¿Cuál de los siguientes grupos de unidades equivale al Joule?
SEMANA 1
ANÁLISIS DIMENSIONAL ANÁLISIS VECTORIAL 1.
A) B) C) D) E)
Calcule las dimensiones de A y B respectivamente, en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta d = A t + 0,5 B t2
; ; ; ; ;
L L L L L
T 2
T 2
T
Escribimos la ecuación dimensional de la energía cinética y reemplazamos las dimensiones de las cantidades físicas conocidas.
2
T
2
T
2
3
[ EC ] = [ 0,5 ] [ m ] [ v ] [ EC ] = (1) M ( LT 2 ) 2 [ EC ] = M L 2 T 2
2
RESOLUCIÓN
Joule = J = kgm
[ e ] = [A] [t] = [0,5] [ B ] [ t ]2 Nótese que todos los términos han sido igualados y ahora se reemplaza las dimensiones de las cantidades físicas conocidas. L = [ A ] T = (1) [ B ] T
3.
2
2
lb pie3 s 3 lb pie2 s2 kg m3 s 2 lb pie2 s 3 kg m3 s 2
RESOLUCIÓN:
RPTA.: A
lb pie 2 s
La energía en el S.I., se mide en joules (J). Si la energía cinética (Ec) de un cuerpo está definida mediante:
3
RPTA.: D 4.
2
s
Un grupo de unidades que representa la medición de la potencia es: A) B) C) D) E)
Recuerde: [0,5 ] = (1).
EC = 0,5 mv
2
RPTA.: D
2
Finalmente se deduce: [ A ] = L T 1 ; [ B ] = = L T
2
Reemplazamos las unidades de cada magnitud fundamental y encontramos el joule (J) expresado en términos de las unidades fundamentales.
Si la ecuación es dimensionalmente correcta, entonces cada uno de los términos de la ecuación debe tener las mismas dimensiones. Luego, la ecuación dimensional se expresa:
2.
m2 s1 m 1 s 2 m 2 s 2 m2 s 2 m3 s 2
RESOLUCIÓN
Donde d es distancia y t es tiempo. A) L T 1 B) L T 2 C) L T 2 D) L 2 T 1 E) L 2 T 3
kg kg kg kg kg
Donde m es masa y v es el módulo de la velocidad. Página 138
El número de Reynolds es un valor adimensional el cual nos indica si un flujo es turbulento o laminar, dentro de un tubo. El número de
Reynolds “R”, se calcula mediante la siguiente ecuación:
6.
R = V d / Donde es la densidad, V la rapidez promedio y d el diámetro del tubo. Determinar las dimensiones de la viscosidad . A) B) C) D) E)
M2 L1 T 1 M3 L1 T 1 M L1 T 1 M L2 T 1 M L1 T 2
un la
X =A e t cos ( t + ) Donde X es la posición, t el tiempo y e 2,82. Determine la dimensión de [A ]. A) L T 2 D) L 2 T 2
B) L T 1 E) L 2 T 1
C) L2 T
2
RESOLUCIÓN Escribimos la ecuación dimensional y resolvemos:
RESOLUCIÓN Escribimos la ecuación dimensional: [R] [] = [] [V] [d]
[X] = [A] [e ] t [cos (t + )] [X] = [A] (1) (1) L = [A]
Como R es adimensional reemplazamos por la unidad
Los exponentes son adimensionales,
(1) [] = ML3 LT [] = ML1T 1
1
lo
por lo tanto dimensionalmente se igualan a la unidad:
L
RPTA.: C 5.
Un objeto que realiza movimiento periódico tiene siguiente ecuación:
La densidad (D) de un sólido según la temperatura, está dada por la siguiente ecuación :
Donde M es la masa y ∆T la variación de la temperatura. Determinar las dimensiones de B. A) L3 1 C) L 3 E) M L1 1
B) L3 1 D) M3 1 T
1
RESOLUCIÓN [D] ( [A] + [B][∆T] ) = [M] [D] [A] = [D] [B] [∆T] = [M] ML 3 [A] = ML 3 [B] = M [B] = L3
1
RPTA.: B Página 139
[exponente] = 1 [t ] = 1 [1] [] [t] = 1 (1) [] T = 1 [] = T 1 Los ángulos son adimensionales:
[ángulo] = 1 [(t + )] = 1 [] [t] = [] = 1 []T = [] = 1 [] = T 1 ; [] = 1
[ t ] = [ k ] [ g ] x [ L ] y T = (1) ( LT 2 ) x ( L ) y T = L x+y T 2x
Reemplazando las dimensiones encontradas, tenemos: [A ] = (L)( T
1
)(T
1
)=LT
2
Comparando los exponentes de las dimensiones a cada lado de la ecuación, deducimos: 2x = 1 x = 1/2 x + y = 0 y = +1/2
RPTA.: A 7.
