de fósforo para que queden solamente cuatro cuadrados iguales.
21) Se tiene doce cerillas dispuestas en cuatro cuadrados pequeños como se observa:
15) Si el mañana de mañana es lunes, ¿qué día fue ayer? a) miércoles b) jueves c) domingo
d) sábado e) viernes
16) Si hoy es martes, ¿qué día será el mañana de ayer del pasado mañana de mañana? a) jueves b) viernes c) sábado
d) domingo e) lunes
17) Si el ayer de mañana es jueves, ¿qué día es hoy? a) lunes b) martes c) miércoles
d) jueves e) viernes
18) Siendo martes el ayer de anteayer, ¿qué día será pasado mañana de ayer? a) sábado b) martes c) viernes
d) jueves e) miércoles
1ERO DE SECUNDARIA
a) Quita dos cerillas, dejando dos cuadrados. b) Quita cuatro cerillas, dejando dos cuadrados iguales. c) Mueve tres cerillas, para hacer tres cuadrados del mismo tamaño. d) Mueve dos cerillas para hacer siete cuadrados de tamaños diferentes. e) Mueve cuatro cerillas para hacer diez cuadrados, no todos del mismo tamaño.
25) Se ha construido una casa utilizando 10 cerillas. Cambia en ella la posición de dos cerillas, de tal forma que la casa aparezca de otro costado.
26) En el siguiente gráfico, ¿cuál es el menor número de cerillas que se deben cambiar de lugar para obtener una igualdad correcta?
22) Aumenta 3 palitos de fósforo, en la figura, para que se formen 5 triángulos. a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
143
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 27) Halla el mínimo número de palitos de fósforo que se deben mover en la figura para que el pez representado mire al otro lado. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Problema Recreativo 28) ¿Cuántos fósforos debes agregar como mínimo para formar seis cuadrados? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
¿Nino es el que miente? Sí, me responde.
29) Sabiendo que el mañana del anteayer del mañana de pasado mañana es jueves, ¿qué día será el anteayer del ayer del mañana de hace 2 días? a) viernes b) lunes c) domingo
Pipo y Nino son hermanos gemelos. Uno de los dos, pero no se sabe cuál, miente siempre, mientras que el otro siempre dice la verdad. Me acerco a uno de ellos y le pregunto:
d) jueves e) martes
I. Hablé con Nino. II. Hablé con Pipo. III.Pipo es el mentiroso. IV. Nino es el mentiroso. a) I y II b) II y IV c) Sólo II d) Sólo IV e) II y III
30) Si ayer hubiera sido mañana, faltarían dos días para el miércoles. ¿Qué día es hoy? a) domingo b) martes c) lunes
144
d) viernes e) sábado
1ERO DE SECUNDARIA
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Lógica Recreativa II (Parentesco - Situaciones Diversas) Resolución:
Objetivos
Hagamos un gráfico. Hermanos
Desarrollar tu imaginación e ingenio. Potenciar la habilidad mental e intelectual.
de
de padre a hija
tío
ob
Comprender las relaciones de los componentes de la familia.
En este tema se presentan ejercicios referentes a las situaciones de relaciones familiares o parentesco, en los cuales los enunciados son de difícil comprensión, para lo cual nosotros haremos uso de nuestra habilidad mental para llevar a cabo el proceso lógico–deductivo que nos lleve a la solución de los ejercicios. Alumno, te sugerimos resolver los ejercicios realizando enfoques diferentes al pensamiento convencional.
1ERO DE SECUNDARIA
o
Del cuadro, se deduce que mi padre es el tío del hijo de su hermana.
∴ Rpta.: Es mi padre. Ejemplo 2: ¿Qué parentesco tiene conmigo la comadre de la madrina del sobrino de mi única hermana? Resolución: Hagamos un gráfico. Esposos
Yo
Ejemplo 1: Mi nombre es Gisela. ¿Qué parentesco tiene conmigo el tío del hijo de la única hermana de mi padre?
de madre a hijo
rin
Hijo de Tía
Yo (Gisela)
Parentesco Aquí observaremos enunciados de difícil comprensión, pues los resolveremos graficando los personajes de manera coherente.
as
Única hermana de mi padre (tía)
Mi hijo
Relación de madrina a ahijado
Del cuadro se deduce que la persona buscada es mi esposa.
145
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS ¿Existe otra forma para resolver este tipo de problemas? Pues si escribimos el texto para analizarlo, y empezamos del final del texto hacia el inicio del mismo. «La comadre de la madrina del sobrino de mi única hermana» Mi hijo
Otros regalos de Fermat
Mi comadre
Los viejos números primos
Mi esposa
∴ Rpta.: Esa persona es mi esposa.
Cantidad de integrantes de la familia Usualmente para este tipo de problemas se pide la cantidad mínima de personas que integran un grupo familiar, y para resolver esto, debemos relacionar la mayor cantidad posible de características a las personas para que su número sea mínimo.
Ejemplo 3: En un restaurante estaban cenando dos padres y dos hijos, ¿cuál es el menor número de personas que había en el restaurante? Resolución: Es decir que había dos padres. Hagamos lo posible para que a la vez sean dos hijos, así: (Abuelo)
Padres (Padre)
Hijos
∴ Rpta.: La respuesta sería 3.
146
Hay dos grandes familias de números primos: Unos son de la forma 4 n + 1: 5, 13, 17, 29, 37, 41... Los otros de la forma 4 n +3: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43... Fermat descubrió que todos los de la primera familia se pueden escribir como la suma de dos cuadrados. Pero en cambio, ninguno de los de la segunda familia se puede descomponer en la suma de dos cuadrados. El pequeño teorema de Fermat: Si "a" es un número natural cualquiera, por ejemplo 9 y p un número primo que no es divisor de "a", por ejemplo 5; siempre se cumple que "p", en este caso 5, es divisor exacto de ap–1 –1, en nuestro caso 95 – 1 – 1. En efecto 94 – 1 = 6561 – 1 = 6560 que es divisible por: 5 6560 : 5 = 1312. Esta brillante joya numérica se conoce como el “pequeño teorema de Fermat”. Y, cómo no, fue demostrado por Euler cuando tenía 29 años. Su gran fallo. Los primos de Fermat. Fermat afirmó que todos los n números de la forma 22 + 1, son números primos. Euler se encargaría de demostrar que por una vez Fermat estaba equivocado. Si n=5.232 + 1 = 4294967297 = 641 x 6700417 no es primo. Pero aunque Fermat es el gran impulsor de los problemas relacionados con los números enteros, para encontrar el origen de estos problemas hay que retroceder en el tiempo hasta el nacimiento de la Aritmética y viajar al siglo VI antes de Cristo.
1ERO DE SECUNDARIA
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Ejemplo 6:
Situaciones Diversas En este tema nos encontraremos con situaciones ingeniosas que exigen raciocinios hábiles para dar respuestas ingeniosas.
¿Cuál es el menor número de rectas que deben trazarse para dividir la figura en 6 regiones?
Ejemplo 4: Josué tiene un libro de 200 hojas, y su hermanito Ángelo le arranca las páginas 12; 15; 20; 100; 121; 138; 140. ¿Cuántas hojas le quedan? Resolución: Pues obvio, si arrancó la página 15 por ejemplo, también se habrá arrancado la página 16. Sabes ¿por qué?
Resolución: Deben trazarse dos, tal como se muestra a continuación:
Entonces se habrá arrancado en realidad las páginas: 11; 12 15 ; 16 19;20 99;100 121;122 137;138 139;140 1 hoja
1 hoja
1 hoja
1 hoja
1 hoja
1 hoja
1 hoja
∴ Rpta.: Quedan : 200 – 7 = 193 hojas
4
5
6 3
2 1
Ejemplo 5: Un automóvil recorre 8000 km permutando sus llantas (incluyendo la de repuesto). Para que todas tengan igual desgaste, ¿qué distancia recorre cada llanta? Resolución: Pues el automóvil lleva siempre 5 llantas (una de repuesto), de las cuales cuatro de ellas siempre están en movimiento. 8000 km
Como las 5 llantas se permutan, entonces cada llanta recorre:
4 x 8000 = 6400 km 5
∴ Rpta.: 6400 km
1ERO DE SECUNDARIA
Los griegos fueron los inventores de la ciencia, sobre la base de los conocimientos heredados de Egipto y Oriente. Ellos consiguieron que el pensamiento humano obtuviera el primer grado de abstracción matemática. Los pueblos antiguos calcularon áreas de triángulos pero los griegos generalizaron esos cálculos para cualquier triángulo. Se ocuparon de definir entes geométricos con conceptos puramente abstractos y de usar exclusivamente la lógica para obtener las conclusiones.
147
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Nivel I 1) El hijo de la hermana de mi padre es mi: a) Sobrino b) Tío c) Primo
d) Nieto e) Abuelo
2) La tía del padre de la hermana de mi madre es mi: a) Madre b) Tía c) Abuela
d) Bisabuela e) Tiabisabuela
3) ¿Quién es la suegra de la mujer de mi hermano? a) Mi tía b) Mi madre c) Mi hija
d) Mi abuela e) Mi esposa
4) El abuelo del hijo de mi hermano es mi: a) Sobrino b) Tío c) Padre
d) Hijo e) Hermano
7) ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre si soy hijo único? a) Hermano b) Tío c) Esposo
d) Padre e) Primo
8) La única hija del abuelo de mi padre es mi: a) Prima b) Abuela c) Tía
d) Madre e) Tía abuela
9) ¿Quién es el hombre que es el padre de la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) Mi hermano d) Mi abuelo b) Mi tío e) Yo c) Mi padre 10) ¿Qué representa para Miguel el único nieto del abuelo del padre de Miguel? a) Él mismo b) El nieto c) Su hijo
d) Su papá e) Su abuelo
Nivel II 5) ¿Qué parentesco tiene conmigo una persona que su madre fue la única hija de mi madre? a) Abuelo b) Hermano c) Tío
d) Madre e) Hija
6) ¿Qué parentesco tiene conmigo una persona que su madre fue la única hija de mi madre? a)Mi hermana d) Mi cuñada b)Mi tía e) Mi sobrina c)Mi suegra
148
11) La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi: a) Hija b) Madre c) Nieta
d) Sobrina e) Primo
12) El hermano de la hija del tío de mi padre es mi: a) Padre b) Abuelo c) Tío
13) ¿Qué parentesco tiene conmigo María si se sabe que su madre fue la única hija de mi madre? a) Es mi tía b) Es mi hija c) Es mi hijastra d) Es mi sobrina e) Es mi esposa 14) ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) Hermana b) Prima c) Sobrina
d) Hija e) Nieta
15) Juan es el abuelo del hijo de mi hijo. ¿Quién es el hijo de Juan? a) Yo d) Mi hijo b) Mi nieto e) Mi sobrino c) Mi hermano 16) ¿Qué parentesco me une a Pedro si mi papá es cuñado de su papá? a) Es mi sobrino b) Soy su tío c) Somos hermanos d) Somos primos e) No somos parientes
17) ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del único vástago de mi hija? a) Hija b) Nieta c) Sobrina
d) Nuera e) Bisnieta
d) Tío abuelo e) Bisabuelo
1ERO DE SECUNDARIA
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 18) ¿Qué parentesco tiene Juan con la hija de la esposa del único vástago de su madre? a) Tío b) Sobrino c) Esposo
d) Hijo e) Cuñado
19) ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre si soy hijo único? a) Soy su hijo b) Soy su hermano c) Soy su esposo d) Soy su sobrino e) Soy su nieto
24) ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) Madre b) Hija c) Suegra
d) Sobrina e) Nieta
25) ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre?
30) Se escucha el siguiente diálogo entre dos personas que miraban un retrato. Natalia: Mamá, ¿quién es ese hombre? Mamá: La madre de ese hombre, que no es mi tío, era la suegra de mi madre. ¿Qué parentesco había entre Natalia y el retratado? a)Su hermano d) Su abuelo b)Su padre e) Su esposo c) Su tío
a)Mi sobrina d) Mi hija b)Mi hermana e) Mi nieta c)Mi tía
Nivel III 20) ¿Qué parentesco tiene conmigo el hijo de la esposa del único vástago de mi abuela? a) Mi hijo b) Mi hermano c) Yo mismo d) Mi padre e) Puede ser b o c 21) Si el hijo de Hugo es el padre de mi hijo, ¿qué parentesco tengo yo con Hugo? a) Soy su hermano b) Soy su padre c) Soy su hijo d) Soy su nieto e) Soy su compadre 22) ¿Qué parentesco tiene conmigo un joven que es el hijo de la esposa del único vástago de mi abuela? a) Padre b) Hermano c) Tío
d) Hijo e) Primo
23) Pepe le dice a su papá que la hermana de su tío no es su tía, su papá le responde: «Tienes razón». ¿Quién es entonces la hermana de su tío que no es su tía? a) Su tía d) Su amiga b) Su madre e) Su prima c) Su hermana
1ERO DE SECUNDARIA
26) Horacio es cuñado de Miguel, Miguel es cuñado de Elena y Elena es hermana de la esposa de Miguel. ¿Qué parentesco hay entre Horacio y Elena? a) Cuñados d) Esposos b) Hermanos e) Primos c) Concuñados 27) Yo tengo un hermano únicamente. ¿Quién es el otro hijo del padre del tío del hijo de la mujer del hijo de mi padre que, a pesar de todo, no es mi hermano? a)Mi hermana d) Mi sobrino b)Mi hijo e) Soy yo c)Mi padre 28) En una fábrica trabajan 3 padres y 3 hijos. ¿De cuántas personas como mínimo estamos hablando? a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 2
29) En una reunión se encuentran 2 padres, 2 hijos y 1 nieto. ¿Cuántas personas como mínimo hay en la reunión? a) 3 b) 2 c) 4
d) 5 e) 6
149
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Habilidad Operativa Iniciaremos el curso mediante el estudio de métodos que nos permiten ahorrar tiempo en los cálculos. Presentaremos algunos casos sobre el desarrollo abreviado de ciertas operaciones básicas. El dominio de los métodos o mecanismos que planteamos sólo requieren de práctica y habilidad.
Multiplicación Abreviada 1. MULTIPLICACIÓN POR 5 Deduzcamos el procedimiento. 1) 213 x 5 = ? 10 2130 = 213 x = 1065 2 2 2) 325 x 5 = ? 3250 10 325 x = 2 = 1625 2
Regla Práctica Para multiplicar por 5 se le agrega al número un cero a la derecha y el resultado se divide entre 2.
Los huesos de Napier ¿Tienes algún problema en multiplicar números grandes? ¿No puedes recordar las tablas? ¿Has perdido la calculadora? ¡SOCORRO! John Napier inventó un sistema de multiplicación en el siglo XVII. Fue conocido como “los huesos de Napier”, ¡porque los números originales estaban tallados en huesos! Éste es el hueso para el número 6. Los dos números en cada fila tienen una línea inclinada que los separa. Los números de la izquierda son decenas y los de la derecha unidades. Así por ejemplo, la primera fila no tiene decenas y sí 6 unidades, por lo tanto es 6. El segundo tiene 1 decena y 2 unidades, lo cual hace 12, y así sucesivamente. Cada fila tiene 6 más que la anterior.
2. 4 783 x 5 = ....................... 3. 92 432 x 5 = .......................
150
6
1
0
6
1
2
2
1
3
1
2
8
2
4
4
2
4
3
0
5
3
6
3
0
6
4
2
7
4
2
4
8
8
4
8
5
4
9
5
4
1
3
8
6
¡Es fácil!
Pero, ¿qué ocurre si quieres multiplicar 64 x 4? Primero, haz una nueva tira y llénala con números para 4. Colócala a continuación de la tira del 6 para hacer 64. Alíneala con la tira x (veces) fig. 2
6 0
4
X
6 0 2 0
4
1
8
2
8 1 4 1
2
3
6
4
0 2 6 2
0
5
4
6
8
7
4
2 2 8 3
2
8
5
4 3
6
9
1 1 2
Ahora escribe los números de las filas que se alinean con el número 4 de la tira x (veces), como indica la flecha de líneas punteadas, (el aspecto será el de la figura de la derecha). Ahora escribe los números debajo, sumando los números unidos por la raya inclinada.
3 3 4
Fig. 2
4
1
6
Ejemplos: = ........................
X 6
Fig. 1
2
1. 832 x 5
6 0
Utilizando una hoja de papel cuadriculado, dibuja y corta 2 tiras. Haz que una de ellas sea la fila x (veces), la otra será la tira 6. Para saber cuánto es 3 x 6, encuentra el 3 en la tira x (veces) y mira la fila correspondiente en la tira del 6. ¡Ésa es la respuesta 18!
2
5
La respuesta es 256
Intenta multiplicar 64 x 8 4
8
4
11
3
2
6 2
La columna del centro suma ahora más de 10, así se traslada el 1 a la siguiente columna de la izquierda.
5 1 2 La respuesta es 512
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 2. MULTIPLICACIÓN POR 11 Veamos el procedimiento: 27 x 11 27 27 297
1) 27 x 11 = ? +
+
0 2 7 ↓ ↓ ↓ 2 9 7
+ + + +
Para multiplicar por 15, sólo se le agrega su mitad y a este resultado se le multiplica por diez.
1. 82 x 15 = ............................ 2. 341 x 15 = ............................ 3. 924 x 15 = ............................
∴ 27 x 11 = 297
2) 3874 x 11 = ?
Regla Práctica
4. MULTIPLICACIÓN POR 25 3 874 11 3 874 3 874 42 614 x
0 3 8 7 4 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 4 2 6 1 4 ∴ 3874 x 11 = 42614
Deduzcamos el procedimiento: 1) 42 x 25 = ? 42 x
4200 100 = = 1050 4 4
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
2) 84053 x 99999 = ? Se agregan 5 ceros (son 5 nueves) 8405300000 – 84053 8405215947
Regla Práctica
Para multiplicar por cifras 9, se coloca a la derecha del número tantos ceros como “nueves” tenga el otro número y en seguida al número obtenido se le resta el número original. Ejemplos: 1. 27 x 9999 = ............................ 2. 563 x 999 = ............................ 3. 1258 x 999999 = ....................
2) 174 x 25 = ? 17400 174 x 100 = = 4350 4 4
Regla Práctica
Para multiplicar por 11, la última cifra se repite, las siguientes cifras del resultado se obtienen sumando de derecha a izquierda sucesivamente, hasta llegar a la primera cifra, que también se debe sumar con la cifra cero.
Regla Práctica Para multiplicar por 25, al número se le agrega dos ceros a su derecha y el resultado se divide entre 4. Ejemplos:
Ejemplos:
En la América Precolombina, los incas practicaron la suma mediante un método sencillo y original; unían trozos de cuerdas de varios colores por medio de nudos. Cada uno de éstos era un número y el conjunto se llamaba “quipu”.
1. 429 x 25 = ............................
1. 87 x 11
= ............................
2. 926 x 25 = ............................
2. 456 x 11
= ............................
3. 2562 x 25 = ............................
3. 37591 x 11 = ............................
3. MULTIPLICACIÓN POR 15
5. MULTIPLICACIÓN POR 9, 99, 999, 9999, ...
Veamos el procedimiento:
Deduzcamos el procedimiento:
1) 24 x 15 = ? 24 x 15 = (24+12) x 10 = 360
1) 3265 x 999 = ? Se agregan 3 ceros (son 3 nueves)
2) 43 x 15 = ? 43 x 15 = (43+21,5) x 10=645
1ERO DE SECUNDARIA
3265000 – 3265 3261735
Aquí vemos un “quipu” representado por Felipe Huamán Poma de Ayala, entre 1583 y 1613, en un manuscrito.
151
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
6. MULTIPLICACIÓN DE 2 NÚMEROS DE 2 CIFRAS CADA UNO
31 x 12 = ? 6 x
2)
31 12 372 6+1
15 =x
54
Deduzcamos el procedimiento: 1) (15)2 = 225
Veamos el procedimiento: 1
x2
2
1) (14) = ? (14)2 = (14 + 4) (14 – 4) + 42 (14)2 = (18) (10) + 16 (14)2 = 196
x
54 x 36 = ? 30
2. CUADRADO DE UN NÚMERO QUE TERMINA EN 5
1. CUADRADO DE UN NÚMERO DE 2 CIFRAS
Veamos el procedimiento: 1)
Cálculo de números al cuadrado
2) (185)2 = 34225 x 19
Regla Práctica
2) (56)2 = ? (56)2 = (56 + 6) (56 – 6) + 62 (56)2 = (62) (50) + 36 (56)2 = 3136
12 x=24
36 1944 30 + 12 + 2 = 4 4 15 + 4 = 19
(N5)2 = .............25 x(N + 1)
Ejemplos:
Regla Práctica (ab)2 = (ab + b) (ab - b) + b2
1. (85)2 = ............................ 2. (235)2 = ............................
Ejemplos:
Regla Práctica ab x cd
x
ab cd
3. (545)2 = ............................
1. (52)2 = ............................ x
3° 2° 1°
1° Producto de las cifras de las unidades (b x d).
2. (93)2 = ............................ 3. (35)2 = ............................
Recuerda + Número = Número (Número Impar ) ( Par ) ( Impar )
2° Suma de los productos en aspa. (a x d) + (c x b)
Ejemplo: 5
3° Producto de las cifras de las decenas (a x c).
II.
I.
III. 1. 25 x 48 = ............................ 2. 57 x 34 = ............................ 3. 87 x 65 = ............................
7
+
7
=
10
x
4
=
12
x Número = Número ( Número Impar ) ( Impar ) ( Impar )
Ejemplo: 7
152
=
x Número = Número (Número Impar ) ( Par ) ( Par )
Ejemplo: 3 IV.
2
+ Número = Número (Número Impar ) ( Impar ) ( Par )
Ejemplo: 3 Ejemplos:
+
x
9
=
63
1ERO DE SECUNDARIA
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
5) Si una caja de leche cuesta S/. 111, ¿cuánto costará 598 cajas de leche?
Nivel I 1) En una librería cada cuaderno tamaño oficio cuesta S/. 5. Si en marzo por campaña escolar venden 9518 cuadernos, ¿a cuánto ascendieron los ingresos por la venta de estos cuadernos?
a) S/. 22 315 b) S/. 21 325 c) S/. 22 305 d) S/. 21 335 e) S/. 22 325 4) La entrada a un parque de diversiones cuesta S/.11. Si en el mes de marzo ingresaron 7615 personas, ¿a cuánto ascendió la recaudación por la venta de entradas?
a) S/. 84 765 b) S/. 82 775 c) S/. 84 775 d) S/. 87 765 e) S/. 83 765
1ERO DE SECUNDARIA
d) 11 e) 12 Nivel II
11) 29 x 49 = ab2a 2
6) Resuelve: N = 65 + 57 x 11 a) 3 845 b) 4 830 c) 4 852
d) 4 856 e) 3 852
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
12) (57)2 = 3ab9
a) S/. 10 815 b) S/. 11 235 c) S/. 10 985 d) S/. 11 835 e) S/. 11 735 3) Un confeccionista tiene 893 chompas, va a Gamarra y las vende todas a S/. 25 c/u. ¿Cuánto recibe por esta venta?
10) 11 x 37 = a0b a) 8 b) 9 c) 10
a) S/. 66 398 b) S/. 66 768 c) S/. 65 698 d) S/. 66 378 e) S/. 63 378
a) S/. 47 580 b) S/. 47 560 c) S/. 46 590 d) S/. 47 490 e) S/. 47 590 2) Un ambulante vende lentes a S/. 15 c/u. Si en todo el verano vendió 789 lentes, ¿cuánto recibió por la venta de todos los lentes?
En cada caso, determina «a + b».