En cierto experimento, se mide el tiempo que demora un péndulo simple en dar una oscilación. Se observa que este tiempo depende de la aceleración de la gravedad y de la longitud de la cuerda. La ecuación empírica del periodo en función de estas dos últimas cantidades es:
A) B) C) D) E)
6,28 4,22 3,12 1,24 3,14
Finalmente la ecuación empírica es:
8.
g1/2 L1/2 g1/3 L1/2 g1/5 L1/3 g1/3 L1/3 g2 L1/2
E) L2 T
relacionadas
L
RPTA.: A
1
F(N)
1 1
D) M L2 T
1
2
t(s)
RESOLUCIÓN: La dimensión del área comprendida por la gráfica F – t es: [área (F–t)] = [F] [t]/2=(MLT2 )(T)/1
Se elabora una relación entre las cantidades físicas: x
LT
C) M L2 T
t = tiempo g = aceleración de la gravedad. L = longitud de la cuerda.
t=kg
2
B) M L T
cantidades
L1/2 =
Con respecto a la gráfica, determine la dimensión del área sombreada. A) M
RESOLUCIÓN: Las tres son:
1/2
t = kg
[área (F–t)] = ML T
1
RPTA.: B
y
Donde: k: es un número adimensional, denominado constante de proporcionalidad.
9.
x e y: son exponentes de valor desconocido, que determinaremos para que la ecuación empírica quede determinada. Se escribe la ecuación dimensional y se reemplaza las dimensiones de las cantidades conocidas.
Con respecto a la gráfica A vs B mostrada en la figura, determine la dimensión de la pendiente de la recta. Donde A es masa y B es volumen. A) M L1 B) M L C) M
2
1
D) M T
x
L1 3
E) M L3 Página 140
A
4 0 m
B 1 2 s s
La unidad de la diferencia de potencial o voltaje es el voltio (V).
RESOLUCIÓN: La dimensión de la pendiente de la recta es: [pendiente (A – B) ] = [pendiente (A–B)] =
A B masa
volumen
[pendiente (A–B)] ML3
M L3
RPTA.: E
11. La capacitancia (C) de un capacitor es la división entre el valor de la carga (Q) que almacena una de sus armaduras y la diferencia de potencial (V) entre las armaduras del capacitor. Determine las dimensiones de la capacitancia. A) B) C) D) E)
10. La diferencia de potencial eléctrico “ V ” entre dos puntos de un material está dada por:
V
W q
Donde W es el trabajo necesario para trasladar las cargas entre dichos puntos y q es la cantidad de carga neta que se traslada. Determine las dimensiones de la diferencia de potencial eléctrico.
A) B) C) D) E)
RESOLUCIÓN: Escribimos la ecuación dimensional y reemplazamos las dimensiones de la carga eléctrica y de la diferencia de potencial:
C
M L 1 T 3 I 1 M L 2 T 3 I 1 M1 L1 T 3 I 1 M T 3 I 1 M L 3 I 1
q
V
IT M L T 3 I 1 2
C M1 L2 T 4 I 2 RPTA.: E
La unidad de la capacidad eléctrica es el faradio (F).
RESOLUCIÓN: Escribimos la ecuación dimensional y reemplazamos las dimensiones del trabajo y la carga eléctrica:
V
M1 L2 T 4 I1 M L 2 T 3 I1 M1 L1 T 3 I1 M T 3 I 1 M 1 L2 T4 I2
W M L2 T 2 IT q
12. Determine
el
módulo
de
la
resultante de los vectores A , B y
C .
V M L2 T3 I1 RPTA.: B
B = 4u
A 4 6u 60°
Página 141
60°
Calculamos
C = 4u A) 12 u D) 13 u
B) 14 u E) 15 u
el
modulo
C) 24 u
R
( 4 6 )2 ( 4 3 )2 2 ( 4 6 )( 4 3 ) Cos 90
R 12 u
vectores B y C , método del
RPTA.: A
B = 4u
A 4 6u
B C 4 3 u
60° 60°
C = 4u
Calculamos el modulo de usando la fórmula:
B C
B C
Un análisis geométrico adicional nos lleva a la conclusión de que el
vector B C biseca al ángulo de 60°, esto es por que los vectores que se han sumado tienen igual módulo. Por lo tanto el ángulo que
A)
0u A B 16u
B)
0u A B 4u
C) 6u A B 16u D) 6u A B 10u E)
4u A B 16u
forman entre si el vector
13. Dos vectores A y B tienen módulos de 10 u y 6 u respectivamente. Determinar en que intervalo se encuentra el módulo de la resultante que se pueden obtener con estos dos vectores.
42 42 2 ( 4 )( 4 ) Cos 60 4 3 u
de
R A B C usando la fórmula:
RESOLUCIÓN Sumamos los usando el paralelogramo:
A y
B C es 90°.
RESOLUCIÓN
Sumamos ahora A y B C con el método del paralelogramo.
A B C 12 u
A = 4 6 u
Calculamos el módulo de la resultante máxima y mínima de estos dos vectores, cuando formen 0° y 180° entre sí respectivamente.
A B 16 u ;
B C 4 3u
90°
Página 142
A B 4u
El intervalo entre los cuales se encontrará la resultante de estos vectores de acuerdo al ángulo que formen entre si será:
respecto al eje +x. Determine los módulos de las componentes del
4 u A B 16 u RPTA.: E 14. Dos vectores tienen una resultante máxima cuyo módulo es 14 u y una resultante mínima cuyo módulo es 2u. Determine el módulo de la resultante de los vectores cuando son perpendiculares entre si.
vector A
sobre L1 y L2.