7) Resuelve: R = 352 + 38 x 11 + 21 x 34 a) 2 350 b) 2 357 c) 2 380
d) 4 250 e) 3 251
d) 27 e) 29
9) Halla con rapidez el valor de «a +b + c», si: 4 321 x 11 = 4abc1 a) 12 b) 18 c) 10
d) 6 e) 9
13) (57)2 = 3ab9
8) Calcula la suma de cifras del resultado de efectuar: P = (1234567)2 – (1234556)2 a) 20 b) 26 c) 28
a) 2 b) 3 c) 5
d) 15 e) 8
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 9
14) (3a)2 = 13b9 a) 8 b) 10 c) 12
d) 11 e) 13
15) Halla «A x B», si: 11 x A = 231 11 x B = 165 a) 189 b) 315 c) 400
d) 185 e) 320
153
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
16) Halla «a + b + c», si: 132 x 99 = a30bc a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
17) Halla «a + b + c», si: 43 x 11 = abc a) 14 b) 15 c) 16
d) 17 e) 18
18) Halla las tres últimas cifras de «n» si: n . 18 = ... 8428 ... (1) n . 28 = ... 0888 ... (2) a) 182 b) 828 c) 246
d) 426 e) 642
19) Halla la suma de cifras de «N», luego de efectuar: N = 172 x 999 a) 23 b) 25 c) 27
d) 29 e) 30
20) Halla la suma de cifras de «N», luego de efectuar: N = 32 x 27 + 41 x 12 + 13 x 61 a) 14 b) 15 c) 16
d) 17 e) 18 Nivel III
21) Resuelve y halla «P + Q», si: P = 232 + 23 x 11 Q = 352 – 71 x 11 a) 682 b) 782 c) 681
d) 581 e) 785
22) En una tienda hay 588 DVD. Si todos los DVD se venden a S/. 5 c/u, ¿a cuánto ascendería el monto de la venta? a) S/. 2 930 b) S/. 2 830 c) S/. 2 840
154
d) S/. 2 920 e) S/. 2 940
23) En el verano un ambulante vende polos a S/. 15 c/u. Si en todo el verano vendió 893 polos, ¿cuánto recibió por la venta de todos los polos?
29) Si 548 x 99 = ...xy, calcula «x – y». a) 7 b) 5 c) 3
d) 1 e) 4
a) S/. 12 395 d) S/. 11 485 b) S/. 14 395 e) S/. 13 385 c) S/. 13 395 24) En una academia cobran por matrícula S/. 11. Si en la academia hay 783 estudiantes, ¿a cuánto ascenderán los ingresos por este rubro? a) S/. 8 703 b) S/. 8 913 c) S/. 8 603
30) Si 43 x 24 = abcd, halla «a + b + c – d». a) 2 b) 3 c) 4
d) S/. 8 613 e) S/. 8 713
25) En una tienda cada mochila «Heavy» cuesta S/. 111. Si por campaña escolar se vende 289 mochilas, ¿cuánto se recibe por esta venta? a) S/. 32 079 d) S/. 33 069 b) S/. 33 169 e) S/. 33 169 c) S/. 32 169
26) La entrada para ver el partido de profesores San Miguel vs Magdalena cuesta S/. 25. Si asistieron 489 personas, ¿a cuánto ascendieron los ingresos por la venta de entradas? a) S/. 11 485 d) S/. 11 725 b) S/. 12 725 e) S/. 12 225 c) S/. 13 225 27) Si MESA x 9999 = ... 2568, halla «M + E + S + A». a) 12 b) 14 c) 16
d) 17 e) 19
28) Si 24 x 3 . 5 = 12 015, calcula el valor de «x». a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 5
1ERO DE SECUNDARIA
d) 5 e) 6
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
Resolución de Ecuaciones Ecuación 1. DEFINICIÓN Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas que tienen como mínimo una variable. A las variables que intervienen en una ecuación se les denomina incógnitas y a los valores que satisfacen la igualdad se les llama soluciones de la ecuación. Ejemplo:
Indeterminada Si tiene infinitas soluciones. Ejemplos: • x - 5 = x - 3 - 2 • xº - 1 ; x ≠ 0
incógnita • 3 x + 5 = 11 → solución: x = 2 igualdad
* 5(x + 3) + 7 = 4(x + 3) + x + 10 ⇒ 5x+ 15 + 7 = 4x + 12 + x + 10 5x - 5x = 22 - 22 0=0 Ecuación incompatible Es aquella que no tiene solución posible.
incógnita • x 2 = 4 → soluciones:
• x2 = 16 → Tiene dos soluciones: 4 y -4 * 3x + 5 = 2x + 11 ⇒x=6
x=2 x = -2
Ejemplos:
igualdad
• x + 3 = x - 3 2. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES SEGÚN SUS SOLUCIONES
• 0 . x = 3
Pueden ser compatibles o incompatibles:
* 4(x + 3) + 2 = 3(x + 2) - 5 + x 4x + 12 + 2 = 3x + 6 - 5 + x 4x - 4x = 1 - 14 0 = -13
Ecuación compatible
3. SISTEMA DE ECUACIONES
Es aquella que tiene al menos una solución posible. Se subdivide en:
Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se busca obtener en caso que existan.
Determinada Si tiene un número finito soluciones.
de
• 3x + 2 = 14 → Tiene una solución: 4
1ERO DE SECUNDARIA
Ejemplo: x+y=5 x-y=3 (Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.)
x=4 Solución: y = 1
ya que satisface ambas ecuaciones
Hay diversas formas de resolver un sistema de ecuaciones, nosotros nos centraremos en resolver utilizando los siguientes métodos: - M é t o d o d e r e d u c c i ó n o eliminación. - Método de sustitución. - Método de igualación. Ejemplo: Resuelve el sistema siguiente: 2x + 3y = 13 ... (I) 3x - y = 3 ... (II) utilizando los tres métodos mencionados. Resolución: POR REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN
Multiplicamos la ecuación (II) por 3 y luego sumamos, con lo cual eliminaremos la incógnita “y” y obtendremos el valor de “x”. 2x + 3y = 13 9x - 3y = 9 11x = 22 →
∴ x = 2
Conocido el valor “x” se reemplaza en (I) o (II) para determinar el valor de “y”. Reemplazamos en (I): 2(2) + 3y = 13 ∴y=3 Solución:
x=2 y=3
155
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS Por sustitución De (II) despejamos la variable “y” para luego reemplazarlo en (I). 3x - y = 3 → 3x - 3 = y .... A 2x + 3 y = 13 2x + 3(3x - 3) = 13 2x + 9x - 9 = 13 →
∴x=2
Con “x” conocido, reemplazamos en A y hallamos “y”. y=3 POR IGUALACIÓN De(I) y (II) despejamos “x” o “y”, en este caso vamos a despejar “y”. De I: 2x + 3y = 13 → 3y = 13 - 2x
13 - 2x ... A 3
→y=
De II: 3x - y = 3 → 3x - 3 = y ... B Igualando
A y B :
13 - 2x = 3x - 3 → 13 - 2x = 9x - 9 3 22 = 11x
∴ x=2
Reemplazando en A o B obtenemos: y=3
Despejando “x”: 15x = 6
1. Resuelve: 3(x - 7) + 5 = 2x + 4 Resolución: Primero desaparecemos los paréntesis, multiplicando 3 por (x - 7).
+
156
4. Resuelve: 1 13x 3x 5 + 4 = 9 + 12 2 Resolución:
3x - 21 + 5 = 2x + 4
2 4 1 2 1 1 1 1 1 1
Transponiendo términos: 3x - 2x = 4 - 5 + 21 x = 20
2. Resuelve: (x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4)
18 (3x) + 9(1) = 4(13x) + 3(5) 54x + 9 = 52x + 15 54x - 52x = 15 - 9 2x = 6 x=3
Primero desaparecemos los paréntesis, aplicando productos notables. (x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4) Se tiene:
5. Resuelve:
x2 + 6x + 9 + 7= x2 + 10x + 24
Transponiendo y agrupando términos: 9 + 7 - 24 = x2 - x2 - 6x + 10x -8 = 4x -2 = x
Resolución:
x = 4x2 - 5x + 50 - x Resolución: x+x =
4x2 - 5x + 50
2x = 4x2 - 5x + 50
Observación: Nota que se procura tener a la incógnita con coeficiente positivo.
3. Resuelve: 10x + 2x + 3(x + 8) - 30 = 0
9 12 2 9 6 2 9 3 3 3 1 3 1 1
MCM = 2 x 2 x 3 x 3 MCM = 36
Resolución:
Reduciendo: Luego:
Nicolás Oresme (1323 - 1382) fue probablemente el primero en usar el signo + para la suma en su libro Algorismus proportionum, escrito supuestamente entre 1356 y 1361. Anteriormente “+” se escribía “et” del latín “y”. Después también se uso p (plus).
→x= 6 15
Elevando al cuadrado: (2x)2 = 4x2 - 5x + 50 4x2 = 4x2 - 5x + 50 0 = -5x + 50 x = 50 5 x = 10
Efectuando el paréntesis: 10x + 2x + 3x + 24 - 30 = 0 15 x - 6 = 0
1ERO DE SECUNDARIA
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
7) 3(x - 2) = 27
Nivel I En cada uno de los siguientes ejercicios, halla x.
a) 26 b) 11 c) 7
14) d) 6 e) 8
1) 3x + 18 = 39 a) 5 b) 6 c) 7
8) 2x/3 = 4
d) 8 e) 9
a) 2 d) 8 b) 4 e) 10 c) 6
2) 7x - 12 = 9 a) 1 b) 2 c) 4
9) 2x - 1 = 3 3
d) 5 e) 3
a) 7 b) 8 c) 9
Nivel II d) 10 e) 11
a) 5 b) 3/2 c) - 7/2
a) 6 b) 8 c) 9
5) 3x + 1 = x + 13
6) 3x - 1 = x + 9 a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
1ERO DE SECUNDARIA
d) 2/7 e) - 2/3
11) 3(2x + 14) + 20 = 6(3x - 5)- 28
d) 3 e) 4
a) 2 d) 8 b) 4 e) 10 c) 6
a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6 15) x - x = 1 2 3 a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6
16) 4x - 4 = x . 16 a) 1 d) -3 b) -2 e) -1 c) -4
10) 3x - 5 + 2x = 7x + 2
4) 2x + 3 = x + 5 a) 0 b) 1 c) 2
25 6
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4
3) x + 9 = 18
x x 2 + 3 =
17) 2x - 4,2 = 3,8 a) 1 d) 5 b) 4 e) 3 c) 2
d) 10 e) 12
12) 5(x - 1) + 3(x + 2) = 7(x + 1)
a) -4 b) 6 c) 5/3
d) 1/2 e) -6
13) 2x + 6 = 3x - 7 5 4 a) 21 d) 29 b) 23 e) 30 c) 27 157
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
18) -3x - 9 + 5x + 10 = 4x + 8 - x a) -7 d) -6 b) 7 e) 5 c) 6 19) x + 5 = 3 4 2x - 2 a) 10 d) 5 b) 13 e) -6 c) 12 2(5 - x) 20) 4(x - 2) = 2 5 a) 5/4 b) 1/2 c) -3/5
d) 11/3 e) 3/8
Nivel III 21) Resuelve: 5(x - 2) + 3x = 2(3x + 4) a) 9 b) 6 c) 7
d) 2 e) -3
22) Halla “x” en la ecuación: 3(x - 1) - 4(5 - x)= 2(6 + x) a) 3 d) -4 b) 4 e) 6 c) 7
23) Halla “x” en la ecuación: 4(x + 1) = 20 a) 1 d) 3 b) 4 e) 5 c) 2
24) Resuelve: 3(x + 1) + 4(x - 2) = 16
25) Indica el valor que verifica: 3(x - 1) + 4(x + 2) = 26 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
26) Resuelve: x x = 11 x+ + 2 3 a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6
27) Resuelve: 5x - 5 =3 x+1 a) 4 d) 1 b) 3 e) 0 c) 2
28) x - 1 + x - 2 = 2 4 2 a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2 29) x - 2 + x + 3 = 5 2 3 3 a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2 x 30) 3 x - x = + 12 10 5 2 a) 6 d) 11 b) 8 e) 13 c) 10
a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3
158
1ERO DE SECUNDARIA
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Planteo de Ecuaciones Objetivos Al finalizar el presente capítulo, el estudiante estará en capacidad de: 1. Desarrollar la capacidad de comprensión de textos (enunciados de problemas) de diversa índole, para su posterior representación simbólica. 2. Desarrollar la capacidad de abstracción cuantitativa, es decir, capacidad para representar simbólicamente las cantidades y las relaciones existentes entre ellas. 3. E n f r e n t a r d e m a n e r a adecuada las diferentes formas de plantear y resolver una ecuación. 4. Relacionar los diversos problemas con situaciones de la vida cotidiana.
Aspectos Elementales 1. ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN? Es una igualdad conformada por números e incógnitas en la que nuestra finalidad será hallar el valor de la variable.
La comunicación es una actividad muy importante para la vida y desarrollo de todo ser, pues así se pueden transmitir situaciones de peligro, de hambre, de malestar, etc. Por ejemplo, los animales, para poder comunicarse, han logrado diferentes tipos de lenguaje, algunos tan sorprendentes y sofisticados como en el caso de los delfines o los murciélagos (que inclusive llevaron al hombre a inventar el radar). Estos animalitos emiten señales sonoras de alta frecuencia, imperceptibles al oído humano. Existen otros lenguajes, quizás, más “sencillos” de comprender como es el caso del perro. Es sabido que al llegar a casa, él te recibirá “saludándote” moviendo la colita. Ésta es un señal de afecto. O también cuando en algún momento al acercanos nos gruñe; ésta es una señal de incomodidad. El ser humano, lógicamente, no escapa a esta característica; sin embargo él ha logrado desarrollar diferentes tipos de lenguaje, como por ejemplo: el lenguaje simbólico, el lenguaje cromático, el lenguaje gestual, el lenguaje matemático, el lenguaje textual, etc.
1ERO DE SECUNDARIA
Indica peligro
Indica proceso correcto
Indica servicios higiénicos masculinos
Estos corresponden al lenguaje simbólico. Cuando caminas por la calle y el semáforo está en rojo, para ti indica que puedes cruzar la pista. Cuando vas a la playa y ves una bandera de color rojo, nos indica que el mar está demasiado agitado y por lo tanto no debes nadar. Estos son ejemplos del lenguaje cromático.
Indica que algo está correcto
Observa los siguientes gráficos:
2. ¿PARA QUÉ ESTUDIAMOS ESTE TEMA? Para desarrollar y utilizar en forma adecuada la notación y el vocablo, para poder representar acciones y resultados relacionados con el mundo real y la vida diaria con sus situaciones problemáticas.
Indica primeros auxilios
Indica silencio
Indica que algo está incorrecto En el lenguaje matemático hacemos uso de los “números” (que en realidad son los numerales) y de algunas operaciones conocidas (suma: +; resta: - ; multiplicación: x; etc.) Observa los ejemplos: 8 + 2 x 34
;
6-
49 8
2
159
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS En el lenguaje textual hacemos uso de las “letras” (que en realidad son grafemas) y las reglas gramaticales. Un ejemplo de este lenguaje es todo lo que has leído anteriormente. Todos estos ejemplos han sido vistos, porque en el tema de hoy relacionaremos dos lenguajes: el matemático y el textual, interpretándolos de manera adecuada para la solución de problemas.
Parte Teórica En este tema no hay una teoría nueva. Todas las herramientas que necesitas para solucionar problemas, tú ya las conoces. Quizás lo más dificultoso que puede haber es interpretar adecuadamente el lenguaje textual y traducirlo al lenguaje matemático. No hay una regla específica para esta “traducción”, sin embargo, aquí tienes unos ejemplos que de seguro te ayudarán.
1. MÉTODO PARA LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA 1. Lee cuidadosamente el problema y estudialo hasta que quede perfectamente clara la situación que se plantea. 2. Identifica las cantidades comprendidas en el problema, tanto las conocidas como las desconocidas. 3. Planteo del problema: Se elige la incógnita por una letra, “x” por ejemplo y se efectúa con ella y con los datos, las operaciones que indique el enunciado.
Resolución de la ecuación Dicha ecuación se resuelve según las reglas que se enunciaron. * Observación: Para el planteo de una ecuación es importante tener en cuenta “la coma”, veamos. Ejemplo:
Lenguaje Textual
• La suma de
Lenguaje Matemático x+y
dos números.
• La suma de
los cuadrados de dos números.
• El cuadrado
de la suma de dos números.
• La suma de
dos números consecutivos.
• El cuádruple de lo que tengo, aumentado en 20.
• El cuádruple, de lo que tengo aumentado en 20.
160
El triple de un número, aumentado en 8
3x + 8
1. Halla un número, tal que al agregarle 432 obtendremos su triple disminuido en 8. Resolución: El número es: n n + 432 = 3n - 8 440 = 2n n = 220 * Si la expresión hubiera sido: “El triple de la diferencia del número con 8”, se simbolizaría así: 3(n - 8)
El número es 220.
2. Una habitación rectangular tiene de largo tres veces su anchura y su perímetro mide 24 m. Halla las dimensiones del rectángulo. Resolución: Sea el rectángulo de ancho "x"
El triple, de un número aumentado en 8
a2 + b2
3(x + 8)
(a + b)2
4(x + 20); tengo “x”
3x Dato del problema: 3x + 3x + x + x = perímetro 8x = 24 x=3 Luego, las dimensiones son: largo = 9 ancho = 3
x + (x + 1)
4x + 20; tengo “x”
x
El asterico, para representar la multiplicación proviene de Johann Rahn (1622 - 1676), quien en 1659 lo usó en su libro Teutsche Álgebra.
*
3. En una reunión hay 64 personas, siendo el número de niños el triple de los adultos. ¿Cuántos son niños y adultos? Resolución: Si “x” es el número de adultos, el de niños será 3x.
1ERO DE SECUNDARIA
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS Según el enunciado: x + 3x = 64 4x = 64 x = 16
7) La suma de dos números pares consecutivos es 110. Halla el menor de los números.
Luego; los reunidos son: adultos = 16 niños = 3x16 = 48
4. H a l l a t r e s n ú m e r o s p a r e s consecutivos que sumados den 216. Resolución: Si llamamos “x” al primero, entonces “x + 2” y “x + 4” serán los otros dos. Según el enunciado: x + (x + 2) + (x + 4) = 216 x + x + x + 6 = 216 3x + 6 = 216 3x = 210 x = 70 ∴ Los números son 70; 72 ; 74 5. Halla dos números que sumados den 300 y restados 200. Resolución: Llamemos “x” al mayor de ambos, el menor valdrá 300 - x, la diferencia de ambos números es 200 que se formulará por la ecuación: x - (300 - x) = 200 Eliminando el paréntesis: x - 300 + x = 200 2x = 500 x = 250 ∴ El mayor: 250 El menor: 50
b) 108 e) 60
c) 54
Nivel I 8) La suma de dos números impares consecutivos es 112. Halla el mayor de los números.
1) ¿ C u á l e s e l n ú m e r o q u e aumentado en 3 es 8?
a) 8 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
a) 100 d) 271
b) 99 e) 70
c) 122
3) La mitad de un número es 29, ¿cuál es el número?
a) 56 d) 38
b) 58 e) 68
c) 60
4) La cuarta parte de un número es 20. El triple de dicho número es:
a) 120 d) 480
b) 240 e) 520
c) 360
5) La suma de un número con su doble, su triple y su cuádruplo es 110. ¿Cuál es el número?
a) 15 d) 10
b) 8 e) 11
a) 53 d) 59
b) 55 e) 61
c) 57
9) La diferencia de dos números es 36. Si al mayor se le disminuye en 12 se tiene el cuádruple del menor. Halla el producto de los números dados.
2) ¿Cuál es el número que disminuido en 72 resulta 199?
a) 352 d) 224
b) 328 e) 330
c) 334
10) El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de “A” sobre 2. ¿Cuánto vale “A”?
a) 7 d) 6
b) 9 e) 5
c) 8
Nivel II 11) El exceso del triple de un número sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre el número. Halla el número.
a) 72 d) 56
b) 80 e) 76
c) 64
c) 9
6) L a s u m a d e d o s n ú m e r o s consecutivos es 91. Halla el número mayor.
1ERO DE SECUNDARIA
a) 52 d) 56
a) 46 d) 91
b) 71 e) 45
c) 81
161
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 12) Si al doble de un número natural, aumentado en 3 se eleva al cuadrado, resulta mayor en 10 que 111. El cuádruple del número es:
a) 4 d) 36
b) 16 e) 32
a) 7 d) 15
b) 10 e) 35
a) 5 d) 13
b) 7 e) 15
a) 262 d) 200
b) 260 e) 250
19) La suma de cinco números consecutivos es 475. Halla el número intermedio.
a) 13 d) 16
b) 12 e) 17
b) 95 e) 100
c) 97
20) El triple del exceso de un número equivale al cuádruple del exceso del mismo número sobre 30. Halla el mencionado número.
a) 50 d) 45
b) 60 e) 55
c) 65
Nivel III 21) El dinero que tengo aumentado en su mitad es 45. ¿Cuánto tengo?
a) 45 d) 5
b) 15 e) 60
c) 30
22) Halla dos números consecutivos, tales que el cuádruple del mayor disminuido en el triple del menor nos da 23.
c) 14
a) 17 y 18 b) 18 y 19 c)19 y 20
a) 15 d) 14
c) S/. 50
a) 5 cm d) 8 cm
b) 6 cm e) 12 cm
c) 7 cm
26) En una fiesta el número de hombres es cinco veces más que el número de mujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿cuántos hombres hay?
a) 36 d)7
b) 35 e) 5
c) 6
27) Una casaca cuesta igual que cierto reloj, pero el costo de una camisa es la tercera parte del costo de dicho reloj. Si la casaca y la camisa juntas cuesta 80 soles, ¿cuánto cuesta la camisa?
a) S/. 60 b) S/. 50 d)S/. 30 e) S/. 20
c) S/. 40
d) 20 y 21 e) 21 y 22
23) ¿Cuántos buzos tiene Diego si sabemos que al octuplicarlos y restarle ocho, obtenemos siete veces dicha cantidad aumentada en tres?
162
a) 93 d) 99
a) S/. 60 b) S/. 30 d) S/. 40 e) S/. 45
25) La cola de un lagarto mide 8 cm y el cuerpo mide el triple de su cabeza. Si el lagarto tiene 32 cm de largo, ¿qué longitud tiene la cabeza?
c) 256
17) ¿Cuál es el número cuyo óctuplo aumentado en 24 es tanto como su quíntuplo más 60?
a) S/. 270 b) S/. 240 c)S/. 210 d) S/. 180 e) S/. 220
c) 11
16) Halla un número, tal que al agregarle 504 obtenemos su triple disminuido en 8.
c) 5
15) Si los tres lados de un triángulo miden 2x + 3, 3x - 1 y 4x + 3 centímetros y el perímetro de la figura es de 23 cm, indica el mayor de estos lados.
a) 400 m2 b) 420 m2 c)240 m2 d) 360 m2 e) 425 m2
14) El número de hombres es cinco veces el número de mujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿cuántas mujeres hay?
24) E ntre A, B y C tienen 140 soles. Si C tiene la mitad de A y A tiene 10 soles más que B, ¿cuánto tiene A?
c) 42
13) El perímetro de un rectángulo es de 84 m. Si el largo excede en 8 m al ancho, ¿cuál es el área del rectángulo?
18) David y Sonia tienen juntos S/. 480 pero Sonia tiene S/. 60 más que David. ¿Cuánto tiene David?
b) 11 e) 16
28) El perímetro de un rectángulo mide 126 cm. Si su base es el doble de su altura, ¿cuáles son sus dimensiones? a) 20 y 40 cm d) 23 y 46 cm b) 21 y 42 cm e) 18 y 36 cm c) 22 y 44 cm
c) 13
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
29) Un padre compra para su hijo una corbata y una camisa por 300 soles. Si el precio de la camisa es el cuádruplo que el de la corbata, ¿cuánto vale la corbata? a) S/. 60 b) S/. 70 c) S/. 80 d) S/. 90 e) S/. 65
Reto 30) ¿Qué número es aquel cuyo exceso sobre 17 equivale a la diferencia entre los 3/5 del número y la sexta parte del mismo? a) 17 b) 34 c) 15 d) 30 e) 60
Lo que dijo el reo En un determinado país donde la ejecución de un condenado a muerte solamente puede hacerse mediante la horca o silla eléctrica, se da la situación siguiente que permite a un cierto condenado librarse de ser ejecutado. Llega el momento de la ejecución y sus verdugos le piden que hable, y le manifiestan: "Si dices una verdad, te mataremos en la horca, y si mientes te mataremos en la silla eléctrica". El preso hace entonces una afirmación que deja a los verdugos tan perplejos que no pueden, sin contradecirse, matar al preso ni en la horca, ni en la silla eléctrica. ¿Qué es lo que dijo el reo?
Los números racionales obtienen su denominación de la idea de los griegos clásicos, influidos por la filosofía de los pitagóricos de que el universo era reducible a números y a las relaciones entre ellos. Pensaban que la realidad se podía explicar a través de las relaciones exactas entre segmentos, los números decimales con finitas cifras o con infinitos dígitos decimales aunque periódicos.
3 5 = 0,6 Fracción
1 3 = 0,333... Fracción
1ERO DE SECUNDARIA
Decimal exacto
Decimal periódico
163
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Edades Objetivos 1. Ejercitar la capacidad de resolver los diferentes tipos de ejercicios sobre edades. 2. Utilizar de manera adecuada, las tablas de doble entrada para la resolución de ejercicios sobre edades que involucren a dos o más sujetos. 3. Aplicar métodos prácticos para el planteo y resolución de los ejercicios de manera rápida y sencilla. 4. Consolidar lo aprendido en el tema “Planteo de Ecuaciones”, mediante la resolución de ejercicios que constituyen una continuación de dicho tema ya estudiado. 1. INTRODUCCIÓN Debido a que estos problemas sobre edades tienen un texto que debemos interpretar y traducir, cabe plantear la siguiente interrogante: ¿Por qué no se estudiaron este tipo de problemas en el capítulo anterior sobre planteo de ecuaciones? Lo que sucede es que esta clase de ejercicios pueden ser resueltos empleando formas particulares y prácticas muy interesantes y efectivas (incluso sin ecuaciones), y es por ello que ameritan ser tratados en un capítulo aparte en el cual se propondrán otras técnicas de planteo y resolución de problemas. La importancia del tema aquí desarrollado, queda en evidencia por cuanto contribuye a enriquecer nuestro conocimiento de otras técnicas de planteo y resolución de ecuaciones, y consolida las ya estudiadas en el capítulo anterior.
164
2. OBSERVACIÓN En todo problema sobre edades se pueden distinguir principalmente tres elementos: sujetos, tiempos y edades. Sobre ellos trataremos a continuación. 3. NOCIONES PREVIAS
Tiempos
Expresiones
Futuro En un problema pueden darse uno o más futuros. Se le identifica por las siguientes expresiones:
Dentro de... Tendré... Tendremos, Tuviésemos, Tendrás, ... La suma de nuestras edades será..., etc.
3.1. Sujetos Son los protagonistas del problema, a quienes corresponden las edades y que intervienen en el problema. Ejemplo: Gisela es cinco años menor que Jorge pero tres años mayor que Janeth. 3.2. Tiempos Es uno de los elementos más importantes, ya que las condiciones del problema ocurren en tiempos diferentes (pasado, presente o futuro) y todo depende de su correcta interpretación. Es decir: Tiempos
Expresiones
Presente En un problema existe un solo presente. Se le identifica por las siguientes expresiones:
Tengo... Tenemos... Tienes... Hoy la edad... La suma de nuestras edades es..., etc.
Pasado En un problema pueden darse uno o más pasados. Se le identifica por las siguientes expresiones:
Hace... Teníamos... tuvimos ... Tenía, tuve, ... Tenías, tuviste, ... La suma de nuestras edades fue..., etc.
3.3. Edad La edad representa el tiempo de vida de un sujeto. Entre las edades se establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen en un mismo tiempo o entre tiempos diferentes. Ejemplo: Hoy tengo 26 años, pero dentro de cuatro años tendré el doble de la edad que tenía hace 11 años. Tiempo
Edad
Hace 11 años Hoy
15
Dentro de 4 años
30
26
Para facilitar su resolución, clasificaremos los problemas en dos tipos.
1ERO DE SECUNDARIA
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS Por condición del problema:
* Con un solo sujeto Cuando interviene la edad de un solo sujeto. Ejemplo:
3x + 5 + x + 5 = 46 4x = 36 x = 9 (Edad de Ángel)
Resolución:
Respuesta: 9 años
Asumiendo la edad actual “x” años: hace 10 años x - 10 pasado
dentro de 20 años
hace 12 años
1. Hoy tengo 20 años, ¿podrías decir qué edad tenía hace seis años y cuántos años cumpliré dentro de ocho años?
* Con varios sujetos Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos.
Ejemplo: La edad de Sara es el triple de Ángel y dentro de 5 años ambas edades sumarán 46 años. En la actualidad Ángel tiene:
hace 6 años
dentro de 8 años
20 años Tiempo Presente
2. Cuatro veces la edad que tendré dentro de 10 años, menos tres veces la edad que tenía hace cinco años, resulta el doble de mi edad actual. ¿Cuánto me falta para cumplir 60 años? Resolución: hace 5 años x-5 pasado
dentro de 10 años
x presente
x+10 futuro
Resolución:
Por condición del problema:
Desarrollemos el cuadro:
4(x + 10) - 3(x - 5) = 2x x + 55 = 2x x = 55 (edad actual)
Presente Pasado
Sara Ángel
dentro de 5
3x
3x+5
dentro de 5
x
x+5
1ERO DE SECUNDARIA
Presente
hoy tengo
x + 20 = 3(x - 10) x + 20 = 3x - 30 20 + 30 = 3x - x 50 = 2x x = 25 ⇒ Edad actual es 25 años. ∴ Hace tres años tuve 22 años.
dentro de 8 años
Resolución:
x+20 futuro
x presente
dentro de 14 años
hace 5 años
Por condición del problema:
hoy tengo
Dentro de 20 años tendré tres veces la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tuve hace tres años? Resolución:
3. S i a c t u a l m e n t e t e n g o 1 6 años, ¿podrás completar el siguiente esquema que se da a continuación?
∴ Para cumplir 60 años me faltan: 60 - 55 = 5 años
En todo análisis de datos, es muy importante que distingamos los valores absolutos (frecuencias absolutas) de los valores porcentuales (frecuencia relativa). Veamos un ejemplo. Compararemos el número de enfermos de SIDA entre el País X (10 000 casos) y el País Y (20 000 casos). ¿Es más la influencia epidemiológica en X o en Y? A la vista parece que el país Y tiene la enfermedad más desarrollada. Pe r o e s t e d a t o p u e d e s e r engañoso, porque si sabemos que: El país X tiene 100 000 habitantes, y el país Y tiene 2 000 000 habitantes, ¿en qué país crees que la enfermedad es más preocupante? Ciertamente en el país X porque hay 10 000 enfermos entre 100 000 habitantes, lo que significa que el 10% de la población está enferma. En cambio en el país Y sólo el 1% de la población está enferma. Ahora sí podemos comparar los datos.
% 165
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
7) Yo tengo 9 años y mi mamá, cuatro veces mi edad. ¿Cuántos años tiene mi mamá?
Nivel I 1) Dentro de 34 años Lizet tendrá 63 años. ¿Qué edad tiene actualmente?
a) 23 años b) 26 años c) 27 años d) 29 años e) 30 años
2) Si Margarita tiene 13 años, ¿cuánto le falta para tener 67 años?
a) 36 años b) 47años d) 67 años e) 74 años
c) 54 años
3) ¿Cuántos años transcurrieron desde 1943 hasta el año 2004?
a) 51 d) 71
b) 54 e) 82
c) 61
4) Dentro de 26 años Abel tendrá 71 años. ¿Cuántos años tiene actualmente?
a) 24 d) 48
b) 32 e) 38
c) 36
8) Sally tiene 8 años y María 15 años. ¿Cuál será la suma de sus edades dentro de tres años?
a) 26 años b) 27 años c) 29 años d) 32 años e) 30 años
9) Una madre tenía 22 años cuando nació su hija. ¿Cuál será la edad de la madre cuando su hija cumpla 17 años?
13) Patricio este año cumple 19 años. ¿En qué año nació Patricio?
a) 1985 d) 1988
b) 1989 e) 2006
c) 1986
14) Julia nació en 1986. ¿En qué año cumplirá 32 años?
a) 2018 d) 2015
b) 2019 e) 2020
c) 2017
15) Hace 10 años tenía 5 años. ¿Qué edad tendré dentro de 6 años?
a) 20 años b) 21 años c) 16 años d) 22 años e) 23 años
a) 35 años b) 37 años c) 39 años 16) Dentro de dos años tendré el d) 41 años e) 40 años doble de la edad que tenía hace ocho años. ¿Cuál es mi edad actual? 10) Si a la edad actual de Sergio se le suma 19, tendría la misma a) 16 años d) 22 años edad de Carla, que tiene 57 b) 24 años e) 18 años años. ¿Cuál es la edad actual de c) 15 años Sergio?
5) Un niño tiene 8 años y 6 meses. ¿A cuántos meses equivale su edad?
a) 36 años b) 38 años c) 40 años 17) Si tengo 32 años, ¿dentro de d) 42 años e) 43 años cuántos años tendré el doble de la edad que tenía hace 12 Nivel II años? 11) Si a la edad actual de Pedro le aumentas 16 y le disminuyes 9 a) 10 b) 12 c) 6 te da 24. ¿Cuántos años tiene d) 4 e) 8 Pedro?
a) 42 d) 52
a) 98 d) 104
b) 45 e) 60
b) 100 e) 110
c) 48
c) 102
6) Juana es 15 años mayor que su hermano Pepe quien tiene 9 años. ¿Cuál es la suma de las edades de los dos?
a) 18 años b) 33 años c) 22 años d) 16 años e) 24 años
166
a) 17 d) 20
b) 18 e) 22
c) 19
12) Betty tiene la mitad de la edad de Melanie, Melanie el triple de la edad de Lizet. Si Lizet tiene 8 años, ¿cuál es la suma de las 3 edades?
a) 32 años b) 44 años c) 36 años d) 40 años e) 30 años
1ERO DE SECUNDARIA
RAZ.MATEMÁTICO - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS 18) Si tengo 28 años, ¿dentro de cuántos años tendré el triple de la edad que tenía hace 18 años?
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
19) Si tengo 24 años, ¿hace cuántos años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 16 años?
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
20) Dentro de 10 años mi edad será el doble de la edad que tuve hace 10 años. ¿Cuántos años tengo?
a) 29 d) 31
b) 32 e) 33
c) 30
Nivel III 21) ¿Qué edad tengo si la edad que tenía hace 10 años es a la edad que tendré dentro de 50 años como 1 es a 4? a) 20 años b) 40 años c) 50 años
25) Hace ocho años la edad de A era el triple que la de B y dentro de cuatro años la edad de B será los 5/9 de la de A. Halla la edad actual de A. a) 16 años d) 18 años b) 32 años e) 36 años c) 24 años
d) Sólo III e) Ninguna
29) En el siguiente esquema, halla x. Pasado Presente Futuro Lolo 12 18 y Coco x 20 30
a) 14 d) 10
b) 16 e) 15
c) 12
30) Mirtha dice: “Dentro de 16 años mi edad será tres veces la edad que tenía hace dos años”. ¿Qué edad tengo? a) 9 años b) 12 años c) 14 años
d) 15 años e) 11 años
26) Dado el siguiente esquema, halla 2x.
Lili Malú
Pasado Presente 3x 38 26 5x
d) 60 años e) 30 años
22) Kiko tiene 14 años menos que Adrián y ambas edades suman 56 años. Se deduce que: I. Kiko tiene 21 años. II. Kiko tiene 35 años. III. Adrián tiene 18 años. a) Sólo I b) Sólo II c) I y II
24) Dentro de 13 años el joven Miguel, tendrá ocho veces la edad que tenía hace ocho años. ¿Cuál será su edad dentro de 24 años? a) 35 años d) 50 años b) 40 años e) 55 años c) 45 años
a) 8 d) 16
b) 12 e) 20
c) 18
27) En el siguiente esquema, halla x Alfredo Luis
Pasado Presente 30 36 24 x
a) 31 d) 30
b) 34 e) 28
c) 32
28) En el siguiente esquema, halla x 23) Laura dice: “Dentro de tres años tendré el doble de lo que tenía hace siete años”. Halla la raíz cuadrada de la edad de Laura aumentada en 8.
a) 17 d) 9
b) 25 e) 5
c) 14
1ERO DE SECUNDARIA
Carmen Diana
a) 50 d) 60
Pasado Presente 40 x x 80 b) 52 e) 66
c) 55
167
Biología NOTA REVISIÓN BIMESTRAL
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
BIOLOGÍA - I BIMESTRE
Biología Marco teórico I. BIOLOGÍA
La Biología es la ciencia que estudia los seres vivos, ya sean estos animales, plantas o seres humanos. Principalmente, la Biología se preocupa de los procesos vitales de cada ser, como su nacimiento, desarrollo, procreación y muerte. De esta manera, estudia el ciclo completo de los mismos, lo que le permite una visión global y más exacta, de cada uno de ellos.
II. RAMAS DE LA BIOLOGÍA
La Biología se puede dividir en muchas ramas:
1. Según la materia estudiada Morfología
Estudia la forma y la estructura de los seres.
Fisiología
Estudia las funciones orgánicas de los seres vivos.
Genética
Estudia las leyes de la herencia.
Evolución
Estudia el proceso de transformación de los seres vivos.
Taxonomía
Estudia la clasificación de los seres vivos.
Ecología
Estudia las relaciones de los seres vivos con el medio ambiente y con otros seres vivos.
Bioquímica Paleontología
Ontogenia
1ERO DE SECUNDARIA
Estudia la química de la vida, es decir, la composición química de los seres vivos y los cambios químicos que se producen en ellos. Estudia los restos fósiles. Se subdivide de la siguiente manera: Paleobotánica: Estudia los fósiles vegetales. Paleozoología: Estudia los fósiles animales. Paleoecología: Estudia los ecosistemas del pasado. Estudia el origen y la evolución de los seres vivos en el espacio. Se subdivide de la siguiente manera: Embriología: Estudia el desarrollo del individuo, referido en especial al periodo embrionario. Filogenia: Estudia el origen y el desarrollo evolutivo de las especies y, en general, de las estirpes de seres vivos.
169
BIOLOGÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
2. Según el tipo de organismos estudiados
a. Zoología
Estudia los animales
Helmintología Aracnología Malacología Anfibiología Ornitología
Estudia a los gusanos. Estudia a los arácnidos. Estudia a los moluscos. Estudia a los anfibios. Estudia a las aves.
Entomología Carcinología Ictiología Herpetología Mastozoología
Estudia a los insectos. Estudia a los crustáceos. Estudia a los peces. Estudia a los reptiles. Estudia a los mamíferos.
Estudia las algas.
Carpología
Estudia las pteridofitas.
Palinología
Estudia los frutos Estudia la estructura de esporas y granos de polen.
b. Botánica
Estudia las plantas Ficología
Pteridología Briología
Estudia las briofitas o musgos
c. Microbiología
Estudia a los microorganismos
Bacteriología Protozoología Virología
Estudia las bacterias. Parasitología Estudia los parásitos. Estudia los protozoarios. Estudia los virus. (cabe señalar que los virus no son seres vivos).
d. Según el nivel de organización de los seres vivos Estudia las bases moleculares de la vida; es decir, relaciona las estructuras de Biología molecular las biomoléculas con las funciones específicas que desempeñan en la célula y en el organismo. Citología Estudia la célula, sus características, su estructura y funcionamiento. Histología Estudia los tejidos. Organografía Describe los órganos de los animales o de los vegetales. Estudia las estructuras de las diferentes partes del cuerpo de los animales o Anatomía de las plantas.
PADRES DE LA BIOLOGÍA ARISTÓTELES
ZZ Padre de la Biología. ZZ Clasificó a los animales y las
plantas.
170
TEOFRASTO
ROBERT HOOKE
ZZ Padre de la Botánica. ZZ Hizo la primera clasificación
ZZ Padre de la Citología. ZZ En 1965, en su obra Microglia, utilizó
sistemática de las plantas en hierbas y arbustos.
por primera vez la palabra célula al observar el tejido del corcho.
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
BIOLOGÍA - I BIMESTRE
ANTHONY VAN LEEUWENHOEK
THEODOR SCHWANN
ERNST HAECKEL
Conocido por las mejoras que introdujó en la fabricación de microscopios y por sus descubrimientos pioneros sobre los protozoos, los espermatozoides, glóbulos rojos, el sistema de capilares y los ciclos vitales de los insectos.
ZZ Propuso la teoría de que
ZZ Padre de la Ecología. ZZ Clasificó los seres vivos en
CARLOS LINNEO
CHARLES DARWIN
ZZ Padre de la Taxonomía. ZZ Propuso la nomenclatura
ZZ Padre de la Evolución. ZZ En 1859 publicó su obra El origen
binomial (nombre científico).
las células constituyen la unidad estructural de los animales. ZZ Planteó la teoría celular.
de las especies por el mecanismo de la selección natural.
tres reinos: Protista, plantas y animales.
LOUIS PASTEUR
ZZ Padre de la Microbiología. ZZ Descartó la teoría de
generación espontánea.
la
MATHIAS J. SCHLEIDEN
GREGOR MENDEL
JAMES WATSON Y FRANCIS CRICK
ZZ Propuso la teoría de que
ZZ Padre de la Genética. ZZ En 1860, luego de realizar una
En 1953 establecieron la estructura del ADN, bajo el modelo de la doble hélice.
las células constituyen la unidad estructural de las plantas. ZZ Planteó la teoría celular. 1ERO DE SECUNDARIA
serie de trabajos con plantas, descubrió y planteó las primeras leyes de la herencia.
171
BIOLOGÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
JEAN BAPTISTE LAMARCK
PROYECTO DE GENOMA HUMANO
ZZ En 1809 publicó su libro Filosofía zoológica
En abril de 2003, un programa internacional de colaboración científica puso de manifiesto que los seres humanos cuentan con 31 000 genes.
donde propuso: la ley del uso y desuso.
ZZ Ley de los caracteres adquiridos.
ROBERT H. WHITTAKER
CARLOS R. WOESE
En 1969 clasificó a los seres vivos en cinco reinos: Monera, Protista, Fungi, Plantae y Animalia.
En 1990 clasificó los seres vivos en seis reinos: Arqueobacteria, Eubacteria, Protista, Fungi, Plantae y Animalia.
Retroalimentación 1. ¿Cuál es el objeto de estudio de la Biología? _________________________________________________________________________________ 2. Es considerado el padre de la Biología: _________________________________________________________________________________ 3. Propusieron la teoría celular: _________________________________________________________________________________ 4. ¿Qué estudian las siguientes ramas de la Biología? YY Botánica: ______________________________________________________________________ YY Zoología: ______________________________________________________________________
YY Citología: ______________________________________________________________________ YY Bacteriología: ___________________________________________________________________
172
1ERO DE SECUNDARIA
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BIOLOGÍA - I BIMESTRE
Trabajando en Clase Lectura Los organismos están constituidos por materia. De los 92 elementos naturales conocidos, solamente 25 forman parte de la materia viviente. De estos 25 elementos, el carbono, el oxígeno, el hidrógeno y el nitrógeno están presentes en el 96% de las moléculas de la vida. Los elementos restantes llegan a formar parte del 4% de la materia viva y los más importantes son el fósforo, el potasio, el calcio y el azufre. Las moléculas que contienen carbono se denominan compuestos orgánicos; por ejemplo, el bióxido de carbono, que está formado por un átomo de carbono y dos átomos de oxígeno (CO2). Las que carecen de carbono en su estructura se denominan compuestos inorgánicos; por ejemplo, una molécula de agua, que está formada por un átomo de oxígeno y dos de hidrógeno (H2O). De acuerdo con la lectura, señala la alternativa correcta. 1. El 96% de las moléculas de la vida están constituidos por ___________. a) carbono b) hidrógeno c) oxígeno d) nitrógeno e) Todas 2. Las moléculas que están compuestas de carbono se denominan ___________. a) orgánicas b) inorgánicas c) descomponedores d) acuáticos e) carbonados Imagina una situación en que se pueda emplear el método científico y completa adecuadamente los espacios en blanco:
1ERO DE SECUNDARIA
173
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
BIOLOGÍA - I BIMESTRE
Verificando el Aprendizaje Integral 1. Propuso que las enfermedades se originan a partir de agentes microscópicos patógenos que ingresan a nuestro cuerpo: a) Robert Kotch d) Robert Hooke b) Louis Pasteur e) Gregor Mendel c) Alexander Fleming 2. Ciencia que estudia la estructura y función del gen: a) Biología c) Fisiología e) Genética b) Bioquímica d) Bioenergética 3. Relaciona correctamente ambas columnas: A. Hooke ( ) Genética B. Malpighi ( ) Taxonomía C. Mendel ( ) Citología D. Haeckel ( ) Histología E. Linneo ( ) Ecología a) III, II, I, IV, V d) I, II, III, IV, V b) III, V, I, II, IV e) I, III, V, II, IV c) V, IV, III, II, I 4. La Biología es una ciencia que ___________. a) estudia los seres vivos b) explica la variedad genética de las especies c) esclarece la naturaleza química de la vida d) tiene objeto de estudio e) estudia el ecosistema
174
UNMSM 5. Es el Padre de la Genética: a) Haeckel c) Oparin e) Mendel b) Watson d) Schleiden 6. Es el Padre de la Taxonomía: a) Lamarck c) Schleiden e) Hooke b) Darwin d) Linneo 7. Sus aportes han sido muy valiosos para el desarrollo de la citología: a) Hooke c) Linneo e) Virchow b) Darwin d) Aristóteles 8. Rama de la Biología que estudia las relaciones entre los seres vivos y su ambiente: a) Biogeografía d) Genética b) Ecología e) Taxonomía c) Paleontología 9. Se le considera Padre de la Biología: a) Teofrasto c) Mendel e) Dioscórides b) Oparin d) Aristóteles 10. Ciencia que estudia lo relativo a los tejidos: a) Citología d) Fisiología b) Anatomía e) Organología c) Histología
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BIOLOGÍA - I BIMESTRE
Tarea Integral 1. Estudia las leyes de la herencia: a) Morfología b) Ecología c) Paleontología d) Genética e) Carcinología 2. Estudia la relación del individuo y su medio ambiente: a) Paleozoología b) Ecología c) Evolución d) Genética e) Palinología 3. ¿Qué estudia la herpetología? a) Estudia los frutos b) Estudia los anfibios c) Estudia los reptiles d) Estudia los gusanos e) Estudia las pteridofitas 4. Estudia las bases moleculares de la vida, es decir, relaciona las estructuras de las biomoléculas con las funciones específicas que desempeñan en la célula y en el organismo. a) Biología molecular
1ERO DE SECUNDARIA
b) Bacteriología c) Virología d) Entomología e) Bioquímica 5. Padre de la evolución:
UNMSM a) Aristóteles b) Charles Darwin c) Louis Pasteur d) Theodor Schwann e) Robert Hooke 6. No es un paso del método científico: a) Observación b) Experimentación c) Conclusión d) Hipótesis e) Recomendaciones
AGRARIA vo a los virus: a) Citología b) Virología c) Fisiología d) Histología e) Botánica 9. Describe y clasifica a los seres vivos: a) Anatomía b) Organografía c) Taxonomía d) Virología e) Botánica 10. Padre de la Biología a) Charles Darwin b) Pasteur c) Lamarck d) Watson e) Aristóteles
7. Plantearon la teoría celular: a) Darwin – Linneo b) Mendel - Linneo c) Leeuwenhoek - Teofrasto d) Hooke – Mendel e) Schleiden – Schwann 8. Ciencia que estudia lo relati-
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BIOLOGÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Ser vivo Marco teórico I. ¿QUÉ ES UN SER VIVO?
Un ser vivo, también llamado organismo, es un conjunto de átomos y moléculas que forman una estructura material muy organizada y compleja, en la que intervienen sistemas de comunicación molecular; se relaciona con el ambiente con un intercambio de materia y energía de forma ordenada.
II. CARACTERÍSTICAS DE LOS SERES VIVOS
Organización compleja
Los seres vivos son cantidades limitadas de materia; puede ir descomponiéndose en partes pequeñas hasta llegar a niveles que solo pueden observarse con ayuda de instrumentos especiales como el microscopio electrónico o la luz ultravioleta; estos son los niveles químicos. De igual forma los seres vivos interactúan entre sí y con su medio ambiente formando niveles cada vez más grandes, estos son los niveles ecológicos.
Relación Metabolismo
Homeostasis
Organización compleja
Crecimiento
Reproducción
Evolución
NIVEL QUÌMICO
NIVEL BIOLÓGICO
NIVEL ECOLÓGICO
ZZ Son invisibles al ojo humano. ZZ Son abióticos, es decir, en
ZZ Van de lo microscópico
ZZ Son macroscópicos. ZZ Contienen factores bióticos
ninguno de sus niveles encontramos a un ser vivo.
176
(célula) a lo macroscópico (león). ZZ Son bióticos, es decir, en sus niveles encontramos las estructuras que los forman.
y abióticos.