A) 4 u y 6 u C) 5 u y 6 u E) 4 u y 3 u
B) 8 u y 5 u D) 4 u y 5 u
RESOLUCIÓN
A) 12 u D) 10 u
B) 14 u E) 15 u
Dibujamos el vector A y las rectas L1 y L2, Construimos un paralelogramo y trazamos los
C) 20 u
componentes de A .
RESOLUCIÓN Supongamos que sean dos vectores
A y B , entonces según lo afirmado
en el problema.
A
L1 137°
14 u A B
;
Resolvemos
encontramos
y
2u A B
A1
los
módulos de los vectores A y B .
A 8u
L2
B 6u
63°
10°
A2
Calculamos el módulo de las componentes usando ley de senos y obtenemos: A1 = 5cm Y A2 = 6cm
RPTA.: C Calculamos
el
módulo
de
los
vectores A y B usando la fórmula [1], cuando los vectores son perpendiculares ( = 90°).
AB
8 2 6 2 2 ( 8 )( 6 ) Cos 90
A B 10 u
RPTA.: D
15. Sea el vector A de módulo 5 u que forma 63° con respecto al eje +x, y las rectas L1 y L2 que forman ángulos de 137° y 10° con Página 143
16. Los
A,B y C
vectores
están
RPTA.: A
A =2
16°
R 0, 8 i 0, 3 j
17.
R y 1, 6 j 2 j 0,7 j 0,3 j
ubicados en el sistema ortogonal, tal como se muestra en la figura. Determine la resultante de los vectores.
C = 2,5 cm
R x 1,2 i 2 i 2, 4 i 0, 8 i
53°cm
Los vectores están A,B y C ubicados en el sistema ortogonal, tal como se muestra en la figura. Determine la resultante de los vectores.
= 10u
A
45°
B = 2 2 cm
30°
C = 10u
A) R 0,8 i 0,3 j
38°
83°
B = 8 2 u
B) R 0,8 i 0,3 j
A) B) C) D) E)
C) R 0,8 i 0,3 j
D) R 0,8 i 0,3 j
E) R 0,3 i 0,8 j
4 1 4 1 1
u u u u u
7º 8º 0º 0º 10 º
u
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN Descomponemos rectangularmente los vectores y calculamos los módulos de las componentes.
Los ángulos mostrados no corresponden a triángulos notables. Si los vectores son girados 7° en sentido horario, obtenemos que los vectores forman ángulos notables con respecto a los ejes ortogonales.
A = 2cm C = 2,5cm 16° CI
CJ
AJ
A = 10u
53° AI BI 45° BJ
37°
C = 10u 7°
7°
90°
45°
B = 2 2 cm
7°
Calculamos la resultante en cada eje usando vectores unitarios. Página 144
B = 8 2 u
Descomponemos los vectores y calculamos los componentes de cada vector.
18. Sean los vectores A 6 i 8 j 2 k y
B 2 i 12 j 6 k .
Determine
el
módulo de R 6 A 5 B
C = 10u
A) 42 u D) 26 u
A = 10 u
AJ
AI 53° 45° BI
B) 12 u E) 98 u
C) 63 u
RESOLUCIÓN
Calculamos R :
B = 8 2 u
BJ
4 A J 10 Cos 37 10 8 u 5
R
1 B J 8 2 Sen 45 8 2 8u 2
Calculamos la resultante
R x 6 i 8 i 10 i 4 i
Ry 8 j 8 j 0 j 0 j
Calculemos resultante.
1 B I 8 2 Cos 45 8 2 8u 2
R 30 i 36 j 42 k
R 6 ( 6 i 8 j 2 k ) 5 ( 2 i 12 j 6 k )
3 A I 10 Sen 37 10 6 u 5
R6 A5B
R4 i
El módulo de la resultante es:
R 4 u , girando el vector 7° en sentido antihorario (para restituir el ángulo anteriormente girado), la dirección y el sentido del vector resultante será: 7° con respecto al eje +x.
RPTA.: A
Página 145
el
módulo
de
la
( 30 )2 ( 36 )2 ( 42 )2 63
RPTA.: C
19. Calcule el módulo de la resultante de los vectores que se muestran en la figura. A) 8 u
25cos53 i Acos60 i 0 A 30u RPTA.: D
B) 10 u C) 6 u D) 5 u 1u
E) 9 u 1u
RESOLUCIÓN Rx = 8 u Ry = 6 u Calculamos la resultante aplicando Pitágoras: R = 10 u
RPTA.: B
20. Determine el módulo del vector A tal que la resultante de los vectores mostrados en la figura sea vertical. (B = 25u)
B
A) 40 u B) 20 u C) 60 u
53°
D) 30 u E) 90 u
R x Bx i A x i 0
60°
A
RESOLUCIÓN Descomponemos y sumamos:
y
B
53° 60°
x
A
Página 146