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1. Nivel Químico A. Bioelementos
Son aquellos elementos químicos que forman parte de los seres vivos. Por ejemplo: carbono, hidrógeno, oxígeno, nitrógeno.
B. Biomoléculas
Simples con las moléculas vitales para los seres vivos. Ejemplo: el agua, anhídrido carbónico.
2. Nivel Biológico A. La célula
Es la unidad anatómica, funcional y genética de los seres vivos.
C. Mioglobina
Macromoléculas constituyen la unión debiomoléculas. Ejemplos: Proteínas, vitaminas, lípidos, ácidos nucleicos.
B. El tejido
Es un conjunto de células similares que se asocian para desarrollar actividades especializadas
D. Virus VIH
Asociaciones supramoleculares Cuando se unen y trabajan juntas, las macromoléculas forman las asociaciones supramoleculares. Ejemplo: virus, mitocondria, ribosomas
1ERO DE SECUNDARIA
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COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
C. Organo
Es el conjunto de diferentes tejidos. Ejemplo: corazón, estómago, cerebro, etc.
3. Nivel Ecológico A. Población
Es el grupo de individuos que viven en un área específica y que comparten características similares. Ejemplo: una bandada de palomas, una manada de osos, etc.
D. Sistema
Es la agrupación anatómica y funcional de diferentes órganos. Ejemplo: Sistema digestivo respiratorio, nervioso, etc.
B. Comunidad
Llamada también biocenosis, es el conjunto de poblaciones en un lugar y tiempo determinado. Ejemplo: una agrupación de pingüinos.
C. Ecosistema
E. Individuo
Es la integración, anatómica y funcional, de los sistemas. Ejemplo: Vaca, león, árbol, etc.
178
Es la unidad de la Ecología. Es la relación entre los seres vivos y su medio ambiente. Ejemplo: Pradera africana está llena de jirafas, elefantes, cebras, etc.
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D. Bioma
Formado por la flora y fauna de varios ecosistemas.
IV. EVOLUCIÓN
E. Biósfera
Constituido por todos los ecosistemas de la Tierra.
Es el proceso continuo de transformación de las especies a través de cambios producidos en sucesivas generaciones, y que se ve reflejado en el cambio de las frecuencias alélicas de una población; está representado en la actual teoría científica de la síntesis evolutiva moderna.
V. CRECIMIENTO
En organismos unicelulares, es el aumento de volumen celular.
III. METABOLISMO
El metabolismo es el conjunto de reacciones bioquímicas y procesos físico-químicos que ocurren en una célula y en el organismo. Por ejemplo: la digestión de los alimentos, la producción de energía y la creación de nueva materia viva. El metabolismo se divide en dos procesos conjugados: catabolismo y anabolismo.
En organismos pluricelulares, es el aumento de volumen celular y del número de células.
Clases 1. Catabolismo
Rompimiento de moléculas grandes para obtener moléculas pequeñas. Liberan energía; es una reacción exergónica. Un ejemplo es la respiración.
2. Anabolismo
Formación de grandes moléculas a partir de moléculas pequeñas y energía; es una reacción endergónica. Un ejemplo es la fotosíntesis.
1ERO DE SECUNDARIA
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COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
VI. L A REPRODUCCIÓN
La reproducción es la función más importante de los seres vivos: Es la capacidad de producir nuevos individuos.
VIII.RELACIÓN 1. Adaptación
1. Reproducción sexual
Es la respuesta de un ser vivo frente a las adversidades del medioambiente. Se produce cuando el estímulo es permanente.
Intervienen dos progenitores. Se requieren dos gametos: espermatozoide y óvulo.
2. Movimiento
2. Reproducción asexual
La realiza un solo progenitor. No intervienen gametos, tal como suceden las bacterias y las algas.
VII. HOMEOSTASIS
Consiste en mantener el equilibrio interno de un organismo, es decir, las condiciones internas constantes. Al romperse este equilibrio se pueden originar enfermedades. Entre las condiciones internas que deben mantenerse constantes se encuentran las siguientes: concentración de electrolitos, concentración de azúcar en la sangre y la temperatura (regulada por la sudoración).
180
Es la respuesta más observable de un ser vivo frente a un estímulo. Comprende los movimientos dentro del organismo, los que sirven para desplazarse de un lugar a otro. Ejemplo: el caballo en movimiento.
3. Irritabilidad
Es la respuesta apropiada de un ser vivo a un estímulo momentáneo. Ejemplo: un perro ladrando.
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BIOLOGÍA - I BIMESTRE
Retroalimentación 1. Escribe dos ejemplos de ser vivo: YY ______________________________________________________________________________ YY ______________________________________________________________________________
2. Escribe dos características generales de los seres vivos: YY ______________________________________________________________________________ YY ______________________________________________________________________________ 3. Escribe el nombre de los dos tipos de reproducción. YY ______________________________________________________________________________ YY ______________________________________________________________________________
4. ¿Cuáles son los procesos del metabolismo? YY ______________________________________________________________________________ YY ______________________________________________________________________________
Trabajando en Clase Todos los seres vivos son complejos. En su interior apreciamos partes diferentes; podemos suponer que en su composición presentan muchas sustancias químicas. Por muy sencillo que a simple vista parezca un ser vivo, siempre será infinitamente más complejo que la materia inerte. 1. Escribe en los recuadros las características de los seres vivos:
3. El metabolismo se divide de la siguiente manera: a) _____________________________________ b) _____________________________________ Completa adecuadamente: 4. Es el proceso continuo de transformación de las especies a través de cambios producidos en sucesivas generaciones: ______________________________________ ______________________________________
2. Escribe el nivel de la organización compleja respectivo: YY Son invisibles al ojo humano: ____________ YY Son macroscópicos: ___________________ YY Van de lo microscópico (célula) a lo macroscópico: ________________________
1ERO DE SECUNDARIA
5. La reproducción sexual se diferencia de la reproducción asexual en que ________________ ______________________________________ _______________________________________ 6. La concentración de electrolitos, de azúcar en la sangre y la temperatura (regulada por la sudoración), son ejemplos de la _____________ ______________________________________.
181
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Verificando el Aprendizaje Integral 1. Características de los seres vivos que les permite acomodarse a los requerimientos del ambiente, cambiando su estructura, funcionamiento o conducta para posibilitar su supervivencia: a) Reproducción b) Movimiento c) Adaptación d) Irritabilidad e) Crecimiento
b) Movimiento c) Irritabilidad d) Crecimiento e) Adaptación 6. La sudoración y la filtración renal son ejemplos del proceso denominado __________________. a) metabolismo b) reproducción c) homeostasis d) crecimiento e) irritabilidad
2. El nivel de organización de una enzima y una levadura es, respectivamente __________. a) celular y organismo b) molecular y organismo c) celular y molecular d) organismo y celular e) molecular y celular
7. La capacidad orgánica para responder de un modo determinado a los estímulos, tanto internos como externos, se conoce como _______________. a) homeostasis b) crecimiento c) reproducción d) adaptación e) irritabilidad
3. La reacción de síntesis mediante la que se edifican moléculas complejas, a partir de simples, se llama _____________, como por ejemplo, _________________. a) irritabilidad – sistema nervioso b) adaptación – supervivencia c) anabolismo – fotosíntesis d) homeostasis – equilibrio e) catabolismo – respiración
8. El origen y los cambios graduales que experimentan los seres vivos a través del tiempo se denominan _______. a) homeostasis b) ecología c) evolución d) fisiología e) genética
4. En el proceso de homeostasis, el _______________ se encarga de regular este proceso. a) aparato circulatorio b) aparato excretor c) sistema linfático d) sistema endocrino e) aparato digestivo
9. Reacciones químicas que ocurren en un organismo, donde son degradadas las moléculas complejas a otras más simpes: a) Reproducción b) Crecimiento c) Catabolismo d) Anabolismo e) Evolución
UNMSM 5. ¿Qué característica de los seres vivos les permite acomodarse a los requerimientos del ambiente y les permite evolucionar. a) Reproducción
182
10. Etimológicamente significa «esfera de vida». a) Biósfera b) Ecósfera c) Ecosistema d) Biotopo e) Evolución
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Tarea Integral 1. Es la unidad anatómica y funcional de todo ser vivo: a) Célula b) Tejido c) Órgano d) Sistema e) Individuo 2. Es el proceso de aclimatación de un ser vivo frente a la adversidades del medio ambiente: a) Adaptación b) Movimiento c) Irritabilidad d) Reproducción sexual e) Reproducción asexual 3. Es el conjunto de reacciones bioquímicas y procesos físico-químicos que ocurren en una célula y en el organismo: a) Evolución b) Crecimiento c) Homeostasia d) Metabolismo e) Relación 4. Cuando los seres vivos reaccionan frente a un estímulo momentáneo se le denomina: a) Irritabilidad b) Homeostasia c) Movimiento d) Relación e) Crecimiento
1ERO DE SECUNDARIA
UNMSM 5. No corresponde a la reproducción sexual: a) Se requiere dos gametos b) Se requiere 2 progenitores c) La realiza un solo progenitor. No intervienen gametos. d) Hay fecundación e) Se forma el cigoto 6. Es la integración anatómica y funcional de las células: a) Individuo b) Órgano c) Tejido d) Célula e) Asociación supramolecular 7. Es el proceso de adaptación y de cambio a través del tiempo que determinan la subsistencia de un organismo: a) Evolución b) Homeostasis c) Metabolismo d) Reproducción e) Crecimiento
AGRARIA 8. Permite mantener la perpetuación de la especie: a) Evolución b) Homeostasis c) Metabolismo d) Reproducción e) Crecimiento 9. Es un nivel macroscópico, contiene factores bióticos y abióticos: a) Nivel químico b) Nivel biológico c) Nivel ecológico d) Metabolismo e) Reproducción 10. Las proteínas, los lípidos y glúcidos son __________. a) bioelementos b) macromoléculas c) asociaciones supramoleculares d) seres vivos e) átomos
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Ecología Marco teórico I. ETIMOLOGÍA
Oikos, “casa”; Logos, “tratado o estudio”. Es la rama de las ciencias biológicas que se ocupa de las interacciones entre los organismos (seres vivos) y su medioambiente (sustancias químicas y factores físicos), siendo el ecosistema su fundamental unidad de estudio. El padre de la Ecología es Ernst Haeckel.
2. Nicho ecológico
Es la función biológica que desarrolla un organismo.
II. TERMINOLOGÍA ECOLÓGICA
3. Población
1. Hábitat
Es el conjunto de individuos de una misma especie capaz de reproducirse entre ellos.
Es el lugar físico donde vive un organismo. Ejemplo: el hueco de un árbol, una cueva.
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1ERO DE SECUNDARIA
BIOLOGÍA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
4. Comunidad
Es el conjunto de poblaciones que comparten un espacio determinado.
A. Litósfera
III. IMPORTANCIA DE LA ECOLOGÍA
YY Estudia las leyes que rigen los ecosistemas. YY Predice los impactos que puedan tener las
actividades humanas sobre el medioambiente.
YY Permite tener un control adecuado sobre las
actividades humanas y planear soluciones a los problemas ambientales.
Según la edafología, el suelo puede dividirse en las siguientes capas u horizontes: ●● Horizonte O Capa donde se acumula la materia orgánica, producto de la caída de hojas y de los organismos muertos en descomposición. ●● Horizonte A Capa relativamente firme donde se encuentra el humus. También contiene arcilla. ●● Horizonte B Formado por componentes meteorizados, como la arcilla y el óxido de hierro. ●● Horizonte C Presencia de fragmentos de roca. ●● Horizonte D Roca madre.
IV. ECOSISTEMA
Es un sistema complejo en el que interactúan los seres vivos entre sí; y estos, a su vez, con el conjunto de factores no vivos que forman el medio ambiente: temperatura, sustancias químicas presentes, clima, características geológicas, etc. El ecosistema resulta de la interacción de dos componentes: el factor biótico (o biocenosis) y el factor abiótico (o biotopo).
Importancia ●● Sustrato para el desarrollo de ecosistemas terrestres. ●● Permite el desarrollo de organismos vegetales.
Factor abiótico
B. Hidrósfera
Corresponde al componente inanimado o inerte del ecosistema. También es conocido con el nombre de biotopo y se define como aquellos factores presentes en el medioambiente que influyen sobre las funciones de los seres vivos.
1ERO DE SECUNDARIA
Constituye el medio de soporte en el medio acuático. El ambiente marino posee la siguiente zonación: zona nerítica, zona oceánica, zona fótica y zona afótica.
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La luminosidad regula el tiempo de apertura de las flores por temporadas o instantes del día.
Importancia 1. Los cuerpos de agua almacenan calor. 2. Su evaporación origina la humedad atmosférica. 3. Determina la distribución de las plantas y, por lo tanto, de todos los seres vivos. LL Plantas hidrófilas: Son acuáticas. Ejemplo: lenteja de agua. LL Plantas higrófilas: Suelos muy húmedos. Ejemplo: plátano. LL Plantas mesófilas: Necesitan poca humedad, pero de forma constante. Ejemplo: plantas frutales.
D. La temperatura
Permite el óptimo desarrollo de los organismos vivos. En los animales, esta condición es mucho más evidente, ya que existen dos variedades: ●● Homeotermos (endotermos): son animales que poseen los mecanismos fisiológicos para mantener su temperatura corporal o cambiarla según sea necesario.
LL Plantas xerófilas: Requieren poca
humedad. Ejemplos: cactus, tuna.
C. La luz
La variación en los organismos determina la fotoperiodicidad. En los animales, se manifiesta bajo la forma de ciclos circadianos. En las plantas, este fenómeno tiene una directa relación sobre la floración. Hace posible la fotosíntesis, en la que las plantas captan CO2; agua y luz, transformándolos en O 2 y azúcares, dando inicio a la cadena alimentaria. La glándula pineal recibe estímulos luminosos y regula el ciclo sueño-vigilia, secretando la hormona melatonina.
●● Poiquilotermos (ectotermos): son animales que
no pueden mantener su temperatura corporal y dependen del medioambiente para regularla.
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1ERO DE SECUNDARIA
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E. La atmósfera
Es la parte gaseosa del ecosistema. El aire que respiramos contiene:
GASES
PORCENTAJE
IMPORTANCIA
Nitrógeno
~78
Será fijado para formar proteínas. Es el gas más abundante en la atmósfera.
Oxígeno
~21
Hace posible la respiración aeróbica. Es el gas más importante en la atmósfera.
~0,03
Hace posible la fotosíntesis e influye en el calentamiento global.
Dióxido de carbono Vapor de agua
<1
Origina la humedad atmosférica.
Otros gases
<1
Le dan el aire densidad y características particulares.
Retroalimentación 1. El espacio físico, geográfico que habita un individuo o población se denomina __________________. 2. Unidad básica de la Ecología: ________________________________________________________. 3. El hábitat es ________________________________________________________________________. 4. Un ecosistema está formado por _________________________ y __________________________.
Trabajando en Clase ZZ Señala a qué unidad básica de la ecología corresponde cada una de las siguientes imágenes:
___________________________________ ___________________________________ ___________________________________
1ERO DE SECUNDARIA
187
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_______________________________ _______________________________ _______________________________ YY Son factores abióticos:
a) ___________________________ b) ___________________________
_________________________________
c) ___________________________
_________________________________
d) ___________________________
_________________________________
e) ___________________________ c) litósfera d) el conjunto de seres vivos del planeta junto con el medio físico que lo rodea e) b y d
ZZ Lectura 1
En Ecología, la biósfera es el sistema material formado por el conjunto de los seres vivos propios del planeta Tierra, junto con el medio físico que les rodea y que ellos contribuyen a conformar. Este significado de biósfera “envoltura viva” de la Tierra es el de uso más extendido, pero también se habla de ella para referirse, a veces, al espacio dentro del que se desarrolla la vida. Asimismo, la biósfera, conjunto de la litósfera, la hidrósfera y la atmósfera, es una creación colectiva de una variedad de organismos y especies que, interactuando entre sí, forman la diversidad de los ecosistemas. Tiene propiedades que permiten hablar de ella como un gran ser vivo, con capacidad para controlar, dentro de unos límites, su propio estado y evolución. La biósfera es el ecosistema global. Al mismo concepto nos referimos con otros términos que pueden considerarse sinónimos, como ecósfera o biogeósfera. 1. Según la lectura, biósfera es ______________. a) el conjunto de seres vivos b) ecosistema global
188
2. La biósfera es conocida también como ____. a) ecósfera b) biogeósfera c) litósfera d) hidrósfera e) a y b ZZ Lectura 2
Ecología es la rama de las ciencias biológicas que se ocupa de las interacciones entre los organismos y su ambiente (sustancias químicas y factores físicos). Los organismos vivientes se agrupan como factores bióticos del ecosistema, por ejemplo, las bacterias, los hongos, los protozoarios, las plantas, los animales, etc. En pocas palabras, los factores bióticos son todos los seres vivientes en un ecosistema o, más universalmente, en la biósfera. Por otra parte, los factores químicos y los físicos se agrupan como factores abióticos del ecosistema. Esto incluye a todo el ambiente inerte, por ejemplo:
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la luz, el agua, el nitrógeno, las sales, el alimento, el calor, el clima, etc. Luego, pues, los factores abióticos son los elementos no vivientes en un ecosistema o en la biósfera. Responde: 1. ¿Qué es la ecología? _________________________________ _________________________________
2. ¿Cómo se agrupan los organismos vivientes? ____________________________________ ____________________________________ 3. ¿Qué son los factores abióticos? ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________
Verificando el Aprendizaje Integral 1. Conjunto de poblaciones de diferentes especies que ocupan un lugar determinado, durante un tiempo determinado: a) Biotipo d) Ecotono b) Población e) Especie c) Comunidad 2. Objeto de estudio de la Ecología: a) Ecotono d) Hábitat b) Ecosfera e) Población c) Ecosistema 3. Es el espacio físico o lugar donde vive una especie determinada. a) Nicho ecológico d) Hábitat b) Población e) Ecosistema c) Comunidad 4. Es la suma del factor abiótico y el factor biótico: a) Ecosistema d) Biocenosis b) Población e) Comunidad c) Biotipo UNMSM 5. Función biológica que realiza una determinada especie: a) Nicho ecológico d) Hábitat
1ERO DE SECUNDARIA
b) Población c) Comunidad
e) Ecosistema
6. Lugar donde vive y se reproduce una determinada especie: a) Hábitat d) Comunidad b) Población e) Ecosistema c) Nicho ecológico 7. Es la unidad de estudio de la Ecología: a) Nicho ecológico d) Comunidad b) Hábitat e) Ecosistema c) Población 8. Conjunto de individuos de la misma especie que ocupan un lugar determinado durante un tiempo determinado y pueden reproducirse: a) Comunidad d) Nicho ecológico b) Hábitat e) Biósfera c) Población 9. Estudia a los seres vivos y su relación con el medio ambiente: a) Ecotono d) Ecósfera b) Ecología e) Población c) Hábitad 10. No es un componente del biotipo: a) Luz d) Temperatura b) Calor e) Helecho c) Suelo
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BIOLOGÍA - I BIMESTRE
Tarea Integral 1. Conjunto de poblaciones de diferentes especies que ocupan un lugar determinado, durante un tiempo determinado: a) Biotipo b) Población c) Comunidad d) Ecotono e) Especie 2. Es considerado el espacio físico donde se desarrolla un ser vivo: a) Ecotono d) Hábitat b) Ecósfera e) Población c) Ecología 3. Es el conjunto de individuos de diferentes especies que habitan en el mismo tiempo y espacio: a) Nicho ecológico b) Población c) Comunidad d) Hábitat e) Ecosistema 4. Función biológica que realiza una determinada especie: a) Hábitat b) Población c) Nicho ecológico d) Comunidad e) Ecosistema
190
UNMSM 5. Es la unidad de estudio de la Ecología: a) Nicho ecológico b) Hábitat c) Población d) Comunidad e) Ecosistema 6. Es la máxima categoría ecológica que agrupa a los ecosistemas del planeta: a) Comunidad b) Hábitat c) Población d) Nicho ecológico e) Ecósfera 7. Estudia a los seres vivos y su relación con el medio ambiente: a) Ecotono b) Ecología c) Hábitat d) Ecosfera
AGRARIA e) Población 8. Es el gas más abundante de la atmósfera: a) Nitrógeno b) Oxígeno c) Dióxido de carbono d) Azufre e) Helio 9. Es el conjunto de individuos de la misma especie capaz de reproducirse entre ellos: a) Comunidad b) Hábitat c) Nicho ecológico d) Población e) Ecosistema 10. El conjunto de factores bióticos y abióticos interrelacionados entre sí, se llama _____. a) biotipo b) bioma c) biocenosis d) ecosistema e) hábitat
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BIOLOGÍA - I BIMESTRE
Ciclos biogeoquímicos Marco teórico
DEFINICIÓN
La expresión ciclo biogeoquímico deriva del movimiento cíclico de los elementos que forman los organismos biológicos (bio) y el ambiente geológico (geo), y que interviene en un cambio químico. El concepto de ciclo biogeoquímico se usa para describir la distribución y transporte de materiales, los cuales controlan el recambio y transformación de estos en los ambientes terrestres, acuáticos y atmosféricos.
1ERO DE SECUNDARIA
191
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I. CICLO DEL AGUA
El agua existe en la Tierra en tres estados: sólido (hielo, nieve), líquido y gas (vapor de agua). Océanos, ríos, nubes y lluvia están en constante cambio: el agua de la superficie se evapora, el agua de las nubes se precipita, la lluvia se filtra por la tierra, etc. Sin embargo, la cantidad total de agua en el planeta no cambia. La circulación y la conservación de agua en la Tierra se llama ciclo hidrológico o ciclo del agua.
II. CICLO DE CARBONO El carbono es un componente esencial de los seres vivos. Se encuentra en la atmósfera y el agua como anhídrido carbónico (CO2). Los vegetales verdes absorben de la atmósfera el CO2, del que toman el carbono durante la fotosíntesis y, con ayuda de la energía solar, fabrican sus alimentos y sustancias de reserva, como el almidón y el azúcar.
El oxígeno que queda del CO2 es devuelto a la atmósfera. Los animales y el hombre se alimentan de productos vegetales y, en consecuencia, transforman los hidratos de carbono aprovechando la energía que en ellos existe durante el proceso de la respiración el carbono residual a la atmósfera, bajo forma de CO2. De esta manera, restituyen el carbono al ambiente natural.
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1. Combustibles fósiles
En algunos casos, el carbono presente en las moléculas biológicas no regresa inmediatamente al ambiente abiótico. Por ejemplo, el carbono presente en la madera de los árboles o el que formó parte de los depósitos de hulla a partir de restos de árboles antiguos, y que quedaron sepultados en condiciones anaerobias antes de descomponerse. Hulla, petróleo y gas natural son llamados combustibles fósiles, pues se formaron a partir de restos de organismos antiguos y porque contienen grandes cantidades de compuestos carbonados como resultado de la fotosíntesis ocurrida hace millones de años.
2. Efecto invernadero
Por medio de las actividades humanas se liberan grandes cantidades de carbono a la atmósfera a un ritmo mayor de aquel con que los productores y el océano pueden absorberlo. Estas actividades han perturbado el presupuesto global del carbono, aumentando, en forma lenta pero continua, el CO2 en la atmósfera. Esto propicia cambios en el clima con consecuencias diversas, como ascenso en el nivel del mar, cambios en las precipitaciones, desaparición de bosques, extinción de organismos y problemas para la agricultura. Gases como CO2, ozono superficial (O3), óxido nitroso (N2O) y clorofluoralcanos se acumulan en la atmósfera como resultado de las actividades humanas, derivando en un aumento del calentamiento global. Esto ocurre porque los gases acumulados frenan la pérdida de radiación infrarroja (calor) desde la atmósfera al espacio. Una parte del calor es transferida a los océanos, lo que aumenta la temperatura de estos, hecho que implica un aumento de la temperatura global del planeta. Como el CO2 y otros gases capturan la radiación solar de manera semejante al vidrio de un invernadero, el calentamiento global que se produce de este modo se conoce como efecto invernadero.
III. CICLO DEL NITRÓGENO
La atmósfera tiene aproximadamente 70% de gas nitrógeno, pero ni las plantas ni los animales pueden usarlo directamente, solo pueden aprovecharlo algunas bacterias.
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Dichas bacterias fijan o capturan directamente el nitrógeno atmosférico y lo transforman en nitratos, compuestos químicos que son aprovechados por los vegetales para elaborar proteínas, vitaminas y otras moléculas orgánicas.
Luego, los organismos vegetales y animales que mueren son descompuestos rápidamente por los microorganismos (bacterias y hongos) para dar origen a otros compuestos químicos, como el amoniaco, que luego pasa a la atmósfera y es aprovechado nuevamente por los vegetales.
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Este ciclo consta de las siguientes etapas: 1. Fijación del nitrógeno
Consiste en la conversión del nitrógeno gaseoso (N2) en amoniaco (NH3), forma utilizable para los organismos. En esta etapa intervienen bacterias (que actúan en ausencia de oxígeno), presentes en el suelo y en ambientes acuáticos, que emplean la enzima nitrogenasa para romper el nitrógeno molecular y combinarlo con hidrógeno. N2 ——————————> NH3
Ejemplos de bacterias fijadoras de nitrógeno: cianobacterias y bacterias del género Rhizobium.
Los animales eliminan el nitrógeno con sus deyecciones (orina y excremento). Los excrementos de algunas aves marinas constituyen los depósitos de guano para la agricultura.
2. Nitrificación
Proceso de oxidación del amoniaco o ion amonio, realizado por dos tipos de bacterias: Nitrosomonas y Nitrobacter (comunes del suelo). Este proceso genera energía, que es liberada y utilizada por estas bacterias como fuente de energía primaria.
3. Asimilación
Las raíces de las plantas absorben el amoniaco (NH3) o el nitrato (NO3–), e incorporan el nitrógeno en proteínas, ácidos nucleicos y clorofila. Cuando los animales se alimentan de vegetales, consumen compuestos nitrogenados vegetales y los transforman en compuestos nitrogenados animales.
4. Amonificación
Consiste en la conversión de compuestos nitrogenados orgánicos en amoniaco. Se inicia cuando los organismos producen desechos como urea (orina) y ácido úrico (excreta de las aves), sustancias que son degradadas para liberar como amoniaco el nitrógeno en el ambiente abiótico.
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5. Desnitrificación
Es el proceso que realizan algunas bacterias ante la ausencia de oxígeno: degradan nitratos (NO3–) liberando nitrógeno (N2) a la atmósfera, a fin de utilizar el oxígeno para su propia respiración. Ocurre en suelos mal drenados. A pesar de las pérdidas de nitrógeno, el ciclo se mantiene gracias a la actividad de las bacterias fijadoras de nitrógeno, capaces de incorporar el nitrógeno gaseoso del aire a compuestos orgánicos nitrogenados.
IV. CICLO DEL OXÍGENO
El oxígeno es el elemento químico más abundante en los seres vivos, podemos encontrarlo bajo la forma de agua, bien como oxígeno molecular o en forma de CO2. El oxígeno es producido por los individuos fotosintéticos, donde el agua es el donador de electrones para la reducción del CO2. Para llevar esto a cabo es necesaria la clorofila.
Retroalimentación 1. Escribe el ciclo bioquímico: ________________________ , __________________________, ______________________________ ______________________________________
y
____________________________________
2. ¿En qué formas podemos encontrar el oxígeno? _________________________________________________________________________________ 3. Escribe el nombre de una fuente de carbono en la atmósfera: _________________________________________________________________________________ 4. Elemento químico más abundante en los seres vivos, podemos encontrarlo bajo la forma de agua: _________________________________________________________________________________
Trabajando en Clase Lectura: Ciclos biogeoquímicos Se denomina ciclo biogeoquímico al movimiento de cantidades masivas de carbono, nitrógeno, oxígeno, hidrógeno, calcio, sodio, sulfuro, fósforo y otros elementos, entre los componentes vivientes y no vivientes del ambiente (atmósfera y sistemas acuáticos) mediante una serie de procesos de producción y descomposición. 1. Es un componente no viviente: _______________________________________ 2. ¿Cómo se reproducen los componentes no vivientes? _______________________________________
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Responder: Son estados del agua: a) _______________________________________ b) _______________________________________ c) _______________________________________ Completar: En el ciclo del nitrógeno, las _________________ ____________________ capturan directamente el nitrógeno atmosférico y lo transforman en nitratos. En el ciclo del oxígeno, el oxígeno es producido por las ______________, donde el agua es el donador de electrones para realizar la reducción del ________________.
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Verificando el Aprendizaje Integral 1. Características de los seres vivos que les permite acomodarse a los requerimientos del ambiente, cambiando su estructura, funcionamiento o conducta para posibilitar su supervivencia: a) Reproducción b) Movimiento c) Adaptación d) Irritabilidad e) Crecimiento 2. El nivel de organización de una enzima y una levadura es, respectivamente __________. a) celular y organismo b) molecular y organismo c) celular y molecular d) organismo y celular e) molecular y celular 3. La reacción de síntesis mediante la que se edifican moléculas complejas, a partir de simples, se llama _____________, como por ejemplo, _________________. a) irritabilidad – sistema nervioso b) adaptación – supervivencia c) anabolismo – fotosíntesis d) homeostasis – equilibrio e) catabolismo – respiración UNMSM 4. En el proceso de homeostasis, el _______________ se encarga de regular este proceso. a) aparato circulatorio b) aparato excretor c) sistema linfático d) sistema endocrino e) aparato digestivo 5. ¿Qué característica de los seres vivos les permite acomodarse a los requerimientos del ambiente y les permite evolucionar. a) Reproducción b) Movimiento
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c) Irritabilidad d) Crecimiento e) Adaptación 6. La sudoración y la filtración renal son ejemplos del proceso denominado __________________. a) metabolismo b) reproducción c) homeostasis d) crecimiento e) irritabilidad 7. La capacidad orgánica para responder de un modo determinado a los estímulos, tanto internos como externos, se conoce como _______________. a) homeostasis b) crecimiento c) reproducción d) adaptación e) irritabilidad 8. El origen y los cambios graduales que experimentan los seres vivos a través del tiempo se denominan _______. a) homeostasis b) ecología c) evolución d) fisiología e) genética 9. Reacciones químicas que ocurren en un organismo, donde son degradadas las moléculas complejas a otras más simpes: a) Reproducción b) Crecimiento c) Catabolismo d) Anabolismo e) Evolución 10. Etimológicamente significa «esfera de vida». a) Biósfera b) Ecósfera c) Ecosistema d) Biotopo e) Evolución
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Tarea Integral
UNMSM
1. No es un componente del ciclo del agua: a) Nubes b) Océanos c) Lluvias d) Evaporación e) Nitrificación
5. La nitrificación pertenece al ciclo del: a) Carbono b) Hidrógeno c) Oxígeno d) Agua e) Nitrógeno
2. Se le conoce como ciclo hidrológico: a) Ciclo del oxígeno b) Ciclo del carbono c) Ciclo del nitrógeno d) Ciclo del agua e) Ciclo del hidrógeno
6. No es el elemento productor de CO2 (dióxido de carbono): a) Petróleo b) Gas natural c) Fotosíntesis d) Respiración e) Combustión de los carros
3. No es una fuente de carbono: a) Combustión de los carros b) Combustión de las fábricas c) Volcanes d) Respiración e) Agua 4. No es un ciclo biogeoquímico: a) Ciclo del agua b) Ciclo del nitrógeno c) Ciclo del carbono d) Ciclo del oxígeno e) Ciclo del calcio
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7. ¿A qué se debe, principalmente, el efecto invernadero? a) Disminución de CO2 b) Aumento de CO2 c) Aumento de agua d) Aumento de azufre e) Disminución del nitrógeno
AGRARIA 8. Es un proceso importante para la eliminación de CO2 y la producción de O2. a) Fotosíntesis b) Petróleo c) Gas natural d) Respiración e) Combustión de carros 9. Es un ciclo biogeoquímico que utiliza la fotosíntesis: a) Carbono b) Nitrógeno c) Hidrógeno d) Oxígeno e) Agua 10. Es un componente del ciclo del agua: a) Nubes b) Océanos c) Lluvias d) Evaporación e) Todas
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Biocenosis Marco teórico La Biocenosis (Bio = vida; cenosis = comunidad) es el conjunto de seres vivos que (poblaciones) que viven en un mismo tiempo y lugar. INTRAESPECÍFICAS Entre individuos de la misma especie.
INTERESPECÍFICAS Entre individuos de diferentes especies.
Relaciones Biologicas INTRAESPECÍFICAS
Positivas
Negativas
ASOCIACIONES Organismos de la misma especie que se favorecen
COMPETENCIAS Organismos de la misma especie que compiten
FAMILIARES Los individuos presentan lazos consanguíneos. Ejemplo: pingüinos
COLONIALES Los individuos provienen de un mismo progenitor. Ejemplo: corales
POR EL ALIMENTO Ejemplo: leones
POR LA LUZ Ejemplo: las plantas
GREGARIAS Grupo de animales que conviven, pero no son familia. Ejemplo: manada de elefantes
ESTATALES Organización jerárquica en que hay división del trabajo. Ejemplo: panal de abejas
POR LAS HEMBRAS Ejemplo: lobo de mar
POR EL TERRITORIO Ejemplo: perros
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I. RELACIONES INTRAESPECÍFICAS 1. Asociaciones (relaciones positivas)
Es frecuente, en algunas poblaciones, la formación de agrupaciones transitorias o permanentes con la finalidad de ayudarse.
A. Relaciones familiares
Se establecen relaciones de reproducción o de cuidado de la prole. Existen varios tipos: LL Parentales monógamas: macho y hembra con sus crías. LL Parentales polígamas: macho con varias hembras y sus crías. LL Matriarcales: hembra con sus crías.
B. Relaciones gregarias (vida en grupo)
El grupo es un conjunto de individuos que desarrollan actividades comunes y tienen comportamientos semejantes. Las ventajas de la vida en grupo son numerosas, por ejemplo: LL Defensa ante el ataque. LL Defensa contra las inclemencias del tiempo. LL M ayor facilidad para procurar alimento. LL Favorece la reproducción.
C. Relaciones estatales o sociedades
La sociedad está integrada por un conjunto de individuos que se comunican entre sí por medio de diversos estímulos y entre los que existe una especialización de tareas y una jerarquía social. Los casos de organización social más elevada se dan en hormigas, abejas y las avispas.
D. Relaciones coloniales
La población de individuos se asocia de manera extrema, de modo que llegan a formar una unidad, es decir, un organismo común. También puede haber una división del trabajo o simplemente una unión defensiva. Es el caso de los corales y los pólipos.
2. Competencia (relaciones negativas)
Cuando algún elemento vital, como la luz, el agua, el alimento o el espacio, no existe en cantidad suficiente para satisfacer las necesidades de todos los individuos de una población, se establece entre ellos una lucha o competencia. Estas asociaciones pueden ser de diversos tipos:
A. Por el alimento
Cuando los recursos escasean o cuando aumenta el número de individuos de una población, la lucha por conseguir alimento es cada vez mayor. De este modo, se van eliminando los más débiles o los menos adaptados.
B. Por la luz
Las plantas buscan la luz para poder desarrollarse.
C. Por las hembras:
Algunos animales, como los lobos de mar, cuidan a sus hembras y no permiten que machos foráneos entren a su territorio y cortejen a sus hembras.
D. Por el territorio
Se asocia a la búsqueda de alimento o a la reproducción. Cada especie utiliza señales específicas como olores, sonidos, etc.
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INTERESPECÍFICAS Positivas
La unión favorece a la sobrevivencia del individuo
Negativas
La unión perjudica la supervivencia del organismo.
MUTUALISMO Ambos organismos se benefician. Existe dependencia. Ejemplo: liquen y musgo
PROTOCOOPERACIÓN Ambos organismos se benefician. No existe dependencia. Ejemplo: vaca y aves
PARASITISMO Un individuo (huésped) vive a expensas de otro (hospedero). Ejemplo: tenia, pulga, lamprea.
COMPETENCIA Dos individuos luchan porque tienen el mismo nicho. Ejemplo: León y hiena
COMENSALISMO Un organismo se beneficia sin afectar al otro. Ejemplo: tiburón y rémora
INQUILISMO Un organismo sobrevive sobre otro o dentro de aquel. Ejemplo: cangrejo ermitaño, pez gatillo y pepino de mar
DEPREDACIÓN Un individuo (depredador) mata a otro (presa) para alimentarse de este. Ejemplo: lechuza y ratones
AMENSALISMO Un individuo produce sustancias que inhiben el desarrollo de otro. Ejemplo: hongo penicillium y bacterias
II. RELACIONES INTRAESPECÍFICAS Son las que se llevan a cabo entre organismos de especies diferentes. Dependiendo de la relación, esta puede ser favorable (+), desfavorable (–) o indiferente a los organismos participantes (o).
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Competencia
(–)
ESPECIE B
TIPO DE INTERACCIÓN
ESPECIE A
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(–)
Depredación
(+)
(–)
Cooperación
(+)
(+)
Parasitismo
Mutualismo
Comensalismo
(+)
(+)
(+)
(–)
(+)
(0)
Amensalismo
(–)
(0)
Neutralismo
(0)
(0)
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NATURALEZA DE LA INTERACCIÓN Individuos de especies diferentes utilizan el mismo recurso, actuando cada especie desfavorablemente sobre la otra. Se compite por alimento, agua, luz, espacios o sitios de nidificación, pareja, etc.
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EJEMPLOS
Las plantas compiten con otras por la luz solar y el agua.
Una especie captura (depredador o predador) y se alimenta de otra (presa), por lo que la primera resulta beneficiada y daña a la otra. También se considera predación a la ingestión de pequeños animales por plantas carnívoras o por hongos.
Tiburones que atacan peces; gatos y ratones; plantas insec-tívoras; murciélagos y polillas.
Las especies forman una asociación que no les es indispensable (pueden vivir por separado), pero que les brinda alguna ventaja.
La nidificación colectiva de varias especies de aves.
Se da cuando una especie se beneficia de otra, viviendo dentro (endoparásito) o fuera (ectoparásito) de su huésped. La especie parásita inhibe el crecimiento o reproducción del hospedero y, a veces, le provoca la muerte.
Hongos y bacterias pueden atacar a los animales y vegetales. La tenia en el organismo humano, las pulgas, los piojos, protozoarios que se aprovechan de otros individuos.
Es la asociación íntima y de largo plazo entre organismos de dos especies diferentes con beneficio recíproco. Cada especie necesita la presencia de la otra para sobrevivir, crecer y reproducirse. Viven en simbiosis.
Los líquenes que resultan de la asociación de un alga, que proporciona la clorofila para la fotosíntesis, y un hongo, que aporta la humedad. Las bacterias y las leguminosas.
Una de las especies se beneficia y la otra, ni se beneficia ni se perjudica. Los organismos comensales ejercen unos sobre otros coacciones de tolerancia recíproca.
Crustáceos dentro de la concha de algún molusco. Anélidos marinos y cangrejos. Las plantas epifitas. Tiburones y rémoras.
La especie llamada amensal resulta inhibida en su crecimiento o reproducción, mientras que la otra, la inhibidora, no resulta alterada.
Las hierbas impiden el desarrollo de otras plantas. Animales ovinos que al buscar alimento desentierran lombrices, las que son ingeridas por aves.
No hay beneficio ni perjuicio para ninguno de los dos organismos: las dos especies son independientes, no tienen ninguna influencia entre sí.
Una lombriz de tierra y un insecto. Las ardillas y los topos en un bosque.
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Retroalimentación 1. Las relaciones entre individuos de igual especie se denominan ______________, mientras que las relaciones que ocurren entre individuos de diferentes especies se denominan __________________. 2. Es la relación en que ambos individuos se benefician mutuamente: _________________________ 3. Escribe dos ejemplos de relaciones intraespecíficas positivas: ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 4. Escribe dos ejemplos de relaciones interespecíficas negativas: ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________
Trabajando en Clase Los seres vivos que integran las comunidades biológicas tienen necesidades vitales como alimentarse, crecer y reproducirse. Para satisfacerlas deben disponer de agua, aire, luz, alimento y un espacio o territorio. Como esas necesidades son comunes a todos los individuos de la misma especie y también a los de especies diferentes, se establecen entre ellos relaciones que pueden ser de dos tipos: intraespecíficas (se producen entre los individuos de la misma especie, pueden ser de lucha, de beneficio o ayuda) e interespecíficas (entre individuos de distintas especies). Las relaciones entre los individuos de diferentes especies que forman un ecosistema y la comunidad o biocenosis, pueden ser muy diferentes:
Entre las relaciones interespecíficas positivas se encuentran el mutualismo, la protocooperación, el comensalismo, el inquilismo, y entre las negativas, la depredación, el parasitismo, la competencia y el amensalismo.
a) b) c) d)
2. Es una relación interespecífica positiva: a) Mutualismo d) Parasitismo b) Depredación e) Competencia c) Lucha o ayuda en un grupo familiar
Beneficiosas para las dos especies (+, +). Perjudiciales para las dos especies (–, –). Beneficiosa para una y perjudicial para otra (+, –). Beneficiosa para una e indiferente para la otra (+, 0).
1. De acuerdo con la lectura, se puede afirmar: a) Existen tres tipos de relaciones. b) La relación interespecífica se da en individuos de igual especie. c) La relación intraespecífica se da en individuos de la misma especie. d) Las relaciones interespecíficas solo pueden ser beneficiosas para las dos especies. e) Las especies no se interrelacionan.
ZZ Escribe dos ejemplos de cada relación interespecífica (positiva y negativa):
Mutualismo
YY ____________________________________________________
Competencia por el territorio
YY ____________________________________________________
Gregaria
YY ____________________________________________________
Parasitismo
YY ____________________________________________________
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Verificando el Aprendizaje Integral 1. Es una relación intraespecífica positiva: a) Mutualismo d) Comensalismo b) Protocooperación e) Estatales c) Amensalismo 2. En el ____ una especie se beneficia de otra viviendo dentro o fuera de su huésped, perjudicándolo. a) neutralismo d) predación b) comensalismo e) parasitismo c) amensalismo 3. Si dos leones se disputan una presa, esto representaría una relación de ____________. a) comensalismo d) amensalismo b) competencia e) mutualismo c) parasitismo 4. Si dos especies se benefician, pero una depende de la otra de forma vital, nos referimos a una relación de _________. a) mutualismo d) comensalismo b) protocooperación e) parasitismo c) amensalismo UNMSM 5. Es una relación interespecífica negativa: a) Mutualismo d) Comensalismo b) Protocooperación e) b y d c) Amensalismo
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6. Es una relación interespecífica positiva: a) Depredación d) Competencia b) Comensalismo e) Parasitismo c) Amensalismo 7. Relación donde dos individuos se benefician pero no existe dependencia entre ellos: a) Depredación d) Mutualismo b) Protocooperación e) Parasitismo c) Amensalismo 8. Si dos leones se disputan las hembras esto representaría una relación de __________. a) Comensalismo d) Competencia b) Parasitismo e) Mutualismo c) Amensalismo 9. Es una relación intraespecífica: a) Mutualismo b) Agrupaciones familiar c) Protocooperación d) Amensalismo e) Comensalismo 10. El liquen es un ejemplo de una relación _______. a) Interespecífica b) Intraespecífica c) Mutualismo d) Depredación e) a y c
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Tarea Integral 1. Si un cormorán se zambulle y captura un pez, entonces la interacción entre estas especies es de ___________. a) comensalismo b) competencia c) mutualismo d) depredación e) parasitismo 2. Relación que existe entre los piojos y el ser humano: a) Inquilismo b) Depredación c) Amensalismo d) Comensalismo e) Ectoparasitaria 3. Es una relación interespecífica: a) Familiares b) Protocooperación c) Coloniales d) Gregarias e) Estatales 4. Relación interespecífica en la cual dos individuos se benefician mutuamente y existe una dependencia total: a) Protocooperación b) Mutualismo c) Parasitismo d) Comensalismo e) Amensalismo
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UNMSM
5. Si un león ataca un antílope por un proceso natural de alimentación en la selva africana, estamos frente a una relación de ___________. a) comensalismo b) competencia c) parasitismo d) depredación e) mutualismo 6. Si dos especies se benefician, pero una no depende de la otra la relación que existe entre ellas es de ________. a) mutualismo b) protocooperación c) amensalismo d) comensalismo e) parasitismo 7. ¿Cuál no es una relación intraespecífica? a) Familiares b) Mutualismo
AGRARIA c) Coloniales d) Gregarias e) Estatales 8. Si dos leones se disputan el territorio, esto representaría una relación de _________. a) comensalismo b) parasitismo c) amensalismo d) competencia e) mutualismo 9. Las micorrizas son un tipo de relación interespecífica tipo simbiosis de __________. a) mutualismo b) agrupaciones familiar c) protocooperación d) amensalismo e) comensalismo 10. El liquen es un ejemplo de relación ________. a) interespecífica b) intraespecífica c) mutualismo d) depredación e) a y c
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Biomas Marco teórico Generalmente un bioma es definido según el tipo de vegetación dominante que, a su vez, es consecuencia de las condiciones climatológicas, ya que temperatura y humedad condicionan la vegetación. La altitud y determinados accidentes geográficos introducen variaciones importantes en los principales biomas. También la acción humana altera las condiciones ecológicas. El término bioma propuesto por Clements en 1916 designa una comunidad biótica integrada por plantas y animales. Para la explicación de los diferentes biomas los dividiremos en tres tipos: terrestres, dulciacuícolas y marinos. Los marinos contienen muchas más sales disueltas que los biomas de agua dulce. Los biomas terrestres son los más variados.
Recuerda que En Ecología, se denominan biomas a las grandes comunidades ecológicas que se extienden por amplias regiones del planeta y que se caracterizan fundamentalmente por el clima, en particular, por la temperatura y las precipitaciones y la fauna y flora que los componen. I. TUNDRA
Biomas terrestres Tundra Bosques de coníferas Bosques tropicales Sabanas Praderas Chaparrales Desiertos Pastizal
Biomas dulciacuícolas Lagos Charcos
Biomas marinos Océanos
Pantanos interiores Manantiales Arroyos Ríos
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Zonas entre mareas Estuarios
La tundra es el bioma más alejado del Ecuador. Este toma el nombre de una palabra siberiana que significa “al norte del límite de vegetación”. La tundra comprende el 10% de la superficie de la Tierra. Se encuentra en un estrecho cinturón que rodea el océano Ártico, en áreas como Canadá, Siberia y Alaska. La tundra es frecuentemente llamada «el desierto congelado», por su temperatura y limitada precipitación. Los climas de la tundra tienen un rango variable de temperatura, extendiéndose aproximadamente desde los 5 °C en el verano hasta los –32 °C en invierno. Abajo está la capa permanentemente congelada del subsuelo, llamada hielo permanente.
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La fauna y la flora primordial de este bioma son los osos polares, las focas, las morsas, los caribúes, los zorros árticos, así como líquenes, musgos y arbustos pequeños, así como osos polares, focas, morsas, caribú, zorro ártico.
vegetación es generosa, con árboles muy elevados, abarrotados de plantas epifitas y trepadoras. La selva es el bioma de mayor biodiversidad, especialmente en cuanto a invertebrados, así como en lo que respecta a plantas con flores. La Amazonía y el África ecuatorial representan los mejores ejemplos de bosques tropicales.
II. BOSQUES DE CONÍFERAS O TAIGAS
IV. SABANAS Y PRADERAS
Los bosques de coníferas ocupan gran parte de Norte América y Europa. La vegetación principal son los árboles de coníferas, pinos, cipreses y abetos. También se desarrollan musgos, helechos y algunas otras hierbas pequeñas. Abundan diferentes especies de aves incluyendo al pájaro carpintero, los pinzones, los jilgueros y los reyezuelos; así como ciervos, linces, pumas, lobos, ardillas, murciélagos y musarañas. Las coníferas alcanzan gran tamaño en estas condiciones, por ejemplo el pino Douglas más alto que se conoce es un gigante de cien metros en la isla de Vancouver (Canadá).
Son zonas de geografía poco accidentadas con vegetación estacional abundante. Las sabanas y las praderas son biomas semejantes, siendo la sabana presenta variabilidad estacional. La vegetación es escasa, con dominio de plantas herbáceas y muy escasos árboles o arbustos. Son el hábitat de herbívoros corredores, como el bisonte, el caballo, la cebra y el canguro; de aves, también corredoras, como la avutarda, el avestruz o el ñandú; también puma y el jaguar.
V. CHAPARRAL
III.BOSQUE TROPICAL
C o n o c i d o también como selva virgen, constituye uno de los biomas más importantes debido a su gran biodiversidad en flora y fauna, también porque mantiene la estabilidad climática del planeta: controla el flujo del agua, regula el clima y genera oxígeno. Presenta gran precipitación, lo que le permite poseer una vegetación abundante y constante. La
206
El chaparral presenta inviernos lluviosos, veranos secos y con elevadas temperaturas. En general, presenta precipitación escasa y vegetación temporal; la comunidad culminante incluye árboles y arbustos de hojas gruesas y duras. Durante los veranos secos y calurosos, es
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constante el peligro de fuego, que puede invadir rápidamente los lomeríos del chaparral. Algunos vertebrados residentes característicos son los pequeños, también ratas del bosque, las ardillas, los lagartos y otros. Un ave característica del chaparral es el chochín herrerillo (Chamaea fasciata).
alcanzan las aguas y por la distancia a la costa. La zona litoral se caracteriza por la luminosidad de sus aguas, la escasa profundidad y la abundancia de nutrientes; en ella se concentran algas, moluscos, equinodermos y arrecifes de coral, además tortugas, focas y peces óseos son comunes también aquí. La zona pelágica, por su parte, se caracteriza por tener una banda iluminada, pero también grandes profundidades sin luz. En estas regiones, los seres acuáticos se han adaptado a vivir sin ella y a estar sometidos a grandes presiones.
VI. DESIERTO
Son zonas de altas temperaturas, precipitación mínima y vegetación xerofítica; las partes subterráneas de estos vegetales están muy desarrolladas como adaptación a la extrema sequía y a la poca variación de temperatura, por esto lo habitan animales que toleran la deshidratación. El norte de África y de Oriente son de este tipo. Existe pobre diversidad de especies.
VII. BIOMAS MARINOS Y DULCIACUÍCOLAS Los biomas marinos son básicamente dos: el oceánico o pelágico y el litoral o nerítico, caracterizados por la diferente profundidad que
Los biomas dulciacuícolas son básicamente dos: las aguas estancadas (lénticas) de lagos y lagunas, las aguas corrientes (lóticas) de ríos y arroyos. De la superficie del planeta, el 70% de su superficie está ocupada por los océanos. Del restante 30%, que corresponde a tierras emergidas, un 11% de esa superficie se halla cubierta por los hielos, que se pueden clasificar como desierto helado, mientras que el 10% lo ocupa la tundra.
Retroalimentación 1. Los biomas marinos son: 2. El _____________________ es conocido como selva virgen y es considerado el bioma más abundante. 3. El _______________ es el bioma de altas temperaturas, precipitación mínima y vegetación xerofita. 4. Menciona tres biomas terrestres: YY __________________________________ YY __________________________________ YY __________________________________
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Trabajando en Clase ZZ Coloque tres características prinicipales de cada uno de los siguientes biomas:
{ { {
1.
BOSQUE DE CONÍFERAS
2. 3. 1.
TUNDRA
2. 3. 1.
CHAPARRAL
2. 3.
ZZ Lectura:
El concepto de fauna se refiere al conjunto de animales en sus diferentes clasificaciones, como mamíferos, reptiles, aves, etc. Para el conocimiento de la fauna se parte del conocimiento taxonómico y de la distribución de las especies en los tres ambientes de vida: terrestre, aguas continentales y espacio aéreo. La acción del hombre sobre la fauna, con actividades como la cacería, causa un desequilibrio que puede conducir a la aparición de nuevas plagas. Por ejemplo, los trastornos en las cadenas alimenticias y otras relaciones en las comunidades, así como la disminución de la calidad de vida de los habitantes. A partir de la fauna, el hombre se provee de alimentos y materiales para distintos usos (como pieles, aceites, etc.). Algunas de las especies de mamíferos que anteriormente se encontraban en abundancia son cada vez más escasas debido a la degradación de su nicho ecológico y hábitat que, deja condiciones impropias de habitabilidad; por ello es notoria la cantidad de especies que han desaparecido. Por su parte la flora es el conjunto de especies vegetales que pueblan un territorio o una región geográfica. La flora será rica o pobre si la región geográfica posee muchas especies vegetales o escaso número de ellas. El conjunto de flora es de muy variable amplitud, según el punto de vista desde el que se considere. 1. Fauna y flora se refieren, respectivamente a ___________. a) vegetal – animal b) animal – vegetal c) hombre – vegetal d) animal – hombre e) solamente al hombre 2. ¿En qué ambientes se encuentran distribuidos los integrantes de la fauna? a) Terrestres b) Acuáticos c) Aéreo d) a y b e) a, b y c
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1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
BIOLOGÍA - I BIMESTRE
Verificando el Aprendizaje Integral 1. Bioma de precipitación escasa y vegetación temporal: a) Tundra b) Bosques de coníferas c) Bosque tropical d) Sabanas y praderas e) Chaparrales 2. Biomas en que las zonas presentan altas temperaturas, precipitación mínima y vegetación xerofítica: a) Tundra b) Bosques de coníferas c) Desierto cálido d) Sabanas e) Praderas 3. Conocido también como selva virgen, constituye uno de los biomas más importantes debido a su gran biodiversidad en flora y fauna: a) Tundra b) Sabanas c) Praderas d) Bosque tropical e) Bosques de coníferas 4. Tipo de bioma que se encuentra cerca de los polos geográficos terrestres: a) Tundra b) Bosques de coníferas c) Bosque tropical d) Sabanas e) Chaparral UNMSM 5. _____ son básicamente dos: las aguas estancadas (lénticas) de lagos y lagunas y las aguas corrientes (lóticas) de ríos y arroyos. a) Los desiertos b) Las sabanas c) Los biomas dulciacuícolas
1ERO DE SECUNDARIA
d) Las praderas e) Los biomas marinos 6. Conjunto de ecosistemas que se caracterizan por una composición de especies y un espectro de tipos biológicos de plantas con un funcionamiento y un ajuste al clima y al suelo característicos: a) Bioma b) Tundra c) Sabanas d) Ecología e) Bosque tropical 7. Bioma de mayor biodiversidad en flora y fauna: a) Tundra b) Bosque tropical c) Praderas d) Chaparrales e) Bosques de coníferas 8. Bioma que presenta inviernos lluviosos y veranos secos y con elevadas temperaturas: a) Sabanas b) Praderas c) Chaparral d) Bioma marino e) Tundra 9. Zonas de temperaturas elevadas, precipitación mínima y vegetación xerofítica (cactus): a) Desiertos b) Praderas c) Tundras d) Chaparrales e) Lagos 10. Son básicamente dos: el oceánico o pelágico y el litoral o nerítico. a) Tundras b) Sabanas c) Biomas dulciacuícolas d) Oceánico e) Biomas marinos
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COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
BIOLOGÍA - I BIMESTRE
Tarea Integral 1. Constituyen los biomas de mayor biodiversidad en flora y fauna: a) Tundras b) Bosques de coníferas c) Sabanas y praderas d) Bosques tropicales e) Chaparrales 2. Biomas donde las zonas presentan altas temperaturas, precipitaciones mínima y vegetación xerofita: a) Tundra b) Bosques de coníferas c) Sabanas y praderas d) Chaparral e) Desierto 3. Bioma terrestre donde habitan los osos polares y se encuentra cerca de los polos geográficos: a) Tundra b) Bosques de coníferas c) Bosques tropicales d) Sabanas y praderas e) Chaparral 4. Zonas donde la vegetación es seca, llegando al punto de generar grandes incendios: a) Tundra b) Desierto c) Praderas d) Chaparral
210
UNMSM e) Bosques de coníferas 5. Son básicamente dos: el oceánico o pelágico y el litoral o nerítico a) Tundra b) Sabanas c) Praderas d) Biomas marinos e) Biomas dulce acuíferos 6. Son básicamente dos: las aguas, estancadas (lénticas) de lagos y lagunas, y las aguas corrientes (lóticas) de ríos y arroyos. a) Biomas marinos b) Tundra c) Sabanas d) Praderas e) Biomas dulcescuíferos 7. Conocido también como selva virgen, constituye uno de los biomas más importantes debido a su gran biodiversidad en flora y fauna. a) Tundra b) Desierto c) Praderas
AGRARIA d) Bosques tropical e) Bosques de coníferas 8. Frecuentemente llamada “el desierto congelado”, por su baja temperatura y limitada precipitación. a) Desierto b) Praderas c) Tundra d) Chaparral e) Bosques de coníferas 9. Son biomas de grandes extensiones de terreno de pastizales: a) Biomas marinos b) Tundra c) Desiertos d) Praderas e) Biomas dulcescuíferos 10. Biomas donde la zona presenta bosques de cipreses y abetos: a) Tundra b) Bosques de coníferas c) Sabanas y praderas d) Chaparral e) Desierto
1ERO DE SECUNDARIA
Química NOTA REVISIÓN BIMESTRAL
QUÍMICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
1
El método científico III. HIPÓTESIS
Marco teórico El desarrollo de las ciencias entre ellas la química, se basa en la investigación científica de la naturaleza y de los fenómenos que ocurren en ella. En este capítulo analizamos el método científico, que es la base para la investigación, no sólo en química, sino también, para las demás ciencias. El método científico es un conjunto de pasos ordenados que permiten a los científicos dar una explicación lógica sobre un hecho o fenómeno. El método científico presenta los siguientes pasos:
I. OBSERVACIÓN
Son las posibles respuestas o explicaciones razonables del fenómeno o hecho observado.
Ejemplo: El clavo se oxida ¿por qué? YY Hipótesis “1”: Es de mala calidad. YY Hipótesis “2”: Está viejo. YY Hipótesis “3”: Por la presencia del oxígeno en
el aire.
IV. EXPERIMENTACIÓN
Etapa donde se observan los hechos fenómenos que se van a investigar.
Es la comprobación de la hipótesis mediante experimentos. +
clavo nuevo
O2 oxígeno
clavo oxidado
V. TEORÍA O CONCLUSIÓN
¿Por qué se oxida el clavo?
II. RECOLECCIÓN DE DATOS
Es la recopilación (anotación) de los datos obtenidos mediante la observación: También consiste en buscar información extra en libros, revistas, etc.
La teoría explica el fenómeno o hecho observado. Es válida hasta que otros descubrimientos la contradigan. Ejemplo: se llega a la conclusión de que el clavo se oxida por la presencia de oxígeno.
VI. LEY
Una ley científica es una hipótesis debidamente comprobada en cualquier parte del mundo y reconocida por la comunidad científica. La oxidación del clavo ocurre porque el oxígeno del aire reacciona con el hierro del metal. Método científico ⇔ Conocimiento científico
Biblioteca
212
1ERO DE SECUNDARIA
QUÍMICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Trabajando en Clase Integral 1. Etapa del método científico donde se comprueba la hipótesis mediante experimentos. Respuesta: ________________________
2. Etapa del método científico donde se emplean los sentidos. Respuesta: ________________________ 3. Los pasos del método científico son:. Respuesta:
________________________
________________________ ________________________ ________________________ ________________________
4. Es el conjunto de pasos ordenados que permite a los científicos dar una explicación lógica de un fenómeno o hecho. Respuesta: ________________________ UNMSM 5. La materia no se crea ni se destruye, solo se transforma corresponde a la etapa: Respuesta: ________________________ 6. Etapa del método científico donde se anotan los datos obtenidos.
7. Paso del método científico que es comprobada en cualquier parte del mundo. Respuesta: ________________________ 8. Paso del método científico que explica el hecho investigado hasta que otro descubrimiento lo contradiga. Resolución:
La teoría
9. Posible respuesta del fenómeno o hecho observado. Respuesta: ________________________
Respuesta: ________________________
10. Primer paso del método científico. Respuesta: ________________________
1ERO DE SECUNDARIA
213
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
QUÍMICA - I BIMESTRE
Tarea Integral 1. El primer paso del método científico es: a) Teoría b) Ley c) Experimentación d) Observación e) Hipótesis 2. La ______ es el paso del método científico donde se utilizan los sentidos. a) observación b) teoría c) ley d) recolección de datos e) hipótesis 3. Una hipótesis se comprueba mediante la _______. a) Observación b) Ley c) Hipótesis d) Experimentación e) Teoría 4. La anotación de datos observados en un cuaderno por parte del investigador corresponde a la ______ a) observación b) recolección de datos c) teoría d) experimentación e) ley
214
UNMSM 5.
Paso del método científico que explica una hipótesis: a) observación b) hipótesis c) experimentación d) teoría e) recolección de datos
6. Luis al ver un clavo oxidado, se pregunta, ¿Por qué se oxida un clavo?. Este paso corresponde a la _____. a) observación b) recolección de datos c) teoría d) experimentación e) ley 7. Luis propone respuestas a la oxidación del clavo, como: se oxida por el aire; se oxida por el agua, se oxida por el calor. Esta etapa corresponde a_______. a) Observación b) experimentación c) hipótesis d) ley e) recolección de datos
UNI 8. Etapa del método científico donde se realizan los experimentos para comprobar la hipótesis: a) Observación b) Recolección de datos c) Experimentación d) Hipótesis e) Teoría 9. No es un paso del método científico a) Recolección de datos b) Experimentación c) Teoría d) Ley e) Análisis 10. Etapa del método científico que sigue a la experimentación: a) Observación b) Teoría c) Recolección de datos d) Hipótesis e) Ley
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COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
QUÍMICA - I BIMESTRE
Materia: Concepto y propiedades generales
2 Marco teórico I. CONCEPTO
La materia es todo aquello que ocupa un lugar en el espacio, porque tiene masa y volumen. La materia está en constante cambio, movimiento y transformación. Ejemplo: Cuaderno, lápiz, pizarra, árbol, flor, frutas, perro, gato, mariposa, agua, aire, roca, etc
II. PROPIEDADES DE LA MATERIA
Son características inherentes a la materia. Se clasifican en propiedades generales y propiedades específicas o particulares.
1. Propiedades generales de la materia
Son aquellas que están presente en todo tipo de materia. Ejemplo: Masa, peso, volumen, inercia, impenetrabilidad, gravedad, divisibilidad, porosidad
Masa Es la cantidad de materia que presenta un cuerpo.
Ejemplo: Niño en una balanza Peso Fuerza con que la
1ERO DE SECUNDARIA
Tierra atrae a los cuerpos. Ejemplo: Pelota cayendo
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QUÍMICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Volumen Es el espacio o lugar que ocupa un cuerpo. Ejemplo: Botella de aceite
Porosidad La materia presenta espacios vacios llamados poros. Ejemplo: Poros de la piel
Inercia Tendencia a permanecer en reposo o en movimiento Ejemplo: Niño en bicicleta
Divisibilidad Propiedad por la cual los cuerpos se pueden dividir en porciones más pequeñas.
Impenetrabilidad Dos o más cuerpos no pueden ocupar el mismo lugar al mismo tiempo.
Ejemplo: Botella en pedazos
Ejemplo: Vaso con hielo
Recuerda que Cuerpo: es la porción limitada de materia. Un cuerpo tiene masa, volumen y tamaño limitado
Bicicleta
Camioneta
216
Casa
Persona
Árbol
Bebida gaseosa
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QUÍMICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Trabajando en Clase Integral 1. Todo lo que ocupa un lugar en el espacio es: a) Divisibilidad d) Materia b) Luz e) Porosidad c) Calor 2. Propiedad de la materia que está presente en todo tipo de materia. a) Masa d) Inercia b) Peso e) Todas las c) Volumen anteriores 3. Es una propiedad general de la materia a) Maleabilidad d) Poder oxidante b) Ductibilidad e) Masa c) Densidad 4. Señala un ejemplo de materia a) Luz d) Ondas de radio b) Calor e) Ondas de tv c) Aire
7. Identifica cuántas propiedades generales hay en: masa, peso, dureza, maleabilidad, divisibilidad. a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4 8. Propiedad de conservar el reposo o movimiento a) Inercia d) Masa b) Gravedad e) Volumen c) Peso 9. Propiedad por la cual los cuerpos pueden dividirse en porciones más pequeñas: a) Masa c) Volumen e) Divisibilidad b) Maleabilidad d) Densidad 10. Completa
Propiedades generales
UNMSM 5. La materia presenta masa y _____________. a) radiación c) calor e) energía b) luz solar d) volumen 6. Propiedad por la cual los cuerpos están separados por espacios vacíos llamados poros. a) Divisibilidad d) Inercia b) Impenetrabilidad e) Masa c) Porosidad
1ERO DE SECUNDARIA
217
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
QUÍMICA - I BIMESTRE
Tarea Integral 1. La discontinuidad es la propiedad de la materia de presentar espacios vacíos, está propiedad se llama también: a) Masa b) Porosidad c) Inercia d) Volumen e) Divisibilidad 2. Propiedad por la cual la materia no se destruye, solo se transforma. a) Indestructibilidad b) Masa c) Volumen d) Divisibilidad e) Porosidad 3. Es una propiedad general de la materia: a) Masa b) Peso c) Volumen d) Divisibilidad e) T.A. 4. No es una propiedad general de la materia. a) Gravedad b) Inercia c) Volumen d) Elasticidad e) Divisibilidad
218
UNMSM 5. La________ es la cantidad de materia que presenta un cuerpo. a) Volumen b) Peso c) Masa d) Porosidad e) Divisibilidad 6. Todo cuerpo se mantiene en reposo o movimiento, a menos que una fuerza lo modifique. Corresponde a la propiedad de: a) Volumen b) Inercia c) Extensión d) Impenetrabilidad e) Porosidad 7. La materia se puede fraccionar (dividir), por medios físicos o químicos corresponde a: a) Inercia b) Peso c) Masa d) Volumen e) Divisibilidad
UNI 8. Propiedad por la cual el lugar ocupado por un cuerpo no puede ser ocupado por otro al mismo tiempo: a) Masa b) Peso c) Impenetrabilidad d) Divisibilidad e) Inercia 9. No es materia: a) Pelota d) Calor b) Aire e) Libro c) Gato 10. Propiedad por la cual los cuerpos ocupan un lugar en el espacio: a) Divisibilidad b) Peso c) Inercia d) Extensión e) Porosidad
1ERO DE SECUNDARIA
QUÍMICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Propiedades particulares de la materia
o
C
ap í t ul
3 Marco teórico
3. Maleabilidad
I. CONCEPTO
Son las propiedades que caracterizan a cada sustancia. Estas propiedades solo están presentes en algunos cuerpos y son llamadas también, propiedades específicas.
Ejemplos de propiedades particulares: dureza, elasticidad, maleabilidad, ductibilidad, tenacidad, conductividad, eléctrica, etc.
1. Dureza
Propiedad de los sólidos de ofrecer resistencia al ser rayados.
Propiedad por la que algunos cuerpos pueden formar laminas.
Lámina de acero
4. Ductibilidad
Propiedad por la que algunos cuerpos pueden convertirse en filamentos o hilos.
Escalas Mohs 1. Talco 2. Yeso 3. Calcita 4. Fluorita 5. Apatito
Diamante 6. 7. 8. 9. 10.
Feldespato Cuarzo Topacio Corindón Diamante
Cables
2. Elasticidad
Propiedad de algunos cuerpos de recuperar su forma original después de ser deformados. Collar Cantidad de ligas
1ERO DE SECUNDARIA
Te sugiero que resumas en un cuadro las propiedades generales y particulares de la materia para que te sea más comprensible
219
QUÍMICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
5. Tenacidad
Propiedad por la cual los sólidos ofrecen resistencia a romperse.
7. Viscocidad
Es la propiedad de resistencia al movimiento sobre una superficie. Ejemplo: aceite.
Aceite
Fierro macizo
6. Conductibilidad eléctrica
Propiedad de los cuerpos de conducir la electricidad (el metal que presenta mayor conductividad eléctrica es la plata.
Cable y foco
8. Fluidez
Propiedad de algunos cuerpos de moverse fácilmente sobre una superficie. Ejemplo: el agua.
Agua
Trabajando en Clase Integral 1. Identifica una propiedad especifica. a) Viscocidad b) Fluidez c) Tenacidad d) Conductibilidad eléctrica e) T.A. 2. Es una propiedad particular de la materia: a) Dureza b) Elasticidad c) Maleabilidad d) Ductibilidad e) T.A. 3. Propiedad particular por la que los metales como el acero forman laminas: a) Elasticidad
220
b) Dureza c) Maleabilidad d) Ductibilidad e) Fluidez 4. Propiedad por la que el metal cobre puede formar hilos (Ejemplo: cables de luz) a) Dureza b) Ductibilidad c) Viscosidad d) Tenacidad e) Maleabilidad UNMSM 5. Propiedad por la cual los sólidos ofrecen una resistencia a romperse a) Dureza b) Elasticidad
c) Maleabilidad d) Ductibilidad e) Tenacidad 6. “El agua fluye fácilmente sobre una superficie”. Esta propiedad particular se denomina: a) Ductibilidad b) Maleabilidad c) Fluidez d) Dureza e) Tenacidad 7. “Los elásticos son cuerpos que después de estirarse recuperan su forma original”. Esta es la propiedad de: a) Dureza b) Elasticidad c) Maleabilidad
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
QUÍMICA - I BIMESTRE
d) Ductibilidad e) Viscocidad 8. Propiedad de resistencia al movimiento sobre una superficie: a) Conductividad eléctrica b) Viscocidad c) Dureza d) Elasticidad e) Maleabilidad 9. Propiedad de los cuerpos de conducir la electricidad: a) Fluidez b) Dureza c) Conductibilidad eléctrica d) Maleabilidad e) Ductibilidad 10. Propiedades particulares de la materia. I. Masa II. Volumen III. Maleabilidad a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) II y III
1ERO DE SECUNDARIA
221
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
QUÍMICA - I BIMESTRE
Tarea Integral 1. “El material más duro es el diamante y el menos duro el talco”. Nos referimos a la propiedad llamada: a) Color b) Elasticidad c) Masa d) Volumen e) Dureza 2. Es una propiedad particular: a) Color b) Brillo c) Dureza d) Tenacidad e) Todos 3. No es una propiedad particular o especifica: a) Dureza b) Tenacidad c) Divisibilidad d) Elasticidad e) Maleabilidad 4. Propiedad por la que el cobre forma hilos: a) Densidad b) Maleabilidad c) Ductibilidad d) Color e) Viscosidad
222
UNMSM 5. “El aceite es un fluido que al moverse sobre una superficie ofrece resistencia”. Es un ejemplo de: a) Dureza b) Maleabilidad c) Divisibilidad d) Elasticidad e) Viscosidad 6. “Los metales son buenos conductores de la electricidad”. Se refiere a: a) Fluidez b) Maleabilidad c) Ductibilidad d) Conductividad eléctrica e) Viscosidad 7. Es una propiedad particular o especifica: a) Dureza b) Color c) Masa d) Volumen e) a y b
UNI 8. ”Con el aluminio los obreros fabrican laminas”. La propiedad descrita es: a) viscosidad b) tenacidad c) maleabilidad d) dureza e) conductividad eléctrica 9. Propiedad por la cual un cuerpo refleja la luz: a) brilla b) dureza c) elasticidad d) maleabilidad e) ductibilidad 10. La _______ es la propiedad de conducir la corriente eléctrica. a) viscosidad b) dureza c) elasticidad d) conductividad eléctrica e) tenacidad
1ERO DE SECUNDARIA
QUÍMICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
o
C
ap í t ul
4
Estados y cambios de estado de la materia
Marco teórico
2. Estado líquido
●● Tienen un volumen definido, pero adoptan
la forma del recipiente que lo contiene.
I. CONCEPTO
La materia se presenta en tres estados o formas de agregación: sólido, líquido y gaseoso. Estos dependen de las fuerzas intermoleculares de cohesión o atracción y repulsión. Solo algunas sustancias pueden hallarse de modo natural en los tres estados, como es el caso del agua. La mayoría de sustancias se presentan en un estado concreto.
●● D ifícilmente compresibles. ●● D ensidad intermedia. ●● H ay equilibrio entre las fuerzas de atrac-
ción y repulsión.
Fa = Fr
1. Estado sólido
●● Tienen forma y volumen definido. ●● No se pueden comprimir, es decir, son
incompresibles.
●● P oseen alta densidad. ●● Las fuerzas de atracción (Fa) son mayo-
res que la fuerza de repulsión (Fr).
Gaseosa
Fa > Fr
Mesa
Rocas
Cubo de acero
3. Estado gaseoso
Gasolina
Vaso con agua ●● Adoptan la forma y el volumen del
recipiente que lo contiene. ●● Son comprensibles, se comprimen fácilmente. ●● Su densidad es muy baja. ●● Las fuerzas de repulsión son mayores que las de atracción.
Fr > Fa
1ERO DE SECUNDARIA
223
QUÍMICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
YY El plasma es el cuarto estado de la materia,
constituido por cationes (átomos con carga eléctrica positiva), electrones y neutrones. El sol es un plasma gigantesco.
Globo
Sol
Viento
Recuerda
Amiguito recuerda: en la actualidad hay 2 estados más de la materia: – Bose-Eintein – Fermionicos
Estrellas
II. CAMBIOS DE ESTADO DE LA MATERIA
Son cambios que afectan solo el aspecto físico de las No te olvides: Hay tres tipos de vaporización: sustancias, las cuales no llegan a convertirse en nuevas Evaporización, ebullición, volatilización sustancias. Son cambios físicos.
224
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
QUÍMICA - I BIMESTRE
Trabajando en Clase Integral 1. Estado de la materia que tiene forma y volumen definido. ----------------------------------------------------------------------2. Estado de la materia donde las fuerzas de repulsión son mayores a las fuerzas de atracción molecular. a) Sólido b) Líquido c) Gaseoso d) Coloide e) T.A. 3. Característica del estado líquido: a) Alta densidad b) FR > Fa c) Fa > Fr d) Volumen definido e) Densidad muy baja 4. “Los cambios de estado de la materia son cambios físicos”.
1ERO DE SECUNDARIA
Lo correcto es: a) Son reacciones químicas b) Se forma una nueva sustancia c) No se forman nuevas sustancia d) a y b e) Todas UNMSM 5. Estado de la materia que se caracteriza por ser muy comprensible. ----------------------------------------------------------------------6. Se llama ____ al cambio del estado sólido al gaseoso. a) Fusión b) Sublimación directa c) Sublimación inversa d) Solidificación e) Licuación 7. El paso del estado gaseoso al líquido se denomina: a) Fusión b) Sublimación c) Solidificación d) Licuación e) Gasificación
8. El paso del estado sólido al líquido se conoce como: 9. La sublimación inversa es el paso del estado____ al _____. a) gaseoso – sólido b) sólido – líquido c) gas – gaseoso d) liquido – gas e) T.A 10. Estado de la materia formado por iones llamados cationes: a) Sólido b) Líquido c) Gaseoso d) Vapor e) Plasmático
225
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
QUÍMICA - I BIMESTRE
Tarea Integral
UNMSM
1. Estado de la materia donde las fuerzas de repulsión son iguales a las de atracción: a) Sólido b) Líquido c) Gaseoso d) Plasmático e) Coloidal
5. Estado de la materia que cumple: Fr > Fa
2. Característica del estado gaseoso: a) Forma y volumen definido b) Fa = Fr c) Alta densidad d) Son comprensibles e) Fa > Fr
6. La _______ es el paso del estado sólido al líquido.
3. Estado formado por iones a) Solido b) Gaseoso c) Liquido d) Plasmático e) Coloidal 4. Estado de la materia que no se puede comprimir y posee alta densidad a) Solido b) Liquido c) Iónico d) Plasmático e) Gaseoso
226
a) Liquido b) Gaseoso c) Sólido d) Plasmático e) Iónico
a) Fusión b) Sublimación directa c) Solidificación d) Licuación e) Sublimación inversa 7. La ______ es el paso del estado gaseoso al líquido. a) fusión b) solidificación c) sublimación inversa d) licuación e) gasificación
UNI 8. “Al hervir agua, esta pasa de líquido a gas”. Este cambio se llama: a) Solidificación b) Gasificación c) Licuación d) Fusión e) Sublimación 9. ”Al fundir un metal, este pesa de sólido a líquido”. Este cambio se denomina: a) Licuación b) Gasificación c) Fusión d) Solidificación e) Sublimación inversa 10. La _____ es el paso gas a sólido a) Fusión b) Licuación c) Solidificación d) Sublimación directa e) Sublimación indirecta
1ERO DE SECUNDARIA
QUÍMICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
p í t ul o a C
5
Fenómenos físicos y químicos de la materia
Marco teórico La materia sufre cambios o transformaciones por acción de algún agente energético. Estos cambios pueden alterar la apariencia física de las sustancias o alterar la estructura interna de las sustancias. Estos cambios se clasifican en:
I. FENÓMENOS FÍSICOS
ZZ Laminación
Son cambios que afectan solamente el aspecto físico de la materia, es decir, no se llegan a formar nuevas sustancias. Llamado también cambio físico porque no cambia la estructura interna de la materia, solo se modifica la forma; además, es reversible. Ejemplos:
del acero
ZZ Los cambios de
estado (fusión, sublimación, licuación, etc.). ZZ Arrugar un
papel
ZZ Doblar un
clavo
II. FENÓMENOS QUÍMICOS
Recuerda que El fenómeno físico es reversible y el químico, irreversible
1ERO DE SECUNDARIA
Son cambios que afectan la estructura interna de la materia es decir, se llegan a formar nuevas sustancias.
Llamado también cambio químico ya que se altera la composición interna de la materia, siendo un proceso irreversible. Todas las reacciones químicas son cambios o fenómenos químicos. A las sustancias de origen se les llama reactantes y a las sustancias que se forman, se les llama productos.
227
QUÍMICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
III. FENÓMENO NUCLEAR
Ejemplos:
ZZ La fotosíntesis
Es aquel cambio que experimenta la materia a nivel nuclear (núcleo atómico)
Hay dos tipos de fenómeno nuclear. YY Fisión nuclear (separación de núcleos pesados a otros ligeros)
Ejemplo: ZZ Bomba atómica (bomba de uranio)
238 92
U →23490 th + 42 He+2
ZZ La respiración
ZZ La combustión
de la gasolina
ZZ La oxidación
de un clavo
YY Fusión nuclear, unión de núcleos ligeros en
uno pesado. Ejemplo: ZZ Bomba de hidrógeno (ocurre en el
interior del sol
ZZ La digestión
228
2 1
H + 31 H →42 He1 + 0 n0
ZZ Un incendio
(combustión)
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
QUÍMICA - I BIMESTRE
Trabajando en Clase Integral 1. Los cambios de estado son fenómenos ________. ----------------------------------------------------------------------2. Cambios en la materia que no alteran su estructura interna: a) Físico b) Fenómeno c) Químico d) Respiración e) Nuclear 3. Señala V o F: YY En un fenómeno físico, se forman nuevas sustancias YY Doblar una lámina de acero es un cambio físico. YY Cocinar es un fenómeno químico a) VVV d) VVF b) FFF e) FVV c) VFF 4. No es un fenómeno químico a) Quemar un papel b) Derretir un hielo c) Oxidación de un clavo
1ERO DE SECUNDARIA
d) Respirar e) Combustión de la gasolina UNMSM 5. Indique cuantos de los siguientes fenómenos son químicos: oxidación, evaporación, sublimación de la naftalina, combustión. ---------------------------------------------------------------------6. Es un fenómeno físico: a) Combustión del papel b) La fotosíntesis de las plantas c) La fusión (paso del estado sólido a líquido) d) Fermentación de las uvas e) Digestión 7. La sublimación es un fenómeno _______. a) Físico b) Químico c) Nuclear d) Alotrópico e) T.A.
8. La explosión de una bomba de atómica es ejemplo de fenómeno _________. a) físico b) químico c) nuclear d) alotrópico e) T.A 9. Un fenómeno _____ es llamado también cambio químico. a) químico b) físico c) nuclear d) alotrópico e) T.A. 10. La exposición de la bomba de hidrogeno es un ejemplo de fenómeno _____________. a) físico b) químico c) nuclear d) alotrópico e) T.A.
229
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
QUÍMICA - I BIMESTRE
Tarea Integral 1. Cambios que afectan solamente el aspecto físico de la materia: a) Físico b) Químico c) Nuclear d) alotrópico e) oxidación 2. Fenómeno de la materia donde se forman nuevas sustancias: a) Químico b) Alotrópico c) Físico d) Fusión e) Nuclear 3. “En una reacción química, se tienen reactantes y productos”. Es un tipo de fenómeno. a) Físico b) Nuclear c) Químico d) Alotrópico e) T.A. 4. Es un fenómeno químico. a) Derretir la nieve b) Romper un papel c) Combustión de la gasolina d) Doblar un alambre e) Sublimación
230
UNMSM 5. Cuántos son fenómenos físicos en la siguiente lista: oxidación, evaporación, licuación, respiración, digestión, fotosíntesis. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. Señala V o F - Los fenómenos físicos son reversibles - La fisión nuclear y fusión nuclear son fenómenos nucleares - Es un fenómeno químico, se forman nuevas sustancias. a) VVF b) VFF c) FVV d) VVV e) FFF 7. No es un fenómeno físico: a) La fotosíntesis de las plantas b) La evaporación del alcohol
UNI c) La fusión del hielo d) Arrugar un papel 8. Convertir el cobre en hilos es un ejemplo de fenómeno: a) Químico b) Reacción química c) Físico d) Evaporación e) Nuclear 9. La fisión y fusión nuclear son fenómenos. a) Físicos b) Químicos c) Nucleares d) Alotrópicos e) Isómericos 10. ¿Cuál de las siguientes alternativas es un fenómeno físico? a) Doblar un clavo b) La fotosíntesis c) La combustión d) Fisión nuclear e) Fusión nuclear
1ERO DE SECUNDARIA
QUÍMICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
p í t ul o a C
Clasificación de la materia: sustancias
6 Marco teórico
La materia es todo aquello que ocupa un espacio. Todo objeto que vemos a nuestro alrededor es materia. Cada ser material (cuaderno, mesa, árbol, perro, ser humano, etc.) presenta una composición muy variada y diversa. Ante esta diversidad de la materia en la naturaleza, la materia ha sido clasificada en sustancias puras y mezclas.
Oro (Au)
I. SUSTANCIAS PURAS
Oxígeno (O2)
Una sustancia pura es la clase de materia que tiene una composición química definida y presenta una serie de propiedades particulares. Por ejemplo, la composición química del agua (H2O) está dada por dos átomos de hidrógeno y un átomo de oxigeno; y una propiedad particular del agua es que su densidad es de 1g/cm3. Existen dos tipos de sustancias puras: elementos y compuestos.
Cobre (Cu)
Sustancias puras
Elementos
Compuestos
1. Elementos (sustancia simple)
Son sustancias puras más simples que no se pueden descomponer en otras más sencillas que ella, ya que están formados por la misma clase de átomos, es decir, por una sola clase de átomos.
Ejemplos:
Plata (Ag), sodio (Na), cloro (Cl2), mercurio (Hg), flúor (F), ozono (O3), etc.
1ERO DE SECUNDARIA
Un elemento se representa por símbolos químicos. La primera letra es mayúscula y la segunda, si la hubiera, será minúscula. Por ejemplo: calcio (Ca) plata (Ag), flúor (F). Los elementos químicos se encuentran ordenados y clasificados en la tabla periódica.
2. Compuestos (sustancia compuesta)
Son sustancias puras constituidas por dos o más elementos o átomos diferentes, formando moléculas o redes iónicas (compuestos iónicos) que van a presentar propiedades distintas y diferentes de las propiedades de los elementos que lo forman.
231
QUÍMICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Ejemplos:
CO2, NH3, HCl, CH4, H2O2, C6H12O6, CaO, etc
ZZ Agua (H2O)
ZZ Cloruro de sodio (NaCl)
ZZ Propano (C3H8)
Los compuestos se representan por fórmulas y estas indican cuántos átomos de cada tipo hay en una molécula o compuesto iónico.
Ejemplo: COMPUESTO
FÓRMULA
COMPOSICIÓN
Agua
H2O
Dos átomos de hidrógeno y 1 átomo de oxígeno.
Dióxido de carbono
CO2
Un átomo de carbono y dos átomos de oxígeno.
YY Clasificación de los compuestos
SEGÚN EL NÚMERO DE ÁTOMOS
SEGÚN LA CANTIDAD DE ELEMENTOS
Diatómico 2 átomos
Binario 2 elementos
Triatómico 3 átomos
Ternario 3 elementos
Ejemplo: ZZ H2O: Triatómico y binario 3 átomos 2 elem. ZZ NH3: Tetratómico y binario
4 átomos
2 elem.
ZZ H2SO4: Heptatómico y Ternario
7 átomos
3 elem.
Trabajando en Clase Integral
2. Señala un compuesto a) Ozono (O3) 1. ¿Cuál de las siguientes sustancia b) Glucosa (C6 H12 O6) es un elemento? c) Dióxido de carbono (CO2) a) Aire d) Mercurio (Hg) b) Cobre (Cu) e) b y c c) Agua de mar d) Acero 3. ¿En qué alternativa existen e) Gas doméstico solamente elementos?
232
a) Agua y alcohol b) NaCl y CO2 c) Hidrógeno y carbono d) Propano y gasolina e) Metano y agua 4. Las ____________ tienen una composición química definida a) sustancia pura b) mezcla
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
c) coloide d) suspensión e) solución UNMSM 5. En un _____ se unen átomos de elementos diferentes. 6. Indique la alternativa incorrecta: a) El ozono es un elemento. b) Un elemento se representa por símbolos quimicos. c) El oxígeno (O2) es un compuesto. d) El H2O2 (Peróxido de hidrogeno) es un compuesto e) Los elementos químicos son sustancias puras.
1ERO DE SECUNDARIA
7. Indica una sustancia simple. a) Oro b) NaCl c) Agua d) CO2 e) Propano 8. Los elementos se representan por símbolos químicos y los compuestos, por _____. Resolución: Los compuestos se representan por fórmulas. 9. Formados por la misma clase de átomos. a) Sustancia simple b) Sustancia compuesta c) Mezcla d) Solución
QUÍMICA - I BIMESTRE
e) Coloide 10. El mercurio (Hg) es un metal líquido y es un ejemplo de: a) Compuesto b) Elemento c) Sustancia simple d) b y c e) T.A.
233
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
QUÍMICA - I BIMESTRE
Tarea Integral 1. Señala una sustancia simple o elemento: a) Helio (He) b) Neon (Ne) c) Argón (Ar) d) Kripton (Kr) e) T.A. 2. Señale un compuesto: a) Metano (CH4) b) Óxido de calcio (CaO) c) Amoniaco (NH3) d) Benceno (C6H6) e) T.A 3. ¿En qué alternativa existen solamente compuestos? a) O2 y O3 b) Au y NH3 c) CO2 y Au d) CH4 y C3H8 e) F y Br2 4. ¿Cuál de las siguientes sustancias es un elemento? a) NaCl b) CaO c) HCl d) HNO3 e) O2
234
UNMSM 5. Marca lo incorrecto: a) Los compuestos forman moléculas b) Los compuestos forman redes iónicas c) La materia se clasifica en sustancias puras y mezclas d) Los elementos y compuestos son sustancias puras e) El ácido clorhídrico (HCl) es un elemento. 6. El propano (gas doméstico) se utiliza en la combustión; esta sustancia es un: a) Elemento b) Sustancia simple c) Compuesto d) A y b e) Mezcla 7. Marca lo correcto: a) Una misma clase de átomos forman elementos. b) Diferentes átomos forman compuestos. c) Los compuestos son sustancias puras. d) El agua es un compuesto. e) T.A.
UNI 8. Indica cuantos elementos figuran en la lista: Ag, Au, CO2, NH3, O3, O2 a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 9. Señala una simple a) NH3 b) H2SO4 c) HNO3 d) Cl2 e) H2O
sustancia
10. Señala una compuesta: a) Cl2 b) O3 c) Mg d) H2O e) Ca
sustancia
1ERO DE SECUNDARIA
Física
NOTA
REVISIÓN BIMESTRAL
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
FÍSICA - I BIMESTRE
o
p í tul a C
1
Historia de la física
Marco teórico
I. ¿QUÉ ES LA FÍSICA?
Diremos que es la ciencia que nos permite entender la naturaleza con el objetivo de aplicar los conocimientos obtenidos en beneficio del hombre.
Estudia las propiedades de la materia, la energía, el tiempo, el espacio y sus interacciones (fuerza). Se estudia física para comprender las leyes que gobiernan el universo, desde las cosas más grandes como el universo entero, hasta las más pequeñas como los átomos.
La palabra “Física” proviene del término griego Physis, que significa “naturaleza”. Desde sus inicios, hasta principios del siglo XIX, la Física se consideró como una ciencia que estudiaría todos los fenómenos naturales.
A partir de esa fecha su campo se limitó al estudio de los fenómenos físicos, mientras que el resto de fenómenos pasaron a formar parte de otras ciencias naturales.
Las tecnologías se desarrollan gracias a la física: los televisores, las computadoras, los celulares, los viajes
236
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
FÍSICA- I BIMESTRE
espaciales, etc. En un inicio, por necesidades propias del ser humano se inventaron las máquinas simples, como las que a continuación veremos: YY La rueda es sin lugar a dudas el instrumento que revolucionó y marcó para siempre la vida del hombre, determinando hábitos y costumbres desde hace 5500 a. c. hasta nuestros días. Desde que comenzó a rodar lo hizo de modo imparable en cualquier medio de transporte, como en máquinas instrumentos, juguetes. Sería difícil imaginar la vida sin el uso de la rueda.
YY La palanca es utilizada para disminuir esfuerzos y originar un desplazamiento. Se le usa desde los 3000 años
a.C. hasta nuestros días. Se hace uso de la palanca cuando utilizamos las tijeras, el alicate, las carretillas de albañil; el martillo cuando sacamos un clavo o el mecánico cuando utiliza la llave de boca para ajustar un perno, etc.
YY La cuña, pieza de madera o metal con la punta muy filosa utilizada para dividir cuerpos sólidos y para
ajustar uno con otro.
Ejemplo: Cuando usamos un cincel, el clavo, el hacha. Cuando queremos detener una puerta y para que no la cierre el viento, le ponemos una cuña en la parte inferior.
YY El plano inclinado, es una máquina simple utilizada por el hombre para elevar cuerpos a cierta altura.
1ERO DE SECUNDARIA
237
FÍSICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Según la historia nos indica, los egipcios hicieron uso del plano inclinado para la construcción de las pirámides.
3. Isaac Newton (1642-1727)
II. P R I NC I PA L E S P E R S ONAJ E S EN EL DESARROLLO DE LA FÍSICA 1. Arquímedes (287 a.C.- 212 a.C.)
Nació en Siracusa, en la isla de Sicilia (Italia). En Física es famoso su teorema de hidrostática. En mecánica utilizó las poleas y palancas. Además, inventó los espejos cóncavos.
Nació en Woolsthorpe (Inglaterra). Matemático, físico y filósofo. Considerado el padre de la mecánica y el movimiento planetario, de la teoría de la luz y el color.
2. Galileo Galilei (1564-1642)
Nació en Pisa (Italia); Astrónomo, filósofo y físico, fue el pionero del método experimental en las ciencias físicas. Experimentó la caída de los cuerpos en la torre de Pisa. Mejoró el telescopio descubierto en Holanda, con el que hizo importantes descubrimientos astronómicos tales como las lunas del planeta Júpiter. Como profesor de Astronomía de la Universidad de Pisa, expuso la teoría heliocéntrica de Copérnico, ya que las observaciones realizadas con su telescopio lo convencieron de que la Tierra y todos los planetas giraban alrededor del Sol. En 1633, la Inquisición lo acusó de hereje y lo obligó a retractarse públicamente de su apoyo a Copérnico.
238
Se formó en Cambridge, describió la Ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las tres leyes que llevan su nombre: Primera ley de Newton: “Ley de la inercia”. Segunda ley de Newton: “Ley fundamental de la dinámica”. Tercera ley de Newton: “Ley de acción y reacción”.
4. Albert Einstein (1870-1955)
Físico alemán, nacionalizado estadounidense, considerado el científico más importante del siglo XX. En 1915 presentó la teoría general de la relatividad. Por sus explicaciones sobre el efecto fotoeléctrico, en 1921 obtuvo el premio Nobel de Física.
1ERO DE SECUNDARIA
FÍSICA- I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Trabajando en Clase Integral 1. ¿Qué significa el término griego Physis? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Máquina simple utilizada para disminuir esfuerzos y originar desplazamientos ___________. 3. Mencione tres ejemplos en la que podemos utilizar la rueda.
8. Mencione dos ejemplos en los que se utiliza la palanca mecánica ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------9. Físico alemán que postuló la teoría de la relatividad ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Postuló las leyes fundamentales de la mecánica: ---------------------------------------------------------
10. Perfeccionó el telescopio para estudiar los cuerpos celestes --------------------------------------------------------11. Inventó los espejos cóncavos
UNMSM 5. ¿Para qué se utiliza el plano inclinado?
--------------------------------------------------------UNI
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12. Ganó el Premio Nobel de Física en 1921 ---------------------------------------------------------
6. El cincel, el hacha y el clavo son elementos de corte, cuyo principio se basa en una máquina simple, denominada --------------------------------------------------------7. Mencione el lugar donde Galileo Galilei experimentó la caída de los cuerpos
13. Postuló las leyes de la gravitación --------------------------------------------------------14. Postuló el principio fundamental de la hidrostática ---------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
15. Postuló la Ley de la mecánica de acción y reacción
---------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
1ERO DE SECUNDARIA
239
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
FÍSICA - I BIMESTRE
Tarea Integral 1. Padre de la Astronomía a) Albert Einstein b) Isaac Newton c) Arquímedes d) Galileo Galilei e) Alejandro Volta 2. Explicó el fenómeno fotoeléctrico. a) Albert Einstein b) Isaac Newton c) Galileo Galilei d) Arquímedes e) Max Planck 3. Para subir a un toro a un camión utilizo: a) La polea b) La cuña c) El plano inclinado d) La rueda e) La palanca 4. Al partir la leña con un hacha utilizo la máquina simple de: a) La palanca b) La cuña c) La polea d) El plano inclinado e) La rueda
240
UNMSM
9. La teoría de la relatividad la postuló: 5. La carretilla utiliza el principio a) Galileo de: b) Einstein a) La cuña c) Newton b) La palanca d) Joule c) la polea e) Pascal d) Las tijeras e) La hidrostática 10. La ley de acción y reacción es: a) La primera ley de Newton 6. Postuló las leyes de la mecánib) La segunda ley de Newton ca: c) la tercera ley de Newton a) Galileo Galilei d) Es el principio de Arquíb) Albert Einstein medes c) James Maxwell e) Es una Ley del siglo XXI d) Max Planck e) Isaac Newton 7. Experimentó la caída de los cuerpos en la torre de Pisa: a) Joule b) Newton c) Albert Einstein d) Galileo Galilei e) James Maxwell UNI 8. La Ley de la Inercia es a) La primera ley de Newton b) La segunda ley de Newton c) La tercera ley de Newton d) El principio de Arquímedes e) La ley de Charles
1ERO DE SECUNDARIA
FÍSICA- I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
p í t ul o a C
2
Método científico YY Método: Significa hacer o proceder en for-
Marco teórico El conocimiento que una persona tiene respecto a un hecho o fenómeno puede ser de carácter científico o empírico.
I. CONOCIMIENTO EMPÍRICO
Se adquiere por medio de la experiencia, a través de los sentidos o repetición constante de algún hecho, sin ningún razonamiento elaborado. Los conceptos empíricos son imprecisos e inciertos.
ma ordenada y sistemática, de acuerdo a ciertas normas o principios. YY El científico u hombre de ciencia es aquel hombre inteligente, capaz de hacer avanzar la ciencia. Los científicos son personas que se dedican al estudio de la naturaleza; trabajan pacientemente y con mucho rigor. Observan, comprueban sus observaciones, las comparan con las obser vaciones de otros sabios o científicos, realizan experimentos, buscan explicaciones a todo lo que observan. Esta forma de trabajar se llama método científico.
Ejemplo: caminar, comer, dormir
II. CONOCIMIENTO CIENTÍFICO
Se adquiere a través de pasos metódicos y reflexivos que nos conducen a conocer el porqué de los hechos. Se establece la relación de causa-efecto.
II. CARACTERÍSTICAS DEL MÉTODO CIENTÍFICO YY Los hechos son su fuente de información y
respuesta. Es objetivo y exacto.
YY Se atiene a reglas metodológicas. Es sistemáti-
Ejemplos: sumar, utilizar la tabla periódica, explicación del porqué flotan los barcos. La ley de la gravitación universal.
1ERO DE SECUNDARIA
co, establece un orden o coherencia. YY Puede ser verificado por cualquier persona o científico. YY Es autocorrectivo y progresivo, es decir, distingue lo verdadero de lo falso. YY El método científico consta de una serie de pasos, etapas o fases, los que inician con la observación y terminan con los resultados finales o conclusiones.
241
FÍSICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
PASO 1: Observación
A veces se repiten ciertas pautas en todos los hechos y fenómenos observados. En este caso puede enunciarse una ley. Una ley científica es la formulación de las regularidades observadas en un hecho o fenómeno natural. Por lo general, se expresa matemáticamente.
PASO 2: Formulación de hipótesis
Ejemplo de aplicación del método científico en nuestra vida diaria.
Imagina que te sientas en el sofá dispuesto a ver un rato la televisión y al presionar el botón del control remoto, el televisor no enciende. Repites la operación tres veces y nada. YY Observación: La tele no se enciende. YY Problema: El control remoto no funciona. YY Hipótesis 1: Las pilas están agotadas. YY Hipótesis 2: El control remoto se malogró YY Solución: Colocar pilas nuevas. YY Predicción de resultados: Si cambio las pilas la tele encenderá. YY Experimento: Quito las pilas antiguas y pongo nuevas. La tele enciende. YY Conclusión: Se confirmó la hipótesis 1.
Es el punto de partida de toda investigación. Consiste en examinar atentamente los hechos y fenómenos, describirlos y anotarlos. Luego, se plantea una serie de preguntas que buscan explicar cómo ocurren estos.
En esta etapa se formulan respuestas provisionales de los hechos observados y de sus posibles causas, que deben ser confirmadas a través de la experimentación.
PASO 3: Experimentación
Realiza múltiples experimentos reproduciendo varias veces el hecho o fenómeno que se quiere estudiar, modificando las circunstancias que se consideren convenientes. Aquí se pueden realizar mediciones de las magnitudes físicas.
PASO 4: Emisión de conclusiones
Permite comprobar si su hipótesis era correcta y dar una explicación científica al hecho o fenómeno observado.
Trabajando en Clase Integral 1. Indica las fases del método científico. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6. Una ley física nos predice un fenómeno ________ 7. El primer paso en la aplicación del método científico es la ___________. 8. El conocimiento ________ se adquiere a través de pasos metódicos y reflexivos. 9. Cuando un bebé comienza a caminar requiere de un conocimiento ________________. 10. Pamercito escucha todos los días el trinar de los pájaros. Entonces, Pamercito tiene un conocimiento de carácter ___________.
2. Los conocimientos _____________________ explican un hecho de manera metódica y reflexiva.
11. __________, es la etapa en la que se verifica o se comprueba la validez de las hipótesis.
3. Si suelto dos canicas del mismo tamaño, una de acero y la otra de vidrio, la canica de acero caerá primero. Estamos frente a un conocimiento de carácter _____________________.
12. La fórmula, nos permite expresar cuantitativamente un fenómeno ____.
4. Un conocimiento obtenido de nuestra experiencia, es un conocimiento de carácter ____________________ 5. Después de las observaciones, el científico se plantea el cómo y el porqué de lo que ha ocurrido y formula una ___________.
242
13. Según tu concepto ¿cuál de las fases del método científico es el más importante? ¿Porqué? ______ 14. _______ consiste en reproducir y observar varias veces el hecho o fenómeno que se quiere estudiar. 15. Etapa en la que se formulan respuestas provisionales ___________.
1ERO DE SECUNDARIA
FÍSICA- I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Tarea Integral 1. Los conceptos ____ son imprecisos e inciertos. a) científicos b) teóricos c) físicos d) matemáticos e) empíricos 2. Sumar es un conocimiento ____. a) empírico b) científico c) básico d) filosófico e) natural 3. El método científico, es un procedimiento ___. a) ordenado b) desordenado c) arbitrario d) sin principio ni fin e) empírico 4. ______: Es el inicio de la investigación. a) La hipótesis b) La experimentación c) La observación d) Las conclusiones e) Los cálculos
1ERO DE SECUNDARIA
UNMSM
UNI
5. Repite varias veces un hecho: a) Las conclusiones b) La hipótesis c) La experimentación d) Los cálculos e) La historia
9. La hipótesis es una fase de: a) El desarrollo b) La investigación c) La experimentación d) El método científico e) La medición
6. Comprueba la hipótesis correcta: a) La observación b) La experimentación c) La conclusión d) La filosofía e) La práctica.
10. Última fase del método científico: a) La observación b) La hipótesis c) La experimentación d) Las conclusiones e) Los cálculos
7. Examina atentamente hechos: a) La observación b) Los cálculos c) La hipótesis d) La conclusión e) Lo empírico.
los
8. No es una fase del método científico: a) La observación b) La dirección c) La hipótesis d) La experimentación e) Las conclusiones
243
FÍSICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
p í t ul o a C
3
Magnitudes físicas I
Marco teórico MAGNITUD FÍSICA
Una magnitud física es todo aquello que puede medirse con cierto grado de precisión usando para ello una unidad de medida patrón convencionalmente establecida. Según su origen se clasifican en:
1. Magnitudes fundamentales
Son aquellas magnitudes independientes que sirven de base para fijar las unidades y en función de las cuales se expresan las demás magnitudes. MAGNITUD
UNIDAD EN EL SI
SÍMBOLO
metro
m
kilogramo
kg
segundo
s
Temperatura
kelvin
K
Intensidad de corriente eléctrica
ampere
A
Intensidad luminosa
candela
cd
Cantidad de sustancia
mol
mol
Longitud Masa Tiempo
2. Magnitudes derivadas
Son aquellas que pueden ser expresadas en función de las magnitudes fundamentales. MAGNITUD
UNIDAD EN EL SI
SÍMBOLO
superficie
metro cuadrado
m²
volumen
metro cúbico
m³
densidad
kilogramo por metro cúbico
velocidad
metro por segundo
m/s
aceleración
metro por segundo al cuadrado
m/s²
fuerza
newton
N
presión
pascal
Pa
trabajo y energía
joule
J
potencia
watt
W
244
kg / m³
1ERO DE SECUNDARIA
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
FÍSICA- I BIMESTRE
Trabajando en Clase Integral 1. Indica cómo se clasifican las magnitudes físicas según su origen.
9. El símbolo del metro cúbico es _____. 10. La unidad de la aceleración en el Sistema Internacional es _____. 11. Candela es la unidad de _______.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Una _________________________ es toda aquella que puede medirse con cierto grado de precisión usando para ello una unidad de medida patrón convencionalmente establecido.
UNI 12. Si quisiera medir el área del patio de mi colegio, la mediría en _______. 13. La densidad tiene por unidad al ____ , que a su vez tiene por símbolo ______. 14. La intensidad de corriente se mide en _____. 15. La aceleración tiene por unidad al _______ , que a su vez tiene por símbolo _____.
3. Las _________________________ son aquellas que pueden ser expresadas en función de las magnitudes fundamentales. 4. El símbolo del metro es _________. UNMSM 5. ¿Cuántas magnitudes fundamentales existen? _________________________________________ 6. El símbolo de los grados kelvin es _______. 7. cd es el símbolo de ________. 8. El metro cuadrado es la unidad de _______.
1ERO DE SECUNDARIA
245
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
FÍSICA - I BIMESTRE
Tarea Integral 1. El símbolo del pascal es ____ a) P b) Pcl c) Pa d) Pc e) Pas 2. La unidad de la velocidad es ______. a) millas por hora b) kilómetros por hora c) kilómetros por segundo d) metros por segundo e) centímetros por segundo 3. ¿A qué magnitud derivada corresponde el símbolo: m²? a) Fuerza b) Potencia c) Presión d) Área e) Densidad 4. La unidad de la temperatura en el SI _____: a) ºC b) ºK c) ºF d) ºT e) ºR
246
UNMSM 5. El símbolo del segundo es ____. a) Seg d) s b) Se e) Sgd c) Sgn 6. Las _________ sirven de base para fijar unidades y en función de las cuales se expresan las demás magnitudes a) Magnitudes Físicas b) Magnitudes Vectoriales c) Magnitudes Escalares d) Magnitudes Derivadas e) Magnitudes Fundamentales 7. La unidad de la potencia en el SI es ____. a) joule b) pascal c) watt d) caballo de fuerza
UNI e) mol 8. El símbolo del ampere en el SI es ____. a) Amper d) Amp b) A e) Apr c) Am 9. La unidad de la Fuerza en el SI es ____. a) joule b) pascal c) newton d) coulomb e) tesla 10. El símbolo del kilogramo es _____. a) kilog b) k c) kg d) klg e) kgr
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p í t ul o a C
4
Magnitudes físicas II
Marco teórico Por su naturaleza las magnitudes físicas se clasifican en:
NOTACIÓN EXPONENCIAL
Se hace uso de los múltiplos y submúltiplos. PREFIJO
MÚLTIPLOS
I. LAS MAGNITUDES ESCALARES
Son aquellas que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas para su medida. Esto es, las magnitudes escalares están representadas por el ente matemático más simple, por un número. Podemos decir que poseen un módulo, pero que carecen de dirección. Ejemplo: El área, la temperatura, el tiempo, la masa, etc.
Son aquellas magnitudes que requieren indicar el módulo (valor numérico) y la dirección (ángulo). Ejemplos de estas magnitudes son: la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc. YY Medir: Es comparar una magnitud con otra, tomada de manera arbitraria como referencia, denominada patrón y expresar cuántas veces la contiene. YY Unidad Patrón: Toda unidad patrón ha de poseer una condición fundamental, la de ser invariable.
III. SISTEMA DE UNIDADES
El conjunto de unidades elegidas como fundamentales y las unidades derivadas correspondientes reciben el nombre de Sistema de unidades. El sistema de unidades adoptado por la mayoría de los países es el sistema internacional (SI.). Quedó establecido en la XI Conferencia Internacional de Pesas y medidas celebrada en París el año 1960, la cual amplió y perfeccionó el antiguo sistema métrico basado en tres unidades (metro, kilogramo, segundo).
1ERO DE SECUNDARIA
SUBMÚLTIPLOS
II. LAS MAGNITUDES VECTORIALES
SIMBOLO
FACTOR
exa
E
1018
peta
P
1015
tera
T
1012
giga
G
109
mega
M
106
Kilo
K
10³
hecto
H
10²
deca
D
10¹
deci
d
10-1
centi
c
10-2
mili
m
10-3
micro
µ
10-6
nano
n
10-9
pico
p
10-12
femto
f
10-15
Atto
a
10-18
Equivalencias: ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ
1 km = 1 m = 1 kg = 1 tonelada = 1 minuto = 1 hora = 1 hora = 1 m3 = 1 m3 =
1 000 m 100 cm 1 000 g 1 000 kg 60 s 60 minutos 3 600 segundos 1 000 litros 106 cm3
247
FÍSICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Trabajando en Clase Integral 1. Indica cómo se clasifican las magnitudes físicas según su naturaleza. ________________________________________
________________________________________ 9. El símbolo del prefijo “micro” es ___________.
________________________________________
10. El factor del prefijo “kilo” es ___________.
2. ___________ es comparar una magnitud con otra, tomada de manera arbitraria como referencia, denominada patrón y expresar cuántas veces la contiene.
11. El símbolo del prefijo “pico” es ___________. UNI 12. El factor 10 pertenece al prefijo ___________. 15
3. Toda _________ ha de poseer una condición fundamental, la de ser invariable. 4. El símbolo del prefijo “deca” es ___________. UNMSM
13. Un metro cúbico equivale a ________ y además a ___________.
14. El factor del prefijo “femto” es ___________.
5. El Sistema Internacional quedó establecido en el año ___________.
15. 3 Ejemplos de magnitudes vectoriales son:
6. Las ______ son aquellas que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas para su medida.
__________________________
__________________________
__________________________
7. Las ______ son aquellas que quedan caracterizadas por su módulo y dirección. 8. El conjunto de unidades elegidas como fundamentales y las unidades derivadas correspondientes reciben el nombre de
248
1ERO DE SECUNDARIA
FÍSICA- I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
Tarea Integral 1. El símbolo del prefijo “exa” es _______ a) e b) Ex c) Exa d) ex e) E
UNMSM
UNI
5. El símbolo del prefijo “peta” es: a) P b) pt c) Pe d) pet e) Pta
2. El factor 10³ pertenece al prefijo: a) micro b) mili c) nano d) kilo e) atto
6. Un metro cúbico equivale a ___________ a) 1 000 ml b) 1 000 l c) 10 ml d) 100 l e) 500 ml
3. ¿A qué prefijo corresponde el siguiente símbolo: µ? a) nano b) mili c) micro d) mega e) atto
7. El factor 10 prefijo: a) pico b) tera c) mega d) deca e) hecto
-12
pertenece al
8. El símbolo del “mili” es__ a) Ml b) mi c) ml d) Mi e) m 9. El factor 10-2 pertenece al prefijo _____ a) deca b) centi c) mili d) deci e) kilo 10. El símbolo del prefijo “atto” es______ a) A d) a b) Att e) At c) at
4. El factor 109 pertenece al prefijo: a) mega b) mili c) nano d) giga e) femto
1ERO DE SECUNDARIA
249
FÍSICA - I BIMESTRE
COMPENDIO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
p í t ul o a C
5 Marco teórico
Magnitudes físicas vectoriales I
I. ¿QUÉ ES UN VECTOR?
Entre otros elementos podemos citar: 3. Punto de aplicación. Está dado por el origen del vector. 4. Sentido. Es la oración del vector. Lo indica la punta o cabeza de flecha del vector A . g
El vector es un ente imaginario que sirve para representar a cualquier magnitud vectorial (fuerza, aceleración, velocidad, etc.). Se caracteriza por poseer: módulo y dirección. Se representa gráficamente con un segmento de recta orientada, cuya longitud es proporcional al módulo de vector. Anteriormente vimos que las magnitudes, por su naturaleza, se dividen en: ESCALARES y VECTORIALES. Recordemos, una magnitud vectorial es aquella que aparte de conocer su valor numérico y su unidad respectiva, es necesario también conocer la dirección para que dicha magnitud logre estar perfectamente determinada. Por ejemplo, si una persona dice que está aplicando una fuerza de 20 N a una mesa, inmediatamente nos damos cuenta que la información está incompleta, le falta algo: la dirección y el sentido de la fuerza. Si luego nos dice que la dirección es horizontal y hacia la izquierda, entonces recién tenemos una idea clara de lo que está haciendo la fuerza.
Los elementos de un vector son:
1. Módulo (|A |). Es el valor o magnitud del vector y generalmente está expresado a escala. Ejemplo: 5 m, 5 metros de longitud 5 N, 5 newton de fuerza 5 m/s, velocidad de 5 metros por segundo 2. Dirección (θ). Está dado por el ángulo formado por el vector A y el eje “x” positivo del plano cartesiano.
250
A O
θ
x
II. NOTACIÓN (representación) A : Se lee vector A
|A |: Módulo del vector A
III. TIPOS DE VECTORES 1. Vectores Colineales
Son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de acción.
A , B y C son colineales. Los vectores colineales pueden ser del mismo sentido o de diferente sentido.
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2. Vectores iguales
Son aquellos vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido.
Son aquellos vectores que tienen un solo punto en común o cuyas líneas de acción se cortan en el punto “O”.
3. Vector Opuesto (–A ).
Se llama (–A ) de un vector A , cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentido contrario.
5. Vectores concurrentes
4. Vectores Coplanares.
Son aquellos vectores que están contenidos en un mismo plano.
6. Vectores paralelos
Son aquellos vectores contenidos en rectas paralelas, las que por más que se prolonguen no se van a cortar nunca. Pueden ser del mismo sentido o de sentido diferente.
Trabajando en Clase Integral 1. ¿Qué es un vector? __________________________________________ __________________________________________ 2. Una magnitud vectorial es aquella que; aparte de conocer su valor numérico y su unidad respectiva necesitamos conocer también su __________________ y ___________________._ 3. El ___________ está dado por el origen del vector. 4. El __________ es el valor del vector y, generalmente, está representado a escala. UNMSM 5. El __________es la orientación del vector.
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6. La ___________ está dada por el ángulo que forma el vector con el eje X positivo del plano cartesiano. 7. ¿Cómo se lee: |A | ? ____________________ 8. Los vectores ____________ son aquellos que están contenidos en una misma línea de acción. 9. Se llaman vectores ________________ cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentido diferente. 10. Los vectores _________________ son aquellos que tienen un solo punto en común o cuyas líneas de acción se cortan en un solo punto. 11. Los vectores __________________ son aquellos que tienen la misma intensidad o módulo, dirección y sentido.
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UNI 12. Los vectores ___________________ son aquellos que están contenidos en un mismo plano. 13. Los vectores __________________ están contenidos en rectas paralelas, las que por más que se prolonguen no se van a cortar nunca. 14. El ___________________ se representa gráficamente con un segmento de línea recta orientada, cuya longitud es proporcional a su módulo. 15. El módulo también se denomina ___________ ______________.
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Tarea Integral
UNMSM
→
1. | A | se lee _____ a) Vector A b) Flecha A c) Segmento A d) Flecha A e) Módulo del vector A 2. Elemento de un vector ____ a) El rayo b) El segmento c) El módulo d) Los brazos e) La flecha 3. Representado por una flecha: a) Origen b) Módulo c) Segmento de recta d) Línea de acción e) Vector 4. No se representa con un vector__. a) Masa b) Velocidad c) Aceleración d) Fuerza e) Desplazamiento
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5. Calcula el módulo del vector resultante. 3u 2u a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 5 u e) 7 u 6. Los vectores ___________ se ubican en un mismo plano. a) Concurrentes b) Perpendiculares c) Coplanares d) Colineales e) Opuestos 7. Si el ángulo entre 2 vectores es 90º, entonces estos vectores son: a) Paralelos b) Perpendiculares c) Oblicuos d) Concurrentes
UNI e) Iguales 8. Calcula el módulo del 4u 6u vector resultante:
a) 10 u b) 24 u c) 11 u
d) 20 u d) 20 u
9. Indica que magnitud se representa con un vector. a) Masa b) Temperatura c) Carga eléctrica d) Velocidad e) Cantidad de sustancia
( )
10. A y -A son vectores a) Perpendiculares b) Iguales c) Paralelos d) Opuestos e) Concurrentes
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p í t ul o a C
6
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Magnitudes físicas vectoriales II
Marco teórico Todas las operaciones que se realizan con los vectores, están destinadas a calcular la resultante de un sistema de vectores.
I. ¿QUÉ ES LA RESULTANTE?
La resultante o también llamado vector suma, es el vector que sólo reemplaza a todo un sistema de vectores o el que sólo hace el mismo efecto de todos los vectores del sistema. La resultante se puede obtener en forma gráfica o en forma analítica.
II. MÉTODOS GRÁFICOS
ADICIÓN DE VECTORES Sumar dos o más vectores, es representarlos por uno solo llamado resultante. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmética.
= R A + B + C ; por lo general R ≠ A + B + C
1. Método del Paralelogramo
Este método es válido para dos vectores coplanares y concurrentes, el método es el siguiente: Se hacen coincidir los vectores por su origen; por sus extremos se trazan paralelas formando un paralelogramo. La resultante se obtiene de unir el origen de los vectores con la intersección de las rectas paralelas trazadas.
2. Método del Triángulo
Este método también es para dos vectores concurrentes y coplanares. El método es el siguiente: se trazan los vectores uno a continuación del otro: la resultante se obtiene de unir el origen del primer vector con el extremo del otro formando un triángulo.
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3. Método del polígono
Este método es válido para más de dos vectores. El método es similar al del triángulo, se traza un vector a continuación del otro para formar un polígono y la resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último. En caso de que estos coincidan se le llama polígono cerrado y el vector resultante es nulo.
R =A +B+C
4. Resultante de dos vectores colineales
La adición de vectores colineales presenta los siguientes casos. ●● Cuando tienen igual sentido, se obtiene su RESULTANTE MÁXIMA (se suman).
Ejemplo:
●● Cuando tienen sentido contrario, se obtiene la RESULTANTE MÍNIMA (se restan).
Ejemplo:
Trabajando en Clase Integral 1. ¿Qué es la resultante?
4. La resultante se obtiene de unir el origen de los vectores con la intersección de las rectas paralelas trazadas, en el método del
__________________________________________
____________________ .
__________________________________________
2. La resultante se puede obtener en forma
________________________. 3. La resultante de un conjunto de vectores que forman un polígono cerrado es _______________.
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UNMSM 5. En el método del __________ la resultante se obtiene de unir el origen del primer vector con el extremo del otro formando un polígono de tres lados. ____________________
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6. Si se traza un vector a continuación del otro
13. Dibuja la resultante:
y coinciden el origen del primer vector con el extremo del último, entonces la resultante será _______________. 7. Se obtiene resultante máxima cuando los vectores
14. Dibuja la resultante:
se ______________. 8. Cuando _____________ se obtiene una resultante mínima.
15. Dibuja la resultante:
9. Dibuja el vector resultante:
10. Dibuja la resultante:
11. Calcula la resultante:
UNI 12. Indica el módulo de la resultante:
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Tarea Integral 1. Grafica el vector resultante a) b) c) d) e)
UNMSM 5. Grafica el vector resultante a) b) c) d) e)
2. Grafica el vector resultante
6. Grafica el vector resultante a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e) 4. Grafica el vector resultante a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e) 10. Calcule el vector resultante 2u
7. Grafica el vector resultante
3. Grafica el vector resultante
9. Grafica el vector resultante
a) b) c) d) e)
a) 2 u. b) 5 u. c) 10 u. d) 0 u. e) 3 u.
1u
5u 2u
UNI 8. Grafica el vector resultante a) b) c) d) e)
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p í t ul o a C
Magnitudes físicas vectoriales III
7 Marco teórico
Si tengo un vector A y otro B , la suma de estos dos vectores es la resultante R .
R= A + B
Si deseo saber el módulo de la resultante R , usamos la siguiente fórmula. En general:
Tener en cuenta los casos especiales, pues serán de mucha ayuda en la resolución de problemas: Casos especiales: 1.
R=x 3 2.
R = A+B = R R=
R=x 2
A2 + B2 + 2ABCosα
Un caso particular es cuando perpendiculares:
A
y
B
son
3.
R=x
= R
A: módulo del vector A R : módulo del vector R
A2 + B2
4.
B: módulo del vector B
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Trabajando en Clase Integral
6. Determina el módulo de la resultante.
1. Determina el módulo de la resultante.
7. Determina el módulo de la resultante.
2. Determina el módulo de la resultante. 8. Determina el módulo de la resultante.
3. Determina el módulo de la resultante.
9. Determina el módulo de la resultante.
4. Determina el módulo de la resultante.
10. Determina el módulo de la resultante. UNMSM
5. Determina el modulo de la resultante.
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11. Calcula el módulo de la resultante.
UNI
13. Determina el módulo de la resultante.
14. Determina el módulo de la resultante.
12. Indica el módulo de la resultante.
15. Determina el módulo de la resultante.
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Tarea Integral
UNMSM
1. Calcula el módulo del vector resultante: a) 4 m 6m b) 6 m 8m c) 8 m d) 10 m 10m e) 14 m 2. Calcula el módulo del vector resultante: a) 19 u b) 10 u 15u c) 6 u 6u d) 25 u 10u e) 16 u 3. Calcula el módulo del vector resultante:
4m 10m a) 10 m b) 12 m c) 4 m d) 14 m e) 1 m
2m
9u
8m
6. Calcula el módulo del vector resultante: a) 4 3 m/s b) 4 m/s 4m c) 4 2 m/s d) 4 5 m/s e) 2 m/s
2u
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10u 120°
a) 40 u b) 120 u c) 5 u d) 20 u e) 10 u
10u
10. Calcula el módulo del vector resultante: 4m
7. Calcula el módulo del vector resultante a) 3 u 6u b) 6 u c) 13 u d) 5 u e) 2 u
4. Calcula el módulo del vector resultante: a) 3 u b) 10 u c) 9 u 3u d) 2 u e) 5 u
5. Calcula el módulo del vector resultante: a) 20 m b) 14 m 6m c) 10 m d) 6 m e) 8 m
9. Calcula el módulo del vector resultante:
3u
2u 2u
a) 20 u b) 10 u c) 28 u d) 14 u e) 7 u
7u
120°
7u
UNI 8. Calcula el módulo del vector resultante. a) 15 u 8u b) 8 u c) 4 u d) 5 u e) 2 u
11u
2u 2u
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